Г.Т.ЮРТ ЛЕВА
ЛАБОРАТОРНОГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Г. Т. ЮРТАЕВА
ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ И. НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Пособие для учителей
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
74.262.6 Ю 82
ИБ № 282
Галина Трофимовйа Юртаева
ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Редактор Э. К- Викулина
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор £, Н. Карасик Технические редакторы Е. Н. Зелянина^ Н. Н. Бажанова
Корректор Л. П. Михеева
Сдано в набор 30.01.77. Подписано к печати 30.06.78. 60x90’Л*. Бумага газетная,___Лит,
гдрн. Печать высокая. У слови, и. л. 5. Уч.-изд. л. 4.07. Тираж 100000 экз. , Заказ 6045, Цена 10 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.	(
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знцмени полиграфического комбината в областной типографии управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкома, 153008. г. Иваново, ул. Типографская, 6.
Юртаева Г. Т.
ДО 82 Лабораторно-графические работы по алгебре и началам анализа в средней школе: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1978.— 80 с., ил.
Пособие предназначено для учителей математики и содержит материал по организации и проведению лабораторно-графических работ, помогающих совершенствовать осуществление функциональной линии в школе.
Материал данного пособия может быть использован учителем как для работы на уроках, так и во внеклассной работе.
60501—686
10103 (03)—78
166—78
ББК 74.262.6
512(07)+517.2(07)
© Издательство «Просвещение», 1978 г.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из главных задач средней общеобразовательной школы является «осуществление общего среднего образования детей и молодежи, отвечающего современным требованиям общественного и научно-технического прогресса, вооружение учащихся глубокими и прочными знаниями основ наук, воспитание у них стремления к непрерывному совершенствованию своих знаний и умения самостоятельно пополнять их и применять на практике»1.
Важным условием в совершенствовании преподавания является усиление политехнической направленности, которая должна осуществляться не только и не столько на уроках труда, сколько при прохождении всех без исключения дисциплин курса средней школы.
На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала учащиеся должны уметь производить измерения и решать задачи с производственно-техническим содержанием, пользоваться справочниками и таблицами, считать на простейших приборах, выполнять различные хозяйственные расчеты, строить схемы, диаграммы и графики, свободно владеть чертежными и измерительными инструментами и т. д.
Одной из форм обучения математике, способствующих развитию и воспитанию ценных графических и вычислительных навыков и умений, являются лабораторно-графические работы. Однако в настоящее время таким работам не уделяется достаточного внимания. Лабораторно-графические работы, как правило, выполняются не систематически, от случая к случаю лишь некоторыми учителями. Причиной этого является недооценка лабораторно-графических работ, а также отсутствие необходимого учебного оборудования.
В настоящем пособии мы рассматриваем организацию и методику проведения лабораторно-графических работ, в которых при' решении конкретных задач в неразрывном единстве выступа
1 Основы законодательства Союза, ССР и союзных республик о народном образовании. — Газета «Известия» от 20 июля 1973 г., с. 2.
ют измерения, построение графиков различных функций и вычисления, выполняемые с помощью таблиц и счетных приборов. В основу всех предлагаемых работ положены важнейшие понятия математики, такие, как функция, уравнение, неравенство, которые позволяют ввести учащихся в круг идей современной математики.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность рецензентам рукописи С._Б. Суворовой и Г. К, Муравину за ценные замечания и совет.
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с ныне действующей программой по математике для IV—X классов средней школы.
I глава посвящена методике подготовки и проведения лабораторно-графических работ в средней школе. В ней рассмотрены особенности лабораторно-графических работ, подготовка учащихся к проведению работ, а также описан комплекс учебного оборудования, необходимый при подготовке и проведении лабораторно-графических работ.
Во II главе дано описание лабораторно-графических работ по алгебре и началам анализа. Каждая лабораторно-графичес-’ кая работа составлена в восьми вариантах и содержит задания на закрепление пройденного материала. Она проводится, как правило, после изучения соответствующего теоретического мате- -риала и рассмотрения примеров в качестве образцов. Для каждой работы определено оборудование, содержание, показаны образцы выполнения работ по карточкам. Лабораторно-графические работы содержат задания разной степени трудности. Это дает возможность учителю индивидуализировать работу с учениками. Задачи, отмеченные звездочкой, рекомендуются ,для работы с сильными уча/цимися.
Проведение лабораторно-графических работ предполагает предвар *и тельное изготовление карточек, наличие чертежных и измерительных инструментов, миллиметровой бумаги.
Предлагаемые в настоящем пособии задания для учащихся IV—X классов представляют собой возможные варианты, из которых учитель может отобрать наиболее важные. В зависимости от наличия резервов времени при прохождении той или иной темы некоторые лабораторно-графические работы могут быть либо опущены, либо использованы частично, либо предложены учащимся при повторении материала в конце учебного года.
В данном пособии нашел отражение опыт работы по новым программам учителей Мордовской АССР.
Глава I
ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
§ 1.	ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ И ИХ ЗНАЧЕНИЕ
Характерными особенностями лабораторно-графических раббт являются:	_
а)	построение графиков и их применение;
б)	использование чертежных, измерительных и вычислительных инструментов, приборов, специальных лекал;
в)	вычислительная обработка результатов измерений с помощью необходимых формул и сравнение результатов измерений и вычислений;
г)	применение таблиц, справочной литературы, включая учебники и специальные описания или инструкции.
Лабораторно-графические работы имеют большое воспитательное и образовательное значение. Они позволяют полнее и сознательнее уяснить математические зависимости между величинами, ознакомиться с измерительными и вычислительными инструментами и их применением на практике, научиться измерять и вычислять с определенной степенью точности. Индивидуальная работа учащихся вырабатывает умение правильно, аккуратно и четко выполнять чертежи, проводить вычисления. Лабораторно-графические работы дают возможность совершенствовать навыки приближенных вычислений, практику работы с математическими таблицами и логарифмической линейкой, а также устанавливать более тесные связи между различными разделами курса математики и между различными школьными курсами.
При проведении лабораторно-графических работ графический метод применяется не только в вычислительной работе, но и при исследовании функций, решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств и т. д. Он не вызывает такого умственного утомления, как это происходит при аналитическом способе. Велико значение графического метода и для политехнического обучения, так как он широко применяется в технике для решения целого ряда производственных задач.
Лабораторно-графические занятия вносят разнообразие в уроки алгебры, повышают активность и самостоятельность учащихся на
/роке, дают возможность обеспечить повышение качества знаний учащихся по математике’
При правильной организации лабораторно-графических работ воспитываются культура труда (умение организовать рабочее пестр, содержать его и инструменты в порядке), привычка к систематическому труду, уважение к работе, стремление к. познанию1 и постоянному совершенствованию полученных знаний и навыков, 5ережное отношение к социалистической собственности, вырабатывается сознательная дисциплина; развиваются любознательность, смекалка, чувство ответственности и эстетический вкус школьника. Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворенности от проделанной работы.
§ 2.	КОМПЛЕКС*
УЧЕБНОГО ОБОРУДОВАНИЯ
ПРИ ПОДГОТОВКЕ И ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИХ
РАБОТ
В школах назрела необходимость перехода к организационному комплексному созданию и использованию учебного оборудования, что неосуществимо без хорошо оборудованного математического кабинета.
Кабинет математики помогает более успешно работать по новым программам, глубже познать основы наук, приучает ребят пользоваться техникой. В школах, где осуществляется преподавание математики в кабинетах, качество математической подготовки учащихся, как, правило, выше.
При выполнении лабораторно-графических работ необходимо иметь в школьном математическом кабинете следующий комплекс учебного оборудования: чертежные, измерительные и вычислительные инструменты, наборы для самостоятельных и лабораторных работ, печатные (комплект карточек-заданий по темам программы, серия таблиц), экранные средства обучения и т. д.
Из чертежных и измерительных инструментов в кабинете должны быть в достаточном количестве масштабные линейки, чертежные треугольники двух видов (один с углами 90, 45 и 45°, другой с углами 90,60 и 30°), циркули, транспортиры (индивидуальные и демонстрационные), готовальни, курвиметры. К чертежным инструментам относятся также координатная доска, магнитная доска с координатной сеткой, резиновые штемпелЙ, лекала стандартных кривых, специальные виды бумаги.
Для вычерчивания графиков функциональных зависимостей рекомендуем широко использовать лекала стандартных кривых, предлагаемые в опубликованных в разное время работах П. А. Карасева, А. Т. Колдашева, А. П. Громова, И. К. Андронова и А. К. Окунева, С. М. Саакяна и других. Некоторые из лекал
могут быть изготовлены в порядке домашних заданий и на занятиях кружков. Каждому преподавателю следует постепенно накапливать такие пособия.
Для вычерчивания парабол достаточно иметь лекала полупарабол (рис. 1). Будем называть их соответственно лекалами № 1,2, 3, 4, 5, 6. Для построения графиков функций у = — при b = 1, 4, 6
X
рекомендуем изготовить специальное лекало (рис. 2), будем называть его № 7. Расчет данного лекала производится следующим образом: строим систему координат № 1 (рис. 3), изображаем системы координат №2, 3 с осями, параллельными осям системы координат № 1 (единицу на осях координат следует взять равной 1 см, что дает возможность легко строить графики как на миллиметровой бумаге, так и в ученической тетради). Расположение осей координат характеризуется .следующей таблицей:
Система координат №	Координаты начала координат в системе координат № 1	График функции	Множество значений	
			аргумента	функции
1	(0; 0)	! ks II * 1-	{0,10; 10,00)	{0,10; 10,00]
2	(2. 2)	X 1 4*	10,50; 8,00)	{0,60; 8,00]
3	(4; 4)	и k jo	[1,00; 6,00]	[1,00; 6,00]
Рис. 2	Рис. 3
Выполняем чертеж 3, относительно систем координат № 1—3 строим на миллиметровой бумаге соответственно графики функций у =5 —, у = у = — и вырезаем заштрихованную часть. Полу-X	X	X
ценный чертеж (см. рис. 2) наклеиваем на тонкий картон и вырезаем из него лекало № 7, с помощью которого можно изготовить комплект таких лекал для проведения графических работ. Лекала № l-r-7 были изготовлены из тонкой фанеры ицеллулоида.
В настоящей работе мы предлагаем конструкцию двух комбинированных лекал (рис. 4, 6). Первое комбинированное лекало (рис. 4) для учащихся VI—VIII классов содержит линейку, прямые углы, транспортир, полуокружности радиусов 10, 20, 30 мм. С его помощью можно строить графики следующих уравнений: 1) у = — при а = zfc 1, ±4, ±6; 2) у — ах2 при а = ±1, ±2, ±3, ±1.,
4)	+ У2 = а2 при а = 1, 2, 3; 5) у = ±
6) у =
Графики первых четырех- уравнений строятся с помощью Лекала,- расположенного таким образом, как на рисунке 4. Для построения графиков функций у = ДГх, у == х лекало следует повернуть на 180° вокруг биссектрисы первого и третьего координатных углов. Расчет лекала производится следующим образом. Строим на листе миллиметровой бумаги размером 150 х 115 мм Основную декартову прямоугольную систему координат № 1 (рис. 5) и системы координат № 1—10 (единицу на осях координат выбираем равной 1 см).
Расположение осей координат следующее:
Система координат №	Координаты начала координат в системе координат № I	График уравнения	Множество значений	
			абсцисс	ординат
1	(0,00; 0,00)	Г У= — X	[0,10; 10,00]	[0,10; 10,00]
2	(0,50; 0,50) -♦	4 У = — X	(0,50; 8,00]	[0,50; 8,00]
' 3	(1,00; 1,00)	<о| ч и	/0,75; 8,00]	[0,75; 8,00]
4	(7,00; 5,00)	у = X2	[—2,83; 0,00]	[0,00; 8,01]
5	(7,00; 4,00)	у = 0,5ха	[-4,00; 0,00]	[0,00; 8,00]
6	(7,00; 6,00)	у = 2ха	[—2,00; 0,00]	[0,00; 8,00]
2 Заказ 6045
Система координат Na	Координаты начала координат сГ системе координат № 1	График уравнения	Множество амачейкй абсцисс | ординат	
7	(9,00; 3,00)	у Зх2	[0,00; 1,64|	[0.00; 8,07]
8	(7,00; 3,00)	1 2 у = —X2 7	3	1—4,90; 0,001	[0,00; 8,00) 	4
9	(8,00; 4,00)	у ~ X3	10,00; 2,001	[0,00; 8,00]
10	(9,00; 11,50)	х2 + у2 — а2		
		х2 + у2 = 1	[—1,00; 0,00]	[—1,00; 1,001
		X2 + у2 — 4	[—2,00; 0,00)	[—2,00; 2,00)
		х2 4*. У2 = 9	[—3,00; 0,00)	[—3,00; 3,001
Относительно систем № 1—10 строим графики уравнений, вырезаем заштрихованную часть (рис. 4). Полученный чертеж наклеиваем на целлулоид или органическое стекло, выпиливаем лобзиком лекало, с помощью которого можно изготовить наборы лекал для всего класса.
Второе комбинированное лекало (рис. 6) для учащихся старших классов. Оно отличается от существующих тем, что дает возможность строить большее число графиков (обратно пропорциональной зависимости, квадратного трехчлена, показательных и тригонометрических функций).
Лекало представляет собой прозрачный прямоугольник размером 230 X ИО мм и толщиной около 1 мм, изготовленный из целлулоида или органического стекла.
Лекало содержит линейку, транспортир, полуокружности ради; усов 10, 20, 30 мм, эллипс с полуосями 10 и 20 мм, два прямых угла и дает возможность строить графики следующих уравнений:
1) у = — при а = zt 1» ±4, ±6; х
2) у = ах2 при а=~- ±1, ±2, ±3, ± А ±2-; Л о
3) у = а* при а = 2, 3, 10, -1, 1, 1
4) у == logaxnpn а = 2, 3, 10, т’ е>
Л о 1 и	£
ю
Рис. 5
И) у = cos к; 12) у = tg х; 13) у = ctg х; 14) у = arcsin х1; 15) у = arccos х; 16) у == arctg х; 17) у = arcctg х.
Для построения графика функции у = А • F [fe (х — х0)] + Уо (Л > 0, k > 0), где F (х) — одна из указанных выше функций, поступаем следующим образом:
1)	уменьшаем масштаб на оси ординат в А раз;
2)	увеличиваем масштаб на оси абсцисс в k раз;
3)	смещаем лекало параллельно оси Ох на |х0 Г единиц влево, если х0 < 0, и вправо, если х0 > 0; 1
1 Для построения графиков обратных функции используется обратная сторона линейки.
Рис. 6
4)	смещаем лекало параллельно оси Оу на |ур| единиц вверх, если у0 > 0, и вниз, если у0 < 0.
Расчет и изготовление лекала произвести по следующему плану. На листе миллиметровой бумаги размером 230 X 110 мм строим основную прямоугольную декартову систему координат х'Оу'№ 1 (рис. 7), изображаем системы координат № 2—14 с осями^ парал-дельными осям координат № 1 (единицу на осях координат следует взять равной 1 см). Расположение осей координат характеризуется следующей таблицей:
Система координат	Координаты начала координат в системе № 1 (х'Оу')	График уравнения , *	~ "	v	—— Множество значений абсцисс | ординат	
1	(0;0)		[0,00; 23,0]	[0,00; 11,0]
2	(2;1)	у = 10-*	[—0,90; 2,00]	[0,01; 7,94]
2	(2;1)	1 У = — X	[0,13; 8,00].	[0,13; 8,00]
2	(2; 1)	4 у = — X	[0,50; 8,00]	[0,50; 8,00]
3	(2,5; 1,5)	6 у = — X	[0,75; 8,00] ,	[0,75; 8,00]
4	(4.5; 7,5)	1 а у = —х2 ; 3	[0,00; 4,90]	[0,00; 8,00]
5	(7;8)	^1*1» II и—	[—2,00; 2,00]	[—1,00;,1,00]
.6	(0;9)	у = Зха	[—1,63; 0,00]	[0,00; 7,97]
♦ 7	(12; 10)	х2 + у2 == 9	10,00; 3,00]	[—3,00; 3,00j
7	(12; 10)	х2 + у2 = 4	[0,00; 2,00]	[—2,00; 2,00]
7	(12; 10)	X2 + у2 = 1	[0,00; 1,00]	[—1,00; 1,00]
8	(8; 6)	у = sin х	(0,00; 6,28]	[-1,00; 1,00]
9	(8; 6)	У = tg X	(0,00; 1,41]	[0,00; 6,17]
10	(15; 2)	у = X2	[0,00; 2,83]	[0,00; 8,01]
10 *	(15;2)	у =-Зх	[—2,00; 1,89]	[0,11; 8,00]
11	(16; 1)	1 , у = —ха 7	2	[0,00; 4,00]	[0,00; 8,00]
Рис.
Система координат №	। Координаты начала координат в системе № \ (х'Оу')	График уравнения	Множество значение	
			абсцисс	ординат
11	(16; 1)	у = 2х	(—2,00; 3,00]	[0,25; 8,00]
12	(19г 2) *	у = 2х2	[0,00; 2,00]	[0,00; 8,00]
13	(20; 1)	У — 6х	(—2,00;, 2,08]	(0,14; 8,00]
И	(21; 0)	у = X8	[0,00; 2,00]	[0,00; 8,00]
Относительно систем № 2—14 построим графики уравнений1 н удалим> Заштрихованную часть. Полученный чертеж (рис. 6) наклеиваем На целлулоид или. органическое стекло толщиной около миллиметра и С'помощью лобзика аккуратно выпиливаем лекало по контуру. Лекала, изготовленные из целлулоида и. органического стекла, прозрачны, ими очень удобно пользоваться при построении графиков.
Для того чтобы получить плавные линии, графиков,, необходимо их тщательно зачистить надфилем и наждачной бумагой, проверяя обводом карандаша на бумаге правильность образующихся кривых. С внешней стороны линейки рекомендуем сделать наклонную фаску, которая позволит снимать более точные отсчеты. На лекалах следует указать начало координат и направление координатных осей. Лекала можно изготовить и из других материалов, например из рентгеновской пленки (предварительно смыть эмульсию), полиэтилертерёфталатной пленки, винипласта, ватмана, картона, фанеры, листового металла и т. д.
Во всех случаях толщина пластинки, предназначенной для изготовления лекал, не должна быть больше 0,5-^2 мм, так как с увеличением толщины пластинки затрудняется изготовление лекала и понижается точность при построении графиков.
Расчеты и изготовление нескольких лекал можно осуществить одновременно группой из 5—6 учащихся. Полученный набор даст возможность изготовить целый комплект лекал для проведения занятий со всем классом.
Целесообразно иметь аналогичные лекала для выполнения чертежей на классной доске (за единицу масштаба взять 5 см). Их изготовить смогут также учащиеся. При построении нескольких графиков для индивидуальной работы удобнее использовать комбинированные лекала, а для работы на классной доске, наоборот,
1 Эллипс в системе № 5 легко построить с помощью иити. Для этого нужно взять нить длиной 2а = 4 см, закрепить ее концы в фокусах Ft (-^р^З; 0) и 0) и острием карандаша, оттягивая нить, построить эллипс.
If
лучше изготовить отдельные лекала стандартных кривых. Изготовлять их можно из твердого картона, фанеры, органического стекла и других материалов толщиной не более 5 мм.
Пользование лекалами облегчает ведение уроков при изучении графиков функций. Небольшой выбор параметров функций у = ох2, у = —, у = Ьх3, у = с* и т. д. не мешает изучению функций, так как изменение параметра не вносит принципиальных изменений в ход рассуждений. Применение лекал активизирует учебную деятельность учащихся, позволяет экономить время при вычерчивании графиков. Лекала обеспечивают значительно большую точность построения, чем обычно используемые в школе методы. Желательно для вычерчивания графиков на доске (в тетрадях), особенно при вычерчивании нескольких графиков, использовать цветные мелки (карандаши).
Построение графиков функций облегчается, а точность решения повышается, если чертежи выполняются на миллиметровой бумаге тонко отточенным карандашом. -
При подготовке к лабораторно-графическим работам можно с успехом использовать резиновые штемпели с изображением таблиц, функций, осей координат, графиков элементарных функций, изучаемых в школе. Они позволяют учащимся быстро проставлять в тетрадях готовые изображения и решать задачи на этих чертежах*
Для измерения расстояний по топографической карте или плану необходимо иметь в кабинете достаточное количество карт (планов) й курвиметров. Курвиметр — простейший инструмент (рис. 8) для механического измерения расстояний на топографических картах (планах). Движение колесика курвиметра вдоль измеряемой линии L при помощи особого сцепления преобразуется во вращательное движение стрелки так, что каждое изменение пути, пройденного колесиком, вызывает отклонение стрелки на некоторый угол q>. Шкала курвиметра рассчитана так, что при прохождении колесиком пути в I см стрелка отклоняется на одно деление. Число отсчитанных делений показывает пройденный путь в сантиметрах.
inpH проведении лабораторно-графических работ учащиеся должны широко использовать вычислительные устройства (логарифмические линёйкй, математические таблицы и т. д.).
При изучении функций и при подготовке к проведению лабораторно-графических работ рекомендуем широко использовать диафильмы, диапози-
тивы, некоторые фрагменты кинофильмов. Они позволяют экономить время * на уроке благодаря мгновенной подачи на экран готового материала — рисунка, текста, чертежа; быстро переходить от кадра к кадру, вызывают концентрацию внима-
Рис. 8 ния и повышают активность учащихся на уроке.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА И ОСНОВНЫЕ
ТРЕБОВАНИЯ К ТЕХНИКЕ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
Графический метод используется для наглядного изображения функциональных зависимостей, для вычисления приближенных значений корней уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств, для решения задач технического содержания и т. д. функционально-графические представления целесообразно также применять для выяснения теоретических вопросов, причем обычно перед аналитическими выводами и доказательствами, а также в тех случаях, когда аналитические средства по тем или иным причинам являются недоступными для учащихся -или представляют определённые трудности. Например:
1. При решении системы уравнений (х2 + у2 — 25,
способом подстановки получается уравнение четвертой степени, аналитические приемы решения которого учащимся неизвестны.
2. Уравнение tg х = х решить аналитическим способом вообще нельзя. Графическое же* решение уравнения является вполне доступным для учащихся. Приближенные корни данного уравнения, полученные при графическом способе решения, оказываются вполне пригодными для практического их использования.
Для того чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. При этом точность построения графика функции зависит от масштаба, в котором чертят график; бумаги; конструкции и точности изготовления чертежных инструментов (линеек, угольников, лекал и т. д.); числа, выбора и построения контрольных точек, через которые проходит график; особенностей функциональной зависимости; толщины линий; проведения проектирующих линий на оси координат; точности прочтения пометок на осях координат и т. д.
При построении графиков рекомендуем широко использовать функциональные сетки, которые позволяют построение графиков некоторых функций свести к построению графиков более простых функций. Началом такой работы служит применение разграфленной в клетку доски, клетчатой бумаги, миллиметровой бумаги, которые упрощают построение системы координат, точек в ней и нанесение масштаба на оси, а также чтение координат точек, уже нанесенных на координатную плоскость. При этом важно научить учащихся читать координаты точек, когда искомая точка лежит на двух линиях разлиновки, на одной линии разлиновки, между линиями разлиновки.
Хорошие чертежные инструменты дают возможность повысить точность нахождения неизвестных при графическом способе решения уравнений и систем уравнений. Построение контрольных точек, линий нужно осуществлять с помощью тонко отточенного карандаша (твердости 2Т или ЗТ)1. Мягкие карандаши дают слишком расплывчатую черту и быстро стираются. Линия графика не должна быть жирной, так как иначе одному значению абсциссы будет соответствовать несколько значений ординаты и, наоборот, каждой ординате — несколько значений абсциссы.
Лйнейка, треугольник, лекала являются наиболее употребительными и наиболее важными инструментами при построении графиков, от качества и точности которых зависит точность получаемого результата. Желательно, чтобы они были изготовлены из целлулоида, так как целлулоидные инструменты обладают рядом преимуществ по сравнению с деревянными. Они прозрачны и позволяют видеть находящиеся под ними линии, изготовлены обычно более точно, чем деревянные; они гибки и поэтому плотнее прилегают к поверхности бумаги, обладают большей устойчивостью к различным деформациям и повреждениям, меньше пачкают чертеж и могут быть легко вымыты при загрязнении.
Для построения графиков необходимо широко использовать тщательно изготовленные лекала. При этом при построении с их пр-мощью обязательным является выбор контрольных точек. Промежутки между значениями аргумента не должны быть слишком
малыми.
Точность графического решения зависит от особенности, уравнений, от взаимного расположения графиков, от величины угла пересечения графиков функций, от расположения точки пересечения прямых по отношению к,началу координат, от погрешности определения общих точек графиков и т. д. Если графики пересекаются
под очень острым углом, то трудно правильно определить положение точки на чертеже, так как на некотором участке графики практически сливаются. Точка пересечения определяется тем точнее, чем угол пересечения графиков оказывается ближе к 90° .. Изменения величины угла можно добиться за счет изменения масштаба.
Графический способ решения дает приближенные значения не-
известных, что следует учитывать при проверке решения уравнения и систем уравнений, правая и левая части могут оказаться приближенно равными.
Действительный корень уравнений, полученный в первом приближении графическим способом, может быть вычислен более точно.
Для этого существуют различные методы: можно увеличить масштаб графика, можно вычислять разности соседних с приближен** ным значением корня значений функций и по перемене знака этих разностей судить об уточнении корня, можно применять метод
1 Выполнить эти требования для всех графиков в данной работе оказалось невозможным по техническим причинам.
последовательных приближений, можно постепенно уточнять десятичные, сотые, тысячные и т. д. знаки приближенно найденного
корня.
В интересах повторения и применения изученных функций рекомендуем предложить учащимся решить ряд уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств аналитическим и графическим способами. Сочетание этих способов дает возможность сопоставлять результаты двух решений и позволяет установить аб
солютные и относительные погрешности.
Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенств, систем уравнений и неравенств и др. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций, как возрастание и убывание, знакопостоя яство, обращение функции в нуль и т. д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами.
Графический метод имеет и существенные недостатки: громозд-. кость, получение приближенных результатов, большая затрата времени и т. д. В применений аналитического и графического методов должно быть определенное равновесие й взаимодействие, ибо одностороннее увлечение одним из них и уменьшение роли другого не может привести к положительным результатам.
§ 4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ
ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
При выполнении работы каждого ученика нужно обеспечить чертежными и измерительными инструментами, логарифмическими линейками, специальными наборами лекал для построения гра^ фиков, необходимой обязательной и дополнительной литературой (учебники, задачники, справочники, таблицы, описания работ и т. д.).
Текст задания лабораторно-графической работы записывается заранее на переносной доске или плакате, которые вывешиваются перед всем классом, или подается на экран с помощью кодоскопа. Объяснение задания должно быть кратким, ясным и вместе с тем исчерпывающим.
Задание содержит несколько задач и состоит из основной и дополнительной частей. Основная часть работы содержит обычно стандартные упражнения, которые может выполнить каждый ученик. Дополнительная часть работы содержит связанные с темой более трудные упражнения для наиболее способных учащихся. В случае, если учащиеся имеют слабую подготовку по математике, то некоторые задачи или пункты задач могут быть опущены и использованы на внеклассных занятиях.
. Каждая работа содержит восемь различных вариантов. Обычно составляется сначала примерный вариант, который затем
варьируется с помощью замены или перестановки коэффициентов, букв, слагаемых, множителей и других компонентов; чертежи, как правило, получены путем перенесения вдоль оси абсцисс * или вдоль оси ординат на несколько единиц.
Учителем математики должны быть составлены описания к каждой лабораторно-графической работе, со строгой нумерацией работ, в которых" указываются тема, название необходимого оборудования, инструменты, справочная и учебная литература, схема оформления работы.
Для быстрого контроля правильности выполнения учащимися задания на уроке необходимо все варианты заранее решить и завести «паспорт» — карточку, на которой указываются решения задач. Такие карточки с контрольным решением вкладываются в конверт, на лицевой стороне которого записывается тема, количество вариантов, номер работы и класс; хранятся они в математическом кабинете.
Для обеспечения самостоятельности при лабораторно-графических работах для каждого ученика составляется карточка под определенным номером, в которую занесены числовые данные задания. В случае, если ученику* дается тот или иной чертеж или график, изображенный на листе миллиметровой бумаги, то желательно этот чертеж тоже наклеить на лист-карточку из плотной бумаги^
На класс составляется 30—35 карточек (соответственно числу учащихся). Каждый такой набор карточек желательно вложить в конверт иэ плотной бумаги, на котором записывается название темы лабораторно-графической работы, номер работы и класс. Словесный текст карточки печатается на пишущей машинке, а остальные записи должны быть написаны аккуратным и разборчивым почерком. Каждую карточку учитель должен тщательно Проверить. Такой набор карточек хранится в картотеке, математического кабинета, и его можно использовать в двух и более классах на уроках, следующих один за другим. С небольшой последующей корректировкой этот набор можно применять в течение ряда лет. Работа по карточкам обеспечивает самостоятельность выполнения задания и создает более спокойную и деловую обстановку на^ уроке.
При' о формлении работы в тетради ученик записывает тему, номер варианта и числовые данные с карточки. Под номером^ соответствующим номеру задачи, он дает решение, необходимые чертежи и ответы, которые должны быть краткими и исчерпывающими. При построении графиков широко используются лекала, миллиметровая бумага. Все встречающиеся при решении вычисления желательно выполнять с помощью математических таблиц, логарифмической линейки.
Можно рекомендовать следующий план проведения лабораторно-графических работ:
1. Учитель сообщает тему лабораторно-графической работы, повторяет ранее изученный материал, необходимые понятия, фор
мулы» определения, которые придется использовать при выполнении работы.
2. Ставится цель работы. Каждый учащийся знакомится с индивидуальной карточкой, с содержанием и описанием выполняемой работы, дается минимально необходимый инструктаж (этапы работы, последовательность выполнения измерений и вычислений, схема оформления работы и т. д.).
_3. Учащиеся получают необходимую справочную и учебную литературу, счетные приборы, таблицы, чертежные и измерительные инструменты.
4.	Работа выполняется каждым учащимся самостоятельно. К выполнению расчетов он приступает после тщательного построения графиков. Все вычисления и измерения заносятся в определенную таблицу.
5.	Учитель, наблюдая за работой учащихся, проверяет решения, указывает на индивидуальные и общие ошибки учащихся. Особое внимание уделяется менее подготовленным учащимся.
6.	В конце занятия отводится несколько минут для подведения итогов лабораторно-графической работы.
При оценке качества выполнения работ преподаватель должен учитывать правильность построения чертежа, рациональность выбора величин, подлежащих измерению, применение рациональных вычислений, умение правильно выполнять приближенные вычисления, оформление работы.
На одном из следующих занятий проводится подробный анализ выполненной работы: сравнение' и обсуждение полученных результатов, указываются типичные и индивидуальные ошибки в построении графиков, в вычислениях, в применении правил приближенных вычислений, в ответах; в использовании, счетных приборов, инструментов, лекал, справочников, таблиц и т. д.
Положительная оценка выставляется в том случае, если выполнена основная часть работы. Учащимся, неудовлетворительно выполнившим работы, даются аналогичные повторные самостоятельные лабораторно-графические работы. Оценка за каждую лабораторно-графическую работу заносится в журнал и учитывается наравне с другими оценками.
Гл а в-а fl
СОДЕРЖАНИЕ
ЛАБОРАТОРНО-ГРАФИЧЕСКИХ
РАБОТ В IV—X КЛАССАХ
IV КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № f на тему
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО КАРТЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ПУНКТАМИ
ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки работы с числовым масштабом.
Оборудование: карточки с заданием, карты Советского Союза, курвиметры или нитки, линейки.
Задания
I.	Определите расстояние по железной дороге от станции А до станции В.
II.	Определите длину реки С.
III.	Запишите результаты измерений и вычислений в таблицу а.
Таблицам
№ п/п	Расстояние, с помощью от станции Л до станции В	измеренное курвиметра длина реки С	Масштаб карты	Расстояние от станции Л | длина до станции В I реки С	
> 1	•				
2					1
3			-		
Сумма					
Среднее					

Образец выполнения работы
Карточка № 1.
I.	Москва» Ленинград.	(1. Лена.
Работа выполняется по следующему плану:
1.	С помощью курвиметра (или нитки и миллиметровой линей* ки) ученик 3 раза измеряет на карте расстояние по железной дороге от станции Москва до станции Ленинград и длину реки Лены, результаты измерений записывает соответственно в первую, вторую и третью строки.
2.	Вычисляет расстояние от станции Москва до станции Ленинград и длину реки Лены для каждого измерения, используя масштаб карты.
3.	Суммирует результаты* трех измерений и вычислений и ответ записывает в соответствующей строке.
4.	Находит среднее значение измерений и вычислений.
Оформление работы учеником
№ п/п	Расстояние, измеренное с помощью курвиметра		Масштаб карты	Расстояние	
				от Москвы ДО Ленинграда (в км)	длина реки Лены (в км)
	от Москвы до Ленинграда (в см)	длина реки Лены (в см)			
1	1.5	9,8	1:45 000 000	675	4 410
2	1.4	10,2		,630	4 590
3	1.6	9,7		720	4 365
Сумма	4,5	29,7		2025	13 365
Среднее	1.5	9,9		675	4 455 1
Примечания. 1. Измерения с помощью курвиметра производятся с точностью до 0,5 см. 2. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь вариантов (см. табл. 1). 3. Таблицы помещены в конце книги
V КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № 1 на тему
«КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки в построении точки по ее координатам и чтении координат отмеченной точки.
Оборудование: миллиметровая бумага, линейки, карандаши, карточки с заданием.
Задания
I.	1. Какие координаты имеют вершины многоугольника ABCDE?
2.	Найдите координаты середины L отрезка ВЁ.
3.	Определите координаты точки Н пересечения отрезков1 II. AD и ЁЕ.
4*	. Вычислите площадь четырехугольника EDCB: а) по миллиметровой сетке; б) разбивая на треугольники.
II. 1. Постройте четырехугольник MNPQ, если М (xt; yj, N (*2; у2), Р (х3; Уз), Q (х4; у4).
2. Постройте еще два четырехугольника, вершины которых были бы симметричны вершинам четырехугольника MNPQ:
а) относительно оси Ох; б) относительно оси Оу.
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
I. Рисунок 9.
II. М (4; 2,5), N (2; 5), . Р (1; 4), <2(2; 2).
Оформление работы учеником.
I.	1. А (4; -2,5), В (4; 1,5), С (1; 2,5), D (-2; -0,5), Е(—1; —3,5).
2.	L (1,5; -1).
3.	Н (1; —1,5).
4.	a)S1=16,l см2;
б) Sa = 16,2 см8.
II, Рисунок 10
Приме ча н и е. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (числовые данные для задачи Ц приведены в.таблице 2, рисунки к задаче I данной работы получены из рисунка 9 путем перенесения вдоль оси ординат соответственно на 1, 2, 3, 4 единицы вверх, на 1, 2, 3 единицы вниз).
Лабораторно-графическая работа № 2 на тему
«ДИАГРАММЫ И ГРАФИКИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки в построении и чтении диаграмм и графиков.
Оборудование: миллиметровая бумага, карандаши, линейки, карточки с заданием.
Задания
I.	Пользуясь .таблицей, постройте столбчатую и линейную диаграммы. (Дана таблица.)
II.	На рисунке изображен график движения автомобиля. (Дан рисунок.) Используя график, ответьте на вопросы:
1)	Сколько километров прошел автомобиль за 1 ч 30 мин?
2)	Сколько времени затратил автомобиль на остановки?
3)	Сколько времени был автомобиль в пути?
4)	Какое расстояние прошел автомобиль?
3 Заказ 6045
2S
Образец выполнения работы
- - - - -  _ - - - .	----- • - Л, -	--. . . .	_   _
; Карточка № 1.
Годы •	1940 ,	1950	1955	1960	1965	1970	1975
Количество угля (млн. т)	166	261	391	510	578 .	624	701
И. Рисунок 11.
Рис. 11
Оформление работы учеником
I. Рисунки 12, 13. II. 1) 60 км; 2) 6 ч; 3) 9 ч; 4) 440 км.
Примечания. 1. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (см. табл. 3). 2. При подготовке и проведении данной работы необходимо заострить внимание, учащихся на цене деления и его части. 3. В случае, если диапазон значений переменной X не так широк, а начальное значение велико, то при построении линейных диаграмм в координатной плоскости прибегать к вертикальным разрывам ее. Отметив единицу масштаба на горизонтальной оси, с помощью разрыва исключить те значения переменной, которые не рассматриваются в данной задаче.
VI КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № 1 на тему
«НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить умение записывать числовой промежуток, являющийся множеством решений неравенства.
Обор удование: карточки с заданием, цветные карандаши, линейки, угольники, миллиметровая бумага.
3 ад а н и я	_
I. Точка А (х0; у0) — вершина квадрата A BCD, стороны которого параллельны осям координат. Длина стороны квадрата равна а единицам.
1. а) Найдите координаты остальных, вершин, б) Каким условиям должны удовлетворять координаты внутренних точек квадрата?
2.* Сколько решений имеет задача?
II. Даны два множества л] и [р; ?[. Найдите: а) пересечение множеств; б) объединение множеств. Изобразите пересечение и объединение множеств на числовой прямой и запишите их с помощью принятых обозначений.
Указание. Каждый полученный квадрат выделяется красным карандашом и нумеруется соответственно цифрой kt где А = I, 2, 3, 4; вершины обозначаются соответственно буквами 4, В, С, D, К, А4, Е, Р. Ответы на пункты а) и б) задачи I пишутся под номером, который соответствует номеру рассматриваемого квадрата. В задаче П первое данное множество ученик заштриховывает красным карандашом, второе синим.
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
I. А (2; 3), а = 5. II. ]-5; 1], [-2; 3[.
з*
Оформление работы учеником
I. 1. Рисунок 14.
Рис. 14
1)	а) В (2; 8), С (7; 8). D (7; 3);
б) 2 < х < 7, 3 < у < 8.
2)	а) В (2; 8), М (-3; 8).
N (-3; 3);
б) —3 <х <2, 3 <у<8.
3)	а) ЛГ (-3; 3), К (-3; -2),
В (2;—2);
б)—3<х<2,—2<у<3.
4)	а) Ё (2; -2), Р (7; -2),
D (7; 3);
б) 2 <х <7, —2<у<3.
2. Задача имеет четыре решения.
II. а) [—2; 1], б) J—5; 3[; рисунок 15.
- , , .............................................
-0.7 -6 -5 -4-3 -2 -10123456
Рис. 15
Примечание. Учащимся предлагается восемь различных варианте» - (см. табл. 4).
Лабораторно-графическая работа № 2, на тему
«ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ» <30 мин)
Цель работы — закрепить понятие пропорциональных переменных, совершенствовать навыки в построении и чтении графиков. ,
Оборудование: карточки с заданием, линейки, миллиметровая бумага, цветные карандаши.
3 адан и я
I.	За а ч пассажирский поезд прошел b км, а автомобиль за с ч прошел d км. Постройте графики движения поезда и автомобиля. Используя графики, ответьте на вопросы:
1)	Сколько километров прошел поезд за т ч?
2)	Сколько времени потребовалось автомобилю, чтобы прей-• ти п км?
3)	С какой скоростью vk шел поезд?
4)	С какой скоростью иа шел автомобиль?
5)	Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости поезда?
6)	Какое расстояние пройдет автомобиль за t ч?
II.	По графику движения тела определите:
1)	скорость движения тела;
2)	путь, пройденный телом;'
3)	время движения тела.
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
Г'а = Зч20мин, П. 120-
Ь = 140 км;	_
с — 2 ч 10 мин,	-
У каззние. График движения поезда выполняется красным карандашом на миллиметровой бумаге, а автомобиля — синим.

Оформление работы учеником
Д. Рисунок 17; 1) 63 км, 2) 1 ч 40 мин, 3) vL & 42 км/ч, . . 4)	72 км/ч, 5)	= ~=
= 1 у, 6). s « 72/.
II. 1)	~ 1,5 м/мин;
2)	« 90 м; 3) 4 « 1 ч.
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (числовые данные для задачи I приведены в таблице 5, рисунки к задаче II
) Рис. 17
вариантов 2—8 получены из рисунка 16 соответственно увеличением масштаба 3	5	5
оси О/ в 2, —, 3 раза, вдоль оси 0s в 2, —, 3 раза. .
Лабораторно-графическая работа № 3 на тему
«ФУНКЦИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить представления о понятиях отношений между элементами множеств, функции, области определения и области значений функции.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, цветные карандаши, линейки.
Задания
I. Отношение между элементами множеств А = {хх; х2; х3; х4; х6} и В = {ух; у2; у8; у4) задано множеством пар' (в каждой паре на первом месте указан элемент множества Л, на втором — соответствующий ему элемент множества В).
1)	Изобразите стрелками отношение в случаях:
a)	{ta; у4); (Хг; у3); (х3; у3); (х4; у2); (х5; у J};
б)	{(х2; у^; (х3; у3); (х4; у4); (хх; уО; (хБ; yj; (х3; у4)}.
2)	В каком случае отношение является функцией?
3)	Запишите каждое отношение в виде таблицы.
4)	Постройте график отношения между множествами.
II. На рисунках изображены графики различных отношений между элементами множеств.
1)	Какие из. отношений являются функциями?
2)	Найдите область определения X и область значений Y функции у f (х).
3)	Найдите множество значений х € X, при которых: a) f (х) = = 0; б) f (х) «СО; в) f (х) > 0; г) / (х) = 1; д) / (х) = -1; е)/(х) = -б/
Карточка № 1.
I.	А = {-3; -1; 0; 2; 3}, В = (-5; -3; 2; 3}.
а)	{(-3; 3); (-1; 2); (0; 2); (2; -3); (3; ^)};
б)	((-1; -5); (0; 2); (2; 3); (-3; -5); (3; -3); (0; 3)}.
II.	Рисунки 18—21.
Рис. 19
Рис. 18
I.
б) 1) Рисунок 24.
Рис. 24
2) Отношение является функцией.-г
2) Отношение не является функцией.

4) Рисунок 23.
Рис. 23
4) Рисунок 25.
Рис. 25
II. I)'Отношения, заданные графиками на рисунках 18, 21, — функции.
2) Для рисунка 18: X = {—2; —1,5; —0,5; 0; 1; 2; 2,5; 3);
Y = {-1,5; ^1; 0; 0,5; 1; 2).
Для рисунка 21: X •= [—4; 3];
У = [-1;3].
3) Для рисунка 18: а) {—0,5; 2,5); б) {—2; 2; 3};
в) {-1,5; 0; 1); г) {-1,5};
д) {—2; 3); е) 0.
Для рисунка 21: а) {—2; —0,5}; б) ]—2; —0,5[;'
в) [-4; —2[ U) -0,5; 3]; г) {-3} UГО; 2]'; д) {—1};е) 0.
4
Примечания. 1. Если отношение между множествами Л и В есть функция, то стрелки изображаются красным карандашом, в противном случае — синим. 2. Для слабых учащихся пункты 3 и 4 задачи I и пункты Зг), Зд), Зе) задачи II можно не включать. 3. При выполнении данной работы учащимся предлагается вбсемь различных вариантов (числовые данные для задачи I приведены в таблице 6, рисунки к задаче II вариантов 2—8 получены из рисунков 18—21 путем перенесения вдоль оси ординат соответственно на 1, 2, 3, 4 единицы вверх, на 1, 2, 3 единицы вниз.
Лабораторно-графическая работа № 4 на тему
«ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки построения и чтения графиков- линейной функции.
Оборудование: карточки с заданием, линейки, миллиметровая бумага.
Задания
I.	1. Постройте график функции /, заданной формулой у = kx + fe.
2.	Как изменяется переменная у (возрастает, убывает) с возрастанием переменной л?
3.	Найдите множество значений х, при которых: а) / (ж) -= 0;
б) f(x) >0; в)^/(х) <0.
4.	Пользуясь графиком функции у = kx + Ъ\ а) найдите приближенные значения: k  (—0,6)’ + b; k • 2,3 -f- b; б) заполните
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь вариантов (числовые данные для задачи I приведены в таблице 7, рисунки к задаче II вариантов 2—8 получены из рисунка 26 путем перенесения вдоль оси ординат соответственно на 1, 2, 3, 4 единицы вверх и на 1, 2, 3 единицы вниз.)
Оформление работы учеником
I. 1. Выбираем контрольные точки (0; —3,6), Mt (1,5; 0) и проводим через них прямую, являющуюся^ графиком функции у = 2,4* — 3,6 (рис. 27). 2. Возрастает. 3. а) {1,5}; б) ]1,5; оо[;
4. а) Находя по графику функции ординаты точек с абсциссами —0,6 и 2,3, получим 2,4 • (—0,6) —
б) Для заполнения таблицы находим абсциссы точек графика, ординаты которых равны 3,6; 2,4; —2,4; -4,3:
У	3,6	2,4	-2,4
у + 3,6 *	2,4	3,0	2,5	0,5
-0,5
VII КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № 1 на тему
«ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ» (1 ч)
»
Цель работы — совершенствовать навыки в построении и чтении графиков функций.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, линейки, лекала.
3 адан и я
Даны функции: aj f (х) = -х ; б) <р (х) = k • хп.
х + т
1.	Найдите область определения X функции.
2.	Постройте график функции.
3.	Найдите множество значений х, при которых: а) у = 0;
б) у > 0; в) у < 0.
4.	Решите: а) уравнение у (х) = —2/п; б) неравенство у (х) < < —2/п.
5.	Принадлежат ли графику функции у = у (х) точки А (/п; 2/п), Д (—т; —2 т), С (—т + 1; —2/п + 1) и D (—т + Г, ~т + 1)?
6.	Определите промежутки возрастания (убывания) функции.
Образец выполнения работы
: Карточка № 1.
а) т = 3; б) k = 4; п = —1.
Оформление работы учеником
а) У -	3- 1.	х = ]—оо; -3[Ц]^3; °°[- 2.	Графиком функции у = «= —является прямая, из которой исключена точка М (—3; —6) (рис. 28). 3.	а) {3};б)]3;оо[; в) ]-оо; -3[ и ]-3; 3[. •	4. а) 0; б) ]-оо; —3[. 5. Точки А (3; 6), В (—3; —6), D (—2; —2) не принадлежат графику данной функции, а точка С (—2; —5)- принадлежит.	х	। х.	। ।	।	I	1	।	I о> Ch	гчо	-а -TJ -X	1	1	1 X	L , ,^Х.		। ж
6. Функция возрастает на промежутках ]—оо; —3[ и ]—Зг«>[. б) у = -i.
1	х = ]—оо; 0[ U Ю; оо[.
4
2.	Для построения графика функции у — — выберем контроль-
X	—8,0	-4.0	—2,0-	-1.0	—0,5	0,5	1.0	2,0	4.0	8,а
У	—0,5	-1,0	-2.0	—4,0	—8,0	8,0	4.0	2,0	1.0	0,5
... Ри.с. .29 с
Примечание. .Учащимся различных вариантов (см. табл. 8).
ные точки и отметим их на чертеже. С помощью лекала строим график функции у = —(рис. 29).
3.	а) 0; б) ]0; оо[; в) ]—оо; 0[.
4.	а) б) ; 0[.
5.	Точки Л (3; 6), В (—3;
—6), С (—2; —5) не принадлежат- графику функции у —
4
= —, а точка D (—2; —2) при-, л
надлежит.
4
6.	Функция у = — убывает на промежутках]—оо; 0[ й ]0; оо[.
и выполнении работы предлагается восемь’
Лабораторно-графическая работа № 2 > на тему
«РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» (1ч)
Ц е л ь р а б о т ы — закрепить- умение решать неравенства и системы линейных неравенств с одной переменной.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая; бумага, лекала, линейки.
Задания
1. Пользуясь графиками функций f (х) = kx + п и <р (х) = = рх + q, найдите множество значений х, при которых: 1) f (х) > 0; 2) / (х) > -2; 3) f (х> = ф (х); 4) f (х) <ф (х); 5И/ (х) >
0;
Проверьте правильность ответа; решив соответствующее уравне ние, неравенство или систему неравенств алгебраически.
II. Решите графически неравенство я? >тх.
Образец выполнения
работы
Карточка № 1.
I. ./ (х) =-х - I, <Р (х) =а 2х — 4, рисунок 30.
II. Xs > X.
Рис. 30
'	Оформление работы учеником
1.	1) ]-«>; -1[; 2) ]-ос; Н; 3) (1); 4) ]1; оо[; 5) 0.
Решим соответствующее уравнение,. неравенство или систему неравенств алгебраически:
1)	/ (х) > 0, —х — 1 > 0, —х > 1, х < —1, т. е. на ]—оо; —1[;
2)	/ (х). > —2, —х — 1 > —2, —х > —1, х < 1, т. е. на ]—оо; 1[;
3)	f (х) = <р (х), —х — 1 = 2х — 4, —Зх — —3, х = 1, т. е. н{П;
4)	f (х) < <р (х), —х — 1 < 2х — 4, —Зх .< —3, х > 1, т. е. на ]1; оо[;
5)	Я(х)>0,	(—х— 1 >0,	(х < — 1,
1<р (х) > 0;	" { 2х — 4 > 0;	(х > 2; х € 0.
Решения, найденные графически и алгебраически, совпадают.
II.	х8 > х. Для вычерчивания графиков функций у = х“, у — х выберем контрольные точки и отметим их на чертеже.
X	—2,0	-1,0	0,0	1,0	2,0	X	0,0 .	1,0
у — X3	—8,0	-1,0	0,0	1,0	8,0	>=х	0,0	1,0
С помощью лекала строим график функции у = х3; через точки с координатами (0; 0) и (1; 1) проводим прямую (рис. 31). Значения х, при которых точки графика функции у = х3 расположены выше графика функции у = х, служат решениями неравенства х3 > х.
Ответ: ]—1; 0[ Ц]Г; оо[.
Примечание. Учащимся при выполнении работы предлагается восемь различных вариантов (см. табл. 9).
Рис. 31
Лабораторно-графическая работа № 3 на тему
«ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ» (1 ч)
Цель работы — совершенствовать навыки в построении и чтении графиков, закрепить умение графически решать уравнения и неравенства.
Оборудование: карточки с заданием, линейки, миллиметровая бумага, комбинированные лекала.
3 адан и я
I. Решите графически:
а) уравнение ]/jT = f (х); б) неравенство^УТ > f (х).
II. 1) Постройте график функции у = m\f х2 + р.
2) Найдите множество значений х, при которых: а) у = 0; б) у > 0; в) у < 0.
3) Определите промежутки возрастания и убывания функции.
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
I. f (4 = -• Н. У = —4/? + I. к	о
Оформление работы учеником
I. Для построения трафиков функций у = pGF и у ~ — выбе-х
рем контрольные точки:
X	—5,0	—2,0	-1,0	—0,5	—0,2	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0
1 у = — X	—0,2	—0,5	-ч.о	—2,0	—5,0	5,0	2,0	1,0	0,5'	0,2
и	'
X	0,0	1.0	4,0
y—tfx V 		0,0	1,0	2,0
Строим гиперболу у — — с помощью соответствующего лекала, график функции у = У~х с помощью лекала параболы у = х* (рис. 32). а) {!}; б) ]1; оо[.
Рис. 32
II. Используя тождество )/х2 — |х |, имеем:
12
---х + I, если х О, з
2,.	' А
—х + 1, если х < 0.
з
2. а) {-1,5; 1,5}; б) ]-1,5; 1,5[; в> ]-оо; -1,5[UJ1,5; оо[.
3. Функция возрастает на промежутке ]—оо; 0[ и убывает на промежутке ]0; оо[Ф
Пр и не ч а н и е. Учащимся при выполнении работы предлагается восемь различных вариантов (см. табл. 10).
Лабораторно-графическая работа № 4 на тему
«ГРАФИК ФУНКЦИИ у =х ах2 4- Ьх + Г» (2 ч>
Цель работы — закрепить навыки в построении графиков квадратичной функции.
Оборудование: карточки с заданием, лекала, миллиметровая бумага, масштабные линейки.
Задания
I. Дана функция у = ах2 + Ьх + С-
1.	Найдите координаты точек пересечения графика функций с осями координат.
2.	Постройте график данной 'функции.
3.	С помощью графика найдите: -
а)	множество значений х, на котором функция: 1) возрастает, 2) убывает, 3) принимает положительные значения, 4) принимает отрицательные значения;
б)	значения переменной х, при которых функция принимает Наибольшее или наименьшее значение.	‘
4.	Проходит ли график данной функции через точки А (т; п), В (—/и; n), С (—/и;—п), D (т; —/г).
II. График какого квадратного трехчлена изображен на рисунке? (Дан рисунок.)
/•.' Ш*. Арка моста имеет форму дуги пара* боды, вершина которой находится в середине этой дуги (рис. 34). Арка имеет три вертикальные стойки, поставленные через равноотстоящие точки хорды, стягивающей арку. Найдите длину этих стоек, если высота арки равна I.
IV. Решите графически неравенство Амс8 >
Карточка № 1.
II. Рисунок 35.
HI. I = 8.
IV. г’>— х2+
Рис, 35

Оформление работы» учеником
I. у = —х* + 6х — 5.
1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат. При х—О значение у = —5, следовательно, кривая пересекает ось Оу в точке ie координатами (0;—5).
Найдем точку пересечения графика 'с осью абсцисс. Положив у == 0, будем иметь: —х2 + 6х — 5 = 0. Решив полученное квадратное уравнение, получим: Xi = 1, х3 = 5.
. Таким образом, точки пересечения графика с осью абсцисс имеют координаты (Г, 0), (5; 0).
2. Графиком функции у — —х* + 6х — 5 является парабола, вершина которой имеет координаты Xq =. —у- = 3,. у0 = = __(3)» + 6 • 3 — 5 = 4.
Для построения графика функции выберем контрольные точки:
	1 0.0	| <.о	2,0.	| 3,0	4,0	5,0
У	—5	| 0,0	3,0	4,0' |	3,0	0,0
у1
Рис. 36
Отметив контрольные точки, строим график функции с помощью лекала у == х2 (рис. 36).
3. а) 1) функция возрастает на промежутке ]—оо; 3[; 2) функция убывает на промежутке . ]3; оо[; 3) ]1; 5£; 4)]—оо; 1[ (J]5; оо[; б) функция принимает наибольшее значение у — 4 при х — 3.
4. График функции у = «= —х2 + 6х — 5 проходит через точку А (2; 3), не проходит через точки В (—2; 3), С (—2; —3) и D (2; —3).
II. Рисунок 35. Данная парабола является графиком функции вида у = ах2 + Ьх + с. Так как. точки с координатами (—1; 2), (0; -1), (1; —2) ле-жат на графике этой функции, то имеем:
В этой системе координат решив следующую систему
Следовательно, данная парабола является графиком функции у ™ х2 — 2х—1.
III. Чтобы найти длины стоек, надо знать уравнение дуги параболы. Расположим систему координат, как показано на рисунке 37. Уравнение параболы примет вид у = ах? + с. Так как ОЕ = /, то уравнение параболы имеет вид у = ах2 + /.
определим координаты точек А и D, уравнений:
у = ах2 + /, у — 0;
Найдем длины стоек СК, ОЕ, BF : хр = хс = — J,/—L, ук »• = СК ==	- 6, хЕ = х0 = 0, уЕ - ОЕ = I = 8, хр = .хв~
у = BF = a (11/ZTf + / = 1/ = 6.
2 Т a	\ 2 г а/	4
IV. *® > —х? 4- 2х. Для построения графиков функций у — Xs и у — —х* 4- 2х выберем контрольные точки:
X	-2,0	-1,0	0,0	1.0	2,0	X	—2,0 *	0,0	1.0	2,0	4,0
Л3	—8,0	-1,0	0,0	1.0	8,0	у=—х*+2х	—8,0	0,0	1.0	0,0	—8,0
Наметив контрольные точки, строим графики функций с помощью лекал у=х®, у=х2 (рис. 38). Значения х, при которых точки графика функции у = х3 расположены выше графика функции у = — —х? 4- 2х, служат решениями неравенства х3 > —хг + 2х.
Ответ-. ]—2\ 0[ U ]1;
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (числовые данные для задач I, III, IV приведены в таблице 11, рисунки к задаче II вариантов 2—8 данной работы получены из рисунка 35 путем перенесения вдоль оси абсцисс на 1, 2, 3 единицы вправо и 1, 2, 3, 4.единицы влево).
Рис. ЗВ
VIII КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № 1 на тему
«ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить умение графически решать системы уравнений и неравенств второй степени, совершенствовать навыки построения и чтения графиков.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, математические таблицы, лекала, масштабные линейки.
Задания
I. Решите графически следующую систему уравнений:
ху =» А, у = /пх2 4- пх + р.
Выполните проверку.
II. Изобразите на' координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют следующей системе неравенств:
рс2 4- у2 < <f,
(ах 4- by + с 0. Искомое множество заштрихуйте,.
III*. Запишите систему неравенств, множество решений которой изображено на рисунке. На рисунке заштриховано'множество точек, координаты которых удовлетворяют сле^ющей системе неравенств:
ху > k, у <1 /пх2 4- пх 4- р.
Образец выполнения работы

-Карточка № 1.
Оформление работы учеником *	• .
I. Для построения графиков функций у — — и у — —0,5ха + 2
Выберем несколько контрольных точек:
> ?*' X'	—5,0	—2,0	-1,0	—0,5	—0,2	0,2	0,5	1,0	• :! ?  2»0	5,0 ;
1 у= — X	—0,2	—0,5	-1,0	—2,0	—5,0	5,0	2,0	1,0	0,5	0,2
X	-2,0	-1,0	0,0	1,0	2,0
0,5х2+2	0,0	1,5	2,0	1.5	0,0
Строим гиперболу у = -L и параболу у = —0,5л2 + 2 с помощью комбинированного лекала и находим абсциссы и ординаты точек их пересечения (рис. 40):' (1,65; 0,65), (0,55; 1,85), (—2,25; —0,45). .
Координаты должны быть решениями данной системы.
Рис. 40
Проверим первое решение хх — 1,65, ух — 0,65: ( Xi  Ух === 1,65 • 0,65 да 1,07 да 1, .—0,5х2 4- 2 = —0,5 • (1,65)г + 2 да 0,64 да yv
Проверим второе решение х2 = 0,55, у2 = 1,85: f х2 • у2 = 0,55 • 1,85 да 1,02 да 1, ' — 0,5х| + 2 = —0,5 • (0,55)2 + 2 да 1,85 = у2.
Проверим третье решение х3 = —2,25, у8 = —0,45: Мз • Уз = -2,25 • (—0,45) да 1,01 да 1, (-4),5 • х| + 2 = —0,5 • (—2,25)2 + 2 да —0,53 да у8.
Проведенная проверка показывает, что найденные решения (1,65; 0,65), (0,55; 1,85), (—2,25; —0,45) являются приближенными.
Таким образом, система имеет три приближенных решения: Xj да 1,65, ух да 0,65; х2 да 0,55, у2 да 1,85; ха да — 2,25, у8да да —0,45.

II. Рисунок 41.
х z у > 1
у	—0,5х8 + 2
Примечание. Учащимся при выполнении данной работы пред* лагаете я восемь различных вариантов (см. табл. 12).
Рис. 41
Лабораторно-графическая работа № 2 на тему
^ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ» (1ч)
Цель работы — закрепить понятия последовательности, арифметической и геометрической прогрессий.
< Оборудование: миллиметровая бумага, карточки с заданием, масштабная линейка.
Задани я
I. а) Выпишите последовательность:
Ian2, если 1 п 3, если 4 п 10. Постройте ее график. 5
ч. ;•• г 
б) Является ли последовательность монотонной?
^' -в) Найдите наибольший и наименьший члены последователь* «ости.
ад II. а) Какие из множеств точек, изображенных на рисунках, являются графиками последовательностей?
б) Запишите последовательности при 1 п 6 в таблицы и подберите формулы, по которым могут быть вычислены их члены, д? III*. а) Постройте график арифметической прогрессии (&п), ''V которой, bi = tn, d = Р, 1 п Xi-
S? б) Найдите линейную функцию, графику которой принадлежат *гочки прогрессии.
IV*. Докажите, что последовательность Сп — k • с" является ^геометрической прогрессией. Постройте график этой последова-, тельности.
Образец выполнения работы
Продолжение
II. Рисунки 42, 43, 44. 9ni
О
Рис. 44
0,2 • 2".
Рис. 42
Ш. th =
Рис. 43 1 < п
Оформление работы учеником
I. a)	== -—2;	= 4,5;	= —3,6;	.== — 2,7;
«в = —1,8; а? = —0,9; а3 = 0;	= 0,9; а10 = 1,8. Рисунок 45.
б) Последовательность не является монотонной.
в) Наибольший член последовательности aw=l,8; наимень* ший а3 = —4,5.
II.	Рисунок 42. а) Множество точек не является графиком последовательности, так как функция не определена при п ~ 4.
Рисунок 43. а) Множество точек является графиком последовательности.
п	1	2	3	4	5	6
	со 1	~2		0	1	2
Любой член последовательности вычисляется по формуле ап = = п — 4.
Рисунок 44. а) Множество точек является графиком последовательности.
Л	1	2	3	: 4	5	6
ап	1	—1	1	—1	1	—1
Любой член последовательности вычисляется по формуле а —
III.	а)’ Выпишем прогрессию Ьп: 3; 2,5; 2; 1,5; 1; 0,5; 0; —0,5;
—1. -Графиком прогрессии {рис. 46) является множество точек плоскости, имеющих координаты . (1; 3), (2; 2,5), (3; 2), (4; 1,5), (5; 1), (6; 0,5), (7; 0), (8;—0,5), (9;—1).
б) Запишем формулу n-го члена прогрессии: Ьп — 3 — 0,5(п — 1). । прогрессии принадлежат графику функции
отношение (п + 1)-го члена последовательности 0,2-2"+1 о ru.
—------ = 2. Отношение постоянно, следова-
Точки графика у = 3,5—0,5г.
IV.	Составим к п-му:	=
сп тельно, последовательность является геометрической прогрессией/
0,2 2’
График последовательности изображен на рисунке 47.
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (числовые данные для задач I, III, IV приведены в таблице 13, рисунки к задаче II вариантов 2—8 получены из рисунков 42—44 путем перенесения вдоль оси ординат соответственно на 1, 2, 3, 4 единицы вверх, на 1, 2, 3 единицы вниз).
Рис. 47
Лабораторно-графическая работа № 3 на тему
«ФУНКЦИЯ, ОБРАТНАЯ ДАННОЙ» (2 ч)
Цель работы — закрепить понятие обратной функции.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, масштабные линейки, цветные карандаши, комбинированные лекала.
Задания
I.	Отношение f задано с помощью пар:
а)	{(хх; У1); (ха; у2); (х8; у3);	У4); (хъ; ув); (хв; ув); (х7; у7)}
б)	{(an bi); (а2; 6»); (а8; Z>3); (а4; fr4); (ав; Ь5); (а,; 6,); (а7; 67)} 1) Изобразите данное отношение / с помощью стрелок.
2)	Является ли данное отношение f функцией?
3)	Задайте с помощью пар обратное отношение q.
4)	Изобразите с помощью стрелок обратное отношение q.
5)	Является ли обратное отношение q функцией?
6)	В одной и той же системе координат постройте график данного отношения f (красным карандашом) и графи^ обратного отношения q (синим карандашом).
II.	Найдите функцию, обратную данной:
a) f (к) — ах + Ь, если х € fa; «У; б) /(х) =—Ь у0, если X
х € {са; d2]. Постройте график заданной функции f (х) (красным карандашом) и график обратной ей функцией q (х) (синим карандашом). Как расположены их графики относительно прямой у = х?
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
I. а) |(—3; Л); (-2; у); (-1;	(0; 0; (1; 2); (2; 4); (3; 8)};
б) {(—3; 9); (—2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4); (3 ; 9) ).
II. a) f (х) = —х — 2, где х € [—3; 6];
б) f (х) — — + 2, где х € [1; 6].
Оформление работы учеником
I. а) 1) Рисунок 48. 2) Отношение f является функцией.
3){(s;"3): (’Ь-2)’	(1; °); (2; 0; (4;2); (8;3)}‘
4) Рисунок 49. 5) Отношение q, обратное f, является функцией.
6) Рисунок 50.
9
б) .1) Рисунок 51. 2) Отношение f является функцией.
3) {(9; -3); (4; -2); (1; -1); (0; 0); (1; 1); (4; 2); (9; 3)}. 4) Рисунок 52. 5) Отношение q, обратное f, не является функцией. 6) Рисунок 53.
Рис. 53
II. Для того чтобы задать формулой функцию у = q (х), обратную данной функции у — f (х), нужно выразить переменную х через у и поменять обозначения: х на у и у на х.
2	2
a)	f (х) = —х — 2. Из равенства у — —-х — 2 выразим х:
5
5у = 2х — 10, 2х = 5у + 10, х = —у + 5. Заменяя х на у и
2
5	5
у на х, получим у = —х 4- 5. Итак, q (х) = —х + 5. Найдем 2	2
5
область определения обратной функции: —3 — х + 5 6, —6 5х + 10 12, —16 5х 2, —3,2 х 0,4. Итак, обратная функция может быть задана формулой q (х) = ~х + 5, где х € [—3,2; 0,4].
Для построения графиков линейных функций / (х) и q (х) выберем по две контрольные точки, через которые пройдут прямые /j и
X	—3,0	6,0	X	-^3,2	0,4
/(х)	—3,2	0,4 |	(»)	—3,0	. 6,0
Графики функций / (х) = —х — 2 и q (х) = —х .+ б (рис. 54) 6	2
симметричны относительно прямой у — х.

Рис. 54
6	в
б)	f (х) —---Ь 2. Из равенства у — —к 2 выразим х через у<
ху = 6 + 2х, х (у — 2) = 6,
—	6	/ \
получим: у =------, q (х) =
х — 2
6 о
х ------. Заменяя х на у и у на х,
—5—. Найдем область определения х — 2
функции q (х):
1 < -— <6, 1 < х — 2 < 6, 3 < к < 8. Сле-х —2
довательно, обратная для f (х) функция может быть задана форму-лой q (х) =----, где х € [3; 8]. Для построения графиков функ-
ций f (х) и q (х) выберем контрольные точки:
X	1.0	2,0	3,0	4.0	5,0	6,0	X	3,0	4,0	5.0	6,0	7.0	8,0
6 J f (х)=—f-2 X	8,0	5,0	4.0	3,5	3,2	3,0	6 <? (X) =		 х — 2	6,0	3,0	2,0	1.5	1,2	1.0
Рис. 55
Наметив, данные точки, обводим карандашом лекало у =-— (рис. 55). Графи-
6
ки функций у ------Ь 2 и
симметрично
Рас-
положены относительно прямой у = х.
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (см. табл. 14).
Лабораторно-графическая работа № 4
на тему
«ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СОСТАВЛЕНИЮ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки составления эмпирических формул и построения графиков функций.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, линейки, лекала.
3 ад а н и я
I. Наблюдениями установлено, что растворимость т г соли зависит от температуры t9 как указано в таблице:
i	0	5	10	15 t	20	25	30	35	40	45	50
т	mj		m9	m,	m5	V	m,		me		
Постройте график этой зависимости. Проверьте с помощью линейки, что построенные точки расположены приблизительно на прямой. Выразите зависимость т от t формулой.
II. В таблице
«(см3)		1,10	1,90	3,10	3,90	4,70	5,90
р 1	'кгс\ <см2/	Рх	Р2	Рз	Л	Рь	Р»
приведена установленная опытным путем зависимость давления Р от площади S опоры при постоянной силе. Определите величину силы, действующей на тело. Постройте график этой зависимости (1 см на оси абсцисс соответствует S = 1 -см2, а по оси ординат
кгс
см2
Образец выполнения работы
Карточка №1.
t	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
tn	68	72	74	78	82	34	89.	91	97	99	104
S (см2)			1,10	1,90	3,10	3,90	4,70	5,90
p\	<кгс^ ^см2;		21,81	12,63	7,74	6,15	5,11 -	4,07
Оформление работы учеником
I. В прямоугольной системе координат строим график зависимости т от t (11 «экспериментальных» точек (/; т), рис. 56). Проверяем с помощью линейки и видим, что они расположились вблизи некоторой прямой т = kt + b. Непосредственным измерением на рисунке 56 найдем b ж 67. Выбрав на прямой точку, например А (50; 103), и подставив ее координаты в уравнение прямой, найдем k: 103 — — k • 50 + 67, k ж 0,72. Тогда эмпирическая формула имеет вид т ж 0,72/ + 67.
Рис. 56
П. Из физики известно, что давление в зависимости от площади опоры при постоянной силе выражается формулой Р . Откуда имеем F = Р • .5* Все произведения (Рх •	Р2 • Sa,
Р» * 53, Р4 • S4, Рь • SB, Рв • Se) с точностью до целых дают число, равное 24. Следовательно, сила, действующая на тело, выражается числом, равным 24. Давление в зависимости от площади опоры выразится формулой Р ~ В прямоугольной системе координат строим график зависимости Р от S -(6 «экспериментальных» точек (S; Р), рис. 57, а). Точки располагаются вблизи гипер-
5______________________
'!	г "'"гп—।	I	’	—Л
°° 6 4 3 Z	1	$
о)	Рис. 57, а, б, в
болы Р = ^, которую построим с помощью лекала у = — (1 см на оси абсцисс соответствует S — 1 сма, а по оси ординат — Р = = 4—V
-сма /
-г	*
Примечания. 1. При выполнении данной' работы учащимся предлагается восемь вариантов (см. табл. 15). Данную работу рекомендуем провести при.прохождении раздела «Повторение». 2. При изучении обратной пропорциональной зависимости величий предлагаем рассмотреть с сильными учащимися „	‘	_	т
обратную шкалу. Такая Шкала определяется уравнением и = —и при масштабе т = 60 мм имеет вид, изображенный на рисунке 57, б. В прямоугольной системе координат, у которой на ось абсцисс нанесена обратная шкала, а на ось -	b
ординат — равномерная, графиком функции у = — является прямая, Проходе
дящая через начало координат. Обратная шкала позволяет «спрямить» гипер-
b „
ролу у = —'. Так, например, графиком гиперболы Р
24
— (задача II данной
работы) является прямая, изображенная на рисунке 57, в. «Экспериментальные» Точки расположились вблизи этой прямой.
Лабораторно-графическая работа № 5 на тему
«ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки в построении и чтении графиков функций.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, линейки, комбинированные лекала.
Задания
*7 I. Решите графически уравнение х2 — — = 0. X
II. Решите графически неравенство х2
V -	X
£  1
III. На рисунке изображен график функции f (х) = —(х3 +
[	5
т • х2 + п • х + р).
| 1. С помощью графика: а) решите'уравнение f (х) = 0; б) решите Неравенство f (х) > 0; в) решите неравенство f (х) '< 0.
I 2. Разложите левую часть уравнения f (х) = 0 на множители И найдите корни. Сравните корни, найденные графическим способом и путем разложения многочлена левой части уравнения на Множители.
Г 
Оформление работы учеником
I. Выберем контрольные точки:
X	-2,0	-1,0	0,0.	1,0	2.0
у= х2	4,0	i.o	0,0	1,0	'4,0
X	—5,0	—2,0	—1,0	—0,5	-0,2	0,2	0,5	1.6	2,0	5,0
1 у= — X	—0,2	—0,5	-1,0	—2,0	—5,0	5,0	2,0	1,0,	0,5 •	0,2
С помощью комбинированного лекала на миллиметровой бумаге
строим графики функций у = х2, у = — (рисг 59)., получим ха = 1.
—3))=-(х -Ь о) (х — 6) (х d- 2). ъ
Множество решений уравнения f (х) = 0: {—5; —2; 3).
Корни, найденные графическим способом и путем разложений многочлена левой части уравнения, совпадают.
Примечания. 1. При выполнении работы учащимися предлагается восемь вариантов (числовые данные для задач I, II приведены в таблице 16, рисунки к задаче III получены из рисунка 58 путем перенесения вдоль оси абсцисс соответственно на 1,2, 3, 4, 5 единиц вправо и на 1,2 единицы влево). 2. Данную работу рекомендуем провести при прохождении раздела «Повторение».
IX КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № 1 на тему
«КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ» (1 ч)
Цель работы — закрепить понятие последовательности и навыки изображения множеств заданных точек и последовательно* стей на координатной плоскости.
Оборудование: карточки с заданием, карандаши, миллиметровая бумага.
Задания
I. Изобразите в координатной плоскости множество точек {(х; у)| а |х| + Ь | у | = €х + <ty}. Принадлежат ли данному множеству точки А (а\ Ь), В (с; d)?
II. 1. Выпишите последовательность (uj, если ип — -рп + дг.
2.	Изобразите члены последовательности (ап):
а)	точками координатной прямой,
б)	точками координатной плоскости.
3.	Является ли монотонной последовательность («п)?
4.	Ограничена ли последовательность (яп)?
5.	Существует ли такое число, к которому стремится последовательность (п^)?	7
Ш*> Постройте геометрическую фигуру, ограниченную графиком функции у = £х, отрезком [0; xxJ оси абсцисс и прямой х = хх. Разделите отрезок ['0; хх] оси абсцисс на^-п конгруэнтных частей и на полученных отрезках постройте вписанные прямоугольники. Найдите площадь геометрической фигуры как предел последовательности (Srt) площадей образованных ступенчатых фигур.
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
I. а = 2, b •= 1, с = —2, d=l. II. р = 2, q = 4.
III. k - Xj = 8.
2
Оформление работы учеником
I. {(х, у) |2|х|+ |>1 = —2х + у}. Рассмотрим поочередно все четверти:
Рис. 60
В первой четверти | х| — х, |у| = у, 2х + у = —2х + у « « х = 0. Во второй четверти-|х|= —х, |у| = у, —2х_+у = = —2х + у «0 — 0. В третьей четверти |х| =—х, |у| — = —у, — 2х — у = —2х + у « фф у = 0. В четвертой четверти |х| = х, | у| = —у, 2х — — у — —2х + у « 2х = у. Рисунок 60. Точка А (2; 1) данному множеству не принадлежит, а точка В (—2; 1) принад-
лежит.
1	2
1.14 = 6; иа = 4; м3=3—; и43; мв = 2,8; и, — 2— ; о	о
2.	а) Рисунок 61; б) рисунок
3.	Последовательность (ия) является монотонной.
4.	Последовательность («п) является ограниченной.
5.	Предел последовательности (urt) существует и равен 2*.
62.
“П
Рис. 62
III. Рисунок 63. Стороны каждого из (п — 1) прямоугольников (составляющих ступенча-тую фигуру) равны —, а дру-гие стороны образуют арифметическую прогрессию:-
Л,Д.2,А.З, ... п п п	п
поэтому
п
32 п (п — 1)	16 • (п — 1).
па ’	2	“ п *
S = lim Sn = lim = 16. rt-»-oo	п->оо Л
Примеча ни е. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (см. табл. 17).
Лабораторно-графическая работа № 2 на тему
«ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить общее понятие, способы задания и геометрическое изображение функций, представление о непрерывных и разрывных функциях.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, карандаши, линейки, циркули.
Задания
I.	1. Постройте график функции /0	при х <—а,
|ft_____ при х = —а,
у = а8 — х2 при |х| <а, |х — а 4- 1 при х> а I	(а > 0).
2.	Укажите, в каких точках данная функция непрерывна, а в каких — разрывна. Определите значение функции в точках разрыва.
3.	Чему равен предел функции при х, стремящемся к —а?
II. По данному графику найдите аналитическое задание функции (т. е. задайте функцию формулой) и определите: а), область определения; б) область изменения; в), промежутки возрастания и убывания; г) точки максимума и минимума.
Образец выполнения работы
Карточка № 1. 1	0	прйх<—1,
2 при х=—1, И1—х* I. 2 3при|х|<1, X при X 1.
II. Рисунок 64
Рис. 64
Оформление работы учеником
I. 1. Рисунок 65. 2. Функция имеет разрыв в точках х — —4 и
Рис. 65
х ~ 1, непрерывна при любом х =/=—1 и х=#1; У (—1) — 2 и yXO-L
3. lim у == 0.
II. Рисунок 64.
3 при х < —2, х2—1 при—2^х^1, —х + 1 при х > 1.
а) ]—оо; оо[; б) ]—оо; 3]; в) возрастает в промежутке ]0; 1[, убывает в промежутках ]—2; 0[ и ]1; оо[, постоянна в промежутке ]—оо; — 2]; х — 0 есть точка минимума, ymln= —1, ах = 1— точка максимума, ymlt = 0.
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (числовые данные для задачи I приведены в таблице 18, рисунки к задаче II вариантов 2—8 получены из рисунка 64 путем перенесения вдоль оси ординат соответственно на 1, 2, 3, 4 единицы вверх н на 1, 2, 3 единицы вниз.
Лабораторно-графическая работа № 3 на тему
«ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ . К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки построения и * чтения графиков, умение применять производную к исследованию функций.
Оборудование: миллиметровая бумага, карточки с заданием, карандаши, линейки, математические таблицы (или логарифмические линейки).
Задани я
I. Для функции у = — (х3 + /их2 + пх + р) найдите: .	5	л
а) область определения; б) производную; в) критические точки; г) промежутки монотонности и экстремумы. Постройте ее график.
II. Напишите уравнения касательной к графику данной функции, наклоненных к оси абсцисс под углом 45°.
Образец выполнения рабдты
Карточка № 1.
у = 1g? 4- 4Х2 — Их — 30).
5
Оформление работы учеником
' 1. а) ]—оо; оо[; б) у' (х) — -i- (Зх2 + 8х — 11) = (х + X
Х(х—1); в) критические точки: ---1; г) по результатам иёсле-
3
дований составляем таблицу
t X	04 1 СО ч V ч V 8 1	2 ж = -3з	—3-<х<1 3	•	х = 1	1 < х < ОО
У'(ж)		0		0	—j—
У (ж)	возрастает	26 2 27	убывает	1 — 7 — 5	возрастает
экстремум		max		min	•
и строим график функции (см. рис. 58).
2. Производная функции у = у (х) при х = xQ равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной х0. Так как tg 45° = 1, то решения уравнения ~(Зх20 + 8х0 — 11) = 1 явля|отся абсциссами точек графика функции, в которых касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°. Найдем их: -^(Зх02 + 8х0 — П) = 1, Зх02 + 8х<> — 16 = О,
S,2= “ функции в
Запишем уравнения касательных в этих точках:
у — у == 1 • (х HP 4), 5х — 5у 4- 34 = 0;
У + 222 = I . (х~	27х — 27у — 226 = 0.
27 V- 3/
Примечание. При дополнении данной работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (Ы. табл. 16).
iJS?- , х^ = —4, хОа= “. Подсчитаем значения 3	3
этих точках: f (—4) = 2,8, f \ = —7—.
1 /	' \ 3 /	27
Ж КЛАСС
Лабораторно-графическая работа № 1 на тему
«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР, ОГРАНИЧЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫМ КОНТУРОМ» (1 ч)
Цель работ ц — закрепить навыки применения определенного интеграла к вычислению площадей криволинейных трапеций.	**
Оборудование: карточки с заданием, измерительные инструмент^! (масштабныежлинейки, циркули-измерители), лекала, логарифмические линейки, миллиметровая бумага.	J
Задания
I. Постройте геометрическую фигуру, ограниченную графиком функции
v = /Д5х2 + Ьх + с, если хх х х2,
у	I —х + Р, -	если х2 < х < х3,
и прямыми х — хь х == х3, у = 0.
II. Найдите площадь данной фигуры двумя способами:
1. По формуле S == J* / (х) dx.
2*. Приближено, разбивая соответствующую фигуру на п криволинейных трапеций и заменяя каждую из них соответствующей
прямоугольной трапецией, т. е. по формуле Sx =
+ У1 + у2 + ... + уп_!
где п 10.
Сравните полученные результаты. Найдите абсолютную и отно-А С сительную погрешности: AS = S — Sx, Р = •—.
Результаты вычислений и измерений заносят в т а б л й ц у:
													s=	д$	р
л													Sj=		-
Образец выполнения
работы
Карточка № 1.
I- V = |0,5л2 + 2л + 3, если —3	х 0,
—х + 3, если О < х 2.
Оформление работы учеником
I. Строим параболу у = 0,5х* + 2х + 3 для х € [—3; 0]. Парабола пересекает ось ординат в точке с координатами (0; 3). Найдем точки пересечения параболы у — 0,5х2 + 2х + 3 с прямой у = 3. Для этого подставим в уравнение у = 0,5л2 + 2х + 3 значение у, равное 3: 3= 0,5л2 + 2л + 3. Корни полученного уравнения —-4 и 0, значит, парабола у = 0,5л2 + 2л + 3 и прямая у = 3 пересекаются в точках с координатами (—4; 3) и (0; 3), которые симметричны относительно оси симметрии параболы. Абсцисса вершины параболы равна полусумме абсцисс полученных точек, Tve. —2, а ордината у = ОД- (—2)2 + 2 • (—2) + 3=1. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (—2; 1). Выберем несколько контрольных точек:
X	-^3,0	—2,0	-1,0	0,0
У	1,5	1,0 	1,5	3,0
Строим данную параболу с помощью лекала параболы у = = 0,5л2 так, чтобы острие карандаша прошло через контрольные
Рис. 66
точки. Прямую у — — к + 3 для 0; 2] построим по двум точкам (0; 3); (2; 1) (рис. 66).
2)
*1	-3,00	—2,50 1	-2,00	—1,50	—1,00	—0,50	0,00	0,50	1,00	1,50	2,00	S=8,50	AS	Р
У1	1,50	1,1.-	1,00	1,13	1,50	2.13	3.00	2,50	2,00	1,50	1,00	St=8,57	0,07 .	1%
Примечание. При выполнении данной лабораторно^графической работы учащимся предлагается восемь различных вариантов (см. табл. 19).
Лабораторно-графическая работа NS Z на тему
«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ .ФУНКЦИИ.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ» (2 ч)
• Ц е л ь р а б о т ы — закрепить навыки исследования и построения графиков тригонометрических функций.
Оборудование: карточка с заданием, миллиметровая бумага, масштабные линейки, математические Таблицы, лекала.
Задания
I. Исследуйте данную функцию у = А • <р (сох + и) + т, в промежутке [xjj х2] по следующей схеме: 1) область определения; 2) область изменения функции; 3) четность и нечетность функции; 4) периодичность функции; 5) точки пересечения графика функции с координатными осями; 6) интервалы знакопостоянства; 7) интервалы монотонности и экстремумы функции в указанном промежутке. Выполните чертеж.
II. 1) На этом же чертеже (см. задачу I) постройте график функции у = kx + b.
2) Пользуясь графиками функций у = Лф (сох + л) + т и у — kx + b, найдите корни уравнения kx + Ь = Лф (<ох 4- п) + + т.
Образец выполнения работы
Карточка № 1.
1. у — 2 * cos у — 2,	—л, х2 = Зл.
2. fe = --,& = 0.
2
Оформление работы учеником
L 1) Функция у = 2 • cos — — 2 определена при	[—л; Зл].
2	»
2)	Область изменения функции Y = [—4; 0].
3)	Функция не является ни четной, ни нечетной на рассматриваемом промежутке.
4)	Данная функция не является периодической.
5)	Точки пересечения с осью абсцисс находим из соотношения
2 cos — — 2 — 0, cos — = 1.	♦
2	2
Для промежутка [—Зл] имеем точку О (0; 0). Точку пересечения с осью ординат получаем, полагая х = 0, найдем у = 0. Получаем точку О (0; 0).
6)	Данная функция принимает отрицательные значения на промежутках [—л; 0[ и ]0; Зл].
7)	Чтобы обнаружить точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания, находим первую производную от дан-
1 X	х
ной функции: у' = —2 •	• sin у, т. е. у' = —sin у. Так как
у' > 0 на промежутках [—л; 0[ и ]2л; Зл] и у' < 0 на промежутке ]0; 2л[, то на промежутках [—л; 0[ и_]2л; Зл] функция возрастает, а на промежутке ]0; 2л[ — убывает. Отсюда следует, что в точке хх = 0 функция имеет максимум, утах (0) = 0, соответствующая точка графика имеет координаты (0; 0), в точке х2 = 2л функция имеет минимум ymJn (2л) — —4, соответствующая точка графика имеет координаты (2л; —4).
Для построения графика данной функции находим дополнительно контрольные точки:
X	—л	Л	л 2	Л	3 —л 2	5 2	Зл
У	-2,0	-0,6	—0,6	—2,0	-3,4	-3.4	—2,0
Изображаем в прямоугольной системе координат все полученные точки графика и строим его (рис. 67).
II. 1) Графиком функции у = —-х является прямая (рис/ 67)-j для построения которой выберем контрольные точки с координатами (0; 0), (4;-2).
2) Решим графически уравнение 2 • cos--2 = -—. График
2	2..
к	1
ки функций у = 2  cos — — 2 и у = —-х пересекаются в трех точках, абсциссы которых равны: хх « 0,00; х2 л; 2,20; х8 т 7,30/.
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагает-ся восемь различных вариантов (см. табл. 20).
Лабораторно-графическая работа N2 3 на тему
«ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ» (1 ч)
Цель работы — закрепить навыки графического решения: неравенств и систем неравенств с двумя переменными!
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бумага, лекала, масштабные линейки.
Задания
I.	Даны точки А (хх; yj, В (х2; yj, С (х3; у3), D (Х4; у4). €6-ставьте неравенство, определяющее полуплоскость с границей АВ, которая содержит точку С. Докажите, что прямая АВ не пересекает отрезка, ограниченного точками Си D.
II.	Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
(2х 4- у 4- q < 0, . Зх — у 4" с2 0, х — 2у 4- Cs 0.
III.	Запишите системы неравенств, множества решений которых изображены на рисунках.
Примечание. На рисунках изображены множества решений следующих систем неравенств:
У + Ьх2 <1 О,
т, п.
Образец
Оформление работы учеником
Рис. 71
I. Рисунок 71. Составим уравнение границы АВ полуплоскости. Уравнение прямой имеет вид у = kx + b или х == = а. Так как абсциссы точек А и В не совпадают, то прямая АВ имеет уравнение вида у = = kx + Ъ. Определим k и b из условия принадлежности точек А и В искомой прямой. Так как координаты точек должны удовлетворять уравнению, то
откуда k= —2; Ь — 2. Прямая 2х -К у—2 = 0 дел йт плос-
кость на две полуплоскости, определяемые неравенствами 2х + у — 2 > 0 и 2х + у — 2 < 0. Так как координаты точки С удовлетворяют неравенству 2х 4~ 4- у — 2 < О, то оно определяет искомую полуплоскость.
Точки С и D принадлежат одной полуплоскости 2х + у — 2 < Д, так как их координаты удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, прямая АВ не пересекает отрезок CD,
II. Рисунок 72.
Ш. Рисунок 68, / у+0,5ж2<0, I—4 < у < —1,5.
Рисунок 69,
Рисунок 70,
Лх| < 1,5, (|У1 >
Примечание. При выполнении данной работы учащимся предлагается восемь различных;вариантов (см. табл. 21).
ТАБЛИЦЫ’
Таблица 1
Условия задач» Варианты	А	В	С
1	Москва	Ленинград	Лена
Н •	Одесса	Москва	Волга
111	Киев	Ленинград	Днепр
IV	Куйбышев"	Свердловск	Урал
V,	Владивосток	Хабаровск	Дон
VI	Новороссийск	Иркутск	Амур
VII	Ашхабад	Ташкент	Енисей
vi 1 т	Челябинск	Новосибирск	Обь
Таблица 2
Варианты Числовые	"'х. данные	I	Л	III	IV	V	А». VI	VII	VIII
*1	4	5	6	7	3	.2	1	0
	У1	2,5	3,5 |	4,5	5,5	1,5 |	0,5	-0,5	-•1,5
	2	3	4	5	1	°	— 1	—2
Уъ	5	6	7	8	4	1 3	2	1
*3 		1	3	4	5	1	1 0	1-'	1 —2
. Уа 1	4	3	4	5	1	&	1	—2
	2	—1 ( ►	0	1	—3	—4	. —5	-6
>4	2	4	5	6	2	1	0	—1
Таблица 3
Годы Числовые данные	1940	1950	1055	I960	1965	1970	1975
1. Уголь (млн. т) 2. Рисунок 11	166	261	391	510	578	624	701
1. Электроэнергия (млрд. кВт • ч) 2. Рисунок 73	48	. 91	170	292	507	741	1038
1. Нефть (млн. т) 2. Рисунок 74	31	38	71	148	243	353	491
1. Газ (млрд, м3) 2. Рисунок 75	3,2	5,8	9,0	45	128	198	289
1. Минеральные удобрения (млн. т) 2. Рисунок 11	3,2	5,5	9.7 L.	13^9	31,3	55,4	90,2
1. Зерноуборочные комбайны (тыс. шт.)' 2. Рисунок 73	12,8	46,3	48,0	59,0	85,8	99,2	97,5.
1. Тракторы (тыс. шт.) 2. Рисунок 74	31,6	117	163	239	355	459	550 * W*
1. Все население СССР (млн. чел.) 2. Рисунок 75	194,1	178,5	194,1	216,3	232,2	243,9	.255,5
Рис. 73	Рис. 74	Рис. ,75
Таблица!
Варианты Числовые данные	I	и	in	IV		VI	VII	VIII 
хь	2	3	4	1 ч	0	2	2	2
- Уо	3	3	3	3	3	2	1	i Р-'
А	5	3	4	5	3	4	5	*r*i*j*4 	
т I	—5		—7	-	—3	—2	—1	—д
		0	—1	2	3	4	5	7
р	—2	—3	—4	—1	0	1	2	^*5
	3	2	1	4	5	6	7	0
Варианты Числовые данные	' I >	I]	in	IV	V	VI	VII	VIII
а (мин)	200	400	600	100	300	240	120	360
„ ь (км) Л	140	280	420	70	210	120	60	180
с (мин)	130	260	390	65. <	195	80	40	120
d (км)	156	312	468 Л	78	234	160	80	240
т (мин) *	90	180	270	45	135	160	во	240
п (км)	120	240	360	60	180	80	40	120
Таблица 6
Варианты Числовые данные	’	1	г II	III	IV	V	VI ♦	VII	VIII
хк	—3	- fl	—5	—2	—1	—1	—2	—5
	—Г	—2	—3	0	1	1	0	
хз	0	—1	—2	1	2	2	1	7—2
,	*4	2	1	0	3	4	1 4	3	0
	3	2	1	4	*5	5	1 4	1 1 '
У1	—5	—5	—5	—5	—5	—4	—3	—2
Уз	—3	—3	—3	—3	—3	—2	-1	0
Уз	2	2	2	2	2	3	4	5
У*	3	3	3	3	3	4	5	6
Таблица 7
Варианты Условия задачи	1	II	ш	IV	V	VI	VII	VIII
- k	2,4	-2,4	2,4	-2,4	1,2	-1,2	1,2	-1,2
b	—3,6	-3,6	3,6	3,6	-1,8	-1,8	1,8	1,8
Варианты Числовые данные	.	1	п	Hl	1v	V	VI	VII	VIII
k	4	—4	1	— 1	в	—6	1	—1
т	3	2	1	4	—4	—3	—2	—1
п	—I	—1	—1	—1	—1	—1	3	3
Таблица 9
Варианты Числовые данные	1	н	ill "	IV	V	VI	VII	Vill
k	•	—1	—3	2	—3	—1	3 “7	— 2	7
п	—1	8	8	8	—3 %	—3	—3	—,д
Р	2	2	1 Z	5	2	1	2	2
Q	—4	—2	—2	—4	6	7 ч	2	10
т	1	—b	4	—4	—2 1	—3	—5	9
Таблица 10
Варианты УСЛОВИЯ задачи	I	п	ill	IV	V	VI	V11	VIII
f W	1 О' ч* X	X2	 ,г	X3	2 X	х 2	2х—6	—2х+Ю
т	2_ ~ 3	1	1	1	—1	1 2	со | сч	2 ~ 2
Р	1	6	3	2	4	3	3	2
Варианты Числовые данные	I	П	HI	—	 IV	V	VI	VII	t viiii 1
а	—1	;l	I	—1	2	—2	0,5	-0,5
Ь	6		ф	—4	4	—3	3	-^4	—4 : i 1
С	—5	5	3	—3	6	—6	6	—6 i
т	2	2	4	H_	4	4	8	8 i
п	3	3	3	3	6	6	6	6
Р	—1	1	1	—1	—1	-И	2	2 1	I
Q	2	1 2	—2	—2	0	0	0	0
k	1	1	I-1	—1	—1	1	—1	1
d	1 “	1 °	1 0	0	2	2	3	3
I	8	I 4	16	18.	10	20	12	14
Таблица 12
Варианты Числовые данные	—ч	I	11	III	IV	V	VI	VII	VIII
‘	1	4	4	6	1	4	6	1	1
m	—0,5	—2	0,5	1	2	—-0,5	—1	1
n	0	12	1	4	12	1	2	 2
P	2	-14	-4,5	2	14	4,5	1	—1
Q	2,4	3	2,5	2,6	4 '	4	3,5	3,5
a	1	1	1	—1	2	1	3	i-3
b	1	1	2	2	1	3	1	1
c	—2	2	—2	—2	2	—3	3	3
	Варианты Числовые г данные	I	и	ill	IV	V	VI	VII X.	VIII
а	—0,5	0,5	1 3	_1^ ~ 3	1	-1	2	—2
т	3	2	—1 >•	—2	—4	—2	—1	2
Р-	—0,5	—0,2	4	0,5	_ 1	. %	г/!_	-7»
Х1	9	9	8	8	9	, 7	6	6
k	0,2	0,2	16	27	0.4	0,3	0,3	12
с	2	3	0,5	1/э	1.5	2	3	V /а -
Т а б л и ц а !4.
X. Варианты \ х. ЧисловыеХ. данные	х	I	II	III	IV	V	V*I	VII	VIII
*11 Ух	1 00 м а 00 1 *—	~зн т	1 —3; 2 — 8	-3;3-J-О	—3; 8 —ь		—зП	—3; 10	—3;4i . f , *
х2; у2		~2НТ	1 —2; 2 — . 4	1 —2; 3 — 4	-2; 4	—2; 5	—2; 6	
Хз, Уз	-i	1 ~|;1т	1 -,;2Т	1 -,;3Т	—1;2	-г.з	-1;4	
Х» У4	0;1	0;2	0; 3	0; 4	0; 1	0:2	0;3	
- хь ; у&	1; 2	1; 3	1; 4	1:5	1 1; т	1 г, I— 2	1;2|	
Х& Уз	2; 4	2; 5	2; 6	2; 7	1 2: 4	2;4	1 2; 2— 4	 • I to «* *1 . о?
Хъ У1	3; 8	3; 9	3; 10	3; 11	3; — 8	СО * • 00 1 *-*	з:Ч	3: 3 А О
	—3; 9	—3; 10	—3; И	-4; 9	—5; 9	—6; 9	-7:9	—8; 9
#2» ^2	-2; 4	—2; 5	-2; 6	—3; 4	-4; 4	-5; 4	-6; 4	-714
flal ^з 	i_	-1; 1	—I; 2	—1; 3	—2; 1	-3; 1	-4; 1	-5; 1	-6; 1
а4; b4	0; 0	0; 1	0; 2	—1; 0	—2; 0	—3;0	—4; 0	—5;0
Ьз	1; 1	1; 2	г.з	0; 1	—1* 1	-2; 1	-3; 1	-4; 1
°в»	2; 4	2; 5	2; 6	1; 4	0; 4	—1;4	-2; 4	-3; 4
b~	3; 9	3; 10	3; 11	2; 9		0; 9	-1:9	—2; 9
а	2 5	2	_3 2	_5 3	1 7	2 7	2 7	2 3
b С1	—2 —3	—1 0	—4	—5 —3	31 7 —3	25 7 —4	22 Т —4	14 3 —4
	6	8		3	4	3	. 3	2
k	6	6	4	4	4	1	1	1
Уо	' 2	0	0	1	2	0	1	2
С8 j	1	1	1	1	Г	0,2	0.2	0,2
' а,	6	6	8	8	8	5	5	5
Таблица 15
Варианты ‘ Числовые ' данные	I	п	III	IV	V	VI	VI!	VIII
/И!	68	71	70	69	67	64	66	65 -Z
'«а	' 72	75	74	73	71	68	70	69
/н3	74	77 w	76 /	75	73	70	72	71
	78	81	80	79	77	74	76	75
тъ	82	85	84	83	81	78	80	79
тв	84	87	86	85	83	80	82	81
тпч	89	92	91	90	88	85	87	86
	91	94 i	93	92	90	87'	89	88
т*	97	100	99	98	96	93	95х	94
/п10	99	102	101	100	98	95.	_97	96
/Иц	104	107	106 1	105	103	100	102	10]
А	21,81	87,27	65,45	32,72	43,64	16,36	10,91	8,19
А '	12,63	50,53	37,90	18,95	25,26	9,47	6,32	4,74
А	| 7,74	30,97	23,23	11,61	15,48	5,81	3,87	2,91
А	6,15	24,62	18,46	9,23	12,31	4,62-	3,08	2,31
А	5,11	20,42	15,32	7,66	10,21	3,83	2,55	1,92
А	4,07	16,27	12,20	6,10	8,14	1 3,05	2,03	1,53
а	4	16	12	6	8	3	- 2	1.5
Варианты Числовые данные	I	п	пт	IV	V	-VI	VII	VI л
а	1	—1	—2	2	4	—4	6	—6
т	4	1	—2	—5	9	—и	7	10
п	—11	—16*	—15	—8	—5	24	0	17
Р	—30	—16	0	12	14	0	—36	—28
Таблица 17
*—		 Варианты Числовые данные	I	II	ill *	IV	V	VI	VII	VIII
а 9	2	—2	2	—2	1	—1	2	—3 -
ь	1	1	3	-^-3	—1	1	—1	2
с	—2	2	'3	2	1	1	1	ч —3 *
d	1	1	2	—3	1	—1	2	2
Р	2	2	4	4	—2	—4	3	—3 J • *
q	4	—4	1	—1	6	—6	.2	2
k	0,5	*/s	0,25	1	—0,5	-’/з	—0,25	—1
А	8	9	16	4 •	8	9	16	4
Т а б л н ц a
Варианты Числовые данные	I	и	in	IV	V	VI	VII	VIII
а	1	1,6	* 2	2.5	3	3,5	4	0,5
Ь	2	—2	1	—1	4		3	—3
Таблица 19
Варианты Числовые данные	I	11	Ш	IV	V	VI	VII	VIII
Ь	2	1	0	—I	—2	3	4	5
С	3	1.5	1	1,5	3,0	5,5	9	13,5
Р	3	4	5	6	7	2	1	0
*1	—3	—2	—I	0	1	—4	—5	—6
*	х2	0	1	2	3	4	— 1	—2	—3
*9	2	3	4‘	5	6	1	0	— 1
Т а б л и ц а 20
Варианты Числовые данные	У = / ф (сох 4- л) + г	п			у = kx. Ъ
I	X у = 2 • cos — — 2		—л	Зл	Г1 У=-7х
II	у = —2 sin	2		3 _ 2 п	2л	у = —х — 2
III	о / х л\ у = 3 cos — —	- \3	2/	4-1	1 ьз | а	4л	у «« —2х
IV	у == 2,5 sin 2х + 1	%	—л	2л	У = х
V	/ х л\ >= 0.5 tg 7 + 7		К 1 сч 1	3 2 ”	у— X
VI	1	.	/ X y=7ctg(y+*	с)	—л	Л	у	—х + 1
VII	1 сч «гЬ к | со эд —• | со		—я	2л	у = —x~h 2
VIII	/ X У = 0,5ctgl —— л \ о		—л	л	у = —х+ 2
Варианты Числовые ^’данные	I	II	III ж	IV	V	VI	VII	VIII
Xj	—1	0	1	1	—1	2	—1	—2
i	*	4	4	5	4	6	4	7	4
Г	*я	2	3	2	4	2	5	2	1
W У>	—2	—2	—1	—2	0 (	—2	1	—2
	—1	0	—1	1	—г	2	—1	-2
Ув	—2	—2	—1	—2	0	—2	1	—2 £
*4 у “	—3	—2	—3	—1	—3’	0	—3	:	 —4
' У»	‘ 2	2	3	2	4	2	5	2
	—3	—1	—2	1	—1	3	0	
	3	6	2	9	1	12 	0	0. £
			—3	— 0	—2	—з	—1	—10	
ь	0,5	-0.5	2	—2	1 3	_ £ ‘3	1	~г£
с .		 <1	1.5	—3 '	1	—3,5	1.5	—4	2
d	-1.5	4	—1	3	-1.5	3,2	—2	4 ' V
Pi	—1	0 w	—2	J	—3	2	—4 *4.	—2 л ;
Ря	2	3. S	4	4	6	5	8	г ;
т	1.5	2,5	1	2	3	1.5 ''	2	1
п	1	2	1.5 	2,5	1,5	5	1	2
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA