Текст
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МОСКВА —1965 г.
Н.С.АРЖАНИКОВ, Г.С.САДЕКОВА
А
I
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования
СССР в качестве учебника для
студентов авиационных вузов
и факультетов
Книга написана в соответствии с
утвержденной программой курса аэродинамики для
авиационных вузов и факультетов.
В работе изложены основы аэродинамики
больших скоростей. Рассмотрены дозвуковые,
сверхзвуковые и гиперзвуковые течения, методы
определения аэродинамических характеристик
профилей, крыльев конечного размаха и тел
вращения при этих скоростях потока. На
конкретных примерах показано изменение
параметров потока с учетом реальных свойств газа при
гиперзвуковых скоростях. Изложены основы
аэродинамики разреженных газов, теории
пограничного слоя и некоторые вопросы
аэродинамического нагрева тел и магнитной газодинамики.
Предисловие
Основой настоящей книги послужил курс лекций по
теоретической и прикладной газовой динамике, читаемый в Московском
ордена Ленина авиационном институте им. Серго Орджоникидзе.
В связи с огромным развитием ракетной и авиационной техники
за последние несколько лет в программу курса были внесены
коренные изменения, отражающие новейшие исследования в области
теоретической и экспериментальной аэродинамики при больших
скоростях (газодинамики).
Книга предназначена для студентов факультетов летательных
аппаратов, а также смежных специальностей. Одновременно она
может служить пособием для работников конструкторских бюро и
научно-исследовательских институтов.
Авторы выражают глубокую признательность и благодарность
рецензентам — зав. кафедрой аэродинамики МВТУ им. Баумана
доктору технических наук профессору Н. Ф. Краснову, доцентам
кафедры В. Н. Кошевому и А. Н. Данилову, а также доктору
технических наук профессору Г. Ф. Бураго — за ряд замечаний и
ценных советов при просмотре рукописи.
Всем товарищам, которые сделают какие-либо замечания или
укажут на отдельные недостатки, авторы будут весьма
признательны, так как в дальнейшем это поможет улучшению книги в случае
ее переиздания.
Введение
Аэродинамика — наука, изучающая законы движения
газов (воздуха), законы взаимодействия между воздушной средой
и движущимся в этой среде твердым телом. Определение сил и
моментов, действующих на твердое тело при его движении в
воздушной среде, — одна из основных задач аэродинамики.
Предположение, что скорости движения воздушных потоков,
а следовательно, и разности давления (плотности) в различных
точках потоков сравнительно невелики, позволяло считать в
классической аэродинамике плотность воздуха постоянной величиной
и применять к исследованию его движения обычные методы
гидромеханики, не учитывая эффекта сжимаемости воздуха.
Рассмотрение воздуха при малых скоростях как несжимаемой жидкости
приводит к тому, что в аэродинамике существует ряд законов, методов
и уравнений, общих с гидродинамикой, изучающей законы
движения несжимаемой жидкости.
Современная авиация, а тем более ракетная техника
характеризуются большими скоростями движения летательных
аппаратов. При течении воздуха с большими скоростями, соизмеримыми
со скоростью звука, необходимо учитывать изменение плотности
воздуха. В противном случае получаемые результаты могут не
только сильно отличаться от действительных, но и вовсе им не
соответствовать. Движение воздуха (газа) с большими скоростями
сопровождается также большими изменениями давления, что в свою-
очередь вызывает значительное изменение плотности и температуры.
Законы движения воздуха с большими скоростями, изучаемые
в газовой динамике, отличны от законов движения при небольших
скоростях
— 7 —
Газодинамика — раздел аэродинамики, в котором
изучаются законы движения газа (воздуха) при больших дозвуковых
или сверхзвуковых скоростях, законы взаимодействия между
воздушной средой и телом, движущимся в ней с большой дозвуковой
или сверхзвуковой скоростью.
Успехи, достигнутые в создании мощных ракетных двигателей,
позволили увеличить скорости полета летательного аппарата до
космических — первой космической скорости, равной примерно
8 км/сек, и второй космической скорости— 11,2 км/сек.
Запуск искусственного спутника Земли, осуществленный
впервые в СССР в 1957 г., открыл новую эру в освоении космического
пространства. Поэтому наряду с дальнейшим развитием
газодинамики умеренных сверхзвуковых скоростей возникла и начала
интенсивно развиваться аэродинамика больших сверхзвуковых
(гиперзвуковых) скоростей и больших высот (аэродинамика
разреженных газов).
В основе газовой динамики лежит известная гипотеза о нераз-
рывнрсти ил^^цмшшости_движущейся среды, пренебрегающая
межмолекулярными промежутками и молекулярными движениями
и позволяющая рассматривать непрерывные изменения основных
параметров газовой среды в пространстве и во времени.
В связи с проникновением современных летательных аппаратов
в верхние слои атмосферы, т. е. в область весьма разреженной среды,
гипотеза неразрывности перестаёт иметь место. Такую среду следует
рассматривать как дисконтинуум, состоящий из отдельных частиц.
Для изучения законов движения этой среды необходимо
привлекать методы молекулярной физики, что и составляет предмет
газодинамики разреженных газов.
При обтекании тел гиперзвуковым потоком температура
воздуха вблизи поверхности тела значительно повышается. При очень
больших значениях температуры (выше 6000° К) происходит
ионизация воздуха, в связи с чем он становится электропроводящим.
В этом ^случае, кроме газодинамических сил, необходимо учитывать
и электромагнитные силы, что становится особенно существенным
при высоких скоростях движения воздуха и является объектом
изучения нового раздела газодинамики — магнитогазоди-
н а м и к и.
В магнитогазодинамике комбинируются газодинамические и
электромагнитные уравнения, в которых появляются члены,
устанавливающие связь между газодинамическими и
электромагнитными явлениями. Магнитогазодинамика, краткому изложению основ
которой посвящена последняя глава настоящей книги, получила
развитие за последнее десятилетие в связи с решением проблем
астрофизики, космических полетов и термоядерных реакций.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГАЗОВОЙ
ДИНАМИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 1.1. Свойства газовой среды
В классической аэродинамике и в гидродинамике изучение
движения жидкости или движущихся в ней тел основано на
предположении, что жидкость является несжимаемой. Однако, приступая
к изучению свойств движения газов, приходится учитывать, что
плотность газов существенно изменяется с изменением скорости
и температуры. Таким образом, при исследовании течения газа
с большими скоростями или при больших температурных
градиентах в потоке следует изучать влияние сжимаемости, т. е. изменение
плотности.
Установлено, что изменение ^плотности, в результате как сжатия,
так и расширения газа сопровождается изменением температуры.
Это означает, что при исследовании движения газа следует
привлекать методы термодинамического анализа.
Истинное строение газа — молекулярное, т. е. газ состоит из
большого числа отдельных молекул, хаотически движущихся друг
относительно друга с большими скоростями. Однако при изучении
практических вопросов силового взаимодействия между газом и
находящимся в нем твердым телом, в чем и состоит основная задача
аэродинамики, можно рассматривать газ как сплошную среду,
в которой отсутствуют пустоты, межмолекулярные промежутки и
молекулярное движение. Это предположение называется
гипотезой непрерывности, или сплошности,
газовой среды.
Гипотеза сплошности крайне полезна, так как дает возможность
рассматривать кинематические и динамические элементы
движущегося газа (скорость, давление и др.) как непрерывные функции
некоторых аргументов (например, декартовых координат' х, у> z
— 9 —
и времени /), что позволяет использовать математический аппарат,
базирующийся на непрерывных функциях. Молекулярное строение
жидкостей и газов при этом учитывается косвенно через физические
свойства среды — плотность, вязкость, теплопроводность и т. д.
Гипотеза о сплошности жидкой среды не применима для сильно
разреженных газов, когда длина свободного пробега молекул
становится соизмеримой с линейными размерами обтекаемого тела.
При дозвуковых и умеренных сверхзвуковых скоростях воздух
можно рассматривать как совершенный газ с постоянными
удельными теплоемкостями. При гиперзвуковых скоростях,
сопровождаемых значительным повышением температуры, удельные
теплоемкости изменяются с изменением температуры и вследствие
диссоциации и ионизации. В этом случае законы совершенного газа
оказываются неприменимыми.
§ /. 2. Методы описания движения газа
Задача кинематического изучения движения газа заключается
в определении в каждой точке движущегося газа для любого
момента времени значений скорости. Зная величины скоростей,
можно найти распределение давления, а следовательно, и силы,
действующие в газе.
Движение газа можно изучать двумя способами: или методом
Эйлера, или методом Лагранжа.
В методе Эйлера фиксируется не частица газа, а точка
пространства с координатами х, уу z и исследуется изменение скорости
частиц в этой точке с течением времени. Таким образом, метод Эйлера
заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени t
и координат xt у, z точек пространства. Совокупность величин
xt у, z, t называют переменными Эйлера.
Следовательно, движение газа по методу Эйлера задается следующим образом:
A.1)
">r Предполагая движение газа непрерывным, будем считать
указанные функции однозначными, непрерывными и
дифференцируемыми функциями координат х, у, z и времени t. В таком
случае для нахождения траектории частиц газа следует в
уравнениях A.1) заменить vx, vy9 vz соответственно на -^, -? и -?
и интегрировать систему дифференциальных уравнений
— Ш —
A.2;
dz
После интегрирования получим уравнения
х=(рх{(, а, Ь, с)
у=Фа(Ла, Ь, с)
z=q>8(/, a, b, с
A.3)
содержащие три произвольные постоянные а, Ь, с, значения
которых определяются из начальных условий. Исключая из этих
уравнений время t, найдем уравнение траектории частиц газа.
При определении проекций ускорения газовых частиц в
переменных Эйлера
__ иих
х~~ dt '
dvv
Wy==ll'
следует учесть, что vx, vyi vg, на основании уравнений A.1),
являются функциями х, у, г, где х, у, z в свою очередь при
движении частиц газа зависят от t. Следовательно, используя
правило дифференцирования сложной функции, будем иметь
dvx
dt
dvx dx
dx dt
dvx
dt
dz dt
или, так как
dx
* ¦ dz
TO
OVX
f
dvv
dvy
dv?
dvx
dvy
dv2
~dz~
A.4)
— 11 —
Следует еще раз отметить, что когда берутся полные
производные A.4), то учитывается не только изменение времени t, но и
изменение в зависимости от времени координат х = x(f)> у = y(t),
z = z(t) частицы газа при ее движении по траектории. Эти
производные называются конвективными. Частные производные по
времени берутся, как обычно, при фиксированных значениях
координат х, у у г и называются локальными (местными)
производными.
Второй метод изучения движения газа, называемый методом
Лагранжа, в отличие от метода Эйлера рассматривает движение
индивидуальных частиц газа вдоль их траектории. Так как газовых
частиц бесчисленное множество, то следует как-то характеризовать
данную частицу. Это можно сделать, если в качестве
характеристики частицы выбрать ее координаты в начальный момент
времени t = 0. Пусть при t = 0 координаты данной частицы будут
а, Ь, с. Это означает, что из всей бесчисленной совокупности
траекторий данной частице будет принадлежать та, которая проходит
через точку а, 6, с. Таким образом, координаты рассматриваемой
частицы х, у, z будут зависеть от величин а, Ь, с и t, называемых
переменными Лагранжа, т. е.
Аг=ф!(/, а, 6, с)
у=Ф2(/, а, 6, с)
2=Ф8(*, а> ь> с)
A.5)
Эти уравнения представляют собой уравнения семейства
траекторий, заполняющих все пространство, занятое газом; а, Ь, с
являются параметрами, определяющими траекторию.
Таким образом, если в методе Эйлера траектории движения
частиц получаются путем интегрирования дифференциальных
уравнений A.2), то в методе Лагранжа они оказываются заданными
формулами A.5). Пользуясь уравнениями A.5), находим проекции
скорости и ускорения частиц:
__дх_
v*~ dt
v _dy
У dt
__ dz
/, а, 6, с)
dt
, a, b, c)
Wx~ dt* —
dt
d<p3 (t, a, 6, с)
di
d2cpj
(t, a.
dt2
(t, a,
dt2
•,(t, a,
by
Ьу
Ьу
c)
c)
c)
Ш*
. A.6)
В аэродинамике метод, Эйлера применяется чаще, так как он
более прост и дает возможность широко использовать хорошо
развитый раздел математики — векторный анализ. Этот метод и
используется в последующем изложении.
— 12 —
§1.3. Уравнение состояния газа
Обратимся к рассмотрению некоторых сведений из
классической термодинамики, которые необходимы для изучения свойств
газовых потоков. К их числу принадлежит прежде всего уравнение
состояния — одно из основных уравнений, используемых при
анализе газодинамических процессов.
Опыт показывает, что между основными параметрами,
характеризующими состояние газа (давлением, плотностью и
температурой), существует определенная зависимость. Уравнение f(p, p, T) =
= 0, устанавливающее связь между этими параметрами,
называется уравнением состояния. Поэтому состояние любого
газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и
температурой), так как третий параметр (давление) может быть
найден из уравнения состояния.
Если пренебречь молекулярным взаимодействием (силами
взаимного притяжения между молекулами) и суммарным объемом
молекул по сравнению с объемом газа, то уравнение состояния можно
представить в следующем виде:
P=gRpT, A.7)
где R — газовая постоянная, зависящая от природы газа.
Для воздуха R = 29,27 кГм/кГ -град. В Международной системе
единиц (СИ) R = 287,04 дж/кг-град, а уравнение состояния имеет
вид
p=RpT. A.7')
Если изменение состояния газа при принятых допущениях
подчиняется уравнению состояния A.7), то такой газ называется
совершенным, а уравнение — уравнением состояния совершенного
газа. Многочисленные эксперименты подтверждают справедливость
этой зависимости и для реальных газов в широком диапазоне
изменения давления и температуры.
Существенное отклонение свойств реального газа (воздуха) от
свойств совершенного газа наблюдается при высоких давлениях
и низких температурах. В этих случаях силами взаимодействия
между молекулами и собственным объемом молекул нельзя
пренебречь. Кроме того, при высокой температуре термодинамические
свойства воздуха могут существенно отличаться от свойств
совершенного газа с постоянной теплоемкостью.
При высоких температурах происходит диссоциация молекул
двухатомного и многоатомного газов. Одновременно с
диссоциацией происходит и образование новых молекул (ассоциация). В
смеси двухатомного и многоатомного газов могут образоваться моле-
- 13 —
кулы новых видов. Например, при высокой температуре в воздухе
могут иметь место следующие процессы:
jsj2_:±2N,
02^>20,
N2+O2^=±2NO.
При дальнейшем повышении температуры может возникнуть
явление ионизации газа. При диссоциации и ионизации происходит
поглощение энергии, изменяется состав и молекулярный вес
воздуха. Термодинамические свойства воздуха при этом зависят от
степени диссоциации и лонизации, и термодинамические
характеристики -ъё могут быть выражены простыми соотношениями.
• При решении задач для среды с диссоциацией или ионизацией
можно пользоваться соответствующими таблицами
термодинамических величин или диаграммами состояния. Кроме того,
исследованиями установлено, что при температуре до 12 000—14 000° К
и в интервале давлений от 0,001 до 1000 am кулоновским
взаимодействием заряженных частиц в ионизированном воздухе можно
пренебречь. Тогда следует пользоваться уравнением состояния
A.7), A.7'), учитывая, что газовая постоянная изменяется в
зависимости от температуры и, в меньшей мере, от давления.
В результате диссоциации и ионизации при высоких
температурах, вследствие увеличения числа частиц при неизменной массе
газа, молекулярный вес уменьшается, а j-азовая постоянная растет
в соответствии с равенством
где
Rm—универсальная газовая постоянная, равная
848 кГм/кГ-моль-град;
т — молекулярный вес.
Степень диссоциации и ионизации зависит также от давления.
При понижении давления эти процессы усиливаются. В результате
молекулярный вес уменьшается. Поэтому в общем случае
т = т(Т, р,), R = R(T, р).
В табл. 1.1 приведены значения R для воздуха при различных
температурах и давлениях.
Из таблицы следует, что газовая постоянная при повышении
температуры значительно возрастает. Например, при температуре
до 1000° К газовая постоянная равна 287,04 дж/кг-град, а при
температуре 10 000°К и давлении 1 am R = 583,6 дж/кг-град. При
дальнейшем повышении температуры газовая постоянная
возрастает еще больше, например: Т = 15 000° К, R = 871,3 дж/кг -град.
— 14 —
Таблица 1.1
т°к
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9 000
10 000
11000
12 000
13 000
14 000
15 000
16 000
17 000
18 000
19 000
20 000
р=
кГм/кГХ
хград
29,27
29,29
31,18
35,03
36,76
44,58
55,39
58,28
59,76
62,63
- 68,55
78,52
91,55
102,80
109,75
113,26
114,90
115,75
116,30
116,96
0,\ am
дж/кг 'град
287,04
287,24
305,77
343,53
360,49
437,18
543,19
571,53
586,04
614,19
672,24
770,02
779,88
1008,12
1076,28
1110,70
1126,78
1135,12
1140,51
1146,98
р=
кГм/кГх
хград
29,27
29,28
29,95
33,68
35,47
38,47
46,72
55,10
58,04
59,51
61,54
65,08
71,14
79,25
88,85
97,92
104,92
109,53
112,30
113,91
= 1 am
дж/кг • град
287,04
287,14
293,71
330,29
847,85
377,26
458,17
540,35
569,18
583,59
603,50
638,22
'697,64
777,18
871,32
960,27
1028,91
1074,12
1101,29
1117,08
р=10 am
кГм/кГх
хград
29,27
29,28
29,49
31,49
34,14
35,86
39,29
46,09
53,27
57,03
58,77
60,23
62,49
65,63
69,97
75,58
82,17
88,56
95,52
101,15
дою/кг •град
287,04
287,14
289,20
308,52
334,80
351,66
385,30
451,99
522,40
559,27
576,34
590,65
612,82
643,61
686,17
741,19
805,81
868,48
936,73
991,94
§1.4. Первый закон термодинамики
Пусть некоторое количество газа находится в равновесном
состоянии. Обозначим через dQ количество подведенного к газу извне
тепла. В результате подвода тепла газ перейдет из первоначального
равновесного состояния в другое. Подвод тепла dQ может привести
к изменению внутренней энергии газа dU. Кроме того, при
переходе от одного равновесного состояния в другое газ может
совершать внешнюю механическую работу dL.
Далее, при переходе из одного равновесного состояния в другое
газу в реальных условиях приходится затрачивать механическую
работу dLr на преодоление сил трения. В замкнутой системе эта
затраченная газом энергия возвращается в газ в виде тепла dQr>
эквивалентного работе dLr, т. е. dQr = AdLr, где А —
тепловой эквивалент работы, равный 1/427 кал!кем. В
Международной системе единиц (СИ) количество теплоты и работа выражаются
в джоулях. Поэтому А = 1. Это количество тепла называется
теплом диссипации, или рассеивания.
Таким образом, общее количество тепла dQr слагается из тепла,
подведенного к газу извне dQ, и из тепла диссипации dQn т. е.
A.8)
— 15 —
На основании закона сохранения энергии можно написать
следующее равенство:
dQ'=dU+dL+dLr, A.9)
или, обозначая dL+dLr=dL\ получим
dQ'=dU+dL', A.10)
где
dV — вся работа, совершенная газом, слагающаяся из внешней
работы dL и работы на преодоление сил трения dLr.
Суммарную работу dL' газа при его расширении в процессе
подвода тепла легко выразить через изменение его объема:
dL'=dL+dLr=pdV.
Тогда предыдущее уравнение можно написать в виде
dQ'=dU+pdV, A.11)
или, относя все величины к 1 кг массы газа, получим
dq' = de+pd(±y A.12)
где
dqf — суммарное тепло, подведенное к I кг массы газа извне
и вследствие диссипации;
de — изменение внутренней энергии 1 кг массы газа;
pdl—\—работа, затрачиваемая на расширение ( объем,
занимаемый 1 кг массы газа).
Уравнения A.10) — A.12) являются наиболее общим
математическим выражением первого закона термодинамики. Очевидно,
первый закон термодинамики является
частным случаем общего закона
сохранения энергии и выражает эквивалентность
тепловой и механической энергии.
Прежде чем перейти к рассмотрению второго закона
термодинамики, напомним несколько важных термодинамических понятий
и формул, которые можно получить, пользуясь уравнением
состояния и первым законом термодинамики.
§ /. 5. Теплоемкость
Рассмотрим некоторый произвольный термодинамический
процесс, в котором участвует 1 кг газа (рис. 1.1). Обозначим
температуру газа в точке А процесса через 7\ его температуру в смежной
— 16 —
точке а — через Т + Д7\ а количество тепла, подведенного извне
к газу на участке А а, — через A q.
Отношение -~^ называется средней удельной
теплоемкостью данного процесса, а предел, к которому стремится
средняя удельная теплоемкость при стремлении длины участка Аа
к нулю, — истинной удельной теплоемкостью,
или просто удельной теплоемкостью,
и обозначается
*=Й- AЛЗ)
\ "
\
А
в,
т
\
а
Aq
v T+A
Р= const
в,
т
6
Рис. 1.1. К определению
теплоемкости газа
Как видим, удельной
теплоемкостью называется
количество тепла,
необходимое для подогрева
1 /сггаза на один градус.
Удельная теплоемкость с
существенно зависит от характера процесса
(для процессов АВ, ABi и АВг на
рис. 1.1 теплоемкость с имеет
различные значения в одной и той же
точке). Рассмотрим теплоемкости,
соответствующие процессам,
происходящим при постоянном объеме и постоянном давлении (прямые
ABi и АВ% на рис. 1.1). Эти теплоемкости обозначаются через
cv и ср.
При постоянном объеме дифференциал dV = 0, и,
следовательно, на основании формулы A.12), dq = de, т. е. все тепло,
подводимое извне к газу в таком процессе, целиком тратится на увеличение
его внутренней энергии. Поэтому можно написать
г *L
(частная производная заменена полной, так как внутренняя
энергия газа есть функция только абсолютной температуры). Таким
образом,
de=cvdT, A.14)
или, пренебрегая зависимостью cv от температуры и имея в
виду, что при Т=0 величина е—0,
e=cvT. A.15)
Используя формулу A.14), уравнение A.12) можно записать
в следующем виде:
2 Зак. 801
— 17 —
Для процесса р^ const
или, используя уравнение A.12),
где
v — удельный объем, отнесенный к 1 кг массы газа,
равный —.
Р
Так как внутренняя энергия зависит только от
температуры, то
/ de_\ — ( EL\ —^L-
[dT)p=const~~ [dT)v=const~~ dT~Cv
енение удельного объема — при
пературы. Из уравнения состояния A.7'), следует
Найдем изменение удельного объема — при изменении
темдТ Jp=const Р
Подставляя полученные выражения в формулу A.17), будем
иметь
cp=cv+R,
или
cp-cv=R. A.18)
Формула A.18) показывает, что cp^>cv. Обозначая
cJL=k, A.19)
получим
В Международной системе единиц (СИ) с0, ср отнесены к 1 кг
массы газа.
Величина k зависит от структуры молекулы газа. Так, для
одноатомных газов при Т = 288° К k = 1,66; для двухатомных газов,
в том числе и для воздуха, k = 1,4; для многоатомных газов
k= 1,33.
Удельные теплоемкости cv и ср зависят от температуры.
Многочисленными опытами установлено, что при увеличении температуры
удельная теплоемкость возрастает.
— 18 —
Как указывалось выше, при высокой температуре свойства
воздуха существенно отличаются от свойств совершенного газа с
постоянной теплоемкостью. Уже при температуре порядка 1500° К
становится заметно возбуждение колебательных степеней свободы
молекул. При дальнейшем повышении температуры начинается
диссоциация молекул кислорода, а затем и азота.
Степень диссоциации, кроме того, зависит и от давления.
Например, при р = 0,001 am диссоциация кислорода начинается при
Ср г-кал/г-град
10
(
/
>
/
—
/
/
/
001Q1
= 1ат
\
\
:onst
\
\
т°к
1000
4000
7000
10000
\2000
Рис. 1. 2. Изменение удельной теплоемкости воздуха
ср в зависимости от температуры и давления
Т = 2000° К, а азота при Т = 4000° К. При р = 1 am
соответственно кислород диссоциирует, начиная сГ = 3000° К, а азот —
с Т = 6000° К.
Влиянием ионизации на термодинамические свойства воздуха
до т = 6000° К можно пренебречь. В интервале температур от
6000 до 12 000°К можно учитывать однократную ионизацию всех
компонентов воздуха.
При возбуждении внутренних колебательных степеней свободы
молекул, диссоциации молекул всех компонентов воздуха и
ионизации подводимое к воздуху тепло идет не только на увеличение
энергии поступательного и вращательного движения молекул, но и на
увеличение энергии колебательного движения атомов в молекуле,
преодоление сил взаимодействия между атомами в молекуле при
диссоциации и отрыв электронов от атома при ионизации.
Вследствие этого теплоемкость воздуха при высокой температуре
значительно возрастает. Чем выше температура, тем больше
теплоемкость.
Ввиду того что теплоемкости cv и ср зависят от температуры,
величина k также изменяется с температурой. С увеличением темпе-
— 19 —
ратуры k уменьшается. Поскольку при одной и той же температуре
понижение давления приводит к усилению эффектов диссоциации
и ионизации, то удельные теплоемкости cv и ср и их отношение
зависят также от давления: cv = ср(Т, р), k = k(T, p).
Зависимость ср от температуры при различных давлениях
показана на рис. 1.2.
§ /. 6. Теплосодержание
В газовой динамике часто используется особая функция
состояния газа /, определяемая соотношением
di=cpdTy A.21)
или, пренебрегая изменением ср,
i=cpT. A.22)
Эта функция называется теплосодержанием
(энтальпией).
Из определения теплосодержания A.21) следует, что
приращение теплосодержания di представляет собой приращение тепла dq
в процессе р = const. Имея это в виду, из уравнения A.12),
интегрируя его в предположении р = const, получаем
Используя выражения A.15), A.20) и A.7'), найдем
§ /. 7. Второй закон термодинамики. Энтропия
При изучении движения газа приходится часто пользоваться
особой функцией состояния газа s, которая называется
энтропией. Эта функция определяется следующим дифференциальным
уравнением:
ds=%. A.24)
Найдем выражение для энтропии в конечной форме,
предварительно установив связь между теплосодержанием и энтропией.
Так как
Tds=dq'
— 20 -
и, как следует из уравнения A.12),
ТО
di—^. A.25)
P v '
Деля уравнения A.25) на Т, заменяя di на di=cpdT и
учитывая, что на основании уравнения состояния A.7') —=RdT—
— pd f—\
получим
откуда после простых преобразований, используя уравнения
A.18), A.20) и A.7'), будем иметь
4
А-(*-*,? + + .,(!)_,4т ?
ИЛИ
ds=R
di —
к — 1 Г
(т).
A.26)
Интегрируя дифференциальное уравнение A.26) при к= const,
находим выражение для энтропии:
s=R\n]
?
l+const.
A.27)
Из формулы A.27) следует, что энтропия s является
функцией состояния газа, зависящей от двух независимых
параметров состояния (в данном случае Т и р). Пользуясь уравнением
состояния A.7'), нетрудно выразить значение энтропии через
другие параметры, например через р и р.
В самом деле, уравнение A.26), используя соотношение
A.20), можно написать в следующем виде:
ds=c7l
откуда
dT
Т
V
п/
(k
\К
г т
21 -
1)
/
ООП ^t
или, используя уравнение состояния A.7')» получим
A.28)
р /
Из формулы A.24) следует, что энтропия системы будет
оставаться постоянной, если отсутствует внешний подвод тепла
(dq=O) и термодинамический процесс протекает без потерь.
(dqr=O), т. е. если dq'=O, то ds=0 и s=const.
Из выражения же для энтропии в конечной форме A.27)
или A.28) следует, что если энтропия s= const, то для
рассматриваемой системы
1
т к~ 1 п
= const, или -^-^const. A.29)
Р Р*
Процессы, протекающие без теплообмена
и при отсутствии потерь, т. е. с постоянной
энтропией, будем называть в дальнейшем
изэнтропическими.
Параметры состояния газа для изэнтропических процессов
связаны соотношениями A.29). Эти соотношения можно переписать
в следующей форме:
El = (Ii \к
Pi \ Pi /
fL^-^pT f (L30)
pi Vyv
где индексы «1» и «2» относятся к каким-либо двум состояниям
газа, участвующим в изэнтропическом процессе; величину к
принято называть показателем изэнтропы.
Изэнтропический процесс — процесс обратимый.
Следует отметить, что во всех реально наблюдаемых процессах
участвуют силы трения. Поэтому dqr ф О и теплообмен dq Ф О,
т. е. все они сопровождаются необратимыми потерями энергии и
теплообменом. Однако во многих случаях теплообмен и
необратимые потери энергии невелики, ими можно пренебречь и считать
процесс изэнтропическим, что сильно облегчает исследование
газовых потоков.
Следует также иметь в виду, что трение является только одним
из видов необратимого превращения механической энергии в
тепловую. Существуют и другие виды необратимых превращений
механической энергии (см. гл. IV и V).
— 22 —
Как известно, второй закон термодинамики состоит в том, что
в изолированной системе, где внешний
теплообмен отсутствует (dq = 0), при любом
процессе энтропия системы не уменьшает-
с я. Выше было показано, что при изэнтропических процессах
(dq = 0) энтропия изолированной системы остается постоянной.
Следовательно, при всех других процессах энтропия
изолированной системы будет возрастать, что и определяет направление всех
реальных процессов в газе.
§ 1. 8. Скорость звука
В несжимаемой среде всякое изменение давления в данной точке
передается мгновенно, т. е. теоретически со скоростью а = оо.
Иначе обстоит дело в сжимаемой среде. Если в некоторой точке
пространства, заполненного покоящимся сжимаемым газом, местное
давление р изменится на величину Ар, то при малых значениях Ар
возмущения, вызванные изменением давления, будут
распространяться во все стороны со скоростью звука.
Как известно, скорость распространения звука в упругой
среде выражается через модуль упругости Е следующим образом:
«-/?¦
В сжимаемой среде можно считать, что малое возмущение
давления Ар аналогично напряжению сжатия а. Относительное сжатие
равно относительному увеличению плотности, т. е. —.
Следовательно, модуль упругости Е примет вид
F__pAp_
Ар *
В таком случае выражение для скорости звука запишется
в следующем виде:
При Ар -> 0 и Ар -> 0, получим
Это означает, что под скоростью звука в сжимаемой среде можно
подразумевать скорость распространения малых возмущений.
Покажем это на примере. Рассмотрим цилиндрическую трубу,
(рис. 1.3), заполненную сжимаемой средой. Предположим, что дви-
— 23 —
жением поршня вызывается малое повышение давления Ар. Это
повышение давления будет распространяться со скоростью а в
невозмущенную область. В возмущенной области имеются давление
р + Др и плотность р + Ар. Сжимаемая среда вследствие
возмущения плотности Ар будет двигаться с малой скоростью v. Пусть
в момент t граница возмущения будет АВ, а в момент t + At — CD.
За время A t возмущение, распространяясь со скоростью а> пройдет
расстояние АС = a At и захватит
t t+Ai объем FaAt. Следовательно, прира-
А С щение массы за время At будет равно
I рч.^р i I "p FaAtAp. Это приращение будет
v „ |—ш- | равно массе, входящей слева со ско-
Q + &Q i a i Р . ростью v и равной (р + Ap)vAtF.
? ^ Приравнивая эти два выражения для
приращения массы, находим
Рис. L 5. К определению ско- aAp = v (р+Ар). (а)
росши звука
На основании теоремы изменения
количества движения можно
утверждать, что приращение количества движения равно количеству
движения, возникшему в объеме FaAt, захваченном возмущением,
т. е. равно
FaAt(p+Ap)v.
Это приращение количества движения должно равняться сумме
импульсов сил давления ApFAt. Таким образом, находим
FaAt(p+Af>)v=ApFAt>
или
Ap=av(p+Ap). (б)
Из (а) и^(б) получаем
Ар av
ИЛИ
9 АР
Ар
откуда при Ар-» 0 и Ар-» 0 получим
dp >
т. е. действительно малое возмущение давления Ар
распространяется со скоростью звука а.
Если предположить, что в сжимаемой среде происходит
изэнтропический процесс, для которого
JL= /JL.
Ро \Ро
— 24 —
где к=— , а р0 и р0 суть давления и плотность в некоторой
cv
фиксированной точке, то выражение A.31) для скорости звука
примет несколько иной вид. В самом деле,
p*
Следовательно,
a=V' kS-.
V р
A.32)
и
чооо
3000
2000
1000
A
P-U.OL
\ J
Oar >
-ОМОН
И1
P- 7000c
]7
Г7
/
^- '
^^•^"^
WOO
иооо
7000
10000
т°к
Рис. 1.4. Кривые зависимости скорости звука от температуры
и давления с учетом реальных свойств воздуха
На основании уравнения состояния A.7) и A.7') выражение
скорости звука а можно написать в виде
в Международной системе единиц (СИ)
A.33)
A.33')
Таким образом, в сжимаемой среде малые упругие возмущения
распространяются с конечной скоростью а, зависящей от
отношения давления и плотности в данной точке A.32) или от абсолютной
температуры в данной точке A.33).
Необходимо отметить, что при диссоциации и ионизации
воздуха величина скорости звука отличается от значений, вычислен-
2В, Зак. 801
25
ных по формуле A.33) для совершенного газа с постоянной
теплоемкостью (k = 1,4; R = 29,27 кГм/кГ-град). При этом скорость звука
зависит не только от температуры, но и от давления. Характер
зависимости а от Т и р при высоких температурах приведен на рис. 1.4.
§ /. 9. Распространение малых возмущений
в потоке газа
Если в покоящемся газе (v = 0) в точке О находится источник
малых возмущений, то эти возмущения распространяются во все
стороны одинаково, представляя собой сферические звуковые волны
с центрами в точке О. Таким образом, в покоящемся газе звуковые
волны распространяются симметрично по отношению к источнику О.
Рис. 1.5. Распространение малых
возмущений в дозвуковом потоке
Рис. 1.6. Распространение малых
возмущений в сверхзвуковом потоке
Иная картина будет в том случае, когда звуковые волны
распространяются не в покоящемся, а в движущемся газе. Здесь могут
иметь место два случая: 1) скорость движения газа дозвуковая
(v <С а); 2) скорость движения газа сверхзвуковая (и > а).
Рассмотрим первый случай (рис. 1.5). Пусть источник
возмущений О движется слева направо со скоростью v < а. В этом случае
за единицу времени, например t = 1 сек, источник возмущений
пройдет путь ОА1 = v, а звуковая сферическая волна
распространится во все стороны с радиусом г = а. Еще через одну секунду
центр звуковой волны переместится в точку Л2, и ее радиус будет
г = 2а и т. д. Таким образом, малые возмущения будут
распространяться от породившего их источника во все стороны, не только
по течению, но и против него.
Совсем иная картина получается в сверхзвуковом потоке. В этом
случае скорость перемещения источника возмущения больше
скорости распространения волны вдоль радиусов. Поэтому в сверх-
— 26 —
звуковом потоке волны не могут распространяться против течения.
Они не заполнят все пространство, а, наоборот, будут
концентрироваться в определенной его части, вытянутой в направлении тече*
ния. В самом деле, предположим, что газ движется слева
направо со скоростью v > а (рис. 1.6). В этом случае звуковая волна,
исходящая из точки О, распространяется со скоростью а, а ее центр
движется со скоростью v > а. Таким образом, за время t звуковая
волна распространится на расстояние at, отсчитываемое от
движущегося центра, а ее центр пробежит отрезок ООг = vt. Огибающая
этих звуковых волн на плоскости состоит из двух полупрямых ОА}
и ОЛг, называющихся линиями возмущений (или
линиями Маха). В пространстве эти линии образуют так называемый.
конус возмущения (конус Маха) с углом возмущения [х.
Очевидно, что линии возмущения ограничивают область
возмущенного потока (внутри конуса) от невозмущенного. Из рис. 1.6 видно*
что
следовательно, с увеличением числа М угол возмущения
уменьшается (происходит сужение зоны возмущенного движения).
§ 1. 10. Понятие о подобии потоков
В аэродинамике и газовой динамике особо важное значение
имеет теория подобия потоков, так как она устанавливает
возможность перенесения экспериментальных данных, полученных для
модели, на натурный объект. Рассмотрим два потока, обтекающих
натурный объект и его модель. Назовем сходственными точками
этих потоков такие, которые геометрически подобно расположены
относительно рассматриваемых тел, предполагаемых также
геометрически подобными. Подобными потоками назовем такие, у
которых все характеризующие их однородные физические величины
находятся для любых сходственных точек в одинаковом
отношении. Эти отношения характеризуются масштабами. Основными
масштабами являются масштабы длины, силы и времени.
Если взять произвольный линейный размер модели /i и
разделить его на соответствующий линейный размер / натурного объекта,
то получим величину линейного масштаба модели, обозначаемую
через Ki = p Деля силу /?i,действующую на всю модель или ее
часть, на силу R, действующую на натурный объект или его часть,
D
получим силовой масштаб модели Kr= -тА Считая, что какое-
нибудь событие совершается у модели в течение отрезка времени &„
2В* — 27 —
ъ у натурного объекта — в течение времени t, найдем масштаб
времени Kt = p В случае подобия эти масштабы в сходственных
точках потоков должны быть постоянными. Все остальные масштабы
других физических величин для подобных явлений также
постоянны и могут быть выражены через эти основные масштабы.
Рассмотрим некоторые из них. Пусть Si и S — сходственные площади
двух потоков, a /i и / — линейные размеры этих сходственных
площадей. Очевидно,
Ks=— = f— У=Кг
Для масштаба скоростей, понимая под сходственными
отрезками времени hut такие отрезки, за которые частицы потоков
проходят расстояния между двумя сходственными точками, можно
написать
д/о
ДЛ-*0
Аналогично можно показать, что масштаб плотности
выражается следующим образом:
к _ pi _ KK2
к* '
Таким образом, считая, что при соблюдении подобия в
пространствах, где происходят сравниваемые явления и масштабы
однородных величин сохраняются постоянными, можно сформулировать
определение подобия в несколько ином виде: два потока
называются подобными, если в любых
сходственных точках и в любые сходственные
моменты времени масштабы однородных
величин, характеризующих эти потоки,
являются постоянными. Такое подобие называется
полным. Если же этому условию удовлетворяют не все
масштабы, а только часть из них, то подобие называется ч а с т и ч-
н ы м.
Рассмотрим два подобных потока: один — обтекающий натурный
объект, например профиль крыла, а другой — обтекающий его
модель (рис. 1.7). Выделим два сходственных бесконечно малых
элемента. Пусть на эти элементы будут действовать силы dR и dRi,
создающие ускорения w и wi. Очевидно, можно написать
следующие равенства:
— 28 -
dR1—w1dmu
где dm и dmx— массы этих элементов.
Выразим массы dm и dmx через плотность и линейные размеры:
dm=pdl3,
dm1=p1dl'i.
> ЕЕ
Ur
Zr
I
I
Рис. /. 7. Подобные потоки около подобных тел
Тогда, подставляя в выражения для сил, получим
dR1=p1w1dli.
Деля почленно, будем иметь
Так как масштаб ускорения
то выражение для /С/? можно переписать в виде
Т
i КТ •
Замечая, что
находим
¦ v~2 v2
Kr =Кр Кi Kv
A.35)
Найденное соотношение справедливо, очевидно, не только для
бесконечно малых объемов жидкости, но и для любых конечных
объемов, так как всякий конечный объем можно разбить на беско-
— 29 —
нечно большое число бесконечно малых объемов. Таким образом,
заключаем, что постоянство отношений Kr = -п^, установленное
для бесконечно малых объемов, должно в подобных потоках иметь
место и для конечных объемов, на которые действуют конечные
силы. В дальнейшем под R и Ri будем подразумевать полные
аэродинамические силы, действующие на натурный объект и модель,
отношение которых при условии подобия потоков должно
оставаться постоянным на любом режиме обтекания *:
Kr=^ = const.
Переходя от масштабов к основным величинам, можно
написать
или
Т~2 = /2^2 = COnst.
Перепишем эти отношения следующим образом:
/?! 2Si _ R 2S
pi/2y2 2S} pi2 I -„
Тогда, принимая во внимание, что в силу подобия
получим
D Т?
2 "" ovr ~~ °R1
1 2 2
ИЛИ
^ = слР?5, A-36)
где
Co—безразмерный коэффициент полной аэродинамической силы;
5 — характерная площадь;
^— скоростной напор.
* Переход от сил, приложенных к жидкости, к силам, приложенным
к обтекаемому телу, осуществляется на основании третьего закона Ньютона
о равенстве действия и противодействия.
— 30 —
Проектируя суммарную аэродинамическую силу на направление
нормали к направлению скорости набегающего потока и на
направление этой скорости (рис. 1.8), получим выражения для подъем-
ной~сйлы и силы лобового
сопротивления: Y$ ^i
где
с„ и с- —коэффициенты подъем- „ , . „ а
у х „^^ м - Рис. 1.8. Подъемная сила и сила
НОИ СИЛЫ И СИЛЫ лобо- сопротивления
вого сопротивления.
В аэродинамике наряду с аэродинамической силой
рассматривается и ее момент М. Очевидно, для масштаба момента можно
написать
или, переходя к основным величинам,
М р/3 v2 9
откуда
мг м
—TTT" = 77Т772 = const.
' ± 1 1
Полученное выражение дает возможность ввести следующее
простое выражение для момента аэродинамической силы:
где
ст — безразмерный коэффициент момента аэродинамической силы.
Перейдем к рассмотрению основных критериев, определяющих
частичное подобие потоков в аэро- и газодинамике.
В задачах аэро- и газодинамики крайне важным является
определение условий, при которых потоки газа, обтекающие
геометрически подобные тела, сами являются подобными. Такое подобие
потоков называется динамическим подобием.
Очевидно, динамическое подобие будет осуществляться тогда, когда
различные силы, действующие на элементарные объемы, положение
которых подобно в двух потоках газа, находятся в одинаковом
соотношении. Различные законы подобия, вытекающие из этого
требования, зависят от характера действующих сил. В каждом из зако-
— 31 —
нов динамического подобия используется безразмерный параметр,
характеризующий тип динамического подобия. Наиболее важными
безразмерными параметрами в аэро- и газодинамике являются число
Рейнольдса Re и число Маха М.
1. Число Рейнольдса. Число Re представляет собой отношение
сил инерции к силам вязкости. Сила инерции пропорциональна
массе выделенного объема и ускорению движения:
или
Силу трения ATVp при движении вязкой среды можно
определить, используя формулу Ньютона
где
dv
г дп
Отсюда
или
Отношение сил инерции к силам вязкости равно
AR _ pl2v2 vl_
АГтр - fio/ - v '
где
/ — некоторый характерный размер потока или тела;
v= — — кинематический коэффициент вязкости;
безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса
и обозначаемый через Re:
Re^^- О-38)
Когда число Рейнольдса мало, силы вязкости преобладают над
силами инерции, и влияние вязкости имеет существенный
характер во всем потоке. Если число Рейнольдса велико, то это означает,
что силы инерции имеют преобладающее значение. Влияние
вязкости существенно только в пограничном слое, прилегающем к
поверхности тела, т. е. в области, где имеются большие градиенты
скорости.
— 32 —
Таким образом, для соблюдения частичного
динамического подобия потоков с учетом
влияния вязкости необходимо не только
геометрическое подобие, но и равенство
чисел Re этих потоков.
2. Число Маха. Аналогично можно вывести критерий
сжимаемости М, который представляет собой отношение силы инерции
к силе давления, действующих на выделенный объем газа.
АР ~~ pi2 '
Отношение
р а2
где а — скорость звука в данной среде.
Поэтому отношение сил -д- пропорционально ~ •
Безразмерное отношение скорости потока v к скорости звука
а называется числом Маха и обозначается через М:
М=?. A.39)
В абсолютно несжимаемой среде скорость звука а = оо. Тогда
при любой скорости потока в несжимаемой среде М = 0. Чем
больше сжимаемость среды, тем скорость звука меньше (число М больше).
Для малых чисел М изменение плотности, т. е. влияние
сжимаемости, вызванное изменением скорости потока жидкости, невелико,
и жидкость можно рассматривать как несжимаемую. Для больших
чисел М влияние сжимаемости весьма существенно, и его
необходимо учитывать. При М < 1 поток называется дозвуковым, а при
М > 1 — сверхзвуковым.
Таким образом, для соблюдения частичного
динамического подобия двух потоков с
учетом сжимаемости необходимо не только
геометрическое подобие, но fr равенство
чисел М. Наряду с указанными безразмерными параметрами,
характеризующими частичное подобие, имеется ряд других
параметров, имеющих существенное значение в некоторых специальных
задачах газовой динамики. Они будут рассмотрены позже.
Во многих задачах газовой динамики решающее значение имеют
критерии Re и М.
Силовое воздействие потока, характеризуемое
аэродинамическим коэффициентом cRi на помещенное в нем тело зависит в общем
случае от формы тела, ориентировки его относительно потока и
критериев подобия. Для заданной формы тела и угла атаки можно
считать, что
M). A.40)
Г л ава II
СИСТЕМА ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ИЗЭНТР0ПИЧЕСК0Г0
ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Рассмотрим произвольное пространственн ое неустановившееся
течение газа, пренебрегая при этом диссипативными процессами,
связанными с действием сил вязкости и теплообмена в газе, т. е.
считая его изэнтропическим. В этом случае при заданных массовых
силах движение газа можно считать известным, если будут известны
три проекции скорости vx, vyy vz и параметры состояния газа. Как
указывалось в § 3 гл. I, существуют только два независимых
параметра состояния газа, например давление р и плотность р.
При изучении движения газового потока будем применять
метод Эйлера, в котором исследуется изменение vx, vy, vz, р и р в
выбранных точках пространства в функции от времени t. В случае
установившегося движения величины vx, vy, vZi p и р зависят
только от положения точки в пространстве (от координат х, у, z).
Выведем основные уравнения для изэнтропического течения газа.
§ 2. 1. У равнение неразрывности
Рассмотрим некоторый объем пространства V. Масса газа в
объеме V будет выражаться интегралом JpdV, где интеграл берется по
всему объему V. Пусть S — поверхность, ограничивающая
рассматриваемый объем. Через элемент dS поверхности S в единицу
времени протекает масса газа, равная скалярному произведению
вектора pvdS на единичный вектор по внешней нормали к
поверхности п:
dm = p(vn)dS.
— 34 —
Очевидно, dm^>0, если газ вытекает из объема 1/, и d
если газ в него втекает. Полная масса газа, вытекающего из
объема V за единицу времени, будет равна
где интеграл берется по всей поверхности S.
С другой стороны, изменение (уменьшение) массы газа в
рассматриваемом объеме в единицу времени иначе можно выразить
в следующем виде:
V
Приравнивая эти два выражения, как определяющие один и
тот же секундный расход газа через поверхность S, будем иметь
§pdV+§p{vn)dS=O. B.1)
dt d
v s
Интеграл по поверхности 5 на основании теоремы
Остроградского— Гаусса может быть записан в виде интеграла по объему:
J divp vdV'.
v
Следовательно, предыдущее выражение примет вид,
выражающий закон сохранения массы:
Так как это выражение имеет место для любого произвольного
объема V, то подынтегральное выражение должно равняться
нулю:
d? + divpv=0. B.2)
Полученное уравнение представляет собой уравн ение
неразрывности в векторной форме. В координатной записи
это уравнение примет вид
д9 д(9ух) д(9уу) d(9vz)
dt "*" дх ~*~ ду "I" дг ~" U' V ' ;
Если движение газа установившееся, то, очевидно, 57=0, и
уравнение неразрывности в векторной форме примет вид
divpv=0, B.4)
— 35 —
а в координатной форме
д (pvx) , д (руу) , д (pv2) _ q ^2 5)
Уравнения неразрывности B.3) или B.5) часто пишут в
несколько иной форме. Для того чтобы ее получить, выполним
дифференцирование в уравнении B.3). В результате получим
dt дх х "¦" ду у ~* дг z ^ \~дх ~ду *~ дг
Замечая, что первые четыре слагаемых представляют собой
полную производную от р по времени t, получим следующее
уравнение неразрывности:
?р + р^ + ^ + ^ = О /26)
dt г \ дх ду дг / ' \ • /
Введем коэффициент кубического расширения 0,
характеризующий относительное изменение объема газа за единицу
времени. Покажем, что коэффициент 0 равен:
= ~дх "" ~ду "• ~дг '
Из уравнения B.6) находим
дх ' у ' ~дг р dt '
Пусть m=pV есть масса небольшого движущегося элемента
жидкости, а V — его объем. При движении жидкости плотность р
и объем V этого элемента могут меняться, однако масса
элемента должна оставаться постоянной (т=const).
Тогда
dm dp у. dV ^
отсюда
0- — - —
т. е., действительно, величина 0 характеризует скорость
расширения единицы объема газа, в связи с чем и называется к о э ф ф и-
циентом кубического расширения.
Используя величину 0, перепишем уравнение неразрывности
в следующем виде:
^Р I Ла п /О 7\
-ту -f- pv7=U. (Z./)
— 36 —
В частном случае, когда жидкость несжимаемая, т. е. р=const,
коэффициент кубического расширения 0=0. Следовательно,
уравнение неразрывности примет вид
дх ^ ду ^ dz K
Это уравнение называется уравнением неразрывности для
несжимаемой жидкости. В векторной форме оно имеет вид
divv=Q.
В случае установившегося движения газа при решении
практических задач часто пользуются уравнением неразрывности
в форме уравнения массового расхода, т. е.
B.9)
где
F — площадь поперечного сечения трубки тока.
§ 2. 2. Дифференциальные уравнения
движения в форме Эйлера
Для того чтобы написать общие законы механики применительно
к жидкой или газообразной среде, необходимо прежде всего
мысленно выделить в этой среде некоторую ее часть и заменить
действие окружающей ее среды соответствующими силами.
В том случае, когда в результате решения задачи должны быть
определены распределенные характеристики (распределение
скорости и давления), применяется метод элементарных объемов. При
этом из жидкой или газообразной среды выделяется элементарный
объем, в пределах которого изменением скорости и плотности можно
пренебречь. Применительно к этому объему можно написать
соответствующие уравнения механики, относящиеся к динамике
точки. Тогда в результате предельного перехода при стягивании
элементарного объема в точку получаются дифференциальные
уравнения движения.
Необходимо иметь в виду, что интегрирование
дифференциальных уравнений движения газовой динамики, как правило, в общем
виде невозможно. Кроме того, при составлении дифференциальных
уравнений искомые функции (скорость, давление, плотность)
предполагаются непрерывными дифференцируемыми функциями
координат. Как будет показано в гл. IV и V, это не всегда имеет место.
В некоторых случаях (например, при определении суммарных
аэродинамических характеристик тел — подъемной силы,
сопротивления и момента сил) нет необходимости пользоваться диф-
— 37 —
ференциальными уравнениями. В этом случае можно применять
метод конечных объемов. Для этого в жидкой или газообразной
среде выделяют конечный объем, в пределах которого необходимо
учитывать изменение скорости и плотности. Применительно ко
всей массе, заключенной в этом объеме, можно написать уравнение
механики, относящееся к системе материальных точек (например,
теорема об изменении количества движения, теорема живых сил).
Этот метод не позволяет определить распределение скорости и
плотности, а, наоборот, эти величины должны быть известны. Однако
для определения сил с необходимой точностью в ряде случаев
достаточно знать распределение скорости весьма приближенно.
Уравнения, полученные с помощью метода конечных объемов,
применимы и к областям с разрывным изменением параметров
потока.
Для вывода дифференциальных уравнений движения невязкого
газа воспользуемся методом элементарных объемов и выделим в
потоке малую частицу, объем которой обозначим через dV, а через
dS — площадь боковой поверхности этого объема. Применяя
принцип Даламбера, рассмотрим равновесие сил, действующих на
объем V. Обозначая через F главный вектор массовых сил,
отнесенных к единице массы, а через X, Y, Z — его проекции на оси
координат, получим для главного вектора массовых сил,
действующих на этот объем, следующее выражение:
j FpdV.
v
Со стороны окружающей среды на частицу будут действовать
поверхностные силы. Так как здесь рассматривается газ как
идеальная жидкость, то вектор поверхностной силы (силы давления)
будет направлен по внутренней нормали к поверхности 5. Вводя
орт п внешней нормали, будем иметь
р=—пр.
Следовательно, главный вектор поверхностных сил примет вид
— J npdS.
s
Обозначая через w ускорение элемента объема dV, для глав-
ного вектора сил инерции получим следующее выражение:
v
По принципу Даламбера, главный вектор всех сил, включая
и силы инерции, должен быть равен нулю:
— 38 —
или
f (F-w)pdV— f pndS=O.
V S
Применяя к последнему интегралу формулу Остроградского—
Гаусса
f phdS = J grad pdV,
s v
находим
J [(F— o>)p —
В силу произвольности рассматриваемого объема I/
подынтегральное выражение должно быть равно нулю в каждой точке
газового потока и в любой момент времени. Таким образом,
приходим к основному уравнению движения невязкого газа:
ад = I— -grad р. B.10)
Полученное уравнение является уравнением Эйлера в
векторной форме.
Так как
wl + l + kf
F=TX+]Y+IZ, grad p=f g + 7 g+ft g f
то уравнение Эйлера в координатной форме примет вид
dvx у
~W ""
dvy у
dt ~~ l
dvz 7
1
p
1
p
1
p
dp \
dx
dp
dy
dp
dz
B.11)
Уравнения B.11) применимы для исследования движения как
сжимаемой, так и несжимаемой ?реды. Каждый член уравнений
dvx dvy dvz
представляет собой ускорение: ~7f^~^^ ^ — проекции полного
ускорения движения; X, Y, Z — ускорение частицы газа,
вызываемое массовыми силами, а ^, —— J-, — — -? —
ускорения частицы от сил давления. Поэтому полное ускорение дви-
— 39 -
жения частицы складывается из ускорений, вызываемых
массовыми и поверхностными силами (силами давления).
Преобразуем уравнение Эйлера. Для этого выразим
проекции ускорения через проекции скорости согласно формулам
dvx dvx , dvx . dvx , dvx
+ ^ +v+V
dvy dvy dvy dvy
+ V + V + V
dvz =dv2<v dvz , dvL , dvz
It dt xdF^Vy ду~^ z~di '
В результате получим следующие дифференциальные
уравнения, являющиеся уравнениями Эйлера в развернутом виде:
B.12)
Интегрируя основные дифференциальные уравнения движения
газа, получим решения, содержащие произвольные функции и
произвольные постоянные. Для их определения необходимо ввести
дополнительные условия, носящие название начальных и
граничных условий. Рассмотрим прежде всего начальные условия.
Начальные условия заключаются в задании поля скоростей
в начальный момент времени t = 0. Это означает, что найденные
решения vx (х, у, г, t), vy (х, у, г, t), v2 (х, у, z, t) должны при t = 0
обращаться в заданные наперед функции координат fi, /2, fs, т. е.
vx(x9yfzf0)==f1(x9 у, г)
vy (х, у, г, 0) = /2 (х9 у, г)
vz(x, у9г9 0) = fs(x,y,z)
Очевидно, начальные условия необходимы при решении задач
для неустановившегося движения газа.
Граничные условия делятся на два вида условий —
динамические, относящиеся к силам, и кинематические, относящиеся к
скоростям. Динамические граничные условия, выполняющиеся на
свободной поверхности, сводятся к равенству давления внешней
среды и давления на рассматриваемой поверхности. На
поверхности обтекаемого тела выполняется условие безотрывное™
обтекания, т. е. vn =0, которое является кинематическим граничным
условием для неподвижной поверхности.
— 40 —
§ 2. 3. Интегралы дифференциальных
уравнений Эйлера
Дифференциальные уравнения движения в форме Эйлера в
общем виде не интегрируются. Интегралы дифференциальных
уравнений можно найти только в частных случаях, а именно: в случае
потенциального течения и в случае установившегося движения
сжимаемого газа.
Рассмотрим сначала случай потенциального
неустановившегося движения. Как известно, при этом вектор угловой скорости
(о = —rot^=0, и, следовательно, его составляющие по
координатным осям (дх, (ду и (oz равны нулю:
?
дх
dv
ldv?
\дг
ИЛИ
dy dz ' dz dx ' dx dy '
Обратимся к системе уравнений Эйлера B.12):
dvx i dvx dvx dvx v 1 <
dt * x дх у ду г dz p <
B.13)
dvv
dvy
~dx
dt ' x dx ' J
или, используя B.13), получим
У 1 dp , d / v2
p dx ' dx \ 2
dvy
Vz dz
dv^
z dz
у
= z —
1
p
о ду
dp
dz'
dt >
dvy
dvz
~dt •
B.14)
Преобразуем эти уравнения следующим образом. Как известно,
при потенциальном движении
ду __ ду ду
— 41 —
Используя эти соотношения, а также свойство независимости
смешанной производной от порядка дифференцирования, можно
dvx dvy $v
частные производные -^ , -^- , -—- написать в следующем виде:
dvx
dt ~ dt[dx) = дх\дГ)>
__ _(
dt — dt\dy
dvz д
dvz __ д /ду\ __ д {ду\
Ж ~ Л [WzJ ~~ Tz \Ш) •
Тогда уравнения B.14) примут вид
у — LdJL л. <L (vl\ л^ <L 1дЛ
л ~~ р дх "+" дх \ 2 ) "^ дх \dt
(
= р дг ^ dz\2
dz\dt
Представим первые члены правых частей в виде частных
производных по координатам от некоторой функции Р (х, у, г, /):
}_др^_д_Рт \_д? _ дР . J_^P__^
р дх дх' р Ъу ду ' р дг дг '
Аналогично можно написать, что
±_др_ №
р dt dt
Умножая эти выражения соответственно на dx, dy, dz, dt и
складывая, находим
ИЛИ
откуда
J р
B.16)
Очевидно, функция Р будет определена, если задана зависимость
р от р, так как в этом случае интеграл B.16) может быть вычислен.
— 42 —
Движение, при котором плотность является однозначной
функцией только давления, называется баротропным. Для
баротропного движения интеграл B.16) является функцией
только давления.
В аэродинамике сжимаемого газа обычно рассматриваются
такие процессы, при которых плотность р выражается
непосредственно через давление, т. е. когда функция Р действительно существует.
Вводя эту функцию в уравнения B.15), находим
Для интегрирования этих уравнений умножим их
соответственно на dx, dy, dz и сложим:
Выражения, стоящие в скобках, — функции не только х, у,
г, но и /. Поэтому, интегрируя их, будем считать, что
переменное t закреплено. Тогда правая часть будет полным
дифференциалом и, следовательно,
Поскольку правая часть — полный дифференциал, левая часть
также будет являться полным дифференциалом. Но полный
дифференциал левой части, представляющей элементарную
работу массовых сил, есть, очевидно, дифференциал силовой
функции Uу т. е.
Интегрируя, получаем
где С — произвольная функция времени t.
Подставляя вместо Р его значение по формуле B.16)
окончательно находим
— 43 —
Этот интеграл называется интегралом Лагранжа для
потенциального неустановившегося движения
сжимаемой среды.
Если жидкость несжимаемая, т. е. p=const, интеграл
Лагранжа примет вид
B.18)
При установившемся движении сжимаемого газа производная
-^7-=0 и произвольная функция С(t) превратится в константу.
Интеграл B.17) будет иметь следующий вид:
B.19)
ds
Траектория
Линии тока
Этот интеграл называется интегралом Лагранжа —
Бернулли. Константа С будет иметь постоянное значение
для всей массы газа.
Из изложенного следует, что предположение о потенциальности
потока и баротропии приводит к необходимости существования
потенциала массовых сил. Это
означает, что потенциальное и ба-
ротропное движение газа может
быть осуществлено только под
действием консервативных сил.
Рассмотрим теперь, как можно
проинтегрировать
дифференциальные уравнения движения для
произвольного (непотенциального)
установившегося течения
сжимаемой среды. Этот интеграл впервые
получил Д. Бернулли и поэтому
его называют интегралом,
или уравнением,
Бернулли.
Пусть газ движется по
отношению к координатной системе
oxyz. Поскольку движение установившееся, траектории и линии
тока совпадают и частица газа М движется по траектории,
являющейся одновременно линией тока, с некоторой скоростью v (рис. 2.1).
За промежуток времени dt частица газа проходит по траектории
элемент пути ds, который равен скорости, умноженной на время:
Рис. 2.1. К выводу интеграла
Бернулли для произвольного
установившегося течения газа
44 —
Спроектируем элементарное перемещение частицы вдоль линии
тока на координатные оси х,у, г\ тогда получим
dx=vxdtf
dy=vydt,
dz=vzdt.
Предполагая движение баротропным, напишем теперь
дифференциальные уравнения движения газа в форме B.11), вводя
вновь функцию Р B.16). Будем иметь
dvx v дР
dvy _v дР
~дГ ду '
dvz__7 д_Р_
Чтобы проинтегрировать эти уравнения, умножим каждое из
них на соответствующее элементарное перемещение вдоль линии
тока и сложим. В результате получим
(vx dvx+vy dvy+vz dvz)=(X dx+Y dy+Z dz) —
Очевидно, левая часть полученного уравнения есть полный
дифференциал от -у . Выражения, стоящие справа, также
являются полными дифференциалами, т. е.
дР , . дР л . дР А лп
X dx+Y dy+Z dz=dU.
Следовательно, уравнение можно переписать в виде
После интегрирования получаем
или, используя равенство B.16),
f + i1=c- <2-20)
— 45 —
Этот интеграл называется интегралом Бернулли
для установившегося движения сжимаемого
газа. Если p=const, то этот интеграл принимает вид
~U+f +Т~=С' <2*21)
Константа С, входящая в формулы B.20) и B.21), имеет
постоянное значение только вдоль данной линии тока. При переходе к
соседним линиям тока эта постоянная может принимать другие
значения.
Если пренебречь массовыми силами, то уравнение B.21)
примет вид
^-=С. B.22)
Из уравнения B.22) следует, что при установившемся
движении несжимаемой жидкости полный напор, равный P+-^j- >
вдоль линии тока остается неизменным.
Для сжимаемого газа без учета массовых сил имеем:
' Ц- + -у-=С. B.23)
Допустим течение газа является изэнтропическим. Тогда
Р г>
— дГ-=С
Отсюда
Поэтому
Подставляя выражение интеграла в уравнение B.23), получим
*L + -* — = const. B.24)
2 ' к — 1 р v /
Учитывая, что
1 к р .
имеем
•^r+f=const. B.25)
— 46 —
В Международной системе единиц (СИ) уравнение B.25)
имеет вид
-|-4-*'=const. B.25')
Уравнение Бернулли в форме B.25) представляет собой
уравнение энергии для изэнтропического течения (уравнение энергии
для общего случая
движения газа будет
выведено в гл. XII). «.
Выясним, какова бу- Vo
дет ошибка в определе- р
нии давления воздуха °
при использовании
уравнения Бернулли B.22). Рис. 2. 2. Произвольное тело в потоке газа
Допустим, что поток
воздуха обтекает какое-нибудь тело (рис. 2.2). Пусть на
достаточно большом удалении от тела поток воздуха обладает скоростью
Уоо и давлением р8. В критической точке А скорость v равна нулю,
а давление будет максимальным, равным р0. Используем уравнение
Бернулли в форме B.22).
Константу С определим из условий на бесконечности:
s> I r ОО
Подставляя найденное значение С в уравнение B.22), находим
d-d +^"L_e?
р— Рсо^г 2 2 *
Для определения давления р0 в критической точке положим
р=р0 и v=0. В результате будем иметь
Ро=Роо+^. B.26)
Определим теперь давление в критической точке А с помощью
уравнения Бернулли B.24), выведенного в предположении, что
воздух сжимаем. Для этого найдем константу С из условий на
бесконечности:
*-1 Рос +2°-
Подставляя найденное значение С в уравнение B.24) и
используя выражение
р _ Роо
к ~~ '
?к
г гоо
— 47 —
получим
к Poo (_Р \~~к~ | v2 к ^°° I V°°
7^-1' J^yPoo) +2 /с-1 Роо^ 2 •
Положив в этом уравнении р=^р0 и v=0, что соответствует
критической точке, будем иметь
? I 2
К Роо / Ро \~T~_ к Р°° I Уоо
«"I Po
или, после несложных преобразований,
/
P v 2
Выражая скорость звука по формуле A.32), получим
2 2
тогда
~'~. B.27)
Формулой B.27) можно пользоваться для определения
давления в критической точке р0 с учетом сжимаемости.
Поскольку влиянием сжимаемости потока можно пренебречь
только при малых значениях числа М, то, для того чтобы
выяснить пределы применимости формулы B.26), полученной
без учета сжимаемости, в формуле B.27) примем Моо С 1. При
этом условии разложим правую часть выражения B.27) в ряд по
степеням ^— М^ С 1 по формуле бинома Ньютона:
Тогда в результате преобразований получим
— 48 —
Отсюда
При к=1,4
1 +
24
м«
40
4-
ИЛИ
где
Ро=Роо+-
B.28)
«,= 1 + -Г+ -# + ... B.29)
Сравнивая формулы B.28) и B.26), замечаем, что Др=
р V2
= гр °°2 °° представляет собой погрешность в определении
давления р0, получаемую при использовании формулы B.26). Если Ар
™ ~\ то относительная погреш-
отнести к скоростному напору
ность
2
Следовательно, величина гр в формуле B.28) представляет собой
погрешность, отнесенную к скоростному напору, при определении
давления в критической точке р0 без учета сжимаемости. Величину
8Р также можно трактовать как относительную поправку,
учитывающую влияние сжимаемости. Из формулы B.29) следует, что эта
величина гр зависит от величины числа Моо.
В табл. 2.1 приведены значения гр в зависимости от скорости
потока (от числа М^) для воздуха (к = 1,4).
Таблица 2.1
v, м/сек
М
«л, %
34
0,1
0,25
68
0,2
1,0
102
0,3
2,25
136
0,4
4,0
170
0,5
6,2
203
0,6
9,0
238
0,7
12,8
272
0,8
17,3
306
0,9
21,9
340
1,0
27,5
Из таблицы видно, что при скоростях движения тела до Уоо =
= 102 м/сек погрешность при использовании уравнения Бернул-
ли в форме B.22) мала и ею можно пренебречь. Следовательно, при
скоростях полета, не превышающих 360—400 км/час, допуская
ошибки около 2%, в аэродинамических расчетах можно не учиты-
3 Зак. 801
— 49 —
вать сжимаемость воздуха. При больших скоростях влиянием
сжимаемости нельзя пренебречь. Уже при околозвуковых скоростях
ошибка в определении р0 без учета сжимаемости превышает 20%.
§ 2. 4. Уравнение импульсов
для установившегося движения
невязкого газа
vdt
Рис. 2.3.
уравнения
При нахождении результирующих сил давления потока на
обтекаемые тела часто гораздо удобнее пользоваться общими
теоремами механики (как было указано в § 2.2), в том числе теоремой об
изменении количества движения или уравнением импульсов,
применяя их к конечным объемам жидкости, чем получать эти
зависимости путем интегрирования
дифференциальных уравнений
движения.
Выделим в потоке
какую-нибудь замкнутую поверхность S,
внутри которой находится
обтекаемое тело К (рис. 2.3). Применим
к конечному объему газа,
заключенного между поверхностью 5,
называемой контрольной
поверхностью, и телом /С, теорему об
изменении количества движения.
Обозначим количество движения
этого объема газа через М.
Ограничивающая этот объем
контрольная поверхность S перемещается вместе с находящимися на ней
частицами и в силу этого деформируется. За время dt поверхность S
переместится и займет положение S' (контур поверхности S' можно
получить, отложив от каждой точки поверхности S вектор,
равный v dt\ концы этих векторов образуют поверхность S'). Масса
газа, ограниченная поверхностью S', будет обладать количеством
движения М'. Разность dM=M' — М представляет собой изменение
количества движения за время dt.
При установившемся движении разность dM будет равна
количеству движения газа, заключенного между поверхностями S
и S'. В этом нетрудно убедиться, так как в остальной части объема
газа, общей для обоих положений рассматриваемой массы газа,
количество движения при установившемся движении одинаково
и при вычитании сокращается. Таким образом, необходимо
подсчитать лишь то изменение количества движения, которое произошло-
вследствие перемещения поверхности S в положение S'. Для этого
К. выводу
импульсов
— 50 —
возьмем на поверхности 5 площадку dS, которая за время dt перешла
в положение dS'. Количество движения, соответствующее объему
dV между поверхностями S и S', очевидно, равно
р dVv=pvndtdSv,
так как объем dV можно рассматривать как элементарный цилиндр
с основаниями dS и высотой vn dt, где vn — нормальная
составляющая скорости v на площадке dS. Полное изменение количества
движения dM объема У напишется в виде интеграла от последнего
выражения, распространенного по всей поверхности S, т. е. в виде
= J J pvn dt~vdS=dt J J pvnv dS. B.30)
Предположим теперь, что контрольная поверхность S
неподвижна и газ через нее протекает. Тогда можно дать простое физическое
истолкование поверхностному интегралу B.30). Действительно,
pvndS есть масса газа, протекающая в единицу времени через
площадку dS, a pvndSv — количество движения, которое за то же
время вносится этой массой внутрь поверхности S или же уносится
наружу (смотря по знаку vn). В этом случае выражение
pvnv dS
представляет собой количество движения, переносимое в единицу
времени через неподвижную поверхность 5. Следовательно,
изменение количества движения объема газа за какой-нибудь
промежуток времени в случае установившегося движения равно
количеству движения, переносимому газом через поверхность S,
ограничивающую этот объем, за тот же промежуток времени, т. е. оно
равно разности между количеством движения газа, втекающего
внутрь S и вытекающего из нее.
Обозначим через F равнодействующую внешних сил,
приложенных к рассматриваемой массе газа. В соответствии с теоремой
об изменении количества движения можно написать
7 dt=dM.
Подставляя значение dM в выражение B.30), находим
или, сокращая на dt,
п г*
B.31)
уравнение и м-
ося движения
3*
Выражение B.31) представляет собой
пульсов для установившег
конечного объема газа.
Глава III
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ
ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В настоящей главе рассматриваются одномерные
установившиеся течения газа, т. е. такие течения, где все параметры газа
являются функциями только одной переменной, например х. В
частности, течения в трубах в большинстве случаев практически
можно рассматривать как одномерные течения.
§ 3. 1. Основные соотношения для одномерных
изэнтропических потоков газа
Рассмотрим изэнтропическое течение газа вдоль трубки тока
(рис. 3.1). Установим связь между основными параметрами:
скоростью, давлением, плотностью, температурой и скоростью
распространения звука в газе. Обозначим параметры газового потока
в сечении А0В0 через v0, iQ, То> р0, р0, а0. Эти же параметры в
сечении АВ обозначим через vt i, 7\ p, р, а.
На основании уравнения B.25') для сечений А0В0 и АВ можно
написать
V г,2
Vq г,2
*о+-2-= *+-§-•
Если предположить, что vo—O, то
— 52 —
или
C.1')
Из этих выражений видно, что при io=const с изменением
скорости v течения газа будет меняться и значение теплосодержания
(температура газа). Это одно из характерных отличий течения газа от
течения несжимаемой жидкости.
В несжимаемой жидкости температура меняется только при
подводе тепла извне или при отводе его наружу. Условия движения
жидкости, например сужение или
расширение струи, не могут
вызвать изменения ее температуры
(если пренебречь трением). В газе
же температура меняется в
зависимости от условий его движения.
Уравнение (З.Г) показывает, что
с уменьшением скорости течения
температура газа будет
возрастать. Наибольшая температура
достигается при v = О и будет
равна температуре То. С другой стороны, из уравнения C.1)
видно, что скорость газа, обладающего в состоянии покоя
определенным теплосодержанием, не может превосходить некоторого
максимального значения vmax, при приближении к которому
величины /, Г, аир стремятся к нулю.
В самом деле, при максимальной скорости течения, равной vmaXf
температура Т — О и, как следует из уравнения состояния р = R рГ,
давление р = 0. При скорости течения газа v = vmax молекулярные
движения прекращаются. Следовательно, скорость потока
достигает максимального значения при расширении газа до абсолютного
вакуума. Итак, скорость v будет достигать максимального
значения v = vmax при i = 0, т. е. когда все теплосодержание i перейдет
в кинетическую энергию газа. В этом случае
Рис. 3.1. Одномерное течение газа
откуда
<W=/% . C.2)
Из выражения C.2) можно сделать заключение, что
максимальная скорость vmax является функцией только теплосодержа-
ния покоя i0. Используя формулу iQ =
к
RT»
^j 0 и уравнение
состояния po=Rpo TOf а также формулу скорости звука clI=kRTq>
выражение C.2) для итах можно переписать в виде
- 53 -
Параметры газа, соответствующие состоянию покоя (v = 0),
называются параметрами торможения. В частности,
давление, температура и теплосодержание, соответствующие этому
состоянию, называются давлением, температурой и
теплосодержанием торможения и обозначаются
через /?0, Го, i0. Как видим, формула C.3) связывает
максимальную скорость потока со значениями параметров
торможения. Если принять температуру торможения То = 288° К, что
соответствует температуре f = 15° С, для воздуха при к = 1,4 и
/? = 287,04 дж/кг-град, получим
W56 Ml сек.
Такова, например, максимальная скорость истечения воздуха
в пустоту из котла при температуре газа в котле 15° С.
Интересно отметить, что давление р0 не влияет на величину vmax.
Оно будет сказываться лишь на величине расхода при истечении
газа.
Нетрудно выяснить, в какой мере повышается температура газа
при его торможении от некоторой скорости v до нуля. В самом
деле, из уравнения (З.Г) получаем
При /с= 1,4 и #^287,04 дою/кг-град, будем иметь
Чтобы вывести формулы для определения давления,
плотности, температуры и скорости звука в зависимости от. скорости
потока, надо воспользоваться уравнением C.1), написав его в виде
J_ _ZL i ?!l__ i _ v* /q л\
i0 — To — 2/0~ 2 " \°-л/
max
Считая течение газа изэнтропическим, будем иметь
т \ к
Ро \ То ) ' Ро
или, используя C.4), получим
"' Ч ^, C.5)
Ро
т
— 54 —
Из формулы C.6) можно установить, что при малых
скоростях течения плотность изменяется весьма незначительно. В самом
деле, разлагая — в ряд, получим
Р _ 1 1 у2 .2 — к v*
р0 /с—1 ^ ' 2 (ю-1J v*max
Отбрасывая малые величины, т. е. —^— и последующие,
находим
р — Ро [_
Ро ' *-1 ^
max
Если принять Г0=288°К (утах=756 м/сек), то при скоростях
а<75 м/сек плотность будет меняться в пределах 2%. В этом
случае для давления из формулы C.5) находим
Используя выражение C.3) для i>max, будем иметь
Ро Л — 1 2/с р0 '
ИЛИ
т. е. при малых скоростях давление определяется из уравнения
Бернулли B.22) для несжимаемой жидкости.
Так как скорость' звука в газе связана с его температурой
соотношением
то
где
а — скорость звука, соответствующая скорости течения v и
температуре Г;
а0 —скорость звука в состоянии торможения газа.
Скорость звука в фиксированном месте газового потока в
дальнейшем будем называть местной скоростью звука по аналогии
с местной скоростью потока.
— 55 —
Зависимости давления, плотности и температуры от скорости
течения газа (в безразмерных величинах) представлены на
рис. 3.2; кривые построены по уравнениям C.5) — C.7).
Полученным результатам нетрудно дать простое физическое истолкование.
При изэнтропическом течении газа возрастание его
кинетической энергии может происходить только при условии понижения
потенциальной энергии (теплосодержания) газа. Поэтому
увеличение скорости потока при изэнтропическом течении газа связано
с падением его температуры и давления. Но так как при этом дав-
Рис. 3.2. Зависимости давления,
плотности, температуры в газовой
струе от скорости движения газа
'max
Рис. 3.3. Изменение скорости
звука в зависимости от скорости
потока
ление падает интенсивнее, чем температура, то плотность газа
сростом скорости течения уменьшается (плотность газа, как известно,
прямо пропорциональна давлению и обратно пропорциональна
температуре; указанное справедливо и для адиабатических
течений газа).
Таким образом, при изэнтропическом или
адиабатическом течении газа с ростом
скорости происходит расширение газа.
Возвращаясь к уравнению C.8) и используя формулу C.3),
получим
-*¦). C.9)
Из формулы C.9) следует, что с увеличением скорости
движения газа v скорость звука а уменьшается и при некоторой скорости
потока становится равной последней (рис. 3.3). Эта местная скорость
потока, равная местной скорости звука, называется
критической скоростью и обозначается через акру т. е.
v=a=aKp.
Сечение струи газа, в котором местная скорость равна местной
скорости звука, называется критическим. Все остальные
— 56 —
параметры газового потока — давление, плотность, температура —
в том месте, где v = а = акр, тоже называются критическими
и обозначаются соответственно через ркр, РкР, Ткр.
Если в формуле C.9) скорости v и а считать равными акр, то
2 К—\ /2 2 \
п.гг-— I 7)~.п„ П,,** I
^ку n v^max w'KP/>
откуда
a|p=/i=ji»Lx. (зл°)
Для воздуха критическая скорость акр=0,408 угаах.
Используя формулы C.9) и C.10), легко получить следующую
зависимость:
ilP-~v\ C.11)
Из выражения C.10) следует, что критическая скорость
зависит только от температуры торможения То. Действительно,
подставляя в формулу (ЗЛО) значение утах по формуле C.3),
получим
к+1 Ро
Учитывая, что кЯТ0=а1> находим
alv=-^al C.13)
В частности, используя формулу C.12) для воздуха (/с= 1,4,
= 287,04 дж/кг-град), будем иметь
Окр» 18,3 УТ;. C.14)
Если скорость акр выразить не через температуру
торможения 70, а через критическую температуру Ткр, то на
основании формулы aKp=YKRTKp, получим
/ C.15)
Для температуры газа Ткр, соответствующей критической
скорости, из формулы C.7) имеем
* кР 1 ___ акР
max
откуда, используя выражение C.10), получаем
'о- (зл6>
. Зак. 801 — 57 —
Так как для изэнтропического процесса
Ро\То) ' Ро
то, используя C.16), будем иметь
т)^гР0. (ЗЛ8)
Таким образом, все параметры газа в сечении, где скорость
потока достигает скорости звука, являются функциями только
параметров торможения То, р0 и р0. Формулы C.16)—C.18) при
/с= 1,4 принимают вид
Гкр=0,831Г0, ркр=0,636р0, ркр=0,528р0. C.19)
Таким образом, при изменении скорости потока от v—О до
V--акр температура воздуха уменьшается на 16,9%, плотность —
на 36,4%, а давление —на 47,2%.
Введем безразмерную величину
Ь=Т-> C.20)
"кр
которую будем называть коэффициентом скорости.
Коэффициент скорости в отличие от числа М пропорционален
скорости потока, так как критическая скорость в потоке с постоянной
температурой торможения не изменяется. Очевидно, что при М<^1 и
Х<1 течение газа будет дозвуковым, при М>1 и АГ>1 —
сверхзвуковым, а при М = 1 и X = 1 — звуковым.
В дальнейшем в ряде случаев будет удобно пользоваться
формулами для параметров газа, выраженными не через скорость
потока, как в уравнениях C.5) — C.7), а через величины М и Я.
Получим эти формулы.
Из равенств C.8), C.10) и C.13) следует
у2 а2 4 v2 / - у* \ к-
2
^max UO umax
откуда
v2 1
1 —
M2
С другой стороны, учитывая равенства (ЗЛО) и C.20), имеем
v2 aKV v2 к — 1
v2 a2
итах акр
— 58 —
X2.
Следовательно,
vmax
= 1 —
к — 1
ж+1
откуда можно получить
Л» =
м
C.21)
C.2Г)
Используя равенства C.21), формулы C.5)—C.7) можно
привести к виду
к
i=T, C.22)
1
~' , C.23)
или
Т
77
-(.+
2
/с—1
C.24)
if -L
C.25)
Из формул C.22) — C.25) видно, что с ростом чисел Ми 1
температура, скорость звука, давление и плотность газа
уменьшаются. Формула C.22) имеет
большое практическое значе- Vtp
ние. Ею, в частности, обычно ~
пользуются для нахождения
числа М в дозвуковых
аэродинамических трубах,
определяя экспериментально
давление торможения р0 и
статическое давление р в потоке.
Для этого можно
воспользоваться насадком, имеющим
два приемных канала —
центральный и периферийный
(рис. 3.4).
Манометр, присоединенный к внутреннему (центральному)
каналу измерительного насадка, замеряет давление торможения р0,
Ч манометрам
Рис. 3.4. Измерительный насадок для
определения числа М в газовом потоке
— 59 —
ЗВ*
а манометр, подключенный к внешнему (периферийному)
каналу, — давление р в потоке, называемое статическим давлением.
Зная р0 и р, по формуле C.22) можно вычислить число М потока.
Из формулы C.24) следует, что температура торможения
зависит от температуры и числа М потока:
T9=T(l+^-M*y C.26)
для к = 1,4
Т0=ТA +0,2М2). C.27)
При обтекании тела потоком газа температура торможения
равна температуре газа в критической точке поверхности. При
больших числах М температура торможения значительно превышает
температуру набегающего потока. Например, для к = 1,4 при
М = 1 температура торможения То равна 1,2Т, при М = 5 То =
= 6Г и при М = 10 То =21Г.
§ 3. 2. Связь между скоростью течения газа
и формой его струи
Настоящий параграф посвящен установлению связи между
изменением основных параметров газового потока и изменением
формы его струи, т. е. между изменением площадей ее проходных
сечений. Выяснение этого вопроса даст возможность определить,
в каком направлении следует изменять площади сечений газовой
струи, для того чтобы основные параметры газового потока, в
частности его скорость, изменялись в нужном.направлении.
Для установления связи между изменением скорости потока
и формой струи воспользуемся уравнением неразрывности в
форме массового расхода:
pvF = const.
В результате дифференцирования получаем
iP+^ + J^=O, C.28)
Выразим -?- через относительное изменение скорости —. Из
формулы C.6) следует, что
— 60 —
тогда
dp v2 dv
p a2 v
Подставляя выражение C.29) в C.28), получим
dF _ _ / . y2 \ ^
C.29)
C.30)
Рассмотрим следующие возможные случаи.
1. Скорость течения газа v меньше скорости звука а, т. е. v<Ca.
При этом
1—? >0.
Из уравнения C.30) следует, что при увеличении скорости
площадь поперечного сечения струи уменьшается (dF<4)). Это
означает, что если сечение струи сужается, то давление будет падать,
а скорость увеличиваться. Аналогично можно показать, что при
увеличении сечения струи дав-
ление будет возрастать, а
скорость уменьшаться.
2. Скорость течения газа
v больше скорости звука а,
т. е. v^>a. В этом случае
(•-¦?)«>
Спорость
уделичи -
бается
Скорость
уменьшается
М< 1
Рис. 3.5. Зависимость скорости
течения газа от формы газовой струи
и, следовательно, знаки dv и
dF будут совпадать. Это
означает, что при увеличении
сечения струи скорость
возрастает, а давление
уменьшается. Следовательно, если
скорость газа v больше скорости
звука, то характер течения прямо противоположен характеру
течения с дозвуковыми скоростями.
Подчеркнем, что в обоих рассмотренных случаях характер
связи между скоростью и давлением не меняется. Например, если
скорость v растет, то давление р падает, и наоборот. Но характер связи
между скоростью v (или давлением р) и сечением струи F
существенно зависит от отношения скорости потока к скорости звука,
т. е. от числа М
(рис. 3.5).
— 61 —
3. Скорость течения газа v равна скорости звука, т. е. v= a.
В этом случае
1-5 = 0.
и из уравнения C.30) следует, что
Поскольку при ускорении дозвукового газового потока площади
сечений струи уменьшаются, а при ускорении сверхзвукового
газового потока эти же площади увеличиваются, то отсюда следует, что
при непрерывном переходе скоростей
потока от дозвуковых значений к
сверхзвуковым сечения будут вначале
уменьшаться, а затем увеличиваться. При
этом, как показывает последнее
равенство
dx
= 0 при -°-=
Рис. 3.6. Сверхзвуковое
сопло (сопло Лаваля)
в наименьшем сечении струи скорость
потока достигнет скорости звука, т. е.
v = а = акр. Как видим,
критическое сечение газовой
струи является ее
минимальным сечением.
Из изложенного следует, что одним сужением дозвуковой струи
газа нельзя получить сверхзвуковых скоростей течения. Для этого
необходимо вначале сузить струю до получения в наиболее
узком ее сечении скорости, равной скорости звука v = акр, а з а т е м
расширить ее для получения сверхзвуковых скоростей. Так
именно и устроены сопла, предназначенные для получения
сверхзвуковых скоростей (сопла Л аваля). На рис. 3.6 показан характер
изменения скорости и давления по длине такого сопла.
Для того чтобы выяснить причины, обусловливающие
установленный выше характер связи между скоростью газовой струи и
площадью ее сечений, рассмотрим зависимость удельного расхода
газа, т. е. величины pv, от скорости газа v.
Удельный расход pv можно записать в следующем виде:
где р0 — значение плотности при скорости газа, равной нулю.
Используя формулу C.6), будем иметь
C.31)
— 62 —
Отсюда видно, что удельный расход равен нулю в двух
случаях: при а = 0 и при v = атах, так как в последнем случае
плотность газа р обращается в нуль. Следовательно, при
каком-то промежуточном значении скорости 0 < v < ршах удельный
расход pv должен достигать максимального значения (pv)max.
Найдем это значение v. Для этого приравняем производную от
pv no v к нулю:
= 0.
dv
Продифференцировав выражение C.31) для удельного
расхода по v и приравняв его к нулю, будем иметь
Т Ро° (
k-l у
¦-1 2v
"max
-=0.
Так как искомое значение v Ф ?>шах, то, сокращая на
/1 \—)*-1, получаем
> утах /
х k—
или
1 —
v2 k-\ v2
max vmax
Решая последнее уравнение относительно v и учитывая
уравнение C.10), находим искомое значение скорости, при
котором pv=(pv)max:
*=^t?«=a»p. C.32)
Таким образом, удельный расход достигает максимума при
v = акр.
Зависимость удельного расхода pv от скорости у,
рассчитанная по уравнению C.31), представлена на рис. 3.7. Здесь
отчетливо видно, что с увеличением скорости v удельный расход
pv вначале растет (при 0<акр), достигает максимума при v =
= акр и затем (при а>акр) уменьшается.
Учтем уравнение расхода, выражающее условие сохранения
— 63 —
секундной массы газа, проходящей через различные сечения
струи:
pvF = const.
Из этого уравнения следует, что при возрастании скорости в
области дозвуковых скоростей, т. е. при увеличении удельного
расхода, площадь поперечного сечения струи уменьшается, достигает
минимума при v =акр и затем в области сверхзвуковых скоростей
начинает расти в соответствии с уменьшением р v. Минимальное
сечение струи является критическим сечением.
Рассмотрим возможные случаи течения газа по соплу Лаваля
(рис. 3.8).
Прежде всего очевидно, что режим течения газа в сопле
Лаваля зависит от перепада давления между входным и выходным
к
Рис. 3.7. Зависимость
удельного расхода газа от
скорости его движения
Рис. 3.8. Различные
случаи течения газа по
соплу Лаваля
сечениями. Если наружное давление в среде рн> куда вытекает
газ, меньше давления в котле ро, то течение газа по сужающейся
части сопла Лаваля будет ускоренным, т. е. скорость газа
будет монотонно увеличиваться, а давление — соответственно
падать. Характер же течения газа вдоль расширяющейся части
сопла Лаваля будет существенно зависеть от того, достигнет
скорость в минимальном сечении сопла критического значения
или нет.
Если наружное давление рн мало отличается от давления в котле
ро, то скорость газа в минимальном сечении сопла не достигнет
критического значения (^<аКр), поток остается дозвуковым и
скорость газа в расширяющейся части сопла будет монотонно убывать,
— 64 —
а давление — возрастать до величины рн на срезе сопла (кривые /
на рис. 3.8). В этом случае расширяющаяся часть сопла Лаваля
работает как обычный дозвуковой диффузор, и течение в сопле всюду
будет дозвуковым. Если же наружное давление рн меньше
критического (рн<СРкр), то скорость газа в минимальном сечении сопла
достигнет величины местной скорости звука (v = акр), и в
расширяющейся части сопла скорость потока будет продолжать
увеличиваться, т. е. течение в этой части сопла будет сверхзвуковым
(кривые 2 на рис. 3.8).
Теоретически возможен и такой случай, когда скорость
сверхзвукового потока при входе в сопло, уменьшаясь в сужающейся
части, все же не доходит до критического значения. В результате
в расширяющейся части сопла скорость потока будет возрастать,
т. е. поток по всему соплу останется сверхзвуковым. Этому
случаю соответствуют кривые 3 на рис. 3.8.
Наконец, на рис. 3.8 приведена пунктирная кривая 4,
соответствующая случаю, когда сверхзвуковая скорость потока при входе
в сопло становится равной критической скорости в критическом
сечении и в расширяющейся части сопла продолжает монотонно
убывать (давление при этом монотонно возрастает). Однако, как
показывает опыт, непрерывный плавный переход от сверхзвуковой
скорости к дозвуковой в трубах переменного сечения не реализуется
на практике. В действительности переход от сверхзвуковой скорости
к дозвуковой сопровождается резким (скачкообразным)
уменьшением скорости от сверхзвуковых значений до дозвуковых и
соответствующим скачкообразным ростом давления (см. гл. IV).
Найдем отношение площадей ¦f- в зависимости от числа М. Для
гкр
этого воспользуемся уравнением неразрывности
откуда
F __ Ркр ^Кр /g 2дч
В формуле C.33) сделаем следующую замену:
/ 2 teri
D = aM, Ркр=1т-гг) Ро,
.ft+i
C.34)
— 65 —
В результате подстановки выражений C.34) в формулу C.33)
получаем
кр
к+\
1 +•
M( fe + i W-o
C.35)
Для воздуха при &=
F _ A + 0,2M2K
кр
1.73М
C.36)
Из формул C.35) и C.36) следует, что отношение площади
сечения сопла к площади критического сечения при изэнтропическом
течении газа зависит от числа М, которое необходимо получить
в данном сечении (рис. 3.9). При заданной конфигурации сопла для
расчета числа М в выбранных |
сечениях можно пользоваться формулами
C.35) и C.36).
"^
\
V
J
/
/
/
о
1
Pwc. 5.P. Зависимость отношения
площади сечения сопла Лаваля к площади
критического сечения от числа М
(к =1,4)
Рис, 3.10. Нерасчетный ре-
жим работы сопла
Из рис. 3.9 видно, что одному и тому же значению отношения р~
соответствуют два значения М — одно при дозвуковой скорости,
Р
другое—при сверхзвуковой. Для заданного отношения -в— можно
кр
определить число М в соответствующем сечении сопла. Давление
в том же сечении можно найти по формуле C.22). При этом в
выходном сечении сопла будут получены некоторые расчетные значения
Мир.
— 66 —
Если расчетное давление на срезе сопла равно внешнему
давлению рн> то режим течения газа внутри сопла называется
расчетным. При этом давление вдоль сопла непрерывно уменьшается от
давления р0 до наружного давления рн (кривая Сг С3 С2 на рис. 3.10).
Все другие случаи течения газа в сопле, когда наружное
давление не равно расчетному {р=?рн)> называются нерасчетными. При
этом могут быть следующие случаи: а) режим недорасширения, когда
давление на срезе сопла больше, чем наружное давление (р>рн),
б) режим перерасширения (р<Срн)-
Если внешнее давление рн меньше расчетного, то распределение
давления вдоль сопла не изменяется. Понижение наружного
давления по сравнению с расчетным приводит только к расширению
струи после выхода из сопла.
Картина течения газа за соплом и внутри него может
существенно измениться, если внешнее давление больше расчетного.
Если противодавление рн немного превышает расчетное
давление, то число М и давление р на срезе сопла не изменяются. Под
действием повышенного давления происходит торможение потока
за соплом, на выходе из сопла возникают косые скачки уплотнения
(см. гл. V). При возрастании противодавления рн скачок
уплотнения приближается к срезу сопла.
При дальнейшем увеличении рн внутри сопла образуется
прямой скачок уплотнения (гл. IV). В этом случае непрерывное
изменение скорости и давления вдоль сопла нарушается. За критическим
сечением устанавливается смешанное течение: сверхзвуковое —
до скачка уплотнения и дозвуковое — за скачком уплотнения.
Между критическим сечением и скачком уплотнения скорость
потока растет от v = акр до сверхзвукового значения ai>ai. При
этом давление уменьшается от рКр До pi. В скачке уплотнения
скорость потока внезапно уменьшается и становится дозвуковой, а
давление скачкообразно возрастает. Между скачком уплотнения и
срезом сопла, в соответствии с законом дозвукового течения, скорость
непрерывно уменьшается, а давление возрастает до внешнего
давления /?н. Чем больше противодавление рю тем скачок уплотнения
ближе к критическому сечению сопла.
На рис. ЗЛО показан примерный характер распределения
давления вдоль сопла при некотором значении наружного давления,
большем расчетного (кривая Ci Сз С'з Сг).
ЗАДАЧИ
1. Определить величину критической скорости потока воздуха, если
известна температура торможения То = 300° К.
2. Вычислить ошибку, которая допускается при определении давления
в критической точке на поверхности (давления торможения) без учета
сжимаемости при М = 0,2; 0,4; 0,6.
— 67 —
3. Между двумя сечениями расширяющейся части сверхзвукового сопла
число М увеличивается от Mi = 1,5 до М2 = 3. Найти отношение скоростных
напоров в рассматриваемых сечениях сопла.
4. Известны величины углов возмущения в двух точках потока [хг и jx2.
Определить значения чисел М и отношение давлений в этих точках.
5. Определить давление, плотность, температуру воздуха и удельный
расход в сечениях сверхзвукового сопла, в котором скорость потока равна
0»2 атах> 0,6 1>тах> если известны параметры торможения потока (параметры
газа в котле, из которого газ вытекает) То = 300° К, ро = 2 am. Кроме того,
найти отношение площадей рассматриваемых сечений сопла к площади
критического сечения.
6. Воздух из котла вытекает в атмосферу (Я = 3 000 м) через сопло Ла-
валя. Известно отношение площади выходного сечения к площади крити-
F
ческого сечения -р— = 3,5. Определить величину давления в котле, при кото-
* кр
ром сопло работает на расчетном режиме.
7. Определить температуру торможения (температуру в критической
точке), если известны скорость v = 2 000 км/час и высота полета Н = 50 000 м.
Глава IV
ТЕОРИЯ ПРЯМОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
Одна из особенностей сверхзвуковых течений заключается в том,
что в ряде случаев основные параметры, характеризующие
движение и состояние газа (давление, плотность, температура и скорость),
не являются непрерывными функциями точек пространства,
заполненного текущим газом. Опыты показывают, что при более или
менее значительном торможении
сверхзвукового потока в
последнем возникают поверхности,
при прохождении через которые
величины параметров газа
скачкообразно изменяются. Места
резкого скачкообразного
увеличения давления, плотности и
температуры и уменьшения
скорости носят название
скачков уплотнения.
На рис. 4.1 показаны скачки
уплотнения, возникающие при
обтекании сверхзвуковым пото-
ком остроносого тела. Как ви- р„с 41 фотография обтекания
дим, в этом случае скачки начи- остроносого тела сверхзвуковым
покаются на острой кромке тела. током
Во многих случаях скачок
уплотнения образуется на
некотором расстоянии от носовой части обтекаемого тела и имеет
криволинейную форму (рис. 4.2, а).
Опыты показывают, что поверхности образующихся скачков
уплотнения могут быть как перпендикулярными к направлению
— 69 —
в)
и2
Рис. 4.2. Криволинейный скачок
уплотнения и схемы прямого и косого скачков
скорости набегающего потока (рис. 4.2, б), так и не
перпендикулярными к ней (рис. 4.2, в). В первом случае скачок уплотнения
называется прямым, аво втором— косым. Очевидно,что
криволинейная поверхность скачка уплотнения, показанная на рис. 4.2, а,
состоит из прямого скачка
(в центральной части) и
$ системы косых скачков
__ _ уплотнения.
Vi r V2m Возникновение скачков
уплотнения объясняется
характером
распространения возмущений в
сверхзвуковом потоке.
Как известно, в
дозвуковом потоке возмущения
распространяются во всех
"* ^л^ j- направлениях, в том числе
/ и против направления ско-
/ рости потока. Поэтому
волна повышенного
давления, возникающая,
например, перед телом,
распространяясь вперед,
деформирует набегающий поток,
при этом линии тока искривляются уже перед телом. Поток как
бы заранее приспосабливается к обтеканию тела. Вдоль нулевой
линии тока происходит непрерывное уменьшение скорости от v^
до у =0в критической точке, а давление возрастает от роо до
давления торможения р0. Отсюда следует, что в дозвуковом потоке
скачки уплотнения не могут возникнуть.
В сверхзвуковом потоке возмущения против направления
скорости не распространяются. Поэтому даже непосредственно перед
заостренным телом поток не возмущен. При встрече с таким телом
направление скорости потока внезапно изменяется (см. рис. 4.1).
Это приводит к скачкообразному изменению величин скорости
потока, давления, плотности и температуры.
При обтекании тупоносого тела появляется сильная волна
повышенного давления, которая распространяется со скоростью,
значительно превышающей скорость звука (§ 4.5 гл. IV). По мере
распространения волны повышенного давления интенсивность ее
падает. Уменьшается при этом и скорость распространения волны.
Поэтому скачок уплотнения возникает перед телом на таком
расстоянии, когда скорость распространения волны повышенного
давления становится равной составляющей скорости набегающего
потока, направленной против движения волны (см. рис. 4.2, а).
Расстояние отсоединенного криволинейного скачка уплотнения
от тела зависит от формы тела и скорости невозмущенного потока
— 70 —
^оо. Очевидно, что чем больше Vqq, тем ближе располагается скачок
уплотнения к телу.
Скачок уплотнения, строго говоря, представляет собой не
математическую поверхность, а слой весьма малой толщины (порядка
длины свободного пробега молекул). Поэтому в теории скачков
уплотнения математически их можно заменять поверхностями
разрыва.
Следует подчеркнуть (это будет доказано ниже), что появление
скачков уплотнения около тела приводит к увеличению его лобового
сопротивления.
§ 4. 1. Основные соотношения для прямого
скачка уплотнения
Перейдем к изложению основных свойств скачков уплотнения.
Допустим, что в некотором сечении АВ сверхзвукового потока
газа образовался прямой скачок уплотнения. Обозначим параметры
состояния газа до скачка через ръ рь 7\ и vv а после скачка —
через р2» Рг> ^2 и 02. На рис. 4.3
показан характер изменения скорости и
давления в прямом скачке.
Считая, что значения параметров
газа до скачка известны, получим
формулы для определения их после скачка.
Для нахождения зависимости между
параметрами газа за скачком и перед
ним используем уравнение
неразрывности, уравнение количества движения,
уравнение энергии и уравнение
состояния.
Уравнение неразрывности,
выражающее равенство секундных масс газа до и
после скачка, напишем в следующем
виде:
= Р202. D.1)
г
V;
в
ПЕТ
Рис. 4.3. Характер
изменения скорости и давления
в прямом скачке уплотнения
Так как изменение количества движения газа при
прохождении через плоскость скачка происходит в результате разности
давлений р2—р19 то
Р2 — Pi = Pi ^1 @i — 02) • D.2)
Равенство полной удельной энергии, которой обладает газ
перед скачком и за ним, имеет вид
4T+*'i= -? + *"«. D.3)
— 71 —
Возможность применения этого уравнения к сечениям струйки,
расположенным по разные стороны от плоскости скачка,
обусловливается тем, что процесс сжатия газа в скачке уплотнения можно
считать адиабатическим (т. е. теплоизолированным). При
прохождении газа через скачок его полная энергия не изменяется,
происходит только перераспределение различных видов энергии —
теплосодержание увеличивается в результате соответственного
уменьшения кинетической энергии.
Используя применительно к скачку уравнение состояния газа
A.7'), будем иметь
?=$;?} D-4)
Система четырех уравнений D.1) — D.4) позволяет определить
значения параметров газа за скачком по их значениям перед ним.
Из условия постоянства полной удельной энергии i0 дои после
скачка уплотнения следует, что температура торможения в скачке
уплотнения не изменяется, так как она равна
1Ср
или в системе единиц СИ
Тогда, пользуясь формулами C.3) и C.10), получим, что в потоках
до и после скачка уплотнения максимальная vmax и критическая акр
скорости имеют одинаковые значения. Следовательно, в потоках до
и после скачка уплотнения значения удельных расходов pv,
полной удельной энергии /0, температуры торможения Го,
максимальной vmax и критической акр скоростей одинаковы.
Получим формулу для определения скорости потока за скачком
уплотнения. Из уравнения D.2) имеем
Г| _ fi — Р* Pl
Помножим обе части этого уравнения на произведение
скоростей vxv2:
Viv2(v,-v2) = j^v1-j^v2 D.5)
и выразим отношение — через скорость потока. Для этого
представим — в следующем виде:
где а2 можно определить по формуле C.9).
— 72 —
Тогда
z = ^_L(cLx-^) D.6>
D.7}
p2 *к
Подставляя в уравнение D.5) отношения —и — D.7),
'получим
Vl V2 {V1 — V2) = ^=— [viax (V! — V2) — Vx V2 (v± — V2)] .
В скачке уплотнения vx Ф v2. Поэтому, сокращая обе части
уравнения на разность vx — v2> в результате небольших
преобразований получим
/с— 1 2
или
v1v2 = alp. D.8)
Формула D.8) называется формулой Прандтля.
Обозначим коэффициент скорости до скачка уплотнения
через Х1=-^-, за скачком — через Х2 = -^-. Тогда из форму-
акр "кр
лы D.8) следует, что
ХД2=1. D.9>
В формулах D.8) и D.9) скорость потока до скачка
уплотнения сверхзвуковая ?>i>#i(^i^> 1). Тогда скорость за скачком
уплотнения, равная
меньше скорости звука (а2<#кр> У2<я2> А2<1).
Следовательно, при переходе через прямой скачок уплотнения
сверхзвуковой поток становится дозвуковым. Минимальная скорость
потока за скачком уплотнения будет при t/1=ymax(M1=oo)
2
— 73 —
Найдем относительное изменение скорости ( Vl p v* j в
прямом скачке уплотнения в зависимости от числа Мх:
= J V2_
V
Подставив v2, найденную по формуле Прандтля D.8), получим
^1 ^2 1 Кр /л 1 г\\
Ol = 1 — -^г- D.10)
2
Преобразуем выражение -— следующим образом:
vi
2 2
aZ~ и- 1 ^Z,«v л- 1 / 9 1
кр л. 1 шах л, 1 / 1 . а 1
2 и- _L 1 2 «л I 1
yj к -f- 1 ^j /с -f- l
Подставив выражение D.11) в формулу D.10), получим
i^ = ^rrA-^)- D-12)
Из формулы D.12) видно, что чем больше число Мь тем
больше относительное изменение скорости в прямом скачке
уплотнения, т. е. чем больше число Мх, тем интенсивнее скачок
уплотнения. При Мх-> оо (ух-> итах)
vx к + 1
Для воздуха при лс= 1,4 максимальное относительное
изменение скорости (при Мх-> ос) равно ( Vl ~~~ щ \ = -g-.
Получим формулы для определения изменения давления
/?о On To
-^-, плотности — и температуры ~?~ в прямом скачке
уплотнения в зависимости от числа Мх. Из уравнения D.2) имеем
Pi Pi l ^i
Подставляя сюда ^~" °2 по формуле D.12) и принимая — =
= -^ , получим
а1
Pi = jLM?~^., D.13)
— 74 —
Из формулы D.13) следует, что изменение давления в
прямом скачке уплотнения для данного газа зависит только от
числа Мх (рис. 4.4). При Мх = 1 — = 1, а при Мх-^ оо отноше-
ние — неограниченно возрастает.
Для определения отношения — воспользуемся уравнени-
ем D.1):
Pi
Pl
Подставляя сюда v2, найденную
по формуле Прандтля D.8), имеем ^
_?l — ZL 20
Pi " а2кр '
10
где
кр
определяется по формуле
D.11). Тогда
н =
pi
/
У
/
к—\
М«
К—\
¦ м?
12 3^56
Рис. 4.4. Кривая зависимости
D.14) изменения давления El в пря-
Отсюда видно, что при Мх= 1 —
мом скачке от числа
а
Следовательно, при переходе через прямой скачок уплотне-
К. I 1
ния плотность возрастает, но не более чем в к__ t раз (для
воздуха при /с= 1,4 не более чем в 6 раз, а при лс= 1,2 не более чем
в 11 раз). Кривая зависимости — от Мх представлена на рис. 4.5.
Характер возрасаания плотности в прямом скачке
уплотнения объясняется значительным увеличением температуры за
скачком. Возрастание температуры можно определить,
пользуясь уравнением состояния D.4):
Pi
где отношения — и — можно найти по формулам D.13) и D.14)
Р\ Н
соответственно. Поэтому
— 75 —
Кривая зависимости отношения т~- от Мх показана на рис. 4.6.
т
Из формулы D.15) видно, что при Мг= 1 <р- = 1» а при
Мх-> оо отношение температур ~- неограниченно возрастает.
Например, уже при Mi=10 температура воздуха за скачком
уплотнения больше температуры перед скачком примерно в 20 раз.
ь
h
ft
5
14
3
2
1
/
/
/
-—
T,
Q
8
7
6
5
4
3
2
M. 1
/
/
1 23^56789 10
Рис. 4.5. Зависимость отношения Р—
Pi
от числа Щ для прямого скачка
уплотнения
J
6 М
Рис. 4.6. Кривая зависимости из-
т
менения температуры —2 в пря-
^i
мом скачке уплотнения от числа
Поэтому при больших числах Мх дальнейшее возрастание
плотности вследствие увеличения давления (рис. 4.4) почти
полностью компенсируется уменьшением плотности за счет
значительного повышения температуры за скачком уплотнения
(рис. 4.6).
§ 4. 2. Сравнение сжатия при прямом скачке
с изэнтропическим сжатием
При изэнтропическом процессе изменение параметров состояния
газа связано простым соотношением:
?l — ( р2 V
Pi \н)
D.16)
Из уравнения D*16) следует, что при неограниченном возрастании
давления плотность увеличивается неограниченно.
— 76 —
Кривая зависимости давления от плотности при изэнтропическом
течении называется изэнтропой,
В § 1 настоящей главы было показано, что в скачке уплотнения
при Мх-> оо давление неограниченно возрастает, а плотность уве-
личивается при этом не более чем в ——.-. раз. Отсюда видно, что
скачкообразное изменение параметров газа в прямом скачке
уплотнения не является изэнтропическим процессом и может
рассматриваться лишь как адиабатический процесс, если пренебречь
рассеиванием тепла, выделяющегося при
скачке. В этом случае уравнение D.16)
неприменимо и должно быть заменено
другим.
Для прямого скачка можно
получить соотношение, связывающее
непосредственно давление и плотность газа
до и за скачком уплотнения. Для этого
воспользуемся уравнениями D.13) и
D.14). Из уравнения D.14) следует, что
Ez
p,
40
30
М =
D.17)
Подставляя значение Мх из
уравнения D.17) в уравнение D.13),
получаем
20
10
Уд
ади
зрна
adai
я
va
/
1
'Из.
mmp
\
4
ona
2 3
5 6
_ к — 1 Pi
Pi
к+
D.18)
АС— 1
Pi
Pwc. 4.7. Изэнтропа и
ударная адиабата в координа-
max ?*, ?L
Pi Pi
Соотношение D.18) выражает закон
ударной адиабаты Гюгонио.
На рис. 4.7 изображены два закона: изэнтропический и
закон ударной адиабаты в координатах — и — .
Пользуясь уравнением состояния газа до скачка
уплотнения pi=RpiT1 и за скачком р2= /?р272, можно вывести для
прямого скачка зависимость между отношением давлений —
Т
и отношением температур ^-. Для этого в уравнении D.18)
надо выразить плотность через температуру и давление:
Р2
Pi
к +
к —
к -\
к —
1 /?2
1 Pi
- 1
-1
- 77 -
т,
Рг Тг
Pi Т2
1
т2
Решая это уравнение относительно ~-, получим
к— 1 Pi
Pi
D.19)
лс — 1
На рис. 4.8, так же как и на рис. 4.7, изображены два закона:
изэнтропический и закон ударной адиабаты, но только в
координатах — и =?.
Р\ Тх
Из рис. 4.8 видно, что при одинаковых отношениях давлений
^ температура при скачкообразном (ударном) сжатии больше, чем
D_ при изэнтропическом. Этот
разогрев газа при
8
6
Л
<
f
к
/1
р
У
/
сильный р
скачке и является причиной
того, что плотность газа за
скачком даже при бесконечном
возрастании давления р2
остается конечной величиной.
Итак, простое сравнение из-
энтропического сжатия со
сжатием ударным показывает, что
последнее не является изэнтро-
пическим. Поскольку ударное
сжатие можно рассматривать
как процесс адиабатический,
то отсюда следует, что энтропия
при ударном сжатии должна
та Л возрастать. Предположим, что
в процессе изэнтропического течения параметры газа изменяются
от ръ рх до р2из, р2. Допустим, что, кроме того, происходит
скачкообразное изменение, при котором газ из состояния plt Pl
переходит в состояние, также характеризуемое величиной плотности
Р2 и соответствующим ей на ударной адиабате давлением р2. Тогда
из изложенного выше следует (см. рис. 4.7), что
Рис. 4.8. Изэнтропа и ударная
адиабата в координатох Bl Zk
Pi1 Тг
Обратимся теперь к выражению для энтропии:
Для изэнтропического процесса изменения параметров газа
— 78 —
P2
Для скачкообразного изменения параметров газа
s2 = cv In ^|.
Следовательно,
с _ с — г 1П — — Г If! ^Н - г In P2
^2 ^1 — Ь7. Ill _, t^7, 111 „ — и„. Ill .
с»
Р2
Так как р2>р2из, то s2>sb т. е. при ударном сжатии энтропия
действительно возрастает.
Предположим теперь, что газ из состояния ръ рг скачком
разрежения переходит в состояние р2, Р2,т. е. p2<piHp2<J?i. Нетрудно
убедиться, что для скачков разрежения ударная адиабата пойдет
ниже изэнтропы и, следовательно, при одной и той же плотности р2
давление р2<Ср2из- Но тогда аналогично предыдущему получим
s2<Csi> T- е- энтропия изолированной системы при скачках
разрежения должна уменьшаться. Так как подобное уменьшение энтропии
противоречит второму закону термодинамики, то отсюда следует
вывод о невозможности существования в
адиабатических процессах скачков
разрежения.
Следует иметь в виду, что условие адиабатичности, на котором
основывается невозможность скачка разрежения, весьма
существенно. При неадиабатических процессах скачки разрежения
возможны и наблюдаются на практике. Примерами скачков
разрежения являются фронт пламени в потоке газа, скачок конденсации,
который возникает при конденсации влаги, находящейся в
газообразном состоянии в потоке воздуха, и др.
Так как при ударном сжатии энтропия возрастает, то отсюда
следует, что ударное сжатие — процесс необратимый.
Последнее означает, что при процессах, происходящих по закону ударной
адиабаты, часть механической энергии переходит в тепло, которое
уже не может быть полностью преобразовано в кинетическую энергию
без дополнительных затрат механической работы. Это положение
будет проиллюстрировано в конце § 4.4.
Сравним параметры газа после ударного сжатия с его
параметрами, соответствующими изэнтропическому сжатию.
Предположим, что газ из начального состояния vl9 ръ pv 7\ переходите
другое состояние двумя различными путями: изэнтропическим и по
закону ударной адиабаты.
Конечные параметры газа в первом случае обозначим через
Щ> р2> Р2> ^2> соответственно во втором случае — через у2ск, Р2ск,
р2ск, Т2ск- Пусть изэнтропический процесс протекает так, что
конечное давление и давление после скачка равны друг другу, т. е. р2 =
= р2ск, в этом случае Т2<Т2Ск (см. рис. 4.8).
— 79 —
Используем уравнение энергии B.25'). Так как начальные
условия в обоих случаях одинаковы, то, очевидно,
Т + Г=
Отсюда, имея в виду предыдущее неравенство Т2<С,Т2ск,
заключаем, что
Следовательно, при одинаковых конечных давлениях скорость газа
за скачком (необратимый процесс) будет меньше скорости в процессе
изэнтропического сжатия, т. е. часть кинетической энергии газа
при скачке необратимо переходит в тепло (температура газа
повышается) .
Сравним те же процессы, но при одинаковых конечных скоростях,
т. е. при v.z = v2ck- В этом случае из уравнения энергии находим, что
Т2=Т2ск, откуда р2ск<р2 (см. рис. 4.9). Следовательно, при
одинаковых конечных скоростях давление за скачком (необратимый про-
щесс) будет меньше, чем давление в обратимом изэнтропическом
процессе. Возрастание давления в скачке уплотнения меньше, чем
соответствующее увеличение давления при изэнтропическом
торможении потока до скорости, равной скорости потока за прямым
скачком уплотнения (V2 = v2ck)-
Как увидим далее, необратимое превращение механической
энергии в тепловую на скачке является источником так
называемого волнового сопротивления при обтекании тел потоком газа.
§ 4, 3. Графическое определение параметров
потока за прямым скачком уплотнения
Предположим, что до скачка уплотнения происходит изэнтро-
пическое течение с энтропией sv равной
Выражение Pi/p? можно представить в следующем виде:~ =
Pi
= Poi/роь где ро1 и ро1 — давление и плотность торможения до
скачка уплотнения.
Найдем р01 из уравнения состояния:
Pol-#7V
— 80 —
Тогда
Pi- Р/с
Poi
или с точностью до постоянной величины cv In RK выражение
для энтропии sx можно написать в следующем виде:
Sl = c>-gp D.20)
Уравнение кривой зависимости давления от скорости (изэн-
тропы) до скачка уплотнения имеет вид
D.21)
В прямом скачке уплотнения энтропия по всем линиям тока воз-
paciaeT на одну и ту же величину. Поэтому за скачком поток
также является изэнтропическим с постоянной энтропией s2, которую
можно определить по формуле D.20), подставляя в нее вместо р01
давление торможения за скачком уплотнения р02:
s2 = cvln^. D.22)
Р
Поскольку s2>Si, то /?02<р01.
Температура торможения, максимальная и критическая
скорости в потоках до и после скачка уплотнения одинаковы.
Поэтому для определения изэнтропы за скачком уплотнения
можно построить семейство изэнтроп
D.23)
имеющих постоянную температуру торможения при различных
значениях р0 (рис. 4.9). Это семейство кривых соответствует
всевозможным течениям с одной и той же температурой торможения и с
переменной энтропией (давлением торможения р0). Задача состоит в том,
чтобы Определить возможные скачки с одной из этих кривых на
другую.
4 Зак. 801 — 81 —
Найдем тангенс угла наклона касательной к изэнтропе в
произвольной точке:
dp
^=Т 2v
const
Рис. 4.9. Семейство изэнтроп при постоянной
температуре торможения
Из формулы C.6) следует, что A \—Г 1=^-. Тогда, под-
ставляя сюда выражение vmax по формуле C.3), получим
dv~ ¦"•
В прямом скачке уплотнения удельный расход не изменяется:
p1v1= p2v2. Поэтому (-J?) = l-p) , т. е. углы наклона касатель-
\ /1 \ /2
ных к изэнтропам до и после скачка уплотнения при скоростях
v-i и v2 соответственно равны.
Найдем отрезки р, отсекаемые касательными на оси
давления. Из рис. 4.10 видно, что
р = р _[_ р^2
На основании уравнения изменения количества движения D.2)
т. е,
Pi = Р2-
Отрезки, отсекаемые касательными к изэнтропам до и после
скачка уплотнения на оси р, также совпадают. Следовательно,
82
tga - pu
скачок с кривой 1 (с энтропией sx) на кривую 2 (с энтропией s2)
происходит между точками, имеющими одну и ту же касательную
(см. рис. 4.9). Поэтому для нахождения возможного скачка
уплотнения нужно провести касательную к изэнтропе / при заданной
скорости vv затем из семейства изэнтроп D.23) выбрать ту кривую,
которая касается этой прямой. Это будет изэнтропа 2 за скачком
уплотнения. Скорость v2 и
давление р2 за скачком
уплотнения определяются по точке
касания В.
Каждая изэнтропа имеет
точку перегиба при v = акр.
Поэтому скачок должен
происходить от сверхзвуковой
скорости v± к дозвуковой v2.
Отрезок, отсекаемый из-
энтропой на оси давления,
равен давлению торможения
за скачком уплотнения. Из
Рис. 4.10. Касательная к изэнтропе
в произвольной точке
рис. 4.9 видно, что рО2<Роь т- е- ПРИ переходе через скачок
уплотнения происходят потери полного напора. Из рис. ,4.9
также видно, что чем больше vi, тем меньше р02 (тем больше
потери в скачках).
Зная v2 и пользуясь уравнением постоянства удельного
расхода, можно определить р2:
Тогда из уравнения состояния можно найти температуру Г2:
Из рис. 4.9. следует, что при адиабатическом течении скачки
разрежения невозможны, так как скачок разрежения означал бы
переход от точки В на изэнтропе с большей энтропией s2 в точку А на
кривой с меньшей энтропией. Из того же рисунка видно, что в
скачках уплотнения происходят необратимые потери:
1- ДJ<АI-
2- Ai<J?2> здесь р2 — давление при изэнтропическом торможении
потока (если бы оно было возможно) до скорости v2.
3- Pi<Pi, здесь р\ —давление, которое возникает в потоке за
скачком уплотнения при его изэнтропическом ускорении до
первоначальной скорости vx.
4. Vi<^vl9 здесь V\ —скорость в изэнтропическом потоке за
скачком уплотнения, при которой давление равно первоначальному
Давлению рг.
— 83 —
4*
Следовательно, при одной и той же скорости vx в потоках до и
после скачка уплотнения происходят необратимые потери
давления (p\<Cpi)- При одном и том же давлении рх имеют место потери
скорости (v!<>i). Потери давления (скорости) определяются
необратимыми потерями полного напора (pO2<CPoi)B скачках уплотнения.
Для характеристики потерь полного напора обычно вводят
коэффициент потерь полного напора (коэффициент восстановления
полного давления):
Poi
Из рис. 4.9 видно, что с увеличением числа Мх коэффициент
а уменьшается.
§ 4. 4. Давление в критической точке
за прямым скачком уплотнения
Обозначим через v1 и р1 скорость и давление сверхзвукового
потока перед прямым скачком уплотнения (рис. 4.11), через v2 и
р2 — скорость и давление непосредственно за скачком уплотнения,
через р02 — давление в
критической точке (в которой
скорость течения газа
v = 0). Будем считать, что
поток до скачка и после
скачка — изэнтропический.
Найдем давление р02
в критической точке. От-
ношение давлении —
Pi
можно записать в виде
следующего
произведения:
Рис. 4.11. К определению давления
торможения за прямым скачком уплотнения
Рог
Pi
Р2 Р02
Pi P2 '
Отношение р— найдем, используя формулу D.13):
Р2
Pi
к— 1
к+1
М?
2к
к—\
D.24)
D.25)
Используя формулу C.5) для изэнтропического процесса,
будем иметь
Bl - I I
—
*-1
— 84 —
или, используя формулу D.8),
/ 1 \ к
El. = М _ к~х El V - 1
/?02 \ К + 1 V J
Р0'2
Если в этом уравнении заменить отношение скоростей —
по формуле D.12), то окончательно получим
р2 _ I 2(/с—
L
Подставляя в уравнение D.24) значения — и —, определяе-
Pl P2
мые уравнениями D.25) и D.26), получим искомую формулу для
давления в критической точке за прямым скачком уплотнения
7JTJHH 12(^1)]
-1 M
которая при /с = 1,4 приобретает вид
Ре 166>7Mi
Формулы D.27) и D.28) называются формулами Реле я.
Зависимость — от Мх, определяемая формулой D.28),
изображена на рис. 4.12. Для сравнения на этом же графике
приведена кривая, определяющая давление в критической точке р01
при отсутствии скачка уплотнения (давление изэнтропического
торможения), вычисленная по формуле C.22), которая при к=\А
принимает вид
D.29)
Исключая из формул D.27) и C.22) давление р± и вводя
обозначение — = а, получим следующие соотношения:
Poi
— 85 —
К-JL Г (/С+1J1л
лс+ 1 L2(ac— 1) J
при /с = 1,4
а =
166,7 М?
D.30)
D.30')
Величина а называется коэффициентом потерь
полного напора, или коэффициентом
восстановления полного давления. Зависимость а от числа Мх,
определяемая формулой D.30), приведена на рис. 4.13. При Мх = 1
а = 1 (р02 = ро1), а при Мх > 1 коэффициент а < 1. С ростом
р числа Мх коэффициент потерь пол-
-^ ного напора а убывает (потери
полного напора возрастают).
150
100
50
р
01
Д
Рмс. 4./2. Зависимость
давления торможения за
прямым скачком уплотнения
от числа Mj
(
5
\
7.
\
\
3
4
*^
Рис. 4.13. Зависимость
коэффициента потерь полного
напора от числа Мг
Зависимость D.28) имеет практическое значение, так как
позволяет определить число Мх потока (при Мх>1) по замеренным
значениям давлений р02 и рх.
Рис. 4.12 и 4.13 показывают, что полный напор р02 за прямым
скачком уплотнения меньше, чем полный напор р01 передним.
Вообще, как показывают расчеты и опыты, полный напор за любым
скачком уплотнения (косым, криволинейным) уменьшается по
сравнению с полным напором перед ним. Это обстоятельство хорошо
иллюстрирует вывод, сделанный выше, о том, что при ударном
сжатии тепло, полученное в результате преобразования части
механической энергии, уже не может быть полностью преобразовано
в кинетичеокую энергию без дополнительных затрат механической
работы.
— 86 -
§ 4. 5. Скорость распространения волны
повышенного давления
В предыдущем изложении говорилось, что скачок уплотнения
возникает в потоке газа при сверхзвуковой скорости vv при этом
плоскость скачка уплотнения (ударную волну) принимали
неподвижной. Очевидно, что ту же скорость v± в обращенном движении
можно рассматривать как скорость распространения ударной
волны — волны повышенного давления (р2 — рх) в неподвижной среде.
Найдем зависимость скорости распространения ударной волны
v-l от интенсивности волны. Для определения повышения давления
за ударной волной р2 — рх воспользуемся уравнением изменения
количества движения D.2), подставляя в него скорость v2 из
уравнения неразрывности D.1):
Отсюда
Pi-Pi =P_Lvl D.31)
p2 — Pi P2
Пользуясь уравнением ударной адиабаты D.18), получаем
PiziPjl = k ?i±El9 D.32)
P2—Pl P2 + P1
Тогда, подставляя D.32) в уравнение D.31), найдем скорость
распространения волны повышенного давления:
Р2_
P2+P1
D.33)
Рассмотрим очень слабую ударную волну, т. е. предположим,
что р2-> Pi и р2-> р1в Тогда в пределе при /?2-> рх и р2-> рх из
формулы D.33) получим
'"А D.34)
Pi
т. е. скорость распространения слабой ударной волны совпадает
со скоростью звука:
Отсюда следует, что звуковая волна представляет
собой скачок уплотнения бесконечно
малой интенсивности.
— 87 —
Для очень сильного скачка уплотнения, когда
и P«»Pi(f-;«l, g« l} получим
—^>—
D-35)
Здесь —^>—. Поэтому скорость распространения очень сильной
ударной волны значительно превышает скорость звука в данной
среде. Очевидно, что волна конечной интенсивности
распространяется с большей скоростью, чем скорость звука. Чем больше
интенсивность волны, тем больше скорость ее распространения.
Глава V
ТЕОРИЯ КОСОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
В гл. IV отмечалось, что во всех случаях, когда происходит
более или менее значительное торможение сверхзвукового газового
потока, в последнем возникают поверхности, при прохождении через
которые параметры газа скачкообразно изменяются. Если плоскость
скачка наклонена к
набегающему потоку под углом,
отличным от прямого, то такой
скачок называется косым.
Рассмотрим обтекание
сверхзвуковым потоком
тупого угла АОС (рис. 5.1),
меньшего 180°.
Допустим, что стенка АО,
около которой течет газ со
сверхзвуковой скоростью v19
составляет со стенкой ОС
некоторый угол а. Очевидно,
поток газа вдоль стенки АО
должен отклониться на угол
а, в результате чего новое направление потока будет параллельно
стенке ОС. Такое изменение направления сверхзвукового потока
всегда сопровождается нарушением непрерывности течения, т. е.
возникновением косого скачка уплотнения.
В самом деле, желая определить направление линии
возмущения в точке О, замечаем, что через эту точку можно провести две
линии: линию ОБ' под углом \i± к первоначальному направлению
скорости потока иг и линию ОВ" под углом fx2 к направлению
скорости потока v2, причем \i2>ixv так как v2<^vv Но в таком случае
4В. Зак. 801 — 89 —
Рис. 5.1. Обтекание вогнутого тупого
угла сверхзвуковым потоком
изменение параметров газа должно закончиться на линии
возмущения ОВ\ лежащей в области, где изменение параметров газа
фактически еще не начиналось. Отсюда следует, что в
рассматриваемом случае непрерывное изменение параметров газа
невозможно и должен иметь место косой скачок уплотнения. Опыт
показывает, что при сравнительно небольших значениях угла поворота
потока а фронт скачка уплотнения располагается между
указанными выше линиями возмущения ОВ' и ОВ".
Положение косого скачка ОК будем определять при помощи
угла Р, отсчитываемого от первоначального направления скорости
потока vx.
Перейдем к определению параметров газового потока за косым
скачком уплотнения.
§ 5. 1. Определение параметров потока
за косым скачком уплотнения
Разложим вектор скорости v1 до скачка на две составляющие
(рис. 5.2): V\n — по направлению нормали к плоскости скачка и
Vu — по направлению, параллельному плоскости скачка.
Аналогично разложим и вектор скорости v2 за скачком на составляющие
V2n и v2t. Для нахождения
скорости после скачка
используем уравнения
неразрывности (расхода), количества
движения, энергии и
состояния.
Уравнение неразрывности
в форме массового расхода
в этом случае примет вид
Рис. 5.2. К определению параметров
потока за косым скачком уплотнения
= р2^2«. E.1)
Используем уравнение
изменения количества
движения, применив его для
направления, перпендикулярного к плоскости скачка. Это уравнение
можно записать так же, как и для случая прямого скачка, с той
лишь разницей, что вместо скоростей vt и v2 в уравнении будут
фигурировать их нормальные составляющие, т. • е.
p2 — Pi=1 Pi vm (vm — v2n). E.2)
Применим это же уравнение для направления, параллельного
плоскости скачка. Так как вдоль плоскости скачка давление не
изменяется, то
— v2t) = О,
— 90 —
откуда
V\t = V2t = Vt,
т. е. касательная составляющая скорости при переходе через
плоскость косого скачка уплотнения не изменяется. Поэтому косой
скачок уплотнения — это скачок hj) р мал ь -
ной составляющей скорости.
При адиабатическом течении полная удельная энергия перед
скачком и за ним одна и та же, поэтому уравнение B.25') имеет
вид
Y + h = у + h = *'о»
где
Подставляя в уравнение энергии эти выражения, получим
Сравнивая уравнения E.1), E.2) и E.3) с соответствующими
уравнениями D.1), D.^) и D.3), замечаем, что основные
уравнения для косого скачка уплотнения могут быть получены из
уравнений для прямого скачка путем замены в них скоростей
потока (vx и v2) нормальными составляющими скоростей (v\n, V2n)
и замены полной удельной энергии i0 удельной энергией i*0 =
= i0 — у. Для определения нормальной составляющей скорости,
давления, плотности и температуры потока за косым скачком
уплотнения можно воспользоваться соответствующими
формулами для прямого скачка со следующими изменениями. В фор-
МУЛУ D.8) вместо vx и v2 необходимо подставить v\n и v2n, a
акр нужно заменить величиной all, найденной по удельной энер-
*/ * о?\
гии f0 U'o = *o — у ), т. е.
*2 К— 1 о / • VJ_\ 2 К— 1 2
/с + 1 \ ° 2 / КР к + 1
где
2 __ К — 1 2 ; _ К — 1 2
— 91 — 4В*
Тогда для определения нормальной составляющей скорости за
косым скачком уплотнения получим следующую формулу:
vin v2n = акр — ~^\ V*, E.4)
где
^icosj4 E.5)
Из формулы E.4) видно, что величина нормальной
составляющей скорости потока v2n зависит от vx и угла наклона скачка
уплотнения, причем О2/г<Са2- От тех же параметров зависит
и скорость v2 = vvf + v\n. При р =j vt = 0 и формула E.4)
совпадает с формулой D.8) для прямого скачка уплотнения.
При сравнительно слабых косых скачках уплотнения (при малых
углах Р) касательная составляющая скорости по величине мало
отличается от vx. Поэтому скорость v2 может быть больше
скорости звука. При сильных косых скачках уплотнения с углом р,
близким к 90°, скорость потока за скачком уплотнения
дозвуковая. Следовательно, в зависимости от угла р поток за косым
скачком уплотнения может быть как дозвуковым, так и
сверхзвуковым.
Напишем формулы для определения давления, плотности,
температуры и давления торможения за скачком уплотнения.
Для этого в формулах D.13), D.14), D.15), D.30) для прямого
скачка уплотнения достаточно заменить число Мх числом
Mj sin p, найденным по нормальной составляющей скорости
потока v\n- В результате получим
?•= а^м? sin» p-
Pl —5-r+M? sin2
к— 1
^^ хл2_«_ог» Л- —
х- ^ ^. E.9)
(Г
— 92 —
Уравнение ударной адиабаты для косого скачка останется,
очевидно, тем же, что и для прямого D.18), так как в него не
входят ни скорость, ни величина полной энергии газа.
Из формул E.6) — E.9) следует, что изменение параметров
потока в косом скачке несравненно меньше, чем в прямом скачке
уплотнения. Например, при Мх = 3 в прямом скачке — = 10,33;
pi-= 3,86; ^ = 3,68; а = 0,328. При том же значении числа Mx=3
?i ' 1
для косого скачка уплотнения (Р=30°, а= 13°)^ = 2,46; р-^ = 1,86;
ip = 1,32; а = 0,93. Следовательно, потери полного давления
в прямом скачке составляют 67,2%, а в косом — всего 7%.
Очевидно, можно выбрать такую систему косых скачков
уплотнения, в которой потери окажутся меньше, чем в одном прямом
скачке, так как коэффициент потерь полного напора в системе
косых скачков уплотнения равен произведению коэффициентов а
в каждом из скачков уплотнения. В самом деле, коэффициент о
можно представить в следующем виде:
Роп РогРоз Роп
Poi Р01Р02 Ро (/г—1)
где
р01 — давление изэнтропического торможения;
Ро2> Роз» "-у Роп — давления торможения за скачками уплотнения
(р02 за первым скачком, р03 — за вторым скачком
и т. д.).
Учитывая, что р— = а19 — = сг2> •••> ——— = сгя-ь получим
РО1 Р02 РО (П—\)
а = вго2 ...ал_ь
§ 5. 2, Связь между углом поворота
сверхзвукового потока и положением фронта
косого скачка
Формулы предыдущего параграфа показывают, что все
параметры газа за косым скачком уплотнения зависят от угла Р — угла
наклона фронта скачка к направлению набегающего потока. В
настоящем параграфе установлена зависимость угла наклона фронта
скачка от угла поворота сверхзвукового потока.
— 93 —
Из рис. 5.2 находим
или, используя соотношения E.4) и E.5),
tg(P —о) = ^-^ . E.10)
Разделим числитель и знаменатель формулы E.10) на
квадрат скорости звука а\ и введем число Мх = ^. Тогда получим
~a) M2sinpcosp * EЛ1)
Так как
2 __
1 ~?Г
а\ Ti То Тг к+\ Т
То и/с-1м2
ТО
«Г
2
Подставляя выражение для -^ в формулу E.11), будем
иметь
или, преобразовывая,
2 + (-1)M?Sin2P . E.12)
— 94 —
Используя соотношение
получим
tgatgjJ'
— 1
Iff^-sin»
E.13)
На рис. 5.3 приведено семейство кривых зависимости угла
наклона скачка Р от угла поворота потокаапри различных
значениях Мх, построенная по
формуле E.13). Из уравнения E.13)
следует, что угол поворота
потока а равен нулю в двух
случаях:
1. Когда M?sin2P— 1 =0,
т. е. когда sinp =~ и р = |х.
Здесь угол наклона скачка
уплотнения равен углу
возмущения. В этом случае, как
известно, интенсивность скачка
бесконечно мала, т. е. скачок
вырождается в волну слабых
возмущений.
2. Когда ctg- р = 0, р = 90°,
т. е. при прямом скачке.
Из рис. 5.3 следует также,
М
ю
30° U0° 50° а
Рис. 5.3. Зависимость угла наклона
скачка уплотнения от угла
поворота потока при различных
значениях Мх
р следует также,
что для каждого числа Мг
существует максимальное значение угла поворота потока атах, на
который сверхзвуковой поток может внезапно повернуться, пройдя
через фронт плоского косого скачка. Величина атах зависит от
числа Мх. При заданном числе Мх одному и тому же углу
поворота потока а соответствуют два положения фронта скачка,
принадлежащих семейству сравнительно слабых и сильных скачков
уплотнения (на рис. 5.3 участок кривой, характеризующий
сильные скачки уплотнения, проведен пунктирной линией).
На основании экспериментальных исследований установлено,
что если угол а меньше максимального угла отклонения потока при
данном значении числа М1? то возникает присоединенный
(сравнительно слабый) косой скачок уплотнения. Угол поворота потока при
этом равен углу а. При этом сильные скачки уплотнения (большие
углы р, близкие к ~) в реальных потоках не реализуются. Поэтому
еслиа<атах, то для определения угла наклона присоединенного скач-
— 95 —
ка уплотнения можно пользоваться сплошными кривыми,
изображенными на рис. 5.3, считая при этом, что угол поворота потока
равен а.
Если угол а больше атах для данного числа М1? то образуется
отсоединенный криволинейный скачок уплотнения, расположенный
на некотором расстоянии от тела. На нулевой линии тока (на линии
симметрии) угол наклона скачка уплотнения равен 90°. Здесь мы
имеем элемент прямого скачка уплотнения. По мере удаления от
нулевой линии угол наклона скачка непрерывно уменьшается от
Р = 90° до Р = |ы. При этом нигде в скачке уплотнения угол
поворота потока не равен акл. Вдоль криволинейного скачка уплотнения
угол поворота потока изменяется в зависимости от угла р. На
нулевой линии тока a = 0 (см. рис. 5.7).
§ 5. 3. Ударная поляра
Поскольку угол наклона скачка уплотнения зависит от скорости
v1 и угла поворота потока, то, изменяя углы а при постоянной
скорости vv получим различные углы наклона скачков уплотнения.
При этом изменяется величина и направление скорости потока v2.
Поэтому одной и той же скорости до скачка уплотнения vi будут
соответствовать различные векторы скорости v2 за скачком.
Соединяя концы векторов v2 при неизменной скорости vl9 получим
годограф скорости за скачком уплотнения.
Найдем уравнение годографа скорости v2y = f(v2x, vi). Для
этого в плоскости годографа направим ось абсцисс вдоль скорости
v± (рис. 5.4). Тогда составляющие скорости по осям координат
можно представить в следующем виде:
J
v2y = vt sin p — v2n cos p j ' v • ;
Используя соотношения E.4) и E.5), выражение для v2x можно
преобразовать:
a^ ^ E.15)
Из выражения E.15) исключим угол р. Для этого
воспользуемся свойством постоянства касательной составляющей скорости
в скачке уплотнения. Ввиду того что vu = v2t, прямая, соединяющая
концы векторов скорости v± и v2, должна быть перпендикулярна
к плоскости косого скачка уплотнения. Этим свойством можно
пользоваться для графического определения угла Р при известной
скорости потока за скачком.
— 96 —
Из треугольника ABC следует (см. рис. 5.4), что
ctgp = V2y ,
отсюда
=| —Р, тогда
E.16)
E.17)
Рис. 5.4. Составляющие скорости потока за
косым скачком уплотнения
Подставляя выражение E.17) в уравнение E.15), получим
уравнение годографа скорости:
= (v± — v2xJ
V2X
E.18)
T+l
"кр
Из уравнения E.18) следует, что годограф скорости за
скачком уплотнения представляет собой кривую, симметричную
относительно оси абсцисс с вертикальной асимптотой v2x =
2 а2
= т-т—г v-l + — (рис. 5.5). Вертикальная составляющая скорости
^2у равна нулю при следующих значениях v2x:
1. При v1=v2, или ^2л-==г:;2=^1> при этом величина (p2=t;i)
и направление скорости (у2у=0) не меняются, а скачок
уплотнения вырождается в слабую волну возмущений (р=[х).
Поскольку векторы скорости v2 и vx совпадают, то прямая,
соединяющая концы векторов скорости, идет по касательной к
годографу. Поэтому в точке В касательная к кривой
перпендикулярна к линии возмущения.
— 97 —
2. При выполнении условия v2x—-^ = О, или v2 = -~^ .
Это минимальное значение скорости потока при заданной
скорости vx соответствует прямому скачку уплотнения (точка А
на рис. 5.5).
Следовательно, годограф скорости за скачком уплотнения
B \
V2 = — I
и B(v2=v1)9 и двух
бесконечных ветвей BD и BE. Как
известно, кривая, представляемая
уравнением E.18), называется
строфоидой, или гипо-
циссоидой (см. рис. 5.5).
Петлю этой кривой обычно
называют ударной
полярой.
Покажем, что бесконечные
ветви строфоиды физического
смысла не имеют. Для этого из
начала координат в плоскости
годографа скорости проведем
луч под некоторым углом а
(см. рис. 5.5), который пересечет
строфоиду в трех точках (У, 2, 3).
Рис. 5.5. Ударная поляра
(строфоида)
Эти точки при заданном угле 'поворота потока дают три
математически возможных значения'скорости за скачком уплотнения.
В точке 3, расположенной на бесконечной ветви строфоиды,
V2^> viy т. е. эта точка соответствует скачку разрежения. В § 4.3
было показано, что при адиабатическом течении скачки
разрежения невозможны. Поэтому бесконечные ветви строфоиды, как не
имеющие физического смысла, должны быть отброшены.
Таким образом, для данного угла поворота потока а возможны
два ' значения скорости, соответствующие сравнительно слабым
(точка 2) и сильным (точка 1) скачкам уплотнения.
Проведем окружность радиуса R = акр с центром в начале
координат, которая разделит ударную поляру на две части. Точки,
расположенные вне этой окружности, соответствуют сравнительно
слабым скачкам уплотнения со сверхзвуковой скоростью V2, внутри
окружности — сильным скачкам уплотнения с дозвуковой
скоростью V2.
Угол наклона касательной к ударной поляре, проведенной из
начала координат, определяет величину максимального угла
поворота потока атах Для заданной скорости vx. Как было отмечено в § 5.2
настоящей главы, при малых углаха (a<ctmax) образуется
присоединенный скачок уплотнения (рис. 5.6). Угол поворота потока при
— 98 —
этом равняется углу а. Экспериментальные исследования
показывают, что в этом случае из двух возможных решений реализуется
большая скорость потока V2 (точка 2 рис. 5.5). Это
подтверждается тем, что приа-> 0 величина скорости потока за скачком
уплотнения должна увеличиваться и
приближаться к скорости vi, a
не к
_кр
При a>amax возникает
отсоединенный криволинейный скачок
уплотнения (рис. 5.7).
Центральный элемент поверхности волны
Дозвуковая
область
Рис. 5.6. Обтекание клина при Рис. 5.7. Обтекание клина при
перпендикулярен вектору скорости vi (элемент прямого скачка
уплотнения), скорость потока за этим элементом скачка —
дозвуковая. По мере удаления от точки О вдоль скачка углы наклона
элементов скачка уплотнения уменьшаются (90°> |3 >ji). На различных
участках криволинейного скачка угол поворота потока, степень
уменьшения скорости и соответствующее изменение всех остальных
параметров потока различны. За участком криволинейного скачка
АА\ соответствующим сильным скачкам уплотнения, образуется
дозвуковое течение. При удалении от точки О интенсивность скачка
уменьшается, скорость потока за скачком увеличивается. Поэтому
за скачком на некотором расстоянии от точки О вдоль скачка (за
точками Л и Л' на рис. 5.7) поток становится сверхзвуковым.
Каждой точке на криволинейном скачке уплотнения соответствует
определенная точка на ударной поляре от точки А до точки В
(рис. 5.5). Например, точке О соответствует точка А на поляре.
На рис. 5.8 приведено семейство ударных поляр, построенных
Для различных значений чисел Mi (l<CMi<^oo). Для удобства
скорости, отложенные на диаграмме, отнесены к критической скорости.
С помощью поляры можно определить скорость, а следовательно,
все остальные параметры потока за скачком, если известны
параметры потока перед ним и одно условие, определяющее положение
— 99 —
скачка уплотнения (угол поворота потока или угол наклона скачка
уплотнения).
Предположим, что заданы параметры потока до скачка
уплотнения и угол а. Пользуясь семейством ударных поляр, найдем
скорость потока за скачком уплотнения. Для этого из семейства удар-
Рис. 5. 8ч Семейство ударных поляр
ных поляр необходимо выбрать поляру, соответствующую заданной
скорости потока ~-9 и определить величину остах (по ударной поляре,
кр
как угол наклона касательной, проведенной из начала координат,
или по рис. 5.3). Если при
этом а<атах, то угол поворота
потока равняется углу а.
Тем самым становится
известным направление
скорости за скачком уплотнения.
Величина скорости V2
определяется по точке пересечения
С ударной поляры с лучом,
проведенным из начала
координат под углом а (рис. 5.9).
Для определения угла
наклона скачка уплотнения
необходимо провести
перпендикуляр к прямой,
соедиРис. 5.9. Графическое определение
скорости потока и угла р при косом
скачке уплотнения
няющей концы векторов
скорости 1I И V2 (ТОЧКИ В Я С).
Угол наклона перпендикуляра равен углу р. Зная угол Р,
пользуясь формулами E.6) — E.9), можно определить остальные
параметры потока за косым скачком уплотнения (/?2, рг, Тг, р02, а).
Если же заданы параметры потока до скачка уплотнения и
угол наклона скачка (например, по данным экспериментальных
— 100 —
исследований), то величину и направление скорости потока за
скачком можно определить по точке пересечения прямой, проведенной
из конца вектора скорости vi перпендикулярно к фронту скачка,
с ударной полярой (рис. 5.9).
ЗАДАЧИ
1. Сравнить увеличение плотности и температуры при ударном и изэнтро-
пическом сжатии воздуха, если давление в обоих случаях возросло одинаково:
?i=io.
pi
2. Определить изменение скоростного напора:
а) в прямом скачке уплотнения при Mi = 4;
б) в косом скачке при том же числе Mi = 4 и угле полураствора клина
°кл = 20°.
Сравнить результаты решения задачи для прямого и косого скачков
уплотнения.
3. Найти коэффициент потерь полного напора:
а) в прямом скачке уплотнения при Mi = 5;
б) в косом скачке при том же Mi = 5 и а = 20°.
4. Определить параметры потока за прямым скачком уплотнения (рг,
Р2, 7*2, vz), если известны число Моо = 4, высота полета Я = 50 000 м.
Рис. 5> 10, К задаче № 5
5. Найти отношения параметров потока за вторым косым скачком
уплотнения (рис. 5.10) к соответствующим параметрам невозмущенного потока,
если известно число М невозмущенного потока (Mi = 5) и углы наклона
участков поверхности а± = 10°, а2 = 20°. Вывести формулу для определения
коэффициента потерь полного напора.
Г л ава VI
ПЛОСКИЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В этой главе рассматриваются только плоские сверхзвуковые
изэнтропические течения газа. В частности, не будут
рассматриваться течения, сопровождающиеся трением и образованием ударных
волн.
§Г6. 1. Критерий потенциальности
для плоского изэнтроп ического
течения газа
Выясним, при каком условии в потоке будут отсутствовать вихри.
Рассмотрим какую-нибудь линию тока аА (рис. 6.1). Проведем
в точке а линии тока касательную, направленную вдоль вектора
скорости vy и внутреннюю нормаль п. Напишем уравнение движения
газа в проекции на нормаль п:
? = _±4а, F.1)
где
г — радиус кривизны, равный Оа\
центростремительное ускорение частиц газа.
Допустим, что при переходе от одной линии тока к другой
полная энергия и энтропия будут изменяться. В таком случае
будем иметь
dio= di + vdv=?0, F.2)
— 102 —
F.3)
где
/0 — полная энергия;
s — энтропия.
Очевидно, что вдоль линии тока ввиду изэнтропичности
течения diQ=0 и ds=0.
Исключая из уравнений F.2) и F.3) величину di, находим
— = diQ — vdv — Tds.
р
Подставляя значение — в уравнение
движения F.1), находим
v2 di0 , dv
г dn ' dn
ds
dh '
или иначе
\dn r j dn dn
F.4)
Рассмотрим выражение, стоящее в
скобках, для чего обратимся к рис. 6.1. Рис. 6.1. К выводу усло-
Возьмем бесконечно близкую линию вия потенциальности
1 J плоского изэнтропиче-
тока dc и рассмотрим элементарную ского газового потока
площадку abcda, ограниченную двумя
линиями тока и бесконечно близкими полярными ^радиусами
Оа и Ob. Применим к этой площадке теорему Стокса:
a=2u>z &ez=2(dzr Аг Да.
С другой стороны, по определению циркуляции
Г abcda = Vf А<* — (v + ^ &А (г — Аг) Да,
или, раскрывая скобки,
Г abcda = (v - g- rj Дг Да + ~(^rf Да.
Отбрасывая бесконечно малые третьего порядка, находим
Г* abcda = (v — ~ п Ar Aa = 2согг Аг Да,
отсюда
— 103 -
Возвращаясь к выражению F.4), можно сделать вывод, что
для того чтобы вихрь отсутствовал, необходимо следующее
условие:
dip у ds^ __ q
dn dn
Это равенство будет выполнено, если
Следовательно, если полная удельная энергия и
энтропия при переходе от одной линии тока
к другой не изменяются, то поток газа
является потенциальным.
Если в сверхзвуковом потоке возникает криволинейный скачок
уплотнения, то энтропия вдоль каждой линии тока возрастает по-
разному. Наибольшее увеличение энтропии происходит на нулевой
линии тока (за элементом прямого скачка уплотнения). По мере
удаления от нулевой линии тока возрастание энтропии уменьшается,
т. е. при этом ^ < 0. Следовательно, за криволинейным скачком
уплотнения поток вдоль линии тока может быть изэнтропическим,
но энтропия непременно изменяется при переходе от одной линии
тока к другой. Вследствие этого при переходе через криволинейный
скачок уплотнения потенциальный поток становится вихревым.
§ 6. 2. Основное дифференциальное уравнение
плоского потенциального потока газа
Рассмотрим плоский потенциальный газовый поток. Как известно,
потенциал скорости плоского потенциального потока несжимаемой
жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа:
Для плоского потенциального установившегося потока газа
это уравнение приобретает более сложную форму. Обратимся
к уравнению неразрывности, которое для плоского
установившегося течения газа имеет вид
d (pvx) д (рру) _ 0
дх +~ду~
Выполняя дифференцирование, находим
- + ?)-a F.6,
— 104 —
Выразим значения производных =?-, ~ через компоненты
скорости vx, vyf для чего представим эти производные в следующем
виде:
dp dp_ dp 1 dp
Ъх~ " dp Тх ~ 7? ~дх~
ду
_d^ др = _1_ д_р_ ('
dp ду а2 ду I
'
Заменим с помощью уравнений Эйлера в выражениях F.7)
производные от давления р значениями производных от
компонентов скорости:
dp
dp
dvx
dvy
Зи
j *
Используя уравнения F.7) и F.8), будем иметь
ду
dvx
дх
dvx \
) ^1
У ду
Подставляя выражения F.9) в уравнение F.6) и принимая
во внимание, что
получим следующее уравнение для потенциала скорости ср(л:, у):
(а*-^-2^у^ + (а*-^)||-=0, F.10)
где а2 определяется по формуле C.9).
Уравнение F.10) является основным
дифференциальным уравнением газовой динамики для
плоского потенциального
установившегося газового потока. Это нелинейное дифференциальное
уравнение второго порядка в частных производных относительно
неизвестной функции ср, причем коэффициенты при вторых
производных в явном виде от координат х, у не зависят.
Покажем, что в частном случае для небольших скоростей
движения газа уравнение F.10) превращается в уравнение
Лапласа. Действительно, деля почленно уравнение F.10) на величину
а2 и полагая скорости движения газа настолько малыми, что
— 105 —
vx vy
величинами —, -^ и —— можно пренебречь, приведем
уравнение F.10) к виду
т. е. к уравнению Лапласа, справедливому для случая р = const.
Уравнение F.10) носит название квазилинейного
уравнения в частных производных второго
порядка. Квазилинейным это уравнение называется потому, что
частные производные второго порядка входят в него линейно.
Обычно в газодинамике применяются два метода решения уравнения
F.10):
1. Метод характеристик—применяется для определения поля
скоростей в сверхзвуковом потоке.
2. Метод малых возмущений (метод линеаризации) — широко
используется при исследовании обтекания тонких тел при малых
углах атаки как в дозвуковом, так и сверхзвуковом потоках (гл. VII
и VIII).
§ 6. 3. Характеристики в плоскости потока
Рассмотрим метод характеристик. Для этого введем понятие
о характеристиках в плоскости потока.
Предположим, что газ движется слева направо со
сверхзвуковой скоростью v > а. В каждой точке плоскости х, у, где газ
движется со сверхзвуковыми скоростями, можно провести два направления
линий возмущения. При переходе от одной точки к другой
направление линий возмущения может изменяться, так как значения
v и а в различных точках плоскости х, у в общем случае различны.
Имея это в виду, найдем в плоскости х, у (рис. 6.2) такую линию
У = у{*)> в каждой точке которой направление касательной
совпадало бы с направлением одной из линий возмущения для данной
точки. Эту линию будем называть характеристикой.
Из простых геометрических соображений (см. рис. 6.2) следует,
что
tg И' = tg (у — 6),
или
l + tgTtg0 •
Учитывая, что
T7V—
V а2"
— 106 —
будем иметь
V Uy_ _ vy\ _ 1 j_ Ь dy
а2" \dx vj ~~ ' ^ dx e
Возводя в квадрат, после небольших преобразований получим
Умножая на а2, получаем следующее уравнение:
F.11)
Полученное уравнение является искомым дифференциальным
уравнением характеристик, проходящих через точку х, у. Решая его,
находим выражение для тангенса
угла наклона характеристик к
оси х:
dy_
U
их иу ¦
F.12)
Рис. 6.2. К выводу
дифференциального уравнения
характеристик в плоскости потока
Отсюда можно сделать следующие
выводы:
1. Если v > а, то уравнение
F.11) имеет два различных
вещественных корня. В соответствии с
этим через каждую точку плоскости
х, у, где v > а, можно провести
два элемента характеристик, а вся
плоскость может быть покрыта
д в у м я семействами
характеристик (рис. 6.3). Уравнение F.10)
в этом случае называется
уравнен и ejvi гипербол и.ч е-
ского типа.
В дальнейшем для определенности будем называть интегральные
кривые у\ = yi(x)y соответствующие уравнению F.12) с
положительным знаком перед радикалом, характеристиками первого семейства,
а. интегральные кривые уг = уъ(х), соответствующие
отрицательному знаку перед радикалом, — характеристиками второго семейства.
2. Если v = а, то уравнение F.11) имеет два равных вещественных
корня,т.е. часть плоскости х, у, где v = а, может быть покрыта
только одним семейством характеристик. Уравнение F.10) в этом
случае носит название уравнения параболического
типа.
3. Если v <а, т. е. поток газа дозвуковой, то уравнение F.11)
не имеет вещественных корней и характеристик. Уравнение F.10)
— 107 —
в этом случае носит название уравнения
эллиптического типа.
В дальнейшем в этой главе будут рассматриваться только
сверхзвуковые течения газа. При этом вся плоскость течения газа может
быть покрыта двумя семействами характеристик:
у=у±(х) и у=у2(х).
Характеристика
пербого семейства
Характеристика
второго семейства
Рис. 6.3. Семейство характеристик в плоскости
потока
В заключение отметим, что для определения характеристик в
плоскости течения газа х9 у надо знать поле скоростей, так как
коэффициенты в уравнении F.11) зависят от составляющих скорости vXy
Vy.
Иначе будет обстоять дело, если от плоскости х, у течения газа
перейти к плоскости годографа скорости vX7 vy. Как будет показано
ниже, в этой плоскости характеристики легко определяются, что
дает возможность решать любые краевые задачи для сверхзвуковых
течений газа.
§ 6. 4. Характеристики в плоскости
годографа скорости
Выясним, какие линии будут соответствовать в плоскости
годографа скорости характеристикам в плоскости х, у.
Допустим, что в каждой точке характеристики плоскости х, у
известны величина и направление скорости v. Откладывая этот
вектор в плоскости vx, vy от начала координат, получим кривую,
описываемую концом вектора vy точки которой будут находиться во
— 108 —
взаимно однозначном соответствии с точками характеристики в
плоскости х, у (рис. 6.4). Так как через каждую точку плоскости
проходят две характеристики, то на плоскости vX9 vy также получим две
кривые. Эти кривые будем называть характеристиками в плоскости
годографа скорости. Таким образом, физический смысл
характеристик в плоскости vx, vy заключается в том, что они являются
годографом скорости для точек, лежащих на характеристиках в
плоскости х, у.
Характеристика
первого семейства
Хард нтеристика
первого семейства
Характеристика
второго
семейства
О / «2Г
Характеристика
второго семейства
Рис. 6.4. К
уравнения характеристик в плоскости годографа
скорости
При сверхзвуковых течениях газа характеристики в плоскости
vXy vy будут лежать внутри области, ограниченной двумя
окружностями, описанными из начала координат, причем радиус наименьшей
окружности будет равен акр, а радиус наибольшей
Для того чтобы найти уравнение характеристик в плоскости
годографа скорости, необходимо воспользоваться основным уравнением
газовой динамики F.10), которому должны удовлетворять
составляющие скорости vx и vy сверхзвукового газового потока. Это
уравнение можно записать в следующем виде:
<*-.3!? = о. F.13,
Уравнение F.13) можно переписать в виде
— 109 —
Рассматривая изменение скорости вдоль характеристик у=у(х),
можно написать два очевидных соотношения:
dvr dvx , dvx dy dvx . d^
dx ~~ dx ' dy rfjc ^jc ~ dy
__2
~dx
dvy
dvy dy
' ~dy dx
dvy
~ Tx
dvv
dy
F.15)
где
m = — определяет наклон характеристик в плоскости х, у.
Кроме того, вследствие потенциальности движения
составляющие скорости связаны соотношением
S-t = 0. F.16)
dvx
dvv
Выражая частные производные -~- и ¦—- через соотношения
F.15), подставляя их в уравнение F.14) и используя условие
потенциальности F.16), приведем уравнение F.14) к виду
х
dvy
a2-
m
'^)
dv
dy
= 0.
X
F.17)
Уравнение F.17) выполняется вдоль характеристик в плоскости
х, у, и потому входящие в него составляющие скорости vx и vy
являются составляющими скорости вдоль этих характеристик. Отсюда
следует, что это уравнение является дифференциальным уравнением
характеристик в плоскости годографа скорости. Его можно
значительно упростить и проинтегрировать в конечном виде.
Рассмотрим дробь, стоящую в квадратных скобках уравнения
F.17):
А =
( а2
— V2\
У 1
<vy )
t
VxVy
i2 —
m -
;
2 "T"
X
V a2
a2-
a2-
v2
X
F.18)
Используя известное свойство квадратного уравнения F.11),
можно написать
_^_ и т^^^, F.19)
: — аг vi — a*
— по —
где
rrix и т2 — тангенсы углов наклона касательных к
характеристикам соответственно первого и второго семейств
в плоскости х, у.
Тогда выражение F.18) можно привести к виду
т1-\-т2
~т 2
2m — ml — m2
Вдоль первого семейства характеристик, для которого т=т1>
величина А=—т1. Вдоль второго семейства характеристик,
для которого т=т2, величина А= — /п2. Следовательно, вообще
В таком случае выражение, стоящее в квадратных скобках
dvy
уравнения F.17), является полной производной — вдоль харак-
теристики в плоскости х, у, и уравнение F.17) можно
переписать в виде
(а2 _v2x)dJ? — \VxVy + (а2 _ v*) (т + ^РуЛ1 ^ == О, F.20)
откуда
dvy а2 — v2
vx vy + (а2 - v2x) lm + a2_v2J
ИЛИ
dvx 2vx vy
~
о о '
Используя F.19), получим
dvx т — тх — т2' '
Отсюда следует, что для первого семейства характеристик, где
т = /Их,
/dyy\ 1 1
— 111 —
а для второго семейства характеристик, где т=т2,
Применяя формулу F.12) для т = ~ , приведем уравнения
характеристик в плоскости годографа F.22) и F.23) к
окончательному виду
j 2 2
dvv vz — а
dvx „ „ , „1Л2 1 „2 „2
a ~\/~v
vxvy± a \/v2x -\-v2y—a2
F.24)
Прежде чем перейти к интегрированию уравнения F.24), сделаем
следующие замечания. Из дифференциальных соотношений F.22)
и F.23) вытекает, что при выборе осей х и у параллельно осям vXt vy
характеристика первого семейства в произвольной точке плоскости
х, у перпендикулярна характеристике второго семейства в
соответствующей точке плоскости vXj vy и, наоборот, характеристика второго
семейства в плоскости *, у перпендикулярна характеристике первого
семейства в плоскости vXi vy (см. рис. 6.4). Это свойство
характеристик значительно облегчает нахождение решения основного
уравнения F.10) и широко используется при графическом его
интегрировании.
Из уравнения F.24) следует, что вдоль характеристик плоскости
х9 у составляющие скорости потока vx, vy удовлетворяют
обыкновенному дифференциальному уравнению в переменных vXi vy.
Действительно, так как величина а2 зависит только от скорости
потока v2 = vl+ v2y C.9), то правая часть уравнения F.24) зависит
только от vxr vy и явно не зависит от х, у, а потому уравнение
F.24) является обыкновенным дифференциальным уравнением в
переменных vx, vy. Отсюда вытекает следующий важный вывод: для
любых безвихревых задач характеристики
в плоскости годографа скорости имеют всегда
один и тот же вид, определяемый уравнением
F.24), и их можно рассчитать раз и навсегда.
При этом следует заметить, что в физической плоскости течения х, у
характеристики, определяемые уравнением F.12), для различных
задач газовой динамики будут иметь различный вид.
Найдем уравнение характеристик в плоскости vx, vy. С этой
целью перейдем от переменных vx, vy к переменным v и 6,
где v = ]/v2x _[_ v2y — величина скорости, а 0 — угол наклона
скорости к оси х.
— 112 —
Правую часть уравнения F.24) легко привести к переменным
иб, используя уравнения F.22) и F.23) и рис. 6.4:
щ
dx)t
т. е. уравнение характеристик в плоскости годографа скорости
можно написать в таком виде:
^ n). F.25)
Переходя в левой части этого уравнения к новым переменным
v к 0 (vx=vcosG,' vy = asin0, dvx=cos§dv — asin0d0, dvy =
= sin 6 dv + v cos 6 db) и собирая коэффициенты при dv и d0,
получим
*n __ sin 6 + ctg F db M-) cos 6 dv_
~~ sin 0 ctg @ ± p.) — cos 0 у '
Деля числитель и знаменатель правой части полученного
уравнения на cos0 и заменяя ctg (8 ± и) на l/tg(8±(x), будем
иметь
м __ tg0tg@=fc[x) + l ^
tge-tg(e±n) оf
откуда
tg (в — е ± p.)
т. е.
jfi , 1 dv
но
а потому
dQ = ± Yl?-1 ?' <6'26)
Воспользовавшись зависимостью между скоростью звука а
и скоростью потока v C.11), в результате интегрирования
уравнения F.26) получаем
9=± I/ ' . . 1Ч 2 Ти—WT ~7Г + С> F-27)
J Г (Aj + 1) акр "~ (^ — 1) с;
5 Зак. 801 — ИЗ —
где
С — произвольная постоянная.
Выполнив интегрирование и выразив его результат через
число М = ^-, получим уравнение характеристик в плоскости
годографа скорости в конечном виде:
±-| arctg ]/A|^]
F.28)
Кривые, определяемые уравнением F.28), называются
эпициклоидами (рис. 6.5). Через каждую точку плоскости vx>
Рис. 6.5. Сетка характеристик (эпициклоид)
в плоскости годографа скорости
vy (в кольце акр < v <; ymax) проходит одна эпициклоида первого
семейства и одна—второго семейства. Задавая различные значения
постоянной С, можно вычертить раз и навсегда сетку характеристик
в плоскости годографа скорости (на рис 6.5 принято для воздуха к=
= 1,405).
Из изложенного следует, что с помощью характеристик можно
решать любые краевые задачи для сверхзвуковых потенциальных
— 114 —
течений газа, если только найдены характеристики в плоскости
х> у течения газа и установлено их соответствие с характеристиками
в плоскости годографа vx, vy. Таким образом, существо решения
газодинамических задач методом характеристик состоит в разыскании
характеристик в плоскости течения газа.
§ 6. 5. Определение направления линий
возмущения с помощью изэнтропного эллипса
Для построения характеристик в плоскости потока нужно знать
направление линий возмущения в каждой точке. Рассмотрим
графический метод определения линий возмущения.
Предположим, что в некоторой точке О в плоскости потока
известен вектор скорости v (рис. 6.6). Введем местную систему
координат с центром в рассматриваемой точке. Направим
ось х (ось vx> так как
плоскости потока и
годографа скорости совмещены)
вдоль одной из линий
возмущения. Угол между
направлением вектора
скорости потока и линией
возмущения равен углу [х
(sinji = —). Поэтому в
выбранной системе
координат, составляющая
скорости Vy равна местной
скорости звука: vy = а.
Очевидно, векторов скорости, для которых одна из линий
возмущения совпадает с осью х (или vx), бесчисленное множество.
Например, для того чтобы ось vx совпала с одной из линий возмущения
при Vy =0 (вектор скорости направлен вдоль оси vx), величина
скорости должна равняться vmax, если вектор скорости v направлен
вдоль оси Vy (vx = 0), то v = акр. Тогда, соединяя концы векторов
скорости, для которых заданная прямая (ось х) совпадает с одной
из линий возмущения, получим некоторую кривую. Эта кривая
представляет собой эллипс с центром в точке О с полуосями i>max и акр и
называется изэнтропным эллипсом.
Получим уравнение изэнтропного эллипса. Для этого в
формулу C.9) для определения скорости звука подставим v2 =
;—1
2
Рис. 6. 6. Изэнтропный эллипс
- 115 -
Так как в выбранной системе координат vy=a, то
Отсюда находим
к —I,
— V2X—
К — 1
1,
или, заменяя
изэнтропного эллипса:
на alp, получим искомое уравнение
По заданному вектору скорости в данной точке потока с помощью
изэнтропного эллипса можно графически найти направления линий
возмущения. Для этого центр
изэнтропного эллипса необходимо
совместить с рассматриваемой точкой и
вращать эллипс до тех пор, пока
конец вектора скорости не попадет на
эллипс. Тогда направление большой
оси эллипса будет определять
направление одной из линий
возмущения ОА или ОВ (рис. 6.7). Из
рисунка видно, что возможно два
положения эллипса, при которых на
него попадет конец вектора скорости
(точка С).
Как известно, касательные к
характеристикам в плоскости vX9 vy
перпендикулярны касательным к
характеристикам в плоскости х, у.
Так как направления линий возмущения в плоскости х> у
параллельны большой оси рассматриваемого эллипса, то,
следовательно, направления характеристик в плоскости vXi vy будут
параллельны малой оси соответствующего эллипса.
Рис. 6.7. Определение
направления характеристик с
помощью изэнтропного эллипса
§ 6. 6. Определение поля скоростей
в плоском сверхзвуковом потенциальном потоке газа
методом характеристик
Рассмотрим несколько наиболее важных задач по определению
поля скоростей в сверхзвуковом газовом потоке, используя метод
характеристик. Умение решать эти задачи позволит рассчитать
— 116 —
любой случай плоского потенциального движения газа со
сверхзвуковой скоростью (при отсутствии поверхностей разрыва).
Задача 1. В плоскости газового потока дана дуга АВ (не
являющаяся характеристикой), в каждой точке которой задана скорость
(рис. 6.8). Требуется определить скорость в каждой точке области,
ограниченной дугой АВ и двумя характеристиками АС и ВС,
исходящими из точек А и В и являющимися характеристиками двух
различных семейств. Характеристики АС и ВС должны быть
построены в процессе решения задачи.
Рис.
о 7 " ит
'. 6. 8. К решению задачи I с помощью метода характеристик
Наряду с плоскостью потока х, у рассмотрим плоскость vx, vy —
плоскость годографа скорости. Возьмем на дуге АВ ряд точек Mi,
М2, Мз, М4, в которых скорости vi, V2, уз, у4 известны. Рассмотрим
точку Mi, в которой скорость равна vi. Так как значение скорости
vi (vix, viy) известно, то в плоскости годографа можно построить
точку Mi с координатами (vlx, vly), соответствующую точке Mi.
Таким образом, совокупности точек, расположенных на кривой Л В,
в плоскости годографа будет соответствовать совокупность точек
Ми М2, М$, М4, расположенных на кривой А'В'. Это означает, что
при передвижении вдоль дуги АВ конец вектора v в плоскости
годографа будет описывать кривую А'В'.
Выше было доказано, что если в какой-нибудь точке газового
потока известна скорость v, то в этой точке с помощью изэнтропного
эллипса можно найти направление линий возмущения. Это означает,
что в каждой точке Mi, M2, Мз, М4 можно провести линии
возмущения двух направлений.
Обозначим точки пересечения линий возмущения разного
направления, проведенных из соседних точек, через Nly N2, N3, NA, N5
(см. рис. 6.8). Примем их за точки пересечения элементов
характеристик разного семейства, так как элементы линий возмущения с до-
— 117 —
статочной степенью точности можно заменить элементами
характеристик. Назовем эти точки узловыми точками (их количество на
единицу меньше, чем количество точек, выбранных на кривой АВ) и
найдем в них скорости потока. Для этого обратимся к плоскости
годографа скорости. Очевидно, что перемещению вдоль характеристики
первого семейства из точки Mi (uojxyreMiNi) в плоскости годографа
скорости будет соответствовать перемещение по эпициклоиде первого
семейства, проходящей через точку М\. Перемещение вдоль
элемента характеристики второго семейства в плоскости годографа
скорости будет соответствовать перемещению вдоль эпициклоиды второго
семейства A'Ny
Заметим, что если по известной скорости в плоскости потока в
данной точке можно построить только элемент характеристики, то в
плоскости годографа скорости, пользуясь готовой сеткой эпициклоид,
мы можем провести всю характеристику соответствующего семейства.
В результате такого построения найдем точки пересечения
эпициклоид разных семейств, проведенных через соседние
близкорасположенные точки Л/[, N'2, Л^з, Л^4, N&. Эти точки представляют собой концы
векторов скорости в узловых точках Nlt N2, N3, NA, N5.
Таким образом можно найти скорость в ряде точек Nly N2, N3,
N4, N6. Принимая эти точки за начальные и проводя для них то же
построение, что и для точек Л, Мъ М2, М3, /W4, В, можно определить
скорость в последующих точках плоскости х, у. Продолжая это
построение, определим поле скоростей во всем криволинейном
треугольнике, ограниченном дугой АВ и двумя характеристиками АС
и ВС.
Если использовать более частые сетки, т. е. увеличивать число
точек на начальной кривой АВ, то мы будем все более приближаться
к точному решению основного уравнения F.10).
Задача II. Заданы скорости на двух пересекающихся
характеристиках АВ и АС, принадлежащих различным семействам (рис. 6.9).
Требуется определить поле скоростей в криволинейном
четырехугольнике, ограниченном данными характеристиками и двумя
характеристиками BD и CD, исходящими из точек В и С, которые
должны быть построены в процессе решения задачи.
Для нахождения поля скоростей возьмем ряд точек М:, М2,
Ms, Af4 на характеристике первого семейства АВ, и точки Л/х, N2,
N?>, Л/4 — на характеристике второго семейства. Проведем из
каждой точки Nl9 N2, N3, N±, С элементы характеристик первого
семейства (элементы линий возмущения) и из каждой точки Мъ М2, М3,
М4, В — элементы характеристик второго семейства.
Характеристики, исходящие из точек Nx и Мг, в пересечении дадут точку Рг.
Определим скорость в точке Рх. Перемещение из точки Л/х
в точку Pi по характеристике первого семейства означает, что в
плоскости годографа перемещение идет вдоль эпициклоиды первого
семейства, исходящей из точки N\ (координаты точки Nx равны ком-
— 118 —
понентам скорости в точке Ni). Если происходит перемещение из
точки Mi в точку Pi вдоль характеристики второго семейства, то
в плоскости годографа то же движение направлено вдоль
эпициклоиды второго семейства, исходящей из точки М[. Пересечение этих
эпициклоид даст точку Р\. Координаты точки Р\ — компоненты
скорости в точке Pi. Вектор ОР\ равен скорости v в точке Pi.
Проведем из точки Pi характеристику второго семейства до
пересечения с характеристикой первого семейства, исходящей из точки
Л-2- В пересечении получим точку Рг. Для нахождения скорости
Vy в*
м\
У
/
О
Рис. 6. 9. К решению задачи II с помощью метода характеристик
в точке Рг обратимся к плоскости годографа. Перемещению вдоль
элемента характеристики Р1Р2 второго семейства соответствует
перемещение вдоль эпициклоиды второго семейства, исходящей из
точки Р'ь а перемещению вдоль характеристики первого семейства,
исходящей из точки Л^2, соответствует перемещение вдоль
эпициклоиды первого семейства, исходящей из точки N'2. Пересечение
эпициклоид определит точку Р2, а следовательно, и скорость в точке
Рг. Аналогично найдем скорость в точке Р3, Р4 и т. д., т. е. таким
путем можно определить поле скоростей внутри криволинейного
четырехугольника. Чем более частой будет сетка характеристик
(чем больше будет взято точек на характеристиках АВ и АС), тем
точнее будет определено поле скоростей.
Частный случай. Даны две пересекающиеся характеристики
первого и второго семейства АС и АВ (рис. 6.10). На характеристике
второго семейства АВ скорость постоянна по величине и
направлению. Требуется доказать, что все характеристики второго
семейства в этом случае являются прямыми.
Так как вдоль характеристики АВ скорость постоянна по
величине и направлению, то она прямая (характеристика совпадает с ли-
— 119 —
нией возмущения). Для того чтобы показать, что все остальные
характеристики того же семейства являются прямыми, обратимся
к плоскости годографа vx, vy. Очевидно, что точкам прямой АВ в
плоскости годографа будет соответствовать одна точка А' (В'),
характеристике АС — эпициклоида А'С. Проведем элементы
характеристик из точек М1 и N i до пересечения в точке Pi. Поскольку скорость
в точке Mi равна скорости в точке Л, элементу характеристики
MiPi соответствует элемент эпициклоиды A'P\(A'N\), а элементу
характеристики NiPi— элемент эпициклоиды второго семейства,
проходящей через точку N\. Тогда точка Pi совпадает с точкой N\>
— о
c'/nl
Рис. 6.10. К решению частного случая задачи II методом
характеристик
т. е. скорости в точках Ni и Pi равны. Аналогичным рассуждением
можно показать, что на всей характеристике второго семейства,
проходящей через точку Ni, скорость постоянна и равна скорости
в точке N1, т. е. характеристика N1P3 — прямая, наклоненная к
заданной скорости потока в точке Ni под углом ix = arcsin—.
Задача III. Заданы скорости на дуге характеристики АВ.
Известно, что точка Л лежит на твердой стенке АС. Требуется
определить поле скоростей в области, ограниченной дугой АВ, твердой
стенкой АС и дугой ВС характеристики другого семейства
(рис. 6.11), которая определяется только в процессе решения задачи.
Возьмем на характеристике АВ ряд точек Mi, Ma, Мз, ...,
скорость в которых известна. В плоскости годографа им будут
соответствовать точки Mi, M2, Мз, ..., расположенные на эпициклоиде
А'В'. Проведем через точку Mi линию возмущения до пересечения
ее со стенкой в точке Ni. По-прежнему отрезок MiNi можно принять
за элемент характеристики второго семейства, а точку Ni — за
точку пересечения проведенной из точки Mi характеристики второго
семейства с поверхностью. В точке Ni известно направление скоро-
— 120 —
сти (по касательной к поверхности в точке Ni)> поэтому в плоскости
годографа скорости проведем из начала координат прямую,
параллельную касательной к поверхности в точке N1 (O/Ci). Точка
пересечения этой прямой с эпициклоидой второго семейства,
проведенной из точки М\, будет концом вектора скорости vNl. Величина
вектора скорости равна vNl = ON\.
Проведем из точек Мг и N\ линии возмущения разного
направления. Точку пересечения этих линий обозначим через Pi. Ее можно
принять за точку пересечения характеристик разных семейств, про-
0 X 0 От
Рис. 6. 11. К решению задачи III методом характеристик
веденных из точек Мч и Ni. Скорость в точке Pi определяется по
точке пересечения эпициклоид разных семейств, исходящих из
точек М2 и N\.
Зная величину и направление скорости в точке Pi, проведем из
нее линию возмущения до пересечения со стенкой в точке Ыч (точка
N2 может быть принята за точку пересечения характеристики
второго семейства из точки Pi со стенкой). Скорость в точке Nz направлена
по касательной к поверхности. Величину скорости в этой точке
можно найти по точке пересечения эпициклоиды второго семейства
из точки Р\{М2) с прямой, параллельной касательной к поверхности
в рассматриваемой точке (OLi) vn2 = ON'2.
Таким образом, шаг за шагом можно определить поле скоростей
в криволинейном треугольнике ABC, ограниченном заданной
характеристикой АВ, участком поверхности АС и характеристикой
второго семейства ВС, построенной поэлементно в процессе решения
задачи.
Задача IV. Заданы скорости вдоль характеристики АВ (например,
второго семейства), и известно, что точка А лежит на свободной
границе потока (рис. 6.12). Требуется найти форму свободной границы
АС и распределение скорости в области, лежащей между заданной
характеристикой АВ, свободной границей АС и характеристикой
первого семейства ВС, проходящей через точку В (построенной
в процессе решения задачи).
- Зак. 801
— 121 —
Для решения задачи возьмем на характеристике АВ ряд точек
Mi, Мг и т. д. Далее воспользуемся тем обстоятельством, что на
искомой свободной границе АС величина давления р везде
одинакова. Отсюда следует, что и величина скорости для всех точек
свободной границы по закону Бернулли также будет одинакова.
Проведем через точку А элемент прямой, направленной вдоль
известной в точке А скорости, приняв его за элемент искомой
свободной границы, проходящей через точку Л.
.—¦?
Рис. 6. 129 К решению задачи IV методом характеристик
Из точки Mi проведем характеристику первого семейства до
пересечения со свободной границей потока в точке N. Для того чтобы
получить в плоскости годографа скорости соответствующую точку
N', проведем из точки М[, лежащей на эпициклоиде А ГВ',
характеристику до пересечения с окружностью v = const = va- Точка
пересечения характеристики, выходящей из точки М\, с этой
окружностью, т. е. точка А/', и будет определять направление скорости в
точке N, лежащей на свободной границе потока.
Определив скорость в точке N, продолжим свободную границу
в виде отрезка прямой, направленного вдоль скорости в точке N>
т. е. параллельно ON'.
Далее находим направление скорости для точки Р, найдя
предварительно скорость в точке К, являющейся пересечением двух
характеристик NK и МъК (см. задачу II).
Продолжая построение, найдем форму искомой свободной
границы ANPC и поле скоростей в области ABC, ограниченной
заданной характеристикой, свободной границей потока и
характеристикой второго семейства ВС, построенными поэлементно в процессе
решения задачи.
— 122 —
§ 6. 7. Определение поля скоростей
^окрестности произвольного профиля
'Методом характеристик
Рассмотрим обтекание профиля произвольной формы
сверхзвуковым потоком. Предположим, что в области передней кромки
профиль имеет конечный плоский участок ОА, который плавно
переходит в кривую (рис. 6.13). Пользуясь методом характеристик,
найдем скачок уплотнения и поле скоростей в возмущенной области
между скачком уплотнения и поверхностью.
Рис. 6.13» К определению поля скоростей в
окрестности произвольного профиля
Угол наклона скачка уплотнения на передней кромке (в точке О)
можно определить с помощью ударной поляры, соответствующей
скорости невозмущенного потока v^ (см. рис. 5.8), Скорость на
участке ОАВ равна скорости за скачком уплотнения V2 = zfA-
Из точки А проведем характеристику АВ до пересечения
с построенным участком скачка уплотнения ОВ. Характеристика
АВ является прямой (совпадает с линией возмущения,
проведенной из точки Л), так как скорость потока в треугольнике ОАВ
постоянна и равна скорости за скачком уплотнения V2. Поэтому
— 123 —
5В*
в плоскости годографа скорости область ОАВ изображается одной
точкой А'.
В области АВАп, ограниченной участком поверхности ААПу
известной характеристикой одного семейства АВ и характеристикой
другого семейства ВАп, поле скоростей определяется по методу
задачи III. Характеристика ВАп строится поэлементно в процессе
решения задачи. В плоскости годографа скорости ей соответствует
эпициклоида А'А'п. Точка Ап совпадает с точкой пересечения
эпициклоиды первого семейства, исходящей из точки Л', с прямой ОАп,
параллельной касательной к поверхности в точке Ап.
Для определения поля скоростей правее характеристики ВАп
необходимо построить новый элемент скачка уплотнения. Выше
точки В скачок уплотнения искривляется, так как за точкой А
происходит течение разрежения. При этом из каждой точки
поверхности исходит волна разрежения. Эти волны, встречаясь со скачком
уплотнения, ослабляют его. Угол наклона скачка уплотнения при
этом уменьшается.
Для определения угла наклона элемента скачка уплотнения ВС
на характеристике ВАп рассмотрим точку Ni, расположенную на
достаточно малом расстоянии от точки В, и проведем линию
возмущения NXC. Точка С — точка пересечения элемента скачка
уплотнения ВС с линией возмущения N±C (с элементом характеристики
N±C). В плоскости годографа скорости точке N соответствует
точка N' на эпициклоиде А'А'п. Для определения угла наклона
элемента скачка уплотнения ВС и скорости за ним достаточно в
плоскости годографа провести эпициклоиду N 'С до пересечения с
ударной полярой в точке С. Тогда вектор скорости за элементом ВС будет
равен вектору ОС, а угол наклона ВС — углу наклона
перпендикуляра к прямой, соединяющей конец вектора скорости v^ с точкой С'
в плоскости годографа скорости. Угол Pi — угол наклона элемента
ВС — меньше угла fi0.
Очевидно, что для нахождения поля скоростей в криволинейном
четырехугольнике AnN^Pn нужно решить задачу II, а в
криволинейном треугольнике AnPnAn+i—заДачУ Н'1. Характеристика
CAn+i строится поэлементно в процессе решения задачи. Таким
образом, зная элемент скачка уплотнения ВС, можно определить поле
скоростей в области АпВСАп+\.
Аналогично определяется новый элемент скачка уплотнения CD
и поле скоростей в области Лл+1 CDAn+2 и т. д.
Заметим, что при переходе через криволинейный скачок
уплотнения поток, вообще говоря, становится вихревым, так как потери
полного напора (увеличение энтропии) вдоль различных линий тока
различны. Поэтому для определения поля скоростей за
криволинейным скачком уплотнения нужно пользоваться в плоскости годографа
скорости характеристиками для вихревых течений.
— 124 —
§ 6. 8. Обтекание сверхзвуковым потоком
выпуклого тупого угла (течение Прандтля — Майера)
Рассмотрим равномерный сверхзвуковой поток газа со скоростью
vi9 направленной вдоль прямолинейной стенки АО (рис. 6.14, а).
В точке О стенка изменяет направление и образует с
первоначальным направлением угол 0О. В результате поворота сверхзвукового
потока на угол 0О скорость 02 увеличивается @2 >> vi).
О
д
Рис. 5. 14. Обтекание выпуклого тупого угла сверхзвуковым потоком
Проведем из точки О линию возмущения ОВ, соответствующую
скорости 0i, для чего найдем угол возмущения:
sin jji1==—— .
Линия ОВ является границей областей возмущенного (III) и
невозмущенного движения (I). Поскольку скорость 0i всюду
в области I постоянна, то линия ОВ совпадает с характеристикой.
Тогда на основании задачи; Ц все характеристики этого семейства,
исходящие из точки О, будут прямыми. Вдоль каждой такой прямой,
проведенной из точки О, скорость потока постоянна как по величине,
так и по направлению.
Проведем линию возмущения (характеристику OD),
наклоненную к направлению скорости 02 под углом \i2, тогда
Г2 м2
Эта характеристика является границей возмущенного движения
с постоянной скоростью 02. В области ///, внутри угла BOD
происходит непрерывное изменение направления и величины скорости
потока от 0i до 02.
125 -
Для рассматриваемого случая легко найти все параметры
сверхзвукового газового потока внутри области III. Введем для этого
полярные координаты г, е, взяв начало полярных координат в
точке О (рис. 6.14, б). Угол е будем отсчитывать от вертикали вправо.
Соответственно введем составляющие скорости по направлению
полярного радиуса vr и по направлению, перпендикулярному к
полярному радиусу vs. Очевидно, что обе эти составляющие скорости
будут зависеть только от полярного угла е, т. е.
F.29)
где ф —потенциал скорости.
Для нахождения составляющих скорости vr и vs используем
уравнение энергии в виде
У2г + У2з , * Р "max
Учитывая, что составляющая скорости в направлении,
перпендикулярном к линии возмущения, всегда равна скорости
звука, получим
vs=a=y к— .
Отсюда следует, что
Так как
Ж~"д~ \W) "" дг \lh) '
то, используя уравнение F.29), получим
Составляющие скорости vr> vs не зависят от радиуса, т. е.
дг ~" '
поэтому
F.33)
dvr
дг
s~
__
dvr
-чг
_ dvr
~"~dT '
126 —
Таким образом, учитывая уравнения F.31) и F.33), отношение
давления к плотности, входящее в уравнение F.30), можно
представить в виде
Подставляя выражения из уравнений F.34) и F.33) для
— и для vs, приведем уравнение F.30) к виду
Отсюда, учитывая, что в рассматриваемой задаче -^-
(знак минус физического смысла не имеет), получим
dvr __-|Лс — 1 Y3 ~2~
-—- — I/ —— У ^тах — Ur •
ds f к + 1
Интегрируя это уравнение, получаем
где С — постоянная интегрирования.
Учитывая уравнение F.33), легко найти вторую
составляющую скорости:
+ С). F.36)
Для определения поля скоростей в возмущенной области III
(см. рис. 6.14, а) необходимо найти постоянную
интегрирования С. Для этого достаточно воспользоваться граничным
условием на линии возмущения ОВ\ при ?=|-—|хх, v = v1. Поэтому
1 г > ^vs=v1sin jx1=a1. Тогда — = V М?— 1.
Подставляя сюда выражения vr и vs по формулам F.35) и F.36)
при е= у — [Хх, получим уравнение для определения постоянной
интегрирования:
— 1. F.37)
Здесь
— 127 —
Тогда из уравнения F.37) получим
С=j/Щ arctgУщъ VW-i-arctg УЩ^\. F.38)
Отсюда видно, что постоянная интегрирования С зависит
для данного газа только от числа Мх. При Мх= 1 (v1=aKp) С=0.
Из формул F.35), F.36) следует, что в этом случае
Установим теперь зависимость между числом М и углом
поворота потока 6 (см. рис. 6.14,6). Для этого в формуле F.35)
заменим vr через vr=vcos\i=vy 1 — -^, а в формуле F.36)
vs=vsin\i—a. Тогда
i. = ут=1 = /jEE} tg УЩ
Отсюда
arctg ^|Е}/мПГТ. F.39)
Угол поворота потока 0 равен:
где
.J — ^ = arctg /M2 — 1.
Поэтому
e=0+arctg/M2— 1. F.40)
Подставляя выражение F.40), устанавливающее связь между
углами е и в в уравнение F.39), получим
%=л/ч±1 arctg l/^j /M2 — 1 — arctg /M2^! — С. F.41)
Здесь С для данного Mj определяется по формуле F.38),
а при М!=1С=0.
Поэтому из сравнения формул F.38) и F.41) следует, что
постоянная С представляет собой угол поворота звукового
потока до получения заданного числа Мх. В дальнейшем этот
— 128 —
угол будем называть фиктивным углом поворота потока и
обозначать через 0ф. Тогда
— 1 — arctg \/W — 1. F.42)
Уравнение F.41) совпадает с уравнением эпициклоиды
(характеристики в плоскости годографа скорости). Следовательно, при
обтекании угла, превышающего 180°, по известному углу поворота
потока 0О можно найти
скорость, пользуясь сеткой
эпициклоид (рис. 6.15).
Зная поле скоростей и
пользуясь основными
соотношениями изэнтропического
течения C.5)—C.7), можно
определить остальные
параметры потока (давление,
плотность и температуру).
Очевидно, что все параметры
потока при этом будут зависеть
от угла 0, числа Мх и
коэффициента к,
В табл. 6.1 приведены
Рис. 6.15. Определение скорости
потока при обтекании выпуклого угла по
эпициклоиде
значения параметров потока
при различных значениях углов 0 для Мг = 1 (v± — акр) и при
к = 1,4. Этой таблицей можно пользоваться для расчета
параметров потока расширения при любом значении Мх. Для этого прежде
Рис. 6. 16. Фиктивный угол поворота потока
всего (пользуясь той же таблицей) необходимо найти фиктивный
угол 0ф, представляющий собой угол поворота звукового потока
(Мг = 1) до получения заданного- значения числа Мг. Тогда
суммарный угол поворота звукового потока, очевидно, будет
равен 6Ф + 0О (рис. 6.16). По величине этого угла по таблице
можно найти значения всех параметров (М2, р2» Рг> ^г)-
— 129 —
е°
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
54
129,5
90
67,28
52,66
44,16
38,47
34,26
30,80
27,88
25,33
23,12
21,11
19,29
17,97
0,00
м
1
1,084
1,258
1,435
1,608
1,779
1,954
2,135
2,339
2,250
2,778
3,021
3,250
оо
т
р
РО
0,528
0,477
0,381
0,298
0,233
0,179
0,137
0,104
0,075
0,054
0,038
0,027
0,019
0,000
а б л и ц а 6.1
т
0,831
0,808
0,757
0,706
0,657
0,609
0,564
0,520
0,474
0,432
0,390
0,351
0,319
0,000
Расчет параметров потока можно произвести также,
пользуясь графиками зависимости отношения — от угла 6 при
Ро
Мх=1 (рис. 6.17). Очевидно,
что при 6=0 и Мх = 1 р = ркр
и для к = 1,4 отношение
Ро
= 0,528.
о
Для расчета параметров
необходимо по заданному
значению Мх определить отношение
давления невозмущенного
потока к давлению
торможения
Ро
Рис. 6.17. Определение давления р2
По величине отношения — (используя рис. 6.17 для Мх= 1)
можно определить фиктивный угол поворота звукового потока
6ф. По величине суммарного угла 6ф+0о, пользуясь той же
кривой, можно найти отношение давлений —, зная которое нетруд-
Ро
но определить число М2 потока (рис. 6.18):
Ро
к
к—\
— 130 —
По известной величине числа УИ2, пользуясь соотношениями
C.23), C.24) или соответствующими кривыми, можно найти
плотность и температуру потока. Найдем максимально возможный угол
поворота потока при обтекании угла, превышающего 180° (рис. 6.19).
Ро
1528
h
Ро
t
Рис.
6.18.
^—.
"а
Определение
М
числа
Рис. 6.19. Максимальный угол
поворота потока
Очевидно, что он представляет собой угол поворота звукового
потока vi=aKp (Мг == 1) до получения после поворота скорости v=vmax
(при расширении потока до абсолютного вакуума р=0). При этом
в формуле F.41) С=0, а М2 = оо.
Тогда
F'43)
При к=1,4 6шах= 129°30'.
Ю0
\
\
\
ч
"—*
1 5 ЮМ,
Рис. 6.20. Зависимость
предельного угла поворота
потока при обтекании тупого
угла, большего 180°, от
числа Мх
Рис. 6.21. Определение
фиктивного и предельного
углов поворота потока
Следовательно, если газ движется вдоль плоской стенки со
скоростью звука и вытекает в пустоту, то он заполняет только часть
— 131 —
пространства, ограниченную плоскостью, наклоненной к
первоначальному направлению скорости vx под углом 0max-
Для определения максимального угла поворота потока при
скорости v-l >> акр из выражения F.43) нужно вычесть фиктивный угол
поворота потока 0ф, определяемый по формуле F.38).
Следовательно, предельный угол, на который может повернуться сверхзвуковой
поток заданной скорости vl9 зависит от числа Мг и будет равен
l. F.44)
Зависимость предельного угла 6пр от числа Мх
невозмущенного потока при к=\Л приведена на рис. 6.20. При М1=10пр=
= бтах. При Мх=оо 0пр=О.
Если рассматривается обтекание тупого угла при 6о>0пр,
то после поворота происходит отрыв потока по лучу, наклоненному
к первоначальному направлению скорости под углом 0пр. Между
этим лучом и стенкой образуется вакуум.
На рис. 6.21 показаны фиктивный и предельный углы поворота
потока для заданной скорости невозмущенного потока (или числа Мх).
Г л ава VII
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ И КРЫЛА
В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
§ 7. /. Понятие о критическом числе №
При обтекании профиля крыла нулевой толщины (с = 0) при
нулевом угле атаки (а = 0) местная скорость на поверхности потока
всюду равна скорости невозмущенного потока. При с Ф 0 или а ф 0
местная скорость потока в некоторых точках поверхности больше
скорости невозмущенного потока (v > i>oo), причем для заданной
скорости Уоо местная скорость v тем больше, чем больше толщина ~с
и угол атаки. Поэтому при дозвуковой скорости набегающего потока
местная скорость где-либо на его поверхности может стать равной
или больше скорости звука.
Число М невозмущенного дозвукового
потока, при котором где-либо на
поверхности впервые местная скорость потока
становится равной скорости звука (у=акр),
называется критическим и обозначается через
Мкр. Величина Мкр зависит от относительной толщины с, расстояния
максимальной толщины от передней кромки профиля хс и угла атаки.
Для крыла конечного размаха критическое число Мкр зависит, кроме
того, и от угла стреловидности и удлинения крыла.
Очевидно, что местная скорость потока впервые станет равной
скорости звука в той точке на поверхности, в которой она имеет при
данной скорости невозмущенного потока максимальную величину.
В этой точке мы получим минимальное давление. Введем
коэффициент давления /?, равный:
— 133 —
Тогда минимальному значению давления соответствует минимум
коэффициента давления 'ртт- Поэтому величину критического числа
Мкр можно определить по величине рт-1П для профиля. Кривая
зависимости Мкр от минимального коэффициента давления рт\п на
поверхности профиля в условиях несжимаемого потока, полученная
впервые С. А. Христиановичем, приведена
на рис. 7.1.
При дозвуковой скорости
невозмущенного потока могут быть два случая
обтекания:
1. Моо <С Мкр. Местная скорость
потока всюду на поверхности меньше
скорости звука. В этом случае
получим чисто дозвуковое обтекание
профиля или крыла. Аэродинамические
характеристики профиля и крыла в
этом диапазоне чисел Моо необходимо
определять с учетом сжимаемости.
2. Мкр < Моо < 1. При
дозвуковой скорости невозмущенного потока
местная скорость в некоторых точках
поверхности и в окрестности профиля
и крыла становится больше скорости
звука, возникает зона местных
сверхзвуковых скоростей. Поскольку при этом позади профиля и крыла
скорость потока меньше скорости звука, то зона местных
сверхзвуковых скоростей замыкается местными скачками уплотнения
(рис. 7.2).
-05 '1,0 ч,5 --2,0 Р,
теп
Рис. 7.1. Зависимость
критического числа Мкр от
коэффициента давления
—-;
/
i—¦
/ к
Рис. 7.2. Обтекание крыла в диапазоне чисел
MKp<Moo<i
Протяженность зоны сверхзвуковых скоростей зависит от
величины числа Mo,: чем большеМоо, тем больше протяженность этой
зоны. Экспериментальные исследования показывают, что при
достаточной протяженности сверхзвуковой зоны возникает местный
скачок уплотнения, близкий^к прямому (на рис. 7.2 скачок СВ).
— 134 —
Иногда перед ним располагается кссой скачок DE. Поэтому
образуется так называемый Х-образный скачок уплотнения.
Наличие косого скачка несколько уменьшает интенсивность
прямого, так как при этом скорость потока перед прямым скачком
уменьшается. С другой стороны, наличие косого скачка может
ухудшить условия обтекания крыла, так как изменение
направления скорости потока после косого скачка уплотнения может
привести к отрыву потока с поверхности крыла.
Зоны местных сверхзвуковых скоростей могут возникнуть как
на верхней, так и на нижней поверхности крыла.
Возникновение скачка уплотнения приводит к существенному
изменению распределения давления в кормовой части профиля.
Вследствие этого в диапазоне чисел Мкр < Моо<С 1 появляется
дополнительное сопротивление, называемое волновым. Тогда суммарный
коэффициент сопротивления профиля крыла становится равным
где
сх —коэффициент профильного сопротивления;
сх —коэффициент волнового сопротивления.
§ 7. 2. Приближенная теория профиля крыла
в докритической области (метод линеаризации)
В настоящем параграфе изложен приближенный метод учета
сжимаемости воздуха (метод Прандтля — Глауэрта) для чисел
М <] Мкр, основанный на линеаризации точного уравнения газовой
динамики F.10).
Как будет видно из дальнейшего изложения, линеаризация
позволяет значительно упростить это уравнение.
Рассмотрим обтекание тонкого профиля под малым углом атаки
потоком со скоростью Уоо- Поток около такого профиля мало
отличается от плоскопараллельного невозмущенного потока. Тогда
составляющие скорости v вблизи профиля можно представить в
следующем виде:
vy=vy,
где
v'x> vy — малые величины, являющиеся функциями л:, у и
стремящиеся к нулю при удалении от профиля.
Утверждение о малости возмущений справедливо всюду, за
исключением области критической точки. В критической точке ско-
— 135 -
рость равна нулю. Поэтому v'x = —i>oo, vy = 0. В области
критической точки составляющая скорости возмущения порядка скорости
невозмущенного потока.
Сущность метода линеаризации заключается в том, что во всех
формулах и уравнениях удерживаются только малые члены первого
порядка. В дальнейших рассуждениях будем исходить из
предположения, что вторыми и более высокими степенями малых величин
v'x, vy можно пренебречь, тогда выражения для основных величин,
характеризующих газовый поток, значительно упростятся.
Рассмотрим прежде всего квадрат скорости:
v2=vx"+v2y=(voo+v'xJ+Vy =vl>+2v<x>vx+vx +vy .
Отбрасывая v'\> v'\, будем иметь
0^. G.1)
Рассмотрим скорость звука. Как известно,
« К —1 2 К — 1 9
Это же выражение для невозмущенного потока на
бесконечности можно написать в виде
Отсюда
или, используя G.1),
a*=al> — (к— 1) Voo vx, G.3)
т. е.
Разлагая в ряд по биноминальной формуле, предполагая, что
vx
-—< 1, и отбрасывая малые высших порядков, получим
"оо
l^vx. G.4)
2 йСО
Из выражений G.1) и G.4) легко найти связь между числами
— 136 —
Действительно,
l (+) ^^ v
V
или
^ )
л:
Вновь используя биноминальное разложение, при —
будем иметь
откуда с принятой точностью
М—ЛЬ
Найдем теперь давление р в возмущенном потоке. Из
уравнения Бернулли dp--= — pv dv B.23) получаем
V
= р — Роо = — J pvdv,
где
Poo — давление в невозмущенном потоке при скорости
Применяя теорему о среднем, будем иметь
где
— среднее значение удельного расхода на рассматриваемом
интервале.
Так как
2 '
то, пренебрегая произведением малых величин р V, найдем, что
(Рг;)ср=роо^оо.
Таким образом,
Р — Роо = — роо ^оо (О — ?>оо)= — Poo t^oo (t>oo+ Vx — ^оо),
т. е.
Р — Роо = — роо ^оо Vx. G.6)
Выражение G.6) называется линеаризованным
уравнением Бернулли.
— 137 —
Для того чтобы провести линеаризацию основного уравнения
газовой динамики F.10), являющегося нелинейным
дифференциальным уравнением, заменим в нем величины a2, v\, yj и yv,
vy по формулам G.3) и G.1). Тогда с принятой точностью
получим
[al —vi — (к+1) ^оо vx] U — 2^оо % +
+ [a2oo~(K-l)voovx}d^=0. G.7)
Заметим, что вторые производные по координатам от
потенциала ф для тонких профилей при малом угле атаки сами
являются малыми первого порядка малости. Например,
д д ( ' \ dvx
= frr(vx)=7rr\°°°+v*t=-iK ¦
дх2 дхv х) дх v °° ' х/ дх
Поэтому, отбрасывая в уравнении G.7) члены второго порядка
и деля на а^, окончательно будем иметь
^ 1 М ^ 1 —f- У о in ял
Уравнение G.8) является линейным дифференциальным
уравнением. Рассмотренный метод носит название метода
линеаризации, а сам поток — линеаризованным
потоком.
Уравнение G.8) справедливо как при дозвуковых (Моо<С 1),
так и при сверхзвуковых (Моо>1) скоростях. Однако методы
решения этих уравнений при Моо< 1 и Моо> 1 различны, так
как при Моо< 1 уравнение G.8) является уравнением
эллиптического типа, при Моо>1 — гиперболического типа.
Преобразуем уравнение G.8) при Моо<С1> приведя его
к уравнению Лапласа. Для этого, производя следующую замену
переменных:
Xl=x, yx=y/l —Mi, G.9)
вычислим производные от потенциала ф:
а^__ д^ д\ а2ср д^_ д^ dyi_ д^ *- —т
дх дх±' дх* ~ ах\ ' $У "" дУг dy дУг ~ °°'
^1 А (ПОЛ JL / ? t/i_m2 \ У\ — М2
ду* - dy\dy)lj - dy\Wi V l MooJ V [ °
или
— 138 —
Подставляя значения производных в уравнение G.8),
приведем его к виду уравнения Лапласа:
д*?
G.10)
Известно, что уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал
скорости потока несжимаемой жидкости. Переход от уравнения G.8)
к уравнению G.10) с помощью замены переменных G.9) позволяет,
пользуясь уравнением
Лапласа G.10), найти
потенциал скорости потока
несжимаемой жидкости
ф(*1> уг)9 обтекающей
некоторый новый контур. Если
в найденном потенциале
скорости заменить xi через
х, a у\— через уУ\—Моо ,
то получим потенциал
скорости для потока
сжимаемой среды, обтекающей
заданный тонкий профиль.
При переходе от
переменных х, у к переменным xi,
у\ форма профиля будет
меняться. Рассмотрим
характер изменения формы
профиля при таком пере-
Рис. 7.3. Деформация профиля и
изменение угла атаки по теории Прандтля —
Глауэрта
ходе (рис. 7.3).
Допустим, что в
плоскости ху расположен тон-
кий профиль с хордой Ьу направленной вдоль оси х. Поток
сжимаемой среды обтекает этот профиль под малым углом
атаки а со скоростью ^оо- В таком случае в плоскости хгух
будем иметь какой-то другой профиль с той же хордой Ь,
обтекаемый потоком несжимаемой жидкости со скоростью ^loo
пбд новым углом атаки аг. Покажем, что профиль, находящийся
в потоке несжимаемой жидкости, будет утолщен в направлении
оси v в отношении r 1 . Для этого обратимся к рассмот-
рению изменения скоростей в направлении координатных осей.
Так как
L
дх
и ^L =
ду
— 139 —
то
l = vx, vyi=
Из формул G.11) заключаем, что составляющие скорости по
оси х при таком переходе не меняются и в соответствующих
точках профиля оказываются равными, а составляющие скорости
по оси у увеличиваются в отношении —г . Это означает,
Vi-м^
что тангенсы углов наклона касательной к линии тока с осью
х, равные -^, также увеличиваются в том же отношении, и,
следовательно, в таком же отношении увеличится угол атаки
«х, т. е.
1
а1 = —==- а.
Изменение углов наклона касательных показывает, что
контур профиля 0г Ах (см. рис. 7.3), являющийся линией тока, будет
во всех своих точках иметь наклон касательных, увеличенный
по сравнению с наклоном касательных к контуру О А в
сжимаемой среде в раз. Отсюда заключаем, что и максималь-
ная толщина сг профиля ОгАх будет связана с максимальной
толщиной профиля ОА соотношением
Сл =
т. е. тонкому профилю в сжимаемой среде
соответствует утолщенный профиль в
несжимаемой жидкости, обтекаемый под большим
углом атаки.
Таким образом, для определения обтекания тонкого профиля
крыла потоком сжимаемого газа необходимо рассмотреть обтекание
несжимаемой жидкостью профиля, утолщенного в направлении оси
у в '— = раз, под углом атаки, увеличенным во столько же раз.
Определив для этого фиктивного профиля с помощью уравнения
Лапласа G.10) потенциал ф(^1 ух), надо вновь перейти, пользуясь
преобразованием G.9), к потоку сжимаемого газа. Тогда в
соответственных точках этих потоков, определяемых уравнением G.9),
значения потенциалов скорости и горизонтальных составляющих
скоростей по формуле G.11) будут совпадать. Из линеаризованного
уравнения Бернулли G.6) следует, что в этих точках будут совпадать и
давления. Это приводит к выводу, что подъемная сила для профиля
— 140 —
в сжимаемом газе и подъемная сила для утолщенного фиктивного
профиля в несжимаемой жидкости одинаковы.
Известно, что если в потоке несжимаемой жидкости профиль,
хорда которого расположена вдоль оси х, растягивается в
направлении оси у в п раз и одновременно в п раз увеличивается
угол атаки а, то коэффициент подъемной силы также
увеличивается в п раз. Но, с другой стороны, рассматриваемый профиль
в сжимаемом газе ведет себя так, как фиктивный профиль, утол-
щенный в A — Mi) 2 раз, в потоке несжимаемой жидкости.
Следовательно, профиль в сжимаемом газе имеет подъемную
силу, в A —Мто)~~~^~ раз большую, нежели в несжимаемой
жидкости. Отсюда вывод: влияние сжимаемости при Моо < Мкр
приводит к увеличению коэффициента подъемной силы.
Для нахождения коэффициента подъемной силы профиля
в сжимаемом газе надо взять значение су для данного угла
атаки при малых скоростях обтекания (из диаграммы cy=f(a)) и
умножить этот коэффициент на A — Mi) 2. Таким образом,
или сау= ./^-7Г. G.12)
' Vi-Mi
Аналогично будет выражаться и коэффициент момента
профиля:
ст=-^=. G.13)
§ 7. 3. Уравнения Чаплыгина для исследования
движения газа с большими дозвуковыми
скоростями
В работе «О газовых струях» A902 г.) акад. С. А. Чаплыгин
создал метод изучения газовых потенциальных потоков, который
почти полвека спустя получил исключительно большое применение
в решении газодинамических задач, в том числе и в современной
теории крыла. Идея метода С. А. Чаплыгина заключается в том, что
с помощью введения новых независимых переменных нелинейные
уравнения газовой динамики для функций ф и яр точно
преобразуются в линейные уравнения, которые затем приближенно
интегрируются путем аппроксимации изэнтропы линейной зависимостью
(см. § 7.4).
— 141 —
Обратимся к плоскому потенциальному потоку газа. В этом
случае вследствие потенциальности потока составляющие скорости
равны
— Й- ", = %¦ ' с»)
а из уравнения неразрывности
Л (пп.Л
О G.15)
d(pvx) d(pvy)
дх ' ду
можно сделать заключение о существовании такой функции
тока г|>, при которой удовлетворяются условия
±vx=^9 -?.«=-?, G.16)
Ро * ду ' р0 У дху v '
где р0 — плотность в некоторой характерной точке,
соответствующей скорости vQ.
Из уравнений G.14) и G.16) находим
Ро дх-~ду' Ро ду- дх' К1-и>
Введем в качестве независимых переменных вместо х и у
величину скорости v и угол 6, образуемый вектором скорости
с осью х. Так как
t^acosG, ay=ysin0, G.18)
то, используя G.14) и G.16), будем иметь
dq> = p- dx + J? dy = у (cos 0 d*+sin 6 dy), j
> G.19)
d^f^Qd\
Из уравнений G.19) находим
dx = -cosQd(f — ^-
G-20>
Так как из уравнений G.20) следует, что
ду v ду pv
TO
ду Po • c\ ^V
dv ду dv d'l> dv v dv pv dv
— 142 —
Аналогично можно получить
ные
G.22)
Для исключения старых переменных х и у найдем производ-
д_,дх
,дх\ Л(д?\ д_/&У\ Л(?У
\дЬ)' Tv\d~e)' d(l[dvj' <h\ffl
Учитывая известное свойство независимости смешанных
производных от порядка дифференцирования, получим
sin 6 ^ср р0 д д<\> cos 6 дер . д д<\> d
v dv pa dv a2 дб дб d\
cos б дер Ро . л дф sin б дер . Л дф d
-д- — — Sin \j -jr- = о— ~^ "г* COS и — —
Умножая первое из этих уравнений на (—sin 6), а второе —
на cos 6 и складывая их, будем иметь
a dv ~ dv \pv)db * (/'^>
Затем умножим первое уравнение на cos0, а второе — на sin 6
и, также сложив их, находим
дер ро дф
Для преобразования уравнения G.23) заметим, что
da \^pay dv^pjv ~v* \J> J '
С другой стороны
dv\p ) p2 da ~ p2 dp da ~" p2 a2 da '
или, используя формулу -p = — pv,
dv\pj p a2
Подставляя G.27) в G.25), получим
p a2 a2 p
— 143 —
G.24)
G.25)
G.26)
G.27)
G.28)
В таком случае система уравнений G.23) и G.24) примет
вид
dv
G.29)
Полученные уравнения являются уравнениями движения в
плоскости годографа скорости (в полярных координатах v и 6). Они
линейны, так как коэффициенты при производных являются
функциями только независимых переменных. Таким образом,
исключительная важность метода С. А. Чаплыгина состоит в том, что
преобразование уравнений движения к плоскости годографа скорости
точно линеаризует нелинейные уравнения движения газа в
физической плоскости течения. Преобразуем эти уравнения, введя
переменные Чаплыгина гиб:
т =
v*
k — 1 U*p
Из уравнения C.11) и формулы G.30) находим
V2 2 z
а2
ИЛИ
k-\ 1 -т'
k+ 1
1 —
k — 1 *
Учитывая, что
1 — т
и 1
Tv
v
кр
G.30)
G.31)
G.32)
G.33)
G.34)
а
"кр
и используя формулу C.25), которую для р можно написать в виде
G.35)
окончательно получим (согласно 7.29)
кЛ- 1
~2т
' k — 1
а?
2т
A-т)*-
— 144 —
G.36)
Система G.36) носит название системы уравнений
Чаплыгина.
В своей работе «О газовых струях» С. А. Чаплыгин применил
полученные уравнения к расчету различных струйных течений газа.
Эта работа положила начало развитию аэродинамики больших
скоростей и явилась основой ряда выдающихся работ советских и
зарубежных ученых, посвященных разработке проблем газовых
течений и современной теории крыла.
§ 7. 4. Метод С. Л. Христиановича
Как было указано выше, приближенная теория Прандтля —
Глауэрта, основанная на методе линеаризации уравнений газовой
динамики, справедлива лишь для тонких профилей, обтекаемых под
малыми углами атаки. Для более точного исследования обтекания
дозвуковым потоком крыловых профилей следует обратиться к
точным уравнениям движения идеального газа.
С. А. Христианович видоизменил точные уравнения движения
газа, выведенные С. А. Чаплыгиным, и построил теорию,
позволяющую учитывать влияние сжимаемости на распределение давления
и аэродинамические характеристики любых профилей при докрити-
ческих скоростях. Сущность метода С. А. Христиановича излагается
в данном параграфе.
Введем в уравнения Чаплыгина G.36) вместо независимой
переменной т новую переменную
Учитывая, что
можно уравнения Чаплыгина представить в следующем виде:
ду 1 — X2 д<\>
ах"" "
G.39)
6 Зак. 801 — Н5 —
Для получения этих уравнений в симметричной форме введем
вместо X независимую переменную s, связанную с Я, следующим
соотношением:
4. -
Лр*>* G.40)
В таком случае система уравнений G.39) примет вид
где величина К является следующей функцией к:
1-Х2
G-41)
G.42)
(-*
С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного
обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования
системы уравнений G.41) путем последовательных приближений.
Он показал, что интегрирование
полученных уравнений сжимаемого
газа для случая обтекания профиля
крыла может быть сведено к решению
задачи обтекания деформированного
профиля (близкого к заданному) в
несжимаемой жидкости. Для этого
надо выразить величину К через
числоМ, использовав формулу C.2Г):
Рис. 7.4. Зависимость функции
Yk от числа М и
коэффициента скорости X
G.43)
Зависимость функции \/К от чисел
X и М изображена на рис. 7.4. Как
видим, для чисел М < 0,6 величина
УК мало отличается от единицы.
Учитывая это, обратимся к уравнениям G.41). Эти уравнения для
сжимаемого газа отличаются от уравнений Коши — Римана для
несжимаемой жидкости наличием_множителя )//(.
Будем считать величину У К постоянной и включим ее в состав
функции г|). В частности, можно положить К = 1 (что точно
соответствует несжимаемой жидкости и было использовано С. А. Чап-
— 146 —
лыгиным) или согласно первому приближению Христиановича
считать, что К = Коо, где Коо— значение функции /С,
соответствующее параметрам невозмущенного потока газа (М = Моо). В таком
случае вместо точной системы уравнений G.41) получим
приближенную систему в плоскости s, 0:
Оф с?ф 5ф " дф
дЬ ds us * дЬ * '
ничем не отличающуюся от уравнений Коши — Римана для
несжимаемой жидкости. Приближенные уравнения G.44) сравним
с уравнениями
^ ==_± /7 444
д7' дТ д$" { '
являющимися уравнениями Коши — Римана в плоскости
псевдогодографа скорости несжимаемой жидкости s, 6 (волнистый значок
над буквой означает, что рассматриваемые величины относятся к
потоку несжимаемой жидкости). Очевидно, что 0 будет являться углом
наклона скорости в потоке несжимаемой жидкости к оси х, a's —
величиной, определяемой равенством
G'45)
которое можно получить из G.40) при X = 0.
Допустим, что в плоскости переменного z = х + iy, являющейся
физической плоскостью течения несжимаемой жидкости, определено
обтекание профиля крыла с циркуляцией, удовлетворяющей
постулату Чаплыгина относительно задней кромки профиля. Тогда,
используя существующие методы расчета несжимаемого потенциально-
г о потока, можно вычислить величины v, Я, 6, s, ф и г|) в функции л;,
у и, следовательно, найти граничные условия в плоскости s, T).
Для того чтобы перейти к приближенному решению задачи
обтекания профиля крыла сжимаемым потоком газа, надо, чтобы
в = ^ s = I G.46}
Последнее условие означает, очевидно, тождественность течений
в плоскости псевдогодографа скорости s, 0 газа и в плоскости
псевдогодографа скорости s, б» несжимаемой жидкости. Из этого условия,,
используя G.40) и G.45), получим соотношение между скоростями
течения несжимаемой жидкости и газа:
— 147 — 6*
Константу С можно определить, учитывая, что отношение
~- -» 1, когда Я -> 0.
В табл. 7.1 и на рис. 7.4 дана связь между А,, М и X. Как
видим, в плоскостях годографа скорости величины скоростей не
совпадают, совпадают только углы 6 и 0.
Таблица 7.1
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
м
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
акр
0
0,0500
0,0998
0,1493
0,1983
0,2467
0,2943
скр
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
м
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
0,3410
0,3862
0,4307
0,4734
0,5144
0,5535
0,5904
V
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
м
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,9409
1,0000
0,6251
0,6568
0,6857
0,7110
0,7324
0,7483
0,7577
При выполнении равенств G.46) система уравнений G.44)
определяет в плоскости s, 6 поток сжимаемого газа, отвечающий
тем же граничным условиям, что и поток несжимаемой жидкости
в плоскости s7 (Г. Однако в физической плоскости газового
потока х, у контур профиля L не будет совпадать с контуром профиля
L в плоскости х9 у несжимаемой жидкости. Действительно, в
соответствующих точках профилей, т. е. в точках, где совпадают
значения s и s, 6 и 6, а следовательно, совпадают ф и ф, элементы
дуг профилей L и L удовлетворяют соотношениям:
¦=т и
Имея в виду, что скорости в соответствующих точках, вообще
говоря, различны (см. табл. 7.1), приходим к выводу, что элементы
дуг профилей, а следовательно, и сами профили L и L не совпадают.
В первом приближении будем пренебрегать указанной разницей
в форме профилей для газа и несжимаемой жидкости в
плоскостях z и1 (следует отметить, что С. А. Христиановичем подробно
исследованы вопросы о различии этих профилей и дана теория
перехода от плоскости z к плоскости г). На основе этого
простейшего приближения установим связь между распределением давления
— 148 —
по профилю в несжимаемой жидкости и распределением давления
в сжимаемом газе. С этой целью напишем выражения для рнс. и рсж • *
— Рнс Рнс оо
1
Рсж =
' НС ОО ^НС ОО
Рсж —
G.47)
Используя соотношение М2 = —т—
рсж получить следующее выражение:
Рсж. =
/с + 1 Лоо
можно для
G.48)
Таким образом, задавая
скорость ?>оо в сжимаемом газе,
т. е. Хоо> можно найти
соответствующее ?ioo по табл. 7.1. Затем
при различных значениях К
определить по той же таблице X
и с помощью формул G.47) и
G.48) установить искомую связь
между рсж. и рнс.
Между рнс. и рсж. можно
установить прямую зависимость,
если воспользоваться
предложенной Чаплыгиным заменой дей- ^1 j_
ствительной изэнтропы «прямо- Р
линейной ИЗЭНТрОПОЙ», в качестве Рис. 7.5. Аппроксимация изэн-
которой выбирается касательная тропы прямой
к изэнтропе в точке р0, р0
(рис. 7.5). В таком случае уравнение «прямолинейной
изэнтропы», т. е. уравнение касательной к изэнтропе рро = ро(—)~*
в точке (роро)> примет вид
(а)
р-Ро = Роао --7!
— 149 —
Вводя вместо X новую переменную |х:
и используя приближенную изэнтропу (а), уравнения движения
в плоскости годографа G.29) приведем к виду
Нетрудно убедиться, что, вводя еще раз новое переменное
5, с помощью соотношения
rf =ds,
pyi + n1
получим систему уравнений G.44). Это означает, что
соотношение G.46') заменится следующим более простым равенством:
-===, т. е. lnu= In
Считая, что при |л-> 0 отношение — -> 1, находим, что С=2.
В таком случае получаем приближенную зависимость между
скоростями сжимаемого и несжимаемого газа:
или (Л = _1^. G.49)
4 — \la
Полученные приближенные соотношения могут быть
выведены из точных путем замены в них % на М при условии, что
К = — 1. Выразим рнс. и рсж. в новых переменных.
Используя G.47) и (б), находим
рнс. =1 — (?-
Используя формулу F)ji подставляя К= — 1 в выражение
G.48), получим
рсж> =^-2 Z00 t/l + t^2 -^1 + ^]. (в)
Преобразуя выражение (в) с помощью G.49), будем иметь
8G-i^)
= 2
^ D-
— 150 —
Так как /С= — 1» то
Учитывая, что jx2 = ^«L A — рнс), получим для рсж. следующее
выражение:
- I6 ^
Подставляя выражение [loo из G.49):
окончательно находим искомую зависимость между рсж. и рнс.>
известную в зарубежной литературе как формула Кармана —
Тзяна:
— ___ Рнс.
Рсж. = 1 М2 G 5(У1
Отметим, что в качестве точки касания к изэнтропе (см.
рис. 7.5) можно взять точку роо, роо> соответствующую
параметрам невозмущенного потока М = Моо, и этим расширить
область применения рассмотренного приближенного метода.
В заключение следует отметить, что С. А. Христианович
в качестве первого приближения вместо аппроксимации изэнтропы
прямой линией положил в уравнениях G.41)
Этот случай был им полностью исследован в 1940 г. В зарубежной
Литературе этой аппроксимации приписывается имя Кармана,
исследовавшего это приближение позже.
В настоящее время имеются методы для приближенного учета
влияния сжимаемости на обтекание тел дозвуковым потоком газа,
отличные от метода С. А. Христиановича и основанные на гипотезе
неизменяемости формы линий тока с изменением скорости
невозмущенного потока. Впервые этот метод был предложен проф. С. Г. Ну-
жиным в 1946 г.
В 1949 г. проф. Г. Ф. Бураго предложил простой приближенный
метод учета влияния сжимаемости, основанный на гипотезе ста-
— 151 —
билизации линий тока и более рациональном выборе
дополнительных условий. Этот метод дает почти такие же точные результаты,
как и первое приближение по теории С. А. Христиановича *.
§ 7. 5. Обтекание профиля крыла
закритическим потоком (МКр<Моо</).
Расчет волнового сопротивления
Рассмотрим обтекание профиля потоком при Мкр < Моо < 1.
В этом диапазоне чисел Моо, как указывалось в § 7.1, возникает
зона местных сверхзвуковых скоростей, которая замыкается
местными скачками уплотнения. При этом наличие необратимых потерь
в скачках уплотнения вызывает дополнительное сопротивление,
которое называется волновым сопротивлением.
Рис. 7.6. Распределение давления по поверхности
профиля при наличии местного скачка уплотнения
(кривая J) и при изэнтропическом обтекании
(кривая 2)
Для обоснования появления волнового сопротивления
рассмотрим обтекание симметричного профиля при а = 0
закритическим потоком (Мкр < Моо < 1). На рис. 7.6 зона сверхзвуковых
скоростей, скачок уплотнения и скорости в характерных точках
указаны на верхней поверхности, а эпюра распределения давления
показана на нижней поверхности профиля.
В критической точке скорость потока равна нулю, а давление —
давлению изэнтропического торможения:
Рог
* Метод Г. Ф. Бураго изложен в учебнике Н. С.: Аржаникова,
В. Н. Мальцева «Аэродинамика», гл. XVIII, § 5.
- 152 —
При к= 1,4 Poi=Poo(l+0,2M^K'5.
При удалении от критической точки давление уменьшается
и в точке А, в которой скорость равна скорости звука (у=акр),
°528
рРрРо1.
Непосредственно перед скачком уплотнения скорость потока
превышает скорость звука, а давление рг равно:
При переходе через скачок уплотнения скорость внезапно
уменьшается. Считая скачок вблизи поверхности прямым,
получим, что v2<^a2. Давление р2 за прямым скачком уплотнения
равно:
Позади скачка уплотнения скорость потока уменьшается от
?>2 <С #2 Д° V2= 0, а давление возрастает от р2 до давления
торможения р02 на задней кромке. Ввиду того что в скачке
уплотнения происходят необратимые потери полного напора, давление
торможения в потоке за скачком уплотнения р02 меньше
давления изэнтропического торможения р01:
где
а — коэффициент восстановления полного давления (зависит
от числа Мх до скачка уплотнения. Чем больше Мх, тем а
меньше).
Если бы в диапазоне чисел Мкр <[ Моо < 1 было возможно
изэнтропическое обтекание профиля (без местного скачка
уплотнения), то давление на задней кромке равнялось давлению ро1.
Кроме того, давление в любой точке в кормовой части профиля
на участке ВС было бы больше, чем при наличии скачка уплотнения.
Это наглядно видно из рис. 7.7, где кривая 1 соответствует изэнтро-
пическому обтеканию профиля. При скорости vi > а\ происходит
скачок уплотнения (с изэнтропы / к изэнтропе 2). При уменьшении
скорости V2 до v = 0 по кривой 2 в потоке за скачком уплотнения
давление возрастает от ръ до р02, а при изэнтропическом уменьшении
скорости в тех же пределах давление возрастает от р2 до р01.
Следовательно, наличие местного скачка уплотнения (необратимых
потерь в скачке) приводит к понижению давления в кормовой
части профиля по сравнению с изэнтропическим обтеканием. На
рис. 7.6 приведен характер распределения давления при наличии
местного скачка уплотнения (кривая 1) и при изэнтропическом
обтекании (кривая 2).
6В. Зак. 801 — 153 —
Понижение давления в кормовой части вызывает
дополнительное сопротивление, которое называется волновым
сопротивлением. Очевидно, что волновое сопротивление профиля
тем больше, чем больше потери полного напора в местном скачке
уплотнения. Потери полного напора зависят от числа Мь Чем
больше Mi, тем потери больше (коэффициент потерь с меньше).
Кроме того, величина числа Mi зависит от разности (Моо — Мкр).
Чем больше эта разность, тем Mi больше. При Мсо = Мкр
Mi = 1. Из этих качественных рассуждений следует, что волновое
сопротивление профиля зависит от разности (Моо — Мкр).
р'
Ро,
Рис. 7.7. К обоснованию понижения давления
в кормовой части профиля при наличии
местного скачка уплотнения
Впервые метод расчета волнового сопротивления был предложен
С. А. Христиановичем и Я. М. Серебрийским в 1944 г.
В настоящем параграфе рассмотрен расчет волнового
сопротивления по методу проф. Г. Ф. Бураго.
Предположим, что на верхней поверхности крыла (рис. 7.8)
образовалась местная сверхзвуковая зона ABC,
заканчивающаяся прямым скачком уплотнения. Выделим в потоке
элементарную струйку, проходящую через скачок уплотнения. Параметры
газа перед скачком обозначим: скорость через vl9 давление через
р1э плотность через рх; после скачка — соответственно через v2,
р2, р2. Проведем на достаточно большом удалении от профиля
две контрольные плоскости / — / и // — //. Обозначим
соответственно через pioo, Pioo» як»» dym плотность, давление,
скорость и элемент длины вдоль первой плоскости, а через р2оо>
Р2оо> ^2оо, dy2oo — те же величины вдоль второй плоскости. Из
условия постоянства расхода для каждой струйки будем иметь
Plo
= p2oo V2oo
G.51)
Применяя теорему о количестве движения к массе газа,
заключенной между контрольными поверхностями, получим
— 154 —
т
J P2°
—-oo
где
+°
+оо
+
- J (Ploo—P2oo)dy— XB, G.52)
XB — волновое сопротивление.
Принимая во внимание соотношение G.51), будем иметь
+ОО
+
= J (Pioo — p2oo)dy
+00
) (vioo —
G.53)
Рис. 7.8. Расчетная схема обтекания профиля крыла
при наличии местного скачка уплотнения
При отсутствии скачка уплотнения, т. е. в случае изэнтропи-
ческого обтекания профиля потоком газа при удалении контрольных
поверхностей в бесконечность, Хв = 0.
При наличии скачка на поверхности профиля анализ формулы
G.53) упрощается, если предположить, что либо давление р, либо
скорость v потока в сечение //—// полностью восстанавливаются
и принимают те же значения, что и в контрольной плоскости /—/.
С. А. Христианович и Я. М. Серебрийский в своей работе
предположили, что давление р впереди и позади тела стремится к
значению роо, значение же скорости У2оо, стремится к uioo только
в тех струйках, которые не пересекают плоскость скачка
уплотнения. Это означает, что
+оо
lim j (pioo — P2oo)dy = О
и вне следа от скачка
lim J p
oo^ioo — v2oo) dy = 0.
— 155 — 6B*
Следовательно,
s
*в = J Ploo f loo (»ioo — ^2oo) dy, G.54)
0
где
s — длина скачка уплотнения.
Примем, согласно Г. Ф. Бураго, предположение, что за
крылом происходит выравнивание скоростей, т. е. v 100=0200. В таком
случае для Хв будем иметь более простое выражение:
+оо
J (^ G.55)
Учитывая, что при одинаковых скоростях давление на
контрольной плоскости II—II должно быть меньше, чем в
плоскости / — /, так как между ними находится скачок уплотнения,
получим
= а<1, G.56)
Ploo
причем коэффициент потерь полного напора определяется по
формуле D.30). Очевидно, что для всех струек, не
пересекающих скачок уплотнения, о= 1.
Вводя а в выражение G.55), а также замечая, что
pioo0ioodyioo= pi 0i ds или dy loo = dy = Pl^ ds,
получим
Хв = plco Г PlVl A — a) ds, G.57)
J Ploo^loo
о
где интегрирование ведется по длине скачка уплотнения (вне
скачка о= 1).
Так как на скачке уплотнения а< 1, то Хв>0, и с
уменьшением а величина Хъ будет возрастать.
Пользуясь формулой D.30), можно показать, что при M^l
-иг-= —у = 0. Тогда, разлагая выражение A — а) в ряд по
степеням (Мх— 1), получим
— 156 —
Так как для тонких профилей при малых углах атаки
разность (Мх—1) мала, то с точностью до (Мх—IK можно принять,
что
(Мх—IK, G.58)
где разность (Mt — 1) в первом приближении можно считать
пропорциональной разности (Моо —Мкр) (при Моо = Мкр М2 = 1).
О 0,10 0,20 0,30 ОМ) 0,50 ОМ 0,70 0,80 0,9Un*
Рис. 7.9. Влияние местных скачков уплотнения на коэффициент
сопротивления
Подставляя выражение G.58) с заменой (Мх—1) на (Моо—Мкр)
в формулу G.57), получим
сХв = А (Моо — Мкр)з, G.59)
где
сх —коэффициент волнового сопротивления, равный
— 157 —
А — постоянный коэффициент, зависящий от формы профиля
(распределения давления по поверхности профиля),
приближенно для современных профилей может быть принят
равным 11.
Формулой G.59) можно пользоваться для чисел Моо, не
превышающих величину Мкр + 0,15. Из этой формулы следует,
что для уменьшения коэффициента волнового сопротивления
профиля при заданном значении числа Моо необходимо увеличить
Мкр- В основном для существенного увеличения величины Мкр
нужно уменьшить относительную толщину профиля.
На рис. 7.9 приведена зависимость коэффициента сопротивления
профиля сх от числа Моо, причем, возрастание коэффициента
сопротивления сопоставлено с характером обтекания профиля
при различных числах Моо. Этот рисунок хорошо иллюстрирует
связь между развитием скачков уплотнения на профиле крыла
и возрастанием коэффициента сопротивления профиля. С ростом
числа Моо скачки уплотнения перемещаются в направлении к
задней кромке и одновременно становятся все протяженнее и мощнее,
коэффициент сопротивления профиля при этом быстро возрастает.
Возникновение местных скачков уплотнения вызывает
значительное изменение коэффициентов подъемной силы и момента.
Характер изменения су и ст при увеличении Моо в диапазоне
Мкр < Моо < 1 зависит от формы профиля и соотношения между
местными скачками уплотнения на верхней и нижней поверхностях.
§ 7. 6. Влияние сжимаемости на величину
индуктивной скорости крыла
Влияние сжимаемости на величину индуктивной скорости было
исследовано Л. А. Симоновым и С. А. Христиановичем. Ими
установлено, что сжимаемость вносит существенное изменение в формулу
Био-Савара.
Рассмотрим, как изменяется под влиянием сжимаемости воздуха
поле скоростей, вызываемое вихревой нитью. Обратимся к
основному уравнению газовой динамики, которое для пространственного
потока имеет вид
dvz\ fdvv dvz
w) ~ ь v* [if+w
Компоненты вихря, предполагаемые известными,
определяются уравнениями
— 158 —
ф*=Т\5у~~дг)'
dvx
dvy dv
дх ~ ду
G.61)
G.62)
Скорость звука а связана со скоростью потока v в данной
точке соотношением C.11):
,2 а2 4> (К + 1)
Т + ^=Т - 2 AС — 1) • G*Ы)
Уравнения G.60) и G.61) представляют собой нелинейную
систему уравнений.
Л. А. Симонов и С. А. Христианович показали, что решение
задачи определения поля скоростей по данной системе вихрей
при наличии сжимаемости воздуха можно упростить для случая,
относящегося к исследованию крыла, по следующим соображениям.
Поле скоростей в окрестности крыла определяется в результате
наложения набегающего потока со скоростью Уоо и потока
возмущения, вызываемого присутствием крыла. Составляющие скорости
возмущения являются малыми величинами. Вихревую пелену
будем считать простирающейся неограниченно.
При vx =-- Voo + v'x, vy = v'y, vz = v'z будем считать, что v'Xf vy
v'z — малые величины. В таком случае система уравнений G.60),
и G.61) может быть приведена к следующему виду:
dv' dv'
где
V
Moo = ^р-, аоо—скорость звука, соответствующая скорости невоз-
00 мущенного потока.
С помощью преобразования
*! = —7=^=- И VX = г—-==- G.66)
— 159 —
систему уравнений G.64) и G.65) можно привести к
уравнениям, отвечающим случаю несжимаемой среды:
ду + дг
Ту дг
ov ovx ,/~
г-^ ^г-1 = 2со, V 1 — .
G.67)
G.68)
Таким образом, задача сведена к определению поля
скоростей по заданной системе вихрей в несжимаемой жидкости.
Следует указать, что вместо рассмотренного преобразования
можно было бы воспользоваться другим, эквивалентным ему:
G.69)
Решение системы уравнений G.67) и G.68) имеет вид
ldaz дау\ , \ (дах даЛ , \ (дау дах\
где
S = -1—^Г^1.1 1
dr\ dt
соу (б' VT
J /(^_е'JФ(у--оJ+B-
G.71)
Интегрирование ведется по области г\ соответствующей
в пространстве х, у, z области т, заполненной вихрями.
Рассмотрим одну вихревую нить с напряжением Г = 2соо,
где а — площадь поперечного сечения вихревой трубки. В
каждой точке вихревой нити со^.—cocos(co, #)=co -тт\ coy=cocos(co, у) —
= оо--^; cD.=cocos((ja, z) = со -т-.. Здесь dl — элемент длины вихре
вой нити. Учитывая, что в случае одной вихревой нити dx =
d^ddt> = G dl, находим
— 160 —
Кроме того,
у i _ м?> 2 У1 — м*,
Тогда формулы G.71) примут следующий вид:
•" "У 2л:
где
г' = У(Х1 — ?)*+ (у — т]J + (г — О2.
Интегрирование проводится по оси вихревой линии в
пространстве х1У у, z.
Из формул G.71) и G.72), выражающих закон Био-Савара,
следует, что, для того чтобы с учетом сжимаемости воздуха
найти скорость, индуцированную вихревой линией в какой-нибудь
точке пространства х, у,z, следует растянуть вихревую линию,
не изменяя ее интенсивности, в направлении скорости
набегающего потока в = раз и определить, пользуясь тем же
законом, скорость, вызванную этой вихревой линией в точке
=, у,z\. Затем надо увеличить полученную добавоч-
V 1 -
ную составляющую скорости в направлении набегающего
потока в —, раз.
/1-м»,
Обращаясь к вихревой схеме крыла конечного размаха,
вспомним, что сбегающая с крыла вихревая пелена представляет систему
полубесконечных прямолинейных вихрей. Для определения поля
индуцированных скоростей достаточно определить поле скоростей,
возбужденное полубесконечным прямолинейным вихрем, и затем
проинтегрировать по всем вихрям вихревой пелены. Для этого
воспользуемся обобщенной формулой Био-Савара.
Рассмотрим прямолинейный отрезок вихревой линии,
совпадающей по направлению со скоростью на бесконечности. Пусть точки
А(*а> Уа, *а) и В(хВу у в, zb) будут конечными точками этого вихревого
отрезка. Скорость ^оо направлена параллельно оси х. Рассмотрим
произвольную точку С(х, у> г). Индуцируемая в ней вихревым
отрезком скорость будет лежать в плоскости, перпендикулярной
оси вихря. Составляющая скорости возмущения, параллельная
скорости набегающего потока, будет при этом равна нулю, а про-
— 161 —
екция скорости на плоскость, перпендикулярную оси вихря,
согласно полученному результату, определится следующим образом:
V =
i
(x-xA) у
1 —
/г2
л; — л: г
G.73)
где
/г = У (у — улJ -{- {г — ZaJ — расстояние точки С от вихря.
В частном случае при хв-^оо
v =
+1
G.74)
Для полубесконечного вихря при х =
Г
G.75)
Отсюда заключаем, что для крыла в дозвуковом потоке с учетом
сжимаемости индуктивные скорости на несущей линии (и на всей
поверхности, проходящей через нее перпендикулярно скорости
набегающего потока) будут такими же, как для крыла в несжимаемой
среде, с тем же распределением циркуляции по размаху.
§ 7. 7. Нестреловидное крыло
в дозвуковом потоке
Рассмотрим обтекание нестреловидного крыла большого
удлинения (А,>5) при Моо<^МКр. Так же как в несжимаемой
среде, заменим крыло вихревой системой, состоящей из
присоединенного вихря с переменной интенсивностью по размаху
Г = Г (z) и вихревой пеленой, сбегающей с поверхности крыла.
Интенсивность свободных вихрей при этом равна — ~r~^z-
Как известно, истинный угол атаки сечения крыла
конечного размаха аист меньше геометрического угла атаки:
аист(г) = a — Aa(z),
— 162 —
где
да(г)—угол скоса потока в данном сечении крыла, равный
Vy Ф г / ч
—— [vy(z) — скорость, индуцированная вихревой
пеленой в точках присоединенного вихря].
В сжимаемой среде, как это следует из формулы G.75),
скорость vy при заданном распределении циркуляции скорости по
размаху нестреловидного крыла определяется так же, как в
несжимаемом потоке:
с\,B) = тт \ с_2 • G.76)
Тогда
7
jU,
fj G.77)
Коэффициент подъемной силы сечения крыла при малых
углах атаки (на линейном участке кривой) cy=f(a) можно
представить в следующем виде:
Су сеч ~ ^у проф (Ct Act),
где
а — геометрический угол атаки, отсчитываемый от угла
нулевой подъемной силы,
су проф — тангенс угла наклона кривой cy = f(a) для профиля
с учетом сжимаемости, который можно определить по
формуле G.12).
Тогда
__ су проф нс. /
Су сеч — —===== \а
Подставляя сюда выражение для истинного угла атаки аист =
= а — Да G.77), получим
L
Используя уравнение связи Г (z) = -^ Су сеч ^оо Ь (z), будем
иметь
Г(г)= "упрофнс. Voob{z)x
G.79)
Введем безразмерные величины
5 Cf 6» 4^
_i. _L ср
2 2
Тогда уравнение G.79) примет вид
Г(г) =
a
У i-mJ,
1
2
1 .
I <
Су про
l
+1
-
C —2
X
где
A, = g удлинение крыла.
Уравнение G.81) — интегро-дифференциальное уравнение
нестреловидного крыла в сжимаемом потоке. При М = 0,. как
частный случай, получим интегро-дифференциальное уравнение
крыла в несжимаемой среде.
Из сравнения уравнения G.81) с интегро-дифференциальным
уравнением крыла в несжимаемой среде (при М = 0) следует,
что безразмерная циркуляция по сечению крыла с заданным
удлинением А, и углом атаки а в условиях сжимаемой среды
равна безразмерной циркуляции для крыла с меньшим
удлинением, равным А, У 1—М^о, при большем угле атаки =-
в несжимаемой среде. Произведение А, У 1—М^, называется
эффективным удлинением.
Зная безразмерную циркуляцию скорости в каждом сечении
крыла, можно определить сусеч, коэффициент суммарной
подъемной силы крыла су, коэффициент индуктивного
сопротивления Cxi •
— 164 -
Для определения суСеч воспользуемся уравнением связи:
r(z) = Г (г) ^оо bcp = -i- су Сеч ^оо b (г).
Отсюда
с -2Г(Р> G *9\
Ly сеч — — ,—ч~ . \' • ®?)
Элементарную подъемную силу, действующую на элемент
крыла конечного размаха dz, можно найти по формуле Н. Е.
Жуковского:
dY = poo voo Г (z)dz.
Суммарная подъемная сила равна
* — о с
Отсюда найдем коэффициент подъемной силы су:
су= J T(J)dz. G.83)
Элементарная сила индуктивного сопротивления равна
dXt = dYAa = Роо о» Г (г) ^ dz.
voo
Тогда
Отсюда найдем коэффициент индуктивного сопротивления:
V- v
cxi = J ГE)^йг, G.84)
гДе
vy—скорость скоса потока для любого числа Моо<Мкр>
определяемая по формуле G.76).
В формулах G.82)—G.84) распределение циркуляции
скорости по размаху крыла Г (г) зависит только от К VI—М^ и
— а Поэтому
Kiм»
— 165 —
-\
При малых углах атаки на линейном участке кривой cy=f(a)
это выражение можно представить в следующем виде:
Отсюда
Су
-МА.У 1-
G.85)
т. е. отношение -у- для нестреловидного крыла зависит только
от эффективного удлинения К V 1 —
§ 7. 5. Стреловидное крыло
в дозвуковом потоке
Применение стреловидных крыльев позволяет увеличить
критическое число Мкр. Поэтому для стреловидных крыльев
fволновой кризис наступает при больших значениях числа Моо-
a) Щ
б)
СО5 X
\ vn = ^oo cos х
Рис. 7. 10. Обтекание скользящего крыла
Для того чтобы оценить влияние угла стреловидности,
рассмотрим обтекание скользящего крыла — крыла бесконечного размаха,
передняя кромка которого не перпендикулярна к скорости
набегающего потока (рис. 7. 10). Угол % называется углом скольжения.
Разложим вектор скорости набегающего потока на две
составляющие скорости: перпендикулярно к передней кромке
tjrt=aoocos% и вдоль передней кромки ^=?JooSin%. Тогда
обтекание скользящего крыла (рис. 7.10, а) эквивалентно обтеканию
прямого крыла (рис. 7.10, б) потоком, перпендикулярным к
передней кромке, со скоростью t;n=ycx>cosx и потоком вдоль
размаха крыла со скоростью i^=yoosin%.
— 166 —
В потоке невязкой среды составляющая скорости vt на характер
распределения давления не влияет. Поэтому обтекание крыла
(рис. 7.10, а) эквивалентно обтеканию прямого крыла (рис. 7.10, в).
Это означает, что наличие угла скольжения равносильно
уменьшению скорости набегающего потока, причем чем больше угол %,
тем скорость vn меньше. При меньшей скорости набегающего потока
уменьшаются и местные скорости на поверхности крыла, что
приводит к уменьшению разрежения на поверхности и возрастанию
коэффициента минимального давления рт\п- Вследствие этого
число Мкр увеличивается (см.
рис. 7.1).
У скользящего крыла
волновой кризис наступает в том
случае, если составляющая
скорости an = DooCos%> а не
полная скорость потока ^оо,
превышает критическое значе-
ние. Тогда для определения
критической скорости набегаю-
щего потока можно написать
следующее равенство:
0,07
ОМ
от
'
0,03
Отсюда
Л г
cro j
11
nil
W
1
1 ^
от
0,01 \—=
0,5 0,7 OS 0,9 10 1,1
Рис. 7.11. Зависимость коэффициен-
Величина Критического ЧИС- tna сопротивления стреловидных
ла Мкр ДЛЯ стреловидного крыльев от числа М
крыла, очевидно, меньше, чем
для скользящего крыла, так как в центральной части и в
области концов крыла эффект скольжения нарушается. Тем не
менее Мкр при %=? 0 значительно больше. Например, при
стреловидности х = 35° критическое число Мкр стреловидного
крыла возрастает на 10% по сравнению с соответствующим
значением Мкр нестреловидного, при / = 45° — на 17%, а при
X = 60° —на 33%. Кроме того, у стреловидных крыльев
максимальное значение коэффициента волнового сопротивления
(при Моо > Мкр) с увеличением угла стреловидности резко
уменьшается. Это наглядно показано на рис. 7.11, где приведены
экспериментальные зависимости коэффициента сх от Моо для крыльев
с различными углами стреловидности.
Следовательно, в трансзвуковой области в диапазоне чисел
Мкр < Моо <С 1 стреловидные крылья имеют существенное
преимущество перед нестреловидными крыльями.
Чтобы получить уравнение для определения циркуляции
скорости в сечениях аэродинамически плоского стреловидного
— 167 —
крыла большого удлинения в несжимаемой среде, надо заменить
крыло вихревой системой, состоящей из одного присоединенного
вихря и вихревой пелены. Так же как и для нестреловидного крыла,
будем располагать присоединенный вихрь с интенсивностью Г(г)
вдоль линии одной четверти хорд, совпадающей для тонких крыльев
с линией фокусов сечения крыла. В отличие от нестреловидных
Контрольной
линия
Рис, 7. 12. Вихревая система стреловидного крыла
крыльев в рассматриваемом случае присоединенный вихрь
представляет собой ломаную линию (рис. 7.12). Интенсивность свободных
вихрей вихревой пелены по-прежнему равна — j~^z*
Исследования показывают, что при такой замене крыла одним
присоединенным вихрем достаточно точные результаты получаются
при выполнении граничного условия безотрывности обтекания
(vn = 0) в одной точке в каждом сечении крыла, т. е. только на
одной линии, расположенной от присоединенного вихря на некотором
расстоянии хк.
Для повышения точности расчетов крыло можно заменить
не одним присоединенным вихрем, а несколькими дискретно
расположенными вихрями. Граничные условия при этом следует
выполнять на нескольких контрольных линиях, число которых равно
числу присоединенных вихрей. Еще более точные результаты
получаются при замене крыла вихревой поверхностью или
присоединенными вихрями, непрерывно расположенными вдоль хорды
крыла. В этом случае граничные условия должны быть
удовлетворены в каждой точке крыла.
— 168 —
Рассмотрим в качестве примера случай замены крыла одним
присоединенным вихрем. Примем следующую систему координат:
ось х направим вдоль скорости набегающего потока, ось z — вдоль
размаха крыла, ось у — перпендикулярно к плоскости х, г. При
малых углах атаки можно принять, что вихревая пелена
располагается в плоскости х, г.
Обозначим через vVl скорость скоса потока, индуцируемую
в точках контрольной 'линии присоединенным вихрем, а через
Vy2 — скорость, индуцируемую свободными вихрями вихревой
Рис. 7.13. К определению положения контрольной
точки в сечении крыла
пелены. Тогда суммарная нормальная составляющая скорости
в любой точке поверхности крыла при малых углах атаки будет
равна
Поэтому условие безотрывности обтекания (условие непротекае-
мости крыла) имеет вид
Оу. + 0у,'+Оооа = О. G.87)
В уравнении G.87) индуцированные скорости vyi и vyo
выражаются через неизвестную циркуляцию Г = Г(г).
Прежде чем написать выражение для vVx и vy2, найдем
положение линии, на которой должно удовлетворяться условие G.87).
Для этого рассмотрим обтекание профиля при некотором угле
атаки (рис. 7. 13). Вместо системы присоединенных вихрей, как это
принято в теории тонких профилей, заменим профиль одним
присоединенным вихрем, расположенным на расстоянии 1/4 Ь. Тогда
для профиля условие G.87) можно записать в следующем виде:
vyi + t>ooa = 0, G.88)
так как в этом случае свободные вихри отсутствуют. Скорость
в точке В можно определить по формуле для бесконечного
прямолинейного вихря. Она равна
Г
— 169 —
Знак минус означает, что скорость направлена вниз.
Подставляя значение
Г = —
получим
Здесь хк = -f-.
Подставляя выражение G.89) в уравнение G.88), получим
xK=pL = ±. G.90)
По теории тонких профилей* Су = 2зт. В действительности
€у<^2я. Приближенно примем сау = 2я. Тогда из формулы G.90)
следует, что
- _ j^
Хк -" 2 *
Если присоединенный вихрь располагается на линии одной
четверти хорд от передней кромки, то линия, на которой должно
выполняться граничное условие vn = 0, располагается на линии
трех четвертей хорд.
Примем, что контрольная линия и для крыла конечного размаха
совпадает с линией трех четвертей хорд. Найдем скорость скоса
потока Vyx и Vy2 в произвольной точке В контрольной линии
(см. рис. 7.12). Обозначим координаты точки В через xt z.
Рассмотрим элемент присоединенного вихря dg с
координатами g и ?. Циркуляция скорости для элемента вихря равна
Г(?). Тогда элементарную скорость dvyx, вызываемую этим
элементом присоединенного вихря в точке В, можно определить
по формуле Био-Савара для прямолинейного вихря**:
G.91)
где
h — длина перпендикуляра, опущенного из точки В на ось
присоединенного вихря;
ч|) — угол между осью присоединенного вихря и радиусом г,
соединяющим точку В с элементом d?.
Знак минус указывает на то, что скорость vy направлена
вдоль отрицательной оси у.
* Н. С. Аржаников, В. Н.Мальцев. Аэродинамика, 1956, гл4 VII.
** То же, гл. V*
— 170 —
Из рис. 7.12 следует, что
sin+ 1 2 —
* r
где
<р — угол между радиусом и осью свободного вихря (при малых
углах атаки ось свободного вихря принимается вдоль
скорости невозмущенного потока ^оо).
Отсюда
sin ф _
Подставляя G.92) в формулу G.91), получим
По формуле G.93) можно определить скорость, вызываемую
любым элементом присоединенного вихря, расположенным как
на левом, так и на правом полукрыле.
Найдем скорость, индуцированную в точке В (см. рис. 7.12)
свободным вихрем с интенсивностью — -т=- d?. Для этого
достаточно использовать формулу Био-Савара, написанную
применительно к прямолинейному вихрю, один конец которого уходит
в бесконечность, а координата другого конца меньше, чем
координата х рассматриваемой точки. Тогда
или, учитывая, что -тр d? = -т- dcp, получим
где
х — ?
cos ф =
У (*-?J4Kz-CJ
Суммарная элементарная скорость скоса потока dvy равна
сумме dvyt G.93) и dvy2 G.94):
У 4п (z — С) dy
Подставляя выражение соэф,. получим
dvv = ___L__ А/ Г \l+ л~~* \\dt. G.95)
— 171 —
Для определения скорости скоса потока, индуцируемой всей
вихревой системой крыла в точке В контрольной линии,
выражение G.95) необходимо проинтегрировать при —у^С^
G.96)
В формуле G.96) \ = ? tg % — уравнение присоединенного
вихря, а х = f(z) — уравнение контрольной линии. Учитывая, что
в каждом сечении контрольная точка располагается на
расстоянии —^ от присоединенного вихря, получим, что
x = ztg% + b-f. G.97)
Подставляя G.96) в граничное условие G.87), имеем
G-98)
2
Уравнение G.98) является интегро-диффер&нциальным
уравнением стреловидного крыла. Это уравнение должно выполняться
во всех точках контрольной линии G.97).
Напишем уравнение G.98), используя безразмерные
величины G.80). Кроме того, введем относительные координаты x=jtz r
I = —_. Отношение размаха крыла к хорде в данном сечении
обозначим через %(г)= ут^-- Тогда с учетом выражения G.97)
получим
-1 G.99)
Уравнение G.99), так же как уравнение для определения
распределения циркуляции по размаху нестреловидного крыла,
решается приближенно*.
* С методом расчета распределения циркуляции скорости по размаху
стреловидного крыла можно ознакомиться, например, в работе: В. В. Стру-
минскийиН. К- Лебедь. Расчет аэродинамических характеристик
стреловидных крыльев. Сборник теоретических работ по аэродинамике. Обо-
роногиз, 1957.
- 172 —
На рис. 7.14 в качестве примера приведены кривые изменения
коэффициента подъемной силы по размаху стреловидного крыла
при различных углах стреловидности (%=0, %= ± 45°).
Наглядно видно, что стреловидность крыла существенно влияет
на характер распределения подъемной силы вдоль размаха.
Для определения аэродинамических характеристик
стреловидного крыла при больших дозвуковых скоростях (Моо < /Икр)
необходимо учитывать влияние сжимаемости на аэродинамические
W
0,5
—
^>
^-—•
/
Y
т.
Д=5;7=7
'V,
s
\
\
"\
\
ч
= 45°
\
Jr
д
\
0,5
КО г
Рис. 7.14. Кривые распределения коэффициента
подъемной силы по размаху стреловидных крыльев
характеристики сечения крыла и на индуктивные скорости скоса
потока, создаваемые вихревой системой крыла конечного размаха.
В § 7.2 было сказано, что влияние сжимаемости потока
приводит к увеличению коэффициента подъемной силы сечения в
—===== раз G.12). Тогда для получения одной и той же
подъемной силы в условиях сжимаемого и несжимаемого
потоков угол атаки сечения крыла в несжимаемом потоке должен
быть больше в — раз.
Как было показано в § 7.6, для определения индуктивных
скоростей, вызываемых вихревой системой крыла в сжимаемом
потоке, можно пользоваться обычной формулой Био-Савара для
несжимаемого потока, если вихревую систему и координаты точек,
в которых вычисляются скорости, растянуть вдоль скорости
набегающего потока (вдоль оси х) в (l—М%о) 2 раз. При таком
— 173 —
преобразовании линейной деформации потока вдоль оси х размах
и сужение крыла, представляющее собой отношение корневой
и концевой хорд г\ = ^, не изменяются. При этом увеличивается
угол стреловидности:
ЙГ <7-100>
Кроме того, увеличивается хорда сечения крыла. Это приводит
к уменьшению удлинения:
G.101)
Относительные координаты х = т-^у и | = —рг при этом не
(z)
изменяются.
Чтобы учесть влияние сжимаемости на характер
распределения циркуляции и аэродинамические характеристики крыла, надо
действительные параметры крыла и угол атаки заменить
фиктивными. Следовательно, для определения циркуляции скорости
в любом сечении заданного крыла с параметрами X, х> т) и. при
угле атаки а в условиях сжимаемого потока можно
пользоваться уравнением G.99) в несжимаемом потоке с заменой
удлинения крыла фиктивным удлинением G.101), угла
стреловидности— фиктивным углом х G.100) и угла атаки—большим
углом — - Отсюда следует, что циркуляция скорости»
а следовательно, и коэффициент подъемной силы су = —-rj-
в сжимаемом потоке зависят от фиктивных параметров крыла
% V1 — М?>, хф> или tg хф = г g и угла атаки .
Представим tgXф в следующем виде:
Щ Хф = -г z=Er •
Тогда при малых углах атаки (на линейном участке
зависимости су от а) коэффициент подъемной силы су можно
представить в виде следующей функциональной зависимости:
— 174 —
или
, ч).
Отсюда следует, что для стреловидных крыльев, имеющих
различные удлинения X и углы стреловидности %, при различных
значениях числа Моо отношения -у- имеют одинаковое
значение, если произведения к У 1 — Моо и X tg % для этих крыльев
постоянны.
ЗАДАЧИ
1. Определить коэффициент подъемной силы плоской пластинки при
а = 4° и Моо = 0,7.
2. Найти углы атаки тонкого профиля в условиях несжимаемого (М =0)
и сжимаемого потоков (Моо = 0,7), если при этом коэффициент подъемной
силы профиля один и тот же и равен су = 0,1.
3. Пользуясь соотношениями теории линеаризации, найти
относительное изменение давления при Моо = 0,8, если известно возмущение скорости,
v
вызываемое тонким профилем: Л = 0,01; 0,02.
Уоо
4. Для условий задачи 3 определить относительное изменение скорости
звука а и числа М по сравнению с аоо и Моо.
5. Найти фиктивные параметры крыла и угол атаки в условиях
несжимаемого потока для расчета аэродинамических характеристик крыла при
М = 0,6, если заданы удлинение \ = 3, угол стреловидности х ~ 60а
и а = 6°.
Глава VIII
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ КРЫЛА
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
^ 8. 1. Общее решение линеаризованного
уравнения потенциала скорости
В § 7.2 было получено линеаризованное уравнение
потенциала скорости для плоского потока G.8), которое применяется
как для дозвукового, так и для сверхзвукового потоков. При
Моо > 1 это уравнение является линейным уравнением
гиперболического типа (волновое уравнение) и поэтому не может быть
приведено к уравнению Лапласа при помощи действительного афинного
преобразования, подобно тому как это было сделано для
дозвукового потока G. 9).
Представим потенциал скорости ф в следующем виде:
ф = фоо + ф\ (8.1)
где
фоо — потенциал скорости невозмущенного потока, равный при
малых углах атаки ?>оо# + ?>ooCty;
ф'— потенциал скорости возмущения.
Подставляя выражение (8.1) в уравнение G.8), получим
№>-*)*?-% = 0. (8.2)
Введем новые переменные ? и ц по формулам
где
Цоо—угол возмущения, найденный по скорости невозмущенного
потока:
tg fioo = J
— 176 —
Используя переменные (8.3), уравнение (8.2) можно написать
в следующем виде:
di dr.
= 0.
(8.4)
Общим решением уравнения (8.4) является функция
Ф' = Ы&) + ЫЛ). (8.5)
В этом можно убедиться непосредственной подстановкой
функции (8.5) в уравнение (8.4). Произвольные функции f± и /2 должны
быть найдены из граничных условий конкретной задачи.
5./. Прямолинейная сетка характеристик
линеаризованного сверхзвукового потока
Возращаясь к старым переменным хиу, получим
ф\= h(y — x tg ^oo) + /а(У + * tg Jloo),
Найдем составляющие скорости возмущения:
(8.6)
(8.7)
где
/i и /2 — производные функций fx и /2 по аргументам
Здесь у ± х tg [loo = const — уравнение линий возмущения
nepfeoro и второго семейства в невозмущенном потоке.
Найдем угол возмущения в возмущенном потоке:
Подставляя вместо М выражение G.5), получаем
Sin [Л = Sin [loo ;
7 Зак. 801
— 177 —
Отсюда следует, что при ~«1 в пределах применимости ли-
неаризованной теории угол возмущения в любой точке потока
МОЖНО ПрИНЯТЬ раВНЫМ уГЛу [ХооГ
При этих условиях характеристики совпадают с линиями
возмущения. Поэтому семейство прямых у± ^tgiXoo^const
представляет собой прямолинейную сетку характеристик
линеаризованного сверхзвукового потока (рис. 8,1).
Рис. 8.2. К определению составляющих скорости
потока вдоль линий возмущения
Найдем проекции вектора скорости потока v на направление
линий возмущения первого и второго семейств. Из рис. 8.2
следует, что эти проекции равны:
Vt = (уоо+ v'x) COS JXoo + Vy Sin |Лоо,
где знак минус соответствует линии возмущения первого
семейства, а плюс — линии второго семейства.
Подставляя сюда выражения (8.7), получим
— 2/х sin fico,
vt =
Vt =
cos
C0S M-oo + 2/2 Sin (lo
Вдоль соответствующих линий возмущения }г и /2 постоянны.
Поэтому проекции vt вдоль линии возмущения первого и второго
семейства сохраняют постояннее значение.
— 178 —
§ 5. 2. Линеаризованное обтекание
тупого угла сверхзвуковым, потоком
В качестве примера рассмотрим линеаризованное
сверхзвуковое обтекание тупых углов, мало отличающихся от угла
в 180° (рис. 8.3). Угол А6 будем считать положительным для
угла, большего 180° (рис. 8.3, а), и отрицательным для угла,
меньшего 180° (рис. 8.3, б).
[Ав
Рис, 8.3э Линеаризованное обтекание тупых углов
сверхзвуковым потоком
Проводя линию возмущения у = xtg\ilf получим области
невозмущенного (/) и возмущенного (//) потоков. В области /
скорость всюду постоянна и равна v = vl9 а в области // вектор
скорости v2 составляет с вектором vx угол А6. Напишем
граничные условия задачи.
1. В области / невозмущенного потока у!> xtg\ilt v'x =
= v'y = 0, <p' = 0.
2. Из рис. 8.3 следует, что в области // (— *A6<y<>tg(A1)
выполняется следующее условие:
ИЛИ
Отсюда в пределах линеаризованной теории, отбрасывая
величину второго порядка малости v'xAQ, получим
v'y = — ojAe. (8.8)
— 179 — 7*
Кроме того, для рассматриваемой задачи по всей плоскости
функция /а^О, так как поворот происходит на линии
возмущения y~xtg\i1=O9 а линия возмущения другого семейства
оказывается вне потока. Подставляя граничное условие при у^х tg \i±
в уравнение (8.6), получим, что при y>A;tgfx1 fx = 0.
Из формулы (8.7) следует, что в данном случае
Здесь (Лх — угол возмущения, соответствующий скорости
невозмущенного потока vv
Заменяя в условии (8.8) vy на fl9 получим обыкновенное
дифференциальное уравнение для определения f±:
Отсюда
/i = — ^1 (У — a: tg р-д) Лв+С,
где
С — постоянная интегрирования.
Учитывая, что при у = xtg\i± /1 = 0, найдем, что С = 0.
Тогда
Ф7 = /i = — ^i (У — ^ tg jxO A6. (8.9)
Найдем составляющие скорости возмущения:
»* = -gj = t;x tg |гх ле,
или
vx A8
Vx = х-=
1/м2 —
К Ml
= ^ - - их ДО
(8.10)
Из формул (8.10) следует, что если Д6>0 (тупой угол
больше 180°), то и*>0, а ^<*0. При этом v2>vl9 т. е.
происходит течение разрежения. Если Дб<]0 (тупой угол
меньше 180°), то v'x<^0, a v'y^>0, что соответствует течению
уплотнения (t>2< V±).
Пользуясь выражениями (8.10), найдем отношение
составляющих скорости возмущения:
— 180 —
Тогда из рис. 8.3 следует, что вектор скорости возмущения v[ при
обтекании тупых углов перпендикулярен к линии возмущения.
Это свойство вектора v' позволяет легко найти вектор скорости
возмущенного потока v2 по заданному вектору vi. Для этого
достаточно построить треугольник ABC (см. рис. 8.3), в котором
сторона АВ = vi9 угол при вершине А равен заданному углу Л6
и конец вектора скорости vi (точка С) лежит на прямой,
проведенной из точки В перпендикулярно к линии возмущения.
Перпендикулярность вектора vf к линии возмущения следует
из теоремы изменения количества движения. На основании этой
теоремы проекция вектора скорости вдоль линии ^возмущения
при повороте потока не изменяется. Это означает, что v'
перпендикулярен к линии возмущения.
Найдем изменение давления. Для этого воспользуемся
линеаризованным уравнением Бернулли G. 6):
Подставляя выражение vx (8.10), получим
2<7iA8
" = Р1-7ЩГТ- (8Л1)
где
<7i — скоростной напор невозмущенного потока, травный ~~.
Отсюда найдем коэффициент давления:
р= 21=11 = -™—а (8.12)
Из формулы (8. 11) следует, что при обтекании угла, большего
180° (А6 > 0), давление уменьшается, а в случае угла, меньшего
180° (Дв < 0), давление возрастает. Вследствие этого линию
возмущения для определенности при А0 >0 будем называть линией
разрежения, а для случая Д6<0 — линией уплотнения.
Как известно, при обтекании тупого угла, меньшего 180°,
возникают косые скачки уплотнения (гл. V). Линия уплотнения
представляет собой бесконечно слабый скачок уплотнения с углом
наклона р = jj,i. При обтекании угла, большего 180°, происходит
непрерывное течение разрежения, при этом образуется пучок линий
разрежения (§ 6.8). Следовательно, в линеаризованной теории
скачок конечной интенсивности заменяется скачком бесконечно
— 181 —
малой интенсивности ф = 1-й), а пучок линий разрежения — одной
линией разрежения по скорости vx. Поэтому линеаризованная
теория дает заниженные значения давления за скачком уплотнения
и завышенное разрежение при обтекании угла, большего 180°.
§ 8. 3. Линеаризованная теория обтекания
плоской пластинки сверхзвуковым потоком
Рассмотренная в § 8.2 схема линеаризованного течения
разрежения и уплотнения позволяет довольно просто решить задачу
обтекания плоской пластинки при малом угле атаки сверхзвуковым
потоком (рис. 8.4).
В сверхзвуковом потоке малые возмущения против направления
скорости не распространяются. Поэтому на плоскую пластинку
набегает невозмущенный
поток. По этой же причине
обтекание верхней и нижней
поверхностей при /Woo > 1
можно рассматривать
независимо друг от друга. Тогда
обтекание верхней
поверхности соответствует
обтеканию угла, большего 180°, с
углом поворота потока,
равным + а, а обтекание нижней
поверхности — обтеканию уг-
Рис. 8.4. К линеаризованной теории
обтекания плоской пластинки
сверхзвуковым потоком
ла, меньшего 180° (угол
поворота потока равен — а).
При этом на передней кромке со стороны верхней поверхности
образуется линия разрежения, а на нижней поверхности
возникает линия уплотнения.
Поскольку между передней и задней кромкой как на нижней,
так и на верхней поверхности никаких источников возмущения
нет, то скорости потока и давления на этих* поверхностях постоянны
и равны на верхней поверхности vB9 pB и vH9 pH — на нижней
поверхности.
На задней кромке, при обтекании верхней поверхности, поток
поворачивается на угол — а, при этом возникает линия уплотнения
(происходит течение уплотнения), на нижней поверхности угол
поворота потока равен + а> при этом возникает линия разрежения
(происходит течение разрежения).
Для определения давления и коэффициентов давления на
поверхности плоской пластинки можно воспользоваться форму-
— 182 —
лами (8.11) и (8.12), подставляя в них М1 = М00, Pi=Poo и для
точек верхней поверхности А6 = а, а для нижней Д6 = —а.
Тогда
Рн=Роо
(8.13)
Рв = — "
2а
2а
(8.14)
Отметим некоторые особенности обтекания пластинки
сверхзвуковым потоком. Из рис. 8.5 следует, что в сверхзвуковом
потоке, в отличие от
дозвукового, давление по
пластинке распределяется
равномерно. Поэтому центр
давления располагается по i ^p-^xr i I I I <?
середине пластинки (xR=^e
или хл= 0,5). В
дозвуковом потоке, как известно,
Яд = 0,25. Кроме того, по
результатам
линеаризованной теории (8. 14),
Рн = |рв1- Это означает,
что в сверхзвуковом
потоке подъемная сила в
одинаковой мере создается
как верхней, так и
нижней поверхностью. В
дозвуковом же потоке
примерно три четверти
подъемной силы возникает под
действием разрежения на
верхней поверхности и
только одна четверть подъемной
нижней поверхности.
Вычислим полную аэродинамическую силу, действующую на еди
ницу длины размаха пластинки:
R = (рн — Рв)<7оо&'1.
Рис. 8.5. Эпюра распределения давления (а)
и коэффициента давления (б) по пластинке
силы вызывается давлением на
— 183 —
Проектируя вектор равнодействующей аэродинамической силы
R на нормаль к направлению скорости набегающего потока и
вдоль скорости ^со (рис. 8.6), получим подъемную силу Y и
силу волнового сопротивления X:
Y = R cos a.
X = R sin a.
При малых углах атаки, заменяя cosa=l, a sina = a,
получим
YR
Y г,
c. 8.6. К определению подъемной
силы и волнового сопротивления
плоской пластинки
где
Отсюда
су=~Р« — Pb I л (8Л5)
Подставляя в формулы (8.15)
выражения (8.14), получим
(8.17)
4а2
а — угол атаки в радианах.
При малых углах атаки (на линейном участке кривой
зависимости су от а) коэффициент подъемной силы можно
представить в следующем виде:
су = су
а"
Из формулы (8.16) следует, что
4
57,3]/М^-1
(8.18)
(8.19)
Величина су° в сверхзвуковом потоке значительно меньше, чем
в дозвуковом, причем чем больше Моо, тем меньше су (рис. 8.7).
Например, в несжимаемом потоке [(М = 0), по теории тонких
профилей, Су = gy^g =0,1096, а при Моо = 2 Су°=0,04 и при Моо=
-4 су =0,018.
Получим зависимость подъемной силы от М^:
v2
— 184 —
Представим скоростной напор в следующем виде:
2 2
Тогда в сверхзвуковом потоке подъемная сила пропорцио-
нальна
Y =
в то время как в несжимаемом потоке подъемная сила при
увеличении числа Моо возрастает по закону параболы (Y=жа SpooNi^) *
В формуле (8.17) сх — коэффициент волнового
сопротивления. При безотрывном обтекании плоской пластинки A= оо)
потоком невязкого газа другие
виды сопротивления
отсутствуют. В общем случае в потоке
вязкого газа коэффициент
сопротивления равен
^ ¦ 4а2
0.2-
==-, (8.20)
где
— коэффициент
сопротивления трения плоской
пластинки, который зависит
от режима течения вязкого
газа в пограничном слое,
от чисел Re и Мсо (см.
гл. XII).
0,1 -
Рис. 8.7. Зависимость
коэффициента подъемной силы от угла атаки
при различных значениях числа Mqq
)
Найдем момент аэродинамической силы относительно
передней кромки. Из рис. 8.6 видно, что
Здесь положительным считается момент на кабрирование.
Для малых углов атаки, заменяя R на Y, получим
±.
Тогда коэффициент момента будет равен
2я
-1
(8.21)
7В. Зак. 801
— 185 —
Пользуясь формулами (8.16) и (8.20), найдем
аэродинамическое качество пластинки:
4а
2cf
(8.22)
Без учета коэффициента сопротивления трения
аэродинамическое качество равно
Чем больше угол атаки, тем качество пластинки меньше.
§ <9. 4, Линеаризованная теория
тонкого профиля в сверхзвуковом потоке
Рассмотрим обтекание тонкого профиля с острыми кромками
сверхзвуковым потоком. Эта задача может быть сведена к
последовательному обтеканию тупых углов, если плавный контур профиля
заменить ломаной линией (рис. в.8). Тогда в зависимости от
толщины профиля и угла атаки могут быть различные случаи обтекания,
Рис. 8.8. Линеаризованный сверхзвуковой поток
около профиля
изображенные на рис. 8.9 При малых углах атаки (рис. 8. 9, а)
на передней и задней кромках как со стороны нижней, так и со
стороны верхней поверхностей возникают волны уплотнения. Если
угол атаки больше угла наклона касательной к поверхности в
точках Л и В, то на передней кромке со стороны нижней поверхности
по-прежнему происходит течение уплотнения, а со стороны верхней
поверхности возникает волна разрежения; на задней кромке —
— 186 —
волна уплотнения на верхней поверхности и волна разрежения
на нижней. Между передней и задней кромкой как на нижней,
так и на верхней поверхности происходит течение разрежения.
Поэтому из каждой точки поверхности исходит волна разрежения.
Предположим, что верхняя и нижняя поверхности заданы
уравнениями
Найдем давление на поверхности профиля. Для определения
давления воспользуемся формулой (8.11).
6)
п Линия цплотнения
Линии разрежения Линии
а)
///У ./
f Линии ¦ _ ^
уплотнений &
Пиния~~уппотне -
ния ^
Линии разрежения
Линии уплотнения
Рис. g. P, Различные случаи линеаризованного обтекания тонкого
профиля сверхзвуковым потоком
На участке А1 (см. рис. 8.8) угол поворота потока равен
а —во,
где
Id,
Go — угол наклона элемента А1 к хорде, равный 1-р
Если а>60(а—60>0), то при этом происходит течение
разрежения (рис. 8.9, б), если же а<0о(а— б'о <0), — течение
уплотнения (рис. 8.9, а). Давление на участке А1
Pl= Poo —
(8.23)
При переходе от элемента поверхности А1 к элементу /, 2
поток поворачивается на угол ©о — Oi. Здесь G'i = (—-) . При
этом происходит течение разрежения.
Поэтому
= Pi —
— 187
7В*
где
qx — скоростной напор;
М2 — число М на участке Л/.
В пределах применимости линеаризованной теории можно
принять
Км?—1
Тогда
(8.24,
Подставляя в формулу (8.24) выражение (8.23), получим
Ш- (8-25)
В формулах (8.23) и (8.25) углы а — 6о и а — O'i
представляют собой местные углы атаки. Местный угол атаки — угол
между элементом поверхности и вектором скорости
невозмущенного потока. В любой точке верхней поверхности местный
угол атаки можно представить в виде
(8.26)
а давление для точек верхней поверхности равно
Коэффициент давления
Рв = У 2 dx'. , (8.28)
Аналогично, пользуясь формулами (8.11) и (8.12), можно
получить формулу для определения коэффициента давления в
точках нижней поверхности:
V =• (8.29)
Из формул (8.28) и (8.29) следует, что коэффициент давления
в любой точке поверхности профиля при заданном значении
— 188 —
/ ayB\ i ayn
Mo, зависит только от местного угла атаки ! а — -^-А и 1а — -^
и не зависит от наклона других элементов поверхности.
Кроме того, коэффициент давления можно представить в виде
следующей суммы:
р = р* + р**, (8.30)
4
для точек верхней поверхности р*А = , и для точек
Vm^i
2—
нижней поверхности р** =
Для симметричных профилей (ун = —ув и -^=—-^1
коэффициент давления р** равен:
~ (8.32)
Из формул (8. 31) и (8. 32) следует, что р* является
коэффициентом давления на поверхности профиля нулевой толщины (плоской
пластинки) при заданном угле атаки, ар** — коэффициент
давления на поверхности заданного профиля при нулевом угле атаки.
Следовательно, в пределах применимости линеаризованной теории
влияние угла атаки и толщины профиля на величину р можно
исследовать независимо друг от друга (влияние угла атаки на
примере обтекания плоской пластинки, влияние толщины и формы
профиля при a = 0). Тогда суммарная эпюра распределения
давления на поверхности профиля может быть получена в результате
наложения двух эпюр — эпюры распределения давления по
поверхности плоской пластинки при а Ф 0 (см. рис. 8.5) и эпюры
давления по поверхности профиля при a = 0.
Рассмотрим примеры распределения давления по поверхности
симметричных профилей при a = 0. Поскольку при этом условии
давление в симметричных точках профиля одинаковое, то при
нулевом угле атаки кривые распределения давления по верхней
и нижней поверхностям совпадают. Для построения эпюр
распределения коэффициента давления отложим коэффициенты р по
нормали к хорде, причем положительные значения — вниз от хорды,
а отрицательные—вверх.
— 189 —
На рис. 8.10 в качестве примера приведены эпюры распределения
коэффициентов давления по поверхности ромбовидного,
четырехугольного, шестиугольного и чечевицеобразного (образованного
двумя дугами окружностей) профилей при а = 0. Коэффициент
давления для заданного значения числа /Woo может быть вычислен
по формуле (8.32).
Найдем подъемную силу, силу сопротивления и момент сил
относительно передней кромки профиля.
Рис. 8.10. Эпюра распределения давления по поверхности профилей
по линеаризованной теории (а=0)
Элементарная подъемная сила, действующая на элемент нижней
и верхней поверхности (рис. 8.11), равна
dYn = рн cos QHdsHl,
dYB = — pBcosQBdsBl,
где
dy
0 — местный угол атаки, равный а — ^;
ds — длина элементарной дуги по контуру поверхности;
/ — длина участка крыла по размаху.
Индексами «н», «в» обозначены величины, относящиеся
соответственно к нижней и верхней поверхности.
Для тонких профилей при малом угле атаки можно принять
cos0H=l
— 190 —
и
cos6B=l.
Тогда
или
dY=dYH+dYB=(pH - рв) Idx,
Суммарная подъемная сила
Рис* 8Лт К расчету аэродинамических сил, действующих на
профиль в сверхзвуковом потоке
Подставляя вместо рн и рв выражения (8.28) и (8.29) и учи-
ь
тывая, что j j^dx= j -p d#=0, получим:
где
Ь — хорда профиля.
Отсюда
с =
4а
(8.33)
Из формулы (8.33) следует, что в пределах
применимости линеаризованной теории коэффициент
подъемной силы не зависит от формы и толщины
профиля и совпадает при прочих равных условиях
— 191 —
с коэффициентом подъемной силы плоской
пластинки (8.16).
Перейдем к определению силы сопротивления. Элементарные
силы сопротивления, действующие на элементы нижней и
верхней поверхностей ldsH = ldx и ldsB=ldx, равны
dXH=pHsinQHldsH,
dXB = — рв sin 6B ldsB,
где при малых местных углах атаки 6Н и 6В можно принять, что
dy
sin00 ^
B B dx
Тогда
ъ=(рн 6Н — Рв 6в) ?оо /d*.
Подставляя вместо рн и рв выражения (8.28) и (8.29) и
интегрируя, получаем
В \qjlb.
Отсюда
сх = г 4а2 + г В . (8.34)
Здесь
т
о
Преобразуем выражение (8.35). Для этого ординаты профиля
представим в следующем виде:
Ун=сун(х) и ув = сув(х),
где
с — толщина профиля, а )/=А
Перейдем к относительным координатам по хорде:
Тогда
<1Уз_^-AУв_ dyH _ - dyH
. dx — с dx И dx — с dx '
— 192 —
Подставляя эти выражения в формулу (8.35), найдем
dx J \dx*
Введем следующее обозначение:
где
/Ci зависит только от формы профиля.
Тогда
Подставляя выражение В в формулу (8.34), получим
(8.36)
Из формулы(8.36)следует, что коэффициент волнового
сопротивления профиля можно представить в виде
суммы двух коэффициентов сопротивления:
1. Минимального коэффициента волнового
сопротивления (при а=0), равного
&r- (8'37)
который зависит при заданном значении Моо
только от формы профиля и относительной толщины с.
2. Коэффициента волнового сопротивления
профиля нулевой толщины (с=0) при заданном угле
атаки
4а2
Сх1 —
который совпадает с коэффициентом
волнового сопротивления плоской пластинки
(8.17). Это сопротивление принято называть индуктивным
волновым сопротивлением, поскольку оно возникает
только при су =? 0, и обозначается через сХ1.
В табл. 8.1 приведены значения коэффициентов К\ для профилей
различной формы. Из таблицы следует, что наименьшим волновым
сопротивлением при прочих равных условиях обладает ромбовидный
профиль, для которого коэффициент /Сх = 4. На рис. 8.12 в ка-
— 193 —
честве примера представлена кривая зависимости коэффициента
минимального волнового сопротивления (8.37) для ромбовидного
профиля от относительной толщины при Моо = 3.
Таблица 8.1
Ромбовидный
Четырехугольный
02
**2A-хс)
Шестиугольный
а
Образованный
дугами окружности
1
хс(\—хс)
J6
3
Напишем выражение для момента профиля относительно
передней кромки. Он равен
ь
Мо = J (рн — Рв)йооХс1х.
О
Подставляя сюда выражения рв и рн по формулам (8.28) и
(8.29), в результате интегрирования получим
"г
Q.OU
9.08
Рис. 8.12. Зависимость схв от
относительной толщины с"
Sb
где
ст — коэффициент момента профиля
относительно передней кромки;
S — площадь, равная 6-1;
Ст0 — коэффициент момента при
нулевом угле атаки, равный
dx
Для симметричного профиля при любом значении
dx
dx
Поэтому
И Ст = —
2а
194 —
Зная величины коэффициентов ст и сУ9 можно определить
положение аэродинамического фокуса, представляющего собой точку,
относительно которой момент аэродинамических сил не зависит
от угла атаки. Для этого напишем выражение для момента М(х)
относительно произвольной точки профиля. На основании теоремы
моментов он равен
M{x)=M0+Yx
Подставляя сюда выражения для ст и су, получим
/ ч 2а . 4а —
с^с+х
Если рассматриваемая точка совпадает с фокусом
то коэффициент момента не зависит от а и равен сП1=^
Поэтому
2а , 4а - п
Отсюда xF = 2~.
Следовательно, фокус любого тонкого профиля в сверхзвуковом
потоке располагается на середине хорды. Как известно, в
дозвуковом потоке фокус тонкого профиля отстоит от передней кромки на
расстоянии одной четверти хорды.
Отметим пределы применимости теории линеаризации.
Линеаризованная теория дает достаточно хорошие результаты в
следующем диапазоне чисел Моо:
1, 2<Моо<5.
В трансзвуковой области, где 1 <М<< 1,2 линейная теория
неприменима, так как при сравнительно небольшой сверхзвуковой
скорости набегающего потока, даже при обтекании тонких тел,
возникают отсоединенные скачки уплотнения, за центральным
участком которых поток становится дозвуковым. При гиперзвуковых
скоростях (М > 5) линеаризованная теория также неверна, так
как при этом основные допущения метода линеаризации могут не
выполняться. Объясняется это тем, что в гиперзвуковом потоке
малое относительное изменение скорости приводит к немалому
изменению давления, плотности, температуры, скорости звука и т. д.
(см. гл. XI).
Как было отмечено в гл. VII, метод линеаризации применяется
s дозвуковом докритическом потоке (М^ < Мкр). В трансзвуковой
— 195 —
области Мкр < Моо< 1 метод линеаризации также не применяется,
так как в этом диапазоне чисел МооПри дозвуковой скорости
набегающего потока в окрестности крыла появляются зоны местных сверх-
Рис.8.13. Кривая зависимости коэффициента подъ»
емкой силы от числа Моо
j
К, С2
>нр
/ 1.2
Рис. 8.14. Кривая зависимости коэффициента
сопротивления Профиля От Числа Моо При Су = О
звуковых скоростей. Следовательно, в трансзвуковой области
Мкр < М< 1,2 имеет место смешанное обтекание профиля: при
дозвуковой скорости набегающего потока образуются местные
сверхзвуковые скорости (Мкр< Моо < 1) или при сверхзвуковой скоро-
— 196 —
сти набегающего потока за отсоединенным скачком уплотнения
возникает зона дозвуковых скоростей.
В заключение приведем характер зависимости коэффициентов
су и сх тонкого профиля от числа Моо (рис. 8.13 и 8.14). Эти
зависимости построены по результатам линеаризованной теории. Кроме
того, на рисунках показан примерный характер зависимости су
и сх от Мсо в трансзвуковой области. На рис. 8.14 приведена
зависимость сх при нулевой подъемной силе.
§ 8. 5. Уточненные теории профиля
в сверхзвуковом потоке
Выше была рассмотрена теория первого приближения, при
которой зависимость между разностью давлений и углом отклонения
потока от невозмущенного направления принималась линейной:
Р = Роо ± ^ <7оо = Роо ± Сг <7оо 6,
где
<7оо ь Мсо — скоростной напор и число Моо для невозмущенного
потока.
Эта зависимость справедлива для достаточно малых
значений угла б, т. е. для весьма тонких профилей, обтекаемых под
малым углом атаки.
Рассмотрим основные положения теории второго приближения.
Используя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь только двумя
первыми членами разложения, получим зависимость между
разностью давлений Ар и углом поворота потока 0 в следующем виде:
б2)^. (8.38)
Тогда
Ра = Poi +{Cl 6H + С2 6н) <?оо )
Индексы «н» и «в» по-прежнему относятся соответственно
к нижней и верхней поверхностям профиля. Коэффициенты сг
и с2 равны:
2 п 1,2М4—2М2 + 2 /о 4ЛЧ
с ГТ- с' = -(«д-,)' - <8'40'
— 197 —
Для подъемной силы У, лобового сопротивления X и
момента М справедливы формулы
У = Г Дрн cos 0„ dsa — |' Арв cos 0B dsB> (8.41)
о 6
X = Г Арн sin 0H dsH — f ApB sin 0B dsB, (8.42)
о о
Мг= f ApH cos 0H xdsH— f ApBxcos0BdsB. (8.43)
о о
Интегралы (8.41) — (8.43) можно вычислить, если известны
геометрические характеристики профиля.
Подставим значения Арн, Арв (8.39) в выражение для У (8.41)
и так же, как и ранее, приближенно будем считать
cos 0^1, sin 0^0, sH = sB = b.
В результате получим
Введя новое переменное *=-т- > будем иметь
1
су = j (с± 0н+с2 0*) dx — J (— сг 0B+c2 Ql) dx. (8.44)
о о
Подставляя вместо 0Н и 0В их значения, выраженные через
углы а и 0', получим
су
- f [c1{a
о
i
— J [-^i(a+0;)+c2(a2+20;a+0;2)] dx,
или
а J 0H dx+c2 j 0^
о
л , р , _ А ,2
+с1 aJrc1 \ bBdx — с2 а2 — 2с2 а \ 0В dx — с2 J 0B dx.
О 0 0
— 198 —
Группируя члены, находим
1 1
су=с^ Fн+6в) dx+cA (е^2 — б!2) dx+
о о
о
+ а 2сг+2с2 j (в; - в!) dx . (8.45)
Производя такие же выкладки для величины X, будем иметь
1 1
сл=сг f (бн2+е;2) <Гх+с2 )' (е;3 - е;3) dx +
о о
)
о
2Cl+3c2J(e;—e;)di a2.
(8.46)
Аналогично можно получить выражение для коэффициента
момента:
о J
II 1
Ci + 2c2 j F; — e;) xdxla. (8.47)
В выражениях (8.45) — (8.47) для профилей с острыми
кромками
f
о
1
1 1
г» ,3 Л /3
Интегралы J бн dx и J 6B dx являются малыми величинами,
которыми в теории второго приближения можно пренебречь,
— 199 —
В таком случае формулы (8.45) — (8.47) можно переписать в
следующем виде:
су=2сха + Лс2, (8.48)
сх=Вс1+ЗАс2а+2с1а*, (8.49)
ст = - (Cl+Dc2) a - (Ясх+F^), (8.50)
где
1
1
= J (8н* —
(8.51)
Легко видеть, что если в полученных выражениях коэффициент
Со считать равным нулю, то получим формулы теории линеаризации.
Из формул (8.48)—(8.51)
следует, что влияние
аэродинамические
стики
лишь
ь.о
ЗА
2,0
1,0
числа М на
характери:
профиля учитывается
коэффициентами сг и с2.
Зависимость этих
коэффициентов от числа М, рассчитанная
по формуле (8.40), изображена
на рис. 8.15.
Влияние же формы профиля
целиком определяется
значениями параметров Л, В, D, ?,
F (8.51). Эти параметры
определяются геометрическими
параметрами профиля и для плоской
пластинки равны нулю. Из пяти
параметров, три — Л, Е, F —
учитывают несимметричность профиля (для симметричного профиля
равны нулю). Параметры В и D зависят от толщины профиля,
причем В > 0, a D < 0.
Исследованиями, проведенными в Московском авиационном
институте им. С. Орджоникидзе А. А. Лебедевым, установлена следу-
I
V
к 1
\
л
"—.
с2
с,
W 1,2
fj ¦ 1,8 2,0 2,2
Рис. 8.15. Зависимость коэффициен-
тов Cl и с2 от числа Моо
— 200 —
ющая зависимость аэродинамических характеристик профиля
в сверхзвуковом потоке от его конструктивных параметров:
су=2с1{а — а0),
ао=Ы% , (8.52)
з ^2
2clf (8.53)
(8.54)
(8.55)
0 = {-~хРКг 2c f +
c2 - K2 cj,
где
а0 — угол атаки профиля при су=0)
с — относительная толщина профиля;
/—относительная вогнутость профиля;
xF—относительная координата фокуса профиля;
Ст0 — коэффициент момента при су=0;
Къ %2> Кз — некоторые численные коэффициенты, зависящие от
формы профиля.
Коэффициент Кг совпадает с соответствующим коэффициентом
линеаризованной теории (табл. 8.1), а значения коэффициентов
К2 и К3 для ряда профилей приведены в табл. 8.2.
Профиль
к, . . . .
к3 . . . .
Ромбовидный
1
4
Таб
Четырехугольный
1
2/\-хс
лица 8.2
Образованный
дугами
окружностей
4/3
16/3
Из формулы (8.53) следует, что схв при су = 0 пропорционален
квадратам относительной толщины и относительной вогнутости
профиля.
Рассмотренная выше теория профиля в сверхзвуковом потоке
является теорией второго приближения. К числу более точных
принадлежит теория, разработанная А. Е. Доновым.
А. Е. Донов получил формулы для аэродинамических
коэффициентов сх и су с учетом четвертой степени угла 6. В связи с тем что
его результаты не выражают в явном виде зависимости
аэродинамических характеристик профиля от его геометрических параметров,
они здесь не приводятся.
— 201 —
§ 8. 6. Точное решение задачи
об обтекании профилей, составленных из прямолинейных
отрезков, сверхзвуковым потоком
Точная величина давления на поверхности плоской пластинки
АВ в сверхзвуковом потоке может быть найдена по теории косых
скачков уплотнения (для нижней поверхности) и результатам
течения Прандтля — Майера (для верхней поверхности). Для этого при
Рис, 8.16. К точному определению давления на
поверхности плоской пластинки
заданных значениях Моо и а (рис. 8.16), пользуясь графиком
зависимости угла (J от угла поворота потока а (рис. 5.3), необходимо
определить угол наклона скачка уплотнения р. Тогда отношение
давления на нижней поверхности рИ к давлению до скачка уплотнения роо
можно найти по формуле E.6).
На верхней поверхности происходит течение разрежения.
Пользуясь результатами течения Прандтля — Майера (§ 6.8),
можно определить фиктивный угол поворота 6Ф звукового потока
до получения заданного значения М^ или давления роо> равного
~= A+0,2М^)"~3'5. Для этого можно пользоваться таблицей,
составленной по результатам течения Прандтля — Майера, или
кривой, представленной на рис. 6.17. Суммарный угол поворота
звукового потока при заданном угле атаки а будет равен 6ф+сс.
По величине этого угла можно определить отношение давления
на верхней поверхности к давлению изэнтропического
торможения — (рис. 6.17), а
Рв_= Рв_ ?о_
Роо Ро Роо
— 202 —
По величине отношений давлений — и — можно определить
Poo Poo
коэффициенты давлений:
(8.56)
На рис. 8.17 приведено сравнение действительного распределения
давления по плоской пластинке с результатами линеаризованной
теории. Из рисунка видно, что линеаризованная теория дает
заниженное давление как на нижней, так и на верхней поверхности. Как
Рис. 8.17. Сравнение действительного
распределения давления по плоской пластинке с
результатами линеаризованной теории
отмечалось в § 8.2, это объясняется тем, что в методе линеаризации
скачок конечной интенсивности на нижней поверхности заменяется
скачком бесконечно малой интенсивности с углом р = \х, а на
верхней поверхности пучок линий разрежения заменяется одной линией
разрежения. В связи с этим ошибка в определении суммарных
аэродинамических коэффициентов по формулам линеаризованной
теории меньше, чем при определении давления.
Аналогично рассчитывается давление на отдельных участках
профилей, составленных из прямолинейных отрезков (рис. 8.18).
При обтекании нижней поверхности на передней кромке
возникает косой скачок уплотнения, соответствующий углу
поворота потока, равному а+бн- При обтекании верхней поверхности
скачок уплотнения возникает, если а<Сбв. При этом угол
поворота потока равен бв — а (рис. 8.18, а). По величине Моо и
величине углов а + бн и бв — а, пользуясь соотношениями для
— 203 —
косого скачка уплотнения, можно определить на участках АВЛ
и АВ все необходимые параметры потока: скорость, давление,
плотность, температуру, давление торможения и др.
Между передней и задней кромками как на верхней, так и на
нижней поверхностях происходит течение разрежения —
последовательное обтекание ряда углов, превышакйцих 180°: ABC, BCD,
СДЕ (на верхней поверхности) и AiBiCi, B1C1D1, C1D1E1 (на
нижней поверхности). Углы поворота потока при этом
соответственно равны 65, 6С, 0д.
б)
Рис. 8. 18. Обтекание профилей, составленных из прямолинейных отрезков,
сверхзвуковым потоком
Зная параметры потока за косыми скачками уплотнения (на
участках АВ и AiBi на рис. 8.18, а) и принимая их за параметры
невозмущенного потока, пользуясь результатами течения Прандтля —
Майера, найдем все параметры потока на участках ВС и BiCi.
Аналогично можно вычислить на участках CD и CiDi скорость,
давление, плотность и т. д. Для этого надо принять параметры потока
на предыдущих участках ВС и В1С1 за параметры невозмущенного
потока. Таким образом, последовательно можно найти давление по
всей поверхности профиля.
При больших углах атаки, когда а ]> бв, в области передней
кромки на верхней поверхности происходит течение разрежения
(рис. 8.18, б). Поэтому при определении параметров потока на
участке АВ нужно пользоваться результатами течения Прандтля —
Майера. При этом угол поворота потока равен а — бв.
Следует подчеркнуть, что изложенная схема расчета применима
лишь при таких углах атаки а, при которых углы поворота потока
у передней кромки меньше предельного угла для данного числа Mqq.
В противном случае вместо косого скачка образуется отсоединенный
криволинейный скачок уплотнения.
— 204 —
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь линеаризованной теорией, определить величину
составляющих скорости возмущения, отнесенных к скорости невозмущенного по-
v' v'
тока _, -?., при обтекании тупого угла, превышающего 180°, если известны
vx vx
угол поворота потока Д8 = 8° и Мх = 4. Сравнить порядок величин
vx> V'y
2. При выполнении условий задачи 1 определить относительное
приращение давления
Ар _р2 — pi
Уг ~~ Pi '
3. Пользуясь результатами линеаризованной теории, найти значения
коэффициентов давления на верхней и нижней поверхностях плоской
пластинки при а = 6° и Моо = 4. Кроме того, определить значения ~рю~рв и угол
наклона скачка р на нижней поверхности, пользуясь точными
соотношениями. Сравнить полученные результаты.
4. Построить распределение давления по поверхности ромбовидного,
четырехугольного и шестиугольного профилей при а = 0 для Моо = 3 и
с~= 0,04. Построить распределение давления по тем же профилям при а = 4°.
5. Написать формулу для определения коэффициента минимального
волнового сопротивления для четырехугольного профиля заданной
относительной толщины при различных значениях координаты л^, определяющей
положение максимальной толщины и отсчитываемой от передней кромки профиля.
6. Определить отношение коэффициентов минимального сопротивления
четырехугольного и ромбовидного профилей при различных значениях
относительной координаты максимальной толщины хс четырехугольного
профиля.
7. Заданы значения числа Моо = 2; 3; 4 и угол атаки а — 4°. Определить
отношение коэффициента подъемной силы к коэффициенту волнового
сопротивления для ромбовидного, четырехугольного (х~с = 0,6) и шестиугольного
(хс = 0,3) профилей при с = 0,04. Сравнить полученные результаты.
Глава IX
ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
§ 9. 1. Особенности обтекания крыла
конечного размаха сверхзвуковым потоком
Обтекание крыла конечного размаха сверхзвуковым потоком
существенно отличается от обтекания крыла дозвуковым потоком. Это
объясняется различным характером распространения возмущений
в сверхзвуковом и дозвуковом потоках.
а)
Рис. 9. 1. Сравнение влияния концов крыла в дозвуковом (а) и
сверхзвуковом (б) потоках
Качественно оценим влияние концов крыла. Как известно, в
дозвуковом потоке влияние концов сказывается по всей поверхности
крыла. Вследствие перетекания воздуха через боковые кромки
циркуляция скорости в дозвуковом потоке уменьшается во всех
сечениях (рис. 9.1, а). В сверхзвуковом же потоке влияние концов
— 206 —
крыла сказывается только на части поверхности, а именно в
областях II (рис. 9.1, б), ограниченных конусами возмущения,
проведенными через передние кромки концевых сечений.
Распределение давления в области / совпадает с
соответствующим распределением давления по поверхности крыла бесконечного
размаха. Вследствие перетекания воздуха через боковые кромки
нагрузка на крыло (рп — рв) и подъемная сила уменьшаются только
в областях //. Отношение площади области // ко всей площади
крыла в плане равно
Ss 1
S л f 2 ^
Поэтому уменьшение коэффициента подъемной силы зависит от
величины произведения А, V М^ — 1. Чем больше число Моо и
удлинение крыла Я. тем меньше
влияние концов на аэродинамические
характеристики крыла. Более
Рис. 9.2. Пример крыла, в
котором отсутствует влияние
концов
Рис. 9.3. Обтекание плоской
пластинки со скольжением
того, в сверхзвуковом потоке влияние концов крыла иногда можно
вовсе устранить. Это имеет место, например, в случае крыла с
углом у > \i (рис. 9.2). Все сечения такого крыла работают как
сечения крыла бесконечного размаха.
Значительно большее влияние на аэродинамические
характеристики крыла оказывает направление передней кромки.
Для того чтобы яснее представить особенности физической
картины обтекания крыла сверхзвуковым потоком, рассмотрим сначала
обтекание бесконечно длинной пластинки с углом скольжения,
равным % (рис. 9.3). Найдем проекцию вектора скорости набегающего
потока 1>со на направление перпендикуляра к передней кромке
(нормальную составляющую скорости) vn= fooCosx и параллельную
передней кромке vt = Уоо sin%.
При определении аэродинамических сил, действующих на
пластинку, можно предположить, что на распределение давления
оказывает влияние только нормальная составляющая скорости vn. Строго
— 207 —
говоря, это предположение справедливо лишь при обтекании
пластинки потоком невязкого газа. В случае вязкого газа течение в
пограничном слое зависит также и от компонента скорости vt. Эту
составляющую скорости необходимо учитывать при определении
силы трения.
Таким образом, в случае обтекания пластинки со скольжением
можно принять, что роль скорости набегающего потока играет
нормальная к передней кромке составляющая скорости:
Эта скорость составляет с плоскостью крыла угол art,
определяемый по формуле
sin a
sin а„ = ,
п cos х
где
а — угол атаки, отсчитываемый от направления скорости
набегающего потока Роо.
Так как при малых углах атаки sina=a, sino^^c^, то
ап = —— . (9.2)
п cosx v
Число Мп и скоростной напор qn, соответствующие
нормальной составляющей скорости, равны:
M^MooCOSx, (9.3)
qn=qoo cos2 x, (9.4)
где
Poo 4,
qoo= —у- •
В зависимости от угла скольжения % и числа Моо возможны
следующие случаи обтекания крыла сверхзвуковым потоком.
1. Нормальная к передней кромке составляющая скорости
может быть меньше скорости звука. Тогда i>oocosx<aoo и
Moo cos % < 1. Отсюда
М0О<^> (9.5)
или
^-. (9.6)
1 п
1 поо
Возмущения, исходящие из каждой точки поверхности, в том
числе и от передней кромки, распространяются внутри конуса
возмущения с углом \х:
sin И. = тг-. (9.7)
1 поо
— 208 —
Из формул (9.6) и (9.7) следует, что
cos%<sinjx,
- — \i. (9.8)
Неравенство (9.8) означает, что в этом случае линии возмущения
проходят перед передней кромкой. Перёд произвольным сечением
скользящего крыла образуются волны возмущения, вызванные
о) v»
Рис. 9.4. Пластинка со скольжением при дозвуковой (а) и
сверхзвуковой (б) передних кромках
сечениями, расположенными выше по потоку рассматриваемого
сечения. Вследствие этого на переднюю кромку набегает
возмущенный поток (рис. 9,4, а). При этом через переднюю кромку происходит
взаимодействие между нижней и верхней поверхностью крыла.
Скачки уплотнения отсутствуют, а волновое сопротивление
равняется нулю.
Обтекание сечений скользящего крыла в области передней
кромки при этом аналогично дозвуковому обтеканию, несмотря на то
что скорость набегающего потока Уоо сверхзвуковая. В этом случае
(vn < Яоо) передняя кромка называется дозвуковой.
Введем параметр стреловидности п= g *• Тогда
дозвуковой передней кромки,
(9.8), п>1.
для
как это следует из неравенства
8 Зак. 801
— 209 —
Заметим, что вывод об отсутствии скачков уплотнения справедлив
только для крыла бесконечного размаха с дозвуковой передней
кромкой. При обтекании крыла конечного размаха область
возмущенного движения перед крылом не безгранична, а ограничена
конусом возмущения, проведенным из вершины крыла (рис. 9.5).
Зона возмущенного потока перед крылом зависит от числа Мое.
С увеличением числа Моо эта
зона сужается. Для сечений
крыла, расположенных на
близком расстоянии от
центрального, поток остается
невозмущенным вплоть до передней кромки.
Поэтому центральное сечение и
близкие к нему сечения крыла
находятся в условиях
сверхзвукового обтекания.
Рис. 9.5. Треугольное крыло с
дозвуковой передней кромкой
Рис. 9.6. Примеры крыльев с
дозвуковыми (а) и сверхзвуковыми
(б) задними и боковыми кромками
2. При увеличении числа Моо линии возмущения
приближаются к поверхности. При Моо= выполняется следующее
COS"/.
условие: % = -^— jjl, Мл=1, a vn=aoo- Параметр стреловидности
п=\. При этом линии возмущения проходят вдоль передней
кромки. Передняя кромка в этом случае называется звуковой.
3. Нормальная составляющая скорости может стать больше
скорости звука:
Vqq COS X > Яоо*
Отсюда
Moo cos х > 1
и
(9.9)
(9.10)
— 210
Из неравенства (9.10) следует, что здесь п < 1. Линии
возмущения проходят позади передней кромки. На переднюю кромку набегает
невозмущенный сверхзвуковой поток (см. рис. 9.4, б). При этом
взаимодействие между нижней и верхней поверхностью отсутствует,
возникают присоединенные скачки уплотнения. В этом случае
переднюю кромку называют сверхзвуковой.
Аналогично можно ввести понятие о дозвуковых, звуковых и
сверхзвуковых задних и боковых кромках крыла. Если угол наклона
задней или боковой кромки к скорости невозмущенного потока у2,
уб меньше угла возмущения (рис. 9.6, а), то заднюю и боковую
кромки называют дозвуковыми. При Тз >l^> Ye > И- задняя или боковая
Рис. 9.7. Примеры крыльев, обтекание которых можно
анализировать по теории треугольного крыла
кромки сверхзвуковые (рис. 9,6, б). Очевидно, что форма задней
(боковой) кромки не влияет на обтекание крыла, если она
сверхзвуковая. Поэтому, зная распределение давления по треугольному крылу
с дозвуковой или сверхзвуковой передней кромкой (рис. 9.7,а),
можно определить подъемную силу крыльев со сверхзвуковыми
задними и боковыми кромками, изображенными на рис. 9.7, б —
9.7, д.
Распределение давления по поверхности всех крыльев,
представленных на рис. 9.7, независимо от формы, определяется так же, как
по треугольному крылу.
§ 9. 2. Аэродинамические характеристики крыла
бесконечного размаха со скольжением
при сверхзвуковой передней кромке
Рассмотрим обтекание пластинки бесконечного размаха с углом
скольжения, равным %. Поскольку обтекание пластинки со
скольжением равносильно обтеканию плоской пластинки (% = 0) потоком
со скоростью vn, то можно пользоваться формулами, полученными
в теории крыла бесконечного размаха в сверхзвуковом потоке
(8.14), с заменой в них Моо на Мл и а на ап.
— 211 — 8*
Обозначим коэффициент давления, отнесенный к скоростному
Р — Роо -
напору qn, через р± = —-— . Тогда
#гГ <9Л1)
где знак минус соответствует верхней поверхности, а плюс —
нижней.
Коэффициент- давления, отнесенный к скоростному напору
ф
равен
Сравнение формул для определения рх и р показывает, что
Подставляя сюда выражение р± (9.11) с учетом выражений
(9.2) —(9.4), находим
Г (9-12)
РЛ, Г
]/м^ cos2 7,-1
ИЛИ
Р= ±Са9
где
^= 2cosx
На рис. 9.8 приведена зависимость коэффициента С от числа
для различных углов скольжения %. Чем больше угол
скольжения, тем больше коэффициент С, причем с увеличением числа М^
влияние угла % уменьшается. Следовательно, наличие угла
скольжения приводит к увеличению давления на нижней поверхности и
к уменьшению его на верхней.
Найдем выражение для определения коэффициентов подъемной
силы су и волнового сопротивления сх.
Коэффициент нормальной силы, действующей на пластинку,
равен
Рн — Рв - -
С.п - — , ИЛИ Сп= рн — /?в,
где
Рн и рв — давление на нижней и верхней поверхностях
пластинки.
— 212 —
Подставляя вместо рн и рв их выражения по формуле (9.12)
будем иметь
4cosx
а.
COS2 7 — 1
Проектируя нормальную силу на направление перпендикуляра
к скорости набегающего потока Уоо и вдоль этой скорости, по-
N
Ч
V50
s—
ко
1.5
2.0
2,5
Рис. 9.8. Зависимость коэффициента с от числа
Mqq для различных углов скольжения
лучим формулы для определения коэффициента подъемной силы
су и коэффициента волнового сопротивления с^:
с =cncosa,
Ввиду малости угла атаки cosa^l, sin a ^ a, имеем
4 cosX
a,
(9.13)
сх=суа.
(9.14)
Подставляя в формулу (9.14) выражение су через а или угла
атаки через су (9.13), получим
cv =
4cosX
-a*,
(9.15)
4 cos x *y"
или
"*~~ 2С
— 213 —
(9.16)
(9.17)
Из формул (9.13) и (9.15) следует, что при увеличении угла
скольжения коэффициенты подъемной силы и волнового
сопротивления пластинки со сверхзвуковой передней кромки возра-
Сх . стают. Коэффициент волнового
7^ сопротивления пластинки без
скольжения (%=0) равен (8.17).
4 без скольжения
Рис. 9.9. Влияние угла скольже-
фф
Найдем отношение
коэффициента волнового сопротивления
пластинки со скольжением сх и
у к /
ния на величину коэффициента ]/м2 1
волнового сопротивления при —-I——— °° r°syw- (9.18)
сверхзвуковой передней кромке с*у=о ]/м2 cos2X 1
Из формулы (9.18) видно, что—^—> 1 (рис. 9.9). Поэтому
крыло со скольжением при сверхзвуковой передней кромке
имеет большее волновое сопротивление, чем крыло без
скольжения. С увеличением числа Мое влияние угла скольжения
уменьшается.
§ 9. 3. Линеаризованная теория крыла
конечного размаха в сверхзвуковом потоке
Рассмотрим обтекание крыла конечного размаха произвольной
формы в плане установившимся сверхзвуковым потоком невязкого
газа. Предположим, что крыло составлено из тонких слабоизогнутых
остроконечных профилей и установлено под малым углом атаки. При
этих условиях вносимые крылом возмущения малы, а скачки
уплотнения вырождаются в слабые волны возмущения. Вследствие этого
при решении задачи об обтекании крыла конечного размаха можно
применить линеаризованную теорию и считать поток
потенциальным с точностью, принятой в указанной теории.
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат,
в которой направление оси х совпадает с направлением скорости
набегающего потока (рис. 9.10).
Ввиду незначительности возмущений, вызываемых крылом,
поток около крыла мало отличается от невозмущенного. Поэтому
значения скорости у, плотности р и давления р можно представить
в следующем виде:
— 214 —
(9.19)
где
Xi Vy> Vz> ?', p' — малые величины, квадратами которых в
линеаризованной теории можно пренебречь.
Вследствие потенциальности потока имеем
(9.20)
где
<p (л:, у, z) и q/ (л:, у, г) — потенциалы суммарной скорости и
скорости возмущения.
В линеаризованной теории эти функции удовлетворяют
линейным дифференциальным уравнениям в частных производных
второго порядка, полученным из уравнения G.60) аналогично
уравнению G.8). Эти уравнения имеют вид
(9.21)
ду2
Необходимо иметь в виду, что
уравнения газовой динамики не
могут быть линеаризованы в
диапазоне чисел Моо, близких к
единице, и при больших значениях
числа Моо, когда возмущения,
вносимые в поток даже очень тонкими
телами, оказываются в общем
случае уже не малыми, и для их учета
требуются более высокие
приближения, включающие нелинейность
дифференциальных уравнений.
Поэтому формулами, полученными в
линейной теории, можно
пользоваться в диапазоне чисел Моо
примерно от 1,2 до 4.
Определение поля скоростей
в окрестности крыла конечного
размаха в указанном диапазоне М сводится к решению дифферен-
циального уравнения в частных производных второго порядка с по
— 215 —
Рис. 9.10. Крыло конечного
размаха в сверхзвуковом потоке
стоянными коэффициентами (9.21). Такое уравнение имеет
бесчисленное множество решений, поэтому для решения конкретной задачи
необходимо иметь граничные условия.
Рассмотрим граничные условия, которым должен удовлетворять
потенциал скорости.
1. Каждая точка поверхности крыла является источником малых
возмущений, концентрирующихся внутри волнового конуса с
вершиной в рассматриваемой точке. Угол при вершине конуса равен
Построим конусы возмущения с вершинами в точках,
расположенных на передней кромке крыла, и проведем огибающую
этих конусов. Тогда получим волновую поверхность 2»
которая разбивает пространство на две части. Внутри волновой
поверхности ф' =? О, а вне ее возмущающее воздействие крыла
не сказывается. Поэтому здесь v=Voo и <р'=0. Так как
потенциал скорости возмущения на волновой поверхности равен нулю,
то получим первое граничное условие:
1<Р'(х> У> г)]*=0. (9.22)
2. Проекция вектора скорости на нормаль к поверхности
крыла в данной точке в случае безотрывного обтекания равна
нулю:
где
= |i COS (/I*)+|J-COS
lr cos («*)• С9-23)
Здесь cos(^a:), cos(ny), cos (nz) — направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности, а
Пусть y=fB(x, г) и y=fп(ху z)~уравнения верхней и нижней
поверхностей крыла в выбранной системе координат. Тогда
df
/'+(¦?)'+($'
.EL
dz
(9.24)
— 216 —
т-r * df df dcp' df
Пренебрегая квадратами -~-, -^- и величинами -^— -— ,
-j—^, как малыми второго порядка, получим
cos(nx)= — -^-, cos(ny)=l, cos(/zz)=— ^
На поверхности крыла ул=0, отсюда
Здесь для точек верхней поверхности f=fB(x, г), а для точек
нижней f=fH(x, z). Для крыла нулевой толщины (c=O)fB=fH=f.
В пределах точности линейной теории граничное условие (9.25)
может быть написано для проекции крыла на плоскость у = 0.
3. При наличии подъемной силы (су Ф 0) за крылом конечного
размаха образуется вихревая пелена Еь Для тонкого крыла при
малых углах атаки можно принять, что свободные вихри пелены
параллельны скорости невозмущенного потока, а ширина вихревой
пелены равна размаху крыла.
Вихревая пелена является поверхностью разрыва потенциала
скорости. На ней касательная составляющая скорости v'z претерпе-
вает разрыв, а давление и составляющая скорости vy = у-
непрерывны:
№Л (» , (9.26)
(9.27)
Здесь индексы «+0» и «—0» указывают на то, что
соответствующие значения берутся при приближении точки к вихревой
пелене сверху или снизу.
В пределах применимости линеаризованной теории
Поэтому непрерывность давления (9.27) означает непрерывность
производной -S- на вихревой пелене 2i:
8B. зак. 801 — 217 —
(*L) =(*L) . (9.28)
При обтекании симметричного крыла под нулевым углом
атаки (ун= —ув) поток симметричен относительно плоскости xoz.
Давление в симметричных точках верхней и нижней поверхности
одинаково, подъемная сила равна нулю. Вихревая пелена при
этом отсутствует. Скорость потока вне крыла всюду непрерывна.
Вследствие симметричности потока vy(xf +y, z)= — vy(x9 —у, z),
а на плоскости xoz всюду вне крыла
v'y=%-=0. (9.29)
На верхней и нижней поверхностях крыла условие (9.25)
записывается в следующем виде:
где
у=±/ (х, z) — уравнения верхней и нижней поверхностей.
Для крыла нулевой толщины с уравнением поверхности
y=f(x,z) при заданном угле атаки из условия (9.25) следует,
что вертикальные составляющие скорости vy для точек верхней
и нижней поверхности одинаковы. Поскольку условие (9.25)
может быть написано для проекции крыла на плоскость у=0,
то в симметричных относительно этой плоскости точках потока
значения производной -у- также будут одинаковыми:
дер'(л,— у, г) =ду' (х,+у,г)
ду ду
Отсюда следует, что потенциал скорости возмущения должен
быть нечетной функцией относительно координаты у:
ф' (х, — у, z) = — ф' (х,+у, z).
Тогда
(9.31)
Следовательно, на вихревой пелене одновременно должны
выполняться условия (9.28) и (9.31). А это может быть только
в том случае, когда
(9.32)
4. Потенциал скорости всюду является непрерывной
функцией, за исключением поверхности крыла и вихревой пелены.
Поэтому ф' — непрерывная функция в областях 2г и 2г> пред-
— 218 —
ставляющих собой часть плоскости у=0, отсекаемую волновой
поверхностью и расположенную вне крыла и вихревой пелены.
Учитывая, что ф'— нечетная функция, имеем
[ф'(*>О>г)]2 s-=0. (9.33)
Таким образом, задача по определению поля скоростей
в окрестности крыла конечного размаха сводится к отысканию
потенциала скорости возмущения y'(xyy,z) внутри волновой
поверхности 2, удовлетворяющего уравнению (9.21) и граничным
условиям (9.22) и (9.30) для крыла с симметричным профилем
при су=0 и условиям (9.22), (9.25), (9.32) и (9.33) для крыла
нулевой толщины при заданном угле атаки.
Ввиду того что потенциал скорости возмущения удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению (9.21), то поток в
окрестности тонкого крыла произвольной формы может быть получен в
результате наложения потока около крыла нулевой толщины при
заданном угле атаки и потока около крыла с симметричным профилем
при нулевом угле атаки. При этом уравнения поверхностей крыла
с симметричным профилем имеют вид
y=±LqLbLf (9.34)
а крыла нулевой толщины
у= k|k . (9.35)
В уравнении (9.34) знак плюс соответствует верхней
поверхности, а минус — нижней.
Потенциал скорости возмущения ф' в точках,
расположенных над верхней поверхностью и на самой верхней поверхности,
равен сумме потенциалов скорости <р\ (при а=0) и ф2 (при
нулевой толщине):
ф'—ф1~Ьф2> (9.36)
а в точках, находящихся под нижней поверхностью и на нижней
поверхности,
Фн=ф1—ф'2. (9.37)
Легко проверить, что функция ф' = ф1±ф2 удовлетворяет
всем граничным условиям общей задачи.
Зная потенциал скорости ф', можно определить скорость
в каждой точке потока, в том числе на поверхности крыла:
— 219 — 8В*
а также определить давление и коэффициент давления:
Р = Роо— Роо^оо -^г,
дер'
р==—2-^-. (9.38)
По распределению давления посредством интегрирования
можно вычислить подъемную силу, а также силу волнового и
индуктивного сопротивления. Можно определить и моменты,
действующие на крыло.
Подставляя выражение для функции ф' (9.36) и (9.37) в
формулу для определения коэффициента давления (9.38), получим
где
рх — коэффициент давления на поверхности крыла с симметрич-
(— 2 d«p'i \
Pi= — ~ gj-j »
р2 — коэффициент давления на крыле нулевой толщины при
Давление рх не создает подъемной силы. Поэтому для
определения подъемной силы тонкого крыла достаточно решить
задачу обтекания крыла нулевой толщины при заданном угле
атаки.
Коэффициент сопротивления будет равен сумме коэффициента
сопротивления сХо при су=0 и коэффициента сопротивления схГ
обусловленного подъемной силой:
Здесь сх1 складывается из коэффициента индуктивного вихревого
сопротивления и индуктивного волнового сопротивления.
<§ 9. 4. Метод распределенных источников
В настоящее время имеются различные методы решения
уравнения (9.21) при указанных граничных условиях. Наиболее
эффективными из них являются метод распределенных источников и метод
конических течений.
— 220 —
Метод источников позволяет решать задачу обтекания тонкого
крыла произвольной формы в плане и любой формы поверхности при
малом угле атаки. Решение этой задачи для крыла конечного размаха
было дано Е. А. Красилыциковой в 1947 г.
Рассмотрим идею метода источников для исследования
обтекания крыла нулевой толщины при малом угле атаки.
Предположим, что заданы уравнение поверхности крыла
y=f(x,z) и уравнения передней и задней кромок x=tyi(z) и
х=\р2(г). Введем новые
координаты х19
гг:
г±=г.
(9.39)
Тогда дифференциальное
уравнение (9.21) будет приведено к виду,
не зависящему от числа Moo, a
именно:
ду ay ау _
(9.40)
У
\
^^
\
\
у
2
Рис. 9.11. Конус возмущения в
системах координат х, у, z и
*i» Уи *i
Кроме того, в новой системе
координат угол конуса возмущения
\хг также не зависит от числа
Моо и равен 45° (рис. 9.11).
Для доказательства рассмотрим произвольную точку на
волновой поверхности А (х, у, г). В этом случае tg \*>=— • С другой
стороны,
1
Поэтому координаты точек волновой
поверхности удовлетворяют следующему условию:
у 1
После преобразования координат точка А (х, у, г) перейдет
в точку ./^(лгх, ух, ?х). Тогда
Подставляя сюда отношение координат — , получим
*gH-i=l. fAx=45°.
Так как уравнение (9.21) является линейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами, то для его решения
можно пользоваться методом наложения потенциальных потоков.
— 221 —
Тогда искомая функция q/ может быть представлена в виде суммы
потенциалов скоростей простейших потоков, удовлетворяющих тому
же уравнению. В качестве такого простейшего потока рассмотрим
точечный источник.
В несжимаемой среде (М=0) потенциал скорости
пространственного источника с интенсивностью q, расположенного в точке
с координатами (?*, т]*,?*), определяется, как известно, по формуле
(х, у, г)= — f
/(** — ?
—С*J
С*J
(9.41)
При непрерывном распределении источников в плоскости х, z
интенсивность источников, расположенных в элементарной
площадке d?*d?*, равна qdl*dt>*, а потенциал скорости равен
f **"' (9.42)
/(а;*—5
—С*)я
Получим выражение для ф* в дозвуковом потоке. Для этого
введем новые координаты х, у, z в сжимаемом потоке, которые
связаны с координатами л:*, у*, 2* в несжимаемой среде
следующими зависимостями:
Тогда
у=у
z=z*, ?=
dl* dt,* =
(9.43)
Интенсивность источника q от преобразования координат не
зависит.
Переходя в формуле (9.42) к новым координатам, имеем
<p*=-i
^* '
Функции (9.42) и (9.44) имеют действительные значения в любой
точке пространства (х> у, z). Объясняется это тем, что в
дозвуковом потоке (М < 1) возмущения от любого источника
распространяются по всему потоку. В сверхзвуковом потоке, в отличие
от дозвуковых скоростей, возмущения распространяются только
внутри конуса возмущения. Вне его ф* = 0. При этом в точке А
(рис. 9.12) в любой момент времени накладываются возмущения,
которые начали распространяться от источника в предыдущие моменты
времени:
*i=4r и *2=4г> где
— 222 —
Это приводит к усилению возмущения потока при М>1. При
этом значение потенциала скорости в любой точке внутри конуса
возмущения удваивается.
При М> 1 потенциал скорости потока, вызываемого
источниками, расположенными в элементарной площадке d?d?, будет
равен
1 **(9.45)
2ТС 1/ /.. с\2 /АД^ 1 Л T-»f2 I /^ ?\21
Рис. 9.12, Наложение возмущений от двух
мгновенных центров возмущения в сверхзвуковом потоке
Выражение (9.45) в координатах (9.39) при М>1 имеет вид
Ф*= - 1 д**Л - •. (9.46)
Непосредственной подстановкой ф* (9.46) в уравнение (9.40)
можно убедиться, что функция ф*, так же как ф', удовлетворяет
уравнению (9.40). Поэтому воздействие крыла на поток можно
заменить системой источников, непрерывно распределенных по
поверхности крыла или на проекции поверхности на плоскость у = 0.
Для того чтобы выполнить все граничные условия, в том числе
условия (9.32) и (9.33), необходимо распределить источники также и вне
крыла — на вихревой пелене и в областях 2г> 2г- Интенсивность
распределенных источников необходимо определить из граничных
условий (9.25), (9.32), (9.33). При этом система источников в
сверхзвуковом потоке будет создавать такой же поток возмущения, как и
крыло при заданном угле атаки.
При замене крыла системой источников потенциал скорости
возмущения, вызываемого крылом в любой точке пространства (хъ
уг, гх), можно определить, складывая потенциалы скорости
возмущения источников, влияние которых сказывается в данной точке:
(9.47)
— 223 —
В частном случае для точек поверхности крыла (у = 0) потенциал
скорости возмущения равен
(9.48)
Здесь
?, ? — координаты источников,
5 — область интегрирования, включающая в себя все источники,
которые влияют на рассматриваемую точку.
Для определения области 5 из данной точки нужно провести
конус влияния, представляющий собой обратный конус
возмущения (рис. 9.13). Все
источники, расположенные-
внутри этого конуса,
оказывают влияние на
течение в данной точке.
Конусы возмущений для
остальных точек,
расположенных вне конуса
влияния (например, для точки
С), проходят мимо точки Л
Конус влияния Конус возмущения
Рис. 9.13. Конус влияния
Область интегрирования
зависит от координат
рассматриваемой точки.
Необходимо отметить, что в отличие от обтекания крыла
бесконечного размаха, когда скорость возмущения в какой-либо точке
профиля зависит от угла наклона элемента профиля только в этой
точке и не зависит от наклона соседних элементов (§ 8.4), в случае
обтекания крыла конечного размаха на величину потенциала
скорости в данной точке влияют все источники, расположенные внутри
конуса ёлияния.
Ниже будет рассмотрено обтекание крыльев различных форм
сверхзвуковым потоком.
§ 9. 5. Крыло со сверхзвуковыми кромками
Пусть передняя и задняя кромки крыла заданы уравнениями:
Рассмотрим сначала обтекание крыла сверхзвуковым потоком,
при котором кромки крыла являются сверхзвуковыми. Здесь
функции яр! (г) и i|J(z) должны удовлетворять условиям
— 224 —
или в координатах (9.39)
dz1 ' dz2 '
так как конусы возмущения, проведенные из любой точки кромки
крыла, не пересекают соответствующих кромок, а располагаются
так, как показано на рис. 9.14. Область, образующаяся в результате
пересечения конуса влияния с плоскостью у = 0, состоит
исключительно из точек поверхности
крыла и точек невозмущенного
потока. В этом случае область
интегрирования не выходит за
пределы крыла и ограничена,
передней кромкой и гиперболой
при определении потенциала
скорости в произвольной точке
пространства в окрестности крыла
с координатами хъ уъ гг pUCt
(рис. 9,15, а) и передней кромкой
и прямыми I*! — 1\ = \гх — ?|,
являющимися образующими конуса влияния — при
лении потенциала в точках поверхности крыла х.
(рис. 9,15, б).
Крыло со сверхзвуковыми
кромками
вычис-
О, ZX
б)
Рис. 9.15. Области интегрирования при определении потенциала
ср7 в точке в окрестности крыла (а) и на плоскости у=0 (б)
Следовательно, в случае крыла со сверхзвуковыми кромками
для определения потенциала скорости возмущения в любой точке
достаточно знать распределение источников только по поверхности
крыла.
Для нахождения интенсивности этих источников q
воспользуемся граничным условием (9.25). Заметим, что в формуле (9.47)
- 225 —
и
=\1
так как за пределами волновой поверхности в области S*,
указанной на рис. 9.15, интенсивность источников ^=0. Подставляя
пределы интегрирования для области S+S*, получаем
Ф
ГI
.-О'-,»
-6)«-yf-fa-С)»
(9.49)
Преобразуем внутренний интеграл, введя новую переменную
интегрирования по формуле
* = sin и.
Тогда
— dt
du=-
T
= j 9 fe» *i ~ ^i—E)8—У? sin
Следовательно,
тс
хх—ух ~2~
1 Г С Г 1 / sF 1
ф'= — ^: \ ? Й, Zj — К (х± — IJ — у\ sin u\ du.
ZK J J
0 1:
T
— 226 —
Найдем производную от ф' по координате уг. Для этого
воспользуемся правилом дифференцирования интеграла по
параметру:
1
2%
2
J
тс
~т
%
ix—Уг "
sin и
dldu.
Отсюда, предполагая, что -~—ограниченная функция, при
У1=0 получаем
{wX-o=iq(Xl'Zl)' (9-50)
ИЛИ
т. е. интенсивность источника в любой точке равна удвоенному
значению производной (jr-) в этой точке. Подставляя в фор-
\оу /у=о
мулу (9.50) выражение для определения
-)
/у-о
(9.25), имеем
(9.51)
Следовательно, интенсивность источника в каждой точке
поверхности крыла при заданной скорости набегающего потока
определяется углом наклона касательной плоскости к поверхности крыла в этой
точке относительно оси х.
Подставляя выражение (9.50) в формулы (9.47) и (9.48),
получим
а для точек поверхности крыла
dUC
(9.53)
По формулам (9.52) и (9.53) потенциал скорости возмущения
можно вычислить во всех точках пространства, для которых область
— 227 —
интегрирования не выходит за пределы крыла. В частности, для
крыла со сверхзвуковыми кромками этой формулой можно
пользоваться для всех точек его поверхности.
В общем случае для вычисления потенциала скорости по
формулам (9.52) и (9.53) необходимо предварительно определить из
граничных условий значения ~- в тех точках пространства, для которых
область интегрирования выходит за пределы крыла. Задача по
дер'
определению величины -^- вне крыла сводится к решению
интегральных уравнений (§ 9.6).
Однако в одном частном случае этими формулами можно
непосредственно пользоваться для крыла произвольной формы в плане
(как при сверхзвуковых, так и дозвуковых кромках), а именно для
крыла с симметричным профилем при нулевом угле атаки. В этом
случае значение i известно всюду — на поверхности крыла оно
определяется по формуле (9.25), а вне крыла при у = О ~- = О
(9.29).
ду
§ 9. 6. Крыло произвольной формы в плане
Рассмотрим обтекание крыла произвольной формы в плане
сверхзвуковым потоком. По-прежнему будем считать, что крыло тонкое и установлено
под малым углом атаки. Отметим
на контуре крыла, изображенного
на рис. 9.16, характерные точки:
Е±, E^ и Е2, Е2, в которых
касательная к контуру совпадает с
образующими конусов возмущения,
и D nD', где касательные к
контуру параллельны оси х. Кромки
Elf Е^ и ?2, Е2—сверхзвуковые,
так как в точках указанных
участков контура крыла
составляющая скорости потока, нормальная
к контуру, больше скорости
звука. Кромки Ег ?2 и
Е\Е2—дозвуковые.
Конусами возмущения,
проу
' и
с.
у
\
\
)
1
/
\
т
/
X
>
п'
>
Рис. 9.16. Характерные области на
поверхности крыла конечного размаха в
сверхзвуковом потоке
веденными из точек Еъ Е, D и
D', поверхность крыла
разбивается на ряд областей с различным
характером возмущенного
движения. В области /, ограниченной
сверхзвуковой передней кромкой и двумя линиями возмущения,
проведенными в плоскости крыла из точек Ег и Е\, не сказывается влияние концов
— 228 —
крыла и вихревой пелены. Здесь нижняя и верхняя поверхности крыла
обтекаются независимо друг от друга. Область интегрирования не выходит за
пределы крыла (рис. 9.17, а). Метод решения задачи полностью совпадает
с методом, изложенным в § 9.5 для крыльев со сверхзвуковыми кромками.
В областях же // и //', ограниченных концевыми кромками E^D,E^ Df и
линиями возмущения, проведенными в плоскости хОг из точек ?р Е\ и D
(область //) или ?j, Е\ и D' (область //'), сказывается влияние концов кры-
х
Рис. 9. 17. Области интегрирования для
крыла:
различных точек поверхности
крыла:
а — для области I, б—для областей II и IV, в —для об
IV и JV't д — для областей V и
области
V
III, г —для областей
— 229 —
ла, так как эти области расположены внутри характеристических конусов
с вершинами в точках Ei и Е [. При определении <р' в областях II и 1Г
необходимо учитывать источники, расположенные как на поверхности крыла,
так и вне ее — в полосах а и а\ соответственно (рис. 9.17, б).
Область /// расположена одновременно внутри обоих конусов
возмущения с вершинами в точках Ei, Е\ и ограничена линиями возмущения,
проведенными из точек D и D'. Таким образом, в ней сказывается влияние обоих
концов крыла. Здесь необходимо учитывать распределение источников
одновременно в областях Gi и a'j (рис. 9.17, в).
Рис. 9.18. К определению мощности
источников, размещенных в полосах ог и ах'
В областях IV, IV, V и V сказывается влияние вихревой пелены,
сходящей с поверхности крыла (рис. 9.17, г и 9.17, д). Количество таких областей
зависит от формы крыла в плане и скорости набегающего потока.
Для нахождения потенциала скорости возмущения в любой точке на
поверхности крыла необходимо знать интенсивности источников не только на
поверхности крыла, но и вне его — на участках ах и а[ (для вычисления <р'
в точках областей //, //' и ///), на вихревой пелене (для областей IV, IV,
V, V) и т. д. Эти интенсивности можно определить, пользуясь
соответствующими граничными условиями (9.32) и (9.33).
Для того чтобы найти интенсивности источников в областях cjj и о],
возьмем произвольную точку N (х,о,г) в области aJ (рис. 9.18) и найдем по
формуле (9.48) потенциал скорости в этой точке. Область интегрирования для
точки N можно разбить на две части: S— часть поверхности крыла,
попадающая внутрь конуса влияния с вершиной в точке N (х, о, г) и а — часть
области a'j, находящаяся внутри того же конуса. Тогда
тъ- (9-54)
5+а
В области S интенсивность источников известна (9.25), а в области а
ее нужно определить. В точках области с1 и а'{ ср'=О (9.32). Поэтому
= 0,
(9.55)
¦+о
— 230 —
или
Из уравнения (9.55) следует, что суммарное воздействие источников,
расположенных в областях 5 и а, на произвольную точку N в полосе ах или
<*\ равно нулю.
Правая часть интегрального уравнения (9.56) является известной
функцией координат точки. Поэтому из уравнения (9.55) можно определить
интенсивность источников q в области а. С этой целью удобно ввести
характеристические координаты ?', С с началом в точке О и с осями,
параллельными линиям возмущения:
g'=? —С, *' = *! —
Отсюда
s=-
¦С „ С-6'
2 ' ч — 2 > Л1 — 2
В таких координатах уравнение (9.56) имеет вид
z = ¦
¦, (9.57)
Укажем пределы интегрирования:
по области a
по области S
где
zf —
координаты точки N в характеристических осях;
-координата точки Е^
г' = фз(*') — уравнение дозвуковой кромки Е\ D';.
z'= <\>\(хг) — уравнение сверхзвуковой части передней кромки OE\t
Уравнение (9.57) можно представить в виде
С -7=^=
I
+
g' = O. (9.58)
Определение интенсивности источника q (?', С) из уравнения (9.58)
можно свести к решению двух уравнений Абеля. Интегральное
уравнение (9.58) является уравнением Абеля с правой частью, тождественно
равной нулю.
— 231 —
Уравнение Абеля, как известно, имеет вид
а
где
ср (х) — искомая функция;
/ (х)— заданная функция.
При / (х)=0, это интегральное уравнение имеет только нулевое решение:
ср (х) = 0.
Сравнивая уравнения (9.58) и (9.59), получим
?(*'.о
ИЛИ
J v^v " J Ы^о/^с7 • (9-60)
Фз<*') Ф*<*')
Уравнение (9.60) для определения q также является интегральным
уравнением Абеля, причем правая часть уравнения известна и не равна нулю*.
Заметим, что интегралы, входящие в уравнение (9.60), с точностью до
постоянного множителя, равного —т> г •, представляют собой по-
Z5X ух'— 6'
тенциал скорости возмущения, вызываемого в точке N источниками,
расположенными вдоль отрезка NN± (первый интеграл) и прямой Nx N2 (второй
интеграл). Поэтому из уравнения (9.60) вытекает, что суммарный
потенциал скорости возмущения, вызываемого в точке N с координатами
я', 0, г') в полосе с± или aj, источниками, расположенными на прямой
NN2, равен нулю.
Полученным выводом воспользуемся для определения потенциала
скорости ср' (я',0, z') в областях //, //' и ///.
Рассмотрим произвольную точку А в области // с координатами х', 0, г'
в характеристических осях (рис. 9.19, а).
Разобьем область интегрирования на три части: 50, 5Х и 52. Тогда
ИЛИ
__ . .у-0
So
/7^~
* С решением неоднородного интегрального уравнения (9.60) можно
ознакомиться в работе Е. А. Красилыциковой «Крыло конечного
размаха в сжимаемом потоке».
— 232 —
Рис. 9.19. Области интегрирования с учетом влияния одного (а, б, в)
и обоих (г и д) концов крыла
Но
CC Q (V 'С) dV d:f
JJ V (*' - 6') (г' - С)
s.+s,
y=0
1
F, СО
Поэтому на основании уравнения (9.60) получим
(9.61)
Уравнение (9.61) означает, что суммарное воздействие источников,
расположенных в областях Si и S2, на произвольную точку областей // и //'
равно кулю. В этом проявляется влияние перетекания воздуха с нижней
поверхности крыла на верхнюю через дозвуковые боковые кромки E\D и Е{D'.
Таким образом, в этом случае влияние источников, находящихся вне крыла,
можно исключить, а для определения потенциала скорости <р' достаточно
учесть возмущающее воздействие источников, расположенных только на
поверхности крыла в области So (см. рис. 9.19, б, 9.19. в). Тогда
1 CCI
= - V JJ ¦
s
dV
s,
ИЛИ В ИСХОДНЫХ КООрДИНаТНЫХ ОСЯХ Хъ
-dy)y-o
Для вычисления потенциала скорости в точках области ///, в которых
сказывается влияние обеих концевых кромок крыла и где области
интегрирования пересекаются одновременно с областями а± и a'i, необходимо учесть
влияние каждой кромки в отдельности. Для этого из рассматриваемой точки
нужно провести линии возмущения до пересечения с боковыми кромками
крыла (АВ и АВ'}, затем из точек В и В' — линии возмущения до
пересечения с передними кромками (ВС и В' с\). Тогда в зависимости от формы крыла
в плане и числа М набегающего потока интегрирование в формулах (9.62) и
(9.63) производится по области 50 (см. рис. 9.19, г) или S+ + S—
(см. рис. 9.19, д), причем в последнем случае область S— оказывается
исключенной дважды. Поэтому интеграл, распространенный по области S—,
требуется взять с обратным знаком. В результате
^У /у-0 / (^' — ?') (г' — С) '
— 234 —
(9.64)
Учет влияния концов крыла значительно осложняется для крыльев
малого удлинения. В этом случае вместо двух областей ai и ?j и трех областей
//, //' и /// на поверхности крыла приходится вводить ряд полос <зь сг2,
Оз> •••» ai» а2» аз-*- и соответственно областей на поверхности крыла, в
которых потенциал скорости надо определять с учетом источников,
расположенных в указанных полосах (рис. 9.20). Каждая такая полоса лежит внутри
характеристического конуса с вершиной в точке Еп и вне конуса с вершиной
в точке Еп-\-х. Чтобы решить задачу, надо определить интенсивность источников
вне крыла в полосах ai, 02, ... и о[, а'2... Для этого можно пользоваться гра-
Рис. 9.20. Характерные области на
поверхности крыла малого удлинения в
сверхзвуковом потоке
ничным условием, заключающимся в том, что в этих областях ^'(х',о, z')—0.
Тогда интенсивность источников в любой такой полосе можно будет определить
из интегрального уравнения
Я
V (*' - 6') (г' - С)
¦= 0.
(9.65)
S(x', о, z')
Очевидно, что уравнение (9.65) нужно записывать последовательно для
областей о1э о*, аз и т- Д« В этом случае, если интенсивность источников уже
найдена в областях аь аг, ..., ак—х н а[, а'2у ..., ак—lt то уравнение(9.65) можно
рассматривать как интегральное уравнение для определения интенсивности
источников в области ск.
Для определения интенсивности источников, расположенных на
вихревой пелене, необходимо использовать условие (9.32).
После того как найдены интенсивности источников, учитывающих
влияние концов крыла и вихревой пелены, потенциал скорости
возмущения в любой точке пространства или поверхности крыла можно вычислить
по формулам (9.47) и (9.48).
— 235 —
Заметим, что метод источников позволяет находить потенциал <р' в любой
точке в окрестности или на поверхности крыла произвольной формы при
условии, что крыло обладает конечным участком сверхзвуковой передней кромки
(рис. 9.21, а). В этом случае интегральное уравнение, записанное отдельно
для точек полосы Gi или <jj, содержит только одно неизвестное — интенсив"
ность источников в соответствующей полосе.
Рис. 9.21. Крыло с конечным участком сверхзвуковой передней
кромки (а), полностью дозвуковой передней кромкой (б)
Если крыло в плане имеет впереди острие и обе передние кромки
являются дозвуковыми, то область интегрирования в формуле для вычисления
потенциала скорости для любой точки N содержит одновременно неизвестные
источники обеих полос (рис. 9.21, б). При этом условии получим одно уравне-
Рис. 9.22. Примеры крыльев, для которых при
дозвуковой передней кромке метод источников
не применим
ние с двумя неизвестными. Поэтому если крыло имеет дозвуковую переднюю
кромку или дозвуковой оказывается выступающий вперед участок
передней кромки (рис. 9.22), то методом источников нельзя пользоваться для
определения потенциала <р'. К числу таких крыльев относится и треугольное
крыло с дозвуковой передней кромкой.
§ 9. 7. Определение аэродинамических характеристик
крыла треугольной формы в плане
со сверхзвуковыми передними кромками
В настоящем параграфе рассмотрим обтекание треугольного
крыла со сверхзвуковыми передними кромками (рис. 9.23). Уравнения
передней и задней кромок в координатах (9.39) имеют вид
— 236 —
= ±
где
п = 1/-- 2 параметр стреловидности.
Если передняя кромка крыла сверхзвуковая, то 0<л<1,
здесь п = 1 для треугольного крыла с углом стреловидности,
равным %=^ — М-
(звуковая передняя кромка).
Предположим, что
крыло имеет нулевую
толщину и установлено
под малым углом атаки.
Тогда уравнение
поверхности крыла примет вид
У = — ах
и
dx
¦= — <х,
О У
а на основании условия
(9.25)
(9.66)
\
Рис. 9.23. Крыло треугольной формы в
плане со сверхзвуковыми передними
кромками
Подставляя значение (^)Q в (9.53), получим
(9.67)
В рассматриваемом примере поверхность крыла разбивается на
две части (/ и //) с различным характером обтекания. Это
происходит за счет угловой точки О. В областях /ее влияние не сказывается.
Поскольку области / .расположены вне центрального конуса,
то на обтекание участка / правого полукрыла левое полукрыло не
влияет, и наоборот. Поэтому обтекание части крыла, лежащей вне
конуса возмущения с вершиной в точке О, совпадает с обтеканием
плоского крыла бесконечного размаха со скольжением (угол
скольжения равен углу стреловидности).
В области // поток — конический с полюсом в точке О. Это
область взаимного влияния полукрыльев. Зона влияния правого
полукрыла на левое ограничена линией возмущения ОЛ, левого
полукрыла на правое — линией возмущения ОВ.
— 237 —
Поэтому на участках поверхности крыла / и // потенциал
скорости возмущения выражается различными функциями. Аналитически
это следует из того, что области интегрирования для них имеют
различную форглу — треугольную для областей / и четырехугольную
для области // (рис. 9.24).
Для упрощения вычисления интегралов введем новую систему
координат с началом в точке N и с осями, параллельными
образующим конуса возмущения. Угол ^ в координатах хъ уъ гг (9.39)
равен 45°.
Обозначим координаты рассматриваемой точки в старых осях
по-прежнему через лг, у, г, координаты точки на поверхности
Рис. 9.24. Области интегрирования для
различных точек поверхности треугольного крыла
крыла — через х, z, а текущие координаты по области
интегрирования в тех же осях — через ?, ?. Текущие координаты в
новой системе координат ?', ?' выразим через xl9 гх и |, ? —
посредством формул переноса координат и поворота осей
I' = (I — хг) cos у + (С — г) sin у,
I' = — (I — хх) sin у + (? — z) cos y.
Из рис. 9.24 видно, что
Тогда
Для простоты введем следующие обозначения:
(9.68)
(9.69)
— 238 —
Из выражений (9.68) следует, что
с e 1 (970>
b-Zl 2 ' j
В новой системе координат формула (9.67) преобразуется
к виду
Эта формула справедлива для обеих областей. Различны
в выражении (9.71) только области интегрирования.
Пределы интегрирования для области /
t ^ 2 fa-^)-(n- 1) Ci
Si ^ Г=^ '
п с. ^ 2 (^ — пгх)
Для точек поверхности, заключенных внутри центрального
конуса возмущения, область интегрирования разобьем на две:
1) NKOLX N, где пределы интегрирования
п t 2 (Х!+ /ггх) — A — /г) ^
^«. fei ^ ^трт »
2) L1OLL1 с пределами интегрирования
п^? / 2 (^i - пгг) - (пщ+ l)Ci
Следовательно, для точек области /
2 (л:1-~П21) 2 (лгх— tt2i)-(ft+l)Ci
й1! 1—л
После интегрирования получаем
ф = ^со а ' . (У»72)
— 239 —
Внутри конуса возмущения, проведенного из точки О,
2(x1+nzl)-(l-n)Zl
1
2(xx-nzl)
\+п 1—/г
I !
Отсюда
4П +
—/1*
(9.73)
Зная ф' (лгх, о, Zj), можно определить аэродинамические
характеристики крыла.
Подставляя в формулу (9.38) полученные выражения (9.72)
и (9.73) для потенциала скорости, найдем коэффициент
давления. В области I коэффициент
2а
Подставляя выражение параметра стреловидности п,
получим
2а cos 1
cos2 x —
(9.74)
Здесь знак плюс соответствует точкам нижней поверхности, а минус
ставится при определении коэффициента давления на верхней
поверхности крыла.
Из формулы (9.74) следует, что в области / давление не зависит
от положения рассматриваемой точки и равно давлению на
поверхности плоской пластинки бесконечного удлинения, обтекаемой со
скольжением (9.12).
Для точек области // коэффициент давления
2а
1 arcsin-
тс
. (9.75)
— 240
После несложных преобразований это выражение примет вид
2а COS X
V M* cos2 X — 1
В формуле (9.76)
1 arcsin
7U
/»¦-(?¦)'
-Ы *§2Х
. (9.76)
!(*)
Обозначая
Тогда
через 2, получим
(9.77)
1Л&-1 Vi-n
(9.78)
В области // 0 < z2 < я2. Поэтому я2 — 22>0 и 1— z2>0.
Из формулы (9.76) видно, что в области // коэффициент
давления сохраняет постоянные значения только вдоль лучей,
исходящих из вершины крыла (при — = const). При переходе от
\ х /
одного луча к другому коэффициент давления изменяется.
Характер распределения нагрузки (рн — рв) по размаху
треугольного крыла со сверхзвуковыми передними кромками при
п = 0,5 и п = 0,75 приведен на рис. 9.25. Из рисунка следует,
что в отличие от пластинки бесконечного размаха с постоянной
нагрузкой, равной рн—рв=— а по всей поверхности,
"Км?1
давление по поверхности треугольного крыла распределяется
неравномерно. Часть крыла, расположенная вне центрального
конуса, при прочих равных условиях нагружена больше, чем
крыло бесконечного размаха. Например, при п = 0,5 рн — рв =
В области // нагрузка на крыло меньше. Например, из
формулы (9.78) в центральном сечении крыла B=0) разность
~РA
arcsin n
9 Зак. 801
— 241
Отсюда при п = 0,5
при я=0,75
—Р*= 0,666
4а
-/ -?75 -0,5
. 9.25. Распределение нагрузки по размаху треугольного
крыла при сверхзвуковой передней кромке
Выведем формулы для определения суммарных аэродинамических
характеристик треугольного крыла.
Сила давления на крыло равна сумме сил М:ги N2 (рис. 9 26)
действующих на часть крыла, выступающую из центрального конуса
возмущения, и на остальную часть крыла, расположенную внутри
этого конуса:
Представим N, Nx и N2 в следующем виде:
N — с Ро° V°° 9
2 = Wx2
Poo yoo
52,
— 242 —
где
сп—коэффициент нормальной силы крыла;
сп\у сП2 — коэффициенты нормальной силы для соответствующих
областей, отнесенные к своим площадям 5Х и 52;
S — площадь крыла в плане;
Sl9 S2 — площади областей / и //:
Тогда
^-. (9.79)
Подставляя в (9.79) отношения
о о
площадей ~~ и -—-, получим
Сп=Сп1A—П) + Сп2П. (9.80)
В области / давление
распределяется равномерно (9.74). Поэтому
— — 4а cos X
сп\ =Рн~Рв=:Т7:=2 = • (9.81)
V М 2 X1
/
1
1
/
/ {
7 /
/!,
¦ж
Iе-
ь0 \
11
nl
1
\
\
s \
\ /\
N
iX
V
cos2 X— 1
Рис. 9.26. К расчету коэффи-
циента нормальной силы,
действующей на треугольную
пластинку
Найдем теперь сП2- Поскольку
коэффициент р в области //
постоянен вдоль лучей, исходящих из вершины крыла, то в
качестве элементарной удобно принять площадку, ограниченную
двумя лучами, составляющими друг с другом угол dip (см.
рис. 9.26):
Используя выражение (9.77), имеем
Сила давления, действующая на эту площадку,
Подставляя сюда выражение (9.78), получим
,.т 4acosX
dN2 =
X
— 243 —
В области // —n<z-<rt. Поэтому суммарная сила
\, 4а cos х о Г Л 2 • Vn* — z2 \
N2 = 2 \ 1 arcsin , I
X
В результате интегрирования по частям будем иметь
Подставляя выражения (9.81) и (9.82) в (9.80), получаем
коэффициент нормальной силы крыла:
Зная сп, можно определить коэффициент подъемной силы су
и коэффициент волнового сопротивления крыла сх>
обусловленного подъемной силой:
Ввиду малости угла атаки a
Поэтому
4а
<9'84'
if=. (9.85)
Из формул (9.84) и (9.85) следует, что коэффициенты су и сх для
крыла треугольной формы в плане со сверхзвуковыми передними
кромками при с = 0 не зависят от угла стреловидности и равны
соответствующим коэффициентам пластинки бесконечного размаха.
Совпадение коэффициентов суммарных сил объясняется характером
распределения нагрузки по поверхности крыла. Для треугольного
крыла со сверхзвуковыми передними кромками увеличение нагрузки
на участке крыла, выступающем из центрального конуса
возмущения, по сравнению с крылом бесконечного размаха той же площади
— 244 —
компенсируется уменьшением этой силы в центральной части,
расположенной внутри конуса (рис. 9.26).
Центр давления у треугольного крыла совпадает с центром
2
тяжести треугольника хя = -^ 60. Поэтому момент суммарной
о
силы давления относительно оси z
а коэффициент момента
М
2
Подставив сюда сп по формуле (9.83), получим
8
«2— з
/пг=4 ,г~— ¦ (9-86)
§ 9. 8. Определение аэродинамических
характеристик крыла прямоугольной формы
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком крыла
прямоугольной формы в плане с нулевой толщиной. Предположим, что при этом
области влияния боковых кромок на поверхности не пересекаются
(рис. 9.27). Тогда
или
В этом случае поверхность крыла разбивается на две области
с различным характером возмущенного движения. В области /
между двумя конусами возмущения давление постоянно.
Коэффициент давления здесь, так же как и для крыла бесконечного
размаха, равен
Р±
Рн-Рв=-т===• (9-87)
~ 245 —
В области влияния боковых кромок образуется коническое
течение. Здесь вследствие перетекания воздуха через боковые кромки
происходит выравнивание давлений на верхней и нижней
поверхностях крыла. В области // коэффициент давления сохраняет
постоянные значения вдоль лучей, исходящих из передних кромок
концевых сечений 0 и О'.
Выведем формулу для вычисления коэффициента давления в
области концов крыла. Для этого, как и в предыдущем примере, введем
'?,
0 CD,
О' i
Рис, 9.27. Крыло прямоугольной формы в
сверхзвуковом потоке
прямоугольную систему координат (?i, ?1) с началом в
рассматриваемой точке и с осями, параллельными образующим конуса
возмущения (9.70). Тогда потенциал скорости возмущения можно найти по
формуле (9.71):
где
So — область интегрирования для точек области // с учетом
источников вне крыла.
Подставив сюда пределы интегрирования, имеем
ф = ~ J /сг J
о о
где
J /г J
о о
— координаты точек В и D:
t,iB = 2zy Iid=2x1.
После интегрирования получаем
|1Г7). (9.88)
— 246 —
Зная величину (p'(xi, о, г) и пользуясь формулой (9.38),
можно определить коэффициент давления ~р\
2а
= ±
Тогда в области //
-^-1
4<х
1 —— arctg
-^ —1 .
(9.89)
(9.90)
На рис. 9.28 показано распределение нагрузки (рн — рв) по
размаху крыла прямоугольной формы (А, = 1,5) для некоторого
значения х при М = 2 и 4.
Относительные координаты
точек гх и z2 на границе
между областями I к II для
М = 2 и М = 4
соответственно равны:
г±= ±A—0,578*),
F2= ±0—0,258*).
Представим силу
давления, действующую на крыло,
в виде суммы сил N = N± +
+ N2, где Л/х — нормальная
сила в центральной части
крыла, расположенной вне конусов возмущения, а N2 —
нормальная сила, приложенная к поверхности, заключенной внутри этих
конусов.
Поскольку
Рис. 9.28. Распределение нагрузки по
размаху крыла прямоугольной формы
в плане
гДе (рн—Рв) определяется по формуле (9.87), то
Art О V
—о—^1-
Коэффициент нормальной силы сп\ в области /(см. рис. 9.27),
отнесенный к площади S19 совпадает с коэффициентом сп для
бесконечной пластинки:
Сп\ =
o
Si
— 247 —
Сила, действующая на элементарную площадку области //,
где (^н—рв) определяется по формуле (9.90),
.„ 1 Ъ\ ,,
Здесь
Сила N2 равна:
где
tge = —.
После интегрирования получим
N 2а р^
Представим силу N2 в следующем виде:
где
S2 — площадь участка крыла, заключенного внутри конусов
возмущения, равная б?.
Поэтому
Из формулы (9.91) следует, что коэффициент нормальной
силы в области, заключенной внутри конусов возмущения, вдвое
меньше коэффициента сп\ центральной части крыла,
расположенной вне этих конусов. Суммарный коэффициент нормальной
силы крыла
Сп = Сп\ -—¦ + Сп2-^- ,
где
4 = >-
— 248
Подставляя выражения для определениям, сл2> -§-> -§•
получим
4а
1 ,' \ . (9.92)
Отсюда при малых углах атаки
' (9.93)
$- = 4 .(l -J V (9.94)
Зная распределение давления по пластинке, можно
определить и коэффициент момента mz относительно передней кромки:
т*= г2а A 2 \ • (9.96)
Отсюда
mz 2 / 2 \
X 1 1/ 772 Г I с- "¦/Т7Б : ' v • /
По величине тг (9.97) и су (9.93) можно найти положение
центра давления:
(9.98)
Из формул (9.94), (9..Э5), (9.97), (9.98) видно, что для крыла
^
прямоугольной формы в плане отношения -^, ~ , -^ и
координата центра давления зависят от произведения %Vb^ — 1
(рис. 9.29, 9.30). С увеличением величины xVmIq — 1 область
влияния концов крыла сужается. При этом аэродинамические
характеристики прямоугольного крыла приближаются к
характеристикам крыла бесконечного размаха. Например, при
Я у Mlo — 1=2 коэффициент подъемной силы крыла конечного
9В. Зак. 801 — 249 —
размаха меньше коэффициента подъемной силы крыла
бесконечного размаха на 25%, а при xVfA^— 1 = 5 на 10% (рис.9.31).
Если 1 <d м М^о — 1 < 2, то области влияния концов
прямоугольного крыла накладываются друг на друга. При этом в области
/// сказывается влияние обоих концов крыла (рис. 9.32). Потенциал
16
12
0,8
ОЛ
L
1 1
\
2
\
3
t 5
6
Рис. 9. 29. Зависимость -Я и — от параметра \ Y м 2
к Лес2 -^оо
*
— ¦*
скорости возмущения можно определить по формуле (9.53). Область
интегрирования для точки в области /// на рис. 9.32 заштрихована.
Коэффициент давления в области /// можно найти путем
наложения распределения давления, вызываемого влиянием одного конца
0.5
0Л 2 4 6
Рис. 9. 30. Зависимость относительной ко-
ординаты центра давления от X у^ 2
крыла, на распределение давления от другого конца. Поэтому для
нахождения /Гможно воспользоваться решениями конических
течений в областях // и //' (9.89).
— 250 —
Вследствие влияния, например, левой боковой кромки
коэффициент давления в точке С по сравнению с коэффициентом давления
в области / изменяется на величину
Аналогично находится изменение Др/7 в точке С от влияния
правого конца крыла:
АР и = Р/ — Pit-
0,5
О 2 <f 6 в °°
Су
Рис. 9.31. Изменение отношения —
Су\ = сю
для прямоугольного крыла в зависимости от
Рис. 9.32. Наложение областей влияния концов
крыла при 1 <1 ^М^— 1 <2
Вследствие влияния обеих боковых кромок на рассматриваемую
точку р изменится на величину
Дрш = Др7/ + Ар/г.
Отсюда
Рш = ~Рп + РП> — Р/. (9.99)
— 251 — 9В*
В формуле (9.99) коэффициенты давления ри и рп>
определяются по формуле (9.89), причем координаты точки С (хг и_г)
отсчитываются от соответствующей кромки (при^ определении рп
начало координат принимается в точке О, а ри> — в точке О').
На рис. 9.33 приведены ли-
1им нии равных давлений -!L по по-
Pi
верхности прямоугольной
пластинки при X V №%> — 1 = 1.
В области ///
Рщ _ Ри , Р\у i
Р/ Ъ Pi
II
<
N
I
X
III
n'
>
IY'
4
Рис. 9.33. Линии равных
давлений на поверхности
прямоугольной пластинки при \ /Г7г 7
Чо-'^
Рис. 9.34. Области
возмущенного движения на
поверхности прямоугольного крыла
малого удлинения при
^UZ7
Путем непосредственного вычисления можно убедиться, что
коэффициенты суммарных аэродинамических характеристик
(су, сх, mz, дгд) в этом случае также определяются по
формулам (9.94), (9.95), (9.97) и (9.98), которыми можно пользоваться
при iVMi— 1>1.
Для прямоугольного крыла малого удлинения, когда
Ху М^ — 1 <^ 1, количество областей с различным характером
возмущенного движения на поверхности увеличивается (рис. 9.34).
Здесь возмущения от одной боковой кромки, достигнув другой
кромки, отражаются от нее. В областях IV, IV, У и т. д. происходит
наложение отраженных и прямых возмущений. Это вызывает изменение
характера возмущенного движения. Формулы для определения
коэффициентов су, сх, тг и координаты центра давления, выведенные
для случая Ху м?>— 1 > 1, в этом случае уже не справедливы.
— 252 —
§ 9. 9. Определение волнового сопротивления
крыла при нулевой подъемной силе
Решение задачи при а = 0 значительно упрощается, так как при
симметричном обтекании интенсивность источников за пределами
крыла в плоскости xoz равна нулю (9.29), а на поверхности крыла,
так же как и в общем случае, она известна (9.51). Поэтому при любом
значении числа Моо потенциал скорости возмущения равен
потенциалу системы источников, распределенных по поверхности крыла с
известной интенсивностью, и определяется по формулам (9.52) и
(9.53).
Область интегрирования S ограничена кромками крыла и двумя
образующими конуса влияния с вершиной в рассматриваемой точке.
Зная ер', можно определить значение коэффициента давления в
каждой точке поверхности крыла, а по известному распределению
давления легко вычислить и волновое сопротивление.
На элемент поверхности крыла dxdz действует элементарная
2
сила давления dN = p-^~^ dxdz. Ее проекция на направление
скорости набегающего потока (элементарная сила волнового
сопротивления):
где
Р (х, г) — угол между осью х и плоскостью, касательной к
поверхности в точке (х, г).
Отсюда суммарное волновое сопротивление
!И
[х, z) dx dz
s
и коэффициент волнового сопротивления
c« = J f f p$(x,z)dxdz, (9.100)
S(*. Z)
где S — площадь крыла в плане.
§ 9. 10. Волновое сопротивление треугольного
крыла с четырехугольным профилем
при нулевой подъемной силе
Рассмотрим обтекание треугольного крыла (рис. 9.35) с четырехугольным
профилем при су = 0. Положение максимальной толщины в каждом сечении
будем определять с помощью безразмерной величины г, представляющей со-
— 253 —
бой относительное расстояние максимальной толщины от задней кромки в
долях хорды сечения. Тогда для определения углов pi, р2 на передней и задней
кромках сечения и угла наклона линии максимальных толщин уг, получим
следующие соотношения:
(9.101)
Поверхность крыла можно разбить на две части, в каждой из которых
мощность источников постоянна. В области / Q-=$lt в области // -g- = |32.
Поэтому из формулы (9,51) следует, что qx = 2^ рх и q2 = 2voo р2.
7 " ¦*
Линия максимальных
X толщин
Рис. 9.35. Треугольное крыло с четырехугольным
профилем при а == О
Такое распределение можно получить наложением друг на друга двух
систем: источников с интенсивностью <7i = 2^ Pi, распределенных по
области ОВС, и источников с интенсивностью q=q2 — ql = 2vO0 (P2 — Pi), или
Ч — — г а г) уоо> помещенных в треугольнике ABC.
При анализе обтекания крыла необходимо различать три случая:
1. Обтекания крыла со сверхзвуковой передней кромкой, т. е. когда
7i > fJ-. В этом случае и ?2 > Iх (рис. 9.36, а). При этом
и п2<п1<1. Источники, расположенные в треугольнике ABC, не влияют
на точки области /.
2. Обтекание крыла с дозвуковой передней кромкой и сверхзвуковой
линией максимальных толщин (рис. 9.36, б). Здесь yi<fi, а гг>^. Поэтому
tti>l>ft2. Крыло располагается внутри волнового конуса с вершиной в точке О,
источники треугольника ЛВС по-прежнему не влияют на точки области /.
3. Обтекание, при котором передняя кромка и линия максимальных
толщин дозвуковые (рис. 9.37, в). Тогда часть области / (АКС и ALB) находится
в области влияния источников, расположенных в треугольнике ABC. Здесь
и *12<;л.. Поэтому щ>\ и /i2>l, т. е. m>n2>\.
— 254
При сверхзвуковой передней кромке потенциал скорости возмущения <?'
и коэффициент давления на поверхности треугольного крыла можно
определить по формулам, выведенным в § 9.5, подставляя в них вместо а местный
угол атаки.
Получим формулу для определения распределения давления по
поверхности треугольного крыла при су — 0 для дозвуковой передней кромки
Рис* 9.369 К определению коэффициента волнового
сопротивления:
а —при сверхзвуковой линии максимальных толщин и сверхзвуковой
передней кромке; б —при сверхзвуковой линии максимальных толщин
и дозвуковой передней кромке; в —при дозвуковой линии
максимальных толщин и дозвуковой передней кромке
(рис. 9.37, а). При этом условии в возмущенной области вне крыла (между
конусом возмущения и крылом) интенсивность источников равна нулю.
Поэтому для определения потенциала скорости в точках плоскости (дп, zi)
можно пользоваться формулой (9.53):
'~^Я
— 255 —
где
-V
Здесь производная ^ равна углу наклона касательной к поверхности крыла,
df
к оси х. Предположим, что в области S -^ — const. Тогда в системе
координат ?х Ci (9.70) эта формула примет вид
- * дх J J /^
(9.102)
Рис, 9. 37. К определению потенциала скорости при с =0:
а — в точках поверхности крыла; б—в области между передней кромкой и
конусом возмущения при дозвуковой передней кромке
Интеграл (9.102) представим в виде разности двух интегралов: по
областям 5i(i4i D1OB1) и S2(C1D1O). Пределы интегрирования по области Sx
где
по области S2
0 < d"
где
п — 1
п+1
— 256 —
Тогда
оо df
7U дХ
г
L о
2(Xl+nzl)+(n- QC,
/г+1
n— 1
- 1 I
Л+1
Отсюда
f = —
^ГЩ 1
-2{x1-nz1) + (n 4- l)Ci
2 (^t—W
л.
(9.103)
Продифференцируем полученное выражение по координате *i. Применяя
правило дифференцирования интеграла по параметру, после несложных
преобразований получим
дхг ~~ тт:^] т^^лЛ J VU\2
If I л f =J. t
1
Уп— 1
г е _2,_rfnc;
(9.104)
Отсюда
ЙТ
^oo dj_ 1
dx j/ n2
arch
-farch
Ho
поэтому
, n =
n dx
— 257 —
. (9.105)
Преобразуя выражение, стоящее в скобках, формулу (9.105) можно
привести к виду
дх=~ * д*уЩ—{ УТ^П arch У I-?1
(9
(9
где для точек, расположенных на поверхности крыла, z<l (9.77).
Подставляя формулу (9.106) в выражение (9.38), получим формулу для
определения коэффициента давления в точках поверхности треугольного
крыла при дозвуковой передней кромке и а = 0:
^
arch У п*-? . (9.107)
Из формулы (9.107) видно, что коэффициент давления р имеет постоянное
х
значение во всех точках, расположенных вдоль одного итого же луча -=const,
что соответствует коническому потоку.
Выведем формулу для определения потенциала скорости в точках,
находящихся между конусом возмущения и крылом (в точке Л2, рис. 9.37, б).
В этом случае на точку Л % влияют источники, расположенные в области
В2ОС2. Пределы интегрирования по этой области
0 < 5Х < ?ю,
где
-2
n—\
Поэтому для точек в плоскости хг между конусом возмущения и крылом
потенциал скорости равен
f
-- ?дх\ yit
Отсюда
n— 1
/ 2 (*! — ttZj) +
(n-lMi
— 258
Так же как и в предыдущем случае, найдем производную от потенциала
по хг\
После интегрирования получим
Переходя к координатам х, z и преобразуя выражение, стоящее в скобках,
получаем
^— = — -J- , arch I/ ¦= , (9.108)
где для точек А2 z > 1. Коэффициент давления в этих точках
Р- „.? . ^= -h ]/|=i . (9.109)
Зная распределение коэффициента давления по поверхности
треугольного крыла при дозвуковой и сверхзвуковой передних кромках,можно
определить и коэффициент волнового сопротивления.
Рассмотрим обтекание треугольного крыла с четырехугольным профилем
при сверхзвуковой передней кромке (рис. 9.36, а). В этом случае суммарное
сопротивление крыла складывается из сопротивления Хп, действующего в
области / (ОБАС) от источников с интенсивностью qi, находящихся в той же
области, сопротивления Х21, действующего в области // (ABC) от источников
с интенсивностью qi, помещенных в области //, и сопротивления Х22,
действующего в той же области // от источников с интенсивностью (qz—gi),
расположенных в треугольнике ABC.
В анализируемом случае источники в треугольнике ABC не влияют на
скорость возмущения в области /, и обтекание крыла совпадает с обтеканием
пластинки треугольной формы со сверхзвуковой передней кромкой под углом
атаки а = — Pi для верхней поверхности и а = рх — для нижней
поверхности крыла. Поэтому, чтобы найти распределение давления в области /,
можно воспользоваться формулами (9.74) для области /' и (9.78) —для
области /". Тогда для точек нижней и верхней поверхностей крыла получим
следующие формулы: в области /'
_=у" Pi.
в области /*
2 Vni-z*
l--arcsin . ^ . (9.111)
— 259 —
Найдем элементарную силу dXn, действующую на элемент поверхности
крыла:
Так как в областях ОВВ' и ОВ'А (см. рис. 9.36, а) давление
распределяется по различному закону, то силу Хц удобнее представить в виде суммы
интегралов:
где 5' и S" — соответственно площади областей /' и /".
Если взять на линии АВ точку В" с координатами (*, z), то площадь
треугольника ОАВ"
s = S A - гJ
2 A - rz) '
где
S — полная площадь крыла;
z—относительная координата, равная —tgx;
г — безразмерная координата максимальной толщины профиля.
Поэтому
ds = S A — гJ
2A—rzJ
Тогда
Ц—== ' * ¦. Gx (nl9 г). (9.112)
2 5 °°
Здесь
=Г- (9.113)
\\-п\ J V |/l-z2 / A-rz)
6
Интегрируя по частям, получим
G ( 0
р
ni
arccos nx
^ +arcsin
Сопротивление X2i, действующее на часть поверхности ABC с углом наклона
р2 и вызываемое источниками с той же интенсивностью qlt как и в рассмот-
— 260 —
ренном выше случае, но помещенными в области //, можно представить в виде
разности сопротивления по полному крылу (г = 0) и сопротивления по
области 1 (ОВАС), т. е.
[G (п 0) _ G (п г)]и (9.115)
2 6
Здесь Gi (пъ о) — значение функции (9.114) по полной площади крыла (г=0),
равное ??! {пъ о) = -^ .
Для определения сопротивления X2z воспользуемся формулой (9.112),
заменив в ней р^ на C2 — рх) р2; /гх — на п2, полную площадь крыла — на SABC
и г на г — 0. Так как в этой области интенсивность источников
пропорциональна (Э2 — ?i) и они действуют по поверхности крыла с наклоном р2, то
Х22 8 (Э,-Pi) Ра 5
-
„2 ~ ,/-— г * "i(i2,°), (9-Пб)
Poo^oo _
где
^2 = пх г, —?— = г,
Сложив выражение (9.112), (9.115) и (9.116), после несложных
преобразований получим следующую формулу для определения коэффициента
волнового сопротивления при су = 0:
2? { 1
Ь0Л)
— ГA_Г) l^i (пъ о) - G± (пъ г)] + гA_г) С?! (я2>
Следовательно, коэффициент волнового сопротивления зависит от числа MO0t
толщины и формы профиля, а также от формы крыла в плане. Количество
независимых переменных, от которых зависит коэффициент, можно умень-
с
ЛГВ
шить, если ввести отношение -=- , равное
-r(l-r)[Gi («i. о) - d («lt r)] + f(i_r) °i (, о)} ¦ (9.117)
В формуле (9.117) параметр стреловидности п = —г - представим
/м^i
tgX хв
как /г = —г п . Отсюда следует, что ¦=- зависит от произведений
\ у М^—1, ^ tg х и относительной координаты максимальной толщины
профиля хс—\ — г. Произведение X tgx представляет собой смещение носка
— 261 —
концевого сечения относительно передней кромки корневого в долях половины
средней хорды крыла. Следовательно, для крыла со сверхзвуковой передней
кромкой мы получили следующую функциональную зависимость:
^-I, UgX. xc).
Рассмотрим теперь обтекание крыла с дозвуковой передней кромкой и
сверхзвуковой линией максимальных толщин (/г1>1>я2). В этом случае
источники, расположенные в треугольнике ABC, по-прежнему не влияют
на скорости возмущения в области ОВАС (рис. 9.36,6). Поэтому, для того
чтобы определить распределение давления в указанной области, воспользуемся
df
формулой (9.107) и подставим в нее к— = рх и п = п^.
2
Отсюда
^-=2 ;-h——l= i гг.
00 st
л/
arch V 2_l2 hdS.
(9.118)
где
П __ r^2 p i 1 /n? — z2 _
(9.119)
A — r)a f 1 1 /n\ —z2 -
r * о
После интегрирования по частям для рассматриваемого случая (п2 ==•
= tiir < 1) получим
ъ г) =
2 ^1-r^n?
+ ^r . o arctg , ly-^— • (9-120)
Сопротивление Z2i зависит от источников с интенсивностью,
пропорциональной углу Pj и распределенных в области ABC. Оно равно
[O,(B1,o)-O,(/i1.r)], (9.121)
где
G2 (nlt о) = у""х _[_ arcsin ~ . (9.122)
Сопротивление Л2, действующее на область ЛБС от распределенных
по ней источников мощностью (q2 — <7i), определяется по формуле, выведен-
— 262 —
ной применительно к первому случаю обтекания крыла, так как в обоих
случаях линия максимальных толщин сверхзвуковая:
у\ псу ОмО I МО ^~" \J 1 )
= ГС/i (AZ2, U)» (У.1^о)
Складывая выражения (9.118), (9.121) и (9.123) и подставляя вместо ^
и 32 их значения по формуле (9.101), получим формулу для полного
коэффициента волнового сопротивления при су = 0, соответствующего пг > 1„
я2 < 1 или ях г < 1:
2 с2 /1
r A r) L^2 l"l> ^— ^2 V^l» ' /IT* r Л rj
1
1
2' 0)
> 0) "" Ga (/2l> r)] + г A - r) Gl ^ °>} • (9 124>
- г A - г) [G2 (/Zl> 0) "" Ga (/2l> r)] + г A - r)
где функции Gi(/2, r) и G2(n>r) вычисляются по формулам (9.113) и (9.120).
с
Из формулы (9.124) следует, что отношение —=^ по-прежнему зависит от
Ас2
трех параметров: X ]/М^—1 ,XtgXnx"c = l—г.
Если передняя кромка и линия максимальных толщин дозвуковые, та
часть крыла (области АКС и ALB) находится в зоне влияния источников,
расположенных в треугольнике ABC (см. рис. 9.36, в). Поэтому для
определения полного коэффициента сопротивления крыла, кроме сопротивлений
-Xii» Х2ь Х22, необходимо найти дополнительное сопротивление Х12- Эта
сила действует на области АКС и ALB и обусловлена влиянием источников
в треугольнике ABC с интенсивностью, пропорциональной ($2 — Pi)-
Коэффициент давления в точках этих областей, создаваемый указанными
источниками, можно определить по формуле (9.109), заменив в ней п на
df
п2 = пгг и -^ на (Р2 —Pi)- Тогда
2 4Л-Ы .1 , ,arch
2 SAKC
Площадь элементарной площадки в области АКС (см. рис. 9.36, в)
В результате интегрирования получим
^12 8р1 (Рг — Pi)
— 263 —
rF ^ ')> (9125>
где
A о V 1
г) = 7^ \ ff=iparch
/fe
или
1 — г Г hi
<9-126>
Для вычисления сопротивлений Хц, Х2Х, X22 можно пользоваться
формулами, выведенными ранее. В самом деле, при подсчете силы Хц
коэффициент давления в любой точке области OBAQ можно найти по формуле,
соответствующей обтеканию крыла с дозвуковой передней кромкой. Поэтому
силу Хц можно подсчитать по формуле, аналогичной выражению (9.118):
ъ г), (9.127)
где G3 (пх, г)—[значение интеграла (9.119) при
1 — г 1п «1 г arch пг
Г7j^fn+Т^П
1> г) =
X In 1 + , . . (9.128)
L „l(l-r)+|/«f-l-/nfr2-l J)
Для определения силы X2i можно воспользоваться 'формулой (9.121),
заменив в ней функцию ?2э(пх, г) функцией G3(n1}r). Тогда
POO Г'оэ _ 1С У ML - 1
ь 0) - G3 (nlf г)], (9.129)
где G2 («х, 0) вычисляется по формуле (9.122),
Сопротивление Х22 можно найти по формуле (9.123), подставляя в нее
вместо функции Gx (n2, 0), соответствующей сверхзвуковой линии
максимальных толщин, функцию О2(д2,0). В результате получим]
2, 0), (9.130)
2 °
где (?2(я2, 0) подсчитывают по формуле (9.122) с заменой пх на п2.
— 264 —
На основании формул (9.125), (9.127), (9.129) и (9.130) получим
выражение полного коэффициента волнового сопротивления для случая, когда
1
«*в = ^—п /f-Ai - 77ПГ7Т I°t («i. °) ~ °з («1.')] ~
•0)- r(\-r) F<"«• г>
Отсюда следует, что и в этом случае отношение-^- зависит только от
Хс
^Л, XtgX и хс = 1 — г.
( 1\2
Для треугольного крыла S = I -g" I tg X. Поэтому X tg X = 4.
На рис. 9.38, а приведены зависимости -4| от Х)/М?^— 1, построенные
Хс
по формулам (9.117), (9.124) и (9.131) для XtgX = 4 при двух значениях
хс(хс~0,3; 0,5). Угловые точки на теоретических кривых соответствуют
числам М^, при которых линия максимальных толщин или передняя кромка
становятся звуковыми:
1 1
или
где
Xt — угол стреловидности по линии максимальных толщин (tgXc=rtgX).
Отсюда следует, что передняя кромка и линия максимальных толщин
становятся звуковыми при
или при X Км^ —1=4 и X Км?,— 1 = 4г.
Из рис. 9.38, а видно, что характер кривой -Щ =/(ху/М^)— l)
существенно зависит от диапазона изменения параметра X у М^— 1 и
положения максимальной толщины сечения крыла. Если X у М^— 1 < 4г, то ли-
— 265 —
ния максимальных толщин и передняя кромка дозвуковые. Поэтому с^
рассчитывают по формуле (9.131). При 4г < X j/jV& — 1 < 4 линия
максимальных толщин сверхзвуковая, а передняя кромка дозвуковая, и схВ опре-
а)
Л с2
2.0
U
иг
0,8
ОА
СХ5
Л с2
2.0
16
иг
0,8
ОА
7
0
TJ= oo ;
Хс=0,3[г=0,7)
б)
5 6 Х\1мгг1
Теоретически
кривая
Экс периментальна.
кривая
5 6 X\Jm2-1
Рис. 9.38. Зависимость
от
— 1 для
треугольного крыла:
а —для различных положений максимальной толщины;
б—для крыла с ромбовидным профилем
деляют по формуле (9.124). Если X ^М^—1 > 4, то передняя кромка и
линия максимальных толщин сверхзвуковые. В этом случае для определения
с необходимо пользоваться формулой (9.117).
хв
С
Наибольшее значение -4е для любого г соответствует звуковой линии
\с*
максимальных толщин. При увеличении параметра X ]/M^ — 1 коэффициент
— 266 —
схв уменьшается, причем если значения X /М^—1 велики, то схв мало
отличается от соответствующих значений схъ для профиля.
На рис. 9.38, б приведены теоретическая кривая волнового
сопротивления и эмпирическая, полученная в результате обобщения опытных данных
для крыла с ромбовидным профилем. Отсюда видно, что теоретические
коэффициенты волнового сопротивления отличаются от опытных, особенно
в диапазоне значений \\ М^—1, где теоретическая кривая имеет резко
выраженные пики, соответствующие звуковой линии максимальных толщин
и звуковой передней кромке. Указанная особенность обусловлена
неприменимостью линейной теории при скоростях, близких к скорости звука.
Когда значения X у М^ — 1 велики, линия максимальных толщин
становится существенно сверхзвуковой. При \ у М^— 1 > Mg/C или для
рассматриваемого примера (г = 0,5) при X у М^—1 >2 результаты лучше
сходятся с опытными данными. Но и при этих значениях X у М^—1 линейная
теория дает несколько завышенное значение схв. Это объясняется тем, что
коэффициент волнового сопротивления определяется теоретически без учета
вязкости среды. Между тем вязкость уменьшает волновое сопротивление.
При обтекании крыла потоком вязкого газа образуется пограничный слой,
приводящий как бы к утолщению крыла, особенно вблизи задней кромки.
В результате в такой области поток расширяется неполностью. Ввиду этого
фактическое давление в области задней кромки крыла оказывается большим,
чем давление, полученное расчетным путем, что ведет к уменьшению
волнового сопротивления.
§ 9. 11. Метод конических течений
Метод конических течений применяется для исследования
конических потоков, когда параметры потока (v, р, р, T) сохраняют
постоянные значения вдоль лучей, исходящих из некоторой точки,
называемой полюсом конического потока. Таким
является поток около произвольной бесконечной конической
поверхности при условии, что при этом образуется присоединенный скачок
уплотнения (рис. 9.39, а). Течение около тонкого крыла треугольной
формы в плане с конической поверхностью является также
коническим как при дозвуковой, так и при сверхзвуковой передней кромке
(рис. 9.39, б).
К числу конических потоков относится и течение около пластинки
треугольной формы в плане при дозвуковой передней кромке. Если
передняя кромка сверхзвуковая, то поток является коническим
внутри центрального конуса возмущения, проведенного из вершины
крыла (на рис. 9,39, в эта область заштрихована).
Методом конических течений можно пользоваться для
исследования обтекания края прямоугольной пластинки при a =f= 0
(рис. 9.39, г). В § 9.8 было показано, что на поверхности пластинки
прямоугольной формы в плане при этом образуется область кониче-
— 267 —
ского потока внутри конусов возмущения с вершинами в передних
кромках концевых сечений.
Коническим является и течение около боковой кромки плоского
крыла, показанного на рис. 9.39, д.
а)
X
А
-Г) •
4Х}
5со
,nst Я Iй-
^7
/4fe
«Г
V\ S
?J a
/7' г
Рис. 9. 39. Примеры конических потоков:
моугольной
Рассмотрим идею метода конических течений. Ввиду того
что вдоль лучей, проведенных из полюса конического потока,
параметры возмущенного движения остаются неизменными,^
коническое течение достаточно исследовать в одной из плоскостей,
перпендикулярных к скорости невозмущенного потока, например,
в плоскости при х = 1.
— 268 —
Если начало координат поместить в полюсе конического потока,
то положение произвольного луча, проведенного из этой точки,
определяется значением отношений координат - и -. Вдоль одного и того
же луча отношения - и - сохраняют постоянные значения, поэтому
X X
в коническом потоке все параметры являются функциями только
у z
у- и —:
X X
Потенциал скорости возмущения ер' для тонких тел при
малых углах атаки по-прежнему удовлетворяет линейному
дифференциальному волновому уравнению (9.21). Составляющие
скорости возмущения v'x = -~- , v'y = -S-> vz = ~
удовлетворяют тому же уравнению. Чтобы доказать это, достаточно
продифференцировать основное уравнение (9.21) по координатам
х, у, z соответственно. После дифференцирования по х получим
V 1о° 1) дх[дх*) дх{ ду* )~дх[ dz* )- и*
Это уравнение можно переписать в следующем виде:
^ 1о° 1) дх* [дх ) ду* [дх ) дг* [дх )-~V'
дх* [дх ) ду* [дх ) дг* [дх
или
(9Л32,
Аналогично получим уравнение для других составляющих
скорости:
Простота решения задачи в этом случае объясняется тем,
что в уравнениях (9.132) — (9.134) составляющие скорости зави-
— 269 —
сят только от отношений координат — и — . Обозначим эти от-
X X
ношения через
г = —
(9.135)
Тогда vx = 0* (tj, ?), Уу = Уу (tj, Z) и v'2= vz (г), ?). Это однородные
решения волновых уравнений (9.132)—(9.134).
Переменные ц и ? удобно рассматривать как декартовы
координаты в плоскости, перпендикулярной к скорости невозмущенного
потока (к оси х) и расположенной на расстоянии х = 1 от полюса
конического потока (от начала координат). Следовательно, для
решения задачи обтекания тела коническим потоком достаточно найти
поле скоростей в какой-либо одной плоскости, перпендикулярной
к набегающему потоку. Конус возмущения с вершиной в начале
координат пересекает эту плоскость по кругу с центром в точке
т] = ? = 0 и радиусом, равным ,/¦ 2 ,а тело нулевой толщины
V "^ОО *
пересекает плоскость по некоторой кривой. Например, пластинка
при некотором угле атаки пересекает эту плоскость по прямой,
параллельной оси О?.
При дозвуковой передней кромке изображение крыла на
плоскости х = 1 располагается целиком внутри круга радиуса
1
, а при сверхзвуковой передней кромке — частично внутри
i /—z
V м^-1
этого круга, а частично вне его.
В уравнение (9.132) введем переменные г\ и ? (9.135). Тогда
дх х дч\
Х2 дг] "Г х2 ^ »
ау2 л2 атJ ' dz* л:2 ас2 •
В новых переменных уравнение (9.132) имеет вид
д2 vx д2 v'
(l-A212) t^ -2А2ц^-2А2^ = 0, (9.136)
где A == VMlo — 1 .
— 270 —
Нетрудно показать, что уравнение (9.136) внутри круга
радиуса -т (внутри конуса возмущения) представляет собой
уравнение эллиптического типа, а вне его — гиперболического. Для
этого достаточно написать уравнение характеристик:
A-А*г?)Ш +2ЛЧт1^ + A-ЛЧ2) = 0/
Отсюда
-л« т,с ±
rfij 1 — А2 у]2
Из уравнения (9.137) следует, что при rf + ?2< тгД.е. внутри
л
круга радиуса -г, уравнение (9.136) эллиптического типа, а при
т]2 + ?2>-j2l вне круга радиуса -А — гиперболического (суще-
л ^ л у
ствует два семейства характеристик).
Уравнение (9.136) внутри круга с радиусом -j можно
преобразовать в уравнение Лапласа. Это впервые было сделано Бу-
земаном.
Преобразуем уравнение (9.136) в уравнение Лапласа. Для
этого перейдем от координат т), ? к координатам %, ?х:
(9.138)
При этом круг радиуса -г = tg f* на плоскости г], ?
преобразуется в круг единичного радиуса на плоскости r|i,?i.
Перейдем теперь в плоскости %, ?i к полярным
координатам:
В результате такого преобразования координат уравнение (9.136)
примет вид
гт^2 r2 _ii \гл/ 1 Г2 __? i x _ о (9 139)
Для того чтобы получить уравнение Лапласа, преобразуем
радиусы-векторы по формуле
r = j~-^. (9.140)
— 271 —
При этом полярные углы 6 остаются без изменения, а круг
радиуса г=1 переходит в круг единичного радиуса е=1. В
результате подстановки (9.140) в уравнение (9.139) внутри
единичного круга (при е < 1) получим уравнение Лапласа в полярных
координатах
Аналогичные уравнения могут быть получены для
составляющих скорости vy и vz. Следовательно, составляющие
скорости v'xy v'y, v'z внутри конуса возмущения являются решениями
уравнения Лапласа в двух измерениях в плоскости е, 0.
Введем комплексную переменную х=ге1Ь. Для точек,
расположенных внутри конуса возмущения (внутри единичного круга
в плоскости т), е<1.
Из уравнения (9.141) и подобных уравнений для vy и
^следует, что составляющие скорости v'x, vy, vz при е < 1 можно
рассматривать как действительные или мнимые части
аналитических функций комплексного переменного x=zeib.
Введем некоторую аналитическую функцию комплексного
переменного /(т). Предположим, что составляющая скорости
v'x определяется величиной действительной части функции:
v' = д.ч 1 / (т). (9.142)
Км^-1
Тогда
" — 1 (», + is)> (9-143)
где
s — мнимая часть функции /(т).
Можно показать, что функция комплексного переменного
со(т), равная vz+iv'y, также может быть выражена через
функцию /(т):
со (т) - v'z + ivy = - ~ J (т df + -L df\, (9.144)
где
/ и х — сопряженные с / и х величины Q=vx—is, x=ee-iB).
Следовательно, определение составляющих скорости
возмущения vXy Vy, v'z внутри конуса возмущения сводится к
отысканию одной аналитической функции комплексного переменного
/(т). Эта функция может быть найдена, пользуясь граничными
условиями задачи.
— 272 —
§ 9. 12. Определение аэродинамических
характеристик треугольного крыла с
дозвуковыми передними кромками
В качестве примера рассмотрим обтекание треугольного крыла
нулевой толщины с дозвуковыми передними кромками при малом
угле атаки. В этом случае крыло располагается внутри конуса
возмущения (рис. 9.40). В
пересечении крыла с
плоскостью х = 1 получим
прямую параллельную оси
О? и отстоящую от начала
координат на малое
расстояние, равное 1 • а. Для
упрощения задачи с
точностью, принятой в
линеаризованной теории,
можно принять, что на
плоскости х = 1 крыло
изображается отрезком
оси О?.
Напишем граничные
условия задачи. На
поверхности конуса
возмущения (на круге
радиусом е~1) vx=vy=vz = 0.
Тогда из выражения
(9.142) следует, что при
8 = 1
д.ч/(т)=0. (9.145)
На поверхности крыла
суммарная нормальная
составляющая скорости
равна нулю. Поэтому нормальная составляющая скорости возмущения
должна быть равна проекции вектора скорости набегающего потока
на нормаль к поверхности (Уоо«), т. е. можно принять v'y = const.
Из формулы (9.144) следует, что
Рис. 9.40. К методу конических течений
v'y = м.ч. со (т) = м.ч.
Г— jNidf + 4-d/YI.
Если принять, что крыло изображается на плоскости
комплексного переменного т отрезком действительной оси, то для
точек поверхности крыла т = т = е.
Ю Зак. 801 — 273 —
Из выражения (9.143) получим
df=(dvx+ids)V№oo-l,
-i^e-j-ys= const
Тогда
Ввиду того что это условие должно выполняться для
любого значения е, отсюда следует, что ds=0.
Поскольку функция s определяется с точностью до
постоянной величины, то можно принять, что s = 0. Это означает, что
мнимая часть искомой функции /(т)
на поверхности плоского крыла
равна нулю:
ч—>-
\ -ъ
\
©
м.ч./(т)=0.
(9.146)
/
/
/
Следовательно, для решения
задачи мы должны найти
аналитическую функцию в плоскости
комплексного переменного т,
действительная часть которой обращается
в нуль на круге радиуса е = 1, а
мнимая часть равна нулю на от-
резке действительной оси — Ь <
< е< + b (рис. 9.41).
Подставляя г = Ь в формулу (9.140), перейдем к плоскости
6
Рис. 9.41. Изображение крыла
на плоскости комплексного
переменного
г = ¦
2b
На действительной оси на плоскости T)id/•=?!• Здесь
можно выразить через С (9.138):
где
Тогда
tgX
2b
= 1.
(9.147)
— 274 —
Обозначая по-прежнему параметр стреловидности —tg
через пу получим
26 ___
п 1 + &2~-
Величину Ь можно определить из уравнения (9.147). Не
останавливаясь на аналитических выкладках, укажем, что граничным
условиям (9.145) и (9.146) удовлетворяет следующая функция
комплексного переменного:
(9.148)
где
Е(к') — полный эллиптический интеграл второго рода, а
K,=Vn^±; (9149)
а — угол атаки;
у — угол, характеризующий стреловидность, равный-| — %.
Зная функцию /(т), можно определить составляющие
скорости возмущения vx (9.142), v'y и vz (9.144).
На поверхности крыла мнимая часть функции f(x) равна
нулю (9.146), а т = 8. Поэтому из выражения (9.142) следует,
что на поверхности крыла
V a tg 7 1 JL ?2
^ = ± % у 1 + ^ , • (9Л50)
где знак минус принимается для точек нижней поверхности,
а плюс — для верхней.
Для произвольной точки на крыле /- = ?! = Vm^ — 1 g, a
=tgG (см. рис. 9.40). Тогда г = VМ1>— 1 tg в:
Подставляя выражение г в формулу (9.140), найдем
-1 tg6. (9.151)
Учитывая выражение (9.147) и (9.151), формулу (9.150) для
определения vx можно представить в следующем виде:
— 275 — 10*
В этом случае коэффициент давления
~р=±—rv^ ¦ (9153>
Из формулы (9.153) следует, что коэффициент давления при
прочих равных условиях зависит только от угла 0. Это означает, что
вдоль одного и того же луча, проведенного из вершины крыла,
давление постоянно. Кроме того, коэффициент давления на поверхности
треугольного крыла с дозвуковой передней кромкой вблизи передней
кромки @ -» у) по абсолютной величине неограниченно возрастает.
В центральном сечении крыла @ — 0) разность (рн — Рв) имеет
минимальное значение.
С увеличением числа Моо(Моо<С —-) при заданном угле
стреловидности параметр стреловидности п уменьшается. Уменьшается
при этом и величина /с', а функция Е(к') возрастает. Тогда из
формулы (9.153) следует, что в каждой точке как нижней, так и
верхней поверхности коэффициент давления при увеличении Моо по
абсолютной величине уменьшается.
Найдем суммарные аэродинамические коэффициенты.
Элементарная подъемная, сила, действующая на элементарную
площадку, показанную на рис. 9.40, равна
Подставляя в формулу (9.154) выражение (9.153) и интегрируя
при 0 < 0 < y, получим суммарную подъемную силу:
V 1~(,tgT;
Отсюда найдем коэффициент подъемной силы:
2к
Су - 57,3 Е(к') ' (
Из формулы (9.155) следует, что при уменьшении угла у
(увеличении угла стреловидности X) коэффициент подъемной
силы треугольного крыла с дозвуковой передней кромкой
уменьшается.
На рис. 9.42 приведены кривые изменения с°у в зависимости
от числа Моо для дозвуковой передней кромки (9.155) при раз-
— 276 —
личных углах стреловидности и сверхзвуковой передней кромки
(9.84).
При дозвуковой передней кромке (Моо<-57т) из Ф°РМУЛЫ
(9.156) следует
57'3 -к *(П
_. _ _ _
1-
m
1
\\
\г
\
\
л=зо°
\
у
^^
•-1+0°
у
•*—
=
—
1
9.42. Зависимость с для треугольного крыла от
при дозвуковой и сверхзвуковой передних кромках
Здесь к' определяется по формуле (9.149). Поэтому
Отсюда следует, что при дозвуковой передней кромке
Кривая зависимости сау V М|>— 1 —?- от отношения р-^
представлена на рис. 9.43.
Найдем величину коэффициента волнового сопротивления.
— 277 —
При сверхзвуковой передней кромке коэффициент
сопротивления крыла, обусловленный подъемной силой, равен проекции
нормальной силы на на-
$ZJ \1м2 _„ пяф правление скорости
невозмущенного потока:
Если передняя кромка
дозвуковая, то, так же как
и в дозвуковом потоке,
происходит перетекание
воздуха через кромку с
нижней поверхности на
верхнюю. Это вызывает
разрежение в] области
передней^ кромки.
Обусловленная" разрежением сила,
называемая
подсасывающей, приводит к
уменьшению сопротивления крыла:
/
А
/
/
У
/
Рис. 9.43. Характер зависимости
4
<, от отношения-^-L
У tgp.
Сх=суа — CF,
где
.ж? — коэффициент подсасывающей силы.
Для треугольного крыла коэффициент подсасывающей силы
можно определить по формуле
— м* cos*
cos!
(9.157)
—/4)
Из формулы (9.157) вид- О,ов
но, что
0,06
tg*' с2у ~i V tgi
Такая зависимость
представлена на рис. 9.44.
При дозвуковой
передней кромке
cF=f=O. При
* cos X
1
тт)
'—-^
rj~ooatgx = b
0,2
0,6 0,8 10
tgx
Рис. 9.44. К определению
коэффициента подсасывающей силы
00 cosX
(звуковая передняя кромка),
коэффициент подсасывающей силы равен нулю.
Опыт показывает, что действительная подсасывающая сила
значительно меньше расчетной, в особенности при больших углах атаки.
— 278 —
Это объясняется тем, что при подобных углах в окрестности
передней кромки происходит местный срыв потока, после чего дальнейший
рост разрежения прекращается. Чем меньше радиус кривизны носка,
тем сильнее выражается это явление.
Приведенные выше рассуждения показывают, что при одинаковом
значении коэффициентов подъемной силы у крыла с дозвуковой
передней кромкой коэффициент сопротивления меньше, чем у крыла
со сверхзвуковой.
Поскольку вдоль любого луча, проведенного из вершины крыла,
давление постоянно, то центр давления треугольной пластины
совпадает с центром тяжести треугольника:
Тогда коэффициент момента относительно
проходящей через вершину крыла,
М 2
т — ^= р
[Sb0
продольной оси z,
(9.158)
ЗАДАЧИ
1. Определить величину угла боковой кромки у, при котором для Моо>1,5
не сказывается влияние концов крыла (рис. 9.45).
2. На поверхности крыльев, изображенных на рис. 9.46, показать области
с различным характером возмущенного движения при сверхзвуковой
передней кромке (рис. 9.46, а, .
9.46, б), а для прямоуголь- \v \v
ного крыла (рис. 9.46, в) — т * °
при выполнении условия q)
Рис. 9.45. К решению задачи 1
Рис. 9.46. К решению задачи 2
3. Не вычисляя давление на поверхности крыла (рис. 9.46, б), показать
характер распределения нагрузки по размаху при условии, что передняя
кромка сверхзвуковая.
— 279
4. Нарисовать характер распределения нагрузки (рн — рв) по размаху
треугольного крыла (с = 0) со сверхзвуковыми кромками в прямом и
обращенном движении (рис. 9.47). Не вычисляя суммарных аэродинамических
характеристик, показать, что коэффициенты
подъемной силы и сопротивления для этих
крыльев одинаковы.
Рис. 9.47. К решению задачи 4
Рис. 9.48. К решению
задачи 5
5. Пользуясь формулами для определения коэффициента давления на
поверхности треугольной пластинки со сверхзвуковыми передними кромками,
найти коэффициент подъемной силы крыла, приведенного на рис. 9.48, при
Моо = 3х=60°; XI = 30°.
Рис. 9» 49. К решению задачи 6
6. Для качественной оценки влияния стреловидности задней кромки на
величину коэффициента подъемной силы сравнить при прочих равных
условиях су крыльев, изображенных на рис. 9.49, с величиной коэффициента су
треугольного крыла со сверхзвуковыми передними кромками.
7. Найти отношение подъемной силы треугольного и прямоугольного
крыльев, имеющих одинаковые площади в плане, длину размаха /. Кроме
того, при этом выполняется следующее условие: lV М^ — 1>4Ь, где b —
хорда прямоугольного крыла.
Глава X
ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
§ 10. 1. Уравнение неразрывности
в цилиндрических и сферических координатах
При исследовании обтекания тел вращения положение точки
в окрестности тела удобно определять в цилиндрических, а иногда
и в сферических координатах.
Выведем уравнение неразрывности в цилиндрических
координатах. Рассмотрим произвольную точку А (рис. 10.1) с координатами
Рис. 10.1. Составляющие местной скорости потока
в цилиндрических осях координат
ху г и 6, где г— расстояние точки от оси тела вращения, г =
= Vy2 + z2, а 6 — угол, определяющий положение меридиаль-
ной плоскости 0 = arctg-^. Выделим в окрестности этой точки
бесконечно малый фиксированный в пространстве объем, образованный
тремя парами смежных координатных поверхностей, равный rdQdrdx
(рис. 10.2).
зак. 801
— 281 —
Для неразрывного течения разность между количеством газа,
вытекающего из этого объема за некоторый промежуток времени,
и количеством газа, втекающего в этот объем, равна изменению массы
внутри объема за тот же промежуток времени.
Количество газа, втекающего в элементарный объем через
грань ABCD за единицу времени, равно pvxrdrdQy а
вытекающего через противоположную грань EFGH равно р
IP х [
_1
х \
Тогда разность между количеством вытека-
Рис. 10.2. К выводу уравнения неразрывности в
цилиндрических осях координат
ющего и втекающего газа через рассматриваемый объем в
направлении оси х равна
^ffLdxdrdb. (ЮЛ)
Аналогично подсчюывается разность между количеством
вытекающего и втекающего газа в направлении других осей
координат.
Количество газа, протекающего в направлении оси г через
грани AEHD и BFGC, соответственно можно записать
pvrdxrdQ и
разность между ними
№rrh dxdrdQ. A0.2)
Количество газа, протекающего через грани ABFE и DCGH,
соответственно равно pv^dxdr и рг^в Ч—ТЙР"^ dx dr, а раз-
ность
э(рр°) dxdrdQ.
A0.3)
— 282 —
Складывая выражения A0.1), A0.2) и A0.3), находим
изменение количества газа в элементарном объеме:
(Ю.4)
С другой стороны, изменение массы газа, заключенной в этом
объеме, за единицу времени равно
— ^rdxdrdb. A0.5)
Приравнивая выражения A0.4) и A0.5), находим
д9 d(9vxr) d(Pvrr)
r di + ~Тх— + ~чг~
Уравнение A0.6) представляет собой уравнение неразрывности
в цилиндрических координатах для произвольного
пространственного неустановившегося течения газа.
Для установившегося течения газа -^ = 0, и, следовательно,
уравнение неразрывности примет вид
d(?vxr) . d(pvrrj , д(?иь) _ п ПП7,
~~дх~ +~дГ~ + ~Ж~ ~и* • Iю-''
Рассмотрим частный случай этого уравнения в применении к так
называемому осесимметричному течению. Осесимметрич-
ным называется течение, обладающее
симметрией относительно оси тела (оси х). В этом
случае течение газа во всех меридианных плоскостях будет
одинаковым, и движение газа можно изучать как плоское в одной из
меридианных плоскостей. Всякий поток, обтекающий тело вращения
под нулевым углом атаки, является осесимметричным. Очевидно,
что в таком потоке проекция вектора скорости на направление,
перпендикулярное к меридианной плоскости, равна нулю (vq = 0)
и все параметры потока зависят лишь от координат х, г, т. е.
о-
В этом случае уравнение неразрывности A0.7) для
установившегося осесимметричного потока газа в цилиндрических
координатах примет вид
^fl) + ^)=0. 00.9)
Аналогично можно вывести уравнение неразрывности в
сферических координатах г, 0, д (рис. 10.3), где г — расстояние точки от
начала координат (вершина тела вращения), 0 — угол между
радиусом-вектором г и осью х9 совпадающей с осью тела вращения,
— 283 — ЮВ*
Ф — угол между проекцией радиуса-вектора на плоскость уг и
осью у.
Координаты х, г/, z можно определить по следующим формулам:
x=r cos 0, y=r sin б cos -0, z=r sin 0 sin д.
Обозначим составляющие вектора скорости в сферических осях
координат через vr — вдоль радиуса-вектора, vQ — перпендикуляр-
Рис. 10.3. Составляющие местной скорости
потока в сферических осях координат
но радиусу-вектору в меридианной плоскости, d -= const, v& —
перпендикулярно к меридианной плоскости. В качестве
элементарного объема рассмотрим бесконечно малую ячейку, образованную
тремя парами смежных
координатных
поверхностей (рис. 10.4).
Тогда разность между
количеством газа,
протекающего через
противоположные поверхности
выбранного элементарного
объема за единицу
времени, равна:
через грани ABCD и
EFGH
Рис. 10.4. К выводу уравнения
неразрывности в сферических координатах
через грани AEHD и BFGC
через грани AEFB и DHGC
д{
dQdrd®.
A0.10)
A0.11)
A0.12)
._ 284 —
Складывая выражения A0.10), A0.11) и A0.12), получим
изменение количества газа, заключенного в элементарном объеме:
*. A0.13)
С другой стороны, изменение массы газа, заключенной в этом
объеме, за единицу времени равно
— d?r2dQdrsinQd$. A0.14)
Приравнивая выражения A0.13) и A0.14), получим уравнение
неразрывности в сферических координатах:
а для установившегося движения
d (pvr г2) .
~sm
A0.1b)
В случае установившегося осесимметричного потока (иъ = 0)
Напишем уравнение неразрывности применительно к осесим-
метричному обтеканию конуса при нулевом угле атаки в
сферических координатах. В этом случае v& = 0, а другие составляющие
скорости vr и vq и плотность зависят только от угла q. Поэтому
уравнение A0.17) можно записать в следующем виде:
Течение около конуса за скачком является изэнтропичес-
ким, так как при переходе через скачок уплотнения по всем
линиям тока энтропия возрастает одинаково. Тогда плотность
в зависимости от скорости можно определить по формуле
для изэнтропического течения:
L
1Л v2
Р —Poll—^5
Пользуясь формулами
— 285 —
найдем
]_ dp__ _v_r_ dvr Щ dvb
p d® ~~ a2 db ~ a2 db '
Подставляя полученное выражение в A0.18), получим уравнение
неразрывности для случая осесимметричного конического
потока:
(vl \ dvb vr vu dvr
§ 10. 2. Уравнения для потенциала
скорости в цилиндрических координатах
Рассмотрим потенциальное течение газа вокруг тела
вращения, т. е. течение, в котором отсутствуют компоненты вихря
((дх=(йу=(йг=0). В этом случае существует потенциал скорости
ф=ф(л;, г, 6), связанный с проекциями скорости следующими
формулами:
A0.20)
Как известно (§ 6.1), условием потенциальности газового
потока является неизменность полной энергии i0 и энтропии s при
переходе от одной линии тока к другой. Это условие выполняется
в изэнтропическом течении газа. Если пренебречь влиянием
вязкости, то таким свойством обладает поток, обтекающий тело
вращения с дозвуковой скоростью. Изэнтропическим является поток и за
прямым или косым скачком уплотнения. В этом случае энтропия
при переходе через скачок уплотнения, изменяясь за одну и ту
же величину по всей длине скачка, остается за ним постоянной,
а поток — потенциальным.
При обтекании тела с криволинейной образующей сверхзвуковым
потоком возникает криволинейный скачок уплотнения. При этом
изменение энтропии в скачке уплотнения для разных линий тока
различно. Поэтому поток после скачка уплотнения — изэнтропи-
ческий вдоль одной и той же линии тока и неизэнтропический во
всей области за скачком. В этом случае за криволинейным скачком
поток становится вихревым.
— 286 —
При обтекании тонких тел вращения, установленных под малым
углом атаки, изменение энтропии при переходе через скачок
уплотнения мало, и, следовательно, влиянием завихренности потока за
скачком можно пренебречь. Исследования показывают, что
изменение энтропии необходимо учитывать лишь тогда, когда параметры
возмущенного потока определяются с точностью до малых величин
третьего порядка, т. е. когда рассматриваемый поток сильно
отличается от линеаризованного.
Уравнение для потенциала скорости можно получить,
используя уравнение A0.7). Запишем его в следующем виде:
д (pvx)
В результате дифференцирования находим
до , до , 1 др .
fdvx dvr 1 dva vr\
Выразим в уравнении A0.21) производные от плотности
сР Ш чеРез составляющие скорост
чае плотность р = р(ху г, 0), поэтому
р
сГ'сР Ш чеРез составляющие скорости vx, vrt vb. В общем
слуdo 1
С другой стороны, dp = -j-dp, или dp = —% dp. Для
определения dp запишем уравнение Бернулли в дифференциальной
форме:
dp = — Р^( у)»
или
Используя формулы A0.22) и A0.23), находим
др л | ^Р л i д? ла Р fdv2 л . dv2
?dx+-?dr + ?ddQ = -?t(S7dx + -SF
— 287 —
В полученном выражении приравняем коэффициенты при
dx, dr, dQ:
др
дх
др
Tr
до
p dv2
2а2 дх
р_ dv^_
2а2 дг
р dv2
~2а2 W
A0.24)
Тогда
д±
дх
до
р ( dvx dvr
a2 \ x dx ' г 5л:
'дх
dvi
Значения производных плотности подставим в уравнение A0.21),
После несложных преобразований получим
(°* -^ ТХ +&-«2) ^ + (vа2 - о»)г we 4-
A0.25)
Для нахождения искомого уравнения потенциала скорости
в A0.25) подставим выражения vx, vr и vq из A0.20). Тогда
w - ->э+w - *>?
V
—.
'dxdr
4- 9 г в 4- 9 —
~т~ г дгдв ^ L г дхд*
A0.26)
Для осесимметричного течения A0.8) уравнение потенциала
для скорости имеет вид
_^ + W-^?? + 2I.,.,Sb-^.'-0. (Ю.27)
Уравнения A0.26) и A0.27) являются нелинейными
дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка.
— 288 —
§ 10. 5. Граничные условия
Для определения решений уравнений A0.26) и A0.27)
применительно к обтеканию заданного тела вращения потоком газа со
сверхзвуковой скоростью необходимо задать граничные условия на
границе невозмущенного и возмущенного потоков и на поверхности
обтекаемого тела.
На границе невозмущенного и
возмущенного потоков скорость равна скорости
набегающего потока. Это условие в дозвуковом потоке
заменяется условием на бесконечности.
На поверхности тела вращения вектор скорости
перпендикулярен к направлению Нормали, ^сли поверхность обтекаемого тела
задана уравнением] "
то направление нормали в данной точке, как известно,
определяется градиентом функции F(x, r> 0). Тогда безотрывность
обтекания означает равенство нулю скалярного произведения
двух векторов скорости v = i± vx+ i2 vr + i3 ^e и градиента
функции F (x, r, 0):
т. е. (grad F, v) = 0, или, раскрывая скалярное произведение,
будем иметь
d/v +dF dF ^
uX UT Ov
Для тела вращения, ось симметрии которого совпадает с осью х
выбранной системы координат, ^-=0 и условие A0.28)
примет вид
— 4-— — 0
откуда
Нетрудно убедиться, что правая часть выражения A0.29)
представляет собою тангенс угла наклона касательной к образующей
— 289 —
dr
dx "
dF
дх
dF'
дг
тела вращения, т. е. j . В самом деле, на поверхности тела вращения,
уравнение которого задано в виде F(x> г) = О,
откуда
EL
A0.30)
Тогда, приравнивая выражения A0.29) и A0.30), получим гра-
'ничное условие на поверхности тела вращения:
^=-Г, A0.31)
vx dx' v '
ИЛИ
дг "~ дх dx'
§ 10. 4. Уравнения для функции тока
осесимметричного течения
Рассмотрим осесимметричный потенциальный поток, обтекающий
произвольное тело вращения. Из уравнения A0.9) следует, что
v >
Условие A0.33) означает, что для осесимметричного потока наряду с
потенциалом скорости <р (*, г) можно ввести еще и функцию тока. Для
удобства представим ее в виде р0<]>(*, г), где р0 — плотность газа при v = 0.
Полный дифференциал .этой функции, как следует из выражения A0.33),
podty(x, r) = pvxrdr— pvrrdx. A0.34)
С другой стороны,
поэтому
— 290 —
откуда
A0.35)
Vx~ г р дг
I Po dty
Покажем, что вдоль линии тока функция ф (х, г) сохраняет постоянное
значение. Подставляя в дифференциальное уравнение линии тока — = —
vx vr
выражения для vx и vr, из формул A0.35) получим
т. е. вдоль линии тока
dty = 0, или ф (х, г) = const.
Таким образом, в плоскости (#, г) имеется семейство линий тока
ф(*, г) = const и семейство эквипотенциальных линий ср (х, г) = const. Эти
два семейства взаимно ортогональны. Для доказательства приравняем
выражения vx и vr из формул A0.20) и A0.35):
дх ~ г р дг1
?1 _ __ I?o?i
дг ~~ ~ г р дх'
Тогда
Условие A0.36) и означает ортогональность двух семейств кривых:
ср = const, ф = const.
Получим дифференциальное уравнение функции тока ф. Для этого
используем условие потенциальности осесимметричного течения:
d^r dvx
tx-w = q- A0-37>
Подставим в A0.37) выражения vx и уг из формул A0.35). После
сокращения на р0 имеем
±(±\L(±
дх{грдх)^~дг[гр
Произведя дифференцирование, найдем
ар ар
Производные ^ и ^, входящие в уравнение A0.38), можно определить
по формулам A0.24), подставляя в них следующее выражение:
1 (Ро\2 г/аф\
— 291 —
Тогда в результате несложных преобразований получим
^=^[" dx+T[vr~d&-°* dxdrjy
до 1 Г / д?\ ( d2i>
dp dp
Решая эту систему уравнений относительно g^ и ^, будем иметь
д2 ф _
д
а»-и*
д2<\>
Подставляя выражения A0.39) и A0.40) в уравнение A0.38), после
некоторых преобразований находим искомое уравнение для функции ф:
Полученное уравнение является нелинейным дифференциальным
уравнением в частных производных второго порядка. В отличие от уравнения A0.27)
коэффициенты уравнения A0.41), зависящие от скорости потока, как это
следует из формул A0.35), не могут быть выражены в явном виде через
функцию тока и ее производные.
§ 10. 5. Линеаризованное уравнение
для определения потенциала скорости
Как известно, нелинейные дифференциальные уравнения типа
A0.26) и A0.27) не имеют общих методов решения. Однако при
известных условиях эти уравнения могут быть упрощены. Такое
упрощение возможно, например, при исследовании аэродинамики тонких
тел вращения, установленных под малым углом атаки. В этом случае
линии тока незначительно отклоняются от линий тока
невозмущенного потока, т. е. возмущенный поток мало отличается от
невозмущенного. Поэтому при исследовании обтекания тонких тел
вращения уравнения A0.26) и A0.27) можно привести к линейному виду,
применяя метод линеаризации.
Слабовозмущенный поток, характеризуемый линейными
дифференциальными уравнениями, как известно, называют
линеаризованным. Параметры линеаризованного потока незначительно от-
— 292 —
личаются от параметров невозмущенного потока. Поэтому их можно
представить в следующем виде:
Vx = ^оо + Vx
Vr = v'r
VB = Vq
P= Poo+P'
P= Poo+p'
A0.42)
где
t^oo» Poo, Poo, ^oo — параметры невозмущенного потока;
v'x, v'r, щ,р , p', a' — параметры потока возмущения, квадратами
которых в линеаризованной теории можно
пренебречь.
Вследствие потенциальности потока имеем
ду
дх'
где
Ф (л:, г, 6) и ф' (х, г, 0) — соответственно потенциал суммарной
скорости потока и потенциал скорости
возмущения.
Для приведения уравнений-A0.26) и A0.27) к линейному виду
необходимо провести линеаризацию коэффициентов этих
уравнений. Так как vx — v^ + vx, то из условия линеаризации имеем
V2X= vlo + 2 Уоо Vx,
v2 = vi> + 2vozv'x.
Для скорости звука можно записать следующие выражения:
откуда
Тогда
а2 = alo — (к — 1) t>oo Vx.
(vl-a?) = vl-a2O0 + (к+ l)i
— 293 —
Аналогично производится линеаризация других
коэффициентов уравнений:
vf — a2 = —a^ + (K—l)Voo v'x,
v$ — а2=--—а^ + (к — 1) ^oo vx,
vx vr = t^oo v'r,
Vr Vq = Vr Vb,
vxvd = Уоо^е,
2 2 ' 2 '
a vr = a vr = aoo ?V-
После подстановки линеаризованных значений
коэффициентов в уравнение A0.26), имеем
[vL — alo + (к + 1) 0oot>'J -Qp + [— с&> + (к — 1) Уоо vr] -фг +
+ [—al + (к— Vvoov'x]
В уравнении A0.43) можно пренебречь членами, содержащими
произведения Ъ^г, ^-g^, 0* аР"' °га^' щШъ* так как ВТ0"
рые производные потенциала скорости q/ так же малы, как и
первые производные. В результате получаем линейное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
или
-^а- -t-72 ае2 "^7аг" ~~ U)
где
Моо = ^, ф' = ф'(*,/%-6).
"оо
Для осесимметричного потока уравнение A0.44) примет вид
(•-иа^+ЗЧ1*-!). 00.45)
Введем следующие обозначения:
-, 294 —
Тогда уравнения A0.44) и A0.45) можно записать в таком виде:
A _ м^) ф^ + Фгг + ^г + — = 0» A0.46)
A м?>)ф** + фгг + — = 0. A0.47)
§ 10. 6. Обтекание тонких тел вращения
при малых углах атаки
Рассмотрим обтекание произвольного тела вращения,
представленного на рис. 10.5. Введем цилиндрические оси координат. В
каждой точке в окрестности тела скорость потока можно разложить на
Рис. 10.5. Составляющие скорости невозмущенного потока
в цилиндрических осях координат
три составляющие: вдоль осей х> г и нормальную к меридианной
плоскости. Эти составляющие скорости можно представить в
следующем виде:
Dx = Voo cos a + v'x, vr = ^оо sin a cos 6 -\-v'r,
vq = — г^оо sin a sin 0 + Щ>
in a cos 0, vb^ =—Уоо sin a sin0
— проекции скорости невозмущенного
потока,
vx = "—-у 4vr = 4-> ^0= —Чк— составляющие скорости
возмущения.
— 295 —
где vXo0 =
, vroo =
^
Потенциал скорости возмущения ф' (х> г, 6) удовлетворяет
уравнению A0.46). Так как при малых углах атаки coscc^l,
sina^ a, то
о* = Poo + vx, vr = ^oo a cos 6 + vr, v$ = — ^oo a sin 6 + v'b.
Отсюда видно, что проекции скорости невозмущенного потока на
направление оси г и нормали к меридианной плоскости (vn vb)
при малых углах атаки малы (по величине одного и того же порядка,
что и составляющие скорости возмущения). Вследствие этого
квадратами этих величин в пределах применимости линеаризованной
теории можно пренебречь.
Представим потенциал скорости возмущения ср' в виде суммы
двух функций:
ф' (х, г, 6) = фо (*, г) + <р\ (х, г, 6), A0.48)
<р'о(х,г) — потенциал скорости возмущения при осесимметрин-
ном обтекании тела вращения со скоростью потока,
направленной вдоль оси тела. Функция фо
удовлетворяет уравнению A0.47);
Ф1 (х, г, 6) — потенциал скорости возмущения, который учитывает
нарушение осевой симметрии при a =f= 0.
Функция ф1 удовлетворяет уравнению A0.46). В этом можно
убедиться, подставив в A0.46) вместо функции ф' сумму фо+ Фь
I (М*о — 1) ф'о„ — фОгг — ^ + (Mi — 1) ф#1 хх — <р\гг —
В полученном уравнении выражение, заключенное в первых
квадратных скобках, как это следует из уравнения A0.47), равно
нулю. Поэтому функция ф1 удовлетворяет уравнению A0.46):
Напишем граничное условие на поверхности обтекаемого тела
для функций ф, фо, Фь Граничное условие для потенциала
скорости возмущения ф' (х, г, 6) можно получить, подставляя
выражение для составляющих скорости при малых углах атаки
в условие A0.31):
V^ a COS 6 + vr dr
4-v' ~ dx*
v
— 296 —
Отсюда, пренебрегая произведением v'xt-9 имеем
v'r = ^oof^- — a cos 6 j,
или
Условие A0.49) удовлетворяется на поверхности тела
вращения. Тогда, учитывая, что <р (я, г, 6) = фо + Фь где фо не
зависит от угла 6, получаем граничные условия для функций фо
и ф'ь
dVo dr
v
1± = _ aooocose. A0.51)
Таким образом, для определения потенциала ф' при обтекании
тела вращения под малым углом атаки необходимо решить, по
существу, две задачи. Первая задача — обтекание тела при нулевом
угле атаки со скоростью ^oocosa, которую при малых углах а можно
принять равной скорости невозмущенного потока Уоо. В результате
ее решения определяется потенциал скорости возмущения <р'0(х, г).
Вторая задача — определение добавочного поперечного течения,
возникающего под действием составляющей скорости
невозмущенного потока, нормальной к оси тела, т. е.
Потенциалы возмущенного движения фо и <pl удовлетворяют
граничным условиям A0.50) и A0.51).
Необходимо подчеркнуть, что решение задачи обтекания тела
вращения при малом угле атаки путем наложения осевого и
поперечного потоков возможно вследствие линейности дифференциальных
уравнений A0.46) и A0.47).
§ 10. 7. Осесимметричное обтекание
тонких тел вращения
Рассмотрим обтекание тела вращения при a = 0 (рис. 10.6).
Для определения аэродинамических характеристик тонкого тела
вращения, /гак же как и для крыла, можно пользоваться методом
источников. В этом случае тело заменяется системой непрерывно
распределенных вдоль его оси источников и стоков. Поэтому потенциал
скорости в любой точке в окрестности тела вращения можно пред-
— 297 —
ставить в виде суммы потенциалов скорости невозмущенного потока
и потоков, вызываемых источниками и стоками, непрерывно
распределенными вдоль оси тела. Закон изменения интенсивности
источников вдоль оси должен быть таким, чтобы в результате
наложения невозмущенного потока на течение от источников одна из
линий тока совпала с образующей тела вращения.
Потенциал скорости возмущения, вызываемого источниками,
расположенными на элементарном отрезке оси тела вращения
Рйс. 10.6. Осесимметричное обтекание тела
вращения
можно определить по формуле (9.45), подставляя в нее
интенсивность источников q (|) d\ и расстояние точки от этого элемента
Vy2 + z2 = г. Тогда
_ 6J _(*?_!) ,2
Здесь I — координата источника.
Потенциал скорости возмущения для системы источников,
непрерывно распределенных вдоль оси х, в окрестности тела
вращения (х, г) при а=0 будет иметь следующий вид:
V(x- 6*)-К-
A0.52)
где пределы интегрирования определены из условия, что в
сверхзвуковом потоке на каждую точку воздействуют только такие
источники, которые попадают внутрь конуса влияния, проведенного из
рассматриваемой точки. Например, на точку А влияют источники,
расположенные только на отрезке OAi, где А1 — точка
пересечения линии возмущения, проведенной из точки А в сторону, обратную
направлению скорости невозмущенного потока, с осью тела
вращения. Поэтому
= x-rVM*-l.
0<KlAl> a
DAt
¦ 298 —
Для определения интенсивности источников q(Q можно
воспользоваться условием безотрывного обтекания.
Зададим уравнение образующей тела в виде
г = го7(х), A0.53)
где
г0 — некоторая малая величина, характеризующая толщину
тела вращения (в качестве г0 можно принять радиус миде-
левого сечения или угол полураствора конуса);
г (х) — относительный радиус произвольного сечения тела,
равный r_w
Отсюда
dr _ ^ dT(x)
dx Г° dx
Подставляя выражение для ~ в условие безотрывного
обтекания A0.49) при а = 0, получаем
^УсоГо^. A0.54)
В выражении A0.54) правая часть задана. Выразим
радиальную составляющую скорости на поверхности тела v'r через
неизвестную интенсивность источников q(x). Учитывая, что vr =
= у-, где ср' определяется по формуле A0.52), получим
У(х— ?J —(М2 — 1)г2
Дифференцирование функции ф' по г затрудняется тем, что
верхний предел интеграла — величина переменная, а
подынтегральная функция у верхнего предела стремится к
бесконечности. Поэтому введем новую переменную интегрирования:
ch г = —*~е , A0.55)
или
г = arch
тогда
» — 1 sh <г^2: J
— 299 —
а новые пределы интегрирования:
arch * >z>0.
В новых переменных функция ф' и составляющая скорости vr
будут иметь вид
о
ф'(*,,-)=1 f q{x — rVlA2OQ-\Qhz)dzy A0.57)
t X
arch —=
] -l chz)dz |. A0.58)
arch ^3==-
В результате дифференцирования, полагая интенсивность
источника на вершине тела вращения равной нулю, получаем
л:
q' {x — rVMl— I chz)chzdz,
arch-
где
q' — полная производная от интенсивности q по аргументу
—l chz).
Возвращаясь к старым переменным |, находим
v = ?SL -= J_ Г g'(i)(x-Z)di A0.59)
Приравнивая выражение A0.54) и A0.59), получим
интегральное уравнение для определения неизвестной функции ^(х):
f ^FH^-6)d6 ^grtf^rgTg-. A0.60)
Рассмотрим решение задачи применительно к весьма тонким
телам вращения (/*-» 0) и умеренным сверхзвуковым скоростям.
— зоо —
При этих условиях интервал интегрирования для точек
поверхности почти совпадает с отрезком 0 <; ? < х, а значение интеграла
!
для точек поверхности мало отличается от ее предельного
значения при г -> 0:
lim
г-> 0
Образующая тела
Вращения
Рис. 10.7. Кривая изменения интенсивности
источников вдоль оси тонкого тела вращения
с произвольной образующей
Подставляя в формулу A0.59) вместо действительного
значения интеграла его предельное значение при г -> 0, получим
приближенную формулу для определения радиальной составляющей
скорости vr в любой точке на поверхности тела:
л- ?М
ИЛИ
Vr (X, Г) =
2icr0r (x)
A0.61)
Подставляя приближенное выражение интеграла в уравнение
A0.60), получим закон изменения интенсивности источников вдоль
оси весьма тонкого тела вращения:
*)*W. A0.62)
— 301 —
Следовательно, интенсивность источника в данной точке
пропорциональна произведению г (х) rJ^ •
На рис. 10.7 для качественной характеристики распределения
источников приведена кривая изменения интенсивности q(x) по
оси тонкого тела вращения. Зная распределение источников,
можно определить по формуле A0.52) потенциал скорости
возмущения ф' (х, г), поле скоростей (vXl v ) в окрестности и на
поверхности тела вращения [путем дифференцирования выражения A0.52)
по л: и г], а также распределение давления по поверхности тела.
По распределению давления можно определить волновое
сопротивление тела вращения. Коэффициент волнового сопротивления,
отнесенный к площади миделевого сечения тела,
(Ю.63)
где_
р— коэффициент давления;
Лйид — радиус миделевого сечения;
/— длина тела.
§ 10. 8. Обтекание конуса
при нулевом угле атаки
Применим полученные формулы к расчету аэродинамических
характеристик конуса с малым углом полураствора бд. при нулевом
угле атаки. Из рис. 10.8 следует, что
r(x) = Qkx. A0.64)
Сравнивая выражения A0.53) и A0.64), замечаем, что
/-0^6/с, F(x) = x. A0.65)
Подставляя выражение A0.65) в формулу A0.62), получим
изменение интенсивности источников вдоль оси конуса при а=0:
Q2Kli A0.66)
или, переходя к переменным z A0.56), получим
q = 2rtt>oo6j?(* — rVlAlo— I chz). A0.67)
— 302 —
Для определения потенциала скорости возмущения ср' можно
воспользоваться формулой A0.57), подставляя в нее вместо
интенсивности q выражение A0.67):
о
(х — rVM2oo— I chz)dz.
Г
arch-
р =const
Рис. 10.8. Составляющие скорости потока
по поверхности конуса
В результате интегрирования имеем
Л2 Г Х
Ф = — ^оо 6/с Ararch ~
Потенциал скорости суммарного потока равен
где
A0.68)
— потенциал скорости невозмущенного потока.
Найдем проекции скорости возмущения по осям координат:
vx = —v<x> 6* arch
A0.69)
Составляющие скорости потока можно определить из
выражений
Vr = Or.
— 303 —
Следовательно, составляющие скорости потока в любой точке
в окрестности круглого конуса при нулевом угле атаки,
заданной скорости Voo и угле полураствора конуса 0* зависят только
от отношения координат —, т. е. скорость потока постоянна по
величине и направлению вдоль любого промежуточного конуса
с вершиной в точке О и осью, совпадающей с осью обтекаемого
конуса.
Найдем давление на поверхности конуса. Коэффициент
давления равен
Подставляя в эту формулу выражение для vx A0.69), имеем
р = 20* arch J у. A0.70)
№ 1
X 1
На поверхности обтекаемого конуса - = ^-. Поэтому
A0.71)
Обратный гиперболический косинус при малых углах
полураствора конуса можно представить в следующем виде:
2
и 1 1
arch r = In
Тогда для определения коэффициента р получим следующую
приближенную формулу:
^2 , A0.72)
1
или
=r. A0.73)
Из формулы A0.70) видно, что коэффициент давления в
окрестности конуса зависит не только от числа Моо и угла полураствора 0К,
как при обтекании клина, ной от положения точки (-). На рис. 10.9
показан характер изменения давления при обтекании клина
(рис. 10.9, а) и конуса (рис. 10.9, б).
— 304 —
Сила волнового сопротивления X равна проекции вектора силы
давления на направление скорости невозмущенного потока.
Вследствие малости угла 6 волновое сопротивление может быть
представлено в следующем виде:
где
R — величина силы давления, равная pKqooSUOE.
Здесь qoo — скоростной напор невозмущенного потока,
5Пов—площадь поверхности конуса.
р = const s'
Р=0
Рис. 10.9. Кривые распределения
давления вдоль прямой, параллельной оси
х в области между скачком уплотнения
и поверхностью при обтекании клина
(а) и конуса (б)
Тогда
max
где
— радиус донного сечения конуса.
Но
И Зак. 801
пов
%=i.
max
— 305 —
Поэтому
Схв = Рк = 26* arch
A0.74)
На рис. 10.10 приведены кривые зависимости схв от числа
оо при 6Л=5-г20°, рассчитанные по приближенной формуле
A0.74) и по результатам точного решения задачи обтекания
конуса. Сравнение этих кривых показывает, что для расчета коэф-
0.3
0.2
0,1
^ —г
"\
— ;
— 2
0н=Ю°
м
Рис. 10.10. Кривые зависимости
коэффициента волнового сопротивления конуса от
числа Моо-'
/—по результатам точной теории', 2 — по
результатам линейной теории
фициента волнового сопротивления конуса схв с достаточной
степенью точности можно пользоваться приближенной формулой
A0.74) только при 6Л< 10°.
§ 10. 9. Определение подъемной силы
и волнового сопротивления тонкого тела вращения
при малом угле атаки
В § 10.6 было показано, что при а=^0 потенциал скорости
возмущения ф'(лс, г, 6) можно представить в виде суммы A0.48)
двух функций фо (х, г) и ф1 (х9 г, 6), удовлетворяющих
уравнениям A0.47) и A0.46).
— 306
Продифференцируем уравнение A0.47), соответствующее осе-
симметричному обтеканию тела, по координате г:
(М? — 1) ^(tp'oxx) — §~г (фогг) — Jr (j фОг) ~
После несложных преобразований имеем
дг
Сравнение уравнений A0.75) и A0.46) показывает, что
уравнению A0.46) удовлетворяет функция
v;=^°cosef A0.76.)
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой
выражения A0.76) в уравнение A0.46). В формуле A0.76) фо—функция,
удовлетворяющая уравнению A0.47). Поэтому для определения
ее можно воспользоваться выражением A0.52).
Подставляя в формулу A0.76) вместо производной
-^выражение A0.59) и заменяя производную q' (?) на КA), получаем
• i/m2 -1
г оо
W (?\ (у —— ?\ /У?
г '. A0.77)
(д; 5J /jVl^ l)r2
cos 6
Для определения неизвестной функции К(I) можно
воспользоваться граничным условием A0.51). Подставляя в A0.51)
вместо ф1 выражение A0.77), имеем
2кдг
= —avo
где
х и г — координаты точки на поверхности тела вращения.
В переменных z A0.55) это уравнение примет вид
1 д
71 дг
VlAlo— 1
arch -
1
0
I
X
l/m2 -
K(x-rVi
-1
— 307 —
М^— 1 ch z) ch г^г
11*
Отсюда, учитывая, что /С@)=0, получим
о
arch -
rVML-1 A0.78)
или, переходя вновь к переменным ?, имеем
(х _ ?J ft
=========== = 2ясш00/'2. A0.79)
к ^л — ?J— (М^—l)r2
о
Таким образом, для определения неизвестной функции К
необходимо решить интегральное уравнение A0,79).
После того как найдена функция К(х)у можно определить
потенциал скорости возмущения у\ (х, л 6), суммарный потенциал
скорости возмущения Ф=фо+Фь поле скоростей (vx, vr, vQ)
в окрестности и на поверхности тела вращения, распределение
давления по поверхности, подъемную силу и волновое
сопротивление.
§ 10. 10. Определение подъемной силы
и волнового сопротивления конуса
при малом угле атаки
Применим полученные формулы к расчету аэродинамических
характеристик конуса с малым углом полураствора 0К при малом
угле атаки а. В этом случае потенциал скорости возмущения
q/(;t, г, 6) можно представить в виде A0.48). Потенциал скорости
возмущения при осесимметричном обтекании конуса ф0 (ху г)
можно определить по формуле A0.68). Функцию ф1 (х, г, 0),
учитывающую нарушение осесимметричности обтекания при а=^=0,
можно найти по формуле A0.77), в которой величина К
определяется из интегрального уравнения A0.79). Для конуса
~ = const = 4jti>oo aL. A0.80)
Здесь
VW^~\ ' A0*82)
— 308 —
Отсюда, полагая /С=0 при х=0, имеем
aLg. A0.83)
Подставляя выражение A0.83) в формулу A0.77), в
результате интегрирования получим выражение для потенциала
скорости возмущения (pi (х, г, 6):
— I arch ,/Дг
(Ю.84)
Найдем составляющие скорости возмущения по осям
координат:
+ уi)
¦/ )
дг
?i) 1 д<?\
A0.85)
где
~ и -г-5 — составляющие скорости возмущения при осесиммет-
ричном обтекании конуса.
Дифференцируя выражение A0.84), получим
dp. = LcosbVooa
X
-\ i/ .f -
1,
a
x
^1 arch
J! + i-1/ f - ll
1 ^ = _ L sin
— 1 X
х —
A0.86)
— 309 —
Подставляя выражения A0.69) и A0.86) в формулы A0.85),
имеем
v'x = — "оо6к arch
У
1, A0.87)
v'r = ^ообк |/ *' Л —1 —LcosePooaVM^ —IX
х [УЖ^1 шсЬ7тк^+'- /«&)-* ] • <10-88)
- /М|=П arch ry]^ZT] • (Ю.89)
Следовательно, составляющие скорости потока vx, vr, vB
в любой точке в окрестности круглого конуса при заданных
величинах ^оо, ct и 0К зависят только от отношения — и 0
(скорость потока постоянна вдоль любого луча, проведенного из
вершины конуса). Как известно, такие потоки называются
коническими.
Найдем коэффициент давления на поверхности конуса (при
г t
^к
Рк = — 2— = 26* arch? —2Icos6aVM?—1у?«—1. (Ю.90)
Подставляя в формулу A0.90) выражение A0.81) для L,
получим:
рк - 2bl arch С - -?pi- . ./^ hg ' <10-91)
|/М2 — 1 С у С2 — 1 + arch С
ИЛИ
Ac=Pi+p2cos0, A0.92)
где
рх — коэффициент давления при осесимметричном обтекании:
; A0.93)
— 310 —
р2 — коэффициент давления, учитывающий влияние угла атаки:
4& т/ с — 1 /1Л лл\
Р-г = г — ' • A0.94)
]/м^—1 С/С2—1 + arch:
В выражениях A0.93) и A0.94) g определяется по
формуле A0.82).
Таким образом, при a=j=0 коэффициент давления рк зависит
от числа Мое, угла атаки а, угла полураствора конуса 0К и
положения точки на поверхности (угла 6).
Найдем суммарные аэродинамические характеристики конуса.
Коэффициент нормальной силы, действующей перпендикулярно
оси тела вращения, равен
х=1 В=%
2 С С (Pi+p2cos6)r=rK/-K(x)cos0d6^,
где
/*max — максимальный радиус, равный 6К /;
/ — длина конуса;
гк — радиус в данном сечении, равный QKx.
Отсюда
х=1
сп = -±- f {p2)r=rKrK(x)dx. A0.95)
Гтах xio
Подставляя в A0.95) выражение для определения р2 из A0.94),
получим
ся a.
С/С2 -1 + archC
Коэффициент осевой силы, действующей вдоль оси х:
(Ю.96)
х=1 9=тс
f f (Pi +Р2 cos б)г=Гк гк (дг) ^
Отсюда
rmax -Q
ИЛИ
cx=p1=20Karch?. A0.97)
— 311 —
Переходя от связанных осей координат к поточным, получим
коэффициенты подъемной силы су и волнового сопротивления сх
(рис. 10.11):
су=сп cos a — сх sin a,
сх=Сх cos a-\-cn sin а,
при малых углах атаки
' "~" * A0.98)
Рис. 10.11. К определению коэффициентов су и сх
для конуса
Подставляя в формулу A0.98) вместо сп и сх
соответствующие выражения A0.96) и A0.97), получим
I у С2 — 1 + arch С
>2_и* - ^С/С2-1
сх = 2 6^ arch ? + —-цу/ ' ~ х а2. A0.100)
х - С у С2 — 1 + arch С V ;
§ 10. 11. Осесимметричное обтекание
конуса с произвольным углом полураствора
В предыдущих параграфах было найдено решение задачи
обтекания тел вращения, в частности конуса, в предположении, что
возмущения, вызываемые этими телами, малы (метод линеаризации).
Рассмотрим осесимметричное обтекание круглого конуса с
произвольным углом полураствора 6К сверхзвуковым потоком. В этом
случае при определенных условиях перед конусом возникает
присоединенный скачок уплотнения,представляющий собой коническую
поверхность с вершиной в точке О и углом полураствора р
— 312 —
(рис. 10.12). Необходимо найти угол наклона скачка уплотнения E
и поле скоростей между ним и обтекаемой поверхностью.
Как известно, в случае осесимметричного обтекания конуса
скорость потока на поверхности любого промежуточного конуса
с углом полураствора 6К <; 6 < Р постоянная как по величине, так
и по направлению. Поэтому для изучения осесимметричного
обтекания достаточно рассмотреть поток в одной из меридианных
плоскостей.
Рис. 10.12. Составляющие скорости потока
в окрестности конуса при его осесимметрич-
ном обтекании
Введем полярные координаты г и 0 с полюсом в точке О. Тогда
составляющие скорости потока vr и v% будут зависеть только от
угла 6:
rr
b = VQ F)
A0.101)
Кроме того, в этом случае, ввиду прямолинейности образующих
скачка уплотнения, течение за ним останется потенциальным.
Поэтому
1 дер
08 = тй
A0.102)
где
Ф=ф(г, 6) — потенциал скорости потока между скачком уплот
нения и обтекаемой поверхностью.
ИВ. Зак. 801
— 313 —
Сравнивая выражения A0.101) и A0.102), замечаем, что
потенциал скорости осесимметричного потока можно представить
в следующем виде:
Отсюда
Следовательно,
дг
dvr
A0.103)
A0.104)
В качестве второго уравнения, содержащего искомые
величины vf и vb, рассмотрим уравнение неразрывности, которое
в случае осесимметричного потока имеет вид A0.19). Из
уравнения A0.19) имеем
dvB
A0.105)
где
а — местная скорость звука, равная
/2 2
A0.106)
Максимальную скорость потока можно вычислить по формуле
о о ? о
ИЛИ
A0.107)
Следовательно, в уравнении A0.105) неизвестными являются
только составляющие скорости vr и vq. Поэтому для
определения поля скоростей между скачком уплотнения и поверхностью
конуса имеем систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя неизвестными vr и ^8 A0.104) и A0.105):
2-^к
A0.108)
— 314 —
Для решения задачи необходимо задать граничные условия:
1. На поверхности конуса F=6К) нормальная составляющая
скорости равна нулю:
A0.109)
Поэтому первое уравнение системы A0.108) при 6=0К имеет вид
^ = -2vKy A0.110)
где
vK — скорость потока на поверхности конуса, равная vr.
2. На поверхности скачка уплотнения @=Р) составляющие
скорости vr и vQ должны удовлетворять основным соотношениям
для косых скачков уплотнения: касательная составляющая
скорости при переходе через скачок уплотнения не изменяется:
A0.111)
а нормальная составляющая скорости удовлетворяет уравнению
В уравнениях A0.111) и A0.112) ^oocosfj и — foosinfi —
касательная и нормальная к скачку уплотнения составляющие
скорости невозмущенного потока, причем за положительное
направление v& принято направление в сторону увеличения угла 6.
Заметим, что в условиях A0.111) и A0.112) угол р неизвестен и
должен быть найден в процессе решения задачи.
Вместо двух условий A0.111) и A0.112) можно написать
одно условие для составляющих скорости vr и v% за ск'ачком
уплотнения. Для этого из уравнения A0.111) найдем г^оо',
*¦-??• A0-ш>
Выражение A0.113) подставим в уравнение A0.112). Тогда
получим следующее условие:
). (ЮЛИ)
Система дифференциальных уравнений A0.108) при
выполнении граничных условий A0.109), A0.111) и A0.112) может быть
решена графически (с помощью годографа скоростей) и
аналитически (методом численного интегрирования).
Графический метод расчета. При осесимметричном обтекании
конуса составляющие скорости потока зависят только от
полярного угла 0: vx=vx{Q)> vR=vR(Q). Здесь vx и vR составляющие
скорости вдоль оси конуса и вдоль нормали к ней. Исключая
— 315 — 11В*
из этих уравнений угол 6, получим в плоскости {vx, vR\
уравнение годографа скорости: vR=f(vx). Каждая точка этой кривой
соответствует концу вектора скорости на промежуточном конусе
с углом полураствора 6 между скачком уплотнения и
обтекаемым конусом.
Найдем направление нормали в любой точке годографа
скорости.
Из рис. 10.12 видно, что составляющие скорости потока
в полярных координатах vr и vQ можно выразить через
составляющие скорости vx и vR по следующим формулам:
vr = vx cos 6 + vR sin 6 |
^8= — vxsinQ+vRcosG J A0.115)
Подставляя эти выражения в уравнение A0.104), в результате
простых преобразований получим
или
^« = _ctg0. A0.116)
dvx
Уравнение A0.116) означает, что касательная к годографу
скорости в некоторой точке перпендикулярна к направлению
образующей соответствующего промежуточного конуса с углом
полураствора 6, т. е. нормаль к годографу скорости в данной точке
направлена вдоль образующей промежуточного конуса.
Выведем формулу для определения радиуса кривизны R в
произвольной точке годографа скорости:
я- A + <
•^ — "ft/
где
dvx
F^d2vR= d
Здесь VR = f(vx) — уравнение годографа скорости.
dv d
Подставляя в формулы для /' и f" вместо производной ~^-
ее значение из A0.116), имеем
sin2 6 fdvx\
(dQ)
— 316 —
Тогда
<10Л17>
Напишем выражение для vx через составляющие скорости
в полярных координатах vr и w
vx= vr cos 6 — vq sin 0.
Учитывая, что в случае осесимметричного потока справедливо
уравнение A0.104), получаем
Подставляя выражение A0.118) в формулу A0.117), имеем
A0.119)
Кроме того, из уравнения A0.105) вытекает, что
dvn
Поэтому
V' + V'J* A0.120)
Формула A0.120) позволяет определить радиус кривизны
годографа скорости в любой точке.
На основании формул A0.116) и A0.120) можно построить
годограф скорости vR = f(vx).
Рассмотрим обтекание конуса с углом полураствора 0К при а = 0
и заданной скорости невозмущенного потока ^оо- Предположим, что
угол полураствора конического скачка уплотнения известен и равен р.
Тогда начальная точка годографа скорости Ло, отвечающая скорости
за скачком уплотнения, должна лежать на соответствующей
ударной поляре. Эту точку можно определить графически как точку
пересечения перпендикуляра, опущенного из конца вектора v^ на
прямую, наклоненную к оси vx под углом |3, с ударной полярой
(рис. 10.13).
Зная скорость потока за скачком уплотнения vc и ее
составляющие Угф), 0е(Р), можно по формуле A0.120) определить радиус
кривизны* /?0 годографа в точке Ао. Откладывая от точки Ао отрезок
А0Ь0 = Ro вдоль прямой, наклоненной к оси vx под углом р, получим
центр кривизны годографа в начальной точке Ло. Проведем малую
дугу окружности с радиусом Ro и с центром в точке Lo. На этой
— 317 —
окружности рассмотрим точку Аъ близкую к Ло. Принимая точку
Аг за конец вектора скорости для точек промежуточного конуса
с углом полу раствора р — А б— 6Ь находим в этой точке
составляющие скорости: vr (Gj) — вдоль прямой с углом наклона 6i и
vq Fi) — вдоль нормали к ней. Зная составляющие скорости, можно
по формуле A0.120) определить радиус кривизны Ri годографа
в точке Аг. Откладывая Ri вдоль радиуса А^, находим центр
кривизны Li для точки Аг. Далее проводим малую дугу окружности
с центром в точке Ьг и радиусом R±J на ней выбираем точку Л2 и т. д.
Рис. 10.13. Построение годографа скорости и «яблоковидной» кривой
для конуса
Построение должно закончиться на поверхности конуса, где
направление нормали к годографу совпадает с направлением скорости
потока. Графически это означает, что в конечной точке годографа Ап
нормаль к годографу AnLn при продолжении должна пройти через
точку О. Тогда отрезок ОАп даст величину скорости потока на
поверхности обтекаемого конуса, а угол наклона этого отрезка будет равен
углу полураствора конуса 0К, соответствующего заданному углу
наклона скачка уплотнения.
При построении годографа скорости удобно задавать угол
наклона скачка уплотнения р, так как это дает начальную точку
кривой на ударной поляре, а соответствующий угол раствора обтекаемого
конуса можно найти в результате графического построения.
Аналогично можно построить годографы скорости для
различных углов наклона скачка уплотнения р при той же скорости
невозмущенного потока Уоо- Эти кривые будут отличаться друг от друга
различными начальными точками на ударной поляре Ло, Во, Со, ...
и соответствовать обтеканию различных конусов. Соединив
конечные точки Ая, Бп, СпУ .. этих годографов скорости, мы получим
кривую, которая даст при заданной скорости Уоо зависимость скорости
потока на поверхности от угла полураствора конуса 6К (угла на-
— 318 —
клона скачка уплотнения). Эту кривую обычно называют
яблоко в и д н о й.
На рис. 10.14 приведены семейства яблоковидных кривых для
различных значений отношения ~ (верхняя полуплоскость) и
ударных поляр (нижняя полуплоскость).
С помощью семейства яблоковидных кривых для заданного угла
полураствора и скорости потока Уоо можно найти скорость на
поверхности конуса. Чтобы определить угол наклона скачка уплотнения и
Рис. 10.14. Семейства «яблоковидных»
кривых и ударных поляр:
I—яблсковидные кривые, 2 —ударные поляры
поле скоростей между скачком и обтекаемым конусом, необходимо
построить соответствующий годограф скорости. Последовательность
построения годографа следующая: зная 6К и vKy по формуле A0.120)
определим радиус кривизны Ro. Откладывая Ro от точки Ао вдоль
образующей конуса, получаем центр кривизны годографа скорости
Lo в начальной точке. Затем этим радиусом проводим малую дугу
окружности, которая является элементом годографа скорости. Тогда
точка А1 определит скорость на промежуточном конусе с углом
полураствора 6i = 6К + А0.
Зная величину и направление скорости на промежуточном конусе,
можно определить радиус кривизны, провести новый элемент
годографа скорости и т. д. Построение заканчивается в точке
пересечения годографа скорости с соответствующей ударной полярой. Эта
точка определяет скорость потока за скачком и угол наклона скачка
уплотнения.
— 319 —
Пример графического расчета поля скоростей между конусом
@К = 30°) и скачком уплотнения при Моо= 1,7 показан на рис. 10.15.
При этом отношение скорости потока на поверхности конуса vK
к максимальной скорости vmax равно 0,42. Из формулы A0.120)
следует, что относительный радиус кривизны также равен 0,42, так как на
- /, 7
Рис. 10. 15. К определению поля скоростей между конусом и скач-,
ком уплотнения при 0К=ЗО° и Mqo^I'7
поверхности конуса vQ = 0. В результате такого построения
получаем, что jJ = 54° 12', а относительная скорость за скачком v^- = 0,461.
Из рис. 10.15 видно, что скорость потока на поверхности конуса
vK меньше скорости за скачком уплотнения vc, а угол наклона
вектора ~vK больше угла поворота потока при переходе через скачок
уплотнения 6С. Угол наклона вектора скорости между скачком
уплотнения и поверхностью увеличивается отбс до6к FС < 6 <; 6К).
— 320 —
Поэтому линии тока в возмущенной области, в отличие от линий
тока при обтекании клина, являются криволинейными.
На рис. 10.16 приведены линии тока при обтекании конуса
FК = 30°, Моо = 1,7). Скорость потока вдоль этих линий тока
уменьшается, а давление возрастает. Следовательно, при обтекании
конуса происходит ударное сжатие при переходе через скачок
уплотнения и изэнтропическое повышение давления между скачком и
Рис. 10.16. Линии тока при обтекании конуса
поверхностью. Поэтому коническое сжатие является частично из-
энтропическим, вследствие чего волновые потери,а следовательно,
и волновое сопротивление, при прочих равных условиях для конуса
меньше, чем для клина.
Если в плоскости годографа скорости из начала координат
провести луч, наклоненный к оси абсцисс под углом 0К (рис. 10.17),
то он может в зависимости от величины 0К либо пересечь яблоковид-
ную кривую в двух точках (/), либо касаться ее F = 6тах), либо
не иметь с ней общих точек (///). При наличии двух точек
пересечения физический смысл имеет точка, более удаленная от начала
координат.
Рассмотрим обтекание конуса при различных углах 6К. При
сравнительно малых углах полу раствора конуса бк = 6i скорость на
поверхности сверхзвуковая (точка пересечения луча с яблоковидной
кривой находится вне окружности с радиусом, равным акр). Это
соответствует рассмотренному режиму обтекания конуса с
присоединенным коническим скачком уплотнения.
— 321 —
Если конус имеет конечную длину (рис. 10.18), то коническое
течение между ним и скачком уплотнения сохраняется только до
первой волны разрежения ВС, исходящей из края основания конуса
С. Скачок уплотнения искривляется, начиная от точки пересечения
конического скачка уплотнения с первой волной разрежения (от
точки В). Угол наклона скачка при этом уменьшается.
При углах 6К = 02 (случай//) более удаленная точка
пересечения располагается внутри окружности радиусом акр (скорость на
Рис. 10.17. К определению режимов обтекания
конуса
I — присоединенный конический скачок уплотнения
(скорость на поверхности сверхзвуковая); II —
присоединенный скачок уплотнения (скорость на повеохности
дозвуковая); III —отсоединенный криволинейный скачок
уплотнения
Рис. 10.18. Обтекание
конуса конечной длины
при сверхзвуковой
скорости на поверхности
поверхности конуса дозвуковая). Поток между скачком уплотнения
и обтекаемой поверхностью конический, если конус бесконечного
удлинения. При обтекании конуса конечной длины он перестает
быть коническим. Если конус имеет конечную длину при
дозвуковой скорости потока между скачком уплотнения и поверхностью, то
влияние донного среза распространяется во всех направлениях,
в том числе и против направления скорости потока. Это приводит
к изменению поля скоростей по сравнению с коническим потоком
и к искривлению скачка уплотнения, начиная с вершины конуса.
При углах 0К > втах, когда луч, проведенный из начала
координат в плоскости годографа скорости, не пересекает яблоковидную
кривую, имеет место режим обтекания конуса с отсоединенным криво-
.линейным скачком уплотнения.
Максимальный угол полураствора конуса втах, при котором все
еще возникает присоединенный скачок уплотнения, зависит от
.Моо. Чем больше Моо, тем больше 6тах (рис. 10.19). При заданном
— 322 —
числе Моо максимальный угол полураствора конуса значительно
больше соответствующего угла клина. Объясняется это тем, что
угол поворота потока за скачком
меньше угла конуса.
Метод численного
интегрирования. Численное интегрирование
системы дифференциальных уравнений
A0.108) можно начать с поверхности
конуса [6 = 6К, аеFк) = 0],
задаваясь величиной скорости потока на
поверхности vK, или с поверхности
скачка уплотнения, задаваясь углом
Р при данном Моо. В первом случае
в результате решения системы
уравнений должны быть найдены
соответствующие заданной скорости vк число
Моо невозмущенного потока, угол
наклона скачка уплотнения |$ и поле
скоростей между конусом и скачком
уплотнения, а во втором случае —
угол полу раствора конуса 6К и
скорости на промежуточных конусах.
Для численного интегрирования введем в рассмотрение
безразмерные составляющие скорости потока и скорость звука, отнесенные
к максимальной скорости:
От
50
30
20
W
о
/
1
/
/
1.0 1.5 2.0 2,5 3,0
М
Рис. 10.19. Зависимость
максимального угла полураствора
конуса и клина от числа Mq©
л
Кроме того, систему дифференциальных уравнений A0.108)
приближенно можно записать как уравнения в конечных разностях:
щ
де
, A0.121)
где
Д6 — приращение угла 6;
6„ — угол полураствора промежуточного конуса (^л^Р)
Если расчет начинается с поверхности скачка уплотнения, то
6п=р — пД6 (при я=0 60=р), если с поверхности конуса, то
ее+дб (при я=о ео=ек).
— 323 —
Рассмотрим метод численного интегрирования, задаваясь
углом полураствора конуса 6К и относительной скоростью vK на
его поверхности. На основании условия A0.110), задаваясь
приращением угла Д0, т. е. переходя от поверхности конуса к
промежуточному конусу с углом полураствора 01=6К+Аб, получим
щ (Oj) = — 2vK Д0, так как ?0FК) = О.
Подставляя полученное значение v0 @j) во второе уравнение
системы A0.121), находим значение составляющей скорости vr на
промежуточном конусе с углом 0Х: vr(Q1) = vK+vQ (б^АО. Зная игфг)
и ae(9i) из второго уравнения системы A0.121), определяем vr, a
из первого vQ для промежуточного конуса с углом
полураствора e^Oi-f-AG и т. д. Таким образом, зная . Ът и ^е для
промежуточного конуса с углом 0/, можно определить
составляющие скорости для конуса с углом полураствора
6/+1 = 0/ + А0.
В результате численного интегрирования последовательно
можно найти составляющие скорости потока на поверхности
ряда промежуточных конусов. Интегрирование должно
продолжаться до тех пор, пока не будет выполняться условие на
поверхности скачка уплотнения A0.114), которое для
составляющих скорости, отнесенных к vmax, записывается в следующме
виде:
Угол промежуточного конуса 0/, для которого выполняется
это условие, будет равен углу наклона скачка уплотнения, р,
а соответствующие составляющие скорости — составляющим
скорости за скачком уплотнения.
Зная угол Р и составляющую скорости за скачком
уплотнения vr($), из условия A0.111) можно определить отношение
Число Моо, соответствующее заданной скорости на
поверхности конуса vK9 можно найти, пользуясь следующими
формулами:
аоо=: У ^-j-^1""^1
— 324
Зная число Moo и угол р, можно вычислить отношение
давления рс> плотности рс и температуры Тс за скачком уплотнения
к давлению рос, плотности роэ и температуре Гоо:
Рс
2/с
к ,
к
к -
1с. _
Hoosii
— 1 '
-1
. Рс .
Роо
2 R к —
_Роо
Рс '
A0.122)
Зная угол (J и Moo, можно определить и коэффициент потерь
полного напора в скачке уплотнения:
а =
166,7 М* sin2 [
Отношения давления, плотности, температуры в любой точке
между скачком уплотнения и поверхностью конуса к давлению,
плотности и температуре непосредственно за ударной волной
можно вычислить по формулам изэнтропического течения:
_?. - /L=Z\^r
Pc-\l-^|j
A0.123)
Здесь
v =
— 325 —
10°
1,0901
1,1162
1,2330
1,4028
1,5956
1,8165
2,0750
2,3869
2,7794
3,3041
4,0748
5,4223
9,100
15,146
37,064
68,653
65,234
55,162
46,309
39,708
34,452
30,091
26,363
23,101
20,184
17,518
15,013
12,566
11,568
11,059
10,953
0,40
0,41036
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,97
0,98
0,98205
Рк
0,1844
0,1726
0,1473
0,1302
0,1188
0,1100
0,1026
0,0960
0,0901
0,0845
0,0790
0,0734
0,0674
0,0649
0,0634
0,0631
Моо
1,1382
1,1916
1,2186
1,3382
1,5144
1,7178
1,9541
2,2345
2,5787
3,0217
3,6345
4,5910
6,5012
8,7123
16,855
68,259
61,679
59,311
51,737
44,559
39,04
34,620
30,959
27,854
25,163
22,784
20,639
18,665
17,724
16,805
16,454
0,375
0,40
0,41036
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,925
0,95
0,
,95965 0
Рк
0,3583
0,3130
0,3000
0,2655
0,2384
0,2194
0,2046
0,1924
0,1820
0,1728
0,1644
0,1565
0,1490
0,1453
0,1416
,1402
1,2175
1,2553
1,3144
1,3428
1,4672
1,6531
1,8714
2,1297
2,4431
2,8387
3,3694
4,1538
5,5457
9,5928
44,696
68,507
62,915
58,043
56,235
50,281
44,424
39,835
36,124
33,045
30,435
28,180
26,199
24,433
22,834
22,027
21,988
— 326 —
Таблица 10.1
20 е
= 25°
Рк
М
Рк
0,35
0,375
0,40
0,41036
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,927
0,92836
0,5532
0,4899
0,4480
0,4344
0,3946
0,3606
0,3361
0,3170
0,3015
0,2884
0,2770
0,2669
0,2577
0,2494
0,2451
0,2449
1,3302
1,3503
1,3969
1,4608
1,4911
1,6236
1,8248
2,0665
2,3604
2,7296
3,2188
3,9260
5,1233
8,0962
28,702
69,606
64,819
60,467
56,636
55,195
50,366
45,507
41,644
38,495
35,873
33,651
31,737
30,066
28,589
27,652
27,569
0,325
0,35
0,375
0,40
0,7563
0,6812
0,6275
0,5877
0,41036 0,5740
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,885
0,88821
0,5322
0,4947
0,4671
0,4456
0,4282
0,4137
0,4012
0,3904
0,3808
0,3747
0,3741
1,4857
1,5164
1,5702
1,6404
1,6736
1,7242
1,8199
1,9274
2,0470
2,3289
2,6863
3,1617
3,8497
5,0109
7,8599
16,617
67,209
63,320
59,806
56,695
55,514
53,942
51,506
49,344
47,414
44,124
41,426
39,175
37,268
35,631
34,210
33,444
33,221
0,325
0,35
0,375
0,40
0,41036
0,425
0,45
0,475
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,83
0,83917
0,8781
0,8165
0,769а
0,7320
0,7188
0,7021
0,6774-
0,656&
0,6391
0,6105
0,5882
0,5702
0,5543
0,5427
0,5318
0,5260
0,5243
— 327 —
Для определения рк, плотности рк и температуры Тк на
поверхности конуса достаточно в формулах A0.123) положить
vr=vK9 a vQ=0.
0.50
0,25
, - ¦'
—-
^-25
20°
15° ПУ Ю°
/ / /
75° 5°
где
Рис. 10.20. Кривые зависимости
коэффициента волнового сопротивления конуса от М^
при различных углах полураствора конуса Ок
Коэффициент давления на поверхности конуса равен
-»__ 2 1
РК " к К
Роо Рс Роо '
Как известно, коэффициент волнового сопротивления конуса
схв, отнесенный к площади наибольшего сечения, равен
коэффициенту давления на поверхности: схв=рк.
В табл. 10.1 приведены некоторые результаты численного
расчета для осесимметричного обтекания конуса с
присоединенным скачком уплотнения: угол наклона скачка уплотнения р,
относительная скорость на поверхности конуса vK
-,
коэффициент давления рк=схв в зависимости от угла [полураствора
конуса 6К и число Моо невозмущенного потока.
Коэффициент давления на поверхности конуса (а следовательно,
и коэффициент волнового сопротивления) зависит от числа М^ и
угла полураствора 6К (рис. 10.20).
— 328 —
§ 10. 12 Применение метода характеристик
для определения поля скоростей
в потенциальном осесимметричном потоке
Поле скоростей в осесимметричном потоке, как и в плоском,
можно определить с помощью метода характеристик.
Характеристики уравнений осесимметричного сверхзвукового
потока. Как известно, уравнение для потенциала скорости
осесимметричного потока A0.27) является нелинейным дифференциальным
уравнением в частных производных второго порядка типа
дх*
A0.124)
где
L=v2r—a2
A0.125)
Уравнение A0.124) отличается от соответствующего уравнения
для плоского потока F.10) наличием свободного члена, не
содержащего вторые производные N = —а2— .
При осесимметричном обтекании тела вращения сверхзвуковым
потоком существует два семейства характеристических поверхностей,
представляющих собой поверхности вращения. Поэтому в
каждой меридианной плоскости (х> г) можно определить два
семейства характеристик г = г(х), которые получаются при
пересечении характеристических поверхностей с этой плоскостью
(рис. 10.21).
Найдем изменение скорости вдоль характеристик
j dvx 1 , dvx i
dv = fdx+Wdr
диг
или
A0.126)
— 329 —
Таким образом, вдоль характеристик справедлива система
уравнений, состоящая из основного уравнения A0.27) или A0.124) и
уравнений A0.126).
А(Х.г)
Рис. 10.21. Характеристики в плоскости потока
Определители системы уравнений A0.27), A0.126) вдоль
характеристик равны нулю. Поэтому, приравнивая к нулю
основной определитель системы, имеем
Н 2К L
dx dr 0
0 dx dr
= 0.
Получим уравнение характеристик в меридианной плоскости
потока (х, г):
L
Подставляя вместо Н, К, L соответствующие выражения из
A0.125), будем иметь
Отсюда
dx
A0.127)
Введем следующие обозначения:
fdr\ * (dr\ «
— 330 —
где
к=
vx vr -\- a]
4-
vxvr — a ]
V v*
-a2
\/ v2
— a2
— a2
vx —
Здесь vx— и cos 6, ar=ysin6, 0 — угол наклона вектора скорости
потока к оси vx.
Дифференциальное уравнение A0.127), так же как и уравнение
F.12), может быть приведено к виду
A0.128)
Следовательно, уравнения характеристик в плоскости х, г для
осесимметричного потока аналогичны уравнениям характеристик
плоского потока F.12).
Наряду с плоскостью потока (х> г) рассмотрим плоскость
годографа скорости (vx, vr). Характеристики в этой плоскости
должны удовлетворять следующему уравнению:
Я 2К —N
dx dr dvx
0 dx dvr
= 0,
ИЛИ
где
Hdvr- HZ--
dvr+Ndx=0,
A0.129)
-^ — тангенс угла наклона касательной к характеристикам
в плоскости (х, г).
Поэтому -^ удовлетворяет уравнениям A0.128). Тогда ха-
/ dr . \
рактеристике первого семейства в плоскости х, г y—=X1J
соответствует характеристика того же семейства в плоскости
годографа скорости, уравнение которой имеет вид
Hdvx — (НХ, ~ 2К) dvr+Ndx=0.
Учитывая, что НХ1 — 2К=—#Я2, получим
K2dvr+dvx= —jf
— 331 —
Подставляя в это уравнение выражения для N и Н A0.125),
окончательно имеем
X2dvr+dvx= f^' dx. A0.130)
Аналогично можно найти уравнение характеристики второго
семейства в плоскости годографа скорости:
В плоском безвихревом потоке уравнение характеристик
в плоскости (vx, vy) имеет вид F.25):
или
i^=-ctg(e±ji).
dvx
Поскольку правые части этих дифференциальных уравнений
зависят только от скорости потока, то они могут быть
проинтегрированы. В этом случае характеристики в плоскости (vx, vy) являются
универсальными кривыми (эпициклоидами), которыми можно
пользоваться при решении произвольной плоской задачи.
При осесимметричном течении дифференциальные уравнения
характеристик A0.130) и A0.131) в общем виде не могут быть
проинтегрированы. В отличие от плоской задачи в этом случае для
определения направления касательных к характеристикам в
плоскости годографа недостаточно знать скорость потока в данной
точке. Необходимо еще знать и изменение скорости вдоль
характеристик в плоскости (х, г). Представим уравнения A0.130) и A0.131)
в следующем виде:
47 ' ~.Л ^~2 Г
где
A0.132)
Обозначая через ds элемент характеристики в плоскости по
тока (см. рис. 10.21), получим
dx=ds cos F ± pi),
— 332 —
или
Подставляя это выражение в уравнения характеристик A0.132),
имеем
а2
¦а2
1 sin F ± ,
ds
dvr
Следовательно, для определения -~ нужно знать изменение
avx
составляющей скорости vx вдоль соответствующей
характеристики в плоскости (х, г)
Заменим уравнения характеристик в плоскостях (я, г) и (vx, vr)
уравнениями в конечных разностях. Тогда в плоскости (х, г)
получим уравнения касательных к характеристикам первого и второго
семейств, проходящим через заданную точку с координатами хА,гА:
A0.133)
где х и г — текущие координаты точки.
Уравнения прямых в плоскости (vx, vr), полученные из
уравнений A0.130) и A0.131) заменой их уравнениями в конечных
разностях, имеют вид
a2vr
r(v*-a*)
(x-xA)
, A0.134)
где
vx, v'r — составляющие скорости в произвольной точке с
координатами х9 г;
v*a% ^—составляющие скорости в точке А.
Таким образом, из дифференциальных уравнений A0.130) и
A0.131) в плоскости годографа скорости (vXy vr) можно получить
уравнения двух прямых с угловыми коэффициентами —г- и—j-•
Первая прямая перпендикулярна к касательной характеристике
второго семейства в точке А плоскости потока (х, г), а вторая
перпендикулярна к характеристике первого семейства, выходящей из
точки А (рис. 10.22). В отличие от плоской задачи эти прямые не
проходят через конец вектора скорости в точке А (через точку А\
— 333 —
в плоскости годографа скорости). Из уравнения A0.134) следует, что
прямые проходят через точку Л 2 с координатами
где
6 =
[a2vr
A0.135)
Рис. 10.22. К построению элементов характеристик в
плоскости годографа скорости:
1, 2 —линии возмущения первого и второго направлений; V, 2' —
касательные к характеристикам первого и второго семейств в плоскости
годографа скорости
Взаимное расположение точки А\ (vXA, хГА) и прямых A0.134)
определяется знаком б. Если 6>0, то прямые располагаются
по правую сторону от точки А\, если б<^0 — по левую сторону
от А\.
Пользуясь^ характеристиками A0.133) и~A0.134) в плоскостях
(х, г) и (vXf vr)y можно определить поле скоростей как аналитически,
так и графически. Для графического определения направлений
линий возмущения в плоскости (л:, г) в осесимметричном потоке
можно пользоваться изэнтропным эллипсом. Это объясняется тем, что
уравнение изэнтропного эллипса представляет собой уравнение Бер-
нулли, в котором скорость звука заменена составляющей скорости
IV, в выбранных осях координат vr = а, а уравнение Бернулли
записывается одинаково для осесимметричного и
плоскопараллельного потоков:
/с — 1
=const.
A0.136)
— 334 —
§ 10. 13. Решение частных задач с помощью
метода характеристик
V
о,/
CJ
V
-]*
Id
Для определения поля скоростей в окрестности и на поверхности
произвольного тела вращения с помощью метода характеристик
достаточно уметь решать следующие две частные задачи:
1) определение скорости потока в точке пересечения
характеристик разных семейств, выходящих из двух близко
расположенных точек, в которых скорости
известны,
2) определение скорости в точке
пересечения характеристики,
проведенной из некоторой точки,
расположенной вблизи тела, с обтекаемой
поверхностью.
Задача 1. В плоскости х, г
(рис. 10.23) вдоль некоторой кривой
АВ, не являющейся характеристикой,
известно распределение скорости
(vx, vr). Требуется определить поле
скоростей в окрестности этой кривой.
Область, в которой определяется поле
скоростей, ограничена
характеристиками разных семейств, исходящими
из концов дуги АВ, причем эти
характеристики могут быть построены
в процессе решения задачи.
Рассмотрим на кривой АВ густой ряд точек Л, Ai, Л2, ..., В
(см. рис. 10.23). По условию задачи скорости потока в этих точках
известны. Поэтому проведем из точек линии возмущения разных
направлений. Точки пересечения линий возмущения обозначим
через Со, Ci,..., Сп-\. Ввиду того что длина дуги между соседними
точками на кривой АВ мала, точку пересечения линий возмущения
можно принять за точку пересечения соответствующих элементов
характеристик.
Направление линий возмущения можно определить графически
с помощью изэнтропного эллипса или аналитически с помощью
уравнений элементов линии возмущения A0.133). Аналитически
координаты точек пересечения Со, Ci ..., Сп-\ можно определить путем
совместного решения уравнений элементов характеристик разных
семейств, проведенных из соседних точек. Например, для
нахождения координат точки Со нужно решить систему следующих уравне-
Рис. 10.23. Определение поля
скоростей в области АВК по
заданному распределению
скорости вдоль кривой А В
НИИ*.
A0.137)
— 335 —
где
хА, гл и хл , г, —координаты точек А и А±\
6Л, 6Л —углы наклона векторов скорости va> vAl
Y^a и ^At~ углы возмущения, равные:
-
Мл, Млх — числа М, найденные по скорости потока в точках А
и i4x.
Найдем скорость потока в точке Со. Для этого рассмотрим
плоскость годографа скорости (vx, vr). В плоскости годографа
скорости точке пересечения элементов характеристик Со
соответствует точка пересечения прямых, уравнения которых A0.134)
применительно к точкам А и А± имеют вид
vr - VrA)+{vx - vXA) = f^2alfl8) I (* - x^
, 2lfl2
Решая эту систему алгебраических уравнений, найдем
составляющие скорости потока vx и vr в точке Со.
Аналогично можно определить скорость в точке пересечения
элементов характеристик разных семейств, проведенных из любой
пары соседних точек, например Л1ИЛ2, ЛгиЛз ит. д. Очевидно,
что количество точек пересечения на одну меньше, чем
первоначальное количество точек на кривой АВ.
Зная скорости в точках Со, Съ С2,.--> Сп~\, можно определить
скорости потока в точках До, /?i,..., Дм—2, отстоящих от
предыдущих на малое расстояние. Таким образом можно определить поле
скоростей в области, ограниченной кривой АВ и двумя
характеристиками АК и ВК разных семейств. Ясно, что чем больше
рассматриваемых на кривой АВ точек, тем точнее решение задачи.
Аналогично можно определить поле скоростей в криволинейном
треугольнике по другую сторону кривой АВ.
Задача 2. Задано уравнение образующей тела вращения
г = г(х) и характеристика АВ, выходящая из точки А поверхности
(рис. 10.24). Требуется определить поле скоростей в окрестности
заданного тела.
— ?36 —
Покажем, что с помощью характеристик можно найти поле
скоростей в криволинейном треугольнике АВС> ограниченном
участком поверхности АС, заданной характеристикой АВ и
характеристикой ВС, которая
может быть построена в
процессе решения задачи.
Для решения задачи на
характеристике АВ
рассмотрим густой ряд точек Л, Аъ
Л2,..., В. Проведем из точки
Лх элемент характеристики
второго семейства (линию
возмущения) до пересечения со
стенкой в точке Со.
Координаты точки Со можно
определить графически, пользуясь
изэнтропным эллипсом, или
аналитически, решая систему
двух уравнений, состоящую
из уравнения касательной к
характеристике в точке Аг (линия возмущения) и уравнения
касательной к поверхности в точке Л:
A0.138)
Скорость в точке Со можно найти по пересечению прямой,
определяемой уравнением
A0.139)
Рис. 10.24. Определение поля скоростей
в области ABC no заданным образующей
тела вращения и характеристике АВ
с прямой, параллельной касательной к телу в точке Со:
vx ' \dxlco'
A0.140)
Решая совместно уравнения A0.139) и A0.140), можно
определить составляющие скорости в точке Со.
Зная скорость в точке Со, проведем из этой точки характеристику
первого семейства до пересечения в точке Сх с характеристикой
второго семейства, выходящей из точки Л2. Координаты точки
пересечения характеристик Ct и скорость потока в ней определяем
так же, как в первой задаче. По известным величине и направлению
12 Зак. 801
— 337 —
скорости в точке Сг можно провести элемент характеристики
второго семейства до пересечения с поверхностью в точке С2.
Координаты точки С2 и скорость определяем так же, как и для
точки Со. Таким образом можно найти скорости потока в узловых
точках сетки характеристик, расположенных в области ABC.
§ 10. 14. Определение поля скоростей
в окрестности тела вращения при а=0
Рассмотрим общую задачу обтекания произвольного
остроносого тела вращения сверхзвуковым потоком при а = 0.
Предположим, что образующая тела у вершины имеет прямолинейный участок,
т. е. носок тела вращения представляет собой конус (рис. 10.25).
Если- образующая
криволинейна, то у вершины можно
рассмотреть элементарный
конус. Поэтому всегда
вычисления можно начинать с
определения конического поля
скоростей на носке тела
вращения.
Перед конической частью
тела образуется конический
скачок уплотнения АВ. Угол
наклона скачка C0 и осесим-
метричное течение за
коническим скачком можно
рассчитать по методу, изложенному
Рис. 10.25. Определение поля скоростей
в окрестности произвольного
остроносого тела вращения (а == 0) методом
характеристик
в § 10.11. Тогда, зная
составляющие скорости потока vr
и vq на поверхности любого промежуточного конуса с углом
полу раствора 6, можно построить характеристику первого
семейства ВС, выходящую из конца прямолинейного участка
образующей (из точки С).
Пользуясь методом решения задачи 2, можно определить поле
скоростей в криволинейном треугольнике BCD, в котором BD —
характеристика второго семейства, проведенная из точки В. Так как
область ABD располагается за коническим скачком уплотнения
(с прямолинейной образующей), то энтропия во всей области
постоянна. Начиная с точки В, скачок уплотнения искривляется.
Происходит это потому, что, начиная с точки В, волны разрежения
(СВ, CiE, C2L,...), встречаясь со скачком уплотнения, уменьшают
его интенсивность. За криволинейным скачком уплотнения поток
становится вихревым, так как энтропия вдоль нормали к поверх-
— 338 —
ности тела не постоянна: ^ =j= 0. Поэтому в общем случае задача
сводится к определению формы скачка уплотнения выше точки В
и поля скоростей в области между скачком и поверхностью тела
для вихревого потока.
В качестве примера разберем решение задачи без учета
завихренности потока за скачком уплотнения, пользуясь
соответствующими уравнениями для потенциального потока A0.27). Для этого
на характеристике второго семейства BD рассмотрим густой ряд
точек В, Въ В2, ..., D. Проведем из точки Вг элемент
характеристики первого семейства до пересечения со скачком уплотнения Е.
Координаты точки Е можно определить из системы уравнений:
уравнения линии возмущения, проведенной из точки Въ
и уравнения касательной к скачку уплотнения в точке В
Составляющие скорости vx, vr в точке Е можно найти путем
совместного решения уравнения характеристики в плоскости
годографа скорости:
соответствующего характеристике первого семейства, выходящей
из точки В19 и уравнения ударной поляры:
Vr — ~
v2r=(Voo — vxy ^ . A0.142)
2 ак
—~j 7 УОО ' ®*
Уравнение A0.142) в окрестности точки В можно
приближенно заменить уравнением касательной к ударной поляре
где
dvr\
~ — тангенс угла наклона касательной к ударной поляре.
Систему уравнений A0.141) и A0.143) можно решить
графическим или аналитическим путем.
— 339 — 12*
Найдя значения vx, vr в точке Е, можно определить угол
наклона элемента скачка уплотнения BE:
rE
Зная скорость в точке Е и характеристику BD, можно найти
скорости в точках /d, /С2, ..., К* расположенных на
характеристике ЕК, а затем угол наклона элемента скачка уплотнения
EL и т. д.
По величине скорости можно вычислить коэффициент давления
р в любой точке:
где
JP_ __ J)__ Pol ^ Р02
Роо Р02 ' Роо ' Р01 '
Здесь
Poi» P02 — давление торможения до и после скачка уплотнения;
о=——коэффициент потерь полного напора в косом скачке
р01 уплотнения:
По распределению давления по поверхности тела вращения,
пользуясь формулой A0.63), можно определить волновое
сопротивление при а = 0.
§ 10. 15. Понятие об аэродинамической
интерференции
До сих пор мы рассматривали методы определения
аэродинамических характеристик изолированных тел — профиля, крыла
конечного размаха, тела вращения. Аэродинамические
характеристики летательного аппарата в целом не могут быть получены
простым сложением соответствующих характеристик частей
аппарата — крыла, корпуса, оперения и т. д. Объясняется это тем,
что вследствие интерференции, т. е. взаимного влияния
частей летательного аппарата, их аэродинамические характеристики
изменяются.
— 340 —
Вследствие влияния одного тела на обтекание другого изменяется
форма линий тока и скачков уплотнения, вызываемых каждым
телом в отдельности. Это приводит к изменению распределения
давления и суммарных аэродинамических характеристик тел
по сравнению с характеристиками соответствующих изолированных
тел в свободном потоке.
Типичными примерами аэродинамической интерференции
являются взаимодействие крыла и корпуса (фюзеляжа, мотогондолы),
Рис. 10. 26. К изучению взаимного влияния крыла и корпуса
оперения и корпуса, крыла и горизонтального оперения,
взаимодействие профилей друг с другом в решетке профилей и т. д. К
явлениям интерференции относится также влияние близости земли
на аэродинамические характеристики летательного аппарата при
взлете и посадке.
Рассмотрим сначала физическую картину взаимного влияния
крыла и корпуса , полагая, что корпус представляет собой тело
вращения, а крыло расположено на цилиндрическом участке
фюзеляжа по схеме среднеплана (рис. 10.26, а). Примем, кроме,
того, что поток, обтекающий комбинацию крыла и фюзеляжа,
является потенциальным (безвихревым).
Как было показано в § 10.6, поле скоростей в окрестности тонкого
тела вращения при малом угле атаки можно получить в результате
наложения полей скоростей, возникающих при обтекании тела
невозмущенным потоком, параллельным оси тела вращения, со
скоростью foocos а^Уоо и поперечным потоком со скоростью
i а ?2 v^a.
— 341 —
Учитывая, что при малых углах атаки поперечный поток
практически является дозвуковым, для приближенного определения
поля скоростей от поперечного потока воспользуемся теорией
потенциального обтекания круглого цилиндра несжимаемым
потоком*. Согласно этой теории, проекции скорости vr и vs в
произвольной точке в окрестности цилиндра (рис. 10.26, в) равны:
1 — —
1 r2 I »
=000 a sin6 (l + Щ,
A0.145)
где
г — расстояние точки от оси цилиндра;
R — радиус цилиндрической части тела.
Тогда на линии г — zvr=Q, a vs=vy=Vooall+~-}. Отсюда
видно, что в плоскости у=0 поперечная скорость потока vy
изменяется от ау = 2^ооа
на поверхности цилиндра
j. (r=R) до v^v^a вдали
от него при г-> со
(рис. 10.27). Это означает,
что если на теле
вращения установлено крыло,
то при заданном угле
атаки а, вследствие влияния
корпуса на поверхности
крыла, появится
дополнительная поперечная ско-
' ' R2
рость потока vy, равная приближенно vy=vy — ^00^ = ^00ее—2-.
Поскольку суммарный вектор скорости при этом
отклоняется вверх, то вследствие влияния корпуса возникает
отрицательный скос потока. Угол скоса потока
Рис. 10.27. Изменение составляющей
скорости Vy> вызываемой влиянием корпуса,
вдоль размаха крыла
V
A0.146)
Из формулы A0.146) видно, что угол скоса потока по
абсолютной величине достигает наибольшего значения еф=а при
г = 7? (в бортовом сечении консолей крыла) и уменьшается при
удалении от корпуса.
* Н. С. А р ж а н и к о в, В. Н. Мальцев. Аэродинамика, 1956, гл. III.
— 342 —
Скос потока, вызываемый корпусом, приводит к увеличению
местных углов атаки в сечениях консолей крыла. При этом
эффективный угол атаки сечения крыла
а*=а —еф=аA+-^). A0.147)
Вследствие этого подъемная сила консолей крыла в присутствие
корпуса (фюзеляжа) будет больше подъемной силы аналогичных
изолированных крыльев, размеры которых совпадают с размерами
консолей. Увеличение подъемной силы крыла за счет интерференции
наблюдается как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых
скоростях.
Крыло в свою очередь влияет на обтекание корпуса, так как
повышенное давление на нижней поверхности крыла (р > 0)
и разрежение на верхней поверхности (р < 0) распространяется
и на соответствующие участки поверхности корпуса (фюзеляжа).
Поскольку в сверхзвуковом потоке возмущения
распространяются только вниз по потоку, то зона влияния крыльев на корпус
ограничена конусами возмущений, выходящими из начала бортовой
хорды каждой консоли (см. рис. 10.26, б). В результате такого
воздействия крыла на обтекание корпуса появляется
дополнительная подъемная сила на корпусе.
Следовательно, вследствие интерференции крыла и корпуса
подъемная сила всей комбинации возрастает. Кроме того, изменение
распределения давления по поверхности крыла и корпуса, вызванное
интерференцией, приводит также к изменению положения центра
давления и моментных характеристик.
Влияние крыла на горизонтальное оперение происходит в том
случае, если оно сказывается в зоне влияния крыла. В сверхзвуковом
потоке это происходит тогда, когда горизонтальное оперение
располагается внутри волновой поверхности, построенной для
крыла.
Под действием вихревой системы крыла в области
горизонтального оперения в этом случае индуцируется поле скоростей,
происходит скос потока. Скорость скоса потока vy и угол скоса потока
Vy
8 = "jp , вызываемые вихревой системой крыла, зависят от формы
крыла в плане, коэффициента подъемной силы и положения точки,
в которой определяются vy и е.
Действительный угол атаки горизонтального оперения а*г.о
будет меньше его геометрического угла атаки аг.о на величину
угла скоса потока е:
а*. о=аг. о —
Кроме того, в области оперения под действием крыла происходит
торможение потока, поэтому скоростной напор в области оперения
меньше, чем скоростной напор невозмущенного потока.
— 343 —
При определении аэродинамических характеристик оперения
необходимо учитывать как уменьшение угла атаки, так и
торможение потока в области оперения.
Рассмотрим в качестве примера определение подъемной силы
комбинации крыла и корпуса. Для этого воспользуемся
результатами теории тонкого (удлиненного) тела.
Как известно, потенциал скорости возмущения ф'
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (9.21). Введем
безразмерные координаты точки
с. л; у с. z
где 6 = "Г' Г1=Т' ?=т,
L и / — характерные длины в направлении осей х и z
соответственно (например, L — длина фюзеляжа, а / —
длина полуразмаха крыла).
Тогда уравнение (9.21) можно написать в следующем виде:
(»й-о? ?-?-?-»• (Ш48)
Если рассматривать комбинацию тонкого удлиненного тела
вращения и крыла малого удлинения, то для таких вытянутых в на-
правлении оси х тел отношения -^ будет мало. Тогда при дозвуковых
и умеренных сверхзвуковых скоростях первым членом в уравнении
A0.148) можно пренебречь. В результате для определения
потенциала скорости возмущения получим дифференциальное
уравнение Лапласа:
ау ау_п
дч]2 ~*~ ас2 ~~ '
или
? + 3?-0. A0.149)
которое, как известно, соответствует потоку несжимаемой среды
в плоскостях, перпендикулярных оси х.
Потенциал скорости ф', являющийся решением уравнения
A0.149), должен удовлетворять граничным условиям на поверхности
корпуса и крыла. В том случае, когда фюзеляж представляет собой
тело вращения, а крыло— плоскую пластинку с углом установки
относительно корпуса, равным нулю, граничные условия сводятся
к следующему: на поверхности тела вращения должно выполняться
условие A0.49):
И? »'«•(§-«'os в),
а на поверхности крыла
— 344 —
В таком упрощенном виде задача по определению потенциала
скорости в окрестности комбинации крыла и корпуса сводится
к плоской задаче — к нахождению поля скоростей в каждом
из плоскостей, перпендикулярных к оси х (рис. 10.28).
Эта задача может быть решена известными методами,
основанными главным образом на теории функций комплексного
переменного. Не останавливаясь на методах
решения, приведем лишь некоторые
результаты.
Представим подъемную силу
комбинации крыла и корпуса при угле
установки крыла относительно
корпуса, равном нулю, в виде
следующей суммы:
7кф=Уф+Ук+ДУф, A0.150)
где
Кф — подъемная сила
изолированного корпуса;
YK — подъемная сила крыла в
присутствии корпуса;
^Ф — дополнительная подъемная
сила корпуса, вызванная
присутствием крыла.
Введем безразмерную величину /Саа, равную
к кр
*\сса— у
1 ИЗ. Кр
Рис. 10.28. Схематическое
представление потока в
окрестности комбинации крыла
и корпуса в одной из
плоскостей, перпендикулярных оси х
A0.151)
где
YKp — подъемная сила, обусловленная наличием крыльев
(КГАГ)
Уиз. кр — подъемная сила изолированного крыла.
Изолированное крыло — крыло, составленное из двух консолей,
т. е. с размахом /к = I — D. Здесь D — диаметр корпуса.
Подъемная сила изолированного крыла может быть определена
в зависимости от его геометрических параметров, числа М и угла
атаки (см. гл. IX).
Коэффициент Каа характеризует увеличение подъемной силы
комбинации крыла и корпуса вследствие интерференции. Поэтому
он называется коэффициентом интерференции. На основании
теории тонкого тела коэффициент интерференции, при всех значениях
числа Mi, зависит от отношения диаметра корпуса к
размаху крыла -р Очевидно, что при D = 0 Каа = 1, с увеличением
отношения -г коэффициент интерференции возрастает (Каа > 1).
12В. Зак. 801
— 345 —
В первом приближении для определения коэффициента
интерференции можно пользоваться формулой, полученной по теории
тонкого тела:
р. через соответствующие
Выразим подъемные силы, ККф> ¦
коэффициенты суКф, сУф и суш. *р
^к(Ь =
Роо^о
=С уф "
V —г
1 из. кр — ^уиз. кр
„2
A0.152)
где
*5ф> 5К — площадь миделя корпуса и площадь консолей крыла
соответственно;
5 — полная площадь крыла, включающая в себя часть
крыла, котороя занята корпусом (площадь крыла
с подфюзеляжной частью).
Подставляя выражения A0.152) и A0.151) в формулу A0.150),
получим
= Каа С
уиз, кр
A0.153)
При малых углах атаки (на -линейном участке зависимости
су от а) и при угле установки крыла относительно корпуса,
равном нулю, имеем
Сукф =
Суиз. кр— Суиз. кр
(X,
уФ —' уФ ^*
где
а — геометрический угол атаки крыла и корпуса.
Тогда из выражения A0.153) получим формулу для
определения СуКф'.
A0.154)
— 346 —
ЗАДАЧИ
1. Для осесимметричного обтекания конуса бк = 20° сверхзвуковым
потоком Моо = 3,37 определить угол полураствора конического скачка
уплотнения р, скорость и давление непосредственно за скачком уплотнения,
скорость и коэффициент давления р на поверхности конуса. Сравнить
полученные значения р и р с соответствующими результатами для клина при том же
числе Mqq и угле полураствора клина, равном углу полураствора конуса.
2. Определить, насколько уменьшается скорость и возрастает давление
при изэнтропическом торможении потока между скачком уплотнения и
поверхностью конуса, если 6К = 30°, Моо = 3,16; 5,01; 7,86.
3. Найти возрастание энтропии —в коническом скачке уплотнения, если
заданы угол полураствора конуса 0К = 20° и Моо = 5,54. Параметры
невозмущенного потока принять для высоты Н = 30 000 м. При прочих равных
условиях найти также увеличение энтропии в плоском косом скачке уплотнения.
4. Пользуясь линейной теорией, определить коэффициент давления на
поверхности конуса при 0К = 10°, Моо = 3. Сравн'ить полученные
результаты с данными точного решения задачи. Вычислить значения коэффициентов
давления в области между конусом возмущения и поверхностью конуса
@,176 <^<0,333): ~ = 0,2; 0,3.
5. Вычислить по линейной теории коэффициенты нормальной и осевой
силы (без учета силы трения) для конуса при 0К = 10°, Моо = 3 и а = 4°.
Определить также коэффициенты подъемной силы и волнового сопротивления
(су, сх).
6. Задан угол полураствора конуса 0К = 20° и Моо = 4,15. Найти угол
эквивалентного клина, при котором для заданного числа Моо = 4,15 угол
наклона плоского скачка уплотнения равен углу полураствора конического
скачка уплотнения.
12В*
Глава XI
ОСНОВЫ АЭРОДИНАМИКИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ
СКОРОСТЕЙ
§ //. 1. Особенности гиперзвуковых
течений
При обтекании тел гиперзвуковым потоком возникает целый
ряд качественно новых явлений, влиянием которых на
характеристики взаимодействия тела с окружающей средой при умеренных
сверхзвуковых скоростях можно пренебречь. Рассмотрим некоторые
особенности гиперзвуковых течений.
При обтекании тонких тел гиперзвуковым потоком возмущения
скорости, малые по сравнению со скоростью потока, могут стать
соизмеримыми по величине с местной скоростью звука.
В гиперзвуковом потоке в отличие от умеренных сверхзвуковых
скоростей кинетическая энергия частиц газа велика по сравнению
с их тепловой энергией. Для совершенного газа с постоянной
теплоемкостью отношение удельной кинетической и внутренней
тепловой энергии газа равно:
V
2
2 к (к— I)
cvT 2
Отсюда видно, что при умеренных сверхзвуковых скоростях
кинетическая энергия частиц газа имеет одинаковый порядок величины
с тепловой энергией или меньше ее, а при гиперзвуковых скоростях
она во много раз превосходит тепловую энергию. Например,
для к = 1,4 при М = 1 кинетическая энергия частицы составляет
всего одну треть ее тепловой энергии, при М = 2 энергии примерно
равны, при М = 5 кинетическая энергия частицы в 7 раз больше
ее внутренней энергии, а при М = 10 кинетическая энергия
превосходит тепловую почти в 30 раз.
При гиперзвуковых скоростях малое относительное изменение
скорости (кинетической энергии) приводит к значительному
— 348 —
изменению теплосодержания, а следовательно, всех параметров
состояния газа (давления, плотности, температуры).
Для определения относительного изменения давления в
зависимости от скорости воспользуемся уравнением Бернулли в
дифференциальной форме:
Отсюда
~/Г ~~ ~~pv ~V '
или
^=__Ш2^-. A1.1)
Для изэнтропического течения
dp 1 dp
о к р
Подставляя в это выражение — по формуле A1.1),
получаем
i(L=_M2^. A1.2)
р V V '
Из уравнения состояния газа p = RpT следует, что
Т Т '
Подставляя сюда— и — по формулам A1.1) и A1.2), найдем
относительное изменение температуры:
у. A1.3)
Изменение скорости звука — можно определить, пользуясь
формулой
da_ 1_ dT_
~Т ~ 2 Т '
Поэтому
— -— -^1м2— . A1.4)
Из формул A1.1) —(П.4) следует, что в отличие от умеренных
сверхзвуковых скоростей, когда малое возмущение скорости
— 349 —
приводит к малому изменению всех термодинамических параметров
газа, в гиперзвуковом потоке небольшое относительное приращение
скорости вызывает значительное изменение давления, плотности,
температуры и скорости звука. Например, для к = 1,4 при М = 2
относительные изменения всех параметров такого же порядка,
как и изменение скорости
(dp г- а dv dp А dv dT , а 'dv da n o dv\
yp v ' p v T v a ' v I
а при М=10 изменения р, р, Т и а во много раз больше
относительного приращения скорости ( — = — 140 — , —=— 100— ,
dT_ 4 dv da __ dv \
В этих условиях многие выводы линейной теории, столь
эффективной при изучении обтекания тонких тел с умеренной
сверхзвуковой скоростью, становятся неприменимыми. При теоретическом
изучении обтекания тел гиперзвуковым потоком необходимо
исследовать нелинейные уравнения. Нелинейность является
существенным свойством гиперзвуковых течений.
Как известно, при дозвуковых и умеренных сверхзвуковых
скоростях и больших числах Re при определении параметров
потока на границе пограничного слоя около тонкого тела при малых
углах атаки влиянием пограничного слоя можно пренебречь,
так как толщина вытеснения при этом мала.
При обтекании тел гиперзвуковым потоком может происходить
существенное взаимодействие ударной волны с пограничным слоем.
Объясняется это тем, что с увеличением числа М область
возмущенного движения сужается и скачок уплотнения приближается к
поверхности. При больших скоростях между телом и скачком
уплотнения образуется тонкий слой уплотненного газа.
С другой стороны, при обтекании тел гиперзвуковым потоком
вблизи поверхности происходит сильное повышение температуры
газа вследствие торможения потока в пограничном слое. Повышение
температуры приводит к увеличению кинематического коэффициента
вязкости, отчего местное значение числа Re уменьшается. В
результате этого толщина пограничного слоя возрастает. Наличие
толстого пограничного слоя эквивалентно изменению контура
и увеличению толщины тела, оно вызывает возрастание угла
наклона скачка уплотнения на передней кромке, искривление
поверхности скачка уплотнения, изменение характера распределения
давления по поверхности. Изменение градиента давления,
порожденное кривизной пограничного слоя, в свою очередь оказывает
влияние на развитие пограничного слоя.
Взаимодействие головного скачка и пограничного слоя
существенно при обтекании остроносых тел.
— 350 —
Повышение температуры за головным скачком уплотнения
и в пограничном слое при гиперзвуковых скоростях может привести
к изменению термодинамических свойств и химического состава
воздуха. При этом свойства воздуха могут существенно отличаться
от свойств совершенного газа с постоянной теплоемкостью.
При повышении температуры воздуха прежде всего происходит
возбуждение колебательной степени свободы атомов, вызванное
деформацией молекул, обладающих большой скоростью теплового
движения. Это обстоятельство начинает играть заметную роль уже
при температуре Т ж 1 500° К-
При дальнейшем повышении температуры (Т > 2 500° К) силы
соударения наиболее быстрых молекул могут оказаться больше,
чем внутримолекулярные силы связи атомов. В результате
происходит диссоциация молекул компонентов воздуха:
кислород и азот переходят из молекулярного состояния в атомарное
(О2;=±О + О, N2tz;N + N), причем при повышении температуры
сначала диссоциирует кислород, а диссоциация азота начинается
при таких температурах, когда кислород в значительной степени
становится атомарным.
Скорость реакции диссоциации зависит от числа столкновений
наиболее «быстрых» молекул в единицу времени. Поэтому вследствие
уменьшения числа «быстрых» молекул за счет их распада скорость
диссоциации с течением времени уменьшается.
Одновременно с диссоциацией в газе происходит обратная
реакция (ассоциация), т. е. образование молекул кислорода и азота
при столкновении атомов. Скорость ассоциации увеличивается
по мере возрастания числа свободных атомов. Поэтому через
некоторое время после подвода тепловой энергии скорости обеих
реакций (диссоциации и ассоциации) уравниваются. Начиная
с этого момента число молекул, распадающихся за единицу времени,
становится равным числу молекул, образующихся вновь. Таким
образом появляется равновесная диссоциация. Время, необходимое
для установления равновесной диссоциации, называется
временем релаксации.
Помимо диссоциации и ассоциации молекул кислорода и азота,
в воздухе может происходить химическая реакция, в результате
которой появляется окись азота: (N + О2 ^=± NO -j- О; N2 +
+ Ог jz^NO + О + N). При дальнейшем повышении
температуры окись азота также диссоциирует с образованием атомарного
кислорода и азота.
При решении некоторых задач обтекания процессы,
происходящие в газе, нельзя считать термодинамически равновесными.
Например, при больших скоростях время пребывания молекул
воздуха около поверхности летательного аппарата мало. Может
оказаться, что это время меньше, чем время релаксации. В этом
случае необходимо учитывать неравновесность диссоциации, что
значительно осложняет теоретическое исследование, так как отсту-
— 351 —
пление от термодинамического равновесия может заметно влиять
на структуру скачков уплотнения, на распространение слабых
возмущений и т. д.
При температурах порядка 5 000° — 6 000° К начинается
процесс ионизации компонентов воздуха — атомарного
кислорода и азота, молекул азота, окиси азота. В результате в потоке
появляются свободные электроны и однократно или многократно
ионизированные атомы (ионы). При увеличении температуры
концентрация свободных электронов в потоке растет, а
ионизированная среда становится электропроводящей. При невысокой
температуре, как известно, молекулы газа электрически нейтральны,
поэтому газ при этом является хорошим изолятором. В условиях
ионизированной среды появляется возможность воздействовать
на поток, обтекающий заданное тело, а также управлять с помощью
электромагнитных полей.
Изучением движения ионизированного газа, обладающего
электропроводностью, при наличии магнитного поля занимается
магнитная газовая динамика.
При высокой температуре изменяется состав и молекулярный
вес воздуха. Кроме того, при наличии описанных выше явлений
(возбуждение колебательного движения, диссоциация, ионизация)
тепло, подводимое к воздуху, идет не только на увеличение энергии
поступательного и вращательного движения молекул, но и на
увеличение энергии колебательного движения атомов в молекуле,
на преодоление сил взаимодействия между атомами при
диссоциации, на отрыв электронов от атома при ионизации. Вследствие
этого теплоемкость воздуха при высокой температуре
значительно возрастает.
При Т < 1 500° К теплоемкость воздуха изменяется мало.
Поэтому при Т < 1 500° К воздух можно считать совершенным
газом с постоянной теплоемкостью и постоянным молекулярным
весом. При Т > 1 500° К до начала диссоциации молекулярный вес
воздуха можно считать постоянным, а теплоемкость является
функцией температуры ср = ср(Т). При дальнейшем увеличении
температуры молекулярный вес и теплоемкость воздуха
становятся функциями двух параметров — температуры и давления:
m =m(T, /?), ср =ср G\ р). При Т>5 000° К средняя теплоемкость
резко возрастает, а молекулярный вес уменьшается. Так, при
Т = 7 000° К и давлении р = 1 ашм теплоемкость воздуха
примерно в 12 раз больше теплоемкости при нормальных условиях
(Т = 288° К), а молекулярный вес уменьшается в 1,6 раза.
Необходимость учета явлений, происходящих в газе при
высоких температурах, является существенной отличительной чертой
аэродинамики гиперзвуковых скоростей. К важнейшим проблемам
аэродинамики гиперзвуковых скоростей относятся: определение
сил и моментов, действующих на тело в полете с учетом особенностей
гиперзвукового потока; аэродинамический нагрев летательного
— 352 —
аппарата, способы теплозащиты и понижения нагрева, вопросы
аэродинамической компоновки, обеспечивающей снижение
температуры поверхности.
Для выяснения некоторых характерных свойств гиперзвукового
потока рассмотрим простейшие плоскопараллельные течения
невязкого газа, предполагая при этом термодинамические свойства
газа неизменными.
§ //. 2. Обтекание тупого угла,
большего 180°, гиперзвуковым потоком
Как известно, при обтекании тупого угла, большего 180°,
поворот потока на угол 60 происходит в области, ограниченной двумя
линиями возмущения О А и ОВ, исходящими из угловой точки О
(рис. 11.1). Углы наклона этих линий возмущения к направлениям
скоростей потока vx и v2 определяются по формулам
sinfii^^,
Sin ^2 =
Mo
где
Mx и М2-
-значения чисел М, соответствующие скорости
потока до поворота и после поворота на угол 0О.
Рис. 11. 1. Обтекание тупого угла, большего 180°, гиперзвуковым потоком
Ввиду того что для гиперзвукового потока М> 1, то углы
возмущения \к малы. В пределе при М-»оо(х->0. Поэтому
в гиперзвуковом потоке происходит сужение зоны возмущенного
движения. Ввиду малости угла (Л, принимая sinji^jx, получаем
— 353 —
Для определения числа М потока в возмущенной области
напишем уравнение неразрывности в форме массового расхода:
где
vs — составляющая скорости, перпендикулярная к линии
возмущения, равная по величине местной скорости звука (vs=a);
г — расстояние точки С от начала координат.
Тогда
pa/-=const
и
d(par)=0.
В результате дифференцирования получаем
^4-^+^=0- (И.6)
В случае изэнтропического течения совершенного газа с
постоянной теплоемкостью относительные изменения плотности и
скорости звука можно определить по формулам A1.2) и A1.4).
Для определения — рассмотрим треугольник CDE (см. рис. 11.1).
В виду того что элемент линии тока можно заменить отрезком
вДоль вектора скорости в токе С, угол ECD можно принять
равным -о — jx. Тогда из треугольника CDE следует, что
=dr= rdQctg\i. A1.7)
Здесь ctg \i = ]/М2 — 1. Для гиперзвуковых скоростей (М > 1)
ctgjx = М.
Подставляя выражения A1.2), A1.4) и A1.7) в уравнение
A1.6), имеем
Отношение — можно представить в следующем виде:
dv dM , da
~ ~ ~М + ~а~-
Подставляя сюда отношение — по формуле A1.4) получим
' 2 ) v M
д. 1
В гиперзвуковом потоке —^— М2> 1. Поэтому
1 + ^М2^^ М2.
— 354 — *
Тогда
v ~~ к— 1 М3'
Подставляя -^ по формуле A1.9) в уравнение A1.8),
получим следующее дифференциальное уравнение для определения
числа М в возмущенной области при обтекании выпуклого угла
гиперзвуковым потоком:
ла к+ 1 ^М
d0=^Tl др. (НЛО)
В результате интегрирования уравнения A1.10) находим
где
С — постоянная интегрирования, которая может быть найдена
из граничного условия на линии возмущения ОА: при 0=
Тогда
J
Для определения значения числа М после поворота потока
на угол 60 в уравнение A1.11) необходимо подставить М =
= М2, а
В результате несложных преобразований
Зная число М в любой точке в возмущенной области,
пользуясь известными соотношениями для изэнтропического течения,
можно определить все остальные параметры потока (давление,
плотность и температуру):
1 + -~
- 355 -
м».
к 1
При гиперзвуковых скоростях, когда —^—М2>1, эти формулы
могут быть написаны в следующем виде:
Ро (к 1 ЛД2\к—Ь _?l (К~ * М2 V~ 1* — K~Z-1 М2
У"~ [ 2 ] П J ' р - ^ 2 L l J ' 7 " ~2 ^П '
тогда
Отсюда
= (
pi Vм
2к
A1.13)
Аналогично можно получить формулы для определения
Г2 .
Тл '
м2
м2
A1.14)
Подставляя в формулы A1.13) и A1.14) выражение для
по формуле A1.12), получим
Pi
2/с ^
с— 1
A1.15)
В формулах A1.12) и A1.15) ^—^ Мг%< 1. При к~^ М160 =
= 1, или 60 = (к_1) м > М2=оо. При этом происходит
разрежение до абсолютного вакуума (р = 0, р = О, Г = 0). Если
о
в0 ^> (К__\\ м > то происходит отрыв потока с поверхности. По-
2
этому угол 0О = гт-гт- является предельным углом без-
отрывного поворота потока. Например, для /с=1,4 и М^ 10
образуется полный вакуум (р=0) при повороте потока на угол
ео>О,5Fо>28°, 65).
— 356 —
Найдем коэффициент давления:
р= P2ZLPl==_i. 1 Л_Р|\
Яг к Ж\\ Pi/
ИЛИ
Р I 1 / 1 ~~~ ЛД ft \/г Т I /111 С\
~еТ = Г (мхе0J I 2~illUo) • (h.ioj
О L \ / J
Из формул A1.12), A1.15) и A1.16) следует, что все
безразмерные отношения -~, —, —- и -?- при гиперзвуковых
скоростях зависят только от параметра подобия, равного
К а = Мхбо. Поэтому для двух течений разрежения с различными
значениями числа М невозмущенного потока и угла 0О, удов,
летворяющими условию Ка = M101=const, сохраняют постоян_
ные значения отношения давлений —, плотностей р-, температур
Т М Pi Pi
jA и чисел -~. Полученный вывод является частной
формулировкой общего закона гиперзвукового
подобия.
Найдем составляющие скорости возмущения. Скорость
возмущенного движения в любой точке можно определить, решая
уравнение A1.9) с граничными условиями на линии
возмущения О A (v = vx М = М2):
— f— -—\
— = е ч l \
Тогда
ИЛИ
—
/с—1
Подставляя в эту формулу выражение для -^~ A1.12), имеем
— = е
— 357 —
Разлагая в ряд правую часть полученного выражения приМх>1
и малых углах 0О и ограничиваясь приближенно первыми двумя
членами, найдем
Из формулы A1.17) следует, что при Мх > 1 и малых 0О
приближенно можно принять
^=1. A1.18)
Следовательно, при малом угле 0О величина скорости в
возмущенной зоне изменяется незначительно по сравнению со скоростью
невозмущенного потока. Другие параметры течения (давление»
плотность, температура, скорость звука) при этом претерпевают
значительные изменения [A1.1) — A1.4)]. Это является
характерной особенностью гиперзвуковых потоков.
Составляющие скорости возмущения равны
*cose.-f,lfl A119)
При малых углах 0О, подставляя в формулы A1.19) выражение
для v2 A1.17) и удерживая члены малых величин второго
порядка, получим
e0
A1.20)
Из формулы A1.20) видно, что составляющая скорости
возмущения в направлении невозмущенного потока v'x — малая
величина высшего порядка по сравнению с поперечной составляющей
скорости v'y, т. е. vx С vy. Заметим, что при умеренных СЕерх-
звуковых скоростях vx и vy — одного и того же порядка (§ 8.2).
§ //. 3. Определение параметров
гиперзвукового потока за косым скачком уплотнения
Рассмотрим обтекание тупого угла, меньшего 180°,
гиперзвуковым потоком.
При гиперзвуковых скоростях скачок уплотнения очень сильно
приближается к поверхности, при этом между скачком уплотнения
и поверхностью образуется тонкий слой уплотненного газа.
— 358 —
Найдем угол наклона скачка уплотнения. Учитывая, что
разность углов (Р — 0О) мала, пользуясь рис. 11.2, найдем
A1.21)
где
vt =
a V2n можно определить из соотношения, справедливого для
косого скачка уплотнения E.4):
2 АС— 1 2
У/'У///////,
Рис. 11. 2. К определению параметров потока ва косым скачком
уплотнения при гиперзвуковых скоростях
Здесь
vln = ^sinp.
Подставляя выражения для v2n и vt в формулу A1.21),
получим
^T + ^TMfsin2!
M^sinpcosp
A1.22)
Предположим, что угол 60 мал. Тогда при гиперзвуковых
скоростях мал и угол наклона скачка уплотнения р. Поэтому,
полагая в формуле A1.22) sin p^p, cosp^l, для малого угла
поворота потока 0О находим
Отсюда в результате несложных преобразований, получим
(Мх РJ - Ц± (Мх Р) (Мх 0О) - 1 = О,
— 359 —
или
К1 — ^КсКа— 1 = 0, A1.23)
где
/Са — параметр гиперзвукового подобия: /Са = М10о;
Кс — зависит от угла наклона скачка уплотнения: /Сс = М1р.
Решая уравнение A1.23), найдем величину Кс:
В этом выражении знак минус физического смысла не имеет,
так как параметр Кс — положительная величина. Поэтому для
определения величины параметра Кс получим следующую
формулу:
Отсюда
ПрИ Мх-> ОО(/Са-^ ОО)
Для fc= 1,4 p = 1,2в0; для /с = 1,2 p = 1,1 60; для /c = 1 p = 60
(скачок уплотнения совпадает с поверхностью).
Поскольку в действительности при больших скоростях
1<^/с<М,4, т0 угол наклона скачка уплотнения отличается от
угла клина 0О менее чем на 20%.
Давление за скачком уплотнения можно определить по
формуле E.6):
Pi JC-J- 1 1 ' К+1
Отсюда найдем коэффициент давления:
При малых углах поворота потока б0 sinp^p. Тогда
р2 2/С тт 2 АС — 1 '
р 4 ^с— 1
1 ка2 •
— 360 —
Р\
A1.27)
2 /С - Г 1
Из уравнения A1.23) следует, что Кс— 1 = —^—
этому
КсКа. ПО-
A1.28)
Подставляя в выражение A1.28) отношение -^Д- по формуле
A1.25), получаем
к+1
1 +
/
г.П
При
оо
1) eg.
A1.29)
A1.30)
Для коэффициентов /с, равных /с=1; 1,2; 1,4, предельные
значения р соответственно равны: р = 26о; р = 2,26q; р=2,46о-
Следовательно, в гиперзвуковом потоке коэффициент давления
за скачком уплотнения при малых углах б0 пропорционален
квадрату угла 60.
Напишем формулы для определения скорости потока v29
числа М2 и плотности р2 за косым скачком уплотнения.
Как известно, составляющая скорости вдоль скачка
уплотнения vt остается неизменной и равна:
а проекция скорости v2 на нормаль к скачку уплотнения может
быть найдена по формуле E.4). Найдем проекции скорости v2x
и v2y (см. рис. 11.2):
^=^cosp+t;a/lsinp J AL31)
v2y = vt sin p — v2n cos p J
Подставляя в формулы A1.31) выражения для vt и v2n E.4),
получим
j
^2у
»1 К+1
\
При малых углах 60sinp^p,
^2vr 9 К
A1.32)
= -к-; тогда
1
с~ 1 п2
A1.33)
— 361 —
Подставляя выражение для К2С—1 A1.23) в формулы A1.33),
имеем
V2x
A1.34)
Отсюда
При
(п.36)
Из формул A1.35) и A1.36) видно, что скорость потока за
скачком уплотнения по величине мало отличается от скорости
невозмущенного потока. Поэтому для малых углов 0О ее можно
принять равной скорости невозмущенного потока. Составляющие
скорости потока до скачка уплотнения равны:
= v
A1.37)
Найдем составляющие скорости возмущения:
v'y = v2y — vly.
Подставляя сюда выражения A1.34) и A1.37), получим
A1.38)
где отношение -jt- определяется по формуле A1.25).
Из формулы A1.38) следует, что при гиперзвуковых
скоростях изменение скорости невозмущенного потока vx — малая
величина второго порядка, а поперечная составляющая
скорости v'y — первого порядка, т.е. v'x<^v'y.
Плотность р2 можно определить по формуле E.7).
— 362 —
При малых углах 60, заменяя sin E углом р, получим
* + 1
-?*¦ = "Т1 1 - A1.39)
1 +
К-\ К2
В заключение напишем выражение для определения числа М
и скоростного напора за скачком уплотнения:
до = V2 = V2 vi <*i
Отсюда, учитывая, что
получаем
а2
1 /
м2
Pi
Р2
— И
Pi
f Pi Н
Р2 Pi
A1.40)
— и —
Подставляя в формулу A1.40) отношения — и — по
формулам A1.27) и A1.39), имеем
^?= ^i^i A141)
"? (•^«.'-fff)('+dn^)-
При Мх -» оо
2 60 г /с (л — 1)
Скоростной напор за скачком уплотнения
2 - Pl "^2"
2 '
Подставляя сюда — да 1, а — — по формуле A1.39), получим
¦^1= %~2 { ¦ (Н.43)
/с-1 /с?
При Мх-> оо
Pl»?
— 363 —
§ 11. 4. Определение аэродинамических
характеристик плоской пластинки
в гиперзвуковом потоке
Рассмотрим обтекание плоской пластинки гиперзвуковым
потоком при малых углах атаки (рис. 11.3).
На верхней поверхности пластинки происходит течение
разрежения. Зона возмущенного движения при этом ограничена линией
— 2
Рис. 11.3. Обтекание плоской пластинки
гиперзвуковым потоком:
1— скачки уплотнения; 2 —волны разрежения
возмущения с углом \л = дР. На нижней поверхности возник ает
скачок уплотнения с углом наклона р, определяемым по формуле
A1.25).
Заметим, что линейная теория правильно указывает границы
возмущенной зоны на верхней поверхности. Между тем
предположение линейной теории, что угол наклона скачка уплотнения
при малых углах атаки можно принять равным углу возмущения
при гиперзвуковых скоростях, становится неверным. Объясняется
это тем, что угол возмущения при этих скоростях мал
(при Моо -» оо [х -* 0). При тех же условиях из формул A1.25)
и A1.25') следует, что Р > а.
Для определения коэффициентов давления на верхней и нижней
поверхностях можно пользоваться формулами A1.16) и A1.28),
подставляя в них К* = AWx и 0О = а:
= -4^ 1-1-4^*. «-Ч*
2к
A1.44)
При Моо-> со рв = 0, a pH = (/с+1)а2. Следовательно, в
гиперзвуковом потоке основным членом в выражении для
определения рн становится квадратичный.
— 364 —
Зная коэффициенты давления рн и рв, можно определить
коэффициент нормальной силы спу действующей на плоскую
пластинку: сп= рн — рв. Коэффициенты подъемной силы и
волнового сопротивления при этом равны:
у
сх = c^sincc.
При малых углах атаки sin a ^ a, cos а ^ 1. Поэтому
су = сп = рЕ-рл\ (П.45)
сх = суа J
Подставляя в формулы A1.45) выражения A1.44), получим
г — с — f (К } гу2 )
у п ч , (И.46)
с^ = / (/(а) а3 J
где
(П.47)
В формуле A1.47) Кс зависит от параметра Ка и
определяется по формуле A1.25).
Формулы A1.46) можно записать в следующем виде:
(lL48>
ИЛИ
п М2 — f (К \ К2\
(И.49)
Из формул A1.48) и A1.49) следует, что для плоской
пластинки отношения -~ и -?- и произведения суМ^; сп М^; схЬ\1о
зависят только от параметра подобия /Ca = Mooa. Поэтому для
двух различных потоков вокруг плоской пластинки с разными
углами атаки и числами Моо отношения -^, -^ и произведения
Л д; для двух потоков одинаковы при условии, что
параметры подобия для них постоянны. Этот результат является
частной формулировкой общего закона гиперзвукового подобия
применительно к плоской пластинке.
— 365 —
При увеличении параметра К* коэффициенты су и сх
уменьшаются. В предельном случае, когда Моо->оо,
A1.50)
сх=(к+1)а*
Так как давление распределяется по поверхностям пластинки
равномерно, то центр давления располагается по середине хорды
пластинки:
Хд = 0,5. A1.51)
Тогда коэффициент момента аэродинамических сил относительно
передней кромки ст=0,5сп> или
ст = 0,5(рв-ръ). (П.52)
Кривые зависимости су от угла атаки, построенные по
значениям, вычисленным по формуле A1.46) при к=1,4 для
различных значений числа М, показаны на рис. 11.4. Туда же для
0,05
в
ю
Рис. 11.4. Кривые зависимости коэффициента
подъемной силы плоской пластинки от угла
атаки при различных значениях числа Mqq
сравнения нанесены значения су при сверхзвуковых скоростях,
полученные по линейной теории су = а , и значения су
в случае несжимаемого потока (М=0), когда су=2ла.
Из рис. 11.4 видно, что в отличие от несжимаемого потока
и умеренных сверхзвуковых скоростей в гиперзвуковом потоке
зависимость су от угла атаки существенно нелинейна. Кроме того,
— 366 —
Су
коэффициент подъемной силы пластинки резко уменьшается с ростом
числа М и при гиперзвуковых скоростях имеет весьма низкие
значения. Например, для а = 4° при М = 0 су = 2ла = 0,438;
при М = 2 Су = 0,161; при
М = 10 Су = 0,03 и при М = оо
и к =1,4 с, = 2,4а = 0,0117.
Заметим, что при
увеличении числа Моо подъемная сила
пластинки возрастает, так как
она пропорциональна
произведению CyMlo'.
30
20
10
Например,
а =4°
при Моо = 2
= 0,644, а
о
/
/
/
;
Рис. 11.5. Кривая зависимости
произведения Су№^ от параметра
гиперзвукового подобия для плоской
пластинки
Для характеристики
изменения подъемной силы при
увеличении числа Моо в
гиперзвуковом потоке на рис. 11.5 приведена кривая зависимости
произведения суЖ%> от параметра гиперзвукового подобия К«-
Известно, что в дозвуковом потоке около трех четвертей всей
подъемной силы создается верхней поверхностью и только
примерно одна четверть приходится на долю нижней поверхности.
При умеренных сверхзвуковых скоростях подъемные силы верхней
и нижней поверхностей примерно одинаковы.
В гиперзвуковом потоке подъемная сила в основном'создает-
ся нижней поверхностью. Доля подъемной силы, вызываемой
верхней поверхностью,
= ~Рв- тем меньше, чем больше
Рп—Рв
В пределе при
0, Суп =
число Моо рд р
Рп — Рв
(рис. 11.6).
В заключение отметим еще одну особенность обтекания
пластинки гиперзвуковым потоком. Из формул A1.20) и A1.38) следует,
что при малых углах атаки составляющие скорости возмущения
вдоль направления невозмущенного потока, как со стороны
верхней поверхности A1.20), так и со стороны нижней поверхности
A1.38), малы по сравнению с поперечными составляющими
скорости.Поэтому с точностью до малых величин второго порядка
(а2) можно принять, что пластинка, движущаяся в неподвижной
среде с гиперзвуковой скоростью, при малом угле атаки вызывает
смещение частиц лишь в плоскости, перпендикулярной к направле-
— 367 —
нию полета. Это свойство справедливо для любого тонкого тела,
движущегося с гиперзвуковой скоростью при малом угле атаки.
Если в среде выделить слой газа, перпендикулярный к
направлению полета, то тело, пролетая с гиперзвуковой скоростью мимо
0,5
Линейная теория
суд
0,5
1,0
2,0
Рис. 11.6. Коэффициенты подъемной силы, создаваемой
нижней и верхней поверхностями плоской пластинки
этого слоя, вызывает смещение частиц только вдоль слоя, при этом
поперечное перемещение частиц почти отсутствует. В этом
заключается закон плоских сечений.
§ 11. 5. Применение законов гиперзвукового
подобия к определению аэродинамических
характеристик профилей
Пользуясь основными соотношениями, полученными в § 11.2—
11.4, можно определить аэродинамические характеристики тонких
произвольных профилей с острой передней кромкой при малых
углах атаки.
В качестве примера рассмотрим обтекание клиновидного
профиля (рис. 11.7). При малой относительной толщине угол
полураствора клина равен 6К = |-.
Обтекание нижней и верхней поверхностей клиновидного
профиля можно рассматривать как соответствующее обтекание тупых
углов или пластин с углами атаки, равными местным углам атаки
на рассматриваемой поверхности. Поэтому для расчета коэф-
— 368 —
фициента давления на поверхности можно пользоваться известными
соотношениями теории косого скачка уплотнения и течения
разрежения или соответствующими приближенными формулами,
полученными в § 11.2—11.4.
Рис. 11.7. Клиновидный профиль в гиперзвуковом
потоке
Коэффициент давления за скачком уплотнения на нижней
поверхности можно определить по формуле A1.28) или A1.29),
заменяя в них угол поворота потока 0О местным углом атаки:
а параметр подобия
Тогда
ИЛИ
„,-2|а+¦§-)*?
Характер обтекания верхней поверхности зависит от
отношения —. Возможны два случая обтекания:
1. Угол атаки профиля меньше угла клина: а<^-о-, или
~?-<^-х-. В этом случае на передней кромке со стороны
верхней поверхности образуется скачок уплотнения. Поэтому коэф-
13 Зак. 801 — 369 —
фициент давления можно определить по формуле A1.29),
подставляя в нее местный угол атаки 0О = ~— а и параметр
подобия /Са = Mgol-g- — а)« Тогда
т-а) («+!)¦ J
2. Угол атаки больше угла клина а^>~, или -^> — .
z с г
В этом случае на верхней поверхности происходит течение
разрежения, соответствующее обтеканию верхней поверхности
пластинки или обтеканию угла, большего 180°. Поэтому
коэффициент давления можно вычислить по формуле A1.16), подставляя
в нее вместо 60 местный угол атаки
и параметр подобия
Тогда
/ г \2 9 1
X
(-if
{Од;
i^-^M*-!)] г AL55)
В формуле A1.55) ^ЛЦа — -^)< 1. Если Чр Моо X
( с\ ^ t 'о
X (а—2~1 > 1, то давление на верхней поверхности равно
нулю, а коэффициент давления при этом
2 1
Пользуясь формулой A1.53) или A1.54), найдем выражение
для коэффициента давления на поверхности клиновидного
профиля при а=0:
A1.56)
— 370 —
В предельном случае, при Моо-> со
Учитывая, что -^- = 6К, получим
р = (к+1)Ь1 A1.57)
Найдем изменение коэффициента давления на поверхности
при увеличении угла клина на малую величину Д0К:
р+Др=(/с+1)(9ж+Д6ж)».
Отсюда
Ар = 2 _* -
р к
Следовательно, в гиперзвуковом потоке относительное увеличение
коэффициента давления более чем вдвое превышает относительное
возрастание угла клина.
Зная коэффициенты давлений на поверхности, можно определить
коэффициенты суммарных аэродинамических характеристик —
коэффициенты подъемной силы, волнового сопротивления и момента
относительно передней кромки.
Найдем сначала коэффициент нормальной силы сп,
перпендикулярной к хорде профиля, и тангенциальной силы ст,
направленной вдоль по хорде. Для тонких профилей
сп=рн—рв }
г 7 • AL58)
С%— \РнТ~Рв} ~2~ I
Для определения коэффициентов подъемной силы и
сопротивления воспользуемся формулами перехода от связанных осей
координат к поточным:
су = сп cos a — cz sin a,
сх = cz cos а+сЛ sin а.
При малых углах атаки
сх=сх+спа.
— 371 — " 13*
Тогда
су=Рн-~Рв )
- -с - -N ¦ AL59)
^ = (Рн + Рв) + (Рн — Рв) ОС J
Поскольку давление распределено равномерно по
поверхности, то центр давления располагается посередине профиля.
Поэтому коэффициент момента
ст = ся±. A1.60)
Из формул A1.53), A1.55), A1.58) и A1.60) вытекает, что
для клиновидного профиля коэффициенты давления и
суммарных аэродинамических характеристик зависят от трех
независимых параметров—угла атаки, угла клина и числа Моо
набегающего потока. Вместо трех указанных независимых переменных
можно ввести два новых независимых параметра, а именно
и — или Моо с и -?г. Легко показать, что формулы A1.53) —
а
с
A1.55) для определения коэффициентов давления можно
представить в одной из следующих форм:
1-fM а -
A1.61)
Аналогично могут быть записаны и к оэффициенты суммар-
гр СУ
ных аэродинамических характеристик. Тогда отношения ^-,
$
^, -^, -=Д или произведения М<^су, М^ схУ М^ст оказы-
с2 с3 с2
ваются зависящими только от двух параметров Моо а'и — или
от Моо с и -=ra Следовательно, параметрами подобия в этом
случае могут быть М^ а и — или Моо с и -^г-. Поэтому для
с
с
а с
клиновидных профилей с различными относительными
толщинами с, при различных углах атаки и числах Моо невозмущен-
— 372 —
його потока, произведения М^су, М^сх> М^ст или отношения
4» ~5> ^ ^ля ДВУХ потоков имеют одинаковые значения при
условии постоянства параметров гиперзвукового подобия Мооа
с
и
или
и
§ У/. 6. Приближенное определение давления
на поверхности конуса при нулевом угле атаки
Рассмотрим осесимметричное обтекание конуса с
присоединенным скачком уплотнения (рис. 11.8).
При осесимметричном обтекании конуса параметры потока
остаются неизменными вдоль любого промежуточного конуса между
скачком уплотнения и поверхностью (см. § 10.11). При этом
скорость и другие параметры потока зависят только от полярного
Рис. 11.8. Осесимметричное обтекание конуса гиперзвуковым потоком
угла 8, определяющего положение образующей промежуточного
конуса. В коническом скачке уплотнения поток поворачивается
на угол, меньший угла полураствора конуса 0К (бс <С 6К)- В потоке
за скачком происходит увеличение угла наклона скорости до
Для определения поля скоростей в области, заключенной между
скачком уплотнения и поверхностью конуса, необходимо решить
систему обыкновенных дифференциальных уравнений A0.108).
— 373 —
При этом должны выполняться граничные условия на
поверхности конуса и скачка уплотнения A0.109), A0.110), A0.111), A0.112):
при 6 = р
*V (Р) = ^оо COS
A1.62)
92
ИЛИ
Решение системы дифференциальных уравнений для осесиммет-
ричного обтекания конуса при выполнении указанных граничных
условий может быть получено графически или численными
методами. Давление на поверхности конуса можно определить,
пользуясь таблицами, составленными для различных углов полураствора
конуса и чисел Моо-
При использовании результатов строгого решения задачи об
осесимметричном обтекании конуса давление на поверхности конуса
не может быть представлено в простой аналитической форме.
Получим приближенное аналитическое решение этой задачи
применительно к гиперзвуковому потоку.
JTTpH .гиперзвуковых скоростях скачок уплотнения вплотную
приближается к, поверхности.^Между скачком уплотнения и
поверхностью конуса образуется тонкий слой уплотненного газа.
Разность углов (Р — 6К) при этом мала. Тогда в интересующей
нас области, между скачком и поверхностью конуса, разность
между углами полураствора промежуточного и обтекаемого конусов
тоже мала @ — бк). Поэтому искомая радиальная составляющая
скорости vr в любой точке приближенно может быть представлена
в виде главных членов разложения vr в ряд по степеням F — 0К):
Vr=a+b(Q-dK)+c(d-QKf. A1.63)
Коэффициенты этого полинома должны быть определены из
граничных условий. Из условий на поверхности конуса A0.109)
и A0.110), учитывая, что ^е=-4т, имеем
6 = 0,
c=~vK.
— 374 —
Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение
A1.63) и используя второе уравнение A0.108), получим
-^ = 1 — (в — вкJ, A1.64)
_!l = _2F — 0К). A1.65)
VK
Формулы A1.64) и A1.65) дают возможность приближенно
найти поле скоростей вблизи поверхности конуса при
гиперзвуковых скоростях.
Для определения скорости потока на поверхности конуса и угла
наклона скачка р воспользуемся граничными условиями на скачке
уплотнения A1.62). Подставим приближенные выражения для
vr и vQ A1.64), A1.65) в условие A1.62). Тогда
^iJp-ц,. О1-66)
(п.67)
Здесь отношение плотностей — в косом скачке уплотнения для
Pi
совершенного газа с постоянной теплоемкостью можно определить,
пользуясь формулой E.7):
О1'68)
Отметим, что для совершенного газа при /с-> 1 и
— -> оо. Из уравнения A1.67) вытекает, что (Р— 0К) -> 0. Удар-
ная волна при этом почти совпадает с поверхностью конуса.
Подставляя выражение для отношения — в формулу A1.67),
получим
Рассмотрим обтекание тонкого конуса. Тогда при малом угле
6К мал и угол наклона скачка уплотнения р. Поэтому, полагая
в формуле A1.69) sinp^p, находим
— 1 (о
P
— 375 —
или
где
i(a=MJK, /Cc = MooP.
Решая найденное уравнение относительно Кс и имея в виду,
что /Сс>0, получим
к
Из формулы A1.70) следует, что отношение »углов ~- при
к
больших числах М в соответствии с законом гиперзвукового
подобия зависит только от одного параметра К* = Mqq 0k. При
Mqo -> оо
Т"-*2^- (И.70')
о
Для /с=1,4 у--> 1,093. Следовательно, предельное значение
угла наклона скачка уплотнения р= 1,093 0К.
На рис. 11.9 приведена кривая зависимости отношения j
от критерия подобия /Са, построенная на основании формулы A1.70).
Там же для сравнения нанесена кривая по результатам численного
интегрирования точных уравнений для конических течений
(пунктирная кривая). Из рисунка видно, что приближенная формула
A1.70) хорошо аппроксимирует точные значения ? при малых
углах полураствора конуса 0К < 10° и для таких значений числа М,
при которых справедлив закон гиперзвукового подобия (Ка > 1).
При 0К = 20° эта формула дает заниженное значение угла р.
Получим приближенную формулу для определения
коэффициента давления на поверхности конуса:
A1.71)
где
рк — давление на поверхности конуса.
Представим отношение — в следующем виде:
^- = f^fl. A1.72)
Рсо Рс Роо '
Здесь рс — давление за скачком уплотнения.
— 376 —
Отношение —- может быть найдено по соотношениям для
Роо
косого скачка уплотнения E.6):
Роо
2к
JC+1
ft
9„
3,0 -
го
ко
\
и
- 1x1
1 \
\ \
\»
\\
V\
\°
ч
1
х Ю"
а 20°
Рмс. 7/.Р. Зависимость угла полу раствора конического скачка
уплотнения от параметра подобия (осесимметричное j обтекание
конуса)
Для малых углов полураствора конуса это выражение имеет
вид
Рс_
Роо
2/с
К— 1
/с+1
A1.73)
Для нахождения первого множителя в выражении A1.72)
воспользуемся соотношениями для изэнтропического течения
в потоке за скачком уплотнения:
рк
A1.74)
13В. Зак. 801
— 377 —
где
Здесь
Отсюда
al — al = ^^ [vl — v2K)
4
2 «
im Л
*K2 J'
Используя приближенные выражения для vK A1.66) и
составляющих скорости A1.64) и A1.65) и отбрасывая члены, имеющие
порядок выше, чем Р2, получим
или
Подставляя полученное выражение для -| в формулу A1.74),
находим
Отсюда в результате разложения правой части полученного
выражения в ряд по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь
первыми двумя членами ряда находим
2
^ = \ + к^(Кс-КаУ. A1.75)
В выражении A1.75) отношение' квадратов скорости звука
можно представить в следующем виде:
alo = jPoo_ ?с_
«с Рс роо
— 378 —
где —- и — определяются соответственно по формулам A1.73)
Роо Рею
и A1.68), причем в формуле A1.68) при малых углах
полураствора конического скачка уплотнения Mi|3MP^
Подставим выражение для — A1.73) и — A1.75) в форму-
Рао Рс
лу A1.72). Тогда в результате некоторых преобразований
находим
??№ у^±^. (п.76)
Подставляя в формулу A1.71) выражение A1.76), получаем
= ^Т (/Сс2- 1) + 2(/Се-К„У "*12, A1 -77)
ИЛИ
Здесь параметр Кс = Mqo P в зависимости от параметра
подобия Ка = Моо бк для конуса может быть найден по
формуле A1.70). Из формул A1.77) и A1.78) вытекает, что произведе-
о — рк
ние МооРк и отношение — при заданном значении коэффициента
к зависят только от одного параметра /Са = М006к.
Найдем предельное значение коэффициента давления на по»
верхности конуса при Моо-> оо:
Рк
Для коэффициентов /с, равных 1; 1,2; 1,4, предельные
значения р соответственно равны:
pK = 2Ql 2,045 6*, 2,083 0К2.
Давление на поверхности конуса при прочих равных
условиях меньше, чем давление на клине. Из формул A1.79) к
A1.57) следует, что при Моо-» °° отношение коэффициентов на
конусе и клине при одинаковых углах 0К равно
13В*
Для /с=1,4
4^=0,868.
Ркл
При Да > 1 приближенные значения -^ удовлетворительно
согласуются с данными точного решения задачи при 6К < 20°. При
больших углах 0К приближенная формула дает несколько
заниженные значения ¦—-.
§ 11. 7. Теория Ньютона
Для приближенного определения сопротивления, действующего
на тело при его движении в жидкой или газообразной среде, Ньютон
предложил модель взаимодействия молекул и принял, что среда,
обтекающая тело, состоит из одинаковых и не взаимодействующих
между собой частиц, расположенных на равных расстояниях
друг от друга. Согласно теории Ньютона, скорость движения
частицы до столкновения с поверхностью равна скорости
невозмущенного потока. При столкновении частицы с элементом
поверхности нормальная составляющая ее скорости становится равной
нулю, а касательная составляющая при этом остается неизменной
(т. е. происходит неупругое столкновение частиц газа с элементом
поверхности). Поэтому давление в данной точке по теории Ньютона
зависит только от ориентации соответствующего элемента
поверхности по отношению к вектору скорости невозмущенного
потока. При этом форма остальной части тела не влияет на величину
давления в заданной точке.
Теория Ньютона не дает возможности определить давление
на участках поверхности, находящихся в «аэродинамической тени»
тела (рис. 11.10). На этих участках поверхности давление нужно
принимать равным нулю. Тогда сопротивление тела будет
определяться только формой его головной части.
Напишем формулу для определения коэффициента давления.
Рассмотрим элемент поверхности dS с местным углом атаки 0.
Тогда масса частиц газа, сталкивающихся в единицу времени
с элементом поверхности, равна роо Уоо dS sin0.
До столкновения с поверхностью проекция количества
движения этой массы на направление нормали к элементу
поверхности равна pooV^odSsm2Q.
После соударения с поверхностью при неупругом столкновении
нормальная составляющая количества движения равна нулю.
— 380 —
На основании теоремы импульсов изменение количества движения,
происходящее в результате столкновения частиц газа с
поверхностью, равно импульсу действующих сил. Поэтому
роо ?& dS sin2 6=(p—poo) dS.
Отсюда
р — Роо= poo via Sin2 0, A1.80)
/?=2 sin2 6. A1.81)
По формуле Ньютона A1.81) величина коэффициента давления
зависит только от местного угла атаки. Поэтому коэффициент
давления на поверхности клина и конуса при прочих равных условиях
Аэродинамическая- тень
Рис. 11. 10. Модель обтекания, принятая в теории Ньютона
по формуле A1.81) имеет одинаковые значения. В
действительности давление на поверхности конуса A1.79) меньше, чем давление
на клине A1.57).
На рис. 11.11 и 11.12 приведены кривые зависимости угла
наклона скачка уплотнения C и коэффициента давления при Моо->°о
от угла 0 для конуса (по результатам точного решения задачи
осесимметричного обтекания) и клина (по теории косых скачков
уплотнения). Там же для сравнения нанесены значения р,
полученные по формуле Ньютона A1.81). По теории Ньютона E = 0.
На рис. 11.11 и 11.12 видно, что результаты расчета по теории
Ньютона хорошо согласуются с точными значениями р и р для
конуса. При уменьшении значения коэффициента к = —'
расхождение между точными и приближенными значениями р и р будет
еще меньше.
При определении коэффициента давления по формуле A1.81)
для клина ошибка несколько больше, чем для конуса.
Например, при Моо-> °о и /с = 1,2 она составляет для конуса около
4% и 20% — для клина.
Для расчета распределения давления по поверхности тел
вращения и профилей произвольной формы при а = 0 можно
пользоваться уточненной формулой Ньютона, полученной из условия,
— 381 —
что значение коэффициента давления в передней точке тела по
приближенной формуле должно совпадать с точным значением р в
этой точке. Тогда
р=р* sin22e A1.82)
Для тупоносых тел sin0О= 1, ар* — коэффициент давления
в критической точке тела (р* = р0). Давление в критической точке
SO
40
20
А
/
1
Точные значения
при Л/=°°, л = /,4
Клин ^^^ /
Конус^у/
А
У
)
V
/
V
. Теория Ньютона
20
р
и
0,8
ОЛ
Точные значения
при М=°°,к- /,?
Конус^^
У
/ /
V/
1
///
//
^о формуле
Ньютона
О
20
Рис. 11.11. Кривые зависимости Рис. 11.12. Сравнение точной зави-
угла наклона скачка уплотнения симости коэффициента давления от
при Моо-*- ооот угла 0к для клина и угла Ьк при Ж^^ оо для клина и ко-
конуса нуса с приближенной зависимостью
Ньютона
за прямым скачком уплотнения можно определить по известной
формуле Релея D.27):
Ро
Роо
2/с
*-1
Тогда
- 2
2/с
1оо
— 1
/ 2/с
l
м
5 \\к
> к+\)
A1.83)
— 382 —
А при М
^J-i, A1.84)
при /с= 1,4 ро= 1,83.
Для остроносых тел с присоединенным скачком уплотнения
60 — угол наклона касательной к телу в передней точке к
направлению скорости набегающего потока, ар* — коэффициент
давления на поверхности клина с углом 60 (при расчете р для
плоских тел) и конуса с углом полураствора 60 (при рассмотрении
обтекания тел вращения). Значения р* для клина и конуса в
зависимости от Моо и угла 60 могут быть определены по точным
соотношениям теории обтекания тел или по приближенным
формулам. Например, при гиперзвуковых скоростях коэффициент
давления для тонких клиньев и конусов можно найти,
пользуясь формулами A1.29) и A1.78).
Результаты расчета по уточненной формуле A1.82) хорошо
согласуются с данными экспериментальных исследований для тел
вращения и несколько хуже — для профилей.
Однако с достаточным обоснованием теория Ньютона может
быть применима только при исследовании обтекания тел потоком
сильно разреженного газа. Законность применения теории Ньютона
для решения задач обтекания тел гиперзвуковым потоком плотного
газа, когда длина свободного пробега молекул мала, строго доказать
не удается. Тем не менее при гиперзвуковых скоростях картина
обтекания тел близка к той, которая принята в классической теории
Ньютона. При Моо -> °° и /с->1, как это следует из формулы A1.25')
и A1.70), скачок уплотнения почти совпадает с поверхностью
(Р -> 6). Нормальная составляющая скорости потока за скачком
уплотнения v2n при Моо-> оо и /с -> 1 равна нулю, а касательная
составляющая скорости равна vt = Уоо cosfi или ^^^ooCosG.
Поскольку при гиперзвуковых скоростях скачок уплотнения
близко прилегает к поверхности, то нормальная и касательная
составляющие скорости на поверхности тела мало отличаются от
v2ri и vt соответственно. Следовательно, граничные условия на
поверхности тела, обтекаемого потоком невязкого газа при Моо-^ сю
к -> 1, примерно совпадают с условиями, принятыми в теории
Ньютона. Коэффициент давления A1.30) за скачком уплотнения
при гех же условиях составляет р = 2 sin2[3, или р = 2 sin26,
а давление на поверхности мало отличается от давления за скачком
уплотнения. Поэтому для определения коэффициента давления
на поверхности тела за скачком уплотнения можно пользоваться
формулой Ньютона. На участках поверхности, где происходит
течение разрежения, при Моо->оо р -> 0 A1.16).
Таким образом, анализ обтекания тел при гиперзвуковых
скоростях показывает, что теория Ньютона может дать близкие
— 383 —
к действительности результаты. Однако необходимо отметить, что
формула Ньютона дает удовлетворительные результаты только
применительно к простым телам: изолированное крыло с острой
передней кромкой, остроносое тело вращения с малой кривизной, передняя
поверхность сферы и цилиндра произвольного сечения и т. д.
Можно указать ряд примеров тел, когда давление, подсчитанное
по формуле Ньютона A1.81), значительно отличается от
действительного в данной точке поверхности: на поверхности пластинки
или клина с притуплённой передней кромкой, затупленного конуса
с малым углом-полураствора, крыла в присутствии корпуса и т. д.
В гиперзвуковом потоке малое затупление передней кромки
или носка тела приводит к значительному изменению
распределения давления на участке поверхности, протяженность которой
во много раз превосходит радиус затупления. Между тем по формуле
Ньютона коэффициент давления зависит только от местного угла
атаки в данной точке поверхности. Поэтому сильное влияние
малого притупления на характер распределения давления теорией
Ньютона не может быть учтено.
При расчете аэродинамических характеристик крыла в
присутствии корпуса необходимо учитывать интерференцию между
корпусом и крылом. В этом случае крыло или часть крыла
оказывается в потоке за скачком уплотнения, возникающего при обтекании
корпуса. Вследствие этого параметры потока в окрестности крыла
существенно отличаются от параметров невозмущенного потока.
Это явление в теории Ньютона также не может быть учтено.
§ 11.8. Метод местных клиньев (конусов)
Теоретические и экспериментальные исследования при
гиперзвуковых скоростях показывают, что давление на поверхности
остроносого профиля и тела вращения зависит в основном от значения
местного угла атаки. Об этом свидетельствует и удовлетворительное
совпадение результатов расчета распределения давления по
формуле Ньютона с опытными данными. Такая особенность обтекания
тел позволяет принять, что давление в каждой точке поверхности
произвольного тела с произвольным углом атаки равно давлению
на клине (при рассмотрении обтекания профилей) с углом клина,
равным местному углу атаки элемента поверхности, или на конусе
(для тел вращения) при его осесимметричном обтекании с углом
полураствора, равным местному углу наклона образующей к оси
тела.
Этот метод расчета давления, названный методом касательных
клиньев (применительно к профилям) и касательных конусов
(для тел вращения), предполагает, что условия обтекания элемента
— 384 —
поверхности совпадают с условиями обтекания клина или конуса,
касающегося тела в данной точке (рис. 11.13).
Давление на поверхности местного клина и конуса можно
найти по точным соотношениям по теории косого скачка уплотнения
(для клина) и по результатам численного решения системы
дифференциальных уравнений (для конуса) или с помощью
приближенных формул A1.29) и A1.78), подставляя в них вместо
угла 0 местный угол атаки.
Определение давления на поверхности тел с помощью метода
касательных клиньев (конусов) предполагает, что каждому элементу
Касательный хпин (конус)
Рис. 11.13. К определению распределения
давления по поверхности тела методом
касательных клиньев (конусов)
поверхности соответствует свой местный скачок уплотнения при
скорости, равной скорости невозмущенного потока. Между тем
в действительности скачок уплотнения возникает на передней
кромке профиля (на носке тела вращения). Поэтому он является
общим для всех элементов поверхности, а скорость потока и
плотность по поверхности тела изменяются. В этом главное
несоответствие между допущениями, положенными в основу
рассматриваемого метода, и действительной картиной обтекания тел
гиперзвуковым потоком. Кроме того, в методе касательных конусов (клиньев)
не учитывается наличие центробежных сил, возникающих из-за
кривизны поверхности. Тем не менее метод касательных конусов
(клиньев) обеспечивает достаточную точность расчета коэффициента
давления по поверхности тонких заостренных тел при
гиперзвуковых скоростях.
На рис. 11.14 приведено сравнение распределения давления
по поверхности параболического тела вращения длиной / при
а = 0, полученного методом касательных конусов, с данными
экспериментальных исследований. Уравнение образующей тела
вращения:
у=%х A-0,5*).
— 385 —
где
Go — Угол наклона касательной к образующей при вершине
тела;
jc и у—относительные координаты, равные ~ и -у соответственно.
Местный угол атаки в каждой точке поверхности
Тогда
где
0,5 "\/ "
Рис. 11.14. Сравнение распределения давления по
поверхности пораболического тела вращения при
а=0, полученного методом касательных конусов,
с данными экспериментальных исследований
Из рис. 11.14 следует, что результаты приближенного
расчета удовлетворительно совпадают с экспериментальными
значениями всюду за исключением области х->1. При х — 1 6 — 0,
поэтому расчетное значение коэффициента давления р=0. В дей-.
ствительности при х= 1 коэффициент р<0. Заметим, что при
х -* 1 (/Са->0) формулы A1.29) и A1.78) фактически не применимы.
— 386 —
§ 11. 9. Метод волн разрежения
Рассмотрим обтекание остроносого профиля, имеющего у
передней кромки плоский участок О А (рис. 11.15), сверхзвуковым
потоком.
Как известно, поле скоростей в окрестности произвольного
профиля при его обтекании сверхзвуковым потоком можно
определить, пользуясь методом характеристик (§ 6.7). Однако применение
метода характеристик осложняется вследствие трудоемкости
вычислений.
Скачок уплотнения
Падающая Волна
О
Рис. 11. 15. К методу волн разрежения
Одним из довольно точных методов определения распределения
по поверхности профиля с присоединенным скачком уплотнения
является метод волн разрежения. В этом методе предполагается,
что течение за присоединенным скачком уплотнения совпадает
с течением Прандтля — Майера (§ 6.8), при этом рассматривают
только семейство характеристик, исходящее от поверхности,
пренебрегая семейством характеристик, отраженным от скачка
уплотнения.
Предположим, что а < 60. Тогда скачок уплотнения образуется
со стороны как нижней, так и верхней поверхности профиля.
На рис. 11.15 для примера показаны скачок уплотнения,
падающие и отраженные волны со стороны верхней поверхности.
Параметры потока в области между косым скачком уплотнения,
плоским участком поверхности О А и прямолинейной
характеристикой АВ могут быть найдены в зависимости от числа Моо и угла
поворота потока у передней кромки профиля с помощью точных
соотношений для косого скачка уплотнения или по приближенной
формуле A1.28).
Обозначим угол поворота потока у передней кромки через
0 (см. рис. 11.15). При a =j= О для нижней поверхности этот угол
— 387 —
равен @ = a -f- 0O, а для верхней в = 60 — а. На участке
поверхности, расположенном вниз по потоку за точкой Л, происходит
течение разрежения. Поэтому от каждой точки поверхности за точкой
А исходит волна разрежения. Эти волны, встречаясь с головным
скачком уплотнения, вызывают искривление скачка выше точки
В и, вообще говоря, отражаются от него в виде волн возмущения
ВС,... Кроме того, за криволинейным участком скачка происходит
завихрение потока.
Если волна ВС не пересекает поверхности профиля, т. е.
профиль находится вне области влияния искривленного участка
скачка уплотнения, то давление на всем участке поверхности
за точкой А может быть найдено по точным или приближенным
соотношениям для простой волны.
При расчете течения разрежения в качестве исходных
необходимо принять параметры потока за скачком уплотнения. Пользуясь
соотношениями течения разрежения можно определить коэффициент
давления ръ представляющий собой отношение разности между
давлением в рассматриваемой точке поверхности и давлением
за скачком уплотнения к скоростному напору за скачком:
п" Я, - к Мс2
где
рс и Мс — давление и число М за скачком уплотнения.
Отношение — можно найти по формуле A1.15), подставляя
в нее вместо М1 число Мс, а вместо угла 0О угол (Г—0.
Здесь 0 — местный угол атаки в данной точке поверхности. Тогда
для определения рг получим следующую формулу:
A1.85)
Зная pl9 можно вычислить и коэффициент давления,
приведенный к параметрам невозмущенного потока \р= — j. Вы-
ражая коэффициент давления р в данной точке через
коэффициент давления ръ получим
A1.86)
Г СО \ СО /
где
рс—коэффициент давления за скачком уплотнения, который
можно определить по точным соотношениям для косого
скачка уплотнения или приближенно по формуле A1.28),
полагая в ней р=рс.
— 388 —
Отношение плотностей -^- можно вычислить по формуле
Роо
A1.39), полагая в ней р2=рс> Pi^Poo, а скорость потока за скачком
уплотнения vc при малых углах атаки а и 60, как было
показано в § 11.3, приближенно можно принять равной скорости
невозмущенного потока.
В результате подстановки в формулу A1.86) выражений для
рс (Ц.28), -^- A1.39) и рг A1.85) будем иметь
Роо
if Щ {[(f)p} (П.87)
где
2_К— 1
К 1 rr
/ 2/с к2_а:— 1\ (к— 1 2 1
Здесь угол поворота потока 6 у передней кромки
необходимо принять равным 6=а+60 (ПРИ расчете коэффициента
давления по нижней поверхности) и 0О — а (для верхней
поверхности). Представим угол (Г в следующем виде:
6 -
л
где -^- зависит только от формы профиля. Тогда параметр по-
с
добия в формуле A1.87) будет равен для нижней поверхности
и для верхней поверхности
с с
— 389 —
Подставляя эти выражения для /Са в формулу A1.87) для
определения коэффициента давления на поверхности заданного
профиля, получим следующую функциональную зависимость:
JL
A1.88)
где
х — относительная координата рассматриваемой точки на
поверхности.
При углах атаки а > 60 скачок уплотнения образуется только
со стороны нижней поверхности. На верхней же поверхности
происходит течение разрежения. Коэффициент давления на верхней
поверхности в этом случае можно определить, пользуясь точными
соотношениями на простой волне, или по приближенной формуле
A1.16), подставляя в нее вместо 60 местный угол атаки в данной
точке поверхности, а вместо числа Mi следует взять число М
невозмущенного потока (Мх = Моо).
Изложенный метод волн разрежения позволяет рассчитать
распределение давления, а следовательно, и суммарные
аэродинамические характеристики профиля лишь в том случае, когда
профиль не попадает в область влияния искривленной части
головного скачка уплотнения.
В случае произвольного профиля без плоского участка в
области передней кромки искривление скачка уплотнения начинается
с передней кромки. Волны разрежения, исходящие от поверхности
профиля, отражаются от скачка уплотнения в виде волн сжатия.
Интенсивность этих волн тем больше, чем больше число М
невозмущенного потока.
В общем случае расчета аэродинамических характеристик
профиля необходимо учитывать изменение давления на поверхности
вследствие влияния отраженных от скачка уплотнения волн
сжатия. Однако для тонких профилей интенсивность отраженных
возмущений мала, а течение за ударной волной близко к течению
Прандтля — Майера. Поэтому при приближенном определении
распределения давления по профилю можно не учитывать влияния
отраженных волн, считая при этом давление вдоль характеристик,
идущих от профиля, постоянным. Заметим, что в этом случае
характеристики уже не являются прямыми, как в простой волне,
так как при этом скорость, плотность, температура и т. д. вследствие
влияния отраженных возмущений изменяются вдоль характеристик.
Тем не менее для приближенного расчета давления на поверхности
профилей с криволинейным контуром можно пользоваться точными
соотношениями на простой волне.
Расчеты показывают, что методом волн разрежения можно
пользоваться с достаточной степенью точности при Моо >3и углах
поворота потока, при которых образуется присоединенный скачок
уплотнения.
— 390 —
§ //. 10. Аэродинамические характеристики
тонких профилей и крыльев конечного размаха
при гиперзвуковых скоростях
Распределение давления по поверхности произвольных профилей
при гиперзвуковых скоростях можно определить, пользуясь одним
из методов, изложенных в § 11.7—11.9.
Зная в каждой точке поверхности давление, можно определить
суммарные аэродинамические характеристики профиля —
коэффициенты подъемной силы су, волнового сопротивления сх и момента
сил давления ст.
При малых углах атаки коэффициенты су и сх можно
вычислить по следующим формулам:
?H — pB)dx, A1.89)
^ — p^^dx, A1.90)
!де_
Рп> Рв—коэффициенты давления на нижней и верхней
поверхностях профиля;
6Н> ^в—местные углы атаки на нижней и верхней поверхностях,
равные:
Здесь 6н, 6в — углы наклона элементов поверхности к хорде
профиля. Для тонких профилей, заданных уравнениями ун=ун(*)
и ув=ув(х)у углы 0н и 0в равны:
Ub - dx '
Подставляя выражение для 0Н и 0В в формулу A1.90),
получаем
о о
— 391 —
Отсюда находим
ь
}[§X~X)dx. A1.91)
Коэффициент момента относительно передней кромки профиля
равен
ь
(J A1.92)
Коэффициенты давления рн и рв в формулах A1.89) — A1.92)
могут быть представлены в виде функциональной зависимости
A1.88). Поэтому в результате интегрирования для заданного
профиля получим следующие выражения:
i)
f)
A1.93)
с
Отсюда следует, что аэродинамические коэффициенты су, сх> ст
для произвольного профиля при заданной относительной толщине
зависят только от двух параметров подобия: Моо с и -^-. Для
с
одного и того же семейства профилей с различными
относительными толщинами с при различных углах атаки и чисел М^
су с г ст
отношения -^ , z=- и -3- при условии постоянства параметров
с2 с3 с2
гиперзвукового подобия Моо с и ^=- имеют одинаковые значения.
с
На рис. 11.16 и 11.17 в качестве примера приведены кривые,
характеризующие изменение коэффициента подъемной силы в
зависимости от отношения -^- при разных значениях
произведения Моо с, для ромбовидного и клиновидного профилей. На
рис. 11.18 показаны поляры для ромбовидного профиля.
Из рис. 11.16 — 11.18 видно, что при изменении параметра
подобия Моо с в диапазоне от 1 до оо при одном и том же зцаче-
нии -=- отношение -^=- изменяется незначительно. При Моо^> 1
с с2
cv a
кривые зависимости ~ от — и поляры практически совпадают
с2 с
— 392 —
I
3
s i
a. ex
3
at
о
at
I
§
з
з
ex
з
¦4
3
дног
Ǥ
о
ex
с соответствующими кривыми для МооС = оо. При МооС>1
коэффициенты су и сх практически не зависят от параметра
подобия Моос".
Из сравнения кривых, представленных на рис. 11.16 и 11.17,
видно, что при прочих равных условиях для 4>1 коэффициент
подъемной.силы клиновидного профиля больше, чем ромбовидного.
к.
50
30
20
10
О
80
120
с3
Рис. 11.18. Поляры ромбовидного профиля при различных
значениях параметра гиперзвукового подобия Ж^ с
Объясняется это тем, что при -> 1 на верхних поверхностях
с
профилей возникает разрежение. Форма профилей в зоне
разрежения (на верхней поверхности) практически не влияет на величину
подъемной силы, так как при гиперзвуковых скоростях в зоне
разрежения р -> 0. Поэтому подъемная сила в основном
определяется распределением давления по нижним поверхностям
профилей.
На нижней поверхности клиновидного профиля давление
постоянное, равное давлению за косым скачком уплотнения. На втором
участке нижней поверхности ромбовидного профиля давление
ниже, чем на первом участке.
— 394 —
Выпуклость нижней поверхности приводит к уменьшению
подъемной силы. Поэтому при гиперзвуковых скоростях профиль
с плоской нижней поверхностью ббладает большей подъемной
силой,^ чем с выпуклой формой нижней поверхности.
Для сравнительной оценки влияния формы профиля на величину
коэффициента волнового сопротивления на рис. 11.19 приведены
поляры для ромбовидного и клиновидного профилей при МооС = оо.
Су
30
20
ю у
3,5
3,5
1S~
i i i 4L
0 ° kO 80 120 c3
Рис. 11.19. Сравнение поляр ромбовидного и клиновидного профилей при
Из рисунка следует, что при малых значениях коэффициента подъем-
(су \
ной силы ~<40 I волновое сопротивление клиновидного профиля
меньше, чем для ромбовидного профиля. При больших значениях
суу т. е. углов атаки, форма профиля практически не влияет на
величину коэффициента волнового сопротивления.
Этот же вывод следует из рис. 11.20, на котором изображены
кривые изменения качества для различных профилей в зависимости
а а I а Су \
от~. При больших значениях отношения ~1~>4;^ > 40) форм
с с \ с с I
профиля при одной и той же относительной толщине практически
не влияет на величину аэродинамического качества. Однако при
малых отношениях @,5 < 4- <^ 2) аэродинамическое качество
клиновидного профиля значительно выше качества ромбовидного.
Отсюда следует, что при гиперзвуковых скоростях наибольшим
— 395 —
а
аэродинамическим качеством обладают профили с плоской нижней
поверхностью, т. е. профили, максимальная толщина которых
расположена у задней кромки.
Следует отметить, что на рис. 11.18— 11.20 приведены
коэффициенты сопротивления профилей, найденные без учета
сопротивления трения и донного сопротивления (для клиновидного и
полуклиновидного профилей).
Рис. 11.20. Кривые зависимости качества профилей от ^L
с
Донное сопротивление, вызываемое разрежением за кормой
профиля,
Л „2
где рд — коэффициент донного давления:
при полном вакууме за кормой (р=0)
2 1
Тогда коэффициент донного сопротивления
— 396 —
A1.94)
а при полном вакууме
схд — "т:
A1.95)
или
схл 2 1
A1.96)
Из формулы A1.96) следует, что отношение —^Д- тем меньше,
с3
чем больше произведение МооС. При
4~ и
—д ->0 при Моос-> оо. Следовательно, при гиперзвуковых ско-
с3
ростях коэффициент донного сопротивления тонкого профиля
мал по сравнению с коэффициентом волнового сопротивления.
Сопротивление трения у тон- .
ких профилей примерно оди- 1 ^
наково. Поэтому по величине '
отношения коэффициента
подъемной силы к
коэффициенту волнового
сопротивления, представленного на
рис. 11.20, можно судить и о
полном аэродинамическом
качестве профиля.
Отметим некоторые
особенности обтекания крыльев
конечного размаха
гиперзвуковым потоком.
Как известно, основная
трудность при определении
аэродинамических
характеристик крыла конечного размаха заключается в необходимости
учитывать влияние боковых кромок и взаимное влияние правого
и левого полукрыльев (в случае стреловидных крыльев).
Влияние боковых кромок сказывается только в областях, ограниченных
конусами возмущения, исходящими из передних кромок концевых
секций (в областях I на рис. 11.21). Для определения зоны
взаимодействия полукрыльев достаточно провести конус возмущения из
передней кромки корневого сечения (область II на рис. 11.21).
Поскольку в гиперзвуковом потоке происходит сужение зон
возмущенного движения (угол возмущения |Л = -^ -» 0), то
площади областей I и II незначительны по сравнению с общей площадью
Рис. 11.21. Крыло конечного размаха
в гиперзвуковом потоке
— 397 —
крыла. Поэтому при гиперзвуковых скоростях приближенно можно
принять, что аэродинамические характеристики крыла совпадают
с аэродинамическими характеристиками профилей.
§ 11. 11. Обтекание затупленного тела
гиперзвуковым потоком
Исследование обтекания тонких тел гиперзвуковым потоком
имеет большое научное и практическое значение, в частности для
решения проблем полета с гиперзвуковыми скоростями на
сравнительно больших высотах на активном участке полета ракеты
и входа в плотные слои атмосферы на пассивном участке. При этих
Пинии тока
Отсоединенный скачок
уплотнения
Рис. 11.22. Отсоединенный скачок уплотнения при
обтекании затупленного тела
режимах полета тонкие заостренные тела вследствие интенсивного
нагрева оплавляются и становятся тупоносыми. В то же время
небольшое затупление передней кромки профиля или носка тела
вращения при гиперзвуковых скоростях благоприятно сказывается
на характеристике обтекания тела.
Исследование обтекания тонких затупленных тел гиперзвуковым
потоком связано со значительными математическими трудностями.
Рассмотрим физическую картину обтекания затупленных тел
(рис. 11.22). При обтекании затупленного тела сверхзвуковым
потоком перед ним образуется криволинейный скачок уплотнения.
При этом непосредственно перед телом поток за скачком становится
дозвуковым. В критической точке поверхности скорость потока
равна нулю, давление — давлению торможения за прямым скачком
уплотнения. По мере удаления от критической точки скорость
возрастает, а давление убывает. В некоторой точке поверхности
скорость становится равной скорости звука v = акр, а давление —
— 398 —
критическому давлению р = ркр. За этой точкой скорость
сверхзвуковая. В потоке за скачком можно провести линию, в каждой
точке которой скорость потока равна скорости звука (v = акр).
Эта линия разграничивает область дозвуковых скоростей от области
сверхзвукового потока.
При решении задачи обтекания затупленного тела сверхзвуковым
потоком необходимо определить форму и положение отошедшега
скачка уплотнения и поле скоростей между скачком и поверхностью
тела. Трудности такой математической задачи объясняются в
основном тем, что течение около затупленного тела является
нелинейным смешанным течением с дозвуковыми и сверхзвуковыми
областями со свободной границей (отошедшим скачком уплотнения), которая
заранее неизвестна.
В настоящее время имеются некоторые приближенные методы
решения этой задачи. Не рассматривая их подробно, оценим
качественно влияние затупления тела на его обтекание при гиперзвуковых
скоростях.
При больших значениях числа М скачок уплотнения очень сильно
приближается к поверхности. При этом угол наклона элемента
отсоединенного скачка уплотнения, возникающего при обтекании
затупленного тела, очень быстро уменьшается от |3 = -| в центральной
части до угла, соответствующего незатупленному телу при некотором
удалении от критической точки. В соответствии с изменением
местного угла наклона скачка изменяются и потери полного напора
в скачке уплотнения.
Как известно, коэффициент потерь полного напора сг, равный
отношению давления торможения за элементом скачка
уплотнения ро2 к давлению изэнтропического торможения ро1, а = -^- ,
Pol
зависит от произведения MooSinfJ. Здесь ро1 определяется по
формуле
Поэтому вдоль различных линий тока, проходящих через скачок
уплотнения, существенно различны возрастание энтропии и потери
полного напора (см. рис. 11.22). На линиях тока, расположенных
вблизи тела, потери напора наибольшие, так как эти линии
пересекают скачок уплотнения на участке, близком к прямому. Давление
торможения за прямым скачком уплотнения можно определить по
формуле Релея D.27):
(?»
2 \/с—1
00
со К+\
— 399 —
Тогда коэффициент потерь полного напора вдоль нулевой линии
тока
— . AЬ97)
На линиях тока, более удаленных от поверхности, потери
напора меньше (давление торможения и коэффициент потерь полного
напора больше).
Таким образом, при обтекании затупленного тела, в отличие от
обтекания остроносого тела с присоединенным скачком уплотнения
с прямолинейными образующими, производные от давления
торможения р0 и энтропии s по нормали к поверхности не равны нулю,
причем у-0 > 0, а ™ < 0.
Давление торможения в потоке за скачком уплотнения и
энтропия в случае невязкого газа вдоль каждой линии тока остаются
неизменными. Следовательно, производные от полного напора "и
энтропии по нормали к поверхности не будут равняться нулю для
любой точки поверхности затупленного тела. Очевидно, что эта
особенность обтекания тел будет иметь место при любом затуплении.
Даже малое затупление вызывает появление значительного
градиента энтропии. Это приводит к следующим особенностям
обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком. При условии
^i=j=0 и ^=/=0 за сильно искривленным скачком уплотнения
поток становится вихревым (§ 6.1). Уменьшение полного напора
приводит к уменьшению скорости потока (числа М) по сравнению
со скоростью (числом М) на поверхности остроносого тела. Разница
между скоростями и значениями числа М тем больше, чем больше
скорость и число М набегающего потока. Вблизи поверхности
тела образуется слой особо малых скоростей (чисел М).
Характерным для этого слоя являются высокая энтропия потока, низкое
давление торможения р0, высокая температура и пониженная плотность
газа по сравнению с соответствующими величинами вблизи
поверхности при обтекании остроносого тела.
Заметим, что этот слой не связан с вязкостью газа. Это так назы-'
ваемый энтропийный слой (слой с большой величиной энтропии),
толщина которого зависит от степени затупления тела. Чем больше
затупление тела, тем толщина этого слоя больше.
Энтропийный слой — понятие условное. Оно вводится для того,
чтобы учесть существование неоднородного энтропийного поля в
потоке за скачком уплотнения при обтекании затупленного тела.
На рис. 11.23 приведена характерная кривая изменения числа
М по нормали к поверхности при обтекании затупленного тела
гиперзвуковым потоком невязкого газа при некотором удалении от носка.
— 400 —
Рассмотрим теперь обтекание затупленного тела потоком
вязкого газа. При этом предположим, что толщина энтропийного слоя,
вызванного затуплением, больше толщины пограничного слоя.
Тогда градиентом скорости по нормали к поверхности в энтропийном
слое по сравнению с градиентом скорости в пограничном слое можно
пренебречь. Скорость потока на границе пограничного слоя при
этом будет равна скорости потока в энтропийном слое, т. е. она
намного меньше, чем в случае обтекания остроносого тела. При этом
энтропийный слой оказывает значительное влияние на развитие
вязкого пограничного слоя
и, наоборот, пограничный
слой влияет на развитие
энтропийного слоя.
В энтропийном слое
плотность газа меньше, чем
плотность в
соответствующей точке при обтекании
остроносого тела, а
значение кинематического
коэффициента вязкости больше.
При этом местные значе- PuCt 1L23. Примерный характер измене-
НИЯ числа Рейнольдса ния числа М по нормали к поверхности для
I v{\ ф затупленного тела
(Re = — J, подсчитанные
по скорости на границе пограничного слоя, уменьшаются.
Поэтому, пока пограничный слой не выходит за пределы
энтропийного слоя, его характеристики (точка перехода, трение,
теплопередача) определяются этим уменьшенным числом Re.
При уменьшении значения числа Re точка перехода перемещается
вниз по потоку. Поэтому по мере увеличения степени затупления
передней кромки или носка тела можно ожидать существенного
увеличения протяженности ламинарного пограничного слоя. Это
вызывает снижение сопротивления трения и существенное
уменьшение теплового потока от пограничного слоя к телу на большей части
поверхности. Последнее объясняется тем, что коэффициент
теплопередачи при ламинарном пограничном слое намного меньше, чем
при турбулентном.
При затуплении тела его волновое сопротивление возрастает.
Найдем коэффициент волнового сопротивления затупления.
При гиперзвуковых скоростях распределение давления по
поверхности затупленного носка тела с достаточной точностью можно
определить по уточненной формуле Ньютона A1.82): р = posin20.
Зная распределение давления, можно найти и волновое
сопротивление затупления.
При равномерном распределении давления по поверхности,
когда р=р0, коэффициент волнового сопротивления, отнесенный
14 Зак. 801 — 401 —
к площади миделя, был бы равен схв=р0. В действительности
давление при удалении от критической точки уменьшается.
Поэтому схв<^р0. Представим схв в следующем виде:
где коэффициент к\ учитывает неравномерность распределения
давления по носку тела и зависит от его формы, а р0 определяется по
формуле A1.83).
Найдем величину коэффициента кг для полусферической носовой
части. Для этого на поверхности сферы рассмотрим
элементарную площадку в виде кольца
(рис. 11.24):
Здесь r=R cos0.
Элементарная сила
сопротивления, действующая на эту
площадку,
iin2pLiZCZTy7e°ptr0a0 Подставляя сюда выраже-
ние для р и интегрируя по
-|Л, получим силу и коэффициент волнового
сопротивления полусферы:
Р
Отсюда следует, что для полусферической носовой части к±=0,5.
Если затупление выполнено в виде шарового сегмента, то
0,5</сх< 1.
Коэффициент волнового сопротивления затупления,
приведенный к площади миделя (tiRm) затупленного тела, будет [равен
A1.98)
где
*
— 402 —
Следовательно, затупление носка тела или передней кромки
крыла может привести к существенному уменьшению теплового
потока от пограничного слоя к поверхности при одновременном
увеличении сопротивления тела. Это имеет огромное значение для
гиперзвуковых летательных аппаратов.
§ //. 12. Определение параметров потока
за скачком уплотнения с учетом
реальных свойств газа
Как указывалось в § 11.1, в гиперзвуковом потоке, вследствие
повышения температуры газа за скачком уплотнения и в
пограничном слое, термодинамические свойства газа могут существенно
отличаться от свойств совершенного газа с постоянной теплоемкостью.
Для решения газодинамических задач с учетом реальных свойств
газа (переменной теплоемкости, диссоциации и ионизации)
необходимо знать зависимости между термодинамическими
параметрами газа. Эти зависимости, в отличие от совершенного газа, сложны
и не могут быть представлены в простой аналитической форме.
Например, для совершенного газа теплосодержание (энтальпия)
зависит только от температуры:
i = ^ RT,
а теплосодержание диссоциированного газа зависит от температуры
и давления: i = i(T, p), так как изменение давления также приводит
к изменению степени диссоциации.
Сложный характер зависимостей параметров реального газа
затрудняет применение аналитических методов расчета. Решение
задач с учетом реальных свойств газа в основном производится
численными методами с использованием таблиц термодинамических
функций или диаграмм состояния.
Рассмотрим .в качестве примера определение параметров потока
за прямым скачком уплотнения. Для прямого скачка уплотнения
в реальном газе выполняются известные уравнения (гл. IV):
уравнение неразрывности
p1v1=--p2v2, A1.99)
уравнение энергии
*i + ^- = *2 + X' A1.100)
уравнение изменения количества движения
p2 — Pi=piV1(v1 — v2). A1.101)
К этим уравнениям необходимо добавить еще уравнение состоя-
— 403 — 14*
ния, которое в общем случае может быть записано в следующем
виде:
*2 = *2(Т2,р2). A1.102)
В уравнениях A1.99)—A1.102) индексами «1» и «2» обозначены
параметры потока до и после скачка уплотнения соответственно.
Поскольку в аэродинамических задачах среду до скачка
уплотнения можно считать совершенным газом с постоянной
теплоемкостью, то до скачка справедливы следующие соотношения:
а\ = kRTx.
Тогда
Пользуясь системой уравнений A1.99) — A1.102), можно
определить параметры потока за скачком уплотнения при условии,
что известны параметры до скачка. При этом до скачка
достаточно задать значения скорости vl9 температуры 7\ и давления рг.
Остальные параметры вычисляют, пользуясь известными
соотношениями:
h = iv
Энтропию sx можно определить по формуле s1=cv In ¦—- или по
Pi
диаграмме (i— s).
Для определения параметров потока за прямым скачком
уплотнения можно задаться рядом значений плотности рг, имея при этом
в виду, что отношение плотностей в прямом скачке уплотнения
для воздуха с учетом его реальных свойств при различных
значениях числа Мх изменяется от 1 до 20. Чем больше число Мь тем это
отношение больше. Как известно, при к = 1,4 и Mi -> оо — = 6.
Р2
Для заданного значения р2 из уравнений A1.99) — A1.101)
можно определить величину скорости потока v2=vx —, тепло-
содержание i2 = i0 ~-, давление р2 = рх 1 + кМ? A — -~J
— 404
Полученные значения i2, р2 и i2, p2 необходимо нанести на
диаграмму (i — р), на которой представлены также линии
постоянных температур, плотностей и энтропии [28]. Тогда получим
две кривые i2=i2{p2) и /2=^(р2)> точка пересечения которых даег
искомые параметры потока за скачком уплотнения: р2, р2» Н>
Т2, 52. Скорость потока за скачком уплотнения можно определить
из уравнения A1.99), подставляя в него найденное значение
плотности р2.
Рассмотрим пример расчета. Пусть заданы следующие
параметры до скачка уплотнения: Мх=20, 7\=222°К, Pi=0,01 am=
=981 н/м2.
Найдем недостающие параметры потока перед скачком
уплотнения:
а± = 20,11/74=300 Ml сек,
о 1== 1 ?l = 1,56-Ю-3 кГ-сек*/м*= 1,53• 10
к 11
106 м*/сек2,
»o=*i+-y- = 18,22-106 ж2/се/с2.
Зададимся несколькими значениями отношения плотности
(например, -^ = 8; 12; 18) .
V Pi /
Для этих значений р2 находим v2y i29 p2 (см. табл. 11.1).
Таблица 11.1
^^^^^-^ Pi
Параметры ^s^^^^^
р2> кГ-сек^/м*
у2, ^/сг/с
/2, м2/сек2
Pi
р2» flf/w
8
1,24810-2
750
17,66106
490
4,9
12
1,8710—2
500
17,97106
514
5,Н
18
2,8110~~2
330
18,12106
530
5,3
Точка пересечения кривых i2=i2(p2) и /2 = ^2
(i — р) дает следующие значения:
Р2=5,О а/п=4,9-105 н/м2\ ра=1,85- 10~2/с
Г2=6800°К; /2=18.106 м2/сек2; s2= 12,6
на диаграмме
м2/сек2 град.
— 405 —
Найдем отношения
^ = 500; -?- = 11,8; -?.=30,4.
Pi Pi J i
Зная р2, пользуясь уравнением неразрывности, находим
v2 = —— = 508 м1 сек.
Скорость звука за скачком уплотнения можно определить по
диаграмме (/ — р)а, на которой изображены также линии
постоянных скоростей звука и энтропии: а2=1750 м/сек.
Тогда
M2=-J- =0,29.
Параметры торможения за скачком уплотнения можно
определить, пользуясь диаграммой (i — s) при i = io= 18,22- 10G м2/сек2.
Например, температура торможения за скачком уплотнения
с учетом реальных свойств газа равна Т"о2 = 6 820°К.
Найдем для сравнения значения параметров потока за прямым
скачком уплотнения для того же значения М1(М1=20) при
условии, что к=1,4:
Pi
К— 1
¦/с+1
= 467,
к—
= 5,94,
ii = ?1 ?l = 78,8,
™1 Pl P2
= 1010 м/сек,
То1 = Гх A+0,2 М?)= 18 000° К.
Некоторые результаты расчета параметров потока за прямым
скачком уплотнения с учетом реальных свойств воздуха и при
/с= 1,4 для сравнения сведены в табл. 11.2.
Таблица 11.2
С учетом
При к =
Условия
реальных свойств воздуха
1,4
Pi
500
467
Pi
И,
5,
8
94
IT г
30,
78,
4
8
T°Q2 К
6820°
1 02 — 1 01 —
= 18000°
V..
м/сек
508
1010
— 406
Из табл. 11.2 видно, что учет реальных свойств воздуха
сравнительно мало сказывается на величине давления за скачком
уплотнения. В рассматриваемом примере, действительное давление за
скачком уплотнения отличается от давления, найденного для к =
= 1,4, всего на 6,5%.
Действительная температура за скачком уплотнения (с учетом
реальных свойств воздуха) намного меньше, чем при к = 1,4.
Объясняется это тем, что при высоких температурах некоторая часть
тепловой энергии затрачивается на процессы диссоциации и
ионизации. Поэтому удельная теплоемкость воздуха при этом значительно
I*
500
400
300
200
100
.———
Т,=222°К
>
О 2 4 6 8 Ю 12 /4 16 18 20
Рис. 11.25. Зависимость давления за прямым
скачком уплотнения от числа Жг при Т=222° К с
учетом реальных свойств воздуха и при к = 1,4
возрастает. В данном примере температура Т2 за скачком
уплотнения и температура торможения Г02 почти в три раза меньше, чем
при постоянном значений ^ равном 1,4.
С учетом реальных свойств сильно изменяется и плотность
воздуха. Отношение плотностей 9- для реального газа при этом может
быть существенно больше, чем предельное отношение - = 6 при
к = 1,4.
Необходимо отметить, что в отличие от совершенного газа с по-
стоянной теплоемкостью, когда отношения -, ~-2 зависят только от
числа Мь в действительности, с учетом реальных свойств воздуха,
при высоких температурах за скачком уплотнения эти отношения
являются функциями трех параметров — числа Мь температуры Т±
и давления рг. Объясняется это тем, что при изменении Тг и рг
изменяются величины Т2 и /?2, а это приводит к изменению степени
диссоциации. При повышении температуры и уменьшении давления
степень диссоциации увеличивается.
На рис. 11.25— 11.27 приведены кривые зависимости
отношений ¦—-, ¦—-, y^ от числа Мх при различных значениях давле-
— 407 —
Т,-22ГК
/л
pt =
Pf г
-7*
*&¦
к -
4
¦ 1Л
——
/0
/6
20
Рис. 11.26. Кривая зависимости плотности за прямым
скачком уплотнения от числа Мх и давления рг при постоянном
значении 7\ = 222° К с учетом реальных свойств воздуха и
при к = 1,4
II
50
30
20
10
T, ---- 222 °
/
/
p,=
/
12
15
20
Рис. 11.27. Кривые зависимости температуры за прямым
скачком уплотнения от числа Мг и давления pL при
Т± = 222°К с учетом реальных свойств воздуха и при к=1,4
ния рх и 7\=222° К. На этих же графиках для сравнения
нанесены соответствующие кривые для воздуха при постоянном
отношении теплоемкостей (лс= 1,4).
Учет реальных свойств газа при определении параметров потока
за косым и коническим скачками уплотнения* дает аналогичные
качественные результаты.
В заключение отметим, что поскольку давление за скачком
уплотнения сравнительно мало зависит от диссоциации, то приближенно
давление можно определять без учета реальных свойств газа.
ЗАДАЧИ
1. Определить относительное изменение давления, плотности и темпера-
:*с! в зависимости от относительного изменения скорости при Моо = 0,5;
1 'у D\ 1U.
2. Найти отношение скорости потока за косым скачком уплотнения при
Mi = 10 и угле поворота потока 0О = 10°
к скорости v-l.
3. Найти отношение составляющих ско- а)
рости вдоль скорости невозмущенного
потока и перпендикулярно к ней за косым
скачком уплотнения при Mi=10, O0=10°
к скорости v±.
4. Сравнить величину подъемной
силы, создаваемой нижней и верхней
поверхностями пластинки, при а. = 6° и Моо = 10.
Найти величину коэффициента суммарной
подъемной силы.
5. Вычислить величины коэффициентов '
су и сх плоской пластинки при а = 6° и
Моо = оо (к = 1,4).
6. Пользуясь приближенными
соотношениями для тупых углов, вывести формулы Рис. 11.28. К решению задачи 6
для определения коэффициентов давления,
подъемной силы и волнового сопротивления для профилей, указанных на
рис. 11.28.
7. Сравнить, при прочих равных условиях, величины коэффициентов
подъемной силы профилей, показанных на рис. 11.28, б и 11.28 в
8. Вывести формулы для определения коэффициентов для тех же
профилей (рис. 11.28), пользуясь теорией Ньютона.
9. Пользуясь приближенными зависимостями, приведенными в § 11 6
вычислить значение угла полураствора конического скачка уплотнения и
коэффициента давления на поверхности конуса при Моо = 10 6 = 10°
и /с = 1,4. ' к
Сравнить полученные результаты с данными точного решения задачи.
* С методами расчета параметров потока за косым и коническим
скачками уплотнения можно ознакомиться в работе [28].
НВ. зак. 801 — 409 —
Глава XII
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
И АЭРОДИНАМИЧЕСКИМ НАГРЕВ
ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
§ 12. 1. Дифференциальные уравнения
движения вязкого газа
Изучение движения вязкого газа показывает, что влияние
вязкости сказывается не только в появлении касательных напряжений,
но и в изменении величин нормальных напряжений по сравнению
с их значениями для идеальной жидкости. Это значительно
усложняет вид дифференциальных уравнений движения вязкого газа по
сравнению с уравнениями
Эйлера и, естественно, создает
крайние трудности при их интегри-
' Vi ровании. Прежде чем перейти к
рассмотрению сил, действующих
на выделенную в газе
элементарную частицу, в том числе
поверхностных сил,
проявляющихся при движении вязкого
газа, рассмотрим вопрос о
деформации жидкой частицы.
р
Рассмотрим некоторую
точку О в движущемся газе
(рис. 12.1), обладающую
скоростью v0. Возьмем бесконечно
Рис. 12.1. Разложение элементарного близкую К ней точку Л, опре-
перемещения частицы газа ^деляемую радиусом - вектором
ОА=г~. Как известно*, скорость v точки Л может быть
представлена в следующем виде:
^^^ A2.1)
*См.АржаниковН.С.,МальцевВ. Н. Аэродинамика, гл. III, § 7.
— 410 —
Скорость v0 представляет собой скорость точки А в
поступательном движении вместе с точкой О, а скорость v1=[ci)r ]
—скорость вращательного движения точки А вокруг мгновенной оси,
проходящей через точку О с угловой скоростью
со = у rot v,
составляющие которой по осям координат имеют вид
1 / dv2 dvy \ 1 (дих dvz\ j / dvy $v \
г-v . I _____ •* 1 /Л [ ___ ______ I Г Л — __ I ^ _____ •*¦ I
Ш* "" 2 \ ду dz )у У 2\dz дх ) ' z "" 2 \ дх ду ) '
Вектор скорости v2 точки А представляет собой скорость
деформационного движения, составляющие которой имеют вид:
1
A2.2)
где
|, т|, С — проекции вектора г на координатные оси, а 6^, 6Я
z, гх, еу, ez — величины, характеризующие линейную и угловую
деформацию частицы газа, выражаемые
следующими формулами:
dvx л dvv Л ди2
dv2 dvy
х ду ' dz ' У'
Таблица девяти величин
Ф =
A2.3)
A2.4)
носит название тензора скоростей деформации. Очевидно, если
все девять составляющих тензора A2.4) равны нулю, то
деформационное движение отсутствует и скорость точки А будет равна
т. е. распределение скоростей в этом случае будет такое же,
как и распределение скоростей для точек твердого тела.
— 411 —
14В*
Рассмотрим следующее уравнение:
,K+e,g4=const, A2.5)
представляющее поверхность второго порядка. Возьмем новые
оси координат х\ у', z', совпадающие с осями симметрии этой
поверхности. В этом случае, как известно, члены в
уравнении A2.5), содержащие произведения координат, будут равны
нулю, и уравнение примет вид
в; if2+Q'y т]/2+ед /2=const.
в;
Оси координат х\ у', г' называются главными осями тензора
скоростей деформации, а величины Qx=e1, Qy=e2, Ь'г=ег —
главными значениями тензора скоростей деформаций, или главными
скоростями линейных деформаций. В системе координат х', у', г'
тензор скоростей деформации примет простой вид:
Ф =
<?! О О
О е2
О О
О е2 О
Из формул A2.3) имеем
dvx dvv dvz
Это выражение справедливо в любой системе координат*
Следовательно,
A2.6)
A2.7)
A2.8)
Перейдем теперь к рассмотрению поверхностных сил,
проявляющихся при движении вязкого газа. Рассмотрим элементарную
жидкую частицу газа в форме бесконечно малого параллелепипеда
(рис. 12.2). Различие в поверхностных силах по сравнению с
невязкой средой состоит в том, что в этом случае на грани частицы
будут действовать не только нормальные напряжения, но и
касательные, так как поверхностные силы в вязком газе не ортогональны
к рассматриваемой поверхности. Это означает, что направление
поверхностной силы, действующей на каждую грань
параллелепипеда, не совпадает с нормалью к грани и, следовательно, каждая
такая сила (напряжение) будет иметь три проекции на координатные
оси (рис. 12.2).
Введем следующие обозначения. Для каждой проекции вектора
напряжения р, действующего на рассматриваемую грань, примемг
два индекса: первый будет характеризовать координатную ось,
перпендикулярную к рассматриваемой грани, а второй —
указывать, на какую ось проектируется поверхностная сила (напряжение),
— 412 —
действующая на эту грань. В этих обозначениях составляющие
поверхностного напряжения, действующего на левую грань,
перпендикулярную к оси х, можно записать в виде рхх, рху> pxz, составляющие,
действующие на грань, перпендикулярную к оси у, — в виде рух,
рУу, руг и, наконец, составляющие поверхностного напряжения,
действующие на грань, перпендикулярную к оси г, — в виде pzx, pZy,
ргг. Очевидно, рхх, рУУу pzz будут нормальными напряжениями
поверхностных сил, действующих на грани рассматриваемого
элементарного параллелепипеда, арху, pxz> Pyx, Руг> ргу, Ргх —
касательными напряжениями.
Рис. 12.2. К. выводу дифференциальных уравнений
движения вязкого газа
При расположении нормальных и касательных составляющих
напряжений по граням параллелепипеда за положительные
направления нормальных составляющих примем направление вдоль
внешних нормалей к граням. На трех гранях, проходящих через точку М
(х, у, г), за положительные направления касательных составляющих
примем отрицательные направления осей координат, а на остальных
трех' гранях — в сторону положительного направления
координатных осей. Такое расположение нормальных и касательных
составляющих является условным, но наиболее удобно для вывода
дифференциальных уравнений движения вязкого газа.
За проекциями массовых сил, отнесенных к единице массы,
сохраним их прежние обозначения X, F, Z.
Приступая к составлению уравнения движения в проекции на
ось х, заметим, что в это уравнение войдут лишь напряжения,
обладающие вторым значком х.
Начнем с нормальных составляющих. Очевидно, на левую
грань будет действовать нормальная сила (—Pxxdydz), а на
— 413 —
правую грань — сила ( рхх +
этих сил будет равна
дх
dx dy dz.
dxjdy dz. Равнодействующая
Из касательных напряжений надо учесть в данном случае
лишь рух и р2Х.
Проекция на ось х касательной силы, действующей на
заднюю грань, будет равна (—pzx dx dy), на переднюю грань —
d и,
следовательно,
равнодействующая этих сил
выразится следующим
образом: %~ dx dy dz-
Очевидно, что для
проекций касательных
сил, действующих на
нижнюю и верхнюю грани,
получим
равнодействующую -у-- dx dy dz.
Используя принцип
Даламбера, будем иметь
Рис. 12.3. К выводу дифференциальных
уравнений движения вязкого газа
dt
ИЛИ
dx)x
др
Ух
:=0,
dPzx\
Аналогично можно получить еще два уравнения:
, (дРху , дРуу
y ___
дх~
~дГ)
_
A2.9')
Обратимся к уравнению моментов. Вычислим момент
действующих на параллелепипед сил относительно оси, параллельной оси z
и проходящей через центр С параллелепипеда (рис. 12.3),
ограничиваясь малыми величинами третьего порядка. Заметим, что так как
массовые силы сами являются малыми величинами третьего порядка
(они пропорциональны объему частицы dxdy dz), то момент от них
— 414 —
в результате умножения на бесконечно малое плечо будет малой
величиной четвертого порядка. В пределе при стягивании объема
в точку эти члены стремятся к нулю. В таком случае, учитывая
направление моментов, будем иметь
= 0,
или, отбрасывая малые величины четвертого порядка,
откуда
рху~рух. A2.10)
Аналогично можно убедиться, что
Руг^Ргг Pzx = Pxz' A2Л0')
Равенства A2.10) и A2.10') показывают, что из девяти
напряжений, входящих в уравнения A2.9), независимыми являются лишь
шесть.
Таблица девяти величин
хх Рху Pxz ]
ух Руу Pyz\ A2.11)
. zx Pzy Pzz j
определяет тензор, называемый тензором напряжений. Выражения
A2.10) показывают, что тензор П является симметричным.
Так же как и в случае тензора скоростей деформации, для
тензора напряжений существуют три главные оси, вдоль которых мы
имеем главные напряжения ръ р2У р3. В главных ося х тензор
напряжений П принимает простой вид: ! |
П =
A2.12)
Аналогично формулам A2.7) и A2.8) можно записать равенство
Pxx+Pyy + Pzz = Р1 + Р2 + Рз> |A2.13)
т. е. сумма нормальных напряжений на три взаимноперпендикуляр-
ные площадки не зависит от ориентации этих площадок. Обратимся
теперь к рассмотрению вопроса об установлении связи между
тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в вязком газе.
Установление этой связи покоится на следующих трех
гипотезах.
— 415 —
1. Составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости
должны приводиться к соответствующим составляющим тензора
напряжений в идеальной жидкости. Это означает, что
Рхх = — Р + Ххх> Руу = — Sy
Pxy=zXxy^ Pxz=T'Xxz"> Рух = Хух> Pyz = Xyz> Pzx=zXzx> Pzy = Xzy> A2.14)
где величины %хх, гуу, ... равны нулю для невязкой среды.
2. Величины ххх, %'уу,... являются линейными однородными
функциями от составляющих тензора скоростей деформаций, причем
коэффициенты этих функций не зависят от выбора направлений осей
прямоугольной системы координат. Следует отметить, что свойство
независимости указанных коэффициентов от выбора координатной
системы вытекает из свойства изотропности рассматриваемой нами
вязкой среды, т. е. свойства однородности в различных
направлениях.
Прежде чем сформулировать третью гипотезу, рассмотрим
некоторые свойства, касающиеся составляющих тензора напряжений.
Вновь обратимся к осям координатх , у', z\ совпадающим с
главными осями тензора скоростей деформаций и по отношению к
которым указанный тензор выражается формулой A2.6). Определим
общий вид величин т в этой системе координат. Для этого примем
**'*'= ^1 ?1 + 02^2+^3, A2.15)
где
о>\, ^2' аз — некоторые постоянные коэффициенты.
Очевидно, что %у>у, xz>z> должны определяться формулами
A2. 16)
,=а1 е3+а2 ег+а3 е2, A2.17)
так как при переименовании в соотношении A2.15) оси х' в ось у',
оси у' в ось z\ оси г' в ось х' получим соотношение A2.16).
Аналогично получим A2.17). Покажем теперь, что a2 = as. Для
этого произведем замену координат:
х'=х\ у' = г', "?¦¦=—/.
Новые оси являются также главными осями тензора
скоростей деформаций. В новой системе координат будем иметь
Vp^Vx'y V-,= VZ>, Vj, = — V
v-т dvx, - dv~, dvz,
JP ~ dx' - в1' e* - ffp " дг'
— 416 —
A2.18)
На основании второй гипотезы соотношение A2.15) можно
применить к системе координат л?", у'? г\ т. е.
или, учитывая A2.18),
тх>х>=а1е1+а2ев-\-а3е2.
Сравнивая полученное выражение с A2.15) находим, что
а2=а3. Введем обозначения:
В таком случае выражения A2.15) — A2.17) можно
представить в следующем виде:
A2.19)
Докажем теперь, что в системе координат х\ у\ г' все
касательные напряжения тх>у> туг, ... равны нулю. Для этого
достаточно доказать, например, что т^У' = 0.-В соответствии
со второй гипотезой можно написать
3, A2.20)
где
a4, a5, а6 — некоторые постоянные коэффициенты.
Произведем замену переменных:
Очевидно, что новые оси координат также являются
главными осями тензора скоростей деформацией. В этом случае
будем иметь
v-
fljp ЭХ' 1' «t - -Qy - -Qy - ^2
dvz, dv^
3 dz'
A2.21)
На основании той же гипотезы можно тр-> представить
в следующем виде: ху
- 417 -
и, следовательно,
—т^У'=а4
Сравнивая с A2.20), находим
т. е.
Следовательно
= Тх> 2' = ту г' = Ту' *' = Т2' у' = Т2' х' = 0.
A2.22)
Учитывая формулы A2.14), A2.19) и A2.22), а также A2.8)»
получим выражения для составляющих тензора напряжений
в системе координатных осей х', у\ z\ являющихся главными
осями тензора скоростей деформаций:
divv+2\ie1
= — P+\*>divv+2\ie2
v
A2.23)
Из полученных выражений можно сделать вывод, что главные
оси тензора напряжений совпадают с главными осями тензора
скоростей деформаций.
Выразим теперь составляющие тензора напряжений в
произвольной прямоугольной системе осей координат. Для этого запишем
девять равенств A2.23) в тензорной форме:
Py'y'
Pz'z'
1
0
0
0
1
0
0
0
1
+ 2[л-
ех
0
0
0
0
0
0
е3
, A2.24)
или, учитывая A2.11), A2.6) и обозначая единичный тензор
через I:
1 О О'
1= 0 1 О
О 0 1
будем иметь
П=(—
v) /+2|х Ф.
A2.25)
Но, как известно, если соответствующие составляющие двух
тензоров равны в какой-либо системе координат, то они будут рав-
— 418 —
ны и в любой другой системе координат. Следовательно, выражение
A2.24) в системе осей х, у, z примет вид
V Руу
/
— \
1
~2гг 6:
1 1
div v)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
8,
откуда для составляющих тензора напряжений будем иметь
Рхх= — Р+? div И
Руу = —
6у
dvv dvx
dvx
dv
A2.26)
Складывая первые три выражения A2.26) и учитывая A2.8),
получим
Pxx+Pyy+Pzz= — 3p4-C|I+2iJt) div IT.
A2.27)
Сформулируем теперь третью гипотезу.
3. Давление в вязком газе можно определять как среднюю
арифметическую из трех напряжений на три взаимно
перпендикулярные площадки, взятую с отрицательным знаком:
(р+Р+Р). A2.28)
A2.29)
При этом условии из равенства A2.27) получим:
Таким образом, окончательная зависимость между тензором
напряжений П и тензором скоростей деформаций Ф будет
выражаться, согласно A2.25), следующим образом:
= — (р +-J
A2.30)
— 419 —
Составляющие тензора напряжений П будут иметь вид
2
dvy
Pzz = —Р — т!1 div v + 2fx
ьху ьух
dvx dvy]
(dvx
dv2
-. r .. / ""X I ""Z
lXZ ~~ lZX "— Г Я^ "Г Д„
A2.31)
где |ы — динамический коэффициент вязкости.
В частном случае, когда течение газа происходит
параллельно твердой границе вдоль оси х,
vx=v, vy = vz=0
и, следовательно, из формул A2.31) следует, что
dvx
Х = Хху = Хух = Iх ^ •
Это известная формула Ньютона для сил
внутреннего трени я.
Подставляя выражения A2.31) в уравнения A2.9) и A2.9')
получим уравнения движения вязкой среды:
dt
- a^ "^ у ay
aT^ ^y ay
dp
A2.32)
— 420 —
Дифференциальные уравнения A2.32) называются
уравнениями Навье— Стоке а. В уравнениях A2.32) шесть
неизвестных величин vx, vy9 vz, p, p, 7\ и, кроме того, в общем случае
динамический коэффициент вязкости зависит от температуры.
С увеличением температуры коэффициент |i для воздуха
возрастает. В уравнениях A2.32) закон изменения \i в зависимости
от температуры считается известным.
Напишем уравнения Навье — Стокса, предполагая, что
коэффициент вязкости является постоянной величиной (\i = const):
A2.32')
1 dp v
p аг ^ 3 dz
Здесь А — оператор Лапласа;
К этим трем уравнениям следует добавить уравнение
неразрывности и уравнение состояния. В качестве шестого уравнения
используем уравнение энергии.
§ 12. 2. Уравнение энергии для вязкого
теплопроводного газа
Уравнение энергии показывает, что изменение энергии
частицы вязкого газа, состоящей из
кинетической и внутренней энергии, за время dt
должно равняться сумме работы всех
внешних сил и притока тепла извне. Последний
является результатом теплопроводности вязкого газа. Притоком энергии
за счет излучения можно пренебречь, учитывая, что способность
воздуха к излучению и поглощению лучей мала.
Напишем уравнение энергии для частицы газа в виде
прямоугольного параллелепипеда с массой, равной pdxdydz. Полное
приращение энергии этой частицы за время dt равно
где
е — внутренняя энергия, отнесенная к единице массы (e=cvT).
— 421 —
Составим выражение для работы внешних сил, действующих
на частицу. Работа массовых сил при перемещении частицы
за время dt будет равна
р (Xvx+Yvy+Zvz) dx dy dzdt.
При составлении выражения для работы поверхностных сил
достаточно воспользоваться тензором напряжений A2.11),
действующих по трем взаимно перпендикулярным граням
параллелепипеда:
Рхх Хху Xxz
~ух Руу yz
Xzx Xzy Pzz
Тогда работа поверхностных сил, действующих в направлении
оси х9 будет равна
+ \dx *у dzdL
Аналогично запишутся выражения работы сил, действующих
в направлении осей у и г:
tvz) d (zyz vz) д (pzz vz)
L dx dy dz
В этих выражениях нормальные напряжения равны
Рхх~ —Р~\~ххх> Руу~ —Р~\~Хуу> Pzz^ —P~\~Xzz-
Перейдем к подсчету притока энергии благодаря
теплопроводности вязкого газа. Обозначим через qx dydzdt количество
тепла, которое за время dt протекает слева направо через
бесконечно малый элемент площади dy dz, перпендикулярной к осих.
Тогда количество тепла, втекающего за время dt через левую и
правую грани частицы, будет равно
qxdy dzdt-(qx+d-^dxyy dzdt = -d-lfdxdy dzdt.
Проводя аналогичное рассуждение для граней,
перпендикулярных осям у и z, получим выражение для полного количества
тепла, втекающего через все грани параллелепипеда за время dt:
где, согласно закону Фурье,
Здесь X — коэффициент теплопроводности.
— 422 —
Приравнивая изменение энергии частицы за время dt сумме
работы всех сил и притоку тепла через все грани
параллелепипеда, после некоторых упрощений получим уравнение энергии
для вязкого теплопроводного газа:
р^ Lv т + ^ = р (Xvx + Yvy + Zvz) —
d(pvx) t d(pvy) d(pvz)
fi~(Xyx vx + Xyy vy + xyz vz) + J" (
д {, дТ\ , д
В уравнении A2.33) тепловой и механический виды энергии,
в соответствии с Международной системой единиц (СИ),
выражаются в одинаковых единицах (в джоулях).
Преобразуем уравнение энергии. Для этого умножим уравнения
движения A2.9) и A2.9') соответственно на vK, vy> vz, слолшм их
и полученное уравнение вычтем из уравнения энергии A2.33).
Тогда будем иметь
f + ^
dvy dvz\ fdvy dvx
Используя далее уравнение неразрывности B.3) и уравнение
состояния A.7'), получим
dvx ^у_ . дг)Л _ р_ d$__dp_ п сГГ
х ду дг) р dt ~~ dt " dt
Учтем, что по формуле A.18) в системе единиц СИ
cp — cn=R.
Кроме того,
Ё.(х—\^-—(Х—\+—1\ —
дх\ дхJ ' ду у дуJ дгу дг
дх ' ду ' ~дг
— 423 —
cv
Тогда, подставляя вместо касательных напряжений ххх, хуу,
х22,хху, ...выражения из формул A2.31) и предполагая, что ср =
=const, получим
dt>x dvy \» /dvx
& + w У ~hdiv М +div (*- grad г). A2-34)
В уравнении A2.34) члены правой части, заключенные в
фигурные скобки, представляют собой тепло, подводимое к единице объема
в единицу времени вследствие трения. Эти члены называются
членами рассеивания, или диссипации энергии, а функция Ф,
равная
-4 tf'v*
называется диссипативной функцией.
Введя функцию Ф, уравнение A2.34) можно переписать в
следующем виде:
dT dp , д Л дТ\ , д (\ дТ\ . д Л дТ
Уравнения A2.34) и A2.35) называются уравнениями
энергии.
§ 12. 3. Понятие о пограничном слое
Точное решение задачи об обтекании какого-либо тела,
сводящееся к интегрированию сложных дифференциальных уравнений
при заданных граничных условиях, представляет огромные
трудности не только для вязкого газа, но и для несжимаемой вязкой
жидкости. Остановимся сначала на рассмотрении возможных упрощений
уравнений Навье — Стокса для случая несжимаемой среды.
Существует ряд методов упрощения. Один из них заключается в том, что
инерционные члены в уравнениях полностью отбрасываются, а
слагаемые, определяемые вязкостью, сохраняются без изменения. Таким
методом в 1851 г. Стоксом была полностью решена задача об обте-
— 424 —
кании потоком вязкой жидкости шара радиуса г0 (инерционные
члены отбрасывались). Полученная формула для силы
сопротивления (формула Стокса) имеет вид
т. е. сила сопротивления оказывается пропорциональной первой
степени скорости.
Однако формула Стокса применима лишь при очень малых
значениях чисел Re (при Re < 1), так как полностью пренебрегать
силами инерции по сравнению с силами вязкости можно только в том-
случае, если число Re достаточно мало. Эта формула применима,
например, к изучению падения капелек тумана в воздухе, но уже
для случая падения в воздухе дождевых капель она становится
непригодной.
Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод
Стокса, принадлежит Озеену и заключается в том, что в уравнениях
движения оставляются только важнейшие из инерционных членов,
которые к тому же линеаризуются путем замены неизвестной
скорости, стоящей множителем перед производной, ее характерным
значением. При этом нелинейная система дифференциальных уравнений
движения вязкой жидкости сводится к линейным уравнениям с
частными производными первого и второго порядков.
Метод Озеена приводит к весьма сложным выкладкам и
практически применим только при малых числах Re.
Известен также метод упрощения уравнений Навье — Стокса,
принадлежащий О. Рейнольдсу и состоящий в том, что в уравнениях
движения вязкой жидкости инерционные члены отбрасываются
полностью, а из вязких членов сохраняются главнейшие. Этот метод
довольно широко используется при решении задач
гидродинамической теории смазки и применим также при небольших значениях
чисел Рейнольдса.
Таким образом, практическое применение результатов,
полученных на основе указанных выше методов,*крайне ограничено и для
аэродинамики интереса не представляет/'
Другой метод упрощения уравнений Навье
—Стокса,-принципиально отличный от предыдущих, применим, наоборот, к изучению
обтекания тел при больших числах Re, вследствие чего он имеет
огромное значение для авиационной и ракетной техники.
Этот метод основан на понятии о пограничном слое. Как будет
показано ниже, он позволяет построить приближенную теорию
обтекания тела вязкой средой и определить силу лобового
сопротивления тела в потоке вязкой среды.
Обратимся к рассмотрению физической картины обтекания.
Допустим, что неподвижное тело, например профиль крыла,
обтекается потоком воздуха (рис. 12.4). Непосредственные
наблюдения показывают, что в тонком слое вблизи поверхности тела
происходит резкое нарастание скорости от значения v = О (на поверхно-
— 425 —
сти тела) до величины порядка скорости набегающего потока. Такой
слой воздуха, прилегающий к поверхности обтекаемого тела и
представляющий собой область больших значений градиентов скорости
по нормали к телу, носит название пограничного слоя.
Частицы газа в пограничном слое, пройдя вдоль поверхности
обтекаемого тела, уносятся потоком в область, находящуюся за
телом, сохраняя на себе следы пребывания в пограничном слое. Это
выражается, в частности, в том, что скорости этих частиц, как
правило, меньше скорости в окружающей среде. Заторможенные
частицы образуют за тело?л область, называемую аэродинамическим
Рис. 12. 4. Пограничный слой
следом. Как показывают экспериментальные и теоретические
исследования, эта область заполнена вихрями, образующимися
при обтекании тела, и представляет собой так называемый
вихревой след.
Формула Ньютона для силы внутреннего трения
dv dv
показывает, что внутри пограничного слоя и следа, где градиенты
скорости значительны, силой внутреннего трения пренебрегать
нельзя и среду, движущуюся внутри пограничного слоя, следует считать
вязкой даже при малом значении коэффициента [i.
Вне пограничного слоя и следа за телом, где градиенты скорости
малы, силой внутреннего трения можно пренебречь, т. е. считать
среду невязкой, а поток газа безвихревым (потенциальным).
Таким образом, движение среды вне пограничного слоя и следа
можно изучать с помощью уравнений Эйлера. Внутри же
пограничного слоя среду следует рассматривать как вязкую и изучать ее
движение с помощью дифференциальных уравнений движения
вязкой среды. Благодаря малой толщине пограничного слоя
дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости значительно
упрощаются.
— 426 —
При удалении от поверхности скорость потока асимптотически
приближается к скорости в потенциальном потоке. Поэтому
толщина пограничного слоя — величина условная. Однако для
практических целей это не имеет значения, так как скорость потока в
пограничном слое уже на достаточно малом расстоянии от поверхности
незначительно отличается от скорости в потенциальном потоке.
Обычно за толщину пограничного слоя б в данной точке
поверхности принимают расстояние от тела до такой точки, в которой
действительная скорость потока
отличается от скорости в потенциальном
потоке на 1%:
-т:\ =0,99.
и L=
Толщина пограничного слоя
зависит от положения точки на
поверхности. На острой передней
кромке б = 0 и растет при удалении от
передней кромки.
Введем понятие О толщине ВЫ- Рис. 12.5. Толщина вытеснения
теснения. Для этого найдем
разность между секундным расходом через сечение пограничного
слоя высотой б для потока невязкого газа: p#6-l = J pu dy
о
5
и для потока вязкой среды J pvxdy:
1 — X ^fW A2.36)
Здесь р — плотность в потоке невязкого газа.
Учитывая, что за пределами пограничного слоя отношение
скоростей — изменяется мало @,99<^ —<С И» в выражении A2.36)
интеграл от у=0 до у—д можно заменить интегралом от у—О
до у—оо. Предположим, что p = p=const. Тогда
рассматриваемый интеграл изобразится в виде некоторой площади
(заштрихованная часть на рис. 12.5).
Эту площадь можно приравнять к площади равновеликого
прямоугольника (см. рис. 12.5) б* и. Тогда
- \\i-4W
A2.37)
— 427 —
Величина б* представляет, собой условную толщину
некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу времени и при
постоянной во всех точках сечения скорости и протекает количество
жидкости, равное указанному выше уменьшению расхода. Эта
величина получила название толщины вытеснения.
Для сжимаемой среды
A2.38)
Следовательно, толщина вытеснения характеризует уменьшение
секундного расхода газа через сечение пограничного слоя
вследствие торможения потока в пограничном слое.
Граница пограничного слоя
Рис. 12.6. Искривление линий тока вследствие влияния
пограничного слоя
Покажем, что толщина вытеснения, кроме того, характеризует
искривление линий тока вследствие торможения потока в
пограничном слое.
Линии тока при обтекании плоской пластинки (а = 0) потоком
невязкого газа параллельны поверхности (рис. 12.6). Рассмотрим
линию тока 2 в потоке вязкого газа, совпадающую перед плоской
пластинкой с линией тока 1. Поскольку линии тока 1 и 2 перед
пластинкой совпадают, то через сечение АВ с равномерным
распределением скорости и через сечение АС с неравномерным
распределением скорости vx = vx(y) протекает одинаковое количество газа.
Тогда
где
у— координата точки С на линии тока 2 в потоке вязкого
газа;
ВС — смещение линии тока 2 по отношению к линии 1.
— 428 —
Отсюда найдем ВС:
или
У
A2.39)
Из формулы A2.39) следует, что смещение линии тока ВС
зависит от координаты у. При у=0 ?С=0, при увеличении
координаты у расстояние между линиями тока 1 и 2 увеличивается.
Если у=б, т. е. в точке С линия тока 2 пересекает границу
пограничного слоя, то
8
у. A2.40)
При дальнейшем увеличении координаты у величина ВС
практически не изменяется. Следовательно, толщина вытеснения б*
представляет собой толщину, на которую отодвигаются от тела линии
тока в вязком газе по отношению к линиям тока.в невязкой среде
вследствие торможения потока в пограничном слое.
Вследствие этого даже при обтекании плоской пластинки
составляющая скорости vy=f=O (см. рис. 12.6). Очевидно, что vy
порядка толщины вытеснения.
Искривление линий тока вследствие влияния пограничного
слоя можно оценить, рассматривая обтекание фиктивного тела,
утолщенного на толщину вытеснения, потоком невязкого газа.
Тогда вместо пластинки нужно рассмотреть фиктивный профиль
с уравнением поверхности у = 6*(*).
Вообще говоря, для решения задачи с учетом влияния
пограничного слоя на внешний поток нужно пользоваться методом
последовательных приближений. Сначала необходимо определить скорость
и давление на границе пограничного слоя, рассматривая
обтекание заданного тела потенциальным потоком невязкой среды. По
найденному распределению давления и скорости вдоль поверхности
тела можно произвести расчет пограничного слоя, найти толщину
вытеснения. Затем нужно найти скорость и давление на
поверхности фиктивного профиля, утолщенного по отношению к исходному
профилю на толщину б*. Зная новые значения давления и скорости,
найденные с учетом влияния пограничного слоя, необходимо вновь
рассчитать пограничный слой и т. д.
Однако при малых скоростях влиянием пограничного слоя можно
пренебречь, так как толщина вытеснения при этом мала. При
больших скоростях с увеличением толщины пограничного слоя и тол-
— 429 —
гцины вытеснения влияние пограничного слоя на внешний поток
необходимо учитывать (§ 12.12), но и в этом случае достаточно
ограничиться первым приближением.
Введем понятие о толщине потери импульса б**.
Вследствие торможения потока в пограничном слое происходит
уменьшение количества движения (импульса), проносимого через
сечение 6-1, по сравнению с потоком невязкого газа. Оно равно
5
Толщина потери импульса представляет собой условную
толщину некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу
времени с постоянной скоростью и переносится количество
движения ра3б**, равное указанному уменьшению импульса:
8
ри2 б** = J pvx (и — vx) dy*
о
Отсюда
8
^V(V^y. A2.41)
В случае несжимаемой среды (p = p=const) б** равно:
о
Из выражений A2.38) и A2.41) следует, что
б>б*>б**.
Рассмотрим некоторые особенности пограничного слоя в
сжимаемом газе. При малой скорости кинетический нагрев газа
вследствие торможения потока практически отсутствует. Например, при
М = 0,5 температура торможения, равная То = T(l -f- 0,2-0,25) =
= 1,057", отличается от температуры невозмущенного потока
всего на 5%. Поэтому, если нет отвода и подвода тепла
через поверхность тела, температура газа по толщине
пограничного слоя при малых скоростях может быть принята постоянной и
равной температуре набегающего потока.
Поскольку по толщине пограничного слоя давление также не
меняется, то сохраняет постоянное значение и плотность газа
(см. § 12.4). Ввиду этого при расчете пограничного слоя при малых
скоростях потока можно принять, что температура, давление и
плотность газа в пограничном слое постоянны.
— 430 —
При больших скоростях, вследствие торможения потока, в
пограничном слое происходит значительное повышение температуры.
Для теплоизолированного пограничного слоя, когда тепло не
отводится через поверхность тела и не излучается с его поверхности
в окружающее пространство, температура- газа у стенки несколько
меньше температуры торможения То, так как при полном
торможении потока не вся кинетическая энергия переходит в тепло, а
некоторая ее часть рассеивается. Температура газа у
теплоизолированной стенки равна температуре восстановления Тг\
A2.43)
где
г — коэффициент восстановления температуры,
характеризующий долю кинетической энергии внешнего
потока, которая переходит в теплосодержание при полном
торможении потока.
Величина г зависит от числа Прандтля:
Рг =~?. A2.44)
В пограничном слое при больших скоростях происходит
выделение тепла вследствие трения между слоями газа и отвод тепла от
слоя к слою вследствие теплопроводности и конвективного
переноса. Число Рг представляет собой отношение количества тепла,
выделяемого вследствие трения, к количеству тепла, уносимого
молекулами при их непрерывном перемешивании. Для воздуха число
Рг изменяется в пределах от 0,75 при низких температурах до 0,65
при высоких. В среднем для воздуха можно принять Рг = 0,72.
Коэффициент восстановления температуры в ламинарном
пограничном слое приближенно можно определить по формуле
а в турбулентном пограничном слое
/Р
Для воздуха в ламинарном и турбулентном пограничном слое
соответственно получим г—0,85 и г—0,9.
Подставляя значение коэффициента восстановления
температуры в формулу A2.43), при /с= 1,4 получим
? A2.45)
A2.46)
При Рг= 1 (г= 1) температура восстановления совпадает с
температурой торможения.
— 431 —
На рис. 12.7,а приведен примерный характер распределения
температуры по пограничному слою в случае теплоизолированной
стенки и Рг Ф 1. Очевидно, распределение температуры в
пограничном слое существенно изменится при наличии подвода или отвода
тепла.
При охлаждении стенки максимальная температура в
пограничном слое меньше температуры восстановления. Поскольку у стенки
происходит снижение температуры вследствие отвода тепла внутрь
тела, то в этом случае температура газа имеет максимальное
значение внутри пограничного слоя (рис. 12.7, б).
6)
6)
У,
Л
о тг т
Тепло изолироЗанноя
поберхность
О Т„ Тг
Охлаждаемая
поверхность
Нагребаемая
поберхность
Рис. 12.7. Распределение температуры по нормали к поверхности
При нагревании стенки от внешнего источника тепла до
температуры, превышающей температуру восстановления (Tw>Tr),
появляется тепловой поток от стенки к пограничному слою. Это вызывает
увеличение температуры внутри пограничного слоя (рис. 12.7, в).
Учитывая, что повышение температуры более или менее
значительно только в тонком слое вблизи тела, можно ввести понятие
о тепловом (температурном) пограничном слое, в котором
температура газа изменяется от ее значения на стенке (у = 0) до температуры
внешнего потока. Обозначим толщину температурного пограничного
слоя через б^. В общем случае толщина температурного
пограничного слоя не совпадает с толщиной динамического пограничного
слоя, определяемого по скорости.
Поскольку при больших скоростях температура в пограничном
слое значительно меняется, то изменяется и плотность газа. Так же
как и в несжимаемом потоке, при больших скоростях можно принять,
что давление по сечению пограничного слоя постоянно и равно
давлению в потенциальном потоке (§ 12.5). Поэтому плотность в
пограничном слое изменяется обратно пропорционально температуре:
1 р
— 432
Отсюда следует, что при больших числах М вследствие нагрева
газа у стенки плотность газа сильно уменьшается по сравнению
с плотностью на внешней границе.
При значительном изменении температуры в пограничном слое
происходит изменение и физических свойств газа: коэффициента
вязкости \i = \i(T), коэффициента теплопроводности К = ЦТ) и
т. д. Динамический коэффициент вязкости с увеличением
температуры возрастает. Зависимость коэффициента |i от температуры для
воздуха может быть выражена приближенной формулой
A2.47)
где \ix — значение динамического коэффициента вязкости при
некоторой температуре Тъ а показатель степени п изменяется в
следующих пределах: 0,5 < п << 1,5. Здесь п = 0,5 соответствует очень
высоким температурам, а п = 1,5 — очень низким. В среднем
обычно принимают п = 0,76.
Кинематический коэффициент вязкости v с увеличением
температуры также возрастает, причем средняя величина коэффициента v
в пограничном слое гораздо больше, чем на внешней границе
пограничного слоя.
В качестве примера рассмотрим обтекание теплоизолирован-
1 ной пластинки потоком воздуха с Мсо = 5и Гоо = 300° К-
Тогда в случае ламинарного пограничного слоя {г = 0,85)
температура поверхности пластинки будет равна 7V = Тг =
= 300A +0,17-25)-1575°К. При этом
W
Если при прочих равных условиях увеличить число Моо
= 8), то параметры газа у поверхности равны: 7V = 3510°K>
Р XY/ M*IV/ ^ W/
= 0,085, = 6,1, = 71,8. Следовательно, непосред-
Роо f^oo voo
ственно у поверхности кинематический коэффициент вязкости
возрастает в 18,5 раза при М = 5 и в 71,8 раза при М = 8 по
сравнению со значением v во внешнем потоке.
§ 12. 4. Дифференциальные уравнения
пограничного слоя в несжимаемой середе
Выведем сначала дифференциальные уравнения для плоского
пограничного слоя в установившемся потоке несжимаемой жидкости.
Рассмотрим плоский поток несжимаемой жидкости вдоль твердой
границы, которую для простоты будем считать прямолинейной и
15 Зак. 801 — 433 —
направленной вдоль оси х (рис. 12.8). Вдоль этой границы
образуется пограничный слой АВ, толщину которого обозначим
через б.
Для изучения установившегося движения жидкости в
пограничном слое используем дифференциальные уравнения движения
вязкой жидкости A2.32), которые для плоского потока несжимаемой
жидкости будут иметь следующий вид:
dvx
dvx
dvy
ду
у
1
1
р
р 1
7р
ду !
v Г Vjc
/d2vy
\ дх2
j У
' ду2
Пренебрегая массовыми силами X и Y и присоединяя к
уравнениям движения уравнение неразрывности, получим
следующую систему дифференциальных уравнений для вязкой
несжимаемой жидкости:
dvx
dv
x
dvy dvy
1 ie
р дх
ду
(d*Vx
{дх*
дх2
Ту2
дх
ду
A2.48)
///////////////////////7////////////////////////////////,
' X
Рис. 12.8. К выводу дифференциальных
уравнений пограничного слоя
Величина входящей в
эти уравнения координаты
у ограничена в
пограничном слое неравенством
0<у<6.
Это означает, что в
уравнениях величину у можно
считать малой величиной
порядка б, а именно: у ~8.
Заметим, что малость б следует понимать в том смысле,
что мало отношение -*-, где / — характерный размер обтекаемого
тела (например, его длина). *
Имея это в виду, оценим порядок членов, входящих в
уравнения A2.48).
Так как на стенке обтекаемого тела ^ = 0, а на внешней
границе слоя vx имеет порядок v, где v — характерная скорость
рассматриваемого течения (например, скорость на бесконечности
перед телом), то отсюда следует, что при изменении координа-
— 434 —
ты у от 0 до б приращение Avx имеет порядок vf т. е. Дул~0,
а приращение Ду— порядок б, т. е. Ду~б. Поэтому
ду ь '
Аналогично можно показать, что внутри пограничного слоя
ду2 ~ ь2 '
Чтобы оценить порядок -~^-, заметим, что при перемещении
вдоль обтекаемого контура на отрезок порядка характерной
длины / скорость vx может измениться на величину порядка v
(например, от 0 до v), т. е. и в этом случае Дг^.~^. Так как
при этом Д*~/, то
дх ~ Г
Нетрудно убедиться, что
дх2 /2 '
Используя далее уравнение неразрывности
дих dvy
дх ду '
dvv Qzj
приходим к выводу, что __! имеет тот же порядок, что и -—¦,
dvy v
т. е.
ду ' I '
dvv
Поскольку
У
иУ
то отсюда следует,что
Имея в виду, что на поверхности обтекаемого тела v =0, и
зная порядок величины vy в точках внутри слоя, легко опреде-
dvy д2 vv д2 vv
лить порядок величины производных -~- , -~ , -~- .
Очевидно
диу vb d2vy У5 d2vy v
~дх~ ~/2~ » дх2 ~jT » -^Г ~ 7^- •
— 435 — 15*
Определив порядок скоростей и их производных, входящих
в уравнения A2.48), перепишем первое из этих уравнений,
подписав под каждым его членом порядок их величин:
иУ ду ~~
у2
х дх "Т иУ ду ~~ р дх т v I дх2 "*" ду
V2 V2 V V
Т ~Т I2 ~W
Ясно, что в этом уравнении можно отбросить член - Vx
дх2 '
как малый по сравнению с членом v? , так как отношение
iL : JL = (*у есть квадрат малой величины.
Тогда первое уравнение системы A2.48) примет вид
dvx . dvx I dp . д2 у*.
Внутри пограничного слоя силы вязкости и силы инерции
имеют одинаковый порядок. Тогда отношение
должно иметь порядок, равный единице, т. е.
Отсюда следует, что отношение
т. е. порядок толщины пограничного слоя, образующегося при
течениях с большими числами Re, равен —= или 1/ — .
Перейдем теперь ко второму уравнению A2.48):
v2 Ь v2b v8 v
/2 [2 ~[2~ ~[§~
d2vy
Пренебрегая членом д 2 ? так как он мал по сравнению
d2vv
с д 2 , перепишем это уравнение в виде
у ^' j- ^ Vy — L ?JL _|_ v ^y . A2.49)
— 436 —
Инерционные члены второго уравнения движения имеют
порядок -^2- б, и, следовательно, их отношение к инерционным
членам первого уравнения равно -г. Отсюда следует, что
инерционными членами второго уравнения можно пренебречь. Точно
так же отношение вязких членов второго уравнения движения
к вязким членам первого уравнения равно у, и ими также
можно пренебречь. Поэтому с достаточной степенью точности
можно заменить второе уравнение системы A2.48) уравнением
% = 0. A2.50)
Таким образом, давление внутри погранично"
го слоя не меняется вдоль нормали к
контуру тела и равняется да влению на внешней
границе слоя.
Из уравнения A2.50) следует, что распределение давления вдоль
поверхности совпадает с распределением давления на границе
пограничного слоя. Этот результат подтверждается экспериментом.
Давление на границе пограничного слоя можно найти, решая задачу
об обтекании заданного тела потенциальным потоком.
Для плоского установившегося движения, заменяя частную
производную ?? на полную ~, так как в этом случае давление р
будет функцией только координаты х, получим следующую систему
дифференциальных уравнений пограничного слоя в несжимаемой
среде (уравнение Прандтля)
dvx dox I dp d2 vK
dx •" У dy p <dx *~ dy2
A2.51)
Система уравнений A2.51) интегрируется при следующих
граничных условиях:
при у = 0 vx=vy = 0,
при у = б vx = u(x).
Здесь и(х) — распределение скорости на верхней границе
пограничного слоя.
Условие для поперечной составляющей скорости vy на границе
пограничного слоя заранее установить нельзя, так как она
определяется только в результате решения задачи. Необходимо иметь
в виду, что поскольку уравнения A2.51) по отношению к vy
являются уравнениями первого порядка, то для определения vy
достаточно задать одно условие на поверхности тела (у = 0).
— 437 —
Дифференциальные уравнения A2.51) для несжимаемого
пограничного слоя получены в предположении, что граница твердого
тела плоская. Эти уравнения с достаточной точностью справедливы
и для криволинейной стенки. В этом случае следует отсчитывать
абсциссу х по дуге контура тела от какой-нибудь точки, принятой
за начало координат, а ординату у — по нормали к поверхности
тела.
§ 12. 5. Дифференциальные уравнения
пограничного слоя в сжимаемом газе
Напишем уравнения пограничного слоя сжимаемого газа. Для
этого также рассмотрим установившееся плоскопараллельное
течение, а влиянием массовых сил по-прежнему будем пренебрегать.
В этом случае уравнения движения A2.9) и A2.9') примут вид
где по формулам A2.31)
2 fdvr , диУ
Pyx - Рху - Iх [ ду -Г дх
dvy
A2.54)
Так же как для пограничного слоя в несжимаемой среде,
оценим порядок величины членов, входящих в уравнение A2.52).
По-прежнему можно принять, что в пограничном слое
составляющая скорости vy имеет порядок -у-б. Поэтому члены левой
части уравнения A2.52) имеют одинаковый порядок ~-.
Подставим выражения A2.54) в уравнение A2.52). Тогда в правой
части уравнения получим члены
дх\*1~дГ)>д7у1ду)' дуУ^ду)' ду \г дх
V Vb
которые соответственно имеют следующий порядок: \л -^, |х ^-,
v vb
— 438 —
Поскольку первый, второй и четвертый из этих членов малы
по сравнению с третьим членом, который имеет одинаковый
порядок с инерционными членами, то уравнение A2.52) можно
записать в следующем виде:
A2'55)
В уравнении A2.53) члены правой части, содержащие коэф-
д Г dvx\ д ( dvy \ д ( dvx \ д
фициент вязкости, gj (|i-gf J , ^[v-^y ly[V"w)^ Ty
имеют порядок [Л -т^-, |i -^-, \х -щг > |^ -р • Максимальный из них
V
«* ж-
Предполагая по-прежнему, что в пограничном слое силы
инерции и силы вязкости имеют одинаковый порядок, получим,
что [х~—?L . Тогда |х-^- ~ р —• 6. Таков же порядок членов
левой части. Поэтому ~- имеет порядок р-уа-б. Таким образом,
как и в несжимаемой среде, из уравнения A2.53) следует, что
у^^О. Тогда в уравнении A2.55) частную производную ^~
можно заменить полной производной -—¦ :
д
В уравнении A2.56) неизвестными являются составляющие
скорости vx, vy плотность р и в неявной форме температура,
так как динамический коэффициент вязкости зависит от
температуры.
В качестве второго уравнения используем уравнение
неразрывности B.3), которое для установившегося
плоскопараллельного движения имеет вид
4^ + ^=0, ' A2-57)
а в качестве третьего — уравнение энергии A2.35).
Преобразуем уравнение энергии применительно к
пограничному слою. Для установившегося плоскопараллельного потока
оно имеет вид
дТ
ду
— 439 —
По-прежнему из членов, содержащих вязкость, в этом урав-
нении должен быть сохранен только член |х -^
Оценим порядок членов, содержащих температуру. Для этого
напишем уравнение Бернулли вне пограничного слоя B.25'):
2
-у + ср Т = const, или -у + ср Т = -^р- + ср Гоо,
где удельная теплоемкость отнесена к единице массы.
Принимая, что изменения скорости вдоль границы
пограничного слоя на расстояниях, сравнимых с масштабом длины /,
дТ
порядка скорости v, получим порядок величины -ч— :
дТ Ф
~дх~~2ср1 >
дТ pv*
a cp$vx-Q величина порядка -т- .
р\гр
Аналогично можно оценить порядок члена pcpvy-^-. Про-
изводная -^— имеет порядок г ^——. Подставляя сюда выра-
2
жение Тг A2.43) и учитывая, что Тг — Т0о=
V.
V А дТ
= -^—, a oy^j0, получим, что произведение pcpvy-^— также
порядка -у .
Оценим порядок членов, содержащих коэффициент
теплопроводности. Учитывая, что число Рг = -^порядка единицы,
имеемХ — ср\1. Тогда член -^- l^^rr) будет порядка Ц-^ , а
л~ А-д— —порядка jx-7572~- Отсюда видно, что ¦-— А, -^—
ОХ \ ОХ I 2,1 ОХ \ ОХ
W\ ~ду)' ТаК КаК отношение $ / дТ \ имеет ПОРЯА°К 7г"'
Поэтому в [уравнении энергии для пограничного слоя членом
дх~ ~дх~) можно пренебречь. Порядок члена у- л -g—
совпадает с порядком остальных членов уравнения, так как
/2 Re ~" pvl '
— 440 —
В результате получим следующее уравнение:
?) •
Преобразуем уравнение A2.58). Для этого умножим
уравнение A2.56) почленно на vx и сложим его с уравнением A2.58).
Тогда получим
A2.59)
Введем температуру торможения в пограничном слое:
Т0 = Т + ^~. A2.60)
zcp \ /
Здесь удельная теплоемкость ср отнесена к единице массы.
Подставляя в уравнение A2.59) выражение A2.60), будем
иметь
1 д (\vx dvx \ . 1 д ( dvx \
ср дУ \ ср дУ ) ср дУ v х ду )' uz-D1;
Исключим из этого уравнения коэффициент теплопроводности,
выражая его через число Рг и коэффициент вязкости:
*•=%?¦¦ A2-62)
Число Рг, вообще говоря, зависит от температуры.
Пренебрегая изменением числа Рг в пределах пограничного слоя,
в результате подстановки выражения A2.62) в уравнение A2.61)
получим
Таким образом, для исследования установившегося
движения сжимаемого газа в пограничном слое имеем систему
уравнений A2.56), A2.57) и A2.63). Основными неизвестными в этих
уравнениях являются vx, vy и Т.
При исследовании пограничного слоя, вследствие
выполнения уравнения ^-=0, давление можно считать известной вели-
15В. Зак. 801 — 441 —
чиной. В сжимаемом потоке давление можно определить по
формуле C.5):
1 «2М
L cmax
где
и(х) — скорость на границе пограничного слоя;
р0 — давление торможения внешнего потока.
Плотность по толщине пограничного слоя изменяется
обратно пропорционально температуре.
Динамический коэффициент вязкости следует считать
известной функцией температуры, определяя его, например, по
степенной зависимости A2.47):
Здесь п = 0,76, a |ioo — величина динамического коэффициента
вязкости при температуре Too-
Для определения vx, vy и Т из указанной системы
уравнений нужно задать граничные условия. Условия для
составляющих скорости vx, vy по форме совпадают с граничными
условиями для несжимаемой среды:
при у = 0 vx = vy = 0,
при у = 6 vx = и(х).
Граничные условия для определения температуры для
разных задач могут быть различными. Например, для
теплоизолированной поверхности тепловой поток при у = 0 равен нулю.
Поэтому
Кроме того, приу=оо Т=Тоо-
Если решается задача с условием, что температура
поверхности тела в полете должна поддерживаться постоянной, то
граничные условия следующие:
при у = 0 Т = 7V,
при у = оо Т = Too.
В общем случае температура поверхности определяется из
уравнения теплового баланса при заданных условиях
невозмущенного потока (см. § 12.14).
В заключение отметим, что выведенные дифференциальные
уравнения пограничного слоя пригодны лишь для изучения
ламинарного пограничного слоя. Решение дифференциальных уравнений
пограничного слоя как для сжимаемого, так и для несжимаемого
— 442 —
потока, несмотря на то что они проще общих уравнений движения
вязкой среды, все же достаточно сложно даже для простейших
контуров. В связи с этим используются приближенные методы
решения задач пограничного слоя, основанные на рассмотрении
интегрального соотношения, являющегося математическим
выражением теоремы об изменении количества движения.
§ 12, 6. Интегральное соотношение
пограничного слоя
Выделим в пограничном слое бесконечно малый объем ABDC
(рис. 12.9), ограниченный элементом BD твердой границы, которую
примем за ось х, элементом АС верхней границы пограничного
слоя и плоскостями АВ и CD, отстоящими друг от друга на
расстояние dx. Протяженность объема в направлении размаха крыла
примем равной единице. Применим к объему ABDC теорему о
количестве движения. Вычислим изменение количества движения
в направлении оси х за промежуток времени dt. Очевидно, через
участок АВ будет втекать масса
газа
dt
а через участок CD вытекать
dt
6 /
\pvxdy + \±
о ^ о
о ч о
Разность между ними равна
8
dtdxA.
Рис. 12.9. К выводу
интегрального соотношения пограничного
слоя
На основании условия неразрывности для установившегося
течения через верхнюю границу АС должна втекать такая же масса
газа. Она внесет следующее количество движения (на границе
пограничного слоя vx = и, где и — составляющая скорости
потенциального потока):
о
udtdx j^- ^pvxdy.
— 443 —
15В*
Подсчитаем количества движения газа, вносимого и
уносимого через участки АВ и CD. Через участок АВ вносится
следующее количество движения:
dt f pv2xdy.
о
Количество движения, уносимого газом через участок CD,
будет равно
dt
Тогда разность количеств движения составит
Найдем полное изменение количества движения газа в
объеме за время dt:
8 1
dy — и ^- \pvx dy\ dxdt. (a)
о J
Вычислим импульсы внешних сил за тот же промежуток времени
dt в направлении оси х. Очевидно, на элемент ABDC в этом
направлении будут действовать силы давления, приложенные к левой,
верхней и правой граням элемента, и сила трения, приложенная
к нижней его грани BD (сила трения, приложенные к левой и правой
граням, дают проекцию на ось х, равную нулю, а на верхней грани
АС х ж 0). Проекции на ось х сил давления, действующих на грани
АВ, АС и DC, будут соответственно равны
рб, pds ^ = pdb, —
где
ds = АС, ~ синус угла, образуемого элементом АС с осью х.
Сумма проекций сил давления равна:
а импульс сил за время dt составит
-bd-[Ldxdt. (б)
— 444 —
На элементе поверхности BD действует сила трения,
направленная влево, величину которой, отнесенную к единице
площади, обозначим через т0. Умножая т0 на величину площади
dx-\ и на промежуток времени dt, получим выражение для
импульса силы трения:
— xodxdt. (в)
Приравнивая выражение (а) для изменения количества
движения сумме величин (б) и (в) для импульсов действующих сил
и сокращая на dxdt, получим искомое интегральное
соотношение пограничного слоя для случая плоского установившегося
движения газа (интегральное соотношение Кармана).
rjxdy=—о -~ т0. A2.Ь4)
Следует отметить, что интегральное соотношение A2.64)
является более общим, чем системы дифференциальных уравнений,
и пригодно для изучения не только ламинарного, но и
турбулентного движения внутри пограничного слоя, так как при его выводе
не делалось никаких предположений о природе касательного
напряжения. Входящие в интегральное соотношение пограничного слоя
величины и, р можно рассматривать как известные, и тогда для
несжимаемой среды неизвестными будут только vX9 б и т0, а с учетом
сжимаемости vx, б, р, т0.
При использовании интегрального соотношения A2.64) нужно
два дополнительных уравнения: закон распределения скорости по
нормали к поверхности в пограничном слое, который можно
задать приближенно, а в качестве второго уравнения для
заданного режима течения вязкой среды в пограничном слое
(ламинарного или турбулентного течения) обычно принимают зависимость
напряжения трения от изменения скорости по нормали к
поверхности. Например, для ламинарного пограничного слоя можно
использовать формулу Ньютона:
В результате подстановки выражений для ихитов
интегральное соотношение получим обыкновенное дифференциальное
уравнение для определения толщины пограничного слоя б.
Приведем интегральное соотношение A2.64) к другому виду.
Так как
о о
— 445 —
а из уравнения Лагранжа-Бернулли следует, что
то интегральное соотношение A2.64) можно представить в
следующем виде:
^^ x0. A2.65)
о о
Здесь р — плотность на границе пограничного слоя.
В выражении A2.65) первый интеграл представляет собой
уменьшение секундного массового расхода газа через сечение
пограничного слоя вследствие влияния вязкости. Из формулы
A2.38) следует, что
5
1(ри — pvx)dy=pu6*.
о
Второй интеграл характеризует уменьшение импульса A2.41):
д
J
о
Подставляя эти выражения в уравнение A2.65), получим
Проводя дифференцирование, для несжимаемой среды
находим
ри2 ^- + рб** 2ии' + рии' 6* = т0. A2.66)
Для приведения уравнения A2.66) к безразмерной форме
+ %л /ох** I Л*\ то /1о ап\
1ГB6 +б) = 7Р"' A2'67)
разделим его почленно на ри2:
или
^+i^,2 + H)=i, П2.67',
где
Эта форма интегрального соотношения A2.67') более удобна
для расчета пограничного слоя около криволинейных
поверхностей.
— 446 —
§ 12. 7. Уравнение теплового баланса
для сечения пограничного слоя
Составим интегральное соотношение теплового баланса для
сечения пограничного слоя в случае установившегося обтекания
плоской пластинки.
Количество тепла, поступающее через элементарную
площадку высотой dy в единицу времени, будет равно cppvxTdy.
Тогда через сечение пограничного слоя поступает количество
тепла, равное
д
|* ср pvx Tdy.
о
Количество тепла, которое уносится через сечение,
отстоящее от первого сечения на расстоянии dx, можно написать
в следующем виде:
6 ' , д ч
Г
о
ср pvx Tdy+l-^^cp pvx Tdy dx.
о \ о
Поступающая через границу пограничного слоя масса газа,
d С 1 \ 1
равная [ j^- \ pvxdy \dx, вносит следующее количество тепла:
о
где Га — температура на границе пограничного слоя.
Количество тепла, отводимое через стенку, равно
dx.
Составим уравнение баланса тепла. При этом теплом,
возникающим вследствие трения, будем пренебрегать. Тогда
получим
О О
Для пластинки температура газа на границе пограничного слоя
равна температуре невозмущенного потока (Ть = Too). Поэтому
это уравнение можно переписать в следующем виде:
j
о
Если пренебречь изменением ср и К в зависимости от
температуры, то получим
— 447 —
Для несжимаемой среды это уравнение имеет вид
A2.68)
§ 12. 8. Расчет пограничного слоя
на плоской пластинке в несжимаемой среде
Решение задачи об обтекании плоской пластинки играет в теории
сопротивления трения большую роль. Пластинка (рис. 12.10),
поставленная вдоль потока, является простейшим удобообтекаемым
телом, сопротивление которого зависит исключительно от
касательных напряжений. Найденные для пластинки зависимость
6 = Ь{х) и величина
коэффициента сопротивления трения могут
быть использованы при
приближенных расчетах обтекания других
удобообтекаемых тел, например
тонких профилей.
Задача расчета пограничного
слоя в несжимаемом потоке
сводится к определению закона
изменения толщины пограничного
Рис. 12.10. Ламинарный погра- СЛОЯ> Т' е' ФУНКЦИИ б = 6(*) И
ничный слой на плоской пластинке силы сопротивления трения Лтр,
при условии, что известны
скорость набегающего потока Уоо, кинематический коэффициент
вязкости среды v и хорда пластинки Ь.
Для решения задачи обратимся к интегральному соотношению
пограничного слоя A2.64) для установившегося течения:
Так как в рассматриваемом случае u=v^ и ^-=0, т. е.
пластинка представляет собой тело с нулевым градиентом
давления вдоль по хорде, то интегральное соотношение A2.64)
принимает вид
A2.69)
— 448 —
Для того чтобы вычислить толщину пограничного слоя и силу
сопротивления, приложенную к пластинке, требуются еще два
дополнительных соотношения, в качестве которых можно взять:
1) закон распределения скорости vx по толщине слоя и
2) уравнение, связывающее касательное напряжение на
поверхности тела т0 с толщиной слоя б.
Вместо того чтобы искать истинный закон распределения
скорости vx = vx(y), зададим -^- в виде полинома третьей сте-
пени относительно безразмерной координаты ^:
где а, Ь, с, d — коэффициенты полинома, которые должны быть
определены из граничных условий. Этот метод
впервые был предложен Польгаузеном.
Граничные условия могут быть двух родов: кинематические,
налагаемые на скорости на границах пограничного слоя, и
динамические, налагаемые на силы внутреннего трения. Составим эти
граничные условия.
1. Так как на нижней границе пограничного слоя скорость
равна нулю, то
(vx)y=o = 0.
2. На верхней границе слоя скорость vx становится равной
скорости потенциального потока. Следовательно,
3. На верхней границе пограничного слоя сила внутреннего
трения (т=И'~7гЧ обращается в нуль. Поэтому
(дух \ __о
[ дУ )у=Ь - U-
4. Для определения четвертого граничного условия
обратимся к дифференциальным уравнениям пограничного слоя. Из
первого уравнения системы A2.51) следует, что на нижней
границе пограничного слоя
(d*vx\ 1 dp
ду* ]у=о (х dx '
так как при у=0 составляющие скорости vx=v^=^0. Но так как
в данном случае ^=0> то, следовательно,
= 0.
ду2
— 449 —
Указанные четыре граничных условия позволяют
определить величины четырех коэффициентов а, Ь> с, d:
а=0, Ь=4т> с==0> d== Wm
Следовательно, закон распределения скорости vx = vx (у)
принимает следующий вид:
( ^ A2.70)
Итак, первое необходимое дополнительное соотношение
найдено. Второе дополнительное соотношение найдем, используя
закон Ньютона для внутреннего трения при ламинарном
течении:
Учитывая, что
ду "" 2
получим
dvx _ 3 "a>_(l_P
A2.71)
После подстановки в интегральное соотношение A2.69)
выражений для скорости vx A2.70) и касательного напряжения т0
A2.71) получим обыкновенное дифференциальное уравнение,
содержащее одну неизвестную величину б, решая которое,
найдем 6=6 (х).
Действительно, с помощью выражения A2.70) для скорости
легко вычислить интегралы, входящие в интегральное
соотношение A2.69):
Подставляя эти значения интегралов в соотношение A2.69),
получим дифференциальное уравнение
17 2 db 5 2 db __ 3 уоо
35рУо0^ 8 ри°°Ш-~ 2 ^ "Г"'
которое после упрощений примет простой вид
= \idx.
— 450 —
Интегрируя, находим
— pVoo?>2 = \ix + C.
Так как при х=0 толщина пограничного слоя равна нулю,
то, очевидно, С=0. Следовательно,
280
13
6 = 4,641/-^. A2.72)
Найдем отношение толщины пограничного слоя к хорде б =
о
~Ь '' _
"^, A2.73)
где
Из формулы A2.73) следует, что толщина ламинарного
пограничного слоя вдоль пластинки нарастает по параболическому
закону и обратно пропорционально ]/Re.
Более точные методы дают следующую зависимость для
закона изменения б:
Отсюда видно, что задание закона изменения скорости в
виде полинома третьей степени приводит к сравнительно
небольшой ошибке.
Для определения толщины вытеснения б* подставим в
формулу A2.37) выражение A2.70):
О
Следовательно, толщина вытеснения при ламинарном
пограничном слое составляет около одной трети от толщины
пограничного слоя.
Найдем изменение т0 вдоль пластинки. Для этого подставим
в выражение A2.71) б по формуле A2.72):
_ 3 1 ^U2
— 451 —
Введем местный коэффициент i рения по формуле су=—А
Подставляя сюда выражение т0, получим
0,65 у v 0,65 /1О пл>.
Cf = —F=- ^7= =~т=> A2,74)
Vvao V*
где Кех = —^— .
Из формулы следует, что местный коэффициент трения
уменьшается при удалении от передней кромки. На передней кромке (х = 0)
Cf = оо. В действительности из соображений симметричности потока
следует, что при х = 0 и х = Ъ т0 = 0, cf = 0. Формула A2.74)
дает хорошее совпадение с опытными данными, за исключением
областей вблизи передней и задней кромок.
На рис. 12.11 приведена кривая зависимость cf от координаты х.
Найдем силу трения. Обо-
°f значим через Cf коэффициент
суммарного трения,
отнесенный ко всей смоченной
поверхности пластинки, равной
25 = 21Ь. Тогда
Отсюда
и ь
Рис. 12.11. Изменение местного коэф- Cf = у I Cfdx. A2.75)
фициента трения вдоль пластинки J
Подставляя в формулу A2.75) выражение cf A2.74), получим
Таким образом, коэффициент трения плоской пластинки при
ламинарном пограничном слое зависит от числа Re и изменяется
обратно пропорционально \/Яе.
Рассмотрим расчет турбулентного пограничного слоя на
плоской пластинке.
Законы турбулентного течения наиболее полно исследованы для
движения жидкости в круглых трубах. Используем результаты этих
исследований для расчета пограничного слоя. Предположим, что
законы турбулентного течения жидкости в круглых трубах
совпадают с законами турбулентного движения в пограничном слое.
— 452 —
Необходимо иметь в виду, что полного совпадения этих законов
быть не может, так как распределение скорости в трубе
устанавливается под воздействием градиента давления -j- =j= 0, в то время как
при обтекании пластинки -?• = 0. Однако, как указывалось выше,
небольшая разница в распределении скорости по нормали к
поверхности несущественно сказывается на результатах расчета толщины
пограничного слоя и напряжения трения. В этом основное
преимущество использования интегрального соотношения.
Вводя гипотезу о тождественности законов распределения
скорости по толщине пограничного слоя плоской пластинки и по радиусу
круглой цилиндрической трубы (см. [1]), можно принять, что
изменение скорости внутри пограничного слоя пластинки при
турбулентном течении определяется зависимостью
именуемой законом одной седьмой. Это первое дополнительное
уравнение к интегральному соотношению.
Вторым дополнительным уравнением будет зависимость между
величиной касательного напряжения т0, толщиной пограничного
слоя б и скоростью Уоо набегающего потока. Эту зависимость,
продолжая аналогию между турбулентным течением жидкости по трубе
и вдоль плоской пластинки, можно принять в виде
= 0,0225 Pv2J-\Y. A2.78)
Установив два дополнительных необходимых уравнения,
обратимся к интегральному соотношению A2.64):
о о
Вычислим входящие в это соотношение интегралы:
— 453 —
Подставляя найденные значения интегралов и выражение
A2.78) в соотношение A2.69), будем иметь
72 r"°° dx
_i
7 do Л none I v \ 4
Разделяя переменные, приведем полученное уравнение к виду
6*~ d6 = 0,0225 ?(
Интегрируя и определяя постоянную интегрирования из
условия х=0, 6=0, после простых преобразований получим
5=0,37f—У*0'8 A2.79)
^^
= 0,37-^^, A2.80)
У Re
где
Из полученных выражений следует, что толщина
турбулентного пограничного слоя нарастает более интенсивно, чем
ламинарного и обратно пропорциональна _}/Re. Поэтому при- прочих
равных условиях бт > бл. Объясняется это тем, что
вследствие поперечного перемешивания частиц в турбулентном потоке
тормозящее влияние стенки распространяется на большее
расстояние от поверхности.
Толщина вытеснения A2.37) для турбулентного пограничного
слоя с распределением скорости по нормали к поверхности по
закону одной седьмой A2.77) будет равна
Определим силу трения Хтр. Используя выражение A2.78),
получим формулу для определения касательного напряжения:
= 0,0289 pt&f
— 454 —
Отсюда местный коэффициент трения
A2.81')
0,0578
или
Используя выражения A2.75) и A2.8 Г), получим суммарный
коэффициент трения пластинки при турбулентном пограничном
слое:
Ь 1 Ь
Отсюда
= 0,0578 (--48415=:.
0,072
A2.82)
Зависимость коэффициентов трения от числа Re удобно
изображать в логарифмических координатах, в качестве которых
принимают lg Re и lg Cf
(рис. 12.12). При этом зави- 19 г-*
симость Cf для ламинарного
пограничного слоя
изобразится прямой 1:
lgC/=lgl,3-ylgRe
с угловым коэффициентом
— Y , а зависимость Cf для
турбулентного пограничного
слоя прямой 2:
lgC,= lg 0,072 -Ilg Re
с угловым коэффициентом
1
— Igfte
Рис. 12.12. Зависимость коэффициента
сопротивления трения плоской
пластинки от числа Re:
1—ламинарный пограничный слой; 2
—турбулентный пограничный слой
Ъ
Как видим, в обоих случаях с увеличением числа Re
коэффициент сопротивления убывает, но при турбулентном слое
значительно медленнее, чем при ламинарном.
Как показывают опыты, более точно коэффициент трения
пластинки в случае турбулентного пограничного слоя выражается
формулой
г _ 0,074 (Ю ™
С A2.83)
— 455 —
В пределах 106 < Re < 109 часто пользуются следующей
формулой:
0,455
A2.84)
Рис. 12.13. Расчетная схема
смешанного пограничного слоя на плоской
пластинке
Как видим, теория достаточно хорошо подтверждается
экспериментом и тем самым оправдывается введенная выше аналогия между
турбулентными течениями по трубам и в пограничном слое плоской
пластинки.
Характер пограничного слоя, образующегося при обтекании
плоской пластинки потоком жидкости, существенно зависит от
режима обтекания,
определяемого числом Re. При
сравнительно небольших числах Re
вдоль всей пластинки
образуется ламинарный
пограничный слой. При очень больших
значениях числа Re
практически вдоль всей пластинки
образуется турбулентный
пограничный слой. В диапазоне
же значений чисел Re от
Re = 105 до Re = 5-106 в
начале пластинки образуется ламинарный пограничный слой,
который, начиная с некоторого места, разрушается и переходит
затем в турбулентный слой.
Рассмотрим случай смешанного пограничного слоя, когда на
передней части пластинки О А образуется ламинарный пограничный
слой, а за ним на участке АВ — турбулентный (рис. 12.13).Сделаем
два упрощающих предположения:
1) переход от ламинарного пограничного слоя к турбулентному
происходит мгновенно в точке А (расстояние ОА обозначим через
хкр)\
2) изменение толщины турбулентного слоя, распределение
скоростей и касательных напряжений в нем аналогично тому, которое
было бы, если бы турбулентный слой начинался не от точки Л, а от
передней кромки О.
Исходя из этих предположений, расчет силы сопротивления
трения можно произвести следующим образом. Обозначим нерез Х"тр
силу трения всей пластинки в предположении, что пограничный слой
на всем ее протяжении турбулентный. Тогда, чтобы получить силу
трения Хтр для смешанного слоя, нужно из Х*р вычесть силу трения
переднего участка слоя ОА, считая его турбулентным, и прибавить
к полученной разности силу трения этого же участка О А, считая его
ламинарным, т. е.
— 456 —
Хтр=Хтр — XTpt ОА+^тр ОА>
где
р — сила трения ламинарного участка О А.
Сила трения переднего участка пластины при ламинарном:
пограничном слое равна
/л ~~2~ 2л?Кр /,
а при турбулентном слое —
С/г ^2*кр/.
Представим разность сопротивлений АХтр в следующем виде:
2
ДХгр = — Хтр ОЛ + ^тр. О А = — Р "|г (С/г —^л) 2#Кр /.
2
Разделим обе части этого равенства на—^ 2/6. Тогда
изменение коэффициента сопротивления трения пластинки от
наличия ламинарного участка будет равно
Сь-Ъ* (/т f\ v A
V
где через А обозначена следующая величина:
а число ReKp = °° кр принято называть критическим.
Опытным путем установлено, что для гладких пластин
величина Л=1700. При увеличении шероховатости пластинки или
степени турбулентности набегающего потока уменьшаются
критическое число ReKp и величина А. Для шероховатых пластин
Л=300. Следовательно,
300<Л<1700.
Таким образом, для величины коэффициента трения плоской
пластинки в случае смешанного пограничного слоя получаем
следующее выражение:
Г °>074 Л MOQK4
y~tf == ~р — "гг— , ( IZi.oD)
ИЛИ
п 0,455 А
— 457 —
Из изложенного следует, что сопротивление трения
пластинки будет тем меньше, чем больше
длина ламинарного участка пограничного
слоя.
Рассматривая обтекание плоской пластинки как первое
приближение к обтеканию крылового профиля, приходим к выводу, что
для уменьшения сопротивления трения профиля выгодно иметь на
нем возможно больший участок ламинарного пограничного слоя.
По этому принципу сконструированы ламинизированные крыловые
профили, которые, обладая увеличенной зоной ламинарного
пограничного слоя, дают значительный выигрыш в сопротивлении.
§ 12. 9. Пограничный слой на криволинейной
поверхности
Нами рассматривался пограничный слой около прямолинейной
поверхности. В этом случае скорость потока вне пограничного слоя
вдоль оси х была постоянной.
При обтекании криволинейной поверхности скорость и(х) на
внешней границе пограничного слоя будет величиной переменной,
зависящей от координаты х. Давление в пограничном слое
криволинейной поверхности также будет функцией х9 что следует из
уравнения Лагранжа — Бернулли, примененного к внешней границе слоя.
Рис. 12.14. Градиент давления по поверхности
профиля
Ранее было установлено, что в пограничном слое распределение
давления вдоль тела мало отличается от распределения давления
в потенциальном потоке невязкого газа, ввиду того что производную
~ в пограничном слое можно считать равной нулю.
Рассмотрим поток, обтекающий криволинейную поверхность,
например профиль крыла (рис. 12.14).
Обозначим через Уоо и роо соответственно скорость и давление,
которыми обладает поток на бесконечности. Выясним, как будет
меняться в этом случае давление на внешней границе пограничного
слоя. Так как на верхней поверхности профиля скорость вначале
— 458 —
возрастает от точки А до точки В, а затем убывает, то Давление на
основании уравнения Лагранжа — Бернулли будет вна^але умень.
шаться, а затем расти. В точке В скорость будет максимальная,
а давление — минимальное. Следовательно, частицы жидкости
в пограничном слое около рассматриваемой криволиней^од
поверхности будут двигаться при наличии градиента давления <*Р как от_
рицательного, так и положительного по знаку. Этот факт
существенно отличает пограничный слой около криволинейной Поверхности
от пограничного слоя вдоль
плоской
слоя
пластинки,
где
dp
dx
f\
Рис. 12.15. Эпюры распределения ско_
росши по нормали к повер*ности в
личных точка*
При течении вязкой
жидкости касательная и
нормальная составляющие скорости
должны в точках поверхности
обращаться в нуль. Кроме
того, на некотором
небольшом отдалении от
поверхности обтекаемого тела
течение вязкой:* жидкости мало
отличается от течения
идеальной жидкости, при котором
только нормальная
составляющая скорости на поверхности тела обращается в нуль, а
касательная отлична от нуля. Изменение касательной составляющей вдоль
нормали к поверхности тела в точке В изображено на рис J2 15
Здесь кривая показывает, что касательная скорость, равная нулю
в точке В, для точек, расположенных на нормали к криволинейной
поверхности, постепенно увеличивается и на некотором расстоянии
от поверхности мало отличается от значения, соотв^ТствуЮщего
потенциальному течению идеальной жидкости.
Частицы идеальной жидкости преодолевают при свое^ движении
только силы давления: на участке О А под действием отридательного
/dp \
градиента давления yj~x < 0J происходит ускорение частцц? а в кор.
мовой части, под действием положительного гра%ента
до v = О
дав-
на задней
ления, происходит уменьшение скорости
кромке.
В пограничном слое поле давлений мало отличается от поля дав.
лений в потенциальном потоке идеальной жидкости. Между тем
в непосредственной близости от поверхности тела скороеть а
следовательно, и кинетическая энергия частиц ничтожна. В 3TqM
сказывается влияние вязкости. В кормовой части может оказаться
недостаточным запас кинетической энергии вблизи поверХности для
преодоления положительного градиента давления и скорость частиц
— 459 —
газа вблизи поверхности станет равной нулю еще не доходя до задней
кромки (рис. 12.15, точка S).
Между точкой S и задней кромкой под действием положительного
градиента давления в пограничном слое возникает движение частиц,
направленное в сторону, обратную основному потоку —
противотоки (рис. 12.15, точка С). Столкновение основного потока с
противотоком приводит к оттеснению линий тока от поверхности и к отрыву
потока от поверхности тела в точке S. При этом масса газа,
движущегося в пограничном слое против основного направления потока,
сворачивается в вихрь. Поэтому отрыв потока сопровождается всегда
образованием вихрей, которые периодически срываются с
поверхности тела.
Следовательно, причиной отрыва потока в основном является
положительный градиент давления.
Точка 5, в которой (тр) =0, называется точкой от-
рыва потока. Положение точки отрыва зависит от величины
положительного градиента давления. Для тел, имеющих малую
кривизну поверхности и обтекаемых под малым углом атаки,
dp
градиент давления -р- мал, и практически можно считать, что
отрыв потока отсутствует. При увеличении угла атаки градиент
Y возрастает, что вызывает отрыв потока. Чем больше ~ (угол
атаки), тем точка отрыва ближе к передней кромке.
Отрыв потока и образование вихрей приводят к существенному
изменению распределения давления в кормовой части профиля по
сравнению с безотрывным обтеканием. При этом распределение
давления, полученное по теории потенциального течения не совпадает
с действительным распределением давления. Давление в кормовой
части при обтекании профиля с отрывом потока оказывается меньше,
чем в потенциальном потоке. Понижение давления в кормовой части
приводит к появлению дополнительного сопротивления,
представляющего собой сопротивление давления (как известно, на основании
постулата Эйлера сопротивление давления при безотрывном
обтекании равно нулю). Обычно это сопротивление называют
вихревым сопротивлением, имея в виду, что оно вызывается
отрывом потока и образованием вихрей. Суммарный коэффициент
сопротивления профиля
где
сх тр — коэффициент сопротивления трения;
сх\— коэффициент вихревого сопротивления.
При малых углах атаки коэффициент сХА мал, а с
увеличением угла атаки сХА увеличивается: cXA=f(cy).
— 460 —
На рис. 12.16 и 12.17 приведены в качестве примера кривые
распределения давления по поверхности цилиндра при
бесциркуляционном обтекании и по поверхности некоторого профиля. Непосредствен-
дезотрыбное
обтекание
Обтекание с
отрыдом потока
Р<0
Рис. 12.16. Распределение давления по поверхности
цилиндра
безотрывное
обтекание
Обтекание с
отрывом потока
Рис. 12.17. Распределение давления по поверхности
профиля при безотрывном обтекании и обтекании
с отрывом потока
ные наблюдения показывают, что при обтекании цилиндра с
поверхности периодически срываются вихри, образуя за ним вихревую
дорожку. Давление в кормовой части существенно отличается от
давления при безотрывном обтекании, если бы оно было возможно
(рис. 12.16). Например, в точке В, так же как и в точке Л, при без-
"— 461 —
отрывном обтекании v = 0, а р = /?0 = роо + Чр. Коэффициент
давления в этих точках равен р = 1. В действительности в кормовой
части вследствие срыва вихрей с поверхности р << 0. Распределение
давления по поверхности цилиндра (рис. 12.16) можно построить,
откладывая отрезки коэффициентов давления по нормали к
поверхности, а по профилю—перпендикулярно к хорде (рис. 12.17).
Задняя кромка профиля при безотрывном обтекании является
критической точкой, поэтому р = 1. В действительности в этой точке
§ 12. 10. Расчет ламинарного пограничного
слоя на криволинейной поверхности
(метод Л. Г. Лойцянского)
В настоящее время разработаны простые и вместе с тем удобные
для практического применения методы расчета пограничного слоя
на криволинейной поверхности. Ниже излагается метод проф.
Л. Г. Лойцянского, который базируется на использовании
преобразованного интегрального соотношения пограничного слоя A2.67).
Предположим, что профили скоростей в пограничном слое могут
быть представлены однопараметрическим семейством кривых в форме
? (&) A2-87)
где
/ — некоторый, пока неизвестный, параметр, называемый форм-
параметром, так как он характеризует влияние формы тела
на распределение скоростей в пограничном слое.
При выполнении условия A2.87) отношение толщин ^г
будет являться функцией только одного параметра /. В самом
деле, так как
О
— 462 —
то
а** =
A2.88)
Напряжение трения т0 также будет функцией параметра /.
Действительно,
где
A2.89)
так как выражение в квадратных скобках является функцией
только /. Следовательно, для коэффициента трения будем иметь
A2.90)
Полученные выражения A2.88) и A2.90), содержащие
функции #(/)и?(/), подставим в основное уравнение для
пограничного слоя A2.67). В результате получим следующее уравнение:
или, умножая обе части уравнения на 2 ,
1 \ ,,' ?>#*2
h =2Ш-2^-[2+Я(/)]. A2.91)
Если за параметр / для ламинарного слоя принять
Г = Ц~, A2.92)
то уравнению A2.91) можно придать вид обыкновенного
дифференциального уравнения
±(l\-±F(f)
dx\u')~ и Г ">'
где
или окончательно
F(f)=2
df
dx
A2.93)
A2.94)
— 463 —
В общем виде это уравнение не интегрируется. Оно может быть
численно проинтегрировано для каждого конкретного случая
распределения скоростей в потенциальном потоке.
Таким образом, расчет пограничного слоя сводится к
нахождению функций F(f), ?(/) и #(/), так как, зная эти функции, можно
достаточно просто определить f(x) из уравнения A2.94), а
следовательно, б** — из уравнения A2.92) и искомое напряжение трения
т0 — из уравнения A2.90).
Из условия т0 = 0, что соответствует значению функции ?(/) = 0,
можно найти точку отрыва пограничного слоя.
Приступим к определению функций F(f), ?(/), //(/). Для этого
зададимся семейством профилей скорости, аппроксимирующим
распределение скоростей в сечениях пограничного слоя, в виде
следующего многочлена:
vx=u(a0+a1r\+a2rf+asr\*+...+aNi\N), A2.95)
где
Коэффициенты этого многочлена являются, очевидно, функциями х.
Для того чтобы определить коэффициенты аПу используем
граничные условия и дифференциальные уравнения пограничного слоя
A2.51). Такой метод определения коэффициентов в функциональной
зависимости скорости vx от у уже применялся выше при решении
задачи об обтекании плоской пластинки. Здесь этот метод определения
коэффициентов используется в более общем виде.
На поверхности обтекаемого тела (при у = 0)
Vx==Vy=0. A2.96)
На верхней границе пограничного слоя (при у=б)
vx=u(x). A2.97)
Кроме того, так как на верхней границе пограничного слоя
т=0, то при у=^6
^ = 0. A2.98)
Таким образом, получены три граничных условия A2.96),
A2.97) и A2.98). Между тем число коэффициентов, подлежащих
определению, равно N + I. Следовательно, необходимо найти
дополнительные условия для определения коэффициентов ап. Эти
дополнительные условия можно получить из первого уравнения
пограничного слоя A2.51):
dvx dvx 1 dp , д2 vx
v*dF + vydjT-~7 Tx^^ly^'
- — 464 —
Полагая в этом уравнении у=0 и соответственно vx=vy = 0,
найдем первое дополнительное условие для -тгг •
d2vx __ 1 dp
Имея в виду, что на внешней границе слоя поток
потенциальный, на основании уравнения Лагранжа — Бернулли имеем
dp du
dx r dx
Учитывая, что распределение давления от у не зависит, это
значение -^ можно подставить в уравнение A2.99). В результате
получим следующее граничное условие при у = 0;
a3 v
Чтобы найти у|, продифференцируем уравнение A2.51) по у.
Тогда, имея в виду, что давление р в пограничном слое от у
не зависит, получим
dvx dvx a2 vx dz)y dvx ^2 ^ ^3 ^
~ду дх ~г хдхду* ду ду ' У ду* ду3 '
ИЛИ
dvx (dv.
ду J^~ x дхду
ия неразрывности—
dv dvy
Так как на основании уравнения неразрывности—* + а""^^,
то
d2vx . а2 Уд
у ду* ауз *
Отсюда, полагая у=0, а и^= уу = 0, находим второе
дополнительное условие для-^ (при у=0):
^ = 0. A2.100)
Однако следует заметить, что использование условий A2.96),
A2.99') и A2.100) приведет нас к возможности аппроксимации закона
распределения скорости для малых значений у (вблизи
поверхности тела), а на верхней границе пограничного слоя найденный закон
может сильно отличаться от действительного. В связи с этим
необходимо учитывать и граничные условия на верхней границе
пограничного слоя, т. е. при у = б.
16 Зак. 801 — 465 —
Обратимся вновь к уравнению пограничного слоя A2.51). Так
как по уравнению Лагранжа — Бернулли, написанному для
верхней границы пограничного слоя,
/у d— — _ L dA
udx~~ p dx'
то из первого уравнения A2.51), используя A2.97) и A2.98),
получим следующее граничное условие (при у —6):
д2 v
-gjT =0. A2.101)
Полученные граничные условия позволяют определить значения
коэффициентов ап в формуле A2.95). Из условия A2.97) следует, что
а0 = 1. Используя условия A2.98) и A2.101), приходим к выводу, что
аг = 0 и а2 = 0.
Нетрудно убедиться в том, что в случае непрерывности
производных от vx по у до порядка (п — 1) включительно будем иметь при
^ = 0(/=1,...,л). A2.102)
Геометрически это означает, что кривая vx = f(y) касается на
верхней границе пограничного слоя прямой vx = и, а число п определяет
порядок соприкосновения. Таким образом, выражение для vx можно
написать следующим образом:
vx=u(l+anvf+an+l лл+1+а1И.2т1я+2). A2.103)
В выражении A2.103) коэффициенты ап следует определять,
исходя из граничных условий только на поверхности тела, т. е. при
у = 0, так как условия A2.102) на внешней границе слоя учтены
тем, что коэффициенты от аг до ап—\ приняты равными нулю.
Определим коэффициенты ал, ал+ь Ял+2> используя граничные
условия на поверхности тела при у=0 (ц=1):
л д2 vx uu' d3vx л
^ = 0,-^= и-^з- = 0.
С учетом выражения A2.103) эти условия могут быть
представлены в виде следующих равенств1:
1 При получении этих равенств использовались очевидные соотношения:
1 vx д ух ду 1 д ух д2ух _д (д у Л _д_ (д у Л ду
~ду~ = ду ~~ду = о ду * ду2 ~~ ду \ ду ) ~ ду \ ду ) ду ~
1 д2ух д3 ух д (д2ух\ д (д2ух\ ду 1 д3ух
= ~W Ifrf' ду3 = 'ду \ ду2 ) = ~ду \ ду2 ) ~ду = "" ~?~ ~ду*~'
— 466 —
n(n-\)an+(n+l)nan+i+(n+2)(n+l)an+2 = -~,
n (n— 1) (n — 2) an+(n+ l)n(n — 1) an+i+{n+2) (n+1) nan+2=0.
Таким образом, получили систему трех уравнений для
определения трех коэффициентов ап, an+i, ап+2- Обозначив
безразмерную величину
и' о2
~ = ^ A2.104)
и решая систему этих уравнений, находим
^
A2.105)
Теперь, когда коэффициенты ап, ап+и Ял+2, найдены, можно
выразить vx через X (и значение п), и, следовательно,
^!-1ГЛ_^Ьу= ?H ^±1_^±2. = Я*^), A2.106)
о ~ Ъ JV и)У п+\ п + 2 п+3 W V ;
о
О U
о
2п + 1 2я + 3
ап-\-2 ап ап-\-1 *ап ап-\-2 ап-\-\ ап-\-2
Величина С также может быть выражена через Я;
у=0
где
Напряжение трения
), A2.108)
A2.109)
A2.110)
— 467 —
16*
Заметим, что величина / также может быть легко выражена
через параметр X:
A2.111)
До сих пор, строго говоря, все написанные величины были
функциями не одного параметра X, а двух: А, и я. Имея в виду, что
семейство A2.103) должно быть однопараметрическим, так как мы
располагаем для определения параметра / или связанного с ним
параметра А лишь одним уравнением A2.94), выразим показатель
степени п также через параметр X.
Л. Г. Лойцянский, полагая, что п = п(к), и используя точные
решения дифференциальных уравнений пограничного слоя для
частных случаев, когда функция и(х) выражена в форме степенной
зависимости: и(х) = const xm, предложил принять следующий
линейный закон связи между п и К:
л = 0,15И-4. A2.112)
В этом случае, используя все полученные выше соотношения,
можно получить искомые зависимости в функции только одного
параметра /, т. е. найти #(/), ?(/), F(f), числовые значения которых для
удобства пользования сведены в табл. 12.1.
Весьма важно отметить, что при законе однопараметрической
зависимости вид функций F(f), ?(/) и #(/) не зависит от характера
протекания и(х), т. е. от формы крылового профиля и его угла атаки.
Эти функции #(/), Щ) и F(f) являются универсальными.
Проинтегрируем уравнение A2.94). Из табл. 12.1 следует, что
F и / связаны между собой зависимостью, весьма близкой к линейной:
здесь а = 0,44 и b = 5,75, а е(/) — некоторая малая поправка к
линейному закону.
/
—0,089
—0,085
—0,08
—0,07
—0,06
—0,05
—0,04
—0,03
—0,02
—0,01
0,00
F(f)
1,04
0,00
0,96
0,88
0,81
0,74
0,68
0,615
0,55
0,495
0,44
0,000
0,019
0,039
0,071
0,097
0,120
0,142
0,162
0,181
0,200
0,219
H(f)
3,85
3,66
3,50
3,28
3,12
3,00
2,90
2,82
2,74
2,67
2,61
f
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,084
0.085
—
F(f)
0,38
0,33
0,275
0,22
0,17
0,12
0,07
0,02
0,003
—0,002
—
T а б л и i
«(/)
0,236
0,253
0,270
0,286
0,302
0,318
0,335
0,350
0,357
0,357
—
ха 12.1
#<f)
2,55
2,50
2,46
2,41
2,36
2,32
2,28
2,24
2,22
2,22
—
— 468 —
Если подставить последнее выражение для F(J) в уравнение
A2.94), то получим
df
Интегрируя это дифференциальное уравнение и определяя
произвольную постоянную из условия конечности / при х = О, получим
X
f
J
о
[u (
о
где
I — переменная интегрированияг.
Пренебрегая в первом приближении вторым слагаемым в
правой части уравнения, т. е. заменяя функцию F (/) линейной, и
подставляя значения коэффициентов а и &, получим
следующую приближенную формулу для определения параметра f (х):
Последнюю формулу можно переписать в более удобной для
расчета форме с целыми показателями:
F)l«d6. A2.113)
Ошибка в этом случае в величине 6** не превышает 3%.
Полученная формула A2.113) применяется для расчета
характеристик ламинарного пограничного слоя на поверхности крыла.
Таким образом, расчет пограничного слоя по изложенному
методу Л. Г. Лойцянского можно проводить по следующей схеме.
Имея заданным распределение скорости и (а следовательно, и
и'), определяем по формуле A2.113) значение параметра /.
Используя A2.92), подсчитываем толщину потери импульса по
формуле
6** (х)=уш.
v ' г и (х)
С помощью табл. 12.1 по значению f(x) находим соответствующее
ему значение ?(#).
1 Пол\ченное уравнение является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка с коэффициентами, зависящими от х, и может быть
проинтегрировано по общему правилу. Значение х = 0 соответствует
критической точке.
— 469 —
Остальные интересующие нас величины 6*, т0 теперь легко найти.
В частности, напряжение трения хо(х) на поверхности крыла может
быть подсчитано, пользуясь формулой A2.90):
Зная хо(х)у можно подсчитать сопротивление трения крылового
профиля.
Для упрощения практических расчетов часто вводят
безразмерные величины
где
^оо — скорость набегающего потока;
Ь — хорда профиля крыла.
В этом случае выражение для f(x) принимает вид
^f[«(l)]54. A2.114)
Таким образом, метод Л. Г. Лойцянского позволяет полностью
решить сложную задачу расчета ламинарного пограничного слоя
около криволинейной поверхности, причем все сводится, по
существу, к нахождению функции f(x).
В заключение отметим, что, используя формулы A2.92) и A2.113),
можно получить уравнение
2?f A2.115)
Полученные выше результаты позволяют найти точку отрыва
ламинарного пограничного слоя с криволинейной поверхности.
Действительно, в точке отрыва т0 = 0, т. е. ? = 0, что соответствует
значению/ = —0,089 (см. табл. 12.1). Следовательно, используя A2.92),
для точки отрыва можно написать следующее уравнение:
^= —0,089. A2.116)
Л. Г. Лойцянский распространил изложенный выше метод
расчета ламинарного пограничного слоя на случай, когда слой
полностью турбулентный. Кроме того, этот метод оказалось возможным
применять не только для случая плоского обтекания крыла, но и
для расчета обтекания тел вращения осесимметричным потоком.
— 470 —
§ 12. 11. Пограничный слой на плоской
пластинке в сжимаемом газе
Рассмотрим ламинарный пограничный слой на плоской
пластинке в сжимаемом газе. Обозначим скорость, плотность,
динамический коэффициент вязкости, коэффициент
теплопроводности, температуру, соответствующие набегающему потоку, через
?>оо> роо, Июо> ^оо, TV, температуру поверхности пластинки —
через Tw
При обтекании пластинки давление р = Роо и ? = 0. Тогда
уравнения пограничного слоя A2.56), A2.57) и A2.59) можно
записать в следующем виде:
I
ду
A2.117)
Предположим, что число Рг = -г~ = 1. Тогда %=\icp, и
последнее уравнение системы A2.117) примет вид
Из сравнения первого уравнения системы A2.117) с
уравнением A2.118) следует, что уравнение A2.118) будет выполнено,
если принять
CpT + f = avx+b. A2.119)
Постоянные а и Ь должны быть найдены из граничных
условий: в условиях невозмущенного потока (а^^Т^Гоо, а на
поверхности пластинки (vx=0)T=Tw- Подставляя эти
граничные условия в формулу A2.119), получим
— 471 —
Тогда из формулы A2.119) следует, что
ъ-щ{?)- A2Л20)
Таким образом, при Рг=1, не решая системы
дифференциальных уравнений A2.117), можно получить закон изменения
температуры поперек пограничного слоя в зависимости от vx.
Отсюда видно, что температура в пограничном слое плавно
изменяется от температуры на стенке Tw (при vx = 0) до
температуры невозмущенного потока Т^ (при i^i^).
Отметим, кроме того, то при Рг=1 и 3^=0 уравнение A2.63)
по форме совпадает с уравнением A2.56) для определения
скорости. Отсюда следует, что температуру торможения в
пограничном слое То можно также представить в следующем виде:
TQ=avx+b. A2.121)
Постоянные ацЬ определяются из граничных условий: при vx=Vqo
(на границе пограничного слоя) Т0=Т осо, а при ?^=0 (на
поверхности пластинки) To=Tow. Здесь 70ОО — температура торможения
внешнего потока Тооо = ^оо + н^ , a 7W — температура тормо-
zcp
жения в пограничном слое у стенки. Тогда
Ь — 7W, а = — G'ооо — Tow)-
Подставляя значения а и & в формулу A2.121), получим
^OlF—^O Vx /10 1ООЧ
Г"' {12.122)
оо
г т""гГ"'
1 ow — J ооо уоо
Из равенства A2.122) следует, что при Рг=1 и указанных
граничных условиях относительные скорости -^- и безразмерные
перепады температуры торможения ow „ ° в любой точке
У0^~У0оо
пограничного слоя одинаковы. Это означает, что профили
скоростей и перепадов температуры торможения подобны между
собой.
При малых скоростях потока температура торможения почти
совпадает с температурой газа (TW = 7V, Tooo^Too). Поэтому
равенство A2.122) можно записать в следующем виде:
1 W ~" ' оо 1'со
— 472 —
Равенство A2.123) означает, что при малых скоростях потока (в
несжимаемой среде) профили скоростей и перепадов температуры в
пограничном слое подобны.
Решению системы уравнений A2.117) для ламинарного
пограничного слоя посвящено большое количество работ. Значительные
результаты получены исследованиями Буземана, Франкля, Кармана,
Рис, 12.18. Эпюры распределения скорости и температуры для
ламинарного пограничного слоя на теплоизолированной пластинке
при различных значениях числа Mqo
А. А. Дородницына, Л. Е. Калихмана. В методе А. А.
Дородницына г с помощью специальных преобразований координат
система уравнений пограничного слоя для сжимаемой среды
приводится к виду, сходному с уравнениями в несжимаемом потоке.
Не имея возможности излагать в настоящем курсе подробно
методы расчета пограничного слоя в сжимаемом потоке, приведем
лишь основные результаты.
При больших скоростях при перемещении от границы
пограничного слоя к поверхности значительно возрастает температура потока.
Изменяется при этом и закон распределения скорости по нормали
к поверхности. На рис. 12.18 приведены профили скоростей и
температур для ламинарного пограничного слоя на
теплоизолированной пластинке при различных значениях числа Моо (Рг = 1, п =
1 А. А. Дородницын. Пограничный слой в сжимаемом газе.
«Прикладная механика и математика», 1942, № 1.
16В. Зак. 801
— 473 —
= 0,76). На рисунке по осям координат отложены безразмерные
величины: отношение составляющей скорости в любой точке
пограничного слоя к скорости невозмущенного потока, отношение температур
Т
тг-. В качестве безразмерной координаты вдоль нормали к поверх-
1 00
ности принято отношение координаты к линейной величине,
пропорциональной толщине ламинар-
°с* ного пограничного слоя в несжи-
8 нес* У
маемом потоке:
Из рис. 12.18 следует, что с
увеличением числа Моо профили
скоростей становятся почти
прямолинейными, а толщина
пограничного слоя значительно
возрастает. Кривая зависимости 5
от числа Моо приведена на
рис. 12.19 (кривая /).
Деформация профиля
скоростей при больших скоростях
приводит к уменьшению
поперечного градиента скорости
~» Это вызывает уменьшение
напряжения трения (коэффициента трения). Зависимость
произве/
ю
Рис. 12.19. Зависимость толщины
пограничного слоя от числа Моо пРи
ламинарном A) и турбулентном B)
пограничном слое
дения Cf ]/Reoo от числа
на рис. 12.20. При
М=0 C^/Reoo=l,33. При
увеличении Моо
произведение С
12
0,8
По
1
—
для плоской пластинки показана
f У у
Кроме того, из рис. 12.18
видно, что при Рг = 1
толщины динамического и
теплового пограничных слоев
совпадают (8в= б^).
Рассмотрим
турбулентный пограничный слой.
Расчет турбулентного
пограничного слоя при
больших скоростях, так же
как и в несжимаемом потоке, опирается в основном на опытные
данные. При этом экспериментальными исследованиями установлена
возможность обобщения эмпирических и полуэмпирических теорий
турбулентного течения в несжимаемой среде на 'случай движения
газа с большими скоростями.
О
12
16
20
Рис. 12.20. к Зависимость произведения
Cf /Rioo для ламинарного пограничного
слоя от числа Моо
— 474 —
Так, например, для определения толщины турбулентного
пограничного слоя и зависимости местного коэффициента трения
voa x
ХШ voa x
Cfz=z 2~~ от местного числа Rex = —— для плоской пла-
2
стинки приближенно можно использовать соответствующие
формулы, полученные для турбулентного пограничного слоя в
несжимаемом потоке (§ 12.8). Однако в отличие от несжимаемой
среды, в которой динамический коэффициент вязкости и плотность
среды одинаковы во всем потоке (fx = (ioo, p = р^), при больших
скоростях они, как указывалось выше, по толщине пограничного
слоя очень сильно изменяются (pir^C P <^ Poo, №w > jO^oo). Поэтому
для расчета толщины пограничного слоя б и местного коэффициента
трения Ср очевидно, плотность р и коэффициент вязкости |л нужно
определить по некоторой характерной для данного сечения
пограничного слоя температуре, которая больше Too и меньше 7V.
Обозначим ее через Г*. Эту температуру обычно называют
определяющей температурой.
Для ламинарного пограничного слоя на основании точных
решений задачи для определяющей температуры получена следующая
формула:
T* = 0,5(Too+Tw)+0,22(Tr — Too). A2.124)
В этой формуле первый член представляет собой
среднеарифметическую величину между температурой поверхности и температурой
газа на границе пограничного слоя, а второй член учитывает
повышение температуры газа вследствие кинетического нагрева в
пограничном слое. Формулой A2.124) можно пользоваться приближенно
и для турбулентного пограничного слоя, подставляя в нее
соответствующую температуру восстановления Тг (г = 0,9).
При этих предположениях, используя формулы A2.79) и A2.8Г),
получим выражения для определения толщины турбулентного
пограничного слоя и напряжения трения в сжимаемом потоке:
в = 0,37Г-^)б я0-8, A2.125)
-Д_ =0,0578 (-?-?* A2.126)
где р*, ji* соответствуют определяющей температуре, причем
Ро° A2.127)
— 475 — 16В*
Установим зависимость толщины пограничного слоя и
местного коэффициента трения су = —^"- от местного числа Rex,
Poo оо
Poo Voo х
найденного по параметрам набегающего потока Re^ = .
Для этого выражения A2.125) и A2.126) перепишем в
следующем виде:
^0,8
= 0,37 \г-) *"
\Роо^оо/ \Р<х>) \Р
= 0,0578 _ п t
Подставляя сюда выражения A2.127), имеем
k 4—/г
= 0 0578(?"
Здесь Re = -^- , Re^ = -^- .
со оо
Учитывая формулы A2.80) и A2.8Г), получим
r-i1"* A2.128)
1 оо/
_^_ = Ш 5 ^ A2.129)
где
SHC> с/нс — толщина пограничного слоя и местный
коэффициент трения для плоской пластинки в
несжимаемом потоке, определяемые по формулам A2,80)
и A2.8Г).
Из формулы A2.124) следует, что
1 оо
ЗД +о,22^гЛ&. A2.130)
1 со/ z
Поэтому толщина турбулентного пограничного слоя S и
коэффициент cf в сжимаемом потоке зависят от чисел Re^ и Моо
w
и отношения^- .
* со
— 476 —
Получим упрощенные выражения для определения б и с*.
Для этого примем л=1иг=1. Тогда в случае
теплоизолированной пластинки
7V = То = Т
~= 1+0,72^М^. A2.131)
1 оо z
Тогда
ft / V 1 п \ п 4
A2.132)
инс
A2.133)
Кривая зависимости толщины турбулентного пограничного слоя
от числа Моо, рассчитанная по формуле A2.132), нанесена на
рис. 12.19 (кривая 2). Отсюда видно, что толщина турбулентного
пограничного слоя при увеличении числа М^ нарастает
значительно медленнее, чем толщина ламинарного слоя.
Нетрудно убедиться, что отношение суммарных коэффициентов
трения Cf плоской пластинки в сжимаемом и несжимаемом потоках
также определяется по формуле A2.133).
§ 12. 12. Взаимодействие скачка уплотнения
с пограничным слоем при больших скоростях
Для того чтобы оценить роль взаимодействия скачка уплотнения
с пограничным слоем, рассмотрим обтекание плоской пластинки
потоком при больших скоростях при нулевом угле атаки.
Как известно, при дозвуковых и умеренных сверхзвуковых
скоростях ввиду малости толщины пограничного слоя можно
предположить, что давления на поверхности плоской пластинки и на границе
пограничного слоя при а = 0 совпадают с давлением
невозмущенного потока. В общем случае тела ненулевой толщины давление на
границе пограничного слоя можно принять равным давлению на
поверхности тела при его обтекании потоком невязкого газа.
При обтекании тела при больших скоростях, как было указано
выше, вследствие уменьшения местного числа Re вблизи
поверхности, образуется толстый пограничный слой, что приводит к
искривлению линий тока. Поэтому влиянием пограничного слоя на
внешний поток при этом нельзя пренебречь. Кроме того, изменение
— 477 —
давления в потоке за скачком уплотнения с учетом толщины
вытеснения, по сравнению с давлением в потоке невязкого газа, влияет
на развитие пограничного слоя. Происходит взаимодействие между
пограничным слоем и скачком уплотнения. Ввиду этого расчет
распределения давления и характеристик пограничного слоя при
больших скоростях в ряде случаев нельзя производить независимо друг
от друга.
Оценим влияние пограничного слоя на характер распределения
давления вдоль пластинки.
При рассмотрении явлений взаимодействия мы будем
предполагать, что газ является совершенным с постоянным
коэффициентом к = —, т. е. не будем рассматривать специфические
Су
свойства высокотемпературных течений с диссоциацией.
Теоретически для нахождения давления на границе
пограничного слоя плоской пластинки можно рассмотреть обтекание
эквивалентного тела с толщиной, равной толщине вытеснения б* — б*(лг),
потоком невязкого газа.
Толщина вытеснения A2.38) равна
или
где
р — плотность газа на границе пограничного слоя;
и — скорость потока на границе пограничного слоя.
Вследствие уменьшения плотности в пограничном слое при
больших скоростях потока удельный массовый расход газа через
элементарное сечение пограничного слоя мал (pvx < pu). В этом
случае толщина вытеснения почти равна толщине пограничного слоя.
Поэтому приближенно примем б* = б. В этом приближении
эквивалентное тело совпадает с внешней границей пограничного слоя.
Толщину ламинарного пограничного слоя при больших скоростях
можно найти по формуле для несжимаемой среды A2.72),
подставляя значение кинематического коэффициента вязкости при
определяющей температуре Г*. Тогда
где
— 478 —
Из формулы A2.131) следует, что отношение температур =-
т
1 оо
для теплоизолированной поверхности пластинки при
гиперзвуковых скоростях может быть написано в следующем виде:
Ml.
Используя это выражение, при я = 0,76 получим
A2.134,
Здесь бнс — толщина ламинарного пограничного слоя в
несжимаемом потоке, которая может быть найдена по формуле
A2.73):
где
b — хорда;
С — постоянная величина, зависящая от закона распределения
скорости по нормали к поверхности.
Задавая закон распределения скорости по нормали к поверх*
ности в виде полинома третьей степени, имеем С=4,64.
Подставляя выражение для бнс в формулу A2.134), получим
8=4,64 @,72^=1)°'"Щ^УЪЬ. A2.135)
Следовательно, для учета влияния пограничного слоя вместо
плоской пластинки нужно рассмотреть обтекание эквивалентного
тела с образующей, определяемой уравнением A2.135).
Распределение давления по поверхности эквивалентного тела
приближенно можно определить, пользуясь уточненной
формулой Ньютона A1.82) для тупоносого тела:
где 0 — местный угол атаки элемента поверхности, равный
Здесь
2 тангенс угла наклона касательной к поверхности
эквивалентного тела.
Дифференцируя выражение A2.135), имеем
— 479 —
Тогда
0,178 М
0,178 м?52 +Re*
где
Re =
Подставляя выражение для sin26 в формулу Ньютона,
найдем коэффициент давления на поверхности эквивалентного тела:
Р=Ро
0,178 М
0,178 M*
0,178 М?°
— . A2.136)
Из формулы A2.136) следует, что коэффициент давления р
зависит от положения точки на поверхности, от чисел Моо и R
I Reoo = ~J .
В области передней кромки происходит значительное
повышение давления по сравнению с давлением в невозмущенном
р потоке. При х = 0 р = /?0.
При удалении от передней
кромки коэффициент
давления уменьшается. При
увеличении числа Моо и
уменьшении числа Re (увеличении
высоты полета) коэффициент
р несколько возрастает.
На рис. 12.21 приведена
кривая изменения
коэффициента давления по
поверхности пластинки, построенная
по приближенной формуле
A2.136) для М = 10 и высоты
полета Н = 60 000 м. Вблизи
передней кромки пластинки
происходит сильное
взаимодействие между скачком
уплотнения и пограничным
слоем. При удалении от
передней кромки
взаимодействие уменьшается.
Несмотря на то, что участок повышенного давления на
поверхности невелик, такой характер распределения давления может
оказать существенное влияние на структуру пограничного слоя.
— 480 —
Рис. 12.21. Распределение давления по
поверхности пластинки с учетом
влияния пограничного слоя (Моо = 10,
Н = 60000 м)
Вследствие отрицательного градиента давления создаются
благоприятные условия для появления ламинарного течения в
пограничном слое. Поэтому при этом следует ожидать увеличения
протяженности ламинарного пограничного слоя.
§ 12. 13. Связь между коэффициентами
трения и теплоотдачи
Поскольку при больших значениях числа Моо температура в
пограничном слое значительно возрастает, то возникает
конвективный поток тепла от нагретого пограничного слоя к поверхности тела.
Удельный тепловой поток от газа к стенке, как известно, может быть
выражен по формуле Ньютона:
q=a(T-Tw), A2.137)
где
а — коэффициент теплоотдачи;
Т — температура газа;
7V — температура поверхности тела.
В формуле A2.137) коэффициент теплоотдачи является
размерной величиной: [а] = ккал/м2-сек-град или [а] =
= джоуль!м?• сек-град. Коэффициент теплоотдачи представляет
собой количество тепла, которое получает 1 м2 поверхности тела
за 1 сек при перепаде температур между газом в пограничном слое
и поверхностью тела в 1°.
Коэффициент а зависит от физических свойств газа, параметров
потока и режима течения в пограничном слое.
Поскольку температура газа в пограничном слое при заданных
параметрах набегающего потока в разных задачах может быть
различной (см. рис. 12.7), то для определенности за температуру среды
в формуле A2.137) обычно принимают температуру восстановления
Тг. Тогда формула A2.137) примет вид
q = a(Tr-Tw\ A2.138)
где коэффициент а отнесен к разности температур (Tr — 7V).
Рассмотрим безразмерное отношение —-—, где vb — скорость
на границе пограничного слоя, а величина ср отнесена к 1 кг
массы [в Международной системе единиц (СИ)].
Это безразмерное отношение называется числом Станто-
на St:
St = ——. A2.139)
Op ?Vd V '
— 481 —
Из формулы A2.139) видно, что число St представляет собой
безразмерную форму коэффициента теплоотдачи.
Отношение 4^- также является безразмерной величиной и
называется числом Нуссельта:
Nu= -у. A2.140)
Подставляя в формулу A3.140) выражение а из формулы
A2.139), найдем
Nu = StReJCPr, A2.141)
здесь Re^=—-—, а число Рг определяется по формуле A2.44).
В общем случае конвективного теплообмена величины чисел
St и Nu зависят в основном от критериев подобия М, Re, Pr,
показателя адиабаты к = ^, температуры поверхности и режима тече-
cv
ния в пограничном слое. Характер пограничного слоя существенно
влияет на интенсивность теплоотдачи от пограничного слоя к стенке.
Тепловой поток к поверхности при турбулентном пограничном слое
при прочих равных условиях значительно больше, чем при
ламинарном. Задачей теории конвективного теплообмена является
определение зависимостей числа St или Nil от указанных параметров для
ламинарного и турбулентного пограничного слоя.
Для определения коэффициента теплоотдачи в случае
ламинарного пограничного слоя необходимо получить решение системы
дифференциальных уравнений A2.117). Тогда, зная поле температур
внутри пограничного слоя, можно определить удельный тепловой
поток к поверхности, пользуясь формулой Фурье:
где индексом «^» обозначены величины при у = 0.
Рассмотрим пограничный слой в несжимаемой среде с
подводом тепла. Предположим, что Рг = 1. В этом случае профиль
перепадов температуры подобен профилю скоростей A2.123).
Продифференцируем выражение A2.123) по координате у:
ду Tw-Too ду *
Умножим обе части этого равенства на динамический коэф-
, лг dvx дТ q
фициент вязкости (л* Учитывая, что И'-^ = т> а ^7 = f- >
найдем
— 482 —
На стенке (при у = 0) т = twr> a q = ^- Тогда
Учитывая, что при малых скоростях Tr ^ Гсо, из формулы
A2.138) получим
= а.
Кроме того, введем местный коэффициент трения cf = —^~
Тогда из выражения A2.142) найдем
Nu^-g-^Re,. A2.143)
Выражение A2.143) получено при Рг=1. Поэтому,
подставляя в формулу A2.143) выражение A2.141) при Рг=1, получим
St = y9- A2.144)
Из формулы A2.144) следует, что между числом Стантона,
которое представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи,
и местным коэффициентом трения существует простая зависимость.
Объясняется это аналогией физических процессов переноса тепла
и количества движения.
В общем случае при Pr =f= 1 для определения числа St можно
получить следующую формулу:
St^-i^s, A2.145)
где функция s носит название фактора аналогии Рей-
ноль д с а, причем s = s(Pr).
В несжимаемой среде для ламинарного пограничного слоя на
плоской пластинке s = Pr 3.
Формула A2.145) приближенно может быть использована и для
турбулентного пограничного слоя. После подстановки вместо cf
выражений A2.74) и A2.8Г) получим следующие формулы для
определения числа St:
' для ламинарного пограничного слоя
1_ _ 2_
St=0,325Re^ 2 Pr 3 ,
для турбулентного
St=0,0289Re* в Pr
- 483 —
A2.146)
Подставляя эти выражения в формулу A2.139), получим
выражения для определения местных коэффициентов теплоотдачи:
i_ 2_
2 Рг 3,
1_ 2_
^?^Re 5 Рг 3.
В результате использования более точных соотношений для
местного коэффициента трения су при ламинарном и
турбулентном пограничном слое для определения местного коэффициента
теплоотдачи получены следующие формулы:
5 Рг 3.
Теоретическими и экспериментальными исследованиями
установлено, что формулами A2.145) и A2.147) можно
пользоваться и при больших скоростях, если все величины, зависящие
от температуры р, ср и \i — вычислить по определяющей
температуре Т* A2.124).
Из формул A2.147) видно, что коэффициент а в значительной
степени зависит от плотности газа и режима течения в пограничном
слое. При уменьшении плотности (увеличении высоты полета)
перенос тепла от газа к телу уменьшается. При этом величина а
становится меньше. Поэтому тепловой поток от пограничного слоя к
поверхности при прочих равных условиях на больших высотах
уменьшается.
Коэффициент а (тепловой поток) при турбулентном пограничном
слое больше, чем при ламинарном. Объясняется это тем, что в
турбулентном пограничном слое явления переноса определяются не
только молекулярным движением, а протекают главным образом за
счет турбулентного переноса частиц газа.
§ 12. 14. Определение температуры поверхности
с учетом теплообмена с окружающей средой
При больших скоростях полета, как указывалось выше,
происходит аэродинамический нагрев летательного аппарата. В связи
с этим возникает целый ряд задач, связанных с аэродинамической
компоновкой летательного аппарата, обеспечивающей снижение
температуры поверхности, методами теплозащиты и понижения
нагрева, выбором новых конструкционных материалов и т. д.
— 484 —
Подробное изложение вопросов аэродинамического нагрева
является задачей специальных курсов. В качестве примера решения
одной из таких задач рассмотрим определение температуры
поверхности плоской пластинки.
Предположим, что тонкая пластинка абсолютно
нетеплопроводна (передача тепла вдоль пластинки отсутствует).
Рассмотрим сначала установившееся движение (например,
длительный горизонтальный полет аппарата с постоянной скоростью).
При установившемся движении температура каждого элемента
поверхности с течением времени не изменяется. Она называется
равновесной температурой и определяется из условия равенства тепловых
потоков.
В общем случае при составлении уравнения баланса тепла нужно
учитывать конвективный поток тепла qK от пограничного слоя к
поверхности, поток излучения qr, отводящий тепло от поверхности, и
тепловые потоки вследствие солнечной qs и земной радиации q3.
Кроме того, возможны потоки тепла и от внутренних источников —
от силовой установки qCi от оборудования qO6, установленного на
летательном аппарате, и отвод тепла от поверхности при
искусственном охлаждении поверхности q0XJl.
Конвективный поток тепла qK от пограничного слоя к
поверхности можно определить, пользуясь формулами A2.138) и A2.147).
Тепловой поток энергии qr, излучаемый с единицы поверхности
в единицу времени, можно определить по закону Стефана — Больц-
мана:
qr=EoT4w, A2.148)
где
а — постоянная Стефана — Больцмана, представляющая собой
коэффициент излучения абсолютно черного тела (а=1,37х
XlO-11 ккал/м2сек-град=5,74- Ю-8 дж/м2сек-град)',
е — степень черноты тела, равная отношению излучательной
способности данной поверхности к излучательной
способности абсолютно черного тела.
Величина е зависит от материала стенки, от обработки
поверхности и ее температуры (е < 1).
Удельный тепловой поток солнечной радиации определяется
по формуле
<7,= |35G5cos(p, A2.149)
где
C5 — коэффициент поглощательной способности поверхности;
Gs — удельный поток солнечной радиации, вызываемый лучами
солнца, перпендикулярными к поверхности;
Ф — угол между направлением солнечных лучей и нормалью
к поверхности.
— 485 —
Поток тепла солнечной радиации обычно учитывают на больших
высотах.
Таким образом, имеются тепловые потоки, направленные как
к поверхности тела, так и от нее. Тогда уравнение теплового баланса
в случае установившегося движения летательного аппарата будет
иметь вид
<7к — Яг+Чз+Яз+Яй+Чоб — <7охл=0. A2.150)
Заметим, что тепловые потоки от солнечной и земной радиации,
от внешних источников тепла при больших скоростях полета малы
по сравнению с остальными членами уравнения A2.150). Поэтому
для приближенного определения равновесной температуры при
отсутствии охлаждения можно пользоваться уравнением A2.150)
без учета тепловых потоков qs, q3i qO6, Qc- Тогда после подстановки
выражений для тепловых потоков qK, и qr в уравнение A2.150)
получим следующее уравнение:
A2.151)
Коэффициент теплоотдачи наряду с прочими факторами зависит
и от искомой температуры поверхности. Поэтому уравнение A2.151)
можно решить графически или методом последовательного
приближения. Из этого уравнения следует, что на больших высотах
аэродинамический нагрев тела снижается, так как при этом, вследствие
падения плотности, уменьшается коэффициент теплоотдачи а.
Кроме того, температура поверхности существенно зависит от
режима течения в пограничном слое. При ламинарном пограничном
слое она несравненно меньше, чем при турбулентном.
Поэтому сохранение ламинарного пограничного слоя желательно
не только для уменьшения сопротивления трения, но и для снижения
аэродинамического нагрева.
Температура поверхности в значительной мере зависит и от
степени черноты поверхности. Увеличивая степень черноты е путем
соответствующего подбора материала и химической обработки
поверхности, можно добиться существенного снижения температуры.
На рис. 12.22 показан характер изменения равновесной температуры
вдоль пластинки в случае ламинарного пограничного слоя (кривая 1)
и турбулентного слоя (кривая 2) при заданных значениях числа М =
= 6, высоты полета Н = 25 000 м и степени черноты поверхности
s = 0,82. Из рисунка видно, что при ламинарном пограничном слое
равновесная температура значительно меньше, чем при
турбулентном слое.
Рассмотрим неустановившееся движение, например при наборе
высоты и скорости полета, а также при снижении летательного
аппарата в плотных слоях атмосферы и т. д.
При изменении скорости и высоты полета тепловой поток от
пограничного слоя к телу в различные моменты времени будет раз-
— 486 —
личным. При этом происходит постепенное прогревание
конструкции. В общем случае неустановившегося движения необходимо
учитывать теплопроводность во внутренних элементах конструкции.
Однако при расчете температуры поверхности для достаточно тонкой
и теплопроводной обшивки без теплозащитного покрытия
изменением температуры по толщине стенки можно пренебречь, имея в виду
при этом, что градиент температуры по толщине обшивки мал. Тогда
1000
500
300
\
\
'—,
2
1
— —
—— —
О
0,5
1
Рис. 12.22, Изменение
равновесной*температуры вдоль пластинки при ламинарном A) и
турбулентном B) пограничном слое (М0о=::^>
К = 25000 м, е = 0,82)
в каждый момент времени тепловой поток, идущий на нагревание
обшивки, при условии, что отвод тепла от стенки внутрь тела
отсутствует, будет равен
dTw
где
с, yw — теплоемкость и плотность материала стенки;
dw — толщина стенки.
Составим уравнение баланса тепла для элемента поверхности.
Если предположить, что внутреннее охлаждение поверхности тела
отсутствует, и не учитывать солнечную радиацию и потоков тепла
от внутренних источников, то конвективный поток тепла от
пограничного слоя к телу в любой момент времени будет равен сумме
потоков излучения от элемента поверхности и тепла, идущего на
повышение температуры обшивки:
bw~dT'
— 487 —
или
dTw/ л
f4. A2.152)
Уравнение A2.152) может быть решено методами численного
интегрирования, если известны траектория полета, начальная
температура обшивки летательного аппарата, материал.и толщина обшивки.
Весь участок полета необходимо разбить на малые интервалы
времени Ati, в каждом из которых при заданной траектории полета
скорость невозмущенного потока Voo(t) и высоту полета H(t) можно
считать постоянными величинами. Интервал времени зависит от
скорости изменения параметров движения и требуемой точности
расчета.
Тогда для определения изменения температуры поверхности
повремени 7V @ дифференциальное уравнение A2.152) нужно
написать в форме конечной разности:
4V ЫТп-Тщ^-гаТи-^ 02-153)
где
A7V/—изменение температуры обшивки в данной точке за
интервал времени Д^;
Twi— 1—температура обшивки в предыдущий момент
времени U-\\
а-,, — значение коэффициента теплоотдачи A2.147), найденное
по температуре элемента поверхности в предыдущий
момент времени ti—\ и по параметрам потока для
данного интервала времени tt;
Температура поверхности к моменту времени tK запишется
в следующем виде:
2
1=1
где
Тнач — температура поверхности в начальный момент времени
г=о.
Таким образом, в результате решеия уравнения A2.152)
получим зависимость 7V = /(О-
Расчеты показывают, что температура поверхности при
неустановившемся движении может быть намного меньше равновесной
температуры. Чем больше теплоемкость материала стенки, тем больше
отставание температуры от равновесной величины.
В общем случае при составлении уравнения баланса тепла нужно
учитывать возможные потоки тепла от внутренних источников (от
силовой установки qc и оборудования qO6, установленного на
летательном аппарате) и отвод тепла от поверхности qOXJl при искусствен-
— 488 —
ном охлаждении поверхности и за счет теплоемкости конструкции.
Тогда уравнение баланса тепла примет вид
^ +++ qw A2.154)
В заключение заметим, что при полете летательного аппарата
в плотных слоях атмосферы с большими скоростями температура
поверхности на некоторых участках может превысить допустимую
температуру для данного материала обшивки. В таких случаях
необходима тепловая защита термически наиболее напряженных
частей поверхности летательного аппарата.
Возможные пути снижения температуры поверхности следуют
из уравнения A2.154). Так, для уменьшения конвективного
теплового потока необходимо уменьшить коэффициент теплоотдачи а.
Как указывалось выше, коэффициент а уменьшается при
увеличении высоты полета и существенно зависит от характера
пограничного слоя. Теплоотдача при ламинарном пограничном слое
значительно меньше, чем при турбулентном.
Кроме того, температура поверхности может быть снижена за
счет увеличения черноты поверхности (теплового потока излучения).
Радикальным средством понижения температуры является
охлаждение стенки отводом тепла внутрь конструкции.
Для уменьшения температуры обшивки летательного аппарата
применяются также теплоизолирующие покрытия (обмазки). В
качестве обмазки применяются вещества, обладающие высокой
теплоемкостью и малой теплопроводностью.
Такое защитное покрытие поглощает значительное количество
тепла и замедляет теплопередачу от пограничного слоя к обшивке.
При высоких температурах происходит испарение (сублимация)
обмазки. Однако до тех пор, пока не разрушится весь слой
обмазки, температура поверхности не превышает определенных
пределов.
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь интегральным соотношением пограничного слоя для
несжимаемой среды вывести формулы для определения толщины ламинарного
пограничного слоя, принимая следующие приближенные законы распределения
скорости по нормали к поверхности: а) прямолинейный, б) параболический,
в) полином третьей степени, г) полином четвертой степени. Сравнить
результаты решения задачи.
2. Принимая те же законы распределения скорости по нормали к
поверхности, найти соотношение между толщиной вытеснения и толщиной
ламинарного пограничного слоя Ъ, толщиной потерь импульса и толщиной Ь.
3. Для тех же условий вывести формулы для определения величины
местного и суммарного коэффициента трения плоской пластинки.
— 489 —
4. Найти соотношение между толщиной вытеснения и толщиной
турбулентного пограничного слоя, задавая при этом профиль скоростей в виде
закона одной седьмой.
5. Определить величину коэффициента трения плоской пластинки для
турбулентного пограничного слоя при Re = 2-Ю7. Во сколько раз
уменьшилось бы сопротивление трения пластинки, если бы при этом пограничный
слой был ламинарным?
6. Найти распределение давления по поверхности плоской пластинки
(У,= 1 м) с учетом толщины вытеснения при ламинарном пограничном слое
при больших скоростях (Моо= 10). Параметры невозмущенного потока
принять при этом для высоты Н = 40 000 м.
7. Во сколько раз температура восстановления при ламинарном и
турбулентном пограничных слоях превосходит температуру невозмущенного
потока при Моо = 5, Моо = 10?
8. Для характеристики интенсивности теплоотдачи, найти отношение
коэффициентов а для ламинарного и турбулентного пограничных слоев при
прочих равных условиях для Re = 2-107,
9. Найти величину равновесной температуры в точке, отстоящей от
передней кромки плоской пластинки на расстояние х = 0,2 м для ламинарного
и турбулентного пограничных слоев при Моо = 10, степени черноты
поверхности е = 0,82. Параметры невозмущенного потока принять для
высоты Н = 50 000 м.
Глава XIII
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЭРОДИНАМИКИ
РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
В связи с освоением космического пространства и полетов
летательных аппаратов на больших высотах важное значение
приобретает аэродинамика разреженных газов.
При исследовании потока разреженного газа нельзя
пользоваться гипотезой сплошности (непрерывности) среды, широко
применяемой для плотных газов. В условиях разреженного газа
необходимо учитывать его молекулярную структуру. При этом газ можно
рассматривать как совокупность движущихся по всевозможным
направлениям молекул, сталкивающихся постоянно друг с другом и
с поверхностью обтекаемого тела. В этом заключается основная
особенность аэродинамики разреженных газов.
§ 13. 1. Средняя длина
свободного пробега молекул
Молекулярная структура газа может быть выражена длиной
свободного пробега молекул в промежутке между
последовательными соударениями. Поскольку скорости хаотического движения
отдельных молекул могут изменяться в широких пределах, то
длина свободного пробега для различных молекул также
существенно различна. Поэтому обычно вводят среднюю длину свободного
пробега молекул. Эта длина зависит от числа молекул в единице
объема (от плотности среды), скорости хаотического движения
(температуры газа) и от размеров самих молекул.
Получим формулу для определения средней длины свободного
пробега молекул через физические параметры, зависящие от моле-
— 491 —
кулярной структуры газа (скорости звука и кинематического
коэффициента вязкости).
Рассмотрим взаимодействие между двумя слоями газа,
расположенными в пограничном слое на расстоянии / друг от друга
(рис 13 1). Обозначим скорость нижнего слоя через vx. Тогда ско-
рость верхнего слоя будет больше скорости нижнего на -^ /.
Вследствие хаотического движения молекулы могут перемещаться
с нижнего слоя на верхний. Масса молекул, пересекающих
единичную площадку в плоскости / и попадающих с нижнего слоя на
верхний в единицу времени,
у будет пропорциональна
плотности газа и средней
скорости хаотического
движения: т = Kip v.
Ввиду того что скорости
слоев различны, при таком
движении происходит
изменение количества
движения. Оно равно
U-r +
Mil.
dv
dvy
Рис. 13.1. К выводу формулы для
определения средней длины свободного пробега
молекул
A3.1)
где
Kl — коэффициент
пропорциональности.
Из кинетической теории газов следует, что ^=0,499. Это
изменение количества движения равно импульсу силы трения:
dvx
Тогда, приравнивая выражения A3.1) и A3.2), получим
/=-
A3.2)
A3.3)
Средняя скорость хаотического движения молекул v,
пользуясь кинетической теорией газов, может быть выражена через
скорость звука:
In A3.4)
Здесь к — по-прежнему показатель изэнтропы, равный ^.
Подставляя выражение A3.4) в формулу A3.3), получим
A3.5)
— 492 —
Пользуясь формулой A3.5), можно определить среднюю длину
свободного пробега молекул для различных, высот (табл. 13.1).
Высота, км
1, см
0
8,6-Ю1-6
10
2,ЬЮ-5
30
4,8-10—5
62
4,9-10—2
84
0,5
100
6
120
1,3-102
Таблица
150
2-103
2 00
3-104
13.1
400
5,5-104
Из таблицы следует, что длина свободного пробега молекул
с высотой изменяется очень сильно: она составляет миллионные доли
сантиметра вблизи Земли, достигает нескольких метров уже на
высотах порядка 120 км, а на больших высотах порядка 200 км равна
сотням метров.
§ 13. 2. Число Кнудсена.
Области течения газа
Обозначим через L некоторый характерный для данной задачи
линейный размер (например, хорда профиля, длина тела вращения
и т. д.). Безразмерное отношение средней длины свободного пробега
молекул I к этому характерному линейному размеру называется
числом Кнудсена и обозначается через Кп:
Подставляя сюда / по формуле A3.5), получим
М
где
A3.6)
v — характерная скорость потока.
При исследовании пограничного слоя в разреженном газе
характерным линейным размером рассматриваемой области является
толщина пограничного слоя. Поэтому для характеристики степени
разреженности среды в этом случае необходимо использовать
отношение средней длины свободного пробега молекул к толщине
пограничного слоя:
A3.7)
— 493 —
Представим Кп в следующем виде:
Подставляя сюда выражение-у- A3.6), получим
Кп= 1,255 Vk-^t 4*
Как известно (гл. XII), толщина пограничного слоя зависит
от характера течения и величины числа Re. При достаточно
больших значениях числа Re для ламинарного пограничного
слоя
тогда
При очень малых значениях Re (Re < 100) толщина
пограничного слоя порядка характерного линейного размера тела. В этом
случае
Кп-^. A3.10)
Из полученных формул A3.6), A3.9) и A3.10) следует, что
степень разрежения среды характеризуется отношениями -^ или
ке
м
-7= > которые называются параметрами разрежения.
В зависимости от величины числа Кнудсена по предложению
Тзяна принято следующее разделение газовых течений на
основные области.
Если — <Г0,01 или -^=<0,01, то средняя длина свободно-
0 ]/Re
го пробега молекул менее 1% от толщины пограничного слоя.
В этом случае можно пренебречь дискретностью среды, считать
ее сплошной и применить гипотезу сплошности и условие
прилипания вязкой среды к поверхности тела. Следовательно, при
-!=¦ <0,01 имеем область обычной газодинамики.
"К Re
Значения — ^>0,01 соответствуют области течения разрежения.
При чрезвычайно большой разреженности среды, когда j > 10
или _^i ^> Ю (длина свободного пробега молекул значительно боль-
Re
— 494 —
ше характерного линейного размера тела), при расчете обтекания
можно пренебречь изменением движения вследствие соударения
молекул друг с другом по сравнению с соответствующим изменением
от соударения с телом. Тогда можно считать, что тело находится
в свободно-молекулярном потоке. Исследования
в области свободно-молекулярного течения проводятся методами
кинетической теории газов.
При умеренном разрежении, когда 0,01 < g < 1 (длина
свободного пробега молекул мала по сравнению с размерами тела, но со-
/г
, Свободно- молекулярньш
потом
Течение ее скольжением
\ Сплошной поток
Рис. 13.29 Распределение скорости по нормали к
поверхности
измерима с толщиной пограничного слоя), получим область
течения со скольжением. Течение со скольжением
существенно отличается от сплошного и свободно-молекулярных потоков.
При выполнении гипотезы сплошности среды, как известно,
выполняется граничное условие прилипания на поверхности тела.
Поэтому в пограничном слое скорость потока изменяется от нуля
на поверхности тела до скорости на границе пограничного слоя
(рис. 13.2),
В свободно-молекулярном потоке элементарные частицы не
взаимодействуют между собой и пограничного слоя фактически нет.
При течениях со скольжением скорость потока у стенки не равна
нулю, а газ скользит по поверхности с конечной скоростью. В
пограничном слое скорость потока изменяется от скорости скольжения
до скорости на границе пограничного слоя. При этом температура
газа у стенки не равна температуре поверхности тела.
В переходной области от течения скольжения до
свободно-молекулярного потока происходят чрезвычайно сложные явления. Здесь
одинаково важно как взаимодействие молекул друг с другом, так и
соударение молекул с поверхностью тела, поэтому необходимо
— 495 —
учитывать взаимодействие отраженных молекул с молекулами
набегающего потока.
Таким образом, при исследовании обтекания тела'потоком
разреженного газа, кроме критериев подобия, учитывающих влияние
и
20
Ю
Re
\/Re
Свободное
моленуляр
мое
течение
Область
гиперзвуковых
скоростей.
Н-20нм
О
Область умеренных
сверх звикооых
скоростей. ^
j
Область дозвуковых скоростей.
-2 0 2 ид 3
Рис. 13. 3. Области течения (по Тзяну)
lg
вязкости (числа Re) и сжимаемость (числа М), необходимо ввести
М М
еще параметр разрежения ^ или ^, который характеризует
степень разрежения среды.
На рис. 13.3 приведены области течения газа в зависимости от
числа М и Re. Из рисунка видно, что при заданном значении числа
М изменение величины числа Re может привести к изменению
области потока.
При увеличении высоты полета плотность воздуха уменьшается,
кинематический коэффициент вязкости при этом возрастает, а число
Re при заданном числе М уменьшается. Чем больше высота полета,
тем число Re меньше. Вследствие этого на разных высотах условия
полета будут соответствовать различным областям течения. На-
— 496 —
пример, при М = 6 для тела с L = 1 м число Re для разных высот
имеет следующие значения:
Н= 20 км Re= 1,07-106
Н= 50 км Re=l,lM05
Н = 100 км Re = 98,8
Н =145 км Re = 0,595
Эти значения числа Re, соответствующие различным высотам Я,
нанесены на рис. 13.3. Из рисунка следует, что полет на высоте
20 км при М = 6 и! = 1 ж соответствует области обычной газовой
динамики, на высоте 50—100 км — области течения со скольжением,
при высоте 145 км — условиям свободно-молекулярного потока.
Условия свободно-молекулярного потока в окрестности
обтекаемого тела можно получить и на малых высотах. Например, при
обтекании верхней поверхности плоской пластинки происходит
течение разрежения, плотность при этом уменьшается. Поэтому при
достаточно больших углах атаки плотность среды над верхней
поверхностью в гиперзвуковом потоке может оказаться настолько
малой, что можно получить условия свободно-молекулярного
потока.
§ 13. 3. Течение со скольжением
Течение со скольжением изучено недостаточно. Объясняется это
следующими обстоятельствами. В области течения со скольжением
имеется три параметра, каждый из которых существен сам по себе, но
м
которые связаны между собой, а именно: М, Re, 77= ,
характеризующие соответственно влияние сжимаемости, вязкости и разрежения.
Кроме того, для выполнения условия течения со скольжением
М
0,01 << ~у= < 1 необходимо либо очень большое числоМ, соизмери-
У Кб
мое со значением "j/Re, либо число Re должно быть мало.
Это означает, что в условиях течения со скольжением влияние
разрежения накладывается либо на явления, возникающие в
гиперзвуковом потоке (М ^> 1), либо на явления, вызываемые вязкостью.
В области течения со скольжением значения числа Re слишком
малы для того, чтобы применить теорию пограничного слоя, а для
использования приближения Стокса и Озеена, основанного на
частичном или полном пренебрежении инерционными силами,
значения числа Re велики. При уменьшении числа Re толщина
пограничного слоя увеличивается. При этом будет играть существенную роль
взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком. Более того,
параметр разрежения мал. Поэтому теория свободно-молекулярного
потока также не может быть использована.
17 Зак. 801 — 497 —
Уравнения Навье — Стокса и уравнения пограничного слоя при
исследовании течения со скольжением, вообще говоря, не
применимы. Эти уравнения должны быть дополнены членами,
учитывающими влияние разрежения. Кроме того, граничные условия
задачи должны быть написаны с учетом явлений скольжения.
Прежде чем написать граничные условия для течения со
скольжением, введем понятие ©коэффициентах
аккомодации е и отражения /.
• За время соприкосновения газа с телом температура его не может
сравняться с температурой стенки. Коэффициент аккомодации,
учитывающий это явление, можно представить в виде отношения
энергии, потерянной при отражении от поверхности, к избыточной
энергии налетающих молекул по сравнению с энергией при
температуре газа, равной температуре стенки:
8= H^Int ¦ A3-11)
Здесь
dEi, dEr — потоки энергии, переносимые молекулами, падающими
на бесконечно малый элемент поверхности тела в единицу
времени и отраженными с элемента поверхности;
dEw — поток энергии, переносимый отраженными молекулами
при условии, что температура газа равна температуре
стенки.
Если dEr = dEw (при равенстве температур отраженного потока
и стенки), то е = 1. В действительности коэффициент аккомодации
8 < 1 и зависит от физических
свойств газа, температуры газа и
стенки, от вида поверхности и от
характера отражения.
Наиболее вероятными схемами
отражения молекул от поверхности
являются диффузное (рис. 13.4, а)
и зеркальное (рис. 13.4, б).
При диффузном отражении
молекулы газа при столкновении с телом
передают всю кинетическую энергию
телу, абсорбируются, т. е. погло-
Рис. 13.4. Отражение молекул щаются поверхностью тела на неко-
от поверхности торое время, в течение которого
происходит уравнивание температуры
газа и стенки, а затем отражаются от поверхности по
произвольному направлению (рис. 13.4, а). Температура отраженного потока
близка к температуре стенки.
При зеркальном отражении угол отражения равен углу падения
молекулы. При этом тангенциальная составляющая скорости оста-
— 498 —
ется неизменной, а нормальная составляющая меняет направление
при неизменной величине.
При зеркальном отражении, когда clEr = dEi, коэффициент
аккомодации е = 0, а при диффузном — он близок к единице.
При обтекании тела потоком разреженного газа некоторая часть
молекул отражается от поверхности по законам зеркального
отражения, а остальная часть отражается диффузно. Обозначим через /
коэффициент отражения, представляющий собой отношение числа
диффузно отраженных молекул ко всему числу отраженных
молекул. Тогда A — /) — доля зеркального отражения. Величина
коэффициента / завист от рода газа, материала стенки и температуры
поверхности. Многочисленные измерения показали, что доля
зеркального отражения мала и что молекулы преимущественно отражаются
диффузно. Поэтому величина / близка к единице.
Скорость скольжения газа по изотермической поверхности
зависит от производной скорости по нормали к поверхности. Для того
чтобы установить эту зависимость, рассмотрим слой толщиной,
равной средней длине свободного пробега молекул. Продольная
скорость молекул до столкновения с поверхностью при этом равна
где
и0 — скорость скольжения;
у — координата точки, отсчитываемая по нормали к
поверхности:
/ -г-^ — представляет собой изменение скорости в слое с тол-
\дУ'У=° ЩИНОЙ/.
Продольная скорость движения зеркально отраженных молекул
равна скорости до столкновения с поверхностью, а при диффузном
отражении она равна нулю.
Найдем среднюю скорость движения молекул в слое, учитывая
при этом, что количество молекул до столкновения с поверхностью
составляет половину всех молекул в слое, а количество зеркально и
диффузно отраженных молекул составляет ~- и -| от всех молекул
соответственно. Тогда для определения и0 можно написать
следующее уравнение:
Отсюда получим формулу для определения скорости «0:
— 499 — 17*
Следовательно, даже при полностью диффузном отражении,
когда / = 1, скорость скольжения не равна нулю.
При малой длине свободного пробега молекул этим явлением
можно пренебречь, заменяя тем самым граничное условие
скольжения условием прилипания к поверхности.
В общем случае для определения скорости скольжения и
температуры газа у стенки получены следующие формулы:
"ЗЛ2)
где
7V — температура стенки;
к- Ср •
к — — ,
Су
Сп [I
Рг — число Прандтля, равное Рг = ~- (здесь X — коэффициент
теплопроводности);
ОТ
-г производная от температуры вдоль поверхности.
Из выражения A3.12) следует, что градиент температуры вдоль
поверхности индуцирует дополнительное течение в направлении
возрастания температуры.
Ввиду указанных сложностей задача по составлению
дифференциальных уравнений и граничных условий для описания течения
со скольжением до сих пор не решена.
В настоящее время имеются некоторые приближенные решения,
которые получены путем использования в качестве основной системы
уравнений для течения со скольжением уравнений Навье — Стокса
(для сплошной среды) с учетом явлений скольжения только в
граничных условиях A3.12) и A3.13).
§ 13. 4. Обтекание тел
свободно-молекулярным потоком
Аэродинамические характеристики тела в
свободно-молекулярном потоке могут быть определены с помощью кинетической теории
газов.
В свободно-молекулярном потоке, когда отношение -г^М» можно
Lr
пренебречь соударением между молекулами, отраженными от
поверхности тела, и молекулами набегающего потока. Поэтому при
рассмотрении свободно-молекулярного течения можно предполо-
— 500 —
жить, что тело не влияет на набегающий поток. Тогда можно
принять, что распределение скоростей молекул в набегающем и
отраженном потоках подчиняется классическому распределению
Максвелла, а вычисление аэродинамических сил и теплового потока можно
производить отдельно от налетающих и отраженных молекул.
Рассмотрим некоторый элемент поверхности тела dS. Примем
систему координат, в которой направление оси у совпадает с
направлением нормали к поверхности (рис. 13.5). Обозначим
направляющие косинусы вектора скорости набегающего потока (вектора ско-
Рис. 13,5, Силы, действующие на элемент
поверхности
рости упорядоченного движения молекул) через еъ е2, е3.
Суммарную силу воздействия потока на элемент dS разложим по двум
направлениям: на направление нормали к поверхности и по
касательной к поверхности. Обозначим нормальные напряжения через р,
а касательные — через т, при этом напряжение от налетающих
молекул обозначим индексом <ш>, а отраженных — «г».
Найдем прежде всего число молекул, соударяющихся с телом
в единицу времени. Из кинетической теории газов известно, что на
основании закона распределения Максвелла из общего числа
молекул в единице объема п часть молекул dn, имеющая составляющие
скорости теплового движения по осям координат в интервале от
vx до v'x + dv'x> от v'y до v'y -\- dvy и от vi до v'z -\-dv'z, определяется
по формуле
dv'x
dvy dvz
A3.14)
где h равно —.
— 501 —
Здесь vB — наиболее вероятная скорость движения молекул,
равная
A3.15)
Тогда выражение A3.14) можно переписать в следующем виде:
( v' \2
dn=n—==e v ъ) dvxdvydv2, A3.16)
где
l/ ,2 ,2 ,2
v =У vx+vy+v2.
Из выражения A3.16) следует, что dn зависит от отношения
скоростей — и интервала изменения скорости. Это объясняется
тем, что не все скорости молекул встречаются одинаково часто.
Молекул, имеющих скорости, намного отличающиеся от наиве-
роятнейшей скорости, меньше.
При скорости движения Уоо Ф 0 на тепловое движение молекул
накладывается упорядоченное движение со скоростью Vqq (v^e^
t'oo?2> уоо^з)- Обозначим компоненты суммарной скорости
движения молекул через vx> vyy vz. При этом vx=vx — v^e^ v'y=vy —
Тогда из формулы A3.16) следует, что число молекул в
единичном объеме, имеющих составляющие скорости в пределах от
vx, vy9 v2 до vx+dvx, vy+dvy, vz+dvz, будет равно
dn=n~y=e "~x oo*i)i-{y oo 2) т{ г <*> *) \. dvxdvydvz.
Все те молекулы, которые ударяются в единицу времени об
элемент dS, находятся в объеме dSvy-l. Тогда число молекул
в объеме dSvy-l будет равно
dnVydS =
^^-iL^il^-^^+i^-^^lHf^-WaJ]v dv dv dv2dS. A3Л7)
Для нахождения суммарного числа молекул, соударяющихся
с элементом поверхности тела dS в единицу времени, полученное
выражение надо проинтегрировать по всевозможным значениям
yv, Vyy vz. Для определения числа молекул, соударяющихся
с передней стороной элемента dS (со стороны набегающего
потока), необходимо интегрировать в следующих пределах:
— оо < vv < + оо; 0<; Vy < оо; — оо < v2 < оо. Молекулы,
имеющие отрицательную составляющую скорости вдоль
нормали к поверхности (vy<C.O), не сталкиваются с поверхностью.
— 502 —
Обозначим через пг число молекул, соударяющихся с
единичной поверхностью. Тогда
оо оо оо
= П^~ Г Г Г vy
0
—оо 0 —оо
Xdvxdvydvz.
В результате интегрирования получаем
п}=п h +^
где erf(hvooe2) — интеграл вероятности, равный
V* J
1 v e%
В выражении A3.18) h=— и /шоо?2 =
Введем следующее обозначение:
A3.18)
Тогда
или
"i=n—^Xi(P)» A3.20)
где
%гф)= е-$2+Ул$ {l+erf ф)]. ' A3.21)
Аналогично можно определить число молекул я2,
ударяющихся о заднюю сторону единичного элемента поверхности.
Для этого выражение A3.17) нужно проинтегрировать в
следующих пределах: -по ^ и vz по-прежнему от —оо до оо, а по
vy — от — оо до 0. Кроме того, учитывая, что объем цилиндра
при этом равен — vydS, получим
оо 0 оо
Ji2 Г/т. п />\2_1_/п г» л\2_1_/г) г, о \9.1
»х
— ОО —ОО —00
оо U оо
п =—п— Г Г Г e-*'[(l',-t'ooei)*+@y-t'oo'.I+(^-''oo».)»l.
2 /^ J J J
X vy dvx dvy dvz.
— 503 —
В результате интегрирования будем иметь
A3.22)
где
Кривые зависимости функций %i и %2 от параметра
дены на рис. 13.6 и 13.7.
A3.23)
приве-
W
U.5
\
\
\
\
\
\
0,5
1.5
Рисч 13.6. Кривая зависимости
функции ^3 от р
Рис. 13.7. Кривая зависимости
функции %2 от р
Умножая выражения A3.20) и A3.22) на массу молекулы т>
получим массу газа, соударяющегося с единичным элементом
поверхности: пхт, п2т.
Воспользуемся далее теоремой изменения количества движения,
которая в данном случае состоит в том, что изменение суммарного
количества движения молекул при соударении с поверхностью за
единицу времени должно равняться импульсу сил, производимых
этими молекулами за тот же промежуток времени.
Напишем эту теорему в проекции на некоторое произвольное
направление через / с направляющими косинусами 1Ъ /2, /3. Для этого
найдем силу воздействия налетающих молекул на единичный
элемент поверхности. Обозначим эту силу через Ri. Проекция скорости
движения молекулы на направление / равна
Тогда проекция количества движения молекул, имеющих
составляющие скорости в пределах от vX9 vy, v2 до vx + dvx, vy -f- dvy,
— 504 —
vz -f- dvz и ударяющихся об единичный элемент поверхности в
единицу времени, имеет вид
(vx l±+vy l2+vz /3),
где
dn — соответствующее число молекул.
Проекция суммарного количества движения молекул газа,
ударяющихся о переднюю сторону единичного элемента, будет
равна
n-^tn f Г f ^
У ^ J J J
0
—-оо 0 —оо
X (vx lx+vy l.2+vz /3) dvx dvy dv2.
vx dvy
Аналогично получим проекцию соответствующего количества
движения для задней стороны элемента:
оо 0 оо
—ОО —ОО —00
X (vx h+Vy /2+ vz l3) dvx dvy dvz.
В результате интегрирования имеем
A3.24)
2
W2 =P-^ ^= -i
Y A3.25)
Здесь произведение пт равно плотности р.
Проекция силы воздействия налетающих молекул (импульса
силы в единицу времени) на направление / равна проекции
количества движения этих молекул до соударения с
поверхностями Wx и W2 соответственно. Тогда
^ | { 12+е3 у е-Г +
) A3.26)
17В. Зак. 801 — 505 —
± = -?= 1 f fo /^ /2+e3 Z,) <H>« -
A3.27)
Найдем величину нормальных напряжений. Для этого
воспользуемся формулами A3.26) и A3.27), подставляя в них вместо
11У /2, /3 направляющие косинусы внутренней нормали (при
определении давления рд на переднюю сторону элемента /2=1; 1\—
= /3=0, для нахождения давления pi2 на заднюю сторону /2=
= -1; /i=/8=0):
4
= -?|-J-x1(P)> A3.28)
-^- = -^1х2(Р), A3.29)
где
KS^j A3.30)
A3.31)
Для определения проекций касательных напряжений xix и т/г
в формулы A3.26) и A3.27) необходимо подставить следующие
значения направляющих косинусов: для xix /2=/3=0> /i= 1; для
t^ /i=/2=0, /8=1. Тогда
¦^Г1=в1ваЯ,1(Р), A3.32)
2
i^i = ^^2(P). A3-33)
A3-34)
A3.35)
2
— 506 —
где
^ О3-36)
A3.37)
Для нахождения полной силы воздействия потока на
элемент поверхности необходимо знать еще силу, возникающую
под действием отраженных от поверхности молекул. Величина
нормальных и касательных напряжений, вызываемых отраженным
потоком, зависит от характера отражения молекул (см. рис. 13.4).
При зеркальном отражении рг = р.. Тогда суммарное
нормальное напряжение, действующее на элемент поверхности, будет
равно p=2pt. Касательное напряжение тЛ, вызываемое
отраженными молекулами, равно
Поэтому суммарное напряжение трения будет равно нулю: т = 0.
При диффузном отражении касательное напряжение от
отраженных молекул равно нулю, так как при этом все направления
отражения являются одинаково вероятными.
Выведем формулу для определения давления /?,, оказываемого на
элемент поверхности диффузно отраженными молекулами.
В условиях свободно-молекулярного потока можно
предположить, что в отраженном потоке скорости распределяются по закону
распределения Максвелла, соответствующему равновесному
состоянию газа с температурой, равной Тг
Обозначим через пг число молекул отраженного потока,
заключенных в единице объема, а через dnr — количество молекул в
единичном объеме, имеющих скорости в пределах от v до v + dv и
отражающихся в результате соударения с единичной поверхностью по
направлениям, составляющим углы с нормалью к поверхности в
пределах от 0 до 0 + 'd0, т. е. рассматриваются такие молекулы,
которые после отражения от поверхности располагаются между двумя
конусами с углами полураствора, равными 6 и 0 + d0.
Из кинетической теории газов известно, что dnr равно
dnr=2nnr А^ве^г01 sine cosededo, A3.38)
l
где h, равна — .
Здесь vr — наиболее вероятная скорость теплового движения
молекул в отраженном потоке. Тогда давление dpr равно про-
— 507 - 17В*
екции секундного количества движения этой группы отраженных
молекул на направление нормали:
Л3 2
dp =mdnr vcosQ=2nnr~^mv4' e~hr v* sin 6 cos26 dQ dv.
У 7Z3
7Z
3
Для определения давления рг, действующего на элемент
поверхности, необходимо полученное выражение проинтегрировать
по всевозможным значениям v и 0 в пределах от v = 0 до v=oo
и от 0=0 до 0 = ?-:
p =2яяг-т^т D4e r dy\ sin0cos20d0.
i/ t:3 J J
F 0 0
В результате преобразований имеем
pr= ^po?. A3.39)
Выразим яг через число молекул /г в единичном объеме
набегающего потока и параметр р = -^-^. Для этого достаточно
в
приравнять число отраженных от единичной поверхности тела
молекул Nr соответствующему числу молекул пг A3.20) или
п2 A3.22), соударяющихся с поверхностью. Для определения Nr
проинтегрируем выражение A3.38) в пределах от а=0 до у = оо
и от 0=0 до 0 = |-. Тогда
Nr = 2лпг —?=. \ v3е~ т v dv \ sin0cos0db.
1/ ТГ3 J J
y о о
В результате интегрирования получим
Nr=^vr. A3.40)
Приравнивая выражения A3.40) и A3.20) или A3.22) имеем
)?, A3-41)
)^ A3.42)
где
и (ягJ — количество молекул, отраженных от передней
и задней сторон элемента, в единице объема.
— 508 —
Подставляя выражения A3.41) и A3.42) в формулу A3.39)
и учитывая, что р=пту получим
iTTL = 4-5L.7LXi(P). A3.43)
A3.44)
где функции Xi и %2 определяются по формулам A3.21) и A3.23).
С учетом воздействия налетающих и отраженных молекул
полное давление на элементе поверхности можно представить
в следующем виде:
Р Pi |/1 A Pi I f Pr /iq ЛК\
—2- = —T + 0 — /)—2- +/—2"» (U.45)
где первый член в правой части представляет собой отношение
давления вызываемого налетающими молекулами к
скоростному напору, второй и третий члены соответствуют зеркально
и диффузно отраженным молекулам соответственно.
Касательное напряжение равно
/-4- • A3-46)
2
В выражениях A3.45) и A3.46) напряжения pt и %t в
зависимости от ориентировки элемента поверхности по отношению
к скорости набегающего потока определяются по формулам
A3.28), A3.32), A3.34), если столкновение молекул с элементом
поверхности происходит со стороны набегающего потока и по
формулам A3.29), A3.33) и A3.35), когда соударение налетающих
молекул с поверхностью происходит с противоположной стороны.
§ 13.5. Определение подъемной силы
и сопротивления плоской пластинки
в свободно-молекулярном потоке
Пользуясь формулами, выведенными в § 13.4, можно определить
нормальное и касательное напряжения, действующие на плоскую
пластинку в свободно-молекулярном потоке (рис. 13.8).
— 509 —
В рассматриваемом случае направляющие косинусы вектора
скорости набегающего потока равны /i=cosa; /2 = sina; 13 = O.
„ v^ sin a
При этом p = — .
Примем, что отражение молекул с поверхности пластинки
полностью диффузное (/=1). Найдем давление на нижней поверх-
Сл cos a
Ctstna
fCnstna
Ct cos a
Рис. 13.8. К определению коэффициентов
подъемной силы и сопротивления
ности пластинки рн. Для этого в формулу A3.45) необходимо
подставить вместо рь и рг выражения A3.28), A3.43)
соответственно. Тогда
Рн
Sin2 а 1
A3.47)
Подставляя в формулу A3.47) выражения для %i(P) A3.30)
и Xi(P) A3.21), получим
Рн
W
erfm
1 HlvJL U-P
2 v v
00 OO
A3.48)
Аналогично можно определить давление на верхней
поверхности. Для этого в формулу A3.45) нужно подставить вместо
pi и рг выражения A3.29) и A3.44) соответственно:
+ Т $ ^
в~^ - ^«Р 11 - erf (P)]}.
A3.49)
— 510 —
Коэффициент нормальной силы сп равен:
Подставляя сюда выражение для —\- A3.48) ,и —|- A3.49),
получим
^ef [ ^( i)] ^ ?Р- 03-50
Найдем величину касательных напряжений, действующих
со стороны нижней и верхней поверхностей тн, тв. Из формул
A3.34) и A3.35) следует, что T/z=0. Это объясняется тем, что
составляющая скорости набегающего потока вдоль оси г равна
нулю, а хаотическое движение молекул касательную силу не
вызывает. Поэтому т/=Т/*.
Подставляя в формулу A3.46) выражения A3.32) и A3.33)
при e1=cosct, ?2=sina и /=1 соответственно, получим
A3.51)
Тогда суммарное касательное напряжение вдоль пластинки
будет равно
A3.52)
2 2
Здесь —"— = ct — коэффициент тангенциальной силы.
Напишем формулы для определения коэффициентов
подъемной силы Су и сопротивления сх. Из рис. 13.8 следует, что
Су=сп cos а — с( sin a,
- сп sin а.
— 511 —
Подставляя вместо сп и ct их выражения A3.50) и A3.52),
получим
sin2 a COS a r/o\ i -1 /—Vr ' /ю г-о\
Су = _ erf ф) + у пф- cos а sin а, A3.53)
sine. -erf»). A3.54)
Выразим коэффициенты подъемной силы су и сопротивления
через число М набегающего потока. Число Mqq=— =
Учитывая, что наиболее вероятная скорость движения молекул,
соответствующая температуре набегающего потока, равна
получим
Отсюда
Преобразуем отношение —.
где
yoo sin a T Пк,
Коэффициент р = —-— = Моо у -^ sJn a-
Подставляя все эти выражения в формулы A3.53) и A3.54),
получим
г К Jy^r^ В
-^-MooSina), A3.55)
— 512 —
= 2/2_ _1_ --f-M- sin'a ^ -. /^ *, si
1/"г7к Моо ' * к vb
A3.56)
Из формул A3.55) и A3.56) следует, что коэффициенты су
и сх для плоской пластинки в свободно-молекулярном потоке
L
05
0,25
У
«7°
/г
м
/7°
м=з/
=20
21°
7
3°
1
/
k—^^xs,
4—
/
i—
M-15
17°
-^
2/°
0 0° 0°
0,5
Рис. 13.9. Поляры плоской пластинки в
свободно-молекулярном потоке при различных значениях числа Ж^ и ^1 = 1
v
зависят от числа Моо, угла атаки и отношения наиболее
вероятных скоростей -^ (или отношения температуры отраженного
потока Тг к температуре Too)- Следовательно, для вычисления
коэффициентов су и сх необходимо знать температуру
отраженного потока. В пределе при М-»оо и / = 1 су=0, а c*=2sina.
В качестве примера по результатам вычисления
коэффициентов су и сх по формулам A3.55) и A3.56) построены поляры для
— 513 —
плоской пластинки при различных значениях числа Moo=l,5-f-20
для частного случая, когда отношение скоростей |р=1 (рис. 13.9).
Из рис. ,13.9 следует, что в свободно-молекулярном потоке при
диффузном отражении молекул от поверхности аэродинамическое
качество пластинки (отношение коэффициентов подъемной силы и
сопротивления) мало. В рассматриваемом случае оно оказывается
меньше единицы, причем чем больше число Моо, тем величина
качества меньше. Следовательно, в условиях свободно-молекулярного
потока эффективность несущей поверхности низка.
Глава XIV
ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Как известно, если газ сильно нагреть, то при температуре свыше
5000° К происходит ионизация. Тогда, кроме нейтральных частиц,
в газе появляются свободные электроны и однократно или
многократно ионизированные атомы (ионы). Суммарный заряд
электронов и ионов равен нулю. Такая электрически нейтральная
смесь заряженных и нейтральных частиц называется плазмой.
Плазма представляет собой четвертое состояние вещества и является
проводником электричества. Чем выше температура газа, тем
концентрация электронов и ионов больше и тем выше проводимость
плазмы.
Явление ионизации возникает также при полете летательного
аппарата с гиперзвуковыми скоростями, когда за скачками
уплотнения температура воздуха значительно повышается.
Кроме того, на больших высотах, примерно при Н > 80 км,
воздух в значительной степени ионизирован. На больших высотах
плазма возникает под влиянием солнечной и космической радиации
(под воздействием потока ультрафиолетовых излучений, у-лучей,
протонов, нейтронов и других частиц, извергаемых Солнцем).
В условиях ионизированного (электропроводящего) газа
появляется возможность воздействовать на поток газа, а также управлять
им с помощью электромагнитных полей.
При движении плазмы в электромагнитном поле возникают новые
массовые (электромагнитные) силы, действующие на заряженные
частицы. Поэтому при исследовании движения плазмы, кроме
обычных газодинамических сил (силы тяжести, силы давления и трения),
необходимо учитывать электромагнитные силы.
Изучением движения полностью или
частично ионизированного газа в электромаг-
— 515 —
нитном поле занимается магнитная
газодинамика.
Впервые магнитная газодинамика нашла применение при
решении задач астрофизики. Одной из основных областей приложения
магнитной газодинамики является область космических проблем.
Широко применяется магнитная газодинамика и при решении
проблем управляемых термоядерных реакций (при решении
вопросов, связанных с устойчивостью плазменного шнура). Методами
магнитной газодинамики пользуются в вопросах создания
перспективных силовых установок (плазменных и ионных движетелей) и при
создании установок для изучения потока в условиях гиперзвуковых
скоростей и высоких температур.
Наконец, в условиях ионизированного воздуха появляется
принципиальная возможность управления потоком газа с помощью
электромагнитных полей (торможение тела при входе в плотные слои
атмосферы, управление пограничным слоем, уменьшение
теплопередачи от газа к телу и т. д.).
§ 14. 1. Движения заряженной частицы
в электромагнитном поле
Электромагнитное поле в каждой точке пространства и в каждый
момент времени характеризуе-ся двумя векторами—
напряженностью электрического поля Е и напряженностью магнитного поля Я.
Напряженность электрического поля по величине и направлению
равна силе, действующей на единицу пробного электрического
заряда, помещенного в данную точку пространства. Тогда сила,
действующая в электрическом поле на заряд е, будет равна Fx = еЕ.
Эта сила для положительных ионов и электронов имеет
противоположное направление.
Сила, действующая на заряженную частицу е, которая движется
в магнитном поле со скоростью v, определяется по формуле Лоренца:
где
с — скорость распространения света.
Тогда сила, с которой электромагнитное поле действует на
частид^, имеющую заряд е и движущуюся со скоростью и,
будет ^>авна
±[v #]]. A4.1)
— 516 —
Из формулы A4.1) видно, что в электрическом поле сила F±
параллельна вектору напряженности ?, а магнитная сила F2
перпендикулярна к векторам скорости движения v частицы и
напряженности магнитного поля Н.
Рассмотрим движение заряженной частицы с зарядом е и
массой т в однородном электромагнитном поле в следующих частных
случаях.
1. Векторы напряженности электрического и
магнитного полей параллельны: Ё\\Н. Разложим
движение частицы на продольное (вдоль полей) со скоростью v1
и поперечное (перпендикулярно к полям) со скоростью v2:
и = 1И-tT2. A4.2)
Из формулы A4.1) следует, что продольная сила F1=eE,
а поперечная сила, перпендикулярная к вектору Я, равна
Подставляя сюда вместо вектора скорости v выражение A4.2)
и учитывая, что [vx #]=0, получим
F2 = -^[v2 H]. A4.3)
Следовательно, сила F2 по направлению перпендикулярна к
векторам v и Ну а по величине равна
^2 = 7 ^2 И.
Под действием постоянной электрической силы {Fx=eE)
заряженная частица, очевидно, будет перемещаться вдоль поля Е
равноускоренно. Поскольку сила F2 перпендикулярн а к скорости
движения частицы, то (F2 v2)=0 и работа этой силы равна нулю.
Тогда кинетическая энергия частицы под действием магнитной
mv\
силы не будет изменяться, т. е. —z~ = const. Отсюда c^^const.
Тогда из формулы A4.3) следует, что 772==const.
Следовательно, под действием магнитной силы заряженная
частица будет совершать равномерное движение по окружности
вокруг магнитных силовых линий. При этом движение частиц с
зарядом разных знаков происходит в противоположных
направлениях.
— 517 —
Радиус окружности можно определить из условия равенства
2
центробежной силы, действующей на частицу и равной —=?- ,
магнитной силе F2 = — v2 H:
mv\ e
Отсюда
Этот радиус называется Ларморовским радиусом
вращения заряженной частицы в магнитном поле.
Частота движения частицы по
е* е~ окружности при этом равна
а> = §- = ^- <14j3)
й© Из формулы A4.5) видно,
Рис. 14.1. Движете заряженных что *ля электронов угловая ча-
частиц в электромагнитном поле стота значительно больше, чем
для ионов.
Суммарное движение заряженной частицы в однородном
электромагнитном поле происходит по винтовой линии с переменным
шагом вдоль направления полей.
2. Векторы напряженностей
электрического и магнитного полей взаимно
перпендикулярны: Е 1_Н (рис. 14.1).
Под действием магнитного поля заряженная частица
по-прежнему будет перемещаться по окружности с Ларморовским радиусом
R. При наложении электрического поля, перпендикулярного
магнитному, движение частицы существенно изменится. ;В тех точках
окружности, в которых электрическое поле ускоряет движение
частицы, радиус кривизны ее траектории будут увеличиваться. В
других точках, в которых частицы под действием электрического поля
замедляются, радиус кривизны уменьшается. В результате
заряженная частица будет описывать циклоиду. Это объясняется тем,
что в результате воздействия магнитного и электрического полей на
заряженную частицу центр окружности Ларморозского радиуса
перемещается в направлении, перпендикулярном векторам
напряженностей полей Яи?, причем направление этого перемещения в
однородном электромагнитном поле одинаково для ионов |и электронов
(см. рис. 14.1). При этом средняя скорость направленного движения
ионов и электронов одинакова. Такое движение частиц называется
дрейфом, а скорость направленного движения частиц —
скоростью дрейфа.
— 518 —
В дальнейшем мы будем изучать движение не одной частицы,
а сплошной среды, состоящей из огромного числа^заряженных частиц.
Найдем силу Д/7, с кото рой электромагнитное поле действует
на бесконечно малый объем ДУ, выделенный в ионизированной
среде.
Электромагнитную силу FK, действующую на частицу с
зарядом ек в объеме AV и движущуюся со скоростью vK, можно
определить по формуле A4.1). Для определения силы Д^~
необходимо сложить векторы FK по всем частицам, находящимся
в объеме ДУ. Пренебрегая при этом изменением ? и йна
протяжении объема Д1/, получим
или
В этом выражении ^ек — суммарный заряд, заключенный
^ к
в объеме Д1Л Обозначим через ре плотность заряда,
представляющую собой заряд в единице объема:
р, = Шп-5—, A4.7)
Д0 AI/
а через / — плотность тока, т. е. ток через единицу поверхности:
_ 2 eKvK
/=lim^—— . A4.8)
ду->0 Ак
Тогда
где
/ = lim др— сила, действующая в электромагнитном поленаеди-
av-o ницу объема ионизированной среды (плазмы).
§ 14.2. Уравнения магнитной газодинамики
Рассмотрим уравнения газодинамики применительно к
движению плазмы, т. е. с учетом электромагнитных сил, действующих
на заряженные частицы.
— 519 —
В этом случае уравнение неразрывности B.3) останется без
изменения:
dt + дх ^ ду
или
д (?Ух) д (роу) д (руг) _
^ +
|f + div (ptT) = 0, A4.10)
В уравнениях движения B.12) и A2.32) необходимо учесть
объемные силы электромагнитного происхождения A4.9).
Напишем эти уравнения в векторной форме, при этом объемными
силами неэлектромагнитного происхождения (X, У, Z) будем
пренебрегать. Уравнение движения ионизированной невязкой среды
можно получить, добавляя к правой части уравнения B.12) силу /
A4.9). Это уравнение в векторной форме имеет вид
+ P(»V)» gradp + ?+l[/" Я], A4.11)
где у — оператор Гамильтона:
т- д , т- д . . д
Здесь 1\, /2> h — единичные векторы вдоль осей координат.
Для получения уравнения движения вязкой ионизированной
среды в электромагнитном поле необходимо уравнение Навье —
Стокса A2.32) дополнить членами, учитывающими влияние
объемной электромагнитной силы. Тогда в векторной форме уравнение
движения вязкой ионизированной среды будет иметь вид:
% v=-- — grad p + \x Av +
f|Г A4.12)
где
A — оператор Лапласа:
a ~~ дх* ^ ду* ~т~ dz1'
В уравнении энергии A2.34) необходимо дополнительно учесть
изменение удельной энергии частицы газа под действием
электромагнитных сил.
Напишем выражение для работы объемных электромагнитных
сил, действующих, на элементарную частицу с объемом AV. Она
равна работе всех сил, действующих на каждую заряженную
частицу, заключенную в этом объеме, за единицу времени:
ЛЛ/ = 2^оя. A4.13)
к
— 520 —
В выражении A4.13) суммирование необходимо проводить
по всем заряженным частицам в объеме Д1Л
Подставляя в формулу A4.13) выражение A4.1) и учитывая,
что ([vK H]vK) = 0, получим
ДЛ^ = Е 2 ек vK.
к
Разделим обе части равенства на объем AV и перейдем
к пределу при Д1/->0. Кроме того, введем следующее
обозначение:
lim -rrj- =Af.
Тогда работа электромагнитных сил в единицу времени, отнесенная
к единице объема, будет равна
А,= (?/)•
Заметим, что для получения уравнения энергии A2.34) из
исходного уравнения A2.33) было вычтено уравнение движения,
умноженное скалярно на v. Мы можем написать уравнение энергии для
плазмы, движущейся в электромагнитном поле, используя уравнение
A2.34). Для этого к правой части уравнения A2.34) необходимо
добавить член, представляющий собой работу электромагнитных сил
(Ej) за вычетом произведения:
т. e.(?J)-(p,f+i[/F])?.
Тогда получим
dT dP
+
\* fdvv dvz\*
+ (E])-(peE+ ± [i И] JF. A4.14)
Наконец, в качестве последнего уравнения газодинамики
напишем уравнение, состояния. В общей форме оно имеет вид
i = i(T,p). A4.15)
Система уравнений газодинамики A4.10), A4.12), A4.14)
A4.15), написанных для сплошной среды, состоящей из
— 521 —
заряженных частиц, не замкнута, так как она содержит члены,
связанные с электромагнитным полем (напряженности
электрического и магнитного полей Е, Я, плотности тока / и плотности за-
ряда р,).
Для определения переменных, связанных с электромагнитным
полем, воспользуемся системой основных уравнений
электродинамики—уравнениями Максвелла. Рассмотрим уравнения Максвелла
в интегральной форме:
L
где
ф Ней — циркуляция напряженности магнитного поля по
l контуру L:
I — ток, протекающий через поверхность 2, равный
^r~d 2 —скорость изменения потока напряженности
электрического поля через поверхность 2, проведенную
через контур L.
2.
где
Ф Е dl —циркуляция напряженности электрического поля по
l контуру L;
| ~Ж~ — скорость изменения потока напряженности магнит-
s ного поля через поверхность 2.
Второе уравнение Максвелла означает, что циркуляция на-
Бряженности электрического поля пропорциональна скорости
изменения потока напряженности магнитного поля через
поверхность 2.
3.
Поток напряженности электрического поля через поверхность 2
пропорционален суммарному заряду, сосредоточенному в объеме,
охватываемом этой поверхностью.
4.
Поток напряженности магнитного поля через замкнутую
поверхность 2 равен нулю. Это означает, что магнитные силовые линии
либо замкнутые, либо уходят в бесконечность.
— 522 —
Напишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме,
предполагая при этом, что векторы напряженности электрического
и магнитного полей — непрерывные и дифференцируемые функции
координат.
На основании теоремы Стокса получим
§ Hdl =
где rot Я — вектор с составляющими по осям координат:
dHz дНУ ( + «\ дНх dHz
дНУ дНх
Переходя от контурного интеграла к поверхностному,
первое уравнение Максвелла можно переписать в следующем
виде:
ИЛИ
Учитывая, что 2 — произвольная поверхность, проведенная через
контур L, получим
го1Я^Н-ТЖ- A4.16)
В результате аналогичного преобразования второго
уравнения имеем
rotfi = —{-%- A4.17)
Третье и четвертое уравнения Максвелла преобразуем,
пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, позволяющей
переходить от поверхностных интегралов к объемным:
End2 =
S V
— 523 —
Тогда получим следующие уравнения:
j(div? — 4npe)dV = 0,
v
f divHdV = О,
v
или
div? -4ярг, A4.18)
div#-0. A4.19)
В семи уравнениях Максвелла A4.16)—A4.18) десять
электрических и магнитных неизвестных величин: напряженности
Н(НХ, Ну, Нг), ~Ё(ЕХ, ЕУ9 Ег), плотность тока /(/*, }у, jz) и
плотность заряда рв.
Поэтому для однозначного определения электромагнитного поля
из уравнений Максвелла необходимо уравнение, которое
связывает плотность тока с остальными величинами, входящими в
уравнения. Используем для этого закон Ома,
устанавливающий связь между величиной плотности тока и напряженностью
электромагнитного поля, скоростью движения и свойством
электропроводимости плазмы:
( + ±[v #]) + рД A4.20)
где
а — проводимость плазмы.
Проводимость ионизированной среды сильно зависит от
температуры. Например, при Т = 6000° К проводимость воздуха почти
в три раза больше, чем при Т = 5000° К. При температурах порядка
миллиона градусов проводимость плазмы приближается к
проводимости металлов. Кроме того, небольшие добавки из щелочных
металлов, имеющих низкий потенциал ионизации, могут значительно
повысить проводимость среды.
Из закона Ома A4.20) следует, что в проводящей среде ток может
возникнуть только в том случае, если она движется под некоторым
углом к магнитному полю. Если же направление скорости
движения плазмы совпадает с направлением силовых линий магнитного
поля (v\\H), то [vy H] = 0 и плотность тока будет равна нулю.
В выражении A4.20) член pev равен плотности тока,
возникающего вследствие переноса заряда в направлении потока.
Произведение pev называется конвективным током.
Таким образом, полная система основных уравнений магнитной
газодинамики состоит из уравнений газодинамики A4.10), A4.12),
A4.14) и A4.15), написанных с учетом электромагнитных сил, и
— 524 —
десяти уравнений электродинамики A4.16), A4.17), A4.18) и A4.20).
Эти уравнения содержат шестнадцать неизвестных величин, из
которых шесть газодинамических параметров (составляющие
скорости потока vx, v,y vz, давление, плотность и температура) и десять
электродинамических величин (напряженности магнитного Нх, Ну,
Hz и электрического полей Ех, Еу, Ez, плотности тока jx, jy, jz и
плотности заряда ре). Уравнения газодинамики и электродинамики
должны быть решены совместно, так как уравнения газодинамики
содержат электромагнитные величины ?, Я, /, ре, а в уравнения
электродинамики входит вектор скорости потока.
§ 14. 3. Преобразованная система уравнений
магнитной газовой динамики
В задачах магнитной газодинамики применяются несколько
упрощенные уравнения Максвелла и уравнения газодинамики.
Для того чтобы упростить уравнения магнитной газодинамики,
оценим порядок величин, входящих в уравнения. Для этого введем
следующие характерные величины: напряженности магнитного #ои
электрического Ео полей, скорости потока v0, длины Lo и времени t0.
Оценим порядок величины конвективного члена в законе Ома
A4.20):
Из уравнения A4.18) следует, что плотность заряда ре порядка
отношения -^-. Тогда отношение -^ имеет порядок °^° , а
плотность тока / ~ a J?o (l + ^ + ^- v0 Но\ .
Отсюда видно, что при большой проводимости плазмы
конвективным током можно пренебречь, когда
Условие A4.21) выполняется при большой проводимости для
большинства задач магнитной газодинамики. В этом случае
закон Ома имеет вид
-y[v 77]). A4.22)
Второй член правой части уравнения A4.16) представляет собой
ток смещения, возникающий при быстром изменении во времени на-
— 525
пряженности электрического поля. При большой проводимости
плазмы вторым членом в правой части уравнения A4.16) в задачах
магнитной газодинамики можно пренебречь. Для этого оценим
порядок этих членов:
с dt ~ с to> а с ] ~ с OL°'
Тогда
.1 дА.
с dt Vq
Поэтому при большой проводимости плазмы, когда —у- <^С U
уравнение A4.16) можно написать в следующем виде:
rot Я =-у/. A4.23)
Уравнения электродинамики A4.17), A4.22) и A4.23) можно
свести к одному уравнению для напряженности магнитного
поля Н. Для этого в уравнении A4.23) заменим плотность тока
/ выражением A4.22). Получим
rotH==4-^(cE+[v H]). A4.24)
с2
Введем обозначение vm= гг. Величина vm обратно
пропорциональна проводимости и характеризует электрическое
сопротивление среды. Коэффициент vm имеет размерность кинематического
коэффициента вязкости (м2/сек) и называется
коэффициентом магнитной вязкости.
Из уравнения A4.24) следует
E=±{vmrotTi-[v #]). A4.24')
Подставляя выражение A4.24') во второе уравнение
МаксвелA4.17), имеем
ла
При постоянной проводимости среды а = const, используя
известное векторное тождество, найдем
rot (v^ rot H) = vm rot rot H = —vm AH,
где
d2 д2 д2
A = Ш*+ ay»+ a? ~" опеРатоР Лапласа.
— 526 —
Тогда
§ = vot[vH]+vmAH. A4-25)
Уравнение A4.25) является одним из основных уравнений
магнитной газодинамики. Это уравнение устанавливает связь между
напряженностью магнитного поля и полем скоростей в элеюро-
проводящей среде и называется уравнением индукции.
Оценим порядок членов правой части уравнения индукции
A4.25):
_
rot [v, H]
Lo ^o Lq
"Ho
v #0
mT~2
Безразмерное число ^—°, составленное аналогично обычному
числу Рейнольдса с использованием коэффициента магнитной
вязкости, называется магнитным числом Рейнольдса:
Ке* = чг- A4-26)
Отсюда следует, что, если Rem > 1 (при малой магнитной
вязкости), то вторым членом в правой части уравнения A4.25)
можно пренебречь. Тогда при Rem > 1 уравнение индукции
запишется в следующем виде:
^¦f = rot[U Я]. A4.27)
Если же Rem С 1 (ПРИ большой магнитной вязкости)
уравнение индукции можно написать в виде
|=\АЯ. A4.27')
Заметим, что магнитное число Rem представляет собой отношение
напряженности индуцированного магнитного поля Н' к
напряженности наведенного поля. Действительно, при движении плазмы
в магнитном поле в ней индуцируется ток, определяемый по закону
Ома. Индуцированный ток вызывает магнитное поле.
Напряженность этого поля связана с плотностью индуцированного тока
уравнением A4.23). Суммарная напряженность магнитного поля при
этом будет равна Н -f- H''.
Оценим порядок напряженности индуцированного поля. Из
уравнения A4.23) следует, что
— 527 —
где плотность тока на основании закона Ома
Тогда
Я'~— — V Н L = — v H L
11 п п 0 0 0 ^2 0 0 0'
ИЛИ
тт f ^^ ^0 ^о т_т
Отсюда
Преобразуем уравнения движения A4.11), A4.12). Для этого
оценим порядок величин электрической и магнитной силы.
Используя уравнения A4.18) и A4.23), получим выражение для
электрической силы peE = — EdivE и магнитной силы
4-17 Я] =i [rotЯ Я]. Отсюда
с
Из уравнения A4.24') следует, что
Тогда
•" с2
_J __ _^
iaL0 ReOT 2^a Lo •" с2/
При большой проводимости (малой магнитной вязкости) ~- < 1,
а-Ьо
^2
а Re^ > 1. Примем, кроме того, что о0« с, — <^ 1. При этих
условиях Е2 С Я2, и электрической силой в выражении A4.9)
для определения единичной объемной силы по сравнению
с магнитной силой можно пренебречь. Тогда
~ 528 —
Подставляя сюда выражение / из A4.23), получим
/=i. [rot/777], A4.28)
или, используя векторное тождество:
[rot 77 77] = - grad | + (Яу) 77,
имеем
^ ±() A4.28')
Тогда уравнения движения A4.11) и A4.12) запишутся в
следующем виде:
-L[voiH H] A4.29)
) v = — grad p + |iAy -+-
+ -jj- grad (div 5) + ^ [rot 77, 77], A4.30)
или
p Я +p (Ъ у) 5 = - grad (p + ?) + ^ G7 V) 77, A4.290
+ ~grsid{d\vv) + ^(H y)H, A4.30')
где
Я2
-5 магнитное давление;
от:
Р +' "от — эффективное давление.
В уравнении A4.14) преобразуем скалярное произведение
(Е 7)- Используя уравнения A4.22) и A4.24'), получим
Следовательно, скалярное произведение (Е, j) можно
выразить через Н и v.
Подставляя выражение (Е /) в уравнение A4.14), заменяя
электромагнитную силу реЕ -\ / Я] выражением A4.28) и
с
учитывая при этом, что ([rotHH]v) = — [v H] rot Jl% получим
18 Зак. 801 ~ 529 —
(rot
A4.31)
где
Ф — диссипативная функция, учитывающая выделение тепла
вследствие трения.
Таким образом, предполагая выполненными условия Ц- < 1,
vo<^c и Re^>l, систему уравнений газодинамики и
электродинамики, описывающую движение электропроводящей среды
в электромагнитном поле и поведение магнитного поля [A4.10),
A4.30'), A4.31), A4.15) и A4.25)], можно записать в следующем
виде:
w = w ¦+di
. A4.32)
Система девяти уравнений A4.32) представляет собой систему
основных уравнений магнитной газодинамики
для определения девяти неизвестных величин: составляющих
скорости потока v и напряженности магнитного поля Н и трех
параметров состояния — давления р, плотности р и температуры Т.
После определения Н и v напряженность электрического поля Е,
плотность тока / и плотность заряда ре можно найти соответственно
из уравнений A4.24'), A4.23) и A4.18).
§ 14. 4. Свойство «вмороженности»
магнитных силовых линий
Из уравнения A4.25) следует, что напряженность магнитного
поля в некоторой точке среды с проводимостью а (магнитной
вязкостью vm) при v = 0 зависит от положения точки и времени. Если
исключить внешние источники, создающие магнитное поле, то
магнитное поле в плазме исчезает не сразу. Скорость изменения Н
зависит от магнитной вязкости vm.
— 530 —
Найдем характерное время tOi за которое изменяется магнитное
поле. Для этого оценим порядок величин, входящих в уравнение
индукции:
Тогда из уравнения индукции получим
Следовательно, если магнитная вязкость vm мала (проводимость
среды а велика), то магнитное поле с течением времени после
исключения внешних источников
изменяется очень медленно.
Тогда при бесконечно большой
проводимости среды магнитные силовые
линии оказываются как бы связанными
со средой («вмороженными» в
проводящую среду). Свойство вмороженности
магнитных силовых линий объясняется
тем, что изменение магнитного потока
через любой проводящий контур,
вызывает ток. Индуцированный ток в свою
очередь образует магнитное поле,
которое и препятствует изменению внеш- Рис. 14.2. к доказательству
него магнитного потока. свойства «вмороженности»
Изменение по времени магнитного магнитных силовых линий
потока через жидкую поверхность,
проведенную через некоторый проводящий контур при v = О, на
основании уравнения A4.27') равно
При малой магнитной вязкости
Следовательно, при большой проводимости среды (малой
магнитной вязкости) магнитный поток через любую жидкую поверхность не
изменяется в течение практически бесконечного интервала времени.
Если же скорость потока плазмы не равна нулю, то изменение
магнитного потока_ определяется не только переменной по времени
напряженностью Я, но и изменением самого контура L при
движении среды (рис. 14.2).
— 531 —
18*
Пусть в момент времени t1 = t контур Ьг ограничивает площадку
21# Поскольку каждая точка контура 13 движется с некоторой
скоростью v, то к моменту времени t2 = tr -f- dt получим контур L2 и
поверхность 22.
На основании уравнения Максвелла для каждого момента
времени магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю.
Тогда
J Hn(t2)d2 - J Hn(t2) d2+l Hn(t2) d2 = 0. A4.33)
s2 s, s8
Здесь 23 — боковая поверхность, а
d 23 =-- ds vdt,
Hn = (H n),
Учитывая, что направление нормали к боковой поверхности
совпадает с направлением векторного произведения
направленного элемента контура ds и вектора скорости v, получим
Hnvdsdt = dtBids' v\.
Тогда
[di v].
Перепишем выражение A4.33) в следующем виде:
2, St Et
+ dt § ~H [ds 1] = 0.
В этом выражении первые два члена характеризуют полное
изменение магнитного потока вследствие изменения напряженности Н
и деформации контура с течением времени, а третий и четвертый
члены — изменение магнитного потока при постоянном контуре L
(поверхности 2Х). Разделим полученное выражение на dt. Тогда
получим
или
w d2 — j> [v H\dT, A4.34)
532 -
где
П =
Преобразуем первый член правой части выражения A4.34),
пользуясь уравнением индукции A4.27) при Re > 1:
j
Переходя от интеграла по поверхности к интегралу по
контуру Ll9 получим
J
2
(rot [v Я] n)d 2 = <f [v H] ds. A4.35)
Подставляя выражение A4.35) в уравнение A4.34), имеем
^г =0, или f#nd2 = const. A4.36)
dt
jtf
Следовательно, при Re ^> 1 магнитный поток через любую
жидкую поверхность в потоке плазмы с течением времени не изменяется.
Отсюда вытекает, что магнитные силовые линии движутся вместе
со средой («вморожены» в нее).
Поскольку в действительности проводимость плазмы не
бесконечна, то силовые линии отстают от среды.
§ 14. 5. Критерии подобия в магнитной
газодинамике
Предположим, что v0, Яо, EOf LOy р0, |л0, v0, а0— некоторые
характерные величины скорости потока, напряженностей магнитного
и электрических полей, длины, плотности, динамического и
кинематического коэффициентов вязкости, проводимости. Установим
критерии подобия, применяемые в задачах магнитной газодинамики.
Магнитное число Рейнольдса. При движении плазмы в
электромагнитном поле в ней индуцируется ток. Суммарную плотность
тока у A4.22) можно представить в виде суммы плотности тока от
внешнего электрического поля j = оЕ и плотности
индуцированного тока:
-j2 = ^[vH]. A4.37)
— 533 —
Индуцированный ток создает магнитное поле. Напряженность
индуцированного поля Н при большой проводимости среды можно
определить, пользуясь уравнением A4.23):
Как было показано в § 14.3, отношение напряженности
индуцированного магнитного поля к напряженности внешнего
магнитного поля равно магнитному числу Рейнольдса:
-°. A4.38)
При Re < 1 (при малой проводимости плазмы) магнитным полем
от индуцированных токов по сравнению с внешним полем можно
пренебречь и рассматривать течение плазмы только во внешнем
магнитном поле.
При Re > 1 магнитное поле определяется в основном
индуцированными токами.
Критерий магнитогазодинамического взаимодействия. Движение
электропроводящей среды в присутствии магнитного поля приводит
к возникновению индуцированного электрического тока, который,
взаимодействуя с магнитным полем, создает магнитную силу. Эта
сила оказывает влияние на течение газа. Таким образом, при
наложении магнитного поля происходит магнитогазодинамическое
взаимодействие.
Единичная объемная сила от индуцированных токов / A4.9)
равна:
При бесконечно большой проводимости плазмы
выражая плотность индуцированного тока через Н по
формуле A4.23), получим
7 = ^ [rot 77 77].
При конечной проводимости
Поэтому
/=?[[» я]я],
или
Г=-^я« о + ^(Б н)н.
— 534 —
Следовательно, магнитную силу / можно представить в виде
суммы двух векторов, один из которых направлен против
направления скорости потока fi= 2^2у> а ДРУг°й — вдоль
вектора напряженности магнитного поля $ъ=\{и Н)Н (рис. 14.3):
Отсюда
Щ<\ГЛ
Тогда проекция /2 на направление скорости потока:
Поэтому при движении электропроводящей среды в
магнитном поле @=^=0) появляется тормозящая сила, равная проекции
результирующей силы на
направлении скорости потока: и
Максимальная тормозящая /
сила появляется при движе- j?—
нии проводящей среды
перпендикулярно магнитному полю Рис> 14^ Вектор магнитной сиш
)
Оценим порядок величины магнитной силы. При бесконечно
большой проводимости среды (Rew > 1) единичная объемная
сила
а при конечной проводимости
Найдем отношение единичной магнитной силы при Rem > 1
к силе инерции, отнесенной к единице объема. Сила инерции
равна р^. Поэтому она имеет следующий порядок:
— 535 —
Тогда отношение единичной магнитной силы / к силе
инерции при Rem > 1 равно
А/2 ?/2
"О "О
4 izLn 4тг
4
Это отношение характеризует магнитогазодинамическое
взаимодействие. Обозначим критерий магнитогазодинамического
взаимодействия при Rem > 1 через S:
A4.39)
4 тгр0 vz0
Очевидно, этот критерий можно также трактовать как отно-
Н2 ?о ^о
шение магнитного давления =^ к скоростному напору —^—.
С учетом конечной проводимости отношение магнитной силы /
к силе инерции равно
Отсюда видно, что
SK.np^SRe^. A4.40)
Проявление магнитогазодинамического эффекта в случае
конечной проводимости оценивается значением параметра SRem.
Чем больше SRem, тем влияние магнитного поля больше.
Число Гартмана. Найдем отношение магнитной силы от
индуцированных токов к силам вязкости (tL2 — |x^-
оу0 r/0 L апо ь0 4тг
Отсюда получим, что отношение магнитной силы от индуцированных
токов к силам вязкости равно произведению двух критериев
подобия: критерия магнитогазодинамического взаимодействия 5 Rem
и обычного числа Рейнольдса Re. Для характеристики отношения
— 536 —
магнитной силы к силам вязкости введем число Гартмана На,
которое равно
Ha = SRemRe,
или
На—^. A4.41)
Если число На ^> 1, то влиянием сил вязкости на движение
электропроводящей среды можно пренебречь. Число Гартмана
является основным критерием подобия при
изучении движения электропроводящей
среды в пограничном слое.
Очевидно, что чем больше число Гартмана, тем влияние
магнитной силы на движение электропроводящей силы в пограничном слое
больше.
Пользуясь критериями подобия, напишем уравнения движения
A4.30) и уравнение индукции A4.25) в безразмерной форме. Для
этого введем следующие безразмерные величины:
Тогда из уравнения A4.30) следует, что
а из уравнения A4.25) получим
где
47iai>0 Lo ~ Hn
s =
c-
ссмотрим некоторые частные с,
среды
4np0 vl '
Рассмотрим некоторые частные случаи движения проводящей
— 537 —
§ 14. 6. Установившееся движение невязкого
электропроводящего газа
Рассмотрим установившееся движение электропроводящей среды
без учета вязкости, теплопроводности и массовых сил
неэлектромагнитного происхождения. При этих условиях уравнение энергии
A2.33) с учетом работы электромагнитных сил (Е /) запишется
в следующем виде:
Р It (е + т) = ~ div (р *) + ^ У> A4'42)
где е = cv Г.
Для установившегося движения
± (е 4- v*) -
Тогда, учитывая, что при установившемся движении divp^
получим
Кроме того, определяя плотность тока / из уравнения A4.16)
:— = о), находим
(EJ) = E±TotH.
Используем следующее векторное тождество:
div [F Н] = Н rot Е — Е rot Я,
где в случае установившегося движения rot? = 0, что следует
из уравнения A4.17). Поэтому
(Ej) = -^div[E H]. A4.44)
Подставляя выражения A4.43) и A4.44) в уравнение A4<42),
получим
uiv{pvle + ^ + pv + ±\E Я]}-0. A4.45)
Проинтегрируем уравнение A4.45), предполагая, что векторы
напряженностей Е и Н перпендикулярны к вектору скорости
— 538 —
потока. Тогда направление векторного произведения [Е9 Н]
должно совпадать с направлением вектора скорости v.
Представим вектор [Е Н] в следующем виде:
Тогда
Следовательно, вдоль линии тока дивергенция произведения
вектора pv на скалярную величину \е +т>- + ~
равна нулю.
Используем следующее векторное тождество:
div(a, b) = 6 diva + ^grad b,
где__
a — вектор;
b — скалярная величина.
Отсюда, учитывая, что divpa = 0, получим
Скалярное произведение вектора v и
запишем в следующем виде:
. Fgrad A= vx g + *,
где
Левая часть полученного выражения при установившемся
движении равна полному дифференциалу от А вдоль линии тока.
Поэтому вдоль линии тока имеем
— 539 —
Отсюда
Здесь e + - = i — удельная потенциальная энергия газа.
Тогда
db^ tfR = const. A4.46)
Уравнение A4.46) представляет собой уравнение
энергии в магнитной газодинамике, когда векторы напряженностей
магнитного и электрического полей перпендикулярны
направлению вектора скорости потока.
Подставим в уравнение A4.46) напряженность электрического
поля из A4.24'). Тогда, учитывая, что— [[v Н] Н] v = H2v2,
получим
^ ^ A4.47)
Отсюда следует, что полная удельная энергия электропроводя-
щего газа, равная сумме удельной кинетической энергии у,
потенциальной энергии i (которая складывается из внутренней
тепловой энергии и энергии давления) и магнитной энергии
[rottf H]v),
вдоль линии тока сохраняет постоянную величину.
Для бесконечно проводящего газа а = оо (vm = 0) уравнение
энергии имеет вид
Т + * + ^ = const <14-48>
Это уравнение по форме будет совпадать с уравнением
энергии обычной газовой динамики, если удельную потенциальную
энергию i заменить энергией /*, равной
i* = j + g. A4.49)
— 540 —
Если Е = 0 или векторы Е и Я параллельны, то из
уравнения A4.46) следует, что поток электромагнитной энергии при
этом будет равен нулю: [Е Н\ v = 0. Тогда уравнение A4.46)
совпадает с уравнением Бернулли, применяемым в обычной
газодинамике:
V2
~2 + i = const.
§ 14. 7. Плоское течение невязкого
электропроводящего газа в перпендикулярном
магнитном поле
Рассмотрим установившееся плоское течение бесконечно
проводящего невязкого газа (а = оо, vm = 0). Предположим, что
вектор напряженности магнитного поля при этом
перпендикулярен к плоскости потока (х> у). В этом случае (Яу) Я = 0,
и уравнение движения A4.29) примет вид
или, введя следующее обозначение:
p*=p+S> A4-5°)
получим
р(уу) v = —grad p*. A4.51)
Здесь р* — эффективное давление, равное сумме давления р
Н2
и магнитного давления о—.
Уравнение A4.51) по форме совпадает с уравнением Эйлера,
применяемым в обычной газодинамике, если в нем давление р
заменить эффективным давлением р*.
Рассмотрим деформацию жидкого элемента магнитной силовой
трубки с достаточно малым поперечным сечением. Деформация
силовой трубки возникает при движении проводящей среды.
Из теоремы «вмороженности» магнитных силовых линий A4.36)
и закона сохранения массы следует, что
Я2 = Я020,
— 541 —
где
2 — площадь поперечного сечения;
dt — элемент длины магнитной силовой трубки;
Яо, р0, 20, dl0 — величины до деформации магнитных силовых
линий.
Отсюда имеем
4г=-%= const,
или
Р Ро dl0"
При плоском движении бесконечно проводящего газа в
магнитном поле, перпендикулярном к плоскости движения, длина
элемента магнитной силовой линии не изменяется:
Тогда
dl = dl0 = const.
^=^ = 6 = const. A4.52)
P Po ;
TT
При движении каждой частицы отношение — сохраняет по-
/ ТТ \
стоянную величину (- = & = const].
Из уравнения A4.52) получим Н = pfe. Подставим это
выражение в формулы A4.49) и A4.50):
Тогда для изэнтропического течения проводящего газа в
перпендикулярном магнитном поле эффективное давление р* можно
представить в следующем виде:
P*==cP*+-gp2> A4.53)
где с — некоторая постоянная величина.
Пользуясь этой зависимостью, можно определить скорость
распространения малого возмущения в плазме. Назовем эту
скорость эффективной скоростью звука и обозначим
ее через ат. Тогда
2 dp* dp , b2 ,лл С/1ч
— 542 —
где
—• = а2 — квадрат скорости звука в отсутствии магнитного
ар поля (а2 = kRT);
Ь2 2
4^ Р = ал — квадрат скорости распространения так называемой
волны Альфвена (см. [24]).
Подставляя сюда выражение b A4.52), получим
Следовательно,
а2т = а2 + а2А, A4.56)
или
*••-/
wp- <14-57>
Из выражения A4.57) следует, что эффективная скорость звука
в электропроводящем газе больше, чем скорость звука в отсутствии
магнитного поля. Чем больше напряженность магнитного поля, тем
эффективная скорость звука ат будет больше. Это означает, что маг-
нитное поле приводит к уменьшению сжимаемости потока.
Эффективное число Mw при наличии магнитного поля,
равное отношению Мт = —, также зависит от напряженности
магнитного поля.
Представим Мт в следующем виде:
м - v -v ±
ly\rn • — .
ат а ат
Тогда, подставляя отношение — из выражения A4.56), по-
лучим
м' ... A4.58)
Следовательно, для заданного значения М (скорости потока)
эффективное число Мт уменьшается с увеличением напряженности
магнитного поля. Поэтому при наличии достаточно сильного
магнитного поля сверхзвуковой поток (М ^> 1) может стать дозвуковым
(Мт < 1), так как при этом возрастает эффективная скорость
распространения звука.
— 543 —
Подставляя выражение A4.55) в уравнение A4.48), получим
у + i + а\ = const,
где энтальпия / может быть выражена через скорость звука а:
Подставим сюда а2 из выражения A4.56). Тогда
О 9
;__fm аХ_
1 — к—\ к—\
или
к-2)-Я = const.
A4.59)
При сильном магнитном поле, когда ^~> 1, отношение
Тогда из уравнения A4.59) получим
^ + а2т= const.
A4.60)
Отсюда следует, что при сильном магнитном поле,
перпендикулярном плоскости потока, уравнение энергии в магнитной
газодинамике A4.60) совпадает с уравнением газодинамики, если принять
коэффициент к равным 2, а скорость распространения звука —
равной эффективной скорости звука ат. Поэтому при сильном
магнитном поле можно пользоваться известными решениями
газодинамических задач с заменой коэффициента к на к = 2, а скорости
звука — на эффективную скорость ат.
В общем случае для течения проводящего газа в
перпендикулярном магнитном поле уравнение A4.53) можно аппроксимировать
уравнением
где
сх и fq —постоянные величины, подобранные из условия
— 544 —
При этом решения задач магнитной газодинамики, очевидно,
по форме будут совпадать с решениями газодинамических задач,
если в них заменить значения коэффициента /с, скорости звука а и
давления р соответствующими значениями к19 ат, р* при наличии
магнитного поля.
§ 14. 8. Течение Куэтта
Для того чтобы выяснить некоторые закономерности,
характеризующие пограничный слой в электропроводящей среде, рассмотрим
течение Куэтта (рис. 14.4). Течение Куэтта представляет собой
течение вязкой среды между двумя параллельными плоскостями, одна
Рис. 14.4. Течение Куэтта
из которых неподвижна, а другая движется с постоянной скоростью
и. Предположим, что электрическое поле отсутствует, а магнитное
поле создается источниками, связанными с неподвижной стенкой.
Верхняя плоскость является диэлектриком. Кроме того, примем,
что вектор напряженности внешнего магнитного поля
перпендикулярен к плоскостям (к направлению скорости потока). В
рассматриваемом случае можно получить точное решение задачи.
Поскольку скорость потока параллельна оси х, то vy = vz = О,
причем vx зависит от координаты у и изменяется от vx = 0 при у = О
до vx = и при у = б.
Так как поток электропроводящей среды при таком движении
пересекает магнитные силовые линии, то на основании закона Ома
в электропроводящей среде индуцируется ток:
ПосколькуJ вектор Яо перпендикулярен вектору скорости
потока, плотность индуцированного тока по величине равна
/ = - vx Но. Вектор j направлен вдоль оси z : jx = ]у — О
19 Зак. 801
— 545 —
Индуцированный ток вызывает магнитное поле.
Напряженность индуцированного магнитного поля Я' можем найти,
пользуясь уравнением Максвелла A4.23):
rotH' = —j.
с J
Отсюда следует, что {хо\Н')х = О, (rot#')y = 0, а
(гоШ')* = povxH0. A4.61)
Пользуясь правилом буравчика, получим, что проекция Hz=0.
Тогда вектор Я суммарной напряженности магнитного поля
в каждой точке потока, равный Яо + Я', имеет следующие
составляющие: Нх, Ну, Hz = 0.
При установившемся движении верхней плоскости можно
дНх дНу dvx dp дТ
принять, что ->— = -з— = -з- — з- = а— = 0.
Если -^— = 0 и Hz = 0, то из уравнения A4.19) следует, что
—^ = 0. Тогда, учитывая, что при у = 0 Яу = Яо, получим, что
Яу не зависит от координаты у и всюду равен Яо (Яу = Яо).
Рассмотрим течение несжимаемой среды, когда diva = 0.
При этих условиях напишем уравнение движения A4.30) в
проекции на ось х:
^[rotHH]x + vd-^ = 0. A4.62)
Очевидно, что rot Я = rot Я\ Тогда, учитывая
выражения A4.61) и имея в виду, что Ну = Яо = const, а Н2 = 0,
получим
I[rot7? Я], = -°^Ч. A4.63)
Тогда, подставляя выражение A4.63) в уравнение A4.62),
получим
д* vx
A4.64)
Введем относительную координату у = ?-. Тогда
уравнение A4.64) примет следующий вид:
^-НаУж = 0. A4.65)
— 546 —
Здесь На — число Гартмана A4.41), при вычислении которого
в качестве характерного линейного размера принято расстояние
между плоскостями б:
A4.66)
На^.
С2 {X
Частными решениями уравнения A4.65) являются следующие
функции: е^На у и е- ^На у. Вследствие линейности уравне-
еУШу _е-УШ~у
ния A4.65) решением являются также ~ =sh(]/ На у}
и Z_ = ch(]/Hay). Поэтому общее решение
уравнения A4.65) можно представить в виде линейной комбинации
частных решений:
vx =Сг sh(/Hay) +C2ch (/На у),
где произвольные постоянные сг и с2 определяются из следующих
граничных условий на неподвижной стенке: при у = 0 vx = О,
при у = б (у = 1) х)х — и.
Отсюда С2 = 0 и d - —4=. Тогда
sh ]/На
Му^Ш)^ A4>67)
Из формулы A4.67) следует, что при На = 0 (в отсутствии
магнитного поля)
Ох. = ир A4.68)
т. е. скорость потока vXo в отсутствии магнитного поля
изменяется вдоль нормали к поверхности по линейному закону.
Из формулы A4.67) следует, что при наличии магнитного
поля (На =?=()) происходит торможение потока vx<^vXo. Характер
распределения скорости по нормали к поверхности при На = О
и Ha=f=0 представлен на рис. 14.4.
Найдем напряжение трения:
dvx
Подставляя сюда выражение A4.67), получим
1лаНасЬG/Ш) Г14 69)
Ь sh /На ' V • '
— 547 — 19*
На неподвижной стенке (у = 0) т = f^-f-^. В отсутствии
о sh У На
магнитного поля т^ = ^. Тогда при у = 0 из формулы A4.69)
получим
Так как * Л-~<^ 1> то отсюда следует, что напряжение
sh |/На
трения при наличии магнитного поля меньше, чем без него:
Аналогично можно показать, что напряжение трения на
верхней поверхности при наложении магнитного поля %$ возрастает.
Из формулы A4.69) при у = 6 имеем
A4-70)
где ЙГ^
На нижнюю поверхность, являющуюся источником магнитного
поля, кроме силы трения, действует еще и магнитная сила.
Магнитная сила представляет собой силу взаимодействия токов,
протекающих в электропроводящей среде, с источниками магнитного поля,
связанными с неподвижной стенкой. Поэтму полное касательное
напряжение, действующее на неподвижную поверхность, будет
равно
T2 = V + T'*> A4.71)
где
хт — касательное напряжение, вызываемое магнитными силами.
Найдем величину хт. Магнитная сила взаимодействия инду-
ищюванных токов (j = ^ vxHQ) с внешним магнитным полем,
^отнесенная к единице объема, равна
Отсюда следует, что направление / противоположно направлению
скорости потока. Это означает, что необходимо прилагать
дополнительные усилия, чтобы заставить проводящую среду двигаться через
гмагнитное поле.
— 548 —
По величине магнитная сила равна
f = pH*v*> A472)
где vx = vx(y) определяется по формуле A4.67). Поэтому
f a U2 „ sh(y/H~a) l\ATX\
Тогда суммарную магнитную силу, действующую на единицу
площади неподвижной стенки (тот), можно определить в
результате интегрирования выражения A4.73) по координате у от у=О
до у = б:
c2sh/Ha
о
Отсюда
_!^ * (сЬуТГа-1),
c2sh/Ha /На V K
0 тт №
или, учитывая, что —§— — "а> а ^~ — т^ » найдем
Подставляя выражение A4.74) в формулу A4.71), получим
— /На
s'~~ ^°th/Ha*
Отсюда следует, что суммарное касательное напряжение,
действующее на неподвижную стенку, по величине равно напряжениго
трения на верхней поверхности.
Следовательно, несмотря на то что сопротивление трения на
нижней стенке в присутствии магнитного поля уменьшается, суммарное
сопротивление, действующее на неподвижную стенку, с учетом
магнитных сил всегда больше сопротивления трения без магнитного
поля. При этом чем больше величина напряженности магнитного
поля, тем суммарное сопротивление больше.
На рис. 14.5 представлен характер зависимости отношений
¦^- и — от числа Гартмана На.
— 549 —
Найдем распределение температуры Т = Т(у). Для этого
воспользуемся уравнением энергии A4.31), в котором для
установившегося течения Куэтта
Кроме того, в уравнение
A4.31) подставим выражения
для rot Я = rot 77' A4.61), для
теплового потока, предполагая,
что коэффициент
теплопроводности является постоянной
величиной (к = const)
d2 T
гаA7) = А,-^.
Тогда получим
Рис. 14.5. Зависимость напряжения
трения и суммарного касательного
напряжения на неподвижной
поверхности от числа Гартмана
A4.75)
аЯо
Подставляя в уравнение A4.75) выражение для скорости vx
A4.67), имеем
ИЛИ
dy* sha/H 2
Отсюда в результате интегрирования получим
4 sh2 /На
= ch Bу /На) + d у + С2, A4.76)
где
де
Сх и С2 — постоянные интегрирования.
Найдем распределение температуры по нормали к поверхности
для следующих случаев:
1. Предположим, что неподвижная стенка теплоизолирована,
т. е тепловой поток к нижней стенке равен нулю. Тогда при
— 550 —
Обозначим температуру верхней поверхности (при у = 6)
через Too. Тогда из уравнения A4.76) имеем
Г —О я Г — JLT I {ш2 ch
Подставляя выражение A4.77) в уравнение A4.76), получим
формулу для определения температуры:
Т = Гоо Н ^т= [ch B/На) — chBy /На)]. A4.78)
Температура неподвижной стенки (у = 0) 7V при этом равна:
7^ = 700 + ^. A4.79)
Формулу A4.79) можно написать в следующем виде:
гр гр | а Г U ( Л Л ОЛ\
* W = ^ оо + "о » ( 14.oU)
где
Рг = -Л — число Прандтля.
В формуле A4.80) заменим коэффициент теплоемкости через
*ОО . аОО гт,
Ср = J-, здесь ^оо = -—г. Тогда
00 К — 1
1 _ \
A4.81)
Здесь Moo = JL.
Из формул A4.79) — A4.81) следует, что температура
поверхности не зависит от величины напряженности магнитного поля.
Если число Прандтля принять равным Рг = 1, то температура
теплоизолированной стенки 7V будет равна температуре
торможения:
Предположим, что заданы температура неподвижной и верхней
стенки 7V и Too. Тогда из уравнения A4.76) получим
г 1 (т т jРг и
W = *-Moo — 1 W +
2ср
Pru2
4cpsh*/Ha
— 551 —
Т = TV + (т, - 7V + ^) f - g* Sh2hf^a)- A4-82)
у 2ср J о 2ср sh2 ]/ На
Отсюда получим тепловой поток от газа к стенке (у = 0):
A4-83)
Следовательно, тепловой поток к стенке при наложении
магнитного поля в течение Куэтта также не изменяется.
Из формулы A4.82) видно, что температура газа при заданных
значениях Т^ и 7V при увеличении напряженности магнитного поля
возрастает.
В первом приближении качественные результаты, полученные
при исследовании течения Куэтта, можно перенести к пограничному
слою на поверхности тела. При гиперзвуковых скоростях газ в
пограничном слое становится электропроводящим. Объясняется это
значительным повышением температуры на скачке уплотнения и
трением в пограничном слое. В этих условиях, если тело
намагничено, будет происходить взаимодействие между газом в пограничном
слое и магнитным полем, связанным с телом. Это может привести
к изменению сил, действующих на тело, а также к измененикггепло-
вого потока от пограничного слоя к телу.
Точных решений задач обтекания намагниченных тел потоком
электропроводящей вязкой среды при Rem =f=oo не существует.
Имеются различного рода приближенные методы решения задачи.
Сформулируем некоторые качественные результаты
взаимодействия электропроводящего газа с магнитным полем,
перпендикулярным к поверхности.
Из анализа результатов исследования течения Куэтта видно, что
в условиях электропроводящего газа появляется возможность
определенным образом воздействовать на поток и получить полезные
эффекты, создавая вокруг тела магнитное поле:
а) магнитное поле, перпендикулярное к поверхности, приводит
к торможению потока (см. рис. 14.4). Вследствие этого происходит
утолщение пограничного слоя;
б) тепловой поток при заданной температуре поверхности 7V
и постоянной толщине пограничного слоя при наложении
магнитного поля не изменяется. Утолщение пограничного слоя, вследствие
торможения потока под действием магнитного поля, приводит к
уменьшению теплового потока от пограничного слоя к поверхности
A4.83);
в) магнитное поле вызывает уменьшение напряжения трения на
поверхности тела. При этом суммарное сопротивление тела с учетом
магнитных сил возрастает (см. рис. 14.5).
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. С. А р ж а н и к о в, В. Н.^ М а л ь це в. Аэродинамика. Оборон-
гиз, 1956.
2. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь, Н. В.Розе. Теоретическая
гидромеханика, ч. II. ОГИЗ. Гостехиздат, 1948.
3. Л. Г. Л о й ц я н с к и й. Механика жидкости и газа. Госиздат тех-
нико-теор. лит-ры, 1957.
4. А. Ф е р р и. Аэродинамика сверхзвуковых течений. Госиздат тех нико-
теоретич. литературы, 1952.
5. Г. Ф. Б у р а г о, В. Д. В о т я к о в. Аэродинамика, Ч. II
(Аэродинамика частей летательных аппаратов). Изд. ВВИА им. Н. Е. Жуковского,
1961.
6. Н. Ф. Краснов. Аэродинамика тел вращения. Изд-во
«Машиностроение», 1964.
7. Е. К а р а ф о л и. Аэродинамика больших скоростей. Изд-во АН
СССР, 1960.
8. Общая теория аэродинамики больших скоростей, под. ред.
У. Р. С и р с, т. VI (Аэродинамика больших скоростей и реактивная
техника). Воениздат МО СССР, 1962.
9. У. Ф. Хилтон. Аэродинамика больших скоростей. ИЛ, 1955.
10. Аэродинамика частей самолета при больших скоростях, редакторы
А. Ф. Доновэн, Г. Р. Лауренс, т. VII (Аэродинамика больших скоростей и
реактивная техника). ИЛ, 1959.
11. Ф. И. Ф р а н к л ь, Е. А. Карпович. Газодинамика тонких
тел. Гостехиздат, 1948.
12. Е. А. К р а с и л ь щ и к о в а. Крыло конечного размаха в
сжимаемом потоке. Гостехиздат, 1962.
13. А. П.Мельников. Аэродинамика больших скоростей. Воениздат
МО СССР, 1961.
14. Г. Г. Черный. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.
Госиздат физ-мат. и лит-ры, 1959.
15. В. Д. В о т я к о в, Ю. А. К и б а р д и н, С. И. К у з н е ц о в,
Б. Я- Шумяцкий. Основы аэродинамики гиперзвуковых скоростей и
разреженных газов, под ред. Г. Ф. Бураго. Изд. ВВИА им. Н. Е. Жуковского,
1959.
16. У. Д. X е й з, Р. Ф. П р о б с т и н. Теория гиперзвуковых
течений. ИЛ, 1962.
— 553 —
17. Научные проблемы искусственных спутников. Сборник статей. ИЛ,
1959.
18. X. Ш. Т з я н. Аэродинамика разреженных газов. Сборник
«Газовая динамика». ИЛ, 1950.
19. Основы газовой динамики, под ред. Г. Эммонс, т. III (Аэродинамика
больших скоростей и реактивная техника), ИЛ. 1963.
20. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. ИЛ, 1956.
21. М. А. Михеев. Основы теплопередачи. Госэнергоиздат, 1956.
22. В. С. А в д у е в с к и й, Ю. И. Д а н и л о в, В. К. Кошкин,
И. Н. К у т ы р и н, М. М. Михайлова, Ю. С. Михеев,
О. С. С е р г е л ь. Основы теплопередачи в авиационной и ракетной
технике. Оборонгиз, 1960.
23. В а н -Д р а й с т. Проблемы аэродинамического нагрева. «Вопросы
ракетной техники», 1957, № 5.
24. А. Г. К у л и к о в с к и й, Г. А. Любимов. Магнитная
гидродинамика. Госиздат физ.-мат. лит-ры, 1962.
25. С. Б. П и к е л ь н е р. Основы космической электродинамики.
Госиздат, физ.-мат. лит-ры, 1961.
26. А. С. Предводит еле в, Е. В. С т у п о ч е н к о,
А. С. П л е ш а н о в, Е. В. Самуилов, И. Б.
Рождественский. Таблицы термодинамических функций воздуха. Изд-во АН СССР,
1957 и 1959.
27. Физическая газодинамика, под ред. А. С. Предводителева.
Изд-во АН. СССР, 1959.
28. Ю. А. К и б а р д и н, С. И. Кузнецов, А. Н. Л ю б и м о в,
Б. Я- Шумяцский. Атлас газодинамических функций при больших
скоростях и высоких температурах воздушного потока. Госэнергоиздат,
1961.
29. А. А. Лебедев, Л. С. Ч е р н о б р о в к и н. Динамика
полета. Гл. III, IV. Оборонгиз, 1962.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ..*....** 5
Введение 7
Глава I. Основные сведения из газовой динамики и термодинамики . . 9
§ 1.1. Свойства газовой среды 9
§ 1.2. Методы описания движения газа ,10
§ 1.3. Уравнение состояния газа 13
§ 1.4. Первый закон термодинамики 15
§ 1.5. Теплоемкость 16
§ 1.6. Теплосодержание 20
§ 1.7. Второй закон термодинамики. Энтропия 20
§ 1.8. Скорость звука 23
§ 1.9. Распространение малых возмущений в потоке газа .... 26
§ 1.10. Понятие о подобии потоков 27
Глава II. Система основных дифференциальных уравнений изэнтро-
пического течения газа 34
§ 2.1. Уравнение неразрывности 34
§ 2.2 Дифференциальные уравнения движения в форме Эйлера 37
§ 2.3. Интегралы дифференциальных уравнений Эйлера .... 41
§ 2.4 Уравнение импульсов для установившегося движения
невязкого газа 50
Глава III. Одномерные изэнтропические течения газа 52
§ 3.1. Основные соотношения для одномерных изэнтропических
потоков газа 52
§ 3.2. Связь между скоростью течения газа и формой его струи 60
Глава IV. Теория прямого скачка уплотнения 69
§ 4.1. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения 71
§ 4.2. Сравнение сжатия при прямом скачке с изэнтропическим
сжатием 76
— 555 —
Стр.
§ 4.3. Графическое определение параметров потока за прямым
скачком уплотнения 80
§ 4.4. Давление в критической точке за прямым скачком
уплотнения 84
§ 4.5. Скорость распространения волны повышенного давления 87
Глава V. Теория косого скачка уплотнения 89
§ 5.1. Определение параметров потока за косым скачком
уплотнения 90
§ 5.2. Связь между углом поворота сверхзвукового потока и
положением фронта косого скачка 93
§ 5.3. Ударная поляра 96
Глава VI. Плоские сверхзвуковые течения газа 102
§ 6.1. Критерий потенциальности для плоского изэнтропического
течения газа 102
§ 6.2. Основное дифференциальное уравнение плоского
потенциального потока газа 104
§ 6.3. Характеристики в плоскости потока 106
§ 6.4. Характеристики в плоскости годографа скорости .... 108
§ 6.5. Определение направления линий возмущения с помощью
изэнтропного эллипса 115
§ 6.6. Определение поля скоростей в плоском сверхзвуковом
потенциальном потоке газа методом характеристик . . . .116
§ 6.7. Определение поля скоростей в окрестности произвольного
профиля методом характеристик 123
§ 6.8. Обтекание сверхзвуковым потоком выпуклого тупого угла
(течение Прандтля — Майера) 125
Глава VII. Основы теории профиля и крыла в дозвуковом потоке . . 133
§ 7.1. Понятие о критическом числе М 133
§ 7.2. Приближенная теория профиля крыла в докритической
области (метод линеаризации) 135
§ 7.3. Уравнения Чаплыгина для исследования движения газа
с большими дозвуковыми скоростями 141
§ 7.4. Метод С. А. Христиановича 145
§ 7.5. Обтекание профиля крыла закритическим потоком (Мкр<
<Моо<1). Расчет волнового сопротивления 152
§ 7.6. Влияние сжимаемости на величину индуктивной скорости
крыла 158
§ 7.7. Нестреловидное крыло в дозвуковом потоке 162
§ 7.8. Стреловидное крыло в дозвуковом потоке 166
Глаза VIII. Основы теории профиля крыла в сверхзвуковом потоке 176
§ 8.1. Общее решение линеаризованного уравнения потенциала
скорости 176
§ 8.2. Линеаризованное обтекание тупого угла
сверхзвуковым потоком 179
§ 8.3. Линеаризованная теория обтекания плоской пластинки
сверхзвуковым потоком 182
— 556 —
Стр.
§ 8.4. Линеаризованная теория тонкого профиля в
сверхзвуковом потоке 186
§ 8.5. Уточненные теории профиля в сверхзвуковом потоке . . 197
§ 8.6. Точное решение задачи об обтекании профилей,
составленных из прямолинейных отрезков, сверхзвуковым потоком 202
Главка JX. Теория крыла конечного размаха в сверхзвуковом потоке 206
§ 9.1. Особенности обтекания крыла конечного размаха
сверхзвуковым потоком 206
§ 9.2. Аэродинамические характеристики крыла бесконечного
размаха со скольжением при сверхзвуковой передней
кромке 2П
§ 9.3. Линеаризованная теория крыла конечного размаха
в сверхзвуковом потоке 214
§ 9.4. Метод распределенных источников 220
§ 9.5. Крыло со сверхзвуковыми кромками 224
§ 9.6. Крыло произвольной формы в плане 228
§ 9.7. Определение аэродинамических характеристик крыла
треугольной формы в плане со сверхзвуковыми передними
кромками . . . с 235
§ 9.8. Определение аэродинамических характеристик крыла
прямоугольной формы 245
§ 9.9. Определение волнового сопротивления крыла при нулевой
подъемной силе 253
§ 9.10. Волновое сопротивление треугольного крыла с
четырехугольным профилем при нулевой подъемной силе . . . 253
§ 9.11. Метод конических течений 267
§ 9.12. Определение аэродинамических характеристик
треугольного крыла с дозвуковыми передними кромками .... 273
Глава X, Теория обтекания тел вращения сверхзвуковым потоком . . 281
§ 10.1. Уравнение неразрывности в цилиндрических и
сферических координатах 281
§ 10.2. Уравнение для потенциала скорости в цилиндрических
координатах 286
§ 10.3. Граничные условия- 289
§ 10.4. Уравнения для функции тока осесимметричного
течения 290
§ 10.5. Линеаризованное уравнение для определения
потенциала скорости 292
§ 10.6. Обтекание тонких тел вращения при малых^ углах атаки 295
§ 10.7. Осесимметричное обтекание тонких тел вращения . . . 297
§ 10.8. Обтекание конуса при нулевом угле атаки 302
§ 10.9. Определение подъемной силы и волнового
сопротивления тонкого тела вращения при малом угле атаки .... 305
§ 10.10. Определение подъемной силы и волнового
сопротивления конуса при малом угле атаки 308
§ 10.11. Осесимметричное обтекание конуса с произвольным углом
полураствора 312
— 557 —
Стр.
§ 10.12* Применение метода характеристик для определения поля
скоростей в потенциальном осесимметричном потоке 327
§ 10.13. Решение частных задач с помощью метода характеристик 335
§ 10.14. Определение поля скоростей в окрестности тела
вращения при а=0 338
§ 10.15. Понятие об аэродинамической интерференции .... 340
д^ Основы аэродинамики гиперзвуковых скоростей 348
§ 11.1. Особенности гиперзвуковых течений 348
>§Г31г2Гбтекание тупого угла, большего 180°, гиперзвуковым
^ _~_t потоком 353
§ 11.3. рпределение параметров гиперзвукового потока за ко-
^_~^/сым скачком уплотнения 358
§ 11.4.^Определение аэродинамических характеристик плоской
""" пластинки в гиперзвуковом потоке 364
§ 11.5. Применение законов гиперзвукового подобия к определению
аэродинамических характеристик профилей 368
§ 11.6. Приближенное определение давления на поверхности
конуса при нулевом угле атаки 373
§ 11.7. Теория Ньютона 380
§ 11.8. Метод местных клиньев (конусов) 384
§ 11.9. Метод волн разрежения 387
§ 11.10. Аэродинамические характеристики тонких профилей и
крыльев конечного размаха при гиперзвуковых скоростях 391
& lLU-^Обтекание затупленного тела гиперзвуковым потоком 398
§ 11.12. ^Определение параметров потока за скачком уплотнения
''с учетом реальных свойств газа 403
Глава XII. Пограничный слой и аэродинамический нагрев при
больших скоростях 410
§ 12.1 Дифференциальные уравнения движения вязкого газа 410
§ 12.2. Уравнение энергии для вязкого теплопроводного газа 421
§ 12.3. Понятие о пограничном слое 424
§ 12.4. Дифференциальные уравнения пограничного слоя в
несжимаемой среде 433
§ 12.5. Дифференциальные уравнения пограничного слоя в
сжимаемом газе 438
§ 12.6. Интегральное соотношение пограничного слоя 443
§ 12.7. Уравнение теплового баланса для сечения пограничного
слоя 446
§ 12.8. Расчет пограничного слоя на плоской пластинке в
несжимаемой среде 448
§ 12.9. Пограничный слой на криволинейной поверхности . . . 458
§ 12.10. Расчет ламинарного пограничного слоя на
криволинейной поверхности (метод Л. Г. Лойцянекого) 462
§ 12.11. Пограничный слой на плоской пластинке в сжимаемом
газе 471
§ 12.12. Взаимодействие скачка уплотнения с пограничным слоем
при больших скоростях 477
§ 12.13. Связь между коэффициентами трения и теплоотдачи 481
§ 12.14. Определение температуры поверхности с учетом
теплообмена с окружающей средой 484
— 558 —
Стр.
Глава XIII. Некоторые вопросы аэродинамики разреженных газов
§ 13.1. Средняя длина свободного пробега молекул 491
§ 13.2. Число Кнудсена. Области течения газа 493
§ 13.3. Течение со скольжением 497
§ 13.4. Обтекание тел свободно-молекулярным потоком 500
§ 13.5. Определение подъемной силы и сопротивления плоской
пластинки в свободно-молекулярном потоке 509
Глава XIV. Основы магнитной газодинамики
§ 14.1. Движения заряженной частицы в электромагнитном поле 516
§ 14.2. Уравнения магнитной газодинамики , 519
§ 14.3. Преобразованная система уравнений магнитной газовой
динамики * . 525
§ 14.4. Свойство «вмороженности» магнитных силовых линий . . 530
§ 14.5. Критерии подобия в магнитной газодинамике . . . 5 , 533
§ 14.6. Установившееся движение невязкого электропроводящего
газа 538
§ 14.7. Плоское течение невязкого электропроводящего газа в
перпендикулярном магнитном поле # . . 541
§ 14,8. Течение Куэтта 545
Литература 553
Николай Сергеевич Аржаников,
Галина Садековна Садекова
АЭРОДИНАМИКА
БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ
Редактор Е. В. Белякова
Художественный
редактор В. М. Поздняков
Технический редактор С. С. Горохова
Корректор С. Н. Юровец
Художник В. П. Заикин
Сдано в набор 8/Х 1964 г. Подп.
к печати 2/VII 1965 г. Т-08169.
Формат 60x907ie- Объем 35 печ. л.
Уч.-изд. листов 26,59. Изд. № ОТ—131.
Тираж 8000 экз. Цена 1р. 13 к.
Сводный тематический план 1965 г.
учебников для вузов и техникумов.
Позиция №^278. Заказ 801. Москва,
И-51, Неглинная ул., д. 29/14,
издательство «Высшая школа».
Московская типография № 4 Главпо-
лиграфпрома Государственного
комитета Совета Министров СССР по печати
Б. Переяславская, 46
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра- 1
ница-
253
272
354
404
506
510
510
521
Строка
8-я
6-я
3-я
4-я
О гш
2-Я
-10-я
9-я
8-я
строка
снизу
снизу
сверху
снизу
сверху
снизу
снизу
снизу
2
р
1 1
Ри
р<4~
2
1
+ "
?Ср
Напечатано
Я
S (х,
/и
vsr =
1
гу-р
sin2^
Уп
dT
dt~
'Г-
X
¦- const
= 6.
-+р)
t 1
(р)
dP
г) dx dz
•
i(P) +
(Р).
...
Следует читать
2 ff_
S JJ
5
/и т
py5r = const,
-JJ = 6-
(8 +^j
ря Sin2 a 1
~2~
*I(P)
dT1 dp
?cP~d7 =~di+ •••
Зак. 801