Автор: Никитина Н.Ш.
Теги: теория вероятностей и математическая статистика экономическая статистика экономика математическая статистика
ISBN: 5-16-000793-8
Год: 2001
Текст
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г. Министерство образования Российской Федерации Новосибирский государственный технический университет Н.Ш. НИКИТИНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Издание 2-е, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям Москва — Новосибирск ИНФРА-М - НГТУ 2001 УДК 519.2(075.8) ББК 65.051я73 Н62 Рецензенты: В. В. Губарев, д-р техн, наук, проф. А. И. Кричевский, канд. техн, наук, проф. В. И. Хабаров, д-р техн, наук, проф. Н. Я. Бамбаева, канд. экон. наук. Н62 Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов: Учеб, пособие.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. - 170 с. - (Серия «Высшее образование»), ISBN 5-16-000793-8 (ИНФРА-М) ISBN 5-7782-0349-7 (НГТУ) Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по направлениям подготовки: 521500 — «Менеджмент», 521600 - «Экономика», 522200 — «Статистика», — и специальностям: 060100 - «Экономическая теория», 060400 — «Финансы и кредит», 060500 — «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 061100 - «Менеджмент организации», 061500 -«Маркетинг», 061700 - «Статистика», 061800 - «Математические методы в экономике», 062100 - «Управление персоналом», 351400 — «Прикладная информатика (в экономике)». В пособие включены разделы математической статистики: «Описательная статистика», «Предварительный анализ данных», «Корреляционный анализ». Для преподавателей вузов и студентов. ББК 65.051я73 ISBN 5-16-000793-8 (ИНФРА-М) ISBN 5-7782-0349-7 (НГТУ) © Н.Ш. Никитина, 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие..........;................................................ 6 Введение..................:......................................... 8 ВI. Общие сведен ня.................................................. 9 В2. Материальные объекты. Их вероятностная природа.................. 10 ВЗ. Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями.......................................................... 10 I. Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода... 12 1.1. Основные понятия математической статистики. Задачи математической статистики.................................................... 13 1.2. Этапы статистической обработки эмпирических данных с использованием компьютера.................................................. 18 1.3. Оценивание характеристик случайных величин.................... 19 1.3.1. Оценивание функционных характеристик..................... 20 1.3.2. Оценивание числовых характеристик........................ 24 Задания для самоконтроля............................................. 30 1.4. Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин............................................................ 33 1.4.1. Асимптотические свойства оценок.......................... 34 1.4.2. Постановка задачи интервального оценивания характеристик случайных величин. Основные понятия........................... 35 1.4.3. Построение доверительных интервалов для математического ожидания....................................................... 37 1.4.3.1. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии............. 37 1.4.3.2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии........... 40 1..4 .4. Построение доверительных интервалов для дисперсии... 41 1.4.4.1. Построение доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании...................... 41 1.4.4.2. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании.................... 42 Задания для самоконтроля............................................. 42 Контрольные вопросы и задания к главе 1.............................. 44 2. Описание эмпирических данных вероятностными моделями............. 47 2.1. Постановка задачи структурной и параметрической идентификации.. 48 3 2.2. Типовые вероятностные модели одномерных непрерывных законов распределения. Общие сведения.............'....................... 50 2.2.1. Нормальное (Муавра - Лапласа - Гаусса) распределение.... 51 2.2.2. Экспоненциальное (показательное) распределение.......... 51 2.2.3. Равномерное (прямоугольное) распределение............... 52 2.2.4. t-распределение Стьюдента............................... 52 2.2.5. Распределение хи-квадрат................................ 53 2.2.6. Распределение Фишера.................................... 54 2.3. Упорядочение моделей. Метод плоскости моментов............... 54 2.4. Статистическое оценивание параметров......................... 57 2.4.1. Метод моментов.......................................... 58 2.4.2. Метод максимального правдоподобия....................... 60 Задания для самоконтроля ........................................... 62 Контрольные вопросы и задания к главе 2............................. 63 3. Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез............................................................. 65 3.1. Постановка задачи. Общая логическая схема статистического критерия проверки гипотез.............................................. 66 Задания для самоконтроля.......................................... 69 3.2. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин........................................................... 70 3.2.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях......................... 71 3.2.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях....................... 75 3.2.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях........................ 77 3.2.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величии при неизвестных дисперсиях :.................... 79 Задания для самоконтроля............................................ 80 3.3. Проверка гипотез об однородности двух или нескольких выборок. 82 3.3.1. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию/2... 83 3.3.2. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона-Манна-Уитни......................................... 85 Задания для самоконтроля.................;.......................... 88 3.4. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки........................................................... 89 3.4.1. Критерий серий, основанный на медиане................... 90 3.4.2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.............. 92 3.4.3. Критерий стохастической независимости Аббе.............. 94 Задания для самоконтроля............................................ 95 3.5. Проверка гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели.................................................... 97 3.5.1. Критерий согласия /2 - Пирсона.......................... 97 3.5.2. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова.................. 101 4 Задания для самоконтроля........................................... 104 Контрольные вопросы и задания к главе 3............................ 105 4. Анализ статистической связи. Корреляционный анализ............. 107 4.1. Общие сведения. Задачи корреляционного анализа.............. 109 4.2. Анализ статистической связи между количественными переменными. Измерение парных статистических связей.......................... 112 4.2.1. Коэффициент корреляции................................ 112 4.2.1.1. Оценивание и свойства коэффициента корреляции......... 112 4.2.1.2. Проверка гипотезы об отсугсгвии линейной сгатисгической связи..................................................... 116 4.2.1.3. Доверительные интервалы для иегинного значения коэффициента корреляции..................................... 118 4.2.2. Корреляционное отношение............................... 119 4.2.2.1. Оценивание и свойства корреляционного отношения. 119 4.2.2.2. Проверка гипотезы об отсутствии нелинейной корреляционной связи............................................. 123 4.2.3. Частный коэффициент корреляции.......................' 125 Задания для самоконтроля........................................... 126 4.3. Анализ статистических связей между порядковыми переменными. Ранговая корреляция............................................... 128 4.3.1. Общие сведения ....................................... 128 4.3.2. Оценивание парных ранговых связей...................... 130 4.3.2.1. Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна...... 130 4.3.2.2. Ранговый коэффициент корреляции Кендалла........ 132 4.3.3. Анализ множественных ранговых связей................... 135 4.3.3.1. Коэффициент конкордации......................... 135 4.3.3.2. Проверка статической значимости множественной связи 137 Задания для самоконтроля........................................... 138 Контрольные вопросы и задания к главе 4............................ 139 Литература......................................................... 141 Ответы к заданиям для самоконтроля................................. 142 Приложения......................................................... 143 Приложение 1. Функция стандартного нормального распределения..... 143 Приложение 2. Процентные точки распределения Стыодента........... 145 Приложение 3. Процентные точки распределения хи-квадрат............ 147 Приложение 4. Процентные точки / ’-распределения Фишера.......... 151 Приложение 5. Критические точки статистики критерия Вилкоксона... 161 Приложение 6. Критерий Аббе........................................ 165 Приложение 7. Таблица значений функции Колмогорова................. 166 Приложение 8. Преобразование Фишера (z-преобразование) выборочного * коэффициента корреляции............................................ 167 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное учебное пособие явилось результатом многолетнего опыта автора в преподавании курса «Математическая статистика» студентам экономических специальностей. Особенность пособия -его прикладная направленность. Все практические примеры в пособии взяты из области экономики или управления социальными и экономическими системами. Основная цель данного учебного пособия - научить студентов анализировать и идентифицировать исследуемую прикладную задачу, выбирать адекватные методы ее решения, решать задачу, интерпретировать результаты в терминах прикладной области и прогнозировать поведение исследуемого процесса при изменении влияющих факторов. В пособие включены лишь некоторые разделы математической статистики, призванные сформировать теоретическую базу и практические навыки, которые могут быть использованы студентами как в будущей профессиональной деятельности, так и при последующем изучении таких дисциплин, как «Статистика», «Эконометрика» и др. Учебное пособие состоит из предисловия, введения, четырех глав («Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода», «Описание эмпирических данных вероятностными моделями» «Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез», «Анализ статистической связи. Корреляционный анализ»), списка рекомендованной литературы и приложений с необходимыми таблицами математической статистики. Пособие написано таким образом, чтобы студенты имели возможность самостоятельно изучать курс. Каждая глава теоретического материала начинается ее структурной схемой, позволяющей студенту составить целостное представление об изучаемом материале, увидеть взаимосвязь отдельных тем, понятий в теме, место темы в главе и курсе. Каждой теме предшествуют цели, которые должны быть достигнуты студентом в процессе ее изучения. Цели сформулированы в терминах, допускающих возможность последующей проверки их достижения. После изучения темы студент в состоянии сам проверить свои успехи, обратившись к целям и заданиям для самоконтроля, а преподаватель легко может составить контролирующие материалы, например в тестовой форме, ориентируясь на сформулированные цели. В учебном пособии, наряду разобранными примерами приводятся контрольные задания, которые студенты при необходимости могут выполнить. Многие задания имеют содержательное описание. 6 Научная деятельность автора, послужившая основой для реализации данного учебного пособия, проводилась в Новосибирском государственном техническом университете при выполнении научных работ, связанных со статистической обработкой технической, медицинской, экономической, социологической и других видов информации. Учебное пособие подготовлено на кафедре экономической информатики и в Научно-методическом центре Новосибирского государственного технического университета. По материалам пособия разработан электронный учебник. Автор благодарен О. В. Казанской, совместная работа с которой повлияла на структуру курса и содержание основных разделов, а также В. В. Губареву, взявшему на себя труд прочесть рукопись и сделать ряд ценных замечаний и рекомендаций. Автор признателен Э. И. Кропотовой, выполнившей компьютерный набор и оформление рукописи. Н. Ш. Никитина ВВЕДЕНИЕ Mi Цели Иметь представление: • об основных задачах математической статистики; • этапах решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями; • природе исследуемого явления или процесса (стохастическая или детерминированная). Знать: • определение понятия математической статистики; • понятия генеральной совокупности, выборки из генеральной совокупности; • характерные различия областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики. Структура введения в курс «Математическая статистика» приведена на рис. 1. Рис. 1. Структура введения 8 В 1. Общие сведения Математическая статистика - это часть прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», которая изучает случайные явления, использует одинаковые с теорией вероятностей методы и понятия и основана на аксиоматике А. Н. Колмогорова [1]. Исследование поведения объекта или явления обычно осуществляется на основе изучения статистических данных - наблюдений и измерений. Поэтому первой задачей математической статистики является определение способов сбора и группировки статистической информации. Вторая задача математической статистики состоит в разработке методов анализа статистических данных, адекватных целям исследования. Итак, задачи математической статистики состоят в разработке методов сбора, систематизации и обработки статистических данных для их удобного представления, интерпретации и формирования научных и практических выводов. Если попытаться дать сравнительную характеристику областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики, то результат можно представить в виде табл. 1. Таблица I Характеристика областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики Теория вероятностей Математическая статистика 1. Модель, описывающая изучаемое явление или объект, известна априори (до опыта). Есть сведения обо всей генеральной совокупности, описывающей исследуемое явление 2. Используемый математический аппарат не зависит от предмегной области 3. Выводы о поведении исследуемого объекта или явления делаются по всей генеральной совокупности 1. Модель, описывающая исследуемое явление, априори неизвестна 2. Для определения модели можно проводить пробные испытания (сформировать выборку из генеральной совокупности) 3. Иногда модель может быть задана априори с точностью до неизвестных параметров. 4. Значения неизвестных параметров модели могут быть приближенно получены по выборке из генеральной совокупности 5. Выводы о поведении объекта или явления делаются по выборке ограниченного объема и распространяются на всю генеральную совокупность 9 Генеральная совокупность - все мыслимые значения (измерения, наблюдения), описывающие поведение исследуемого объекта или явления. Выборка из генеральной совокупности - ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление. Количество этих значений называется объемом выборки. В 2. Материальные объекты. Их вероятностная природа Все законы природы и общества могут быть разделены на несколько классов, среди которых важное место занимают детерминированные и статистические (стохастические). Детерминированные законы - это те, для которых характерно наличие причинной обусловленности протекающих процессов. К этому классу относятся законы небесной механики, физические законы (электричество, механика и пр.), т. е. все те, которые не имеют вероятностной природы. Статистические (стохастические) законы определяют будущее состояние системы (объекта) неоднозначно, с некоторой вероятностью. Например, такие явления макромира, как долговременные изменения температуры, или явления микромира -положение электрона в электронной оболочке («электронное облако») и др. Можно утверждать, что без случайности нет развития. Случайностью объясняются возникновение жизни на Земле, совершенствование биологических видов, исторические события, творческая деятельность, развитие социально-экономических систем [1]. Именно поэтому математическая статистика становится все более значимым инструментом статистического анализа и прогнозирования состояния, поведения и развития различных систем, в том числе экономических процессов и явлений. В 3. Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями Решение задачи описания эмпирических данных (содержащих информацию о поведении реальных объектов) вероятностными моделями можно представить в виде пяти укрупненных этапов [1]. Содержание каждого этапа и применяемые на данном этапе методы отражены в табл. 2. 10 Табли ца 2 Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями Название этапа Содержание этапа Применяемые методы 1. Предварительная обработка данных (выборки из генеральной совокупности) Анализ объема выборки, засоренности выборки, независимости элементов выборки Методы непараметрической статистики (удаление засорений, проверка статистических гипотез, формирование требований к условиям проведения эксперимента) 2. Оценивание характеристик случайных величин Точечное и интервальное оценивание числовых и функ-ционных характеристик Методы непараметрического оценивания (как правило, при объеме выборки п < 60), параметрическое или непараметрическое оценивание (при объеме выборки п > 60) 3. Описание эмпирических данных вероятностными моделями (задачи аппроксимации) Выбор типа модели, описывающей эм-пирическиещанные Методы упорядочения моделей и выбора аппроксимирующего распределения (модели) 4. Оценивание неизвестных параметров модели Точечное и интервальное оценивание параметров Методы интервального и точечного оценивания параметров модели (моментов, максимального правдоподобия и пр.) 5. Проверка гипотез о согласии модели и эмпирического распределения Проверка адекватности выбранной модели и эмпирического распределения Методы проверки гипотез о согласии (у2-Пирсона, Колмогорова - Смирнова, со2-Мизеса и пр.) 1. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА Структура главы «Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода» представлена на рис. 2. fio Яели Иметь представление: • об основных задачах математической статистики (МС); • этапах статистической обработки эмпирических данных. Знать и уметь различать понятия: • малая, большая и репрезентативная выборки; • формы представления выборки (негруппированная, группированная, вариационный ряд); • функционные и числовые характеристики случайных величин [6, 8]; • точечные и интервальные оценки характеристик случайной величины; • характеристики положения, рассеяния, формы распределения; • характеристики порядковых статистик. Уметь: • получать по выборке из генеральной совокупности оценки начальных и центральных моментов, оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, оценки характеристик порядковых статистик (медиану, квантили, процентили, квартили, децили, размахи), оценки функции и плотности распределения вероятностей случайной величины; • строить полигон частот, гистограмму и график накопленных частот. Рис. 2. Структура раздела «Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода» 12 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Обозначим количество всех подлежащих обследованию объектов N (i = 1, N). Допустим, что каждому объекту i соответствует значение х,. Согласно данному ранее определению, совокупность всех возможных значений (теоретически домысливаемых) N объектов называется генеральной совокупностью, a N - объемом генеральной совокупности. Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной. Пусть количество реально наблюдаемых объектов из N равно п. Тогда х„ i = ],n - выборка из генеральной совокупности, п - объем выборки. Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами: • каждый элемент х, выбран случайно; • все X, имеют одинаковую вероятность попасть в выборку; • п должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выборка должна быть репрезентативной, представительной). В дальнейшем будем иметь дело с выборкой, обладающей такими свойствами. Принято считать, что при п > 60 выборка большая, или репрезентативная, а при п < 60 - малая. Такое деление выборки на большую и малую условно. Разные авторы используют разное пограничное п, делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи. Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать с ее объемом п. Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки. Возможны ситуации, когда генеральная совокупность мала. Например, исследуется время наработки до отказа уникального оборудования, когда в эксплуатации находится заведомо малое количество его экземпляров (N). Доступного для исследования оборудованиями) может быть еще меньше. Поэтому выборка объемом и, близким к объему генеральной совокупности N, может считаться репрезентативной и одновременно малой (и < 60). да Пример 1. Количество зарегистрированных малых предприятий торговли продуктами питания в городе Новосибирске равно 2436. Для исследования предприятий по объему товарооборота взято 136 предприятий. В данном случае ТУ =2436 - объем гене 13 ральной совокупности (все мыслимые предприятия данной категории), а п = 136 - объем выборки из генеральной совокупности. Рассмотрим некоторые формы представления выборки из генеральной совокупности. 1. Представление выборки из генеральной совокупности в не-группированном виде х„ i = 1, п . Такая форма связана с наличием сведений о каждом элементе выборки. № Пример 2. Исследование ежедневного простоя (в часах) бригады каменщиков из-за отсутствия строительных материалов в течение 10 дней представлено в виде: 1,3 0,7 2,8 2,3 1,15 0,25 1,17 0,8 2,4 0,45, п = 10. Здесь имеет место негруппирован-ная выборка. 2. Представление выборки в виде вариационного ряда (в упорядоченном виде) •^( I) — ^(2) — • • • — ^(/) — • • • — Х"(и) • В этом случае xw - член вариационного ряда, или варианта. Часто Х(,) называют порядковой статистикой [1, 4]. Индекс (г) указывает на порядковый номер элемента в вариационном ряду. Часто Х(,) обозначают х^, где R - ранг порядковой статистики. Иногда используют обозначение хл, где А, - ранг /-го наблюдения в исходной (неупорядоченной) выборке. Любую функцию порядковых статистик также называют порядковой статистикой. Форма представления выборки из генеральной совокупности в виде вариационного ряда не приводит к потере информации о каждом элементе выборки, но искажает информацию, устанавливая зависимость между соседними элементами выборки. Необходимо помнить! Члены вариационного ряда, в отличие от элементов исходной выборки, уже не являются взаимно независимыми (по причине их предварительной упорядоченности). 3. Представление выборки в группированном виде. Такая форма представления выборки из генеральной совокупности связана с разбиением области задания случайной величины X на L интервалов группирования. При этом известны только количество элементов выборки j = l,L, попавших в j интервал, и последовательность границ интервалов разбиения. Для определения числа 14 L интервалов искусственного группирования пользуются формулой Старджеса [5] L= 1 + 3,322-lg«. (1) Иногда L может быть задано природой исследуемого явления или условиями проведения эксперимента. В данном случае ширина каждого интервала может быть отличной от других (неравноточное группирование). На некоторых этапах статистического анализа необходимо исходную выборку представлять в группированном виде. Рассмотрим последовательность процедуры группирования неупорядоченной выборки из генеральной совокупности. 1. Формирование вариационного ряда. 2. Выделение минимального и максимального элементов выборки: Tinin — -^(1), Хтах ~ Х(„). 3. Определение числа интервалов группирования осуществляется из соображения точности и устанавливается либо эмпирическим путем в зависимости от объема выборки, либо по формуле Старджеса [5], либо определяется природой явления или условиями проведения эксперимента. Округление При нахождении L осуществляется до ближайшего целого числа. 4. Определение ширины интервалов группирования (при равноточном группировании) A = (2) Если при вычислении h необходимо округлить результат, следует помнить, что последний интервал группирования будет меньше ширины h при округлении в большую сторону и больше h при округлении в меньшую сторону. 5. Формирование последовательности границ интервалов разбиения. Образуемый вариационный ряд границ интервалов группирования будет выглядеть как Х(1), х(1) + Л, х(1) + 2Л, ... , X(1)+ (L~ 1) -Л, х(п). 15 Иногда для того, чтобы Х(ц и х(л) попали внутрь соответственно 1-го и L-ro интервалов группирования, границы и х(„) корректируют следующим образом: , _ h xw~xm , _ h Х(п) ~ Х(п) + 2 Следовательно, число интервалов разбиения увеличивается на 1 L' = L+ 1. При этом последовательность границ интервалов разбиения будет представлена в виде x'(i), x'(i) + h, x'(i) + 2Л, ... , x'(i) + L-h, х' (и). 6. Определение количества элементов выборки nt, попавших в каждый j интервал. Пример 3. Ниже приведены объемы выработки за месяц (в тыс. руб.) пятидесяти продавцов молочных изделий, работающих в разных районах города. 15 19 6 18 21 16 20 17 15 10 16 20 7 19 22 17 21 19 16 11 19 10 8 18 20 8 18 16 20 12 16 21 21 9 19 19 14 18 19 19 12 20 20 8 13 10 18 17 22 18. Представим выборку в группированном виде. 1. Формируем вариационный ряд 6 9 12 15 16 18 19 19 20 21 , 7 10 12 16 17 18 19 19 20 21 8 10 13 16 17 18 19 19 20 21 8 10 14 16 17 18 19 20 20 21 9 11 15 16 18 18 19 20 21 22. 2. Находим х(1)= 22, х^ = 6. 3. Определяем число интервалов разбиения по формуле Стард-жеса(1) L = 1 + 3,322 1g50 = 6,6, L = 1. 4. Находим ширину интервала разбиения h по формуле (2) , 22-6 „ п-------= 2,2857. 7 16 Ограничимся двумя знаками после запятой и получим h = 2,28. Поскольку h округлено в сторону уменьшения, то последний интервал будет шире предыдущих. 5. Строим вариационный ряд границ интервалов группирования (без корректировки границ первого и последнего интервалов): [6; 8,28], [8,28; 10,56], [10,56; 12,84], [12,84; 15,12], [15,12; 17,4], [17,4; 19,68], [19,68; 22]. Та же процедура, но с корректировкой границ первого и последнего интервалов, даст следующие результаты: L' = L+ 1 =7+1 = 8; •*(1) =x(i) = 6 -1,14 — 4,86 ; ^)=^)+^22 + 1,14-23,14. Получаем последовательность границ интервалов разбиения для Z = 8: [4,86; 7,14], [7,14; 9,42], [9,42; 11,7], [11,7; 13,98], [13,98; 16,26], [16,26; 18,54], [18,54; 20,82], [20,82; 23,14]. Ширина последнего интервала в том и другом случае (Z = 7 и L = 8) равна h = 2,32. 6. Находим количество элементов выборки nj, попавших в J интервал, j -l,L (случай без корректировки границ интервалов) J 1 2 3 4 5 6 7 п. 5 4 3 4 8 14 12 Находим nj, j = 1, Z +1 (случай корректировки границ интервалов разбиения) 7 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 4 3 8 9 14 6 Группированная форма представления случайной величины не содержит информации о каждом элементе выборки. При этом часто в качестве значения случайной величины на каждом интервале принимается его середина. Это важно! От негруппированной выборки всегда можно перейти к группированной, но не наоборот. Необходимо помнить, что переход к группированной форме представления выборки сопряжен с потерей информации об исследуемом объекте, процессе или явлении. 17 Любые характеристики случайной величины, полученные по выборке из генеральной совокупности, называются выборочными, или эмпирическими, характеристиками, а характеристики, полученные по генеральной совокупности, - теоретическими, или генеральными, характеристиками. Задачи математической статистики. Основная задача математической статистики состоит в определении свойств генеральной совокупности по выборке ограниченного объема п с использованием по возможности априорных предположений. К задачам математической статистики относятся следующие: • разработка и применение методов оценивания числовых и функционных характеристик генеральной совокупности по выборке из нее; • описание эмпирических данных вероятностными моделями; • проверка статистических гипотез; • определение взаимосвязи между характеристиками исследуемых объектов, процессов, явлений; • выявление согласия наблюдаемых (эмпирических) данных с теорией; • принятие решений; • другие задачи. Все методы математической статистики можно разделить на параметрические методы, основанные на использовании знаний о вероятностной модели, и непараметрические, когда априорных представлений о виде модели нет или она не используется. Параметрические методы рекомендуется применять для объема выборки п > 60. 1.2. ЭТАПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА Рассмотрим основные этапы статистической обработки эмпирических данных [1]. 1-й этап. Предварительный анализ исследуемой реальной системы (объекта). На этом этапе определяются: • основные цели исследования на содержательном (неформализованном) уровне; • перечень показателей, характеризующих состояние (поведение) каждого из исследуемых объектов; 18 • формализованная постановка задачи, по возможности включающая вероятностную модель исследуемого явления; • формы документов для сбора первичной информации. 2-й этап. Организационно-методическая подготовка. Этап включает: • разработку плана обследования; • планирование предполагаемого статистического анализа; • формулирование требований к исходным статистическим данным. 3-й этап. Сбор статистических данных и ввод их в персональный компьютер. 4-й этап. Первичная статистическая обработка. На данном этапе выполняются: • шкалирование, анализ области задания случайной величины X, анализ резко выделяющихся наблюдений, восстановление пропущенных данных, проверка однородности порций исходных данных й статистической независимости наблюдений выборки; • анализ закона распределения случайной величины по выборке из генеральной совокупности (оценивание числовых характеристик, корреляционной матрицы, проведение графического анализа, выдвижение гипотезы о виде модели, оценивание параметров модели и проверка адекватности модели и эмпирических данных). 5-й этап. Разработка методики вычислительного анализа статистического материала, включающей: • описание технологии обработки эмпирических данных с указанием используемых методов; • обоснование выбора методов исследования, прикладного программного обеспечения для статистического анализа и др. 6-й этап. Компьютерная обработка статистического материала. Формулирование требований к компьютерной системе (точность, разрядность, объем памяти, быстродействие, необходимые программные средства и пр.). 7-й этап. Анализ результатов исследования, состоящий: • из подготовки отчета; • интерпретации результатов; • анализа достижения целей. 1.3. ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Оценкой & характеристики 0 называется функция выборочных значений i = 1, п вида 0 = 0(Х1,Х2,-Х3, - ...,хп). 19 Знак «п» называется «крышечкой» и обозначает оценку. Оценки можно разделить на параметрические, основанные на знании вероятностной модели распределения, и непараметрические, когда модель, описывающая эмпирические данные, неизвестна или в ней нет необходимости. Оценки характеристик обладают рядом свойств: несмещенностью (величиной смещения), эффективностью, состоятельностью и др. Некоторые из названных свойств будут рассмотрены в п. 1.4.1. Оценка 0 - функция статистическая и, следовательно, тоже случайна. Все оценки случайных величин можно разделить на оценки функционных и числовых характеристик. dhri Запомните! Все характеристики, полученные по выборке из генеральной совокупности, называются эмпирическими, выборочными характеристиками, или их оценками. 1.3.1. Оценивание функционных характеристик. Оценивание функции распределения и плотности вероятностей Пусть дана выборка из генеральной совокупности xt, i = 1,и. Необходимо получить оценку функции распределения F(x). Положим, что х, независимы. Для получения функции F(x) выполним следующую последовательность действий: • сформируем вариационный ряд Х(1 ) < Х(2) — ' * ' — < ... S Х(н). • выделим минимальный х1П1П = х(1) и максимальный хтах = х(„) элементы вариационного ряда; • для каждого значения случайной величины найдем такое пх, равное числу элементов выборки, значения которых меньше или равны заданному х. Тогда отношение - п F(x)=— п называется эмпирической функцией распределения (оценкой функции распределения). 20 Функция распределения, полученная по генеральной совокупности, называется истинной, или теоретической, функцией распределения и обозначается F(x). Свойства эмпирической функции распределения: • 0<F(x)<l, (F(x) лежит в интервале от 0 до 1); • F(x) - неубывающая функция; • F(x) - непрерывна справа; • F(x) - кусочно-постоянна и изменяется только в точках вариационного ряда. В общем случае F(x) можно представить в виде О, при х<%(|), F(x) = "S —, притче* <%(„), п (3) J, при х >Х(Я) , где пх - количество элементов выборки, значения которых меньше или равны заданному х. В асимптотическом пределе при п —> оо lim F(x) = F(x). Пример 4. Распределение предприятий по издержкам обращения (млн. руб.), полученным в отчетном периоде, представлено в группированном виде количеством п, предприятий, попавших в j интервал, и интервалами объема издержек обращения х7. Xj- х/+| 2-6 6- 10 10-14 ni 3 10 7 пх 3 13 20 F (х) 3/20 = 0.15 13/20 = 0.65 20/20 = 1 L Общее количество предприятий п Построим график функции F(x), который называется графиком накопленных частот. Вид функции F(x) представлен на рис. 3. Ломаная, соединяющая точки (х„ иД j = \,L и представленная на рис. 4, называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая 21 точки (Xj, т|7), j -},L, называется полигоном относительных частот. Здесь Xj - середины интервалов разбиения, а отношение п называется относительной частотой попадания в интервал. Пример 5. Для данных примера 4 построить полигон частот (рис. 4). Рис. 4. Полигон частот случайной величины X Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной Л, а высотами соу = ns/h (плотность частоты). Ж0 Пример 6. Для данных примера 4 построить гистограмму частот (рис. 5). Площадьу'-го прямоугольника гистограммы равна п, S. - — -h - и , 7 h 7’ 22 Рис. 5. Гистограмма частот случайной величины X 2-6 6-10 10-14 3/4=0,75 10/4=2,5 7/4=1,75 а площадь всей гистограммы - S= Ynj J=i Функцией относительных частот (плотностью относительной частоты), или гистограммой оценки плотности вероятностей, называют фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями h и высотами И<(х) = (оу/п=-Х (4) h-n WU Пример 7. Для данных примера 4 построить оценку плотности вероятностей (рис. 6). X-X/+I 2-6 6- 10 10-14 (х) 0.15/4= 0,0375 0.5/4= 0,125 0.35/4= 0,0875 Рис. 6. Оценка плотности распределения вероятностей Wj (х) Площадьj’-го прямоугольника равна и, и, St= (со< /nyh = -J—-h = hn п а площадь гистограммы - L S В асимптотическом пределе lim J7(x)=W(x), п->а> 23 т. е. оценка плотности вероятности равна истинному значению плотности вероятностей. Плотность вероятностей и функция распределения являются функционными характеристиками и дают исчерпывающие сведения об интересующем нас законе распределения непрерывной случайной величины. 1.3.2. Оценивание числовых характеристик При практическом изучении генеральной совокупности или выборки из нее часто достаточным оказывается знание некоторых числовых характеристик распределения или их оценок. Остановимся на некоторых основных характеристиках выборки из генеральной совокупности. Оценки начальных моментов порядка к, полученные по не-группированной выборке из генеральной совокупности, равны 1 ” тк=--^х- , (5) " ,=1 где к - порядок момента, к = 1,2, 3, ... . Для группированных данных 1 L ^к=--Хп^ ’ <6) " 7=1 где L - количество интервалов группирования, п, - количество элементов выборки, попавших в у'-й интервал, х/ - значение случайной величины, равное середине интервала группирования. Оценку, которая может быть представлена одним числом, называют точечной оценкой (в отличие от интервальной оценки). В данном разделе рассматриваются точечные оценки числовых характеристик. Начальный момент первого порядка (к= 1) называется выборочным средним, выборочным математическим ожиданием, или средним арифметическим значением выборки. Математическое ожидание характеризует положение распределения случайной величины на оси х. Следовательно, это характеристика положения распределения. Зависимость положения W(x) от ni\ проиллюстрирована на рис. 7. К другим характеристикам положения распределения случайной величины относятся мода xmod и медиана xmed. Мода - это такое значение случайной величины, которому соответствует максимум плотности вероятности непрерывной 24 случайной величины или наиболее вероятное значение дискретной случайной величины. Рис. 7. Положение плотности распределения вероятностей с разными значениями т\ Медиана определяется по вариационному ряду и равна его среднему элементу ''"med ~ ’ ("7) где т? - ранг порядковой статистики и определяется в виде Я = = 0,5 (л + 1) при п нечетном. При п четном Amed лежит между х п (2) и х „ элементами вариационного ряда, т. е. х п < xmed < х „ , (у+1) (у) (-+1) *med -0,5 х + хп Соотношение между лстод, *med и «?| для некоторой асимметричной плотности распределения вероятностей показано на рис. 8. Рис. 8. Соотношение характеристик х„1<х1, x,„«i, mi на графике плотности распределения вероятностей 25 Эмпирические центральные моменты порядка к, полученные по негруппированной выборке из генеральной совокупности, равны 1 " (9) п /=1 где к - порядок момента, к = 2, 3, ... . Для группированных данных 1 L ^k=-'Xnj-(Xj-mi)k. (10) Центральный момент второго порядка называется дисперсией и обозначается D. Величина о = л/d называется среднеквадратическим отклонением. Оценка дисперсии, полученная по выражениям: D = jl2=52=--^(x/-m1)2, п М ] L B = fi2 = д2 = — ’^п-(х-т1)2 (И) (12) >1 соответственно для негруппированной и группированной выборок, является смещенной оценкой дисперсии (понятие смещения оценки вводится в п. 1.4.1). Для того чтобы получить несмещенную оценку, необходимо воспользоваться выражениями [4] (13) (14) соответственно для негруппированной и группированной выборок. Если в выражениях (11) и (12) вместо оценки тх используется истинное значение т\, то данные выражения дают несмещенную оценку о2. 26 Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются характеристиками рассеяния, или разброса, распределения случайной величины (рис. 9). Рис. 9. Графики плотности распределения вероятностей с различными значениями дисперсии и одинаковыми математическими ожиданиями Другой выборочной характеристикой рассеяния является размах ^\,п~Л(«)-х(1) • О 5) Характеристики формы распределения. Коэффициент асимметрии. В качестве характеристики формы распределения, отражающей его асимметрию, служит коэффициент асимметрии Pi2=4- <1б> М2 Для симметричного распределения Р, (и р3) равен 0. Например, для модели нормального распределения = 0. При pj < 0 (р3 <0) распределение имеет левостороннюю асимметрию, при Pi > 0 (р3 > 0) - правостороннюю (рис. 10). Неприведенный коэффициент эксцесса Р2 также является характеристикой формы распределения, а именно его островершинности, и определяется из выражения Р2=4- (17> М2 27 Рис. 10. Зависимость формы плотности распределения вероят -пости от коэффициента асимметрии р| Величина у = р2 — 3 называется приведенным коэффициентом эксцесса. Для нормальной модели случайной величины у = О, а Р2 = 3. Зависимость формы от у приведена на рис. 11. Рис. И. Зависимость формы плотности распределения вероятности от приведенного коэффициента эксцесса у Характеристики порядковых статистик. Иногда бывает удобно использовать числовые характеристики, являющиеся функциями порядковых статистик Т( |) < Х(2) — • • • — _ < Х(и) . в силу их свойств. Распределение средних членов вариационного ряда при л -> оо стремится к нормальному. Распределение крайних членов вариационного ряда отлично от нормального. 28 К числовым характеристикам порядковых статистик относятся медиана xmed, размах Ein, квантиль порядка р, или р-квантнль хр. Физический смысл квантили состоит в следующем. хр - это такое значение случайной величины, ниже которой лежит p-я часть распределения (наблюдений). Эмпирическая (выборочная) квантиль равна порядковой статистике ранга R *р = ’ где R - ранг порядковой статистики, который определяется как целая часть числа R = int(«p+ 1), (18) стоящего в скобках. tS® Пример 8. Время обслуживания (в часах) каждого из пяти поставщиков в оптовой форме в течение рабочего дня представлено рядом 1,5 1,2 2,3 3,3 1,7. Необходимо определить х0 35. Найдем ранг R порядковой статистики, соответствующей р = 0,35 R = int(5-0,35 + 1) = 2. Следовательно, х035 = = 1,5 (второй элемент вариационного ряда). Квантиль уровня р = 0,5 х0 5 называется медианой. dri Будьте внимательны! Функции порядковых статистик всегда определяются по вариационному ряду. Иногда вместо квантили пользуются процентной точкой, или процентилью. Процентиль xq%- это такое значение случайной величины, выше которого лежит q(°/o) распределения. Иначе - процентной точкой уровня q(%) 0 < q < 100 называется такое хч, при котором выполняется условие /’{х > Х(,} = 6//100 . 29 Теоретическая квантиль хр является функцией, инверсной функции распределения случайной величины, и определяется из выражения F(xp)=p. (19) Например, функция экспоненциального распределения имеет вид F(x) = \~e ~f- , где а и X - параметры модели. Пользуясь выражением (19), получим: хр-а F (х) -1 - е к = р , хр~а е '* - 1 - р , хп - а -1п(1-р) = -^-— , Л хр = а-Х 1п(1 -р). Если р = 0,25, 0,5, 0,75, тохр соответственно 1-я, 2-я и 3-я квартили. Величина £Ь,25;0,75 = *о,75 - л?о,25 называется интерквартильным размахом и является также характеристикой рассеяния. Прир = 0,1, 0,2, ..., 0,9 речь идет о децилях х0,ь *о,2, , *о,9- Соответственно величина £o,i;o,9= *о,9-*о,1 называется интердецильным размахом. Задания для самоконтроля Вопрос 1. Среди перечисленных характеристик случайной величины «выпадающей» из общего ряда является характеристика __. Сделайте правильный выбор. Характеристики А. Коэффициент эксцесса Б. Медиана В. Математическое ожидание Г. Функция распределения Д. Интердецильный размах 30 Основание, по которому выделена характеристика 1. Характеристика порядковых статистик 2. Функционная характеристика 3. Числовая характеристика Вопрос 2. Сравните значения характеристик распределения случайных величин X и Y, представленных на графиках, с помощью соотношений >, =, <. Мода X__Y Медиана X__Y Математическое ожидание X__Y Коэффициент асимметрии X__Y Вопрос 3. Выборка из генеральной совокупности задана в виде распределения частот. Заполните в таблице недостающие характеристики случайной величины. XJ 3 7 И 15 19 nJ 2 7 11 8 2 Г,(т) Вопрос 4. Заданы две выборки значений случайной величины из генеральных совокупностей X; 13,7,24, 18, 7, 15 Y: 15,6, 27, 19, 8, 23,5, 13 Для них одинаковой числовой характеристикой из приведенного списка является__. Сделайте правильный выбор. А. Среднеквадратическое отклонение Б. 1-я квартиль В. Коэффициент асимметрии Г. Медиана Д. Начальный момент 1-го порядка Вопрос 5. Графики 1-3 оценок плотности вероятностей являются однотипными в смысле характеристики _____ . Сделайте пра- вильный выбор. 31 1. Дисперсия 2. Размах 3. Мода 4. Центральный момент 3-го порядка Вопрос 6. Группированная выборка распределения рейтинга успеваемости студентов (в баллах) представлена в таблице. Зачет получают студенты, набравшие более 300 баллов. Л, 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350 350-400 400-450 «/ 8. 15 18 26 16 12 5 Вероятность того, что студенты не получат зачет, равна_. Вопрос 7. Из приведенного ниже списка к характеристикам положения распределения относятся___ . Сделайте правильный выбор. А. Центральный момент 4-го порядка Б. Мода В. Медиана Г. Интердецильный размах Д. Математическое ожидание Вопрос 8. Задана группированная выборка распределения случайной величины Y: У] 1,2 1,5 2,0 2,5 «/ 5 15 20 10 Смещенная дисперсия равна____. Вопрос 9. Вторая квартиль, полученная по выборке из генеральной совокупности 8,5, 7,1, 8,7, 6,2, 2,9, 4,4, 6,0, 5,8, 5,4, 3,5, равна____. 32 1.4. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Структура главы «Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин» представлена на рис. 12. Интервальное^ оценивание числовых характеристик Цели Асимптотические свойства оценок Постановка задачи интервального оценивания числовых характеристик случайных величин. Основные понятия Построение доверительных интервалов для т\ Построение доверительных интервалов для Построение доверительных интервалов для а2 при неизвестном mi Построение доверительных интервалов для ГП[ при известном а Построение доверительных интервалов для гщ при неизвестном а Построение доверительных интервалов для а2 при известном т\ Рис. 12. Структура главы «Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин» Цели • Знать: • постановку задачи интервального оценивания; • критерии качества оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность); • понятия: доверительный интервал; доверительная вероятность; уровень значимости; • закон распределения /И| (при известном и неизвестном о); закон распределения о2 (при известном и неизвестном т\). Уметь: • определять по статистическим таблицам распределений квантили или процентили нормального распределения, /-распределения Стьюдента и ^-распределения при заданном уровне доверительной вероятности />; • вычислять доверительные интервалы для т\ при известном и неизвестном о для разных уровней доверительной вероятности />; 33 • вычислять доверительные интервалы для о2 при известном и неизвестном ?И| для разных уровней доверительной вероятности />; • объяснять зависимость ширины интервала от объема выборки, уровня доверительной вероятности и прочих условий. 1.4.1. Асимптотические свойства оценок Любая оценка 0 характеристики 0 (v) как функция от результатов наблюдения 0(v) является случайной величиной, а значит ее свойства могут быть описаны плотностью вероятностей Ж( 0; п) и функцией распределения F( 0; п). Так как оценка 0 получена по выборке конечного объема п, то ее свойства зависят от п, что и отражено в записи. Практическое определение п) и F(Q, и) при конечных объемах п в большинстве случаев затруднительно, поэтому гораздо проще вычислить асимптотическое (при п -> оо) распределение. Для оценки 0 как случайной величины при фиксированном v также могут быть найдены математическое ожидание М{ 0(v)} и дисперсия £>{0(v)}. Такое описание оценок важно для получения точностных показателей и характеристик достоверности оценки, отражающих ее качество [1,6]. Рассмотрим свойства оценок. Несмещенность. Оценка 0(v) называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемой характеристике 0(v) Af{0(v)}=0(v). Разность b{ 0(v)} = М{ 0(v)} - 0(v) называется смещением. Для несмещенной оценки b{ 0(v)} = 0. Если Z>{ 0(v)} * 0 при конечном объеме выборки п, но lim Z>{ 0 (v)} = 0, то 0(v) называется аснм-«->оо птотическн несмещенной. Состоятельность [1]. Оценка 0(v) называется состоятельной, если при и—>оо она сходится по вероятности к 0(v), т. е. если выполняется условие lim Р{| 0(v) - 0(v)| > в} = 0 для сколь угодно малых £ > 0. «->00 34 Эффективность. Оценка 0 ,(v) считается эффективнее оценки 0 2(v) той же характеристики, если для несмещенных оценок 0 i(v) и 0 2(v) выполняется условие D{ 0 i(v)} < D{ 0 2(v)} или сг{ 0 i(v)} < сг{ 02(v)}. Если оценки 0 i(v) и 0 2(v) смещенные, то сравнение оценок по эффективности осуществляется с помощью неравенства А{ 0 ,(v)} < А{ 02(v)}, где A{0(v)} = ^2{6(v)} + o2{0(v)} - средний квадрат отклонения оценки. Мерой эффективности оценки может служить величина: £)(0Эф) ef( 0) =---=г---для несмещенных оценок, Z)(0) Д(0Э(Ь) ef( 0) =-------для смещенных оценок, А(0) где £>(0 Эф) и А0эф - соответственно дисперсия и средний квадрат отклонения более эффективной оценки 0 эф по сравнению с анализируемой оценкой 0. 1.4.2. Постановка задачи интервального оценивания характеристик случайных величин. Основные понятия Если на основании имеющихся у нас данных (выборки из генеральной совокупности) конструируется оценка 0(хь параметра 0 [1, 3, 4], то при этом понимается, что величина 0 является лишь приближенным значением неизвестного параметра 0 даже в том случае, когда эта оценка состоятельна, несмещена и эффективна. При малых п конкретное значение оценки 0 может очень сильно отклоняться от истинного значения характеристики 0. Вопрос состоит в том, как велико может быть это отклонение. Можно найти такое 8 и указать интервал вида (0-8; 0+8), получивший название доверительного интервала, который с зара 35 нее заданной вероятностью р (близкой к 1) покрывал бы неизвестное нам истинное значение характеристики 0. Эта вероятность, называемая доверительной вероятностью, обычно задается из условия /*{| 0 - 9 | < 8} =р при малом 8 (20) или Р{9-8<д< 9 + 8} =р. (21) Чем меньше 8, тем точнее оценка 0. Поэтому 8 иногда используют в качестве характеристики точности оценки, ар - ее надежности. Величину a ~ 1 -р называют уровнем значимости или вероятностью ошибки. Для построения интервальной оценки 0 параметра 0 необходимо знать закон распределения оценки 0 как случайной величины. Плотность вероятности W( 0) симметричного распределения 0 представлена на рис. 13. Рис. 13. Плотность распределения вероятностей оценки 0 Границы доверительного интервала для неизвестной характеристики 0 будут определяться из условия (20). Ширина интервала, (0-8; 0+8) определяется величиной доверительной вероятности р или уровнем значимости а. Для симметричных распределений статистики 0 вводятся в рассмотрение вероятности а, = аг = а/2. 36 Обычно к интервальному оцениванию характеристик прибегают при малом объеме выборки, когда точечные оценки не являются устойчивыми. Доверительные интервалы бывают односторонними и двухсторонними. Остановимся на построении двухсторонних доверительных интервалов для математического ожидания т\ и дисперсии D выборки. 1.4.3. Построение доверительных интервалов для математического ожидания 1.4.3.1. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии Исходные положения: • дана выборка из генеральной совокупности х„ i = 1,и; • элементы выборки х, независимы и случайны; • «j - точечная оценка математического ожидания, полученная по выборке объема и; • о известна, т.е. известно истинное значение и. Примем без доказательства, что асимптотическое распределение Wj (как случайной величины) при известном о стремится, как правило, к нормальному распределению [1,4, 5] lim W{ Wj) = W/X ), /7->со где индекс N означает нормальное распределение. Используя правила построения доверительных интервалов, потребуем, чтобы выполнялось условие Р{| пц-т^<Ь}=р. (22) Раскроем выражение в скобках, одновременно проводя стандартизацию случайных величин wj - 8 и wj + 8, с помощью преобразования вида (Х-т])/и, где пц и о - соответственно 37 математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины X. При этом получим Р{ Wj - 8 < гп\ < wj + 8} = Ф {—---------— } - о ф Дот,-8)-М(от,)^ с где ф(х) = —т= je 2dt = —+ Ф0(х) -функцияЛапласа, <2л — 2 а Ф (х) = -т=|е 2 dt - интеграл вероятностей. >/2л о Из свойств математического ожидания и дисперсии для одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин [4] получим М{ тг } = mj, о{ mj } = о/V» . Следовательно, Р{ - 8 < Ш] < Wj + 8} = Ф ' - Ф<!—-о и Известно, что функция нормального распределения нечетная, т.е. и Тогда, используя (22), получим Р{ тх - 8 < mi < wj +6} = 2 Ф 38 Чтобы определить ширину доверительного интервала 8, необходимо найти функцию, обратную функции распределения 8>/п М/)/2=----, и где ир/2 - квантиль нормального распределения уровня р/2. Она может быть найдена по таблицам функции нормального распределения (см. прил. 1). Следовательно, й- ст 5 = ира -=, и в качестве доверительного интервала для т\ можно использовать интервал о _ , о т1 ~ ир/2‘ ~r <f»}< тх + ир12- . Vn уи (23) Проанализируйте последнее выражение и определите, как изменяется ширина доверительного интервала с изменением объема выборки и доверительной вероятности. Пример 9. Результаты исследования длительности оборота оборотных средств торговых фирм города (в днях) представлены в группированном виде 14-23 23-32 32-41 41-50 50-59 59-68 68-77 п.1 2 3 9 17 10 6 3 Построить доверительный интервал при р = 0,95 для средней длительности оборота оборотных средств торговых фирм города при условии, что среднеквадратичное отклонение и известно и равно 10 дням. В данном примере wj =47,12. Квантиль нормального распределения для р = 0,95 найдем из таблицы прил. 1 ирп ~ «0-475 = 1,96. 39 Используя (23), получим доверительный интервал для т\ при известном о 47,12 101,96 V50 < гп\ < 47,12 + 101,96 V50 44,35 <W] <49,89. 1.4.3.2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии Допустим, что выборка из генеральной совокупности имеет нормальное распределение. Тогда примем без доказательства, что тх (являясь случайной величиной) при неизвестном о распределено как /-распределение Стьюдента с (п - 1) числом степеней свободы [1, 4, 5]. При этом доверительный интервал для т\ при неизвестном о для заданного уровня доверительной вероятности р может быть найден из выражения S S P{mx-t\-aJ2(n- 1)-т= < ?И| < тх + /|^2(и- 1)-7= }, (24) л/n л/и где а = 1 -р, a /1-а/2 - квантиль /-распределения Стьюдента с (п - 1) числом степеней свободы уровня (1 — ос/2), которая может быть найдена по статистическим таблицам квантилей или процентных точек /-распределения Стьюдента (см. прил. 2). Пример 10. Для задачи из примера 9 при р = 0,95 получить интервальную оценку для при условии, что S = 10,66, пц =47,12. Из таблиц процентных точек /-распределения Стьюдента (см. прил. 2)найдем tali 1оо%(« - 1) = t2 5%(50 - 1) = /2,5%(49) = 2,01. Используя (24), получим „„ 10,66-2,01 ' 10,66-2,01 47,12----— < wi < 47,12 + -’-......~—, V49 V49 44,07 </И| <50,17. 40 На Ваш взгляд, зависит ли ширина доверительного интервала для от того, есть ли априорная информация о а или нет (при прочих равных условиях)? Попытайтесь объяснить Ваш Ьтвет. 1.4.4. Построение доверительных интервалов для дисперсии 1.4.4.1. Построение доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании [4, 5] Примем без доказательства, что о2 как случайная величина при известном т\ имеет распределение / с п числом степеней свободы Х2(и). Тогда доверительный интервал для о2 при заданном р может быть получен в виде 2 z ч 2 / ч ’ v ’ Ха/2100 % W X(l-a/2)100%W где Х2а/2ЮО%0) И Х2(1-«/2) 100 %(«) процентили /-распределения с п числом степеней свободы могут быть найдены по таблице процентных точек /-распределения (прил. 3). ЖЗ Пример 11. Для задачи из примера 10 построим при р - 0,9 интервальную оценку для дисперсии длительности оборота оборотных средств торговых фирм города при условии, что средняя длительность оборота известна и равна т\ =47,12. Точечная оценка а2 - 111,42. Значения /5% (50) = 67,51 и /95% (50) = 34,76 находим из таблицы процентных точек /-распределения (прил. 3). Следовательно, из выражения (25) получим интервальную оценку а2 в виде 50-111,42 2 50-111,42 < ст < , 67,51-------------34,76 82,53 < ст2 < 160,25. 41 1.4.4.2. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании Примем без доказательства, что о2 (как случайная величина) при неизвестном т\ имеет ^-распределение с (п - I) числом степеней свободы [4, 5]. Тогда доверительный интервал для о2 при заданном уровне доверительной вероятности р может быть получен из неравенства (n-l)-S2 ,_2, (л-1)-S2 —-------------< о < —---------------—. (26) Ха/2100%(” ~ О Х(1-а/2)100%("“1) Пример 12. Для задачи из примера 10 построим при р = 0,9 2 V» V» интервальную оценку для о при неизвестной средней длительно-сти оборота оборотных средств торговых фирм города. Воспользуемся значением оценки S2 = 113,63 (см. пример 10). Величины Х25%(49) = 66.34 и Х295%(49) = 33,93 найдем из таблицы процентных точек %2-распределения (прил. 3). Используя выражение (26), по-v» 2 лучим доверительный интервал для о при неизвестном т\ в виде 49113,63 2 49113,63 < ст < 66,34-------------33,93 83,93 < о2 < 164,10. Задания для самоконтроля Вопрос 1. По выборке объема п из генеральной совокупности получена оценка математического ожидания . Условие = 0 характеризует________________________. Сделайте правиль- ный выбор. А. Эффективность Б. Несмещенность В. Состоятельность Г. Средний квадрат отклонения оценки Вопрос 2. Известны оценки ^=3,5 и 52=1,44 выборки из нормальной генеральной совокупности, описывающей распределение возраста детей, посетивших детскую поликлинику в течение 42 одного дня. Вероятность посещения поликлиники детьми в возрасте от 2,5 до 4,5 лет равна_. Вопрос 3. Вероятности р - 0,9 соответствует выборочная квантиль х0 9 =распределения выборки из нормальной генеральной совокупности с характеристиками тй] =-30,5, ст = 50,1. Вопрос 4. Процентной точке х2% = 32,85 хи-квадрат распределения с числом степеней свободы п = 19 соответствует вероятность Р = • Вопрос 5. Даны две оценки 0] и 02 параметра 0 эмпирического распределения и характеристики этих оценок 5{0,} = -3,4, 6{02} = 2,0; £>{01} = 2,8, £>{02} = 4,1. Здесь 5{0} и £>{0} - символы соответственно смещения и дисперсии оценок характеристик, стоящих в скобках. Лучшей из оценок является оценка_____. Критерий, в смысле которого оценка явля- ется лучшей,. А. Состоятельность Б. Несмещенность В. Эффективность Г. Минимум среднего квадрата отклонения оценки Вопрос 6. Разделите предложенные оценки характеристик случайной величины на две группы;. Укажите соответствующие основания для разделения на группы___,____. Оценки характеристик случайной величины 1. йз = -61,7 2. 0,15 < р? < 0,21 3. тй|-3,71 < < т\+3,Т1 4. ст2 = 18,22 5. т2 = 61,13 Основания А. Точечное оценивание числовых характеристик Б. Интервальное оценивание числовых характеристик В. Оценивание параметров модели Г. Оценивание числовых характеристик Вопрос 7. Если надежность интервальной оценки среднеквадратического отклонения выборки из нормальной генеральной со- 43 вокупности необходимо повысить, то ширину доверительного интервала следует (уменьшить, увеличить)_________. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках. Вопрос 8. Построение доверительного интервала для дисперсии выборки при неизвестном математическом ожидании осуществля- ется в предположении, что при п -> оо оценка дисперсии имеет распределение__. Сделайте правильный выбор. I. Нормальное 2. Хи-квадрат с п числом степеней свободы 3. /-Стьюдента с п числом степеней свободы 4. Хи-квадрат с (л-1) числом степеней свободы 5. /-Стьюдента с (п-1) числом степеней свободы Вопрос 9. При одинаковом уровне доверительной вероятности надежность оценки дисперсии, полученной по выборке из генеральной совокупности, при известном т\__. (сделайте правиль- ный выбор). 1. Выше 2. Ниже 3. Остается без изменения по сравнению с надежностью той же оценки при неизвестном пр Вопрос 10. Задана выборка из генеральной совокупности объема п = 24 с известным математическим ожиданием пр = 4,5 и о =2,3. Интервальная оценка дисперсии выборки при доверительной вероятности р = 0,99 задается границами и. вопросы и задания к главе 1 1. В чем состоит отличие генеральной совокупности от выборки из нее? 2. Какую выборку можно считать репрезентативной? 3. Назовите основные формы представления выборки из генеральной совокупности? 4. Какая из форм представления выборки содержит наибольшую информацию об исследуемом объекте? 5. Можно ли элементы вариационного ряда считать взаимно независимыми? 6. Как перейти от негруппированной выборки к группированной? 7. Можно ли по группированной выборке составить негруппи-рованную? 8. Что такое эмпирическая характеристика? 44 9. Какую оценку можно считать несмещенной (асимптотически несмещенной), состоятельной, эффективной (асимптотически эффективной)? 10. Что такое эмпирическая функция распределения? Какими свойствами она обладает? 11. Что такое эмпирическая плотность вероятности? 12. Как построить гистограмму и график накопленных частот? 13. Какие числовые характеристики определяют положение эмпирического распределения на оси случайных величин? 14. Назовите характеристики формы распределения. 15. Какие характеристики эмпирического распределения отражают рассеяние случайной величины? 16. Как получить оценку медианы по выборке из генеральной совокупности? 17. Назовите известные Вам характеристики порядковых статистик. 18. Что такое доверительная вероятность и уровень значимости? 19. В чем отличие точечной оценки от интервальной? 20. Когда предпочтительнее использование интервальной оценки перед точечной? 21. Как связаны ширина доверительного интервала и доверительная вероятность? 22. Почему ширина доверительного интервала для т\ при известной о уже ширины доверительного интервала для т\ при неизвестной о? 23. Как ширина доверительного интервала для некоторой числовой характеристики случайных величин зависит от объема выборки п (при прочих равных условиях)? 24. Найдите квантиль х0 65 и медиану х05 выборки: 1,5, 8,7, 13,9,4,6, 7,3, 5,9, 11,7,3,1,9,8, 12,4. 25. Для предыдущего примера найдите оценки wbCT, S. 26. В 9 опытах измерялось содержание углеводов в единице продукта. По результатам обработки экспериментальных данных получено /й]= 18,8 г., о = 4,7 г. Построй те 90 %- и 95 %-ные доверительные интервалы для дисперсии содержания углеводов в единице продукции. 27. Выполните предыдущее задание при условии, что известно значение гщ = 18,8 г., полученное по генеральной совокупности. 28. Исследовалось время безотказной работы 56 лазерных принтеров. Из априорных наблюдений известно, что среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы ст = 50 ч. По ре 45 зультатам исследований получено среднее время безотказной работы Wj = 1500 ч. Построить 90 %- и 99 %-ные доверительные интервалы для среднего времени безотказной работы. 29. Выполните предыдущее задание при условии, что априорных сведений о среднеквадратичном отклонении времени безотказной работы лазерных принтеров нет. Известна лишь оценка о = 59 ч, полученная по результатам наблюдений. 30. Время обслуживания клиентов (в минутах) в железнодорожной кассе представлено выборкой: 1,0, 1,5, 2,0, 2,0, 2,25, 3,0, 3,0, 3,5, 3,7, 3,75, 4,0, 6,0, 7,0, 8,0, 1,5, 4,5, 6,0, 3,75, 17,0, 16,0, 15,1, 18,0, 19,0, 18,5. Постройте гистограмму и график накопленных частот. 31. По предыдущей задаче определите процент клиентов, время обслуживания которых более 13 мин и менее 6 мин. 2. ОПИСАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ МОДЕЛЯМИ Структура главы «Описание эмпирических данных вероятностными моделями» представлена на рис. 14. Рис. 14. Структура главы «Описание эмпирических данных вероятностными моделями» 47 Ж Цели Иметь представление: • о задачах структурной и параметрической идентификации; • априорном и апостериорном подходах при выборе вероятностных моделей для описания эмпирических данных; • критериях качества оценок: состоятельности, несмещенности, эффективности; • подходах к формированию набора моделей, из которого необходимо выбирать адекватную (в смысле некоторого критерия выбора) модель; • процедуре построения плоскости моментов с расположением на ней моделей вероятностных распределений; • сравнительных свойствах оценок, полученных методами моментов и максимального правдоподобия. Знать: • наиболее распространенные в практике статистических исследований модели распределений; • суть методов моментов и максимального правдоподобия оценки параметров одномерных непрерывных законов распределения. Уметь: • выбирать по плоскости моментов гипотетическую модель для описания эмпирических данных; • вычислять оценки параметров типовых одномерных моделей ' распределений методом моментов; • вычислять оценки параметров типовых одномерных моделей распределений методом максимального правдоподобия. 2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТРУКТУРНОЙ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ Ранее отмечалось, что одной из основных задач математической статистики является описание эмпирических данных вероятностными моделями, т. е. обоснованный выбор среди множества (заранее известных) моделей той, которая наилучшим (в некотором смысле) образом соответствует статистическому материалу, характеризующему реальный исследуемый объект, процесс или явление. Модель представляет собой математическое описание интересующих исследователя связей и соотношений между реальными элементами анализируемой системы. Если в описании модели используются случайные величины, то такая модель называется вероятностной, или стохастической [1, 7, 8]. 48 В качестве вероятностных моделей, описывающих эмпирические данные, могут использоваться модели одномерных и многомерных распределений, модели смесей, регрессионные модели и другие. В данном пособии будем рассматривать наиболее часто используемые одномерные вероятностные модели. Успешное решение проблемы наилучшей статистической обработки результатов эксперимента зависит от знания подходящей модели и от умения прилаживать ее к исследованию реальной ситуации. Кроме того, необходимо помнить, что использование параметрических методов обработки результатов эксперимента, основанных на использовании вероятностных моделей, предпочтительнее при наличии большой выборки. В некоторых параметрических задачах, например при проверке гипотез о согласии по критерию %2-Пирсона, объем выборки должен удовлетворять условию и > 200. Выбор (подбор) адекватной модели во многом определяет качество статистических выводов при решении задач планирования, прогнозирования, оптимального управления, оценки эффективности функционирования систем, диагностики, нормирования [1]. Выбор (подбор) вероятностной модели, наилучшим (в некотором смысле) образом описывающей результаты эксперимента, называется задачей вероятностной (статистической) идентификации, или аппроксимации. Различают задачи структурной и параметрической идентификации [5]. Структурная идентификация предполагает априорный или апостериорный выбор вероятностной модели, наиболее адекватно описывающей эмпирические данные [9, 10]. Априорный выбор (подбор) основан на неформализованном подходе, использующем наличие теоретических предпосылок о виде закона распределения исследуемой случайной величины или длительный субъективный опыт экспериментатора и позволяющем определить гипотетическую модель. Апостериорный выбор реализует формализованный подход, в основе которого лежит процедура обоснованного выбора модели из некоторого набора моделей по совокупности идентифицирующих ее характеристик. Задачи структурной идентификации основаны на использовании модели, представленной в виде [7-10] Л(2Г;ё), 49 где X - исследуемая случайная величина, 0 - вектор неизвестных параметров модели; А( ) - обозначение типа модели. Суть параметрической идентификации состоит в оценивании по эмпирическим данным Х= {xh i=l,n} оценок параметров 0 = 0(А”). Чаще вместо термина «параметрическая идентификация» используют понятие «статистическое оценивание параметров». В практике статистических исследований имеют место две основные роли вероятностных моделей: • для адекватного описания исследуемого реального процесса или явления, имеющего вероятностную природу и четкую физическую интерпретацию; • как вспомогательное средство при реализации методов статистической обработки данных, например при описании функций от случайной величины, используемых при построении статистических оценок, статистических критериев и прочего. 2.2. ТИПОВЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Пусть А(Х-,&) - модель случайной величины X с вектором параметров 0 = {а, X, а, Р,...}, где а - параметр положения (сдвига), X - параметр масштаба рассеяния, а, Р, ... - параметры формы модели (распределения). Если параметры а и /. известны, то можно перейти к стандартной форме записи А(Х0; 0,1, а, р,...), „ Х-а где X0 -------стандартизованная случайная величина. X Рассмотрим наиболее распространенные в практике статистических исследований законы распределения [3, 7, 8]. 50 2.2.1. Нормальное (Муавра - Лапласа - Гаусса) распределение Нормальное распределение рассмотрено впервые А. Муавром в 1733 г., а в 1809 г. снова открыто независимо от А. Муавра К. Гауссом. Распределение Муавра-Лапласа-Гаусса занимает ведущее место в теории и практике вероятностно-статистических исследований, в частности в экономике, социологии, технике, медицине, биологии и пр. [1]. Пусть X- случайная величина с математическим ожиданием ту и среднеквадратичным отклонением о. Плотность распределения вероятностей нормального распределения имеет вид [1, 6-9] (*-о)2 WN{x-,d,X) = -^=e , (27) где |х| < оо , а - параметр положения (|а| < оо), X - параметр масштаба (X > 0). Функция распределения представлена в виде 9-q)2 1 х 2 / „ z а х 1 f 2Л . Х-| <й-ф[ Нормальное распределение симметрично относительно т> и имеет следующие числовые характеристики: математическое ожидание т\ = Q, дисперсия D = о2 = X2, коэффициент асимметрии pi = 0, неприведенный коэффициент эксцесса р2 = 3, приведенный коэффициент эксцесса у = 0. 2.2.2. Экспоненциальное (показательное) распределение Экспоненциальное распределение хорошо описывает случайные величины, характеризующие длительность жизни элементов, систем, индивидуума (задачи теории надежности, демографии и др.) [1,3, 7, 10]. Функциональные и числовые характеристики случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, представлены в виде х-а WE(x;a,k) = ~e л ,х> а (28) А. 51 О при х<а, Г£(х;аД) = < х-а (29) 1-е при х > а, ту = а + A,, D = ст2 = A.2, Pi = 2, Р? = 9, уг = 6, где л е (а, оо), | а | < да, А, > 0. 2.2.3. Равномерное (прямоугольное) распределение Равномерное (прямоугольное) распределение [3, 7-10] находит применение при анализе времени ожидания «обслуживания» при точно периодическом, через каждые Т единиц времени, прибытии (включении) обслуживающего устройства и при случайном поступлении заявки на обслуживание в этом интервале [1]. Функциональные и числовые характеристики равномерного распределения имеют вид 0 ^Л(х;а,А.) = 1 ГЛ(х;а,А.) = . Л при х <а, при а<х<а + А., 1 при х^а + А., А. п 2 mi =а +—, D-u - —, 2 12 где хе(а,а + А.), |а|<оо, А.>0. Pl — 0, р2 -1,8, у2 — —1,2, 2.2.4. {-распределение Стьюдента Закон распределения Стьюдента с п числом степеней свободы [3, 7-10] используется при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез. Если имеются независимые нормально распределенные случайные величины •••, £п ,с ту - 0 и о2, то случайная величина 52 имеет ?(и)-распределение Стьюдента с п числом степеней свободы. В данном распределении п - параметр формы распределения. Функциональные и числовые характеристики распределения имеют вид: Fs/(x;d,X, w) = 1-;~sign (г)-/ 2 I1+— t n x-a . _ . где z =----, sign () - знак числа, стоящего в скобках, Г(а) гамма- X функция, 4 (а, Р) - неполная бета-функция, х е (-оо, оо ), | а | < оо, 2 X2 X > 0, п = 1,2, 3, ..., т\ = а, при п > 2, D = <3 =- при п > 3 (при , П~2 и = 1,2 а не существует). Коэффициент Pi = 0 при п > 4 (при п = 1,2, 3 Pi не существует, формально Pi = 0 для всех п). Р2= —— + 3, при и>5(при и = 1, 2, 3, 4 р2 не существует). п-4 2.2.5. Распределение хи-квадрат Распределение %2 находит широкое применение при построении интервальных оценок параметров и статистических критериев Показано, что сумма квадратов (% (п) = + ... + ) независи- мых одинаково стандартно нормально распределенных случайных величин S,o; S,i, подчиняется закону %2-распределения с п степенями свободы. Распределение %2 имеет случайные характеристики: / л-1 _-Wг(х-,а,Х,п)= (х °—е к , Х2-г|-| 53 О при х<а, F 2 (х; а, X, п) = при х>а, где у(а, х) - неполная гамма-функция, х е (а, оо ), | а | < оо, X > О, п = 1, 2, 3,.... Выражения для т\ и о2 приведены в [8, с. 204]. 2.2.6. Распределение Фишера Данное распределение аналогично распределениям %2 и /-Стьюдента нашло применение при построении интервальных оценок и статистических критериев. Отношение двух выборочных дисперсий, вычисленных по двум выборкам объемами nt и п2 и извлеченных из одной и той же нормальной генеральной совокупности, имеет F-распределение Фишера с л, и »2 числом степеней свободы F (щ, п2) . Плотность вероятности распределения Фишера имеет вид г ”1 + »2 I 2 J WF (х; а, X, «|, п2) -т—-г— Х-Г| ЬгР 12 ) I 2 г2 И} + и2 ’ где хе (а, оо), |ц| < оо, Х>0, и, =и2 =1, 2, 3.... Функция распределения, т\ и о2 для распределения Фишера приведены соответственно в [7, с. 175] и в [8, с. 214, 215]. 2.3. УПОРЯДОЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ. МЕТОД ПЛОСКОСТИ МОМЕНТОВ При решении прикладных статистических задач перспективным является описание исследуемого явления на модельном уровне (параметрическое описание), что требует развитых средств выбора модели из некоторым образом сформированного набора моделей. Часто на основе априорных сведений выбрать модель не удается. В настоящее время существует ряд методов, позволяющих решить эту задачу с использованием результатов статистического наблюдения. Поскольку существует большое разнообразие моде 54 лей, то актуальным становится вопрос формирования набора моделей, из которых впоследствии будет осуществлен выбор адекватной модели. Здесь возможны два подхода: • формирование произвольного набора моделей, например с ориентацией на прикладную область; • формирование набора моделей по некоторому принципу (полноты, наименьшей избыточности и др.). Выбор модели из набора можно осуществлять простым перебором моделей с последующим оцениванием параметров модели (см. п. 2.4), проверкой гипотез о согласии модели и эмпирического распределения (см. п. 3) и выбором оптимальной модели в смысле минимальной критической статистики. Другой метод выбора строится на основе предварительного упорядочения моделей по некоторым характеристикам. Рассмотрим метод упорядочения, в основе которого лежат характеристики и р2 распределения случайной величины. Метод получил название метода плоскости моментов [9]. Плоскость моментов - это плоскость в координатах pf и р2. Обнаружено, что все модели распределений случайных величин, имеющие теоретические характеристики Pj2 и р2, могут занимать на плоскости моментов либо точку (модели, не имеющие параметров формы), либо кривую (модели с одним параметром формы), либо область (модели с двумя и более параметрами формы). Поскольку характеристики pf и р2 - случайные величины, то зона притяжения каждой модели определяется не только значениями Р^ и р2, но и дисперсией этих характеристик. Более глубоко этот вопрос рассмотрен в работах [9, 10]. На рис. 15 приведена плоскость Рис. 15. Плоскость моментов 55 моментов с расположенными на ней моделями нормального, равномерного и экспоненциального распределений. Область недопустимых значений pf и р2 (критическая область) ограничивается соотношением Р2>Р?+1. Последовательность выбора модели по плоскости моментов состоит из следующих шагов: • расположение на плоскости моментов моделей распределений в соответствии с их значениями Р^ и р2; • построение зоны притяжения модели (доверительных интервалов для р^ и р2); • вычисление оценок pf и Р2 по выборке из генеральной совокупности и расположение точки с координатами (pf, Р2) на плоскости моментов; • выбор модели, в зону притяжения которой попала точка с координатами (р^ и Р2 ). Метод упорядочения, основанный на плоскости моментов, достаточно прост. Однако у него есть ряд недостатков. Вот лишь некоторые из них: • метод применим только для моделей, имеющих теоретические характеристики р^ и р2 (есть модели, например распределение Коши, для которых теоретические моменты не существуют); • с увеличением значений характеристик Р^ и р2 дисперсии их оценок также увеличиваются и зоны притяжения различных моделей, расположенных на плоскости моментов, начинают перекрываться - растет неопределенность при выборе моделей; • на плоскости моментов существует критическая область, попадание в которую р2 и Р2 не позволит выбрать адекватную эмпирическим данным модель. В практике статистических исследований используются и некоторые другие методы упорядочения: ae-диаграмм, плоскости квантилей, метод упорядочения по затянутости «хвостов» распределений [6, 11]. 56 Пример 13. Распределение магазинов по объему розничного товарооборота (млн. руб.) в одном из районных центров пред- ставлено в группированном виде: Товарооборот (млн. руб.) 61-65 65-69 69-73 73-77 77-81 81-85 85-89 89-93 93-97 97-101 Число магазинов 1 4 5 8 14 9 6 1 1 1 Необходимо подобрать гипотетическую модель распределения для описания эмпирических данных. Найдем оценки числовых характеристик выборки, используя выражения (6, 10, 12, 16, 17): /й| = 78,92 млн. руб., Ь = о2 = 52,15 млн. руб., Дз = 80,35 млн. руб., ц4= 8906,9 млн. руб. Следовательно, (З2 =0,043, Р2 = 3,145. Точка с координатами (0,043, 3,145) попадает на плоскости моментов (см. рис. 15) в зону притяжения модели нормального распределения. Поэтому в качестве гипотетической модели, описывающей эмпирическое распределение магазинов по объему розничного товарооборота, можно предложить нормальное распределение (см. п. 2.2.1). Параметры модели а и А. неизвестны. 2.4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ Пусть задана выборка конечного объема xh i = 1, и. Положим, что известна гипотетическая модель, описывающая эмпирические данные с точностью до неизвестных параметров Задача статистического оценивания параметров состоит в поиске таких оценок 0, являющихся функциями элементов выборки Q = G(xl, хп), которые являются лучшими в смысле некоторых критериев качества (см. п. 1.4.1). Существует большое многообразие методов оценивания параметров вероятностных моделей по эмпирическим данным, которые можно разделить на точечные и интервальные. В данном разделе остановимся только на точечном оценивании параметров. 57 В свою очередь точечное оценивание параметров можно осуществлять методами: • моментов (М-оценивание); • максимального правдоподобия (МП-оценивание); • минимума %2 (МХК-оценивание); • робастными (устойчивыми к отклонению модели от номинальной); • другими. Рассмотрим оценивание параметров методами моментов и максимального правдоподобия. 2.4.1. Метод моментов Пусть некоторая непрерывная случайная величина X описывается моделью JV(X;6). Необходимо оценить неизвестные параметры 0 модели по выборке конечного объема Х= {xt, / = 1, п}, полученной из генеральной совокупности. Суть М-оценивания состоит в приравнивании оценок моментов (начальных, центральных) эмпирического распределения соответствующим теоретическим моментам выбранной модели, являющимся функциями неизвестных параметров модели [1, 5, 9, 10], и в решении полученной системы уравнений. Количество уравнений в системе определяется количеством искомых параметров. Начальные и центральные теоретические моменты порядка к могут быть получены из выражений тк = jxkW(X-,Q')dx = mk(Qy, х Р* = J(x-)kfT(X; Q)dx = ц* (0), X а их оценки тк и - по выборке объема п. Полагая, что тк и p.t являются состоятельными оценками характеристик fffy(0) и цД0) (см. п. 1.4.1), приравняем их друг другу и получим систему уравнений . и‘(§? = . (30) . Мб) = 58 Решая ее относительно неизвестных параметров 0, получим М-оценки QM. tlSD Пример 14. Для статистических данных к примеру 13 оценить параметры модели нормального распределения, выбранной в качестве гипотетической. Из п. 2.2.1 следует, что плотность вероятностей нормальной модели имеет вид (27), а теоретические моменты /И| = а, о2 = X2. Оценки пц и б2, полученные по группированной выборке в предыдущем примере, thy =78,92 млн. руб., б2 = 52,15 млн. руб.2 Составляя систему уравнений ту = thy, ст2 = о2 и решая ее, получим dM - thy, =5 . Следовательно, М-оценки параметров а и А. нормальной модели равны а = 78,92 млн. руб., А = 7,22 млн. руб. В окончательном виде модель нормального распределения может быть представлена выражением _(х~78?92)2 W(X-, 78,92, 7,22) =---104’31 . 7,22-у2л Метод моментов относительно прост, но есть распределения, для которых функциональная зависимость между моментами и параметрами достаточно сложна [8, 9]. В этом случае для М-оценивания необходимо привлечение численных методов. М-оценки, как правило, несмещенные, но они менее эффективны, чем МП-оценки. Поэтому, выбирая метод оценивания параметров, необходимо выделить критерий или совокупность критериев качества оценок (простота вычисления, несмещенность, эффективность, состоятельность и другое), наиболее значимых в данном случае. И только после этого выбирать метод оценивания. Более глубоко методы оценивания параметров распределений описаны в [9, Ю]. 59 2.4.2. Метод максимального правдоподобия Пусть в результате статистического наблюдения получена выборка X = {х„ i = 1,п}, которая описывается некоторой моделью W(X-,Q). Согласно методу максимального правдоподобия [1, 3, 5, 10] искомые оценки QMn определяются из условия £(%], х„; ёмп)-тахЛ(х1, х„; 0), 0 где L - функция правдоподобия, определяемая как £(х1,...,х„;0) = П^(х/,0). (31) /=1 При условии независимости элементов х, выражение (31) дает совместную плотность вероятностей - меру правдоподобия получения {л,} при каждом формальном 0. Следовательно, можно > найти значение 0, максимизирующее функцию правдоподобия. Вместо L удобнее работать с In L, поскольку от работы с произведением можно перейти к работе с суммами. Кроме того, в большинстве случаев удается избавиться от экспоненциальной зависимости в плотности распределения вероятности. Таким образом, МП-оценки параметров 0 ищутся из системы уравнений: ^ = 0, 30! ^ = 0, [30, где к - количество искомых оценок параметров. Необходимо оценить параметры а и А экспоненциального распределения модели методом максимального правдоподобия. Составим функцию правдоподобия L и получим In L 60 ( X —fl \ « 1 1 1 « lnZ = y In — e — In-----------У(л\-а). Й I/ J V МП-оценки dMn и Хмп ищем из системы уравнений: 61nZ да 6lnZ . бХ б In Z п _ „ ------- - = 0, что недопустимо. Следовательно, оценки амп для да X экспоненциальной модели не существует. Действительно, в точке х = а плотность вероятности экспоненциального распределения претерпевает разрыв первого рода. Найдем Хмп. д in L дк XU~a) ~Т + ^—2---= X X XU~a) —------= п, X п п XU—а) ХЛ’< ^мп=~------= —----— = т^-а. п п п Из последнего выражения следует, что если параметр а неизвестен, то, поскольку амп не существует, для получения Хмп необходимо иметь некоторую другую оценку параметра а, например dM , полученную по методу моментов. Пример 15. Цена различных типов электроприборов в магазине (в тыс. руб.) представлена в группированном виде: Цена (тыс. руб) 0-0,9 0,9-1.8 1,8-2,7 2,7-3,6 3,6-4,5 4,5-5,4 5,4-6,3 Количество приборов 25 16 5 1 1 1 1 61 Необходимо подобрать гипотетическую модель, описывающую эмпирические данные. Получим оценки: /й] = 1,23 тыс. руб., 6 = 1,18тыс. руб, р2 = 3,57, 02=8,11. Оценки р2 и Р2 позволяют в качестве модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, выбрать экспоненциальную модель (см. п. 2.3) с плотностью вероятностей, определяемой выражением (28). Пример 16. Для данных примера 15 найти МП-оценки параметров экспоненциальной модели. Для экспоненциальной модели (28) оценки параметров, полученные по методу моментов, равны Хм = 6 = 1,18 тыс. руб., dM =тх -1М =1,23-1,18 = 0,05 тыс. руб., Подставляя значение dM в выражение для Хмп, получим Хмп = тх - dM = 1,23 - 0,05=1,18 тыс. руб. Для экспоненциальной модели Хмп = ХМ. Задания для самоконтроля Вопрос 1. Для выборки из нормальной генеральной совокупности тх - 26,4, D = 6,1. Оценки параметров сдвига а и масштаба X нормальной модели, полученные по методу моментов, равны: d =,Х =. Вопрос 2. Оценки характеристик р2 = 0,11 и Р2 = 2,93 получены по выборке объема п = 80 из генеральной совокупности. Для аппроксимации эмпирических данных можно выбрать в качестве гипотетической модель___(сделайте выбор) А. Нормального Б. Экспоненциального В. Равномерного распределения. Вопрос 3. Для выборки из нормальной генеральной совокупности тх = 13,8, 6 = 1,3. Оценки параметров сдвига а и масштаба X 62 нормальной модели, полученные по методу максимального правдоподобия, равны а -, X =. Вопрос 4. Оценки характеристик - -0,08 и Р2 == 2.1 получены по выборке объема п = 65 из генеральной совокупности. Для аппроксимации эмпирических данных можно выбрать в качестве гипотетической модель___(сделайте выбор) А. Нормального Б. Экспоненциального В.Равномерного распределения. Вопрос 5. Для выборки из экспоненциальной генеральной совокупности гщ = 1015, о = 11,4. Оценки параметров сдвига а и масштаба X экспоненциальной модели, полученные по методу моментов, равны d =, X =. Вопрос 6. Оценки характеристик 0^ = 3,83 и 02 = получены по выборке объема п = 73 из генеральной совокупности. Для аппроксимации эмпирических данных можно выбрать в качестве гипотетической модель___(сделайте выбор) А. Нормального Б. Экспоненциального В. Равномерного распределения. Вопрос 7. Для выборки из экспоненциальной генеральной совокупности тх = -124, Ь= 16,0. Оценки параметров сдвига а и масштаба X экспоненциальной модели, полученные по методу максимального правдоподобия, равны d =, X =. Контрольные вопросы и задания к главе 2 1. Какие функции выполняют вероятностные модели в задачах статистических исследований? 2. В чем состоит суть задач структурной идентификации? 3. Сделайте постановку задачи параметрической идентификации. 4. Назовите ограничения на использование параметрических методов статистики. 5. Назовите наиболее распространенные модели одномерных непрерывных законов распределений. Каковы области их применения? 6. Поясните термин «упорядочение моделей». 63 7. Дайте характеристику метода упорядочения моделей, основанного на плоскости моментов. 8. Назовите основные этапы процедуры выбора модели по плоскости моментов. 9. Какими недостатками обладает метод упорядочения моделей по плоскости моментов? 10. В чем состоит суть метода моментов оценивания параметров модели? 11. Какими свойствами обладают оценки, полученные по методу моментов? 12. Поясните суть метода максимального правдоподобия оценивания параметров. 13. В одном из банков в течение дня измеряли время (в минутах) обслуживания клиентов. Группированные результаты наблюдений представлены ниже: Время обслуживания (мин'.) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 Количество клиентов 2 4 8 12 16 10 3 Для данного задания выполнить следующее: • выдвинуть гипотезу в виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновать выбор модели; • оценить параметры выбранной модели методами моментов и максимального правдоподобия. Опираясь на эмпирические данные задания, ответьте на вопрос: «Насколько правомерно использование в данном случае параметрических методов статистической обработки данных?» Обоснуйте Ваш ответ. 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ Структура главы «Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез» приведена на рис. 16. Рис. 16. Структура главы «Предварительный анализ данйых. Статистические критерии проверки гипотез» Цели Иметь представление: • о ситуациях, когда необходима проверка статистических гипотез; • содержательном смысле критической статистики. 65 Знать: • пять шагов логической схемы статистического критерия проверки гипотез; • определение понятий «статистическая проверка гипотез», «уровень значимости», «ошибка первого рода», «ошибка второго рода», «мощность критерия»; • различать понятия «односторонний и двусторонний критерии», «простые и сложные гипотезы». Уметь: • объяснять значимость и содержание каждого шага логической схемы проверки статистических гипотез; • определять по таблицам математической статистики верхнюю и нижнюю критические границы для заданного уровня значимости а; • использовать графическое представление задачи построения статистического критерия проверки гипотез (при одностороннем и двустороннем критерии). 3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез, истин), от которых зависят правомерность и эффективность применяемых методов анализа, например: • можно ли считать подлежащие обработке данные результатами независимых наблюдений случайной величины; • при наличии нескольких групп исходных данных можно ли считать, что они извлечены из одной генеральной совокупности; • симметричен ли закон распределения исследуемой случайной величины относительно центра группирования; • какую модель надо выбрать для описания эмпирических данных; • какова природа и величина неизвестных параметров рассматриваемой стохастической схемы и т. д. Наша цель в данном случае - проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза Но имеющимся эмпирическим данным. Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой х2, х„ осуществляется с 66 помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Результат такого сопоставления может быть как отрицательным (данные наблюдения противоречат выдвинутой гипотезе, следовательно, от нее надо отказаться), так и положительным (наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, и поэтому ее можно принять в качестве одного из решений). Неотрицательный результат статистической проверки гипотез не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим. Могут также существовать другие гипотезы, которые не будут противоречить тем же эмпирическим данным. Принятая в этом случае гипотеза будет рассматриваться как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение. Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения критерия, которая укладывается в 5 шагов [1]. 1-й шаг. Выдвигается основная (или проверяемая) гипотеза Но. Гипотеза Н, которая противоречит основной Но, называется альтернативной, или конкурирующей. 2-й шаг. Задается уровень значимости критерия а. Дело в том, что любое статистическое решение, принимаемое на основе ограниченного ряда наблюдений, сопровождается, хоть и малой, вероятностью ошибочного заключения. Именно в доле случаев а гипотеза Но может быть отвергнута при условии, что она верна, или, наоборот, в доле случаев Р мы можем принять гипотезу Но, в то время как она ошибочна. При фиксированном объеме выборки п величину вероятности а или Р мы можем выбирать самостоятельно. Если есть возможность сколь угодно увеличивать п, то теоретически можно добиться как угодно малых ошибок аир при любой фиксированной конкурирующей гипотезе Н\. Величину а называют уровнем значимости, размером критерия или ошибкой первого рода. Это вероятность отвергнуть основную гипотезу Но при условии, что оиа верна. Чем весомее для исследователя потери от ошибочного отвержения гипотезы Но, тем меньшее а необходимо выбирать. Обычно пользуются стандартными значениями а (0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001). 1^0 Пример 17. Величина а = 0,05 означает, что в среднем в 5 случаях из 100 при использовании данного статистического критерия будет ошибочно отвергаться справедливая основная гипотеза Но. 67 3-й шаг. Задается некоторая функция результатов наблюдения - критическая статистика Vkp= v(Xb*2, Как функция наблюдений эта' критическая статистика также является случайной величиной и в предположении справедливости Но подчинена некоторому хорошо изученному закону распределения С ПЛОТНОСТЬЮ ВерОЯТНОСТИ IF(v;/Kp). Механизм построения закона распределения критической статистики описан в [1]. ИГ1 Содержательный смысл критической статистики - мера расхождения имеющейся в распоряжении исследователя выборки с основной гипотезой Ни. Например, в гипотезе об однородности двух выборок случайных величин Хи К- мера различия между функциями распределения F(x) и F(y). 4-й шаг. Из статистических таблиц распределения Hz(v;/Kp) или расчетным путем находятся квантили уровня а/2 и 1-а/2 или процентные точки <|/(1^а/2)юо% и \|/(а/2)юо %, являющиеся соответственно нижней укрн и верхней укрв критическими точками (границами). Они делят всю область допустимых значений фкр на области: • неправдоподобно малых (I); • правдоподобных (II); • неправдоподобно больших (III). Область принятия гипотезы Но определяется как доверительный ’интервал для \|/кр, который формируется на основе распределения статистики IF(\|/Kp) при уровне доверительной вероятности р = 1 - а. Различают односторонние и двухсторонние критерии. Для одностороннего критерия область принятия основной гипотезы может иметь ограничение только с одной стороны (сверху или снизу). При этом область значений статистики укр разбивается на две: область правдоподобных и область неправдоподобно больших или неправдоподобно малых значений. Для двухстороннего критерия область принятия гипотезы Но имеет два ограничения - сверху и снизу. 68 W(v«r) 5-й шаг. Определяется наблюденное (расчетное) значение критической статистики \|/расч подстановкой в ц/кр конкретных выборочных значений xi,x2,..., хп или некоторых функций от них. Если окажется, что принадлежит области правдоподобных значений, то гипотеза Но верна, т. е. не противоречит выборочным данным. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а. Отвержение Но означает, что <|/расч не подчиняется закону распределения Hz(\pKp). Ошибка Р может возникнуть тогда, когда принимается Но, в то время когда она неверна. Р называется ошибкой второго рода, а (1 - Р) - мощностью критерия. Если проверяемая гипотеза Но сводится к проверке точного равенства, то гипотеза называется простой, в других случаях мы имеем дело со сложной или вложенной гипотезой. Пример 18. Первый шаг проверки гипотез об однородности двух выборок выглядит так: Но’ F(x) = F(y), Hf. F(x) * F{y). Здесь Но - гипотеза простая, Н - гипотеза сложная (вложенная). J I Задания для самоконтроля чИи***" Вопрос 1. Для двустороннего критерия по сравнению с односторонним (при ограничении сверху) при одном и том же уровне 69 значимости верхняя критическая точка будет расположена ___. Сделайте правильный выбор. I. Левее 2. Правее 3. Останется без изменения Вопрос 2. Вероятностью принятия основной гипотезы при условии, что она неверна, называют___. Сделайте правильный выбор. А. Доверительную вероятность В. Уровень значимости С. Ошибку второго рода D. Ошибку первого рода Вопрос 3. Поставьте каждому шагу логической схемы проверки статистического критерия соответствующие ему функции. Функции А. Формулирование Но 1-й шаг Б. Вычисление урасч 2-й шаг В. Задание а 3-й шаг Г. Проверка условия и принятие реше- 4-й шаг ния об истинности или ложности Но 5-й шаг Д. Задание <|/кр Е. Вычисление критических границ статистики фкр Ж. Исследование предельного распределения статистики укр 3. Формулирование Н\ 3.2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Цели Иметь представление о практической применимости гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин. Знать законы распределения критических статистик для гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин при различных начальных условиях. Уметь: • проверять, используя пять шагов логической схемы, гипотезы о равенстве дисперсий при известных и неизвестных математических ожиданиях; 70 • проверять гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных и неизвестных дисперсиях; • вычислять критические границы для гипотез о равенстве характеристик случайных величин при заданных уровнях значимости; • объяснять зависимость ширины области принятия основной гипотезы от уровня значимости, вида критической статистики и других характеристик случайных величин. Ж Пример 19. Пусть, например, необходимо определить среднее время обслуживания клиентов банка. Для этого в течение двух дней проводили эксперимент и получили соответственно тх и mY . Поскольку тх и mY являются статистиками, то они случайны. Чтобы убедиться в том, что среднее время обслуживания клиентов банка в первый и второй дни можно считать равными, надо проверить гипотезу типа Но: тх = ту. 1 Такие гипотезы называются гипотезами о равенстве характеристик случайных величин. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин, принадлежащих одной генеральной совокупности (однородных, см. п. 2.3 данного раздела), также бывает нужна в практических ситуациях, когда выборки малы и есть необходимость объединить их в одну. 3.2.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях Данная гипотеза может найти применение, например, при метрологической аттестации нового измерительного прибора. tSBJD Пример 20. Проведено исследование розничного товарооборота продовольственных магазинов в двух районах области (по 50 магазинов в каждом). Априори известны средние значения розничного товарооборота - 78,9 и 78,68 тыс. руб. Полученные в результате оценки среднеквадратичных отклонений в первом и втором районах области соответственно равны 7,22 и 7,79 тыс. руб. Можно ли считать, что разброс розничного товарооборота магазинов в районах неодинаков при уровне значимости 0,05? Можно ли 71 сделать вывод о разной покупательной способности населения районов? В данном случае речь идет о необходимости проверки гипотез о равенстве дисперсий двух выборок при известных до опыта математических ожиданиях. Исходные предположения ____ Пусть имеются две выборки х, i = l,nt , ypj = 1,п7 случайных величин X и Y из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания тх и ту этих случайных величин известны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин. 1-й шаг. Формирование основной Но и альтернативной Н\ гипотез: Но: tj2x = ст2, . Яь с2х * с2. 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики. В качестве меры различения ох2 и оу2 выбрана величина Ч^кр — / СТу . Примем доказательства, что предельное распределение статистики хркр как случайной величины стремится к ^распределению Фишера Г(ц/кр; и2) с и, и и2 числом степеней свободы lim Я(\|/кр) = «1, п2). ,/?2 4-й шаг. Определение критических границ. Верхняя критическая граница определяется как процентная ОС точка распределения Фишера уровня — • 100% 2- Ч'кр.в = Fa («1>«2)' —100% 2 Для ^распределения Фишера нижняя критическая точка может быть найдена из выражения ЧЧр.н — F а — • (1--)100% и 72 Значение процентной точки F„ (п,, п-,) находится из таблиц — 100% 2 математической статистики для распределения Фишера (см. прил. 4). 5-й шаг. Расчет наблюденного или расчетного значения критической статистики из выражения Ураем (32) где о2г и о2 - оценки дисперсий случайных величин X и У, полученные по выборкам из генеральных совокупностей. Если выполняется условие F а < Ураем < Fa (33) (1--)100% н —100% 2 2 то Но верна с ошибкой первого рода, в противном случае Но отвергается (см. рис. 18). Пример 21. В банке в течение двух дней проводилось исследование времени обслуживания клиентов. Данные представлены в табл. 3. Обозначим время обслуживания клиентов в первый день X, а во второй - Y. 73 Таблица 3 Статистические данные времени обслуживания клиентов в байке Номер интервала группирования j Время обслуживания (мин) Цу (1-й день) V (2-й день) 1 10-12 2 2 2 12-14 4 4 3 14-16 8 9 4 16-18 12 13 5 18-20 16 16 6 20-22 10 8 7 22-24 3 3 Известно априори, что т,:= 17,8, ту = 17,6, = гь = 55. Можно ли считать одинаковыми отклонения от среднего времени обслуживания клиентов банка в 1-й и во 2-й дни при а = 0,01? В данном случае предстоит проверить гипотезу о равенстве дисперсий при известных математических ожиданиях. Предварительно найдем о2. =8,38, ду =8,14. 1-й шаг. гт, _2 __ 2 /То. оX ’ Я. л-2 , _2 I • X * 2-й шаг. а = 0,01. 3-й шаг. Укр = 62v /о2. Из предыдущего известно, что при п\ и п2 со распределение статистики стремится к распределению Фишера F(\ркр; п\, п?}. 4-й шаг. Находим верхнюю и нижнюю критические границы, используя таблицу процентных точек распределения Фишера (прил. 4), ’ <Икр.в= Fo5%(55,55) = 2,04, укрн= 1/2.04 = 0,49. 5-й шаг. Расчетное значение критической статистики находим из (32) - 8’38_ 1 оз 'Ирасч 0 ~ 1,03 . о, 14 Поскольку условие (33) выполняется 0,49 < 1,03 < 2,04, то Но верна, т. е. дисперсии о2Х и ст2 можно считать равными. 74 3.2.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях Пусть имеются две выборки i = 1, n,, yj,j = 1, п2 случайных величин X и Y из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания тх и ту неизвестны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез Но: = Оу , Т/i: а х о у . 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Выбор критической статистики Помните, что в качестве оценки дисперсии по возможности всегда необходимо использовать несмещенную оценку. При неизвестном математическом ожидании оценка S2 может быть получена из (13) или (14). Предельное распределение статистики ц/кр при неизвестных тх и ту стремится к распределению Фишера с (и|- 1) и («2- 1) числом степеней свободы lim ^(Укр) = Я^кр; «I - h«2- 1). -»оо - 4-й шаг. Определение критических границ. Соответственно верхняя и нижняя критические точки равны: Wb= Fa («1-1, «2^1), —100% 2 'Икр.н ~ F- а\ («1 “ 1, «2~1) — I/'Vkp.b • I-- 100% I 2) 75 5-й шаг. Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения ~2 ------У (Л/ " )2 sx2 «1-1^ Ураем - -2 “ , „2 м.. 1 х"1 / к 2 у «2 1 /=1 (34) где Sx и Sy - несмещенные оценки дисперсий случайных величин X и Y, полученные по выборкам. Если выполняется условие F, а,1 (И1-1, «2-1 )< Ураем < ( «1~1 , «2~ 1), (35) 1— .100% —100% ( 2) - 2 то Но верна с ошибкой первого рода. В противном случае Но отвергается. Пример 22. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях тх и mY для уровня значимости а = 0,1. Поскольку тх и ту неизвестны, то для поиска д\- и д2 воспользуемся оценками тх и ту. По статистическим данным получим тх = 17,84, ту = 17,65, §2Х = 8,54, S\ = 8,29. Верхняя и нижняя критические границы могут быть найдены по таблице процентных точек F - распределения Фишера (прил. 4) yKpB = F5% (54,54) = 1,73, укрн= 1/1,73 = 0,58. V/pac4 найдем из (34) 8,54 ют Уоасч =------= 1,03. расч 8,29 Поскольку выполняется условие (35) 0,58 < 1,03 < 1,73, то гипотеза Но о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях не отвергается. 76 3.2.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях Пусть даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин Хи У и известны их дисперсии. Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез Нп-.тх=тг, Н]'. тх^ ту- Такая задача ставится обычно тогда, когда выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо ли это различие? 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики и определение закона ее распределения при nt-»oo, п2-»оо 1/йд. - ту\ 'Икр= Г~....~2=’ Н+£г у п} п2 lim ^(укр) = Ф (укр; 0, 1), >п2">0° где Ф (фкр; 0,1) - стандартизованное нормальное распределение [1]. 4-й шаг. Верхняя и нижняя критические границы соответственно равны 'Икр.в — м1-а ’ Т . 'Икр.н ЧА<р.в , 1 -а где и,_а - квантиль уровня ---- нормального распределения на- V 2 ходится по таблице прил. 1. 77 5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики Ч^расч (36) и принятие решения. Если выполняется условие Ч^кр н < Чфасч < ЧАф.в , (37) то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а. Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве тх и ту справедлив и при отклонении распределения случайных величии X и Y от нормального, но при условии, что «1 и п2 больше 30. Пример 23. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве тх и ту при условии, что дисперсии априори известны и равны Оу = 8,65, сг^ =8,12 при а = 0,05. Оценки тх = 17,84, mY = 17,65, необходимые для вычисления ч/расч из (36), получим по выборкам. Верхняя и нижняя критические границы могут быть найдены по таблице функции нормального распределения (прил. 1) Ч^кр.в— 1,96, 4/кр.н ~ — 1,96 . Следовательно, Ч/раеч /8,65 8,12 °’344’ V 55 + 55 Поскольку условие (37) выполняется -1,96 < 0,344 < 1,96, то Но верна. Следовательно, тх и ту (среднее время обслуживания клиентов в банке в 1 -й и во 2-й дни) можно считать равными. 78 3.2.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при неизвестных дисперсиях Пусть имеются две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин X и У. Необходимо проверить гипотезу о равенстве тх и mY. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез Ну, тх = Wy, Н\‘. тх^ ту. 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики _ |/йЛ.-да}, | | 'Укр I 1 ............. 1 '. | (п,-1)52+(и2-1)52 Vi+«2 V (и, + п2 - 2) Предельное распределение статистики ц/кр. стремится к /-распределению Стьюдента с («| + и2 - 2) числом степеней свободы. lim Дуукр) = t (урц,; пх + п2 - 2). Wj ,/?2 “*°0 4-й шаг. Верхняя и нижняя точки критерия находятся из выражений Ч^крв 2), ГИкр.н Ч^кр.В) где t “ 100o/o(«i + «2_ 2) - верхняя процентная точка /-распределения Стьюдента, которая может быть определена по статистическим таблицам прил. 2. Поскольку /-распределение Стьюдента симметрично, то нижняя критическая точка симметрична верхней относительно 0. 5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики Ц/рвсч |/Йу-/Йг| I И|И2 kn,-l)S2 +(^-1)^ V«l+«2 ' (n, +n2 -2) (38) 79 Если выполняется условие Ч^кр.н < Ч^расч < Ч^кр.в, (39) то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а. Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве тх и ту справедлив и при отклонении распределения случайных величин X и Y от нормального, ио при условии, что п} и и2 больше 30. Пример 24. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве тх и ту при условии, что дисперсии сгх и о2у неизвестны, а уровень значимости а = 0,01. Для вычисления фрасч воспользуемся значениями тх , ту, §х и Sy, полученными по эмпирическим данным тх = 17,84, ту = 17,65, S2x = 8,38, S2y = 8,14. Из выражения (38) получим .1^.0,097. р 54-8,38 + 54-8,14 V НО V 108 Верхнюю и нижнюю критические точки находим по таблице процентных точек ^-распределения Стьюдента (прил. 2) Укр.в = to.5 % («1 + «2 - 2) = Zo.5 % (Ю8) = 2,62, Ч^кр.н Ч^кр.в — 2,62 . Следовательно условие (39) выполняется -2,62 < 0,097 < 2,62, т. е. гипотеза Но верна с ошибкой первого рода а = 0,01. Задания для самоконтроля Вопрос 1. Две серии испытаний радиодальномера по 9 измерений в каждой серии до и после юстировки прибора дали следующие результаты: <52х = 0,032 км2, о2 = 0,022 км2, при априорных предположениях mix = 0,03 км, т2у - 0,05 км. 80 Юстировка (повлияла, не повлияла) на разброс ошибки радиодальномера при уровне значимости а = 0,05. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________. Вопрос 2. Исследование длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий (по 13 предприятий в каждой) дало следующие результаты: тх = 23 дня, ту = 26 дней, агх = 4 дня, ду = 9 дней. Для уровня значимости 0,01 можно считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств групп предприятий (одинаковы, неодинаковы). Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________. Вопрос 3. Исследование пропусков по болезни детей в двух группах детского сада в течение года (по 16 детей в каждой группе) дало следующие результаты: т1(1) = 32 дня, т1(2) = 41 день, S? = 9 дней2, S2 = 17 дней2. При а = 0,1 можно считать, что среднее количество дней пропусков по болезни в обеих группах (одинаково, неодинаково). Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________. Вопрос 4. Исследование в течение месяца (25 рабочих дней) ежедневных простоев двух строительных бригад из-за отсутствия материалов дало следующие результаты: w1(1) =1,75 ч., /й1(2) = 1,99 ч., при априорных предположениях о2 = 1,4 ч2., ст2 = 1,1 ч2. При а = 0,01 среднее время простоев бригад можно считать (одинаковым, неодинаковым). Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________. Вопрос 5. Исследование длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий (соответственно по 16 и 15 предприятий в каждой) дало следующие результаты: тх = 23 дня, тг = 26 дней, ёх = 4 дня, о2 = 9 дней. 81 Для области принятия гипотезы о равенстве отклонения длительности оборота оборотных средств групп предприятий при а = 0,01 Vkp в > н • Вопрос 6. Предельное распределение статистики i|/Kp для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий при неизвестных дисперсиях будет стремиться к распределению _____. Сделайте правильный выбор. А. Лапласа Б. Фишера F (п\, пт) В. %2(Z-1) Г. Стьюдента, t (и,+ пг- 2) 3.3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОБ ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК Цели Иметь представление: • о разнообразии статистических критериев проверки гипотез об однородности двух или нескольких выборок случайных величин; • условиях применимости и свойствах различных критериев однородности двух или нескольких выборок случайных величин в зависимости от исходных условий. Знать: • определение однородности двух или нескольких выборок случайных величин; • законы распределения критических статистик для критериев однородности хи-квадрат и Вилкоксона - Манна - Уитни. Уметь: • выбирать адекватный, в смысле начальных условий, критерий однородности выборок случайных величин; • проверять гипотезы об однородности двух выборок по критерию %2; • проверять гипотезу о£ однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни (при объемах выборок меньше или равных 25 и при объемах выборок больше 25). 82 dri Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной генеральной совокупности, следовательно, имеют одинаковые, но неизвестные непрерывные функции распределения. 3.3.1. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию %2 Если данные представлены в группированном виде, то для проверки однородности можно использовать критерий однородности %2. Пусть имеются две выборки объемами п\ и п2. Элементы каждой выборки независимы, непрерывны и сгруппированы в L интервалов. Проверим, принадлежат ли выборки одной генеральной совокупности. Критерий однородности %2 применим при и > 60 (еще лучше, если выполняется условие п > 200) и данные представлены в группированном виде [1,3]. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез Но : F(x) = F( у ), #,:F(x)*F(y). 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики / \2 «1 «2 J ^кр=«1 «2 У где Ц/ и v, - количество попаданий в J-й интервал группирования соответственно первой и второй выборок. Если п} =п2~п, то Укр- 2,----- Н K/+V 83 Предельное распределение критической статистики стремится к ^-распределению с (L - 1) числом степеней свободы, т. е. lim Д\|/кр) = Х2(Жр; L- 1), Л] ,П2 4-й шаг. Определение верхней критической точки статистического критерия Vkp.b= Х2а%(^- 1), где x2a%(Z-I) ~ a-процентная точка %2-распределения, которая может быть получена с помощью таблиц процентных точек (приложение 3) для %2-распределения. Критерий однородности %2 является односторонним. Области неправдоподобно малых значений статистики %2 нет. Чем меньше расчетное значение критической статистики, тем более благоприятные условия складываются для принятия гипотезы об однородности двух выборок. 5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики 4^ = (40) М H/+V7 Если Ч^расч < Ч^крв 1 (41) то гипотеза Но верна, в противном случае Но отвергается. i|/paCT не может быть меньше нуля. Пример 25. Для данных примера 21 проверим однородность двух группированных выборок случайных величин X и У по критерию %2 при уровне значимости а = 0,1. Получим верхнюю критическую точку критерия по таблице прил.3 Укрв = %210 % (7-1) = Х2ю % (6) = 10,645. 1|/расч найдем из выражения (40) и, воспользовавшись значениями для Ц/ и V, из примера 21, вычислим ^.(2-2)2 (4-4)2 (8-9)2 (12-13)2 Vpac4 4 8 17 25 84 + 0M6)l+(W+(M)i= 32 18 6 Следовательно, условие (41) выполняется 0,321 < 10,645, и Но верна с ошибкой первого рода а = 0.1. 3.3.2. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни Критерий Вилкоксона - Манна - Уитни является ранговым и применяется для проверки однородности двух выборок независимых случайных величин, распределения которых неизвестны [1,3]. Критерий находит применение при объеме выборки меньше 60, так как при больших п возрастает трудоемкость метода. Статистические данные должны быть представлены в негруппированном виде. Здесь возможны два случая. Рассмотрим их последовательно. - Случай А. Пусть имеются две выборки независимых непрерывных случайных величин (и < 25 для обеих выборок) i = 1,пь, yhj = 1,«2, где п\ < 25, пг <25. Рассмотрим последовательность критерия. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез Яо:Ях) = Ду), Н\. Fix) ф Fly), где Fix) и Fly) - неизвестные непрерывные функции распределения случайных величин X и К 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики. Статистика критерия имеет вид Л|+»2 Wp = 2Х1, (42) ' i=i где - ранги элементов выборки меньшего объема < п2). Суммирование рангов Л, осуществляется по элементам меньшей выборки. Предельное распределение статистики стремится к распределению Вилкоксона - Манна - Уитни. 85 Для принятия решения об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона-Манна-Уитни необходимо выполнить следующую последовательность действий. 1. Проанализировать объемы выборок П\ и пг, сравнить их между собой. Меньшую выборку будем считать первой. Пусть П\ -объем меньшей выборки. 2. Из двух выборок составляем общий вариационный ряд с обозначением рангов вариант. Если в обеих выборках есть одинаковые варианты, то в общем вариационном ряду первыми записываются варианты меньшей (первой) выборки. 4-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона - Манна - Уитни [12] для уровня значимости а находим нижнюю критическую точку (см. таблицу прил. 5) ^Икр.н ^а/2 (^1, ^2)5 где (Оа/2 (п\, п2) - квантиль распределения Вилкоксона. Верхняя критическая точка находится из выражения Ч'кр в = («1+W2+I) «1 — Укр.н (43) или в виде Vkp в ~ 2MFE— i|/KpH> где 2M1F может быть взято из таблицы прил. 5 для соответствующих П\ И «2 5-й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики Урасч = £ R>>' осуществляется суммированием рангов Л”1 вариант первой выборки в общем вариационном ряду. Если выполняется условие 'Дкр.н < 'Драсч. < 'Дкр.в , (44) то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается. Случай Б. Объем хотя бы одной из выборок больше 25. Отличие данного случая от предыдущего состоит только в вычислении 86 Ч/кр.н на четвертом шаге проверки гипотезы об однородности. А именно, Укр.н = й(а/2, «1, и2) 2 2 (45) 1 —а z где М]_а - квантиль нормального распределения уровня -- (на- ~ 2 ходится по статистическим таблицам функции нормального распределения прил. 1). Пример 26. Объемы дневных продаж овощных магазинов в двух районах области представлены выборками х„ /= 1,п, у,, j = 1, п2 (в тыс. руб.), «1 = п2 = 27. х-. 17 13 22 9 20 9 20 9 22 20 21 21 22 19 23 14 20 19 17 И 8 21 10 20 18 11 15 У: 17 13 22 9 20 10 16 9 21 15 21 21 22 18 21 15 20 18 17 ' И 8 21 17 15 18 11 19 Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни при уровне значимости а = 0,05. Поскольку и/ = и2 = 27, то воспользуемся алгоритмом для случая Б. Будем считать первой выборку х„ i= 1,п{ . Составим из двух выборок общий вариационный ряд, проставляя сразу ранг Rk, к = 1, п} + и2 элемента объединенного ряда. Принадлежность элемента той или иной выборке обозначим с помощью индекса ранга. Элемент ряда 8х 8 г 9х 9х 9х 9г 9у 10х 10г К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Элемент ряда Их Их Пг Их 13х 13г 14х 15х 15г л* 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Элемент ряда 15г 15у 16г 17х 17х 17г 17у 17у 18х Л* 19 20 21 22 23 24 25 26 27 87 Окончание таблицы Элемент ряда 18г 18г 18г 19% 19л- 19г 20л- 20Л- 20л- л* 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Элемент ряда 2O.v 20л- 20г 20г 21% 21% 21% 21г 21г Л* 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Элемент ряда 21к 21г 21т 22Л- 22Л- 22Л- 22г 22у 23л- Rk 46 47 48 49 50 51 52 53 54 Используя выражения 45 и 43, вычислим соответственно ц/крн и ЧАф.в> полагая, что для а = 0,05 и}_а = и0 475 =1,96 ~Г Ч\-р.н (27 + 27 +1) • 27 -1 , /27-27(27 + 27 + 1) 1,96. /------------- 2-------------------------------------------N 12 = 628,7, Укр.в = (27+27+1)27 - 628,7 = 856,3. По формуле (42) получим ц/расч = 734. Как видно из результатов вычислений, условие (44) выполняется 628,7 < 734 < 856,3. Следовательно, Но верна и выборки следует считать однородными с ошибкой первого рода а = 0,05. Задания для самоконтроля Вопрос 1. Исследование в течение 10 дней производительности двух предприятий, выпускающих стиральные машины, дало следующие результаты: 1 82 74 64 72 84 68 76 88 70 60 2 52 63 72 64 48 70 78 68 70 54 Распределение производительности выпуска стиральных машин на обоих предприятиях можно считать (одинаковыми, различными), если использовать критерий однородности Вилкоксона при уровне значимости а = 0.05. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках. 88 Вопрос 2. Исследование времени обслуживания клиентов двух филиалов банка в течение рабочего дня дало следующие результаты: Время (мин) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 1-й филиал 2 4 8 12 16 10 3 2-й филиал 5 11 16 12 7 3 1 Распределение времени обслуживания клиентов в филиалах можно считать (одинаковым, различным), если использовать критерий однородности %2 при уровне значимости а = 0.01. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_______. Вопрос 3. Для двух выборок случайных величин X и Y объемов п\ = 30, лэ = 31 при уровне значимости а = 0,01 границы критической области по критерию однородности Вилкоксона равны: ЧАф.в —> 'Vkp.h. • Вопрос 4. Для проверки гипотезы об однородности двух выборок, представленных в группированном виде, необходимо воспользоваться критерием (%2, Вилкоксона). Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках. 3.4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫБОРКИ Яели Иметь представление: • о разнообразии статистических критериев проверки стохастической независимости элементов выборки; • условиях применимости и свойствах различных критериев проверки гипотез о стохастической независимости элементов выборки; • сравнительной мощности критериев о стохастической независимости элементов выборки. Знать: • ранговые критерии стохастической независимости (критерий серий, основанный на медиане, критерий «восходящих» и «нисходящих» серий); • критерий стохастической независимости Аббе. 89 Уметь: • проверять гипотезы о стохастической независимости с помощью ранговых критериев (критерий серий, основанный на медиане, и критерий «восходящих» и «нисходящих» серий); • проверять гипотезу о стохастической независимости с помощью критерия Аббе. Прежде чем приступить к статистической обработке результатов наблюдений, необходимо убедиться в том, что элементы выборки образуют случайную последовательность (являются случайными и независимыми). Существует ряд критериев для проверки случайности и независимости элементов выборки. Рассмотрим некоторые из них. 3.4.1. Критерий серий, основанный на медиане Пусть дана выборка xt, i = 1, и из некоторой генеральной совокупности. Необходимо проверить случайность и независимость элементов выборки. Для этого воспользуемся критерием серий, основанном на медиане [1], являющимся ранговым. 1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез. Но: элементы выборки i = \,п являются стохастически независимыми, Н\. элементы выборки i = \,п не являются стохастически независимыми. 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики. Прежде чем определить вид критической статистики, необходимо выполнить следующую последовательность действий. 1. Сформировать из элементов выборки вариационный ряд •^(1) —^(2) — — %(>) — -^(л) 2. Найти оценку медианы, xmed = ^((„+i)/2), если л нечетно, (46) х med = о.5[ х(„/2) + х(„/2+1) ], если п четно. (47) 3. В исходной выборке вместо каждого х(;) будем ставить «+», если Х(,) > х ,ned, «-», если < х ined- Если Х(,) = х med, то знак не ставить. Полученная последовательность «+» и «-» может характеризоваться количеством серий v(«) и длиной самой длинной серии т(л). 90 При этом под серией понимается последовательность подряд идущих «+» или «-». Серия может состоять только из одного «+» или «-». Длина серии - количество подряд идущих «+» или «-». В данном критерии одновременно рассматривают пару критических статистик (двумерная критическая статистика) 4>кр = V|>{v(«), т(я)}. Предельное распределение статистики \ркр является двумерным с частными предельными распределениями у(п) и т(н). 4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек распределения осуществляется расчетным путем из выражений Чф (и) = 0.5(л +1 - их_а^п -1), (48) TKp(«) = 3.3-lg(«+l), (49) 1 -а где и{_а - квантиль нормального распределения уровня----. ~ 2 5-й шаг. Определение расчетных значений критической статистики. УрасчОО определяет количество серий в исходной выборке, а Трасч(и) - длину самой длинной серии. Если одновременно выполняются условия Г^расч(^) ^кр(и), S Г /ч (50) 1 ^расч(^) ТКР(И), то Но может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми. Запомните! Критерий серий, основанный на медиане, улавливает только монотонное изменение среднего (оценки математического ожидания). Пример 27. Для выборки xt, i = 1,27 из примера 26 проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия серий, основанного на медиане. Для п = 27 медиана равна 14-му элементу вариационного ряда *med = *(14) =19’ 91 Построим последовательность «+» и «-» ----1— 4- — 4- — +• Ч—I—НН—h — 4--4- — 4--. Следовательно, vpac<1(«) = 15, трасч(и)= 6. Из выражений (48) и (49) найдем vKp(27) = 0,5 (27 + 1- и0475>/27-1 ) = 9,003, тк-р(27) = 3,3 1g (27+1) = 4,78. Поскольку условие (50) не выполняется, то элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми. 3.4.2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий «+» и «-» [1]. Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xh i = 1,и на месте /-го элемента ставят «+», если х,+] > х,, и «-», если х,+| < х. Если х,+| = х„ то в серии ничего не проставляется. Рассмотрим последовательность критерия. 1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез: Но: элементы выборки-х„ / = 1,и являются стохастически независимыми, Нь элементы выборки х„ i = 1,п не являются стохастически независимыми. 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики Укр = xp{v(z?)> <п)}- . Предельное распределение статистики фкр является двумерным с частными предельными распределениями v(n) и т{п). 4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек фкРв V|q,(w) >-о- М1-а 2 16и-29 90 .Г фкр Н ^кр(п) j 6, L7, при п < 26 при 26 < п < 153 при 153 < п < 1170 . (51) (52) 92 5-й шаг. Вычисление расчетных значений статистик vpac4(n) и ^расч(^)- Vpac4(«) - количество серий в последовательности «+» и «-», траСч(и) - длина самой длинной серии. Если одновременно выполняются условия ^расч(^) '* VKp(w), __^расч(^) < ^крОО, (53) то Нй может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми. Запомните! Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий улавливает смещение оценки математического ожидания монотонного и периодического характера. Это более мощный критерий по сравнению с критерием серий, основанном на медиане. Пример 28. Для выборки xh i = 1,27 из примера 26 про верить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий. . Построим последовательность серий ------+ - + — +. Получим vpac4(w) = 21, Трасч(«) = 4. Найдем vKp(w) и ткр(и) соответственно из (51) и (52) Тк₽(27)^6, vKp(27) = — (2 27 -1) -1,96.1-6'27 29 = 13,52. р 3 V 90 Поскольку условие (53) выполняется, то Но верна и элементы выборки можно считать случайными и независимыми. 93 3.4.3, Критерий стохастической независимости Аббе Если выборках,, i= \,п принадлежит нормальной генеральной совокупности, то для выяснения вопроса о ее случайности предпочтительнее воспользоваться критерием квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) [1]. Критерий Аббе позволяет обнаружить систематическое смещение среднего в ходе выборочного обследования. 1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез: Но: элементы выборки х„ i = 1, п являются стохастически независимыми, Н\: элементы выборки не являются стохастически независимыми. 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики 44= Ya’ = q2(n)IS2, (54) где -*,)2> (55) S2 - несмещенная оценка дисперсии выборки. При п < 60 предельное распределение критической статистики Ya > затабулировано и представлено в статистических таблицах для различных значений а (прил. 6) [13, табл. 1.9]. 4-й шаг. Определение нижней критической точки осуществляется двумя способами. Если п > 60, то MI-a Укрн = 1 + Г—'..у... —, (56) 1и + 0,5 1 + W|_a У у ~ у где w,_a - квантиль стандартизованного нормального распределе- ния. Таблица значений квантилей щ_а нормального распределе- ния приведена в прил. 1. 94 При п < 60 фкр„ = у^п) находится по статистическим таблицам прил. 6. 5-й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики фрасч~ С[~ (ti) IS . Если щ(± > w*"' то гипотеза о стохастической независимости т JJdvH I лр.п J элементов выборки принимается. В противном случае элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми. Пример 29. Для выборки х,, i = 1,27 из примера 26 проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия Аббе. Остановимся лишь на последних двух шагах логической схемы критерия. Поскольку п < 60, то с помощью таблицы прил. 6 для а = 0,05 получим Ч^кр.н — Уо,О5 ~ 0,69. Вычислим Урасч, воспользовавшись (54) и (55). Предварительно по выборке получим оценки w, =16,85, S2 =23,89, q\n) = 30,31. Следовательно, 30,31 . _7 Фоасч = ---= 1,27 . ₽ 23,89 Так как хррасч > укр.н, то Но верна и элементы выборки следует считать случайными и независимыми. Задания для самоконтроля Вопрос 1. Фиксирование скорости автомобилей в некоторой точке трассы дало следующие результаты: 31, 39, 40, 45, 27, 28, 35, 55, 21, 33. Полученные значения считать случайными и независимыми (можно, нельзя), если использовать критерий «восходящих» и «нисходящих» серий при а = 0,05. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках. 95 Вопрос 2. Исследование возраста покупателей компакт-дисков в одном из магазинов города дало следующие результаты: 20, 20,32,27,40,24,22, 18, 16, 15, 18, 26, 19, 17, 19, 18. Полученные значения считать случайными и независимыми (можно, нельзя), если использовать критерий серий, основанный на медиане при а = 0,01. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______. Вопрос 3. Фиксирование скорости автомобилей в некоторой точке трассы дало следующие результаты: 31, 39, 40, 45, 27, 28, 35, 55, 21, 33. Полученные значения считать случайными и независимыми (можно, нельзя), если использовать критерий Аббе при а = 0,001. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______. Вопрос 4. Из двух критериев проверки стохастической независимости элементов выборки наиболее мощным является критерий (серий, основанный на медиане; «восходящих» и «нисходящих» серий). Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______. Вопрос 5. Из перечисленных ниже критериев к критериям, имеющим двумерное распределение статистики, относится__. А. Критерий однородности Вилкоксона Б. Критерий стохастической независимости Аббе В. Критерий серий, основанный на медиане Г. Критерий однородности %2 Вопрос 6. Чем короче длина самой длинной серии при проверке гипотезы о стохастической независимости по критерию «восходящих» и «нисходящих» серий, тем (ниже, выше) вероятность принять основную гипотезу. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках. Вопрос 7. Чем больше значение несмещенной дисперсии S2 при проверке гипотезы о стохастической независимости по критерию Аббе, тем (выше, ниже) вероятность отвергнуть основную гипотезу. • Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках. 96 3.5. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СОГЛАСИИ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ВЫБРАННОЙ МОДЕЛИ Цели wRtJ Иметь представление: • о критериях проверки гипотез о согласии эмпирического и теоретического распределений; • условиях применимости статистических критериев проверки согласия эмпирического распределения с моделью. Знать: • критерий проверки согласия %2-Пирсона; • критерий проверки согласия Колмогорова - Смирнова; • причины возникновения слишком малых расчетных значений критической статистики для критерия согласия %2-Пирсона. Уметь: • проверять гипотезу о согласии эмпирического й теоретического распределений по критерию %2-Пирсона; • проверять гипотезу о согласии эмпирическогр и теоретического распределений по критерию согласия Колмогорова - Смирнова. Пусть выдвинута гипотеза о том, что случайная выборка из генеральной совокупности может быть описана некоторой моделью с функцией распределения Fmod(x; ®), где ® - вектор параметров, которые могут быть как известны, так и неизвестны. Большинство критериев проверки согласия основаны на использовании меры расстояний между анализируемой эмпирической функцией распределения F (х) (определенной по выборке объема и) и гипотетической модельной Fmod(x; ® ). Здесь рассмотрены критерии согласия %2-Пирсона и Колмогорова - Смирнова. 3.5.1. Критерий согласия %2-Пирсона Критерий согласия %2-Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о согласии, когда параметры модели неизвестны [К Н, 15]. Неизвестные параметры модели могут быть заменены в модели их оценками, полученными по выборке, например по методу моментов или методу максимального правдоподобия (см. п. 2.4). Критерий согласия %2-Пирсона применим при п > 200 и требует группирования выборки. При этом число интервалов группирования L > 8, а количество попаданий в каждый интервал ц, должно 97 быть не менее 7... 10. В противном случае соседние интервалы необходимо объединить в один, не забывая при этом корректировать L. Рассмотрим последовательность критерия согласия %2-Пирсона. 1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез Но: F(x) = Fmod(JT; ®), Я,: #(x)^Fmod(X ®). 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики -И-/7 )2 чч= L-----------— £ nPj (57) где p.j , j -\,L - количество попаданий в каждый у'-й интервал группирования, pj - теоретическая вероятность попадания ву-й интервал Pj= ЛпоаС^+ь® )-FmOd(xy; ®). (58) Здесь xj+\ и xj - соответственно верхняя и нижняя границы текущего интервала группирования. Предельное распределение статистики ч^р при и -> оо имеет вид lim ; L-S-l), (59) ./=1 n-Pj V 7 где S - количество параметров модельного распределения, согласие с которым проверяется, a %2(ч/кр; L-S-l) - функция хи-квадрат распределения с (L -S - 1) числом степеней свободы. 4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек по таблице процентных точек % -распределения (прил. 3): Ч^кр.в ~ X а/2100 % (7. — S — 1 ), фкр.п = Х2(1-а/2) 100 % (L - S - 1). 5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики («о) 7=1 n'Pj 98 Если выполняется условие Х2(1-а/2)100% (L-S- 1) < \|/расч < X^lOO % (^ -*$’~ 1), (61) то гипотеза о согласии Но верна с ошибкой первого рода а. В противном случае гипотеза Но отвергается. Отвержение гипотезы Но при <|/раСч <Х’(1-сЛ)-100% на первый взгляд противоречит здравому смыслу [1]. Однако надо отметить, что фрас,, как статистика также является случайной величиной со своей дисперсией. А значит одинаково неправдоподобными можно считать как слишком большие, так и слишком малые Причинами возникновения слишком малых \урасч могут быть как неудачный выбор Fmod(x; О) (например, при искусственном завышении числа параметров модели), так и некорректное проведение эксперимента при деформировании выборки, например стремление искусственно «подогнать» эмпирические данные под результат. Пример 30. Результаты исследования отклонения фактического выпуска продукции (тыс. руб.) от планового (план -1000 тыс. руб.) 400 предприятий представлены в группированном виде: Фактический выпуск 950- 960 960- 970 970-980 980-990 990- 1000 1000- 1010 1010-1020 1020-ЮЗО 1030- 1040 1040- 1050 Количество предприятий 5 15 60 72 80 60 55 30 20 3 Подобрать адекватную модель для описания эмпирических данных и проверить гипотезу о согласии по критерию %2-Пирсона для уровня значимости а = 0,1. Для решения задачи, воспользовавшись выражениями (6), (12), (16) и (17), получим оценки т{ =997,45, о2 =361,998, р2 =0,05, 02 =2,43. Основываясь на методе плоскости моментов (рис. 15), можно предположить, что эмпирическое распределение (р2, Р2) попадает на плоскости моментов в зону притяжения нормального распределения, следовательно, в качестве гипотетической можно выбрать модель нормального распределения. 99 Для проверки гипотезы о согласии по критерию %2-Пирсона необходимо получить оценки параметров модели. Воспользовавшись методом моментов (см. п. 2.4.1), найдем dM = 997,45X =19,03. Следовательно, плотность вероятности нормальной модели будет иметь вид (27) (х-997,45)2 ^(х;а,Х) =----Ц=Х 723 "6 . 19,03л/л Для удовлетворения условий применимости критерия согласия %2-Пирсона необходимо объединить 1 и 2 интервалы, а также 9 и 10. Проверим гипотезу о согласии, опираясь на 5 шагов логической схемы статистического критерия. 1-й шаг H0-.F(x) = FN(X-,a,X), Нх: F(x)^ FN(X;a,X), где индекс N означает нормальную модель распределения. 2-й шаг. а = 0,1. 3-й шаг. Вид и ее предельное распределение определяются выражениями (57) и (59). 4-й шаг Ч^кр в — X 5% (L-S-1), где исправленное количество интервалов группирования L - 8, число параметров нормальной модели S = 2. Следовательно, из таблицы процентных точек хи-квадрат распределения (прил. 3) найдем Укрв = Х25 % (5)= 11*07, Vkph- X 95 % (5) - 1,15. 5-й шаг. Для определения ч/расч следует вычислить теоретическую вероятность pj на заданном интервале, для чего необходимо воспользоваться статистическими таблицами функции нормального распределения (прил. 1). Результаты вычислений сведены в табл. 4. 100 Необходимо обратить внимание на следующие особенности: • для вычисления р. границы первого и последнего интервалов соответственно имеют вид (-°о, 970), (1030, оо); • для того чтобы при вычислении pz воспользоваться таблицей нормального стандартного распределения, границы интервалов необходимо стандартизировать в виде х -/й, 2‘ Таблица 4 Результаты вычисления ура(.,, к примеру 30 № интервала Границы интервалов х—х,. / II X 1 _s> ф(г,) д=Ф(г,+|)~ ид Hi (Н,-пр,)г и-д, 1 -ОО - 970 -ОО -0,5 2 970-980 -1,44 -0,4251 0,0749 29,96 20 3,311 з 980-990 -0,92 -0,3212 0,1039 41,56 60 8,182 4 990-1000 -0,39 -0,1517 0,1695 67,80 72 0,260 5 1000-1010 0,13 0,0517 0,2034 81,36 80 0,023 6 1010-1020 0,66 0,2454 0,1937 77,48 60 3,944 7 1020-1030 1,18 0,3810 0,1356 54,24 55 0,011 8 1030-да 1,71 0,4564 0,0754 30,16 30 0,001 оо 0,5 0,0436 17,44 23 1,772 X 1,0 400 400 17,494 В соответствии с результатами вычисления УРасч= 17,494, следовательно, условие (61) не выполняется, т. е. гипотеза о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью отвергается. 3.5.2. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова Критерий согласия Колмогорова - Смирнова позволяет проверить гипотезу о согласии при небольшом объеме выборки, когда Fmod известна полностью, т. е. известны и параметры модели [1,6, 12, 15]. 101 Рассмотрим последовательность критерия. 1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез //o:F(x) = Frnod(^;0), Н} : F(x)^ Fmod(X;Q). 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики. В критерии Колмогорова-Смирнова для введения меры отклонения эмпирического и модельного распределений используются статистики вида: D,,= max|F(X)-7<nod(X;0)| ; Z>„+ = max (F(X) - Fmod (X;0)) ; (62) Z>,>rnax(Fmod(X;0)-F(X)). Статистики вида JnDn и JnD~ являются статистиками Кол- , могорова и Смирнова соответственно. При этом £>„ = тах|п„+,£г|. Известны точные распределения статистик Dn, D* и D~ [13]. Для практических целей обычно достаточно статистики D„. Поэтому в качестве воспользуемся функцией вида W = =>/w-max|F(A^-^n0d(^;®)|- (63) А. Н. Колмогоров показал, что если функция ^nod(X;0) непрерывна, то распределение \|/кр имеет пределом функцию 00 П 2 ш2 К(Ч/кр) = £ (-!)'•е ‘Р> (64) /=-оо получившую название функции Колмогорова и не зависящую от вида функции Fmod (%; 0). Однако если Fmod(^f;0) задана с точностью до неизвестных параметров 0 и они оцениваются по выборке [1], то предельное распределение статистики Dn -Jn уже зависит от /\nod(^V;0) При этом 102 статистика v|/Kp будет зависеть только от формы распределения Fmod(X;0). Если в модельном распределении есть только параметры сдвига и масштаба, то применимость критерия Колмогорова - Смирнова корректна. 4-й шаг. Из определения функции распределения следует, что при достаточно большом п и любом t|/Kp > 0 вероятность того, что примет значение, меньшее t|/Kp, будет иметь вид Р\^ОП >Ткр} = 1-/:(Ткр) = 1- £ (-1)' = а. (65) /=-00 Значение при заданном а можно найти с помощью таблицы функции (65), представленной в прил. 7. Нижняя критическая граница в критерии Колмогорова не используется. 5-й шаг. хррасч определяется из выражения (63) подстановкой значений п и D„ для конкретных эмпирических данных. Если выполняется условие Ч^расч < Ч^кр в? то гипотеза о согласии эмпирического распределения и модельного принимается. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова может использоваться и при большом объеме выборки. Для этого необходимо выборку представить в группированном виде и значения F(X) и Fmod(X;0) определять на границах интервалов группирования. Пример 31. Для задания примера 30 проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью по критерию Колмогорова - Смирнова при а = 0,05. Результаты вычисления статистики \дкр сведены в табл. 5. Методика вычисления F (Х\ а, X) рассмотрена в примере 30. 1-й шаг. Но: F (А) = FN (X; а, X), H}:F(X)*FN(X,a,X). 2-й шаг. а = 0.05. 3-й шаг. Вид xj/кр и ее распределение определяются соответственно из выражений (63) и (64). 4-й шаг. Укрв = 1.36 определяем из таблицы прил. 7 для уровня а = 0,05. 103 5-й шаг. Используя данные табл. 5, находим Vpac4=max \f(X)-Fn(X; 997,45, 19,03)|->/й = = 0,0317-7400 = 0,634. Поскольку \jTpaC4 > ц/кр.в, то гипотеза Но отвергается с ошибкой первого рода а = 0,05. Таблица 5 Результаты вычисления урас., к примеру 31 Г раницы интервалов хгх/ 1 Г(т7) •Е 1 >Ь к" и N ФЦ) Cv(X;a, Х) = = 0,5 + Ф(7;) F(%) -Fn(.X;o, X) 0 —00 -0,5 0 0 -оо - 960 0,0125 -1,97 -0,4756 0,0244 0,0119 960-970 0,05 -1,44 -0,4222 0,0778 0,0278 970-980 0,2 -0,92 -0,3159 0,1841 0,0159 980-990 0,38 -0,39 -0,1517 0,3483 0,0317 990-1000 0,58 0,13 0,0517 0,5517 0,0283 1000-1010 0,73 0,66 0,2454 0,7454 0,0154 1010-1020 0,8675 1,18 0,3810 0,8810 0,0135 1020-1030 0,9425 1,71 0,4564 0,9564 0,0139 1030-1040 0,9925 2,23 0,4871 0,9871 0,0054 1040-оо 1,0 ОО 0,5 1,0 0 Задания для самоконтроля Вопрос 1. Значения размера прибыли предприятий за отчетный период сгруппированы в 11 интервалов. Гипотеза хи-квадрат Пирсона о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью при а = 0,05 будет (принята, отвергнута), если расчетное значение статистики vppac4 = 11,05. Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______. Вопрос 2. Гипотеза о согласии распределения размера прибыли предприятия за отчетный период с равномерным распределением по критерию Колмогорова - Смирнова при а = 0,05 и при \ррасч = = 7,34 будет (принята, отвергнута). 104 Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______. Вопрос 3. Из перечисленных ниже критериев к односторонним относятся___. Сделайте правильный выбор. А. Критерий о равенстве тх и ту при неизвестных о2 и о2 Б. Критерий стохастической независимости Аббе В. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова Вопрос 4. Из перечисленных ниже критериев к критериям проверки гипотез о согласии относятся __. Сделайте правильный выбор. А. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий Б. Критерий Колмогорова - Смирнова В. Критерий однородности двух выборок %2 Г. Критерий %2 -Пирсона Вопрос 5. Из перечисленных ниже критериев к критерию, имеющему двумерное распределение статистики, относится____.. Сделайте правильный выбор. А. Критерий однородности Вилкоксона Б. Критерий стохастической независимости Аббе В. Критерий серий, основанный на медиане Г. Критерий однородности %2 Контрольные вопросы и задания к главе 3 1. Назовите основные типы статистических критериев проверки гипотез. 2. Приведите примеры применения аппарата статистической проверки гипотез. 3. Назовите шаги логической схемы проверки статистического критерия. 4. Что означает уровень значимости критерия? 5. Каков смысл критической статистики критерия? 6. Что общего в методике построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез? 7. Поясните смысл понятий «ошибка первого рода», «ошибка второго рода», «мощность критерия». 8. Зачем необходимо знать закон распределения критической статистики? 105 9. В чем отличие одностороннего и двухстороннего критериев, простой и сложной гипотез? 10. Как зависит ширина области принятия основной гипотезы от уровня значимости? 11. Как определяются критические границы для одностороннего и двухстороннего критериев при заданном уровне значимости а? 12. Приведите примеры практических задач, когда необходима проверка гипотез о равенстве математических ожиданий, дисперсий. 13. Таблицами какого предельного распределения необходимо воспользоваться, чтобы найти \|/кр,в и Укр н для гипотезы о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях? 14. Какие выборки следует считать однородными? 15. Какие критерии однородности вы знаете? Каковы условия применимости этих критериев? .16. Известно \|/Расч = 0>76 критерия /2 однородности двух выборок, сгруппированных в 12 интервалов. Можно ли считать, что при уровне значимости а = 0,1 гипотеза будет отвергнута? 17. В каких случаях и для чего необходимо проверять гипотезу о стохастической независимости элементов выборки? 18. Дайте сравнительную характеристику критерия серий, основанного на медиане, и критерия «восходящих» и «нисходящих» серий по их мощности. 19. Можно ли считать элементы выборки 25 08 83 26 87 95 15 15 86 95 59 08 51 02 25 92 95 02 77 02 случайными и независимыми, если использовать критерий «восходящих» и «нисходящих» серий при а = 0,05? А при использовании критерия Аббе? 20. Назовите условия применимости критериев согласия %2-Пирсона и Колмогорова - Смирнова? 21. Если тррасч = 23,73 для критерия согласия %2-Пирсона эмпирического распределения с экспоненциальной моделью, то можно ли считать гипотезу о согласии верной при а = 0,01 и количестве интервалов группирования выборки L = 11? 22. Почему в критерии ^-Пирсона не может быть недопустимо малых значений критической статистики? 23. Можно ли принять гипотезу о согласии эмпирического распределения с экспоненциальной моделью по критерию Колмогорова-Смирнова, если \|/расч= 0,216, а = 0,05, п = 100, L = 8? 106 4. АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Структура главы «Анализ статистический связи. Корреляцией ный анализ» приведена на рис. 19. Рис. 19. Структура главы «Анализ статистический связи. Корреляционный анализ» 107 Цели Иметь представление: • о целях изучения главы «Анализ статистической связи. Корреляционный анализ»; • задачах корреляционного анализа; • применимости аппарата корреляционного анализа при решении экономических задач; • статистической связи между количественными и порядковыми переменными (ее наличии, степени тесноты, тенденции, структуре). Знать: • способы обнаружения статистической связи, ее структуры и тенденции изменения; • методы измерения парных и частных связей между количественными переменными; • методы измерения парных и множественных связей между порядковыми переменными; • свойства различных измерителей связей. Уметь: • строить корреляционные поля (диаграммы рассеяния); • анализировать связь (степень тесноты, структуру связи, тенденцию) между исследуемыми переменными многомерного признака; • выбирать с учетом специфики и природы анализируемых переменных адекватный измеритель связи; • оценивать парные коэффициенты корреляции, корреляционные отношения, частные коэффициенты корреляции, ранговые коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмэна, коэффициент конкордации; • интерпретировать результаты корреляционного анализа в терминах решаемой прикладной задачи; • строить интервальные оценки для парного коэффициента корреляции; • проверять гипотезу о статистической значимости парной линейной и нелинейной статистической связи; • проверять гипотезу о статистической значимости выборочного значения коэффициента конкордации. 108 4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ЗАДАЧИ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА При решении типовых задач, практически связанных с нормированием, прогнозом, планированием, диагностикой и другими, приходится иметь дело с объектами, процессами и системами, как правило, описываемыми многими параметрами, между которыми возможна связь. Любой закон природы или общественного развития может быть представлен описанием совокупности взаимосвязей. Если эти зависимости стохастичны, а анализ осуществляется по выборке из генеральной совокупности, то данная область исследований относится к задачам статистического исследования зависимостей [2], которые включают в себя корреляционный, регрессионный, дисперсионный и ковариационный анализы. В данном учебном пособии рассмотрены основные элементы анализа структуры и степени тесноты статистической связи между анализируемыми переменными, т. е. задачи корреляционного анализа. Основное содержание корреляционного анализа составляют методы, которые позволяют ответить на вопросы: • существует ли связь между исследуемыми переменными? • какова структура связей между параметрами исследуемого многомерного признака? • как измерить тесноту связей? В задачах корреляционного анализа под структурой связей понимается лишь факт наличия или отсутствия связи, а не форма этой зависимости. Корреляционный анализ - совокупность методов исследования параметров многомерного признака, позволяющая по выборке из генеральной совокупности сделать статистические выводы о мерах статистической зависимости между компонентами исследуемого признака. Прежде чем приступить к изучению методов анализа структуры и тесноты связи между исследуемыми переменными, рассмотрим описание общей схемы взаимосвязи параметров при статистическом исследовании зависимостей, приведенной на рис. 20. На рис. 20 S - модель исследуемого реального объекта, реализующая механизм преобразования входных переменных в отклик. х/;, j = 1, т - входные переменные, описывающие условия функционирования объекта (некоторые из них могут быть подвергнуты 109 Случайные факторы Объясняющие переменные (предикторные) Результирующие переменные (отклик) Рис. 20. Общая схема взаимосвязи параметров при статистическом исследовании , зависимостей регулированию). Эти факторы часто называют независимыми, предикторными или объясняющими. е(,), / = 1, п - случайные, остаточные компоненты, влияние которых на у(,) трудно учесть (измерить). К ним относятся также случайные ошибки в измерении анализируемых параметров. Такие компоненты называют еще латентными или просто «остатками». у('\ i-\,n - выходные переменные (отклик), характеризующие результат функционирования объекта. Иногда их называют объясняемыми переменными. Далее будем пользоваться введенными понятиями. При исследовании статистической связи между компонентами многомерного признака исследователю приходится решать следующие задачи [2]: • выбора подходящего измерителя связи с учетом специфики и природы анализируемых переменных; • точечного или интервального оценивания связи по выборочным данным, полученным в результате эксперимента; • проверки гипотезы о значимости (статистически значимом отличии значения корреляционной характеристики от нуля) анализируемого измерителя связи; • анализа структуры связей между компонентами многомерного признака. Все это задачи корреляционного анализа. В качестве измерителей степени тесноты парных связей между количественными переменными могут использоваться индекс корреляции, коэффициент корреляции (иногда используют термин «коэффициент корреляции Пирсона»), корреляционное отношение, частный коэффициент корреляции, применяемый для исследования частных или «очищенных» связей, освобожденных от опосредованного одновременного влияния на исследуемую парную связь других переменных. 110 Если статистическая информация о многомерном признаке представлена не в количественной, а в порядковой шкале, то измерение парных связей осуществляется посредством ранговых выборочных измерителей связи — коэффициентов корреляции Кендалла и Спирмэна. Измерение степени тесноты множественной связи между количественными переменными возможно с помощью множественного коэффициента корреляции (или коэффициента детерминации), а между порядковыми переменными - с помощью коэффициента конкордации. При таком многообразии измерителей статистической связи важной становится задача выбора адекватного измерителя. Применимость того или иного измерителя определяется как формой представления исходной статистической информации (количественные или порядковые признаки), так и формой связи (линейная, нелинейная). От грамотного выбора адекватного измерителя связи зависит достоверность статистических выводов, распространяемых на исследуемую многомерную генеральную совокупность. Предварительный анализ структуры связи между компонентами исследуемого многомерного признака, представленного выборкой из генеральной совокупности, осуществляют с помощью корреляционных полей. Под корреляционным полем (диаграммой рассеяния) переменных (м, v) понимается графическое представление результатов измерений (щ, Vi), ..., (w„ v,), ..., (м„, v„), i = \,n этих переменных в плоскости (w, v). На основании анализа корреляционного поля легко решить вопрос о наличии или отсутствий связи, проследить характер связи (линейная, нелинейная, функциональная или стохастическая) и ее тенденцию (положительная, отрицательная). Пример 32. Исследование зависимости между среднемесячными доходами на семью (в тыс. руб.) и расходами на покупку кондитерских изделий (в руб.) представлено табл. 6. Таблица 6 Зависимость расходов семьи на покупку кондитерских изделий от среднемесячных доходов Доходы семьи (тыс. руб.), U 4,8 3,8 5,4 4,2 3,4 4,6 3,4 4,8 5,0 3,8 5,2 4,0 3,8 4,6 4,4 Расходы на кондитерские изделия (руб.), г 75 68 78 71 64 73 66 75 75 65 77 69 67 72 70 111 Корреляционное поле, построенное по статистическим данным табл. 6, приведено на рис. 21. Рис. 21. Зависимость расходов семьи на кондитерские изделия (К, руб.) от среднемесячных доходов (U, тыс. руб.) Анализ рис. 21 позволяет сделать вывод о наличии сильной линейной статистической связи между среднемесячными доходами семьи и затратами на приобретение ею кондитерских изделий. При этом связь имеет положительную тенденцию, т. е. с ростом предикторной переменной U наблюдается увеличение отклика V. 4.2. АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ 4.2.1. Коэффициент корреляции 4.2.1.1. Оценивание и свойства коэффициента корреляции Пусть исследуется парная зависимость между случайными компонентами X и Y двумерного признака. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка из двумерной нормальной генеральной совокупности. Степень тесноты статистической связи между двумя исследуемыми компонентами может быть измерена с помощью выборочного коэффициента корреляции [2, 4, 14, 15]. 1 ” соу(Х.Г) ---1-2_L =........... = (66) бу-Ov 1 " , « , 112 где cov{X,7} - оценка второго смешанного центрального момента случайной величины (X У). Формально коэффициент корреляции может быть вычислен для любой пары параметров многомерного признака. Однако он является адекватным измерителем степени тесноты лишь линейной статистической связи между анализируемыми признаками, независимо от тенденции связи. Необходимо также отметить, что коэффициент корреляции имеет четкий смысл как характеристика степени тесноты связи только в случае совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин Хи У. Свойства коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент корреляции может принимать значения | г | < 1. В частности, если | г | = 1 между исследуемыми признаками существует функциональная линейная зависимость. При г = -1 имеет место отрицательная линейная зависимость, при г = 1 - положительная. Если г = 0, то параметры Хи У некоррелированы. Однако это вовсе не означает, что X и У независимы, если априори допускается отклонение этой зависимости от линейной. Следовательно, некоррелированность не означает независимости исследуемой пары признаков. В то же время независимость всегда означает и некоррелированность X и У. При г = 0 необходимо дополнительное статистическое исследование степени отклонения распределения рассматриваемых величин от нормального. Коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т.е. Гх.У = Гу.х- Для случая многомерного случайного признака i = \,п; j = 1, р (р -размерность признака) статистический анализ всех парных связей может быть представлен корреляционной матрицей многомерного признака. х(|) х<2) д.(Р) х(1) 1 Г\2 х(2> 61 1 Ър 1 Д.(Р) Гр\ 6,2 1 113 Запомните! Коэффициент корреляции как измеритель степени тесноты парной статистической связи имеет четкий смысл при линейной тенденции связи и совместной нормальной распределенности исследуемых пар параметров многомерного признака. Парный коэффициент корреляции не учитывает опосредованного или совместного влияния других факторов. Пример 33. В табл. 7 приведены результаты исследования стоимости квартир z,, i = 1, п (тыс. руб.), общей площади м, , i = 1, п (м2) и удаленности квартиры от областного центра у, , i -1, п (км.). Таблица 7 Зависимость стоимости квартиры Z от ее площади V и удаленности от областного центра У Y 74 47 92 48 93 72 42 50 64 78 39 96 74 88 55 80 99 85 и 56 70 29 69 25 60 71 68 65 49 62 16 58 32 64’ 49 10 36 Z 44 69 27 78 30 48 79 65 56 43 80 30 43 29 64 43 19 37 Необходимо исследовать вид связи между удаленностью квартиры от областного центра, ее стоимостью и общей площадью. Корреляционные поля для пар компонентов (У, Z), (Y, U),(U,Z) приведены на рис. 22. Судя по корреляционному полю, между Y и Z (а) можно предположить наличие сильной линейной связи с отрицательной тенденцией. Не проводя предварительного анализа данных, допустим, что исследуемая трехмерная зависимость имеет совместно нормальное распределение. Из выражения (66) получим оценку ry 7 по п = 18 элементам выборки. Для этого определим оценки числовых характеристик mY = 70,89, т7 =49,11, &2У =371,32, <t2z =356,43. Тогда на основе (66) получим rY 7 = -0,99 . Наше предположение подтвердилось. Между стоимостью квартир и их удаленностью существует сильная отрицательная корреляция, близкая к функциональной зависимости. 114 б в Рис. 22. Корреляционные поля для пар компонентов: a-(Y,Z);6-(Y,U)-e-(U,Z) 115 4.2.1.2. Проверка гипотезы об отсутствии линейной статистической связи Надежность характеристики г ослабевает с уменьшением объема выборки п, поэтому важно уметь определять минимальное значение г , отклонение которого от нуля можно считать значимым. Это задача проверки статистической гипотезы о значимости линейной связи [1,4]. Показано, что в случае совместной нормальной распределенности исследуемых параметров и большом п распределение г асимптотически нормально с = ——Г—^—. п Однако при малых п и г, близких к 1, это допущение нарушается. Хорошее приближение распределения г к нормальному закону получается при малых значениях | г |, что позволяет сконструировать критерий об отсутствии корреляционной связи между исследуемыми признаками. Рассмотрим пять шагов логической схемы статистического критерия. 1-й шаг. Формирование гипотезы об отсутствии статистической связи /70: гху= О, Н\- гхг^0. 2-й шаг. Задание уровня значимости а . 3-й шаг. Выбор вида критической статистики При н->со предельное распределение статистики ц/кр имеет ^-распределение Стьюдента с (п - 2) числом степеней свободы lim ^(Vkp) = '(Vk₽; n - 2). (67) П-ЭСС 4-й шаг. Определение критических границ Vkpb =Z«ioo%("-2)’ 2 ЦЛср.н ЦЛср.в 116 где (п-2) - процентная точка /-распределения Стьюдента —100% 2 уровня у-100 %. 5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики к } \^п-2 Vpac = (68) V' - ?X,Y /Если выполняется условие Ч^кр.н < Ч^расч < ЧЧр.в, (69) то гипотеза Но верна, в противном случае, Но отвергается с ошибкой первого рода а. Пример 34. Для данных примера 33 проверить гипотезу об отсутствии линейной статистической связи между стоимостью квартиры и ее удаленностью от областного центра при уровне значимости а = 0,05. Воспользуемся пятью шагами логической схемы проверки гипотез. 1-й шаг. Д): rY.7.= 0, Н\. ГуZ * 0. 2-й шаг. а = 0,05. 3-й шаг. Вид критической статистики k z|V«-2 Vkp = — ф~Г Y.Z Согласно (67) при п —> со закон ее распределения стремится к /-распределению Стьюдента с (п - 2) числом степеней свободы. 4-й шаг. Найдем критические границы для критерия, воспользовавшись таблицей процентных точек /-распределения Стьюдента из прил. 2. Vkp.b=/2,5%(16) = 2,12, н 2,12. 117 5-й шаг. Расчетное значение критической статистики найдем из выражения (68) VpaCM — 0,99-716 Vl-0,992 = 28,07. Поскольку 28,07 не попадает в интервал (-2,12; 2,12), условие (69) не выполняется и гипотеза Нъ ошибочна. Действительно, корреляционную связь с rY z =-0,99 нельзя считать незначимой. 4.2.1.3. Доверительные интервалы для истинного значения коэффициента корреляции Как уже отмечалось в п. 1.4.2, при малой выборке точечными оценками числовых характеристик пользоваться некорректно. Необходимо интервальное оценивание. Построим доверительные интервальные оценки для истинного значения коэффициента корреляции [2, 4]. Это можно сделать, основываясь на нормальной распределенности г . Верхнюю и нижнюю границы интервала гя и гн можно вычислить из выражения Гнв 1-г2) 1-г2 ----+ир—г" 2-п у у/п (70) где ир - квантиль нормального распределения, р - уровень довери-~2 тельной вероятности. Однако использование выражения (70) возможно при многих ограничениях, выполнение которых не всегда возможно, а именно: • г должно быть близко к величине ± 1; • п достаточно велико. Избавиться от этих ограничений позволяет преобразование 1 . 1 + г г = -1п—, (71) 2 1 -г предложенное Р. Фишером. Он показал, что z в выражении (71) даже при малых п достаточно близко к нормальному закону рас 118 пределения. Это позволило Р. Фишеру сконструировать доверительный интервал в виде и г . Up- zH „ =—In---Т —р^==--------= arcth г + —f===-----. (72) ’ 2 \ — г 7^3 2(и-1) 7^3 2(и-1) Отсюда следует, что истинное значение коэффициента корреляции г с доверительной вероятностью (д) заключено в пределах th zH < г < th zB где th z - гиперболический тангенс от аргумента z. Зная z„ и zB, можно найти th zH и th zB, воспользовавшись таблицей преобразования Фишера из прил. 8. Пример 35. Для данных примера 33 и полученного значения fy z получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции при р = 0,95. Из выражения (72) получим (при м£ = м0 475 = 1,96): 2 1, 1-0,99 1,96 — In---------==• 2 1 + 0,99 7Г? -0,99 34 --3,124, 1, 1-0,99 1,96 -0,99 _ ln-----+ ---------- 2 1 + 0,99 715 34 = -2,111. Воспользовавшись таблицей прил. 8 и помня, что знаки функции th z и аргумента z одинаковы, найдем: th z„ = - 0,997, th z„ = -0,971. Следовательно -0,997 <rr,z<- 0,971. 4.2.2. Корреляционное отношение 4.2.2.1. Оценивание и свойства корреляционного отношения Как отмечалось в п. 4.2.1.1, при отклонении парной статистической зависимости от линейной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика степени тесноты связи. В этом слу 119 чае следует воспользоваться таким измерителем связи как корреляционное отношение [2, 4, 15]. Корреляционное отношение применимо в тех случаях, когда: • между парой исследуемых признаков отмечается нелинейная зависимость; • характер выборочных данных (количество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) допускает, во-первых, их группирование по оси предикторной переменной, во-вторых, возможность подсчета «частных» математических ожиданий внутри каждого интервала группирования. Приведем последовательность методики вычисления корреляционного отношения. Пусть имеет место выборка из двумерной генеральной совокупности i = \,n, а между X и Y существует нелинейная зависимость (см. рис. 23) и компоненты X и Y имеют совместно нормальное распределение. Рис. 23. Нелинейная зависимость между компонентами X н У двумерного признака 1. Разобьем диаграмму рассеяния по предикторной переменной X на L непересекающихся интервалов группирования, которые могут иметь разную длину. 2. Найдем «частные» математические ожидания отклика Y в каждой из L выделенных групп (73) где j = l,Z, k = \,nf, ttj - количество элементов выборки в j-м интервале группирования. 120 3. Найдем математическое ожидание по группированному отклику, используя «частные» , (74) 4. Получим групповую дисперсию выходной переменной К > 1 L (75) " ./=1 и дисперсию, найденную по негруппированному отклику °2г -ш,.)2. (76) « ,=1 5. Корреляционное отношение зависимой переменной Y по независимой (предикторной) переменной X может быть получено из отношения Свойства корреляционного отношения. Корреляционное отношение не обладает свойством симметрии, т. е. ру.х рх.у . Кроме того, рУХ неотрицательно, поскольку предполагается, что оно является результатом извлечения корня квадратного из ру.х. Корреляционное отношение ру.х < 1. Из ру.х = 1 следует, что между Y и X существует однозначная функциональная зависимость. Обратное утверждение в общем случае неверно. Отсутствие корреляционной связи между Y и X означает, что условные средние ш сохраняют от группы к группе постоянное значение, равное общему среднему ту, поэтому ру.х = 0. Необходимо также отметить, что между ру.х и рХ У нет какой-либо определенной зависимости. Некоррелированность Y от X не означает некоррелированности X от Y. И, наконец, исследования показали, что ру.х > |гУЛ|. Условие равенства выполняется в случае линейной зависимости Хи К 121 Все замечания относительно смысловой интерпретации ру.х аналогичны интерпретации значений Гх,у. Пример 36. Для данных примера 33 получить оценку корреляционного отношения для пары компонентов, между которыми можно предположить наличие нелинейной связи. Из диаграммы рассеяния (рис. 22) такую связь можно предположить в парах признаков (U, Z) и (У, U). Получим оценки корреляционных отношений pz.f/ и pf; z . Для этого сформируем группы по предикторной переменной, считая ею вначале переменную U (случай А), а затем переменную Z (случай Б), и получим соответственно оценки pZ f/ и pf/ z . Результаты группирования приведены на рис. 24. Случай А. Предикторная переменная - U, отклик - Z. Рис. 24. Результаты группирования точек диаграммы рассеяния для пары признаков (I/, Z) Значения z(, в зависимости от группы j = 1,4 , а также оценки групповых математических ожиданий fhz. приведены в табл. 8. Таблица 8 Значения г,- для /-групп и (предикторная переменная U) Номер группыJ 1 2 3 4 Значения z,, попавшие в у-группу 30, 19 27, 30, 29, 37 44, 48, 43, 43, 43 69, 78, 79, 65, 56, 80, 64 Значение ih7. 24,5 30,75 44,2 70,14 Оценки т7 =49,11, oz =356,43. Вычислим из выражения (75) 5^=320,89. 122 Следовательно, согласно (77) 2 320^89 р =0,95. zl 356,43 z(/ Случай Б. Предикторная переменная Z, отклик U. По этой переменной элементы отклика разбиваются также на 4 группы. Значения Ut, в зависимости от группы j = 1, 4 , а также оценки ти приведены в табл. 9. Таблица 9 Значения Uj дляу-групп и mv. (предикторная переменная Z) Номер группы] 1 2 3 4 Значения и„ попавшие ву-группу 29, 25, 16, 32, 10 56, 60, 49, 58, 49,36 70, 68, 65, 64 69,71, 62 Значение 22,4 51,33 66,75 67,33 Оценки т(/ = 49,39, 6(2; =368,24. Вычислим 62-,f/ из выражения (75) =324,21. Следовательно, согласно (77) , 324 21 р2 =-----= 0,88, р(/ z = 0,94. ' 368,24 ' z Полученные оценки свидетельствуют о наличии сильного нелинейного влияния U на Z и Z на U. 4.2.2.2. Проверка гипотезы об отсутствии нелинейной корреляционной связи Какую величину корреляционного отношения можно признать статистически значимо отличающейся от нуля? Последовательность статистического критерия можно представить пятью шагами [2,4]. 1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез Но- Prz = 0, H:pyz*0. 123 2-й шаг. Задание уровня значимости а. 3-й шаг. Формирование критической статистики и исследование закона ее распределения p2rz n-L Уч> — „2 • , 1 —р rz L — 1 (78) где L - число интервалов группирования для вычисления prz . При п -> от предельное распределение гркр стремится к F-рас пределению Фишера с (Z-1) и {n-L) числом степеней свободы. 4-й шаг. Пользуясь таблицей процентных точек F-распределения Фишера (прил. 4), находим: Укр.в = Zkioo0/. {L - 1) {п - L). (79) 5-й шаг. Получаем расчетное значение критической статистики из выражения (78) _ p2rz n-L (SO) Если условие Ураем < 100 % [(Z -!),(«“ £)] (81) выполняется, то Но верна (критерий односторонний). Следовательно, можно считать, что величина pr.z незначима и влиянием Z на Y можно пренебречь. 1Й0 Пример 37. Для оценки p(/.z = 0,94, полученной в примере 36, проверить значимость нелинейной статистической связи между компонентами U и Z для уровня значимости а = 0,01. Для проверки гипотезы по таблице прил. 4 найдем F} «/о (L - 1, п - L) = Л % (3,14) = 5,564. Расчетное значение критической статистики, полученное из (80), равно 0,88 14 Ураем =~ - —= 34,22. 1-0,88 3 Поскольку условие (81) не выполняется, то корреляционная нелинейная связь между U и Z значима. 124 4.2.3. Частный коэффициент корреляции Иногда в практических ситуациях не удается интерпретировать на содержательном уровне выявленную парную связь между исследуемыми компонентами признака. Причину этого часто следует искать в опосредованном влиянии на исследуемые показатели некоторого третьего фактора [2, 4, 15]. Роль опосредованно влияющих факторов могут играть множество неучтенных показателей. Следовательно, необходимо введение измерителей статистической связи, которые были бы очищены от такого влияния. В качестве измерителя степени тесноты связи между переменными Хи Y при фиксированных значениях других переменных используются частные («очищенные») коэффициенты корреляции. Пусть имеется многомерный нормальный вектор X Х-{хт,х(2\...,х^}, где - компоненты вектора, р - его размерность. Необходимо определить частный коэффициент корреляции г у между и х(1) компонентами вектора при фиксированном множестве переменных хм, дополняющих пару.х(,) и x'J> . При данных условиях где Ну - алгебраическое дополнение для элемента rtj в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков xw, т.е. в определителе 1 Г12 Из Гхр Г21 1 Г23 Г2р det R = Ли Г32 i ГзР Гр! ГР2 Грз i Выражение (82) при условии р = 3 будет иметь вид Последовательно присоединяя к мешающим переменным все новые признаки из набора, можно получить рекуррентные соотношения для частных коэффициентов корреляции Пгрд...*) по" рядка к (т.е. при к исключенных опосредованно влияющих пара 125 метров) по частным коэффициентам корреляции порядка к- 2 (к = 1,2, ...,р-2) _ Г12(З..Л) -Г1*+|(3.,Л) 'Г2к+Ц3...к) Г12(3,4,...,*+1 ~ I--2~ .. ~ 2 . ~ • V84) ~ rU+l(3..jt))(l “ r2it+l(3..T)) Если условие нормальности вектора нарушаются, то возникают проблемы, связанные с необходимостью учета фиксированного уровня значений мешающих переменных [2, с. 82-83, 4]. Пример 38. Для задачи из примера 33 определить степень тесноты частной связи между удаленностью и стоимостью квартиры при фиксированном значении площади квартир. Воспользуемся выражением (83) г = _Frz ~rYl,rzv = -0,99-0,89(-0,91) Щ,/) а/о-О’89 )(1-0,912) Следовательно, зависимость стоимости квартиры от ее удаленности от центра без учета площади квартиры несколько ниже = -0,99). Задания для самоконтроля Вопрос 1. К задачам корреляционного анализа из перечисленных ниже задач относятся__. А. Проверка гипотезы о наличии парной статистической ранговой связи Б. Проверка гипотезы об однородности двух случайных величин В. Выбор адекватного измерителя статистической связи Г. Оценивание случайных характеристик случайной величины Вопрос 2. На основе анализа корреляционного поля можно сделать вывод, что между Хи У связь_. А. Положительная связь, близкая к линейной ****** Б. Функциональная зависимость * * В. Сильная связь с отрица- ж * тельной тенденцией ж * Г. Нет статистической связи * Д. Сильно выраженная нели- --------------------►„ нейная связь 126 Вопрос 3. Корреляционному полю на рисунке из предложенного набора значений характеристик поставьте в соответствие значение адекватного измерителя свя- у зи____. А. = 0,98, - * * ** * Б-^=0,02, В. гху{2} =-0,55, * Г. рух =0,91. ____________________ Вопрос 4. Для выборки из нормальной генеральной совокупности, представленной в виде таблицы, X 2 11 13 6 8 Y 10 3 1 5 6 тх = 8, ihy = 5, <тх = 14.8, = 9.2. Следовательно оценка f = ' х,у ___ Вопрос 5. В предыдущем задании связь между X и К можно охарактеризовать как__. Сделайте правильный выбор. А. Сильную Б. Функциональную В. Средней степени тесноты Г. С отрицательной тенденцией Д. Отсутствие связи Е. Слабую Ж. С положительной тенденцией. Вопрос 6. По выборке из двумерной нормальной генеральной совокупности объемом 67 элементов получена оценка rXY = 0,24. При уровне значимости а =0.01 статистическую связь между % и Y можно считать (значимой, незначимой) ________ при ц/расч = ____. Сделайте правильный выбор. Вопрос 7. Исследование зависимости тормозного пути автомобиля X от скорости его движения Y и состояния асфальтового покрытия Z дало следующие результаты rA,z = -0,99, rYz = -0,48, rYX = 0,51. Значение частного коэффициента корреляции rvr(Z) = 127 Вопрос 8. По данным предыдущего задания можно предположить, что___. А. Между скоростью движения автомобиля и состоянием асфальтового покрытия сильная отрицательная связь Б. Между длиной тормозного пути и скоростью движения сильная отрицательная очищенная связь В. Между состоянием асфальтового покрытия и длиной тормозного пути частная связь отсутствует Вопрос 9. Исследовалась зависимость рейтинга студентов X от среднего балла аттестата Y. Групповое среднеквадратическое отклонение и дисперсия, полученная по негруппированным данным X, соответственно равны о„,г= 15, Д =318. Зависимость рейтинга от среднего балла аттестата рх.г =. 4.3. АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПОРЯДКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ. РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ 4.3.1. Общие сведения Иногда при исследовании зависимостей имеет место ситуация, когда шкала количественного измерения степени проявления некоторого свойства (признака) отсутствует (неизвестна) или ее просто не может быть. Кроме того, возможна ситуация, когда информация имеет условный характер и может быть использована только для ранжирования объектов. Примерами таких процессов могут служить показатели эффективности функционирования различных социально-экономических систем, структура потребительского бюджета семьи, степень прогрессивности предлагаемого на конкурс проекта [2, 4]. В подобных ситуациях вместо конкретных значений исследуемого признака используются его ранги. Ранговая корреляция отражает статистическую связь между порядковыми переменными. Исходный статистический материал представлен упорядочениями (ранжировками) п объектов по некоторым свойствам. Методы ранговой корреляции основаны на использовании условной числовой метки, обозначающей место объекта в ряду всех анализируемых объектов, которые располагаются в порядке убывания исследуемого свойства. При этом под условной числовой меткой понимается ранг объекта по исследуемому признаку. 128 Последовательность рангов элементов вариационного ряда, указывающих на место объекта в ряду, называется ранжировкой. Пример 39. На экспертизу представлен ряд альтернативных проектов благоустройства студенческого городка под условными девизами А, В, С, D, Е, F, G, Н, I. В результате экспертизы установлены следующие места проектов: 1 -е и 2-е места поделили проекты С и I, 3- и 4-е места - D и Н, 5-, 6-, 7-е места - B,Gvi F, 8-е место - проект А, 9-е место - проект Е. В соответствии с установленным рейтингом проекты представлены в табл. 10. Таблица 10 Распределение проектов по местам Место 1,2 1,2 3,4 3,4 5, 6,7 5, 6, 7 5, 6,7 8 9 Проект С / D H В G F A E Ранги 1 и 2, 3 и 4, 5, 6 и 7 соответственно для проектов С и I. D и Н, B,G и F являются неразличимыми. Иногда их называют объединенными рангами. Для данного примера можно установить два вида ранжировок, приведенных в табл. 11. Таблица 11 Ранжировки проектов Проект С I D H В G F A E Ранжировка a) 1 1 2 2 3 3 3 4 5 Ранжировка б) 1,5 1,5 3,5 3,5 6 6 6 8 9 Для случая а) проектам, занявшим одинаковые места, присваивается одинаковый ранг, равный текущему рангу в последовательности. В случае б) значение объединенного ранга равно среднему значению рангов проектов с неразличимыми рангами. В нашем примере таких групп проектов - 3. Следовательно, R= = = i 5 R = = 2±1 = 3 5 2 2 2 2 2 n _ RB + + &i- • _ 5 + 6 + 7 M =------------------------=---------------— ft 3 3 3 129 Под ранговой корреляцией понимается статистическая связь между порядковыми переменными. Существуют методы и измерители, позволяющие измерить и проанализировать статистическую парную и множественную связь между несколькими параметрами исследуемого многомерного объекта, если они представлены ранжировками. 4.3.2. Оценивание парных ранговых связей 4.3.2.1. Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна Для измерения степени тесноты парной статистической связи между ранжировками К. Спирмэн в 1904 г. предложил показатель, который впоследствии получил название рангового коэффициента корреляции Спирмэна [2, 4, 12] fW=l—(85) n -n~i где Да) и R^- i ранги соответственно параметров к и J. Выражение (85) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов. Если такие группы есть, то определяется из выражения -(п3 -п)-У (R<k) -R,(J))2 -Т(к) -Ти) =(.«) = 6__________________________________ Г, тп =’ . -(п3-п)-2Т(к) -(п3-п)~2Ти} \[_б JL6 где У**3 и 7^ могут быть найдены из выражения (»!*’) -»!*’ . (87) 1Z )=| L J где - количество элементов в группе неразличимых рангов, а т(к) - число групп неразличимых рангов. Нетрудно убедиться, что при совпадающих ранжировках R-k} - а при противоположных =-1. Во всех прочих случаях | | < 1. Если - 0, связь между компонентами 130 отсутствует. Кроме того, очевидно, что ранговый коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т. е. . Пример 40. Для данных примера 32 вычислим степень тесноты парной связи между доходами семьи и расходами на приобретение кондитерских изделий с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмэна. Составим вариационные ряды для U и V и расставим ранги (см. табл. 12 и 13). Таблица 12 Вариационный ряд для параметра U и 3,4 3,4 3,8 3,8 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,6 4,8 4,8 5,0 5,2 5,4 R!"’ 1 1 2 2 2 3 4 5 6 6 7 7 8 9 10 Таблица 13 Вариационный ряд для параметра V V 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 75 75 75 77 78 R<r) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 11 12 13 В табл. 14 представлены ранжировки в соответствии с первоначальным положением элементов в исходной двумерной совокупности (см. табл. 6). Таблица 14 Ранжировки для параметров U и V r<'7) 7 2 10 4 1 6 1 7 8 2 9 3 2 6 5 R<r> 11 5 13 8 1 10 3 II 11 2 12 6 4 9 7 Поскольку в ранжировках есть группы объединенных рангов, ~(5) к то для вычисления необходимо воспользоваться выражения- ми (86) и (87). Для ранжировки R^"'1 = 4, п{'1> = 2, - 3, = 2, иГ =2. 131 Для ранжировки R^, п№= 1, r^vy = 3. Проведем вычисления поправочных коэффициентов (87) [(8-2) + (27-3) + (8-2) + (8-2)] = 3,5, = J_ (27 - 3) = 2. Следовательно, |(33 75-15)-( 16+9+9+16+16+4+16+9+9+9+4+9+4)-3,5-2 ?(’) — &___________________________________________; |(3375 -15)-4 -(3375-15)-7 6 = 560-130-i5 = 554,5 Следовательно, между доходами семьи и расходами на покупку кондитерских изделий существует сильная положительная связь. 4.3.2.2. Ранговый коэффициент корреляции Кендалла Другим измерителем степени тесноты статистической связи между двумя ранжировками является ранговый коэффициент корреляции Кендалла [2, 4], определяемый выражением =(*) = 1- 4 1 п(п -1) (88) где у(Д(4), Д-7)) - минимальное число обменов последовательности Д(7), необходимое для приведения ее к упорядочению, аналогичному R^k>. Очевидно, что у(Д(*), Д(у)) симметрична относительно своих аргументов. При совпадающих ранжировках R-k> и Д(/) обменов не будет, следовательно, v( R^, RI,J> ) = 0 и = 1. Во всех других случаях для выполняется условие <1. 132 Выражение (88) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов. В противном случае необходимо воспользоваться формулой -(к} 2(Т^+Т^) t . . "(”.70 (89) } 2TW t 2T(J} у n(n-l) n(n-l) где - оценка парного рангового коэффициента корреляции из выражения (88). Поправочные коэффициенты 7’<i) и Т(Г> могут быть получены в виде =-^w,w(w'A)-l), (90) 2 ,=1 где m(k) - количество групп объединенных рангов, пр - количество элементов в группе. Свойства парного рангового коэффициента корреляции Кендалла аналогичны свойствам коэффициента корреляции Спирмэна. Необходимо заметить [2, 4, 12], что вычисление является более трудоемким, чем . Статистические свойства рангового коэффициента корреляции Кендалла более исследованы. Кроме того, он обладает большими удобствами при его пересчете, если к п статистическим объектам добавляются новые. Между масштабами шкал, в которых измеряют и , нет простого соотношения. Но при умеренно больших п (п > 10) и при условии, что абсолютные величины значений этих коэффициентов не слишком близки к единице, для них справедливо соотношение ¥(S) ~1 5 =(Х) М Пример 41. Для данных примера 32 вычислим парную ранговую связь между доходами семьи и расходами на кондитерские изделия с помощью коэффициента корреляции Кендалла. Воспользуемся ранжировками, полученными в примере 40 (см. табл. 14) для вычисления v(J^u\ Д-^). Для этого ранжировку 133 R^ сформируем в порядке возрастания, a R-1^ - в соответствии с ранжировкой . Данные сведем в табл. 15. Таблица 15 Ранжировки U и К для примера 41 1 1 2 2 2 3 4 5 6 6 7' 7 8 9 10 я'17’ 1 3 5 2 4 6 8 7 10 9 11 11 11 12 13 Вычисление v(A,(H), R-y)) осуществляем следующим образом. Сравниваем во второй ранжировке последовательно каждый элемент, начиная с первого, со всеми последующими. Если предыдущий элемент больше последующего, то необходим обмен между этими элементами и, следовательно, v,j = 1. В противном случае Vij = 0. Индексы i, j означают соответственно порядковые номера сравниваемых рангов в ранжировке . Анализ степени согласованности двух ранжировок дает следующие результаты (см. табл. 15). Vl,2 = V1.3 = vl,4 = ...= V] |5 = 0, V2,3 = V2,5 ~ v2,6 = V2,7 = • • •= У2Д5 = 0, У2д = 1, v3,4 = Узд — 1, Узд = Узд = .. .= Узд5 = 0, Уд,5 = Уд,6 ~ Уд,15 = 0, V5,6 = V5,7 ~ V5.15 = 0, Уб,7 ~ Уб,8 ~ •••=УбД5 = 0, У7Д = 1, v7,9 = V7.10 = V7.15 = 0, Vg,9 = У8Д0 = • • •= Vg,15 = 0, У9Д0 = L У9Д1= У9Д2 = У9Д5 = 0, У|0Д1 = ...= У)0Д5 ~ 0, Уц,12 = •••- У11Д5 ~ о, У12ДЗ - V12.14 = У12Д5 = 0, V13.14 = V13.15 = 0, V14,I5 = O. Следовательно, v( R^'r>, R-^ ) = 5. Тогда из (88) найдем т(К} = 1 - 4-5 15(15-1) = 0,905. 134 Поправочные коэффициенты из (90) равны 7’{")=|[2-1 + 3-2 + 2-1 + 2-1] = 6, T(V} = --3-2 = 3. 2 Получим т^)’из(89) 0,905-^i^ 15-14 15-14Д 15-14J Проверка статистически значимого отличия от нуля ранговых корреляционных характеристик может быть осуществлена при не слишком малых п (п > 10) при заданном уровне значимости. Данный вопрос рассмотрен в [2, с. И 4, 4]. Там же рассмотрена методика построения доверительных интервалов для т£;К) и [2, с.116, 4]. 4.3.3. Анализ множественных ранговых связей 4.3.3.1. Коэффициент конкордации Свойства рассмотренных выше измерителей парных связей свидетельствуют о том, что чем теснее связь, тем больше информации содержит одна переменная относительно другой. На практике бывает важно объяснить поведение одной переменной (отклика) поведением совокупности других. Для решения таких задач используются измерители степени тесноты множественной связи [2, 4, 12]. Кендаллом был предложен показатель W(m), названный коэффициентом конкордации (согласованности), который вычисляется из выражения W(m) = -]2 т(п +1) 2 (91) 135 где т - число одновременно анализируемых порядковых переменных, - i-й ранг отобранной для исследования порядковой переменной, kj, j= 1,т - номер этой переменной в исследуемом многомерном признаке. Коэффициент конкордации обладает следующими свойствами: • 0< W (т)< 1; • W (да) = 1 при условии, когда все да анализируемых упорядочений совпадают; • коэффициент конкордации, вычисленный для двух переменных, пропорционален парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэнат^1’. Выражение (91) справедливо для случая отсутствия групп объединенных рангов. Если это условие не выполняется, то W (да) вычисляется по формуле W(m) = -пУ-т^Т^ 12 » (92) где Г(Л/) - поправочный коэффициент, который вводится для групп объединенных рангов и вычисляется из выражения (87). Пример 42. Для данных примера 33 вычислить степень тесноты множественной статистической связи между стоимостью квартир, площадью и их удаленностью от центра. Воспользуемся для этой цели коэффициентом конкордации. Прежде всего необходимо сформировать ранжировки для всех трех компонентов (да = 3). Результаты сведены в табл. 16. Табл ица 16 Ранжировки компонент У, U, Z к примеру 33 (табл. 6) я<г> 9 3 14 4 15 8 2 5 7 10 1 16 9 13 6 11 17 12 R^ 8 16 4 15 3 10 17 14 13 7 И 2 9 5 12 7 1 6 R™ 7 12 2 13 4 8 14 И 9 6 15 4 6 3 10 6 1 5 XR^ 24 31 20 32 22 26 33 30 29 23 27 22 24 21 28 24 19 23 136 В каждой ранжировке есть группы объединенных рангов: в и - по одной группе из двух элементов, в - две группы из трех и двух элементов соответственно. Вычислим поправочные коэффициенты Т^\ 1^и\ 7(Z): /Г) = jW = 2 /г) = J_ (6 + 24) = 2 5 12 Результаты вычислений X 7?^у) приведены в табл. 16. ./=1 Для вычисления W (т) предварительно найдем числитель выражения (92), обозначив его через S. S = (24 - 28,5)2 + (31 - 28,5)2 + (20 - 28,5)2 + (32 - 28,5)2 + + (22 - 28,5)2 + (26 - 28,5)2 + (33 - 28,5)2 + (30 - 28,5)2 + + (29 - 28,5)2 + (23 - 28,5)2 + (27 - 28,5)2 + (22 - 28,5)2 + + (24 - 28,5)2 + (21 - 28,5)2 + (28- 28,5)2 + (24- 28,5)2 + + (19 - 28,5)2 + (23- 28,5)2 = 474,5 Вычислим коэффициент конкордации (92) 474 5 W(m) = -j------------’-----------= 0,109. т~32(183-18)-3(2 + 2 + 2,5) Полученный результат позволяет сделать предположение^, что одновременной тесной зависимости между стоимостью квартиры, ее площадью и удаленностью от центра не существует. 4.3.3.2. Проверка статистической значимости множественной связи Для проверки статистической значимости выборочного значения коэффициента конкордации можно воспользоваться фактом приближенной %2(и - 1 )-распределенности величины т(п- 1) W (т) [2, 4], справедливой в случае отсутствия связи в генеральной совокупности. Таким образом, если окажется, что условие т(п - 1) W (т) > х20 ]оо%(п - 1) выполняется, то гипотеза об отсутствии ранговой множественной связи между компонентами многомерного признака должна быть отвергнута. Величина 137 X2u ioo%(«- 1)-<х • 100% - процентная точка %2-распределения и может быть найдена из таблицы прил. 3. Пример 43. Для данных примера 42 проверим гипотезу о •Ни значимости ранговой множественной связи (коэффициента конкордации) при уровне значимости а = 0,05. Воспользуемся логической схемой статистического критерия. 1. Формулируем основную и альтернативную гипотезы Но: W (т) = 0, Hr. 2. Задаем уровень значимости а = 0,05. 3. Выбираем вид критической статистики V|/Kp = w(n- 1)F (m). Известно, что в асимптотическом пределе и при слабой связи между компонентами распределения статистики, ((/кр стремится к %2-распределению с (и - 1) числом степеней свободы. Jim г[да(н - l)FK(m)] = F 2 (Ч^; п -1). 4. Найдем верхнюю критическую точку из таблицы прил. 3 Уирв = Х25% (И) = 27,587. 5. Расчетное значение критической статистики получим, воспользовавшись данными примера 42. Ч/расч = 3(18-1) 0,109 = 5,559. Поскольку ч/раСч < Укри, то гипотеза об отсутствии множественной ранговой связи принимается. Следовательно, связь между стоимостью квартиры, удаленностью от центра и площадью в данном конкретном случае не является значимой. Задания для самоконтроля Вопрос 1. Зависимость балльной оценки проектов на озеленение территории X и стоимости работ по реализации проекта Y представлена последовательностью рангов: 138 а? 1 5 5 2 6 3 1 4 7 4 Ry 1 5 4 3 7 3 2 4 5 6 Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна равен Вопрос 2. На основании полученного выше коэффициента корреляции Спирмэна можно сделать вывод, что__ А. Ранжировки имеют совпадающие упорядочения сильной степени согласованности Б. Ранжировки имеют противоположные упорядочения сильной степени согласованности В. Ранжировки не являются согласованными, Г. Ранжировки имеют совпадающие упорядочения средней степени согласованности Д. Ранжировки имеют противоположные упорядочения средней степени согласованности Вопрос 3. Для данных задания 1 ранговый коэффициент корреляции Кендалла равен___. Вопрос 4. Степень тесноты связи между доходами семьи X, накоплениями Y и расходами Z, представленная ранжировками Rx 4 5 1 2 3 5 Ry 4 5 2 1 3 R: 3 5 1 2 4 равна Вопрос 5. Для предыдущего задания при проверке гипотезы об отсутствии ранговой множественной связи при а = 0,01 значение Vkp.b ~___• Вопрос 6. На основании полученного в вопросе № 4 значения выборочного коэффициента конкордации можно сделать вывод, что множественная связь между упорядочениями__. А. Очень сильная Б. Отсутствует В. Средней степени тесноты Г. Слабая Контрольные вопросы и задания к главе 4 1. Перечислите основные задачи корреляционного анализа. 2. Что такое корреляционное поле? Какую информацию оно содержит? 139 3. Что Вы понимаете под понятием «адекватный измеритель статистической связи»? 4. Как выбрать адекватный измеритель статистической связи? 5. Для измерения какой связи используется парный коэффициент корреляции, частный коэффициент корреляции, корреляционное отношение? 6. Когда необходимо использовать измерители степени тесноты ранговой связи? 7. Назовите свойства коэффициента корреляции, корреляционного отношения, частного коэффициента корреляции. 8. Назовите свойства ранговых коэффициентов корреляции Кендалла и Спирмэна, коэффициента конкордации. 9. Зависимость между средними ежемесячными доходами семьи % (тыс. руб.), накоплениями К(сбережения в банках, тыс. руб.) и ежемесячными расходами Л(тыс. руб.) представлена в табл. X 7.2 7.2 9.1 9.6 7.3 3.0 6.3 2.3 6.6 10.3 Y 42 43 51 50 40 20 36 19 38 56 Z 4.2 4.5 5.7 5.6 4.6 2.1 4.2 1.7 4.1 5.8 Выполните следующие задания: • установите вид связи и тенденцию между всеми парами компонентов; • выберите адекватный измеритель связи; • определите степень тесноты парных и частных связей; • проверьте гипотезы о значимости парных измерителей связи; • постройте интервальные оценки для парных коэффициентов корреляции; • вычислите парные ранговые коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмэна; • измерьте степень тесноты множественной связи; • проверьте гипотезу о значимости множественной ранговой связи между всеми компонентами; • по каждому заданию сделайте выводы в терминах решаемой задачи. 140 ЛИТЕРАТУРА 1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных: Справ, изд. - М.: Финансы и статистика, 1983. -471 с., ил. 2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справ, изд. - М.: Финансы и статистика, 1985. -487 с., ил. 3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб, пособие для втузов. - М.: Инфра, 1977. - 302 с. 5. Колемаев А.В., Турундаевский В.Б., Староверов О,В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш, шк., 1991. - 400 с. 6. Губарев В. В. Математическая статистика. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.- 131 с. 7. Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник. - В 2 ч. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. -Ч. 1. -198 с. 8. Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник. - В 2 ч. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. - Ч. 2. - 188 с. 9. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. -588 с., ил. 10. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. -648 с., ил. 11. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976. - 292 с., ил. 12. Кендэл М. Ранговые корреляции. -М.: Статистика, 1975.-214 с., ил. 13. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965. - 465 с. 14. Кюн Е. Описательная индуктивная статистика: Пособие-памятка. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 126 с., ил. 15. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для экономических специальностей вузов. -4-е изд. - М.: Статистика, 1979. -279 с., ил. ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Ответы к заданиям иа стр. 27-28. Xs 1. Г, 2. Xs 2. < < < >. № 3. <а; : 0.5, 1.75, 2.75, 2.0, 0.5; 1^(х): 0.02, 0=06, 0.09, 0.07, 0.02; #;(л): 0.07, 0.3, 0.67, 0.93. 1.0. Xs 4. Г. № 5. 3. № 6. 0.67. № 7. Б, В, Д. № 8. 0,17. X® 9. 6.0. Ответы к заданиям на стр. 36-38. Xs 1. Б. № 2. 0.606. № 3. 33.63. № 4. 0.975. № 5. 02 , Г. № 6. 1, 4, 5, - А; 2, 3 - Б. № 7. Увеличить. № 8. 4. № 9. 3. № 10. 2.79, 12.84. Ответы к заданиям иа стр. 53-54. № 1. 26.4, 2.47, № 2. А. № 3. 13.8, 1.3. № 4. В. №5. 1003.6, 11.4. №6. Б. №7. dMn - не существует, d можно найти по методу моментов, dM =-128, \мп =4. Ответы к заданиям иа стр. 59-60. № 1.2. № 2. С. № 3. 1 - А 3; 2 - В, 3 - Д, Ж; 4-Е, 5-Б, Г. Ответы к заданиям иа стр. 68-69. № 1. Не повлияла. №2. Одинаковы. № 3. Не одинаково. № 4. Одинаково. № 5. 4.25, 0.24. № 6. Г. Ответы к заданиям на стр. 74-75. №1. Различно. №2. Различно. Xs 3. 1044.87, 815.13. Xs 4. Хи-квадрат. Ответы к заданиям иа стр. 80-81. Xs 1. Можно. Xs 2. Нельзя. Xs 3. Можно. X» 4. «восходящих» и «нисходящих» серий. X» 5. В. X» 6. Выше. X» 7. Выше. Ответы к заданиям на стр. 87-88. X» 1. Принята. Xs 2. Отвергнута. Х®3. Б, В. Х»4. Б, Г. X® 5. В. Ответы к заданиям на стр. 106-107. X® 1. А, В. Xs 2. Д. Xs3. Г. Xs 4. -0.96. Xs 5. А Г. Xs 6. Незначимой, 1.99. Xs 7. 0.28. Xs 8. В. Xs 9. 0.71. Ответы к заданиям иа стр. 116. Xs 1. 0.93. Xs 2. A. Xs3. 0.60. Xs 4. 0.91. Xs 5. 13.28. Xs 6. A. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Функция стандартного нормального распределения X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) 0,00 0,0000 0,42 0,1628 0,84 0,2995 0,01 0,0040 0.43 0,1664 0,85 0,3023 0,02 0,0080 0,44 0,1700 0,86 0,3051 0,03 0,0120 0,45 0,1736 0.87 0,3078 0,04 0,0160 0,46 0,1772 0,88 0,3106 0,05 0.0199 0,47 0,1808 0,89 0,3133 0,06 0,0239 0,48 0,1844 0.90 0,3159 0,07 0.0279 0,49 0,1879 0,91 0,3186 0,08 0,0319 0,50 0,1915 0,92 0,3212 0,09 0,0359 0,51 0,1950 0,93 0,3238 0.10 0,0398 0,52 0,1985 0,94 0,3264 0,11 0,0438 0,53 0,2019 0.95 0,3289 0,12 0,0478 0,54 0,2054 0,96 0,3315 0,13 0,0517 0,55 0,2088 0,97 0,3340 0,14 0,0557 0,56 0,2123 0,98 0,3365 0,15 0,0596 0,57 0,2157 . 0,99 0,3389 0,16 0,0636 0,58 0,2190 1,00 0,3413 0,17 0,0675 0,59 0,2224 1,01 0,3438 0,18 0,0714 0,60 0,2257 1,02 0,3461 0,19 0,0753 0.61 0,2291 1,03 0,3485 0,20 0,0793 0,62 0,2324 1,04 0,3508 0,21 0,0832 0,63 0,2357 1,05 0,3531 0,22 0,0871 0.64 0,2389 1,06 0,3554 0,23 0,0910 0,65 0,2422 1,07 , 0,3577 0,24 0,0948 0,66 0,2454 1,08 0,3599 0,25 0,0987 0,67 0,2486 1,09 0,3621 0,26 0,1026 0,68 0,2517 1,10 0,3643 0,27 0,1064 0,69 0,2549 1,11 0,3665 0,28 0,1103 0,70 0,2580 1,12 0,3686 0,29 0,1141 0,71 0,2611 1,13 0,3708 0,30 0,1179 0,72 0,2642 1,14 0,3729 0,31 0,1217 0,73 0,2673 1,15 0,3749 0,32 0,1255 0,74 0,2703 1,16 0,3770 0,33 0,1293 0,75 0,2734 1,17 0,3790 0,34 0,1331 0,76 0,2764 1,18 0,3810 0,35 0,1368 0,77 0,2794 1,19 0,3830 0,36 0,1406 0,78 0,2823 1,20 0,3849 0,37 0,1443 0,79 0,2852 1,21 0,3869 0,38 0,1480 0,80 0,2888 1,22 0,3888 0,39 0,1517 0,81 0,2910 1,23 0,3907 0,40 0,1554 0,82 0,2939 1,24 0,3925 0,41 0,1591 0,83 0,2967 1,25 0,3944 143 Окончание прил. 1 X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) 1,26 0,3962 1,71 0,4564 2,32 0,4898 1,27 0,3980 1,72 0,4573 2,34 0,4904 1,28 0,3997 1,73 0,4582 2,36 0,4909 1,29 0,4015 1,74 0,4591 2,38 0,4913 1,30 0,4032 1.75 0,4599 2,40 0,4918 1,31 0,4049 1,76 0,4608 2,42 0,4922 1,32 0,4066 1,77 0,4616 2,44 0,4927 1,33 0,4082 1,78 0,4625 2,46 0,4931 1.34 0,4099 1,79 0,4633 2,48 0,4934 1,35 0,4115 1,80 0,4641 2,50 0,4938 1,36 0,4134 1,81 0,4649 2,52 0,4941 1,37 0,4147 1,82 0,4656 2,54 0,4945 1,38 0,4162 1,83 0,4664 2,56 0,4948 1,39 0,4177 1,84 0,4^71 2,58 0,4951 1,40 0,4192 1,85 0,4678 2,60 0,4953 1,41 0,4207 1,86 0,4686 2,62 0,4956 1,42 0,4222 1,87 0,4693 2,64 0,4959 1,43 0,4236 1,88 0,4699 2,66 * 0,4961 1,44 0,4251 1,89 0,4706 2,68 0,4963 . 1,45 0,4265 1,90 0,4713 2,70 0,4965 1,46 0,4279 1,91 0,4719 2,72 0,4967 1,47 0,4292 1,92 0,4726 2,74 0,4969 1,48 0,4306 1,93 0,4732 2,76 0,4971 1,49 0,4319 1,94 0,4738 2,78 0,4973 1,50 0,4332 1,95 0,4744 2,80 0,4974 1,51 0,4345 1,96 0,4750 2,82 0,4976 1,52 0,4357 1,97 0,4756 2,84 0,4977 1,53 0,4370 1,98 0,4761 2,86 0,4979 1,54 0,4382 1,99 0,4767 2,88 0,4980 1,55 0,4394 2,00 0,4772 2,90 0,4981 1,56 0,4406 2,02 0,4783 2,92 0,4982 1,57 0,4418 2,04 0,4793 2,94 0,4984 1,58 0,4429 2,06 0,4803 2,96 0,4985 1,59 0,4441 2,08 0,4812 2,98 0,4986 1,60 0,4452 2,10 0,4821 3,00 0,49865 1,61 0,4463 2,12 0,4830 3,20 0,49931 1,62 0,4474 2,14 0,4838 3,40 0,49966 1,63 0,4484 2,16 0,4846 3,60 0,499841 1,64 0,4495 2,18 0,4854 3,80 0,499928 1,65 0,4505 2,20 0,4861 4,00 0,499968 1,66 0,4515 2,22 0,4868 4,50 0,499997 1,67 0,4525 2,24 0,4875 5,00 0,499997 1,68 0,4535 2,26 0,4881 1,69 0,4545 2,28 0,4887 1,70 0,4554 2,30 0,4893 144 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Процентные точки распределения Стьюдента \а 40% 25% 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 0,25% 0,1% 0,05% п\ 1 0,3249 1,0000 3,08 3,3138 12,7062 31,8205 63,6567 27,3213 318,3088 636,6192 2 0,2887 0,8165 1,8856 2,9200 4,3027 6.9646 9,9248 14,0890 22,3271 31,5991 3 0,2767 0,7679 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 7,4533 10,2145 12,9240 4 0,2707 0,7407 1.5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 5,5976 7.1732 8,6103 5 0,2672 0,7267 1,4759 2,0150 2.5706 3,3649 4,0321 4,7733 5,8934 6,8688 6 0,2648 0,7176 1,4398 1,9432 2,4469 3.1427 3,7074 4,3168 5,2076 5,9588 7 0,2632 0,7111 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,0293 4,7853 5,4079 8 0,2619 0,7064 1,3968 1.8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008 5,0413 9 0,2610 0,7027 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6897 4,2968 4,7809 10 0,2602 0,6998 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437 4,5869 11 0,2596 0,6974 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 4,0247 4,4370 12 0,2590 0,6955 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296 4,3178 13 0,2586 0,6938 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 3,8520 4,2208 14 0,2582 0,6924 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874 4,1405 15 0,2579 0,6912 1,3406 1,7530 2,1314 2,6025 2,9467 3,2860 3,7328 4,0728 16 0,2576 0,6901 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,2520 3,6862 4,0150 17 0,2573 0,6892 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458 3,9651 18 0,2571 0,6884 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105 3,9216 19 0.2569 0,6876 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 3,5794 3,8834 20 0,2567 0,6870 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518 3,8495 21 0,2566 0,6864 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,5272 3,8193 22 0,2564 0,6858 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,5050 3,7921 23 0,2563 0,6853 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,1040 3,4850 3,7676 24 0,2562 0,6848 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,0905 3,4668 3,7454 25 0,2561 0,6844 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502 3,7251 26 0,2560 0,6840 1,3150 1.7056 2.0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,4350 3.7066 27 0.2559 0,6837 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,4210 3,6896 28 0,2558 0,6834 1,3125 1,7011 2,0484 2.4671 2,7633 3,0469 3,4082 3.6739 29 0,2557 0.6830 1.3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3;0380 3,3962 3,6594 30 0,2556 0,6828 1,3104 1,6973 2.0423 2,4573 2,7500 3,0298 3,3852 3,6460 32 0,2555 0,6822 1,3086 1,6939 2,0369 2,4487 2,7385 3,0149 3,3653 3,6218 34 0,2553 0,6818 1.3070 1,6909 2,0322 2,4411 2,7284 3,0020 3,3479 3,6007 36 0,2552 0,6814 1,3055 1,6883 2,0281 2,4345 2,7195 2,9905 3,3326 3,5821 38 0,2551 0,6810 1,3042 1,6860 2,0244 2,4286 2,7116 2,9803 3,3190 3,5657 40 0,2550 0,6807 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2-.9712 3,3069 3,5510 42 0,2550 0,6804 1,3020 1,6820 2,0181 2,4185 2,6981 2,9630 3,2960 3,5377 44 0,2549 0,6801 1,3011 1,6802 2,0154 2,4141 2,6923 2,9555 3,2861 3,5258 46 0,2548 0,6799 1,3002 1,6787 2,0129 2,4102 2,6870 2,9488 3,2771 3,5150 48 0,2548 0,6796 1,2994 1,6772 2,0106 2,4066 2,6822 2,9426 3,2689 3,5051 50 0,2547 0,6794 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 2,9370 3,2614 3,4960 55 0,2546 0,6790 1,2971 1,6730 2,0040 2,3961 2,6682 2,9247 3,2561 3,4764 60 0,2545 0,6786 1,2958 1,6707 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 3,2317 3,4602 65 0,2544 0,6783 1,2947 1,6686 1,9971 2,3851 2,6536 2,9060 3,2204 3,4466 70 0,2543 0,6780 1,2938 1,6669 1,9944 2,3808 2,6479 2,8987 3,2108 3,4350 80 0,2542 0,6776 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 2,8870 3,1953 3,4163 90 0,2541 0,6772 1,2910 1,6620 1,9867 2,3685 2,6316 2,8779 3,1833 3,4019 100 0,2540 0,6770 1,2901 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 2,8707 3,1737 3,3905 120 0,2539 0,6765 1,2886 1,6577 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 3,1595 3,3735 150 0,2538 0,6761 1,2872 1,6551 1,9759 2,3515 2,6090 2,8492 3,1455 3,3566 200 0,2537 0,6757 1,2858 1,6525 1,9719 2,3451 2,6006 2,8385 3,1315 3,3398 145 Окончание прил. 2 \а п\ 40% 25% 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 0,25% 0,1% 0,05% 250 0,2536 0,6755 1,2849 1,6510 1,9695 2.3414 2,5956 2,8322 3,1232 3,3299 300 0,2536 0.6753 1,2844 1,6499 1,9679 2,3388 2,5923 2,8279 3,1176 3,3233 400 0,2535 0,6751 1,2837 1,6487 1,9659 2,3357 2,5882 2,8227 3,1107 3,3150 500 0,2535 0.6750 1,2832 1.6479 1.9647 2.3338 2.5857 2,8195 3.1066 3,3101 Примечание. При вычислении процентных точек распределения Стьюдента для п, отсутствующих в таблице, можно воспользоваться разложением в ряд по отрицательным степеням п функции, обратной функции распределения f 1J: 1„(а;л)«1„ + + + ^ф2+1Нр + .„, п п~ п п где/а= «j.,, - квантиль нормального стандартного распределения, ”2~ ' £1(0 ~~0,1 + <„), Й2(С) = х7(5/’+16г>Зс). 96 g,('“) = 3i4(3'’+!9<‘ + l7/“^l5/J’ g<(O = Т^(79<> + 776<1 +1482<1 ~ 1920<] -945/J. 146 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Процентные точки распределения хи-квадрат \а п\ 99,5 % 99 % 97,5 % 95% 90% 80 % 70% 60% 50% 40% 30 % 20 % 10% 5% 2,5 % 1 % 0,5 % 1 0,04393 0,0’157 0,0’982 0,0’393 0,0158 0,0642 0,148 0,275 0,455 0,708 1,074 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,446 0,713 1,022 1,386 1,833 2,408 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 1,424 1,869 2,366 2,946 3,665 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 2,195 2,753 3,357 4,045 4,878 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 3,000 3,655 4,351 5,132 6,064 7,289 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 3,828 4,570 5,348 6,211 7,231 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 4,671 5,493 6,346 7,283 8,383 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 5,527 6,423 7,344 8,351 9,524 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 6,393 7,357 8,343 9,414 10,656 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 7,267 8,295 9,342 10,473 11,781 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 8,148 9,237 10,341 11,530 12,899 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 9,034 10,182 11,340 12,584 14,011 15,812 18,549 21,026 23,336 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 9,926 11,129 12,340 13,636 15,119 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 10,821 12,079 13,339 14,685 16,222 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 11,721 13,030 14,339 15,733 17,322 19,311 22,307 24,996 27,448 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 12,624 13,983 15,338 16,780 18,418 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 13,531 14,937 16,338 17,824 19,511 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 14,440 15,893 17,338 18,868 20,601 22,760 25,989 28,869 31,526 34,80'5 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 15,352 16,850 18,338 19,910 21,689 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 16,266 17,809 19,337 20,951 22,775 25,038 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 17,182 18,768 20,337 21,991 23,858 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,314 18,101 19,729 21,337 23,031 24,939 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,688 13,091 14,848 17,187 19,021 20,690 22,337 24,069 26,018 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 19,943 21,652 23,337 25,106 27,096 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 20,867 22,616 24,337 26,143 28,172 30,675 34,382 37.652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 21,792 23,579 25,336 27,179 29,246 31,795 35,563 38.885 41,923 45,642 48.290 27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 22,719 24,544 26,336 28,214 30,319 32,912 36,741 40,113 43,194 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 23,647 25,509 27,336 29,249 31,391 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 24,577 26,475 28,336 30,283 32,461 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 Продолжение прил. 3 \а п \ 99,5 % 99 % 97,5 % 95% 90% 80% 70% 60 % 50% 40 % 30% 20 % 10% 5% 2,5 % 1 % 0,5 % 30 13,787 14,953 16.791 18,493 20.599 23,364 25,508 27,442 29,336 31,316 33,530 36,250 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 31 14,458 15,655 17.539 19,281 21,434 24,255 26,440 28,409 30,336 32,349 34,598 37,359 41,422 44,985 48,232 52,191 55,003 32 15,134 16,362 18.291 20,072 22,271 25,148 27.373 29,376 31,336 33,381 35,665 38,466 42,585 46,194 49.480 53,486 56,328 33 15,815 17,073 19.047 20,867 23,110 26,042 28,307 30,344 32,336 34,413 36,731 39.572 43,745 47,400 50.725 54,776 57.648 34 16,501 17,789 19.806 21,664 23,952 26,938 29,242 31,313 33,336 35,444 37,795 40,676 44,903 48,602 51,966 56.061 58,964 35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 27,836 30.178 32,282 34,336 36,475 38,859 41,778 46,059 49.802 53,203 57.342 60,275 36 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 28,735 31,115 33.252 35,336 37,505 39,922 42,879 47,212 50,998 54.437 58,619 61.581 37 18,586 19,960 22,106 24,075 26,492 29,635 32,053 34,222 36,336 38,535 40,984 43,978 48.363 52,192 55,668 59,892 62,882 38 19.289 20,691 22,878 24,884 27,343 30,537 32,992 35,192 37,335 39,564 42,045 45,076 49,513 53.384 56,895 61,162 64,181 39 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 31.441 33,932 36,163 38.335 40,593 43,105 46,173 50,660 54.572 58.120 62.428 65.476 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 34.872 37,134 39,335 41,622 44,165 47,269 51,805 55,758 59.342 63,691 66,766 41 21,421 22,906 25.215 27,326 29,907 33,251 35,813 38.105 40,335 42,651 45,224 48,363 52,949 56.942 60,561 64,950 68,053 42 22,138 23.650 25,999 28,144 30,765 34,157 36,755 39,077 41,335 43,679 46,282 49.456 54,090 58,124 61,777 66,206 69,336 43 22,859 24,398 26.785 28,965 31,625 35,065 37,698 40,050 42,335 44,706 47,339 50,548 55,230 59,304 62,990 67,459 70.893 44 23,584 25,148 27,575 29,787 32,487 35,974 38,641 41,022 43,335 45,734 48,396 51,639 56,369 60,481 64,201 68.709 71,893 45 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 36,884 39,585 41,995 44,335 46,761 49,452 52,729 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 46 25,041 26,657 29,160 31,439 34,215 37.795 40,529 42,968 45,335 47,787 50,507 53,818 58,641 62,830 66,617 71.201 74,437 47 25,775 27,416 29,956 32,268 35,081 38,708 41,474 43,942 46,335 48,814 51,562 54,906 59,774 64,001 67.821 72,443 75,704 48 26,511 28,177 30,755 33,098 35,949 39,621 42,420 44,915 47,335 49,840 52,616 55,993 60,907 65,171 69,023 73,683 76,969 49 27,249 28,941 31,555 33,930 36,818 40,534 43,366 45,889 48,335 50,866 53,670 57,079 62,038 66,339 70,222 74,919 78,231 50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 44,313 46,864 49,335 51,892 54,723 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79.490 61 28,735 30,475 33,162 35,600 38,560 42,365 45,261 47.838 50,335 52,917 55.775 59,248 64,295 68,669 72,616 77,386 80,747 52 29,481 31,246 33,968 36,437 39,433 43,281 46,209 48.813 51,335 53,942 56,827 60,332 65,422 69,832 73,810 78,616 82,001 53 30,230 32,018 34,776 37,276 40,308 44,199 47,157 49,788 52,335 54,967 57,879 61,414 66,548 70,993 75,002 79,843 83,253 54 30,981 32,793 35,586 38,116 41,183 45,117 48,106 50,764 53,335 55,992 58,930 62,496 67,673 72,153 76.192 81,069 84.502 55 31,735 33,570 36,398 38,958 42,060 .46,036 49,054 51,739 54,335 57,016 59,980 63,577 68,796 73,311 77,380 82,292 85,749 56 32,490 34,350 37,212 39,801 42,937 46,955 50,005 52,715 55335 58,040 61,031 64,658 69,918 74,468 78,567 83,513 86,994 57 33,248 35,131 38,027 40,646 43,816 47,876 50,956 53,691 56,335 59,064 62,080 65,737 71,040 75,624 79,752 84,733 88,236 58 34,008 35,913 38,844 41,492 44,696 48,797 51,906 54,667 57,335 60,088 63,129 66,816 72,160 76,778 80,936 85,950 89,477 Продолжение прил. 3 \а п \ 99,5 % 99 % 97,5 % 95% 90% 80 % 70% 60% 50 % 40 % 30 % 20% 10 % 5% 2,5 % 1 % 0,5 % 59 34,770 36,698 39,662 42.339 45,577 49,718 52,857 55,643 58,335 61,111 64,178 67.894 73,279 77.931 82,117 87.166 90,715 60 35.535 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 53,809 56,620 59,335 62,135 65,226 68,972 74;397 79,082 83,298 88,379 91.952 61 36,301 38,273 41,303 44,038 47,342 51,564 54,761 57,597 60,335 63.158 66,274 70,049 75,514 80.232 84,476 89,591 93,186 62 37,068 39,063 42,126 44,889 48,226 52,487 55,714 58,574 61,335 64.181 67,322 71.125 76,630 81,381 85,645 90,802 94,419 63 37,838 39.855 42,950 45,741 49,111 53,412 56,666 59,551 62,335 65.204 68,369 72,201 77.745 82.529 86.830 92,010 95.649 64 38,610 40,649 43,776 46.595 49,996 54,336 57,619 60,528 63,335 66,226 69,416 73,276 78,860 83,675 88,004 93,217 96,878 65 39,383 41,444 44,603 47,450 50,883 55,262 58,573 61,506 64,335 67,249 70,462 74,351 79,973 84,821 89.177 94.422 98.105 66 40,158 42,240 45,431 48,305 51,770 56,188 59,527 62,484 65,335 68,271 71.508 75,425 81,086 85.965 90.349 95,626 99,330 67 40,935 43.038 46,261 49.162 52.659 57.115 60,481 63,461 66,335 69,293 72.554 76.498 82,197 87,108 91.519 96.828 100.554 68 41,713 43,838 47.092 50,020 53,548 58,042 61.436 64,440 67,334 70,315 73,600 77.571 83,308 88.250 92,688 98.028 101.776 69 42,494 44,639 47,924 50,879 54,438 58.970 62,391 65,418 68,334 71,337 74,645 78,643 84,418 89.391 93.856 99.227 102.996 70 43,275 45,442 48,758 51,739 55.329 59,898 63,346 66,396 69.334 72,358 75,689 79.715 85,527 90,531 95,023 100.425 104.215 71 44,058 46,246 49,592 52,600 56,221 60,827 64,302 67,375 70,334 73.380 76,734 80,786 86,635 91,670 96.189 101.621 105,432 72 44,843 47,051 50,428 53,462 57.113 61,756 65,258 68,353 71,334 74,401 77,778 81,857 87,743 92,808 97.353 102,816 106,648 73 45,629 47,858 51,265 54,325 58,006 62,686 66,214 69,332 72.334 75.422 78.822 82.927 88,850 93.945 98.516 104.010 107,862 74 46.417 48,666 52,103 55,189 58,900 63,616 67,170 70,311 73,334 76,443 79.865 83.997 89,956 95,081 99,678 105,202 109.074 75 47,206 49,475 52,942 56,054 59,795 64,547 68,127 71,290 74,334 77,464 80,908 85,066 91,061 96.217 100.839 106,393 110.286 76 47,997 50,286 53,782 56,920 60,690 65,478 69,084 72,270 75.334 78,485 81.951 86,135 92,166 97,351 101.999 107,582 1 11.495 77 48,780 51,097 54,623 57,786 61.586 66,409 70,042 73,249 76,334 79.505 82,994 87,203 93,270 98,484 103.158 108.771 112.704 78 49,582 51,910 55,466 58,654 62,483 67,341 70,999 74,228 77,334 80.526 84,036 88,271 94,374 99,617 104,316 109.958 113,911 79 50,376 52,725 56,309 59,522 63,380 68,274 71,957 75.208 78,334 81.546 85,078 89.338 95.476 100,749 105,473 111,144 115.117 80 51,172 53.540 57.153 60,391 64,278 69.207 72.915 76,188 79,334 82,566 86.120 90.405 96,578 101.879 106,629 112,329 116.321 81 51,969 54,357 57,998 61,261 65,176 70,140 73,874 77,168 80,334 83,586 87,161 91.472 97.680 103,010 107.783 113,512 117,524 82 52,767 55,174 58,845 62,132 66,076 71,074 74,833 78,148 81,334 84.606 88,202 92,538 98,780 104,139 108,937 114,695 118.726 83 53,567 55.993 59,692 63,004 66.976 72,008 75,792 79.128 82,334 85,626 89,243 93,604 99,880 105.267 110,090 115,876 119,927 84 54.368 56,813 60,540 63,876 67.876 72.943 76,751 80,108 83.334 86,646 90,284 94,669 100.980 106.395 111,242 117.057 121,126 85 55,170 57,634 61,389 64.749 68,777 73,878 77,710 81,089 84,334 87,665 91,325 95,734 102,079 107,522 112,393 118.236 122,325 86 55,973 58,456 62,239 65.623 69.679 74,813 78.670 82,069 85,334 88,685 92,365 96,799 103,177 108,648 113,544 119,414 123,522 87 56,777 59,279 63,089 66,498 70,581 75,749 79,630 83,050 86,334 89,704 93,405 97,863 104,275 109,773 114,693 120,591 124,718 Окончание прил. 3 150 п \ 99,5 % 99 % 97,5 % 95% 90 % 80 % 70 % 60 °А, 50 % 40 % 30% 20% 10 % 5% 2,5 % 1 "А, 0,5 % 88 57,582 60,103 63,941 67,373 71,484 76,685 80,590 84,031 87,334 90,723 94,445 98,927 105,372 110,898 115,841 121,767 125.913 89 58,389 60,928 64,793 68,249 72,387 77,622 81,550 85,012 88,334 91,742 95,484 99,991 106,469 112,022 116,989 122,942 127,106 90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78,558 82.511 85,993 89,334 92,761 96,524 101,054 107,565 113,145 118U36 124,116 128,299 91 60,005 62,581 66,501 70,003 74,196 79,496 83,472 86,974 90,334 93,780 -97,563 102,117 108,661 114,268 119,282 125,289 129,491 92 60,815 63,409 67,356 70,882 75,101 80,433 84,433 87,955 91,334 94,799 98,602 103,179 109,756 115,390 120,427 126,462 130,681 93 61,625 64,238 68,211 71,760 76,006 81,371 85,394 88,936 92,334 95,818 99,641 104,241 110,850 116,511 121,571 127,633 131,871 94 62,437 65,068 69,068 '72,640 76,912 82,309 86,356 89,917 93,334 96,836 100,679 105,303 111,944 117,632 122,715 128,803 133,059 95 63,250 65,898 69,925 73,520 77,818 83,248 87,317 90,899 94,334 97,855 101,717 106,364 113,038 118,752 123,858 129,973 134,247 96 64,063 66,730 70,783 74,400 78,725 84,187 88,279 91,881 95,334 98,873 102,755 107,425 114,131 119,871 125,000 131,141 135.433 97 64,878 67,562 71,642 75,282 79,633 85,126 89.241 92.862 96,334 99,892 103,793 108,486 115,223 120,990 126,141 132,309 136,619 98 65,694 68,396 72,501 76,164 80,541 86,065 90,204 93,844 97,334 100,910 104,831 109,547 116,315 122,108 127,282 133,476 137,803 99 66,510 69,230 73,361 ”77,046 81,449 87,005 91,166 94,826 98,334 101,928 105,868 110,607 117,407 123,225 128,422 134,642 "138,987 100 67,328 70,065 74,222 . 77,929 82,358 87,945 92,129 95,808 99,334 102,946 106,906 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169 Примечание. , Для больших значений п процентная точка /’-распределения может быть получена из аппроксимационных выражений [1] г 1 I-------------------Г Ха-100%(«) ® - 1 «Г-а + И 2 ( Л L 2 Ха100%(") = »О- — + М,_а где И(_а - квантиль нормального стандартного распределения, которая может быть найдена по таблице прил. 1. 2 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Процентные точки F-распределеиия Фишера. Q = 0,05 % т' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500 со 1 1624 2004 2164 2254 2314 23 44 2374 2394 2414 2424 2434 2444 2464 2484 2494 2504 2514 2524 2524 25 З4 2534 2534 2544 2544 2 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 200' 3 266 237 225 218 214 211 209 208 207 206 204 204 203 201 200 199 199 198 198 197 197 197 196 196 4 106 87,4 80,1 76,1 73,6 71,9 70,6 69,7 68,9 68,3 67.8 67,4 66,5 65,5 65,1 64,6 64,1 63,8 63,6 63.2 63.1 62,9 62,7 62,6 5 63,6 49,8 44,4 41,5 39,7 38,5 37,6 36,9 36,4 35,9 35,6 35,2 34,6 33,9 33,5 33,1 32,7 32.5 32,3 32.1 32,0 31,8 31,7 31.6 6 46,1 34,8 30,4 28,1 26,6 25,6 24,9 24,3 23,9 23,5 23,2 23,0 22,4 21,9 21,7 21,4 21,1 20.9 20,7 20,5 20.4 20,3 20.3 20,1 7 37,0 27,2 23,5 21,4 20,2 19,3 18,7 18,2 17,8 17,5 17,2 17,0 16,5 16,0 15,7 15,5 15,2 15,1 15.0 14.7 14.7 14,6 14,5 14,4 8 31,6 22,8 19,4 17,6 16,4 15,7 15,1 14,6 14,8 14,0 13,8 13,6 13,1 12,7 12,5 12,2 12.0 11,8 11.8 11.6 11.5 11,4 11,4 и,з 9 28,0 19.9 16,8 15,1 14,1 13,3 12,8 12,4 12,1 11,8 11,6 Н,4 11,0 10,6 10,4 10.2 9.94 9.8 9,71 9,53' 9,49 9.40 9.32 9.26 10 25,5 17,9 15,0 13,4 12,4 11,8 и,з 10,9 10,6 10,3 10,1 9,93 9,56 9,16 8,96 8,75 8.54 8.42 8.33 8,16 8,12 8,04 7.96 7.90 11 23,6 16,4 13,6 12,2 11,2 10,6 10,1 9,76 9,48 9,24 9,04 8,88 8,52 8,14 7,94 7,75 7,55 7,43 7.35 7,18 7.14 7,06 6,98 6.93 12 22,2 15,3 12,7 11,2 10,4 9,74 9,28 8,94 8,66 8,43 8,24 8,08 7,74 7,37 7,18 7,00 6,80 6.68 6.61 6,45 6,41 6,33 6,25 6.20 15 19,5 13,2 10,8 9,48 8,66 8,10 7,68 7,36 7,11 6,91 6,75 6,60 6,27 5,93 5.75 5.58 5,40 5.29 5,21 5.06 5,02 4,94 4.87 4.83 20 17,2 11.4 9,20 8,02 7,28 6,76 6,38 6,08 5,85 5,66 5,51 5,38 5,07 4,75 4.58 4,42 4,24 4,15 4,07 3,93 3,90 3,82 3.75 3.70 24 16,2 10,6 8,52 7,39 6,68 6,18 5,82 5,54 5,31 5,13 4,98 4,85 4.55 4,25 4.09 3.93 3,76 3,66 3.59 3.44 3.41 3.33 3.27 3.22 30 15,2 9,90 7,90 6,82 6,14 5,66 5,31 5,04 4,82 4,65 4,51 4,38 4,10 3.80 3.65 3.48 3,32 3.22 3,15 3.00 2.97 2,89 2.82 2,78 40 14,4 9,25 7,33 6,30 5,64 5,19 4,85 4,59 4,38 4,21 4,07 3,95 3.68 3,39 3,24 3.08 2.92 2,82 2.74 2,60 2,57 2,49 2.41 2.37 60 13,6 8,65 6,81 5,82 5,20 4,76 4,44 4,18 3,98 3,82 3,69 3,57 3.30 3,02 2.87 2,71 2.55 2.45 2.38 2.23 2.19 2,11 2,03 Г.98 120 12,8 8,10 6,34 5,39 4,79 4,37 4,07 3,82 3,63 3,47 3,34 3,22 2,96 2,67 2,53 2.38 2,21 2,11 2.01 1.88 1.84 1.75 1,67 1.60 оо 12,1 7,60 5.91 5,00 4,42 '4.02 3,72 3,48 3,30 3,14 3,02 2,90 2,65 2,37 2,22 2.07 1,91 1,79 1.71 1.53 1,48 1.36 1.22 1,00 В таблице даны процентные точки с тремя значащими цифрами, причем, например, 1624 означает 162-104. Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 0,1 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо 1 40532 5 0002 54042 56252 57642 58592 59292 59812 60232 60562 61072 61582 62 092 62352 62612 62872 63132 63402 63 662 2 999 999,0 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 1000 1000 1000 1000 1000 1000 3 167,0 149 141 137 135 133 132 131 130 129 128 127 126 126 125 125,0 125 124,0 124 4 74,1 61,3 56,2 53,4 51,7 50,5 49,7 49,00 48,5 48,1 47,4 46,8 46,1 45,8 45,4 45,1 44,8 44,4 44,1 5 47,2 37,1 33,20 31,1 29,8 28,8 28.2 27.6 27.2 26,9 26,4 25,9 25,4 25,1 24,9 24,60 24,3 24.1 23,8 6 35,5 27,00 23,70 21,9 20,8 20 19,5 19 18,7 ' 18,4 18 17,6 17,1 16.9 16.7 16,4 16,2 16 15,8 7 29,3 21,7 18,8 17,2 16,2 15,5 15 14.6 14,3 14,1 13,7 13,3 12.9 12,7 12,5 12,3 12,1 11,9 11,70 8 25,4 18,5 15,8 14,4 13,5 12,9 12,40 12 11,8 Н,5 11,2 10,8 10,5 10,3 10,1 9,92 9,73 9,53 9,33 9 22,9 16,4 13,90 12,6 11,7 И,1 10,70 10,4 10,1 9,89 9,57 9,24 8.40 8,72 8.55 8,37 8,19 8.00 7,81 10 21 14,9 12,6 н,з 10,5 9,92 9,52 9,20 8,96 8,75 8,45 8,13 7,80 7,64 7,47 7,30 7,12 6,94 6,76 11 19,7 13,8 11,6 10,4 9,58 9,05 8,66 8.35 8,12 7,92 7,63 7.32 7,01 6,85 6.68 6,52 6,35 6,17 6,00 12 18,6 13 10,80 9,63 8,89 8,38 8,00 7,71 7,48 7,29 7,00 6,71 6,40 6,25 6,09 5,93 5,76 5,59 5,42 13 17,8 12,3 10,2 9,07 8,35 7,86 7,49 7,21 6,98 6.80 6,52 6,23 5,93 5,78 5,63 5,47 5.30 5,14 4.97 14 17,1 11,8 9,73 8,62 7,92 7,43 7,08 6.80 6,58 6,40 6,13 5,85 5,56 5.41 5,25 5,10 4.94 4,77 4,60 15 16,6 н,з 9,34 8,25 7,57 7,09 6,74 6,47 6,26 6,08 5,81 5,54 5,25 5,10 4,95 4,80 4,64 4,47 4.31 16 16,1 11 9,00 7,94 7,27 6,81 6.46 6,19 5,98 5,81 5,55 5,27 4,99 4,85 4,70 4,54 4.39 ' 4.23 4,06 17 15,7 10,7 8,73 7,68 7,02 6,56 6,22 5,96 5,75 5,58 5,32 5,05 4,78 .4,63 4,48 4,33 4,18 4.02 3,85 18 15,4 10,4 8,49 7,46 6,81 6,35 6,02 5,76 5,56 5,39 5,13 4,87 4,59 4,45 4,30 4,15 4.00 3,84 3,67 19 15,1 10,2 8,28 7,26 6.62 6,18 5,85 5,59 5,39 5,22 4,97 4,70 4,43 4,29 4,14 3,99 3,84 3,68 3,51 20 14,8 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,69 5,44 5,24 5,08 4,82 4,56 4,29 4,15 4.00 3,86 3,70 3,54 3,38 21 14,6 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,56 5,31 5,11 4,95 4,70 4,44 4,17 4.03 3,88 3.74 3,58 3,42 3,26 22 14,4 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,44 5,19 4,99 4,83 4,58 4,33 4,06 3,92 3,78 3,63 3,48 3,32 3,15 Продолжение прил. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо 23 14,2 9,47 7,67 6,69 6,08 5,65 5,33 5,09 4,89 4,73 4,48 4,23 3,96 3,82 3,68 3,53 3,38 3,22 3.05 24 14 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 5,23 4,99 4,80 4,64 4,39 4,14 3,87 3,74 3,59 3,45 3,29 3,14 2,97 25 13,9 9,22 7,45 6,49 5,88 5,46 5,15 4,91 4,71 4,56 4,31 4,06 3,79 3,66 3,52 3,37 3,22 3,06 2,89 26 13,7 9,12 7,36 6,41 5,80 5,38 5,07 4,83 4,64 4,48 4,24 3,99 3,72 3,59 3,44 3,30 3,15 2,99 2,82 27 13,6 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 5,00 4,76 4,57 4,41 4,17 3,92 3,66 3,52 3,38 3,23 3,08 2,92 2,75 28 13,50 8,93 7,19. 6,25 5,66 5,24 4,93 4,69 '4,50 4,35 4,11 3,86 3,60 3,46 3,32 3,18 3,02 2,86 2,69 29 13,4 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,87 4,64 4,45 4,29 4,05 3,80 3,54 3,41 3,27 3,12 2,97 2,81 2,64 30 13,3 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,82 4,58 4,39 4,24 4,00 3,75 3,49 3,36 3,22 3,07 2,92 2,76 2,59 40 12,6 8,25 6,60 5,70 5,13 4,73 4,44 4,21 4,02 3,87 3,64 3,40 3,15 3,01 2,87 2,73 2,57 2,41 2,23 60 12 7,76 6,17 5,31 4,76 4,37 4,09 3,87 3,69 3,54 3,31 3,08 2,83 2,69 2,55 2,41 2,25 2,08 1,89 120 Н,4 7,32 5,79 4,95 4,42 4,04 3,77 3,55 3,38 3,24 3,02 2,78 2,53 2,40 2,26 2,И 1,95 1,76 1,54 оо 10,8 6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,47 3,27 3,10 2,96 2,74 2,51 2,27 2,13 1,99 1,84 1,66 1,45 1,00 Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 0,5% \л т\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 со 1 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24426 24630 24836 24940 25044 25148 25253 25359 25465 2 198,50 199,00 199,17 199,25 199,30 199,33 199,36 199,37 199,39 199,40 199,42 199,43 199,45 199,46 199,47 199,47 199,48 199,49 199,51 3 55,552 49,799 47,467 46,195 45,392 44,838 44,434 44,126 43,882 43,685 43,387 43,085 42,778 42,622 42,466 42,308 42,149 41,989 41,829 4 31,333 26,284 24,259 23,155 22,456 21,975 21,622 21,352 21,139 20,967 20,705 20,438 20,167 20,030 19,892 19,752 19,611 19,468 19,325 5 22,785 18,314 16,530 15,556 14,940 14,513 14,200 13,961 13,772 13,618 13,384 13,146 12,903 12,780 12,656 12,530 12,402 12,274 12,144 6 18,635 14,544 12,917 12,028 11,464 11,073 10,786 10,566 10,391 10,250 10,034 9,8140 9,5888 9,4741 9,3583 9.2408 9,1219 9,0015 8,8793 7 16,236 12,404 10,882 10,050 9,5221 9,1554 8,8854 8,6781 8,5138 8,3803 8,1764 7,9678 7,7540 7,6450 7,5345 7,4225 7,3088 7,1933 7,0760 8 14,688 11,042 9,5965 8,8051 8,3018 7,9520 7,6942 7,4960 7,3386 7.2107 7,0149 6,8143 6,6082 6,5029 6,3961 6,2875 6,1772 6,0649 5,9505 9 13,614 10,107 8,7171 7,9559 7,4711 7,1338 6,8849 6,6933 6,5411 6,4171 6,2274 6,0325 5,8318 5,7292 5,6248 5,5186 5,4104 5,3001 5,1875 Продолжение прил. 4 К п т\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 СО 10 12,826 9,4270 8,0807 7,3428 6,8723 6,5446 6,3025 6,1159 5,9676 5,8467 5,6613 5,4707 5,2740 5,1732 5,0705 4,9659 4,8592 4,7501- 4,6385 11 12,226 8,9122 7,6004 6,8809 6,4217 6,1015 5,8648 5,6821 5,5368 5,4182 5,2363 5,0489 4,8552 4,7557 4,6543 4,5508 4,4450 4,3367 4,2256 12 11,754 8,5096 7,2258 6,5211 6,0711 5,7570 5,5245 5,3451 5,2021 5,0855 4,9063 4,7214 4,5299 4,4315 4,3309 4,2282 4,1229 4,Q 149 3,9039 13 11,374 8.1865 6,9257 6,2335 5,7910 5,4819 5,2529 5,0761 4,9351 4,8199 4,6429 4,4600 4,2703 4,1726 4,0727 3,9704 3,8655 3,7577 3,6465 14 11,060 7,9216 6.6803 5,9984 5,5623 5,2574 5,0313 4,8566 4,7173 4,6034 4,4281 4,2468 4,0585 3,9611 3,8619 3,7600 3,6553 3,5473 3,4359 15 10,798 7.7008 6,4760 5,8029 5,3721 5,0708 4,8473 4,6743 4,5364 4,4236 4,2498 4,0698 3,8826 3,7859 3,6867 3,5850 3,4803 3.3722 3,2602 16 10,575 7,5138 6,3034 5,6378 5,2117 4,9134 4,6920 4,5207 4,3838 4,2719 4,0994 3,9205 3,7342 3,6378 3,5388 3,4372 3,3324 3,2240 3,1115 17 10,384 7,3536 6,1556 5,4967 5,0746 4,7789 4,5594 4,3893 4,2535 4,1423 3,9709 3,7929 3,6073 3,5112 3,41'24 3,3107 3,2058 3,0971 2,9839 18 10,218 7,2148 6,0277 5,3746 4,9560 4,6627 4,4448 4,2759 4,1410 4,0305 3,8599 3,6827 3,4977 3,4017 3,3030 3,2014 3,0962 2,9871 2,8732 19 10,073 7,0935 5,9161 5,2681 4,8526 4,5614 4,3448 4,1770 4.0428 3,9329 3,7631 3,5866 3,4020 3,3062 3,2075 3,1058 3.0004 2,8908 2,7762 20 9,9439 6.9865 5,8177 5,1743 4,7616 4,4721 4,2569 4,0900 3,9564 3,8470 3,6779 3,5020 3,3178 3,2220 3,1234 3,0215 2,9159 2,8058 2,6904 21 9,8295 6,8914 5,7304 5,0911 4,6808 4,3931 4,1789 4,0128 3,8799 3,7709 3,6024 3,4270 3,2431 3,1474 3,0488 2,9467 2,8408 2,7302 2.6140 22 9,7271 6,8064 5,6524 5,0168 4,6088 4,3225 4,1094 3,9440 3,8116 3,7030 3,5350 3,3600 3,1764 3,0807 2,9821 2,8799 2,7736 2,6625 2.5455 23 9,6348 6,7300 5,5823 4,9500 4,5441 4,2591 4,0469 3,8822 3,7502 3,6420 3,4745 3,2999 3,1165 3.0208 2,9221 2,8198 2,7132 2,6016 2,4837 24 9,5513 6,6609 5,5190 4,8898 4,4857 4,2019 3,9905 3,8264 3,6949 3,5870 3,4199 3,2456 3,0624 2,9667 2,8679 2,7654 2,6585 2,5463 2,4276 25 9,4753 6,5982 5,4615 4,8351 4,4327 4,1500 3,9394 3,7758 3,6447 3,5370 3,3704 3,1963 3,0133 2.9176 2,8187 2,7160 2,6088 2,4960 2,3765 26 9,4059 6,5409 5,4091 4,7852 4,3844 4,1027 3,8928 3,7297 3,5989 3,4916 3,3252 3,1515 2,9685 2,8728 2,7738 2,6709 2,5633 2,4501 2,3297 27 9,3423 6,4885 5,3611 4,7396 4,3402 4,0594 3,8501 3,6875 3,5571 3,4499 3,2839 3,1104 2,9275 2,8318 2,7327 2,6296 2,5217 2,4079 2,2867 28 9,2838 6,4403 5,3170 4,6977 4,2996 4,0197 3,8110 3,6487 3,5186 3.4117 3,2460 3,0727 2,8899 2,7941 2,6949 2,5916 2,4834 2,3690 2,2469 29 9,22 97 6,3958 5,2764 4.6591 4,2622 3,9830 3,7749 3,6130 3,4832 3,3765 3,2111 3,0379 2,8551 2,7594 2,6601 2,5565 2,4479 2,3331 2,2102 30 9,1797 6,3547 5,2388 4,6233 4,2276 3,9492 3,7416 3,5801 3,4505 3,3440 3,1787 3,0057 2,8230 2,7272 2,6278 2,5241 2,4151 2,2998 2,1760 40 8,8278 6,0664 4,9759 4,3738 3,9860 3,7129 3,5088 3,3498 3,2220 3,1167 2,9531 2,7811 2,5984 2,5020 2,4015 2,2958 2,1838 2,0635 1,9318 60 8,4946 5,7950 4,7290 4,1399 3,7600 3,4918 3,2911 3,1344 3,0083 2,9042 2,7419 2,5705 2,3872 2,2898 2,1874 2,0789 1,9622 1,8341 1,6885 120 8,1790 5,5393 4,4973 3,9207 3,5482 3,2849 3,0874 2,9330 2,8083 2,7052 2,5439 2,3727 2,1881 2,0890 1,9839 1,8709 1,7469 1,6055 1,4311 со 7,8794 5,2983 4,2794 3,7151 3,3499 3,0913 2,8968 2,7444 2,6210 2,5188 2,3583 2,1868 1,9998 1,8983 1,7891 1,6691 1,5325 1,3637 1,0000 Продолжение прил. 4 Процентные точки F-распределения Фишера. Q~ 1 % ел ел п т\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ОО 1 4052,2 4999,5 5403,3 5624,6 5763,7 5859,0 5928,3 5981,1 6022,5 6055,8. 6106,3 6157,3 6208,7 6234,6 6260,7 6286,8 6313,0 6339,4 6366,0 2 98,503 99.000 99,166 99,249 99,299 99,332 99,356 99,374 99,388 99,399 99,416 99,432 99,449 99,458 99,466 99,474 99,483 99,491 99,499 3 34,116 30,817 29,457 28,710 28,237 27,911 27,672 27,489 27,345 27,229 27,052 26,872 26,690 26,598 26,505 26,411 26,316 26,221 26,125 4 21,198 18,000 16,694 15,977 15,522 15,207 14,976 14,799 14,659 14346 14,374 14,198 14,020 13,929 13,838 13,745 13,652 13,558 13,463 5 16,258 13,274 12,060 11,392 10,967 10,672 10,456 10,289 10,158 10,051 9,8883 9,7222 9,5527 9,4665 9,3793 9,2912 9,2020 9,1118 9,0204 6 13,745 10,925 9,7795 9,1483 8,7459 8,4661 8,2600 8,1016 7,9761 7,8741 7.7183 7,5590 7,3958 7,3127 7,2285 7,1432 7,0568 6,9690 6,8801 7 12,246 9,5466 8,4513 7,8467 7,4604 7,1914 6,9928 6,8401 6,7188 6,6201 6,4691 6,3143 6,1554 6,0743 5,9921 5,9084 5,8236 5,7372 5,6495 8 11,259 8,6491 7,5910 7,0060 16,6318 6,3707 6,1776 6,0289 5,9106 5,8143 5,6668 5,5151 5,3591 5,2793 5,1981 5,1156 5,0316 4,9460 4,8588 9 10,561 8,0215 6,9919 6,4221 6,0569 5,8018 5,6129 5,4671 5.3511 5,2565 5,1114 4,9621 4,8080 4,7290 4.6486 4,5667 4,4831 4,3978 4,3105 10 10,044 7,5594 6,5523 5,9943 5,6363 5,3858 5,2001 5,0567 4,9424 4,8492 4,7059 4,5582 4,4054 4,3269 4,2469 4,1653 4,0819 3,9965 3,9090 И 9,6460 7,2057 6,2167 5,6683 5,3160 5,0692 4,8861 4,7445 4,6315 4,5393 4,3974 4,2509 4,0990 4,0209 3,9411 3,8596 3,7761 3,6904 3,6025 12 9,3302 6,9266 5,9526 5,4119 5,0643 4,8206 4,6395 4,4994 4,3875 4,2961 4,1553 4,0096 3,8584 3,7805 3,7008 3,6192 3,5355 3,4494 3,3608 13 9,0738 6,7010 5,7394 5,2053 4,8616 4,6204 4,4410 4,3021 4.1911 4,1003 3,9603 3,8154 3,6646 3,5868 3,5070 3,4253 3,3443 3,2548 3,1654 14 8,8616 6,5149 5,5639 5,0354 4,6950 4,4558 4,2779 4.1399 4,0297 3,9394 3,8001 3,6557 3,5052 3,4274 3,3476 3,2656 3,1813 3.0942 3,0040 15 8.6831 6,3589 5,4170 4,8932 4,5556 4,3183 4,1415 4,0045 3,8948 3,8049 3,6662 3,5222 3,3719 3,2940 3,2141 3,1319 3,0471 2,9595 2,8684 16 8,5310 6,2262 5,2922 4,7726 4,4374 4,2016 4,0259 3,8896 3,7804 3,6909 3,5527 3,4089 3,2588 3,1808 3,1007 3,0182 2,9330 2,8447 2,7528 17 8,3997 6,1121 5,1850 4,6690 4,3359 4,1015 3,9267 3,7910 3,6822 3,5931 3,4552 3,3117 3,1615 3,0835 3,0032 2,9205 2,8348 2,7459 2,6530 18 8,2854 6,0129 5,0919 4,5790 4,2479 4,0146 3,8406 3,7054 3,5971 3,5082 3,3706 3,2273 3,0771 2.9990 2,9185 5,8354 2,7493 2,6597 2,5660 19 8,1850 5,9259 5,0103 4,5003 4,1708 3,9386 3,7653 3,6305 3,5225 3,4338 3,2965 3,1533 3,0031 2,9249 2,8442 2,7608 2,6742 2,5839 2,4893 20 8.0960 5,8489 4,9382 4,4307 4,1027 3,8714 3,6987 3,5644 3,4567 3,3682 3,2311 3,0880 2,9377 2,8594 2,7785 2,6947 2,6077 2,5168 2,4212 21 8,0166 5,7804 4,8740 4,3688 4,0421 3,8117 3,6396 3.5056 3,3981 3,3098 3.1729 3.0299 2,8796 2,8011 2,7200 2,6359 2,5484 2,4568 2,3603 22 7,9454 5,7190 4,8166 4,3134 3,9880 3,7583 3.5867 3,4530 3,3458 3,2576 3.1209 2,9780 2.8274 2,7488 2,6675 2,5831 2,4951 2,4029 2,3055 23 7,8811 5,6637 4,7649 4,2635 3,9392 3,7102 3,5390 3,4057 3,2986 3,2106 3.0740 2,9311 2,7805 2,7017 2,6202 2,5355 2,447 2,3542 2,2559 24 7,8229 5,6136 4,7181 4,2184 3,8951 3,6667 3,4959 3,3629 3,2560 3,1681 3,0316 2,8887 2,7380 2,6591 2,5773 2,4923 2.4035 2,3099 2,2107 25 7,7698 5,5680 4,6755 4,1774 3,8550 3,6272 3,4568 3,3239 3,2172 3,1294 2,9931 2.8502 2,6993 2,6203 2,5383 2,4530 2,3637 2.2695 2,1694 26 7,7213 5,526? 4,6366 4,1400 3,8183 3,5911 3,4210 3,2884 3.1818 3,0941 2,9579 2,8150 2,6640 2,5848 2,5026 2,4170 2,3273 2,2325 2,1315 27 7,6767 5,41 81 4,6009 4,1056 3,7848 3,5580 3,3882 3,2558 3,1494 3,0618 2,9256 2,7827 2,6316 2,5522 2,4699 2,3840 2,2938 2,1984 2,0965 28 7,6356 5,4э29 4.5681 4,0740 3,7539 3,5276 3,3581 3,2259 3,1195 3,0320 2,8959 2,7530 2,6017 2,5223 2,4397 2,3535 2,2629 2,1670 2,0642 29 7,5976 5,4205 4,5378 4,0449 3,7254 3,4995 3,3302 3,1982 3,0920 3,0045 2,8685 2,7256 2,5742 2,4946 2,4118 2,3253 2,2344 2,1378 2.0342 30 7,5625 5,3903 4,5097 4,0179 3,6990 3,4735 3,3045 3,1726 3,0665 2,9791 2,8431 2,7002 2,5487 2,4689 2,3860 2,2992 2,2079 2,1107 2,0062 40 7,3141 5,1785 4,3126 3,8283 3,5138 3,2910 3,1238 2,9930 2,8876 2,8005 2,6648 2,5216 2,3689 2,2880 2,2034 2,1142 2,0194 1,9172 1,8047 60 7,0771 4,9774 4,1259 3,6491 3,3389 3,1187 2,9530 2,8233 2,7185 2,6318 2,4961 2,3523 2,1978 2,1154 2,0285 1,9360 1.8363 1,7263 1,6006 120 6,8510 4,7865 3,9491 3,4796 3,1735 2,9559 2,7918 2,6629 2,5586 2,4721 2,3363 2,1915 2,0346 1,9500 1,8600 1,7628 1,6557 1,5330 1,3805 ОО 6,6349 4,6052 3,7816 3,3192 3,0173 2,8020 2,6393 2,5113 2,4073 2,3209 2,1848 2,0385 1,8783 1,7908 1,6964 1,5923 1,4730 1,3246 1,0000 Продолжение прил. 4 Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 2,5 % Ul оч \ п т \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ОО 1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 976,71 984,87 993,10 997,25 1001,4 1005,6 1009,8 1014,0 1018,3 2 38,506 39,000 39,165 39,248 39,298 39,331 39,355 39,373 39,387 39,398 39,415 39,431 39,448 39,456 39,465 39,473 39,481 39,490 39,498 3 17,443 16,944 15,439 15,101 14,885 14,735 14,624 14,540 14,473 14,419 14,337 14,253 14,167 14,124 14,081 14,037 13,992 13,947 13,902 4 12,218 10,649 9,9792; 9,6045 9,3645 9,1973 9,0741 8,9796 8,9047 8,8439 8,7512 8,65^5 8,5599 8,5109 8,4613 8,4111 8,3604 8,3092 8,2573 5 10,007 8,4336 7,7636 7,3879 7,1464 6,9777 6,8531 6,7572 6,6810 6,6192 6,5246 6,4227 6,3285 6,2780 6,2269 6,1751 6,1225 6,0693 6,0153 6 8,8131 7,2598 6,5988 6,2272 5,9876 5,8197 5,6955 5,5996 5,5234 5,4613 5,3662 5,2687 5,1684 5,1172 5,0652 5,0125 4,9589 4,9045 4.8491 7 8,0727 6,5415 5,8898 5,5226 5,2852 5,1186 4,9949 4,8994 4,8232 4,7611 4,6658 4,5678 4,4667 4,4150 4,3624 4.3089 4,2544 4,1989 4,1423 8 7.5709 6,0595 5,4160 5,0526 4,8173 4,6517 4,5286 4,4332 4,3572 4,2951 4,1997 4,1012 3,9995 3.9472 3,8940 3,8398 3,7844 3,7279 3.6702 9 7,2093 5.7147 5,0781 4,7181 4,4844 4,3197 4,1971 4,1020 4,0260 3,9639 3,8682 3,7694 3,6669 3,6142 3.5604 3,5055 3,4493 .3,3918 3,3329 10 6,9367 5,4564 4,8256 4,4683 4,2361 4,0721 3,9498 3,8549 3,7790 3,7168 3,6209 3,5217 3,4186 3,3654 3,3110 3,2554 3,1984 3,1399 3,0798 И 6,7241 5,2559 4,6300 4,2751 4,0440 3,8807 3,7586 3,6638 3,5879 3,5257 3,4296 3,3299 3,2261 3,1725 3,1176 3.0613 3,0035 2.9441 2,8828 12 6,5538 5,0959 4,4742 4,1212 3,8911 3,7283 3,6065 3,5118 3,4358 3,3736 3,2773 3,1772 3,0728 3,0187 2,9633 2.9063 2,8478 2,7874 2,7249 13 6,4143 4,9653 4,3472 3,9959 3,7667 3,6043 3,4827 3,3880 3,3120 3,2497 3,1532 3,0527 2,9477 2,8932 2,8373 2,7797 2,7204 2,6590 2,5955 14 6,2979 4,8567 4,2417 3,8919 3,6634 3,5014 3,3799 3,2853 3,2093 3,1469 3,0501 2,9493 2,8437 2,7888 2,7324 2.6742 2,6142 2,5519 2,4872 15 6,1995 4,7650 4,1528 3,8043 3,5764 3,4147 3,2934 3,1987 3,1227 3,0602 2,9633 2,8621 2,7559 2.7006 2,6437 2,5850 2.5242 2,4611 2,3953 16 6,1151 4,6867 4,0768 3,72^4 3,5021 3,3406 3,2194 3,1248 3,0488 3,9862 2,8890 2,7875 2,6808 2,6252 2,5678 2,5085 2,4471 2,3831 2,3163 17 6,0420 4,6189 4,0112 3,6648 3,4379 3,2767 3,1556 3,0610 2,9849 2,9222 2,8249 2,7230 2,6158 2,5598 2,5021 2,4422 2,3801 2,3153 2,2474 18 5,9781 4,5597 3,9539 3,6083 3,3820 3,2209 3,0999 3,0053 2,9291 2,8664 2,7689 2,6667 2,5590 2,5027 2,4445 2,3842 2,3214 2,2558 2.1869 19 5,9216 4,5075 3,9034 3,5587 3,3327 3,1718 3,0509 2,9563 2,8800 2,8173 2,7196 2,6171 2,5089 2,4523 2,3937 2.3329 2,2695 2,2032 2,1333 20 5,8715 4,4613 3,8587 3,5147 3,2891 3,1283 3,0074 2,9128 2.8365 2,7737 2,6758 2,5731 2,4645 2,4076 2,3486 2,2873 2,2234 2,1562 2,0853 21 5,8266 4,4199 3,8188 3,4754 3,2501 3,0895 2,9686 2,8740 2,7977 2,7348 2,6368 2,5338 2,4247 2.3675 2,3082 2,2465 2,1819 2,1141 2,0422 22 5,7863 4,3828 3,7829 3,4401 3,2151 3,0546 2,9338 2,8392 2,7628 2,6998 2,6017 2,4984 2,3890 2,3315 2Д718 2,2097 2,1446 2,0760 2,0032 23 5,7498 4,3492 3,7505 3,4083 3,1835 3,0232 2,9024 2,8077 2,7313 2,6682 2,5699 2,4665 2,3567 2,2989 2,2389 2.1763 2.1107 2,0415 1,9677 24 5,7167 4,3187 3,7211 3,3794 3,1548 2,9946 2,8738 2,7791 2,7027 2,6396 2,5412 2,4374 2,3273 2,2693 2,2090 2,1460 2,0799 2,0099 1,9353 Продолжение прил. 4 V п /и\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ОО 25 5,6864 4,2909 3,6943 3,3530 3,1287 2,9685 2,8478 2,7531 2,6766 2,6135 2,5149 2,4110 2,3005 2,2422 2,1816 2,1183 2,0517 1,9811 1,9055 26 5,6586 4,2655 3,6697 3,3289 3,1048 2,9447 2,8240 2,7293 2,6528 2,5895 2,4909 2,3867 2,2759 2,2174 2,1565 2,0928 2,0257 1,9545 1,8781 27 5,6331 4,2421 3,6472 3,3067 3,0828 2,9228 2,8021 2,7074 2,6309 2,5676 2,4688 2,3644 2,2533 2,1946 2,1334 2,0693 2,0018 1,9299 1,8527 28 5,6096 4,2205 3,6264 3,2863 3,0625 2,9027 2,7820 2,6872 2,6106 2,5473 2,4484 2,3438 2,2324 2,1735 2,1121 2,0477 1.9796 1,9072 1,8291 29 5,5878 4,2006 3,6072 3,2674 3,0438 2,8840 2,7633 2,6686 2,5919 2,5286 2,4295 2,3248 2,2131 2,1540 2,0923 2,0276 1,9591 1,8861 1,8072 30 5,5675 4,1821 3,5894 3,2499 3,0265 2,8667 2,7460 2,6513 2,5746 2,5112 2,4120 2,3072 2,1952 2,1359 2,0739 2.0089 1,9400 1,8664 1,7867 40 5,4239 4,0510 3,4633 3,1261 2,9037 2,7444 2,6238 2,5289 2,4519 2,3882 2,2882 2,1819 2,0677 2,0069 1,9429 1,8752 1,8028 1,7242 1,6371 60 5,2857 3,9253 3,3425 3,0077 2,7863 2,6274 2,5068 2,4117 2,3344 2,2702 2,1692 2,0613 1,9445 1,8817 1,8152 1,7440 1.6668 1,5810 1,4822 120 5,1524 3,8046 3,2270 2,8943 2,6740 2,5154 2,3948 2,2994 2,2217 2,1570 2,0548 1,9450 1,8249 1,7597 1,6899 1,6141 1,5299 1,4327 1,3104 ОО 5,0239 3,6889 3,1161 2,7858 2,5665 2,4082 2,2875 2,1918 2,1136 2,0483 1,9447 1,8326 1,7085 1,6402 1,5660 1,4835 1,3883 1,2684 1,0000 Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 5 % \ п т \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ОО 1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241.88 243,91 245,95 248,01 249,05 250,09 251,14 252,20 253,25 254,32 2 18,513 19,000 19,164 19,247 V9,296 19,330 19,353 19,371 19,385 19,396 19,413 19,429 19,446 19,454 19,462 19.471 19,479 19,487 19.496 3 10,128 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8868 8,8452 8,8123 8,7855 8,7446 8,7029 8,6602 8,6385 8,6166 8,5944 8,5720 8,5494 8.5263 4 7.7086 6,9443 6,59)4 6,3883 6,2560 6,1631 6,0942 6,0410 5,9988 5,9644 5,9117 5,8578 5,8025 5,7744 5.7459 5,7170 5.6878 5,6581 5,6281 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4.7351 4,6777 4,6188 4,5581 4.5272 4,4957 4,4638 4,4314 4,3984 4.3650 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2066 4,1468 4.0990 4,0600 3,9999 3,9381 3,8?42 3,8415 3,8082 3,7743 3,7398 3,7047 3.6688 7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 3,7257 3,6767 3,6365 3,5747 3,5108 3,4445 3,4105 3,3758 3,3404 3,3043 3,2674 3,2298 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8378 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472 3,2840 3,2184 3,1503 3,1152 3,0794 3.0428 3,0053 2,9669 2.9776 9 5,1174 4,2565 3,8626 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373 3.0729 3,0061 2,9365 2,9005 2,8637 2,8259 2,7872 2,7475 2,7067 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 3.0717 3,0204 2.9782 2,9130 2,8450 2,7740 2,7372 2,6996 2,6609 2.6211 2,5801 2,5379 и 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 2,9480 2,8962 2,8536 2,7876 2,7186 2,6464 2.6090 2,5705 2.5309 2,4901 2,4480 2,4045 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534 2,6866 2,6169 2,5436 2,5055 2,4663 2,4259 2,3842 2,3410 2.2962 13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 2,7669 2,7144 2,6710 2,6037 2,5331 2,4589 2,4202 2,3803 2,3392 2,2966 2,2524 2,2064 14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 2,6987 2,6458 2,6021 2,5342 2,4630 2,3879 2,3487 2,3082 2,2664 2,2230 2,1778 2,1307 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437 2,4753 2,4035 2,3275 2,2878 2,2468 2,2043 2,1601 2,1141 2,0658 Продолжение прил. 4 Ul 00 X. п /пХ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ОО 16 4,4940 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 2,5911 2,5377 2,4935 2,4247 2,3522 2,2756 2,2354 2,1938 2,1507 2,1058 2,0589 2,0096 17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,8100 2,6987 2,6143 2,5480 2,4943 2,4499 2,3807 2,3077 2,2304 2,1898 2,1477 2,1040 2,0584 2,0107 1,9604 18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 2,5102 2,4563 2,4117 2,3421 2,2686 2,1906 2,1497 2,1071 2,0629 2,0166 1,9681 1,9168 19 4,3808 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 2,4768 2,4227 2,3779 2,3080 2,2341 2,1555 2,1141 2,0712 2,0264 1,9796 1,9302 1,8780 20 4,3513 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 2,4471 2,3928 2,3479 2,2776 2,2033 2,1242 2,0825 2,0391 1,9938 1,9464 1,8963 1,8432 21 4,3248 3,4668 3,0725 2,840] 2,6848 2,5727 2,4876 2,4205 2,3661 2,3210 2,2504 2,1757 2,0960 2,0540 2,0102 1,9645 1,9165 1,8657 1,8117 22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 2,3965 2,3419 2,2967 2,2258 2,1508 2,0707 2,0283 1,9842 1,9380 1,8895 1,8380 1,7831 23 4,2793 3,4221 3,0280 2,7955 2,6400 2,5277 2,4422 2,3748 2,3201 2,2747 2,2036 2,1282 2,0476 2,0050 1,9605 1,9139 1,8649 1,8128 1,7570 24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 2,3551 2,3002 2,2547 2,1834 2,1077 2,0267 1,9838 1,9390 1,8920 1,8424 1,7897 1,7331 25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,6030 2,4904 2,4047 2,3371 2,2821 2,2365 2,1649 2,0889 2,0075 1,9643 1,9192 1,8718 1,8217 1,7684 1,7110 26 4,2252 3,3690 2,9751 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 2,3205 2,2655 2,2197 2,1479 2,0716 1,9898 1,9464 1,9010 1,8533 1,8027 1,7488 1,6906 27 4,2100 3,3541 2,9604 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 2,3053 2,2501 2,2043 2,1323 2,0558 1,9736 1,9299 1,8842 1,8361 1,7851 1,7307 1,6717 28 4,1960 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 2,2913 2,2360 2,1900 2,1179 2,0411 1,9586 1,9147 1,8687 1,8203 1,7689 1,7138 1,6541 29 4,1830 3,3277 2,9340 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 2,2782 2,2229 2,1768 2,1045 2,0275 1,9446 1,9005 1,8543 1,8055 1,7537 1,6981 1,6377 30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646 2,0921 2,0148 1,9317 1,8874 1,8409 1,7918 1,7396 1,6835 1,6223 40 4,0848 3,2317 2,8387 2,6060 2,4459 2,3359 2,2490 2,1802 2,1240 2,0772 2,0035 1,9245 1,8389 1,7929 1,7444 1,6928 1,6373 1,5766 1,5089 60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2540 2,1665 2,0970 2,0401 1,9926 1,9174 1,8364 1,7480 1,7001 1,6491 1,5943 1,5343 1,4673 1,3893 120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2900 2,1750 2,0867 2,0164 1,9588 1,9105 1,8337 1,7505 1,6587 1,6084 1,5543 1,4952 1,4290 1,3519 1,2539 оо 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 1,9384 1,8799 1,8307 1,7522 1,6664 1,5705 1,5173 1,4591 1,3940 1,3180 1,2214 1,0000 Процентные точки F-распределения Фишера. Q ~ 10 % '/м'Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 03 1 39,864 49,500 53,593 55,833 57,241 58,204 58,906 59,439 59,858 60,195 60,705 61,220 61,740 62,002 62,265 62,529 62,794 63,061 63,328 2 8,526 9,0000 9,1618 9,2434 9,2926 9,3255 9,3491 9,3668 9,3805 9,3916 9,4081 9,4247 9,4413 9,4496 9,4579 9,4663 9,4746 9,4829 9,4913 3 5,538 5,4624 5,3908 5,3427 5,3092 5,2847 5,2662 5,2517 5,2400 5,2304 5,2156 5,2003 5,1845 5,1764 5,1681 5,1597 5,1512 5,1425 5,1337 4 4,545 4,3246 4,1908 4,1073 4,0506 4,0098 3,9790 3,9549 3,9357 3,9199 3,8955 3,8703 3,8443 3,8310 3,8174 3,8036 3,7896 3,7753 3,7607 5 4,060 3,7797 3,6195 3,5202 3,4530 3,4045 3,3679 3,3393 3,3163 3,2974 3,2682 3,2380 3,2067 3,1905 3,1741 3,1573 3,1402 3,1228 3,1050 Окончание прил. 4 *\л т \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ОО 6 3,776 3,4633 3,2888 3,1808 3,1075 3,0546 3,0145 2,9830 2,9577 2,9369 2,9047 2,8712 2,8363 2,8183 2,8000 2,7812 2,7620 2,7423 2,7222 7 3,589 3,2574 3,0741 2,9605 2,8833 3,8274 2,7849 2,7516 2,7247 2,7025 2,6681 2,6322 2,5947 2,5753 2,5555 2,5351 2,5142 2,4928 2,4708 8 3,458 3,1131 2,9238 2,8064 2,7265 2,6683 2,6241 2,5893 2,5612 2,5380 2,5020 2,4642 2,4246 2.4041 2,3830 2,3614 2,3391 2,3162 2,2926 9 3,360 3,0065 2,8129 2,6927 2,6106 2,5509 2,5053 2,4694 2,4403 2,4163 2,3789 2,3396 2,2983 2,2768 2,2547 2,2320 2,2085 2,1843 2,1592 10 3,285 2,9245 2,7277 2,6053 2,5216 2,4606 2,4140 2,3772 2,3473 2,3226 2,2841 2,2435 2,2007 2.1784 2,1554 2,1317 2,1072 2,0818 2,0554 11 3,225 2,8595 2,6602 2,5362 2,4512 2,3891 2,3416 2,3040 2,2735 2,2482 2,2087 2,1671 2,1230 2,1000 2,0762 2,0516 2,0261 1,9997 1,9721 12 3,176 2,8068 2,6055 2,4801 2,3940 2,3310 2,2828 2,2446 2,2135 2,1878 2,1474 2,1049 2.0597 1,0360 2,0115 1,9861 1,9597 1,9323 1,9036 13 3,136 2,7632 2,5603 2,4337 2,3467 2,2830 2,2341 2,1953 2,1638 2,1376 2,0966 2,0532 2,0070 1,9827 1,9576 1,9315 1,9043 1,8759 1.8462 14 3,102 2,7265 2,5222 2,3947 2,3069 2,2426 2,1931 2,1539 2,1220 2,0954 2,0537 2,0095 1,9625 1,9377 1,9119 1,8852 1,8572 1,8280 1.7973 15 3,073 2,6952 2,4898 2,3614 2,2730 2,2081 2,1582 2,1185 2,0862 2,0593 2,0171 1,9722 1,9243 1,8990 1,8728 1,8454 1,8168 1,7867 1,7551 16 3,048 2,6682 2,4618 2,3327 2,2438 2,1783 2,1280 2,0880 2,0553 2,0281 1,9854 1,9399 1,8913 1,8656 1,8388 1,8108 1,7816 1,7507 1,7182 17 3,026 2,6446 2,4374 2,3077 2,2183 2,1524 2,1017 2,0613 2,0284 2,0009 1,9577 1,9117 1,8624 1,8362 1,8090 1,7805 1,7506 1,7191 1,6856 18 3,007 2,6239 2,4160 2,2858 2,1958 2,1296 2,0785 2,0379 2,0047 1,9770 1,9333 1,8868 1,8368 1,8103 1,7827 1,7537 1,7232 1,6910 1,6567 19 2.990 2,6056 2,3970 2,2663 2,1760 2,1094 2,0580 2,0171 1,9836 1,9557 1,9117 1,8647 1,8142 1,7873 1,7592 1,7298 1,6988 1,6659 1,6308 20 2,975 2,5893 2,3801 2,2189 2,1582 2,0913 2,0397 1,9985 1,9649 1,9367 1,8924 1,8449 1,7938 1,7667 1,7382 1,7083 1,6768 1,6433 1,6074 21 2,961 2,5746 2,3649 2,2333 2,1423 2,0751 2,0232 1,9819 1,9480 1,9197 1,8750 1,8272 1,7756 1,7481 1,7193 1,6890 1.6569 1,6228 1.5862 22 2,949 2,5613 2,3512 2,2193 2,1279 2,0605 2,0084 1,9668 1,9327 1,9043 1,8593 1,8111 1.7590 1,7312 1,7021 1,6714 1,6389 1,6042 1,5668 23 2,937 2,5493 2,3387 2,2065 2,1149 2,0472 1,9949 1,953 1 1,9189 1,8903 1,8450 1,7964 1,7439 1,7159 1,6864 1,6554 1,6224 1,5871 1,5490 24 2,927 2,5383 2,3274 2,1949 2,1030 2,0351 1,9826 1,9407 1,9063 1,8775 1,8319 1,7831 1,7302 1,7019 1,6721 1,6407 1,6073 1,5715 1,5327 25 2,918 2,5283 2,3170 2,1843 2,0922 2,0241 1,9714 1,9292 1,8947 1,8658 1,8200 1,7708 1,7175 1,6890 1,6589 1,6272 1,5934 1,5570 1,5176 26 2,909 2,5191 2,3075 2,1745 2,0822 2,0139 1,9610 1,9188 1,8841 1,8550 1,8090 1,7596 1,7059 1,6771 1,6468 1,6147 1,5805 1,5437 1,5036 27 2,901 2,5106 2,2987 2,1655 2,0730 2,0045 1,9515 1,9091 1,8743 1,8451 1,7989 1,7492 1,6951 1,6662 1,6356 1,6032 1,5686 1,5313 1,4906 28 2,894 2,5028 2,2906 2,1571 2,0645 1,9959 1,9427 1,9001 1,8652 1,8359 1,7895 1,7395 1,6852 1,6560 1,6252 1,5925 1,5575 1,5198 1,4784 29 2,887 2,4955 2,2831 2,1494 2,0566 1,9878 1,9345 1,8918 1,8568 1,8274 1,7808 1,7306 1,6759 1,6465 1,6155 1,5825 1,5472 1,5090 1.4670 30 2,881 2,4887 2,2761 2,1422 2,0492 1,9803 1,9269 1,8841 1,8490 1,8195 1,7727 1,7223 1,6673 1,6377 1,6065 1,5732 1,5376 1,4989 1,4564 40 2,835 2,4404 2,2261 2,0909 1,9968 1,9269 1,8725 1,8289 1,7929 1,7627 1,7146 1,6624 1,6052 1,5741 1,5411 1,5056 1,4672 1,4248 1,3769 60 2,791 2,3933 2,1774 2,0410 1,9457 1,8747 1,8194 1,7748 1,7380 1,7070 1,6574 1,6034 1,5435 1,5107 1,4755 1,4373 1,3952 1,3476 1,2915 120 2,748 2,3473 2,1300 1,9923 1,8959 1,8238 1,7675 1,7220 1,6843 1,6524 1,6012 1,5450 1,4821 1,4472 1,4094 1,3676 1,3203 1,2646 1,1926 СЮ 2,706 2,3026 2,0838 1,9449 1,8473 1,7741 1,7167 1,6702 1,6315 1,5987 1,5458 1,4871 1,4206 1,3832 1,3419 1,2951 1,2400 1,1686 1,0000 Примечание к таблице прил. 4. Аппроксимация обратной функции /•’-распределения Фишера (квантили или процентные точки) может быть получена из выражения [1] Fa.|Bi%(ni, т.) х е2"\ где ^-аМ2 z _________________О h 2а-1Д 6 ЗЛ 2 £Л-а-3 Л = 2 \2а-1 + 2/>-1 - квантиль нормального стандартного распределения, может быть получена из табли-Т цы прил, 1; к - количество элементов разложения в ряд Тейлора, используемого в функции P-распределения. Аппроксимация обратной функции /•'-распределения получается с учетом соотношения, связывающего р- и /^-распределения. Первые к = 10 членов разложения обеспечивают необходимую погрешность вычисления. 160 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Критические точки значения статистики критерия Вилкоксона Q 2MW в 2MW Q 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 п 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 1 2 4 20 22 28 31 35 40 45 130 11 23 111 123 129 139 147 156 385 3 5 5 21 23 29 32 37 41 47 135 24 113 126 132 142 151 161 396 4 6 22 23 29 33 38 43 48 140 25 116 129 136 146 155 165 407 5 7 23 24 30 34 39 44 50 145 12 12 98 105 109 115 120 127 300 6 8 24 25 31 35 40 45 51 150 13 101 109 113 119 125 131 312 7 9 25. 25 32 36 42 47 53 155 14 103 112 116 123 129 136 324 8 - 10 6 6 - 23 24 26 28 30 78 15 106 115 120 127 133 141 336 9 1 и 7 21 24 25 27 29 32 84 16 109 119 124 131 138 145 348 10 1 12 8 22 25 27 29 31 34 90 17 112 122 127 135 142 150 360 11 1 13 9 23 26 28 31 33 36 96 18 115 125 131 139 146 155 372 12 1 14 10 24 27 29 32 35 38 102 19 118 129 134 143 150 159 384 13 1 15 и 25 28 30 34 37 40 108 20 120 132 138 147 155 164 396 14 1 16 12 25 30 32 35 38 42 114 21 123 136 142 151 159 169 408 15 1 17 13 26 31 33 37 40 44 120 22 126 139 145 155 163 173 420 16 1 18 14 27 32 34 38 42 46 126 23 129 142 149 159 168 178 432 17 1 19 15 28 33 36 40 44 48 132 24 132 146 153 163 172 183 444 18 - 1 20 16 29 34 37. 42 46 50 138 25 135 149 156 167 176 187 456 19 1 2 21 17 30 36 39 43 47 52 144 13 13 117 125 130 136 142 149 351 20 1 2 22 18 31 37 40 45 49 55 150 14 120 129 134 141 147 154 364 21 1 2 23 19 32 38 41 46 51 ~5Г 156 15 123 133 138 145 152 159 377 22 1 2 24 20 33 39’ 43 48 53 59 162 16 126 136 142 150 156 165 390 23 1 2 25 21 33 40 44 50 55 61 168 17 129 140 146 154 161 170 403 24 1 2 26 22 34 42 45 51 57 63 174 18 133 144 150 158 166 175 416 25 - - - - 1 2 27 23 35 43 47 53 58 65 180 19 136 148 154 163 171 180 429 2 2 - 10 24 36 44 48 54 60 67 186 20 139 151 158 167 175 185 442 3 3 12 25 37 45 50 56 62 69 192 21 142 155 162 171 180 190 455 4 - 3 14 7 7 29 32 34 36 39 41 105 22 145 159 166 176 185 195 468 5 3 4 16 8 30 34 35 38 41 44 112 23 149 163 . 170 180 189 200 481 6 п 4 18 9. 31 35 37 40 43 46 119 24 152 166 174 185 194 205 494 7 5 4 20 10 33 37 39 42 45 49 126 25 155 170 178 189 199 211 507 Продолжение прил. 5 т п Q 2MW т и Q 2MW т п О 2MW 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 ОДО 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 8 3 4 5 22 II 34 38 40 44 47 51 133 14 14 137 147 152 160 166 174 406 9 3 4 5 24 12 35 40 42 46 49 54 140 15 141 151 156 164 171 179 420 10 3 4 6 26 13 36 41 44 48 52 56 147 16 144 155 161 169 176 185 434 И 3 4 6 28 14 37 43 45 50 54 59 154 17 148 159 165 174 182 190 448 12 - 4 5 7 30 15 38 44 47 52 56 61 161 18 151 163 170 179 187 196 462 13 3 4 5 7 32 16 39 46 49 54 58 64 168 19 155 168 174 183 192 202 476 14 3 4 6 8 34 17 41 47 51 56 61 66 175 20 159 172 178 188 197 207 490 15 3 4 6 8 36 18 42 49 52 58 63 69 182 21 162 176 183 193 202 213 504 16 3 4 6 8 38 19 43 50 54 60 65 71 189 22 166 180 187 198 207 218 518 17 3 5 6 9 40 20 44 52 56 62 67 74 196 23 169 184 192 203 212 224 532 18 - 3 5 7 9 42 21 46 53 58 64 69 76 203 24 173 188 196 207 218 229 546 19 3 4 5 7 10 44 22 47 55 59 66 72 79 210 25 177 192 200 212 223 235 560 20 3 4 5 7 10 46 23 48 57 61 68 74 81 217 15 15 160 171 176 184 192 200 465 21 3 4 6 8 11 48 24 49 58 63 70 76 84 224 16 163 175 181 190 197 206 480 22 3 4 6 8 11 50 25 50 60 64 72 78 86 231 17 167 180 186 195 203 212 495 23 3 4 6 8 12 . 52 8 8 40 43 45 49 51 55 136 18 171 184 190 200 208 218 510 24 3 4 6 9 12 54 9 41 45 47 51 54 58 144 19 175 189 195 205 214 224 525 25 - 3 4 6 9 12 56 10 42 47 49 53 56 60 152 20 179 193 200 210 220 230 540 3 3 6 7 21 11 44 49 51 55 59 63 160 21 183 198 205 216 225 236 555 4 - 6 7 24 12 45 51 53 58 62 66 168 22 187 202 210 221 231 242- 570 5 6 7 8 27 13 47 53 56 60 64 69 176 23 191 207 214 226 236 248 585 6 - 7 8 9 30 14 48 54 58 62 67 7") 184 24 195 211 219 231 242 254 600 7 6 7 8 10 33 15 50 56 60 65 69 75 192 25 199 216 224 237 248 260 615 8 - 6 8 9 11 36 16 51 58 62 67 72 78 200 16 16 184 296 202 211 219 229 528 9 6 7 8 10 11 39 17 53 60 64 70 75 81 208 17 188 201 207 217 225 235 544 10 6 7 9 10 12 42 18 54 62 66 72 77 84 216 18 192 206 212 222 231 242 560 11 6 7 9 11 13 45 19 56 64 68 74 80 87 224 19 196 210 218 228 237 248 576 12 7 8 10 и 14 48 20 57 66 70 77 83 90 232 20 201 215 223 234 243 255 592 13 7 8 10 12 15 51 21 59 68 72 79 85 92 240 21 205 220 228 239 249 261 608 14 7 8 и 13 16 54 22 60 70 74 81 88 95 248 22 209 225 233 245 255 267 624 15 8 9 11 13 16 57 23 62 71 76 84 90 98 256 23 214 230 238 251 261 274 640 Продолжение прил. 5 Q 2MW Q О т п 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 т п 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 2MW т п 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 2MW 16 - 8 9 12 14 17 60 24 64 73 78 86 93 101 264 24 218 235 244 256 267 280 656 17 6 8 10 12 15 18 63 25 65 75 81 89 96 104 272 25 222 240 249 262 273 287 672 18 6 8 10 13 15 19 66 9 9 52 56 59 62 66 70 171 17 17 210 223 230 240 249 259 595 19 6 9 10 13 16 20 69 10 53 58 61 65 69 73 180 18 214 228 235 246 255 266 612 20 6 9 11 14 17 21 72 11 55 61 63 68 72 76 189 19 219 234 241 252 262 273 629 21 7 9 II 14 17 21 75 12 57 63 66 71 75 80 198 20 223 239 246 258 268 280 646 22 7 10 12 15 18 22 78 13 59 65 68 73 78 83 207 21 228 244 252 264 274 287 663 23 7 10 12 15 19 23 81 14 60 67 71 76 81 86 216 22 233 249 258 270 281 294 680 24 7 10 12 16 19 24 84 15 62 69 73 79 84 90 225 23 238 255 236 276 287 300 697 25 7 11 13 16 20 25 87 16 64 72 76 82 87 93 234 24 242 260 269 282 294 307 714 4 4 - 10 11 13 36 17 66 74 78 84 90 97 243 25 247 265 275 288 300 314 731 5 - 10 и 12 14 40 . 18 68 76 81 87 93 100 252 18 18 237 252 259 270 280 291 666 6 10 и 12 13 15 44 19 70 78 83 90 96 103 261 19 242 258 265 277 287 299 684 7 10 11 13 14 16 48 20 71 81 85 93 99 107 270 20 247 263 271 283 294 306 702 8 11 12 14 15 17 52 21 73 83 88 95 102 ПО 279 21 252 269 277 290 301 313 720 9 - 11 13 14 16 19 56 22 75 85 90 98 105 113 288 22 257 275 283 296 307 321 738 10 10 12 13 15 17 20 60 23 77 88 93 101 108 117 297 23 262 280 289 303 314 328 756 11 10 12 14 16 18 21 64 24 79 90 95 104 111 120 306 24 267 286 295 309 321 335 774 12 -10 13 15 17 19 22 68 25 81 92 98 107 114 123 315 25 273 292 301 316 328 343 792 13 11 13 15 18 20 23 72 10 10 65 71 74 78 82 87 210 19 19 267 283 291 303 313 325 741 14 11 14 16 19 21 25 76 и 67 73 77 81 86 91 220 20 272 289 297 309 320 333 760 15 11 15 17 20 22 26 80 12 69 76 79 84 89 94 230 21 277 295 303 316 328 341 779 16 12 15 17 21 24 27 84 13 72 79 82 88 92 98 240 22 283 301 310 323 335 349 798 17 12 16 18 21 25 28 88 14 74 81 85 91 96 102 250 23 288 307 316 330 342 357 817 18 13 16 19 22 26 30 92 15 76 84 88 94 99 106 260 24 294 313 323 337 350 364 836 19 13 17 19 23 27 31 96 16 78 86 91 97 103 109 270 25 299 319 329 344 357' 372 855 20 13 18 20 24 28 32 100 17 80 89 93 100 106 113 280 20 20 298 315 324 337 348 361 820 21 14 18 21 25 29 33 104 18 82 92 96 103 по 117 290 21 304 322 331 344 356 370 840 22 14 19 21 26 30 35 108 19 84 94 99 107 113 121 300 22 309 328 337 351 364 378 860 23 14 19 22 27 31 36 112 20 87 97 102. НО 117 125 310 23 315 335 344 359 371 386 880 24 15 20 23 27 32 38 116 21 89 99 105 из 120 128 320 24 321 341 351 366 379 394 900 Окончание прил. 5 т п Q 2MW т л Q 2MW т п Q 2MW 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 25 15 20 23 28 33 38 120 22 91 102 108 116 123 132 330 25 327 348 358 373 387 403 920 5 5 15 16 17 19 20 55 23 93 105 по 119 127 136 340 21 21 331 349 359 373 385 399 903 6 16 17 18 20 22 60 24 95 107 113 122 130 140 350 22 337 356 366 381 .393 408 924 7 - 16 18 20 21 23 65 25 98 110 116 126 134 144 360 23 343 363 373 388 401 417 945 8 15 17 19 21 23 25 70 11 11 81 87 91 96 100 106 253 24 349 370 381 396 410 425 966 9 16 18 20 22 24 27 75 12 83 90 .94 99 104 по 264 25 356 377 388 404 418 434 987 10 16 19 21 23 26 28 80 13 86 93 97 103 108 114 275 22 22 365 386 396 411 424 439 990 11 17 20 22 24 27 30 85 14 88 96 100 106 112 118 286 23 372 393 403 419 432 448 .1012 12 17 21 23 26 28 32 90 15 90 99 103 110 116 123 297 24 379 400 411 427 441 457 1034 13 18 22 24 27 30 33 95 16 93 102 107 113 120 127 308 25 385 408 419 435 450 467 1056 14 18 22 25 28 31 35 100 17 ' 95 105 по 117 123 131 319 23 23 402 424 434 451 465 481 1081 15 19 23 26 29 33 37 105 18 98 108 113 121 127 135 330 24 409 431 443 459 474 491 1104 16 20 24 27 30 34 38 110 19 100 111 116 124 131 139 341 25 416 439 451 468 483 500 1127 17 20 25 28 32 35 40 115 20 103 114 119 128 135 144 352 24 24 440 464 475 492 507 525 1176 18 21 26 29 33 37 42 120 21 106 117 123 131 139 148 363 25 448 472 484 501 517 535 1200 19 22 27 30 34 38 43 125 22 108 120 126 135 143 152 374 25 25 480 505 517 536 552 570 1275 ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Критерий Аббе \е п 0,001 0,01 0,05 \е и 0,001 0,01 0,05 4 0,2949 0,3128 0,3902 32 0,4963 0,6089 0,7177 5 0,2080 0,2690 0,4102 33 0,5027 0,6141 0,7216 6 0,1817 0,2808 0,4451 34 0,5090 0,6193 0,7256 7 0,1848 0,3070 0,4680 35 0,5150 0,6242 0,7292 8 0,2018 0,3314 0,4912 36 0,5208 0,6290 0,7328 9 0,2210 0.3544 0,5121 37 0,5265 0,6337 0,7363 10 0,2408 0,3759 0,5311 38 0,5319 0,6381 0,7396 11 0,2598 0,3957 0,5482 39 0,5373 0,6425 0,7429 12 0,2778 0,4140 0,5638 40 0,5425 0,6467 0,7461 13 0,2949 0,4309 0,5778 41 0,5475 0,6508 0,7491 14 0,3112 0,4466 0,5908 42 0,5524 0,6548 0,7521 15 0,3266 0,4611 0,6027 43 0,5571 0,6587 0,7550 16 0,3413 0,4746 0,6137 44 0,5616 0,6622 0,7576 17 0,3.552 0,4872 0,6237 45 0,5660 0,6659 0,7603 18 0,3684 0,4989 0,6330 46 0,5701 0,6693 0,7628 19 0,3809 0,5100 0.6417 47 0,5743 0,6727 0,7653 20 0,3926 0,5203 0,6498 48 0,5781 0,6757 0,7676 21 0.4037 0.5301 0,6574 49 0,5817 0,6787 0,7698 22 0,4142 0.5393 0,6645 50 0,5853 0,6814 0,7718 23 0,4241 0.5479 0,6713 51 0.5887 0,6842 0,7739 24 0,4334 0,5562 0,6776 52 0,5922 0.6869 0,7759 25 0,4423 0,5639 0,6836 53 0,5955 0,6896 0,7779 26 0,4509 0,5713 0,6893 54 0,5989 0,6924 0,7799 27 0,4591 0,5784 0.6946 55 0,6020 0,6949 0,7817 28 0,4670 0,5850 0.6996 56 0,6051 0,6974 0,7836 29 0,4748 0,5915 0,7046 57 0,6083 0,6999 0,7853 30 0,4822 0,5975 0,7091 58 0,6114 0,7024 0,7872 31 0,4895 0,6034 0,7136 59 0,6145 0,7049 0,7891 60 0,6170 0,7070 0,7910 165 ПРИЛОЖЕНИЕ? Таблица значений функции Колмогорова е=>-К(Л) X Q X § X § X Я X Q 0,29 ~ 1,00000 0,76 0,6104 1,23 0,0970 1,70 0,0062 2,17 0,0002 0,30 0,99999 0,77 0,5936 1,24 0.0924 1,71 0,0058 2,18 0,0001 0,31 0,99998 0,78 0.5770 1,25 0,0879 1,72 0,0054 2,19 0.0001 0,32 0,99995 0,79 0.5605 1,26 0,0836 1,73 0.0050 2,20 0.0001 0,33 0,99991 0,80 0.5441 1,27 0,0794 1,74 0,0047 2,21 0,0001 0,34 0.99993 0,81 0,5280 1,28 0,0755 1,75 - 0,0044 2,22 0,0001 0,35 0,9997 0,82 11.5120 1,29 0,0717 1,76 0,0041 2,23 0,0001 0,36 0,9995 0,83 0.4962 1,30 0,0681 1,77 0,0038 2,24 0,0001 0,37 0.9992 0,84 0,4806 1,31 0,0646 1,78 0,0035 2,25 0,0001 0,38 0,9987 0,85 0,4653 1,32 0,0613 1,79 0.0033 2,26 0,0001 0,39 0,9981 0,86 0.4503 1,33 0,0582 1,80 0,0031 2,27 0,0001 0,40 0,9972 0,87 0,4355 1,34 0,0551 1,81 0,0029 2,28 0,0001 0,41 0,9960 0,88 Л,4209 1,35 0,0522 1,82 0,0027 2,29 0,0001 0,42 0,9945 0,89 0,4067 1,36 0,0495 1.83 0.0025 2,30 0,0001 0,43 0,9926 0,90 0.3927 1,37 0,0469 1,84 0.0023 2,31 0,000046 0,44 0.9903 0,91 0.3791 1,38 0.0444 1,85 0,0021 2,32 0,000042 0,45 0,9874 0,92 0,3657 1,39 0,0420 1,86 0,0020 2,33 0,000038 0,46 0,9840 0,93 0,3527 1,40 0.0397 1,87 0.0019 2,34 0,000035 0,47 0,9800 0,94 0,3399 1,41 0,0375 1,88 0,0017 2,35 0,000032 0,48 0,9753 0,95 71.3275 1,42 0.0354 1,89 0.0016 2,36 0.000030 0,49 0,9700 0,96 0,3154 1,43 0.0335 1,90 0.0015 2,37 0.000027 0,50 0,9639 0,97 0,3036 1,44 0,0316 1,91 0,0014 2,38 0,000024 . 0,51 0,9572 0,98 102924 1,45 0,0298 1,92 0.0013 2,39 0,000022 0,52 0,9497 0,99 0,2809 1,46 0,0282 1,93 0,0012 2,40 0,000020 0,53 0,9415 1,00 0,2700 1,47 0,0266 1,94 0,0011 2,41 0,000018 0,54 0,9325 1,01 0,2594 1,48 0,0250 _h?5 . 0,0010 2,42 0,000016 0,55 0,9228 1,02 0.2492 1,49 0.0236 1,96 0,0009 2,43 0,000014 0,56 0,9124 1,03 0,2392 1,50 0,0222 1,97 0,0009 2,44 0,000013 0,57 0,9013 1,04 0,2296 1,51 0,0209 1,98 0,0008 2,45 0,000012 0,58 0,8896 1,05 0,2202 1,52 0,0197 1,99 0.0007 2,46 0,000011 - 0,59 0,8772 1,06 0,2111 1,53 0,0185 2,00 0,0007 2,47 0,000010 0,60 0,8643 1,07 0,2024 1,54 0,0174 2,01 0,0006 2,48 0.000009 0,61 0,8508 1,08 0,1939 1,55 0.0164 2,02 0,0006 2,49 0.000008 0,62 0,8368 1,09 0.1857 1,56 0,0154 2,03 0,0005 2,50 0,0000075 0,63 0,8222 1,10 771777 1,57 0.0145 2,04 0,0005 2,55 0,0000044 0,64 0.8073 1,11 ТГ1700 1,58 0,0136 2,05 0,0004 2,60 0,0000026 0,65 0,7920 1,12 0,1626 1,59 0,0127 2,06 0,0004 2,65 0,0000016 0,66 0,7764 1,13 0,1555 1,60 0,0120 2,07 0,0004 2,70 0,0000010 0,67 0,7604 1,14 0,1486 1,61 0.0112 2,08 0,0004 2,75 0,0000006 0,68 0,7442 1,15 0.1420 1,62 0,0105 2,09 0,0003 2,80 0,0000003 0,69 0,7278 1,16 0,1356 1,63 0,0098 2,10 0,0003 2,85 0,00000018 0,70 0,7112 1,17 0,1294 1,64 0,0092 2,11 0,0003 2,90 0,00000010 0,71 0.6945 1,18 0,1235 1,65 0.0086 2,12 0,0002 2,95 0,00000006 0,72 0,6777 1,19 0,1177 1,66 0,0081 2,13 0,0002 3,00 0.00000003 0,73 0,6609 1,20 0,1122 1,67 0,0076 2,14 0,0002 0,74 0,6440 1,21 0,1070 1,68 0,0071 2,15 0,0002 0,75 0,6272 1,22 0,1019 1,69 0,0066 2,16 0,0002 166 ПРИЛОЖЕНИЕ 8 Преобразование Фншера (z-преобразование) выборочного коэффициента корреляции г (? = th z, z = arc th г ) Г ,000 ,002 ,004 ,006 ,008 Г ,000 ,002 ,004 ,006 ,008 0,00 0000 0020 0040 0060 0080 0,50 5493 5520 5547 5573 5600 1 0100 0120 0140 0160 0180 1 5627 5654 5682 5709 5736 2 0200 0220 0240 0260 0280 2 5763 5791 5818 5846 5874 3 0300 0320 0340 0360 0380 3 5901 5929 5957 5985 6013 4 0400 0420 0440 0460 0480 4 6042 6070 6098 6127 6155 0,05 0500 0520 0541 0561 0581 0,55 6184 6213 6241 6270 6299 6 0601 0621 0641 0661 0681 6 6328 6358 6387 6416 6446 7 0701 0721 0741 0761 0782 7 6475 6505 6535 6565 6595 8 0802 0822 0842 0862 0882 8 6625 6655 6685 6716 6746 9 0902 0923 0943 0963 0983 9 6777 6807 6838 6869 6900 0,10 1003 1024 1044 1064 1084 0,60 6931 6963 6994 7026 7057 1 1104 1125 1145 1165 1186 1 7089 7121 7153 7185 7218 2 1206 1226 1246 1267 1287 2 7250 7283 7315 7348 7381 3 1307 1328 1348 1368 1389 3 7414 7447 7481 7514 7548 4 1409 1430 1450 1471 1491 4 7582 7616 7650 7684 7718 0,15 1511 1532 1552 1573 1593 0,65 7753 7788 7823 7858 7893 6 1614 1634 1655 1676 1696 6 7928 7964 7999 8035 8071 7 1717 1737 1758 1779 1799 7 8107 8144 8180 8217 8254 8 1820 1841 1861 1882 1903 8 8291 8328 8366 8404 8441 9 1923 1944 1965 1986 2007 9 8480 8518 8556 8595 8634 0,20 2027 2048 2069 2090 2111 0,70 8673 8712 8752 8792 8832 1 2132 2153 2174 2195 2216 1 8872 8912 8953 8994 9035 2 2237 2258 2279 2300 2321 2 9076 9118 9160 9202 9245 3 2342 2363 2384 2405 2427 3 9287 9330 9373 9417 9461 4 2448 2469 2490 2512 2533 4 9505 9549 9594 9639 9684 0,25 2554 2575 2597 2618 2640 0,75 0,973 0.978 0,982 0,987 0,991 6 2661 2683 2704 2726 2747 6 0,996 1.001 1,006 1,011 1,015 Окончание прил. 8 Г ,000 ,002 ,004 ,006 ,008 Г ,000 ,002 ,004 ,006 ,008 7 2769 2790 2812 2833 2855 7 1,020 1,025 1,030 1,035 1,040 8 2877 2899 2920 2942 2964 8 1,045 1,050 1,056 1,061 1,066 9 2986 3008 3029 3051 3073 9 1,071 1,077 1,082 1,088 1,093 0,30 3095 3117 3139 3161 3183 0,80 1,099 1,104 1,110 1,116 1,121 1 3205 3228 3250 3272 3294 1 1,127 1,133 1,139 1,145 1,151 2 3316 3339 3361 3383 3406 2 1,157 1,163 1,169 1,175 1,182 3 3428 3451 3473 3496 3518 3 1,188 1,195 1,201 1,208 1,214 4 3541 3564 3586 3609 3632 4 1,221 1,228 1,235 1,242 1,249 0,35 3654 3677 3700 3723 3746 0,85 1,256 1,263 1,271 1,278 1.286 6 3769 3792 3815 3838 3861 6 1,293 1,301 1,309 1,317 1,325 7 3884 3907 3931 3954 3977 7 1,333 1,341 1,350 1,358 1,367 8 4001 4024 4047 4071 4094 8 1,376 1,385 1,394 1,403 1,412 9 4118 4142 4165 4189 4213 9 1,422 1,432 1,442 1,452 1,462 0,40 4236 4260 4284 4308 4332 0,90 1,472 1,483 1,494 1,505 1,516 1 4356 4380 4404 4428 4453 1 1,528 1,539 1,551 1,564 1,576 2 4477 4501 4526 4550 4574 2 1,589 1,602 1,616 1,630 1,644 3 4599 4624 4648 4673 4698 3 1,658 1,673 1,689 1,705 1,721 4 4722 4747 4772 4797 4822 4 1,738 1,756 1,774 1,792 1,812 0,45 4847 4872 4897 4922 4948 0,95 1,832 1,853 1,874 1,897 1,921 6 4973 4999 5024 5049 5075 6 1,946 1,972 2,000 . 2,029 2,060 7 5101 5126 5152 5178 5204 7 2,092 2,127 2,165 2,205 2,249 8 5230 5256 5282 5308 5334 8 2,298 2,351 2,410 2,477 2,555 9 5361 5387 5413 5440 5466 9 2,647 2,759 2,903 3,106 3,453 мы решим ваши задачи экономическая статистика эконометрика и статистические методы прогнозирования задачи линейного и динамического программирования www.ecnmx.ru решение задач на заказ полнотекстовая экономико-математическая библиотека каждую субботу бесплатное решение