Г.Е.ШИЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
СПЕЦИАЛЬНЫЙ
КУРС

Г. Е. ШИЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для математических специальностей
физико-математических и механико-математических
факультетов университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961

АННОТАЦИЯ
Книга написана как учебник по специальному
курсу математического анализа для студентов ма-
математических факультетов университетов. Вопросы
теории функций действительного переменного, ва-
вариационного исчисления и интегральных уравнений
освещаются в книге с единой точки зрения теории
линейных пространств. От читателя требуется вла-
владение общим курсом математического анализа в
объеме университетской программы.
Георгий Евгеньевич Шилов
Математический анализ
Редактор А. Н, Копылоаа
Техн. редактор Е. А. Ермакова Корректор Е, В.
Сдано в набор 27/IV 1961 г. Подписано к печати 2/IX 1961 г. Бумага 60Х901/,,
Физ. печ. л. 27,25. Усл- печ- л 27-25. Уч.-изд. л. 27,05. Тираж 25 000 экз. Т-08744,
Цена книги 91 к. Заказ 1833.
, , . . . . у ¦ •
Государственное издательство Физико-математической литературы.
Москва. В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоза.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
Отпечатано с готовых матриц в 1-Й типографии Трансжелдориздата МПС
Заказ 1651.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Множества 7
§ 1. Множества, подмножества, включения 7
§ 2. Операции над множествами 8
§ 3. Эквивалентность множеств 11
§ 4. Счетные множества 14
§ 5. Множества мощности континуума 17
§ 6. Множества высших мощностей . . . 23
Глава П. Метрические пространства . 25
§ 1. Определение и примеры метрических пространств. Изометрия 25
§ 2. Открытые множества 30
§ 3. Сходящиеся последовательности и замкнутые множества ... 32
§ 4. Полные пространства 39
§ 5. Теорема о неподвижной точке 47
§ 6. Пополнение метрического пространства 52
§ 7. Непрерывные функции и компактные пространства 56
§ 8. Линейные нормированные пространства 66
§ 9. Линейные и квадратичные функции в линейном пространстве 75
Глава III. Вариационное исчисление 80
§ 1. Дифференцируемые функционалы 80
§ 2. Экстремумы дифференцируемых функционалов 89
ь
§ 3. Функционалы вида \f(xt у, y')dx 94
а
Ь
§4. Функционалы вида \ /(х, у, у') dx (продолжение) 106
•¦ а
<§ 5. Функционалы с несколькими неизвестными функциями . . . .116
§ 6. Функционалы с несколькими независимыми переменными . . . 123
§ 7. Функционалы с высшими производными 130
Глава IV. Теория интеграла 137
§ 1. Множества меры нуль и измеримые функции 137
§ 2. Класс С+ 142
§ 3. Суммируемые функции 150
§ 4. Мера множеств и теория интегрирования Лебега 158
§ 5. Обобщения 172
Глава V. Геометрия гильбертова пространства 181
§ 1. Основные определения и примеры 181

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Ортогональные разложения , . 189
§ 3. Линейные операторы 203
§ 4. Интегральные операторы с квадратично интегрируемыми
ядрами 217
§ 5. Задача Штурма — Лиувилля 225
§ 6. Неоднородные интегральные уравнения с симметричными
ядрами 234
§ 7. Неоднородные интегральные уравнения с произвольными
ядрами 238
§ 8. Приложения к теории потенциала 248
§ 9. Интегральные уравнения с комплексным параметром 253
Глава VI. Дифференцирование и интегрирование 267
§ 1. Производная неубывающей функции 268
§ 2. Функции с ограниченным изменением 278
§ 3. Восстановление функции по ее производной 285
§ 4. Функции нескольких переменных 293
§ 5. Интеграл Стильтьеса 300
§ 6. Интеграл Стильтьеса (продолжение) 311
§ 7. Применение интеграла Стильтьеса в анализе 322
§ 8. Дифференцирование функций множеств 330
Глава VII. Преобразование Фурье 335
§ 1. О сходимости рядов Фурье 335
§ 2. Преобразование Фурье 354
§ 3. Преобразование Фурье (продолжение) 365
§ 4. Преобразование Лапласа 374
§ 5. Квазианалитические классы функций 382
§ 6. Преобразования Фурье в классе L2{—со, со) 390
§ 7. Преобразования Фурье — Стильтьеса 402
§ 8. Преобразование Фурье в случае нескольких независимых пере-
переменных 408
Дополнение 420
§ 1. Еще о множествах 420
§ 2. Теоремы о линейных функционалах 423
Алфавитный указатель 433

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана в качестве учебника по специальному курсу
математического анализа (сокращенно «Анализ III»). «Анализ III»
читается на третьем курсе механико-математического факультета МГУ,
начиная с 1949 г.; инициатором введения такого курса и первым
лектором был акад. А. Н. Колмогоров. «Анализ III» построен на мате-
материале прежних отдельных курсов теории функций действительного
переменного,, вариационного исчисления и интегральных уравнений и
освещает весь этот материал с единой точки зрения, имеющей свои
истоки в теории линейных пространств.
Предлагаемая книга построена по следующему плану. Первая глава
излагает стандартный минимум по теории множеств. Вторая глава
содержит элементы теории метрических и линейных нормированных
пространств. В третьей главе развивается вариационное исчисление;
оно представлено здесь как теория дифференцируемых функционалов
в линейных нормированных пространствах. Четвертая глава посвящена
теории интеграла Лебега; в основу изложения положена схема Ф. Рисса,
как более экономная по сравнению со схемой Лебега и более быстра
вводящая в суть дела. Пятая глава «Геометрия гильбертова простран-
пространства» содержит теорию ортогональных разложений и интегральных
уравнений в геометрической трактовке. В шестой главе выясняются
связи между интегрированием и дифференцированием и строится инте-
интеграл Стильтьеса. В последней, седьмой главе излагается теория пре-
преобразования Фурье; здесь дан несколько нетрадиционный материал,
которому, ввиду его особого значения в математической физике, уже
давто следует занять надлежащее место в курсе математического ана-
анализа. Для обеспечения различных вариантов лекционного курса мате-
материал последних трех глав несколько расширен.

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Логическая зависимость между главами дается следующей схемой:
Множества
Метрические пространства
Теория интеграла
Геометрия гильбертова пространства
\
Вариационное исчисление
Дифференцирование и
интегрирование
4-
Преобразование Фурье
Следует заметить, что общая точка зрения функционального ана-
анализа, развиваемая в этом курсе,, не является целью сама по себе,
а только средством; основная же цель есть введение в классические
области математического анализа.
В пределах каждой темы, вынужденные быть максимально крат-
краткими, мы ограничиваемся лишь выяснением наиболее важных вопросов,
вполне сознавая, что читатель, может быть, в некоторых случаях
останется неудовлетворенным. Вообще отбор материала, особенно для
последних глав, представил для автора наибольшие затруднения. Не-
Некоторые интересные, но лежащие несколько в стороне вопросы были
вынесены в задачи; они могут быть использованы в работе семинара.
От читателя требуется владение общим курсом математического
анализа в объеме, например, «Краткого курса» А. Я. Хинчина. При
этом условии книгой можно пользоваться и для самостоятельного изу-
изучения предмета. В конце книги предполагаются известными также
элементарные свойства аналитических функций.
Автор весьма признателен М. Г. Крейну, О. А. Олейник и
Д. А. Райкову, прочитавшим книгу в рукописи и своей критикой
много способствовавшим ее улучшению. При втором издании текст
заново просмотрен, дополнен и местами улучшен. Введено также не-
некоторое число новых задач. Автор благодарит своих многочисленных
корреспондентов из Ленинграда, Казани, Баку и других городов СССР
за ценные критические замечания по первому изданию.
Автор

ГЛАВА I
МНОЖЕСТВА
§ 1. Множества, подмножества, включения
Когда рассматривают несколько каких-нибудь объектов («элемен-
(«элементов»), употребляют такие слова, как «совокупность», «собрание», «мно-
«множество». Например, можно говорить о множестве студентов в аудито-
аудитории, о множестве песчинок на пляже, о множестве вершин многоуголь-
многоугольника или о множестве его сторон. Указанные примеры обладают тем
свойством, что в каждом из них соответствующее множество состоит
из определенного числа элементов (которое, может быть, практически
и нелегко установить). Такие множества мы будем называть кснечными.
В математике часто приходится иметь дело с совокупностями,
состоящими не из конечного-числа объектов; простейшими примерами
служат множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, ... и множество
всех точек отрезка. Такие множества мы будем называть бесконеч-
бесконечными, К числу множеств мы причисляем и пустое множество — мно-
множество, не содержащее ни одного элемента.
Так, например, как видно на рис. 1, множество вещественных корней
уравнения = й бесконечно при b = Q (оно состоит в этом случае из всех
значений х = 0, ± я, ± 2я, ...), конечно, но не пусто при 0<|й|^1
(можно подсчитать для каждого Ъ> сколько именно корней оно имеет) и пусто
при | Ъ | > 1 (все значения функции
sinx
х
по модулю не превосходят 1,
sinx
и уравнение = Ь при | Ъ | > 1 вовсе не имеет корней).

8 МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Как правило, мы будем обозначать множества большими буквами
Д 5, С, ..., а их элементы — малыми буквами. Запись а?А (или
АЭа) означает, что а есть элемент множества Л; запись а?А (или
А Эа) означает, что а не есть элемент множества А. Запись АаВ
(или В^>А) означает, что каждый элемент множества А является
элементом множества В; в этом случае множество А называют под-
подмножеством множества В. Наиболее широким из подмножеств мно-
множества В является, очевидно, само множество В; наиболее узким —
пустое множество. Любое из остальных подмножеств множества В
фактически содержит элементы В, причем заведомо не все его эле-
элементы. Каждое из таких подмножеств называется истинным подмно-
подмножеством. Знаки ?, Э> с> ^ называются знаками включения. Если
имеют место включения АаВ, ВаА, то это означает, что каждый
элемент множества А является элементом множества В и, обратно,
каждый элемент множества В является элементом множества А; таким
образом, множества А и В состоят в данном случае из одних и тех
же элементов и, значит, совпадают друг с другом. Этот факт запи-
записывается равенством А — В.
Существуют различные формы задания множеств. Наиболее про-
простая состоит в указании всех элементов множества, например
А = { 1, 2, • • -, я, — }. Иная, часто употребляемая форма состоит в
указании свойств элементов множества; например, Л — \х:х2— 1 < 0}
есть множество всех х> для которых выполняется указанное после
двоеточия неравенство.
§ 2. Операции над множествами
Мы рассмотрим здесь три простые операции, которые можно про-
производить над множествами: объединение, пересечение и дополнение.
Опишем сначала операцию объединения множеств. Пусть даны
множества Д Д С, ... Рассмотрим совокупность всех элементов,
каждый из которых принадлежит хотя бы к одному из.множеств Ау
В, С, ... Эта совокупность есть новое множество, которое и назы-
называют объединением множеств Д В, С, ...
Так, объединение множества Л = {6, 7, 8, ...} (всех натуральных
чисел, больших чем 5) и множества В={31 6, 9, ¦ ..} (всех нату-
натуральных чисел, делящихся на 3) есть множество
5={3, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
(всех натуральных чисел, за исключением 1, 2, 4 и 5).
Введем теперь операцию пересечения множеств. Пересечением мно-
множеств Л, Д С, ... называется совокупность элементов, входящих
в каждое из указанных множеств.

§ 2] ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 9
Так, в предыдущем примере пересечением множеств
Л = {6, 7, 8, 9, 10, ...},
?={3, 6, 9, 12, ...}
является множество
D={6, 9, 12, ...}.
Может оказаться, что множества Л, В, С, ... не имеют ни одного*
общего элемента. Тогда их пересечение есть пустое множество; в этом
случае говорят, что множества А, В, С, ... не пересекаются. На-
Например, три числовых множества
Л = {1, 2}, ?={2, 3}, С={\, 3}
не пересекаются (хотя каждые два из них имеют общие элементы).
Участвовать в объединении и пересечении могут как конечные,
так и бесконечные совокупности множеств. Например, можно построить
объединение множеств точек всех прямых на плоскости, проходящих
через заданную точку О. Этим объединением будет, очевидно, мно-
множество всех точек плоскости. Пересечением указанных множеств
будет множество, состоящее из единственной точки О.
Объединение 5 множеств Л, В, С, ... называют иногда суммой
и записывают в форме S = A-\-B-\-C-\-...; пересечение D назы-
называют произведением и обозначают D = ABC.... Некоторые основа-
основания для таких «арифметических» наименований имеются. Например,
для любых трех множеств А, В, С справедливо равенство
(Л-f В)С=АС-{-ВС
Приведем доказательство этого равенства, как простои, но типичный
образец рассуждений о равенствах множеств.
Как мы говорили, два множества считаются равными, если каждый
элемент одного из них есть в то же время элемент другого. Таким
образом, мы должны показать, что каждый элемент х, входящий
в (А-\-В)С (левая часть), входит в АС-\-ВС (правая часть) и, обратно,
каждый элемент _у, входящий в АС-\-ВС, входит и в (А-\-В)С.
Пусть сначала х принадлежит (А-\-В)С. Будучи элементом пересе-
пересечения множеств А-\-В и С, элемент х должен входить в каждое иа
них; таким образом, мы имеем
х?А-\-В и х?С.
Так как х входит в объединение А и Д то х непременно входит
в одно из слагаемых, например в Л. Но включения х?А, х?С вле-
влекут за собой х?АС, откуда х?АС-\-ВС. Если же х входит не в Л,
а в В, то таким же образом получаем х ? ВС, х ? ЛС-|- ВС, что и
требовалось. Обратно, если у принадлежит сумме АС-\-ВС, то у при-
принадлежит одному из слагаемых, например у?ВС. Но тогда у?В и
у?С; далее, из^ ?В следует _у ? Л -{-В и окончательно у 6 (А *\- В) С.

10 МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Случай у ? АС разбирается аналогично, чем доказательство и завер-
завершается.
Следует, однако, заметить, что далеко не все арифметические
правила переносятся на операции с множествами. Например, для мно-
множеств Л. Д С имеют место формулы
= (А + В)(А-1ГС)У
уже непохожие на обычные арифметические равенства. Мы предлагаем
читателю самостоятельно убедиться в справедливости этих формул.
Укажем еще на некоторые принятые обозначения для сумм и
пересечений множеств. Для объединения множеств употребляются зна-
знаки 2 и U » так что, например, запись
со со
5=2Д или 5= U /lv
V=l V=I
означает объединение множеств Ati Л2, ..., Д,
Для пересечения множеств употребляются знаки Ц и П » так что,
например, записи
со
со
или ?>= П
V=I
означают пересечение множеств Аг, Л2, ..., А^ ...
Переходим теперь к операции дополнения.
Если множество В шляется подмножеством множества Л, то сово-
совокупность всех элементов множества Л, не принадлежащих В, назы-
называется дополнением множества В до множества А и обозначается СВ
или Л — В1).
Отметим очевидную формулу
(А — В)-\-В=А.
Заметим, что для двух произвольных множеств А и В формула
вообще неверна; она верна только в случае, когда А и В не имеют общих
элементов.
Из более сложных формул отметим следующую, которая часто
будет далее встречаться:
A)
х) С—начальная буква слова «complement» — дополнение (франц.).

§ 3] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ 1 1
прочитать ее можно так: дополнение к объединению некоторых мно-
множеств есть пересечение их дополнений.
Докажем справедливость этой формулы. Пусть x^C^Bj тогда
>» это означает, что при любом v я?Д, т. е. х?СД; но
тогда х ? XI ?Д. Обратно, если х ? XI СД, то х ? СД при любом v,
V V
т. е. х?Д при любом v; но тогда х?2Д»> т* е- -^€^2^» чт° и
требовалось.
Применяя к обеим частям равенства A) еще раз операцию С и обо-
обозначая ЛУ = СД, мы получим формулу
2 ел=с
¦ v
т. е. дополнение к пересечению некоторых множеств есть объеди-
объединение их дополнений.
Приведенные результаты можно соединить в форме общего пра-
правила: символ дополнения С можно менять местом со знаками 2
и II, при этом один из этих знаков переходит в другой.
§ 3. Эквивалентность множеств
Мы желаем теперь установить правила, по которым можно было бы
сравнивать различные множества по запасу элементов в них.
Для конечных множеств здесь никакой проблемы нет: пересчиты-
пересчитывая элементы каждого из двух конечных множеств А и Д мы можем
непосредственно выяснить, какое из этих множеств более богато эле-
элементами по сравнению с другим. Естественно называть конечные
множества А и В эквивалентными, если число элементов в них оди-
одинаково. Это определение эквивалентности, однако, непосредственно не
переносится на случай бесконечных множеств. Мы сейчас придадим
ему другую форму, в которой перенесение на бесконечные множества
уже станет возможным. Для этого заметим, что при установлении
эквивалентности или неэквивалентности конечных множеств А и В на
самом деле нет необходимости в пересчете элементов того и другого
множества. Например, если множество А есть множество слушателей
в аудитории, а В есть множество стульев в этой же аудитории, то
вместо того, чтобы пересчитывать отдельно слушателей и отдельно
стулья, можно предложить каждому слушателю занять один из сво-
свободных стульев, и тогда станет сразу ясно, без всяких подсчетов,
эквивалентны ли указанные множества или нет.
Процедура, которая производится в указанном примере, описывае-
описываемая абстрактным образом, есть установление соответствия между
множествами А и В,

12 множества [гл. i
Введем следующее важное определение. Если каждому элементу
множества А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент
множества Д и при этом всякий элемент множества В оказывается
сопоставленным одному и только одному элементу множества Л, то
говорят, что между множествами А и В установлено взаимно одно-
однозначное соответствие. Множества А и В в этом случае и называются
эквивалентными.
Это новое определение эквивалентности годится для любых мно-
множеств, не обязательно конечных; так, например, бесконечное множе-
множество А натуральных чисел 1, 2, ... эквивалентно множеству В целых
отрицательных чисел — 1, — 2, .. ., причем взаимно однозначное
соответствие между множествами А и В устанавливается посредством
правила: каждому числу п ? А сопоставляется число — п?В.
Точно так же множество натуральных чисел 1, 2, ... эквива-
эквивалентно множеству всех четных положительных чисел 2, 4, ...; соот-
соответствие между ними осуществляется по правилу п —> 2л.
На этом примере мы видим, что множество может быть эквива-
эквивалентно своему истинному подмножеству; ситуация такого рода, разу-
разумеется, можеу осуществляться лишь для бесконечных множеств.
Соотношение эквивалентности обозначается знаком ^. Легко
видеть, что это соотношение транзитивно: если Л-^Д а Л-^С, то
А~^С. Если два множества эквивалентны, то говорят также, что они
«равномощны», «имеют одну и ту
же мощность».
//\ Множество точек отрезка [0, 1]
f JI \\\ эквивалентно множеству точек
/ / i \ \ \
JII ^ V х
\ \ \ fi ! |Т
fi ! ! |Т
\
Рис. 2. Рис. 3.
любого другого отрезка [у, 8]; соответствие осуществляется, напри-
например, с помощью центрального проектирования, как показано на рис. 2.
Точно так же эквивалентны множества точек двух различных интер-
интервалов1).
Множество точек интервала эквивалентно множеству точек прямой
(рис. 3).
г) Отрезок [а, р] определяется неравенствами а^х^р (концы включены!),
интервал (a, jJ) — неравенстве ми я<х<р (концы не включены!).

§ 3] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ 13
Не так просто ответить на вопрос, эквивалентно ли множество
точек отрезка множеству точек интервала.
Имеется следующая общая теорема, которая, в частности, содержит
положительный ответ на этот вопрос:
Теорема (Ф. Бернштейн, 1898). Если множество А эквива-
эквивалентно части множества В, а множество В эквивалентно части
множества Л, то множества А и В эквивалентны.
Доказательство. Обозначим через 5, часть множества В, эквива-
эквивалентную множеству Л, и через Л, часть множества Л, эквивалентную множе-
множеству В. Во взаимно однозначном соответствии В ^ Аг элементы множества^
отвечают в Ах некоторым элементам, совокупность которых мы обозначим
через Л2. Мы имеем цепочку включений
AzDAtZD Av
причем А2^А, так как Az^Bl, В1^А. Если мы докажем, что А ^ Av то
теорема будет доказана (так как Ах ^ В). При взаимно однозначном отобра-
отображении Л на Л2 множество АхаА переходит в некоторое множество Л3 а Л2,
множество Л2 а Ах переходит в некоторое множество Л4 с Л3, множество
AsaA2 переходит в некоторое множество Л5 cz Л4 и т. д. Кроме того,
множество А — Ах переходит в Л2 — Л3,
множество Ах — А2 переходит в А3 — АЛУ
множество Аг —Аъ переходит в Л4 — Л5
и т. д.
Отсюда следует, что множества
Л — Alt Л2 — Л3, Л4 — AS} AQ — А7 и т. д.
попарно эквивалентны; объединение множеств без общих точек
(Л-Л1
эквивалентно объединению
Обозначим через D пересечение множеств Л, Аъ Л2, ... Имеют место сле-
следующие равенства:
? + Л Л3)-К.. A)
-Л4)+... B)
Докажем первое равенство. Пусть а?Л; покажем, что а входит в правую
часть равенства A). В самом деле, если а входит в каждое из множеств Аи
Л2, ...,то а?Д и утверждение доказано. Если же а не принадлежит какому-
либо из Ап, то пусть Ak — первое из таких множеств,так что заведомо a^Ak_x\
но тогда a?Ak — Ak_x и, следовательно, входит в правую часть.A). Обратно,
если а входит в правую часть A), то, очевидно, а? Л, так как каждое из сла-
слагаемых правой части есть подмножество множества Л.
Точно так же доказывается равенство B).
Равенства A) и B) можно записать в виде
Л3)+...], (о)
A5)+...]. D)

14 МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
В правых частях обоих равенств в первой квадратной скобке стоит одно и то
же множество, а во второй квадратной скобке — соответственно множества,
эквивалентность которых была доказана выше. Теперь легко установить экви-
эквивалентность множеств А и Ах. Именно, поставим в соответствие каждой точке
множества D + (Ах — А2) -\-(Л3 — Л4)-|- .. .а А эту же точку в множестве Ах;
й (А А) \ (Л2 — А) +
+ х 2 \C 4| у х
далее, каждой точке а множества (А — Аг) -\- (Л2 — А3) + • • • сопоставим ту
точку множества (Л2 — ^s)~t * • •» которая отвечает точке а в силу установ-
установленной выше эквивалентности этих множеств. Равенства C) и D) показывают,
что при этом сопоставлении исчерпываются все элементы множеств А и Ах.
Таким образом, между множествами А и Ах существует взаимно однозначное
соответствие, что и требуется.
Используя теорему Бернштейна, легко проверить, что множества
точек отрезка и интервала равномощны. Действительно, заданный от-
отрезок [а, р] содержит подмножество, эквивалентное множеству точек
заданного интервала (у, Ь) (любой внутренний к [а, [3] интервал),
а заданный интервал (у, Ь) содержит подмножество, эквивалентное мно-
множеству точек заданного отрезка [а, р] (любой внутренний отрезок).
Применяя теорему Бернштейна, получаем, что [а, р]"Му, о), что
и требовалось.
§ 4. Счетные множества
Определение. Множество, эквивалентное множеству всех на-
натуральных чисел, 1, 2, ..., называют счетным множеством.
Можно сказать иначе: множество счетно, если все его элементы
можно занумеровать всеми натуральными числами. Приведем несколько
простых теорем о счетных множествах.
1. Всякое бесконечное подмножество В счетного множества А
также счетно. Действительно, элементы В можно заново перенуме-
перенумеровать по порядку их следования в А (причем, поскольку В беско-
бесконечно, придется для нумерации использовать все натуральные числа).
2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных
множеств есть счетное множество.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух множеств.
Пусть имеются счетные множества А = («,, а2, . . .) и В=(ЬЛ, Ь2, ...)-
Выпишем в одну строку все элементы обоих этих множеств по сле-
следующему правилу:
аи ЬХУ av bv a b
z9
Теперь все эти элементы можно заново перенумеровать по порядку
следования в строке. Элемент, встречающийся два раза (т. е. такой,
который входит и в Л, и в В), естественно, приобретает номер
в первый pas, а во второй раз пропускается. В результате каждый
элемент объединения А и В получит свой номер, что и требуется.
Так, множество всех целых чисел 0, + 1, +2, ... счетно, как
объединение двух счетных множеств. 1, 2, 3, ... и 0, — 1, —2, ...

§ 4] СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Совершенно аналогичным образом теорема доказывается в случае
трех, четырех или .вообще любого конечного числа счетных множеств.
В случае счетной совокупности счетных множеств, например для со*
вокупности множеств
изменение будет только в том, что правило для записывания всех
элементов всех этих множеств в одну строку придется применить
несколько более хитрое, например:
в остальном же доказательство не изменяется.
3. Множество всех рациональных чисел (/и. е. чисел вида —
где р. и q — целые числа) счетно.
Действительно, множество всех рациональных чисел есть объеди-
объединение следующих счетных множеств:
1) множества Аг всех целых чисел л = 0, +1, 4^2, ...;
2) множества Л2 всех дробей вида -к-, л = 0, 4^1, 4^2, ...;
3) множества Л всех дробей вида -^-, л = 0,4^1,^2, ...;
п
k) множества Ak всех дробей вида —, л = 0, +1, ±2, ...
Множества Av Л2, ..., AkJ ... составляют счетную совокупность
множеств; так как каждое из них счетно, то в силу п. 2 и их объ-
объединение счетно, что и утверждалось.
4. Если А — (ах, ..., ак7 ...) и В=(Ьг, ..., Ьп, ...) — счет-
счетные множества, то множество всех пар (aft, bn) (k, л = 1, 2, .. .)
также является счетным.
, Действительно, множество всех этих пар распадается в счетную
совокупность счетных множеств
Ax = Uav bx)y (al9 Ьш)9 .... (а19 bn)t ...},
\ }
и в силу п. 2 является счетным множеством.

16 МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Этому примеру можно придать геометрический смысл: паре (ak, bn)
отвечает точка на плоскости с координатами ak, Ьп\ мы видим, в част-
частности, что множество всех точек плоскости, имеющих обе рациональ-
рациональные координаты, счетно.
5. Множество всех многочленов P(x)^ao-\-alx-\-, ..-\-апхп
(любых .степеней) с рациональными коэффициентами а0, а1У ..., ап
счетно. Множество всех многочленов указанного вида есть объеди-
объединение счетной совокупности множеств Лп(п = 0, 1,2, .-.), где Ап
означает множество многочленов степени ^п. Поэтому, имея в виду
теорему п. 2, достаточно показать, что каждое из множеств Ап
счетно. При л = 0 речь идет о счетности множества самих рацио-
рациональных чисел, которая установлена в п. 3. Далее будем действовать
по индукции: предположим, что доказана счетность множества АпЛ
и докажем счетность множества Ап + 1.
Каждый элемент множества Ап+1 можно записать в виде
где Q(x) — многочлен степени ^п с рациональными коэффи-
коэффициентами, т. е. элемент множества Ап, и ап+1 — рациональное
число.
Множество многочленов Q(x) по предположению счетно, и мно-
множество чисел ап+1 также счетно. Таким образом, каждому элементу
множества Ап+г можно сопоставить пару (Q (х), аи+1), каждая из
составляющих которой пробегает счетное множество значений. В силу
п. 4 множество Ап+1 также счетно, что и требовалось.
Замечание. Разумеется, в данном случае несущественно, что
мы рассматривали именно многочлены, т. е. линейные комбинации
степеней х. Можно было бы рассматривать линейные комбинации,
например, тригонометрических или иных функций. Можно вообще
вместо многочлена ао-\-ахх-\- .. . -\-апхп с рациональными коэффи-
коэффициентами рассматривать комплекс (а0, аг, ..., а ), каждая коорди-
координата которого — элемент некоторого счетного множества; приведен-
приведенное выше доказательство по сути дела показывает, что множество
всех таких комплексов также есть счетное множество.
6. Множество всех алгебраических чисел {т. е. корней много-
многочленов с рациональными коэффициентами) счетно.
Согласно п. 5 все многочлены с рациональными коэффициентами
мы можем занумеровать натуральными числами, так что эти много-
многочлены будут образовывать последовательность
Но каждый из указанных многочленов имеет некоторое конечное
число корней. Выписывая в одну строку сначала все корни много-

§ 5] МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 17
члена Рг (х), затем все корни многочлена Р2(х) и т. д., мы полу-
получаем возможность занумеровать и все алгебраические числа, что и
требовалось.
Задачи. 1. Доказать, что указанные ниже множества являются счетными*
а) Множество всех отрезков а^х^Ь с рациональными концами а и Ь.
б) Множество всех конечно-звенных ломаных на плоскости с вершинами
в рациональных точках.
2. Доказать, что следующие множества или конечны, или счетны:
а) Множество взаимно не пересекающихся интервалов на оси.
б) Множество замкнутых самопересекающихся линий в форме восьмерки
(на плоскости), не имеющих попарно общих точек.
в) Множество точек разрыва монотонной функции.
г) Множество М вещественных положительных чисел при условии, что
все конечные суммы j?j#/» Xj ? М, ограничены фиксированным числом Л.
Указания, а) Вкаждом из имеющиеся интервалов можно выбрать
по рациональной точке, б) Внутри каждой из двух половин восьмерки
выбрать по точке с рациональными координатами, в) Интервалы разрыва
(/(с —0), /(c-f-O)) монотонной функции /(х) не пересекаются, г) Вне лю-
любого отрезка @, е] может ;лежать лишь конечное число точек М.
Замечание. В. В. Грушин и В. П. Паламодов доказали аналогичные
утверждения для множества непересекающихся фигур на плоскости, имеющих
тройные точки (как у буквы Т), а также для множества непересекающихся
фигур в пространстве, содержащих особые точки типа «кнопки» или участки
типа «листа Мёбиуса».
3. Разложить множество натуральных чисел 1, 2, ... в счетную совокуп-
совокупность попарно не пересекающихся счетных множеств.
4. (Задача-шутка). I. Как-то в гости к математику X пришли его друзья
братья N. В передней они сн-яли шляпы и повесили на вешалку. Когда они
собрались уходить и стали надевать шляпы, оказалось, к величайшему кон-
конфузу хозяина, что одной шляпы не хватает. В переднюю за это время никто
не заходил.
II. Когда братья N снова пришли в гости к X (в шляпах), они опять пове-
повесили шляпы на вешалку в переднюю. Когда они стали, уходя, надевать шляпы,
одна шляпа оказалась лишней. Хозяин и гости твердо помнили, что до их
прихода на вешалке не было ни одной шляпы.
III. В следующий раз гости надели шляпы и ушли, а хозяин, проводив
гостей на улицу и вернувшись, обнаружил, что шляп на вешалке оказалось
столько же, сколько было до ухода гостей.
IV. Наконец, в четвертый раз гости пришли без шляп, а уходя, восполь-
воспользовались шляпами, оставшимися от прошлого посещения. Проводив гостей*
хозяин опять увидел шляпы на вешалке, — столько же, сколько было до при-
прихода гостей.
Как объяснить все эти парадоксальные события?
См. указание на стр. 23.
§ 5. Множества мощности континуума
Оказывается, что существуют бесконечные множества, элементы
которых нельзя перенумеровать натуральными числами. Такие мно-
множества называются несчетными. Типичным примером несчетного мно-
множества является континуум — множество всех, точек какого-либо
отрезка.
2 г. Е. Шилов

18 МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Теорема 1 (Г. Кантор, 1874). Множество всех точек отрезка
O^x^l несчетно.
Доказательство. Допустим, что, напротив, множество всех
точек отрезка [0, 1] счетно и все их можно расположить в последо-
последовательность a:,, ATj, ..., хп1 ... Имея эту последовательность, по-
построим следующим образом последовательность вложенных друг
в друга отрезков.
Разделим отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находи-
находилась точка х,, она не может принадлежать одновременно всем трем
ГЛ 11 Г 1 2] B Л
отрезкам 0, ¦«- , т > -о- » т» Ч » и сРеДи них можно указать
L 6 л I6 6 J I 6 J
такой, который не содержит точки хг (ни внутри, ни на границе);
этот отрезок мы обозначим через Дх. Далее, обозначим через Д2 ту
из трех равных частей отрезка Д1? на которой не лежит точка х2.
Когда таким образом будут построены отрезки А1зД2Г)... :эДп, мы
обозначим через Дп+1 ту из трех равных третей отрезка Дп, на ко-
которой не лежит точки xn+v и т. д. Бесконечная последовательность
отрезков Д1Г)Д2Г)... в силу известной теоремы анализа имеет общую
точку ?. Эта точка ? принадлежит каждому из отрезков Дп и, следо-
следовательно, не может совпадать ни с одной из точек хп. Но это пока-
показывает, что последовательность xlt х&1 ..., хп1 ... не может исчер-
исчерпывать всех точек отрезка [0, 1], в противовес первоначальному
предположению. Теорема доказана.
Мы видели, что все рациональные числа отрезка [0, 1] составляют
счетное множество. Остальные числа отрезка называются иррациональ-
иррациональными; таковы, например, 1/~, -т и т. д. Мы видим теперь, что
иррациональных чисел «значительно больше», чем рациональных: точ-
точнее говоря, иррациональные числа образуют заведомо несчетное мно-
множество (иначе, если бы множество иррациональных чисел было счет-
счетным, то было бы счетным и множество всех чисел O^x^l, как
объединение двух счетных множеств). Более того, так как алгебраи-
алгебраические иррациональные числа (корни многочленов с рациональными
коэффициентами) образуют также счетное множество (§ 4), то несчетное
множество составляют числа, не являющиеся корнями многочленов
с рациональными коэффициентами,— трансцендентные числа.
Между прочим, приведенное рассуждение доказывает и само суще-
существование трансцендентных чисел—нисколько не очевидное заранее.
Всякое множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка
[О, 1], называется множеством мощности континуума.
Мы видели, что множества точек любого отрезка [а, ?], любого
интервала (а, C) и, наконец, всей прямой — оо<^х<Соо эквивалентны
множеству точек отрезка [0, 1] и, следовательно, все они имеют мощ-
мощность континуума. Следующие теоремы позволяют указать новые
широкие классы множеств мощности континуума.

§ 5] МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 19
Первая из теорем относится к любому бесконечному множеству;
Теорема 2. Если к бесконечному множеству А добавить
конечное или счетное множество В, то в су^ме получится мно*
жество, эквивалентное исходному множеству А.
Для доказательства выберем в множестве А произвольным образом
счетное подмножество С, и пусть ?) = Л — С. Имеем
A-\-B=D-\-C-\-B.
Множества Си #счетны, поэтому и объединение С-\-В—также счет-
счетное множество; существует, следовательно, взаимно однозначное ото-
отображение С на С-\~В. Используя это отображение (соответствие) и,
кроме того, приведя в Соответствие точкам множества D эти же самые
точки, получим искомое взаимно однозначное соответствие между
множествами А и А-^-В1).
Следствие 1. Если из бесконечного множества Q выбросить
конечное или счетное множество В, то остаток A = Q — В, если
он представляет собой снова бесконечное множество, эквивалентен
множеству Q.
Это вытекает из равенства Q = A-\-Bb результате применения
к множеству А только что доказанной теоремы.
Следствие 2. Множество иррациональных чисел имеет мощ-
мощность континуума; такую же мощность имеет и множество
трансцендентных чисел.
Прежде чем переходить к следующим теоремам, рассмотрим так
называемую двоичную запись вещественных чисел.
Ограничимся вещественными числами, принадлежащими отрезку
[О, 1]. Точка -у делит этот отрезок на две равные части, которые мы
обозначим через До= 0, у и A,— U-, 1 . Отрезок До делится
на две равные части точкой -т-\ мы обозначим их через Доо = 0, -j\
j_ _1_
7 ' 2
и д„,= — , -тс - Аналогично точка — делит пополам отрезок
[131 Г 3 1
~2 ' Т > ^и == Т ' Ч ' Продолжая процесс деления
пополам, получим восемь отрезков Д , Д , ..., Д длины —,.
о
шестнадцать отрезков ДО0ОО, Д0001, ..., ДП11 длины ^ и т. д. Гра-
р
ничные точки всех этих отрезков имеют вид -^, где р и q—нату,-
!) Эта теорема, между прочим, позволяет сделать вывод об эквивалентности
отрезка и интервала без применения теоремы Бернштейна.

20 МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
ральные числа; эти точки — образующие, очевидно, счетное множе-
множество, — называются двоично-рациональными. Остальные точки отрезка
[О, 1] называются двоично-иррациональными; их множество имеет
мощность континуума. Совокупность всех отрезков построенной си-
системы обозначим через Д.
Для каждой точки ? ? [0, 1] можно указать последовательность
отрезков системы Д, вложенных друг в друга, имеющих длины, соот-
111 "
ветственно равные -тг, Х' •••» од» •••» и содержащих точку ?.
Действительно, точка ? принадлежит одному из отрезков До, Дг; если
она принадлежит, например, До, то она принадлежит Доо или До1
и т. д. Таким образом, для всякой точки ? получаем:
Д? ID Д? с ID Де ID ... ID Д ID. -}? A)
(числа вп суть нули или единицы). ,Имея систему включений A),
мы можем сопоставить точке ? последовательность из нулей и
единиц:
Символ B) определяет двоичную запись вещественного числа ?.
По последовательности B) само число ? однозначно восстанавли-
восстанавливается:
со
Е=У?; C)
. 2'
действительно, частичные суммы ряда C) суть левые концы проме-
промежутков, участвующих во включениях A); очевидно, что эти левые
концы образуют монотонную (неубывающую) последовательность,
сходящуюся к значению ?.
Более того, можно с самого начала взять произвольную последо-
последовательность B) из нулей и единиц и построить число ? по формуле C).
Легко видеть, что это число ? будет пересечением отрезков соответ-
соответствующей системы A). Таким образом, в наше построение вовлечены
все возможные последовательности из нулей и единиц.
Если точка ? не является двоично-рациональной, то все отрезки,
участвующие во включениях A), определяются ею однозначно. Если
же ? двоично-рациональна, то она является общим концом двух сосед-
соседних равных отрезков системы Д и на некотором шаге нашего процесса
можно будет по произволу выбрать любой из них. Если мы возьмем
правый, то все последующие отрезки придется брать левыми и все
последующие числа в символе B) будут равны единице. Если же мы
возьмем левый отрезок, то все последующие отрезки придется брать
правыми и все соответствующие числа в символе B) будут равны

§ 5] МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 21
нулю. Обратно, если в символе B) все числа, начиная с некоторого
места, нули или же единицы, то число ? двоично-рационально, что
вытекает непосредственно из формулы C).
Итак, множество двоично-иррациональных чисел находится во взаимно
однозначном соответствии с множеством последовательностей из нулей
и единиц, содержащих бесконечное число как нулей, так и единиц;
множество двоично-рациональных чисел находится во взаимно одно-
однозначном соответствии с множеством последовательностей, у которых
все элементы, начиная с некоторого номера, нули, а также с множе-
множеством последовательностей, у которых все элементы, начиная с неко-
некоторого номера, единицы.
Теперь мы можем переходить к очередной теореме.
Теорема 3. Множество всех последовательностей, состоящих
из нулей и единиц, имеет мощность континуума.
Доказательство. Рассматриваемое множестве^ есть объедине-
объединение трех множеств: множества последовательностей, содержащих бес-
бесконечное число как нулей, так и единиц, множества последовательностей,
содержащих лишь конечное число нулей, и множества последователь-
последовательностей, содержащих лишь конечное число единиц. По доказанному
первое из них эквивалентно множеству всех двоично-иррациональных
чисел и имеет тем самым мощность континуума; два других множества,
эквивалентные множеству двоично-рациональных чисел, счетны. В силу
теоремы 1 само множество всех последовательностей из нулей и еди-
единиц имеет мощность континуума, что и требуется.
Теорема 4. Множество всех возрастающих последователь-
последовательностей натуральных чисел
(О <) ft, <*,<... <*„<•••
имеет мощность континуума.
Доказательство. Каждой последовательности D) можно сопо-
сопоставить последовательность нулей и единиц, в которой единицы стоят
на местах с номерами &,, &2, ..., kn, ... и нули — на остальных
местах. Очевидно, что такое сопоставление приводит к взаимно одно-
однозначному соответствию между множеством всех возрастающих после-
последовательностей натуральных чисел и всех последовательностей, со-
состоящих из нулей и единиц. По доказанному второе множество имеет
мощность континуума; вместе с ним и первое множество имеет мощ-
мощность континуума, что и требовалось.
Теорема 5. Множество всех последовательностей натураль-
натуральных чисел
т1У т2, .... тп, ... E)
(не обязательно возрастающих) имеет мощность континуума.

22 множества [гл. т
Доказательство. Каждой последовательности натуральных
чисел E) можно сопоставить возрастающую последовательность
Очевидно, что такое сопоставление приводит к взаимно однозначному
соответствию между множеством всех последовательностей натураль-
натуральных чисел и множеством возрастающих' последовательностей. Второе
множество, как мы показали, имеет мощность континуума; следова-
следовательно, и первое имеет мощность континуума.
Теорема 6. Множество Z всех последовательностей вещест-
вещественных чисел
имеет мощность континуума.
Доказательство. В силу теоремы 5 каждому значению ?я
можно сопоставить последовательность натуральных чисел
и, следовательно, символу $ можно сопоставить таблицу
Р\\Р\2 ' « ' P\k ' * '
P2I Р22 ' * •
Pni Рпг • • • Pnk " • •
Но все элементы этой таблицы можно записать в простую последо-
последовательность (ср. § 4;):
Таким образом, символу ? сопоставляется последовательность нату-
натуральных чисел. Очевидно, что и, обратно, каждая последовательность
натуральных чисел может быть получена этим путем из некоторого
символа ?. Мы видим, что совокупность всех символов ? эквивалентна
совокупности всех последовательностей натуральных чисел и, следо-
следовательно, по теореме 5 имеет мощность континуума.
Доказательство аналогичной теоремы проходит — с соответствую-
соответствующими упрощениями — и для случая, когда символ ? определяется
только конечным числом координат, а не счетным:
? = &. .... Ю-
Если считать, что каждая из координат ?и ..., ?и пробегает веще-
вещественную ось, то мы получаем вывод, что множество всех точек
п-мерного пространства при любом п имеет мощность континуума.

§ 6] МНОЖЕСТВА ВЫСШИХ МОЩНОСТЕЙ 23
В частности, множество всех комплексных чисел (или, что то же,
множество точек плоскости) имеет мощность континуума.
Замечание. Очевидно, нет никакой надобности считать каж-
каждую координату ?и именно вещественным числом: теорема полностью
сохраняется, если координата ?и пробегает любое множество мощности
континуума.
Теорема 7. Множество С {а, Ь) всех непрерывных функций f(x),
определенных на отрезке [ау Ь\, имеет мощность континуума.
Доказательство. Пусть гх, /*,,...,/*„, ... — последователь-
последовательность всех рациональных точек отрезка [а, Ь]> Поставим в соответ-
соответствие каждой непрерывной функции f(x) последовательность вещест-
вещественных чисел— значений функции f(x) в точках rlt r2, ...,rn, ...:
При этом двум различным функциям f(x) и g(x) будут отвечать
различные последовательности {/(/"„)} и {?"(/"„)}•, поскольку две не-
непрерывные функции, совпадающие во всех рациональных точках, со-
совпадают и всюду. Таким образом, множество С(а, Ь) всех непрерыв-
непрерывных функций можно считать эквивалентным некоторой части множе-
множества всех числовых последовательностей. С другой стороны, множество
всех числовых последовательностей имеет по теореме 5 мощность
континуума и тем самым эквивалентно части множества С(а, Ь)> со-
состоящей из постоянных. В силу теоремы Бернштейна (§ 3) множество
С(а, Ь) эквивалентно множеству всех числовых последовательностей
и имеет вместе с ним мощность континуума.
Задачи. 1. Доказать, что множество всех непрерывных функций f(x, y)t
определенных в квадрате |я|г^1, |.у|^1, имеет мощность континуума.
2. Функция f(x)(a^x^b) называется функцией первого класса Бэра,
если она есть предел последовательности непрерывных функций:
/ (х) — lim /„ (х), /„ (х) б С (а, Ь),
п ->¦ со
сходящейся в каждой точке отрезка. Доказать, что мощность множества всех
функций первого класса Бэра равна мощности континуума.
Указание к задаче 4 § 4. Множество братьев Л7" —счетное
множество.
§ 6. Множества высших мощностей
Если множества А и В неэквивалентны, но одно из них, например Л, экви-
эквивалентно некоторому подмножеству множества В, говорят, что множество В
имеет большую мощность, чем множество А. Так, счетное множество имеет
большую мощность, чем любое конечное, континуум — большую мощность,
чем счетное множество.
Существуют множества более высокой мощности, чем мощность конти-
континуума. Более того, если имеется множество некоторой мощности, всегда
можно построить множество большей мощности, пользуясь следующей
теоремой:

24 множества [гл. i
Теорема (Г. Кантор, 1878). Пусть дано множество А, и В есть
совокупность всех подмножеств множества Л. Утверждается, что
мощность множества В заведомо больше мощности множества А,
Доказательство. Предположим, что существует взаимно однозначное
соответствие между множествами А и В, иными словами, что каждому элемен-
элементу х множества А взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножест-
подмножество Ах этого множества. Элемент х может принадлежать подмножеству Ах
или не принадлежать; первая возможность осуществляется, например, дли
подмножества Ах, совпадающего со всем множеством А, вторая — для пустого
подмножества. Элементы первого типа назовем «хорошими», элементы вто-
второго типа — «плохими». Соберем все плохие элементы х, т. е. не принадле-
принадлежащие соответствующим подмножествам Axt и пусть Z означает их совокуп-
совокупность. В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами
множества А и его элементами подмножеству Zотвечает некоторый элементе.
Исследуем две возможности: С или хороший элемент, или плохой. Если С —
хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству,
т. е. ??Z. Но Z по построению состоит из плохих элементов, так что первая
возможность исключается. Если С — плохой элемент, то он не принадлежит
соответствующему подмножеству: ??Z. Но Z по построению содержит все
плохие элементы; поэтому и вторая возможность исключается.
Мы получили противоречие: ? не может быть ни хорошим, ни плохим
элементом. Следовательно, исходная посылка — эквивалентность множества А
и множества В всех подмножеств А — неверна, эти множества не эквивалентны.
Так как само множество А, очевидно, эквивалентно части множества В (со-
(состоящей из одноэлементных подмножеств), то мы делаем вывод, что мно-
множество В имеет большую мощность, чем множество А. Теорема доказана.
Примеры, L Легко подсчитать, что конечное множество, содержащее п
элементов, имеет ровно 2" различных подмножеств (включая пустое).
2. Множество всех подмножеств счетного множества совпадает, очевидно,
с множеством всех последовательностей различных натуральных чисел »
имеет, следовательно, мощность континуума.
3, Множество всех подмножеств континуума можно реализовать как неко-
некоторое множество функций, определенных на отрезке [0, 1]. Именно подмно-
подмножеству А этого отрезка сопоставляется функция /л(я), равная 1 при х?А и О
при х?А (характеристическая функция множества Л). Множество всех таких
функций имеет, следовательно, мощность большую, чем мощность континуума.
И подавно, множество всех функций на отрезке [at b] .имеет мощность выше
мощности континуума. Напомним, что множество непрерывных функций на
отрезке имеет мощность континуума (§ 5, теорема 7).
Заключительное замечание. Основные идеи теории множеств
были сформулированы впервые в конце XIX века в работах Георга
Кантора (нем. математик, 1845—1918) и с тех пор проникли в самые
разные области математики, в значительной мере завершив формиро-
формирование ее языка. Для более подробного ознакомления можно рекомен-
рекомендовать книги Ф. Хаусдорфа «Теория множеств» (ОНТИ, Москва —
Ленинград, 1937) и A. Fraenkel'fl «Foundation of Set Theory»
(Amsterdam, 1958).

ГЛАВА II
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение и примеры метрических пространств, Изометрия
Одним из важнейших понятий в математическом анализе является
понятие предельного перехода; оно лежит в основе таких фунда-
фундаментальных для анализа операций, как дифференцирование и интег-
интегрирование.
По определению последовательность вещественных чисел хп имеет
пределом число я, если расстояние между хп и х, т. е. модуль раз-
разности х — хп, стремится к нулю при п—> оо. Таким образом, понятие
предельного перехода основано на возможности измерять расстояние
между точками вещественной оси. Точно так же понятие предельного
перехода на плоскости или в многомерном пространстве основано на
возможности измерять расстояние между точками в соответствующих
множествах. Мы введем далее понятие метрического пространства; та^
будет названа совокупность объектов, для которых указаны взаимные
«расстояния», удовлетворяющие некоторым естественным условиям. На-
Наличие расстояний позволит ввести и изучить свойства предельного
перехода «в чистом виде», т. е. независимо от природы элементов,
участвующих в этом построении.
1. Определение. Произвольное множество М некоторых эле-
элементов, («точек») х, yt . . . называется метрическим пространством,
если: 1) имеется правило, которое позволяет для любых двух точек
х, у построить число р(х, у) («расстояние от х до_у»), 2) это правило
удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам):
1) р(_у, х) = р(х, у) для любых х и у (симметрия расстояния);
2) р(х> _у)^>0 при х=^=у; р(х, х) = 0 для любого х\
3) р(ху z)^p(x, y)-{-p(y9 z) для любых х, у у z (неравенства
треугольника).
Примеры. 1. Любое множество М на вещественной прямой R
является метрическим пространством с расстоянием р (х, у)=\х—у\.

26 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Точно так же множество М в плоскости Rz или в трехмерном про-
пространстве /?3 является метрическим пространством, если считать рас-
расстоянием между точками (для определенности — в Rz) x = (?1, ?2, ?8)
и _у = (г^, rj2, rj8) обычное геометрическое расстояние
р (х, у) =
Неравенство треугольника (аксиома 3) здесь есть обычное геометриче-
геометрическое неравенство: третья сторона треугольника не больше суммы двух
других сторон.
Аналогично в /г-мерном пространстве Rn расстояние между точками
jc = (?1, . . ., ?„), y=z(riv . . ., 7jn) можно определить формулой
т J
поэтому любое множество М в /г-мерном пространстве является метри-
метрическим пространством с расстоянием A).
Выполнение аксиом 1 и 2 здесь очевидно. Для проверки выполне-
выполнения аксиомы 3 применим неравенство Коши *)
F J— * г /— *
П
которое имеет место для любых чисел av ..., ап, bv ..., bn*
Полагая в этом неравенстве а- = ?• — 7]., bj-=^r^ — ^, мы находим:
^>2 (*, z) = 2 (Еу - С/ = 2 [E/ - Чу) + A/ - Су)]2 =
y=i y=i
= 2 (S/ - ЧуI + 2 .2 (Еу - Чу) (Чу - Су) + 2 (Чу - С/У
J — 1
П
2 (S/ - чуJ+2 т/?2 (?/ - чуI1/?2 (чу - СуJ +
> z)Y>
что и требуется.
х) Приведем доказательство этого неравенства. Обозначим Л
}' ^-==2аЛ'» нам НУЖНО доказать, что
Это неравенство будет вкполнено, если многочлен второй степени

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. ИЗОМЕТРИЯ 27
2. В задачах анализа, как правило, встречаются пространства,
элементами которых являются функции (функциональные пространства).
Введение той или иной метрики в функциональных пространствах
зависит от требований задачи. Когда имеется расстояние, то ясно,
что близкими надо считать те элементы, расстояние между которыми
мало. В анализе по большей части приходится начинать с обратного:
по условиям задачи видно, какие элементы естественно считать
близкими и соответственно этому каким образом следует вводить
определение расстояния.
Например, часто бывает естественным считать непрерывные функ-
функции x(t) и у (t) (a^t^b) близкими, если мала величина
max | х (t) —у (t) | . Эту величину можно принять за определение
расстояния между функциями х (t) и у (t); оно, очевидно, удовлетво-
удовлетворяет аксиомам 1—3, и поэтому любое множество /И непрерывных
функций, определенных на отрезке [а, &], с введением расстояния
по формуле
р(х, y) = mbx\x(t)—y(t)\ B)
tb
становится метрическим пространством.
3. В некоторых случаях (например, в вариационном исчислении),
когда речь идет о функциях, имеющих производные до порядка k,
естественно считать близкими такие элементы х (t) и у (t), у которых
при всех значениях t близки не только значения самих функций, но
и значения их производных до порядка k. Этому отвечает формула
расстояния
= max {| х (t) —у (t)\,\ x (t) —у' (t) |, ... , [ xik) (t) —y(k) (t) \}. C)
b
Если взять некоторое множество функций x(t), имеющих непрерыв-
непрерывные производные до порядка &, то с введением расстояния по фор-
формуле C) оно становится, очевидно, метрическим пространством.
4. В других случаях (например, в теории интегральных уравнений)
естественно считать функции x(t) и у (t) близкими, если они близки
в интегральном смысле, т. е. если мала величина
J
не имеет различных вещественных корней. Но
р о-)=2 *Т+2 2 <W+2ь)=
так что многочлен Р(\) может иметь не более одного вещественного корня
*=——*-=... = -. Таким обраасы, неравенство (*) справедливо.

28 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I?
Здесь естественно ввести расстояние по формуле
Ь
\x{t) —y(t)\dt. D)
Очевидно, что аксиомы метрического пространства здесь также
удовлетворяются.
5. Иногда бывает нужно определять близость между функциями
с помощью интеграла не от первой, а от какой-либо другой, напри-
например />-й, степени разности между этими функциями; соответствующее
расстояние может быть задано формулой
— y(t)\pdt. E)
При р ^ 1 это определение также удовлетворяет аксиомам метриче-
метрического пространства. Правда, проверка выполнения аксиомы 3
(за исключением простых случаев р=.\ и р=2) становится более
сложной; мы ее приводить здесь не будем1).
Таким образом, определение метрического пространства представ-
представляется достаточно гибким, чтобы удовлетворить самым разнообразным
конкретным запросам математического анализа. В дальнейшем
на материале всего нашего курса мы убедимся в справедливости
этого соображения.
Метрическое пространство всех непрерывных функций на отрезке
a^t^b с расстоянием, определенным по формуле B), обозначается
через С(а, Ь). Метрическое пространство всех непрерывных функций
на [а, Ь], имеющих непрерывные производные до порядка к, с рас-
расстоянием, определенным по формуле C), обозначается через Dk(a, b)\
можно положить D0(a, b) = C(a, b). Метрическое пространство всех
непрерывных .функций на [а, Ь] с расстоянием E) обозначается
через Ср(а, Ь).
2. Неравенство, выраженное аксиомой 3, можно обобщить на слу-
случай любых элементов xlt хг, ..., хт. Именно имеет место следующее
неравенство:
Оно получается путем последовательного применения аксиомы 3:
Р (*i> Хя) < р (Х1У Х2)+Р {Хж, Хя) ^ р (^lf Х2)+Р (Хл, Хг)+? (Xv Хт)
Отметим следующее простое свойство расстояний, которое можно
называть «неравенством четырехугольника»: для любых четырех
1) См. гл. IV, § 5, п. 3.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. ИЗОМЕТРИЯ 29
точек х, у, z, и метрического пространства
|p(x, z) — p(y, «)|^p(x, y)-\-p(z, и). A)
Геометрически это означает, что разность двух сторон четырехуголь-
четырехугольника не превосходит суммы двух других сторон. Доказательство вы-
вытекает из неравенств
р(х, z)^p(x, у)+ 9 {у, иL-р(и, г),
х) + р(х, z)-\-?(zy и),
если из первого вычесть р (_у, и), а из второго р (х, z). При z = u
неравенство четырехугольника обращается во второе неравенство
треугольника
|р(х, г) — р(у, s)|<p(x, у), B)
которое также часто применяется.
3. В теории множеств существенную роль играло понятие эквива-
эквивалентности. Два эквивалентных множества, т. е. два множества,
находящихся во взаимно однозначном соответствии, с точки зрения
чистой теории множеств были абсолютно равноправными, хотя бы
они состояли из совершенно различных по природе элементов. После
того как было установлено, например, что множество точек отрезка
и множество непрерывных функций, заданных на этом отрезке, имеют
одинаковую мощность, в теории множеств уже нет никакого смысла
обращаться с этими множествами, как%с различными.
Но если два рассматриваемых нами множества являются метри-
метрическими пространствами (и интересуют нас именно как таковые), то
теоретико-множественной эквивалентности уже недостаточно для того,
чтобы мы считали такие два пространства равноправными, так как
метрические соотношения у них могут быть совершенно различными.
Например, эквивалентные как множества метрические пространства
точек отрезка [а, Ь] и непрерывных функций на этом отрезке неоди-
неодинаковы по метрике — хотя бы потому, что в первом пространстве
взаимные расстояния между элементами ограничены постоянной b — а,
а во втором—ничем не ограничены; можно указать и много других
различий. Поэтому естественно ввести следующее определение:
Два метрических пространства называются изометричнымщ если
между элементами этих пространств можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие, сохраняющее расстояние между соответствую-
соответствующими парами элементов.
Иными словами, если М и М' — изометричные пространства и эле-
элементам х, у пространства Ж соответствуют элементы х\ у' простран-
пространства М, то р(х, у)=.р(х\ у').
Например, пространства С@, 1) и С@, 2) непрерывных функций
на отрезках [0, 1] и [0, 2] соответственно являются изометричными.

30 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Соответствие между их элементами можно установить по формуле
С@, 1)Э*(')^/(') =
Легко видеть, что это соответствие взаимно однозначно и сохраняет
расстояния, что и требуется.
§ 2. Открытые множеств»
1. Совокупность всех точек х метрического пространства М, от-
отстоящих от данной точки xQ на расстоянии, меньшем заданной
величины г]>0, так что
называется шаром (точнее, открытым шаром) радиуса г; точка xf
есть центр этого шара. Совокупность всех точек х, удовлетворяю
щих неравенству
р(х, хо
называется замкнутым шаром радиуса г. Наконец, точки, находя
щиеся точно на расстоянии г от точки х0, так что
образуют сферу радиуса г с Центром в д;0. Введем следующее важное
определение.
Множество U в метрическом пространстве М называется откры-
открытым множеством или областью, если каждая точка х0 множества U
является внутренней точкой этого множества, т. е. входит в это
множество вместе с некоторым открытым шаром (радиус которого,
вообще говоря, зависит от точки д;0) с центром в точке xQ.
Так, открытый шар с центром в некоторой точке xt
U={xi р(дг, *!)</¦}"
есть открытое множество. Действительно, пусть xQ ^ ?/, так что
Р(хо> ^) = 6<^г. Рассмотрим шар ?/0 с центром в точке х0 радиуса
ге<^г — 6; мы утверждаем, что шар ?/0 целиком-входит в шар U.
Действительно, для любого x?U0 по неравенству треугольника
что и требуется.
Операции с открытыми множествами. Объединение
открытых множеств в любом числе есть, очевидно, тоже открытое
множество.

§ 2] ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА 31
Пересечение открытых множеств в конечном числе также приво-
приводит к открытому множеству. Действительно, пусть точка х0 принад-
принадлежит открытым множествам Ult ?/2, ..., Um и входит в первое
из них вместе с шаром радиуса гг (с центром в л;0), во второе —
с шаром радиуса г2 и т. д.; тогда шар с центром в х0, радиуса
min (r1? ..., гт)у содержится в каждом из множеств Uv ..., Um и,
следовательно, содержится и в их пересечении.
Для бесконечного числа открытых множеств приведенное рассуж-
рассуждение не пройдет, так как минимум (точнее, точная нижняя грань)
бесконечного числа положительных чисел может быть равным нулю.
И действительно, пересечение бесконечного числа открытых множеств
{ 4-} (л=1, 2, ...)
содержит только те точки х, для которых р (лг, хо) = О, т. е.,
согласно аксиоме 1, только точку х0; это пересечение не есть, таким
образом, .открытое множество.
2. На оси —оо<^л:<^оо всякий интервал j*a, C) (ограниченный
или неограниченный) есть, очевидно, открытое множество. Открытым
множеством является также конечное или счетное объединение
интервалов (av, f3v) (v=l, 2, ...) без общих точек. Покажем, что
каждое открытое множество U на оси есть конечное или счетное
объединение интервалов без общих точек.
Рассмотрим произвольную точку x?U. Согласно определению
точка х входит в множество U вместе с некоторым шаром, т. е.
вместе с некоторым интервалом оси, содержащим точку х. Мы построим
сейчас наибольший интервал, содержащий точку х и содержащийся
целиком в множестве U.
Обозначим через S множество точек, лежащих правее х и не при-
принадлежащих U. Если S пусто, то вся полупрямая (х, оо) входит в U.
Если 5 не пусто, то оно обладает точной нижней гранью ?. Эта
точка S заведомо не входит в U, так как у любой точки множества U
есть окрестность, целиком входящая в U и не содержащая тем
самым ни одной точки множества 5, а точка $, как точная нижняя
грань множества 5, в любой своей окрестности содержит точки из 5.
В частности, ?=^х. Очевидно также, что весь интервал (х, S)
входит в U.
.Аналогичное построение произведем слева от точки х; мы полу-
получим там содержащийся в U интервал (ij, x), левый конец которого
не входит в U (причем возможно, что этот интервал есть вся полу-
полупрямая (—оо, х)).
Итак, по заданной точке х ? U мы построили интервал Gj, S),
принадлежащий множеству U и такой, что его концы (из которых
один или оба могут быть в бесконечности) уже не входят в множе-

32 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
ство U. Такого рода интервалы называются составляющими интер-
интервалами открытого множества U.
Если два составляющих интервала {riv ?T) и (rj2, $2) имеют общую
точку х0, то они целиком совпадают; действительно, неравенство,
например ?,<С$2, невозможно, так как точка ? , с одной стороны,
как внутренняя точка интервала (х0, $2), должна принадлежать мно-
множеству ?/, а с другой стороны, как концевая точка интервала (х0, $а)
она не может входить в U. Поэтому все множество, U есть объеди-
объединение составляющих интервалов, не имеющих попарно общих точек.
Такое объединение не может быть более чем счетным, поскольку
в каждом из составляющих интервалов множества U можно выбрать
по рациональной точке, а рациональных точек — счетное множество.
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
Задачи. 1. Если множество Е на прямой покрыто произвольной систе-
системой интервалов, то из нее можно выделить (не более чем счетную) под-
подсистему, также покрывающую Е.
Указание. Отметить те интервалы с рациональными концами, которые
входят в интервалы покрытия, и оставить по одному из интервалов покрытия,
содержащих данный отмеченный интервал.
2. Если множество Е на плоскости покрыто произвольной системой кругов,
то из нее можно выделить (не более чем счетную) подсистему, также покры-
покрывающую Е.
Указание. См. задачу 1.
3. Говорят, что метрическое пространство М обладает счетной, базой,
если существует такая счетная система открытых множеств Ult U2>..., Uni...,
что для любой точки х?М и любой области U, содержащей точку х, найдется
множество Uk такое, что x?UkczU. Показать, что теорема, аналогичная
утверждениям задач 1 и 2, справедлива в любом метрическом пространстве
со счетной базой.
4. Доказать, что множество Ео внутренних точек любого множества Е
открыто (если не пусто).
5. Доказать, что совокупность всех открытых множеств на прямой имеет
мощность континуума.
Указание. Использовать теорему 6 § 5 гл. I.
§ 3. Сходящиеся последовательности и замкнутые множества
1. Будем говорить, что последовательность точек xv хг, ... , лгу, ...
метрического пространства М сходится к точке х того же про-
пространства, если
lim р(д;, jcv)=O,
иначе говоря, последовательность лг1, лг2, ... сходится к х, если в лю-
любой шар с центром в точке х попадают все точки последователь-
последовательности хх, х21 ... , начиная с некоторого номера.
Точка х называется пределом последовательности xv х2, ... , Jtrv, ...
и обозначается limjt:v.

§ 3] СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 33
Нетрудно показать, что элемент х определяется при этом одно-
значно. Действительно, если бы мы имели соотношения
lim о(х. лг) = О, lim p(v, д:) = 0,
V->00 V->00
то для заданного s>0 мы могли 6ц указать номер N, начиная
с которого выполнялись бы неравенства
и, следовательно, по неравенству треугольника
р (*, .У y y
Так как в полученном неравенстве s произвольно мало, то
Р(*, .У) = 0,
откуда в силу аксиомы 2
что и требуется.
Примеры. 1. Пусть метрическое пространство М лежит в л-мер-
ном пространстве Rn (§ 1, пример 1), так что расстояние между
точками x — (?v ... , Sn) п у = (ц17 ... , 7]п) задано формулой
Выясним, что означает сходимость последовательности
•*V 1^1 » ^2 ) ••• > ^П ) IV 1» /, ...)
к точке
Так как
то р(лг, л:ч) стремится к нулю при v—>-оо тогда и только тогда,
когда все числовые последовательности ^*\ ?2V), -. , S«v) (v= 1, 2, ...)
при v—>-оо сходятся соответственно к пределам ^, ?2, -. , Srt.
Кратко это выражают так: сходимость в Rn есть сходимость по всем
координатам.
2. Сходимость последовательности функций xyf(t)^C(ai b)
к функции x(t) означает, что при V—»оо
р (х, х,) = sup | л; (^) — x
В анализе такая сходимость называется равномерной сходимостью.
3 Г. Е. Шилов

34 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П
3. Сходимость последовательности функций x4(t) из пространства
С (а, Ь) к функции x(t) означает, что при v—>-оо
ь
В анализе такая сходимость называется сходимостью в среднем
порядка р или просто сходимостью в среднем, если р фиксировано.
Всякая равномерно сходящаяся последовательность функций, очевидно,
сходится также и в среднем при любом р.
Но легко построить последовательность функций, с-ходящуюся в среднем
при любом р и не сходящуюся равномерно. Пусть, например, функция x,t (t)t
вообще заключенная между нулем и единицей, отлична от нуля только
в интервале Д7 длины, меньшей — , и достигает в этом интервале значения 1.
Очевидно, что
так что последовательность jcv it) при v->-oo в среднем стремится к нулю*
Но maxjc^(^) = l для любого v, так что последовательность xv (t) не сходится
к нулю равномерно. Можно проверить, что эта последовательность ни к ка-
какой функции не сходится равномерно. Более того,. интервалы Дч можно
выбрать так, что эта последовательность вообще ие будет сходиться ни при
одном значении t.
Лемма. Если xw—>х, у^—*-у, то р(л\, j>v)—>p(x, у). (Иначе
говоря, расстояние есть непрерывная функция своих аргументов.)
Доказательство. По неравенству четырехугольника (§ 1, п. 2)
Р (х, У) — р (*v, J\) | < р (х9 *v) + Р СУ, У,)-
Эта величина стремится к нулю при v—>оо, что и требуется.
2. Точка х метрического пространства М называется предельной
для множества FczM, если существует последовательность х19 х2, ...
(различных) точек Fy сходящаяся к точке х.
Другое определение предельной точки, очевидно эквивалентное
вышеприведенному, гласит: точка х есть предельная точка множе-
множества F, если в любом шаре с центром в точке х имеются точки
множества F (отличные от точки л:).
Множество FczM называется замкнутым, если оно содержит все
свои предельные точки.
Примеры. 1. Отрезок а^х^Ь замкнут на вещественной
прямой, а полуинтервал а^х<^Ь не замкнут, так как его предель-
предельная точка b не принадлежит ему.

§ 3] СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 35
2г В любом метрическом пространстве шар
U={x:p(x, хо)^
есть замкнутое множество (поэтому он и называется замкнутым
шаром).
Действительно, возьмем любую точку xv не принадлежащую
шару U, так что р^, х0) = гх > г. Мы утверждаем, что в шаре
с центром в точке хг и радиусом -к (г.—г) нет точек шара U:
если бы такая точка нашлась, то, обозначив ее через z, мы имели бы
( ) + ( )+( )<
в противоречие с построением. Поэтому точка х1 не может быть
предельной точкой для множества U.
Замкнутые множества в метрическом пространстве М тесно связаны
с открытыми множествами этого пространства. Именно имеет место
теорема:
Теорема. Множество ?/, дополнительное в метрическом про-
пространстве М к замкнутому множеству F, всегда открыто.
Множество Ff дополнительное к открытому множеству U, всегда
замкнуто.
Доказательство. Пусть F— замкнутое множество и U— его
дополнение; покажем, что U открыто. Рассмотрим произвольную
точку xQ ? U; мы должны показать, что имеется шар, определяемый
неравенством вида
целиком входящий в множество U.
Допуская противное, мы должны предположить, что в любом
шаре с центром в точке х0 имеются точки множества F. Но тогда,
согласно второму определению предельной точки, х0 есть предельная
точка множества F. Так как F замкнуто, то мы должны были бы
иметь х0 ? F, что противоречит предположению х0 ? U. Итак, Uоткрыто.
Переходим ко второй половине теоремы. Пусть U открыто:
и F — его дополнение; покажем, что F замкнуто. Любая точка хо,
принадлежащая U, входит в U вместе с некоторым шаром, и поэтому
не может быть предельной точкой множества F. Таким образом,
предельные точки множества F могут быть только ' в самом РЛ
и, следовательно, F замкнуто. Теорема доказана.
Вспоминая п. 2 § 2, мы получаем общее описание всех замкнутых мно-
множеств на прямой —оо<^л:<^оо: каждое замкнутое множество
на прямой получается удалением конечной или счетной совокуп~
п интервалов без общих точек. Выбрасываемые интервалы

36 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
которые служат составляющими интервалами дополнительного откры-
открытого множества, называются смежными интервалами данного замкну-
замкнутого множества.
Используя известные свойства открытых множеств в метрическом
пространстве и найденную только что связь между открытыми и замк-
замкнутыми множествами, мы можем утверждать, что объединение замкну-
замкнутых множеств в конечном числе и пересечение замкнутых мно-
множеств в любом числе суть снова замкнутые множества.
Действительно, пусть даны замкнутые множества /\ (v пробегает
некоторую совокупность индексов), и пусть 6^ = СУ\— дополнитель-
дополнительные открытые множества. По формуле A) § 2 гл. I мы имеем:
Если v пробегает конечную совокупность индексов, то Ut/V, согласно
§ 2, есть открытое множество; поэтому дополнительное к XI ^v
множество 2^v замкнуто. Далее, по формуле B) § 2 гл. I
Множество 2 Ц» всегда открыто; поэтому его дополнение JJ F4
всегда замкнуто, что и требовалось.
3. Множество А, расположенное в метрическом пространстве М,
называется всюду плотным в М, если всякая точка Ъ ? М есть пре-
предел последовательности точек ап ? А (не обязательно различных).
Иными словами, А всюду плотьф в Ж, если в любом шаре с центром
в точке Ъ ? М имеется точка а ? А.
Так, множество рациональных точек всюду плотно на оси —оо <jc< со.
Каждая непрерывная функция f{x) на отрезке [а, Ъ], согласно известной.
теореме Вейерштрасса, может быть представлена как предел равномерно
сходящейся последовательности многочленов; таким образом, множество всех
многочленов всюду плотно в пространстве С (а, Ъ).
Свойство «всюду плотности» обладает своеобразной «транзитив-
«транзитивностью»: если множество А всюду плотно в пространстве М,
а М в свою очередь всюду плотно в более широком простран-
пространстве Р, то А, рассматриваемое как подмножество Р, всюду
плотно в Р. Действительно, поскольку М- всюду плотно в Д
для данной точки х?Р и данного ?^>0 мы можем ^найти такую
точку b ? М, что р(Ь, х)<^-к , далее, поскольку А всюду плотно в М>
мы можем указать такую точку а?Д что р (а, у
ству треугольника р (а, х)^р(а, b)-\-p(bt х)<^в; таким образом,

§ 3] СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 37
в шаре радиуса е с центром в любой точке х ?Р имеется точка а ? Л,
что и требовалось.
Пример. Покажем, что совокупность тригонометрических многочленов
п
#а c°s &х + &а sin kx составляет всгоду плотное множество в про-
пробно
странстве Ср(—я, я). Из анализа известно, что всякая непрерывная функ
ция f(x) на I—я, я], обладающая кусочно-непрерывной производной и удовле
творяющая условию / (— я) = / (л), разлагается в ряд Фурье
00
+ 52 C0S
И =1
сходящийся равномерно, т. е. по метрике пространства С(—я, я) и тем
самым по метрике Ср(—я, я).
Таким образом, тригонометрические многочлены образуют всюду плотное
множество А в совокупности М указанных непрерывных функций. Далее,
любая непрерывная функция <р (х) на отрезке [—тс, aj, удовлетворяющая
условию ср (—я) = ср(я), есть предел равномерно сходящейся последователь-
последовательности функций /„ (х) из М, например кусочно-линейных и совпадающих
с ср(х) в точках (?=0, =t 1, ... , =t«). Наконец, любая непрерывная
функция g(x) есть предел последовательности непрерывных функций сри (х)
с ср„(— ъ) = уп (я), сходящейся в метрике пространства Ср(—я, я); например,
можно положить сри (х) = ^ (х) при | х | ^ я , <рп (— я) = сри (я) = 0, а в ос-
тавшихся промежутках ( —я, — я-) ) и (я , я ) доопределить уп(х)
\ п J \ n J
по линейному закону. В силу указанной транзитивности мы получаем, что
множество тригонометрических многочленов всюду плотно в простран-
пространстве С«(я, —я), что и требовалось.
4. Пусть дано произвольное подмножество А метрического про-
транства М\ обозначим через А множество, состоящее из всех точек
множества А и всех предельных точек множества А (не входящих в Л).
Если А— замкнутое множество, то А=А; и обратно, если А совпадает с А,
то все предельные точки множества А входят в Л и, следовательно, А
замкнуто. Множество А в общем случае называется замыканием
множества А. Из определения замыкания легко следует, что данная
точка Ь?М принадлежит множеству А тогда и только тогда, когда
в любом шаре с центром в точке b найдется точка а, принадле-
принадлежащая А (возможно, совпадающая с Ь). В частности, очевидно, что А
всюду плотно в своем замыкании; и обратно, если А всюду плотно
в некотором множестве Q, то QczA.
Используя последнее замечание, покажем, что замыкание произ-
произвольного множества AczMвсегда является замкнутым множеством.

38 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Иными словами, замыкание А множества А совпадает с самим множе-
множеством А. Мы знаем по условию, что А всюду плотно в Л и Л всюду
плотно в А; поэтому А всюду плотно в Л и, следовательно, А вхо-
входит в замыкание Л, т. е. А с Л; но это и означает, что Л замкнуто.
Заметим далее, что всякое замкнутое множество F, содержащее
множество Л, должно содержать и все предельные точки множества Л
и, следовательно, все множество Л. Так как по доказанному множе-
множество Л замкнуто, то оно может быть охарактеризовано теперь как
наименьшее замкнутое множество, содержащее множество А.
Примеры. 1. Замыкание множества Л всех рациональных точек
на вещественной прямой есть совокупность всех (рациональных и
иррациональных) точек этой прямой.
2. Замыкание в пространстве С (а, Ь) множества всех многочленов
x) = aft-\-alx-^'...-\-anxn совпадает со всем пространством С (а, Ь).
Задачи. 1. Множество предельных точек любого множества А обозна-
обозначим через А'. Построить на прямой множество А так, чтобы А"— (А')' было
не пустым, а А"' — пустым.
2. Доказать, что множество А' (см. задачу 1) замкнуто, каково бы ни
было А.
3. Известно, что А' счетно. Доказать, что А счетно (А — на прямой).
4. Доказать, что результат задачи 3 остается справедливым в любом
метрическом пространстве со счетной баз©й (§ 2, задача 3).
5. Точка х на прямой называется точкой конденсации несчетного мно-
множества А, если в любой окрестности точки х имеется несчетное множество
точек множества А. Доказать, что у всякого несчетного множества А имеются
точки конденсации; более того, почти все его точки, кроме, может быть,
счетного множества, являются точками конденсации.
Указание. Точку, не являющуюся точкой конденсации множества А,
можно покрыть интервалом, с рациональными концами, содержащим самое
большее счетное множество точек множества.
6. Проверить, что результат задачи 5 сохраняется в любом метрическом
пространстве со счетной базой.
7. Доказать, что множество М точек в плоскости, расположенных на еди-
единичной окружности Г с центром в начале координат и имеющих полярные
углы 1, 2, ... , «, ... , всюду плотно на Г.
Указание. Если дуга ДосГ не содержит точек множества М, то дуги
ДХ = Д — 1, Д2 = Д — 2 и т. д. также не содержат его точек. Дуги До, Д,,
Д2, ... равной длины, находясь на окружности Г, не могут не пересекаться.
Если, например, дуга ДА пересекается с дугой Д& + т, то объединение дуг &k,
b-k+тп' ^k+zm покрывает всю окружность Г, что невозможно.
8. Величина
р (х, А) = inf p (х, у)
уеА

§ 4] ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39
называется расстоянием от точки х до множества А. Доказать, что для замк-
замкнутого множества А соотношения
эквивалентны; если же А не замкнуто, то они не эквивалентны.
9. Доказать, что для любого множества А совокупность точек jc, для кото-
которых р (xt A) < е, открыта. С другой стороны, показать на примере, что сово-
совокупность точек у> для которых р (у, А) ^ е, не обязана быть замкнутой,
даже если А замкнуто.
Указание. Рассмотреть в пространстве С (а, Ь) множество
А — I х: sin пх -\- е -| ? н точку <р0 (х) = 0.
10. Доказать, что всякое замкнутое множество F на прямой есть пересе-
пересечение счетного множества открытых множеств. То же для метрического про-
пространства со счетной базой.
Указание. Положить Un = \ х : р (х, F)<^ — ( •
11. Даны два непересекающихся замкнутых множества F1 и F2. Построить
непересекающиеся открытые множества Ux и U% так, чтобы U1z^Fv Uzz^F2
н U1 и U2 не пересекались.
Указание. Положить Ul= [) { у : р {х, у) < — р (xt Ft) \, анало-
гнчно Uz.
12. Доказать, что всякое открытое множество есть объединение счетного
множества замкнутых множеств (на прямой или в пространстве со счет-
счетной базой).
13. Доказать, что проекция плоского замкнутого ограниченного множества
на прямую есть замкнутое множество.
Существенно ли предположение ограниченности?
Указание. В качестве примера рассмотреть проекцию равнобочной
гиперболы на асимптоту.
14. Метрическое пространство М называется сепарабелъным, если в нем
имеется счетное множество А, плотное в М (так что замыкание А совпадает
со всем М). Показать, что наличие счетной базы равносильно сепарабельности.
15. Доказать, что пространства С (а, Ь) и Dm (а, Ъ) сепарабельны.
Указание. В качестве счетного всюду плотного множества можно взять
совокупность многочленов с рациональными коэффициентами.
§ 4. Полные пространства
1. Последовательность xt, xz, . .. , jev, ,., точек метрического
пространства М называется фундаментальной, если для любого
s ^> 0 существует номер N такой, что дли v^> N и |л ^>Л/ выпол-
выполняется неравенство
Кратко мы будем писать в таких случаях:
lim p{xw1 xu) = 0.
V, (J- -*¦ GO
Например, любая сходящаяся последовательность является фунда-
фундаментальней.

40 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Действительно, по неравенству треугольника
и если х^—>х, то правая часть для достаточно больших v и ]х ста-
становится меньше любого наперед заданного г.
Если М есть вещественная прямая с обычной метрикой, то поня-
понятие фундаментальной последовательности точек совпадает с классиче-
классическим понятием фундаментальной числовой последовательности. В теории
вещественных чисел имеется критерий Коши, в силу которого всякая
фундаментальная числовая последовательность является сходящейся.
В общем метрическом пространстве критерий Коши оказывается
уже несправедливым.
Рассмотрим открытый интервал @, 1); он представляет собой мет-
метрическое пространство с обычной метрикой числовой оси. Последова-
тельность тг, -о-, .-., —, ... > очевидно, является фундаменталь-
Z о .71
ной в этом метрическом пространстве; но она не является в нем схо-
сходящейся. Следовательно, в метрическом пространстве @,1) критерий
Коши несправедлив.
2. Таким образом, в общем метрическом пространстве нельзя считать
выполненным критерий Коши. Если в некоторых конкретных метри-
метрических пространствах критерий Коши все же выполняется, то эта
происходит в силу специальных свойств этих пространств. Класс
таких пространств мы выделим следующим определением:
Метрическое пространство М называется полным, если в нем вся-
всякая фундаментальная последовательность есть последовательность
сходящаяся.
Примеры. L Проверим, что /z-мерное пространство Rn с расстоя-
расстоянием
р (*, J») =
является полным. Пусть xv = ($tv), ... , ?W)— фундаментальная после-
последовательность. Поскольку
то числовая последовательность ?(.v) (y=l, 2, ...) при каждом фик-
фиксированном /'= 1,2, ... , п является фундаментальной числовой
последовательностью и как таковая имеет некоторый предел ?г-. Числа
?р с2, ... , $ определяют вектор х ? R . Поскольку

§ 4] ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41
вектор х есть предел взятой фундаментальной последовательности.
Итак, каждая фундаментальная последовательность пространства Rn
имеет в этом пространстве предел, что нам и требуется.
2. Пространство С (а, Ь) — полное. В самом деле, если последо-
последовательность функций уп (х) ^С(ау Ь) фундаментальна, то при v—^оо,
JJL у OQ
sup
Фиксируем х; числа уп(х) в силу соотношения A) образуют
фундаментальную числовую последовательность, которая в силу клас-
классического критерия Коши обязана быть сходящейся последователь-
последовательностью. Пусть у (х) есть предел уч (х) при v—>оо. Переходя в нера-
неравенстве
sup
к пределу при v—>-oo, получаем:
sup \y(x)— ^(x)|<e (ji>iV=iV(e)). B)
Следовательно, функция у (х) есть предел равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций уп (х) и поэтому в силу
известной теоремы анализа непрерывна. Из B) следует далее, что
Р (У> Уи)~~~*®- Таким образом, в пространстве С(а, Ь) всякая фунда-
фундаментальная последовательность является сходящейся; следовательно,
С(ау Ь) — полное пространство.
3. Замкнутое подмножество Л полного метрического пространства
Ж, рассматриваемое как самостоятельное метрическое пространство
(с метрикой, заимствованной из М), является полным пространством.
Действительно, всякая фундаментальная последовательность у^ ? А
сходится в М (поскольку М полное), и ее предел принадлежит мно-
множеству А в силу предположенной замкнутости этого множества. И обрат-
обратно, если известно, что подмножество AczM само есть полное метриче-
метрическое пространство, то А замкнуто в М. В самом деле, если бы А не
было замкнуто в М, то мы нашли бы в Л последовательность {хп}>
сходящуюся к некоторой точке у ? М — Л. Но последователь-
последовательность {хп\ фундаментальна (метрика в А заимствована из М), поэтому
в силу полноты А у нее должен существовать предел в А. Мы полу-
получили бы последовательность, имеющую два различных предела,—
один в Л, другой вне Л, что невозможно.
4. Пространство С«(а, Ь) неполно ни при каком р. Для доказательства
рассмотрим последовательность непре рывных функций jyv (x), заключенных меж-
между 0 и 1 и при v -+- оо равномерно стремящихся на каждом интервале
(а, с — е) к 0, а на каждом интервале (с -|- е, Ь) — к 1 (с — фиксированная точка

42 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
между а и Ъ). Эта последовательность удовлетворяет критерию Коши.
В самом деле,
Ъ • c — z с~\-& Ъ
j
с—е
для достаточно больших v и р.. Но в то же время последовательность у^{х)
не сходится в среднем ни к какой непрерывной функгщи.
Для доказательства последнего утверждения заметим следующее. Если
последовательность функций f^(x)(v = \, 2, ...) сходится в среднем на про-
промежутке Д —|a=^jc=^:&} к непрерывной функции f (х), а в некотором
промежутке 8 = |c^x^rf}, внутреннем к промежутку Д, равномерно
сходится к функции <р (jc), то в промежутке 8 имеет место тождество
^(х) =/(#). Действительно, в пространстве Ср(с} d) мы имеем соотношения
d Ъ
с
d
В силу единственности предела (§ 2) мы имеем /(jc) = cp (jc), что и утвер-
утверждалось.
Если мы предположим, что построенная выше последовательность ух (х),
Уг (х)у • • • » Уч (х)> • • • сходится в среднем к некоторой непрерывной функции
f {х), то по доказанному мы должны были бы иметь равенство f(x) = 0 при
а^х<_с, f(x) = \ при c<jc^&. Но очевидно, что в таком случае, каково
бы ни было значение /(с), функция f(x) не будет непрерывной функцией на
отрезке а^х^Ь.
Задачи. 1. Ввести на прямой J — go < х < go | метрику по формуле
Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это
пространство полным?
Отв. Пространство неполно; последовательность хп~п (я=1, 2, ...
фундаментальна, но предела не имеет.
2. Доказать, что пространство Dm (a, b) полно при любом т.
3. Является ли полным пространство всех числовых последовательностей
где %п -+- 0 при п ->• со, с метрикой по формуле
Да.
4. Рассмотреть три пространства функций на прямой:
а) всех ограниченных непрерывных функций;
б) всех непрерывных функций, у которых lim f(x)
1 \
в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне неко
торого интервала.

§ 4] ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43
В этих пространствах вводится метрика по формуле
Будут ли указанные пространства полными?
Отв. В случаях а) и б) полные, в случае в) нет.
3. Лемма о замкнутых шарах. Полнота числовой прямой
используется в анализе при доказательстве известной леммы о вло-
вложенных отрезках: последовательность вложенных друг в друга отрез-
отрезков имеет общую точку. В полном метрическом пространстве этот
факт имеет место с естественной заменой отрезков на замкнутые шары:
Лемма о замкнутых шарах. В полном метрическом про-
пространстве последовательность вложенных друг в друга замкнутых
шаров
{ Л v=l, 2,
радиусы которых густремятся к нулю при v—>оо,имеет общую точку.
Доказательство. Центр y^+v_ шара L>V+[J_ лежит, вместе со
всем этим шаром, в шаре ?Д, так что
поэтому последовательность центров ух, у2, ..., ун, ... фундамен
тальна. Так как пространство М полно, то эта последовательность
имеет предел у0. Поскольку шар L>v — замкнутое множество в М
{§ 3, п. 2, пример 2) и точки у^ j>v+1, . . . принадлежат этому
шару, то и _yo = limjyv+a принадлежит шару [Д; число v здесь
любое, поэтому х0 принадлежит всем шарам U^\ что и утверждалось.
В главе I, используя теорему о вложенных отрезках, мы доказали,
что множество точек отрезка [0, 1] несчетно. Мы можем установить
теперь справедливость аналогичного утверждения и для широкого класса
полных метрических пространств.
Предварительно введем следующее определение: точка х0 метри-
метрического пространства М называется изолированной^ если некоторый
шар р (х, хо)<С^Ь не содержит ни одной точки пространства Ж, кроме
самой точки х0. Так, если М есть некоторое множество точек оси
¦—оо <^х <^ оо с обычной метрикой, то хо?М есть изолированная
точка, если имеется интервал, содержащий точку х0 и не содержащий
более ни одной точки множества М.
Теорема 1. Всякое полное метрическое пространство М без
изолированных точек несчетно.
Доказательство. Допустим, напротив, что множество всех
точек пространства М счетно. Тогда все эти точки можно располо-
расположить в последовательность xv х2, . . . , хп, ... Пусть уг — точка
пространства /И, отличная от точки хх; обозначим через L>, шар
с центром в у^ не содержащий (ни внутри, ни на границе) точки xv
Так как ^х неизолированная точка, то внутри этого шара есть

44 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. it
и еще точки пространства Ж Пусть у2—внутренняя точка шара Uiy
отличная от точки х2; обозначим через U2 шар с центром в у2У
содержащийся целиком в шаре Ul и не содержащий точкн^х?2. Про-
Продолжая этот процесс далее, мы получим последовательность шаров
/У, z> U2 z>. . ., радиусы которых можно считать стремящимися к нулю,
причем шар Un не содержит точки хп. Общая точка ? всех шаров Un,
¦существующая по только что доказанной лемме, не может совпасть
ни с одной из точек х1? х2, . . . , хп, ... по построению. Поэтому
последовательность xlt xz, .... не может исчерпать всего простран-
пространства Му как это было предположено; теорема доказана.
Мы видели выше (пример 3), что замкнутое множество в полном
метрическом пространстве само является полным метрическим про-
пространством. Таким образом, в полном метрическом пространстве любое
замкнутое множество без изолированных точек несчетно.
Замечание. Если отказаться от предположения, что в пространстве М
нет изолированных точек, то теорема перестанет быть справедливой. Соответ-
Соответствующим примером может служить любое счетное замкнутое множество
(например, последовательность, сходящаяся к пределу) на прямой, рассматри-
рассматриваемое как самостоятельное метрическое пространство.
Рассмотрим теперь замкнутое множество F, расположенное на
числовой оси. Очевидно, что всякая изолированная точка множества
F является общим концом двух смежных интервалов к этому мно-
множеству, или, что то же, общим концом двух составляющих интерва-
интервалов дополнительного открытого множества.
Будем называть замкнутое множество без изолированных точек
совершенным множеством. Мы видели (§ 3), что каждое замкнутое
множество на оси получается удалением некоторой совокупности
интервалов без общих точек; теперь мы видим, что совершенное
множество получается удалением совокупности интервалов не только
без общих точек, но и без общих концов.
Примером совершенного множества служит любой отрезок [а, Ь\.
Но легко можно построить совершенное множество, не содержащее
целиком ни одного отрезка. Рассмотрим, в частности, построение так
называемого канторова множества.
Канторово множество на отрезке [0, 1] строится следующим обра-
образом. Сначала из этого отрезка удаляется интервал (— ~\ длины
\ 6 6 J
—, образующий среднюю из трех третей всего отрезка. Затем ана-
о
логичная операция производится с каждым из двух оставшихся отрез-
Гл П Г il
ков 0, -s- и -о-, 1 , т. е. из каждого из них удаляется его сред-
66 J
L л l J
fl 2\ Га 1 1
няя третья часть, именно интервал ( -^, -^- из отрезка 0, —
и интервал I -q- , -q" из отрезка —, 1 . Далее аналогичная проце-

& 41 ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45
дура производится с каждым из четырех оставшихся отрезков
Гл Ч Г2 Ч Г2 71 Г8 Л
Р' "9" I * Г9~' У ' [Т1 "9J И L9 J' " ПР°ЦеСС пР°Д°лжается
неограниченно- Оставшееся в результате замкнутое множество и на-
называется канторовым множеством. Поскольку удаляемые при его
построении интервалы не имели общих кондов, канторово множество
совершенно. Так как из каждых двух соседних интервалов с вершинами
в точках -—[-, g , ^-~— был удален по крайней мере один, то
канторово множество - не содержит целиком ни одного отрезка.
Тем не менее в силу только что доказанной теоремы канторово мно-
множество несчетно.
Более точно, мощность канторова множества есть мощность кон-
континуума. Это вытекает из следующей теоремы, относящейся к любому
совершенному множеству на отрезке:
Теорема 2 (Г. Кантор). Каждое совершенное множество на
отрезке [а, Ь] имеет мощность континуума.
Доказательство. Будем предполагать, что точки а и b
являются точными границами множества F; при этом, поскольку F
замкнуто, мы имеем a?F и b ? F.
Если совершенное множество F содержит хотя бы один отре-
отрезок [а, р], то утверждение теоремы очевидно. Будем рассматривать
случай, когда множество F не содержит ни одного отрезка. В этом
случае между любыми двумя смежными к F интервалами имеется еще
смежный интервал и число смежных интервалов, таким образом, бес-
бесконечно. Поскольку в множестве F нет изолированных точек, смежные
интервалы к F не имеют не только общих точек, но и общих концов.
Все точки множества F можно разбить на два класса: в первый
кл-асс входят точки, являющиеся концами смежных интервалов множе-
множества F, — эти точки будем называть точками первого рода, — во
второй класс — все остальные точки, точки второго рода. Так как
совокупность смежных интервалов к совершенному множеству счетна,
то множество точек первогр рода также счетно. Все множество F
в силу теоремы 1 несчетно; отсюда следует, что точки второго рода
всегда существуют (что заранее нисколько не очевидно) и образуют
несчетное множество. Мы сейчас используем другое построение, неза-
независимое от теоремы 1 и основанное на специальном свойстве прямой
линии; из этого построения снова будет видно, что точки второго
рода существуют и, более того, составляют множество мощности
континуума.
Мы установим сейчас такое взаимно однозначное соответствие
между множеством смежных интервалов к F и множеством двоично-
рациональных точек на интервале @, 1), при котором сохранится поря-
порядок расположения: если смежный интервал А' лежит левее смежного
интервала А", то соответствующие им двоично-рациональные числа

46 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [гЛ. И
связаны неравенством г' <^г". Такое соответствие можно установить,
например, следующим образом. Сначала поставим в соответствие смеж-
смежному интервалу Дх наибольшей длины (если таковых несколько, выбе-
выберем любой) число -к-. Выберем среди всех смежных интервалов, лежа-
щих левее Д1? наибольший Д2 (с той же оговоркой, если таковых
несколько) и поставим ему в соответствие точку —; аналогично вы-
выберем среди всех смежных интервалов, лежащих правее Ди наиболь-
3
ший Д3 и поставим ему в соответствие число -г. На каждом из остав-
оставшихся четырех отрезков (левее Д2, между Д2 и Др между Дг и Д3>
правее Д3) выберем наибольший интервал и поставим в соответствие
13 5 7
этим четырем интервалам, по порядку, числа -^, -^-, — и -^ .
обо о
Ясно, что при таком установлении соответствия порядок расположения
сохраняется. Продолжая этот процесс неограниченно, мы и придем
в конце концов к интересующему нас соответствию между • всеми
смежными интервалами множества F и всеми двоично-рациональными
точками интервала @, 1) с сохранением порядка расположения.
Далее мы распространим это соответствие, с одной стороны, на
точки множества F, с другой — на двоично-иррациональные числа
интервала @, 1). Пусть ? ? @, 1) — двоично-иррациональное число»
Оно разбивает все двоично-рациональные числа интервала @, 1) на два
класса: левый Кл и правый К , Соответственно на два класса D4 и
?) разбивается множество всех смежных интервалов множества F.
Обозначим через 7)л точную верхнюю грань точек, входящих в интер-
интервалы класса ?>л, и через 7)пр—точную нижнею грань точек, входящих
в интервалы класса D .
Между каждой рациональной точкой интервала @, 1) и точкой ?
имеются еще рациональные точки; поэтому между каждым смежным
интервалом множества F, лежащим левее 7)л, и самой точкой Г|л
имеются еще смежные интервалы; аналогично между каждым смежным
интервалом множества F, лежащим правее 7]пр, и самой точкой 7)п„
имеются еще смежные интервалы. Поэтому точки 7]л и 7] сами не
являются точками смежных интервалов или концами смежных интер-
интервалов; это точки второго рода.
Мы утверждаем, что т)л = 7) ; действительно, в противном случае
нашелся бы смежный интервал, разделяющий точки 7]л и tj и не
принадлежащий по этой причине ни к классу Ол, ни к классу D
что невозможно. Обозначим общее значение 7]л и 7) через 7) и эту
точку 7] поставим в соответствие взятому двоично-иррациональному
числу ?. Закон соответствия ?—> 7j, таким образом, установлен. Если
?'=^=?", то между ?' и 5" найдется двоично-рациональная точка; соот-
соответствующий смежный интервал разделяет соответствующие точки г{
и г/', и эти последние, следовательно, различны. Таким образом,.

§ 5] ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 47
соответствие между двоично-иррациональными числами интервала @, 1}
и (некоторыми) точками множества F взаимно однозначно. Мы видим,
что множество F содержит подмножество Т7*, эквивалентное множе-
множеству двоично-иррациональных точек интервала @, 1), и вместе с этим
последним множеством имеет, следовательно, мощность континуума.
Теорема доказана.
Из приведенного доказательства видно, что множество Z7* состоит
только из точек второго рода. Мы утверждаем, что каждая точка 7}
второго рода есть образ некоторого двоично-иррационального числа ?.
Действительно, точка 7] определяет разбиение совокупности всех
смежных интервалов к множеству F на два класса: левый Ол (интервалы»
лежащие левее 7j) и правый Dnp (интервалы, лежащие правее *)).
Вместе с этим и множество двоично-рациональных чисел разбивается
на классы Кл и /Спр. Число ? = sup Кл — ШКп9, как легко видеть,,
двоично-иррационально и имеет своим образом как раз точку 7j.
Переход от интервала @, 1) к множеству F можно представить
себе теперь как некую непрерывную деформацию, при которой
каждая двоично-рациональная точка растягивается в целый интервал,
каждая двоично-иррациональная точка остается точкой и порядок
взаимного расположения соответствующих интервалов и точек сохра-
сохраняется.
В дальнейшем замкнутое множество в метрическом пространстве,,
не содержащее ни одного шара целиком, мы будем называть нигде
не плотным. Произвольное множество А в метрическом простран-
пространстве М мы будем называть нигде не плотным, если нигде не плотно
А— замыкание множества А.
Задачи. L Показать, что каждое замкнутое множество (на оси или в
пространстве со счетной базой) есть сумма совершенного и не более чем счетного.
Указание. Совершенное слагаемое — множество точек конденсации
данного замкнутого множества. См. задачи 5—6 к § 3.
2, Доказать, что полное метрическое пространство не может быть пред-
представлено как счетная сумма своих нигде не плотных подмножеств.
Указание. Использовать метод доказательства теоремы 1.
§ 5, Теорема о неподвижной точке
1. Предположим, что имеется некоторая функция, определенная на
метрическом пространстве М и ставящая в соответствие каждой
точке у этого пространства точку z = A(y) этого же пространства.
Мы будем говорить в таком случае, что нам задано отображение А
пространства М в себя.
В анализе часто приходится иметь дело с различными отображе-
отображениями функциональных пространств. Например, если /(лг, у) — задан-
заданная непрерывная функция своих аргументов в области a^ix^b,
^^ то с ее помощью можно построить отображение

48 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
пространства С {а, Ь) в себя по формулам:
X
А[у(х)]=у0 + ?/(?, y(t))dt {x0, ^„ — заданные числа)
И Т. П.
Всякая точка у, которая переводится отображением А в себя
{т. е. для которой Ау=у), называется неподвижной точкой отобра-
отображения Л. К вопросу о существовании неподвижных точек отображе-
отображений сводятся многие задачи анализа типа задач о существовании
решений различных уравнений. Например, теорема о существовании
решения дифференциального уравнения
!=/(*. у) A)
с начальными условиями х = х0, у =у0 есть задача о существовании
неподвижной точки у отображения
X
Ау(х)=у, + $/(!¦, у®)Я,
Xq
поскольку уравнение A) при указанных начальных условиях эквива-
эквивалентно уравнению
X
Х0
Имеется много общих теорем, устанавливающих в тех или иных пред-
предположениях относительно отображения А наличие неподвижной точки
у этого отображения. Мы приведем здесь одну из самых простых
теорем такого рода, которая дает не только существование, но и
единственность неподвижной точки, правда, при довольно сильном
¦ограничении, наложенном на рассматриваемое отображение.
Определение- Отображение А метрического пространства М%
в себя называется сжимающим, если для любых двух точек у, z
пространства М имеет место неравенство
р(Ду, Az)^b?{y, z),
где 0 — фиксированное положительное число, меньшее 1.
Теорема. Сжимающее отображение А полного метрического
пространства М в себя имеет неподвижную точку, и притом
единственную.

§ 5] ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 49
Доказательство. Исходя из произвольной точки у0 ? Му по-
построим последовательность точек
Мы утверждаем, что эта последовательность фундаментальна в М.
Действительно, для любого v
>(л, Л)
и, следовательно,
Р(.У„> И + ) + +(
1 + ...)рСув,л) = т^тР(л.л); B)
при достаточно большом v эта величина становится как угодно малой.
Так как М полно, то существует предел
Покажем, что у— неподвижная точка. Мы имеем
откуда следует, что последовательность у^ сходится к Ау. В силу
единственности предела Ау=у, что и требуется. Остается показать,
что полученная неподвижная точка — единственная неподвижная точка
преобразования А. Допустим, что z-—вторая неподвижная точка, так
что вместе с равенством Ау =у имеет место и равенство
При этом
в.у, z).
Если р (у, z)^>Q, то можно сократить равенство на р (уу z), и мы
получим противоречие: 1 ^9. Поэтому в действительности р (у, z)^0,
y = z, т. е. второй неподвижной точки, отличной от у,' не суще-
существует. Теорема доказана.
Замечание. Полезно оценить расстояние от какой-то точки ух
до неподвижной точки у. Для этого в неравенстве B)
перейдем к пределу при ]х—> схз; используя непрерывность расстояния
{§ 3), получаем:
.—8? (Л> Уг)- C)
4 Г. Е. Шилов

50 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I?
Это и есть интересующая нас оценка. В конкретных задачах она
позволяет оценить заранее числе шагов, необходимое для вычислений
у с заданной точностью.
Полагая в C) v = 0, получаем:
это неравенство дает оценку расстояния от исходной точки у0 до
неподвижной точки.
- 2. Теперь мы, продемонстрируем применение этой теоремы на при-
примере задачи о существовании и единственности решения дифференци-
дифференциального уравнения
'?=/(*, У) D>
с начальными условиями х = хо, y=yQ. Как мы уже выше заметили,
эта задача есть задача о существовании и единственности неподвиж-
неподвижной точки отображения
X
'Z. E)
Функция f(x, у) предполагается непрерывной в области
— оо <^у <^оо. Точка х0— внутренняя точка отрезка [а, Ь\.
Отображение E) определено в метрическом пространстве С (а, Ь)
всех непрерывных функций на отрезке [а, Ь\. Это пространство, как
мы видели, полное; нам остается только выяснить, при каких усло-
условиях оператор А является сжимающим.
Для этого оценим расстояние в пространстве С (а, Ь) между резуль-
результатами применения .оператора А к элементу у(х) и к элементу z{x)i
Az)= max \ Ay (x) — Az(x)] =
X
= max \
~~ "*"~ Xq
Предположим, что функция f(x, у) удовлетворяет неравенству
для любого х в промежутке [а, Ь\ и любых значений ух и уг с фик-
фиксированной постоянной К. Неравенство F) называется условием Лип-
Липшица. Если условие Липшица выполнено, то мы будем иметь при
любом $ в промежутке [а, Ь\
У, z)

„ 51 ТЕОРЕМА О ^НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 61
§
и, следовательно,
X
р (Лу, Az) ^ max )Кр{у, z) dZ = K(b — a) р(_у,. z).
Мы видим, что оператор А является сжимающим, если интервал [а, Ь],
содержащий точку jc , достаточно мал, так что
В этом случае теорема о неподвижной точке, может быть применена.
Мы получаем: если функция f(x, у) удовлетворяет условию Лип-
Липшица F), то уравнение D) с начальными условиями у (xQ)±=y9
имеет в некоторой" окрестности точки х0 решение у =у (х), и
притом единственное. Мы доказали .тем самым основную теорему
о существовании и единственности решения у дифференциального
уравнения D).
Аналогичным приемом можно доказать и непрерывную зависимость реше-
решения от начального условия. Условимся сначала называть отображения А и В
^-близкими, если при заданном е > 0 для любой точки х пространства М вы-
выполняется неравенство р (Ах, Вх) < е.
Лемма. Пусть в полном метрическом пространстве М даны два
сжимающих отображения А и В, так что
р (Ах, Ау) *? $лр (х, у), р (Вх, By) ss? 0вр (х, • у),
и пусть 0 = max (Од, 0В) < 1. Тогда можно утверждать, что если, эти
отображения г-близки, то неподвижные точки их находятся друг от
друга на расстоянии, не, превосходящем -. % .
Доказательство. Пусть у0 есть неподвижная точка отображения А.
Неподвижную точку отображения В, согласно общей теории, можно построить
как предел уш 'последовательности у0, уг = Ву0, у2 = Bylt ... t причем
по доказанному
Но так как А и В е-близки, то рч(у0, у1) = р(Д^0, Sy0) < e, откуда
' е
? СУо» Уш) < 1 _ ft. что и требовалось доказать.
Теорема о непрерывной-зависимости решения дифференциального уравне-
уравнения от начального условия может быть сформулирована следующим образом,
-Тео-рема. Если уравнение A) рассматривается на отрезке [а, Ь]
длиной меньше р-, где К— постоянная из условия Липшица для функции
(f х, у), то для всякого в > 0 из | yQ — ух \ < е следует
max boW-^Wl^i iA, -:;
4*

52 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
здесь у;-{х) означает решение, удовлетворяющее начальному условию
Л оказательство. Рассмотрим отображения
X X
Ау (х) =у0 + J / E, у (?)) di, By (х) =У1 + J / (E, у E)) dg.
Оба они — сжимающие с одним и тем же параметром Ь = К(Ь — а). Если
]у0 —у11 < е, то, очевидно, отображения А и В находятся в е-близости. В силу
леммы расстояние* между их неподвижными точками не превосходит
i а == 1 ^тк ^ > что и требуется.
1 — 9 1 — К {о — а) у J
Задачи. 1. Сформулировать и доказать по методу неподвижной точки
теорему существования и единственности решения для системы дифферен-
дифференциальных уравнений
Указание. Метрическое пространство М состоит из «вектор-функций»
У — {Уг (х), • • • , уп {х)) с метрикой
p{ytz)= max {\y1{x)"Z1(x)\1 ..., \уп (х) - гп(х) \
2. Отображение Л на полупрямой 1^л<оо переводит каждую
точку лв jc —| .Является ли отображение сжимающим? Имеет ли неподвиж-
л
,ную точку?
Огпь, Хотя отображение А и уменьшает расстояния, так что р (Ах, Ау) <
< р (х, у), но неравенство р {Ах, Ay) ^ 0p (jc, у) не выполняется (для всех х и у)
ни при каком 9 < 1. Отображение не .сжимающее. Неподвижной точки нет.
§ 6. Пополнение метрического пространства
В теории Кантора вещественные числа определяются прн помощи
фундаментальных последовательностей рациональных чисел1). Рацио-
Рациональные числа образуют в обычной метрике неполное метрическое
пространство Mt и процесс построения вещественных чисел по К'антору
можно рассматривать как процесс построения полного пространства М,
включающего пространство М. Метод .Кантора, должным образом
обобщенный, позволяет любое неполное метрическое пространство М
включить в некоторое полное пространство М.
Теорема (Ф. Хаусдорф, 1914). Пусть М — метрическое про-
пространство (вообще говоря, неполное). Существует полное летри-
:) См., например, Б. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов,
Курс математического анализа, т. I, M.—Л., 1957.

& 61 ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 53
^ J . • ч
ч
ческое пространство М, называемое пополнением пространства М,
которое обладает следующими свойствами:
а) М изометрично некоторой части Мх czM,
б) Мх плотно в М.
Всякие два пространства Mv M2, удовлетворяющие условиям а) и б),
изометричны между собой.
Доказательство. Назовем две фундаментальные последова-
последовательности {_yv} и {zv} пространства М конфинальными, если,
lim p (_yv, zv) = 0. Например, всякие две последовательности простран-
ства Ж, сходящиеся к одному и тому же пределу, являются конфи-
нальными, а сходящиеся к разным пределам не являются конфиналь-
ными. Две фундаментальные последовательности, конфинальные с тре-
третьей, конфинальны и между собой. Поэтому все фундаментальные
последовательности, которые можно построить из элементов простран-
пространства М, можно разбить на классы так, что все последовательности,
входящие в один класс, конфинальны между собой и любая последо-
последовательность, не входящая в этот класс, не конфинальна ни с одной
последовательностью класса. Из таких классов — мы будем обозначать
их F, Z, ... —мы и будем строить новое пространство М. Подлежит
определению лишь величина расстояния между классами У и Z. Мы
определяем ее по формуле
Z)=llm p(jv z4), A)
v-*co
где {_yv} — любая фундаментальная последовательность класса У,
a {zv}—любая фундаментальная последовательность класса Z. Нужно,
конечно, прежде всего проверить, что указанный предел существует
и не зависит от выбора последовательностей {_yv} и {zv\ в классах У
и Z. По неравенству четырехугольника (§ 1, п. 2)
откуда следУет, что числа р (_yv, zv) образуют последовательность,
удовлетворяющую критерию Коши. Таким образом, lim p (yv, zv) cy-
V ->-СО
ществует. Если {^v} и {zv}—: другие фундаментальные последователь-
последовательности в классах У и Z, то, снова применяя неравенство четырех-
четырехугольника , находим, что
поэтому последовательность р (_yv, zv) имеет гот же предел, что и по-
последовательность р (_yv, zH). Таким обрамм. определение расстояния
между классами не зависит от выбора ^>пдаментальных последова-
последовательностей в этих классах.

54 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Теперь мы должны проверить, что величина
р(К, Z)= lim p(jvv, z,)
v-*co
удовлетворяет аксиомам 1—3 § 1.
Аксиома 1: р(К, Z) = p(Z, К) выполнена по построению.
Аксиома 2: рф Z)>0 при K=?Z, p(F, -К) = 0.
Прежде всего, по построению функции р мы имеем р(К, К) = 0, ибо
в формуле A) можно положить _yv = zv.
Далее предположим, что p(F, Z) = 0. Это означает, что для
любой фундаментальной последовательности {^ч} из класса К и любой
фундаментальной последовательности {zv\ из класса Z имеет место
равенство Ит{у„ 2v) = 0. Но тогда {^}, и {^}-—конфинальные по-
последовательности, и класс К "должен совпадать с классом Z. Таким
образом, если р(К, Z) —О, то F=Z; отсюда следует, что при
? имеем р(К, Z)^>0, что и требуется.
Аксиома 3: р(К, ?/)^р(К, Z) + p(Z, ?/)- Пусть {jyv}, W.
фиксированные фундаментальные последовательности из клас-
классов у, Z, U соответственно. Искомое неравенство получается в ре-
результате перехода к пределу в неравенстве
Проверим теперь для пространства М все утверждения, Сформу-
Сформулированные выше в теореме о пополнении.
1) М содержит подмножество Ж1? изометричное простран-
пространству М. Каждому элементу у QM поставим в соответствие класс
КсЖ, содержащий последовательность у, у, у, ... (т.,е. класс всех
последовательностей, сходящихся к у). Если по этому правилу точка у
соответствует классу Y и точка z — классу Z, то
р(К, Z) = limp(_y, z) = p(y, z).
Отсюда следует, что совокупность соответствующих классов У есть
часть пространства М% изометричная пространству М.
2) Мх плотно в М. Пусть У-—произвольный клйсс из М и
{-Vv} "—фундаментальная последовательность из класса ч К- Рассмотрим
последовательность классов F,, К3, ..., Y , ...,где F определяется
последовательностью {у^ у , yv, - - •), т. е. отвечает элементу у
в ' соответствии М—*-Мх. .Для заданного е ^> 0 найдем номер jjl0 так,
чтобы при JA^>Ji0 иметь р{у^, Уп+Р)^?- Тогда мы будем иметь
v->co
Но это означает, что класс У есть предел классов У . Так как класс Y
принадлежит по построению множеству Мх{ то тем самым доказано,
что Мг плотно в М.

§ 6] ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 55
3) /И—полное пространство. Пусть Yv Yv ... — фундаменталь-
фундаментальная последовательность элементов из Ж. Для каждого класса У.4 найдем
класс Zv с Afj так, чтобы иметь p(Kv, Zv)<^—, и пусть ?v? Жесть
элемент, соответствующий классу Zv. Мы утверждаем, что-последо-
что-последовательность {z^} фундаментальна в пространстве Ж. Действительно,
Фундаментальная последовательность {zv} определяет некоторый класс
Z с Ж; покажем, что класс Z является пределом в Ж последователь-
последовательности Уг Для заданного ?^> 0 при достаточно большом, v^v0 имеем:
Br 2rv
Таким образом, всякая фундаментальная последовательность Y^ cz. M
имеет в Ж предел, что и требовалось.
4) Любое метрическое пространство Ж, обладающее свойствами
1) — 3), изометрично пространству Ж.
Действительно, пусть Ж1 и Ж2 — подмножества пространства Ж rt
Ж, изометричные пространству Ж и, следовательно, изометричные друг
другу. Мы должны продолжить эту изометрию с множеств Ж1,и Ж2
на пространства Ж и Ж. Возьмем любой элемент К сг Ж и рассмотрим
последовательность элементов Kv с Жх, сходящуюся к У. Соответ-
Соответствующая последовательность Zv с Ж2, во всяком случае, фундамен-
фундаментальна, так как в силу изометрии между Ж1 и Ж2 взаимные расстояния
между элементами последовательности Zv такие же, какие и между эле-
элементами "последовательности Kv. Так как Ж полно, то 'В Ж имеется
элемент z= lim 2rv. Этот элемент z с Ж поставим в соответствие
взятому элементу У с Ж. Он определен однозначно, поскольку кон-
финальные последовательности в Ж соответствуют конфинальным
последовательностям в М и замена последовательности Kv на конфи-
нальную приводит к замене последовательности Z^ также на конфи-
нальную. Указанное сопоставление взаимно однозначно и исчерпывает
все элементы Ж и Ж. Нам остается показать, что оно является
изометрическим. Пусть элементы К и У* пространства Ж соответствуют
элементам Z и Z' пространства Ж и при этом
(Fv, Fv из Мх).

56 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. И
Если далее Zv и Zv — элементы М2, отвечающие элементам Kv и YVy
то р (Zv, Zv) = p(Kv, Kv), и в силу леммы о непрерывности расстояния
(§ 3, п. 1)
p(Z, Z')= lim p(Zv, Z'4)= lim p(Ks, K) =
V -> CO V ->00
что и требуется. Тем самым наша теорема доказана полностью.
Замечание 1. Предположим, что данное метрическое простран-
пространство М есть часть другого полного метрического пространства /И*.
Тогда в качестве пополнения М можно взять замыкание М множества
М в пространстве /И*. Действительно, М, как замкнутое подмножество
полного пространства Л4*, есть полное пространство; затем, оно содер-
содержит внутри себя М в качестве плотного подмножества. Оно удовле-
удовлетворяет, таким образом, условиям доказанной теоремы и в силу этой
теоремы может служить пополнением пространства М.
Замечание 2. Пространство Ср(а, Ь) непрерывных функций
на отрезке [а, Ь\ с расстоянием по формуле
\ ь
неполно (мы видели это в § 4, п. 1). .В силу доказанной теоремы оно
имеет пополнение ?L(#, b). Естественно поставить вопрос: можно ли
элементам пространства С (а,Ь), определенным по теореме 1 абстракт-
абстрактным образом, приписать конкретный смысл, истолковать их в виде
каких-то функций? Оказывается, что это возможно сделать, хотя и
не очень просто; мы откладываем рассмотрение этого вопроса до
главы IV, когда будем располагать необходимыми средствами для
его решения.
§ 7. Непрерывные функции и компактные пространства
1. Определения и простейшие свойства. Функция/(х)
с числовыми значениями, определенная на метрическом пространстве Ж,
называется непрерывной в точке х0У если для любого е^>0 можно
умазать такое 8^>0, что из условия
следует
)-/(*„) |< е.
Как и в классическом анализе, возможно и второе определение, экви-
эквивалентное первому: функция f(x) непрерывна в точке х0, если для
любой последовательности хп —>-х0 имеем f(xn) —>/(#„). Функция,

§ 7] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 57
непрерывная в каждой точке множества М, называется непрерыв-
непрерывной на М.
Одним из простейших примеров непрерывной функции в метриче-
метрическом пространстве является расстояние от- точки х до фиксированной
точки хь* Непрерывность этой функции вытекает из второго нера-
неравенства треугольника (§ 1, п. 2):
Обычные свойства функций, непрерывных на прямой, известные в ана-
анализе, легко переносятся на случай непрерывных функций на метриче-
метрических пространствах. Так, сумма, разность, произведение двух непре-
непрерывных функций—также непрерывные функции. Частное двух непре-
непрерывных функций есть также непрерывная функция во всех точках,
где знаменатель отличен от нуля.
Установим следующие важные свойства непрерывных функций
на метрическом пространстве:
Лемма. Если f(x) — непрерывная функция, то множества
замкнуты при любом А, а множества
: f(x)<CA},
: f(x)>A}
открыты при любом А.
Доказательство. Докажем, что множество ?/, открыто. Пусть
jco??/1( так что f(xo)<^A, и положим в = А—f(x0). Так как функ-
функция/^) непрерывна в точке х0, то существует такой шар р(х0, x)<^bf
в котором выполняется неравенство \/(х)—/(#0)|<О- В пределах
этого шара
и, следовательно, весь шар принадлежит множеству Uv Так как х —
любая точка множества Uv то Ux — открытое множество. Его допол-
дополнением служит множество Ft, которое, следовательно, замкнуто. Для
множеств Uz и Ft доказательство можно провести аналогично; можно,
впрочем, заменить f(x) на 2А —/(#)» чем задача сводится к предыдущей.
Обратно, если известно, что для некоторой функции f(x), определенной
на метрическом пространстве М, каждое из множеств
иг=\х: fW<A), U2 = fy: f(x)>A)
при любом А является открытым, то функция f{x) непрерывна.
Действительно, в этом случае для любой точки хо?М и любого е >0
можно образовать множества
: f(x) >f(x0) - t}f

58 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [гУп. II
которые по условию открыты. Пересечение этих множеств
также открыто. Оно содержит, очевидно, точку х0, а вместе с ней и некоторый
шар и% (х0) = |х : р (х, х0) < 5|. В пределах этого шара выполняется неравенство
что и означает непрерывность функции f (х) в точке jc0.
Соответствующее предложение можно формулировать и для множеств
Fx — \х: f(x)^A\1F2 = \x: f(x)^A\: если для функции f(x) каждое из этих
множеств при любом А является замкнутым, то f (х) непрерывна. Дока-
Доказательство легко получается переходом к дополнениям.
Функции, определенные на метрическом пространстве, которое само
состоит из функций, — как известные нам пространства С (а, Ь)у
Dn(a, b) и т. д.— мы будем, как правило, называть функционалами.
Задачи. 1. Непрерывны ли на пространстве С (а, Ъ) функционалы*
а) F(y)=y(a);
б) Ffy)=zm<ix\y{x)\;
F(
г)
а
д) ( 0, если у (х) принимает хотя бы одно отрицательное значение*
F(y)== | Т' если ^^)^°-
1 1, если у (х)^0, причем у (х)^О?
Отв. В случаях а) — г) непрерывны, в случае д) нет.
2. Непрерывны ли на пространстве Dx (а, Ъ) функционалы:
.a) F(y)=y(a)\
ь
6) F(y) = ^
а
Отв. Да.
3. Непрерывна ли функция р (jc, 5)=infp(^, у) (§3, задача 8)?
уев
Отв. Да.
4. Непрерывна ли функция d(x, B) = sup p (х, у)?
уев
.Отв. Да.
2. Компактные множества. Аналогия со свойствами непре-
непрерывных функций на отрезке не всегда сохраняется при переходе
к общему метрическому пространству. Например,»непрерывная функция
на отрезке [а, Ь] всегда ограничена на этом отрезке и достигает
своей верхней и нижней границы. Непрерывная функция в шаре

§ 7] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 59
радиуса г метрического пространства М может оказаться неограничен-
неограниченной или не достигать своих границ (пример указан в одной из задач
к настоящему параграфу). Чтобы указанные свойства непрерывных функ-
функций оказались справедливыми, в данном метрическом пространстве Ж,
нужно подчинить это пространство дальнейшим ограничениям.
Будем называть метрическое пространство М компактным, если
всякое бесконечное подмножество АаМ содержит фундаментальную
последовательность. '" ' -
Так, всякое бесконечное подмножество А на интервале а<^х<^Ь
в силу известной из анализа теоремы Больцано — Вейерштрасса имеет
предельную точку и, следовательно, содержит фундаментальную после-
последовательность; мы видим, что интервал М = (а, Ь) есть компактное
метрическое пространство.
Компактное метрическое пространство может не быть полным, как
интервал'(а, Ь) в предыдущем примере. Метрическое пространство,
одновременно компактное и полное, называется компактом.
Можно дать и независимое определение компакта: компакт есть
метрическое пространство Ж, в котором всякое бесконечное подмно-
подмножество содержит сходящуюся последовательность.
Типичным примером компакта является отрезок а^х^Ь веще-
вещественной оси с обычной метрикой.
Оказывается, что - лойства непрерывных функций быть ограничен-
ограниченными и достигать своих граней связаны имений с компактностью мно:
жества, на котором они определены.
Теорема 1. Всякая непрерывная функция f(x), определенная
на компакте М, ограничена.
Доказательство. Допустим, что f(x) не ограничена. Тогда
для любого целоА п можно указать точку хп?Му в которой
№„)!>*•
Последовательность, точек jc,, x2, ..., хп, ... в силу предполо-
предположения должна содержать сходящуюся подпоследовательность; отбросив,
если потребуется, часть точек, мы можем предположить, что сама эта
последовательность сходится к некоторой точке хо?М. В силу непре-
непрерывности f{x) существует окрестность jc0, определяемая, например,
неравенством р (х, л;0)<^5, в которой \f(xQ)—/(х)(<^1, откуда
\/{х) | ^ \f(xQ) I -f-1- С другой стороны, в этой окрестности имеются
точки последовательности xv xz, ... со сколь угодно большими
номерами; в этих точках f(x) принимает сколь угодно большие зна-
значения. Полученное противоречие показывает, что f{x) не может быть
неограниченной; таким образом, на самом деле f{x) ограничена, что
и требуется.
Теорема 2. Всякая непрерывная функция /(#), определенная
на компакте М, достигает на М точной верхней (и нижней) грани..
Доказательство. Пусть b — точная верхняя грань значе-
значений f(x). Для любого целого п можно указать точку хю в которой

60 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
выполняется неравенство
~~~~~ •* ^ п' ^ п
- Допустим, что функция f(x) ни в одной точке компакта М
не принимает значения Ь. Тогда функция
непрерывна на компакте М и (по теореме 1) ограничена. Но на после-
последовательности точек хп знаменатель стремится к нулю. Поэтому
функция ф (х) не может быть ограниченной. Полученное противоречие
показывает, что наше допущение несправедливо; следовательно,
в некоторой точке компакта М функция f{x) принимает значение Ь.
Теорема доказана.
Справедливы и обратные утверждения: если некоторое метрическое про-
пространство М не есть компакт, то существуют непрерывные функции, опреде-
определенные на УН и не ограниченные или хотя и ограниченные, но недостигающие,
своих точных границ. Этому вопросу посвящена одна из приведенных ниже
задач. Таким образом, условие «М есть компакт» необходимо и достаточно
для справедливости теорем 1 и 2.
Теорема 3. Всякая непрерывная функция f(x), определенная
на компакте Mt равномерно непрерывна на нем; иными словами,
для любого ?^>0 можно найти такое 5^>0, что из р (jc, ^
следует \/{х)—1^
Доказательство. Допуская противное, мы для некоторого
е-ео сможем указать такие последовательности хп и уп, что
Последовательность хп в силу предположения содержит подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке xQ; отбросив, если
нужно, часть точек, мы можем считать, что сама последовательность
хп сходится к точке х0. Тогда и последовательность уп сходится
к точке х0. Начиная с некоторого номера, точки хп и уп попадают
в такую окрестность точки хо> в которой выполняется неравенство
Но тогда
в противоречие с построением. Теорема доказана.

§ 7] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 61
3. Условия компактности. Мы приведем теперь удобные
условия, пригодные для проверки компактности конкретных метрических
пространств.
Имея в виду дальнейшие применения, мы будем, не ограничивая
общности, считать, что метрическое пространство М (изометрически)
вложено в метрическое пространство Р (поскольку всегда можно
положить Р=М).
Множество
будем называть г-сетъю для множества Л4сР, если каждая точка
.х; множества М отстоит не далее чем на е от некоторой точки у?В.
Теорема 1 (Ф. Хаусдорф, 1914). Множество М, располо-
расположенное в метрическим пространстве Р, компактно (в метрике Р)
тогда и только тогда, когда для любого е ^> 0 в Р имеется ко-
конечная г-сетъ для М.
Доказательство. Пусть М компактно и задано е^>0; пока-
покажем, что существует конечная е-сеть для множества М. Возьмем
произвольную точку хг ?'М. Если все остальные точки множества М
находятся от точки хг на расстоянии ^s, то сама точка хг пред-
представляет s-сеть для М и построение закончено. Если же среди точек
множества М имеются такие, которые отстоят от хг дальше чем на е,
то мы выберем среди них произвольно точку хг Если тепе^ каждая
точка множества М отстоит не далее чем на е или от точки xv .или
от точки х2, то хг и х2 образуют конечную s-сеть для М и построе-
построение закончено; в противном случае построение можно продолжить.
В процессе построения каждая новая точка хп отстоит от каждой
из предшествующих х,, лг2, .. . , хп_х дальше чем на е. Поэтому,
если бы процесс можно было продолжать неограниченно, мы получили бы
бесконечное подмножество х1У хг, ... , хп, ... множества М, заве-
заведомо не содержащее ни одной фундаментальной последовательности,
что противоречило бы компактности М. Так как М компактно,
то процесс закончится после конечного числа шагов; а окончание
процесса свидетельствует о построении конечной е-сети для мно-
множества М.
Обратно, пусть в пространстве Р имеется при каждом е ^> О
конечная е-сеть для множества М; покажем, что М компактно. Рас-
Рассмотрим произвольное бесконечное подмножество ЛсУИ; мы должны
выбрать в А фундаментальную последовательность. В качестве первой
точки этой последовательности возьмем любую точку хо?А. Применяя
условие теоремы при s=l, мы можем покрыть множество Л конечным
числом шаров радиуса 1; среди них имеется такой — обозначим его
через Uv— который содержит бесконечное подмножество Ах cz Л.
Выберем в Л, любую точку хг^=х0. Применяя условие теоремы при

62 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IT
?=—, мы можем покрыть множество Лг конечным числом шаров
радиуса -~- ; среди них есть шар U2, который содержит бесконечное
подмножество Л2 с Лг. Выберем любую точку х2 g Л2, не совпадающую
ни с х0, ни с xv Продолжая таким же образом далее, мы построим
цепочку бесконечных подмножеств Л з Л, з ... з ^4VD ... (причем
каждое из множеств Av содержится в шаре Uy радиуса —) и, кроме
того, последовательность различных точек х0, л;х, х2, . .. , xv, ...»
тде хч?А^. Мы утверждаем, что последовательность х0, х11 ...
фундаментальна. Действительно, при J*<^v мы имеем Цх Z) Л —) Л^т
поэтому р (х ->О<^— • Эта велшина стремится к нулю при jjl—>оо,
' г"
следовательно, последовательность xQ, д:1, ... фундаментальна, что
и требовалось.
В качестве применения этого признака покажем, что любое огра-
ограниченное бесконечное множество в п-мерном евклидовом про-
странстве Р=Еп компактно. Действительно, для любого т в том
шаре пространства Р, который содержит ограниченное множество М,
существует лишь конечное число точек, все координаты которых
k и ,
имеют вид Tjm » « — целое, а множество всех таких точек, очевидно, при
достаточно большом т образует s-сеть для М.
Отметим еще следующий простой4 признак компактности: мно-
множество М & метрическом пространстве Р компактно, если для лю-
любого s ^> 0 можно указать в Р компактное множество Бе (может
быть, и бесконечное), являющееся г-сетъю для '%!.
Доказательство этого признака весьма просто. Мы утверждаем, что
при заданном е конечная -ту-сеть Z для множества Вг -—существую-
2
щая в силу компактности Ве —есть е-сеть для множества М* Дей-
2
ствительно, для произвольной точки х?М по условию найдется такай
?
2
точка y?Bj_y что р (х, _у) <^;-1 и такая точка z?Z, что р(у,
2
^ ~ , но тогда р(х, z)^p(x, y)~\-p(y, A ^ s, что и утверждалось.
Таким образом, при любом е ^> 0 мном<ество М обладает конечной
е-сетью и, следовательно, компактно.
В качестве применения этого признака покажем, что пополнение М
любого компактного множества М есть компакт. В сам^м деле,
множество Ж, поскольку оно плотно в Ж, является при любом s^>0
е-сетью для множества М. По условию М компактно; отсюда и /И

§ 7] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 63
компактно; а так как М полно, то оно есть компакт, что и требо-
требовалось.
Теорема 2. Компактное подмножество М полного метриче-
метрического пространства Р является компактом тогда и только тогда,
когда оно замкнуто в Р.
Доказательство. Если подмножество М замкнуто в полном
метрическом пространстве Р, то оно само является полным метрическим
пространством (§ 4, п. 2, пример 3). Если при этом М компактно,
то, согласно определению, М есть компакт. Обратно, пусть М р Р—
компакт; тем самым М компактное множество, и нужно показать только,
что М замкнуто. Это следует из того же результата § 4 (п. 2,
пример 3) и из того, что, Ж как компакт есть полное пространство.
Соединяя теоремы 1 и 2, получаем:
Теорема 3. Множество М в полном метрическом простран-
пространстве Р является компактом тогда и только тогда когда, оно зам-
замкнуто в Р а для каждого е ^> 0 в Р имеется для М конечная в-сеть.
В частности, компактом является любой замкнутый шар в евклидо-
евклидовом /z-мерном пространстве. Всякая непрерывная функция, определенная
на таком шаре, ограничена и достигает на нем 'своей Точной верхней
и нижней грани.
Задачи. 1. Указать в данном компакте Q счетное всюду плотное
жество точек.
Указание. Рассмотреть объединение всех конечных сетей для Q
(m = l, 2, ...).
2. Показать, что из любой системы открытых множеств |G{, покрывающих
в совокупности компакт Q, можно выбрать конечную подсистему Gly ... , (Jmj
также покрывающую все Q.
Указание. Если из данного покрытия компакта Q «ельзя выбрать
конечного покрытия, то нельзя выбрать конечного покрытия и Для некоторого
шара Qn — одного из.шаров радиуса ^, покрывающих в конечном числе
компакт Q. Рассмотреть предельную точку множества центров шаров Qn.
3. Проверить, что убывающая последовательность Ft^> F2z> ... непустых
замкнутых подмножеств компакта имеет непустое пересечение.
Указание. Перейти к дополнениям и использовать задачу 2.
4. Если последовательность непрерывных функций fl{x)^f2{x) ^ ... схо-
сходится на компакте Q \К непрерывной функции *f{x), то она сходится равно-
равномерно на этом, компакте (теорема Дини).
Указание. При заданном е > 0 для фиксированной точки #0 найти
номер /г0 так, чтобы иметь 0*^f(xQ) — fno(xo)^?* Существует окрестность
точки х0, в которой 0^/(х) — /по(х)^3е, а следовательно, и o^/W —
—/nW^Se при всех п^п0. Далее использовать результат задачи 2.
5. ровокупность непрерывных функций \f(x)\=A на компакте Q назы-
называется равностепенно непрерывной, если для любого е > 0 существует такое
о > 0, что из р (х\ х") < I следует ]f(x) — f(x") | < е для любой / ? Л; она
называется равномерно ограниченной, если существует постоянная С такая,
что |/(х)|<С для любой / ? Л. Показать, что совокупность Л компактна

64 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
в метрике р (/, g) = max \f(x) — ^(х) | тогда и только тогда, когда она равно-
х<= Q
степенно непрерывна и равномерно ограничена (теорема Арцела).
Указание. Включить А в пространство всех ограниченных (хотя бы и
разрывных) функций на Q с метрикой р (/, g) = sup |/(x) — ^(х) |. Для задан-
заданной с-сети на Q совокупность кусочно-постоянных функций, принимающих
в шарах радиуса о с центрами в точках сети постоянные значения, целые
кратные е, не провосходящие по модулю С, образует конечную Зе-сеть для Л.
(Для устранения многозначности в точках, общих нескольким шарам, выби-
выбирать из всех возможных значений одно произвольное.)
6. Проверить, что функционал
F(y) = С у (х) dx — \ у (х) dx
непрерывен в пространстве С@, 1); показать, что точная верхняя грань его
значений в замкнутом единичном шаре пространства С @, 1) равна 1, но эта
верхняя грань не достигается ни на каком элементе единичного шара.
7. Дано метрическое пространство Mt которое не есть компакт. Построить
непрерывную* функцию на М и при этом не ограниченную.
Указание. Каждая точка х^ последовательности xv x2, ..., из которой
нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности, находится на положительном
расстоянии rk от множества всех остальных точек этой последовательности.
Всякая функция f (х), непрерывная в каждом из шаров < р (х, -х^)^—г^У ,
равная нулю на их границах и вне всех этих шаров, непрерывна на М.
8. Дано отображение компакта в себя, удовлетворяющее условию
f (Ах, Ау)< р (х, у) при х Фу. Показать, что у этого отображения сущест-
существует единственная неподвижная точка.
Указание. Минимум непрерывной функции р (ху Ах) не может быть
положительным.
9. Доказать, что компакт нельзя отобразить изометрично на свою часть
(В. А. Рохлин).
Указание. Допуская противное, можно указать точку, которая нахо-
находится от образ» компакта на положительном расстоянии г0. Повторяя отобра-
отображение, построить последовательность, все точки которой находятся друг от
друга на расстоянии, не меньшем чем г0.
10. Построить на плоскости компактное множество, изометричное своей
части.
Указание. Рассмотреть множество точек с полярными координатами
р = 1, ? = 0, 1, 2, ...
11. Пусть А и В — два изометрических отображения компакта Q на себя.
Определим расстояние между отображениями А и В по формуле
р(Л, В) = max ?{Ax, Вх). A)
x&Q
Показать, что совокупность всех изометрических отображений компакта Q
на себя, метризованная по формуле A), есть компакт (Б. Л. Ван-дер-
Варден).
Указание. Для заданной конечной е-сети на компакте Q, замечая, что
существует лишь конечное число отображений конечного множества на себя,
построить конечную 2е-сеть в пространстве изометрических отображений.

§ 7] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 65
4. Функции нескольких переменных. Нам будут встре-
встречаться иногда непрерывные функции нескольких аргументов, меняю-
меняющихся в метрическом пространстве М. Рассмотрим для определенности
функцию пары точек у, z. Числовая функция f(yy z), аргументы ко-
которой принадлежат метрическому пространству М, называется непре-
непрерывной на паре y=yQ, z==zv если для ЛК)бого s]>0 существует
такое 8^>0, что из неравенств
следует
Функция, непрерывная на любой паре у0, zQi называется непрерывной
всюду.
Примером непрерывной функции пары точек у, z служит из» рас-
расстояние p(y,z). Действительно, в силу неравенства четырехуголь-
четырехугольника (§ 1, п. 2)
1 Р (У, *) — р <Л> гь) | < р (у, у0) + р U, *0),
что может быть сделано меньше заданного ?^>0 при
Для функций нескольких переменных нет необходимости повторять всю
теорию, изложенную в пп. 1—2. В действительности всякая функция нескольких
переменных, меняющихся в метрическом пространстве М, может быть пред-
представлена как функция одного переменного, меняющегося в некотором новом
метрическом пространстве М'. Для простоты рассмотрим случай двух перемен-
переменных. Введем для этого определение произведения метрических пространств.
Пусть заданы метрические пространства М и N. Рассмотрим множество
всевозможных формальных пар \х, у\у где х ? М, у ? N, и определим расстоя-
расстояние между такими парами по формуле
9 (!*!> УЛ> \х* Уг\) = 9 (*i. хг) + ? (Уъ Уг1
причём ?{xvx2) и р (у„ у2) означают расстояние соответственно в простран-
пространствах М и N.
Легко проверить, что введенное по этому правилу расстояние удовлетво-
удовлетворяет аксиомам § 1. Множество всех пар \х, у\ с расстоянием по формуле A)
и называется произведением метрических пространств М и N\ оно обозна-
обозначается М X N.
Рассмотрим функцию f{xy у), первый аргумент которой пробегает простран-
пространство М, а второй — пространство N Ясно, что ее можно считать функцией
одного аргумента, пробегающего пространство -M^NB частности, функцию
f{x, у), аргументы которой пробегают одно и то же пространство *А41(можно-
считать функцией одного аргумента, пробегающего пространство МУ^М. Ехли
f(x> У) ~~ непрерывная функция аргументов ху у в том смысле, который был
указан выше, то, очевидно, соответствующая функция на пространстве М X М
будет непрерывна в обычном смысле (п. 1). Таким образом, теория непрерыв-
непрерывных функций двух переменных приводится к теории непрерывных* функций
одного переменного.
5 г. Е. Шилов

66 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Задачи. 1. Пусть пространства М и N компактны; показать, что произ-
произведение My^N также компактно.
2. Пусть пространства М и N полны; показать, что произведение Му^М
также полно.
3. Привести пример, где пространство М компактно, пространство N полно,
а произведение М X-^ не является ни компактным, ни полным.
4. Если метрические пространства М и N оба бесконечны, то существует
функция f {х, у), непрерывная по каждому из аргументов в отдельности (при
фиксированном другом аргументе), но не непрерывная на произведении Af>(jV.
§ 8. Линейные нормированные пространства
1. Лилейные пространства. В анализе операция предель-
предельного перехода чаще всего встречается в комбинации с другими опе-
операциями, среди которых наиболее распространены линейные операции —
сложение элементов и умножение на число. Сами эти операции изу-
изучаются в линейной алгебре. Напомним связанное с этими операциями
основное определение — определение линейного пространства1);
Линейным пространством называется совокупность Е элементов
х, у, ..., для которых установлены операции сложения и умножений
на число (вещественное или комплексное) так, что выполняются сле-
следующие ниже аксиомы 1—8.
Первая группа аксиом A—4) описывает свойства сложения:
1. х-\-у=у-\-х (коммутативность сложения).
2. (x-\-y)-{-z = x-\-(y-\~z) (ассоциативность сложения).
3. Существует элемент 0 такой, что х-\-0 = х для лю~
бого х?Е.
4. Для каждого х?Е уравнение х-\-у = 0 разрешимо. Эле-
Элемент у называется противоположным элементу х.
Легко проверить, что элементы 0 и у, существование которых
требуется в аксиомах 3 и 4, определяются единственным образом.
Следующая группа аксиом E—8) связывает операции сложения и
умножения на число. При этом через $ обозначена та совокупность
чисел (вещественных или комплексных), на которой допускается опе-
операция умножения.
5. I(]lx) = (l\x)x A?ё, li^S, x?E)-
6. \'Х = Х.
7. I (х-\-у)=\х-\-\у.
8. (\_J-jjl) x=z\x-\-]ix.
Можно показать, что 0-х = 0 и что противоположный данному х
элемент у получается путем умножения х на —1.
!) Подробное изложение можно найти, например, в книге: Г. Е. Шилов,
Введение в теорию линейных пространств, Гостехиздат, 1956 B изд.), гл. If
и далее.

§ 8] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 67
Совокупность L элементов линейного пространства Е называется
подпространством в Е, если операции сложения элементов L и умно-
умножения их на числа приводят всегда к элементам из Z,. Наименьшее
подпространство состоит из одного элемента 0, наибольшее совпа-
совпадает со всем Е.
Примером линейного пространства является совокупность /?п ком*
плексов из п чисел
X =
с операциями «по координатам»: если
..., Sn), j; = D,, ..., rin),
то по определению
Это пространство, как говорят, п-Мерно, т. е. между всякими п-\-\
элементами х°\ ..., jc(rt+1) существует зависимость
и имеются л элементов еA), ..., е{п\ между которыми такой зависи-
зависимости не существует.
Функциональные пространства С(а> b), Dn(ay b), С (а, Ь) (§ 1)
также являются линейными пространствами (с естественными опера-
операциями). В отличие от Rn эти пространства уже бесконечномерны.
Напомним далее важное понятие изоморфизма между линейными
пространствами. Два линейных пространства Е и Е" называются изо-
изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное
соответствие с сохранением операций сложения и умножения на числа;
последнее означает, что если вектору х ?Е соответствует вектор
х" ? Е\ а вектору у ? Е соответствует вектор у" ? Е, то вектору
х -\-у' ?Е' соответствует вектор х"-\-у" $Е и при любом \?<§
вектору \х'?Е' соответствует вектор Ьс"??".
Так, изоморфны любые два /z-мерных пространства; каждое из
них изоморфно координатному л-мерному пространству, описанному
выше.
2. Линейные нормированные пространства. Свойства
линейного пространства сочетаются с метрическими свойствами, о ко-
которых мы говорили на протяжении этой главы, в определении линей-
линейного нормированного пространства (пространства Банаха):
Линейным нормированным пространством называется множе*
ство Е элементов х, у, ..., которое:
5*'

68 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
1) является линейным пространством;
2) является метрическим пространством
и в котором
3) расстояния р (я, у) и линейные операции связаны следующими
условиями:
а) расстояние не меняется при сдвиге, т. е.
р (x-\-z, y-\-z) = $ (x, у) при любых х, у, z;
б) расстояния подчинены «условию однородности»:
Ъ(х, 0)
для любого числа' \ и любого элемента х.
Из аксиомы а) вытекает, что расстояние между двумя точками
равно расстоянию их разности до нуля:
р (х, у) = р (х—j/, у —у) = р (х—у, 0).
Поэтому достаточно знать расстояния от любого элемента до нуля.
Расстояние р (х, 0) называют нормой (или длиной) элемента х и обо-
обозначают ||х|| или \х\. Из аксиом метрики и свойств 3) легко вывести,
что норма любого элемента удовлетворяет условиям:
(а) 1|*Ц>0 при х^О, Ц 0 Ц = 0;
(Р) IU*II = N-II*II;
(Y) 11*+^ 11^11*11 + 11 VII- '"
Обратно, если в некотором линейном пространстве Е введена норма,
т. е. каждому элементу х сопоставлено число || х || так, что выпол-
выполнены условия (а) — (у), то в пространстве Е может быть введена мет-
метрика по формуле
р(*,.У)=||*—.у||
и пространство Е становится линейным нормированным пространством.
Обычно линейное пространство с нормой, удовлетворяющей условиям
(а) — (у), и называют линейным нормированным пространством.
Рассмотренные в § 1 этой главы метрические пространства С (а, Ь),
Dm(a, b), С (а, Ь)(р=-\> 2) являются линейными нормированными
пространствами.
Действительно, в пространстве С (а, Ь) непрерывных функций на
отрезке а^х^Ь расстояние вводилось по формуле
Р(У, z)= max \y(x) — z(x)\.
Очевидно, что аксиома 3) здесь выполнена. Норма элемента у опре-
определяется по. формуле
t 0)= max \y(x)\.
Ь

§ 8] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ. ПРОСТРАНСТВА 69
В пространстве Dm (a, b) функций с непрерывными производными до
порядка т на отрезке [а, Ь\ расстояние вводилось по формуле
=max {\y(x)—z(x)\t ..., |Ут>(*) — #Я}(х)\).
Легко видеть, что и здесь выполнены оба свойства, требуемые аксио-
аксиомой 3). Норма элемента у определяется по формуле
\\у || = . max {\y(x)\, \у'(х)\, .... |У">(*)|}.
as? xs?b
В пространстве С (а, Ь)(р = \, 2) непрерывных функций на [а, Ь]
с расстоянием по формуле
также выполнены оба требования аксиомы 3) (второе именно потому,
что слева стоит р^, а не р). Норма элемента у определяется по фор-
формуле
Множество, выделенное неравенством
есть шар радиуса 1 с центром в нуле пространства. Его называют
единичным шаром пространства Е.
Единичный шар (как ri любой шар линейного нормированного простран-
пространства) является выпуклым множеством. Вообще множество М в линейном
пространстве Е называют выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точ-
точками х, у содержит все точки
яли, геометрически выражаясь, содержит отрезок, концами которого являются
точки х и v. Выпуклость единичного шара следует непосредственно из
аксиомы треугольника: если ||;с||^1, ||>'||^П» то
Отметим некоторые общие свойства линейных нормированных про-
пространств, связанные с понятием сходимости. Так как расстояние от
точки х до точки у определяется как || х—у ||, то факт сходимости
последовательности хп к элементу х записывается соотношением
iim ||* —*я ||=0.

70 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П
Если хп—»х, уп—*-у, то хп~\-уп—>-х-\-у; действительно,
II * + У - (хп +у„)\\ = \\(х- х„) -f (> -ун)\
Если хп—<-х, \п—>->., то \хп—>\х; действительно,
\пхп - \х || = || \-п (хп -**) -f (\„
\1п\\\хп-х\\-\-\1л-1\\\х\\-^0.
В заключение скажем несколько слов о линейной изометрии линей-
линейных нормированных пространств. Два изоморфных линейных простран-
пространства могут иметь различные нормировки; таковы,, например, С (а, д) и
Ср(а, Ь). Если линейные нормированные пространства как линейные
пространства изоморфны и как метрические пространства изометричны,
они называются линейно изометричными. Например, линейно изомет-
изометричны пространства С@, 1) и С@, 2), Ср@, 1) и C^@, 2). Нужное
взаимно однозначное соответствие может быть задано формулами:
С@, 1) Э <р (*)«-- <р Bх) еС @, 2); Ср@, 1)Э? {х)*->2?у Bх) ?Ср@, 2).
Впрочем, вместо точного термина «линейная изометрия» часто упот-
употребляют менее точный, но короткий—«изоморфизм».
3. Пополнение линейного нормированного прост-
пространства. Как и любое метрическое пространство, линейное норми-
нормированное пространство Е может быть полным или неполным. В послед-
последнем случае пространство Е можно пополнить, включив в более широкое
полное чметрическое пространство Е, как мы это делали в § 7. По-
Полезно отметить, что пополнение линейного нормированного пространства
является не только метрическим, но и линейным нормированным про-
пространством. Для этого мы должны ввести в пополнение линейные
операции и проверить выполнение аксиом 1) и 3).
Каждый элемент X пополнения метрического пространства Е у нас
был рпределен как символ, соответствующий классу конфинальных
фундаментальных последовательностей пространства Е.
Предположим теперь, что Е— линейное нормированное пространство.
Тогда, складывая две фундаментальные последовательности х1У xz, ...
. . ., хп, ... и у1У у2, . . ., уп, . .. почленно, мы получим последова-
последовательность
которая также фундаментальна, поскольку
\\(*п+У«)-(хт+ут)\\^\\хп-хя\\-[-\\уп-уя\\.
При этом, заменяя последовательность {хп\ на конфинальную {х"п} и

§ 8] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 71
последовательность \уп\ на конфинальную {у'п}у мы придем к после-
последовательности сумм {•?„-{--.Уп}» конфинальной с построенной {^B-j~^rt}»
поскольку
п«+>;>-(*„+>„)п < и *;-*„ и+н >»->•„ и-
Этот факт позволяет следующим образом ввести линейные операции
над элементами пространства Е.
Выберем в классе X фундаментальную последовательность {хп\ и
в классе У фундаментальную последовательность {уп}\ будем считать
суммой X и У тот класс, который содержит фундаментальную по-
последовательность {хп -\-y^f'
Предыдущие рассуждения подтверждают корректность этого опре-
определения и, в частности, независимость результата от выбора после-
последовательностей {хп} и {уп\ в соответствующих классах.
Аналогично произведение класса X на число \ определяется так:
выбирают фундаментальную последовательность {хп\ в классе X и под
классом IX понимают тот класс, который содержит фундаментальную
последовательность {i-xn}. Мы предоставляем читателю обосновать
корректность этого определения.
Легко проверить, что аксиомы линейного пространства 1—8 здесь
выполняются; в силу самого определения линейные операции над
классами сводятся к соответствующим операциям над элементами
исходного пространства. В частности, класс 0 состоит из всех по-
последовательностей пространства ?", сходящихся к нулю.
Нам остается проверить еще выполнение аксиомы 3 линейного
нормированного пространства. Расстояние между классами. X и У
определяется по формуле A) § 7:
р (*, П = Иш р (*„, Уп),
П -> GO
где {хп} — любая фундаментальная последовательность из класса X,
а {уп} — любая фундаментальная последовательность из класса У.
В частности, фиксируя в классах X, У, Z фундаментальные после-
последовательности {хп}, {уп}, {%п}, мы имеем:
, K+Z)= limp (*„+*„,.»„ + *„) =
п -> со
= Hm р (х„, ,у„) = р (AT, Y)y
р
п -> со
так что аксиома За) выполнена. Аналогично
, O)=lim р(^я1О) = |Х| lim р (хя, 0) = \l \ p
П -* 00 П -* 00
так что выполнена и аксиома 36). Тем самым наше утверждение пол-
полностью доказано.

72 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
4, Фактор-пространство. Пусть L — подпространство ли-
линейного пространства R (пока без метрики). Назовем элементы х и у
эквивалентными относительно Z,, если их разность х—у принад-
принадлежит L. Если два элемента х и у порознь эквивалентны третьему
элементу z, то они эквивалентны и друг другу; действительно,
х — у = (х — z) — (у — z)?L.
Поэтому все пространство R можно разбить на классы взаимно экви-
эквивалентных элементов так, что два элемента х и у попадают в один
и тот же класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны.
Подпространство L само образует один из классов; класс, содер-
содержащий элемент х01 есть совокупность всех сумм хо-\-1, где /
пробегает все L. Будем обозначать классы эквивалентных элемен-
элементов *, К, ...
Покажем, что в совокупности всех классов *, У, ... могут быть
введены линейные операции. Определим сумму двух классов X и К.
Для этого возьмем в классе X произвольный элемент х и в классе Y
произвольный элемент у; сумма z=*x-\-y лежит в некотором классе
Z, который мы по определению будем считать суммой классов X и
Y. Это определение выделяет класс Z по классам X и Y однозначно:
если заменить х эквивалентным элементом x==x-^-lt I ??, и эле-
мен*г у эквивалентным элементом у=у -J-/', /'?L, то сумма х-\-у
заменяется элементом х -\-уг = (х -{-у) -\- (I -\-1')> эквивалентным
х -\-у- Аналогично определяется произведение класса X на число а:
класс аХ состоит из всех элементов, эквивалентных элементу ах,
где х — любой фиксированный элемент класса X. Все аксиомы 1—8
линейного пространства (п. 1) выполняются здесь автоматически,
приводясь к соответствующим аксиомам для самих элементов R.
В частности, нулем пространства классов служит класс L.
Линейное пространство из классов, которое мы построили, назы-
называется фактор-пространством пространства R по его подпростран-
подпространству L и обозначается RJL.
Пусть теперь/? — линейное нормированное пространство и L — его
замкнутое подпространство. Тогда можно ввести норму и в фактор-
пространство RJL. Именно, мы положим
[|*Ц= inf ||х
Проверим выполнение аксиом нормы.
а) Очевидно, что ||Z,||—0, поскольку 0 ? L Покажем? что
||-Y||>0, если X=j?=L. Если 11*11 = 0, то в классе X имеется по-
последовательность хп, для которой \\хп\\—>О при п—у оо. Пусть
х — любой элемент класса *. Мы имеем х — xn = ln?L. Но

§ 8] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 7$
X — хп—> xt a L замкнуто; поэтому jc?Z,, X=L, что противоречит
условию,
б) ||-ХЛ-||= lnf \\z\\= inf ||bt|] = |X| inf
zbkX x eX xt X
в) ||-Y+F|I = inf ||zl|< inf \\x+y\\^ inf {
г 6 A 4- К хеХ.уеУ л € Xty 6 У
= inf ||*|| + inf ||^|| = ||^||+|| Y\\.
xex i yey
Итак, в рассматриваемом случае RJL—линейное нормированное про-
пространство.
Предположим далее, что R—полное пространство. В этом слу-
случае пространство RJL также полное пространство. Для доказа-
доказательства рассмотрим фундаментальную последовательность классов
Xlt Х21 ...хХп, ... Для заданного к найдем номер nk так, чтобы
при любом'т=1, 2, ... иметь \\ХПк+т — ХПк\\<^'~^; в частности,.
11 Хп -|_, — ХПк\\<^—?. Выберем в классе ХПх произвольный эле-
мент хг\ далее, поскольку класс ХП2 — Хщ состоит из всевозможных
-разностей х — xv где х пробегает класс ХП2, мы найдем элемент
х2 g Хп^ так, чтобы иметь \\х2 — х1 \\ <^ 1; далее таким же путем
найдем элемент х3?ХП] так, чтобы иметь \\х3 — х3\\<^^у> и т- Д-^
элемент xk+1 принадлежит классу ХПк+1 и Ц хк+1—хк\\<^-^~- По-
Zi
следовательность хк> очевидно, фундаментальна и в силу полноты R
сходится к некоторому элементу х. Пусть X — класс, содержащий
элемент х; мы имеем
\\Х—ХПк\\*?\\х — хк\\-+0 при ft-^oo.
Таким образом, последовательность классов ХПк сходится к классу X.
Но тогда и вся последовательность Хп, поскольку она фундамен-
фундаментальна, сходится к классу X, что и требовалось.
Примеры. 1. Пусть имеется линейное пространство ?", в которое-
введена полунорма. Это означает, что каждому элементу х?Е со-
сопоставлено число 11 х 11 так, что удовлетворяются аксиомы нормы
и (у) (т. е. ||U|| = [X
х || и llx+jMKHxll + Ш), но акси-
аксиома (а) не выполнена, так что имеются элементы jc^=O, для кото-
которых |1 х ||=0. Покажем, как можно «исправить» пространство Е —
перейти от Е к новому пространству, естественно связанному с ?",,
в котором выполнены все три аксиомы (а), ф), (у). Именно, сово-
совокупность всех элементов х с ||х|| = 0 в силу ф) и (у) образует
подпространство Z?E. Образуем фактор-пространство R\Z\ элемен-
элементами его, как мы знаем, служат классы элементов, эквивалентные-

74 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П
относительно Z. Все элементы одного класса X имеют одну и ту же
полунорму, поскольку
Определим норму класса X как общее значение полунорм всех эле-
элементов класса X. Аксиомы ф) и (у) здесь выполняются по построе-
построению, поскольку они выполнены для элементов х. Аксиома (а) также
выполнена: норма класса L равна нулю, и если ||.ЛГ||=О, то все
элементы х ? X имеют норму 0, так что X совпадает с Z. Таким
образом, образуя фактор-пространство Е по подпространству Z эле-
элементов с нулевой полунормой, мы получаем «настоящее» линейное
нормированное пространство E\Z.
2. Пополнение линейного нормированного пространства Е (п. 3)
можно интерпретировать как построение фактор-пространства простран-
пространства R всех фундаментальных последовательностей из элементов прост-
пространства Е по подпространству Z последовательностей, сходящихся к
нулю.
Именно, пространство R обладает полунормой
Элементы с нулевой полунормой соответствуют последователь-
последовательностям, сходящимся к нулю. Классы взаимно-эквивалентных элемен-
элементов — это классы конфинальных фундаментальных последовательно-
последовательностей, и RJZ есть совокупность всех этих классов, нормированная как
раз по правилу, указанному в примере 1.
Задачи. 1. Доказать, что аксиому треугольника в определении линейного
нормированного пространства можно заменить условием выпуклости единич-
единичного шара.
2. На плоскости взято произвольное центрально-симметричное замкнутое
выпуклое множество Q, у которого начало координат является внутренней
точкой. Доказать, что существует норма, в которой Q является единичным
шаром. ^
3. Пусть /? —л-мерное нормированное пространство. Доказать, что после-
последовательность хт = $™\ ..., E^m)) (m= 1, 2, ...) сходится к нулю тогда
и только тогда, когда каждая из координат Е\Т} при т -»- оо стремится к нулю.
п
Указа ние. Так как [| х \\ ^ 2 1 ^/1 I! еу11» т0 из сходимости по координа-
координатам следует сходимость по норме. Для доказательства обратного достаточно
рассмотреть шар | jc | ^ 1 и показать, что координаты всех его точек ограничены
фиксированной постоянной. Но если для некоторой последовательности хту
|| хт || ^ 1, мы имеем max .^| Е^ 1 ~ст -*¦ со, то ут = — -»-0. В то же время
1 ст
среди координат каждого из векторов ут имеется хотя бы одна, равная по
модулю 1. Из последовательности ут можно извлечь подпоследовательность,
•сходящуюся по всем координатам, а следовательно и по норме, к некоторому
вектору у0 Ф 0, что противоречит данному соотношению ут -*- 0.

§ 9] ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 75
4. Доказать, что конечномерное подпространство нормированного про-
пространства R всегда замкнуто в R.
Указание. Использовать задачу 3.
5. Пусть L — замкнутое подпространство нормированного пространства/?,
отличное" от всего R. Доказать, что в единичном шаре пространства R имеется
вектор у, отстоящий более чем на -^ от всех векторов подпространства L.
Указание- Пусть yo?R — L и t/ —inf \у0 — х |; пусть, далее, найден
y.?L такой, что \у<> — yi\<2d. Тогда вектор у — —^ ^ удовлетворяет
условию.
6. Постоянную -^- в задаче 5 можно заменить любой постоянной, меньшей 1.
Но заменить -к на 1, вообще говоря, нельзя. Для примера рассмотреть в про-
странстве С(—1,1) подпространство L, состоящее из функций <р (х), для которых
О 1
\ <р (х) dx = \ ср (х) dx.
— 1 О
7. В бесконечномерном линейном нормированном пространстве всегда
существует ограниченное бесконечное множество, элементы которого имеют
взаимные расстояния >— (Ф. Рисе).
Указание. Использовать задачу 5.
Примечание. Результат этой задачи в соединении с результатами § 7
показывает, что условие компактности ограниченных множеств является необхо-
необходимым и достаточным условием конечномерности нормированного пространства.
8. В полном линейном нормированном пространстве Е имеется замкнутое
множество F, содержащее на каждом луче tx0, Q^t < оо, некоторый отрезок
Q^t^t,? = ?(x0). Доказать, что- F содержит шар. (И. М. Гельфанд.)
00
Указание. Е= ftnF; использовать задачу 2 к § 4, п. 5.
и—1
9 (Продолжение). Если замкнутое множество F в задаче 8 центрально
симметрично и выпукло, то оно содержит шар с центром в точке 0.
Примечание. Без условия выпуклости теорема неверна даже на пло-
плоскости.
§ 9. Линейные и квадратичные функции в линейном пространстве
Среди функций, определенных на линейных нормированных про-
пространствах, наиболее простыми являются линейные функции.
Определение линейной функции можно построить в любом линейном
пространстве, без всякой метрики, именно: функция /(х), определен-
определенная на линейном пространстве ?", называется линейной (линейным
функционалом), если она удовлетворяет условиям:
Г f(x-\-y)=f{x)-\-f\y) для любых х, у из Е;
2° f(kx) = \f(x) для любого х?Е н любого числа 1.
Найдем для примера общий вид линейного функционала в л-мерном
пространстве Е. Пусть е^ е2, ...,еп есть базис в пространстве Е;

76 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
положим для данного линейного функционала f(x)
Тогда для любого вектора х = S^A-б^ будем иметь:
Таким образом, всякий линейный функционал в л-мерном пространстве
записывается в любом базисе как линейная функция от координат
вектора х.
Задачи. 1. Если f(x) есть линейный функционал в линейном про-
пространстве Е, то уравнением f(x) = 0 в пространстве Е выделяется подпро-
подпространство Ev Показать, что фактор-пространство Е\ЕХ (п. 4 § 8) одно-
одномерно.
Указание. Класс X элементов, эквивалентных относительно Elt есть со-
совокупность элементов, на которых f (х) сохраняет постоянное значение. Отобра-
Отображение x->f(x) определяет изоморфизм между пространством Е\ЕХ и одномер-
одномерным пространством.
2. Линейные функционалы /, (х), ...,fn {x) называются линейно независи-
независимыми, если из CJX (х) + • • • + Cnfn М = 0 следует .Ct = ... = Сп = 0. Пусть
/^ — подпространство пространства Е, выделяемое системой уравнений
/1(jc) = O, . ..,/n(jc)=O. Показать, что фактор-пространство Е\Еп /г-мерно,
если/р ...,/„ линейно независимы.
Указание. На каждом классе .Х* элементов, эквивалентных относительно
Еп, функционалы /, (х), ..., fn (x) сохраняют постоянные значения. Отображение
х^ j^ (х), ...,/п(х)( пространства Е в л-мерное пространство Rn определяет
изоморфизм фактор-пространства Е\Еп с некоторым подпространством R' cz Rn>
имеющим, например, k измерений. Если бы мы имели &<л, то сущест-
существовала бы линейная зависимость CJX (х) -\-... + Cn/n (x) ^ 0; таким образом,
3. Пусть /j, .. ,,/n — линейно независимые функционалы в линейном про-
пространстве Е и Еп — подпространство, фигурирующее в задаче 2. Показать, что
всякий линейный функционал g, обращающийся в нуль на Еп, есть линейная
комбинация функционалов/j, ...,/„, так что g=\Jl -f-... + )-„/„.
Указание. Можно однозначно определить g на классах элементов,
эквивалентных относительно Ею и тем самым определить g на пространстве
Е\Еп. Использовать далее общий вид линейного функционала в конечномерном
пространстве.
4. Для всяких п линейно независимых функционалов fv ...,/„ найти п
элементов Xj, ...,х„ так, чтобы иметь det \\fj{xk) \\ Ф 0.
Указание. Искомые элементы выбрать произвольно по одному в каж-
каждом из п линейно независимых классов л-мерного пространства Е\Еп (задача 2).
Заметим, что линейная функция от координат вектора х л-мерного
пространства Е, очевидно, есть непрерывная функция от х в смысле § 7.
Поэтому линейный функционал в конечномерном пространстве всегда
есть непрерывная функция.
В бесконечномерных пространствах бывают линейные функционалы
как непрерывные, так и не непрерывные. Мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением только класса непрерывных линейных функционалов.

§ 9]
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
77
Укажем два важных примера линейных непрерывных функционалов
в пространстве С (а, Ь) всех непрерывных функций у (х) на отрезке [а,Ь]:
а) F(y) = y(xo)\ это значит, что функционал F ставит в соответствие
каждой точке пространства С (а, Ь), т. е. непрерывной функции у(х), значе-
значение этой функции в фиксированной точке х0 отрезка [а, Ь].
ь
б) F(y)~ \ /(?))/(Е)г/Е,где/(Е)—фиксированная непрерывная функция от L
а
Мы предоставляем читателю проверку требуемых свойств непрерывности и ли-
линейности этих функционалов.
Заметим, что линейный функционал F(y)=y(x\ в пространстве Ср (а, Ь)
уже не является непрерывным 1).
Приведем теперь некоторые общие свойства линейных непрерывных
функционалов в нормированном пространстве.
Лемма 1. Линейный функционал f(x), непрерывный в точке
jc = O, ограничен (по модулю) в любом шаре \\х\\*^г.
Действительно, из непрерывности функционала f(x) вточкех = 0
следует, что существует шар LJ= {x: ||jc[|^S}, в котором значения
функционала f(x) ограничены заданным числом е. Если теперь
:U, поэтому
то —
г
/1-7*
?.
I
и, еле-
Но так как функционал f(x) линеен, то/| — х
довательно, при ||х||^г
\/(х)
что и требовалось.
Лемма 2. Если некоторый линейный функционал f(x) огра-
ограничен в единичном шаре ||х||^1, так что, например, \/(х)\^К
в этом шаре, то функционал f(x) при любом х удовлетворяет
неравенству
и непрерывен на всем пространстве Я.
Действительно, для любого х отношение
шаре; поэтому по условию
1
х
X
лежит в единичном
X
*) В данном примере функционал F {у) определен в неполном простран-
пространстве. Пример с полным пространством см. в Дополнении в конце книги.

78 . МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. И
чем доказано первое утверждение леммы. Второе утверждение следует
из неравенства
х х0
Как следствие из лемм 1 и 2 получаем, что для линейного функции
онала из непрерывности в одной точке jc = 0 следует непрерыв-
непрерывность всюду.
Точная верхняя граница значений |/(х)| в единичном шаре назы-
называется нормой функционала / и обозначается через \\f\\. В силу
леммы 2 для любого х ? Е справедливо неравенство
I/W К11/11-11*11-
Задача. Линейный функционал f(x) ограничен в шаре || х — х0|| =^/-#
Доказать, что он непрерывен во всем пространстве Е.
Часто приходится иметь дело с линейными функциями от несколь-
нескольких аргументов: билинейными, трилинейными и т. д. Приведем опреде-
определение билинейного функционала. Функция f[y, z) от пары аргументов
y>-z, меняющихся в линейном пространстве, называется билинейным
функционалом, если она представляет собой линейный функционал
от z при каждом фиксированном у и линейный функционал от у При
каждом фиксированном 2*.
В л-мерном пространстве легко можно найти общий вид билиней-
билинейного функционала. Пусть е19 е2, . . ,,еп — базис я-мерного пространства
и /СУ» z) — заданный билинейный функционал. Определим л2 чисел
(у, k= 1, 2, . .., п) равенствами
Пусть теперь у= 2Ч/е/ и z^^ S^ft —два произвольных вектора
Вычислим значение f(y, z):
n n n n
S S ч;-с*/(^, «*)= S 2
т. е. функционал f(y, z) в базисе {еу} записывается как билинейная
форма от координат векторов у и z.
В бесконечномерном случае мы будем рассматривать билинейные
функционалы с дополнительным предположением непрерывности. Напом-
Напомним, что функция f(y, z) называется непрерывной, например, при
у —0, 2*= 0, если для любого ?^>0 можно найти §]>0 так, что
при |ИК$, 11^11 ^§ мы имеем

§ 9] ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 79
Из этого условий для билинейного непрерывного функционала f(y, z)
можно вывести следующую важную оценку: для любых у и z
\f(y>z)\^C\\y\\.\\z\\ B)
с фиксированной постоянной С. Действительно, в силу непрерывности
f(y,z) при у = 0, z = 0 имеется шар, например, радиуса 5, в ко-
котором [/(.у,^)! не превосходит заданной величины, например 1. Но
тогда для любых у, z
откуда
Функция от уу которая получается при замене в билинейном функцио-
функционале f(yt z) аргумента z nay, т. е. функция /(у, у), называется
квадратичным функционалом. В частности, в л-мерном пространстве
квадратичный функционал, как следует из формулы A), всегда может-
быть записан в виде
т. е. в виде квадратичной формы от координат вектора у. В общем
случае квадратичный функционал удовлетворяет неравенству
\/(У>У)\^С\\у\\\
которое получается из неравенства C) заменой z на у.
Аналогично можно построить трилинейные функционалы, кубические
функционалы и т. д.
Заключительное замечание. Появление в начале XX века и глу-
глубокое проникновение в математический анализ теории метрических
пространств было подготовлено всем предыдущим развитием анализа.
Основные понятия теории, включая полноту, компактность и сепара-
сепарабельность, были сформулированы в 1906 г. М. Фреше (франц. мате-
математик, р. 1878). Общее определение линейного нормированного про-
пространства и линейных функционалов в нем (отсюда «функциональный
анализ») было введено в 1922 г. Стефаном Банахом (польский мате-
математик, 1892—1945) и Норбертом Винером (американский математик,
р. 1894). Для дальнейшего ознакомления можно рекомендовать «Тео-
«Теорию множеств» Хаусдорфа и «Курс функционального анализа» Банаха
(Киев, 1948).

ГЛАВА III
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В классическом анализе функций одной или нескольких переменных
одной из центральных задач была задача об отыскании экстремумов
дифференцируемых функций. В функциональных пространствах, рас-
рассмотрение которых мы начали в главе II, экстремальные задачи также
играют важную роль. Например, задача об определении формы мини-
минимальной поверхности вращения, натянутой на два круга с общей
осью (рис. 4), может быть истолкована как задача об отыскании
точки экстремума функции
ь
¦ '2
dx.
4.
аргумент которой ^=_у (х) сам есть
элемент линейного нормированного про-
пространства (в данном случае, напри-
например, пространства Д (а, Ь)).
Вариационное исчисление имеет
своей целью такое обобщение пост-
построений классического анализа, которое даст возможность решать
подобные экстремальные задачи. Более широко понимаемое, вариа-
вариационное исчисление есть анализ бесконечно малых (дифференциальное
исчисление) в бесконечномерных пространствах.
§ 1. Дифференцируемые функционалы
1. Сначала напомним определение дифференцируемой функции
в классическом анализе.
Если функция f (x) = F(xiy х2У ...,jcn) имеет непрерывные произ-
производные (в обычном смысле) по каждому из аргументов хх, ...,#„, то
ее приращение при переходе из точки x=(xv . . ., хп) в точку
| | 4
х
(xl
х
как известно, может быть записано

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
81
о)
Первый член в правой части есть полный дифференциал функции F;
он представляет собой выражение, линейно зависящее от составляющих
вектора смещения h. Второй член в силу непрерывности частных про-
производных т— есть бесконечно малая величина высшего порядка по
dx r
dj
сравнению с \h\\ это означает, что для любого
|
можно указать
такое
\
0, что при | h \ <^ Ь выполняется неравенство
r(x,h)
h
В частности, если функция F(x) обладает в окрестности точки л: вто-
d2F
рыми производными ^—-т— (/, k= 1, 2, ..., п)у то величина г (х, h)
имеет вид
и, если указанные вторые производные ограничены в окрестности
точки x = {xv x21 .. .,хп) числом N, для r(xyh) получается оценка
|г(х, h)\*?Nn*\h\\ (Г)
которая показывает, что в этом случае г (х, h) имеет порядок малости
по сравнению с А не ниже второго.
Таким образом, в общем случае первое слагаемое в сумме A) при
достаточно малых смещениях h имеет господствующее значение; по-
поэтому оно называется главной линейной частью приращения функции
F (х). На основании этих свойств строится общее определение диффе-
дифференцируемой функции в /2-мерном пространстве Rn. Именно, функция
определенная на множестве 5 в пространстве Rn, называется
n
дифференцируемой в точке xQ ? S, если ее приращение при переходе
в точку дгв-|~/г^5 можно записать-в форме
где L (дг0, h) — линейная функция от смещения h, a r (x0, h) — беско-
бесконечно малая величина высшего порядка по сравнению с h в том смысле,
как это было объяснено выше.
Ь Г. Е- Шилов

82 вариационной исчисление [гл.-щ
2. Это определение переносится и на случай функции, заданной
в линейном нормированном пространстве, а именно: функционал F(y),
заданный в линейном нормированном пространстве Я, называется
дифференцируемым в точке у0 ? Я, если его приращение при пере-
переходе в точку у0 -j- h можно записать в форме
гле L (yQ, h) — линейный непрерывный функционал от смещения hf
а г (уй, h)— бесконечно малая высшего порядка по сравнению с h;
это последнее означает, что для любого е^>0 можно найти такое
?>0, что при ||А|| < ? выполняется неравенство | г (_у0, A) | < е||А||.
Заметим, что может существовать лишь единственный линейный
непрерывный функционал L (_у0, А), удовлетворяющий поставленным
условиям. Действительно, если бы мы имели
го, вычитая, получили бы
где f(yt h) есть снова бесконечно малая высшего порядка по срав-
сравнению с /г. Разность 1*л(у0, h) — L2(yQ> ^) —M3V^) представляет
собой новый линейный непрерывный функционал от /г. Для заданного
е>0 найдем такое ?^>0, что при ||А||<Сй выполняется неравенство
r[yt,h)\=\L[y0, A
Разделяя последнее неравенство на ||А||, мы получаем, что в еди-
единичном таре ЦАЦ ^ 1 значения линейного функционала L(yu1 А) не
превосходят по абсолютной величине числа s. Но так как s можно
выбрать произвольно малым, то Z.(_y0, A) = 0, Z., (y0, h)^Lz(y0> h)>
что и требуется.
Линейный функционал L(yoy А), определенный, по доказанному,
единственным образом, называется дифференциалом или, чаще, вари-
вариацией функционала F в точке у0 и обозначается $F{yQ, A).
Известно, что дифференцируемая функция Р(х1Л ...,хп) от п пе-
переменных имеет производную по каждому направлению. Это свойство
переносится и на дифференцируемые функционалы в любом линейном
нормированном пространстве:
Лемма. Если функционал F(y) дифференцируем при ^=^0»
то при любом h функция F(yQ-\-th), как функция от числа t7
дифференцируема в обычном смысле по t при * = 0 и ее производ-
производная равна L(y0, A)==^/7(_V(), A).
Доказательство. Искомая производная есть предел отношения
— or {у0, п) -| . B)

§ 1] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 83
По условию для любого s ^> 0 существует S > 0 такое, что при
\\th\\ = | 11 \\h\\ <§ имеет место неравенство
Отсюда следуе*г, что частное
m
и при t—>0 может быть сделано как угодно малым. Это показывает,
что отношение, стоящее в левой части B), при i—>¦ 0 имеет предея
oF{yQ,h), что и требовалось.
Замечание. Если функционал F{у) всюду дифференцируем,
то функция F(y-\-ih) при фиксированных у и h дифференцируема
при каждом t. Действительно, положим t = tg-\-%; тогда
по доказанному эта функция от х дифференцируема по т при т = 0
но тогда и функция F(y-\-th) дифференцируема по t при t = tQ..
3. Примеры. 1. Линейный непрерывный функционал F(y), оче
видно, всегда есть дифференцируемая функция, поскольку
и все приращение функционала сводится к линейному выражению по
2. Рассмотрим функционал
в пространстве С{а,Ь) непрерывных функций на отрезке [а, Ь\ Ядра
/(jc, у) предполагается непрерывной и обладающей непрерывными
частными производными до второго порядка (в обычном смысле)
функцией своих аргументов в области а^х-^b, — со <^у <^ со.
Составим приращение функционала F(y)y когда функциональный
аргумент у (х) получит смещение h (x):
J {/[*, у (х) + А (*)] — /[>, у (х)]} dx. C)
а
Согласно определению дифференцируемой функции /(х, у) мы имеем;
/(дг, у + h) — /(ху у) = g h + г (х,у, h),
где г (д:, у, h) при фиксированных х и у есть бесконечно малая вели-
величина высшего порядка по сравнению с /г. В каждой ограниченной
6*

84 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ш
{по у) области вторые производные функции /(л:, у) ограничены по
модулю, например, числом iV, и функция г (х, у> h)t по предыдущему,
допускает оценку
r(xtyy h
Поэтому интеграл C) приводится к виду
ь
где- функция s(^y) ограничена по модулю числом
ь ъ
г (/, у, h (х)) \dx^N^\h2(x)\dx^N(b — a) max | h* (x)
Мы видим, что приращение функционала F(y) разлагается на главную
линейную часть и бесконечно малую более высокого порядка. Таким
образом, функционал F(y) дифференцируем в пространстве C(ai b)
и его вариация имеет вид
IF (у, h) =
3. Рассмотрим функционал
, y'(x))dx
в пространстве Dt(at b) непрерывных функций на отрезке [а, Ь\ обла-
обладающих непрерывными производными первого порядка. Ядро /(х, у, у')
предполагается непрерывной функцией, обладающей непрерывными
производными до второго порядка, определенной в области а ^ х ^ Ь9
— оо <^yt у' <С оо. Составим приращение функционала F (у), перейдя
от аргумента y=zy(x) к аргументу у (х)-\- h (л:), h^Dl(aJ b):
a
= §[д$НМ + %Н'М]ах + §г(х>У>У> h> ti)dx-
a a
Первое слагаемое, очевидно, линейно относительно смещения h (л:).
Если N означает верхнюю границу вторых производных функции /,по

§ 1]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
85
аргументам у и у в некоторой ограниченной по у и у' области
и поскольку в пространстве D, (а, ?), как мы знаем,
||А|1 = тах {|*(*)|, |А'(*IЬ .
то, обозначая ji=||A||, мы получим для второго слагаемого оценку
(см. неравенство (Г))
ъ ъ
rix, уу h, yr, ti) | dx < Ш I ji?rfje = 4Л^|х2 (b — a).
Полученное выражение второго порядка малости по сравнению с |||[
Мы видим, что функционал F (у) дифференцируем в пространстве
Dj (a, b) и его вариация имеет вид
¦*F(y,
4. Аналогично функционал
дифференцируем в пространстве Dm (a, b)\ его вариация имеет вид
ъ
От функции / здесь снова требуется существование и непрерывность
вторых производных (по всем аргументам).
5. Можно рассматривать также функционалы, аргументом которых
служит функция нескольких переменных. Пусть для определенности
рассматривается функционал
* У> * (*, V). гх (х, у), zy (x, у)) dxdy,
D)
G
где для сокращения введены обозначения
dz dz
Z* dx' zv ду'
Этот функционал мы рассмотрим, естественно, в пространстве D, {G)
функций z(xyy), непрерывных вместе с первыми частными производ-
производными в области (/. Норма в этом пространстве задается формулой
max
> У)\>
dz {x, у)
дх
dz {xt у)
ду
}¦
Предполагая, что. функция / обладает непрерывными вторыми произ-
производными по всем аргументам, преобразуем выражение приращения

86 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [гл. III
функционала F, когда функциональный аргумент z (х, у) получает при-
приращение h(xt у):
=} J
G
a g
Первое слагаемое линейно по h. Второе слагаемое при ||/г||=
оценивается неравенством
G G
где А/ означает верхнюю границу модулей вторых производных функ-
функции F, a /G| есть площадь области G. Итак, функционал D) диф-
дифференцируем в пространстве Dx (G), и его вариация имеет вид
G
в. Рассмотрим функционал, зависящий от нескольких функцио-
функциональных аргументов, например
ь-
Его естественно рассматривать в пространстве D\ , элементами кото-
которого являются вектор-функции у=:(у1 (х)у -••>уп(х)) (а^х^Ь).
Норму вектор-функции y = (yt (л:), .. ,,уп (х)) определим формулой
max* {\yt(x)\, ...,\уя{х)\9 \у[ (х)\,...,\ун{х)\\.
Легко проверить, что здесь выполнены все аксиомы линейного нор-
нормированного пространства.
Предполагая, что / имеет ограниченные (числом А/) вторые произ-
производные по_у,» . - «|УИ» оценим приращение функционала Fr когда вектор-
функция у = (ул% . ,.,уи) получит приращение h—(hlt . ..,Ап):
ь *¦ ь
ylt ¦ ¦. *у„)=5 /(*, УгЛ-К ¦¦ чУ'п+К ) dx~ I
а а
Первый члек гюлучившегися результата линеен по h = (hv . . ., hn)*

§ 1] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ!? ФУНКЦИОНАЛЫ 87
Последний член при \\h\\^\y допускает оценку
ь ь
2 = n*N (b—a) jx2.
Это величина второго порядка по сравнению с ]х. Таким образом,
функционал F в данном случае также дифференцируем, и его еа-
риация Hi\ieeT вид
Задачи. 1. Проверить дифференцируемость следующие функционалов:
а) F(y)—y{a) в пространстве С {а, Ь)\
б) F{y) — y{a) в пространстве Dl{ay b)\
в) F(y) = у2 {а) в пространстве С (а, Ь)\
г) F {y)-z=Yi +.У'2 («) в пространстве Dl{at b)\
д) F{y) = \ у {а) 1 в пространстве С {а, Ь).
Отв. а) — г) дифференцируемые, д) нет.
2. Проверить, что функционал F2(y) дифференцируем, если дифференци-
дифференцируем Fiy). Написать вариацию Fz(y).
Отв. oF2{y, h) = 2F{yNF{y> h).
4. В некоторых случаях, так же как и в классическом анализе,
остаток г (у, к) допускает дальнейшую расшифровку. Предположим,
что остаток г (у, h) приращения дифференцируемого функционала
F(y) после выделения главной линейной части может быть разложен
на квадратичный функционал и новый остаток выше второго порядка
малости
Q{ К Ь)-\-г2(у, Л),
так что для любого д ^> 0 можно найти s >• 0 такое, что при
будет
В этом случае квадратичный функционал Q{y-> h, Щ называют вто-
вторым дифференциалом или второй вариацией функционала F{y); сам
функционал F (у) называют в этом случае дважды дифференцируе-
дифференцируемым. Так же, как и первый дифференциал, определен однозначно и
второй дифференциал.
Функционалы F(у) интегрального типа, которые мы выше рас-
рассматривали, например
и
l (I)

88 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ill
в пространстве D} (a, b) являются дважды дифференцируемыми, если
подынтегральная функция / обладает непрерывными производными
до третьего порядка включительно. Выражения для второй вариации
таких функционалов легко получаются разложением / от аргумента
у -\~k по формуле Тейлора до членов третьего порядка. Так, для
функционала
а
вторая вариация имеет вид
F (у, h) = $ /уу (х, у) кг dx; B)
а
для функционала A)
, h) = J \fyyh* + 2fyy,hti -\-fyrh"\ dx; C)
a
для функционала
имеем
h2 -4- Л-f , h{k) h{l) -L- A-f (h{m)\2ldv (A\
fn -p . . . -\~j vq)v(i} « « -J- • • ¦ -f-y V(m) v(m) V" ) 1ил> у*)
для функционала
FWf, у, z, zx, zy)dxdy
G
аналогично
наконец, для функционала
ь
получается
a y/ к
2/

§ 2] ЭКСТРЕМУМЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 89
Задачи. 1. Доказать единственность второй вариации.
2, Доказать, что квадратичный функционал дифференцируем, и найти
его первую и вторую вариации.
Отв. Ы(уу у; h) = A(y> h) + A(ht у), %2А(у, у\ К h)= 2 Л (Л, Л).
3, Написать вторую вариацию функционала eFiy\ где F(y)—дважды диф-
дифференцируемый функционал.
Отв. &eF °° = {[S/7 (у, Л)]2 + З2 F (у, К h) \ eF &\
% 2, Экстремумы дифференцируемых функционалов
1. Рассмотрим некоторый дифференцируемый функционал F^b ли-
линейном нормированном пространстве Е. Поставим задачу найти те
точки у, в которых функционал F достигает экстремальных значе-
значений— максимума или минимума.
По определению, функционал F достигает в точке yQ относи-
относительного минимума, если существует такая окрестность точки у0
(шар с центром в точке yQ)t в пределах которой выполняется не-
неравенство
Если для точки yQ существует окрестность, в пределах, которой
выполняется противоположное неравенство
то говорят, что в точке у0 функционал F имеет относительный
максимум. В анализе для определения точек относительного экстре-
экстремума дифференцируемых функций приравнивают нулю их дифферен-
дифференциалы. Покажем, что аналогичное правило справедливо и для диф-
дифференцируемых функционалов в линейных нормированных пространствах.
Лемма. Во всякой точке yQ, где дифференцируемый функцио-
функционал F (у) достигает экстремума, первая вариация bF (у0, h) функ-
функционала F при любом приращении h равна нулю.
Доказател ьство. При произвольно заданном h рассмотрим
функцию F{y0 -\-Щ от переменного t. Эта функция дифференцируема
по t и при ^ = 0 имеет экстремальное значение. Поэтому ее произ-
производная прн ? = 0 обращается в нуль. Но эта производная равна
S/7(_v0, h) в силу леммы § 1. Таким образом, при любом h выраже-
выражение bF(yQJ h) равно нулю, что и требовалось.
Всякая точка у0, в которой первая вариация §F(yQ, h) функцио-
функционала F{y) обращается в нуль при любом /г, называется стационар-
стационарной точкой функционала.
Таким образом, мы должны приравнять нулю вариацию $F(yQ, h)
(тождественно по h) и выяснить, при каких _у0 это возможно. Мы

90 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
найдем тогда стационарные точки функционала. Далее из всех ста-
стационарных точек нужно отобрать интересующие нас точки максимума
и минимума.
2. Если функционал F [у) дважды дифференцируем, то для иссле-
исследования этого последнего вопроса можно привлечь вторую вариацию
функционала. Поскольку в стационарной точке у0 первая вариация
функционала равна нулю, приращение его при переходе в точку
yo-\-h записывается в виде
± t{ya, А),
где величина r1(yQi К) при любом ?>0*вшаре ||/г||<^(?) допускает
оценку
k,Cv..
Эту оценку можно записать в форме равенства
M>V *) = <* 11*11*. где—
Отсюда при || h || <^ 3 (е), выражение приращения функционала при-
приводится к виду
Д^1Уо> >*)=4^0V> Л) + ве||Л||Е. A)
Теперь мы можем сформулировать некоторое необходимое и неко-
некоторое достаточное условие минимума. А именно:
а) Если стационарная точка у0 есть точка минимума функ-
функционала F{y)> то $*F{yo9ko)&z0 при любом ho.
б) Если в стационарной точке у0 при всех h выполняется не-
неравенство
> h) > с II h II2 (С> 0 фиксировано), (Г)
то yQ есть точка минимума функционала F (у).
Для доказательства утверждения а) допустим обратное, т. е, до-
допустим, что при некотором hQ имеет место неравенство $*F(y0, hQ)
Возьмем ?<^ ом- i,2 и положим h = th0, где t настолько мало,
что || h ||= *Г||М<д(е). Тогда
tKL-bt\\thA\% — tx
.) + бе II th0
так что _v0 не ес*ь точка минимума функционала F(y).
Дли доказательства утверждения б) возьмем ^ <С ~Y и 01^еним
снизу приращение функционала F(у) в шаре радиуса §(е) с центром

§ 2] ЭКСТРЕМУМЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 91
в точке yQ. Используя (Г), из A) получаем
и, следовательно, у0 есть точка минимума функционала F(y).
Условие^ б), вообще говоря, нельзя ослабить, заменив его, казалось бы,
естественным условием ozF{yQi h) > 0 для всех h. Примером может служить
функционал
ill
F(y) = С хуг (х) dx — \ у* (х) dx = \ у2 (х) [х — у {х)\ dx
0 0 0
в пространстве С@, 1). Точка у {х) = 0 — стационарная точка для этого
функционала, и вторая вариация
h) — \ %h% (x) dx
положительна для каждой функции h(x) ^0. Но функционал F(y) принимает
в любой окрестности нуля и отрицательные значения; достаточно при за-
заданном е>0 взять в качестве у{х) любую неотрицательную функцию, поло-
положительную при х — 0, не превосходящую & — х при х < е и равную нулю
при х^г.
Задачи. 1. Доказать, что линейный функционал, отличный от тождест-
тождественного нуля, не имеет экстремумов.
2. Показать, что теория экстремума функционала
в пространстве С (а, Ь) совпадает с обычной теорией экстремума для
функции /(?).
3. Показать, что теория экстремума функционала
F{y)=f(y(a), уф))
в пространстве С {а, Ь) совпадает с обычной теорией экстремума для функ-
функции двух переменных /(S, tq).
3, В качестве примера проанализируем экстремальную задачу
для функционала вида
ь
F(y)=\f(x, y(x))dx.
а
Этот функционал имеет первую вариацию (стр. 84)
ь

92 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. 1И
Пусть уо=уо{х)— искомая точка экстремума. В этой точке при
любой функции h(x) выражение SF (у'о, h) должно обращаться в нуль.
Мы получаем уравнение
h (x) dx=0
Ниже будет доказано, что такое уравнение может удовлетворяться
лишь при условии, что
= 0 по х. C)
ду
Это уравнение, если его разрешить относительно _уо, даст, вообще
говоря, одну или несколько функций от х — элементов пространства
С (а, Ь)у в которых только и возможны экстремумы рассматриваемого
функционала.
Вторая вариация функционала F (у) имеет вид (стр. 88)
Если она неотрицательна при любой h (х), то, очевидно, / v ^ О,
Поэтому неравенство /уу^0 служит необходимым условием ' мини-
минимума функционала F. С другой стороны, если при всех х имеем
fyy (х> .Уо (х)) ^ О» т0 стационарная точка уо(х) является минимумом
функционала, поскольку
\^fyy
, (X) ) h* (X) +\fyyy (X, ^0(x)+e (X) h (X) ) h3 (X)] dx =
при достаточно малых /г.
4. Теперь вернемся к уравнению B). Нам нужно доказать, что
если оно выполняется для всех непрерывных h (x), то имеет место
равенство C). Для этого применим лемму, которая и в дальнейшем
нам будет неоднократно полезна:

§ 2] ЭКСТРЕМУМЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 93
Лемма. Если для непрерывной функции А(х) при любой не-
прерывной функции h(x)
ъ
\A(x)h(x)dx = 0, D)
а
то А (х) = 0.
Доказательство. Если А (х) ^= 0, то имеется внутренняя
точка х0 отрезка [а, &], в которой Л(хо)^О. Пусть для опреде-
определенности А (х0) = с ^> 0 и U (х0) = {х: | х — х01<^ §} — окрестность
точки х0, в которой выполняется неравенство А (х) ^> -^- . Рассмот-
рим любую функцию /г(х), неотрицательную, равную нулю вне
окрестности ?/(х0) и положительную при х = х0. Тогда, очевидно,
ь
А (х) h (x) dx
л; — Aol < S 1 л; — л;0! < 5
что противоречит- исходному предположению. Лемма доказана.
Замечание 1. Запас функций /г(х), для котбрых нужно требо-
требовать выполнения равенства D), чтобы сохранить справедливость ре-
результата, можно значительно уменьшить; как видно из построения,
можно наложить на h(x) любые ограничения гладкости (вплоть до
бесконечной дифференцируемости), можно также считать, что h(x)
равна нулю вблизи концов промежутка. Отметим также, что в ана-
аналогичной формулировке—с заменой отрезка [а, Ь] на ограниченную
область G—лемма сохраняется и в случае нескольких независимых
переменных.
Замечание 2. Просматривая приведенные выше построения,
легко убедиться, что они остаются справедливыми и в несколько
более общей постановке. Именно функционал F(y) может быть задан
не на всем пространстве ?", а только на некотором подмножестве
Е'аЕ, которое обладает тем свойством, что вместе с двумя своими
точками у, y-\-h содержит все точки вида y-\-th, —ос <<t <^ос,
иными словами, содержит всю прямую, определяемую точками у и
y-\-h. Подмножество Е' с Е, обладающее этим свойством, называется
линейным многообразием в Е. В задачах, которые мы будем рас-
рассматривать далее, функционал, определенный и дифференцируемый
во всем пространстве ?", рассматривается только на некотором линей-
линейном многообразии Е' с Е и разыскиваются те точки у0 ? Е\ в кото-
которых функционал имеет значение, экстремальное относительно сме-
смещений в этом многообразии. Для решения такой задачи мы должны
рассмотреть вариацию $F(y9 h) только для у ??" и разыскать при
этом такие точки у0, для которых <$F(yQi h) равна нулю при любом

94 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Iff
смещении /г, не выводящем из многообразия ?*. Точно так же и
вторую вариацию ЬгГ(у0, h) мы должны исследовать только на сме-
смещениях /г, не выводящих из многообразия Е\
§ 3. Функционалы вида j f(x, у, y')dx
а
На этих функционалах, часто встречающихся в задачах матема-
математики и механики, мы остановимся несколько подробнее.
1. Функционал в пространстве Dx (a, b)
ь
У, У
а
как мы видели в § 1 (стр. 85), имеет вариацию
ь
dx. A)
Чтобы найти точки экстремума функционала F, нужно приравнять
нулю его вариацию %F (у, /г). Для искомой функции у=у(х) здесь
можно получить несколько вариантов условий* в зависимости от мно-
многообразий, на которых задан функционал.
Рассмотрим сначала случай, когда функционал F задан на сово-
совокупности функций у(х), принимающих в точках а и Ь заданные зна-
значения у (а) и уф). Тем самым функция h(x) на концах отрезка
|а, Ь] должна обращаться в нуль. Очевидно, что эта совокупность
является линейным многообразием в D1 (a, b)r и мы можем действо-
действовать в соответствии с замечанием 2 к § 2.
Предположим далее, что искомое решение у =д» (х) обладает
непрерывной второй производной. (Это ограничение будет снято ниже.)
Тогда оба коэффициента при h(x) и К (х) в интеграле A), где
вместо у подставлено искомое решение у (х)у будут дифференцируе-
дифференцируемыми функциями от х. Интегрируя второе слагаемое по частям,
получим:
ъ ь
$§$ I j [?/,] h(x) dx.
Внеинтегральный член обращается в нуль, так как h (a) = h (b) = 0.
Поэтому выражение вариации преобразуется к виду

I/
§ 3] функционалы вида \f(x, у, у') dx 95
В искомой точке экстремума вариация $F(y> h) должна быть равна
нулю при любом h(x). Отсюда (как и выше в § 2) следует, что
множитель при h(x) тождественно равен нулю. Итак, для неизвест-
неизвестной функции у=у (х) мы получили уравнение
ду dxdy'
(уравнение Эйлера). Раскрывая полную производную по х, мы можем
записать это уравнение в форме
/у Jxy* /уу'У fy'y'У =0.
Это — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка,
линейное относительно старшей производной. Итак, если экстремум
функционала F существует и достигается на функции у=у(х),
обладающей производной второго порядка, то эта функция у =у (х)
удовлетворяет уравнению Эйлера.
Общее решение уравнения Эйлера, как и всякого дифферен-
дифференциального уравнения 2-го порядка, зависит от двух параметров: С
и С2. Каждое отдельное решение, получающееся при фиксированных
С, и С2, называется экстремалью функционала F. Подбирая долж-
должным образом постоянные Сг и С2, мы, вообще говоря, сможем ука-
указать экстремаль, которая удовлетворяет поставленным условиям
у (а)=уа, у (b)=yb (может быть, и несколько таких экстремалей).
Если же среди решений уравнения Эйлера нет ни одного, которое
отвечает этим условиям, то это означает, что наша экстремальная
задача не имеет решений в классе дважды дифференцируемых
функций.
2. Изучая вторую вариацию функционала F, мы можем получить даль,
нейшие необходимые, а также и достаточные условия того или иного экстре-
мума.
Вторая вариация, как было указано в § 1 (стр. 88), имеет вид
Среднее слагаемое можно преобразовать следующим образом:
ь ъ ъ
fyy,hk'dX=
УУ
а а а

96 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [гЛ. Щ
поэтому
Ъ
п Г 1 1
C)
где н (х) = -
Мы утверждаем, что для точки минимума y = yQ(x) выполняется нера-
неравенство '
fyy (*, У* (х), Уо (х))^0
при любом х в промежутке [а, Ь].
Действительно, предположим, что в некоторой точке xQt a ^xo^b, выра-
выражение /уу (х, уо(х)у у0 (х)) отрицательно. Тогда это выражение отрицательно
и в некоторой окрестности U точки х0. Пусть некоторая функция Л0(х — х0) ?
? Dx (а, &) в окрестности U принимает значения между 0 и 1, в точке х0
равна 1, а вне окрестности U равна 0. Всегда можно найти интервал длины,
например о, на котором /г'о (х — хо)^с > 0. Рассмотрим выражение второй
вариации C) для смещения пт {х) = /г0 [т (х — х0)], когда m—^ оо. Первое
слагаемое остается ограниченным по модулю величиной
второе же, очевидно, стремится к — оо, так как по условию /у'у/<0в окре-
окрестности U, а в этой окрестности на интервале длины 6jm квадрат производ-
производной от функции hm {х) заведомо превосходит гп2с2. Поэтому o2F на смещении
hm (x) с достаточно большим т принимает отрицательное значение; но тогда
функционал F не может иметь минимум в точке yQ.
Итак, неравенство fyy(x, yQ{x), yQ (x) )^ 0 является необходимым усло-
условием минимума функционала F{y) в стационарной точке уо{х). Это условие
называется условием Лежандра.
Удобные достаточные условия минимума получить значительно сложнее.
Мы приведем здесь без доказательства достаточное условие Вейер-
штрасса.
Предположим, что экстремаль у=у(х) можно включить в «поле экстре-
экстремалей», т. е. в однопараметрическое семейство экстремалей у=у(х, а), где
— е < а < е и у (х, 0) = у (х); при этом предполагается, что функДия У(х, а)
дифференцируема по а, —- > 0, и кривые у=у(х, а) в промежутке а^х^Ь
при разных значениях а не пересекаются. Тогда, если для всех х и v в об-
области, покрытой экстремалями у=у(х, а), выполняется при любом т
неравенство
fyy (х, у, *) > 0,
то экстремаль у = у (х) реализует относительный минимум функцио-
функционала F в пространстве ?\; более того, среди всех кривых у~у(х) ? ?>
удовлетворяющих при достаточно малом {J неравенству

IS
§ 3] функционалы вида j/(x, у, у') dx 97
каковы бы ни были производные ср' (л;), функционал F принимает наимень-
наименьшее значение на кривой у = у(х). Если, наоборот, в указанных условиях
выполняется неравенство
fyY (*» У, х) < О,
то экстремаль у—у(х) реализует относительный максимум с теми же
свойствами *).
Укажем несколько конкретных задач из геометрии и механики, приво-
приводящих к задачам об отыскании экстремумов функционалов указанного вида.
а) Функционал
ь
dx
выражает длину дуги кривой у=у(х) при а^х^Ь. Задача об экстремуме
этого функционала может быть сформулирована так: среди всех кривых
у=у(х), соединяющих заданные точки (а, у (а)) и (&, у (Ь)), найти кривую
с наименьшей длиной. В данном случае функция f (х, у, у') = уг1 -{-у'% не
зависит от у, поэтому уравнение Эйлера B) принимает вид
J.. JMf v>
откуда
у' ¦
/„/ = —p~=z = const;
y V\+y'2
но тогда и у'= const, и, следовательно, решение дается линейной функцией
у = Сх-{-С{, искомая линия есть прямая, соединяющая заданные точки.
Ясно, что мы имеем здесь дело с минимумом; посмотрим все же. во итг>
превращается здесь условие Вейерштрасса. Экстремальу — Сх-\- Cv очевидно,
можно включить в поле
у = Сх + С, -|- а, — е < а < е.
Далее,
'v'
и, следовательно,
так что условие Вейерштрасса удовлетворено.
б) Поставим аналогичную задачу для поверхности, заданной параметри-
параметрическими уравнениями
X —' X iu fV V ~~ V (it VY 2 ~^: 2 iu V\ D)
*) Доказательство можно найти, например, в «Курсе вариационного
исчисления» М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника, М.—Л., 1950, гл. 8.
7 Г. Е. Шилов

98 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ш
Известно, что длина дуги кривой v = v(u)t соединяющей на поверхности D)
точки Л и Ву выражается интегралом
ь
V
где Е, Ft G — гауссовы коэффициенты элемента дуги. Мы должны, следова-
следовательно, решить задачу об экстремуме функционала E). Оставляя пока в сто-
стороне общий случай, рассмотрим случай сферы, заданной уравнением в сфе-
сферических, координатах (» —<р, и —ф):
х = cos 9 cos ф, у = sin cp cos ф, z = sin ф. F)
Гауссовы параметры имеют вид
G = *,*е + ^csVo + Z^Z9 =
F=Xfy + У9У*> + 2ф2ф = О,
Е=х^ + у^у'ь + z^z^ = 1
и функционал E) принимает вид
ь
с
Уравнение Эйлера
так же как и выше, допускает первый интеграл
который может быть записан также в виде
(ЦС
аУ cos ФУ cos2 ф — С2
Общий интеграл этого уравнения получается подстановкой tg
sin (cp + Q = Q tg ф Cj =
ИЛИ
sin ф = a sin cp cos ф -f- ? cos cp cos ф,
где аир — новые постоянные. Возвращаясь к прямоугольным координатам
по формулам F), получаем
z = ах
Мы получили уравнение плоскости, проходящей через начало координат;
кривая, высекаемая ею на сфере, есть дуга большого круга. Таким образом,
линии кратчайших расстояний на сфере, если они существуют, являются
дугами больших кругов.
Проверим выполнение условия Вейерштрасса.

if
§ 3] функционалы вида j/(x, ул у') dx 99
Если только две взятые точки не являются диаметрально противополож-
противоположными (так что cos ф > 0), то дугу большого круга, соединяющую их, оче-
очевидно, можно включить в поле экстремалей. Далее,
р __ cos2 Ф
]1 +<р cos24>]/2
поэтому
cos2
Г
vy [1 +т2 cos2 ф] /2
и условие Вейерштрасса выполнено; таким образом, дуга Г большого круга,
соединяющая две заданные точки, действительно реализует минимум длин
среди всех кривых, соединяющих эти точки и проходящих достаточно близко
от кривой Г.
Прежде чем перейти к остальным двум примерам, сделаем одно практи-
практическое замечание относительно интегрирования уравнения Эйлера в случае,
когда функция / = /(х, у> у') не зависит от аргумента х, так что
1=1 {у, у')-
Будем считать здесь независимым переменным у, а х — его функцией, под-
подлежащей определению. Тогда функционал F приводится к виду
li(y,^)x'dy-
Теперь уравнение Эйлера
?Г —
Ух
так же как и выше, будет иметь первый интеграл
gXf = const,
или, что то же,
) + / ( /) = / - y'f/У. У') = С G)
Остается проинтегрировать полученное уравнение 1-го порядка, что возмож-
возможно выполнить в квадратурах, поскольку в этом уравнении отсутствует д;.
Переходим к рассмотрению следующих примеров.
в) Экстремум функционала
F(y) = 2
дает решение следующей задачи: среди всех кривых у=у(х), соединяющих
заданные точки (а, у (а)) и (b, y(b)), найти такую, для которой площадь соот-
соответствующей поверхности вращения вокруг оси х имеет наименьшее значение.
Для решения уравнения Эйлера используем предыдущее замечание. Пер-
Первый интеграл G) -имеет в данном случае вид

100
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[гл. ш
или, что то же,
У
— 1.
У = v \с
Подстановкой y = C-cbt уравнение легко интегрируется:
Кривая у = у{х) будет искомой, если она принадлежит к этому двупарамет-
рическому семейству и проходит через заданные точки (а, у (а)) и (Ь, V {Ь)).
Рис. 5.
Рис. б.
Для простоты будем считать, что а— — Ь, у (а) = у ( — а). Тогда Cj = 0h все
семейство экстремалей сводится к однопараметрическому семейству
х
5"
(8)
получающемуся из цепной линии у —chx с помощью всевозможных преоб-
преобразований подобия (с центром в начале координат). В зависимости от поло-
положения точек (а, у (а)) и ( — а, у ( — а)) на плоскости могут возникнуть три
различные возможности: в семействе цепных линий (8) есть две линии, про-
проходящие через эту точку, одна или ни одной (рис. 5, пары точек Av Вг;
А& В* А& &з соответственно). Выясним, как обстоит дело с выполнением
достаточного условия Веиерштрасса. Мы имеем
Г _О_ У
3/2 '
эта величина положительна при у > 0 и любом _у'=т. С другой стороны,
в первом случае верхнюю из двух возможных экстремалей, соединяющих
точки Aj и Blt всегда можно включить в поле, используя для построения его
экстремали семейства (8). Условие Веиерштрасса, таким образом, выполнено,
поэтому верхняя экстремаль заведомо приводит к относительному минимуму
функционала F. Нижнюю экстремаль нельзя включить в поле, и условие Веи-
Веиерштрасса не выполняется; таким образом, вопрос относительно характера
экстремума на нижней экстремали мы вынуждены оставить открытым. Более
точное исследование показывает, что нижняя экстремаль не дает ни макси-
максимума, ни минимума.
Во втором случае единственная экстремаль, соединяющая точки Л2 и В2У
также включается в поле и, следовательно, реализует относительный минимум.

§ 3] функционалы вида \f(x, у, yf)dx 101
Б третьем случае в классе дважды дифференцируемых линий, соединяющих
точки Л8 и Др нет ни одной, на которой функционал F достигал бы относи-
относительного минимума.
г) В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу, которая
стала важной вехой в развитии вариационного исчисления: какова должна
быть кривая, соединяющая точки А и В в вертикальной плоскости, что-
чтобы материальная точка М скатывалась по этой кривой от одной точки
до второй под действием силы тяжести в наименьшее время?
Искомая кривая была названа им брахистохроной.
Приступая к решению этой задачи, сначала найдем время, в течение ко-
которого материальная точка М с массой т скатывается под действием силы
тяжести по заданной кривой из одной заданной точки в другую без началь-
начальной скорости. Поместим начало координат в первой из заданных точек и рас-
расположим оси, как указано на рис. 6.
Покажем прежде всего, что в точке с координатами х, у точка М имеет
скорость v = yr2gy. Для этого разложим силу тяжести Pz=mg на нормаль-
нормальную и касательную составляющие; первая не играет роли, вторая создает ка-
касательное ускорение, равное g ~~. Имеем
dv dy ds # ;
du~~~gds'' Tt~~V;
разделяя эти уравнения друг на друга, исключаем ds и dt и приходим к урав-
уравнению
v dv = g dy.
Интегрируя это уравнение с учетом1 начального условия _у = 0, v = 0y полу-
получим
что и требовалось. Далее мы имеем
и для искомого промежутка времени находим выражение
Y
gy
Очевидно, что F(y) = F [у {х)) есть функционал, зависящий от выбора функ-
функции у(х). Функция / в данном случае уже не является дважды дифференци-
дифференцируемой по у; тем не менее более точный подсчет обнаруживает, что и в дан-
данном случае F дифференцируем и его вариация вычисляется по формуле A).
Так же как и в предыдущем примере, уравнение Эйлера имеет первый ин-
интеграл

102 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
или, что то же,
Здесь удобно перейти к параметрическому представлению
Мы имеем в результате
откуда
dx Сг cos
и, следовательно,
Заменяя 2<? на п — 0, получаем более простую параметрическую запись ре-
решения:
х — а (9 — sin 9) + b, у = а A — cos 9),
где а и & — новые постоянные.
Таким образом, экстремали образуют семейство циклоид с точками воз-
возврата на оси х. Условиями задачи у@) = 0, у(Ь) = С выделяется в этом се-
семействе единственная кривая, которая и является искомой.
Замечание 1. В рассмотренных задачах мы находили кривые у =у0 (х),
реализующие относительный минимум функционала F{y). Это несколько не
соответствует постановке задачи: найти кривую y=^yQ\x), на которой реали-
реализуется абсолютный минимум функционала F(y) [т. е. минимум не только сре-
среди достаточно близких кривых, но и среди вообще всех функций y=zy[x),
для которых имеет смысл величина F(y)]. Конечно, если искомый минимум
достигается на некоторой кривой у—уо(х), то для этой кривой он будет
и относительным минимумом и поэтому будет «пойман» нашими методами.
Но может быть и так, что абсолютный минимум не реализуется ни на одной
гладкой кривой. Это заведомо имеет место, например, в задаче о минималь-
минимальной поверхности вращения, если заданные точки, через которые должна про-
проходить образующая, достаточно далеко раздвинуты. Но наши выводы еще
не исключают допущения, что и в «хорошем» случае, когда заданные точки
близки, соединяющая их экстремаль yz=yo(x) реализует лишь относительный
минимум, а абсолютный вовсе не реализуется (т. е. хотя для близких к у = уо(х)
линий и справедливо неравенство F{y)^zF(y0), но имеются иные линии, на
которых все же F(y)<iF{y0), и не существует гладкой функции, на которой
F(y) достигает минимума). В действительности это не имеет места. Имеется
общая теорема, называемая теоремой Гильберта — Тонелли, которая гаранти-
гарантирует существование (в классе спрямляемых кривых) решения экстремальной
задачи. Мы не имеем возможности останавливаться на ее доказательстве1).
Замечание 2. В ходе рассуждений мы допустили, что искомое ре-
решение у = у (х) обладает непрерывной второй производной. Это допущение
можно не вводить, если пойти несколько иным путем, который мы сейчас
опишем.
1) См. Н. И. Ахиезер, Лекции по вариационному исчислению, Гос-
техиздат, 1955, гл. IV, §§ 33—36.

§ 3] функционалы вида \/(^, y,yr)dx 103
а
Вариация функционала
ь
как мы помним, имеет вид
ъ
> h) = J [fyh (х) +fy,h' (х)} dx. (9)
а
Мы преобразовали ее выражение, интегрируя второе слагаемое по частям,
чтобы освободиться от h' {x) и иметь дело только с h (х). Но можно действо-
действовать и по-другому: интегрируя по частям первый член, освободиться от h(x)
и иметь дело только с И! (х). Оказывается, что на этом пути не только не
нужно предгюлагать существование у", но даже можно доказать ее сущест-
существование. Итак, проинтегрируем по частям первое слагаемое в выражении (9);
мы находим тогда
ду
(X)
ъ
Ь -[g{x)h'{x)
a J
а
где через g(x) обозначена первообразная от функции ' " (мы пом-
df{x, у, у')
ним, что у есть некоторая функция от х; вместе с этим и —— у ¦ есть
некоторая функция от х). Так как k(a)=-k(b) = Ot то внеинтегральный член
исчезает, и мы получаем
ъ
Ниже будет доказано, что это уравнение может удовлетворяться при все?:
допустимых h (x), лишь если
5r=
Функция д ' » как ФУНКДИЯ от переменного х, вообще говоря, не
й [
имеет производной [вместе с у' (х)]. Но в данном случае уравнение A0) по-
показывает, что функция и' вместе с g(x) дифференцируема.
Дифференцируя левую часть по х> приходим к уравнению Эйлепа:
_1 - -l^L^o
ду~*~dx дуг
Пока не доказано существование у", полную производную у второго
члена нельзя раскрывать по обычным правилам. Покажем, что у" существу-
существует всюду, где fyfy, (xt ty, у') отлична от нуля.

104 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ill
d df л
Производная -т- ^~, есть предел при Дх—^0 выражения
/у (х + Ах, V (х + &х), / (х + А*)) — /у' (х, у, У') _
^x ¦ ""
= Щ_
dx • ду Дх *<?/ Дх'
где черта наверху означает, что соответствующее выражение вычисляется
при некоторых промежуточных значениях'аргументов. При Дх—*-0 эта чер-
черта снимается и соответствующие функции рассматриваются при исходных
Ду <VV'
значениях аргументов. Кроме того, ~ стремится к у' (х). Так как ~~- по
Ду'
условию отлична от нуля, то существует и предел выражения ~-~ , а это и
означает существование второй производной.
Нам остается доказать следующую лемму Дю-Буа-Реймонда;
Если для некоторой непрерывной функции А (х)
ь
Л(х)Л'(х)</х— 0, A1)
а
какова бы ни была функция h(x) ? Dl{a1 b), равная, нулю при х — а и х = Ь,
то функция А (х) постоянна.
Для доказательства допустим, что непрерывная функция А (х) непостоян-
непостоянна, и, например, имеются точки хх и х2, где А (хг) < А (х2). Покажем, что су-
существует функция /г(х) ? Dx(a, b), h(a) = h(b) — Qy для которой равенство A1)
не выполняется. Возьмем произвольно число С между значениями А (хх) и
А (х2)? Так как А (х) — непрерывная функция, то найдутся непересекающиеся
интервалы Дх Э -^i и ^2 Э Х2> обладающие тем свойством, что для любых
х' ? А1( х" ? Д2
Л(х')<С< Л(х").
В качестве функции h' (x) возьмем любую непрерывную функцию, поло-
положительную на интервале Av отрицательную на интервале Д2, равную нулю
вне Дх и Д2 и такую, что
ь
\
h' (x)dx —
а Д, <12
Функцию h (x) определим, естественно, формулой
X
очевидно, что h(x) ? ^(а, Ь) и h{a) —
Далее мы имеем
С \АЩ — С\Ы \%)dx=\ (A{x)-C)h' (x)dx+[ [A (x) - С] h'{x) dx < 0,

§ 3] функционалы вида \f(xy у, y')dx 105
поскольку оба слагаемых отрицательны. Но тогда и
ъ ь ъ ь
А(х) h' (х) dx = jj [Л(х) - С] h' (x) dx + С$ ti(x) dx=^ [Л(х) - C]h'(x)dx<0;
мы видим, что при данной h(x) равенство A1) не выполняется, что нам и
требовалось.
Задачи. 1. Найти экстремали и исследовать условия разрешимости экс-
экстремальной задачи для следующих функционалов:
a)
6)
Отв. а) Одно решение при Ь = \, два при Ь "> 1 (папабплы^ и ни од-
одного при Ь < 1.
б) Всегда одно решение вида у — $к{Схх-\-Сг\,
2. Проанализировать экстремальные задачи для данныл функционалов;
а) \ yr dx, у@) = 0, уA>^1.
о
б)
о
1
в)
1
о
v В случаях а) и б) значение функционала не зависит от выбора
функции' у (х). В случае в) вариация функционала не равна нулю ни на од-
одной из кривых, соединяющих заданные точки; экстремума нет.
3. Согласно принципу Ферма, свет движется так, что из точки А в точку В
приходит за наименьшее время. Принимая, что в атмосфере Земли скорость
света линейно меняется с высотой, найти форму лучей света. Кривизну
земцой поверхности не учитывать.
Отв. Дуги окружностей.
4. Найти экстремаль функционала
Отв. у = х.
5. Доказать следующее обобщение леммы Дю-Буа-Реймонла:

106 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ш
Если А (х) — непрерывная функция и
ь
С А (х) Л<"> (х) dx = 0
а
для всякой функции h (x) ? Dn(a, &), равной нулю при х = а и х — b вместе
с производными до порядка я —1, то А (х) есть многочлен степени < п.
Указание. Положить
a a
(формула Дирихле). Условие теоремы теперь можно выразить так: интеграл
ь
\ А (х) р (х) dx
а
равен нулю на всякой функции р(х)> для которой
\ xkp (x) dx^=0
а
при fe = 0, 1, ..., /г — 1. Применить далее результат задачи 3 § 9 гл. II
ь
§ 4. Функционалы вида f f(x, у, y')dx (продолжение)
а
1. Условный экстремум. В конкретных задачах вариацион-
вариационного нечисления, кроме условий У(а)=у(Ь), иногда накладываются
дополнительные условия связей вида
ь
G (y)—$g(x, у, y')dx — C (С—заданная постоянная).
Такова, например, задача Дидоны, где требуется найти линию
у z=iy (х), у (а) = 0, у (Ь) = 0, которая при заданной длине L > b — а
ограничивает вместе с отрезком [а, Ь] наибольшую площадь. Здесь
подлежит исследованию на экстремум функционал
а
при условиях закрепления у (а) =^ {&) = 0 и условии связи
ь
G

о
§ 4] функционалы вида \/(х, у, y')dx (продолжение) 107
Абстрактная формулировка задачи следующая: найти экстремум
дифференцируемого функционала F (у) на «кривом» многообразии,
описываемом уравнением
где G(y) — некоторый другой дифференцируемый функционал.
При решении этой задачи мы дополнительно предположим, что иско-
искомая точка не является стационарной точкой функционала G. Поэтому
стационарные точки функционала G, вообще говоря, должны быть
исследованы особо. Основой для решения нашей задачи будет тот
факт, что в искомой точке экстремума по-прежнему вариация функ-
функционала F должна обращаться в нуль, но уже не для всех возможных
смещений /г, а только для тех /г, которые отвечают неизменному
значению функционала G. Точнее говоря, мы утверждаем следующее:
в искомой точке экстремума для любого вектора /г, удо-
удовлетворяющего уравнению
также должно удовлетворяться и уравнение
iF(y, h) = 0.
Допустим, напротив, что для некоторого h = h0 имеем
Ю(у, fto) = 0, iF{y, ho) = Aj^0.
Тогда при любом t, \t\^\, будет
) tA^0 при
Смещение th0 выводит нас, вообще говоря, за пределы поверхности
G(y) = C, и мы имеем G (у -|- th0) =^= С. Выберем произвольно век-
вектор /г,, для которого линейный функционал $G(y, Нг)^=0, и с по-
помощью подходящего числа 5 подправим смещение th0 так, чтобы
смещение tho-\-shl удовлетворяло уравнению
Можно показать, что для всех достаточно малых t число 5 сущест-
существует и является бесконечно малой более высокого порядка, чем t9
так что- э-0 при t—э-0.
If
Действительно, напишем уравнение
Так как G — дифференцируемый функционал, то
G (У + th0 + Sht) = G(y) + Ш (th0 + shj + r (th0

108 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Щ
где г (А) — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с |А|. Так как
$G (ho) = 0t IG (Aj) = Ь Ф 0, то мы получаем уравнение
К($, t) = sb-\-r (th0 -f- sh^ = 0. A)
Функция г BА0 -f- sA.) дифференцируема по 2 и s вместе с- G [у -\- thQ -f-
^(^0+^) "
причем по услрвию
ds
— 0. Мы ви-
дим, что для функции ЛГ(^, ^) выполнены условия теоремы о неявной функ-
функции; из уравнения A) можно выразить s как однозначную функцию от t,
обращающуюся в нуль при 2 = 0. Это— дифференцируемая функция от 2, причем
ds
дК
s = о
t = о
S = 0
t = о
dt
так что s есть бесконечно малая более высокого порядка, чем t.
Далее, для функционала F мы имеем:
где многоточием заменены бесконечно малые высшего порядка по
сравнению с i. Это выражение имеет заведомо разные знаки при t
положительном и отрицательном (достаточно малом по модулю); по-
поэтому функционал F не может иметь экстремума в точке у, когда
G сохраняет постоянное значение С.
Таким образом, наше утверждение доказано. Извлечем теперь из
него правило для определения искомой экстремальной точки.
Для этого воспользуемся одной простой леммой из общей теории
линейных функционалов.
Лемма. Если линейный функционал F(h) обращается в нуль на
всяком векторе Ло, на котором обращается в нуль линейный функ-
функционал О (Л), то функционал г (А) пропорционален функционалу G(h):
F(h) = \G (h) (I фиксировано). B)
Доказательство. Если G (И) = 0, то и /^(А) = 0 и равенство B) вы-
выполняется с любым X. Пусть G (И)фЬ, так что имеется вектор Ах, для кото-
которого G{hQ) = b Ф 0. Тогда для любого А можно найти такое число t, что
G (А — th0) = G(h) — tG (Ao) = 0.
Очевидно, что это уравнение удовлетворяется при t=zj~~ = Q. По условию,
F(h-tho) = 0y
откуда
F (А) = tF (Ао) = G (А) в = W (А),
где
о (К)'
и лемма доказана.

4] функционалы вида \/(#, у, y')dx (продолжение) 109
Мы видели, что линейный функционал iF{y, h) обращается в
нуль на любом векторе /г, на котором равен нулю функционал 8G{yt h).
В силу доказанной выше леммы имеет место (для всех h) равенство
или
Таким образом, искомая экстремальная точка у определяется как
такая, для которой функционал
H=.F —10
при некотором (неизвестном) \ имеет стационарное значение (во всем
пространстве). Если мы умеем находить у из такого условия, то для
каждого \ получим стационарную точку у (к); но из всех \ годятся
только те, для которых соответствующая точка у (к) удовлетворяет
уравнению связи
0{у(\)) = С.
Выведенное правило аналогично известному правилу множителей
Лагранжа из теории условного экстремума функций нескольких пере-
переменных.
Пример» Найти экстремум функционала
b
yVT^y* dx
а
при условиях у (а) =уа9 y{b)=yb и
ь
(У) = J YT+y^dx = С. C)
а
Здесь
а
Обозначая у — X = z, получаем задачу об экстремуме функционала
ъ
при условиях z(a)z=ya — li z(b)=yb — \. Решением служит, как мы знаем,
дуга цепной линии; число X при этом определяется из условия C), фиксирую-
фиксирующего длину этой дуги. Стационарная точка функционала О (у) — единственная;
она отвечает прямолинейному отрезку, соединяющему точки (а, уа) и (Ьу уь\г

110 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
причем G(y) становится равным длине I этого отрезка. Очевидно, что при
условии G(y) = l задача теряет смысл.
Задачи. 1. Решить задачу Дидоны; найти линию у — _у (х), у (Ъ) = у (а) — 0,
которая при заданной длине L > Ь — а ограничивает вместе с отрезком а^х^Ь
наибольшую площадь.
Отв. Дуга окружности.
2. Среди всех замкнутых кривых заданной длины L найти ту, которая
ограничивает наибольшую площадь.
Указание. Применить полярную систему координат. Показать, что
уравнение Эйлера для функционала F — \G означает, что кривизна искомой
кривой постоянна.
Отв. Окружность.
3. Найти тело вращения наименьшего объема с данной площадью осевого
сечения.
Отв. Цилиндр.
4. Найти тело вращения наибольшего объема с данной боковой поверх-
поверхностью.
Отв. Тело вращения кругового сегмента вокруг хорды.
5. Дифференцируемые функционалы G1(y), ..., Gn (у) называются неза-
независимыми в точке у01 если их вариации №х (у0, Л), ..., %Gn(y0> h) линейно
независимы. Показать, что у—>\G1(y), ..., Gn(y)\ есть отображение окрест-
окрестности точки у0 ? Е на окрестность точки {G1[y0)t ..., Gn{y0)\ в л-мерном
пространстве, если функционалы Gv ..., Gn независимы в точке _у0.
Указание. Найдя п элементов Лх, ..., hn так, чтобы иметь
det [| Gj(hk) || ф 0 (задача 4 к § 9 гл. II), применить теорему о неявных функ-
функциях к системе уравнений (?у заданы, tj неизвестны)
(/=1,2, ...,/2).
6. Показать, что задача на экстремум функционала
ъ
/(*• у> y')dx
а
с п дополнительными условиями
ь ъ
G, (у) = 5 gx (*> У, У') = С» • • •> Gn {У) ^[gn (*, У, У') dx = Сп
в предположении, что Gj(y) независимы, приводится к задаче на экстремум
функционала
ь
F _ \fix - ... - \nUn = J [/ (х, у, у') - Klgl (х, у, /) - ... - lngn (x, yt yf)) dx.
а
Указание. Используя задачу 5, показать, что в искомой точке экстре-
экстремума для всякого смещения Л, удовлетворяющего условиям Шг{у7 Л)=...
.шш=:Юп(у, Л) = 0, должно удовлетворяться также уравнение 8 F(yt h) = 0.
Далее использовать результат задачи 3 § 9 гл. II.

§ 4] функционалы вида \f(x, у, y')dx (продолжение) 111
а
2. Задачи с подвижными концами. Теперь мы рас-
рассмотрим случаи, когда искомая кривая у=у(х) подчинена гранич-
граничным условиям иного типа, так что концы ее не закреплены в точках
(а, „УдI и (?, yb), a могут перемещаться по заданным кривым. Задачи
такого рода часто встречаются в геометрии и механике.
Рассмотрим вначале случай, когда левый конец искомой кривой
по-прежнему закреплен, а у правого фиксирована только абсцисса Ь.
Вариация функционала F(y), как и раньше, имеет вид
ь
bF(y, h)=\ [fyh-\-fy'ti] ax->
a
rto функция h(x) уже не обязана обращаться в нуль в точке х-=Ь.
Интегрируя второе слагаемое по частям, получаем
ь
bF{y, h) = fy
В искомой точке экстремума вариация bF{y, h) должна быть равна
нулю, какова бы ни была функция смещения h(x). Если рассмотреть
сначала только функции смещения с условием Л(?) = 0, то, как и
раньше, находим, что искомая кривая удовлетворяет уравнению Эйлера
т. е. эта кривая есть одна из экстремалей функционала F. Вместе
с тем в точке экстремума вариация функционала F приводится к виду
bF(y, h)=fy,\x=bh(b). B)
Так как h{b) произвольно, то условие экстремума S/7—0 приводит
к уравнению
//(*. УФ), /(*)) = о, C)
которому должна удовлетворять искомая кривая.
Пример. Один из вариантов задачи о брахистохроне (стр. 101) состоит в
определении кривой у = у(х), скатываясь по которой из начала координат
материальная точка быстрее всего достигнет прямой х — b. Функционал F{y]
имеет, как мы помним, вид

112 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
Экстремали функционала F(y), проходящие через начало координат, суть
циклоиды
х = С @ - sin б), у = С A — cos 0). D)
Условие C) в данном случае, как легко видеть, приводится к виду
у' (Ь) = 0.
Мы должны, следовательно, среди всех циклоид D) выбрать такую, которая
пересекает прямую x=:fc под прямым углом, т. е. такую, у которой у при-
принимает наибольшее значение при x=z~b. Наибольшее значение достигается
координатой _у при Ь = ъ; отсюда для С получается уравнение
Ь=г.Съ.
Таким образом, искомая кривая имеет уравнения
jc = —F-sin6)/ . у = —A -cosв).
It It
Перейдем к случаю, когда правому концу искомой кривой предписано
находиться на заданной линии с уравнением у — b (х). Функционал
F(y) имеет в данном случае вид
=lF(x, у, y')dx,
а
так что подлежит определению не только функция у=у(х), но и пра-
правый конец ? интервала интегрирования. В качестве линейного норми-
нормированного пространства, в котором определен функционал F(y), мы
возьмем, естественно, пространство Dx (a, b) всех функций с непре-
непрерывными производными на отрезке [а, ?], заключающем в себе все
возможные положения точки ?.
Приращение функционала F(y) при замене функционального аргу-
аргумента у(х) на y(x)-\-h(x) можно записать в форме
bF[y, А) = 5 [/(ж, y + h, /+h')—f(x, у, y')]dx
f(x, У + h, y'+h')dx. E)
Главная линейная часть первого слагаемого вычисляется так же, как
и в предыдущем случае:
F)

§ 4] функционалы вида \/(л:, у, y')dx (продолжение) 113
Приращение Д? абсциссы ?, величина й(?) и угловой коэффициент
кривой y=zb(x), по которой движется правый конец искомой линии,
связаны соотношением (см. рис. 7)
[*' <6) — /(S)]A5 = A(S),
откуда Д? линейно выражается через Л (?):
Будем считать, что заданная линия отлична от экстремали, так что
Ь' ($)=^=у (?). Теперь мы можем найти главную линейную часть вто-
второго слагаемого в равенстве E):
, У E))
П77й/& .У. /)•
G)
Складывая F) и G), получаем:
, A) =
В искомой точке экстремума вариация &F(yt h) должна быть равна
нулю, какова бы ни была функция смещения h (х). Если рассмотреть
вначале только такие функции
смещения, для которых Л($) = 0,
то второе слагаемое, как и рань-
раньше, пропадает, и получается, что
искомая кривая должна удовлет-
удовлетворять уравнению Эйлера
Как и ранее, искомая кривая есть рис 7>
одна из экстремалей функционала
F. Вместе с тем для общей функции смещения в точке экстремума полу-
получаем уравнение
Г- *¦ Т
. *F) = 0,
(8)
что в силу произвольности h (?) приводит к условию
/+ W (х) — У (х)] fy j,=5 = 0.
8 Г. Е. Шилов

114 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ill
Это соотношение накладываем в точке линии ут=Ь{х) добавочную
связь на элементы у (х) и у' (х) искомой кривой, которая и может
быть теперь полиостью определена.
Пример. Какая кривая реализует минимум расстояний между точками
А и В, первая из которых неподвижна, А = А (О, 0), а вторая может переме-
перемещаться по заданной кривой у = Ь(х)?
Мы имеем дело с функционалом
Экстремали этого функционала — прямые: первому условию задачи отвечают
только те прямые, которые проходят через начало координат;
у = kx.
Условие (8) приобретает вид
/f+T« + W (х) - k] j== = о,
или, что то же,
kb'(x)=— 1.
Это означает, что искомая прямая y = kx должна пересекать заданную кривую
у — Ь (х) ортогонально.
Условие (8) называют обычно условием трансверсальности; иско-
искомая экстремаль должна пересекать заданную кривую трансверсалъно.
Замечание. Мы рассмотрели только такие случаи, когда правый
конец искомой кривой может двигаться по заданной линии. Если
и левый конец может двигаться по заданной линии, то таким же спо-
способом, как и выше, можно показать, что искомая кривая — экстремаль
функционала F и что условие трансверсальности должно выполняться
и для левого и для правого конца этой экстремали.
Задачи. 1. Если /(х, у\ у') = А(хл у)У 1 +у'2, то условие трансвер-
трансверсальности совпадает с условием ортогональности.
2. Найти вариацию функционала
О
с единственным условием у @) — L
Отв.
-2 (//)'] Л dx + 2/ A)/ A) Л A).

§ 4] функционалы вида у(х, у, y')dx (продолжение) 115
3. Написать вариацию функционала
при условиях у@) = 0,
Отв.
&F (у, А) = j [2y - 2у"] h (х) dx +
О
4. Написать вариацию функционала
при условиях у (х0) = ср (л0), у (*,) = Ф (х,
5. Л о м а н'ьг е экстремали. Допустим, что в классе всех кусоч-
кусочно-гладких кривых у = у(х) с фиксированными значениями у (а) и у(Ь)
и одной угловой точкой при некотором х == $ экстремум функционала
ь
F{y)=z \ f(xt у, y')dx реализуется на кривой уй'{х). Доказать, что уо(х) при
а
я<Е и при х>$ есть решение уравнения Эйлера и при переходе через
угловую точку выражения /у, (ху уо(х\ у'0(х)) и f(x, y0, y'o) — yjy> {х>Уо>у'о)
остаются непрерывными (правило Вейерштрасс^ — Эрдмана).
Указание. Если угловая точка (Е, уE)) перемещается по кривой
р =z= р (Е), то вариации слагаемых \ и \ должны компенсироваться. Учесть соот-
а е
ношение
А(Е-О)_р'(Е)-/F-О)
ясное из геометрических соображений.
6. Закон отражения экстремалей. В предположениях предыду-
предыдущей задачи найти условие, необходимое для тбго, чтобы ломаная экстремаль
имела точку излома на заданной линии j = p(x), располагаясь по одну сто-
сторону от этой линии.
Отв. Непрерывность выражения /, ([Г —/)+/.
7. Закон преломления экстремалей. Кривая у = $(х) делит
плоскость на две части А и Ву в одной из которых находится точка (а, у (а)),
8*

116 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
в другой — точка (&, уф)). В классе кусочно-гладких кривых у = у {х) с единст-
единственной точкой излома на кривой у = $(х) найти такую, на которой достигает
экстремума функционал
ъ
, I к(х> у» у') при ix* у) € *4>
\ h(Xy у, у') при [х, у) ? В.
Т)тв. Искомая кривая в каждой из областей Л, В есть решение соответст-
соответствующего уравнения Эйлера. При переходе через линию раздела выполняется
условие
§ 5. Функционалы с несколькими неизвестными функциями
Функционал вида
ь
Ух* •••» Ут У*> •••• y'n)dx A)
рассматривается в линейном пространстве D\ (а, ^) вектор-функций
у =z[yi(x)t .. rJ ^„(д^)], определенных на отрезке а^х^Ь и обла-
обладающих непрерывными производными 1-го порядка; норма в этом
пространстве задается формулой
max
\У\(Х)\
Если функция / имеет непрерывные производные до второго порядка
по всем своим аргументам, то, как мы видели в § 2 (стр. 87), функцио-
функционал A) дифференцируем в пространстве L№ и его вариация имеет вид
•п dX-
Здесь вектор смещения h есть вектор-функция [hl(x)y ..., hn{x)\ из
того же пространства D\n)-
В искомой экстремальной точке вариация функционала F обращается
в нуль для всех к. В частности, если все компоненты вектора смеще-
смещения, кроме одной, hAx), положить равными нулю, то мы получим
уравнение
ь

§ 5] ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ Ц7
Будем решать экстремальную задачу на линейном многообразии вектор -
функций у=:[у1(хI ..., ^„(а:)] с заданными граничными значениями
У(а)=\Уг(а)> •••> Уп(а)] и У(Ь)=\у1(Ь), ¦ ¦ •. .У» (*)] •
Тогда, предполагая, что искомые функции уг (х), .. ., уп(х) дважды
дифференцируемы по х> и применяя методику § 3, получим из B)
уравнение Эйлера
dyj
Система уравнений Эйлера C) приу' = 1,2, ..., п представляет собой
систему п уравнений второго порядка с п неизвестными функциями.
Общее решение такой системы содержит 2п произвольных постоянных
^i> • • •> ^2п» выбирая их должным образом, мы получаем возможность
выделить решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.
Впрочем, от предположения существования вторых производных можно
освободиться, применяя тот же прием с леммой Дю-Буа-Реймонда, что и в § 3.
дЧ
Вместо предположения , , Ф О здесь нужно будет использовать предполо-
а * */ У У
жение det —~—
Пример. Уравнения геодезических линий. Предположил^
что квадрат дифференциала дуги на /2-мерной поверхности L задан формулой
так что длина дуги кривой между точками А и В выражается равенством
в
¦] djk (и) diijdiifc
Коэффициенты ajk (и) предполагаются дифференцируемыми по всем аргу-
аргументам uv ..., ип1 а квадратичная форма ^ a]k (и) dtt/duk — положительно
определенной.
Найдем линии, на которых этот функционал имеет экстремальное значение.
Считая, что lit выражены как функции параметра t, получим систему урав-
уравнений Эйлера
' in =, ~^= V ajfUj =0 (I = 1, 2, ..., л), D)
2 Yg Z* дщ } п dt
где положено g(u)=-^uJkuuk- Эта величина обращается в 1, если парамет-
параметром t служит длина дуги, что мы далее и предположим. Тогда уравнения D)
переходят в
а/ь > > d

118 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
Но, с другой стороны,
/ /. ь
j, « J
и поэтому уравнения могут быть записаны в виде
я ,ь да }г
I; п„ E)
Так как форма gr=2a/fctt'tt* не выРожДен.э, то det || ajk \\ ф О, и следова-
следовательно, уравнения E) можно разрешить относительно й''. Обозначая при этом
Г* = -
щ дик duj J '
получим систему уравнений вида
Применяя общие теоремы о существовании и единственности решения
системы второго порядка, мы заключаем, что через каждую точку поверхно-
поверхности L (точнее через каждую неособенную точку, т. е. такую, в которой
форма g не вырождается) в каждом направлении проходит единственная
геодезическая линия.
Уравнения движения системы материальных точек.
Пусть дана система из п материальных точек с массами тЛ, ..., тп.
Координаты у-й точки обозначим через x,t y,t Zj. Движение системы
описывается, как известно, системой уравнений Ньютона
ту — F т \) — F m z — F (/ — 19 п\ if>\
где точка, поставленная над буквой, означает дифференцирование по
времени, a Fjx, F/v> F/2 суть составляющие силы F/y действующей на
/-ю точку. Предположим, что силы F, обладают потенциальной функ-
функцией U-=U(х1% уг, z,, ..., хпу уп, zn); это означает, что выпол-
выполняются равенства
Ш_ д?_ р _№_ 9
Существование потенциальной функции U позволяет вычислять ра-
работу сил, действующих на систему, на перемещениях dxlt dylt ..., dzn,
как «разность потенциалов»:
Jzdz
dU

§ 5] ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 119
Функция
как известно, называется кинетической энергией системы. Введем два
важных функционала
ь ь
..., zn)dt и Jй = \ U(t> x., .. ,,гЛаЧ.
'It' A J » * ' ' П'
а
Считая, что начальное положение системы хх (а), ..., zn(a) и конеч-
конечное положение хг (&), ..., zn(b) фиксированы, найдем вариации обоих
функционалов У, н У2. Обозначая компоненты вектора смещения соот-
соответственно через Bxlt ..., 8zn, будем иметь
дТ . . . дТ ..
или, интегрируя каждое слагаемое по частям и учитывая, что
Ьхх (а) = Ьхх (д) = ... = bzn (a) = 8zn (b) = 0,
a
b
— _ J [m1>riax1 + ...
Далее
ь
В силу уравнений Ньютона F) имеем
bJx =
откуда
Мы вндим, что на функциях xx(t)y ..., zn (t)t описывающих дейст
вительное движение системы в промежутке времени a^t ^Ьг функ
ционал
ь
Jx — J%=[(T—U)dt
а
имеет стационарное значение.
Основная задача механики системы материальных точек, таким об
разом, оказывается задачей вариационного исчисления.

120 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
Впервые этот факт обнаружил У. Гамильтон (в 1835 г.), поэтому ука-
указанный результат носит название вариационного принципа Гамильтона.
Функция L= Т—U=L (ху1 ...., zn, ху1 ..., zn) называется
функцией Лагранжа для рассматриваемой системы.
Движение системы часто можно записывать с помощью не Ъп функ-
функций ху, . .., zn> а меньшего числа переменных, в соответствии с чис-
числом степеней свободы (т. е. числом, меньшим Ъп на число независимых
связей). Если г — число степеней свободы, то положение системы
определяется г параметрами— «обобщенными координатами» qlt q2, ...
..., qr При этом, в частности, через параметры qy, ..., qr выра-
выражаются и все прямоугольные координаты точек системы
у= I, 2, ..., л.
•••» Чт)> )
Отсюда
г г г
дУ/1 :
и, следовательно, кинетическая энергия
ttlj •
есть некоторая квадратичная форма от «обобщенных скоростей» qs.
коэффициенты которой — функции от обобщенных координат. Потен-
Потенциальная функция U(xl, ..., zn) таким же образом есть функция от
обобщенных координат
U=U(qv ..., qr).
Функция Лагранжа L= T—U оказывается теперь функцией от
«!» •• •» Ягу Ям •••» Яг
Условия стационарности функционала
описываемые, как и всегда," уравнениями Эйлера, получают теперь вид
это — так называемая система уравнений Лагранжа 2-го рода.

§ 5] ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 121"
Из уравнений движения можно легко получить условия равновесия,
считая, что в положении равновесия кинетическая энергия системы
равна нулю. Так как потенциальная функция не зависит от обобщен-
обобщенных скоростей, то для положения равновесия мы получим условия
= 0,
т. е. положение равновесия отвечает стационарному значению потен-
потенциальной энергии.
Уравнения G) допускают первый интеграл, называемый интегралом
энергии. Мы получим его, умножив каждое из уравнений на dqj = qdt
и сложив уравнения
= 0.
Так как
. /дТ\ /. дТ\ дТ
•
и в силу однородности формы Т относительно величин q*
то получаем:
dq
откуда
U-\- T— const.
Таким образом, полная энергия системы (сумма потенциальной и ки-
кинетической) остается неизменной во все время движения.
Последний факт позволяет легко доказать следующую теорему об устой-
устойчивом равновесии системы:
Теорема (Лиувилля). Если в точке q° — (<?J, ..., q*r) потенциальная
функция имеет строгий минимум, то для любого (достаточно малого),
е > 0 найдется такое S > 0, что если системе, находящейся в покое в
положении q°v ..., q]? придать кинетическую энергию, меньшую о, то во
всем дальнейшем движении системы точка q=:{qlt ..., qr) не выйдет за
пределы окрестности | q —- q° \ < е.
Доказательство. Так как по условию в точке #° функция U(qv ..., qr)
имеет строгий минимум, то найдется шар \q — <?°|=^s» на границе которога
всюду выполняется неравенство
г Яг)> "ill,...,9%

122 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. III
где 8 — положительное фиксированное число. Если системе, находящейся в по-
покое в точке </°, придать кинетическую энергию Т^8, то в дальнейшем дви-
движении полная энергия системы T-\-U будет постоянной и не будет превосхо-
.дить U(q°v ...,#)+3. Но так как при \q — q°\ = s уже U(qu ..., qr) большр
указанной величины, то, какова бы ни была ГE^0), полная энергия не смо-
сможет остаться не превосходящей U(q\9 ..., q°r) +3. Поэтому точка qv ...,#,
не выйдет за пределы указанной окрестности.
Более точный анализ, которого мы здесь не приводим г), показывает, что
в достаточно малой окрестности \q~ ?°|=^e можно от координат (qv . ..,?г)
перейти (линейным преобразованием) к новым координатам {xv ..., тг) так,
что в новых координатах уравнения движения (с точностью до малых высшего
порядка) будут иметь вид
Ч = Ч cos (u>kt + вл),
гДе s&> wft» ^—фиксированные числа (^ = 1, 2, ..,, /г). /
Замечание 1. Интересно отметить, что задачу о движении
механической системы с п степенями свободы можно трактовать как
движение точки по геодезической линии на /z-мерной поверхности
¦Е= const, взятой с некоторой специальной метрикой.
Действительно, функционал, отвечающий кинетической энергии,
можно записать в форме
и при условии Е= const экстремум этого функционала и функционала
Гамильтона достигается на одной и той же линии. .
Замечание 2. Принцип Гамильтона имеет ту характерную осо-
особенность, что в его формулировке отсутствует предположение о ко-
конечности числа степеней свободы. Поэтому его можно применять и
в задачах механики систем с бесконечным числом степеней свободы,
в частности в задачах механики сплошных масс, если у этих систем
можно вычислить потенциальную и кинетическую энергию. (Примени-
(Применимость принципа Гамильтона и в этом случае следует из того эври-
эвристического соображения, что сплошную среду можно рассматривать
и как систему из весьма большого, но конечного числа отдельных
частичек.) Мы будем рассматривать такие задачи в § 8. Здесь мы
рассмотрим только одну задачу о равновесии, именно задачу о форме
равновесия гибкой нерастяжимой нити заданной длины Z,, подвешен-
подвешенной за два конца. Элемент нити имеет массу p.(x)ds, где ds — эле-
элемент длины дуги и ji (x) — плотность. Сила тяжести \i(x)d$-g, дей-
действующая на этот элемент, имеет потенциальную функцию \iygds.
1) См., например, Г. Е. Шилов, Введение в теорию линейных прост-
пространств, изд. 2-е, М., 1956, § 76, стр. 215.

§ 6] , ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 123
Полная потенциальная энергия нити выражается интегралом
* ь
Условие равновесия есть условие минимума функции U. Нам известна
также длина нити:
Мы получили задачу на условный экстремум. В случае однородной
нити (]Х (х) = const) ее решением (см. § 5) является дуга цепной ли-
линии. Итак, гибкая нерастяжимая однородная нить располагается в по-
положении равновесия по цепной линии (откуда и название последней).
§ 6. Функционалы с несколькими независимыми
переменными
1. Функционалы вида
^f( д? d?) A)
G
рассматриваются в пространстве Dl (G) функций и (х, у), определен-
определенных в плоской (ограниченной) области G, непрерывных и обладающих
непрерывными производными*первого порядка по каждому из аргумен-
аргументов. Норма в этом пространстве задается формулой
у)
ди (х, у)
1
Г
Если функция /(х, у, и> v, w) имеет непрерывные производные до вто-
второго порядка по аргументам и, v, w, то, как мы видели в § 2
(стр. 86), функционал A) дифференцируем в пространстве Dx (G) и его
вариация имеет вид
G
Здесь h = h(x, у) есть смещение функции и (х, у). В экстремальной
точке вариация функционала F(y) обращается в нуль для любого
ли/чшлипа it IV* ill*
р ф
смещения h(xy у):
о
Преобразуем это уравнение интегрированием по частям, считая, что
значения функции и (х, у) зафиксированы на границе Г области G

124 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ill
и, следовательно, значения функции h (х, у) на этой границе равны
нулю. Например, для слагаемого -—- мы имеем
~ hdxdy = — И h ^r~ dx dy
дхди s
и, следовательно,
J J дих '"* — -J' — j j дх ди
Q Q
Аналогичное преобразование производится со следующим слагаемым.
В результате мы получаем уравнение
дх
Так как функция h{x, у) произвольна, то имеет место равенство
д1 — 1 (<Ц\—±(Щ=0
ду дх \дих) ду \диу) '
называемое уравнением Эйлера — Остроградского. Это—уравнение в
частных производных второго порядка; неизвестная функция и (х, у)
должна быть определена как решение этого уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющее заданным граничным условиям (известна функция и(х,у) на гра-
границе Г области G). Задача определения функции и (х, у) по уравне-
уравнению B) с указанным граничным условием называется задачей Дирихле.
Так же как и для соответствующих задач для одного переменного,
задача Дирихле может иметь решение или не иметь; для многих
важных уравнений вида B) существование и единственность решения
доказываются в теории дифференциальных уравнений с частными про-
производными.
Совершенно аналогично уравнение Эйлера — Остроградского можно
написать в случае трех или более независимых переменных.
2. Пример 1. Для функционала
G
уравнение Эйлера — Остроградского имеет вид
д*и , д2ип

§ 6] ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 125
его решения называются гармоническими функциями. Как доказывается
в теории уравнений с частными производными, решение задачи Ди-
Дирихле (и притом единственное) в данном случае существует для любой
области G с кусочно-гладкой границей Г и для любой непрерывной
функции и(х, у), заданной на Г. См. также гл. 5, § 8.
Задача. Найти экстремум функционала
• 1 1
F(u) = С С еиУ sin uy dx dy
о о
при условиях и(х, 0) = 0, и(х, 1)=1.
Отв. и (xty)=zy.
Примечание. Эта задача имеет единственное решение, хотя гранич-
граничные условия заданы не на всей границе.
Функция и (х, у) может быть подчинена и иным граничным усло-
условиям (не только условиям закрепления). В этих случаях искомое ре-
решение снова будет решением уравнения Эйлера (экстремалью), удов-
удовлетворяющим заданным граничным условиям, а также — если этими
условиями оно еще не определено однозначно — дополнительным
условиям на границе, получаемым из требования, чтобы вариация
функционала равнялась нулю (как в задаче для простейшего функ-
функционала со свободным концом).
3. Пример 2. Выведем уравнение малых колебаний струны.
Струна, располагающаяся в положении равновесия между точками 0 и /
на оси х, совершает малые колебания около этого положения. При-
Принимается, что каждая точка движется только в перпендикулярном к
оси х направлении. Обозначим через и (х, t) фигуру струны в мо-
момент t; предположим для определенности, что концы 0 и / остаются
закрепленными, так что и (О, t) = u(l, t) = Q. Кинетическая энергия
струны, как сумма кинетических энергий ее частиц, выражается ин-
интегралом
г
\ — y.dx,
о
I
где ]idx есть масса элемента струны, отвечающего интервалу dx на
оси х. Величина |л==|Л(дг) есть плотность струны в точке х> Важ-
Важнейшей характеристикой струны является ее потенциальная энергия;
выражение потенциальной энергии, собственно говоря, есть фактиче-
фактическое определение струны с механической точки зрения. Струна есть
одномерная механическая система, потенциальная энергия каждого
участка которой пропорциональна его удлинению по сравнению

126 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. 1Й
с положением равновесия. Таким образом, мы имеем
dU = p (x) [V Н17^ dx — dx] •
Коэффициент р=р(х), фигурирующий, в этом равенстве, называется
модулем упругости струны (модулем Юнга). Считая, что их — на-
настолько малая величина, что четвертой степенью их можно пренебречь,
получим:
2 *
о
Функция Лагранжа L=T—U имеет вид
i
1 Г
О
Функционал Гамильтона VL dt теперь будет двойным интегралом
i ь
о а
Напишем уравнение Эйлера — Остроградского:
Если \х и р постоянны (т. е. струна однородна по плотности и упру-
упругости), то мы получим уравнение
которое нас и интересовало.
Граничные условия, естественные с физической точки зрения, здесь
можно взять следующие: при/ = 0 заданы значения функции и(х, 0)
(т. е. известна форма начального отклонения) и функции ut(x, 0) (из-
(известна начальная скорость каждой точки). Покажем, что они опреде-
определяют лишь единственное решение уравнения C). Если бы имелось
два решения уравнения струны ull) (x, t} и u{Z)(x, t), отвечающие одина-
одинаковым значениям ull)(x, Q) = u(Z)(x, 0) и u$(jc, 0)=^и$(х, 0), то их
разность а(х, t) = u(l){xt t) — u{2)(x, t) была бы также решением, удо-
удовлетворяющим нулевым условиям и (х, 0) = 0, и% (х, 0) = 0. Мы должны
доказать, что и(х^ /)^0. Используем для этого следующее сообра-

§ 6] ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 127
жение. Полная энергия струны
так же, как и для системы из конечного числа материальных точек,
должна оставаться постоянной во все время процесса (это мы строго
докажем ниже). Но в начальный момент, по условию, ut(x, 0) = 0,
и(х, 0) —0, так что и их(х,0) = 0, откуда при t=0 и ?=0; а
тогда в любой момент времени ?=0 и, следовательно, at = ttx=Q.
Отсюда следует, что а(х, t) постоянна; но так как а(х, 0) = 0, то
и и(х, t) = 0 при каждом t.
Остается проверить для струны закон сохранения энергии. Эта
проверка производится аналогично случаю системы из конечного числа
точек с заменой сумм на интегралы по х. Именно умножим уравнение
струны C) на щ и проинтегрируем по х:
i
Первое слагаемое интегрируем по частям:
i г
= UtkUx \[
Внеинтегральный член обращается в нуль, так как и% @, t) и ut(l, t)
равны 0 вместе с а @, t) и и (/, t). Таким образом, имеет места
равенство
dx=
откуда
и, следовательно,
E= const,
что и требовалось доказать.
Укажем, как построить само решение, по крайней мере для доста*-
точно гладких начальных функций ср (х) = а {х, 0) и ф (jc) == ixt (jc, 0).
Будем для простоты считать, что р—1, (Х=1, / = тт (общий слу-
случай рассмотрен в гл. V, § 5). Как легко проверить, функции sin nx cos ni.

128 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. 1П
и sin nx sin nt при любом целом п удовлетворяют уравнению
att — axx = ° E)
и условиям закрепления на концах #@, t) = a(lt ?) = 0. Составим ряд
00
^л, Г) 7, Sin /ZX \u COS /Zf —j— G Sin fit), \0}
l
коэффициенты которого определим из условий
00
а(х, 0) = 2а« sin
00
Щ (х, 0)=
При достаточной гладкости функций <p(x) и ф(хI) коэффициенты ап
и Ьп настолько быстро стремятся к нулю, что ряд F) оказывается
абсолютно сходящимся вместе с формальными первыми и вторыми про-
производными по х и t. Тогда можно вычислить ахх и att суммированием
ряда из соответствующих производных; так как уравнение выпол-
выполняется для каждого из слагаемых, то оно будет выполнено и для
суммы. Более подробное изложение этого вопроса, а также анализ
случаев, когда к и ji не постоянны, выходят за рамки нашего курса2).
Задача. Найти закон колебания струны, закрепленной на концах
х = 0, х = л, если k = ji = 1 и и (х, 0) = 0, щ (х, 0) — sin 2x cos x.
О/пв. к (х, *) = тг sin х sin * -\- — sin Зх sin St.
4. Рассмотрим еще случай вынужденного движения, когда на
струну действует внешняя сила.
Пусть на участок Дх нашей струны действует сила f(x,t)Lx.
Эта сила обладает потенциальной функцией (работа на пути от 0 до а)
i
Uf = — [ f(x, t)a(x, t)dx,
о
и поэтому полная потенциальная энергия в этом случае выражается
формулой
') Точнее, при условии, что достаточно гладкими будут нечетные 271-перио
дические продолжения функций ер (х) и ф (х) на всю ось.
а) См., например, И. Г. Петровский, Лекции по уравнениям с част-
частными производными, М., 1953; Р. Курант и Д. Гильберт, Методы
математической физики, т. I, гл. V, М., 1951.

§ 6] ФУНКЦИОНАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 129
уравнение Эйлера теперь будет иметь вид
Из этого уравнения можно получить и форму 'положения равновесия
в случае, когда внешняя сила в действительности не зависит от вре-
времени, так что f{Xjt)=f(x). В положении равновесия utt = Q и, сле-
следовательно, форма струны и — и(х) удовлетворяет уравнению
Среди всех решений этого уравнения интересующее нас выделяется
граничными условиями в точках х = 0 и х = /.
Так, однородная струна (jji, & = const) прогибается под действием
силы тяжести (f(x)==]ig) по параболе, являющейся решением урав-
уравнения
5. Пример 3. Уравнение малых колебаний мембраны.
Мембрана есть «двумерный аналог» струны: это механическая система
в форме поверхности, потенциальная энергия каждого участка кото-
которой пропорциональна увеличению его площади по сравнению с поло-
положением равновесия. Таким образом, если функция u(x,y,t), заданная
в области G на плоскости (Х{ у) при t^Q, описывает фигуру мем-
мембраны -в момент t, то выражение для ее потенциальной энергии при-
примет вид
+« + « ^
Q Q
Кинетическая энергия имеет вид
G
Функция Лагранжа
~2
Уравнение Эйлера — Остроградского принимает вид
д , , , д , v д
Для р и ул постоянных получается уравнение вида
9 Г. Е. Шилов

130 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1ГЛ- 1U
В качестве начальных условий, так же как и в случае струны, можно
задать и (х, у, 0) и ut(xty,Q). Дальнейшая теория проходит в основ-
основном параллельно с теорией струны; мы снова отсылаем читателя
к указанным выше курсам уравнений с частными производными.
§ 7. Функционалы с высшими производными
1. Функционал вида
ь
lf/im A)
определен в пространстве Dm{a,b) функций у =.у(х) с т непрерыв-
непрерывными производными на отрезке [а, Ь]. Норма в пространстве D (а, Ь),
как мы помним, задается формулой
\\у\\ = max {\у(х)\,
Если функция f(x,yo,yxj ...,ym) имеет производные до 2-Г0 порядка
по аргументам y0J ...,ym, непрерывные при всех уо, ..., ут> то,
как было сказано в § 2 (стр. 85), функционал A) дифференцируем
в Dm(a, b) и его вариация имеет вид
ь
[%h +§*'++$**] * B)
Вектор смещения h — h(x) есть функция из того же пространства
Dm(a,,b). Экстремальную задачу для функционала F(y) мы будем
решать на многообразии функций у (х) g Dm (a, b) с заданными зна-
значениями
Тем самым для функции h(x) выполняются условия
h(a)=h'(a) = ... =/г(т~
Допустим, что искомая функция у=у(х) имеет непрерывные произ-
производные до порядка 2тх Тогда все функции ~^, входящие в выра-
выражение вариации B), как функции от х, будут иметь непрерывные
производные до порядка т. Проинтегрируем по частям каждое из
слагаемых (начиная со второго) столько раз, чтобы снять с функ-
функции h(x) все дифференцирования. В силу D) все внеинтегральные

§ 7] ФУНКЦИОНАЛЫ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 131
члены обратятся в нуль, и мы будем иметь
bF{y,h) =
Так как h (x) произвольна, то искомая функция у должна удовлетво-
удовлетворять уравнению
ду dxdy' ^dx2 ду" • • " TV l> dxm ду<т>
Это обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2т, которое
также называется уравнением Эйлера. Общее его решение содержит
2т произвольных постоянных, которые можно употребить для выде-
выделения интересующего нас решения, подчиненного условиям C).
Задача. Найти экстремали функционала
ь
Отв. y = (ax + p)rt 1 +ЧХ + &1 при пф\, п ф — \ . При я— —
ау = \п {ах-\- р) -[-fx + S; при л=1 значение функционала не зависит от _у.
2. Иногда встречаются задачи, в которых заданы на границе не
все условия C), а меньшее число, так что в общем решении урав-
уравнения Эйлера после подчинения его граничным услдвиям еще остаются
свободные константы. Такие задачи аналогичны задачам со свобод-
свободными концами для простейшего функционала (§ 5). При решении
такой задачи нужно преобразовать выражение вариации B) с учетом
имеющихся граничных условий и, приравняв ее нулю, получить до-
дополнительные условия на границе.
Пример. Найти кривую у=у(х)> реализующую экстремальное значение
функционала
ь
при условиях у(а) = у(#) = 0.
Решение. Вариация функционала F(y) имеет вид
ь

132 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. II
При первом интегрировании по частям граничные члены сохранятся ввиду
того, что функция h' (х) не обязана на границе обращаться в нуль. При вто-
вторичном интегрировании новых граничных членов не появится (h (a) = h (b) — 0)
В результате мы" получим:
ь ь ¦
eF(y,h)=y''(x)h'(x)
(x)h'(x)dx =
a a
= [/ (b) Ы (b) - f (a) H (a)} + J yw (x) h (x) dx.
Указанное выражение для экстремальной функции у(х) должно обратиться
в нуль, какова бы ни была функция h(x)?D2(a, b) с условиями h (а) — h (b) = 0.
Если при этом и ti (a) = h' (b) = 0, то мы получаем, что
откуда yiv (х) = 0у и, следовательно, у(х) есть парабола 3-го порядка:
2 \ axs
4
Таким образом, в выражении вариации интегральный член исчезает, и мы полу-
получаем для общего случая
ZF (у, Щ = у» (b) h' (b) — у" (a) h' (a) = 0.
Так как h' (а) и Ы (Ь) независимы, то должны быть выполнены условия
у" (а) = у" ф) = 0. Эти два условия вместе с двумя остальными у(а)=у(Ь) = 0
однозначно выделяют искомое решение.
Задача. Найти кривую у= у (х), реализующую экстремальное значение
функционала
при условиях у @) = у' @) = 0, у' A) = 1.
Отв. У——-Х2.
3. Совершенно аналогичные соображения имеют место и для случая
нескольких независимых переменных. Мы ограничимся для простоты
рассмотрением функционала
G
с интегрированием по области О в плоскости переменных ху у. Этот
функционал определен в пространстве D2{Q) функций и(х, у), имею-
имеющих в области G непрерывные производные до второго порядка.
Относительно функции / предполагается, что она имеет непрерывные
производные по всем аргументам до второго порядка включительно.

§ 7] ФУНКЦИОНАЛЫ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 133
Тогда первая вариация функционала F будет иметь вид
bF{ut *) =
о уу уу
Вектор смещения h = h(xt у) есть функция из того же пространства
D2(G)- В экстремальной точке и — и(х, у) пространства D2(Q) вариа-
вариация bF(u, h) обращается в нуль при любом h(x, у), так что
[fuh + /«А + /«А + А«А* +Л«А> +/»»Ау] ** ^ = °* <5)
G
Будем считать, что значения функций tt(x, у), их> и закреплены на
границе Г области О й, следовательно, величины A, hx, h обра-
обращаются ka Г в нуль; относительно же искомой функции и(ху у) пред-
предположим, что она имеет непрерывные производные до 4-го порядка
включительно. Каждое из слагаемых под знаком интеграла имеет по х
и у производные до 2-го порядка включительно. Интегрируем каждое
из слагаемых, начиная со второго, один или два раза с тем, чтобы
снять с функции h(x, у) все дифференцирования; при этом в силу
условий на границе все внеинтегральные члены обратятся в нуль
и уравнение E) перейдет в уравнение
$XJ Ux л„ / «в I Л^г-'Ижя; I Л^-Лч.-'^у | ^t,2JuVu & &Х &У U-
G
Так как h(x> у) в остальном произвольна, то функция и удовлетво-
удовлетворяет уравнению 4-го порядка (уравнение Эйлера — Остроградского)
ri ri riz a2 ri2
Неизвестная функция и(х, у) должна быть определена как решение
этого уравнения, удовлетворяющее заданным * граничным условиям.
Вопросы о существовании и единственности решения такого уравнения
рассматриваются в теории уравнений с частными производными. Вместо
условий закрепления в задаче могут фигурировать и иные условия,
так же как и в случае функционалов с производными первого по-
порядка (§ 5).
4. Пример, Уравнение малых колебаний стержня.
Стержень, расположенный в состоянии равновесия между точками 0 и
/ на оси х, совершает поперечные колебания в плоскости (х, и). Обо-
Обозначим через и(х, t) профиль стержня в момент i и предположим, что
концы 0 и / «наглухо заделаны», так что
о@, /)=и(/, 0 = 0,
и* (°. О = их С О = °-

134 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ш
Кинетическая энергия стержня, как и струны, выражается интегралом
где \х (х) dx — масса элемента, соответствующего интервалу dx.
Потенциальная энергия стержня определяется — в противоположность
потенциальной энергии струны — не удлинением, а искривлением про-
профиля; точнее, стержень как механическая система определяется тем,
что потенциальная энергия каждого его участка пропорциональна
квадрату кривизны профиля:
2
Считая, что их и ихх малы, мы пренебрегаем членом и^и*х, что дает
возможность записать dU в более простом виде:
откуда потенциальная энергия
i
= -к- \ киг dx.
2 .1 хх
Функция Лагранжа L=T—U имеет вид
i
Функционал Гамильтона изображается двойным интегралом
U to о
Напишем для данного случая уравнение Эйлера — Остроградского F):
При постоянных [х и k получается уравнение
****

§ 7] ФУНКЦИОНАЛЫ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 135
которое и является уравнением свободных колебаний стержня. Началь-
Начальные условия, естественные с физической точки зрения, можно взять
следующие: при ?=0 заданы значения функций и(ху 0) (форма
начального отклонения) и ut (х, 0) (начальные скорости точек стержня).
Единственность решения задачи при указанных начальных и граничных
условиях следует из рассмотрения интеграла энергии, как и для
струны. Как построить само решение при тех или иных граничных
условиях, разъясняется в курсах уравнений с частными производнымиа).
По тем же соображениям, что и для струны, уравнение вынуж-
вынужденных колебаний стержня будет иметь вид
dt
где f(x, t)dx — сила, действующая на элемент dx. В случае, когда
внешняя сила не зависит от времени, f(xt i)=f(x)> фигура равнове-
равновесия стержня определяется из условия
{кихх)=/{х).
дх2 v хх>
В частности однородный стержень (ji, k = const) прогибается под
действием силы тяжести (f(x) = \Lg) по некоторой кривой четвертого
порядка.
Задача. Найти фигуру равновесия однородного стержня: а) наглухб заде-
заделанного; б) свободно подпертого на двух опорах (рис. 8) в точках xh2=z + l.
Рис. 8.
Указание. В случае б) граничные условия суть и (—I) —u(l)=zQf
производные и' (—I) и и' (I) остаются свободными.
Отв. (для k = \l = 1):
a) »(*) = i
0) Ц (X) = —
J) См., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский, Уравнения
математической физики, Гостехиздат, 1951.

136 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ. Ш
Заключительное замечание. Первый общий метод решения вариа-
вариационных задач, выделивший вариационное исчисление в самостоятель-
самостоятельную область математики, был найден около 1744 г. Леонардом Эйле-
Эйлером A707—1783; швейцарец по рождению, большую часть жизни
работал в Петербургской Академии наук). Метод Эйлера является
родоначальником современных «прямых методов» вариационного исчис-
исчисления. Метод вариаций, который мы излагали, был предложен впер-
впервые в 1755 г. Ж. Лагранжем (франц. математик, 1736—1813)
в письме к Эйлеру. В разработке классического вариационного
исчисления принимали участие крупнейшие математики XIX века:
Гаусс, Пуассон, Остроградский, Вейерштрасс и др. Мы описали здесь
только начальные элементы этой большой и богатой приложениями
области математики. Для дальнейшего ознакомления можно рекомендо-
рекомендовать книгу Н. И. Ахиезера «Лекции по вариационному исчислению»
(Гостехиздат, 1955), а также И. М. Гельфанда и С. В. Фомина
«Вариационное исчисление», Физматгиз, 1961.

ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
Мы переходим теперь к расширению понятия интеграла. Классиче-
Классическое определение интеграла, данное Коши и Риманом, вполне доста-
достаточное в применении к отдельным непрерывным или кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывным функциям, оказывается недостаточным с более общих точек
зрения. ' Так, мы видели, что пространство С1 (а, Ь) непрерывных
функций f(x) на отрезке [а, Ь] с метрикой
)— g(x)\dx A>
не является полным: существуют фундаментальные последовательности^
не имеющие предела в этом пространстве. Ничего не спасло бы присоеди-
присоединение к пространству Сх (а, Ь) разрывных функций, интегрируемых по
Риману. Только новая конструкция интеграла, более широкая, чем
римановская, позволит нам указать класс функций, дающий пополне-
пополнение пространства Сх (а, Ь) по метрике A).
Другая задача, для решения которой недостаточно старого опре-
определения интеграла,— это задача об описании достаточно широкого класса
пар функций (р(я) и F (х), для которых формулы
F'(x) = v(x) C).
являются эквивалентными. Точная постановка и решение этой второй
задачи будут даны в гл. VI.
§ 1. Множества меры нуль и измеримые функции
Мы начнем теорию интеграла с изучения одного класса множеств
на отрезке а^ х<^Ь, называемых множествами меры нуль.
Как мы увидим далее, это будут те множества, которыми можно
пренебрегать при вычислении интегралов; точнее говоря; интеграл от

138 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
^функции f(x) не будет изменяться, если значения функции f(x) изме-
изменить произвольно на множестве меры нуль.
Определение. Множество Л, расположенное на отрезке [а, Ь]9
называется множеством меры нуль, если для любого е^>0 его
можно покрыть конечной или счетной системой интервалов, сумма
длин которых не превосходит е.
Примерами множеств меры нуль служат множества из одной
точки, из двух точек, вообще, любая конечная или счетная совокуп-
совокупность точек. Докажем последнее. Пусть Л = {я1, х2, ...} — счетное
множество и ?^>0 — заданное число; тогда система интервалов с дли-
нами -к-, х» * • • » "on"> •••> последовательно покрывающих точ-
ки jc15 x2, ... , хп, ... , покрывает все множество А и имеет общую
сумму длин, не большую чем -о" + х~Ь • * * ~\"W~\~* • • — ?- В част-
частности, множество рациональных чисел я множество алгебраических
чисел — множества меры нуль.
С другой стороны, весь отрезок [а, Ь] заведомо не есть множество
меры нуль. Действительно, если отрезок покрыт счетной системой
интервалов, то по известной лемме анализа можно из указанного по-
покрытия выбрать конечное покрытие; сумма длин даже этих интервалов
заведомо превосходит число b—а, т. е. длину всего отрезка [а, Ь].
Уже теперь можно объяснить, почему значения функции на множестве меры
нуль несущественны при вычислении интеграла от нее. Достаточно убедиться,
что интеграл от функции f(x), равной 1 на множестве А меры 0 и равной нулю
на дополнении Д должен быть равен нулю. Покроем множество А системой
интервалов с общей длиной < е. Ясно, что интеграл от функции /(я), если он
определен разумно, не должен превосходить суммы площадей прямоугольников
высоты 1 с основаниями на указанных интервалах. А эта сумма равна сумме
длин самих интервалов и по условию меньше е, т. е. может быть сделана как
угодно малой. Отсюда необходимо следует, что функция f(x) должна иметь
интеграл, равный 0.
Отметим, что в приведенном определении множества меры нуль
можно заменить покрытие множества интервалами покрытием из отрез-
отрезков или любых промежутков (с включенными или исключенными кон-
концами). Действительно, если имеется покрытие множества А промежут-
промежутками с общей длиной <^s, то, заменяя /z-й промежуток содержащим
его интервалом длины, не больше чем на ^ превосходящей длину п-го
промежутка, мы получим и покрытие множества А интервалами, общая
длина которых не превосходит 2s; поэтому, если множество А можно
покрыть системой каких-то промежутков с общей длиной как угодно
малой, то можно покрыть и системой интервалов с общей длиной
также как угодно малой, т. е. множество А имеет меру нуль.
Укажем простую конструкцию замкнутых множеств меры нуль.
Предположим, что замкнутое множество F на отрезке [at b] получается

§ 1] МНОЖЕСТВА МЕРЫ НУЛЬ И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 139
выбрасыванием из этого отрезка открытого множества, состоящего из
счетной совокупности непересекающихся интервалов Дт, Д2, ... , ДА,...
с общей длиной, равной b — а. Тогда мы можем утверждать, что мно-
множество F имеет заведомо меру нуль. Действительно, для заданного е ]> О
можно найти такое п, что
со
Через | Д | мы здесь и в дальнейшем обозначаем длину интервала Д.
Оставшиеся п интервалов Дх, ... , Дп не пересекаются и вместе с про-
промежуточными отрезками Д[, ... , Д^ (число которых т может быть
равным п—1, п или л-j-l, включая тот случай, когда ДА и ДА+
имеют общий конец и, следовательно, Д^ вырождается в точку) дают
конечное покрытие (промежутками) всего отрезка [а, Ь]. Так как сумма
длин Дх, ... , Дп больше, чем Ъ — а — е, то система Д[, ... , Д^ имеет
общую длину заведомо <^s; а так как она, очевидно, покрывает все
множество /\ то мы и получаем, что F есть множество меры нуль.
Казалось бы, трудно ожидать, что после выбрасывания из отрезка длины
Ъ — а системы непересекающихся интервалов с общей длиной также Ь — а
может остаться сколько-нибудь богатое точками множество. Оказывается, что
тем не менее остаток может быть даже эквивалентен (по мощности) всему
исходному отрезку.
Примером может служить уже известное нам канторово множество (гл. II,
§ 4, п. 4) на отрезке [0, 1]. Напомним, как оно строится. Сначала из отрез-
отрезка [0, 1] выбрасывается интервал ( -^-, — ) длины —, составляющий сред-
нюю из трех третей всего отрезка. Затем подобная операция производится
с каждым из двух оставшихся отрезков 0, -^- и -^-, 1 , т. е. из каждого
( \ 2\
из ни выорасывается его средняя третья часть, именно интервал I —., -— J из
Гп П f7 8\ [2 Л п
отрезка 0, -^- и интервал f -к-, тт из отРезка "о"» 1 • Далее аналогич-
ная процедура производится с каждым из четырех оставшихся отрезков
ГА 11 \1 1Л Г8
[9 ' 3J ' L3 ' 9
I 8 1
и 1Т,1
и процесс продолжается неогра-
неограниченно. Оставшееся в результате замкнутое множество и называется канто-
ровым. Нетрудно подсчитать полную сумму длин выброшенных интервалов:
первый выброшенный интервал имел длину -~-, два следующих имели сумму
о
2 4
длин -Q-, следующие четыре — сумму длин г= и т. д.; общая сумма длин
равна сумме ряда
12 4 2"
+ 1Г + 27+ * * * ++ 1
У + 1Г + 27

140 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
Поэтому согласно сказанному выше канторово множество имеет
меру нуль.
Далее, канторово множество не имеет изолированных точек, поскольку
интервалы, выброшенные при его построении, не имели общих концов.
Поэтому в силу теоремы 1 § 4 гл. II канторово множество несчетно; более
того, в силу теоремы 2 того же параграфа оно имеет мощность континуума
В дальнейшем мы часто будем использовать следующее свойство
множеств меры нуль:
Лемма. Объединение конечной или счетной совокупности мно7
жесте меры нуль есть множество меры нуль%
Доказательство. Рассмотрим сразу 'случай счетной совокуп-
совокупности А1, . . . , Ап, . .. множеств меры 0. Для заданного е)>0и для
каждого п покроем множество Ап счетной системой интервалов с общей
длиной меньше -^(п = 1, 2, ...). Тогда все множество Л —Лх-{-
... -\- Ап-\- . .. окажется покрытым счетной системой интервалов
(сумма счетного множества счетных множеств) с общей длиной, мень-
меньшей s. Следовательно, А имеет меру 0, что и требовалось.
Множество на отрезке [а, Ь], дополнительное к множеству меры
нуль, называется множеством полной хмеры. Таковыми являются,
например, множество иррациональных чисел и множество трансцендент-
трансцендентных чисел.
Пересечение конечной или счетной совокупности множеств пол-
полной меры есть снова множество полной меры. Действительно, если
Qi> Q2> •••—множества полной меры и A1 = CQV AZ —
дополнительные множества меры нуль, то
в силу леммы имеет меру нуль; отсюда следует, что IIQy есть мно-
множество полной меры, что и утверждалось.
Если некоторым свойством обладают все точки некоторого множе-
множества полной меры на отрезке [а, Ь], то мы говорим, что это свойство
выполняется почти для всех тоЧек отрезка [а, Ь\. Например, почти
для всех точек ? ? [а, Ь\ выполнено то свойство, что ? иррационально.
Бывают функции, почти всюду непрерывные, т. е. непрерывные в каждой
точке, кроме, может быть, множества меры нуль. Для функций, кото-
которым разрешается принимать и бесконечные значения, имеет смысл
название «конечная почти всюду»; это значит, что множество, на кото-
котором функция бесконечна, самое большее есть множество меры нуль.
Мы можем описать теперь класс функций, в котором будет про-
происходить наша дальнейшая работа по определению интеграла. Функ-
Функции, входящие в этот класс, называются измеримыми функциями.
Измеримая функция, по определению, есть такая функция, которая
определена и конечна почти всюду на [а, Ь\ и может быть представ-
представлена как предел почти всюду сходящейся последовательности ступен-

§ 1] МНОЖЕСТВА МЕРЫ НУЛЬ И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 141
наших функций. В свою очередь ступенчатая функция есть функция,
принимающая некоторое постоянное значение в каждом из интервалов
некоторого разбиения отрезка [а, Ъ\ на части с помощью точек деле-
деления а = л:0 <^хг <^ .. . <^хп = Ь. В самих точках деления мы можем
не интересоваться значениями ступенчатой функции, поскольку этих
точек конечное число — и тем самым множество меры нуль.
Совокупность ступенчатых функций есть линейное пространство
с обычными операциями сложения и умножения на числа; если h и k —
ступенчатые функции, то их линейная комбинация ah-\-$k есть также
ступенчатая функция. Отсюда мы легко выведем, что и измеримые
функции образуют линейное пространство. Действительно, если сту-
ступенчатые функции hn сходятся к функции / всюду, кроме множе-
множества А меры нуль/ а ступенчатые функции kn — к функции g всюду,
кроме множества В меры нуль, то ступенчатые функции &hn-\-$kn
сходятся к функции' af-\-$g всюду, кроме множества А-\-В, кото-
которое', по доказанному выше, также есть множество меры нуль; следо-
следовательно, функция a/-}-fig* также измерима.
И многие другие свойства, которыми обладает класс ступенчатых
функций, можно подобным предельным переходом перенести на класс
измеримых функций. Перечислим некоторые из них.
Произведение двух ступенчатых функций есть ступенчатая функ-
функция; в соответствии с этим и произведение двух измеримых функций
есть функция измеримая.
Частное двух ступенчатых функций есть ступенчатая функция,
если знаменатель не обращается в нуль. В соответствии с этим част-
частное двух измеримых функций есть измеримая функция, если знаме-
знаменатель почти всюду отличен от нуля. Действительно, если hn—>/
всюду, кроме множества А меры нуль, kn—>g всюду, кроме множе-
множества В меры нуль, то, заменив у функций kn> если это требуется,
1
нулевые значения на значения —, мы получим новую последователь-
последовательность ступенчатых функций k!, не обращающихся в нуль, и также
сходящуюся к g всюду, кроме множества В; но тогда ступенчатые
функции — сходятся к — всюду, кроме множества А-\-В-\-С, где
С—множество меры нуль, на котором g обращается в нуль. Множе-
Множество А~\~В~\~С имеет меру нуль, и, следовательно, функция — также
о
измерима.
Абсолютная величина |Л(х)| ступенчатой функции h (x) есть сту-
ступенчатая функция. Отсюда легко получить, что и абсолютная величина
любой измеримой функции есть функция измеримая.
Если даны две ступенчатые функции h (x) и k(x), то
hx (x) = max { h(x), k(x)} и kl(x) = min{h(x)t k(x)}

142
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
[ГЛ. IV
суть также ступенчатые функции. Предельным переходом получаем,
что для двух измеримых функций fug (рис. 9)
и
), g(x)}
in {/(*), g(x)}
a
•ffr)
Рис. 9.
суть также измеримые функ-
функции.
В частности, вместе с функ-
функцией f(x) измеримыми являются
ее положительная часть /+
(х) = тах I/ (х), 0} и отри-
отрицательная часть /~(х) = тах
{0,—/(х)}.
Отметим часто встречаю-
встречающиеся соотношения
/=/+-Г, |/|=Г+Г,
имеющие место для всякой фун-
функции /(х).
3"а дача. Известно, что сумма длин смежных интервалов к замкнутому
множеству Fc[at b] меньше b — a. Показать, что множество F не есть мно-
множество меры нуль.
§ 2. Класс С+
Теперь мы приступаем к построению понятия интеграла. Рассмот-
Рассмотрим сначала ступенчатую функцию h(x)t т. е. функцию, принимаю-
принимающую постоянные значения blt bz, ..., bk в каждом из конечного
числа промежутков А,, А2, ... , ДА, на которые отрезок [а, Ь] разби-
разбивается точками деления а = хо<^хл<^ *.. <^xk = b. Интеграл от
этой функции естественно положить равным
a k
]h(x) dx= ^bf\ A;|.
ь
Для сокращения записи будем в дальнейшем выражение вида \^h(x)dx
а
ваменять на //г. Как легко проверить, интеграл от ступенчатых функ-
функций облагает следующими свойствами:
а) I(hi-\-hz) = Ih1-\-Ihi для любых двух степенчатых функций
К и ht;
б) /(а/г):=:а//г для любого числа а;
в) если Нг<.НгУ то Ih^^Ih^ в частности, если h^O, то Ih^O.

§ 2] класс С+ 14$
Следующие два свойства менее очевидны; далее будут даны их
доказательства:
г) если последовательность hn^0 монотонно убывает (так что<
/г, (х) ^г/г2 (х) ^г...) и стремится к нулю почти всюду, то Ihn—> 0;
д) если последовательность hn^0 монотонно убывает и при
этом Ihn—»-0, то эта последовательность стремится к нулю почти
всюду.
В дальнейшем для обозначения предельного перехода при монотон-
монотонном убывании будем употреолять знак \, так что, например, запись
/п\/ означает, что последовательность функций /п(х), монотонно
убывая, стремится почти всюду к функции f{x). Аналогичный смысл
будет иметь знак /<.
Докажем свойство г). Нам дано, что hn \ 0, и требуется дока-
доказать, что Ihn \ 0. Классическую теорему о почленном интегрировании
сходящейся последовательности функций здесь применить нельзя, так
как эта теорема предполагает равномерность сходимости последова-
последовательности функций к своему пределу. Для доказательства поступим
следующим образом. Объединение множества, на котором последова-
последовательность hn не сходится к нулю, и счетного множества всех точек
разрыва всех hn обозначим через Л; это — множество меры нуль.
Покроем его системой интервалов {Дд} с общей длиной, меньшей
заданного е^>0. Каждой из оставшихся точек х сопоставим номер
/z = /z(x'), для которого выполняется неравенство Лл(л:')<^е, и интер-
интервал Д (х'), содержащий эту точку, в котором функция hn сохраняет
свое значение. Интервалы { ДА} вместе с интерналами {Д(х')} обра-
образуют покрытие отрезка [а, Ь], из которого мы можем выбрать конечное
покрытие. Обозначим эти интервалы через Д,, ... , Д^, Д^, ... , Д'
снабжая штрихом те интервалы, которые построены по точкам х'.
Если г — наибольший из номеров, отвечающих соответствующим точ-
точкам х', то функция hr и все последующие на интервалах Д'1Т '... , Д'
не превосходят е. На интервалах Д,, ... , Д^, сумма длин которых
по построению меньше е, эти функции не превосходят числа М — мак-
максимума функции Л, (х). Теперь ясно, что для интеграла от функ-
функции hr(x) по отрезку [а, д] и для интеграла от всех последующих
функций мы получаем оценку вида
/йг<Л4е + е(?—а).
Так как е можно было взять произвольно малым, то мы приходим
к выводу, что Ihr—»-0, что и требовалось.
Докажем теперь свойство д), обратное свойству г). Нам дано, что
функции hn неотрицательны, монотонно убывают и что Jhn\O. Оче-
Очевидно, что функции hn, убывая и оставаясь положительными, имеют
при п—* оо некоторый предел g(x)^=0. Мы должны доказать, чта
функция g(x) почти всюду равна нулю.

144 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. tV
Для всякой функции g(x)^0 множество F всех точек, где она
отлична от нуля, есть счетная сумма множеств
Запись в правой части равенства показывает, что множество F' есть
множество всех точек х, где g (х) ^ — . Если мы покажем, что в нашем
случае каждое из множеств Fm имеет меру нуль, то и их сумма F
также будет иметь меру нуль. Поэтому ограничимся .изучением мно-
множества F.
т
Достаточно рассмотреть ту часть Fm множества Fm1 где все функ-
функции hn непрерывны (остающаяся часть счетна и имеет поэтому меру
нуль). Так как hn (x) ^g(x), то в каждой из точек множества F'
также и hn(x)^~~. Фиксируем номер п; тогда участки постоянства
функции hn(x)i соответствующие ее значениям, большим или равным
— , образуют покрытие множества F' . Пусть Ьп означает сумму длин
этих участков. Так5 как заведомо
то мы получаем, что
Ьп ^ т Ihn:—> О при п —v ex?.'
Таким образом, при достаточно большом п множество Fm покрывается
-системой интервалов с общей длиной как угодно малой. Следова-
Следовательно, Fm есть множество меры нуль, что и требовалось.
Теперь мы переходим к расширению определения интеграла с класса
ступенчатых функций на более широкий класс.
Предварительно напомним схему построения интеграла Римана.
В этой схеме для построения интеграла от функции f(x) поступают
следующим образом. Разбивают отрезок [а, д] точками деления
;k = b на частные интервалы Др ..., Д., обо-
обозначают
mf=M f(x), ^fy. = sup f(x) G=1, 2, ...,*)
n составляют две суммы (зависящие, естественно, от совокупности П
точек разбиения отрезка [а, Ь\ на части):

§ 2] класс С+ 145
Первая сумма называется нижней, вторая — верхней. Если, добавив
новые точки деления, заменить разбиение II разбиением 1Г, то
Отсюда, в частности, следует, что sn ^5n, каковы бы ни были
и j ii2
подразбиения llj и П2. Далее рассматривается произвольная последо-
последовательность разбиений II,, П2, ..., Пл, ..., каждое из которых'
получается добавлением к предыдущему новых точек деления; тогда
соответствующие нижние и верхние суммы образуют монотонные
последовательности, идущие навстречу друг другу:
Каждая из последовательностей имеет поэтому свой предел: $п /* 5,
Sn \ 5, причем s^S, Доказывается, что числа s и S не зависят
от выбора последовательности разбиений П,, И2, ..., Пл, ..., если
только длина максимального интервала в разбиении Ип неограниченно
уменьшается с возрастанием/z. Функция/(л;) считается интегрируемой
по Риману, если s = S; общее значение этих пределов и полагают
равным значению интеграла от f(x). Если же s<^5, то функцию f(x)
считают неинтегрируемой по Риману.
Рассмотрим теперь этот процесс с точки зрения действий со сту-
ступенчатыми функциями. Каждому разбиению П отрезка [а, Ь] с точ-
точками деления а — х0 <^хх <^.. ,<^д;п = # отвечают две ступенчатые
функции hu(x) и Ни(х); первая из них в интервале Д, принимает
значение т-, а вторая — значение М., Нижняя и верхняя суммы A)
представляют собой интегралы от этих ступенчатых функций. После-
Последовательности разбиений П,, П2, ,.., Пл отвечают две последователь-
последовательности функций hn(x) и Ип{х), первая из которых возрастает, а вто-
вторая убывает. Пусть, далее, s (х) и S(x) — предельные функции этих
последовательностей:
hn(x)Ss(x)t Hn(x)\S{x).
Так как, кроме того, hn (x) ^/(х) ^Нп(х), то имеем s(x) ^/(x)^S(x).
Мы утверждаем, что если функция f(x) интегрируема по Риману, то
эти три функции почти везде совпадают. Действительно, разность
S(x) — s (x) есть предел последовательности неотрицательных ступен-
ступенчатых функций Ип(х) — hn(x). Эта последовательность монотонно
убывает, и в случае интегрируемости /(х) интегралы от Нп (х) — hn (x)
стремятся к нулю. Но тогда, по свойству д), последовательность
Нп (х) — hn (x) стремится почти всюду к нулю. Поэтому в случае
интегрируемости f(x) функции $ (х) и S (х) почти всюЯу совпадают
друг с другом и с функцией f(x). Мы видим, что функция, интегри-
интегрируемая по Риману, есть одновременно предел (почти всюду) возра-
возрастающей последовательности ступенчатых функций $п (х) и убывающей
Ю Г. Е. Шилов

146 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
последовательности ступенчатых функций Sn (х); интеграл* же этой
функции есть предел интегралов ступенчатых функций, участвующих
в указанных последовательностях.
И обратно, если функции sn (x) и Sn (x) почти всюду сходятся
к f (х), то разность Sn(x) — sn(x), убывая, почти всюду стремится
к нулю. Поэтому, согласно свойству г), мы имеем I(Sn(x) — sn(x)) \ 0.
Отсюда следует, что числовые последовательности sn = I(sn(x)) f &^
Sn = I (Sn(x))\S имеют общий предел. А это и означает, что функ-
функция f(x) интегрируема по Риману.
Таким образом, функция f(x) интегрируема по Риману тогда и
только тогда, когда она является пределом (в смысле сходимости
почти всюду) некоторой возрастающей последовательности ступенча-
ступенчатых функций sn(x)^f(x) и одновременно пределом некоторой убы-
убывающей последовательности ступенчатых функций Sn (x) ^ f (х); при
этом интеграл от / есть общее значение пределов интегралов от
функций sn (х) и Sn (х).
Это наблюдение послужит нам опорой при расширении определе-
определения интеграла на более широкий класс функций.
Введем класс функций, который будем обозначать С+: функция f(x)
принадлежит, по определению, классу С+, если она может быть
представлена как предел (в смысле сходимости почти всюду) монотонно
возрастающей последовательности ступенчатых функций
К У А
причем интегралы от этих функций ограничены в совокупности:
/А„ < С.
Покажем прежде всего, что всякая функция / из класса С+ почти
всюду конечна. Пусть Е—множество точек, где /(#)= оо. Можно
считать заранее, что в каждой точке множества Е все функции hn(x)
непрерывны и выполняется соотношение hn (х)—»¦ оо. Выберем про-
произвольно число N; в каждой из точек множества Е, начиная с не-
некоторого номера, выполняется неравенство
К (х) > N,
так что Е покрывается счетной суммой множеств вида {x:hn (x)^> N}
(л=1, 2, .,.)• Каждое из этих множеств представляет собой ко-
конечное число интервалов; поэтому их объединение не более, чем
счетная сумма интервалов:
Здесь через Ду, ..., Д„/ обозначены составляющие интервалы мно-
множества {x:hx (x)^>N); через Д(?, .. ., Д^ обозначены составляю-
составляющие интервалы множества {х: ht (x) ^> N} — {х: hx (x) ^> N}, так

§ 2] класс С+ 147
что Д(!\ .., ,Д^1 Д(,2), ,.., Д^ составляют множество {hz (x) ^> N} и т. д.
Оценим сумму длин всех этих интервалов. Для этого обозначим
8А есть сумма длин интервалов, составляющих множество {х: hk (x) ^> N},
Мы имеем по условию
% С - '
Отсюда Оа^Тп' так как 9ТО веРн0 для любого 6, то мы заключаем,
что полная сумма длин всех интервалов, составляющих Uy не прево-
Q
сходит jq . Так как N можно было взять произвольно большим, то
мы видим, что, Е можно покрыть счетной системой интервалов с об-
общей длиной, произвольно малой, Значит, Е есть множество меры нуль,
что и утверждалось.
В частности, всякая функция /? С+ измерима (§ 1). Определим
теперь интеграл от функции / класса С+ формулой
hnt B)
я-нзо
где hn—последовательность ступенчатых функций, участвующая
в определении функции /. Так как последовательность чисел Ihn мо-
монотонна, возрастает и ограничена, то предел справа существует; но
мы должны еще доказать, что он не зависит от выбора последова-
последовательности hn, определяющей функцию /. Для этого мы докажем сле-
следующий более общий факт: если hn и kn — ступенчатые функции
с ограниченными в совокупности интегралами и почти всюду
. К/^ /<?•>
то
C)
п -»• оо п -»• оо
Для доказательства фиксируем номер т и рассмотрим убывающую
последовательность ступенчатых функций
К — kn-
Ее предел hm — ?"</—?"<0; но тогда (hm — kn)+ \ 0, откуда,
k)+\ I +
m m
по свойству г), I(hm—kn)+\O) так как I(hm —
то / (hm — k ) = Ihm — /&и, убывая, стремится к некоторому неположи-
неположительному пределу. Отсюда мы делаем вывод, что lhm ^ \\mlkh.
п -»• оо
Так как это неравенство верно при любом /и, то, переходя к пре-
пределу при т—юо, получаем C), что и требовалось. Полагая g=f,
получаем 1/^.Ig; но в силу полной симметрии / и g мы имеем
10*

148 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
также Ig^If, откуда следует If=Ig. Таким образом, определение
интеграла функции /?С+ по формуле B) однозначно. Если же
/6С+, ?€С+, f^g, то имеет место неравенство If^Ig.
В частности, всякая функция /, интегрируемая в смысле Римана,
принадлежит классу С+, а ее интеграл Римана, как предел нижних
сумм, совпадает с определенным нами интегралом //, как пределом
интегралов от ступенчатых функций sni соответствующих тем же ниж-
нижним суммам.-
Мы видим, что введенное нами определение интеграла не менее
Широко, чем определение интеграла Римана. В действительности но-
новое определение интеграла значительно более широко, чем опреде-
определение интеграла Римана. Например, функция Дирихле 1{х), равная О
при х иррациональном и 1 при х рациональном, не была интегриру-
интегрируемой по Риману; с нашей же новой точки зрения она почти всюду
равна нулю, поэтому интегрируема и имеет интеграл, равный нулю.
Можно привести и более сложные примеры, когда интегрируемая в
новом смысле, функция не интегрируема по Риману и не может быть
превращена в интегрируемую по Риману изменением на множестве
меры нуль.
Теперь предельным переходом мы можем перенести свойства инте-
интегралов от ступенчатых функций — не все, но некоторые — на инте-
интегралы от функций класса С+. Именно легко проверить, что:
а) Класс С+ вместе с функциями fug содержит f-\-g и
6) Класс С+ вместе с функцией / содержит ее произведение на
любое число а^О и
Заметим, что в классе С+ нельзя вычитать функции и умножать
на отрицательные числа, поскольку мы все время должны иметь
в виду возрастающие последовательности ступенчатых функций.
в) Класс С+ вместе с функциями / и g содержит
min(/, g) и max(/, g).
В частности, функция /+ = max (/, 0) принадлежит классу С+ вместе
с функцией /. (Этого нельзя сказать о функциях /" и |/|.)
Следующее свойство показывает, что класс С+ замкнут относи-
относительно предельного перехода по возрастающим последовательностям
функций с, ограниченными интегралами:
Теорема. Если /Bgc+(n=l, 2, ...), fn/f и Ifn<C, то
C+ и If=limlfn.

§ 2] класс С+ 149
Доказательство. Для каждой из функций /п построим опре-
определяющую ее последовательность ступенчатых функций:
Положим далее Ая = тах(А1я, ..., Апп). Очевидно, что Лп— также
ступенчатая функция и последовательность Ая(л=1, 2, ...) моно-
монотонно возрастает. Далее, кп^тах(/19 ...,/„)=/„, откуда //
C
Обозначим /* = Umhn; согласно определению класса С+ мы имеем
/*?С+ и //* = lim//z . Но так как hbn^hn^fn при любом фикси-
рованном & и n^zk, то, переходя к" пределу при /z—^оо, находим
Д^/*^/, откуда /*=/ (почти всюду). Таким образом, /^С+.
Далее, Ihkn*?lkn^Ifn^If; так как Ihn/If*—If, то и lfn/lfy
чем доказательство и завершается.
00
Следствие. ?сли для /эяда У] р\, g.f C+, Еь^§, интегралы
частных сумм ограничены в совокупности, так что
С,
00 00
функция класса С+ и //=2 ft
п
Для доказательства достаточно положить /„ = 2 ?& и пРиме-
нить предыдущую теорему.
Задачи. 1. Если функция f(x) отличается от функции /„ (х) из класса С+
лишь на множестве меры 0, то f(x) также входит в С+.
Указание. Последовательность hn (x) / /„ (х) является сходящейся
почти всюду и к f(x).
2. Показать, что функция Дирихле, равная 0 при х иррациональном
и 1 при х иррациональном, входит в класс С+.
3. Функция, равная 0 иа замкнутом множестве F и 1 на его дополнении,
входит в класс С+.
4. Существует замкнутое множество F такое, что функция, равная 1
на f и 0 на его дополнении, не входит в С+.
Указание. Взять F нигде не плотным и ие являющимся множеством
меры 0. См. задачу к § 1.
5. Доказать, что функция f(x) интегрируема по Риману или отличается
от таковой на множестве меры 0 тогда и только тогда, когда /^С+, —/?С+.
6. Доказать, что функция f(x) интегрируема по Риману тогда и только
тогда, когда множество ее точек разрыва имеет меру 0.

150 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
Указание. Если sn(x)ff{x) и Sn{x)\f(x) и х0 есть точка непре-
непрерывности всех ступенчатых функций sn (x) и Sn (x), то х0 есть точка непре-
непрерывности f{x). Обратно, во всякой точке непрерывности х0 справедливы
соотношения sn(xQ) /f(x^ Sn(x0) \f{x0).
§ 3. Суммируемые функции
1. В этом параграфе мы завершим построение интеграла, распро-
распространив его с класса С+ на некоторый более широкий класс ?, в ко-
котором уже можно будет производить все естественные для функций
операции.
Будем называть суммируемой (или интегрируемой по Лебегу)
функцией всякую функцию ср (х) {а^ х ^ Ь), которая может быть
представлена как разность
?=/— g
двух функций из класса С+. Совокупность всех суммируемых функций
обозначим через Z,. В классе суммируемых функций можно произво-
производить следующие операции:
а) Сложение. Если <р=/—g и cpj ==/,—g1— суммируемые функ-
функции, /, g, /p gt — функции класса С+, то
А),
и так как/-f-Zj g C+, ^-j-^ g С+, то tp-f-cp, есть функция класса Z,.
б) Умножение на любое вещественное число а. Если а^О, то
из tp =/—?-, /G6 + , g?C+ следует аср^а/— ag, af^Cg, ag?C+
и, следовательно, acpgZ,; если же а<^0, то —а^>0 и равенство
аср = ( — a)g—(— а)/ показывает, что по-прежнему atpgZ,.
Из а) и б) вытекает, что любые линейные комбинации функций
класса L суть также функции класса L.
в) Взятие модуля функции. Пусть <р = /—g,f(zC+, g(zC*> тогда
max (/, g) и min(/, g) также принадлежат классу С+; отсюда | <р | =
/, g) — min(/, g) принадлежит классу L. Решая уравнения
мы видим, что функции ц)+ и ср~ также принадлежат классу L вместе
с функцией ср.
Далее, равенства
max(cp, d))z^(cp + cb)+ — ф,
min ((р, ф)=—тах( — ср, —ф)
показывают, что вместе с функциями ср и ф в класс L входят их
максимум и минимум.

§ 3] СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 151
2. Введем теперь в класс L определение интеграла. Для этого,
имея разложение
?=/— g, )
I A)
положим
/tp=//- Ig.
Проверим, что при этом /tp определен единственным образом. Пусть
наряду с разложением A) имеется второе разложение
«Р=/,—ft. /,<EC+, g,?C+.
Докажем, что //—Ig—ff^ — Igv Это равенство эквивалентно ра-
равенству
'/+/ft = /?+//, • B)
Но так как f~\-gl=f1-\~g, то в силу единственности интеграла
в классе С+ мы имеем:
/(/Ч-ft) = /(«¦+/,),
откуда и вытекает B).
Покажем далее, что полученный интеграл обладает в классе L
обычными линейными свойствами. Пусть tp=/— g, (pl=z/j—g,, где
A g, fv ёх входят в класс С+. Тогда cp-f tp, = (f~\-fl) — {g-\~gi)>
и согласно определению
, - /ft) = /<
Таким образом, интеграл суммы равен сумме интегралов. Далее, при of>0
/ (ас?) = / (а/— а^) = I (а/) — / (ag) = а//— а/^= а (//— Ig) — а/<р;
с другой стороны, /(—<р)=;/(?¦—f)z=ilg—//= — /tp, и следовательно,
при а <^ 0 мы имеет / (аср) = / (— |а| tp) = — / (|а| tp) = — |а| / (tp) = a/tp,
так что число а можно выносить за знак интеграла, каков бы ни
был знак а.
Заметим далее, что если tp^O, <p?Z,, то /tp^O. Действительно,
если ср=/—g, f?C+, g?C+ и tp^O, то f^gn If^Ig; поэтому
/tp = //—Ig^zO. Отсюда получаем далее, что из 91^9» слеДУет
/tp, < /tp4.
3. Теперь докажем важную теорему о почленном интегрировании
рядов с положительными слагаемыми.
00
Теорема (Бёппо Лёви, 1906)» Если для ряда 2 фд> Ук € ?»
^ 0, интегралы от частных сумм ограничены в совокупности,

152 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
так что
СЬ GO
то <р = 2 9а ^с^& суммируемая функция и /tp= 2 ^р&-
Доказательство- Отметим сначала, что в разложении сумми-
суммируемой функции <р=/—g, /?С+, g-?C+, можно подчинять fug
дальнейшим условиям. Например, всегда можно выбрать g" так, чтобы
иметь g^Q, /g"<\?> где s — заданное число. Для этого нужно рас-
рассмотреть последовательность ступенчатых функций hn/ gt так что
Ig—Y\m fhn, и затем написать
Очевидно, что при достаточно большом п требуемое условие для
функции gn = g—¦ hn заведомо выполняется. Заметим при этом, что
если ср^О, то и функция/п = /—hn^f—?"=? также получается
неотрицательной.
Теперь для каждой из функций cpft, участвующих в формулировке
теоремы, построим разложение
где Д SS* 0, gk ^ 0, Igk <-т (/8=1,2,.. .). При этом ряд 2
летворяет условиям следствия из теоремы § 2 (gk ^ О, /
00 00
Поэтому g=z 2 ek принадлежит классу С+ и Ig= 2 fe* Пока-
со
жем, что и ряд 2 А также удовлетворяет условиям этого следст
вия; действительно, мы имеем Д^О и
GO GO
Поэтому и /= 2A принадлежит классу С+ и //= 2^А* Отсюда
CO GO GO
2*Pa= 2/a— 2fift=/—fi" принадлежит классу Z, и
GO GO GO GO
2 //*- 2 7^= 2 /(/*-&)= 2
Теорема доказана.

§ 3] СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 153
Следствие. Если суммируемые функции фл, монотонно воз-
возрастая, стремятся к пределу ф и /фп ^ С, то ф — суммируемая
функция и
Для доказательства достаточно положить <рг=^2— фр ..,, ®п =
= фл+1 — $п и применить предыдущую теорему. Аналогичный резуль-
результат справедлив, разумеется, и для убывающих последовательностей
Фл \ Ф> если только Щп ^ С-
4. В дальнейшем мы будем рассматривать произвольные (немоно-
(немонотонные) предельные переходы. Классические примеры показывают, что
нельзя ожидать теоремы вида «из ton—*<р следует 1<-оп—> /tp» без
дополнительных предположений о характере сходимости последова-
последовательности (рп к своему пределу. Например, функции
nsmnx при О
...х)
О при — <^ х ^ тг
г /г
/г
сходятся к нулю при каждом х 6 [0, тт], в то время как интегралы от
них остаются постоянными (равными 2) и не стремятся к интегралу
от предельной функции.
Рассмотрим совокупность L (<р0) всех суммируемых функций <р,
удовлетворяющих неравенству
где tp0 — фиксированная неотрицательная суммируемая функция. Оче-
Очевидно, что для каждой функции <р ? Z, (ср0) выполнено неравенство
Если имеется монотонная последовательность функций <рп — убывающая
или возрастающая,— принадлежащих совокупности Z, (<р ), то предельная
функция tp, разумеется, удовлетворяет неравенству C) вместе с функ-
функциями срл; эта функция является, согласно предыдущему следствию,
и суммируемой. Следовательно, совокупность L(y0) замкнута относи-
относительно монотонных предельных переходов. Заметим далее, что для лю-
любой последовательности уп?Ь (<р0) можно утверждать, что функции
и
также принадлежат совокупности L(y0): первая из них является пре-
пределом при п —*- оо возрастающей последовательности функций

154 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
а вторая — пределом убывающей последовательности функций
min
Пусть теперь <рп??(<р0) — любая последовательность, сходящаяся
почти всюду к некоторой функции ф; покажем, что ф также принад-
принадлежит классу L (<р0). Достаточно показать, что ф представляется
в виде предела некоторой монотонной последовательности функций
из класса L (<р0). Положим
По доказанному, эти функции суммируемы и принадлежат классу
Если рассмотреть только те значения х, где функции юп (х) имеют
-предел ф(.я), т0 очевидно, что при каждом таком значении
lim < $
р -> со
К()< lim
р -> со
Далее, убирая функцию <рл из совокупности <рп> 9^+1» •••> мы
только уменьшить верхнюю грань этой совокупности и только увели-
увеличить нижнюю грань; поэтому
Следовательно, фп(#) — убывающая, а ф^(;с) — возрастающая последо-
последовательность. Далее, ясно, что из <fn(x)—»-ф(х) следует ф„(^)\ф(^)
и ф^ (х) / ф(^). Таким образом, функция ф(#) оказывается пределом
возрастающей последовательности функций класса L (tp0) (и одновре-
одновременно пределом убывающей последовательности функций этого класса).
Отсюда ф??(<р0), что и утверждалось. При этом мы имеем /ф^у/ф,
/ф„\/ф и /ф^ ^ /tpn ^ /фл, откуда /tpn—*-/ф. Мы доказали следую-
следующую теорему:
Теорема (Лебег, 1902). Если последовательность суммируе-
суммируемых функций <рд сходится почти всюду к функции <р и удовлетво~
ряет условию
ср — суммируемая функция и /<р = Шп/<рп. Л частности, равен-
равенство /(p^lim/cpn справедливо, если функции <р„ ограничены в сово-
совокупности.
Из этой теоремы мы можем получить важный результат относи-
относительно состава класса Z. (<р0). Именно покажем, что если некоторая
измеримая функция <р удовлетворяет (почти всюду) неравенству

§ 3] СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 155
то она суммируема (и принадлежит тем самым классу L (<р0))- Дей-
Действительно, пусть hn — последовательность ступенчатых функций,
определяющая измеримую функцию <р. Обрезая ее сверху по уровню <р0
и снизу по уровню — <р т. е. заменяя ее функцией
= тах{— <р0, тш(А
„,
мы получим последовательность суммируемых функций, принадлежа-
принадлежащих классу L (<р0), сходящуюся почти всюду к функции (р. Значит,
tp=r=lim(pn является суммируемой функцией, что и требовалось.
В частности, всякая ограниченная измеримая функция сумми-
суммируема.
С другой стороны, доказанная нами теорема о суммируемых функ-
функциях позволит сделать дальнейшие заключения об измеримых функциях.
Покажем, что предел у (х) сходящейся почти всюду последователь-
последовательности измеримых функций <fn{x) — если он конечен почти всюду —
есть функция измеримая. Достаточно рассмотреть случай <рп(#)^0,
так как в противном случае можно отдельно рассмотреть последова-
последовательности <р* и <р~. Но если почти всюду <рп сходятся к <р, то также
почти всюду последовательность функций фп = т—т-— сходится
к ф = -г^г—* Функции фп заключены между 0 и 1 и измеримы. По-
Поэтому они суммируемы, а их предел ф, по доказанному,— также сум-
суммируемая и, следовательно, измеримая функция. Заметим, что функ-
функция ф может принимать значение 0 только там, где tp(jc) = oo, т. е.
на множестве меры 0. Поэтому, обращая полученное равенство, нахо-
находим, что и
1-ф
9
есть функция измеримая, так как числитель и знаменатель, получен-
полученного отношения измеримы и знаменатель отличен от нуля почти
всюду.
5. В одном случае можно утверждать суммируемость предельной
функции последовательности <рп, заменив предположение об ограничен-
ограниченности функций J <рп | суммируемой функцией некоторыми другими
предположениями: ч
Лемма (Фату, 1906). Если ср„ ^ 0 — суммируемые функции,
Чп —* 9 почти всюду и /срп ^ С, то <р — суммируемая функция и
0 < /<р < С.
Доказательство. Положим

156 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
Как и выше, функции фл образуют возрастающую последовательность,
сходящуюся почти всюду к функции ср. Далее, фл^срл, /сЬл^/срл^С;
в силу теоремы Беппо Леви функция ср суммируема и Щп/ /<р- В част-
частности, 0 ^ /ср = lim Щп ^ С, что и требовалось.
Пусть, в частности, функция ср0 ^ 0 суммируема и /ср0 = 0; пока-
покажем, что ср0 == 0 почти всюду. Положим срл = /2ср0; функция tpn стре-
стремится к пределу tp, равному 0 там, где <р0 равна нулю, и оо там, где
сро^>О. Но так как, по лемме Фату, предельная функция должна
быть суммируемой, в частности измеримой, то множество тех jc, где
ср(д;)=сю, есть множество меры 0. Вместе с тем и множество тех х,
где ср0М^>0, есть множество меры 0. Мы получаем: если у неотри-
неотрицательной суммируемой функции ср0 (х) интеграл равен нулю, то
эта функция ср0 (х) сама почти всюду равна нулю.
6. В этом пункте мы не будем считать различными две сумми-
суммируемые функции, совпадающие на множестве полной меры. ;
Точнее говоря, от - самих суммируемых функций мы перейдем
к классам эквивалентных функций: две функции считаются эквива-
эквивалентными, если они совпадают на множестве полной меры. В част-
частности, функция f(x) эквивалентна нулю, если она отлична от нуля
самое большее на множестве меры 0. Функции, эквивалентные нулю,
образуют, очевидно, подпространство Lo в линейном пространстве L
всех суммируемых функций, что мы сейчас делаем, по сути дела,
есть переход от пространства L к его фактор-пространству L\L 0
(гл. II, § 8, п. 4). В пространстве L имеется квазинорма || <р || = /(] <р )
(напомним, что квазинорма отличается от нормы тем, что могут суще-
существовать ненулевые элементы с квазинормой, равной нулю). Подпро-
Подпространство Lo состоит из тех и только тех функций, у которых ква-
квазинорма равна нулю- Поэтому в совокупность классов эквивалентных
суммируемых функций можно ввести норму, считая ее равной /(|<р|),
где (р — любая из функций класса. В соответствии с п. 4 § 8 гл. II
мы получим линейное нормированное пространство классов эквивалент-
эквивалентных суммируемых функций, которое будем называть пространством
Лебега. Впрочем, в дальнейшем мы откажемся от излишнего педан-
педантизма и будем говорить просто «суммируемая функция» вместо
«класс эквивалентных суммируемых функций», а пространство Лебега
будем обозначать по-прежнему через Z,, или, точнее, через Lx(a, b).
Теорема (Э. Фишер и Ф. Рисе, 1907). Пространство Лебега —
полное пространство: в сякая фундаментальная по норме \\ у \\ = 1(\ ср |)
последовательность функций ср1? ср2, ... имеет в смысле этой нормы
предел в пространстве L.
Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, от-
отметим два простых факта. Во-первых, элементы всякой фундаменталь-
фундаментальной последовательности ограничены по норме, так как, начиная с не-
некоторого номера, все эти элементы содержатся в шаре радиуса г

§ 3] СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 157
с центром в некоторой точке срл. Во-вторых, для доказательства су-
существования предела фундаментальной последовательности <рл доста-
достаточно показать, что имеется предел to .некоторой последовательности
?«fc(^=b 2, ...); этот элемент ср будет пределом и всей последо-
последовательности срл в силу неравенства
причем второе слагаемое справа стремится к нулю в силу фундамен-
фундаментальности последовательности срл.
Теперь переходим к доказательству теоремы.
Пусть срх, ср2, . . ., (рп, ... —фундаментальная последовательность
в пространстве L. Всегда можно выбрать последовательность индек-
индексов пх <^#4<С- •• так, чтобы при n^>nk выполнялись неравенства
(А12 )
В частности, [| <pnfc+1 — ?«& II <С ~д * это означает> что
00
Но тогда ряд суммируемых функций 2 l^+i — ?щ\> согласно тео-
реме Беппо Леви, сходится почти всюду. Отсюда следует, что схо-
со
дится почти всюду и ряд 2и (?пк+1 — 9«fc) c частными суммами
N
P V
Это означает существование предела (почти всюду) при k —> оо
у функции cpnfc. Обозначим этот предел через ср. Функция ср измерима
как предел измеримых функций. Так как нормы функций tpnfc, т. е.
числа /(|<p/ife|)» ограничены, то, по лемме Фату, функция |cpj сумми-
суммируема. Следовательно, суммируема и измеримая функция ср. Далее, по
той же лемме, примененной к функциям ср — срл/с, мы имеем:
SUP
Р >Ь
= SUP 11<РПя — <PnJ|-
р> k
Но последний интеграл по условию может быть сделан при достаточно
большом к сколь угодно малым. Следовательно, tpnfc сходится к ср по
норме пространства L, и теорема доказана.

158 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
В заключение покажем, что пространство Ll (a, b) является пополне-
пополнением пространства Ct (a, b) непрерывных функций f{x) на отрезке
[а, Ь\ с нормой (см. гл. II, § 8)
ь
Очевидно, что пространство Ll {а, Ь) содержит пространство Сх (а, Ь) как
подпространство с той же метрикой. Поэтому нам достаточно показать,
что Сх (а, Ь) располагается в Lx как плотное подмножество, так что
каждую функцию y?Lx можно представить как предел последователь-
последовательности функций fn (х) ? С,. Легко убедиться, что каждая ступенчатая
функция h(x) обладает этим свойством. С другой стороны, поскольку
каждая функция cpgZ,, есть разность двух функций из класса С+, до-
достаточно проверить наше утверждение для функций из класса С+.
Пусть <р ? С+ и hn / <р — последовательность ступенчатых функций.
Тогда
и так как <р — hn\0t то по теореме Беппо Леви
чем теорема и доказана.
Мы видели (гл. II, § 3, п. 3), что множество многочленов всюду
плотно в пространстве С [а, Ь\ и множество тригонометрических мно-
п
гочленов Т{х)= 2 ak zoskx-\-bk slnkx всюду плотно в простран--
стве С1 (—тс, тс). Так как С{а,Ь) всюду плотно в своем пополнении
ij (л, Ь), то мы можем заключить, что множество многочленов всюду
плотно в пространстве Lx {a, b) при любых а и Ь; аналогично множе-
множество тригонометрических многочленов всюду плотно в пространстве
Lx(— тс, тс).
1. Если суммируемая функция / равна нулю вне отрезка [а, р], внутрен-
внутреннего по отношению к исходному отрезку [а, &], так что функцию f(x) можно
«сдвигать», то в пространстве L она «непрерывна в интегральном смысле»:
для любого е > 0 можно найти <5 > 0 так, что при | h \ < S:
Указание. Показать, что множество всех /, для которых (*) выполнено,
замкнуто в пространстве L. Затем проверить (*) для непрерывных функций.
§ 4. Мера множеств и теория интегрирования Лебега
1. Мы называем множество А, лежащее на отрезке [а, Ь], изме-
измеримым, если измерима (и, следовательно, суммируема) «характеристи-
«характеристическая функция» этого множества, т. е. функция Ха(х)* Равная 1 на

§ 4] МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА
Л и 0 на дополнении А. Интеграл от характеристической функции мы
называем мерой множества А и обозначаем jjlA Если множество А есть
множество меры нуль в смысле определения § 1, то, как было там
показано, интеграл от функции ХА(х) равен нулю, так что А есть
множество меры нуль и в нашем новом определении: р.А—0. Обратно,
если интеграл характеристической функции множества Л равен нулю,
то, согласно замечанию после леммы Фату, А имеет меру нуль в прежнем
смысле. Итак, для множества меры нуль новое определение совпадает
с прежним.
Известные уже нам свойства интегралов позволят получить свой-
свойства измеримых множеств. Так, объединение А конечной или счетной
совокупности измеримых множеств Alt А2, . .., Ап, . . . есть измеримое
множество, поскольку его характеристическая функция может быть
определена формулой
В случае, если множества Д, Л4, ... не пересекаются, мы имеем:
и в силу теоремы Лебега (§ 3)
+-- A)
Это свойство называют полной, или аддитивностью меры. Далее, вычи-
вычитая измеримое множество Л, из содержащего его измеримого множе-
множества Аш, получаем снова измеримое множество Av поскольку
При этом p.Al = iiAl — jb42. Так как отрезок [а, Ь] измерим, то,.
в частности, измеримо дополнение любого измеримого множества
Лс[л, Ь\. Отсюда, далее, следует, что последовательность измери-
измеримых множеств Av А1% ... имеет и измеримое пересечение, так как.
„его дополнение
со со
есть измеримое множество. Отметим, наконец, следующее предельное
соотношение: ~~
Если
GO
i4jCi4tc . . ,с/1пс ... и А = U Ап,
то
JM = lim
п -+ со

160
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
[ГЛ
Действительно, мы имеем:
Если же Av Az,
то множества А\
также измеримы
и
..—произвольная система измеримых множеств,
р Л'й = Ах -j-Л2, . . ., А'п = Ах-\- .. . -\-Ап, ...
вложены друг в друга; по доказанному, для
GO
= U Ап имеет место равенство
В частности, поскольку всегда \l(A' -\-A") — \l(A' ~\-[А" — Л'Л"
' + " '"'\\ мы имеем:
00
V.A = lim
lim
«->CO
, + . .. + р.Ап] < 2 \i.An.
C)
Для пересечений, имеют место аналогичные равенства, которые полу-
получаются применением операции дополнения: например, если даны изме-
GO
римые множества
ПГ)... и А= Ц
то
оо
= р. Л A
lim ii
П -> СО А =
Ak.
D)
Любой промежуток (отрезок, интервал и т. п.) является, очевидно,
измеримым множеством и имеет меру, равную его длине. Вышеприве-
Вышеприведенные формулы показывают, что любое открытое множество, как (не
более чем) счетная сумма непересекающихся интервалов, измеримо
и его мера равна сумме длин составляющих его интервалов. Далее,
всякое замкнутое множество измеримо, как дополнение к открытому.
Вообще всякое множество, которое получается из интервалов приме-
применением последовательных операций объединения и пересечения в счет-
счетном числе, а также операции дополнения, измеримо.
2. Естественно поставить вопрос, существуют ли вообще неизмеримые мно-
множества. Сказанное выше показывает, что вопрос о построении конкретного
неизмеримого множества весьма сложен, так как обычные пути построения,
начинающиеся с интервалов и использующие счетные объединения и пересе-
пересечения, не выводят за пределы совокупности измеримых множеств. До сих пор
не построено ни одного индивидуального примера неизмеримого множества.
Тем не менее в существовании неизмеримых множеств мы можем не сомне-
сомневаться. Приведем соответствующие рассуждения, следуя Н. Н. Лузину. Отрезок
[О, 1], на котором мы будем производить наши построения, удобнее представить
себе свернутым в окружность длины 1, так что точки 0 и 1 оказываются
совпадающими. Все расстояния мы будем измерять вдоль этой окружности.

§ 4] МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА 161
Назовем точки ?, -ц родственными, если расстояние между ними рационально,
и чуждыми, если оно иррационально. Очевидно, что если Е родственно с tj,
а т) родственно с С, то Е родственно с I. Счетную совокупность всех точек,
находящихся на рациональных расстояниях от данной точки, назовем семей-
семейством', все члены этого семейства родственны между собой и чужды по
отношению ко всякой точке, не входящей в семейство. Семейства А и В,
включающие в себя заданные точки аир, или совпадают (если а и fi родст-
родственны), или не имеют ни одного общего элемента (если аир чужды). Вся
совокупность точек отрезка [0, 1] есть объединение некоторого множества
различных семейств. Множество всех семейств заведомо несчетное, так как
несчетно множество всех точек отрезка [0, 1]. Представим себе теперь, что
каким-то образом из каждого семейства выбрано по одному представителю.
Обозначим через Z совокупность всех этих представителей. Мы утверждаем,
что, по какому бы принципу ни выбирать представителей, все равно множе-
множество Z будет неизмеримым. (Мы не можем указать ни одного возможного
правила для выбора представителей, поэтому нельзя сказать, что множество Z
построено эффективно.) Пусть rv r2,...— последовательность всех рациональ-
рациональных чисел; обозначим через Zn сдвиг множества Z как целого на отрезок гп%
так что Zn состоит из точек вида \-\-гп, где Е^пробегает все Z. Отсюда ясно,
что множества Zn и Zm не пересекаются, если т Ф п; в противном случае
мы имели бы равенство b-\-rn = ri-\-rmt где Е и tq принадлежат Z; но тогда
разность Е — г\ = гт —гп была бы рациональной, т. е. точки Е и г\ были бы
родственными, что по построению исключено. Далее, всякая точка отрезка
[О, 1] входит в некоторое Zn, так как всякая точка X имеет вид Ъ.-\~гп, где
$ есть представитель того семейства, которое содержит точку X. Таким образом,
множества Zv Z2,... не пересекаются и в сумме дают весь отрезок [0, 1].
Если бы множество Z было измеримо, то и все множества ZltZz,... были бы
измеримы и имели бы меру, равную мере Z. В силу счетной аддитивности
меры мы должны были бы иметь
Но это невозможно ни при каком значении fiZ: ни при jjlZ>>0, ни при }jlZ=O.
Таким образом, множество Z не может быть измеримым.
Задачи. 1. Для любой измеримой функции / и числа с показать, что
множество Е = \ x:f(x)^c \ измеримо.
(ху> с— -Л, где hm -* / — по-
последовательность ступенчатых функций.
2. Если /„-*-/ почти всюду, то при любом с > О
Указание: ?=
Указание.
GO 00
I'll U {x:f—faz&c\=O.
га—1 п=т
3. Последовательность измеримых функций fn {x)f удовлетворяющих при
любом с > 0 соотношению E), называется сходящейся по мере к функции /.
Показать, что хотя сама последовательность fn может не сходиться почти
всюду к /, но она заведомо содержит подпоследовательность, сходящуюся
почти всюду к /.
11 Г. Е. Шилов

162 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
Указание. Для любых натуральных кит найдется номер n = n(k, т\
f П —
КОТОРОГО Ц < X'\fn(k,m)—f\>-ir}<b • ФунКЦИИ /„ {ь т) ПрИ k -> оо
У « ) 2т
для
{ ', * ) 2т
сходятся к / на множестве меры > Ъ — а . Искомая последователь-
последовательность получается из fn{k,m) диагональным процессом по т.
4. Если каждая подпоследовательность данной последовательности изме-
измеримых функций /„ содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду
к фиксированной функции /, то /„ сходится к / по мере.
Указание. Доказательство от противного с использованием результата
задачи 2.
5. Если /^0 — суммируемая функция и ц { x:f{x)^c \ ^b, то Tf^bc.
Указание. Для ступенчатых функций утверждение очевидно. В общем
Случае из формулы задачи 1 получить неравенство
?и < x\h '
при любых k и е и достаточно большом т. Отсюда
6. Если /„^0и //„—у 0, то fn—>0 по мере. (Сходимость почти всюду
не вытекает из этих условий.) Условие fn^0 нельзя отбросить.
Указание. Использовать задачу 5.
7. В пространстве всех измеримых функций f(x) на отрезке а^х^Ь
введена метрика по формуле
F)
р (/,*)='
Проверить выполнение аксиом метрического пространства. Показать, что схо-
сходимость по метрике F) совпадает со сходимостью по мере. Показать, что это
метрическое пространство полно.
8. Обозначим через ak(x) функцию, равную в точке л:^[0, 1] &-му знаку
двоичного разложения числа х. Показать, что для функции
1
Г Г Ч2 1
справедливо равенство \ \ап(х)~- тН ^х=2аЦ'
о
Указание. \ aj (x) a^ (x) dx = ~r- при любых j ф k.
о
9. (Продолжение). Последовательность ows (х) сходится к f(x) эз -—
Указание. При любом ?>O|i-jx: ап(х) — ^ >е>^-^
10. (П ро д о л ж е н ие). Последовательность ап (х) сходится к /(л;) = —
почти всюду.

§ 4] МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГХ 163
Указание. Если mz < п < (т + IJ, то — V ak (х) < т г -.
fir ^в^шА '**¦
Примечание. Результат задачи 10 показывает, что почти для каждого
вещественного числа отрезка [0, 1] доля нулей и единиц в его двоичном
разложении, определяемая, естественно, как предел функции <зп(х\ равна -^-.
3. Далее мы будем изучать структуру измеримого множества по-
положительной меры. Мы покажем, что всякое измеримое множество А
положительной меры, с точностью до множества произвольно
малой меры, можно считать объединением конечного числа отрез-
отрезков. Точнее говоря, для любого заданного е^>0 мы беремся подоб*
рать такую конечную систему отрезков. В, что множество А
можно будет получить из В удалением множества а меры<С^&
и добавлением множества b также меры <^?.
Для доказательства представим измеримую функцию чА (х) в виде
предела почти всюду сходящейся последовательности ступенчатых
функций кп(х). Если мы заменим каждую функцию hn на функцию
1
hn, равную 0 там, где hn меньше -у, и равную 1 там, где hn больше
1
или равна — , то получим новую, также почти всюду сходящуюся
к %А последовательность ступенчатых функций, принимающих значения
только 0 или 1. Каждая из функций hn есть характеристическая
функция некоторого множества Вп, представляющего собой конечную
систему отрезков. Мы утверждаем, что при достаточно большом п
множество Вп удовлетворяет поставленному условию. Для этого рас-
рассмотрим функции (hn — ХА)+ и (hn — Хл)~* ФУНКДИЯ №п — -?А)+ есть
характеристическая функция множества Ьп тех точек, которые принад-
принадлежат множеству Вп и не принадлежат множеству А) функция (hn — Хд)~
есть характеристическая функция множества ап тех точек, которые
принадлежат А и не принадлежат Вп. Множество А получается из
множества Вп прибавлением множества Ьп и вычитанием множества а .
С другой стороны,
zA lA\+ О,
что и завершает доказательство.
4. Мера измеримого множества как его верхняя
мера. Доказанная теорема позволит нам получить второе, более
конструктивное, определение измеримого множества. Покроем произ-
произвольное множество Л на отрезке [а, $] конечной или счетной систе-
системой интервалов и найдем сумму длин этих интервалов. Точная нижняя
граница получающихся чисел при всевозможных покрытиях мно-
множества Л системами интервалов обозначается ]1*А и называется
11*

ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
верхней или внешней мерой множества А. Так, множество меры
нуль по самому определению имеет и внешнюю меру нуль. Покажем,
что для каждого измеримого множества А его внешняя мера
совпадает с числом р.Л.
Если В есть система неперекрывающихся интервалов, покрывающая
¦множество Л, то, по сказанному выше, В есть измеримое множество
с мерой, равной сумме длин интервалов; так как А с: В, то р.А^р.В
а, следовательно, внешняя мера множества А
}X*A = inl}xB^ixA. E)
вэл
С другой стороны, используя доказанную выше теорему, мы можем
для заданного s)>0 и любого п построить такую конечную систему
интервалов Вп, что
А + К = Вп + ап, F)
где каждое из измеримых множеств ап и оп имеет меру<^^Т1.
СО 00 GO
Пусть 5= U Вп, а— Г\ап, b=^\]bn\ очевидно, \ia = lim \ian =±= 0,
со
П= 1 ^
Имеют место включения
Лсб + fl, G)
ВаА-\~Ь. (8)
Действительно, если точка х^А не входит в Д то она не входит
ни в одно Вп, а так как АаВп-\-ап, то х входит во все ап и,
следовательно, входит в а; этим доказано G).
Далее, рассмотрим точку у, входящую в В и тем самым принад-
принадлежащую некоторому Вп. Если при этом у ? Л, то из соотношения F)
следует, что у входит в Ьп и тем самым в Ь\ этим доказано (8).
Отметим, что из (8) следует \iB ^ р.А -\- \xb <^ М -|~ у.
Вернемся к включению G). Множество В в конечном счете есть
система интервалов, конечная или счетная. Множество а, как множество
меры нуль, можно покрыть системой интервалов с общей длиной <^ — .
В итоге все множество А оказывается покрытым (конечной или)
счетной системой интервалов с общей длиной, не большей \iB ~\-
-\--х-*^ р>А-\-&. Отсюда /л*Л ^ \хА -\- г. Так как е произвольно, то
р.*А^р.А и в соединении с неравенством E) мы получаем, что для вся-
всякого измеримого множества
Иными словами, мера всякого измеримого множества может быть
определена конструктивно как его внешняя мера.

§ 4) МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА 165
5. Естественно возникает вопрос, можно ли определить сами из-
измеримые множества, не привлекая понятия интеграла, в терминах
внешней меры. Ответ на этот вопрос следующий: множество А на
отрезке [а, д] измеримо тогда и только тогда, когда сумма
внешних мер множества А и его дополнения СЛ (до всего отрезка
[а, д]) равна длине отрезка [а, Ь]:
= Ь — а. (9)
Необходимость этого условия очевидна: если А измеримо, то и его
дополнение измеримо и из равенства \iA-\-\iCA = b—а следует ра-
равенство (9). Докажем достаточность этого условия. Пусть дли мно-
множества А выполнено равенство (9). Тогда для любого s^>0 можно
найти покрытие множества А и СА такими системами неперекрываю-
неперекрывающихся прбмежутков (/и К, общая сумма длин которых
Обозначим через hv и Ну характеристические функции множеств U
и V. Функция 1—hv отлична от нуля только в пределах множества
Л, и поэтому
где 1Л — характеристическая функция множества Л.
Отсюда
С другой стороны, по условию
/Ay— /(I— hv) = Ihu + Ihv— ф — a) =
При ?—>-0 последовательность hu{^hU(Z)) можно считать моно-
монотонно убывающей, а последовательность 1—Ну—монотонно возра-
возрастающей. Поэтому последовательность Hv— A —Ну) также монотонно
убывает. Ее предел / есть неотрицательная измеримая ограниченная
функция, интеграл от которой, согласно теореме Беппо Леви, равен
нулю; поэтому / почти всюду равна нулю. Но так как
hv— A — hv) ^ hv— iA ^ 0,
то уА=^\\тНи и тем самым есть измеримая и суммируемая функция.
Это доказывает и достаточность сформулированного условия.
Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать и сле-
следующим, по форме несколько более общим образом; множество Л,
расположенное на отрезке [а, Ь\, измеримо тогда и только тогда,
когда существуют последовательности измеримых множеств Un
и Vn такие, что Un^A, Vn

166 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
6. В своем построении теории меры и интеграла творец этой те-
теории А. Лебег отправлялся от определения измеримого множества как
раз в форме, установленной в последней теореме. Именно множество
А он называл измеримым, если выполнялось соотношение
)Х*Л-{-;л*СЛ = ? — а. A0)
Иногда это определение высказывается в несколько иной форме, а имен-
именно: определяется внутренняя (нижняя) мера множества А по формуле
A
где верхняя грань берется по всем замкнутым множествам F, содер-
содержащимся в данном множестве А; при этом мерой замкнутого множества
F называется число b — а — ]iCF, где CF — дополнительное к F от-
открытое множество. Далее, А называется измеримым множеством, если
Л. (И)
Легко проверить, что определения F) и G) равносильны. Действительно,
lx#A = sup ixF=sup {b— а — iiCF\==b — а — inf \iCF.
FCA FCA FcA
Но если множество F заключено в множестве Л, то его дополнение
CF покрывает множество СА; отсюда непосредственно следует, что
р.^А = b — а — jjl*G4,
откуда вытекает, что равенства
jj.*,4 = |jL*i4 и ix*
эквивалентны.
Установив затем на основании определения A0) [или (Неосновные
свойства меры, о которых мы говорили в начале параграфа, Лебег
переходит к определению измеримых функций. Функцию ср (х) он назы-
называет измеримой (а мы назовем измеримой по Лебегу), если всякое
множество вида
{х : (р {х) ^
измеримо, каково бы ни было вещественное число с.
Будем временно называть измеримые функции в том смысле, о ко
тором говорилось в § 1, измеримыми по Риссу. Покажем, что опре
деления измеримых функций по Лебегу и по Риссу совпадают.
Пусть (р (х) измерима по Риссу; введем функцию
Отношение

§ 4) МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА 167
есть также измеримая функция по Риссу, равная 0 там, где ср(лг)
^с-\-е, и 1 там, где <р ^ с. При е—*-0 указанное отношение имеет
пределом характеристическую функцию множества {х : ср (х) ^ с\, кото-
которая, таким образом, также измерима по Риссу. Значит само это мно-
множество измеримо по Риссу, а следовательно, и по Лебегу.
Обратно, если функция ср (х) измерима по Лебегу, т. е. все мно-
множества вида {х : ср (х) ^ с} измеримы, то измеримы при любых сг и с2
и множества вида
{x : cx < cp (x) < ?2} = {x : cp (x) < <
Пусть j^c c —характеристическая функция этого множества. Положим
для заданного п функцию cpw равной — в тех точках, где выполняется
неравенство
Функция шп есть сумма всюду сходящегося ряда измеримых по Риссу
функций
со
?в W = 2- "^ х^ f»±i (х)
— со п ' и
и поэтому сама измерима по Риссу. Очевидно, что выполнено не-
неравенство
/х\ _ <р (*) | < 1
Таким образом, ср (х) есть предел при /z—> оо последовательности из-
измеримых по Риссу функций cpw (,v) и, следовательно, измерима по Риссу,
что и требовалось.
Далее Лебег строит определение интеграла для ограниченной из-
измеримой функции <р(х). Для этого он делит область изменения [т, М]
функции ср (х) на п частей точками деления т ==_
и строит «интегральную сумму»
п — 1
(8)
причем, поскольку функция tp (x) измерима, числа jx {х:у,<^у (х) ^у, + 1\
имеют смысл. Когда разбиение II отрезка [т, М\ неограниченно из-
измельчается, суммы sn ((p), как доказывает Лебег, стремятся к (един-
(единственным образом определяемому) пределу, который и называется
интегралом Лебега от функции <р(х).
Проверим, что определение Лебега совпадает с определением Рисса,
принятым в нашем изложении. Функция срп (х), равная у;- на множестве

168 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
измерима, и ее интеграл по Риссу как раз равен
величине $п (tp) (8). Так как она отличается от функции tp (х) не более
чем на тах(у.+ 1—у Л, то при неограниченном измельчении разбиения
интервала [т, М] функция <рп (х) равномерно стремится к функции tp (x).
Отсюда /tp = lim/tpn , чем и доказано существование интеграла Лебега
и совпадение его с интегралом Рисса. Если tp (x) — неограниченная,
но неотрицательная функция, то Лебег далее поступает следующим
Образом. Обрезая функцию <р на высоте N, т. е. рассматривая функцию
он получает измеримую неотрицательную ограниченную функцию. Ее
интеграл /tp^, существующий по предыдущему, неотрицателен и воз-
возрастает (точнее, не убывает) с возрастанием М Если при N—>¦ оо
числа /tp^ имеют конечный предел, то функция ш называется сумми-
суммируемой по Лебегу и ее интеграл Лебега полагается равным lim IyN.
В общем случае, когда tp любогЪ знака, она называется суммируемой
по Лебегу, если суммируемы по Лебегу ее положительная часть ср +
и отрицательная часть tp"; тогда интеграл от tp строится по формуле
Проверим сейчас, что класс суммируемых функций в принятом у нас
определении (суммируемых по Риссу) совпадает с классом функций,
суммируемых по Лебегу, и значения соответствующих интегралов сов-
совпадают. Достаточно установить это для неотрицательных функций.
Если неотрицательная функция tp (x) суммируема по Лебегу, то она
является пределом возрастающей последовательности ограниченных
суммируемых функций tpy, отсюда, по теореме Беппо Леви, tp сумми-
суммируема по Риссу и мы имеем /tp = lim IwN, т. е. ее интеграл по Риссу
совпадает с интегралом по Лебегу. Обратно, если tp (x) ^ 0 суммиру-
суммируема по Риссу, то все функции ср^г ограничены и измеримы и их инте-
интегралы IyN не превосходят числа 1ш. Так как /tp^, ограничены, то они
имеют конечный предел, и, следовательно, ср (х) суммируема по Лебегу;
по предыдущему, ее интеграл Лебега совпадает с числом /tp. Таким
образом, результат построения Лебега полностью совпадает с резуль-
результатом построения Рисса. Мы предпочли изложить исходное построение
по методу Рисса, так* как в целом, по технике доказательств, оно не-
несколько проще построения по методу Лебега и позволяет непосред-
непосредственно строить теорию интеграла, минуя достаточно громоздкую
теорию меры Лебега.
7. Интегрирование по измеримому множеству. До
сих пор у нас областью интегрирования был отрезок [а, д]. Но легко
можно определить интеграл и по любому измеримому множеству Еа [а, Ь].
Пусть %Е(х) — характеристическая функции множества Е; функцию ш

§ 4]
МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ' ЛЕБЕГА
169
мы назовем суммируемой на множестве Е, если произведение ХЕ <р сум-
суммируемо на \ау &], и полагаем, по определению,
Интеграл по множеству Е обладает, очевидно, всеми обычными
свойствами интеграла. Отметим некоторые специфические свойства.
а) Если (р суммируема на Е = Е1-\-Е2-\- . . . и (измеримое)
множества Elt ?2,... взаимно не пересекаются, то (р суммируема
на каждом Е„ и
\ у dx=\ у dx -\-\
A2)
Действительно, так как
то
Япя?„ я„р
мируемая функция на Еп. Далее, }ГЯ1 —}- }гЯз —j— .. .
F?) есть сум-
Е, откуда
причем частные суммы этого ряда ограничены суммируемой функцией
Хя1?1' Интегрируя ряд почленно, получаем формулу. A2).
б) Обратный вывод — о суммируемости функции <р на Е при усло-
условии суммируемости <р на каждом Еп и сходимости ряда A2) — мы мо-
можем сделать лишь при дополнительном условии (р ^ 0 на каждом Е .
В этом случае ^я? есть предел неубывающей последовательности
частных сумм ряда %El tp -\- j(E ср -\- . . ., интегралы которых ограничены
общей постоянной; применяя теорему Беппо Леви, мы получаем, что
Х7.-<р суммируема и равенство A2) имеет место.
Свойство б) применяется иногда в следующей эквивалентной форме:
если функция (р неотрицательна, суммируема на каждом из
множеств ElaEzcz ... и интегралы \ шйх ограничены фикси-
рованной постоянной, то (р суммируема на ? =
\tfdx= lim \ ydx.
и
в) Абсолютная непрерывность интеграла по множеству. Оказы-
Оказывается, что интеграл от суммируемой (на [а, д]) функции (р, взятый
по измеримому множеству Е, стремится к нулю вместе с мерой
этого множества, независимо от его расположения на \ау Ь\. Иными
словами, для любого е^>0 можно указать такое 5^>0, что из \*.Е<^Ь
следует ^|ср|Ас<^е. Длл доказательства мы найдем по заданному

170
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
[гл. iv
ограниченную измеримую функцию /г(лг)^=О, для которой
Пусть, например, h(x) ограничена числом Ж, 0 ^ h (х) ^ М. Тогда
на любом измеримом множестве Е меры меньше 8
ЕЕ Е
что и требовалось.
8. В заключение остановимся еще на одной важной теореме из
теории меры Лебега:
Теорема (Д. Ф. Егоров, 1911). Пусть дана последователь-
ностъ <р, (х), ср2 (х), .. . , cptt (х), . . . измеримых функций, сходящаяся
почти всюду на [а, Ь] к некоторому пределу ср (х). Для любого
можно указать измеримое (даже замкнутое) множество Л
^>Ь — а — е, на котором эта последовательность сходится
к своему пределу равномерно.
Доказательство. Предельная функция ср (л;) измерима. Рас-
Рассматривая функции (р — <рп вместо tpw, можно свести задачу к случаю
последовательности, сходящейся к нулю; поэтому будем считать
с самого начала, что (р(х) = 0. Далее, можно считать функции cptt не-
неотрицательными и монотонно стремящимися к нулю; если бы это было
не так, то мы заменили бы
, .. .}.
, на sup
Обозначим через jQ множество точек, где выполняется неравен-
1 т
ство 0 ^ <р (х) ^—. При фиксированном т множество Лп расши-
т
ряется с увеличением индекса п и система всех этих множеств покрывает
весь отрезок [а, Ь\ Поэтому \\m\iAn=b — а и можно найти такой
номер п — п(т), что
О
CL
Рассмотрим теперь пересечение Л всех множеств Лп^т) (т
Так как дополнение к Л имеет меру
= 1,2,
GO
р.СА =
=* U
то мера самого Л не меньше b — а — е. Мы утверждаем, что на мно-
множестве А сходимость ф„—>0 равномерна, т. е. для заданного числа
Ttt
т

§ 4] МЕРА МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА 171
существует номер Л/, начиная с которого всюду на А выполняется
неравенство со (х) <Г—. Действительно, в качестве N можно взять
'" т
п(т), так как АаАп{т), и поэтому, если /z>/z(w), то сря (л:)
*^?пшх^~ во всех точках А. Вспоминая, что jjl4 = sup jji/7, Fez A,
f/L
мы можем заменить измеримое множество А на замкнутое сколь
угодно близкой меры. Теорема доказана.
Нетрудно видеть, что в формулировке этой теоремы отрезок [а, Ь]
может быть заменен любым измеримым множеством.
Следствием теоремы Егорова является теорема Лузина, устанавли-
устанавливающая новую характеристику измеримых функций:
Теорема (Н. Н. Лузин, 39351)). Функция ср (х), определенная
на отрезке [а, Ь], тогда и только тогда измерима, когда при лю-
любом s ^> 0 имеется замкнутое подмножество A cz [a, Ь] меры
^>Ь— а — s, на котором ср(лг) непрерывна.
Действительно, если hn (х) —»- ср (х) — последовательность ступенча-
ступенчатых функций, определяющая измеримую функцию ср(д;), то множество
меры нуль, состоящее из точек расходимости последовательности и
точек разрыва функций hn(x), мы можем покрыть системой интервалов
с общей длиной < —. Далее, в силу теоремы Егорова из остаю-
щегося множества можно удалить еще часть, также меры <^ -тг, так
что на остатке последовательность (ря (х) будет сходиться равномерно;
при этом можно считать, что удаляемая часть представляет собой
систему интервалов. На остающемся замкнутом подмножестве F отрезка
[а, Ь], по мере большем, чем b — а — е, функции hn(x) непрерывны
и сходятся к своему пределу у(х) равномерно; отсюда следует, что
на F функция <р(лг) непрерывна.
Доказательство обратного утверждения мы можем предоставить
читателю.
Задачи. 1, Показать, что каждое измеримое множество с точностью до
множества меры нуль есть пересечение последовательности открытых мно-
множеств и объединение последовательности замкнутых множеств.
2. Доказать, что совокупность измеримых множеств, каждые два из
которых различаются более чем на множество меры нуль, имеет мощность
не выше континуума.
Указание. Использовать задачу 1 и задачу 5 к § 2 гл. И.
3. Построить измеримое множество, которое на каждом интервале имеет
положительную меру, так же как и его дополнение.
!) Д. Ф. Егоров A869—1931), Н. Н. Лузин A883—1950) - московские
математики, основатели московской школы теории функций действительном
переменного.

172 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
4. Пусть А — множество меры ^ е на отрезке [0, 1] и м, ...,$„ — произ-
2
вольные числа на этом отрезке, причем п > —. Показать, что в А имеется
пара точек, расстояние между которыми совпадает с расстоянием между
некоторой парой точек Е„ ... , ?„.
Указание. Показать, что множества Sj + A ... , ?„ + Л (располагаю-
(располагающиеся на отрезке [0, 2]) не могут не иметь общих точек.
5. Показать, что в каждом множестве положительной меры имеется пара
точек с рациональным расстоянием.
Указание. Использовать предыдущую задачу.
6. Множество А точек на отрезке [а, Ь] имеет меру > — (Ь — а). Дока-
зать, что в А имеется подмножество положительной меры, симметричное
относительно середины отрезка.
Указание. Рассмотреть пересечение множества А с его отражением
относительно середины отрезка.
' 7. Измеримые функции fug называются равноизмеримыми, если для лю-
любого с имеем fij x:f>c\ = \j.\x:g'>c\. Показать, что: а) всякая измеримая функ-
функция равноизмерима с некоторой неубывающей функцией; б) равноизмеримые
неубывающие функции совпадают почти всюду.
8. На отрезке [а, Ь] дана произвольная последовательность /, (х), ... >
/„ (я), ... измеримых функций. Показать, что множество Е точек, где суще-
существует lim fn (x)t измеримо.
п -*¦ оо
Указание. ?=П1|И 1х : \ /„ (х) - fm (x) |< -Л .
k п т \ к I
§ 5. Обобщения
1. Случай бесконечного промежутка. Все предыдущие
рассмотрения относились к функциям, определенным на отрезке [а, Ь\
оси х. Но нетрудно рассмотреть и случай бесконечных промежутков
[а, оо), (—оо, Ь] или (—оо, оо). Во всех этих случаях ступенчатой
функцией h (x) мы будем называть функцию, принимающую постоян-
постоянные значения в конечном числе конечных интервалов Д. = (х., х.-+1);
в остальной же части бесконечного промежутка функция h(x) предпо-
предполагается равной нулю. Измеримой функцией называется функция ср (х)>
которая является пределом сходящейся почти Ёсюду на всем бесконеч-
бесконечном промежутке последовательности ступенчатых' функций. Интеграл
от ступенчатой функции h (x), принимающей значение Ь- на интервале Ду
длины |Ду| (/=1,2, ...,&), определяется, естественно, формулой
k
т= 2 ь, д,.
Класс С+ определяется по-прежнему как совокупность функций /(х),
каждая из которых является пределом возрастающей последователь-
последовательности ступенчатых функций hn (x) с ограниченными интегралами.
К й
Класс L суммируемых функций определяется как класс разностей

^ 5] ОБОБЩЕНИЯ 173
<p=/— g, f?C+, g?C+. Все теоремы § 2—4 сохраняются без вся-
всяких изменений, за единственным исключением: в рассматриваемом слу-
случае ограниченные измеримые функции, вообще говоря, уже не являются
суммируемыми. Поэтому, в частности, равенство /ср = Hm /cpn перестает
быть справедливым, если суммируемые функции <р сходятся почти
всюду к функции <р0, .оставаясь ограниченными в совокупности; для
справедливости этого равенства остается достаточным первоначальное
условие |<Р„|^?0, где ср0 — суммируемая функция. В доказательстве
теоремы о том, что предел последовательности измеримых функций
есть измеримая функция (§ 3, п. 4), нужно будет в связи с этим
заменить функцию сЬ„ = -=—= на <Ь =-г—i , ГД? h— строго поло-
жительная суммируемая функция. Остальные результаты переносятся на
случай бесконечного промежутка без изменений. В частности, на бес-
бесконечном промежутке А можно определить линейное нормированное
пространство Z.t(A) (пространство Лебега), состоящее из всех суммируе-
суммируемых функций и снабженное нормой
Так же как и для конечного промежутка, доказывается, что и в общем
случае пространство L полно и что ступенчатые функции составляют
в нем всюду плотное множество.
2. Случай нескольких независимых переменных.
Ограничимся рассмотрением случая двух переменных х и у и функ-
функций ср (х, у), определенных в прямоугольнике D = {а1 ^ х ^ bv
2
Множеством меры нуль в прямоугольнике D будем называть такое
множество, которое при любом s^>0 может быть покрыто конечной или
счетной системой прямоугольников Dy= {dp^x^b^\ aO'f^y *?.&№},
сумма площадей которых не превосходит е. Так, любой отрезок или
ломаная являются множествами меры нуль.
Если прямоугольник D разбит на конечное число прямоугольников
D,, ...,Dm, то функция, постоянная на каждом из Dj, называется
ступенчатой функцией. Интеграл от ступенчатой функции h(x, _y),
принимающей в прямоугольнике Df значение Ь/т, определяется
формулой
т
где \Dj\ есть площадь прямоугольника Dj.
Класс С+, как и раньше, есть совокупность функций /, каж-
каждая из которых есть предел возрастающей последовательности

174 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
ступенчатых функций hn с ограниченными интегралами Ihn. Класс L —
пространство Лебега — есть класс разностей ср =/— g, /? С+,
g?C+. Теоремы §§ 2—4 переносятся на случай двух переменных
без всяких изменений, исключая форму записи [вместо f(x) пишем
f(x,y), вместо слова «интервал» пишем «прямоугольник» и т. д.].
Но здесь появляется новая важная задача — именно задача о по-
повторном интегрировании.
В классическом анализе двойной интеграл (определенный первона-
первоначально как предел римановых интегральных сумм), например от не-
непрерывной функции f(x1y)i сводится к двум обычным интегралам по
одному переменному по формуле
ь, ь2 ь: ъ2
с, а2 ах а2
В теории интеграла Лебега также имеет место аналогичная формула.
Соответствующая теорема формулируется следующим образом:
Теорема (Дж. Фубини, 3907). Пусть <р (х, у) — суммируемая
функция в прямоугольнике D{al^.x^.bl, a2^y ^bz\* Тогда:
1) рассматриваемая как функция аргумента х при фиксированному,
эта функция является суммируемой функцией от х почти при
всех значениях у; 2) ее интеграл по отрезку аг ^х^Ьх, который
мы обозначим через 1ху(х,у),
как функция от у, является суммируемой функцией на отрезке
а ^у ^ Ь2; 3) имеет место равенство
Меняя х и у ролями, получим аналогичную формулу:
Доказательство. Достаточно доказать теорему для функции
ср?С+. Пусть hn(x, у) — монотонно возрастающая последовательность
ступенчатых функций, сходящаяся к функции ср (л;, у) на множестве Е
полной плоской меры. Образуем функции
Функции gn(y) определены, во всяком случае, при всех у, которые не
соответствуют линиям разрыва hn(x,y). Последовательность gn (у) мо-
монотонно возрастает при п—>оо, и интегралы от gn(y) ограничены
в совокупности:
iygn 00 = !v VxK (*. у)] = К (х, у) / щ').
х) Для ступенчатых функций формула повторного интегрирования, конечна
допустима.

§ 5] ОБОБЩЕНИЯ 175
В силу теоремы Беппо Леви функции gn(y) сходятся почти при всех у
к некоторой суммируемой функции g(y), и при этом
Iyg(y)=
п -> со
Пусть у — одна из точек того множества ?" полной меры, на котором
функция g(y) определена и конечна. При этом значении у функции
кп (х, у) как функции от х образуют монотонно возрастающую после-
последовательность и интегралы от них ограничены:
Поэтому в силу той же теоремы Беппо Леви функции h (х, у) почти
при всех хь т. е. на некотором множестве Е полной меры по х,
стремятся к некоторой функции ср0 (х, у), причем
lim Ixha(x, y) = g(y)= Ij?u(x, у).
П -? CD
В результате получаем формулу
{} A)
Функция tp0 (х, у) совпадает с функцией ср (х, у) во всякой точке (x,y)t
которая принадлежит одновременно множеству Е и множеству ?" , по-
поскольку на первом из них предел последовательности hn (x, у) есть
(р(лг, у)у а на втором <р0 (л:, у).
В частности, если hn(x, у) всюду сходится к функции у(х,у),
то на множестве Е имеет место равенство ср0 (л:, _у) = ср (х, у)
и в этом случае утверждение нашей теоремы оказывается спра-
справедливым.
Последнее условие реализуется, например, в случае, когда функции
hn+x — hn = en являются характеристическими функциями непересе-
непересекающихся прямоугольников D (я=1,2, ...). Интеграл /<р представ-
представляет собой в этом случае (счетную) сумму площадей этих прямоуголь-
прямоугольников. Функция gniy) = Ixhn(x, у) есть сумма длин интервалов, полу-
полученных в пересечении соответствующей горизонтальной прямой с
первыми п прямоугольниками; функция g{y)=^\itngn(y) есть (счетная)
сумма длин всех аналогичных интервалов.
Формула A) позволит нам сейчас установить одно важное свойство
любого плоского множества Z полной меры. Именно мы утверждаем,
что почти всеми горизонтальными прямыми (т. е. всеми, кроме
множества у-в линейной меры нуль) множество Z пересекается по
множеству х-в полной линейной меры.
Действительно, образуем для заданного s^>0 покрытие дополне-
дополнения CZ множества Z системой непересекающихся прямоугольников

176 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
D,, ,,.,Dn, ... с общей площадью <^?, и пусть yt(xy у)—харак-
у)—характеристическая функция этой системы прямоугольников. По доказанному
*Р. (*> У) = !у {!х?е (X, У) } = lyg, (У)-
Устремим е к нулю; тогда можно считать, что функции <р, (х, у) обра-
образуют убывающую последовательность; поэтому и функции gz(y) =
==^ ^хУг (х> У) также образуют убывающую последовательность. Так как
/<ре—»0, то Iygt(y)—>0, откуда следует, что почти при всех у также
&СУ) —о.
Множество всех у, для которых gB(y)—>0, обозначим через Ео;
это множество имеет полную меру. Но каждое значение функцин g&(y),
как мы уже указали, есть сумма длин интервалов, получающихся в пе-
пересечении соответствующей горизонтальной прямой y=yQ с прямо-
прямоугольниками D,, . . ., Dn, . .., покрывающими множество CZ. Мы видим,
что пересечение множества CZ с прямой у=у0 ?Е0 может быть покрыто
(счетной) системой интервалов с общей длиной произвольно, малой.
Таким образом, это пересечение имеет меру нуль, а пересечение мно-
множества Z с этой же прямой имеет полную меру, что и требовалось.
Вернемся теперь к общему случаю.
Последовательность h сходится к ср на множестве Е полной (пло-
(плоской) меры; на оси у можно указать множество Е' полной (линейной)
меры так, что для у0 ? Е'у функции hn[x, у0) сходятся к у(х,уо) на
множестве Е полной меры по х. При построении множества Е где
сходится последовательность gn(y), можно заранее исключить точки,
не входящие в Е (они образуют множество меры нуль), и поэтому
можно считать, что Е czE'. Далее, при фиксированном уо?Е для
построения множества ЕУоХ, где сходится последовательность h (xt y0)
к функции <р0 (х, yQ)t мы можем исключить точки, не входящие
в Е , так что можно считать, что EVnXczEf . Но на множестве Е
yGx ?ъ уох уох
мы имеем hn(xyyo) / у\х%уУ Поэтому всюду на ЕуоХ имеем ср(х,_уо) =
==(?о(х>Уо)- ^ы находим, таким образом, что функция у(х,у) при
у?Еу суммируема по х, ее интеграл Jxtf(x,y) = g(y) — суммируемая
функция от у и имеет место равенство
Тем самым теорема Фублни полностью доказана.
Замечание. Из существования интегралов
1,{1хЧ(х>У)\ и 1, {!,<?(*> У)) B)
не следует, вообще говоря, их равенства и суммируемости функции
у(х,у) на множестве Е. Но если функция <f(x,y) измерима и неот-
неотрицательна, то существование одного из интегралов B) уже влечет
суммируемость функции ср (х, у) на множестве Е и равенство
C)

§ 5]
ОБОБЩЕНИЯ
177
Действительно, пусть существует, например, Iу{1ху(х, \
и <ря (х, j;) = min {to (л:, _у), п). Функция ®„(х, у) измерима, ограничена
и поэтому суммируема на Е; по теореме Фубини
С возрастанием п функции срп, монотонно возрастая, стремятся к функ-
функции ср; так как /срп^Л, то по теореме Беппо Леви функция ср сум-
суммируема. Но тогда можно применить теорему Фубини, и мы получим
соотношение C), что и требуется.
Пример, Если ср (л;) суммируема при а^х^b, ty(y) суммируема
при а ^у ^Ьу то со (х) ф (у) суммируема на множестве Е = (а ^х ^ #,
^Ь) и
рф ф D)
Действительно, функция |<р||ф|, очевидно, измерима, и существует
интеграл 1у \1Х ( | ср [ | ф |)} = 1у (| ф |) 1Х (| ср |) = 1у (|ф |) 1Х (| ср | ); поэто-
поэтому функция | соф | суммируема на ?*, а вместе с ней суммируема и срф.
Применяя C), приходим к D), что и требуется.
3. Пространство L . Пусть р — положительное число. Класс
L образуется, по определению, из всех функций f(x), определенных
в области G, для которых
n\f\p)=\\f\Pdx<°°-
G
Этот класс функций при любом р^>0 есть линейное пространство.
Действительно, очевидно, что вместе с / принадлежит L и а/ при
любом а. Далее, если f?Ly
то и f-\-g?L , так как
I/
1 Ь
up
:
Мы покажем далее, что при р^\ это
линейное пространство может быть пре-
превращено в полное линейное норми-
нормированное пространство с введением
нормы
\f\\v=[n\f\p)Y •
(П
Это утверждение для р = 1 уже
было установлено ранее (§ 3). По-
Поэтому ограничимся теперь случаем
удовлетворяет условию Ц/||р5
всюду; далее, очевидно, ||а/Ц
12 Г. Е. Шилов
.Рнс. 10.
. Очевидно, что норма (]')
, и \\f\\p = 0 влечет /(д;) = 0 почти
а
||/|] при любом вещественном

178
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
(ГЛ. IV
Неравенство треугольника устанавливается сложнее. Рассмотрим сна-
сначала следующую лемму:
Лем'ма. Если rj = co(S) — возрастающая непрерывная функция*
ю@)===0, и E = JJLGj) — обратная функция (также, очевидно, непре-
непрерывная и возрастающая), то при любых ^ ^
X
ху
(о E) d% -j-
Доказательство немедленно получается, если рассмотреть рис. 10
Положим в частности, (o(?) =
лучим тогда, что
P ' Я
Здесь число q определено равенством
1 , л __ р
i) = г^ —* ; мы по-
A)
Я
Р —
B)
р
так что
Р
1
Применяя неравенство A) к функциям f(x) и g(x), получим
Р
C)
Допустим на момент, что \\f\\p = lP (|/|^) = 1, \\g\\q —
= IQ
; тогда, интегрируя неравенство C), мы получим, что
Если' же /? Ln и
любые функции, то для функций /0
ТГГ ^-полняются условия \\fQ\\
= 1; отсюда
и, следовательно, для любых f?L,
(неравенство Гёльдера).
справедливо неравенство

§ 5]
ОБОБЩЕНИЯ
Предположим теперь, что f?Lp, g?Lp; оценим
179
,. Имеем:
Число р—3 равно— [как видно из B)]; поэтому
р
причем
Интегрируя D) и применяя неравенство Гёльдера, получаем:
/A/1 + 1*1 У < \\fUP П( 1/1 +1*1 У \\д + \\g\\p П( 1/1 +1*1 У~%
Разделяя на П [(|/|-f-1 g\)p] и вспоминая, что 1 ¦ = —, находим:
Таким образом, при р^>1 выполняется неравенство треугольника.
Остается проверить, что пространство L полное. Это делается
аналогично проверке полноты пространства /.,=/.. Если ср , ср8,...—
фундаментальная последовательность в пространстве L , то из нее
можно выбрать подпоследовательность ср„к = tbft) удовлетворяющую
условиям
1
Если область G ограничена, то по неравенству Гёльдера
откуда следует также, как и при р=\, сходимость (почти всюду)
ряда
СО
k=
и существование .(почтя всюду) предельной функции <р— lim d>ft.
k-> со
В случае бесконечной области G следует интегрировать по любой
ограниченной области, что также обеспечит существование предельной
функции почти всюду на G.
12*,

180 ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА [ГЛ. IV
Так как |ср|/'==Нп1[фА|;' и /(| rbk \p) ограничены, например, числом
М, то ср€?„» причем / (| ср \р) ^ М. Таким же образом, как в § 3, для
/(|ср — &п\р) получаем оценку
при достаточно большом я, откуда следует, что || ш — срл || •—^0,
чем и завершается доказательство.
Точно так же, как и в § 3, доказывается, что совокупность непре-
непрерывных функций на отрезке [а, Ь] плотна в пространстве L по мет-
метрике этого пространства.
Заключительное замечание. Первые работы А. Лебега (франц.
математик, 1875—1941) по теории меры и интеграла относятся
к 1902 г. Созданная вначале для решения внутренних задач теории
функций действительного4 переменного (проблема о первообразной, схо-
сходимость тригонометрических рядов), лебеговская теория очень скоро
вышла за эти узкие рамки. Теорема Фишера и Ф. Рисса о полноте
пространства суммируемых функций A907) и введенные Ф. Риссом
пространства L в конечном итоге сделали интеграл Лебега необходи-
необходимым в современных общих проблемах анализа и математической физики.
Ф. Рисе (венгерский математик, 1880—1956) предложил и ту схему
построения теории интеграла, которая принята в нашем изложении.
Рекомендуемая литература: А. Лебег, Интегрирование и отыскание
примитивных функций, ГТТИ, 1934; Ф. Рисе и Б. Секефальви-
Надь, Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.

ГЛАВА У
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные определения и примеры
1. Линейное пространство Н (с умножением на вещественные числа)
называется (вещественным) гильбертовым пространством, если;,
1) указано правило, которое позволяет сопоставить каждой паре точек
(векторов) х, у пространства Н вещественное число, называемое ска-
скалярным произведением векторов х к у к обозначаемое (х, у); 2) sto
правило удовлетворяет следующим требованиям:
а) (у, х) = (х, у) (переместительный закон);
б) (х, y-\-z) = (x, y)-\-(x, z) (распределительный закон);
в) (кХ) y)=z\(x, у) для любого вещественного числа 1;
г) (х, х)^>0 при х=^=0 и (х, х) = 0 при х = 5.
Из аксиом а) — в) легко получается общая формула
k m km
(.2 «л. .2 Р/у^)=2 .2 «/
l 1 i iil
справедливая для произвольных векторов xlt ..., xkJ ylt ..., ут и
произвольных вещественных чисел av ..., aki p
Примеры. 1. В л-мерном пространстве /?л, элементами которого
являются вещественные числовые комплексы x=(Sj, . . ., ?п), мы введем
скалярное произведение векторов л: = ($!, ...»?„) и у — (*h> Г12> •••> Г1Л)
по формуле
Это определение обобщает известную формулу выражения скалярного
произведения векторов в трехмерном пространстве через координаты
сомножителей в ортогональной системе координат.) Читатель легкб
проверит, что требования а) — г) удовлетворяются. Конечномерное
(вещественное) гильбертово пространство обычно называют евклидовым
пространством.

182 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
2. Следующий пример представляет собой бесконечномерны^ аналог
предыдущего.
Пространство /2. Элементом этого пространства является лю-
любая последовательность чисел x=(Zv ... , ?л, ...) со сходящейся
суммой квадратов:
2j ?»
Линейные операции определяются естественным образом:
a
Скалярное произведение векторов je = ($1, ...,?„,...) и
= Di> • • • > г|л» • • •) задается по формуле
(х,у)= 2 Е„ЧЯ. C)
Л = 1
Необходимо проверить корректность этих определений. Прежде
всего, из элементарного неравенства
следует, что ряд C) для х ? /2, y?lz всегда является сходящимся.
Далее, равенства
(a^ft) =a Zi ^
n-\-m n-\-m n-\-m n-\-m
\^klTrikf Zl ^ft~rZ Za ^ftr|ft~r Zl
2 *+W + *и+ Ч2
k = п k = п k = п k = л
показывают, что для лг6^2 и ^у 6 ^2 сходятся ряды
2 «)г и 2&+Ч*I.
ft= 1 A = i
и, следовательно, определенные нами операции сложения векторов и
умножения на число выполнимы в пределах пространства /2.
Остается проверить выполнение аксиом а) —г); но достаточно
одного взгляда, чтобы убедиться в их справедливости.
3. Пространство L%{a, b) функций <р (х) с суммируемым квадра-
квадратом на отрезке а^х^Ь, как мы видели (гл. IV, § 5), есть линейное
пространство; введем в него скалярное произведение по формуле
ъ

§ 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 183
Выполнение аксиом скалярного произведения непосредственно следует
здесь из свойств интеграла Лебега. Заметим, что интегрируемость
произведения <рф следует, например, из неравенства
2. Изоморфизм гильбертовых пространств. Опреде-
Определение изоморфизма гильбертовых пространств строится по аналогии
с определениями эквивалентности множеств, изометричности метриче-
метрических пространств и изоморфизма линейных пространств, знакомыми
нам по первой и второй главам. Именно два гильбертовых простран-
пространства Н' и Н" называются изоморфными, если между их элементами
можно установить взаимно однозначное соответствие со следующими
свойствами:
1) Если векторам х и у1 пространства Н' отвечают векторы х" и
у" пространства //', то вектору х -\-у ? Н' отвечает вектор х? -j-
-\-у" ?Н" и вектору ах ?Н' отвечает вектор ах"^Н" при любом
вещественном а.
2) В тех же предположениях число (х\ у') равно числу (дг", у").
В дальнейшем (§ 2, п. 3) мы покажем, что всякие два конечно-
конечномерных гильбертовых пространства одинаковой размерности изоморфны
друг другу (и изоморфны, следовательно, пространству Rn примера 1).
Пространства L2 (a, b) и /2 в действительности также изоморфны друг
ДРУГУ (§ 2, п. 6).
3. Длина вектора и угол между векторами. Наличие
скалярного произведения позволяет ввести в гильбертовом пространстве
понятие длины (нормы) вектора и угла между векторами по формулам
Г*), A)
эти определения согласуются с обычными формулами аналитической
геометрии. Вместо ||л:([ часто пишут просто \х\.
Рассмотрим эти определения в общем гильбертовом пространстве.
Докажем, что отношение в правой части B) по абсолютной величине
не превосходит единицы, каковы бы ни были векторы х и у.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим вектор 1х—у,
где а — вещественное число. В силу аксиомы г) при любом л имеем
у)^0. C)
Используя формулу A) п. 1, мы можем написать это неравенство
в виде
Г (х, х) — 2л (х, у) + (у, у) ^ 0. D)

184
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ.
В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно
1' с постоянными коэффициентами. Трехчлен этот не может иметь раз-
различных вещественных корней, так как тогда он не мог бы сохранять
знака для всех значений 1. Поэтому дискриминант (л;, уJ — (х> х) (у, у)
этого трехчлена не может быть положительным. Следовательно,
(х, уJ ^ (л:, л;) (у, у), откуда, извлекая квадратный корень, получаем
что и требовалось.
Выясним, когда в неравенстве E) возможен знак равенства. Еслц
имеет место равенство
то дискриминант квадратного трехчлена D) равен нулК) и, следова-
следовательно, трехчлен имеет один вещественный корень Хо. Мы получаем,
таким образом,
I (х, х) —
оъкуда в силу аксиомы г) находим, что \ох — у = 0, или у = \ох.
Наш результат можно сформулировать в геометрических терминах:
если скалярное произведение двух векторов по абсолютной величине
равно произведению их длин, то эти векторы коллинеарны.
Неравенство E) называют неравенством Коши—Буняковского.
Примеры, 1. В евклидовом пространстве Rn неравенство Коши —
Бундовского имеет вид
2 5/4/
F)
у=1
оно справедливо для любой пары векторов je==(S1, ..,, Srt), y=z
= Di» •••» Tin)y или> что то же самое» Для любых двух систем ве-
вещественных чисел ?х, S2, ..., ?п и ц19 7J, ..., 7]д. (Это неравенство
найдено Коши в 1821 г.)
2. В пространстве L2 (а, Ь) неравенство Коши — Буняковского
имеет вид
<t (х) ф (х) йх
ф2 (х) dx;
G)
оно справедливо для любой пары суммируемых в квадрате функций <с (х\
и ф(лг). (Это неравенство для функций, интегрируемых по Риману,
нашел В. Я. Буняковский в 1859 г.)
Переходим теперь к выяснению свойств нормы.

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
185
Из аксиомы г) вытекает, что у каждого вектора х гильбертова
пространства Н существует норма: у всякого вектора х^=0 норма
положительна, у нулЪ-вектора норма равна нулю. Равенство
— V(ax> ах) =
а
(8)
показывает, что абсолютную величину числового множителя можно
выносить за знак нормы вектора. Наконец, норма удовлетворяет
неравенству треугольника:
Действительно, в силу неравенства Коши — Буняковского
откуда, извлекая корень, и получаем (9).
Таким образом, норма в пространстве Н удовлетворяет аксиомам
линейного нормированного пространства (гл. II, § 8). Все метрические
понятия и свойства, связанные с существованием нормы, имеют
место в гильбертовом пространстве. Но так как гильбертово про-
пространство— лишь очень частный случай нормированного пространства,
то есть основания ожидать, что норма в гильбертовом пространстве
обладает и свойствами, специфическими лишь для гильбертовых про-
пространств. К числу таких свойств относится следующая лемма:
Лемма о параллелограмме. Для любых двух векторов х
и у гильбертова пространства Н имеет место равенство
(сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон).
Доказательство получается простой выкладкой;
^^+JN х+у) + (х—у, х—у) =
Задача. Известно, что в некотором нормированном пространстве R
справедлива для любой пары векторов х, у лемма о параллелограмме. Рас-
Рассмотреть функцию
(так что (х, x) = \x\z)
и доказать, что она удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения п. 1-
Указание. Для проверки выполнения аксиомы б) применить лемму
о параллелограмме к параллелограммам, построенным на векторах: l)x-^~z,yt
2) х—z, у\ 3) y-\-Zy x\ 4) у — z} х. Аксиому в) проверить вначале для целых
X, затем для дробных, затем перейтн к пределу.

186 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
4. Предельный переход в гильбертовом простран-
пространстве. Вместе с метрикой в гильбертовом пространстве появляются
понятия, 'связанные с предельным переходом. Мы говорим, что по-
последовательность xv . . ., хп, . . . элементов гильбертова пространства Н
сходится к элементу х (илн имеет пределом элемент х)у если
lim \х — х
со
Функция f(x), определенная на пространстве И, называется не-
непрерывной в точке xQi если из х—>х0 следует f(x)—>/(#<>)• Ана-
Аналогично определяются непрерывные функции двух и более переменных.
Проверим для примера, что скалярное произведение (л:, у) есть
непрерывная функция от обеих переменных х пу, т. е. если хп—>х>
Положим^—yn = hn, x — xn = kn; по условию hn—>0, кп—>-0.
По неравенству Коши — Буняковского
|(х, у) — (хя, уа)\ = \(х, у) — (х — kn1 у — ha)
при возрастании п эта величина стремится к нулю. Отсюда следует,
что (х, у)= lim (xn, уп), что и требовалось.
п -> со
Последовательность {л:п} g Я называется фундаментальной, если
lim
Пространство // называется полным, если б нем всякая фундамен-
фундаментальная последовательность имеет предел.
Все три рассмотренные выше конкретные пространства: Rni /2,
La — полные.
2
Полнота пространства Rn доказывается элементарно (ср. гл. II, § 4). Пол-
Полноту пространства Lz мы доказали в гл. IV, § 5, п. 3. Проверим, что прост-
пространство 12 также полно.
Пусть xm = (EAm)t ..., &™\ ...) (от =1,2, ...)— фундаментальная последо-
последовательность векторов пространства 12. Так как для т и/?, стремящихся к беско-
бесконечности, по условию
и*--*, И1 =2 1^-^М1—о,
то, в частности, каждое слагаемое | ?^' — SjfJ ]2 (при фиксированном п) стре-
стремится к нулю, когда т и р неограниченно увеличиваются, поэтому при каждом
фиксированном п последовательность координат V?* (m= 1,2,..,) в силу клас-
классического критерия Кошн является сходящейся. Обозначим En= lim Sj^- и
покажем, что вектор x = (bv ..., ?„, ...) принадлежит пространству lv

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
187
Так «ак элементы фундаментальной последовательности в совокупности
ограничены, то
00
где К не зависит от т. Поэтому для любого фиксированного
N А
00
отсюда непосредственно вытекает сходимость ряда
i
Остается показать, что |] х — хт \\ стремится к нулю, когда /га
этого в неравенстве
оо. Для
справедливом для заданного е> О при достаточно больших тар и любом TV,
перейдем к пределу прн р-*- со.
В результате получим неравенство
N
Zj Г» ~~ ^
из которого после перехода к пределу при N -»- со получается неравенство
00
v _ x\\t—
справедливое для всех достаточно больших т, что и требуется.
Если пространство Н неполно, то, как мы видели в гл. II, можно
построить пополнение пространства Н. Элементами пополнения служат
всевозможные классы эквивалентных фундаментальных последователь-
последовательностей. В гл. II было доказано, что в пополнение линейного нормиро-
нормированного пространства можно естественно ввести линейные операции и
норму так, что оно будет снова линейным нормированным простран-
пространством. Если Н—гильбертово пространство, то в пополнение можно
ввести естественно и скалярное произведение. Именно пусть даны
классы X и К. Возьмем любые последовательности {хп\ ? X и {уп\ ? К.
Мы утверждаем, что существует предел выражения (хп1уп) при п —> оо.
Действительно, мы имеем:
п\\Уп—Ут\+ Хп —
m
У
т
Числа
хп\ и \ут ограничены, поскольку соответствующие последо-
последовательности {хп\ и [уп] фундаментальны в Н, Поэтому последова-

188 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
тельность (xntyn) удовлетворяет обычному критерию Коши и, сле-
следовательно, имеет предел, что и утверждалось. Этот предел не зави-
зависит от выбора последовательностей {хп} и {уп} в классах X и Y.
Действительно, если {хп\?Х, {уп} ? У, то
Хп, Уп) — (*„, Уп)\=\ (*» — *п> Уп) + (*». Уп —Уп)
поскольку уп и хп ограничены, {хп} конфинальна с {хп} и {уп} кон-
финальна с \уп\.
Легко проверить выполнение аксиом а)—г), на чем мы уже не
останавливаемся.
Таким образом, пополнение гильбертова пространства есть снова
гильбертово пространство.
Задачи. 1. Пусть dlt d2) ...— фиксированная последовательность чисел
с©
и 2 ^тАп сходится при любой последовательности (Еп) ? 12\ показать, что
оо
Указание. Сначала показать, что dn -*- 0. Далее, предположив, что
^=оо, рассмотреть отрезки (dn, ..., dn ), для которых
i ?
d2n^2. Положить 5Я = -^- при nk^n <лА + 1 и показать, что
оо "
2. Пусть съ с2, ... — фиксированная последовательность положительных
чисел; доказать, что множество М всех элементов.^, ..., Е„, ...) ? 22 с | ^п | ^ сл
[п^=\, 2, ...) компактно тогда и только тогда, когда 2 сп < °°-
оо
Указание. Если 2 сп ^ е>т0 множество элементов (^,..., 5„, 0, 0,...)
п1^сл образует компактную е-сеть для М. При 2 сп= оо рассмот-
реть отрезки (сп , ..., сп ), для которых 2 сл>1* соответствующие
элементы @, ..., О, сл ..., с пь,.—и 0, ...) входят в М и имеют взаимные
расстояния, большие У 2.
3. Доказать, что множество М элементов (Elf ...,5Л, ...) G гг компактно
тогда и только тогда, когда: 1) все числа [ %п \ ограничены фиксированной по-

§ 2] ортогональные разложения 189
QO
стоянной; 2) все ряды 2 Ч2п сходятся на Af равномерно, т. е. для любого е> О
со
можно указать номер N так, что ^, $? < е для всех ($л) ? Af.
Указание. Использовать метод решения задачи 2.
§ 2. Ортогональные разложения
1. Ортогональность. Векторы хну называются ортого-
ортогональными, если (дг, .у) = 0. Если дг^=О и у^О, то это определение,
в соответствии с общим определением угла между двумя векторами
(§ 1, п. 3), означает, что хну образуют угол в 90°. Нулевой век-
вектор оказывается ортогональным любому вектору х?Н.
В пространстве L2(a, b) условие ортогональности векторов у(х)
и 'Ь(х) имеет вид
S
Читатель легко проверит, вычислив соответствующие интегралы,
что в пространстве L2(—тс, тс) любые два вектора «тригонометриче-
«тригонометрической системы»
1, cos х, sin x, cos 2x, sin 2дг, , cos nx, sin nx, ...
взаимно ортогональны.
Отметим несколько простых свойств, связанных с понятием ортого-
ортогональности.
1) Если вектор х ортогонален векторам уг1 у2, ...,^, то он
ортогонален и любой линейной комбинации <х1у1 -|- ... 4~аЛ этих
векторов. Действительно, мы имеем
2) Если векторы yv y2, ..., уп, ... ортогональны вектору х и
у— Пт упУ то вектор у также ортогонален вектору х.
п -> со
Действительно, в силу непрерывности скалярного произведения
(у, х)= lim {yn, x) = Q,
QO
что и требовалось.
Из свойств 1) и 2) следует, что совокупность всех векторов, орто-
ортогональных вектору х (или произвольному фиксированному множеству
X векторов), образует замкнутое подпространство — ортогональное
дополнение к вектору х {к множеству X).
3) Теорема Пифагора и ее обобщение. Пусть векторы
х и у ортогональны; тогда по аналогии с элементарной геометрней

190 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
вектор х-\-у можно называть гипотенузой прямоугольного треуголь-
треугольника, построенного на векторах х и у. Умножая х-\-у скалярно на
себя и используя ортогональность векторов х и у, мы получаем:
Мы доказали тем самым в общем гильбертовом пространстве теорему
Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нетрудно обобщить эту теорему на случай любого конечного числа
слагаемых. Именно пусть векторы хл, xt, .. ., xk взаимно ортогональны
и z = х1 -}- хг ~f- ...-}- xk; тогда
2. Метод ортогонализации. Для получения ортогональной
системы векторов часто используется метод ортогонализации данной
неортогональной системы. Этот метод состоит в следующем. Пусть
дана последовательность векторов хг, xt, . . ., хп, ..., в которой
каждая конечная подсистема х19 хг, . .., хп линейно независима.
Утверждается, что по формулам
со специальным образом подобранными коэффициентами a,jk можно
построить систему векторов _у1? yt, ..., _ул, ..., ненулевых и взаимно
ортогональных. Система формул A) с соответствующими коэффициен-
коэффициентами a,jk называется формулами ортогонализации.
Существование решения этой системы, подчиненного требуемым
условиям ортогональности, легко доказать по индукции. Действительно,
предположим, что построены ненулевые и взаимно ортогональные век-
векторы ух, . .,, Уп-и удовлетворяющие первым п—1 уравнениям си-
системы A), и покажем, что можно найти вектор у удовлетворяющий
/z-му уравнению системы A) и ортогональный векторам yv ...,_yn-i*
Будем искать вектор уп в форме линейной комбинации от xv x2, ...
.. ., хп следующего специального вида:
где yv .. ., уп_х — найденные уже векторы, а Ьп1, , Ьпп_^ — коэф-
коэффициенты, подлежащие определению.
Умножая уравнение B) скалярно на yk (k<^n) и пользуясь пред-
предположенной ортогональностью yk к у1, .. ., yk_,xi yk+v • • •> Уп-v

§ 2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 191
получаем
(л> у н) = (*п> у к) + bnk Су*, л)-
Приравнивая правую часть нулю, получаем уравнение относительно
коэффициента bnk, которое разрешимо, поскольку по предположению'
(yk, yk)=^0. Когда все коэффициенты bnk (&= 1, 2, ..., п— 1)
таким образом найдены, уравнение B) позволяет построить вектор уп.
Он по построению будет ортогонален каждому из векторов уг, у2, ...
• • ч Уп-1> нам остается только показать, чтоуп=^=0. Для этого вставим
выражения у^ ..., ,y»n_1 из первых п—1 уравнений A) в л-е урав-
уравнение; мы получим линейное выражение уп через х1У ..., хп_г, хп,
причем коэффициент при хп равен 1. Если бы уп был нулем, то мы
получили бы линейную зависимость между л;,, ..., хп, что по пред-
предположению не имеет места. Отсюда уп=^=0, что и требовалось; тем.
самым корректность метода ортогонализации обоснована.
Можно далее еще «улучшить» полученную ортогональную систему
векторов^!, У2> . . •> уп, . .., разделив каждый из векторов уп на его
норму \уп\\ полученная система векторов еп = ^ч не только ортого-
ортогональна, но и нормирована, так что каждый из векторов имеет норму,
равную единице. Такие системы векторов называют ортонормальными.
Задачи. 1. Пусть задана система векторов х19 х2У ..., хПУ ... Доказать,
что существует лишь единственная (с точностью до числовых множителей) си-
система векторов^,..., ут..., удовлетворяющая условиям: a) (xj, yk) =z 0 при
j < k\ б) при любом п вектор уп линейно выражается через xv x2, ..., хп.
2. Многочлены, получающиеся при ортогонализации функций 1, х, х2, ...
в пространстве Lz(—1,1)^ называются многочленами Лежандра. Показать, что
л-й многочлен Лежандра имеет вид
Указание. Использовать задачу 1.
3. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений е~х2, хе~х2, .. ь
..., хпе~х2,... в пространстве L2(—со, со), называются функциями Эрмита,
Показать, что /z-я функция Эрмита имеет вид
4. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений е"х, хе~х,
х2е~х,... в пространстве L2 @, со), называются функциями Лагерра. Показать,
что /z-я функция Лагерра имеет вид
3. Изоморфизм между двумя п-и ерными евклидо-
евклидовыми пространствами. Мы можем теперь доказать теорему об
изоморфизме любых двух евклидовых пространств одинаковой размер-
размерности. Для доказательства этой теоремы построим в каждом из двух
данных евклидовых пространств Rn и Rn по ортогональному и норми-

192 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. V
рованному базису: еи •-.» еп ь Rn и е„ ..., еп в Rn, ортогонализи-
руя по методу п. 2 произвольную линейно независимую систему в каж-
дом из пространств Rn и Rn. Далее произвольному вектору х 6 Rn*
имеющему относительно базиса еи ..., еп разложение, например,
п
Г VI ? '
поставим в соответствие вектор х" ? R"nJ имеющий относительно базиса
е", ..-, е"п разложение с теми же самыми коэффициентами ?р .,.,?„:
х
Ясно, что это соответствие взаимно однозначно и сохраняет линейные
операции. Покажем, что скалярные произведения соответствующих век-
векторов в Rn и Rn совпадают. Положим
п
/=2
у =
тогда, поскольку базисы {eft и {ej\ ортонормальны,
п п п
1^ , _у ) — ( 2л typ 2л r\kek) — ^ V7)/»
п п п
(л; , у ) = i Zu yep Za rikekf == ^ v4/ = (^ » У )»
что и утверждалось. Теорема доказана.
4. Ортонормальные системы в бесконечномерном
гильбертовом пространстве И. В бесконечномерном прост-
пространстве заведомо имеются бесконечные ортонормальные системы. Мы
будем называть ортонормальную систему ev ez, ..., еп,-... полной
в пространстве И, если в пространстве И не существует ни одного
ненулевого вектора, ортогонального всем векторам этой системы. Иначе
говоря, система elt ег, ..., еп, ...полна, если из условий
вытекает, что л; —0.
Мы покажем, что полная ортонормальная система в полном гиль-
гильбертовом пространстве является базисом в том смысле, что для каждого

§ 2\ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 193
вектора /6# существует разложение в сходящийся (по норме) ряд
00
/= 2 <•//, A)
причем
00
^- B)
Для доказательства найдем сначала выражения коэффициентов раз-
разложения A), предполагая, что оно существует. Для этого умножим
скалярно обе части равенства A) на вектор ek. Так как скалярное
произведение непрерывно, то
00 П
(/. ек) = B eft, ek) = ( lim 2 <уе/' е^ =
у"=1 f П -г 00/"=1
= lim B Cj*p **) = lim ск=ск.
п -*- со /=1 п -*¦ со
Мы получаем формулу
Коэффициенты ck, определенные по формулам C), называются коэф-
коэффициентами Фурье вектора /по системе {ek\. Отметим, что эти числа
можно составить прямо по вектору / и системе {ek}, не зная еще,
имеет или не имеет места разложение A). Они имеют простой геомет-
геометрический смысл: поскольку
/\
(/> ek) = I/I | Ч I cos (/> ek) = I/I cos (/.
коэффициент ak есть проекция вектора / на направление вектора ek.
Пусть /—заданный вектор и elt .. ., еп — фиксированная конечная
ортонормальная система (неполная, вообще говоря). Составим вектор
п
g= 2 (/. ek)ek.
Этот вектор, принадлежит к подпространству Jin, порожденному векто-
векторами ег, ..., еп. Определим далее вектор h условием
Мы утверждаем, что вектор h ортогонален каждому из векторов е19
ег, ...,еп (и, следовательно, зсему подпространству Ип). Действи-
Действительно, мы имеем
(h, ej) = (/, е,) — (g, ej) = (/, ef) — (^ (/, ek) ik, ej) =
= (/. ef) — (/, ef) == 0 C/=l,2, ...,n).
г. Е. Шилов

194 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. V
На языке геометрии h есть перпендикуляр, опущенный из конца вектора
/ на подпространство Ип; а вектор g есть проекция / на это под-
подпространство. В частности, согласно теореме Пифагора
Полученное неравенство
2 (А**)
имеющее место для любого вектора / и любой ортонормальной си-
системы е,, ..., епУ называется неравенством Бесселя. Если нам дана
бесконечная ортонормальная система е19 ег, ...,еп, ..., то, поскольку
неравенство Бесселя справедливо при любом пу мы после перехода
к пределу получаем
2 (/,**)¦ <|/Г- E)
k
Иными словами, квадраты коэффициентов Фурье любого вектора
f по любой ортонормальной системе е1У ..., еп, ... образуют схо*
дящийся ряд. 4
Неравенство E) мы также будем называть неравенством Бесселя.
Теперь мы переходим к формулировке и доказательству основной
теоремы.
Теорема 1. Пусть в полном гильбертовом пространстве Н
выбрана полная ортонормальная система ev e2, ..., еп, ... Тогда
для любого вектора f имеет место "разложение
со
/= 2 (/. еЛ е„ F)
е/
причем
=2
Последнее равенство, представляющее собой бесконечномерное обоб-
обобщение теоремы Пифагора, называют обычно равенством Парсеваля*
Доказательство. Положим для сокращения (/, еп) = ап.
Пусть s есть сумма р слагаемых ряда F) и ^
Тогда

с 2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 195
При р—юо эта величина стремится к нулю вследствие сходимости
ряда из чисел а2.. Поэтому суммы s образуют фундаментальную по-
последовательность. Вследствие предположенной полноты пространства И
суммы sp при р—>-оо имеют некоторый предел s? И. Покажем, что
s=f. Для этого заметим, что при фиксированном k и р^>k
р
(s,ek)= lim (s,ek)= lim B*//.**)= Hm ak = ak = {fy ek);
p -*¦ 00 p -> <X) _/= 1 p -* 00
поэтому для любого &
(/— 5, ek) = (/, ел) - E, eft) = 0. (8)
Так как система {ek} предположена полной, то из равенства (8) сле-
следует f-=-s. Таким образом,
00
/= Hm s = 2 я//'
р -*¦ оо j = 1
Далее, в силу непрерывности скалярного произведения
р со
|/|8 = (/«/)=(lim V lim sp)= lim (V V= lim 2 ^=2 a\,
p -> 00 /? -*¦ 00 p -* <X) JP-*-00fe = I ft = l
что и требовалось.
Замечание 1. Если ^— любой другой вектор пространства, то,
вычисляя подобным же способом скалярное произведение (/, g)t полу-
получим формулу
00
= 2 (/,**)(*, ^). (9)
Замечание 2. Если а,, ...,ав, ...—любая последовательность
чисел со сходящимся рядом квадратов, то ряд
00
2 <*кек,
как видно из начала нашего доказательства, сходится в пространстве Н,
Если обозначить его сумму через /, то, как и выше, будут -иметь
место равенства'ап = (/, еп)(п—\, 2, ...). Итак, любая числовая
последовательность со сходящимся рядом из квадратов есть по-
последовательность коэффициентов Фурье некоторого вектора про-
пространства Н.
5. Критерий полноты системы. Для применения основной
теоремы п. 4 нужно располагать полной ортонормальной системой
ei* et7 • • •» еп> • • • Е°ли непосредственно не видно, является ли данная
13*

196 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. v
ортонормальная система eit ez, . ,.,еп, .., полной в пространстве Я,
можно воспользоваться следующим критерием полноты:
Теорема 2. Данная ортонормальная система ех, ... , еп, ...
полна в полном пространстве И тогда и только тогда, когда
линейные комбинации векторов этой системы образуют множество,
всюду плотное в Н.
Доказательство. Если система
полна, то в силу теоремы 1 каждый вектор /? И есть предел линейных
комбинаций векторов системы {еп}, так что совокупность линейных ком-
комбинаций векторов этой системы образует всюду плотное множество в
пространстве И. Обратно, пусть известно, что линейные комбинации
векторов системы {ел} образуют всюду плотное множество в простран-
пространстве //, и! пусть для некоторого вектора g выполнены равенства
(gy ek) = 0 (к=\, 2, ...). Ортогональное дополнение к вектору g
содержит все векторы ek, все линейные комбинации этих векторов
и замыкание множества линейных комбинаций, т. е. все пространство Я.
В частности, (g, g-) = 0, откуда g=0. Таким образом^ система {еп} в
указанном случае полна, что и требовалось.
Рассмотрим случай, когда система \еп} получена путем ортогона-
лизации некоторой системы {хп}. Согласно формулам ортогонализации
каждый вектор еп есть линейная комбинация векторов xlt , . ,, хп и,
обратно, каждый вектор хп есть линейная комбинация векторов
(*v ..., еп [см. равенство B) п. 2]. Поэтому общий запас всех линейных
комбинаций векторов [еп] совпадает с общим запасом всех линейных
комбинаций векторов {хл}. Следовательно, полноту системы е^ ...
. .., еп, ... можно устанавливать путем доказательства плотности в
пространстве И совокупности всех линейных комбинаций исходных
векторов {хп}.
Пример* Как мы видели, в пространстве 12 (— тт, тт) векторы 1, cos x,
sin х, ... образуют ортогональную систему. Линейные комбинации
векторов этой системы — тригонометрические многочлены — образуют
всюду плотное множество в L2(—тт, тт) (гл. IV, § 5, п. 3). В силу
теоремы 2 система 1, cosjc, sin л:, . . . полна в пространстве Lz (—тт, тт)
и имеет место теорема 1: всякая функция <р(х)?12(—-тт, тт) разла-
разлагается в ряд по функциям 1. cos х, sin jc, ..., сходящийся по
метрике пространства L2(—тт, тт). Следует заметить, что функции
1, cosjc, sin jc, ... не нормированы; легко вычислить, что ||1||2 =
= 2тт, || cos /w*||2 = |sin/wjc|[2 = tt. Нормированную систему образуют
функции
1 cos х sin x cos 2x sin 2x

§ 2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 197
Согласно формулам A) и C) п. 4 искомое разложение имеет вид
, . / 1 \ 1 . / cosjcNcosx | / sinxNsinx
? (х)=(* wJ w+(* ri т^+(* vvyi
1 Г / v j i cos x С /v j i sinx f , v ¦ ^ i
= y \ y(x) dx-\ \ tp (x) cos x ax -] \ <p (x) sin л; ал; -\- ...
Обозначая
Tt Tt ТЕ
<20 = — \ y(x)dx, an = — \ tp (jc) cos лл; d/x, bn = — \ ^p(jc) sin nxdxy
7Г Tt 7Г
мы приходим к обычной записи ряда Фурье:
an-zosnx-\-bnsinnx.
Мы знаем теперь, что этот ряд сходится по метрике Z.2(—я, тг) для
любой функции <f(x)?L2(—тт, я).
Задачи. 1. Доказать полноту системы полиномов Лежандра (п. 2, задача
2) в пространстве L? (—1, 1).
Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об аппроксимации не-
непрерывных функций многочленами.
Замечание. Система функций Эрмита (п. 2, задача 3) в пространстве
Lz(—оо, оо) и система функций Лагерра (п. 2, задача 4) в пространстве
Z,2@, оо) —также полные системы. См. гл. VII, § 3, п. 5.
2. Построить в пространстве Cz(a, b) ортогональную систему непрерывных
функций ег (х), ..., еп (х), ..., обладающую свойствами:
ъ
а) из \ f(x)en{x)dx — 0 (л=1, 2, ...) следует f(x) = О,
а
какова бы ни была непрерывная функция /(х);
б) линейные комбинации функций е, (х\ ..., еп(х), ... неплотны в про-
пространстве Сг(а, Ь).
Указание. Ортогонализовать последовательность многочленов с рацио-
рациональными коэффициентами, ортогональных фиксированной разрывной функции,
например характеристической для интервала (а, с), а<-с<&.
Замечание. Результат этой задачи показывает, что для выполнения
условия полноты системы, приведенного в этом пункте, существенно предпо-
предположение о полноте пространства И,
6. Изоморфизм всех счетномерных гильбертовых
пространств. Гильбертово пространство мы будем называть счет-
номерным, если в нем имеется счетная полная ортонормальная система.
В этом пункте мы покажем, что любые два полных счетномерных
пространства изоморфны.

198 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Согласно теореме 1 п. 4 каждый вектор / полного счетномерного
пространства И с полной ортонормальной системой ev ev ...,ent ...
допускает разложение
00
f— У. с е
где ck = (f, ek) и ряд из квадратов чисел ck сходится. С другой
стороны, как было замечено в п. 4, если с„ с2, ..., ck> ...—
произвольная последовательность чисел со сходящимся рядом из квад-
квадратов, то существует вектор/?//, коэффициенты разложения которого
по системе [ек\ суть числа {ck}.
Пользуясь этим, мы можем установить' взаимно однозначное соот-
соответствие между произвольным полным счетномерным пространством И
и пространством /2 (§ 1, п. 1, пример 2), ставя в соответствие век-
вектору /6// последовательность сл = (/, еп) коэффициентов Фурье
вектора / по полной ортонормальной системе е1У е2, ..., еп> ... Такое
соответствие сохраняет, очевидно, линейные операции. Оно сохраняет
и скалярное произведение, так как если
со
/= 2 akek>
00
то по формуле (9) п. 4
=2 v*.
со
А»
а именно по такой формуле определялось и скалярное произведение
элементов x = (ak) и _у = (?д) пространства /2. В частности, заново
получается, что /2 есть полное пространство. Мы видим также, что
Z.2 (а, Ь), как полное счетно мерное пространство, изоморфно про*
странству /2. Далее, любые два полных счетномерных простран-
пространства изоморфны пространству /2 и, следовательно, изоморфны
друг другу.
7. Сепарабельность. Конечномерные и счетномерные про-
пространства могут быть определены как сепарабельные пространства,
т. е. обладающие счетным всюду плотным множеством.
Действительно, если пространство Н конечно- или счетномерно,
то в нем есть конечная или счетная полная ортонормальная система
eli ez, ... В силу теоремы 1 п. 4 линейные комбинации векторов
е,, е2, ... образуют всюду плотное множество в И. Если ограни-
ограничиться при этом лишь линейными комбинациями, имеющими рациональ-

§ 2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 199
ные коэффициенты, то получится счетное множество элементов,
по-прежнему плотное в И; таким образом, И сепарабельно.
Пусть, обратно, И сепарабельно и Д, Д, ..., Д, ... —счетное
всюду плотное множество в И. Если произвести ортогонализацию
элементов Д,-Д, ..., то согласно п. 5 получится полная ортогональ-
ортогональная в И система, причем она по построению будет не более чем счет-
счетной; таким образом, И конечно- или счетномерно.
Заметим, что в сепарабелъном пространстве И и каждое цод-
пространство Н' с Н сепарабельно. Для доказательства фиксируем
п и k и отметим элемент ynk ? И\ если таковой имеется в шаре
радиуса 4- с центром в точке / счетного всюду плотного в И мно-
жества Д, Д, ... Мы утверждаем, что полученное счетное множество
элементов ynk{K л=1, 2, ...) плотно в Н''. Действительно, для
любого <р ? Н' и любого k мы можем в шаре радиуса -г с центром
в точке <р найти некоторый элемент Д; тогда заведомо имеются эле-
элементы множества И' в шаре радиуса -г с центром в Д. Имеется,
следовательно^ элемент ^лА6-^'» причем заведомо
I? — <Р„*1<1<Р— /я1 + 1/я — ^1<Т-
В частности, s любом замкнутом подпространстве Н' сепарабелъ^
ного гильбертова пространства И имеется полная ортогональная
система elt ez>
Задача. Доказать непосредственно сепарабельность пространств
L2{— со, со) И12(О, со).
8. Ортогональное дополнение. Вернемся к теореме орто-
гонализации п. 2. В этой теореме, исходя из заданной системы
векторов х1У хг> ..., хп, . .., мы строили новую систему у19 уг, .. .,
уп, ... векторов так, чтобы уп был линейной комбинацией векторов
хХУ ..., хп и был ортогонален векторам xv ..., xn_t. Равенство
определяет разложение вектора хп в сумму двух векторов gn и уп1
первый из которых лежит в подпространстве #„_,, порожденном век-
векторами JCj, ..., лгп_,, а второй ортогонален xY, ..., хп_г и, следо-
следовательно, ортогонален каждому вектору из подпространства Нп_г.
Поэтому естественно называть вектор gn проекцией вектора хп на под-
подпространство //„_,, а уп — перпендикуляром, опущенным из конца хп
на подпространство Hn^v Процесс ортогонализации состоит как раз
в том, что мы заменяем вектор хп перпендикуляром, опущенным из
его конца на подпространство, порожденное предыдущими векторами.

200 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Существование этого перпендикуляра вытекает из анализа уравнений
ортогонализации, как мы видели в п. 2. Соответствующий вывод
существенно использует конечномерность подпространства //„_,.
Пусть теперь L — произвольное подпространство гильбертова про-
пространства И и /—вектор, не входящий в L. Поставим вопрос: можно
ли и в этом случае обеспечить существование разложения
где g?L, a h ортогонален любому вектору из L (будем говорить'
коротко: ортогонален Z.)? Оказывается, что при некоторых условиях
на И и на L такое разложение существует.
ТГеорема. Если Н—полное гильбертово пространство и
L с И—замкнутое подпространство, то для любого f?H суще-
существует разложение
/=g + h, (D
где g?L, а к ортогонален L; при этом g и h определены одно-
однозначно веытором /.
Доказательство. Обозначим d=ini\f—g . Имеются две
возможности: d = 0n d^>0. Если^ = 0, то найдется последователь-
последовательность gn?L такая, что \f—gn\—* 0> откуда следует, что /—пре-
/—предельная точка для подпространства L; а так - как L замкнуто, то
точка / сама принадлежит L. Разложение A) осуществляется, оче-
очевидно, при g=f, A —0.
Пусть теперь af^>0. Рассмотрим последовательность gn?L> для
которой |/—gn\—>d. Применяя лемму о параллелограмме (§ 1, п. 3)
к векторам x=f—gn и y=f—gm, получаем;
gn+g,
2
I Ibn
При л, т—><х> левая часть стремится к Ы2. Первое слагаемое
правой части не менее чем 4af2, поскольку ~ Т" ? L, f
¦ т
d.
2
Поэтому последнее слагаемое в правой части стремится к нулю, откуда
вытекает, что последовательность gn фундаментальна. Так как И —
полное пространство, то последовательность gn имеет при л—*• оо
предел g, который принадлежит подпространству L в силу замкну-
замкнутости последнего.
Покажем, что вектор h=f—g ортогонален L. Действительно,
для любого ^ 6 ? мы имеем при любом \
я)+*\ч

§ 2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ , 201
откуда
но это возможно при любом X, лишь если (/г, q) = 0.
Итак, разложение A) установлено. Покажем теперь, что состав-
составляющие g и h определены однозначно. Допустим, что
g, g' принадлежат Z,, a /z, ti ортогональны Z,. Вычитая, находим:
0 = (g - g') + (h - h'),
где g — g'^L, a h — ti ортогонален L. В силу теоремы Пифагора
g—g'—h — ti = 0, откуда g = g\ h = tit что и требуется.
Совокупность всех векторов /г, ортогональных подпространству L
(включая нуль-вектор), образует замкнутое подпространство М, кото-
которое называется ортогональным дополнением подпространства В.
Мы доказали, что у всякого замкнутого подпространства L ? //
имеется ортогональное дополнение М, причем для любого вектора
справедливо разложение
Задача. Система элементов fl7 /2, ...,/„, ... гильбертова пространства
И называется минимальной, если при любом k вектор fk не входит в зам-
замкнутое подпространство, порожденное остальными векторами; она называется
полной, если замкнутое подпространство, порожденное всеми векторами
/i» /a» •••» fn> •••> совпадает со всем пространством //.
Системы Д, /2, ..., fm ... и ev e2, ..., ет ... называются квадрати-
чески близкими, если
00
k=l
Показать, что минимальная система /„ /2, ..., fn, ..., квадратически близкая
к ортонормальной пойкой системе elt е2У ..., ет ..., полна (Н. К. Бари).
Указание. Обозначим через Lrk(g) замкнутое подпространство, порож-
00
денное векторами gkt ..., gr. Пусть 2 I/ft — e*I<1- Показать, что в
5?fi нч одного вектора, ортогонального всему Л$, г (/). Отсюда вы-
вывести, что всякий вектор х ? Я может быть представлен в форме jV + ^, где
у ? if (*), z g I$+1(/)- Поэтому фактор-пространство Я/Л^+1 (/)(см. гл. II,.
§ 8, п. 4) имеет размерность не выше N. В то же время в нем имеются
W линейно независимых векторов-образов /1( ..., /дг; они, следовательно,
образуют базис в UjL^ , х (/).
Вектор z, ортогональный ко всем /Д(А = 1, 2, ...), имеет своим образом
в HjL^^if) класс Z, ортогональный образам fk(k=\, 2, ..., ЛГ); поэтому
(/); отсюда г = 0.

02 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
9, Общий вид линейного функционала в гильбер-
гильбертовом пространстве. Мы применим сейчас теорему об ортого-
ортогональном дополнении к выводу общей формы линейного ограниченного
функционала в полном гильбертовом пространстве.
Пусть х0 — фиксированный вектор; положим для любого х
) = (*, хй). A)
¦Функционал f(x)y очевидно,— линейный функционал в //. Он ограни-
ограничен на единичном шаре в силу неравенства Коши — Буняковского:
Покажем, что формула A) дает общий вид линейного ограничен-
ного функционала в пространстве //. Заметим, что линейный ограни-
ограниченный функционал всегда непрерывен (гл. II, § 9). ,
Пусть f(x) — ограниченный линейный функционал в. полном гиль-
гильбертовом пространстве //^отличный от тождественного нуля. Рассмот-
Рассмотрим подпространство //' с //, определяемое уравнением f(x) = 0.
Используя непрерывность функционала f(x), легко проверить, что//'
замкнуто. Пусть //"— ортогональное дополнение подпространства//'.
Покажем, что И" одномерно. Пусть zlt zz ? //"; тогда yf
t)zi также входит в //"; но, с другой стороны,
откуда следует, что у?Н'. Но ъзу?Н' и у ? Н" вытекает, что
{у1 у) = 0 ц что, следовательно, у=0. Так как f(zt)=^=0, f(zz)=^=O,
то векторы zx и z2 линейно зависимы. Следовательно, Н" не мбжет
иметь более одного измерения.
Пусть теперь е^Н" — нормированный вектор. Всякий вектор
z ? И" представляется в виде \е\ с другой стороны, как мы
видели в п. 8, всякий вектор х?Н разлагается в сумму x = z-\-y
{z?H"t y?Hf). Так как z = ley то
= (х, е)е-\-у.
¦Отсюда вытекает, что
= (x9 e)f(e) = (xy
где x=f(e) e — фиксированный вектор пространства Н.
Итак, любой ограниченный линейный функционал в полном гиль-
бертовом пространстве Н представляет собой скалярное произве-
произведение вектора х на фиксированный вектор xQ. Вектор xQ при этом
определяется однозначно, ибо из тождества (х, #0) = (л;, я,) вытекало
бы, что (a:, xq—х5) = 0 для любого х; но тогда и (xQ—Х\, ха —
— *i)=0> откуда ха=хг.

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 203
§ 3. Линейные операторы
1. Определение и примеры. Пусть/? — линейное простран-
пространство. Оператор Л, определенный в пространстве /?, есть функция,
которая каждому элементу x?R ставит в соответствие элемент у =
этого же пространства.
Оператор А называется линейным, если выполняются условия
(I) А (х-\~у) = Ах-\- Лу для любых х и у из R;
(II) А (ах) = а Ах для любого x?R и любого числа а.
Из формул (I) и (II) легко получается более общая формула
А (ССЛ
для любых хХ1 . .., Xk^R и Л1°бых вещественных чисел ах, ..., аА.
Примеры, L Оператор, который каждому вектору пространства
ставит в соответствие нуль-вектор, очевидно, является линейным. Он
называется нулевым оператором.
2. Оператор Е, ставящий в соответствие каждому вектору х сам
вектор х, очевидно, линейный; он называется единичным или тож-
тождественным оператором.
3. Линейный оператор Л, переводящий каждый вектор, х, в Ъс
(к — фиксированное число), называется оператором подобия.
4. Пусть Н—счетнсмерное гильбертово пространство и ег, е2, ...
..., еп, ... — полная ортонормированная система в Н. Фиксируем огра-
ограниченную последовательность вещественных чисел \у Х2, ...,).„, ...,
| \п | ^ С, и для любого вектора
со
положим по определению
B)
Так как ^^/S/^^S^/^C00» то оператор Ах определен формулой
B) во всем пространстве Н. Легко проверить, что этот оператор
удовлетворяет условиям (I), (II). Оператор А, построенный по указан-
указанному правилу, будем называть оператором нормального вида. Каждый
базисный вектор еп переводится оператором А в себя самого с коэф-
коэффициентом \п\

204 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
5. На отрезке [а, Ь] фиксируем измеримую ограниченную функцию
а (а:). В пространстве L2 (a, Ь) определен линейный оператор умноже-
умножения на а (х):
6. Интегральный оператор Фредгольма. В области
фиксируем функцию К(х, s), интегрируемую в квадрате по этой
области:
ь ь
а а
Определим в пространстве Lz (a, b) оператор А по формуле
ь
у (х) = Ау (х) =^К(х, s)tf (s) ds. C)
а
Покажем, что формула C) действительно определяет оператор в L2 (a, b).
В силу теоремы Фубини (гл. IV, § 5, п. 2) функция К2 (х, s)>
поскольку она суммируема в области G, является суммируемой функ-
функцией от s почти при всяком х, и, значит, К(х9 $)> как функция от 5,
принадлежит L2 {a, b). Интеграл C), представляющий собой скалярное
произведение функций К(х, s) и ср(^), существует для любой'функции
ср (je) ? I2 (a, b). По той же теореме Фубини суммируема подфункция
к2 (х) = ] Кг (*, s) ds,
а
причем
ь ь ь
\ b^ I y\ Н y \ \ А7^ I v с\ // v* // с —- А^
\ /v I ^/ I t* W -—^—— \ \ Л \ I Л/ т О I I* л/ и О — " * V .
\ \ Г J J \ ' / *-!'« -V ,
а а а
так что &(лг)?12(<2, Ь). Оценивая теперь скалярное произведение C)
с помощью неравенства Коши — Буняковского, находим:
ъ ъ
y(x)\z^\ 1С (x,s) ds [ tp2 (s) ds = kz (x) \l <p ||2, D)
так что функция у (х) принадлежит пространству Lz (a, b), что и
утверждались.
Очевидно, что оператор Фредгольма C) — линейный оператор (т. е.
выполняются условия (I), (II)).

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 205
Задачи. 1. Показать, что условие ограниченности чисел Хп нельзя осла-
ослабить при определении оператора А нормального вида (пример 4), если желают,
чтобы оператор А был определен на всем пространстве. Иначе говоря, если
при некоторой последовательности ).„ оператор А определен формулой B)
для любого вектора х?Н, то числа 11п | ограничены в совокупности.
2. Условие ограниченности функции а(х) нельзя ослабить при опреде-
определении оператора А в примере 5, если он должен быть определен на всем
пространстве.
2. Действия с линейными операторами. Над линейными
операторами, определенными в линейном пространстве R, можно произ-
производить различные действия, приводящие в результате к новым линей-
линейным операторам.
1) Сложение операторов. Если даны линейные операторы А и Bt
то оператор С=А~[-В определяется формулой
2) Умножение оператора на число. Если Л — линейный оператор,
вещественное число, то оператор В^^\А определяется формулой
3) Умножение операторов. Если Л и В — линейные операторы,
то оператор С=АВ определяется условием
= А(Вх)
(т. е. сначала на вектор х действует оператор В, а затем на результат
действует оператор А).
Легко проверить, что в результате всех этих действий получаются
снова линейные операторы. Для указанных действий справедливы
обычные алгебраические законы: коммутативность сложения, ассоциа-
ассоциативность, дистрибутивность (за исключением коммутативности умноже-
умножения операторов). Степени оператора А определяются естественными
рекуррентными формулами
А° = Е, Ап = А-Ап~1 (л=1, 2,'...)-
Оператор- В называется обратным к оператору А, если выполняются
равенства
обратный оператор к оператору А обозначается через Л. Если
операторы Си D обладают обратными С~х и D~\ то и CD обладает
обратным (CD) = D С
'1
3. Норма линейного оператора. Будем предполагать, что
линейный оператор А действует в линейном нормированном про-
пространстве R.
Наличие метрики в пространстве R позволяет целесообразно сопо-
сопоставить каждому линейному оператору А неотрицательное число jj A Jj,

206 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА (рЛ. V
называемое нормой оператора А. Именно, мы рассмотрим числовую
функцию F (х) = | Ах |, определенную для векторов х ? R. Нормой
оператора Л называется точная верхняя грань (возможно, равная оо)
значений этой функции на единичных векторах х:
Л || = sup | Л* |. A)
Оператор Л с конечной нормой называется ограниченным,
В /z-мерном евклидовом пространстве величина || Л || конечна для
всякого линейного оператора Л1). Действительно, длина вектора Ах,
очевидно, есть непрерывная функция от координат tj,, *]2, ...,*)„
этого вектора; каждая же из этих координат есть линейная функция
от координат ?1? ?2, ..., Е„ вектора х. В конечном счете \ Ах есть
непрерывная функция от координат Е15 Е2, ..., ?п вектора х. Так
как сфера |л;| = 1 является ограниченным и замкнутым множеством
в /z-мерном пространстве, то в силу результатов гл. И, § 7 непре-
непрерывная функция | Ах | ограничена на этой сфере. Поскольку всякое
ограниченное множество имеет точную < верхнюю грань, число II A If
существует. Более того,' на сфере j х [ = 1 имеется и точка xQJ
в которой непрерывная функция | Ах | достигает своей точной верхней
грани.
Примеры. /. Норма нулевого оператора, очевидно, равна нулю.
Обратно, если ||Л|| = 0, то это означает, что каждый нормированный
вектор х0 переводится оператором А в нуль; но так как каждый век-
вектор х коллинеарен с некоторым нормированным вектором х0, то Ах = 0
для любого х. Следовательно, если ||Л|| = 0, то Л = 0.
2. Норма тождественного оператора Е равна единице, так как
| Ех | = ] х | для любого вектора х.
5. Норма оператора подобия Ах = \х равна \\ .
4. Норма оператора нормального типа в гильбертовом пространстве
(пример 4 п. 2)
со \ со
Ах = А[ 2. М/ = S
\ j
/=1
равна точной верхней грани чисел [ \п |. Действительно, если С= sup | \n \
СС
и J jc js = 2 5/ = 1, мы имеем
со со
В бесконечномерном пространстве возможен случай ||ЛЦ =

§ 3]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
20Г
откуда ||А|]я^ С; с другой стороны, |Л||^э sup | Леп [ = sup \\nen
= sup |ln| = C; полученные неравенства и доказывают наше утверж-
утверждение.
5. Норма оператора- умножения на ограниченную функцию g{x)
в пространстве L2 (a, b)- (пример 5 п. 1) равна числу С, определяемому
из условий
p.{x: \g(x)\^>C—s}>0 при любом
(Для непрерывной функции число С равно max \g(x) |.) Доказатель-
ство предоставляется читателю.
6. Для нормы оператора Фредгольма (пример 6 п. 1) с квадратично
интегрируемым ядром К(х, s) можно дать оценку
ь ь
, s)dxds,
B)
а а
вытекающую из равенства D) п. 1 после интегрирования по х.
Остановимся на двух простых свойствах операторов с конечной;
нормой.
1) Для любого вектора x^R и любого линейного оператора Л с
конечной нормой ЛII имеет место неравенство
Ах
А\\\х
C)
Действительно; неравенство C) справедливо для любого единичного
вектора по самому определению нормы оператора А. Если же х —
произвольный вектор, отличный от нуля (для нуль-вектора нера-
венство C), очевидно, выполнено), то -—г —единичный вектор и,
следовательно,
х
ЛИ.
А
Но, поскольку А — линейный оператор, имеем:
А
х
X
умножая теперь неравенство D) на |je|, мы и получаем требуемое-
неравенство C).
2) Если А и В—операторы с конечной нормой, то
Действительно, если |л:|=1, то | (А-\-В)х\ ==| Ах-\-Вх | ^ | Ах |-[-
-j-[Bx\ ^|| Л|Ц-|^||, чем доказано первое из неравенств E). Далее*.

208
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. V
АВх\ = \ А (Вх)
венство.
| А\\\ Вх
А\\\\В\\, чем доказано и второе нера-
нераЗадачи. 1. Если А — ограниченный линейный оператор с нормой М, то
sup | {Ах, у)\ = М F)
(верхняя грань по всем нормированным векторам х и у). Обратно, если били-
билинейная форма (Ах, у) ограничена на единичном шаре, тб оператор А ограни-
ограничен и его норма не превосходит числа М в равенстве F).
2. Если имеется ортонормальный базис {еп\ в гильбертовом простран-
пространстве И, то всякий линейный оператор А может быть задан бесконечной,
матрицей || ajk J|, где
со
AeJ=
Известно, что для некоторого М и любых ?х, ..., Sm, r\v ..., t\n
m n
2 2 a
m
<¦
Доказать, что А — ограниченный оператор с нормой, не превосходящей М;
обратно, если А — ограниченный оператор с нормой М, то выполнено пре-
предыдущее условие.
Указание. Левая часть есть значение билинейной формы (Ах, у]
на некоторых векторах х и у-
3> (Продолжение.) Получить неравенства
со со со
< и л ц2 < 23 s
k — 1
а%-
Указание. Во-первых, 1И??/||2 —2
<7;
если
такой, что | х \ = 1 и \ Ах0 \ > || А |] — s, то
4. Оператор нормального вида обладает ограниченным обратным тогда
и только тогда, когда соответствующие числа 1п по модулю больше положи-
положительной постоянной.
5. Оператор нормального вида называется положительным, если все
1п > 0. Показать, что для положительного оператора С нормального вида
2
с ограниченным обратным при 0 < а <
справедливо неравенство
?-аСЦ<1. " "
|| 6. Показать, что всякий ограниченный билинейный функционал А(х, у)
в гильбертовом пространстве И может быть представлен в форме (Ах, у),
где А — ограниченный линейный оператор.
Оказание. Если фиксировать в функционале (Ах, у) первый аргумент х,
то получится ограниченный линейный функционал от у, который по § 2, п. 9

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 209
представляется в форме (х\ у). Проверить, что оператор х' = Ах — ограни-
ограниченный линейный оператор.
7. Оператор Л*, удовлетворяющий условию (Ах,у) — (х, Л*у), называется
сопряженным к оператору Л. Показать, что у всякого линейного оператора Л
в гильбертовом пространстве имеется сопряженный.
Указание. Применить результат задачи 6 к билинейному функционалу
А(х, у) = {у, Ах).
8. Показать, что || Л*|| = || А ||.
Указание. Использовать задачу 1.
9. Если оператор А обладает ограниченным обратным В, то Л* обладает
ограниченным обратным Л*.
10. Показать, что последняя двойная сумма в неравенстве G) не зависит
от выбора ортонормального базиса \еп\. -
Указание. Если \fn\ — новый базис и Afk = 2/Va//» т0
4. Собственные векторы. Подпространство R' линейного
пространства R называется инвариантным относительно оператора
4, если из #?/?' следует Ax?R'.
В частности, тривиальные подпространства — нулевое и все про-
пространство— являются инвариантными для всякого линейного оператора;
нас будут интересовать, естественно, только нетривиальные инва-
инвариантные подпространства.
Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства
оператора Л. Всякий (ненулевой) вектор, принадлежащий одномерному
инвариантному подпространству оператора Л, называется собственным
вектором оператора А; иначе говоря, вектор х=^=0 называется соб-
собственным вектором оператора Л, если оператор А переводит вектор х
в коллинеарный ему вектор:
hc. A)
Число )., фигурирующее в этом равенстве, называется собственным
значением (собственным числом) оператора А, соответствующим
собственному вектору х.
Рассмотрим с этой точки зрения примеры линейных операторов,
.указанные в п. 1.
1) Для операторов в примерах 1 —3 каждое подпространство
является инвариантным и каждый ненулевой вектор пространства есть
собственный с собственными значениями соответственно 0, 1,1.
2) Оператор нормального типа (пример 4) по самому определению
имеет собственные векторы ev e2, ..., 'еп> ... с собственными значе-
значениями соответственно 11, 1а, ..., \пУ ...
3) Оператор умножения на а,(х)^х (пример 5) не имеет собствен-
собственных векторов в пространстве L2 (a, b), так как нет такой измеримой
14 Г, Е. Шилов

210 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
функции ср (х), которая удовлетворяла бы уравнению
х ср (х) = Хер (х)
и была бы отличной от нуля на множестве положительной меры.
4) Собственные векторы оператора Фредгольма (пример 6) суть
решения интегрального уравнения
ъ
К(х, s) y(s
а
О существовании решений у этого уравнения мы будем говорить далее.
Совокупность всех собственных векторов оператора Л с фиксиро-
фиксированным собственным значением \ образует, очевидно, подпространство
в пространстве R. Это подпространство называется собственным
подпространством, отвечающим собственному значению 1.
5. Симметричные и вполне непрерывные операто-
операторы. Если известно, что некоторый линейный оператор Л в гильбер-
гильбертовом пространстве есть оператор нормального типа, как в примере 4
п. 1, то изучение свойств этого оператора значительно облегчается.
Базис из собственных векторов оператора Л определяет естественную
«систему координат», в которой удобно решать задачи, связанные
с оператором А.
Необходимым условием приводимости оператора Л к нормальному
виду служит равенство
(Ах, у) = (х, Ау), A)
которое должно быть выполнено при любых х и у из пространства //.
Действительно, если
со со со со
/¦=1 /=1 /=1 j—1
то, очевидно,
00 СО
(Ах, у)= 2 VM/. Ь>» Лх)= 2 4/VS/'
так что равенство A) выполняется. Операторы, удовлетворяющие
условию A), будем называть симметричными.
Условие симметричности не является еще достаточным условием
приводимости оператора А к нормальному виду. Например, оператор
умножения на х в пространстве Lz (a, b) симметричен:
ф) = $*<р (х) ф (х) dx

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 211
но этот оператор, как мы видели выше, не имеет собственных векто-
векторов и поэтому не приводится к нормальному виду. Мы наложим на
оператор А> кроме требования симметричности, еще дополнительное
условие, которое будем называть условием полной непрерывности:
Из каждой последовательности векторов А/п, где числа \fn\
ограничены, можно выбрать сходящуюся последовательность.
Операторы, обладающие этим свойством, будем называть вполне
непрерывными.
Вполне непрерывный оператор является ограниченным (и, следо-
следовательно, непрерывным): если бы для некоторой последовательности
/л, |/л| = 1, мы имели \А/п\—^оо, например \Afn\^>n, то из после-
последовательности А/п нельзя было бы выбрать сходящейся последователь-
последовательности в противоречие с предположением.
Задачи. 1. Является ли единичный оператор Е вполне непрерывным?
Отв. Нет, если пространство И бесконечномерно.
2. Л и В — вполне непрерывные операторы; доказать, что Л -\~В — вполне
непрерывный оператор.
3. Л—вполне непрерывный оператор В — ограниченный; доказать, что
АВ и ВА вполне непрерывны.
4. Если Л и Л* — сопряженные операторы, то А-\-А*, АА*, Л*Л — сим-
симметричные операторы, и || АА* |] = ||Л*Л || = | Л ||2.
5t Показать, что необходимое и достаточное условие полной непрерыв-
непрерывности оператора нормального типа выражается равенством
Нтп >„ = 0.
Указание. Использовать задачу 3 § 1,
6. Мы переходим теперь к фундаментальной теореме о симмет-
симметричных вполне непрерывных операторах.
Теорема 1 (Д. Гильберт). В полном гильбертовом сепараб ель-
ном пространстве всякий симметричный' вполне непрерывный опе-
оператор обладает полной ортогональной системой собственных
векторов.
Доказательство этой теоремы мы проведем в несколько этапов.
Лемма 1. Если \е\ = \ и А — симметричный оператор, то
причем знак равенства возможен только в случае, когда е есть
собственный вектор оператора А2 с собственным значением
1=\Ае\\
Доказательство. В силу симметрии оператора и неравенства
Коши — Буняковского имеем:
\Ае\2 = (Аеу Ae) = (A2et <?)< | А2е 11 е\ =| А2е |. A)
14*

212
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. V
Неравенство Коши — Буняковского обращается в равенство, лишь
если фигурирующие в нем векторы коллинеарны (§ 1, п. 3), поэтому
в случае равенства имеем
т. е. е есть собственный вектор оператора А2. Подставляя полученное
выражение в A), находим h
что и требовалось.
Назовем максимальным вектором ограниченного оператора Л такой
единичный вектор е, е = 1, на котором величина Ае\ достигает
своего наибольшего значения Л!=||Л]|. Вообще говоря, не у всякого
ограниченного оператора существует максимальный вектор. Но мы по-
покажем дальние, что у симметричного вполне непрерывного оператора
максимальный вектор всегда имеется:
Лемма 2. Симметричный вполне непрерывный оператор обла-
обладает максимальным вектором.
Доказательство. Выберем последовательность уп = Ахп, где
|д:л|==1 (л=1, 2, ...)> TaKi чтобы иметь lim \yn | =М. Из после-
последовательности уп можно, по условию, извлечь сходящуюся подпосле-
подпоследовательность; зачеркнув лишние векторы и исправив нумерацию,
можно считать, что сама последовательность уп сходится при п—у оо;
пусть _y = lim_yn. В силу непрерывности нормы |_у | = lim j_у„
Мы утверждаем, что вектор z = -jry является искомым максимальным
вектором.
Прежде всего, в силу непрерывности оператора Л имеем:
п ->со
Az = lim Л Нгг == lim ^ i - м
Ах
Векторы —~ принадлежат единичному шару, и поэтому векторы
Ах \
-jf) по длине не превосходят М. Применяя лемму 1, получаем:
fAy \ 1 12
М-.
1
м
Агхп
53 м
Ахп
откуда вытекает, что
Az
lim
Л
М
т. е. z есть максимальный вектор оператора Л, что и требовалось.
От максимальных векторов недалеко и до собственных векторов.

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 213
Лемма 3. Если е0 — максимальный вектор для симметричного
оператора А, то ё0 является собственным вектором для опера-
тора А2 с собственным значением ||Д|]2.
Доказательство. По лемме 1 и по определению нормы опе-
оператора имеем:
откуда
В силу леммы 1 е0 есть собственный вектор оператора А2 с собст-
собст0
венным значением
что и требовалось.
Лемма 4. Если оператор А2 обладает собственным вектором
с собственным значением М2, то оператор А имеет собственный
вектор с собственным значением М или —М.
Доказательство. Равенство А2е0 = М2е0 можно записать
в виде
(А — ME) (A -f- ME) ео = О (Е— единичный оператор).
Допустим, что zo = (A -\-ME)eo=?O. Тогда из условия
(А-
или, что то же,
вытекает, что z~ есть собственный вектор оператора А с собственным
значением М = ||Л||. Если же {А -\-МЕ) ео = О> то
Аео = — Me0J
и получается, что уже е0 есть собственный вектор оператора А с соб-
собственным значением М = — |МИ- Лемма доказана.
Леммы 1—4 показывают, что всякий симметричный вполне не-
непрерывный оператор А обладает собственным вектором с собствен-
собственным значением -Ь || А ||.
Теперь мы будем доказывать, что из собственных векторов опера-
оператора А можно построить полную ортогональную систему в простран-
пространстве Я. Предпошлем этому построению следующие леммы:
Лемма 5. Собственные векторы симметричного оператора, от'
вечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Действительно, пусть имеют место равенства
и X=t^jx. Умножим первое равенство скалярно на у, второе на х и

214 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
вычтем второе из первого:
(Ах, у) — (х, Ау) = (к — р)(х, у).
Левая часть этого равенства равна нулю вследствие симметрии опера-
оператора. Так как ).=t^ji, то (х, _у) = 0, что и требовалось.
Лемма 6. У вполне непрерывного оператора А всякая орто-
ортогональная нормированная система собственных векторов с собст-
собственными значениями, превосходящими по модулю положительное
число Ь, конечна.
Доказательство. Допустим, что нашлась бесконечная система
S таких собственных векторов. Каждый из них оператором перево-
переводится в себя самого с числовым множителем, большим числа Ь.
Пусть е* и ek — какие-нибудь два из этих собственных векторов:
Имеем:
е/1 = I ek I = ь (*/> ek)=°> Ле/=W> Aek=W
- Aek |2 = | у, - lkek Г =
k
kek
означает, что расстояния между векторами, полученными
после воздействия оператора А на векторы системы S, заведомо будут
превосходить 8|/. Но из совокупности таких векторов нельзя выбрать
никакой сходящейся последовательности, что противоречит полной
непрерывности оператора А.
В частности, существует только конечное число взаимно орто-
ортогональных векторов с данным собственным значением \=^0; иными
словами, каждое собственное подпространство, отвечающее ненуле-
ненулевому собственному значению вполне непрерывного симметричного
оператора А, конечномерно.
Эта лемма позволяет сделать определенные выводы относительно
совокупности всех собственных векторов и собственных значений опе-
оператора Л. Рассмотрим на вещественной оси множество всех собствен-
собственных значений оператора А. В силу леммы 6 существует лишь конечное
число собственных значений, превосходящих по абсолютной величине
данное положительное число §, поэтому, если собственных значений
бесконечное множества, то они образуют последовательность, сходя-
сходящуюся к нулю. Следовательно, мы можем занумеровать натуральными
числами все собственные значения в порядке убывания абсолютной
величины. Условимся, что при этом мы будем каждое собственное зна-
значение снабжать столькими последовательными номерами, какова размер-
размерность соответствующего собственного подпространства. В таком случае
последовательности всех ненулевых собственных значений оператора

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОВЫ 215
мы можем сопоставить последовательность собственных векторов
0 О О
1> 2> • • • J сл» * * • I
причем Аеп = \пеп (п=\, 2, ...). Можно считать, что векторы
ext e2, ... взаимно ортогональны и нормированы. В самом деле, если
X =^=).да, то ортогональность еп и ет выполняется по лемме 5; если же
\п = \т, то в пределах конечномерного собственного подпространства,
отвечающего собственному значению \п = 1т, мы всегда можем про-
провести ортогонализацию. Нормировка всех полученных векторов завер-
завершает построение.
Покажем теперь, что каждый вектор z, г ортогональный всем
построенным векторам ех, ег, .. ., еп, ..., переводится операто-
оператором А в нуль. Для этого используем следующую лемму:
Лемма 7. Пусть И' — подпространство в гильбертовом про-
пространстве Н, инвариантное относительно симметричного опера-
оператора Л. Тогда ортогональное дополнение И" подпространства И'
также инвариантно относительно оператора А.
Доказательство. Пусть х—любой вектор подпространства //',
у — любой вектор подпространства Н". По условию (Ах, у) = 0.
Но в таком случае в силу симметрии оператора и (х, Ду) = 0. Это
означает, что вектор, Ау ортогонален любому вектору х? И' и, следо-
следовательно, Ay ? //' для любого у ? И"', что и требовалось.
Теперь рассмотрим совокупность Р всех векторов z, ортогональных
всем построенным векторам ev е21 . .., еп, ... Эта совокупность Р
является замкнутым подпространством, как ортогональное дополнение
линейной оболочки L(eiy ez, ..., еп, ...)=/,*). Поскольку линейная
оболочка Z,, очевидно, инвариантна относительно оператора Л, ее ор-
ортогональное дополнение Р, по лемме 7, также инвариантно относи-
относительно оператора А. Обозначим через М(Р) точную верхнюю границу
значений \Ах\ на единичной сфере подпространства Р. В силу леммы 4
в подпространстве Р имеется собственный вектор е0 с собственным
значением \0 = М(Р). Но по самому построению подпространства Р
оно не может содержать ни одного собственного вектора с ненулевым
собственным значением. Отсюда \0 = М(Р) = 0; но это означает,
что Az = 0 для любого вектора z?P, что мы и утверждаем.
Обозначим через V замыкание линейной оболочки векторов
ех% е2, ...; ортогональное дополнение этого замыкания есть также
подпространство Р. Каждый вектор х ? Н может быть представлен
в виде суммы
Вектор х можно, далее, разложить в ряд Фурье по системе ev е2, ...
х) Линейной оболочкой системы векторов xv xv ..., xnJ ... называется
подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций этих векторов.

ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
..., епУ ..., полной в пространстве V\ вектор х"} по доказанному,
оператором А переводится в нуль. Мы получили следующую
основную теорему:
Теорема 2. Б полном гильбертовом пространстве Я,
в котором задан симметричный вполне непрерывный оператор Л,
каждый вектор х может быть представлен в виде ортогональ-
ортогональной * суммы
со
где ег, е2У ...—собственные векторы оператора А с ненулевыми
собственными значениями и Ах" = 0.
Из этой теоремы вытекает и теорема Гильберта. Действительно,
в сепарабельном пространстве Н подпространство Р также сепарабель-
но, и в нем можно выбрать полную ортогональную систему
е% еу ..., е'п, ...; вместе с уже построенными векторами ег, е2, ...
..., епу ...,получается полная ортогональная система во всем про-
пространстве И. Каждый из векторов этой системы является собственным
вектором оператора Л: векторы еп — с собственными значениями
\п=^=0 (л=1, 2, ...), а векторы е —с собственным значением 0.
Тем самым теорема Гильберта полностью доказана.
Замечание. Векторы из области значений оператора Л, т. е.
векторы вида
называются истокообразно пред ставимыми. Мы ниже (§ 5) поясним
смысл этого названия.
Всякий, истокообразно представимый вектор ср допускает раз-
разложение по собственным векторам оператора А с ненулевыми
собственными значениями.
Действительно, в силу теоремы Гильберта
со
где Аеп — \пеп (\п Ф§) и Ах" = 0. Применяя к этому равенству
оператор А> получаем:
00
/=1
что и утверждалось.

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 217
§ 4. Интегральные операторы с квадратично
интегрируемыми ядрами
1. Мы применим изложенную в § 3 теорию к интегральному опе-
оператору Фредгольма
ь
, s)y(s)ds
с квадратично интегрируемым ядром К(х, s):
ь ь
K2(xy $)dxds = К2<оо. A)
а а
Оператор Фредгольма, как мы видели в п. 1 § 3, является ограни-
ограниченным оператором в гильбертовом пространстве H = L2(a, b) и имеет
норму, не превосходящую числа К-
Если ядро К(х, s) симметрично, т. е. почти всюду в области
имеем
' С1 1 . t( / о ^ \
• } & 1 ——¦ ?\ I О у Д< I «
то ц оператор Фредгольма симметричен, т. е. (Лср, ф) = (^,
лрц любых у и rh из L2(a, b).
Действительно, по теореме Фубини
ь ь
а а
Ь Ъ
= \ \ К (х, 51) ср (s) ф (х) ds dx =
;, s)ty(x)dx | ds =
а а
Ь
а
Ь
(S) { J K{St X) ф (X) dx}dS = (<р, Дф).
Существование двойного интеграла
ь ь
, s)®($)fb(x)dsdx,
а а
являющееся одним из условий применимости теоремы Фубини, следует

218 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
из существования интегралов
ь ь
\ \ К2 (xt s)dxds
а а
И
Ь Ь b b
\ \ ф2 (х) ф2 (s) dx ds =\ tp2 (x) dx \ iJ (s) ds.
а а а а
Покажем теперь, что оператор Фредгольма с квадратично интег-
рируемым ядром вполне непрерывен. Напомним, что линейный опера-
оператор А по определению является вполне непрерывным, если из каждой
последовательности Afn1 где \/п\ ограничены, можно выбрать сходя-
сходящуюся последовательность. Иначе говоря, оператор А вполне непреры-
непрерывен, если он переводит любое ограниченное множество пространства Н
в компактное множество (гл. II, § 7). Пусть, например, А — ог-
ограниченный оператор, переводящий пространство И в конеч-
конечномерное подпространство Q; мы утверждаем, что такой оператор А
является вполне непрерывным. Действительно, векторы А/п образуют
ограниченное множество в конечномерном пространстве Q; а такое
множество, согласно результатам гл. II, § 7, компактно, так что усло-
условие полной непрерывности оператора А выполнено.
Если функция K{xt s) имеет вид
2
где yk(x), §k($) (&=1, 2, ...,/и) — функции с интегрируемым квад-
квадратом (такое ядро К(х, s) называется вырожденным), то оператор
К(х, s) ограничен и
ь ь
т
*2 у* {х) ^ is) ф ($) ds = 2 П Ф* ^ v W ds}
т. е. оператор А переводит все пространство L2(a, b) в конечномер-
конечномерное подпространство, порожденное функциями tpt (х)у . .., tpm (x).
Поэтому оператор Фредгольма с вырожденным ядром является
вполне непрерывным.
Для перехода к общему случаю используем следующую лемму:
Лемма. Пусть дана последовательность Л,, Л2, ..., Ап, ...
линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, сходящаяся
к оператору А в том смысле, что || А — Ап\\—^0 при п—юо.
Если операторы Лл(я=1, 2, ...) являются вполне непрерывными,
то и предельный оператор А вполне непрерывен.
Доказательство. Пусть вектор / пробегает ограниченное
множество Д например шар радиуса г с центром в О; мы должны

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 219
показать, что вектор А/ при этом пробегает компактное множество.
Достаточно установить, что при любом s^>0 множество {Af} обладает
компактной s-сетью. Найдем в последовательности Ап—> А оператор Ап
так, чтобы иметь ||ЛЯ— Л||<^—. Множество элементов {AJ")
по условию компактно, и для любого / мы имеем ] A^f—
^ |М„ — Л [| | /| s^ ¦— г == е. Следовательно, множество {Anf) есть ком-
компактная s-сеть для {Af}, что и требовалось доказать.
Пусть теперь К(х, s) — произвольная функция, квадратично интег-
интегрируемая в области G = {a^x^ ?, a^.y ^ b). Мы утверждаем,
что эта функция может быть разложена [по метрике Z,2 (G)] в ряд вида
00
К(Х, S)= 2 amnem(X)en{s). B)
т. п =
В качестве функций еп (х) мы возьмем любую полную ортогональ-
ортогональную систему в пространстве L2 (a, b). В этом случае произведения
em(x)en(s) (т, п = \, 2, ...) образуют полную ортогональную си-
стему в пространстве L2 (G). Ортогональность этой системы очевидна;
проверим ее полноту. Если бы в пространстве Z,2 (G) существовала
функция /(л;, s), ортогональная всем произведениям em(x)en(s), так что
$*, s)em(x)en{s)dxds = O (m, л = 1, 2, ...).
G
то при любом фиксированном п мы по теореме Фубини имели бы
ь ь
ет (Х) { S /(^' $) еп ($) ds }dx=0.
т
а
Вследствие полноты системы ет(х) отсюда следовало бы, что при
любом п = \, 2, ... и почти при всех х
ь
)/{xt s)en(s)ds
Вследствие полноты системы еп (s) отсюда вытекало бы, что почти-
при всех х и s
. s)=0
и, следовательно, f{x, s) есть нулевой элемент пространства LZ(G).
Итак, функции ет {х) еп ($) действительно образуют полную ортого-
ортогональную систему в пространстве Lz (G). Но тогда каждый элемент
пространства Lz (G) в силу основной теоремы § 2 допускает разложе-
разложение A), что и утверждалось.

220 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Вырожденные ядра, построенные по частным суммам К (х, s)
ряда B)
z^ \ n=
определяют последовательность вполне непрерывных операторов
ь
Крд (х> s) <Р (s) ds-
Используя оценку нормы оператора Фредгольма (см. стр. 207), полу-
получаем неравенство
ь ь
, s) — Kpq(xy s)fdxds,
а а
из которого следует, что операторы Л при р—>oo,q—*оо сходятся
по норме к оператору А.
Применяя лемму 1, заключаем, что вместе с операторами А опера-
оператор А также вполне непрерывен, что и утверждалось.
2. Итак, оператор. Фредгольма с симметричным квадратично интег-
интегрируемым ядром К(х, s) симметричен и вполне непрерывен. Поэтому
можно применить теорему Гильберта из § 3; в силу этой теоремы
в пространстве L% (a, b) имеется полная ортонормалъная система,
состоящая из собственных функций оператора Фредгольма. Пока-
Покажем, что квадраты собственных значений оператора Фредгольма
образуют сходящийся ряд.
Рассмотрим равенство, определяющее нормированные собственные
функции оператора Фредгольма:
:, s)en(s)ds=lnen(x); A)
оно показывает, что величина \пеп(х) является коэффициентом Фурье
функции К(ху s) (при постоянном значении х). Отсюда, применяя
неравенство Бесселя D) из § 2, п. 4, находим:
ь N
\ AT2 (y с\ /Ус Г>* ^i V р ( y\ (O\
71= 0
при каждом значении N. Интегрируя это неравенство по х, получаем:
ь ь ¦ N
а а
= о

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 221
при любом натуральном N. Отсюда следует, что ряд из ).* сходится,
что и требовалось.
3. Рассмотрим оператор Фредгольма с ядром, удовлетворяющим
условию Гильберта — Шмидта:
ь
При выполнении этого условия всякая функция <р (х) ? L2 (a, b) пере-
переводится оператором А в ограниченную функцию, так как
ь
а
Ъ
2 (х, s) ds $ f (s) ds^C^f (s) ds. B)
a a
В частности, каждая собственная функция оператора А с ненуле-
ненулевым собственным значением ограничена.
Функцию g(x) вида
ь
с произвольной функцией ср (л:) ?L2 (a, b) мы будем называть (в соот-
соответствии с общим определением, данным в конце § 3) истокообразно
представимой через ядро К(х, s).
В конце § 3 было показано, что всякий, истокообразно представи-
мый вектор ф = Лср в случае симметричного оператора А допускает
разложение по собственным векторам оператора Л, именно
со
Ф = S h («P, «/) еГ C)
Покажем, что при выполнении условия A) ряд C) для любой истоко-
истокообразно представимой функции сходится не только по норме, но и
абсолютно и равномерно. Действительно, в силу неравенства Коши
(см. стр. 184) для любых т и п
n-j-m n-j-m
2 К/, ^WMLr^ 2 (/• ej)' 2
Так как в правой части неравенства D) сумма \%егп (х) -\- ... во вся-
всяком случае ограничена [в силу неравенства B) п. 2], а сумма (/, епJ -)-•--
делается сколь угодно малой при достаточно большом п [в силу нера-
неравенства Бесселя (см. стр. 194)], то сумма и в левой части равенства D)

222 ГЕОМЕТРИЙ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
обладает этим последним свойством; следовательно, рассматриваемый
ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно, что и требовалось.
Доказанное здесь свойство называют иногда теоремой Гильберта —
Шмидта.
Замечание. Если ядро К (х, s) в области a^x^b, a^s^b
непрерывно, то соответствующий оператор Фредгольма переводит вся-
всякую функцию у(х) ?L2(a, b) в непрерывную функцию. Действительно,
если положить
ь
ф(*)=
то для любых х' и х"
Ь
', s)-K{xT, s)\\y {s)\ds)
а
Ъ
— K(x\
откуда непосредственно вытекает непрерывность функции
Естественно, что в этом случае и все собственные функции с нену-
ненулевыми собственными значениями также непрерывны.
4. Вычисление собственных функций и собствен-
собственных значений. Для практических применений полученные нами
результаты требуют знания системы собственных функций соответст-
соответствующего оператора Фредгольма.
Если ядро К(х, s) оператора Фредгольма А вырождено, так что
т
K(X, S) = ^
то, как мы уже видели, оператор А отображает все пространство L%
на конечномерное подпространство, порожденное функциями Pj (x)
(у=1, 2, ...,/и). Таким образом, собственные функции с ненулевыми
собственными значениями следует искать только в этом подпростран-
подпространстве; они должны иметь вид
т
е(х)= 2 cfpj(x). A)
Для определения коэффициентов Су подставляем функцию A) в урав-
уравнение, которым определяются собственные функции
ь
\К(х, s) e (s) ds = \e (x).

§ 4] интегральные операторы 223
Тогда получаем:
т л т
\е (х) = 2 fypj (х) = \ К{х, s) 2 Cjqf (s) ds =
mm ? mm
? mm
Pi(x)C'\qi(s)q/(s)ds= 2 2 CjqijPi(x),
' = »/=> a
где
ь
Следовательно,
m
2 ,•// (/=1> 2, ...,»). B)
Эта система уравнений позволяет обычным способом найти X и кон-
константы Cj.
Особенно простой вид эта система получает тогда, когда
Pi(x) = Vi(x) и {Ро ?/) = 0 ПРИ l?=J-
В этом случае величины q^ равны нулю при i=^=j и система B)
имеет очевидное решение: ?,= 1 для некоторого у, ^. = 0 при i=^=j-y
\ = Cjj. Собственная функция, отвечающая этому решению, в силу
формулы A) совпадает с функцией P/(x) — qAx). Таким образом,
в данном случае собственными функциями являются сами функции
Р/(х) U= 1» 2, . .., /w), а собственными значениями— числа с-^ т. е.
квадраты норм этих функций.
Если ядро К(х, s) оператора Фредгольма А не вырождено, то часто
используют следующий приближенный метод вычисления собственных
функций и собственных значений. Заменяют данное ядро К (л:, s) близ-
близким ему вырожденным Кп(х, s) (например, частной суммой ряда Фурье)
и находят описанным выше способом собственные функции и собствен-
собственные значения соответствующего оператора Лп. Оказывается, что при
некоторых предположениях гладкости ядра К{х> s) полученные собствен-
собственные функции и собственные значения оператора Лп стремятся соот-
соответственно к собственным функциям и собственным значениям опера-
оператора Л. Не имея .возможности останавливаться на этих вопросах, мы
отсылаем читателя к специальной литературе г).
Задачи. К Каковы собственные функции интегрального оператора Фред-
Фредгольма с ядром К(х, s) = cos(x-\-s) в промежутках а) [0, я], б) 0, -у ?
Отв. a) cosx, sinx; б) cosx-(-sinx, cos x — sin x.
") См. Р. Курант и Д. Г и л ь,б е р т, Методы математической физики,.
т. 1, Гостехиздат, 1951, гл. 3, § 9; Л. В. К а н то ро в-и ч и В. И. Крылов,
Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949, гл. 2, § 4.

224 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
2. Показать, что квадратично суммируемая симметричная функция К(х, $)
разлагается в билинейный ряд, сходящийся по метрике LZ(G):
К(х, s) = 4%h<?k(x)<?k(s)> A)
где фй (х) — нормированные собственные функции и 1% — соответствующие
собственные значения интегрального оператора К с ядром K(xt s).
Указание. Произведения ?k(x)9m(s) образуют полную ортогональную
систему в L2(G).
3. Если квадратично суммируемая функция К(х, $) разложена в ряд,
сходящийся по метрике LG
и функции iikis) взаимно ортогональны (в L2(a, b)) и нормированы, то щ
есть собственная функция интегрального оператора с ядром /С(х, s), a p.fe —со-
—соответствующее собственное значение.
п п
4. Аналогом конечномерной квадратичной формы 2 2 afl^fik является
интегральная квадратичная форма
ь ь
(/Сер, ф)= \ \ К(х, $) ф (х) ф (s) dx ds. B)
а а
Квадратичная форма B) называется положительно определенной, если для
любой ненулевой функции ф ? L2(a, b) мы имеем (/Сф, ф) > 0. Показать, что
все собственные значения оператора Фредгольма К, отвечающего данной
положительно определенной квадратичной форме, положительны.
5. Если ядро К(х, s) положительно определенной квадратичной формы A)
симметрично и непрерывно, то К (s, 5)^=0.
Указание. Допустив, что K{sOi s0) < 0, построить функцию ф0 (х), для
которой имело бы место неравенство (/Сф0, ф0) < 0.
6. Для непрерывного симметричного ядра К{х7 s), отвечающего положи-
положительно определенной форме (/Сф, ф), ряд A) сходится абсолютно и равномерно
(теорема Мерсера). "
Указание. Применив результат задачи 5 к ядру К (х, $)= 2j
00
получить сходимость ряда ^ 3Lft(pJ(j); пользуясь неравенством Коши, вывести
оо
отсюда сходимость ряда J^ lkyk (x) ф^^)> -равномерную по каждой координате
при фиксированной другой. Отсюда и из результата задачи 3 вывести, что сумма
' со
этого ряда есть К(х, s). Применяя к равенству К{s, $)= 2 ^k?k(s) те0РемУ
Диии (гл. II, § 7, задача 4) и снова используя неравенство Коши, получить
равномерную сходимость ряда A) в области G.
7. Показать, что оператор А заданный в ортонормальном базисе
матрицей || а& || по формулам
00
вполне непрерывен, если 2j2j$fk<^ °°*
=4
vv

§ 5] ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ 225
Указание. Представить оператор А в форме предела операторов,
отображающих все пространство на конечномерные подпространства.
8. Если А — интегральный оператор в L2 (a, b) с произвольным квадра-
квадратично интегрируемым ядром и |?д(х)} — ортонормальная система в L2{at b)9
то 21 Aek 12=22<Ле*' *»>"< °°-
У к а з а н и еГИспользовать метод п. 2.
9. Если оператор А в Z,2(a» ^) задан в ортонормальном базисе {ега(л;)}
матрицей || a,jk || с 22а/л<" °°' т0 сУЩествУет квадратично интегрируемое
ядро К{х, s) такое, что Ау= \ К{х> s)y{s)ds.
Указание. Положить К(х, s) = \\'S\(Aey9 efZ)eJ-(x)ek(s).
Примечание. Результаты задач 8 и 9 показывают, что среди всех
вполне непрерывных операторов, действующих в пространстве Lz(a, ?),
интегральные операторы Фредгольма выделяются тем условием, что у них
сумма квадратов всех матричных элементов в любом ортонормальном оазисе
пространства L2(at b) конечна.
§ 5. Задача Штурма — Лиувилля
1. Общаи теорема об интегральном операторе с симметричным яд-
ядром имеет многие приложения в математической физике. Одним
из важнейших приложений является решение задачи Штурма —
Лиувилля.
Рассмотрим на отрезке а^х^Ь дифференциальный оператор
u] = (p(x)u'(x)Y—q(x)u(x) A)
{p(x)€Dt(a, ft), q(x)€C(a, b)),
определенный для дважды дифференцируемых функций и(х), подчи-
подчиненных некоторым однородным граничным условиям, например и(а) =
Оператор S существенно отличается от операторов, которые мы
рассматривали ранее; он не являете» ограниченным оператором, он
определен не на всем пространстве L2(at b). Тем не менее на своей
области определения он симметричен, т. е. для любых двух дважды
дифференцируемых функций ау vy удовлетворяющих предписанным гра-
граничным условиям, выполняется равенство
(Su, v) = (u1 Sv). B)
Действительно,
ь ъ ъ
(Sa, *>) —J [(PU'Y — Яп\ vdx=pu'v —$ (pu'v' -\-quv)dx,
C)
(ц, Sv) = ^ и [(pv'Y — qv\ dx = upv — j (pu'v' -j- quv) dx.
a a a
15 Г. Е. Шилов

226 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
В силу граничного условия
p{uv— uv) — О,
а
и равенство B) оказывается справедливым.
Функция е(х) называется собственной функцией оператора S, если
она входит в область определения оператора S (т. е. дважды диф-
дифференцируема и подчинена предписанным граничным условиям) и удов-
удовлетворяет уравнению
Se = \е.
В силу симметрии оператора S, так же как и в § 3, его собствен-
собственные функции, отвечающие различным значениям X, ортогональны
в пространстве L2 (a, b). Требуется доказать, что собственные функции
оператора S образуют в L2 (a, b) полную систему. Эта задача, вклю:
чающая в себя, во-первых, вопрос о существовании бесконечного мно-
множества собственных функций, во-вторых, вопрос о полноте их системы,
и называется задачей Штурма—Лиувилля.
2. Вот важный пример, в котором возникает необходимость реше-
решения задачи Штурма—Лиувилля.
Рассмотрим колебания неоднородной струны, закрепленной в точках
х = а и х=Ь. Такие колебания, как мы знаем из гл. III, описываются
уравнением
где р (х) — модуль упругости, jjl (х) — плотность материала струны;
искомое решение и (xt t) должно удовлетворять граничным условиям
и (a, t) = u(b, t) = Q B)
и начальным условиям
и(х, 0) = <р(х), ut(x, 0) = ф(*). C)
Будем искать решения уравнение A) с условием B) в форме
и(х, t) = X(x)T(t). D)
Подставляя D) в A) и разделяя переменные, находим:
(pX'Y Т"
Т
E)
где штрих обозначает дифференцирование по соответствующему пере-
переменному. Правая часть равенства E) не зависит от х, левая — от t, и,
значит, отношение E) постоянно. Обозначая его значение через /.,
получаем два уравнения:
F)

§ 5] ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ 227
Если jx(#)=l, то функция Х{х) должна быть собственной функ-
функцией уравнения Штурма—Лиувилля F).
Если jjl (jc) ^ 1, то можно сделать подстановку
после которой уравнение F) приведется к виду
(p1z)f — gz = lzy G)
где
Pi—
Л уу _*.
1 \'Г
4ft
>
и функция z(x) снова оказывается собственной функцией уравнения
Штурма—Лиувилля G). Будем считать в дальнейшем для простоты
р.(х)=\.
Предположим, что соответствующая проблема Штурма—Лиувилля
имеет положительное решение: существует полная ортогональная си-
система функций ег(х), ..., en(x)t ..., удовлетворяющих уравнениям
(р (х) е'п (х))' = \еп (х)
я граничным условиям еп(а) = еп(b) = Q, Если р(х)^>0, то числа \п
заведомо отрицательны, поскольку
ь ь ь ь
К I еп (х) dx=l (Реп)' епdx =Ре'пеп \а—[р [еп (X)Y dx < 0.
а а а
Уравнение
имеет, очевидно, решение вида
Тп = Лп C0S VJ + В
п
где у2 = — \п, а Ап я. Вп—произвольные постоянные. Уравнение A)
имеет совокупность решений вида
«„ (*> *) = еп М (Лп C0S V + Вп Si0 V)«
представляющих чисто колебательные процессы с частотами vt, v2, ...
Числа Vj, v2, ... называются собственными частотами струны, опре-
определяемой условиями A)—C). Решение и(х, t), удовлетворяющее также
и начальным условиям C), можно теперь получить, комбинируя най-
найденные решения ип(х, t):
00
U(Xy t)= ^ M*i *)-
15*

228 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Для определения коэффициентов Лп и Вп получаются условия
Со
и(х, 0) = <р(*)= 2
Со
ut(x, 0) = ф(*) =
В силу предположенной полноты системы е (х) функции у(х) и ф(лг)
можно разложить по системе еп(х) и найти коэффициенты Лп я В .
Как видим, они определяются коэффициентами разложения функций
<р(лг) и сЬ (л:) по системе еп(х). Таким образом, принципиально задача
о колебаниях неоднородной струны оказывается разрешенной1).
3. Приступая к решению общей задача Штурма—Лиувилля, пред-
предположим сначала, что уравнение
Su = {ри'У — qu = 0
не имеет решения в области определения оператора S (т. е. среди
дважды дифференцируемых функций с фиксированными граничными
условиями). Оператор S в этом предположении мы будем называть
неособенным.
Мы покажем, что неособенный оператор S имеет обратный опе-
оператор Л, который является интегральным оператором Фредголь-
ма с симметричным и непрерывным ядром.
Слова «А— обратный оператор к оператору 5» означают здесь сле-
следующее:
1) Для любой функции и(х) из области определения оператора
S имеем
A (Su) = и.
2) Для любой непрерывной функции ф (х) функция Лф (х) при-
принадлежит к области определения оператора S и
Существование оператора А с указанными свойствами решает про-
проблему. Действительно, оператор А, как симметричный оператор Фред-
гол ьма, обладает системой ортогональных собственных функций
е1 (дс), . . ., еп (х), ... с ненулевыми собственными значениями \, - .-Дл, ...
Все функции е (х) непрерывны в силу заключительных результатов
§ 4. Применяя к равенству
*) Мы оставляем в стороне вопросы о сходимости полученных рядов и о
том, в каком смысле функция u(xt t) есть решение уравнения A).

§ 5] ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ 229
оператор S, получаем:
Sen = г SAen = Г е»>
так что функция еп (х) является собственной функцией оператора 5
с собственным значением г- . Покажем, что функции еп (х)(п=\, 2, . . .)
образуют полную систему в пространстве Lz (a, b) (и что, следовательно,
оператор А не имеет собственных функций с нулевым собственным зна-
значением). Для любой функции и из области определения оператора
S выполняется уравнение
A {Su) = и,
которое показывает, что функция и принадлежит области значений
оператора А Но тогда и может быть разложена в ряд по собственным
функциям оператора А с ненулевыми собственными значениями, т. е.
по функциям el(x)i e2(x)t ..., еп(х), ...
Функции и(х), очевидно, образуют плотное множество в простран-
пространстве L2 (a, b). Отсюда следует, что функции еп(х) образуют полную
систему в пространстве L2 (a, b)t что и требуется.
4. Таким образом, решение задачи Штурма—Лиувилля сводится
к построению обратного оператора А к оператору S в форме интеграль-
интегрального оператора Фредгольма с симметричным ядром.
Пусть и (х) — произвольная функция из области определения опе-
оператора Sy т.е. функция, удовлетворяющая граничным условиям и имею-
имеющая две непрерывные производные, и пусть Su = ty. Мы должны вос-
восстановить функцию и по функции ф. Заметим, что может существовать
лишь единственная функция и, лежащая в области определения опера-
оператора S и удовлетворяющая уравнению Su = <b. Действительно, разность
v двух возможных решений такого уравнения удовлетворяла бы одно-
однородному уравнению Sv = 0 и лежала бы также в области определения
оператора 5, откуда по предположению следовало бы, что и=0.
Итак, мы должны решить уравнение
s« = <!>, A)
причем ф (л;) — заданная непрерывная функция. Применим обычный
способ вариации постоянных. Пусть иг{х) и иг(х) — два линейно не-
независимых решения уравнения
'' — qu = 0, B)
причем пусть для определенности их(х) обращается в нуль при х = Ь,
а и2{х) обращается в нуль при х — а. Будем искать решение
уравнения B) в виде
и (х) = С, (х) и, (х) + С2 (х) иг (х), C)

230 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
где Сх {х) и Сг{х) — некоторые дифференцируемые (один раз) функции,
подлежащие определению. Дифференцируя соотношение C), находим:
Как обычно, на функции Сл (х) и Сг (х) накладываем условие
откуда
te;- E)
Дифференцируя вторично и подставляя в A), получаем:
Из двух уравнений D)—F) можно найти величины С и С\ Опреде
литель этой системы
в действительности не зависит от х. В самом деле, по известной фор-
формуле Лиувилля вронскиан уравнения Su = 0 выражается по формуле
/>(<> — in
W(x)=W(a)e a =W(a)e
p(x)
следовательно,
P (и[иг — u' ui) = PW W (x) = W(a)p (a) = co = const,
что и требуется.
Решая систему D)—F), получаем:
Первообразные Сх (х) и С2 {х) мы возьмем в следующей форме:
х Ь
С1 (Х) = Г \ U2 (-) Ф (?) rf^ C2 W = IT \ "l '
u0 %J u0 t/
л:
при таком выборе первообразных искомое решение
х
и = ClBl + СЛ = ^ J в, (S) ф (S) dS ^3
удовлетворяет обоим граничным условиям и{а) = иф) = 0.
Итак, мы получили следующий результат: если для некоторой
функции и (х), входящей в область определения оператора 5, мы

§ 5] ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ 231
имеем Sz/==i, то
х
а
или, иначе говоря,
где
Очевидно, что функция К(х9 ?) непрерывна при а
х^Ь и симметрична. Обозначим:
</5. (9)
Итак, для любой функции и(х) из области определения опера-
оператора 5 мы имеем A{Sti)=zti. Таким образом, первое из двух условий,
описывавших свойство «Л есть обратный оператор для S», выполнено.
Проверим второе условие. Пусть ф (л:) — произвольная непрерывная
функция на отрезке [а, Ь]; покажем, что и = АЬ принадлежит области
определения оператора 5 и выполняется уравнение
= ф. A0)
Подставляя в (9) выражение функции К{ху s) из (8), мы полу-
ча-ем
х Ь
Ц( \Л __5_i 1 V /; ^Р\ г!) ^С\ Иг 2 V »/ (?\ flj Ct\ /7- М \
Очевидно, что эта функция непрерывна и обращается в нуль при
л: = а и х=Ь; кроме того, она имеет непрерывную производную
г ' \ *
о
х
в, (*) ф (х) = -!—\ иг (?) ф (С) dS + _J_ Bi (?) ф (С) ds. A2)
х

232 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Из A2) видно, что и(х) имеет и вторую производную
И \Х) 1 И \Х\ It \Х) I
и" (*) = _!— Bl(S) ф (S) rfS + -^ и2 (*) ф (х) +-у- в, E) ф E) ^^ -
о */ о о *J
а х
.. х b
[4(
а х
. A3)
Умножая A3) на р(х), A2) на р (х)у A1) на —q(x) и складывая,
находим
X
U. —
— qu=* ' '
-|«2(а)фB)
^¦Um
x
ИЛИ
что и требуется.
Тем самым проблема Штурма — Лиувилля в неособенном случае
полностью решена.
Построенная нами функция К(х, s) называется функцией Грина
рассматриваемой краевой задачи.
3 а м е ч а ни е. Функции Грина /С(х, s) можно придать определенный
физический смысл. Истолкуем уравнение
как условие равновесия неоднородной струны под действием постоянной силы
с плотностью ф (х). Искомая форма равновесия, как мы показали, записывается
в форме интеграла
ь
и(х)=[К(х,
Пусть теперь ф (х) отлична от нуля только в интервале длины 2/z с цент-
центром в точке Ео и принимает в этом интервале постоянное значение 7-тл Такая
функция Ф (х) есть плотность силы 1, равномерно распределенной в проме-
промежутке [50 —Л, Ео + ^]- Форма равновесия струны в этом случае задается
функцией
2. ' ^(Х'

§ 5] ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ 233
В пределе при h—* 0 это выражение переходит в К{х, Ео). Можно сказать
поэтому, что функция К (х, ?0) изображает форму равновесия струны, к кото-
которой, приложена сила 1, сосредоточенная в одной точке Ео.
И обратно, если при любом 5 известна форма равновесия К(х, S) струны
под действием единичной силы, сосредоточенной в точке 5, то естественно счи-
считать, что форма равновесия струны под действием непрерывно распределенной
силы с плотностью ф (х) задается интегралом
Эти соображения можно было бы положить также в основу решения задачи
Штурма — Лиувилля1).
Подобная же связь часто имеет место и в других физических моделях.
Пусть, например К{ху ?) означает температуру, установившуюся в теплопрово-
дящем стержне, занимающем отрезок [а, Ь]Л под влиянием источника тепла мощ-
мощности 1, расположенного в точке ?; тогда температура, которая установится
в этом стержне под влиянием непрерывно распределенных источников с плот-
плотностью ф (?), выразится интегралом
ь
Е)<#. (9)
Именно по этой причине функции вида (9) и названы «истокообразно пред-
ставимыми».
5. Рассмотрим особый случай задачи, когда имеется функция
и(х)^=0, удовлетворяющая граничным условиям и уравнению 5и = 0.
Это означает, что оператор 5 обладает собственным значением Х = 0.
Поскольку 5 может обладать лишь счетным множеством собственных
значений (вспомним, что собственные функции симметричного опера-
оператора S, принадлежащие различным собственным значениям, ортого-
ортогональны), имеется число Хо, не являющееся собственным значением опе-
оператора S. Тогда все наши рассуждения применимы к оператору
?,,=5-—\Е, который имеет ту же структуру, что и S, но не имеет
нулевого собственного значения. Оператор St обладает обратным опе-
оператором Ал—интегральным оператором с симметричным ядром — и
вследствие этого имеет полную систему собственных функций
e1(x)y ... , еп (х), ... с собственными значениями Х„ ... , Хп, ...;
отсюда следует, что оператор S имеет полную систему собственных
функций—именно тех же е1(х), ... , еп(х)у ... с собственными
значениями X1-J-Xo, ..., ^„-}-Х0, .... Таким образом, проблема
Штурма — Лиувилля имеет решение и в особенном случае.
Задача. Построить функции Грина К(х, s) для дифференциального опе-
оператора
1) Ср. Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики.
т. I, гл. 5, § 14.

234 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
при граничных условиях: 1) и@) ^=и(те) = 0; 2) и @) = и' (те) = 0. Написать раз-
разложения этих функций в билинейные ряды (§ 4, задача 2).
Отв. К, (х, 5) = { #«_-$ п?и х Я
,
ч
CO
¦^
sin
4
/гх sin ns
n2
)xsin( n
>
§ 6. Неоднородные интегральные уравнения
с симметричными ядрами
1. В этом параграфе мы будем рассматривать уравнение
ь
, s)ff{s)dsf A)
где f(x) и К{ху $) даны, а <р (х) — искомая функция. Ядро К(ху $)
предполагается симметричным и квадратично интегрируемым.
В абстрактном пространстве аналогичное уравнение имеет вид
<р=/+Ар, B)
где Л — симметричный вполне непрерывный оператор.
Допустим сначала, что решение ш уравнения B) существует.
Проектируя левую и правую части равенства B) на ось, опреде-
определяемую собственным вектором ek (так, что Aek=n\ke^), получаем:
* eh) = [f, ^) + ((p, Aek) =
= 1/, ek) + {<f, Vft) = (/. **) + ^(?. ^)- C)
откуда при Xft^zl находим:
Таким образом, если среди собственных значений оператора нет
числа 1, все коэффициенты Фурье решения <р определены однозначно.
Само решение в этом случае может быть лишь единственным, именно
равным
1 - l

§ б] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ 235
Проверим, что ряд E) действительно дает решение уравнения B).
Заметим сначала, что этот ряд сходится по норме, так как квадраты
его коэффициентов, очевидно, образуют сходящийся числовой ряд1).
Обозначим сумму ряда E) через <р. Тогда
так что вектор у действительно удовлетворяет уравнению B).
Рассмотрим теперь случай, когда среди собственных значений опе-
оператора Л имеется число 1. Если Хй=1 и (/, ек) =^= 0, то равенство C)
ведет к противоречию и уравнение B) не имеет решения. Если же
при Xft=l мы имеем также (/, eft) = 0, то равенство C) не ведет
к противоречию, но и не накладывает никаких условий на неизвест-
неизвестный коэффициент (<р, ek).
Мы утверждаем, что ряд E) и в этом случае дает решение урав-
уравнения B), причем под величинами ~—^- при Х*.= 1 можно понимать
любые числа. Действительно, положим <р = <р -f~<?">
По условию вектор / ортогонален векторам ek при Xft=l и по-
поэтому разлагается в ряд по векторам ek первой группы. Применяя
к подпространству, порожденному векторами ek первой группы, дока-
доказанную выше теорему, получаем:
Далее, используя условия Xft=l, находим:
Отсюда
что и требовалось.
Мы получили следующий результат:
Теорема. Если среди чисел \k нет чисел, равных 1, то урав-
уравнение
/+ F)
имеет решение, и притом единственное, для любого /. Если среди
чисел \k имеются равные 1, то решение уравнения F) существует
*) Величины | t __ 1 | в совокупности ограничены, так как ХА—>()(§ 3),

236 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
только для векторов /, ортогональных соответствующему соб-
собственному подпространству оператора А; при этом решение опре-
определено с точностью до произвольного слагаемого из этого под-
подпространства.
Задачи. 1. Решить уравнения:
а) <?, (х) — 3 \ xscpi is) ds -\-Ъх — 2.
б)
в)
г)
Отв.
а) ч
в) ц
9
>3(*)=18-
0
1
0
1
0
It
'= S
0
х-2,
**+12;
cos (х ~\~ s)
с + 9,
~~j— ox ~~~ iLt
^{s)ds + \.
б)ъМ =
9х —4.
Сх — 2 (С произвольно),
1 2 sin х
Указание. Использовать метод § 4, п. 4.
2. Интегральное уравнение, в которое неизвестная функция ср(х) входит
только под знаком интеграла
называют иногда уравнением первого рода (в отличие от уравнений второго
рода, рассмотренных выше, где неизвестная функция фигурирует и отдельно).
Показать, что уравнение первого рода (в случае квадратично интегрируемого
симметричного ядра) разрешимо в пространстве L2 (a, b) тогда и только тогда,
со 2
когда сходится ряд V* — , где сп — коэффициенты разложения f(x) по соб-
собственным функциям ядра К{х, s)y а Хп — соответствующие собственные значения.
2. Уравнение вида A) возникает, например, при решении задачи о вынуж-
вынужденных колебаниях неоднородной струны, закрепленной на концах, под дей-
действием периодической силы g{x, t)=zg(x)cosu>t.
Эти колебания описываются уравнением
(Р ix) llx)x = V- (x)utt + ё {х) cos mtj A)
где р{х), \l (x) —физические характеристики струны, g(x) — внешняя сила
в расчете на единицу длины струны.

§ 6] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ 237
Будем искать частное решение уравнения A) в форме произведения
v (%, t) = <р (х) cos tatt B)
где о (х) — некоторая дважды дифференцируемая функция, равная нулю при
х = а и х = Ь. Подставляя B) в A), получаем для функции <р(х) уравнение
Применяя к обеим частям уравнения оператор Л, обратный оператору S =
получаем:
ср -f м
Вспоминая, что Л есть оператор Фредгольма с симметричным ядром К(х, s)
приходим к уравнению
ь
? (x)=f(x) - со2 J ЛГ(х, j) ц И ср (j) rfj, D)
где /(х) = Ag(x)= \ K(x, s) g{s) ds есть известная функция.
, а
тЬ оператор Фредгольма в полученном уравнении D) имеет несимметричное
ядро. В этом случае заменой неизвестной функции <р (х) Уц (х) — ф (х) уравне-
уравнение приводится к уравнению с симметричным ядром to2/^(x, s) У\х (х) ц (s). Бу-
Будем считать для простоты ц(.г)=1.
Условием разрешимости уравнения D) при любой /(х) является отсутствие
у ядра — <л2К(х, s) собственного значения 1, или, что то же, отсутствие у ядра
Штурма — Лиувилля 5, обратного оператору Л, собственного значения X = —- to2.
Заметим, что условием Х„ = ~у^ определялись частоты собственных колебаний
струны (§ 5, п. 2). Таким образом, условием разрешимости уравнения D) при
любой функции /(х) является несовпадение частоты ш ни с одной собственной
частотой струны у„. Как говорят, внешняя сила не должна находиться в резо-
резонансе с собственными частотами струны.
Если же частота внешней силы to совпадает с одной и* собственных частот
струны, то условием разрешимости задачи является ортогональность /(х)
соответствующей собственной функции е„ (х), т. е. выполнение равенства
/, ek) — (Agy ek) = 0. Так как оператор Л симметричен, то это условие немед-
немедленно приводится к ортогональности функции g"(x) и собственной функции ek(x);
(Agt ek) — {g, Aek) = (g, lkek) = lk (gt ek) = 0.
Полученное решение интегрального уравнения D) позволяет построить
по формуле B) одно из частных решений уравнения C). Любое решение
уравнения C) получается добавлением к найденному решению некоторого
решения однородного уравнения
Пользуясь этими соображениями, можно решать для уравнения A) и зада-
задачу с начальными условиями.

238 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
§ 7. Неоднородные интегральные уравнения
с произвольными ядрами
1. Рассмотрим интегральное уравнение
ь
— J K(x, sL(s)ds=f(x)t A,)
а
где ядро К(х, s) квадратично интегрируемо, но, вообще говоря, не сим-
симметрично. Функция f(x) предполагается принадлежащей пространству
Ьг (а, Ь), и в этом же пространстве разыскивается неизвестная
функция <р (х).
При / (х) = 0 получается однородное уравнение, в котором мы
обозначим неизвестную функцию через <р0 (х):
а
Оказывается естественным наряду с уравнениями AJ, A2) рассмат-
рассматривать «союзные» уравнения с ядром K{s, x)y отличающимся от
исходного ядра К(х, s) транспозицией аргументов:
g(x), A.)
а
Ь
Следующая основная теорема устанавливает связь между решениями
уравнений AЖ), A2), A,), A4).
Заметим сначала, что логически возможны только два случая:
а) уравнение A2) имеет единственное решение cpo(x) = O;
б) уравнение A2) имеет решение ш0 (х) ф 0.
Теорема 1 (Э. Фредгольм, 1903). В случае а) уравнение Aг)
имеет решение при всякой f{x)?Lv и притом единственное; урав-
уравнение A4) имеет единственное решение io(x)^O; уравнение A3)
имеет единственное решение при всякой g(x) ?L2.
В случае б) число линейно независимых решений уравнения A2)
конечно; обозначим его через v. Столько же линейно независимых
решений имеет и уравнение A4). Уравнение (\х) имеет решение
тогда и только тогда, когда функция /(х) ортогональна всем v
решениям уравнения A4); это решение определяется не однозначно,
а с точностью до слагаемого, являющегося решением уравнения
A2); среди всех решений уравнения (\х) имеется одно и только одно,
которое ортогонально всем решениям уравнения A2). Аналогичные
утверждения справедливы, для решений уравнения A3).

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЯДРАМИ 239
2. Рассмотрим вначале аналог теоремы 1 для случая линейной
системы алгебраических уравнений
т
._ */A = */ (/=1, 2, .... да). B,)
Напишем соответствующую однородную систему
т
2 e,/s;=о B2)
и союзные системы
т
т
2 «„45=0, B4>
матрица которых получается транспонированием матрицы систем B,)
и B2). Выясним, как обстоит здесь дело с утверждениями, аналогич-
аналогичными утверждениям теоремы Фредгольма.
а) Предположим, что система B2) имеет только нулевое решение.
Как известно из алгебры, это означает, что ранг матрицы Л = ||а,у||
равен числу да, т. е. det-4=^0. Поэтому система BJ имеет решение
при любых правых частях Ь{. Система B4) имеет определитель
det \\a-{ || = det || а^ ]| и, следовательно, также - отличный от нуля;
поэтому система BS) обладает решением при любых правых частях с{,
и притом единственным; в частности, при с,- = 0 имеется лишь един-
единственное решение rJ- = G. Таким образом, все утверждения, аналогич-
аналогичные утверждениям теоремы Фредгольма, в случае а) проверены.
б) Предположим, что система B2) имеет, ненулевое решение $}. Это
означает, что ранг г матрицы Л меньше числа т. Число v линейно
независимых решений системы B2) равно да — г. Поскольку при транс-
транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то число линейно незави-
независимых решений системы B4) также равно да — г = v. Система BХ) уже
не при всяких правых частях bt имеет решение. Чтобы выяснить,
какие условия нужно наложить на Ь(, чтобы система Bг) имела реше-
решение, интерпретируем систему BJ геометрически, считая совокупность
чисел (Sj, . . . , Sm) вектором да-мерного евклидова пространства Rm,
Существование решения системы BХ) равносильно утверждению, что
вектор b = (bt1 62, ... , Ьт) входит в линейную оболочку L век-
векторов a1^{alV a2l, ... , aml), az = (a12, я22, ... , amz)t ...
. . ., ат = (alm, azmy ..., атт)- Если Z является ортогональным дополне-
дополнением этой оболочки, то сказанное выше можно выразить и так:
система BJ имеет решение тогда и только тогда, когда вектор b
ортогонален подпространству Z. Условие того, что некоторый вектор 7j°

240
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. V
входит в подпространство Z, записывается в форме системы уравне-
уравнений B4). Отсюда следует, что система B,) имеет решение тогда и
только тогда, когда вектор b ортогонален любому решению системы B4).
Далее, в рассматриваемом случае система B^ имеет целую совокуп-
совокупность решений, геометрический образ которой есть гиперплоскость,
параллельная подпространству решений системы B2). Перпендикуляр,
опущенный из начала координат на эту гиперплоскость, однозначно
выделяет среди всех этих решений такое, которое ортогонально всем
решениям системы B2). Тем самым мы проверили все утверждения,
аналогичные утверждениям теоремы Фредгольма, и для случая б).
3. Переходя к интегральным уравнениям, рассмотрим вначале урав-
уравнения с вырожденным ядром:
т
l
т
, х) =
k=i
Функции рк(х), равно как и qk(s), мы можем считать линейно неза-
независимыми. Уравнения A,) — A4) приобретают вид
Ъ
), C,)
т
<Р
т Ь
<Ро (*) — Z Рк М
k=zl a
т
Ф W —
<Р
Яи (s) <р„ (*) ds = 0,
Pk is) ф (s) ds = g (x),
C2)
(За)
Эти уравнения могут быть записаны в абстрактной форме:
C4)
где векторы <р, /, рк, qk, ... принадлежат некоторому евклидову про-
пространству Е*
Операторы, входящие в эти уравнения, принадлежат к типу вырож-
вырожденных операторов', так называются операторы, задаваемые форму-

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЯДРАМИ 241
лами вида
г*
Очевидно, что вырожденный оператор В отображает все пространство
в конечномерное подпространство, порожденное векторами pv р2,..., рт.
Из уравнения Dt) ясно, что если его решение существует, то оно
имеет вид
где ?ft — некоторые неизвестные коэффициенты. Аналогично решения
остальных систем имеют вид
E.)
Подставляя в Dг) выражение E^, получаем, что числа ?ft должны
удовлетворять системе
или (так как векторы pk линейно независимы)
т
Обозначая (/?,., qk) = aik{i=?k), 1 — (pf, дх) = аП1 (/, qk) = bk, мы при-
приводим эту систему к виду
/я
dij%-^bi (/=1, 2, ..., m). F,)
/=i
Аналогично уравнения D2) — D4) приводятся соответственно к систе-
системам вида
т
e/y5j=of (б.)
в//Чу = О, FJ
где Cj-s^, p(). Если имеется решение у какой-либо из систем
FJ — F4), то по соответствующей формуле из серии EJ — E4) можно
16 Г. ?. Шилов

242. ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
будет построить и решение соответствующего уравнения из серии
DХ) — D4) или, что то же, соответствующего уравнения из серии
C,)-C4).
Но для систем FJ — Fв), как мы видели, справедливы все утверж-
утверждения, аналогичные утверждениям теоремы Фредгольма. Поэтому
они будут справедливы и для уравнений (Зх) — C4)- Следует только
проверить, что скалярное произведение, например, вектора / и рефе-
ния ф0 уравнения D4) в смысле метрики абстрактного евклидова про-
пространства Е совпадает со скалярным произведением вектора Ъ с коор-
координатами bk = (/, Qk) и вектора 7jo = GjJ, г^ т°т) конечномер-
конечномерного евклидова пространства Rm. Эта проверка проводится простой
выкладкой:
(/. ф.) = /. S Т№ь1 = 2 г<* (/• ян) = S ъкук=(ь, чв).
Таким образом, выполнение теоремы Фредгольма в случае вырож-
вырожденного ядра К(х7 s) нами установлено.
4. Переходим к общему случаю. Пусть К (х, s) — произвольная
функция с интегрируемым квадратом в области a^.xt s^b. Как
было указано в § 4, интегральный оператор
К{х, s) y(s)ds
может быть представлен как предел (по норме) интегральных операторов
ь
а
с вырожденными ядрами Кп(х, s). Очевидно, что одновременно с этим
сопряженный интегральный оператор
ь
=^K(s, х)<b(s)ds
представляется как предел интегральных операторов
ъ
К$ = S К« (*' х) Ф (*) ds>
ядра которых также вырождены.
Сопряженный интегральный оператор Л* связан с оператором Л
равенством
*) = (Р. Aq). G)

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЯДРАМИ 243
для любых векторов р, q. Для доказательства заметим, что
Ъ , b ,
(А*р, ?)=${$ (K(s, x)p(s) ds \ q (x) dx,
а У а )
b , b ч
(p, Aq) = \p (x) I $ K(x9 s) q (s) ds > dx.
а У а '
Первый из этих интегралов переходит во второй при перемене ролями
переменных х и s и перестановке порядка интегрирования, что законно
в общем случае в силу теоремы Фубини.
Уравнения AХ) — A4) запишем в абстрактной форме, считая век-
векторы ср,/,... элементами некоторого евклидова пространства Е:
<f — A'? =/, (8,)
=0, (82)
=g, (8.)
= °- (84)
Решения уравнений типа (82) суть собственные векторы соответ-
соответствующих операторов с собственным значением 1. Для краткости мы
будем их называть просто собственными векторами. Операторы, от-
бечающие вырожденным ядрам К (х, $) и Kn(s, x), обозначим соот-
ветственно через Ап и Ап. Рассмотрим однородное уравнение
Лемма 1. Если уравнение (92) имеет при каждом п решение
<р°п=^г0, то и уравнение (82) имеет ненулевое решение.
Доказательство. Решение ср? уравнения (92) мы всегда можем
считать нормированным, |] ср^ || = 1. Так как оператор А вполне непре-
непрерывен, то последовательность Лср° содержит сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность; отбрасывая лишние номера и изменяя нумерацию, можно
считать, что сходится сама последовательность Ау°. Тогда Лпср° также
сходится, так как
Вместе с Л„ср° сходится последовательность со°=Л ф°; положим
ср = lim tp°. Вектор tp0 вместе с ср° имеет норму 1 и
л-»- со
= lim А®1= lim Л„ш°== lim ^° =
о»
п->-ве я -»¦ со /2-»>со
16s

244 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
таким образом, уравнение (82) действительно обладает ненулевым ре-
решением f0.
Лемма 2. Если уравнение (92) имеет при каждом п некоторое
число k линейно независимых решений у\п, f°n, . .. , у*ы, то и урав-
уравнение (8,) имеет k линейно независимых решений tpj, y\, ..., f?.
Доказательство. Решения tpjn, fan» ...» fL уравнения (92)
мы можем считать ортогональными и нормированными. Образуем
последовательности
0 0 О
flU fl2» V -I fin» ...»
0 0 О
f 21) f 22» « ' • 1 f 2П» •'• • »
0 0 0
fftn fftai • - -» fftn, • - •
Каждая из них, как было доказано в лемме 1, содержит сходящуюся
подпоследовательность. Отбрасывая лишние номера и изменяя нумерацию,
можно считать, что все эти последовательности сходятся и их пределы
f?» f2» -..j fft СУТЬ ненулевые решения уравнения (82). Кроме того,
поскольку функции ср?„, f^n, ..., fftn при каждом л были ортого-
ортогональны, то их пределы cpj, fj..., fj также ортогональны, а следова-
следовательно, и линейно независимы, что и требовалось доказать.
Совокупность всех решений уравнения (82) есть подпространство,
'шторое мы обозначим через Фо. В силу леммы 6 § 3 подпространство
Ф конечномерно. Обозначим его размерность через V.
Лемма 3. Если вполне непрерывный оператор А может быть
представлен как предел последовательности вырожденных операто-
операторов Ап, то он может быть представлен и как предел последова-
последовательности вырожденных операторов Ап, у каждого из которых
пространство собственных векторов совпадает с подпростран-
подпространством Фо.
Доказательство. Пусть fj, ..., ср2 — ортогональная норми-
нормированная система в подпространстве Ф . Обозначим
h?=$ — An<f! (/=1,2, ...,v).
Определим .оператор Ап формулой
I =
Очевидно, что Ап ¦— вырожденный оператор вместе с оператором Ап*
Ясно, что \\Ап—Ап\\—> 0, поскольку /г"—>0;ш отсюда следует, что
\\Ап — /41|—^0. Покажем, что векторы еру являются собственными век-

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЯДРАМИ 245
торами оператора Ап, Действительно,
И О I 0
пЪ+Ъ
что и требуется.
Операторы Лп могут, вообще говоря, иметь и более чем v линейно
независимых собственных векторов, но мы утверждаем, что для бес-
бесконечного числа номеров этого быть не может. Действительно, в про-
противном случае, рассматривая лишь те значения л, для которых опера-
операторы Ап имеют по крайней мере v —{— 1 линейно независимых собствен-
собственных векторов, и применяя лемму 2, мы получили бы, что и оператор А
имеет по крайней мере v-j-1 линейно независимых собственных век-
векторов, что противоречит предположению.
Итак, мы получаем, что лишь конечное число операторов Ап может
иметь больше чем v линейно независимых собственных векторов. Отбра-
Отбрасывая лишние номера и изменяя соответственно нумерацию, мы полу-
получаем последовательность операторов АпУ удовлетворяющую условиям
леммы 3.
Теперь мы можем доказать, что подпространство гР0 решений
уравнения (84) имеет ту же размерность, что и подпространство Фо.
Рассмотрим последовательность вырожденных операторов А , ука-
указанную в лемме 3, и последовательность сопряженных операторов Ап*
Так как для вырожденных операторов альтернатива Фредгольма верна,
то каждый из операторов А„ имеет пространство собственных векторов
размерности ровно v. Поскольку Ап—у А, мы имеем также Ап —*Л*.
В силу леммы 2 существует система v взаимно ортогональных и
нормированных решений уравнения Л*фо=фо. Более чем v таких реше-
решений быть не может, так как, используя v-}- 1 таких решений и проводя
рассуждения в обратном порядке от оператора Л* к оператору Л, мы
получили бы v-J- 1 линейно независимых решений у уравнения Ау0 ='f0,
что по предположению исключено.
Итак, число линейно независимых решений у уравнений Ayo^=yQ
и И*сЬ=ф0 всегда одинаково.
Теперь займемся вопросом о существовании решений у уравнения (8Х).
Допустим, что вектор tp есть решение этого уравнения, и ф0— реше-
решение уравнения (84). Умножая (8J на ф0 и используя G), находим;
Но, используя уравнение (84), мы имеем:
(«P. to) — («P. A*t) = (<?- Фо) — («Р. Ф.) = О,

246 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
так что для любого решения ф0 уравнения (84)
(/, Ф.) = о.
14 аким образом, уравнение (8,) может иметь решение только при усло-
условии, что вектор / ортогонален всем решениям уравнения (84). Покажем,
что при выполнении этого условия решение уравнения (8Х) всегда
существует.
Рассмотрим последовательность вырожденных операторов Ап—>А
с тем же подпространством Фо собственных векторов, что и у опера-
оператора Л, размерности v. Существование такой последовательности
операторов было установлено в лемме 3.
Каждый из операторов Ап обладает тем же количеством v ортого-
ортогональных нормированных собственных векторов ф", поскольку альтерна-
альтернатива еправедлива для вырожденных операторов. В силу леммы 2 можно
считать, что эти векторы стремятся при п—^ оо соответственно к орто-
ортогональным и нормированным собственным векторам ф,- (/—1, 2, .. ., V)
оператора Л*. Рассмотрим уравнение (8г) с правой частью /„ =
===/— 2] (/> Ф")фГ- Вектор /п ортогонален всем векторам ф" (fn есть
перпендикуляр, опущелный из конца вектора / на подпространство
? {ГК» Ф"» •••> Ф"})> поэтому, применяя альтернативу длн вырожден-
вырожденного оператора Ап, мы устанавливаем существование вектора ср„,
удовлетворяющего уравнению
Векторы /п при л—»¦ оо сходятся к вектору /, поскольку ф"—»-ф.,
(/, ф°) = 0 (/^1,2, ..., v). Вектор (рп можно выбрать так, чтобы он
при любом п был ортогонален подпространству собственных векторов
оператора Ап> т. е. подпространству Фо.
Покажем, что получающиеся ^таким образом векторы уп ограничены
по норме. Допустим обратное: пусть нормы векторов уп не ограничены;
тогда, отбрасывая излишние векторы, можно считать, что || срп (| —*- оо.
*
Полагая фп=.т~~. , мы получаем последовательность нормированных
векторов, удовлетворяющих уравнению
Правая часть этого равенства стремится при п—> оо к нулю. По-
Последовательность векторов Ап'уп по тем же соображениям, что и выше,
можно считать сходящейся; вместе с ней будет сходящейся и последо-
последовательность векторов срп. Пусть cpo=zlima-n; так как || <рп || = 1, то и

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЯДРАМИ 247
|| ср01| = 1. Переходя к пределу в уравнении A0), получаем, что век-
вектор ср0 удовлетворяет уравнению
откуда следует, что вектор ср0 входит в подпространство Фо. С другой
стороны, поскольку все векторы ср„ были ортогональны подпростран-
подпространству Фо, предельный вектор ср0 также ортогонален Фо. Полученное
противоречие показывает, что векторы фп в действительности ограни-
ограничены по норме.
Так как tpn ограничены, то последовательность Ауп1 как н раньше,
можно считать сходящейся; вместе с ней будет сходящейся и после-
последовательность Апуп = (Ап— ALn~\~tyni а также и последовательность
(рп=/п -^-Апуп. Обозначим предел последовательности срв через ср;
переходя к пределу в равенстве
получаем:
т. е. вектор tp есть решение уравнения (8J.
Итак, если правая часть f уравнения (Ъх) ортогональна любому
решению уравнения (84), то уравнение (8Х) заведомо разрешимо.
Решение tp при этом определяется с точностью до любого решения tp0
однородного уравнения (82), и, поскольку совокупность всех решений (82)
имеет конечное число измерений, оно может быть выбрано ортого-
ортогональным ко всей этой совокупности; такой выбор выделяет уже един-
единственное решени* уравнения (8Х).
Мы проверили все утверждения теоремы в случае б).
В случае а) уравнение (82) не имеет ненулевых решений, подпрост-
подпространство Фо содержит только нуль-вектор. По доказанному подпрост-
подпространство *Р0 решений уравнения (84) в этом случае также содержит
только нуль-вектор. Уравнение (8Х), как мы установили, имеет ре-
решение для любого /, ортогонального подпространству *P0; в данном
случае этому условию удовлетворяет любой вектор/и, следовательно,
уравнение (8J имеет решение для любого вектора /. Это решение
единственно; действительно, разность любых двух решений уравне-
уравнения (8,) есть решение уравнения (82) и, следовательно, по предположе-
предположению равно нулю.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Заметим, что если ядро#(лг, s) непрерывно и свободный член f{x)
также непрерывен, то, как вытекает из заключительного замечания
к п. 3 § 4, решение интегрального уравнения A) есть непрерывная
функция.

248 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Приведем важное, следствие из теоремы Фредгольма:
Альтернатива Фредгольма. В условиях я. 1 возможно
одно из двух; или полное интегральное уравнение Aг) имеет реше-
решение при любой правой части f(x)?Lt(a, b), или однородное уравне-
уравнение A,) имеет ненулевое решение.
Задачи. 1. Если А — оператор в гильбертовом пространстве Н,. ото-
отображающий пространство Н на конечномерное подпространство L, то Л*
отображает N также на конечномерное подпространство той же размерности,
что и L.
Указание. Ортогональное дополнение к L оператором Л* переводится
в нуль. Поэтому A*H=A*L и имеет размерность не выше размерности L.
Из симметрии построения следует, что размерность уменьшиться не может.
2. Доказать, что для любого вполне непрерывного оператора А в гиль-
гильбертовом пространстве Я можно найти ортогональное разложение H=zHl-\-Hz
так, что Нх конечно- или счетномерио, АН1а Hv ЛЯг = 0.
Указание. Показать, что в замыкании подпространства АН не может
быть несчетного множества ортогональных векторов.
3. Доказать, что всякий вполне непрерывный оператор в гильбертовом
пространстве Я есть предел (по норме) вырожденных операторов.
Указание. В силу задачи 2, можно считать, что n = lz. Если Ах —
= (^i» •••>?„, • -•)€*!> положить Апх = (Ъ1У ...,$„, О, ...). Использовать задачу
3 к § 1, п. 1.
4. Доказать, что сопряженный оператор к вполне непрерывному также
является вполне непрерывным оператором.
Указание. Использовать задачи 1 и 3.
5. Показать, что теорема Фредгольма остается справедливой, если фигу-
фигурирующий в ней интегральный оператор Фредгольма заменить на любой
вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве.
Указание. Использовать задачи 1—4.
§ 8. Приложения к теории потенциала
1. Мы будем предполагать известными следующие факты из теории диф-
дифференциальных уравнений *):
а) Функция и(х, у), удовлетворяющая в области G на плоскости (х3 у)
уравнению
Дй S3 -5-у- А—5-г =: 0 , A)
дхг 1 дуг v *
называется гармонической функцией. Примером служит функция
Дп , 1 :; B)
зависящая от параметров ?, т) и гармоническая всюду, где подкоренное выра-
выражение отлично от нуля (т. е. всюду, кроме точки я = Е, у = г)). Полагая
(х,у) = Р} (?, t\)=Q, будем функцию A) обозначать короче:
l C)
г) См., например, И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными
производными, Гостехиздат, 1953, гл. 3.

§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 249'
Частные производные функции A) также являются гармоническими функциями
при Р ?= Q.
б) Пусть С — некоторый простой замкнутый гладкий контур, разделяющий
плоскость на две области: внутреннюю G,- и внешнюю (?е. Рассмотрим функ-
функцию v, непрерывную и дифференцируемую в области Gt и в области Ge (воз-
(возможно, терпящую разрыв прн переходе через точки контура С). Через v?
обозначаются предельные значения функции v при подходе к контуру С из-
изнутри и через ve — ее предельные значения при подходе к контуру С извне»
Аналогичный смысл имеют нормальные производные -~~- н -~ (считается,.
что нормаль имеет положительное направление во внешнюю сторону).
Если v — гармоническая функция, то из f,- = 0 следует и(Р) = 0 в G; и
dv ¦
из --Ер-^О следует и(Р)~ const в Gf, если, кроме того, v ограничена при
р—> оо, то из i7e = 0 следует v(P)=~0 в Ge и из -~-^0 следует v(P)^=
^= const в Ge.
в) В дальнейшем точка Q всегда будет находиться на контуре С. Обозна-
Обозначим через l=.lq координату точки контура, например дугу, отсчитываемую
от фиксированной начальной точки Qo до точки Q, и через со — угол луча PQ-
с лучом PQ0. Пусть задана непрерывная функция рA). Тогда функция
v (Р)= С р (I) ~ In /D! ¦-. dl D),
J дпо г (Р, Q) х '
с ^
[потенциал двойного слоя с плотностью р (I)] есть функция, гармоническая
в обеих областях (?г- и Ge.
Поскольку
и в то же время
cos (PQ, n)
мы получаем новое выражение потенциала в форме
) (I) d®. D")
Мы видим, в частности, что интеграл D) существует н в точках Р на самом
контуре С. Если p(Q=l, то функция v(P) приобретает простой геометрии
ческий смысл: она дает полное приращение угла, описываемого лучом PQ,
когда Q пробегает в отрицательном направлении контур С и, следовательно,
&1птпЫdl==~2л> еслн
с
если
G)

250 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Таким образом, функция v (P) имеет в данном случае в области Gt значения
на % меньшие, чем на границе, а в области Ge — на % большие, чем на гра-
границе. В общем случае при произвольной непрерывной плотности р {Q) имеют
место формулы
Q) (Q)(Q (8)
(9)
дп дп
Функция
с
{потенциат простого слоя с плотностью р (I)] также гармоническая в обеих об-
областях Gi и Ge, и имеют место формулы
A2)
с
= С р (I) JL\n —^- dl - п9 (Р) (Р?С). A4)
J дпР r{P, Q) ' v ' v ^ ' '
дп
с
Заметим, что потенциалы v (Р) и и (Р), обладая вблизи границы непрерыв-
непрерывной {v (P)) или кусочно-непрерывной (и(Р)) нормальной производной, могут
не обладать сколько-нибудь хорошими (даже, например, квадратично интегри-
интегрируемыми) производными по другим направлениям.
2, Ставятся следующие задачи:
1) Первая краевая задача (задача Дирихле): найти функ-
функцию v (P), гармоническую в области G/ (внутренняя задача) или в Ое (внешняя
задача) и имеющую предписанные заранее предельные значения f (Q) на кон-
контуре С.
2) Вторая краевая задача (задача Неймана): найти функ-
функцию и(Р), гармоническую в области О,- (внутренняя задача) или в Ge (внешняя
задача), нормальная производная которой имеет предписанные заранее предель-
предельные значения g(Q) на контуре С.
Последние утверждения п. б) можно истолковать как теоремы единствен-
единственности для решений этих задач. Именно, внутренняя задача Дирихле может
иметь лишь единственное решение, внутренняя задача Неймана — един-
единственное решение с точностью до аддитивной постоянной', внешняя задача
Дирихле может иметь лишь единственное решение в классе ограниченных
функций, внешняя задача Неймана — в том же классе единственное реше-
решение с точностью до аддитивной постоянной.
Далее приводится решение всех этих задач, предложенное Фредгольмом,
для случая контура С, имеющего непрерывную кривизну.
3. Решение внутренней задачи Дирихле ищется в форме потенциала
двойного слоя
с
;С неизвестной непрерывной функцией р (I). В силу равенства (8) и условия

§ 8] ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 251
задачи (координата точки Р на контуре С обозначена через х)
так что функция р (х) должна быть определена из интегрального уравнения
Фредгольма 2-го рода с ядром
' дп г (Р, Q) dl
Эта функция непрерывна при всех Р и Q на контуре С; из D") следует, что
при Р—> Q она имеет своим пределом величину кривизны контура С в точке
Q с обратным знаком.
В силу альтернативы Фредгольма, установленной в § 7, достаточно пока-
показать, что соответствующее однородное уравнение
имеет только нулевое решение. Допустим обратное: пусть р0 (I) — ненулевое
решение этого однородного уравнения. Тогда для гармонической функции
с
получаем
dv- (P)
откуда в силу замечания в) i/0 (P) === О в области G,-. Но тогда и - '° = 0.
dvM (P)
В силу A0) также —~ = 0. Так как функция vo(P), очевидно, при Р,
стремящемся к бесконечности, стремится к нулю, то в силу замечания б) мы
получаем, что ifo(P)~0 в Ge. Отсюда ve0(P) = 0. Из формул (8) и (9) мы
теперь получаем, что и ро(Р)п=0, что и требовалось.
Применяя результаты § 7, получаем, что интегральное уравнение A5) имеет
решение при всякой функции/(Р). Если /(Р) — непрерывная функция, то в силу
непрерывности ядра К{х, s) и заключительного замечания к п. 3 § 4 реше-
решение о (Р) будет также непрерывной функцией. Следовательно, для этого реше-
решения о (Р) формулы (8)— A0) будут справедливы, а вместе с ними будет за-
законно и сведение задачи Дирихле к потенциалу A5).
Итак, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непре-
непрерывных граничных значениях f(P).
Решение внешней задачи Дирихле ищется в той же форме A5). Здесь мы
получаем уравнение
= J Р @
dl
Но на этот раз соответствующее однородное уравнение
[?{l)K (xt I) dl + г,? (х) = О

252 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
уже имеет ненулевое решение f (x)=s 1 (см. формулу F)). Это решение един-
единственное (с точностью до числового множителя). Действительно, проводя рас-
рассуждения по вышеописанной ех§ме, заменяя при этом всюду индекс /" на е и
dv ¦ (Р)
е на /, мы доходим до утверждения —^— = 0, откуда в силу б) мы полу-
получаем v (Р) = const в G(. Из формул (8) и (9) получаем, что и р (Р) = const. ,
Поэтому в силу альтернативы Фредгольма уравнение A6) имеет решение
не для всех /, а только для тех, которые ортогональны некоторой фиксиро-
фиксированной функции р0 (Р) — единственному с точностью до множителя решению
сопряженного уравнения. ,
Но мы можем добиться возможности решения задачи и при любой граничной
функции /, если, кроме решений, определяемых формулой A5) и стремящихся,
как мы видели, на бесконечности к нулю, будем рассматривать и такие, кото-*
рые получаются из этих решений добавлением постоянной. В самом деле, если
/ — любая функция, заданная на границе, то всегда можно найти постоянную с
так, чтобы разность / — с была ортогональна функции р0. Тогда по доказанному
существует решение v (P) внешней задачи с граничными значениями f — с.
С другой стороны, vQ(P)s±c есть решение внешней задачи с граничными
значениями, равными с. Отсюда следует, что v(P)-\-vQ(P) есть решение
внешней задачи Дирихле с граничными значениями /. Таким образом,
внешняя задача Дирихле разрешима при ^юбой непрерывной граничной
функции /.
4. Решение внутренней задачи Неймана ищется в форме потенциала про-
простого слоя
с неизвестной функцией р (I). В силу равенства A3) и условия задачи
так что для функции р (Р) снова получается интегральное уравнение Фредгольма
с ядром
транспонированным относительно ядра К(х, I), фигурировавшего в задаче
Дирихле. По доказанному однородное сопряженное уравнение
д 1
р {I) — ш /г> ^. at -\- тср (х) = О
дп r{P, Q)
имеет только постоянное решение. В силу альтернативы Фредгольма уравне-
уравнение A8) имеет решение тогда и только тогда, когда функция р (х) ортого-
ортогональна 1, т. е.
|B)<й = 0. A9)

§ 9] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ^РАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ 253
Но известно, что для любой гармонической функции и (Р) в области G,- — имеет
она вид (П) или не имеет — справедливо равенство
J дп
с
если только функция ~~ существует и непрерывна.
Мы видим, что условие A9) оказывается необходимым и достаточным
для разрешимости внутренней задачи Неймана.
Наконец, решение внешней задачи Неймана, которое ищется в тон же
форме A7), приводит к интегральному уравнению
дп
Однородное сопряженное уравнение
по доказанному не имеет ненулевых решений. Поэтому внешняя задача Ней'
мана имеет решение при любой непрерывной граничной функции g(P).
Однако это решение, задаваемое потенциалом A7), в общем случае имеет
логарифмический рост на бесконечности и поэтому не попадает в класс
единственности, указанный в п. б). Можно показать, что потенциал A7) на
бесконечности ограничен (и, более того, стремится к нулю) тогда и только
тогда, когда выполняется условие A9). Таким образом, условие A9) является
необходимым и достаточным для разрешимости внешней задачи Неймана
в классе ограниченных функций.
§ 9. Интегральные уравнения с комплексным параметром
1. Комплексное Гильбертово пространство. В ана-
анализе часто приходится рассматривать функции, принимающие и комп-
комплексные значения; естественно пытаться и из таких функций устраивать
пространство со скалярным произведением. Но только аксиомы а) — г)
п. 1 § 1 для нового скалярного произведения сохранить не удается.
Действительно^ выражение (ix, ix) по аксиоме г) должно быть поло-
положительным, а по аксиомам а) и в) оно должно быть равным — (х, х),
т. е. отрицательным.
Мы сформулируем аксиому а) в комплексном пространстве следую-
следующим образом:
а') (У') x) = (xt у), где черта означает знак комплексного сопря*
жения.
Тогда можно сохранить остальные аксиомы:
) = (x, y)-\-(x, z);
в) (кх, у)=^(х, у) для любого комплексного ).;
г) (xt х)^>0 прн хфО и (xt х) = 0 при x = Q

254 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Из аксиомы а') и аксиомы в) следует новое правило вынесения
комплексного числового множителя за знак скалярного произведения
со второго места:
9 х)=\(у, х)=1(х, у),
т. е. со второго места числовой множитель выносится с комп-
комплексным сопряжением.
Примером комплексного гильбертова пространства является прост-
пространство L2 (а, Ь)у состоящее из комплексных функций b (x) с сум-
суммируемым квадратом модуля; скалярное произведение вводится по фор-
формуле
ь
Другой пример — пространство 1% из комплексных последователь-
последовательностей x = (?lt ?2, ,.„) со сходящимся рядом квадратов модулей:
GO
И=1
Скалярное произведение элементов х = (?1, $2, .. •) ъу= {ц19 7]2, ...)
вводится по формула
GO
Все основные результаты этой главы переносятся на случай комп-
комплексных гильбертовых пространств с более или менее очевидными изме-
изменениями в формулировках и выводах. Так, при выводе неравенства
Коши — Буняковского (§ 1, п. 3) мы по-прежнему исходим из неравенства
справедливого при любом комплексном 1, Раскрывая левую часть, по-
получаем
п(лг, х) — 1{х9 у) — l(y,x)-\-(yt уJ*0.
Положим l = fe~lar2(*»y> (i вещественно), тогда это неравенства
преобразуется к виду
t2 (xt x) — 2t\(x, y)\-\-{yt y)^09
откуда, как и ранее,
Если имеется вещественное гильбертово пространство И, то всегда
можно построить «комплексное расширение» Н пространства И из

§ 9] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ 255
формальных сумм x-\-iy, где х?Н, у ?//. В пространстве И есте-
естественно вводятся линейные операции сложения и умножения на комп-
комплексные числа; введем также и скалярное произведение по формуле
Легко проверить, что это скалярное произведение удовлетворяет усло-
условиям а'), б), в) и г). В частности,
Пространство И содержит пространство//в качестве подпростран-
подпространства (с умножением только на вещественные числа!) и с тем же ска-
скалярным произведением.
Введенные нами комплексные пространства Ife(a, Ь) и/2 являются,
очевидно, комплексными расширениями рассмотренных ранее вещест-
вещественных пространств L2(a, b) и /2.
Всякая полная ортогональная система ev ,.., еп, ... в пространстве
И будет полной ортогональной системой и в пространстве Н\ если.
(x-\-iyy ^„) = 0 при любом я, то при любом п и
(х, о=°. 1у. О = °»
откуда д; = 0, у = 0, х-{- iy = Q.
Существуют, конечно, и новые ортонормальные системы. Так, в про-
пространстве 12( —тт, тт) система функций .__ е1ПХ(п =0, +1, rb^i * ¦ •>
у 2тс
служит примером полной ортонормальной системы. Полнота ее следуег
из того факта, что каждая функция полной системы 1, cos л;, sin л;,...
есть линейная комбинация функций einx.
Разложение вектора / по ортонормальной системе е19 ег, ..., еп1 ....
в комплексном гильбертовом пространстве имеет вид
00
00
Г 0
и»
П=1
где сп = (/, еп)=(еп, /). В частности, коэффициенты Фурье в про*
странстве 12 (—тт, тт) для разложения
00
—00
вычисляются по формуле
Основная теорема § 2, п. 4 переносится на комплексный случай
с тем единственным изменением, что в равенстве Парсеваля G) и не-
неравенстве Бесселя E) вместо величин (ft ek)* стоят.|(/, |2

'256 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
Линейный оператор Л, действующий в комплексном пространстве Н,
называется симметричным, если он по-прежнему удовлетворяет
уравнению
(Ах, у) = (xt Ay)
для любых х и у из //. Вообще говоря, линейные операторы в комп-
комплексном пространстве мргут иметь собственные векторы с комплексными
собственными значениями. Но симметричный оператор А не может
иметь невещественных собственных значений, В самом деле, пусть
Ах = 1х; тогда
(Axf х) = Aх, х)=1(х, х),
(х, Ах) — (х, \х) = \(х, х)
я из равенства (Ах, д;) = (д;, Ах) следует, что 1 = 1; тем самым 1
вещественно.
Как нетрудно проверить, интегральный оператор Фредгольма
ь
Лср = f K(x, s) <р (s) ds
т симметричным вполне непрерывным оператором в комплексном
пространстве L2 (a, b), если ядро К(х, s) удовлетворяет условиям
ъ ъ
K(x, s) гdxds<^oo, K(x, s)=K(s} x).
а а
Всякий линейный оператор Л, действующий в вещественном простран-
пространстве И, можно распространить на его комплексное расширение Н по
формуле
А(х~\- iy) = Ax-\- 1Ау.
Если при этом оператор А был симметричным в пространстве Н, то
оператор А в прЪстранстве Н также будет симметричным:
(Axlt *,) + *(i4ylf xu) — t(Axlf у2) + (Ау„ у,) =
Теоремы относительно существования собственных векторов (§§ 3, 4)
и о решении интегральных уравнений (§ 6) полностью переносятся
на комплексный случай.
Теорема Фредгольма (§ 8) полностью сохраняется для интеграль-
интегрального оператора с квадратично интегрируемым ядром, действующего

§ 9] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ 257
в комплексном пространстве Z,2 (at b):
ь
= С K{x, s)
а
при этом сопряженный оператор А* определяется формулой
ь
= \ K(s, х) cp(s) ds.
2. Мы можем получить новые сведения об общих свойствах опе-
операторов, если вместо одного уравнения
будем рассматривать семейство уравнений с комплексным параметром ji:
Можно записать это семейство уравнений в форме
(?—М)?=/. A)
Оператор Д как и ранее, предполагается вполне непрерывным опе-
оператором, например оператором Фредгольма, но вообще не симметрич-
симметричным. Применяя альтернативу Фредгольма к уравнению A), получаем:
или при фиксированном значении ji уравнение A) нмеет единственное ре-
решение при любой правой части/(такое значение ji мы назовем обыкно-
обыкновенным), иЛи при том же значении р. однородное уравнение
имеет ненулевое решение ср0, которое, очевидно, является собственным
вектором оператора А с собственным значением Х = — (такое значе-
значение \i мы назовем особым). При различных значениях ji могут осу-
осуществляться различные возможности; но оказывается, что правилом
является первая возможность, а вторая — исключением, а именно:
у вполне непрерывного оператора А может существовать не более
конечного множества различных собственных значений, превосхо-
превосходящих по модулю данное положительное число. Для симметричного
вполне непрерывного оператора мы установили такой факт еще в § 3;
покажем, что он справедлив и для любого вполне непрерывного опе-
оператора.
Предположим, что вполне непрерывный оператор А -имеет беско-
бесконечное множество собственных значений Хр Х2, ..,, превосходящих
по модулю положительное число 2; пусть gn'gt...—соответствую-
gn'gt...—соответствующие собственные векторы. Ортонормируя последовательность^,'g ...,
получаем новую последовательность е1% ett ..., еп1 ... Векторы еп%
17 Г. Е. Шилов

258 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. \Г
вообще говоря, уже не являются собственными для оператора Л;
именно, если
то
Равенство
и — I
v k = I
вытекающее из формул B) — C), определяет разложение вектора Аеп
на составляющую, лежащую в подпространстве (#,, ..., gn_1I и на
составляющую, ортогональную этому подпространству. Последняя
имеет длину, равную | \п |. Таким образом, расстояние вектора Аеп до
любого вектора в подпространстве (gY, ..., ^"„.j), в частности до век-
вектора Лет при т<^п9 превосходит |1П|^=8. Но тогда из последова-
последовательности Аег1 Ае2У ... нельзя извлечь фундаментальную подпо-
подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А.
Итак, собственные значения 1п любого вполне непрерывного опера-
оператора образуют самое большее счетную последовательность, сходящуюся
к нулю. Поэтому исключительные значения jin=r-, при которых
"и
уравнение (Е—jju4)cp = 0 имеет ненулевое решение, образуют самое
большее счетную последовательность, сходящуюся к оо.
Рассмотрим обыкновенное значение ji, при котором уравнение
(Е— jii4)cp=/ имеет единственное решение tp при любом /? //.
Обозначим решение tp, как функцию от /, через R^. Оператор R есть,
очевидно, линейный оператор. Покажем, что R — ограниченный
оператор* Допустим обратное: для некоторой ограниченной последо-
последовательности fn векторы wn = R fn по норме неограниченно возрастают.
CD f
Положим -^-г = ?и) JJL-^g^ векторы еп имеют норму 1, векторы gn
стремятся к нулю. Из последовательности Аеп можно выбрать сходя-
сходящуюся подпоследовательность; отбрасывая лишние номера, можно счи-
считать, что сама последовательность Аеп сходится. Но тогда и после-
последовательность en = gn-\-\LAen сходится к некоторому вектору
et j^|=l. Так как gn—> 0, то е=р.Ае и ji есть исключительное
значение, в противоречие с предположением. Итак, R —ограниченный
оператор.
Так как соотношения (Е—ji^)tp=/ и y = R^f равносильны, то
оператор R^ — обратный оператор по отношению к Е — jiA Он на-
называется разрешающим оператором или резольвентой оператора Л.
3. Возникает вопрос, как построить явное выражение резоль-
резольвенты.

§ 9] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ 259
Применим к оператору ?ср = цЛср-|-/ принцип неподвижной точ-
точки (гл. II, § 5). Как мы помним, для наличия неподвижной точки у
оператора Ву действующего в полном пространстве, достаточно,
чтобы он был сжимающим, т. е. чтобы при некоторой постоянной
9 < 1 выполнялось неравенство
|др — аи<б|«р —ф|. 0)
В данном случае
и для выполнения требуемой оценки достаточно иметь ||^
Итак, уравнение A) п. 2 разрешимо, и притом однозначно при
всех достаточно малых jx.
Само решение, как указывается в том же § 5 гл. II, есть предел
последовательности ср0> BfQi ?2ср0, ..., #"?0, ... с произвольным
начальным вектором ср0. Положим tpo = O; тогда получим:
Л +/=
Сходимость этого процесса равносильна сходимости ряда
Итак, при | jljl | <^ тт-ттг уравнение (f) п. 2 имеет единственное реше-
решение в форме ряда B).
Следовательно, и оператор R при |^|<Г"ОТГ может быть задан
рядом
.. C)
Замечание. Решение можно было бы получить путем формального
разложения в ряд по степеням у. выражения (Е — цД):
D)
...
Ряд в правой части D) сходится при всех mini < -ггтп, поскольку ||[Л4"||^
\\Л\\
^ |fj. |" || А ||". При умножении (справа или слева) на Е — цА он превращается
в Е, так что представляемый им оператор действительно является обратным
оператору Е А
Если А есть интегральный оператор Фредгольма
ь ьь
=[К(х9 s)cp(s)ate, (П#*(*1 s)\dxds=K*
а а а 17*

260 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [гЛ. V
то, как мы сейчас покажем, при | ц | <[[ ^ оператор R^ имеет вид
i г#е Г^ — интегральный оператор Фредголыца с ядром, зави-
зависящим от параметра \i.
Для доказательства будем рассуждать так. Пусть даны два
интегральных оператора:
ъ ьь
у=[К(хч s)tf(s)ds,
а а а
ь ьь
?cp = \ L (x, s) cp (s) ds, II | Z,2 (л;, 5) | dxds = /Л
и а а
Построим оператор АВ. Мы имеем:
ь ь
Si с л
К(х, s) м L is, t) cp @ dt\ ds =
U т /
а а
Ь Ь
= [ПК(х, s)L(s% f)ds\y{t)dt.
a a
Возможность перестановки порядка интегрирования вытекает из
теоремы Фубини, примененной к суммируемой функции от s и t
которая есть произведение двух квадратично суммируемых функций
L {s, i) и К(х, s)y(t). Обозначим далее
ь
М(ху t)=i^f((x1 s)L(s, t)ds.
а '
По неравенству Коши — Буняковского
ь ь
| Z,2 (s, t) | ds,
поэтому М(ху t) квадратично суммируема и
ьь
M2=\\\M2(xt
и а
ЬЬ ЬЬ
а а а а

§ 9]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ
261
Итак, оператор ЛВ—интегральный оператор Фредгольма, ядро ко-
которого M(Xj t) удовлетворяет неравенству
Отсюда следует, что вместе с оператором А каждый из операторов
Л2, Л3, ..., Л",... есть интегральный оператор и ядро Кп(х, $) опе-
оператора Лп удовлетворяет неравенству
ъь
ьь
где JC =
y s)\dxds.
а а
аи
дг ряд
При
в пространстве L2(G)> G—{a^x
норме сходящимся числовым рядом
y s)
?Кп(х, 5) + ... E)
}, мажорируется по
и поэтому сходится в среднем к некоторой функции Т(х, s, jjl), ква-
ква^ так как Для
дратично суммируемой при каждом ц,
тегральных операторов справедливо неравенство
ьь
а а
то из сходимости в среднем ряда E) следует сходимость ряда опе-
операторов ]хЛ -j- jjlM2 -j- ...; сумма же этого последнего ряда с добав-
добавкой единичного оператора и есть резольвента R^. Итак, при |j|<^
оператор R есть сумма единичного оператора и интегрального опе-
оператора с ядром Г (jc, 5, ja), что и требовалось.
Условие |Р-|<^?^) разумеется, не необходимо для разрешимости
уравнения A). Ряд E), если он сходится, всегда определяет решение;
а сходиться он может и в более широкой области значений ja. Если,
например, некоторая итерация ядра К(х, s) обращается в нуль, т. е.
Km(x, s) = 0
при некотором /и, то ряд E) сводится к конечной сумме и сходится
при всех ja. Примером такого оператора является оператор с ядром
К(х, s) = p(x)q(s), где р(х) и q(s) — ортогональные функции. Дей-
Действительно, в этом случае уже второе итерированное ядро

262
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. V
нулю:
К2(х. s)=^p(x)q(t)p(f)q(s)dt = O.
Более общим образом ряд E) сходится при всех |х, если итери-
итерированные ядра удовлетворяют оценке вида
I6)
Во всех этих случаях резольвента R существует при всех значе
ниях р. и все значения р. являются обыкновенными. В качестве при
мера рассмотрим оператор Вольтерра
X
Ау(х)= С К(х, s)y(s)ds
а
с ограниченным ядром К{х, s), \K(x, s)\^M. Оператор Вольтерра
можно считать частньЫ случаем интегрального оператора Фредгольма
с ядром К (х, s), обращающимся в нуль в области s^ х; вместо
интеграла по 5 в пределах от а до Ь, который фигурирует в выра-
выражении оператора Фредгольма, мы получаем поэтому интеграл в пре-
пределах от а до х Имеем:
, t)K(t, s)dt\ =
, t)K\U s)dt
, s)dt
s)
О
(д:
(X
< x.
0
(х ^ s),
и т. д., так что при любом п
Мп
Кп(х, s)
-1)!
— s)
п-\
1
= 0
(х ^ s),
{х ^ а).

9]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ
263
Поэтому
ЬЬ
j$да
а а
и оценка F) выполнена.
В общем случае ряд, определяющий резольвенту
имеет конечный круг сходимости и не позволяет непосредственно вычислять
резольвенту за пределами этого круга. Мы приведем (без вывода) формулы
Фредгольма, дающие выражение резольвенты при любом неисключительном
значении ji, в случае ограниченного и непрерывного ядра К(х> s) *). Фиксируем
значения xv ..., хп и slf ..*, sn и введем обозначение
fC I* e \ W iv с \
А. \Лц Л if . . . A V-^i* лп)
Kfxv .... хп\
W ••- Sn J jJ' ' * ' V,' ' * '
Составляются две функции D(\j.) и D{xt st (л) по формулам
ъ ьь
a a
bb
a a
Обе эти функции .оказываются целыми аналитическими функциями от ц; при
этом функция Z>([a) обращается в "О при тех и только тех [л, которые
являются исключительными значениями оператора А (когда не существует
резольвенты /?^). Оказывается, что решение интегрального уравнения
х, s)<?(s)ds=f(x)
1) См., например, И. И. Привалов, Интегральные уравнения, Гос-
техиздат, 1937, гл. И. Т. Карлемаи A921) показал, что эти формулы остаются
в силе и для квадратично интегрируемого ядра. Простое доказательство
(с обобщением иа бесконечный промежуток) имеется у С. Г. Михлина,
ДАН QCCP, 1944, т. 92, № 9, 387-390.

264 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
при любом обыкновенном значении [л имеет вид
ь
D (х,, 5, ji)
¦л/.Л—fte)ds.
Таким образом, резольвента R оператора.Л везде, где она Существует, есть
сумма единичного оператора и интегрального оаератора Фредгольма, ядром
которого является отношение функций Фредгольма Ь(х, s, ц) и D(n). Собствен-
Собственные функции оператора Л также можно выразмть через ?)(ц)' и D(xt sf |л); но
формулы эти неэффективны, и мы не будем их здесь приводить.
Задачи. 1. Показать, что совокупность решений уравнения
(lv X2, .... Xm — различные комплексные числа) совпадаете совокупностью
линейных комбинаций собственных векторов оператора А, отвечающих собствен-
собственным значениям Xv X2, ..., 1ф
Указание. Разложению на простейшие дроби
(А — А1) ... (А — кт) A Aj Л — Кт
отвечает операторное равенство
Е=аг{А — \Е) ... (Л —X
2. Если у оператора Ат имеется собственное значение X, то у оператора А
имеется собственное значение ц, равное одному из т корней /n-й степени
из числа X.
Указание. Использовать задачу 1.
3. Если оператор А симметричен и Ат вполне непрерывен, то и Л вполне
непрерывен.
Указание. У оператора А имеется полная ортогональная система век-
векторов с собственными значениями, стремящимися к нулю. Использовать далее
задачу 5 к п. 5 § 3.
4. Показать, что оператор Л, заданный в ортонормальном базисе
ev e2 ..., еп ... формулами
не вполне непрерывен, в то время как А2 вполне непрерывен.
В задачах 5—8 предполагается, что оператор Ат вполне непрерывен'(сам
А может не быть вполне непрерывным).
5. Доказать, что собственные значения оператора А могут составить
самое большее счетную последовательность, сходящуюся к нулю.
Указание. Использовать задачу 2.
6. Если р—достаточно большое простое число, то собственные векторы,
соответствующие собственному значению 1, у оператора Ар лишь те, которые
являются собственными векторами оператора А для собственного значения 1.
У'к а з а н и е. Использовать задачи 2 и 5.
7. Размерность подпространства собственных векторов оператора Л, от-
отвечающих собственному значению 1, такова же, как и у оператора Л*.
У к а за н и е. ¦ Использовать задачу 6 и полную непрерывность АР
при р > т.

§ 9] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ 265
8. Уравнение <?—Ay=f имеет решение тогда и только тогда, когда
выполняется условие (/, ([>„) = Q, где ф0 — собственный вектор оператора А*
с собственным значением 1.
Указание. Рассмотреть уравнение
с таким р > т, чтобы ни один комплексный корень р-й степени из 1 не был
собственным значением операторов А и А*. Проверить его разрешимость..
Если^о — решение, то (Е—А)%~-/обращается операторомЕ-\-А-]- ...-{-Ар~1
в нуль. Применив далее задачу 1, получить, что (Е~ А) %— f= О (С. Л. Соболев).
Примечание. Задачи 7 и 8 показывают, что альтернатива Фредгольма
сохраняется для операторов А, у которых некоторая степень Ат — вполне,
непрерывный оператор.
9. Пусть [л — неисключительное значение для вполне непрерывного опе-
оператора А (т. е. Е — \lA = В — обратимый оператор) и Q=E — аФв, где а > О-
достаточно мало. Тогда последовательность yn+l = Qyn-]-aB*f с произволь-
произвольным ср0 сходится к вектору ф, являющемуся решением уравнения (Е — цЛ)<р = Д
Указание. Уравнение (/?--\iA)y=f эквивалентно уравнению <р =
= Q<? 4~а^*Л Использовать решение задачи 5 § 3, п. 3 (где положено С = В"*В).
и метод неподвижной точки (И. П. Натансон, 1948).
Примечание. Решение этой задачи указывает итерационный процесс
для'решения уравнения (/?— \iA)<?=f при любом неисключительном значении [л.
10. Показать, что решение 9 уравнения 1-го рода Ay=ft если оно су-
существует, есть предел последовательности
2
где 0 < [л < (В. М. Фридман, 1956).
A)
Указание. Подставив в A) уп = у-\-иП1 получить формулу ил —
= (Е— уАА*)ип_1. Если еу —ортонормальная система собственных векторов
оператора АА* с собственными значениями Ху, то (и„, еу) = A—^/){un_v ej)-=>
= 0—^уЖ» ^)- Выбрав р так, что | (и0, ер) |2 +1 К, ер+1) J+ ... < е,
получить
I и„ |2 = 2 I (««' Ч I2 < 2 О - ^/J" I «о I2 + 11 («о. «/) I2 < 2s
для достаточно больших л.
Заключительное замечание. Теория интегральных уравнений
с переменным верхним пределом была построена в 1887 г. В. Воль-
терра (итал. математик, 1860—1940). В 1900 — 1903 гг. появился
цикл фундаментальных работ Э. Фредгольма (шведский математик,
1866—1927), где были введены целые функции D(|x) и D(x, s, jjl)
и через эти функции были выражены решение уравнения общего вида
(«уравнение Фредгольма») и собственные функции. Д. Гильберт (нем.
математик, 1862 — 1943) в работах 1904—1910 гг. впервые исполь-
использовал в интегральных уравнениях геометрические идеи, рассматривая
задачу о собственных функциях как задачу о приведении бесконечно-
бесконечномерной квадратичной формы к главным осям. «Гильбертово простран-

266 ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. V
ство» — одно из важнейших новых понятий математики XX века.
Гильберт построил каноническое разложение симметричного ограничен-
ограниченного оператора (теорема, доказанная в § 3, есть частный случай по
отношению к построениям Гильберта), которое стало началом совре-
современной спектральной теории линейных операторов, широко применяемой
в математике и физике. Класс вполне непрерывных операторов (в про-
пространстве Банаха) выделил впервые Ф. Рисе в 1919 г. О дальнейших
применениях интегральных уравнений в математической физике см.
в книге: С. Г. Михлин, Интегральные уравнения, Гостехиздат, 1947;
о спектральной теории ,и ее приложениях — в книгах: Н. И. Ахиезер
и И. М. Глазман, Теория линейных операторов, Гостехиздат, 1950
и М. А. Наймарк, Дифференциальные операторы, Гостехиздат, 1952.

ГЛАВА VI
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Хорошо известно, что в классическом анализе непрерывных функций
операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны. Точ-
Точный смысл этого утверждения следующий:
А. Для данной непрерывной функции <р (х) ее неопределенный
интеграл
X
S A)
с любой постоянной С есть дифференцируемая функция и при каж-
каждом х
F (х) = <р (х). B)
Б. Для данной функции F (х), обладающей непрерывной произ-
производной
имеет место равенство
X
J ; C)
где С—некоторая постоянная (именно равная —^(я))-
Мы располагаем теперь значительно более общим понятием инте-
интеграла, которое можно применить к широкому классу разрывных функ-
функций. Условие непрерывности (р (х) уже не стесняет нас при построении
неопределенного интеграла A).
Возникают следующие проблемы:
Проблема I. Сохранится ли равенство B), если в A) функция
tp (x) — произвольная суммируемая функция?
Поскольку суммируемая функция у(х) может быть произвольно
изменена на множестве меры нуль без изменения F(x)y то при решении
проблемы I естественно требовать выполнения равенства B) не всюду,
а лишь почти всюду.

268 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VF
Проблема II. При каких условиях данная функция F(x) обла-
обладает суммируемой производной <р (х) (хотя бы определенной почти
всюду) и имеет место формула C)?
В этой главе мы укажем решение проблем I и II, а также рас-
рассмотрим некоторые смежные вопросы, главным из которых является
построение интеграла Стильтьеса.
§ 1. Производная неубывающей функции
1. Рассмотрим сначала следующий вопрос: является ли наличие
производной элементарным свойством функции /(х) или же оно может
быть выведено из других, более элементарных свойств? В „ качестве
возможных более элементарных свойств естественно рассмотреть,
например, свойство непрерывности. Хорошо известно, что функция
f(x), имеющая в точке х0 производную, непрерывна в этой точке.
Верно ли обратное, иначе говоря, имеет ли непрерывная функция f(x)
производную? Конечно, нет; простейшие примеры типа /(jc)=(jc[
показывают, что функция может быть непрерывной и не всюду иметь
производную. Но остается еще мыслимая возможность, что точки без
производной являются для непрерывной функции исключением, и у вся-
всякой непрерывной функции на самом деле есть достаточно богатое
множество точек, где она обладает производной. Так действительно
думали многие математики в начале прошлого века. Но в конце
концов ответ оказался отрицательным: знаменитый пример Вейер-
штрасса непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной
точке A860-е годы) *), изумивший ученый мир, положил конец по-
попыткам отыскивать точки дифференцируемости у непрерывной функ-
функции. (В одной из задач к этому пункту предлагается более простой
пример ван-дер-Вардена.) Итак, непрерывность функции не влечет ее
дифференцируемости.
Попробуем подойти к вопросу с другой стороны. Функция f{x)r
имеющая при х = х^ производную /' (хо)^>О, не убывает в окрест-
окрестности точки х0, в том смысле, что при достаточно близких к хо
значениях х мы «меем- /(х)>/(х0), если х^> х0, и f(?)<Cf(x0)>
если х<^х0. Может быть, монотонность функции имеет следствием
наличие у нее производной? Если говорить об отдельных точках,
это снова не так: к примеру, функция /(х) = \х\-\-2х всюду воз-
возрастает, а в точке х = 0? не имеет производной. Но оказывается,
что точки, где монотонная функция це имеет производной, являются
для этой функции уже исключением, а не правилом. Именно, как
показал А. Лебег A902), неубывающие функции могут не иметь
производной самое большее на множестве меры нуль.
!) Чешский математик Б. Больцано построил подобный пример еще
в 1830 г. Но его рукопись была обнаружена лишь в 1920 г. и опубликована
в 1930 г. — через столетие после того, как была написана.

§ 1] ПРОИЗВОДНАЯ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 269
Теорема 1 (А* Лебег). Неубывающая функция F (х), опреде'
ленная на отрезке а^х^Ь, имеет почти всюду на этом отрезке
конечную производную.
Мы проведем доказательство вначале для случая непрерывной
функции F(x)>
Пусть G(x)— произвольная функция на отрезке а ^х*^Ь. Назо-
Назовем точку х ? [а, Ь] точкой подъема (рис. 11), если правее х на
отрезке [а, Ь] имеется точка ?, в которой функция- G принимает
большее значение, чем в точке х:
G(*)<G(S) (*<?)• A)
Установим следующую лемму:
Лемма (Ф. Рисе). Для непрерывной функции О(х) множество
всех точек подъема открыто на отрезке [а, Ь] и в концах каждого
составляющего интервала (ak> bk)
этого множества выполняется f*fffl
неравенство
. B)
Доказательство. Посколь-
Поскольку функция G(x) непрерывна, оче-
очевидно, что все достаточно близ-
близкие к точке подъема точки х так-
также являются точками подъема; та- рис jj
ким образом, множество Zecex точек
подъема открыто. Пусть (ak, b%)— некоторый составляющий интервал
этого множества. Покажем, что для любого х ? (ak, bk) имеет место
неравенство G(x)^G(bk); отсюда, переходя к пределу при х—>ak,
получим и требуемое неравенство B).
Предположим, что G(xo)> G(bk); найдем в интервале (akJ bk) са-
самую правую точку хо, в которой G(x'o) = G(xo). Так как G{x'0)=:
=zG(xo)^>G(bk)t то G(xo)>G(x) всюду в интервале (л?, bk). Далее,
точка bk не принадлежит множеству точек подъема, поэтому всюду
правее bk имеем G(x)^G(bk). В итоге мы получаем, что всюду пра-
правее х'о имеет место неравенство G(x'0)^> G(x). Но тогда х не может
быть точкой подъема в противоречие с построением.
Замечание. Точку х с условиями A) мы будем называть далее
более точно точкой подъема вправо. Можно определить аналогично
точку подъема влево как такую точку х% левее которой существует
точка & с большим значением функции:
Точно так же, как и выше, можно доказать, что и множество точек
подъема влево открыто и в концах его составляющих интервалов

270
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. VI
(aky bk) выполняется неравенство
О (а*)
G(bk).
Прежде чем переходить к доказателктву самой теоремы Лебега,
сделаем еще несколько замечаний общего характера.
Производная функции F (х) определяется как предел отношения
F(Z)-F{x)
х
C)
когда ? приближается к х по любому закону. Разумеется, это'т предел
может и не существовать. Но во всяком случае всегда существуют
величины (для которых мы допускаем и бесконечные значения):
АПр — верхний предел отношения C) при ?, приближающемся
к х справа (верхнее правое производное число);
I
пр
нижний предел отношения C) при том же условии (нижнее
правое производное число);
Алев — верхний предел отноше-
отношения C) при ?, приближающемся
к х слева (верхнее левое произ-
производное число);
Хлев — нижний предел отноше-
отношения C) при том же условии (ниж-
(нижнее левое производное число).
Рис. 12 иллюстрирует случай,
когда в данной точке х0 все четыре
указанных производных числа раз-
различны и конечны. Читателю предо-
предоставляется изобразить графически
случай, когда в данной точке все
предписанные значения в промежутках
пр
Хп
Рис. 12.
X
числа принимают
Ann ^s J>i
четыре
— оо ?==: Хпр ^ Апр ^ -\- оо, — оо
Если АПр = ^лев 7^rfc°°> т0 Функция F(x) обладает при данном
значении х производной справа; если Алев = 'кДев^=±(^о1 то функ-
функция F(x) обладает производной слева. Наконец, если все четыре
производных числа конечны и равны друг другу, то в данной точке
у функции F(x) имеется производная.
Имея в виду все указанное, приступаем к доказательству теоремы
Лебега.
Вспомним, что по условию теоремы мы имеем. дело с неубываю-
неубывающей функцией: при х<^? всегда F(x) ^ F(?). Поэтому отношение C)
неотрицательно; вместе с ним неотрицательны в каждой точке и все
четыре производных числа Апр, ХПр, А
Лев
Покажем, что почти всюду выполняется неравенство

§ 1] ПРОИЗВОДНАЯ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 27!
Если в некоторой точке х мы имеем Лпр = 4~сх>» то для любого С
можно найти справа от х точку ?, в которой
$ — х
или, что то же,
F(x) —
Таким образом, всякая точка х, в которой Лпр = -)- cxj, является точкой:
подъема вправо для функции G(x) = F(x) — Сх. Согласно лемме Рисса
множество всех точек подъема вправо для этой функции открыта
и в концевых точках составляющих интервалов выполняется неравенства
или, что то же,
C(bk-ak)^F(bk)-F(ak).
Складывая неравенства D) по всем составляющим интервалам, получаема
Мы видим, что множество Z точек хг в которых Лпр =-\-
может быть покрыто системой интервалов с общей длиной
Так как С может быть взято сколь угодно большим, то мы приходим-
к выводу, что множество Z, имеет меру нуль, что и утверждалось.
Следующим этапом доказательства будет проверка выполнения
почти всюду неравенства
Множество точек, где ЛПр>Хлев, представляется в виде счетной
суммы множеств Zcc, где выполняются неравенства
причем с и С—всевозможные рациональные постоянные (с <^ С).
Поэтому нам достаточно показать, что каждое из множеств Zcc имеет
меру нуль.
Пусть x?Zcc- Тогда, поскольку Ълев<Сс> имеется точка ?, лежа-
лежащая левее х, в которой выполняется неравенство
Заметим, что здесь ?— х<^0; поэтому неравенство E) эквивалентна
неравенству

272 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
Таким образом, точка х является точкой подъема влево для функции
G(x) = F(x)—ex. Применяя лемму Рисса (см. замечание на стр. 269),
получаем для составляющих интервалов открытого множества всех
точек подъема влево неравенства вида
или, что то же,
[bk — ak). F)
Взятая точка х лежит в одном из указанных интервалов (ak, bk).
Поскольку в этой точке Лпр^>С, мы можем в интервале (ak1 bk) ука-
указать точку ? ^> jc, в которой
.Дальнейшее построение будем проводить в пределах интервала (ak, bk).
Неравенство G), как и выше, показывает, что точка х является точкой
подъема вправо для функции F(x) — Сх. Множество всех точек подъема
¦вправо для этой функции в интервале (ак, bk) открыто и разбивается
в сумму составляющих интервалов (akjt bkj) (/=1,2,...), причем
на концах этих интервалов выполняются неравенства
,F(ak))-Cak)^F{bk))-Cbk).
Иначе говоря,
Суммируя по индексу /, получим:
(Ьк/ - ак/) < 1 ? [F (bk/) - F
Используя неравенство F), получаем:
— akf) ^
Суммируя по индексу ky находим:
k j k
Как система интервалов (ак, bk), так и система интервалов (akp bkj)
покрывает множество ZcC, и мы видим, что вторая система покрывает
его более «экономно», чем первая.
Для каждой точки x?Zcc в пределах соответствующего интер-
интервала {ак„ bkj) можно повторить это построение. Мы получим новую
систему «третьего порядка» (аАуЛ, bk.-m) (m=l, 2, ...) и систему

§ 1] ПРОИЗВОДНАЯ НЕУВЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 273
четвертого порядка (akjmn) bkjmn) (rn, л= 1, 2, ...), причем
mn — akjmn) < ?
kjmn
m n m
Суммируя по k н у и используя (8), получим:
— akjmn)
к j m n
Продолжая далее этот процесс, мы получаем возможность покрывать
множество ZcC все более тесными системами интервалов, причем общая
длина интервалов 2р-й покрывающей системы не превосходит
¦^ ) (Ь — а) и может быть сделана при достаточно большом р как
угодно малой. Поэтому мера множества ZcC равна нулю, что и утверж-
утверждалось. Итак, для любой неубывающей непрерывной функции почти
всюду имеют место неравенства Лпр <[-]¦-сх> и Лпр^ХЛев- Заменим
функцию F(x) на F*(x) — — F(—х); функция F* (х)* также неубы-
неубывающая, и для нее также почти всюду справедливо неравенство
Л* ^ X* . Но легко сообразить, что в соответствующих точках
А* ==А , X* =Х ; поэтому почти всюду имеет место неравенство
получаем, таким образ'ом, цепь неравенств
О ^ Апр ^ Хдев < Лдев ^ Хпр ^ Апр
выполняющихся одновременно на множестве полной меры; мы видим,
что на этом множестве
АПр === ^лев ==
т. е. у функции F(x) имеется конечная производная.
Тем самым доказана теорема Лебега для непрерывной неубываю-
неубывающей функции.
Переходим к рассмотрению разрывных неубывающих функций.
Отметим, что у произвольной неубывающей функции F(x) разрывы
могут быть лишь первого рода, так что во всякой точке существуют
пределы значений F (х) справа и слева:
, F(x — 0)= lim
Действительно, наличие нескольких предельных значений с какой-
нибудь стороны несовместимо с монотонностью функции. Интервал
(F(x — 0), ^(jc—H 0)) называется интервалом разрыва, а его длина
F(;e-j--O) — F(x — 0) — скачком функции F(x) в точке х. Так как
функция F(x) не убывает, интервалы (F(x — 0), F (д: ~[- 0)) для раз-
разных точек разрыва не перекрываются (самое большее могут иметь
общий конец); поэтому таких интервалов имеется не более счетного
18 Г. Е. Шилов

274 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
множества. Вместе с тем у неубывающей, функции и самих точек
разрыва не может быть более счетнЬго множества.
Чтобы проверить наличие производной у разрывной неубывающей
функции, мы соответственно обобщим лемму Рисса. Пусть G(x)—-
если и не непрерывная функция, то во всяком случае имеющая раз-
разрывы только первого рода. Назовем точку х точкой подъема вправо,
если правее х имеется точка ?, в которой
max [G (x)t G(x — 0), G (x -f- 0)] < G (?).
Повторяя те же рассуждения, которые мы проводили выше при дока-
доказательстве леммы Рйсса, мы получаем, что множество всех точек
подъема вправо открыта, причем для каждого составляющего интер-
интервала (ak> bk) этого множества имеет место неравенство
А этого уже достаточно, чтобы провести без изменения и доказа-
доказательство <:амой теоремы.
Итак, всякйя неубывающая функция имеет почти везде конеч'
ную производную.
Задачи. Доказать следующие предложения:
1. Если у непрерывной функции F(x) одно из правых производных чисел
неотрицательно в интервале (a, ft), то F(a)^F(b).
Указание. Каждая точка есть точка подъема вправо.
2. Если одно из правых производных чисел в интервале а ^ х ^ b заклю-
заключено в пределах [а, р], то для любых xt и х2 из интервала (а, Ь) имеем:
Указание. Применить результат задачи 1 к функции F(x) — ax.
3, Если одно из производных чисел функции F{x) непрерывно в точке х9,
то существует F' (xQ).
Указание. Использовать задачу 2.
4. (Пример Ван-дер-Вардена). Положим
х при 0 ^ х ^ —,
1 .
— х при -^-^jc^I
и продолжим эту функцию затем на всю ось с периодом 1. Положим далее
Функция <р«(х) имеет период 4~п и производную f всюду, кроме угловых точек
с абсциссами ^ ) , равную + 1 или — 1. Пусть, наконец,
со

§ 1] ПРОИЗВОДНАЯ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 275
Показать, что / (jc) непрерывна, но ни в одной точке не имеет про-
производной.
Указание. Фиксируя т для данного х0, возьмем приращение h= it: тщ.
Тогда приращения всех фп(х), начиная с m-й, будут равными нулю. Функция

9m-i(x) нмеет интервалы без угловых точек длины-щ\ тот из них, который
содержит точку jc0, содержит вместе с ней и один из интервалов
(*в»*о + 4й) или И°> *о —7т) • На этом интервале и все предшествующие
функции cpft (х), ?<*m—1, не имеют угловых точек; приращения их будут
цо модулю равны приращению аргумента. В итоге мы получим
т — 1
J четному числу при т четном,
f Дх ~ \ нечетному числу при т нечетном.
Поэтому не имеет предела при Дх -+• 0.
5. В точке х, 0^jc<1, имеющей двоичное разложение 0, йи #2 ;.. ая...
(разложения, имеющие 1 в периоде, как обычно, исключаются), положим
/(#) —0, а, 0 as 0 ..., заменяя двоичные знаки на четных местах нулями.
Показать, что f(x) непрерывна справа и нигде не имеет правой производной.
Указание. Рассмотреть приращения функции, получающиеся при пе-
перемене в х п-то двоичного знака с 0 на 1 или группы 01 на 10.
2. К обычным правилам дифференцирования суммы и произведения,
имеющим общий характер, мы присоединим здесь теорему о почлен-
почленном дифференцировании ряда монотонных функций:
Теорема 2 («малая теорема Фубини»). Всюду сходящийся ряд
монотонных (неубывающих) функций
со
) A)
П=1
почти всюду допускает почленное дифференцирование:*
00
Доказательство. Без ограничения общности можно считать
все функции Fn{x) неотрицательными и равными нулю при х = а:
в противном случае мы заменили бы Fn(x) на Fn(x) — Fn(a).
Сумма ряда из неубывающих функций есть, конечно, неубывающая
функция. Рассмотрим множество Е полной меры, на котором сущест-
существуют все F'n(x) и F'(х). При х?Е и любом ? мы имеем:
00
Х *~Х 18*

276 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VT
Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом N
N
? — х ^- ? — х
Переходя к пределу при ?—ух, получаем:
откуда, устремляя iV в оо и учитывая, что все F'{х) неотрицательны,
находим:
00
К (х) < Г (х). B)
Покажем, что в действительности почти при всех х здесь имеет места
знак равенства. Найдем для заданногб k частную сумму S (х)
ряда A), для которой
S~ (Л=1, 2, ...)•
Так как разность F(x) — S (х)= 2 Fj(x) — неубывающая функция,
то и для всех х
и, следовательно, ряд из неубывающих функций
GO
S [F(x)-Snh(x)]
сходится (даже равномерно) на всем отрезке а^х^Ь. Но тогда по
доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член
этого ряда F'(х) — S'n (x) почти всюду стремится к нулю,' и, значит,
почти всюду S'n (х)—* F'(х). Но если бы в неравенстве B) стоял
знак <^, то никакая последовательность частных сумм не могла бы
иметь пределом F' (х). Поэтому в неравенстве B) почти при каждом х
должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.
3. Разложение неубывающей функции на функцию
скачков и непрерывную функцию. Пусть А = {х, xz>.. .}—
произвольное конечное или счетное множество точек отрезка [а, Ь]
и B={hv /z2,...} — такое же множество положительных чисел с ко-
конечной суммой ^hn. Между множествами Л и В установим взаимно

§ 1] ПРОИЗВОДНАЯ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 277
однозначное соответствие так, чтобы точке х„ соответствовало число hn
с тем же номером /г. Определим функцию Н{х) как сумму всех таких
чисел пп, для которых соответствующие точки хп лежат не правее хг
н(х)= 2 К
Функция И (х), построенная по указанному правилу, называется функ~
цией скачков. Как неубывающая функция, она имеет самое большее
счетное множество точек разрыва. Покажем, что она непрерывна
справа и все ее разрывы лежат в точках xlt х2У..., хп,..., а соот-
ветствующие скачки И(хп) — Н{хп — 0) равны как раз числам hn-
Действительно, для данного х=х0 имеем:
\ + 0) = lim S А„=
х -> х0 + о хп eS х
Щх]-0)= lim 2 К= 2 К
— 0 Xfi ^^ X
Если точка xQ не совпадает ни с одной из точек хп, то //(л;0-}-0)==
^H(xQ) = H(xQ — 0) и х0 есть точка непрерывности функции Н(х)*
Если точка х0 попадает в одну из точек хп, то разница между
H(xQ-\-0) = H(xQ) и Н(хо — 0), т. е. скачок в точке хп составляет hn.
Таким образом, наше утверждение доказано.
В силу малой теоремы Фубини как сумма сходящегося ряда не-
неубывающих функций
0 при
hn при
производные которых почти всюду равны нулю, функция Н(х) также
имеет производную, почти всюду равную нулю.
Теорема. Любую неубывающую непрерывную справа функцию
F(x) можно представать в виде суммы двух неубывающих:
причем так, что первое слагаемое Н(х) есть функция скачков,
а второе G(x) — непрерывная функция.
Доказательство. Пусть xv xzi ... — все точки разрыва
функции F(х) и h17 hz, ... — соответствующие скачки. Построим:
функцию скачков по формуле
Покажем, что разность G(x) — F(x) — Н(х) не убывает и непрерывна.
Для значений х <^х" мы имеем:
G(x") - G(x') = [F (x") _ F (x')\ - [H(x") - H(x')},

278 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
где разность справа неотрицательна [она представляет собой меру
множества значений F(x) на совокупности точек непрерывности в интер-
интервале х\ У]. Далее, в каждой точке х существуют G{x-\-Q) = G(x)
и G(x— 0) и
f 0)— G{x— 0) =
+ 0) —F(*—0)] —[Я(* + 0) —Я(х—0)];
в силу указанных выше свойств функции Н{х) эта разность при каж-
каждом х равна нулю, так что функция G(x) непрерывна. Теорема дока-
доказана.
Замечание. Условие непрерывности справа, фигурирующее во всех
наших построениях, можно отбросить, если соответственным образом обобщить
понятие функции скачков. Пусть, например, заданы точки хп и неотрицательные
числа hn и Лп; функция, определяемая по формуле
= 2 h'n+ 2
n 2 к,
Хп ¦^ X
имеет в каждой точке хп скачок слева hn (так что Н(хп)~Н(хп — 0) —Л„),
скачок справа hn (так что //(х„ + 0) — N(xn) = hn) и общий скачок h'n-\-hn-
Если F(х) — неубывающая функция, имеющая в точках хп скачок слева hn и
скачок справа hn, то, вычитая из нее соответствующую функцию Н(х), полу-
получим непрерывную и неубывающую разность G(x) = r(x) — Н(х).
§ 2. Функции с ограниченным изменением
1. Отправляясь от неубывающих функций, можно построить и более
широкие классы функций, имеющих почти всюду производную. Оче-
Очевидно, вместе с неубывающими функциями имеют почти всюду произ-*
водную и их разности. Мы укажем далее внутреннее определение
функций, являющихся разностями неубывающих. Введем следующее
определение:
Определение. Функция F(x), определенная на отрезке
a^x^Cb, называется функцией с ограниченным изменением, если
при любом разбиении отрезка d^x^b на части точками деления
сумма
Zl\F(xk+1)-F(xk)\ A)
остается меньше фиксированной постоянной.
Всякая неубывающая функция F(x) имеет ограниченное изменение,
так как для нее сумма A) не зависит от разбиения и равна F(b) — F(a).
Сумма и разность двух функций с ограниченным изменением имеют,
очевидно, также ограниченное изменение. В частности, разность двух

§ 2] ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 279
неубывающих функций имеет ограниченное изменение. Мы увидим сей-
сейчас, что верно и обратное: каждая функция с ограниченным изменением
может быть представлена как разность двух неубывающих функций.
Пусть F(x)— функция с ограниченным изменением; точную верх-
верхнюю грань сумм A) при всевозможных разбиениях отрезка [а, Ь] мы
будем называть полным изменением функции F(x) на отрезке [а, Ь]
и обозначать у а [F]. Покажем, что при а<^с<^Ь имеет место ра-
равенство
Vb[]VC[]+Vlin B)
Если точка с включена в число точек деления отрезка [а, ?], так
что, например,. лгт = с, то
га — 1
m — l n — i
= 2 \F{xk+l)-F(xk)\ + 2 \F(xk+1)-F(xk)\. C)
k=o
Суммы в правой части можно сделать как угодно близкими к
\са [F] ~{- \c [F], достаточно измельчив подразбиение. Поэтому можно
утверждать, что
v* т=sup s i /> <**+1) - f (xk) | ^ v: in+v
С другой стороны, имея произвольное подразбиение отрезка и добавив
к нему еще одну точку с, мы можем только увеличить сумму A).
Поэтому для любого подразбиения, содержащего или не содержащего
точку с, мы имеем в силу C):
iik+k v: \n+v
fc='o *
Отсюда, переходя в левой части к верхней грани, получаем;
Соединяя C) и E), получаем B), что и требовалось. В частности,
V (х) = \ха [F] — неубывающая функция. Разность G (х) = V (х) —
— F (х) — также неубывающая функция, так как при х' <^х", очевидно,
— F{x) и, следовательно,
V[x") — F(xff) ^ V(x) — F(x).

280 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
;Таким образом, функция с ограниченным изменением представлена
в виде разности двух неубывающих функций
F{x)=V(x)—Q(x).
2. Многие свойства, которыми может дополнительно обладать
функция F(x), сохраняются и для ее неубывающих составляющих V(x)
и О(лг). К числу таких свойств относится, например, непрерывность—
двусторонняя или односторонняя. Покажем, что если функция F{x)
при х = х0 непрерывна, например, справа, то V (х) и О(х) так-
также непрерывны справа цри х = х0. Достаточно показать это для
функции V(x). Так как функция F(x) непрерывна справа в точ-
точке хоу то при заданном г^>0 можно найти 8^>0 так, что при лю-
любом х1 ^> д:0, отличающемся от х0 меньше чем на 8, будет иметь
место неравенство
\F{Xl)-F{xt)\<:-L.
Построим разбиение отрезка [х0, Ь] на части х0 <^ х1 <^... <^ хп = Ь
так, чтобы иметь
п —1
2
Точку хх здесь можно всегда подчинить условию х{
Мы получим:
п —
И, следовательно,
V (Xl) - V (х0) =
откуда и вытекает, что V(x) непрерывна справа при х = х0. Анало-
Аналогично доказывается непрерывность функции V(x) слева в предполо-
предположении, что непрерывна слева исходная функция F(x). Как следствие
получаем: если функция F(x) с ограниченным изменением непре-
непрерывна на отрезке [a,.b]f то непрерывна и функция V(x) = Vt[F\,
а также a G(x)=V(x) — F(x).
Обратно, о многих свойствах функции F(x) с ограниченным изме-
изменением можно судить по свойствам ее неубывающих составляющих.
Так, всякая неубывающая функция по теореме Лебега (§ 1) имеет
почти всюду производную. Поэтому и любая функция с ограниченным
изменением, как разность двух неубывающих функций, имеет почти
всюду производную.

§ 2] ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 281
Задачи. 1. Показать, что произведение двух функций Рг (х) и Ft [x) с ог-
ограниченным изменением есть снова функция с ограниченным изменением, причем
V* [/УУ ^ max | F, (x) I V* [F2] + max \F2{x)\Vba [Ft].
X X
2. Пусть F (x) ^ a > 0 есть функция с ограниченным изменением. Показать,,
что и -щ—, есть функция с- ограниченным .изменением, причем
3. Кривая y = F(x) (a^x^b) называется спрямляемой, если длины
ломаных с последовательными вершинами в точках {xv Р{хг)), ..., (хп, F(xn)):
где а = хг < х2 <.. .< хп = Ь, ограничены фиксированной постоянной, не зави-
зависящей от числа л и выбора точек х2, ..., xn_v Показать, что кривая у — F (х)
спрямляема тогда и только тогда, когда функция F(x) имеет ограниченное
изменение.
Указание. Использовать неравенство
4. Доказать, что непрерывная функция ха sin-^ на отрезке [0, 1] име-
имеет ограниченное изменение при а > ji и не, имеет ограниченного изменения
при аг^р.
5. Существует ли непрерывная функция F(x)t не имеющая ограниченного
изменения ни в каком промежутке?
Отв. Например, функция типа функции Вейерштрасса, нигде не имеющая
производной.
6. В пространстве всех функций F(x) с ограниченным изменением на отрезке
[а, Ь] ввести норму
(функции, отличающиеся на константу, считаются эквивалентными). Показать
что при этом получается полное нормированное1 пространство.
7. Положим V {х) = V^ [F], где F {х) — функция с ограниченным измене-
изменением; показать, что почти всюду
V (х) = 1 F' (х) |.
Указание. Для заданного п построить подразбиение а — х0 < хх <...
...<:хп — Ь так, чтобы сумма 2 I FD+\) — Р(ч) \ отличалась от \Ib [F]
меньше чем на ^. Положив Fn {х) ~ z*z F {х) + Скп на интервале (xk, xk+l),
выбрать знаки ± и постоянные Сь„ так, чтобы иметь Fn {x^+l) — Fn {х^) =
= \F{Xk+i) — F{*k) I* Показать, что V(x) — Fn (x) не убывает. Применить к схо-
00
дящемуся ряду 2 [ V(x) — ^ (х)] малую теорему Фубини.
8. Показать, что у функций F{x) и V(x) одни и те же точки разрыва,
а скачки в точках разрыва совпадают с точностью до знака.

'282 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
3. Рассмотрим неопределенный интеграл от суммируемой функ-
функции <р(х):
х
F (x) = J <p E) dS.
Функция ^(х) имеет ограниченное изменение, так как
П — 1
2
П — 1 Л —
2
ft—<з
(Впрочем, можно и непосредственно представить F (х) в виде разности
двух неубывающих, использовав разложение <р (х) на положительную
и отрицательную части.) По доказанному функция F (х) имеет почти
всюду производную F' (х).
Покажем, что эта производная почти всюду совпадает с исходной
функцией <р (х). Достаточно ограничиться суммируемой функцией <р (х)
из класса С+ (гл. IV, § 2). Мы имеем <р(х) =lim hn (x), где hn(x) —
ступенчатая функция и hn(x)^hn + 1(x) (л=1, 2, .,.). Для интег-
интегралов от функций hn(x) наше утверждение непосредственно очевидно:
если
X
H(x)=[h,
то Ип(х) = hn(x) всюду вне точек разрыва hn{x). Так как после-
последовательность hn(x), монотонно возрастая, сходится к ш(х), то при
каждом х последовательность Нп(х) имеет пределом функцию F(x).
Более того, функция F(x) представляется в виде ряда неубывающих
функций
00
F (х) = Нх (х) + S \Нп +, (х) - //„ (*)].
Применяя малую теорему Фубини, получаем: почти всюду
со
F' (ж)=А, (ж) + S [К+, (*) - Ал (х)] = <р (ж),
что и требовалось доказать.
Мы разрешили тем самым проблему 3, поставленную во введении
К этой главе. Сформулируем результат в виде теоремы:

§ 2]
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ
283
Теорема 1 (А. Лебег). Если <р(х)
то ее неопределенный интеграл
суммируемая функция,
X
J <р (S)
есть непрерывная функция с ограниченным изменением и имеет
почти всюду производную, равную <р (х).
4. Точки Лебега. Будем говорить, что точка х0
точка Ле&ега суммируемой функции <р (х), если
X
[а, Ь\ есть
A)
Если функция ср (х) непрерывна, то, как легко видеть, любая точка
х0 ? [а, &] есть точка Лебега функции <р(х). Покажем, что в общем
случае, когда ср (х) суммируема, почти каждая точка отрезка [а, Ь\
является точкой Лебега функции ср (х).
Пусть г — фиксированное число. Тогда на некотором множестве Ег
полной меры в силу теоремы 1 выполняется предельное соотношение
х
lim
x —
Рассмотрим всюду плотное счетное множество значений г, например
множество рациональных г. Пересечение Е всех множеств Ег есть
также множество полной меры. Пусть х0 ? Е такова, что <р (х0) имеет
конечное значение; покажем, что х0 есть точка Лебега. Действительно,
для заданного s^>0 можно указать такое рациональное г, что
|<Р(*в) —'
"о-; далее можно написать:
X
±-г Г | ip (S) -
х0
г .
При достаточно малом |х — х0 [ фигурная скобка становится меньше
чем -яг; поэтому при таких |х — х01 вся сумма справа будет меньше
чем s, откуда и вытекает требуемое равенство A),

284 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. V)
В точках Лебега суммируемая функция <р (х) обладает многими
свойствами непрерывной функции.
Нам понадобится в дальнейшем свойство функции <р (х), выражае-
выражаемое следующей леммой:
Лемма. Если хь— точка Лебега функции у(х) и Еп — после'
довательность измеримых множеств, стягивающаяся к точке xQ
в том смысле, что+Еп помещается на интервале Дп, содержащем
точку хь и имеющем длину Ьп—*0, причем выполнено условие
р.Еп ^ аЬп (а ^> 0 — фиксированная постоянная), то
'P(S)rfS = <p(*.). B)
Доказательство. Мы имеем, очевидно,
ьп
Если интервал Дп имеет своим концом точку х0, то результат имеет
пределом 0 по предположению (х0 — точка Лебега). Если точка хь на-
находится внутри интервала Дл = (ап, р„), то полученное отношение
заключено между отношениями
и поэтому вместе с ними также стремится к нулю, что и требуется.
Как следствие получаем, что в каждой точке Лебега функция
<р (х) равна производной от своего неопределенного интеграла.
Задачи. 1. Точка х называется точкой плотности измеримого мно-
множества Е} если
где ?(Д) означает часть множества Е, попавшую на интервал Д. Показать,
что почти все точки множества Е есть его точки плотности.
Указан и'е. Применить лемму к характеристической функции множества
Е, положив Eп = ^п (интервал, стягивающийся к точке х).
а I с
1) По известному арифметическому неравенству дробь h~j_. заключена
а
между -г- и -т.
о а

§ 3] ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ 285
2. Дано, что для любого интервала ^\i.E(^)^'x\J.^1 где а >0 фиксировано;
показать, что Е имеет полную меру.
Указание. Дополнительное множество не имеет точек плотности.
Следствие. Не существует измеримого множества такого, что мера
его части, попавшей на произвольный интервал, равна точно половине длины
этого интервала.
3. Точка Е называется точкой асимптотической непрерывности измери-
измеримой на [а, Ь] функции F{x), если существует измеримое множество Е, имеющее
точку Е своей точкой плотности, на котором F{x) непрерывна. Доказать, что
почти каждая точка $? [а, Ъ] есть точка асимптотической непрерывности функ-
функции F(x).
Указание. Каждая точка плотности множества Д., y.Es > Ъ — а — е, на
котором F(x) непрерывна (гл. IV, § 4, п. 7), удовлетворяет условию.
4. Проверить, что в каждой точке Лебега суммируемая функция F{x)
асимптотически непрерывна; если F{x) ограничена, то верно и обратное.
5. Построить пример суммируемой функции, у которой в точке Лебега
соотношение B) не выполняется, если в качестве Еп выбирать некоторые
?
?
множества, для которых ~р -^ 0.
§ 3. Восстановление функции по ее производной
Мы переходим теперь к решению проблемы II из введения к этой
главе.
1. На отрезке а^х^Ь дана функция F(x)y обладающая почти
всюду производной Ff (x)=^=y(x).
Спрашивается: будет ли функция <р(х) суммируемой и справедлива
ли формула
х
= $
Как мы знаем, необходимым условием для выполнения равенства A)
являетси наличие ограниченного изменения у функции F (х). Будем
считать, что оно выполнено, и на первых порах предположим, что
F(x) не убывает. Сначала ответим на первый вопрос: покажем, что
производная от неубывающей функции всегда суммируема. Произ-
Производная функции F (х) есть предел отношения
Функции Фн(х) неотрицательны и при h—»-0 почти везде на отрезке
[ау Ь\ сходятся к пределу F'(хI). Для доказательства суммируемости
функции F' (х) применим теорему-Фату из § 3 гл. IV; она обеспечит
суммируемость функции F' (х), если интегралы от функций Фд (х) по
отрезку [а, Ь\ остаются ограниченными. Если считать аир точками
г) Если x~\-h выходит за пределы отрезка [а, Ь], продолжаем F(x), как
постоянную.

286 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
непрерывности всех Фн(х)у то мы имеем:
F(x)dx — \
j>(*)^ § F(x)dx.
Эта величина яри Л—>0 имеет предел F ($) — F(a) и, следовательно,
ограничена. Таким образом, теорему Фату можно применить. Вместе
с суммируемостью функции F' (х) она дает и неравенство
С Fr (x) dx < F ф) — F (а) < F (Ь — 0) — F (а + 0).
а
Устремляя а—>а, р—>Ь, получаем, что F' (х) суммируема на [а, Ь\ и
ъ
В частности, если аи ^ суть точки непрерывности функции F(х), то
ъ
а
Здесь фактически может быть и знак <^, например, для ступен-
ступенчатой функции F (х), у которой производная почти всюду равна нулю.
2. Но оказывается, что и для непрерывной неубывающей функции
F(x) в неравенстве B) п. I может фактически быть знак <\
Рассмотрим для примера какое-нибудь замкнутое нигде не плотное
множество Z (например, канторово).
В свое время (гл. II, § 4) мы показали, что такое множество
имеет мощность континуума. Вспомним это построение. Вначале мы
установили соответствие между множеством всех смежных интервалов
к множеству Zh множеством двоичио-рациональных чисел отрезка [0, I]
с сохранением порядка, т. е. так, что если интервал Д' лежит левее
интервала Д", то соответствующие двоично-рациональные числа г' и rff
связа'ны неравенством г <^г". Далее ми распространили это соответ-
соответствие, с одной стороны, на все то^и 2-го рода множества Z, с дру-
другой— на все двоично-иррациональные числа отрезка [0, I] также с со-
сохранением порядка. Это соответствие определяет неубывающую функцию
F(x) переменного х, пробегающего весь отрезок [а, &], на котором
расположено множество Z; функция F(x) изменяется от 0 до 1; в
смежных интервалах множества Z она постоянна и принимает соответ-

§ 3] ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ 287
ствующее двоично-рациональное значение, а в точках 2-го рода мно-
множества Z— соответствующее двоично-иррациональное значение. Эта
функция, поскольку она не убывает и принимает все значения в ин-
интервале [О, 1], непрерывна. Производная ее во всяком случае сущест-
существует и равна нулю во всех точках смежных интервалов; поэтому,
если множество Z имеет меру нуль, производная от F(x) почти всюду
равна нулю и в B) имеет место знак ^
3. Таким образом, чтобы в выражении B) п. 1 стоял знак равен--
ства, нужно на неубывающую функцию F(x) накладывать более силь-
сильные ограничения, чем непрерывность.
Определение. Функция F(x), определенная на отрезке [а, Ь\у
называется абсолютно непрерывной, если для любого е ^> 0 можно
найти §^>0 так, что, какова бы ни была (конечная) система непере^
крывающихся интервалов (av ?,), ... , (ani bn) с общей длиной
соответствующая сумма абсолютных приращений функции не превос-
превосходит s:
i\F(bk)-F(ak)\<e. A)
Например, абсолютно непрерывна всякая функция, удовлетворяющая
условию Липшица
\F{xr) — F(x')\*?C\xr — x'\,
так как для любой системы интервалов (а,, &,), ... , (ал, Ьп)
{bk-ak),
и чтобы сделать сумму слева меньше заданного ?^>0, нужно толь-
только, чтобы общая длина взятой системы интервалов не превосходила
С другой стороны, неубывающая непрерывная функция F(x), ко-
которую мы построили в п. 2, имеющая производную, почти всюду
равную нулю, заведомо не абсолютно непрерывна. Действительно,
множество Zможно покрыть счетной системой неперекрывающихся интер-
интервалов сколь угодно малой общей длины, на которых сумма прираще-
приращений функции F(x) равна U на достаточно большой конечной подсис-
подсистеме сумма ее прираш?ний заведомо превзойдет —, что несовместимо
с определением абсолютной непрерывности.

288 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
Функция F(x), являющаяся неопределенным интегралом сумми-
суммируемой функции ср (х), так что
х
всегда абсолютно непрерывна.
Действительно, мы имеем
-F(ak)\ = 2
= $
й в силу абсолютной непрерывности интеграла по множеству (см.
стр. 169) полученное выражение стремится к нулю вместе с мерой
системы интервалов (ak, &А).
. Отметим несколько простых свойств абсолютно непрерывных
функций.
Оказывается, в определении абсолютно непрерывной функции вме-
вместо неравенства A) можно писать неравенство
e, B)
что на первы^ взгляд кажется несколько неожиданным. Но, в самом
деле, пусть для любой системы интервалов с общей длиной <^§ вы-
выполняется B). Тогда, фиксируя такую систему интервалов, мы выде-
выделим из нее две подсистемы так, что на интервалах первой приращения
функции F(x) положительны, а на интервалах второй — отрицательны.
Записывая для каждой из Зтих подсистем неравенство B) и склады-
складывая, мы и получаем A) с несущественной заменой е на 2е.
Всякая абсолютно непрерывная функция F(x) имеет ограничен-
ограниченное изменение. Действительно, пусть число §^>0 отвечает данному
8^>0 из условия абсолютной непрерывности функции F(x). Тогда
в любом интервале длины ^ 5 функция F(x) имеет ограниченное
изменение, не превосходящее ?, а поэтому во всем промежутке [а, Ь],
который можно представить как соединение конечного числа отрезков
длины ^8, изменение функции F(x) также конечно.
Абсолютно непрерывную функцию как функцию с ограниченным
изменением можно представить в виде разности двух неубывающих:
F{x)=V(x) — O(x), V(x) = V*[F]. C)
.Мы утверждаем, что уменьшаемое и вычитаемое в разложении C)
также абсолютно непрерывны. Проверим это для уменьшаемого V(x).

§ 3] ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ 289
Пусть задано ?<^0, найдено §^>0 из условия абсолютной непре-
непрерывности функции F(x) и рассматривается система интервалов
(av Ьг), ... , (ап, Ьп) с общей длиной <^§- Рассмотрим сумму
{V(bk)-V(ak)}= %V*[Fl. D)
Эта сумма есть точная верхняя грань величин
2 2\F{xk,/+l)-F(xk/)\, E)
где ak = xko<^xkl <^ ... <^Xkrik = f>k есть произвольное подразбиение
интервала (ak> bk). Так как сумма длин интервалов подразбиения ин-
интервала (ak, bk) равна длине самого интервала (ak, bk) и общая сум-
сумма длин интервалов (ak, bk) меньше §, то в силу абсолютной непре-
непрерывности функции F(x) каждое из выражений E) не превосходит е.
Но тогда и сумма D) не превосходит s; отсюда следует, что функ-
функция V(x) абсолютно непрерывна, что и утверждалось.'
Как всякая функция с ограниченным изменением, абсолютно не-
непрерывная функция имеет почти всюду производную. Для дальней-
дальнейшего установим следующую лемму:
Лемма. Если неубывающая абсолютно непрерывная функция
F(x) имеет производную, равную нулю почти всюду, то F(x) no~
стоянка.
Доказательство. Область изменения функции F(х) есть от-
отрезок 5 = [/7(а), F(b)]\ мы докажем, что его мера равна нулю, чем
и будет доказана теорема. Обозначим через Z множество (меры нуль)
тех точек х, где производная или не существует, или не равна нулют
через Е—множество (полной меры) тех точек, где производная F(x)
существует и равна нулю. Множество Z отображается функцией F(x)
в некоторое множество F(Z), а множество Е—в F(E); очевидно,
что S = F(E) -\-F(Z). Для заданного в^>0 найдем §^>0 из условия
абсолютной непрерывности функции F (х) и покроем мужество Z
(возможно, счетной) системой неперекрывающихся промежутков с об-
общей длиной <^ § *); тогда множество F (Z) окажется покрытым систе-
системой промежутков с общей длиной ^ s. Так как е произвольно мало,
то мера множества F (Z) равна нулю. Далее, для каждой точки х ? Ef
поскольку в этой точке производная F(x) равна нулю, можно указать
точку %^>х, для которой
х) Систему неперекрывающихся промежутков можно получить из любого
покрытия Aj + А2+ •¦• ^D Z, выбрасывая из каждого Дд точки, входящие в
A + HA
Г. Е. Шилов

290 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
или, 'что то же самое,
Таким образом, х есть точка подъема вправо для функции G(x) —
= sx — F (x) (§ 1). По лемме Рисса множество точек подъема вправо
открыто, и для составляющих интервалов (ak, bk) этого множества
имеют место неравенства
тк — F(ak) ^zbk — F(bk)
или
F(bk)-F{ak)^z(bk-ak),
Откуда
2 [Р (**) - F (e*)l < е 2 (** ~ в») < е (ft - a).
Таким образом, множество F (Е) покрывается системой промежутков
(^(ай)> F Фк)) с °^щей длиной как угодно малой. Отсюда F(E) име-
имеет меру нуль. Следовательно, и отрезок 5 = F (Z) -|~ F (Е) имеет меру
нуль, т. е. сводится в одну точку, что и требуется.
Замечание, Анализируя приведенное доказательство, заметим, что из
него можно извлечь и несколько более общие результаты, а именно:
а) если функция F(x) не убывает и абсолютно непрерывна, то образ F(Z)
любого множества Z меры вуль есть множество меры нуль;
б) если функция F(x) не убывает и имеет на множестве Е производную,
равную нулю, то образ F(E) множества Е имеет меру нуль.
Теперь мы можем доказать основную теорему этого параграфа,
дающую решение проблемы II.
Теорема (А. Лебег). Производная у(х) абсолютно непрерывной
функции F^x), определенной.на отрезке [at b], суммируема, и для
каждого х
Доказательство. Абсолютно непрерывную функцию F(x)
можно представить в виде разности неубывающих абсолютно непре-
непрерывных функций; поэтому без ограничения общности можно считать,
что F (х) — неубывающая функция. Пусть у(х) — ее производная; по
доказанному, <f (x) суммируема. Положим:
X
О (х) = J
«р
Функция G(x) абсолютно непрерывна, и, как мы видели в § 2, ее
производная совпадает почти всюду с ср (дг). Но производная абсолют-

§ 3] ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ 291
но непрерывной функции F (х) также совпадает с функцией <р (х); по-
поэтому производная разности H(x) = F(x) — G (x) почти всюду
равна нулю. Заметим, что функция Н(х) также не убывает, посколь-
поскольку в силу неравенства B) п. 1
— Н (а) = F (Р) — F (а) — $ <р (х) tf* ^ 0.
Поэтому согласно лемме Н(х) есть постоянная, например Со. Но тог-
тогда мы имеем:
Полагая х = а, получаем значение C0 = F(a). Теорема доказана.
Рассмотрим неубывающую непрерывную, но не абсолютно непре-
непрерывную функцию F (х). Повторяя для. нее предыдущее рассуждение,
мы получим, что разность
Z(x) = F(x) — O(x)
есть неубывающая непрерывная функция с производной, почти всюду
равной нулю. Так как Z (х) вместе с F (х) не является абсолютно
непрерывной, то Z (х) —не постоянная. Мы получаем представление
непрерывной неубывающей функции F (х) в форме суммы двух неубы-
неубывающих непрерывных функций
D)
первая из которых абсолютно непрерывна, а вторая имеет производ-
производную, почти всюду равную нулю.
Для произвольной неубывающей функции (возможно, разрывной)
это разложение в соответствии с последним пунктом § 1 дополняет-
дополняется еще одним слагаемым — функцией скачков Н(х):
От неубывающих функций легко перейти к функциям с ограниченным
изменением. Равенство D) остается в силе и для непрерывной функ-
функции F(x) с ограниченным изменением; при этом G(x) — абсолютно
непрерывная функция, Z(x) — так называемая сингулярная функция,
т. е. непрерывная функция с ограниченным изменением, имеющая про-
производную, почти всюду равную нулю.
Заметим кстати, что разложение данной непрерывной функции
F (х) на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие может
быть единственным лишь с точностью до аддитивной постоянной.
Пусть, в самом деле,
F{x) = O (х) + Z (х) = Ог (х) + Zx (x),
19*

292 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ- VI
где С и G, абсолютно непрерывны, Z и Z, сингулярны; тогда
и функция G— Gj, абсолютно непрерывная и вместе с правой частью
имеющая производную, почти всюду равную нулю, необходимо долж-
ла быть постоянной.
4. Интегрирование по частям. Пусть <р (х) и ф(х) —
суммируемые функции иФ(х)и Ч* (х)— их неопределенные интегралы.
Имеет место формула
х) ёх = Ф (b)$ (b) — Ф(а)гР(а). A)
Для доказательства достаточно заметить, что функция Ф (х) Ч* (х)
обсолютно непрерывна вместе с Ф (х) иФ(х) и ее производная вы-
выражается по обычной формуле
(Ф (х) ? (х))' = Ф (х) ф (х) + ср (х) ? (х),
из которой A) получается интегрированием в пределах от а до Ь,
Задачи. 1. Построить непрерывную функцию, у которой производная
существовала бы всюду, но не была бы суммируемой.
Отв. Например, у=х2 sin—g.
Xf
2. Дано, что функция /^(х^удовлетворяет условию: для любого е>0 су-
существует Ь > 0 такое, что из ^j(&a — в-k) < ^ вытекает V|F(&ft) — ^(ад) | <е
Цт. е. в условии абсолютной непрерывности опущено требование неперекры-
неперекрывания интервалов (aky &A)). Показать, что F(x) удовлетворяет условию Лип-
Липшица
\F(x") - F(x')\tz:C\x" — х' \.
3. Доказать теорему, обратную лемме (стр. 290, Замечание): если функция
F{x) не убывает и образ F(Z) множества Z, где производная F(x) не сущест-
существует или бесконечна, имеет меру нуль, то F(x) абсолютно непрерывна.
4. Если F(x) абсолютно непрерывна, то и | F(x)\p при р^\ также абсо-
абсолютно непрерывна; для р < 1 теорема неверна.
5. Пусть <р(х)—суммируемая функция на отрезке [а, Ь]\ доказать, что
А" Ъ
полное изменение функции F(x)= V <p(H)rf? равно V l«p(^
а а
Указание. Следствие задачи 7 п. 2 § 2. Независимое построение: ап-
аппроксимировать <р(х) в метрике Lx ступенчатыми функциями.
6. Показать, что абсолютно непрерывные функции образуют замкнутое
подпространство в пространстве функций с ограниченным изменением (см.
задачу 6 п. 2 § 2).

§ 4] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 293
§ 4. Функции нескольких переменных
1. Мы ставим себе задачей теперь перенесение результатов
§§ 1—3, относящихся к случаю одного переменного, на случай не-
нескольких переменных. Будем рассматривать для простоты случай
двух переменных.
Начнем с формулировки известных фактов классического анализа.
Если ср (л;, %) — непрерывная функция, то можно образовать ее интег-
интеграл по любой (замкнутой) области G:
G
х
Он заменяет, естественно, неопределенный интеграл \<р(?)я?$, кото-
а
рый мы рассматривали, когда имели дело с одним переменным.
Функция точки ср (х9 у) может быть получена из функции области
Ф (G) с помощью предельной операции, заменяющей дифференцирова-
дифференцирование:
ff(xt y)= lim ,7
G-Цх, y)\u\J
где \G\ обозначает площадь области G, a G—>(х, у) означает, что
область G стягивается в точку (л:, у). Если теперь <р (?, 7j)— произ-
произвольная суммируемая функция, определенная в прямоугольнике Д =
= {ax^x^bl7 &2^У ^Ь2}, т0 вмест0 области G мы можем взять
любое измеримое множество $. Естественно возникают следующие
проблемы:
Проблема III. Имеет ли место предельное соотношение
ср (х. у)= lim Дг f f <р E,
почти всюду в области Д, если ср (ху у) — произвольная суллару'
елая функция?
Обратная задача может быть поставлена следующим образом:
Проблема IV. Пусть задана функция измеримого множества
Ф{<§); в каком случае ложно утверждать, что (хотя бы потри
всюду) существует ее «плотность»
, У)

294 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
и при каких условиях функция Ф {$) восстанавливается по своей
плотности в форме интеграла
Решение обеих проблем мы сведем к решению аналогичных про-
проблем для одного переменного, рассмотренных в §§ 1—3, с помощью
так называемого принципа соответствия Рисса.
2. Теорема 1 (принцип соответствия Ф. Рисса). Между мно-
множеством почти всех точек плоскости и множеством почти всех
точек прямой можно установить взаимно однозначное соответст-
соответствие так, что измеримые подмножества будут соответствовать
измеримым, и притом равной меры.
Доказательство. Разобьем ось ? на интервалы (/и, т-\-\)
длины 1 и плоскость (х, у) — на квадраты со стороной 1 с верши-
вершинами в целых точках. Сопоставим произвольным образом взаимно одно-
однозначно указанные интервалы оси с указанными квадратами плоскости;
тех и других счетное множество, и сопоставление возможно. Далее
1 '
разделим каждый квадрат на 4 равных квадрата площадью —, соот-
соответствующий интервал — на 4 равных интервала длины — , и опять-
таки произвольно сопоставим каждый из этих меньших квадратов с
одним из указанных меньших интервалов. Б.удем это построение про-
продолжать неограниченно, следя лишь за тем, чтобы с интервалами,
получающимися при делении на 4 части очередного интервала А,
сопоставлялись квадраты, получающиеся при делении на 4 части квад-
квадрата, соответствующего интервалу Д. Совокупность всех полученных
при этом квадратов на плоскости будем называть плоской сетью,
а совокупность интервалов на оси — линейной сетью.
По построению каждой последовательности вложенных друг в дру-
друга квадратов плоской сети отвечает последовательность вложенных
друг в друга промежутков линейной сети, и обратно. Мы продолжим
это соответствие на соответствие между точками плоскости и точка-
точками прямой следующим образом.
Для определенности будем рассматривать только «правильные»
последовательности квадратов и промежутков, т. е. такие, /z-й член
которых имеет меру (площадь или длину) ровно ^-.
Если точка на плоскости имеет обе координаты двоично-иррацио-
двоично-иррациональные, то существует единственная правильная последовательность
квадратов плоской сети, содержащих эту точку. Рассматривая соот-
соответствующую последовательность промежутков оси, получим в их пе-
пересечении однозначно определенную точку оси, которую и поставим

§ 4] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 295
в соответствие взятой точке плоскости. Если точка на плоскости име-
имеет одну координату (или обе) двоично-рациональную, то существуют
две (или четыре) правильные последовательности квадратов плоской
сети, содержащих эту точку; таким образом, мы можем ей сопоста-
сопоставить две (или четыре) точки оси. Так как множество всех точек
плоскости с хотя бы одной рациональной координатой, как множество
меры нуль, покрывается системой квадратов сети с общей площадью
сколь угодно малой, то и совокупность соответствующих двоек и
четверок точек оси покрывается системой промежутков с такой же
общей длиной и, следовательно, имеет линейную меру нуль. (Оче-
(Очевидно, четверок даже не более счетного множества.) Обратно, если
точка оси имеет двоично-иррациональную координату, то ей можно со-
сопоставить однозначно определенную точку плоскости, используя един-
единственную правильную последовательность промежутков, содержащую
эту точку. Если же точка на прямой имеет двоично-рациональную
координату, то ей сопоставляется, вообще говоря, пара точек пло-
плоскости; но множество всех точек плоскости, участвующих в таких па-
парах, не более чем счетно.
В итоге мы получаем возможность сопоставить взаимно однозначно
два множества полной меры; множество точек плоскости с обеими
двоично-иррациональными координатами, за вычетом тех, которые
участвуют в указанных парах, и множество точек оси с двоично-ир-
двоично-иррациональной координатой, за вычетом множества меры( куль точек,
участвующих в указанных двойках и четверках. Покажем, что при
этом соответствии каждое измеримое множество^ например, в про-
промежутке [0, 1] переходит в измеримое множество в соответствую-
соответствующем квадрате с той же мерой. Вначале заметим, что каждое откры-
открытое множество на оси может быть представлено в виде объединения
некоторого (счетного) множества промежутков сети без общих внут-
внутренних точек. Пусть Е—произвольное измеримое множество на от-
отрезке [0, 1]. Существуют последовательности открытых множеств
Оп и О„(л = 1, 2, .,.), которые обладают тем свойством, что
Оп з Е, Оп з СЕ,
Пусть <§ — образ множества Е на плоскости. Рассматривая совокуп-
совокупность множеств Gn и Gn на плоскости, составленных из квадратов,
соответствующих двоично-рациональным промежуткам, входящим в О„
и ОП) мы получим соотношения
оп зе, dn з се,
Из этих саотношений следует, что $ измеримо (гл. IV, § 4, п. 5)

296 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
и что оно имеет меру
= Um p.Gn = Urn ixOn = )xE,
что нам и требовалось.
Мы можем, далее, распространить соответствие и на измеримые
функции на' оси и на плоскости, ставя в соответствие функции /(?)
такую функцию <р (х> у), для которой <р (х, у) =/(?), если (ху у) со-
соответствует точке ?. При этом функции /(?) и <р(х, у) не только
измеримы, но даже «равноизмеримы» в том,смысле, что при любом С
множества {?:/(?) <^С] и {(х/ру):<р(х, .У)<^С} имеют равную меру. От-
Отсюда следует далее, что интегралы от функций /(?) и <р(х, _у) по соот-
соответствующим измеримым множествам Е н $ имеют равные значения.
3, Мы можем теперь приступить к решению проблемы III. Будем
говорить, что последовательность $п плоских измеримых множеств
правильно стягивается к точке Р=(ху у), если существует после-
последовательность квадратов Qn плоской сети, содержащая точку Р, при-
причем p.Qn —> 0, <§п с Qn$ ix<gn ^ ajiQn, где a > 0 — фиксированная
постоянная.
Теорема 2. ?"с^и <р(х, ^) суммируема на прямоугольнике Д,
почти для всех точек этого прямоугольника
*п -* (х, У) ™п
какова бы ни была последовательность измеримым множеств $п,
правильно стягивающаяся к точке (ху у).
Доказательство. Суммируемой функции <р (х, у) в силу прин-
принципа соответствия отвечает суммируемая функция /(?), точке (л:, у)
в плоскости — точка ? на оси, последовательности квадратов Qn — по-
последовательность интервалов Дл, содержащих точку $, и последова-
последовательности множеств <§п — последовательность измеримых множеств
Еп с Дл, причем jxf'^ ^ ajiAn; кроме того, имеет место равенство
По лемме § 2 (п. 4) последнее выражение имеет пределом ,/(х) поч-
почти во всех точках., именно во всех точках Лебега функции/(j). Воз-
Возвращаясь к функции ср (х, у)у получаем, что предельное соотноше-
соотношение A) выполнено почти во всех точках прямоугольника А, что и
требовалось.
4. Переходим теперь к решению проблемы IV.
Нам задана функция Ф ($) измеримого множества $; спрашивает-
спрашивается: когда можно утверждать, что функция Ф ($) представляется

§ 4] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 297
в виде
где cp(jc, .у)— суммируемая функция?
Укажем вначале необходимые условия такой представимости. Если
функция Ф(<?) имеет вид A), то она обладает следующими очевид-
очевидными свойствами:
а) аддитивность: Ф (^-|-<?2) = Ф (^-(-Ф {$2), если измеримые
множества <§г и $2 не имеют общих точек;
б) абсолютная непрерывность: для заданного е^>0 можно найти
так, что из р.$<^§ следует |Ф(#)|<^е (см. стр. 169 н 174).
Покажем, "^что этих свойств функции Ф ($)—даже распространен-
распространенных не на все измеримые множества, а лишь на те, которые состав-
составлены из квадратов сети,— достаточно, чтобы утверждать, что функ-
функция Ф(<?) представляется в форме A).
В силу принципа соответствия функции Ф (<§) можно сопоставить
-функцию Ч* (Е), определенную на измеримых подмножествах оси х..
От функции множества V (Е) можно перейти к функции точки F(x),
полагая F(x) равной значению Ч* (Е) на интервале Е=(а, х). Полу-
Полученная функция F(x) абсолютно непрерывна в обычном смысле; дей-
действительно, для заданной системы непересекающихся интервалов.
Дд=(аА, Ьк) с общей длиной <^§
[F {bk) - F {ak)} = 2 V (Дл) = 2 Ф (Sk) = Ф (S **), B)
где Sk—множество на плоскости, соответствующее интервалу Дй.
Так как сумма мер множеств <§k вместе с суммой длин интервалов Ak
меньше 8, то каждая из сумм B) по абсолютной величине меньше е,
что и требовалось. Согласно основной теореме § 3 функция F(x)
поедставляется в форме интеграла от своей производной y(x)=F' (x):
X
Суммируемой функции ср (S) отвечает по принципу соответствия сум-
суммируемая функция ср (д:, у) на плоскости. Покажем, что функция мно-
множества
G(<§) = f f tp (x, у) dxdy
совпадает с исходной функцией Ф(<$). Так как Ф(<?) и G($) адди-
аддитивны и абсолютно непрерывны, то совпадение достаточно доказать
для множеств <?\ являющихся квадратами сети, поскольку согласна
теореме п. 3 § 4 гл. IV любое измеримое множество может быть
заменено конечной суммой таких квадратов с точностью до множества

298 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. V!
как угодно^малой меры. Но если ?—квадрат сети, то ему соответ-
соответствует интервал сети на прямой, например Д = (а, р); поэтому
Р
p
7j) d\ dr{ = ? cp (x
G a
откуда Ф ($) = G ($), что и требовалось.
По доказанному выше функция ср (?, ц) может быть и непосред-
непосредственно получена из Ф'(<^) с помощью предельной операции
«Р (*. .У) = lim Zf- f f
где $п — правильно стягивающаяся к точке (х, у) последовательность
измеримых множеств; предел существует почти в каждой точке. Итак,
имеет место следующая теорема:
Теорема 3. Для того чтобы функция множеств Ф ($) имела
почти в каждой точке плотность <р (д:, у) и была справедлива для
каждого измеримого множества $ формула
необходимо и достаточно, чтобы Ф (<?) была аддитивна и абсо-
абсолютно непрерывна.
5, В качестве применения доказанной теоремы найдем общий вид
линейного непрерывного функционала /[ср] в пространстве Z,5 (D) всех
функций, интегрируемых в данной плоской области D.
Условие непрерывности функционала / можно записать в виде
неравенства
y)\dxdy
D
с фиксированной постоянной С.
Сопоставим функционалу / функцию измеримого множества F ($),
равную значению функционала / на характеристической функции
1$ множества $* Функция F(S) аддитивна вместе с функционалом /
и удовлетворяет неравенству
Jj C)

§ 4] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 299
откуда следует, что F ($) абсолютно непрерывна. По теореме 3 функ-
функция F ($) обладает почти в каждой точке плотностью
g(x, у)= lim
8П -*- (X, у)
Очевидно, что функция ^(д:, у) по модулю не превосходит С. Функ-
Функция F($) по той же теореме 3 восстанавливается через g(x, у) по
формуле
Итак, для характеристических функций измеримых множеств
D
Функционал
/л [ср] = \ \ у (х, у) g (д:, у) dx dy,
D
очевидно, является линейным непрерывным функционалом на простран-
пространстве Ll{D). Он совпадает с функционалом/[ср] на характеристических
функциях измеримых множеств; но тогда он совпадает с / и на всех
ступенчатых функциях и в пределе вообще на всех функциях ср ? Z,5 (D).
Итак:, /=/1, и мы доказали следующую теорему:
Теорема. Каждый линейный непрерывный функционал
в пространстве Z,5 (D) имеет вид
y)dxdyt
где g(x, у) — ограниченная измеримая функция.
Не требует разъяснений, что аналогичная теорема справедлива
для случая функций любого числа независимых переменных.
6. Теорема 3, доказанная в п. 4, является аналогом теоремы о дифферен-
цируемости и об интегральном представлении абсолютно непрерывной функ-
функции одного переменного (§ 3).
Рассмотрим теперь, какой аналог имеет теорема о разложении любой
монотонной — например, неубывающей — непрерывной функции F(x) на аб-
абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие.
Неубывающей непрерывной функции F(x) соответствует неотрицательная
аддитивная функция интервала сети (а, Р), равная/^(р)—/^(а), которую можно
распространить и на любые конечные системы интервалов сетц (пользуясь
аддитивностью). По принципу соответствия на системах квадратов сети в пло-
плоскости будет задана неотрицательная аддитивная функция Ф(&). Функция Ф(Л)
непрерывна в том смысле, что если квадрат сети gn стягивается в точку
(может быть, граничную), то limcD(j|n) = 0. Обратно, любой аддитивной

300 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
неотрицательной непрерывной функции Ф ($), определенной на конечных си-
системах квадратов сети, отвечает неотрицательная непрерывная функция ин-
интервалов сети (ос, р)и$ следовательно, неубывающая непрерывная функция F{x).
Разложим функцию F(x) на абсолютно непрерывную и сингулярную
составляющие:
Этому разложению отвечает разложение функции множества также на две
составляющие:
Первая составляющая © {$) абсолютно непрерывна и представляется в форме
интеграла от своей плотности. Рассмотрим, каким свойством обладает вторая
составляющая 8(f>)- Пусть ?0 — любая точка, в которой производная функции
Z(x) равна нулю, и (х0, yQ) — соответствующая точка в плоскости; пусть,
далее, $п — последовательность измеримых множеств специального вида,
именно конечных систем квадратов сети, правильно стягивающаяся к точке
(х0, у0). Множество %п заключено в квадрате сети Qn и pen^apQn, a > 0.
Квадрат сети Qn соответствует интервалу (ат рл), стягивающемуся к точке Ео.
Поэтому
[Z (?„) - Z Ы] - 0,
так как в точке Ео производная у функции Z(x) равна нулю. Таким образом,
если определять плотность с помощью только квадратов сети и их конеч-
конечных сумм, правильно стягивающихся к точке (х, у\ то плотность функции
8 A0 также оказывается почти всюду равной нулю.
Замечание. При рассмотрении неабсолютно непрерывных функций
множеств Ф (§) мы были вынуждены ограничиться их значениями не на всех
измеримых по Лебегу множествах, а только на квадратах сети и их конеч-
конечных объединениях. Это ограничение было не случайным. На самом деле,
пользуясь процессом, аналогичным построению системы измеримых по Ле-
Лебегу множеств, начиная от интервалов (гл. IV, § 4), для каждой неотрица-
неотрицательной счетно-аддитивной функции прямоугольников Ф{$) можно определить
систему а (Ф) множеств, измеримых по функции Ф, или, короче, Ф-измеримых^
Но если Ф {$) непрерывна и не абсолютно непрерывна, то система ст(Ф)
заведомо содержит не все множестваг измеримые по Лебегу. Действитель-
Действительно, в этом случае всегда существует несчетное множество §0, у которого
g0 = 0, Ф(§0)>0; далее можно найти $ld$0, уже Ф-неизмеримое, так что
Ф); в то же время $г измеримо по Лебегу и н-§1=1х$0=0.
§ 5. Интеграл (/гильтьеса
1. При построении теории интеграла мы отправлялись от извест-
яых значений интегралов ступенчатых функций. Интеграл от «эле-
«элементарной ступеньки» — функции, равной 1 на интервале 4 и 0 вне
этого интервала,— мы полагали равным длине интервала Д. Интерва-
Интервалам равной длины отвечали одинаковые значения интегралов,-так что
при интегрировании прямая представляла собой совершенно однород-
однородное многообразие, устроенное одинаково во всех своих частях. Но

§ 5J ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА 301
во многих вопросах по существу нельзя считать ось однородной.
В некоторых случаях, как, например, для неоднородной струны или
неоднородного стержня, мы учитывали неоднородность введением
переменной плотности. К сожалению, введение плотности не всегда
спасает от затруднений (пример: струна, нагруженная точечными
бусинками). Наиболее целесообразный подход к рассмотрению такого
рода проблем — введение меры промежутков, учитывающей неодно-
неоднородность оси.
Промежутком оси будем считать любой из пяти следующих видов
множеств:
1) отрезок [а, $] (концы включены);
2) интервал (а, р) (концы исключены);
3) полуинтервал (а, $] (включен правый конец);
4) полуинтервал [а, [$) (включен левый конец);
5) отдельная точка [а].
Пусть каждому промежутку Д на отрезке [а, Ь] сопоставлено
некоторое неотрицательное число рД, причем выполняется условие
полной аддитивности: если промежуток Д есть объединение проме-
промежутков Д1? Д2, ... , Дл. .. без общих точек, то
Мы говорим в таком случае, что нам задана мера Стильтьеса.
Возможны случаи, когда отдельные точки имеют положитель-
положительную меру Стильтьеса. Впрочем, это может случиться сравнительно
редко, самое большее для счетного множества точек, поскольку
лишь конечное число точек могут иметь меру, превосходящую за-
заданную постоянную с>0.
Примеры. L рД есть длина промежутка Д (мера Лебега).
2. рД = \ w(x) dx7
А
где <р (х) — фиксированная неотрицательная суммируемая функция.
3. рД равна 1 для всякого Д, содержащего точку с, и 0 для
всякого Д, не содержащего точки с.
Условие полной аддитивности меры можно заменить на два усло-
условия: условие ее (конечной) аддитивности и условие непрерывности.
а) Условие аддитивности: если промежутки Aj и Д2 не имеют
общих точек, то

302 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
Естественно, что свойство аддитивности, если оно' имеет место
для *каждой пары непересекающихся слагаемых, остается справедли-
справедливым и для любого конечного числа непересекающихся слагае-
слагаемых Д15 .,. , Дл:
б) Условие непрерывности: если последовательность вложенных
друг в друга промежутков Дг zd Д2 zd ... имеет в пересечении про-
промежуток Д, то рД = ШпрДл.
Легко убедиться, что свойства а) и б) вытекают из условия
полной аддитивности. Обратное,— что условие полной аддитивности
есть следствие условий а) и б),— менее просто; мы получим этот
вывод ниже из теории интеграла (стр. 304).
Можно рассматривать меру рД не только на отрезке [а, Ь], но и
на всей прямой -—• оо <^ х <^ оо. При этом, если, мера всей прямой
конечна, то этот случай ничем не отличается от случая меры, задан-
заданной на конечном отрезке, так что во всем дальнейшем можно без
всяких изменений заменить отрезок [а, Ь] на всю прямую при усло-
условии конечности ее меры.
Имея меру Стильтьеса, мы определим и соответствующий интег-
интеграл. Начинаем, как обычно, с интегрирования ступенчатых функций.
Разобьем отрезок [а, Ь] на конечное множество неперекрывающихся
промежутков Д1? Д2, .. . , Дл. Функция h (х), принимающая постоян-
постоянное значение h- на интервале Д,- (/=1, 2, . . . , я), называется сту-
ступенчатой функцией. Определим интеграл Стильтьеса от функции h (x)
по формуле
Далее мы будем распространять понятие интеграла со ступенча-
ступенчатых функций на р-измеримые функции—пределы последовательностей
ступенчатых функций, как мы делали в гл. IV для интеграла Лебега.
На пути этого построения важным этапом было понятие множества
меры нуль. В нашей новой схеме множество Z cz [a, b] называется
множеством (стильтьесовской) меры нуль, если для любого е^>0 оно
покрывается конечной или счетной системой интервалов. с общей
мерой Стильтьеса <^е. Заметим, что теперь отдельные точки могут
быть множествами положительной меры и целые отрезки могут иметь
меру нуль (как в примере 3). Последовательность функций /п(х)
называется почти всюду сходящейся, если она сходится во всех
точках отрезка, кроме, может быть, множества (стильтьесовской)
меры нуль.
В частности, последовательность, сходящаяся почти всюду, должна
фактически сходиться в точках, несущих положительную меру; зато

§ 5] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА 303
она может вести себя совершенно произвольно на отрезках, несущих
меру 0.
Мы должны определить интеграл для функций класса С^~, со-
состоящего из функций f(x)t являющихся пределами (почти всюду)
возрастающих последовательностей ступенчатых функций. В § 2 гл. IV
это построение базировалось на двух леммах, относящихся к убываю-
убывающим последовательностям ступенчатых функций и утверждающих,
что соотношения hn \ 0, Jhn \ 0 равносильны. В доказательстве
этих лемм было существенно, что множество всех точек разрыва
функций йп(л=1, 2,...) имеет меру нуль. В нашем случае, если
отправляться от произвольных ступенчатых функций, это условие
заведомо не будет выполняться, так как ничто не мешает ступенча-
ступенчатой функции делать скачок как раз в точке, несущей положитель-
положительную меру. Из этого затруднения мы выйдем очень просто: мы
потребуем, чтобы исходные ступенчатые функции не имели скачков
в точках, несущих положительную меру. (Таких точек, самое боль-
большее, лишь счетное множество, как мы видели выше.)
С выполнением этого условия можно далее повторить целиком
схему §§ 2—3 гл. IV. Класс Ср (стильтьесовский) образуют функ-
функции f(x)y которые являются пределами почти всюду сходящихся
возрастающих последовательностей ступенчатых функций hn (x)
с ограниченными интегралами Lhn, не имеющих скачков в точках
оси, несущих положительную меру. Интеграл Стильтьеса /0/ опре-
определяется по формуле
IJ=l\mI?hn.
Разности функций из класса С+ образуют класс функций L ко-
которые называются суммируемыми в смысле Лебега — Стильтьеса,
Если <р=/,—/2, где /г?С^~, /2€Cf> > т° интеграл Стильтьеса
от функции <р определяется по формуле
Проверка корректности всех этих определений проводится по схеме
гл. IV.
Интеграл /рср называется интегралом Лебега — Стильтьеса по
мере р и обозначается более подробно так:
ь
а
Заметим, что ступенчатая фукция h(x) с разрывом в точке положи-
положительной меры всегда может быть представлена в виде предела воз-
возрастающей или убывающей последовательности допустимых ступен-
ступенчатых функций и потому h{x) заведомо войдет в класс Ср+ или в L ,

304 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИБ [ГЛ. VI
так что наше ограничение класса ступенчатых функций при построе-
построении интеграла не ведет к уменьшению всей совокупности суммируе-
суммируемых функций. Класс Z.p есть линейное нормированное полное про-
пространство с нормой
II <р 11 = ММ)-
Аналогично определяются пространства Ц (р^\). Естественно оп-
определяются р-измеримые функции, как пределы почти всюду (по мере р)
сходящихся последовательностей ступенчатых функций. Можно опре-
определить далее р-измеримые множества, как множества, характеристи-
характеристические функции которых р-измеримы; р-мера р-измеримого множества Е
определяется по формуле
9Е=1?(Хв(х)), в()
0 при
На совокупности р-измеримых множеств р-мера счетно-аддитив-
, т. е.
если множества Е^ ?, ... р-измеримы и не имеют общих точек.
Теперь р-измеримая функция может быть определена как такая
функция f(x), у которой множество {х:/(х) <^С] р-измеримо при
любом С. Это позволяет перенести на р-интегралы и всю лебеговскую
теорию (гл. IV, § 4, п. 6).
Условие счетной аддитивности р-меры на промежутках или фор-
формально более слабые условия аддитивности и непрерывности
(стр. 301—302) играют во всех этих построениях существенную
роль. Во-первых, эти условия существенны при определении множеств
р-меры нуль. С одной стороны, промежуток Д имеет меру нуль, если
ему приписана р-мера: рД = О. С другой стороны, в соответствии
с приведенным выше условием промежуток Д меры нуль возможно
покрыть системой интервалов — здесь даже одним интервалом —
меры как угодно малой. Условие непрерывности, обеспечивает согла-
согласование этих определений. Далее, по нашему построению, мера про-
промежутка Д, у которого один или оба конца несут положительную
меру, определяется через интеграл как / (Д), что есть предел мер
промежутков рДл, концы которых имеют меру нуль; условие непре-
непрерывности обеспечивает равенство / (Д) = рД. Заметим, наконец, что
мы получили через теорию интеграла и доказательство полной ад-
аддитивности конечно-аддитквной и непрерывной меры Стильтьеса.
2, Мере р можно сопоставить неубывающую функцию
F {х) = р [а, х\.

§ 5] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА 305
По функции F (х) мера р единственным образом восстанавливается
для всякого промежутка, а именно мы имеем:
а, дг]=/7(д;') —ГИ. B)
Для полуинтервала [а, х) можно написать следующее равенство;
00
р[в, ж)=
(Д
Л -> GO
Заметим, что на этом месте использована полная аддитивность
функции р. С помощью функции F последнее соотношение записы-
записывается так:
00
+ — 0).
Теперь уже легко найти рД для всех остальных типов промежутков:
, х') — р[д, л) = /7(л'— 0) — ^(x — 0)t
, х) — р [д, x] = F(x —0)—F(x),
-/-ОЬ E)
0). F)
Функция F (х), определяемая равенством A), непрерывна справа в каж-
каждой точке, так как
= Р [д. Xi] — Р ffя» *J —...== р [Д, X] =
Как показывает равенство F), в каждой точке х, несущей ненулевую
р-меру, функция F (х) претерпевает скачок, равный р-мере точки х;
в остальных точках функция F(x) непрерывна.
Обратно, произвольная неубывающая непрерывная справа функция
F{x) определяет по формулам A)—F) неотрицательную функцию
промежутков; нетрудно проверить, что эта функция промежутков рД
аддитивна и непрерывна, а следовательно; и счетно аддитивна.
Функция F(x) называется по отношению к мере Стильтьеса р про-
производящей функцией.
В случае конечной меры на бесконечном промежутке, уходящем
влево до —оо, производящая функция соответственно задается ра-
равенством
20 Г. Е. Шилов

306 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. Vf
формально получающимся из A) заменой а на —оо. Заметим, что
точка —оо (и-|-оо) также может нести положительную меру.
В общем случае интеграл Лебега — Стильтьеса, построенный по
производящей функции F(x), обозначается символом
ь
). G)
а
Это обозначение очень удобно и находится, как мы увидим ниже,
в соответствии с остальными общепринятыми обозначениями. Укажем
на одно отличие. Полагая <р(х)=1, получим согласно определению
= р [в, b] =
а
а не F (Ь)— F(а), как было бы естественно. Это исключение имеет:
значение, разумеется, лишь если F(a)=^=0, т. е. если точка а несет
положительную меру. Функция F(x) по отношению к интегралу G)
называется интегрирующей функцией:
3. Рассмотрим некоторые отдельные типы интегрирующих функций,
а) Интегрирующая функция F(x) есть функция скачков: имеются
точки хп и числа рп, ^^Рп<С°°^ так что ^ (х) задана формулой вида
F(x) = X Рп.
Как было показано в § 1, п. 3, F(x) непрерывна справа.
В этом случае мера рД промежутка Д есть сумма всех pni соот-
соответствующих точкам xnJ лежащим в Д. Интеграл от ступенчатой
функции h (x), принимающей значение h}- в промежутке Ду, равен
00
v X рп = Xh (-*
Если последовательность ступенчатых функций uv (дг), возрастая, стре-
стремится почти всюду по мере р к функции f(x), причем /puv ограничены,
то это значит, что функции hy(x) при v—>-оо стремятся к f{x)
в каждой из точек дгп(л=1, 2,...), причем
00
= lim /pA,=
V -> СО
Переходя к разностям, получаем, что класс Lp образован функциями <р (х)у
определенными (однозначно) только в точках хп (п= 1, 2, ...), причем
и

§ 5] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА 307
Легко проверить, что любая функция cp(x) с 2^ рп | ср (хп) | <^ оо попа-
п
дает в пространство L . Этим пространство Z, полностью описано.
б) Интегрирующая функция F (х) абсолютно непрерывна. Тогда
значение меры Стильтьеса на любом промежутке имеет вид
р[а, р] = р [аэ р)=р(а, р) = р (а, р] =
где ?(?)^0— производная функции /^х). Точек с положительной
р-мерой вовсе нет. Интеграл от ступенчатой функции h(x), прини-
принимающей значение /ь в промежутке Ду, равен
(А) = S VД/ =
а
где / обозначает Интеграл Лебега.
Если последовательность hn, возрастая, стремится почти всюду по
мере р к функции /, причем интегралы I?hn ограничены, то это озна-
означает, что ограничены интегралы Лебега У (hng) и, следовательно, пре-
предел fg последовательности hng есть суммируемая в обычном смысле
функция; при этом
/D/=lim /pAn = Iim I(hng)*= I(fg).
Переходя к разностям, получаем, что класс L состоит из функций ср,
для которых произведения tpg" суммируемы в обычном смысле; при этом
для любой <р ? L? имеет место равенство
ь ъ
A)
(так что в этом случае можно заменять dF на F' {x)dx = gdx).
Всякое множество лебеговской меры нуль (будем коротко писать:
1-меры 0)' покрывается конечной или счетной системой 5 промежутков
с общей длиной как угодно малой; р-мера этой системы промежутков
равна интегралу по 5 от функции g(x) и, следовательно, стремится
к нулю вместе с обычной мерой S.^ Отсюда следует, что всякое мно-
множество /.-меры 0 будет и множеством р-меры 0. Рассмотрим любое
L-измеримое множество Е. Мы знаем, что существуют замкнутое
множество F и открытое G, F сЯсгО, причем разность G—F имеет
I-меру как угодно малую. Множества Ой-/7 р-измеримы, и по дока-
доказанному р-мера множества G — F также как угодно мала; отсюда сле-
следует, что множество Е р-измеримо. Итак, ^юбое L-измеримое множе-
20*

308 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гЛ. VI
ство является и ^-измеримым. При этом р-мера множества1 Е со-
согласно формуле A) равна
Рассмотрим теперь строение р-измеримых множеств. Пусть Е есть р-из-
меримое множество и i (х) — его характеристическая функция; тогда
по доказанному %g суммируема в обычном смысле и
= ) I (*) dF (*) = ) ISdx
a a
Пусть Ег—множество точек, где 1g^> 0; оно содержится в Е и
L-'измеримо. Само множество Е может быть и неизмеримым в обычном
смысле; но, представляя его в форме
мы видим, что оно имеет вид суммы двух множеств, из которых
одно L-измеримо, а на другом функция g(x) равна 0. Справедливо
и обратное: если некоторое множество Е представляется в виде
суммы двух множеств Ег и Ег без общих точек, одно из которых
L-измеримо, а на другом g(x) равна 0, то Е ^-измеримо. Так как
L-измеримое множество является р-измеримым, то достаточно показать,
что множество Е2, на котором функция g{x) р?вна нулю, р-измеримо
(и имеет р-меру нуль). Но множество Ео всех точек, где g(x) равна 0,
измеримо в обычном смысле. Следовательно, оно р-измеримо, и его
р-мера
Поэтому и всякое подмножество ЕаЕ0 р-измеримо и имеет р-меру
нуль, чем доказательство и завершается.
Выше было доказано, что если функция <р р-суммируема, то про-
произведение yg L-суммируемо. Покажем, что верно и обратное: если для
некоторой функции ф произведение yg L-суммируемо, тОср р-суммиру-
р-суммируема. Проверим сначала, что <р есть р-измеримая функция. Рассмотрим при
заданном С множество Е тех точек, где выполняется неравенство
<р (х) ^ С. Это множество совпадает с множеством ?", где выполняется
неравенство <f(x)g(x)^.Cg(x), за вычетом некоторого множества ?*',
где g(x) равна нулю. Множество Е' L-измеримо и, следовательно,
р-измеримо, множество Е? имеет р-меру нуль; поэтому Е р-измеримо.
Так как С произвольно, то мы приходим к выводу, чтю функция ср
р-измерима. Для доказательства р-суммируемости функции <р нам до-
достаточно доказать, что ограничены интегралы/ср^у, гдеср^=пип (| <р|,Л/),

§ 5] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА 309
Но функция <fN ограничена и р-измерима, следовательно, р-суммируема,
а тогда по формуле A)
что и требуется. Итак, мы получили полную характеристику р-сумми-
руемых функций: это те и только те функции <р(лг), для которых
произведение yg суммируемо в обычном смысле.
4. Можно и в общем случае, когда интегрирующая функция F(х)—
произвольная неубывающая функция, дать некоторую характеристику
соответствующего пространства L , хотя и менее эффективную. Для это-
этого рассмотрим отображение оси х на ось у, осуществляемое функцией
y=zF(x). В точках непрерывности это отображение однозначно; точке
разрыва х0 мы будем сопоставлять целый промежуток [F(x0 — 0), F(x0)].
Обратная функция x—G{y) обладает теми же свойствами; она мо-
может сопоставлять каждому значению у одну точку х или целый ин-
интервал— последнее лишь в случае, если имеется интервал оси х, на
котором F(x) сохраняет постоянное значение у0 (таких значений у9
может быть самое большее счетное множество). Каждому множеству Е
оси х сопоставляется некоторое множество $ оси у; при этом проме-
промежутку Д оси х сопоставляется промежуток оси у, длина которого
в точности равна р-мере промежутка Д. Каждой функции /(х) соот-
соответствует функция g(y)=f(G(y)), определенная при тех значениях^»
для которых G(y) однозначна. Таким образом, функция g(y) может
не быть определенной самое большее на фиксированном счетном мно-
множестве точек. Ступенчатой функции h(x), принимающей значение /ь
в промежутке Д,, отвечает ступенчатая функция k (у), принимающая
значение hj в промежутке F(Lj); при этом
i9h=2 hj9h=2 hA f (ty I = '*.
9h=2 hj9h=2 hA
где | Z7 (Ду) | означает длину промежутка F(kj). Мы видим, что при
указанном сопоставлении ступенчатой функции h на оси х отвечает
ступенчатая функция k на оси у с обычным интегралом /&, равным
р-интегралу функции /г.
Теперь ясно, что предельный процесс, приводящий к построению
р-суммируемой функции <р (л;) на оси х, соответствует на оси у пре-
предельному процессу, приводящему к функции §{y) = y(G{y))y сумми-
суммируемой в обычном смысле. Таким образом, если ср (х) р-суммируема, то
соответствующая функция ty(у) = у (G{у)) суммируема по Лебегу и
/рср = /ф. Функция ф(дО, кроме того, постоянна на каждом интервале,
соответствующем точке х положительной р-меры. Обратно, если функ-
функция ф (у) суммируема по Лебегу и постоянна на системе интервалов,
отвечающих точкам х положительной р-меры, то ее можно аппрокси-
аппроксимировать по метрике Lx ступенчатыми функциями, также постоянными

310 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Й ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
на этой системе интервалов; отсюда следует, что функция у(х\=
= ty(F(x)) р-суммируема и /<р = /ф. Таким образом, функция ср (х)
^-суммируема тогда и только тогда, когда функция ф (у) = ср (О(у))
суммируема в обычном смысле. В частности, множество Е на оси х
р-измеримо тогда и только тогда, когда измеримо по Лебегу соответ-
соответствующее множество F(E).
Из этих результатов, в частности, можно получить обобщение
формулы A) п. 3, относящейся к случаю абсолютно непрерывной ин-
интегрирующей функции, на общий случай.
Назовем функцию Ф(х) абсолютно непрерывной относительно
неубывающей функции F(x)t если для любого е^>0 найдется такое
2^>0, что, какова бы ни была система непересекающихся интервалов
(ak1 bk) F=1, 2,..., т), из условия
следует
Абсолютная непрерывность Ф относительно F имеет место, напри-
например, если Ф удовлетворяет относительно F «условию Липшица», т. е.
при любых аир
Ф ф) — Ф (а) |< [HP) - F(a)] С B)
с фиксированной постоянной С.
Согласно сказанному выше функция Ф (G(y))=4* {у) абсолютно
непрерывна относительно обычной меры Лебега на оси у и поэтому
представляется как интеграл от своей производной <Ь(у):
у
*Р (У) = \ Ф (Ч) dr\ К = F (д))-
В свою очередь это означает, что функция Ф (х) есть интеграл от
функции g(x)=ty(G(y)) no мере dF:
X
C)
Заметим, что при выполнении условия Липшица B) функция g(x)
ограничена по модулю постоянной С.
Предположим далее, что Ф — также неубывающая функция. Тогда
тем же путем легко проверить, что произведение любой функции /(я),
суммируемой по мере а*Ф, и функции g (х) суммируемо и по мере dFt

§ б] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 3ll
причем
ь ъ
J /(*) йФ (х) =lf(x)g (х) dF (x). <4>
а а
Соображения, связывающие интеграл Стильтьеса с интегралом
Лебега, будут развиты в конце следующего параграфа в применении
к; случаю функций нескольких переменных. ¦
§ 6. Интеграл Стильтьеса (продолжение)
1. В предыдущем параграфе мера, определяющая интеграл Стиль-
Стильтьеса, предполагалась неотрицательной. Но, оказывается, схема наших
построений может быть без труда распространена и на некоторые
меры, которым разрешается принимать и неположительные значения.
Нам удобнее будет говорить сейчас не о самих мерах, а об их
производящих функциях. Пусть Ф (х) — некоторая функция с ограни-
ограниченным изменением на отрезке [а, Ь\ (— оо ^ а <^ Ъ ^ оо), непрерывная
справа. Как и всякая такая функция, она представляется в виде
разности двух неубывающих функций, также непрерывных справа,
одна из которых, есть полное изменение функции Ф(л:) (§ 2):
Ф(х)=У{х)— G{x).
Функция Ф удовлетворяет относительно V условию Липшица с по-
постоянной 1:
Ф(Р) —
Поэтому, в силу C),
х
Ф (х) = I h (S) dV $).
а
Руководствуясь аналогией с D), для любой функции <р (х), сум-
суммируемой по V(x)j положим по определению
ъ ь
$ <р (х) йФ = $ <р (х) h (х) dV(x). A)
а а
Этим определен интеграл по функции Ф (х). Напомним, что функ-
функция Ф (х) не предполагается неубывающей функцией, а лишь обла-
обладающей ограниченным изменением.
Интеграл A) может быть выражен и непосредственно через интег-
интегралы по неубывающим функциям; именно, мы имеем
х
G(х) = V (х) — Ф (х) = I [I — h

312 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
откуда
а а а а
и, следовательно,
ъ . ъ ъ
B)
tfhdV= $ tfdV—
а а а
Наконец, и интеграл, определяемый равенством A), можно полу-
получить и непосредственной конструкцией, аналогичной конструкции
интеграла по неотрицательной мере. Пусть рД— мера, отвечающая
производящей функции V(x) и аД— мера, отвечающая функции G(x).
Построим по формулам B) — F) § 5, п. 2 меру тД, отправляясь от
функции Ф(д:):
т (х, хг] = Ф (л:') — Ф (л:), -с [л:, х) = Ф (*' — 0) — Ф (х — 0),
-с (jc, х') = Ф (л:' — 0) — Ф (л:), -с [х, х] = Ф (V) — Ф(л: — 0).
Функция промежутков тД аддитивна и непрерывна; это можно прове-
проверить, исходя как непосредственно из определения, так и из равенства
т:Д = рД — аД. Эта функция может принимать и отрицательные зна-
значения; но при любом разбиении отрезка [а, Ь\ на промежутки
удовлетворяется условие
тп тп
с фиксированной постоянной С. Неравенство C) отражает тот факт,
что исходная функция Ф (х) имеет ограниченное изменение. Далее,
невзирая на возможную отрицательность значений тД, мы можем опре-
определить интегралы по мере т:Д от ступенчатых функций и затем обыч-
обычным предельным переходом получить пространство LT. Во всех оценках
вместо р [а, Ь\ придется ставить постоянную С из C). Используя на
каждом этапе равенство рД —¦ аД = тД, мы получим формулу B),
а вместе с ней и формулу A).
2. Интеграл Римана — Стильтьеса. Рассмотрим для про-
произвольной функции f(x) и некоторой производящей функции Ф (х)
(с ограниченным изменением) суммы, аналогичные суммам Римана:
m — 1
A)

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 313
Предел таких сумм при неограниченном измельчении интервалов
=zXj+1 — яу, если он существует, называется интегралом Рима-
РимаСтильтьеса от функции f{x) no функции Ф(х). Покажем, что
он заведомо существует и совпадает с уже определенным выше интегра-
интегралом Лебега — Стильтьеса от / по Ф в промежутке (а, ft], если /(х)
непрерывна. Написанная интегральная сумма есть интеграл Лебега —
Стильтьеса от ступенчатой функции hm (x), определенной в промежутке
(а, ft] и равной /($/) в промежутке Д.— (л;., Xj+1\. При неограниченном
измельчении промежутков А• ступенчатая функция hm (x) равномерно
стремится к функции f{x)\ поэтому в силу основных теорем теории,
интеграла
2/Eу)[Ф(*у+1)-Ф(*/)]= J **(*)** — J /(х)йФ9
что и требовалось.
Из самого определения интеграла Римана — Стильтьеса вытекает5
справедливость оценки
ъ
(Ф()|< sup
* € (а,
заменяющей оценку
ъ
\ f(x)dx
sup \f(x) | (ft— а)
для обычного интеграла Римана,
Заметим, что при определении интеграла Римана — Стильтьеса иет
необходимости заботиться о том, чтобы функция Ф (х) была непре-
непрерывна справа. В действительности, если функция /(х) непрерывна,
интегральные суммы A) имеют предел при любой функции Ф(л;}
с ограниченным изменением, и этот предел не зависит от значений
функции Ф (л;) в ее точках разрыва. Для доказательства, имея неко*
торую функцию с ограниченным изменением Ф(х), положим:
где Фо (х) совпадает с Ф (х) во всех точках непрерывности Ф (х)„
а в точках разрыва равна Ф(л;-|-0) и, следовательно, непрерывна
справа; функция D(x)> очевидно, может быть отличной от нуля самое
большее лишь в счетном множестве zx, z2J ... точек разрыва функции
Ф(х).
Интегральные суммы, составленные по функции Ф^ (х)> по доказан-
доказанному имеют предел
ъ
lf{x)d<S>,{x).

314
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. VI
Покажем, что интегральные суммы, составленные по функции D{x)y
стремятся к нулю. Так как D(x) вместе с Ф(х) и ФвМ имеет огра-
ограниченное изменение, то сумма модулей всех значений D (х) конечна.
Найдем для заданного е ^> 0 номер N так, чтобы иметь 2 I & izn) I <C s-
п > N
Положим далее
где Dj(x) отлична от нуля лишь в точке Zj(j=\, 2, ..., N),
a DN(x) отлична от нуля лишь в точках zn(n'^>N). Интегральная
<:умма, составленная по функции Dj (х), равна или 0, или
где Sy^^y^S/И точки Sy и %j лежат* в соседних* элементах подраз
биения отрезка [a, b\ В силу непрерывности /(х) эта величина, ста
новится как угодно малой при измельчении подразбиения. Интеграль
ная сумма, составленная по функции DN(x)t допускает оценку
т
I 2 / (Sy) [DN (xJ+,) - D^ (*,)] | < Ш 2 | D (zn)
тде Ж=тах|/(л;)|; как мы видим, эта сумма также сколь угодно
мала. Таким образом, интегральные суммы, составленные по функции
P(x)t действительно стремятся к нулю с измельчением подразбиений
отрезка, и наше утверждение доказано.
Задачи. 1. Найти значения интегралов Стильтьеса:
3
/1== ? xdF(x)t
0 при х
1 при -1
— 1 при 2
I2=\ x*dF(x),
0
— 1 при 0 ^.
О при -^-^.
2 при д; =
. t
*»
х^З;
^ 2 '
^ 2 '
— 2 при — < x ^ 2.
*y / —
—

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 315
2. Написать выражение статического момента относительно начала коорди-
координат массы, распределенной на отрезке [а, Ь] так, что масса отрезка [а, х] равна
числу F(x).
ъ
Отв. M={xdF(x).
3.Предельный переход под знаком интеграла
Римана — Стильтьеса.
Теорема 1 (Е. Хелли). Если функции Fn(x) с ограниченным
изменением сходятся в каждой точке отрезка а^х^Ь к неко-
некоторой функции F(x), причел полные изменения всех функций Fn(x)
ограничены в совокупности:
то предельная функция F(x) также обладает ограниченным из-
изменением и для любой непрерывной функции у (х)
ъ ъ
lim J <р (х) dFn (х) = J <р (*) dF (х). A)
П-» 00
Доказательство. Покажем прежде всего, что F (х) имеет огра-
ограниченное изменение, не превосходящее С. Действительно, для любого
разбиения отрезка а^х^Ь на части а — х0 <^xt <^.. Щ<^хт — Ь
мы имеем:
т — 1 т — 1
Fn(xJ+1)-Fn(X/)\^C,
откуда и следует, что
Теперь переходим к доказательству соотношения A). Пусть сна-
сначала tp (x) есть ступенчатая функция, равная hj на промежутке
Тогда
ь
\ <р (х) dFn (х) = 2 ^ [Fn (x/+1) - Fn
a
b
(x) = ^ A; [F (x/+1) - F (
Очевидно, что при достаточно большом п^ N эти выражения отли-
отличаются друг от друга меньше чем на заданное е^> 0. В общем слу-
случае для заданного е]>0 мы построим ступенчатую функцию <fe (x)

316
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. VI
так, чтобы иметь \у(х)— ?в (*) I <С"с" •
Тогда
a
n (х) - J <р, (х) dFn (х)
fo (х) - <р
B (x) < -^ V а [Ра]
и, следовательно, при
и b
N
-t"
^{Y\rfF (y\ \ со (х\ dF (х\ <Г \
? \х) аг п\х) JT \х) иг \х) ^= J
а а
Ь Ь
[ Гш /г\ m (x\ ] dFlx\ 4- \ to (
J LT \ i те \ / J \ / i J 1* ^
«W
- S ?
что и доказывает теорему.
Замечание 1. Эту теорему можно несколько обобщить, допустив
зависимость от л и интегрируемой функции ср (х). Именно, мы утвер-
утверждаем, что справедливо соотношение
Iim
И-> 00
если выполнены условия:
а) функции Fn(x) имеют равномерно ограниченные изменения и схо-
сходятся к функции F(x) в каждой точке отрезка [а, &];
б) непрерывные функции уп(х) равномерно сходятсд к своему пре-
пределу у(х).
Доказательство немедленно вытекает из оценок
(х)-<?„
max
V
и только что доказанной теоремы.

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 317
Замечание 2. Теорема 2 (вместе с замечанием 1) очевидным
образом переносится и на бесконечный промежуток интегрирования,
например [0, со], если функции Fn(x) имеют равномерно ограничен-
ограниченное изменение на всем этом промежутке и функция ® (х) (или уп (х),
если речь идет о замечании 1) непрерывна, включая бесконечно уда-
удаленную точку; это последнее свойство позволяет равномерно аппрок-
аппроксимировать ср (х) ступенчатыми функциями, что существенно исполь-
используется в доказательстве.
Замечание 3. Если tp(x) не является непрерывной на беско-
бесконечности, а только ограниченной, так что |х> (х)\ ^ М, то теорема
Хелли остается еще справедливой, если функции Fn(x) удовлет-
удовлетворяют следующему дополнительному условию (роль которого сво-
сводится к тому, чтобы масса, несомая распределением Fn (x), не уходи-
уходила с возрастанием п в бесконечность):
(*) Для любого е^>0 можно указать N—N(b) так, что для
всех п
Var Fn(x)*ze. B)
Действительно, переходя к пределу ;;при п—юо в формуле B), мы
находим, что и для предельной функции F(x)
Var /=¦(*)<е.
Далее, для заданного е^О, найдя N из условия (*), мы имеем
J 4{x)dFn(x)— S >f(x)dF(x)= J
J
— оо — оо — N .
+ 5 y(x) dFn (x) - J v(x) dF(x). C)
Имея Ny мы можем на основании теоремы Хелли для конечного
промежутка [ — N, N] найти номер /z0 так, чтрбы при /z^>/z0 иметь
N
5 ч(х) d[Fn(x)-F(xj\\<e.
N
-N
Оставшиеся два интеграла по построению не превосходят по модулю
2Mb; мы видим, что вся левая часть в C) не превосходит BЖ+1)е,
что и доказывает справедливость предельного перехода под знаком
интеграла Стильтьеса в указанном случае.
4. Применение теоремы 1 весьма облегчается следующей теоремой,
дающей возможность из данного множества функций с (равномерно)
ограниченным изменением выбрать сходящуюся последовательность.

318 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. V|
Теорема 2 (Е. Хелли). Из всякого бесконечного множества К
функций f(x), определенных на отрезке а^х^Ь и обладающих
свойствами
max |/(х)|< С, A)
V B)
(где С и V—постоянные, не зависящие от выбора f?K), можно
выбрать последовательность /п(х), сходящуюся в каждой точке
отрезка а^х^Ь.
Доказательство. Предположим сначала, что функции/(х)
не убывают. Пусть г^..., гю...—последовательность всех рацио-
рациональных точек отрезка [а, Ь\. Так как числа f{rx) ограничены, то
существует последовательность функций /п1?К, для которых чис-
ла/ш (ri) имеют предел. Из этой последовательности fnl(x) можно
выбрать подпоследовательность fn2(x)y для которой сходятся чис-
числа fnt (г2) (а также, конечно, и числа /П2 (rj); продолжая таким обра-
образом, получим для каждого k последовательность fnk (х), сходящуюся
при п—у оо в точках г^ г2> ..., rk. Диагональная последовательность
fnn (х) — будем ее обозначать просто /п (х) ->- сходится при каж-
каждом х = гг, г2,... Предел f(x) последовательности /п(х), опреде-
определенный пока еще в рациональных точках, представляет собой неубы-
неубывающую функцию. Дополним ее определение во всех остальных точках,
полагая для каждого иррационального х
)= lim f(r) (r рационально).
— о
В результате мы получим неубывающую функцию, определенную уже
для всех точек отрезка [а, Ь\ Покажем, что она остается преде-
пределом последовательности fn (x) во всех своих точках непрерывности.
Пусть х0 — точка непрерывности /(х); для заданного е ^> 0 найдем S ^>0
так, чтобы из \х — хо\<^$ следовало \/(х)—/(#0)|<С6> и выберем
рациональные точки Г'<СЛГО<СГ* так> чтобы иметь г"<^л;0-^-$,
г'^>х0 — §. Найдем номер Af, начиная с которого, выполняются нера-
неравенства |/Л (г') —f(f') | <^ е, |/л (г") —f(r") | <^е. Отсюда следует,
что |Д(г')—/«(О I <C^s. Так как функция/п(х) не убывает, то чис-
число /п(х0) лежит между числами /„ (г') и fn(r)\ поэтому
откуда вытекает, что /(#„) = lini/n(x0).
Построенная нами последовательность /п(х) сходится к/(х) всюду,
кроме, может быть, точек разрыва функции /(х). Этих точек разрыва
самое большее счетное множество. Поэтому, снова применяя диагональ-

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 319
ный процесс, мы из последовательности /п(х) сможем выделить под-
подпоследовательность, которая сходится также и во всех точках разрыва
функции f{x). Итак, мы выделили из данного семейства неубывающих
функций последовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [а, Ь]>
что и требовалось.
В общем случае, когда функции f(x)?K могут и не быть неубы-
неубывающими, мы представим каждую из них в форме
) — G{x),
где V(x) — полное изменение функции /(х) на отрезке [а,
Функции V{x) не убывают и по условию B) ограничены; функции G(x)
также обладают этими свойствами. По доказанному существует после-
последовательность f п\х) € К, для которой функции Vn (x) сходятся в каждой
точке отрезка [а, Ь\ Из этой последовательности можно выбрать под-
подпоследовательность fn]e\x), для которой функции Gnjl (х) сходятся
в каждой точке отрезка [а, Ь\\ но тогда и /Пк (х) сходятся в каждой
точке отрезка [а, Ь\ Тем самым теорема 2 полностью доказана.
5. Интеграл Стильтьеса для нескольких перемен-
переменных. Будем говорить для определенности о случае двух перемен-
переменных х и у, меняющихся в квадрате До = {а ^ х ^ b, a ^y ^ b}> Назовем
«промежутком» на плоскости множество точек (х, у), где каждая
из, координат пробегает некоторый промежуток (любого из пяти типов,
указанных в п. 1)* на своей оси. Предположим, что для каждого
промежутка Д в квадрате До задана функция рД ^ 0, удовлетворяющая
условию полной аддитивности: если Д,, Д2, ..., Дп, ... взаимно
не пересекаются и их объединение Д есть снова промежуток, то
Функцию рД, как и вышег мы называем мерой Стильтьеса. Разобьем
квадрат До на конечное число промежутков Д,, ..., Дп без общих
точек; функция h (х, у), равная постоянной h- на множестве Д -, назы-
называется ступенчатой, и ее интеграл определяется по формуле
Применяя процессы расширения, уже много раз описанные выше,
можно распространить понятие интеграла / на широкий класс функ-
функций Lp, которые называются суммируемыми в смысле Лебега — Стиль-,
тъеса относительно меры р. Объем этого класса функций и кор-
корректность построения проще всего получить, применяя метод установ-
установления соответствия с линейной мерой, подобно тому как это было
сделано в § 4 для меры Лебега. Этот метод состоит в следующем.
Построим по мере рД две функции, каждая от одного переменного:.

320 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
Здесь Дл означает ту часть'плоскости, точки которой (S, 1)) удовлет-
удовлетворяют неравенству S^x, а Д —ту часть, которая отвечает нера-
неравенству ц^у. Функции F1{x) и Fz{y) не убывают и поэтому имеют
не более счетного множества точек разрыва. Пусть xlt x2, ..., хп—
все точки разрыва функции F1(x). Можно построить на оси х сово-
совокупность чисел вида хо-\-~^ (х0 фиксировано, р и q — целые), не со-
содержащую ни одной из точек xv ..., хп, ; это следует из того,
что множество <хп + ^> при всех л, /?, q=l, 2, ... счетно и по-
этому содержит заведомо не все точки оси; в качестве л:0 можно взять
любую точку, не входящую в это множество. Таким же образом
построим на оси у совокупность чисел у0 -f- j~, не содержащую
ни одной из точек разрыва функции F2 (у). Прямые х = xQ -\- ~
и yz=zyo-\-?g (p = p, + 1, + 2, ...; q фиксировано) определяют
сеть — разбиение плоскости на квадраты со стороной-^, границы
которых не несут положительной меры. Теперь можно устанавливать
соответствие между квадратами сети на плоскости и интервалами оси
так же, как мы делали в § 4, но с одним изменением: в § 4 квадрату
плоскости мы ставили в .соответствие интервал длины, равной площади
квадрата, а теперь будем ставить в соответствие интервал длины,
равйой р-мере квадрата. Разумеется, нужно следить, чтобы при соот-
соответствии сохранялось отношение включения. Так же как и в § 4,
мы убеждаемся в том, что построенное соответствие будет взаимно
однозначным с точностью, до множества р-меры нуль на плоскости
и лебеговой меры нуль на прямой. Всякому множеству на плоскости,
измеримому по мере р, будет соответствовать измеримое по Лебегу
множество на оси той же меры Лебега. Отметим некоторые осо-
особенности этого соответствия. Точка (л:0, у0) на плоскости, имеющая
положительную р-меру, переходит в целый интервал оси соответст-
соответствующей длины. Таких интервалов будет не более счетного множества,
и мы обозначим их 81? ..., Ьп, ... С другой стороны, квадрату сети
на плоскости, мера которого равна нулю, отвечает отдельная точка
ОСИ X.
Ступенчатой функции на плоскости, принимающей постоянные зна-
значения на квадратах сети, отвечает ступенчатая функция на оси, по-
постоянная на каждом из интервалов blt §2, ¦.. Интегралы ступенчатых
функций, соответствующих друг другу,— первый по р-мере на плоско-
плоскости, второй по мере Лебега на оси — равны. Предельным переходом
от указанных ступенчатых функций на оси мы получим все суммируе-
суммируемые функции, постоянные на интервалах §1? §2, .. ., §п, .. .; соответ-
соответствующий предельный переход на плоскости приведет к совокупности

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 321
функций, суммируемых по мере р. Каждому свойству интеграла Лебега
на прямой, относящемуся к функциям, постоянным на интервалах {§„},
соответствует некоторое свойство интеграла Лебега — Стильтьеса с ме-
мерой р. Таким образом, указанное соответствие освобождает нас от
необходимости специально передоказывать для интеграла Лебега—Стиль-
Лебега—Стильтьеса все те теоремы, которые мы доказали (гл. IV и VI) для инте-
интеграла Лебега; все эти теоремы автоматически оказываются справедли-
справедливыми и для интеграла Лебега\—Стильтьеса.
6. Производящая функция в случае нескольких пе-
переменных. Пусть ?, 7j — произвольная точка в квадрате До и
Д^—промежуток, выделяемый неравенствами х=^?, у^Ц- Положим
Функция F{Z7ri) по формулам, аналогичным формулам B) — F) п. 2,
§ 5, позволяет восстановить меру рД Для каждого промежутка Д и на-
называется поэтому производящей функцией меры рД. Эта функция
F(Z7 *]) <<не убывает» — в том смысле, что при ?=^1$', q^q' имеем:
не, чх
а также «непрерывна сверху», т. е.
0, тз + О)= lim
Обратно, каждая функция, которая не убывает и непрерывна сверху
в указанном смысле, может служить производящей функцией для не-
некоторой вполне аддитивной меры.
Интеграл Стильтьеса от функции <р(х, у), построенный по произво-
производящей функции F (Z, *]), записывается в виде
ъ ь
$
а а
Вместо неотрицательной меры рД можно рассматривать меру рД
произвольного знака с ограниченным изменением', под этим последним
свойством мы понимаем тот факт, что при любом разбиении основного
квадрата До на промежутки Дх, ..., Дго имеет место неравенство
1рдЛ---. + [рДт1<с A)
с фиксированной постоянной С. В соответствии с этим и вместо не-
неубывающей производящей функции F (дс, у) можно рассматривать произ-
производящую функцию ^(д;, у) с ограниченным изменением*, это послед-
последнее означает, что мера рД, построенная по общим правилам по функции
21 г. Е. Шилов

322 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
F(xyy)j должна удовлетворять неравенству A). Разумеется, пред-
предположение о непрерывности сверху, обеспечивающее полную
аддитивность меры рД, должно быть сохранено и в этом, более
общем случае.
§ 7. Применение интеграла Стильтьеса в анализе
Интеграл Стильтьеса имеет многочисленные применения. Мы приведем
в этом параграфе вывод трех формул из трех разных разделов математического
анализа. Еще одна формула — именно представление положительно опреде-
определенной функции — дается в § 7 гл. VII.
1. Линейные функционалы в пространстве С(а,Ь). Про-
Простейшим линейным непрерывным функционалом в пространстве C(at b) всех
непрерывных функций <р (х) на отрезке [а, Ь] является значение функции <р(х)
в фиксированной точке х — $. Оказывается, что общий вид линейного функцио-
функционала в этом пространстве получается «стильтьесовским комбинированием»
таких простейших функционалов; именно, справедлива следующая теорема:
Теорема 1 (Ф. Рисе). Всякий линейный непрерывный функционал
/1?1 в пространстве С(а,Ь) может быть записан в форме
A)
где F {?) —некоторая функция с ограниченным изменением, непрерывная
справа.
Доказательство будет проведено в несколько этапов.
I. Рассмотрим линейное пространство К ограниченных функций <р (х), задан-
заданных на некотором множестве X. Предположим, что на пространстве К задан
линейный функционал /[<р], удовлетворяющий условию
с фиксированной постоянной С.
Мы утверждаем, что всякой ограниченной и возрастающей последова
тельности ч„{х)?К отвечает сходящаяся hoc ледователъноетъ /[<р„]. В са
мом деле, для любой <р?/С можно написать:
при соответствующем выборе знака « + » или «—». Для заданной ограничен
ной (например, числом М) возрастающей последовательности ,<рн(^/С
составить ряд
л-ю частную сумму этого ряда в соответствии со сказанным можно записать
в форме
= f\± (?« - ?i) ^ («P» - Ъ)
Ho
откуда в силу B)

§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛЬТЬЕСА В АНАЛИЗЕ 323
и, следовательно, ряд
сходится; а это и означает сходимость последовательности $ [<р„].
Естественно возникает вопрос; одинаково ли предельное значение / [<р„] для
двух разных последовательностей <р„, сходящихся, возрастая, к одной н той
же функции <р?
Мы ограничимся здесь следующим простым утверждением: исходя из
данных последовательностей уп/*? и Ф„ / Ф, построим строго возраста-
возрастающие последовательности <р„г=<ри , ф„ = ф„ — -—; если для любого п
можно найти k и т так, что §т > <р„, <р& > ф„, mo lim/[<pn] = Нт/[ф„].
Действительно, в этом случае мы можем построить новую последовательность
также сходящуюся к <р; по доказанному значения функционала / на этой по-
последовательности имеют предел; но это означает, что числа /[<р„] и /[Ф„] стре-
стремятся к одному и тому же пределу.
То же относится, очевидно, к убывающим последовательностям.
Такое положение всегда имеет место, например, в случае, когда К есть
пространство С всех непрерывных функций на отрезке или на замкнутом
ограниченном множестве в/?-мериом пространстве. Действительно, фиксируем п
н будем неограниченно увеличивать т. Предположим, что для каждого т мно-
множество Ет точек, где фт ^9п » будет непустым. Замкнутые мно-
множества Ет образуют убывающую последовательность (EY Z) Е2 :э...), и если
каждое из них непусто, то у всех этих множеств найдется общая точка ха.
Переходя в неравенстве
Фда(*о) — — ^?п (*о)~—
к пределу при т—>• оо, получим:
или
что невозможно.
Таким образом, в случае пространства С функционал/может быть одно-
однозначно определен на классе ограниченных функций С+, которые являются
пределами возрастакпцих последовательностей непрерывных функций. На
классе С+, очевидно, сохраняется равенство /[<р+Ф]==/[<р]+/[ф]. Образуем
класс R из разностей g= <р — ф, <??С+, Ф^С+, и положим /[5]=/И —/[ф]-
И это определение приводит к однозначному результату (ср. § 2 гл. IV). Функ-
Функционал / остается аддитивным и однородным на всем классе R. Если в классе К
вместе с функциями у(х) и ф (х) содержится max |<p, ф} и min |<p, ф|, то в классе/?
сохраняется и неравенство B); точнее говоря, из g^R следует, что
^Csup \g{x)\. C)
В самом деле, пусть
21 •

324 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Й ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
Обозначим sup ] <р (х) — ф (х) | = ц. Если sup | <р„ (х) — ф„ (х) \ ^ у. при любом л,
то искомое неравенство C) получится предельным переходом из неравенства
имеющего место, поскольку <р„ — Фп€^> В общем случае мы заменим функ-
функцию <р„на<рп по формуле
?„ = max [<[>„ -11, min (<р„, фп
которая «обрезает» функцию <рп в границах ф„ rt: ji. Вместе с функциями <рп и фп
функции <р„ также возрастают и стремятся к <р. Но теперь уже | <р„ — ф„ |^щ
и, следовательно, утверждение справедливо.
II. В качестве пространства К рассмотрим пространство C(at b) всех не-
непрерывных функций ср(х) на отрезке [а, Ь). Заданный линейный непрерывный
функционал /[<р] согласно I однозначно распространяется на некоторый класс
разрывных функций; не описывая этот класс в целом, заметим только, что он
содержит характеристические функции любых промежутков оси. Введем функцию
где йя, а(х) равна 1 при a^x^l и 0 при ?<х^&.
Покажем, что функция Z7^) обладает ограниченным изменением. Пусть а =
<?t <...< ?„ = & — некоторое разбиение отрезка [а, Ь]\ оценим сумму
п — г
Очевидно,
и
«—1 «—
2 |/г(е/+1)»/г(МП=/[ 2 *х<е
У=о у=о
Функция, стоящая под знаком /, по модулю не превосходит 1; поэтому в силу
неравенства C)
откуда и вытекает, что функция F(x) имеет ограниченное изменение.
Проверим далее, что F(x) непрерывна справа, т. е. при любом $<& и
любой последовательности Е„\?
F$) = KmF$h\ D)
Последовательность ф„ (х) = Xifl, -.^ (х), убывая, стремится к функций ф(х) =
= Ую й(х). Числа / [ф„] в /[ф] определены однозначно; в частности, /[ф]
есть предел чисел /[<рй], где 9„ (х) — непрерывная функция, равная, например,
1 при х^^ 1 равная 0 при x^5-J и линейная в промежутке

§ 7]
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛЬТЬЕСА В АНАЛИЗЕ
325
Чтобы установить искомое соотношение /[фп] —*/[Н нам достаточно по-
показать, что для любого п можно найти k и т так, чтобы выполнялись нера-
неравенства
"о элементарным геометрическим построением (рис. 13) легко показать, что
для заданного п искомые k и
т всегда существуют. Таким
образом, соотношение D) спра-
справедливо.
Заметим, в частности, что
если функционал/[ср] неотрица-
неотрицателен, т. е. принимает значе-
значения ^0 на функциях fp(x):^0,
то *это свойство сохраняется и
при расширении функционала
на указанный класс разрывных
ФУНКЦИЙ. ПОСКОЛЬКУ При ? <7]
Рис. 13.
мы имеем Х[о> Si W *Q [o, т! (х) "
в этом случае /7(?)^/7G)),'т. е.
F(l) — неубывающая функция.
Функция F(x) как функция с ограниченным изменением может служить
интегрирующей функцией'для интеграла Стильтьеса. Мы имеем при этом
j
E)
a
вместе с характеристическими функциями интегралов равенство E) справедливо
для всех ступенчатых функций; а так как каждая непрерывная функция есть
предел равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций, то,
переходя к пределу, получаем равенство
а
справедливое уже для любой непрерывной функции ср(х). Теорема доказана.
III. Наметим путь обобщения этой теоремы на случай функций нескольких
независимых переменных.
Функционал/[ср] на пространстве С непрерывных функций (для простоты
двух переменных х и у), меняющихся в квадрате a^x^b, a^y^b1),
в соответствии с п. I можно продолжить на класс разрывных функций, содер-
содержащий характеристические функции всех прямоугольников. Введем функцию
двух переменных
F& ч) =
') К этому случаю сводится и общий случай, когда функции <р {х, у) ме-
меняются на произвольном ограниченном замкнутом множестве F. Множество F
можно заключить в квадрат 0 указанного вида и каждую непрерывную функцию,
не увеличивая верхней грани ее модуля, продолжить до непрерывной функции
на (?. Так как, обратно, каждая непрерывная функция на Q непрерывна и на Fb
то можно считать функционал / заданным на всем C(Q).

326 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
где 1{С1у О) ? ? 7j] (х, у) есть характеристическая функция прямоугольника [а ^ х ^ 5»
а^у ^7i]=^ т. Тем же приемом, что и в п. II, можно доказать, что функция
F($, t\) имеет ограниченное изменение и непрерывна сверху (см. конец § 6)
и, следовательно, является интегрирующей для некоторого интеграла Стильть-
еса. Далее, поскольку
ьь
аа
переходом к линейным комбинациям и пополнением по метрике С мы получаем
для любой непрерывной функции
ъ ъ
а а
Аналогичные рассуждения можно провести и для случая любого числа пере-
переменных.
2. Абсолютно монотонные функции. Бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция /(х), определенная на отрезке а^х^Ь(—оо^а, &^оо),
называется абсолютно монотонной, если она сама и все ее производные
неотрицательны;
<*)^0 (л = 0, 1, 2, ...).
Абсолютно монотонной функцией является положительная постоянная, а также
функция вида е*х (я > 0). Оказывается, если отрезок а^х^Ь имеет беско-
бесконечную протяженность, то всякая абсолютно монотонная функция получается
«стильтьесовским комбинированием» простейших абсолютно монотонных функ-
функций е**. Ограничимся для определенности полупрямой — оо < х < 0.
Теорема 2 (С. Н. Бернштейн). Всякая абсолютно монотонная при
х < 0 функция f (x) может быть записана в фдрме
00
A)
где F (а) — некоторая неубывающая ограниченная функция.
Впрочем, постоянную С можно включить в интеграл, если добавить еще
скачок функции F(a) при сс = О.
Прежде чем доказывать эту теорему х), выясним некоторые свойства абсо-
абсолютно монотонных функций. Так как f(n)(x)^0 и не убывает, то существует
предел в„= lim/n)(x); очевидно, что Go^ 0, Ьг = Ь2^= ... =0. Мы утверждаем
х-+ — со
далее, что функции /(п> (х) стремятся при х -*- — оо к нулю настолько быстро,
что сходятся все интегралы
о
— CD
причем значение интеграла /„ таково:
По Б. И. Коренблюму, Успехи матем. наук, 1951, т. б, № 4.

§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛЬТЬЕСА В АНАЛИЗЕ 327
где M=f(Q)— /(—оо). Действительно, для любого п^\ и х<0
X
2
так что следующая производная убывает при х -*- — оо по крайней мере на
один порядок (по степени х) быстрее, чем предыдущая; так как /1 — ] —
/()*-0, то /(П) (х) х" -*- 0 при любом /г. Поэтому при интегрировании по
частям
— ОО —00
внеинтегральнын член обращается в нуль. Продолжая интегрирование,
получим:
и
= J /'(x)rfx = /@)-/(-oo)
— 00 —СО
ч,то и требовалось.
Переходим к доказательству теоремы 2. По формуле Дирихле
X X
— СО —00
— 00
В этом интеграле произведем подстановку ?== — /г^; тогда получим:
00
00
= J
X
где

328
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[ГЛ. VI
Мы утверждаем, что функции Fn (t) равномерно ограничены при всех t
Действительно, заменяя в интеграле B) величину — nz на rj, получим:
со
введем функции
<Pn (*.*) =
о,
Эти функции стремятся при л
оо равномерно по
X
к пределу
<р
Отметим, что эта экспонента возрастает при t -> оо до значения 1 в силу пред-
предположения х < 0.
В силу теоремы 2 Хелли (§ 6) из последовательности неубывающих функ-
функций Fn (t) можно выбрать всюду сходящуюся последовательность; по теореме 1
о сходимости интегралов Стильтьеса (см. Замечания 1 и 2 после этой теоремы)
имеем:
ОО 00
J 9„ (*. х) dFn (t) -> J ? (t, x) dF{t).
Следовательно, при х < О
00 X
заменяя
здесь — на
а, мы получаем искомую формул у A).
3. Отображение единичного
круга в правую полуплоскость.
Найдем общий вид функции w=f(zO ана-
аналитической в круге 1 2 | < 1 и имеющей не-
неотрицательную вещественную часть, т. е. отоб-
отображающей круг | 2 | < 1 в правую полуплос-
полуплоскость. Примером служат постоянная a -f- /{*,
а^О, а также функция
с произвольным вещественным t. В самом
деле, при заданном t и | z \ ^ I точки 2, =
,it
Рис. 14.
2 и 22 = elt — z находятся в пределах
круга Q радиуса 1 с центром в точке е1 на одном
диаметре этого круга (рис. 14). Весь этот
диаметр виден из начала координат (находящегося на окружности круга Q)
к
под углом —; отрезок диаметра между точками гх и 22 виден под углом

§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛЬТЬЕСА В АНАЛИЗЕ 32$
7Т 71
аг^-—. Следовательно, 1 arg/^B)| = 1 arg zx — arg221 ^-y, откуда вытекает,
что Re ft B)SsO.
Оказывается, всякая функция w = f(z), аналитическая в круге |г| < 1 и
отображающая этот круг в правую полуплоскость, получается «стильтьесовским
комбинированием» указанных простейших функций; именно имеет место сле-
следующая теорема;
Теорема 3. (Г. Херглотц). Всякая аналитическая функция в круге
| 2 | < 1 с неотрицательной вещественной частью может бить записана
в виде
A)
где {* — вещественное число, a F (t) — неубывающая функция.
Доказательство1). Как известно Аналитическая функция fB) в круге
\z\^r-^ 1 может быть представлена через граничные значения своей веще-
вещественной части и (z) по формуле Шварца
Этот интеграл можно записать в форме
С геп + 2
где
— неубывающая функция от tt Мы имеем, далее, по теореме о среднем для'
гармонических функций
Fr (t) < Fr Bтг) = =- f u (re*) dz = ^~u @),
так что семейство функций Fr(t) равномерно ограничено при всех/* < КФунк-
ции ¦ г* A г| < 1'фиксировано) сходятся при г-+\ равномерно по t к
re11 — ?
е1 *4- 2
функции tf . Из последовательности Fr(t)(r-+ 1) согласно теореме 2 § 6
можно извлечь подпоследовательность, всюду сходящуюся к некоторой неубы-
х) По Н. И. Ахиезеру и И. М. Глазману (Теория линейных операторов-
Гостехиздат, 1950). Формулу Шварца см., например, А. И. Маркушевич
Краткий курс теории аналитических функций, изд. 2-е, Физматгиз, 1961, гл. 6*

¦330 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
вающей функции F{t)\ применяя теорему 1 § 6, получим:
С
2Х
relt —z Г elt — г
что и утверждалось.
Замечание. По формуле A) может быть представлена и постоянная
«^0; для этого достаточно положить F(t) = at.
§ 8. Дифференцирование функций множеств
1. Теоремы о дифференцировании функций от множеств можно сформу-
сформулировать наиболее общим образом, отвлекаясь от природы того основного
множества, по которому производится дифференцирование.
Пусть дано некоторое абстрактное множество Xи некоторое семейство/,
вещественных функций /(х), определенных на множестве X. Относительно се-
семейства L предполагается, что оно представляет собой линейное пространство
-с обычными операциями сложения и умножения на числа, содержит все постоян-
постоянные и вместе с каждой функцией f(x) содержит ее модуль |/(х)|. Отсюда
можно вывести, что из f?L следует /+€?, /~€^ и из /€^> #?? следует
тпах(/, g)?L и min(/, g)?L
Пусть, далее, на семействе L задан «интеграл» /, иными словами, задан
-линейный функционал, обладающий приведенными ниже свойствами а) — ж):
а) Из <р (х) ^ 0 следует /<р ^ 0.
Отсюда вытекает, что /<р==^/ф для <р*^ф и что'|/«р|^/A«р1)-
б) Если <р„, монотонно возрастая, стремится к функции <р и /<р„ огра~
<ничени% то <pg? и /ср = Ит/ср„.
Функция ср (х), для которой /(|<р() —0, называется /-эквивалентной нулю,
•а множество, где такая функция отлична от нуля,— множеством /-меры нуль.^
в) Любая функция <р (х), отличная от нуля только на множестве
1-мерн нуль, входит в пространство Ц и /<р = 0. '
г) Пространство Lj классов /-эквивалентных функций есть полное
-нормированное пространство с нормой-
Из г) можно вывести, что совокупность тех <р??, для которых \<?\
^образует полное гильбертово пространство со скалярным произведением
д) Имеется некоторая совокупность ограниченных функций LQf плот-
пая в пространстве Lj.
Совокупность всех функций <р??/, которые являются пределами возра-
возрастающих последовательностей функций <р„?А)>обозначается через L^~,
е) Каждая функция y?LT есть разность двух функщй% входящих
€ класс Lf.
Имея множества меры нуль, естественно определить и понятие «почти
всюду». Например, последовательность функций сходится почти всюду, если
•она сходится во всех точках множества X, кроме, быть может, множества
меры нуль. Предел последовательности функции <рл(х)??/, сходящейся почти
всюду, мы назовем /-измеримой функцией.
ж) Произведение двух /-измеримых функций есть /-измеримая функция:
частное 1/ср есть /-измеримая функция, если знаменатель <р /-измерим и
•обращается в нуль самое большее на множестве /-меры нуль*

§ 8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВ 331
Можно доказать, так же как и в гл. IV, что /-измеримая функция, огра-
ограниченная по модулю /-суммируемой (т.е.функцией<р?4г)'сама /-суммируема.
В частности, всякая ограниченная /-измеримая функция является /-суммируемой.
Примерами совокупностей Lf могут служить пространства интегрируемых
функций по мере Лебега или мере Стильтьеса на отрезке оси или в области
л-мерного пространства.
2. Нашей задачей является сравнение двух интегралов / и /, удовлетво-
удовлетворяющих поставленным условиям. Предполагается, что совокупность Lj функ-
функций <р> интегрируемых с помощью функционала / (короче, /-интегрируемых),
и совокупность Lj функций ф, интегрируемых с помощью функционала J
(/-интегрируемых), определены на одном и том же множестве X и имеют пе-
пересечение ?0 (функции, одновременно /- и /-интегрируемые), плотное в Lj
яо метрике Lj и в Lj по метрике Lj.
Будем говорить,,что интеграл/абсолютно непрерывен относительно инте-
интеграла /, если для любой ФёА, из ф^О, /ф —О, вытекает /ф = 0.
Пусдь, например, / есть интеграл Стильтьеса на отрезке [а, Ь] с абсолютно
непрерывной неотрицательной интегрирующей функцией/7^), а / — интеграл
Лебега на том же отрезке. В качестве множества Z.o возьмем совокупность
всех ограниченных измеримых• функций. Если Ф??о, Ф^О и /ф = 0, то, как
мы знаем, функция & равна нулю почти всюду; но тогда и
г/ г/
/ф — С ф dF = С ф Ff (х) dx — О,
т. е. интеграл / абсолютно непрерывен относительно интеграла /в только что
определенном смысле. Как мы видели в § 5, в этом случае /-интегрируемые
функции <р характеризуются тем, что произведение функции <р на некоторую
фиксированную /-интегрируемую функцию g(= F' (х)) есть снова /-интегри-
/-интегрируемая функция.
Аналогичный факт справедлив и в общем случае; мы докажем далее сле-
следующую основную теорему:
Теорема (Радона — Никодима). Для того чтобы интеграл I был абсо-
абсолютно непрерывен относительно интеграла /, необходимо и достаточно*
чтобы существовала J-интегрируемая функция ф0 такая, ято произведение
¦ф0 и любой I-интегрируемой функции <р есть снова J-интегрируемая функ-
функция и
Доказательство1). Достаточность условия теоремы очевидна: если
]?„ ф5=0, /ф==0, то множество, на котором ф > 0, имеет /-меру нуль;
в силу аксиомы в) функция фф0 ? Lj, / (фф0) = 0 и, следовательно, /ф = / (фф0) = 0.
Мы должны показать, что условие теоремы необходимо для абсолютной непре-
непрерывности / относительно /.
Рассмотрим сначала случай, когда /^/, т. е. для любой ср (х)^0, cp^Z.o, име-
имеет место неравенство /«р=^/«р- В этом случае всякое множество /-меры нуль
будет и множеством /-меры нуль. Всякая /-измеримая функция, как предел
/-почти всюду сходящейся последовательности «рп€^о> будет и /-измеримой
функцией.
Мы утверждаем далее, что в этом случае интеграл / можно доопределить
на всех функциях €А
') По Ф. Риссу.

332 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
Действительно, можно образовать последовательность <рл€А» сходящуюся
Д, ро оседоте
к заданной функции «рё^-У п° метрике Lj, так что
Но тогда
так что последовательность <р„ фундаментальна по норме /./. Положим
/ср = lim /ср„. Это определение, как легко видеть, однозначно, и для ? 5= О всегда
Мы утверждаем, во-вторых, что функционал /, доопределенный, как ука-
указано, на все пространство Lj, является на любом пространстве LPJ(p'^\) ог-
ограниченным функционалом по норме LPj. Действительно, для <р€-?у имеет ме-
место неравенство
/1П
так что функционал/заведомо ограничен на единичном шаре пространства/,^.
Мы рассмотрим только значение /> — 2. Согласно теореме об общем виде ли-
линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (гл. V, §2)
существует функция g?L2j такая, что для любой <р€^у
A)
Мы утверждаем, что функция g заключена в границах 0^g{x)^\ почти
всюду по мере J. Действительно, положим в равенстве A) <р = ?"""; тогда мы
получим:
ГёГ =
и так как /?~S=0, J((g"M)^Q, то
так что множество точек, где g~~ (x)^0, имеет /-меру нуль. Итак, почти
всюду по мере J мы имеем g(x)^0. Второе неравенствоg(x)^ 1 получается
заменой в предыдущих рассуждениях функционала /на J — /.
Равенство A) установлено для всех <р€-^/ Перенесем его теперь на все
функции y?Lj. Достаточно рассмотреть функции класса Lj, По определе-
определению каждую функцию <р€-Ч~ можно представить в виде предела возрастающей
последовательности функций <рл€А>- Для функций <рл равенство ^1) справедливо:
Вместе с соотношением ?пУ*9 также имеет место и соотношение gyn/ gy.
В силу свойства б) функция gy принадлежит /./, причем
= lim
Итак, для любой (р€^/ мы имеем gy?Lj и J(gy) = fy. Имеет ^есто и обрат-
обратное утверждение в следующей форме: если ср /-измерима и gy^Lj, то <f>€^-/
и /<p = /(gtp) J). Для доказательства положим <p# = mln{ l?!'^}- Функция срд^
ограничена и /-измерима, следовательно, /-суммируема, и по доказанному
I J(). Так как J(gyw)^ J(g\ 9 I)» то числа /ср^ ограничены; отсюда
принадлежит /,/, что и требовалось.
*) Если к числу наших аксиом добавить аксиомы, связывающие, как у Ле-
Лебега, измеримые функции с измеримыми множествами, то условие /-измери-
/-измеримости ф станет излишним (ср. § 5, п. 3).

§ 8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВ 333
Мы доказали теорему Радона — Никодима в случае I^J. Переходим те-
теперь к общему случаю.
Пусть /и 7—произвольные неотрицательные функционалы, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям ji. 1, причем / абсолютно непрерывен относительно /. Введем
функционал K=l-\-J. Так как I^K, J*^K> то существуют функции k и I,
принадлежащие пространству L*K и заключенные между 0 и 1 такие, что для
любой <р? ?/
/<Р = АГ(*р) B)
я для любой ф??/
Ц=К(Щ. C)
При <р = ф??в мы получаем:
и так как LQ плотно в LK, то и для любой
Мы утверждаем, что почти всюду по мере К имеет месту равенство
k + l = \. D)
Для этого возьмем в качестве <р характеристическую функцию е0 множества
?0 = \ k -j-1 < 1}. Мы получим:
или
ff[(I-(ft + QeJ = O. E)
Но функция [1 — (k-j-l)]eQ неотрицательна; в силу равенства E) она почти
всюду по К равна нулю. Следовательно, неравенство k-\-l<i 1 может выпол-
выполняться лишь на множестве .К-меры нуль. Аналогично и неравенство &-{-?> 1
может выполняться лишь на множестве >Г-меры нуль. Таким образом, D) вы-
выполняется почти всюду по мере К, что и утверждалось.
Итак, для всякой 7-суммируемой функции ф произведение A — k) ф /С-сум-
мируемо и имеет место равенство
*[1ф] F)
Равенство F) имеет место и в том случае, когда функция ф /-измерима,
а A — k) ф /С-суммируема; как мы видели выше, отсюда следует /-суммируе-
/-суммируемость функции ф. Возьмем в качестве функции <р в B) и в качестве ф в C)
характеристическую функцию е множества Z, где k(x)=\; тогда получим-
Мы видим, что множество Z имеет /-меру нуль- Так как /абсолютно непре-
непрерывен относительно /, то и /е = 0 и Ке = §\ множеств^ Z имеет/-меру н} ль
и .К-меру нуль. Пусть теперь <р — любая функция из пространства LT. Найдем
функцию ф из условия
&р = A — k) ф.
Имеем:
\ k ] и.
Здесь ky^LK есть ./^-измеримая функция. Коэффициент-^ г — также /С-из-
меримая функция, поскольку знаменатель обращается в нуль на множестве

334 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. VI
/С-меры нуль. Поэтому ф есть /-измеримая функция, а следовательно, и У-из-
меримая функция. Так как A — k)fy = ky?LK) то ф ./-суммируема и
k
Полагая в G) у = \, находим, что Фо —-j -. есть J-интегрируемая функ-
ция. Тем самым теорема Радона — Никодима доказана полностью.
Заключительное замечание. Связь дифференцирования и интегри-
интегрирования, описанная нами в §§ 1—3, была найдена впервые Лебегом
A902) и является одним из важнейших достижений лебеговской теории
интегрирования. Несколько ранее A894) Т. Стильтьес (голландский ма-
математик, 1856—1894), занимаясь теорией непрерывных дробей, пришел
к новому понятию интеграла, называемого теперь интегралом Римана —
Стильтьеса.' С работы *Ф. Рисса, который в 1909 г. получил пред-
представление общего вида линейного функционала в пространстве непре-
непрерывных функций с помощью интеграла Стильтьеса., начинается широкое
проникновение интеграла?тильтьеса в ^мые различные области анализа;
вместе с тем развивается и общая теория меры, переходя постепенна
с прямой на многомерное пространство и затем на абстрактнее множе-
множества. Именно в таком общем виде теория меры и интеграла оказалась
способной участвовать в задачах высшего анализа, таких, как гармо-
гармонический анализ на группах, теория случайных процессов, динамиче-
динамические системы и др. Рекомендуемая литература: П. Халмош, Теория
меры, ИЛ, 1953.

ГЛАВА VII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ I. О сходимости рядов Фурье
I. Во многих вопросах анализа используется разложение функций
в ряд Фурье. В простейшем случае, для отрезка —тт^х^тт, эта
разложение, будучи записано в комплексной форме, имеет вид
<р(*)= 2 «»«""• A)
т= — да
Разложение в ряд Фурье, сравнительно с другими возможными разло-
разложениями, появляется чаще по следующим причинам. Во-первых, функ-
функции ешх при различных т ортогональны [в метрике комплексного
гильбертова пространства Ьг( — тт, тг)], так что разложение A) есть
разложение по ортогональному базису. Во-вторых, функции eimx = um(x)f
будучи продолженными на всю ось с периодом 2тт, остаются превос-
превосходными по своим аналитическим качествам (целые аналитические функ-
функции) и удовлетворяют простым функциональным уравнениям, таким, как.
или
um{x) = imum{x).
В-третьих, коэффициенты разложения A) вычисляются по простым
формулам:
271
— те
Вопрос о сходимости ряда Фурье A) может иметь разные формы.
Во-первых, можно выяснять, сходится ли ряд Фурье в данной точке х0.:
Во-вторых, можно рассматривать сходимость ряда A) в различных
нормах. Вторую постановку мы уточним в п. 2; здесь же мы займемся
первой постановкой, т. е. изучением сходимости ряда Фурье в отдель-
отдельной точке в обычном числовом смысле.

336 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Мы докажем здесь следующую теорему, дающую достаточное
условие сходимости ряда Фурье A) к значению у(х) в данной точке х0.
Теорема 1. Если для суммируемой функции <р(х) сходится
интеграл
I*
— e
то частные суммы ряда Фурье функции ср (л:) в точке x = xQ схо-
сходятся к значению ®(х0).
Условие суммируемости отношения ——¦—~—i-i_i- При 11 < о на-
зывается условием Дини. Оно выполняется, например, если функция
) удовлетворяет условию Липшица порядка а:
В частности, если функция <р имеет в точке х конечную производную
{или хотя бы конечные производные числа, гл. VI, § 1), то выпол-
выполняется условие Липшица порядка 1 и, следовательно, числа sn (x)
сходятся к числу <р (х).
Приступая к доказательству теоремы, мы начинаем с преобразова-
преобразования выражения частной суммы sn(x) ряда A). Имеем:
п к
Произведем подстановку х — ?=—t. Будем считать, что4 функция
<р($) продолжена с отрезка [ — тт, тт] на всю прямую, как периодиче-
периодическая функция с периодом 2тт; тогда новые пределы интегрирования
— тт — х и тт — х можно будет заменить -на —тт и тт, ив результате
мы получим:
— п „. — п
Далее, суммируя геометрическую прогрессию, получаем:
П
Jkt
1-е-" tL _,! sinl
- Я о 2 _ 2 Sin
С- С- ?t
и, таким образом,
sin ( л -f — 1 г
v t dK w
sin —-

§ 1] О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 337
Функция
. *
an-
называется ядром Дирихле. Если положить ср(л;) = 1, то, очевидно
sn(x)^l при любом п; в этом случае формула C) дает:
f \ dt=l.
Z71 t
Разность sn (х) —¦ (f (х) теперь можно привести к виду
I
sin +
^Г^ dU
- - sin Т
Мы хотим выяснить, при каких условиях sn(x) стремится к ^(х),
или, что то же, интеграл D) стремится к нулю. Для этого докажем
лемму:
Лемма 1. Если <р (х) — суммируемая функция на отрез/се
[а, Ь], то интегралы
Ч ь
\ ^ (х) sin \x dXj \ tp (x) cos \x dx
а а
стремятся к нулю при \—*оо.
Доказательство. Пусть сначала <р(х) — характеристическая
функция интервала (с, d) с [а, Ь\. Тогда
ь d
Р ...-., Г' . » , cos lc — cos Ы л
\ tp (л;) sin Ax dx = \ sin \x dx = т > 0.
Любая ступенчатая функция h(x) есть линейная комбинация характе-
характеристических функций интервалов, поэтому для любой ступенчатой
функции утверждение леммы также справедливо.
Если же у(х) — произвольная суммируемая функция, то для задан-
заданного е^>0 мы найдем ступенчатую функцию h(x) так, чтобы иметь
22 г. Е. Шилов

338 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
и далее найдем \^>0 так, чтобы при |а|^>а0 было
ь
\\,lh(x)sinlxdx <C~z-.
Тогда при этих значениях \
b b Ъ
\ <р (х) sin \x dx ^ \ | ср (х) — h (x) \ dx -\- \\ h (x) sin lx dx
е,
откуда все следует. Для множителя cos Хх-доказательство анало-
аналогичное.
В частности, мы приходим к выводу: Коэффициенты Фурье ап
всякой интегрируемой функции ср (х) стремятся к нулю при п—> оо.
Вернемся теперь к интегралу D)
sin
Предположим, что при данном значении х суммируемая функция <р(л;)
определена и конечна и отношение
интегрируемо по i в пределах 111 ^ д, и, следовательно, и по всему
интервалу —тт^^^тт. Тогда и функция
ср (X + t) - ср (JC) ср (X + ^) -
. ^ ¦ t . t
sin- sm-
интегрируема в пределах —тг<^<^тг и к интегралу /л можно при-
применить лемму 1; в силу этой леммы 1п стремится к нулю при п—»-оо,
что нам и требуется. Таким образом, теорема 1 доказана.
Замечание. Условие Дини в ряде случаев можно ослабить, но вовсе
отбросить его с сохранением сходимости ряда Фурье нельзя. Существуют
даже непрерывные функции, у которых ряд Фурье в отдельных точках рас-
расходится (см. п. 3). А. п. Колмогоров построил пример суммируемой функции,
у которой ряд Фурье расходится в каждой точке *). До сих пор нет решения
проблемы, поставленной Н. Н. Лузиным в 1915 г.: будет ли сходиться почти
всюду ряд Фурье для функции / ? Lz?
В тех же терминах можно дать и условие равномерной сходимости
ряда Фурье.
*) См. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, ГОНТИ, 1939, гл. 8.

§ 1]
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
339
Теорема Г. Если на некотором множестве ?с:[ — те, те] сулелш-
руемая функция <р Ос) ограничена и условие Дини выполняется равномерно,
т. е. для любого е^> 0 можно найти 8 > О тал;,
г
-S
одновременно для всех х ? Д то ряд Фурье функции <р {х) сходится к ней
равномерно на множестве Е.
Для доказательства используем лемму, являющуюся усилением леммы 1.
Лемма Г. Соотношение
lim f / (/) sin X* <ft = О
осуществляется равномерно на любом множестве В суммируемых нЛ
[а, Ь] функций /(*), компактном по метрике Ьх(а, Ь\
Действительно, по заданному е>0 мы можем построить в Lx(a, b) ко*
нечную -трсеть для множества В; пусть это будут функции /, (t), ..., fm {t).
По лемме 1 можно найти ^ так, чтобы при X > Хо выполнялись неравенства
dt
(/=1, 2, ... , т).
Если теперь f(t) ^ fi — любая функция и для некоторого / мы имеем
K-^. то при Х>Х0
что и требовалось доказать.
Переходим к доказательству теоремы Г. Для заданного s > 0 найдем
5 > 0 так, чтобы иметь при всех х ? Е
Тогда
-5
— ¦к
Ь
Ы J ' 2п
-s
^ 3 "
-5
E)
F)
22"

340
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Так как
< 1, то первое слагаемое в силу E) не превосходит -%• для
о
2тс sin —
всех х ? Е. Для оценки остальных слагаемых покажем, что функции
. 1 ср (х -|- /) — «р (х)
2тс . t
как функции от t ? [S, 71] с параметром х ? ?", образуют компактное множе-
множество $ в пространстве Z-j (8, 71). Пусть хп ? ?" — любая последовательность
точек; можно считать, что хп стремятся к некоторой точке х0 и что значения
стремятся к некоторому числу с0. Тогда в метрике /^(S, тс) мы получим
+ *)—»¦? (*о + 0 и» значит,
-/^o (OIL
1
2тс
у(хп -f
-/) —«р
(х0+1)
i
+ 2тс
х„) — <
sin 4
1 1
J [II <Р (*п + 0 - <Р (*в + *) II +л I 9 (*я) — с0 1] —* О,
т. е. последовательность /*„ (/) фундаментальна в Z., (S, тс).
Таким образом, множество В компактно. По лемме Г можно найти Хо
так, что при п > Хо
(JC + /) - ср (JC) .
8Шу
одновременно для всех х ? ?. Аналогичное построение можно провести для
последнего слагаемого в F). В результате мы видим, что при достаточно
больших п величина | $п (х) — <р (х) | становится < е сразу для всех х ? Д чем
теорема Г и доказана.
Следствие. ?с./ш в некотором промежутке [а, р] с: [ — тс, тс] все
производные числа суммируемой функции <р (х) остаются ограниченными
некоторой постоянной К, то ряд Фурье функции ср (х) сходится равно-
.мерно на любом отрезке [а', [Г] таком, что а < а' < р' < р.
Действительно, при л; ? [а', р'] мы имеем:
+ /) — ср (х)
АГ
для всех | /| ^min(p — р\ о! — а), так что на отрезке [а', р'] функция ср (х)
ограничена и условие Дини выполняется равномерно.
Например, если суммируемая функция ср (х) равна нулю на отрезке [а, р]
то ее ряд Фурье сходится к нулю равномерно в люйем внутреннем по отно-
отношению к [а, р] отрезке [а', р'].
Задачи. 1, Если функция у(х) непрерывна в точке х~х0 и в окрест-
окрестности точки xQ имеет ограниченное изменение, то ряд Фурье функции ср (х)
при х~х9 сходится к ср (х0).

§ 1] О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 341
Указание. Достаточно рассмотреть неубывающую ф(л;). Использовать
вторую теорему о среднем:
h h
nh
fsin t
dt.
v t
2. Без предположения непрерывности ср (х) в задаче 1 ряд Фурье схо-
сходится к значению -^-[ф (я0 + 0) + ? (х0 — 0)].
Указание: В силу четности ядра Дирихле
2. Переходим к вопросам о сходимости ряда Фурье
2 «У A)
/Н=—со
по нормам различных функциональных пространств. Сначала напомним
известные факты относительно сходимости рядов Фурье. В элемен-
элементарных курсах анализа доказывается, что всякая непрерывная на
[ — тт, тт] функция (f(x)t кусочно-гладкая и удовлетворяющая условию
tp (тт) = tp (— тт) (обеспечивающему непрерывность 2тт-периодического
продолжения функции <р(л;) на всю ось), разлагается в ряд Фурье,
сходящийся абсолютно и равномерно, т. е., в частности, по норме
пространства С( — тт, тт). С другой стороны, в гл. V мы видели, что
всякая квадратично интегрируемая на [ — тт, тт] 4>Ункиня cp(x) есть
сумма ряда Фурье A), сходящегося к tp(x) в среднем квадратическом
[т. е. по метрике пространства Lz (— тг, тг)].
Ряды по функциям ешх можно строить и изучать и в других нор-
нормированных пространствах функций на отрезке [—тт, тт]. Но всех нор-
нормированных пространств функций слишком много; мы ограничимся важ-
важным классом пространств, содержащим большинство тех, которые ис-
используются в аналитических применениях.
Определение. Нормированное пространство jR функций, опре-
определенных на отрезке [ — тт, тт], называется однородным простран-
пространством функций, если выполняются следующие условия:
1) Все функции tp (х) ? R суммируемы, и из сходимости <рп (х) —> tp (x)
по норме jR вытекает сходимость <р„(-*0—*-<р(-*0 по норме Lx (— тт, тт),
т. е. соотношение
тг
/1
)п (х) — w(x)\dx —> 0.

342 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
2) Если функцию ip (х) продолжить на всю ось х, как периодиче-
периодическую функцию с периодом 2тт, то при любом вещественном h будут
иметь смысл функции w(x~\-h) — сдвиги функции <р(х). Требуется,
чтобы все эти сдвиги принадлежали пространству jR вместе с функцией
<р (х) и чтобы норма со сдвигом не менялась:
(х)|| при любом h. B)
3) Пространство R содержит все тригонометрические многочлены —
линейные комбинации функций ешх, и их совокупность образует всюду
плотное множество в пространстве R.
Условиям 1—3 удовлетворяют многие из известных нам пространств
функций. Например, эти условия выполнены в пространствах L (—тт, тт)
для всех р^ 1. В пространстве С( — тт, тг) всех непрерывных функций
на [ — тг, тт] условие 2 не выполнено, так как непрерывная функция
w(x) при ср(тг)=т^ср(—тт) перестает быть непрерывной после периоди-
периодического продолжения на всю ось и, например, «р (jc —j— тт) уже не входит
в С( — тт, тт). Но если мы рассмотрим не все пространство С( — тт, тт),
/\
а только его подпространство С (— тт, тт), выделяемое условием
/\
<р(— тт) = ср (тт), то С(—тт, тт) будет уже удовлетворять всем усло-
/^
виям 1—3. Аналогично подпространство Dn( — тт, тт) пространства
Dn (— тт, тт), выделяемое условиями <р(— тт) = ср (тт), tp'(—тт) =
= <р'(тт), . . . , у{т(—тт) = ср(п)(тг), также удовлетворяет условиям 1—3.
Установим прежде всего вид ряда Фурье в однородном простран-
пространстве jR. Собственно, нам понадобится здесь только условие 1.
Лемма 2. Если для некоторой функции ср (х), входящей в од"
породное пространство R, разложение
со
?(*) =2 в.*'1"* C)
— СО
сходится по норме пространства R, то
есть обычные коэффициенты Фурье функции <$(х).
Доказательство. В силу условия 1 имеем:
ТГ
5 12 aJmx-4{x)\dx-+Q.
Но тогда и при каждом фиксированном k
— п

§ 1] О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 343
откуда, в силу ортогональности функций ешх «а [ — тг, тг]
it
р (х) е ~ikx dx = li m $ e ~ikx 2 ajmxdx = ak. 2тт,
™™* **
что и приводит нас к формуле D).
Следующее свойство функций, входящих в однородное простран-
пространство, играет важную роль в дальнейшем.
Лемма 3. Всякая функция w(x), входящая в однородное про-
пространство R, непрерывна относительно сдвига по норме: для лю-
любого г<^0 ложно указать такое §]>0, что при \h\<^$ имеем
||(+ ||
+) р()|<
Доказательство. Обозначим через Q совокупность всех
функций (р(х)?/?} непрерывных по норме относительно сдвига. Оче-
Очевидно, что совокупность Q есть подпространство пространства R: оно
содержит вместе с функциями cp(x) и ф(х) любую их линейную ком-
комбинацию. Покажем, что Q замкнуто по норме. Пусть ipn—^cp, где
tpnGQ. Для заданного s^>0 найдем номер п так, чтобы иметь
j|tp — (р^Ц^ Затем подберем § из условия непрерывности относи-
относительно сдвига функции (ри(л;)так, чтобы иметь ||<pn (x -\-h) — ^„W||<C
"о" ПРИ |А|<^8. В силу условия 2 мы будем иметь одновременно
и \\v(x-\-h)— ф„(л;-4-А)||<Г4-. Отсюда
11?» (*+¦*)-?»
так что функция tp (х) также непрерывна относительно сдвига. Нако-
Наконец, заметим, что каждая из функций ешх непрерывна относительно
сдвига, так как
еш* jf-^0 при
Таким образом, совокупность Q содержит все тригонометрические
многочлены и замкнута; поэтому в силу условия 3 Q=/?, и лемма
доказана.
Теперь мы переходим к формулировке основных наших проблем.
А. Дана функция <р (х) из однородного пространства R, и по
формулам D) вычислены ее коэффициенты Фурье. Будет ли ряд
со
Фурье ^атешх сходиться к функции у(х) по норме простран-
— со
ства R7
Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный: существуют
однородные пространства, и притом самые привычные нам, как

344
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
C{ — тг, тг) и Ll( — тг, тг), в которых ряд Фурье, во всяком случае
для некоторых функций, оказывается расходящимся.
Такой ответ вызывает естественное пожелание:
Б. Указать по возможности простой единообразный процесс,
позволяющий эффективно восстанавливать функцию <р (х) по ее ряду
Фурье, невзирая на возможную расходимость этого ряда.
В направлении выполнения этого пожелания мы получим здесь
следующий результат:
Теорема 2. Для любой функции y(x)?R средние арифмети-
п
ческие частных сумм sn(x)=^^ameimx ее ряда Фурье
— п
сходятся по норме к функции ip (х) при р —> оо.
3. В этом пункте мы убедимся, что в пространствах С( — тс, тс) и
L1(— тс, тс) имеются функции, ряды Фурье которых не сходятся по норме
пространства. Вначале мы покажем,
щ
t
' J
V
i
. i
> t
1 \*
\ \
1 \
У-- "
1
что
где
интегралы
Г
¦— it
\Dn
sin
(t)\
(¦¦
sir
dtt
4
Рис. 15.
В точках ^, где
неограниченно возрастают при л ^оо.
График функции Dn(t) дан на рис. 15.
( 1 \
тс отс
** * '
величина
sin ( n-\~-~- ] ^ обращается в единицу; в интервалах
тс
, 1, 2,
эта величина превосходит
восходит
1 D • *
~. В этих же интервалах величина sin™ не пре-
2л
Поэтому интеграл от \Dni?)\, распространенный только на указанные про-

§ 1] О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 345
межутки, заведомо превосходит
i
2тс VI 2 2л
оо.
Собственно, в этом факте и заключается основная причина того, что ряд
Фурье, вообще говоря, не сходится в пространствах С ( — тс, тс) и А(— ъ, я)»
Рассмотрим в пространстве С( — тс, тс) функционалы
sin(*+i)' ?
Sill -тр — тс
дающие значение частной суммы д„ (х) ряда Фурье для функции ср(х) при
х=0. Каждый из функционалов Ф„^) ограничен на единичном шаре про-
странства С( —тс, тс), но в совокупности они не ограничены на этом шарф.
Действительно, если брать в качестве ср(^) непрерывные функции, прибли-
приближающиеся к -j- 1 на интервалах, где Dn (t) положительно, и к — 1 на интер-
интервалах, где Dn (t) отрицательно, причем так, чтобы они по модулю не превос-
превосходили 1 и тем самым принадлежали единичному шару пространства
С( — п, тс), мы будем получать как угодно большие (при достаточно большом
п) числовые значения Фи (<р). Мы утверждаем, что существует и индивидуаль-
индивидуальная функция ?o(x)i на которой значения функционалов Ф„(^о) не ограничены
(и, значит, соответствующий ряд Фурье расходится при х = 0). Это вытекает
из следующей общей леммы функционального анализа:
Лемма 4. Если в полном нормированном пространстве R по-
последовательность линейных функционалов Ф„ не является ограничен-
ограниченной в шаре | ср | ^ 1, то имеется элемент сря> «# котором Ф„ [ср0] не огра-
ограничены.
Доказательство этой леммы приводится в Дополнении, § 2
(стр. 427).
Таким образом, заведомо имеется непрерывная функция, для которой
ряд Фурье расходится в точке х~0.
С небольшой технической доделкой такое же рассуждение можно про-
провести и для пространства Lx( — тс, л). Предположим, что для любого y?Lt
частные суммы ряда Фурье Sny стремятся по норме к элементу ср. Даже
можно предположить и меньше, а именно, что числа || Sny || ограничены для
каждого ??/¦!- Тогда мы можем утверждать, что числа [|Sncp[| ограничены
одной и той оке'постоянной К для всех ||<р||^1. Если бы это было не
так, то, применяя ту же лемму функционального анализа, мы нашли бы
элемент у0, для которого числа ||Sncp0|| не были бы ограниченными. Пусть
теперь ji(x) — любая ограниченная измеримая функция, например, не пре-
превосходящая 1 по модулю. Справедливо неравенство
Sn9 (х) v.(x) dx

346
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬВ
[ГЛ. VII
Вводя явное выражение оператора Sni мы получаем:
<?{x+f)Dn{t)v.{x)dtdx
К ТГ
Г. A)
— те — тс
— тс — тс
Но Легко показать, что такое неравенство не может выполняться при всех л»
любых срб^-i с I! ? II ^ * и любых измеримых р. (я) с | |i (я) | ^ 1. Действительно,
неравенство A) можно записать в виде
тс
B)
где Мп (?) — \ Dn (х — t) p. (х) dx есть, очевидно, непрерывная функция от L
— тс
Положим ср (t) равной — при 111 ^ е и 0 вкэ этого отрезка; при этом Ц ср || == 1,
а интеграл в B) превращается в среднее от функции Мп (t) по отрезку
J*| ^t. Переходя в этом неравенстве к пределу при е—^0, получим:
М„ @) I =
Dn(x)v.(x)dx
Функция р. (я) у нас еще не определена. Положим ее равной -)- 1 там,
где Dn (х) > 0, и — 1 там, где Dn (x) < 0; получим:
Но мы уже доказали, что такое неравенство не может иметь места для всех п.
Итак, заведомо имеется элемент сро€А> для которого частные суммы
$п9о'не сходятся к ср0 по норме Lx ( — п, п), щ
Доказанные факты, разумеется, не исключают того, что в отдельных од-
однородный пространствах сходимость Srtcp —> ср может иметь место для всякого
элемента ср. Но такой факт, если он имеет место, является специфическим
свойством рассматриваемого пространства R. Мы знаем, например, что этот
факт имеет место в пространстве L2( —п, п). Имеется также теорема М. Рисса,
в силу которой аналогичный факт справедлив и в любом пространстве
1р{ — ъ, п) при р > 1 1).
Замечание. Без предположения однородности пространства R и тео-
теорема 2 становится неверной; более того, может случиться, что никакие ли-
линейные комбинации частных сумм ряда Фурье функции ср (х) не будут схо-
сходиться к ср (х) по норме R.
Рассмотрим для примера пространство R, состоящее из функций ср(я), не-
лрерывных при |х| ^г~ , принадлежащих к L2 при |я|^я и имеющих норму
1) См. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, ГОНТИ, 1939, гл. 7.

§ 1] О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 347
Это пространство, очевидно, удовлетворяет условиям 1) и 3) однородно-
однородного пространства, но не удовлетворяет условию 2). Функция ?0(х), равная -f- -r-
при |х|^тг» и —. -г в остальных точках промежутка [—л,л], принадлежит
Zi ft
R и имеет формальный ряд Фурье
cos х =- cos Зх -f- -=- cos 5х —...
о о
Все члены этого ряда обращаются в 0 при x = zt -^ . Поэтому любая
линейная комбинация частных сумм этого ряда также обращается в нуль
при х = it: -г?. Так как сама функция ср0 (х) при х = ±-^- равна — , а схо-
сходимость по норме R требует, в частности, равномерной сходимости в
отрезке =- , -=- , то ясно, что не может существовать линейных комби-
L ^ ^ J
наций частных сумм ряда Фурье функции ?0(х), которые сходились бы
к сро(х) по норме пространства /?.
4. Основным аппаратом при доказательстве теоремы 2 будет у нас
интегрирование непрерывных абстрактных функций со значениями
в нормированном пространстве R. В этом пункте мы приведем соот-
соответствующие определения и необходимые элементы теории.
Пусть / (t) означает элемент полного нормированного пространства R,
зависящий от вещественного параметра t, или, что то же, функцию
параметра t с значениями в пространстве R. Такие функции называют
абстрактными функциями. Будем говорить, что f(t) непрерывно
зависит от параметра t в точке ? = т, если при t—>-т всегда
Абстрактная функция f(t), непрерывно зависящая от t при любом
t = 1 из отрезка a^t =^ d, называется непрерывной абстрактной
функцией от i на [а, Ь].
Следующие предложения, представляющие собой естественные обоб-
обобщения известных элементарных теорем анализа, легко доказываются
с помощью обычных рассуждений, использующих компактность отрезка:
а) Абстрактная функция f(t), непрерывная на отрезке, [а, Ь]у
ограничена по норме, так что \[f[t)\\<^M при всех t.
б) Абстрактная функция f(t), непрерывная на отрезке [а, b]t
равномерно непрерывна на нем: для любого е^>0 можно указать
такое §^>0, что из \f — *"|<С^ следует \\f(t')—/@||<Cs#
в) Последовательность абстрактных функций fn (t) называется схо-
сходящейся к абстрактной функции f(t) равномерно на [а, Ь], если для
любого ?^>0 можно найти такой номер 7V=AT(s), что при п^> N

348 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Утверждается, что предел f(t) равномерно сходящейся последо-
последовательности непрерывных функций fn (t) есть также непрерывная
функция.
Мы определим далее интеграл Римана от функции f(t). Пусть П
означает разбиение промежутка [а, Ь] точками деления а = tf0<^ <С- • •
...<^tn = b с разностями ktj = tj+1— tj. Величину </(П) = тах Д*у
называем параметром разбиения П. Составим интегральную сумму
Величина sn, очевидно, есть элемент того же пространства R. Утвер-
Утверждается, что при неограниченном измельчении разбиения П, т. е. при
d (П) —> 0, интегральная сумма sn стремится к однозначно определен-
определенному элементу // пространства R, который и называется интегралом
Римана от абстрактной функции f(t).
Приведем доказательство существования интеграла.
Лемма 5. Пуотъ задано е>0 и выбрано 3>0 так, что \f(?) — /(*")!<-«-
всякий, раз, когда \ f — t" \ < 8; утверждается, что все суммы A) с d(П)< S
отличаются друг от друга по норме не более чем на s(b— a).
Рассмотрим сначала интегральные суммы
п — 1 т
= 2
0
7=0
причем подразбиение основного промежутка, отвечающее второй сумме, по-
получается из подразбиения, отвечающего первой сумме, добавлением нескольких
новых точек. В этом случае каждое слагаемое первой суммы f(tj)Mj заме-
заменяется при переходе ко второй сумме величиной
Здесь по условию каждую из величин f{tjx), ..., f(tjr) можно заменить на
f(tj) с ошибкой, по норме меньшей ¦—-:
Поэтому
откуда
Пусть теперь ^и^,-любые две интегральные суммы с единственным усло-
условием, чтобы элементы соответствующих подразбиений не превосходили ука-
указанного Ь. Образуем интегральную сумму s, используя подразбиение с точками
деления основного промежутка, участвующими и в первой сумме^ и во второй

§ 1] О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 349
сумме. Тогда по доказанному
откуда
lki — *sll< «№—<*)»
что и требовалось.
Из леммы 5 уже легко вывести, что при неограниченном измельчении
отрезка [а, Ь\ суммы A) имеют предел. Действительно, пусть П„ — произволь-
произвольная последовательность подразбиений с d(Un)—*-0. По доказанному соответ-
соответствующие интегральные суммы sn образуют фундаментальную последователь-
последовательность; обозначим через // ее предел в пространстве R. Любая другая после-
последовательность интегральных сумм sn с d{\ln)—*-0 имеет тот же предел
так как в силу доказанного || sn — sn \\>—»¦ 0. Элемент // мы и будем назы-
называть интегралом от функции f(t) no промежутку [а, Ь].
Интеграл от абстрактной функции обладает обычными свойствами
интеграла:
B)
C)
если И/|К Ж, то ц/ЯК Ж (ft — a). D)
Произведение абстрактной непрерывной функции f(t) на вещест-
вещественную непрерывную функцию $(t) есть снова абстрактная непрерыв-
непрерывная функция. При этом, если $(t)^zQy ||/||^Ж, то имеет место
неравенство
ь
^ E)
Все эти свойства легко доказываются предельным переходом от ин-
интегральных сумм.
Важным примером являются абстрактные функции, значения кото-
которых при каждом t принадлежат нормированному пространству R
обычных функций от аргумента х, так что /(tf) = ip(jc, t).
Из определения интеграла абстрактной функции очевидно, что
в этом случае операция // н обычное интегрирование функции <р {х, t)
по переменному i приводят к одному и тому же результату.
5. В этом пункте мы докажем теорему 2: для любой функции
<р (х), принадлежащей однородному пространству R, средние ариф~
метические частных сумм ее ряда Фурье сходятся к у(х) по
норме пространства R.
Прежде чем доказывать эту теорему, найдем выражение для сред-
средних арифметических частных сумм ряда Фурье.

350 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Положим
, лЛ _ s9{x) + st(x) + ...+ sn_t (х)
m
где sm (x) = 2 akelkx есть частная сумма ряда Фурье функции <f(x),
— т
Как мы видели выше,
поэтому
тс
— тс /n = o sin "о"
Сумму, стоящую под знаком интеграла, легко вычислить, если умно
. t
жить числитель и знаменатель каждого слагаемого на sin -^:
П—\.( I 1
__ sin /n+-~
\1 V2
Т « — 1
2 VI cos mt — cos (m-\-\)t ___
. я7* ~ ~ 2j 0 2 ^
1П=:0 Sin ТГ- /n = 0 2 Sin —
- , sin2 4r *
1 — cos /z? 2
2 sin2 —- sin2 -7Г
Итак, мы получаем:
(sinf
?(*+*)—7-л- (i)
2тсл
-тс
sin2^r
Функция
sin2 — ^
Sin2 -zr
пазывается ядром Фейера. В отличие от ядра Дирихле ядро Фейера
неотрицательно. Далее, если <р(л;) = 1, то и $„(.*;)= 1, ап(х)=:1
й из A) следует, что

§ 1] о сходимости рядов фурье 35 Т
Переходим к доказательству теоремы 2. Проверим сначала, что
она справедлива для любого тригонометрического многочлена
imx
<р(*)=2аш*
Среднее арифметическое первых р частных сумм ряда Фурье
функции ш{х) мы представим в форме
р
в(*) .I
поскольку частные суммы s (х) при q^>n совпадают с самой функ-
функцией tp(x). Далее, при р—^оо первое слагаемое стремится к нулю»
а второе — к <р (х); тем самым при р—^оо мы имеем ар(х)—><?(-?),
что и требовалось.
Рассмотрим теперь общий случай. Равенство A) задает ап(х) как.
результат применения к элементу ср ? /? линейного интегрального опе-
оператора— обозначим его, например, через Ап — с ядром Фейера. При-
Применим к интегралу в правой части, рассматриваемому как интеграл от
абстрактной непрерывной функции от / с значениями в пространстве R,,
неравенство E) п. 4; мы получим оценку
1С
Ца„ (х)|| = \\Ajf\\ < HfH J Fn (t) dt
Это означает, что норма оператора Ап при любом п не превосхо-
превосходит 1. Мы используем сейчас следующую простую лемму:
Лемма 6. Пусть в нормированном пространстве R задана по-
последовательность линейных операторов Лп, нормы которых огра-
ограничены фиксированной постоянной К. Если соотношение Апу—*-tp
справедливо для элементов <р, принадлежащих некоторому всюду
плотному множеству Qc^R, то оно справедливо и для всех эле-
элементов ср ? R.
С помощью этой леммы доказательство теоремы 2 быстро завер-
завершается. Действительно, нам нужно доказать справедливость соотно-
соотношения Лпср—»-(р, где Ап — операторы с ядром Фейера. Но мы виделн,
что нормы этих операторов ограничены числом 1 н что соотношение
Ллср—»-(р выполняется для тригонометрических многочленов, которые
по условию всюду плотны в однородном пространстве R. В силу
леммы 6 соотношение Ллср—»»ср справедливо для всех ср ? Rt чем
теорема 2 и доказана.
Нам остается доказать лемму 6. Пусть ср ? R — любой элемент
и задано е > 0. Найдем элемент tps ? Q такой, что ||у — сре|| < е,

352 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
я затем такой номер N, что |ИйсрЕ—сре|| <е при всех n^N. Тогда для
этих же п^>N мы будем иметь:
откуда и следует, что Лпср—up при п—> оо.
Теорема 2 в применении к пространству С(—тг, тг) приводит к сле-
следующему результату: всякая функция <р (х), непрерывная на отрез/се
[—тг, тт] и удовлетворяющая условию ср(—тс) = <р(тг), есть предел
равномерно сходящейся последовательности средних арифметиче~
ских частных сумм своего ряда Фурье. В этом частном виде теорема
2 была доказана впервые в 1905 г. Л. Фейером.
В применении к пространству L1(— тг, тг) теорема 2 приводит
к важному свойству единственности:
Если все коэффициенты Фурье суммируемой функции ср (х)
равны нулю, то сама функция ср (х) равна нулю (почти всюду).
Действительно, из условия теоремы следует, что все члены ряда Фурье
•функции <р (х) равны нулю; но тогда все sn (x) равны нулю, все ап (х)
равны нулю и, следовательно, по норме Lx
<р(*)= Hm an(x) = 0.
Другим выражением того же свойства служит утверждение:
Если у двух интегрируемых функций ср (х) и ф (х) все коэффи-
коэффициенты Фурье соответственно совпадают, то ср (х) почти всюду
совпадает с ф (х).
Для доказательства достаточно образовать разность f(x) =
= ср(х)—ф(я); все ее коэффициенты Фурье по условию равны нулю,
откуда f(x) равна нулю почти всюду.
Задачи 1. Точка х0 называется обобщенной точкой Дини для сумми-
суммируемой функции ср (х), если при некотором с сходится интеграл
+ ')-c|
\t\
— ?
Показать, что ряд Фурье функции ср (t) сходится в обобщенной точке Дини
к значению с.
2. Точка х0 называется (обычной) точкой Дини для суммируемой функ-
функции ср (х), если сходится интеграл
?
"• о
Показать, что почти все обобщенные точки Дини являются обычными
точками Дини.
Указание. Проверить, что каждая обобщенная точка Дини, которая
одновременно является точкой Лебега для функции <? (#), есть обычная
точка Дини.

§ 1]
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
353
3. Если f(t) — абстрактная непрерывная функция
то
Km
sin It dt
0.
4. Доказать, что члены ряда Фурье функции ср (#), принадлежащей одно-
однородному пространству /?, стремятся к нулю по норме /?.
Указание. Член ряда Фурье
¦к
п
истолковать как интеграл от абстрактной непрерывной функции. Применить
результат задачи 3.
5. Если последовательность \уп} элементов нормированного пространства R
сходится по норме к элементу у, то последовательность средних арифметиче-
арифметиче^1 "i~ '" т"» также сходится по норме к элементу у.
ских sn=
6. Доказать, что для всякой суммируемой функции средние арифмети-
арифметические ряда Фурье сходятся к значению этой функции во всякой ее точке
Лебега. Получить отсюда теорему единственности (см. стр. 352).
Указание. Положим а (^) = | ер (jc -(- Q — ер (х)), U' (t) = и (t); тоТдэ
г
, 2 П
Slir-тг t
О 1
п
I
п
(точка Лебега!),
прия>
}
7. Показать, что в определении однородного пространства функций уело*
вие 3) (стр. 342) можно заменить результатом леммы 3 (стр. 343).
8. Показать, что всякая функция с ограниченным изменением, непрерыв-
непрерывная относительно сдвига по норме — полному изменению (см. задача 6 стр. 281),
абсолютно непрерывна.
9. Доказать 'теорему: если подмножество А однородного пространства R
функций у(х), — тсг^я^и, равномерно ограничено, т. е. Н^Н^Ср и рав-
равностепенно непрерывно, т. е. для любого г > 0 найдется Ь > 0 так, что
11<?(* + Л)-?(*)||<8 при |Л|<г,
то А компактно в /? (см.* теорему Арцела, гл. II, § 7, задача 5) (С. Б. Стечкин).
Указание. <зп (х) при достаточно большом п образуют компактную f-сеть
в А относительно /?(§ 7 гл. II).
23 Г. Е. Шилов

354 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
§ 2. Преобразование Фурье
1. Когда мы желаем представить периодическую функцию <р(х)
с периодом 2тг в виде наложения чистых гармонических колебаний,
мы обращаемся к ряду Фурье
00
Ч>(*)= 2 *«
— GO
Если речь идет о функции с периодом 2тт/, то соответствующий ряд
Фурье приобретает вид
GO
in —
— со
где коэффициенты ап определяются по формуле
-та
. \х
—iB-
Формула C) получается из B) умножением на е 1 и интегрирова-
интегрированием по х в пределах от —тт/ до тт/.
Из B) и C) следует:
оо ^ in
cp(jc)= у ^—. \<f(?)el X~ d?. D)
Естественно попытаться совершить в формуле D) предельный пере-
переход I—*-оо, с тем чтобы иметь возможность представить в виде на-
наложения гармонических колебаний по возможности любую функцию
<р(х), определенную на всей оси —оо<х<оо. Формальный переход
к пределу /—юо приводит к формуле
00 GO
± J <p(e)e"(*-0d5|, E)
— GO —GO
где символом а обозначен непрерывный аргумент, получающийся из
дискретного аргумента ап — —. Итак, искомая формула разложения
if(x) по гармоническим колебаниям должна иметь вид
со
(х) = $ ф (а) *'** rfff, F)
— 00

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 355
где
GO
ф (в)=4 J "p ® е~'°5 ^-
со
Функция ф(а), определенная по формуле G), называется преобра-
преобразованием Фурье (или интегралом Фурье) функции <р(х); формула F)
называется формулой обращения преобразования Фурье или обратным
преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье F) отлича-
отличается от прямого G) по сути только знаком в показателе экспоненты
и коэффициентом =-. Иногда пишут преобразование Фурье в форме
со
— со
тогда формула обращения принимает вид
СО
— СО
Чтобы придать формулам прямого и обратного преобразования Фурье
большую симметричность, часто определяют преобразование Фурье
формулой
со
— со
тогда формула обращения принимает вид
со
|ф()«'5* (П)
СО
При любой форме записи во всяком случае очевидно, что преобразо-
преобразование Фурье — линейное преобразование: сумму функций tpt (x) и уг(х)
оно переводит в сумму ф5 (а) и ф2 (а) и произведение* функции
на число 1 переводит в произведение d>(a} на то же число \,
Мы будем придерживаться определения G) с формулой обраще-
обращения F).
2. Вместо того, чтобы обосновывать законность предельного пере-
перехода к формуле E), мы покажем непосредственно, что из G) сле-
следует F) в определенных предположениях относительно функции <р (х).
Первое предположение состоит, естественно, в том, что функ-
функция ср(х) интегрируема на всей оси — оо<х<оо. Это, обеспечи-
обеспечивает существование интеграла G) при любом значении а, — оо
23*

356
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [гЛ. VII
Вот первое следствие указанного предположения: функция ф(а)
ограничена, непрерывна при всех а и при \а\ —> оо имеет преде-
пределом 0. Первое утверждение вытекает из оценки
со
— со
Из этой же оценки вытекает, что последовательность функций уп (лг),
сходящаяся по метрике пространства Lx (—оо, оо), переводится пре-
преобразованием Фурье в последовательность функций фл (а), равномерно
сходящуюся на оси —оо<а<оо.
Второе и третье утверждения мы проверим вначале для характе-
характеристической функции интервала (с, d). В .этом случае
d •
= \ ert&°*dx=
—юс
и полученное выражение показывает, что ф (а) непрерывна и стремится
к нулю при \'а | —> оо. Так как любая ступенчатая функция h (x) есть
линейная комбинация характеристических функций интервалов, то вто-
второе и третье утверждения справедливы и для всех ступенчатых функ-
функций. Наконец, любая суммируемая функция tp (x) есть предел (по
метрике Lt (— оо, оо)) ступенчатых функций. По доказанному ее
преобразование Фурье ф (а) есть предел (в смысле равномерной сходи-
сходимости на оси а) непрерывных функций, стремящихся к нулю на беско-
бесконечности. Но тогда и сама функция ф(а) непрерывна и стремится
к нулю на бесконечности, что и требовалось.
Теперь обратимся к доказательству формулы F). Рассмотрим
вначале интеграл в конечных пределах:
N . о
* l J{ § ?<$ dt} da.
Внутренний интеграл сходится равномерно по параметру а, поэтому
порядок интегрирования по а и по ? можно изменить:
да N
-оо
00
00
00 00
0)
— 00 —00

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 357
Последнее преобразование произведено путем замены переменного
х—? = — t. Мы покажем, что при N—+oo функция <fx(x) cmpe*
мится к <р (х), если ср (х) удовлетворяет условию Дини
8
М ср (X + t) — ср (х) | ,, - > \ л
\ "^—ПТ1—^""^ dt <^оо при некотором о > 0.
-8
Для доказательства вспомним, что имеет место равенство г)
GO
I С sin Nt
— \ —;—dt=l.
П J t
— GO
Поэтому разность ум(х) — tp (x) можно записать в виде
00
If
— GO
Интеграл мы разобьем на две части:
?= J + !•
00
in Nt
-GO \\^ \\
Второе слагаемое можно записать в виде
4sinyV^,, ,
)*' (
J
t
откуда видно, что при данном х и достаточно большом Т это слагае-
слагаемое делается как угодно малым независимо от значения N, если
только N, например, больше 1.
Первое слагаемое имеет вид
-Г
Ф (х -\- t) — Ф (х)
и, так как функция ———j—J~^J в указанном промежутке сумми-
руема (условие Дини!), оно стремится к нулю с возрастанием N по
лемме 2 § 1. Отсюда
lim<pA (*) = ?(*)•
что и требовалось.
Итак, если функция ср (х) суммируема и удовлетворяет условию
Дини, то она восстанавливается по своему преобразованию Фурье
ф (а) по формуле F).
• *) См., например, А. Я- Хин чин, Краткий курс математического анализа,
1953, гл. 26, § 111, стр. 503.

358
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Подчеркнем, что интеграл F) не является, вообще говоря, абсо-
абсолютно сходящимся и не может быть определен по формуле
lim
где* Nt и Nz стремятся к бесконечности независимо друг от друга.
3. Рассмотрим несколько примеров на вычисление преобразований
Фурье.
1) Найдем преобразование Фурье для функции
где т — натуральное число, а \ — невещественная постоянная; пусть,
например, Iml>0.
Интеграл
со
B)
— СО
абсолютно сходится при да>1, но и при т = 1 он существует как
условно сходящийся в смысле
N
lim \ .
N со
При любом т ^ 1 интеграл B) удобно вычислять методом контурного
интегрирования. При а>0 мы рассмотрим контур в плоскости
z = x~\-iy, состоящий из участ-
участка оси х в пределах — N^x^N
и полуокружности в нижней по-
полуплоскости, опирающейся на этот
участок как на диаметр (рис. 16).
В нижней полуплоскости функция
e~iaz = e~iaxe°y при а>0 ограни-
ограничена, и интеграл по полуокруж-
полуокружности стремится к нулю в силу
известной леммы Жордана г). Так
как особая точка подынтеграль-
подынтегральной функции находится в верх-
верхней полуплоскости при а > О,
получаем
Рис. 16.
При <7<^0, чтобы использовать лемму Жордана, нужно рассматри-
рассматривать полуокружность в верхней полуплоскости, и мы получаем по
*) В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. Ш, ч. 2, 1951, стр.224.

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 359
теореме о вычетах:
е ~~1<зг
е
Ф (<*) = 2ти Выч {z _
\ТП
Указанный вычет легко сосчитать, если-разложить функцию e~iftz в ряд
Тейлора по степеням z— \:
GO
g — iaz • о — w (z — Х)д — iсХ : о — ivk X L . v /J
_ /г!
Вычет есть коэффициент при (z — I); следовательно,
(т — 1) 1
Итак, при 1тХ>0
( 0 при
1
При Im \ < 0 мы найдем аналогично
при
(m-I)! "»-" ~^"' D)
О при (
Любая дробно-рациональная функция, не имеющая особенностей на
вещественной оси и стремящаяся к нулю на бесконечности, разла-
гается на простейшие дроби вида ^ , где Im 1=^=0. Поэтому
полученные формулы позволяют написать и преобразование Фурье от
любой такой дробно-рациона ль ной функции. Функции ф (а), определяе-
определяемые формулами C) и D), как легко проверить, экспоненциально убы-
убывают при |ff|—^oo; поэтому и преобразование Фурье любой дробно-
рациональной функции экспоненциально убывает при |а|—»-оо.
2) Найдем преобразование Фурье от функции
Выражение
со
— GO
есть интеграл от аналитической функции e~as2-l'asy z = x-\-iy9 no
вещественной оси. Так как

360
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VH
то в любой горизонтальной полосе (з' | ^^З'о подынтегральная функиия
при х —> -4- оо стремится к нулю равномерно по у. Поэтому, исполь-
используя теорему Коши, можно при интегрировании перейти на любую
параллельную прямую в ^-плоскости, не изменяя результата:
GO
d> (а) —
~ а
dx =
— GO
GO
GO
;—- f q —
\ e~ ax* ~~
— GO
—GO
Положим у — — ^; тогда мы получим ау*-\-ау= — ^ и по извест-
известной формуле *)
2а
со
— GO
В частности, для w(x)^=e
д
ff2
получаем
ф(а) = |/*2та 2 —
У
функцию того же вида, отличающуюся от исходной функции только
множителем у 2тг.
Задача. Заполнить пустые места в таблице
КЯ
1
2
4
5
1
,+„.
sin2 ax
хг
¦ W
1
sinao
о
sin2 до
о
<5
o) при х<0 и 0 при х>0;
<р8 (я) — — при | х | < а и 0 при I х \ > д; ср4 (х) = -j- при 0 < х < 2а, — -j- при
, 0 при |я
2а.
= 1с(д 1-) при |о|<2а и 0 при
*) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II
(Физматгиз, 1958), гл. III, § 8, п. 78.

§ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
361
4. Теперь рассмотрим вопрос о средних арифметических интеграла
Фурье, аналогично тому, как это было сделано в отношении средних
арифметических ряда Фурье в § 1. Вместо среднего арифметического п
сумм ряда Фур&е мы рассмотрим, естественно, среднее интегральное
N
= 27 J
U)
Подставляя значение cpv (лг) из формулы A) п. 2, находим:
N оо
О —00
оо
N
оо
— 00
—00
-
Sin
— 00
Выражение
называется ядром Фейера для интеграла Фурье. Ядро Фейера обла-
обладает следующими свойствами:
а) FN(t)^O;
00
б) 5 FN{t)dt = \;
— 00
в) J Fn^)^—*"^ ПРЙ N—^сх> и любом фиксированном
Неравенство а) очевидно; равенство б) выводится из равенства
00
1Г\ ^ ¦ ^ А
п J t
BУ
— 00
интегрированием по параметру v в пределах от г до N с последую-
последующим предельным переходом в—>О1).
х) Интеграл B) сходится равномерно по параметру v в области e^;vs^Ar,
что обеспечивает законность интегрирования по параметру подынтегральной
функции в этом промежутке. При 0 < v ^ N он не сходится равномерно.

362 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Соотношение в) следует из оценки
Г F (t\di<— Г **'= 4
Из равенства б) вытекает соотношение
00
C)
— 00
Мы будем далее рассматривать вопрос о сходимости средних ариф-
арифметических интеграла Фурье в различных нормированных простран-
пространствах. Несколько изменяя определения § 1, относящиеся к функциям
на отрезке [—тт, тт], мы будем называть далее однородным про-
пространством нормированное пространство R функций ср (л:),
— оо <С#<С°°) Удовлетворяющее следующим условиям:
1) все функции ср(лг) g R суммируемы на (—оо, оо), и из сходи-
сходимости срп—> ср в R следует сходимость <рп—>-<р по норме Ll (—оо, оо);
2) все сдвиги y(x-\-h) входят в R вместе с ср(лг), и
||ср {x-\-h) ||= \\<?(х) || при любом вещественном h;
3) норма в R непрерывна относительно сдвига, т. е.
lim || ? (* + *) — (р(*)||=0.
ft0
Мы докажем следующую теорему:
Теорема. Если функция ср(дг) принадлежит однородному про-
пространству R, то средние арифметические oN(x) ее интеграла
Фурье также принадлежат R и НтаЛГ(дг)==у(дг) по норме R.
N
Доказательство этой теоремы, так же как и аналогичной теоре-
теоремы § 1, будет основано на интегрировании абстрактных функций
с значениями в пространстве R. Необходимо рассмотреть также и
несобственные интегралы абстрактных функций; приведем соответст-
соответствующие определения.
Несобственные интегралы от абстрактных фун.к-
ций. Допустим, что абстрактная функция f{t) с значениями в нор-
нормированном пространстве/?определена и непрерывна на полуоси (а, оо).
Несобственный интеграл
00
\f{t)dt D)
а

§ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
363
мы определяем как предел собственного интеграла
ъ
при b—> оо, если только-этот предел существует.
В частности, если конечен обычный несобственный интеграл
00
\\nt)\\dt,
E)
то существует и несобственный интеграл D). Действительно, в этом
случае при любых Ь\ Ъп
Ъ" Ь"
S /(*)<« II <S 11/(*I1<й—»0 при ft'-—оо, ft—оо,
Ь' V
так что любая последовательность собственных интегралов
ъп
\f{t)dt (?„—сх>)
а
удовлетворяет критерию Коши; в силу полноты R предел D) суще-
существует. В случае существования интеграла E) интеграл D) называется
абсолютно сходящимся.
а оо
.Аналогично определяются несобственные интегралы \ и \ .
Из оценки
— 00
—СО
\f(t)dt
предельным переходом b—> оо получается оценка
оо
оо
l/V)dt
и/(О II
F)
Аналогичная оценка имеет место и для абсолютно сходящихся
интегралов двух других типов.
Переходим теперь к доказательству теоремы.
Интеграл C) можно рассматривать как несобственный интеграл
абстрактной функции / (t) = [y(x-\-t) — tp (x)] FN(t\y входящей при
кажддм значении t в пространство R. По условию функция f(t) не-
непрерывна. Интеграл C) сходится абсолютно в силу неравенства
{х)
Lx (- оо, оо)

364 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
В частности, мы получаем aN{x)— y{x)?R; отсюда и o#
Далее для/заданного г>0 найдем 8^>0 так, чтобы из
следовало || ср (л: -j-1) — (р (*) И <С "о*' Используя свойства б) — в) ядра
Фейера, находим:
оо
max || ср (л: -)-1) — tp (л;) || \ FN{t) dt ~\- 2 || ср (л:)
Первое слагаемое при любом N не превосходит -^, второе стано-
с
вится <^~п ПРИ достаточно большом М^>М0. В итоге при
получаем:
чем теорема и доказана.
Применим данную теорему к пространству /? = Z,t (— оо, оо).
Нужно, конечно, проверить, что Lx (—оо, оо) — однородное простран-
пространство. Условия 1 и 2 выполняются здесь очевидным образом. Для про-
проверки условия 3 заметим следующее:
а) всякая характеристическая функция промежутка непрерывна
в метрике Ll относительно сдвига (легко проверяется непосредственно);
б) совокупность QaLl всех функций, непрерывных относительно
сдвига, есть замкнутое подпространство в Ll (доказывается ?ак же,
как в^лемме 3 § 1).
Соединяя а) и б) и вспоминая, что линейные комбинации харак-
характеристических функций (т. е. ступенчатые функции) всюду плотны
в пространстве Lt, мы получаем, что Q = Lr Иными словами, всякая
функция <?(#)?/,! непрерывна относительно сдвига, что и требуется.
В итоге мы получили теорему:
Средние арифметические интеграла Фурье любой суммируемой
функции ср(дг) на оси —оо<^д:<^оо сходятся к ср(лг) в метрике
Ll(—оо, оо). Как следствие получается теорема о единственности
преобразования Фурье:
Если преобразование Фурье ф(а) суммируемой функции/ ср(дг)
равно нулю при всех а, то и ср(л;) = О (почти всюду).
Действительно, в этом случае ф(а) = О, tpv(Ar)^O,
и, следовательно, ср (л:) = Hm aN(x) = 0.

§ 3J ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 365
Другим примером может служить пространство CZ-^— оо, оо) всех равно-
равномерно непрерывных и суммируемых на (— оо, оо) функций <р(х) с нормой
00
||Ч>(*)|| = max | <р (х) | + \ I <Р (*) I dx.
—со<х<со •*
— оо
Проверку выполнения свойств 1—3 однородного пространства мы предо-
предоставляем читателю. Применяя теорему 2, получаем: средние арифметические
интеграла Фурье любой равномерно непрерывной - суммируемой функции
<?(х), — со <х< оо, сходятся к у(х) равномерно на всей оси и по мет-
метрике Lx (— оо, оо). Эта теорема представляет собой обобщение теоремы Фейера
на случай интеграла Фурье.
§ 3. Преобразование Фурье (продолжение)
В этом параграфе и далее мы будем оператор, Фурье обозначать
-символом F:
00
— 00
Оператор F есть, как мы знаем, линейный оператор, обладающий
обратным оператором
00
1
— 00
1. Преобразование Фурье и операция дифферен-
дифференцирования. Предположим, что абсолютно интегрируемая функ-
функция ср (дг) абсолютно непрерывна в окрестности каждой точки и ее
производная также интегрируема на оси —оо <^ х <^ оо. Выясним,
как связаны преобразования Фурье функции ср (л:) и ее производной.
Заметим, что по предположению об интегрируемости ср' (дг) функция
имеет предел при х—*оо; этот предел может быть только нулем,
так как иначе ср (дг) не была бы интегрируемой. То же относится
к случаю х—у—оо. Далее, интегрируя по частям, получаем:
СО ^ 00
Ffo']= J <f'(x)e-i*°dx = <?(x)e-lx°\™x> + ia J ^{x)e~ixadx.
— со — со'
По доказанному внеинтегральный член равен нулю; получаем равенство

366 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VI»
Иными словами, дифференцирование функции <р(дг) отвечает умноже-
умножению функции cj)(a) = F[tp] \на множитель ia. Если у функции <р(#)-
интегрируемы производные до порядка т, то, повторяя процесс,
получаем:
= 0,'1, 2, . . . , да).
Так как F \y{k) [x)\ как преобразование Фурье интегрируемой
функции есть ограниченная функция от а (и даже стремящаяся к нулю
при |а|—юо), то для F(y{x)), мы получим оценку
re \fc '
Итак* чем больше функция «р (л:) имеет интегрируемых производных,
тем быстрее ее преобразование Фурье стремится к нулю на бес-
бесконечности.
В частности, при некоторой гладкости функции у(х) .ее преобразование
Фурье ф (а) становится также абсолютно интегрируемой функцией. Из нера-
неравенства A) видно, что для этого достаточно существования (в ZJ <р> ?' и '<р*«
Можно ограничиться и требованием существования <р и <р', но при дополни-
дополнительном условии, что они принадлежат не только Llt но и Ьг. 9 самом деле,
как мы увидим в § 6, из y?Lz, у'?L2 следует оф(о) g L2i откуда
а)] = M(a)S\ ^1
есть интегрируемая функция, что и требуется.
Для любого дифференциального оператора Р (^-j порядка
мы получаем формулу
Линейное дифференциальное уравнение на оси х относительно функ-
функции <р (л:) переходит в алгебраическое уравнение на оси а относи-
относительно ф (а). Это открынает новые . возможности для решения
дифференциальных уравнений^ Поскольку дифференциальные урав-
уравнения^ которым можно применять этот метод, должны быть линей-
линейными с постоянными коэффициентами, для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений применение этого метода мало что может дать
(учитывая тем более, что мы обязаны оставаться в границах класса
интегрируемых функций на всей оси). Но для уравнений с част-
частными производными метод преобразования Фурье уже оказывается
полезным. Мы покажем это в п. 3 на примере уравнения тепло-
проводимости.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 367
2, Преобразование Фурье ш свертка. Пусть ч^ (а) и
ф2 (а) — преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
?i (х) й <Р2 (*); выясним, преобразованием Фурье какой функции
является произведение ф1 (а) ф2 (а). Мы имеем:
ОО 00
Ф. (j^ Ф (j^= \ to (?\e~iatd?, \ to Gi)
— оо . -оо
ОО 00
__ г г ,«
— оо — оо
причем двойной интеграл абсолютно сходится (см. замечание к тео-
теореме Фубини, гл. IV, § 5, п. 2*). Чтобы от двух экспонент перейти
к одной, совершим замену переменного 7) = д;— ?; тогда получим:
00 00
— ОО —00
ОО 00
— оо —оо
причем перестановка интегралов законна в силу теоремы Фубини.
Функция
оо
— оо
существующая (в силу одного из утверждений теоремы Фубини) почти
при каждом х, и абсолютно интегрируемая по х (в силу другого
утверждения этой же теоремы), называется сверткой функций tpt (x)
и ух(х). Формула A) показывает, что произведение функций it (a)
и ф2 (а) является преобразованием Фурье от свертки <pt (лг) uyz(x).
Свертка tpt (дг) и <р2 (д:) обозначаете^ через tpt * tp2. Эта операция
коммутативна и ассоциативна, поскольку преобразованием Фурье она
переводится в коммутативную и ассоциативную операцию
Задачи. 1. Пусть еа{х) есть характеристическая функция интервала
О < х < а. Найти свертку
Отв. См. рис. 17.
2. Доказать, что для любой q(x) ^ Zj(— оо, оо)
lim 9 (х) * gfl+ft(x>-gfltf> = ? (x _
(предел в смысле метрики Lx(—оо, оо)).

368 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Указан ие. Проверить B) для функций <р (х) = е& (х) и их линейных ком-
комбинаций. При переходе к пределу воспользоваться ограниченностью нормы
второго множителя.
a a+h п+Ь п+b+h з?
Рис. 17.
3. Если А есть замкнутое подпространство в Lx (—оо, оо), содержащее
^вместе с каждой функцией <р (*) все ее сдвиги у(х — Л), то А содержит и
свертку <f(x) со всякой функцией ф(х) ? ^i(— °o, «>).
Указание. Свертка есть предел линейных комбинаций сдвигов.
3. Применение преобразования Фурье к решению
уравнения теплопроводности. Найдем решений и (x,t)
уравнения теплопроводности (—оо<^дг<^оо,
да (х, t) дги (х, t)
dt — dx2 '
обращающееся в заданную функцию ий (х) при t = 0. Физический
¦смысл указанной задачи состоит в определении температуры одномер-
одномерного однородного континуума (бесконечного стержня) в любой момент
времени /^>0 по известной его температуре в момент/ = 0. Сделаем
следующие предположения:
а) функции и(х, f), ux(x, t), uxx{x, t) интегрируемы по х при
— оо <^ х <^ оо и любом фиксированном t ^ 0;
б) функция ut (ху t) имеет в каждом интервале 0 ^ t ^ T интегри-
интегрируемую мажоранту:
00
| Щ (at, t) | < Ф (х)у J Ф (х) dx < оо.
— оо
Перейдем в уравнении A) к преобразованию Фурье, умножив это
уравнение на e~lzx и проинтегрировав по х от 0 до оо. В силу усло-
условия б) можно написать, что
ОО 00
i_. д С
— ОО —00
где
00
u(xt f)e~~l<5xdx
— со
есть преобразование Фурье искомого решения u(xt t).

§ 3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
369
В силу условия а) и результатов п. 1
F[uxx(xt i)]== — o*Flu]= — o*v(aJ f).
В результате мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
Нужно найти решение этого уравнения, обращающееся при
со
„., /-\ — pi,* (Y\\ Г и (у\ p-i°x /jy
U ICJ I I I *¦„ !Л| ¦ \ И„ Л1 С U-л-»
-СО
Искомое решение, очевидно, имеет вид
Мы знаем (см. пример 2 § 2, где положено а = т;), чт0
в
,-аЧ
По формуле свертки (п. 2)
41
X*
'.(*)
и так как via, t) = F[u(x, t)]9 то окончательно
2, V izt
fl
О ^ ' о т/~ ^
or.
-CO
Полученная формула решения называется интегралом Пуассона.
оо
4. Связь между убыванием функции ср (а:) при|л:
и гладкостью ее преобразования Фурье. Мы знаем, что
преобразование Фурье ф {а) абсолютно интегрируемой функции ср (х) —
ограниченная непрерывная функция от а, —оо <^ а <^ оо, стремящаяся
к нулю при |а|—юо. Предположим теперь, что не только <р(лг), но
и лгср(дг) — интегрируемая функция на оси —оо<^д:<^оо. Тогда
можно утверждать, что функция ф(з) дифференцируема. Действи-
Действительно, формальное дифференцирование по параметру а интеграла
Фурье
00
24 г. Е. Шилов

370 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
приводит к интегралу
со
— / \ xy(x)e-iuxdx,
— 00
который является абсолютно сходящимся и равномерно сходящимся
по параметру а. В силу известной теоремы о дифференцировании
равномерно сходящегося интеграла функция ф (а) дифференцируема и
00
(а) = _i J Xy{x)e-'°xdx.
— 00
t
Мы получаем выразительную формулу
A)
показывающую, что операция умножения на х переходит после пре-
преобразования Фурье в операцию i-r. Как преобразование Фурье инте-
интегрируемой функции, функция ф' (а) снова непрерывна, ограничена и
стремится к 0 при|а|—*оо. Если вместе с функцией ср(дг) интегри-
интегрируемыми на оси х являются и функции ху(х)у xzy(x), ..., xmy(x)f
то процесс дифференцирования можно продолжить; мы получим, что
функция ф(а) = /г[(р] имеет производные до порядка /», непрерывные,
ограниченные и стремящиеся к нулю при |а|—> оо, и имеет место
формула
** ^ (ft = O, 1; ..., да). B)
Для произвольного многочлена Р(х) степени ^т мы получим формулу
Если все произведения хту(х) интегрируемы (/»=0, 1, 2, ...), то
функция /7[(р]=ф(а) имеет производные по а всех порядков и каж-
каждая из ее производных непрерывна и стремится к нулю при |а|—> оо.
Мы видим, что чем более сильные условия убывания на бесконеч-
бесконечности мы накладываем на функцию <?(#), тем более гладкой получа-
получается функция ф(а).
В связи с изложенным можно указать важный класс функций,
который при преобразовании Фурье переходит в себя самого, только
с заменой аргумента х на аргумент а. Рассмотрим совокупность Sx
бесконечно дифференцируемых функций <р(лг), которые для всех
ky #=0, 1, 2, ... удовлетворяют неравенствам
Й,, D)
где Ck —постоянная, зависящая от выбора функции (р. Через SQ мы
обозначим класс таких же функций ф(а) от аргумента а.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 371
Заметим прежде всего, что каждая из функций xky(q) (x) не только
ограничена, но и интегрируема на оси, поскольку вместе с неравен-
неравенством D) справедливо и неравенство
Пусть ф (а) = F [f] есть преобразование Фурье функции <р (х) ? Sx.
По доказанному функция ф (а) бесконечно дифференцируема, причем
Далее, функция х9у(х) бесконечно дифференцируема вместе с
и все ее последовательные производные сами являются интегрируемыми,
поскольку по формуле Лейбница они линейно выражаются через ин-
интегрируемые функции x/(fig~J)(x), Поэтому функции
(а) = (— 'tf F
как преобразования Фурье интегрируемых функций, ограничены при
всех k и q. Итак, если v{x)?Sx, то ф(а)?5а. Обратно, пусть дана
функция ф (а) б Sg. Построим функцию
со
^ J
ОО
Функция 2ттср (—х) есть, очевидно, преобразование Фурье функции
ф (а) и поэтому входит в Sx, Но тогда, очевидно, и <р (х) б Sx. По
формуле обращения
GO ОО
= 1 Г 2тт<р(— х) е"хdx = Г tp (*) е~"хdx,
— ОО —ОО
так что ф(а) есть преобразование Фурье функции w(x). Итак, каждая
функция ф6^3 есть преобразование Фурье функции <f?Sx. Таким
образом, при преобразовании Фурье класс Sx отображается на весь
класс SQt Символически этот факт можно записать равенством
Посмотрим, как будут 'улучшаться свойства гладкости функций
ф (а) при наложении дальнейших ограничений на поведение функций
<р (х) на бесконечности.
Пусть интегрируемым является произведение у(х) еь*'*1, где ^^>0—>
фиксированная постоянная. Можно утверждать, что в этом случае
преобразование Фурье ф (а) функции <р (х) не только бесконечно диф-
дифференцируемая функция, но и аналитическая. Действительно, интеграл

372 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Фурье
ф(о)
оо
— оо
теперь определен не только для вещественных, но и для некоторых
комплексных а; если обозначить $ = а-[-/т (а, х вещественны), то мы
получим:
оо оо
== J <р (х) e~'sx dx,
-00 —00
и интеграл сходится при |х ^ Ь, т. е. в целой горизонтальной поло-
полосе 5-плоскости. Полученная функция комплексного переменного s ана-
литична во всякой внутренней точке этой полосы; действительно, при
формальном дифференцировании по s мы получаем:
00
tf(x)e~ ISX(—ix) dx.
00
Полученный интеграл равномерно сходится в некоторой окрестности
точки s (не выходящей за пределы указанной полосы) и представляет,
следовательно, производную функции фE). Функция ф($) ограничена
во всей указанной полосе, поскольку
ОО 00
I fil [ с\ <^" \ I tn iv\ I i*\i* I ЭС /7 %* <r^" \ \ tr\ l %*\ I O" I JC I // *"
— 00 —00
Отсюда следует, в частности, что последовательности функций
tfn (х), сходящейся по норме || ср || = \ | ср (х) \ е dx, отвечает по-
00
следовательность фп E), равномерно сходящаяся во всей полосе | х | ^ Ь.
Далее, можно утверждать, что функцня ф (s) ==ф (а-\- п) стремится
при а—^zb°° к НУЛЮ равномерно по х, |х|=^:?. Действительно, это
имеет место для преобразования Фурье характеристической функции
интервала (а,
ts
поскольку числитель полученного отношения ограничен при
К общему же случаю можно перейти обычным предельным переходом
от ступенчатых функций.
Отметим, что в силу последнего свойства в формуле обращения
можно производить интегрирование не только по вещественной оси,

§ 3] пРЕбБРАзовлние фурье (продолжение) 373
но по любой параллельной прямой, лежащей в указанной полосе s-пло-
s-плоскости, так что
00 00
— 00 —00
Предположим далее, что ср (х) интегрируема в произведении с е ' *' при
любом Ь. Тогда функция ф E) определена и аналитична в любой полосе | т | г^&,
т. е. является целой аналитической функцией; эта целая функция по доказанному
в любой полосе |т|^& остается ограниченной (с границей, зависящей от Ь) и
равномерно стремящейся к нулю при а-*- ±: оо. В формуле обращения можно
производить интегрирование по любой прямой, параллельной оси абсцисс.
Еще боле^е сильного убывания функции ср (х) на бесконечности можно
добиться наложением условия интегрируемости произведения ее с функцией
е&\ *1 ^ j2> 1. Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться),
что целая функция ф(s) будет тогда удовлетворять оценке
I" 1р', где j +1 = 1.
В этом случае говорят, что функция ф($) имеет в s-плоскости экспоненци-
экспоненциальный порядок роста ^р\
¦ Числа р и р' оба превосходят 1; но меняются они в противоположных
направлениях, и, когда р неограниченно возрастает, р' приближается к 1.
Предположим, наконец, что <р(х) интегрируема в произведении с любой
возрастающей функцией от | х |. Этим свойством обладают финитные функции
«р(х) (обращающиеся почти всюду в 0 вне некоторого промежутка |х|^а)и,
как легко убедиться, только такие функции. Итак, положим, что <р (х) обра-
обращается в нуль при \х\^а. Тогда преобразование Фурье
ф(х) e"tsx
— а
есть целая аналитическая функция от s\ в s-плоскости она допускает сле-
следующую оценку:
а
i „ * ..ч i _1 т I I х I j . —. г>~а I т I
/т)|^ С
— а
где С= \ | ^ (х) \ dx; как говорят, функция ф (s) есть целая функция не выше
- а •
1-го порядка роста с типом ^а. Таким образом, чем быстрее убывает
функция <р(х) на бесконечности, тем «глаже» становится ее преобразование
Фурье ф(а). Начиная от непрерывных функций ф (а), мы прошли через конечно
дифференцируемые, бесконечно дифференцируемые, аналитические в полосе,
в плоскости и дошли до аналитических функций 1-го порядка с конечным
типом. Это предел гладкости для функций, стремящихся к нулю в обе стороны
по вещественной оси (мы знаем, что этим последним свойством всегда обла-
обладают преобразования Фурье интегрируемых функций); известно, что не су-
существует отличных от нуля целых аналитических функций, стремящихся

374 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
к нулю по оси абсцисс и имеющих в плоскости более медленный рост, чем
еа ' т 1 при любом а > 0*).
5. Вот одно из простейших применений доказанных теорем.
Пусть % (х) ? Lz (а, Ъ) (— оо ^ а, Ь ^ оо) — функция, почти всюду отлич-
отличная от нуля и удовлетворяющая неравенству
с некоторым положительным а. Покажем, что система функций
<рп(х)==хп<р0(х) (я = 0, 1, 2,...) полна в пространстве Lz(a, Ь) в том
смысле, что линейные комбинации этих функций образуют множество,
всюду плотное в L2(a, Ъ).
Действительно, если бы это было не так, то по теореме об ортогональ-
ортогональном дополнении (гл. V, § 2, п. 8) существовала бы функция /(х) ? L2(a, Ъ),
не тождественно равная нулю, ортогональная всем функциям уп{х), так что
при любом л = 0, 1, 2, . ..
b
^f(x)xn<?Q(x)dx = 0. E)
а
Функция /(х-)сро(х) интегрируема в произведении с любой функцией
е ' ', где р < а; поэтому, продолжая в случае необходимости f(x)yo(x)
тождественным нулем на остающуюся часть оси (—оо, оо), получаем, что
ее преобразование Фурье g(s) есть функция, аналитическая в полосе | х | < а.
Так как согласно формуле B)
ь
то из E) вытекает, что при всех /z = 0, 1, 2, . .. мы имеем ^(П) @) = 0.
Отсюда в силу аналитичности g(s) всюду g(a)^0. По доказанной теореме
единственности (конец § 2) также /(х)сро(х) = 0 (почти всюду), и следова-
следовательно, /(х) = 0 (почти всюду) в противоречие с построением. Таким обра-
аом, система хп%{х) полна в L2(a, &), что и требовалось.
Например, при а = — оо, b=oot yQ(x) = e~x* получаем полноту системы
функций Эрмита хпе"хг, при,а = 0, &=оо, уо(х) = е~х получаем полноту
функций Лагерра (гл. V, § 2).
§ 4. Преобразование Лапласа
1. Пусть дана функция tp (x), которая (сама, возможно, и не ин-
интегрируемая) становится интегрируемой при умножении на е"^х при
некотором вещественном у- Тогда преобразование Фурье от функции
(fix), возможно не существующее в нашем первоначальном смысле,
оказывается существующим для некоторых комплексных $:
X) ОО
фE)= J (f(x)e"isxdx=
— GO —00
') См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций,
Гостехиздат, 1950, гл. 6, § 3.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 375
в частности, на прямой х==—у Как мы видим, на этой прямой ф ($)
является преобразованием Фурье интегрируемой функции w (x) ех~.
Наиболее важный случай такого рода получается при условиях
при х>0,
при
Здесь поеобразование Фурье
00 00
ф (<?) = $ <р (х) eXTe"ixa dx= J <р (х) в"'** tfx B)
о о
существует при всех х<^— а, т. е. в полуплоскости плоскости s,
ограниченной сверху прямой х =— а. Как мы уже знаем, в формуле
обращения можно производить интегрирование по любой горизонталь-
горизонтальной прямой т = — у» лежащей ниже линии х = — а:
-/Y+00
*M = i I <MS) «'**<**. C)
- / Т — оо
Сделаем в формулах B) и C) замену переменного is—р. Когда s
пробегает полуплоскость Im s <^ — а, р пробегает полуплоскость
Rep^>a. Функция
00
Ф (р) = ф E) = J (р (х) е~Р*dx
о
определена и аналитична в полуплоскости Rep^>a; на каждой верти-
вертикальной прямой в этой полуплоскости она стремится к нулю, когда
Imp—*-zb°°» причем это стремление равномерно на любом конечном
промежутке значений Rep. Формула обращения C) приобретает вид
Y-H"oo
^ 1 i
1 1
Т-/оо T-ioo
Функция Ф(р) называется преобразованием Лапласа от функции
<p(je) [удовлетворяющей условиям A)]. Преобразование Лапласа, как
мы видели, отличается от преобразования Фурье (рассматриваемого
в комплексной области) лишь поворотом в области комплексного ар-
аргумента на 90°.
Следующая простая теорема дает общие достаточные (но далеко
не необходимые) условия того, что данная функция Ф (р) есть пре-
преобразование Лапласа некоторой функции <р (х), удовлетворяющей усло-
условиям A).
Теорема 1. Если функция Ф (р) удовлетворяет
а) Ф(р) аналитична в полуплоскости

376 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
б) Ф(р) допускает оценку (p=p,-}-fPs)
00
. причем J В(p2)dp2 = В<оо,
— 00
Ф (р) есть преобразование Лапласа функции ср (х), равной нулю
при х<^0, а при х^>0 удовлетворяющей неравенству
Доказательство. Мы определим функцию cp(x) формулой
Т+гоо
7 —/со
Применяя обычные рассуждения с формулой Коши и опираясь на свой
ства а), б), легко проверить, что интеграл A) не зависит от у
С другой стороны, справедлива оценка
00
При дг^>0, устремляя у к у0, получаем оценку
при х<^0, устремляя у к ^)-оо, получаем ср(л;)
Если записать формулу D) в виде
да со
— 00 , —00
то мы получим, что 2тгср(—х)еР*х есть преобразование Фурье попе-
попеременному р2 абсолютно интегрируемой функции Ф (р -}- ipz)
(рг фиксировано). По формуле обращения
00 00
1 Г • С
го Л = —— \ 2тг(с (—х) еО^-Нл)* dx = \ (с (х) е~~Р
ж ЯГ /ТГ 1 * * * I X * *
"К J J
— СО — 00
так что Ф (рг -f- ipt) есть действительно преобразование Лапласа
функции <р(х).
2. Преобразование Лапласа часто используется для решения диф-
дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными,
отвечающих устанавливающимся процессам; в таких задачах неизве-
неизвестная функция f(t) при ?<^0 равна нулю, а при t^>0 должна быть
решением некоторого уравнения, удовлетворяющим при ?=0 некото-
некоторым начальным условиям.

§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 37Г
Рассмотрим сначала обыкновенное линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами
ny(t) = b(t) A)
с заданными значениями
Умножим уравнение A) на e~pt и проинтегрируем по t от 0 до оо
Обозначим через
00
преобразование Лапласа функции у (t). Тогда, интегрируя по частям,
находим:
00 СО
о
оо
=—Ух +Р (—Уо +РУ(Р)) = ~У1 —РУо +Р*У(Р), I B>
«««••¦••••••••¦•¦•••¦••••а,
00 . СО
1°
Умножая каждое из уравнений B) на соответствующий коэффициент ак
и складывая, получим уравнение вида
где Ro (р) — многочлен не выше, чем п — 1-ой степени от р,
R(p) — многочлен /г-й степени от pt а В(р) — преобразование Лапласа
от функции b(t). Для неизвестной функции У(р) получается таким
образом чисто алгебраическое уравнение. Решая его, находим;
R(P)

378' ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
искомое решение у (t) представится по формуле обращения
T
7—/со
Для вычисления интеграла C) прибегают, как правило, к контурному
интегрированию и теории вычетов, как мы это производили при вычис-
вычислении интеграла Фурье от рациональных функций. Заметим, что функ-
функция ept при *^>0 ограничена в левой полуплоскости (Rep<^y) и не
ограничена в правой; поэтому' полуокружности, входящие в состав
контура, нужно строить в левую сторону от прямой Rep=c=y, а не
в правую. В качестве числа у можно брать любое, отвечающее тому
условию, что все особенности функции R (р) лежат слева от прямой
Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка
с комплексно сопряженными (невещественными) характеристическими корнями
l = a-{-i$, X —a — /{J, причем а<0.
В электротехнике такое уравнение описывает вынужденные колебания
в контуре с сопротивлением, самоиндукцией и емкостью под действием
вынуждающей э.д.с. с частотой к. Переход к преобразованию Лапласа
приводит к уравнению
00
К/?2 + aiP -f аг) У{р) = ] Ь sin Ые'?1 dt =
о
Решая это уравнение, находим:
По формуле обращения
у u - 2nl J
Положим
Ptdp
а2
Знаменатель имеет четыре простых корня в точках zt Ik и at ± l\. В качестве
7 можно взять любое положительное число. Для вычисления интеграла допол-
дополняем прямую Re/? —7 бесконечно большой полуокружностью в левой полупло-
полуплоскости; тогда по теореме о вычетах
+ Выч f(p) \р=а+ц + Выч f(p) |ршж_,
Вычет в каждой точке вычисляется по общей формуле для простых полюсов
__ Л (р0)
р—ро B'iPo)
Выч

§ 4) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 379
В итоге получаем:
[ gt«+fo* e^-'Vt
y{t)—bk [(Х1 + Й«J/К Р*+Ь*)Ща9шТ~
е™_ е^_ 1
""" ( — aok2 -f- ajk -f- a2) 2ik ( — ao&2 — axik -f- a2) 2/? J
Результирующий процесс есть наложение периодического колебания с час-
частотой внешней силы и затухающего колебания с собственной частотой сис-
системы; скорость затихания определяется величиной] а, т. е. абсциссой харак-
характеристических корней.
При а = 0, р ==& наступает явление резонанса. В этом случае исходное
уравнение имеет вид
у"+ k2y = b sin kt
С формулой решения
Т+*со
еР dP
Точки p=z=*zik являются полюсами 2-го порядка подынтегральной функции.
Вычисляя вычеты по общим правилам (для кратных полюсов), находим:
4k2 4ik*jj
bt . . b ¦ . .
Получается колебание с неограниченно возрастающей амплитудой.
3. Те же методы применяются для уравнений . с частными произ-
производными.
Если обыкновенное уравнение после преобразования Лапласа по t
переходило в алгебраическое уравнение относительно неизвестной функ-
функции, то в уравнении, содержащем производные не только по t> но и
по переменным х, у, ..., после преобразования Лапласа по t исчезнут
производные по t и останутся производные по х, у, ... При большом
числе независимых переменных получится, конечно, слабое упрощение,
но в случае двух независимых переменных tf, x метод преобразования
Лапласа может применяться с большой эффективностью.
п - ди д2и
Рассмотрим для примера уравнение теплопроводности ^- —-r-j в конеч-
конечном промежутке O^x^l с граничными и начальными условиями их@, t) = 0t
u(lt t) = ux\u(x> 0) = ц0. Физически эти условия означают, что теплота не
выходит через конец х = 0, а на конце х = 1 поддерживается постоянная тем-
температура щ\ в начальный момент температура постоянна и равна и0.
Применим для решения задачи преобразование Лапласа по tt т. е. перейдем
от функции и(х% t) к функции
со
е~Р*а{х, t)du

380
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Для функции v(x, р) мы получаем уравнение
d2v (х, р)
dx"
—pv(x, р) = — ц.
с условиями
Это уравнение 2-го порядка имеет решение
откуда
nQ . иг — uQ ch x Y p
р
ch х Y P dp
Т—/00
Подынтегральная функция — однозначная функция от рс полюсами рп = 0 и
те2 f I \2
Pn= —~W \п—2 ) (л== ' ' *"'' ^ы П0Кажем, что интеграл равен сумме
вычетов соответствующей функции во всех
этих полюсах. Для этого рассмотрим в ле-
левой полуплоскости полуокружность Г„ с
центром в начале координат и радиусом
п* "Тг* ; она проходит между двумя соседни-
соседними полюсами, и мы покажем, что отношение
ch х Y р
~~=- на всей этой полуокружности ог-
ограничено; тогда при п —> оо интеграл по
\п в силу леммы Жордана стремится к нулю,
и весь интеграл A), как обычно, сведется
к сумме вычетов.
ch х Y Р
Вместо того, чтобы рассматривать отношение у=г на полуокружно-
сЫур
те2 ^—-
сти Гп, где \р\=п2~-т, можно заменить Y Р на С, /? на С2 и рассматривать
отношение - т на четверти окружности Ln радиуса п — с аргументом, ме-
СП ьь, I
*"" 1те
(рис. 18). Положим I = $4".'"т> мы имеем х > О,
-д $+8
Рис. 18.
няющимся от -г до .
. 4 4
Т И
chtf
ch x
ch I (? -f /t)
ch
cos
-j-'
sin хт
ch iE :os ix -j- / sh ^ sin It
ch2 x$ cos2 хт 4- sh2 x? sin2 xx
ch2 JE cos2 lx 4- sh2 & sin2 ^
(i)
Если |S| ^S, то на окружности Ап при достаточно большом п мы имеем
< г и, следовательно, cos2 It > 1 — т\, где г, т) как угодно малы;

§ 4]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
381
поэтому
ch xt
сЫС
B)
Если |S|^S, то мы заменим в знаменателе A) ch4S на sh2/?; тогда мы
получим:
ch тсИ 2 с\\^ l?
э. C)
v ch К
Неравенства B) и C) показывают, что отношение
ch xYp
ограничено фик-
ch/Vp
сированной постоянной на указанных окружностях- Поэтому, как было ука-
указано, интеграл сводится к сумме вычетов. Вычет относительно полюса р = 0
, кг ( 1 \2
равен 1. Вычет относительно полюса рп = -—^-I п—г- , как легко под-
считать, равен
COS | П —
г, Bл — 1)
В конце концов мы получаем решение в виде суммы ряда
4
4
и(х, t) = uo + — (и, — и0)
-*-е
СО8|7г--2
Задачи. 1. Заполнить пустые места в таблице
1
2
3
4
г
5
cos at
sh a^
Р
рг-аг
а
Р2 + а*
Oms. К, (jc)
п\
г
а
2. Решить уравнение yW-f 4/" 4- 4yff = 0 при условиях
2, V3 —3.
yt
Отв. 4yU) =

382 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [гЛ. VII
3. Решить Систему уравнений
у — зу -\-у + 2' — z = О
—yr ^.y _j_ z" — 5z' —j— 4z = 0
при условиях yo—y1 = zl=Q, zo=l.
0/пв. Ау = е^ — e3t -[- 2^e3t, 4z = 5^ — e3t — 2^е3^.
4. Решить уравнение теплопроводности
ди dzu m
при условиях «(ху 0) = 0, «@, t) = a cos u>*.
Оле.
u(x, f)=zae~*V ~zos(u>t -x-~ У № Х а
7t
О
Примечание. Множество примеров на преобразование Лапласа и его
применения в задачах математической физики имеется в книгах: X. К а р-
слоу и Д. Еге р, Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, 1948;
И. С н е д д о н, Преобразования Фурье, ИЛ, 1955.
§ 5. Квазианалитические классы функций
1. Метод преобразования Лапласа с .успехом применяется и при
решении теоретических проблем. В качестве одного из таких при-
применений мы изложим здесь основную теорему теории квазианалитиче-
квазианалитических классов функций1).
Известно, что функция f(x) вещественного переменного jc, если
она бесконечно дифференцируема в окрестности точки х0, не обязана
еще быть аналитической, т. е. разлагаться в окрестности этой точки
в ряд Тейлора. Но если последовательные производные функции f(x)
ие слишком быстро растут, именно так, что выполняются условия
max \fn) (jc)|< СМп л!, A)
1 х — хо |< S
то аналитичность функции f(x) в окрестности точки х0 уже будет
иметь место. Действительно, остаточный член в формуле Тейлора
Rn(x)=f(x)-f(xo)-(x-xo)f(xo)-...- (*~Д~' Г)Ю=
допускает в этом случае оценку [ Rn (х) | ^ СМп | х — хо\п и при
-Т7
| х — х01 < -Т7- стремится к нулю, откуда следует, что в интер-
*) По книге С. Мандельбройта, Квазианалитические классы функций,
.—Л., 1936.

§ 5] КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 38$
1
вале х — х01< -^ функция f(x) есть сумма своего ряда Тейлора.
Применяя формулу Коши для производных аналитической функции,
легко проверить, что и, обратно, аналитичность функции f(x) в окре-
окрестности точки х0 влечет выполнение условия A). Пусть m0, mlf ...
..., тп1 ... — произвольная последовательность положительных чи-
чисел. Образуем .класс С<тл> функций f(x), определенных на оси
и удовлетворяющих неравенствам
где постоянные С и М могут зависеть от выбора функции /. Если
числа тп растут быстрее, чем п\, то класс С<тд> может включать и
неаналитические функции. Но, как показал А. Данжуа в 1921 г.,.
/ 1 \
если V4 I , ] = оо, то класс С<тд> обладает следующим замеча-
тельным свойством: если две функции f(x) и g(x), входящие
в класс Qm5>, совпадают в некоторой точке х0 вместе со всеми
производными, то они тождественно совпадают при всех значениях х.
Для аналитических функций это свойство хорошо известно со вре-
времен Коши.
Классы С<тд>, в которых из совпадения двух функций вместе
со всеми производными вытекает совпадение этих функций всюду,
были названы квазианалитическими классами* В 1926 г. Т. Карлеман*
дал полное описание квазианалитических классов; несколько более
простую формулировку предложил в 1930 г. А. Островский. Теорема
Карлемана в формулировке Островского звучит следующим образом:
Теорема 1. Положим
^-. B)
Для того чтобы класс С(тпу был квазианалитическим, необходима
и достаточно выполнение условия
со
In Т (г) , ,ov
^dr = оо. C)
GO
1
Пусть, например, mn = nm, где а фиксировано. Тогда, как легко
вычислить,
интеграл C) сходится при а^>1 и расходится при cc^l. Теорема
Карлемана утверждает, таким образом, что класс С^ пУу квазиана-
литичен при а ^ 1 (как мы видели выше, он состоит даже из ана-
аналитических функций) и не квазианалитичен при а'

384 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Существуют квазианалитические классы, состоящие не только из анали-
аналитических функций. Можно проверить, что функция f(x) = ^T~1(n) cos nx
входит в класс С, ч и не является аналитической, если i-—- ¦—> оо;
\rrin/ П
поэтому, например, при тп = п\ 1п"« в квазианалитическом классе С, .
имеются неаналитические функции.
2. В этом пункте, пользуясь преобразованием Лапласа, мы сведем
проблему о квазианалитических классах к некоторой другой проблеме,
относящейся к аналитическим функциям в полуплоскости.
Допустим, что класс С<СТп> не квазианалитичен. Это означает, что
в классе C<mn> существуют функции f (х) и g(x), совпадающие при
x = xQ вместе со всеми производными, но не совпадающие всюду. Без
ограничения общности можно считать хо = О и f(x)=?g(x) при х^>0;
выполнения этих условий всегда можно добиться сдвигом и заменой х
на — Ху т. е. операциями, очевидно выполнимыми в пределах класса С<СТп>.
Рассмотрим далее функцию ср(х), равную f(x) — g(x) при jc^O и
равную 0 при х < 0; очевидно, что она также принадлежит классу С<СТп>.
Эта функция равна нулю при х < 0 и ограничена при х^> 0, и,, следо-
следовательно, обладает преобразованием Лапласа
со
A)
аналитическим в полуплоскости
Посмотрим, какими дальнейшими свойствами обладает функция Ф(р).
Производя в A) п раз интегрирование по частям, получим;
откуда вытекает оценка
со
р"Ф (р) | < СМптп Г е'рх их = СМптп — < СхМптп
о
при |p|>Y>0- Обратно, пусть имеется в полуплоскости y
аналитическая функция Ф (р) ф 0, удовлетворяющая неравенствам
вида
\рпФ(р)\^СМптп (л = 0, 1, 2, ...).
Очевидно, что f—gy е* удовлетворяет условиям теоремы 1 § 4;
в качестве интегрируемой мажоранты, требуемой условием б), можно,
например, взять Сто-—^ . В силу этой теоремь} функция ср (лс), опре-

§ 5]
КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИИ
385
деленная равенством
7+igo
p
г— Й
—ft»
равна нулю при х<^0. Поскольку Ф(р)фО} функция у(х)
. Далее, у(х) имеет производные всех порядков и
B)
О при
1
(р —
dp
7—I0O
7 + 100
2* J
7+fcO
7 —igo
7—zgo
Мы видим, что ср (jc) принадлежит классу C<mn>. Так как ср(л;) =
jc<^0 и ср (х) ф 0, то класс С<СТ/1> не квазианалитический. Итак, проб-
проблема о квазианалитических классах эквивалентна проблеме
(<ш роблема Ватсона») о существовании функции Ф (р) ф О,
аналитической в правой полуплоскости и удовлетворяющей
неравенствам
\р"Ф(р)\^СМ"т
2,
2y
3, Преобразованием инверсии р = — полуплоскость Rep ^>Y nePe"
о
водится в круг
—1
1, а проблема Ватсона приводится к сле-
слепУ
существует в круге \s—1
удовлетворяющая неравенствам
дующей: при каких условиях, наложенных на последовательность т
1 аналитическая функция F (s) ф О,
? C)
Предположим, что такая функция F (s) имеется. Можно найти такое р,
что /7(р)=^=0, | F (p -|- ?f) | <С ^ ПРИ всех вещественных 6, причем на
окружности s = p-j~pe'9 функция /^(s) имеет единственный нуль при
s = 0. Все дальнейшие построения будут проходить в пределах круга
s — р | ^ р. В силу неравенств C)
2р cos -ту
Переходя в правой части к минимуму по /z, получим:
.max
mt
_J
2? cos —
25 г. Е. Шилов

386
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. vn
и согласно определению функции Т (г)
откуда
lni/Чр+Р*1
2Мр
In Г
cosy
2М?
В теории аналитических функций известна следующая теорема
(доказательство ее мы дадим в п. 5): если функция F (z) аналитична
внутри круга \z — zQ\<Ch> отлична от нуля при z=z0, не превос-
превосходит по модулю 1, а в замкнутом круге \z — zo\^h непрерывна
и на окружности \z—zo\ = h имеет единственный нуль, то интеграл
2-rt
J
имеет конечное значение.
Применяя эту теорему к рассматриваемому нами случаю, находим,
что функция
\иТ[
\2М?
COS -^-
ib
)
J
обладает конечным интегралом по Ь в пределах от 0 до 2тт. Если
сделать подстановку
О 1
то мы получим, что сходится интеграл
00
In 7
1
dr,
Arl
а с ним и интеграл
00
In 7»
dr.
D)
Итак, если класс C<CTri> не квазианалитичен, то интеграл D) сходится.
Этим установлена достаточность условия Карлемана в теореме 1.

§ 51
КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
387
4. Переходя к доказательству необходимости условия Карлемана,
допустим, что интеграл D) сходится. Вместе с ним сходится и интеграл
2-х
1п т(
\ 2Щ
cosy
поэтому можно построить интеграл Пуассона
1 -
cos
1 — 2r cos @ — ср) -f г'
который представляет собой функцию, гармоническую в круге г <^ К
Положим G(s—l) = P(s) и обозначим через Q(s) сопряженную
гармоническую функцию в круге \s—1|<М. Пусть, далее,,-
F{s) = e~\ P(*)+iQ{s) \л
Мы утверждаем, что для функции F (s) выполняются неравенства
\F(s)\^mn\s\n (п = 0, 1, 2, ...)• E)
Действительно, неравенства E) эквивалентны неравенствам
e-p&^mn\s\n (л = 0, 1, 2, ...)
или
_ G (s) = — Р{s + 1) ^ In mn + «1п 15 + 1 I • F)
Оба слагаемых справа можно представить в форме интегралов Пуассона;
In m.
2к J 1-
2TC
— r2)
— 1r cos (9 — 9) +
и поэтому неравенство F), . подлежащее доказательству, можно
записать в виде
cos
cos —
так как
25*

388
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. vn
то для каждого отдельного п
С
т,
и, следовательно, под знаком интеграла в G) стоит неотрицательная
функция. Отсюда следует, что неравенство G) справедливо; вместе
с ним выполняется и неравенство E), и класс C<mn> согласно п. 1
оказывается не квазианалитическим. Этим теорема Карлемана доказана
полностью.
5. В этом пункте мы докажем теорему из теории функций комплексного
переменного, которую мы использовали в п. 3.
Теорема. Если функция f (z) аналипгична в круге \ z — z01 < h, от-
отлична от нуля при z~z0, no модулю не превосходит 1, непрерывна в замк-
замкнутом круге \z — z01 ^ h и имеет
на окружности | z — z0 | = h един-
единственный нуль в точке z*y то ин-
интеграл
конечен.
Доказательство. Без огра-
ограничения общности можно полагать
го = 0, Л = 1, 2* = 1. В круге | 2 | ^
*?:/•< 1 функция /(г) аналитична и
может иметь лишь конечное число
корней zv ..., zm\ можно считать,
что на окружности \z\ = r корни
отсутствуют.
Рассмотрим замкнутый контур С,
показанный на рис. 19, состоящий из
дуг окружности | z | = г, проходимой
в положительном направлении, окруж-
т) весьма малого радиуса е, проходимых в отрица-
отрицательном направлении, и ливий Lk = [zfky zk]y соединяющих указанные дуги и
проходимых дважды в противоположных направлениях. Функция ln/(z)
аналитична внутри контура С, и значение In/ @) может быть представлено
формулой Коши:
>?• (!)
Рис. 19.
ностей Cfc(A=l, 2, ..
Рассмотрим часть контура С, образованную окружностью С/ радиуса е с цент-
центром в точке Zp проходимую в отрицательном направлении. Та часть интегра-
интеграла A), которая берется по этой окружности С/, имеет вид
Ue
iH
z j -\- &е*
B)

§ 5] КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 389
Если fey—кратность корня Zj, то f(z)=z(z — zy)^/y(z), где fj(zj) Ф О, и
^ k | In | z — гу |+ 2к | -f | ln/y (г) |^ A | In e | -f C,.
В силу этой оценки подынтегральное выражение в B) становится при е h0
как угодно малым, и, следовательно, все интегралы по окружностям Су
стремятся к нулю при е—*0.
При обходе в отрицательном направлении вокруг точки Zj функция
In/(z)i=ln [/(г) | -f-*'arg/(z) приобретает слагаемое — 2гс&у/, поэтому интеграл
по части контура, образованной отрезком Лу, пройденным дважды в проти-
противоположных направлениях, равен
Ч
На каждом следующем участке окружности | г \ = г функция 1п/(г) но сравне-
сравнению с предыдущим приобретает слагаемое — 2nkjit что дает во всем интег-
интеграле A) добавку вида
*, J l Л.
г,
z,
7
n
4
очевидно чисто мнимую. Имея все это в виду, отделим вещественную часть
в равенстве A) при е—*0; мы получим:
2к
m
/=1
а так как | г'. | < 1, In | Zj | < О,
о
или, что то же,
2tc
0
На окружности | z | = 1 по условию имеется единственный нуль в точке г* = 1.
Выберем произвольно I > 0; тогда, очевидно,
2к — Ь 2тс
2к
s о
Оставляя S фиксированным, перейдем в этом неравенстве к пределу при
г—> 1; получим:
2TC-S
1
2к
s

390 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
Это неравенство справедливо при любом 6 > 0. Переходя к пределу при о —> 0,
получаем, что существует и интеграл
271
О
Теорема доказана.
§ 6. Преобразования Фурье в классе Lz (—оо, оо)
1. Функция ср (х)} интегрируемая в квадрате на всей оси х, вообще
говоря, не интегрируема в первой степени (пример:
поэтому она не имеет преобразования Фурье в обычном смысле.
Мы покажем тем не менее, что имеет место следующее предложение
(заменяющее теорему о преобразовании Фурье в классе Lx)\
Теорема (Планшерель, 1910). Для всякой функции
:/,,(—оо, оо) интеграл
представляет собой функцию, принадлежащую (по а) простран-
пространству L2 (—оо, оо). При N—> оо функция 6^ (а) в метрике
L2(—оо, оо) имеет некоторый предел ф(а), причем
QD ОО
| cp (x) |2 dx. B)
00 ~О0
Если <р{х), кроме того, принадлежит Lx{—оо, оо), то ф(а) есть
обычное преобразование Фурье функции ср (х). Поэтрму ф (а) и в общем
случае (когда у(х) фЬг (—оо, оо)) называется преобразованием
Фурье от ср (х).
Доказательство- Рассмотрим функции срх (х) и ср2 (х)
из класса Sx (§ 3, п. 4), и пусть фг (а) и ф2 (а) — их преобразования
Фурье, принадлежащие классу 5С. При этом
СО 00 00
— ОО — СО —СО
СО QD
{ **" ?, I*) }
00 — 00
OD CO 00
, { }da = i I Ф. (a> &w da-
-i- OD — CO — (JO

§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССЕ LA ОО,
391
Перемена порядка интегрирования, произведенная на третьем этапе,
законна в силу абсолютной сходимости двойного интеграла
00 00
— GO — GO
В частности, при срг (#) =
> Ф1 (<?) = ф2 (а) = Ф (а) получаем
со
со
= 2тт' J \<i(x)\*dx.
C)
— GO
— GO
Пусть, далее, ср (;с) — интегрируемая в квадрате функция, обращаю-
обращающаяся в нуль при | х | ^ а. Можно образовать последовательность
функций ср„ (х) ? S, обращающихся в нуль при | х \ ^ а, сходящуюся
к (р(д:) по метрике Lz(—а, а). Так как для всякой функции
^(—а-> а) по неравенству Коши — Буняковского
~а
y j !
х
йх
—а
—а
то имеем
так что ср„ (jc) сходятся к cp (x) и по метрике Ах (—л, а); а поскольку
и Фп (л) и ? (JC) обращаются в нуль при | х | ^ а, эта сходимость
имеет место и по метрике Zt (—оо, оо). Но тогда преобразования
Фурье фп (j) функций срп (х) равномерно при — оо <^ j <^ оо сходятся
к преобразованию Фурье ф (а) функции ср(л;). Кроме того, функции
фп (а) образуют последовательность, фундаментальную в метрике
L2 (— оо, оо), так как по доказанному
00
со
S I Ф„ (а) — фт (а) |
2тг
<рв (*) -
— 00
GO
Отсюда следует, что ф (а) = Игл 6п (а) принадлежит Аа(—оо, оо) и
GO
GO
— CO
00
GO
— GO

392 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
В действительности пределами двух последних интегралов являют-
являются— а и а.
Пусть, наконец, ср (jc) — любая функция из L2(—оо, оо) и yN(x)
равна ср (х) при | х | ^ N и 0 при | х | ^ N. Преобразование Фурье
функции yN(x) по доказанному принадлежит L2(—оо, оо), и
00 ОО
(a) j2 da = 2тт J \^(х)\Ых, D)
— 00 —00
а также
00 ОО
— фж (а) |2 da == 2тт J | ^(ж) — ?ж (*) |2 d*. E)
— 00 — 00
Но последовательность yN(x) сходится в метрике L2(—оо, оо)
к функции у(х) и потому фундаментальна; из равенства E) следует,
что последовательность &дДа) также фундаментальна. Обозначим
<b(a)b=limd>#(a); из D) следует, что
00 00
| ф (a) 12 6?a = 2тг lim
— 00 —00
00 00
= 2тт lim ^ | ?iV(jc) \Ых = 2ъ $ | tp (jc) |2 dx. F)
Наконец, если ср (#) принадлежит и 1г (—оо, cso), то для функции
мы будем иметь:
00
— 00
откуда следует, что ф^Да) равномерно сходятся к (обычному) преоб-
преобразованию Фурье функции cp(jc). Но так как в среднем *ф^(а) сходятся
к ф (а), то ф (а) и есть обычное преобразование Фурье фушщш ср (х).
Тем самым теорема Планшереля полностью доказана.
^1егко проверить и соотношение, несколько более общее, чем F),
именно, если cpj (х) и ср2 (х) —. любые функции из L2 (— оо, оо) и фг (J),
ф2 (а)—их преобразования Фурье, то
00 00
— 00 —GO
Для доказательства достаточно применить теорему Планшереля к функ
ции ^1(х)-\-^2(х) и сравнить результаты справа и слева.

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ *-В КЛАССЕ L2 ( ОО, ОО) 393
2. Соотношения между гладйостью функции и убыванием ее пре-
преобразования ФурЪе, полученные в § 3 для интегрируемых функ-
функций, сохраняют свою силу также и для квадратично интегрируемых
функций.
Пусть вначале квадратично интегрируемая функция <р (х) локальна
абсолютно непрерывна и ее производная ср' (л;) также квадратично
интегрируема. Тогда преобразованием Фурье функции ср' (л;) является
произведение преобразования Фурье ф(а) функции у(х) на la.
Действительно, функция ср (л;) в данном случае при х—юо имеет
предел, поскольку
X X
<p' E) <р E)</?,
а функции cptp и ср<р' интегрируемы на бесконечном промежутке;
очевидно, что этот предел может быть только нулем.
Используя этот факт, мы построим последовательность финитных
абсолютно непрерывных функций cpv(jc), так что в пространстве
Именно, в качестве cpv (x) мы возьмем непрерывную функцию, рав-
равную ср (х) на интервале (— v, v), 0 вне интервала Uy = (— v — j ср (— v) |,
v-f~/cp(v)|) и линейную в двух оставшихся промежутках; поскольку
ср(у)—> О при v—^+оо, функция cpv(;c) стремится к ср (х) в метрике
Lt(—оо, оо). Далее, функция ср' (д;) совпадает с у [х) в интервале
(—v, v), равна 0 вне интервала Uv и равна +1 в двух оставшихся
промежутках; очевидно, что ср' (х) стремится к ср' (х) в метрике
L% (— оо, оо).
По теореме Планшереля в пространстве ?2 (—оо, оо)
F [^ (х)] = /оф? (а) — F (?' (х)] == ф, (а),
а так как последовательность /ad)v (a) стремится, очевидно, к функ-
функции ?аф(а), то мы получаем
что и требовалось.
Пусть, обратно, вместе с функцией у(х) является квадратична
интегрируемой и ху(х). Покажем, что преобразование Фурье ф(а)
функции ср (л;) есть локально абсолютно непрерывная функция и
F [jctp (х)] = /ф' (а). Положим cpv (д:) = ср (д:) при | х | ^ v и cpv (д:) = 0 при
| ^ v; тогда ^v(jc)—> ср (д:) в метрике Lt{—оо, оо). Очевидно, и

394 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
—*ху(х) в метрике Lt (—00,00). Пусть F[xf(x)] = i
мы получаем
/ft (a) = F [*<pv (х)] -> F [ху (х)] = & (а).
По лемме п. 6 § 3 гл. IV из последовательности ф„ (а) можно
извлечь подпоследовательность &Vfr{G), сходящуюся к сЬ (а) почти
всюду. Пусть, например, ф(ао)==Нщ J>Vjfc(a0). Мы имеем далее
^ = №vfc (a) — 4>Vm (a)] — [u*u (a0) — d>Vm (ae)];
1 с другой стороны
*; E) - 4'Vm E) |* d5 — О,
откуда следует, что последовательность cbv/e (a) равномерно сходитсй
в любом конечном промежутке. Но тогда d) (a) = lim cbVft (а) есть уже
непрерывная функция. Далее
ф (а) - ф (а„) = lim J [ф;
;
откуда следует, что ф(а) локально абсолютно непрерывна и
I, что мы и утверждали.
3. Теорема Винера и Палея. Если интегрируемая в квадрате
функция <р (х) обращается в нуль вне отрезке [—Ь, Ь], то ее преобразование
Фурье ф (ст), кроме того, что оно также интегрируемо в квадрате, может быть
аналитически продолжено в плоскость s = а -}~ /т. Действительно, выражение
~lsx
tte
определено при всех комплексных s = a-]~ix. Оно представляет собой анали
тическую функцию от б1 и удовлетворяет оценке
ъ
-ъ
Целая аналитическая функция ф($), удовлетворяющая неравенству
называется функцией экспоненциального типа^Ь. Мы видим, что преобра-
преобразование Фурье квадратично интегрируемой функции, обращающейся в нуль
при | х | > Ь, есть целая функция экспоненциального типами. В этом пункте
мы установим обратную теорему.

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССЕ Z,2 ( ОО,'оо) 395
Теорема (Винер — Палей). Если целая функция ф {s) экспоненциаль-
экспоненциального munas^b интегрируема в квадрате по вещественной оси, то она яв-
является преобразованием Фурье интегрируемой в квадрате функции 9 (#)»
равной О вне отрезка [ — Ьу о].
Прежде чем доказывать эту теорему, выведем оценки коэффициентов
ряда Тейлора для целых функций экспоненциального типа.
Коэффициенты ряда Тейлора аналитической функции
со
ф (*) =^= 21 a«*n'
о
как известно, вычисляются по формулам Коши:
Если ф (s)—целая функция экспоненциального типа^&, то для чисел ап по
лучаются оценки
е^ <л = 0, 1, 2, ...)-
Переходя здесь к минимуму по г, получим неравенства
(п = 0, 1,2, ...)• «
Исходя из оценок (*), покажем, что частные суммы ряда Тейлора для функции
ф(а) имеют при любом в > 0 общую мажоранту вида C&e{b+&)r. Действительно,
начиная с некоторого номера Nt который можно взять между числами
2eb\s\ и" 2е&|^| + 1) выполняются неравенства
eb s\ 1
п ^2
и, следовательно,
GO GO , 00
Л
С другой стороны, величина ( —¦— ) как функция от п достигает при
n = b\s\ максимального значения еъ' s •, как это легко проверить дифферен-
дифференцированием. Отсюда
со N —\ оо
SI /У V I ¦ '" '• ^9 I /У О ( | - ^fc I /Y О I ^Г^* I I JiD*r\ 1 О 1 . I 1 I л" 1^1 I _ f ^-*^"* f уЭ\^* ~г^ *1 1 Л I
I ^^Л I ¦ ^г ] [ I^hO l I ^г | I U'hO I "^^ Vi< I uGl/ j о I— II с I ^^ ^^^ \-J г* С '
о о N
при любом е > 0, что и требовалось.
Переходим теперь к доказательству самой теоремы 1. Пусть
00
insn — целая функция, экспоненциального типами, интегрируемая
о
в квадрате по вещественной оси, и ср (х) — ее (обратное) преобразование
Фурье; по теореме Планшереля для любой функции u(x)?L2{—00, 00) и ее

396 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
преобразования Фурье v (а) ? L2 (—со, со) имеет место равенство
00 ОЭ
\ ф (о) v (о) da = 2те \ с? (х) и (х) dx.
— со —со
Предположим, что v (а) равна нулю вне отрезка [—с, с] и, следовательно,
и\х) есть целая аналитическая функция аргумента z=x-\~iy. В этом слу-
случае ряд
ОЭ
a) A)
сходится по метрике пространства L2{—оо, оо). Поэтому интеграл
со
\ ф (a) v (а)
— со
можно вычислить почленным интегрированием ряда A); получим
00 —, СО
00 °° 00
ф («) w (а) Л = 2 a» J <Л>(«)* = 2 «n'"""" @). B)
— СО Л = 0 „qq П=0
Равенство B) имеет место и в более общих предположениях, когда v (a)
не обязательно финитная функция, а только достаточно быстро убывающая,
ОЭ
так что 51 ап?п%} (°) остается сходящимся по метрике пространства
Лг=0
Л2(—оо, оо). Так как для функции ф(о) по доказанному все, частные суммы
ряда Тейлора имеют общую мажоранту вида СееF+е)|°' при любом е > 0, то
достаточно, что(бы функция v (с) убывала при |<у|—>- оо быстрее, чем е~с\ ° I,
с > 6.
Обозначим через Ес класс функций у (а), удовлетворяющих неравенству
Покажем, что если функция v (а) принадлежит Ес, то уравнения
«у' (a) rt CjW (a) = v(a) @ < с5 < с)
имеют решение в классе Есг Действительно, для уравнения со знаком
можно взять решение
— со
Очевидно, что интеграл, стоящий справа, существует при всех а. Далее, при
а—^+°° имеем:
» со
С
— ОЭ
а при а—> — со
с'+

§ 6]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССЕ Lz ( ОО, ОО)
397
так что w(a)?ECl. Для уравнения со знаком « — 5> нужно аналогичным обра
зом рассмотреть решение
ОО
ряд
Рассмотрим, с другой стороны, независимо от предыдущих построений,
00
2 ani"U™ @),
C)
гдечисла ап удовлетворяют неравенствам \ап\ <
извольная функция, аналитическая в круге \z
К ф ()
фу \
является сходящимся. Каждая функция и (г), аналитическая при
| \ Ъ
1)", а и (х -f- iy) — про-
проb. Покажем, что ряд C)
\\b
делена и аналитична в некотором круге | z
опре-
опреК
откуда
Ъ -f- e, и по формуле Коши
и (г) dz
Заменяя по формуле-Стирлинга л! на С1пп+1!^ е"п, получим
и, следовательно,
что и утверждалось.
Рассмотрим функционал
GO
— GO
ОЭ
—GO
определенный на функциях u(x)?Lz(—оэ, со); на тех функциях и(х), которые
принадлежат классу Еф с > Ь, он может быть задан формулой B)
GO
Как мы показали, по этой формуле он может быть определен и на сово-
совокупности всех аналитических функций в круге | z \ ^ Ь. При этом функционал
Ф (и) непрерывен в следующем смысле: если функции ит (г) определены и
аналитичны в круге \z\^b-\~г и во всем этом круге при т—*• оо равно-
равномерно сходятся к нулю, то Ф (ит) —*¦ 0. Это следует из самих формул D)—F),
где в качестве постоянной С, очевидно, можно поставить величину
max \u(z)\.

398 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VI!
Мы должны показать, что функция с? {х) — преобразоваиие Фурье дайной'
функции ф(ст) — равна нулю при ] х |5аа. Пусть — < гг < е2 <...< гт <...
...—з. е и
/я
где uQ(z)?L2{—оо, оо) — некоторая целая функция, преобразование Фурье
которой v0 (о) принадлежит классу ?$+s.
Разлагая коэффициент при и0 (г) на простейшие дроби, мы получим пред-
представление um(z) в форме
т Ли т D
"т \А) — Ло"о
Пусть ii^(z)=(^\+j~-j uo(z), uJ(z)=(^].-j~-J uo(z),v+(a) и
t»J(a) — соответствующие преобразования Фурье; мы имеем по формулам C)
п. 4 § 3:
1
Так как функция vo{d) по условию принадлежит классу Еь+Ъ и числа &-f-s/
меньше Ь -\~ е, то по доказанному г^" и у^* принадлежат классу Вь,е ; от-
отсюда следует, что функция vm (a) = F [ит (х)] принадлежит классу Е с . По-
этому для функции ут(ст) функционал B) принимает значение
00 ПГ.
— оо '*—w
При т —> оо последовательность функций ит (г)
а) сходится к 0 равномерно в круге \z\^b-{~-^-;
б) сходится по метрике Л2(—оо, оо) к функции, равной ио(х) при
> Ь -f- е и равной 0 при | х | < & -[" е-
По доказанному Ф («т)—».О. С другой стороны.
со
— go
ОтсюДа

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССЕ Lz{ ОО, Оо) 399
Это равенство можно написать и в форме
00
%{x)u9{x)dx = О,
— со
где сро (х) равна 9 (х) ПРИ I х I > & + е и равна 0 при | л: | < Ь -f- е. Функция
и0 (л) — здесь любая целая функция, преобразование Фурье которой принадле-
принадлежит классу Еь+е. Так как совокупность таких функций полна в пространстве
L2(—оо, ооI), то уо(х)я==О (почти всюду), откуда ср(л;) = О почти всюду при
|х| >&-|-е; так как е>0 произвольно, то 9 (х) равна нулю почти всюду
при | х | j> &, что и требовалось.
Задачи 1. Обозначим через Е совокупность всех функций ф (а), являю-
являющихся целыми функциями аргумента $ = а-(-/т экспоненциального Ь
и таких, что
со
J
— 00
Пусть G—некоторое ограниченное измеримое множество на оси ст. По-
Показать, что
sup
Указание. Пользуясь теоремой Палея и Винера, проверить, что функ-
функции ф (а-[-г'т)€.? равномерно ограничены в любом круге. Из формулы Коши
вывести, что и первые производные функции ф (s) ограничены в любом круге.
В силу теоремы Арцела (гл. 2, § 7, задача 5) совокупность Е компактна
в любом круге Q. Если имеется последовательность Ф„??, для которой
\
G
I Фч (а) I2 da—> 1, то, выбирая из нее подпоследовательность, равномерна
G
сходящуюся в Qd 2G> получаем для предельной функции ф (а) равенства
-G
откуда ф(ст)^О в Q —G, и следовательно, ф(ст)^О, что противоречит (*).
2 (Продолжение). Показать, что для любого множества G конечной меры
Указание. Применить к выражению ф(ст) через у(х) неравенства
Коши — Буняковского.
3 (Продолжение). Показать, что результат задачи 1 сохраняется для лю-
любого множества G конечной меры (Б. П. Панеях).
Указание. Gz=Gt + G2) где Gx ограничено, 2&iaGs < 1. Если 0(G)= U
то, так же как в задаче 1, можно указать последовательность Фч(ст), сходя-
сходящуюся к нулю равномерно вне G, следовательно, и на G5 так что
\ 1ФЧ(СТI2^СТ—>-0» но ^°гда 9(Gj)=l, что противоречит результату задачи 2.
г) В качестве функции щ (х) можно, например, взять функцию Эрмита
хпе"х* (см. § 3, п. 5).

400 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [гЛ. VI
4. Показать, что преобразование Фурье ф {s) функции <p(x)??8(—оо, оо),
равной нулю при х < 0, характеризуется условием: ф (а -[- /т) аналитична при
GO
т<0и \ \ § (а-\- fc) \Z da s^: С при всех т ^ 0.
— 00
Указание. Использовать теорему Планшерели для т < 0.
4. Принцип неопределенности в квантовой механике.
В квантовой механике при изучении движения материальной частицы М иско-
искомыми величинами являются не координата частицы и ее скорость, как в клас-
классической механике, а распределение вероятностей этих.величии. Для про-
простоты будем рассматривать одномерный случай. Тогда искомые функции
следующие:
1) Функция положения <?(*)• Это — некоторая комплексная функция,
определенная на оси — оо < х < оо и удовлетворяющая условию
GO
— ОО
она определяет вероятность пребывания материальной частицы М (в данный
момент времени) в интервале (а, р) по формуле
3
Вер
2) Функция импульса ф (р). Эта функция определена на оси — оо <
<р< оо, и
со
I Ф (р) |2 dp = 2тс. B)
— СО
s
Для импульса частицы (произведения ее массы на скорость) функции
определяет вероятность его значения в интервале (у, о) по формуле
Вер
Одна из основных аксиом квантовой механики (мы не будем вдаваться в ее
физический смысл) состоит в предположении, что функция импульса есть
преобразование Фурье функции положения:
00
¦№>)= J f(x)e-lPxdx. C)
— 00
Зная функцию положения, мы можем написать «наиболее вероятное» значе-
значение (математическое ожидание) положения частицы:
00
l=z [ X | ср (X) |2 dx.
— 00

§ 6] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССЕ L2(—ОО, ОО) 401
Можно считать 5 = 0; этого всегда можно добиться сдвигом функции <р вдоль
оси х. Заметим, что сдвиг вдоль оси х не изменяет величины |<|>Q?)|, так как
для любой <р (х)
со со
у(х)е-^х dx. D)
— ОО —GO
со
Таким же образом математическое ожидание импульса
P\^(p)\2dp E)
со
— со
мы также можем считать равным нулю.
Оценка разброса величины х дается средним квадратичным отклонением
(дисперсией)
со
8*= f х21 <р (х) |2 dx. (б)
— со
Чем меньше 3^, тем больше уверенности, что точка М действительно находится
вблизи начала координат. Таким же образом оценка разброса р дается сред-
средним квадратичным отклонением
со
К=к I P%\^P)?dp- G)
— СО
Функции ср (х) и ф {р)У естественно, предполагаются такими, что сущест-
существуют интегралы F) — G). Тем самым, в силу сказанного в п. 2, функции
<р'(х), рг (а) существуют и квадратично интегрируемы. Функция _ху(х) ёр' {х)
интегрируема в первой степени, а интегрируемая функция хер?» имеющая
интегрируемую производную <р<р-f-xcp'Jp -f-x^', равна на бесконечности н)лю.
Имеет место неравенство
6х °» ^ Т » (о)
которое называется соотношением неопределенностей. Оно показывает, что
чем точнее известно положение частицы (т. е. чем меньше 8Х), тем менее
точно известно значение ее импульса (т. е. тем больше Ьр) и обратно, так
что не может быть функций <р (х) и $(р), дающих одновременно очень точ-
точные значения и положения частицы, и ее импульса.
. Для доказательства соотношения (8) рассмотрим интеграл
со
= J
— СО
с вещественным параметром а. Пользуясь формулой \z\2 = zz, находим:
со
/(а)= \ (аху + ?'
— СО
со со со
— со — со — со
26 Г. Е. Шилов

402 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ {ГЛ. VII
При этом
оо
— 00
СО 00 СО
С _, ,_ , С —., , — оо С . B
J ' J —со J
— ОО —СО —00
и по теореме Планшереля, поскольку F | ср' | = ip§ (/?),
GO 00
— GO —GO
Итак,
Так как по построению /^(а)^О, то квадратный трехчлен (9) не имеет мни-
мнимых корней и, следовательно,
~ х р *-- »
откуда
2 *2 1
что и утверждалось.
§ 7. Преобразования Фурье — Стильтьеса
Формулу преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции
со
6(о)= \ e~lXQv{x)dx A)
— со
можно записать в форме интеграла Стильтьеса
ф(с) =
со
— GO
где
*(*)=
— 00
абсолютно непрерывная функция с ограниченным изменением на оси
оо <^х<^ оо.
Можно рассматривать общие интегралы вида
со
)=* 5 е-шйФ(х), B)
— С»

§ 7] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ — СТИЛЬТЬЕСА 403
где Ф (х)— уже произвольная функция с ограниченным изменением на
оси — оо<^х<^оо. Интеграл вида B) называется интегралом
Фурье — Стильтьеса.
Функция ф'(а), определенная интегралом B), ограничена:
со со
— 00 ' —GO
Она также непрерывна; действительно,
)\= $
— А
J
второй из интегралов становится как угодно малым при достаточно
большом А независимо от и' и а", а первый при выбранном А стано-
становится как угодно малым при достаточно малой разности между а' и aff.
Но в отличие от интеграла Фурье — Лебега A), интеграл Фурье—•
Стильтьеса B) не стремится, вообще говоря, к нулю при |а|—^оо.
Например, если Ф (х) отвечает массе 1, сосредоточенной в точке х0,
то
со
ф (а) = \ e~iX9 йФ (х) = е-1'**9
— со
есть периодическая функция от а.
Всякая периодическая функция ф(з), разлагающаяся в ряд Фурье
00
— GO
с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов
GO
2 f «„
— GO
может быть представлена в форме интеграла Фурье — Стильтьеса: для
этого нужно производящую функцию взять кусочно-постоянной и со-
совершающей скачок ап при переходе через точку ас = л. То же спра-
справедливо для более общего класса функций, который получается из C)
заменой показателя ina на Л„з, где \п—произвольная последователь-
последовательность вещественных чисел; эти функции принадлежат к классу так
называемых почти периодических функций.
Мы продемонстрируем применение интеграла Фурье — Стильтьеса на
примере доказательства одной теоремы, имеющей применения в теории
вероятностей.
27 г Е. Шилов

404 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VI?
Назовем измеримую функцию ф (а) (— оо <^ а <^ оо) положительно
окределенной, если для любой непрерывной функции и (х) и любых а, Ь
имеет место неравенство
ф (о — ч) и (a) flT(ijj do drk ^ 0. D)
а а
Примером положительно определенной функции является функция
e~lQX с фиксированным значением х; в самом деле,
ь ь ь ъ
a a
0.
Оказывается, что любая непрерывная положительно определенная
функция ф (а) получается «стильтьесовским комбинированием» функций
е 1Х°; именно имеет место теорема:
Теорема (С. Бохнер — А. Я- Хинчин, 1932). Каждая непре-
непрерывная положительно определенная функция ф(с) может быть
представлена в виде
со
ф(о)=
СО
где Ф {х) — ограниченная неубывающая функция.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда положи-
положительно определенная функция ф(с) имеет, кроме того, непрерывную
производную. Полагая в формуле D) u(o) = eI^y a = 0, b = nt полу-
получаем:
п п
о о
или, заменяя а — rj на 1,
E)
Формулу E) можно истолковать как формулу преобразования
Фурье от функции
(
I о

§ 7] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ СТИЛЬТЬЕСА 405
Так как функция ф (а), по предположению, дифференцируема, то
Ч*п (к) — кусочно-гладкая функция и согласно теореме § 2 (см. стр. 357)
при каждом 1 справедлива формула обращения
00
IP
— 00
При этом
со
1
„ (S) rfS = ЧРЯ @) = ф @).
— 00
Введя монотонную функцию
х
00
мы можем написать интеграл F) в форме интеграла Стильтьеса
00
G)
— СО
При п—> оо левая часть стремится, очевидно к пределу фA).
Функции Фп {х) образуют последовательность, из которой по теореме
Хелли (гл. VI, § 6, п. 4) можно выбрать всюду сходящуюся подпо-
подпоследовательность; изменяя, если нужно, нумерацию, можно считать,
что сама последовательность Фл (х) всюду сходится к некоторой функ-
функции Ф(х), также неубывающей и изменяющейся в тех же границад
О и ф@). Если бы мы применили теперь другую теорему Хелли
(гл. VI, § 6, п. 3), обеспечивающую возможность предельного пере-
перехода под знаком интеграла Стильтьеса, то мы бы получили, что
00 00
= lim [ e~iXx йФп (х) =
и доказательство было бы завершено.
При использовании теоремы Хелли мы должны учесть, что про-
промежуток интегрирования бесконечный и функция е~ не является
непрерывной в бесконечно удаленных точках. Поэтому в соответствии
с замечанием 3 после теоремы Хелли мы должны проверить выпол-
выполнение условия (*): для любого е^>0 можно указать N = NB) та-
такое, что для всех п
Var Ф_(х
Для этого мы применим следующую лемму: 27

406
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Лемма. Пусть задано семейство функций: Фл(к) вида
со
— СО
где Ф(Х(х) — неубывающие функции с ограниченной вариацией. Если
семейство Фа(Х) равностепенно непрерывно при i = 0, т. е. если
для каждого е^>0 можно найти такое й^>0, что для всех а
при 11 \ <^ 8 выполняется неравенство
то функции Фа (х) удовлетворяют условию (*) (с заменой п на а)
Доказательство леммы. Из условия равностепенной непре
рывности, в частности, вытекает, что при
л л
„ @) —
— л
— л
л
2/z
— л
Далее, имея h, найдем А так, чтобы при ] jc j^> Л иметь
(достаточно положить А-=-г\\ тогда мы получим:
sin /zx
fix
h
go
—GO
—GO
—h
\х\>А
и условие (*), таким образом, выполнено, что и требовалось.
Возвращаемся к доказательству теоремы. Мы видим, что нам
остается проверить равностепенную непрерывность в точке 1 = 0 со-
совокупности функций *Р„(Х), фигурирующих в равенстве G). Но каж-
каждая из этих функций получается из фиксированной непрерывной функ-
функции 6A) умножением на функцию 1 — i
п
которая при п —> оо
приближается равномерно к 1. Ясно, что условие равностепенной не-
непрерывности в таком случае выполняется. Тем самым теорема Бох-
нера — Хинчина у нас доказана,— пока еще для случая, когда функ-
функция ф(а) дифференцируема.

§ 7J ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ СТИЛЬТЬЕСА 407
Пусть теперь положительно определенная функция ф (а) только
непрерывна. Построим симметрическое усреднение функции
h h *
—Л 5 — Л
Очевидно, что функция фЛ (а) имеет и непрерывную производную.
Проверим, что двойное симметрическое усреднение функции ф (а)
h h
(8)
Л —Л
есть снова положительно определенная функция. Действительно,
^SA ф (а — т)и(а)Т
Л h
=И ф(а' ~x>) {^ I"(ff' ~
}
— Л —Л
= С С ф (а' — х') v (а') v(x') da' dx' > 0,
где положено
h h
i к, Т» 1
— Л —Л
Применяя доказанную теорему для двойного симметрического усред-
усреднения фААE)=5д5дф(а) функции ф(а), мы получаем:
GO
—GD
где Фй(и) — неубывающая функция, изменяющаяся в пределах от О
до фАЛ@). Семейство функций фЛЛ(и) равностепенно непрерывно при
и=:0; действительно, мы имеем:
'*(<*) — ф№@)|<
Л Л
— Л —Л

408 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
и дело сводится к равномерной непрерывности в окрестности нулевой
точки самой функции ф (а).
Устремим теперь Л к 0. Функции A^C) будут иметь пределом
значение ф(а). Из последовательности Ф/г(х) можно выбрать подпо-
подпоследовательность— можно считать, что это сама последовательность
Фд(х),— сходящуюся всюду к неубывающей функции Ф (х), изменяю-,
щейся в границах от 0 до ф@). Используя снова доказанную выше
лемму, мы получаем возможность еще раз применить теорему Хелли
на промежутке—оо<^д:<^оо и получить таким образом из (9) ра-
равенство
00
e~ix*йФ (а). A0)
— со
Тем самым теорема Бохнера — Хинчина полностью доказана.
Замечание. Более точный анализ показывает, что требование непре-
непрерывности положительно определенной функции в условии теоремы Бохнера—•
Хинчина излишне. Теорема остается справедливой и в предположении, что
положительно определенная функция ф(сс) измерима; представление A0) ока-
оказывается при этом' справедливым почти всюду. Как следствие получается, что
всякая измеримая положительно определенная функции может быть преобра-
преобразована в непрерывную изменением своих значений на множестве меры нуль.
§ 8, Преобразование Фурье в случае нескольких
независимых переменных
В задачах математической физики часто приходится иметь дело
с преобразованием Фурье функций нескольких переменных. Мы рас-
рассмотрим в этом параграфе простейшие факты, относящиеся к этому
преобразованию.
Пусть y(x) = if(xlt ...,хп)— интегрируемая функция п перемен-
переменных^, ..., хп во всем /z-мерном пространстве Rn. Преобразованием
Фурье функции <р (x) называете^ функция
п
или в символической записи
ф (О) = С ??-'(*• °><р (Я
Rn
Если ср(х) есть произведение функций ^f1(xl), ..., ®„(хп)> интегри-
интегрируемых каждая по своему переменному, то /z-кратный интеграл A)

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 409
приводится к произведению п однократных интегралов:
со со
ф (а) = J «р, (*,) e~ix^ dxt... J «р„ (х„
— со —со
где &>k{Gk) есть обычное преобразование Фурье функции <fk{xk).
В общем случае многократный интеграл A) по теореме Фубини
можно записать в форме повторного интеграла
СО 00 СО
*
. .. > e
— со * —оо —со
Каждая из фигурных скобок определяет преобразование Фурье по
одной координате при фиксированных остальных. Обращая последо-
последовательно каждую из этих операций, формально получаем:
со со со ,
— 00 —00 —СО ,
или в форме л-кратного интеграла
J ф ( )*l«>1...don. B)
Так как функция ф(и), вообще говоря, не является абсолютно интег-
интегрируемой в Rn, то формула (?) может иметь смысл только при ука-
указании способа вычисления интеграла в правой части. Мы ниже укажем
несколько возможных интерпретаций интеграла B).
Теорема. Предположим, что функция ср (л:) = ср (х1( ..., хп)
удовлетворяет условиям:
со оэ оо
— СО — 00 — Q0
а<1).
Тогда формула B) справедлива, если ее понимать как результат

410 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
последовательных переходов к пределу при Nn—*оо, . ..,Л^—> оо:
X e'*»e« <foB} ^*n-ie»-i <*$„_,...} **i* da,. D)
Доказательство. Обозначим
со
i (a,, xv...,xn)== J (p (x,, xlt .. ., xn) e~ix^ dxr
GD
В силу теоремы Фубини функция у(хг,хг, ...,хп) суммируема по
хх почти при всех х2> ..., х-п:
Из условия (Зх) и теоремы п. 2 § 2 вытекает, что справедлива
формула обращения
со (х , ..., хп) = hm к- \ ш (и , х .. ., л; ) eIJpiffi da..
— Ni
Функция ^х (ax, x2, ...,xn) почти при всех х3, ..., xrt суммируема
по х2 и удовлетворяет условие
QO
00
00
*„ *„, ,хп)\ dxl <
00
— со
вытекающему из C2). Поэтому для функции
— 00
справедлива формула обращения
1 (а,, х2, ..., хп) = lim ~ J ?2 (ар а2, х„ ..., хп)
ds2>
-л,
откуда
-V, _ Ai
GO

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 411
Продолжая таким образом далее, в конце концов придем к искомой
формуле D).
Условия теоремы 1 выполняются, например, если у интегрируемой
функции <р(*п •••>#>») существуют частные производные —-, —-,. ..
..., ——, первая из которых ограничена постоянной, вторая — инте-
охп
грируемой функцией от xv третья — интегрируемой функцией от хг
и х2 и т. д.
Существуют и. другие способы сведения /z-кратного интеграла к:
повторным. Рассмотрим здесь выражение преобразования Фурье в сфе-
сферических координатах. В сферических координатах интегрирование
ведется вначале при фиксированном г ^> 0 по сфере радиуса г с цент-
центром в начале координат и затем по г от 0 до оо. Обозначим через
d(o элемент единичной сферы Qt; тогда элемент сферы йг радиуса г
будет иметь вид rn~x do). Выражение A) преобразуется к виду
OD
ф (а) = 5 Н е-'Р*6 <р (r; ш) do] r"'1 dr.
о 2Г
Здесь о означает направление из начала координат, или, если угодно,
точку единичной сферы; <p(r; w) — значение функции ср (х) в точке
пересечения лучами сферы Qf; р есть |а|, а 9 — угол между направ-
направлениями векторов л: и а.
Особенно простой вид приобретает эта формула в случае, когда функция
<р зависит только от /*, т. е. является сферически симметричной. В этом слу-
случае ср(/*, «>) — ?(/•) и мы имеем:
ОС
ф (а) = е К е- 'Р'~- rf«> \ <р (г) г" - • dr. E)
Внутренний интеграл можно вычислить до конца. Рассмотрим сначала слу-
случай /2 — 3; тогда, принимая направление вектора а за полярную ось, будем
иметь:
где а — полярный угол в плоскости, ортогональной вектору а; в результате
получим:
2тс тс
C
— t»-
0
и в итоге
00
4% С
ф (а) — — \ ср (/•)/• sinpr dr.

412 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
В общем случае, при произвольном щ внутренний интеграл в E) выражается
через бесселевы функции1)
п п
Q S
и поэтому полностью преобразование Фурье сферически симметричной функ-
функции записывается в виде
п
1СО
2
Из формулы G) можно сделать несколько неожиданный вывод: преобразова-
преобразование Фурье сферически симметричной функции в /z-мерном пространстве при
п ^ 3 есть дифференцируемая функция (для р Ф 0), и притом порядок ее диф-
ференцируемости возрастает вместе с п. Действительно, функция ср (г) является
интегрируемой в /г-мерном пространстве, если существует интеграл
оо
Г ' п-\
о
В интеграле G) каждое формальное дифференцирование по р приводит к ново-
новому множителю г под знаком интеграла: так как при больших r\Jn; _г (pf)i^
^Cr"l/2, то умножение на г под знаком интеграла допустимо по крайней
мере до тех пор, пока общий показатель при г остается не превосходящим
1 „ „ ,Г 1 пЛ Г/г— 11
/г— — , т. е. по крайней мере] \п— -— = —-— раз. Следовательно,
[п in
—9~ *
При п = 3 функция ф(а) дифференцируема, по крайней мере один раз.
Рассмотрим формулу обращения интеграла Фурье
и попробуем придать ей смысл, интегрируя сначала по шару |а|=^/? и затем
устремляя R к оо. Положим:
1
Подставляя выражение ф(а) из A) и изменяя порядок интегрирования поя и а
(что возможно в силу абсолютной и равномерной по а сходимости /г-кратного
интеграла A)), получим:
') См., например, Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической
физики, т. 1 Гостехиздат, 1951, гл. VII.

8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 413
Внутренний интеграл преобразуем к сферическим координатам
n
(pr) VR (pr) ^р =
.—i
2
П R П
в соответствии с формулой F). Далее, заменяя рг на т, получим:
0 2
Согласно одной из формул теории бесселевых функций
[и п
l7
и, следовательно,
П П П П П
г
Для величины Фр(х) мы получаем выражение
п п
Z
п п п
1) dl. (8)
В последнем интеграле по 5 произведем сначала интегрирование по сфере
151=/-. Для этого обозначим:
71 а
(г, *) = -!-§4(* + *r)d*. (9)
Эта величина есть среднее значение функции ср на сфере радиуса^/- с центром
в точке х. Интеграл (8) теперь приводится к виду

414 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ.
Положим:
f *
1
I Ф(#, т)*2 при п четном,
' п 1
Ф(я, t)x2 2 при п нечетном;
? п t п 1
тогда мы получим, обозначая через /и целое число -~ — 1 или — ~,
со
где
Л (т) при л четном,
2
__. при п нечетном.
Бесселева функций Jn (т), как известно, ограничена при т—>-0, а на
бесконечности имеет вид
г — т
7 ^т
где //(t) абсолютно интегрируема. Отсюда следует, что Jп (т) обладает конеч-
2
ным интегралом на @, оо) (условно сходящимся при т—* оо). Положим:
со
4 (х)=
2 Л 2
Асимц.тотика функции Jxn (х) при jc—>- оо такова же, как и у Уп (х). Дейст-
Т 2
вительно, при любом г > 0 интегрированием по частям находим:
со
е«" ешг
00
reiar dx eiax
re uz e
iav
X
что обеспечивает абсолютную интегрируемость второго слагаемого при х—> оо»
Ограниченность J\ (х) при х—*0 имеет место в силу сходимости интеграла
2
оо
\ Jn (jc)rfx. Можно построить функции
О 2
оо со
J п (х) — V Jп (т) ат, У^ f jc) = \ -/„ (т) rfr, ...;
X 2

8]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
415
«се они обладают теми же асимптотическими свойствами, что Jп (х). То же
2
•относится к функции Jm(x).
После этих предварительных замечаний сформулируем теорему.
Теорема (С. Бохнер, 1932). Если функция / (т) = хт Ф (т, х) (см. (9))
ограничена, непрерывна и абсолютно интегрируема (от 0 до оо) и имеет
ограниченное изменение вместе с производными до порядка т, то при каж-
<дом х
(х) = lim с^ (х) =
lim
J
х) fa
A0
Доказательство. Интегрируя по частям соотношение A0), получаем:
со
Так как функция /(т) имеет при т = 0 нуль порядка не ниже т и ограничена
при х—*- оо, то внеинтегральныи член обращается в нуль. Повторяя интегри-
интегрирование по частям, получим:
со
со
A.
Разобьем полученный интеграл на две части:
со N „ со
При /?—* оо на основании общих теорем о предельном переходе под знаком
«нтеграла
N
N
Второй из интегралов допускает оценку
со
N
СО
t \e'
Л'
1
где //(t) — абсолютно интегрируемая функция, р = -^- или 1. Так как
имеет ограниченное изменение, то можно записать:

416
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. vn
где А(х) и В {х) — неотрицательные ограниченные неубывающие функции.
Поэтому
00
N
00
N
R
)
.tax
CO
N
N\ 1
jar
dx
R J NP 2%a l " \R
при N—*¦ oo независимо от значения R. Отсюда следует, что
00
Итак
m
с некоторой постоянной С". Но так как для некоторых функций, например е~х%*
соотношение A2) верно с С" =1, то, значит, для всех ср (х) постоянная С
равна единице. Теорема доказана.
Замечание. Условия этой теоремы выполнены, например, если предпо^
ложить, что сама функция ср (х) имеет производные до порядка от— —— 1 ,
абсолютно интегрируемые по всему пространству. Это следует непосредственно
из формулы (9), если учесть, что существуют интегралы
00
*j n У *) OX. • • ¦
о ^ x
Рассмотрим теперь" вопрос о суммируемости /г-кратного интеграла
Фурье методом средних арифметических. Для этого от выражения
—р
перейдем к среднему на интервале

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 417
Ядро Фейера
есть произведение п одномерных ядер Фейера вида —^—. Оно об-
ладает следующими свойствами:
а) Ф (/?, t) > 0;
б) J ...$Ф(/?,0<й=1;
в) С ... С ФЩ, t)dt—*O, когда #—*оо.
Последнее эквивалентно предельному соотношению
У=1, 2, . -. T n
а это последнее имеет место в силу выполнения данного свойства дла
каждого из ядер от одного переменного.
Из свойств а) — в), так же как и для одного переменного, сле-
следует, что
если функция ср(дг) непрерывна.
Более общим образом: если (р(х) = <р(х1Э , хп) принадлежит
некоторому нормированному пространству E?Ll (R) и непрерывна отно-
относительно сдвига в этом пространстве, т. е.
ton i|ip(*,+'i> ...,*„+*„) — ?(*„ ...,*„)||=о,
f-УО
то соотношение C) имеет место по норме пространства:
Эта последняя теорема, как и в случае одного переменного, в приме-
применении к пространству всех интегрируемых функций приводит к теореме
единственности преобразования Фурье: если у двух интегрируемых
функций <pj (д:) и ср2 (л;) преобразования Фурье ф4 (а) и Ф2 (а) то-
эцсдеапвенно совпадают, то сра (л;) и ср2 (д:) совпадают почти всюду.
Можно и для случая п независимых переменных определить
класс S (§ 3); он состоит из бесконечно дифференцируемых функ-
функций (р (дгр ..., хп), для которых при любых. kv ..., knt qv ...,?„

418
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[гл. vn
величины
f -f-... + rfxg"
ограничены во всем пространстве. Этот класс, как и в случае одного
переменного, после преобразования Фурье переходит в себя.
Наконец, на случай п переменных переносится и вся /,2-теория
{§ 6): если функция <р (д:) интегрируема в квадрате по /?п, то ее пре-
преобразование Фурье, определенное по формуле
ф(ог)= lim С ... Г y{x)e-iiXte)dx
- /V — N
(предельный переход по метрике пространства квадратично интегрируе-
интегрируемых функций от а), существует, принадлежит L2 и
J ...
к)"$ ... J \у(х)\%йх.
Имеет место также аналог теоремы Палея и Винера, а также тео-
теоремы Бохнера—Хинчина о представлении положительно определен-
определенных функций (§ 7).
Задачи. 1. Доказать, что преобразование Фурье от функции
п п
е /=1 ft=l
с положительно определенной Квадратичной формой в показателе равио
тс
где
О
... а
п
т
ап\ '•• апп
Указание. Преобразовать квадратичную форму ортогональным пре
образованием к каноническому виду.
2. Найти преобразование Фурье от функции е
Отв.
,—ат

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 419*
Заключительное замечание. Ряды и интегралы Фурье как сред-
средство решения задач математической физики ведут свое начало от
работ Ж.-Б. Фурье (франц. математик, 1768—1830), систематизиро-
систематизированных в книге «Аналитическая теория тепла» A822). Преобразование
Лапласа применялось еще Эйлером A737) для решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений; П.-С. Лаплас (франц. математик, астроном и физик,
1749—1827) развил это преобразование и широко использовал в книге
«Аналитическая теория вероятностей» A812). Преобразования Фурье
и Лапласа являются одним из основных средств математической физики
XIX и XX вв. Проблема представимости произвольных функций рядом
Фурье, над которой работали крупные математики XIX—XX вв.,
в большой мере способствовала возникновению теории функций дей-
действительного переменного. Интеграл Лебега и связанное с ним равен-
равенство F[LZ(—оо, oo)]=L2(—оо, оо) сделали преобразование Фурье
необходимым и для построения основных концепций теоретической
физики (квантовая механика). В тридцатых годах нашего века в тео-
теории интеграла Фурье были сделаны новые крупные открытия, в част-
частности, доказаны теорема Палея—Винера (§ 6, п. 3) и теорема Бох-
нера—Хинчина (§ 7). В современных исследованиях аппарат преоб-
преобразований Фурье развит и для растущих функций, что, в част-
частности, позволило дать подход к, разрешению основных проблем общей
теории линейных дифференциальных уравнений в частных производ-
производных с постоянными коэффициентами. Рекомендуемая литература:
А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, ГТТИ, 1939; Е. Титчмарш,
Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948; Б. в а н дер
Поль и X. Бреннер, Операционное исчисление, ИЛ, ' 1952;
Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, Гостехизда/, 1949;
И. М. Гельфанд иГ. Е. Шилов, Обобщенные функции, вып. 1—3,.
Физматгиз, 1958 B-е издание, вып. 1 —1960), И. М. Гельфанд
и Н. Я. В и л е н к и н, Обобщенные функции, вып. 4, Физматгиз,,.
1961.

ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Еще о множествах
Понятия и предложения, которые составили главу I нашей книри, назы-
называют иногда «наивной теорией множеств». Дело в том, что уже на ранней
стадии развития теории множеств в ней были обнаружены парадоксы и про-
противоречия, которые показывали, что теория множеств не может развиваться
без четкой аксиоматики и правил вывода. Особенно много сомнений было
высказано в свое время в связи с так называемой «аксиомой выбора», или
эквивалентной ей леммой Цорна (см. ниже). Этот вопрос приобрел большую
-актуальность еще потому, что аксиома выбора оказалась необходимой для
развития высших разделов самого анализа и других ветвей математики.
Начиная с двадцатых годов, было предложено несколько систем теории мно-
множеств с аксиомами и правилами вывода, предохраняющими от классических
парадоксов; к сожалению, ни для одной из этих систем не было доказано внут-
внутренней непротиворечивости. К. Гёдель показал A938), что в одку из них, называе-
называемую «системой Неймана — Бернаиса», присоединение аксиомы выбора не может
внести противоречия, если сама эта система (без аксиомы выбора) является
непротиворечивой. С другой стороны, Спеккер A933) показал, что аксиома
выбора не имеет места в другой системе, «системе Куайна», допускающей
большую свободу в обращении с множествами. Наши дальнейшие построения
будут относиться к множествам в смысле Неймана—Бернаиса; мы не приводим
здесь соответствующей аксиоматики, и читатель должен будет поверить нам,
что эти построения выполнены в пределах названной системы.
Определение. Некоторое множество Л называется частично упоря-
упорядоченным, если для некоторых пар его элементов, называемых сравнимыми,
определено соотношение сравнения ^ (меньше или равно), причем выпол-
выполнены следующие условия:
1) х^х для каждого х?А;
2) если х^у, у^х, то х=у;
3) если х^у, y^z, то x^z.
Каждое множество А можно считать частично упорядоченным, если счи-
считать, что соотношение сравнения х^у определено только при у—х. Это —
тривиальная частичная упорядоченность, которую естественнее было бы на-
называть неупорядоченностью. Противоположный случай будет иметь место,
если любые два элемента х, у множества А сравнимы, так что всегда выпол-
выполняется соотношение х^у или у^х. В этом случае множество А называют
лросто упорядоченным или линейно упорядоченным.
Примеры. 1. Множество целых чисел линейно упорядочено при обычном
¦определении знака ^. Таково же множество вещественных чисел.
2. Множество точек плоскости (х, у) частично упорядочено, если считать,
(х„ у,)=^(х2, у2)у если ух= у2, х1^хг.

§ 1} еще о множествах 421
3. Совокупность А, В ... подмножеств данного множества Е частично
упорядочена, если А'^В означает включение A cz В.
Каждое подмножество частично упорядоченного множества также яв-
является частично упорядоченным с тем же отношением сравнения. При этом
в частично упорядоченном множестве, вообще говоря, можно выделять и ли-
линейно упорядоченные подмножества, как в примере 2 подмножество точек
{х, у), расположенное на одной горизонтальной прямой. Назовем линейно упо-
упорядоченное подмножество В частично упорядоченного подмножества А мак-
максимальным, если не существует более широкого линейно упорядоченного
подмножества #,з#. Так, в частично упорядоченном множестве всех точек
плоскости (пример 2) множество всех точек любой горизонтальной прямой
является максимальным линейно упорядоченным подмножеством.
В дальнейшем существенную роль будет играть следующая аксиома.
Аксиома (Цорн, 1935). Каждое частично упорядоченное множество
содержит максимальное линейно упорядоченное подмножество.
Введем еще два важных понятия.
Пусть имеется частично упорядоченное множество А и его подмноже-
подмножество В. Множество В называется ограниченным в А, если существует эле-
элемент bQ?A такой, что b^bQ при всех Ь?В; всякий элемент Ъ0?А, удовлет-
удовлетворяющий этому условию, называется верхней границей множества В. Элемент
х частично упорядоченного множества А называется максимальным, если
ие существует элемента у Ф х большего, чем х,
В тривиальной частичной упорядоченности, о которой шла речь выше,
каждый элемент х является максимальным. С другой стороны, частично упо-
упорядоченное множество может вовсе не иметь максимальных элементов (как
множество целых чисел).
Следующая теорема дает достаточное условие существования максималь-
максимальных элементов в данном частично упорядоченном множестве:
Теорема 1. (Цорн). Если каждое линейно упорядоченное подмно-
подмножество В частично упорядоченного множества А ограничено, то А содер-
содержит максимальный элемент.
Доказательство. Пусть Во — максимальное линейно упорядоченное
подмножество множества А; в силу аксиомы Цорна таковое существует.
Пусть, далее, bQ есть верхняя граница множества Во. Мы утверждаем, что Ь9
есть максимальный элемент. Действительно, если бы существовал элемент
ао?А больший, чем &0, то множество BQ-\-a0 было бы снова линейно упоря-
упорядоченным и более широким, чем В01 что противоречило бы максимальности BQ.
На теореме 1 основано доказательство весьма важной в теории множеств
теоремы, носящей название теоремы выбора. Коротко говоря, эта теорема
утверждает, что если задана система множеств )Ла}, то существует множе-
множество Z, содержащее ровно по одной точке из каждого из множеств А^.
Теорема 2. (теорема выбора). Пусть каждому индексу а из некото-
некоторой совокупности А отнесено множество Аа. Тогда существует множе-
множество элементов аа такое, что при каждом фиксированном а элемент ах
принадлежит множеству Аа> и при этом индекс а пробегает все Л.
Доказательство, рассмотрим множество Щ. всех функций ха, опре-
определенных на подмножествах множества А и принимающих значения в множе»
ствах Аа. Каждый фиксированный элемент уЛ множества Аа определяет одну
из таких функций, определенную только при одном значении а. Таким образом,
51 не пусто. Между функциями ха можно установить отношение сравнения,
считая х%^у^ если функция уа определена во всяком .случае для тех же
значений а, что и функция ха (и, может быть, для иных значений а), и на
области определения функции хя мы имеем Уа = х„. Рассмотрим любое линей-
линейно упорядоченное-подмножество ЩосЩ. Пусть Ло — объединение всех под-
подмножеств множества Л, на которых заданы функции ха^Ш9. В каждой точке
<*о€К определены некоторые из функций ха?%, причем из сравнимости этих
28 г. Е. Шилов

422 ДОПОЛНЕНИЕ
функций вытекает, что все они принимают при а=^а0 одно и то же значе-
значение хао. Это единственным образом определяемое значение задает на Ло од-
однозначную функцию у^. Ясно, что она сравнима со всеми функциями хл?Ш09.
и именно ха^уа. Мы видим, что линейно упорядоченной подмножество Ж&
ограничено в % По теореме 1 в Ш имеется максимальный элемент а7. Мы
утверждаем, что функция аа определена на всем множестве Л. Действи-
Действительно, если бы элемент ссо?Л не входил в ее область определения, мы с
помощью какого-нибудь элемента уа?А могли бы расширить ее область
определения, добавив значений yQ в точке сс0, и аа не была бы в Ш макси-
максимальным элементом. Таким образом, аа есть искомая функция. ¦
На теореме выбора, явно или неявно, основаны многие построения ана-
анализа. Например, доказательство существования неизмеримого множества
(стр. 161) фактически требует применения этой теоремы. Но и в более эле-
элементарных рассуждениях можно обнаружить использование теоремы выбора.
Рассмотрим,, например, доказательство эквивалентности двух известных опре-
определений непрерывности функции f(x) в точке х0 метрического пространства
(«в — о-определение» и «lim-определение»). Обычное сведение второго опре-
определения к первому делается «от противного»: предполагается, что первое
определение не выполнено; тогда прн некотором е > 0, придавая числу о по-
последовательно значения 8п -+ О и выбирая в соответствующей ^„-окрестности
точки jc0 точку хп так, чтобы иметь | / (х0) — / (хп) \ > е, получаем противоре-
противоречие со вторым определением. Мы видим, что пб пути нам фактически приш-
пришлось использовать возможность произвольного выбора.
. Теорема выбора была задолго до Цорна сформулирована Р. Цермело
A904) в форме аксиомы. Цермело вывел из «аксиомы выбора» теорему —на
первый взгляд несколько парадоксальную — о tow, что каждое множества
может быть «вполне упорядочено». Для выяснения, смысла этого результата
сравним порядковые свойства трех линейно упорядоченных множеств: мно-
множества А1 всех вещественных чисел, множества А2 всех вещественных не-
неотрицательных чисел и множества А3 всех натуральных чисел. Множество Аг
не имеет первого (наименьшего) элемента. Множество А2 имеет первый эле-
элемент 0, но не имеет непосредственно следующего. Множество А3 имеет
первый элемент 1, имеет непосредственно следующий за ним - 2 и т. д.
Термин «непосредственно следующий» можно заменить более определен-
определенным «наименьший из всех следующих». Мы называем линейно упорядочен-
упорядоченное множество А вполне упорядоченным, если у каждого непустого
подмножества СсгЛ есть наименьший элемент. Обозначим наименьший
элемент вполне упорядоченного множества А через 1, непосредственно
следующий за ним — через 2, далее —3, 4 и т. д. Если множество А не
является конечным, то этот процесс приведет нас к построению счетного
подмножества 5 = A, 2,..., я,...)- Возможно, что В не исчерпывает
всего А, и тогда есть элемент, непосредственно следующий за В; мы обозна-
обозначим его через со. Непосредственно следующий элемент за В-{-& мы
обозначим через со-j-l; следующие элементы естественно обозначить
со —[— 2, со —{— 3, ... Д алее появится элемент со -|~ со = 2со, Зсо, ... , со2 = со • со и т. д.
Таким образом, определяется некоторая каноническая система нумерации
элементов вполне упорядаченного множества. Но в пределах этой нумерации
укладывается каждый раз только конечное или счетное подмножество, и
трудно представить себе несчетное вполне упорядоченное множество. Теперь
мы можем оценить эффектную формулировку теоремы Цермело:
В каждое множество А можно внести соотношение сравнения ^
так, что оно окажется при этом вполне упорядоченным.
Наметим вывод теоремы Цермело из теоремы Цорна.
Пусть дано произвольное множество А. Рассмотрим совокупность Ш тех
подмножеств А, которые могут быть вполне упорядочены. При этом, если
данное подмножество В tzA может быть вполне упорядочено несколькими

§ 2] ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЯХ 423
способами, оно входит в совокупность Щ столько раз, сколько имеется спо-
способов его полного упорядочения. Совокупность Ш не пуста, она содержит*
например, все одноэлементные подмножества множества Л. В совокупность
а введем частичную упорядоченность, считая, что В1^В2, если В. с Вг со-
соотношение порядка на ?,. то же, что и на В2, и все элементы В2 — В1 больше,
чем любой элемент Вх (так что Вх является, так сказать, началом В2). Прове-
Проверим, что выполнено условие теоремы Цорна. Пусть имеется линейно упоря-
упорядоченная система Що С Щ. По предположению для всех элементов, входящих в
множества системы Що, имеется единое полное упорядочение. Оно будет
иметься тем самым и на объединении В всех подмножеств, входящих в 5te.
Это объединение В вместе с получившимся на нем отношением сравнения
входит в Ш01 и тем самым Що ограничено. По теореме Цорна Ш содержит
максимальный элемент Ло. Элемент Ао есть некоторое подмножество множе-
множества А7 допускающее полное упорядочение. Мы утверждаем, что AQ = A;
действительно, если бы имелся элемент г?Л, не входящий в Ао, то мы рас-
рассмотрели бы подмножество A0-\-z и считали бы z следующим за всеми эле-
элементами Ао) но тогда Ао не было бы максимальным вполне упорядоченным,
подмножеством. Таким образом, AQ = At и теорема доказана.
§ 2. Теоремы о линейных функционалах
Следующая теорема позволяет строить в линейных пространствах разно-
разнообразные линейные функционалы. «Комплексная» ее формулировка идет от
Г. Хана A927) (хотя сам Хан рассматривал только вещественные пространства),
«вещественная», налагающая на функционал р (х) меньше условий,— от
С.Банаха A929).
Теорема (Хан — Банах).
а) Пусть в линейном вещественном пространстве Е задан функционал,
Р (x)i удовлетворяющий условиям
р(х + у)^р(х)+р(у), р{1х) = 1р(х) при Х^О. (!)
Пусть, далее, на подпространстве Еа^Езидан линейный функционал f (х)
удовлетворяющий неравенству
x). B)
Утверждается, что в пространстве Е существует линейный функционал
/*(х), совпадающий на Ео с f(x) и всюду в Е удовлетворяющий неравенству
/*(*)</>(*). C)
Иными словами, функционал f(x) может быть продолжен с Ей на
все Е с сохранением неравенства B).
б) Пусть в линейном комплексном пространстве Е задан функционал
р (х), удовлетворяющий условиям
р(х-\-у)^р(х)-\-р(у\ р(be) = Ц |р(х) при любом комплексном X. (V)
Пусть, далее, на подпространстве ?ocz? задан линейный функционал
f(x)t удовлетворяющий неравенству
I/WKpD B')
Утверждается, что в пространстве Е существует линейный функционал
/*(jc), совпадающий на Ео с f(x) и всюду в Е удовлетворяющий неравенству
| У* (х) |«?/><х). C')
Иными словами, функционал f(x) может быть продолжен с Ей на всё
Ее сохранением неравенства B'). 28*

424 ДОПОЛНЕНИЕ
Доказательство. Элементы подпространства Е& будем обозначать
через у. Вначале мы покажем, что можно расширить функционал / с под-
подпространства Ео на подпространство Elt имеющее на одно измерение больше,
чем EQ.
Точнее говоря, мы сделаем следующее: возьмем произвольно вектор x^t
не принадлежащий ?0, и покажем, что можно построить линейный функци-
функционал /, (jc), определенный на подпространстве Е1 всех линейных комбинаций
векторов у?Е и вектора jc0, так, что /t (х) будет совпадать на Ео с f(x) и бу-
будет ограниченным на Ех тем же функционалом р(х) (в комплексном случае —
по модулю).
Построение будем производить вначале для вещественного случая. Мы
определим функционал fv естественно по формуле
h (У) =fx (У + ^о) =М + V. (*о), D)
Где число Д (jc0) подлежит определению, с тем, чтобы было выполнено усло-
условие B). Условие B) можно теперь записать в форме
При \ > О это неравенство можно записать в виде
или
+ b) y = Y
При I < 0 мы положим jt = — I > 0; тогда мы получим
/(У) - tfi («о)<Р(У — №)>
V
или, деля на р. и обозначая ^2 = ^-,
/W-/iW^P(^-^ G)
Обратно, если число fx (xQ) при любых yt^EQ и уг?Ей удовлетворяет нера-
неравенствам .F) и G), то удовлетворяется и неравенство E) при любом у?Еш
и любом X. Неравенства F), G) можно записать в форме
/ (Л) - Р (У2 ~ *0) ^ Л (*о) ^ Р (Ух + *о) - / (Уi).
Мы видим, что решение поставленной задачи зависит от соотношения между
числами
а= sup
И
р= mi
Если а^Р, то наша задача разрешима; если же оказалось бы, что а > ff
то величину f1(x0I удовлетворяющую условию B), найти было бы нельзя.
Покажем, что в действительности всегда а=^р. Для этого нужно проверить,
что при любых уг и уг из Е& выполняется неравенство
/(Л) -Р (Уг - ^о)^ (Ух + *о) —
,влиг ЧХР то же,

§ 2] ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ 425
Покажем, что неравенство (8) на самом деле имеет место. Действительно»
мы имеем
=Р (Ух + хо + Уг ~ Хо)*?Р (Уг + *о) +Р CVa - *о>*
что и требуется. Итак, искомое число fx(xn) существует, а следовательно»
искомое продолжение функционала / возможно.
В комплексном случае мы разложим функционал f(y) на вещественную
и мнимую составляющие:
Функционалы g(y) и h(у) — вещественные линейные функционалы в прост-
пространстве EQi рассматриваемом как вещественное пространство, и вместе с
функционалом / ограничены тем же функционалом р (х). Далее мы имеем
/ (iy) = if (У) = g (iy) + ih (iy) = tg(y) - h (y),
откуда h{y) = -~g(iy) и, следовательно,
По доказанному функционал g(y) можно продолжить с сохранением нера-
неравенства B') на вещественное подпространство ?i/a вещественных линейных
комбинаций векторов у?Е0 и вектора хф а затем — также с сохранением
этого неравенства — на подпространство EX"Z)E^2 вещественных линейных
комбинаций векторов у?Е0, х0 и ix0. Положим на Ех
Мы получим расширение функционала / с ?"„ на Ех. Проверим, что он
остается линейным функционалом в комплексном пространстве Ех. Доста-
Достаточно проверить, что f(ix) = if(x). Действительно,
/ (ix) = g (ix) - ig (— x) = i [— ig (ix) - g (— x)] = i [g (x) - ig (не)] = if (x).
Остается показать, что в Ех для функционала / выполняется неравенство C').
При заданном xQ выберем вещественное числа 9 ""так, чтобы elHf(x) было ве-
вещественным неотрицательным числом. Тогда е^ f(x)—f(e^x) = g(e^ x) и,
следовательно,
| / (х) | = | е№ f(x)\ = g (е®х) ^р (еях) = р (х),
что и требовалось.
Итак, всегда — в вещественном или комплексном случае — возможно рас-
распространить с выполнением неравенства C) или C') заданный функционал
с данного подпространства Ео Ф Е на некоторое более широкое Ех. Пока-
Покажем, что существует распространение функционала / с выполнением соот-
соответствующего неравенства на все пространство Е. Для этого используец
теорему Цорна из § 1. Именно, рассмотрим совокупность % тех под-
подпространств пространства Е, на которые искомое распространение воз-
возможно. При этом будем считать, что данное подпространство Ео входит'в
% столько раз, сколькими способами возможно распространение функциоиала
/на Ер. Все семейство Ш можно частично упорядочить, считая Еа^Еа, если
Еа^Щ и значения функционала /, распространенного на Еа и на Е& совпа-
совпадают на подпространстве Е Пусть Шо — линейно упорядоченное подсемей-
подсемейство в Ш. На объединении Еш всех подпространств Еа, входящих в % функ-
функционал / однозначно определен и удовлетворяет неравенству C) или C').
Следовательно, Е само входит в Ш и, очевидно, является верхней границей
для всех Д,?&0. Тем самым Жа ограничено. Согласно теореме Цорна, в се-
семействе Щ есть максимальный элемент ?*. На подпространство ?* можно

426 ДОПОЛНЕНИЕ
распространить линейный функционал /с выполнением неравенства C) или C').
Если бы было Е* Ф Е, то по доказанному функционал / можно было бы рас-
распространить и на более широкое подпространство, что противоречило бы
максимальности Е*. Итак, ?* —?, и теорема доказана.
Приведем теперь некоторые следствия из теоремы Хана —Банаха.
1. В качестве функционала р (х) (в вещественном и в комплексном слу-
iae) можно взять норм} элемента х или ее кратное. При этом получается,
i частности, что функционал, удовлетворяющий на подпространстве E^czE
неравенству
— следовательно, имеющий на подпространстве Ео норму, не превосходя*
цую С,— может быть продолжен на все пространство Е с сохранением
этой нормы. Это наиболее часто встречающееся следствие теоремы Хана —
Банаха.
2. Для каждого элемента х0 Ф 0 нормированного пространства Е су-
существует линейный функционал /, определенный на всем Е, имеющий
корму 1 и такой, что f(xQ) Ф 0. Действительно, полагая /(lxQ) = I \\ xQ |, мы
получаем линейный функционал с нормой 1, определенный на одномерном
подпространстве, порожденном элементом х0. Продолжая его на все Е с сох-
сохранением нормы, получим искомый функционал.
3. Для всякого замкнутого подпространства EQ ф Е и элемента
х0 ? Ео существует линейный функционал /, имеющий норму 1, равный 0
на Ео и такой, что f(xQ) ф 0.
Действительно, определим функционал / на подпространстве ?lt состо-
состоящем из всех векторов вида х=у-\-1хй (у?Е09 I — любое число), формулой
где с — некоторая положительная постоянная. Мы имеем на Е{.
11/11= sup 1ГФ-Г= sup с ее
— + *0
inf
У_Л-х
Л
где d= inf
У
есть расстояние от элемента х0 до подпространства
d положительно, поскольку Ео замкнуто. Мы видим, что, если положить с = d,
мы получим на ?\ функционал с нормой 1. Продолжая его далее на все Е
с сохранением нормы, получим искомый функционал.
Замечание 1. Следствие 3 можно сформулировать еще и так: для
любого подпространства Ео ф Е и элемента jc0, не входящего в замыка-
замыкание Ео, существует линейный функционал с нормой 1, равный О на Ео
и такой, что f(xQ) Ф 0.
Замечание 2. Функционал р (jc), фигурирующий в комплексной фор-
формулировке теоремы Хана — Банаха, есть «почти» норма; он отличается от
нормы тем, что может обращаться в нуль не только при х Ф 0, а и на целом"
многообразии. Мы будем называть такой функционал р (х) полунормой. В ве-
вещественном случае функционал р (х) по своим свойствам еще дальше от
нормы; он может принимать даже и отрицательные значения.
Замечание 3. В некоторых построениях анализа теорема Хана —
Банаха может быть применена с большой пользой. Например, при выводе
ббщей формы линейного непрерывного функционала в пространстве С(ау Ь)
(гл. VI, § 7, п. 1), минуя рассуждения с продолжением функционала нз бо-
более широкое пространство (этап I) мы могли бы прямо использовать эту
теорему.

§ 2] ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ 427
При этом легко проверяется, так же как и на этапе II, что получающая-
получающаяся функция ^Й-Л^пМ! имеет ограниченное изменение. Но непре-
непрерывность справа этой функции, обеспечивающая полную аддитивность меры,
вообще говоря, не будет иметь места. Если для одного переменного это об-
обстоятельство не является существенным, поскольку интегрирующую функцию
всегда можно исправить в точках разрыва, сделав ее непрерывной справ!а
{а. 2 § 6), то для нескольких переменных возможность такого исправления
представляется значительно более сложной.
Рассмотрим некоторые факты, связанные с последовательностью линей-
линейных функционалов.
Теорема (Банах и Штейнгауз, 1927). Если значения линейных функ-
функционалов fx (х), ...,/„ (х), ... ограничены на каждом фиксированном эле-
элементе х?Е, то они равномерно ограничены на единичном шаре простран-
пространства Et иначе говоря, нормы функционалов fn(x) ограничены в совокуп-
совокупности.
Доказательство. Если последовательность линейных функционалов
fn(x) не ограничена в единичном шаре [|х||а^1, то, очевидно, она не огра-
ограничена и в любом шаре ЦхЦ^г; более того, она ие ограничена и в любом
шаре U(xOy г) = \\ х — х0 \\^/*, так как если бы для x^U(xQ1 r) числа fn (x)
и in W были ограничены, то были бы ограничены и числа fn(x — xo) =
—/«М — fn W> чт0 Уже невозможно, так как х — х0 пробегает шар ради-
радиуса г с центром в начале. Заметив это, выберем в единичном шаре элемент
¦*i> ll*ill< 1> на котором какой-то из функционалов/„ —обозначим его через
Д — превосходит по модулю 1:
Так как /г — непрерывный функционал, то существует шар || х — хх [| ^ rv
который целиком содержится в исходном шаре ||х||^1 и в котором выпол-
выполняется неравенство
1
Внутри этого шара найдем элемент х2 и функционал /2 так, чтобы иметь
l/»(*t)l>2,
и затем выберем новый шар || х — х2 \\ ^г2, заключенный в предыдущем,
во всех точках которого выполняется неравенство
|/t(x)|>2.
Продолжая таким образом далее, получим'.последовательность вложенных друг в
друга шаров с радиусами /\, г2, ..., гт ..., стремящимися к нулю. В общей
точке х0 всех этих шаров (существующей в силу полноты пространства R
и леммы § 5 гл. II) имеют место неравенства
т. е. числа fn(x6) не ограничены, что противоречит условию теоремы.
Следствие. Если последовательность линейных непрерывных функ-
функционалов fl(x\ ...,/„(#), ... сходится при каждом х?Е, то предельный
функционал /(#) —lim/n (x) также является линейным и непрерывным.
Действительно, линейные свойства функционала f(x) получаются пре-
предельным переходом в равенстве /„ (^х-\~ i^)— afn (х) + Р/« (У)\ а из теоремы
Банаха вытекает, что ограничены и значения этого функционала в единич-
единичном шаре.
Задачи. 1. На подпространстве Ео линейного пространства Е (без
нормы) задан линейный функционал /. Доказать, что он допускает линейное
продолжение на все пространство ?.

428 дополнение
Указание. Использовать схему доказательства теоремы Хана — Банаха
(не заботясь о значении /(хе).
2. Показать, что в бесконечномерном нормированном пространстве суще-
существует всюду определенный линейный функционал, для которого
sap \f(x)\ = co.
Указание. Изменить t схему доказательства теоремы Хана — Банаха
с тем, чтобы при каждом расширении «на одно измерение» норма функци-
функционала увеличивалась на единицу.
Начать с произвольного функционала, определенного на одномерном про-
пространстве; после счетного числа расширений на одно измерение получится
неограниченный функционал. Для дальнейшего расширения (до всего Е) при-
применить задачу 1.
3. Доказать полноту следующих пространств числовых (комплексных)
последовательностей (с естественными линейными операциями):
а) пространства с0 последовательностей, стремящихся к нулю:
с нормой
б) пространства 1Х последовательностей
00
a = (Oj. <*2,..., ап, .,.), 2 | а„| < оо,
с нормой
00
1 К I,
в) пространства т ограниченных числовых последовательностей
х = (Ец Е»--.» E»,.-.)» siipffJ5B| < оо,
с нормой
Примечание. Пространство с0 есть замкнутое подмножество прост-
пространства т\ при этом с0 сепарабельно, а т — не сепарабельно (см. задачу 14
к § 3 гл. И), поскольку т обладает множеством элементов мощности конти-
континуум с взаимными расстояниями 1 (см. теорему 3 § 5 гл. I).
4. Найти общий вид линейных н$прерывных функционалов (и указать их
нормы) в пространствах с0 и 1Х (задача 8 к § 9).
Указание. Обозначим #„ = ((),..., О, 1 , 0,...); в указанных прост-
п
ранствах каждый элемент разлагается в ряд по ет сходящийся по норме
пространства. Поэтому достаточно найти числа f(en) и выяснит^ их свойства.
Отв. В пространстве с0 линейный непрерывный функционал f(x) за-
задается элементом a?*i» так что при x = (?j,..M Е„,...)?с0
е»
В пространстве lx линейный непрерывный функционал g(a) задается элемен-
элементом V = K, ... , 1\т -..Nт. так ч™ ПРИ « = («1, --• , вЛ, .. ч^'
со

§ 2]
ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ 429
Примечание. Могло бы показаться, что и любой функционал на про-
пространстве т можно было бы записать в форме
/(*)= 2 Mm (9)
где jJn — фиксированная последовательность чисел и *; = (?,,..., ?„,...)• Но
это не так. В следующей задаче мы увидим, что в пространстве т есть линей-
линейный функционал/(jc), который каждую сходящуюся последовательность
x — ($v ... , Е„, ...) переводит в ее предел lim Е„. Такой функционал не может
иметь вид (9). Действительно, применяя (9) к элементу е„", мы получили бы,
что /(#„) = jin — 0; отсюда f(x) = 2 Р«?и = 0> что не имеет места, так как,
например, /(е)=1, где г = A, 1,... , 1, ...)•
5. На пространстве т всех ограниченных комплексных последовательно-
последовательностей jc = (E0,... , En, ...) с нормой (| jc!| = supn | Е„ | построить линейный функ-
функционал с нормой 1, переводящий каждую последовательность х в число Ч,
заключенное в наименьшем выпуклом множестве, содержащем все предель-
предельные точки последовательности Чп (и, в частности, каждую сходящуюся после-
последовательность — в ее предел).
Указание. Пусть mrczm означает совокупность вещественных после-
последовательностей. Определить иа тТ полунорму р (х) = lim | Чп |. Веществен-
Вещественный линейный функционал/, равный 1 на элементе е —A, 1,..., 1...) и
имеющий тем самым на подпространстве \\е\ полунорму 1, продолжить на
все mr с сохранением полунормы. Используя равенства \f(x)\ ^p(x)9
f(x — le)=f(x)~l1 проверить, что значение функционала f(x) расположено
между lim ln и lim Ел. Для комплексной последовательности х + iy положить
f (х -\- iy) = f (x) -\- if (у) (проверить, что порученный функционал линейный)..
Его значение (комплексное число) лежит заведомо не правее вертикальной пря-
прямой, проходящей через самую правую предельную точку последовательности Е„.
Заменяя х на elfix и проводя аналогичное рассуждение, получить' требуемое;
6 (Продолжение). Фиксируем элемент а = (а0, ..., а„, ...), для которого
со
ауГ5=0, 2 а/=1- С помощью элемента а от ограниченной последователь-
последовательно
ности х = (Е0» --., $д,...) можно перейти к новой ограниченной последова-
CD
тельности а*х = (т]0, ..., т]„, ...), где т]„= 2 afij+n(n— 1, 2. ...) Это дей-
ствие будем называть а-операцией.
Показать, что все предельные точки последовательности а * х заключены
|в выпуклой оболочке множества всех предельных точек последовательности х.
Указание. Число т\п есть «среднее взвешенное» из чисел E0+n, Ei+n»- • •
7 (Продолжение). Пусть в условии задачи б условие а.-^О заменено на
00
условие 2j -\<*j\ = A< со (числа ау могут быть теперь любыми комплек-
комплексными числами). Показать, что предельные точки последовательности <х*х.
заключены в круге, концентрическом с кругом Q (х), заключающим все прет
дельные точки последовательности х, и радиусом в А раз больше радиуса
круга Q (х).
Указание. Достаточно рассмотреть случай, когда центр круга Q (xj
в начале координат.

430 ДОПОЛНЕНИЕ
Примечание. Будем говорить, что последовательность х имеет неко-
некоторое число Е своим а-пределом, если последовательность а # х имеет число S
своим обычным пределом.
Результат задач б—7 показывает, что если последовательность х имеет
обычный предел $, то она имеет и а-предел, равный $ при любом выборе а;
далее, а-предел, если он существует, сам заключен в Л-растяжении круга Q-(x).
В частности, р (а * х) ^ Ар (х).
8 (Продолжение). Улучшить конструкцию функционала / в задаче 5 так,
чтобы каждая последовательность, имеющая а-предел (при заданном фикси-
фиксированном а), переводилась функционалом / в значение этого предела.
Указание. Подпространство та последовательностей с нулевым а-пре-
делом не содержит в замыкании по полунорме р(х) элемента е, поскольку
Ар(е — х)^р(а * (е — *$)=./? (a* e ->¦ a* x)=p(e)= 1. Положить /(х) = 0 на
/иа, f(e)^=\ и продолжить с сохранением полунормы на все т.
9 (Продолжение). Улучшить конструкцию функционала / так, чтобы каж-
каждая последовательность, имеющая a-предел хотя бы при одном а, переводи-
переводилась функционалом / в значение этого предела.
Указание. Если х имеет a-пр едел, а у имеет jJ-предел, то х -\-у имеет
^-предел, где
Т»
= 2 а/?«_/.
/=0
Поэтому совокупность т0 всех элементов х?т, имеющих нулевой а-предел
при каком-нибудь а, есть подпространство.
Примечание. Существуют последовательности х?т, не имеющие
a-предела ни при каком а; например, этим свойством обладает последова-
последовательность A, 0, ... , 0, 1, 0, ... , 0, 1, 0, ...), где промежутки, состоящие
сплошь из нулей, неограниченно увеличиваются.
10 (Продолжение). Последовательность х называется квазинулевой, если
для любого е> 0 найдется элемент a = (a0, ... , аП1 ...), ау^О,
кой, что р (я * jc) < e.
Показать, что функционал / (задача 5) можно выбрать так, что для вся-
всякой квазинулевой последовательности будет /(jt) —0.
Указание. Кв.азинулевые последовательности образуют подпростран-
подпространство, и ? = A, ..., 1, -.-) не входит в его замыкание по полунорме р (х).
11 (Продолжение). Всякая последовательность вида у. * х, где
CD ' CD
jl = (|i01 ..., |iBI ...), 2 I fc» К °°' 2 *n = °> является квазинулевой.
Указание. Проверить, что утверждение справедливо для
|10 = A, — 1, 0, 0, ...) и ее сдвигов. Представить произвольную квазинулевую
последовательность ц в виде линейной комбинации р.о, ее сдвигов и последо-
последовательности 2 с р (z) < ?.
12 (Продолжение). Показать, что функционал /, построенный в задаче 10,
обладает свойством f(a#x) = f(x) для любого <х.
Указание. Последовательность х — a # x является квазинулевой в силу
результата задачи П.
Примечание. В частности, при а —@, 1, 0, ...) последовательность
a * х есть сдвиг последовательности jc; таким образом, значение функционала
f(x) не меняется при сдвиге последовательности х.

§ 2]
ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ
431
13. Если числа av ..., ап, ... таковы, что ряд
<kak сходится при каж-
CD
ДОМ X— (?!, . .., <к, ...)^со» то 2 I ап\< °°-
Указание. Из условия следует, что последовательность функционалов
п
на со/„(х)= 2 ^eft сходится для каждого элемента х^с0. Применить далее
ft=
теорему Банаха — Штеингауза и общий вид линейного функционала на с0
(задача 4).
14. Г-п редел ограниченной последовательности. Пусть
дана бесконечная матрица ?=(*/&),/—1, 2, ...; А=1, 2,..., удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям:
A)
B)
не зависит от /;
CD
= 0 при любом А=1, 2, ...
C) lim y
у -у cd
{матрица Теплица). Пусть далее jc = (Eit ..., 5П, ...) —ограниченная последо-
вательность. Составим последовательность Тх из чисел tj{x)=
I nPe"
k=\
дел последовательности Гх, если он существует, называется Т-пределом
последовательности jc. Показать, что:
а) если последовательность х сходится (в обычном смысле) к пределу 5,
то последовательность Тх также сходится к пределу $;
б) если произвольная матрица Г=(^) обладает тем свойством, что для лю-
бой сходящейся последовательности х= {^„J, lim 5Я = ?, числа tj(x)=
существуют и также сходятся к Е, то матрица 71 обладает свойствами A)— C).
Указание, а) Достаточно рассмотреть случай Е = 0. б) Применяя
матрицу Т к элементу @, ..., О, 1^, 0, ...), получить C). Применяя матрицу Т
к элементу A, ..., 1,...), получить B). Сходимость каждого из рядов A)
вывести из задачи 13. При этом функционалы tj(x) сходятся при каждом х?с0;
в силу теоремы Банаха — Штеингауза их нормы ограничены в совокупности,
что дает A).
15. Показать, что а-пределы (задачи б—12) являются частным случаем
Г-пределов.
Отв. Если а = (а„ ..., аш ...), то соответствующая матрица Т
имеет вид
О ах а2 ...
О О «J ...
16. Построить матрицу Теплица Т так, чтобы для е = A, 1, ..., 1, ...)
и в = A, — 1,1, — 1, ...) иметь Те = е-{-е.

432
ДОПОЛНЕНИЕ
Отв. Например:
о
о
О
О О
-т°
1 о 4- —
Примечание. Наличие такой матрицы Т показывает, что на простран-
пространстве тп не существует линейного функционала /, обладающего свойствами
f(Tx) =/(x), f{e)= 1; таким образом, результат задачи 12, относящейся
к а-пределам, не может быть перенесен на Г-пределы.
17. Доказать, что замкнутое подпространство пространства /.,(—оо, оо),
содержащее некоторую функцию ср (х) ^ 0, все ее сдвиги и все их произведе-
произведения на экспоненты е1ха, совпадает со всем пространством Lx(—со, со).
Указание. Применить следствие 3 теоремы Хана — Банаха, общий вид
линейного непрерывного функционала на Lx и теорему единственности пре-
преобразования Фурье.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(цифры обозначают страницы)
Абсолютная непрерывность интеграла по
множеству 169
Абсолютно монотонная функция 326
— непрерывная функция 287
Абстрактная функция 347
Аксиома выбора 422
— Цорна 421
Альтернатива Фредгольма 248
Билинейный функционал 78
Брахистохрона 101
Вариационное исчисление 80
Вариация функционала 82
— — вторая 87
Верхняя мера 163
Взаимно однозначное соответствие 12
Внешняя мера 163
Внутренняя мера 166
— точка 30
Вполне непрерывный оператор 211
Вторая краевая задача 250
Вынужденные колебания струны 236
Выпуклое множество 69
Вырожденное ядро 218
Вырожденный оператор 240
Гармоническая функция 248
Геодезические линии 117
на сфере 98
Гильбертово пространство 181
комплексное 253
Двоичная запись вещественных чисел 19
Двоично-иррациональные точки 20
Двоично-рацнональные точки 20
Дифференциал функционала 82
второй 87
Дифференцируемый функционал 82
Длина вектора 183
Дополнение множества 10
Евклидово пространство 181
Единичный оператор 203
Задача вариационная с подвижными кон-
концами 111
— Дидоны ПО
— Дирихле 124, 250
— Неймана 2 50
—о брахистохроне 101, 111
— о минимальной поверхности вращения 99
— Штурма — Лиувилля 225
Замкнутое множество 34
Замкнутых множеств объединение 36
пересечение 36
Замыкание 37
Знаки включения €, С, э, Э 8
Измеримая по Лебегу функция 166
Риссу функция 166
Измеримое множество 1 58
, его структура 163
Измеримые функции 140
— —на бесконечном промежутке 172
Изолированная точка 43
Изометричиость Линейных нормированных
пространств 70
— метрических пространств 29
Изоморфизм гильбертовых пространств 1 83
п-мерных 191
счетиомерных 197
— линейных пространств 67
нормированных пространств 70
Инвариантное подпространство 209
Интеграл Лебега 151, 167
для функций нескольких перемен*
ных 173
, интегрирование по частям 292
— — на.бесконечном промежутке 172
— Лебега — Стильтьеса 303
— Пуассона 369
— Рима на от абстрактной функции 348
— — ' несобственный 362
— Рнмана—Стильтьеса 312
— Стильтьеса 300
для функций нескольких перемен-
переменных 319
— Фурье 355
— Фудье — Стильтьеса 403
Интегральная квадратичная форма 224
положительно определенная 224
Интегральное уравнение неоднородное с
произвольным ядром 238
с симметричным ядром 234
• первого рода 236
Интегральные уравнения союзные 238
Интегральный оператор Вольтерра 262
Фредгольма 204
Интегрируемые по Лебегу функции 150
Рима ну функции 146
Интегрирующая функция 3 06
Интервал (а, р) 12
Истокообразно представимый вектор 216

434
алфавитный указатель
Канторово множество 44
как множество меры нуль 139
Квадратически близкие системы 201
Квадратичный функционал 79
Квазианалитические классы функций 382
Кинетическая энергия 119
Класс С+ 142
на бесконечном промежутке 172
прямоугольнике 173
— С+ 303
р
Компакт 59
Компактное метрическое пространство 59
Континуум 17
Конфинальные последовательности 53
Коэффициенты Фурье 193
Критерий Коши 40
Лемма Дю-Буа-Реймонда 104
, ее обобщение 105
— о замкнутых шарах 43
— о параллелограмме 185
— Рисса 269
— Фату 155
Линейное многообразие 93
— пространство 66
— — нормированное 67
Линейный оператор 203
—функционал 75
— —в гильбертовом пространстве 202
в пространстве С (а, Ь) 322
I, 298
— —непрерывный 76
Ломаные экстремали 115
Максимальный вектор 212
Матрица Теплица 431
Мембрана 129
Мера множества 159
верхняя 164
внешняя 164
внутренняя Г66
нижняя 166
— Стильтьеса 301
Метрическое пространство 25
компактное 59
полное 40
, его несчетность 4 3
сепарабельное 39
Минимальная система 201
Минимум относительный 89
Многочлены Лежандра 191
— —, их полнота 197
Множество 7,
— бесконечное 7
— выпуклое 69
— замкнутое 34
— канторово 44
•— конечное 7
*- меры нуль I 38
*- мощности выше континуума 23
континуума 17
— несчетное 17
-^ нигде не плотное 47
— открытое 30
— полной меры 140
— пустое 7
— совершенное 44
— счетное 14
— упорядоченное 420
вполне 422
линейно 420
частично 420
Мощность множества 12
Неизмеримые множества 160
Неподвижная точка 48
Непрерывные функции 56
на компакте 59
Неравенство Бесселя 194
— Коши 26
— Коши— Буняковского 184
— треугольника 25
— четырехугольника 28 .
Нигде не плотное множество 47
Нижняя мера 166
Норма 68
— вектора 183
— линейного функционала 78
— оператора 2 05
Нормированное линейное пространство 68
Нулевой оператор 203
Обобщенные координаты 120
Обратный оператор 205
Объединение множеств 10
Ограниченный оператор 206
Однородное пространство функций 341
на всей оси 362
Оператор Вольтерра 262
— вполне непрерывный 211
—вырожденный 240
— единичный 203
— линейный 2 03
— нормального вида 203
— нулевой 203
—ограниченный 206
— подобия 203
— симметричный 210, 256
— сопряженный 209
— тождественный 203
— умножения на функцию 204
— Фредгольма интегральный 204
как вполне непрерывный оператор
218
— Штурма—Лиувилля неособенный 228
Ортогонализацня 190
Ортонормальная система 191
полная 192
Ортогональное дополнение 189
Ортогональность векторов 189
Открытое множество 30
Открытых множеств объединение 30
пересечение 31
Отображение метрического пространства 4&
сжимающее 48
Отрезок [а, р] 14
Отрицательная часть функции 142
Первая краевая задача 250
Пересечение множеств 8
Подмножество 8
— истинное 8
Подпространство собственное 210
Полная энергия 121
Полное изменение функции 279
— пространство 40
Полной меры множество 140
Положительная часть функции 142
Положительно определенная функция 404
Положител!кый оператор 2 08
Полунорма 73,426
Пополнение линейного нормированного»
пространства 70
— метрического пространства 52
Потенциал двойного слоя 249
— простого слоя 250

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
435
Потенциальная энергия мембраны 129
системы материальных точек 118
стержня 134
струны 125
«Почти нсюду» 1 40
Почти периодические функции ,403
Правильно стягивающаяся последователь-
последовательность 296
Предел сходящейся последовательности 32
Предельная точка 32
Преобразование Лапласа 374
, формула обращения 376
— Фурье 355
в классе L2 (— со, со) 390
для функции —- 358
ух /.)
е-"*2 359
и операция дифференцирования 365
Преобразование Фурье и свертка 367
— — обратное 355
— Фурье — Стильтьеса 402
— Фурье сферически симметричной функ-
функции 4 11
функции нескольких переменных 408
Принцип Гамильтона 120
—неопределенности в квантовой механике
401
— соответствия Рисса 294, 320
— Ферма 105
Произведение метрических пространств 65
— множеств 8
Произнодные числа 2 70
Производящая функция 305
для нескольких переменных 321
Пространство гильбертово 181
комплексное 2 53
— евклидово 181
— Лебега 156
— линейное 66
—•— иормнронанное 67
п-мерное 66
— метрическое 25
неполное 41
полное 40
со счетной базой 32
сепарабельное. 39
-R» 26
, его полнота 40
— С (а, Ь) 28
, его полнота 41
— С (—тс, тс) 342
— Dm (а, Ь) 28
— Dn (— л, Л) 342
— Ср (а, Ъ) 28
, его полнота 41
— Lp 177
—7а 182
— U 182
— CU (— да, да) 365
— S 370
Противоположный элемент 66
Равенство множеств 8
— Парсеваля 194
Равноизмернмые функции 172
Равномерная сходимость 33
Разрешающий оператор 258
Расстояние 28
— как непрерывная функция 34
— от точки до множества 39
Расходимость ряда Фурье в пространстве
С (а, Ь) 346
Расходимость ряда Фурье в простпанстве
L, 346
Резольвента 258
Снертка ф.ункций 367
Сепарабельное метрическое пространство
¦ 39, 198
Сжимающее отображение 48
Симметричный оператор 210, 256
Сингулярная функция 291
Скалярное пронзнедение 181
Сложение операторов 205
Смежный интервал 36
Собственное значение 209
—подпространстно 210
Собственный нектор 209
Совершенное множество 4 4
Сопряженный оператор 209
Составляющий интернал 32
Спрямляемая кривая 281
Стационарная точка 89
Степень оператора 205
Стержень 133
Струна 125
— неоднородная 226
Ступенчата'я функция 140
на бесконечном промежутке 172
на плоскости 173
Сумма множеств 9
Суммируемые функции 150
— — по Лебегу 168
по Лебегу—Стильтьесу 303
на бесконечном промежутке 172
плоскости 174
Сфера 30
Сходимость в среднем 34
— по мере 1.58
— ранномерная 33
Сходящаяся последовательность 33
Счетная база 32
Теорема Арцела 64
— Банаха — Штейнхауза 427
— Беппо Леви I 51
— С. Бернштейна 326
— Ф. Бернштейна 13
— Бохнера — Хничина 404
— Винера —Палея 394
— ныбора 42 1
— Гильберта 211
— Гильберта —Шмидта 222
— Дини 63
'— Егорова 170
— Кантора о мощности множества подмно-
жестн 24
совершенного множества 45
несчетности континуума 18
— Карлеман-а—Остронского 383
— Лебега р носстановленин абсолютно не-
непрерывной функции по ее производнойт
290
дифференцнронании неопределенного
интеграла 283
неубывающей функции 269
почленном интегрировании последо-
последовательности 154
— Лиувилля 121
— Лузина 171
— Мерсера 22 4
— об ортогональном "дополнении 200
— о неподвижной точке 47
— — единственности ряда Фурье 352
интеграла Фурье 364
— Пифагора 189

436
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Плаишереля 390
— Радона — Никодима 331
— Рисса 322
— Фейера 352
— —для интеграла Фурье 365
— Фишера —Рисса 156
-± Фубини 174
малая 27-5
— Хана —Банаха 423
— Хаусдорфа о пополнении 52
— Хаусдорфа об е-сетях 61 >
— Хелли о выборе сходящейся последова-
последовательности 318
— — о предельном переходе под знаком ин-
интеграла 315
— Херглотца 329
Тождественный оператор 203
Точка асимптотической непрерывности 2 85
— второго рода 45
— Дини обобщенная 352
— — обычная 352
— конденсации 38
— Лебега 283
— первого рода 45
— плотности измеримого множества 284
Угол между векторами 183
Умножение оператора на число 205
— операторов 205
Уравнение мембраны 129
— стержня 133
— струны 125
— теплопроводности 368
— Эйлера 95
— Эй леря —Остроградского 124
Уравнения движения системы материаль-
материальных точек 120
— Лагранжа 2-го рода 120
— Ньютона 118
Условие Вейерштрасса 96
— Гильберта— Шмидта 221
— Дини 336
— Лежандра 96
— Липшица 50
— Липшица порядка а 336
— трансверсальности 114
Условный экстремум 106
Фактор-пространство 72
Формулы Фредгольма 263
Фундаментальная последовательность
39
Функции, интегрируемые по Лебегу 150,
168
—, Римаиу 145
—, истокообразно представимые 221,
— Лагерра 191
— —, их полнота 197, 374
—непрерывные 56
——нескольких переменных 65
— , их диффереицируемость 81
— Эрмита 191
— —, нх полнота 197
Функционал 58
— билинейный 78
— — непрерывный 78
— дифференцируемый 82
— квадратичный 79
— линейный 75
— — непрерывный 76
Функциональный анализ 79
Функция Грина 232
— Лаграижа 120
— первого класса 23
— скачков 277
с ограниченным изменением 278
Характеристическая функция множества
159
Шар 30
— замкнутый 30
— открытый 30
Эквивалентные множества 11
Экстремалей отражение 115
—преломление 115
Экстремали ломаные 115
Экстремаль 95
е-близкие отображения метрических про-
пространств 5 1
Е-сеть 61
Ядро Дирихле 337
— Фейера 350
дла интеграла Фурье 361