A.C. МИЩЕНКО
ВЕКТОРНЫЕ
РАССЛОЕНИЯ
ИИХ
ПРИМЕНЕНИЯ
щ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧКСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1984

22.15
M71
УДК 513.83
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Нау-
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -208 с.
Книга посвящена систематическому изложению теории векторных рас-
расслоений и их приложениям к различным задачам топологии и геометрии,
дифференциальных уравнений и функционального анализа. В отличие от
имеющихся монографий по расслоениям главное внимание уделено ос-
основным геометрическим конструкциям и способам их применения в раз-
различных математических задачах.
Для специалистов, применяющих геометрические методы в приклад-
прикладных задачах; она доступна также студентам и аспирантам математичес-
математических специальностей. Может служить основой для спецкурсов и спец-
спецсеминаров.
АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ МИЩЕНКО
ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Редактор В. В. Данченко
Технический редактор В. В. Лебедева
Корректоры Т.В. Обод, Т. А. Печко
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 1191.0
Сдано в набор 16.04.84. Подписано к печати 28.06.84
Формат 60 х 90 1/16. Бумаг&чэфсетная № 1
Гарнитура Умиверс. Печать офсетная
Усп.печ.п. 13,0.Усл.кр.-отт. 13,0. Уч.-изд.п. 15,18
Тираж 7000 экз. Тип.зак. 264 . Цена 1 р. 90 к.
Издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В—71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077, Новосибирск, 77, уп. Станиславского, 25
g)¦¦: Издательство "Наука".
1702040000-123 Главная редакция
24-84 физико-математической
053@21-84 питературы, 1984

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1
Введение ¦ теорию локально тривиальных расслбений у
§ 1. Локально тривиальные расслоения 7
§ 2. Структурные группы локально тривиальных расслоений 12
$ 3. Векторные расслоения 19
§ 4. Линейные преобразования расслоений 28
§ 5. Векторные расслоения, связанные с многообразиями 34
$ 6. Линейные группы и связанные с ними расслоения 46
Глава 2
Гомотопические инварианты векторных расслоений 51
$ 1. Классификационные теоремы 51
§ 2. Точная гомотопическая последовательность 53
§ 3. Конструкции классифицирующих пространств 59
§ 4. Характеристические классы 66
S 5. Геометрическая интерпретация некоторых характеристических классов . . 77
§ 6. /(-теория -а характер Черна 81
Глава 3
Геометрические конструкции с расслоениями 89
s 1. Разностная конструкция 89
§ 2. Периодичность Ботта 99
§ 3. Периодическая /(-теория 1 СМ
§ 4. Линейные представления и расслоения 107
§ 5. Эквивариаитиые расслоения 111'
§ 6. Связь между комплексными, симплектическими и вещественными
расслоениями 114
Глава 4
Вычислительные методы в К-теории 129
S 1. Спектральная последовательность 129
S 2. Операции в /(-теории 138
S 3. Изоморфизм Тома и прямой образ , 144
S 4. Теорема Римана — Роха 150
3

Глава 5
Эллиптические операторы на гладких многообразиях и Л-теория 154
§ 1. Символ псевдодифференциального оператора 154
§ 2. Фрадгольмовы операторы 160
§ 3. Соболевские нормы 167
§4. Формула Атья — Зингера для индекса эллиптического оператора 171
Глава 6
Некоторые приложения теории векторных расслоений <174
§ 1. Сигнатуры многообразий 1/4
й 2. С-влгебры и /(-теория 183
§ 3. Семейства эллиптических операторов 190
$ 4. Фрадгольмовы представления дискретных групп 193
§ 5. Заключение 195
Дополнение
Некоторые сведения из алгебры 200
Литература 205
Предметный указатель - 208

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время роль геометрических методов в различных областях
математики, а также в ряде областей естественных наук заметно усилилась.
Кратко эту роль можно охарактеризовать следующим образом. Если мето-
методы математического анализа позволяют дать качественную характеристику
явлений, так сказать, в. малом, то геометрические методы позволяют дать
аналогичное качественное описание этих явлений "в целом", при больших
значениях тех или иных параметров. Другой, не менее важной особенностью
геометрических методов является удобство геометрического языка для
описания и качественного объяснения различных математических законо-
закономерностей. С этой точки зрения наряду с математическим анализом на мно-
многообразиях (или современной дифференциальной геометрией) большое
развитие получила теория векторных расслоений, язык которой во многих
задачах оказался наиболее удобным.
Достаточно назвать такие разделы самой математики, где язык вектор-
векторных расслоений оказался очень плодотворным, как теория связностей в
главных расслоениях, в терминах которой описываются различные вари-
варианты уравнений теории поля; теория групп преобразований, включая изу-
изучение симметрии уравнений различных физических задач; асимптотические
методы уравнений в частных производных с малым параметром; теория
эллиптических операторов; математические методы классической механи-
механики; математические методы в экономике. Имеются, правда, пока еще ме-
менее значительные применения расслоений и в других областях.
В последние годы университетское образование по математике значи-
значительно модернизировалось. Появились современные курсы по дифферен-
дифференциальной геометрии и топологии. Издаются учебники и учебные пособия по
этим курсам. Что же касается специальности '?е^>м?тодя.илхшшюсия4', то
она, на наш взгляд, практически не обеспечена учебными пособиями. Имею-
Имеющиеся монографии по теории расслоений, к сожалению, носят чисто теоре-
теоретический характер, направлены только на внутренние задачи геометрии и
топологии. Специалисты смежных специальностей практически не могут
воспользоваться этими монографиями. Поэтому имеется необходимость
в такой книге, в которой бы были изложены приложения методов вектор-
векторных расслоений к различным задачам математики и естествознания.
Предлагаемая книга возникла из записок лекций, которые неоднок-
неоднократно читались автором в Московском университете для студентов стар-
старших курсов и аспирантов. Основное внимание уделено разъяснению важ-
важнейших понятий и геометрических конструкций, возникающих в теории
векторных расслоений. Поэтому формулировки различных теорем приво-

дятся не в максимальной общности, а, напротив, таким образом, чтобы бо-
более прозрачным оказалась геометрическая сущность изучаемых объектов.
По возможности приведены различные примеры, где проявляется роль
векторных расслоений.
Таким образом, в книгу вошли такие разделы, как теория локально
тривиальных расслоений и простейшие свойства векторных расслоений и
операций с векторными расслоениями. Далее, изложены гомотопические
свойства векторных расслоений, включая характеристические классы. Мно-
Много внимания уделено уникальным геометрическим конструкциям, сводя-
сводящим воедино различные способы построения векторных расслоений. После
введения ряда геометрических конструкций изучены некоторые основные
алгебраические приемы описания и вычисления в К -теории. Отдельно выде-
выделена самая интересная область применения векторных расслоений — теория
эллиптических псевдодифференциальных операторов на компактных мно-
многообразиях.
Завершается изложение некоторыми другими приложениями теории
векторных расслоений, которые изучались в разное время в топологии.
Ряд вопросов, конечно, остался вне поля зрения данной книги, но, как нам
представляется, не вошедшие в книгу разделы теории векторных расслое-
расслоений носят более частный характер и могут быть изучены по другим источ-
источникам.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЛОКАЛЬНО ТРИВИАЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЙ
§ 1. Локально тривиальные расслоения
Понятие локально тривиального расслоения оформилось как понятие,
выделяющее нечто общее для некоторых геометрических конструкций,
примеры которых приведены ниже.
Боковая поверхность прямого круглого цилиндра представляется как
объединение отрезков (образующих), параметризованных точками окруж-
окружности (направляющей). Лист Мёбиуса тоже представляется как объедине-
объединение отрезков, параметризованных точками окружности. Двумерный тор,
расположенный в трехмерном пространстве, можно представить как объе-
объединение семейства окружностей (меридианов), параметризованных точка-
точками другой окружности (параллели).
Пусть М — некоторое гладкое многообразие, вложенное в евклидово
пространство RA. Тогда образуем новое пространство ТМ, точками кото-
которого служат всевозможные касательные векторы к многообразию М в про-
произвольных точках. Это новое пространство ТМ тоже является объединением
своих подпространств ТХМ, каждое из которых состоит из касательных к
многообразию М векторов в одной точке х. Тогда точка х многообразия
М параметризует семейство подпространств ТХМ. Во всех этих случаях го-
говорят, что пространство расслоено на слои, параметризованные точками
базы.
В приведенных примерах имеется два замечательных свойства: а) любые
два слоя из семейства гомеоморфны друг другу; б) хотя в целом расслоен-
расслоенное пространство нельзя представить декартовым произведением слоя на
пространство параметров — базу, однако, если ограничиться малой областью
изменения параметра, то такая часть расслоенного пространства уже являет-
является прямым произведением. Эти два свойства и положены в основу следую-
следующего определения.
Определение. Пусть заданы два топологических пространства Е и
В и непрерывное отображениер: Е-*В. Говорят, что отображениер задает
локально тривиальное! расслоение, если найдется такое пространство F, что
для любой точки х S В существует ее окрестность U Эх, для которой про-
прообраз р (U) гомеоморфен прямому произведению UX. F. При этом требует-
требуется, чтобы гомеоморфизму: U X F-*p~l (U) был "послойным", т.е. было
выполнено равенствор (^ (х, f)) -х, x E U. Пространство Е называют то-
тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством, прост-
пространство В называют базой расслоения, пространство F -• слоем расслоения,
а отображение р - проекцией. Требование, чтобы гомеоморфизмы у'
были послойными, на алгебраическом языке означает, что диаграмма
V
V

коммутативна, где п: U X F -* U — проекция на первый сомножитель, т.е.
7Г(Х, f)=X.
Одна из задач теории расслоенных пространств — описать в тех
или иных терминах множество всевозможных локально тривиальных
расслоений, у которых фиксированы база В и слой F. Два локально
тривиальных расслоения р: Е-* В \лр':Е' -* В считаются изоморфны-
изоморфными, если существует такой гомеоморфизм i//,- Е -*¦ Е', что диаграмма
коммутативна. Очевидно, что гомеоморфизм i//задает также гомеоморфизм
слоев F-* F'.
Для того чтобы задать локально тривиальное расслоение, необязательно
иметь тотальное пространство Е. Достаточно задать базу В, слой F и некото-
некоторые отображения, по которым тотальное пространство Е восстанавливается
однозначно (с точностью до изоморфизма расслоений). Для этого поступим
следующим образом. Согласно определению локально тривиального рассло-
расслоения база В может быть покрыта системой открытых множеств {иа} , при-
причем прообраз p'x(Ua) послойно гомеоморфен U& X F. Таким образо.м, мы
получаем систему гомеоморфизмов
Поскольку гомеоморфизмы <ра послойны, то совершенно ясно, что для
открытого подмножества VC Ua ограничение $а на УХ F осуществляет пос-
послойный гомеоморфизм пространства УХ Янар'ЧИ.Пересечение Ua П U$
одновременно лежит как в Ua, так и в Up. Значит, получается два послой-
послойных гомеоморфизма
?>«,: (Ua nue)XF^ p~l(Ua О Up).
Обозначим черезУра гомеоморфизм у\ <ра, который отображает {Ua П
Л Up) X F в себя. Тогда локально тривиальное расслоение можно однозначно
задать следующим набором: базой 5, слоем f,' покрытием {Ua} и гомео-
гомеоморфизмами
Тотальное пространство Е следует представлять в виде объединения де-
декартовых произведений ил X F с некоторыми отождествлениями, которые
задаются гомеоморфизмами \р^л.
По аналогии с терминологией для гладких многообразий открытые мно-
множества Ua называются каргами, семейство {Ua}— атласом, гомеоморфиз-
гомеоморфизмы <ра называются координатными гомеоморфизмами, а *рра — функциями
перехода или функциями склейки. Иногда всю совокупность {Ua, <pa) на-,
зывают атласом. Таким образом, всякий атлас определяет локально триви-
тривиальное расслоение. Различные атласы могут задавать изоморфные расслое-
расслоения. Не всякий набор гомеоморфизмов &, задает атлас. Значит,для класси-
классификации локально тривиальных расслоений необходимо выделить такие
гомеоморфизмы од, которые задают расслоение, и разбить их на классы,
задающие изоморфные расслоения.
8

Если гомеоморфизмы <рра являются функциями перехода для некоторо-
некоторого локально тривиального расслоения, то ща ¦ <ф Va- Тогда, очевидно,
для трех произвольных индексов а, 0, у на общей часто (i/a Ht/jj П6/~) X
X F выполняется соотношение <рау <Руц Фра - id, где id — тождественный го-
гомеоморфизм. Для любого индекса а выполняется соотношение <раа " id.
В частности,^ ща = id, гл. <рлд =$а>Значит, для задания атласа нужно
брать не произвольные гомеоморфизмы ^а,а такие, чтобы
Эти условия являются уже достаточными, чтобы по базе В, слою F, атласу
{ Uа } и гомеоморфизмам {fya) определялось некоторое локально триви-
тривиальное расслоение. В самом деле, пусть ?' = U F/Л X F) — несвязное объе-
объединение пространств Ua X F. Введем следующее отношение эквивалент-
эквивалентности: точка (х, f) G Ua X F считается эквивалентной точке (у.д) € t/jj X F,
если х'кб^пиц, (к, ?) = у>ра (х, /). Условие A) гарантирует, что опре-
определенное отношение действительно задает отношение эквивалентности,
т.е. множество Е' разбивается на попарно непересекающиеся классы экви-
эквивалентных точек. Факторпространство, задаваемое указанными отношени-
отношениями эквивалентности, обозначим через Е. Множество Е превратим в топо-
топологическое пространство, объявив в нем подмножество G открытым, если
объединение классов эквивалентных точек, соответствующих точкам мно-
множества 6, является открытым, т.е. зададим в Е фактортопологию по отно-
отношению к факторизации я: Е' -*¦ Е, которая сопоставляет точке (х, f) ее класс
эквивалентности. Пространство с естественным образом отображается в
в по формуле FH*.f)=x. Очевидно,р' является непрерывным отображе-
нием} а эквивалентные точки имеют одинаковый образ. Значит, отображе-
отображение р задает отображение .р: Е-* В, которое весь класс эквивалентных
точек отображает в одну с помощьюр'. Отображение р является непрерыв-
непрерывным. Осталось построить координатные гомеоморфизмы. Положим ^ =
= я| (Ua XF]. Поскольку p*a =p'| [Ua X F). то *в «Л» X F) Cp~l {Ua). Каж-
Каждый класс zG/Г1 {Ua) имеет ровно одного представителя (х, f)& Ua X F.
Значит,ifg является взаимно однозначным отображением. В силу фактор-
ности топологии в Е отображение i^o, является гомеоморфизмом.
Итак, мы показали, что локально тривиальное расслоение задается атла-
атласом { Ua } и семейством гомеоморфизмов fya, удовлетворяющих усло-
условиям. A).
Выясним теперь, когда два атласа задают изоморфные расслоения. Преж-
Прежде всего заметим, что если у расслоений р: Е-+Впр: Е' -*В с одинаковым
слоем F имеется атлас с одинаковыми функциями склейки >pafi, то эти два
расслоения изоморфны. В самом деле, пусть
Фл: UaXF -+Р'1 {Ua), фа :Ua X F-*p'x (Ua)
— соответствующие координатные гомеоморфизмы ga р
= </>0ог Построим гомеоморфизм ф: Е'-+Е. Пусть x?f'. Поскольку атлас
{ Ua) покрывает базу В, то х € р (?/а)для некоторого индекса а. Тогда
полагаем ф (х) = ^а ^(х). Необходимо только установить, что значение
ф (х) не зависит от выбора индекса а. В самом деле, еслих Ер'~1[иа),. то
fy ^1(x) = Vaf'aVi} ^flVa Ф? М = <ра if>a^ <ppct ф'1 (х) = <раф~1 (х). Значит, дейст-
действительно, определение ф{х) не зависит от выбора карты Ua. Непрерывность
и прочие свойства ф очевидны.
Далее заметим, что если заданы атлас {Ua) и координатные гомеомор-
гомеоморфизмы <ра, а { Vq } — более мелкий атлас (т.е. V$ С Ua для некоторого
а = a @)), то для атласа {V0)естественным образом определяются>коорди-
9

натные гомеоморфизмы
При этом функции склейки ^ ^ для нового атласа {V^J тоже определя-
определяются с помощью ограничений
Таким образом, если заданы два атласа и функции склейки для двух рас-
расслоений, то, переходя к общему более мелкому атласу и ограничению
функций склейки, мы всегда можем для удобства считать, что атлас у
двух расслоений один и тот же.
Итак, пусть заданы два набора функций склейки ^а и \р'^а (для одного
атласа {Ua}), которые определяют изоморфные расслоения. Требуется
найти соотношения на функции склейки fya и ^а.
Теорема. [Два набора функций склейки ща и *р'0а определяют изо-
изоморфные локально тривиальные расслоения тогда и только тогда, когда
существуют такие послойные гомеоморфизмы ha: Ua X F-*¦ Ua X F, что
' *tc,~h~\*'fiah<x- B)
Доказательство. Если расслоения р ; е' -*¦ В и р: Е -^/} с коор-
координатными гомеоморфизмами sfla,ip'ct изоморфны, т.е. существует гомео-
гомеоморфизм ф: Е'-*Е, то полагаем
Тогда
Обратно, если выполняется соотношение B)\ то полагаем
Определение C) годится для подпространств р (Ua), которые покры-
покрывают F'. Для доказательства совпадения значений правых частей C) на
пересечениях р'1 (Ua О и$) воспользуемся соотношениями B) :
.-1 1-1 _ -1 L-1 1-Х I ("I _
_ • . «.-1 .' .»"•__ . «.-1 » ж. «.-1 ' >~'
Теорема доказана.
Примеры. 1. Пусть ? = ВХ F,p: E-* В является проекцией на пер-
первый сомножитель. В этом случае атлас состоит из одной карты Uu - В. По-
Поэтому имеется ровно одна функция склейки tpaa = fd. Такое расслоение на-
называется тривиальным расслоением.
2. Пусть Е —. лист Мёбиуса, который мы будем представлять как квад-
квадрат на плоскостихОу, 0<х<1, 0 </< 1, у которого произведены отож-
отождествления точек @, у) сточками A, 1 -/). Проекция ротображает прост-
пространство В на отрезок /х=@<х<1}с отождествленными концами х = 0 и
х = 1, т.е. на окружность S1. Покажем, что отображениер задает локально
тривиальное расслоение. Атлас будет состоять из двух интервалов
10

Координатные гомеоморфизмы задаются формулами
W иа X 1У •* Е, <ft» (*, К) = (*, у), Оц: U& X /v ¦* ?,
^ (х, у) = {х,у) для 0 < х < 1/2,
^<*,к) = (х,1 -К>для1/2<х<1.
Пересечение карт Ua П U$ представляет объединение двух интервалов
иа(~\и$ = (О, 1/2) U A/2, 1), а функция склейки <f0oi имеет вид
^ (х, у) = (х, у) дляО<х<1/2,
^<*<*.к) = (х, 1 -У) для1/2<х< .1.
Лист Мёбиуса не изоморфен тривиальному расслоению. В самом деле, у
тривиального расслоения все функции склейки можно выбрать тождест-
тождественными гомеоморфизмами. Тогда согласно теореме нашлись бы такие
послойные гомеоморфизмы
ha: Ua X /,. - Ua X /,., hp-.UpX ly -+UffX ly,
что
в области определения (i/a П U^) X /v . Поскольку Ла,Л^— послойные гомео-
гомеоморфизмы, то для фиксированного значения первого аргументах получа-
получаем гомеоморфизмы отрезка /,. в себя. Всякий гомеоморфизм отрезка всебя
отображает концевые точки снова в концевые точки. Поэтому
— постоянные функции, равные нулю или единице. Поэтому композиция
Л"р! ha (x, 0) является постоянной функцией, равной нулю или единице.
Функция же >fya (x, 0) непостоянна- она равна нулю при 0<х< 1/2 и еди-
единице при 1/2<х<1. Противоречие показывает, что лист Мёбиуса не изо-
изоморфен тривиальному расслоению.
3. Пусть ? - пространство касательных векторбв к двумерной сфере
S2, лежащей в трехмерном евклидовом пространстве R3. Пустьр: Е -* S2-
отображение, сопоставляющее каждому касательному вектору его началь-
начальную точку. Покажем, что р задает локально тривиальное расслоение со сло-
слоем R2. Фиксируем точку 5и GS2. Выберем декартову систему координат в
R' так, чтобы точкаs0 была северным полюсом на сфере (т.е. координаты
точки s0 равнялись @, 0, 1)). Пусть U — открытое множество на сфере
S2, задаваемое неравенством г > 0. Если sEU.s = (х, у, z), то х-2 + у1 + г2 =
= 1, г > 0. Пусть векто'р е = (?, tj, f) касается сферы в точке s. Тогда х? + уц +
f = 0, т.е. f = - (х? + yr\)lz. Зададим отображение
формулой
si (х, у, г, ?, г}) = (х, у, г, ?, ??, _ (х f + ут\Iг).
Мы получили координатный гомеоморфизм для карты U, содержащей напе-
наперед заданную произвольную TO4Kys0?S2, Таким образом, отображение
р является локально тривиальным расслоением. Оно называется касатель-
касательным расслоением к сфере S2.
11

§ 2. Структурные группы локально тривиальных расслоений
Соотношения A) и B), полученные в предыдущем параграфе для функций
склейки, определяющих локально тривиальные расслоения, похожи на соот-
соответствующие формулы при вычислении одномерных Когомологии тополо-
топологического пространства с коэффициентами в некотором алгебраическом
пучке. Впрочем, эта аналогия может быть полностью объяснена, если нес-
несколько изменить обозначения и терминологию. Нам же это изменение тер-
терминологии окажется полезным при изучении задачи классификации локаль-
локально тривиальных расслоений.
Заметим, что послойный гомеоморфизм декартова произведения базы
?/наслойЯ,
V.UXF-+UXF,
можно представить себе как семейство гомеоморфизмов слоя F, параметри-
параметризованное точками базы U. Другими словами, послойный гомеоморфизм
\р задает отображение ip:U-* Homeo (F), где Homeo (F) —группа всех гомео-
гомеоморфизмов слоя F. Если подобрать подходящим образом топологию в
группе Homeo (F), то отображение ^окажется непрерывным. Иногда вер-
верной обратное: отображение^: U-* Homeo (F) порождает послойный гомео-
гомеоморфизм <р: U X F -* U X F по формуле у {х, f) = {х, $ (х) f). Тогда вместо
послойных гомеоморфизмов ^аC следует задать функции V^f- Ua П Up -*
-* Homeo (F), определенные на пересечениях Ua П Up и принимающие зна-
значения в группе Homeo (F). Набор таких функций называется в гомологичес-
гомологической алгебре одномерной коцепью со значениями в пучке ростков функций,
принимающих значения в группе Homeo (F). Условие A) § 1 означает, что
В этом случае говорят, что коцепь {<рар) является коциклом. Условие B)
означает, что существует нульмерная коцепь, составленная из функций
ha: Lj, -* Homeo {F), такая, что
На языке гомологической алгебры условие B) § 1 означает, что коциклы
{ ^(jc) и{^ pa} когомологичны. Таким образом, можно сказать, что мно-
множество локально тривиальных расслоений со слоем F и базой В находится
во взаимно однозначном соответствии с одномерными когомологиями
пространства В с коэффициентами в пучке ростков непрерывных Homeo(f )-
значных функций для данного открытого покрытия {0а }. Хотя получи-
получилась простая с точки зрения гомологической алгебры характеристика
множества локально тривиальных расслоений, однако она совершенно
неэффективна, поскольку отсутствуют какие-либо методы вычислений
подобного сорта когомологии. Тем не менее указанное представление
функций склейки в виде коцикла оказывается полезным в силу приведен-
приведенных ниже обстоятельств.
Прежде всего отметим, что в новой трактовке описание локально триви-
тривиального расслоения задается базой В, атласом {Ua} и функциями <ра^, при-
принимающими значения в группе G = Homeo (F). Сам слой F не принимает
участия в описании расслоения. Поэтому можно, во-первых, описывать сна-
сначала локально тривиальные расслоения как набор функций *ра^ со значени-
значениями в произвольной топологической группе G, а потом строить тотальное
пространство расслоения со слоем F, дополнительно задавая действия груп-
12

пы G на пространствеF, те. задавая непрерывный гомоморфизм группы
6 в группу Homeo {F). Во-вторых, понятие локально тривиального рассло-
расслоения можно обобщить и сделать более богатой структуру расслоения, потре-
потребовав, чтобы функция склейки <рав, а также функции Лв были не произ-
произвольными гомеоморфизмами, а принимали значения в некоторой под-
подгруппе группы гомеоморфизмов Homeo (F) слоя F. В-третьих, иногда
удается получить информацию о локально тривиальных расслоениях,
если вместо исходного слоя F рассматривать локально тривиальные рас-
расслоения с теми же функциями склейки, но другим, более подходящим
слоем F'.
Таким образом, мы приходим к новому определению локально триви-
тривиального расслоения с дополнительным объектом — группой, в которой при-
принимаются значения функций склейки.
Определение 1. Пусть заданы топологические пространства Е, В. F
и топологическая группа G, непрерывно действующая на пространстве F.
Скажем, что н епрерывное отображение р:Е-*.В является локально тривиаль-
тривиальным расслоением со слоем F и структурной группой G, если заданы такие
атлас {?/„} и координатные гомеоморфизмы ipa: Ua X F-*p~l (Ua). что
функции склейки *p0a = v"/ Va¦ Wa n^)Xf-> {Ua nu0)XF определяют-
ся формулами
ty« (x, f) - <*, fyc, (*) f).
где $aa: Ua C\U0-*G — непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
A)
rU
Функции 9(ja тоже будем называть функциями склейки.
Пусть \j/:t'-*E— изоморфизм локально тривиальных расслоений со
структурной группой G, а <а*. <?'<»• ~ координатные гомеоморфизмы ръсспо-
ен\*Лр:Е-*В>лр':Е''-*В. Будем говорить, что изоморфизм^ согласован
со структурной группой G., если гомеоморфизмы
задаются с помощью непрерывных функций ha: иЛ-*в. определяющихся из
соотношения
Мы видим, что два расслоения со структурной группой G и функциями
склейки ip0a и $L изоморфны, причем изоморфизм согласован со струк-
структурной группой G в случае,если
^U) B)
для некоторых непрерывных функций ha:.Ua -*G. Два расслоения, функ-
функции склейки которых удовлетворяют условию B), мы будем называть
эквивалентными.
Полезно иногда увеличивать или уменьшать структурную группу G. Рас-
Расслоения, не эквивалентные для структурной группы G, могут оказаться
эквивалентными для большей структурной группы 6' Э G. Если расслоение
со структурной группой G допускает набор функций склейки со значени-
значениями в подгруппе Н, то говорят, что структурная группа G редуцируется к
подгруппе Н. Очевидно, что если структурная группа расслоенияр: Е -* В
состоит из одного единичного элемента, то само расслоение тривиально.
13

Таким образом, доказать тривиальность расслоения - это значит доказать,
что его структурная группа 6 редуцируется-к единичной подгруппе.
Более общо, если р: G -* G' — непрерывный гомоморфизм топологичес-
топологических групп, то по локально тривиальному расслоению со структурной груп-
группой G и функциями склейки ip^: Ua CiUp -*G строится новое локально
тривиальное расслоение со структурной группой G', функции склейки ко-
которого равны ^Jja(*) = р($ра(х)). Такая операция называется заменой
структурной группы (с помощью гомоморфизма р).
Замечание. Следует обратить внимание на то, что не всегда послой-
послойный гомеоморфизм $: UX F -*¦ U X F индуцируется непрерывным отобра-
отображением $ : U-* Homeo (F). Мы не будем детально анализировать ситуацию,
только заметим, что во всех дальнейших приложениях участвующие послой-
послойные гомеоморфизмы будут индуцироваться непрерывными отображениями
в структурную группу.
Теперь мы можем вернуться к третьему обстоятельству - возможности
выбрать подходящее пространство в качестве слоя локально тривиального
расслоения со структурной группой G. В качестве такого слоя возьмем
F = G, а в качестве действия группы G на F — левые сдвиги, т.е. будем
считать, что элемент д € G действует на пространстве F как гомеоморфизм
9if)-§f. fGF-G.
Определение 2. Локально тривиальное расслоение со структурной
группой G называется главным G-расслоением. если F = G, а действие груп-
группы G на слое F задается левыми сдвигами.
Замечательная особенность главных G-расслоений заключается в том, что
для того, чтобы проверить, согласован ли данный изоморфизм расслоений
со структурной группой G, вместо использования координатных гомео-
гомеоморфизмов (выбор которых неоднозначен) можно пользоваться другими
инвариантными свойствами этих расслоений. *
Теорема 1. Пусть р: Е -*¦ В — главное G-расслоение, <pa: Ua X G •*
-*¦ р [Ua) — координатные гомеоморфизмы. Существует единственное
правое действие группы G на тотальном пространстве Е, удовлетворяющее
условиям:
1) Правое действие группы G послойно, т-е: р{х) = р(хд) для любых
элементов х G Е. je G.
2) Гомеоморфизм ^~' переводит правое действие группы в тотальном
пространстве в правые сдвиги по второму сомножителю, т.е.
*nto.f)g = <pa0(,fg). xeua. f.gEG. C)
Доказательство. Поскольку изучаемое расслоение является глав-
главным G-расслоением, то согласно определениям 1 и 2 функции склейки
fya "^jjVe имеют следующий вид:
где <paa: Ua П Щ -*G - некоторые непрерывные функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям A). Так как всякая точка г 6 Е представляется в виде
г = ^а(Х/ f) для некоторого индекса а, то формула C) однозначно опреде-
определяет непрерывное правое действие группы G. если действие группы G,
определенное по формулам C), не зависит от выбора индекса а. Таким
образом, если г = <ра(х, f) = <р0{х, f'), то (х, f') = ifyVa(*. П = fyab, f) =
= (х, $paix)f), т.е. f' = tya{x)f. Необходимо показать, что элемент zg не
зависит от выбора индекса, т.е. достаточно проверить, что *pa{x,fg) =
= fy(*, f'9). или (х. f'g) = Щ'^а(х, fg)) = <p0ot(x. fg) = (*, j0aix)fg). Другими
14

словами, достаточно показать, что f'g * $eaWf9- Последняя же формула
после сокращения справа на элемент 9 Дает Уже полученное ранее соотно-
соотношение. Теорема 1 доказана.
Согласно теореме 1 главные G-расслоения мы будем рассматривать
вместе с найденным правым действием группы G на тотальном прост-
пространстве. ,
Теорема 2. Послойное отображение ф: Е -* Е тотальных прост-
пространств главных & расслоений является изоморфизмом, согласованным со
структурной группой G тогда и только гогда. когда оно эквивариантно(т.е.
перестановочно с правым действием грУппь1 ®) •
Доказательство. Обозначим, как и ранее, координатные гомео-
гомеоморфизмы расслоений р': ?' -> S и р: Е-*В через *'а и <рв. Согласно опре-
делению изоморфизм ф: ?'-*¦? согласован со структурной группой G, ес-
если гомеоморфизмы
задаются по формуле
\ xeua, 9^0, D)
для некоторых непрерывных функций ha: Ua-*G. Очевидно, что отображе-
отображения, задаваемые формулой D), эквивариантны относительно правых сдви-
сдвигов по второй координате, т.е.
Значит, отображение ф эквивариантно относительно правых действий груп-
группы G на тотальных пространствах Е и ? ¦
Обратно, пусть отображение ^ эквивариантно относительно правых дей-
действий группы G на тотальных пространствах Е и ? . Тогда по теореме 1
отображение ^'^vL эквивариантно относительно правых сдвигов прост-
пространства Ua X G по второй координате. Отображение*-1^ является по-
послойным, поэтому оно имеет следующий вид:
<Ра* ФФ*&> 9) = (*, А*<*,0)).
Эквивариантность эюго отображения относительно правых сдвигов второй
координаты означает, что
Aot{x,ggl)=Aa(x,g)gl
для любых xGUa, g,gteG.B частности, полагая g = e, получаем
Aa(x,g1) = Aot(x,e)gl.
Таким образом, если ha{x) = А*(*' *>• то ^а(х,р) -Ла(х)^, т.е.
fe'tfVeUf.*)* <*»*«<*>»)¦ Поэтому отображение ^ согласовано со струк-
структурной группой G. В частности, из предыдущих формул следует, что ою-
бражения *а'^а, а значит, и отображение ф являются гомеоморфизма-
гомеоморфизмами. Теорема 2 доказана.
Таким образом, согласно теореме 2 для того, чтобы выяснить, изоморф-
изоморфны ли два расслоения со структурной группой G (и одинаковой базой В),
необходимо и достаточно выяснить, существует ли эквивариантное отобра-
отображение соответствующих главных расслоений, т.е. такое эквивариантное
отображение тотальных пространств- которое является послойным (и
индуцирует тождественное отображение на базе В). ^
Если одно из расслоений тривиально, скажем, Е^ = В X G, то для того,
чтобы построить эквивариантное отображение ф : Е -+Е. достаточно задать
15

его всего лишь для точек вида (х, е), х е В, е ё G - единица в группе G.
Тогда в силу эквивариантности значения отображения ф для произвольных
значений аргументов (х, д) восстанавливаются однозначно по формуле
Ф(х, д) = ф{х, е)д. Отображение ф(х, е) € Е можно понимать как отобра-
отображение 5 базы В в тотальное пространство, причем ps(x) = x. Такие отобра-
отображения называются сечениями расслоения р: Е -*¦ В.
Тривиальное главное G-расслоение обладает сечениями. Например, сече-
сечением является отображение В -*В X G, задаваемое соответствием х -* (х, е).
Обратно, если у главного G-расслоения р: Е -*¦ G имеется сечение s: B-+E,
то расслоение изоморфно тривиальному расслоению. Изоморфизм ф:
BXG -+Е задается формулой ф{х,д) = s{*)g, х€в, де G.
Ослабим теперь наши ограничения на эквивариантные отображения глав-
главных расслоений со структурной группой G. Будем рассматривать произ-
произвольные эквивариантные отображения тотальных пространств главных
6-расслоений с произвольными базами. Поскольку каждый слой главного
G-расслоения является орбитой правого действия группы G на тотальном
пространстве расслоения, то всякое эквивариантное отображение ф: Е' -+Е-
тотальных пространств отображает слой расслоения р': Е' -*В' в некото-
некоторый слой расслоения р: Е -*В. Другими словами, отображение ф порожда-
порождает некоторое отображение X'- s -* В без расслоений, причем диаграмма
отображений
является коммутативной. Пусть Ua С В — некоторая карта в базе В и Up —
такая карта в базе В', что x(U'q) CUa. Поскольку для любого локального
тривиального расслоения можно выбрать сколь угодно мелкий атлас, то
всегда найдется такая карта Ua, что x(U'&) сил. Переходя к отображению
^а' ^^< получаем следующую коммутативную диаграмму:
В этой диаграмме отображения pVjj и р<ра являются проекциями на пер-
первые сомножители. Поэтому отображение ^' Фф'д имеет вид
v*1Фу'як'. д) -
Следовательно, отображение х: В'-*В непрерывно. ¦
Сравним теперь функции склейки двух- расслоений. Имеем
Тогда
U

т.е.
<X'>.
ИЛИ
A^V^fr')/»,,1**') "*«,«, (Х(*'М. F)
Согласно теореме из § 1 в левой части формулы F) стоят функции склей-
склейки расслоения, изоморфного расслоению р : Е' -* В1.
Таким образом, всякое эквивариантное отображение тотальных прост-
пространств индуцирует отображение баз х: В' -*¦ В, причем при подходящем вы-
выборе координатных гомеоморфизмов функции склейки расслоения р':
Е'-*В' являются прообразами функций склейки расслоения р: Е-*В.
Верно и обратное: если х: В'-*В - непрерывное отображение, р: Е -*В —
главное G-расслоение, то, положив
и'а-х~1'Ш. ^U')-^(xW). G)
мы получим некоторое главное G-расслоение р'\ Е' -*В'. Тогда существует
эквивариантное отображение ф: Е' -* Е, для которого диаграмма E) ком-
коммутативна.
Расслоение, задаваемое функциями склейки по формулам G), называет-
называется прообразом расслоения р: Е-*В при отображении х- Если X'- В'-*В
является вложением, то иногда говорят, что прообраз расслоения при
отображении х есть ограничение расслоения на подпространство В" =
= Х{В'). В этом случае тотальное пространство ограничения расслоения
на подпространство В" совпадает с прообразом Ен-р'1 (В") СЕ.
Таким образом, если Е -* Е — эквивариантное отображение тотальных
пространств главных G-расслоений, то расслоение р: Е' -*В' является про-
прообразом расслоения р: Е-*В при отображении х: В'-*В.
Построение прообразов расслоений является важным способом конст-
конструировать новые локально тривиальные расслоения. Следующая теорема
показывает, что прообразы расслоений для гомотопных отображений баз
являются изоморфными расслоениями.
Теорема 3. Пустьр: Е-+BXI — главное G-расслоение, база которо-
которого является декартовым произведением компактного пространства В и
единичного отрезка I = [0,1 ], а 6 - группа Ли. Тогда ограничения расслое-
расслоения р на подпространства ВХ {0) и 5 X {1} изоморфны.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
атлас {Ua} получается из некоторого атласа {V-} на пространстве В и ко-
нейной системы интервалов (ак,ак + 1), покрывающих отрезок /: Ua =
= VpX. (aif,ak + l). Более того, можно считать, что интервал {ак,ак + 1) ров-
ровно один и равен /, так что Ua = Va X /. Тогда функции склейки ^аC .зависят
от двух аргументов x6VttnVj и t € /. Далее можно считать, что функции
у>а0 определены и непрерывны на замыканиях Va О Vg, а значит, равносте-
равностепенно непрерывны. Следовательно, существует такая открытая окрестность
О единичного элемента группы 6, гомеоморфная шару, что
¦д^х,*i)**№.t2)eo, хе va n v&, r,, r2 e/,
причем степень ON лежит тоже в некотором шаре, где /V — число карт.
Функции /|а: Va •* G. 1 <а <л, будем строить по индукции. Положим
hi(x) = 1. Тогда функция п2(х) задается на множестве Vt П V2 формулой
17

и, следовательно, может быть продолжена на всю карту V2. Л2: V2 -* О. Да-
Далее, функция hp{x) задается на множестве Va п Vp,а</3, формулой
Предположим, что функции ha(x) G Оа уже определены для всех а < Д.
Тогда функция Ля(х) определена на множестве U \/а П \/й и принимает
значения в шаре О*3. Следовательно, функция /^ продолжается на всю карту
Vfj со значениями в О*3. Теорема 3 доказана.
Следствие. ?с/и/ функции склейки уар{х) u ^Q^) гомотопны в
классе функций склейки, то соответствующие им расслоения изоморфны.
Примеры. 1. В § 1 в качестве примера локально тривиального рас-
расслоения рассматривался лист Мёбиуса. Функции склейки i/-afJ принимали в
группе гомеоморфизмов слоя два значения: тождественный гомеоморфизм
е(у) = у, у G /, и гомеоморфизм j{у) = \-у. у ?/. Группа, образованная
двумя элементами е и /, имеет второй порядок, поскольку у: = е. Таким
образом, вместо листа Мёбиуса можно рассматривать соответствующее
главное расслоение со структурной группой G = Z2. Как топологическое
пространство группа 6 состоит из двух изолированных точек, так что слоем
главного G-расслоения является дискретное двоеточие. Это расслоенное
пространство можно представить себе как два отрезка, концы которых
отождествляются "накрест". Таким образом, тотальное пространство тоже
является окружностью, а проекция р: S\ -* Sl является двулистным на-
накрытием (рис. 1). Если бы построенное расслоение было тривиальным, то
тотальное пространство Е = В X Z2 имело бы две компоненты связности.
2. В примере 3 § 1 рассматривалось касательное расслоение к двумерной
сфере 52. Координатные гомеоморфизмы
<р: UX R2 -*R3 X R3
задавались такими формулами, что они являлись,линейными отображения-
отображениями относительно второго аргумента. Значит, и функции склейки тоже при-
принимают значения в группе линейных преобразований слоя F = R2, т.е.
G = GLB, R). Можно показать, что структурная группа всех линейных
преобразований редуцируется к своей подгруппе ортогональных преобразо-
преобразований, т.е. к группе 0B), образованной поворотами и отражениями двумер-
двумерной плоскости. . .
Поясним это утверждение на нашем примере касательного расслоения к
двумерной сфере S2. Задать координатный гомеоморфизм - это то же са-
самое, что задать в каждой точке карты Ua С S2
базис касательных векторов ех(х), е2(х),
х? Ua, причем функции е,(х) и?2(х) долж-
должны быть непрерывны. Выберем две карты
U* = {<х, у, г): г Ф \), и„ = {(х, у, г):
z Ф -1). Южный полюс Ро = @, 0, -1) при-
принадлежит карте U,a, а северный полюс Р \ =
= @, 0, +1) принадлежит карте Up. Прове-
Проведем все меридианы. Выберем ортонормиро-
ванный базис в касательном пространстве
в точке Ро и перенесем его с помощью опера-
операции параллельного перенесения в римановой
метрике сферы S2 вдоль всех меридианов в
точки карты Uu. Таким образом, получится
Рис. 1.
18

непрерывное семейство ортонормированных базисов ех (х), е2 (х), х € Ua.
Аналогично, выберем ортонормированный базис в северном полюсе и с по-
помощью операции параллельного перенесения вдоль всех меридианов перене-
перенесем его в точки карты Up. Получится непрерывное семейство е\(х),е'г(х)
ортонормированных базисов в точках х € Up. Тогда координатные гомео-
гомеоморфизмы задаются формулами
Функция склейки >р„а = \р~р1ура выражает координаты (?', tj') касательного
вектора в точке х t Ua n Цз в базисе е'|(х), е'2(х) через координаты (g, rj)
того же вектора в базисе е{{х), е2(х). Поскольку оба базиса ортонорми-
рованы, то координаты (?', т?') выражаются через координаты (?, т?) с
помощью умножения на ортогональную матрицу.
Таким образом, структурная группа GLB, R) касательного расслоения
к сфере S2 редуцируется к своей подгруппе О B) CGLB, R).
3. Всякое тривиальное расслоение с базой В можно получить как прооб-
прообраз' при отображении базы В в одноточечное пространство (pt), служащее
базой тривиального расслоения.
§ 3. Векторные расслоения
Важный частный случай локально тривиальных расслоений со структурной
группой представляет класс расслоений, у которых в качестве слоя берется
(конечномерное) векторное пространство, а в. качестве структурной груп-
группы — группа линейных преобразований этого векторного пространства.
Такие расслоения называются векторными расслоениями. Касательное рас-
расслоение к двумерной сфере S2 является, таким образом, векторным рас-
расслоением.
Рассматривают также и такие локально тривиальные расслоения, у кото-
которых в качестве слоя служит некоторое бесконечномерное банахово прост-
пространство, а в качестве структурной группы — группа ограниченных обрати-
обратимых операторов банахова пространства. В случае конечномерного слоя R"
векторное расслоение % называется конечномерным, при этом говорят,
что размерность векторного расслоения равна п (dim % = п). В случае, ког-
когда слоем является бесконечномерное банахово пространство, векторное
расслоение называется бесконечномерным.
Векторные расслоения ртличаются рядом особенностей. Прежде всего
отметим, что в каждом слое р~1 (х), х € В, имеется структура вектор-
векторного пространства, не зависящая от выбора координатного гомеомор-
гомеоморфизма.
Другими словами, операции сложения векторов и умножения вектора на
вещественное число не зависят от выбора координатного гомеоморфизма.
В самом деле, поскольку структурная группа G равна GL (n, R), то функ-
функции склейки
<fipa: iUa П Up) X R" - (Ua П Up) X R"
являются линейными отображениями по второму сомножителю. Значит,
линейная комбинация векторов отображается с помощью отображения
<^а в линейную комбинацию образов с теми же коэффициентами.
Следовательно, если через ? обозначить векторное расслоение, а через
Г(?) - множество всех сечений расслоения %, то множество Г(?) автомати-
19

чески наделяется структурой (вообще говоря, бесконечномерного) век-
векторного пространства. Если р: Е -*¦ В — векторное расслоение {, «i, s2:
В-+Е — два сечения, то полагаем
(s, +s2){x)=sl{x)+s2{x). хев, A)
B)
Формулы A) и B) как раз и задают в пространстве Г({) структуру век-
векторного пространства.
Отметим, что всякое сечение «: В -*¦? можно описать в локальных терми-
терминах. Пусть {б/,*} — атлас, <ра: Ua X R" -*p~l(Ua) — координатные гомео-
гомеоморфизмы, fya - ty1 <рл. Тогда композиции
«f-'s: ил -*¦ ил X R"
являются сечениями тривиальных расслоений над Ua и задают векторно-
значные функции sa: Ua-* R" по формуле
Эти функции %,(х) на пересечении карт t/a О Щ удовлетворяют условию
согласования
Обратно; если задан набор непрерывных векторнозначных функций ц»:
С/а -» R", удовлетворяющих условию согласования на пересечении карт, то
формула
однозначно (т.е. независимо от выбора карты Ua) определяет отображение
s: B-*E, являющееся сечением расслоения {.
Операции прямой суммы и тензорного произведения. Над векторными
расслоениями (над одной базой В) можно производить операции, аналогич-
аналогичные операциям прямой суммы и тензорного произведения векторных
пространств. Рассмотрим сначала операцию прямой суммы векторных
расслоений. Пусть заданы два векторных расслоения d и %2, слоями кото-
которых являются соответственно пространства Vi и V2. Пусть функции склей-
склейки, определяющие расслоения ?, и ?2, в некотором атласе обозначены через
Я>арЬ<) > Фарк) • Значения ^ар(х) принимаются в группе GL(V,) линейных
преобразований пространства V\, а значения <р^(х) принимаются в группе
GL(V2) линейных преобразований пространства V2. Функции ^^(х),
lajH*) можно представлять себа матричнозначными функциями порядков,
равных соответственно л, = dim l/j и п2 = dim V2. Как функции ^^(х),
так и ч>2ар{х) должны удовлетворять условиям A) из § 2..
Образуем новое пространство V = V\ © V2. Группа его линейных пре-
преобразований GL(W является множеством всех обратимых квадратных
матриц порядка п = п1 + п2, которые можно разложить на блоки в соот-
соответствии с разложением самого пространства V в прямую сумму Vx © V2.
Тогда группа GL(l/) содержит в качестве подгруппы группу GL(V]) ©
© GL(y2), элементы которой имеют вид
4. О
А- ||
О А-
. A2GGL{V2).
20

Построим новые функции склейки
II -dtfW ° II
| У. О)
Функции склейки C) тоже удовлетворяют условиям A) §2, т.е. опре-
определяют, некоторое векторное расслоение со слоем V = Vt ®V2. Построен-
Построенное таким образом расслоение будем называть прямой суммой векторных
расслоений ?, и ?2 и обозначать через ? = ?i © ?i.
Операцию прямой суммы векторных расслоений можно построить
геометрическим путем. Пусть Pi: Е\ ~*В — векторное расслоение %\, ър2:
Е2-*В - векторное расслоение ?2. Рассмотрим декартово произведение
тотальных пространств ?t X ?2 и его проекцию
Рз ~ Р\ Л Р2 • *-| Л?Г2"^ОЛО
на декартово произведение баз В X В. Очевидно, чтор3 является векторным
расслоением со слоем V - V\ ® У2. Рассмотрим в базе ВХВ диагональ,
т.е. пространство А, составленное из точек вида (х,х), х € В- Диагональ А
гомеоморфна пространству В. Тогда ограничение расслоения р3 на диаго-
диагональ А^В является векторным расслоением над базой В. Тотальное
пространство ? этого ограничения является подпространством ? СЕх X ?2,
состоящим из таких векторов (yt, /2),что Pi(/i) sP2(/2). Нетрудно про-
проверить, что для расслоения р3 в качестве атласа можно взять множест-
множества вида Uai X Uat, а функции склейки ^((J & wo a ^{x,y) на пересечении
двух карт iUat X Ua ) П (Ugi X U$x) имеют вид
.....К»,1" • II
Поэтому на диагонали А ^В атлас состоит из множеств 1/а*ДП (t/a X t/a).
Тогда функции склейки для ограничения расслоения р3 на диагональ
имеют вид
т.е. совпадают с функциями склейки, определенными для прямой суммы
расслоений ?i и ?2.
Перейдем теперь к определению тензорного произведения векторных
расслоений. Пусть, как и раньше, ?i, ?2 - два векторных расслоения со
слоями У, и V2, VaB(x), 4>lpM — функции склейки расслоений ?i и ?2,
^U)€GL(V,). ifilfWeGLiVi). xeuar>Uf,. Пусть V - V, ©V2/ тогда
паре матриц Ах е GLd^j), ^2 е GL(V2) соответствует их тензорное произ-
произведение A1®A2eGUVl® V2). Положим
Получим набор матричнозначных функций ^aCU), удовлетворяющих усло-
условиям A) из § 2. Соответствующее векторное расслоение % со слоем V -
= V, ® V2 и функциями склейки ipa^(x) будем называть тензорным произ-
произведением расслоений %х и {2 и обозначим его через ? = ?i ® |2.
Что общего в построении операций прямой суммы и тензорного произ-
произведения? Обе операции можно представить как результат применения к
21

ларе векторных расслоений %\ и jf2 следующей последовательности опера-
операций: а) переход к главным GL(V,)-и GL(V2)-расслоениям; б) построение
главного (GL(V,)X Gl_(V2))-расслоения над декартовым квадратом базы
ВХВ; в) переход к ограничению главного (GL(V,) X GL(V2.)) -расслое-
-расслоения на диагональ, гомеоморфную пространству В; г) наконец, переход к
новому главному расслоению с помощью представления структурной
группы GL(Vt) X GL(V2)в группах GL(V, eVj)nGL(V, W2). Различие
между операциями прямой суммы и тензорного произведения возникает
при выборе представления группы GL(V,) X GL(V2). С помощью различ-
различных представлений структурных групп можно строить и другие операции
над векторными расслоениями. При этом, если для представлений выполне-
выполнены некоторые алгебраические соотношения, то и для соответствующих опе-
операций над расслоениями тоже выполняются такие же алгебраические соот-
соотношения.
В частности, для операций прямой суммы и тензорного произведения
выполнены следующие очевидные соотношения:
1) (?i ®!г) ® ?з =?i ® Aг $ ?3) • Это соотношение следует из комму-
коммутативности следующей диаграммы:
GL(V.9VJxGL{V.)
где Р,И,,А2,Лз) = И, ФА2,А3), рг\В, АЛ)-ВФА3 и
= {АиА2®А3), p^iAx.O^A^C. Тогда р2р{ (Ах, А2.А3)={А1®Аг)®А3<
P*Pi(A{,A2,A3)=Ai ®(Аг ®А3). Очевидно, что p2pt =р4Рз-поскольку
сотношение {Ах ® Аг) Ф А3 = Ах Ф (А2 ®А3) выполняется для матриц.
2) (li ®?г) ® 1з ~%i ® (?2 ® |з) • Это соотношение следует из комму-
коммутативности диаграммы отображений
GUVt)*GUy2)*GUV3)
GL(V,)x GL(V2»V3)
которая в свою очередь следует из соотношения И, sA2) ^A} =
= 4, ® (А2 ®А3) для матриц.
3) (!i ф?2) ® ?з = Uii ®?з) ® (Ь ®C). Это свойство следует из соот-
соотношения (Ах ®А2) «/»з = И, ® А3) & (А2 «4j) для матриц
4) Тривиальное векторное расслоение со слоем R" будем обозначать
через п. Поскольку тотальное пространство тривиального расслоения го-
меоморфно декартову произведению В X R", то п = 1 Ф 1 Ф. . . Ф ] {п раз).
Для тривиальных расслоений выполнены соотношения | «1 = %, % ^h -
= { Ф f ф... © f (n раз). \
Другие операции над векторными расслоениями. Пусть V = Нот( V,, V,) -
векторное пространство линейных отображений пространства I/, в прост-
22

ранство V2. В случае бесконечномерных пространств будем дополнительно
требовать ограниченность линейных отображений.
Тогда имеется-естественное представление группы GL(l/t) X GL(l/2)
в группе GL(V), которое паре Д, €GL(V,); A2 S GL(V:) сопоставляет
отображение
р{АиА2): Hom(V,, V2)-»Hom(V,, V2)
по формуле
p{Al,A2)[f)=A2ofoAil: (Л)
Тогда, следуя общему способу построения операций для расслоений, мы по-
получаем для каждой пары расслоений ?, и %2 со слоями Vt и V2 и функция-
функциями склейки iia^i*), iia^l*) новое расслоение со слоем V и функциями
склейки
Это расслоение мы обозначим через НОМ ((¦ i, %2). Если V2 = R1, то прост-
пространство Hom(t/^, R1) обычно обозначаетсячерез V*. Соответственно с
этим, если %2 = 1, то расслоение НОМ(|, 1) будем обозначать через |*
и называть сопряженным расслоением. Легко проверить, что если отождест-
отождествить пространства V и V *, то расслоение % * строится из расслоения % с
помощью представления группы GL(V) в себя, задаваемого в матричном
виде формулой
р
Для пространств V и V* имеется билинейное отображение V XV* -» R1,
сопоставляющее паре (х, п) значение п(х) функционала h на векторе х.
Зададим действие группы GL(V) на пространстве VX V* матрицей
II 0 р[А. 1)
(см. D)). Тогда для векторного расслоения | © ? *со слоем V X V* струк-
структурная .группа GL(V XV) редуцируется к подгруппе GL(V). Действие
же группы GL(\/) на V X V* таково, что отображение 0 эквивариантно
относительно тривиального действия группы GL(V) на R1. Этот факт
означает, что значение формы на векторе не зависит от выбора линейной
системы координат в пространстве V. Следовательно, вместе с расслоением
{ ® | * можно построить расслоение т\ с той же структурной группой GL (V)
и новым слоем R1 и непрерывное отображение /3: % © % * -*ц, которое по-
послойно изоморфно с /3. Поскольку группа GL(V) тривиально действует
на R1, то расслоение т\ является тривиальным одномерным расслоением,
т.е. 1} = 1 .
Таким образом, получим естественное билинейное отображение % ® ?*->¦
-* 1, являющееся аналогом соответствующего билинейного отображения
для линейных пространств.
Пусть Ak[V) - внешняя степень векторного, пространства V. Тогда по
каждому преобразованию А: V -* V в алгебре строится внешняя степень
преобразования Л^И): Ak{V) -> Л*(V), т.е. представление Л*: GL(V) -*¦
-*¦ GL (Aft(V)). Соответствующую операцию для векторных расслоений мы
будем называть операцией внешней степени и результат операции внешней
степени обозначать через Л&(?). Так же, как и для векторных прост-
23

ранств, для векторных расслоений справедливы соотношения
Л, ($)=?, Л*($) = 0 для *>dim|, F)
Л<(*,©Ы = ® Лв<$,)®Л*_в(Ы. G)
<*=о
где по определению Ло (?) = Т.
Соотношение G) удобно записывать одной формулой. Для этого введем
формальный многочлен
Тогда
(8)
Формулу (8) нужно понимать следующим образом: степени формальной
переменной г при перемножении складываются, а коэффициенты — вектор-
векторные расслоения — перемножаются тензорно.
Отображения векторных расслоений. Рассмотрим два векторных рас-
расслоения ?i и ?2. Обозначим их тотальные пространства через ?/, проекции
через р,, слои через Vt, / = 1,2. Рассмотрим послойное отображение
Если на каждом слое отображение f является линейным, то отображение f
будем называть линейным отображением векторных расслоений или гомо-
гомоморфизмом расслоений. Множество всех линейных отображений будем
обозначать через Horn (if,, |2). Тогда справедливо следующее соотношение:
Интуитивно соотношение (9) очевидно, поскольку элементы левой и пра-
правой частей суть семейства линейных преобразований слоя V, в слой V2,
параметризованные точками базы х. Для того чтобы доказать равенство (9),
опишем элементы пространств в левой и правой частях соотношения (9У в
локальных координатах. Формируем атлас {Ua} в базе В и координатные
гомеоморфизмы \рха, *рга расслоений ?( и ?2. По линейному отображению/:
?Y -* Ег строим семейство отображений
где fa(x): Vi -*• V2 — непрерывное семейство линейных отображений, па-
параметризованных точками х € {/а. Семейства fa(x), f$(x) на пересечении
карт Ua О Цз связаны следующими зависимостями:
т.е.
Учитывая определения D) и E), получаем, что
^a{x\(fa{x)). A0).
Другими словами, набор функций fa(x) € V = Horn (У,, V2) ,x € Ua, удов-
удовлетворяет условиям A0), т.е. задает сечение расслоения HOM(^i, ?2).
Обратно, если задано сечение расслоения НОМ (|,, |2), т.е. набор функций
faW. удовлетворяющих условиям A0), то оно задает линейное отображе-
отображение расслоения d в расслоение B.
24

В частности, если |, = 1, Vt = R1, то HonMVlf V2) ¦ V2.'значит.
НОМ (Т. ?2) = ?2. Следовательно, Г(?2) = Hornd , $2Ь т.е. пространство
сечений векторного расслоения ?2 можно отождествить с пространством
всех линейных отображений одномерного тривиального расслоения 1 в
расслоение %г.
Второй пример .отображений векторных расслоений дает нам аналог би-
билинейной формы на векторном пространстве. Билинейная форма - это
отображение V X V -*¦ R', линейное по каждому аргументу. Если теперь
задать семейство билинейных форм, параметризованных точками базы,
то мы приходим к определению билинейной формы на векторном расслое-
расслоении : послойное непрерывное отображение
расслоения ? © ? в одномерное тривиальное расслоение, котооое в каждом
слое является билинейной формой, называется билинейной формой на век-
векторном расслоении.
Так же, как^ и в случае линейных пространств, всякая билинейная фор-
форма f: % ®% -И порождает линейное отображение расслоения ? в сопряжен-
сопряженное к нему расслоение ?*, скажем, f: (•'-»•?*, так, чтобы отображение f
получалось как композиция
7 • id . & -
где id: ?->(•- тождественное отображение, а 7 ® id строится как прямая
сумма отображений f и id на каждом слое.
В случае, когда билинейная форма f на расслоении симметрична, невы-
невырождена и положительно определена в каждом слое, то говорят, что задано
скалярное произведение в расслоении %.,
Теорема 1.5 любом конечномерном векторном расслоении ? над
компактной базой В существует скалярное произведение, т.е. невырожден-
невырожденная симметрическая положительно определенная билинейная форма на
расслоении %.
Доказательство. Скалярное произведение в расслоении ( - это
послойное отображение f: % © $ -* 1, которое в каждом слое является би-
билинейной симметрической невырожденной положительно определенной
формой. Это значит, что если х G. В, vx, v2 G p'l(x), то f{vlt v2) можно
отождествить с вещественным числом, причем f(vXlv7) = fiv2. vt), a
если v Ф 0, v е р~'(х), то f\v. v) > 0. Рассмотрим более слабое условие
f(v, v) > 0. Тогде получаем неотрицательно определенную билинейную
форму на расслоении %. Если f\,f2 — две такие неотрицательно определен-
определенные билинейные формы на расслоении ?, то их сумма ft +f2, а также ли-
линейная комбинация tpift +<Рг^,тая ч>\ и 12 - непрерывные неотрицатель-
неотрицательные функции на базе В, тоже являются неотрицательно определенными
формами.
Пусть {Ua} - атлас расслоения ?. Каждое ограничение ? \Ua является
тривиальным векторным расслоением, т.е. расслоением, изоморфным де-
картову произведению Ua X V, где V - слой расслоения %. Поэтому рас-
расслоение % | Ua имеет невырожденную положительно определенную били-
билинейную форму fa: $ | Ua © || Ua -*¦ Т, т.е. если vSp-'M, xGUo, то
fa(v.v)>0. Пусть{ga} — разбиение единицы, подчиненное атласу {Ua},
т.е. такой набор функций на базе В, что 0<fajx)<1, Zga0() = 1,
a
25

a C Ua. Тогда форма fa, задаваемая равенством
I o, ^.^ep.-'jx), x?t/o,
определена и непрерывна на всем расслоении ? и неотрицательно определе-
определена. Положим
Покажем, что форма f является положительно определенной. Пусть 0 Ф
Ф у ер (х). Существует такой номер а, что 0a(x) >0. Тогда х€ l/a и
fed', ") > 0. Следовательно, 7tt(f, v) >0, а значит, и f (*, *) > 0. Теорема 1
доказана.
Теорема 2. Для любого векторного расслоения % над компактной
базой В, dim | = п, структурная группа GL(n, R) редуцируется к под-
подгруппе О in).
Доказательство. Придадим другую геометрическую интерпрета-
интерпретацию тому факту, что расслоение if локально тривиально. Пусть Ua — карта,
lu: Ua х V -»Р~' (Uo) - тривиализирующий координатный гомеоморфизм.
Тогда, задав любой вектор v € V, можно построить сечение расслоения ?
над картой Ua:
о: Ua-*p-Uva).
Если v, % — базис в пространстве V, то соответствующие сечения
a" (x) = i^cv (x, vk) образуют такую систему сечений, что набор векторов
а*(х), ..., а" (х) € р'1 (х) является базисом в слое Р (х). Обратно, если
система сечений а*. ..., a": Ua -*p~l [Ua) в каждом слоеР (х) образует
линейный базис, то с ее помощью восстанавливается тривиализирующий
координатный гомеоморфизм
V>a(x, 2 X,.v,-) = ZX,.af(x) Gp'1 (t/a).
i i
Легко понять, что такое функция склейки ^^(^ = ^'<?V Это матрица пере-
перехода от базиса {о"[х),..., а° (х)} к базису (af (х),..., af^x)) в слоеР (х),
x&Uanup.
Таким образом, теорема 2 будет полностью доказана, если нам удастся
построить в каждой карте Ua систему сечений (а°, .... 0%}, которые в каж-
каждом слое Р~\ (х) образуют ортонормированный базис относительно некото-
некоторого скалярного произведения в расслоении |. Тогда матрицы перехода от
одного базиса (о*'(х), .... a? (x) j к другому базису [of (х),..., a^(x)j , оче-
очевидно, будут ортогональными, т.е. i?a (x) € О И . Теперь доказательство
теоремы 2 завершается следующей леммой.
Лемма. Пусть ? - векторное расслоение, f - скалярное произведение
в расслоении %, (Ц,} - атлас расслоения |. Для каждой карты l/a сущест-
существует система сечений {а", .... <f?t), образующая в каждом слое р'1 (х),
х? Uo, ортонормированный базис.
Доказательство леммы в точности повторяет метод Грама — Шмидта
построения ортонормированного базиса. Пусть Т\, .... т„: Ua ->Р~Х iUa) —
26 —

произвольная система сечений, образующая базис в каждом слое Р~' (х),
х е Ua ¦ Тогда для любого х G Ua имеем т, (х) 1*0и, значит, f (т i (х),
г, (х)) > 0. Положим тогда
т,'(х) = -
т,(х)
Новая система сечений г', т:,
Положим
(х),
т„ снова образует базис в каждом слое.
Новая система сечений Т|', rV, т,,, ..., г„ снова образует базис, причем век-
вектор т\ (х) имеет длину, равную единице, и ортогонален вектору nix)
в каждой точке xG Ua. Значит, в частности, т: (¦*) Ф 0. Положим
Система сечений т\, т'г, тЛ, ..., г„ снова образует базис, причем векторы
?'(*), ^з (х) ортонормированы. Далее перестраиваем систему сечений по
индукции. Пусть построены сечения т\, ..., т'кгтк + 1 тп, образующие
базис в каждом слое, а векторы т',(х), .... т'к{х) ортонормированы.
Положим
к
т^'+1(х) =тЛ+1(х) - 2 ЛтА.+ 1(х), /'
Тогда система сечений т\, .... т'к + х, тк+2, .... тп образует базис в каждом
слое Р (х), а векторы т\ (х), ..., т'к + \ (х) ортонормированы. Лемма дока-
доказана по индукции, а вместе с ней доказана и теорема 2.
Замечание 1. В лемме доказано несколько более сильное утверж-
утверждение: если {т1; ..., г,,} - система сечений расслоения % в карте С/а, обра-
образующая базис в каждом слое Р'1 (х), причем векторы {г, (х), .... тк (х)}
ортонормированы, то существуют такие сечения {т'к + и ..., т'„), что век-
векторы
образуют ортонормированныи базис в каждом слоеР"'(х). Другими слова-
словами, если ортонормированная система сечений дополняется до базиса
сечений, то ее же можно дополнить и до ортонормированного базиса
сечений.
Замечание 2. В условиях теорем 1 и 2 условие компактности базы
В можно заменить на условие паракомпактности базы В. Тогда в качестве
атласа следует выбирать локально конечный атлас.
27

§ 4. Линейные преобразования расслоений
Многие понятия и свойства линейных отображений векторных пространств
переносятся на случай гомоморфизмов, т.е. линейных отображений вектор-
векторных расслоений. Ряд этих важных свойств мы рассмотрим в данном пара-
параграфе.
Фиксируем векторное расслоение % с базой В. Будем считать, если это
будет необходимо, что расслоение % снабжено скалярным произведением,
значение которого на паре векторов v,, i^2 € р (х) будем обозначать
через < vlfv3 ).
Рассмотрим гомоморфизм f: ? -+ if векторного расслоения % в себя.
С любыми двумя такими гомоморфизмами f\,f%- % -*? можно произво-
производить следующие операции.
Операции сложения fl+f3- i -*•? и умножения гомоморфизма на функ-
функцию превращают множество Нот((, ?) в линейное пространство, являю-
являющееся модулем над алгеброй С {В) непрерывных функций, определенных
на базе В.
Операция композиции fi°fji % -+\ превращает пространство Нот (?,{•)
в алгебру. Если использовать скалярное произведение в расслоении %, то
алгебру Нот (?, ?) можно снабдить нормой и превратить ее в банахову
алгебру. Действительно, пусть f :%-*% — некоторое линейное отображение,
а через Ik ||.обозначена норма вектора v € р~х (х), т.е. IMI = (v,v)Vi
Тогда положим -
IIП1- sup Ц^-. A)
IMI
Пространство Нот (?. {) является полным пространством относительно
нормы A). В самом деле, если последовательность линейных отображений
fn- % -*¦ ? фундаментальна, т.е. lint \\fn - fm\\ =0, то при фиксирован-
ном векторе v € р (х) последовательность fn(v) ер (х) тоже фунда-
фундаментальна, поскольку \\fn[v) - fm (v) || <\\fn - fm\\ \\v ||. Следовательно,
существует предел Mm fn{v), который мы обозначим через f W). Полу-
ченное отображение f: % -*% является, очевидно, линейным. Чтобы показать
его непрерывность, следует перейти к отображениям
которые задаются матричнозначными функциями на Ua. Коэффициенты
этих матриц образуют фундаментальные последовательности в равномерной
норме, и поэтому предельные значения являются непрерывными функ-
функциями, что и означает непрерывность отображения f.
Используя скалярное произведение, каждому линейному отображению
f: { -* % можно сопоставить сопряженное отображение f * no формуле
Доказательство существования и непрерывности линейного отображения
f * оставляем читателю в качестве упражнения.
Комплексные расслоения. Тождественное отображение расслоения % в се-
себя будем обозначать через 1. Пусть задано линейное отображение /:?->?,
удовлетворяющее условию I2 = — 1. Тогда на каждом слоеР (х) индуци-
28

руется преобразование /« = l\P~l (х), поскольку I (р~1 (х)) СР'1 (х), при-
причем / J = — 1. Следовательно, преобразование 1Х задает на векторном прост-
пространстве Р~1 (х) структуру комплексного векторного-пространства. В част-
частности, dim*/ = 2л.
Покажем, что в этом случае структурная группа GL B/>, R) редуцирует-
редуцируется к подгруппе комплексных преобразований GL (п, С). Заметим, что если
в комплексном векторном пространстве V, dimV = 2/>, задано"таких век-
векторов {vlt .... vn), что система векторов {ylf..., v*, /к,,.... lvn) образует
вещественный базис, то векторы {v}, ..., v „) образуют комплексный базис
пространства V.
Фиксируем точку х0. Поскольку Р~х (х0) является комплексным прост-
пространством относительно оператора 1Хи, то существует комплексный базис
{vu .... vn) Cp~l (хо). Пусть Ua Э х0 - некоторая карта расслоения % и
ti, —. тп - такие сечения в карте Ua, что т*(х0) = vk. Тогда сечения
{г i, .... т„, 1т. |,..., 1тп) образуют базис в слое Р~х (х0), а следовательно, и в
слое Р~' (х) в достаточно малой окрестности U Э х0. Поэтому векторы
{ti (х), .... т„М) образуют комплексный базис в каждом слое Р'х (х),
х € U. Переходя к более мелкому атласу, построим в каждой карте Ua
систему сечений (т°(х), ..., г?(х)}, образующую комплексный базис в
каждом слое Р~' М, х € Ua. Фиксируем в пространстве С" комплексный
базис в,,..., еп и положим
S *квк)= 2 иктак(х)+ 2 ^/а(т^(х))= 2 к^
к = 1 к = 1 к= 1 к
zk=uk+ivk-
Тогда функции склейки <p,ja = «^^' ^а задаются матрицей перехода от ком-
комплексного базиса {?¦"(•*). •¦•, '¦"(x)j к комплексному базису (г^(х), ...
.., т$(х)} . Эта матрица является комплексной, т.е. принадлежит группе
G L <п, С), что и требовалось доказать.
Векторное расслоение со структурной группой GL {п, С) называется
комплексным векторным расслоением.
Если | — вещественное векторное расслоение, то на сумме ? ® ? естест-
естественно вводится структура комплексного расслоения с помощью линейного
отображения
/: |ф |-*|е {,
задаваемого формулой
Полученное таким образом комплексное расслоение называется комплек-
сификацией расслоения % и обозначается через с%. Обратно, забывание
структуры комплексного расслоения % превращает его в вещественное
векторное расслоение. Соответствующая операция называется овеществле-
овеществлением расслоения % и обозначается через г ?. Совершенно ясно, что
29

Описанные операции комплексификации и овеществления расслоений соот-
соответствуют естественным представлениям групп
с: GL<2n, R)-GL(n,C),
г: GL(/>,C)->GLBn, R).
Выясним теперь, как устроено комплексное расслоение сг%. Пусть % -
комплексное расслоение, т.е. на нем задано линейное отображение /:
% -» J, превращающее вещественное расслоение % в комплексное. Согласно
определению расслоение сг? можно представить как прямую сумму ц =
= | ® | с линейным отображением
/,: |©?-»|ф|, /, (и,,у2) = <_v2,i^,>.
Отображение Л задает в расслоении т? новую комплексную структуру, от-
отличную, вообще говоря, от комплексной структуры, которая задается
отображением /. Разложим расслоение т) в прямую сумму другим способом:
f: geg^tet.
Зададим в прообразе линейное преобразование
Тогда f/2 = /^.Действительно,
1l2(vt,vt)* Hlvx. -lv2) = (v2-vu l(vt + v2)).
+v2).vt -v2) = {v2 - vt.l(vx + v2)).
Таким образом, отображение f осуществляет изоморфизм комплексного
расслоения сг\ (стоящего в образе) с суммой двух расслоений: комплекс-
комплексного расслоения ? и второго слагаемого, гомеоморфного расслоению %,
но комплексная структура в котором задается другим способом — с по-
помощью операции /' ,l'(v) = — l(v). Эта новая комплексная структура на
расслоении ? обозначается через %, а расслоение Г называется комплексно
сопряженным к комплексному расслоению %. Обратим внимание, что рас-
расслоения { и X изоморфны как вещественные расслоения, т.е. изоморфны
над большей структурной группой GL Bл, R), и не обязаны быть изоморф-
изоморфными над структурной группой GL (/),С). Таким образом, мы получили
формулу
Следующее утверждение дает описание комплексно сопряженного рас-
расслоения в терминах функций склейки.
Предложение 1. Пусть ^а: Ua ->GL (", С) — функции склейки
комплексного расслоения ?. Тогда функции склейки ip$a, задаваемые мат-
матрицами, комплексно сопряженными к матрицам <рра, определяют ком-
комплексно сопряженное расслоение ?~.
Доказательство. Пусть V — комплексное пространство размер-
размерности п с оператором / умножения на мнимую единицу. Обозначим через
V' пространство V с комплексной структурой, задаваемой оператором
/' = —/. Комплексный базис {еи ..., еп) в пространстве V является одно-
одновременно комплексным базисом в пространстве V' . Однако, если вектор
v e V имеет комплексные координаты *), ..., г„, то тот же вектор v как
30

вектор в пространстве V' имеет координаты г,, .... гп. Если {f i,.... fn) —
другой базис, то комплексная матрица перехода от одной системы коорди-
координат к другой задается путем разложения векторов {f\, ..., fn) no коорди-
координатам в базисе {еи ..., еп). Если для пространства V эти разложения суть
fk = ?**,«,-, то w пространства V' эти разложения имеют вид fk =.
/
= Z^kj в,, что и доказывает предложение 1.
i
П редложение 2, Комплексное расслоение % представимо в виде
? = сц тогда и только тогда, когда существует такое вещественно линей-
линейное отображение •: % -*%, что *2- 1, • /*= — /», где I — операция умноже-
умножения на мнимую единицу.
Достаточность мы докажем несколько позже. Что касается необходи-
необходимости, то для расслоения | = ctj = т? © т? зададим отображение*: ij ®tj-+
-* т) е г? по формуле • {v t/ v^) = (v x,-v г). Отображение * задает в каждом
слое расслоения ? операцию на векторах, называемую операцией ком-
комплексного сопряжения. Если для вектора v выполнено условие *(v) — "'.
то v называется вещественным вектором. Аналогично, сечение г называет-
называется вещественным, если *(г (х)) = т (х) для любого *€ В. Линейное преоб-
преобразование f: $ ->| называется вещественным, если *f*=f. При веществен-
вещественном преобразовайий вещественные векторы отображаются в вещественные
векторы. ¦'
Подрасслоения. Пусть f: |t -*|2 — линейное отображение векторных
расслоений над одной базой В, причем послойное отображение fх: (%\)х~*
~* (^г).г имеет постоянный ранг. ПустьР\\ Е\ -*В,Рг: Ег -*В — проекции
расслоений ? i и |2. Положим
f0 = {/€?,: ^(K) = Oep,-'U), x=p,(у)), ?=^1).
Теорема 1. а) Отображение Ро ~ Р\ \Еъ\ Е 0-* X является локально
тривиальным расспоинием, допускающим единственную структуру вектор-
векторного расслоения %0, для которой вложение ?0 С Е, является линейным
отображением расслоений;
б) отображение Р = р21Е: Е -* X является локально тривиальным рас-
расслоением, допускающим единственную структуру векторного расслоения
?, для которой вложение Е СЕ2 является линейным отображением рас-
расслоений, а отображение f:E\ -*E тоже является линейным отображением;
в) существует изоморфизм <р: |i=|o ® %. при котором отображение f
переходит в проекцию на второе слагаемое;
г) существуют векторное расслоение т? и изоморфизм ф: ?2 ¦* I * Ч
Расслоение |0 называется ядром отображения f,%n, = Ker f, а расслое-
расслоение | называется образом отображения f, | = \mf. Таким образом, dim?i =
Доказательство теоремы 1. Будем предполагать, что в рас-
расслоениях Ji и %г заданы скалярные произведения. Покажем сначала, что
справедливо утверждение б), т.е. что отображение /»= Рг\Е: Е -*В является
векторным расслоением. Достаточно показать, что для любой точки *<, € В
найдется карта (УЭх0 и набор непрерывных сечений оЛ,.... ak: U-*E, обра-
образующий в каждом пространстве fx(P\i (x)) СР~21 (х) линейный базис. Для
этого фиксируем в пространстве fXo (р (х0)) базис »i, .... ek. Поскольку
отображение fXo: p~l (x0) -*fx<> (P",1 <Хо)) является эпиморфизмом, то су-
существуют такие векторы0,, ...,gk &Р~х (хь), что '*„<*/' ~ei.^ <' <*•
31

Так как ?, является локально тривиальным расслоением, то найдется
такая карта ?/Э Xq, в которой расслоение ?i изоморфно декартову произ-
произведению U X Р]1 Uo)- Поэтому найдутся такие непрерывные сечения
7Ь .... тк: U -* Е\, что т,(х0) = 0/. Тогда сечения а* = f (т() проходят
через ректоры в t, т.е. ff/ (хь) = f (г* (*0)) = г" to t) = в ,. Поскольку сечения
а/ непрерывны, то найдется меньшая окрестность (/' Э х0, во всех точках
х которой векторы {oi {х), .... ак{х)} образуют базис пространства
fx (p~l (ж)). Таким образом, мы показали, что Е является тотальным прост-
пространством векторного расслоения, а вложение Е С Е2 является линейным
отображением. Единственность векторной структуры на расслоении ?
очевидна.
Обозначим через Р: % \ -*%\ послойное отображение, которое на каждом
слое Р~* (х) является ортогональной проекцией на ядро Kerfx ^P~i (*)•
Покажем, что отображение Р непрерывно. Достаточно проверить непрерыв-
непрерывность отображения Р отдельно над каждой картой U. Заметим, что ядро
Kerfx является ортогональным дополнением к подпространству \mf*.
Поскольку ранг отображения f? равен рангу отображения fXt то мы нахо-
находимся в условиях уже доказанной части теоремы, значит, образ \mf яв-
является локально тривиальным векторным расслоением. Пусть О\. .... Ofc —
набор непрерывных сечений, о< : C-4mf* С?ь образующих в каждой точ-
точке х е и базис пространства InV, CPj (*) • Тогда, если д € р (х), то опе-
операция ортогонального проектирования вектора Я на подпространство
Ker fx заключается в разложении вектора Я в линейную комбинацию
к
Я~Р{Я)+ 2 XjffjM
/= 1
с условием, что < Р (я), 0« М ) — 0, т.е. < Я — Б XfO/ (х), <jj (х) > = 0.
/= 1
Для нахождения коэффициентов X/ мы получаем систему линейных урав-
уравнений
Матрица ||<а/(х), о/ (х)>||, . очевидно, невырождена, поэтому обратная
матрица непрерывно зависит от переменной х, откуда следует, что коэффи-
коэффициенты \j непрерывно зависят от вектора Я и точки х. Это доказывает
непрерывность проектора Р. Таким образом, Ker f совпадает с образом
\тР отображения Р. Поскольку ранг проектора Р не зависит от точки х,
то из утверждения б) следует утверждение а).
Утверждение в) следует из того, что расслоение %х изоморфно прямой
сумме |о • Iro f* , т.е. ограничение отображения f на второе слагаемое
Imf* является изоморфизмом между Imf* и 1тЛ
Утверждение г) следует из того, что Ker f* тоже является векторным
расслоением, ?г ~ Ker f* ® Im^.
Теорема 1 полностью доказана. '
Используя теорему 1, закончим доказательство предложения 2. Пусть
•: % -*¦ % - вещественно линейное отображение комплексного расслоения ?,
для которого выполнены соотношения »2 = 1, »/•=—/•. Пусть Р:
Е -+В - проекция расслоения ?. Обозначим через Ео подпространство век-
векторов я € Е, для которых «Ы = Я. а через Еt — подпространство векто-
векторов Я € Е, для которых »Ы = — я. Пусть Р: % -* % - отображение, яв-
32

ляющееся на каждом слое Р~1 (х) проекцией на подпространство
еся
? о П 0'1 М вдоль подпространства f i ПР'1 (х). Проекцию Я можно выра-
выраб
? о р
зить через отображение • по формуле
Я = -^A + «). . B)
В самом деле, если отображение Р определить по формуле B), то при
*(9) = 9 получаем Р (д) = 9, а при *(д) - —д получаем Р (д) = О, т.е. Я
есть проектор на подпространство ?<)• Таким образом, отображение Р яв-
является непрерывным, а ранг его равен в каждой точке одному и тому же
числу - половине размерности расслоения |. Мы находимся в условиях тео-
теоремы 1. Поэтому расслоение % разлагается в прямую сумму двух вещест-
вещественных расслоений: % = ?о е |1( причем отображение /удовлетворяет
условиям
Поэтому отображение /: $0 "*li является изоморфизмом. Следовательно,
% = с%0. Предложение 2 полностью доказано.
Теорема 2. Пусть %—векторное расслоение над компактной базой
В. Тогда существует таков векторное расслоение цнад В, что прямая сумма
? е т) изоморфна тривиальному векторному расслоению.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 1. Достаточно по-
построить линейное отображение 1: % -*¦ N, ранг которого в каждой точке
равен dim?. Если % — тривиальное расслоение, то такое отображение су-
существует. Значит, для каждой карты Ua существует отображение
fa: %\Ua-+Na, rankfa = dim|.
Пусть ya - конечное разбиение единицы, подчиненное покрытию {иа}.
Тогда отображение yja продолжается нулевым отображением до отобра-
отображения ga: % ¦*/7a, причем ga \Ua = ipafa. Значит, если *pa (*) =* 0, то ранг
9a. \x = dim!. Положим
9\ |-*®/i7a=M
а
9=9ga, т.е.
Очевидно, ранг отображения 9 в каждой точке равен максимальному рангу
отображений 9а. Поскольку в каждой точке х, € В найдется такое а, что
Фа (х) Ф 0, то ranks' = rank0a \x - dim? не зависит от точки х€ В. Мы на-
находимся в условиях теоремы 1. Имеем Кегр = 0, поэтому расслоение %
изоморфно \mg и Imff ф т)= N. Теорема 2 полностью доказана.
Теорема 3. Пусть ? i, 12 - два векторных расслоения над компакт-
компактной базой В и Во С В — замкнутое подпространство. Пусть f0: % t \ Во -*¦
~*%г I в0 - линейное отображение ограничений расслоений на подпростран-
подпространство Во. Тогда отображение f0 допускает продолжение до линейного ото-
отображения^, i-! -*^2'пВ0 - f0-
Доказательство. Если расслоения ?i и ?2 тривиальны, то задача
сводится к построению продолжения матричнозначных функций, которая
решается с помощью леммы Урысона о построении продолжения непрерыв-
непрерывной вещественнозначной функции.
В общем случае применим теорему 2. Пусть t?i, т?2 — такие векторные
Расслоения, что расслоения %\ ®т\х и|г e?h тривиальны Пусть д0: тц\В0^
~*Пг \В0 - нулевое отображение, Р: \г ®ih -*$г - естественная проекция,
33

: Si -*-?i ® i?i - естественное вложение. Наконец, пусть
— прямая сумма отображений fd и во- Так как расслоения ^ ф jji и f j ь
тривиальны, то существует линейное отображение Л: g, ©.^ -*|2 *ih# про-
продолжающее отображение Ло- Положим f = PhQ: j, -*¦ %г. Ясно, что
'I Во - fo • Теорема 3 доказана.
Замечание. Теорема 3 справедлива не только для компактных баз,
но й для более общих пространств (например, паракомпактных), однако
доказательство тогда несколько усложнится.
Упражнения . '
1. Пусть $i, la - Два векторных расслоения над компактной базой В,
Во С В - замкнутое подпространство, fo' fi l^o -*ia \Во - послойный мо-
мономорфизм. Показать, что отображение fo продолжается до послойного
мономорфизма f: %\\U -*¦ %г\11 для некоторой открытой окрестности
DBo.
2. В условиях предыдущего упражнения показать, что найдется тривиаль-
тривиальное расслоение N и послойный мономорфизм д: ?i -+?2 о N, продолжаю-
продолжающий f0, т.е. д\Во = {fo. 0). . •
§ 5. Векторные расслоения, связанные с многообразиями
Наиболее естественным образом возникают векторные расслоения в теории
гладких многообразий.
Напомним, что п-мерным многообразием называется метризуемое прост-
пространство X, у каждой точки х € X которого существует открытая окрест-
окрестность UB х, гомеоморфная области V в л-мерном пространстве R". Гомео-
Гомеоморфизм ifi: U ¦* V С R" назывеется координатным гомеоморфизмом, а ко-
координатные функции в линейном пространстве R", отнесенные к точкам
окрестности U, т.е. композиции ^ = х* « ^: W-+R1, называются коорди-
координатными функциями на многообразии X а окрестности U. Система этих
функций {*',..., х"), определенных в окрестности U, называется локальной
системой координат многообразия X. Открытое подмножество U многооб-
многообразия X вместе с фиксированной локальной системой координат на нем
{х1, ..., Xя) называется картой. Система карт {Ua. {*i, ...,*?}), покрываю-
покрывающая многообразие X,X=UUa, называется атласом многообразия X.
a
Таким образом, каждое л-мерное многообразие обладает атласом. Если
точка х € X принадлежит одновременно двум картам, х € Ua n Up, то в
окрестности точки х мы имеем две локальные системы координат. При
этом локальные координаты х^ одной карты функционально выражаются
через значения локальных координат {х^,.... х?| другой карты, т.е. сущест-
существуют непрерывные функции i*^, для которых
Функции ifaQ называются функциями замены координат или функциями
перехода от одной локальной системы координат к другой. Для краткости
вместо выражения A) будем писать
'*?-*5<*0 *?>• B)
34

Если атлас {Ua, {xi,.... *?}) выбран таким образом, что все функции за-
замены координат являются гладкими функциями класса гладкости Ск,
1 < л < сю, то говорят, что на многообразии X задана структура гладкого
многообразия класса С*. Если все функции замены координат являются
аналитическими функциями, то говорят, что на многообразии X задана
структура аналитического многообразия.
Если п = 2m, w* = х?, 1 <Аг </л, к-* = х%+* К* <т, *?= "* +' **. а
все функции ** « **, {ж}, .... г™ ) + />^+* {:? г% ) являются ком-
комплексными аналитическими функциями в своей области определения, то
говорят, что на многообразии X задана структура комплексного аналитиче-
аналитического многообразия.
Мы, как правило, будем рассматривать бесконечно гладкие многообра-
многообразия, т.е. гладкие многообразия класса С°°.
Отображение f\X-*Y одного гладкого многообразия X в другое гладкое
многообразие У называется гладким класса Ск, если в окрестности любой
точки х € X функции, выражающие локальные координаты образа f(x)
через координаты прообраза точки х, являются гладкими функциями клас-
класса Ск. Очевидно, что класс гладкости к отображения f имеет смысл, если
число к не превосходит классов гладкости многообразий Хи V. Аналогично
определяются аналитическое и комплексное аналитическое отображения.
Пусть X ¦*- гладкое л-мерное многообразие, [Ua, {-*{,, .... *?}) - атлас,
х0 € X — фиксированная точка. Касательным вектором % к многообразию
X в точке Хо называется набор чисел (ifi,..., ? "), удовлетворяющий соотно-
соотношениям
и Эх*
Числа (?а,..., ??) называются координатами или компонентами вектора
\, отнесенными к карте (иш {*а. —. *а)) • Формула C) указывает закон
преобразования координат вектора % при переходе от одной карты к дру-
другой. Такой закон в дифференциальной геометрии называют тензорным за-
законом преобразования компонент тензора валентности {1,0). Таким обра-
. зом, в терминах дифференциальной геометрии касательный вектор — это
тензор валентности A,0).
Пусть через точку х0 многообразия X проходит гладкая кривая, которая
параметрически задается гладким отображением 7: (—1> D -*X, f@) =
= х0. В локальной системе координат {х*а, .... х?} эта кривая задается
набором функций
D)
Положим
tS=xK*(f))| E)
от и=о
Очевидно, что числа (g?,.... ?") удовлетворяют тензорному закону преоб-
преобразования C), т.е. они задают некоторый касательный вектор % в точке х0
к многообразию X. Этот вектор называется касательным вектором к кри-
df dy
вой у и обозначается через — @), т.е. % @).
dt от
35

Множество всех касательных векторов к многообразию X мы будем
обозначать через ТХ. Множество ТХ снабжается естественной топологией.
В ней для касательного вектора to в точке Xq окрестностью V объявляется
множество всех таких касательных векторов ц в точках х, для которых
р (х, Xq) < е и 2 (|?а -т)*J < е для некоторого числа е > 0 и некото-
* = 1
рой карты Ua в х0. Проверку того, что система окрестностей V образует
базу открытых множеств, предоставляем читателю.
Пусть тг: ТХ-*Х — отображение, сопоставляющее каждому касательному
вектору % точку х, в которой вектор % касается многообразия X. Очевидно,
что отображение тг непрерывно. Это отображение задает векторное расслое-
расслоение с базой X, тотальным пространством ТХ и слоем, изоморфным линей-
линейному пространству R". В самом деле, если Ua — карта многообразия X.
то через
<ра: Uax R" -* ff iUa)
, обозначим отображение, которое набору (*о, ?* %п) сопоставляет каса-
касательный вектор ?, компоненты которого задаются формулами
я • Эхй*
Ч 2 t'^
Нетрудно, проверить, что для так определяемых компонент выполнен тен-
тензорный закон преобразования C), причем ?* = ?*, т.е. числа F) действи-
действительно задают касательный вектор в точке хь. При этом обратное отображе-
отображение ifia1 задается формулой
где ?* - компоненты касательного вектора %. Поэтому функция перехода
Фра - *рр1Фа задается формулой
, 2 *'-f (*о),..., 2 5'-^-(х0)), G)
/ = i Эх^ ,- = , Эх^ /
которая показывает, что функции перехода <реа являются послойными ли-
линейными отображениями. Значит, действительно, отображение п является
векторным расслоением.
Векторное расслоение п: ТХ -* X называется Касательным расслоением
многообразия X. Слой над точкой х € X обычно обозначается через ТХХ н
называется касательным пространством в точке х к многообразию X.
Приведенная терминология оправдывается следующим обстоятельством.
Пусть f: X-* RN— вложение многообразия Хв евклидово пространство RN.
В локальной системе координат (xj,, .... х%) в окрестности точки х0 G X это
вложение задается вектор-функцией от переменных (х^,..., xg):
Разложим эту вектор-функцию по формуле Тейлора в точке х0 =
•». -^"а). положив Дх* = х* _ х^а:
(< х0а)Д(Д). (8)
оха
36

Отбросив остаточный член о (Дх?), получим близкую к/ функциюg:
1 1 п " Э/ 1
| Э/ )
Если векторы j—?" (хоа< —• хо<*)| , 1 < * < л, линейно независимы, то
функция g задает л-мерное подпространство в RA, которое естественно
назвать касательным пространством к подмногообразию X. Всякий вектор
%, лежащий в касательном пространстве к подмногообразию X, единствен-
единственным образом разлагается в линейную комбинацию базисных векторов
{- I ^77. A0)
k=i Эх*
При этом его координаты {%?} меняются при переходе к другой системе
координат по закону C), т.е. по тензорному закону.
Таким образом, наше определение касательного вектора как набора
компонент \?а} задает по формуле A0) вектор %, касательный к подмно-
подмногообразию X.
Пусть f: X -*¦ Y — гладкое отображение гладких многообразий. Построим
линейное отображение касательных расслоений
Df: TX^-TY
следующим образом. Пусть ? € ТХ — касательный вектор в точке х0, у —
гладкая кривая, проходящая через точку х0, у @) = х0, и касающаяся век-
dy
тора %, т.е. такая, что % = — @). Тогда кривая f G (f)) в многообразии Y
dt
проходит через точку /0 = f (*о) • Положим .
d{f(y))
Df{&) ^р@». A1)
Формула A1) задает отображение касательных расслоений. Осталось дока-
доказать, что это отображение линейно. Для этого достаточно описать отображе-
отображение Df в координатах пространств ТХоХ и TyoY. Пусть {x<J, ..., х?) и
{Ур ,..., У™} - локальные системы координат в окрестности соответственно
точек х0 и Ко. Тогда отображение f задается как набор функций
vl = vHx1 xn\
rp 'fjv a' "¦' *a. '•
Если x* = x? (f) - кривая у (t), $* = -j~ @), то кривая f{y{t)) опреде-
определяется функциями
Тогда вектор Of (?) задается компонентами
"
0)- 2 —ь<хо)Г. A2)
dt k = i dxj
. 37

Формула A2) показывает, что, во-первых, наше определение отображения
Df корректно, поскольку не зависит от выбора кривой у, а зависит только
от самого касательного вектора. Во-вторых, отображение Df линейно.
Отображение Df называется дифференциалом отображения f.
Пример 1. Покажем, что определение дифференциала Df отображе-
отображения f является обобщением обычного дифференциала функции. Гладкую
функцию одной вещественной переменной можно понимать как отображе-
отображение пространства R1 в себя: f: R1 -*-R'. Касательное расслоение простран-
пространства R1 изоморфно декартову произведению R1 X R1 = R2. Поэтому диф-
дифференциал Of: R1 X R1 -+R1 X R1, в координатах (х, ?) задается формулой
Df\x, i) = (x,f'(x)%).
Обычный же дифференциал имеет вид df = f'(x)dx. Таким образом,
Df(xfdx) » ix.df).
Упражнение. Показать, что для дифференциала выполняются
свойства:
а) D[f о я) = (Df) °(Dg);
б) 0(id) = id;
в) если f — диффеоморфизм, то Df — изоморфизм расслоений;
г) если f — погружение, то Df — мономорфизм.
Рассмотрим гладкое многообразие У и подмногообразие X С V. Вложе-
Вложение /": X С V является гладким отображением многообразий, у которого
дифференциал О»: TX -*TY является послойным мономорфизмом. Тогда
над многообразием X получается два векторных расслоения: ' *( TY) - ог-
ограничение касательного расслоения к многообразию Y на подмногообразие
X - и его подрасслоение ТХ. Согласно теореме 1 из § 4 расслоение /* (TY)
разлагается в прямую сумму двух слагаемых:
Дополнительное слагаемое i? называется нормальным расслоением к под-
подмногообразию X в многообразии Y . Каждый слой расслоения 7? над точ-
точкой Xq € X состоит из тех касательных векторов к многообразию Y. кото-
которые ортогональны к касательному пространству ТХо [X). Нормальное рас-
расслоение будем обозначать через v(XCY) или просто через v (X). Совершен-
Совершенно ясно, что понятие нормального расслоения может быть введено не толь-
только для подмногообразий,но и для любого погружения/: X-* Yмногообра-
Yмногообразия X в многообразие Y.
Как известно, всякое компактное многообразие X может быть вложено
в евклидово пространство RN некоторой размерности N. Пусть/': Х-*^ -
вложение. Тогда
TX® v(XCRN).
Поскольку расслоение TRN тривиально, то ТХ ® v (X) = Л/. В этом част-
частном случае расслоение v {X) называют просто нормальным расслоением
многообразия X (безотносительно к вложению). Таким образом, нормаль-
нормальное расслоение v (X) многообразия X определено неоднозначно; оно зави-
зависит от способа вложения в евклидово пространство R^ и размерйости N.
Однако равенство ТХ ® »(X) = N показывает, что эта неоднозначность
Расслоение п по построению зависит от выбора метрики 6 TY. Но для различных
метрик получаются изоморфные дополнительные слагаемы*.
38

невелика. В самом деле, пусть t>\ IX) — другое расслоение, удовлетворяю-
удовлетворяющее аналогичному условию ТХ * v, (X) = /V,. Тогда, очевидно,
v(X)<$ /V, = »>, (*)'*. N.
т.е. расслоения v iX) и v^X) становятся изоморфными после прибавления
к ним некоторых тривиальных слагаемы/. '
Пример 2. Изучим касательное расслоение к одномерному много-
многообразию S1 — окружности. На окружности S1 введем две карты U, =
= { — 7г.< ip < я} и Ui = {0 < ip < 2тг). глеу — угловой параметр в поляр-
полярной системе координат на плоскости. На карте t/| в качестве координаты
возьмем функцию х, = $, — гг < х, < тг, на карте (Л - функцию х2 = <р,
0< х2 < 2п. Пересечение карт U\ П 6/2 состоит из двух компонент связно-
связности Vx = {0 < if < п) и V2 = {тг < v> < 2гг}. Функция перехода имеет вид
X, =Х,(Х2) =
x2, 0<x2 <n,
X2 -27Г, 7T<X2 <2ir.
G) функция перехода
для касательного
Тогда согласно формуле
расслоения имеет вид
Эх,
*'* V Эх2
т.е. является тождественным гомеоморфизмом на слоях. Значит, касатель-
касательное расслоение TS1 изоморфно декартову произведению TS1 = S1 X R1,
т.е. является тривиальным одномерным расслоением.
Пример 3. Рассмотрим двумерную сферу S2. Ее удобно представлять
в виде пополненной комплексной плоскости S2 = С1 и {«>} . Зададим две
карты на сфере S2: Ux = С', U2 = (Сх\ {0}) и {«} . В первой карте в ка-
качестве комплексной координаты ?i возьмем функцию.?, = г. Во второй
карте возьмем комплексную координату *2 = 1/?, которая однозначно
продолжается нулем в бесконечно удаленной точке °°. Таким образом,
функция перехода на пересечении карт Ut, П U2 имеет вид
*i = Уг2.
Значит, функция перехода для касательного расслоения имеет вид
Ъг, 1
В вещественной форме функция у ¦ 2 имеет матричный вид (* — х + /'у):
-Re*2 -Imz2
\тг2 -
уг-х2
1ху
Если* = ре , то
cos 2а
sin 2а
-sin2a
cos 2а
-2ху
у2 -хг
Покажем, что касательное расслоение TS2 не изоморфно тривиальному
расслоению. Если бы расслоение TS2 являлось тривиальным, то существо-

вали бы такие матричнозначные функции
Л,: 6/, -*GL{2, R), Л,; U: -* GLB, R),
что
^i :(р, а) =Л| (р, «)Л;' (р, а).
Поскольку карты Ut, U2 являются стягиваемыми пространствами, то функ-
функции Л| и Л: гомотопны постоянным отображениям. Тогда и функция
^!: (р, а) гомотопна постоянной функции. С другой стороны, при р = const
функция ?,: задает отображение окружности 51 с параметром а в группу
SO B) = S1, причем отображение имеет степень 2, т.е. это отображение не
гомотопно постоянному отображению в классе отображений S1 -*GL B,R).
Рассмотрим произвольное векторное расслоение Р: Е -*Х, база которого
является гладким многообразием. Допустим, что функции перехода <рар\
Ua n Up ~* GL [n, R) являются гладкими отображениями. Тогда, очевидно,
тотальное пространство Е является гладким многообразием, причем
dim? = dimX + п. В самом деле, если {UQ} — атлас многообразия X, то в
качестве атласа многообразия Е следует взять
В качестве локальных координат следует взять координаты на карте Ua и
декартовы координаты слоя. Гладкость функций $а$ обеспечивает глад-
гладкость функций замены координат. Возникает естественный вопрос: для лю-
любого ли векторного расслоения над гладким многообразием X существует
атлас с гладкими функциями склейки ^аC?
Теорема 1. Пусть Р: Е •*X — п-мерное векторное расслоение, X -
компактное гладкое многообразие. Тогда существуют такой атлас {Ua} и
такие координатные гомеоморфизмы $а: Ua X R"-*p~' (Ua), что функции
склейки $ра: Ua П U$ -*GL (n. R) являются гладкими функциями.
Доказательство. Пусть выбран достаточно мелкий атлас расслое-
расслоения р и заданы координатные гомеоморфизмы фа: Ua X R" -* Р~х Ша) ¦
Функции перехода фца: Ua П Ц ->GL (л, R), вообще говоря, всего лишь не-
непрерывны. Задача заключается в том, чтобы заменить гомеоморфизмы фа
на новые координатные гомеоморфизмы у>а такие, что *Рра Уже будут
гладкими функциями. Или, что то же самое, требуется найти функции ha:
Ua -* GL(n, R), чтобы композиции h~^ (x) fya (x)ha (x) были гладкими
функциями. Пусть {Uа) '— новый конечный атлас, вписанный в {Ua}, при-
причем Ua CUa CUa. Функции Лв (х) будем строить по индукции, считая, что
индекс а пробегает целые числа от 1 до Л/.
Переходя, если это необходимо, к атласу Ша}, можно считать, что все
матрицы вида фац (х) ограничены в совокупности по норме некоторой кон-
константой С: || фац(х)\\ < С. Пусть 0<е<?-, е<1. Построим гладкие функ-
функции ФарМ. * € Ua П Up, удовлетворяющие неравенствам || ^ (х) -
- Фар (*) II < е и являющиеся коциклами, т.е. ^а^7^7а = 1, ^а^^а - "¦
При этом мы будем опираться на следующую лемму.
Лемма. Пусть f (x) — непрерывная функция, определенная в области
U евклидова пространства, К - некоторый компакт в U. Тогда существует
такая окрестность V Э К, что для любого е > 0 найдется такая гладкая
функция g (х), определенная на V, что \д (х) - f (х) |.< б, х€ V.
Более того, если функция f (x) уже является гладкой в окрестности ком-
комплекта К', то можно выбрать гладкую функцию g таким образом, чтобы
40

выполнялось дополнительное равенство g (x) = f (х) в некоторой окрест-
окрестности компакта К'.
Применим лемму для построения функций ^а0. Согласно_лемме сущест-
существует такая функция ^12, определенная в окрестности U\ О U{, удовлетво-
удовлетворяющая неравенству
И*i2М -фхг(х) 11<е.
Пусть уже построены функции ^ (х), определенные в окрестности
Ос! n Off для всех а < {S < 0О, удовлетворяющие неравенствам
" М Ф М II < е, причем выполнены условия коцикличности
ФУНКЦИЮ ^»i,|30 + l W СТРОИМ, ИСПОЛЬЗУЯ лемму. ЕСЛИ ФУНКЦИИ ^а,C„ + 1 М
уже построены для всех а<а0 </30 и они удовлетворяют условиям коцик-
коцикличности
то функция ^»ao + i ,0e + i М определяется в окрестности GТ' П
п ^/з'„ +1' 7 < «о. Формулой
Тем самым функция ^ao+ i.^0 + i (x) определена в окрестности объеди-
объединения \/= U (Ц,' П О' +, Пup +1) и удовлетворяет там условию
U^ao + i.KB + iU) -Ak. + i.^ + iM »<2Ce.
Продолжим функцию ^а„ + 1.^„+ 1 (*) с замыкания некоторой окрестности
множества V на окрестность Щ„ + 1 ^Ц^-н таким образом, чтобы имело
место неравенство
И ^ao + l.Co +lU> — ^a,e + I.0e+lU> К 2Се.
Далее, по лемме аппроксимируем функцию ^„ + 1.^ + 1 U) гладкой и сов-
совпадающей с ней в окрестности V. Получим в итоге гладкую функцию
^ao + i,/3o+i W, определенную в окрестности Ц»'о+1 П(/^^ + 1 и такую, что
II Фа11+1> ^o + i (х) — >?<*„ +1.0„+1 U) IK BC+ 1) е . Тем самым мы за конеч-
конечное число шагов (</V2) построим по индукции гладкие функции ^a(J, удов-
удовлетворяющие неравенствам
Теперь будем строить функции Ла: C/a ->GUn, R), удовлетворяющие
соотношениям
ИЛИ
A3)
Соотношение A3) достаточно проверять только для а > 0. Поэтому функ-
функции h а строим по индукции. Положим /7 |(х) = 1. Если функции Л 1 (х),...
¦¦¦,па<1М, удовлетворяющие условиям A3), уже построены, причем
I11 -Ла (х) IK e ,а<а0, то функция Ла„ + 1 (¦*) определена формулой A3)
4t

в окрестности множества
v= и ua[+inu;
На множестве V выполнено неравенство
111 -ha<t + i(x) l!= И -tfa. +
< С2 И Л„ - ^ +, ф?ап +, II < 2С3е.
Если число е достаточно мало, то функция Ла +| (х) может быть продол-
продолжена с окрестности множества V на карту ^4n + i с выполнением тоге же
неравенства. Тем самым теорема 1 полностью доказана.
Теперь мы опишем геометрическое строение касательного и нормального
расслоения к гладкому многообразию.
Теорема 2. Цусть /: XCY — гладкое компактное подмногообразие
X многообразия Y. Существует окрестность VDX подмногообразия X, диф-
феоморфная тотальному пространству нормального расслоения
v(XC Y). . ¦ '
Доказательство. Фиксируем на многообразии Y какую-нибудь
риманову метрику, существование которой обеспечивается теоремой 1 и
замечанием2 из § 3.
Построим отображение f: v{X) -* Y следующим образом. Пусть ?€ v (X) —
вектор, касательный в точке х G X С Y к многообразию Y и ортогональный
к подпространству Тх(X). Пусть y(t) —геодезическая линия, 7@) =х,
—- @) = ?. Положим f (?) =7(D- Проверим» что в точках нулевого се-
tfr
чения расслоения v {X) отображение fx имеет невырожденную матрицу
Якоби. Заметим, что а) отображение f на нулевом сечении тождественным
образом отображает многообразие Хна себя и 6) f (X?)'=7{\). Поэтому
матрица Якоби является единичной матрицей, отображающей пространство
7"^ [v (X)) = Тх(X) ф vx{X) в пространство Тх(Y) =ТХ IX) ® v?(X). По тео-
теореме о неявных функциях существует окрестность (/нулевого сечения рас-
расслоения v {X), которая диффеоморфно отображается отображением f на
некоторую окрестность f(l/) подмногообразиях. Так как окрестность V
диффеоморфна тотальному пространству расслоения v (X), то теорема
2 доказана.
Теорема 3. Пусть f: X-+ Y - гладкое отображение гладких компакт-
компактных многообразий, дифференциал которого Df является эпиморфизмом
в каждой'точке х € X. -Тогда отображение f есть локально тривиальное рас-
расслоение, слой которого является гладким многообразием.
Доказательство. Из условий теоремы немедленно следует, что
касательное расслоение ТХ разлагается в прямую сумму ^ГХ= % *>f *TY,
причем дифференциал Df является композицией естественной проекции
7"Хна второе слагаемое f TV и отображения f*TY -*-TY.
Без ограничения общности можно рассмотреть в Y карту U, диффео-
морфную R", а вместо многообразия X -г- его часть f "'((/>. Тогда отоб-
отображение f является векторнозначной функцией f-.X-*R". Пусть сначала
п = 1. Тогда из условий теоремы следует, что градиент функции f отличен от
нуля в каждой точке. Рассмотрим векторное поле gradf (в некоторой
римановой метрике на многообразии X). Интегральные траектории у (xo,f)
этого векторного поля ортогональны к каждой гиперповерхности уровня
функции f. Выберем такую риманову метрику, чтобы норма градиента
grad f была тождественно равна единице. Поскольку grad f Ф 0, то в ка-
4?

честве тайкой новой метрики можно взять
<i.TJ>i =<?,T?XgracU, gradf).
Действительно,
<gradf. ?>=?(f) = <grad, f,?>i = <grad,f,
откуда
grad | f • grad fl < grad f-, grad f >.
Тогда
(grad,f, grad,f >, = (grad,Л grad,f> • <grad f. gradf) =
< grad f. grad f)
= _ _ . < grad r, grad f > = 1.
<gradf,gradf>2
Таким образом, если yU) - интегральная траектория, то —-f (y(t)) =
dt
= < grady, grad f) = 1. Значит, на каждой траектории y(t) функция ^линей-
^линейна по параметру г с коэффициентом 1. Это значит, что если f (х0) = f (xt),
то и . f G (х0,f)) = f G (х,,г)) = f <х0) + г. Положим Z = Г1 {0), g:ZX
XR1 ->Л', </(х, f) = 7 U,') • Отображение </ является послойным гладким
гомеоморфизмом. Следовательно, отображение f: X-*R '• является ло-
локально тривиальным расслоением.
Далее, доказательство проведем индукцией по числу п. Рассмотрим
вектор-функцию f{x)=\f1{x) f"M), удовлетворяющую усло-
условиям теоремы. Выберем риманову метрику на многообразии X таким
образом, чтобы градиенты grad f ,,..., grad fn были ортонормированы.
Такая метрика существует. В самом деле, пусть сначала задана произволь-
произвольная риманова метрика. Тогда, поскольку дифференциалыdf\,df.i,...
..., dfn линейно независимы в каждой точке многообразия X, то и гра-
градиенты {grad fk } линейно независимы в каждой точке. Следовательно,
матрица функций
grad/)U)>
невырождена в каждой точке. Пусть И 6(/- [х) У — матрица, обратная к мат-
матрице |э„ (х) Л, т.е. такая, что ? Ь(а (х) а/а (х) = 5(/. Положим
Тогда
Xbki{x)gradfi{fi) = ZbkiM <grad f,. grad f,- > =
Пусть t/u — достаточно малая окрестность точки в многообразии X.
Система векторных полей ?(,..., {„ дополняется до базиса такими вектор-
векторными полями т)„+!,..., i},v,что Vk (fi) = 0. Введем новую метрику в* карте
Ua,полагая (il.ki)a=Sil;<L^k,r)s)a = O. Если ^а - разбиение единицы,
подчиненное покрытию {Ua}, то положим
а \
43

Тогда метрика (?, tj >0 удовлетворяет условиям
<?/. ?/>os6,/, <|fc,i?>0s0
для любого вектора т? такого, что r){fj) =0. Пусть gradf,- — градиенты
функций fj в метрике < |, т? >0. Тогда выполняются соотношения
для любого вектора ?. В частности.
если т; (f,) = 0. Такие же соотношения выполнены и для векторного поля
%i . Значит, {,- =gradf,- , т.е. <grad fit grad^;> = Ьц, что и требовалось до-
доказать.
Вернемся к доказательству теоремы. Рассмотрим функцию g (x) =
={/'(х) f^"~1^M). Эта вектор-функция тоже удовлетворяет усло-
условиям теоремы и предположениям индукции. Значит, многообразие X диф-
феоморфно декартову произведению X=ZXHn~l, а функции f\....
... ,fn-\ переходят при этом диффеоморфизме в координатные функции
11, ..., fn_i второго сомножителя; Тогда градиент gradfn касается перво-
первого множителя Z в каждой точке. Функция fn=*fn(z,tit...,fn_i) не зави-
bfn
сит от переменных fi,...,fn_i, поскольку =0. Тогда, применяя
btk
предположение индукции к многообразию Z и функции fn, получаем, что
многообразие Z диффеоморфно декартову произведению Z, X R', а функ-
функция fn (г х, г„) = tn. Это значит, что многообразие X послойно диффеоморф-
диффеоморфно декартову произведению Z, XR1 XR" =Z, XR". Теорема 3 пол-
полностью доказана.
В нижеприведенных примерах демонстрируется, как язык векторных рас-
расслоений используется в различных задачах теории многообразий.
Пример 4. Инвариантная формулировка теоремы
о неявных функциях. Пусть f: X-* У — гладкое отображение глад-
гладких многообразий.Точка/о € /называется регулярным значением отобра-
отображения f, если для любой точки х из прообраза 1~' (у0) дифференциал
D f: Tx(x) ~*7\,п (У) является эпиморфизмом. Тогда теорема о неявных
функциях гласит, что прообраз Z - f~l ty0) является гладким подмногообра-
подмногообразием, причем ТХI Z = ТТ. ® R'",m = dim Y. Более общо, если WC Y — под-
подмногообразие, то отображение f называется трансверсапьным вдоль под-
подмногообразия W, когда для любой точки х€ f'1 (W) имеет место равенство
Tf(x)Y=Tf{x)W+Df{TxX).
8 частности, отображение f трансверсально вдоль любой регулярной точки
/0 е /. Теорема о неявной функции тогда утверждает, что прообраз Z =
= /"' (W\ является подмногообразием в многообразии X, причем нормаль-
нормальное расслоение v B СХ) изоморфно f * (* (WC Y)), а дифференциал Df осу-
осуществляет послойный изоморфизм
Пример 5. Функции Морса на м но г о о б ра зи я х. Пусть
задана функция / на гладком многообразии X. Точка х0 называется крити-
критической, если df (xu) = 0. Критическая точка х„ называется невырожденной,
если матрица вторых частных производных функции f в точке х0 невырож-
невырождена. Невырожденность матрицы вторых частных производных в крити-
критической точке хц не зависит от выбора локальной системы координат. Рас-
44

смотрим тотальное пространство Т *Х кокасательиого расслоения к много-
многообразию X (т.е. расслоения, сопряженного к касательному расслоению).
Тогда по функции f:X-*Rl строим отображение df:X-*Т'X, сопряжен-
сопряженное к Df, которое каждой точке х€ X сопоставляет линейную форму на
Г*Л", равную дифференциалу функции в точке х. Таким образом, в много-
многообразии Т*Х возникает два подмногообразия: нулевое сечениеХо расслое-
расслоения Т*Х и образ df(X).Точки пересечения этих подмногообразий соответ-
соответствуют критическим точкам функции Л Критическая точка невырождена
тогда и только тогда, когда пересечение Хи и df (X) трансверсально. Если
все критические точки функции/невырождены, то 1 * называется функци-
функцией Морса. Таким образом, функция f является функцией Морса тогда и
только тогда, когда отображение df: X-* Т *Х трансверсально вдоль нуле-
нулевого сечения Хо С Т *Х.
Пример 6. Ориентируемые многообразия. Много-
Многообразие X называется ориентируемым, если существует такой атлас {Ua ),
что все функции ^а(з замены координат имеют положительный якобиан в
каждой точке. Выбор такого атласа называется ориентацией многообра-
многообразия X. Если многообразие X ориентируемо, то структурная группа GL {/?, R)
его касательного расслоения ТХ редуцируется к своей подгруппе
GL (л, R) матриц с положительным детерминантом.
Обратно, если структурная группа G L (n, R) касательного расслоения
ТX редуцируется к своей подгруппе GL4/7, R) , то многообразие Хориен-
|Эх* |
¦—у — функции
дХ0 1
склейки касательного расслоения, фа$ = ha y^h^1 ~ новые функции
склейки, det^afl >0. Если бы матричнозначные функции hа: Ua-*GL(n,R)
19 У а I!
—г- L то тогда функции
Эха I
У а = У а (ха- ¦ ¦ ¦. *о' служили бы искомой заменой координат в каждой
карте, приводящей к ориентации многообразия X. Однако в общем случае
это не так. Необходимо функции ha поправить. Заметим, что если какие-
то функции ha уже найдены, то, поскольку нас интересует только знак де-
детерминанта фа0, мы можем менять функции ha произвольным образом,
следя только за тем, чтобы не менялся знак detha(x) в каждой точке.
Значит, вместо функций h a (х) можно взять новые функции
±1
ha
1
имеющие вид диагональной матрицы, у которой на первом месте по диа-
диагонали стоит ±1, а на остальных местах диагонали —единицы. Знак первого
элемента на каждой компоненте связности карты Ua выбираем такой же,
как и знак det ha (x). Тогда новые функции перехода
Фар М = ha (х)уа0 (x)h~0 M
удовлетворяют тому же условию
det фа01х)>О.
45

С другой стороны, функции ha (x) являются матрицами Якоби некоторой
замены коодинат:
п _ »
У-хх ~ *а '
Таким образом, найден новый атлас, задающий ориентацию многообразиях.
§6. Линейные группы и связанные с ними расслоения
Этот параграф состоит из примеров различных векторных расслоений,
естественно возникающих из рассмотрения линейных групп и их однород-
однородных пространств.
1. Расслоения Хопфа. Вещественным проективным пространством
RP" называется множество одномерных прямых в R"+1, проходящих
через начало координат. В этом множестве вводится естественная тополо-
топология, определяемая метрикой, в которой расстояние между двумя прямыми
измеряется меньшим углом между ними. Проективное пространство RP"
является гладким (и даже вещественным аналитическим) л-мерным много-
многообразием. Чтобы ввести на RP" структуру гладкого многообразия,следует
заметить, что каждая прямая в Пространстве R"*1 однозначно определяется
ненулевым вектором*, вней лежащим. Пусть (хо,...,х„) — декартовы ко-
координаты вектора х, не все равные нулю. Тогда прямая / определяется на-
набором чисел (х0,..., х„), причем всякий набор чисел вида (Хх0,.... Хх„),
Х^О, определяет ту же прямую /. Таким образом, точка проективного
пространства задается как класс [х0: х,:... : х„] наборов чисел (х0,.. .
..., х„), не всех равных нулю с точностью до умножения их на ненулевое
число X. Числа (xo,Xi,.. . ,х„) называют проективными координатами
точки из R/3".Зададим атлас{Uk} k=0 »аЯРп. Положим
С/*-{[хо:х,: ••• :XJ: хкФ0},
Систему координат на Uk определим как систему функций
/"=— , 0<а<л, аФк .
Хк
Нумерация координат индексом а не сплошная, а с пропуском значения
а = к. Замена переменных на пересечении карт Uk CiU/ имеет вид [кФ})
Уак
—if- при о Ф/,
при
Поскольку на пересечении Uk П Uj имеем хкФ0,Х/ ФО, то ук. =xk/Xj Ф
Ф 0, значит, формулы A ) корректно определены и задают вещественно
аналитические фуйкции замены кординат. Таким образом, RP" является
гладким многообразием размерности л.
Рассмотрим теперь пространство Е, точками которого являются пары
(/,*}, где / — прямая в Rn+1, проходящая через начало координат, а дг —
46

вектор, принадлежащий этой прямой. Пространство Е отличается от
евклидова пространства R"+1 только тем, что вместо нулевого вектцра
из R"+1 в пространстве Е представлено много точек вида (/, 0). Отобра-
Отображение р:Е-+RP". сопоставляющее каждой паре И,х) его первую ко-
координату, является локально тривиальным векторным расслоением.
В самом деле, пространство Е можно представлять как подмножество
в декартовом произведении RP" X R "+', задаваемое в каждой локальной
системе координат системой уравнений: '
ранг матрицы
Ко У\
Уп
1,
где (х0 ,xt>. .. ,х„) — проективные координаты точки из RP", а {у0.
У\ • • ¦ • i Уп^ — координаты точки из R"+1. Если, скажем, рассматривается
карта Щ ={х0 Ф 0), то можно положить х0 = 1, и мы получаем систему
уравнений:
ранг
т.е.
1
Ко
1
Ко
*к
Ук
х, .
У\ •
*к
Ук
*1
У!
• •
=0.
= 0
*п
Уп
= 1,
det
det
Вторая группа уравнений зависит от первой. Поэтому множество Е выде-
выделяется eRPnXRn+1 следующей системой п уравнений:
fkl*i х„. Ко Уп)"Ук -**/о=0; к = 1 п.
Матрица частных производных функций fk имеет вид
-/о 0 ... 0 -х, 1 0 ... 0
0 •• • 0 -х2 0 1 ... 0
-Ко
О О
1
Поэтому ранг этой матрицы максимален. По теореме о неявных функциях
множество Е является подмногообразием размерности л + 1. В качестве
координат на множестве Е можно взять координаты {уа,Х\, ¦ . ., х„).
Проекция р: Е -* RP" заключается в-отображении (Ко.xi • •••> *п) ~*
->(xi,.'. .,х„). Значит, прообраз р (Uo) гомеоморфен декартову произве-
произведению Uo X R1. При переходе к другой карте Uk в качестве координаты
слоя будет взята другая координата ук, которая линейно выражается
через у0. Таким образом, отображение р: Е -+RP" является одномерным
векторным расслоением.
2. Комплексное расслоение Хопфа. Это расслоение строится аналогично
предыдущему примеру как одномерное комплексное векторное расслоение
над базой СР". В обоих случаях, вещественном и комплексном, соответст-
соответствующие главные расслоения со структурными группами 0A) = Z2 и UA) =
= S1 могут быть отождествлены с подрасслоениями в векторном расслое-
ппа 0A) может быть вложена
таким образом что линейное
47
нии Хопфа. Дело в том, что структурная rpyi
в векторный слой R*,OA) ={—1,1}CR ,

действие 0A) на R1 совпадает на подмножестве {-1,1} с левыми сдви-
сдвигами. Аналогично, группа UA) =Sl вкладывается вС1, 51={г: I * I =
= 1 } СС1, а линейное действие группы U A) на С1 совпадает ла подмно-
подмножестве S1 с левыми сдвигами. Поэтому векторное расслоение Хопфа
содержит ассоциированное с ним главное расслоение в качестве подрас-
слоения, состоящего из векторов единичной длины. Пусть р:Е$ -*ЯР" —
главное расслоение, ассоциированное с векторным расслоением Хопфа.
Точки тотального пространства ?$-это пары (/ ,х),1 —прямая в К"*1.
a xG 1, \ х\ = 1. Поскольку дг?=О,топара (I ,х) однозначно определяется
вектором х. Значит, тотальное пространство Е$ гомеоморфно сфере единич-
единичного радиуса S". а главное расслоение р: S" -+-W1 - это двулистное на-
накрытие.
В случае комплексного расслоения Хопфа, если р: Bs -+СР" - ассоци-
ассоциированное с ним главное расслоение, то Е§ *S2n~l, а в расслоении
p. S2 л+1 _> Qpп слоем является окружность S'.
Главные расслоения S"-*RP", S2" -+СР" тоже называют расслое-
расслоениями Хопфа. При п = 1,СРl ~S2 получается классическое расслоение
Хопфа S3-*S2. В последнем случае полезно описать функции склейки
на пересечении карт. Сферу S3 будем считать заданной уравнением
1го12 + 12р112=1в двумерном комплексном пространстве С2. Каждая
точка сферы S3 задается двумя комплексными координатами (*0,г,).
Отображение p:S3-*CP1 =S2 сопоставляет паре (го.г^точку с проек-
проективными координатами [го'.г,]. Зададим на СР1 атлас, состоящий из
двух карт
Тогда точки карты UQ параметризуются одним комплексным параметром
w0 = ZiUq&C1 , а точки карты U\ — параметром щ =го/г^ ЕС1. Про-
Прообразы р'1 A/0) ир~' (t/j) гомеоморфны декартовым произведениям
<р0: P~llUQ) -Sx XC1 =S1XU0.
*i: о (У,) =S' XC1 =Sl X Ur
где
= (г0/l/o I. [jr0:'i 1 >.
Отображения <р0 и yj,, очевидно, обратимы:
<0о (X, w0)
/i1 (K w,) = (Xw,A/1 + Iw, I2,
Такии образом, функция склейки ^01: S'X (Uo nu,| ->S' X (t/0 ПЦ)
задется формулой
«Po i tX., [zo:zi]\* U| l^ol/'ol'il'Uo:'il). B)
т.е. является умножением наг, I z0 I /г0 I г, I = w\l I Wi I.
3. Касательное расслоение проективного пространства. Пусть g0 -
комплексное расслоение Хопфа комплексного проективного пространст-
пространства СРп, TCP" - касательное расслоение. Тогда имеет место изоморфизм
ГСР" 4, f = $• <ь ... *$• = (л + 1>{\ C)
48

В случае л-1 получается следующая формула:
TCP1 ф Г =?•«?'.
В самом деле, используя функцию замены координат w2 = 1Avl( получаем,
что функция склейки для касательного расслоения TCP1 имеет вид
-w?/liv,l\ D)
а функция склейки расслоения Хопфа равна
«Ли iwl) = wl/\wl\. E)
Используя гомотопии функций склейки, упростим формулы D) и E) до
выражений
^Ol(Wl) = tV? , ipOii.Wv)'Wi. F)
Остается усмотреть, что матричные функции
!vvf О Ц U iv, О
I и П
о 1 И II о wy
гомотопны в классе обратимых матриц при w, Ф0,\л/1 ЕС1.
В общем случае, для произвольной размерности л, заметим, что много-
многообразие СРп можно рассматривать как факторпространство сферы S2n+l
единичного радиуса в С"*1 по действию группы S1 СС1 комплексных
чисел, по модулю равных 1. Тогда тотальное пространство касательного
расслоения TCP" является факторпространством множества всех касатель-
касательных векторов к сфере, ортогональных к орбитам действия S1. Другими
словами, тотальное пространство TCP" имеет вид
ТСРп = {(и. v): u.vGCn+l. Ы-1,
<u,v) = 0)/U\u,\v)~(u,v), X6S1},
где {u.v) — эрмитово произведение в Cn+1. С другой стороны, тотальное
пространство расслоения Хопфа можно описать как множество пар
{(/ ,дс): дг€ / СС"+1 }. Рассмотрим факторпространство
/I={|u,s|:(/6C"+1, sec1, lul=i}/{(Xt/,Xs)~(u,s>, X€S'}.
Сопоставим каждой паре (u,s) EA прямую /, проходящую через точку
<7€ С+1, и вектор s <7~Е /. Тогда, если (Х</, Xs) — эквивалентная ей пара,
то прямая, проходящая через точку Х~п, совпадает с прямой /, а вектор
(Xs.)(X~u) =XXs<7 совпадает с вектором sw. Это значит, что пространство
А гомеоморфно тотальному пространству расслоения % *. Значит, тотальное
пространство прямой суммы (п + 1) % * можно отождествить с фактор-
пространством
B={(u,v): u,v6C+1,. Ы=1}/((Хи.ХИ-(</,*). XeS1}.
Далее, пространство TCP" лежит, очевидно, в пространстве в в виде подрас-
слоения. Дополнительное подрасслоение определяется множеством пар
{(u.v): Ы=1, v = su. sGC^/UXu.Xv)- (u.v),
которое гомеоморфно пространству
{(u.s): M=1. s&C1}/IXu-u,
Последнее пространство гомеоморфно декартову произведению СР"Х
X С'. Мы, таким образом, установили изоморфизм
49

4. Расслоения классических многообразий. Через Vnk обозначим прост-
пространство, точками которого служат ортонормированные системы из к
векторов л-мерного евклидова пространства(R" или С"). В случае не-
необходимости, будем ставить индекс: У„Ц или V?tk.
Через Gn<k обозначим пространство, точками которого служат/г-мерные
линейные подпространства л-мерного евклидова пространства. с
Дополняя /г-репер до базиса в С, мы получим, что пространство Vn<k
отождествляется с однородным пространством U (л) /U {к), где U (к) С U (л) —
естественное вложение унитарных матриц
Ак-
Аналогично, пространство Gn k гомеоморфно однородному пространству
Щл)/(и(*> «и(л-*))( где 0\к) ®и<л-Аг) С1Дл) - естественное вложе-
вложение
1Ак
о
Вообще, если G — группа Ли, а Н — ее некоторая замкнутая подгруппа
Ли, то проекция
p:G-*G/H
является локально тривиальным расслоением (причем главным /У-расслое-
/У-расслоением), поскольку ранг матрицы Якоби отображения р максимален в каж-
каждой точке и, следовательно, постоянен.
Из этого замечания вытекает, что следующие отображения тоже являют-
являются локально тривиальными расслоениями:
Над стрелкой указаны слои этих расслоений. В частности,
У„,« =О(л). V°n~U{nl V^-S"-1, V*i~S2»-1
Значит, имеются следующие локально тривиальные расслоения:
U(n-i) , , O(»-i) „ .
Отображения в указанных расслоениях задаются путем сопоставления
каждому реперу части его векторов.
Многообразие Vnk 'называется многообразием Штифвпя, a Gn<k —
многообразием Грассмана.

ГЛАВА 2
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
В § 2 главы 1 (теорема 3) было показано, что если база локально триви-
тривиального расслоения, структурная группа которого G является группой Ли,
имеет вид декартова произведения S X / , то ограничения расслоения на
В Х{0}и В X {1} изоморфны. Это свойство локально тривиальных расслое-
расслоений позволяет описать их в терминах гомотопических свойств топологи-
топологических пространств.
§ 1. Классификационные теоремы
Будем считать, что база В локально тривиального расслоения р: Е -*¦ В
является клеточным пространством, т.е. пространство В является прямым
пределом своих компактных подпространств [В] п,В= lim [B).n, а каждое
подпространство [В]" получается из [В] (""') путем приклейки конечно-
конечного числа дисков Df размерности л с помощью непрерывных отображений
границы S/") ¦* [В] ("-•). Подпространство [В] " называется п-мерным
остовом пространства В. Фиксируем некоторое главное G-расслоение
Pg- Ec-*BG,y тотального пространства Ес которого все гомотопические
группы тривиальны, тг,- (Ее) = 0,0 </ < °°.
Теорема 1. Пусть В — клеточное пространство. Всякое главное G-рас-
G-расслоение р:Е^В изоморфно прообразу расслоения pG при некотором
. непрерывном отображении f: B-*Bq. Прообразы расслоения рс при отоб-
отображениях f,g:B-*BG изоморфны тогда и только тогда, когда отображения
fug гомотопны. *
Следствие 1 Множество всех классов изоморфных главных G-расслое-
ний над базой В находится во взаимно однозначном соответствии с множест-
множеством классов гомотопных отображений пространства В в пространство BG.
Следствие 2. Если клеточные пространства Вив гомотопически
эквивалентны, то множества классов изоморфных главных G-расслоений
над базами В и В1 находятся во взаимно однозначном соответствии, причем
соответствие задается прообразами расслоений при гомотопической экви-
эквивалентности В -*В' .
Следствие 3. Если пространство В о является клеточным прост-
пространством, то оно однозначно определяется с точностью до гомотопической
эквивалентности требованием я> (Eq) =0,0</ <°°.
Доказательство теоремы 1. Согласно теореме 2 § 2 главы 1
расслоение р изоморфно прообразу расслоения pG при непрерывном отоб-
отображении f: В -*BG тогда и только тогда, когда существует эквивариантное
отображение тотальных пространств этих расслоений.
Пусть В — клеточное пространство, Во СВ — его подпространство, т.е.
такое замкнутое подмножество, которое является объединением части кле-
клеток пространства В. Рассмотрим главное G-расслоение р:Е-*В. Обозначим
51

Eo =p~1 (Bo). Пусть Fo: Eo -*EG - эквивариантное непрерывное отображе-
отображение. Покажем, что отображение Fo продолжается до непрерывного экви-
вариантного отображения F: E-*EG.
Лемма. Любое главное G-расслоение р над диском D" изоморфно
тривиальному расслоению.
В самом деле, положим Л: 0"Х/ -*Dn,h (x.t) = fx, 0<х<1,х6 D".
Тогда Л (x, 1) = х, Л (х, 0) = 0. Значит, согласно теореме 3 § 2 главы 1 про-
прообразы расслоения р при отображениях Ло (х) ¦ Л (х, 0) и Л i (х) = Л (х, 1)
изоморфны. С другой стороны, прообраз расслоения р при тождественном
отображении Л i изоморфен р, а при отображении Л 0 изоморфен тривиаль-
тривиальному расслоению. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть (л — 1) -мерный остов
[В] (и-О лежит в в0, а клетка Dp не лежит в?0 • Пусть <^: Of-* 0 -
отображение клетки О" в 0,<р/ (S/"*) С [в) ("-•) Cff0. Рассмотрим
ограничение расслоения р на клетку D". Согласно лемме это ограничение
является тривиальным расслоением D"XG. Поскольку <?/ (S^"~l))^Bo,
то на подпространстве S/"' X б отображение Fo индуцирует эквива-
эквивариантное отображение .
Рассмотрим отображение
F0(x, I): S/""»^ •
Поскольку я(П-1) (^с> -0 по предположению теоремы, то отображение
Fo (x, 1) продолжается до непрерывного отображения
Fix, 1): D1-*EG.
Положим
F(x,0) = F(x, \)g. xeD" . gGG.
Ясно, что отображение F (x.g) эквивариантно и продолжает отображение
Fo на множество р (б0 и??) э ^о-
Индукцией по числу клеток доказывается существование эквивариант-
ного отображения F: E -*Eg> продолжающего отображение Fo.
Первое утверждение теоремы вытекает из доказанного, если положить
В0 = ф.
Второе утверждение теоремы вытекает из доказанного, если заменить В
на В X /, а Во на (б X {0}) U (В X {1} ). Теорема 1 доказана.
Следствия 1 и 2 непосредственно вытекают из теоремы 1.
Докажем следствие 3. Пусть р: EG -* Вр, р': Ео ^B'g -два главных
G-расслоения. щ (?с) = я/ <?<;)' = 0, ffc. в с - клеточные пространства. К
каждому из расслоений р и р' можно применить теорему 1. Тогда сущест-
существуют такие отображения
f:BG-*B'G, g:BG-+BG,
что при отображении f расслоение р переходит в расслоение р, а при отоб-
отображении g расслоение р переходит в расслоение р - Тогда при отображении
gf: BG -* BG расслоение р переходит в себя, т.е. по теореме 1 отображение
gf гомотопно тождественному отображению. Аналогично, отображение fg:
B'G -*¦ B'G тоже гомотопно тождественному отображению.
Расслоение p.* EG -*BG называется универсальным главным G-расслое-
нием, а база BG называется классифицирующим пространством для глав-
главных G-расслоений.
52

Переходя к произвольному слою F с действием группы 6 на нем, мы
получаем классификационные теоремы для локально тривиальных расслое-
расслоений со слоем F и структурной группой G.
§ 2. Точная гомотопическая последовательность
Как показано в теореме § 1, для построения универсального главного
G-расслоения необходимо уметь вычислять гомотопические группы тоталь-
тотального пространства расслоения.
Определение. Отображение р: X-*Yтопологических пространств
удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии, если для любого конеч-
конечного клеточногб пространства Р, любой гомотопии
f: PXI+Y
и любого отображения g&PX{Q)-*Yтакого, что рд0 (х, 0) ж f (x, 0), су-
существует продолжение д: Р X / -*¦ Y, удовлетворяющее соотношению
) = f{x,t), хер. tei. ' A)
Если отображения f и д удовлетворяют условию A), то говорят, что
отображение д накрывает отображение f (относительно р). Таким образом,
аксиома о накрывающей гомотопии утверждает, что если отображение д0
накрывает отображение Пх, 0), то и вся гомотопия f (x, t) накрывается
некоторой гомотопией.
Теорема 1. Пусть р: Е^В — локально тривиальное расслоение. Тогда
оно удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии.
Доказательство. Пусть сначала Е "BXF — тривиальное расслое-
расслоение. Тогда накрывающее отображение д0 может быть задано формулой
goix,0)=(f[x.0),h(x.0)l
Положим
) = if{x,t).h{x,O)).
Получим отображение д. накрывающее гомотопию f. Далее, пусть Ро С/> —
клеточное подпространство и на нем уже задана гомотопия д0: Ро X / ->¦ Е =
= BXF. накрывающая отображение f. Другими словами, накрывающее
отображение задано на подпространстве {Ро X I) U (/> X {0}) С РХ I.
Требуется продолжить отображение д0 до накрывающего отображения д:
PXI ->?. Заметим, что продолжение отображения д0 достаточно построить
на одной клетке 0* X / С р X I.
Ограничение отображения д0 определяет накрывающее отображение
на подмножестве (О* X {0} ) U (S(*~ J) X /), которое имеет вид "стакана",
"дно" которого равно D* X { 0), а "стенки" - это s/*~ '* X /. Декартово
произведение 0*Х /гомеоморфно самому себе таким образом, что при
этом гомеоморфизме множество @*1 Х{0) ) и (S** ~1^ X /) переходит в
"дно"^ X {0} (рис.2). Значит, задача продолжения накрывающего отобра-
отображений д0 с множества (D) X {0 >) U (S()~ J) X /) на все декартово произ-
произведение D i X I эквивалентна задаче продолжения накрывающего отображе-
отображения с множества Dfx {о} на множество D* X I.
Последняя задача уже решена.
Чтобы завершить полностью доказательство, рассмотрим такое мелкое
клеточное разбиение клеточного пространства Р и такое мелкое разбиение
отрезка / на конечное семейство мелких отрезков /*, чтобы при отобра-
53

Рис.2.
жении f произведение клетки, D" пространства Р на отрезок 1к отобража-
отображалось в одну карту расслоения р. Тогда ограничение отображения f на Dn X
X /fc отображает его в одну карту U, а накрытие у — в тотальное пространст-
пространство расслоения р\рхЩ), которое является уже тривиальным расслоением,
т.е. задача сводится к уже рассмотренной ранее. Теорема доказана. ,
Теорема 2. Пусть р: Е-*В - локально тривиальное расслоение, х0 S
6 В, Ко 6P-1 Uo) * F,i' F -+Е - естественное вложение слоя в тотальное
пространство. Тогда существует такой гомоморфизм гомотопических групп
Э:
в, х0) ¦
что последовательность гомоморфизмов
j.t P^
*¦ Я> _ 1 (Г, Уц) > Я> _ 1 \С, Ко) *¦ • ¦ ¦
является точной последовательностью групп.
Доказательство. Под Аг-мерной гомотопической группой
"¦* (X, х0) пространства X с отмеченной точкой х0 € X мы будем понимать
множество гомотопических классов отображений к -мерной сферы Sk с от-
отмеченной точкой 50 (гомотопии рассматриваются в том же классе отобра-
отображений, т.е. таких отображений, при которых точка s0 переходит в точку х0) •
Вместо отображения сферы S* можно рассматривать отображения диска
Dk, граница которого целиком отображается в отмеченную точку х0. Вмес-
Вместо диска О* можно рассматривать Ar-мерный куб /* = / X / X ... X / (Аг раз),
граница которого отображается в точкух0.
Построим отображение Э. Пусть <р: 1к -*В — представитель элемента
группы гтк(В,х0). Представим куб /* в виде произведения /* = lk~l X /.
Поскольку граница Ык отображается целиком в точку х0, то, в частности.
Будем считать, что <р есть гомотопия отображения куба 1к~х. Пусть
ф {и, 0) = уо,и 6 1к~1. Значит, отображение ф{и, 0) накрывает отображе-
отображение tp {и, 0), В силу аксиомы о накрывающей гомотопии отображение ф.
может быть продолжено на /*~! X /, причем ф(и, t) будет накрывать
\р (и, t). В частности, при tш 1 отображение ф(и, 1) накрывает \р (и, 1) = х0.
Это значит, что отображение ф[и, 1): /
к-1
ik-
куб. /* ' в слой F. При этом, поскольку \р (Ъг
на самом деле отображает
~ * X /) = х0, то накрытие ф
р
можно выбрать таким образом, что ф (Ык~1 X 1) = Уо- Значит, ф(и, 1)
отображает куб /*~' в слой F, а его границу Ып~ ! в отмеченную точку
54

Ко, т.е. отображение ф(и, 1) представляет некоторый элемент группы
я*- 1 №. Ко)- Требуется проверить корректность данного определения, т.е.
что если >р и <р' — гомотопные отображения, то соответствующие накрываю-
накрывающие отображения ^и ф' тоже гомотопны. Конструкция гомотопии Фмежду
отображениями ^и ф'точно такая же: гомотопия встроится как накры-
накрывающее отображение для гомотопии Ф между ipuip'. Таким образом, соот-
соответствие <р-+ф корректно задает отображение д:ггк (Я, х0) -»чгк_1 {F. у0).
Доказательство аддитивности мы опускаем.
Итак, нам остается доказать точность последовательности B), т.е. что
ядро последующего гомоморфизма совпадает с образом предыдущего.
Проверку точности последовательности проведем в три этапа.
Точность в члене w*(?, /о)- Если <p:Sk-*-F представляет элемент из
группы nk{F, Ко), то отображение pi\p: Sk -* В представляет образ этого
элемента при гомоморфизме р«/,. Поскольку p{F) = х0,то pf<p(Sk) = 'x0.
Значит, Im/. С Кет р.. Обратно, пусть ip:Sk^-E — такое отображение, что
отображение р\р гомотопно постоянному отображению (т.е. [<p]'G Kerp.).
Если Ф — гомотопия между отображением р\р и постоянным отображением,
то в силу аксиомы о накрывающей гомотопии существует гомотопия Л,
накрывающая гомотопию Ф, между отображением <рм некоторым отображе-
отображением <р, накрывающим постоянное отображение. Таким образом, получа-
получаем, что pip'(Sk) = x0, т.е. >р'(S*) С F. Значит, элемент, представляемый
отображением <р', принадлежит образу Im/,, [>р] E Im/,, т.е. Ker p, Clm/,.
Точность в члене я* {В, х0). Пусть \р: 1к -* Е представляет элемент груп-
группы »*(?, Уо>- Тогда композиция р/р: 1к - tk~1 X / -»¦ В накрывается
отображением tp. По определению ограничение ip (о, 1): /*-J -> F С ? пред-
представляет элемент Э [pv?I - Поскольку <р {и, 1) = у0. то Ър, fo>l = 0.
Пусть отображение \р: I - Г X / -»¦ В представляет элемент группы
я* (В, х0), отображение ф:1к~х X /-»¦ ? накрывает отображение tp. огра-
ограничение ф{ц, 1) представляет элемент dfc>]. Если отображение ф(и, 1):
/*~l -*F гомотопно постоянному отображению, то существует гомотопия
ф': lk-1Xt-*F между отображением ф{и, 1) и постоянным отображе-
н ием. Составим новое отображение ф": /*~1Х/-*?,
/iu,2t), 0<f
Тогда
0<f<1/2.
Значит, отображениерф" гомотопно отображению у, т.е.р,[^"] = 1р] .или
Kerdeimp,.
Точность в члене trk{F,y0). Пусть отображение <р: /t+1 »/ X/ -»¦ fl
представляет элемент группы jrfc+!(fl,x0), отображение ф: /* X / -* ? нак-
накрывает отображение <а ограничение ^ ((/; 1) представляет элемент Э {[<р]) €
ef*<^Ко)- Тогда элемент /,Э(М) представлен отображением ф(и. 1),
которое гомотопно постоянному отображению ф {и, 0), т.е. /, d (lv>]) - 0.
Обратно,если <р: /* X /-> ? — гомотопия между <р\и, 1) CF и постоянным
отображением <р{и, 0), то по определению отображение \р (и, 1) представля-
представляет элемент Э ([р<р] )• Значит, Кег/, С Im d. Теорема 2 полностью доказана.
Замечание. Если через я0 (X, х0) обозначить множество компонент
линейной связности пространства X с отмеченным элементом [х0] — ком-
55

понентой линейной связности, содержащей точку х0 — то точную последо-
последовательность B) можно продолжить:
Эта последовательность точна в том смысле, что образ предыдущего отобра-
отображения совпадает с прообразом отмеченного элемента при последующем
отображении.
Примеры. 1. Рассмотрим накрытие Л1 -*Sl, слоем которого являет-
является дискретное пространство Z целых чисел. Точная гомотопическая после-
последовательность
имеет следующий конкретный вид:
. . . ->O-»-O-»4r*(S1)-*O-». . .-> О-*¦<)-•¦ я, ($M->-Z-»<)-»¦ 0,
поскольку я* (R1) = 0, к > 0, лк (Z) = 0, к > 1. Поэтому я, (S1) = Z, ffk(Sx) =
= 0при*>1.
2. Рассмотрим расслоение Хопфаp:S? -*¦ S2 со слоемS1. Точная гомото-
гомотопическая последовательность
. . . -мг, (S
-Mr» IS1)-**
имеет следующий конкретный вид: .
-+ 0-»-Z -*я3 (S2)-*0-*0-»-я2 (S2) -»Z-+ 0-*О,
поскольку жг (S1) = тг2 (S1) = я2 (S3) = я, (S3) = я, (S2) =0. Значит, я2 (S2) -
= ffi (S1) = Z, w3(S2) = Z. ПространствоS2 дает простейший пример, когда
имеются нетривиальные гомотопические группы, размерность которых
больше размерности пространства.
Отметим также, что образующая группы я3E2) = Z представляется
самим расслоением Хопфа р: S* -*S2. В самом деле, из точной последова-
последовательности следует, что образующая группа я3 (S3) отображается в образую-
образующую группы я3 E2) при гомоморфизме р.. Поскольку образующая группы
Tj (S3) представляется тождественным отображением «р:^3-*^3, тор» Ы =
[] []
[р<р] [р]
3. В общем случае имеем вещественное расслоение Хопфе S" -*¦ RP со
слоем Z2 и комплексное расслоение Хопфа S2" ~ * ->СЯ" со слоем S1. Из
. точных гомотопических последовательностей получаем при л > 2:
Значит.»*(R/»") = 0. 2<Аг<л-1. Еслил = 1,то RPk=S1.
В комплексном случае имеем
v2 (S2n ~ ') = 0 ->¦ я2 (С/»п) - я, (S1) = Z -»¦ я, (S2""!) = 0 •* я, (С/>")
->»о №')¦-> 0.
я, (<:/»") = о, я2(ся") = г,
2" М п->як_, «s1) = о
при 2о - 1 > к > 2. Значит, при 3 <к < 2л - 1 имеем пк {СР") = 0.
56

4.Рассмотрим естественное вложение матричных групп/: О(л)-*О(л + 1).
Как было показано в предыдущей главе, вложение / задает слой расслоения р.
О (л + 1) -*S ". Поэтому имеется точная гомотопическая последовательность
Если к + 1 <л, лл.к<п-2, тояк@(л)) * я*(О(л + 1)). Следовательно,
яг*(О(/г + 2))*7Гк(О(/г + 3))««jrk(O(/V)) для N>k + 2. Это свойство назы-
называется свойством стабилизации гомотопических групп серии ортогональ-
ортогональных групп. В частности, при к = 1 получаем следующий список:
Линейная компонента связности группы 0C) есть группа S0C). Группу
же S0C) отождествим с проективным пространством RP3 следующим
образом, всякое ортогональное преобразование A S SO C) есть поворот
трехмерного пространства R3 вокруг некоторой оси / на некоторый угол
со. Направление поворота вместе с его величиной, можно задать вектором
со € /, длина которого равна о>, 0< со < я. Поскольку повороты на углы я и
-п задают одно и то же преобразование пространства R3, то множество всех
поворотов отождествляется с диском D3 радиуса я, на границе которого
противоположные точки отождествляются. Таким образом, если диск D3
считать частью сферы S3, то отождествление противоположных точек на
границе Согласуется с отождествлением противоположных точек на сфере.
Значит,после описанного отождествления мы получаем проективное
пространство Й/>3. Таким образом, для вычисления группы п1 (О(л))
достаточно вычислить группу jti (RP3)*Z2. Значит, я, (О(л)) = Z2 при
п> 3. Более того, вложение/: О B) -»¦ О C) ведет себя следующим образом:
точна последовательность
Z = ffl @B)) - *, (О C)) = Z2 -> 0.
Значит, гомоморфизм
/.: я, @B))^ яа @C))
является эпиморфизмом группы Z на группу Z2.
5. Рассмотрим естественное вложение матричных групп /: U (л) -*
-*U (л + 1) .соответствующее вложению слоя в расслоении р: U (л + 1) -*
-+S2" + *. Из точной гомотопической последовательности
следует, что при к<2п имеет место изоморфизм
Значит, полагая к ¦ 1, получаем, что
ffi(UA)) = Wl(UB)) = . . . =я,Ш(л)).
Поскольку Uit) -S1. то w, (UA)) =Z, тл. я, @(л)) «гдля любого
номерал. Полагая к = 2, получаем, чтоя2 (U B)) » я2 (UC)) = . . . = (U (л)).
Более того, для п = 1 точная гомотопическая последовательность имеет вид
3
или
т.е. я2 (U B)) - 0. Значит, я2 (U(n)> ~ 0 для любого номера л.

Вычислим теперь группы я3(и(/?)). При л > 2 имеем Я3ШB)) =
=¦ я3 (U (л)). Группа UB) имеет подгруппу SU B) всех унитарных матриц
с единичным детерминантом. Отображение р: UB) -*Sl С С1, сопоставляю-
сопоставляющее унитарной матрице ее детерминант, является локально тривиальным
расслоением со слоем SUB). Таким образом, в точной гомотопической
последовательности
крайние члены равны нулю, так что я3 (SU B)) = я3 (UB)). Матриц»
Ict 0 У ¦
п из группы SU B) задаются соотношениями I а I2 + 10 I2 = 1, IУ l*i +
Уб II
+18 I2 ¦ 1, огу+/35= 0. о5 — ру ¦ 1. Поэтому коэффициенты % 8 однознач-
однозначно восстанавливаются с помощью коэффициентов а и 0. Значит, группа
SU B) гомеоморфна трехмерной сфере SJ е С2, а поэтому я3 (SU B)). ¦ Z.
Таким образом,
{0, Я-1.
\Z, л>2.
6. Аналогично двум предыдущим примерам рассмотрим расслоение р:
Sp (л) -*S*n~l со слоем Sp (л — 1), где Sp (л) — группа симплектических
преобразований л-мерного кватернионного пространства К", которые
одновременно являются ортогональными преобразованиями. Каждая
матрица из группы Sp (л) состоит из столбцов, образующих ортонормиро-
ванный симплектический базис пространства К" = R4". Отображение р
сопоставляет матрице ее первый столбец. Точная гомотопическая последо-
последовательность
дает нам следующую таблицу изоморфизмов:
wfc<SpM) = Wfc<Sp(n-1)) при к<Ап-2.
Hi (Sp(n)) = *, (Sp (I)) = я, (S3) - 0.
rr2 (Spin)) = я2 (SpA)) = Кг &) ш 0,
ffj (Spin)) = яз (SpA)) = я3 E3) - Z.
7. Пусть р.:Ес-+ В а — универсальное главное G-расслоение. Применяя
точную гомотопическую последовательность
подучаем
поскольку Пк IEg) m 0 для всех к>0. Например, если G ¦ S1, то простран-
пространство Bsl можно получить как прямой пределСР°° = \imCP", а пространст-
пространство Es1 — как прямой предел S" - Ijm S2"+!. При этом
Поскольку классификация одномерных векторных комплексных расслое-
58

ний сводится к классификации главных S1-расслоений, одномерные ком-
комплексные векторные расслоения с базой X классифицируются множеством
\Х. СР°°] классов гомотопных отображений пространства X в СЯ~. С дру-
другой стороны, пространство С Я°° является комплексом Эйленберга — Мак-
лейна K(Z, 2), которое классифицирует двумерные целочисленные кого-
мологии пространства X. Значит, множество одномерных комплексных
векторных расслоений изоморфно группе Н2 [X,Z). Рассмотрим гомомор-
гомоморфизм групп
задаваемый формулой(zi,z2)-*-z1z2. Соответствующая операция вектор-
векторных расслоений — это тензорное произведение одномерных расслоений.
Гомоморфизм у порождает отображение классифицирующих пространств
ф: С/^ХС/^ч-С/»",
при котором универсальное расслоение ? переходит в тензорное произведе-
произведение ?1 ® %г универсальных расслоений над сомножителями:
Далее. ffitS1 XS1) - я, (S1) «я, (S1) =• Z«Z, а гомоморфизм *>.:
я, (S1 X S1) -*¦ Я! (S1)» Z задается, очевидно, формулой ^>, (х, у) = х + у.
Следовательно, гомоморфизм ,
ф,: ic2 <СЯ" X С/>") -+ я2 (СЯ")
тоже задается формулой tf/. (х, у) = х + у, где
(х, к) € я2 <СЯ~ X СР~) * я2 <С/>°°) ® я2 (СЯ0").
Поэтому аналогичная формула справедлива для гомоморфизма в гомоло-
гиях
ф,: Н2 (СЯ- X СЯ") •* Н2 (СЯ").
Значит, в когомологиях гомоморфизм
определяется по формуле ф*(х) - (х,х). Таким образом, если f,g: X -*¦
-¦СЯ" - два отображения,« 6 #2(СЯ~, Z)- образующий элемент, fi =,
-'* (t), fc - ^ (fЬ a, »r(aNW2(X,Z), «3-0'*(«)E//>Ur/Z), то отобра-
отображение Л, классифицирующее расслоение ?i®?2, является композицией
отображений
1
X А х X X -?V СЯ" X СЯ- -1 СЯ".
Тогда ti ® %2 »Л* (f), Л*(в) =,«i +в2. Тем самым доказано, что мультипли-
мультипликативная структура в множестве одномерных комплексных расслоений
совпадает с аддитивной структурой в двумерной группе Н2 [X, Z) когомо-
логий пространствах с целочисленными коэффициентами.
§ 3. Конструкции классифицирующих пространств
В этом параграфе мы выясним, существует ли универсальное главное
G-расслоение pG: FG -> flG.
Имеются по крайней мере две геометрические конструкции Универсаль-
Универсального G-расслоения. Задача заключается в том, чтобы для группы G постро-
построить стягиваемое пространство EG со свободным действием группы 6.
59

Пусть сначала G*=U(n). Рассмотрим группу 11(Л/ + л) и ее подгруппу
11 О Н
И, X 6 U(/V). Будем считать, что
О XII
группа U (л) тоже вложена в группу ЩЛ/+л) как подгруппа матриц вида
IV О II
У, Уе U (л). Тогда подгруппы U(n) и U(/V) коммутируют и, значит,
О 1 И
группа U (л) действует с помощью левых сдвигов на однородном
пространстве левых классов смежности U(/V + j?)/U(/V). Это действие
свободно, и факторпространство гомеоморфно однородному пространству
U(/V+n)/(U(AI) «Щл)) левых классов смежности по подгруппе U(/V) ®
ф U (л). Таким образом, получаем главное U (л) -расслоение
U (N + n)/U (/V) A U (Л/ + л)/(и (/V) Ф U (л)).
Нетрудно убедиться, что тотальное пространство этого расслоения гомео-
гомеоморфно комплексному многообразию Штифеля VN+n „,а база гомеоморф-
на комплексному многообразую Грассмана вм+пп. Рассмотрим вложение
/:1МЛ/ + л) ->и(Л/+л + 1) с помощью соответствия
т-*\Т
Тогда подгруппа U(/V) вкладывается в подгруппу U (/V+ 1):
о
х\
1 0
0 0 1
100
0 0 1
причем подгруппа 11(л) переходит в себя при указанном вложении. Значит,
вложение/порождает вложение главных U (л)-расслоений
или
V
Ж+в,п
I
Обозначим через V«n прямой предел W
предел 1]пд Gaa+„, „, а через
n.n, через G»,n - прямой
— соответствующее отображение. Это отображение является главным
U (л) -расслоением. В самом деле, достаточно усмотреть, что отображениер:
1Л»>П ->GM>n является локально тривиальным расслоением. Заметим, что
по определению прямого предела множества UCС, „ называется открытым,
если пересечение U Пвлг+п, „ открыто в Gn+п, п лпя любого /V. Поэтому
60

достаточно для каждой точки* € б», п найти открытую окрестность U, для
которой р'1 Щ) эквивариантно гомеоморфно декартову произведению
UX\J{n). Пусть/Vo - такой номер, чтохе блго+п>„, иПлг0С(?ЛГ +„,„-
такое открытое множество, что р'1 (Плго) гомеоморфно SlN<i X U Ы
Пусть х € Я'лг,, С Йлг0 С Плг0- меньшая окрестность. Очевидно .что найдет-
найдется такая окрестность_$2лгв +1 С GNt +„ + !,„, Йлг0 С Плг0 +1 .чтогомеомор-
.чтогомеоморфизм р'1 (SI'n0 ) -*¦ Sl'ff0 X U (л) продолжается до гомеоморфизма
р'1 {Slffe +1) -r Sljvt +1 X U (л). ' Повторяя конструкцию продолжения
гомеоморфизма, мы получим последовательность множеств S2jve + k С
cGjv0 + *+n#n. открытых в GN +k+n,n,&N, + *Cfiive + *+i, в систему
гомеоморфизмов р №лгф + к)~* *itf9 + цХи(л), продолжающих друг дру-
друга. Пусть, наконец, U = USlpfo + k. Тогда U — открытое множество,х6U.
а множество р'1 (U) гомеоморфно декартову произведению U X U (л), что
и требовалось доказать.
Покажем, что гомотопические группы vk(V^n) тривиальны. Рассмот-
Рассмотрим расслоение U(/V+ л) ->• ^лг+„,„ со слоем U(/V). Вложение у: U(/V) ->•
-* U(A/+ л) слоя U (Л/) в тотальное пространство U(/V + л) индуцирует изо-
изоморфизм гомотопических групп для к < 2/V (см. пример 5 предыдущего
параграфа). Значит, из точной гомотопической последовательности
получаем, что irk(Vf/+n,n) ~ 0 Яля всех к < 2/V- Поскольку ff/t(H-iff)
= Птяк(Илг+„,„), то я*(Ив1„)-0 для любого*.
Таким образом, мы показали, что в случае группы G = U (л) существует
универсальное главное U (л) -расслоение, именно, р: У„ t „ ¦-»• б,» „.
Пусть теперь GCUW - замкнутая подгруппа. Поскольку для группы
U (л) существует универсальное главное U(п) -расслоение р: V^ t п ¦* 6Ж t „,
то группа U (п) свободно действует на пространстве Vm п. Значит, подгруп-
подгруппа G тоже действует на этом же пространстве Vm<n, причем это действие
тоже свободно. Пусть BG - V^nIG - пространство орбит действия под-
подгруппы G. Отображение
Pg- V-,n^BG
является локально тривиальным главным G-расслоением. В семом деле,
пусть / € BG, х € Vx п, [х]а = // где [х]с - орбита действия группы G.
Поскольку отображение р: \/ж п -*¦ б» „ является локально тривиальным
расслоением, то существует такая эквивариантная окрестность W точ-
точки х. что
Тогда открытое множество \J(n)/G X Wo, лежащее в пространстве BG,
содержит точку у. а ограничение отображения pG на подмножество W:
pG\W: W
является локально тривиальным главным G-расслоением (см. § 6 главы 1,
пример 4). Значит, все отображение pG является локально тривиальным
расслоением.
61

' Следует заметить, что если подгруппа Н CG является деформационным
ретрактом группы G (т.е. группа G стягивается по себе к подгруппе И, или,
что то же самое, вложение Н -+G индуцирует изоморфизм гомотопических
групп), то соответствующие классифицирующие пространства BG и Вн
(слабо) гомотопически эквивалентны ). 8 самом деле, рассмотрим ком-
коммутативную диаграмму, составленную из двух точных гомотопических по-
последовательностей для расслоений и их отображений:
ЕИ "^
И)
Этэ диаграмма имеет следующий вид:
1 Г Г I
—Лд(С) —*- л„(Бв)—• я^иу —•- ftft.](ff> —*" [2)
Поскольку itk[Eff) = vk(Ec) - 0 для всех к, а отображение Jr*_i(W) ¦+
"* ff*-i^) является изоморфизмом, то и отображение пк(Вн) -*-пк{Вс)
тоже является изоморфизмом. Из этой же диаграммы следует, что если
известно, что существует универсальное расслоение рн: Ен -*¦ Вн для под-
подгруппы Н CG и Н является деформационным ретрактом группы G, то су-
существует универсальное расслоение и для группы G. Для этого положим
&G - &н> а Eg построим как расслоение, ассоциированное с расслоением
рн, но с новым слоем G. Очевидно, что полученное расслоениеpG: Eg -*Bg
будет главным б-ресслоением, поскольку функции склейки принимают
свои значения в группе гомеоморфизмов, являющихся левыми сдвигами
группы G по себе. Очевидно также, что для этих расслоений существует
диаграмма вида A). Из диаграммы точных последовательностей B) выте-
вытекает, что irk {Bff) * JTfc_,(W) (поскольку vk{EH) = 0). Далее, по условию
Wjt_, (G) « vk_, [Н). По построению пк(Вн) = пк{Во) ¦ Значит, отображение
¦пк{Bq) -*-пк_!(G) является изоморфизмом,а поэтому vk(Eg) = 0. Послед-
Последнее равенство означает, что построенное главное б-расслоение является уни-
универсальным.
Из всех приведенных выше соображений следует, что для любой конеч-
конечномерной матричной группы Ли G существует универсальное G-расслоение.
В самом деле, для всякой матричной группы G ее максимальная ком-
компактная подгруппа К CG является ее деформационным ретрактом, а вся-
всякая компактная группа Ли К изоморфна подгруппе К' в унитарной группе,
т.е. K'CUiN).
Существует другая конструкция универсального расслоения, имеющая
более общий характер и применимая к произвольным топологическим
группам. Смысл этой конструкции заключается в том, чтобы, отправляясь
от простейшего главного G-расслоения, переходить к другим главным
G-расслоениям, у которых все больше и больше гомотопических, групп
тотального пространства становятся тривиальными. Начнем с расслоения
*) Это значит, что отображение Bfj — Bo индуцирует изоморфизм всех гомотопи-
гомотопических групп.
62

G -*¦ pt с одноточечной базой. Тотальное пространство этого расслоения
состоит из одной орбиты G. Вообще говоря, яо(<3) Ф 0, т.е. группа G имеет
много компонент линейной связности. Чтобы избавиться от группы тг0»
следует присоединить к G систему путей, соединяющих каждую пару (раз-
(различных) точек, и продолжить действие группы G на это новое пространство.
Удобнее всего рассмотреть два экземпляра группы 6 и систему отрезков,
соединяющих произвольную точку одного экземпляра группы G с произ-
произвольной точкой другого экземпляра группы 6. Полученное пространство
называется соединением двух экземпляров 6 и обозначается через G * G.
Каждая точка соединения G * G определяется набором (<х0, Въ, «i. 9\).
9o>9i e G, 0<o0,Oi<1, о0 + Oi » 1. При этом считаем, что если Oq = О,
то при произвольном д0 задается одна и та же точка. Аналогично, при о, = О
и произвольном 0i задается одна и та же точка. Действие группы G на сое-
соединении G • б определяется формулой
too,go.cti,gl)-*iao,hgo,al,hgi). Лев. C)
Аналогично, соединение к + 1 экземпляра группы G обозначается через
G • G • ... • G {к + 1 раз), D)
а элемент из соединения G * G • ... • G задается набором (ao,ffo><Xii9i> •••
• • •. а*.9к), где д0, ¦ • • ,9к - произвольные элементы группы G, а (а0,...
..., orfc) — барицентрические координаты точки в /с-мерном симплексе, т.е.
О < at/ < 1, Oq+oi + ... + at;t = 1. Используя вложение симплекса меньшей
размерности в симплекс большей размерности, получаем вложение
соединений
G * ... * G С б* ... *G,
раз fc+2 раз
при котором набору (а0, $0. «i. 91, • • ¦. «*. 9к) сопоставляется набор (а<>,
9о> «I. 01» • • •' ак. 9к> О, Л), где Л - произвольный элемент группы G.
Действие группы G на соединении D) задается формулой, аналогичной
формуле C) :
Покажем, что у пространства G • ... • G (к + 1 раз) тривиальны гомотопи-
гомотопические группы вплоть до размерности к - 1. Заметим, что соединение двух
пространств X • У можно заменить на гомотопически эквивалентное ему
пространство вида SIZ), где S(Z) - надстройка над пространством Z.
8 самом деле, соединение X • У является объединением ((СХ) X У) U
U (X X CY), где СХ, СУ — конусы с основанием X, У. Это объединение мож- .
но преобразовать в объединение
Х»У-= Ц(СХ)Х У)иСУ}и {iXX{CY))VCX}"PiUP2.
где
/>! - (СХX У) U CY, Р2=(ХХ (CY)) U СХ.
Каждое из пространств Я, и Р, стягиваемо, а их пересечение^ ПРг равно
Рз ¦ (X X У) UCX U СУ. Поэтому пространства Р| и />j гомотопически
эквивалентны конусу СР3, а их объединение - надстройке над /»3.
Отсюда следует, что пространство G* ... • G (* + 1 раз) гомотопически
эквивалентно Ar-кратной надстройке над некоторым пространством. Нетруд-
Нетрудно проверить, что jtoF • ...» G) - jt,(G •".-.. • G) - 0. Значит, по теореме
Гуревича первая нетривиальная гомотопическая группа изоморфна первой
' «3

нетривиальной группе гомологии. Поскольку у Аг-кратной надстройки груп-
группы гомологии до размерности * — 1 равны нулю, то и группы гомотопий
тоже равны нулю до размерности * — 1.
Итак, прямой предел
С, = lim (G • ... • G)
Граз '
является тотальным пространством универсального главного G-расслоения,
поскольку JTfc(G«J ¦ 0.
П римеры. 1. Для векторных л-мерных расслоений структурной груп-
группой может служить группа О (л). Соответствующее классифицирующее
пространство ВО (л) можно построить, используя вложение О (л) С1)(п).
Повторяя же конструкцию грассмановых многообразий, приведенную в
начале параграфа для группы 11(л), получим, что пространство ВО (л) гомо-
топически эквивалентно прямому пределу вещественных грассмановых
многообразий:
BO(fl)-limGAri.n,n = Gw, „.
2. Пусть EU (л) ¦+ ВЩл) - универсальное главное U (л)-расслоение,
Тогда ВО (л)-EU (л)/О (л) и, значит, существует отображение
с: ВО(л) ^ В1Мл),
которое является локально тривиальным расслоением со слоем U (л) /О (л).
Операция комплексификации векторных расслоений соответствует пера-
ходу от отображения базы X в пространство ВО (л) к отображению в прост-
В С
ранство BU(n) с помощью композиции с отображением с. Пусть ?„, |„ —
векторные расслоения, ассоциированные с универсальными главными рас-
лоениями над базами ВО (л) и BU (л). Тогда можно написать следующие
формальные равенства: если f: Х-+ВО[п), | = f* (fcj?), то
3. С помощью отображения с из предыдущего примера можно решить,
например, такую задачу: описать все вещественные векторные расслоения,
комплексификация которых тривиальна. Это те расслоения, которые со-
соответствуют отображениям, лежащим в ядра,
с
[х,во(/»н л [х,виш. (б)
где через [,] обозначено множество классов гомотопных отображений.
Если Л Х-+ВСЦп) лежит в ядре отображения E), то отображение cf
гомотопно постоянному отображению. Поскольку отображение с является
локально тривиальным расслоением, то, считая X клеточным пространст-
пространством, мы можем применить аксиому о накрывающей гомотопий и заменить
отображение f на гомотопное отображение в слой и(л)/О(л). Таким об-
образом, множество векторных расслоений, комплексификация которых
тривиальна, изоморфно образу отображения
IX, и(л)/О(л)] -•> [X, ВО(л)].
Какому геометрическому объекту соответствует множество классов
гомотопных отображений [X,U{n)/O{n)]7 Это множество больше, чем его
образ в множестве [X, ВО (п) ]. Нетрудно догадаться, что каждое отобра-
отображение f: Х-*Щп)/0{п) задает не только векторное расслоение %, комп-
64

лексификация eg которого тривиальна, но задает еще и специальную три-
виализацию расслоения eg. Покажем это. Отображение Щп) -+и(л)/О(л)
является главным'О (я) -расслоением. Поэтому каждое отображение
f: X-»-U(n)/O(n)
индуцирует некоторое главное О (л) -расслоение над базой X. а значит, и
эквивариантное отображение тотальных пространств
с »-ии
1.1
Пусть eg - тотальное пространство главного U (л)-расслоения - комп-
лексификации расслоения g. Пространство g лежит в пространстве eg,
причем вложение g С eg эквивариантно относительно правых действий
группы О(л) в пространстве g и группы Щл) в пространстве с|. Поэтому
отображение. д\ |-»и(л) однозначно продолжается до эквивариантного
отображения д: с|->и(л), что и задает тривиализацию расслоения с|. Го-
Гомотопным отображениям пространства X в пространство'U (л)/О (л) соот-
соответствует расслоение % над декартовым произведением XX/ пространства
X на единичный отрезок / и тривиализация расслоения с|. Поскольку огра-
ограничения расслоения %¦ на сомножители X X {t} изоморфны, то можно счи-
считать, что гомотопным отображениям fx и f2 пространства X в пространство
Шл)/О(л) соответствуют изоморфные расслоения ?, и |2, у которых три-
виализации их комплексификаций c|j и с% j гомотопны.
Обратно, пусть над базой X заданы расслоение % и тривиализация его
комплексификаций eg. Поскольку расслоение eg тривиально, то каждая
его тривиализация задается эквивариантным отображением
Щп)
I ¦ ¦ pt <=BD(a)
Тотальное пространство g главного О (л)-расслоения лежит в тотальном
пространстве eg. Поэтому ограничение
дЧ Ig: g-"U(n)CEUH
является эквивариантным относительно правого действия группы О (л).
Получаем коммутативную диаграмму . .
В0(л)
65

Отображение f: X -*¦ \J(n) /О (л), индуцированное отображением д, порож-
порождает расслоение % и тривиализацйю д расслоения eg.
Таким образом, множество классов гомотопных отображений
[X. U(А)/О(л)] интерпретируется как множество эквивалентных пар
(!. у)« где % — вещественное векторное расслоение над базой X, у — изо-
изоморфизм расслоения с? с тривиальным расслоением. Пары (?i, v>i) и
(la.» <Ра) считаются эквивалентными, если расслоения li и |2 изоморфны,
а изоморфизмы <pi и <р2 гомотопны в классе изоморфизмов.
§ 4. Характеристические классы
В предыдущих параграфах было показано, что всякое расслоение, вообще
говоря, можно получить как прообраз универсального расслоения при не-
некотором непрерывном отображении базы. Значит, в частности, векторные
расслоения полностью характеризуются классами гомотопных непрерыв-
непрерывных отображений пространства X в классифицирующее пространство ВО (л)
(или BU (л) для комплексных расслоений). Однако описывать и, в частное-
ти, различать негомотопные отображения пространства X в пространство
ВО (л) технически сложно. Обычно исследуют некоторые инварианты век-
торных расслоений, которые выражаются в терминах групп гомологии и
когомологий пространства Х-
Говоря точнее, характеристическим классом о векторных расслоений
называется соответствие, которое каждому л-мерному векторному рас-
расслоению % над базой X ставит в соответствие некоторый класс а(?) кого-
когомологий Н*{Х) пространства X (с фиксированной группой коэффициен-
коэффициентов) . Требуется, чтобы выполнялось следующее свойство функториаль-
ности: если f: X -*¦ Y — непрерывное отображение, ц - л-мерное векторное
расслоение над базой Y, % =f*{f)) — векторное расслоение над базой X, то
(D
где в равенстве A) под f понимается естественный гомоморфизм групп
когомологий
f: H
Имеется надежда, что, зная группы когомологий пространства X и зна-
значения всех характеристических классов для данного векторного расслоения
%, можно полностью определить расслоение %, т.е. отличить его от других
векторных расслоений над данной базой X. Хотя эта надежда в общем
случае не оправдывается, но тем не менее использование характеристичес-
характеристических классов для описания векторных расслоений является самым распрост-
распространенным инструментом в топологии, приводящим во многих задачах к
окончательным результатам.
Перейдем теперь к выяснению свойств характеристических классов.
-Теорема 1. Множество всех характеристических классов п-мерных
векторных вещественных (комплексных) расслоений находится во взаим-
взаимно однозначном соответствии с кольцом когомологий //*(ВО(л)) (соот-
(соответственно H*(BU(n))).
Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно
из определения характеристических классов и существования универсаль-
универсального расслоения \„ над классифицирующим пространством ВО (л). В самом
деле, если о — характеристический класс, то поставим ему в соответствие
класс когомологий а(|„) Е Н*(ВО (л)). Обратно, если х € Н *(В0 (л)) -
произвольный класс когомологий, то ему соответствует характеристичес-
66

кий класс о, который определяется формулой: если f: X-+BO{n) —такое
непрерывное отображение, что % = f* (?„), то
•(*). B)
Очевидно, соответствие % -* а{|), задаваемое формулой B), является ха-
характеристическим классом, поскольку, если д: X -*¦ Y — непрерывное ото-
отображение, % = д*(ц). т? = Л*(In) i п: Y "* ВО (л) - непрерывное отобра-
отображение, то
а(|) =а((Л»>* <Ы> = Ш" (х) =«*(Л*(х)) =$Ча(Л*($„))) =$*(а(ч))..
Если f: ВО (л) -+ВО(л) - тождественное отображение, то a(?n) = f*(x) =х.
Значит, характеристическому классу а соответствует класс когбмологий х.
Теорема 1 доказана.
Характеристические классы определены на множестве л-мерных вектор-
векторных расслоений с фиксированной размерностью л. Чтобы задать характе-
характеристический класс на множестве всех векторных расслоений сразу, необхо-
необходимо, очевидно, задать последовательность характеристических классов
{at, а2,. ¦.. а„,...}, каждый из которых принимает значение на расслое-
расслоениях своей размерности п. Такая последовательность тоже будет называть-
называться характеристическим классом.
Определение. Характеристический класс a ={ at, oj,..., а„,...}
называется стабильным, если выполнено условие 4
are+i(!®1) =<*„(!>. сНт$ = л, C)
для любого л-мерного векторного расслоения |.
Согласно теореме 1 можно считать, что <х„ € Н*(ВО(л)). Пусть ip: ВО(л) -*
•* ВО(л +1) - непрерывное отображение, для которого <р* (|„+1) - %„ ® 1.
Отображение $ соответствует стандартному вложению группы О (л) С
С О(л + 1). Тогда условие C) эквивалентно равенству
/(а„ + 1)=а„. D)
Рассмотрим последовательность отображений
и прямой предел
ВО = Mm ВО(л). E)
Положим
• ' F)
Тогда условие D) означает, что множество стабильных характеристических
классов находится во взаимно однозначном соответствии с кольцом кого-
мологий М*(ВО) пространства ВО. Рассмотрим теперь случай целочислен-
целочисленных когомологий.
Теорема 2. Кольцо целочисленных когомологий H*_(B\J(n); Z) изо-
изоморфно кольцу многочленов с целыми коэффициентами Z[cltcif... ,с„\,
где ск е Н2к (ви(л); Z). Образующиеся, сг,..., с „можно выбрать таким
образом, чтобы
а) при естественном отображении у: В11(л) ->BU(n + 1) выполнялись
соотношения
/cfc, * = 1,2 п, /(cfc + i) = 0; G)
67

б) для прямой суммы расслоений выполнялись соотношения
2
(8)
Условие G) означает, что последовательность {0,...,0,ск,ск,...,ск,...}
образует стабильный характеристический класс, обозначаемый снова чераз
ск. Это обозначение употреблено в формуле (8). Если dim { < к, то с*({) =
- О согласно формуле G) .¦ Формулу (8) можно записать более простым
способом. Положим
с»1 +Ci +са +с3 +. ..+ck + ... . ' . (9)
Значение формального ряда (9) имеет смысл для любого векторного рас-
расслоения %. поскольку отлично от нуля только конечное число слагаемых:
с{%) = 1 +Ci(?) + Cj (?)+... +ck(J), dim{ = /r. A0)
Поэтому из формулы (8) следует, что
Обратно, чтобы получить соотношения (8) из формулы A1), следует при-
приравнять в левой и правой частях формулы A1) однородные компоненты
одинаковой размерности.
Перейдем к доказательству теоремы 2. Основой вычисления когомоло-
гий пространств В11(л) является метод спектральных последовательностей
для расслоений.
Прежде всего заметим, что с помощью спектральных последовательнос-
последовательностей удается полностью вычислить когомологии унитарных групп U(n).
В самом деле, поскольку Н°ASn) =Z, Hn(Sn) = Z, Hk{Sn) °°0при*#0,
к Ф п, то кольцо когомологии H'iS") - Ф Нк&п) - H°(Sn)* Hn(Sn)
к
является свободной внешней алгеброй над кольцом целых чисел Z с одной
образующей а„ € Hn(Sn). Выбор образующей ап неоднозначен: вместо
элемента а„ можно взять элемент (—д„). Мы будем записывать кольцо
когомологии сферы 5" следующим образом: W*E") ¦ Л(ал).
1
S
%¦
р
Рис.3.

щ
1
ем
Р
Рис.4.
Далее, рассмотрим расслоение U{2) -* S3 со слоем S1. Второй член
спектральной последовательности этого расслоения имеет вид
Р,Я
- H*IS3) ® Н*E1) - Л(в3) ® Л(а,) - Л(а,, а3).
Нетривиальным дифференциал </2 может быть только на образующей
.1 *а, G?2011 ".«•(S'./ZMS1)). причем </2A®e,)€?,2>0-//a(S3,//°(S1))-
=• 0. Таким образом, </2A®в1)ж0, с/2(а3 ® D " 0, </2(а3®а,) =
= </2(вз «1)а, ± «эс/а A • а,) - 0. Значит, дифференциал </* тождественно
равен нулю, поэтому С?'4 =• f ?'*. По тем же причинам </3 ¦ 0 и f?'* B
= ff>9 » fj"'*. Продолжая так и далее, получаем </„ ¦ 0,
Кольцо когомологий //*(UB)) присоединено к кольцу Afa,,^) т.е.в коль-
кольце //*(UB)) имеется фильтрация, последовательные факторгруппы кото-
которой изоморфны однородным слагаемым кольца Л(а1,«3)- В каждой раз-
размерности п ~p + q группы ?^'9отличны от нуля только для одного значе-
значения p. q. Следовательно, /У0 <U«)) - Z, /У1 (UB)) - fi>0, H3 (U<2)) - ?••*,
/V4(UB)) - fi>3. Пусть t/, G /У1 (UB)), u3 € H3 <UB)) - образующие, кото-
которые изоморфны соответственно элементам^ иа3. Поскольку элемент а^з
является образующим элементом в группе ?<i'3, то и ихи3 — образующий
элемент группы Н4 A1B)).
Наши рассуждения удобно иллюстрировать таблицей (рис. 3), в которой
в каждой клетке обозначены образующие нетривиальных групп с/'9.для
фиксированного с-го член» спектральной последовательности.
Для краткости в обозначениях образующих опущен знак тензорного
умножения в. Стрелкой обозначено действие дифференциала ds при * »
= 2,3. В пустых клетках стоят нулевые группы.
Таким образом, Н* (U B))- Л(«/,, и3).

Допустим теперь, что H*(\J[n - 1)) = Л(и,,и3,... ,и2п_ъ),
eH2k~l{\J(n - 1)), 1 <к<*п- 1. Рассмотрим расслоение U(/7) ->S2" со'
слоем U (л - 1). Член Е2 спектральной последовательности имеет вид
• ¦ ¦ .л-З'а2и-i> (рис.4). Первый нетривиальный дифференциал может
быть только d2n-1, но поскольку d2n-\(uk) = О, к - 1, 3 2л - 3, а
любой элемент х € ?0><? разлагается в произведение элементов ик, то
о'г л-1(*) = 0- По аналогичным причинам все последующие дифференциалы
ds тоже равны нулю. Значит,
?'¦«= ... =?;"= ... =E?-q =Hp(S2n-\
Покажем, что и кольцо H*(\J[n)), к которому присоединено кольцо Еж ,
тоже изоморфно внешней алгебре Л(и,, и3, ..., и2„_ъ, и2„^х). Действи-
Действительно, поскольку группа ?„** не имеет кручения, существуют элементы
ft, Из , *2п-з € W*(U(n)), переходящие в и,, и3,..., и2„-3 при вложе-
вложении U(n - 1) CU(n). Поскольку элементы vlfv3. ..., v2n-3 нечетномер-
ны, произведения v\l v\% .. -^п-з3 МОГУТ быть ненулевыми только при
е* = 0, 1. Все эти элементы порождают подгруппу в группе M*(U(n)), ко-
которая изоморфно отображается на группу Н*{Щп - 1)). Элемент a2n-i €
6 fi"~lt0 имеет фильтрацию 2л - 1. Значит, элементы вида iff11^5 ...
- • • "г'я-з3*2л-1 е f-""' °' €* = °-1 - порожД8»1 свободную группу
е!"~ 1>0 и образуют в ней базис. Следовательно, вся группа H*{\J{n)) по-
порождается базисом элементов и,1 и3' ... "гл^з^гл-Т1' €* = ^> 1> T-ei
/Ли(л)) = Л(^, и3,..., *2п-э,*гп-1) ¦
Рассмотрим теперь расслоение EUA) -» BUA) со слоем UA) = S.
Из точной гомотопической последовательности
следует, что ffi(BUA)). Нам неизвестны когомологии базы, но известны
когомологии слоя H'iS1) = Л(и,) и когомологии тотального пространства
//*(EU A)) ¦ 0. Это значит, что у спектральной последовательности данного
расслоения Егр'я = 0, ПЕ?'Я - 0.
Поскольку EjPl<? - Нр (BU A). «"{S1)), то Е,р>* - 0 при </ > 2, т.е. на
) б то у
j** . Поскольку Е%'4
у j
таблице (рис. 5) отличными от нуля будут группы только в двух строках
при q = 0 и q » 1. Более того Е%' «» Е?'° ® u, «fj** . Поскольку Е%'4 ¦ 0
при q > 2, то и E^'q - 0 при q > 2. Значит, дифференциалы d3ld^,... все
равны нулю, т.е.
-р.я
0. Поскольку
1
>
U.G*
>
Рис.5.
70

= H (E%t4, с1г) = О, то дифференци-
ал dt: f j'1 -*¦ f j+2>0 является изо-
изоq<
морфизмом. Обозначим с j{i)
Тогда получим «MBU(D) - 0,
W2(BU(D) = Z с образующей с,
ff*1 « Z Э о/!, </а(«/!) " <?2,
H3(BU(D) - 0, «4(BU(in - Z с
образующей d2(cux) - с2 и т.д.,
«2*-Чви<1)) =.0,W2fc<BU(D) =
с образующей с .
Таким образом, кольцо когомо-
когомологии BUA) изоморфно кольцу р
многочленов с одной двумерной об- Рис> 6-
разующей с: //*(BUA)) = Z[c].
Допустим, что H'(BU(n - 1)) = Z [с,,... < с„_ t]. Рассмотрим расслое-
расслоение BU(л - 1) -*¦BU(n) со слоем U (л) /U (я - 1) = S 2п~ *. Из точной гомото-
гомотопической последовательности устанавливаем, что iri(BU(n)) = 0. На этот раз
известны когомологии слоя S2" и тотального пространства В11(л - 1),
когомологии последнего уже нетривиальны и равны кольцу Z [ct, •. •, с„_ i ].
Поэтому в спектральной последовательности отличными от нуля могут
_/>,0 _/>.2л-1 _р,2л-1 _р,0
быть только члены ?, и ?, , причем Е\ =?2 ®в2п-1 ~
» /yp(BU(n)) в а2„_! (рис. 6). Поэтому единственным нетривиальным диф-
Р.Я
феранциалом может быть только d2n. Значит, Ег' =... = ?.
2га
-Р.Я
•2П+1
-Р.Я
Очевидно, если n=p + q - Нечетное число, то EJ -0. Поэтому d2n:
-0,2га-1 _2га,0
¦2п
?2„' является мономорфизмом. Далее, при
k<2n —
имеет место равенство Ег' ж EJ . Значит, группы ?2„ тривиальны при
,^,_._ ^л -к,2п—1 _*+2га,0
нечетном * < 2л—1. Следовательно, дифференциал d2n: Е2п -*¦ с2„
является мономорфизмом при к < 2л. Этот дифференциал произведет из-
_fc+2n,0 , - -
менения в члене ?2n+i только ,при четных значениях к <2л. Значит, при
нечетных к < 2л получаем f,*2"'0 = 0. Поэтому дифференциал </2я:
ск,гп-1 _*+2п,0 2П ^^ 2П
fc2n ¦* ?2л является мономорфизмом при к < 4л. По индукции
можно показать, что ?2/J° = 0 при любом нечетном *, а дифференциал d2n:
Егп ^?гп "' является мономорфизмом. Следовательно, ?^2"~' =0,
р* + 2п,0 _ _*+2га,0._*,2п-1 _*+2л,0 ¦„ и»,г,,,, -w
?2n+i ~Егп 'Е2п "Е" ' Поскольку кольцо И (Ви(л-1))
не имеет кручения, а в члене Е™ только одна строка отлична от нуля
(q - 0), то и группы ?*+г">0 не имеют кручения, т.е. образ дифференциала
d2n является прямым слагаемым.
Пусть с„ = d2nfc2n_ j). Тогда d2n(*a2n-i) " *<V Таким образом, ото-
отображение
«*(вО<л))-*//*(Ви(п)),
задаваемое формулой х -*с„х, является мономорфизмом на прямое слагае-
слагаемое, а факторкольцо изоморфно кольцу Н*[ВЩп - 1)) = 2 [ct...., с„_ i J.
71

Значит,
//*(BU(n))-Z[c1,...,cll_bCllk
Рассмотрим теперь подгруппу Т" ¦ 11A) X ... X UA) (л раз) как под-
подгруппу унитарной группы 11(л), состоящую из диагональных матриц. Тогда
вложение Т" СЦ(п) индуцирует отображение классифицирующих прост-
пространств
/„: ВТ"-»Ви(я).
Поскольку Т" - UA) X ... X UA) ,то ВТ" = BUA) X ... X BUA) ,a значит.
/yf(BT") -Z[rt,'ts tn). где tk G H а(ВЩ1>> -образующая *-го со-
сомножителя в ВТ". Выясним, как устроено отображение когомологий
1„: Z[cl,...,cn]-+Z[tl,...,tn).
Лемма. Гомоморфизм
j*: Z[ci....,cH]^ZU1 *„],
индуцированный естественным отображением
/„: ВТ»->Ви(я),
является мономорфизмом на прямое слагаемое, состоящее из всех симмет-
симметрических, многочленов от переменных ti tn.
Доказательство. Пусть a: U (л) ¦* U (л) - внутренний автомор-
автоморфизм группы, заключающийся в.перестановке базисных векторов вектор-
векторного пространства, в котором матрицы из U (л) действуют как операторы.
Автоморфизм о переводит диагональные матрицы в диагональные, пере-
переставляя элементы матриц. Другими словами, автоморфизма отображает
подгруппу Т" в себя, переставляя сомножители пространства Т" ¦ 0A) X
X...XUI1I.
Автоморфизм о индуцирует гомеоморфизм пространств ВТ" и BU(n), при-
причем у пространства ВТ" * BU A) X ... X BU A) он переставляет сомно-
сомножители, при этом диаграмма
ВТ" J* » BD(a)
A2)
•Ви(л)
коммутативна. Внутренний автоморфизм о: U(n) -»U(n) гомотопен тождест-
тождественному автоморфизму в классе внутренних автоморфизмов, поскольку
группа и(л) связна. Поэтому отображение о: В11(л) -»>BU(n) гомотопно тож-
тождественному отображению. Таким образом, переходя в диаграмме A2) к
гомоморфизмам в когомологиях, получаем коммутативную диаграмму
ЧВТ")—-=— ГОИКя
или
la* ф la* A3)
Z ^.....fj^Z [<?,,...,с„]
72

Правый гомоморфизм о* тождествен, а левый переставляет переменные
tt,... ,tn. Поэтому образ/,; состоит из симметрических многочленов от пе-
переменных f,,..., fn.
Теперь покажем,что гомоморфизм/?: W*(BU (л)) -»> Н*.{ВТп) является
мономорфизмом на прямое слагаемое. Вложение Т" CU(n) можно пред-
представлять как композицию вложений
т" -.u(i)x...xu(i)c и B) х .umx...xum.c
я pas л— 2 ра»а
СU C) X U A)X .. .X U A).С ...С U (л - 1) X U (DCU (о),
я—'3 раэа .
Поэтому достаточно проверить, что влияние U(Ar)XUA)CU(Ar + 1) инду-
индуцирует в когомологиях мономорфизм непрямое слагаемое
/V4BU(* ¦* 1)) ¦+ /y»(BU(*) X BU(ii).
Рассмотрим расслоение В (U(Ar)X U A))-^BU(* + 1) со слоем Ц(*+1)/
(U (*) X U A)) - СРк. Член Ег спектральной последовательности этого рас-
расслоения имеет следующий вид:
Ei • - /V(BU(* + 1). /V»(C/*)).
Нам важно отметить, что члены ff* 'отличны от нуля только при четных р
и q. Следовательно, дифференциал </2, а затем и дифференциалы d3, dit .
тривиальны, т.е. ?f • *¦ ?Sr*. Все группы ? j?* * не имеют кручения. Значит,
группа ' ¦ -
?#°« Hp (BU (* + 1); Z) С Н* (BU (*) X BU (Г); Z)
является прямым слагаемым.
Итак,гомоморфизм/*: M*(BU (n)) ¦*//* (BU A) X ... X BU A)) являет-
является мономорфизмом на прямое слагаемое, лежащее в подгруппе симмет-
симметрических многочленов степени к от переменных 11, t%,..., i„. Очевидно,
что ранги группы Нк (BU Ш и~ подгруппы симметрических многочленов
степени к от переменных ti,tit...,tn равны. Это значит, что образ
/ * совпадает с подгруппой всех симметрических многочленов. Лемма дока-
Используя лемму, выберем образующиеCi,... ,с„ eW*(BU(n)) как про-
прообразы при гомоморфизме/я элементарных симметрических многочленов
от образующих tlf:.. ,*„ € W<BUA) X ... X BU A)). Тогда условие G)
следует из того, что при гомоморфизме /J5+1 в элемент сп + 1 переходит про-
произведение *i,..., f „+1, а при вложении
BU A)Х...,. X BU (D.C.BU A) X .. .X BU A).
я pas я+1 pa*
элемент fn+1 отображается в нулевой класс когомологий.
Условие (8) непосредственно следует из свойств элементарных симмет-
симметрических многочленов:
e i я я
Тем самым мы полностью завершили доказательство теоремы 2.
Образующие с1( с2,... ,с„, введенные в теореме 2, определяются не
однозначно, а с точностью до выбора знака у образующих f t, . . . , гя Е
С Н* (BU A) X ... X BU A)). При этом элементы с2 к определяются уже од-
73

нозначно, поскольку перемена знака у элементов tk не меняет класс с2*. Вы-
Выбор же знака у элемента c2*+i обычно определяется тем, какой класс
выбирается в качестве характеристического класса расслоения Хопфа над
СЯ1 = S1. Поскольку структура комплексного многообразия на СЯ1 задает
и расслоение Хопфа, и ориентацию многообразия СЯ) то. полагают, что
с, от расслоения Хопфа равен классу когомологий из Н2 {СР1), который на
фундаментальном цикле принимает значение 1.
Характеристические классы ск называются характеристическими клас-
классами Чжвня *). Если X— комплексное аналитическое многообразие, ТХ —
его касательное расслоение, снабженное структурой комплексного вектор-
векторного расслоения, то характеристические классы расслоения ТХ называют
просто характеристическими классами многообразия и пишут ск {X) ш
-ск{ТХ).
П р и м е р 1. Рассмотрим комплексное проективное пространство
СЯ". Как было показано в § 6 главы 1, касательное расслоение ТСРп удов-
удовлетворяет соотношению
) ск ((л 1)
fc=, = (-1)*r
где ? - расслоение Хопфа. Имеем
ск(ТСРп) <=ск {TCP* « 1) =ск ((л + 1) $*)
гдег € Н1 (СЯ")- образующий элемент. Поскольку характеристические
классы касательного расслоения нетривиальны, то и само касательное рас-
расслоение тоже нетривиально.
Мы подробно описали алгебраическую структуру характеристических
классов комплексных расслоений. Доказательство свойств характерис-
характеристических классов основано на некоторых простых геометрических свойст-
свойствах унитарной группы U (л) и общих алгебраических свойствах групп кого-
когомологий.
Аналогичные свойства характеристических классов вещественных рас-
расслоений тоже выводятся из геометрии ортогональной группы О(я) и
алгебраических свойств спектральных последовательностей. Поскольку в
дальнейшем мы будем мало использовать характеристические классы ве-
вещественных расслоений, то ниже мы опустим некоторые технически гро-
громоздкие моменты при описании вещественных характеристических клас-
классов и по этим вопросам отошлем к другим пособиям (Милнор и Ста-
шеф [1], Хьюз мо л л ер [1]).
Описать характеристические классы вещественных векторных расслое-
расслоений — это согласно теореме 1 описать кольцо когомологий /У* (ВО (л)). Од-
Однако, в отличие от кольца Н* (BU (л)), кольцо Н* (ВО (п)) имеет элементы
конечного порядка (а именно, только элементы второго порядка). Поэ-
Поэтому удобно отдельно описать кольцо когомологий Н* (ВО (л); Q) с коэф-
коэффициентами в поле рациональных чисел и отдельно кольцо Й*(ВО(л); Z2) с
коэффициентами в поле вычетов по модулю 2.
Теорема 3.1. Кольцо /V*(BSO Bл); Q) изоморфно кольцу многочле-
eQlPuPt Pn_i,X],2de
pk € «4*(BS0 Bл); Q), х<= Hin(BSOBn); Q).
. *)См. сноску на с. 81. — Прим. ред.
74

2. Кольцо Н* (BS0Bл + 1); Q) изоморфно кольцу многочленов Q [рх,
Pi. • • • ,Р„],гдврк ?H4*(BS0Bn); Q).
3. Образующие {рк} можно выбрать таким образом, что гомоморфизм,
индуцированный стандартным отображением BSO Bл) -*¦ BSO Bл + 1), пере-
переводит р,, врк,1<Аг<л — 1, арп в х3. Стандартное отображение BSO Bл +
+1) -> В50Bл + 2) индуцирует гомоморфизм в когомологиях, при котором
Kk<Q
k.x
А. Для суммы двух расслоений имеет место соотношение
еро 1. .
Доказательство. Группа SO B) изоморфна окружности "S = U A),
поэтому кольцо когомологий BSO B) нам известно:
W(BS0B);Q) = Q[x], х 6 W2 (BSO B); О.).
Рассмотрим расслоение
BSCH2* - 2)-»-BSO B*) A4)
cocnoeMSOB*)/SOBAr-2) = V2kf2.Многообразие Штифеля V2k,2 служит
тотальным пространством расслоения
Vbfc-.a-"*"-1 A5)
сослоем52*-2.Точки многообразия Штифеля V2k,2 можно представить
как пары ортогональных единичных векторов Хе^.е^), первый из которых
пробегает сферу S2k~l, а второй касается сферы S2k~l вточкее!. Пос-
Поскольку сфера S2k~l нечетномерна, то существует векторное поле, ненуле-
ненулевое в каждой точке *),т?. существует сечение расслоения A5). Отсюда сле-
следует, что гомоморфизм
является мономорфизмом. В спектральной последовательности для рас-
расслоения A5) единственный дифференциал d2k тривиален. Следовательно,
Рассмотрим спектральную последовательность для расслоения A4)
¦(рис. ?). Предполагаем по индукции, что
«•<BSOBAr - 2);Q) = Q [pu . .. ,pk_2, X],
где х € Н1" ~2 (BSOBAr - 2); Q). Это, в частности, означает .что нечетномерные
когомологий пространства BSOBAr — 2) тривиальны. Если dlk_x (aik_2) =
= уФ0, Todik_l[a2k-2v) = v1 =0и, значит,Elk~l>2k~2 ФО, а это про-
противоречит предположению о том, 4toW4*~3(BSOBAt -2);Q). Поэтому
*) Ненулевое поле на нечетномерной сфере Sik~1 можно построить следующим об-
обрезом. Пусть S1. * с R** ¦ С * — единичная сфере в к -мерном комплексном прост-
пространстве. Скалярное произведение пары векторов г » (г1,..., z") и w » (*И, . . . , w")
задается формулой
Следовательно,
(z, /г) - Re (? г" (-;J*))- Re ((-/) 2****) = 0.
Итак, каждой точке г е S^n-i можно сопоставить ненулевой касательный вектор iz,
что и задает ненулевое векторное поле.
75

ч
°гн-г
*
Положим р*_
Рис.7.
- х 3, тогда
i) ¦ 0. Следователь-
Следовательно! dik-i — 0. Далее, поскольку
элемент а2к-\ имеет нечетную
размерность, to d2k(a2k_i) ¦
¦ w Ф 0. Так же, как и в доказа-
доказательстве теоремы 2, устанавлива-
устанавливаем, что кольцо Н * (BSO B*); Q)
имеет только четномерные эле-
элементы и дифференциал d2k мо-
номорфно отображеет подгруппу
»гк-\В%1 на подгруппу wB\k.
Поэтому член BV имеет вид
Bit0 ® *2к-2Е~'°> который при-
присоединен к кольцу многочленов
QlPi,• • •,Рк-г.Х1 .Это значит,
чтор! pk_2 G EZfO, lx] -
- «2*-*. IXJ1 S Eie.EiO -
г Рк-г.Хг\Кв1'*-
Ь"--' Рк-г. X . иг).
A6)
Рассмотрим расслоение
BSOBAr-2)-»-BSOB*-1)
со слоем53fc-2. в спектральной последовательности расслоения A6) член
Bf * имеет всего две ненулевые строки: ?|.о и ?|.'*-2 "aj*_2 ?j'.o. Если
«'а*-!(•«*-»)"f60, то </j*_i(»2*_2f)- v2 - 0,т.е.член fi*'2*^
# 0. Это противоречит предыдущим вычислениям, поскольку нечетномер-
яые когомологии пространства BSOB* - 2) равны нулю. Значит,
diк-1 («2*-2)¦ 0, d2к_ 1 = 0,?j *-EV. Следовательно,.нечетномерные кого-
когомологии пространства BSO B* -1) равны нулю.
Рассмотрим расслоение
BSOB*-1)-»-BSOB*) A7)
со слоемЗ2*-1. Член?2*спектральной последовательности расслоения
A7) имеет вид
Поскольку нечетномерные когомологии тотального пространства BSO BАг т
-1) тривиальны, то d2k <92jk-i) *¦ и#0. Используя вычисления для рассло-
расслоения A4), нетрудно убедиться, что элемент v-dJk (a2k)*w. Значит,
«fe * («а* -1 х) = w* • Следовательно,
ВIU1 " ВV - Q [р,,... ,рк_ 1 ] - W (BSO B* -1);Q).
Для доказательства последнего соотношения теоремы 3 необходимо изу-
изучить отображение '
/¦: BSO B) X ... X BSO B)-» BSO Bя)
я |»з •
и доказать, что образ кольца когомологии Н* (BSO Bn); Q) при гомомор-
гомоморфизме/А совпадает с кольцом симметрических многочленов от перемен-
76

Hbixt?,ff,...,fj}, где tk 6 H* .(BSO B) X ... X BSO B).;O) - образую-
n раз
щие группы двумерных когомологий.
Таким образом, мы завершили доказательство теоремы 3.
Построенные в теореме 3 характеристические классы р* € /V4*(BSO(n);'
Q) называются рациональными классами Понгрягина. Класс \SH2" (BSOBn);
О.) называется эйлеровым классом.
Теорема 4. Кольцо Н* (ВО(п);2з) изоморфно кольцу многочленов
Zj [wlt wt,.... wn], wjf € H* (BO (n); Z2). Образующие wk можно выбрать
таким образом, что выполнены следующие условия:
a) wk (g) - 0, если k > dim %;
Эту теорему мы оставляем без доказательства. Классы wk называют ха-
характеристическими классами Штифеля- Уитни. ПосколькуН1 (ВО (n);Z2) ¦
» Zj Э wi, а отображение BSO (п) -+ ВО (п) можно рассматривать как двули-
двулистное накрытие, то структурная группа О (п) расслоения ? редуцируется к
подгруппе SO (л) тогда и только тогда, когда wt ({¦) « 0. Такие расслоения
являются ориентируемыми расслоениями.
Пример 2. Рассмотрим пространство ВО A) - RP" и универсальное
одномерное расслоение Хопфа \ над ним. Очевидно, w, {{) - wt € W1 (R/>M;
Z2) - образующий элемент. Имеем wt ({«{)- w, (?) e w, (() - 2wt = 0. Сле-
Следовательно, расслоение | ® { уже ориентируемо. Расслоение ? ® { нетриви-
нетривиально, поскольку w2 ((«?)- wt ($) wi (?)» wf Ф 0.
о* I еояимричеукая интярпржлщмн некоторых хяряктерисгяческих классов
1. Эйлеров класс. Пусть X — гладкое замкнутое ориентированное много-
многообразие, dim X - 2л. Поставим вопрос: существует ли на многообразии X
векторное поле, ненулевое в каждой точке? Пусть ТХ — касательное рас-
расслоение, SX — расслоение, составленное из касательных векторов единич-
единичной длины. Тогда существование ненулевого векторного поля, или, что то
же самое, ненулевого сечения, в касательном расслоении ТХ эквивалентно
существованию сечения в расслоении SX. Рассмотрим расслоение SX -+Х со
слоем S2". Оно, очевидно, классифицируется отображением X->BSOBn)
и универсальным расслоением SESOBn) -> BSO Bл) со слоем S2n '.
Пространство BSOBn) удобно представить как пространство 2п-мерных
ориентированных, плоскостей, проходящих через начало координат бес-
бесконечномерного векторного пространства. Тогда точки пространства.
SESO Bл) — это пары [L, /), где L — 2л-мерная плоскость, а ' /е L — вектор
единичной длины в этой плоскости.
Пусть Iх С L — \2п — 1 Ьмерная плоскость, ортогональная к вектору /. По-
Получаем соответствие (L. D -*¦ I1. задающее отображение
SESOB»)-*BSOBn-1).
Это отображение является локально тривиальным расслоением, слоем ко-
которого является бесконечномерная сфера.. Пространства SESO B/i) и
BSOBn —1) гомотопически эквивалентны. Таким образом, расслоение
SX-*X классифицируется расслоением BSQ[2n-\)-* BSO <2л) со слоем
52п-1.
Пусть fPj<»_ спектральная последовательность универсального рас-
расслоения, Ef-ЦХ)- спектральная последовательность расслоенияSX -»•
77

¦+ X, f: ЕР- 4 -+ Ef>' (X) — гомоморфизм, индуцированный отображением
Х-* BSO Bл) и отображением тотальных пространств.Тогда fMxJew2" (X) ¦
= f|"'° (X) - эйлеров класс многообразия X. Как показано в § 4 (теоре-
(теорема 3), проекция р: ВО Bл - 1) -* ВО Bл) переводит эйлеров класс в нуль.
Значит, и для проекциио': 5Х-»-Хполучаем равенствор *(f'(x)) = 0. Если
а: Х-*5Хт-сечение, тоО = а*р'*(^'МГ = г'*(х)- Поэтому для того, чтобы
существовало ненулевое векторное поле на многообразии X, необходимо,
чтобы эйлеров класс многообразия Xбыл тривиальным.
2. Препятствие к построению сечений. В § 4 эйлеров класс был опреде-
определен для когомологий с рациональными коэффициентами. Однако его мож-
можно определить и для целочисленных когомологий. Оказывается, что усло-
условие тривиальности эйлерова класса над Z достаточно для существования не-
ненулевого векторного поля на ориентируемом 2»-мерном многообразии.
Впрочем, если многообразие ориентируемо, то из тривиальности рациональ-
рационального эйлерова класса следует тривиальность и целочисленного эйлеров»
класса, поскольку группа когомологий в размерности 2л не имеет в этом
случае кручения.
Вообще, вопрос о возможности построения сечения некоторого локаль-
локально тривиального расслоения упирается в некоторые препятствия гомологи-
гомологического характера. Некоторые из них можно описать с помощью характе-
характеристических классов.
Пустьр: ?-+Х- локально тривиальное расслоение со слоемF и базой
X, являющейся клеточным пространством. Допустим, что построено сече-
сечение *: [X]" ~ > -*¦ Е над (я - 1 Ьмерным остовом базы X. Спрашивается, мож-
можно ли продолжить сечение* нал-мерный остов [Х]".Для этого достаточно
продолжить сечение* на каждую л-мерную клетку О/СХ в отдельности.
Поскольку над клеткой а( расслоение р тривиально, т.е. Р~1(а{)» о/ X F. то
ограничение сечения s на границу клетки bat определяет отображение гра-
границы даг в слой F,
s: bOf+F,
и определяет элемент [*]/€ ffn_t(F) гомотопической группы слоя F.
Чтобы определение не зависело от выбора фиксированной точки слоя F,
а также от выбора самого слоя F, будем считать, что база Ходносвязна.
Таким образом, необходимое и достаточное условие продолжения сечения
* на л-мерный остов [X]" заключается в соотношениях
И,-0€ *,_!№.. A)
Если же хотя бы одно из равенств A) не выполняется, то сечение* нельзя
продолжить на л-мерный остов [X]", так что коцепь [*] в группе коцепей
C"(X,irn_i(F)), , определяемая сечением *, может считаться препятствием
к продолжению сечения * на л-мерный остов. Коцепь [s] € С"[Х, тгп_1 (F))
не может быть произвольной. Оказывается, что кограница коцепи [с] равна
нулю.
Э[*]=0,
т.е. коцепь I*] является коциклом. В самом деле, пусть 2 — (л +1) -мерная
клетка, s" - dZ -> [X]" -»• [X] п/Х] я~l = Vo, - отображение границы клет-
клетки ?. Тогда без ограничения общности можно считать, что сечение * |Эа, го-
гомотопно отображению, которое разлагается в композицию dot -*¦ [Х]п~1 /
[Х]п~ 2 -*¦ F. Значение коцепи [*] на клетке а,- определяется как линейная
комбинация элементов jrn_j (F), представленных сфероидами из букета
(л — 1 )-мерных сфер [X]» -1 /[X]" ~ 2, коэффициенты которой равны коэф-
коэффициентам граничного гомоморфизма в группах цепей. Поскольку квадрат
граничного гомоморфизма равен нулю ,то и кограница Э [s] = 0.
78

Оказывается, что если коцикл [s] G С" (X, irn_1 (F)) когомологичен ну-
нулю, то существует другое сечение*': [X]" -1 -*¦ Е,совпадающее с сечением
s на остове [X] "~2и продолжающееся . на остов [X]п. Если же класс кого-
когомологий- Is] € Нп (X, я„ _ 1 (F)) не равен нулю, то сечение s Нельзя продол-
продолжить на остов [X]п, даже изменив его на предыдущем остове [X]п -1. Класс
когомологий [s] G Hn(X,vn_1 (F)) называют препятствием к продолже-
продолжению сечения. Используя информацию о препятствиях к продолжению се-
сечений, можно доказывать существование или отсутствие сечений тех или
иных расслоений. Если л- наименьшее число,для которого, группа И"{Х,
я„_ 1 (Р))Ф0, то соответствующее препятствие [s] называют первым пре-
препятствием к построению сечения.
Теорема 1. Пусть р: Е-*Х— локально тривиальное расслоение, X—
односвязное клеточное пространство, тг0 (Л = • • ¦ = яп - 2 (Я = 0, vn _ i (F) =
= Z, a6H""'(f;Z)- образующий элемент,Ef'q- спектральная последо-
последовательность расслоенияp,w = dn (e)eЕр°. ТогдаЕ»>° = ?2"'° =Hn{X;Z).
а элемент w является первым препятствием к построению сечения рассмат-
рассматриваемого расслоения.
Доказательство. Спектральная последовательность расслоения
р: Е-*-Х имеет отличные от нуля члены только в нулевой строке и в стро-
строках, начиная cEj**" (рис. 8). Поэтому все члены Е%'° прир< л сохра-
сохраняйся до бесконечности, а прир » л получаем равенства ?ап>0 =?"',
Без ограничения общности можно считать, что dim X = п, поскольку вло-
вложение л-мерного остова [X]" С X индуцирует мономорфизм в когомоло-
гиях до размерности л включительно. Таким образом, пространство X яв-
является объединением своего (л - 11-мерного остова [X]" ил-мерных
клеток о/, "приклеенных" по некоторым отображениям ч>{: oat [x]n~l.
Тотальное пространство расслоения является объединением [f]n-1 - то-
тотального пространства расслоения над [X]"~' - и декартовых произведений
о{ X F, "приклеенных" по некоторым послойным отображениям ^,: bat X
Xf^Ifl". Когомологий пространства [Е]" имеют следующий вид:
при/<л— 1,
Отображение ф/ индуцирует в гомологиях гомоморфизм
который переводит образующий элемент ап_1 &Нп_1{да1) в элемент
W/€//„_!(If]"). Отображение группы Н,(F) в группу HJIE]"-1)
Л
«^^
X
\
>.
Рис.8.
Рис.9.
79

индуцировано вложением слоя F в тотальное пространство. Значит, в
когомологиях получаем гомоморфизм
F) - Нп~1 (За,)® Hn~l[F) - Ня~1 (За,) ® Z,
Рассмотрим две пары [X] п~1 С X и [5]""'с? и их точные когомо»
логические последовательности: .
О «- Н*{X)> //*(*, IX)""-1} «- И"" * «X]"" *) <-...
...*-Нп(?)*-Нп{Е. IE}*-1) t нп-х(IE]*'1 )*-...
Группы Н*Щ. tf]"-1) и Н"(Х, \Х)п~1) изоморфны, а
причем ф* ¦ (^*, VW/), поскольку Л/УО" «¦ Vty— букет я-мерных
сфер. Таким образом, образ lm(W"(E, [E]n~l))¦*«"(?) изоморфен фак-
ToprpynneW(X)/ {[«]} . С другой стороны, эта же группа изоморфна
члену EZ'0 спектральной последовательности. Значит, Hn(X)/{w}~
-НН[ХI {[с]} . т.е. w [*J. Теорема 1 доказана.
Применяя теорему 1 к характеристическим классам, получаем следу-
следующую интерпретацию характеристических классов.
Теорема 2. Пусть %-комплексноеп-шрное векторное ресслоение
над базой X. Тогда характеристический класс Чженя с*($) € H2k(X;Z)
совпадает с первым препятствием к построению n — k + Y линейно неза-
независимых сечений в расслоении (.
Доказательство. Построить п — к +1 линейно независимых се-
сечений в расслоении ? -это то же самое, что представить расслоение ( в
виде суммы
.'|в1):«л-*'+1.' B)
Рассмотрим расслоение . , *
p:BU(*-1)-*BU(») C)
со слоем U(n)/U(Jr- 1). Пусть КХ-*ЫЦп) — непрерывное отображение,
индуцирующее расслоение ?, .т.е. %"f*(in). Представить расслоение в
виде B) — это значит построить такое отображение д: X •*¦ BU(Ar — 1), что
pg~f. Другими словами, первое препятствие к построению п — к ¦ 1 ли-
линейно независимых сечений в расслоении ( совпадает с прообразом пер-
первого препятствия к построению .сечения расслоения р.при отображении f.
Применим теорему 1. Рассмотрим спектральную последовательность
расслоения (рис. 0), Поскольку р*(ск)«О, то элемент cfc€?2а*>0 явля-
является образом при дифференциале Aгк, т.е.- a'ajt^a/t—i) ~ с*- Согласно тео-
теореме 1 г**(с*}*с*(?)и является первым препятствием к построению п —
— к + 1 линейно независимых сечений расслоения ?.
Аналогичная интерпретация имеется и для характеристических клас-
классов Штифеля — Уитни и классов Понтрягина. . '
во ¦.•.¦¦';¦'.

§ 6. ЛГ-теория и характер Черна*)
Множество векторных расслоений над фиксированной базой не является
группой относительно операции прямой суммы векторных расслоений,
поскольку операция вычитания существует не для любых векторных
расслоений. Поэтому множество векторных расслоений дополняют до груп-
группы формальными разностями векторных расслоений. Если пространство X
несвязно, то под векторным расслоением мы будем понимать расслоение,
которое, вообще говоря, над каждой компонентой' связности имеет раз-
различную размерность. Точнее, рассматриваются объединения локально
тривиальных векторных расслоений различных, вообще говоря, размер-
размерностей над компонентами связности пространства X. Такие объединения
по-прежнему будут называться векторными расслоениями.
Через К{Х) обозначим абелеву группу.которая определяется как группа
с образующими и соотношениями следующим образом: система образу-
образующих - это множество векторных расслоений над X, а система опреде-
определяющих соотношений — это соотношения вида
Ш +М -[$®П1"О, О)
где %, ц — произвольные векторные расслоения над X, а [(•] обозначает
элемент группы К{Х), определяемый расслоением ?. Так определенную
группу называют группой Гротендика категории всех векторных рассло-
расслоений над базой X.
Поскольку векторные расслоения могут нести дополнительную струк-
. туру, то, чтобы не возникало путаницы, группу, порожденную вещест-
вещественными векторными расслоениями, будем обозначать через К0[Х), груп-
группу, порожденную комплексными векторными расслоениями, — через
KV(X), а группу, порожденную кватернйонными расслоениями, - через
KSpiX).
Соотношения A) показывают, что операция прямой суммы векторных
расслоений в группе /С(Х) совпадает с групповой, операцией. Далее,
поскольку всякий элемент х € К{Х) разлагается (вообще говоря, неод-
неоднозначно) в линейную комбинацию векторных расслоений с целыми ко-
коэффициентами: ' .
х- 2 />,[$,], B)
сумму в правой части B) можно представить в виде двух слагаемых
Pi Ра
х- 2 nt%] - Б m/to/1, nt>0, m/>0. . C)
Используя соотношения <1), получаем, что
Pi P*
х- I ® (&»...»&)] - [ •
'= * "/ раз fx>1 y
D)
*) В настоящее время фамилия этого математика китайского происхождения
по-русски обычно передается как "Чжень" (см. классы Чженя, с. 74). Однако вырв-
жение "характер Черна" широко распространено в нашей математической литерату-
литература, и мы сохраняем его здесь. — Прим. ред.
81

Таким образом, любой элемент х е К[Х) представляется в виде разности
двух векторных расслоений, точнее, в виде разности элементов, каждый
из которых представлен некоторым расслоением. Если пространство яв-
является конечным клеточным пространством, то в формуле D) можно
предполагать, что одно из расслоений fi или ?2 является тривиальным
расслоением. В самом деле, на основании теоремы 2 из § 4 главы 1 найдет-
найдется такое расслоение f3. что прямая сумма ?2 ®?э изоморфна тривиально-
тривиальному расслоению. Тогда разность имеет вид
-Uf2]
E)
Два расслоения ?i и ?2 определяют в группе К(X) один элемент тогда
и только тогда, .когда найдется такое тривиальное расслоение N, что пря-
прямая сумма ?i © N изоморфна прямой сумме ?2 ® N. Условие
F)
называется стабильной изоморфнрстью векторных расслоений. Это назва-
название оправдано тем, что если 2-t ® N= (j2 e /VG К(Х), то
по свойству A), а значит, [fi) = 1€а 1 •
Допустим, что если [?il = [&L то согласно определению в свободной
абелевой группе, порожденной множеством векторных расслоений над
пространством X, разность gt — ?2 разлагается в линейную комбинацию
элементов вида A) v т.е.
«1-fa-2ЗД + Ч/-&•*?/). G)
где Х/ = ±1. Соотношение G) преобразуем следующим образом: перене-
перенесем все слагаемые с отрицательными коэффициентами в другую сторо-
сторону соотношения. Тогда соотношение G) примет вид
%i +Щ®П/) + 2 ($*+%)= Ь +S (^ + n/) + S (€*®П*). (8)
В левой и правой частях соотношения (8) стоит формальная сумма рас-
расслоений, значит, каждое слагаемое в левой части соотношения (8) изо-
изоморфно некоторому слагаемому в правой части й наоборот. Следователь-
Следовательно, прямая сумма всех слагаемых в левой части соотношения (8) изо-
изоморфна прямой сумме всех слагаемых в правой части, этого же соотно-
соотношения. Поэтому
ti в в (%f в щ) в © {%к © tjfe) = %2 в f (f/ ® »J/) ® ® ({* ® 4fc). (9)
Положим
а через f обозначим такое расслоение, чтобы прямая сумма f ® т? была
тривиальным расслоением. Тогда из соотношения (9) вытекает, что
т.е. справедливо соотношение F).
82

В группе К{Х) операция тензорного произведения расслоений инду-
индуцирует кольцевую структуру. Условия ассоциативности, коммутативнос-
коммутативности и дистрибутивности в кольце К(X) непосредственно вытекают из ана-
аналогичных условий для векторных расслоений.
Примеры. 1. Опишем кольцо К{х0), где х0 - одноточечное про-
пространство. Каждое векторное расслоение над точкой х0 тривиально и опре-
определяется одним числовым параметром — размерностью единственного
слоя. Поэтому множество всех векторных расслоений над точкой х0 вмес-
вместе с операцией прямой суммы и тензорного произведения изоморфно,
полугруппе положительных целых чисел. Кольцо же К{х0) поэтому изо-
изоморфно кольцу целых чисел Z. При этом разности [?] т- [т?] двух рассло-
расслоений соответствует число dimg — dim)} ? Z.
2. Если Х = \хихг) — двухточечное пространство, то каждое вектор-
векторное расслоение определяется уже двумя целыми числами — размерностью
слоя над точкой х{ и размерностью слоя над точкой х2. Поэтом /С(Х) =
= Z ®*.
Группа К[Х) является кольцом, при этом любое непрерывное отобра-
отображение f:X-+Y индуцирует кольцевой гомоморфизм ' '•
f:K(Y) + K{X). A0)
который каждому расслоению ? над пространством Y сопоставляет его
прообраз Г {!>).
Если f,g:X-*Y — два гомотопных отображения, то они индуцируют
равные гомоморфизмы
r-8".K{Y)-*KW. A1)
В самом Деле, поскольку отображения f и д гомотопны, то существует
такое непрерывное отображение
что F{x, 0) - f{x), F[x, 1) = ff(x). По теореме 3 из § 2 главы 1 ограничения
расслоения F'ik) на подпространства XX {0} и XX {1} изоморфны. Зна-
Значит, f* (€)-?*(?). Следовательно, если пространства X и Y гомотопически
эквивалентны, то кольца /С(Х) и K(Y) изоморфны.
Условия A0) и A1) показывают, что соответствие Х->/С(Х) являет-
является гомотопическим функтором из катег.ории клеточных пространств в
категорию колец.
Покажем, что этот функтор можно распространить и построить аналог
обобщенной теории гомологии.
Пусть (X,х0) —клеточное пространство с отмеченной точкой. Тогда
вложение х0-*Х индуцирует гомоморфизм колец /С(Х)-»¦/С(х0) = Z.3tot
гомоморфизм для разности двух расслоений [g] - [tj] задается фор-
формулой -
A2)
Поэтому сам гомоморфизм мы будем обозначать тоже через
A3)
Обозначим через /f°(X,x0) ядро гомоморфизма A3):
К0(X,х0) = Kerdim (КЧХ)-*¦*¦(*,,)). A4)
83

Элементы подкольца К°[Х,х0) представляются разностями [{] - [т?],
для которых dimgsdirm}. Можно еще сказать, что элементы кольца
К(Х) —это "виртуальные"расслоения, а элементы кольца К°(Х, х0) —
это "виртуальные" расслоения нулевой размерности над точкой х0.
Пусть (X, Y), УСХ-пара клеточных пространств, х0 е У - отмечен-
отмеченная точка. Обозначим через К°{Х, Y) кольцо /С°(Х/У, [У]). Пространст-
Пространство X/Y гомотопически эквивалентно объединению пространства X и ко-
конуса CY с основанием У (рис. 10).
Отмеченной точкой может служить как точка х0, так и вершина ко-
конуса с. Проекция X-+X/Y и вложение X-+XUCY согласованы с гомо-
гомотопической эквивалентностью XUCY-+X/Y. Далее, факторпространство
(ХиСУ)/Х есть не что иное, как надстройка S1Y над пространством
У. С другой стороны, это же пространство гомотопически эквивалентно
объединению двух конусов - один с основанием X, а другой с основанием
У: SlY~CX\JCY (рис.11).
Факторпространство (СХ U CY)/{X U CY) есть не что иное, как надстрой-
надстройка SlX, а проекция CXUCY-*SlX согласована с отображением SiY-*
-+SlX и гомотопической эквивалентностью CXU CY-+S1 Y. Таким обра-
образом, для пары (X, У) получается целая последовательность отображений
f'-lfx" Sb
ski
> ... A4)
Для любого члена последовательности A4) все пространства можно так
заменить на гомотопически эквивалентные, чтобы предыдущее простран-
пространство было вложено в данное, а последующее было факторпространством
по предыдущему.
Теорема 1. Индуцируемая последовательностью A4) последова-
последовательность колец
t* I* ъ*
Л \7, Xq } *~ л [Л, Xq ) ^^ IS. y\, Y} *~
«- K°iSlY.x9)i-'' ... *-/C-°(S*y,xo)+-
4-K°{SkX,x0L-K°{SkX,SkY)±... A5)
является точной последовательностью.

Доказательство. Исходя из приведенного перед теоремой 1
замечания, достаточно проверить точность последовательности
K*(Y,x0) +¦ K9V(,x0)f<- K°V<,Y) A6)
в среднем члене.
Итак, пусть ? — такое расслоение над X, что его ограничение на под-
подпространство Y тривиально. Тогда расслоение (¦ тривиально в некоторой
окрестности UDY, т.е. g/</*t/XR" (или {/У*УХС"в случае комп-
комплексных расслоений). Следовательно, окрестность U может служить кар-
картой некоторого атласа для расслоения {, причем остальные карты этого
атласа можно выбрать таким образом, чтобы они не пересекались с под-
подмножеством Y, Тогда все функции склейки определены в точках X\Y,
¦ т.е. они же задают некоторое расслоение ц над X/Y, прообраз которого над
пространством X и есть расслоение %, т.е. /*<[т?] )=[?]. Теорема 1 дока-
доказана.
Точная последовательность A5) называется точной последователь-
последовательностью пары в К-теории.
Обозначим группу К0 ЧУХ, S" Y) через К~"{Х. Y). Получаем систему
групп К" IX, Y), градуированную неположительными целыми числами
п, удовлетворяющую аксиомам обобщенной теории когомологий.
В § 4 мы определили характеристические классы Чженя для каждого
комплексного векторного расслоения. Согласно теореме 2 S 4 произволь-
произвольный характеристический класс является многочленом от классов Чженя
^1 (?),...,сл{?) с целыми коэффициентами. Если рассматривать харак-
характеристические классы в когомологиях с рациональными коэффициентами,
то все они выражаются через классы Чженя как многочлены с рациональ-
рациональными коэффициентами.
Рассмотрим функцию
<pn(ti *„)-е'> +е'« +...+еЧ A7)
Функция A7) разлагается в ряд Тейлора по степеням переменных tlr...
• • ••ln •
«• t ? + ... + Л
*"(*»,...,*„)= 2 -i— -. A8)
но k\
Каждый член ряда A8) является симметрическим многочленом от пе-
переменных ti, ...,(„ и поэтому выражается в виде некоторого многочле-
многочлена от элементарных симметрических многочленов:
— (Г? + ... + ф
A9)
fa)-fifa..-V
Другими словами,
pKn.-..Ощ). B0)
85

Дадим следующее определение: пусть %- л-мерное комплексное век-
векторное расслоение над пространством X. Характеристический класс
= S ^2(ci(|) с„{&) B1)
fc=O
назовем характером Черна расслоения %. В формуле B1) каждое слага-
слагаемое ^2(ci(g),... , cn(g)) является элементом группы когомологий
H2k{X;Q). Если пространство X является конечным клеточным комп-
комплексом, то характер Черна ch? является неоднородным элементом груп-
группы когомологий
поскольку, начиная с некоторого номера Аг0, все группы когомологий
пространства X равны нулю. В общем же случае мы можем считать, что
формула B1) задает элемент группы
H"{X;Q)" П Я*(Х;О).
*=0
Теорема 2. Характер Черна удовлетворяет следующим условиям:
a)
6)cho?=dim$;
в) ch(| ®ч)
Доказательство. Так же, как.и в § 4, классы Чженя удобно
представлять как элементарные симметрические многочлены от некото-
некоторых переменных. Тогда
tn). ' B2)
B3)
B4)
Согласно формуле B1) имеем
~ frf + ... +f*). B5)
cw in)) = — (t*+1 + ... + t*+w), B6)
= — (r? + ... +1% +1*+1 + ... +1*+OT) = chfe(|) + сМч). B7)
Из формулы B7) следует свойство а). Свойство б)' следует из того,
что
ch0 g = v?g (С! (?) си ® )= /? = dim t
86

Приведенное доказательство свойства а), строго говоря, некоррект-
некорректно, поскольку формулам B2) - B4) не придано, никакого смысла. При-
Придать же им смысл можно следующим образом. Все три равенства в теоре-
теореме 2 достаточно проверять не для произвольной базы, а для специального
пространства Х = BU(n) X BU(m), где k = %n— универсальное расслоение
над сомножителем BU(n), а т? ¦ &„ -=¦ универсальное расслоение над сомно-
сомножителем BU (m). Пусть
f: BU(/?) X BU(m) ¦* BU(n + m)
- такое отображение, при котором f*(?n+m) = ?ne&n-Требуется дока-,
зать, что
f<ch$n+w) = chSn+ch?m. B8)
Рассмотрим коммутативную диаграмму
BlKn)xBU(m) *— ВЩл+ш)
вир)»... *ви(п,»виA)*...
л раз at раз
где p,q— отображения, соответствующие вложению группы диагональ-
диагональных матриц в унитарную группу. В обозначениях § 4 ра/„ X/m,<jr=/n+M.
Согласно лемме § 4 оба гомоморфизма р * и q* в когомологиях являют-
являются мономорфизмами. Поэтому равенство' B8) вытекает из равенства
pV(chfe,+w)=p'ch?,, +p'chfw,
т.е.
или
chqr4n+m=chp'|ll+chp'|w. . B9)
Далее, над пространством Х= BUA)X ... X BUA) X BUA)X. X BU A)
л раз * от раз
имеются расслоения щ. 1</'<л + /п, являющиеся универсальными од-
одномерными расслоениями над сомножителями с номером / . Тогда
Поэтому, если f/." с2 (т?/)), то формулы B2) — B4), а вместе с ними
и формулы B5) — B7) уже имеют смысл.
Перейдем теперь к доказательству свойства в) теоремы 2. Так же,
как и в случае аддитивности характера Черна, достаточно доказать свойство
в) для случая пространства V=BU(n)X BUM и расслоений ? = ?„,*?=?»,"
Поскольку отображение Х= BU A) X .. .X BUA) XBUQ) X... X BUA) ?¦
р п раз - т раз
-> BU(n)X BU(mJ= У индуцирует мономорфизм в когомологиях, то свой-
свойство в) достаточно доказать для пространства X и расслоений
87

Тогда
Следовательно,
(ti ... t).
или
C0)
C1)
С другой стороны, расслоение ? ®т» разлагается в прямую сумму одномер-
одномерных расслоений
Поэтому
Остается вычислить первый класс Чженя ct (^ в {") от тензорного произ-
произведения двух одномерных расслоений ?' и f'. Без ограничения общности
можно считать, что базой расслоений является пространство BUA) X BU A),
а расслоения ?'и$"— это универсальные одномерные расслоения над
сомножителями BUA). Пусть .
f:BUA)XBUA)-*-BUA)
- такое отображение, что f'iii )-$'*{". Тогда
Значит,
Если «' - 1, то i' е- S" - $". Тогда с, (f) - aci A) + fa (f) - fa ($"), т.е.
 « 1. Аналогично, a » 1. Таким образом, для одномерных расслоений
мы получаем простую формулу
¦: е,<Г*|")-е,-<|#)+е1(Гь C3)
Применим формулу C3> к формуле C2):
= B в
Учитывая формулы C0) и C1), получаем окончательно
сп($ в ц)' ch|chij.
Теорема 2 полностью доказана.
Теорема 2 показывает, что характер Черна однозначно продолжается
до гомоморфизма колец .

ГЛАВА 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ С РАССЛОЕНИЯМИ
Дальнейшее изучение свойств векторых расслоений требует привлечения
новых геометрических соображений, геометрических конструкций, связан-
связанных с расслоениями. Эта глава будет посвящена наиболее употребительным
геометрическим конструкциям, которые встречаются в различных зада-
задачах и приводят в свою очередь к выявлению более глубоких свойств век-
векторных расслоений. Это такие свойства, как периодичность Ботта — глав-
главнейший вычислительный инструмент в /С-теории,— далее, линейные пред-
представления и когомологические операции в /С-теории и, наконец, формула
Атья — Зингера для вычисления индекса эллиптических операторов на
компактных многообразиях. Но это уже предмет изложения следующей
главы.
§ 1. Разностная конструкция
Рассмотрим векторное расслоение ? над базой X. Допустим, что над замк-
замкнутым пространством Y С X расслоение 2- тривиально. Это значит, что
существует такая окрестность U Э Y, что ограничение расслоения ? на
окрестность Uизоморфно декартову произведению {/наВи:$|1/*1/ХН*.
Ясно, что множество U может служить одной из карт атласа, причем без
ограничения общности можно считать, что остальные карты атласа не пере-
пересекаются с множеством Y. Значит, все функции склейки <po/j определены
в точках дополнения Х\У. Поэтому эти же функции склейки можно ис-
использовать для определения векторного расслоения на факторпростран-
стве X/Y, в котором множество Y стягивается в одну точку. Полученное
таким образом расслоение ц над пространством X/Y можно представлять
себе как расслоение ё. у которого все слои над подпространством У отож-
отождествлены в один слой согласно изоморфизму %\Y * /XR". Это важ-
важное наблюдение можно естественным образом обобщить.
Рассмотрим пару конечных клеточных пространств IX, Y) и тройку
(?ь d, \г). где Si и Ь - два расслоения-над пространством X, a d — изо-
изоморфизм их ограничений на подпространство Y:
В случае, когда (jj — тривиальное расслоение, мы находимся в описанной
выше ситуации. .
Рассмотрим множество всех троек (fci. d, $а). Тройку (?i, d, g2) на-
назовем тривиальной, если изоморфизм d можно продолжить до изомор-
изоморфизма d: ii -+$2 над всей базой X. Если два изоморфизма dt, d2: ?i \Y-f
-*li\Y гомотопны в классе изоморфизмов, то тройки ikt,d\,%2) и
(eirtfa.ti) называются эквивалентными. Если Ьь.л,ча) —тривиальная
тройка, то тройки ($i, d, fa) й (|t ® *?,, <У «л, ?2 фт?2) тоже считаются
эквивалентными.
89

Обозначим через ЭС *2* (X, Y) множество классов попарно эквивалент-
эквивалентных троек.
Теорема 1. Множество ЗС к ' (X, Y) является абелевой группой
относительно операции прямой суммы троек. Группа УС*-2' (X, Y) изо-
изоморфна группе К° {X, Y), причем изоморфизм К? {X, Y) •* X (*> {X, Y)
задается соответствием
№ -[/V] ^{р*%, d,N),
где р: X -*¦ X/Y — естественная проекция, a d: p*%\Y -*¦ N — естественный
изоморфизм на слой ?|[У] «Л/ \[Y]. dim? = /V.
Доказательство. Итак, операция сложения в группе Ж^ (X, Y)
задается соответствием
Ассоциативность операции очевидна. Нейтральным элементом является
класс тривиальных троек. В самом деле, если (?ь d, (jj) - тривиальная
тройка, т.е. изоморфизм d: ?,|У -*-$г\У продолжается до изоморфизма d:
|i ~*Лг и изоморфизм d гомотопен изоморфизму d'j. \\\Y -*¦ {2IV, то
изоморфизм d' тоже продолжается до изоморфизма d ': |i -»¦ Ь. Чтобы
доказать существование продолжения d', предположим сначала, что
?ь |г — тривиальные расслоения, a did': Y -*GL(n, R) — непрерывные
отображения в группу GL|n, R) обратимых матриц порядка п. Условие,
что d и d' гомотопны, ad— продолжение изоморфизма d, означает, что
существует отображение
(YX/)U(XX {0}) -* GL(n,R).
Поскольку пространство (УХ/) X {X Х{0}) является ретрактом про-
пространства X X /, то отображение D продолжается до отображения
5: XX/-*GL(n, R).
Это означает, что изоморфизм^' имеет продолжение d' на_всем простран-
пространстве X, причем изоморфизм d' гомотопен изоморфизму d в классе изо-
изоморфизмов.
В случае нетривиальных расслоений ?i, |г рассмотрим конечный атлас
{Ua}, на каждой карте Ua которого оба расслоения |i и |г тривиальны.
Без ограничения общности можно считать,_что расслоения ?i. €з три-
тривиальны на замыканиях Ua. Продолжение d' строим по индукции. Если
d' построено на подпространстве U Ua Ct/вместесгомотопией изомор-
_ _ <*<Р
физму d, то на карте Up+l получаем два гомотопных изоморфизма
^К^в+1П(Уи U Ua)) и УМУ,*, n(VU Ut7e)),
Один из которых (/определен на всей карте Up+X. Поскольку на карте
fp+i оба оасслоения тривиальны, то, как было доказано ранее, гомомор-
гомоморфизм d'\{Ug+i О (Уи vUa)) продолжается до некоторого изоморфиз-
_ »
ма d на карте Ue+lt гомотопного изоморфизму d.
Таким образом, тройка (?i, d, %г! эквивалентна тривиальной, если
существует такая тривиальная тройка (fh, л, Пг). что прямая сумма
(€ 1 ® %. d ® п, %2 ® т?2) является тривиальной тройкой. -
Две тройки (Si, d, g2), Ui, d1, Ь) эквивалентны тогда и только
тогда, когда существуют такие тривиальные тройки (ift,л, Лг) и (v'i,
л', ть), что расслоения |i ® т?, и {i ®-r?'i изоморфны, расслоения ?2 фт?2
90

и %'г ф Пг изоморфны, а изоморфизмы d ® л и d' ® Л' гомотопны. Поэто-
Поэтому, если тройка (ih. Л, Чг) тривиальна, то тройки ((ji, d, ?2), (?1 « т?1#
d ф h, ?2 ® 172) эквивалентны. Следовательно, тривиальная тройка опреде-
определяет нейтральный элемент в множестве «#" B) (X, Y).
Покажем, что тройка (%i ® ?2, d ® с/, ?2 ® % х) эквивалентна тривиаль-
тривиальной, где d: ?1 \Y -* ?2 \Y — произвольный изоморфизм. Рассмотрим гомо-
топию
D, =
<р sin Г cos t
—cos f
"'
sin f
При любом f гомоморфизм Dt является изоморфизмом. Поэтому изо-
изоморфизмы, задаваемые матрицами
d О
!0
у-»
О 1
-1 О
гомотопны. Последний же изоморфизм продолжается до изоморфизма
расслоений Ii®|2h|2®Ii над всем пространством X.
Таким образом, множество Л"*2) (X. Y) является группой относи-
относительно операции прямой суммы. Рассмотрим отображение а: К0 {X, Y) •*
-*¦ УС BМХ, Y), которое зададим следующим образом. Пусть х ? К°[Х, Y) —
произвольный элемент. Элемент и можно представить в. виде разности
[?] — [Л/], где | — расслоение над пространством X\Y, a N — тривиальное
/V-мерное расслоение, N = dim %. Рассмотрим прообраз т? = р'({) расслое-
расслоения % при проекции р: X -+X/Y. Пусть f: ц -*¦% — каноническое отображе-
отображение тотальных пространств, которое слой цх в точке х изоморфно ото-
отображает в слой %у, у = р (х). Тогда ограничение f\Y отображает расслое-
расслоение т?|У в один слой ?[у] = R". Обозначим через d: ij\Y = N\Y = УХ Rw
изоморфизм, определяемый формулой
Построенная тройка (i), d, /V) задает элементтуппы X ^2) W, Y), ко-
торый_мы и обозначим через qju). Если N-'] -(Л]_=(й — [/V], то (•* ® /V ¦
= % в /V'. Поэтомуи = [|'] - [Л/'] =[S'®/V] -[/V©/V(] =[5©/V'] -[Л7©ЛГ].|
Элемент а (и) строится по представлению элемента и в видг разности _та-
ким образом, что если разности_[?] — [N] соответствует тройка.{ц, d, N),
jo pj3hocth IS © Л/'] — [Л/©Л/ ] соответствует тройка (ч'«л7', rf © 1,
ДГф.Л/'), эквивалентная тройке (т?, с/, /V). Значит, определение отображе-
отображения а корректно.
Легко проверяется аддитивность отображения а. _
Пусть теперь и = [?] — [/V] и а (и) = 0. Это значит, что тройка {ij, d, N),
построенная по разности [(¦] — [N], эквивалентна тривиальной тройке.
Тогда существует такая тривиальная тройка (т?,, л, tj2) , что прямая сумма
(т? ® ть, <У ® Л, /V ® т?г) является тривиальной тройкой. Изоморфизмы л и
«У ® Л продолжаются до изоморфизмов расслоений над всем пространст-
пространством X. В частности, это означает, что расслоениям, и т\г изоморфны. Пусть ,
f • ? АГ
f — такое_расслоение, что Vi • _? является тривиальным расслоением
T?i ® f = Л/'. Тогда и 42 © f »«'. Тройка (?, 1,-f) тривиальна. Поэтому
тройки (т?1 © f, л © 1, т?2 © J") и (т? ® ч, © f, d ® л « 1, /V ф tj2 ® f) тоже
тривиальны. Поскольку расслоения iji © ? и ifc © f изоморфны тривиаль-
тривиальным расслоениям, то тройка (t?i « f, Л © I^Th © f) изоморфна тройке
(Л/', 1, Л/'), а тройка (т? © 4i ® f, rf © л © 1, /V ® tj2 © ?) изоморфна тройке
91

(t? ф ЛГ, d ® 1, л?® лГ), которая, следовательно, тоже тривиальна. Тройка
(т? ® Л/', d ® 1, /V © Л/') согласно конструкции гомоморфизма а строится
по разности [% ® Л/'] - [/V « /V'J » и. Поскольку изоморфизм d « 1 про-
продолжается до .изоморфизма с/ расслоений над всем пространством*, то
изоморфизм d индуцирует изоморфизм расслоений % © N и N • N над
пространством X//. Это значит, что и .« 0. Таким образом, мы доказали,
что гомоморфизм а является мономорфизмом. '
Пусть (?i, d, Ы - тройка, представляющая произвольный элемент
группы JSTB) PC У). Пусть т? — такое расслоение над пространством
X, что ?2 9 ij ш N — тривиальное расслоение. Тогда тройка (т?, 1, т?) три-
тривиальна, а тройки i%i, d, $2) и (?| • т?, d© 1, /V) эквивалентны. Это зна-
значит, что расслоение ?i ® т? тривиально над пространством У, причем су-
существует такое расслоение f над_факторпространством Х/У, что р*(?) ¦
= 51 ф П- Значит, если и * [?] - [Л/ ], то а (и) « (|h, </, Ы • Таким образом,
доказано, что гомоморфизм а является эпиморфизмом, чем и завершает-
сп доказательство теоремы 1.
Тройки (% 1, d, {2), участвующие в определении группы XB> (X, V),
удобно представлять следующим образом. Рассмотрим изоморфизм d:
%\ IV "* %г 'V*. Существует продолжение d: ?i -^Ь изоморфизма «У, однако
гомоморфизм а уже не обязан быть_послойным изоморфизмом в точках
х е Х\ Y. Дополним гомоморфизм d до комплекса расслоений
0 - %х ^ Ь -* 0, A)
где через 0 обозначено векторное расслоение с нулевым слоем, т.е. слоем,
состоящим из одной точки. Комплекс A) в каждой точке х Е X задает
комплекс векторных пространств — слоев расслоений, причем, если точ-
точка х принадлежит подпространству У, то комплекс векторных пространств
является точным комплексом. Возникает естественное обобщение кон-
конструкции группы X <2* {X, Y).
Рассмотрим комплекс расслоений
-0, B)
удовлетворяющий условию: еслихё К, то комплекс векторных пространств
Р -* %1Х ч! Ь, -* • • • -^ Ипх ¦* 0 C)
является точным. •
В множестве комплексов B), удовлетворяющих условию C), можно
ввести операцию прямой суммы и отношение эквивалентности. Если задан
еще один комплекс расслоений
0 ¦* Щ -+ Иг ¦* ¦ ¦ .-f» Vn-+ 0, D)
то прямой суммой комплексов B) и D)- называется комплекс
Комплекс B) называется тривиальным, если условие его точности
C) выполнено для всех точек х € X. Два комплекса B) и D). будем
считать эквивалентными, асли после прибавления к комплексам B) и
D) тривиальных комплексов расслоения с одинаковыми номерами ста-
становятся изоморфными, а гомоморфизмы с одинаковыми * номерами —
гомотопными, при условии, что гомотопии разрешаются только в классе
92

гомоморфизмов, которые удовлетворяют условию точности C) в -каждой
точке xS Y.
Комплекс расслоений
О-*¦<>-»¦...-><>.-»¦?* -? €*+i -¦- - .""О, - (в)
у которого отличны от нуля только два расслоения, будем называть эле-
элементарным.
Всякий тривиальный комплекс разлагается в прямую сумму тривиаль-
тривиальных элементарных комплексов. В самом деле, поскольку тривиальный
комплекс точен в каждой точке х €¦ X, то мы можем применить теорему 1
из S 4 главы 1 о разложении расслоений.
. Всякий комплекс расслоений, удовлетворяющий условию точности
C) в каждой точке х €¦ Y, эквивалентен элементарному комплексу вида
0-»*iHSfc-*0-*...->a G)
Докажем* это утверждение. Рассмотрим комплекс B) и прибавим к нему
тривиальный элементарный комплекс
О -»... ¦+ Vn-г JL^nn-i ->0-»0. </;_i-1. (8)
Получим новый (эквивалентный) комплекс
Гомоморфизм </„_] является эпиморфизмом слоев над точкой х € У.
Следовательно, существует окрестность и Э У, для которой гомомор-
гомоморфизм <?„_] остается эпиморфизмом слоев над точкой х € U. Выберем
расслоение Пп-i тривиальным и достаточно большой размерности, чтобы
существовал эпиморфизм
* 1Ы-1 -»«!,. A0)
Пусть <р — определенная на X непрерывная функция, равная 1 на X\U и
нулю на подпространстве V, 0 < i? < 1, а i/ — функция, равная 1 на под*
пространстве Y и такая, что до's 0. Положим
Dk"dk, 1<*<л-3,
Idn-2 0 1
I, Dn-!»!^-, ipfl
Для точек х € У гомоморфизмы Dk совпадают с гомоморфизмами комп-
комплекса (9). Поэтому комплекс
(и)
эквивалентен комплексу (9), поскольку соответствующие гомоморфиз-
гомоморфизмы комплексов (9) и A1) гомотопны.
Таким образом, заменяя исходный комплекс неэквивалентный, мы
можем .считать, что гомоморфизм <*„_, является эпиморфизмом для
93

всех точек х е X. Это означает, что комплекс B) эквивалентен комплексу
I, с/„_| = ЙО 11. Значит, комплекс A2) экви-
0 1
валентен прямой сумме комплекса
0 - $, ^ Ь ^ - • • - «п-2 "^ %п-х •* 0 - 0 A3)
и тривиального элементарного комплекса
О ¦* ... -* 0 ^ч„_, Д- *„ -» 0. A4)
Следовательно, всякий комплекс вида B) эквивалентен комплексу вида
A3). Отсюда по индукции следует, что всякий комплекс вида B) эк-
эквивалентен комплексу вида G).
Допустим, что элементарный комплекс вида G) эквивалентен три-
тривиальному. Согласно определению это значит, что существует такой три-
тривиальный комплекс
0 -*¦ тц ¦* т?2 ¦+...-»• Пп -*¦ 0, A5)
что в прямой сумме
О -»• Vi ® %i ¦* т ® h •* Пз ¦* ¦ ¦. ¦* Цп •* 0 Aв)
можно произвести гомотопию таким образом, что в результате гомомор-
гомоморфизмы образуют точный комплекс во всех точках х € X. Другими словам
ми, гомотопия определяет комплекс
о-^.Зч.З...1^1 ь-о A7)
расслоений на декартовом произведении XXI, причем ограничение комп-
комплекса A7) на подпространство X X (О) совпадает с комплексом A6),
а на подпространстве (ХХ{1}| U (УХ /) комплекс A7) точен. Если
все расслоения f (, . . . , {"„ тривиальны, то гомоморфизмы Dx, . . ¦, Dn _ l
задаются как такие матричнозначные функции Ьк (х), х € X X /, что
Dk (x)Dfe_i (x) = 0. Поскольку пространство (XX {1}) U (/ X /) явля-
является деформационным ретрактом пространства XX/, существуют гомо-
гомоморфизмы Dlt... ,Dn_l, удовлетворяющие условиям:
а) Dk{x) = Dk\x) при x€(XX{1})U(/X /);
б) комплекс
О^Г, ^Ь % ... ^ fn +0 A8)
является точным при всех х € X X /.
Очевидно, гомоморфизмы Dk гомотопны гомоморфизмам Dk в классе
гомоморфизмов, удовлетворяющих условиям точности C) в точках
х G (XX {1}) U (V X /). Это значит, что в комплексе A6) можно так
изменить гомоморфизмы вне некоторой окрестности пространства У,
чтобы комплекс A6) стал точным на всем пространстве X. Тогда комплекс
A6) разлагается в прямую сумму точного комплекса
0-*-q,®?i Л т?2е?2 1? v'3->0 A9)
94

и элементарных тривиальных комплексов. Рассмотрим новый комплекс
ШГ Ж]
?i®fi -*¦' 4aefce?a -* пз-*о. B0)
гомоморфизмы Ht и Hi которого задаются формулами
Пусть ifi — такая функция, что 0< <^< 1, <^ = 1 на множестве X\U,
if = 0 на множестве Y. Рассмотрим гомоморфизмы
где f: ч'з "»¦ Чг ® ?2 - гомоморфизм, обратный к гомоморфизму Z?2.
Комплекс
ту »»
®Ьф{ •* Пз"*0, B1)
образованный гомоморфизмами Нх и W2/ тоже является точным. При
этом комплексы B0) и B1) имеют гомоморфизмы, совпадающие в
окрестности U и гомотопные на всем пространстве X.
Пусть расслоение Щ®%2® ?2 разложено впрямую сумму образа Im/У, =
= КегН2 и ортогонального дополнения (Im/У, I. Покажем, что в каждой
точке х&Х слои подрасслоений Sj и (Im/V^)* не пересекаются. В самом
деле, если х61/, то гомоморфизм D2 в комплексе A9) имеет вид
IIО2 Oil, т.е. слой расслоения ?2 лежит в ядре гомоморфизма О2. Зна-
Значит, в точках х€Х, где <^(х) = 0, слой расслоения ?2 лежит в ядре гомо-
гомоморфизма Н2. Пусть теперь гомоморфизм F: п'3-+11г®?г91>г, задавае-
„и, таков, что образ ImF ортогонален образу
Тогда йДО 1FM. илиJ0'"-/^ |i I^J. или -*<fM. fW> +
+ (и,/?(х)> = 0 для всех xGi},, и € f 1« f 2 =». 173. Значит, R^yf'f. Посколь-
Поскольку отображение f является мономорфизмом, то при ip(x) Ф0 получаем,
что отображение /7 тоже является мономорфизмом. Следовательно, слой
расслоения $2 не пересекается со слоем расслоения (Im/У, I1. Пусть р:
Ч2®?2Ф?2 "*• lm/?i - ортогональная проекция, & - образ расслоения ?2
при проекции р. Расслоение B изоморфно расслоению ?г- Получаем, сле-
следовательно, изоморфизм Hi'. t?i®li®fi ~*"$2Ф (tiI расслоений, ограни-
ограничение которого на множество У разлагается в прямую сумму двух изо-
изоморфизмов
«Г-'«I"*'б B2)
и ••
^i:4iJi*ti):*FI. B3)
причем изоморфизм B3) продолжается до изоморфизма на все простран-
пространство X. Это значит, что'тройка {%\,di,%2) определяет нулевой элемент
группы Х<2)(Х, Y).
Обозначим через &*¦") {X, Y) множество классов эквивалентных комп-
комплексов вида B), удовлетворяющих условиям точности C).
Нами, таким образом, доказана следующая
95

Теорема 2. Естественное вложение
является взаимно однозначным соответствием.
С помощью теорем 1 и 2 можно дать удобные интерпретации описа-
описания /(-групп для различных важных примеров пространств.
Представление элементов группы К°(Х/У) в виде троек или комп-
комплексов B) называется разностной конструкцией, поскольку ограничение
тройки \%и d, Ы на пространство X равно [%х\ - [|2]. а ограничение
комплекса B) на пространство X равно альтернированной сумме [fj
Примеры. 1. Опишем группу KU{S ). Сферу S можно предста-
представить как факторпространство диска 0" по его границе do" = S",
Sn=Dn/S"-1. Поэтому K°(S") = #*2>{0", 30"). Поскольку расслоение
над диском D" тривиально, то любой элемент группы X * * @м, 30")
определяется'гомотопическим классом матричнозначной функции
d: bD*-SP-l-*Ql.W,C\.
Следовательно. К0 E й). - *„_, (GL (/V, С)) - п„л1 (U(/V)). В частности,
(S2) =ir,(U(/V)) -ir,(UA)) -ir.iS1) -г.ТогдаЛ^2) -Z«Z.
Далее. /T»(SS) - яга (U(/V)) - *2<UA)) - 0. Следовательно, KiS3) « 2.
2. Пусть SX — надстройка над пространством X, т.е. факторпростраиство
конуса СХ по его основанию. SX = СХ/Х. Тогда К°($Х) = ^<2> (СХ, X) -
•= [X, U(/V) ], где [X, U(/V) ] - группа гомотопических классов отображе-
отображений пространства Хв унитарную группу U(/V) при достаточно большом N.
3. Обобщим теперь разностную конструкцию. Вместо тройки (%i,d. %г)
будем рассматривать два комплекса вида B) и отображение* одного комп-
комплекса в другой:
B4)
Пусть каждый горизонтальный комплекс будет точен на множестве У С X.
Оба эти комплекса играют роль расслоений на пространстве X/Y. От гомо-
гомоморфизмов d}c потребуем точность на подмножестве Y' С X. В точках
х е Y комплексы ({/, d1() и (ijt, d3t) точны и определяют нулевые эле-
элементы в группе К(Y). Поэтому любой набор гомоморфизмов d'k можно
понимать как изоморфизм между этими двумя комплексами. Естественно
ожидать, что диаграмма B4) задает элемент из группы K°(X/{Y U У')).
В самом деле, по диаграмме B4) как по биградуировенному комплексу
строится новый комплекс
B5)
гомоморфизмы в котором задаются матрицами
I dlk °
Комплекс B5) точен во всех точках объединения Уи/'и, значит, опре-
определяет элемент группы X <"> (X, Y и Y').

Более общо, пусть задана диаграмма
B6)
в которой каждый квадрат антикоммутативен, т.е. <?*,;+i^*/ +dk+\,td'ki =
- О, причем горизонтальные строки точны на подмножестве У, а верти-
вертикальные столбцы точны на подмножестве Y'. Тогда диаграмма задает
элемент группы К°(Х, YU Y') с помощью комплекса
0-*т?, ¦+ ъ-.;.-*-Пп +т-+ 0. B7)
где п* - ® ?«/з-
a+fi=k
В частности, используя представление элементов /С-групп в виде диа-
диаграмм B6), можно естественным образом строить тензорное произведение
в АГ-группах как билинейную функцию К0 (X, Y) X К°{Х, Г) -»•
->¦ К {X, Y U Y'). В самом деле, пусть
О-**, ^ %i *-* ...-»• |„-»-0 B8)
- комплекс, точный на подмножестве Y, а комплекс
О -»• t?i ¦* т?2 -»-...-»¦ г\п -*¦ 0 B9)
.точен на подмножестве Y'. Рассмотрим диаграмму вида B6), получен-
полученную тензорным произведением комплексов B8) и B9), т.е. положим
?*/ = $*«*»/. C0)
dk, = rffe®1, C1)
rfw-M)'***' C2)
Нетрудно проверить, что диаграмма B6), задаваемая формулами C0) —
C2), имеет точные столбцы на подмножестве Y и точные строки на под-
подмножестве Y, т.е. определяет элемент группы К0 {X, Y U /').
4. Рассмотрим комплексное л-мерное векторное расслоение % над ба-
базой X. Пусть р: Е -*¦X — проекция его тотального- пространства на базу X
Над пространством, Е как над новой базой рассмотрим комплекс рас-
расслоений
<tt <*, <*, dn-\
»• ... > Ani}-*0, C3)
где г) - р*% — прообраз расслоения %, а гомоморфизм dk: ЛЛт?-* Л*+1т?
97

в каждой точке у € Е, у € %х, х = piy), определяется как внешнее умно-
умножение на вектор у ? %х, если считать, что слой {Aki})y изоморфен про-
пространству Л*(?х)« ' слой (Л*+д17)у изоморфен пространству Л^-ц ((•*).
Как известно, если вектор у € %х не равен нулю, у Ф 0, то комплекс C3)
точен в точке у. Следовательно, комплекс C4) удовлетворяет условий)
точности C) во всех точках тотального пространства Е. за исключением
точек нулевого сечения. Обозначим через D{%) подпространство, являю-
являющееся объединением дисков единичного радиуса, а через S(%) — подпро-
подпространство, являющееся объединением сфер единичного радиуса, лежащих
в тотальном пространстве Е. Тогда комплекс C3) задает элемент из груп-
группы К° @(g), S Ш). Обозначим этот элемент через 0 ($) е К0 (D(g), S (!)).
Поскольку пространство Z?(g) гомотопически эквивалентно базе X, К [X) -
- К°{Х, ф) = K°(Dii), Ф)- Следовательно, тензорное умножение на эле-
элемент/}(?) определяет гомоморфизм
Гомоморфизм C4) называется гомоморфизмом Ботта. В следующем
параграфе мы докажем, что гомоморфизм Ботта является изомор-
изоморфизмом.
В честности, если X — одноточечное пространство, a dimg = 1, то ?>(?) -
это двумерный диск, а элемент 0 € Ke{D2, S1) = K°(S°) - Z является
образующим элементом группы K°{S2) и называется элементом Ботта.
5. Существует простой способ сокращения комплекса расслоений B),
определяющего элемент группы /С? (X, Y). Без ограничения общности
можно считать, что п = 2т. Положим
т
Чо ~%\ ®1з® • • .= ® %ik-i> C5)
О
О
d3
О
/36)
C7)
о
Прежде всего заметим, что из расслоений щ и tj, можно построить после-
последовательность
D» Pi
точную на пространстве Y, где
'¦ « °
Do' •.
О ' d*m_.
C8)
О </2m-J
В самом деле, если и¦- («i, и3/.. ¦, u2m-i) е <Чо) х - вектор из слоя рас-
расслоения % и О0(") = 0» то «'fc ("*) = 0 для к = 1, 3,..., 2т - 1. В силу точ-
точности комплекса C) найдутся такие элементы и1к € g2fc, что их =¦ О,
98

т.е. i/= D1[v), v » (i/2, w2»«-2. 0)-Аналогично,
если Dy(v) = 0, то найдется такой вектор и, что о = D0(u). Тогда D = Do +
+ ?>f. Пусть D (u) = 0. Это означает, что Do (и) + D\ (и) = 0. Тогда
0 = (Do + D,) (Do + Ot )u = (Z7oo + DxD\)u.
Поэтому
0= «DSDo +?>|?>Г)и,и) = U>lDou,u) + j
т.е. Dou = D[u - 0. Следовательно, в силу точности комплекса C8) и-
для некоторого вектора v € (t?i ) х. Значит,
т.е. и = 0. v
Покажем теперь, что Z7 является эпиморфизмом. Пусть v — вектор,
ортогональный образу ImO, т.е. (и, Du) = 0 для любого и€ (т?0)х- Тогда
DV = 0, т.е. (Do + D,) v ¦ 0. Поэтому 0 = (Do + D*) (DS + Z>i ) it = (O0Z?S +
+ Z?l0,)ir =0. Значит, 0= ((DoC>S + DXd^v.v) = (dS^.D^) + (О,и,О,и),
т.е. OoV = 0^=0. Тогда в силу точности комплекса C8) v - Dou. Следо-
Следовательно, (и, и) = (v, Z70u) = (Z?oV u) = 0, т.е. v = 0. Итак, образ ImO
совпадает со всем слоем (т?,)х.
Конструкция, задаваемая формулами C5) — C7), сопоставляет комп-
комплексу B), удовлетворяющему условию точности C), некоторую тройку.
При этом тривиальному комплексу сопоставляется тривиальная тройка,
я гомотопным комплексам сопоставляются гомотопные тройки. Наконец,
если комплекс B) имеет нетривиальными только расслоения ?i и ?2,
т.е. по существу является тройкой, то ему сопоставляется сама эта тройка.
I аким образом, формулы C5)-C7) задают гомоморфизм Ж *"> (X, Y) ¦+
- ЖB~> (х, Y), обратный к гомоморфизму из теорамы 2.
6. Задаваемое формулами C0) - C2) тензорное произведение троек
0 ¦+ Si -* |j ¦+ Q, 0 -»• Vi ¦* Ъ -*¦ 0
согласно конструкции из предыдущего примера может быть представлено
тройкой ,
D
0-4?i ® t?,)©(?2 ® tfc)-> (?, ® i?2)e($2 ® 4l)-»-o, C9)
где гомоморфизм D задается матрицей
- D0)
d ® 1 -1 ®d'*
I
1.
1 <ad' d ® 1 |
§ 2. Периодичность Ботта
Как мы уже показали в предыдущем параграфе, элемент & G K°{S2), за-
задаваемый в виде разностной конструкции C3) для тривиального расслое-
расслоения над точкой, является образующим элементом в группе K°(S2). Рас-
Рассмотрим пространство X X S2. Проекции XX. S2 -*Х, X X S2 -+S2 задают
отображения К (X) -+K(XXS2) и K(S2) ^*K(XXS2). Поскольку кольцо
K[S2) изоморфно кольцу усеченных многочленов Z[0]/{02 = 0}, гомо-
гомоморфизм
Л: К(Х) <aZ[t]/{t2 = 0} = KV()lt]Ht2 = 0}->K(XXS2) A)
99

задается формулой
Теорема 1 (периодичность Ботта). Гомоморфизм A) является
изоморфизмом колеи К {XX S2) и К {X) [t] /{t2 ' 0).
Доказательство. Требуется доказать, что существует обратный
к.A) гомоморфизм
К (X X S2) -+KVO W /{t2 = 0}. B)
Рассмотрим пару [X X S2, X X {s0}), где s0 — отмеченная точка. Точная
последовательность в /С-теории имеет вид
K(SX) -S- К(X X S2, X X {s0}) нГ К(Х X S2) + К(Х),
где 7: X ¦* X X S2 — вложение множителя Хв подпространство XX {s0}.
Нетрудно усмотреть, что гомоморфизм /* является эпиморфизмом, а
значит, 6 является нулевым гомоморфизмом. В самом деле, компо-
композиция вложения / и проекции р: X X S2 •*¦ X является тождественным
отображением. .Поэтому гомоморфизмы /*: КIX X S2) -*¦ К{Х), /'*:
/C(S(XXS )) -+K(SX) являются эпиморфизмами. Далее, гомоморфизм
Л в композиции с гомоморфизмом /* сопоставляет многочлену х + ty
элемент х. Поэтому h [ty) € К°[Х X S2, X X {*0}). Таким образом, доста-.
точно показать, что гомоморфизм Л: tK(X) '-*¦ К(XX S2, X X {s0}) явля-
является изоморфизмом. Поэтому необходимо построить обратный гомо-
гомоморфизм
' C)
Группа К°(Х X S2, X X {*„}) изоморфна группе АС°(Х X D2, X X S1),
где О2 - двумерный диск, а его граница S1 — одномерная окружность.
Поэтому всякий элемент группы К°{Х X D2, X X S1) представляется
разностной конструкцией посредством тройки (|,, d, |2)r где %\Лг —
векторные расслоения над X X D , а d — изоморфизм этих расслоений
над X X S1. Поскольку пространство XX О2 стягивается к пространству X,
можно считать, что расслоения %\Лг заданы над пространством X, а d — изо-
изоморфизм прообразов расслоений \\,\г при проекции XXS1 -+Х. Посколь-
Поскольку X - конечное клеточное пространство, можно считать, что расслоения
It и ?2 тривиальны. Значит, изоморфизм d можно задать в виде матрично-
значной функции
d: XXS1-*^) D)
для достаточно большого числа п. При этом следует иметь в виду, что трой-
тройки, эквивалентные тройке Bfi, d, ?2)> получаются в результате выполне-
выполнения двух операций: композиции отображения d с вложением U(n) С
С U(n + /?') и гомотопии отображения d в классе отображений X X S1 -*¦
-+GL{C,n).
Итак, задана непрерывная Матричнозначная функция
х(=Х, 1
Переменная г будет рассматриваться как комплексная переменная с усло-
условием |г| = 1.
Первый шаг. Произведем «-аппроксимацию функции d{x, г) с
помощью гладкой функции по формуле
100
j
— / сНх, ef*)dip. E)
2е „_е

Второй шаг. Рассмотрим ряд Фурье функции E):
</,(х, г) ~ 2 ак{х)гк,
к
F)
где
1
2п
**(*) / сНх, е'*)е~
2п о
Ряд Фурье (б) сходится равномерно по переменным х и г и равностепен-
равностепенно в классе функций d[x, г) € 1)(л).
Третий шаг. Ограничимся конечным отрезком ряда Фурье
fN{x, г) = 2 ак{х)гк.
k N
Номер /V выберем настолько большим, чтобы
fN(x, z)€GL(n, С).
Четвертый шаг. Рассмотрим матричнозначный многочлен
pN{x, г) = г%г(х, г). . G)
N
Пятый шаг. Если р(х, г) = 2 Ьк(х)г €GL(n, С) — матрично-
/t = o
значный многочлен, то.положим
1
—г
...О
...О
О
о
1
. (8)
Шестой шаг. Матричнозначная функция (8) уже линейно зависит
от переменной г, т.е. представляется в виде
С). (9)
nN
nN
Поэтому существует проектор Q(x): CnN -* CnN, коммутирующий с опе-
оператором ?N(p) (x, г) при любом значении переменной г, причем простран-
пространство C"N разлагается этим проектором на два подпространства V+ ф V.,
удовлетворяющие условиям:
а) оператор lN(p)(x,z): V+-»-V+ является изоморфизмом при |г| > 1;
б) оператор ?Nip)(x,z): V.-+V- является изоморфизмом при |/)<1.
Седьмой шаг. Согласно теореме § 5 главы 1 семейство проекторов
Q(x) задает разложение тривиального расслоения XXCnN в сумму двух
расслоений V+(x) ф V_(x) . Положим
A0)
Остается показать, чтс формула A0) Определяет гомоморфизм C), обрат-
обратный к гомоморфизму Л: tK[X) -* K°{XXS2,.XX{so}), определенному
формулой Л(?) = ?® 0. Заметим, что построенная на первом шаге функция
dx гомотопна функции d в указанном ранее классе функций, причем,
если d и 3 — близкие функции, то и их б-алпроксимации тоже близки в
С1-норме. Поэтому конечные отрезки ряда Фурье f^ix, г] гомотопны
функции' d, а если d и 3— близкие функции, то их конечные отрезки
101

ряда Фурье тоже близки. Переход к функции f/v на четвертом шаге соот-
соответствует тензорному умножению элемента ? = ((¦!, dr $-2) «а степень рас-
расслоения Хопфа, т.е. на элемент @ + 1 )/V.
Матричнозначная функция (8) гомотопна функции вида
О Е
где Е — единичная матрица порядка nN. Эта гомотопия задается с по-
помощью разложения матрицы ?^{р) (х, *) в произведение
1 ^i Яг • ¦ ¦ Ян
0 1 0 ... 0
(л, г) =
О 0, 1
О О
О ... 1
Pn
0
1
0..
1..
,0..
. 0
. 0
. 1
1
—г
0
0
0
1
—г
0
0 .
0 .
1
0 .
.. 0
.. 0
0
.. 1
A1)
При этом многочлены q\, Яг, ¦ ¦ ¦ ,Qn однозначно восстанавливаются из
соотношений A1). В самом деле, приравнивая левую и правую части соот-
соотношения A1), получаем следующие уравнения:
pN{x, z)-zql[x, г) = />0(х),
qiix, z)-zq2k, z)= b^),
A2)
qN-i(*, 2)-zqn(x) = bN_l{x),
qNlx)
Система A2), очевидно, совместна и имеет единственное решение.
В правой части соотношения A1) первый и третий сомножители являют-
являются матрицами, гомотопными единичной матрице. Отсюда и следует, что
»Pn 0
0 Е
Заменим теперь функцию fpf на функцию f/v+i- Очевидно, что функ-
функции fN и fN+\ гомотопны. На четвертом шаге многочлен pN = гNf/v(x, г)
заменится на многочлен _ pN+1 = г * fpf+1 (х, г), который гомотопен
многочлену zpN. Матричнозначная функция ?2/v+2(P/v+i) гомотопна
функции ?2n+2\*Pn)- Функция ?2n+2(*Pn) имеет вид
0 6ф(х) biH ... ЛаЛГ(х). 0
¦^ 1 0 ...0 0
0 -г 1 ... 0 0-
0 0 0 ... 1 0
0 0
102

и гомотопна прямой сумме ?.1N{pN)®zE 9E, где Е- матрица п-го поряд-
порядка. Следовательно, при разложении функции ?2м{Рн)ф*Е®Е на шестом
шаге на два слагаемых пространства V+ и V_ увеличатся на прямые
слагаемые С". Таким образом,
l(d) = (V+(x) + W - iJWTT))t = (W+{x) -i)r» vN(d).
Значит, построение элемента vN(d) по формуле (9) не зависит от выбора
числа N.
Пусть теперь тройка (%\^d, %2) представляет элемент Л(Гт?), т? € К{Х).
Согласно определению элемент h(tri) задается как тензорное произведе-
произведение расслоения т? над базой X и разностной конструкции 0 на паре
{D2, S1) по формуле C3) из § 1. Элемент 0 задается тройкой .(С1, г, С1),
где С1 - одномерное тривиальное расслоение над диском О2 С С1, а г —
линейная функция от комплексной переменной г. Тройка (?ь d, g2)
имеет вид (tj, d, т?), гЦх, г) = г. Пусть т?| - обратное к т? расслоение.
Тогда прямая сумма п ® *?i является тривиальным расслоением некоторой
размерности п. Тройка (tj®t?i, ef® I, t?®tji), очевидно, эквивалентна
тройке (т?, d, n). Поэтому гомоморфизм d=d®\ задается в виде матрично--
значной функции
г) ш Д(х)г + В(х). A3)
линейно зависящей от переменно^ г. Следовательно, при построении
элемента vN{3) мы пропускаем первый, второй и третий шаги, считая, что
функция A3) уже задает конечный отрезок ряда Фурье. Тогда в этоМ случае
/V=1,p,(x, г) = В(х)г+А(х)г2. а
10 В(х) А(х)
-г 10
0 -* 1
Функция JC2(Pi)(x, г) гомотопна матричнозначной функции
г 0 0
0 BU) А{х)
0 -г 1
которая в свою очередь гомотопна функции
|г 0 О
0 А{х)г+В{х) 0
0 0 1
Значит, разложение пространства на два слагаемых V.(x) ® V_(x) в соответ-
соответствии с седьмым шагом согласовано с разложением расслоения 7?®j?i. т.е.
V+{x) = Tj®n, V_(x) = r?i ®?Г. По формуле A0) имеем
vi <</) = (V+U)-/f )г = r?f,
или
Гт?. A4)
Обратно, пусть ? = ($ь <^ Ь) — произвольный элемент группы
/C(XXS2|, XX{s0}). Первый, второй и третий шаги приводят к тройке
(It, ^v. Ь). эквивалентной тройке |. Четвертый шаг задает тройку f =
= (fi, P/v. ?2). причем S^Tj^eS» где т? — расслоение Хопфа над сферой
103

S2, т.е. i? = 1 + Д, а /3 определяется формулой C3) из § 1. Пятый шаг оп-
определяет новую тройку
эквивалентную элементу % + BnN) (A + 0)""" ^ - 1). Шестой и седьмой шаги
задают два расстояния У+(*) и V_(x), причем
V+<x) ® V_(x) -nBN+J),
fi - V+(x)(A + /J)-"+1 -1)e V_(x)(d +Р)-^-1).
Таким образом,
" **1 -n +
Заметим, что /J1 = 0. Поэтому
% + 2n/V(-ЛО0 - V+ (х) 0 + nBN + 1) (-/V)fi,
Следовательно,
^Jj ^7 S. A6)
Формулы A4) и A6) показывают, что отображение vN, задаваемое фор-
формулой A0), обратно к отображению Ь. Теорема 1 полностью доказана.
§ 3. Периодическая АГ-теория
Используя периодичность Ботта, можно определить группы К"(Х, Y)
не только для отрицательных значений номеров п, но и для положи-
положительных.
Заметим сначала, что прямая сумма ® Кп(Х, Y) снабжается кольце-
п<0
вой структурой, превращающей эту прямую сумму в градуированное коль-
кольцо. В самом деле, группа К~п(Х, Y) - это группа K°{SnX, SnY).
Пространство SnX удобно представлять как факторпространство
фп X X)/{{S"-1 X X) U (D" X х0)}. Поэтому факторпространство
SnX/SnY можно представить как факторпространство {PnXX)/({Sn-1XX)U
U фп X /)}. Значит, ¦ K°(SnX, S" Y) * /f° фп X X, {S"~a X X) U (D" X У)).
Поэтому построенная в § 1 операция тензорного произведения разност-
разностных конструкций может быть применена и здесь. Декартовы произведения
D" X X и Dm X X будем считать вложенными в пространство 0n+m X X.
Тогда группы K°{S?X, S?Y) и K°{SmX, SmY) изоморфны соответствен-
соответственно группам К0 @n+m XX, (D™ X S"-1 X X) U Шп+пг X Y)) и К0 @П+ШХ
XX, IS1" X 0" X X) U @"+ш X Y)). Объединение (О X Sn~i) U
U (Sm-1 XD") есть не что иное, как граница диска о"+т, т.е. сфера
§n+m-i Значит, формулы C0)-C2) из §1 задают билинейное отобра-
отображение
K°{SnX, S"/)X/C°(SmX, SmY) •* /C°(S"+mX, Sn+my),
или, что то же самое, билинейное отображение
К~"{Х, Y)XK-m(X, Y) -* Ar-(n+m>(X, У). A)
Операция A) превращает прямую сумму © Кп(Х, Y) в градуированное
кольцо. п<0
104

Замечание. Отображение A) может быть обобщено на случай раз-
различных пар (X, Y) и (Л", /'). В этом случае получается билинейное
отображение
К~п(Х, Y)X K-m(X', Y1) •*¦ Af-<"+w)(XXX',(XXV")U(/XX')). B)
Это отображение тоже называется (внешним) тензорным умножением.
Гомоморфизм A) получается из гомоморфизме B) в результате компози-
композиции с гомоморфизмом,индуцированным вложением Х-+Х X X пространст-
пространства X в качестве диагонали. В частности, из гомоморфизма B) получается
билинейное отображение
K-niX, Y)X K-m{S°, s0)-* K~("+m)(XXS°, (XXso>U(/XS°)) =
= K-(n+m)(X, Y), C)
где E°, $o) — нульмерная сфера, т.е. пространство, состоящее из двух изо-
изолированных точек, a s0 - одна из этих точек.
Операция тензорного умножения, задаваемая отображением C), задает в
группе ® К" IX, Y) структуру градуированного модуля над градуирован-
п<в
ным кольцом © Kn(S°,So).
л<0
Соглесно теореме предыдущего параграфа о периодичности Ботта опе-
операция тензорного умножения
K{X)XK°(S2, So) -*K°{XXS2, X X {s0})
задает изоморфизм.
h: К(Х) -* K°(XXS2, XX{s0}) = K°(XXD2, XXS1)
по формуле Л(?) = ?®0, где 0е K°(S2,s0) = K-2{S°,s0) = Z -образующий
элемент Ботта. Рассмотрим отмеченную точку х0 GX и диаграмму го-
гомоморфизмов
К(Хлв) KeiX*DZ,(X*Sl)U(x0* дг»
Ш02
В случае комплексных расслоений гомоморфизм K°{XXD2, XXS1)-*
-*¦ К°&х0 X D2, х0 X S1) является эпиморфизмом, поэтому гомоморфизм
К°{Х, х0) ¦+ K°(XXD2, (XXSl)V(x0XD2)) D)
является изоморфизмом и совпадает с умножением на элемент Ботта /? в
соответствии с отображением C): К°{Х, х0) X /T2(S°, s0) -*К^{Х, х0).
Из того, что отображение D) является изоморфизмом, следует, что в би-
билинейном отображении К°(Х, Y) X K-2{S0, s0) -* K~2(X, Y) умножение
на элемент 0 тоже задает изоморфизм
К°(Х, Y)°? K~2{X, Y). . E)
В частности, получаем, что умножение на элемент 0 задает изоморфизм
К~п(Х, Y) *2 К-п~2(Х, Y) F)
105

или, другими словами, что группы К "(X,Y) и К * 2(Х, Y) изо-
изоморфны:
К~п{Х, Y) » К~п-2{Х, Y). G)
Собственно, формула G) и оправдывает название "периодичность Ботта".
Кольцо ® Kn(S°, s0) изоморфно кольцу многочленов Z[/3], /3 €
п<0
€ /С*2 (S°, s0). с целыми коэффициентами.
В силу периодичности Ботта G) для описания групп К" (X, Y) достаточ-
достаточно знать всего лишь две группы: K°iX, Y) и К~Х(Х, Y).
Группы Кп (X, Y) удобно определять для любого целого индекса п, по-
полагая Кп{Х, Y) = Kn~2N{X, У). Можно также считать, что группы
К"(Х, Y) нумерованы не целыми числами, а вычетами по. модулю два.
Тогда точная последовательность для пары {X, Y) примет следующий
симметричный вид:
Х, Y) <- K°(Y, х0) *- К°(Х, х0) <-
<- К°(Х, Y)+-Kl(Y, х0) <- К1(Х, х0) *¦
*¦ К1 IX, Y) *- K°(Y, x0) +¦... • (8)
Обозначим через К*(X, Y) прямую сумму К°{Х, Y) в К1 (X, Y). Груп-
Группа К*(Х, Y) является кольцом, градуированным группой Z2. Для этой
группы точная последовательность (8) примет следующий вид:
... ¦¦ К'(Х, Y) <- K4Y, х0) I- К*(Х, х0) *¦ К*(Х, Y)*-... (9)
Гомоморфизмы /' и у* являются кольцевыми гомоморфизмами, а гомо-
гомоморфизм Э сдвигает градуировку на единицу.
Рассмотрим характер Черна, построенный в § 6 предыдущей главы. Его
можно представлять как кольцевой гомоморфизм градуированных колец:
ch: К'(Х, Y) + Н**(Х, Y; Q), A0)
причем кольцо Н**{Х, Y; Q) рассматривается как Z2-градуированное
кольцо в разложении на прямую сумму четномерных и нечетномерных
когомологий.
Теорема. Гомоморфизм
ch: K*iX, Y)9Q -*¦ Н**(Х, Y; Q) A1)
является изоморфизмом для любой конечной клеточной пары {X, Y).
Доказательство теоремы основано на лемме о пяти изоморфизмах
и проводится индукцией по числу клеток пространства А". Пусть X DX' D Y
и X \ X' состоит ровно из одной клетки. Тогда имеем следующую ди-
диаграмму из двух точных последовательностей:
...—к 'orjr>a -— rar;r)*a -— ru ,Y)*a —¦-.
j y h
-ГТГ.ГД)—
ck U
106

Четыре вертикальных гомоморфизма, кроме среднего, являются изомор-
изоморфизмами по предположению индукции, поскольку пару (X, X') можно за-
заменить на диск с границей, т.е. на одну клетку. Значит, средний вертикаль-
вертикальный гомоморфизм является изоморфизмом. Остается проверить начальный
шаг индукции, т.е. доказать, что гомоморфизм
ch: K*(Dn, S"-1)®Q -* Н'*Ш", S"-1; Q) A2)
является изоморфизмом. Пусть п = 2. Тог.да группа К0ID2, S1) равна
группе Z с образующей 0= [?] - 1, где ? - расслоение Хопфа. Имеет
место равенство ch/3 = ch? - 1 =вс> — 1-Ci, где Ci GH2{S2, s0: Q) -
целочисленная образующая. Значит, гомоморфизм
ch: K°(D2, Sl) ® Q -* H2*(D2, S1; Q) a
является изоморфизмом. Далее, Kl{D2, S1) = 0, нечетные же когомоло-
гии пары (D2, S1) тоже равны нулю. Таким образом, характер Черна яв-
является изоморфизмом при п = 2. Это значит, что кольцевой гомомор-
гомоморфизм ch: K*(S°,so)<s>Q-+ H**iS°,so;Q) является изоморфизмом. По-
Поскольку
KsiDn,Sn-1) = Ks-n{S°,s0)l Hs{D",Sn-l)-Hs-n{S°,s0),
то гомоморфизм A2) является изоморфизмом при любом п. Теорема
полностью доказана.
Из теоремы, в частности, вытекает, что для любого класса когомологий
х € Н 2к {X) найдется такое расслоение [|], что первая нетривиальная одно-
однородная компонента ненулевой размерности характера Черна расслоения
? будет кратна х, т.е.
ch % = dim % + Хх + члены большей размерности, \Ф0.
§ 4. Линейные представления и расслоения
Всякое линейное представление группы G в векторном (комплексном)
п-мерном пространстве задается гомоморфизмом р: G-*GL[n, R)
(GL (п. С)). Поэтому, если задано главное G-расслоение ( над пространст-
пространством X, то, заменяя функции склейки \ра&: Uap •*¦ G расслоения ? на их ком-
композицию с представлением р, мы получаем функции склейки р о фа^: Uap -*
-*¦ GL {n, R) нового расслоения {р со слоем R", которое уже является век-
векторным расслоением.
Пусть ?с - универсальное G-расслоение над классифицирующим прост-
пространством BG. Обозначим через R(G) группу виртуальных линейных конеч-
конечномерных представлений *) группы G. Группа R (G) является кольцом
относительно операции тензорного произведения представлений. Каждому.
представлению р сопоставляем векторное расслоение ? q . Это сопоставле-
сопоставление порождает кольцевой гомоморфизм
Ь: R(G)-+K{BG). A)
Интерес к отображениям A) связан с различными вопросами. Виртуаль-
Виртуальное расслоение Ь(р) = [{?] является инвариантом виртуального представ-
представления р, с помощью которого алгебраические свойства представления р
можно описывать в гомотопических терминах.
*' То есть формальных линейных комбинаций представлений с целыми коэффи-
коэффициентами.
107

Пусть G = U (л). Тогда элементы группы К (BU (л)) описывают всевоз-
всевозможные когомологические операции в /(-теории, при которых каждому
л-мерному комплексному расслоению { над базой X сопоставляется эле-
элемент группы К (X). Если элемент группы К (BU (л)) лежит в образе гомо-
гомоморфизма A). то тогда эта когомологическая операция задается просто
линейным представлением структурной группы U (л). В частности, интерес
представляет вопрос: является ли гомоморфизм A) эпиморфизмом, и
если нет, то каков образ гомоморфизма A) ?
В этом параграфе мы рассмотрим лишь простейшие примеры, оставив
более содержательные примеры на следующую главу, где будут разработа-
разработаны более глубокие вычислительные методы.
Группа G =Si. Всякое линейное комплексное представление группы S1 =
= U<1) разлагается в сумму одномерных представлений. Одномерное же
представление рк: G-*UA) задается формулой
гк, B)
где г € G = S1 - комплексное число, модуль которого равен единице, а
к — целое число. Таким образом, все неприводимые представления нумеру-
нумеруются целыми числами. Совершенно ясно, что тензорное произведение пред-
ствлений рк удовлетворяет следующему соотношению:
Следовательно, кольцо /7(SM мультипликативно порождается двумя
элементами fit ир_,, т.е. изоморфно факторкольцу Z [р,, р_, ] /(piP_t =
= 1} многочленов от двух образующих р\лр_1 с единственным определяю-
определяющим соотношением PiP_t = 1. Такое кольцо иногда называют кольцом
лорановских многочленов от одной переменной и обозначают через
Z[p+(pf'I.
С другой стороны, классифицирующее пространство BG = BS = ВЦA)
гомеоморфно прямому пределу Mm СР" = СР°° комплексных проек-
л -* °°
тивных пространств, вложенных друг в друга. Поскольку представление р\
является тождественным гомоморфизмом группы S1 а 0A) в себя, то
соответствующее ему при гомоморфизме A) расслоение b[pt) =%gx равно
универсальному одномерному расслоению % г. Следовательно,
Ь(рк) = {i® ... ®Ei
к раз
при к > 0. Поскольку г = г для комплексных чисел \г\ = 1, то пред-
представление р_! комплексно сопряжено к представлению pt. Значит, Ь[р_,) =
к раз
Кольцо когомологий пространства BS1 = СР" изоморфно кольцу много-
многочленов от одной переменной H*(BSl) - Z [а], а € НЦВв1). Рассмотрим
сквозной гомоморфизм
RiS1) *-*Af(BSM *-*//**(BSl;Q). D)
Для этого гомоморфизма выполнено соотношение
2 "'¦*!.'"
108

Следовательно, положив и = р- 1, получим
а2 ак
сп Ь{и) = а + — + ... + + ... E)
2 Аг!
Элемент, стоящий в правой части равенства E), тоже может служить обра-
образующим элементом в кольце формальных рядов, изоморфном кольцу
Н ** (BS'; Q). Это значит, что образ сквозного гомоморфизма D) после
тензорного произведения на кольцо Q рациональных чисел образует плот-
плотное множество в кольце формальных рядов W**(BSl; Q)*=Q[[a]j, если в
качестве базиса окрестностей в кольце Q[ [а] ] взять степени идеала рядов
с нулевыми свободными членами. Следовательно, мы получаем следующую
теорему.
Теорема 1. Образ гомоморфизма .
является всюду плотным под кольцом в кольце K{BSl) ® Q.
Из соотношения E) следует, что кольцо R (S') изоморфно кольцу ло-
рановских многочленов Z [р,, pf' ], т.е. других соотношений, кроме соот-
соотношения P,P_i = 1, в кольце R (S1) нет. В самом деле, рассмотрим кольцо .
формальных рядов Z [[и]] и отображение f: Z[[u]] -*Q[[а]], задаваемое
формулой
f(u)=ea-\. F)
Отображение F) является мономорфизмом. С другой стороны, вложение
кольца Z[р,, pf' ] в кольцо Z [ [и] ] задается формулой
Таким образом, имеем следующую коммутативную диаграмму:
Ж51)
У
F"(BS!;O)
Поскольку композиция fog является мономорфизмом, то и отображение
р тоже является мономорфизмом. Значит, отображение р является изо-
изоморфизмом.
Группа G = 2. Классифицирующее пространство группы Z гомеоморф-
но окружности S1 и K{Sl) = Z. Следовательно, два комплексных линей-
линейных представления группы Z той же размерности не различаются гомо-
гомоморфизмом A).
Группа G ¦ Z X Z. В этом случае классифицирующее пространство гомео-
морфно 7*2 = S1 X S1. Поэтому группу /С(Г2) можно вычислить, исходя
из точной последовательности пары (Т2, S1 V S1):
АГ1 (S1 VS1,s0)¦*АС0(Г2,S1 VS1)¦¦ АГ°(Т2,so)^K°<Sl VSl,t0).
Поскольку Н2 (Т2, s0; О) - 0, в силу теоремы из I 3 имеем равенство
К°[Т2, s0) ® Q *Q. Далее,факторпространство Т2/{8г VS1) гомеоморф-
4 109

но двумерной сфере. Следовательно, К°{Т2, S1 VS1) - Z. Поскольку
K°(SlVSl.i0) = 0, гомоморфизм/*: К0(Г2, {S1 V S1)) -*К°(Т2 ,s0)-
ненулевой, а Э = О. Следовательно, группы К°(Т2, S'VS1) иАС°(Г2,в0)
изоморфный,значит,К0(Т2,s0) = г,или АС!G,50) = Z X Z.
Всякое конечномерное линейное представление группы G = Z X Z задает-
задается двумя матрицами А и В, удовлетворяющими условию коммутативности
АВ ш ВА. Если At, Bt — два непрерывных семейства невырожденных мат-
матриц, удовлетворяющих условию коммутативности AtBt - BtAt, то соот-
соответствующее семейство представлений pt группы G - Z X Z определяет
изоморфные расслоения ?Gf над классифицирующим пространством. По-
Поскольку любая пара коммутирующих невырожденных комплексных матриц
путем непрерывной деформации может быть переведена в пару единичных
матриц с сохранением во время деформации условия невырожденности и
перестановочности, отсюда следует, что для любого представления р группы
G образ Ь{р) = % Q является тривиальным расслоением. Итак, гомоморфизм
Ь: R(G)-+K(BG)
в случае группы G - Z X Z отображает любое представление р на его раз-
размерность, значит, он не является эпиморфизмом.
Группа G = Z". Случай семейства представлений. Случай группы G = Zn =
- Z X ... X Z [п раз) разбирается аналогично случаю Z2. Для любого ко-
конечномерного комплексного представления р группы G расслоение три-
тривиально. Рассмотрим какое-нибудь непрерывное семейство ру, у € Y.
представлений группы G, параметризованное топологическим пространст-
пространством Y. Пусть X = BG — классифицирующее пространство, ? с - универсаль-
универсальное расслоение, которое мы будем рассматривать над декартовым произ-
произведением XXV*). Функции склейки ipap расслоения ?с не зависят от аргу-
аргумента у € У. Однако композиции фа0 = ру° уа& являются функциями
склейки, зависящими от обоих аргументов х е X, у Е Y. Функции фар
задают векторное расслоение % ? над базой X X У. И хотя при каждом фик-
фиксированном значении аргумента у0 расслоение %СУ" тривиально, все рас-
расслоение % Рс над базой X X Y может оказаться нетривиальным.
Например, в качестве пространства Y возьмем группу характеров груп-
группы G, Y = 6*, а в качестве представления ру — сам характер у группы G,
ру: G -+S1. Разложим группу 6 в сумму циклических слагаемых G ° Gt X,
X ... X Gn, Gk = Z. Тогда группа характеров G* разложится в прямое
произведение групп G* = G* X ... X G*. Аналогично, классифицирующее
пространство BG разлагается в декартово произведение BG = BGt X ...
... X BGn. Все сомножители G** и BG, гомеоморфны окружности. Поэтому
пространство X X Y имеет вид
Х.Х / = G*X BG-r"X T".
Образующие у групп одномерных когомологий пространств X и У,
соответствующие сомножителям Gft*n BG/, обозначим соответственно через
xkeH1(X;Z) и y,<=HHY; Z).
В данном случае расслоение %q одномерно и имеет единственный нетри-
нетривиальный класс Чженя с{ ?
*> То есть будем рассматривать прообраз расслоения tc при проекции ХХУ-Х.
110

Теорема 2. Пусть р - семейство всех характеров группы G = Z".
Имеет место формула
t
Доказательство. Двумерные когомологии пространства XX Y
порождаются элементами вида х,х/,х/Н/ и к,И/. Поэтому имеет место раз-
разложение вида
с,
Наша задача заключается в вычислении целочисленных коэффициентов'
\ц,цц,1>ц. Сумма EfitjXjXj является классом Чженя ct ограничения рас-
расслоения %q на подпространство XX к0, а сумма "Еуцу/У/ является клас-
классом Чженя ct ограничения расслоения {? на подпространство х0 X Y.
Поэтому обе суммы равны нулю. Каждый коэффициент \f/ можно вы-
вычислить, интерпретируя его как коэффициент класса Чженя ограничения
расслоения %"с на произведение BG/ X G*. Функции склейки ограничения
?с на подпространство BG, X G* зависят только от ограничения представ-
представления р на подгруппу G/. Если 1Ф}, то при изменении координаты у € G*
представление р I G, не меняется. Значит, ограничение расслоения $? на
подпространство BG, X G*будет тривиальным, а поэтому и \ц - 0. Остает-
Остается рассмотреть случай группы G *» Z, когда X = S1, У = S1. Без ограничения
общности можно считать, что карты U^ и {/, — это верхняя и нижняя полу-
полуокружности, а пересечение карт состоит из двух точек: t/i П1/2 ¦ {1, — 1} .
Главное расслоение {с наД пространством X X S1 определяется единствен-
единственной функцией склейки ^12 на пересечении двух карт Ux C\U2. При этом
*^i2*"•) = 0. ^12<- 1> я 1- Пусть у€ / = S' - характер группы G = Z. Тог-
Тогда композиция функций склейки у12 с представлением р задается фор-
формулой
A. х = 1,
(К, х = -1.
Если мы в двумерном торе 7*2 стянем в одну точку меридиан х * 1 и парал-
параллель у ,= 1, то получим пространство, гомеоморфное двумерной сфере. При
этом второй меридиан х = -1 разобьет сферу S2 на два диска. Та же функ-
функция склейки ф12 задает расслоение т? над сферой S2, причем р*(т?) =??,где
р: Т2 -*S2 — естественная проекция. Расслоение же tjизоморфно расслое-
расслоению Хопфа (см. § 6 главы 1). Следовательно, первый класс Чженя с, (ту)
является образующей в группе H2(S2; Z). С другой стороны,р*(с,(??)) =ху,
x,y€iHl(T2; Z). Теорема 2 полностью доказана.
§ 5. Эквивариаитные расслоения
Пусть G - компактная группа Ли. Под G-пространством мы будем пони-
понимать топологическое пространство X вместе с действием группы G на нем.
Если f: X-+Y — непрерывное отображение G-пространств, причем
f(gx)=gf{x), gGG, ' A)
то f называется эквивариантным отображением.
Пусть задано локально тривиальное расслоение
р: Е-+Х. B)
111

Если база X и тотальное пространство Е являются G-пространствами, а про-
проекция р является эквивариантным отображением, то расслоение B) назы-
называется G-расслоением.
Если расслоение B) является векторным расслоением, а действие груп-
группы G в тотальном пространстве является линейным преобразованием рас-
расслоения, то расслоение B) называется векторным & расслоением.
Теория векторных G-расслоений во многом аналогична обычной теории
векторных расслоений. Векторные расслоения с действием групп G допус-
допускают операции прямой суммы и тензорного умножения.
В случае,если действие группы G на базе X является достаточно простым,
то описание векторных G-расслоений сводится к задаче описания обычных
векторных расслоений.
Например, пусть пространство X является тотальным пространством
главного G-расслоения с базой У, т.е. пространство орбит действия группы
G на X гомеоморфно пространству У, а естественная проекция
я: X-+Y C)
является локально тривиальным расслоением. Тогда говорят еще, что груп-
группа G свободно действует на пространстве X.
Теорема 1. Множество векторных G-расслоений над пространством X
изоморфно множеству векторных расслоений над пространством У, а изо-
изоморфизм устанавливается с помощью соответствия tj ¦* я* (ij).
Доказательство. В расслоении я* (ij) канонически задается дейст-
действие группы G. Если у Е У —произвольная точка,, UB у -достаточно малая
окрестность, то tj |t/« UXF, а я (U) •¦ UXG. Тогда ограничение расслое-
расслоения ff*(q) на я'1 (U) изоморфно декартову произведению UXGXF. Дейст-
Действие группы G на U X G X F задаем левыми сдвигами второго сомножителя.
Обратно, пусть $¦ -*¦ X — произвольное G-расслоение. Рассмотрим точку
у € У и V = я (и). к е U. Имеет место гомеоморфизм V = U X G. Пусть
х € я'1 (к) и W = U X О — достаточно малая окрестность такая, что ограни-
ограничение расслоения ? на W тривиально, т.е. %\W "UXOXF. Пусть х *
= (у,е) eV = UXG. Тогда существует такой изоморфизм %\W = UXOXF,
что действие группы G является левым сдвигом по второму множителю.
В самом деле, зададим отображение <fi: UXOXF -+%\W следующим обра-
образом: пусть <р: U X {е} X F -*% \ U X {е} - некоторый гомоморфизм. По-
Положим
*ty.9.f)=g<piY,e.f)e%\w. yeu, geo. D)
Поскольку формула D) имеет смысл для любого элемента д € G, то полу-
получаем изоморфизм
<р: UXGXF-*l;\ir-l(U).
Если ifi': U' X G X F -*? |тг~'((/)- другой такой же изоморфизм, то их
композиция
ф=<р-1<р: (Unu')XGXF-*{Unu')XGXF [5)
является эквивариантным отображением относительно левых сдвигов по
второму множителю, т.е. .
а функция ф не зависит от аргумента j?6. Это значит, что функции типа
E) задают функции склейки локально тривиального расслоения tj над ба-
базой У, причем я* (tj) = %. Теорема 1 доказана.
112

Второй крайний случай — когда группа G тривиально действует на базе X.
Теорема 2. Если группа G тривиально действует на базе X, то для
любого комплексного векторного G-расслоения % существуют такие непри-
неприводимые G-модули Vt и такие комплексные векторные расслоения ?,- над
пространством X, что
? = ®(?/®V,). F)
Доказательство. Поскольку группа 6 тривиально действует на
базе X, она линейно действует на каждом слое ?х. Поэтому каждый слой
Чх можно представить в виде суммы подпространств, соответствующих
неприводимым модулям У/ - каждый с некоторой конечной кратностью.
Значит,
**-•№*./•?/)• ч ¦ G)
Допустим, что представление G) локально не зависит от точки х. Это зна-
значит, что расслоение ? в каждой достаточно малой окрестности Ua представ-
представляется в виде декартова произведения
Согласно лемме Шура всякий эквивариантный гомоморфизм ф: Vt -* V/
равен нулю при / Ф j и кратен тождественному при / =/, т.е. ty(x) = Хх.
Тогда функции склейки фар, являясь эквивариантными, по лемме Шура
обязаны иметь вид
где
— некоторые функции склейки, определяющие расслоения %t. Трудность
заключается в установлении разложения (8), хотя оно и представляется
правдоподобным, поскольку два неприводимых, представления компакт-
компактной группы G, задаваемые близкими матрицами, являются изоморфными.
Вместо доказательства локальной независимости представления G)
от точки х мы изложим элегантное инвариантное доказательство А т ь я
[3] ¦ Рассмотрим векторное G-расслоение Е •* X с тривиальным действием
группы G на пространстве X. Обозначим через Ес множество неподвижных
точек тотального пространства при действии группы G. Тогда отображение
Е -> X тоже является локально тривиальным векторным расслоением.
В самом деле, пусть V — векторное G-пространство. Положим
РМ = / gW)dit{g). A0)
где dfiig) — мера Хаара на компактной группе G. Очевидно, что Р {Р (v)) =
= P(v) .поскольку '
Р(РМ)= f h(P(v))dn(h) = f f hg(v)dn{h)dn(g) =
G GXG
= / / g'W)dn(g')dn(h') = / g'(v)d»(g') ¦ f d»{h') =
GXG G G
= f g'Mdn{g')=P{v).
G
С другой стороны, g{P№)) = P(v), а если g(v) = v, то P(v) = v. Значит,
113

образ проектора Р совпадает с подпространством Va. Формула A0) может
быть применена к определению проектора в каждом слое расслоения ?¦
В результате получаем проектор в расслоении Р: Е -* Е. На основании тео-
теоремы 1 § 4 главы 1 образ Ё° проектора Р является расслоением.
Обозначим через НОМС(?,, |2) С НОМ(?1( ?2) подмножество точек рас-
расслоения НОМ(?1# |2) (определение расслоения HOM($i, ?2) см. в § 3 гла-
главы 1), неподвижных относительно естественного действия группы G в рас-
расслоении H0M(?i, ?2): V "*¦ 9Ч>9~1 • Тогда на основании сказанного выше
пространство HOM<j Ui, \г) является локально тривиальным расслоением,
слоем которого является пространство HOMc(?i v. fax) •
Теперь определим инвариантным образом составляющие в формуле F) ¦
Пусть Vt - неприводимый G-модуль. Через V, обозначим 6-расслоение
XX V/. Положим
Очевидно, существует отображение
a: e(V,®HOMG(V,-. ?))-*?, A2)
которое на каждом слагаемом V, ® HOMc(V/, %) вполне определяется
формулой
<*(*,.?>) =*>(*). A3)
Отображение A2) .является эквивариантным отображением расслоений.
Поэтому изоморфность отобрежения A2) достаточно проверить в каждой
точке, что сводится к лемме Шура о неприводимых комплексных представ-
представлениях компактной группы. Теорема 2 полностью доказана.
§ в. Связь между комплексными, симпяектическими
и вещественными расслоениями - ¦
Расслоения с действием какой-либо группы G удобны при единообразном
описании трех различных структур на расслоениях — комплексной, симп-
лектической или вещественной.
Рассмотрим в качестве группы G группу второго порядка Z2. Пусть за-
заданы Z 2-пространство X и комплексное векторное расслоение р: Е -* X
над базой X. Пусть в тотальном пространстве Е задано действие группы Z2>
превращающее это расслоение в вещественное векторное Z2 -расслоение.
Что же касается введенной на этом расслоении комплексной структуры, то
пусть образующий элемент г € Z2 действует в каждом слое антикомплекс-
нр, т.е. •
где у € р (х) — произвольный вектор из слоя р (х), а X — произвольное
комплексное число. Такое расслоение вместе с комплексной структурой
и антикомплексной инволюцией г будем называть КR-расслоением. Соот-
Соответственно, группу Гротендика, порожденную всеми /СЯ-расслоениями
над базой X, обозначим через KR (X).
В зависимости от выбора класса пространств, играющих роль базы,
будем получать различные известные уже АС-теории.
Предложение 1. Пусть X = У X Z2 и инволюция г переставляет
элементы второго множителя. Тогда группа KR (X) естественно изоморфна
группе K\j(Y), порожденной комплексными расслоениями.
Доказательство. Всякое /СД-расслоение над пространством X
состоит из объединения двух расслоений: ? — над подпространством
114

УХ{0} и т? - над подпространством /Х{1}. Поскольку инволюция г
переставляет слагаемые V X {0} и УХ{1}, то получается изоморфизм
г: | ¦* tj. являющийся антикомплексным отображением. Согласно опре-
определению расслоение т? изоморфно комплексно сопряженному расслоению
г*(Г*)- Обратно, пусть % — произвольное комплексное расслоение над
пространством У. Тогда f - это то же самое расслоение с измененной
комплексной структурой (см. §4 главы 1). Тождественное отображе-
отображение т: % -* г*(?) является, очевидно, антикомплексным. На пространстве
Х= VXZ2 зададим расслоение т?= | Ut*(|) с инволюциями т: % -*т*(?)
и т~1: т'(|) -* %. Расслоение tj, очевидно, является КЯ-расслоением.
Предложение 2. Пусть инволюция на пространстве X тривиальна.
Тогда KR (X) =КО(Х).
Доказательство. Пусть X - пространство, на котором действие
группы Z2 тривиально. Поскольку { является /С/?-расслоением, то ин-
инволюция т действует в каждом слое как антикомплексный линейный опе-
оператор. Множество %т неподвижных точек является согласно предыдущему
параграфу тотальным пространством вещественного расслоения. При
этом множество %г всех векторов у, для которых т (у) = у, очевидно,
изоморфно расслоению %т, причем само расслоение % является комплек-
сификацией с%т вещественного расслоения gT. Таким образом, KR(X) =
= КО{Х).
Предложение 3. Операция забывания инволюции превращает
каждое KR-расслоение в обычное комплексное расслоение и задает го-
гомоморфизм
KR{X)^KUW. A)
Если инволюция на пространстве X тривиальна, то гомоморфизм A)
превращается в гомоморфизм комплексификации
с: Ко iX) -*KviX). B)
Обратно, если { - произвольное комплексное расслоение, а на простран-
пространстве X задана инволюция г, то на расслоении V = ? ф т*| определена ес-
естественная анти комплексная инволюция, задающая гомоморфизм
Км {X) -*• KR (X). C)
В случае неподвижной инволюции на пространстве А" операция C) превра-
превращается в операцию овеществления комплексного расслоения
г: KV{X)^KO{X). . D)
По аналогии с комплексными векторными расслоениями для KR-pac-
слоений определяется операция тензорного умножения, превращающая
группу KR (X) в кольцо. Чтобы дополнить группы KRIX) до теории кого-
мологий, необходимо определить сначала понятие надстройки для про-
пространства X с действием группы Z2. Надстройка размерности п над парой
(X, Y) определяется как новая пара {XXD^, (XXS"'1) U (YXDH)),
где Dn - л-мерный диск с границей dD" = S" '.В случае действия инво-
инволюции т на пространстве X следует перенести это действие на декартово
произведение X X D". Для этого необходимо задать инволюцию на втором
множителе С/1. Мы имеем следующие возможности. Обозначим через Dp'q,
р + q =п, л-мерный диск с инволюцией г, которая меняет знак у первыхр
декартовых координат точки диска. Тогда надстройки пары (X, Y) ну-
нумеруются уже двумя целочисленными индексами:
{X X DP- ч. IX X Sp> ч) U (У X &• ч)).
115

где Sp' ч = dDp' ч - греница диска Dp- ч. Положим
KRP4{X, Y) = KFUX X Dp-q. (X X Spq) KJ{YX В*4)), E)
где KR (X, Y) определяется как ядро отображения KR (X/Y) -* KR (pt).
Получаем биградуированный функтор KRp*q', р > О, q > О, который,
очевидно, является гомотопическим и для которого выполняется сле-
следующая аксиома теории когомологий: если (X, Y.Z) - тройка пространств
с инвариантным действием группы Z2, то имеют место точные последова-
последовательности
...->• KRP' ч (X, Z) -* KRP- ч (Y, Z) -* KRP- я~1 (X, Y) -* ...
... -* KRp' l(Y, Z)-* KRP> ° (X, Y) -> KRp' ° (X, Z) -* /СЯР> ° (V, Z)
для любого целого числа р > 0.
Точно так же, как и в случае обычной /С-теории, тензорное умножение
в группах KR (X) продолжается до градуированного умножения
KRP- q[X, Y) ® АГ/?Р'- «' (X, /') -¦ АГЯр+р>- ч+<?' (X, У U /').
Более того, на случай КЯ-теориич дословно переносится доказательство
теоремы о периодичности Ботта.
Для этого представим сферу S2 в виде пополненной комплексной.пло-
комплексной.плоскости: S2 -.С1 U{oo} Операция комплексного сопряжения задает на
сфере S2 инволюцию. Более того, пара (?3,°°) с указанной инволю-
инволюцией может быть представлена в виде факторпространства {Dl-lfS1-1,
IS1-1]).
Для /СЯ-расслоений справедливы все основные свойства, которые мы
устанавливали для обычных векторных расслоений. В частности, имеет
место
Предложение 4. Пусть X - пространство с инволюцией тур: Е -*Х-
нвкоторое п-мерное KR-расслоение с базой X. Тогда для любой точки
х0 G X существует инвариантная относительно инволюции г окрестность
х0 € I/ С X, для которой прообраз р (U) эквивариантно гомеоморфен
декартову произведению UXC" • UXR"'".
Доказательство. Если т(х0) & *0. т0 доказательство сводится
к предложению 1, поскольку существует такая окрестность V Э х0. что
множество т [V) не пересекается с множеством V. Пусть т(х0) = х0. По-
Поскольку Afff-расслоение является просто (т.е. без учета инволюции) ло-
локально тривиальным расслоением, то найдется такая окрестность U,
t(U) ¦ U, что р {U) ¦ U X С". Инволюция -т в прообразе р (О) зада-
задается по формуле г (х, и) = (г (х), Ахи), где 4Х - непрерывное семейство
антикомплексных операторов, причем Ат (Х)АХ= 1. Поскольку т (х0) = х0,
то A%i - 1. Поэтому существует такой базис в\,..., еп в комплексном
векторном пространстве С, что оператор АХв задается комплексным
сопряжением координат. Вещественная матрица "оператора Ах<> имеет вид
Спектр оператора Ах<> состоит из двух точек {—1, 1}. В окрестности U
спектр оператора Ах'распадается на два множества — одно лежит в ок-
окрестности точки 1, а другое — в окрестности точки (—1). Рассмотрим
контур 7 в комплексной плоскости, симметричный относительно вещест-
вещественной оси и охватывающий окрестность точки 1. Проектор Рх на кор-
корневое подпространство, соответствующее собственным значениям опера-
116

тора Ах, близким к единице, задается интегралом
§<z)-ldz. F)
Очевидно, что Рх — вещественный проектор, Рх = Ртх и 1РХ = A — РхI,
где / — оператор умножения на мнимую единицу. Таким образом, семейст-
семейство проекторов Рх задает такой комплексный базис в слоях р (U), что
матрица оператора Ах имеет вид
причем AXf> = Е, АтХ ¦ А~х. Положим, далее,
Д *)Л. (8)
Ясно,- что АХ**АХ, А% = ?. Формула (8) задает непрерывное семейство
операторов от двух переменных (х, е).
Пусть UT — множество неподвижных точек инволюции г в окрестнос-
окрестности U. Тогда дополнение U\Uj можно покрыть локально конечным по-
покрытием {Уа), причем Va = V'a UV'J, V>, П Vi'-ф. т(\/а') = \/^. Пусть
<Ра ~ <Ра + Va ~ разбиение единицы, подчиненное покрытию {Va}, и пусть
supple С Va. supple С V,i', 2^а = 1, tp'a (x) = ip'a (тх). Тогда семейство
операторов '
Л..,-ЯГ-(а* (9)
при каждом а непрерывно по х и Ап\х -'Аа>т^ху. Более того, все опера-
операторы AaiX при фиксированном значении' х попарно коммутируют,
Аа,хАр,х= AfftXAOtX, при х & Va UVa выполнено равенство Аа,х =? 1,
а при х € U\ UT справедливо соотношение Ах = П/4а> х.
Положим, далее.
А , с I/1
1, х$ё v;.
Тогда
Аа.х = Ва<хв?гх. A0)
В самом деле, если х € Va, то Ва>тх = 1. Если же х Е у„, т.е. тх € Va,
то fla, * = 1 и Аах=А~^.гх = &~а\тх- В случае, когда х ? У? U Va, выпол-
выполняется равенство fla, х ¦ Ва t т х = Аа t х = 1. Положим
1, x&UT.
Покажем, что функция Вх непрерывна. Если х е U\UT. то непрерывность
функции 0Х следует из локальной» конечности покрытия {Уа}. Пусть
х Е UT и к ~*х, у EU\UT. Для каждой точки у Е U\UT имеет место
соотношение
117

где ф{у) = 2у?а (у). Поскольку 0 < ф{у) < 1, функция г*<^) ограничена
а ._
на контуре у. Поэтому из условия Ау -* 1 при у -*х следует, что интеграл
(A, - гГЧг
2я/
стремится к интегралу
-L-фгПу) A _г)-1^ = 1.
2я/ у
Этим завершается доказательство непрерывности функции Вх. Наконец, из
формулы A0) следует, что
Ах = ВХВ-}Х. A2)
Матричная функция Вх, таким образом, задает новую систему координат
в слоях расслоения р'1 (U) = U X С", при переходе к которой семейство
операторов Ах переходит в постоянный оператор комплексного сопря-
сопряжения. Предложение 4 полностью доказано.
Предложение. 5. Пусть X - компактное пространство с инволю-
инволюцией, ? — некоторое КR-расслоение с базой X. Тогда существует другое
KR-расслоение tj такое, что прямая сумма % ® т? является тривиальным
KR-расслоением, т.е.
Ч Ф tj = X X С* = X X R^-N.
Доказательство. Согласно предложению 4 для каждой точки
х € X найдется такая инвариантная окрестность U, что ограничение рас-
расслоения | на окрестность U тривиально, т.е. существует эквивалентное
отображение. ?| U •* U X С". Пусть Ua — конечное покрытие указанными
выше окрестностями и уа — инвариантные функции относительно инво-
инволюции г, образующие разбиение единицы, подчиненное покрытию Ua. Пусть
fa- %\Ua -+ UaX С"
— эквивариантный изоморфизм, тогда отображение ga - ipa fa продолжа-
продолжается до гомоморфизма АСЯ-расслоений
да:Ц-+ХХС", A3)
причем на внутренности supp^a отображение да является изоморфизмом.
Положим
g:%-*XXCNn, ff'= e ga, cNn = © С. A4)
в=1 . а=1
где С" — копии комплексного пространства С". Совершенно ясно, что
гомоморфизм д является мономорфизмом в каждом слое над точкой х ? X.
Пусть т; - расслоение, составленное из ортогональных дополнений к слоям
подрасслоения д [%) в тривиальном расслоении XX С . Поскольку ин-
инволюция является ортогональным оператором в каждом слое С^" -
=¦ Rtfn-Nntто расслоение т? инвариантно относительно инволюции г. Зна-
Значит, tj является KR-расслоением. Предложение 5 доказано.
Используя предложения 4 и 5, легко проверить, что доказательства
теорем 1 и 2 из § 1 дословно переносятся на случай /С/?-расслоений. Раз-
Разностная конструкция C3) из § 1 для случая л = 1, очевидно, инвариантна
относительно некоторого действия инволюции т. В самом деле, в нашем
«18

случае расслоение tj — это тривиальное одномерное расслоение над дву-
двумерным диском О1'1: т; = 01'1 X С1. Зададим инволюцию г н~а расслое-
расслоении tjc помощью комплексного сопряжения по каждой координате. Тогда
разностная конструкция определяется как точная последовательность
О -*A0JJ -* Ait? -* 0. A5)
Здесь ЛоЧ^О1*1 X С1, A|Tj = D1>1XC1 = i}, atf0-умножениена число?,
где г — точка базы О1'1 С С1. Гомоморфизм d0 коммутирует с действием
группы Zj в расслоениях Лот; и Ajt? и, следовательно, определяет элемент
/3 е KR(DX'\ S1-1) = К7?1-1 (pt).
Формулировка периодичности Ботта для КЯ-теории имеет следующий
вид.
Теорема 1. Гомоморфизм умножения на элемент /3:
0:KRpq(X, У) -* KRp*l'q*1{X, Y) A6)
является изоморфизмом.
Доказательство теоремы мы предоставляем читателю, который должен
проверить, что все конструкции теоремы 1 из § 2 эквивариантны, т.е. пе-
перестановочны с антикомплексной инволюцией г.
Для нас более существенным является следующее геометрическое
соображение.
Лемма 1. Пусть X — произвольное пространство с инволюцией. Тогда
следующие пространства с инволюцией гомеоморфны:
1) X X Sl'°X D0-1 <*> X X Sl'°X Dl>°;
2) X X S2-0 X D02 * X X S2-0 X D2'0-
3) X X S4'0 X D0A «XX S4'0 X D4'6.
Во всех трех случаях гомеоморфизм
ц: X X Sp'° X D°- p •*¦ X X Sp' ° X &> °,
p = 1, 2,4, задается формулой
ц{х. s. u) = {x, s, su), A7)
если отождествить пространства Sp> °, D°'p, Dp> ° соответственно с единич-
единичной сферой и единичным диском в поле вещественных, комплексных
чисел или в теле кватернионов.
Из леммы 1 мы получаем следующие изоморфизмы:
KRpq(X X S1'0) « KRp'^ q~l [X X S1>0), A8)
KRP' q {X X. S2'0) * KR"-2'4'2 {X X S2'0). A9)
KRp- q {X X S4'0) * KRP~4'q*4 (X X S4'0). B0)
Рассмотрим сначала изоморфизм A8). Вместе с периодичностью Ботта
A6) мы получаем, что группа KRPt q (X X SI>0) изоморфна груп-
группе KRp'q+2iXXSx'°). Значит, все группы KRp'q (X X S1'0) пол-
полностью определяются только двумя группами: KR°'° {X X S1'0) и
KR°>l[X XSl>°). В частйости, группы KRP'4 {X X S1-0) можно те-
теперь определить и для любых значений номеров р, q - как положи-
положительных, так и отрицательных (рис.12). На рис.12 сплошной стрел-
стрелкой показан изоморфизм Ботта, а пунктирной стрелкой — изомор-
изоморфизм A8).
11»

/
\
р
V /
ч
С другой стороны, для всяко-
всякого пространства X с инволюцией
декартово произведение X X S1-0
эквивариантно гомеоморфно про-
произведению X X Z2, в котором
инволюция по первому множите-
множителю тривиальна. В самом деле, го-
гомеоморфизм
v: X X S1-0 -* X X Z2,
задаваемый формулой
v(x, 1) = U, 1),
Dun Л*> V (Х/ "~W ~ \ТХ, ~)#
является эквивариантным. Таким
образом, на основании изоморфизма A8) и предложения 1 мы получаем
классическую периодичность Ботта:
Кц"{Х) = KRn'°(X X Suo) * KRn+l'l {X X S1'0) =
= KRn+2-°{X X Sl-°) -¦K-<**2> (X). <21)
Следующий наш шаг заключается в установлении еще одного периода
в АСЯ-теории.
Теорема 2. Существует элемент
a G KR°-*ipt) - KR(D0-*. S0-8),
умножение на ко торый определяет изоморфизм :
a: KRP- * (X, Y) ¦* KRP- ч+8 (X, /). B2)
Теоремы 1 и 2 утверждают, что биградуированная ACff-теория явля-
является дважды периодической. Для определения произвольной группы
КАР- ч (X, Y) достаточно знать всего лишь 8 групп: KR°-°, KR0-1. KR0'2,
KR0-3, KR0-*, KR°-S, KR0-6. KR0-1, как это показано на рис. 13.
На рис. 13 сплошной стрелкой показан изоморфизм Ботта A6), а пунк-
пунктирной — изоморфизм B2).
В случае, когда инволюция т действует на пространстве X тривиально,
мы получаем KR0-4 (X) = Кq4 (X) и, следовательно, 8-периодичность
вещественной К-теории.
Оказывается, предложенная схема может быть несколько модифици-
модифицирована, в результате чего в нее можно включить еще один вид векторных
расслоений — симплектические расслоения.
Пусть К - тело кватернионов. Как обычно, в тело кватернионов К
введем четыре образующих 1, /,/, к такие, что к -ij= -ji, ik = -*/ = -у,
jk = -ki = /, i2 = j1 = k2 =-1. По аналогии с вещественными или комп-
комплексными расслоениями можно рассматривать векторные расслоения
со слоем К — л-мерное кватернионное пространство и структурной груп-
группой GLC, К). Такие расслоения мы будем называть симплектическими
расслоениями.
Симплектическое расслоение можно представлять себе как комплекс-
комплексное расслоение р: Е -*Х, в тотальном пространстве которого задан по-
послойный оператор J: Е ¦+•?, удовлетворяющий условиям U + JI= О,
J = —1, где / — оператор умножения на мнимую единицу.
Более общо, пусть в тотальном пространстве комплексного расслое-
расслоения % задано послойное антикомплексное преобразование г четвертого
120

/
p
-
/
/
4
Рис. 13.
порядка, т.е. tJ + Jt = 0, т4 = 1. Тогда г*J = Jt3 . Значит, т2 является
комплексным преобразованием второго порядка. Расслоение % разла-
разлагается в прямую сумму двух своих комплексных подрасслоений: % «,
~ %\ ш f 2, а преобразование та оставляет каждое слагаемое инвариант-
инвариантным, причем на расслоении ?i преобразование г3 тождественно, а на ?з
равно -1. Пусть р: % -*% - проекция на слагаемое (¦). Тогда оператор р
коммутирует с преобразованием г2, а следовательно, и с преобразова-
преобразованием т. Значит, преобразование г оставляет инвариантными слагаемые
?i и ?2, т.е. разлагается в прямую сумму преобразований: т ¦ тг ® rj.
При этом г2 = 1, г| = -1- Следовательно, расслоение ?i является комп-
лексификацией вещественного расслоения, а %г является симплектича-
ским расслоением.
Таким образом, множество вещественных и симллектических расслое-
расслоений включается в категорию нового класса расслоений. Рассмотрим про-
пространство X с инволюцией аи комплексное векторное расслоениер: ? -*Х.
Пусть т: Е -*¦ Е - такое отображение, что
а) т4 = 1;
б) ар - рт;
в) г: ЕЖ-*ЕТХ является линейным антикомплексным отображением.
Другими словами, в тотальном пространстве Е и базе X действует груп-
группа Z4, причем образующий элемент группы Z4 действует в пространстве ?
как антикомплексное преобразование, квадрат образующей тождествен
на базе X, а проекция р: Е -*Х является эквивариантным отображением.
Такое расслоение назовем KRS-расслоенивм.
Лемма 2. Всякое КRS-расслоение {¦¦ однозначно разлагается в экви-
вариантную прямую сумму двух комплексных подрасслоений: % = Ji * \г,
причем в слагаемом % t имеет место равенство та ¦ 1, а в слагаемом ?2 -
равенство т2 = -1.
Доказательство. Преобразование г2 оставляет каждый слой
расслоения на месте. Поскольку преобразование га уже сохраняет комп-
комплексную структуру, то расслоение ? разлагается в искомую прямую сумму:
5 ш %\ в %г. где t2||i = 1, т2| |j = -1. Если у е |, - произвольный век-
вектор из первого слагаемого, то т (ту) = т (ту) = ту, т.е. ту~\\. Аналогич-
Аналогично, если у е (-2, то та (ту) = т (т2у) = -ту, т.е. ту е ?2. Таким образом,
преобразование г оставляет слагаемые ?i и ?2 инвариантными, что и тре-
требовалось доказать.
121

Группу Гротендика, порожденную всеми ACftS-расслоениями, обозначим
через KRS (X). Лемма 2, таким образом, утверждает, что группа KRS (X)
разлагается в прямую сумму двух слагаемых:
KRS(X) = KRS0 {X) 9 KRSi iX), B3)
где KRSo(X) — группа, порожденная всеми ATftS-расслоениями, для кото-
которых т2 = 1, a KRSt (X) - группа, порожденная всеми KRS-расслоения ми,
для которых т2 = -1. Очевидно, что KRS0{X) = KR (X). Поэтому
KRS (X) = KR (X) в KRSt (X). B4)
В частности, если на пространстве X инволюция действует тривиально,
то KR (X) = Ко {X) .a KRSt (X) = KSp (X), и мы получаем формулу
Ко (X)
KRSiX) - Ко (Xs) в /CSp(X), B5)
где через KSp(X) обозначена группа Гротендика симплектических век-
векторных расслоений.
Разложение B3) образует в группе KRS (X) дополнительную Z2-гра-
Z2-градуировку. Относительно этой градуировки операция тензорного умно-
умножения ?У??-расслоений превращает группу KRS (X) в градуированное
кольцо. В самом деле, если ?!( Ь е KRS0 (X). то ?i »Ь € KRS0 (X).
Если же ?i, |j e AT/?Si (X), то расслоение (fi ® ?i принадлежит уже груп-
группе KRS0{X), поскольку действие преобразования т = т i ® tj удовлетворя-
удовлетворяет условию
т2 = т\® т\ = (-1)® (-1) = 1®1 = 1.
Наконец, если ?i € /C/?S0 (X), а Ь е /ГЯ5Х (X), то ?, ® Ь е АГЯ5, (X).
Операция тензорного умножения в группе KRS(X) = /CftS0 (X) ® /C/75i (X)
в случае тривиального действия инволюции в базе X переходит в известные
операции тензорного умножения вещественного расслоения ?t и сим-
плектического расслоения ?2 '• (%\,%г) ~* <c^i) ® ?2» в результате чего снова
получается симплектическое расслоение. При тензорном умножении двух
симплектических расслоений (над полем комплексных чисел) ?i и %г'-
(Si. Ь) "* %\ ® li получается комплексификация некоторого вещественного
расслоения:%х ®g2 =c(tj).
Стандартным образом, определяются группы KRSP<1{X, Y) =
= ACflSg«(X, V)«ATflSf•«(X, У):
KRSp-<f(X. Y) = KRS(DP* X X, (Sp" X X) U (•0p'«r X У)),
raeKRSiX, Y) = <Я«(Х/У) =• Ker (KRS(X/Y) -* KRSipt)).
На случай ATftS-групп обобщается и периодичность Ботта. Именно, пусть
& е kr{d1-1, s1'1) - /г/?1Л(р1) = /r/fsJ-Mpt)
— элемент, определяемый разностной конструкцией A5).
Теорема Г. Гомоморфизм
0: KRSpq{X, Y) ¦* KRSp+1'q+1(X, Y) B6)
умножения на элемент 0 является изоморфизмом.
В гомоморфизме B6) новым по сравнению с гомоморфизмом A6) яв-
является гомоморфизм дополнительных слагаемых
0: KRS?'q -* Arfl^+1><J+1(X, Y). B7)
Доказательство теоремы 1' предоставляем читателям.
Теорема 2 тоже обобщается на случай AfftS-расслоений.
122

Теорема 2'. Существует элемент
умножение на который определяет изоморфизм
у: KRSp<l[X,Y) ¦*KRSP-<I**(X, Y), B8)
или
у: KRSg-q{X, Y) -*- KRSp'q+*(X, Y), B9)
у: KRSp'q{X, Y) ¦* KRS^^iX, Y). C0)
Квадрат элемента у равен a:
a = у2 e /C/?Sg-8(pt) = KR°-*{pt) = /Co8(pt).
В случае тривиальной инволюции в базе X теорема 2' утверждает, что су-
существует такой элемент
У <
что гомоморфизм умножения на У является изоморфизмом. В частности,
изоморфны следующие группы:
Г. *&<Х) **8р~*<*). CD
у: Kgp(X) ~/С«?-4(Х>. C2)
Приведем таблицу групп Ко и К$„ для одноточечного пространства
(рис.14).
На рис. 14 элемент и ? К$р = KRSy представлен одномерным симплек-
тичаским расслоением над точкой, т.е. пространством Q1 =С2. Тензорное
произведение!/2 представляется пространством Q1 ®Q! -С2 ®С2 =С4.Это
значит, что и2 = 4 • 1 . Отсюда получается естественное объяснение, что квад-
квадрат образующей группы Kq равен 4а, поскольку эта образующая имеет вид
иу и, значит, [иуг = и2 у1 = 4?2 в 4а.
Далее, группа Kq (pt) = ATotS1, pt) может быть, отождествлена с группой
я0 (О (л)) =Z2. Поэтому элемент Л € XoV) -Af&tS1. pt) = KR°'°{D0'1, S0'1)
может быть реализован в виде тройки (fi, ^,Ы для пары пространств
@0>1,S '*), где|,,|2 — одномерные (комплексные) тривиальные рас-
расслоения с естественной инволюцией, а изоморфизм ф: ? j |S0I -> %г | S0' оп-
определяется как умножение на числа \HD = 1, ф\—1) - 1- Значит, элемент Л
можно представлять следующим образом. Пусть ^: D0>q -*¦ Dq-q — естест-
естественное координатное вложение. Тогда
11^1'1), C3)
где 0 - элемент Ботта. Очевидно, Л2 ¦ <p2*@J). Л3 = <рз @3) •'• ТЛ.
ч
V
/ГЛУ„
KRS,
-8
г
Z
иуг
-7
0
0
-6
0
h
Ь*у
-5
0
h
hy
-4
Z
иу
г
V
-3
0
0
-г
ft2
0
-1
Ч
ь
0
.0
г
г
и
Рис. 14.
123

Перейдем к доказательству теорем 2 и 2'. Применим лемму 1, точнее,
формулу B0) на случай ATftS-теории. Получаем следующий изоморфизм:
KRSP-«(X XS4>°, VXS4-0)-^ KRSp-*-q+4{XXS*>°, VXS4>0).
Поскольку изоморфизм м* индуцируется гомеоморфизмом A7), он ком-
коммутирует с гомоморфизмом Ботта. Рассмотрим случай одноточечного про-
пространствах. Имеем следующий изоморфизм:
*(S*fi). C4)
Положим а* = /и*0* A). Совершенно ясно, что изоморфизм
KRSp'q{XXS4fi, YXS4-0)^-* KRSp'q+*{XXS**, VXS4>0) C5)
порождается операцией умножения на элемента* Е /fftS°'8(S4>0).
Лемма 3. Точная последовательность пары (Dt>0, S*' ) t/меег вид
... -> KRSP-o-ЦХ, Y)^-* KRSp-q(X, Y)-^-*
d, VX S'-° )->..., C6)
где хесть упражнение на элемент (—/>)', в элемент h определяется фор-
формулой C3).
Доказательство. Гомоморфизм х в последовательности C6)
есть композиция
-'iX, Y)-A- KRSP+'-liX, Y)-r-* KRSP-<*(X, У),
где i// индуцирован вложением Ор>4 С Dp+t'q. Поэтому гомоморфизм х есть
умножение на образ единицы при гомоморфизме
KRSOfi{pt)-?-+ /C*Sf''(pt)-^ KRS°'*(pt) C7)
с точностью до перестановки сомножителей в пространстве Dft & D0>t X
X D''°. Образ же единицы при гомоморфизме C7) как раз и есть элемент/г.
Лемма 4. Пусть h E KR°<1 (pt) - элемент, определяемый равенством
C3). Тогда Л3-0.
Лемма 5. Пусть/: S4'0 -*D*'°—естественное вложение. Тогда суще-
существует такой элемент a EKRS0 >8(pt), vro/Ча) = а* Е /TflS0'8(S4,0).
Лемма 6. Существует элемент у 6 KRS ?>4 (pt) тэкоб, vro yJ = а.
Закончим теперь доказательство теорем 2 и 2'. Согласно леммам 3 и
4 гомоморфизм
KRSP'"(X, Y) -* KRSp-<4XXS4-°, YX S4>0)
СЯ MOHC
юную ди
KRSP'4(X,Y) ¦
является мономорфизмом. Согласно лемме 5 получаем следующую ком-
коммутативную диаграмму: ^
a.
C8)
В частности, взяв в качестве X одноточечное пространство, получим ком-
124

мутативную диаграмму
C9)
jrfi5w(pt) -?-~ mo<s(sAfi)
Пусть 1eKRSOfi{S*'°). - единичный элемент,! -/41). Тогда Т . « =
= ;'A)а=/*Aа) =/'(а) = а*. Таким образом, гомоморфизм умножения
на элемент а* совпадает с гомоморфизмом умножения на элемент а. Рас-
Рассмотрим точную последовательность C6) пары (О <0, S4'0). Гомоморфизм
умножения на элемент а отображает последовательность C6) в себя таким
образом, что получается следующая коммутативная диаграмма, допол-
дополняющая диаграмму C8) :
Q _госЛЧмг v\ — 1ГОсМ/г„с*>° v»c*A ^ PDcP>9"e/v v\ ^п '^"'
J-
О —- KRSp>4*ta—ШР>ЧЛЛГ*54>О,1Г*5*10) —- ШР'*3{ХЮ —- О
Поскольку гомоморфизма* является изоморфизмом (см. C5)),то верти-
вертикальный левый гомоморфизм является мономорфизмом, а вертикаль-
вертикальный правый гомоморфизм является эпиморфизмом. Индексы групп для
левого вертикального гомоморфизма могут быть произвольными, р > О,
q > 0. Значит, в случае левого вертикального гомоморфизма тоже выполня-
выполняются неравенства р> 0,q — 5>0. Следовательно, гомоморфизм а является
изоморфизмом для любых р,<7> 0, что и требовалось доказать в теореме 2.
Наконец, если а = у1, то гомоморфизм умножения на элемент у тоже
является изоморфизмом, что и утверждается в теореме 2.
Итак, для завершения доказательства теорем 2 и 2' необходимо дока-
доказать леммы 4—6, которые описывают свойства АСffS-теории для некоторых
специальных пространств.
Доказательство леммы 4. Элемент/? € KR0>1 (pt) =
= *7?0'°(?>0>l,S0>1) задается тройкой (?Ь</,Ы. гд*Еь!г - тривиальные
одномерные (вещественные) векторные расслоения над базой О0'1 =
- [—1.1]. a d —гомоморфизм, задаваемый в точке х€ [-1,1] как умноже-
умножение на число х. Полезно считать, что тройка (Jfi, d, %г) задана над большей
базой R0'1 • (-°°, °°) — вещественной осью с тем же самым гомоморфиз-
гомоморфизмом d. Тогда гомоморфизма/является изоморфизмом в слоях над точками
х Ф 0, х € (-<», <*>). Третья тензорная степень элемента h определяется со-
согласно формулам C0) — C2) из § 1 разностной конструкцией
d. dx d,
О—>%—> tJ—»¦ tK—> tL-* 0, D1)
в которой 7?i, т?4 — одномерные тривиальные расслоения, t?2, т?з — трехмер-
трехмерные тривиальные расслоения над базой R '3, а гомоморфизмы dt, d2, d3 за-
задаются матрицами
I О К ® У\
у \, d2 = | г 0 -х , d3 = |x уг |, D2)
гдех, /, г -декартовы координаты в пространстве R0-3. Очевидно,чтоком-
125

плекс D1) точен, если х2 +у* +Z2 Ф 0, поэтому он задает элемент Л3 е
? KR 0>0 {D0'3 ,S0'3). Гомоморфизмы difd2, d3 имеют простое геометри-
геометрическое описание в точках двумерной сферы p€S°>3. Гомоморфизм (/.явля-
(/.является отображением базисного вектора в нормальный вектор к сфере S>' в
точке v, т.е. в вектор к. Гомоморфизме^ есть операция векторного умноже-
умножения векторов из R0'3 на вектор v. Гомоморфизм d3 есть ортогональная проек-
проекция пространства на нормальный вектор v и затем отображение в базисный
вектор. Тривиальные расслоения т?2=*Ь разлагаются в прямую сумму:
где TS0'3 — касательное расслоение, a p(S0'3) —нормальное расслоение к
сфере 50>3 в пространстве Ro>3. Таким образом, гомоморфизм d% отобра-
отображает слагаемое TS0,'3 в себя, поворачивая каждый вектор на 90° по часо-
часовой стрелке, если смотреть на касательную плоскость с конца, нормального
вектора с. Второе слагаемое v{S0' ) гомоморфизме^ отображает в нуле-
нулевой вектор. Поэтому существует непрерывная гомотопия d2t4>, оставляю-
оставляющая комплекс D1) точным, где*/2,^ есть операция поворота ' касательной
плоскости на угол у, причем нормальный вектор отображается гомомор-
гомоморфизмом d2tlf в нуль. Тогда с/2>я/2 = d2, </2,о - тождественный гомомор-
гомоморфизм. Комплекс D1) распался в суму трех комплексов над S • : .
0 -> т?, -* р{$0'3) -*¦ 0 -> 0 -> 0, , D3)
0-* 0 -> TS0'3 ¦* TS0'3 -> 0 -* 0, D4)
0-> о -> 0 ч. i»JS0'3) -> т?4 -* 0. D5)
Прибавим к комплексу D1) тривиальный комплекс
и над сферой5°'3 произведем поворот в расслоении HS0'3) ® 1 на 90°. В
результате такого поворота гомоморфизмы изменятся на гомотопные, и
комплекс распадается в сумму трех комплексов:
-*т?1->Г->0-*0->'0,
^* 0 -> viS0'3) • TS0'3 -*¦ v(S0<3) в TS0'3 -*¦ 0 -> о.
?4,
каждый из которых определяет в группе К7?О>О@О>3, S0'3) нулевой эле-
элемент. Лемма 4 доказана.
Перейдем теперь к доказательству лемм 5 и 6. Рассмотрим пару
(SPt0,Sq>0), q<p. Факторпространство Sp>0/S*>0 можно представить как
одноточечную компактифмкацию разности Sp'0\S4>0, которая в свою оче-
очередь гомеоморфна пространству Sp~q>0 X Rq-°. Значит,
SP-O/s«.° « (Sp-q-° X pq-°)/[Sp-q'°XSq0).
Поэтому имеем равенство
/C/fSI'r(Sp'0/S«'0) - KftF+o-'iS"-0).. D6)
Изоморфизм D6) используем в точных последовательностях для следую-
следующих двух пар: (S4>0,S1>0) и (S4'°,S3>0). Имеем
D7)
... -* KRSp-"iS4'0, S3'0) -* KRSpq{S't-0)-+KRSp-'ilS3>0) -*¦ ... D8)
126

¦ /
Вспоминаем, что KRSfy* {S1'0) = /Си"* Ipt). ' Аналогичным образом,
KRSI'i (S1>0) ~Kv+ 9(pt). Следовательно, прир = 0 и четном <? получим сле-
следующие точные последовательности:
О-»- KRSf*-1®3'0) ¦* KRS,0-('iS4>0)^ Z -*
-*- KRSOi«-2{S3-0) ¦* KRSf-i-US4'0)-* О, D9)
О -* KRS°i'q{S4'0) -> KRSPt* (S3'°) -¦ 2 -»¦
-»• KRS°t-<i-liS?-0) -+ KRSf'i-^S3-0) -> 0. E0)
Напишем еще три аналогичные точные последовательности для пар
(S3,0 S1,O) <S3,O 52,0, „ (S2,O S1,O, .
О - V V> ^iS)
¦*¦ KRSf'i-ttf2'0) -+ KRS^'-HS3'0) -*. 0, E1)
0 -> KRS^'^iS3'0) -*¦ KRSf*+1{S2'0) -* Z ->
"^2'0) ->0, E2)
^ 1^2'0) "* 0. E3)
Гомоморфизма: KRSf'q(Sl<0) -*¦ KRS}'q-l[Sl'°) имеет геометричес-
геометрический смысл. Этот гомоморфизм индуцируется отображением S2*0/?1'0 ->
-> 2°'1(S1>0), где через Б0'1 обозначена надстройка над пространством.
Поэтому Их) » х±х*. Пусть 0? /Си (pt) - образующий элемент. Тогда
/3*=-C. Значит, если х€ Ku2qipt), то х* - М^хи Их) =хA ± (-1L).
Если q = 0, то из точной последовательности E2) следует, что v = 0. Поэто-
Поэтому в общем случае v(x) = хA - (-1 )*). Следовательно, «^'¦ 0 при четных и
р = 2 при нечетных ?¦ Из E3) получаем полный список групп:
KRSf'°(S2-0) = Z, /CflS?'-1(S2'°)= Z,
KRS?--2{S2'0) =0, /CflSf0'-3(S2>0)= Zj, E4)
KRSf'iiS2-0) = /C/?5io'«+4(S2'0).
Из E1), E2), учитывая данные E4), получаем список
?030 Z в Z, /CflS^-l(S3>0) = 0,
=> Z2/ ^S/°'-3(S3'°)=. Zj, • E5)
KRS4'<4S3'0) = /CflS^"*4^3'0).
Учитывая данные E5), из точных последовательностей D9) и E0) получа-
получаем список
KtfSp-°(S4*0) =Z, KRSb~liS4'°) = Z2 или О,
KRSf--2(S4'0) " гг. KRSf-3{SA-°) = Z или Z e Z2, E6)
по модулю указанной неоднозначности.
Наконец, применим последовательность C6) при г = 4 и f = 1. Посколь-
Поскольку X = 0. имеем при t = 4:
г*
??40 °-5(р1)^-0. E7)
127

Последовательность C6) при t - 1 имеет следующий вид:
iS1*) -* KRS°t*-2(pt) ¦*. . . E8)
При этом члены KRSf'q{S1<0) совпадают с группами Ku(pt) комплексной
/(-теории, а гомоморфизм /* совпадает с операцией комплексификации
вещественных (при/ = О) и симплектических (при/*!) расслоений.
Группа KRSq'1 {pt) совпадает с группой Ко (S1, pt), которая порождается
единственным элементом Л порядка 2, значит, AfftS^-Mpt) = Z2. Тогда при
q ш 2 из точной последовательности E8) получаем следующую точную
последовательность:
О -> Z2^-* KRS$'2(pt) ¦* Z. . . E9)
поэтому гомоморфизм х является изоморфизмом. Это значит, что
KRS$>2(*) - Z2, а образующая этой группы равна Л2.
При q = 3 из точной последовательности E8) получаем следующую точ-
точную последовательность:
Z -> KRSy (pt) -^- KflS?-3(pt) ^-0. F0)
Поскольку х(Л2) = Л3 = 0, тох= 0. Отсюда/CflSo>a(pt) = O. Применим по-
последнее равенство к последовательности E7) при q = 8:
0 -> KRSf>*tot) -^ KRSf'b(S*'°) -* KRS°t>3(pt) + 0. F1)
Мы получаем, что гомоморфизм /, в последовательности F1) является
изоморфизмом. Таким образом, лемма 5 полностью доказана.
Рассмотрим теперь точную последовательность E8) при /« 4 и q = 4:
. F2)
Группа KRS°X'2 {pt) изоморфна группе симплектических расслоений над
двумерной сферой S2 по модулю отмеченной точки. Согласно классифи-
классифицирующим теоремам (§ 3 главы 2) эта группа изоморфна гомотопичес-
гомотопической группе n2{Bsp(n)) = 0 (пример 6 12 главы 2). Значит, вложение/* из
последовательности F2) является мономорфизмом. Обозначим образую-
образующую группы K7?S°>4(pt) через?. Тогда j*{y) = 0* e/C^J (pt). Далее, при
q ¦ 8 и /= 0 из последовательности E8) получаем точную последователь-
последовательность
6(pt). F3)
Пусть а ? /f/fSo'8(pt) — образующий элемент, т2 = Ха. Тогда
/'(Т2) = О'Мг))а = 0* = /*(Хв) = Х/'(а).
Значит, Х = ±1, поэтому при подходящем выборе знака у элемента а мы
получаем утверждение леммы 6.
Этим завершается доказательство теорем 2 и 2'.
Читателям предлагается самостоятельно определить недостающие груп-
группы из таблицы на рис. 14.

ГЛАВА 4
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В К-ТЕОРИИ
В этой главе мы изложим несколько приемов, с помощью которых описа-
описание /f-групп различных конкретных пространств сводится к описанию
обычных (целочисленных) когомологий пространств. К этим приемам
относятся спектральная последовательность, когомологические операции
в Af-теории, конструкция прямого образа. Все эти приемы ни в коей мере
не являются универсальными, но с их помощью удается в конкретных при-
примерах наиболее полно и выпукло использовать геометрические особенности
тех или иных топологических пространств и многообразий.
На протяжении всей главы будет рассматриваться комплексная АГ-теория.
§ 1. Спектральная последовательность
Как и в случае классических теорий когомологий, спектральная последова-
последовательность в АГ-теории строится по некоторой фильтрации пространства X.
Конструкция спектральной последовательности, описанная ниже, примени-
применима не только к АС-теории, но и к произвольной обобщенной теории когомо-
когомологий, и восходит к Масси. Итак, пусть
Х0СХ, С... CXN=X A)
— некоторая возрастающая фильтрация пространства X. Положим
0= © ?>р«= ® Кр+<ЧХр),
р.я р.ч
B)
?= ® ?Р.Я= 9 КР+<ЧХр,Хр_1).
Р.Ч Р.Ч
Рассмотрим точную последовательность пары (Хр/ Хр_ j):
Vi) ¦*- C)
Если мы просуммируем последовательность C) по всем Р и q, то получим
следующую точную последовательность:
. э /* i*
... ^ вдР-1'* -»¦ © ?Р.« -> е Dp'q '-*¦ ф dp-1'?*1 -> ... , D)
или, более кратко,
Ъ i i Ъ
...-*¦ D -*¦ Е -*¦ D -* D -*.... Ш!
129

где бистепени гомоморфизмов Э,/ * и / * соответственно равны
бед/* - (-1,1), deg/* = @,0), degd - A,0).
Последовательность E) может бьггь записана в виде точного треугольника
Положим d - Э/ *: Е-*Е. Бистепень гомоморфизма d равна
Очевидно, чтос/а » Э/*Э/* ¦ 0. Положим Oi = D,Et = E,it =./*,/'t =
= /*, 3i = d,dt =d\A,далее,
02=M0,>C0,. G)
?2 =//(?,,</,). (8)
Градуировку в группе 02 наследуем из градуировки образа, т.е.
?>2 = ®0J><?, Z^'«-/|(Of+l'«-M. (9)
Градуировка в группе ?2 наследуется из градуировки группы Ех, т.е. поло-
положим^ = <вЕ%'4,
Е>'" = Ker(?f•« ¦¦ tf+^Vlmtf*-1** -* fP-«). A0)
Пусть, далее,
'а-Л 102: 02-0J. A1)
Эа-3,/71, A2)
/a-/i- ИЗ)
Формулы A1) - A3) имеют следующий смысл: еслихЕ О2, то/'i (х) е О2.
Если х € 0, то х = у, (к). Положим тогда Э2 (х) = [Э( (К) ]е /f (F,,</.|).
Последнее включение вытекает из равенства </1Э1 (к) = di/|di (К) = 0.
Если же /*i (к) = 0, то в силу точности треугольника (в) получаем, что у =
= У, [г). Тогда Э2 (х) = [Э,У !(')] = [</! (г) ] = 0. Таким образом, опре-
определение гомоморфизма Э2, даваемое формулой A2), корректно. Наконец,
если хе ?,,</, (х) =0,to8i/i (x) = 0. Тогда в силу точности треугольника
(в) получаем, что/1 (х) = / {г) е D2. Если жех= </, (к), х= Э|/1 (/). то
I \ М = /ldi/'i (/) = 0. Значит, определение гомоморфизма/2 формулой
A3) тоже корректно. Таким образом, формулы G) - A3) задают новый
точный треугольник
называемый треугольником, производным от треугольника (в). Доказа-
Доказательство точности треугольника A4) предоставим читателю.
130

Выпишем бистепени гомоморфизмов i%, Ьг,1г wd2 = b2j 2'
deg/2-(-1, 1). deg/j = (O,O),
= B,-1), deg32 =B,-1).
Повторяя процесс построения производных треугольников многократно,
получим последовательность точных треугольников .
A5)
причем бистепени гомоморфизмовin,jп, д„ и dn= bnjn равны
= (я,-(я_1)).
Последовательность
(Entdn) A6)
называется спектральной последовательностью в К-теории, ассоциирован-
ассоциированной с фильтрацией A) пространствах.
Теорема 1. Спектральная последовательность A6) сходится к груп-
группам, присоединенным к группам К *(Х) относительно фильтрации в прост-
пространстве X.
До казательство. Согласно определению B) при р> N имеют
место равенства Ер' q = 0. Это значит, что dn * 0 при п > /V, т.е. Eft ч '=
= Ep'+q'= ... = ??' *." Из определения групп Dn следует, что
D™ = ШКр+<Чхр+„) - p
Значит, если п > N, то
D?* = \т{Кр+я[Х) -*- K"+q{Xp)). A7)
Следовательно, гомоморфизм /'„: D%' 4-*D%~1'4*1 является эпиморфиз-
эпиморфизмом для любых значений индексов Pnq.
Таким образом, получаем точную последовательность
in 'п
0 ->.??'« -> Dpq ¦+ Dp~Uq+l - 0. A8)
Другими словами, Е%' q'= Кег /„. Из формулы A7) следует, что группа
Dp' я 'может быть представлена как факторгруппа:
dp,q = Kp+q{X)/Ker( Kp+q(X) - Kp+q(Xp)l A9)
Поэтому
Ep'q = Кег/„ = Ker(Kp'qiX) ¦*
•* Кр*я(Хр_1))/Кег{Кр+<1(Х) •* Кр+ч(Хр)). B0)
что и требовалось доказать.
131

Теорема 2. Пусть я: У -*Х — локально тривиальное расслоение со
слоем F и фундаментальная группа ъх (X) тривиально действует в К-груп-
пах слоя F. Тогда спектральная последовательность в К-теории, ассоцииро-
ассоциированная с фильтрацией Yk = п~1 {[ X] *), где [X]* — k-мерный остов клеточ-
клеточного пространства X, сходится к группам, присоединенным к группам
К * (У), а второй член имеет вид
EP>q^Hp(X.Kq(F)). B1)
Замечание. Если Р: У -*-Х — локально тривиальное расслоение со
слоем F, то оно удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии. В слу-
случае, когда слой F является клеточным пространством, аксиому о накры-
накрывающей гомотопии можно применить к вложению слоя F в тотальное
пространство У. Пусть /0: F -»• У - такое вложение, что pi0 (F) = х0. Пусть
у: [0, 1] -*¦ У — произвольный замкнутый путь, у @) = у A) = х0. Можно
считать, что путь у задает отображение декартова произведения
у: FX@. 1] -> Y. y(x.t) = yit).
Вложение /0, очевидно, накрывает отображение у0 (*) = у U, 0). Следова-
Следовательно, существует отображение /: F X / -*¦ У, накрывающее отображение у.
Если путь у гомотопен пути у' , то и накрытия / и /' гомотопны. Таким
образом, получаем отображение
фундаментальной группы тг, (X,х0) в множество классов гомотопических
эквивалентностей слоя F. В частности, это отображение задает действие
группы 1ч (X, хв) в группах К * (F).
Следствие. Для клеточного пространства X спектральная последова-
последовательность в К-теории, ассоциированная с фильтрацией к-мерными остовами,
сходится к группам, присоединенным к группам К'(Х), а второй член
имеет вид
P.q \ НР(Х;2.) при четном q,
2 ( 0 при нечетном q.
Доказательство теоремы 2. Член Е i спектральной последо-
последовательности имеет вид
согласно формуле B). Поскольку наше расслоение тривиально над каждой
р-мерной клеткой of, то я iap) = ор X F. Поэтому пара {Ур, Ур_х)
имеет такие же АС-группы, что и объединение пар U (ор. X F, Ъ.ор X F), т.е.
i ' '
Ep'q * <в Kp*q(op X F.bop X f) = ф/C«(F), B2)
i ' ' i
где суммирование производится по номеру /', нумерующему Р-мерные
клетки пространства X. Поэтому член Ер> ч можно отождествить с группой
р-мерных коцепей пространства X:
Ep-q=Cp{X;K<>(F)) B3)
с коэффициентами в группе К4 {F).
132

Остается усмотреть, что дифференциал d, спектральной последователь-
последовательности совпадает с кограничным гомоморфизмом в группе коцепей прост-
пространства X. Это совпадение следует из точной последовательности C), и мы
оставляем доказательство читателям в качестве упражнения. Заметим, что
отождествление B3) возможно, только если фундаментальная группа базы
X действует тривиальным образом в Af-группах слоя F. В противном случае
мы должны считать, что член Ер> * изоморфен группе р-мерных коцепей с
локальной системой коэффициентов, задаваемой действием фундаменталь-
фундаментальной группы TTi (X) в группе Kq (F).
Следующее уточнение теоремы 2 мы тоже приведем без доказатель-
доказательства.
Скажем, что спектральная последовательность является мультиплика-
мультипликативной, если выполнены следующие условия: группы Еs = е Eps' ч
являются биградуированными кольцами, дифференциал d s является диф-
дифференцированием в кольце Es, т.е.
ds{xy)'{dsx)y+{--\)p+qx(dsy), B4)
где х Е ?/' 4; кольцевая структура в гомологиях дифференциала d s совпа-
совпадает с кольцевой структурой в следующем члене Es +и изоморфизм B1)
согласован с кольцевыми структурами в левой и правой частях, а кольце-
кольцевая структура в кольце K*(Y) согласована с кольцевой структурой
в члене ЕM .
Теорема 2'. Спектральная последовательность из теоремы 2 муль-
мультипликативна.
Поясним теорему 2. Операция умножения в АГ-теории вводится с по-
помощью тензорного умножения расслоений. Если ? и т? - два расслоения над
базой X, то ? ® т? образует расслоение над декартовым произведением
XXX. Если Д: X -*Х X X - диагональное вложение, те получим операцию
тензорного умножения в виде композиции
К(Х) ЪК(Х) -*¦ К(ХХХ) ^ К(Х). B5)
Если Хр - р-мерный остов пространства X, то диагональное вложение гомо-
Z
ч
г
г
р
Рис.15.
133

топно такому отображению Д, что А (Хр) С U Ха ХХр. При этом А =
<ыр=-р
= А'.Тогда композиция B5) порождает отображение
К(Хр Хр_,) ® К{Хр„Хр,_f)
„Xp+p,_t).
р Хр_,) ® К{Хр„Хр,_f) * К{Хр+р„Xp+p,
В самом деле, если х е К(Хр,Хр^1). У е K{Xpt ,Хр, _ч), то элемент
х« у представляется разностной конструкцией на паре {ХрХХр$, (Хр_г X
XXpi)AJ (XpXXp»_1)), которая, очевидно, легко распространяется (три-
(тривиальным образом) на пару ( U {Ха X Хр), U (ХаХ
а + Р* р + р' ' а + 0=р + р'-1
X Хр)). Далее, полагаем ху= Д*(х в /). Аналогичное спаривание возникает
q.1
Рис. 16.
в члене Ех спектральной последовательности для локально тривиального
расслоения п: У -*Х.
С помощью спектральной последовательности A6) удобно вычислять
АГ-группы различных конкретных пространств.
Примеры 1. Пусть Х= S". Согласно следствию член Е2 спектральной
последовательности имеет следующий вид:
2
<2
0
г
Hp{Sn, Kq(
Z при Р = О.п и четном q,
О в остальных случаях
(рис.15).
В силу периодичности комплексной /(-теории достаточно рисовать
только две строчки спектральной последовательности при q = 0 и 1
(рис. 16).
При л = О спектральная последовательность, очевидно, вырождается, т.е.
ds = 0, Ег = Е„ . Поскольку для точки ds = 0, то и для любого простран-
пространства Xимеем•</, |?^>9 = 0. Это значит, что для сферы S" все дифференциалы
равны нулю, поэтому Ег = Е^ , и мы получаем
. я j Z э Z при четном л,
I Z при нечетном л,
1 п |0 при четном л,
IZ при нечетном п.
2. Пусть Х=СРп. Тогда
-* ( pt)) = Z[f]/{fn+1 = 0},
где t € Е\'° = Н2 {СР„, Z) - образующий элемент. Таким образом, отлич-
отличны от нуля только члены E\<q счетными значениямиР + q. Значит, все диф-
дифференциалы равны нулю, и ?*'= Z[t]/{tn + l = 0} (рис. 17).
134

Следовательно, аддитивная структура групп К{СР") такая же, как и у
члена Ея, поэтому К0 iCP") = Z е ... a>2. К1 (СРп) = 0. Чтобы доказать.
л+1 pas
что мультипликативная структура кольца К[СРп) трже совпадает с мульти-
мультипликативной структурой члена Ej, рассмотрим элемент и ЕК{СР"), кото-
который равен нулю на одномерном остове и представляет элемент Г Е ?^'°.
Тогда квадрат и2 может быть представлен в виде Д *(" ® и). При отображе-
отображении А трехмерный остов Хз отображается в объединение и {ХаХХр),
т.е. если а> 2, то0<3-а<3-2<1. Значит, элемент и2 равен нулю на
0
2Э7
0
0
0
Рис.17.
трехмерном остове и представляет элемент t2 в члене F*'°. Аналогично по-
показывается, что элемент и" представляет элемент tn Ф 0, а элемент и"+ '
равен нулю на остове [ СЯ"]2и +', поэтому равен нулю на всем пространст-
пространстве СРп. Таким образом, К ЧСР") = Z[u]/{un + > = 0}. В качестве элемента
и можно, например, взять элемент " = [?J - 1, где | - одномерное рас-
расслоение Хопфа.
3. Покажем, что все дифференциалы в спектральной последовательности
в' /С-теории имеют конечный порядок. Для этого рассмотрим характер
Черна
ch: K'{X)-*H*{X;Q). B6)
Преобразование B6) задает, очевидно, преобразование спектральных
последовательностей
ch:
'ер-
B7)
где Ef '— спектральная последовательность для Z2 -градуированных
когомологий пространства Хс рациональными коэффициентами, соответст-
соответствующая фильтрации по остовам пространства X. Поскольку '?А°-=
= Нр {X; Q), ГЕ?'' *= О, все дифференциалы d's этой спектральной последо-
последовательности тривиальны. С другой стороны, характер Черна становится изо-
изоморфизмом после тензорного умножения АГ-групп на поле Q рациональных
чисел. Значит, ¦ '
d, ®Q = 0. B8)
т.е. дифференциал ds имеет конечный порядок в каждой группе ?f><?.
Рассмотрим, например, дифференциал
d2: E$'q ¦* Е?2'4'1., B9)
или, в более конкретной записи,
* Hp+2(X;Kq-l(pt)).
135

Поскольку или группа Kq ipt), или группа К4 ' (pt) тривиальна, имеет
место равенство
dj"O, C0)
и поэтому EPtq = Ер> я. Далее, дифференциал
dy. Ef f
имеет вид стабильной когомологической операции
d3: HP(X.Z) -*- HP+3(X.Z). C1)
т.е. d3 eHp*3{K{Z,p); Z). Поскольку «р+3 (К(Z.P); Z) = Z» с обра-
образующей Sq3, дифференциал d3 имеет порядок не более чем два, а сам диф-
дифференциал d3 равен нулю или операции Sq*.
Таким образом, если целочисленные когомологии пространства X не
имеют кручения, то все дифференциалы спектральной последовательности
в /(-теории равны нулю, и потому Е%ч — Нр{X,К4ipt)). Значит, группа
Н*{Х; Z) присоединена к группе К*{Х).
4. По аналогии с обычными когомологиями выведем формулу для
/(•групп декартова произведения пространств XX Y. Предположим сначала,
что группа K*(Y) не имеет кручения. Пусть Xi С X — подпространство,
отличающееся от пространства X ровно на одну л-мерную клетку. Рассмот-
Рассмотрим точную последовательность пары
... -* К*(Х,ХХ) г* К*(Х) -> K*{Xt) -*¦ ... C2)
Умножим точную последовательность C2) тензорно на группу К *( Y) и рас-
рассмотрим следующую диаграмму:
\r J* C3)
ГСГ^У) —-..,
Верхняя строка диаграммы C3) точна, поскольку группа K*(Y) не имеет
кручения, т.е. является свободной абелевой группой с конечным числом
образующих. Вертикальные гомоморфизмы задаются с помощью тензор-
тензорного произведения векторных расслоений. Поскольку факторпространство
X / Xi гомеоморфно сфере, вертикальный гомоморфизм f является .изо-
.изоморфизмом в силу периодичности Ботта. Из диаграммы C3) индукцией по
числу клеток клеточного пространства X доказываем, что гомоморфизм д
является изоморфизмом.
Пусть теперь У, - такое пространство, что группа К*( Yt) не имеет кру-
кручения, a f: Y -* Yx — такое отображение, что гомоморфизм f*: /С*(У,) ->
-* K*(Y) является эпиморфизмом. Тогда точная последовательность пары
(YUY) превращается в свободную резольвенту
0 «- K*(Y) <- /('(У,) <- K*(Ylf Y) *- 0. . C4)
Умножим последовательность C4) тензорно на группу К*{Х) и рассмот-
рассмотрим диаграмму
t35)
136

Покажем, что гомоморфизм f является мономорфизмом. Если f{x) = 0, то
найдется такой элемент У, что а(у) = х. Тогда а' (;(/)) =0. Существует
такой элемент г, что fir (V) = &' (*) ¦ Поскольку гомоморфизм/» является
изоморфизмом, то г = Л (иг), т.е. д (у) = gfiiw). Посколькуд - тоже изо-
изоморфизм, имеет место равенство у = 0 (w), т.е. х = оф (w) = 0. Значит, f
есть мономорфизм.
Покажем, что ЛКег0 = Кег/3' .'Ясно, что ЛКег/J С Кег0* .Если же
0'(х) = 0, х=Л(К),то00(К) =./?'Л(К) = О,т.е.0(к> = 0 или у € Кег 0.
Следовательно, получаем точную последовательность
О -* K*{Y) ® К*(Х) ¦* K'(YXX) -*¦ Кег^ -> 0. <36)
Поскольку группа Кет fi обозначается через Тог (К*(У), К*(Х)), то мы
получаем формулу Кюннета
0-*К'(Х) • K*{Y) + fCiXX Y)^Tor(k*iX\,K'(Y))^0. C7)
Для завершения доказательства формулы C7) осталось построить про-
пространство Y\. Пространство Yx следует искать в виде декартова произве-
произведения комплексных грассмановых многообразий, классифицирующих
конечное число аддитивных образующих группы К * ( Y). Когомологии
грассмановых многообразий не имеют кручения. Тем самым доказатель-
доказательство формулы C7) завершено.
5. Принцип расщепления. Если какое-то функториальное
соотношение выполняется для расслоений, которые разлагаются в прямую
сумму одномерных расслоений, то это же соотношение выполняется и для
любых расслоений.
Этот принцип основан на следующей теореме:
Для любого расслоения % над базой X существует такое отображение f:
Y -*Х, что расслоение f* (?) разлагается в сумму одномерных расслоений,
а гомоморфизм f*: К*(Х) -> К * (V) является мономорфизмом.
В самом деле, пусть Р: Е -*¦ X — векторное расслоение ?. Обозначим
через Р(Е) пространство, точками которого являются комплексные одно-
одномерные подпространства, лежащие в слоях -расслоения ?. Пусть я:
Р(?) -*¦ X — естественная проекция.. Тогда, если?' - тотальное простран-
пространство одномерного расслоения Хопфа т? над базой Р{?), то точки прост-
пространства Е' можно отождествить с парами (/, х)., гдех€ /, а/ €P(F). Рас-
Рассмотрим расслоение ir*(?). Тотальное пространство Е" расслоения ir*(?)
можно отождествить с множеством таких пар (х,/) € Р(?) X Е, что
nil) = Р(х). Очевидно, что пространство Е' является подпространством
пространства Е" , поскольку из принадлежности х € / вытекает, что
ff(/) = Р{х). Значит, расслоение п* (%) разлагается в прямую сумму
тг*(?) = 17® ?, dim? = dim?-1.
Покажем теперь, что гомоморфизм яг*: К*{Х) ->¦ К' (Р{?)) является
мономорфизмом. Рассмотрим пространство BU(n), отображение f: X -*
-+BU(л) и диаграмму
-ВЩп)
137

Диаграмма C8) порождает коммутативную диаграмму спектральных
последовательностей
т
причем
(з)ЕР.я = нг{х> /c(pt))# f
? . //(ви(л), К'ЧСР"'')). <4>?2P>« = Hp{BV(n).
Далее, в спектральных последовательностяхB *F и D)F все дифференциалы
равны нулю. Значит,
(l)f?.O =C)fp.O . ^,^--1 )§ (DfP.l
Следовательно, гомоморфизм
является мономорфизмом. Поэтому гомоморфизм
тоже является мономорфизмом.
Применяя описанную конструкцию к расслоению f, мы "отщепим" еще
одно одномерное слагаемое и так далее до тех пор, пока не разложим прооб-
прообраз расслоения % в сумму одномерных слагаемых.
§ 2. Операции в ЛГ-теории
Согласно общему определению когомологическая операция — это такое
преобразование а: К* (X) -*К*{Х), что для любого непрерывного отображе-
отображения f:X-*Y получается коммутативная диаграмма
A)
т.е. af* = f *а. Если х€ АС0 (X), f: X->BU(/V) - классифицирующее отобра-
отображение, т.е. x=f*%N, то а(х) =/*<*($#). Здесь элемент а^дг) е /f'(BU(/V))
есть результат применения операции а к каноническому расслоению ^дг.
Неточность предыдущего.рассуждения заключается в том, что мы, как пра-
правило, ограничиваемся рассмотрением расслоений над конечными клеточны-
клеточными пространствами, в то время как классифицирующее пространство
BU(/V) является бесконечномерным. Пространство BU(/V) строится как
прямой предел lim G(/V+ n, N) многообразий Грассмана. Поэтому эле-
138

мент х € К0 iX) можно задавать отображением fn:X-*G (N+ п, N), причем
должна быть коммутативна диаграмма
Для задания когомологической операции а достаточно задать последова-
последовательность элементов а„ € К* (G (/V + п, /V)) так, чтобы выполнялось равен-
равенство /^(а„+1) = а„, т.е. достаточно задать элемент обратного предела
\im К*{G(N + n,N))=W(B\J(N)). B)
Вообще, если X - бесконечномерное клеточное пространство, у которого
каждый л-мерный остов [X] " является компактным клеточным простран-
пространством, то полагаем
#•*(*)= \\тК*([Х)п).
Можно показать, что в определении группы X* (X) остовы [ X]" можно за-
заменить на любую возрастающую последовательность компактных прост-,
ранств Х„ такую, что X = lim Х„. Тогда определение B) является частным
случаем общего определения.
Поскольку элементы группы К0 (X) определяются расслоениями с
точностью до прибавления тривиального слагаемого, то для определе-
определения когомологической операции требуется- задавать такую систему эле-
элементов
aNeK'{B\J[N)),
что естественное отображение
BU(/V)—> BUW+1)
переводит элемент <*#+1 в otjv, т.е. задавать элемент обратного предела
а€ lim#"'(BU(/V)).
Можно легко показать, что если положить BU = limBU(/V), то обратный
предел lim X (BU(/V)) совпадает с обратным пределом
г да [ В U]" — л-мерный клеточный остов пространства BLL В конкретных
задачах используются только некоторые когомологические операции. Мы
перейдем к описанию таких специальных операций, носящих названия
операций Адамса.
Определение. Операцией Ф*: К(Х) -*К{Х) называется такая ли-
линейная когомологическая операция, что если % = (^ ф... ф{„—расслоение,
разложенное в прямую сумму одномерных слагаемых, то
**{*)»# е... eg*. C)
13»

Требуется доказать, что такая операция существует и единственна. Чтобы
это доказать, рассмотрим симметрический многочлен
Представим многочлен sk как многочлен от новых переменных — от эле-
элементарных симметрических многочленов:.
**(fw-<rn)=/»?@t,oj On). D)
где
..,ги) = г,*2+г,г3
On =On{ti,...,tn)"t1t2...tn,
\k. , . . - некоторые целые числа. Положим
Ф*({) - • X* . • , $'' ® (Лав1* ® ... ® <ЛИ$)'" (в)
для произвольного "-мерного векторного расслоения ?. Правая часть фор-
формулы F) понимается как элемент группы К(Х), поскольку коэффициен-
коэффициенты \к, , ¦ . могут быть отрицательными числами. Покажем, что формула
(в) корректно определяет гомоморфизм группы К{Х). Пусть g ~ gi e ?2>
dim li=P/dim|j =</, Р + а = л. Поскольку
Oj(ti,...,tn)= 2 aa(ti,...,
полагая a/ = ? o'aa", получим тождество
Следовательно, подставляя в формулу (в) вместо расслоения ? прямую
сумму ?i ®Ь и применяя соотношение G), получаем
**«i «>Ы-**(Ы + **(Ы. (8)
Отсюда следует, что формула (в) корректно определяет аддитивный гомо-
гомоморфизм ?*: КiX) -+K{X).
Покажем, что операции Ф* определяются соотношением C) единствен-
единственным образом. Как и в случае изучения характеристических классов, вос-
воспользуемся принципом расщепления расслоений. Рассмотрим л-мерное век-
векторное расслоение Р: Е -* X, которое мы будем также обозначать одной
буквой ?„ Обозначим через Р(Е) лроективизацию расслоения ?, т.е. прост-
пространство всех одномерных прямых, проходящих через начало координат
одного из слоев расслоения ?. Естественная проекция Р: ?{Е) -*Хявляется
локально тривиальным расслоением со слоем СР"-1. Рассмотрим прообраз
140

расслоения Р* (g) над новой базой Р(?). Легко видеть, что расслоение
р*{\) разлагается в прямую сумму одномерного расслоения Хопфа над
Р(?) и (л—1) -мерного расслоения ц. Далее, гомоморфизм
Р*: К[Х) -
является мономорфизмом. Поэтому, повторяя процесс проективизации
расслоения конечное число раз, мы можем построить такое отображение
f: Y -* X, (8)
для которого выполнены условия:
а) отображение f*: К(Х) -*-K[Y) является мономорфизмом;
б) f * (?) = S i ®... ®?„, где %к — одномерные расслоения.
Применим к расслоению ? операцию Ф*. Тогда
и потому элемент f * (** (%)) определен единственным образом. Посколь-
Поскольку f * — мономорфизм, элемент ** (%) определяется единственным
образом.
Теорема. Для операций Ф* имеют место следующие свойства:
(а)
(б)
(в) если Р - простое число, то ФР (х) = хр {modP).
Доказательство. Так же, как и раньше, свойства (а) — (в) доста-
достаточно проверять для расслоений, разлагающихся в сумму одномерных сла-
слагаемых (согласно принципу расщепления).
Если! = (•! ®...®|„, jj= т?, ®... ®}}от, то! ®т?= ® Ei ®J?/) и
'. /
J?) = ® (?, ® чу)* = ® (?*• ® т)*) =
Далее,
Ф*Ф'(?, ® . .. в {„) = ¦*({*,«>... ® Й) = 5t' ® • • • в Й1 =
- **'(!, «...efe,).
Наконец, если р - простое число, то
•¦¦ Чрп = (Si ф ¦ • •ш ?«)"-
гт ?V^..-li"- О)
/,+.. .+in=p til hi- - ¦ V
Поскольку при ik Ф р имеем ik < p, то знаменатель выражения —
/,!/2 !.../„!
не содержит в качестве множителя числар, т.е. второе слагаемое в правой
части выражения (9) делится нар. Следовательно,
141

В силу принципа расщепления соотношение
? (тодр)
справедливо для любого расслоения ?. Далее, если х = ?, — %г. то при
нечетном р имеем
- 2
Если р » 2, то
*2 (x> = (*? - 5! )(mod 2) г ({, - Ь )a
г x2 (mod 2).
- *& = (li - Ы2 (mod 2) s
Теорема полностью доказана.
Примеры 1. Рассмотрим сферу S2" и образующий элемент 0" €
€ AC0 (S2"), где /3 € /С0 (S2). Напомним, что элемент 0" можно понимать
как такой элемент, который переходит в &\ ® ... ® 0„ € /f° (S2 X ... X S2)
при гомоморфизме, индуцированном отображением
f: (S2 X...XS')->S2",
которое стягивает в точку остов размерности 2л -2, а элемент 0* € /С0 (S2)
обозначает образующий элемент Ботта в /г-м сомножителе. Тогда
Далее, 0
- ч* - 1
t? — 1, где tj — одномерное расслоение Хопфа. Поэтому
A + 0) * -1 = *0. Следовательно,
тл.
*"<?".
A0)
2. Пусть \/ — конечномерная ассоциативная алгебра с делением, т.е.
каждый элемент.х Ф 0 в алгебре V обратим. Обозначим через P(V3) про-
пространство всех одномерных как ^-модулей подпространств в простран-
пространстве V3 = V ® V ® V. Это так называемое проективное (двумерное) про-
пространство над алгеброй V. Если V — поле вещественных или комплексных
чисел или тело кватернионов, то Р(УЭ) = RP2. СР2, КР2. Вычислим ко-
ч
п-1
и
1
ш>
и
иг
п
Рис. 18.
2П
142

гомологии пространства P(V3). Для этого рассмотрим отображение сферы
S. лежащей в V3, в пространство Р (V3), которое каждой точке х сферы S
сопоставляет прямую проходящую через точку х. Полученное отображе-
отображение является, локально тривиальным расслоением
S + PiV3) A1)
со слоем 50 С V, где So - единичная сфера в пространстве V.
Пусть п = dim V > 1 — четное число. В частности, dim So > 1. Тогда
iro{P(l/J)l = 0. Спектральная последовательность расслоения A1) на-
начинается с члена
Ef«~И'(PiV3). //*(S0;Z)) (рис.18).
Если if е Нin -' > (So; Z) - образующий элемент, то dn (v) "u.dn{uv)"
= и2 — образующие элементы в членах 4Г?>° и Еп"'° • Следовательно,
«•(P(V3)) = Z[u]/{u3=0}, dim и = п.
Применяя теперь спектральную последовательность к вычислению /С-групп
пространства Р (V3). получаем, что
Более того, пространство Р {V3) представляется в виде объединения сферы
S" = P{V2) и диска D2", приклеенного к сфере по некоторому отображе-
отображению ip-.S2"'1 -+S". Другими словами, имеется пара
S211. A2)
Точная последовательность в /(-теории, соответствующая паре A2), имеет
следующий вид:
0 «- K°(Sn) х- K°(P{V3)) i- K°{S2n) x- 0. A3)
Пусть аек° (Sn),bGK9{S*n) - образующие элементы. Пусть /*(х) «а.
у = /*М>). Если у * аи + 0и2. то [аи + 0и2J = а2и2 = 0, и поэтому а ¦ 0.
Если х -уи + 8и*, то, поскольку элементы х и у образуют базис в группе
К0 [P(V3)), имеем 0 - ±1, у = ±1. Меняя, если это необходимо, знаки
у элементов а и Ь, получим, что х2 = у.
Вычислим элементы Ф* (х) и Ф (к). учитывая четность числа п - 2т.
Имеем /*Ф*(х) = Ф* (в) = *""«. Значит, Ф* (х) = **х + \у, Ф* (к) ¦
= Ф*/*(Ь) - /'Ф*^) = *2Я1к- Если* - простое число, то Ф*(х) s
= х* (mod к), тл. *тх + Хх2 s х* (mod к); Например, при * = 2 число X
нечетно, а при * = 3 число X делится на 3.
Поскольку операция Ф6 разлагается в композицию Ф6 = Ф2Ф3 = Ф3Ф2,
то, вычисляя элемент Ф6 (х) двумя различными способами, получаем
Ф2Ф3 (х> -** (Зтх + цу) = 6тх + (ЗтХ
Ф3Ф2 (х) = Ф3Bтх + Хк) = 6тх + C2т
или
2тBт -1)*i
причем число X нечетно. Тогда число 3м - 1 делится на 2м. Представим
число т в виде т - 2*/, где / — нечетное число. Тогда
З"» -1-{32*у'-1-C2*-1Ж32*I-1 +C2*)'-2 +... + 1). A4)
143

Поскольку второй множитель в разложении A4) имеет нечетное число
слагаемых, он сам тоже нечетен. Следовательно, число З2 — 1 должно
делиться на 2м и, в частности, на 22 . Разложим число З2 — 1 на мно-
множители:
З2* -I-P2* +1)C2* + 1)-...{3 + 1)C-1). A5)
Числа З2 имеют следующие остатки помодулю Юг; 3,9,81,61,21,41,81
и далее с периодом четыре все остатки повторяются. Поэтому, начиная
с k-^, числа З2 +1 делятся на 2 и не делятся на4 = 22. Значит,согласно
разложению A5) число З2 - 1 делится на 2*+2 и не делится на 2к+3.
Поэтому должно выполняться неравенство
2к1 < к + 2. . A6)
При / <= 1 неравенство A6) выполняется при /г = 0, 1, 2. При / > 3 нера-
неравенство A6) не имеет решений. Таким образом, число т может прини-
принимать всего лишь три значения: т ¦ 1, т = 2, т = 4, т.е. л = 2, л = 4, л = 8.
Итак, примеры комплексов типа Р(У3) могут. существовать лишь
в размерностях dim V = 2, 4, 8. И, действительно, кроме поля комплекс-
комплексных чисел и тела .кватернионов имеется еще восьмимерная алгебра чисел
Кэли, которая хотя и не ассоциативна, но проективное пространство
Р {V3) для которой может быть определено корректно.
Упражнение. Показать, что в случае нечетномерных алгебр V с
делением должно выполняться равенство dim V = 1, поскольку на четно-
мерных сферах отсутствуют ненулевые векторные поля.
§ 3. Изоморфизм Тома и прямой образ
Рассмотрим комплексное л-мерное векторное расслоение
р: Е -*¦ X. A)
которое будем обозначать одной буквой ?. Тотальное пространство Е
расслоения ? некомпактно. Обозначим через %х одноточечную компакти-
фикацию тотального пространства Е с помощью бесконечно удаленной
точки °°- Пространство | будем называть пространством Тома расслое-
расслоения %. Это же пространство можно представлять как факторпростран-
ство D(%)IS {%), где 0(?) — подпространство, являющееся объединением
единичных дисков расслоения ?, a S(?) — подпространство, являющее-
являющееся объединением единичных сфер в тотальном пространстве Е.
Используя одноточечную компактификацию, введем понятие вирту-
виртуального расслоения, с компактным носителем, которое мы будем зада-
задавать в виде разностной конструкции (?i, d, %г) на пространстве Е с усло-
условием, чтобы гомоморфизм d был изоморфизмом вне некоторого ком-
компактного подмножества в пространствеЕ. Вместо тройки Hi.d, ?>) можно
рассматривать комплексы расслоений, точные вне некоторого компакт-
компактного подмножества. Группа Гротендика, порожденная такими объектами,
будет обозначаться через Кс (Е) и называться К-группой с компактными
носителями. Очевидно, что
*",(?) =/С0 (?>(?), S($)>. B)
Группа B) является кольцом относительно тензорного умножения и,
более того, модулем над кольцом К (X).
Определение /С-групп с компактными носителями распространяется
на пары некомпактных пространств и, следовательно, на надстройки.
144

Значит, имеет смысл говорить о градуированной группе
к; (?)-*?(?) в *'(?) C)
с компактными носителями, которая является градуированным кольцом
и модулем над кольцом АС* (X).
В § 1 главы 3 был построен элемент
который мы будем, как и раньше; называть элементом Ботта.
Теорема 1. Пусть { — комплексное векторное п-мерное расслое-
расслоение с проекцией A). Тогда операция умножения на элемент 0,
0: К*{Х) ¦-> К*(Е), D)
является изоморфизмом.
Периодичность Ботта является частным случаем теоремы 1, когда %
является одномерным тривиальным расслоением. С другой стороны, тео-
теорема 1 является легким обобщением периодичности Ботта. Гомоморфизм
D) называют еще изоморфизмом Тома.
Доказательство теоремы 1. Проведем доказательство ин-
индукцией по числу клеток базы X. Пусть Y СХ - подпространство, являют
щееся объединением всех клеток, кроме одной клетки старшей размер-
размерности, и пусть ?) ¦ p~l (Y) — тотальное пространство ограничения расслое-
расслоения на подпространство Y. Получим коммутативную диаграмму из двух
точных последовательностей:
—*К*(Х, У) К"(Л —- Г(У) —»
I
—-А#(Е,)—*- E)
Пара (X, Y) может быть заменена в диаграмме E) на пару (D™, Sm ~'),
а пара (?, Et) - на тотальные пространства ограничения расслоения ? на пару
(СУ", Sm~l). Это ограничение является уже тривиальным пространст-
пространством, т.е.
Таким образом, достаточно показать, что гомоморфизм умножения на
элемент /3,
/f*@m,Sm~1) %¦ К'ЦУ XC",Sm~' ХС), F)
является изоморфизмом. Действительно, ¦ если гомоморфизм F) являет-
является изоморфизмом, то к диаграмме E) применима лемма о пяти изо-
изоморфизмах. То, что гомоморфизм F) является изоморфизмом, вытека-
вытекает уже из периодичности Ботта, поскольку гомоморфизм /3 разлагается
в композицию аналогичных гомоморфизмов для вдномерных расслоений:
х с1 ,sr~l хс1) ^
^ KZ(iynxc2.sm-lxc2)''-i... ^ /c*(?>mxcl/sm-1 хс"). G)
Теорема 1 доказана.
Разложение G) показывает, что изоморфизм Тома удобно описывать
не для пары пространств, а для АГ-теории с компактными носителями.
145

Для этого заметим, что
Вообще, если X— произвольное (некомпактное) клеточное пространство,
? — некоторое векторное комплексное расслоение над пространством X
с тотальным пространством Е, то изоморфизм Тома задается как опера-
операция умножения на элемент 0:
К'{Х) "¦+ **{?). (8)
Гомоморфизм 0 удобно ассоциировать с вложением /: X -*¦ Е базы X в
тотальное пространство Е в качестве нулевого сечения. Обозначим тогда
гомоморфизм 0 новым способом - через /,. Пусть ц - второе векторное
расслоение над базой X, ?' — тотальное пространство прообраза расслое-
расслоения v при проекции .Е -* X. Пространство Е', с одной стороны, является
тотальным пространством прообраза расслоения т), а с другой стороны,
тотальным пространством прямой суммы ? ® т? над базой X. Если /:?-¦?'-
вложение в качестве нулевого сечения, то композиция /7 есть вложение
базы X в качестве нулевого сечения расслоения { ® q.
Теорема 2. Гомоморфизмы i и j удовлетворяют следующим усло-
условиям:
(а) 07). -/./,:
(б) /.(*/* (К)W.WK длялюбыхуе.К*(Е) и xGAf^X).
Доказательство. Свойство (а) очевидно. Свойство (б) в случае
х ¦ 1 означает, что /.(/'(к)) * 0'*(к) • Так как любой элемент у G /с* (?)
имеет вид к = /»(*) = fix, то получаем, что нам достаточно доказать ра- .
венство
0* -0/Ч0). (9)
Равенство (9) проверим для случая расслоения ?, разлагающегося в пря-
прямую сумму одномерных слагаемых, ? = ? i ф • • ¦е ?„• Поскольку элемент &
разлагается в тензорное произведение
0-й •...•А,. (Ю)
где /3Л € /С° (?*) — элемент Ботта для тотального пространства ?* расслое-
расслоения ?/t. то равенство (9) следует из аналогичного равенства для одномер-
одномерного расслоения:
•0а-Э?*...*#-0,/Чр',>*...*А1/ЧА.)-
-»!•...•№,»/•»!•..'.•№,)-/»*»>. 01).
Итак, пусть ? — одномерное комплексное расслоение. Без ограничения
общности можно считать, что база расслоения есть СР" — комплексное'
проективное пространство, а % есть расслоение Хопфа. Точки пространства •
СР" - это одномерные комплексные прямые / в пространстве Сл + |, про-
проходящие через начало координат. Тогда точки тотального пространства ?,
расслоения % суть пары (х, /). где х - вектор из пространства С" + | и
х G /. Рассмотрим проективное пространство СР"*1, точки которого зада-
задаются п + 2 проективными координатами [г0 :г1 : . . . : гл :/„ + ,). Пусть
«> = @ : 0 : . . . : 0 : 1) S СР»*1 и У" С/»л + 1\{оо) - открытая область.;
Покажем, что пространство ? гомеоморфно области I/. Зададим гомео-
гомеоморфизм /: U-* ? формулами
ffco : *г: • • •: г„ : гя+,) - {(г0 : г, : ... : /„), (f0/ tu..., tn)} ,
144

где
формулы A2) и A3) корректно определены в области U и, очевидно,
задают искомый гомеоморфизм. Значит,
?ср"=СРи+|. A4)
Далее покажем, что элемент Ботта
0 € Кс (?) = К0 (%сря) = К ° (СРп+')
совпадает с элементом [|] — 1. Согласно конструкции элемента Ботта 0
он представляется разностной конструкцией (Ло iv), d, Л, (??)) над базой ?.
Поскольку расслоение Л0(т?) тривиально, то наличие изоморфизма d вне
подпространства СР" С ? С СР" *' означает, что одномерное расслоение
Ai (т?) * 1? = р"(?), где р: ? -¦ СРп - проекция, является тривиальным в
окрестности бесконечно удаленной точки °° ? С/'1. Значит, элемент 0
представляется в виде разности 0 s [f ] - 1, где f - некоторое одномер-
одномерное расслоение. Расслоение f полностью характеризуется своим первым
классом Чженя с( (f)- Поэтому вычисление Ci (f) достаточно произвести
для случая л = 0, т.е. когда база расслоения ? есть точка, а пространство
Тома есть двумерная сфера СР1 = S2. В этом случае расслоение ? триви-
тривиально и 0 = [?] - 1, где ? - расслоение Хопфа над пространством С/*1.
Значит, с i (J) =с, (?),т.е. f тоже является расслоением Хопфа.
Итак, мы показали, что если ? — расслоение Хопфа над пространст-
пространством С/3",то его пространство Тома гомеоморфно пространству СРи + |, 0 а
= [|]-1. Тогда
¦/•@-Ю -1.
Нам требуется показать, что
02=0/*@). A5)
Перейдем для этого с помощью характера Черна к когомологиям и по-
покажем, что
(сп 0J = сп 0 сп/•(?). A6)
Пусть г € Н2 iCP"; Q), а € Н2 «Уя + 1; Q) - образующие в рациональ-
рациональных когомологиях. Тогда /*(<*) = t и a*f' = a*+/. Таким образом, требу-
требуется показать, что
(ea-1)(ea-1) = {ea-1)(e'-1). A7)
или
2 оя+1
/ а2 о"+1 \/ а2 . оя+1 \
(а + +...+ lie + +... + " I -
\ 2! (л + 1)|А 2! (п + 1)!/
/ а2 а"+1 V о2 в"\
\ 2! (п + 1)! Л 2! п! /
/ а2 0я*1 \( t2 r\\
V 2! (л+г)!/\ 2! п! /
Последнее равенство доказывает формулу A7), а следовательно, и фор-
формулу A5). Теорема 2 полностью доказана.
147

Изоморфизм Тома превращает Af-функтор в ковариантный функтор,
т.е. гомоморфизм /. действует в ту же сторону, что и вложение /. Однако
вложение / не может быть произвольным. В теореме 2 вложение / было
вложением в качестве нулевого сечения в комплексном векторном рас-
расслоении. Мы расширим класс отображений /', для которых построим го-
гомоморфизм /., удовлетворяющий условиям теоремы 2.
Рассмотрим гладкие компактные многообразия и гладкие их отобра-
отображения. Через ТХ обозначим тотальное пространство касательного рас-
расслоения многообразия X.
Теорема 3. Для каждого гладкого отображения
f:
существует такой гомоморфизм
f,\ КС(ТХ) ¦* KC(TY),
что
(а) (fg). = f;g.;
(б) f, (xf (у)) щ ft (Х)К/ х е Кс{ТХ). у е Ке(ТУ).
Доказательство. Пусть i: X -*¦ V — вложение многообразия X
в евклидово- пространство достаточно большой размерности. Тогда отобра-
отображение f разлагается в композицию
t р
X ¦* V X V -* У,
где i(x) a (f (х), >рМ), а р - проекция на первую координату. Пусть
VC/X V - нормальная трубчатая окрестность подмногообразия i{X).'
Тотальное пространство ТХ касательного расслоения многообразия X
является гладким многообразием, касательное расслоение к которому
имеет каноническую структуру комплексного векторного расслоения.
Поэтому вложение
/: ТХ -*¦ TU
есть вложение на нулевое сечение комплексного векторного расслоения %,
которое является комплексификацией нормального расслоения вложения
XCU:
Аналогично, вложение
*: TYCTYXTV
-тоже является вложением на нулевое сечение комплексного (тривиаль-
(тривиального) векторного расслоения. Пусть, наконец,
/: TU С ПУХ V)
— вложение открытой области. Положим
г>) -*;1/,'.w. A8)
где /.: К• (TU) -*¦ АС* (Т{У X V)) определяется естественным образом как
продолжение всех изоморфизмов в разностной конструкции с области
TU на все пространство Т (У X у).
Отображение f., построенное по формуле A8), не зависит от выбора
вложения <р в пространство V, поскольку, если размерность V достаточно
велика, то различные вложения гомотопны в классе вложений. Следова-
148

тельно, гомотопны и вложения /, а гомоморфизмы У, совпадают. Отобра-
Отображение г", не зависит от размерности пространства V, поскольку прибавле-
прибавление к пространству V прямого слагаемого V в композиции A8) соот-
соответствует применению изоморфизма Тома в композиции с обратным
изоморфизмом..
Свойство (а) теоремы 3 следует из коммутативности следующей диа-
диаграммы вложений и проекций:
A9)
Докажем свойство (б). Пусть х € К * (ТХ), у е К * (ГУ). Тогда
^(*f-*(K>) s С/.'. <*('VК> )• B0)
Используя заключение (б) теоремы 2, получим
Поскольку к* (а) = р*(а)/г,A), имеет место равенство /./,(х) =
-Р'!*;1/,'»)*.»)..Значит,*;1 V./»P*(k)) ¦ (*;V./,W)k-'.<*)К.
что и требовалось доказать. Теорема 3 полностью доказана.
¦ Замечание. Теорема 3 может быть обобщена на случай гладких
многообразий, касательное, расслоение которых допускает структуру
комплексного расслоения. В частности, для комплексных аналитических
многообразий тоже справедлива теорема 3.
Гомоморфизм f,, определенный в теореме 3, называют обычно прямым
образом в /f-теории. Совершенно ясно, что требование, чтобы пространства
X и У были гладкими многообразиями, тоже не является существенным.
Достаточно, чтобы отображение f: Х-*У разлагалось в композицию
X + Ei '-* Ег + Y, B1)
где / —'вложение на нулевое сечение некоторого комплексного расслое-
расслоения, / — вложение на открытую область, ар — проекция некоторого комп-
комплексного векторного расслоения.
Пример. Пусть f: X -*¦ У — локально тривиальное расслоение, слой
которого является многообразием F со структурой комплексного рас-
расслоения в касательном расслоении (т.е. является почти комплексным
многообразием), а структурная группа является группой диффеоморфиз-
диффеоморфизмов, сохраняющих комплексную структуру касательного расслоения.
Пусть пространство X компактно. Тогда разложение B1) для отображе-
отображения f существует. Действительно, пусть ф: X С R" - некоторое вложение,
а отображение
•/: X ¦* УХ R* B2)
задается формулой Их) = (f (х), $ (х)). Тогда / является вложением,
а пересечение подпространства у X R^ с подмногообразием /(X) транс-
версально и пересечение это равно слою F = f'1 {у). Это значит, что нор-
нормальное расслоение к вложению многообразия X в многообразие YX RN
дбпускает структуру комплексного расслоения (если N четно и велико).
В этом случае для отображения f: X -*¦ У справедливы утверждения тео-
теоремы 3.
149

§ 4. Теорема Римана - Роха
Изоморфизм Тома, рассмотренный в предыдущем параграфе, подобен
изоморфизму Тома в когомологиях. Последний является операцией умно-
умножения на элемент *р A) € //*"(?; Z). Здесь п = dim ? — размерность век-
векторного комплексного расслоения, тотальное пространство которого*
обозначено через Е.
Естественно сравнить изоморфизм Тома в /С-теории и изоморфизм
Тома в когомологиях. Для этого'включим гомоморфизмы 0 и ф с по-
помощью характера Черна в диаграмму
Диаграмма A), вообще говоря, не коммутативна. В самом деле,
, , B)
l C)
Поэтому левые части формул B) и C) отличаются друг от друга множи-
множителем Т[Ц) = ^"' (ch0):
ch0(x) = Л?Мсп(х)). D)
Класс; когомологий Т{%) е Н*(Х; Q) является некоторым характерис-
характеристическим классом расслоения ? и, значит, выражается в виде многочлена
от классов Чженя <:,-(?) или в виде симметрического многочлена от об-
образующих Г), f 2/ • • •, 'и. посредством которых сами классы Чженя с, (?)
выражаются в виде элементарных симметрических многочленов. Для
описания класса Г(?) допустим, что расслоение ? является прямой сум-
суммой одномерных расслоений ? = ?| ® ...® |„. Тогда г* =ct (|л). Посколь-
Поскольку в этом случае элемент 0 разлагается в тензорное произведение:
E)
где Рк ? Кс(Ек) — элемент Ботта для тотального пространства ?> рас-
расслоения Ьк, а ^A) - iiA)liA)--- ^яA), где v>*: Нк [X; Z) ¦*
-* Нс. (Ек; Z) - изоморфизм Тома в когомологиях для расслоения %к, то
= ?"' (ch0)- ^>Г* (ch.U,) ... Л1 (сп0„) = Л*1) ЛЬ) • • ¦ Л*,,). -W
В § 3 мы показали, что в качестве одномерного расслоения ? для вычис-
вычисления класса Г(?) достаточно брать расслоение Хопфа над проективным
пространством СР". Его пространство Тома гомеоморфно пространству
СР"+Х, а 0= [|] -1.
Пусть а € Н2{СРп; Z) - образующий элемент в когомологиях,с, (?) =
= а. Изоморфизм Тома в когомологиях совпадает с умножением на элемент
(.Тогда
,7)
(л + 1)!
150

Тогда на основании формул F) и G) получаем для л-мерного расслоения
следующую формулу:
Т($) = П fULll. (8)
*-» tk
Класс когомологий Г({) является смешанным классом когомологий
и начинается с единицы в нульмерных когомологиях с рациональными
коэффициентами. Поэтому- этот класс является обратимым элементом
в кольце когомологий. Обратный элемент Г~*(€) называется классом
Тодда комплексного расслоения ?.
Теорема. Пусть f: X -*¦ У — гладкое отображение гладких компакт-
компактных многообразий, Тогда для любого элемента х Е К* [ТХ) имеет место
формула
dnf.{x)T-1{TY)'f,(chxT-1(TX)). (9)
Доказательство. Пусть
Тх'-+ u'-+ TYXH2" ?* TY
— разложение B1) из § 3. Как в /(-теории, так и в когомологиях прямой
образ определяется одинаковым образом:
Далее,
chf»
=*.-'/¦ т
где % — нормальное расслоение к вложению /. Расслоение | с точностью
до тривиального слагаемого представляется в виде разности
i'-iTX] +f'[TY].
Поэтому
П&'Т-1{ТХ)ГПТУ). - A1)
Подставим значение формулы A1) в формулу A0) и умножим левую
и правую части формулы A0) на множитель Г'1 G*/). Получим
(TY) = f.icbxT-1 (TX)f*T(TY))T-1 (TY) = /.(сЬхГ (TY)),
т.е. получим формулу (9). Теорема доказана.
.Формулу (9) можно переписать и в виде A0):
Примеры. 1. Пусть X — компактное почти комплексное 2л-мерное
многообразие, а V - одноточечное пространство и f: Х-* У = pt - естест-
естественное отображение. Тогда прямой образ в когомологиях
отображает группу Н2п(Х; Z) = Z тождественно, а остальные группы
когомологий отображаются в нуль. Для одноточечного пространства име-
имеем 7"(pt) ¦ 1. Применим формулу A2) для элемента х = 1. Получим
f,A) € /f*(pt) = Z. Поэтому характер Черна chf, A) является целым
числом. Следовательно, f»(T~l\JX)) тоже является целым числом, т.е.
целым является старший класс когомологий размерности 2л при разло-
«51

жении класса Тодда Г"'G"Х) по однородным компонентам. Другими
словами, целым является значение < У G"Х), [7X1 > класса Тодда на
фундаментальном цикле [ТХ] многообразия ТХ. Это целое число назы-
называется родом Тодда многообразия X.
Заметим, что в наших рассуждениях содержится некоторая теорема
целочисленное™, поскольку согласно определению род Тодда является,
вообще говоря, числом рациональным, а мы показали, что он является
целым числом. ;
2. Допустим, что у л-мерного почти комплексного многообразия F
род Тодда равен единице, т.е. (T~X{F), [F]) -" 1. Это значит, что стар-
старшая компонента в разложении класса, Тодда Т~*{Р) по однородным
слагаемым совладает с образующей в группе когомологий. H2"(F; Z).
Рассмотрим локально тривиальное расслоение f: Е -* X со слоем F
и структурной группой диффеоморфизмов, сохраняющих. почти комп-
комплексную структуру. Используя разложение B1) и пример из § 3, полу-
получаем формулу, аналогичную формуле A2):
Е), A3)'
где под TF понимается комплексное расслоение над базой Е, касатель-
касательное к слоям F С ?. Полагая х = 1, получаем
Гомоморфизм f, в когомологиях понижает размерность ровно на 2л.
Это значит, что 2/7-мерная компонента когомологий при прямом образе
переходит в нульмерную компоненту. Поскольку род Тодда многообра-
многообразия F равен единице, то нульмерная компонента элемента f,(T'x(TF))
равна единице. Значит, элемент г".A) в /(-теории при ограничении на нуль-
нульмерный остов равен единице. Следовательно, элемент г".A) - 1 равен
нулю на нульмерном остове пространства X. Поскольку пространство X
является конечным клеточным пространством, то некоторая степень эле-
элемента f.A) - 1 равна нулю, т.е. элемент f.A) является обратимым эле-
элементом в кольце К (X). Таким образом, композиция
Mf*U)) = MD* A4)
является обратимым отображением группы К*(Х). Значит, гомоморфизм
f*: K*(X) -*К*{Е) является мономорфизмом на прямое слагаемое.
Такие рассуждения используются, например, при изучении 6-расслое-
ний со слоем G/T, где 6 — компактная связная группа Ли, а Т — тор мак-
максимальной размерности, поскольку известно (Боре ль и Хирцеб-
рух [1]), что однородное пространство G/T допускает комплексную
аналитическую структуру, род Тодда для которой равен единице.
В § 4 главы 3 был построен гомоморфизм A):
Ь: RiG) -+ K{BG),
где R{G) — кольцо виртуальных представлений группы G. Если бы про-
пространство BG было конечным клеточным пространством, то задачу о
вычислении образа гомоморфизма Ь можно было бы свести к аналогичной
задаче для -максимального тора Г, В самом деле, мы имеем коммутатив-
коммутативную диаграмму "
A5)
152

Известно, что гомоморфизм /t является мономорфизмом на подкольцо
виртуальных представлений, инвариантных относительно действия груп-
группы Вейля на торе Т, т.е. группы внутренних автоморфизмов группы 6,
оставляющих тор Т инвариантным. Далее, гомоморфизм /2 отображает
кольцо K{BG) в подкольцо элементов, инвариантных относительно дейст-
действия группы Вейля. Значит, если бы гомоморфизм /2 был мономорфиз-
мономорфизмом, а нижняя строка была изоморфизмом, то и верхняя строка была
бы изоморфизмом.
Похожее утверждение можно доказать, заменив кольцо виртуальных
представлений R{G) на его пополнение в топологии, порожденной идеа-
идеалом нульмерных представлений, а кольцо K{BG) — на обратный предел
\imK[BG]n по конечномерным остовам пространства BG (Атья и Хир-
•+- ' . ¦ • ¦
цебрух [1]).

ГЛАВА 5
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
И К-ТЕОРИЯ
Изучение эллиптических операторов на замкнутых гладких многооб-
многообразиях является одним кэ плодотворных применений векторных расслое-
расслоений. Мы изложим здесь геометрические конструкции, естественно возни-
возникающие при анализе дифференциальных и псевдодифференциальных опе-
операторов.
§ 1. Символ псевдодифференциального оператора .
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор А, действующий в
пространстве гладких функций от л вещественных переменных:
A: C"(R")-*C"(R"). A)
Оператор А можно представить в виде конечной линейной комбинации
частных производных
* 2ва<х) B)
где о = (а,,..., а„) — мультииндекс, составленный из неотрицательных
чисел <*!.... ,а„,аа{х) — гладкие функции от переменных х - {х1,... ,х"),
а символ Э|а|/Эха обозначает оператор взятия частной производной:
C)
Наибольшее значение |а| называется порядком дифференциального опе-
оператора, так что формула B) может быть записана в виде
A= S aa(x)^—-• D)
|a|<m Эх
Введем новую группу переменных ? = ({,, $2,..., {„). Положим
S ««(х)!01/1*1, " E)
д^ 5Г^^
Функция а [х. 5) называется символом дифференциального оператора А.
Символ оператора А является многочленом по переменным | степени
не выше /п. Сам оператор получается путем подстановки вместо перемен-
1 Э
ных %к операторов дифференцирования -: < т.е.
/ \ ! Эх*
\ / Эх/
154

Символ E) оператора А можно разложить в сумму однородных много-
многочленов по переменным ?:
а(х,$) =а„,(х, ?) +«„,_, (х, ?) + ... +ао(х, ?).
Слагаемое ат(х, %) старшей степени называется главным символом опера-
оператора А, в то время как весь символ а (х, %) называют еще полным симво-
символом оператора А. Смысл выделения главного символа заключается в еле:
дующем его свойстве.
Предложение 1. Пусть
ук = ук{х\... ,х") [короче, у =у[х))
- некоторая гладкая замена координат в пространстве R". Тогда в новой
системе координат у ¦ {у1,..., у") оператор В, задаваемый по формуле
(АиМуГ- (Аи(уШх=х(у). G)
тоже является дифференциальным оператором порядка т, главный сим-
символ которого bm (у, т)) имеет вид
I Ъу{х(у))\
bmiy.v)~am(x(y), V-L^—y (8)
где х [ у) = {х* (у1,... ,у")} - обратная замена координат, а
Эх*
Оператор В. задаваемый формулой G), - это собственно тот же опе-
оператор А, записанный как дифференциальный оператор в новой системе
координат, т.е. выраженный как линейная комбинация операторов, яв-
являющихся частными производными по переменным у - [у1,.. ¦, у").
Формула (8) показывает, что главный символ оператора А записывается
как функция от переменных (?, х) для любого выбора системы коорди-
координат в R". При этом переменные ? должны меняться по тензорному закону
при замене координат для тензора валентности @, 1), т.е. переменные ?
меняются как компоненты кокасательного вектора. Значит, можно счи-
считать, что главный символ ат(х, ?) корректно определяет функцию на
кокасательном расслоении к пространству R", т.е. определение этой функ-
функции не зависит от выбора криволинейной системы координат в простран-
пространстве R".
Доказательство предложения 1. Заметим, что оператор
—— (а = (а,,...,аи)) действует на сложную функцию uiyix)) по
Эх
формуле
+ частные производные меньших порядков. (9)
В формуле (9) считается, что значения частных производных ду'(х)/дхк
Являются постоянными числами, т.е. перестановочны с действием опера-
155

Зк(х)
торов ЫЬу'. Полагая %к = }},, получим, что
Эх*
-^-)(и(у{х))) = 2 aa(x) ~-(u(yix)))
I Эх/ || Эа
= ' Б д М (ду{х) ъ \°1 ( Эк(х) э \a"ui
[\а\=т а \ Эх1 ЭК7 \ Эх" ЭК'/
+ члены меньшего порядка.
Поэтому, отбрасывая члены меньшей степени, получаем
2 {а.(х)Г}Л=хО,)=ат(х(к)./К(Х<К))
|oi|=m I Эх
Предложение доказано.
Обозначим через Fх^ преобразование Фурье, задаваемое формулой
где (х, ?)г х'?/. Обратное преобразование будем обозначать через
Оно задается следующей формулой:
/ ei{x
A0)
^/ e\(%)d%. A1)
Bтг)л/2 R»
Предложение 2. Пусть А — дифференциальный оператор с пол-
полным символом а (хЛ) ¦ Тогда
(Au)M^F^x{a(x^)[Fx^u)(%)\). A2)
т.е.
(" A3)
Доказательство очевидно.
Предложения 1 и 2 показывают, в каком направлении можно обобщить
понятия дифференциального оператора (и его символа), действующего
на функциях в R".
1. Понятие дифференциального оператора можно обобщить на случай
гладких многообразий М. В этом случае полный символ не определяется,
но главный символ определяется как функция ат, заданная на тотальном
пространстве кокасательного расслоения Т*М. Разумеется, сам диффе-
дифференциальный оператор уже не будет восстанавливаться по символу одно-
однозначно. Он будет определяться главным символом с точностью до слагае-
слагаемого - оператора меньшего порядка.
156

2. Понятие дифференциального оператора можно обобщить, исполь-
используя формулу A3), на случай более широкого класса функций а(х, {)
в качестве символов. Именно, в формуле A3) функция иЩ) должна
достаточно быстро стремиться к нулю при ? -*• °°, чтобы интеграл A3)
сходился. Поскольку в качестве функций а{х, ?) могут служить произ-
произвольные многочлены, то необходимо, чтобы
n A4)
для некоторой константы С„, зависящей от п. Обычно на пространство
функций, в котором действует дифференциальный оператор, наклады-
накладывают следующие условия:
Р ——иМ < Caj A5)
для любых мультииндексов а, /3 и некоторых констант Са<р. Условие
A5) более сильное, чем условие A4). Класс функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию A5), обозначим через S, а подпространство финитных
функций*' —через 50.
Тогда, чтобы оператор А, задаваемый формулой A3), отображал про-
пространство S в себя, достаточно, чтобы для символа а(х, ?) выполнялись
условия
Ьх0
где т — некоторое число, а Caf — постоянные, зависящие от мультииндек-
мультииндексов а,/3.
Говорят, что формула C) определяет псевдодифференциальный опе-
оператор А порядка m (точнее, не выше т), если символ а [х, |) удовлетво-
удовлетворяет условию A6).
3. Наконец, формула A3), определяющая псевдодифференциальный
оператор в R", тоже может быть обобщена на случай функций, заданных
на гладком компактном многообразии М. Пусть а^(х, ?) - гладкая функ-
функция, определенная на тотальном пространстве Т*М кокасательного рас-
расслоения к многообразию М. Пусть функция а (х, %) в каждой локальной
системе координат удовлетворяет условиям A6). Построим оператор^
по функции а[х, %) как по символу следующим образом. Пространство
функций, на котором будет действовать оператор А, состоит из всех глад-
гладких функций на многообразии М (это пространство обозначается через
S(M)). Пусть {Ua) — конечный атлас компактного многообразия М с
локальными координатами (х?,..., х"). Без ограничения общности
можно считать, что координаты (х?,..., xj) отображают карту Ua на
все пространство R". Пусть (Ь\а. ¦ ¦ ¦. 1ла) ~ компоненты кокасатель-
кокасательного вектора в локальной системе координат (х1а,..., х"). Обозначим
через {^а} разбиение единицы, подчиненное атласу Ша},т.е. 1<ра\ —такой
' набор функций на многообразии М, что 0 < ч>а (х) < 1, Ъфа (х) = 1,
л
Supp<pa С U а. Пусть, наконец, Фа{х) -такие функции, что Supp^aC
CUa и фаМ - 1 для всех точек x€Supp^a. Значит, ^а{х)фа(х) =
()
*' То есть функций с компактными носителями.
«57

Рассмотрим теперь произвольную функцию и € S (М). Тогда
u(x) = 2;^(x)u<x). A7)
ос
каждое слагаемое иа[х) = <ра(х)иМ обращается в нуль вне карты Ua.
В карте же Ua функция иа (х) представима как финитная функция
иа Ua/ ¦ • • • *2) от " вещественных переменных (х?,..., x{J), т.е.
ua{xl ,xS)esocs.
Рассмотрим, далее, ограничение a<*(xi,..., х?, 5ia. •••. %па) функции
а(х, $) на карту ?Ув.
Положим
1 ){&dl A8)
где
О*® — / •~'(x°"lV(xe)rfxtt. A9)
Bтг)л/2 я"
Поскольку функция иа (ха) финитна и бесконечно дифференцируема,
то интегралы A9) и A8) имеют смысл.
Функция Аа (иа) {к),,..., х^). рассматриваемая как функция в кар-
карте Ua, не является, к сожалению, финитной и не продолжается нулем до
гладкой функции на все многообразие М. Оператор А зададим формулой
А(и)(х) = 2 фаЫ)Аа(иа)х. B0)
которая уже имеет смысл на всем многообразии М.
Допустим, что символ а (х, ?) является многочленом от переменных
k\a, ¦ • •. Ina в каждой карте. Тогда операторы Аа являются дифферен-
дифференциальными операторами. Следовательно,
Фа{х)Аа{иа)(х) = Аа{иаНх).
ТА.
А{и)М*2Аа(иа)(х). B1)
Ос
Вычислим значения функции А {и) в карте ?/<*„• Пусть
ecUorJe)» 2 aa/r{xa)l;Z.
Тогда
AJuM х2)= '
e>7i 2(r) ^yal,a t22)
В частности, на пересечении карт Ua О Ua<> формула B2) тоже справед-
справедлива, а оператор Аа может быть записан согласно предложению 1 как диф-
дифференциальный оператор Ва, символ которого ba (xag, %a<i) отличается
от символа ааф (хаф, %ао) младшими членами, т.е. Ва = Аа<> + Da, где Da —
дифференциальный оператор меньшего порядка. Таким образом, при
х€ Ua<t получаем
А(и)(х) = S Ва(иа){х) = 2 {Л^ (иа)(х) + Da(ua)(x) ) = \|2i/a) (x) +
+ 2 OftbiaXx) =>»tto ( 2 ^au) (x) + 2 Da(uaHx) = АаШх) + 2 ©«(и^Кх).
<* Gt ft ° Ot
B3)
15»

Формула B3) показывает, что оператор А, задаваемый формулой B2),
является дифференциальным оператором, старший символ которого в ло-
локальной системе координат совпадает со старшим однородным слагаемым
функции а(х, ?). В общем же случае формула B0) задает оператор А.
определение которого зависит от выбора разбиения единицы |^в) и функ-
{Ф} 1 '
{о,}
Функция а (X/ $) будет называться символом оператора А, а число т.
фигурирующее в оценке A6). —порядком оператора А.
Предложение 3. При изменении разбиения единицы {<fia}u функ-
функций (Фа)' я также атласа {Ua\ оператор А, задаваемый формулой B0),
меняется на слагаемое, которое является оператором такого же вида
B0), но меньшего порядка.
4. Последнее обобщение относится к замене пространства функций,
в котором действует псевдодифферанциальный оператор А. Пусть ji и {j —
два комплексных векторных расслоения над многообразием М. Опера-
Оператор А будем строить как отображение из пространства гладких сечений
Г \% 1) расслоения ? i в пространство Г" (?2) гладких сечений расслоения
|2* В этом случае символ оператора задается как линейное отображение
расслоений
а: яЧЫ-яЧЫ. B4)
где k*(?i), т*(?г) — прообразы расслоений ?| и ?2 при проекции тг:
Т М ¦* М. В любой локальной системе координат линейное отображение
B4) определяет матрично заданную функцию
a[Xa,...,Xa, Klctt • • • ,Кпа) •
для элементов которой должны выполняться условия A6). Тогда опе-
оператор А « а@) также задаем формулами A8) -B0), где иа(х) =
= iia(x)(/(x) — сечение расслоения ?,, являющееся в локальной системе
координат вектор-функцией.
Предложение 4. Пусть
а: тг*(
— два символа порядков т\,тг соответственно, с = Ьа — их композиция,
являющаяся символом порядка mi +m2. Тогда оператор
b(D)a(D) -ciD): Г~(
является псевдодифференциальным оператором порядка /г», + /г»2 - 1.
Предложение 4 показывает, как решать уравнения
Au = f . , B5)
для псевдодифференциального оператора А. Чтобы найти решение урав-
уравнения B5), будем искать псевдодифференциальный оператор В,- обрат-
обратный к оператору А, т.е. такой, что В А = 1. Пусть А = a (D), а В я b (D).
Если В А = 1, то согласно предложению 4
1 = b{D)a{D) = ciD) + [b(D)a(D) -
При этом, если порядок оператора А равен т. то порядок оператора в
равен —т и порядок оператора [b (D) a(D) —с (D) ] равен —1. Таким обра-
образом, оператор с ID) отличается от тождественного операторе на оператор
меньшего порядка. Значит, в частности, символ а удовлетворяет условию:
гомоморфизм
159

обратим вне некоторой окрестности нулевого сечения кокасательного
расслоений. В локальной системе координат это условие принимает вид
при |$J>e. B6)
Псевдодифференциальные операторы, символы которых удовлетворяют
условию B6), будем называть эллиптическими операторами.
5. Наконец, последнее обобщение относится к замене одного псевдодиф-
феранциального оператора на последовательность операторов. Пусть за-
заданы расслоения ?i,..., ?* на многообразии М и последовательность
символов
О-тгЧЫ'Ц УИ2) *-i ...ajLli* *•(&)¦+0 B7)
некоторых порядков mi,..., тк,х. Пусть последовательность B7) об-
образует комплекс, т.е. atas_ t = 0. Последовательность операторов
Гт{Цк) - 0. B8)
соответствующая последовательности символов B7), вообще говоря,
не образует комплекса, но композиции as(D)as_l (D) являются псевдо-
псевдодифференциальными операторами порядка, меньшегоms +ms_t.
Говорят, что последовательность BЙ), образует эллиптический комп-
комплекс, если последовательность B7) точна вне некоторой окрестности
нулевого сечения кокасательного расслоения Т'М.
§ 2. Фредгольмовы операторы
Ограниченный линейный оператор
F:
в гильбертовом пространстве Н называется фредгольмовым, если
dimKerF< °°, образ ImF замкнут и dimCokerF < <». Число
index F- dim KerF- dim Cokerf A)
называется индексом фредгольмова оператора F. Индекс оператора F
можно также получить по формуле
index F - dim KerF- dim Kerf*. B)
где F * - сопряженный оператор.
Ограниченный оператор К: Н -* Н называется компактным, если всякое
ограниченное множество X отображается оператором К в предкомпактное
множество, т.е. если множество К(Х) компактно.
Теорема 1. Пусть F — фредгольмов оператор. Тогда:
(а) существует такое е > 0, что если И F — 6II < е, то G — фредгольмов
оператор и index F = index 6;
(б) если К - компактный оператор, то F + К - фредгольмов оператор и
index(F + AC) = index F.
Оператор F фредгольмов тогда и только тогда, когда найдется такой
оператор G, что операторы AT = F6-1i/AC' = 6F-1 компактны.
Если F, G — фредгольмовы операторы, то их композиция FG — тоже
фредгольмов оператор, причем
index FG = index F + index G.
160

Доказательство. Рассмотрим сначала оператор F = 1 + К, где К —
компактный оператор. Покажем, что F — фредгольмов оператор. Ядро
KerF состоит из таких векторов х, что х + Кх * 0, т.е. Кх - -х. Если бы
пространство KerF имело бесконечную размерность, то единичный шар
В С KerF был бы ограниченным, но не компактным множеством. С дру-
другой стороны, справедливо равенство К (В) "В, что противоречит условию
компактности оператора К. Покажем, что ImF - замкнутое подпростран-
подпространство. Пустьх„€ ImF, lim х„ «=х.Тогдаxn«=F {у„) *у„ + Ку„.
Без ограничения общности можно считать, что у„ 1 KerF. Если мно-
множество {I Кп И} неограничено, то, пераходя к подпоследовательности,
получаем, что I yni-+«». Тогда
\Уп
Поскольку последовательность у„/Ъу„Ъ уже ограничена, то, переходя
к подпоследовательности, можно считать, что существует предел
lim K{ynllyn%) жг.Тогда существует предел последовательности уп/1ул1,
Л-»ое
равный вектору -г:
Mm " = -г, C)
т.е. выполняется условие г + Кг = 0. Поскольку вектор у„ ортогонален
пространству KerF, то и вектор г ортогонален пространству KerF, зна-
значит, z»0. Но норма вектора 1ил/1ил11 равна 1, что противоречит усло-
условию C). Поэтому последовательность уп ограничена. Переходя к под-
подпоследовательности, можно считать, что существует предел lim Ку„ ¦ г.
Тогда существует предел lim у„ - lim (х„ — Куп) - х-г. Следовательно,
П-
х= lim х„ = lim F{yn) = F{x — г), т.е. x€lmF.
и
Итак, пространство ImF замкнуто, откуда следует, что CokerF = KerF*.
Поскольку сопряженный оператор F * тоже представляется в виде F * -
« 1 + АС*, где К* - компактный оператор, то размерность ядра оператора
F * конечна и справедливо равенство
dim CokerF = dim KerF* < °o.
Пусть операторы К, К' компактны и выполнены равенства FG = 1 + К,
GF = 1 + К*. Тогда для ядер операторов F и 1 + К' справедливо вклю-
включение KerF С КегA + К'), которое, в частности, означает, что размер-
размерность ядра оператора F конечна, dim KerF < °°. Аналогично, легко заме-
замечаем, что выполняется включение для образов операторов Im F Э Im A +
+ АО. Поскольку мы ранее доказали, что образ Im A + К) является замкну-
замкнутым подпространством конечной коразмерности, образ ImF оператора F
обладает тем же свойством.
Обратно, пусть F - фредгольмов оператор. Разложим гильбертово
пространство Н в прямые суммы:
Н= KerF® (KerFI, D)
Н= (ImFI® ImF, E)
m

где' (KerFI, (ImFI — ортогональные дополнения к подпространствам
KerF и ImF. Очевидно, что ограничение
оператора F на подпространство (KerFI является изоморфизмом, а опе-
оператор F в разложениях D), E) задается матрицей
НаоЧ
Определим новый оператор 6,. который в разложениях D), E) гильбер-
гильбертова пространства задаётся следующей матрицей:
|
Тогда, применяя формулы F) и G), мы получаем следующие матрич-
матричные равенства:
В правых частях этих равенств стоят конечномерные, следовательно, ком-
компактные операторы.
Если выполнены условия
FG = 1+AC, G'F=1+K',
а операторы К, К' компактны, то операторы 6 и 6' отличаются друг от
друга на компактное слагаемое.
Рассмотрим фредгольмов оператор F и такой оператор 6, что выпол-
выполняются равенства FG = 1 + К, GF = 1 + К', где К, 1С — некоторые ком-
компактные операторы. Зададим такое число е > 0, чтобы выполнялась оцен-
оценка ПСИ < 1/е. Рассмотрим произвольный ограниченный оператор F,,
отличающийся от оператора F на малое слагаемое а, т.е. Ft = F + а.
Halt < 6. Воспользуемся тем обстоятельством, что операторы 1 + aG и
1 + Ga обратимы, тогда получаем следующие соотношения:
=.1
Поскольку операторы A + Ga)~xK, К'(\'+ aG)'1 компактны, значит,
оператор Ft тоже является фредгольмовым оператором.
Перейдем к вычислению индекса фредгольмова оператора. Если опе-
оператор F представлен в матричном виде
то, очевидно, индекс оператора F равняется сумме индексов его прямых
слагаемых F, и F2:
index F = index Ft + index F2 •
Если оператор F действует в конечномерных пространствах
F: Нх-> Н2,
то он автоматически является фредгольмовым оператором. Его индекс
равен разности размерностей образа и прообраза:
index F = dim Ht — dim H2 ¦
162

В частности, если оператор F обратим, то у него тривиальное ядро и
коядро и, значит, index F = 0. Если оператор F2 обратим, а оператор F}
конечномерен, то оператор, задаваемый матрицей L F , является фред-
гольмовым, индекс которого равен нулю. Значит, любой фредгольмов
оператор можно изменить на компактное слагаемое таким образом, чтобы
индекс оператора не изменился, а любое наперед заданное конечномерное
подпространство попало в ядро оператора.
Пусть. F — фредгольмов оператор. Разложим его по формуле F). Пусть
6 — другой оператор, для которого выполняется оценка И f - Gl < 6.
Оператор 6 можно представить в следующем матричном виде:
G =
1 «22 F2 + a22
где Иа22 II < с Пусть e настолько мало, что оператор F2 + ot22 обратим.
Тогда, полагая X = — {F2 + а22) "'«л, получаем следующее соотношение:
| |
в-Г
Точно так же, полагая У - -C i 2 (F2 + 02 2) ' - получаем
I11 YU || 1 Oil = В 7п 0
Iх Ц II0 F2
В левой части полученного соотношения стоит композиция оператора 6
и обратимых операторов. Значит, индекс левой части равен индексу опе-
оператора G, а индекс правой части равен индексу оператора F, т.е.
index G = index F.
Докажем, наконец, заключение (б) теоремы 1. Пусть К — компактный
оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим в
пространстве Н убывающую систему подпространств Н Э /У, Э H2 D . ..
... Э Н„ Э ... Пусть вектор хк принадлежит пространству Нк, llxkll = 1.
Тогда выполняется соотношение
lim II Кхк II = 0.
В самом деле, без ограничения общности можно считать, что коразмер-
коразмерность подпространства Нк+1 в пространстве Нк равна единице. Пусть век-
векторы ек образуют ортонормированный базис в пространстве Н, причем
ек G Нк и ек 1 Нк+1. Каждый вектор хк разлагается в сходящийся ряд:
хк = z, хквк, i \хк\ =1.
а>к а>к
Тогда прик< s получаем
Следовательно,
I / v 12 rf-** / ^* i ft 12 \ / ' ^* | ft 12 \ V I tt 12
a>s ot>s a>s
Значит, lim (xk, xs) = 0.
163

Докажем равенство tim II tor* II = 0 от противного. Для этого допус-
тим, что 11 /Offc П > е0. Выберем число 5 настолько малым, чтобы из нера-
неравенства Их* - кЛ< 5 вытекало
П /ГкВ = I /Cxfc + /С( уг — хк> П > И АГхЛ 1 - В /СВ I к - xfc I > —•
Переходя, если это необходимо, к некоторой подпоследовательности,
можно так заменить последовательность хк на новую последователь-
последовательность укЕНк, чтобы выполнялись следующие соотношения:
ll*V*H >J~. (Ук. Vs)~O. IIк, II = 1.
Поскольку {ys} — ограниченная последовательность, а К — компактный
оператор, то, переходя к некоторой подпоследовательности, можно считать,
что \\тКук=г. Более того, можно считать, что выполняется нера-
венство
\\г-Кук\\< ^.
Рассмотрим последовательность и„ = 2 к*Л. Очевидно, что lim un =
. *=i и-»~
оо
= и- 2 ук/к. Тогда
\ЦК(и„)\\ = || ? АС(Ы/* 11 = 11 • 2 Wk + (K(yk)-z)/k)\\ >
k-l k=l
2 ^- \\\г\\- ?
\\\\\ ||(Kfc)IIA( ? -
fc=i * / *=i Vk-l k
Если || г || Ф 0, то получаем, что lim || Ки„ || = °°, что противоречит ограни-
ценности оператора К. Значит, г = 0, т.е. lim || Kyk || = 0, что противоре-
*->«>
читнеревенству IIКук||<е0/2.
Итак, равенство lim || Кхк || = 0 доказано. Следовательно,
lim ||Af|«fc|| = 0.
Пусть теперь F: Н' -*¦ Н" — фредгольмов оператор, а Н' = Н'о ® Wi,
Н" = Н'о ® Ну — такие разложения гильбертовых пространств Н{, Н",
что оператор F имеет вид F). Разложим пространства Н\ и Й[, если это
необходимо, еще в прямую сумму так, чтобы оператор F имел следующий
матричный вид:
10 0 0
0 F, 0
0 0 F2
164

где Fy - конечномерная матрица. Тогда компактный оператор К примет
матричный вид
42 Л22 Л32
Можно выбрать такое разложение, чтобы норма IIАГ33 II оператора Кгг бы-
была меньше наперед заданного числа е. Тогда мы находимся в условиях
разложения (9), и, значит, index (F + АО = index F. Теорема 1 полностью
доказана.
Понятие фредгольмова оператора можно интерпретировать как конеч-
конечномерность гомологии некоторого комплекса гильбертовых пространств
длины два. В общем случае, пусть задана последовательность гильбертовых
пространств С/ и последовательность операторов dt:
"о лх а, <*и-1
0-+С0 -* С, -*¦ С, -* ... > Си-*0. A0)
Говорят, что последовательность A0) образует фредгольмов комплекс,
если выполнено равенство dkdk_! =0 для любого к, образ Imrf* опера-
оператора dk является замкнутым подпространством и
dimKer</k/lmtf*_i = б\тН[Ск, dk) < «>.
Число
index(.C,d)= S (-1)*dim«(Ck, d)
к
называется индексом фредгольмова комплекса A0).
Теорема 2. Пусть задана последовательность операторов
О -> Со ¦* С, .-»•... »¦ Сп-+0. A1)
удовлетворяющая условию: композиция dkdk_1 является компактным
оператором. Следующие условия эквивалентны:
(а) существуют такие операторы fk: Ck -*• Ck_1, что fk+idlc+dk_1fk =
= 1 + rfc, где rk- компактные операторы, k='Q, 1, 2,.... л;
(б) существуют такие компактные операторы sk: Ck-*Ck+i, что после-
последовательность операторов dfk*dk+sk является фредгольмовым комплек-
комплексом.
На основании теоремы 2 последовательность операторов A1), удовлет-
удовлетворяющую одному из эквивалентных условий (а), (б), мы тоже будем на-
называть фредгольмовым комплексом.
Доказательство. Пусть выполнено условие (б) теоремы 2.
Тогда каждое гильбертово* пространство Ск разлагается в прямую сумму
трех своих ортогональных подпространств:
Ск = Ск *<%*(%,
где
Clk = 1me/;_b. Ci®Cj = KeiA. .
При этом оператор cfk изоморфно отображает подпространство С* на
подпространство Ск+1. Положим fk+i=d'k~1. Тогда >V+it4 + cfk^ifk -
тождественный оператор на подпространстве Ck®Cl и, значит, отличается
165

от тождественного оператора на конечномерный оператор
Следовательно,
fk+1dk +iik_ j fk = fk+l (cfk ~Sk) + (rffc_ i - Sfc- i )^fc -
sk-1fk = ^ + (r'k - fk+l$k -s»_, fk)
Обратно, пусть выполнено условие (а). Тогда, в частности, dn_ifn =
¦ 1 +/•„ - фрадгольмов оператор. Значит, lmdw_! - замкнутое подпрост-
подпространство конечной размерности, а пространство Cn_t разлагается в орто-
ортогональную сумму:
2_ь С'_,-Кег</„_,. A2)
Оператор dn_x изоморфно отображает слагаемое Cj_, на образ Im
оператора<УЙ_,.Оператор</„_2 в разложении A2) 'задается матрицей:
причем, поскольку dn_ \d\_i. - компактный оператор, операторdj_2 тоже
является компактным. Полагаем
-ИМ-
A4)
Пусть
»-> "¦
Тогда условие fndn-\ +^i-2^w-i = 1 +f*-i будет иметь следующий вид:
] | Ю ^,
In
о
о
10 /*#_, | И 0
Сократим нашу последовательность A1) до новой последовательности
0-*С0 -* ••¦ -^—* Сп-2 ——* cn-i ~*°- <16>
Из условия A5) вытекает, что последовательность A6) тоже удовлетворя-
удовлетворяет условию (а). Повторяя этот процесс, мы разложим все пространства Ск в
ортогональную сумму: Ск = Ск « С\, а операторы dk так изменим на ком-
компактные слагаемые ак ж dk + sk, что будет иметь место равенство Сгк =
¦ Ker</fc, a . образ \mdk^x CCk замкнути имеет конечную коразмерность в
Ск. Следовательно, последовательность (Ck,dk) является фредгольмовым
комплексом.
Теорема 2 доказана.
166

Пример. По аналогии с примером 4 из S 1 главы 3 фредгольмову
комплексу A0) (или A1)) можно сопоставить фредгольмов оператор
J Qi к>
ш • ^2 к+ 1»
do df
d4
A7)
A8)
Положим
dod> о
Тогда комплекс
• • • *W0T ^^ НвЧ ^^ *ЧСТ • ¦ • \ Iwf
имеет конечномерные гомологии, изоморфные сумме соответственно
четномерных или нечетномерных гомологии комплекса A0). Поэтому
группу гомологии Н (Счет) можно отождествить с ядром оператора D =
¦ Do +D*, а группу Н (Снеч) — с коядром оператора D. Действительно, груп-
группу Н (Счет) удобно отождествить с подпространством вектора х € KerD0,
ортогональных подпространству ImD,, т.е. таких, что (х, D,u) .- 0 для лю-
любого ы€ Снеч, откуда (D*x, и) ¦ 0 или D'x = 0,x€ KerDJ.Следовательно,
(Do + D\) х = 0. Обратно, если (Оо + D',) х = 0, то Dox = 0 и D\ x = 0, т.е.
@*1 х, и) «О для любого вектора и € Снеч. Значит, (х, D, у) ^ 0, т.е. вектор
х ортогонален подпространству ImD,. Далее, если х € Н (Снеч), то вектор
х€ KerOi удовлетворяет условию х 1 lmD0. Тогда (х, D\u) = (D,х,и) =
» 0, т.е. вектор х ортогонален подпространству ImD*,. Значит, вектор х орто-
гонелен подпространству Im (Do + D\). Обратно, если (ху (Do + О*) и) =0
для любого вектора и, то ((D'o + D,) х, и) = 0, т.е. (D'o + D,) х = 0. Тогда
0 - (Do + О*,) (О*0 + О,) х = (Д>0*о + 0',D,) х, т.е. О =( (D0D0* + О|?>1) х,х ) =
= (Djx, DSx) + (DiX, Oix); другими словами, О$х= 0 и Dtx = 0. Следова-
Следовательно, (х, Dow) — (Do*/ u). T-e- вектор х ортогонален подпространству
1тО0и х€ Ker D,. '
Итак, мы получили, что индекс фредгольмова оператораA8) совпадает'
с индексом фредгольмова комплекса A0).
§ 3. Соболевские нормы
Соболевской нормой функции и (х), принадлежащей пространству S, на-
называется число
) A +A)su(x)dx, A)
;
где Д
— оператор Лапласа. Переходя к преобразованиям
167

Фурье, формулу A) можно записать в следующем виде:
" A+UlV|5(?)lJ<#, B)
где индекс можно брать не обязательно целым, но и любым вещественным
числом. Пополнение пространства S по Соболевской норме A) (или B))
будем обозначать через Hs (R") и называть Соболевским пространством.
Предложение 1. Соболевские нормы B) для различных систем ко-
координат эквивалентны на любом компакте К CR", т.е. найдутся такие кон-
константы Ct > 0 и Cj > О, что при suppu С/С выполнены неравенства
где luHit,, luil>s — Соболевские нормы B) .соответствующие двум систе-
системам координат в R".
Предложение 1 легко проверяется для случая целого индекса s по фор-
формуле A). В общем случае доказательство предложения 1 мы опускаем.
Предложение 1 позволяет обобщить понятие Соболевского i/ростренства
на самый общий случай — произвольного компактного многообразия М и
векторного расслоения ? над ним. Фиксируем скалярное произведение в
расслоении ?, атлас Ua и разбиение единицы {ipa} . Пусть и — произвольное
гладкое сечение. Положим
где 1уаи\\ определены по формуле B) в некоторой локальной системе ко-
координат карты Ua. Предложение 1 утверждает, что при изменении атласа и
разбиения единицы норма C) меняется на эквивалентную. Значит, пополне-
пополнение пространства Г (?) по норме C) не зависит от выбора атласа и разбие-
разбиения единицы (и выбранного скалярного произведения в слоях расслоения
%). Обозначим это пополнение через #,(?).
Теорема 1. Пусть М — компактное многообразие, % — комплексное
векторное расслоение над ним, $i < s2 - положительные целые числа.
Тогда вложение
является ограниченным компактным оператором.
Теорема 1 носит название теоремы вложения Соболева. Доказатель-
Доказательство теоремы 1 достаточно проводить локально^ поскольку каждое сече-
сечение и € Г ({) разлагается в сумму и = Ъраи сечений <раи с носителем, ле-
лежащим в одной карте. Итак, пусть и (х) - функция, определенная в про-
пространстве R", носитель которой лежит в единичном кубе /". Пространство
всех таких функций можно считать подпространством в пространстве функ-
функций на л-мерном торе Г", отождествив противоположные грани у куба
/". Соболевские нормы функции и (х) для положительных целых s перей-
перейдут в Соболевские нормы на многообразии Т". Всякая гладкая функция и
на торе Тп разлагается в свой ряд Фурье
и(х) =Z*,e'(''*>, E)
а оператор дифференцирования по переменной хк переходит в умножение
коэффициентов в/ на число I к, 1 = d \,1 г, ¦ ¦ ¦ J п) • Поэтому
llu(x)IIJ = pa,|JA+|/.lJ+... + l/J2)'. F)
168

Согласно формуле F) пространство HS(T") изоморфно пространству /j
числовых последовательностей со сходящимся квадратом с помощью со-.
ответствия
u(x)^{fc, -a, A+|/il2+...+ l/n|2)*/2>. G)
Оператор вложения Н3 -*¦ Hs_1 с помощью соответствия G) переходит в
оператор
задаваемый соответствием
Оператор (8), очевидно, является компактным.
Доказательство теоремы 1 для произвольных значений индексов s i < s2
технически несколько сложнее, но может быть сведено к формуле, анало-
аналогичной формуле (8), с дробным показателем в знаменетеле.
Теорема 2. Пусть
а (Я: Г-(Ы-"Г~(Ы
-псввдодифферёнциальный оператор порядка m на компактном многообра-
многообразии М. Тогда найдется такая константа С, что
l*@)<fl(_m <С«ы«„ (9)
т.е. оператор
а (О): «
ограничен.
Тёорама 2 очевидна для дифференциальных операторов. Действительно,
ограниченность оператора a (D) достаточно доказывать локально, считая,
что коэффициенты дифференциального оператора а (О) финитны. Далее,
если в @) ¦ , то по формуле B)
Эх1
I » Г
I Эх' В R"
/ <i UlVU/u($n& /( ltl)
R» ¦ R"
-»u(x)I2+1. A1)
Поэтому оценка (9) получается из неравенства A1) индукцией по числу т.
В общем случае псевдодифференциального оператора оценка (9) тоже
может быть получена отдельно в каждой карте многообразия М, но техни-
технически более сложным путем.
Применим; теоремы 1 и 2 для доказательства фредгольмовостй эллипти-
эллиптического оператора. Пусть а (О) - эллиптический псевдодифференциальный
оператор порядка т. Его символ
A2)
согласно определению из § 1 является изоморфизмом расслоений вне неко-
некоторой окрестности нулевого сечения касательного расслоения Т*М. Поэтому

можно построить новое отображение
A3)
являющееся обратным к отображению а вне некоторой окрестности нулево-
нулевого сечения кокасательного расслоения Т'М. Это новое отображение A3) то-
тоже будет удовлетворять всем условиям A6) из S 1 для символов псевдо-
псевдодифференциальных операторов, если выполнена оценка
|||)W. A4)
Пусть <р (х, ?) - гладкая функция на тотальном пространстве Т*М кокаса-
кокасательного расслоения, равная нулю во всах точках, где dete [х, %) = 0, и рав-
равная тождественно единице вне некоторой окрестности нулевого сечения.
Символ A3) можно задать формулой
) = *(х,?) *-'(*,$). A5)
Композиция
е(х,$) = а (х,
является символом, который отличается от тождественного символа на фи-
финитное по переменной ? слагаемое. Тогда, очевидно, выполнено условие:
операторы
a (D)b(D) -1 и б'(О)в(О) -1
являются псевдодифференциальными операторами порядка (—1).
Теорема 3. Пусть псевдодифференциальный оператор а (О) порядка
m эллиптичен, т.е. удовлетворяет условию A5). Тогда он фредгольмов
как оператор
действующий в Соболевских пространствах. Индекс оператора о (О) не за-
зависит от номера s соболевского пространства.
Рассмотрим псевдодифференциальный оператор, символ которого равен
A + I ?1 *) ' • Если к четно, то это дифференциальный оператор. Обозна-
Обозначим его через A + Д3)*. Очевидно, что HopiMa 1A + Д2)*ы1, эквивалент-
эквивалентна норме Ниli,+2fc/значит, оператор . i
является изоморфизмом. Тогда оператор
А' A+Д2Г*
отличается от оператора о (О) на компактный оператор и имеет тот же
индекс.
Следствие. Ядро эллиптического оператора а (О) состоит из беско-
бесконечно гладких сечений.
В самом деле, увеличивая номер s соболевского пространства, мы полу-
получаем коммутативную диаграмму
170

Значит, при увеличении номера 5 размерность ядра Кего(О) может только
уменьшиться. Аналогично, поскольку коядро оператора a{D) совпадает с
ядром сопряженного оператора a[D)*, размерность коядра тоже может
только уменьшиться. Поскольку индекс фредгольмова оператора о (О) не '
зависит от номера s Соболевского пространства, то размерность ядра, а по-
потому и само ядро не меняется при изменении номера s.
§ 4. Формула Атья-Зингера для индекса
эллиптического оператора
Эллиптический оператор o(D) задается символом
который является изоморфизмом вне некоторой окрестности нулевого се-
сечения кс-касательного расслоения Т'М.тл. вне некоторого компакта, ибо
многообразие предполагается компактным. Значит, он задает тройку
(»*($ 1).о,и* J|j)),определяющую элемент
[а] -(пЧЫ.о.ъЧЪНеКЛГМ). B)
Теорема 1. Индекс index o(D) фредгольмова оператора o(D) зави-
зависит только от элемента [о], задаваемого формулой B) в группе КС{Т*М).
Доказательство очевидно: при непрерывных гомотопиях символа полу-
получаются непрерывные деформации фредгольмова оператора, а индекс при
непрерывных деформациях фредгольмовых операторов не меняется. Вся-
Всякий оператор порядка m можно представить как композицию обратимого
оператора и оператора нулевого порядка. Если символ о (нулевого поряд-
порядка) является изоморфизмом во всех точках кокасательного расслоения
Т'М, то оператор a(D) имеет нулевой индекс, поскольку оператор о (О) го-
гомотопен тождественному оператору. Если символ а = aY ® 02 является
прямой суммой символов 0i и о2. то a(D) = o{Dt) ® o(D2). т.е.
index a(D) ¦ index ox(D) + index ©j @). Таким образом, индекс фредголь-
фредгольмова оператора корректно задает аддитивный гомоморфизм
index: Ke[T*M)-*-Z. C)
Формула Атья — Зингера описывает гомоморфизм C).
Многообразие Т'М имеет естественную структуру почти комплексного
многообразия. Поэтому к отображению р: М-*pt многообразия М в точку
применимо конструкция прямого образа, т.е. существует гомоморфизм
р,: KciT'M) + Kc{pt) = Z, D)
описанный в § 3 главы 4.
Теорема 2. Для эллиптических псевдодифференциальных операто-
операторов справедлива формула'
index a(D)=p. [о]. E)
Формулу E) можно переписать, применяя теорему Римана - Роха,
поскольку р,[о] = сп р„ [а]. Тогда
index a(D) = (ch [a] 7 {Т'М). [Т'М]). F)
1
где [Т'М] - фундаментальный (некомпактный) цикл многообразия Т'М.
Если М - ориентируемое многообразие, то имеется изоморфизм Тома в
целочисленных когомологиях <р: Н*{М) ¦*Н*с[Т*М). Поэтому формулу F)
v 17t

можно переписать в следующем виде:
index ст{0) Н*-1 ch [о] Г (Г/И), [М]). G)
Последняя формула и была установлена Атья и Зингером [1].
Доказательство формулы Атья — Зингера технически достаточно сложно.
Известные доказательства* основаны на исследовании алгебраических и
топологических свойств левой и правой частей формулы E). В частности,
теорема 1 показывает, что левая и правая части формулы E) являются
линейными функциями на группе КС(Т*М).
Пусть /: Мi -* М2 — вложение гладких компактных многообразий,
О\ (М) — некоторый эллиптический оператор на многообразии AVft, символ
которого ст, определяет элемент [ст, ] € КС(Т*М1). Пусть о2 - такой сим-
символ эллиптического оператора на многообразии Мг, что
[о,]-/.[*!Г. (8)
Теорема 3. Для эллиптических операторов ax(D) и о2 (D) на много-
многообразиях Mi и М2, символы которых связаны соотношением (8), справед-
справедливо равенство .
index О] @) - index o2{D). (9)
Теорема 2 вытекает из теоремы 3. В самом деле, если Мj = pt — точка,
то теорема 2 выполняется автоматически, поскольку всякий оператор
С*-»-С'
эллиптичен, а его символ о = a[D) определяет элемент [о] € Кс (pt) по
формуле [а] ¦ Дг — / • index o{D\.
Пусть М2 - S". I: pt -*Sn — вложение точки в л-мерную сферу. Тогда
прямой образ
/,: Kc(pt) + Kc{T'Sn, Г,*,)
является изоморфизмом. Следовательно, по теореме 3, если
[o)eKc(T'Sn, Г/,), [а]-/ф[а'1, то [а']-р.[а]
и indexо@) = indexa'[D) = [a] *p.([o]), A0)
т.е. теорема 2 справедлива для эллиптических операторов на сфере S".
Наконец, если /: М -*¦ S" — некоторое вложение, qr: S" -*¦ pt - естест-
естественная проекция, р = о/, /. ([ст]) = [а'], то по теореме 3
index а(О) = index a'{D) = <7. k'l - </.'. to] =P. [0]. A1).
Таким образом, формула Атья — Зингера вытекает из теоремы 3.
Теорему 3 поясним на примере, когда нормальное расслоение »>(Af, CAf2)
вложения многообразия Мх в многообразие Af2 тривиально. Символ [о2 ] =
" '.[011 является изоморфизмом вне некоторой трубчатой окрестности
подмногообразия Мх СТ*М2. Поскольку эллиптический оператор огф)
определяется по символу неоднозначно, подберем оператор CTj(D) нулево-
нулевого порядка таким образом, чтобы вне некоторой трубчатой окрестности
UСМг подмногообразия Мх оператор ot(D) совпадал с действием самого
символа о2 при ? = 0. Другими словами, потребуем выполнения следующе-
следующего условия: если Supp и П и = ф, то
02(О)(ы)(х)-о2(х,О)ы(х). A2)
Тогда мы можем заменить многообразие М2 на декартово произведение
Mi X Tk, где Т* - *-мерный тор, причем * - dimM2 - dim М х. При такой
m

замене многообразия A*j индекс оператора o2[D) не изменится. Теперь бу-
будем подбирать оператор а2(О) в виде тензорного произведения оператора
Oi(D), действующего на многообразии Мх, и операторов rk(D), действую-
действующих на сомножителях S1 тора Г* «S1 X ... X S". Потребуем также, чтобы
операторы т*{0) коммутировали между собой и оператором ot (О) и чтобы
индекс каждого оператора Tk(D) равнялся единице, а символ [т*] €
€ KgiT'S1) был образующим элементом в группе Кс (T*Sl) = Z. Тогда,
очевидно,
/,Uai])-[O|]#lTi]# ...
и
index аг (D) = index (a, @) ® т, @) ® ...
= index at (/»index Ti (/))... index т* (О) * index a, (D).
Таким образом, задача сводится к доказательству существования эллип-
эллиптического оператора г(О) на окружности, индекс которого равен единице,
а символ [г] определяет образующий элемент группы KgiT'S1).

ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
В этой главе содержатся сведения о различных задачах, в которых естест-
естественным образом возникают векторные расслоения. Эти приложения не пре-
претендуют на полноту, но в большей мере соответствуют интересам автора.
Тем не менее мы надеемся, что изложенные нами примеры в достаточной
степени демонстрируют, насколько теория векторных расслоений оказы-
оказывается полезной как один из геометрических методов.
§ 1. Сигнатуры многообразий
Сигнатурой компактного ориентированного 4л-мерного многообразия X
называется сигнатура квадратичной формы, которая задается в пространст-
пространстве 2л-мерных рациональных когомологий Н2"{Х; Q) с коэффициентами
в поле рациональных чисел, формулой
где х, у € М2" (X; Q), [X] — фундаментальный 4л-мерный цикл многооб-
многообразия X, а (ху, [X] ) - значение коцикла ху на цикле [X]. В силу двойст-
двойственности Пуанкаре квадратичная форма A) невырождена. С другой сторо-
стороны, поскольку ху = ух *), форма A) симметрична, поэтому она приводит-
приводится к диагональному виду с помощью некоторой линейной замены коорди-
координат в линейном пространстве Н2"[Х; Q). Напомним, что сигнатурой фор-
формы A) называется разность числа положительных и числа отрицательных
квадратов формы A) после приведения ее к диагональному виду.
Если вместо рациональных когомологий взять когомологий с вещест-
вещественными коэффициентами, то сигнатура квадратичной формы в пространст-
пространстве Н2к{Х; R) совпадает с вышеопределенной сигнатурой.
- Далее, на пути обобщений вместо квадратичной формы на когомоло-
гиях в средней размерности Н2"(Х) можно рассмотреть билинейную фор-
му на всей группе когомологий Н (X) = • © ¦ Н {X), которую определим
* = о
по той же формуле A), считая, что значение класса когомологий размер-
размерности, меньшей 4л, на фундаментальном цикле равно нулю. Получится не-
невырожденная билинейная форма. Условие симметричности, конечно, не бу-
будет выполняться, но если разложить пространство Н*(X) в правую сумму
четномерных и нечетномерных когомологий: \
то билинейная форма' тоже разложится в прямую сумму симметрической
формы на Нчег{Х) и кососимметрической формы на Ннеч{Х). Условимся
*) Так как х, у — четномерные классы когомологий.
174

считать, что сигнатура кососимметрической формы равна нулю. Тогда сиг-
сигнатура многообразия X равна сигнатуре билинейной формы на пространстве
Н*{Х). В самом деле, значение билинейной формы A) отлично от нуля,
только если xGHk{X), а у е Н4и~*(Х). Таким образом, матрица формы
A) на НЧ"{Х) разлагается в прямую сумму форм на пространствах
Н°{Х) ®А/4л(Х), Н2{Х)*Н4п-2{Х),....Н2п-2{Х)9Н2"+г{Х). Н2п{Х).
причем на всех слагаемых, кроме последнего, эта матрица имеет следующий
матричный вид:
А* 0 |
Сигнатура же у матрицы вида B) равна нулю. Значит, сигнатура формы A)
на всем пространстве Н*{Х) совпадает с сигнатурой формы A) на остав-
оставшемся слагаемом Н2п{Х).
Теорема 1. Если ориентируемое компактное An-мерное многообра-
многообразие X является границей ориентируемого компактного (An + 1 )-мерного
многообразия Y,ro
signX = 0. C)
Доказательство. Поскольку группы гомологии с вещественными
(или рациональными) коэффициентами можно представить в виде
HkW = Hom(Hk{X); R). И)
то билинейную форму A) можно задать как изоморфное отображение
D: Hk(X) + H4n:k(X). E)
которое в точности совпадает с гомоморфизмом двойственности Пуанкаре
для многообразия X. Многообразие У тоже обладает двойственностью Пуан-
Пуанкаре, которая задается двумя изоморфизмами
D': Hkm + H4n+l-.k(Y,X). F)
О": Hk(Y,X) + H4n+l.k(Y). G)
Для пары (Y, X) можно написать точные последовательности пары как
в гомологиях, так и в. когомологиях, которые вместе с изоморфизмами
E) - G) образуют коммутативную диаграмму
J* ¦ flm » Н
\ \ш \f (8)
Рассмотрим среднюю размерность к = 2п. Размерность образа Im/'C
С Н 2п (X) вычисляется как альтернированная сумма размерностей всех пре-
предыдущих групп в верхней строке диаграммы (8):
- dim H2"-1 (Y) + dim H2n~x (Y, X) - dim H2"-2(X) + ... (9)
Используя правую часть нижней строки диаграммы (8), получаем аналогич-
аналогично значение коразмерности образа Im /¦*:
Codim Im /' = Codim Im 5 ¦ Codim Ker /. =
175

= dim H2n{Y) -*m H2JY,X) + dim H2n-iiX) -
-<НтН2п-1(У) + д\тНг„-1(У,Х)-д\тН3„_2{Х) +,.. A0)
Поскольку dim«k(X)»dimHom(«*(X);R) = dim«k(X), то из (9) и A0)
следует, что
dimlm/^Codimlm/*»—dim«2"(X). A1)
2 ¦ • '
Разложим группу Нк(Х) в прямую сумму:
Н2к(Х)=А*>В, dim 4 = dim В. A2)
где -4 = Im / *, В — некоторое алгебраическое дополнение. Тогда
Н2„[Х) = Нот[Н2(Х); R) =А* 9В'
и
Я" = Кег/.. A3)
В силу коммутативности диаграммы (8) получаем
/.D/*-/,8D'-0. A4)
Это значит, что D(A) С В*, т.е. симметрическая матрица изоморфизма D
имеет вид
"' Го, "о. [ 0>'°!- . "а
Очевидно, что сигнатура матрицы A5) равна нулю, поскольку матрица О
эквивалентна матрице
II ° °2 II-II 1 ° II II ° °% I I 1 F II
I D3 0 ||" I F* 1 || I D3 D4 || I 0 1 Г
где
Теорема 1 доказана.
Теорема 1 показывает, что сигнатура многообразия X зависит только от
класса ориентируемого бордизма многообразия X и, значит, должна выра-
выражаться только через характеристические числа многообразия X, т.е. должен
существовать такой многочлен L (X) от классов Понтрягина многообра-
многообразия X, что
M>. A6)
Один из способов нахождения явного вида многочлена L (X) заключается
в том, чтобы истолковать сигнатуру многоообразия X в виде индекса не-
некоторого канонического эллиптического оператора, заданного на много-
многообразии X. Такой оператор существует и называется оператором Хчр-
цебруха.
Перейдем к его построению. Рассмотрим над многообразием X его ко,-
касательное расслоение Т*Х \л проекцию тг: Т*Х -*¦ X. Обозначим через
Ак к-ю внешнюю степень кокасательного расслоения Т *Х. Таким образом,
Ло — это тривиальное расслоение, At — это само кокасательное расслоение
• 4и
Т X. Можно рассмотреть прямую сумму Л = Ф Л<, которая в каждом
176

слое обладает структурой алгебры, а умножение задается операцией внеш-
внешнего произведения кососимметрических форм. Очевидно, пространство
сечений Г (Л*) совпадает с пространством внешних /г-мерных дифферен-
дифференциальных форм на многообразии X. Комплекс де Рама
О-^Г(Ло)^ Г(Л,I ... ^Г(Л4„)->-0 A7)
является комплексом дифференциальных операторов первого порядка,
а гомологии комплекса де Рама совпадают с когомологиями многообразия
X с вещественными коэффициентами.
Нетрудно убедиться, что символ оператора d является гомоморфизмом
Л/?: jr4cAfc)-jr4cAfc + ,)
внешнего умножения на вектор / % € сЛ, в точке ? € Т'Х - At, где с Л* -
комплексификация расслоения Ак. Если ? Ф 0, то комплекс символов
О-*чг*(сЛо)--^*7г*(еЛ,)-»- ...-*я*(сЛ4„)->0 A8)
является точным комплексом, а комплекс A7), следовательно; является
эллиптическим комплексом дифференциальных операторов.
Заметим далее, что операция умножения в когомологиях многообразия
X индуцируется операцией внешнего умножения дифференциальных форм.
Таким образом, сигнатура многообразия X определяется билинейной
формой в когомологиях, которая индуцируется спариванием в пространст-
пространстве всех, дифференциальных форм с помощью следующего равенства:
(wi.wj)» / o>iAwj. A9)
х
Фиксируем некоторую риманову метрику на многообразии X. Риманова
метрика задает скалярное произведение во всех расслоениях Л* таким
образом, что если вх,..., е4п — ортонормированный базис в слое расслое-
расслоения Л1( то в слое расслоения Л* векторы eti Л.../\е1к тоже образуют
ортонормированный базис. Рассмотрим отображение
•: \к + А4п-к. B0)
сопоставляющее вектору е^Л. ..Лв1к вектор (—1)°»/, Л.. • ^вцп_к,
составленный из сомножителей еу1# ..., е-. дополняющих векторы
е?1 tk до базиса в,, ..., е4п, где а - четность перестановки (/]
¦ •¦. '*. h .'¦¦¦ .Un- к) • Таким образом, •(«;, Л... Ав1к) * (-1)" (в/1 Л ...
... Лв,- ). С другой стороны, »(в; Л... Лв; ) * (-1)°» (•/ Л ...
' 4я- к ' i 14п- к 1
.. -A*ffc). где а, - четность перестановки (/i, ..., i4n-k. i\. • • -. /*)•
Четности (-1)° и (-1) отличаются друг от друга на множитель
(—. 1 )* С*»»—*) = (-1)*. Таким образом, получаем формулу
•2 = (-1)* на Л*. B1)
Отображение B0) переносится и на сечения расслоений, порождая отобра-
отображения пространств дифференциальных форм
•: Г(Л*)-Г(Л4„_*). B2)
Пусть в локальной системе координат (х1,..., х4") риманова метрика
имеет компоненты дц (х',..., х4п). Обозначим через ц форму объема на
многообразии X, т.е. форму, которая в локальной системе координат
177

имеет вид
H-^detgy'dx1 Л ... Adx4". B3)
Очевидно, что м = М1), а если a>j=/coi, где f - некоторая функция, то
{)f()
2i
Если Wj, wj € Г(Л;С) - два сечения, то чераз < со,, со2 > обозначим функ-
функцию, равную скалярному произведению значений форм цицв каждой
точке. Тогда выполняется формула
<со,,o)j>m»«j Л»соа ¦ (-1)* »Wi Aa>j. B4)
В самом деле, формулу B4) достаточно проверять в каждой точке незави-
независимо и в произвольно выбранной системе координат. Выберем локальные
координаты х1...., ж4" таким образом, чтобы их дифференциалы dx1,...
... ,.dx4" в данной точке х0 образовывали ортонормированный базис.
Тогда
ifoj-dx1 Л ... Лейс4".
Пусть
Wl - Sa>1Oi .;..c,kdx«t Л ... Adx"",
a)j=2aJa . e ейг*« Л ...Adx"'k. ¦ .
Тогда
< <о1гсо2> (х0)д(х0) = Bu1(t| ...«^UoJwae, .:.efc(xo))*fl Л...Adx4".
' B5)
С другой стороны,
<о, л *W2 (wiei .;,ejt(x0)dxe'Л .. .¦Adx<*k)A
А{ш2о,1..акЬ»I-1)а<1х^ A ...Adx04"-"). B6)
где 0?i,..., 04n-fr) ~ выбор индексов, дополнительный к набору (a,,...
... ,а*), а о-четность перестановки (al(... ,«*. 'pif i.. ,jJ4w_fc). Значит;
rfxei Л ... Arfx^Adx"» Л ... Adx^4"-fc = (-1)°dx1 A. ..Adx4".
B7) ;
Сравнивая B5) с B6) и B7), получаем формулу B4).
Формулу B4) перепишем следующим образом:
«, Awj =(-1)k<a>If»a>j>M B8)
для со, €Г(ЛЛ), со2 ?Г(Л4л-к)- Квадратичная форма A9) может быть
вычислена по формуле
(a>i,a>2) = (-1 )*/<<•>!,• со, )ц. B9)
Интеграл от формы < coi, со2) м задает скалярное произведение в простран-
пространстве форм Г(Л*), которое мы будем также обозначать через
<СО,,СО2> = /<СО1(СО2>М. C0)
Через (/'обозначим оператор, сопряженный к оператору внешнего диффе-
дифференцирования d относительно скалярного произведения C0) на формах
Г(Л*). Для оператора d* выполняется тождество
<a>,,tfa>2>s<rf*a>,,a>2>, ы,еГ(Л»), со2€Г(Лк_,). C1)
178

Используя соотношения B9) между скалярным произведением и опе-
оператором *, имеем ¦ •
<d*w,, w2> = <a>i,d&>2> = S «i Л #rfwj = (-1)* / »«i Adco2 ¦
x x
« / </(•«! Ли») - / d»wi Auj » "
X X
= - / d»o>i Л cjj = -/•</• Wj Л» o>j = -<•</• to,, w2 >.
Значит,
еГ - - •</•. C2)
Теперь мы произведем отождествление когомологий де Рама многооб-
многообразия X с ядром некоторого эллиптического оператора. Заметим, что опе-
оператор
b~{d + d')(d + d')=d'd + dd' C3)
является дифференциальным оператором в каждом пространстве Г(Л*).
Оператор А коммутирует с операторами «У и «У*. Определим соболевскую
норму в пространствах Г(Л*) равенствами
<a>,.wa>,= <a>,,A+A)*cjj> - /< о>,, A + A)*w, >м. C4)
х
|| со ||*•- < и, w>Jf s>0.
где Wi, о>2 ? Г(Л^). Пополнение по норме C4) обозначим через Н,(Лк).
Очевидно, что оператор
является изоморфизмом для s -21 > 0. Если w € /У^_ 2; (Л*) - бесконечно
гладкое сечение, то и прообраз (A + A)')~'u € Hs{Ak) является бесконеч-
бесконечно гладким сечением. Значит, оператор A + А)'.является изоморфизмом
на бесконечно гладких сечениях Г(Л*). Поэтому формула C4) имеет
смысл и для отрицательных значений s. Далее, если a>t e Hs(Aic), то для
любого о>2 € H_s(Ai() определено спаривание <o>i, со2>о, которое на
гладких сечениях выражается формулой C0). При этом, если < а>,, о>2 >0 =
= 0 для любого элемента шг EH_s{Aic), то wt =0.
Теорема 2. Оператор D ¦ d + d*: Г(Л) -* Г(Л) является эллиптичес-
эллиптическим. Ядро оператора D: HS(A) -*W,_i (Л) состоит из бесконечно гладких
сечений. Имеет место разложение в пространстве Г(Л):
Kerd = KerD®lmtf. C5)
Доказательство. Если w G Ker D, то 0 = (d + </*Jo> = dd*cj + d*dcj.
Значит,
0= (dd'u+d'du.ui) = (d*cj,d'<J) + {dui,dui).
Поэтому da> = rf'w = 0. Если же при этом ы - d<J для некоторой гладкой
формы ы € Г(Л). то d*dw = 0. Поэтому 0 = <d*dw, и > = <</&>', dw'>.
Следовательно, ы - du' = 0.
Первые два утверждения теоремы непосредственно вытекают из резуль-
результатов предыдущей главы, поскольку символ оператора D = d + d* явля-
является обратимой матрицей вне нулевого сечения кокасательного рас-
расслоения.
179

Рассмотрим фредгольмов комплекс операторов
C6)
Образ Im d C Ker d является замкнутым подпространством конечной ко-
коразмерности. Пусть L CKer d — ортогональное дополнение к подпространст-
подпространству Imrf в метрике C3).Тогда,если о>€ L, то dco - 0и < с/со,, со) j =0для
любого элемента W| G WJ+l(A/t_ i), т.е., в частности, < A + Д Vs с/со (, со >0 ¦
« 0 для любого элемента Wi € Г(Лк_ t). Значит, < A + A)*<Oi, tf*w >0 = О
для любого coi € Г(Л*_!). Поскольку оператор A + АI является изомор-
изоморфизмом в пространстве Г(Л*_ 1), получаем равенство < ш, tf *со >0 = 0 для
любого со' € Г(Л*_!). Следовательно, </*ь> •= 0. Итак, {d + rf*)w = О, т.е.
/. С Ker D. Обратно, если Deo * 0, то w - гладкое сечение, поэтому </ь> =•
ж d*<o = 0. Значит, < da>i, ш >4 = 0 для любого o>i € Г(Л*_|). Таким обра-
образом, L = Ker О.
Рассмотрим теперь эллиптический оператор
Очевидно, что Ker A = Ker D. Если и € Г(Л*}, то со € Wj(A^) .Разложим
форму (о. в сумму ортогональных слагаемых:
w = о>, + а>2. C7)
Очевидно, что разложение C7) не зависит от номера s, поскольку элемент
Wj ортогонален кц в любой норме вида C3). Пусть о>, € О(П), П €
е "j+2(Afc) • Элемент $2 уже зависит, вообще говоря, от номера s, но если
а'€«,»+2<Л*) и с, =о(П'), s'>s, то П -П'бКегО. Значит, фор-
форма ?2 отличается от формы ?2' на бесконечно гладкое слагаемое, т.е. П €
е "*'+з(Л*) для любого *' > s, а потому ?2 € Г(Л*). Таким образом,
пространство Г(Л*) разлагается в,прямую сумму:
C8)
Пусть теперь со € Ker d С Г(Л^) ¦ Разложим форму со в сумму:
со = со,+Дсо2, cot € Ker О, &>2€Г(Л*).
Тогда dco «dco, + Дс/со2, тл. Дс/со2 =0. Значит, du>2 e КегДт.е. d*dcoj =
= 0, откуда следует, что О «< d *с/со2, со2 > = < </а>2, da>2), поэтому с/со2 = 0.
Тогда
а> = С0| +dd*co2. C9)
Разложение C9) и доказывает формулу C5). Теорема 2 полностью до-
доказана.
Согласно теореме 2 группа когомологий Нк(Х) изоморфна ядру Ker О в
пространстве Г (Л*). В частности, когда к = 2л, квадратичная форма на
группе Н2п(Х) задается формулой
(«! , О>2 ) = / COi Л С«>2 * / < О>1 , »Ш2 >Д = < Wt , »СО2 >. D0)
х х
Оператор •: Г (Л*) -»• Г(ЛЛ) в силу формулы C2) оставляет ядро Ker D
инвариантным. Действительно, если coS Ker D, (c/+c/*)co =0, то {d+d*)»oo =
= -•(</ + d") со * 0, т.е. чо € Ker D. Значит, сигнатура квадратичной фор-
формы D0) равна сигнатуре оператора *, действующего в пространстве Ker D.
180

Заменим оператор * на новый оператор
(отметим, что число /***" !) + 2n вещественно). Оператор а удовлетворяет
следующим свойствам:
а2 = 1. D2)
d*=-ada, D3)
о0 = -0«. D4)
4n
Разложим расслоение Л- Ф Ак в сумму двух расслоений:
«г=0
Л = Л+ФЛ" . D5)
так, чтобы на первом слагаемом оператор а был тождественным, а на вто-
втором слагаемом равнялся — 1. Очевидно, что в силу соотношения D4) име-
имеют место включения
0(Г(Л*))СГ(Л-). D6)
0(Г(Л-))СГ(Л+). D7)
Ограничение оператора D на подпространство Г(Л+ ) обозначим через D+ ,
а на подпространство Г(Л') - через 0". Совершенно ясно, что
Ker 0+ ® Ker 0 ". D8)
С другой стороны, ядро Ker D можно разложить в прямую сумму своих
подпространств, лежащих в сумме пространств дифференциальных форм
ПЛ*)®Г(Л4„_*).т.е.
Ker D = {Н°(Х)® Н4п(Х)}®{ Н1 (X) ® Н4п~1 [X)) ® ...
... ®{Н2п-1(Х)9Нгп+1(Х)}®Н2п(Х). D9)
Разложение D8) ° согласовано с разложением D9). Поэтому каждое сла-
слагаемое вида Нк(Х) ® Н4п~к{Х) разлагается в прямую сумму двух под-
подпространств:
Нк(Х)9Н4"-к (X) = V* ® Vk. E0)
где Vk - корневые подпространства оператора а с собственными значения-
значениями ± 1. Оператор * задается на пространстве E0) матрицей
0 А
В 0
причем квадрат этой матрицы согласно формуле B1) равен (-1)*, т.е.
АВ = (-1 )*. Значит, оператор а задается матрицей
(-1) 2 В
+ п
-1
(-1) 2 В
E1)
Очевидно, что матрица E1) имеет равное число собственных значе-
значений+1 и—1.
181

Таким образом, сигнатура многообразия X равна разности размерностей
dim Ker 0+ и dim Ker О":
sign X = dim Ker D* - dim Ker0". E2)
С другой стороны, поскольку оператор 0 самосопряжен, то оператор
0" сопряжен к оператору 0*. Значит, размерность ядра KerD' равна
размерности коядра оператора D*, и потому
sign Х- index 0*. . . . E3)
Оператор 0* : Г(Л+) ->Г(Л_) называется оператором Хирцебруха. Его
индекс можно вычислять, используя формулу Атья —Зингера. Конструк-
Конструкция оператора D+ такова, что его символ может быть легко описан. В самом
деле, символ а оператора d внешнего дифференцирования - это операция
внешнего умножения на ковектор /?:
Так же, как и в формуле C2), символ а' сопряженного оператора d* равен
а' = -*а*. E4)
а символ оператора 0 равен 2 = а+ а. Поэтому для символа 2 выполняется
равенство, аналогичное равенству D4):
«2 = -2«. E5)
Следовательно, оператор
23: **{сЛ+)->1т*{сА_) E6)
является изоморфизмом вне нулевого сечения кокасательного расслоения
Т*Х. Тройка E6) задает Нам некоторый элемент [?] ? КС(Т*Х) в/С-груп-
пе с компактными носителями тотального пространства Т*Х. Характеристи-
Характеристические классы элемента [?], очевидно, выражаются через характеристи-
характеристические классы расслоения сТ*Х. В частности, характеристический класс,
определяющий индекс оператора 0+, имеет следующий вид:
index 0+ = < сп [2] Т(Х). [Т*Х] >, E7)
где Т(Х) — класс Тодда комплексификации касательного расслоения к
многообразию X.
Для того чтобы вычислить правую часть формулы E7), заметим, что
конструкция элемента 1?], задаваемого тройкой E6), может быть рас-
распространена на любое ориентированное вещественное расслоение % над
произвольной базой X. Если Е — тотальное пространство расслоения ?, а
р: Е •* X — проекция, то над базой Е имеется комплекс расслоений
О^р'АоШ ^р*Л,(с{) I ... ^р*Л„(с$)^0, E8)
где а — операция внешнего умножения на вектор х € ?. В расслоении
я -
Л(?) = © Л*(?), так же как и для кокасательного расслоения, имеется
*=о
операция *: Л*(?) -*¦ Л„_^(|), приводящая к разложению расслоения
Л(е?) в прямую сумму:
При этом гомоморфизм Z = а - «а* отображает слагаемое Л+(?) в слагае-
слагаемое Л_({) изоморфно вне нулевого сечений.
¦82

Заметим, что если X = Xt X Х2. а расслоение ? является декартовым
произведением расслоения { t над базой Х\ и расслоения 5 2 над базой Хг, то
E9)
Доказательство формулы E9) оставим в качестве упражнения.
Таким образом, задача сводится к описанию элемента [?(?)] € Ке{Е),
где ? — двумерное универсальное расслоение над классифицирующим
пространством BSOB) - BU{1) = CP°°. В этом случае расслоение % изо-
изоморфно одномерному комплексному расслоению Хопфа, а с| * $ ® % *.
Значит, Л+(?) = Т ® ? *, Л_ (|) = | ® Т. Матричная запись функции склейки
Б: Л+(?)-*Л (?) имеет диагональный вид
где г -г вектор слоя комплексного расслоения ?. Поэтому элемент [Z] €
е АГС(?) имеет вид [SJ = ([»?)- 1) ® A - Jt?4) - fo] - [ц'Ь где t? -
расслоение Хопфа над комплексом Тома lfp - CP~. Значит,
ва-в-а, aEH2{CP~;Z).
Таким образом, если расслоение % разложено в> сумму двумерных рас-
расслоений:
то
п
где у: Н*(Х)~*Нс\% ) - изоморфизм Тома. Тогда
*=i в * - 1 в~ * - 1
Я Otjfc (в + 1) 1 Gtir n
= П гзг—г— - П =— = 2" П •
k=i e *-« *=i th(a*/2) *=i
Таким образом, для 4л-мерного многообразия
22n П f*/2 , F0)
*=i tb(tk/2)
где ffc — формальные образующие касательного расслоения к много-
многообразию X.
§ 2. С*-алгебры и А-теория
Пространство сечений Г(?) комплексного векторного расслоения % над
базой В является модулем над кольцом С(В) всех непрерывных функций
на базе В- Само кольцо С(В) можно отождествить с пространством сечений
ГA) одномерного тривиального расслоения. Значит, Г(Т) является одно-
одномерным свободным модулем. Поскольку тривиальное расслоение п разла-
разлагается в прямую сумму тривиальных одномерных расслоений, модуль Г (л)
является л-мерным свободным С(?)-модулем. С другой стороны, если В -
183

компактное пространство, то всякое комплексное векторное расслоение ?
является прямым слагаемым в тривиальном расслоении, т.е. ?® »? = />.
Тогда имеет место такое же разложение пространства сечений:
ГЩ) ® Hi?) = Г(Я) * С(В)" = С(В) ® ... в С(В).
Это значит, что Щ) является проективным С(?)-модулем.
Теорема 1. Соответствие % -»Г({) является эквивалентностью между
категорией комплексных векторных расслоений над компактной базой В
и категорией проективных конечнопорожденных модулей над ал-
алгеброй С(В).
Доказательство. Если расслоения % и ц изоморфны, то изоморф-
изоморфны и их модули сечений Г(?) и F(tj). Поэтому достаточно доказать, что
каждый проективный С{В) -модуль Р изоморфен модулю Г(|) для некото-
некоторого векторного расслоения %, а каждый гомоморфизм СE)-модулей
*> Гф
порождается гомоморфизмом расслоений
f: {-»?•
Докажем сначала второе утверждение. Пусть у: Г ({)-»¦ Г (ч) - произволь-
произвольный гомоморфизм модулей. Предположим, что расслоения % и tj тривиаль-
тривиальны, %*В X С", т} = 5 X Cm. Обозначим через э1(... ,а„е С" и btl...
..., bm € С'" некоторые базисы. Поскольку расслоения ? и ц тривиальны,
векторам я*, bk соответствуют сечения ак € Г(|), Ек ? Г(?7), Всякое сече-
сечение а € Г($) однозначно разлагается в линейную комбинацию
о-1 ок{х)ак, о"{х)€С{В), A)
а всякое сечение т € Г(т}) однозначно разлагается в линейную комбинацию
г= 2 т'(х)Ь,, т'(х)<=С{В). B)
Поэтому гомоморфизм у в базисах A) и B) имеет следующий вид:
ф)= X o*(xMafc)- 2 ок(х) 1 /(х)Л,= 2 а*(х)^'(х)й,. C)
* fc I * k,l K
Функции $'к(х)еС{В) образуют матричнозначную функцию на базе В, по
которой определяется послойный гомоморфизм расслоений
MI^WII: *-»Ч. ^ D)
Очевидно, что гомоморфизм f индуцирует исходный гомоморфизм ^ в
сечениях расслоений.
Пусть теперь % и q — произвольные векторные расслоения, up: Г(?) ¦*
-* Г(т}) - некоторый гомоморфизм модулей сечений. Дополним расслоения
| и т? до тривиальных расслоений. Пусть
5®5i -л, tj®j?i "fn. C)
р: п -*п - проекция на слагаемое ? д: ап -*¦/» - проекция на слагаемое»?.
Определим гомоморфизм ф: Г(|) ® Г(||) -»¦ Г(т?) ® Г(»?|) матрицей в разло-
разложении E) :
<р О
F)
184

Очевидно, что фр'яф. Гомоморфизм ф является гомоморфизмом моду-
модулей сечений тривиальных расслоений. Следовательно, по уже доказанному
существует гомоморфизм
д: ?®?, ->7j®7jlr
порождающий гомоморфизм F). Поскольку фр = аф, такое же соотноше-
соотношение выполняется и для гомоморфизма д, т.е. gp = qg. Поэтому гомомор-
гомоморфизм д имеет вид диагональной матрицы:
т
где f = qgp - гомоморфизм расслоения % в расслоение т?. Значит, гомомор-
гомоморфизм f: $-*ц порождает гомоморфизм $ модулейозчений.
Докажем теперь первое утверждение теоремы. Пусть Р - произвольный
проективный конечнопорожденный модуль над Алгеброй С(В). Тогда мо-
модуль Р является прямым слагаемым свободного модуля С{В)п = Г(п):
Р®О = Г(п),' (8)
а сам модуль Р выделяется в модуль Г Щ с помощью проектора
<р: Г(л) ¦+ Г(л), ?>2=v, Я=1т^. (9)
Проектор у_ порождается некоторым гомоморфизмом ф тривиального
расслоения п. Поскольку *р2 = *р, то и ф2 = ф, т.е. ф является проектором, а
п разлагается в сумму двух подрасслоений:
Тогда, очевидно, Im <р = Г(?), т.е.
что и требовалось доказать.
Теорема 1 показывает, что группа К (В) комплексных векторных рас-
расслоений изоморфна группе Ко (С {В)) в алгебраической /С-теории для
кольца С (в).
Соответствие $ -»¦ Г(?), рассмотренное в теореме 1, можно обобщить
на случай декартова произведения В = X X V компактных пространств
X и Y. Пусть k - векторное расслоение над базой В. Фиксируем точку
у0 е Y. Тогда пространство сечений Г (?, (X X у0)) ограничения расслое-
расслоения ? над X X у0 является проективным модулем над кольцом С(Х).
Таким образом, получаем семейство проективных модулей Г (|, (XX /0)),
параметризованных точками пространства У. Мы приходим к определению
локально тривиального расслоения над базой Y, слоем которого являет-
является проективный С (X) -модуль Р = Г (?, (X X у0)), а структурной группой -
группа автоморфизмов модуля Р.
Вообще, если А — произвольная С'-алгебра, Р — проективный А -модуль,
то локально тривиальное расслоение над базой Y со структурной группой
G = АиХЛ (Р) автоморфизмов модуля Р будем называть векторным А-рас-
слоением. Соответствующую группу Гротендика, порождённую всеми
векторными А -расслоениями, будем обозначать, через КА (X). Если X -
одноточечное пространство, X = pt, то группа ^(pt) совпадает с группой
К о {А) в алгебраической /С-теории. Если В= XX У, то возникает естествен-
естественный изоморфизм
К(ХХ Y)^KC(Y)W. A1)
185

Если У — одноточечное пространство, то изоморфизм A1) превращается
в изоморфизм
К(Х) ч. Kc(x)(pt) = К0(С(Х)) A2)
из теоремы 1. ¦
Теорема 1 тоже обобщается на случай векторных А -расслоений. Если
| — произвольное векторное А -расслоение над базой У, то модуль сече-
сечений Г (?) является проективным модулем над алгеброй непрерывных
функций C{Y, А) на базе У со значением в С*-алгебре А. Значит, имеем
следующий изоморфизм:
KAiY) = K0(C(Y,A)). A3)
Если В = ХХ Y, A = C(Y). то
С(У,С(Х)) = С(ХХ У).
Тогда, используя изоморфизмы A1) и A3), получаем коммутативную
диаграмму изоморфизмов
К0(С(У,С(ЛГ»)
Группы КА(Х) удовлетворяют многим соотношениям, аналогичным соот-
соотношениям обычной комплексной /С-теории. Если % — некоторое /4-расслое-
/4-расслоение над базой X, а т? — обычное С-расслоение над У, то тензорное произ-
произведение % в 1? является /4-расслоением над XX/. Значит, получается отоб-
отображение
KAV0-9K{Y) -* КА{ХХ Y).
В частности, умножение на элемент Ботта E Е К0 (S2, s0) задает изо-
изоморфизм
КА {X. Y) ^ КА (X X D2. (X X S) U (У X D2)).
а также изоморфизм
Га1Х, У). A5)
Рассмотрим гомоморфизм
^^). A6)
порожденный тензорным умножением. Переходя к тензорному произве-
произведению на поле рациональных чисел Q, получаем естественное преобразо-
преобразование обобщенных теорий когомологий
A7)
Если X ¦ pt — одноточечнре пространство, то, очевидно, преобразование
A7) является изоморфизмом. Поэтому на основании теоремы о единствен-
единственности обобщенной теории когомологий получаем, что преобразование
A7) является изоморфизмом для любого конечного клеточного простран
стваХ. Положим
спл = (idechV1: К*Л(Х) ¦* Н*{Х;
186

Преобразование ch^ является аналогом характера Черна для обычной
АГ-теории и удовлетворяет условию, что коммутативна следующая диа-
диаграмма:
•¦*
Пример. Алгебра Калкина. С'-алгебра Калкина - это фактор-
алгебра А = В(НI УС (Н) алгебры всех ограниченных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве по идеалу компактных операторов. Чтобы изучить
устройство группы КА (X), достаточно рассматривать только расслоение
для нетривиальной пары (X, Y), слоем которых являются свободные
/4-модули. В этом случав/4-расслоение имеет структурную группу GL (л, А),
т.е. группу обратимых /т-мерных матриц, элементы которых лежат в ал-
алгебре А. Алгебра End И") л-мерных матриц, очевидно, изоморфна ал-
алгебре А, поскольку для бесконечномерного гильбертова пространства Н
имеет место изоморфизм Н - Н ®. . ,®Н (л раз). Значит, группа GL (л, А)
изоморфна группе GLA, A) = GHA) обратимых элементов в алгебре А
Если v: В{Н) -*¦ А - естественная проекция, то, очевидно, прообраз
я'1 (GHA)) совпадает с множеством SF всех фредгольмовых операторов
гильбертова пространства, а проекция тг: «F -*¦ GLW) является расслое-
расслоением со слоем Ж (Н), удовлетворяющим аксиоме о накрывающей го-
мотопии. Допустим, что мы вычисляем группу
К л1 (X. х0) = К °л (X X О1, (х0 X D1) U (X X S0)).
Надстройку SXX пространства X удобнее в данном случае представить
в виде объединения С0Х UCtX двух конусов с общим основанием. Всякий
элемент из группы К^ [X, х0) представляем в виде разности /4-расслое-
/4-расслоения % над SlX со слоем А" и тривиального л-мерного 4-расслоения. Огра-
Ограничения %\С0Х и %\СХХ являются тривиальными расслоениями. Поэтому
расслоение % полностью определяется гомотопическим классом отображе-
отображения X ¦* GL И). Поскольку проекция ъ: ? -*¦ GL {А) имеет стягиваемый
в точку слой ff'1 (х), группа гомотопических классов отображений прост-
пространства X в группу GHA) изоморфна-группе гомотопических классов
отображений пространства X в пространство §¦ :
я: [X, § ] ¦* [X. GLW)]. A9)
Пусть f: X ¦* & — непрерывное отображение. Тогда отображение f инду-
индуцирует отображение тривиального расслоения со слоем Н:
7: XX Н -» XX Н.
Отображение f задается равенством .
7(х,л) *(х,/,(&)). B0)
Допустим, что подпространства Ker fx и Coker fx имеют постоянную раз-
размер ндсть:
dim Ker fx = const, dim Coker fx = const- B1)
Пусть подмножество Е СХ X H образовано точками вида (х. Л), fx (Л) - 0,
а , ?' СХ X Н образовано точками (х, Л), Л 1 Im fx. Тогда отображения
187

E -* X. ?' -*X являются локально тривиальными векторными расслоения-
расслоениями, которые мы обозначим через Кег f и Coker Л
Теорема 2. Всякое непрерывное отображение f: X -* & гомотоп-
гомотопно отображению Л удовлетворяющему условию B1). Элемент
(Кег f']- [Coker f'] e К(Х)
не зависит от выбора отображения f', гомотопного отображению f и удов-
удовлетворяющего условию B1). Соответствие
f -* [Ker f'] - [Coker f]
является взаимно однозначным соответствием множеств
[X. f ) ¦* К[Х). . • B2)
Из теоремы 2 следует, что имеет место естественный изоморфизм
КаЧХ.х0) = К°(Х,х0). B3)
В самом деле, элемент группы Кдх (X, х0) определяется отображением f:
X •* GLH). Это отображение можно без ограничения общности выбрать ¦
таким, чтобы f (х0) = е ? GL (А). Это значит, что накрывающее его отобра-
отображение f : X -*jF удовлетворяет условию index fx s Q. Значит; dim Ker f' *
= dim Coker f ', т.е. [Ker f '] - [Coker f'] € K° [X. x0). В частности, из
равенства B3) следует, что *n(pt) = ATJr1 (pt), значит, Kj* + l (pt) = 2.
K^k (pt) ¦ 0. Например, K°A (pt) « 0 означает, что для любого проектив-
проективного модуля Р над алгеброй А найдется такой свободный модуль-4", что
p®An=AN.
Доказательство теоремы 2. Допустим, что Ker fx = 0 для
всех точек х G X. Тогда dim Coker fx= const, поскольку индекс фред-
гольмова оператора не меняется при гомотопиях. Известно, что ортого-
ортогональное дополнение (mfxr С Н к образу оператора fx совпадает с ядром
сопряженного оператора fx, a Ker f* = Ker fxf*- Образ Im fxf* оператора
fxf* замкнут, и совпадает с образом lmfx оператора fx. Значит, Ker fxf* =
= (Im fxfxI ¦ Следовательно, на подпространстве Im fxf* самосопряжен-
самосопряженный оператор fxfx обратим. Поэтому точка 0 является изолированной
точкой спектра оператора fxf*. В силу компактности пространства X су-
существует единая для всех х € X окрестность нуля, отделяющая нуль от
остальной части спектра оператора fxfx. Формула
Px' — tVxfi-*)'1* B4)
Ъч
задает непрерывное семейство проекторов гильбертова пространства Н
на Ker fxfx. Очевидно, что подпространство
?' - U (xX \mPx)CXXH
образует искомое локально тривиальное расслоение.
Пусть теперь f: X -*¦ & — произвольное непрерывное отображение. Фик-
Фиксируем точку х0 € X и V = (Ker fxjl . Тогда fXo изоморфно отображает
пространство V на образ Im fX(). Значит, найдется такая окрестность 1/Эх0,
что если точка х принадлежит окрестности U, то fx\ V является мономор-
мономорфизмом, т.е. Ker fx П V = 0. Следовательно, существует такое подпростран-
подпространство V СН конечной коразмерности, что Ker fx С) V - 0 для любой точки
188

x € X. Пусть Vo ж V — ортогональное дополнение. Тогда операторы
fx записываются в виде матрицы согласно разложению гильбертова про-
пространства И в прообразе в прямую сумму Н * Уо ® V:
где fjj = ^jVo, fj- f»lV, Кег fj = 0. Положим f'x *II0 fj II. Тогда Ker ^ -
тривиальное расслоение размерности dim Vo, a Coker г", = Coker f*?. Если
Vt С V - некоторое подпространство, то V = Vx ® У2. а отображение
f.v представляется в виде матрицы:
f _ II f0 fll /12 | /1 _ Ц /11 *12 ||
Тогда очевидно, что
Coker fx' = Coker /i ® dim V2.
Значит, определение элемента
index f = iKer f'} - [Coker ^'j € /f(X) <25)
не зависит от выбора подпространства V. Очевидно, что отображение f' го-
гомотопно отображению Л Если задана гомотопия f: X X / -»• f , то, ис-
используя аналогичные рассуждения, получим гомотопию f'\ X X I -* f,
удовлетворяющую условию B1), а значит, элемент B5) не зависит от
гомотопии.
Итак, по формуле B5) мы построили отображение
index: [X, f ] - К(Х). , B6)
Пусть % — произвольное расслоение над компактной .базой X, t? — допол-
дополнительное расслоение к расслоению. $, значит, % ® t? = N - тривиальное рас-
расслоение. Гильбертово пространство Н представим в виде счетной суммы:
Н - C^eC^®...®^-®.... B7)
Пусть р-.N^N- семейство проекторов, Imp - %. Отображение B6) явля-
является гомоморфизмом, если в качестве групповой операции в множестве
[X, & ] использовать операцию композиции фредгольмовых операторов.
Семейство фредгольмовых операторов fx зададим бесконечной матрицей
в разложении B7):
1 -Рх Рх
<28>
Очевидно, что Ker f = %, Coker f = 0. Поэтому гомоморфизм B6) являет-
является эпиморфизмом. Допустим, что index f = 0. Это значит, что найдется
такое подпространство V С Н - V ® Vo конечной коразмерности, что
Кег Л, Л V = 0, fx = II f% fx P f'x= 1i0 fx I a Coker f' - тривиальное рас-
расслоение. Значит, существует непрерывное послойное отображение
X X Vo -*Х X Н на ортогональное дополнение к Im f'. Другими словами,
оператор f'x = II <рх f'x$ является изоморфизмом, т.е. f"x € GL (H). С другой
стороны, отображение f"x: X -* GL (H) С JT гомотопно отображению /. По-
Поскольку пространство GL{H) стягивается в точку, то отображение f", a
вслед за ним и отображение f гомотопны некоторому постоянному ото-
отображению. Теорема 2 доказана.
189

§ 3. Семейства эллиптических операторов
Если задано непрерывное семейство фредгольмовых операторов F x: H -*Н, .
х € X, параметризованное точками компактного пространства X, то
index Fx является локально постоянной функцией, не дающей новых.
гомотопических инвариантов. Если dim Ker Fх = const, то сами ядра
Ker Fх образуют, вообще говоря, нетривиальное расслоение Ker F. Ана<-
логично, Coker F является векторным расслоением. В этом случае под
обобщенным индексом семейства фредгольмовых операторов удобЯо
понимать элемент index F = [Ker F] — [Coker F] группы К(Х). Класси-
Классический индекс index Fx равен, очевидно,
dim [Ker F] - dim [Coker F] = dim index F.
Для семейства эллиптических операторов ох (D) его обобщенный индекс
index а@) ? К (X) можно выразить через символ оператора а (О). Пусть
р: М -*¦ X — локально тривиальное расслоение компактных многообразий,
слоем которого является многообразие У. Пусть ?1# ?2 - два векторных
расслоения над базой М, Т*М — векторнре расслоение кокасательных
векторов к слою V на многообразии М, тг: Т*М -* М — соответствующая
проекция. Над пространством X зададим векторные (бесконечномерные)
расслоения Р\\%\). р\ (?г), слоями которых служат пространства сечений
Г(?,, р (х)), V(%г, Р~'(х)) расслоений %\,%г над слоем р (х) = У.
Через p«(|,-)s обозначим расслоения, ассоциированные с расслоением
Р; (I,), но с заменой слоя Г (?,-,р М) на его пополнение nos-соболевской
норме.
Семейством псевдодифференциальных операторов а (О) порядка m на-
называется гомоморфизм расслоений
который над каждой точкой х е X является псевдодифференциальным
оператором порядка m на многообразии р"' (х) = У, действующим из
пространства сечений Г (%,, р "• (х)) в пространство сечений I" {\г,р "' (х)).
Требуется, чтобы символы этих операторов задавали общий непрерывный
гомоморфизм
а: !гЧ$|)-*
Если гомоморфизм B) является изоморфизмом вне нулевого сечения
расслоения Т'у{М), то семейство A) называется эллиптическим семейст-
семейством псевдодифференциальных операторов. Таким образом, если A) -
эллиптическое семейство, то, с одной стороны, оно задает непрерывное
семейство фредгольмовых операторов
о(О):р.К,),-р,(Ь ),..„,. C)
и, с другой стороны, тройка B) определяет элемент
[о]еКс(Т'у{М))'. D)
Теорема. Для эллиптического семейства A) справедлива формула
indexо@) = р.[о] eAf(X)®Q. E)
Мы докажем теорему в частном случае, в котором семейство псевдо-
псевдодифференциальных операторов допускает очень простую интерпретацию.
Пусть q: M -* У — вторая проекция. Через q< (?) обозначим расслоение
над У, слоем которого является пространство сечений Г (?, q~l (у)). Оче-
Очевидно, что Г (q\ (?)) = Г [р\ (?)) = Г (?). Каждому расслоению ? над базой
190

XX/ сопоставим С (X) -расслоение q\ (|) над базой У, слоем которого
является проективный С(X)-модуль Г(?, q'l(y)). Каждому символу
B) сопоставляем символ
F)
который индуцируется гомоморфизмом B) после перехода к простран-
пространству сечений. Эллиптическому символу а при этом сопоставляется эллипти-
эллиптический символ <7) (а), а элементу [а] ? Кс (T*Y X X) соответствует эле-
элемент [Ях(а)\ G Kc(X)*(T*Y). Поскольку группы KC(T*Y X X) и
КС(Х) ,с (T*Y) можно отождествить, имеет место равенство
Kc(T'YXXK[o]=[ql(a)]ekaxu(T*Y). G)
Каждому семейству операторов A) сопоставим оператор
(8)
который получается из семейства A) путем перехода и сечением расслое-
расслоений. Если перейти к сечениям расслоений в семействе C), то, очевидно,
получаем оператор
Г(а@)): ГЫ^П^ГЫЫ*). (9)
Если Кег a{D) — уже постоянная функция на пространстве X, то index a(D)
определяется как формальная разность двух расслоений Kera(D) и
Coker a (D) над базой X. Тогда ядро и коядро оператора (9) суть проек-
проективные С(X)-модули, изоморфные пространствам сечений Г (Кег о@)) и
Г (Coker a{D)). Значит, отождествляя К(Х) и К0{С{Х)), получим ра-
равенство
.АГ(Х)Э index o@) = index qi(a)(D)eK0(C(X)). A0)
Таким образом, доказать формулу. E) для семейств эллиптических опе-
операторов — это то же самое, что доказать аналог формулы Атья — Зингера
для эллиптических операторов, действующих в А -расслоениях для про-
произвольной С* -алгебры А:
index <7|(a)(D) = r,([<7i(a)]) G Ko(C(X)l® Q, A1)
где r: Y -*¦ pt — отображение в точку.
Трудности, которые следует здесь преодолеть, связаны с исследованием
бацаховых пространств сечений Н* (%) векторных А -расслоений, попол-
пополненных по Соболевской норме, и построением разумного класса опера-
операторов, заменяющих фредгольмовы операторы таким образом, чтобы для
них был определен гомотопический инвариант-индекс оператора как эле-
элемент группы К0{А).
Пусть А — произвольная С*-алгебра. Гильбертовым А-модупвм назовем
банахово пространство М, являющееся А -модулем, на котором задана
полуторалинейная форма со значением в алгебре А. Пусть выполнены
условия:
1) ix.y) = iy,x)*eA, х,уем;
2) (x,Jf)>0, хем;
3) (Хх, у) = Х(х, у), x.yGM. \eA:
4) Ох II2 = И(х,х)И, хем.
Модельный гильбертов -4-модуль h И) определим следующим образом.
Точка х € h И) — это такая последовательность х = (х,, хг,..., х„,...),
191

хя € А, что ряд ? л**? сходится по норме в алгебре А, гл. существу-
1
N
ет предел lim ? ***? € Л- Скалярное произведение зададим по
формуле
(х, к) - Z xftKj. A2)
Ряд, стоящий в правой части A2), сходится, поскольку в С'-алгебре А
выполнено неравенство
1?х*К*12 < ISxkxJI В
к к к
Действительно, без ограничения общности можно считать, что С*-алгебраЛ
изометрична подалгебре в алгебре В'{Н) ограниченных операторов неко-
некоторого гильбертова пространства Н. Тогда для произвольных векторов
I.tjG //получаем
К( Г ХкУкК.П)\2 - I 2 №.*кП)\2 <
k=N k=N
S K*Ki»fc{)«"?
? JII ИИ2 I ?
Подставляя t? =( ? xfcy? M в предыдущее неравенство, получаем
N' "=N N-
|( 2 xkyi)$P < I'S Ц | ? *| цр
или
к ? хлКгI2 < i s к*кг» i ?
что и требовалось доказать.
Пространство h И) содержит убывающую систему подпространств
[/г Й)]„ ~ (xrxi = х2 = . . . = хл = 0). Ограниченный Д-линейный опе-
оператор К: 1г{А) ->/2 И) назовем А -компактным, если
Mm li К 1[/2И)]„ II = 0. A4)
л-юо
Ограниченный 4-линейный оператор F:/2 И) -*/2И) назовем А-фред-
гольмовым, если существует такой Л -линейный ограниченный оператор
G: /2 И) ~*/2 И), что операторы F6 — 1 и GF — 1 являются /4-компакт-
/4-компактны ми.
Определения оправдываются следующими утверждениями:
192

1°. Любой конечнопорожденный проективный А -модуль допускает
структуру гильбертова 4-модуля.
2°. Пусть ? — векторное А-расслоение над компактным многообрази-
многообразием X, слоем которого является некоторый конечнопорожденный проектив-
проективный А -модуль. Тогда пополнение Н'(%) пространства сечений Г(?) по
*-й Соболевской норме является гильбертовым модулем, изоморфным
прямому слагаемому в 12 И).
3°. Если а (О)- — псевдодифференциальный 4-оператор порядка т,
действующий из пространства сечений Г (? i) в пространство сечений Г (?2),
то он продолжается до ограниченного оператора в Соболевских простран-
пространствах:
a[DY. W*<S,)"-«*-
4°. Вложение
является А -компактным оператором.
5°. Эллиптический псевдодифференциальный оператор порядка /л:
, a(D):
является А -фредгольмовым.
6°. Пусть Ни Н2 - два экземпляра гильбертова /4-модуля /2 {A), F:
Н\ -*¦ Н2 — /4-фредгольмов оператор. Тогда существуют такие разложе-
разложения Нх = \/Хй ® Ум, Нг = VtQ ® V2\, что V^io, Vj0 - конечнопорожден-
ные проективные модули, а оператор F имеет следующий матричный вид:
Я'
причем оператор F(: »/i i -»• V21 является изоморфизмом. Элемент index F =
- Wiol - [^joI G/СоИ) не зависит от способа разложения пространств
W, и //г • Индекс оператора F не зависит от гомотопии оператора F и
от добавления А -компактного слагаемого.
7°. Если a{D) - эллиптический псевдодифференциальный оператор"
на компактном многообразии X, то
indexo(D) =р.([о]>ек0и)®а,
где р: X-*pt — отображение многообразия X в точку, а
^ К0{А)
— прямой образ в КА -теории. -
Доказательства утверждений 1° - 7° вполне аналогичны доказательствам
утверждений для классических псевдодифференциальных операторов,
и мы их опускаем.
§ 4. Фредгольмовы представления дискретных групп
Пусть р: 6 -*А - представление группы 6 в С'-алгебре А. Тогда группа вир-
виртуальных представлений /7F; А) естественно отображается в АС-группу
векторных -4-расслоений над классифицирующим пространством:
Ь: R[G;A) -4. KA{BG). A)
Если взять в качестве С'-алгебры А алгебру всех ограниченных операторов
В[Н) гильбертова пространства Н. то получим неинтересный вариант гомо-
193

морфизма из группы бесконечномерных представлений группы G в группу
бесконечномерных векторных расслоений над пространством BG. Неинте-
ресность этого варианта связана с тем, что любое бесконечномерное вектор-
векторное расслоение тривиально.
Однако мы можем рассматривать так называемые "относительные"
представления группы G, связанные с ¦ гомоморфизмом С*-алгебр <р:
Скажем, что нам задано относительное представление рЕ R(G; ip), если
задана тройка {pt,Frp2), гдерь рг: 6 -*Ai - два представления группы
6 в алгебре А\. a F осуществляет изоморфизм представлений <рр\ и <ррг
группы 6 в алгебре Аг- Другими словами, F — это такой обратимый эле-
элемент алгебры Аг, что
Я EG. B)
Каждое представление pi и р% определяет векторное А\-расслоение над
классифицирующим пространством В G. Обозначим эти расслоения через
It = b(pt) и %г =Ь{рг). Ассоциированные с расслоениями |t и|2 вектор-
векторные Аг -расслоения
\\ ® Аг. %г ® Аг
уже изоморфны:
blF): {i® Аг ¦* f, ®42.
Тройка i%i,b{F), %г), очевидно, определяет элемент относительных
/f-групп пространства BG:
Например, пусть ip: В (Н) -> В (W) /ЛГ(/У) - естественная проекция ал-
алгебры ограниченных операторов в алгебру Калкина В (Н) I9RH), являю-
являющуюся факторалгеброй алгебры В (Н) по идеалу компактных операторов.
Поскольку расслоения d и?2 тривиальны, то изоморфизм b{F) порождает
непрерывное семейство фредгольмовых операторов Fx, x E BG, а значит,
и элемент группы К (В G).
Таким образом, получается гомоморфизм
Ь; Я[в.& ¦* K{UG). C)
Относительные представления для проекции алгебр >р: В {Н)-*В{Н)/Ж(Н)
называются фредгольмовыми представлениями группы G.
Поскольку группа K(BG) уже нетривиальна, гомоморфизм C) может
представить новые нетривиальные элементы в группе K(BG). Обычные ко-
конечномерные представления группы можно считать частным случаем фред-
фредгольмовых представлений. В самом деле, если условие B) заменить на бо-
более сильное требование
для некоторого фредгольмова оператора F, то представления Pi и р2 будут
индуцировать два конечномерных представления в ядре Ker F и коядре
Coker F. Очевидно, что
b(KerF)-b{CokerF)=b{p1.F,p1)eK(BG). '
Рассмотрим, например, дискретную группу 6 = Z". Мы ранее показали,
что для любого конечномерного представления р группы G расслоение Ь(р)
194

тривиально. Таким образом, гомоморфизм
Ь: R{G) -* K{BG)
отображает группу виртуальных конечномерных представлений в группу
Z, порожденную тривиальными расслоениями. Если же увеличить группу
представлений, добавив .фредгольмовы представления, то гомоморфизм
C) станет эпиморфизмом. Более того, пусть 6 - такая дискретная группа,
что пространство В б является гладким многообразием, допускающим
риманову метрику неположительной кривизны. Тогда справедлива
следующая
Теорема. Гомоморфизм
Ь: R{G,*p) -> K(BG)
для указанного класса дискретных групп является эпиморфизмом.
Коммутативные группы 6 = Z " попадают в класс групп, описанных в
теореме, поскольку многообразие В6 в случае G = Z" является "-мерным^
тором и допускает плоскую риманову метрику. (См. Мищенко [1] -
[3], Мищенко и Соловьев [1], Соловьев [1].)
§5. Заключение
Применения векторных расслоений не исчерпываются приведенными при-
мерами в предыдущих параграфах. Приведем еще несколько замечательных
примеров использования векторных расслоений.
1. Послойная гомотопическая эквивалентность векторных расслоений.
С каждым векторным расслоением ? над базой X будем связывать расслое-
расслоение S(g), образованное всеми векторами тотального пространства расслое-
расслоения % единичной длины. Два расслоения ? и т? называются послойно гомо-
топически эквивалентными, если существуют такие послойные
отображения
f: S(?)^S(tj), g:
что две композиции
gf: S(?)->-SU), fg:
послойно гомотопны тождественным отображениям.
Приведенное определение оправдывается следующей теоремой (А т ь я
МП.
Теорема 1. Если f:X-*Y— гомотопическая эквивалентность гладких
замкнутых компактных многообразий, v (X), v (Y) — нормальные расслое-
расслоения {одинаковой размерности), то расслоения v{X) и f*(v(Y)) послойно
гомотопически эквивалентны.
В частности, теорема 1 важна для классификации гладких структур дан-
данного гомотопического типа гладкого многообразия. Классы послойно гомо-
гомотопически эквивалентных расслоений образуют группу J {X), являющуюся
факторгруппой группы К {X). Задача описания группы. J (X) или, точнее,
ядра проекции К(Х) -*¦ J {X) может быть решена с помощью когомологи-
когомологических операций Адамса Afk. Это описание сводится к следующему утверж-
утверждению, известному под названием гипотезы Адамса. Пусть f (k) € Z,
f(k) > 0 - произвольная целочисленная функция целочисленного аргумен-
аргумента к. Обозначим через Wf(X) С К [X) подгруппу, порожденную элементами
вида
195

и пусть
Теорема 2 (К в иллен [1], Сулливан [1]). Имеет место
равенство
J{X) = К(Х)/ЩХ).
В частности, группы J (X) конечны.
Таким образом, группы J (X) целиком описываются в терминах /С-тео-
рии и операций Адамса Ф* в ней,
2. Погружения многообразий. Пусть f: Х-»- Y- погружение компактного
многообразия X в компактное многообразие У. Тогда, очевидно, нормаль-
нормальное расслоение v(X-*Y) имеет размерность
dim и{Х ¦* Y) = dim У - dim X.
Значит, некоторые характеристические классы нормального расслоения
обязаны обращаться в нуль. На этом основаны различные критерии невло-
жимости и непогружаемости одного многообразия в другое. .
Например, при п - 2Г вещественное проективное пространство HP"
нельзя погрузить в евклидово пространство R2"-2, поскольку у нормаль-
нормального расслоения »(НРп) к многообразию R/>" характеристический класс
Штифеля - Уитни Wn-X (v {RPn)) не равен нулю. Значит, расслоение
v(RPn) не может иметь размерность, равную л — 2. Пусть v (X) — нормаль-
нормальное расслоение к компактному многообразию X. Расслоение v {X), вообще
говоря, нетривиально, а его размерность зависит от размерности евклидова
пространства RN, в которое вложено многообразие X. Разложим расслоение
p(JO в сумму:
n. A)
где п — некоторое тривиальное расслоение. Пусть
k = min dim vo{X)
по всем разложениям A). Число к назовем геометрической размерностью
нормального расслоения и {X). Очевидно, что многообразие X нельзя вло-
вложить в евклидово пространство R" * k~1, n= dimX.
3. Двойственность Пуанкаре в if-теории. Конструкция прямого образа в
/С-теории может быть интерпретирована точно так же, как и прямой образ
в классических когомологиях, с помощью двойственности Пуанкаре. На-
Напомним, что если f: Xt -*-X2 - гладкое отображение ориентированных ком-
компактных многообразий, то прямой образ в классических когомологиях
f.: «*(X,)^«*(X2) C)
можно определить как композицию
W*(X.) ¦¦ //,(*,) -> Н.(Х2) ¦* Н*{Х2), D)
где?>,-: Нк (X/) ->//«,_* (X;),dimX<= n,, -двойственность Пуанкаре, осу-
осуществляющая изоморфизм между группами когомологий и группами гомо-
гомологии ориентированного многообразия X;.
Аналогичную конструкцию можно реализовать и в /С-теории.
Прежде всего необходимо построить группы гомологии, дуальные к
/("-группам. Естественно было бы через /С, (X) обозначить группу
196

Нот (/С* (X), Z). Однако в этом случае нарушается точность гомологиче-
гомологической последовательности пары. Определение групп гомологии для АГ-теории
имеет следующий вид. Рассмотрим естественное преобразование
а: /f'(XX Y)-*K*(Y), - E)
удовлетворяющее условиям:
(а) гомоморфизм а является гомоморфизмом К * (У) -модулей;
(б) если f: Y\ -*¦ Y2 - непрерывное отображение, то коммутативна сле-
следующая диаграмма:
<|»«* к* F)
к*
Определение. Z2-градуированная группе всех преобразований
C), удовлетворяющих условиям (а) и (б), называется группой гомологии
в К-теории и обозначается через
ЕслиХ—одноточечное пространство,то всякий класс гомологии E) яв-
является естественным гомоморфизмом модулей: а: К* (У) -*¦/(* (У). В част-
частности, если У — тоже одноточечное пространство, то К0 {У) = Z и а (л) =
= оA)п, аA) € Z. Значит, и для произвольного пространства имеем
а(х) = а A) х, а A) € Z. Следовательно,
Для пары (Х,Х0) •'определим относительную группу гомологии
/С, (ХХ0) как группу естественных преобразований
а: К*(ХХ У,Х0Х У)-»/С*(У),
удовлетворяющих условиям, аналогичным условиям (а) и (б).
Теорема 2. Последовательность
...¦*Ki(X0) ¦* Kt(X) -^ ЫХ.Хо) i Kf.iiXo) - ... G)
точна для любой клеточной пары (Х, Хо)-
Теорема 2 показывает, что группы /f, (X) образуют Z2-градуированную
теорию гомологии.
Т е о р е м а ,3. Пусть X— почти комплексное многообразие. Тогда име-
имеется изоморфизм
D: К'С(Х) _¦* К.(Х).
Если через [X] обозначить класЬ ОA) Е /С, (X) для компактного много-
многообразия X, го будет выполнена формула
(8)
где через < а, х > обозначено значение класса гомологии на элементе хпри
гомоморфизме E): ¦
a:
Замечательным наблюдением А т ь я [2] является обнаружение того
факта, что всякий эллиптический псевдодифференциальный оператор
197

o{D) задает вполне определенный класс гомологии в К-теорий, двойствен-
двойственный элементу [ о] € Кс (Т*Х). Этот класс гомологии определяется следую-
следующим образом. Пусть т? - произвольное векторное расслоение над декарто-
декартовым произведением X X Y, а оператор a (D) действует в сечениях расслое-
расслоений ?,, \г, о @): Г (|i) -* Г (Ы. Тогда определим семейство эллиптиче-
эллиптических операторов
индекс которого является элементом K{Y). Очевидно, получаем естествен-
естественное преобразование
index: К(ХХ Y)-*K(Y), ПО)
которое и задает класс гомологии.
Пространство сечений Г (? » tj) тензорного произведения двух расслое-
расслоений % и г? над базой X является модулем над алгеброй С {X) непрерывных
функций и изоморфно тензорному произведению модулей:
Для соболевских пополнений получаем аналогичные равенства
Оператор (9) определяется однозначно с точностью до компактного слагае-
слагаемого, поскольку оператор о(?>) коммутирует с операцией умножения на
функцию f{x) ? C{X) с точностью до компактного слагаемого.'
Значит, можно расширить понятие эллиптического оператора. Будем
рассматривать произвольный фредгольмов оператор
F: Н^Н. A1)
коммутирующий с некоторым действием р алгебры С(Х) с точностью до
компактных слагаемых. Всякий оператор вида A1) задает класс [F,p] €
€ К0(Х) по формуле A0). Если f: Xt -^-гладкое отображение компакт-
компактного многообразия Х\ в многообразие Х2,то по действию р, алгебры С(Х\)
в гильбертовом пространстве Н строится действие р2 алгебры С[Х2) посред-
посредством формулы р2 (<р) = Pi (^ ° /). Тогда имеет место формула
fMF.Pi])=[F.p2]. . A2)
Формула A2) в некоторой степени объясняет, почему в формуле Атья —
Зингера возникает прямой образ в /С-теории.
4. Исторические замечания. Изучение расслоенных пространств восходит
еще к Пуанкаре, к изучению накрытий как примеров нетривиальных рас-
расслоений. Первоначально расслоенные пространства (косые произведения)
возникли в связи с изучением гладких многообразий, для которых были
определены характеристические классы, надолго определившие основные
методы изучения расслоений. Характеристические классы Штифеля -
Уитни были определены Штифелем [1] и Уитни [1] в 1935 году
для касательных расслоений гладкого многообразия. В дальнейшем
Уитни [2] рассмотрел уже произвольные расслоения со сферическим
слоем. Это были характеристические классы расслоений по модулю 2.
Целочисленные же характеристические классы были построены
Понтрягиным A ] • Им же была установлена классификационная тео-
теорема для общих расслоений со структурной группой О (л), SO (о) путем
построения универсального расслоения над универсальной базой в виде
грассманова многообразия.
198

Для комплексных расслоений характеристические классы были
построены Ч жен ем [1].
Указанные работы положили начало регулярному исследованию рас-
расслоенных пространств. Этот период хорошо отражен в книге Стинрода
[1].
Поворотным моментом в развитии теории расслоенных пространств
было применение открытого Лере аппарата спектральных последовательно-
последовательностей к вычислению групп гомологии расслоенных пространств. Вторым
важным моментом является открытие Bottom [1] периодичности в
гомотопических группах унитарной и ортогональной групп.
С этого момента векторные расслоения занимают важное место в теории
расслоений, поскольку с их помощью были построены нетривиальные тео-
теории когомологий. Именно благодаря периодичности Ботта конструкция
Гротендика АС-групп приобрела такое значение, что оказала обратное влия-
влияние на развитие алгебраической /С-теории.
Этот период наиболее богат результатами, демонстрирующими силу ме-
методов /С-теории: была решена проблема векторных полей на сферах, вы-
вычислен ./-функтор, дана гомотопическая характеристика представлений
компактных групп. Этот период связан с такими именами, как Адаме,
Атья, Ботт, Хирцебрух, Борель, Годеман, Милнор, Новиков.
Наиболее ярким примером применения /С-теории является формула
Атья-Зингера [1] для индекса эллиптического оператора. Теория
эллиптических операторов породила новую волну работ по применению
/С-теории к различным задачам.
Современная литература, посвященная применениям теории векторных
расслоений, очень обширна, и у нас нет возможности дать ее обзор.

ДОПОЛНЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
В теории векторных расслоений используются алгебраические понятия двух
типов — из линейной алгебры и из гомологической алгебры. Это дополнение
является не систематическим изложением, а скорее напоминанием некото-
некоторых фактов, в большинстве своем известных читателям. ¦
Пусть А — некоторое ассоциативное кольцо с единицей. Абелева груп-
группа М называется А-модулем, если задано линейное действие кольца А на
группе М в виде линейных преобразований, т.е. задан гомоморфизм
А -*¦ End (М) кольца А в кольцо линейных преобразований группы М.
Вместо кольца А можно задаться также некоторой группой 6 и ее гомо-
гомоморфизмом G -*¦ Aut (M\r в группу обратимых линейных преобразований
группы М. В этом случае говорят, что М является G-модулем.
В частном случае, когда А есть поле вещественных чисел, /4-модули М
суть не что иное, как вещественные векторные пространства. Если А есть
поле С комплексных чисел, то Д-модуль М есть комплексное векторное
пространство. В случае же, когда А есть тело кватернионов К, получаем
симплектическое векторное пространство.
Рассматривают также такие кольца А, которые являются векторными
пространствами и структуры кольца и векторного пространства согласова-
согласованы. В этом случае А называется алгеброй (над некоторым полем).
В векторном пространстве М рассматривают дополнительные структуры.
Одна из них — это структура нормированного пространства. Нормирован-
Нормированное пространство называется полным (или банаховым) пространством,
если из lim Цх„ - хт || = 0 вытекает, что существует Mm х„, т.е.
л, т -* оо л-»~
существует такой элемент *ь. что lim IIх„ _ х© II = 0. Если норма бана-
Л -* во
хова пространства порождается некоторым скалярным произведением
(со значением в поле вещественных и комплексных чисел), то Мназывают
гильбертовым пространством. Если банахово пространство А является
алгеброй, причем для операции умножения выполнено неравенство
||ху||< 11*4111 У II, то алгебра А называется банаховой алгеброй. Например,
если Н — гильбертово пространство (над полем комплексных чисел), то
алгебра В(Н) всех ограниченных линейных операторов является банаховой
алгеброй. Норма в банаховой алгебре В{Н) задается формулой
11*11
В этой алгебре имеется еще одна операция - инволюция х -* х *. Инволю-
Инволюция * является линейной антикомплексной операцией, т.е.
(х + у)* =х* + у\ (Хх)* = Хх'( (х*)*=х,
200

причем выполнены свойства
Если вышеуказанные условия на инволюцию выполнены для абстрактной
банаховой алгебры А, то говорят, что А является С*-влгеброй. Класс
С'-алгебр удобен потому, что каждая С*-алгебра изоморфна некоторой
подалгебре алгебры В (Н) ограниченных линейных операторов, причем
изоморфизм сохраняет норму. Поэтому для С*-алгебр справедливы мно-
многие свойства и конструкции, которые имеют место для ограниченных
операторов.
Спектром элемента а € А называется множество Sp(a) таких ком-
комплексных чисел *, для которых элементе —г е А необратим. Если у —
замкнутая кривая, охватывающая спектр Sp (e), a/(;)- некоторая анали-
аналитическая функция, то интеграл
y A)
определяет на алгебре А функциональное исчисление. Значение интеграла
A) не зависит от выбора кривой у в классе гомотопных кривых. Следова-
Следовательно, значение интеграла A) зависит от значения функции f только в
окрестности спектра Sp W). Далее, если заданы две аналитические функции
f(z) »g(z) иЛ(г) = f(z)g{z).io
B)
Если же/(г) -=z, то
f{a) —f (в - z)-lzdz -«. C)
2тт/ у
Таким образом, формула A) дает естественное значение для функции
f (а) в случае, когда f (г) есть многочлен, что следует из формул B) и
C). С другой стороны, если спектр Sp(a) имеет две компоненты связности,
то, полагая f (z) = 1 на одной компоненте и в ее окрестности и f {z) = 0
в окрестности остатка спектра, мы получаем, что элемент f (а) € А являет-
является проектором, т.е. (f (а))г = 1 (а). Этот проектор можно назвать проек-
проектором относительно компоненты спектра Sp(a). В случае, когда А -
алгебра матриц л-го порядка, спектр любого элемента а состоит из конеч-
конечного числа точек, а проектор относительно точки спектра есть не что иное,
как проектор Р\ на соответствующее корневое подпространство матрицы
а. Очевидно, что проектор Р\ перестановочен с элементом а. Проекторы
Рх разлагают векторное пространство в прямую сумму корневых под-
подпространств, относительно которого матрица а является диагональной.
Разложение оператора а в блочно диагональный вид с помощью проекто-
проекторов относительно связных компонент спектра Sp(e) связано с функцией
а (г) = а — г, z e С1. Рассмотрим более общую задачу: пусть задана линей-
линейная функция а{г) -a +zb, a, b .€ А, г€ С1. Множество точек z e С1, для
которых элемент а (г) необратим, обозначим через Sp(a,6). Множество
Sp(a, b) замкнуто, но, вообще говоря, неограничено.
Теорема 1. Пусть А С В (Н) — С*-алгебра ограниченных операторов
в гильбертовом пространстве, a{z) ¦ а + zb.. а, Ь € A, z € С, и пусть при
\\г\\= 1 элемент а (г) обратим. Тогда существуют такие проекторы
Ро,Р\ € А, что Ро a(z) = a (z)px для любого г € С1. Оператор a{z) в раз-
разложении гильбертова пространства Н = Ht © Нг проекторами Ро и Pi
201

имеет блочный вид
II «,(*) О
II О аг(г)
al[z)=at+zbl, a2(z)
При этом функция в] (г) обратима при \z\< 1, функция аг (ж) обратима
приМ\>\. 1-а?
Рассмотрим конформное преобразование единичного круга w= • ¦ ,
* — в
где а > 1 — такое вещественное число, что «Ы — обратимый элемент.
Тогда проекторы Ро и Pi можно задать формулами
-Л" '§ оа(ж)а(г)-\. D)
2/
Конечнопорожденный модуль Af над алгеброй А называется проектив-
проективным, если он является прямым слагаемым в свободном /4-модуле А" =
= А ф ... е А Тогда существует такой проектор
Р:Ап-*Ап, />€EndW,n), А2 =Р,
что /If = Im /> - образ проектора Р. Спектр любого проектора состоит из
не более чем двух точек @, 1}. Если С € End (A,n) - обратимый элемент,
то, очевидно, сопряженные проекторы Р и Р'= С4 Я С определяют изо-
изоморфные проективные /4-модули. Если А - С'алгебра, то достаточно близ-
близкие проекторы PwP1 сопряжены, т.е. Р' ¦ С4 />С
Комплексом А-модулей называется такая последовательность модулей
М„, ле Z, и гомоморфизмов с/„: М„ -*MM+i, что dn+ldn = 0. Это значит,
что Im dn С Кег </„+1. Если Im dn = Ker dn +1, то говорят, что комплекс
/4-модулей ацикличен (или что последовательность точна).
Лемма (о пяти изоморфизмах). Пусть задан гомоморфизм ациклич-
ацикличных комплексов
Ai—""Aj—»-Aj—*"А4—*"A
k k I?» k I
Если гомоморфизмы <fi x, <р j, <р 4, f s являются изоморфизмами, то и гомо-
гомоморфизм <р3 тоже является изоморфизмом.
Модуль Af называется градуированным А-модулем, если задано разложе-
разложение модуля Af в прямую сумму Af= ©Afn. Индекс п пробегает при этом мно-
л
жество всех целых чисел Z. Слагаемые М„ называются однородными компо-
компонентами модуля Af. Гомоморфизм <р: М-+N градуированных /4-модулей на-
называется однородным, если существует такое число к, что <р Ш„) CNa + k.
В этом случае пишут deg^ = к. Если индекс п пробегает группу Z © Z, то
говорят, что модуль Мбиградуирован. Соответственно, степень однородно-
однородного гомоморфизма <р является парой целых чисел deg <р € Z © Z и называет-
называется бистепенью.
Вообще, если индекс п есть элемент абелевой группы 6. то говорят, что
на модуле Af задана G-градуировка. В нашем случае в качестве группы 6
будут встречаться группы Z, Z ©Z, Z2.
202 -

Комплекс /4-модулей с точки зрения градуированных модулей есть не
что иное, как Z-градуированный модуль М- ® М„, на котором задан одно-
л
родный гомоморфизм d: М-* Мстепени 1, degd = 1, причем d\Mn = dn.
Тогда гомоморфизм d удовлетворяет условию
d2*0. E)
Гомоморфизм d, удовлетворяющий условию E), называют дифференциа-
дифференциалом. Ясно, что Im d С Ker d. Поскольку d — однородный гомоморфизм, то
модули Ker d и Im d являются градуированными, а вложение ImdCKer d
однородно степени нуль. Следовательно, фактормодуль
H{M,d) = Kerd/\md F)
является градуированным модулем и называется модулем гомологии
комплекса [M,d).
Пусть V - векторное пространство размерности п над некоторым полем.
Через Ak{V) обозначим Ar-ю внешнюю степень пространства V. Простран-
Пространство Л* (У) можно понимать как факторпространство тензорной степени
Vk = V ®... ® V {к раз) по соотношениям, определяемым элементами
>, 9 V2 9 ... 9 Vk) - (—1)CT(Voa) в VaB) 9 ... ® Va(k)),
где а— некоторая перестановка целых чисел A,2,..., к), а (—1)° равна 1
при четной перестановке а и — 1 при нечетной перестановке о.
Тогда, если {е,, ..., е„} — базис в пространстве V, то в пространстве
\к {V) базис задается элементами вида
где 0</'i </2 < ...< ik ^ п— произвольный набор индексов, а знак Л обо-
обозначает образ операции тензорного умножения элементов в пространстве
\kiV).
Операция тензорного умножения индуцирует операцию Л внешнего
умножения в прямой сумме
превращая пространство A(V) в косокоммутативную градуированную ал-
алгебру. Алгебра A(V) называется внешней алгеброй или алгеброй топологи-
топологических многочленов от переменных нечетной степени над полем вещест-
вещественных или комплексных чисел. Все эти конструкции можно обобщить на
случай свободного модуля V = Z © ... е Z над кольцом Z целых чисел.
В общем случае алгебра топологических многочленов имеет вид
ZK uk]9 A(Vl,...,vs),
где щ, ..., ик — образующие четной степени, а vx, .... vs - образующие
нечетной степени.
Если V = Vi m V2. то имеет место разложение
Л(У) = Л(У,)® A(V2),
т.е.
203

Фиксируем элемент >„ € V, dim V = п > 0. Рассмотрим комплекс
пространств
</„ <1> dk..\ dk
0-Л„(У) - Л, (У) - ... > Ak(V) -* ... -* Л,,{\/)-0, G)
где
yAx0, ye\k{V). (8)
Теорема 2. Комплекс G) rovew тогда и только тогда, когда х„ Ф 0.
Доказательство. Если х0 = 0, то согласно (8) имеем dk - 0, т.е.
комплекс G) неточен. Если х„ Ф 0, то без ограничения общности можно
считать, что элемент х() равен элементу е, некоторого базиса {et, ...,en).
Пусть/€ЛЛ(\/),
К= 2 /,-,...,-ке,,л-л% =
о < /, <...< ifc < »
? К1|,.../к*|Л«/,л...л»|Л +
1 < г2 < ... < ik < я
+ 2 Ю,.../кв|1Л...Л»,к. (9)
1 < /, < ... < 1Л <: п
Тогда
, К !,<...< ik < п
Поэтому, если у Ле} = 0, то к,^ ,г.../ = 0 при i\ > 1. Значит,
У= 2 Ки2...*Лв,Л в,,Л ...Лв, -
1 < /2 < ... < ik < п
- е, Л г=(-1) *"'г Л в,,
т.е. у € Im rf. Следовательно, Im rf= Ker d, т.е. комплекс G) точен. Теоре-
Теорема 2 доказана.
Одно и то же векторное пространство может являться модулем над раз-
различными полями R, G и телом К. Комплексную структуру в вещественном
векторном пространстве V удобно задавать в виде линейного вещественно-
вещественного оператора /: V -*V, /2 = — 1. Оператор / задает действие мнимой едини-
единицы в пространстве V, так что если X — Xi +/Х2 — комплексное число, а
х € V — вектор, то Хх = Xtx +Хг/х. Если et, ..., е„ — комплексный базис
пространства V, то векторы е,, ..., е„, /«,,..../е„ образуют вещественный
базис в пространстве V. Обратно, если векторы eit.... е„, 1еи .... 1е„ ли-
линейно независимы над полем R, то векторы е,,..., е„ линейно независи-
независимы над полем С.
Кватернионная структура в пространстве V задается двумя линейными
операторами / и J. причем должны выполняться условия /2 = J2 = — 1,
U + Л = 0. Можно считать, что J: V -* V - это такое отображение
комплексного пространства, которое удовлетворяет условию антиком-
антикомплексной линейности:
, Х€С,
./2 = -1.

ЛИТЕРАТУРА
Адшс (Adams J.F.)
1. Vector fields on spheres. — Ann. Math., 1962, 78, p. 603 — 632. [ Русский перевод:.
Адшс Дж.Ф. Векторные поля на сферах. — Математика (св. переводов), 1963, 7.
№ 6, с. 48-79.1
2. On the groups J(X), I. - Topology, 1963, 2, p. 181-195; II. - Topology, 1965, 3;
p. 137 -171; III. - Topology, 1965,3, p. 193-222. [ Русский перевод: Адшс Дж. Ф.'
О группах ЛХ), I. — Математика (сб. переводов), 1966, 10, N* 6, с 70-84; П. — Ма-
Математика (сб. переводов), 1967,11,№ 4. с. 42-69; III.— Математика (сб. переводов),
1968,12, *¦ 3, с. 3-97.J
Андерсон (Anderson D.W.)
1. The reat K-theory of classifying spaces. - Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1964, 51,
p. 634-636.
Ann (Atiyah M.F.)
1. Thorn complexes, -r Proc. London. Math. Soc. C), 1961, 11, p. 291 -31 a [ Русский
перевод: Атья М.Ф. Пространства Тома. — Математика (сб. переводов), 1966, 10,
N•5, с 48-69.1
2. Global theory of elliptic operators. — Proc. Intern. Conf. on Functional Analysis and
Related Topics (Tokyo 1969). Tokyo: Univ. Tokyo Press, 1970, p. 21-30.
3. Лекции no /f-теории. — M.: Мир, 1967.
4. Vector bundles and the Kunneth formula. - Topology, 1963,1, p. 245-248.
Атья и Ботт (Atiyah M.F., Bott R.)
1. On the periodicity theorem for complex vector bundles. - Acta Math., 1964, 112,
p. 229-247.
Апя и Зингер (Atiyah M.F., Singer I.M.)
1. The index Of elliptic operators on compact manifolds. — Bull. Amer. Math. Soc.,
1963, 69, p. 422-433. [Русский перевод: Атья М.Ф. и Зингер ИМ Индекс эллипти-
эллиптических операторов на компактных многообразиях. — Математика (сб. переводов),
1966.10, «Г* 3.
г-Индекс эллиптических операторов, I. - УМН, 1968, 23, № 5, с. 99-142; II. -
УМН, 1968, 23, Г 6, с. 135-149; III. - УМН, 1969,24. W I, с. 127-182.
Атья и Хирцебрух (Atiyah M.F., Hirzebruch F.)
. 1. Vector bundles and homogeneous spaces in differential geometry. — Amer. Math.
Soc. Proc. Symp. Pure Math., 1961, 3, p. 7-38. [Русский перевод: Атья/ЛФ. и Хирце-
Хирцебрух Ф. Векторные пучки и однородные пространства в дифференциальной геомет-
геометрии. - Математика (сб. переводов). 1962, в, № 2, с. 3-39.)
. Борепь и Хирцебрух (Borel A., Hirzebruch F.)
1. Characteristic classes and homogeneous spaces, I. - Amer. J.Math., 1958,80, p. 458-
538; II. - Amer. J.Math., 1959, 81, p. 315-382; III. - Amer. J. Math., 1960, 82, p. 491-
504.
Ботт (Bott R.)
1. The stable homotopy of the classical groups. - Ann. Math., 1959, 70, p. 313-337.
2. Lectures on КОС). - Cambridge (Mass): Harvard Univ., 1962. t Русский перевод:
Ботт Р. Лекции о К{Х). - Математика (сб. переводов), 1967, 11, N» 2, с. 32-57;
1967, U И" 3, с 3-36.1
Вуд (Wood R.)
1. Banach algebras and Bott periodicity.- Topology, 1966, 4, p. 371-389.
Годешшн! (Godement R.)
1. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.
Гротендик (Grothendieck А.)
1.< О некоторых вопросах гомологической алгебры. — М.: ИЛ, 1961.
Наруби (Karoubi M.)
1. K-theory. - Berlin: Springer, 1978. [Русский перевод: НарубиМ. ^-теория. -
М.: Мир, 1981.1
205

Каспаров ГГ. .
1. Обобщенный индекс эллиптических операторов. — Функц. анализ, 1973, 7, № 3,
с. 82-83.
Квиллен (Quillen D.)
1. Cohomology of groups. - Actes Congres internet. Math., 1970, t. 2, p. 47—51.
2. The Adams conjecture. - Topology, 1971,10, p. 67-80.
Кёйпвр (Kuipet N.H.)
1. The homotopy type of the unitary group of Hilbert spaces. - Topology, 1965, 3,
p. 19-30. (Русский перевод: Кёйпвр Н.Х. Гомотопический тип унитарной гоуппы
гильбертовых пространств. - В кн.: Атья М.Ф. Лекции по /С-теории. М.: Мир, 1967.]
Шпнор (MilnorJ.)
1. Construction of universal bundles, I. - Ann. Math., 1956, 63, p. 272 -284;ll. - Там
же, р. 430-436.
2. The theory of characteristic classes. - Princeton (N. J.), 1957. [Русский перевод:
Мил нор Дж. Теория характеристических классов. — Математика (сб. переводов),
1959, 3, № 4, р. 3-53, 9, N° 4, р. 3-40.]
Милнор и Сташвф (Milnor J., Stasheff J.D.)
1. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
Мищенко А. С
1.' Бесконечномерные представления дискретных групп и гомотопические ин-
инварианты неодносвязных многообразий. - УМН, 1973, 28, № 2, с. 239-240.
2. Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнатуры. —
ИАН СССР, сер. матам., 1974, 38. IP 1, с. 81-106.
3. О фредгольмовых представлениях дискретных групп. - Функц. анализ, 1975,
9. № 2, с. 229-256.
4. Теория эллиптических операторов над С -алгебрами. - ДАН СССР, 1978, 239,
№ 6, с 1289-1291.
Мищенко А. С и Соловьев Ю.П.
1. Представления банаховых алгебр и формулы типа Хирцебруха. — Матем. сб.,
1980,111, N° 9, с. 209-226.
Новиков СП. ,
1. О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их приме-
применениях. - ИАН СССР, cap. матем., 1966, 30, № 1, с. 71-96.
2. Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов /f-теории над коль-
кольцами с инволюцией с точки зрения гамильтонова формализма, I. - ИАН СССР, сер.
матем., 1970, 34, с. 253-288; II. -Там же, с. 475-500.
Пале (Palais R.)
1. Семинар по теореме Атьи—Зингера об индексе. - М.: Мир, 1970.
Понтрягин Л. С
1. Характеристические циклы дифференцируемых многообразий. — Матем. сб.,
1947, 21, с. 233-284.
2. Классификация некоторых косых произведений. — ДАН СССР, 1945, 47, № 5,
с 327-330.
Пуппе (Puppe О.)
1. Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. — Math. Z., 1958, 69, S. 299—
344.
Рохлин В.А.
1. Трехмерное многообразие — граница четырехмерного. — ДАН СССР, 1951, 81,
№ 3, с 355-357.
2. Новые результаты в теории четырехмерных многообразий. — ДАН СССР, 1952,
84, & 221-224.
Серр (Serre J.P.)
1. Homologie srnguliere desespaces fibres,— Ann. Math., 1951, 54, p. 425—505. [ Русский
перевод: СвррЖ.-П. Сингулярная гомология расслоенных пространств. — В кн.: Рас-
Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 9—114.]
Соловьев Ю.П.
1. Дискретные подгруппы, комплексы Брюа—Титса и гомотопическая инвариант-
инвариантность высших сигнатур. - УМН, 1976.91, N° 1, б. 261-262.
Спвньер (Spanier E.H.)
1. Algebraic Topology. — N.Y.; Sen Francisco; St. Louis; Toronto; London; Sydney:
Me Graw-Hill, 1966. (Русский перевод: Спвньер 3. Алгебраическая топология. -М.:
Мир, 1971.1
Стинрод (Steenrod N.F.)
1. Топология косых произведений. — М.: ИЛ, 1953.
2. Classification of sphere bundles. - Ann. Math., 1944, 45, p, 294-311.
Сулливан (Sullivan D.)
1. Геометрическая топология. - M.: Мир, 1975.
206

Уитни (Whitney H.)
1. Sphere «paces. - Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1935, 21, p. 462-468.
2. On the theory of sphere bundles. - Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1940, 26, p. 148-
153.
Хирцвбрух (Hirzebruch F.)
1. A Riemann—Roch theorem for differential manifolds. — Seminaire Bourbaki, 1959,
177.
2. Topological Methods in Algebraic Geometry. - Berlin, 1966. {Русский перевод:.
Хирцвбрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир,
1973.1
Хирш (Hirsch M.W.)
1. Immersions of manifolds. — Trans. Amer. Math. Soc., 1959, 93, p. 242—276.
Хьюзмопявр (Husemoller D.)
1. Расслоенные пространства. -М.: Мир, 1970.
Чжвнь (Chern S.S.)
1. On the multiplication in the characteristic ring of a sphere bundle. — Ann. Math.,
1948, 49, p. 362-372.
Ulu Вшпшу (Shin Weishu)
1. Fiber cobordism and the index of elliptic differential operators. — Bull. Amer. Math,
Soc., 1966. 72, №6. p. 984-991.
Шгифель (Stiefel E.)
1. Richtungsfelder und Fernparallelismus in Mannlgfaltigkeiten. - Comm. Math. Helv.,
1936,8, S. 3-51.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Калкина 187
Атлас 8,34
Векторное расслоение 19
— - бесконечномерное 19
вещественное 29
комплексное 29
—- конечномерное 19
симплектическое 120
— А-расслоение 185
— 6-расслоение 112
-/?-расслоение 114
Геометрическая размерность 196
Гипотеза Адамса 195
Главное расслоение 14 '
Гомоморфизм Ботта 98
— расслоений 24
¦ Дифференциал отображения 38 -
Замене структурной группы 14
Индекс фредгольмова оператора 160
Картав
Касательное пространство 36
— расслоение 11, 36
Класс Тодда 151
Классифицирующее пространство 62
Компактный оператор 160
Комплекс 202
Компяексификация 29
Комплексно сопряженное расслоение 30
Комплексное расслоение 29
Координатный гомеоморфизм 8,34
Локальная система координат 34
Локально тривиальное расслоение 7
Многообразие 34
— Граесмаиа 50
— Штифеля 50
Модуль Отградуированный 203
— градуированный 203
Надстройка 115
Накрывающее отображение 53
Нормальное расслоение 38
Овеществление 29
Ограничение расслоения 17
Оператор Хирцебруха 176
Операция Адамса 139
— внешней степени 23
Ориентированное расслоение 77
Остов 51
Относительное представление 194.
Периодичность Ботта 99
Подрасслоение 31
Послойная гомотопическая эквивалент-
эквивалентность 195
Препятствие 79
— первое 79
Принцип расщепления 137
Проекция 7
Прообраз расслоения 17
' Прямая сумма векторных расслоений 21
Разностная конструкция 96
Расслоение Хопфа 48 .
Расслоенное пространство 7
Род Тодда 162
Сечение 16
Скалярное произведение в расслоении 25
Слой расслоения 7 .
Соединение 63
Сопряженное расслоение 23
Структурная группа 12.13
Тензорное произведение 21
Тотальное пространство расслоения 7
Точная гомотопическая последователь-
последовательность 53
— последовательность 85
Точный комплекс 92
Универсальное главное расслоение 62
Фредголммм» комплекс 165
— оператор 160
Фредгпльмоао представление 194
Функция склейки (перехода) 8,34
Характер Черна 81 ¦
Характеристический класс 66
-г — Поитрягина 77
->-Чженя74
Штифеля—Уитни 77
Эквивалентные расслоекия13
Эквивалентное отображение 111
Эллиптический комплекс 160
— оператор 160