Текст
jtfkad. J7. 7}. Lfcnexcl^uu
Очерк истории логарифмов
1923
I
Джон Непер (I S5() l(»l/)
Акад. Я. В. УСПЕНСКИЙ
ОЧЕРК
ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ
1923
4'ТОО 8КЗ. Р. Ц. К: 3296.
ГОС. УЧЕБНО-ПРАКТ. ШКОЛА-ТИП. ИМ. ТОВ. АЛЕКСЕЕВА. ПЕТРОГРАД. КРАСНАЯ, 1.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Utilissmnin vst cognosri v,ras inventiomim meniorabilium orig’nes, praesertim eanirn, quae non casu, sed vi miiditnndi innutuore.
Leibnis.
Небольшая книга, которую мы теперь выпускаем в свет, преследует очень скромную цель: дать ясное и согласное с Фактами изложение истории возникновения и развития учения о логарифмах.
До самого последнего времени даже в трудах, посвященных специально истории математики, встречаются Фактически неверные утверждения относительно логарифмов, что объясняется во многих случаях невозможностью ознакомиться в подлиннике с чрезвычайно редкими первоисточниками. Но трехсотлетний юбилей логарифмов, пришедшийся на 1914 г., вызвал вновь интерес к истории этого важного открытия. Теперь, благодаря трудам многих исследователей, мы имеем подлинную картину развития идеи о логарифме от самого ее зарождения до построения первых Фундаментальных таблиц
Очень может быть, что многие, прочтя заглавие этой книги и вспомнив при этом о скучнейших таб
4
ПРЕДИСЛОВИЕ»
лицах логарифмов, спросят: что же может быть интересного в истории логарифмов?
Если в ответ на этот вопрос они с удивлением из нашей книги узнают, что идеи Непера о логарифмах являются первыми проблесками глубоких мыслей, лежащих в основе анализа бесконечно-малых, если почувствуют некоторое удовольствие при виде того, с каком трудом и с каким остроумием эти идеи были претворены в табличные числа, то чего большего может желать автор такой книги, как эта?
Для придания большего интереса пашой книге к ней приложены снимки заглавных листов и отдельных страниц из весьма редких подлинников; это может заставить читателя живее почувствовать ту отдаленную эпоху, о кото| ой идет повествование.
Но такая роскошь при современных условиях стала возможной только благодаря исключительному вниманию, проявленному «Научным Книгоиздательством» при издании этой книги, за что автор ее считает долгом высказать деятелям этого издательства свою искреннейшую благодарность.
Историческое значение изобретения логарифмов.
Логарифмы были изобретены и вошли в употребление триста с небольшим лет тому назад. Это событие считается одним из важнейших в истории математических наук, с чем легко согласится всякий, даже поверхностно знакомый с историей математики.
Если смотреть на вещи с практической точки зрения, то от всякого применения математики к любому конкретному вопросу в конечном счете должно требовать получения некоторого числа, которое получается в результате ряда действий над другими числами, принимаемыми заданные. По действительное выполнение даже Tai их сравнительно простых действий, как умножение, деление, извлечение корней и т. и., особенно, когда пх нужно совершать несколько раз подряд, отнимает много времени и крайне утомляет вычислителя. Поэтому изобретение приемов, дающих действите ншое упро-щ< ние числовых выкладок, представляется делом весьма важным, доставляя экономию сил и позволяя одному человеку сделать больше, чем доступно даже для многих без таких упрощенных приемов.
Трехсотлетняя практика всех вычислителей вполне доказала. что благодаря логарифмам числовые вычисления были чрезвычайно облегчены и через это, по словам Лапласа, как бы удлинилась самая человеческая жизнь. Трудно представить себе, как можно было бы без помощи логарифмов производить те колоссальные вычисления, которые требуются, иаприм чр, в современной астрономии.
6
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Таким образом, с точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим более древним великим изобретением Индусов— нашей десятичной системой нумерации.
Но и с чисто теоретической точки зрения введение самого понятия о логарифме, как о некоторой новой функциональной связи между переменными величинами, сыграло огромную роль в истории математики, вполне выяснившуюся при возникновении анализа бесконечно малых и ставшую еще более очевидной при дальнейшем его развитии.
Для понимания и оценки всякого большого научного открытия необходимо выяснить, как опо произошло и как развивалось дальше: в процессе развития оно часто принимает совсем иную форму, нежели та, в которую облекли его первые изобретатели.
Это особенно справедливо в отношении логарифмов, история которых поэтому представляет большой интерес.
Нужно стремиться узнать—говорит Лагранж—путь, часто непрямой и трудный, которым шли первые изобретатели, различные приемы, которыми они вычисляли логарифмы, чтобы понять, сколь многим мы обязаны этим истинным благодетелям человечества.
Какие средства для упрощения вычислений применялись до изобретения логарифмов.
Потребности астрономии, достигшей к концу XVI столетия значительного развития, а также других прикладных наук, настоятельно требовали усовершенствования вычислительных средств.
Чтобы судить, насколько это было необходимо, достаточно вспомнить колоссальный труд, затраченный Кеплером при исследовании орбиты Марса.
КАКИЕ СРЕДСТВА ДЛЯ УПРОЩ. ВЫЧ. ПРИМ. ДО ИЗОБР. ЛОГАР. 7
Особенно часто встречаются и особенно утомительны при вычислениях действия умножения и деления. С целью упростить хотя бы отыскание произведений в XVI столетии были ужо в употреблении два приема. Первый из них, который назывался Prost apheresis (от греческих слов: тгрбайеаи;—сложение, а^сарготс—вычитание), осповаи на употреблении известных со времен Арабов фо| мул
sin a sin р = j ( cos (a — р) — cos (a + р) )
cos a cos р = < ( cos (а — р) -f- cos (а -ф- Р))
и имевшихся уже тогда обширных таблиц натуральных синусов. Этот прием, подобно логарифмам, позволяет сводить умножения к сложениям или вычитаниям.
Совершенно такую же услугу могли оказать таблицы квадратов ври употреблении формулы
at = * ( (a -f-b)s—(a - by2 ).
И такие таблицы, содержащие квадраты всех, целых чисел до 1О0000, были действительно изданы Антонием Магнии в 1;>92 году под заглавием „Tabula Шгауопгса".
С целью облегчения вычислений пробовали также прибегать к сокращенным способам действий и механическим приемам. Так, известный всем способ сокращенного умножения был введен и употребление Бюрги около 1600 года. Сам Непер, даже после опубликования своих логарифмических таблиц, счел полезным издать особое сочинение „Rabdoloyiau (1617), в котором для выполнения умножений и делений предлагается механический прием с помощью особых счетных палочек.
Но все эти приемы достигали своей цели лишь отчасти и очень несовершенно.
8
ОЧЕРЕ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Нужда в упрощении числовых выкладок продолжила настоятельно требовать изобретения более пригодных для этого средств.
В истории науки часто случается, что назревший вопрос получает почти одновременно решение с разных сторон. Так было и с изобретением логарифмов.
Введением в употребление логарифмов мы обязаны двум ученым XVI — XVII столетий: Неперу (Napier, 1650 — 1617} и Jnopiu (1 iirgi, 1552 —16:12), хотя з слуги их в этом отношении весьма неравноценны.
Т блицы их, составленные у каждого по своему способу, вычислялись, как можно думать, почти одновременно в самом конце XVI и начале XVII столетий. По Непер опубликовал свое сочинение в 16И г., тогда как Вюрги только в 1620 г.
Откуда возникла первая идея о логарифмах.
Было бы в высшей степени ошибочно думать, что самое представление о логарифмах у первых их изобретателей было то же, какое для нас теперь является столь привычным.
Говоря о логарифмах, мы прежде всего соглашаемся рассматривать некоторое число, как основание системы логарифмов, и тогда даем логарифмам при выбранном основании такое определение: логарифм каждого числа есть показатель той степени основания, которая равна этому числу. Так, для общеупотребительных таблиц за основание припима-тся IOt и табличные логарифмы чисел суть приближенные значения показателей степеней 10-и, представляющих эти числа. Такое определение логарифма представляется наиболее простым и естественным, но оно вошли в употребление сравнительно очень поздно, а именно только со второй половины XVIII столетия. В конце же XVI столетия о такой точке зрения на логарифмы не могло быть и речи.
ОТКУДА ВОЗНИКЛА ПЕРВАЯ ИДЕЯ О ЛОГАРИФМАХ.
9
В то время алгебраические обозначения находились еще в зачаточном состоянии, и понятие о степенях с дробными и тем более с иррациональными показателями совершенно отсутствовало.
Первые идеи логарифмического вычисления в их грубейшей форме возникли из сопоставления членов геометрической прогрессии с арифметической прогрессией их порядковых номеров или же чисел, мм пропорциональных.
Следы такого сопоставления восходят к древности и довольно ясно выражены в одном месте Архимедова Псаммита. В этом месте Архимед выражается таи: „Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции (т. е., по пашей терминологии, находящихся в геометрической прогрессии), начиная от единицы, и если два члена его перемножить, то произведение будет членом того-же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы; он же будет удален от единицы одним членом меньше против того, насколько удалены от нес оба множителя вместе".
При современных обозначениях смысл этого места можно передать так: если с геометрической прогрессией
1, «, а2, ая,...
сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров te членов
1, 2, 3, 4,...,
то произведение двух членов первой ат и ап будет членом той же прогрессии, порядковый помер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е, m-j-n-j- 1.
Это, хотя и простое, но важное замечание Архимеда не осталось незамеченным и повторяется почти во всех значительных сочинениях XV и XVI столетий с тем лишь улуч
10
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
шением более позднего происхождения, что за порядковые номера членов геометрической прогрессии принимаются числа 0, 1, 2, 3,... или им пропорциональные. Так, у французского математика Chuquet в его сочинении 1484 года nLe Triparty сп la science des Ncinbresu мы находим, в виде примеров, сопоставление прогрессий
О, 1, 2, 3,...
1, 2, 4, 8,... или
О, 1 , 2, 3,...
1, 3, 9, 27,...
с вполне ясным указанием ла то, что произведению двух членов геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.
Подобные замечания встречаются и у других авторов того же времени, но в особенно ра (витом вид» мы находим их у Стифеля (Stifel, 1480 —1567) в его сочпнтии „Ar 'dh-metiea hileyra" 1544 года. Стифель продолжил оба ряда плево, введя, как бы мы сказали, отрицательные показатели. Так, для примера, он сопоставляет ряды
... — 3, —2, — 1, 0, 1, 2, 3,...
и даже числа первого ряда называет показателями (exponent ев).
Связь между этими рядами у Стифеля с полной ясностью установлена в следующих предложениях:
1° Сложению в арифметических прогрессиях отвечает умножение в геометрических.
2° Вычитанию в арифметических прогрессиях отвечает деление в геометрических.
ОТКУДА. ВОЗНИКЛА ПЕРВАЯ ИДЕЯ О ЛОГАРИФМАХ.
11
3° Простому умножению (т. е. числа на число) в арифметических прогрессиях в геометрических отвечает умножение на себя (возвышение в степень). Так, удвоению члена арифметической прогрессии в геометрической отвечает возвышение в квадрат.
4” Делению в арифметических прогрессиях отвечает извлечение корпя в геометрических.
Стифель, невидимому, и сам сознавал важность и возможное развитие с-очх замечаний; на эту мысль наводят собственные ого слова: „Posset hie fere novus liber integer scribi de iniru-bilibns nuineroriiin, eed opportet utme hie subducam, et clausis ocnlis n,ben.in“ ').
Нельзя не признать, что в приведенных замечаниях Стифеля очень ясно выражена основная идея логарифмических вычислений, т. е. указание на способ своди ть действия умножения, деления, возвышения в степень и извлечении корпя на более простые действия сложения, вычитания, умножения и деления.
По для прткгичессого осуществления атой идеи нужно было ввести в рассмотрение весьма медленно растущую геометрическую прогрессию, так чтобы промежутки между соседними ее членами были невелики, с целью охватить возможно больше чисел в одной прогрессии. Это требовало выполнения гигантской вычислительной работы, после совершения которой принцип логарифмического вычисления действительно мог быть применен на практике.
Невидимому, в прямой связи со Стифелем за эту грандиозную работу взялся Вюрги, о таблицах которого и примененном им способе вычисления мы будем говорить подробно ниже после того, как рассмотрим во всех деталях то, что было сделано Непером. Заметим здесь же, что одно лишь соноста-
г) „Можно было бы написать целую новую кпигу об этих удивительных свойствах чисел, но здесь я этим, ограничусь и пройду мимо с закрытыми глазами11.
J 2 ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
влеиио прогрессий арифметической и геометрической не может служить теоретической основой общего понятия о логарифме. В самом деле, если сопоставить члены арифметической прогрессии с соответствепными членами геометрической, как их логарифмы, то логарифмы будут определены лить для дискретного ряда чисел и останется совершенно неясным, что следует понимать под логарифмом числа, но содержащегося в геометрической прогрессии.
В таком представлении о логарифме не будет достаточной общности.
Непер, как увидим ниже, далеко опережал современников, сумел избегнуть этой теоретической трудности, дав совершенно общ<’С определение логарифма и введя таким образом в пауку новый вид функциональной связи мекду непрерывно меняющимися величинами. Достойно удивления, что все вто было сделано в то время, когда не было ясно выражено даже самое понятие о функциональной свили.
Джон Непер и его труды, относящиеся к логарифмам.
Джон Непер (John Napier), барон Мерчистонский, родился в 1550 году в своем родовом замке Мерчистон близ Эдинбурга в Шотландии. Поено предпринятой им п 1566 году поездки по коптипентал! ной Европе с целью попо игения первоначального образования, он возвратился в свой намок в 1571 году, где и прожил до своей смерти, последовнвшой в 11517 году. Характерно для той опохи, что Пепор, проявивший в области математики такую гениальную изобретательность, в то жч время усердно занимался теологией и магией. Первое печатное его пршзведепио 1594 года, наполненное с пашей точки зрения в высшей степени странными вещами, посвящено толкованию Апокалипсиса. В богословской литературе того времени оно обратило на себя внимание и было переведено на многие иностранные языки.
ДЖ. НЕПЕР И ЕГО 'ГРУДЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ЛОГАРИФМАМ. 13
Насколько Непер был убежден в силе своих магических знаний, доказывает заключенный им с соседним бароном письменный договор, по которому Непер обязывался силою магии обнаружить в поместьях этого барона клад, за что и выговаривал себе, в виде вознаграждения, третью часть найденного. 11омогла-ли магия Неперу в этом предприятии, мы не знаем.
Как бы то ни было, среди этих странных занятий Непер в тиши работал и над магматическими вопросами. Когда у него зародилась первая мысль о логарифмах, сколько времени понадобилось, чтобы привести ее в законченную форму и, в особенности, какое время потребовалось для завершения гигантской работы по составлению таблиц—на все эти вопросы мы можем отвечать лишь очень гадательно. В последнем своем сочинении ,JRabdologiau, изданном в год смерти автора, т. е. в Щ7 году, сам Непер говорит только, что его таблицы или „канон“ логарифмов были составлены задолго до их опубликования. Из переписки 1\сплера мы узнаем, что еще в 1594 году один шотландец, друг семьи Непера, сообщил астроному Тихо Браге о некотором новом способе, весьма облегчающем вычисления.
Если принять эту дату, то окажется, что Непер владел, по крайней мере, принципом логарифмических вычислений за 20 лет до первой своей публикации по этому предмету.
В К; 14 году плоды многолетних, без сомнения, трудов были опубликованы в сочинении, носящем заглавие: „Mirifici Logarithmorum Canonis description.
Способ вычисления таблиц, помещенных в этом сочинении, не указывается; но, вместе с тем, высказано следующим образом намерение затронуть в другом сочинении этот вопрос:
Admonitio.
Quum hujus Tabulae calculus, qui plurium Logistarum ope et diligentia perfici debuisset, unius tantum opera et Indus-
14
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
tria, absolutes sit, non mirum est si pluriini errores in cam irrep-serint. Hisee igitur sive a Logistan lassitudine, sive Typography incuria profectis, ignoscant, obsecro, benevoli Lectores: me enim turn infirma valetudo, turn rerum graviorum cura praep divit, quominus secundam his curarn adhibercm. Verum si hujus inventi usum eruditis gratum fore intel lextro, dubo fortasse brevi (Deo aspirante) rationem ac inel,hoduni aut hune Canonem emendandi, aut emendatiorem de novo condendi, ut if-i plurimn Logistarum diligeutia, limatior tandem et acciiratior, quam unius opera fieri putuit in liicem prodeat. Nihil in ortu pcriectiim.
В поревохе эго значит:
Уведомление.
Так как вычисление этой таблицы, которое должно было бы выполниться при участии и старании многих пычислителей, сделано трудом и искусством одного, то пе удивительно, если в нее вкрались многие ошибки. Ироизошли-ли эти ошибки вследствие утомления вычислителя или по небрежности типе- рафа, за них прошу извинения у благосклонных читателей; мне лично как слабое здоровье, так и заботы о более важных долах мешают вновь самому взяться за это дело. Однвко, если я увижу, что ученым приятна польза этого изобретения, то, может-быть, в скором времени (с помощью Вожиой) я дам об’яснение способа, как улучшить этот канон или переделать заново в улучшенном виде, чтобы таким образом трудами многих вычислителей выпустить в свет его более тщательно и точно исполненным, чем было возможно для одного. Ничто сначала не бывает совершенным.
Обещанное сочинение с объяснением способа составления таблиц появилось в свет в 1619 году, уже после смерти
СОДЕРЖАНИЕ „DESCKIPTIO" И „СОНЯТНГСТЮ".
15
автора, под заглавием „Mirifici Logarithmorum Canonis соп-structio". Оно было издано сыном автора Робертом Непером.
„Construetio", невидимому, при жизни Непера не подверглось окончательной обработке, а в том виде, в каком оно издано, было по всей вероятности написано раньше „Descriptin'1. По крайней мере, самый технический термин логарифм (от греч. слов: kiyoz — отношение, dptOHjxo^—число) встречается только в самом заглавии Construetio, в тексте же логарифмы еще называются nnineri artifi ciales— искусственные числа.
Содержание „Description и „Construetio".
„Descriptio" подразделяется на две части, из которых первая содержит 57 страниц об’яснений, вторая же 90 страниц таблиц. В об'яснительной части дается общее определение логарифма, о чем подробнее мы будем говорить ниже, затем излагаются свойства логарифмов и их применения к различным численным операциях:. После этого следуют применения логарифмов к задачам плоской и сферической тригонометрии. Здесь, между прочим, дано впервые известное правило пятиугольника, позволяющее без трудя написать все соотношения между углами и сторонами прямоугольного сферического треугольника.
Из приложенного здесь образца страницы таблиц видно, Mio таблицы Непера собственно логарифмически тригонометрические. В то время чувствовалась наибольшая потребность в сокращении тригонометрических выкладок, отчего и понятно, что Непер прежде всего постарался дать таблицу логарифмог. тригонометрических линий.
По принятому тогда обычаю радиус круга, или полный синус (sinus totus) принимался равным 10000000 107
и в десятимиллионных долях его выражались все триго-
16
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
неметрические линии: синус, тангенс и т. д. в виде целых чисел. Точно также и логарифмы даются v Непера, как целые числа, содержащие до 8-и знаков. Таким образом поступали тогда по той причине, что десятичные дроби, правда, уже известные тогда, еще не в->шли во всеобщее употребление.
Эти об'яснения необходимы для современного читателя, чтобы правильно понимать устройство таблиц Пейера.
В таблицах Непера помещены как натуральные значения синусов (и косинусов), так и логарифмы их, а также и тангенсов, дли углов от 0° до 90° через одну минуту. Расположение таблиц, как и теперь, полу квадрантное, так что в одной и той же строке находится логарифмы синусов дополнительных до 90° углов. Разности этих логарифмов помещены в столбце с подшголовком Differentiae и являются логарифмами тангенсов соответственных углов.
Необходимо отметить, что логарифм полного синуса, который соответствует углу в 90° и равен радиусу, т. е. 10’, принят равным нулю. Логарифмы прочих синусов представляются положительными числами, растущими с уменьшением-угла.
Часто теперь натуральные логарифмы, за основание которых берется известное число е ^ 2,7182818284..., называются Неперовыми логарифмами, но это совершенно неправильно. В строгом смысле слова об основании Неверовых логарифмов нельзя говорить по той причине, что нуль не есть логарифм единицы, но полного синуса, т. е. 10’. Если, однако, все табличные синусы и их логарифмы разделить на 10’, то тогда получатся логарифмы при основании 1/е. Так что если обязательно связывать Неперовы логарифмы с некоторым основанием, то этим основанием будет не с, а величина обратная 1/е.
Точная связь между натуральными и Неперовыми логарифмами может быть представлена так. Если согласимся
СОДЕРЖАНИЕ „DESCRIPT1“ И ,,CONSTRUCTl“.
17
через LN называть Неперов логарифм числа N, знаком же log N будем обозначать натуральный логарифм того же числа, то тогда имеется соотношение
107 LN = 10’ log ” N
В определении логарифма у Пейера по причинам, облененным выше, нет и речи об основании; однако, некоторый произвол в выборе логарифмической системы все-таки существует, на что указывает и сам Непер. На принятой им системе, в которой полному синусу приписывается логарифм, равный нулю, логарифмы же прочих синусов возрастают с уменьшением углов, было целесообразно остановиться вследствие того, что в тогдашней тригонометрии очень часто нужно было умножать и делить на полный синус, а эта операция при логарифмических вычислениях особенно упрощалась, когда полному синусу приписывался логарифм о. Кроме того, было, конечно, желательно, чтобы логарифмы прочих синусов выражались положительными числами.
Для целей нашего исторического очерка больший интерес представляет второе, относящееся к логарифмам, сочинение Непера—„Canonis eonbtriictio®, о котором уже упоминалось выше. Дальше мы подробно рассмотрим наиболее существенные части этого сочинения, теперь же ограничимся весьма кратким описанием его содержания.
Сочинение это очень невелико по об’ему: оно содержит всего 57 страниц, не считая двух страниц предисловия издателя.
В нем дается прежде всего полное определение логарифмов и на основании этого определения выводятся основные их свойства. Затем следует подробное описание способа, какой был применен для вычисления логарифмов. Наконец, в прибавлении (Appendix) указывается, как более удобная во многих отношениях, новая система логарифмов, совпада-
Истории логарифмов 2
Gi ". 9 1 i
9 mi» | Smut | | Ldpjri/I'rni | Dijj'ercntie | l^artfhrni ( 1 Sinus 1.
о 1564345 1855474 1X427203 Г3Х81 9876883 co
t 1567ii8 18531816 1840X484 124x42 9876427 59
X 1570001 1X5>451• 1X3X9707 124X04 9875971 sX
з i$71904 >8496*3> 1X370964 125267 9»755«4 57
4 1575837 1X477984 18352253 1*5731 9875056 5<?
5 И78709 >845977* 18333576 12619C 9874597 e$
6 15X15^1 >8441594 183ЬрЗЗ 12666! 9X74137 54
7 >584453 18413451 18296324 127127 9873677 53
J 15873*5 1840534’ 18*77'747 127594 9873216 52
5> 1590197 18387x65 18259203 >28062 9872754 5»
1О 1$930б9 18367223 18240691 12X531 9872291 50
11 1$9594* 1835 >214 182222!3 129001 9871827 49
15988^1 >8333*37 1X203765 129472 9X71362 48
13 £ 1601684 18315294 18185351 129943 9870897 47
«604555 182^7384 18166969 >30415 9X70431 9869964 46
I607426 182795O7 18148619? 130888 45
16 16ioxi>7 lX’261663 >8130301 131362 9869496 9869027 44
?7 1613168 18243851 18112014 >31837 43
18 •616038 18226071 18093758 13*3’3 9X68557. 4* 1
IP 1618909 18208323 18075533 Ц179О 98680X7 4’ 1
20 1611779 18190606 180573:8 >33268 9867616 L;P
21 1614649 18172924 18039177 •33747 9867144 39
22 1617519 '8155273 18021047 134226 9866671 38
>3 1630389 18137654 18002948 134706 9866197 37
!'й ‘“*7633159' 181206-87 179848Й0 13$187 9X657-2 36
>5 йб 1636119 18101511 17966842 135669 9X65246 35
163X999 180S4987 1794X835 136152 9X64770| 1?
07 1641868 18067495 17930859 136636 9^64x93 33
м 1644738 18050034 17912913 137J2’ />863815 32
|29. а°- * 1647607 1650476 - 18032604 180'15207 17894997 17877114 ХЗ7607 138093 - 9X63336 | 9862856 31 — 1 30
’ 1 ’ 9r-
к. a So
Страница из таблиц Непера
18
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ
ющая в сущности с десятичной. Для полноты следует еще упомянуть, что в том же сочинении впервые даны известные формулы из сферической тригонометрии, называемые а н а-л огнями Непер а.
Определение логарифма у Непера.
Как было уже раньше сказано, понятие о логарифме могло возникнуть при сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий; по было также указано, что на одном лишь этом сопоставлении двух дискретных рядов чисел нельзя было построить полную теорию логарифмов. Попер обошел ату трудность весьма замечательным для того времени способом, связавши наглядным образом непрерывный ряд чисел и их логарифмов с расстояниями, пройденными двумя точками, движущимися по известным законам.
Представим себе две пряные 'ГН и IAS; первая простирается от точки Н влево, при чем длина
ГТ Т И - R
______________ 5 Н V N
TJI принимается равной полному синусу, т. е. НЛ, вторая же от точки V простирается неопределенно в обе стороны. По втим прямым в направлении, указанном стрелкой, движутся две точки и одновременно проходят через положения Т и F. имея в этот момент равные скорости; по в то время, как движение точки по второй прямой равномерное, по первой прямой точка движется пропорционально- заме д-ленио, т. е. это движение совершается с переменной скоростью, которая в каждый момент пропорциональна оставшемуся расстоянию до точки Л.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА У НЕПЕРА.
19
Пусть соответственные, т. е. отвечающие одному и тому же моменту времени, положения первой и второй точек будут М и N-, тогда, по Неперу, длина VN, выраженная в тех же единицах, как полный синус, есть логарифм величины MR. Полагая VN—y, MR — х и присваивая знак L для обозначения Неперовых логарифмов, будем, следовательно, иметь
у - Lx.
Движущиеся точки, по условию, одновременно проходят через положения Т и V', поэтому при х = 10’’ будет у 0, т. е. логарифм полного синуса - О. Кроме того, ясно, что с уменьшением числа егэ логарифм возрастает.
Если первая точка до момента прохождения через Т занимает положение М, так что длина х RM' больше полного синуса, то вторая точка будет находиться в N' слева от V. В этом случае представляется естественным—и Непер именно это и делает—принимать за логарифм х RMt отрицательное число, абсолютная величина которого дастся длиной отрезка VN7. Таким образом в системе Непера логарифмы чисел, больших 10’, отрицательны.
Если вдуматься в предложенное Непером определение логарифма, то легко будет помять, что движением двух точек в наглядную форму облекается дифференциальная зависимость между двумя переменными величинами: числом и его логарифмом. Чтобы получить эту зависимость в современных обозначениях, назовем через v постоянную скорость второй точки; тогда, во-первых, имеем
называя через t время. Скорость точки, движущейся по первой прямой, в тот момент, когда она отстоит на длину х от 1?, по закону пропорционально-замедленного движения будет
20
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
VX 10’’
поэтому, принимая по внимание, что с течением времени х убывает, можем написать
™ (о)
dt 10’.........................
Из (1) и (2) но исключении времени находим такое дифференциальное уравнение между ?/ и х:
dx х
dif 10’'
Ею общий интеграл есть
у е—10’log х.
Постол пиля с определяется из условия у о при х—10’; отсюда c=10’logl0’, и, следовательно, окончательно получается такая зависимость между логарифмами Непера и натуральными
1о’ у Lx 10’ log .
*<v
Эта зависимое! ь была уже указана выше.
Итак, в самом определении логарифма, которое мы встречаем у Непера, implicito содержится необыкновенно плодотворная идея устанавливать зависимость мели у переменными величинами по связывающему их дифференциальному уравнению. Эта идея получила широчайшее применение в современном анализе и потому весьма интересно было отметить, что зачатки се связаны с историей возникновения логарифмов в самом начале XVII столетия, следовато >ыю, задолго до создания Анализа бесконечно-малых.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ.
21
Основные свойства логарифмов.
Основные свойства логарифмов, вытекающие из их определения, Непер выводит, скорее руководясь интуицией, чем строго доказывая. Важнейшее из них состоит в том, что логарифмы пропорциональных чисел имеют равные разности, т. е. если четыре числа 'М, N, Р, Q составляют пропорцию
M:N= P:Q. то
LNL— LN=LP—LQ.
Оставаясь в круге идей Непера, можно доказать это свойство следующим образом.
Пусть на прямой, по которой точка двигается пропорционально замедленно, отложены отрезки
Г N Р Q FI
1Ш, FN', FtP, 1>Q, изображающие числа М, N; Р, Q и потому составляющие пропорцию
Вставим между М и У ряд точек /%, /’s,i так, чтобы
ИМ ИР, HP, _ ИР„ ,
ИР, ~ ПР, ~ НР3 ' ' • ~ UN ' ’ ’ и выведем границы для времени, потребного для прохождения расстояния от Р—i и Р,- Если попрежнему v скорость точки, когда она занимает положение Т, то в Pt_i и Р( скорости ее будут соответственно
22
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
V
RPt—i RT
RP.
RT •
Так как скорость движения все время уменьшается, то для прохождения пути /*,_i 1\ со скоростью, которая имеется в Pt_i, потребуется меньше времени, чем нужно при движении с переменней скоростью, убывающей по об’яспеиному закону; наоборот, прохождение того же пути со скоростью, соответствующей его концу Р,, потребует больше времени. Отсюда следует, что время, потребное для прохождения пути. Pi—i Р/ будет больше, чем
RT Pi-t Pt v ’ RPt—i ’ и меньше, чем
НТ Р/-у Pt v • RPi ’
По из отношений (2) извлекаем
МР, _ PiPi Р„_,Х
HP, ~ RPi • ' RN
МР, ДРв Pn-iN
RM RP, ’ ’ PPn-i’
следовательно, НТ Р. _ : Р, RT МР,
V R P. - 1 v ' НМ
НТ Р,-.Л RT MPt
V RPi v • RPi ’
Таким образом время, потребное для прохождения каждого из отрезков МРPiPa,.., Ря_ 12V будет больше, чем
и меньше, чем
RT MP,
V MR
RT MP,
V RP,
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ.
23
Далее, отсюда для времени t, потребного для прохождения всего пути MN, получаются границы
ВТ МР± п v ВМ
ВТ MPi v ВР,
(3)
Если подобным же образом между Р и Q вставить ряд промежуточных положений Si, Sa,...Sn_i под условием
ВР BSt BS., В8п_г
BSi BS-2 ~ Бйз '------- BQ ' ' W ’
то для времени f, в которое проходится отрезок PQ, чатся границы
полу-
Но из
ВТ PS, п 1>Т> < < v ВР ВТ
п — V
пропорций (2) и (4) выходит
ТВМ\п ВМ
\bpJ BN ’
(ВР\п
\RsJ ~~ RQ'
PSi
BSt
<5)
откуда заключаем, на основании равенства (1), что
ВМ _ ВР
ВР, “ RS, и далее MPt PS, MP, _ PS,
ВМ BP ’ BP, RS, ’
следовательно, вместо
неравенств (5), можно написать такие
ВТ MPt ВТМР,
п - < t <и — ,(Г, .
и ВМ v BPi
Отсюда в соединении I' отношения-- границы
V
с неравенствами (3) получаем для
24
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
HP. t' нм
НМ< t < НРС
Все это справедливо, каково бы ни было н. При беснре-НМ HP. , дельном же возрастании п отношения . . и беспре-
111 1 hjjl
дельно приближаются к единице, поэтому имеем совершенно строго
t' t ,
т. с. отрезки MN и PQ проходятся в равные временя, а эти времена пропорциональны разностям логарифмов чисел М и 2V, с одной стороны, и чисел Р и с другой; поэтому, наконец,
LM—LN LP—LQ. Q. К . /Л
Из доказанного важнейшего свойства логарифмов пропорциональных чисел непосредственно вытекает следующее его обобщение: если числаМ, N, P,...U, V, И7 непрерывно пропорциональные, т. с.
М Я // V
Я /’ • ' ' К И7’
то логарифмы их обрадуют арифметическую прогрессию, так что
LM — LN LN-LP . . . LU-LV LV LW.
Таким образом, из определения Непера обратным путем получается сопоставление геометрической прогрессии чисел, и притом всякой, с арифметической прогрессией их логарифмов.
Из того же источника выводятся правила логарифмирования. Чтобы вывести правило логарифмирования произведения с аЬу пишем пропорцию
ГРАНИЦЫ ДЛЯ ЛОГАРИФМА.
25
с___Ъ
а 1 ’ из которой получаем
Lc - La --Lb — L ', откуда
Lab La-\-Lb - LI,
и далее в случае п множителей
Labr . . . Z La —\—LbLc-|—
+LI— (п— 1)L1.
Правила логарифмирования степени и корня в системе Непера представляются в виде
Lnn nLu—(и — 1)Ы
L fz а = 1 La + ----------Ы.
и п
Наконец, правило логарифмирования частного дается равенством
L “ La—Ll>+L\. ft
Отсюда видно, что в системе Непера правила логарифмирования сложнее, чем для употребительных теперь логарифмов, и именно потому, что у Непера логарифм 1 отличен ст мулл.
Границы для логарифма.
Как мы видели, логарифм у Непера определяется в сущности некоторым дифференциальным уравнением, и способ, употребленный Непером для вычисления логарифмов, в конце концов, есть приближенный прием интегрирования этого уравнения, развитый весьма остроумно.
26
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Одним из существенных вспомогательных средств для этого являются две границы, в которых заключается разность логарифмов двух чисел. Вти границы получаются из следующих соображений. Пусть точка, двигающаяся пропорционально замедленно, за некоторый промежуток времени __________. прошла расстояние 77И 10’—х
Т м R в то время, как двигающаяся рав-
номерно по другой прямой точка
—-----------~— прошла расстояние VN Lx.
V Г' Р N ,,, ,
1ак как обе точки проходят через Т и V одновременно и здесь имеют равные скорости и так как движение первой замедляется, то очевидно
TM<VN, т. о.
10’ — «< Lx..................(1).
Напротив, если заставить вторую точку выйти из V со скоростью, которую имеет первая точка в М, и предположить дальнейшее движение ее равномерным, то опа пройдет путь УР, меньший пути Т7)/, на котором наименьшая скорость достигается в его конце М.
Таким образом,
VP< тм.
По отношение VP и VN равно отношению скоростей первой точки в М и 7’, т. е. по закону движения атой точки
равно
ОС
। q, » следовательно,
VP =
х
10’
. Lx,
откуда в связи с предыдущим
неравенством получается
Lx<z % (Ю’ — .............(2).
ГРАНИЦЫ ДЛЯ ЛОГАРИФМА.
27
Положим теперь, что даются два числа Nt и Ns, при чем Nt < Ns. Определив х из пропорции
х
Ns~ 10’ ’
имеем, во-первых,
LNt — LNs = Lx
и, во-втчрых, прибегнув к, неравенствам (1) и (2) получаем
1.x > 10’
N-z—Nt Ns
Lx < 107
N
Следовательно,
HP
Ns - Nt Ns
< LN, — LNs < 10’’
N. — Nt Nt
Взяв на атом основании за приближенное значение разности LNt — I.Ns полусумму найденных границ, мы допустим ошибку неизвестного знака, но меньшую по абсолютной величине, чем
I l0, (Ns-NY
2 Nt Ns
Относительная погрешность во всяком случае будет меньше величины
(Ns - N,r
2 ’
которая мала, если N« и NL близкие между собою числа.
Этот прием приближенного вычисления разности логарифмов близких чисел заменяет Неперу интерполирование и доставляет результат с погрешностью, которую возможно оценить.
28
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ
Способ вычисления логарифмов, примененный Непером.
После предыдущих подготовительных соображений мы имеем уже возможность перейти к описанию остроумного способа, примененного Лепором для вычисления логарифмов.
Непер начинает с составления убывающей геометрической прогрессии чисел, которая начинается числом ЮоиОООо = 10“ и в которой затем каждый член получается из предыдущего
9999999 1
умножением на *' =1 — , „ Выбор такого зна-
J 1ООООООО 101 1
мепателя прогрессии обусловлен двумя причинами. Нужно прежде всего, чтобы прогрессия медленно убывала; затем нужно, ч тобы последовательные члены прогрессии вычислялись просто. Ото требование соблюдено, так как каждый член прогрессии получается из предыдущего отнятием одной десятимтилионпой его части; следовательно при употреблении десятичных дробей» которые, кстати .сказать, Непер одним из первых стал писать в той жо форме, как ото додается теперь, все дело сводится к переносу занятой и вычитаниям.
Первая прогрессия доводится до 101 члена по причинам, которые выяснятся пижо. Полученные таким путем 101 число составляют тушую вспомоштелъную таблицу. Начальные и конечные числа этой таблицы приводятся здесь н извлечении.
Первая агпомтателышя таблица значений
для г = Помора членов.
1
2
О, I, 2, . . . 100.
Члены
1ООООООО . ООООооо
1 . ООООООО
9999999.ООООООО
9999999
СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ, ПРИМЕВЕНЯЫЙ НЕПЕРОМ. 29
членов.
3
4
5
101
Па. этом месте член
Члены.
9999998.0000001
9999998
9999997.0000003
9999997
9999996.0000006 и т. д. до
9999900.0004950.
Непер останавливается, получив 101-ый
9999900.0004950,
близкий к числу 9999900, отношение которого к 10000000 99999 1
0С1Ь 100000 — — 10® ’
После составления первой вспомогательной таблицы нужно дать приближенные величины логарифмов входящих в нее чисел. Первый член имеет логарифмом 0, и так как числа таблицы составляют геометрическую прогрессию, то достаточно знать логарифм второго члена, чтобы найти логарифмы всех остальных.
С этой целью в неравенстве, которое было установлено выше,
„ N-i— Ni , , ,r ,Ni — Nt ...
10" ’ с LNt — ДУ2< 107 . . . (А)
IV 2 IV I
нужно взять М = 9999999, Nt = 10000000, тогда окажется, что L 9999999 заключается в границах:
1 cL 9999999 < 1.00000010000001.
Отсюда, умножая эти границы последовательно на 2, 3, 4, . . . , получим границы логарифмов 3-го, 4-го, 5-го и т. д. членов. Таким образом находится, что логарифм 101-го члена заключается в пределах:
100 < L 9999900.0004950 < 100.000010000001.
30 ОЧЕРЕ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
За приближенное значение этого логарифма Непер принимает полусумму найденных пределов и полагает
L9999900.0004950 — 100.С000050.
Допущенная при этом погрешность может быть оценена, как было указано выше. Но, прибегая к помощи рядов, можно без труда найти, что
L9999900.0004950 ЮО.0000050000003333,
что весьма мало отличается от принятого Непером значения.
Зная логарифм числа 9999900.0004950 с достаточною точностью, можно далее найти логарифм близкого числа 9999900. Для втого следует опять обратиться к неравенству (А), положив в нем на этот раз
Nt -.9999900, Nt 9999900.0004950.
В результате получается такое значение разности логарифмов втих чисел:
L 9999900 — L 9999900.0004950 — 0.00049500495, точное до двенадцатого знака. Отсюда Непер получает
L9999900 100.00050000495.
Логарифм того же числа, вычисленный с помощью рядов, будет
L 9999900 - 100.000500003383858,
так что разница с предыдущим сказывается только в девятом знаке. Можно было бы подумать, на основании сказанного выше, что разница обнаружится только в двенадцатом знаке. Но следует иметь в виду, что последнее число первой вспомогательной таблицы будет
9999900.000494998383
СНОСОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ, ПРИМЕНЕННЫЙ НЕПЕРОМ. 31
и, следовательно, вследствие накопления погрешностей при вычитаниях немного уклоняется от найденного Непером значения.
После определения логарифма числа 9999900 Непер приступает it составлению второй, уже более быстрой, прогрессии, которая начинается с 107 ЮОООООО и имеет знаменателем 99999 1
100000 1 — 10с‘^та пР°гРессИЯ Доводится до 51-го члена.
Результаты вычисления мы передаем точно в том виде, в каком они даны Непером. Дело в том, что в вычитаниях при построении второй, вспомогательной таблицы Непер еде юл ошибку и данные им значения поэтому уклоняются от истинных.
Вторая вспомогательная таблица значений
ю’ (1 — * У
Номера членов.
1
2
3
Члены.
ЮОООООО . 000000 100.000000
9999900.000000
99.999000 ^9999800.001000
И т. д. до
51 9995001.222927.
Мы уже упомянули об ошибке, допущенной при составлении этой таблицы; после исправления этой ошибки вместо последнего числа 9995001.222927 должно было-бы получиться 9995001.224804. Так как все последующие вычисления
32
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Непера основаны иа ошибочном значении последнего члена второй вспомогательной таблицы, то неудивительно, что последний знак в логарифмах Непера, как было уже давно замечено, не верен. В дальнейшем мы будем точно передавать числа Непера, не взирая на искажающие их ошибки.
Во второй вспомогательной таблице логарифм первого члена есть 0, логарифм второго члена уже известен с достаточного точностью на основании предварительного вычисления. Умножая ого па 50, находим логарифм последнего члена; Непер находит
L 9995001.222927 = 5000.02300.
На самом дело этот логарифм должен относиться к числу 9995001.224804. Вычисление с помощью рядов дает для логарифма итого числа значение 5000.02500017, мало отличающееся от предыдущего.
Последнее число второй таблицы мало отличается от числа 9995000, которого отношение к 10000000 равно 1999 1
1 — . Применяя свои границы дли разности
2000 2000 1 1
логарифмов близких чисел, Попер волучпот
L9995000 5001.2485357,
но вто число, вследствие у помп нутов выше ошибки, уасе значительно отличается от настоящего значения
L9995000 5001.2504168.
После этого составляется третья испомогательшя таблица, члены которой, начиная от 10000000, составляют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1— адоо’^™ прогрессия продолжена до 21-го члена.
СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ, ПРИМЕНЕННЫЙ НЕПЕРОМ. 33
Третья вспомогательная таблица значений
107
для г 0,1, 2, . . . 20.
Номера членов.
1
2
3
4
21
Члены.
10000000.000000
5000.000000
999о0007000060
4997.500000
9990002.500000
4995.001250
9985007.498750
и т. д. до
9900473.578080.
Логарифм последнего числа получается умножением найденного раньше логарифма числа 99950410 на 20; таким образом находится
L 9900473.578080 100024.970774.
Логарифм близкого числа 9900000 получается прежним сП' собой; Непер дает для него значение
L 9900000—100503.3210291.
В результате этих вычислений Непер находит, что разность логарифмов чисел, находящихся в отношении 1999 к 2000 равна 5001.248; для чисел же, находящихся в отношении 99 к 100, эта разность есть 100503.321.
Эти капитальные результаты служат основанием для построения более обширной таблицы, которую Непер называет радикальной таблицей (Tabula radicalis).
Исторжя логарифмов.
3
34
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Радикальная таблица состоит из 69 столбцов, содержащих каждый по 21 числу вместе с логарифмами этих чисел.
Первый столбец начинается числом ЮОООООО, начальные числа остальных столбцов составляют геометрическую про-99
грессию со знаменателем - - - . В каждом столбце числа соста-
вляют убывающую геометрическую прогрессию со знамена-1999 1
телем о. ~л = 1 — - • Таким образом, в каждом столбце
начальное число получается из начального числа предыдущего столбца отнятием одной сотой его части, а каждое число какого-нибудь определенного столбца получается из предыдущего отнятием одной двухтысячной его части; составление чисел радикальной таблицы производится поэтому путем одних только вычитаний.
Так как предварительными вычислениями уже определены разности логарифмов чисел, находящихся в отношениях 1999:2000 или 99: 100, то логарифйы чисел, составляющих радикальную таблицу, находятся с помощью одних сложений.
Расположение радикальной таблицы приблизительно такое:
Радикальная таблица.
Столбец 1-ый. Столбец 2-ой. Столбец 69-ый.
Числа. Логарифмы. Числа. Логарифмы. Числа. Логарифмы.
1001000.0000 0 9900000.9000 1005.03.3 Б048858.8900 G.834225.8
9995000.0000 5001.2 9895050.0000 103504.6 5046334.4605 6839227.1
9990002.5000 10002.5 9890102.4750 1105.05.8 5043811 .2932 6844228.3
9986007.4987 15003 . 7 9885157.4237 115507.1 ‘ 5011283.3879 6849229.6
и т. д и г. д. И 7. Д-
9900'173 . В780 100025 . 7 98014 С8.8423 200528 .2 49986'09 .4034 6934250.8
Радикальная таблица доводится до числа 4998609.4034, близкого к половине полного синуса, т. е. к 5000000. Пользуясь
СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ, ПРИМЕНЕННЫЙ НЕПЕРОМ. 35 свопм способом оценивать разность логарифмов близких чисел, Непер находит
L 5000000 - 6931469.22.
Эта величина вместе с тем есть разность логарифмов чисел, находящихся в отношении 1:2; утраивая ее, получаем разность логарифмов чисел, находнщихся в отношении 1:8. Логарифм числа 8000000 находится с помощью радикальной таблицы и оказывается равным 2231434.68. Числа 1000000 и 8000000 находя гея в отношении 1:8, и разность их логарифмов поэтому известна; отсюда находится для логарифма 1000000 значение
L 1000000=23025842.34.
Вместе с тем эта число есть разность логарифмов чисел, находящихся в отношении 1:10. После этого Непер вычисляет вспомогательную таблицу, дающую разность логарифмов чисел в отношениях, составленных из отношений 1:2 и 1:10. Вот эта таблица:
Отношение Разность Отношение Разность
чисел. л 01 арнфмав. ч псел. логарифмов.
1:2 6931469.22 1:8000 89871934.68
1:4 1386293 .44 1:10000 92103369.36
1:8 20794407.66 1 :20000 99034.-38 58
1:10 23025842.3-1 1:40000 105966307.80
1:20 29957311.56 1:80000 112 97777-02
1: 40 ?68887s0.78 1:100000 115129211.7(1
1:80 43420250.00 1:200000 122060680.92
1:100 46051684.68 1 :400000 128992.50.14
1 :200 52983153.90 1 :800000 135923619 36
1:400 59914623.12 1:1000000 138155054.01
1:800 66846092.34 1:2000000 145086523.26
1:1000 69077527.02 1:4000000 152017992.48
1:2000 76008996.24 1:8000000 158949461.70
1:4000 82940465.46 1:10000000 161180896.38
Последнее число этой таблицы есть вместе с тем логарифм единицы.
36
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
После составления радикальной таблицы вычисление окончательной таблицы логарифмов синусов углов первого квадранта через одну минуту хотя и является делом весьма утомительным, но уже не требует каких-либо новых соображений.
Если угол, для которого ищется логарифм синуса, больше 30°, то прежде всего по таблице натуральных тригонометрических линий находится соответствующий синус и в радикальной таблице ближайшее к нему число вместе с своим логарифмом. По этим данным, пользуясь уже об’ясненным приемом, наконец можно найти искомый логарифм синуса заданного угла.
Если синус настолько мал, что выходит за пределы радикальной таблицы, то его нужно увеличить в 2, 4, . . .
. . . 200,400 и т. д. раз, пока не получится число, логарифм которого может быть найден при помощи радикальной таблицы; переход же к логарифму данного синуса совершается путем прибавления одного из чисел приведенной выше вспомогательной таблицы.
Впрочем, Непер дает и другой прием для определения логарифма синуса угла < 45° по известным логарифмам синусов углов > 45°. Этот прием основан на употреблении формулы
L sin х = L 5000000 -f- L sin 2x — L sin (90°— x),
получаемой логарифмированием известного соотношения между sin 2ж, sin х и cos х, которое на старинный манер должно быть написано в виде:
sin 2х cos х sin х 5000000 *
Мы изложили существенные черты примененного Непером способа вычисления логарифмов со всеми подробностями, чтобы яснее было видно, что этот способ основан на точных теоретических соображениях и при состоянии науки того времени был выбран вполне целесообразно для достижения намеченной цели.
ТОЧНОСТЬ ТАБЛИЦ НЕПЕРА.
37
Точность таблиц Непера.
Давно уже было замечено, что последний знак в логарифмах Непера не верен. Однако, причиной этого является не неточность способа вычисления, который применялся Непером, но, как впервые обнаружил Био (Biot), вычислительная ошиб
ка, допущенная при составлении второй вспомогательной таблицы. Вследствие этой ошибки логарифмы Непера меньше, чем следует, и должны быть увеличены приблизительно на
3
8
10 6 их величины. Так, например, Непер, для числа
5000000, дает логарифм:
L 5000000 = 6931469.22,
между тем Био, по способу Непера, после исправления указанной выше ошибки, получает
L 5000000=6931471.8089;
если сличить это число с найденным по другому способу
L 5000000=6931471.805599,
в котором все десятичные знаки верные, то окажется, что разница начинается только в третьем знаке после запятой.
Некоторое несогласие в логарифмах синусов углов, меньших 45°, вычисленных но двум указанным выше способам, не ускользнуло и от самого Непера; но, не заметив ошибки своих вычислений, он приписывал это несогласие неточности таблицы натуральных синусов, которой пользовался, и считал поэтому полезным перевычисление такой таблицы для радиуса 10®.
38
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Как отнеслись к логарифмам современники Непера.
Изобретение логарифмов было сделано во-время и отвечало назревшей потребности. Не нужно поэтому удивляться,, что знакомство с логарифмами распространилось в Англии и в континентальной Европе быстрее, чем можно было ожидать по обстоятельствам того времени.
В Англии Эдуард Раит (Edward Wright), труды которого занимают почетное место в истории навигации, усматривая пользу логарифмов в применении к задачам навигации, перевел Dcscriptio на английский язык и собирался издать свой перевод с одобрения Непера, но умер в 1615 году. Этот перевод был издан его сыном Самуилом Райтом в 1618 году.
Другой выдающийся английский математик того времени Генри Бригг (Henry Briggs, 1556—1630), заинтересовавшись открытием Непера, дважды посетил его лично в 1615 и 1616 годах и после живого обмена мнений задался целью составить более обширные и более отвечающие десятичной системе счисления таблицы логарифмов. Об этих капитальных трудах Бригга мы будем иметь случай подробнее говорить ниже.
Из континентальных математиков более, чем кто-либо другой, был способен оценить пользу логарифмов знаменитый Кеплер. В изданных им Эфемеридах 1620 года Кеплер в качестве посвящения поместил письмо к Неперу, датированное 28 нюля 1619 года, в котором горячо приветствует автора этого благодетельного для Астрономии изобретения. Кеплер далее пишет, что проверил таблицы Непера и не нашел в них существенных ошибок. Это письмо написано два года спустя после смерти Непера, о которой Кеплер, очевидно, не знал
В 1624 году сам Кеплер издал таблицу логарифмов, подобную таблице Непера, но несколько иного устройства, под
ВЮРГИ И ЕГО PKOGRESS-TABULEN.
39
заглавием: Joh. Kepleri. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos Marpurgi 1624.
Нелишне также упомянуть, что в знаменитых Рудольфин-ских таблицах 1627 года—первых таблицах планетных движений, построенных на основании законов, им же открытых, Кеплер широко пользуется логарифмическими вычислениями.
Из других таблиц логарифмов, подобных первым таблицам Непера, заслуживают упоминания таблицы Вениамина Урсина (Benjaminus Ursinus): Magnus Canon triangulorum Logarith-micus, CoJoniae 1624. Эти таблицы также дают Неперовы логарифмы синусов с той лишь разницей, что углы идут через 1о" и логарифмы даны с 8-ю знаками.
Около того же времени были выпущены Бршгом первые таблицы десятичных логарифмов, которые своим удобством превзошли все прочие и скоро вытеснили их из употребления.
Бюрги и его Progress-Tabulen.
Обыкновенно и совершенно справедливо заслугу введения логарифмов приписывают Неперу и Бюрги. О работах Непера мы уже говорили с достаточными подробностями, и теперь справедливость требует рассмотреть, что в этой области было сделано его соперником Бнфги.
Совершенно несомненно, что Бюрги работал вполне независимо от Непера, но находясь под влиянием замечаний Стифеля о пользе, которую можно извлечь для облегчения численных вычислений из сопоставления арифметической и геометрической прогрессий.
Таблицы Бюрги, подробности о которых читатель найдет ниже, были изданы только в 1620 году, следовательно уже после смерти Непера, под заглавием: „Arithmetische und Geometrische Progress-Tabulen, sambt grtindlichem Unterricht, wie solche niitzlich in allerley Rechnun-
40
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
gen zu gebrauchen, und verstanden werden soll“. In der Alten Stadt Prag im Jahr 1620.
Это издавие принадлежит к числу редчайших и вместе с обещанным в заглавии наставлением, которое имеется впрочем только в рукописном виде, находится в городской библиотеке города Данцига. Автор настоящего очерка в подлиннике этого сочинения не видал и может сообщить о нем сведения только по имеющимся описаниям. Все данные говорят за то, что Progress-Tabulen были составлены в самом начале XVII столетия. Сам Бюрги по этому поводу говорит: „Und ob wol icli mit dieszen Tabulen vor cttlichen Jabren bin umbgang so hat doch mein Beruff von der Edition derselbcn enthalten". С этим вполне согласуется утверждение родственника Бюрги Вениамина Брамера, жившего в его доме с 1603 по 1611 год, согласно которому упомянутые таблицы были составлены в этот период времени.
О том же свидетельствует Кеплер в одном месте Рудоль-финских таблиц, где сказано: ,,qui etiam apices logistici Justo Byrgio multis annis ante editionem Neperianam viam praei-verunt ad hos ipsissimos Logarithmos. Etsi homo cunctator et secretorum suorum custos foetum in partu destituit, non ad usus publicos cducavit11.
По всем этим данным справе гливо считать Бюрги вторым изобретателем логарифмов. Но для беспристрастной оценки его работы нужно еще посмотреть, как и в какой связи Бюрги ввел понятие о логарифме. Лучше всего это усматривается из его собственных слов. Указав на трудности, связанные с выполнением умножений, делений, извлечением корней, Бюрги продолжает: „Deroweg<?n ich zu alter Zeit gesucht und gearbeitet habc, general Tabulen zu erfinden, mit welchen mann die vorgenannten Sachen alle verrichten mochte. Betrachtent derowegen die Eigenschafft und Corres-pondenz der 2 progressen alsz der Arithmetischen mit Geo-metrischen, das was in der ist Multiplicieren, ist in iener
g ce&ascaMitMieioaesw^
| AritmctifcgcfnbGeometrifcgcProgrcfs | g Tflbulen/fc.tnbt gnitiMicbcm vtitciricbr/iriffolcbefiurjicb j inellerfcy Kedpntmacnjugcbr^uc^cn/vnO vcrfwnVxn tree ten (oU !
JiERS,
cP
г1Лооо!
i<=°
LooS°'ft Vooot*
-Й
tonztf^L* 230270022. \Sooo*oo£
100000000I0 lit >108! if
9’7’ОИ,Д ж.
194вб66вео\ ®wBane#®f<im>4ri3e Salj{ jle>
olo8l\ ГООООООООО.
23027002 2.
ЬА
.b'' 6'
Юоо
tooo
1101
)o°0rj
S<
J (Bebrucft/ 3n ber SUten grabt prag/ bep panI §,^.^^^c,lI<.-^l.tt.^t,fid)(ntTn;verntet R?iKbbni<t«n/5m5a|)i: /1« 20.
Заглавный лист из Progress-Tabulen Бюрги
БЮРГИ И ЕГО PROGRESS-TABULEN.
41
nur Addirn, und was in der ist Divideren in iener Substra-hiern und was in der ist radicem quadratam extrahirn in iener nur ist halbieren, radiceni cubicam extrahirn nur in 3 dividim und so also fort in andern quantiteten, so babe ich nichts niitzlicheres erachtet, alsz diese Tabulen also zu construiern dasz allo Zahlen so vorfallen in derselben mogen gefunden werden“.
Довольно сопоставить эту выдержку с приведенными выше соображениями Стифеля (стр. 10), чтобы понять, что вся заслуга Бюрги сводится лишь к материальному осуществлению идей Стифеля; конечно, это было делом нелегким, но все же не было новым идейным приобретением. Если Бюрги для практики вычислений дал то-же, что Непер, то для теории логарифмов, для б злее глубокого познания их сущности, сделал гораздо меньше, чем Непер.
Именно, чтобы отметить эту разницу в заслугах обоих, мы с такою подробностью остановились на Неперовом понятии о логарифме, кат; величине, сопутствующей всякое число, и показали, каким образом на этом понятии и на извлекаемых из него следствиях Непер построил свой способ вычисления таблицы логарифмов.
При составлении своей таблицы Бюрги сопоставляет две прогрессии: арифметическую
О , 10 , 20, 30 ,. . . 10 п,. . .,
числа которой он называет красными числами (rothe Zahlen) и которые действительно напечатаны красной краской, и геометрическую
108, 108
10! 0+й”
42
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
числа которой он называет черными числами (schwarze Zahlen). Все дело сводится к вычислению ряда черных чисел. Это вычисление, хотя и утомительное, приводится только к сложениям, так как каждое черное число получается из предыдущего прибавлением одной его десятитысячной. В самой таблице аргументами являются красные числа, табличными же значениями черные, так что таблица Бюрги есть первая таблица антилогарифмов, за основание которой, если разделить все черные числа на 108, молено принять 10,------
у 1.0001. Для выяснения устройства таблицы Бюрги мы приводим здесь снимок одной ее страницы.
Следует заметить, что таблица Бюрги составлена очень тщательно, и последние знаки в ней верные. Для примера возьмем сопоставленные у Бюрги полное черное число 1000000000 и полное красное 23О270.022. Так как десятичный логарифм 1.0001 есть 0.00004342727686, то по умножении его на 230270.022 получается 0.9999999997, что после умножения на 108 даст 99999999.97 вместо 100000000; и Бюрги сам замечает, что полнее красное число немного больше 230270.022.
Переход к десятичной системе логарифмов.
Уже сам Непер усматривал некоторый произвол в выборе системы логарифмов. Система логарифмов, им вычисленная и опубликованная, была выбрана в соответствии с потребностями тригонометрии того времени. Характерными особенностями ее являются две: 1°. логарифм полного синуса, т. е. 107, принят равным 0 ; 2°. с возрастанием синусов их логарифмы убывают.
Вторая особенность связана с естественным желанием иметь логарифмы синусов, выраженные положительными числами. Что же касается первой, то необходимо помнить, что в XVII сто-
Страница из таблиц Бюрги
ПЕРЕХОД К ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ЛОГАРИФМОВ.
43
летии тригонометрические величины рассматривались не как отношения, но как длины, выраженные в тех же единицах, как радиус круга, т. е. полный синус. По этой причине в тригонометрические формулы всегда входил радиус, и в вычислениях очень часто приводилось умножать и делить на этот радиус. Для того, чтобы при логарифмических вычислениях облегчить эту операцию, проще всего было принять логарифм Ю’ равным 0. Но с этим оказались связанными другие затруднения. Прежде всего усложнились правила логарифмирования, которые имеют простейший вид только в том случае, когда логарифм единицы принят равным нулю. Затем, так как разность логарифмов чисел, находящихся в отношении 1:10, в системе Непера выражается неудобным числом 23025842, то умножению или делению числа на 10 или на степень 10-и, что приводится просто к перенесению запятой, соответствует прибавление или вычитание кратного предыдущего числа, а это является новым усложнением в логарифмических вычислениях.
Указанные недостатки первоначальной системы Непера уничтожаются, и логарифмические вычисления приобретают всю возможную простоту и гибкость при переходе к десятичной системе логарифмов.
Обыкнт венно эти десятичные логарифмы называются Бригсовыми, и честь введения их приписывается Бриггу, но это не совсем точно. Сам Бригг в предисловии к Arithmetica Logarithmica рассказывает, что на своих лекциях в Gresham College он предлагал систему логарифмов, в которой логарифм полного синуса, принимаемого равным 1010, полагался нулем, логарифму же одной десятой полного синуса, т. е. числу 109, приписывалось значение 1010. Эту систему он сообщил Неперу при первом с ним свидании в 1615 году, на что Непер заметил, что он и сам давно считал желательным такое изменение и полагал, что его лучше всего можно достигнуть, приняв О за логарифм 1, а 1010 за логарифм полного синуса; и я не за
44
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
медлил признать, прибавляет Бригг, что это было гораздо удобнее (longe commodissimum).
Намек на более удобную систему логарифмов можно видеть уже в приведенном выше Admonitio (стр. 14). Но с полной ясностью и именно точно о десятичной системе логарифмов говорится в прибавлении (Appendix) к Construetio. В этом прибавлении прямо указывается, как наиудобнейшая, система логарифмов, в которой О есть логарифм 1, и 1010 логарифм 10-и. Упоминаются даже два способа вычисления этих новых логарифмов, которыми и в самом деле воспользовался Бригг. В Rabdologia о том же Непер выражается следующим образом: «Quorum quidem Logarithmorum speciem aliam multo praestan-tiorem nunc etiam invenimus,et creandi methodum una cumeorum nsu (si Deus longiorem vitae et valetudinis usuram concesserit) evulgare statuimns; ipsam autem novi canonis supputationem, ob infirmam corporis nostri valetudinem, viris in hoc studii gencre versatis relinquimus: imprimis veto doctissimo viro D. Henrici Briggii Londini publici Geometriae Professori et amico raihi longe charissimo», т. e. «Теперь мы нашли гораздо более прекрасную разновидность этих самых логарифмов и решили опубликовать, как способ вычисления, так и способ их употребления (если Богу угодно будет продлить жизнь и здоровье). Однако, самое вычисление новых таблиц, по причине слабости здоровья нашего тела, мы предоставляем людям, опытным в этого рода занятиях, и прежде всего ученейшему мужу д-ру Генри Бриггу, профессору геометрии в Лондоне и моему дражайшему другу».
По всему этому видно, что и десятичные логарифмы были изобретением Непера, но составление первых таблиц по новой системе всецело принадлежит Бриггу.
Уже в 1617 году Бригг издал таблицу десятичных логарифмов под заглавием: ChUias Logarithmorum. Эта таблица содержит логарифмы первых тысячи чисел с 14-ю знаками. Семь лет спустя Бригг выпустил свой капитальный труд: Arithmetica
V' WTHMETicA v
XOGARITHMICA /
sive >. ' •’;/?
LOG ARITHMO R VM^
GHILIADES' TRIG! NT A, P К / пшпсгв natUrali trie crefccytibus ab vnicare ad"-$.0/500: ct a 90,000 ad iqo,000. Quorum .mUlca
pcifidunrur АсйЬпхсяяргоЫслйК.
e _ ecGccat«nci.
BOS NV ME R OS P R I M V- s jNV.ENiT CIARISSIMVS VIR hiKAsju l>ls p erv s BaroM«*cbjftc>ftij : cos autem ex cjuUcjn kntotit'a
Himios
jq «кЬеинм Aodcmu Oxon спЯ Geoiretru.’ pcdctTox Sav'M *nvj. _*
r J)EVS KAMI® VSVRAM VXT/E D.EDli*J
' p-T INqfiHlh TARqyAM PECVNJ^t'
J4VUA PK^STFTVTA-DJE.
Заглавный лист из Arithmetica Logarithmica Бригга
ПЕРЕХОД К ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ЛОГАРИФМОВ. 45
Logarifhmica. Londini. 1624. Это большой том in folio, содержащий 88 страниц введения и 255 страниц таблиц. Введение знакомит читателя с основными свойствами десятичных лога
рифмов, способом их вычисления и различными применениями к задачам арифметики и геометрии. Таблицы дают десятичные логарифмы с 14 знаками (написанные по тогдашнему обычаю в виде целых чисел) для чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000, а в некоторых экземплярах до 101000.
Вробел, который таким образом еще оставался, был вскоре заполнен Бланком (Adrian Vlacq). Влакк выпустил в 1628 году под тем же заглавием: Arithmetica Logarithmica (Goudae 1628), как второе издание книги Бригга, большой фолиант, содержащий около 450 страниц. Здесь даны логарифмы всех чисел от 1 до 100000, но уже только с 10 знаками; в виде прибавления приложена еще таблица десятизначных логарифмов тригонометрических линий е промежутком для аргумента в Г.
Более обширные таблицы логарифмов тригонометрических линий были подготовлены Бриггом, но он умер, не успев их издать. После его смерти, обработанные Геллибрандом (Gelli-brand), они были изданы в 1633 году Бланком под заглавием: Trigonometria Britannica. В этих обширнейших таблицах принято деление квадранта, как обычно, на 90 частей или градусов, но каждый градус подразделяется на 100 минут, минута—на 100 секунд. Схожее подразделение гораздо позже было некоторое время в употреблении во Франции после революции.
В Trigonometria Britannica логарифмы синусов даны е 14, логарифмы тангенсов с 10 знаками, и разность табличных
аргументов принята в
1СЮ ГРадуСЙ-
В виду необычности принятого в Trigonometria Britannica подразделения углов Влакк в том же 1633 году выпустил свою Trigonometria Artificialis, где при обычном разделении угла даны через каждые 10" логарифмы тригонометрических линий с 10 знаками.
46
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
После появления Arithmetica Logarithmica Бригга и Бланка, Trigonometria Britannica Бригга и Trigonometria Artificialis Бланка громадный труд вычисления первых обширных таблиц десятичных логарифмов был закончен. В дальнейшем оставалось лишь исправлять неизбежные при таких вычислениях ошибки, уменьшать об'ем таблиц и придавать им более удобную форму. Но при этом всегда основой служили упомянутые выше капитальные сочинения. Эти сочинения навсегда останутся памятниками необыкновенного трудолюбия двух людей,которые, располагая столь незначительными средствами, не отступили перед задачей огромной трудности. Даже теперь, когда мы располагаем столь разнообразными и могущественными способами для вычисления логарифмов, немногие согласились бы взяться за труд составления таких обширных таблиц, каковы таблицы Бригга и Бланка.
Как Бригг вычислял логарифмы.
Чтобы судить какого, огромного труда потребовало вычисление четырнадцатизначных Бригговых логарифмов, мы рассмотрим теперь подробно примененный Бриггом прием вычисления.
Уже упоминалось, что для этой цели Бригг воспользовался двумя способами, которые были предложены Непером. Основание первого способа с современной точки зрения об'яснить очень нетрудно.
Положим, что требуется найти с 14 знаками логарифм числа а, которое можно предполагать заключенным между 1 и 10. Возведя а в степень с показателем 1014, найдем, что целая часть логарифма числа av>11 или характеристика как-раз даст 14 первых знаков после запятой для искомого логарифма. Но известно, что характеристика на одну единицу меньше числа цыфр, заключающихся в числе. Поэтому остается только
Страница из Arithmetica Logarithmica Бригга
КАЕ БРИГГ ВЫЧИСЛЯЛ ЛОГАРИФМЫ.
47
узнать, сколько цыфр заключается в степени а1014. Найти все эти цифры, конечно, невыполнимая задача, но определить их число, при соблюдении некоторых предосторожностей, возможно. Для этого нужно пользоваться тем, что число цыфр произведения или равно сумме чисел цыфр множителей или на одну единицу меньше, при чем для суждения о том, какой из этих двух случаев имеет место, достаточно знать только несколько первых цыфр множителей.
Вычисление логарифмов по этому способу, конечно, требует затраты огромного труда.
Бригг в применении к числу 2 находит, что в числе 210'4 заключается 30102999566399 цифр и сообразно этому получает
Zop2=-O. 30102999566398.
Этим первым способом Бригг пользуется, невидимому, только в отдельных случаях, предпочитая вообще второй способ, который кажется ему более легким.
Чтобы об’яснить основания этого второго способа, мы должны, оставаясь в круге идей Непера, дать определение логарифмов в таких системах, в которых 0 есть логарифм 1.
Представим себе две прямые ______________________
АВ и РВ, из которых первая про- АС МВ стирается неопределенно вправо от А, вторая же простирается не- —_____________________
определенно в обе стороны от точки Р X R
Р. На первойпрямой расстояния отсчитываются от точки А, при чем точка С отстоит от А на единицу длины; на второй прямой расстояния (положительные или отрицательные) отсчитываются от Р (вправо или влево). Пусть по первой прямой перемещается точка со скоростью, растущей пропорционально расстоянию от А\ в то же время по второй прямой перемещается точка с неизменной скоростью. Предполагается еще, что обе точки одновременно проходят
48
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
через положения С и Р. Если в некоторый момент времени первая точка занимает положение М, а вторая находится в X, то длину РХ мы будем называть логарифмом числа AM:
PX=log AM.
В этом определении логарифма остается еще некоторый произвол, зависящий от того, каковы скорости точек в тот момент, когда они занимают соответственно положения С и Р.
Проще всего принять эти скорости равными, и тогда получается система натуральных логарифмов; при надлежащем ate выборе отношения между этими скоростями можно достигнуть того, что 1 будет логарифмом любого данного числа (большего 1). Согласимся обозначать натуральные логарифмы знаком log, оставив знак Log для обозначения логарифмов в других системах. Тогда, если скорости точек в момент прохождения их через С и Р равны, то
PX = log AM.
Если же упомянутые скорости находятся в отношении 1:71/, то пройденное второй точкой расстояние будет меньше предыдущего в том же отношении; отсюда ясно, что логарифм какого-нибудь числа а в любой системе связан с натуральным логарифмом того-же числа соотношением
Log a Mlog а
Если мы хотим, чтобы Log 10 — 1, то должны взять
М-—
1
1од\6' И0ЭТ0МУ связь между десятичным и натураль
ным логарифмом будет такая:
Pc#
log а а —д— .
log 10
Все дело приводится к отысканию натуральных логарифмов. Мы будем поэтому предполагать равными скорости точек
КАК БРИГГ ВЫЧИСЛЯЛ ЛОГАРИФМЫ.
49
в момент их прохождения через С и Р. Так как при прохождении пути СМ=а— 1 скорость первой точки увеличивается, между тем, как вторая сохраняет свою скорость, то очевидно РХ с СМ, т. е.
log a <z а — 1.
Если же заставить вторую точку двигаться со скоростью, которую получает первая только в конце пути СМ, то вторая точка пройдет расстояние РХ', большее СМ:
РХ’ > см.
При этом РХГ во столько раз больше РХ, во сколько скорость первой точки в М больше скорости той же точки в (?, отсюда по закону движения первой точки
РХ': РХ=МА: СА = а : 1.
Следовательно
РХ' = a log а,
и вышеустановленное неравенство
РХ'> СМ принимает вид
7 1
loo а > 1----.
а
Сопоставляя оба неравенства вместе, можем написать
а — 1 ,
-----< log ас а — 1..............(1).
а
ТПг--
Заменим здесь а через |/ а и примем во внимание, что m — 1
log у а = — log а\ тогда получим
т/--
т (у а — 1) _
—-^7--------J-dogacm (]Л<Г— 1) ... (2)
у a
Исторгя логарифмов.
4
50
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Разность между полученными границами логарифма, равная
будет меньше, чем
|/ а (1ода)& т
и, при достаточно большом т, делается сколь угодно малой. Если вникнуть в способ вычисления Бригга, то можно сказать, что он пользуется приближенным равенством
log а = т (}/ а — 1), предполагая т достаточно большим; хотя это заключение прямо Бриггом не высказывается, но вытекает из сущности его способа.
Для получения корня из данного числа достаточно высокой степени очевидно, что удобнее всего последовательно извлекать квадратный корень, т. е. принимать за т некоторую степень 2-х. Чтобы получить натуральный логарифм 10-и Бригг последовательно извлекает квадратный корень 54 раза подряд с числом знаков, растущим от 27 до 33.
Результат этого вычисления занимает целую большую страницу; мы ограничимся поэтому лишь сообщением одного последнего числа
54
|/ 10 — 1 =0.00000000000000012781914932003235.
Умножение этого числа на 2 54 даст натуральный логарифм 10-и по крайней мере с 19 знаками; после чего найдется следующее значение для модуля десятичной системы лога рифмов:
ЛГ=7 1 = 0.434294481903251804
log 10
КАК БРИГГ ВЫЧИСЛЯЛ ЛОГАРИФМЫ.
51
Для отыскания логарифма 2-х Бригг замечает, что 210 = 1024 и что, поэтому, достаточно найти десятичный логарифм числа 1.024, которое ближе к единице, нежели 2-Сорок семь последовательных извлечений квадратного корня дают
47
2 ,---
]/1 .024 — 1 = 0 .00000000000000016851605705394977.
После умножения этого числа на М и затем после сорока семи удвоений находится десятичный логарифм числа 1.024, а отсюда уже и Log 2:
Log 2 0.301029995663981195
с 18 знаками. Вычитанием этого числа из единицы получается логарифм пяти:
Log 5 = 0.698970004336018805.
Для отыскания логарифма 3-х Бригг прежде ищет логарифм 6-и. Замечая, что 6® = 10077696 и извлекая из числа 1 .0077696 сорок шесть раз квадратный корень, Бригг подобно тому, как показано было для числа 2, получает
Log 6 = 0.77815125038364363
и отсюда находит
Log 3 = 0.47712125471966244
Затем для отыскания логарифма 7-ии следующих простых чисел Бригг пользуется некоторыми сокращающими вычисление обстоятельствами. Так, число 74 = 2401 только на единицу превосходит 2400 = 6.8.5.10, логарифм которого известен; следовательно, достаточно по предыдущему способу 2401
найти логарифм отношения ^^ = 1.0004166 . . . , близ
52
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
кого к единице, что является обстоятельством выгодным, позволяющим уменьшить число последовательных извлечений квадратного корня. Для следующего простого числа 11 Бригг пользуется тем обстоятельством, что 992 = З4 . И2 = 9801, между тем 9800 = 7 . 14 . 10 . 10, так что достаточно отыскать логарифм числа = 1 . 000102408163265306. Подобные же упрощения возможны и для дальнейших простых чисел, и Бригг указывает их в особой таблице, обнимающей все простые числа до 100.
Наиболее тяжелой операцией в этом способе Бригга является многократное последовательное извлечение квадратного корпя. Бригг дает особый прием для сокращения этих действий, но мы на рассмотрении его уже не будем останавливаться, чтобы не отдаляться от главного нашего предмета.
Но и при всех этих упрощениях вычисление логарифмов по способу Бригга продолжает оставаться крайне трудным. „Qnanti autem laboris fuerit binarii relinquorumque numerorum proxime subsequentium Logarithmos in venire, facile poterit quis-piam, ex iis quae sexto Capite et praeccdentibus traduntur, judicare“. Вот что говорит сам Бригг, и с этим всякий согласится, если только попробует повторить вычисления Бригга хотя бы для одного случая.
Знакомство с деталями вычислений Бригга еще больше заставляет нас удивляться не только необычайному трудолюбию и терпению первых вычислителей логарифмов, но и их умению со столь незначительными средствами достигнуть намеченной цели.
Уже после того, как логарифмы были вычислены и вошли во всеобщее употребление, была замечена связь между ними и квадратурой гиперболы, откуда затем Николай Меркатор (Nicolaus Mercator) в 1668 году вывел свой знаменитый логарифмический ряд—первый ряд, который встретился в истории математики после геометрической прогрессии.
ВОПРОС О КВАДРАТУРЕ ПЛОЩАДЕЙ.
53
После этого открытия совершенно изменились не только способы вычисления логарифмов, но и самое понятие о логарифме претерпело дальнейшую эволюцию.
Мы проследим теперь возможно короче связь идей, которая сначала привела к квадратуре гиперболы через логарифмы, затем к логарифмическому ряду и отсюда уже к современному воззрению на логарифмическую функцию, как на обратную показательной.
Каким образом подходили к вопросу о квадратуре площадей до изобретения интегрального исчисления.
Вопросы о квадратуре площадей, т. е. об определении площадей, ограниченных кривыми линиями, рассматривались еще древними геометрами и в особенности Архимедом. В XVII столетии они привлекали к себе всеобщее внимание.
Из синтеза специальных приемов, предложенных различными учеными, в конце того же столетия развилось интегральное исчисление. Так что излагать подробно историю вопроса о квадратуре площадей значило бы излагать историю анализа бесконечно-малых. Но столь широкую задачу мы не можем себе поставить и потому, не входя в подробности, как
54
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
поступал тот или другой автор, изложим только самую суть приемов, которые применялись для квадратуры площадей до появления интегрального исчисления. Положим, что требуется определить площадь, ограниченную дугой MN кривой линии, двумя ординатами ее МР и NQ и осью ОХ. Для простоты будем предполагать, что при перемещении по дуге MN ордината или постоянно возрастает (как на чертеже), или постоянно убывает. Разделив основание площади PQ на более мелкие части в точках Pi, Pz ... . Pn_1, восставим из этих точек ординаты Pi ДР, Р2 ДГ2, . . . . Рп _ г Мл _ i и затем из Ж, Mt, М2, .... Mn_i проведем параллели ОХ до пересечения с соседними ординатами в точках Pi, Р2, Из . . . Pn. Тах: образуется состоящая из прямоугольников фигура PMP^iPz . . . . Pa-i JRn Q, целиком лежащая внутри данной площади. Если же из Л/,, ЛРг, .... Мп (N) провести параллели ОХ до-пересечения с предшествующими ординатами в точках <8, Si, . . . . 8п — 1, то образуется состоящая из прямоугольников фигура PSMiS,Mz . . . Мв — 1 8n_ 1NQ, которая содержит внутри себя данную площадь. Если назовем искомую величину этой площади через Q, сумму площадей входящих прямоугольников PMPtPi; PiMiPJPz и т. д. через Еп и сумму площадей выходящих прямоугольников P8Jf]Pi; PiSMiPz и т. д. через Е*, то на основании сказанного будем иметь неравенства
е» <<2< я;
а)
Очевидно, что разность Е'п — Еп выражается суммой площадей прямоугольников MSMtPt, MtSiMiRi, . . .
. . . . Мп _ 1 8П _ 1 Мп Рп и эта сумма будет, очевидно, не больше произведения длины наибольшего из отрезков РР1, Pi Р2, . . . Pn-iQ на сумму высот упомянутых прямоугольников, т-е. на сумму MS-pMiSt-{-. . .+ Mn-i Sn^i, которая равна разности крайних ординат NQ и
КВАДРАТУРА ГИПЕРБОЛЫ И СВЯЗЬ ЕЕ С ЛОГАРИФМАМИ. 55
МР. Таким образом, если 8 длина наибольшего из отрезков PPi, PiPz, . . . Pn-iQ, то
E'n —£0<S(NQ -МР).................(2)
Из сопоставления неравенств (1) и (2) можно сделать важный вывод. Допустим, что число частей, на которое разбито основание площади PQ, бесконечно возрастает в то время, как каждая из этик частей бесконечно убывает. Тогда величина, которую мы назвали через 8, стремится к нулю; вместе с тем стремится к нулю правая часть неравенства (2) и тем более разность Е'п —Еп . Но по неравенству (1), разность между искомой площадью Q и каждой из сумм Ец и Е'п меньше разности Е'ц — ; следовательно, Q есть общий
предел переменных сумм Еп и Е'п при неограниченном увеличении числа входящих в них слагаемых, которые сами делаются бесконечно малыми. Употребляя современные обозначения, мы можем, следовательно, написать
Q = пред. Еп = пред. Е'п..........(3)
Таким образом вопрос о вычислении криволинейной площади свелся к вопросу об определении предела переменной суммы площадей прямоугольников, число которых бесконечно растет, а сами они становятся бесконечно малыми. Пока не были связаны между собой задачи о проведении касательной и о квадратуре площадей, откуда и возникло интегральное исчисление, до тех пор не существовало общего приема определения пределов таких сумм, как и Е'п ; это удавалось сделать только для частных случаев.
Квадратура гиперболы и связь ее с логарифмами.
Пусть требуется определить площадь, ограниченную равнобочной гиперболой ху = /г2, двумя ординатами МР и NQ, соответствующими абсциссам ОР -= а и OQ = Ь, и осью ОХ,
56
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Осями координат служат асимптоты гиперболы. Согласно изложенному выше мы разобьем основание площади PQ на более мелкие части путем вставления промежуточных точек Pi,Pa . . . Рп _ 1 и затем построим на этих частях входящие
и выходящие прямоугольники. Предположим сперва, что промежуточные точки выбраны под условием
OPt — OPz _ OQ
OP OPi ‘ ’ • OFU_! ...............
так что их абсциссы составляют геометрическую прогрессию. Из равенств (4) находим
7 OQ Ъ
ОР а
и далее
OPi —OP .Ji* = а№ .
Отсюда следует, что длина Pi-iPi выражается так:
P<-i Pi = OPi-OPi-! = OPi-! (h — 1) =
Высота входящего прямоугольника с основанием P,—iPi есть, по уравнению гиперболы, и потому его площадь
равна
J;2
I).
КВАДРАТУРА ГИПЕРБОЛЫ И СВЯЗЬ ЕЕ С ЛОГАРИФМАМИ. 57
Высота выходящего прямоугольника с тем же основанием
Д.о
будет v— и его площадь
О-Г/ — 1
7л2
UL i _ i
Оказывается, что при выбранном подразделении PQ все входящие прямоугольники имеют одну и ту же площадь; то-же относится и к выходящим прямоугольникам. Сумма площадей входящих прямоугольников есть поэтому
= к- п 1 — J — к- п 1 — J у
сумма же площадей, выходящих прямоугольников будет
£* n ~^n(h— 1 )=7г2н, Ъа — 1 J-
Искомая площадь Q всегда заключается между этими границами и будет их общим пределом при бесконечно растущем п. Таким образом мы имеем, во-первых, два неравенства
7с* . .(5)
и, во-вторых, получаемое из них переходом к пределу равенств >
(2 = 7с3пред?г 0..............
П — СО
Из последнего равенства видно, что величина Q зависит только от отношения а к Ь; на этом основании мы положим
е=М»)
58
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Введенная таким образом функция (х) выражает площадь между осью ОХ, ординатой соответствующей х=1, другой переменной ординатой, и дугой гиперболы ху = 1. Ясно, что ф(1)—0 и что функция <р(ж) возрастает вместе с х. Кроме того легко показать, что при всяких а и Ъ
? (а&)=? («)+<?(&)...............(7)
В самом деле площадь от ж=1 до ж—ab может быть разбита на две площади: от ж-1 до х=а, которая равна у (а), и от х=а до ж=аЬ; а эта последняя есть <р = '•? (&)• Отсюда и следует справедливость равенства (7). Путем повторного применения этого равенства получаем
<р (а” ) = п у (а)....................(8)
Отсюда следует, что ® (а”) при достаточно большом п и данном превосходит всякое заданное число. Поэтому функция о (ж), возрастая постоянно вместе с ж, способна получить при достаточно большом ж значение, большее всякого наперед назначенного числа. Отсюда далее следует, что существует одно совершенно определенное значение ж=е, при котором
? (е) = 1-
Положив в равенстве (8) а = р/ е, получим из него
Далее, приняв в том же равенстве а = е1/п и заменив п на т, на основании (9) найдем.
✓ т ч ...............................<1о>
КВАДРАТУРА ГИПЕРБОЛЫ И СВЯЗЬ ЕЕ С ЛОГАРИФМАМИ. 59
каковы бы ни были целые числа т и и. Я говорю теперь, что всегда при любом показателе степени х
ф(е®) = а:.................(11)
В самом деле, каково бы ни было х, всегда существуют
. т ж+1
две дроби — и — — с произвольным знаменателем п, кото-п п
рые удовлетворяют неравенствам
и т-1-1
<ж<-
п — п
Но функция («) с возрастанием аргумента возрастает, откуда следует, что
или вследствие равенства (10)
Отсюда следует, что разность <э (е_£) — а; по численной ве-личине меньше —, а эта дробь может быть сделана сколь ЭД
угодно малой при достаточно большом и, следовательно совершенно точно
(е® ) = х.
Примем число в за основание системы логарифмов в современном смысле; тогда, если назвать через х логарифм некоторого числа а, то
ё® —а, х=1од а
и по равенству (11)
® (а) == log а.
60
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Отсюда следует, что функция (а), выражающая площадь гиперболы ху = 1 от х — 1 до х — а, есть логарифм числя а по основанию е. Чтобы выяснить, какое значение имеет это число е, вспомним, что оно определяется равенством и (е)= 1. На основании неравенства (5) имеем
откуда
п
( 1 л
W I 1 и /--- I (в) ,
V V е J
и
что после замены п на »Н-1 дает
[ 1V+1
е<(1+»)
Ив сопоставления двух полученных неравенств для е находим
Наконец, увеличивая здесь беспредельно п, видим, что
е —
пред. I 1 +
п СО
Число е есть,следовательно, то самое число 2,7182818284. которое играет такую большую роль в анализе и принимается за основание натуральных логарифмов. Окончательно можем сказать, что площадь гиперболы ху = 1 между х — 1 и х = а выражается натуральным логарифмом числа а. По втой причине логарифмы по основанию е часто называются гиперболическими. Заметим, наконец, что названные выше
КВАДРАТУРА ГИПЕРБОЛЫ И СВЯЗЬ ЕЕ С ЛОГАРИФМАМИ. 61
натуральными и определенные с точки зрения Непера логарифмы совпадают с логарифмами по основанию е. В самом деле, для этих натуральных логарифмов мы вывели неравен
ства
откуда следует
log а — пред, п а — 1) п — со .
Но мы имеем также
( а ) - пред, п (]/ а — 1 п = со
поэтому <р(а)= log а, чем наше утверждение доказано.
При определении площади гиперболы мы делили отрезок PQ по особому закону. Теперь разделим его на равные части. Пусть число этих частей будет п. Тогда абсциссы точек P.Pi.Pi .... Рп-1 будут
, Ъ — а пЪ—а . , _.Ъ— а
а, а-]----, а-1-2---, .... а-\-(п—1)-------
’ п и ' п
и соответствующие им, для гиперболы ху = 1, ординаты
1 п п
а’ (п — 1) а + &’ (п — 2) а4-2 6’
п
Отсюда для суммы площадей выходящих прямоугольников, Ъ — а имеющих эти ординаты высотами и основанием длину —-—,
находим выражение
Ъ—а Ъ — д Ъ — а Ъ'—-]а
"п па '(ri—l)a-pb (п—2)а+‘2Ъ~^~"‘ a+(n—l)b°
62 0ЧВРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
предел которого при бесконечно растущем п дает площадь гиперболы между х а и х Ъ.
Мы нашли, что эта площадь равна log Ъ/а, следовательно
, Ъ /Ъ—а Ъ—а Ъ — а
+(»-IM+6+C»-2J«+26 +..........
+ ъ~а 1
a-j-(n—\)bj
.................(12)
ДЛЯ П OJ .
Из это1 о равенства будет выведен пипсе логарифмический ряд.
Квадратура парабол у = а?«.
Чтобы вывести логарифмический ряд, нам потребуется знание предела отношения
l”‘-|-2’n+3m+ . . . 4-и"‘
П«*+1
при бесконечном возрастании п. Математики XVII столетия вывели этот предел из рассмотрения квадратуры парабол у х™. Положим, что ищется площадь Q, ограниченная этой параболой, заключенная между прямыми х а и х — Ъ (на чер
КВАДРАТУРА ПАРАБОЛ у—Хт .
63
теже OP a, OQ Ъ) и осью ОХ. Мы выразим эту площадь двояким образом. Прежде всего разобьем отрезок PQ на части, как это было сделано при первом определении площади гиперболы, т. е. положим, что абсциссы OP, OPt, . . . OQ составляют геометрическую прогрессию. Тогда положив
Л. = 6 а будем иметь
ОР{ = a h1 , Pt Pi = OPt (h — 1).
Ордината параболы, соответствующая абсциссе x=OPit будет у = ОРТ , следовательно площадь какого-нибудь входящего прямоугольника Р{ % jRi-i-iPt + i будет
РР + 1. OPT=(h—L) + 1 №»+&
Для суммы же площадей всех входящих прямоугольников получим выражение
£„ = (Л — 1) а"’ + 1(1-|-Ля,+1-|-Ла”+а4-. . • .+ _|_ ]L(n - 1) On + I))
Суммирование заключенной в скобках геометрической прогрессии приводит это выражение к виду
^=а?+т21 «w+i (лв(т+1)-1)=
7,__т
= (й™ +1 — ат +г).
Jyn 4-1 — J ' '
Нам нужно теперь искать предел суммы £п при бесконечно растущем п. В этом случае h стремится к 1 и отношение
1т 4-1 1
—------— = 1 4- h + № + . . . . + 1ът
64
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
стремится к пределу m-f-l, следовательно
пред.
+1--ат 4- 1
т + 1
Таким образом получается первое выражение для искомой площади
Ъ'т +1 — ат+1
т + 1
Этот вывод предполагал а > о. Но если предположить т > о, то парабола проходит через начало, и площадь ее
между х = о и х = а стремится к нулю вместе с а; следовательно можно будет, по крайней мере при т > о, прямо положить а = о и тогда для площади между х — о и х — Ь
получится выражение
+1
m-f-1
Ту же величину можно найти иначе. Для этого разобьем отрезок PQ (от х = о до х = Ъ) на равные части. Если п число таких частей, то абсциссы точек Р, Р±, Pz__
будут
Ъ 2b (п— I) о
и, , , « • • ,
п п п
им соответствуют ординаты
(и— 1) Ъ\т п )
являющиеся высотами входящих прямоугольников. Основания Ъ
всех этих прямоугольников имеют величину , поэтому сумма
их площадей такова:
у _т,т+1 11И + 2- + 3-+ . . . .+(п —1)"‘
м — ° пт+*
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ РЯД.
65
Предел этой суммы должен быть равен найденной выше
величине
<2 =
вред.
й®+1
7И4-1’ 0ТС10Да следует
П= СО
для всякого т > о; кроме того всегда
что дает неравенство
1т -|-2'ж 4-3™ 4- . . . .44u — i)"' 1
п'п+1 in 4- 1
для любого конечного п.
Логарифмический ряд.
Знаменитый ряд, дающий разложение log (1 4~я) по степеням х, был опубликован Меркатором в 1668 году в сочинении Logarithmotechnia. В нашем изложении мы передаем существенные идеи приема, примененного Меркатором для вывода логарифмического ряда, но форма нашего изложения будет, конечно, совсем иная. Математики XVII столетия не чувствовали необходимости строгого изложения или не придавали этому значения. Поэтому их рассуждения в дословной передаче нам покажутся неубедительными и наивными, и излагать их теперь в оригинальной форме значило бы затемнять кроющуюся в них здоровую идею. При рассмотрении квадратуры гиперболы была выведена формула
Ъ___ \Ъ — а Ъ— а Ъ — а
a t гла (и — 1)а 4~ Ъ (те—2)a~l~‘2b
Ъ — а а 4- (п — 1)Ъ
История логарифмов.
5
66
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
дающая в сущности выражение криволинейной площади, как предел суммы площадей бесконечно малых прямоугольников с равными основаниями. В этой формуле мы сделаем а = 1, Ъ = 1 -ф- х, обозначая через х какое угодно число между — 1 и + 1; тогда получим следующее выражение для log (1 + ж):
log (1 + х) = пред.
п = со
X X , X ,
-----1-------------h---------+
п 11 + X п + 2х
X
п + (п — 1~)х
или отбрасывая первое слагаемое, предел которого равен нулю
, \ х , х х
log (1 + х)=пред, s —;---И —-—Н • • Н-------, ,---г-1 •
v J F (w+ж n-f-2x —1 Ja; 5
Какой нибудь член этой суммы имеет вид
х ____х 1
п + кх п t кх п
и может быть представлен с помощью известной формулы
так
X п-^-кх
кх2 к2х3 п3
J«m — 1
пт
хт+1
кх'
• (13)
X
п
• • + (— I)’*-1
1
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ РЯД.
67
для этого стоит только взять о =— . Последний член этого раз-п
ложения Ъ-т ^тп, +1 1
k J пт +1 Zrc п
для всех k = lt 2, 3, . . . .п — 1 по численной величине меньше, чем
ft™ fra 4-1 J
Пт + 1 J -- £ ’
где £ обозначает абсолютную величину х и имеет знак величины (—1)?яа:т+-1. Поэтому можно положить
1 _ ( — 1),B кт хт +1
V ' и™ + 1 кх 1—$ ит+1 *
п
где <1; вместе с тем разложение (13) приобретает вид
х _____х кх3 к3х3 .__jyn —1 кт~1хт >
п + кх п п3 п3 ” ” пт '
0;. (— 1)т кт х,п+1
1 -Д те“+1
Нам нужно будет здесь взягь к = 2, 2, 3, . . . . п — 1 и затем сложить результаты.
Полагая для краткости st = 1г’ + 21’ -Ь - . . . + (»—1У ,
видим прежде всего, что сумма всех членов, до последнего добавочного члена, будет
п—1 Sj sa
х +-— п-------------п3 п3
+ (—1F"1
Sm~1 -X” пт
68
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Сумма же добавочных членов, имея знак числа (—1)’пжи‘+,т будет численно меньше, чем
;m + 1 sm im + 1
1—8 пт + 1 (т-1-1) (1 — 8)
на основании неравенства, установленного выше. Таким образом сумму добавочных членов можно представить так
о (—1)тхт+1 1
“ " ж 4-1 '1 —Г
где 0П может зависеть от п, но во всяком случае заключается
между О и 1. Сообразно с этим имеем
—----Ь -——------И . . . . +--------—-----=
п-|-ж п -1- 2 х n-f-(n—
Считая число т постоянным, будем теперь беспредельно увеличивать п. Так как при каждом данном i
Si 1 пред- ВФ=-ЙТ’ п=оо
то совокупность членов правой части до последнего добавочного стремится к пределу
/^2 т~ 1
Х~ 2 + V ~ * • • * +(-1} w ;
левая часть стремится к пределу log (1 ж), следовательно и
добавочный член, а также 0П при бесконечном увеличении п стремится к пределу 0, и эта величина, как и 0П , будет
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ РЯДОМ.
69
заключаться в границах О и 1. В окончательном счете предельный переход доставляет равенство
/^3 т — 1 плп
log(l+x)^X-X}+aL-. . . + (-1) +
HL
А (_1)тжт + 1
1— £ т -ф- 1 ’
от которого, полагая т со, переходим к логарифмическому ряду
1од(1-}-х) -х — -9 + о —............(14)
Z D
Заменяя здесь х на — х, получаем еще
1од(1— х) = — х — Х- — Л—. . .
Z о
и путем вычитания из предыдущего равенства находим:
7 1 ж Q
700 -----— — 2
• - (15)
Как применяется логарифмический ряд для вычисления логарифмов.
С открытием логарифмического ряда совершенно изменилась техника вычисления логарифмов. Правда, логарифмы в это время были уже вычислены с достаточной точностью. Но при новых изданиях логарифмических таблиц нужно было в отдельных случаях производить проверку ранее известных значений; благодаря логарифмическому ряду это можно было сделать уже скорее и легче. Логарифмический ряд может быть применен к вычислению логарифмов, сначала натуральных, весьма различными способами. Например, можно поступать
70
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
так. Обозначая через W и 7i некоторые положительные числа, положим в равенстве (15)
h
X = ^N^h',‘
тогда получим следующее выражение для разности логарифмов, чисел N-\-h и W:
+ 5 G Л'Т)> )+ (16)-
h
Чем меньше отношение — тем быстрее сходится
этот ряд. Примем h =1 и возьмем последовательно 2V=15, N= 24, N = 80; назвав через Р, Q, В суммы следующих весьма быстро сходящихся рядов:
Р=— -I-----------1-------1-
313.(31)3 ' 5.(31)s ' '
= 41 + 3.(41)3 + 5.(41)5 + ’ ‘ ‘
т? = _1_ .__1____।___1_ ,
161 ^З.(161)ь 5.(161)6
получим
log 16 — logl& = 2P, log25 — Zo^24 = 2Q,Zo^81 — log 80= 2R
или
4 log 2 — log а — log 5=2 P
2 log 5 — Slog 2 — log 3 = 2 Q
4 log 3—4-log 2—log 5 = 2 B,
откуда
log 2 = 14 P+10 Q+ 6 R log 3 = 22 P+16 Q + 10 R log 5 = 32 P+24 0+14 R.
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ РЯДОМ.
71
Получив по этим формулам логарифмы 2,8, Б, находим затем log 10, откуда получается величина модуля М = 10
для перехода к десятичным логарифмам. Для вычисления логарифмов следующих простых чисел с помощью быстро сходящихся рядов можно поступать, например, так. Если взять в равенстве (16)
Л7 = ж3 — 3 х — 2, /г = 4,
то вследствие равенств
ж8 — Зх — 2=(ж+1)2(ж — 2),ж3 — Зж + 2 = (ж’ —1)®(«4
получим
1од(х-{-2') = 21од(х-{-1') — 2 1од(х— 1) + ?о//(ж—2) + , 2 । i.( 2 У i 1 Г 2 У |
+2| л;3_з^+ 3 кж3 —Зж/ + 5кж3 —Зж/ + • • •
Отсюда при ж = 5 найдем
Oi»s7 = 3l»sS-2ta,2+2j^ + -^ji-+J(61!i).
что даст логарифм 7. Значения ж = 6, 7, 8 дают соотношения между величинами log 2, log 3, log 5 и log 7 и могут служить для контроля вычислений. При ж = 9 получается
logll = 2 logic — 2 log 8-}-log 7 2 j
(301 О{301)
+ 5(351)5‘+ ’ ‘ ' !’
откуда определится логарифм 11. И таким лее образом следует поступать дальше, при чем, чем больше становятся числа, тем быстрее сходятся ряды. Логарифмы малых простых чисел 2,3,5,7 ит. д. можно еще с большим удобством вычислять
72
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
при помощи надлежащего подбора чисел Na h в формуле (16). При N == 80, Л”+ h = 81 = З4 эта формула даст соотношение между log 2 ,1од 3 и log 5. Предположения
N 125- 5», 7^4-/1=128- 2’
N =32768= 2‘6, N4- h = 32805 — 3е. 5
доставляют еще два соотношения между теми же величинами. Из них можно найти log 2, log 3 и log 5. Затем для последовательного определения логарифмов log 7, log 11 и т. д. целесообразно выбирать такие комбинации чисел:
- 2400 — 100.23.3, JV4-/i= 2401- 74
N— 9600 -100.2.72, N + /t= 9801 34.1Р
N -1232С0 -100.24.7.11 , N +h 123201 3е. 13
N 2600 = 100.2.13, Л74-А= 2601 — За.172
N 28899—З2.132. 19, N^h = 28900 = 100.17а.
и т. д.
Видоизмененный способ Бригга.
Логарифмический ряд дает прекрасное средство для последовательного вычисления логарифмов, но не всегда можно им воспользоваться, когда требуется найти логарифм какого-нибудь определенного числа. Для этой цели можно с успехом воспользоваться способом, который является лишь развитием способа Бригга. Основания для этого способа почерпаются из учения о непрерывных дробях. Не имея возможности затрагивать эту сторону вопроса, мы ограничимся лишь сообщением нескольких формул и их проверкой. Прежде всего можно предложить следующую простую формулу:
3 (е2я —1) e2a,4-"4e® + l
ВИДОИЗМЕНЕННЫЙ СПОСОБ ВРИГГА. 73
где 0 — ь доказатель [«которое число, заключенное между 0 и 1. Для ства мы положим
f&) _ 3 (е2ж—1) _ 3 (е® — е~х) е2“+4e“-f-l Х ех -|-е~®-|-4 ’
Вводя сюда так называемые гиперболические функции , е®—е~х shx — А 7 е® +е~х chx~ 2 ,
мы можем написать j,, . ЗзЛж f (X) X — , 2 -j-chx
Непосредс твенио ясно, что при х о t (о) о.
Имея это циального в виду и воспользовавшись известной из дифферен-исчисления формулой Коши: ?(ж)—<р(°) 'p'G)’
где £ зак нашему сл лючено между о и х, получаем в применении к учаю f (ж) = f (0 = д j сК—1 р х 6 5 В 4 5 {chi +2) j
Но функцв [Я ch 8 — 1 {ch i + 2) ’
принимающая $ = о значение */в, убывает, в чем легко убедиться непосредственно, составив ее производную и проверив, что она отрицательна; следовательно, при 8 отличном от о
74
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
откуда
_cht — 1 1
£2(сЛе + 2) < 6 ’
<, < «*> <_2_ . «6 1ьО
А эти неравенства равносильны формуле (А). Мы приведем еще две подобные же формулы:
(e^-l) (11^+38^+U)_ ( А
(еж + 1; (Зе’-Ч^е’ + З) V 2880/ k '
5 (егж— 1) (5^+32е-+5) = / ж8 \ efe^+lGe^ + SGe'^+iee'+l) V 44100/" '
В обеих Н некоторое число, заключенное между Он 1, и обе проверяются совершенно Tait же, как формула (А). Для вычисления логарифмов с помощью какой-либо из этих формул, напр. формулы (А), можно поступать так. Извлекаем из данного числа а корень достаточно высокой степени т так, чтобы у/ а не очевь разнился от 1. Лучше всего брачь т, как степень двух, чтобы свести все к последовательному извлечению квадратного корня. Положив
= ея,
откуда
х
1 7
=----- too а,
т
и вставив эти значения
в формулу (А), получим
Ш г-
Зт(у а2 — 1) --— ТПе-
у а2 +4 у а -У1
= 1од
а
(log а)* 180m4
- (А*).
Отсюда найдем log а и будем знать пределы погрешности. Выбор подходящего значения т соответственно заданной
ВИДОИЗМЕНЕННЫЙ СПОСОВ ВРИГГЛ.
75
точности можно сделать, если только будет известно грубо-mi
приближенное значение log а. Что касается у то ета величина дается н самом ходе вычисления. При вычислениях с большим числом знаков выгодное, конечно, пользоваться более точными формулами (В) и (С). Если известны ужо логарифмы чисел 2 и 5, то всегда можно считать а<_ 2. Во-первых, все можно свести к случаю а < 10. Затем, сообразно различным значениям а, можно воспользовался таблицей:
Если а между 10 и 9 то а между a s’ a
1 ,25 и 1 ,125 ; а
9 и 8 1 ,125 и 1 ; d 8
8 и 6 1,6 и 1,2 ; d a 5
6 и 5 1,2 и 1 ; d a 5
5 и 4 1 ,25 и 1 ; d a Г
4 и 3 1 . 6 и 1,2 ; d 2a 5
3 и 2 1 , 5 и 1 ; a a 2"
2 и 1 2 и 1 d a.
Чтобы доказать практическую пригодность этого способа, применим его к двум примерам. Прежде всего вычислим с пятью знаками логарифм числа а= 2.718282.
В виду небольшой степени точности, которая требуется, мы воспользуемся простейшей формулой (Я) или (Я*), Простой подсчет показывает, что достаточно для достижения Требуемой точности дойти только до корня 16-ой степени. Вычисление, не представляющее трудности, дает следующие результаты:
76
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
/ 2.718282=1.6487215
^2.718282 = 1.2840255
8/-------
V 2.718282 = 1.1331485
18/ . ----
у 2.718282= 1.0644944
Все эти числа даны с по-
1 грешностью, меньшей .
18/ — -------
По этим данным, полагая е® = у 2.718282, вычисляем
е2«_|-4ех_|_ 1 ^.6.3911261 с ошибкой < 6.10-7 48(е2®— 1)=- 6.3911280 с ошибкой <48.10“7
Затем, по разделении этих чисел находим
48(е2® — 1)
-2я । 1-000000 с погрешностью < 10“®.
Сюда еще нужно прибавить член
(log а)5
180.84 ’
который меньше 1,4.10“®; следовательно, с погрешностью
<2,4.10“® имеем
log 2.718282 = 1.00000,
что и нужно было ожидать. Вычисление по формуле (С), которую всегда нужно предпочитать формуле (В), сложнее и к ней нужно прибегать лишь в случае, когда нужно знать логарифм с большою точностью. Для примера вычислим по этой формуле log 2 с десятью знаками. Тут достаточно остановиться на корне 4-ой степени. Вычисление двух после-.довательных квадратных корней дает
V 2. — 1.4142135623816 | Погрешность этих значений ^¥ — 1.1892071150063 J < 10“13.
ВИДОИЗМЕНЕННЫЙ СНОСОВ БРИГГА. 77
Затем умножением этих чисел находим
у/8 = 1.6817928305226 с погрешностью < 10-13.
Отсюда, полагая сх == у 2 , вычисляем бСе^+Шз^+Збе^+^е* + 1) =
— 599.0861242451899 с погрешностью < 420.10~13
20(5е4:с-|-32е3а:—32ея— 5)
= 415.2548579304192 с погрешностью< 1480.10~13.
Деление дает
415.2548579304192
599 0861242451в99=0-69314,18()5554 С
<3.10~м.
Сюда нужно еще прибавить член
(log 2)” 44100.48 ,
который меньше 1,28.10-11.Отсюда видно, что log 2 наверно заключается между числами
0.6931471805551 и 0.693147180568*,
и, если положим
log 2=0.69314718056,
то погрешность этого значения будет наверно меньше 2.10-11.
На самом деле имеем
log 2 = 0.6931471805599 . . . . ,
что вполне подтверждает предыдущий вывод.
78
ОЧЕРК ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ.
Заключение.
Развившись на почве практических потребностей, учение о логарифмах с ростом математической науки подвергалось постепенным изменениям, за ходом которых мы проследили, начиная с возникновения первого понятия о логарифме до установления связи с показательной функцией и важными рядами, встречающимися в анализе. Начиная отсюда, история логарифмов теряет самостоятельное значение, становясь лишь очень маленькой частью истории развития анализа вообще. При этом собственно в истории логарифмов остается интересным только введение логарифмов комплексных чисел, относящееся уже к XVIH столетию и связанное с именем Эйлера. Но этого вопроса мы уже не можем касаться в нашем очерке, так как он теснейшим образом связан с историей алгебры и анализа.
НАУЧНОЕ КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО.
Петроград. Проспект Володарского (б. Литейный) 25, тел. 152—15.
Печатаются:
А. Михайлов, проф. Карманный звездный атлас.
Физические величины под редакцией А. П. Афанасьева.
Вышли в свет:
С- Гальперсон, Атлас луны. 2-ое исправлевное и дополненное издание.
У. Бойс, Мыльные пузыри. Лекции о волосности и капиллярных явлениях. Перевод с поел. англ. изд. с 80 рис. и цветной таблицей.
Ф. Ауэрбах, проф. Семь аномалий воды. С 12 рис.
Ф. Ауэрбах, проф. Царица мира и ее тень. Общедоступное изложение оснований учения об энергии и энтропии. С 10 рис.
А. Келер, проф. Атмосферное электричество. Перевод А. Бпанкп, иод ред. П. Т. Тверского, физика Константиновской обсерватории. С 35 рис.
А. Васильев, заслуж. проф. Целое число. Псторня развития понятия о чпеле. С 24 портретами и рис. в тексте и отд. таблицей.
О. Хволъсон, проф. Спектр рентгеновых лучей и теория Бора. С 9 черт.
Б. Лгтцман и Ф. Трир. Где ошибка? Математические парадоксы. С 23 чертежами в тексте.
Л. Зилъберштейн. Квантовая теория спектров. Перев. и дополнения К. К. Баумгарта.
А. Хинне, проф. Астрономы н их обсерватория. Перев. В. Е. Му-рашкинского. С 13 рпс.
Э. Резерфорд. Бомбардировка атомов и разложение азота. С 4 рис.
А. Эйнштейн. Эфир и принцип относительности. Перевод С. И. Вавилова.
А. Иванов, проф. Теория ошибок и способ наименьших квадратов.
Я. Я. Еаптейн. Строение вселенной. Перевод с дополнением акад. А. А. Белопольского.
А. Царт. Кирпичи мироздания (атомы н молекулы). С 42 рис.
Е. Баев, проф. Об эволюции небесных тел. С 4 рпс.
И. Обреимов. Состояние вещества. С 14 рис. и отдельной таблицей. 7Н. Борн. Строение материи. Три статьи по современной атомистике и электронной теории.
А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относительности. 3-е русское издание с дополнениями по 15-му нем. изд. и с приложением статьи „Диалог о возражениях против теории относительности11, С 7 рпс. в тексте.
А. Эйнштейн. Геометрия и опыт. С 2 рис. 2-ое взд.
А. Михайлов, проф. Подвижная звездная нарта, с пояснительною брошюрою.
А. Цахариас. Введение в проективную геометрию. Перев. О. А. Больберга. Елей. Простые опыты по свету. Перев. с англ. М. А. Дьяконова.
Vallee-Poussin. Курс анализа беснонечно-малых. Перев. проф. Я. Д. Тамаркина и проф. Г. М. Фихтенгольца под ред. академика В. А. Стеклова.
А. Фосс, проф. Сущность математики.
Курс Астрофизики—Академика А. А. Белопольского, почетного Доктора Астрономии Московского Университета; С. Е. Еостинского, Профессора Петроградского Университета; В. В. Серафимова, Астрофизика Пулковской Обсерватории; Г. А. Тиссова. С дополнительными главами проф. Петроградского Университета О. Д Хволъсона. Том I. „А с т р о ф о т о м е т р и я“, Г. Титова. Том III. „Астроспектроскопия“, А. Белопомскою. Подготовляются к печати: Том II. „Астрофотогра-фия“, С. Еостинского. ТомIV. „Звездная статистика"* В. Серафимова. ТомV. „Дополнения“,О. Д. Хволъсона.
СКЛАД ИЗДАНИЙ.
Петроград. Проспект Володарского (б. Литейный), 25.
Москва. Газетный пер-, 10, Т—во „Основы".