Текст
• 1966
С. ДЕ БЕНЕДЕТТИ
ЯДЕРПЫЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Перевод с английского В. М. Голубчикова,
А. Л. Гришина, В. П. Канавца, Л. С. Новикова,
И. И. Першина
Под редакцией д-ра физ.-матем. наук
А. О. Вайсенберга
АТОМИЗДАТ
МОСКВА 1968
УДК: 539.12.1
NUCLEAR
INTERACTIONS
SERGIO DE BENEDETT1
PROFESSOR OF PHYSICS,
CARNEGIE INSTITUTE OF TECHNOLOGY
JOHN WILEY & SONS. INC., NEW YORK—IONDON —
SYDNEY
2-3-7
10-67
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Автор этой книги, американский физик де Бенедетти,
известен экспериментальными исследованиями аннигиля-
ции позитрония и излучения мезоатомов. В своем преди-
словии он подробно разъяснил мотивы, побудившие его к написанию
книги.
Действительно, в настоящее время ощущается разрыв между содержа-
нием учебников и весьма обширными сведениями о теории и эксперименте
в области ядерных взаимодействий, которые необходимы вчерашнему сту-
денту и сегодняшнему физику-экспериментатору. Предлагаемая книга
является одной из тех, которые должны способствовать устранению суще-
ствующего разрыва.
Книга де Бенедетти отличается от многих написанных для экспери-
ментаторов книг подробным и тщательно продуманным изложением основ
теории. Это увеличило объем книги и перегрузило ее выводами формул,
но такой способ изложения должен уменьшить время и усилия, необходи-
мые читателю для овладения изложенным материалом.
В первой главе книги («Общие свойства ядерных сил») подробно изло-
жена квантовомеханическая трактовка принципов сохранения энергии,
импульса, момента количества движения и пространственной и временной
четности. В этой же главе рассмотрен характер сил, действующих между
двумя нуклонами. Во второй главе («Модели ядер») рассмотрены свойства
ядер, которые лучше всего могут быть поняты и описаны в рамках опреде-
ленных моделей. В третьей главе («Анализ экспериментов по рассеянию»)
изложена теория рассеяния и рассмотрены экспериментальные данные по
рассеянию нуклонов и электронов, а также поляризационные явления
при рассеянии. Следует отметить, что эта глава не свободна от заметных
пробелов. Опыты, изложенные в ней, проделаны до 1961 г., тогда как содер-
жание большей части других глав находится на уровне конца 1963 — начала
1964 г. Четвертая глава книги («Взаимодействие нуклонов с излучением»)
содержит обширный материал, заметная часть которого вообще отсутствует
в учебной литературе. В пятой главе рассмотрен вопрос о ядерных реакциях
при малых и больших энергиях. Ее материал может служить хорошим совре-
менным дополнением соответствующих глав известной книги Блатта и Вейс-
копфа, написанной в 1952 г. В шестой главе («Релятивистское взаимодействие
фермионов с излучением») подробно изложена теория Дирака и методы
расчета электромагнитных процессов, связанные с применением диаграмм
3
Фейнмана. Содержание этой главы в большой степени основано на книге
Фейнмана «Квантовая электродинамика». В седьмой главе весьма подробно
изложена физика пионов. Заметная часть этой главы посвящена рассмотре-
нию пионных резонансов. В последней, восьмой, главе излагается проблема
слабых взаимодействии: теория ^-распада и слабые взаимодействия мюонов
и пионов. Написанная в период появления основных работ, связанных
с несохранением четности, эта глава содержит в сжатом виде почти все
экспериментальные результаты, полученные до 1963 г.
Из этого краткого обзора содержания следует, что автору удалось
рассмотреть огромный материал, касающийся почти всех основных проблем
ядерных взаимодействий.
Между появлением книги и ее переводом прошло четыре года. За это
время мы узнали много новых фактов, особенно в области пионных и бари-
онных резонансов и их классификации с точки зрения теорий симметрии.
Несмотря на это, книга не кажется устаревшей, что является верным при-
знаком огромного труда, затраченного автором на ее написание, и тщательного
отбора экспериментальных фактов и теоретических идей. Мы надеемся, что
книга окажется полезной широкому кругу читателей.
Гл. 1, 2 и 5 переведены Л. С. Новиковым и И. И. Першиным, гл. 3
и 4 — В. П. Канавцом, гл. 6 и 8 — А. П. Гришиным и гл. 7 — В. М. Голуб-
чиковым.
А. О. ВАЙСЕНБЕРГ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Обычно предисловие к книге начинается с объяснения
того, почему эта книга написагт и для кого предназначена.
Автор должен признаться в том, что книга написана им для
самого себя. Если бы такая книга существовала, я не тратил бы силы на ее
написание. Мне хотелось прочесть книгу о ядерных взаимодействиях (не
о ядерной физике), в которой были бы описаны основные факты, а теория
была бы представлена достаточно ясно, чтобы быть понятой эксперимента-
тором. Но оказалось, что за малым исключением книги по ядерной физике
и элементарным частицам написаны либо экспериментаторами для экспери-
ментаторов, либо теоретиками для теоретиков и скорее имеют целью обучить
методам, чем изложить фактический материал.
Само собой разумеется, что книги по теории должны быть посвящены
изложению ее основ и их практическому развитию. Но подобные книги не
дают связного изложения экспериментальных данных и физических законов.
Вывод формул, описывающих результаты наблюдений, часто предоставляют
самому читателю, предполагая, что у него имеется для этого достаточно
свободного времени.
Таковы причины, побудившие меня написать эту книгу. Она написана
в надежде, что ее чтение не помешает основной деятельности читателя.
Я старался изложить материал по возможности просто и ясно, не пренебре-
гая при этом основными особенностями рассматриваемых вопросов и их
интерпретацией. Оказалось, что выполнение этой задачи требует полноты
и последовательности изложения.
Я решил начать с обзора основных принципов, сопровождая их своими
замечаниями. В результате оказалось необходимым включить параграфы
и главы, с первого взгляда необязательные для книги о ядерных взаимодей-
ствиях, но необходимые в качестве вспомогательного материала для после-
дующего изложения. Я предпочел подробное объяснение отдельных вопро-
сов попытке систематизированного рассмотрения литературы. Ссылки на
литературу приводятся только с целью иллюстрации и пояснения и не
претендуют на полноту. Я знаю, что многим это не понравится, и заранее
прошу извинения у авторов, чьи имена не указаны.
При изложении материала я в первую очередь обращал внимание на
сохранение логической связи; ничто не постулируется без указания на
экспериментальное обоснование, и приводятся выводы всех формул.
В этих выводах я считал правильным дать подробности вычислений, а не
заставлять читателя самостоятельно проводить черновую вычислительную
работу. Устрашающий вид многих страниц, заполненных формулами, гово-
рит о том, что книга элементарна и проста для чтения. Тот, кому не нужны
детали вычислений, может их опустить и читать только качественную трак-
товку рассматриваемых вопросов, которая дает представление об исполь-
зуемом теоретическом аппарате.
Я надеюсь, что, несмотря на эгоистические цели, с которыми была
написана эта книга, она окажется полезной и интересной для эксперимен-
5
таторов-ядерщиков, испытывающих необходимость в книге, где теория была
бы изложена достаточно подробно и доступно. Разумеется, я надеюсь, что
книга будет полезна и студентам. В течение нескольких лет группа студен-
тов — выпускников Технологического института пользовалась подготови-
тельным материалом этой книги. Содержание ее подобрано с учетом запро-
сов этого института: студенты уже прослушали курс квантовой механики
и готовились к исследовательской работе в качестве экспериментаторов
или теоретиков в области ядерной физики. Я убежден, что серьезное рас-
смотрение ядерных взаимодействий для них более полезно, чем специаль-
ные курсы в любой узкой области. После изучения курса ядерных взаимо-
действий они смогут без особых трудностей читать литературу по физике
ядра и элементарных частиц.
Поскольку автор книги — экспериментатор, теоретическая часть
рукописи в ее первоначальном варианте не была свободна от ошибок, и это
потребовало ее значительной правки. Вероятно, располагая достаточным
количеством времени, можно было бы устранить все ошибки. Но так как
я не располагал им, то допускаю, что ошибки сохранились, за что и прошу
меня заранее извинить.
Мне приятно поблагодарить за полезную и конструктивную критику
многих своих друзей, в том числе Дж. Ашкина, М. Беренжера, Р. Кут-
коски, У го Фано, В. Жилле, Р. К. Кабира, Г. Ланга, Дж. Лангера, Р. Сорен-
сена и Л. Волфенстеина.
Я благодарен также студентам выпускных групп, которые год за годом
наблюдали за созданием этой книги, от первоначальных заметок до ее окон-
чательного вида, и на первых порах страдали от множества недостатков
в изложении. Их помощь в проверке рукописи была весьма существенной.
В частности, я хочу выразить особую благодарность М. В. Намиасу, кото-
рый с большим терпением и тщательностью выполнил большую часть
выкладок.
ПИТТСБУРГ, ПЕНСИЛЬВАНИЯ
МАРТ, 1964 г.
С. ДЕ БЕНЕДЕТТИ
ГЛАВА 1
Общие свойства
ядерных сил
А. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
И СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
а. Проблемы ядерных взаимодействий. Несмотря на
то что ядерные явления не относятся к числу легко наблю-
даемых, они имеют существенное значение для понимания
основных свойств нашего мира. Образование и распространенность различ-
ных атомов, эволюция Вселенной, энергия, освобождающаяся в звездах,
температура Земли и много других столь же фундаментальных явлений
непосредственно связаны с процессами, происходящими в ядрах. Можно
поэтому сказать, что понимание физики ядра необходимо для понимания
мира в целом.
Сами ядра, однако, скрыты от нас. Они спрятаны в центре атомов и как
бы защищены оболочкой из электронов. Для того чтобы определить свой-
ства ядер, требуется значительная энергия. Именно поэтому естественные
ядерные процессы не играют в настоящее время существенной роли на
поверхности нашей планеты и не оказывают влияния на повседневную жизнь
человека. Как предмет, так и методы этого раздела физики относятся не
к Земле и человеку, а скорее к тому, что древние называли небесами. Про-
никновение в столь далекие и таинственные области привело к возникновению
касты, пользующейся иероглифами, которые трудно упростить до такой
степени, чтобы ими мог пользоваться непосвященный. Однако возникаю-
щая здесь некоторая зашифрованность описаний не умышленна, и знания
любого человека в этой области ограничены только его собственным стрем-
лением к познанию и способностью к обучению. Цель настоящей книги —
помочь желающим в их трудном пути к познанию свойств ядерного веще-
ства и процессов, происходящих в ядрах.
Первым ядерным явлением, открытым человеком на Земле (Беккерель,
1896 г.), была естественная радиоактивность.
Последующие годы характеризуются медленным прогрессом в понима-
нии свойств ядра. Более быстрыми темпами в эти годы происходило изуче-
ние атомных систем. Многие проблемы из этой области были успешно раз-
решены в первой половине нашего века.
Развитие атомной физики создало условия для изучения строения
ядер. Это связано не только с тем, что ядро расположено в центре атома,
но и с тем (а это принципиально более важно), что в атомной физике был
получен метод мышления и математический аппарат — формализм кван-
товой механики, который совершенно необходим, а мы надеемся, и доста-
точен для понимания свойств ядер. Другими словами, можно сказать, что
атомная физика обеспечила нас логическими методами для изучения области,
где наша интуиция оказывается неприменимой.
Но физик, изучающий строение ядер, стоит перед проблемами, которые
действительно сильно отличаются от классических проблем атомной физики.
Приступая к изучению атома, мы уже были осведомлены о силах, действую-
щих внутри атомной системы: это электромагнитные или даже почти исклю-
чительно электростатические силы. Не были лишь известны законы меха-
ники, пригодные для описания действия таких сил в условиях микромира.
7
В физике ядра ситуация несомненно обратная: можно считать извест-
ными законы механики — релятивистскую квантовую механику,— но не
известны действующие силы. Основная проблема физики ядра сводится
к нахождению сил между ядерными частицами.
В предлагаемой книге описаны главным образом ограниченные успехи,
полученные в таких исследованиях. Имея в виду эту цель, мы не будем
углубляться в рассмотрение моделей ядер (гл. 2) и ядерных реакций (гл. 5),
а сконцентрируем свое внимание на ядерных взаимодействиях. Понимание
этих взаимодействий является основной целью нашего изучения природы.
б. Силы и законы сохранения. Ядерные взаимодействия кажутся весьма
сложными. Такое впечатление может быть связано с ограниченностью нашего
понимания, но несомненно, что ядерным взаимодействиям присущи такие
разнообразные особенности, как спиновая зависимость, тензорные свойства
и обменный характер. Исследования ядерных сил привели ко многим неожи-
данностям, и могло возникнуть впечатление, что «все может случиться».
Поэтому полезно, опираясь на некоторые общие принципы, ограничить
число таких возможностей. Общими принципами являются законы сохра-
нения или эквивалентные им инварианты и симметрии пространства и вре-
мени.
В силу исторических и педагогических соображений в первых главах
книги мы ограничимся вопросами ядерной физики малых энергий. В этой
области энергий релятивистские эффекты не существенны и в большинстве
случаев приводят к малым поправкам. Соответственно и законы сохранения
мы рассмотрим в рамках нерелятивистской теории.
Релятивистское рассмотрение законов сохранения и свойств простран-
ственно-временной симметрии произведено в последних главах книги.
§ 2. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
II ОДНОРОДНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
а. Сохранение энергии. В классической физике закон
сохранения энергии устанавливает, что полная энер-
гия Е изолированной системы не
меняется со временем:
4г=°- <1Л>
В квантовой механике производная по времени от оператора выражается
через коммутатор, содержащий гамильтониан системы 11'.
<‘-2>
где i —мнимая единица, а 7г —постоянная Планка, деленная на 2л.
Так как энергия Е соответствует оператору i?t — , т. е.
(1.3)
в который время явно не входит, то выражение (1.1) можно переписать
в виде
< (1.4>
Таким образом, закон сохранения энергии эквивалентен утверждению,
что гамильтониан изолированной системы не
должен содержать времени в явном виде.
Это эквивалентно следующему утверждению: законы д в и ж е-
н и я и взаимодействия не зависят от времени или:
8
опыт, предпринятый в изолированной лаборато-
рии в данный момент времени, дает тот же резуль-
тат, что и такой же опыт, выполненный в той же
лаборатории в другое время.
Сохранение энергии можно рассматривать как проявление свойств
однородности времени: законы физики инвариантны к переносам вдоль оси
времени.
б. Сохранение импульса. В классической физике сохранение вектора
импульса имеет место для частицы и системы частиц, к которым не прило-
жены внешние силы. Для вывода этого закона из уравнений движения
используют третий закон Ньютона, закон равенства действия и противо-
действия, который предполагают справедливым для каждой пары взаимо-
действующих частиц. Исходя из природы этих предположений, естественно
ожидать, что положение системы не влияет на ее поведение и сохранение
импульса отвечает тому факту, что законам физики свойственна инвариант-
ность к переносу в пространстве. Это легко показать для одиночной сво-
бодной частицы, если воспользоваться аппаратом квантовой механики.
Импульс — это вектор р; его декартовые составляющие сохраняются
порознь. Полный импульс системы р, не подверженной действию внешних
сил, сохраняется во времени:
-^- = 0, pt рх, pv, pz. (1.5)
Для перехода к квантовой механике выражение (1.5) записываем в виде
4-(р^-<^рг) + # = 0- U-6)
Воспользовавшись тем, что
Pi xt=x, у, z, (1.7)
для соотношения (1.5) получаем выражение
(1.8)
Это соотношение эквивалентно утверждению: гамильтониан сво-
бодной частицы не содержит в явном виде коор-
динаты, описывающей положение, или утверждению:
должна соблюдаться инвариантность относи-
тельно переноса.
Рассмотрим теперь случай двух взаимодействующих частиц 1 и 2. При
отсутствии внешних сил
^(Pil+Piz) 0 (19)
или, в квантовой механике:
Это соотношение выполняется, если классический гамильтониан удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению
(цдд+"лУ ри, р<2) = о (1-И)
или же, если %? зависит от пространственных переменных через потенциал
и = и(х^~х12). (1.12)
Сохранение четности (см. § 5 этой главы) еще больше ограничивает выра-
жение (1.12):
U = U(\xti~xi2\). (1.13)
9
Это выражение можно рассматривать как формулировку третьего
закона Ньютона. Несмотря на то что соотношения (1.12) и (1.13) содержат
координаты частиц, они инвариантны к переносу обеих частиц, подтверж-
дая то положение, что сохранение импульса соответствует инвариантности
относительно переноса.
в. Сохранение массы и числа частиц. В нерелятивистской теории закон
сохранения массы и энергии формулируется как два отдельных закона;
в этой теории отсутствует механизм, предсказывающий рождение и анни-
гиляцию частиц. £2
Однако даже в нерелятивистской трактовке 1 ядерной физики необхо-
димо рассматривать два исключения из законов сохранения массы и числа
частиц. Первое относится к дефекту массы, связанному с энергией связи
частиц внутри ядра, второе — к несохранению числа фотонов; эти частицы,
движущиеся со скоростью света, всегда «предельно релятивистские», и необ-
ходимо предусмотреть возможность их появления и исчезновения даже при
нерелятивистском рассмотрении источника фотонов.
§ 3. СОХРАНЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ И ИЗОТРОПИЯ ПРОСТРАНСТВА
а. Сохранение орбитального момента количества движе-
ния. В классической механике орбитальный момент коли-
чества движения частицы определяется соотношением 2
L = rXp, (1.14)
или
Lk=ripj — rjpi (1.15)
(индексы i, /, к соответствуют циклической перестановке 1, 2, 3).
Орбитальный момент количества движения частицы или системы частиц
сохраняется при центральных силах. Типичный пример — описание движе-
ния планет в пренебрежении взаимодействием между магнитными момен-
тами небесных тел и квадрупольными эффектами, вызванными сплющенностью
планет у полюсов.
Подобная же ситуация возникает и в квантовой механике, где орби-
тальный момент количества движения
L= — ifirxV, (1.16)
или
<117>
сохраняется для потенциалов центральных сил. Типичный пример — частицы
без спина либо, более формально,— частицы со скалярной (т. е. задаваемой
одним числом) функцией положения.
Рассмотрим компоненты векторного оператора (1.16), например его
z-компоненту, и введем систему полярных координат (рис. 1.1) с полярной
осью по направлению z:
= (1.18)
Тогда сохранение момента количества движения приводит к соотношению
<119>
1 Под нерелятивистской трактовкой будем понимать такое описание, при котором
не используется релятивистская квантовая механика, хотя иногда используется реля-
тивистская кинематика.
2 Векторное произведение определяется по правилу правой руки. Компоненты
относятся к правовинтовой системе координат (ж, у, z, xlt х2, х3 или 1, 2, 3; см. рис. 1.1).
10
которое означает, что
тельно поворота.
Таким образом,
риентации
ыполненныйв
лаборато-
т о т
той
гамильтониан должен быть инвариантен относи-
в
законы д в и ж
пространст
и золи-
о в ан н о й
ии, дает
ч
в ы и о л
поворота л а б о -
Другими словами,
же ре-
экс пе-
не н н ы й
е
ния
зависят от
перимент,
Рис. 1.1. Определение декартовых и полярных
координат точки Р; х, у иг — единичные
векторы вдоль направлений правовинтовых
декартовых осей.
о
в
Р
Р
з у л ь т а т,
р и м е н т,
после
р а т о р и и.
пространство обладает свойством
изотропности наряду со свойством
однородности, присущим ему в
силу сохранения импульса.
б. Орбитальный момент коли
чества движения и операторы по-
воротов. Чтобы уточнить связь
между вращением и моментом ко-
личества движения, введем опера-
тор поворота RA (9), действие
которого на любой объект сводит-
ся к повороту этого объекта на
угол 9 вокруг оси А. Угол 9 по-
ложителен, если вращение право-
винтовое вокруг положительного
направления А (см. рис. 1.2).
Когда поворот настолько мал, что величину 0 = 8 можно считать бес-
конечно малой, оператор Т?А(в) будет бесконечно близок к оператору тожде-
ственности, а величина Т?А(е) — 1 будет пропорциональ-
на е. Можно, таким образом, ввести дифференциальный
оператор /А, не зависящий от величины е, который будет
определяться соотношением
Рис. 1.2. Опреде-
ление положитель-
ного (правовинто-
вого) направления
вращения.
Ra (в) = 1 —-|-JAe.
(1-20)
Множитель — i/7i введен для согласования с выраже-
нием (1.18) Оператор JA можно назвать оператором
дифференциального поворота вокруг
оси А
Оператор поворота на конечное значение угла 0 =
быть получен в результате
таким образом,
~JVe (N велико) может
повторных применений оператора RA (в);
Яа(9)=(1
=(‘ - «•> ”)=*
62
2
Л , . 63 J3A
Д2 “Г 1 3J •
(1.21)
Если для системы, описываемой скалярной волновой функцией ф (г) =
= ф (г, 0, <р), выполнен поворот на угол в вокруг оси г, то ф (г, 0, ф) заме-
нится ф (г, 0, ф — в) и, следовательно, можно написать, что
ф(г, 0, ф — в) = Rz (в) ф (г, 0, ф)= (1 —ф(г, 0, ф).
Но, с другой стороны, вспомнив выражение (1.18), имеем
ф(г, 0, ф — е) = ф(г, 0, ф) — в = (1 — i ЧГе) Ф(г« ф)-
11
Сравнивая правые части этих соотношений, получим простое соотно-
шение между моментом количества движения и оператором вращения
£z = /z. (1.22)
Следует помнить, что соотношение (1.22) соответствует скалярной вол-
новой функции, зависящей только от координат. Случаи, когда волновая
функция зависит от других внутренних переменных (спина), рассматри-
ваются ниже.
в. Коммутационные соотношения для операторов поворота и момента
количества движения. Дифференциальные операторы (1.17), как легко убе-
диться, не коммутируют друг с другом, а удовлетворяют соотношению
LiLj — LjLi = ihL]i (1.23)
(индексы i, j, к соответствуют циклической перестановке 1, 2, 3). Тем же
правилам перестановки, очевидно, удовлетворяют и операторы Из педа-
Рис 1.3. Искоммутативпость поворотов вокруг различных осей.
готических соображений получим правила перестановок для .7г, исходя из
чисто геометрических представлений.
Некоммутативность поворотов вокруг различных осей хорошо вид-
на из рис. 1.3, где изображены результаты поворотов на 90° системы
S — книги с лицевой обложкой F и тыльной В — вокруг осей координат
1НХ (90е), Rv (90), Rz (90°)].
Рассмотрим далее, что произойдет с какой-либо конкретной точкой
системы, если выполнять последовательно бесконечно малые повороты
Rv (*1), Rx (е), Ry (—Л), (—е). Точка Р, расположенная вначале на оси z
единичной сферы, вернется в положение Р после того, как она займет поло-
жения Р', Р", Р'" (рис. 1.4). Но если начать с точки Q, лежащей на оси у,
то положение изменится. Поворот Ry (ц) оставит, нас в точке Q, а после
четырех поворотов мы окажемся в точке расположенной в плоскости ху
на расстоянии ец в направлении положительного вращения вокруг оси г.
Точка R на оси х аналогично перейдет в R"".
Таким образом, можно записать, что
(- e) Ry (- ц) Rx (е) Ry (Л) = (ец).
12
Переписывая это соотношение в переменных Jx, Jy, J z и используя соотно-
шение (1.21), получаем
й2 Т • • ) h 2П2
н )
Отсюда в соответствии с соотношением (1.23) и с учетом членов второго
порядка получим
= (1.24)
г. Собственные функции момента количества движения *. Оператор
L1 2 = Lx + LI + коммутирует с любым Lt, тогда как в соответствии
Рис. 1 4. Последовательное выполнение бесконечно малых поворотов.
с соотношением (1.23) сами Lt не коммутируют друг с другом. Таким обра-
зом, оператор Z2 можно диагонализировать одновременно с любым из Lt,
например с Lz, и найти собственные функции, одновременно как L2, так
и Lz. Такими функциями являются хорошо известные сферические гармо-
ники 2, определенные для целочисленных значений Z, т и для 0<т<Т
соотношениями
у,”(е. ф)=(- 1Г (Г,-Т [ (2'+;> ;~7)| p(sin0)" X
х-(ЯЙЛ^(“пв)’'е,”Ф' (1'25>
Эти функции соответствуют собственным значениям I (I + 1) Й2 для опера-
тора L2 и собственным значениям mh (| т |<С0 для оператора Lz. Выпишем
1 Этот и следующий разделы помещены здесь для последующих справок и могут
быть опущепы без ущерба для логической последовательности изложения.
2 Существует некоторый произвол в выборе знака. Данный выбор известен как
фазовое условие Кондона и IIIортли, и он почти повсеместно принят в литературе (книга
Шиффа является исключением). Под символом двойного факториала следует понимать
операцию nil = п (п — 2) (п — 4) . . ., где последний множитель равен 1 или 2.
13
некоторые из них:
1 = 0
(5-состояние)
7=1
(Р-состояние)
1 .
“|/4л ’
П = - (КГ)* = - sin 0 е‘ф;
1=2
(D-состояние)
П = + (У,2)* = j/ £ sin2 6 е2“Р;
{ KJ = — (КГ)* — — 1/" sin 6 cos 6 е1’’;
г OJT
. к^/^f (3cos20-i).
(1.26)
Сферические гармоники, написанные выше, ортонормированы при интег-
Рис. 1.5. Определение углов, входя-
щих в теорему сложения.
рировании по полному телесному углу:
^(УГ)*у№=б„1т.бгг,
(1.27)
Величина У° следующим образом связана
с полиномами Лежандра Pf(cos0):
Pl (cos 6)= /2ГГтУ?(е),
нормировка которых имеет вид
^№=^6,,..
(1.28)
(1.29)
Нам понадобится «теорема сложения»
для У™(сой0), которая записывается в
виде соотношения
к? («)=}/ 2FFT 2 (УГ(6, ср))*УГ(е\ q>')=
тп=— I
= ]/ жт^у?(е’ ч’)У?(е'.ч’')]
(1.30)
плюс члены, содержащие множитель cos т (ф — ф'), гДе углы а, 0, ф, 0', ф'
геометрически связаны, как показано на рис. 1.5. При 7 = 1 выражение (1.30)
сводится к хорошо известному в сферической тригонометрии соотношению
cos а = cos 0 cos 0' sin 0 sin 0' cos (q — ф'). (1-31)
Для получения трехмерных собственных функций операторов L2 и Lz
достаточно написать произведения из сферических функций на произволь-
ную функцию г. Особенно полезно исследовать зависимость собственных
функций от г для свободной частицы с массой тис определенной кинети-
ческой энергией
у,__ р2 __ 712fc2
2т 2т ’
14
где к равно импульсу, деленному на h, или обратной величине дебройлевской
1 _2л \
Г г) •
длины волны X 1/с =
Для каждого значения величин к и I существует два независимых
радиальных решения волнового уравнения для свободной частицы: (кг)
с регулярностью вначале и (кг) нерегулярное вначале. Это так назы-
ваемые сферические функции Бесселя, которые можно выразить через обыч-
ные функции Бесселя и Неймана
(1.32)
В частном случае при малых I
7о = sin кг . . _ 1 7 кг ’ кг \ sin кг кг -cos Ат) ;
72 = -МГ-3 11 кг ( L (кг)2 J sin кг - 3 7 1 - -г— cos кг > кг J
по = cos Аг 1 кг ’ ?г* кг sin кг - cos кг\ кг / ’ 1
^2 = ~ Sin кг + кг [ кг Г—- L (кг)2 - 1 J cos кг |
(1.33)
Можно написать следующие приближенные формулы, действительные при
любых Z:
7/ (кг) « (2г(Уцй для кг < Z;
it (М
кг
,, . (2Z —1)!! , .
nt (кг) «- для кг « Z;
krL+1
для кг > I;
(1-34)
cos /сг — I
nt(k.r)^---------
для кг > I.
Для функций гц и первая точка перегиба возникает при кт =
= (Z + 1); это значение кг разделяет области, в которых сферические
функции Бесселя имеют вид степенной зависимости от г, и область, где
эта зависимость имеет осцилляторный характер.
Из функций / и п удобно образовать радиальные функции, которые
вдали от начала соответствуют приходящим или уходящим бегущим сфери-
ческим волнам. Такие функции определяются равенствами
/+ (кг) = ni (кг) + iji (кг)‘,
ц (кг) = [jt (кг)]*.
(1.35)
Можно написать следующие приближенные выражения для этих функций:
для кт < 1
7* (кг)
(27 — 1)1!
(/сг)'+1
для кг > 1
(1.36)
7* (кг) « ехр
15
д. Применение декартовых циркулярных координат. Некоторые из выра-
жений, содержащие моменты количества движения, приобретут простой гео-
метрический смысл, если вместо обычной декартовой системы координат,
определяемой единичными векторами х, у, z, ввести систему комплексных
циркулярных осей, которым соответствуют базисные векторы:
ё_=-р=- (x-iy); } (137)
е0 = z. J
Решая эти равенства относительно величин х, у, z, получим
у =—7=-(е+-|-е_); } (1.38)
J Д/2 j
z = e0. J
Ортонормированность базисных векторов (1.37) непосредственно сле-
дует из обычной формулы для скалярного (некоммутативного) произведения
комплексных векторов
u-v = iz*px + w*Py +u*vz. (1.39)
Компоненты произвольного комплексного вектора v в циркулярных коор-
динатах удобно определить соотношениями г:
п+=—e_-v= —-^=-(17х4-шу); ]
|/2 |
v_--= — e+-v = -^=\vx — Шу); j U-40)
p0 = e0-v = Kz. J
Легко проверить, что
v = vx--x + vyy + vz-z= — p_-e+4-r+-e_+Po-eo (1-41)
и
U • V = и* • v+ + U* • V_ + и* • Vq.
(1-42)
В частности, если и действительная величина, н*= —и_, и*= —и+ можно
написать
u-v=—u_v+— u+v_-j-u0r>0. (1-43)
Отсюда видно, что сферические функции У"‘(0, <р) пропорциональны
координатам вращения единичного вектора г в направлении 9<р:
г+= —р=- sin 9 (cos ср 4- i sin ср) = —sin 9 e1’’ = Y{;
sin 0 (cos <p — i sin <p) = sin 0 е-1ф = у —g- Y~\
r0 = cos9 = j/ -^-y;.
(1-44)
1 Определения, введенные формулами (1.40), неудобны с точки зрения геометрии,
но, как мы увидим, они весьма полезны при рассмотрении моментов количества движе-
ния, поскольку е+ и v+ представляют собственные функции моментов количества дви-
жения для J = 1, М = + 1 и т. д. При действительном v имеем просто v+ = ve+ и т. д.
16
Можно показать, что сферическим функциям более высокого порядка
соответствуют тензоры более высоких рангов [4]. Плюсовые и минусовые
компоненты операторов моментов количества движения представляют собой
хорошо известные операторы увеличения и уменьшения индексов, для
которых имеют место следующие соотношения:
Ь+УГ=-----±^(Lx+iLy) = -П + УГ+1; '
ь У71 = yi (Lx - 1LU) УГ = h у/ (Z + m) (Z - m + 1) УГ';
(1.45)
L0Y™ = Й/пУГ.
§ 4. СОХРАНЕНИЕ ПОЛНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ. СПИНЫ 12 И 1
а. Разложение бесконечно малого поворота на орби-
тальную и внутреннюю составляющие. Предположим теперь,
что взаимодействующие частицы не точечные и что для
описания состояний этих частиц необходима некоторая информация, харак-
теризующая ориентацию их внутренних осей. При таких условиях орби-
тальный момент количества движения может и не сохраняться. В класси-
ческом примере движения планет в качестве таких выделенных осей можно
взять оси вращений или магнитные оси планет и Солнца. Однако оси планет
из-за дипольных в квадрупольных связей прецессируют, и эта прецессия
должна быть скомпенсирована соответствующим изменением орбитального
момента количества движения. Законы площадей Кеплера при этом непри-
сОменимы, и их следует заменить более общими законами сохранения полного
момента количества движения.
А В механике элементарных частиц выделенная ось определяется спином.
При наличии спина S орбитальный момент количества движения может не
сохраняться. Но в соответствии с постулируемой и з о-
'м'* троп и ей пространства предполагается, что инва-
Э^рчантность относительно поворотов все еще
Of* выполняется. Покажем, что это допущение как математически, так
и физически соответствует сохранению полного момента количества дви-
жения.
При наличии спина волновая функция ф (г, S) зависит от пространст-
венных и спиновых координат.
Если спиновые и пространственные координаты могут быть разделены,
то 1 ф (г, S) = ф (r)-£ (S) и оператор поворота можно представить в виде
произведений двух операторов
(1.46)
Один из них, 7?z”, характеризует поворот пространственно зависимой части
волновой функции и связан, как и прежде, с орбитальным момен-
том количества движения:
«т 4-4-Дг» <147)
Второй оператор, Kz' (6), отражает поворот части волновой функции2, зави-
сящей от спина, и относится к внутреннему, или спиновому,
1 Пространственная и спиновая зависимости разделяются для J = L + А (см
дальше).
2 Примеры в разделах (б) и (в) объясняют смысл применения операторов поворота
к спиновой части волновой функции.
2 Ядерные взаимодействия X, / ( (/ 17
(1.51)
моменту количества движения S, z-компонента которого определяется фор-
мулой
Bz} (е) = 1 — i е. (1.48)
Из выражений (1.46) и (1.48), сохраняя только первые степени е,
получим
7?z(e) = l-4(^z + 5z)e. (1.49)
Наконец, введя оператор
Jz — Lz-\-Sz, (1.50)
получим, что полному повороту соответствует полный момент количества
движения J, который является суммой внутренней и орбитальной состав-
ляющих.
Допущение об изотропии пространства будет теперь эквивалентно
утверждению о коммутативности гамильтониана и оператора дифференциаль-
ного поворота J, определяющего поведение волновой функции состояния
при вращении:
/z<$?-<$?/z = 0;
<$?72=0.
Собственные значения операторов J2 и Jz равны величинам
J2 = j (j + 1) Й2 (/ — целое или полуцелое) и Jz = mjti (т,- = J, J — 1 ...
... — J), представляющим собой точные квантовые числа. Собственные же
значения операторов Sz, S2, Lz и L2, вообще говоря, не точные квантовые
числа.
Если пространственные и спиновые координаты не могут быть разделены,
то разложение оператора поворота (1-46) остается справедливым только для
бесконечно малых поворотов [см. выражения (1.61), (1.73)]. При этом сохра-
няются соотношения (1.47), (1.48) и (1.50), но в них должны входить опера-
торы дифференциальных поворотов.
б. Метод матриц Паули для двухкомпонентных волновых функций
(спин 1/2). Рассмотрим случай, когда спиновая переменная может принимать f
только два значения. При этом волновые функции имеют две скалярные
компоненты, и операторы могут быть представлены в виде матриц, содер-
жащих две строки и два столбца (2 X 2-матрица).
Следуя Паули, введем векторный оператор
_/0 1\ . /0 —i\ А /1 0\_
G=oxx + ayy+a2z= Q J х + I. q ) У + I 0 _JZ- С1-52)
Его компоненты эрмитовы и удовлетворяют соотношениям:
<4 = 1; ]a|2 = a24-a2 + a? = 3; ]
„. . (1.53)
сущ; — OjOi = Zio*; OjOj = — OjOt = io* ! ' ’
(индексы i, 7, к соответствуют циклической перестановке 1, 2, 3).
Проекция вектора о на произвольное направление, заданное единичным
вектором s или полярными углами 08 и <р, равна
А /cos 6S sin 6S exp (— i<ps)
O-S = I . „ ... „
\sin exp (i<ps) — cos
Так как | о- s |2=1, то собственные значения оператора (1.54) равны +1.
Собственное состояние £s, соответствующее собственному значению 1,
удовлетворяет соотношению
(o-s)^=^ (1.55)
и соответствует направлению спина Паули по s.
(1-54)
18
Введем матрицу (1-54) в уравнение (1.55) и получим уравнения для
собственных функций £; = j
/ cos 6S + g sin 6S • exp (— i<ps) = /;
/ sin 6S exp (i<ps) — g cos 0s = g,
откуда следует
Д. = Sinesexp( —i<ps) = HIM exp
g 1 COSes Sin (l_es) exp (y i<ps)
Введя нормировку /2 Ц- g2 = 1, получим для спина в направлении 0S, <ps
Углы, входящие в выражение (1.56), характеризуют ориентацию спина,
а не зависимость £- от положения в пространстве. Волновые функции могут
быть сферически симметричными по пространственным координатам, в то
время как состояние системы не инвариантно по отношению к поворотам.
Если допустить, что ориентация спина не зависит от положения системы
в пространстве (0, и ср не зависят от г), то легко показать, на основании
соображений, связанных с поворотами, что состояние (1.56) соответствует
спину S = fi/2. Действуя на состояние (1.56) оператором (б), получим
(1-57)
Из данного выражения следует, что состояние в общем случае не является
собственной функцией оператора S z, поскольку этот оператор меняет знак
нижней компоненты. Но совершенно ясно, что состояние есть собственная
функция S2, соответствующая собственному значению Д2/4. Поэтому возмож-
ные собственные значения Sz равны
Sz = ±^h. (1.58)
В частности, если 0S = 0 или п (т. е. при s = ± z), то £ ~ описывает собствен-
ное состояние S z, соответствующее собственным значениям ± 7г/2. Собствен-
ные состояния могут быть описаны формулами
(1.59)
Это хорошо известные собственные функции Паули.
2* 19
Матрица S z, относящаяся к этим состояниям, имеет диагональный вид
1
и равна у где о2 определяется соотношениями (1.52). Это обстоятель-
ство указывает на эквивалентность между подходом Паули и введением
спина с помощью операторов поворота. Для любой двухкомпонентной вол-
новой функции, которая всегда может быть представлена в виде линейной
комбинации состояний а и |3, можно написать
ГЧ h
S=yO. (1.60)
Если углы 0S и tps зависят от г, 6 и ср, ситуация несколько усложняется,
оператор поворота Rz (е) не только воздействует на ориентацию спина, но
и вызывает поворот всей системы на угол ср:
(сойГубДг, 0, ср —e)lexp | —i-[(ps(r, 6, ср — е) + е]}\
Г1 1 М ? «
sin|_y 6s(r, 0, ср — e)J exp j-y[cps(r, 6, ср —е) + е]| /
_/(1-4ie)[1-e(^-)]cos(46«)exp(
\ (4Мсхр(-г^) / ( }
Отсюда следует (если опять пренебречь членами с е2), что полный диффе-
ренциал поворота Jz/Ti разделится на сумму поворотов SJti и LJJi, даже если
спиновые и пространственные координаты волновой функции неразделимы.
Для последующего применения введем операторы Л+ и Л :
1 л0
Л+ — У (i+^z) — (q о
Л-==-2 ~<Т^==\0 1)’
(1.62)
которые называют проекционными операторами «спин вверх» и «спин вниз»
соответственно, так как
Л+d/'i А^Г//2 О;
Л СГ//2
(1.63)
В дальнейшем потребуются также вспомогательные операторы «подъема»
и «спуска» спина
1 1 (1
(о О
1 1 /0
“=т<’'-|о»)=-?г»-=(1 о)
которые удовлетворяют соотношениям:
оЧ$=0; аЧГ/? = $|;
оЧГ/*/2=0.
(1.64)
(1.65)
в. Векторные волновые функции (спин 1). Другой случай, представля-
ющий особый интерес при рассмотрении электромагнитного поля,—это трех-
компонентные волновые функции, преобразующиеся как векторы.
Рассмотрим векторное поле V с компонентами
Vx = V sin 6S cos cps; Vv = V sin 6S sin cps;
Vz = V cos 6S
20
и допустим сначала, что V не зависит от г. Воздействуя на V оператором бес-
конечно малого поворота вокруг оси z, получим
(V sin 6S cos cps \ f V sin 6S cos (<ps + e) \
Fsin6sSincps j = | F sin 6S sin (cpse)
V cos 6S / \ V cos 6S /
(V sin 6S cos cps — VE sin 63 sin cps \ / Vx — e,Vy \
V sin 6S sin cps 4- Ve sin 0s cos <ps 1 = 1 Vz-i~BVx I . (1.66)
V cos 63 / V Vz /
Таким образом.
/Vx\ /-iVv\
. (1.67)
\vj V 0 /
Очевидно, что произвольно направленный вектор не будет собственным
состоянием Sjh. Но легко убедиться в том, что имеется собственное состоя-
ние оператора
4[(4 «)]•
соответствующее собственному значению 0:
2 (VA
4(41—= °- f1-68)
Vf2/
Это означает, что для любой векторной волновой функции собственные
значения S z равны
^=+71, 0, — 7i. (1.69)
Легко показать, что соответствующими нормированными единичными
векторами будут единичные векторы (1.37). Таким образом, как векторы
так и скалярные функции У£, У,1, У" являются собственными состояниями
момента количества движения, равного 1. Выразим операторы Sx, Sy, Sz,
действующие на векторную волновую функцию, с помощью матриц, содержа-
щих три строки и три столбца (3 X 3-матрица). Бесконечно малый поворот
на угол е вокруг оси i соответствует сложению исходного вектора V с век-
тором ехг X V.
Таким образом,
ф-V^ixxV;
п
^V = iyxV;
ф-У= izx V.
л
(1-71)
Отсюда получаем матричное представление
(0 0 0\ / 0 0 i\ /0 —i 0\
0 0 — i I; = U 0 0 0 |; й=й i 0 0 1 . (1.72)
0 i 0/ V—i о о/ Vo о о/
21
Легко убедиться, что эти матрицы эрмитовы и что они удовлетворяют
правилам перестановок для момента количества движения. Если перейти
к представлению, где матрица Sz диагональна, то
/О 1 0\ /О -i 0\ /10 0\
= 1 о 1 I; ^ = -^11 0 —i|; Sz = do 0 0 I . (1.73)
1/2 \0 1 0/ Т\0 i о/ \0 0—1/
В заключение рассмотрим случай, когда направление вектора V зави-
сит от положения в пространстве, а его спиновая и пространственная зави-
симости не разделяются. Покажем, что поведение векторного поля относи-
тельно поворотов соответствует поведению орбитального момента количе-
ства движения и внутреннего спина, равного единице. Проследим, как это
получается для ^-компоненты. Vx (х, у, z) изменяется при поворотах по двум
причинам: как компонента вектора она преобразуется в Fx cos е —
— Vv sin е « Vx — sVy; координаты же х, у, z преобразуются в
х cos е 4- у sin е » х + су, у cose — х sin е у — ex, z;
отсюда, оставляя члены первого порядка по е, получаем
^z(e)Ex(z, у, z) =Vx(x+eij, у —ex, z) —
— EVy(x + Ey, у ~EX, z) = Vx(x, У, z) +
+ Ex — ex~Vx — eVv = Vx — eVv — e(r x VEX)Z. (1.74)
Добавка величины — eFy связана с внутренним спином [см. соотноше-
ния (1.65)], а член е(г х x)z соответствует орбитальному моменту коли-
чества движения [см. выражения (1.16), (1.17)].
г. Собственные функции полного момента количества движения и век-
торное сложение моментов количества движения. Пусть j и j' — два комму-
тирующих оператора моментов количества движения. Эти моменты могут
быть либо орбитальными, либо внутренними, либо даже представлять сумму
орбитальной и внутренних частей. Пусть далее 37™ (1) и 'И'у (2) есть собствен-
ные функции j и j', соответствующие собственным значениям у, у", т, т'.
Эти индексы — краткие обозначения собственных значений у (у + 1)й2 для у2
и тй для у2, и т. д.
Функция З/j1 представляет собой сферическую гармонику, если j—
чисто орбитальный оператор; спиновую функцию, если j — чисто внутрен-
ний оператор, и в общем случае может иметь более сложную структуру.
Переменные (1) и (2) означают только угловые, или только спиновые пере-
менные, или те и другие вместе. Если сложить векторные операторы j и j'
то образуется новый векторный оператор момента количества движения,
имеющий собственные значения 72иМ [сокращение для J (J 1) Й2и7к/Й].
Возникает задача нахождения собственных функций, соответствующих этим
собственным значениям.
Произведение 37(1).(2) является собственным состоянием Jz для
М = т-\-т". Пользуясь методами теории групп, можно в совершенно
общем виде доказать, что ортонормированные собственные функции для J2
и Jz являются линейной комбинацией 37™3/™ , имеющей вид
3^у(1,2) = 3 C(yy'J; /п/п')2/Г(1)]3/р'(2), (1.75)
7Л'= —
где С — числовые коэффициенты, называемые коэффициентами Клебша —
Гордана или коэффициентами «векторного сложения», а т — М — т'
в каждом из членов суммы.
22
С другой стороны — произведение 3/™ (1)-+™ (2) можнол записать как
линейную комбинацию функций 2/jj/ (1, 2) по формуле
з+з'
V™ (1) 3/р' (2) = 3 С (H'J-, тт') (1,2),
J=3—3'
(1-76)
где М — т т' в каждом члене суммы.
Соотношение (1-75) может быть использовано для нахождения спин-
угловых функций, соответствующих данному полному моменту количества
движения каждой частицы, и для нахождения собственных функций общего
момента количества движения системы многих частиц.
Формула, подобная (1.76), применима и для сферических функций
одного аргумента
y'iL (1) Yr’ (1) = У.Г—С (ll'k mm’) С (IV L’, 00) Y^+m’. (1.77)
|_ 4JT । 1) J|
L
Заметим, что коэффициенты этой суммы отличаются от коэффициентов в фор-
муле (1.76) только множителями, которые не содержат т и т'.
Воспользовавшись соотношением (1.77) и ортонормированностью сфери-
ческих гармоник, получим интегральное соотношение
V (У™')* yf ур dQ = Г ~Г/2 С тМ) С (ILV; 00). (1.78)
j L {^1 \~i) J
Это соотношение позволяет вычислить матричные элементы сферических гар-
моник, входящих в выражение для собственных состояний орбитального
момента количества движения.
Важное обобщение соотношения (1-78) получается в связи с теоремой
Вигнера — Эккерта, которую можно сформулировать следующим образом:
зависимость матричных элементов (неприводимого) тензорного оператора
Tj1 от квантовых чисел т и т' для собственных состояний момента количе-
ства движения полностью определяется коэффициентами Клебша — Гор-
дана:
= \ Tj\j). (1-79)
Отсюда следует, что значения матричных элементов , неравные нулю,
возможны только для | у — у" |-<J<7 + у" и М = т' — т.
Доказательства этих утверждений и описание свойств коэффициентов
векторного сложения можно найти в специальной литературе [2, 9,
10, 7, 31.
В дальнейшем изложении нас будет особенно интересовать сложение
моментов количества движения для случая, когда одно из слагаемых равно
1/2 или 1. Приведем таблицы коэффициентов векторного сложения для
таких значений у'. Таблицы для у = 3/2 и 2 даны Кондоном и Шортли [2].
j' = 1/2 Таблица 1.1
С (j -i- J; mm'j m'=l/2 m'=—1/2
J = / + 1'2 J- 1 — х/г ( /+M+V2 y/2 К 2/ + 1 ) / /_м+1/2 \ 2/+1 ) f j-M+42 \l/2 I 2/+1 J ( i+м +->/2 V/2 К 2/+1 )
23
j'=j = i/2 Таблица 1.2
тп'=1/2 т'=—1/г
М= 1 1 0
J 1 W 0 1/vT
М —1 0 1
J 0 -VV? Vv?
j'=l, j =1/2 Таблица 1.3
С (1 — J; тт') т'-Х/г m'=—1/г
м 3/2 1 0
М=1/2 l/V?
J з/2 м =_1/г Vv3 У2 * * 5/з
М=-3/2 0 1
М=1/2 -Vv?
-V2/3
Особенно важны спиновые состояния двух частиц со спином 1/2. Они
состоят из синглетного состояния
£j=-p=-[a(l)P(2) —Р(1)а(2)],
(1.80)
нечетного по отношению к обмену спинов, и из четного триплетного
состояния
(1.81)
£ = а(1)а(2);
£5 = -р=-[а(1)Р(2) + Р(1)а(2)];
?-=₽(!)₽ (2).
Полезно рассмотреть скалярное произведение спиновых векторных
операторов двух частиц
собственные значения которых равны <
—Зв синглетном
состоянии
1 в триплетном
состоянии 1
(1.82)
Из этого оператора можно построить проекционные
и триплетный операторы
As=-^-(l — [вч-ОгВ; А< —(3 + [ofj <г21)
обмена спинами
летный
и оператор
синг-
(1.83)
1
(1-84)
где
ные
собствен-
1 Формулу (1.82) легко проверить, если написать
1
1«Г1-<г2] = у 452),
1
5 = (О) + а2^ и учесть, что собственные значения <т| и равны 3 а
значения № равны Л’ (S + I)2 и соответствуют 0 для синглета или 2 для триплета.
24
Оператор +о при воздействии на состояние (1.81) имеет собственные зна-
чения — 1 и -pl, а это соответствует обмену спинами между двумя частицами
(1)и(2).
j' - 1 Таблица!.4
C(jl;
•7 = 7 + 1
Г i
J =7-1
га-нюа+м,-!)-!1/2
L (2/4-1) (2/+ 2) J
Г (i+M) (j-M +1) -11/2
L 2/ (/ ; 1) J
Г U-M) a-м 11) -р/г
L 27(2/+1) J
г (/-M+1) (y+Af+l) -11/2
L (2/+ !)(/ + !) J
M
[/ (7+l)]1/2
_ Г (7 -1И) (, + 1И) -|i/2
L 7(27+1) J
Г (/-M) (/-^ + 1)11/2
L (2/+l)(2/+2) J
Г (/ —M) (/+M-|-1) -|i/2
L 2/(/ + l) J
Г(/ + М+1)(/ + М)-|1/2
L 2/(2/+l) J
Таблица 1.5
С (11J, тт') т'=1 т'=0
М 2 1 0 0
М 1 У1/? 1V 0
J 2 МО р'б УУ7 У^в
М = — 1 0 У*/2 УЧг
М= —2 0 0 1
М 1 -УчГ 1 */г 0
J = 1 М 0 -УЧ2 0 У1??
М-=—1 0 -УУГ УЧг
J 0 м = о У1/? -УЧз УЧз
§ 5. ИНВАРИАНТНОСТЬ К ИНВЕРСИИ ПРОСТРАНСТВА
И СОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ
а. Оператор четности. Мы рассмотрели следствия из
инвариантности для переносов в пространстве и времени и для
поворотов в пространстве. Перейдем теперь я изучению
инвариантности, связанной с инверсией осей пространства и времени. В этом
разделе мы рассмотрим инверсию пространственных координат, а в § 7 —
обращение времени. Четырехмерные повороты (преобразование Лоренца)
и инверсии будут изучены позже (гл. 6—8).
Трехмерные вращения ортогональных декартовых координатных осей
соответствуют группе преобразований
при условии
•Pi —
CljiUjk —
3
det atj = 1.
(1.85)
(1.86)
Эти дополнительные требования необходимы для сохранения масштаба
и для сохранения инвариантности элемента объема dx dy dz. Как следует
из формулы (1.20), повороты могут быть получены с помощью непрерыв-
ных изменений из преобразования тождественности.
25
Повороты, описываемые выражениями (1.85) и (1.86), содержат отраже-
ния для двух пространственных осей
[7?z(n){x, у, z} = { —х, — у, z}],
но не содержат отражений нечетного числа осей. Последнее соответствует
линейному преобразованию по закону (1.85), при котором, однако,
deta/j= —1. (1-87)
Оператором четности Рт будем называть оператор, пре-
образующий направление трех координатных осей
Рг{х, у, z} = { —х, —у, — z}. (1.88)
Отражение любой оси Рг может быть описано произведением Рг и поворота:
Pz(x, у, z)={x, у, — z};
Pz=PrRz(n). J
(1.89)
Операторы Рг и Pt преобразуют правовинтовую систему координат
в левовинтовую; они не могут быть получены непрерывным изменением пре-
образования тождественности. Отрицательный определитель (1.87) меняет
знак каку элемента объема dx dy dz = dx X dy- dz, так и у всех других трой-
ных произведений.
б. Инвариантность к отражению в классической физике. Неквантовые
физические теории всегда инвариантны к отражениям координат. Эта инва-
риантность упоминается редко, так как она очевидна.
Тем не менее, чтобы облегчить понимание четности в квантовой меха-
нике, начнем с классических примеров.
Классические величины можно подразделить на четные и нечетные
в соответствии с тем, сохраняют они или меняют знак под действием опера-
тора четности. Масса, температура и энергия —это однокомпонентные чет-
ные величины, или скаляры. Импульс, сила и электрическое поле — трех-
компонентные нечетные величины, или векторы. (Это общепри-
нятое определение отождествляет вектор с его тремя нечетными компонен-
тами, а не с геометрической «стрелкой», которая остается неизменной при
преобразовании координат.) Эти векторы более или менее непосредственно
связаны с переносом. Момент количества движения, напряженность маг-
нитного поля и т. п. представляют собой трехкомпонентные чет-
ные величины; они называются псевдовекторами, или акси-
альными векторами. (В этом случае компоненты не меняют знака,
тогда как «стрелка» поворачивается.) Псевдовекторы связаны с вращениями.
Нечетные однокомпонентные величины называют псевдоскаля-
рами. В качестве примера можно привести смешанное произведение трех
векторов или скалярное произведение вектора и псевдовектора. Псевдо-
скаляры связаны с вращениями и с переносами. Типичный псевдоскаляр —
спиральность (или «закрученность») винта — определяемая соот-
ношением
v-w
ГСО
X
(1.90)
Величина % равна +1 в зависимости от того, параллельна или антипа-
раллельна скорость поступательного движения винта v угловой скорости
вращения <о, или, проще, является ли винт правым или левым. Другой инте-
ресный псевдоскаляр — потенциал псевдо диполя, .например магнитостати-
ческий потенциал; его трансформационные свойства такие же, как
и у мезонного поля (см. гл. 7).
Тензоры более высоких порядков, чем векторы, можно также подразде-
лить на четные и нечетные в зависимости от поведения их составляющих.
Инвариантность к поворотам означает, что все члены уравнения ведут
себя при вращениях одинаково; соответственно они должны быть тензорами
26
одного и того же порядка. Подобным образом инвариантность к отражениям
требует того, чтобы все члены уравнения вели себя
одинаково (были четными или нечетными) при отражении.
Таким образом, в классической теории сохранение четности означает
невозможность сложения скаляров и псевдоскаляров, векторов и псевдо-
векторов и т. п. Инвариантность к отражениям и сохранение четности нару-
шаются, если сила, возникающая
отличается от силы, возникающей
при сжатии такой же, но лево-
винтовой пружины, так как при
этом потенциальная энергия (ска-
ляр) связана со спиральностью
(псевдоскаляром). Инвариантность
к отражениям нарушалась бы, если
бы, например, силы между двумя
витками с током зависели не от от-
носительного направления проте-
кания токов в них, а менялись бы
с изменением направления обоих
токов. Инвариантность к отраже-
ниям можно определить еще и
более наглядно. Е с л и в опре-
деленном эксперимент
лаборатории, наблюдаете
т о
ж е
п р
при сжатии правовинтовой пружины,
Сила
Сипа
ПраВоВинтоВая
пружина
Лаборатория
Рис.
е,
ЛеВоВинтоВая
{*^•3 пружина
Зеркальное
отображение
лаборатории
1.6. Инвариантность
к отражениям.
в экс
н и е м
е д с т а
пер и мент
первого
в л я ю щ е й
е,
и
с
я в л я ю
в ы п о
обой
Л
Рис. 1.7. Инвариантность к отражениям
Д
Р
с
м
н
в данной
результат,
ьным о т р а -
ыполненном
некоторый
зеркал
лаборатории,
е отражение
лаборатории,
н
т,
в
я
щ е м с я :
н е н н о м
зер
е
о
е
т
У
о
в
к а л ь н
р в о й
О
а
з у л ь т
в у ю щ и й
страже
г о.
Рис.
силы
аблюдаться
соответ-
зеркально-
нию ис х о д -
1.7 показывают,
1.6 и
от правовинтовой и лево-
пружин при сохранении
должны быть одинако-
что
винтовой
четности
выми и что два витка, в которых
токи текут в одинаковом направ-
лении, притягиваются независимо
от направления токов.
в. Сохранение четности в квантовой механике. Сохранение четности
в квантовой механике означает, что гамильтониан свободной системы ком-
мутирует с оператором четности
(P,-<$?-<№) = 0. (1.91)
Это соотношение всегда выполняется для сильного и электромагнитного
взаимодействий. Его нарушение в случае слабых взаимодействий рассмо-
трено в гл. 8.
Уравнение (1.91) требует, чтобы в гамильтониан входили только четные
члены. Так как гамильтониан — величина однокомпонентная, он должен
быть скаляром. Энергия не может зависеть от того, .является ли координат-
ная система левой или правой. Собственные значения оператора четности
в том случае, когда уравнение (1.91) выполняется, представляют собой
точные квантовые числа; так как Pr = 1, то четность имеет только два
собственных значения ±1 и состояния системы будут либо четными, либо
нечетными, в зависимости от знака в уравнении:
(1.92)
27
г. Орбитальная, внутренняя и полная четности. Введем теперь понятие
внутренней четности, которое в атомной физике обычно не
рассматривается. Мы видели, что волновая функция частицы не обязательно
скаляр. 1-, 2- и 3-компонентные функции, соответствующие значениям
спина 0, 1/2 и 1, уже рассматривались. Теперь обратим внимание на тот
факт, что волновая функция частицы не обязательно должна
быть внутренне четной. Другими словами, могут встречаться
частицы, чьи состояния четны при нечетном I и наоборот. Пион (гл. 7) пред-
ставляет собой наиболее важный пример нечетной частицы.
Внутренняя четность комплексной волновой функции (заряженная
частица) не может быть непосредственно измерена, поэтому произвольно
припишем положительную внутреннюю четность протонам, нейтронам
Рис. 1.8. Компоненты векторного поля
Р5 (ж, у, z), V„ (х, у, z), pg (х, у, z).
и электронам. Мы увидим, однако, что относительную внутреннюю чет-
ность частиц, рождающихся или исчезающих при реакциях, идущих с
сохранением четности, можно определять экспериментально (см. гл. 5, § 6в;
гл. 7, § Зд).
Идея о наличии внутренней четности сама по себе относится к реляти-
вистской теории квантованных полей, так как она связана с процессами
рождения и аннигиляции частиц. Однако процесс испускания и поглоще-
ния фотонов можно рассматривать в более элементарной форме, как это
принято, например, в атомной физике. Случай электромагнитных взаимо-
действий особенно ясен, поскольку здесь поля вещественны и их четность
измеряется непосредственно \
Мы уже видели, что Е и А — векторы (т. е. они внутренне
н е ч е т н ы), а напряженность Н — псевдовектор (т. е. она внутренне
четна). Кроме внутренней четности электрические или магнитные поля
могут быть «орбитальной четными или нечетными в зависимости от того,
являются ли функции положения Et (х, у, z) и Ht (х, у, z) четными или
нечетными.
Определим полную четность как произведение
внутренней и орбитальной четностей
РТ = Р^Р^\ (1.93)
Для выяснения понятия внутренней четности рассмотрим волновую
функцию (ж, у, z) (где значок i — спиновый или тензорный индекс, при-
1 Отсюда следует, что при условии сохранения четности оказывается непосред-
ственно измеримой и четность нейтральных частиц, распадающихся на фотоны. Приме-
ром могут служить нейтральный л-мезон и атом позитрония (см. гл. 6, § 12г).
28
E(r)
НМ
Рис. 1.9. Орбитальная четность
электрического и магнитного поля
для дипольного излучения. Пол-
ная четность нечетна для обоих
полей.
нимающий значения 1, 2, 3 для спина 0, 1/2, 1, . . .) и представим себе,
что компоненты волновой функции проектируются на систему осей %, ц, С,
не обязательно совпадающих с системой осей
выражения зависимости этой волновой функции
стве (см. рис. 1.8). В этом случае действие
оператора внутренней четно-
сти Р(гг) вызывает инверсию осей %, ц, С,
действие оператора орбитальной
четности Р1™ вызывает инверсию осей
х, у, z, а действие оператора полной
четности Рг вызывает инверсию обеих
систем осей.
Например, для g-компоненты имеем:
Р(гг)ф5 (х, у, z) = (ж, г/, z);
P(r°4g (*» у, г) = ф5(— х, — у, —z)\
Рг^ (х, у, z) = P^P^r^i {х, у, z) =
-=ф_Е( — х, —у, — z).
Пользу от введения понятия полной
четности легко показать на примере элек-
трического дипольного излучения. Электри-
ческому дипольному излучению соответ-
ствует нечетная полная четность, поскольку
электрическое поле дипольного излучения
нечетно (см. рис. 1.9).
Таким образом, предположение о сохранении четности
в электромагнитных процессах приводит к выводу, что
источник меняет четность при испускании квантов электрического диполь-
ного излучения. Это находится в согласии с хорошо известными правилами
отбора.
х, у, z, используемых для
от положения в простран-
внутренне четно и орбитально
§ 6. СТАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ
МУЛЬТИПОЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
а. Определение мультиполей. Любое распределение заря-
дов и токов, например ядро, может обладать мультиполь-
ными электрическими и магнитными моментами. Компо-
ненты этих моментов, по Рака, выражаются «неприводимыми тензо-
рами».
При заданном распределении заряда р (г) компонента 2'-польного элек-
трического момента определяется выражением [6]
8Г = V J Р(г) rlYT (0, гр) dr.
(1.94)
Таким образом, 2°-поль — это электрический заряд
go = Ч = Р dr-,
компоненты 21-поля — это проекции вектора d электрического дипольного
момента на оси е+, е_, е0 1(1.40)1:
g? = \ Р (r)r cos 6 dr = dz;
1 р
—p(r) (х ± iy) dr= +
/ (dx + i dy).
I z
Компоненты 22-поля (квадруполя) образуют тензор второго порядка и т. д.
29
Компоненты магнитных мультипольных моментов с//™ получаются из
выражения (1.94), если в нем заменить скалярную электрическую плот-
ность р псевдоскалярной «плотностью магнитного заряда»— V-m, где m —
плотность магнитного момента, связанная с плотностью электрического тока
je соотношением
1 .
rot m = — Je.
Таким образом, электрические и магнитные мультиполи одного и того же
порядка характеризуются противоположными четностями. Можно написать
общее выражение
о#г = - j/$ (V - ш) г'У? (0, <р) dr. (1.95)
Это соотношение эквивалентно 1 соотношению
G/ZP= ‘ (1.96)
r — L J t “J— It) b
На поверхности, охватывающей объем интегрирования, вектор т исчезает
и поэтому
<А> = 0,
что и следовало ожидать ввиду отсутствия в природе одиночных магнитных
зарядов. При I = 1 формула (1.96) определяет компоненты магнитного
дипольного момента. Переходя к векторам, получаем привычную форму
выражения 2
jli = ? ш dr = -i- V г jedr. (1-97)
Будем рассматривать ядро как квантовомеханическую систему из мно-
гих частиц с массами та, зарядами еа, координатами га и спинами Sa. Тогда
значение электрических моментов определяется ожидаемым значением
операторов
V 2ГГТ 2 (0а, Та), (1-98)
а
а значение магнитных моментов определяется ожидаемым значением
- V 7ГТТ 2 Г«У" (е- Та) 4 • Г#Г La + gaSSal ,
а
(1.99)
где = 2^7
гиромагнитному
и gas соответственно равны орбитальному и внутреннему
отношению a-частицы. В частности, оператор магнитного
дипольного момента равен
Нор — X (gaL^a + gas^a),
а
(1.100)
что легко показать, выполнив интегрирование по частям.
1 Для доказательства используется интегральное соотношение (которое можно про-
верить последовательным интегрированием по частям)
r'Y“V-[rxrotV]dr Wdr = (Z-M) \ r‘Y™V-Vdr.
2 Для 1=1 три компоненты лЖ™ содержат интегралы вида ^(V-m-)z1dr.
Но xi (V - ш) = V (х,т) — т • Vz; = V • (х;т) — т;. Так как интеграл от V • (z,m) опреде-
ляет поток, который можно считать исчезающе малым, если объем интегрирования доста-
точно велик, то \ (V-m) z;dr = — \ mtdr.
30
Операторы электрических мультиполей (1.98) представляют собой
компоненты тензора и имеют четность (—1)(. Эти операторы зависят от угла
таким же образом, как собственные функции моментов количества движения
для собственных значений I и т.
Операторы магнитных мультиполей содержат кроме величины У™
операторы V-L и V-S. Эти операторы при воздействии на волновую функ-
цию меняют ее орбитальную четность (V — нечетный оператор, a V-L
состоит из трех нечетных операторов: V, г, V), но при этом собственные зна-
чения момента количества движения остаются неизменными (V-L и V. S
инвариантны к вращениям). Таким образом, в этом случае величина (—1)I+1
определяет четность.
б. Ограничения, возникающие из сохранения четности. Если четность
сохраняется, то из определения операторов мультиполей следует, что для
всех квантовомеханических состояний, не вырожденных по четности, исче-
зают
все нечетные электрические мультиполи (1.100а)
и
все четные магнитные мультиполи (1.1006)
В этом легко убедиться, если учесть, что собственные функции состоя-
ния, в котором определяется ожидаемое значение величины, всегда либо
четные, либо нечетные. Таким образом, — четная функция и интеграл
ф*0ф (1.101)
исчезнет, если оператор 0 — нечетная функция, как зто имеет место для
нечетных электрических моментов и для четных магнитных моментов. Вно-
симое предположением об отсутствии вырождения ограничение существенно
и выполняется для всех представляющих интерес случаев, если рассма-
тривать ядра в системе их центра масс.
В атомной и молекулярной физике встречаются многочисленные при-
меры систем, для которых электрические дипольные моменты не равны
нулю. Простейшая такая система — возбужденный атом водорода. Его
дипольный момент не равен нулю в связи с тем, что кулоновские волновые
функции, соответствующие различным моментам количества движения,
оказываются в силу случайных причин вырожденными [8].
Важно заметить, что плоская волна с определенным линейным импульсом
представлена суммой вырожденных четных и нечетных состояний моментов
количества движения (см. соотношение 3.1) и не может быть собственным
состоянием оператора четности. То же самое можно сказать и в отношении
локализованного пакета волн, получающегося в результате суперпозиции
многих волн. Это объясняет, почему существование злектрического диполь-
ного момента у макроскопических классических тел не противоречит пра-
вилу (1.100а).
в. Ограничения, возникающие из сохранения момента количества дви-
жения. Из правила векторного сложения моментов количества движения,
являющегося следствием закона сохранения полного момента количества
движения, следует, что для состояний с полным момен-
том количества движения, равным J, ожидаемое
значение всех моментов порядка равно нулю
(1.102)
Чтобы убедиться в этом, учтем, что спин-угловая часть ожидаемого
значения имеет вид
(1.103)
и, следовательно, в соответствии с теоремой Вигнера — Эккарта (1.79) она
не исчезает только при 0< /<2/ и т —- 0, что и доказывает в самом общем
виде правило (1.102).
31
Менее общее доказательство правила (1.102) можно получить, если
пренебречь спиновыми эффектами и предположить, что все состояния
являются собственными состояниями только орбитальных моментов коли-
чества движения. В этом случае выражение (1.103) принимает вид
(У")* dii.
(1.104)
Используя соотношение (1.77), произведение (Yj )* (Yj1) = (—1)м УУМУ^
можно записать в виде суммы (2J 4~ 1) членов, в каждом из которых присут-
ствует множитель У}-, причем 0~^J'-<'2J. Но тогда из ортогональности
сферических гармоник непосредственно следует правило (1.102).
Неисчезающие моменты при различных I перечислены в следующей
таблице: 1 (орядок мультиполя
Ядерньтй спин J 0 (=0 1=1 Электрический за- — РЯД 1=2 1=3
1/2 Электрический за- Магнитный ряд ПОЛЬ Ди- — —
1 Электрический за- Магнитный ряд ПОЛЬ ди- Электрический — квадруполь
3/2 Электрический за- Магнитный ряд ПОЛЬ ди- Электрический Магнитный окту- квадруиоль поль
Компонента т = 0 каждого мультиполя может иметь (2./ -]- 1) неис-
чезающих ожидаемых значений, по одному для каждого значения М. Вели-
чиной, представляющей физический интерес, является ожидаемое значение
в состоянии М J, т. е. в том состоянии, при котором спин направлен
вдоль оси z.
В таблицах ядерных констант приводится магнитный момент
Н -- 2 \gaiYaz gaS^az^^/jY’
a
(1.105)
который обычно выражается в единицах ядерного магнетона
|Лдг= е — 5,0504-10 24 эрг-гс 1 (1.106)
(МР— масса протона).
Табличные значения квадрупольных моментов выражаются в квадрат-
ных сантиметрах. Они равны удвоенной величине ожидаемого зна-
чения компоненты оператора квадрупольного момента, соответствующей
т — 0, деленной на величину элементарного заряда е:
<2 = -| 2 е“ \Т (3c°s20a— 1)гГ>77 .
а
Прекрасное описание методики измерений ц и Q1 дано у Рамзая [5, 61.
Отсутствие электрического дипольного момента подтверждает наше
предположение о сохранении четности. В специальных экспериментах,
выполненных с нейтронами [2(J], было найдено, что электрический диполь-
ный момент нейтрона меньше 10-20 см X е; этот верхний предел несомненно
мал, если иметь в виду, что размеры ядра имеют порядок 10 13 см.
Наблюдения мультиполей более.высоких порядков крайне сложны,
и имеется единственная публикация [16] об исследовании ядерного маг
нитного октуполя.
1 Квадрупольные эффекты в твердом теле обсуждаются в работе [13].
32
§ 7. ИНВАРИАНТНОСТЬ К ОБРАЩЕНИЮ ВРЕМЕНИ
а. Поведение состояний Шредингера. Операция обра-
щения времени состоит в инверсии направлений всех дви-
жений. Смещения, ускорения и электрические поля при
такой операции не изменяются, а импульсы, моменты количества движения
и магнитные поля (обусловленные движением зарядов) меняют свой знак.
Выражаясь проще, инвариантность к обращению времени означает сле-
дующее: если Мы имеем кинофильм и запускаем этот фильм в обратном
направлении, то наблюдаемая нами картина также удовлетворяет уравне-
ниям движения. Эта инвариантность имеет место для движений без трения,
происходящих в гравитационных и электростатических полях. Случай
магнитных полей обсуждается ниже.
Более формально можно сказать, что инвариантность относительно
обращения времени выполняется, если каждому решению уравнения дви-
жения в точке х = х (t) соответствует также и решение х = х (—t).
Квантовомеханическая интерпретация предположения об инвариант-
ности к обращению времени не может быть получена тем же способом, кото-
рый использовался нами для рассмотренных выше законов сохранения.
Временная переменная содержится в уравнении Шредингера, даже если
гамильтониан не зависит от времени, в силу наличия оператора энергии
ih (d/dt). Операция обращения времени формально приведет к изменению
знака энергии, т. е. вызовет появление отрицательных энергий, что бес-
смысленно, по крайней мере, в нерелятивистской теории. Более удобно
поэтому сказать, что инверсия времени эквивалентна изменению знака перед
мнимой единицей i. Изменение знака оставляет энергию неизменной, но
меняет волновую функцию на комплексно-сопряженную. Это будет пояснено
в последующем изложении.
Чтобы пояснить квантовомеханический смысл инвариантности к обра-
щению времени в нерелятивистской теории, начнем с определения: будем
считать, что временная инвариантность имеет место,
если в результате преобразования £' -> — t реше-
ние уравнения Шредингера преобразуется так,
что | ф' («') | 2 = |ф (О Г-
Покажем, что в квантовой механике имеет место
инвариантность к обращению времени, если
гамильтониан веществен: 38 = 38*', в этом случае
обращение времени переводит состояние ф в со-
стояние ф*. (1.107)
В самом деле, еслиф — собственная функция 38, то она удовлетворяет
уравнению Шредингера
38^ = ih-^-.
Переходя к комплексно-сопряженным величинам, имеем
38*Ц*=-1П . (1.108)
Если 38 = 38*, то можно написать
и, таким образом, ф* действительно удовлетворяет'обращенному во времени
уравнению при неизменном гамильтониане. Это легко понять, так как опе-
рация комплексного сопряжения меняет знак собственного значения
импульса
exp (ik-r)* = exp [i ( —k)-r],
а соответственно и направления движения.
3 Ядерные взаимодействия 33
Введем специальный символ К для обозначения оператора
комплексного сопряжения, получаемого с помощью соот-
ношения
= (1.109)
или просто по формуле Kty = ф*. Тогда предположение (1.107) можно выра-
зить иначе, сказав, что если оператор К коммутирует с гамильтонианом,
то он может быть принят в качестве оператора обращения времени для
состояний Шредингера.
При такой формулировке можно, казалось бы, считать, что оператор К
соответствует некоторой наблюдаемой динамической переменной и что его
собственные значения являются точными квантовыми числами. Однако
это не так. Оператор К не обладает свойствами квантовомеханических опе-
раторов, соответствующих динамическим переменным. Прежде всего это не
линейный оператор, поскольку
Л' (щф, + а2ф2) = «*ф* + а*ф*ф а^фц ф- «2Яф2,
и следует соблюдать осторожность при использовании свойства ассоциатив-
ности в выражениях, содержащих К:
(7Гф1) ф2 = ф*фг ф*ф* = К | ф]ф21.
б. Обращение времени для электромагнитного поля. Движение частицы
во внешнем постоянном магнитном поле не инвариантно к обращению вре-
мени. Это объясняется тем, что сила Лоренца меняет знак при изменении
знака скорости. Хорошо известным следствием отсутствия инвариантности
является возможность определения направления движения частицы с извест-
ным зарядом в камере Вильсона с магнитным полем.
Данный классический пример не противоречит теореме, рассмотренной
в § 7 а: гамильтониан при наличии векторного магнитного потенциала
образуется заменой выражения для кинетической энергии (—iftvj2
выражением [—HiV—А ]2, а это последнее выражение —
комплексное. Трудность здесь только кажущаяся; она связана с тем, что мы
обращаем движение наблюдаемой частицы и не обращаем его для частиц,
движение которых обусловливает возникновение магнитного поля. Если
воздействовать оператором обращения времени на всю систему (частицы
в камере и в обмотке магнита), то наблюдаемые частицы станут двигаться
в обратном направлении по своей же траектории и будет существовать
инвариантность к обращению времени.
С формальной точки зрения в уравнении Шредингера отсутствуют члены,
соответствующие току в обмотке; в это уравнение входит только напряжен-
ность магнитного поля Н или векторный потенциал А, соответствующий
полю Н. При такой форме зависимости операция по обращению времени Т
соответствует двум различным преобразованиям: t —> — t и А —>• — А. Сле-
дуя путем, рассмотренным в § 7 а, можно доказать, что для перехода при
обращении времени состояния ф в состояние ф* необходимо, чтобы гамильто-
ниан был инвариантен к одновременному преобразованию
—>К<§£ и А—> —А.
Гамильтониан частицы в магнитном поле обладает такой инвариантностью.
При релятивистском рассмотрении обращения времени необходимо
считаться с тем, что при изменении направления времени меняется знак
электростатического потенциала, являющегося временной компонентой
четырехмерного вектора. Релятивистское рассмотрение вопроса (б) инва-
риантности к обращению времени для мезонов и электронов приведено
в гл. 6, § 6 д и гл. 7, § 15 г.
в. Поведение состояний Паули. Обращенному во времени состоянию
ф* соответствует, очевидно, орбитальный момент количества движения
34
обратного знака, но спрашивается, происходит ли также перемена знака
у спина? В действительной части гамильтониана спин, как правило, встре-
чается в виде скалярного произведения о-Н. Но тогда спин при инверсии
должен вести себя так же, как и магнитное поле, чтобы гамильтониан оста-
вался инвариантным.
Рассмотрим поведение спина при обращении времени в условиях, когда
магнитное поле явно не присутствует. Для сохранения четности и момента
количества движения необходимо, чтобы спин входил в гамильтониан в виде
скалярного произведения с другим псевдовектором. Случай связно^ между
внутренними спинами не представляет интереса из-за неразличимости
гамильтониана при инверсии спинов. Когда же спин связан с движением
частицы (спин-орбитальная связь)
o-L =огхр —ififf-rxV,
в гамильтониан входит оператор о и мнимая единица и теорема (1.107) непри-
менима.
Но соотношение (1.107) можно легко обобщить таким образом, чтобы
оно стало пригодным для случая спин-орбитальной связи:
Если существует такое унитарное преобразование U,
что &S' = Ua№*U~1, то имеет место
инвариантность к обращению времени, а состояние,
удовлетворяющее соотношение = Uty*, соответствует
обращенному во времени состоянию. (1.110)
Это положение становится очевидным, если переписать выражение
(1.108) в виде
С/ ( I)
Легко показать, что спиновый оператор Паули Gy создает указанное
унитарное преобразование U для гамильтониана oL спин-орбитальной связи
[о здесь определено в соответствии с соотношением (1.52)1. В самом деле,
учтя, что Lt = —Lt, G* = gx, о* —Gy, g* = gz, и используя правило
перестановок (1.53), имеем
<Lt(G*L* + o*Z* + g*L*z) Gy (- gxLx + GyLv - gzLz) Gy =
— 6xLx -|- QyLy -|- gzLz.
Поэтому оператор GVK является оператором обращения времени для
частицы со спином 1/2. Под действием этого оператора происходит изменение
направления спина:
(1.111>
Заметим, что соотношение (1.111) можно переписать в виде
^V? = (-l)
iVsf-TVa
tl/2
(1.1127
и что именно такое соотношение имеет место для собственных состояний
орбитального момента количества движения в силу.фазового условия Кон-
дона — Шортли:
TY™ = (УТ)* = (— 1) ”‘УГт.
(1.113)
Но, исходя из того, что для обычных коэффициентов Клебша — Гордана
—т—т'), (1.114)
3* 35
спиновую функцию входящую в выражение (1.75), строят иначе, в соот-
ветствии с соотношением
Т’З'У-
Чтобы избавиться от громоздкого множителя (—1) l+l~J, можно фазовый
множитель (i),+2 J в этом уравнении включить в значения коэффициентов
векторного сложения.
Б. СИЛЫ МЕЖДУ НЕЙТРОНОМ И ПРОТОНОМ; ДЕЙТОН
§ 8. СВОЙСТВА НУКЛОНОВ И ДЕЙТОНА
а. Протон и нейтрон. К 1930 г. из данных о спинах,
статистике, магнитных моментах и размерах ядер стало
ясно, что в ядрах нет электронов. Вслед за этими наблю-
дениями последовало открытие нейтрона (Чедвик, 1932) и было установлено,
что ядра состоят из протонов и нейтронов. Этим двум части-
цам было присвоено общее наименование — нуклон. Свойства нукло-
нов приведены в таблице 1.6.
Таблица 1.6
Характеристика Протон Нейтрон
Заряд 4- е 0
Масса (в единицах а. е. м *) 1,008144** 1,008984
Спин 1/г Фермион 1/2
Статистика Фермион
Магнитный момент (в едини- 2,79270 —1,91316
цах ядерпого магнетона) Реакция распада Стабилен п —> р + е~ -[- V
Энергия распада — 0,782 Мае
Среднее время жизни со 12/1п 2 мин
* Физическая единица массы равна i/ie массы Oi^: 1 а. е. м=
=931x16 .М.эв=1,65985x10 24 г [недавно (1961 г.) утверждена угле-
родная единица массы, равная 1/12 части массы нейтрального атома
изотопа С12].
** Приведенная масса является массой атома водорода, что соот-
ветствует обычаю указывать атомные, а не ядерные массы.
Масса атома водорода известна из химических и масс-спектрометриче-
ских измерений. Масса нейтрона получена по энергетическому балансу
реакций 1
п-\- р D + у (+ 2,22 Мэв) [11];
и—>p-f- e-]-v (4-0,782 Мэв) [18, 19].
(1.115)
(1.116)
Спин протона определен из спектроскопических измерений. Для объяс-
нения спинов сложных ядер нейтрону следует приписать полуцелый спин.
Значение спина, равное 1/2, получено в результате анализа опытов по рас-
сеянию (см. гл. 3, § 7).
При изучении спектров молекул с одинаковыми ядрами было установ-
лено, что ядра с нечетным числом нуклонов описываются статистикой Ферми,
а ядра с четным числом нуклонов — статистикой Бозе. Из зтих же измере-
ний следовало, что нуклоны являются фермионами.
1 v — антинейтрино; см. гл. 8.
36
Магнитные моменты нуклонов с большой точностью были измерены
в экспериментах с молекулярными пучками (Раби) и конденсированным
веществом (Блох и Парселл). Описание этих изящных опытов можно найти
в книгах Рамзая. В последующих главах (гл. 3, § 12) рассмотрены способы
получения пучков поляризованных нейтронов.
Измерения времени жизни и энергии распада нейтрона были выполнены
непосредственным подсчетом числа электронов распада и протонов, возни-
кающих в пучке медленных нейтронов с известной интенсивностью [18, 19].
Хотя нуклоны и считаются элементарными частицами, они не являются
материальными точками и обладают структурой, которая проявляется,
главным образом, в опытах по рассеянию, при высоких энергиях
(см. гл. 3, § 14). В мезонных теориях эта структура интерпретируется как
«мезонное облако, окружающее голую нуклонную сердцевину», ответственное
за ядерные силы. То обстоятельство, что магнитные моменты нуклонов имеют
eti
«аномальные», т. е. отличающиеся от значения, связывают с наличием
токов в мезонном облаке. Мы не станем рассматривать зти вопросы сейчас
и отложим их изучение до подходящего момента (гл. 7).
б. Свойства ядер с двумя нуклонами. Из двух нуклонов можно было бы
построить три различных ядра (см. таблицу 1.7). В действительности известно
только одно из них: дейтон.
Таблица 1.7
X арак тер истина Динсйтроп п-п Дейтон п-р Ди протон р-р
Масса, М Энергия связи, В Спин, У Магнитный момент р Среднее время жизни Квадрупольный момент, Q Связанное состояние не наблюдалось 2,014741 ( 2,22 Мэв 1 0,857393 стабилен 2,73хЮ~27 сзг2 Связанное состояние не наблюдалось
Энергия связи В равна энергии, освобождающейся при образовании дей-
тона из протона и нейтрона. Она может быть определена непосредственно
измерением энергии у-квантов от реакции (1.115) (у-кванты захвата).
§ 9. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ СИЛ МЕЖДУ НЕЙТРОНОМ
И ПРОТОНОМ
а. Качественные характеристики нейтрон-протоппых сил.
Из анализа данных, относящихся к дейтону, и из отсут-
ствия других ядер с .4 2 можно получить ряд качествен-
ных сведений о свойствах ядерных сил. Начнем с рассмотрения данных, отно-
сящихся к дейтону.
Магнитный момент дейтона близок к сумме магнитных моментов ней-
трона и протона (рр н- щ, = 0,87975). Поэтому в первом приближении можно
считать, что дейтон образован нуклонами в ^-состоянии и что его магнит-
ный момент почти полностью определяется магнитными моментами состав-
ляющих его нуклонов, спины которых параллельны.'
Для объяснения магнитного момента дейтона в первом приближении
вклад от орбитального момента не нужен. Эта точка зрения подтверждается
и данными о малости квадрупольного момента дейтона. Значение Q
2,74 X 10-27 см2 нужно сравнивать с величиной л7?2, где В — некоторая
оценка радиуса дейтона. В § 10 а будет показано, что В = 4,31-10 13 см.
Отсюда л Я2 600-10 27 см2 > Q и дейтон почти сферически симметричен.
37
Таким образом, приходим к следующим выводам:
1) дейтон находится преимущественно в состоянии 35t;
2) значение L = 0 — почти хорошее квантовое число для дейтона;
3) свойства дейтона почти полностью объясняются одними только цен-
тральными силами.
Однако поскольку pD =/= + рп 1 и Qv Ф 0. то
4) существуют указания на наличие нецентральных сил.
Величина J в силу сохранения полного момента количества движения
представляет собой хорошее квантовое число, и то, что дейтон имеет J = 1,
справедливо в точности. Далее, так как дейтон представляет собой главным
образом ^-состояние, то, как это следует из сохранения четности, он дол-
жен быть в точности четным. С законами сохранения совместима только
примесь D-состояния; так как синглет 5 имеет J = 0, а синглет D имеет
J 2, то дейтон должен быть чистым триплетным состоянием (спины парал-
лельны). Таким образом, можно прийти к окончательному заключению, что
5) дейтон представляет собой смесь 35t- и ^^состояний. Справедливо
не только то, что основное состояние дейтона представляет собой триплет:
не существует ни одного связанного состояния дейтона с нулевым моментом
количества движения. Таким образом,
6) силы взаимодействия нейтрона и протона различны в синглетном
и триплетном состояниях: ядерные силы зависят от спина.
Отметим также, что та часть ядерных сил, которая зависит от спинов
на много порядков, больше сил, которых можно было бы ожидать из-за
взаимодействия между магнитными моментами нуклонов. Следует сказать,
что наличие сил, зависящих от спина не означает их нецентральности,
характерной, например, для взаимодействия двух диполей. Это скорее
говорит о том, что обычный скалярный потенциал центральных сил разли-
чен для различных относительных ориентаций спинов. Такая ситуация не
имеет прямых аналогий ни в электромагнетизме, ни в атомной физике.
б. Описание (п — -взаимодействия. Гамильтониан, описывающий
взаимодействие нейтрона и протона, должен иметь по меньшей мере три
члена: 1 — для обычных центральных сил; 2 — для центральных сил,
зависящих от спина; 3 — для нецентральных сил.
Первый член может быть представлен обычпым, или вигнеровским,
потенциалом, зависящим от расстояния между нуклонами:
Гщ(г), (1.117)
где
г=|гр —г„|.
Второй член можно выразить через оператор спинового обмена [см.
соотношение (1.84)1, собственные значения которого равны +1 для парал-
лельных спинов (триплеты) и —1 для антипараллельных спинов (синглеты).
Зависящая от спина часть потенциала может быть представлена в виде
Го(г)^о = Уо(г)4-(1-|-оР-о„), (1.И8)
где величина Vo (г) дает зависимость Va от расстояния.
Наконец, рассмотрим член, характеризующий нецентральные силы.
Здесь нам поможет то обстоятельство, что спин нуклонов ра-
вен 1/2 и, следовательно, они не могут обладать моментами, более
высокими, чем дипольный. Это значит, что потенциал между двумя нукло-
нами может иметь не более сложную спиново-угловую зависимость, чем
та. которая свойственна диполь-дипольному взаимодействию.
Как известно из электродинамики, потенциальная энергия диполя dt,
находящегося в поле другого диполя d2 на расстоянии г от него, описывается
1 Вычисление магнитного момента дейтона представляет собой сложную проблему,
и неравенство pD =# рр + рп может быть интерпретировано и другими способами поми-
мо рассмотренного здесь.
38
формулой
A [3(dt.?) (d2-r) —di-d,]. (1.119)
Зависимость от расстояния типа г3 в этой формуле объясняется тем, что
взаимодействие электрических зарядов описывается потенциалом, пропор-
циональным г-1.
При обобщении формулы дипольного взаимодействия на случай взаимо
действия между нуклонами следует иметь в виду, что радиальная зависи-
мость потенциала, действующего между «мезонными зарядами», которые
можно считать источником полей ядерных сил, неизвестна. Поэтому зави-
симость вида г-3 следует заменить некоторой произвольной функцией от г
и написать для нецентральных, или «тензорных», сил выражение
Fr(r)5pn, (1.120)
где оператор тензорных сил Spn имеет вид
Spn = 3(op-r) (опг) — Ср-ап. (1.121)
Этот оператор, подобно диполь-дипольному потенциалу, при усредне-
нии по телесному углу обращается в нуль.
Аналитическое выражение, соответствующее качественным соображе-
ниям, рассмотренным в пункте (а), получается суммированием выражений
(1.117), (1.118) и (1.120). Получаем следующее выражение для потенциала
взаимодействия:
Vw (г) + Vo (г) + V, (г) Spn. (1.122)
Легко убедиться, что для синглетного состояния вклад от оператора
тензорных сил исчезает. Поэтому нет необходимости в дополнительном
анализе спиновой зависимости тензорных сил.
в. Наиболее общая форма не зависящего от скорости гамильтониана
для двух частиц со спином 1/2. Докажем, что выражение (1.122) действитель
но дает наиболее общую форму гамильтониана взаимодействия нейтрона
и протона, если зависящие от скорости силы не принимать во внимание.
Будем следовать по пути, намеченному в классической работе Эйзенбада
и Вигнера [14].
Гамильтониан, соответствующий взаимодействию между протоном
и нейтроном, зависит от их пространственных и спиновых координат гр,
г„, ор, ип. Законы сохранения, рассмотренные в разд. А, требуют, чтобы
гамильтониан был скаляром. Число скалярных выражений, которые можно
построить из гр, гп, ор, оп, ограничено, поскольку число независимых опера-
торов, содержащих спины, конечно. Две частицы со спином 1/2 могут нахо-
диться в четырех различных спиновых состояниях. Поэтому любой оператор,
содержащий эти спины, представляет собой матрицу типа 4x4. Очевидно,
что существует 16, и только 16, линейно независимых матриц такого типа.
Эти 16 независимых четырехрядных матриц можно выбрать следующим
образом:
1 скалярную матрицу 1; (1.123а)
I
2 скалярные матрицы (1 + <Тр.<Гп); (1.1236)
3 компоненты псевдовекторной матрицы <г,, |-<т„; (1.123в)
3 компоненты псевдовекторной матрицы <зр — оп: (1.123г)
3 компоненты псевдовекторной матрицы X <ТП; ' (1.123д)
5 компонент симметричной тензорной матрицы с нулевым следом 1
1 1
Ttj ~ ~2~ Н- o'pj^ni) g- 6,yOpeon. (1.123e)
1 Девять компонент тензора opionj связаны линейной зависимостью с антисиммет-
ричными компонентами щ X оп (три соотношения) и с а, .а2 (одно соотношение). Поэто-
му в соотношениях (1.123е) независимы только пять компонент.
39
Эти матрицы заведомо независимы, поскольку их линейные комбинации
не могут изменить поведения тензора.
С другой стороны, векторы гр и г„ из-за сохранения момента количества
движения должны входить только в виде г = тр — г„. Из радиуса вектора г
и его абсолютного значения можно образовать:
скалярную функцию / (г); (1.124а)
1 вектор г; (1.1246)
1 тензор rtrj. (1.124в)
Можно составить скалярные выражения, суммируя по индексам тензоры
в выражениях (1.123) и (1.124), причем простейший путь —выбор скаляров.
Умножив выражения (1.123а) и (1.1236) на скалярные функции от г (1.124а),
получим первый и второй члены соотношения (1.122).
Единственная другая возможность связана со скалярным произведением
тензора (1.123е) на тензор (1.124в) и с умножением результата на скалярную
функцию от г (1.124а). Но, как легко видеть, этот процесс приводит к выра-
жению, эквивалентному третьему члену уравнения (1.122); становится
понятным и термин «тензорные силы».
Таким образом, мы действительно показали, что соотношение (1.122)
представляет собой наиболее общее выражение для гамильтониана взаимо-
действия нейтрона и протона, совместимое с законами сохранения и с вели-
чиной спина.
г. Силы, зависящие от скорости. Для обсуждения свойств дейтона нет
необходимости в наличии сил, зависящих от скорости. Однако для полноты
изложения рассмотрим возможный вид членов, выражающих зависимость
от скорости.
Такие члены возникнут, если в гамильтониан ядерных сил ввести век-
тора рр и р„. В силу инвариантности к галилеевским преобразованиям только
разность этих векторов р = рл — p,f 1 может иметь значение. Из величин р
и г можно образовать три скаляра:
р2, г2, Р-г.
Поэтому функцию / (г) в выражении (1.124а) следует заменить функцией
/(р2, г2, р-г) (1.125)
с оговоркой, что / —четная функция для р-г, если имеет место инвариант-
ность относительно обращения времени.
Можно также образовать псевдовектор р X г и, объединив его с любым
из псевдовекторов (1.123в), (1.123г), (1.123д), получить скалярную величину,
инвариантную к обращению времени. Выражение, полученное из уравне-
ния (1.123в), описывается достаточно простой формулой
^8ь(^)(Ор + Оп)-Р X г (1.126)
[для большей общности следует писать Esl (г) (г, р, гр) вместо 1’sl (е)1
и соответствует наличию спин-орбитальной связи.
Введем еще одно ограничение: в соответствии с предположением о заря-
довой независимости ядерных сил (см. гл. 3, § 12) потребуем, чтобы взаи-
модействие было симметричным по отношению
к обмену нуклонами. При этом условии члены, соответствую-
щие (1.123г) и (1.123д), для которых перестановка частиц вызывает измене-
ние знака, следует отбросить, и выражение для спин-орбитальной связи
будет единственным членом, зависящим от скорости, если ограничиться
первой степенью р.
1 Если массы нуклонов считать равными, разность р; — рл будет пропорциональна
относительной скорости.
40
Можно, наконец, рассмотреть тензоры из произведений ptfj и
и образовать их скалярные произведения со спиновым тензором (1.123д).
Такая операция имеет смысл, но используется редко.
Чтобы обеспечить инвариантность к обращению времени, скалярные
произведения тензоров ptpj и Тц необходимо умножить на четную функцию
от р-г; скалярное произведение Г;р7 и Ttj следует умножить на нечетную
функцию р-г.
§ 10. ДЕЙТОН КАК ЧИСТОЕ « СОСТОЯНИЕ
а. Волновое уравнение для центральных сил. Если пред-
положить, что ядерные силы являются центральными и что
нейтрон-протонное триплетное взаимодействие выражается
центральным потенциалом Vc (г) = Vw (г) + Vo (г), то уравнение Шре-
дингера для нуклонов в дейтоне в системе центра масс будет иметь вид
+ = (1.127)
„ м
Здесь г — относительная координата, а величина соответствует приведен-
ной массе в предположении, что М = Мп = МР х. Это уравнение для чисто-
го S-состояния, 1 = 0 сводится к
-^- + к2(г)и 0, и гф, (1.128)
где ______
А = = = 4 1/2 4?’ = 4- K^(E-Fc). (1.129)
Л Tl ft г Z Л
Из эксперимента известно, что собственное значение энергии отрицательно
и равно:
Е = — 13 = — 2,22 Мэв. (1.130)
Потенциал Ес (г) должен соответствовать притяжению, поэтому знак
Vc (г) тоже отрицателен, по крайней мере для определенных значений г.
Для постоянного потенциала Vc (г) решение уравнения (1.128) имеет вид
u = e±ifer. (1.131)
Если значения к вещественны (вещественный импульс, Е > Vc), то
и ведет себя как синус, если же значения к мнимые (импульс имеет мнимое
значение, Е < Vc), то и ведет себя как экспонента.
В частности, если силы имеют конечный радиус действия (Vc = 0 для
г > г0), то функция и будет экспонентой вне границ этой области. Действи-
тельно, поскольку и должна обратиться в нуль в бесконечности, то в преде-
лах этой области зависимость от г может выражаться только в виде функции,
экспоненциально спадающей вместе с г, и можно написать
Г
и = е_1Ьснаружиг = е к для г>г0, (1.132)
где
Н = —— -----= 5=-^—Д=- = 4,31 X lO'i3 см (1.133)
1/сснаружи 1 \/МЕ Д/ МВ
представляет собой вещественную величину, называемую «радиусом» дейтона.
1 Если гр, гп, рр, рп, Тр, Тп — координаты, импульсы и кинетические энергии
протона и нейтрона в системе центра масс, то для I = 0 имеют место следующие соот-
ношения:
|>р1 = |гл| |Pn| Afy = iir р;
где г и р—координаты и моменты количества движения для рассматриваемого в тексте
относительного движения.
41
Допустим, что потенциал изображается зависимостью, близкой к прямо-
угольной яме. Тогда функция и вначале, будучи подобной синусу, ведет
Рис. 1.10. Качественное поведение волновой функции дейтона:
а) r0 » R (потенциал дальнодействия); б) т0 я (потенциал, действующий
на средних расстояниях); в) г0«й (потенциал блиакодействия); г) r0 = R
(потенциал нулевого радиуса действия), R = 4,3 х 10-13 ели.
себя почти как линейная. Так как эта функция описывает основное состоя-
ние, то она не может иметь узлов; ее общий характер показан на рис. 1.10.
В приближении, соответствующем «яме нулевого радиуса», потенциал
действует в пределах малого расстояния, а его глубина должна соответство-
вать наблюдающейся энергии связи; функция и повсюду представляется
экспоненциальной зависимостью. С увеличением радиуса действия сил до
расстояния, сравнимого с радиусом дейтона, глубина потенциала уменьшает-
ся, и синусоидальная часть волновой функции проявляется во все большей
степени.
42
Из анализа данных по рассеянию [см. соотношение (3.111)] следует, что
размер области ядерных сил в триплетном состоянии равен приблизительно
1,7 X 10“13 см. Таким образом,
я д е р н ы е силы должны считаться короткодействующими
в том смысле, что г0 < Ц.
(1.134)
Для последующего полезно полностью выписать выражение для волно-
вой функции дейтона; оно имеет простую аналитическую форму и с хорошей
точностью передает решение, соответствующее
так называемая волновая функция Хульте-
на, которая при соответствующем выборе
нормирующего множителя имеет вид
*др я--г
я+р ) J
1 г
2 (е я —е
(1.135)
Функция Хультена возрастает от нуле-
вого значения в начале координат, про-
ходит через максимум и (для р<7?) при
больших г изменяется как е~г/д. Из не-
которых опытов (гл. 2, § 9) следует,
1
7 ’
прямоугольной яме. Это
Рис. 1.11. Качественное поведение
волновой функции дейтона с оттал-
кивающей сердцевиной.
схематично представить зави-
Р
ЧТО д-
В настоящее время считают, что по-
тенциал ядерных сил может состоять из
центральной отталкивающей сердцевины,
окруженной областью, где действуют
силы притяжения. Предполагая, что от-
талкивающая сердцевина непроницаема
(Vс = + со для г < гс), потенциал можно
симостыо, изображенной на рис. 1.11. Функция и здесь та же самая, что
и на рис. 1.10, но сдвинута на величину гс по отношению к началу.
б. Соотношение меящу шириной и глубиной потенциальной ямы. Если
допустить, что потенциал имеет форму прямоугольной ямы радиусом г0
и глубиной Ео, то функция и будет иметь вид
^внутри = Sin [ А'внутри | Г ДЛЯ Т <С Гр,
(1.136а)
где
внутри ! =Гм I Fol-Я
и
(1.1366)
на зна-
(1.137)
^снаружи С Q ДЛЯ / Гр
(С и С — две произвольные константы).
„ у . .. 1 / du \
Распространяя значение логарифмической производной — I "щГ I
чение г = г0, получаем
| ^внутри | | ^внутри | Гр jj-
Если в уравнении (1.137) выразить Авнутри, -как и в выражении (1.136)
в виде функции от Vo, то получим соотношение между г0 и Vo.
Чтобы получить простое выражение для значения Vo, предположим, что
г о < Л. Тогда максимум функции и окажется в районе г0; учитывая это,
можно написать, что
А’внутрцГо
43
или
4]<V(|V0|-^)r0=^-, (1.138)
но в приближении короткодействия | Vo | > В, и мы при этих условиях
получаем простое соотношение
|P0|r* = .EL.lL = 1,02-10^ Л/эв-с№. (1.139)
Для го = 1,4 X 10~13 см (комптоновская длина волны л-мезона) | Fo | «
« 50 Мэв.
Несколько более точный учет конечной области действия сил можно
получить, разлагая котангенс в выражении (1.137) в окрестности по при-
ближенной формуле ctg А'внутрп г = (-2-) —Авнутри г. Решая это уравнение
относительно АВНутри и используя выражение (1.136), получаем вместо
уравнения (1.138) соотношение
фУМ(|1'.|-В)г.=^(1 + /i+£-£•) • (1.140)
Возведя в квадрат (сохранив только члены первого порядка малости отно-
сительно и использовав выражение (1.133), получим
Приняв г0 равным 1,4 X 10“13 см, получим из этой формулы
|Р01 (50 +13) Мэв.
Аналогичные рассмотрения для других форм потенциала можно найти
в старых литературных источниках [12], в которых рассматриваются сле-
дующие формы потенциала:
экспоненциальная
V -|Р0|е-^;
гауссова
V -|И0|е'^
и потенциал Юкавы
Эти вычисления мы здесь не приводим.
§11. ДЕЙТОН КАК СМЕСЬ Л- И Л-СОСТОЯНПЙ
а. Поправки к волновой функции дейтона. В § 9 уже
упоминалось, что дейтон представляет собой суперпозицию
35j- и +>^состояний. Поэтому его волновая функция может
быть представлена в виде
ф= Ф8 + ФГ). (1.142)
Не нарушая общности рассмотрения, ось z можно направить по направлению
спина и ввести две радиальные функции v (г) и w (г) так, чтобы
г г у 4л г
+ /-R) • <1Л44>
44
Для написания выражений (1.143) и (1.144) использовано правило сложения
моментов количества движения, описанное в § 4.
Если функция ф нормирована к единице, функции v и w в отдельности
не имеют такой нормировки. Можно написать
1 = § ф*ф dr = § (Ф£ + Ф£) (Ф8 + Фс) dr
= § (ФЖ + ФЬФд) dr = § (и1 2 * (г) + w2 (г)) dr. (1.145)
Соответственно для вероятности нахождения дейтона в 5- и D- состоя-
ниях получаем
Ps v2 (г) dr; 1
J I (1.146)
PD \w2(r)dr. J
б. Магнитный момент дейтона и величина PD. Вычислим магнитный
момент дейтона, используя выражение (1.105).
Прежде всего отметим, что если ожидаемые значения вычисляются для
состояний, описываемых выражениями (1.142) — (1.144), то смешанный член
Фа Р-гФд dr исчезает в силу закона аддитивности и ортогональности
состояний с определенным значением момента количества движения. Поэтому
можно считать, что
И — (Ф« I Pz | Ф«) + (Фи! P-z | Ф/>), (1.147)
где ц2 — оператор \ задаваемый формулой
P-z = gpbPpz Т~ giil.LriZ "Ь gpssvs + gnssnz» (1.148)
а состояния Ф8 и Фс соответствуют mj = J = 1, как это показано в выраже-
ниях (1.143) и (1.144). Подставив значения, соответствующие нашему слу-
чаю, получим
Pz — ~2~Pz~P 2jipSpZ-|- 2pin^nz- (1.149)
Для ^-состояния, как и следовало ожидать, получаем
(Фв | P-z I Фв> = (Р-р + P-n) ₽s- (1.150)
Для SD-состояния вычисления несколько более сложны, поскольку
Pz, Spz и snz не точные квантовые числа, и pz целесообразно выразить через
операторы J2,JZ, Р2, S2, для которых легко вычислить собственные значе-
ния. С этой целью уравнение (1.149) можно переписать в форме
~zr Pz (Рр -Ь Pn) (®pz $nz) Т- (Рр Pn) (®pz ®nz)- (1- 151а)
Теперь видно, что ожидаемое значение для последнего члена в триплет-
ном состоянии равно нулю, а первые два члена можно записать в виде
Рв Pn) Pz (Рр "F Pn) JZ- (1.1516)
Поскольку ожидаемое значение для J z равно 1, а для Pz равно 3/2 2, полу-
чаем
(Фи|Рг|Фи)=(4— (1-152)
1 Индексы р и п относятся к протону и нейтрону.
2 Здесь, как обычно, исходим из соотношения L2 - [(L-J)//2] J г = {(J2-pL2—
— S2)/2J2]Jzi и заменяем ./2—>J(J-|-l) -2; £2 —> L (Z +1) = 6; S2 - > Л (S + 1) = 2;
1.
45
И окончательно, учитывая, что Ps ф- Pd — 1, получаем
Р-= (Пр + Р-п) Ps + (“j -2--) Ро = (Р-р + Цп)-— ^Рр + рп Pd-
(1.153)
В этом уравнении PD — мера примеси D-состояния — является единствен-
ной неизвестной величиной. Подставив в уравнение (1.153) эксперименталь-
ные значения магнитных моментов нуклонов, мы получим PD — 0,04.
Нельзя однако ожидать, что приведенные вычисления могут обеспечить
точность в несколько процентов. Для достижения такой точности необходи-
мо было бы ввести релятивистские поправки, которые, несмотря на попытки
ряда авторов, трудно поддаются вычислению и все еще остаются неизвестны-
ми как по величине, так и по знаку.
Кроме того, следует помнить, что аномальные части магнитных моментов
нейтрона и протона обусловлены токами в «мезонном облаке»: эти облака
могут деформироваться при сближении нуклонов в процессе образования
дейтона, что также может изменить значения рГ1 и рР, входящие в выраже-
ние (1.153).
Отсюда следует, что выводы, вытекающие из выражения (1.153), необ-
ходимо использовать с осторожностью. Без дальнейшего обсуждения приво-
дим следующую оценку, известную из литературы:
0,02 0,08. (1.154)
в. Квадрупольный момент. Для получения квадрупольного момента
необходимо вычислить ожидаемое значение величины
<^ophj = <4-(3cos20-* 1)'-2/JJ (1-155)
Множитель 1/4 возникает здесь потому, что вклад в электрические свойства
дейтона осуществляется только протоном и что его расстояние от центра
масс дейтона равно г 12.
Поскольку Qop зависит от угла через У“, то он дает исчезающе малый
вклад в 5-состоянии, но S- и D-состояния смешиваются. Ожидаемое значение
состоит из двух частей:
4 Фе । Q | Фр 'jj + (Фр | Q | Фо)аг- (1.156)
Используя результаты работы III, получаем
оо оо
Q = .V- r2vw dr—~^rhc2dr. (1.157)
1/50 J 20 Л v '
1 0 0
Очевидно, что Q зависит не только от Ps и PD, но и от радиальных функ-
ций v (г) и w (г). Наличие множителя г2 под интегралом приводит к тому,
что поведение этих функций вдали от начала оказывается существенным.
Поскольку v > w, то первый член в уравнении (1.157) оказывается преобла-
дающим и как v, так и w должны быть учтены при вычислении Q даже в пер-
вом приближении; сами же эти величины, в свою очередь, зависят от радиаль-
ных функций, входящих в потенциал, как это будет показано в следующем
параграфе.
§ 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ v (г) и iv(r)
а. Уравнения Рарита и Швингера. .Наиболее общая
форма не зависящего от скорости оператора потенциала
для нейтрона и протона в триплетном состоянии имеет вид 1
Ус(г) + Ут(г)5рп. (1.158)
1 Как и в § 10, центральные силы Vc (г) представляют сумму величин Vw (г)
и Vo (г), определяемых соотношением (1.122).
46
С другой стороны, волновая функция дейтона относится к типу, описан-
ному в выражениях (1.142) — (1.144). Соответственно уравнение Шредингера
для дейтона имеет вид
= + (’159)
В этом уравнении принято J г = 1, что эквивалентно выбору оси z по направ-
лению спина. Известно также, что
^(1 = Z(Z + 1)3/JZ1.
Теперь вычислим SPn ЗЧм и Spn^[2l, используя для этого метод, разви-
тый Блаттом и Вайскопфом [1].
Оператор SPn, представляющий собой скаляр, симметричен в отношении
обмена протоном и нейтроном. Поэтому он может смешивать только состоя-
ния с одинаковыми значениями четности J, S, и можно написать
Spn^101 = a^101 + b^12V
где а и б — константы, подлежащие определению.
При интегрировании этого уравнения по полному телесному углу,
поскольку среднее значение SPn равно нулю и не зависит от направле-
ния, получим в левой части нуль. Так как 3/J21 при интегрировании также
дает нуль, a сферически симметрична, то а = 0.
Для вычисления Ь воспользуемся тем, что для 6=0
(,5рп2^5о1)е=о = b (*^i2i)e=o-
Взяв выражение (1.121) для оператора Spn, подставим в него слева z вместо г,
с учетом выражений (1.143) и (1.144) получим
(Зо'ргО'пг — <ТП|) —рт==т КрССп = Ь 2<XpCZ?1.
Выполнив операции, указанные слева, получим b = р 8 и найдем, что
(1.160)
Исходя из того, что
Spn^121 = b^01 + c^121
(б = |/8 потому, что St2 эрмитов), можно выполнить вычисления при 6 = 0,
как это указано выше, и получить, что с = —2. Поэтому
Spn^ = V8^1B1-2^12l. (1.161)
Теперь можно подставить выражения (1.160) и (1.161) в уравнение (1.159).
Приравняв нулю коэффициенты при 2/’0] и^}ав соответствующем уравне-
нии, получим для v и w систему совместных дифференциальных уравнений
—^-^ + Vc^v-Ev= -V8VT(r)w, (1.162а)
-Trf-S1—^-)+[Vc(r)~2VT(r)]w~Ew -V8VT(r)v. (1.1626)
47
Численные решения этих уравнений, впервые полученных Рарита
и Швингером [17], можно получить для любой заданной совокупности потен-
циалов Гс (г) и VT(r). Соотношения (1.162) полезны при сравнении свойств
дейтона с выводами, следующими из
Рис. 1.12. Потенциал Гартенхауза для
триплетного состояния и четных I. Абсцис-
сы в единицах В 4.315 -10-13 см [Га р-
тенхауз С. Phys. Rev., 100, 903
(1955)].
Форма потенциала совершенно не
ямой, с которой мы начинали. Для
кивающая сердцевина, которой нет щ
мезонных теорий и экспериментов по
рассеянию при высоких энергиях
при соответствующих значениях по-
тенциалов .
б. Пример современных решений.
В качестве типичного примера совре-
менного подхода к проблеме дейтона
приведем вкратце рассмотрение, вы-
полненное в работе [15]. Оно основано
на потенциале, следующем из частной
приближенной формы мезонной тео-
рии (см. гл. 7, § 8 и § 12а). Такой
потенциал для триплетного 5-со-
стояния в графическом виде пред-
ставлен на рис. 1.12. Форма по-
тенциала полностью определяется
теорией и принятым методом при-
ближения. Теория содержит два
произвольных параметра (константу
/2 для нуклон-мезонной связи и
энергию обрезания имакс, которые
в принципе определяются из опытов
по мезон-протонному рассеянию
(/2 « 0,08, имакс ~ 6илс2, где тл —
масса л-мезона), но их необходимо
несколько уточнить, чтобы полу-
чить правильное значение энергии
связи дейтона (/2 = 0,089, имакс =
= 6 тлс2).
совпадает с простой прямоугольной
центральных сил существует оттал-
)и тензорных силах, но и последние
в начале координат равны нулю.
Функция VT (г) оказывается много
большей, чем Гс(г). Функции
v (г) и w (г) на рис. 1.13 найдены,
исходя из потенциала, приве-
денного на рис. 1.12.
Используя эти функции, мож-
но вычислить константы, входя-
щие в теорию дейтона и н-р-рас-
сеяния при малых энергиях, и
получить результаты, приведенные
в табл. 1.8. Наблюдаемое здесь
согласие ободряет, но не нужно
впадать в заблуждение и считать,
что сказано последнее слово или
что получена удовлетворительная
теория ядерных сил. Выбранное
приближение не единственно воз-
Рис. 1.13. Радиальные функции г (г) и w (г),
входящие в потенциал, приведенный на рис.
1.12. (Г а р т е н х а у з С. Phys. Rev., 100,
904 (1955)].
можное, и его пригодность все еще составляет предмет дискуссий.
С другой стороны, нельзя отрицать, что в форме зависимости, представ-
ленной на рис. 1.12, содержится какая-то истина, как мы это увидим
в связи с обсуждением нуклон-нуклонного рассеяния при высоких энер-
гиях (см. гл. 3, § 23).
48
Таблица 1.8
Характеристика
Обозна-
чение
Теория
Эксперимент
Мера примеси D-состояпня
Квадруиольный момент
Синглетный эффективный
радиус
Амплитуда рассеяния в
триплетном состоянии
(/2 0,089, <омакс
6,пяе2
6,80%
2,90-10-27 с.«2
1,75-10-13 СЛ(
5,42-lCT13 см
от 2 до 8% (1.154)
2,73- IO-2’ см2 (гл. 1Л 86)
1,70-10-13 см (3.111)
5,41-10-13 см (3.109)
Примечая и е. Определение величин
и at даны в гл. 3.
В. НУКЛОН-НУКЛОННЫЕ силы
§ 13. ГИПОТЕЗА ЗАРЯДОВОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ
До сих пор рассматривались свойства сил, действующих
между нейтроном и протоном (п — р). Теперь рассмотрим
силы, действующие между нейтроном и нейтроном (п — п)
и между протоном и протоном (р — р).
Из анализа данных для тяжелых ядер, и в частности поведения так
называемых «зеркальных ядер» (см. гл. 2, § 4а), следует, что силы (п — п)
11 (Р — Р) равны. Из этих данных видно, что полные силы (и — п)- и (р — р)-
взаимодействий отличаются только электромагнитными эффектами, главным
образом электростатическим отталкиванием между протонами. Но последнее
взаимодействие на малых расстояниях мало по сравнению с чисто ядерным
взаимодействием.
Равенство сил, действующих между одинаковыми нуклонами
(и— и) (р — р), (1.162в)
называют зарядовой симметрией ядерных сил.
Для сравнения величины сил между одинаковыми нуклонами с силами
(н —р)-взаимодействия вернемся к табл. 1.7, данные которой говорят, что
дипротон и динейтрон не имеют связанных состояний, а следовательно, не
существуют в природе и не могут возникать в виде радиоактивных изотопов.
Исходя из этих фактов можно было бы предположить, что (и — р)-в.заи
модействия должны отличаться от (н — н)- и (р — р)-взаимодействий. Однако
в этом нет необходимости.
Даже если ядерные силы одинаковы для
любых пар нуклонов, дипротон и динейтрон
могут все же не иметь связанных состояний.
Это объясняется тем, что принцип Паули предотвращает возможность нахож-
дения нуклонов в состоянии 3S. Силы, действующие в 5-состоянии в динейтро-
не и дипротоне, нельзя сравнивать с силами, которые обусловливают связь
дейтона в ^-состоянии. Правильнее считать, что они подобны силам, дей-
ствующим в состоянии 15 системы (п — р). Эти последние силы, как изве-
стно, не создают связанного состояния.
Обычно вводят упрощающую рабочую гипотезу, предполагая, что ядер-
ные силы одни и те же для состояний с одинаковыми спинами и моментами
количества движения в случае (п — р)-, (р — р)~ и (п — невзаимодействий.
Эта гипотеза обычно формулируется в виде утверждения, что ядерные
силы зарядово независимы:
(и —и) «(р-р)! (и —р). (1.163)
4 Ядерные взаимодействия
49
Мы увидим, что зарядовая независимость находится в согласии со всеми
известными фактами ядерной физики. Найдено, например, что ядерное
(п — п)~ и (п — ц)-рассеяние 5-волны одинаково для всех синглетных состоя-
ний (гл. 3, разд. Г); что эквивалентные состояния таких ядер, как С14 (Z = 6,
N — 8), N14 (Z = 7, N — 7) (интересным состоянием в этом случае является
возбужденное состояние) и О14 (Z = 8, N = 6), имеют одинаковую величину
связи (гл. 2, § 4а) и что нуклон-нуклонное рассеяние при высоких энергиях
также не нарушает зарядовой независимости (гл. 3, § 20), и т. д.
Исходя из этих экспериментальных фактов, можно считать, что заря-
довая независимость — одно из основных свойств ядерных сил. Поэтому
перейдем к рассмотрению формального метода, связанного с математической
формулировкой зарядовой независимости.
§ 14. ФОРМАЛИЗМ ИЗОСПИНА
а. Введение понятия изоспина. Вследствие зарядовой
независимости нейтроны и протоны целесообразно рассматри-
вать как два почти вырожденных состояния одной и той же
частицы — нуклона. Очевидное различие, которое существует между нейтро-
ном и протоном, играет, по-видимому, второстепенную роль в формировании
ядерной связи, и два нуклона можно считать членами почти вырожденного
дублета, соответствующим двум значениям некоторой новой внутренней
переменной. Выражение «дублет» напоминает о подобном же выражении,
используемом для описания спиновой мультиплетности; оказывается, что,
следуя путем, подобным тому, который уже использовался для обычного
спина, удается построить формализм изотопического спина (изоспина) *,
который оказывает большую помощь в трактовке мультиплетности, возни-
кающей в ядерной физике из-за сходного поведения нейтрона и протона.
Мы говорим, что нуклон N — это частица с изоспином 1/2, которая
может существовать в двух состояниях: в виде протона р и нейтрона п,
в зависимости от того, направлен ли изоспин «вверх» или «вниз» * 2. Изоспин
является вектором в трехмерном пространстве, называемом пространством
изоспина, которое не имеет никакого отношения к реальному физическому
пространству.
Если ввести совокупность координат £, ц, £ для пространства изо-
спина, то компоненты вектора изоспина Т будут равны 1/2 компонент вектор-
ного оператора т:
/0 IX /0 — IX /1 ОХ
Т*е = \1 0/’ 0/’ Те = \0 -1J’ U-164)
который формально идентичен матрицам Паули (1.52). Как и для обычного
спина, можно измерить только одну компоненту, например т;, и ее собствен-
ные значения равны
тг — + 1 для протона, 1
, } (1-165)
т^= —1 для нейтрона J
в соответствии с собственными значениями ±1/2 для ^-компоненты изоспина.
Все формулы, применимые к физическому спину (1.1246), можно приме-
нить и для изоспина. Для протона
* Введение термина «изоеппн» положило конец длительной дискуссии по терми-
нологии между сторонниками терминов «изотопический спин» и «изобарический спин».
2 Условие направления «вверх» изоспина протона для ядерной физики высоких
энергии обычно, тогда как в литературе по ядерной физике малых энергий часто под-
разумевают, что «вверх» направлен изоеппн нейтрона.
50
и нейтрона
(1.167)
Символы р и п заменяют символы а и (3, используемые в теории обыч-
ного спина.
Формально нуклонное состояние может быть смесью нейтрона и протона,
но физически бессмысленно когерентное сложение
состояний р и п для одного и того же нуклона, поскольку результи-
рующее состояние не имеет определенного электрического заряда. Иными
словами, бессмысленно когерентное сложение протонных и нейтронных
состояний для получения поляризованной в и ^-направлениях изопростран-
ства частицы.
Операторы
Лр = |(1 + ч); лп=|(1-ч) (1.168)
представляют собой проекционные операторы для нейтрона и протона
в полной аналогии с выражением (1.62).
Операторы заряда, массы и магнитного момента нуклона равны:
е=4-(1 + ч)1ек
М -1 (1 + тЕ) Мр + 4 (1 - тЕ) Мп-
h=4(i+t&) ь+4(1-ч) р-п-
(1.169)
(1.170)
(1.171)
Хотя компоненты it и тТ] и неизмеримы, они играют существенную роль в
теории.
Часто удобно рассматривать компоненты т вдоль осей
1 А л А
+-р=-(I ± in) и g.
г 2
Тогда, как и в выражении (1.64), можно записать:
1 1 /0
т+ = т(т5 + к„)=—= oj;
1 1 /° 0\
T- = y(T5-iTn) = —т_ = ^
/1 0\
То = Т£ = \О —1/‘
(1.172)
Операторы т+ и т преобразуют нейтрон в протон и наоборот.
Волновые функции фг и — двухкомпонентные функции Паули, опи-
сывающие спиновую мультиплетность. В релятивистской теории и фп
представляют собой четырехкомпонентные дираковские спиноры.
Помня обо всех этих сложных соотношениях, мы тем не менее будем
часто писать в сокращенной форме фр, | р > или р для (4) и анал°гичные
обозначения для нейтрона, а также
\Р' +4
или р; для
4* 51
Удобно пользоваться следующими графическими символами:
i—протон со спином вверх;
?—протон со спином вниз;
& — нейтрон со спином вверх;
?—нейтрон со спином вниз.
б. Изоспин многих нуклонов. Предположим, что изоспин системы из
многих частиц можно найти с помощью обычного правила сложения момен-
тов количества движения. Одиночный нуклон имеет изоспин 1/2 с ^-компо-
нентами + 1/2. Полный оператор изоспина системы из 1 нуклонов
А
(1.173)
а= 1
Собственные значения У2 равны Т (Т ф- 1), где Т можно считать величиной,
принимающей значения в интервале от 0 до .4/2. Для каждого Т существует
2Т + 1 собственных значений Т^, которые представляют собой целые или
полуцелые числа в интервале — Т Ус-< Т.
Поскольку = + 1 для протона и нейтрона соответственно, то соб-
ственное значение У£ равно 1
А
(1Л74)
а.= 1
Из этого выражения непосредственно видно, что соотношение (1.169) дает
правильный ядерный заряд:
а А
2 + (1 + та0к1=тИ H2TE||e|=-z|e|.
cz - 1 а I
Состояния системы из А нуклонов, соответствующие одной и той же
величине У, образуют, как говорят, изоспиновый мультиплет. Существует
2У + 1 членов мультиплета, отвечающих различным У? и соответственно
различным зарядам Z, предельные значения Z равны + + У. Если электро-
магнитные эффекты отсутствуют, то все члены мультиплета имеют одну
и ту же структуру и одинаковую энергию связи.
в. Пример для А 2. Покажем, что закон сложения изоспина приводит
к простой и целесообразной классификации двух нуклонов в 5-состоянии.
Состояния двух нуклонов (1 и 2) могут быть представлены в виде изо-
спинового синглета или триплета в зависимости от того, равно ли Т нулю
или единице. Синглету
-Ду [фр (1) фп (2) - фп (1) ф> (2)| (1.175)
I
соответствует У- = 0, поэтому Л' = Z, и он соответствует некоторому
состоянию нейтрон-протонной системы.
Три компоненты триплета для У£ = + 1 и 0 определяются выражениями:
Фр(^)'Фг^ (2)',
-р-(фр(1)ф,;(2)+фп(1)фр(2)[;
Фп(1)Фп(2)
(1.176)
и относятся соответственно к двум протонам, к некоторому состоянию ней-
трона и протона и к двум нейтронам.
1 В наших обозначениях отрицательно для сложных ядер, для которых N > Z.
Знак был бы положительным, если бы мы приняли, что для нейтрона Т~ = ф- 1 /2, как
это иногда делают при рассмотрении вопросов строения ядер.
52
Эта классификация разумна в силу следующих причин. Нейтрон и про-
тон в 5- (или /^-состоянии могут иметь параллельные или антипараллельные
спины (35 или г5), тогда как два протона и два нейтрона могут существовать
только с противоположными спинами (16'). В соответствии с зарядовой неза-
висимостью три *5- состояния р — р, п — р, п — п ведут себя одинаково,
и разумно объединить их в три компоненты изотриплета (1.176). С другой
стороны, физический спиновый триплет, основным состоянием которого
является связанный дейтон, может реализоваться только для различных
нуклонов; в изоспиновом обозначении он представляет собой изосинглетное
состояние (1.175).
Применяя эту классификацию к состояниям с А = 2, замечаем, что
все состояния, разрешенные для I = 0, антисимметричны к обмену как
о. так и т. Это частная форма общей формулировки принципа Паули для
нуклонов, рассматриваемой ниже.
г. Принцип Паули для нуклонов. Принцип Паули применим к идентич-
ным частицам со спином 1/2. Он может быть сформулирован следующим
образом:
Волновая функция 7V идентичных частиц
^(rjOj, .. ., гщ;, . .., TjGj, . . ., глчтл) (1.177)
должна быть антисимметричной по отношению
к обмену пространственными и спиновыми коор-
динатами го любой пары частиц.
Принцип Паули, по определению, следует применять к нейтронам и
протонам в отдельности. Его нельзя применять просто к нуклонам,
поскольку два нуклона в различных зарядовых состояниях явно не иден-
тичны. Но с точки зрения спинового формализма все рассматриваемые
нуклоны идентичны, и различие между протоном и нейтроном сводится
только к различию в собственной величине координаты т. Состояние А нукло-
нов следует тогда записать в виде
. . ., ГгО,Т;, . . ., TjGjTj . . . Г xGAtA) (1.178)
и принцип Паули теперь можно формулировать следующим образом.
Волновая функция А нуклонов должна быть
антисимметрична по отношению к обмену
пространственными, спиновыми и из ос пи новым и
координатами г, <г, т для любой пары нуклонов г/ (1.179)
Очевидно, что для двух нуклонов одного и того же сорта их волновая
функция симметрична в отношении т и в этом случае новая формулировка
сводится к старой. С другой стороны, если два нуклона находятся в различ-
ных зарядовых состояниях, их волновая функция может быть симметричной
пли антисимметричной по т, и новая формулировка допускает все состояния
по г и о.
Приведенная нами классификация состояний для А = 2 и I = 0 согла-
суется с новой формулировкой принципа Паули. Связанное состояние дейто-
на, как (п — р)-системы, находящейся в четном состоянии момента количе-
ства движения и в четном состоянии обычного спина, должно быть нечетным
(синглетным) изоспиновым состоянием.
д. Подобие и различие между спином и изоспином. Чтобы понять значе-
ние изоспина и установить его связь с принципом Паули, рассмотрим два
различных подхода к атомной физике (пренебрегая,1 простоты ради, физиче-
скими спинами нейтрона и протона).
В первом случае предположим, что атомы состоят из четырех различных
элементарных частиц: протонов р, нейтронов п, электронов, ориентирован-
ных вверх, ев и электронов, ориентированных вниз, е„.
Так же как протоны и нейтроны легко различить с помощью электриче-
ского поля, электроны, ориентированные вверх и вниз, различимы
53
с помощью магнитного поля Н. Между элементарными частицами могут
происходить следующие реакции:
п —р + е + v + 782 кэв\
е-в —> ен + Йсо, где Л® = 2цеН.
Четыре частицы в отдельности подчиняются принципу Паули, но прото-
ны не исключают нейтроны, а электроны, ориентированные вверх, отличимы
от электронов, ориентированных вниз, если включено магнитное поле.
В другом подходе предполагают, что атомы состоят только из двух раз-
личных частиц, а именно из нуклонов ,У/ ’ и электронов е, но тогда следует
переформулировать принцип Паули, чтобы учесть различные возможные
состояния нуклона и электрона.
Могут возникнуть некоторые недоразумения, связанные с тем, что обыч-
но в атомной физике используют оба подхода, рассматривая электроны,
ориентированные вверх или вниз как одинаковые частицы, а протоны и ней-
троны как различные частицы.
Спин и изоспин включаются в формулировку принципа Паули одним
и тем же способом. Несмотря на эту аналогичность, не следует забывать,
что эти величины существенно различны и что аналогия между ними не
распространяется на все их свойства. Наиболее ощутимое различие заклю-
чается в различии масс двух изоспиновых состояний, в силу которого нейтрон
оказывается нестабильным даже при отсутствии внешних полей. Также
важно иметь в виду, что сохранение заряда делает величину Т° точным
квантовым числом, и с ней связано выделенное направление в изопро-
странстве.
§ 15. ЗАРЯДОВО НЕЗАВИСИМЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
а. Сохранение изотопического спина. Гипотеза зарядо-
вой независимости требует, чтобы ядерные силы между двумя
нуклонами не зависели от их зарядового состояния и тем
самым от величины т-. Поскольку в нашем формализме значения т? не явля-
ются точными квантовыми числами, свойство зарядовой независимости
должно быть сформулировано в терминах полного изоспина:
Для данной величины Т ядерные взаимодействия
независимы от Тг. (1.180)
Это утверждение соответствует тому, что Z-мультиплет полностью
вырожден. Однако мультиплеты расщепляются из-за электромагнитных
взаимодействий. Это расщепление мало для легких ядер, но оно становится
все более и более значительным у тяжелых ядер, потому что энергия связи
из-за ядерных взаимодействий растет линейно с увеличением Л, в то время
как энергия электростатического отталкивания возрастает как Z2.
Другая формулировка принципа зарядовой независимости сводится
к следующему утверждению:
Гамильтониан ядерных сил не должен зависеть
от ориентации вектора полного изоспина Т, (1.181)
из которого следует, что
Изоспиновое пространство должно быть изотропным
в отношении ядерных взаимодействий Г (1.182)
Поскольку изоспин имеет все свойства, присущие моменту количества дви-
жения, то изотропия изоспинового пространства эквивалентна
принципу сохранения изотопического спина Т. (1.183)
1 Электромагнитные взаимодействия, однако, приводят к возникновению приви-
легированного направления в изопространстве.
54
Мы встретились таким образом с новым законом сохранения, который
верен только приближенно, аналогично тому как в атомной физике закон
сохранения орбитального момента из-за влияния спин-орбитальной связи
выполняется только приближенно.
Компонента Tz вследствие сохранения заряда должна оставаться
постоянной. Можно также утверждать, что
В пренебрежении электромагнитными эффектами
величина Т2 является хорошим квантовым числом. (1.184)
Сделаем краткие замечания о связи между зарядовой независимостью
и зарядовой симметрией.
Мы уже видели в § 13, что инвариантность по отношению к зарядовой
симметрии есть частный случай зарядовой независимости: она, следователь-
но, должна соответствовать инвариантности по отношению к частному типу
поворотов в изопространстве. Эти повороты должны трансформировать все
нейтроны в протоны (и наоборот), и тем самым они меняют знак эти
повороты следует отождествлять с поворотами на 180° вокруг оси, перпен-
дикулярной к £. Операции зарядовой симметрии обычно можно отождествить
с поворотом на 180° в плоскости ср = 0, т. е. с поворотом вокруг второй изо-
спиновой оси (ц).
Приложение идеи изоспина к ядрам с А > 2 обсуждается в гл. 2.
В гл. 7 и 8 будет показано, что понятие изоспина имеет применение в теории
всех сильно взаимодействующих частиц.
б. Зарядово независимый гамильтониан. Сохранение изоспина возможно
лишь при инвариантности гамильтониана, описывающего взаимодействие
между двумя нуклонами, по отношению к поворотам в изопространстве.
Поэтому гамильтониан должен быть построен из скаляров, образованных
из пзоспинов Т( и т2. Существует только два таких линейно независимых
скаляра: в качестве этих скаляров можно взять 1 и Tt-T2 или
1 и ^г = 4(1 + 1т1-т2]), (1.185)
где сРг — изоспиновый обменный оператор [сравните с выражением (1.84)1.
Таким образом, если воспользоваться соотношением (1.122), то не зави-
сящий от скорости гамильтониан взаимодействия между двумя нуклонами
в наиболее общем виде можно записать так:
[Vw (г) + Va (г) &а + VT (г) S12] + Ay [Гн, (г) + Fa (г) + F'v(r) 512]. (1.186)
Центральной проблемой физики ядра является проверка справедливости
гамильтониана (1.186) (без добавки сил, зависящих от скорости, или членов,
связанных с нарушением зарядовой независимости) и определение функций
положения, входящих в этот гамильтониан. Поскольку нет никаких дока-
зательств нарушения зарядовой независимости, и зарядово зависимые силы
представляются несущественными, по крайней мере для малых скоростей,
проблема сводится к определению шести функций V (г). Эта проблема интен-
сивно исследуется всеми возможными средствами, но окончательного реше-
ния ее еще нет.
Написанный гамильтониан взаимодействия между нуклонами сравни-
вался со свойствами стабильных ядер. Эта задача-оказалась очень сложной
в связи с трудностями, присущими задаче многих тел. Производились
и продолжают выполняться опыты по рассеянию для все более высоких
энергий; с целью исследования характера ядерных сил привлекаются новые
частицы — мезоны. В надежде пролить свет на основные проблемы ядерной
физики были предприняты детальные экспериментальные и теоретические
исследования свойств л-мезонов. В процессе этих исследований были открыты
55
новые, неожиданные частицы — ц-мезоны и странные частицы. Известно,
что они также имеют отношение к свойствам ядерного взаимодействия.
В результате — наши знания несомненно возросли. Но после ряда
надежд и разочарований фактическая цель еще не достигнута и «сильные
взаимодействия» все еще не поняты или поняты только частично. Сделан
тем не менее шаг вперед. Если двадцать лет назад целью ядерной физики
являлось описание ядерных сил с помощью шести функций, входящих в фор-
мулу (1.186), то сегодня, благодаря прогрессу в области элементарных
частиц, появилась возможность не только описать, но и понять ядерные
силы, изучив свойства мезонов и гиперонов.
в. Операторы обмена и обменные силы. Как уже показано в выражении
(1.84), операторы <Т(, и меняют спин и изоспин частиц 1 и 2.
Для двух частиц равных масс в системе центра масс ф (г4, г2) =
= ф (П — г2); в этом случае оператор обмена Т'о) эквивалентен орбитальному
оператору четности <7*°* и его собственное значение равно (—1)', где I —
орбитальный момент количества относительного движения.
Смысл произведения сРп<Тг, которое входит в общий гамильтониан,
можно легко понять, если вспомнить, что принцип Паули требует, чтобы
— 1,
(1.187)
где cP,. — оператор обмена координатами.
Укажем операторы обмена (которые, по-видимому, могут входить
в гамильтониан взаимодействия между двумя нуклонами) вместе с их соб-
ственными значениями:
оператор обмена координатами, или оператор Майорана 3s.
с собственными значениями (—1)(;
оператор спинового обмена, или оператор Бартлетта
3°о с собственными .значениями (—-1)®"
оператор обмена изосппна, или оператор Гайзенберга
3°t с собственными значениями (— 1)Г!
(1.188)
(1.189)
(1.190)
В силу правила отбора (1.187) квантовые числа I, S, Т связаны соотно-
шением:
I S - ] Т должно быть нечетным.
(1.191)
Отметим, что состояния с различными Т не смешиваются в силу зарядовой
независимости, а состояния с четными I не смешиваются с состояниями
с нечетными I в силу сохранения четности. Отсюда следует, что для двух
взаимодействующих нуклонов состояния с четным 5 (триплеты) не смеши-
ваются с состояниями с нечетным S (синглеты).
Таким образом, в двухчастичных задачах ядерной физики
5 есть точное квантовое число
(1.192)
Исторически операторы обмена впервые рассматривал Гайзенберг, кото-
рый считал, что ядерные силы подобны обменным силам в молекуле водоро-
да. Так как атомы в молекуле обмениваются электронами, Гайзенберг счи-
тал, что и нуклоны в дейтерии обмениваются зарядом, как это и описывает-
ся оператором (согласно Юкава, этот заряд следует ассоциировать
с мезоном).
Вопрос о наличии сил, зависящих от спина, которые требовали бы член
<ТО в гамильтониане, уже обсуждался. Далее будет показано, что необходи-
мо привлечь и другие обменные силы для описания свойств ядерных сил
при различных состояниях момента количества движения.
5б
Литература
1. В 1 a t t J. М., W е i s s к opf V’. F. Theoretical Nuclear Physics. Wiley, N.Y. 1952
(Блатт Дж., В air ск о иф В. Теоретическая ядерпая физика. М., Изд-во
иностр, лит., 1953).
2. С о n d о n Е. U. and S h о г t 1 е у G. Н. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge
University Press. 1957.
3. Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University
Press, Princeton, N.J., 1957.
4. F a n о U. and R a c a h G. Irreducible Tensorial Sets. Academic Press, N.Y., 1959.
5. Ramsey N. F. Nuclear Moments. Wiley, N.Y., 1953.
6. R a m s e у N. F. Molecular Beams. Clarendon Press, Oxford, 1956.
7. R о s e M. E. Elementary Theory of Angular Momentum. Wiley, N.Y., 1957.
8. S c h i f f L. Quantum Mechanics. McGraw-Hill, N.Y., 1955.
9. W i g n e r E. P., Gruppentheorie. F. Vieweg and Sohn, Braunschweig, 1931.
10. Wigner E. P. Group Theory (English translation). Academic Press, N.Y., 1959.
11. В e 1 1 R. E., E 1 1 i о t R. G. Phys. Rev., 79, 282 (1950).
12. В e t h e FI. А., В a c h e r R. F. Rev. Mod. Phys., 8, 82 (1936).
13. Cohen M. H., Reif F. Solid State Phys., 5, 321 (1957).
14. E isenbud L., Wigner E. P. Proc, Nat, Acad. Sci., U.S., 27, 281 (1941).
15. G a r t e n h a u s S. Phys. Rev., 100, 900 (1955).
16. Jaccarino et al. Phys. Rev., 94, 1798 (1954).
17. R a r i t a W., Schwinger J. Phys. Rev., 59, 436 (1941).
18. R о b s о n J. M. Phys. Rev., 83, 349 (1951).
19. Robson J. M. Phys. Rev., 100, 933 (1955).
20. S m i t h et al. Phys. Rev., 108, 120 (1957'.
ГЛАВА 2
Модели ядро
А. ЛЕГКИЕ ЯДРА
§ 1. ЯДРА С ТРЕМЯ И ЧЕТЫРЬМЯ НУКЛОНАМИ
а. Н3 и Не3. Теперь постараемся понять, хотя бы каче-
ственно, каким образом нуклон-нуклонные силы, описанные
в гл. 1, объясняют свойства сложного ядра. Обсуждение
начнем с описания легких ядер и затем, переходя ко все большим атомным
номерам, увидим, как свойства ядер можно связать с основными взаимодей-
ствиями. Характер этого обсуждения менее точен, чем изложение гл. 1;
многие идеи даны, в лучшем случае, полуколичественно, и большая часть
изложения чисто описательная.
Начнем с ядра, содержащего три нуклона. Для А = 3 изоспин может
быть равен 3/2 или 1/2, образуя квадруплет с 0<Z<<3 и дублет
с 1<Z<2. Членами квадруплета могут быть ядра (гтп), (ппр), (нрр)
и (ррр), все связанные одинаково и находящиеся в одном и том же простран-
ственно-спиновом состоянии. Хорошо известно, что трипротон и тринейтрон
не существуют и, таким образом, члены квадруплета не образуют связанных
состояний, т. е. Н3 и Не3, подобно п и р, принадлежат к изоспиновому дуб-
лету. Свойства этих ядер приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Характеристика нз Нез
Масса атома Спин Магнитный момент Энергия связи В * Энергия связи на нуклонную па- ру В/3 Схема распада Период полураспада Энергия, выделяющаяся при рас- паде (разность атомных масс) 3,01699 1/2 2,9788 8,5 Мэв 2,8 H3-^He3+e4-v 12,3 года 18 кэв 3,01697 ’/г —2,1274 7,6 Мэв 2,5 Стабильный
* Энергия связи атома, ядро которого содержит N нейтронов и Z протонов,
определяется по их массе с помощью хорошо известного релятивистского соотноше-
ния между массой и энергией:
В = [ZMH + NMn — М (Z; TV)] с2,
Мп — это масса атома водорода и М (Z; N) — атомная масса рассматриваемого изото-
па. Так определяемая энергия связи включает энергию связи атомных электронов.
Для дейтона значения спина и магнитного момента можно объяснить,
предполагая почти чистое S-состояние. Если все три нуклона находятся
в одинаковом состоянии с нулевым орбитальным моментом количества дви-
жения (рис. 2.1), то полный спин, на основании принципа Паули, обяза-
тельно равен 1/2; магнитные моменты, предсказанные для чистого S-состоя-
ния, равны и цп; они отличаются от измеренного значения примерно
на 10%.
58
Несвязанные члены квадруплета должны иметь совершенно другую
структуру (рис. 2.2).
Нужно отметить, что энергия связи на пару частиц в этих двух ядрах
больше энергии связи дейтона. Это объясняется тем, что область ядерных
сил значительно меньше радиуса дейтона. Если к дейтону прибавить третий
Рис. 2.2. Состояние
тринейтропа.
Рис. 2.1. Связанные состояния ядер для
4 = 3.
нуклон, то этим число частиц увеличивается от 2 до 3 и число взаимодей-
ствующих пар с 1 до 3. Так как притяжение, приходящееся на частицу, уве-
личивается, то три нуклона располагаются в среднем теснее друг к другу,
чем два нуклона в дейтоне. Поэтому они чаще находятся внутри потенциаль-
ной ямы притяжения, увеличивая ожидаемое значение энергии связи, при-
ходящейся на пару нуклонов.
б. Электростатическое отталкивание. Разность масс между Н3 и Не3
можно выразить следующим образом:
[2Мп+ЛГн — (ядерная энергия связи II3)] — [Л/п-|-2Мн—(ядерпая энергия
связи Не3) 4 (электростатическая энергия взаимодействия между двумя
протонами)] 18 кав. (2.1)
Если ядерные силы зарядово симметричны, то ядерные энергии связи
Н3 и Не3 равны и выражение (2.1) принимает вид
Мп — Мн + (электростатическая энергия взаимодействия между двумя
протонами) 18 кзв, (2.2)
откуда получается
энергия электростатического взаимодействия между протонами в Не3 = 764 кав. (2.3)
Энергию электростатического отталкивания между двумя протонами
1 и 2 внутри ядра можно очень легко оценить, если предположить, что ядро
представляет собой сферу радиуса R и что вероятность найти каждый протон
в любом месте сферы постоянна. Тогда каждый протон создает плотность
заряда Р = ~4“--- и потенциал U (г) = 2лр [в2—Энергия протона 1,
-д Л В3
имеющего зарядовую плотность р в потенциальном поле, созданном прото-
ном 2, равна
Скулой=j up =2лр2 И R2 - 4)r2 dr dQ=4л2р2у?5=4 4 • <2-4)
Приравнивая (2.3) и (2.4), находим радиус Не3
R 2,3 х IO’13 см. (2.5)
Это вполне разумная величина: она показывает, что представление о зарядо-
вой симметрии не ведет к противоречию, хотя и нельзя ожидать, что резуль-
таты, полученные с помощью выражения (2.4), будут точными. Для сравне-
ния отметим, что последние измерения [24] формфактора Не3, выполненные
по рассеянию электронов высокой энергии, дали среднеквадратичный радиус,
равный 1,97 ± 0,10 X 10-13 см (при этом предполагалось, что зарядовая
плотность имеет гауссовское распределение).
59
в. Не4. Существует единственное связанное ядро с /1 = 4. Это Не4,
представляющее собой, очевидно, изоспиновый синглет. Его спин равен
нулю, как и следовало ожидать, для четырех частиц в
А I «S'-состоянии (см. рис. 2.3).
——о—о—X •------ Энергия связи Не4 равна 28 Мэв. Таким образом,
» * h энергия связи, приходящаяся на пару нуклонов, равна
-28/6 Мэв = ^,7 Мэв, это самое высокое значение энергии
Рис. 2.3^ Состоя- связи для всех ядер. Поэтому можно предположить, что
четыре нуклона в Не4 расположены очень тесно друг к
ДРУгу и часто находятся внутри потенциальной ямы дру-
гого нуклона. Это подтверждается экспериментами по рассеянию электро-
нов высокой энергии, из которых следует, что Не4 имеет гауссовское рас-
пределение заряда со среднеквадратичным радиусом 1.61 10 13 см [321.
§ 2. ЯДРА С ПЯТЬЮ НУКЛОНАМИ.
СПИН-ОРБИТА ЛЬНА Я СВЯЗЬ И НАСЫЩЕНИЕ
а. А = 5. Рассеяние нейтронов и протонов на Не. Про-
должая обзор ядер, видим, что стабильных ядер с А 5
нет. Если расположить ядра по возрастающим значениям А,
то имеется только два пустых места: А 5 и А = 8. Энергия связи на пару
нуклонов монотонно растет вплоть до Не4, а при добавлении еще одного
нейтрона или протона обнаруживается полное отсутствие связи.
Объясняется это тем, что мятая частица не может находиться в том же
состоянии, что и остальные. Физически не связанные ядра Не5 и Li5 можно
Рис. 2.4. Состояния пяти нуклонов в Не6 и Li5 (схема-
тическое изображение).
попытаться представить в виде диаграммы (рис. 2.4). Некоторую информа-
цию о силах между а-частицей и дополнительным нуклоном можно полу-
чить, изучая рассеяния нейтронов и протонов на Не.
Рассмотрим и-Не-рассеяние, которое легко интерпретировать, так как
здесь нет кулоновского (резерфордовского) рассеяния. Полное поперечное
сечение имеет максимум в системе центра масс с полушириной около lz2 Мэв
при энергии 0,95 Мэв. Фазовый анализ (подробное обсуждение его дано
в гл. 3, § 2) показывает, что этот максимум образуется из-за взаимодействия
с нейтроном в Р3/2-состоянии. Как показано на рис. 2.5, на котором приве-
дены экспериментальные точки и разложение, полученное с помощью фазо-
вого анализа (пунктирные линии разделяют вклады от различных парциаль-
ных поперечных сечений), оказывается возможным разделить вклады от
Pi/ъ- и «S’-состояний.
Наблюдаемый резонанс можно интерпретировать как результат вир-
туального состояния (Не — и)-системы с энергией связи около 0,95 Мэв
и средним временем жизни А/ = х 10-21 сек.
2 Ас
Хотя это время мало, все же оно значительно больше, чем время про-
хождения через ядро Не 2 X 10-13 слг] нейтрона с энергией ~1 Мэв
(скорость —2 X 10» см/сек), и указывает на временное образование состоя-
ния Не5.
60
б. Спип-орбитальная связь. Из предыдущего рассмотрения и из рис. 2.5
видно, что самое нижнее состояние Не5 — несвязанное Рз^-состояние;
состояние Pi/2 еще менее
связанное, так как оно
влияет на рассеяние при
большей энергии нейтро-
на. Разная энергия Рз/„- и
Pi/„-состояний показывает,
что ядерные силы облада-
ют свойством спин-орби-
тальной связи. Самый низ-
ший член спин-орбиталь-
ного дублета обладает наи-
большим значением J, в
противоположность тому,
что имеет место в атом-
ной физике. Поэтому в
ядерной физике говорят
об обращенных дублетах.
Значение спин-о рбиталь-
ной связи проявляется в
Рис. 2.5. Полное поперечное сечение n-a-рассеяппя и
разложение, полученное с помощью фазового анализа.
Пунктирные линии дают вклады от различных пар-
циальных поперечных сечений |А d a i г R. Phys.
Rev., 86, 160 (1952)].
теории оболочечного строе-
ния ядра.
Данные,
из рассеяния
Не. похожи
полученные
протонов на
на результа-
ты, рассмотренные для
нейтронов. Единственное различие связано с электростатическим зарядом,
который затрудняет интерпретацию данных и поднимает несвязанные уров-
15,69 3/2
16,80 3/2
16,53
a,t
Hes
Рис. 2.6. Уровни Не® и Li5.
-0,95
п,а
IMaOWi
16,5.9
d,He3
'BA
р,а
ни Li5 (три пары протонов) над
уровнями Не5 (одна протонная
пара). Интересно отметить, что
разность в кулоновской энергии
ядер Li5 и Не® становится теперь
больше, чем разность масс между
нейтроном и водородом, это дела-
ет атом Не® с большим числом
нейтронов, более стабильным чле-
ном дублета. Относительное поло-
жение уровней показано на
рис. 2.6.
в. Насыщение и обменный
характер ядерных сил. Сильную
связь в Не4 и отсутствие связи
в Не® и Li® можно рассматривать
как указание на существование
обменных сил типа Майорана
(1.188) — сил притяжения в 5-со-
стоянии и отталкивания в /*-со-
стоянии. Существование сил Май-
орана проявляется также в /z-р- рас-
сеянии при высокой энергии, и
нет сомнения, что силы этого рода играют важную роль в строении ядра.
Пытаясь вычислить энергию взаимодействия сложного ядра, обычно
предполагают, что полное взаимодействие может быть выражено как сумма
взаимодействий между каждыми двумя парами нуклонов:
= 2 <S£tk. (2.6)
Все пары
61
Так как всего имеется 1/2 А (А — 1) пар, то обычная потенциальная
прямоугольная яма должна дать энергию связи, возрастающую примерно
как А2. Было показано, что на самом деле энергия связи для А <4 из-за
уменьшения радиуса меняется даже быстрее, чем 1/2 А (А — 1). Если бы
такая тенденция сохранялась, то тяжелые ядра были бы очень малы по
размерам и очень сильно связаны. Однако возрастание энергии связи неожи-
данно прерывается (рис. 2.7) при А = 5. Энергия связи на частицу В/A для
А > 5 становится примерно постоянной, хотя для легких ядер (~ Л < 16)
Рис. 2.7. Энергия связи на частицу.
наблюдаются некоторые колебания с периодом 4. Кроме того, для А >• 5
радиусы ядер возрастают по закону Ах^, что соответствует постоянной плот-
ности ядерного вещества.
Рассмотренные особенности обусловлены свойством насыщения ядерных
сил; это означает, что каждая ядерная частица может быть сильно связана
только с ограниченным числом частиц — положение, сходное со связью
атомов в конденсированном веществе. Действительно, конденсированное
вещество имеет постоянную плотность и теплота испарения (энергия связи)
пропорциональна весу.
Гайзенберг первый предложил, что, подобно силам связи молекулы водо-
рода, ядерные силы являются обменными силами. По аналогии он предполо-
жил существование обмена зарядами [см. соотношение (1.199)]. Однако
обменный оператор Гайзенберга создает притяжение между ядерными
парами в различных зарядовых состояниях и отталкивание между одинако-
выми нуклонами; такие ядерные силы, создавая притяжение для дейтона,
не могут образовать сильных связей в Н3, Не3 и Не4.
Обменные силы Майорана, напротив, являются силами притяжения для
всех частиц в ^-состоянии. Это объясняет сильное возрастание энергии связи
вплоть до Не4 и насыщение для четырех нуклонов.
Предполагая, что потенциал между парами нуклонов дается прямо-
угольными ямами с обычными и майорановскими обменными силами
Vij — I w + ЕмсРг. . для rij < г0;
О для rfJ>r0,
(2.7)
62
можно доказать ([2] гл. 3, стр. 140), что насыщение ядерных сил происходит
при условии
VM>4VW. (2.8)
Подобное же соотношение можно получить, если использовать тензорные
силы и обменные силы других видов.
Из некоторых экспериментов по рассеянию при высокой энергии
[(см. соотношение (3.229)1 вытекает, что
VM^VW. (2.9)
Таким образом, хотя обменные силы, и особенно майорановские, суще-
ствуют и играют важную роль, они не могут быть единственной причиной
наблюдаемых явлений насыщения.
Очевидно, существование отталкивающей сердцевины в нуклон-нуклон-
ном потенциале может помочь объяснению постоянной плотности ядер
и линейной зависимости энергии связи от величины А. Согласно современным
представлениям, такая отталкивающая сердцевина существует, как это пока-
зано на рис. 1.12. В заключение отметим, что объяснение насыщения ядерных
сил не является простой задачей и что для полного понимания этого явления
надо учитывать также другие свойства ядерных сил.
§ 3. ЛЕГКИЕ ЯДРА. ЯВЛЕНИЯ СИММЕТРИИ
а. Явления симметрии. Связанные ядра дляД<Л 16
показаны на рис. 2.8 в координатах N — Z. Из рисунка
видно, что связанные ядра группируются около линии N=Z.
Это явление называется эффектом симметрии. Для каждого
значения А связанное ядро имеет наименьшее значение изотопического спи-
на: Т = 0 (N = Z) для четных А и Т = 1/2 (TV = Z ± 1) для нечетных А.
Рпс. 2.8. Связанные ядра:
стабильные ядра; 0—р-антивные ядра; С г~ наибо-
лее стабильные несвязанные ядра для данного А.
Двойная линия связывает самые стабильные ядра для
каждого А.
Как следствие принципа Паули (сРгсРосРт = — 1) малый изотопический
спив (минимум симметрии в т) соответствует максимуму симметрии в г и ст.
При рассмотрении свойств симметрии ядерных состояний можно приме-
нить «модель независимых частиц», согласно которой каждый нуклон, неза-
63
висимо от существования других нуклонов, имеет свое собственное состояние
движения (орбиту) в некоторой общей ядерной потенциальной яме.
Ядерные состояния независимых частиц удобно представлять в виде
диаграмм, которые даны на рис. 2.9 и 2.10. На этих диаграммах горизонталь-
Рпе. 2.9. Изоспиновый синглет и триплет для А — 12.
ные линии указывают определенные «пространственные» состояния (опре-
деленные орбиты) в порядке возрастания энергии. Каждая такая линия
Рис. 2.10 Изоспиновый синглет и триплет для А - 6.
содержит, самое большее, четыре нуклона в различных спиновом и зарядовом
состояниях. Нуклопы, расположенные вдоль вертикальной линии, находятся
в одном и том же спиновом и зарядовом состоянии. Поэтому необходимо, что-
бы пространственно-волновая функция была симметрична относительно
64
перестановки двух нуклонов на одной и той же горизонтальной линии и анти-
симметрична для перестановки нуклонов на одной и той же вертикальной
линии. Нуклонные пары, члены которых не расположены на общей горизон-
тальной или на общей вертикальной линии, с равной вероятностью «про-
странственно» четные или нечетные.
Из рис. 2.9 и 2.10 видно, что состояние, в котором нуклоны находятся
на самом низшем возможном энергетическом уровне, соответствует, согласно
принципу Паули, максимуму пространственной симметрии. Однако этот
принцип не единственная или самая важная причина пространственной
симметрии. Другая причина — в короткодействии ядерных сил, вследствие
чего нуклонные пары располагаются близко друг к другу и поэтому часто
находятся в потенциальной яме соседних пар.
Вероятно, наиболее существенной причиной пространственной симме-
трии является тот факт, что гамильтониан взаимодействия содержит члены
Майорана, которые характеризуют притяжение для симметричных пар
и отталкивание для антисимметричных.
Подробное изучение свойств симметрии ядерной волновой функции было
сделано Вигнером в теории сверхмультиплетов. Эта теория, которая здесь не
излагается, успешно применяется для объяснения энергии связи легких ядер.
б. Четно-нечетные эффекты. Ядра называют четно-четными, нечетно-
нечетными, четно-нечетными в зависимости от того, являются ли N или Z оба
четными, оба нечетными или одно четное и одно нечетное. На рис. 2.9 пока-
зано, как явление пространственной симметрии увеличивает стабильность
четно-четного ядра, такого, как С12, относительно соседних нечетно-нечетных
ядер В12 и N12, которые образуют с возбужденным состоянием С12 изоспино-
вый триплет. Возбужденное ядро С12 обладает большей изоспиновой симме-
трией, но меньшей пространственной симметрией, чем основное состояние
С12. Эффект пространственной симметрии большой, около 15 Мэв (см.
рис. 2.17). Об этом свидетельствует высокая энергия радиоактивных распа-
дов В12 и N12:
В12—> С12 + е- + V + 13,4 Мэв-, (2.10)
N12—>С12 + е++ v + 16,7 Мэв. (2.11)
Теперь рассмотрим на рис. 2.10 случай А = 6 (А = 4п . 2 —четное
число, но не делится на 4). Здесь пространственная симметрия одинаковая
и в изоспиновом синглете и в триплете, но изоспиновая симметрия разная:
Li6 имеет спин 1 и является триплетом, Не6 имеет спин О и является сингле-
том. Спиновая симметрия в этом случае действует так же, как и при объясне-
нии стабильности дейтона и нестабильности динейтрона. Однако спиновая
симметрия менее важна, чем пространственная симметрия. В рассматривае-
мом случае ее вклад близок к 4 Мэв (рис. 2.14):
Не0—> Li° -|- e“4-v-|-3,55 Мэв. (2.12)
Когда Л нечетно, ядра четно-нечетные. Большинство пространственно-
спиновых симметричных состояний — изоспиновые дублеты. Из зарядовой
независимости следует, что члены дублета должны иметь одинаковые струк-
туры, симметрии и энергии связи. Такие ядра называют зеркальны-
ми ядрами.
Интересно рассмотреть, как эффекты симметрии обеспечивают наиболь-
шую стабильность для А = 4п (7V и Z — четные). Эти эффекты объясняют
периодичность кривой В/А, равную 4 (см. рис. 2.7), которую иногда объясня-
ют, исходя из «-частичной структуры.
Для более тяжелых ядер эффекты симметрии си'льно нарушаются куло-
новским отталкиванием (см. раздел Б, § 4), но четно-нечетные эффекты
остаются. Для А > 14 нечетно-нечетных ядер нет (самое тяжелое связанное
нечетно-нечетное ядро это N14); четно-нечетные и нечетно-четные ядра имеют
примерно одинаковую энергию связи, в то время как все четно-четные ядра
имеют спин, равный пулю, и весьма стабильны. Эти эффекты известны как
парность и более подробно рассмотрены в дальнейших разделах этой главы.
5 Ядерные взаимодействия
§ 4. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЯДРА. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ
ЭФФЕКТЫ
Рис. 2.11. Разности кулоновских энер-
j ин зеркальных ядер в зависимости от
(А — 1) А ' 3 (Блатт Дж., Вай-
с к о и ф В. Теоретическая ядерлая
физика. М., Изд-во иностр, лит.. 1958].
а. Кулоновское отталкивание. Таким образом, явление
симметрии — результат зарядовой симметрии ядерных сил,
и успешная классификация состояний в изотопических
мультиплетах основана на зарядовой независимости.
Теперь рассмотрим электромагнитные эффекты, разрушающие равен-
ство взаимодействий между нуклонными парами и снижающие тенденцию
к максимальной симметрии. Электростатическое отталкивание протонов —
самый наглядный и самый важный электромагнитный эффект. Так как
электростатические силы длиннодействующие и не обладают свойством насы-
щения, то энергия электростатического отталкивания растет с увеличением
числа протонных пар как 1/2Z (Z — 1). С ростом атомного номера она стано-
вится все более и более существенной
по сравнению с энергией связи, кото-
рая обусловлена самими ядерными си-
лами.
Произведем полуколичественный
расчет энергии электростатического
отталкивания с помощью метода, при-
менявшегося для А = 3. Для ядра,
содержащего Z протонов,
^кулон — "Е" 'A (Z 1) --- , (2.13)
° лкулон
где Rкулон — радиус ядра, рассматри-
ваемого как сфера, в которой протоны
распределены равномерно по всему
объему. Чтобы учесть постоянную плот-
ность ядерной материи, можно написать:
Лкулон ~ Ч), Г<уЛ01|Э (ГО, кулон
постоянная), (2.14)
и получаем1 *
г? ,г/ 3 Z(Z-l)
кулон(А Д) у —17Г- - •
(2-15)
Чтобы выяснить пригодность этого вы-
ражения, применим его к «зеркальным
ядрам». Эти ядра, как уже упоминалось, являются и з о с п и н о в ы м и
дублетами для н е ч е т н ы х А, которые расположены симметрич-
но около линии N —Z. Первые примеры таких ядер — п — р, Н3 * — Не3,
Не5 — Li5. Li7 — Be7. Эта последовательность продолжается с некоторыми
перерывами вплоть до А = 39. При зарядовой симметрии разность в энергии
связи между членами зеркальных пар возникает исключительно в резуль-
тате электростатических эффектов, и. таким образом, ее можно сравнивать
с выражением (2.15).
Наиболее тяжелый из двух членов нуклонной пары является
радиоактивным и распадается, превращаясь в более легкий. Максималь-
1 Отметим, что кулоновская энергия (2.15) — это электростатическая энергия
сферы с зарядом Ze минус электростатическая энергия сферы с зарядом е, умноженная
на Z. Вычитание необходимо, чтобы исключить действие отталкивания каждого протова
на самого себя.
66
ная энергия 0-распада является непосредственной мерой разности атом-
ных масс *.
Для А = 1 и А = 3 стабильными являются протонно-избыточные ядра,
потому что протон легче нейтрона. Однако для А = 5 электростатического
Рис. 2.12. Энергетические уровни взоспинового триплета
отталкивания между протонами уже достаточно, чтобы преодолеть присущую
нейтрону нестабильность, и это нейтронно-избыточное ядро стабильно.
Разность атомных масс между протонно-избыточными и нейтронно-
избыточными членами пары равна, в соответствии с выражением (2.15),
M(Z2, А) - М (Zt, А) = М , а] - М (^, 4)-
-Мр-Мп + £кулои А)-£купон (±=^,4) =
= Мр~Мп + ~±=£-—^— • (2.16)
н А л г0, кулон
Согласие с экспериментальными данными оказывается неожиданно хоро-
шим (рис. 2.11) и подтверждает правильность предположения о зарядовой
симметрии. Величина постоянной го, кулон равна
го, кулон 1,46 Х10-13 см.. (2.17)
1 Легко видеть, что между разностью массы атома и кинетической анергией частиц,
испущенных в 0-распаде, существуют следующие соотношения:
АЛ/ -Етах(е^) для испускания e“-|-v;
АЛ/ fjnax (е+)4-2/пс1 2 для испускания e+-|-v;
AA/ = E(v) для А'-захвата.
5* 67
Чтобы проверить зарядовую независимость, можно применить уравнение
(2.11) к членам изоспинового триплета. Классическим примером является
триплет О14, N14, С14, схема энергетических уровней которого показана
на рис. 2.12.
Если зарядовая независимость выполняется, то разность масс между
тремя компонентами изоспинового триплета должна полностью определяться
разностью между массой нуклонов и электростатической энергией. Оказы-
вается, что и в этом случае формула (2.15) достаточно хороню согласуется
с экспериментальными данными. Это согласие относится также к другим
Рис. 2.13. Стабильные ядра в области про-
межуточных массовых чисел.
изоспиновым триплетам, что яв-
ляется подтверждением зарядовой
независимости.
б. Конкуренция между симме
трпей и электростатическими эф-
фектами. Для А > 16 кулоновское
отталкивание начинает конкури-
ровать с тенденцией к симметрии
и постепенно полностью превосхо-
дит ее. Это показано на рис. 2.13.
Сначала для А = 4м Ц- 2 нечетно-
нечетное ядро cN = Z = (2п+1)
становится нестабильным. N14 —
самое тяжелое стабильное нечет-
но-нечетное ядро. Для А = 18 наи-
более стабильным ядром является
О18 с Z = 8, N 10, а не симме-
тричное ядро F18 с Z = 9, N = 9
Для Л = 4/2 четно-четные ядра,
для которых эффект симметрии
является наиболее сильным, оста-
ются на линии N = Z = 2п вплоть
до А = 40, последнего стабиль-
ного ядра Са40 (Z = N = 20).
Но для А > 40 все стабильные ядра имеют N > Z; симметрия для них
разрушена. Положение становится все более и более сложным, и объяснить
его можно только с помощью соответствующих моделей, в которых симметрия
играет вторичную роль.
§ 5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ЛЕГКИХ ЯДЕР
Большое количество данных о возбужденных состояниях
легких ядер было получено при анализе рассеяния и ядерных
реакций. Принципы этих исследований обсуждаются в сле-
дующих главах. Здесь мы остановимся только на некоторых
результатах.
Полученные данные лучше всего представить в виде схем уровней [ 1, 61,
где приводятся спин, четность, изоспиновые квантовые числа, а также энер-
гия и ширина уровней. Схема уровней для Л =: 5 уже была показана на
рис. 2.6. Для А = 6 (рис. 2.14) существуют два связанных ядра Не6 и Li6
и нет ни одного связанного возбужденного состояния. (Схема показывает,
что Li8 распадается на d , ас поглощением 1,477,71/эв, энергии более низ
кой, чем энергия первого возбужденного состояния.) Магнитный момент
Li6 равен 0,821 магнетона и очень близок к сумме моментов р,п что
указывает на преобладание состояния 3S для этого ядра. Конфигурация
Дз/2, Дз/2 соответствует одному нейтрону и одному протону в самом нижнем
состоянии обращенного триплета.
Первые два состояния Li6 не имеют эквивалентных состояний в Не8
и являются изоспиновыми синглетами. Однако третье состояние при энергии
68
3,57 Мэв имеет такую же структуру, как Не6, и вместе с несвязанным основ-
ным состоянием Be6 (Be6 —> а + 2р + 2 Мэв) образует изоспиновый триплет.
Рассмотрим теперь изоспиновый дублет Li7 и Be7 (рис. 2.15). Магнитный
момент Li7 (гл. 3) вероятней всего образован протоном в состоянии
Рис. 2.15. Схемы уровней для А = 7.
р3, (1 + 2,8 = 3,8). Это согласуется с определением спина и четности (Li7
имеет спин и ; см. гл. 5, § 6в). У Li7 и Be7 есть связанное возбужденное
69
•состояние при энергии 0,477 и 0,430 Мэв соответственно. Это состояние
pi/z и вместе с основным состоянием рз/2 оно дает еще один пример обращен-
ного дублета.
А = 8 (рис. 2.16) — исключение, так как основное состояние наиболее
стабильного ядра Бе8 само нестабильно относительно распада на две а-части-
Рис.
2.16. Схемы уровней для А = 8.
16,72 Мэв ниже, чем
показывает большое
цы. Самое нижнее состояние изоспинового синглета на
самое нижнее состояние изоспинового триплета, что
значение симметрии, когда N и Z оба четны.
Для А = 12 (рис. 2.17) имеет место аналогичная схема, за исключением
того что С12 стабильное ядро. С возрастанием А плотность возбужденных
состояний растет; видно также, что плотность энергетических уровней ста-
новится больше при высоких энергиях возбуждения.
Квантовые числа основных и некоторых возбужденных состояний можно
интерпретировать с помощью ядерных моделей. Из-за сложности проблемы
взаимодействия многих тел энергию уровней предсказать трудно, но ширину
уровней на основе правил запрета и проникновения че()ез потенциальный
барьер часто можно определить по крайней мере качественно. Если положе-
ние каждого уровня остается необъясненным, то общая тенденция плотно-
сти уровней, особенно ее увеличение с ростом А и ростом энергии возбужде-
ния, находит простое объяснение па основе статистических, соображе-
ний (§ 9д).
С(
Д1
з.
л
с
м
и
к
70
72,922
t
27,367
/,997
а
25,279
Не3
1,61^3 21
26,0—$7
122^1_________1
39,3 %
7,
22,8_________
-2Т,75-------Ъ
29,7
t
25,752
d
77,2
~3~
9,7
Не3
7,5
а
3,351
п
~I9,25
-75,09------(T=l)
75,999
_Р_______
75,717
О
9,53j^--3;
121 ?★(&).
2лг '
1,57 (1-,2-)
0.95 7-3+)
Нп
77,7k
9,57
9,93
2t
7,55 (0+)
J-Q+
с*
Рис. 2.17. Схемы уровней для 71 = 12.
7,379
0,3
Р
а
Б. СРЕДНИЕ И ТЯЖЕЛЫЕ ЯДРА
§ 6. ПЛОТНОСТЬ ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА
а. Радиусы ядер на основании энергии кулоновского оттал-
кивания. В §4 было показано, что электростатическая энер-
гия отталкивания между протонами в зеркальных ядрах
согласуется с простым предположением о том, что «кулоновский» ра-
диус ядра равен
Скулой ~ г0, кулон-''! /3; Го, кулон — 1,46 X 10 13 СМ.
Нельзя ожидать, что предположение об однородном распределении
заряда окажется пригодным для легких ядер. Оно более применимо к тяже-
лым ядрам, так как в некотором приближении такие ядра можно считать
состоящими из однородного ядерного вещества.
Но даже и для тяжелых ядер нельзя ожидать, что радиусы, полученные
из уравнения (2.15), окажутся верными.
Электростатическую энергию между парой протонов 1 и 2 в состояниях
независимых частиц (г) и чр? (г) можно вычислить по правилу квантовой
механики
(£кУлон)и = С'фг/ (Г1Г2) | ^-| Фы (Г1Г2)>, (2.18)
71
i де ф;у (r4r2) — симметричная или антисимметричная волновая функция
Фи = ~тЦ- № (ri) ф,- (г2) ± Ф< (г2) Ф, (п)1- (2.19)
V “
Кулоновская энергия, приходящаяся на пару нуклонов, содержит обменные
интегралы и может быть выражена в виде
.. р . ,,2
(#кулоп)«7 = \ I фг (п) |1 2 | фу (Г2) |г —— dti dr2
pi
± \ Ф* (ri) Ф* (r2) Ф/ (r3) фу (Г1) —- rfr, rfr2. (2.20)
e? r12
Как было показано в гл. 2, § 3, для Z > 4 имеется больше простран-
ственно-антисимметричных протонных пар, чем пространственно-симметрич-
ных. Первый интеграл приводит к выражению, сходному с (2.15), и, таким
образом, после суммирования по всем парам получаем
К _3 Z(Z —1)е2
Скулой —у-----A, (Z.Z1)
где X — положительная величина, полученная из обменных интегралов
[7, 23, 26], и Гр — новая оценка константы в формуле ядерного радиуса,
более точная, чем первоначальная г0, нуЛоп. Отсюда и из уравнения (2.15) сле-
дует, что
Г0< Го, кулон- (2.22)
В связи с тем, что наши сведения о волновых функциях ядра очень ограни-
ченны, не имеет смысла продолжать это обсуждение и необходимо ограни-
читься тем, что анализ ядерной кулоновской энергии приводит к константе
ядерного радиуса, несколько меньшей, чем 1,46-10~13 см х.
б. Измерения радиусов ядер с помощью сильно взаимодействующих
частиц. Первые оценки размеров ядра были получены из величины среднего
времени жизни а-излучателей и из экспериментов по аномальному рассея-
нию а-частиц.
Более поздняя оценка была сделана на основании изучения ядерного
рассеяния нейтронов. Если сделать упрощающие предположения, что область
действия ядерных сил очень мала, что радиус ядра много больше длины
волны нейтрона и что ядра ведут себя как непрозрачная сфера, то полное
поперечное сечение для нейтронов равно 2л/?2 [см. соотношение (3.173)1.
Помимо возможных усложнений, возникающих из-за конечной величины
радиуса действия ядерных сил, нелегко найти такую энергетическую область,
в которой удовлетворяются условия малой длины волны и непрозрачности.
Малые длины волн нейтрона требуют большой энергии, но для нейтронов
высокой энергии ядро частично прозрачно.
Для определения радиусов ядер были выполнены многочисленные экспе-
рименты по рассеянию нейтронов в области энергий «10 Мэв и больше.
В результате такого рода измерений константа радиуса ядра оказалась
равной г0 « 1,5 X 10"13 см, что находится в хорошем согласии с упрощен-
ным рассмотрением электростатического эффекта отталкивания.
Следует, однако, иметь в виду, что в опытах по рассеянию нейтронов
измеряется собственно не радиус ядра — расстояние, при котором плотность
ядра стремится к нулю,— а скорее несколько больший радиус, до которого
простираются ядерные силы. Поэтому действительный радиус ядра должен
быть меньше радиуса, полученного в этих экспериментах.
в. Измерение радиусов ядер с помощью электронов и мюонов. Значитель-
но больший смысл имеют величины ядерных радиусов, полученные при иссле-
довании распределения электрического заряда ядра. Так как электростати-
ческие силы слабее ядерных, то плотность протонов и, следовательно, плот-
1 Последний анализ зеркальных ядер привел к значению г0 = (1,28 ± 0,05)х
X Ю-13 см [33].
ность электрического заряда имеет почти такое же распределение, как
и плотность ядерного вещества.
Чтобы найти «электростатический» радиус ядра, необходимо экспери-
ментировать с заряженными частицами, на которые не действуют ядерные
силы. Такими частицами являются электроны и мюоны *.
Однако атомные электроны движутся по траекториям, весьма удален-
ным от ядра; их волновые функции лишь слабо перекрываются с ядром,
и влияние размера ядра на
атомные спектры мало. Чтобы
изучить размеры ядра, нужно
исследовать электроны с очень
малой длиной волны. Именно
поэтому в Стэнфордском уни-
верситете [321 изучали рассея-
ние электронов на ядрах при
энергии до 900 Мэв. Экспери-
менты дают почти неизменное
значение г0, что подтверждает
предположение о постоянной
плотности ядерного вещества.
Для тяжелых ядер Стан-
фордская группа нашла, что
г0 = 1,19 X 10~ 13 см, тогда
ггх10~73сн
как для легких ядер получено
r = J 3 > 10-13 см Рис. 2.18. Распределение плотности ядерного
0 ГЛ ’ ' заряда
Эти опыты позволили опре- 1
делить второй параметр, опи-
сывающий распределение заряда: «глубину поверхности» Т
(рис. 2.18). Ее величина равна примерно 2,4 X 10-13 см.
Эксперименты с рентгеновским излучением мезоатомов были впервые
выполнены в Колумбийском университете [27]. В противоположность тому
что происходит с электронами, траектории мюонов в атомах лежат близко
к ядру; в тяжелых элементах, таких, как свинец, боровская орбита факти-
чески проходит внутри ядра, где мюон находится до тех пор, пока в резуль-
тате слабых взаимодействий не захватится ядром. Значении г0, полученные
Фитчем и Райнвотером, равны 1О13го = 1,17; 1,21; 1,22; 1,17 см для Z 22, 29;
51 и 82 соответственно 2.
Таким образом, можно принять следующее экспериментальное значение
константы ядерного радиуса:
г0=1,2х 1013 см.
(2.23)
Отсюда следует, что плотность ядерного вещества равна:
(4/Злг®)-1 = 1,3 х Ю38 нуклон/см3
= 2,2хЮ14 г/см3
= 2,2 X Ю8 т/см3. (2.24)
§ 7. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР В МОДЕЛИ НЕЗАВИСИМЫХ
ЧАСТИЦ
а. Четно-четные ядра и парные эффекты. В гл. 1, § В
рассматривались основные ограничения для возможных зна-
чений ядерных моментов. Независимо от этих ограничений
на опыте наблюдается, что все без исключения четно-четные ядра в основном
состоянии имеют нулевой спин и не имеют никаких моментов.
1 Мы избегаем термина «ц.-мезон», так как название «мезон» хотим оставить для
сильно взаимодействующих частиц с целым спином.
2 Более поздние данные были получены Бакенстоссом и Суттоном из Технологиче-
ского института в Карнеги [15].
73
Этот результат можно связать со свойствами сил, действующих между
нуклонами (гл. 2, § Зв), и он получает простое объяснение в модели незави-
симых частиц, где предполагают, что каждая частица в общей потенциальной
яме ядра имеет свое собственное состояние движения. В этой модели мы
должны считать, что каждая пара одинаковых нуклонов имеет J = 0. Такую
ситуацию обычно называют парностью.
б. Четно-нечетные ядра. Естественно попытаться объяснить спины
и моменты четно-нечетных ядер, исходя только из существования нечетных
непарных нуклонов. При этом предположении орбитальный момент количе-
ства движения непарной частицы может иметь только два значения I = J +
± 1/2, где J — спин ядра, и можно найти ожидаемую величину магнитного
момента р для каждого из двух возможных значений I. Расчет подобен расче-
ту для дейтона (гл. 1, § 4в):
gi-=l, gs~2[ip, если нечетная частица протон,
gz = O, gs = 2pn. если нечетная частица нейтрон.
(2.25)
Вычисляя
Р — {glLz + gsSz)jj — x^gi-j^-Jг -(- gs -j2- Jz—
/„ T , s2 + 7-Z2 r\
—• \SI 2J2 J z+gs-------2J2-- J z/JJ ~
=gl
I (I 1) + 7(7Ц)-»(» + 1) r , „ »(« + 1) + 7(7 + 1)-1(/ + 1) r
27(7 + 1) J4rgs 27(7 + 1)
получаем, что
p = J+2,29
72 —1,297
H = - 7,4
|x --- —1,91
1,917
7 + 1
для нечетных
для нечетных
для нечетных
для нечетных
Z l =
z i=j+4-
Nl = J~
N l = J+~
(2.26)
Эти величины называются пределами Шмидта для ядерных магнитных
моментов.
Ядерные магнитные моменты в строгой одночастичной модели должны
соответствовать одному из двух пределов, так как состояния с I = J + 1/2
не перемешиваются. Однако экспериментальные значения (рис. 2.19 и 2.20)
не всегда близки к одному из пределов; почти все эти значения лежат между
ними. Это расхождение станет понятным, если вспомнить (гл. 1, § 1а и § 46),
что аномальные магнитные моменты нуклонов образуются благодаря «мезон-
ному облаку», свойства которого меняются, когда нуклоны связаны.
Согласно этой точке зрения, гиромагнитные отношения протона и нейтро-
на в выражении (2.25) следует заменить на
2 < gs <Z 2|ip для протона;
2p.n<g4<0 для нейтрона,
(2.27)
и тогда легко понять почему экспериментальные значения не совпадают
с пределами в выражении (2.26).
Важно отметить, что при одночастичной интерпретации моментов можно
определить величину I (и, таким образом, четность) ядерного состояния
через I предела Шмидта, ближайшего к измеренному магнитному моменту.
в. Нечетно-нечетные ядра. Магнитный момент нечетно-нечетных ядер
создается двумя нечетными частицами. Дейтон и Li* * 6 7 уже обсуждались.
Теперь рассмотрим два стабильных ядра В10 и N14 и долгоживущее радиоак-
тивное ядро Na22, для которых были измерены магнитные моменты.
74
Предположим, что нечетные частицы во всех этих ядрах находятся
в триплетном состоянии, тогда гиромагнитное отношение, соответствующее
Рис. 2 19. Магнитные моменты ядер с нечетным Z
полному внутреннему спину 5 = 1, равно g = рр + рп = 0,88 и соответ-
ствующее гиромагнитное отношение для орбитального момента количества
движения равно 1/2. В10, основное состояние которого имеет положительную
Рис. 2.20. Магнитные моменты ядер с нечетным N.
четность и J = 3, может быть в состояниях 3Z)3, 3F3 или 3G3. Первое пред-
положение приводит к теоретическому магнитному моменту 1,88, находяще-
муся в хорошем согласии с экспериментальной величиной 1,80.
Подобным же образом находим, что магнитный момент N14 (1 + , р = 0,40)
согласуется лучше с состоянием 3D1, чем с 3St или 3Р^ Случай Na22 (3+,
р = 1,75) подобен случаю В10, и здесь также предпочтительно 3/)3-состояние.
75
§ 8. СОСТОЯНИЕ ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА
(«КОНДЕНСИРОВАННОЕ» ИЛИ «ГАЗООБРАЗНОЕ»)
Ядерное вещество имеет постоянную плотность и энер-
гию связи, пропорциональную массе. Эти свойства сближают
его с конденсированным веществом в обычном твердом или
жидком состоянии. С другой стороны, имеются такие ядерные свойства, как
магнитные моменты, которые лучше объясняются в модели независимых
частиц. Согласно этой модели, нуклоны движутся свободно, не влияя друг
на друга в пределах объема ядра. Такое поведение характерно для идеаль-
ного газа.
Как можно примирить эти кажущиеся противоречивыми точки зрения?
Ядро в основном состоянии является системой ферми-частиц в их низшем
энергетическом состоянии. Оно находится поэтому при нулевой температуре.
Можно думать, что поведение такой системы аналогично поведению любой
другой системы фермионов, например системы, состоящей из атомов азота
[28]. Сходство между ядерными силами и силами между атомами азота явля-
ется, действительно, поразительным. Обе силы имеют отталкивающее ядро,
короткую область притяжения и характеризуются явлениями насыщения.
Хорошо известно, что, когда температура становится ниже температуры
сжижения и затвердевания азота, исчезают все свойства независимых частиц,
присущие газообразному состоянию. Почему же ядерное вещество сохраняет
некоторые свойства независимых частиц? Чтобы ответить на этот вопрос,
необходимо произвести более тщательное сравнение сил, действующих
в обоих случаях. Мы обнаружим при этом некоторые весьма существенные
различия.
Потенциальная яма ядра достаточно глубока, чтобы образовать связан-
ное состояние дейтона. Если бы ее глубина уменьшилась на ~10%, то дей-
тон оказался бы несвязанным. В действительности дейтон почти не связан,
так как часто находится вне потенциала притяжения; для I > 0 у него вооб-
ще нет связанных состояний. В противоположность этому молекула азота
является относительно более сильно связанной, ее 5-состояние лежит глу-
боко в потенциальной яме притяжения, и существует большое число связан-
ных ротационных состояний. Особенное значение имеет сравнение глубины
потенциальной ямы с фермиевской энергией конденсированного состояния.
Для ядерного вещества яма имеет глубину ~40 Мэв, в то время как ферми-
евская энергия равна ~30 Мэв (см. гл. 2, § 12а). В твердом азоте яма имеет
глубину ~10 эв, в то время как фермиевская энергия для атомного расстоя-
ния ~10~8 см и массы 14 X 1,5 X 10'24 г равна только —10~2 эв.
В результате малости взаимодействия по сравнению со статистическими
эффектами нуклоны в ядре приобретают «жесткость», которая позволяет
им сохранять свое движение (не претерпевать возмущения) при столкновени-
ях с другими нуклонами; поэтому нуклон 1. сидящий глубоко внутри фер-
миевского распределения, не может изменить свой импульс, когда он стал-
кивается с нуклоном 2. Эффективное поперечное сечение становится малым,
и оба нуклона ведут себя как свободные. Отсюда можно сделать заключение,
что ядерное вещество в основном состоянии ведет себя как ферми-газ при
абсолютном нуле. Большое вырождение — результат высокой плотности,
которая, в свою очередь, связана с короткой областью действия сил. Нельзя
ожидать, что здесь окажется применимым наше физическое понимание обыч-
ного вещества. Большое вырождение исключает несовместимость модели
независимых частиц со свойствами конденсированнрго вещества. Но даже
если принять такую точку зрения, нужно убедиться в том, совместимы ли
оба эти аспекта с имеющимися данными о свойствах ядерных сил.
Связь между двухчастичными силами и ядерными моделями исследова-
лась Брукнером с сотрудниками и результаты опубликованы в серии статей
[9, 10, 12, 13, 25]. Эти авторы пришли к заключению, что силы, согласующие-
ся с мезонной теорией и с результатами экспериментов по рассеянию, прп-
76
водят к «насыщению» с подходящей величиной ядерной плотности и энергии
связи. Кроме того, они получили преобразование, которое приближенно
сводит задачу многих сильно взаимодействующих частиц к другой задаче,
которая может быть решена методами самосогласованного поля. Волновая
функция приведенной задачи описывает частицы, движущиеся более или
менее свободно в коллективно определенной потенциальной яме.
Таким образом, модели, используемые при описании ядерных состоя-
ний, по-видимому, не находятся в противоречии друг с другом и с ядерны
ми силами.
§ 9. МОДЕЛЬ ФЕРМИ-ГАЗА
а. Симметричный нуклонный газ. В ядерной модели
ферми-газа предполагается, что нуклоны свободно движутся
в объеме Q = ~ лг°А.
Притяжение между отдельными нуклонными парами заменяется общей
потенциальной ямой глубиной Vo, которая
объема ядра (рис. 2.21). Пренебрежем на мгно-
вение электростатическим зарядом протонов
и предположим, что в ядре TV = Z = А/2.
Как следует из статистики Ферми, число
нейтронных состояний на единичный интер-
вал импульсов равно
dN _ „ 4jxp2Q цр2
dp (2nfe)» nW ’
и поэтому при нулевой температуре, когда
заселены только самые нижние состояния,
N нейтронов занимают импульсные состояния
вплоть до максимального импульса рМакс, ве-
удерживает нуклоны внутри
Рис. 2.21. Ядерная потенциаль-
ная яма с заполненными одно-
частпчпымп состояниями (сплош-
ная линия) и незаполненными
возбужденными состояниями
(пунктирные линии).
личина которого определяется выражением
3Я2^2 Рмакс-
(2.29)
Таким образом, рмякс и соответствующая
кинетическая энергия £’Макс = рмакс12М зависят от плотности:
Рмакс = 31/зл2/зЛ /3 ;
32/зл1/з^2 / JV \2/3
^макс — 2А] Q J
(2.30)
(2-31)
По известному значению плотности ядерной материи находим
Вмакс ~ Рмакс/В — 1,2 X 1013 СМ Д
Вмакс — 30 Мэв.
Из опытов по фоторасщеплению известно, что энергия связи наименее
связанного нейтрона (потенциал ионизации) в среднем для тяжелых ядер
равна ~8 Мэв. Поэтому потенциал Vo равен ж 38 Мэв.
Полная кинетическая энергия нейтронов
“макс макс ..
En= t E~dE = ? E^-^dE = C^JL , (2.33)
J dE Л dp dE у|2/з ’ ' '
о о
где С — положительная постоянная.
Для симметричного пуклонного газа N = Z ~ полная кинетиче-
ская энергия равна сумме двух равных членов (Е - Ек Ez 2EN);
77
Рис. 2.22. Ядерные потенциаль-
ные ямы для нейтронов и про-
тонов с одночастичными состоя
НИЯМИ.
средняя кинетическая энергия для нейтронов и протонов
Еср=-|30 Мэе==18 Мав- (2.34)
б. Несимметричный нуклонный газ. Если принять во внимание электро-
статическое отталкивание между протонами, то симметрия нарушится.
Модель должна состоять из двух газов, заключенных в двух разных потен-
циальных ямах и имеющих различные уровни энергии (рис. 2.22.). Если
ядро стабильно по отношению к Р-распаду, то уровни заполнены до одной
и той же высоты. В противном случае возникнет последовательная цепь
Р-распадов, которая приведет к такому же
заполнению. Из-за большей глубины ней-
тронной ямы у стабильного ядра будет
избыток нейтронов.
Кинетическая энергия нейтронного газа
при нулевой температуре теперь будет отли-
чаться от кинетической энергии протонного
газа. Исходя из выражения (2.33), полную
кинетическую энергию можно записать
(#/3 + Zb/S)
Эта величина больше, чем энергия, вычис-
ленная для N = Z.
Используя разложение бинома, полу-
чаем, что разность энергий с точностью до
второй степени — 1/2 (Z — 7V) равна
з/з ,
_£_[Л/6/з + ^/з_
77
const —j-.
(2.35)
Таково выражение для симметричной части энергии, следующее из принци-
па Паули.
в. Экспериментальное изучение внутриядерных движений. Распределение
импульсов частиц внутри ядра исследовалось экспериментально методом
«квазиупругого» рассеяния протонов с энергией 340 Мэв [22, 41]. Если
быстрый протон упруго сталкивается с покоящимся нуклоном, то его энер-
гия для каждого угла рассеяния определяется кинематическими условиями.
Если же рассеяние происходит на движущемся нуклоне, то распределение
энергии рассеявшегося протона, измеренное для данного угла, позволит
определить импульс нуклона-мишени.
В большинстве случаев столкновения протона при энергии 340 Мэв
с ядром являются неупругими; они приводят к ядерным реакциям и часто
к образованию звезд. Некоторые случаи можно, однако, интерпретировать
как упругие столкновения с одиночным нуклоном, движущимся внутри
ядра; это и есть «к в а в и у п р у г и е» случаи.
Исследования квазиупругого рассеяния на дейтонах дают распреде-
ление импульсов, которое находится в согласии с фурье-преобразованием
волновой функции Хультена (см. выражение 1.35) для р = R/Т. Наблюдае-
мый энергетический спектр для В, Be и С может быть представлен гауссов-
ским распределением, в котором ордината, равная 1/е, достигается при
значении энергии 20 Мэв. К сожалению, имеющиеся данные не являются
полными, и этот метод нельзя применить к более тяжелым элементам; но
порядок величины наблюдаемого распределения импульсов согласуется
с имеющимися статистическими соображениями.
г. Возбужденные состояния. Ядра имеют много возбужденных состоя-
ний. Нижние состояния, как и в атомной физике, могут быть объяснены
78
возбуждением одной частицы, но сильно возбужденные ядра существенно
отличаются от возбужденных атомов. В атоме энергию возбуждения обычно
несет один электрон; в ядре возбуждение часто распределено среди многих
нуклонов.
Нуклоны в возбужденном состоянии не входят в состав ферми-газа.
Их взаимодействие с остальными нуклонами становится все более и более
важным по мере роста энергии возбуждения. По этой причине высоковоз-
бужденные состояния ядер являются многочастичными состояниями, в кото-
рых энергия распределена среди многих частиц. Возбужденное ядро более
похоже на обычное конденсированное вещество, чем ядро в основном
состоянии.
Для ядер, составленных из большого числа частиц, статистическое
приближение является практически единственной возможностью описания
ядерного возбуждения.
Энергия возбуждения Е* поднимает температуру ядра до величины Т.
которая зависит от модели, принятой для описания ядерного веще-
ства.
Для ферми-газа, состоящего из А частиц, энергия возбуждения пропор-
циональна квадрату температуры:
--const/17'2. (2.36)'
4 ^макс
Важным применением статистического метода является оценка числа
возбужденных состояний. Для этого сначала из соотношения между Е* и Т
находят энтропию 5 ядра
т
S= J = const(2.37)
о
Затем, интерпретируя энтропию как логарифм вероятности реализации
возбуждения в некотором энергетическом интервале dE*, и следователь-
но, как логарифм числа состояний, имеющихся в интервале dE*, можно за-
писать:
плотность состояний при температуре Т _ a? (Т) ~
плотность состояний при температуре (J ~ w (0) е ’ (2.3о)
где к — постоянная Вольцмана.
В результате плотность состояний должна зависеть от Л и Е* следующим
образом:
w (Т) х exp (const ,41/2Е*1/2). (2.39)
Уравнение (2.39) качественно подтверждается тем, что тяжелые ядра в сред-
нем имеют большую плотность возбужденных состояний и плотность уров-
ней возрастает с энергией.
Интересно отметить, что для средних и тяжелых ядер статистическое
приближение применимо даже к несвязанным состояниям. Низкие несвя-
занные состояния имеют большое время жизни, и соответствующие им уровни
являются узкими (компаунд-ядра). Это происходит потому, что в ядре нет
частиц, имеющих достаточную энергию, чтобы покинуть ядро до того момен-
та, пока вся энергия не сконцентрируется на них, что статистически мало-
вероятно. Выход частицы становится похожим на медленное испарение
молекулы из капли жидкости. При большой энергии возбуждения «капля»
испаряется быстро: она «выкипает» и наблюдается образование характерных
«звезд» в фотографической эмульсии.
В дальнейшем эти представления будут использованы при обсуждении
ядерных реакций.
79
§ 10. ПОЛУ ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА МАСС (КАПЕЛЬНАЯ
МОДЕЛЬ)
а. Формула масс. Идеи, развитые в предыдущих разде-
лах, можно использовать для получения точной формулы
для масс ядер. Эта формула [40] содержит семь членов
и четыре константы а, 0, у, 6, которые не могут быть получены из теории
и должны быть подобраны таким образом, чтобы удовлетворить эксперимен-
тальным данным. Формула имеет следующий вид
М =Мп^ + Мн7-аЛ + рЛ2/з + уА + +б(Л, Z). (2.40)
zi а Л /з го. кулон
В этом выражении члены MnN и M^Z представляют собой массы эле-
ментарных частиц, образующих атом. Численные значения Мп и Мн можно
найти в гл. 1, § 8а.
Член с а выражает тот факт, что из-за насыщения ядерных сил энергия
связи пропорциональна А.
Член с Р, пропорциональный поверхности ядра, является поправкой,
описывающей уменьшение связи частиц вблизи поверхности ядер. Его часто
называют членом, соответствующим поверхностной энергии или поверхно-
стному натяжению.
Следующий член с у имеет форму, полученную в § 9в, и соответствует
эффектам симметрии, наиболее четко проявляющимся при N — Z.
Далее следует кулоновское отталкивание, уже обсуждавшееся в § 6а.
Численно 1 для го, кулон =: 1,5 X 10 i:i см
4- Z(Z^n — = 0,000627 Z (Z~-1) MU = 0,583 Мэв (2.41)
5 Л1/3 го, кулон ’ Л1/2 ’ Л1/2 ’
Наконец, член с б описывает эффекты парности. Хорошее согласие
с экспериментальными данными получается при следующей зависимости
б от Л:
б= —0,036Л~3/4М£7 = —ЗЗЛ-3/4 Мэв для четно-четных ядер;
6 = 0 для четно-нечетных ядер;
б= + 0,036/Г3'4MU = + ЗЗЛ-3/4 Мэв для нечетно-нечетных ядер. (2.42)
Коэффициент у, характеризующий симметрию, можно получить, выразив
(2.40) как функцию А и 2\=1/2(Z — N)
М = МпА - (J/n - Мн) (4 + Л ) ~ «И + р.12/3 +
т1 \А/2+Тг}й
+ У 4 +°,583 Мэв- -44'- +б (Д Гс) (2.40а)
(для упрощения множитель Z(Z—1) в выражении для кулоновской энергии
заменен на Z2) и написав, что наиболее стабильные четно-нечетные ядра
для данного А должны иметь равную нулю производную:
«ИЦ»=Мн_М„+2тй+о,583 М„. (4 + Л)=0- (2-43)
Сравнение с величинами А и А для известного стабильного изотопа дает
у = 0,083ЛШ = 77 Мэв. (2.44)
Уравнение (2.43) дает наиболее стабильное ядро для каждого А.
Обозначая через ZB величину заряда, стабильного к [3-распаду, ймеем
ZB =----------(2.45)
1 1,98+0,015А2/з
1 Численные значения для а, Р, у и 6 взяты из записи лекции Ферми [4].
80
Кривая, описываемая выражением (2.45), проходит через область наиболее
стабильных ядер для всех значений А.
Подставляя выражение (2.45) в уравнение (2.40), получаем массы ста-
бильных ядер Mf, (Л), все еще выраженные через неизвестные коэффициенты
а и р. Сравнение с экспериментальными данными дает
а = 0,01571777 = 14 Мэв-, 1
р = 0,01471/77 == 13 Мэв. J (2’46)
С этими числовыми значениями формула (2.40) предсказывает массы атомов
с точностью значительно лучшей, чем 0,01 MU (т. е. 1/10'4 * 6 для А = 100).
Формула Вайцзекера в трактовке Ферми, приведенная здесь, в последнее
десятилетие была значительно улучшена. В полуэмпирическую массовую
формулу были добавлены новые члены, и в последней статье [38] 1 она имеет
следующий вид для нечетных А:
М = MnN + MKZ -аА + ₽Л2/3 4 (у - 1) +
+ 0,8076-^-(1(2.47)
А /з \ z /3 А 3 /
Значения коэффициентов, удовлетворяющих экспериментальным дан-
ным, были получены методом наименьших квадратов в вычислениях, выпол-
ненных на электронной счетной машине. Они равны:
а =16,11 Мэв;
р =20,21 Мэв;
у 20,65 Мэв;
п = 48,00 Мэв.
Разности между измеренными и вычисленными по формуле (2.47) мас-
сами соответствуют стандартному отклонению 2,61 Мэв. Отклонения от
полуэмпирической формулы не являются, однако, случайными. Наблюда-
ются определенные систематические смещения значений масс (рис. 2.23).
Эти смещения являются определенным указанием на оболочечное строение
ядра.
б. Стабильность к испусканию тяжелых частиц. Энергетические условия
для спонтанного испускания протонов или нейтронов ядрами выражаются
следующим образом:
М (N, Z) > М (N, Z — 1) + мн; (2.48а)
М (N, Z) >’М (N — 1, Z) + Мп (2.486)
или приближенно
MI(^’Z)->Mu; (2.49а)
-м{д% > мп. (2.496)
Эти уравнения определяют области на плоскости ZN, которые находятся,
соответственно, на нейтронно-избыточной и протонно-избыточной сторонах
от линии р стабильности (рис. 2.24). Область нейтронной нестабильности
находится недалеко от этой линии, и действительно в некоторых продуктах
деления наблюдается испускание нейтронов.
Однако области нейтронной и протонной нестабильности пересекают
линию Р-стабпльности только для очень больших значений А, которые не
1 Член, симметричный TL, был предложен Вигнером; другие изменения — Селле-
тером и Мозером, Брандтом и др. (см. [38]). Кулоновский член соответствует г0 =
= 1,07 X 10"*8 см с трапецеидальным распределением заряда и включает обменные
эффекты.
6 Ядерные взаимодействия
81
наблюдаются у существующих ядер. Это объясняет, почему нет радиоактив-
ных ядер, испускающих протоны или нейтроны.
Условие для испускания а-частицы имеет вид
М(N, Z)>M(N~2,Z-2)A М (2,2)
или
2 + 2 W > М <2’ 2) = 2М" + 27,/п - 28 Мэе
(2.50)
(2-51)
Из-за наличия у а-частицы энергии связи неравенство (2.51) может
быть удовлетворено даже тогда, когда неравенство (2.49) не выполняется.
-74
-16
-20'----1---1---'----11-----------1---1---1----1---1--1—________
0 20 4/7 S0 80 100 120 140 1Б0 180 200 220 240 260 280
Иа слоёве число А
Рис. 2.23. Смещение атомных масс для нечетных А (по сравне-
нию с рассчитанными по формуле (2.47)].
Действительно, область а-нестабильносги, определяемая выражением (2.51).
пересекаег линию 0 стабильности при А ш 150.
Из таблицы ядерных констант находим, что самым легким а-активным
ядром является Sm152 и что естественные радиоактивные ряды начинаются
с А ж 210.
Разумно допустить, что вследствие небольшой проницаемости потен-
циального барьера а-часгица, чтобы быть испущенной из яд ра с регистри-
руемым временем жизни, должна иметь избыточную энергию в н есколько Мэв.
в. 0-Стабильность изобар. Энергия p-распада определяется разностью
в массах между соседними изобарами. Из выражения (2.40а) видно, что
член с 7\ есть симметричный член уТ£ и, следовательно, кривые М (.1, 7\)
для постоянных А являются приблизительно параболами.
82
Для нечетных Л (четно-нечетные ядра, 6 = 0) имеется только одна
такая парабола (рис. 2.25) и только одно ^-стабильное ядро, соот-
ветствующее целому значению Z,
которое дает минимум М. Заметим, что
масса J135 (N = 82) лежит ниже
кривой.
Для четного А (четно-четные или
нечетно-нечетные ядра) имеется две
параболы, смещенные на 26 (рис. 2.26),
и может быть несколько четно-четных
р-стабильных ядер.
Эти замечания соответствуют хо-
рошо известным экспериментальным
данным.
г. Возбужденные состояния. Ядер
ная модель, которую обычно связывают
с полуэмпирической массовой форму-
лой, — это модель конденсированного
вещества, так как постоянная плот-
ность, энергия связи, пропорцпональ-
Рис. 2.24. Условия стабильности, сле-
дующие из массовой [формулы.
ная весу, и существование поверх-
ностной энергии—все это свойства
обычных твердых тел и жидкостей.
Возбужденные состояния модели
вида колебаний: объемные волны
соответствуют колебаниям. Имеется два
и
поверхностные волны, или пульсации.
Рис. 2.25. Массы изобар для А = 135.
Рис. 2.26. Массы изобар для А = 102.
~ D^DO'i о е м
Ядерное вещество имеет постоянную плотность, и его трудно сжать.
Поэтому объемные волны имеют высокую частоту' и высокую квантовую
энергию. При малых энергиях возбуждения (~ несколько Мэв) ими можно
пренебречь.
Развитие этих идей ([8], стр. 86) приводит к следующему соотношению
между энтропией и энергией возбуждения:
S = const Л2/гЕ*4/7.
(2.52)
6* 83
Из этого уравнения и из уравнения (2.39) следует возрастание плотности
уровней с ростом А и Е.
Экспериментальные указания на существование ядерных колебательных
возбужденных состояний приведены в § 27в.
д. Деление ядра. Очевидным следствием существования поверхностных
колебаний является деление ядра. Деление капли ртути с поверхностной
плотностью электрического заряда было рассмотрено Рэлеем, и единствен-
ным отличием в случае ядра является то, что заряд распределен по всему
объему. Тем не менее деление ядра не было предсказано теоретически.
Если сферическое ядро испытывает деформацию при постоянной плотно-
сти, то изменяются поверхностный и кулоновский члены массовой формулы.
Поверхностная энергия возрастает, и поэтому поверхностные силы противо-
действуют деформации: кулоновская энергия уменьшается и электростати
ческое отталкивание увеличивает деформацию.
Пусть R — радиус недеформированного сферического ядра и е — пара-
метр, характеризующий величину деформации. Сфера деформируется
в эллипсоид вращения (вдоль оси вращения) с полуосями R (1 е)
и 7?/К1 + е, объем которого равен объему первоначальной сферы.
Поверхностная и кулоновская энергии деформированного состояния,
выраженные с помощью формул (2.41) и (2.46), с точностью до второй сте-
пени е равны
поверхностная энергия = 0,014Да/з (1 +-|e2-f- .
Z2 / 1
кулоновская энергия = 0,000627 ^1/з 1 — -у е5
Ядро нестабильно по отношению к делению, если
0,000627 4 >0,014 -^Я2'3
5 ^i/з 5
..) ми-
! ь ...) ми.
J
(2.53)
(2.54)
или
Z2
А
У рстабильных ядер это неравенство удовлетворяется для Z>^ 120.
На этом рассмотрение вопроса о делении заканчивается; для более
детального ознакомления с проблемой читатель должен обратиться к спе-
циальным книгам.
§ 11. ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ
а. Магические числа. Внимательное рассмотрение табли-
цы ядерных констант показывает, что, хотя основные тен-
денции ядерных свойств правильно описываются капельной
моделью и полуэмпирической массовой формулой, все же существуют неко-
торые систематические отклонения. Замечено, что для N или Z, принимаю-
щих одно из следующих значений (магические числа):
2; 8; 20; (28); 50; 82; 126, (2.55)
существует особенно большое число ядер, и эти ядра наиболее стабильны.
Например, Са (Z = 20) имеет шесть, a Sn (Z 50) имеет 10 стабильных
изотопов; для N = 20 имеется пять стабильных ядер, и для N = 50 их число
равно шести, тогда как соседние значения N и Z менее заселены.
Существование необычно сильной связи проявляется на графиках ядер-
ных масс (рис. 2.23) и энергии отделения нейтрона (рис. 2.27), аналогично
потенциалам ионизации для атомов. Энергии р- и а-распада также дают
доказательство в пользу существования магических чисел: например, ано-
мально легкий J53 (рис. 2.25) имеет N = 82.
84
б. Оболочки в прямоугольной потенциальной яме. Заманчиво попытать-
ся объяснить стабильность ядер с магическими числами тем же способом,
каким была объяснена химическая стабильность благородных газов.
Рис. 2.27. Разность между энергией отделения нейтрона и расчетными данными
по массовой формуле.
В атоме мы имеем дело с электронами, взаимодействием которых друг
с другом по сравнению с притяжением к ядру в первом приближении можно
пренебречь. Такая трактовка атомных электронов как системы независимых
частиц приводит к идее о застроенных
оболочках, соответствующих заполненным
энергетическим уровням, и о бесспиновых
сферически симметричных атомах. Когда
оболочка застроена или замкнута, имеет
место максимальная стабильность.
Чтобы перенести эту идею на ядро,
необходимо вернуться к модели независи-
мых частиц. В модели ферми-газа (§ 2.4)
форма потенциальной ямы осталась неопре-
деленной, но теперь можно попытаться клас-
сифицировать состояния по квантовым
числам, соответствующим движению в прямо-
угольной яме.
Порядок уровней в прямоугольной яме
бесконечной глубины определяется порядком
пулей бесселевских функций. На рис. 2.28
указаны такие уровни в порядке возраста-
ния их энергии. Здесь используются обозна-
чения, принятые в спектроскопии: 1х — это
первый уровень с I = 0 и т. д. (число,
предшествующее обозначению момента коли-
чества движения, есть единица плюс число
радиальных узлов). За символом уровня
следует число одинаковых частиц, которые
он может содержать [2 (2Z 1)1, и предска-
занное магическое число [(22 (21 4 1)]. Вер-
тикальная шкала является шкалой энергии
f, Число Предсказанное
частиц В магическое
УроВни уроВне число
Зр 6 138
25ЕС- п У 26 1k 132 we
20Во- 3s 2 92
7/> 22 90
— 2d 10 68
15LB- — ig 18 58
— 2р 6 W
ЮЕВ- — if 74 3k
2s 2 20
— Id 10 18
5ЕВ- — Ip 6 8
0 - — is 2 2
_ - Ztf
ME2
Рис. 2.28. Уровни и магические
числа для бесконечно глубокой
прямоугольной потенциальной
ямы радиуса R.
в единицах 2Tv4MR2.
За исключением самых нижних магических чисел 2, 8 и 20, согласие
плохое. Однако прямоугольная яма является несомненно слишком упро-
щенной моделью, и мы можем изменить ее, чтобы получить согласие с экспе-
риментальными данными; кроме того, можно допустить обратный порядок
85
некоторых уровней, подобно инверсии, которая встречается в атомной физике
в области редких земель.
Создается впечатление, что имеет место какая-то загадка чисел, которая
может быть решена при достаточной изобретательности или хитрости, но
решение это не имеет большого смысла. Это впечатление, однако, не верно.
Существует много возможностей проверки предлагаемого решения. Напри-
мер, любая интерпретация замкнутых оболочек в терминах порядка уровней
Уровни
прямоугольной
потенциальной
яны
Спин-орбитальное
расщепление
уровней 2J+7
Магические
числа
Р -------------20
6 ------
г -------------8
4 ------
1s -------7s ------------------- 7s --------------- 2 ------------------2
Рис 2.29 Порядок уровней в модели оболочек со спин орби-
тальной связью.
ведет, согласно одночастичной теории, развитой в гл. 2, § 7 [формулы
(2.26)], к определенному предсказанию спинов и магнитных моментов для
ядер с N или Z, равных магическому числу ±1. Возможны также многие
другие, менее прямые методы проверки внутренней согласованности теории.
в. Оболочки в прямоугольной яме со спин-орбитальной связью. Система
уровней, которая принята в настоящее время, основана на идее, что каждое
состояние движения (за исключением 5-состояний) из-за спин-орбитальной
связи 1 расщепляется на два состояния. Как было показано для Не5 и Li5,
дублеты являются обратными. Это означает, что уровень с большим J отве-
чает меньшей энергии. Каждый расщепленный уровень содержит теперь
2J + 1 одинаковых частиц. Схема и ее связь с порядком уровней, данных
на рис. 2.28, показаны на рис. 2.29.
Было бы слишком долго приводить здесь все аргументы в пользу этой
схемы. Ограничимся описанием некоторых доказательств и несколькими
примерами.
1 Эта идея принадлежит М. Майер и Г. Янсену [5].
86
Согласно схеме, все ядра с 21 нейтроном или протоном должны иметь
спин 7/2, а ядра с 19 нейтронами или протонами должны иметь спин 3/2.
Это действительно так. Магнитные моменты для N или Z = 21 должны сов-
падать с вычисленными из уравнения (2.26) для /?/2 (1 = 3; J = I 1/2),
магнитные моменты для N или Z = 19 должны соответствовать </з/2-состоя-
нию (I - - 2, J = I — 1/2). В этом пункте согласие не совсем хорошее, но
известно, что вычисление магнитных моментов является нелегкой задачей,
т
^ess
154 дня
Те113 Те125 Тр127 Тр129
К71 ° 73 9 75 е 77
Ю4дня 5'8 дней 113 дней 34 дня
Те131
с 79
1,25 дня
Те133
'Е 87
63 пин
Ьц/2
^11/г
0,5
/14
4
0,088
/14
к 11/2--
’71/2Т 11/2-------
0,082
/14
Л,
^3/2 ~ д3/2
hr/2~Tn
0,110
714
0,088
М4
ti3/Z~ ~
0,106
/14
0,183
/14
Sl/2
159
/11
0,035
711
0,213
711
J0
Рис. 2.30. Схема уровней нечетных изотопов теллура.
и можно удовлетвориться тем фактом, что наблюдаемые моменты близки
к предсказанным Шмидтом пределам. В К41 (Z = 19) момент действительно
очень близок к предсказанному пределу.
Что касается квадрупольных моментов, то можно ожидать, что для Z,
равных замкнутой оболочке плюс (или минус) единица, они должны быть
отрицательными (или положительными), и это согласуется с фактами. Иэ-за
того что энергии соприкасающихся подуровней могут быть очень близки
друг другу, квадрупольные моменты иногда бывает трудно предсказать.
Интересным примером являются низкие уровни четно-нечетных изотопов
Те (Z = 52, 69<2V<81). Нечетный нейтрон может быть в состоянии 2d3/2,
3s или 17гп/2, которое наблюдается либо как основное, либо как слабо воз-
бужденное состояние (рис. 2.30).
Вследствие того, что между уровнем hu/2 и другими уровнями имеется
большое различие в моменте количества движения, у-переходы с этого уровня
запрещены (см. гл. 4, § 11). Это объясняет, почему наблюдаются изомеры
для Те и соседних ядер.
Явление изомерии (большое время жизни у-переходов) сконцентрировано
в «островках», местоположение которых говорит о существовании соседних
уровней с сильно отличающимися J. В согласии с последовательностью
уровней, изображенной на рис. 2.29, острова изомерии находятся в областях
38 < нечетные N или Z<_ 50 (р,/2- и Дэ/2-уровии);
64 < нечетные А'< 82 (si/2-, d3/2- и Ли/2-уровни);
100 < нечетные А7< 126 (/5/2- и йз/2-уровни).
(2.56)
87
г. Многочастичные конфигурации. Модель оболочек лучше всего при-
менима к ядрам с одной частицей или одной дыркой в последней оболочке,
но мы рассмотрим также более общий случай нескольких частиц (или дырок)
и исследуем возникающие при этом состояния.
Две непарные частицы в /-оболочке могут дать 2/ + 1 значений полного
момента количества движения J от 0 до 2/. Однако некоторые из этих значе-
ний исключаются из-за ограничений статистики Ферми, которая разрешает
только антисимметричные состояния. Записав волновую функцию двух
частиц с помощью коэффициентов р1лебша—Гордана, мы обнаружим, что
только состояния с четным J имеют требуемую симметрию. Если рассматри-
вать больше чем две частицы (или дырки), то положение усложняется.
В табл. 2.2 приводятся [5] возможные значения полного момента количества
движения.
В модели независимых частиц разные значения J являются вырожден-
ными, и нельзя предсказать спин основного состояния. Однако известно,
что если число частиц в /-оболочке четно, то основное состояние имеет 7=0;
если нечетно, то из-за парности четных частиц J j.
Можно доказать, что если основное состояние имеет J = J, то одночастич-
ный расчет магнитных моментов (§ 7в) дает еще правильные результаты,
но такие электромагнитные свойства, как квадрупольные моменты и вероят-
ности переходов, из одночастичной модели вычислить нельзя (§ 8).
Эти вопросы более полно обсуждаются в разд. В, где развиваются тео-
ретические методы, пригодные для трактовки многочастичных проблем.
Таблица 2.2
Число непарных
частиц (или дырок)
в j-оболочке
Возможное значе-
ние J
1 5/г
2 0, 2, 4
3 3,2, ь/2, » г
§ 12. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ И ЕДИНАЯ МОДЕЛЬ БОРА
И МОТТЕЛЬСОНА
а. Описание модели. Некоторые ядерные данные нельзя
объяснить ни с помощью модели независимых частиц, ни
с помощью модели сферической капли конденсированного
вещества. Они требуют предположения о коллективных движениях и о не-
симметричных сферически деформациях потенциальной ямы, в которой
движутся отдельные независимые частицы.
Рассмотрим сначала электрические квадрупольные моменты. Для нечет-
ных Z эти моменты имеют знак, предсказанный из состояния нечетного про-
тона, но их значение часто бывает много больше, чем значение, вычисленное
из волновой функции одиночного протона. Для нечетного N квадрупольный
момент может быть отличным от нуля; знак момента согласуется со знаком,
предсказанным в предположении, что нечетный нейтрон заряжен положи-
тельно. Типичным является случай S33 (N = 17, J — 3/2, один нейтрон
в состоянии йз/2) с Q < 0 и S35 (Лг = 19, J = 3/2, в уровне йз/2 не хватает
одного нейтрона) с Q > 0.
Эти наблюдения можно объяснить, предполагая деформацию
сердцевины. В первоначальной модели [37] считали, что деформация
происходит в результате притяжения между нечетной частицей и остальными
88
нуклонами. Величина деформации была получена расчетом по теории воз-
мущений [30, 31] и, очевидно, зависела от силы притяжения и поверхностной
энергии.
Ожидается, что деформация будет невелика для ядер с большой энергией
связи, близких к магическим ядрам и, следовательно, с большой жесткостью.
Эмпирически найдено, что для большинства конфигураций равновесная
деформация обладает аксиальной симметрией, и ядерную потенциальную
яму можно считать эллипсоидом вращения. Возбужденные состояния требу-
ют рассмотрения осцилляций ядра вокруг равновесной формы как целого
и вращений с сохранением формы и внутренней структуры. Такие осцилляции
и вращения являются типичными коллективными движениями.
б. Коллективные вращательные состояния. Для больших деформаций,
наблюдаемых вдали от магических чисел, вращательные состояния
лежат ниже, чем вибрационные. Сначала рассмотрим вращения.
Рис. 2.31. Распределение внутрен-
них скоростей внутри вращающейся
несферической потенциальной ямы
при жестком вращении (а) и при
неротационном движении (б).
Рис. 2.32. Схема связи в модели
коллективного движения.
Чтобы объяснить движение, возникающее в результате вращения сердце-
вины, необходимо представить, что сердцевина воздействует на любую оди-
ночную частицу только потому, что она образует потенциальную яму,
в которой движется частица. Согласно этой модели, вращения ямы вокруг
своей собственной оси симметрии не влияют на движения нуклонов; нет
движения массы.
Момент инерции равен нулю, и вращательные состояния бесконечно
высоки [см. ф-лу (2.58)]. Вращение вокруг оси, перпендикулярной к оси
симметрии, осуществляет перенос некоторого количества ядерного вещества.
Такие вращения могут быть ответственны за движения, сходные с теми,
которые показаны на рис. 2.31 *.
Полный момент количества движения ядра состоит из двух частей: одна
из них создается быстрым движением независимых частиц внутри деформи-
рованной ямы, другая возникла благодаря медленному вращению ямы, как
целой вокруг оси, не являющейся осью симметрии.
Если медленно вращающаяся яма имеет ось симметрии Z, то проекция
полного момента количества движения отдельных частиц на эту ось есть
хорошее квантовое число. Назовем эту проекцию £2 = ^jaz (рис. 2.32),
а
и пусть R — момент количества коллективного движения, которое, как
мы указали, перпендикулярно к оси симметрии.
Чтобы получить полный момент количества движения ядра J, необходи-
мо сложить £2 и R, как показано на рис. 2.32. Если это сложение происходит
1 См. статью А. Бора и Б. Моттельсона в кн. «Бета- и гамма-спектроскопия»[11]. Эта
статья содержит библиографию оригинальных работ. Более поздний обзор имеется
в работе Бринка [20].
8Й
по правилам квантовой механики, то J может принимать значения £2,
й 1, . . и энергия вращения дается выражением
£rot = [j (J + 1) + а (- 1)J+1/2 (/ +4) vj < (2.57)
где .7 — момент инерции относительно R, 6Hi i/2 = 1 или 0 для й = 1/2
или й =# L2,
«=2(-ir1/a(/ + 4)|Q|2
3
и I Сj |2 — вероятность того, что последняя нечетная частица имеет момент
количества движения /.
Применим эти соображения к деформированным четно-четным ядрам.
В этом случае известно, что в основном состоянии 1 J = 0, и можно допу-
Рнс. 2.33. Сравнение экспериментальных значений энергий воз-
бужденных состояний четно-четных ядер с предсказанными по
ротационной модели.
стить, что R = £2 = 0. Возбужденные состояния, образующиеся от коллек-
тивных вращений без изменения внутренней структуры, имеют й = 0,
R = J. Поэтому 6n>i/2 = 0 и энергии уровней дают простой формулой
£*=27^/<7+1)’ (2-58)
ы эфф
где /7Эфф — момент инерции для оси вращения, которая перпендикулярна
к оси симметрии. Если, в частности, предположить, что система симметрична
относительно инверсии оси симметрии, как в эллипсоиде вращения, то будут
разрешены только четные значения J. Положение такое же, как в молекуле
с одинаковыми ядрами, которые подчиняются статистике Бозе.
Имеются явные доказательства того, что формула (2.58) правильно
описывает низкие возбужденные состояния многих четно-четных ядер, рас-
положенных вдали от магических чисел. Из выражения (2.58) следует, что
отношение возбужденных энергий последовательных уровней (./ = 2п)
к энергиям первых возбужденных состояний (./ = 2) должно быть равно
Е*п _ 2п(2п-\-1) _ п(2я-(-1) „ о ,
Е* ~ 2X3 “ 3 ’ П~г °’ *
(2.59)
1 Такое основное состояние является сферически симметричным, т ак как нет пред-
почтительной оси, относительно которой деформированное ядро могло бы быть выстроено.
90
Из зтого выражения получаем
Л_
Л’Г
з4
яг 7.
я2*
-?!г= 12 и т. д.
Эти отношения действительно часто наблюдаются (рис. 2.33), и иногда с пора-
зительной точностью (рис. 2.34). Более того, энергия возбуждения Е* первого
ротационного состояния деформированных ядер плавно изменяется с ростом Л
(рис. 2.35), тогда как магические и близкие к магическим ядра, которые
являются сферическими, не имеют ротационного спектра.
Из данных, приведенных на рис. 2.35, с помощью соотношения (2.58)
можно получить эффективные моменты инерции различных ядер. Так как
4+
2+
0+
—309,3(311,0)
Е2
-^93,3
im,s
1085,3 (1119,6)
641,7(653,1)
Рис. 2.35. Энергия первого ротационного состояния
четно-четных ядер с Л > 140.
Рис. 2.34. Возбужден
ные состояния Hf180
(энергия возбуждения
сравнивается с предска
заниями ротационной
модели).
Е* ~ .7ьфф, то эффективный момент инерции для магических ядер, которые
являются сферически симметричными, мал, а для сильно деформированных
ядер вдали от магических чисел велик. Это согласуется с описанной моделью.
Значения эффективных моментов инерции помогают нам понять, какого
вида вращательное движение происходит. Пусть R — средний радиус
потенциальной ямы и АД — разность между большой и малой полуосями
деформированной ямы. Тогда если определить параметр деформации как
М (т)
1/2 ДЯ
1,06^-,
а
(2.60)
то «жесткий» момент инерции:
(Ужестк = 4 AMR2 (! + °’31₽ +•••)•
(2.61)
Значения R известны из § 6, а значения р можно получить из наблю-
даемых вероятностей у-переходов. Таким образом, «^жестк можно вычислить
и сравнить с Z/эфф, полученным из эксперимента. Такое сравнение приведе-
но на рис. 2.36.
Из рисунка видно, что для малых р — почти сферически симметричных
ядер — эмпирический момент инерции действительно значительно меньше,
чем вычисленный для жесткого тела. С другой стороны, ,7г,фф больше, чем
момент инерции для невращательного движения, такого, которое указано
91
на рис. 2.31, б. Для нечетных А ротационные полосы являются более сложны-
ми из-за вклада £2 независимых частиц в полный момент количества движе-
ния. В основном состоянии J — £2, а для последовательных возбужденных
ротационных состояний = J2 -I- 1, J2 = Q + 2 и т. д.
В качестве примера на рис. 2.37 приведено ядро W183 с двумя сериями
ротационных состояний.
в. Колебания и другие коллективные движения. Ядро как целое может
участвовать в колебаниях и вращениях, и результирующие коллективные
колебания эквивалентны поверхностным волнам капельной модели. Диполь-
ные коллективные колебания, которые соответствуют смещению ядра как
целого, по закону сохранения импульса происходить не могут, и простейшие
Рис. 2.36. Моменты инерции ядерного дви-
жения по сравнению с «жесткими» моментами
инерции.
712,1(412,1)
ww*-— да—
207,0(207,1) —-208,8(208,7)
99,1(39,3) — /
К=1/2~
Рис. 2.37. Уровни нечетного ядра W183,
показывающие два набора ротационных
состояний. Эксперимент сравнивается
с теорией.
колебания имеют квадрупольный характер. Энергии возбуждения колеба-
тельных уровней равноудалены, как и следует ожидать для возбуждения
целого числа «фононов».
Принимая во внимание правила сложения моментов количества движе-
ния и ограничения статистики Бозе для фононов, можно получить после-
довательность возбужденных состояний, образованных гармоническими
и квадрупольными поверхностными волнами, показанную в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Основное состояние Без фопона
Первое возбужденное состоя- ние 1 фонон
Второе возбужденное состоя- ние 2 фонона
Третье возбужденное состоя- ние 3 фонона
Момент коли-
Энергия возбуждения 0 чества движе- ния 0
Энергия возбуждения few То же 2
Энергия возбуждения 2й.о> » » 0, 2, 4
Энергия возбуждения ЗЙы » » 0, 2, 3, 4. 6
Если отказаться от ограничения гармоничности осциллятора, то снимает-
ся вырождение состояний с различными моментами количества движения.
Типичным примером спектра, объясненного в терминах гармонических
колебаний, является спектр Pd108 (рис. 2.38).
Прежде чем покончить с вопросом о коллективных колебаниях, необхо-
димо упомянуть о гигантских дипольных резонансах, наблюдаемых в по-
перечном сечении поглощения у-л уч ей и фоторасщепления для всех ядер при
92
энергии около 18 Мэв; эти резонансы связаны с противоположными колеба-
ниями протонной и нейтронной жидкостей внутри ядра (см. гл. 4, § 206).
Наблюдались также коллективные октупольные колебания. Они прояв-
ляются как низколежащие уровни 3" в таких ядрах, как Sr88 или РЬ~08,
и более отчетливо как увеличение поперечного сечения неупругого протонно-
го рассеяния в большой области атомных номеров от 50 до 150 для энергий
возбуждения около 2,5 Мэв.
г. Оболочечная модель для несферической потенциальной ямы. Теория
деформированной модели оболочек была детально разработана Нильссоном
[36]. Вместо того чтобы рассматривать искаженную прямоугольную яму,
он ввел следующий гамильтониан для одиночных
частиц в искаженном потенциале осциллятора: 0*4*--------1,03 ИэВ
у2 + +61 ’s + Dp- 2+ °,SW
(2.62)
В этой формуле первый член — это кинетическая
энергия, второй - потенциальная энергия для не-
сферического осциллятора, третий выражает спин- о 427
орбитальную связь и последний вводит поправку
в потенциал осциллятора, понижая и приводя
к лучшему согласию с обычным порядком уровней "
состояния с высоким моментом количества движе- ''
ния. Рис. 2.38. Нижние воз-
При цилиндрической симметрии (<ож = (£>у) jz — бужденные уровни Pd108.
хорошее квантовое число для каждой частицы,
и таким же является Q = S/2. Однако одночастичные значения Z2, lz и sz
не будут больше хорошими квантовыми числами, так как силы не явля-
ются центральными. Одночастичные уровни, энергия которых зависит
только от у2 в сферической яме, в деформированной яме расщепляются
на 1/2 (2; + 1) дважды вырожденных уровня в соответствии со значе-
нием | jz |.
Опираясь на эти идеи, Нильссон произвел количественные оценки и полу-
чил широко известные теперь диаграммы (рис. 2.39), в которых одночастич-
ные энергетические уровни изображены в зависимости от параметра дефор-
х АЛ
мации о ~ -5- .
£1 В. * * * * * * * * * * * * * * * * *
В. МНОГОЧАСТИЧНАЯ ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ
§ 13. МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
а. Описание модели. В первых двух разделах этой главы рас-
сматривались различные ядерные модели, каждая из которых
пригодна для объяснения некоторых данных о ядрах, но не
было сделано серьезной попытки сформулировать более общую последователь-
ную теорию ядерного вещества. Теперь приведем математический аппарат,
с помощью которого вычисляют поведение систем из многих одинаковых
фермионов при различных предположениях об их взаимодействии. Посмот-
рим, как этот аппарат с соответственно выбранным взаимодействием может
объяснить, исходя из единой точки зрения, различные и кажущиеся противо-
речивыми свойства ядер.
Так как в этой проблеме принцип Паули играет решающую роль, мы
начнем (§ 14) с метода, который дает возможность учесть антисимметрич-
ность состояний многих фермионов, не прибегая к громоздкой записи опре-
делителей из волновых функций.
Затем предположим, что одночастичные состояния нуклонов в первом
приближении получены из наиболее простой формы модели оболочек Майер
93
Рис. 2.39. Диаграммы Нильссона (каждая кривая определяет-
ся yz и четностью).
— Янсена со сферическим ядром и спин-орбитальной связью, и, наконец,
примем во внимание некоторые взаимодействия между частицами, движу-
щимися в оболочках.
Это приближение можно обосновать тем, что главная часть сил, дей-
ствующих между нуклонными парами, «соединяется», чтобы дать средний
сферический потенциал, внутри которого нуклоны движутся почти свободно;
при этом еще остается некоторое элементарное взаимодействие, которое
следует рассмотреть отдельно.
Эта картина сходна с поведением электронов проводимости в металле.
Электроны локализованы в усредненной потенциальной яме, глубина кото-
рой равна фермиевской энергии плюс работа выхода. Кроме того, они также
взаимодействуют друг с другом. Эти взаимодействия очень важны вблизи
абсолютного нуля и ответственны за явление сверхпроводимости. Действи-
тельно, некоторые из наших теоретических методов (§ 17) заимствованы
из теории сверхпроводимости.
Приводимое ниже рассмотрение является формальным и количественным
методом и представляет собой логическую основу для общего описания
свойств ядерного вещества. В этом рассмотрении остаточные силы вводятся
в качестве модели для описания наблюдаемых свойств сложных ядер, а не
как силы, выведенные из наших знаний о свойствах элементарных взаимо-
действий. Из-за недостаточного знания сил теория не дает точного согласия
с экспериментом, и несмотря на общий характер и логическую последователь-
ность теории, она только объясняет тенденции и дает не более чем полуколи-
чественное описание фактов.
Однако можно дать теоретическое обоснование оболочечной модели
с взаимодействиями. С помощью вариационного исчисления (Хартри —
Фок) можно показать, что гамильтониан взаимодействующих нуклонов
а ар
(Та — кинетическая энергия и Уар — потенциал, действующий между
сф-парой) эквивалентен сумме гамильтонианов независимых частиц,
движущихся в усредненном потенциале (оболочечная модель), и остаточных
членов. Не будем обсуждать здесь формальные стороны теории и перейдем
к физическому рассмотрению.
б. Энергетическая щель и парные силы. В гл. 2, § 46, 7а и 10а было
показано, что ядерные силы вызывают спаривание одинаковых нуклонов
в состояниях с J = 0, но эффекты парности не рассматривались в модели
оболочек. Поэтому легко понять, что без учета парности модель оболочек
оказывается не в состоянии описать некоторые особенности ядерных спект-
ров, к которым она должна быть непосредственно применима. Сравним,
например, спектр РЬ207 и РЬ206 (рис. 2.40). Возбужденные уровни РЬ207
(Z = 82, магическое; N — 125, магическое число минус единица) образуют-
ся, когда один нейтрон поднимается из внутреннего уровня в «дырку», отве-
чающую 126 нейтрону, и могут быть объяснены в соответствии с моделью,
оболочек (хотя необходимо допустить некоторые инверсии в порядке уровней
на рис. 2.29 — внутренние уровни оболочки 126 нейтрона должны иметь
последовательность 1йз/2, Зр3/2, 2/5/2, 3/л/2 вместо 2/7/2, 2/5/а, Зрз/2, Зщ/2,
liis/2). Возбужденные состояния РЬ206 должны быть в согласии с теми же
одночастичными уровнями с учетом того, что теперь имеются две нейтронные
дырки вместо одной: первые возбужденные состояния РЬ206 должны быть
такими, как указанные на рис. 2.40, б. Однако эксперимент дает схему, кото-
рая показана на рис. 2.40 в. Разделение уровней больше, чем ожидалось:
наблюдается так называемая «энергетическая щель».
Существование этих щелей легко объясняется парностью нуклонов;
в основном состоянии РЬ206 все нейтроны парные, у каждой пары J 0,
когда же образуются возбужденные состояния, парность разрушается.
95
Теория сверхпроводимости также основана на парности электронов прово-
димости и также имеет дело с понятием об энергетической щели.
В модели оболочек со взаимодействием парные эффекты учитываются
введением парных сил (§ 16 и 17) в качестве остаточного взаимодействия.
в. Длиннодействующие силы и коллективное поведение. Обычно допу-
скают, что парные эффекты можно описать с помощью взаимодействия вида
6-функции. Но коллективное поведение ядерного вещества можно объяснить
только с помощью относительно длиннодействующих сил. В оболочечной
модели со взаимодействием было рассмотрено много таких сил.
Прежде всего, желательно с помощью выбранных искажающих сил,
включенных в модель сферических оболочек (§ 18г), объяснить ядерные
7
2
2,34 Мэв
I Jtym) D ss
Г (3Руг) 7
2 РЬг07
^7/2) 1 (Р3/2) 7
0,2,4
1+или2*
2*илиЗ*
1,14МэВ
0,89
0,57
0'-^-
РЬ™
Модель
оболочек
‘Р-------------2,00 МэВ
------------1,08
------------1,47
------------1,34
2*-------------0,80
РЬ20е °
Экспериментальная
схема
В
Рис. 2.40. Схема уровней РЬ207 и РЬ206:
а —согласно модели оболочек для РЬ2«7; б—ожидаемая схема уровней для Pbsoc
в—наблюдаемая схема уровней.
деформации. Известно, что деформация дейтона происходит под действием
тензорных сил, но в модель тяжелых ядер удобнее ввести искажающую силу
с более простыми аналитическими свойствами. Причем эту силу следует
выбрать такой, чтобы объяснить ядерные квадрупольные моменты и момен
ты инерции для большого числа ядер.
Несколько авторов рассматривали свойства основных и возбужденных
ядерных состояний с помощью модели оболочек, к которой добавлялось
взаимодействие, имеющее вид
V (г) = r (1У+В3\ + Н&г + М&о&г),
где еР — обменные операторы (гл. 1, § ЗЗв); ц — параметр, и W, В, Н, М —
константы (для сил Вигнера, Бартлетта, Гайзенберга и Майорана), которые
подобраны так, чтобы получить наилучшее согласие с экспериментальными
данными.
Не обсуждая больше эти аспекты теории, изложим, в чем состоит общий
математический метод модели оболочек со взаимодействием и его применение
к парным силам.
§ 14. МНОГО ЧАСТИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ И НАБЛЮДАЕМЫЕ
а. Антисимметричные состояния большого числа фермио-
нов. Работа, о которой говорится в зтом разделе, выполнена
в основном в Институте теоретической физики в Копенгагене
А. Бором и Б. Моттельсоном и их учениками. К сожалению, трудно дать
библиографию литературы по этому вопросу. Хотя опубликовано много ста-
«6
тей по отдельным аспектам теории, общую трактовку проблемы можно найти
только в неофициально размноженных записях нескольких серий лекций *.
Действуя согласно схеме, приведенной в § 31а, рассмотрим систему
одинаковых фермионов [(3), раздел 65]. В рассматриваемом случае это или
протоны, или нейтроны, которые находятся в определенном состоянии
(краткое обозначение для всех квантовых чисел и, I, /, sz, j2). Сначала, как
в модели оболочек, предположим, что фермионы не взаимодействуют.
Каждое возможное состояние может быть либо не занято, либо занято
одним из фермионов. Так как мы имеем дело с двумя и только с двумя воз-
можностями, то используем метод спина 1/2 и с помощью оператора | |
\U/ ?п
изобразим положение, в котором рассматриваемое состояние является неза-
нятым, а с помощью оператора —то же самое состояние, занятое
одной частицей. Тогда операторы п+ и о-(см. 1 главу) становятся операто-
рами уничтожения и рождения частиц в состоянии т.
Запишем
/О 1\
«я, = 1 „1 ^оператор уничтожения для состояния т, (2.63)
V' / тп
/о 0\
ат= ( л I = оператор рождения для состояния т.
\ 1 U /
Можно также ввести символ
। ( Ц
10m) = I j — вакуумное (или незаполненное) состояние (3.64)
\ /т
С (0m|0m)= 1;
при этом
/0\
«J,J6m) = l I = | т) состояние с одной частицей в т. (2.65)
\ I /т
Из определения операторов ат и а|,г (2.63) получаем
^'тР'т — ^т^тп
(2. Оба)
(2.666)
Из уравнения (2.66а) следует, что а'т а*т | 0„г ) = 0 в соответствии с прин-
ципом Паули.
Оператор
t /0 0\
Nm— атат— I | (2.6 <)
\о 1/т
имеет собственное значение 0 или 1 для незаполненных и заполненных состоя-
ний соответственно и может быть назван оператором числа
частиц для состояния т.
Рассмотрим теперь две частицы на двух уровнях тип. Если оба уровня
заняты, то состояние может быть получено воздействием двух операторов
flti и «п на вакуумное состояние:
= |п, т), . (2.68)
где | 0 ) обозначает теперь, что оба состояния т и п являются незанятыми.
Чтобы быть уверенным, что состояние правильно антисимметризовано, нужно
1 В. В. Mott'elson, Lectures at Les Houches (The Many Body Problem, C. De
Witt and P. Nozieres, editors, Wiley, New York, 1959); B. F. В a у m a n Lectu-
res at Princeton University (1960); В. A. Sorensen, Lectures in Buenos Aires (1961).
Автор особенно признателен M. Барапгеру и Р. Соренсену за полезные обсуждения.
7 Ядерные взаимодействия
97
t t
допустить, что am и an антикоммутируют, так что
апат 2 (^пЩ/i Щл^п)* (2.69)
Поэтому удобно допустить, что операторы возникновения и уничтожения
для двух состояний имеют следующие свойства:
ап^гп Н~ ^ггД’П = Н~ а^ап == 6, (2.70а)
4" ~ &тп> (2.706)
что для п = т сведется к выражениям (2.66). Во всех алгебраических дей-
ствиях, включающих операторы возникновения и уничтожения, следует
постоянно помнить эти свойства. С помощью выражений (2.70) легко увидеть,
что состояние (2.68) нормировано:
(0 | dj/idjiflndni | 0) = (0 [ 1 0) =
— — (0 | (Lm (Ьтп — dtifln) &n | 0} = — 6mn 1 = / (2.71)
( 1 для n^=m.
Правильно антисимметризованное и нормированное состояние N частиц
(определитель из волновых функций) есть просто
44 - • • ajv|°>, (2.72)
где
Потное число частиц дано собственными значениями оператора:
N =yiNm=yi а\ат (2.73)
m m
и полное число дырок выражено собственными значениями:
il = xj (1 —(2.74)
?n m
б. Многочастичные наблюдаемые. Чтобы вычислять свойства ядра,
зависящие от нескольких нуклонов, необходимо научиться пользоваться
многочастичным методом.
Рассмотрим сначала оператор U, который зависит от координат каждой
частицы. U может быть, например, энергией в некотором внешнем потен-
циальном поле, или магнитным, или квадрупольным моментом. Мы пред-
полагаем, что вклады в эти величины, совершаемые индивидуальными части-
цами, могут быть вычислены отдельно.
Матричные элементы оператора U между одночастичными состояниями
| р) а.р | 0 ) и \k) = 4|0) можно записать двумя эквивалентными
способами:
(р|С7|4 или (0|apUat[0); (2.75)
так как
ата.п 10) = дтк 10 и (01 ара„ = (016рп, то отношение между U и 15:
и = У (н | и I т) а„ат. (2.76)
771, п
Вторая форма записи в выражении (2.75) имеет to преимущество, что она
может быть успешно обобщена на многочастичные состояния.
Действительно, теперь можно доказать, что матричные элементы U меж-
ду двухчастичными состояниями at at | 0 ) и ар aq | 0)
1 aqap (У {п | U | т) а\ат) at at | 0) (2.77)
т, п
98
есть надлежащим образом суммированные матричные элементы V междз
соответствующими антисимметризованными двухчастичными состояниями.
Сначала запишем матричный элемент, не используя операторы рождения
и уничтожения. Если U действует только на одну частицу, например 1, то
ее матричные элементы для состояний двух различимых частиц:
(р(1), g (2) | £7 (1) | Z (1), Л(2)) = (р|С7(1)|О6^.
Однако если оператор действует таким же образом на две различные части-
цы 1 и 2, то U (1) надо заменить на U (1) 4 V (2) и матричный элемент двух-
частичного состояния принимает вид
(р(1), g (2) | £7(1)-}-£г (2) | Z (1), к(2)) =
= 'р (1) | U (1) 11 (1)) + (д (2) | U (2) | к (2)) 6р/.
Таким образом, если две частицы являются неразличимыми фермионами,
то их состояние антисимметрично и исправленный матричный элемент сле-
дует записать следующим образом:
у (1) Q (2) - Р (2) 9 (1) | £7 (1) + U (2) 11 (1) к (2) -1 (2) £-(!)) =
= (p|£/|Z)6gft4-(g|£7H)6pZ-(p|£7|A:)dgZ-<g|£7|Z)6PA. (2.78)
Теперь покажем, что выражение (2.77) идентично выражению (2.78). Для
этого перепишем выражение (2.77) в виде
У, (п | U | т} (0 | ача-ра^ата1а\ 10).
7П, П
Заметим, что сумма имеет только четыре неравных нулю члена: для т- к
пли I и для п = р или д. Поэтому выражение (2.77) принимает вид
\р | U 11} <01 agapa^aial 10) + {р | U | к) (0| ] 0) 4
4 (д | U1I) (01 agapaqaiOial 10) 4 (g | U | к) (01 адара^аМ |0).
Но используя уравнения (2.70), можно записать:
10) = — (1 — t>ik)ai | ^)? aiaiah 10) = (1 —- 10);
<01 = — <° I aP С1 — бм); <° I agaPal = (0 | ag (1 — 6pg).
Таким образом, выражение (2.77) обращается в нуль для I = к или р q,
как этого требует принцип Паули. Для I 4= к, p^=q 6-функция равна нулю.
Если использовать полученные уравнения и предположить, что ара\ | 0) =
=. 6рй | 0) и т. д., то выражение (2.77), как и требовалось доказать, сведется
к выражению (2.78).
Тот же самый метод можно распространить на состояния, состоящие
более чем из двух частиц.
Теперь необходимо рассмотреть операторы, которые зависят от коорди-
нат двух частиц. Особенно интересным примером является потенциальная
энергия взаимодействия между парой частиц, которую нужно описать пар-
ными силами. В этом случае, следуя методу, сходному с тем, который при-
менялся для одночастичных операторов, можно доказать, что интересующий
нас матричный элемент перехода между соответствующими антисимметризо-
ванными многочастичными состояниями есть матричный элемент
У (пп' | U | mm') a£a£'am«m* (2.79)
nn'zrwn*
между многочастичными состояниями, записанными в’виде... aja^ | 0).
С помощью введенного таким образом метода, в котором многочастичные
состояния описываются с помощью операторов рождения и уничтожения
и закономерностей, представленных такими выражениями, как (2.76) и (2.79),
можно относительно легко решать проблемы многих тел. Во всех вычисле-
ниях необходимо использовать свойства операторов (2.70).
7* 99
§ 15. ЭФФЕКТЫ ПАРНОСТИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
КВАДРУПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ
а. Рассмотрение эффектов парности. Теперь рассмотрим
в качестве примера магнитные и квадрупольные моменты
ядер, учитывая возможный вклад многих частиц в незапол-
ненной оболочке. Предполагается модель сферических оболочек и рассма-
триваются «неколлективные» вклады в моменты.
В соответствии с наблюдением, что J = 0 для четно-четных ядер, пред-
положим, что все четные частицы с J = U спарены.
Поэтому нечетное ядро с п частицами в незаполненной оболочке содер-
жит в основном состоянии одну нечетную частицу и р — 1/2 (и — 1) пар
в последней оболочке. Только нечетная частица даег вклад в спин ядра,
и конфигурация имеет вид (у”)>- = (у2Р+1)/- Величина р меняется от нуля
(одна частица) до j — 1/2 (одна дырка в незаполненной оболочке).
Магнитные моменты не изменяются от присутствия парных частиц,
что следует также из предсказаний одночастичной модели в гл. 2, § 7. Это
происходит потому, что множитель Ланде для всех одинаковых нуклонов
в ] оболочке один и тот же и парные нуклоны с J 0 уничтожают свой
вклад в магнитный момент *.
Однако вклад парных частиц в квадрупольный момент не равен нулю
и будет вычислен ниже. Но прежде чем приступить к решению этого вопроса,
необходимо развить математический метод для парных частиц. Этот же
метод может быть применен и к расчету других интересных ядерных свойств,
например, вероятности испускания у-квантов.
б. Операторы парных частиц и их состояния. Рассмотрим операторы
а^п и aLm, которые рождают частицы в состояниях ±jz:
= oLm10> = | j —m). (2.80)
Мы опять используем сокращенные записи предыдущего раздела: индекс
±-т есть общее обозначение для всех квантовых чисел п, I, j, ± j z.
Введем оператор А'<, который создает две парные частицы с J 0
в оболочке у. Состояние Л'"’ | 0) должно быть сферически симметричной
линейной комбинацией состояний | U). Помимо того что коэффициен-
ты удовлетворяют условию нормировки, они. должны быть коэффициентами
векторного сложения С (ууО; т —п) (—1)J "7(2/ I)1 2. Определяем опе-
ратор рождения пары су 0 следующим образом:
л*= S (-irm«UU. (2.81)
w>0
При таком определении состояние A'ljfb не нормировано на единицу.
Из ортогональных свойств состояний ajnaLm | 0) (2.71) следует, что каждый
из у + 1/2 членов 2 суммы (2.81) дает единицу в квадрате А* | 0). Поэтому
<0|Л.1‘|0) о| 2 (-l^^-n^aulo^
znn>ti
= <о| 2 (-l)2i-’n~n^n|O)=-.= <o| 2 1|0)=У + |. (2.82)
7ПП^>0 7П>0
Парные частицы удовлетворяют статистике Бозе и в одной и той же
оболочке может существовать более одной пары. Однако в суммах, описы-
вающих каждую пару, члены с одним и тем же квантовым числом для одно-
частичных операторов рождения, согласно принципу Паули, автоматически
1 См. также сноску на стр. 181.
2 Квантовые числа у и т всегда полуцелые числа.
100
подавляются. Например, состояние двух пар имеет вид
Л^'|0}= 4i-2|0) = 2 2п4«*_„|о> =
7П>0 п>0
V
т> О
at at У, at at 10),
т —т п ~п । ' ’
п>0
(2.83)
ПфТП
поэтому нормировка состояния двух пар записывается так:
(0 | у12.4;2 j 0) = (01 V а^ар a_qaq У «Мт
Р>0 <7>0 т>0
q tv
х 2 «|°>- 2<°| 2 2 2 (<+4) ('+4-‘)
П>0 771>0 п>0
п±т п^=т
Эту процедуру можно распространить на состояния многих пар; для р пар
получим:
(2.84)
Теперь рассмотрим состояния, содержащие в одной и той же оболочке'
одну пару плюс одну нечетную частицу. Такие состояния можно записать-
как хИа!л | 0). Вследствие принципа Паули состояние т в суммах парных
частиц подавлено:
1*4. । о) у (- iy-n «мм | и) у (_ 1)Мм„41
17 и U
П=£т
Когда вычисляется квадрат этого состояния, необходимо считать, что
1 гт-
сумма имеет только у---у членов. 1огда получаем
Ю|атХ4М|О) = /-4
Таким же образом можно вычислить квадрат состояния одной частицы
плюс р
(2.85)
Квадрат
и т. д.
пар (0 р '):
z0 | a„i.4'l.rpa1'„ | 0>
(2.86)
состояния с двумя частицами и р парами
для
;0| «.„«„.IMt'-aMIO)-] ('
Для
Для
т = п,
т = —п,
(2.87)
U
д! (/-
Т
р
101
'Используются также и коммутаторы этих операторов. Их легко вычислить.
Например,
М+, Л*] = [А, А] = [Л*, <&] = [Л, am]=0; I ?
[ат, Л1] = (-1)3-та|_т; [<4, Л] = (-1)’-™а_т. J
Вычисление коммутатора [Л, Л1], который понадобится нам в дальнейшем,
является несколько более сложной задачей; в результате расчета 1 получаем
[Л, л1] =7+|-Лг, (2.89)
где N— оператор числа частиц.
в. Оценка квадрупольпых моментов. На основе выражения (2.77)
можно вычислить квадрупольный момент основного состояния ядра с одной
нечетной частицей и р парами в незаполненной оболочке. Считая, что
состояния с парными частицами не нормированы на единицу, можно запи-
сать
з
<° I ajAV ( 2 <m I Q I m> amam) I 0)
Q =------------------------------------, (2.90)
где состояние at|O) — это состояние c nij-- j.
Переставляя коэффициенты а^ат=(1 — amHm), получаем
з
Q = V <т|<2|т)
7П= — 3
(0\^атАРА^та]\0) х
<0 | a jAPA^a] | 0) /
и, используя выражения (2.69) и (2.70),
<2=</|(?|/>х 1 +< — 7|<2|— /)х 0+ 2 —('«IQIт>-
1
Считая теперь, что т ] Q | т} = (— т | Q | — т) и
2 {т | Q | т', = 0 2,
т=—j
получаем
2Р \
1 I
(2.91)
[А, л+] =[ V а_тат, 2 (-O'-n4aL„I.
m^>0 n>-0
но [а_тат, a„at_n] = 0, если п + т.
Поэтому
[Л, Л‘] = 2 amaLml = 2 =
?n>0 m>0
= 2 l(l-7Vm)(l-7Vm)-^^ml= 2 A-Km-N_m) = j+±-K.
?n>0 m>0
2 Следует отметить, что для магнитного момента (т| р, | т) = — (— т\ р. | — т).
Сумма У обращается в нуль, и получается одночастичное значение без какого-либо
тфз
вклада от пар.
102
Здесь одночастичное значение умножается на 1 — 2р| ---gj . Для
одной частицы (р = 0) этот множитель равен 1, а для одной дырки (—р =
j — 1/2) он равен —1. Между этими двумя предельными значениями
квадрупольный момент меняется линейно с изменением числа пар.
§ 16. ПАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ II «СЕНИОРИТИ»
(СТАРШИНСТВО) ВНУТРИ ОБОЛОЧКИ
а. Гамильтониан модели оболочек с парными силами
До сих пор эффект парности изучался только в связи,
с основными состояниями ядер, в предположении, что все
четные частицы являются парными. Очевидно, представляет интерес иссле-
дование возбужденных состояний, образующихся при разрушении этих пар,
и вычисление соответствующей энергии возбуждения. Число непарных
частиц в определенном состоянии называется «с е н и о р и т и» состоя-
п и я («старшинством» состояния).
Чтобы сделать количественные предсказания относительно энергии воз-
буждения, необходимо ввести гамильтониан. Сначала напишем гамильтониан
оболочечной модели независимых частиц с помощью метода многих тел.
Используя индексы / для обозначения оболочки и т, чтобы указать z-компо-
ненту момента количества движения получим
S6tp = S S (2.92)
j ТП
где — энергия рассматриваемой оболочки и z. — оператор числа
частиц, которые она содержит. Этот гамильтониан является диагональным
для состояний, содержащих определенное число частиц в каждой оболочке;
такие состояния являются собственными состояниями (2.92). Отметим, что
выражение (2.92) имеет вид оператора в выражении (2.76) и соответствует
методу расчета, развитому в этом параграфе.
Теперь необходимо добавить к гамильтониану независимой частицы
в выражении (2.92) член, описывающий парное взаимодействие для частиц,
принадлежащих той же самой оболочке. Для этой цели можно записать
полный гамильтониан в виде:
Q*t? = ip + atfpf = 2 е j 2 °— G 'S —
3 m 3
= S (-!/-’’* (-1Л,п'«и«|-то!-т'а;т', (2-93)
j m j mm'> 0
где G — положительная константа, которую надо определить из эксперимен-
та. Добавочный член является чисто «модельным» в том смысле, что он не
предназначен для правильного описания нуклон-нуклонных сил, получен-
ных из опытов по рассеянию элементарных частиц.
Парный гамильтониан имеет правильный вид [выражение (2.72)] опера-
тора, действующего на координаты двух частиц. Видно, что непарные частицы
являются собственными состояниями aMpf, соответствующими собственному
значению энергии ноль, и не дают вклада в парную энергию. Энергия пар-
ных частиц обсуждается в пункте б.
Отметим, что «сениорити» коммутирует с парным гамильтонианом (2.93),
но если силы между частицами в состояниях оболочечной модели имеют
более общий характер, то оно не является хорошим квантовым числом.
б. Расчет парной энергии и «сениорити». Рассмотрим состояние п
частиц и предположим, что их парная энергия есть Еп. Теперь покажем,
что добавление пары 7 = 0 к такому состоянию увеличивает энергию связи
1 После небольшого изменения записи индекс j обозначает теперь квантовые числа
п, I и /, а индекс т заменяет mj.
103
(уменьшает парную энергию) на величину G (j —п] . Если записать
более формально
... at |°> = Епа| ... ят|О), (2.94)
то
a%pfAa\ . ..a‘ |0) = [En-G (7 + А-/г) ] Л*4 4|0). (2.95)
Чтобы показать это. вычислим сначала коммутатор \a№PfA^\. Используя
выражение (2.89), имеем
[S£Pf, A^S6pfA^~A^pf -G(.14LP-.1\1U] =
= -С.Д[Л Л*] = -GA' +
откуда сразу же получается
a№pfA'a\ ... а„ 10> = Л| £ оАpj—G (/Фу— a ) J aj ... at |0) =
= Лт[еп — G — ?г)]я! •
что эквивалентно выра/кению (2.95).
Теперь можно вычислить парную энергию состояния п частиц в любой
данной оболочке, предполагая, что s частиц являются непарными, ап —s
частиц — парными. In и s должны быть оба четные или оба нечетные, так
как число пар равно (п —s)/2]. Говорят, что такое состояние имеет «сениори-
ти» s; основные состояния всегда имеют «сениорити», равное нулю для четных
и и равное 1 для нечетных п. При вычислении предполагалось, что s непар-
ных частиц имеют парную энергию, равную нулю, и что добавление первой
пары дает —G (/ + 4—s) , добавление второй пары —G [/ + 4 -(S+2)“|
и, наконец, добавление последней пары дает энергию —G £7 1 -i—(и— 2)"| .
В результате получается арифметическая прогрессия из (п — s)/2 членов
Еп,в— ——s) ' —s—2) + 1 (уЧ-"?—a
~ b (j 1 T~n + 2)] =
- —^-[n(2j ' 3— n) —s(2/-|-3— s)J. (2.96)
Для объяснения щели порядка Мэв (см. рис. 2.40), согласно уравнению
(2.96), требуется, чтобы G 1 Мэв, если s л / a 1 иб 0,1 Мэв для s 2,
§ 17. ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР С ПАРНЫМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ между разными оболочками
а. Предварительное обсуждение. Рассмотрим парные
взаимодействия между частицами разных оболочек. Для
простоты и ясности начнем рассмотрение с двух оболочек
71 и /2. Гамильтониан для двух оболочек можно записать как обобщение
гамильтониана предыдущего раздела
= 3 е, 2 <Jmajm - G У] .44 =
3=3*1» 3*2 т 3, 3'=31, 32
— 2 G ff
Tn mm>0
3=313*2 3*3'=31» 3*2
(2.97а)
104
Согласно с выбором фаз, множители /, /' даются выражениями1
/'=(-1)''+1'+т'. (2.976)
Хотя выражение (2.97) формально и сходно с уравнением (2.93), но
из выражения (2.97) следуют совершенно другие выводы, так как для парного
гамильтониана теперь имеются члены с / =/= Например, член
2 // —т'^зз—nfliim
тт'^О
уничтожает пару в у2-оболочке и рождает ее в /^-оболочке. Члены такого
вида выражают возмущающее взаимодействие между нуклонами в различных
оболочках, которое перемешивает состояния оболочек (перемешивание
конфигураций); теперь частицу можно найти более чем в одной оболочке,
и оболочки могут быть лишь частично заполнены.
1 Новый фазовый множитель (— 1/+1 (который сводится к единице, если пары
принадлежат одной и той же оболочке) является оправданным, если допустить, что
парные силы имеют короткую область действия, соответствующую потенциалу при-
мерно в виде 6-функции. Далее в этой ссылке показывается, что матричные элементы
потенциала в виде б-функцип действительно содержат множитель ( —1)1 1 . Представ-
ленные доказательства наиболее простая форма, предложенная в статьях Баумана.
Если (га) Щ (г) S>n/2i (в*?0) — волновая функция частицы в 7j-оболочке, то пара
J 0 в этой оболочке
3—тп т
> 3 [Фг/Сп^Х
4е •, т_п(Г1 <г1г2а2)=-Д^-, 1 - У
/ у2/ + 1 '
7П;>0
X фГ/"'7 (z,2ff2)—('ЧО^Фц7 (’го'г)!-
(2.97в)
Предположим, что эта пара понижена в энергии из-за короткой области притя-
жения Ь(г1~ г2) между двумя парными частицами. Это притяжение, рассматриваемое
как оператор имеет диагональные матричные элементы между парами с одинаковыми /7
и недиагональные матричные элементы между нарами в /7, fl'. Обычно матричные
элементы имеют вид
У 4*1, j-о (Г1°Н’2»2) 6 (п —/-2) чу, J=o (rlair2a2)y
СПИНЫ
yd3r4 d3r2= У, J=o (ги^з) у,(, j,=0(>'ata2) d'r.
СПИНЫ
Так как интегрирование инвариантно относительно вращения, то они могут
быть вычислены вдоль оси z, где
yri(e-0)=6m[O|/^t-1
Таким образом, только величины rrij, для которых 3^”9(0—0, а) не равно нулю, есть
1
nij= ms=+ — . Для этих величин имеем
3/^2 (6=0, „)-С (г 1 о±4) /'А±1$4
У, в определителе 'И имеет при 6 0 единственный член. Спиновое состояние в антп-
симметризованной сумме — синглет, и, используя свойство коэффициентов аддитивного
вектора в выражении (1.114), имеем
J=0(r, °=°- ‘И<*2)==и?Ш-1)’_1/гс (4/: °т) с (4: °~т) =
. 1 ,, 1 .
J-X <+5-3 1/1 1 \ |2 ,
= «?£?(-!) 2 * 4 * *(-1) 2 |с(гТ/; °т) I “(-1) -
поэтому матричный элемент содержит коэффициент (—I)1+* .
105
[{оличественное рассмотрение этих эффектов можно провести с помощью
теоретических методов, развитых Бардиным с сотрудниками [14] для теории
сверхпроводимости. Прежде чем привести эти довольно сложные вычисления,
по-видимому, полезно описать полученные результаты физически.
С этой целью рассмотрим большое число оболочек — такое большое,
что их энергию е7- можно трактовать как непрерывную переменную величину,
а вероятность заполнения как непрерывную функцию в,- (рис. 2.41). В обо-
лочечной модели независимых частиц уровни заняты вплоть до некоторой
максимальной энергии X (пунктирная кривая), которую можно назвать
химическим потенциалом и которая, в согласии с принципом Паули, опре-
деляется плотностью частиц. Для энергий, больших чем X, вероятность
заполнения резко падает до нуля.
Межоболочечное взаимодействие создает перемешивание конфигурации,
в результате чего состояния, близкие к А, являются только частично запол-
ненными. Это показано на рис. 2.41 сплошной кривой, из которой видно, что
Рис. 2.41. Вероятность заполнения основного состояния
в зависимости от энергии оболочки.
поверхность Ферми теряет свою резкую границу и заменяется переходной
областью, глубина которой 2А.
В результате вариационных вычислений из параметров теории оболочек
и с помощью константы парного взаимодействия G можно вычислить Z, и А.
Величина А пропорциональна G и, конечно, равна нулю в модели независи-
мых частиц с G = 0.
Кривые на рис. 2.41 описывают основные состояния четных ядер с макси-
мальной парной связью или минимальным «сениорити». Для возбужденных
состояний вероятность заполнения меняется.
В модели независимых частиц возбуждение соответствует рождению
частиц в первоначально не заполненных оболочках и «дырок» в первона-
чально заполненных оболочках. Когда учитываются межоболочечные взаимо-
действия, то возбуждений в частично заполненной области меньше, чем
всего частиц и «дырок», и эти возбуждения называются квазичастицами. По-
нятие квазичастицы более полно обсуждается в § 18а, где дан соответст-
вующий математический аппарат.
Теория позволяет вычислить вклад в энергию возбуждения квазичасти-
цы в /-оболочке
£; = Уг(8>-%)2 +А2. (2.98)
Для оболочек, находящихся далеко от поверхности Ферми (| е,—X | '•> 0),
энергия возбуждения равна е,- —X, и за исключением аддитивной констан-
ты Л она такая же, как и в модели независимых частиц. Но энергия возбуж-
дения никогда не может быть меньше, чем щель А.
Четно-четные ядра в основном состоянии не имеют квазичастиц: основ-
ное состояние является квазичастичным вакуумом и возбуждения соответ-
106
ствуют образованию пар квазичастиц. Образование каждой квазичастицы
требует минимальной энергии А.
Четно-нечетные ядра имеют одну квазичастицу (непарную частицу)
в основном состоянии, которая может быть возбуждена до высокой энергии,
не требуя никакой энергии для своего рождения. Поэтому в спектре воз-
буждения не наблюдается щели.
Найдено, что возможные возбуждения удовлетворяют статистике Ферми.
Можно ввести операторы рождения и уничтожения квазичастицы сс|т
и которые удовлетворяют тем же правилам коммутации, что а]т и ajm.
Тогда гамильтониан принимает простой вид
= Ео 4- Е (2.99)
где Ео — энергия основного состояния.
Это предварительное обсуждение предполагало введение некоторых
физических понятий, которые надо будет иметь в виду и при дальнейшем
более формальном подходе. Смысл этих понятий станет более определенным,
ьогда будет изложена теория.
б. Пробная волновая функция Бардина. Следуя методу, развитому
Бардиным и сотрудниками в их теории сверхпроводимости, найдем прибли-
женные собственные значения гамильтониана (2.97), обобщенного таким
образом, чтобы включить любое число уровней. Так как состояния могут
быть частично заполнены, то обозначим Ujm и V(т > 0) соответственно
амплитуду вероятности для незаполненных или заполненных состояний
/. t т. Предположим, что Uj,n и Vjm являются вещественными и удовлетво-
ряют условию нормировки
U]m + V2jm = i. (2.КЮ)
Следуя Бардину, рассмотрим состояние вида
Фв = П + ^U-m) I 0 . (2.Ю1)
7П>0
3
которое назовем пробным состоянием Бардина. Из выражения (2.100) сле-
дует, что каждый множитель в фв и, следовательно, сама фв, нормированы
на единицу.
Важно отметить, что фв не соответствует определенному числу частиц
(не только в какой-нибудь одной оболочке, но и вообще). Среднее число
частиц п, соответствующее фв, есть ожидаемое значение оператора числа
частиц в выражении (2.73)
А? = (1|)в pV | 1|?в)
= I II (Uj"m' ~Ь / | ZJ
зп'>0 jm
j'
П (u^n- I OX (2.102)
0
Учитывая, что множители вфв по отдельности нормированы на единицу
и что член коммутирует со всеми множителями, не включающими
7 и т, можно записать 1
И = 2 ( 0 | /Vj|m] )тп| ^j|m] | | X
jm
X Б fVjlm\aj\m\aj—|m| | 0) = 2 Vjm- (2.103)
j, m>0
1 Сумма в выражении (2.103) дает Vjm для т = + |m|. Поэтому в последнем выра-
жении появился множитель 2.
107
Распределение числа частиц вокруг их среднего значения представляет
собой биномиальное распределение. Когда п велико — а это более справед-
ливо в теории сверхпроводимости, чем в ядерной физике — вес состояний
с различным числом частиц имеет острый максимум около среднего значе-
ния п. В этом смысле фв примерно соответствует фиксированному числу
частиц.
в. Вариационный расчет. Следуя Бардину, используем фв как пробное
состояние вариационного расчета, который должен быть выполнен следую-
щим образом:
1. В качестве добавочного члена к энергии оболочки вводим неопре-
деленный множитель Лагранжа А (химический потенциал), так что гамиль-
тониан (2.97) принимает вид
== 1 (Kj" A) G'jm G 1 // (2..104:)
mj jj't mrn'X)
2. Вычисляем ожидаемое значение <?%" в состоянии фв *:
(Фв I | фв) — 2 (е>— h)Vjm—-G Uj'm'Vym'UjmVjm —
j, jj', runi'j>(J
— G 2 Vjm- (2.105)
j, ?n>0
3. Вводим константу щели следующим образом:
A G 2 Ujnyjm. (2.106)
j, m>0 '
В выражении (2.111) будет показано, что определенная таким образом А
имеет физический смысл, показанный на рис. 2.41.
4. Определяем химический потенциал А и константу щели А с помощью
двух уравнений, полученных минимизацией энергии (2.105) и наложением
условия, что среднее число частиц в состоянии фв является полным числом
частиц п:
^<Фв|Ж|фв) = 0, (2.107)
(Фв|^|фв)=2 2 Vln п. (2.108)
j, т^0
Прежде чем приступить к проведению расчетов, введем несколько упро-
щений. Так как теория не точна для состояний, содержащих малое число
частиц, то предположим, что / - ~ велики. Тогда для большинства
интересующих случаев последней суммой в выражении (2.105) ^которая
берется по j или /' Т -5- величин т можно пренебречь по сравнению
с двойной суммой ^которая содержит члены (/ + v) * х в т 11 т' I •
Теперь можно раскрыть дифференциал в выражении (2.107), используя
выражение (2.105) без последней суммы и рассматривая Vjm как независимую
1 Первый член в сЖ'содержит 2алпо^’» и вычисляется, как в выражении (2.102).
Он дает 2 2 (е1 — А) Vjm- Второй член содержит двойную сумму. Для его вычисления
ж>0
необходимо рассмотреть оба множителя jm и f т' в пропуская индексы / п множите-
ли, которые дают единицу, получаем
2 <°l (Gm GjVma_mam) (1 m- + /'l т-а_т.ат.) ,<
??гттг'>-0
х (ff I (C- ,„< +/'^m-am'ajlm')(Gm+ /^т°т at-m) I 0).
Имеется два вида членов, неравных нулю: член с восемью а, который дает
2 GnlTm,CZm,ym, н член с двенадцатью а, который дает V
mm'>0 т >0
108
переменную величину. Приравнивая к нулю коэффициенты каждого dVjm,
получим следующую систему уравнений *:
2 (е >—X) VjmUjm = А (Z7|m - V]m). (2.109)
Чтобы выразить Ujm и с помощью е,, X и А, нужно решить систему
уравнений (2.109) при условии нормировки (2.100). Легко убедиться, что
решение уравнения (2.109), соответствующее наименьшей энергии, имеет вид
^т=4(1+-^1); ; vJmujm=^-, (2.110)
где Ej такое же, как было введено в выражении (2.98). Вероятность парного
заполнения Vjm для этого решения такая, как указано на кривой рис. 2.41.
Для G = 0 (нет парности) А = 0 и Ej = | е,- — X |/Vfm быстро падает от
1 к 0 при е?- = X. Для конечного G А О, и наклон 2 Vjm при гд = X равен
<*•<“>
Таким образом, величина А действительно дает толщину области перехода.
Наконец замечаем, что. суммируя последнее решение из выражения
(2.110) по jm и используя выражение (2.106), получаем
-g-= 1 — уравнение щели, (2.112)
3, т>0 1
тогда как выражение (2.108) дает
У, (1 ~—j = п—уравнение числа частиц. (2.113)
jm 1
Эти два уравнения определяют X и Л величиной G.
В заключение приходим к выводу, что основное состояние гамильтониа-
на (2.97) дается приближенно (для большого числа частиц и больших j)
пробным состоянием Бардина фв, в котором величины V }т и Ujm удовлетво-
ряют уравнению (2.110), аХ и \ удовлетворяют уравнениям (2.112) и (2.113).
§ 18. КВАЗИЧАСТИЦЫ И ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
а. Метод квазичастиц. Теперь рассмотрим более точно,
как с помощью операторов рождения и уничтожения квази-
частиц можно описать возбуждения модели оболочек с пар-
ными взаимодействиями. С помощью этих операторов можно развить метод,
в котором основное состояние ядра играет роль вакуума квазичастиц и сами
1 В указанном приближении выражение (2.107) принимает вид
d[2 у (e>-X)E|m-G У Urm,Vrm.VjmVjm].
m>0 mm'>0
j Ь Г
Дифференцируя первый член, имеем 4 (ej — X) V jindV jm. Для суммы во втором члене
имеем
У d (UmVmVm.Vm.) = У {Um.Vm,(UmdVm^VmdUm) +
тт'>0 тптп'^>0
+ UmVm(Um,dVm, + Vm,dUm,)} 2 у Um,Vm,(UmdVm+VmdUm).
m'm>0
Учитывая далее, что с помощью выражения (2.100) dUm = — Vm dVm | Unu последнее
выражение становится равным
2 У Um'Vm,^n-V^clVm\Um.
ттуО
Отсюда, а также учитывая выражение (2.106), легко получаем спстему уравнений (2.109).
2 В этом случае е; трактуется как непрерывная переменная.
109
квазичастицы ведут себя как фермионы. Их образование, рассеяние, взаимо-
действие и аннигиляция могут быть изучены методами, заимствованными
из теории элементарных частиц.
Начнем с введения операторов рождения и уничтожения квазичастиц
[16, 17, 39] для состояния /т:
ajm — U fVjmfl'j-m'i 1 r
4. j (2.114)
^jm — Ujmdjm — fVj
Соответствующие операторы для состояния j, —т получаются изменением
знака т и /[(—1)“"‘ = — (—1)’“, так как т полуцелое]:
Oij—m = U т -J- fVjmdjmi
-U Л./Т7 t Г (2J15)
т — и jmP'j—m “г J* J
Из этих определений понятно, что величины U3±m, Vj±m соответствуют
решению (2.110) для основного состояния.
Используем также обозначение | «0» ) для основного состояния фо,
чтобы было ясно, что оно ведет себя подобно вакууму для квазичастиц.
Справедливость этого утверждения легко проверить *:
cCjm | «0») = aj-m I «0») = 0. (2.116)
Если применить оператор рождения квазичастицы к вакууму | «0» ), то
получим
| «0») [J (U-f- f 10/. (2.117)
Это легко доказать, проведя подробные вычисления для /иг-го коэффи-
циента в | «0»), который является единственной изменяющейся величиной
°0’m fV jmCljm(lj_ril) [ 0/ (Ujmfljm fVjmfl-j-rn) X
> (Ujm + fVjmO^aj_m) | 0; (U2jm -J- /2 Vjm) « jm 10) = a]m | 0).
Смысл этого оператора ясен: для энергий, лежащих замет-
но выше поверхности Ферми (UJm = 1, Vjm = 0), on е-
р а т о р а|т рождает частицу в состоянии jm; для
энергий, л е ж а щ и х заметно ниже поверхности
Ферми (Ujm — 0, Vjm — 1), czj,rt уничтожает частицу j;
—т (оставшаяся дырка ведет себя как частица
в состоянии jm).
В промежуточной области вблизи поверхно-
сти Ферми оператор азт производит как рожде-
ние, так и уничтожение частиц: он полностью
«заполняет» состояние jm и целиком «опустошает»
состояние j, —т.
Легко проверить, что состояния квазичастиц нормированы на единицу
в их собственном вакууме. Используя выражение (2.100), получаем
(«0» | ctjmajm | «0») (0 | aJmajm | 0). (2.118)
Теперь необходимо доказать очень важное свойство квазичастиц:
состояние a | «0») есть собственное состояние
гамильтониана (2.104), соответствующее энергии
возбуждения, дающейся выражением (2.98)
Е* = = V (е j - Z)2 + (2.119)
1 Используя aJm для коэффициента в | «0»), получаем
d-jm I — (Ujniajm ft }Г1^а^-т^—тп) I 3=3
(UjmfVJm-fVJnU} t)a+_m| 0> = 0.
no
Для доказательства необходимо иметь в виду, что энергия возбуждения
есть разность между энергиями возбужденного и основного состояний:
Е* — («О» [ ajmS£'ajm | «О») — («О» | <$£' | «О»).
Энергия основного состояния была уже вычислена, она дается выражением
(2.105); для возбужденного состояния а|т/«0»ут) = (Ujm-й
член первой суммы в выражении (2.104) дает (е; —Z) вместо 2( е} —Z)
и у, т в суммах, выражающих парное взаимодействие, они подавлены Е
Если опять пренебречь малыми членами, то энергия возбуждения [исполь-
зуя для преобразований выражения (2.106) и (2.110)] равна
E* = (l-2Ffm)(e>-X) + 2Gt7>mV>m 2 L7/jnTfm' =
j', m'>0
_ (е,—XF , Д2
Е, ”* Ej Ej
что и требовалось доказать1 2.
Важным является также и тот факт, что квазичастицы ведут себя как фер-
мионы. Это следует из правил коммутации для а, которые могут быть полу-
чены с помощью определений (2.94) и (2.93), и которые являются такими же,
как правила для а:
“Е ОСт'ССт ~~~ ^-m^-m' “Е CCrn'CCm 0, 1
+ . ... е } (2.120)
“Е —Omm'- J
б. Графическое представление для взаимодействующих квазичастиц.
Было показано, что квазичастицы являются, по крайней мере приближенно,
собственными состояниями гамильтониана оболочечной модели с парными
силами и ведут себя как свободные фермионы. Но если принять во внимание
другие взаимодействия, то квазичастицы не будут свободными. Они могут
быть рассеяны и рождены в паре частица —дырка, точно так же, как любой
другой фермион.
Эти явления рассматриваются с помощью методов, развитых впервые
для описания взаимодействия элементарных частиц и обсуждаемых в гл. 3
(рассеяние) и в гл. 6 (диаграммы Фейнмана).
Здесь приведем описание графического метода, который часто применяют,
чтобы представить взаимодействие квазичастиц или просто рассказать о нем,
Можно придать количественный смысл этому методу, но читатель, который
еще не знаком с графиками Фейнмана, не сможет извлечь из этого описания
больше, чем физическое понимание.
На листе бумаги (вакуум квазичастиц | «0»)) фиксируем, что направление
вверх отвечает возрастанию времени: верх листа представляет будущее,
1 В сумме 2 Um,Vm,Um„Vm„ члены с т' = т и т" = т подавлены. Это дает
т'тпт,"^> I)
2 ^mVmUm,.Vm„+ 2 Um,Vm.UmVm^2UmVm 2
m">0 m'=0 m'>0
2 Нужно показать, что энергия возбуждения (2.102) не противоречит результатам
§ 16, где было вычислено сениорити возбуждения s непарных частиц в одной и той же
оболочке.
Для этого необходимо вспомнить, что величина Ej, которая применялась в выра-
жении (2.102), должна удовлетворять уравнению щели (2.112). Если рассматривается
одиночная оболочка, то в этом равенстве пет сумм по у, а сумма по т состоит из у + —
одинаковых членов. Отсюда получаем Ej = (G/2) (у |- х/2). С другой стороны, сенио-
рити энергии возбуждения [соотношение (2.96)] при условии, что у + -у , 1 и у -Е > s
приводит к Епя — ЕпВ = s (G/2) (у + 1/2)-
Поэтому общая теория с внутриоболочечным взаимодействием требует более точ-
ного вычисления для одной оболочки, если у большое [см. комментарии после выраже-
ния (2.108)] и если сениорити не слишком велико.
111
низ —прошедшее. Тогда состояние квазичастицы (ajm |«0»> для г; > Z)
изображается линией (не обязательно прямой), направленной вверх, чтобы
указать непрерывное и неизменяемое существование во времени квази-
частицы (рис. 2.42, а).
Будет показано, что антиквазичастицу, или квазидырку (а-т |«0» > для
t j > X), удобно изобразить стрелкой, идущей вниз *. Элементарное взаимо-
действие между двумя квазичастицами удобно изобразить в виде двух идущих
вверх пересекающихся линий, как показано на рис. 2.42. в; рождение
Свободные кВазичастицы
Частица Дырка
а 6
Взаимодействующие кВазичастицы
Частица-частица Дырка-дырка Частица-дырка
Рождение и уничтожение кВизичастиц
Рис. 2.42. Графическое представление квазичастпц и их взаимо-
действий.
пар квазичастиц изображается неожиданным появлением линии, идущей
вверх и вниз (рис. 2.42, е), и точно так же уничтожение пары есть внезапное
исчезновение этих линий.
Взаимодействия с другими силами (электромагнитные или упругие,
фотоны или фононы) изображаются волнистыми линиями, как показано
на рис. 2.43.
в. Возбужденные состояния ядра. Сначала опишем возбужденные состоя-
ния ядра, пренебрегая взаимодействием квазичастиц. Как обычно, удобно
сделать различие между четными и нечетными ядрами. Нечетные ядра имеют
в своих основных состояниях непарную частицу (квазичастицу). Их нижние
1 Различие между квазичастицами и квазидырками является до некоторой степени
произвольным, но для метода это несущественно. Некоторые авторы не включают в гра-
фики стрелки, показывающие верх и низ.
112
состоят из возбужденных состояний этой квази-
более высокие возбужденные состояния, содержа-
в добавление к
Рис. 2.43. Рассеяние (а), образова-
ние (б) и аннигиляция (в) квазпча
стиц при взаимодействии с фотона-
ми или фононами.
возбужденные состояния
частицы; имеются также
щис пары квазичастиц
первоначальной квазичастице.
Самые нижние возбужденные состояния
четного ядра, основное состояние которо
го является вакуумом квазичастиц, могут
быть образованы только путем разруше-
ния пары J = 0, и их спектр имеет щели,
определяемые энергией, необходимой для
образования пары квазичастиц.
Если принять в расчет взаимодейст-
вие между квазичастицами, то возбужден-
ные состояния приобретают сложную
структуру. Ядро становится сложной си-
стемой взаимодействующих квазичастиц,
которые могут быть описаны физически, а
также рассмотрены количественно с помощью сложных диаграмм (рис. 2.44).
Если взаимодействия сильны, то понятие об отдельной квазичастице
теряет свое значение и возбужденные ядерные состояния могут с большим
в г
Рис. 2.44. Возбуждения четного ядра в резуль-
тате поглощения у-квапта:
а — пара невзаимодействующих квазичастиц; б— пары
квазпчастиц, взаимодействующих друг с другом;
в — пары квазичастиц, взаимодействующих друг с
другом и имеющие другой механизм ядерного возбуж-
дения; г—пары сильно взаимодействующих квазича-
стиц, образующих сложное составное ядро. В (а), (б)
и (е) происходит вторичное излучение у-кванта.
Сферически симметричным членом с I
успехом рассматриваться как
нагретые газообразные системы
(§ 9г).
Если силы, действующие
между квазичастицами, прости-
раются на большие расстояния,
то рассеяние не является боль-
ше некогерентным: возникает
когерентное движение, которое
можно определить как коллек-
тивное возбуждение. Таким
образом, формализм взаимодей-
ствующих квазичастиц объяс-
няет также существование вра-
щательных и колебательных
возбужденных состояний.
г. Искажающие взаимодей-
ствия. Формой длиннодействую-
щего остаточного взаимодей-
ствия, которое было наиболее
широко и успешно изучено,
является так называемое иска-
жающее взаимодей-
ствие, или Р2-с и л а [18].
Чтобы ввести это взаимо-
действие, рассмотрим две ча-
стицы г и у, положение кото-
рых определено векторами г;
и Г;, проведенными из центра
ядра. Произвольный, не зави-
сящий от спина скалярный по-
тенциал/ действующий между
двумя частицами, может быть
разложен по полиномам Ле-
жандра Pi (cos 0;j), где 6;,
(г; /•;)/! Щ II fj |.
= 0 можно пренебречь: его дей-
ствие на основные состояния уже включено в предположение о сферической
8 Ядерные взаимодействия
113
потенциальной яме, а его вклады в возбужденные состояния должны дать
колебания с изменением объема, которые не наблюдаются.
Член с I = 1 должен стремиться к нулю, так как он привел бы к дви-
жению центра масс ядерного вещества по отношению к центру потенциаль-
ной ямы.
Поэтому I = 2 или Р2-член является первым, имеющим некоторое зна-
чение; он может создать сферические деформации ядра, и его можно считать
ответственным эа ядерные квадрупольные моменты. Хотя известно, что ква-
друпольпый момент дейтона обусловлен тензорными силами, можно полу-
чит!. более простое модельное описание деформаций в тяжелых ядрах, если
приписать им Р2 (cos 9г^)-взаимодействие.
Таким образом, предположим, что между двумя частицами I и j дейст-
вуют силы, соответствующие потенциальной энергии
— T.F (Ч, г,) Р2 (cos Qtj), (2.121)
где х —константа и F —- функция | г; — г у |, которая может быть выбрана
так, чтобы удовлетворить экспериментальным данным.
Потенциал Р2 «предпочитает» значения угла 0,;, лежащие вблизи 0 или
л. Поэтому, если F имеет относительно большой радиус действия, то все
частицы группируются таким образом, чтобы образовать желаемую ква-
друпольную деформацию ядра как целого.
Выраженный в «многочастичных» обозначениях гамильтониан ядерной
модели, включающий парность и искажающие остаточные взаимодействия,
состоит из трех членов:
jm mm’>0
33'
— X S OX/X1 p2 I izmdimi) aj m , (2.122)
i ч i'i'
I
где P2 — оператор, соответствующий потенциалу (2.121). Эта модель спо-
собна описать многие коллективные свойства ядра в предположении, что
величины G и х являются медленно меняющимися функциями массового
числа (например, G а? 0,12 Мэв для А « 200, G ж 0,2 Мэв для А 100).
Теоретические результаты о деформации основного состояния [21]
и о моментах инерции [29] находятся в согласии с экспериментом, и, в неко-
торых случаях, можно получить достаточно хорошее описание возбужденных
состояний для низких энергий. Расчет возбужденных состояний ядер, в кото-
рых либо протоны, либо нейтроны находятся в замкнутой оболочке [34],
упрощается благодаря сферически равновесной форме ядра и может быть
выполнен особенно успешно.
Как уже отмечалось в § 18в, длиннодействующие силы приводят к суще-
ствованию связи между квазичастицами и коллективным приближением
[18, 19], так как благодаря этим силам квазичастицы рассеиваются когерент-
но и образуют коллективные возбуждения. Поэтому фононный и квазичастич-
ный аспекты сливаются в модель, которой соответствует гамильтониан (2.122).
Можно вычислить полные волновые функции возбужденных ядерных
состояний, включающие квазичастицу и квадрупольные фононы [35]. Из
этих функций мы получаем магнитный и квадрупольный моменты, вероят-
ности электромагнитных переходов и другие свойства ядра, которые можно
сравнить с экспериментом. Несмотря на то что как с теоретической, так
и с экспериментальной точек зрения многое еще остается сделать, сравнение
модели и эксперимента приводит к удовлетворительным результатам
и можно надеяться, что дальнейшее развитие приведет к более полному пони-
манию сложной проблемы ядерных состояний.
114
Литература
1. Am. Inst. Phys. Handbook, McGraw-Hill, N.Y., 1957, Section 8e.
2. В 1 a t t J. M., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. Wiley, N.Y.,
1952 (Блатт Дж., В а и с к о п ф В. Теоретическая ядерыая физика. М., Изд-во
иностр, лит., 1953).
3. Dirac Р. А. М. Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press, Oxford, 1947.
4. Fermi E. Nuclear Physics. University of Chicago Press, 1950
5. Mayer M. G., Jensen J. H. D. Nuclear Shell Structure Wiley, N.Y., 1955.
6 Ajzenberg-Selove F., L auri t sen T. Rev. Mod. Phys., 27, 77 (1955).
7. В e t h e H., В e c k e r R. F. Rev. Mod. Phys., 8, 82, 162 (1936).
8. В e t h e H. Rev. Mod. Phys., 9, 69 (1937).
9. В г u e c k n e г K. A. Phys. Rev., 96, 508 (1954).
10. Brueckner et al Phys. Rev., 95, 217 (1954).
11. Bohr A., M о t t e 1 s о n В. B. In f- and -y-Spectroscopy (edited by K. Siegbahn)
North Holland, Amsterdam. 1955. Бета-гамма-спектроскопия. Под ред. К. Зигбана.
М., Изд-во иностр, лит., 1960.
12. В г u е с k п е г К. A. Phys. Rev., 97, 1353 (1955).
13. Brueckner К. A., Levinson С. A. Phys. Rev., 97, 1344 (1955).
14. Bardeen et al. Phys. Rev., 108, 1175 (1957).
15. В а с к e n s t о s s G. C., S u t t о n R. B. (unpublished), 1958
16. Боголюбов H H. «Ж. эксперпм. и теор. физ.», 34, 58 (1958).
17. В о g о 1 у u b о v N. N. Nuovo Cimento, 7, 794 (1958).
18. В а 1 у а е v S. Т. Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat. Fys. Medd.,31,No. 11 (1959).
19. В a r a n g e r M. Phys. Rev. 120, 957 (1960).
20. В r i n к D. M. Progr. Nucl. Phys., 8, 97 (1960).
21. В e s D. R., Szymanski Z. Nucl. Phy , 28, 42 (1961).
22. С 1 a d i s et al. Phys. Rev., 87, 425 (1952).
23. С о о p e r L. N., Henley E. M. Phys. Rev., 92, 801 (1953).
24. Collard et al. Phys. Rev., Letters, 11, 132 (1963).
25. Eden R.J., Francis N.C. Phys. Rev., 97, 1366 (1955).
26. Feenberg E., Goertzel G. Phys. Rev., 70, 597 (1946).
27. Fitch V. L., Rainwater J. Phys. Rev., 92, 789 (1953).
28. Gomes et al. Ann. Phys., N.Y., 3, 241 (1958)
29. G r i f f i n J. J., R i c h M. Phys. Rev., 118, 850 (1960).
30. Hardy et al. Phys. Rev. 86, 608 (1952).
31. Hardy et al. Phys. Rev., 92, 1532 (1953).
32. Hof stad ter R. Rev. Mod. Phys., 28, 215 (1956).
33. Kofoed-Hansen O. Rev. Mod. Phys., 30, 449 (1958).
34. К i s s 1 i n g e r L. S., S о r e n s e n R. A. Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.
Fys. Medd., 32, No. 9 (1960).
35. К i s s 1 i n g e r L. S., Sorensen R. A. (in print), 1963.
36. N il ssonS. G. Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat. Fys. Medd., 29, No. 16 (1955).
37. Rainwater J. Phys. Rev., 79, 432 (1951).
38. Seeger P. A. Nucl. Phys., 25, 1 (1961).
39. Valatin J. G. Nuovo Cimento, 7, 843 (1958).
40. Weizsacker C. F. Z. Physik, 96, 431 (1935)
41. W i 1 с о x J. M., Moyer B. J. Phys. Rev., 99, 875 (1955).
8*
ГЛАВА 3
Анализ экспериментов
по рассеянию
А. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ МАЛЫХ ЭНЕРГИЙ
§ 1. ИЗМЕРЕНИЯ НЕЙТРОННЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ЭНЕРГИЯХ
НИЖЕ 10 Мои
Экспериментальная техника, используемая для изучения
рассеяния нейтронов с энергией ниже 10 Мэв, достигла зна-
чительного совершенства и соответствующие сечения изме-
ряются с замечательной точностью. Во многих случаях для понимания
экспериментальных методов нужны некоторые сведения о поведении нейтро-
нов, приведенные в последних страницах этой главы. Мы дадим, однако, крат-
кое предварительное описание осн вных экспериментов, чтобы указать,
каким образом были получены соответствующие данные.
Если длина волны нейтронов порядка 10-12 см или больше (энергия ниже
10 Мэв), то существенно перекрывается с ядерным потенциалом и рассеи-
вается только 5-волна. Рассеяние сферически симметрично, и единственной
измеряемой величиной является полное сечение. Для этих измерений [1]
используются весьма интенсивные нейтронные пучки от ядерных реакторов
и ускорителей.
Спектр нейтронов от ядерного реактора или замедленного пучка уско-
рителя может быть описан распределением Максвелла с максимумом при
температуре замедлителя и «хвостом» в области высоких энергий, где интен-
сивность спадает как 1/Е [см. уравнение (3.123)]. При комнатной темпера-
туре тепловые нейтроны (Е = кТ 1/40 эв) имеют скорость 2,2 X 105 см! сек
и длину волны 1,8 А, которая по порядку величины равна межатомным рас-
стояниям в твердых телах.
Для выделения определенных участков спектра могут использоваться
различные фильтры. Кристаллические вещества прозрачны лишь для «очень
холодных» нейтронов; кадмиевые поглотители действуют только на тепловые
и холодные нейтроны; индий имеет острый максимум поглощения при 1,5 эв',
полное сечение поглощения лития и бора пропорционально 1/Е, и они про-
зрачны только для быстрых нейтронов и так далее. Разумное и изобретатель-
ное использование этих фильтров позволяет разделять «группы» нейтронов
с различной энергией.
Значительно более эффективной является, разумеется, эксперименталь-
ная техника, использующая монохроматические нейтронные пучки.
Нейтроны с определенной энергией можно выделять тем же способом,
каким монохроматизируют рентгеновские лучи, а именно путем бреггов-
ского рассеяния на кристаллах. Этот метод пригоден в области тепловых
нейтронов и может использоваться до энергий 102—103 эв (с ухудшением
разрешения из-за уменьшения длины волны).
Можно также отбирать нейтроны с нужной .скоростью механически,
при помощи селектора скоростей, состоящего из вращающегося цилиндра
со спиральными щелями.
Вместо использования монохроматического пучка можно измерять ско-
рость нейтронов электронными методами. Источник нейтронов для этой цели
должен быть или импульсным (что легко сделать на циклотроне), или «пре-
рывистым» (для этого нужно вращать в пучке реактора поглотитель с отвер-
116
стием). Детектор (обычно счетчик, содержащий бор и чувствительный
к ос-частицам, возникающим в реакции п В10 —> Не4 + Li7) устанавливает-
vD.ni ) 3 h И П1 ? 3 L Ш 9 ? 4 К й 1П 9 3 L. К ЙЗПП 2. 3
Энергия S лабораторной системе , МэВ
Рис. 3.1. Полное сечение л-р-рассеяния:
а — экспериментальные результаты (Ramsey N. Experimental Nuclear Physics,
Wiley, i960); 6 — те же данные в сравнении с теорией (Блатт Дж., Вай-
скопфВ. Теоретическая ядерная физика. М., Изд-во иностр, лит., 1954).
ся на некотором расстоянии от источника нейтронов. При помощи электрон-
ной схемы отбираются импульсы детектора, соответствующие определенному
времени пролета нейтрона.
117
Все эти методы неэффективны при больших скоростях. Механические
селекторы имеют очевидные ограничения по скорости; быстрые пульсации
ускорителя дают частые импульсы нейтронов высокой энергии и редкие
импульсы медленных нейтронов, так как в последнем случае играет роль
время замедления.
При высоких энергиях должны использоваться другие методы. Среди
них следует упомянуть генерацию моноэнергетических нейтронов в тонкой
мишени пучком заряженных частиц, ускоряемых в хорошо стабилизирован-
ном генераторе Ван де Граафа.
Поляризованные пучки медленных нейтронов могут быть получены про-
пусканием через намагниченное железо или отражением магнитными зер-
калами. При более высоких энергиях в области мегаэлектронвольт поляри-
зованные нейтроны получаются рассеянием на Не или в качестве продукта
определенных реакций.
Методы детектирования нейтронов хорошо развиты. Мы уже упоминали
о борных счетчиках, которые наиболее эффективны при низких энергиях,
но, окруженные замедлителем из парафина, могут использоваться и при
высоких энергиях. Существуют также различные радиоактивные детекторы
или фольги. Индий чувствителен к тепловым и надтепловым нейтронам,
а индий, окруженный кадмием, — только к надтепловым нейтронам. Фольги
из других веществ становятся радиоактивными только тогда, когда облу-
чаются нейтронами с энергией выше определенной; они применяются как
пороговые детекторы для измерения верхней части спектра источника.
В этой главе почти исключительно обсуждается взаимодействие нейтро-
нов со стабильными элементарными частицами — протоном (рис. 3.1) и элек-
троном. Поперечные сечения для сложных ядер рассматриваются в гл. 5.
§ 2. ОБЗОР ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ БЕССППИОВЫХ ЧАСТИЦ
а. Разложение плоской волны по сферическим волнам.
При классическом рассмотрении рассеяния частицы падаю-
щего параллельного пучка разделяются в соответствии со
своими параметрами удара. Затем исследуют отклонение частиц для каж-
дого параметра удара и в результате получают дифференциальное сечение.
В квантовой механике подобный метод применяется для разложения
падающей плоской волны. Величиной, заменяющей параметр удара, будет мо-
мент количества движения, представляющий собой интеграл движения. Пло-
ская волна разлагается по собственным состояниям орбитального момента,
которые являются сферическими волнами. Разложение заведомо возможно,
так как собственные функции орбитального момента образуют полную
систему. Способ определения коэффициентов разложения описан во многих
классических работах [3, 4]. Для плоской волны, распространяющейся
вдоль оси z, разложение имеет вид
оо
eih2 = V р y4n(2Z+l) il (кг) Y'l (6) «
1=0
_________sin Г кг—
рУ4л(2г+1) у-к- -куце). (3.1)
1=0
В этой формуле к — волновое число; координаты xyz (или г0ф с полярной
осью вдоль z), которые используются, чтобы описать плоскую и сферические
волны, отсчитываются от произвольного начала, где помещается рассеиваю-
щий центр. Функции /г (кг) и У? (0) определены в гл. 1, § Зг.
Разложение относится к волне, описывающей частицу без спина. За
исключением оси распространения z, от которой отсчитывается угол 0,
выделенного направления нет. Функция У? (0) не зависит от ф и имеет место
цилиндрическая симметрия.
118
Если плоская волна распространяется в произвольном направлении,
определенном волновым вектором к, ее разложение по сферическим волнам
содержит сферические функции угла 6 между вектором к и переменной точ-
кой, определяемой единичным вектором г. Но они могут быть выраже-
ны с помощью теоремы сложения (1.30) через сферические гармоники
углов и Одфд, определенных на рис. 3.2. При этом получаем
оо I
eikr ^-4л 3 V р7г (кг) [У- (0АфА)1* УГ (Оф) =
(=0 m=—I
= 4я 3 р,, (kr) [У? (0ft) У? (0) (3.2)
1=0
плюс члены, содержащие множитель cos т (ф — фл)].
б. Формализм рассеяния. Можно предполагать, что пучок, описываемый
плоской волной, встречает рассеивающий центр в начале координат. Если
нужно описать столкновение падающей
частицы массы иц с частицей мишени
массы т2, в начале координат мы поме-
щаем их центр масс. В последнем слу-
чае к в формулах (3.1) и (3.2) означает
волновое число относительного движе-
ния:
(3‘3)
где
— = — + — и E = —^El.
Здесь Е — энергия в системе центра масс
и Еъ — кинетическая энергия падаю-
щей частицы в лабораторной системе,
Рис. 3.2. Определений полярных углов
6,ф и 6s,(ffe.
где мишень покоится.
Будем всегда предполагать, что взаимодействие описывается потенциа-
лом, который убывает с расстоянием достаточно быстро, чтобы было допу-
стимо обычное математическое рассмотрение. Это всегда выполняется для
короткодействующих ядерных потенциалов.
Мы ищем асимптотическую форму решения волнового уравнения в виде1
ф»е^ + /(0)^,
(3-4)
что означает добавление к первоначальному пучку расходящейся сфериче-
ской волны, описывающей рассеяние. Комплексная функция / (0) называет-
ся амплитудой рассеяния и имеет размерность длины 2. Опа
не зависит от ф из-за осевой симметрии рассматриваемой задачи. Функцию
/ (0) также можно разложить по полиномам Лежандра или по У°:
DO OQ
/ (6) = S (2Z + 1) ntPi (cos 0) = S /4л (2Z + 1) нгУ? (0).
(=0 1=0
(3-5)
Каждый коэффициент яг (с размерностью длины) в этом разложении
называется амплитудой рассеяния волны с момен-
том количества движения I. Введем, как обычно, набор дей-
1 Равенство як справедливо асимптотически, т. е. для больших значений г.
Для получения асимптотической величины (3.1) использована формула (1.34).
2 Более точно, / (6) — это амплитуда рассеянного пучка на единичном расстоянии
от начала координат.
119
ствительных углов 6Z, таких, что
2W. л , 1
е 1 е 1 . х 1 е.
а, = —лл = —,— sin о? = —-—s------— . (3.6)
‘ 2ifc к ‘ /г ctg бг —1А ' '
Эти углы называются фазовыми сдвигами рассеяния соот-
ветствующих волн. Причина такого названия в том, что член с индексом I
в асимптотическом разложении (3.4) по сферическим волнам может быть
записан, имея в виду соотношения (3.1), (3.5) и (3.6), в виде
-- 216г
Фг~ К4л(2/ + 1)-^- [ i1 sin (Ат —-^Zn) + e eiftr j У”(Н). (3.7а)
Это выражение после несложных преобразований принимает вид
фг ~ j«e16i sjn уо (0). (3.76)
Таким образом, за исключением комплексного фазового множителя
е1б(, l-й член разложения (3.4) асимптотически ведет себя так же, как 1-й
член свободной волны, сдвинутый по фазе на угол бг. Если, в частности, 6г
мал или близок к л, ctg6z велик, амплитуда щ почти действительна
1 ( Для |6г|<1, 1 р 8.
^ctgSz I для — л| < 1. /
Дифференциальное сечение рассеяния дается выражением
о (6) = | / (6) |2, (3.9)
и полное сечение рассеяния равно
О=Д |/(6)|МЙ. (3.10)
Если в эту формулу подставить выражения (3.5) и (3.6), смешанные члены
исчезают из-за ортогональности У(° (0) и получается
сг=24я(2/ + 1)М2 = Ту2 (2/ + l)sin26z. (3.11)
1=0 1=0
в. Зависимость фаз от энергии для короткодействующего потенциала
рассеяния. Из рассмотрения дейтона следовало, что чем меньше радиус сил
г0, тем большая глубина Ео потенциальной ямы необходима, чтобы произве-
сти данный эффект. Как и для дейтона, мы будем говорить о малом радиусе,
если Vo много больше, чем все другие энергии в нашей задаче, так что изме-
нениями волновых функций с энергией при г < г0 можно пренебречь.
В предположении малого радиуса можно показать, что фазовый сдвиг 6г
парциальной волны с моментом импульса I удовлетворяет соотношению
kzl+1 ctg 6г = const при кг0 <; 1 (3.12)
и, в частности,
бг«А21+1 при kr0 . 1, |6z|<l. (3.13)
Доказательство состоит в следующем. Из выражения (3.7) следует, что
асимптотическое поведение радиальной части решения уравнения ТПредин-
гера для Z-волны ut (г) = гфг, соответствующей фазовому сдвигу 6г, имеет вид
щ (г) & sin^Av — у In + бЛ =
= sin \ кг—In) cos 6Z + cos \kr —In) sin 6Z.
(3-14)
1 Заметим, однако, что член второго порядка в разложении (3.6) является мнимой
величиной как и требует оптическая теорема (3.103).
120
Таким образом, если для г > г0 рассеивающий потенциал исчезает, то для
г > г0 можно написать
, щ (г > г0) = кг [ji (кг) cos 6; + nt (кг) sin (3.15)
Если r0 « 1/к, то можно использовать приближение, действительное вблизи
от начала координат (1.34), для того, чтобы выразить функцию (3.15) для
величин г, чуть больших, чем г0:
ui (г = го + е) = (9z+-ljiT cos Н-sin 6г- (3-16)
Теперь можно подсчитать логарифмическую производную п/ для г = г0,
которую назовем Pilr0:
/ 1 dui\
Р* 10 \ щ ~dr / >
14-1 z, u+i a , (2Z—1)!! . .
pz+W {kr°} cos 1 (kroy sm ‘
(Wl1.cosS;+L2Z-1)!!-
(2Z-j-l)l! (kr0)>
sin bi
Из выражения (3.17) получим
t < G + Pz (fa-o)2f+1
g 1 l + pt ’ (21-J-l)!! (21 —1)!!
ИЛИ
(kr0)^etg6, = (21 + 1)!! (21 -1)!! .
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Непрерывность логарифмической производной требует, чтобы pz определя-
лась волновой функцией для г < г0. Но мы предполагали, что энергетической
зависимостью этой волновой функции можно пренебречь. Таким образом,
Pi может рассматриваться как постоянная, и соотношение (3.12) доказано.
Заметим, что доказательство не пригодно ни для рг « —I (6г»-^-,
резонанс), ни для рг I + 1.
§ 3. S-РАССЕЯНПЕ ДЛЯ СПИНА О И 1/2
а. Амплитуда и длина рассеяния 5-волны. Поперечное
сечение 5-рассеяния частиц без спина на основании соотно-
шения (3.11) имеет следующий вид:
о = 4лп02 = g- sin2 6о = ’ (3‘20)
Теперь обсудим приближения, справедливые при малых к. Они особен
но интересны для медленных нейтронов. Из-за малого радиуса ядерных сил
величина к etg 60 приблизительно постоянна [соотношение (3.8)], и поэтому
удобно ввести вещественную константу а, которая называется длиной
рассеяния и определяется соотношением
__4
а =- lim (— а0) lim - (3-21)
Тогда для достаточно малых к уравнение (3.1) переходит в
сг = --g 2 (к малое). (3.22)
“+ (т)
Длина рассеяния имеет простой математический смысл. Рассмотрим
часть асимптотической волновой функции гф>, соответствующую I = 0. Она
меняется с г как sin (кг + 60). Распространим ее на малые и отрицательные
величины г, введя функцию v, определенную всюду как
v — const х sin (кг + 6G). (3.23)
121
Если радиус сил мал, волновая функция гф для г < г0 зависит только от
потенциала взаимодействия. Для кг < 1 функция v — прямая линия
v = const X (кг cos 60 + sin 60)
и пересекает ось г при
1
г = — т—т—j— = а
к ctg oq
(рис. 3.3). Таким образом, а — это положение первого нуля v при малых к.
Кроме того.
(3.24)
~T=/cctg6o== (т'^г)г=о (Амалое) <3-25)
представляет собой логарифмическую производную функцию v в начале
координат.
б. (S'-рассеяние частиц со спином 1/2. Если сталкивающиеся частицы
имеют спины и з2, падающая скалярная плоская и рассеянная скалярная
сферическая волны недоста-
точны для описания процесса
рассеяния; должны быть ука-
заны также спиновые состоя-
ния до и после рассеяния.
Вообще говоря, имеется
(2st -)- 1) и (2s2 + 1) таких
состояний. Однако спиновые
состояния рассеянного пучка
из-за сохранения момента
импульса ограничиваются та-
кими, которые имеют те же
собственные величины J и
Mj (для S'-рассеяния J =
= Si s2), что и начальные
состояния. Простейший слу-
чай — это рассеяние частицы
со спином 1/2 на частице со
спином 0. Сохранение момен-
та импульса требует, чтобы
при S-рассеянии спин рас-
сеянной частицы оставался
неизменным. Таким образом,
два члена в выражении (3.4)
умножаются на ту же спино-
вую функцию и ничего инте-
ресного не происходит.
Далее рассмотрим случай двух частиц 1 и 2 со спином 1/2. Теперь имеет-
ся четыре независимых спиновых состояния и амплитуда рассеяния может
зависеть от состояний падающей и рассеянной волн.
Если интересоваться полным моментом количества движения, целе-
сообразно избрать следующий набор состояний [сравните с выражениями
(1.80) и (1.81)]:
Ss — (°чРг — Р1аг)i
U = а^;
= -. /к- (а1Рг + ₽1«г);
СГ=№
(3 26)
122
Если следить за направлением спинов двух частиц, имеет смысл выбрать
четыре других независимых состояния:
?++ = а1сх2 = ^;
^- = а1₽2= 1 (^ + Ss);
V *
Г+=р1а2=-1-а?-^);
г
Г =1^2=^-
Часто удобно брать в качестве оси квантования спинов направление распро-
странения падающей волны.
Если £г — начальное и — конечное спиновые состояния, нормирован-
ные на единицу, то S — часть асимптотического решения волнового уравне-
ния — может быть записана на основании соотношений (3.1), (3.4) и (3.5):
Ч>»»Ь^ + Ел.,.Р-- <3'28>
Удобно ввести оператор Ао такой, что
= ао, (3.29)
и написать
Матричные элементы оператора Ао являются амплитудами рассеяния из
начального спинового состояния £г в конечное спиновое состояние
a0,fi = {f\A0\i). (3.31)
Их квадраты пропорциональны поперечным сечениям соответствующих спи-
новых переходов.
Для двух частиц со спином 1/2 амплитуда S'-рассеяния пред тавляет
собой матрицу 4x4, которая содержит 16 элементов. Эта матрица значи-
тельно упрощается, если учесть сохранение момента импульса и четности.
С этой целью удобно отнести матрицу Ао к состояниям (3.27). В этом пред-
ставлении матрица обязательно диагональна (так как состояния, соответ-
ствующие различным J и Mj, не смешиваются). Она содержит не более четы-
рех элементов: a0JS, a£t, a0°t, a^,t. Но из этих величин последние три должны
быть равны друг другу, поскольку в процессе S-рассеяния нет никакой
выделенной оси.
Матрица амплитуд S-рассеяния содержит только два независимых
элемента a0,s и аол- Она имеет вид
?s К
ao, s 0 0 0
0 ao, t 0 0 (3.32)
и 0 ao, t 0
у U 0 0 ao. t ,
Матрицу (3.32) принято записывать с помощью триплетных и синглетных
проекционных операторов (1.83), собственные значения которых равны соот-
ветственно нулю для синглета, единице для триплета и наоборот. Тогда мат-
рица (3.32) представляется в виде
Ло = As<zOi s-р /. (3.33)
Относительно состояний (3.27) матрица т10 недиагональна. Ее элементы
могут быть легко рассчитаны. Например,
(а1Рг | Ао | oqfJa) = / ;= (£s + £<*”) | Ао | л- (£s -р £?)/ = (ао, s «о, t)5
(atp2 | л I ₽№) = (—=- (£s -p £?) I Ao I Tjj— (C? - = I («0, t - «о, s). (3.34)
123
Полная матрица имеет вид
cqc^ cqp, Pi«2 PiP2
“1^2 ао, t 0 0 0
°Чр2 v («о, t +«о, s) — («о, t— «0, s) 0 (3.35}
Р1а2 0 -^-(«о, t —О-0, s) "2" («0, t 4“ °0 ,s) 6)
P1P2 U 0 U «0, f .
Отметим, что рассеяние включает процесс опрокидывания еппна за счет
недиагональных элементов матрицы (3.35). Эти элементы образуют рассеян-
ную волну в р ^-состоянии из начального спинового состояния И|р2
и, наоборот, с амплитудой, пропорциональной разности aOtt — o,0tS. Таким
образом, опрокидывание спина — это следствие зависимости сил от спила.
в. Рассеяние неполяризованных пучков. Поперечное сечение для непо-
ляризованных частиц со спином 1/2 получается усреднением выраже-
ния (3.20) по начальным спиновым состояниям х:
а=4я (т1а°-411 2+т1а°-812) ’
(3.36)
так как триплетные и синглетные состояния не смешиваются.
Используя выражения (3.35), можно отдельно подсчитать поперечные
сечения для различных начальных и конечных спиновых состояний двух
частиц:
G (о^а? —> ajCXg) = g (PjP2 —P1P2) = 4л| nOi 112 (нет опрокидывания);
I
о(оцр2—-> «1р2) = = cr (p!^—>p1o2) == 4л |«o,t + «o, «I2 (нет опроки
дывания);
о (atp2 —> Pjch) = g (Pi<z2 —* aiP2) = 4л — | aOi t — «0> s |2 (опрокидыва-
ние).
(3.37)
Если пучок и мишень не поляризованы, части поперечного сечения,
отвечающие рассеянию с опрокидыванием спина и без него, получаются
усреднением по начальным состояниям и суммированием по соответствую-
щим конечным состояниям:
о без опрокидывания = 4л-i Г | «o.t |2|яо, t+ яо, s Is
и аналогично
1 1
G с опрокидыванием = 4л ——| «01 t — «о, s|2-
(3.38)
(3.39)
§ 4. ОБСУЖДЕНИЕ п-р-РАССЕЯНИЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ
НУЛЕВОГО РАДИУСА
а. Приближение нулевого радиуса при пулевой кинетической
энергии. Если радиус ядерных сил мал, потенциальная яма
глубока и нейтрон-протонная волновая функция внутри ямы
слабо меняется с энергией; можно допустить, что она одинакова для Е =
- —В = —2,22 Мэв и для 0<Е ~ Мэв. В этом приближении триплетная
длина рассеяния может быть получена в предположении, что функция
и = гф для г<г0 Ж-у является волновой функцией дейтона. В при-
ближении нулевого радиуса tz-функция дейтона равна Ke~r/R (К — норми-
1 Формула (3.36) справедлива, когда рассеяние некогерентно, например, если
атомы мишени ориентированы случайно. Обсуждение когерентности см. в § За.
124
рующий множитель), и, таким образом, логарифмическая производная
равна
(для дейтона)-
(3.40)
Сравнение этого выражения с уравнением (3.25) приводит к
at=R. (3.41)
Эти соображения иллюстрируются рис. 3.4. Для г > г0 решение, отвечаю-
щее рассеянию при нулевой энергии, экстраполируется линейно, так как яв-
Рпс. 3.4. Дейтонное7 решение (нормирующая константа
взята равной единице) для г < г0 и — ujj.
ляется синусоидальной волной бесконечной длины (на рис. 3.4 нормирующая
константа равна единице). Подставляя соотношение (3.41) в выражение (3.22),
получаем
сГ( = 4л/?2 = 2,33 > 1(Г24 см2 для fc = 0. (3.42)
Эту величину нужно сравнить с экспериментальной величиной сечения рас-
сеяния медленных нейтронов на свободных протонах, равной —20-1()24 см2.
Расхождение можно объяснить большим вкладом синглетного состоя-
ния. Для неполяризованного пучка
и = у Gt + 4 а« ~ 20 X IO’24 см2, (3.43)
таким образом,
crs = 4ла| 73 > 10"24 см2 (3-44)
и
~ ± 23 х 10-13 см. (3.45)
Произведя более полный анализ, мы уточним значения as, но соотноше-
ние (3.45) сохранится.
Амплитуда as связана с внутренней волновой функцией синглетного
состояния n-p-системы так же, как at связана с внутренней волновой
функцией дейтона. Неопределенность в знаке, появляющаяся в выраже-
нии (3.45) (рис. 3.5), означает, что w-функция синглетного состояния на гра-
нице ямы может иметь либо положительный, либо отрицательный наклон.
При as > 0 наклон был бы отрицательным, как для триплетного дейтона:
падающая экспонента могла бы непрерывно сшиваться с внешней волновой
функцией и могло бы существовать связанное состояние. При as < 0, наобо-
рот, невозможна связь в синглетном состоянии.
Знак as найден экспериментально и оказался отрицательным (см. § 6).
Таким образом, возможность существования синглетного состояния дейтона
исключается. Это элементарное обсуждение содержит все существенные
физические результаты н-р-рассеяния при низких энергиях.
125
б. Приближение нулевого радиуса при конечной энергии. Когда длина
волны относительного движения становится сравнимой с длинами рассеяния
(Е х 10 кэв), приближение нулевой энергии перестает быть справедливым.
Рис. 3.5. Функция при к = 0 (для as > 0 и as < 0).
Но если сохранить предположение нулевого радиуса, величина к etg 60.
останется независимой от энергии и сечение рассеяния для триплетного
состояния запишется в виде
(3.46)
Аналогично можно определить соответствующую длину рассеяния для
синглетного состояния
lira (A etg 60> s) = — . (3.47).
Тогда сечение рассеяния неполяризованного пучка будет иметь вид
(3.48)
Энергетическая зависимость измеренного поперечного сечения описывается
выражением (3.48) с хорошей точностью. Величина | as | может быть найдена
методом наименьших квадратов. Согласие между теорией и экспериментом
можно, однако, несколько улучшить, если принять во внимание конечный
радиус действия ядерных сил.
§ 5. ТЕОРИЯ ЭФФЕКТИВНОГО РАДИУСА,
НЕ ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ФОРМЫ ЯМЫ
а. Поперечное сечение для прямоугольной ямы конечной
ширины. Расчеты предыдущего параграфа могут быть легко
распространены на прямоугольную яму шириной г0. В рабо-
те [9] для триплетного состояния с точностью до первого порядка по г0 полу-
чен следующий результат:
Но прямоугольная яма, конечно, наивное приближение; еще недавно
существовала надежда, что опыты по рассеянию при низких энергиях позво-
лят получить сведения о форме ядерной потенциальной ямы.
В результате дальнейших исследований стало ясно, что для точного
описания экспериментальных данных достаточно двух параметров для каж-
дого спинового состояния: длины рассеяния а, определенной выраже-
нием (3.21), и эффективного радиуса ге, который будет определен позже.
б. Полезное тождество в теории, не зависящей от формы ямы. В теории
нулевого радиуса предполагалось, что волновая функция внутри ямы не
126
зависит от энергии. Теперь мы считаем, что она может слабо меняться с энер-
гией. Не будем делать никаких предположений о форме ямы, помимо того
что V = 0 для г > г о, и попытаемся
описать эффект изменения внутренней
волновой функции с изменением энер-
гии, не пользуясь специфической вол-
новой функцией при какой-либо энер-
гии [111.
На рис. 3.6 представлена типичная
/t-функция Нп при энергии Еп, волновом
числе кп = (M/h2) Еп для произволь-
ного спинового состояния х.
При г < г0 ип не определено, так
как неизвестна форма потенциала. Для
г > г о Un — const X sin (knr + 6n).
Определим также всюду функцию vn
следующим образом:
Рис. 3 6. Функции ип и ип.
_ sin (йпг + бп)
t'Tl - - Г. •
sin оп
Эта функция в начале координат удовлетворяет условиям
^п(0) = 1;
vn (0) = ( ) r=0 = Ctg 6n.
(3.49а)
(3.496)
Нормируем un так, что и„, = vn для г > r0:
ип = щг(г) (не определена) при г<г0;
sin (Л-Пг-j-fin.)
л sin
при г>г0.
(3.50)
Теперь запишем волновое уравнение при двух различных анергиях Еп
и Ет для того же самого (не определенного) потенциала V (г):
(3.51а}
^V(r)um=-k2mum. (3.516)
Умножим выражение (3.51а) на ит, а (3.516) —на ип и вычтем. Тогда
получим
ит -ffi-k2m)unum, (3.52>
что эквивалентно
^m^n) — (кп k7t
(3.53)
Применяя ту же процедуру к функциям vn и vm, которые удовлетво-
ряют волновому уравнению с V (г) = 0, можно написать
{Уп^т Urn^n) = (3.54)
Теперь вычтем соотношение (3.54) из соотношения (3.53) и проинтегрируем
по г от 0 до оо, помня, что u — v для г—> сс:
оо
^т^'п)г=0 Т" ( ' ^т^п)т~0 к^х) (ПпПтп Ь^Нщ) fir. (3.55)
0
1 У угла фазового сдвига индекс 0 опущен, так как в процессе участвуют только
5-состояния и неопределенности не возникает. Индекс п относится к энергии.
127
Используя соотношение (3.496) и вспомнив, что и (0) = 0, получим
оо
/cnctgfin — kmctg8m = (kn— к„г) ^(vnvm — unum)dr. (3.56)
о
Это и есть тождество, которое требовалось доказать. Оно является
точным равенством, но выражено в довольно необычной форме, так как
unumdr, рассматриваемый как функция импульсов кп и кт, равен нулю
при п т и имеет разрыв при т = п. Однако интеграл vnvmdr, который
может быть вычислен с помощью коэффициента сходимости [8], тоже имеет
разрыв при т = п. В результате взаимного уничтожения этих разрывов
правая часть равенства (3.56) оказывается слабо меняющейся функцией
энергии.
в. Эффективный радиус. Заменим теперь интеграл в равенстве (3.56)
положительной величиной с размерностью длины, не зависящей от энергии:
(3-57)
Величина ге называется эффективным радиусом, a v0 и и0
являются функциями v и и при Е — 0. Это можно сделать без внесения
больших ошибок, так как интеграл в равенстве (3.56) — слабо меняющаяся
непрерывная функция Еп и Ет.
Действительно, подынтегральное выражение в (3.57) обращается в нуль
при г > г0, как и в интеграле (3.56); для г < г0 изменение и с энергией мало
из-за большой глубины ямы, тогда как v, равная единице в начале координат,
не может измениться быстро вблизи начала.
При определении эффективного радиуса соотношением (3.57) выраже-
ние (3.56) принимает вид
кп ctg 8п — кт ctg 8т = (кп— кт)^-ге. (3.58)
В частности, если выбрать Ет = 0, имеем кт 0, кт ctg 8т = v'm(0) =
= —1/а и можно написать (отбрасывая индекс и)
к ctg 6 + ~ = у ге№.
(3.59)
Если вместо этого выбрать Ет = —В < 0, где В — энергия связи некото-
рого связанного состояния, соответствующий кт равен 1/iT?, где R —«радиус»
связанного состояния и кт ctg 8т = —1/R. Таким образом, равенство (3.56)
переходит в
к ctg 6 + --= (&2+т^) у ' е. (3.6U)
Для Е„ = 0, Ет= — В
равенство (3.56) дает
__1 . 1 __ Ге
а + R 2R* •
(3.61)
Формулы (3.59) и (3.60) могут быть использованы в соотношении (3.20),
чтобы выразить энергетическую зависимость к ctg ё в значениях эффектив-
ного радиуса. Если воспользоваться соотношением (3.59) для синглета и (3.60)
для триплета, то поперечное сечение п-р-рассеяния неполяризованного
пучка примет вид
3 _______________4л
(3.62)
128
Равенство (3.62) выражает энергетическую зависимость поперечного
сечения в трехпараметрическом виде. Эти параметры определяются из срав-
нения с экспериментом. Ими являются синглетная длина рассеяния as, син-
глетный и триплетный эффективные радиусы re, s и re>t.
Прежде чем приступить к анализу экспериментальных данных с целью
получения этих параметров, мы должны описать измерения длины когерент-
ного рассеяния. Из этих измерений следует существенная и весьма точная
информация, относящаяся к рассматриваемому вопросу.
§ 6. КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА МОЛЕКУЛАХ ^ВОДОРОДА
И ЗНАК аа
а. Качественное обсуждение рассеяния на орто- и пара-
водороде. Если два протона находятся на расстоянии мень-
шем, чем длина волны нейтрона, они будут рассеивать коге-
рентно. Рассеянные нейтронные волны интерферируют, и относительная
фаза может быть измерена. Следовательно, полное сечение рассеяния доста-
точно холодных нейтронов на водородной молекуле зависит от относитель-
ного знака as и at. Таким образом, его измерение позволяет найти знак as.
Расстояние между двумя протонами в молекуле водорода равно 0,74 А.
Предположим, что нейтроны имеют столь низкую энергию, что их длина
волны много больше этого расстояния, и пренебрежем тепловым движением
молекулы, которая вначале считается находящейся в покое. Молекулы рас-
сматриваются в самых низких вращательных состояниях. При этих усло-
виях параводородные молекулы (антипараллельные спины протонов) имеют
вращательное квантовое число I — 0. При рассеянии они могут считаться
жесткими, поскольку очень медленные нейтроны не имеют энергии, доста-
точной для возбуждения вибрационных или вращательных состояний. Рас-
сеяние с опрокидыванием спина невозможно, так как переход параводорода
в ортоводород требует энергии (наинизшее состояние ортоводорода имеет
вращательное квантовое число I = 1). Опрокидывание спина может иметь
место при рассеянии на ортоводороде. В этом случае нейтрон может быть
неупруго рассеян с увеличением энергии. Мы не будем заниматься подсчетом
этого эффекта, поперечное сечение которого, конечно, пропорционально
(«г — а,)2.
б. Поправка на приведенную массу при рассеянии на связанных протонах.
Поперечное сечение в борновском приближении пропорционально квадрату
приведенной массы падающей частицы и частицы мишени ц. Это приближе-
ние впервые было использовано Ферми для расчета сечения рассеяния на
связанных протонах. Его справедливость неочевидна, так как ядерная потен-
циальная яма очень глубока. Однако Бете пришел к заключению, что исполь-
зование этого приближения оправдано, потому что потенциал имеет очень
малый радиус и может быть заменен значительно менее глубоким, длинно-
действующим потенциалом, который дает ту же длину рассеяния. Не будем
входить в рассмотрение этой проблемы и удовлетворимся тем фактом, что
предсказания борновского приближения, примененного Ферми, согласуются
с опытом.
Если протон мишени жестко связан в молекуле массы Л/мол, можно
написать
Связанного протона_ ^связанного __ \ М ) \ М ) ____2_____
Свободного протона Свободного / 1 । V Ilf М \
\ М J \ А/мол / \ А/мол /
Отношение равно 2 для Ммол = оо (протоны в больших молекулах или твер-
дых телах), 4/3 для Л7М0Л = 2М (протоны в молекуле Н2).
Протон может рассматриваться как жестко связанный, когда энергия
нейтрона недостаточна, чтобы осуществить переходы между квантовыми
состояниями протона в молекуле или в решетке. Это условие предполагается
9 Ядерные взаимодействия
129
выполненным. Но если энергии нейтронов сравнимы с энергиями химиче-
ской связи йй 1 эв, в энергетической зависимости поперечного сечения
Рис. 3.7 Сечение рассеяния ней-
тронов (Бете Г., Моррисон
Ф. Элементарная теория ядра.
М., Изд-во иностр, лит., 1958).
которых еще не определены.
-^мол — д'Ц! — П„ ’ Д’ (3 Д- О]
(рис. 3.7) могут наблюдаться интересные
твердотельные и химические эффекты.
в. Поперечные сечения для орто- и
параводорода. Из соотношений (3.33) и
(3.20) следует, что эффективная амплиту-
да рассеяния для двух прогонов в моле-
куле водорода при малых энергиях пред-
ставляется матрицей
Диол ~ "д’ (Л.Ч1Я8 -j- Д As2tls Д’ Af2<lt),
(3.64)
где индексы 1 и 2 относятся к двум про-
тонам, относительные направления спинов
Вводя соотношение (1.83), получим
•<О) «t + (l — n„-n2)«s Д (3 Д оп-о2) щ] =
1
= -ц-[(2 — 2nn-S) as Д- (6 -j- 2<тге-S) =
О
2
= у [(es Д Зщ) Д (щ — as) tfn-S],
(3.65)
где о„/2 — спин нейтрона и S = <Ti/2 Д- <у2/2 — полный спин водородной
молекулы.
Для параводорода 5 — 0, и получаем
Пиара — 4л (Лмол)
/ 16 , / 1 ,з v
4лТ4 (т^+тЯг)
(3.66)
В этой формуле множитель 16/9 возникает из-за связи протонов мишени,
множитель 4 обусловлен присутствием двух протонов и множитель в скоб-
ках — это когерентная средняя величина длины
рассеяния протона.
Для ортоводорода 5 = 1, и столкновение может происходить в состоя-
ниях с полными орбитальными моментами 1/2 и 3/2, которые реализуются
с относительными вероятностями 2 и 4. Ввиду того что рассеяние на различ-
ных молекулах газа или жидкости некогерентно, именно поперечные сече-
ния, а не амплитуды должны быть усреднены по двум типам столкновений.
Можно легко получить 1 on-S = —2 и Д 1 для J = 1/2 и 3/2 соответственно.
Таким образом, для неполяризованных пучков средняя величина пп-8
равна нулю и средняя величина |o(1S |2 равна 2. Принимая это во внима-
ние, имеем
Порто — 4л (Амол)— 4л -g- [(ns Д Зщ)2 Д 2 (щ —- tis)2]. (3.67)
Снова отметим, что равенства (3.66) и (3.67) применимы к упругому рас-
сеянию и не учитывают возможности опрокидывания спина внутри молекулы
(орто-парапереходы).
г. Сравнение с экспериментом. После первой работы Альвареца и Рит-
цера [6] и некоторых ранних опытов Саттона и других [59] наиболее точные
измерения были выполнены Сквайерсом и Стюартом- [65]. В этих экспери-
a.S = 2’.S_-S2-(J)!+|S+“|2_
9 3 3 9 , 1
= _2--Д—=-2 для У = у ,
9 3.15 . 3
= _2--Д —=+! дЛЯ J=—.
130
ментах водород поддерживался при температуре 20° К, точке кипения жид-
кого водорода. Нейтроны, полученные на циклотроне, замедлялись в пара-
фине, охлажденном жидким кислородом, после чего производился отбор
малых скоростей (X « 4 А).
Самый интересный экспериментальный результат состоит в том, что
поперечное сечение параводорода много меньше, чем свободного водорода.
Из измерений Саттона и др. следует
Спара ~ 4 X 10-21 СМ2,
что приблизительно в пять раз меньше, чем аСвободн- Для объяснения этого
результата нужно, очевидно, принять, что между синглетом и триплетом
происходит деструктивная интерференция, а знаки as и at противоположны.
Использовав полученные орто- и пара-данные и лучшие значения сечения
рассеяния нейтронов на свободных протонах \ Сквайерс и Стюарт получили
at = (+ 5,37 + 0,04) х 1(Н3 см-
as = (-23,73 + 0,07) х 10’13 см. ' '
Отрицательное значение as указывает на то, что синглетное состояние дей-
тона является несвязанным.
Сравнивая величину at с величиной R при помощи теории эффектив-
ного радиуса, имеем
re, t = 1,65 X 10-13 см. (3.69)
Более точные величины даны соотношениями (3.108) — (3.112).
§ 7. S-РАССЕЯНИЕ ДЛЯ СПИНОВ Т И 1/2. СПИН НЕЙТРОНА
а. Матрица ^-рассеяния для спинов Т и 1/2. До сих
пор считалось, что спин нейтрона равен 1/2, но не было дано
еще никаких экспериментальных доказательств этого предпо-
ложения. Теперь можно показать, что наблюдаемое большое отношение
Порто/Опара нельзя было бы объяснить, если бы спин нейтрона был больше 1/2
[58]. Для этого следует рассмотреть рассеяние нейтронов с произвольным
спином I на протонах со спином 1/2.
Начнем с введения матрицы длины рассеяния, которая имеет 2 (21 + 1)
строк и столбцов. Она диагональная, когда относится к собственным
состояниям J2 и Mj, где J — сумма спинов обеих частиц. Все элементы для
данной величины J одинаковы в связи с отсутствием выделенного направле-
ния, и, таким образом, имеется только два неисчезающих независимых
элемента
Т Т I 1 1
«+ для J = I + —
а- для J = I —~ .
(3.70)
Имеется всего 2 (I + 1/2) + 1 = 21 4- 2 состояний с амплитудой рассеяния
а+ и 2(7 —1/2)4-1 — 21 состояний с амплитудой а.. Матрицу рассеяния
можно выразить через проекционные операторы А+ и Ад. для I 4- 1/2
и 7 — 1/2 состояний. Аналогично соотношению (1.83), ищем эти операторы
в виде А 4 В 1-п, где А и Б — постоянные. Вычисляя сначала
<1.^ = 2/1.0^ = /(74-!)-/(/.+1)-| =
I для J =74-у >
— (7 + 1) для 7 = 7 —4 ,
1
4л at +4 al) =(20,36 ±0,10)-10-24 см* [51].
9* 131
получим
Л_
2J^r[(Z+ 1) + о-1],
2/4-1 (J-tf'1)
(3.72)
и
-/1 — .Л.+61 + —j- Л— С1-.
(3.73)
Сечение и-р-рассеяния неполяризованных свободных частиц равно
Ссвоб = 2/ _|_ i 4ля2 4~ 2у_|_ 1 4ла2.
Из опыта известно, что оСВ0б аг 20-10 24 см2.
Дейтон, спин которого равен 1, при I — 3/2 был бы в I — 1/2 состоянии.
Таким образом, можно положить а_ = R в равенстве (3.74) и разрешить его
относительно а+.
Численно получаем
а- = 4,3 х 10"13 см; а+ = ± 15,6 X 10"13 см. (3.75)
б. Сечения рассеяния нейтронов с произвольным спином на орто-
и параводороде. Теперь можно действовать так же, как и в случае нейтрона
со спином 1/2. Эффективная амплитуда рассеяния двух протонов, рассеиваю-
щих в молекуле когерентно, равна
Диол = "gj (Ат1О+ + A-jH- 4“ Л+2®+ + A-г®-) =
4 1
= "з” 27+1 (3(7 4- 1)«+ 4" 27а_ 4- (<Ч -+ О2) • 1®+ — (<Ч + О2) • la-1 —
— д’ • 2i+i [(7 + 1)«+ 4- 7«- 4~ s I (а
(3-74)
(3.76)
где S = у (о4 + о2) — спин молекулы. Когда Амол возводится в квадрат, для
того чтобы получить поперечное сечение при отсутствии поляризации,
член с S-I исчезает и получается
n-4n^-w47F{((7+1)^ + 7« ]2 + ((S-I)2) (а+ —а_)2}. (3.77)
Для параводорода (S = 0)
<(S-I)2> = 0 (пара). (3.78)
Для ортоводорода (5=1) усреднение производится по трем ориента-
циям S относительно I. Три возможных состояния полного момента импульса
14- 1, 7 и I — 1 имеют величины S -1, соответственно равные I, — In — (I +1),
и реализуются с относительными вероятностями 274-3, 274-1 и 21— 1.
Таким образом, легко проверить, что (S-I) = 0, и получить
((S-I)2> = f 7(7+1) (орто).
Теоретическое орто- и параводородные сечения в предположении I = 3/2 полу-
чаются введением соотношения (3.75) в соотношение (3.77). Результат для
параводорода таков:
Опара 116 х 10-24 см2 для «+>0,
Опара 60 X 10"24 СМ2 ДЛЯ «+ < 0.
Экспериментальная величина более чем на порядок меньше, чем каждая
из них, отсюда следует заключение, что нейтрону нельзя приписать спин,
равный 3/2.
(3.79)
132
I
i
Рис. 3.8. Определение величин,
входящих в выражение (3.82).
§ 8. КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА КРИСТАЛЛАХ
а. Когерентное и некогерентное рассеяние одинаковыми
центрами. Та же когерентная амплитуда рассеяния
«ког = 4я«+4 (3.80)
которая входила в поперечное сечение рассеяния на параво-
дороде [соотношение (3.66)1, может быть измерена более точно по когерент-
ному рассеянию нейтронов на кристаллах,
содержащих водород. Рассмотрим это более
подробно.
Сначала определим, что подразумевается
в простом случае под когерентным рассеянием
На Кристалле, состоящем из атомов одного
определенного типа (неизотопической смеси),
со спином 0. Предположим также, что атомы
совершенно неподвижны и рассеивающие
ядра много меньше, чем длина волны ней-
трона.
Асимптотическое решение волнового
уравнения, описывающее параллельный
пучок и 5-волну, рассеянную центром
в начале координат, имеет вид [см. выраже-
ние (3.4)]
ei^_^Aeifer5 (3.81)
где Ъ=(А + 1)М — коэффициент связи (3.63)х.
Если имеется N рассеивающих центров (N ; > 1) в точках г, (1 < i < N),
то полная волна (если пренебречь многократным рассеянием) равна
elftz —V 1elh{2^dt\] (3.82)
•—J di
i—1
где dt = | г — г, | — расстояние от i-ro центра до точки г, где наблюдается
волна (рис. 3.8).
Чтобы найти интенсивность рассеянной волны в точке г, необходимо
возвести в квадрат сумму, фигурирующую в соотношении (3.82). При этом
образуется двойная сумма по i и j. Удобно рассмотреть отдельно члены
с i = / и i #= j:
ф,чс |2=ь2«21 v exPLifcip_+.jgi. |2=iw у =
I “i I Ojdj
г ij
19 2 . 7 9 2 V ex₽[*^(zi zi~ di /оста
= 2.^1 + fc2«2 2--------------------• <3-83>
i
Первая сумма (i = /) дает интенсивность некогерентного рассеяния, а вторая
(i =4 у) — интенсивность когерентного рассеяния.
Некогерентное рассеяние не зависит от направления. Если образец
и детектор малы по сравнению с расстоянием R между ними, можно написать
dj « 7? и некогерентная интенсивность будет равна'
|фнекогеР|2^ЛТЬ2-^ . (3.84)
1 В данном случае Ъ = )
Освободи \ Л/ М / / оо/
133
Напротив, когерентное рассеяние сильно зависит от угла и существенно
лишь в случае, когда z; — Zj + dt — dj = 2nn/k = nk (n — целое), напри-
мер в направлении вперед (п = 0), и если центры расположены упорядочен-
но под определенными углами, называемыми брэгговскими углами. В этих
направлениях когерентная интенсивность имеет вид
|1ркогер|2~Л^2_^_ (3.85)
и оказывается намного большей, чем некогерентная интенсивность.
б. Когерентное рассеяние на различных центрах. Теперь предположим,
что имеется два различных типа случайно распределенных рассеивающих
центров с длинами рассеяния ал и а2. Пусть имеется Nt центров первого
типа и TV2 — второго с относительными концентрациями с, и с2
Nl + N2 = N-, 4 = -^-; с2 = ->. (3.86)
Центры двух типов могут быть двумя изотопами того же элемента или,
что более важно для нас, могут различаться только ориентацией спина.
При таком рассмотрении соотношение (3.83) должно быть заменено на
]Vi
| Abe |2 = Ь2 | Щ + я2 У + аг)] |2 (3 _g7)
г— 1 г= 1
и интенсивность когерентного рассеяния в соответствующих направле-
ниях равна1
| фкогер |2 = Ь21 (11 + а2 |2 = ~ Ъ2 (c/tj + с2а2)2. (3.88)
Она такая же, как если бы центры были одинаковы и имели общую
амплитуду
«когер — с1а1 с2а2- (3.89)
Если центры отличаются только направлением спинов, длинами рассеяния
являются а+ и соответствующие значениям J = /4-1/2 и J = 1—1/2.
Концентрации, выражающие вероятности этих ориентаций, равны
с+ = 214-1 ’ с~ = 214-1 (3.90)
и, таким образом,
Z 4~ 1 I I /О Q4 \
^когер — 2/4-1 ’ (О.У1)
Последнее равенство при 1 = 1/2 сводится к соотношению (3.80).
Обычно сечение когерентного рассеяния определяется как
Окогер = 4лЬ2Якогер- (3.92)
Интенсивность когерентного рассеяния (3.88) пропорциональна оК0Гер, но ее
зависимость от числа рассеивающих центров квадратична в максимуме ди-
фракционной линии. Это компенсируется тем, что линии становятся уже,
когда N возрастает.
в. Измерение когерентного рассеяния от кристаллов, содержащих водо-
род. Первый опыт по когерентному рассеянию нейтронов на водороде был
выполнен [60, 76] с использованием двойного кристаллического спектро-
метра. В этом приборе первый кристалл благодаря брегговскому отражению
1 Когда раскрывается квадрат в соотношении (3.87), квадраты каждой из сумм
дают вклад в когерентную и некогерентную части, в то время как смешанные члены
дают вклад только в когерентную интенсивность. Легко видеть, что когерентные члены
могут быть сгруппированы, как в соотношении (3.88).
134
создает монохроматический пучок; второй кристалл состоит из исследуемого
вещества.
Таким веществом был Nall. В начале этих опытов кристаллическая
структура NaH была неизвестна, поскольку дифракция рентгеновских лучей
не позволяет определять положение атомов водорода. Посредством нейтрон-
ной дифракции прежде всего было показано, что структура Nall такая же,
как у NaCl. Затем было измерено поперечное сечение когерентного рассея-
ния на водороде 1
<гкогер = 4л4«^)Гер - (2,0 ± 0,3) X Ю"24 см2. (3.93)
Эти измерения совместно с измерениями поперечного сечения на свободном
протоне привели к следующим значениям at и as:
at - - + 5,22 X 10"13 ел; |
as^- -23,4 X JO'13 см J (3’94)
и соотношение (3.61) к
re, t = (1,6 ± 0,2) X 10 13 см. (3.95)
§ 9. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН
а. Оптическая теорема. Оптическая теорема связывает
показатель преломления вещества с поперечным сечением
рассеяния на индивидуальных атомах и ядрах, из кото-
рых состоит вещество.
Рассмотрим плоскую волну elhz (рис. 3.9), которая падает перпендику-
лярно на тонкую пластинку вещества толщиной t с показателем преломления
Рис 3 9 Графический метод доказательства оптическом
теоремы.
п. Проходя через пластинку, волна испытывает сдвиг по фазе и выходит в виде
ф (Z > t) = е‘[Мг-о+пЫ] ~ eiAz [1 + i* (Я — 1) Л- (3-96)
Теперь предположим, что вещество пластинки содержит рассеивающие
центры с плотностью N и эти центры рассеивают волну сферически
симметрично с длиной рассеяния а. Волна при z > t может быть
выражена как 2
р Лйг
ф(з > Z) = e1/iZ — aNt2n \ р dp —— .
(3.97)
1 Для атомов водорода, связанных в решетке, 6 = 2.
2 Множитель b при этом выводе был опущен, а длины рассеяния должны рассма-
триваться как длины рассеяния на связанных центрах.
135
Ho prfp = rdr и интеграл может быть легко вычислен с помощью коэффи-
циента сходимости ехр (—юг) (со > 0)
\ е1/£Г dr = lim \ e(lft-“)r dr = —(3 98)
J и_>о J lk ’
z z
так, что
ф (z > t) — elftz + a eiftz. (3.99)
Сравнивая соотношения (3.96) и (3.99), получим
п—1= — ^-а. (3.100)
Это равенство можно распространить на рассеяние, не обладаю-
щее сферической симметрией, которому соответствует
амплитуда / (6).
Вывод выполняется так же, как и для соотношения (3.100): / (0) преоб-
разуется в функцию от г, / (0) — / (arcsin у) --- ф (г) и интеграл ф (г) eihrdr
берется по частям. Одной из частей можно пренебречь в предположении, что
Ф (г) не изменяется существенно на длине волны. Полученный результат
имеет вид
и-1 ^/(0), (3.101)
где / (0) — амплитуда рассеяния вперед; зто можно было ожидать, принимая
во внимание, что показатель преломления описывает распространение волны
в направлении вперед.
Формула (3.101) остается в силе и в том случае, если показатель прелом-
ления п содержит мнимую часть, которая описывает ослабление пучка.
Разделяя действительную и мнимую части в выражении (3.101), можно
написать
Re(n-l) = ^Re/(0); 1
i
(3.102)
Линейный коэффициент поглощения, соответствующий мнимой части п,
получается возведением соотношения (3.96) в квадрат и равен 2/с1ши. Тот
же коэффициент поглощения с точки зрения корпускулярной теории равен
обратной величине среднего свободного пробега ТУОполп- Таким образом, из
оптической теоремы следует, что
ополЬ = -^1п1П = -^1т/(0). (3.103)
Наконец, необходимо отметить, что в случае нескольких типов рассеивающих
центров / (0) должна быть заменена соответствующей когерентной амплиту-
дой, так как распространение волны в направлении вперед является коге-
рентным эффектом. Итак, соотношение (3.101) в общем случае имеет вид:
п-1 = ^/КОгеР(0), (3.104а)
и для рассеяния медленных нейтронов:
«-1 = —^-«когср. (3.1046)
При /сщ-огер < 1 мнимая часть амплитуды рассеяния незначительна [соотно-
шение (3.8)] и показатель преломления может считаться действительным.
б. Зеркальное отражение нейтронов. Нейтронные показатели преломле-
ния близки к единице, и их трудно измерить. Однако оказалось возможным
136
наблюдать отражение нейтронов от границы двух веществ и измерять крити-
ческий угол скольжения при полном отражении 0С. Из этих опытов можно
получить когерентную амплитуду рассеяния:
„ . 2.тЛ’ \
COS 0С— Т1 — 1 &когер»
|/4±Уакогер (3.10а)
t)c « £ —.
Хьюзом и сотр. [1] этим методом получены] наиболее точные данные о коге-
рентной длине рассеяния нейтронов
ь^когер = 2«когер = — (3,78 + 0,02) X 10~13 см. (3.106)
Эта величина вместе с лучшими данными по сечению рассеяния на свободных
протонах приводит к точным величинам as и at. Из величины at и энергии
связи дейтона в соответствии с соотношением (3.61) получим
Ге, t = (1,7 + 0,03) х Ю“13 см. (3.107)
Из энергетической зависимости сечения рассеяния на свободном протоне
1см. соотношение (3.62) и рис. 3.1] можно определить эффективный радиус
синглета res-
Заканчивая обсуждение вопроса о н-/?-рассеянии при малых энергиях,
приведем лучшие значения [2] параметров, встречающихся в этом процессе:
R = (4,3157 ± 0,002) X 10~13 см из В = (2,226 + 0,002) Мэв; (3.108)
Я/ = (±5,415 ±0,012) хЮ"13 см; (3.109)
as =- (— 23,806 ± 0,028) х 10~13 см из оСВОб = (20,57 ± 0,04) X 10-24 см?
и из 2акогер = ( — 3,78 ± 0,02) X 10-13 см; (3.110)
re, t = (1,704 ± 0,028) X 10 13 см из величин В и at; (3.111)
r,fS = (2,49 ± 0,24) X 10-13 см из энергетической зависимости
сечения и-р-рассеяния (см. рис. 3.1, б). (3.112)
Эти численные результаты содержат всю информацию о нейтрон-про-
тонных силах, которая может быть получена из опытов по рассеянию при
низких энергиях.
Б. ПОВЕДЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В ВЕЩЕСТВЕ
§ 10. ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
а. Кинематика столкновений в 5-состоянии. Нейтроны,
испускаемые в ядерных реакциях, имеют энергию порядка
нескольких мегаэлектронвольт. Они замедляются до дости-
жения теплового равновесия со средой в ряде последовательных 5-рас-
сеяний в веществе. После этого они диффундируют, подобно газовым моле-
кулам, пока не захватятся ядрами.
Процесс замедления и тепловая диффузия исследовались, главным
образом, Ферми и представляют интерес для любых экспериментов с ней-
тронами. Мы рассматриваем эти процессы, следуя Ферми, но, чтобы избежать
усложнений, пренебрегаем возможностью захвата при замедлении.
Пусть М — масса нейтрона, Ео — его скорость в лабораторной системе,
МА — масса рассеивающего ядра, 0Ь — угол рассеяния в лабораторной
системе и 0О — угол рассеяния в системе центра масс. Тогда скорость
системы центра масс vc и скорость нейтрона в этой системе v0 равны
vo = Vo-vc = -^Vo. (3.113)
1 - j- ±1 1 --j- +1
137
Из этих равенств и из рис. 3.10 получим скорость Vt и энергию Е, после
столкновения как функцию угла рассеяния в системе центра масс
lZi = + ис + 2vovc cos t)0 = 1
Я1 = ц^2(1+Л2 + 2Лсо8 0о), I
где E0 = -^-MV20— начальная кинетическая энергия. Можно
(Л —1)2 р Р / р
(Л + Г)'2
(3.114)
написать
(3.115)
Вследствие 5-характера рассеяния число случаев на единичный телесный
угол в системе центра масс постоянно
о- = ~7~ (3.116)
2л sin 0О б/0о 4л х '
Отсюда следует, что спектр однократно рассеянных нейтронов имеет форму
площадки, как показано на рис. 3.11.
IjWVil JM! I (Л+1)2 1
I dEi | d0o I Г 4Л ' Ео * р.гю)
б. Скорость потери энергии при последовательных столкновениях. Чтобы
рассмотреть действие многих столкновений, Ферми ввел метод усреднения,
Рис. 3.10. Кинематика рассеяния
нейтронов.
(fJVr
(А+1)2
МЕВ
Рпс. 3.11. Спектр однократно рас-
сеянных нейтронов.
пригодный для случая, когда средняя относительная потеря энергии на
одно столкновение всегда одна и та же. Он определил среднюю лога-
рифмическую потерю энергии
M+D2
4ЛЕ0
Ео
(^)2-
(Л-1)2 Л-1
2А ё Л + 1
(3.118)
которая не зависит от £0.
При каждом столкновении log Е уменьшается в среднем на £. После v
столкновений
log£'v = lg^0 — Ь1 ’ (3.119)
или
Ev = Eoe-6v.
Определяя
e = lgF
(3.120)
138
можно представить себе нейтроны, опускающиеся по оси е = log Е. Их сред-
няя скорость вдоль этой оси равна
= -dlo,g—(3.121)
е dt dv dt b '
где — средняя длина свободного пробега и F/As — число рассеяний в еди-
ницу времени. Можно также подсчитать скорость вдоль оси Е
„ _dE _ dE d\og,E _ Ely Щ199\
dt dlogE' dt X4 *
Спектр нейтронов в процессе замедления получается, если учесть, что
N (Е) vE не должно зависеть от энергии, т. е. если нет п о г л о щ е-
н и я. Таким образом, поток N (Е) V обратно пропорционален энергии
^(£)F_cons£ (3.123)
в. Диффузия в пространстве, сопровождающаяся потерями энергии.
Когда нейтроны замедляются, они диффундируют в поглотителе. Удобно
рассматривать этот процесс в четырехмерном xyz& пространстве. Если п —
четырехмерная нейтронная плотность и V (vxvvvz) — скорость нейтронной
жидкости (в отличие от кинетической скорости индивидуальных нейтро-
нов К), уравнение непрерывности, если пренебречь поглощением, имеет вид
dnvx dnvy dnvz dnve dn /Ч 19/Л
Диффузия в пространстве может рассматриваться в соответствии с обычным
уравнением диффузии
пу——D gradn (3.125)
и кинетической теорией, из которой известно, что коэффициент диффузии
равен
D = ^-, (3.126)
О
где Af — средняя свободная длина переноса, т. е. средний свободный пробег
рассеяния, исправленный на тенденцию нейтронов продолжать движение
вперед (в лабораторной системе):
1 As As /О л 97\
= l-<cosOL) = 1-2/(ЗЛ) • 1Z
Вводя выражения (3.125) и (3.126) в уравнение (3.124), можно написать
-div^.gradn + ^-= —. (3.128)
Учитывая, что At и V не зависят явно от положения, получаем
(3.129)
г. Фермиевское уравнение возраста. Если теперь определить
q— —nve = nV (3.130)
и
ео
T=?^Lde, , (3.131)
е) Зд
Е
из которого, если Xs и не зависят от энергии, следует
139
и уравнение (3.129) для стационарного состояния (dnldt = 0) переходит в
v25—^=0. (3.133)
Уравнение (3.133) — это знаменитое фермиевское уравнение воз-
раста. Здесь q — плотность нейтронного тока вдоль оси энергии е, или
плотность замедления, т. е. число нейтронов в единице объема,,
проходящих через значение энергии е за единицу времени, т — так назы-
ваемый «в о з р а с т», имеющий размерность длины в квадрате, равный
нулю для «новорожденных» нейтронов с начальной энергией Ёо и большой
для «старых» нейтронов малой энергии.
Формально уравнение (3.133) аналогично уравнению тепловой диффузии
(где q было бы количеством теплоты и т — временем). Поэтому его решение
хорошо исследовано.
Для точечного нейтронного источника q — это гауссовская функция г
(3.134)
где Q — постоянная, связанная с силой источника. Чем старше нейтроны,
тем шире распределение Гаусса. Средний квадрат расстояния, проходимого
нейтронами возраста т, равен
f г2 ехр (—г2/4т) dr
(R2) = Д---------------------= 6т.
( ехр (— г2/4т) dr
(3.135}
Плотность замедления можно измерить, исследуя радиоактивность,
наведенную в «фольгах», которая имеет острый резонанс при захвате ней-
тронов различных энергий.
§ 11. ПОВЕДЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Процесс замедления заканчивается, когда нейтроны дости-
гают теплового равновесия с окружающей средой. Процессы
диффузии, однако, продолжаются и после этого. В хороших
замедлителях типа С или D почти все нейтроны достигают тепловой энергии.
Функция q (г, ттепл), полученная в результате решения уравнения (3.113),
имеет смысл источника тепловых нейтронов па единицу объема и единицу
времени. Тепловые нейтроны не исчезают до тех пор, пока нс захватываются
(они редко живут до распада!). Таким образом, если Ха — средний свобод-
ный пробег поглощения, имеется сток тепловых нейтронов ктеплГтепл/Ха
на единицу объема в единицу времени.
В стационарных условиях, dnldt = 0, уравнение непрерывности может
быть записано так:
div(nTenJIvTCnjI) — q(r, ттепл) + Птепл-тсп-л = 0. (3.136)
Лд.
Используя уравнение диффузии (3.125) с коэффициентом термодиффузии
1)теПл=--спл3Гтепл (3.137)
и определяя диффузионную длину следующим образом:
= ^теплЧ , (3.138)
имеем
Г2птепл + ^’^тспд)—^F = 0. (3.139)
В качестве примера рассмотрим применение соотношения (3.139) к одно-
му из первых измерений [5] сечения захвата нейтронов протонами.
140
Пусть нейтроны от источника замедляются в парафиновом или водяном
баке. Будем рассматривать ту область, где источник тепловых нейтронов
q (г, Ттепл) может считаться постоянным или по крайней мере не изменяющим-
ся в направлении z. В этой области поместим плоский поглотитель тепловых
нейтронов, а именно лист Cd. Если z — расстояние от листа, то соотноше-
ние (3.139) переходит в
^2птепл । Q итепл <. Г 3 1401
dz2 D £2 v’ >
и его решение для рассматриваемого случая имеет вид
п«А-|-Ве-Ч (3.141)
Теперь можно зондировать п, измеряя радиоактивность, наведенную
тепловыми нейтронами в некоторой подходящей маленькой «фольге», поме-
щенной на различных расстояниях z. Из п (z) получим L и [см. выраже-
ние (3.138)1. Так определяется поперечное сечение поглощения, основной
вклад в которое вносит водород. Результат для поглощения тепловых ней-
тронов протонами таков:
оПогл = 0,3 X 10-24 см1 2. (3.142)
Теория захвата нейтронов протонами рассматривается в гл. 4, разд. Б.
В. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НУКЛОНОВ С ЭЛЕКТРОНАМИ
§ 12. МАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НЕЙТРОНАМИ
И ЭЛЕКТРОНАМИ
а. Теория магнитного рассеяния. Взаимодействие между
нейтронами и электронами происходит вследствие наличия
у нейтрона магнитного момента. Нейтрон и электрон в покое
должны взаимодействовать через диполь-дипольный потенциал типа, опи-
санного выражением (1.119). Магнитный момент нейтрона взаимодействует
также с магнитным полем, образуемым электронным током.
Рассеяние нейтронов на свободных электронах трудно, однако, изучать
экспериментально, и рассматриваемая проблема сводится к исследованию
рассеяния нейтронов на электронах магнитных материалов. В немагнитных
материалах спины и орбитальные моменты различных электронов взаимно
погашаются и результирующий эффект равен нулю.
Предположим, что энергия взаимодействия нейтрона в намагниченном
материале имеет вид
Щ^ВпВ, (3.143)
где [in — магнитный момент нейтрона в единицах ядерного магнетона и В —
вектор магнитной индукции, вызываемой электроном.
Предлагались также и другие формы взаимодействия [10]. Было пока-
зано [20], что эти формы эквивалентны выражению (3.143), за исключением
замены В на Н + 4лСш, где m — плотность магнитного момента; С —
неопределенная постоянная, величина которой заключена между нулем
и единицей. Наконец, было показано экспериментально [341, что постоян-
ная С близка к единице и что соотношение (3.143) является правильной
формулой.
Представим выражение (3.143) в более удобной для численных оценок
форме г.
1 Последующие вычисления являются упрощенным вариантом работы Халь-
перна и Джонсона [32]. В оригинальной работе атом рассматривался релятивистски
и квантовомеханически, в то время как мы используем классическое описание плотности
магнитного момента.
141
Рассмотрим рассеяние нейтронной волны атомом с магнитным моментом
(| е | ti!2mc) рА, распределенным в атомном объеме с плотностью g (гА),
для которой g (гА) drА = 1. Этому распределению магнитного момента
соответствует распределение плотности тока
Т j(rz)---^^-rot[g(rA)iiA], (3.144)
который взаимодействует с вектором-потенциалом, создаваемым магнитным
моментом нейтрона, координата которого гп
= V(lr"-r^l)-1- (З-145)
Плотность энергии, эквивалентная соотношению (3.143), равна скаляр-
ному произведению векторов (3.144) и (3.145) х, взятому с отрицательным
знаком, и гамильтониан магнитного взаимодействия можно записать в виде
§ {rot [g(rA) цА]} {pn x V (I rn -rA |)-1) drA. (3.146)
В результате взаимодействия нейтрон рассеивается. Для медленных
нейтронов амплитуда рассеяния на целом атоме представляет собой сумму
двух членов
f=-aN±fm. (3.147)
Первый член,—а^, не зависит от энергии и угла и соответствует ядерному
рассеянию. Второй член, /т, описывает магнитные эффекты и зависит от
энергии и угла, так как длина волны нейтрона того же порядка величины,
что и атомные размеры; fm может зависеть от <р, если намагничение перпен-
дикулярно к направлению распространения. Амплитуда магнитного рас-
сеяния может быть вычислена в борцовском приближении. Вводя передан-
ный импульс hq = hk — kk', где k' — волновой вектор рассеянной волны,
имеем
Ап = —2^ S elqrn<^m (Гп) drn
= ^Г2“^е1Ч Г'1{го1[я(гл)^1}-{Цп> V (I гп - гА I)-1} drA drn. (3.148)
б. Вычисление сечения магнитного рассеяния. Если ввести гп — гА = г,
то интеграл в соотношении (3.148) расщепится на два:
= [SelQrArot[g(rA)pA]drA] • [§ei4 V (у) dr] . (3.149)
Первый интеграл можно взять, записывая rot [g (гА) цА] = — рА,х grad g (rA)
и затем интегрируя по частям. В результате получим
i/’gA X q, где F = e^rg (г) dr. (3.150)
Здесь F (д) — магнитный формфактор, аналогичный атомному форм-
фактору, хорошо известному из рассеяния рентгеновских лучей.
1 Обозначая m плотность намагниченности и используя хорошо известное вектор-
ное соотношение, имеем
— р-В —>— in-В dr - — ш-rot A dr =
р р j р
= \ divmx Л dr— \ (rot m)-A dr = —— \ j-Adr.
142
Второй интеграл равен
Мп X § еИ-г? (A) dr = — gnx ^е’ч r-L-cZr.
(3.151)
Если выбрать систему координат с осью z в направлении q, х- и у-компо-
ненты интеграла обратятся в нуль. Если использовать интеграл (3.98),
выражение (3.151) переходит в
(3.152)
Рис. 3.12. Геометрическое построение вектора Q при рассеянии в плос-
кости намагниченности:
а — для поперечного цА; б — для продольного цА (G —угол рассеяния).
Таким образом, соотношение (3.149) может быть записано в виде1
frn = у 7^2- ^ВаВп (Вд х q)• (fin X q), (3.153)
где Ва, Bn, q — единичные векторы в направлениях jr4, fi„, q. Используем
теперь векторное тождество
(Да X q) (Дп , q) — (Ва’<1) (Вп’Ч) + Дп- Ва =
=- Вп-[ —Ч(Вл-Ч) + Ва]= —Bn-Q,
где Q определено как
Q = (BA-qj°q — Ва-
Если учесть, что (рис. 3.12)
|Q| = sin(gA, q),
то соотношение (3.153) переходит в
fm = ± -j - ^ВаВп sin (Ва, q),
(3.154)
(3.155)
(3.156)
(3.157)
где знак «±» относится к нейтронам со спином, соответственно параллельным
или антипараллельным направлению Q.
Геометрия несколько запутана, но применения к частным случаям
могут быть сделаны без больших затруднений. Из соотношения (3.157)
получаем дифференциальное атомное поперечное сечение для нейтронов,
1 В соотношении (3.153) и последующих формулах рА и рп — положительные
числа, и единичные векторы рА и р„ противоположны спинам атома и нейтрона.
143
поляризованных в направлении ±Q:
. ДЕ
g- = (aw±|/m|)2- (3.158) не
в а
Если нейтроны не поляризованы, после усреднения по двум спиновым
направлениям получаем
(3.159)
Наконец, если нейтроны не поляризованы и железо не намагничено, следует
усреднить fm по всем направлениям p.Ai. Это дает
(3.160)
Амплитуда рассеяния вперед определяется только продольной компо- JJ
нентой р.А при вычислении показателя преломления. Это можно видеть из ч
усреднения по <р диаграммы рис. 3.12 с учетом того факта, что для рассеяния т
под углами, близкими к нулю, q почти поперечно. Показатель преломления д
для продольно поляризованного железа имеет две величины, по одной для п
каждой из двух продольных поляризаций: *
. 2л7У ( 1 е2 \ /о с
+ • (3.161) т
В этом выражении F заменено единицей, так как q = 0 для рассеяния вперед. ,
в. Эксперименты по магнитному рассеянию. Из соотношений (3.157) ;
и (3.158) можно заключить, что полное поперечное сечение для нейтронов, i
проходящих через намагниченное железо, зависит от относительного направ- <
ления щ, и цА. Таким образом, пропуская нейтроны через железо, можно <
создать поляризаторы и анализаторы нейтронов. Этот метод получил широ-
кое применение, в частности для измерения магнитного момента нейтронов.
Измеряя дифференциальное сечение когерентного рассеяния в поли-
кристаллическом железе [63], можно определить формфактор F (который
зависит от q и, следовательно, от угла). Этот магнитный формфактор пред-
ставляет большой интерес для твердотельной теории магнитных материалов.
Другим важным вкладом магнитного рассеяния нейтронов в физику
твердого тела было открытие антиферромагнетизма и его последующее
изучение [61, 62].
Интересным применением магнитного рассеяния является отражение
нейтронов от магнитных зеркал. Как видно из соотношения (3.161), магнит-
ные вещества имеют два показателя преломления для нейтронов. Эти показа-
тели могут быть записаны в форме [используем Bs » 4лт — 4n7V (ей/2пгс)рА;
А2Й2 = 2МЕ]
(3.162)
где Bs — величина насыщения магнитной индукции и Е — энергия нейтро-
на в тех же единицах, что и pnBs. Формула (3.162) может использоваться
независимо от того, намагничено ли в макроскопическом смысле железо
или нет. Два показателя преломления соответствуют двум критическим
углам зеркального отражения. Эти углы были измерены и изучены [34].
Именно эти исследования позволили доказать справедливость соотноше-
ния (3.143).
Наконец, отметим, что путем отражения от намагниченных зеркал из
кобальта можно получить высокополяризованные (100 ± 5%) нейтронные
пучки [33, 341.
1 Усреднение должно быть выполнено с учетом того, что ненамагниченное железо
состоит из беспорядочно ориентированных намагниченных доменов. Результат был бы
другим для нержавеющей стали или для парамагнитных веществ, в которых усреднение
каждого атомного магнитного момента дает нуль.
144
Ядерная длина рассеяния кобальта такова, что п — 1 меняет знак для
двух спиновых состояний, и, следовательно, полностью отражаются только
нейтроны с одной определенной ориентацией спина. Такие пучки использо
вались для исследования |3-распада поляризованных нейтронов.
§ 13. ДРУГИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ медленных нейтронов
И ЭЛЕКТРОНОВ <
а. Нейтрон-электронные взаимодействия. Помимо маг-
нитного взаимодействия, рассмотренного в предыдущем
параграфе, имеется несколько других причин взаимодей-
ствия нейтронов с электронами.
Прежде всего, это релятивистские эффекты, которые следуют из теории
Дирака. Хорошо известно предсказание релятивистской теории электрона,
что со спином, даже если электрон покоится, связан магнитный момент. Из
теории Дирака следует, что нейтральная частица с магнитным моментом
даже в состоянии покоя должна взаимодействовать с электростатическим
потенциалом (см. гл. 6, § 56). Вычисленный эффект приводит к притяжению
между нейтроном и электроном. Если предположить, что взаимодействие
описывается прямоугольной ямой радиуса ёЧтс* 2,8-10 13 см, то теоре-
тическая глубина ямы оказывается равной 3,9 кэв.
Во-вторых, согласно мезонной теории, нейтрон имеет определенную
вероятность существования в виде протона, окруженного отрицательно заря-
женным мезонным облаком. Это создает дополнительное электростатическое
взаимодействие, поскольку заряд нейтрона не всюду равен нулю. Наконец,
чрезвычайно слабые (ненаблюдаемые) электрон-нейтронные силы должны
существовать как следствие взаимодействия, приводящего к |3-распаду.
Теперь перейдем к рассмотрению некоторых данных о нуклон электрон-
ном взаимодействии, полученных при изучении рассеяния нейтронов низкой
энергии.
б. Экспериментальные работы. Некоторые авторы пытались экспери-
ментально обнаружить взаимодействие нейтрон — электрон, не связанное
с магнитными эффектами. В этих опытах использовались немагнитные
вещества. Рассеяние на электронах отделялось от ядерного рассеяния либо
по угловой зависимости, либо по энергетической зависимости формфактора.
Оба метода основаны на том факте, что «радиус» электронных орбит атома
не может считаться пренебрежимо малым по сравнению с длиной волны ней-
трона.
Ферми и Маршалл [221 искали отклонения от сферической симметрии
при рассеянии нейтронов на Хе. Никакой угловой зависимости обнаружено
не было. В предположении о яме с радиусом г0 еЧтс2, для ее глубины
получена оценка —300 ± 500 эв.
Используя аналогичный, но несколько уточненный метод, Хамермеш
и др. [361 получили притягивающую яму с глубиной 5020 (±13%) эв в Кг
и 2860 (±16%) эв в Хе. Средняя величина 4100 (±10%) эз очень близка
к релятивистскому значению, вычисленному исходя из аномального магнит-
ного момента.
Другая методика была использована Хейвенсом, Раби и Рейнвотером
[35[, которые измеряли поперечное сечение рассеяния тепловых нейтронов
различной энергии на свинце. Наблюдался небольшой эффект, соответствую-
щий притягивающему потенциалу с величиной около 2500 эв.
Хьюз и др. [38[ применили метод скользящего отражения от полностью
отражающих зеркал. Отражающей поверхностью являлась поверхность
раздела между жидким кислородом и твердым висмутом. В этом случае
критический угол 0С [см. соотношение (3.105)1 равен
0с = 4 {Аго [«о-8/ег (0)] - Ащ [«щ -83/е; (0)]}. (3.163)
гЬ
10 Ядерные взаимодействия
14«5
Так как нуклонные рассеивающие способности двух выбранных веществ
были хорошо известны и очень близки (7Vo«o ~ ^В1«В1), влияние электронов
могло быть измерено с некоторой точностью. Полученный результат равен
3800 ± 370 эв.
В последних измерениях, выполненных в Колумбийском университете
[52], была исследована энергетическая зависимость рассеяния. Полученный
результат равен 4165 ± 265 эв.
Эти измерения находятся в соответствии с 3,9 кэв, предсказанными на
основании одного лишь аномального магнитного момента. Никаких указаний
на распределение заряда по конечному объему получено не было.
§ 14. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ
НУКЛОНАМИ
а. Рассеяние электронов протонами. Рассеяние электро-
нов низкой энергии протонами является, в основном, резуль-
татом электростатических эффектов и подчиняется законам
рассеяния Резерфорда. При средних энергиях нужно учитывать релятиви-
стские спиновые эффекты наряду с влиянием аномального магнитного момен-
та протона, гезультирующии за-
кон рассеяния может быть рас-
считан на основе теории Дирака,
как показано в гл. 6.
В этой главе будут рассмот-
рены, главным образом, явления,
вызываемые конечным размером
нуклонов. Эти явления могут дать
информацию об электромагнитной
структуре протона. В соответствии
с мезонной теорией протон, так
же как и нейтрон, должен быть
окружен мезонным «облаком» и со-
стоять из распределения зарядов
конечной протяженности. Ясно,
что экспериментальная ипформа
ция по этому вопросу имеет боль-
шое значение для понимания ос-
новных взаимодействий между
элементарными частицами.
Для экспериментального ис-
следования этих вопросов из-за
малого «размера» протона требу-
ются электроны с малой длиной
волны, т. е. с высокой энергией.
Рла6>гРаВ
Рис. 3.13. Угловое распределение для упруго-
го рассеяния электронов с энергией 400 Мае
на протонах. Сплошные липни — теоретиче-
ские кривые IHofstadter R. Rev. Mod.
Phys., 28, 235 (1957)].
В результате создания и после-
дующих усовершенствований линейного ускорителя электронов в Стэн-
фордском университете экспериментаторы получили электронные пучки,
энергия которых возрастала от года к году. Под руководством Хофштад-
тера эти пучки были впервые использованы для определения радиусов
ядер (гл. 2, § 6в) и, как только была достигнута достаточная энергия,
для изучения структуры нуклонов. Аналогичные исследования были
проведены в Корнельском университете с помощью пучка от электронного
синхротрона на 1,3 Гэв.
Уже при 400 Мэв (рис. 3.13) поперечное сечение рассеяния на большие
углы заметно меньше сечения, ожидаемого для точечного взаимодействия.
На современном уровне наших знаний нет причин сомневаться в том, что
электрон является точечной частицей, поэтому расхождение должно быть
отнесено за счет конечного размера протона.
146
Электромагнитное взаимодействие протона описывается его зарядом
и аномальным магнитным моментом \ и необходимо рассматривать отдельно
распределение заряда и распределение аномального момента. Оказывается,
однако, что [39] до 400 Мэв экспериментальные данные могут быть объяснены
в предположении, что распределения заряда и аномального магнитного
момента протона имеют экспо-
ненциальный характер с при-
близительно равными ради-
усами:
гс а. гц а? 0,8 X 10-13 см.
(3.164)
Другой способ выразить раз-
меры протона состоит в ука-
зании формфакторов:
Fp для распределения
заряда,
Fr, —для распределения
аномального маг-
нитного момента.
(3.165)
Формфактор, связанный
с распределением g (г), был
определен в соотношении
(3.150) как функция передан-
ного импульса Tiq. Он равен
единице для точечного заряда
и является убывающей функ-
цией q для протяженного рас-
пределения заряда.
Для рассмотрения рассея-
ния электронов высокой энер-
гии определение формфактора
по соотношению (3.150) не-
пригодно и должно быть
заменено релятивистски ин-
вариантным определением.
Для этой цели достаточно
заменить переданный импульс
Рис. 3.14. Формфакторы нуклонов. Сплошные
кривые получены из уравнении (3.166) и (3.168)
четырехкомпонентным переданным импуль-
сом (с компонентами = Ъ (kt — к\) и (£” — Е)/С} и вектор г — четырех-
компонентным радиусом-вектором. Такой формфактор описывает конечное
распространение во времени (запаздывание) так же, как и в пространстве.
Однако для упругого рассеяния, рассматриваемого в системе центра масс,
четвертая компонента переданного импульса исчезает (так как Е' = Е)
и формфакторы являются функциями величины пространственного вектора
даже в релятивистском случае 1 2.
Из данных о рассеянии при 900 Мэв (Станфорд [43, 46, 19]) и при 1,3 Гэв
(Корнел [491) следует, что для больших значений четырехмерных передан-
ных импульсов формфакторы заряда и аномального магнитного момента
отличаются друг от друга (рис. 3.14) в том смысле, что магнитный момент
обладает более протяженным распределением, чем заряд.
За исключением малых несоответствий, результаты разных групп согла-
суются, и данные могут быть грубо описаны теоретическими кривыми3
1 Нормальная, пли дираковская, часть магнитного момента возникает благодаря
собственному заряду и не должна рассматриваться как независимое свойство.
2 В гл. 6, § 5в и § 9в приводится дальнейшее обсуждение этих вопросов.
3 См. гл. 7, § 22 в, где приведена более точная теоретическая форму лировка
10* 147
(117, 15] сплошные кривые на рис. 3.14) с численными коэффициентами,
выбранными так, чтобы наилучшим образом удовлетворить эксперименталь-
ным данным [50]. Уравнения этих кривых имеют вид
р п , 0,29 0,55
’ 1Н <72/4,4 +-Г+92/8,3 ;
р ___ __О ________0,09___.____2,1__
’ 1-*“ l+g2/4,4 + l + ^g.3 ’J
(3.166)
где q выражается в 1013 см *. Этим формфакторам соответствуют среднеквад-
ратичные радиусы протона, равные
гр 0,ЯК х 10 13 см; ]
грС 0.95 1(р13 c.w. I (3.167)
' Н J
б. Рассеяние электронов на нейтронах. Так как нейтронная мишень
неосуществима, то сведения о формфакторе нейтрона следуют из рассмотре-
нейтрона,
уравнений
Рис.
ного
полученные
3.15. Распределения плотности заряда и аномаль
магнитного момента для протона и
преобразованием Фурье из
(3.166) л (3.168) |50].
ния рассеяния быстрых
электронов дейтонами; по-
лученные данные прости-
раются до энергии 1,3 Гэв
[49]. Мы имеем некоторое
представление о волновой
функции дейтона и о форм-
факторе протона. Из этих
данных можно получить
также нейтронный форм-
фактор. Результаты пока-
заны на рис. 3.14 вместе
с полутеоретическими кри-
выми, которые соответ-
ствуют уравнениям
О 90
Fn 0,26 4
1 + <?2 4.4
0,55
14-</2'8,3 ’
Fn 0,114-—
в 1 р <7“, 4,4
2,1
J+g2/8t3 '
f
(3.168)
Среднеквадратичные ра-
диусы, соответствующие
уравнению (3.169), равны
г„с 0,00 х 10 13 см;
гп^ 0,87 10-13 см. J
(3.169)
Среднеквадратичный
радиус распределения за-
согласуется с неудачей попыток
обнаружить распределение заряда путем рассеяния медленных нейтронов,
как описано в § 13.
Распределение заряда, полученное в результате фурье-преобразования
формфакторов, представлено на рис. 3.15. Протон имеет конечную протя-
женность, как если бы существовала конечная вероятность найти его рас-
павшимся на нейтрон и положительное мезонное облако. Структуру ней-
ряда нейтрона равен нулю. Это
.148
трона можно интерпретировать как возникающую главным образом благодаря
диссоциации на положительный протон, окруженный отрицательным мезон-
ным облаком. Необходимо также учитывать эффекты более высоких поряд-
ков, которые приводят к положительной плотности заряда на больших
расстояниях.
Принимая во внимание трудности экспериментальных исследований
и теоретического анализа, эти выводы должны считаться предварительными.
При дальнейших исследованиях могут произойти изменения в некоторых
деталях.
Более полное обсуждение формфакторов на основе мезонных теорий
приведено в гл. 7, § 22.
Г. РАССЕЯНИЕ ПРОТОНОВ НА ПРОТОНАХ
ПРИ НИЗКИХ ЭНЕРГИЯХ
§ 15. ЯДЕРНОЕ 8-РАССЕЯНИЕ ПРОТОНОВ ПРОТОНАМИ
Рассеяние протонов Цротонами так же важно, как
и рассеяние нейтронов протонами. Несмотря на это, мы
отводим ему мало места, так как из-за аналитических трудно-
стей, возникающих благодаря кулоновскому полю, рассмотрение р-р-рас-
сеяния не раскрывает никаких новых физических идей. Как уже было видно
при обсуждении стабильных ядер, про-
тон-протонные силы состоят из двух
частей — длиннодействующего элек-
тростатического отталкивания и корот-
кодействующего ядерного потенциала
притяжения большой глубины.
До тех пор пока рассматривается
5-волна, действие ядерного потенциала
может быть описано двумя величина-
ми, имеющими размерность длины:
длиной рассеяния as и эффективным
радиусом в.
Вследствие принципа Паули для
I О разрешено лишь синглетное со-
стояние. Измерения р р-рассеяния про-
ще, чем измерения n-р-рассеяния. Бла-
годаря своему заряду протоны могут
быть легко ускорены и зарегистриро
ваны. Ускорение обычно осуществляется
генераторами Ван де Граафа, а реги-
страция — с помощью одного из стан-
дартных счетчиков ионизирующих ча-
стиц.
Кулоновское отталкивание маски-
рует ядерные эффекты при низких
энергиях. Ядерные эффекты начинают
проявляться примерно при 200 кэв, и
можно наблюдать интерференцию меж-
ду ядерным и кулоновским рассея-
Рис. 3.16. Дифференциальные попереч-
ные сечения р-р-рассеяния в системе
цептра масс при энергии Елаб =2.4 Маи.
Пунктирная кривая — чисто кулонов
ское рассеяние. Ядерное рассеяние пре-
обладает в центральной области углов.
При 0=0,п п 0 = л— 0т имеет место
деструктивная интерференция между
ядерным и кулоновским рассеянием.
Прп0<0,„ и 0>л — 0т преобладает
кулоновское рассеяние. (Блатт Дж.,
Вайскопф В. Теоретическая ядерная
физика, М., Изд-во иностр, лит., 1954).
нием (рис. 3.16).
Поперечное сечение симметрично относительно, 90 в системе центра
масс из-за неразличимости двух протонов. При не слишком низкой энергии
(порядка мегаэлектронвольта) дифференциальное сечение постоянно вблизи
90', где наблюдается почти исключительно вклад сферически симметричного
ядерного рассеяния, и быстро возрастает в направлениях вперед и назад
из-за кулоновского (резерфордовского или моттовского, если имеют место
спиновые релятивистские эффекты) рассеяния. В промежуточной области
149
наблюдается уменьшение сечения, вызываемое деструктивной интерферен-
цией двух рассеянных волн.
Информация, получаемая из этих опытов, позволяет определить as
и 7'е> s без неопределенности в знаке.
Если предположить, что электростатический потенциал всюду равен
е2/г, то результат анализа [2] дает
re,s (2,656 ± 0,017) 10 13 см; 1
as (-7,694 ±0,012) 10 13 см. |
(3.170)
Эти величины более точны, чем соответствующие величины для (и — р)"
системы.
Хотя величины re, s для п-р- и р р-рассеяний одинаковы, очевидно, что
as различны. Противоречит ли это гипотезе о зарядовой независимости?
Пытаясь ответить на этот вопрос, прежде всего отметим, что, хотя вели-
чина as для р-р-рассеяния равна приблизительно одной трети от соответ-
'Заряда нет
Точечный заряд
Однородное
распределение заряда
Поверхностный заряд
Рис. 3.17. Протон-протонный
потенциал, созданный ядерной
прямоугольной ямой и электро-
статическим отталкиванием.
(Приг< г0 электростатический
и электромагнитный эффекты
известны недостаточно хо-
рошо) .
Более точное сравнение
затруднительно. Даже если
ствующей величины для н-р-рассеяния, разли-
чие в глубине ядерного потенциала мало:
as=—23-10“13 см соответствует энергии
Ъ2/Ма1 яь 80 кэв для виртуального синглетного
состояния дейтона и as= — 7,7-10-13 см отвечает
0,7 Мэв для виртуального синглетного состоя-
ния дипротона. Различие между этими энер-
гиями мало ио сравнению с глубиной ядерной
ямы, равной »50 Мэв. Кроме того, величины
(3.170) были получены в предположении, что
электростатический потенциал всюду ведет себя
как 1/г или, другими словами, что протоны
обладают точечным электрическим зарядом. Но
в § 14 было показано, что заряд протона рас-
пределен в объеме, радиус которого порядка
0,8-10'13 см. Таким образом, амплитуда содер-
жит не только эффекты ядерных сил, но также
вклад отклонения электростатического потен-
циала от закона 1/г.
Крайне упрощенный вариант этих сообра-
жений (версия прямоугольной ямы) показан на
рис. 3.17. Конечный размер заряда протона
уменьшает электростатическое отталкивание, и
это влияет на величину энергии связи дипро-
тона. Никаких окончательных заключений
нельзя сделать без подробного рассмотрения
электромагнитных эффектов.
(р — р)- и (п — р)-сил в синглетном состоянии
бы распределение заряда протона было точно
известно, в случае р-р-рассеяния нельзя провести анализ ядерных сил, не
зная формы потенциала. Это легко видеть, если предположить, что ядерные
силы имеют отталкивающую сердцевину. В этом случае действие данного
электростатического потенциала должно, очевидно, зависеть от радиуса
сердцевины, т. е. от минимального расстояния, на котором два протона
могут чувствовать взаимные электромагнитные взаимодействия.
Учитывая все это, можно, во-первых, сказать, что кажущееся расхож-
дение между величинами as в соотношениях (3.170) и в (3.100) соответствует
очень малой относительной разнице в глубине ядерной ямы, и, во-вторых,
из-за неопределенности в форме потенциала даже эти малые различия могут
не противоречить зарядовой независимости. Короче говоря, можно заклю-
чить, что в нуклон нуклонном рассеянии при низкой энергии не наблюда-
лось нарушений зарядовой независимости.
150
Д. РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ
§ 16. АНАЛИЗ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ ДЛЯ ЧАСТИЦ
СО СПИНОМ
I
I
I
*
а. Рассеяние бесспиновых частиц. В общем виде метод
парциальных волн, необходимый для более полного анализа
рассеяния бесспиновых частиц, рассмотрен в § 2. Здесь нет
необходимости входить в подробности его применения к рассеянию на раз-
личных потенциалах, которые представляют ограниченный интерес для
ядерной физики.
Заметим только, что каждая волна имеет свою собственную амплитуду
рассеяния я2 и что из-за сохранения орбитального момента между разными
парциальными волнами нет переходов. Амплитуда рассеяния является
диагональной матрицей, когда относится к состояниям с различными /:
с0 О О
О flj О
О 0 с2
В качестве простого примера рассеяния, в котором участвует много
парциальных волн, рассмотрим рассеяние на большой непроницаемой отра-
жающей сфере радиуса /? > i/k. Такая сфера может быть представлена
потенциалами
V (г) = оо для г /?;
V (г) = 0 для г > В.
(3.171)
(3.172)
Все сферические волны должны обращаться в нуль при г = В. Это условие
не влияет существенно на падающие волны с Z > кВ, которые близки
к нулю при кг < I, так как первая точка перегиба функции Бесселя
порядка I находится при Ar = [Z(Z-}-l)]1/2.
Для 1<С.кВ требуется, чтобы sin (кВ—6zj =0 или б/ плД-
— кВ (п — целое).
Таким образом, используя соотношение (3.11), получаем
кН кН
= 2 (2/+ 1) sin2 АТ? 4- 2 (2* + 1)(1-sin3 £/?)] =
*четн ^нечетн
kR kR kR
= $-[ 2 (2Z + 1)-j-sin2 AZ? ( 2 (24 1)- 2 (2T + 1))]-
'нечетн (четн 'нечетн
Для больших кВ две последние суммы взаимно уничтожаются. Первая
сумма содержит кВ!2 членов, средняя величина которых равна »кВ.
Следовательно,
о = ~^-кВ = 2лВ2. (3.173)
к1 2 '
Это хорошо известное выражение вдвое больше геометрического сечения
и включает в себя геометрическую тень и эффекты дифракционного рас-
сеяния.
б. Рассеяние частиц со спином. При наличии спинов волновая функция
первичного пучка должна быть записана как произведение плоской волны
151
и спиновой функции которая характеризует спиновое состояние падаю-
щей частицы и мишени. Аналогично рассеянная волна должна содержать
информацию о спинах, выраженную через спиновую функцию t,'.
Перейдем к рассмотрению решений волнового уравнения, имеющих
асимптотическую форму 1
ф^£е‘"Ч Г(б. ч)-Ц- • (3.174)
Если спин падающей частицы st, а спин мишени s2, то имеется всего
g- (2s, E1)(2s2+1) (3.175)
независимых спиновых состояний.
Обозначим £s ортонормированную систему таких состояний и предста-
вим состояния £ и в виде суммы состояний £s. Для каждого t,s угловая
зависимость падающей и рассеянной волн может быть выражена, как обычно,
через сферические гармоники.
Таким образом, плоская волна разлагается в ряд по индексам I, S,
а рассеянная волна — в ряд по индексам Г, S'.
Однако орбитальный момент и спин не являются хорошими квантовыми
числами, и парциальная волна, соответствующая определенным I и S, может
вызвать рассеянную волну с Г =А Z, 5' =/= 5. Если принять во внимание, что
хорошими квантовыми числами являются полный момент и четность, ампли-
туды рассеянных волн образуют матрицу, элементы которой зависят от
многих индексов и могут быть записаны как
flJ, i-i, s-s, (3.176)
где J I 4 S = Г + S'; I' и 5' принимают любые значения, совместимы?
с законами сохранения. Более точно
|Z'-5'|< J<|/' + 5'|; (-1)'= (-l)r. (3.177)
Амплитуды в соотношении (3.176) являются комплексными числами,
смысл которых аналогичен уже обсуждавшемуся смыслу амплитуд для
спина, равного нулю.
Каждой амплитуде соответствует фазовый сдвиг
Sj.n.s's, (3.178)
с которым она связана формулой, подобной соотношению (3.6). Если рас-
сеяние упругое, фазовые сдвиги для определенных значений полного момента
и четности действительные.
Этот метод поясняется следующими примерами.
в. Спин О и 1/2. Если спины двух частиц равны 0 и 1/2, собственными
состояниями J, отвечающими различной четности, являются:
четные состояния — 51/., DS/„ ...
(3.179)
нечетные состояния — Рг/3 Рз/2 F?/2 ...
Если рассеивающий потенциал содержит член со спин-орбитальной связью,
каждое из этих состояний имеет свою собственную амплитуду рассеяния.
Однако переходы между любой парой состояний невозможны, так как все
такие переходы нарушали бы сохранение полного момента или сохранение
четности.
Матрица амплитуд рассеяния диагональна. Ее элементами ац являются:
51/3 Рз/2 Рз/3
5i/2 «0 О О О О
Р1/2 0 «!,!„ О О О
Рз/2 и и «1,з/2 о' о (3.180)
Ds/2 Ou о «2, з 2 о
Z?5/2 0 0 U 0 «о, 6/а
1 Для более детального изучения вопроса см. § 24. Читатель с теоретическими
наклонностями может начать с общего рассмотрения в § 24 и возвратиться к § 16—19.
152
Для того чтобы придать количественный смысл различным aZJ, рас-
смотрим падающую волну aelftz со спином, ориентированным вдоль направ-
ления ее распространения, которая может быть разложена по собственным
функциям J и I. Используя соотношения (3.1), (1.76) и табл. 1.1, получим
со
aeiftz 2 i1 /4л (2/ -|- 1) /, (кг) аУ? (0)
I о
iK4n(2Z У1)/, (*/)(--!,/ ^3^1 + (3-1«1)
/- 0 2 2
Каждой парциальной волне S') '2,
приписывается амплитуда а
. Таким
1
2
образом полная амплитуда рассеяния / (0) может быть выражена анало-
гично соотношению (3.5):
/(6)
оо _____
2 | 4л(2/+1)[- /+
г=о ’ 2 2
(3.182)
Теперь с помощью соотношения, аналогичного (3.6), можно определить фазы
рассеяния
6Z, i ± i/2 для каждой а
Введенные фазы имеют смысл фазо-
вых сдвигов парциальных волн. Можно использовать матрицу фазо-
вых сдвигов так же, как матрицу амплитуд.
Дифференциальное поперечное сечение получается возведением ампли-
туды (3.182) в квадрат. Это приводит к двойной сумме, содержащей интер-
ференционные члены между различными волнами. В полном поперечном
сечении интерференционные члены исчезают из-за ортогональности волн:
Ополн § | f (6) |2 d<a = 1л У [7л2 , { (Z ' |)+, J
^2(27+1)8^6^.
и
(3.183)
Такое же рассмотрение может быть проведено для волны [3elftz со спином
в направлении —z. Полное поперечное сечение не содержит а и [3 и одина-
ково в обоих случаях.
г. Спины 1/2 и 1/2. Нуклон-нуклонное рассеяние. Состояния двух частиц
со спином 1/2 могут быть подразделены на синглетные и триплетные. При
рассмотрении различных орбитальных моментов возможными состояниями
являются:
четные состояния — 1>S0, 3>S1, 1D2, 3Ul, aD2, 3D3, 'G^, 3G3, 3G,t, 3G5
нечетные состояния—'Р1У 3P0, ЯР}, 3P2, lF3, 3F2, 3F3, 3I‘\,
(3.184)
Теперь рассеяние может сопровождаться переходами между различными
IJ состояниями, совместимыми с сохранением полного момента. Возможные
переходы показаны стрелками (3.184). Каждое из состояний соответствует
153
и спиновой функции £, которая характеризует спиновое состояние падаю-
щей частицы и мишени. Аналогично рассеянная волна должна содержать
информацию о спинах, выраженную через спиновую функцию t,'.
Перейдем к рассмотрению решений волнового уравнения, имеющих
асимптотическую форму 1 * *
iAr
+ ч)-^- - (3.174)
Если спин падающей частицы st, а спин мишени з2, то имеется всего
g (2s1+ t)(2s2+l) ‘ (3.175)
независимых спиновых состояний.
Обозначим £s ортонормированную систему таких состояний и предста-
вим состояния £ и U в виде суммы состояний £s. Для каждого £s угловая
зависимость падающей и рассеянной волн может быть выражена, как обычно,
через сферические гармоники.
Таким образом, плоская волна разлагается в ряд по индексам I, S,
а рассеянная волна — в ряд по индексам Г, S'.
Однако орбитальный момент и спин не являются хорошими квантовыми
числами, и парциальная волна, соответствующая определенным I и S, может
вызвать рассеянную волну с I'=f= I, S' S. Если принять во внимание, что
хорошими квантовыми числами являются полный момент и четность, ампли-
туды рассеянных волн образуют матрицу, элементы которой зависят от
многих индексов и могут быть записаны как
"j, vi,s’S, (3.176)
где .1 := I S = 1' + S'; V и А' принимают любые значения, совместимы*
с законами сохранения. Более точно
\l'-S'|CJ<|Z' + S'|; (-1)' (-if. (3.177)
Амплитуды в соотношении (3.176) являются комплексными числами,
смысл которых аналогичен уже обсуждавшемуся смыслу амплитуд для
спина, равного нулю.
Каждой амплитуде соответствует фазовый сдвиг
6j,BG8's, (3.178)
с которым она связана формулой, подобной соотношению (3.6). Если рас-
сеяние упругое, фазовые сдвиги для определенных значений полного момента
и четности действительные.
Этот метод поясняется следующими примерами.
в. Спин 0 и 1/2. Если спины двух частиц равны 0 и 1/2, собственными
состояниями J, отвечающими различной четности, являются:
четные состояния — Si/„ D3<, ...
D “ г г (ЗЛ7!))
нечетные состояния —Р1/з Рз,2 гз/2 ri/2 ...
Если рассеивающий потенциал содержит член со спин-орбитальной связью,
каждое из этих состояний имеет свою собственную амплитуду рассеяния.
Однако переходы между любой парой состояний невозможны, так как все
такие переходы нарушали бы сохранение полного момента или сохранение
четности.
Матрица амплитуд рассеяния диагональна. Ее элементами atJ являются:
^/г ^з/2 ^6/2
Si/2 а0 О О О О
/й/, 0 «1,1 2 6 О О
Р3/2 0 0 «1,з30 о ' (3.180)
77з/2 0 О 0 «2, з 2 О
Г)з/2 0 0 О 0 5/а
1 Для более детального изучения вопроса см. § 24. Читатель с теоретическими
наклонностями может начать с общего рассмотрения в § 24 и возвратиться к § 16—19.
152
Для того чтобы придать количественный смысл различным gzj, рас-
смотрим падающую волну aeiftz со спином, ориентированным вдоль направ-
ления ее распространения, которая может быть разложена по собственным
функциям J и I. Используя соотношения (3.1), (1.76) и табл. 1.1, получим
•;ю
aei/?z V iz | in (21 4- 1) jt (кг) aY°i (0)
I- о
оо ,______, _______
2 i + i, (kr) (- ]/ + .
C.O 2 2
(3.181)
Каждой парциальной волне приписывается амплитуда a i . Таким
образом полная амплитуда рассеяния / (6) может быть выражена анало-
гично соотношению (3.5)'
оо _____
/ (0) V I ^(2/+ 1) [ - / \ , "С1 -Ь
(=0 ’ 2 2
(3.182)
Теперь с помощью соотношения, аналогичного (3.6), можно определить фазы
рассеяния 6Z, i ± i/2 для каждой a i .
i с,
Введенные фазы имеют смысл фазо-
вых сдвигов парциальных волн. Можно использовать матрицу фазо-
вых сдвигов так же, как матрицу амплитуд.
Дифференциальное поперечное сечение получается возведением ампли-
туды (3.182) в квадрат. Это приводит к двойной сумме, содержащей интер-
ференционные члены между различными волнами. В полном поперечном
сечении интерференционные члены исчезают из-за ортогональности волн:
ОО ~~~-
Щюлп |/(6)|2rf0)=ln2lZ«2 И(/ t)«2 J
(=0 ' ' 2 1 + 2
2i (2-Z + 1) sin2 6Z> j.
и
(3.183)
Такое же рассмотрение может быть проведено для волны |3е1/гг со спином
в направлении -z. Полное поперечное сечение не содержит а и 0 л одина-
ково в обоих случаях.
г. Спины 1/2 и 1/2. Нуклон-нуклонное рассеяние. Состояния двух частиц
со спином 1/2 могут быть подразделены на синглетные и триплетные. При
рассмотрении различных орбитальных моментов возможными состояниями
являются:
четные состояния —1«S’O, 35ь 1Т)2, 37Д, 3Т)2, 37)3, JG4, 3G3, 3G4, 3G5, ..
почетные состояния — 1/’I, SPO, aPi, 3Р2, 3^2, 3^з, 3^4,
(3.184)
Теперь рассеяние может сопровождаться переходами между различными
IJ-состояниями, совместимыми с сохранением полного момента. Возможные
переходы показаны стрелками (3.184). Каждое из состояний соответствует
153
диагональному элементу в матрице амплитуд, а каждая стрелка — недиаго-
нальному элементу \
Если обе частицы являются нуклонами, сохранение изотопического
спина (зарядовая независимость) требует, чтобы состояния с Т = 0 не
смешивались с состояниями, имеющими Т = 1. Состояния и переходы,
соответствующие независимым амплитудам, могут быть систематизированы
следующим образом:
si ез
II II
[ четные триплеты—з^, aDr, aD2, aD3, aG3,
| нечетные синглеты—1Р1, гР3,
четные синглеты —
нечетные триплеты — аРй, аР^ аР2, aF2, aF3,
£2
3g4, 3g5, . ..,
1(?4’ (3.185)
3Л, 3Я4, ан5, aIIR.
Si
Зарядовая независимость приводит к запрету синглет-триплетных перехо-
дов типа ]/Д aD2. Это находится в соответствии с нашим замечанием
в (1.201) о том, что при взаимодействии двух нуклонов 5 является хорошим
квантовым числом.
Все амплитуды в системе (3.185) могут участвовать в рассеянии, но
в случае р-р-рассеяния должны учитываться только амплитуды с Т — 1.
д. Поперечные сечения, поляризация и опрокидывание спина. До сих
пор амплитуды рассматривались в зависимости от I и J. Это упрощает рас-
смотрение из-за возможности прямого применения законов сохранения.
Однако, чтобы описать угловое распределение при помощи дифферен-
циального сечения, необходимо опираться исключительно на функции орби-
тального момента У™ (6, ф) и, если есть необходимость рассчитать поля-
ризацию и спиновые эффекты, нужно обращаться только к спиновым функ-
циям двух частиц Й?, S2-
Для такого анализа каждое //-состояние должно быть разложено по
подсостояниям, соответствующим определенным величинам магнитных кван-
товых чисел. Амплитуда должна рассматриваться как матрица, отнесенная
к этим подсостояниям. Опрокидывание спина возможно, и матрица не обя-
зательно диагональна. Проиллюстрируем это положение примером рас-
сеяния нейтронов на Не (§ 17).
Если пучок и мишень поляризованы, нас интересует дифференциальное
или полное поперечное сечение для данного спинового состояния t;. Однако
если не измерять поляризацию после рассеяния, то нужно суммировать
поперечное сечение 2 по всем ортогональным конечным состояниям
= 2 (3.186)
И наконец, если начальный пучок и мишень не поляризованы, то усред-
нять надо по ненаблюдаемым начальным спинам:
<3-187)
Эти идеи уже использовались в специальном случае рассеяния с I = 0.
1 Матрицу амплитуд можно диагонализировать, если взять линейные комбинации
состояний, соответствующих определенным / и четности. Фазовые сдвиги, соответствую-
щие диагонализированной матрице, действительны.
2 Предполагается, что рассеяние некогерентно.
154
§ 17. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ НА Не
а. Структура матрицы рассеяния. В гл. 2, § 2 были
приведены некоторые выводы, полученные из опытов
по рассеянию нейтронов на Не, но не было объяснено, как
эти выводы могут быть извлечены из экспериментальных
данных.
Для такого объяснения необходимо рассмотреть экспериментальные
данные о зависимости дифференциального сечения от энергии. Некоторые
Рис. 3.18. Угловые распределения n-Не-рассеяния в системе центра масс при различных
энергиях налетающих частиц [А <1 a i г В. Phys. Rev., 86, 157, 158 (1952)].
пз них 17, 64] показаны на рис. 3.18 вместе с непрерывными кривыми, соот-
ветствующими уравнению
= Л (к) + В (к) cos 0 + С (к) cos2 6, (3.188)
где коэффициенты А (к), В (к) и С (к) выбраны так, чтобы получить наилуч-
шее согласие с экспериментом.
Цель настоящего анализа 1 состоит в том, чтобы найти зависимость
амплитуды рассеяния от энергии из эмпирических коэффициентов А (к),
В (к) и С (к).
Так как амплитуды достаточно хорошо описываются без использования
cos 0 выше второй степени, рассеяние можно объяснить, исходя только из
X- и /’-волн.
1 Настоящий подход полностью применим к рассеянию л-мезонов (спин 0) нукло-
нами (спин 1/2). По этой причине мы рассматриваем задачу достаточно подробно.
155
Амплитуды парциальных волн образуют матрицу А, содержащую
как показано в § 16, только три
чаются а0, и а3:
диагональных элемента, которые обозна-
^1/2
^'1/2
"о
О
О
^/2
О
«1
О
а/2
о
о
(3.189)
яз
Для того чтобы интерпретировать наблюдаемое угловое распределение,
матрицу (3.189) необходимо отнести к собственным функциям I и mz, так
как каждая величина mz имеет свою характерную угловую зависимость.
Амплитуда рассеяния, если ее отнести к собственным состояниям I, ms
и mt, превращается в матрицу 8x8, поскольку состояния Si 2, Pi/2 и P3/s
имеют мультиплетности 2, 2 и 4. Она принимает следующим вид:
Первич- X. ные Рас-х. 1 11 15УД ру? руд
«у® ₽Уо° аУД «У?
сеянные
«У! «о 0 0 0 0 0 0 0
РУН 0 "о 0 0 О О 0 0
аУД 0 0 «3 О О О 0 0
аУ? 0 0 0 йаа 0 ^ар () 0
аУД 0 0 0 0 » °ар 0
РП1 0 0 0 а(5а о жрр 0 0
руу 0 0 0 0 ^ра 0 «ВР 0
ру?1 0 0 0 0 0 0 0 «3
(3. 190)
Все диагональные элементы могут отличаться от нуля. Кроме того,
могут присутствовать неисчезающие недиагональные элементы, соответствую-
щие переходам с опрокидыванием спина, совместимым с законами сохра-
нения.
Если выбрать ось квантования в направлении первичного пучка, падаю-
щая волна должна иметь = 0 из-за аксиальной симметрии задачи. Рас-
сматриваемые начальные состояния и матричные элементы, представляющие
интерес, в матрице (3.190) обведены. Можно легко подсчитать (с помощью
табл. 1.3)
«аа «ве ,аУ;|-1|аУ®)
|«з (3.191),
"в« "ав фУ}|Л|аУ?)
/ 42/3.2+ /j । у/-
156
Видно, что опрокидывание спина («Ва =/= 0) может иметь место только
при наличии спин-орбитальной связи («3 «1).
б. Определение фаз рассеяния из дифференциального сечения. Допустим,
что падающий пучок поляризован вдоль направления распространения,
которое выбрано в качестве оси квантования. Тогда амплитуда рассеянной
волны может быть получена из выражения (3.182)
} 4я Й0^У1%1/2 : /4Й Г3 ( - |/1 пгЗ/1/^ - ]/4
Отсюда, используя правила сложения моментов
з/в%1/2 - - ]/|у;р,
2/1?/.2з/2 У?а 4- ЛР,
получаем
/а |/1л п0У°а 4-]/4л | 3 |Яз) У"а + ( — '
В соответствии с (3.191) и (3.192) это равенство показывает, что парциальная
волна У,а рассеивается с амплитудой ааа и дает волну с опрокинутым спи-
ном У*р с амплитудой оВа.
Наконец, после использования выражений для сферических гармоник
fa принимает вид
fa аоа (2«з4 fij) a cos 0 ф («1—д3) р sin 0е5<₽. (3.193а)
Если, наоборот, исходить из начального состояния р, то получается
/в- «оР 1~(2«34 щ) Pcos 0 —(oj — л3) a sin Ое~1ч).| (3.1936)
Теперь применим этот метод к определению фазовых сдвигов по изме-
рениям поперечных сечений.
Если начальный пучок не поляризован, его можно рассматривать как
некогерентную смесь а и р с равными вероятностями. Поскольку | fa |2 =
| /р |2, угловое распределение рассеяния одинаково для начальной поля-
ризации а, р или для неполяризованного пучка, а именно:
|/«|2 !/в|2 |«o + (2«34-«1)cos0|2 + |a1-n3|2(l-cos2O). (3.194)
Сравнивая эту формулу с выражением (3.188), получим равенства:
А (к) = |«0|24-|«1—«з|2;
B(k) = 2'ReaZ{2a3+al)-, (3.195)
С (А’) ] 2<т3ctj |2 — | «1 — я3|а.
Каждая амплитуда at может быть выражена через вещественную фазу
6;, а система уравнений (3.195) разрешена относительно 60, и 63. Резуль-
таты показаны на рис. 3.19. Ясно, что первый резонанс имеет месте, когда
63 = 90°. и что он обусловлен Р3/2-состоянием. •>
в. Поляризационные эффекты. Из-за сохранения четности вектор к -
(и соответственно направление z) не может служить выделенной осью для
ориентации спина. Однако аксиальный вектор , k X к' (к — волновой
вектор рассеянного нейтрона), перпендикулярный плоскости рассеяния,
может быть связан со спином. Следовательно, пучок нейтронов, рассеянных
гелием, может быть поляризован в направлении, перпендикулярном плос-
кости рассеяния.
Происхождение этой поляризации можно понять на основе простого
классического рассмотрения.
157
Представим себе частицу, рассеянную притягивающим центром, и пред-
положим, что рассеяние имеет место в случае, если спин параллелен орби-
Рис. 3.19. Полные поперечные сечения (вверху)
и фазовые сдвиги (внизу) для п-а-рассеяпия при
энергиях до 20 Мэв [Seagrave .1. Phys.
Rev., 92, 1227 (1953)].
тальному моменту. Это соот-
ветствует экстремальному слу-
чаю спин-орбитальной связи:
«1 = 0, «з Ф 0.
На рис. 3.20 видно, что в
этом предположении частицы,
отклоненные вправо, поляри-
зуются так, что спин направлен
вниз, а частицы, отклоненные
влево,— так, что спин направ-
лен вверх.
Теперь вернемся к кванто-
вомеханическому рассмотрению
zz-Не-рассеяния, считая, что рас-
сеяние происходит в плоско-
сти xz 1 (рис. 3.21).
Удобно ввести матрицу F,
элементы которой, отнесенные
к спиновым состояниям аир,
таковы;
Faa = Fw = а0 + (2«.3 + a,) cos 6;
Fap = — («1 — «з) sin ee-KP;
Fpo. (04 —а3) sin бе1”.
(3.196)
Тогда, если начальный пу-
чок находится в произвольном
состоянии поляризации =
= Citi с2|3, амплитуда рассеянного пучка может быть записана в виде
fFaa
Vita
(ctF
аа ciF в(з
C1Fpa Т' czFрр
== (ctFaa + c2Fafj) а + (ctFpa 4- czFw) (3 = cja + c2/p.
(3.197)
Матрица F, подобно матрице А, полностью описывает законы рассея-
ния для S- и P-волн. Элементы F зависят от направления рассеяния, так
как они относятся к спиновым состояниям, тогда как элементы А не зависят
от угла рассеяния, который содержится в собственных состояниях орби-
тального момента.
Амплитуды рассеяния, даваемые соотношениями (3.196) для рассеяния
налево (q> = 0, e±i<p = 1), равны
(Fаа)налево — (Fрр)налево — а0 + (2п2 ai) COS 6,
(Fар)палгво — (^Да)налево (®1 яз) Sin 6,
(3.198)
в то время как для рассеяния направо (<р = л. е±1ч> = — 1) знак у sin 6
противоположный.
1 Мы следуем работе Ферми [23], где этот расчет выполнен в связи с исследова-
нием л-р-рассеяния.
158
Таким образом, если падающий пучок не поляризован, конечная волна
содержит состояния а и р с равной вероятностью как для рассеяния налево,
так и для рассеяния направо. Как и ожидалось, в направлении падающего
пучка поляризация не возникает.
Теперь исследуем вероятность обнаружения спина нейтрона в направ-
лениях +у. Собственными спиновыми состояниями для этих направлений
Рис. 3.20. Поляризационные эффекты в случае предельной спин-орби-
тальной связи [предполагается притяжепие для Р3у2 и отсутствие
взаимодействия для других парциальных волн (классическая теория)].
являются (используем формулу (1.47), умноженную для удобства на уни-
тарный фазовый множитель exp [+ i(n/4)], который не влияет на вычисле-
ние вероятностей)
exp [± i (л/4)]
cos exp [+ i (л/4)]'
si н -^-exp [± i (л/4)];
<3'199>
Для начального состояния а амплитуды вероятности рассеяния со спи-
ном в направлениях ± у равны (для рассеяния налево) проекциям рассеян-
ной волны на состояния, выраженные соот-
ношением (3.199)
I- i 1Р)+ [(^аа)налево Т" (FРа)налсво Р1 —
V 2
= [(Т'асЭналево + i (FРа)налево]- (3.200)
За исключением фазовых множителей,
эти амплитуды одинаковы для начального
спина а или р. Таким образом, интенсив-
ности рассеяния со спином в направле-
ниях ± У получаются возведением соотно-
шения (3.200) в квадрат:
Ьу)налево - | (^аа)налево + i (FРа)налево |2 —
| а0~, (2а3-]-а1) cosO + i (dj — а3) sin 0 |2.
(3.201)
Рис. 3.21. Геометрия для вычи-
сления поляризационных эффек-
тов.
Так как амплитуды комплексны, интен-
сивности рассеяния со спином в направле-
ниях ± у различны. Равенство (3.201) отно-
сится к рассеянию налево; для рассеяния направо две интенсивности меня-
ются местами. Как и ожидалось, поляризация не возникает ни при
0 = 0, ни при ar = as.
Поляризация пучка может быть получена из выражения (3.201)
р__I+ — I_ _ % Im FggFfia
I++I- I Fga l2 + l Ppp I2
(3.202)
159
Если падающий пучок поляризован, например, в направлении 4~J£
эта поляризация сохраняется после рассеяния, но интенсивности направо
и налево могут различаться. Тогда говорят о лево-правой а с и м м е т-
р и и.
Формально, если начальным состоянием является (1/]Л2) (a i|3),
рассеянная волна равна
1 ।
(Еааа 4- Рца р) 4 у= (F 4- F рВр).
Принимая во внимание, что F= — Fa& = ± (а, — а3) sin 0 для рассея-
ния налево и направо, легко видеть, что интенсивности рассеяния налево
п направо даются выражением, аналогичным выражению (3.201):
Iналево = | 4 (2я3 4 ®1) cos 0 -f- i (llj — й3) sin 012, (3.2U3)
направо
и, наконец, асимметрия определяется тем же выражением, что и поляри-
зация (3.202):
. _ (^)палеЕо —(Впаправо 2 lnl FggFfia „ „ .
СО палево 4 СО направо I F аа |2 | Fpp |2
г. Поляризационные эксперименты. Покажем, как можно использовать
правое и левое рассеяние нейтронов на Не в качестве поляризатора
или анализатора для быстрых нейтронов. Как и в оптике, удобно
использовать анализатор, следующий за поляризатором. Это приводит
к рассмотрению двойного рассеяния.
В опытах по двойному рассеянию измеряется асимметрия, определяемая
как
_ (££)-(£/?)
(LL) + (LR) ’ (O.ZU.i)
где (££) означает интенсивность пучка, дважды рассеянного налево, и т. д.
Допустим, что пучок, рассеянный сначала налево, имеет поляризацию
Pt. Тогда, опустив постоянные, получим
т 1 + г 1-
(3.206)
+ 2’2
Во втором рассеянии (1 Pt) нейтронов со спином вверх имеют
1 1
вероятность (1 4 Р2) снова рассеяться налево и вероятность (1 — T*2)
рассеяться направо (опять опустим общий множитель). Для нейтронов
со спином вниз имеет место обратная ситуация. Итак,
(££) ~ (14 Pt) (1 + Р2) 4- (1 - Р,) (1 _ Р2) 2(1+
(£Я) ~ (14-Л) (1 -Р2) + (1 -Л) (1 + Р2) = 2 (1 -Р,Р2).
Отсюда следует равенство
(3.207)
(3.208)
Если условия первого и второго рассеяний одинаковы (один и тот же угол
и малая разница в энергиях), поляризация может быть измерена:
Р = ]/~ё. (3.209)
Измерения поляризации имеют большое значение для фазового ана-
лиза рассеяния. Иногда случается, что два набора фаз одинаково хорошо
описывают поперечные сечения рассеяния неполярийованного пучка и что
двузначность может быть устранена при помощи поляризационных изме-
рений.
Такая ситуация имела место как в n-Не-, так и в л-7У-рассеяниях.
Поляризационные эксперименты с n-Не-рассеянием Левинтова и др. |481
доказали, что фазы Сигрэва (рис. 3.19) были истинными и что другой набор,
полученный Хабером и Балдингером [37], должен быть отброшен.
160
§ 18. РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
а. Обычный потенциал. С возрастанием энергии нужно
рассматривать все больше и больше парциальных волн.
Фазовый анализ становится очень сложным и является
предметом вычисления па электронно-счетных машинах.
Однако некоторые аспекты экспериментов по рассеянию можно проана-
лизировать без разложения плоской волны по парциальным волнам. В этом
параграфе мы обсудим характерные черты рассеяния, предсказываемые
в борновском приближении для различных типов ядерных сил, описанных
в гл. 1, разд. Б и В. Это приближение может быть использовано при энер-
гиях порядка нескольких сот мегаэлектронвольт.
Начнем со случая «обычных» сил (или «сил Вигнера»), соответствующих
потенциалу V (г), который зависит только от расстояния и не содержит
спиновых и изоспиновых операторов. При достаточно больших энергиях
амплитуда рассеяния может быть записана в виле
/(«) - -^2-Je-ik-V(r)elk rJr _U^e‘4rF(r)dr< (3.210)
где кик' — начальный и конечный волновые векторы; р, — приведенная
масса и
q k —k'; | q | = 2/i: sin. (3.211)
Бели V (г) представляет собой прямоугольную яму радиусом г0 и глу-
биной к0, интеграл переходит в
— Fo е1^ cos е2лг2 dr d cos 6 = Уо (е1'?'’ — е~*«r) 2nr2 dr =
го
= -^1о (sin qr>) r dr (3.212)
О
Интеграл мал, когда sin qr совершает много колебаний между нулем и г0-
Таким образом, вклад в амплитуду вносят только малые величины q, и рас-
сеяние ограничено передним конусом, определенным следующими
соотношениями:
О 1
^0<1; sin-<—. (3.213)
В нуклон-нуклонных столкновениях при достаточно большой энергии
(несколько сот мегаэлектронвольт) kr0 > 1, и раствор конуса определяется
простым соотношением
е<^. (3.214)
б. Обменные силы Майорана. Теперь рассмотрим рассеяние двух нукло-
нов, предполагая, что потенциал является обменным потенциалом типа
Майорана, содержащим оператор еРг (гл. 1, § 15). В этом случае амплитуда
рассеяния в борновском приближении равна
/(г) " — -га- e-ik' rk(r)^reik rrfr-=
= S е-1к' гу(г) е-1к гс?г =
= ~2^Ы e“iQrf/W^ (3.215)
Ядерные взаимодействия
161
где
Q = k + k', | Q | = 2/f cos у . (3.216)
Для прямоугольной ямы радиусом г0 рассеяние ограничено задним
конусом
fi 1
^<1; cosy<2)-. (3.217)
При кг0 ' I раствор конуса сводится к
л-(3.218)
кг0 ' ’
в. Спин-орбитальная связь. Обсудим теперь рассеяние ядром частицы
со спином 1/2, предполагая, что имеет место спин-орбитальное взаимодей-
ствие. Типичным является рассеяние протонов на углероде, которое часто
используется для получения поляризационных протонных пучков высокой
энергии Ч
Предположим, что потенциал имеет вид
Г(г) + ±Ж(г)-|-Ь, (3.219)
где L —обычный оператор орбитального момента [см. соотношения (1.16),
(1.17)], и для удобства определяем функцию У (г) из
>7и=-(4)Чт- <з.2а1)
Множители выбраны так, что функции V, W и У имеют одинаковые раз-
мерности. Амплитуда рассеяния состоит из двух частей:
f = fv + fw; (3.221)
часть fv рассмотрена в борцовском приближении в пп. (а) и (б), а
_iP i AV
__4 p zJV
k i ei(k~k>rIT Vr dr- <3-222)
Интегрируя no частям, получаем
M = 7 Д « X k Л ейк vj.rvy dr =
= 4^OXk’(k-k') Ге‘Ч ГЙГ- <3-223)
Но, так как о X k • k 0,
fw = o k X k' J УеИ'r dr. (3.224)
В обычном предположении, что У вещественно, эта амплитуда мнимая.
Угловая зависимость fw определяется двумя множителями: первый
является интегралом, который, как было показано, имеет максимум в направ-
лении вперед, а второй — векторным произведением k X к', абсолютная
величина которого равна к2 sin 6, и имеет максимум при 90°. Дифферен-
циальное поперечное сечение, соответствующее спин-орбитальной связи,
должно изменяться с углом менее быстро, чем сечение, обусловленное цен-
тральными силами.
Теперь рассмотрим поляризацию. Замечаем, что -
fw = ^ -^~2 *2sin6 § Ye^-'dr, (3.225)
где знак минус или плюс должен выбираться в соответствии с тем, парал-
лелен или антипараллелен спин вектору k X к'.
1 В настоящем параграфе и во многом из последующего рассмотрения поляризации
мы следуем Вольфенштейну [78].
162
Из равенства (3.225) следует, что в борновском приближении нельзя
ожидать поляризации, если V (г) и W (г) вещественны: в этом случае /у
действительна, a fw — чисто мнимая величина и поперечное сечение пропор-
ционально ) /у I2 -j- I fw I2 для любого знака в равенстве (3.225).
Если W (г) вещественно, можно ожидать поляризационных эффектов,
только если V (г) и, следовательно, /у комплексны. Комплексный потен-
циал, как и комплексный показатель преломления, соответствует погло-
щению. Поскольку быстрые нуклоны генерируют звезды и вызывают другие
реакции при столкновении с ядрами, потенциалы являются комплексными,
и в борновском приближении ожидаются поляризационные эффекты.
Если, например, предположить
= Л для г<г„;
У(г) = У(г) 0 для г > го, >
где Ej, Vz и У —действительные постоянные, из соотношений (3.210),
(3.212), (3.221) и (3.225) следует, что амплитуда равна
го
/ =---йт (У1 + 1Е2±1У-2^-/с251пе) (sill qr) г dr (3.227)
' <• у \ С / с)
и дифференциальное сечение равно
?о
/ I2 = ТО (У1 + + У" 4^ S1112 0 ±У2У ДЙ Sin 6) Х Tj (81П Г •
УН ' о
3.228)
г. Сравнение с экспериментом. При высоких энергиях (~500 Мэв) в сечении
нейтрон-протонного рассеяния (см. рис. 3.31) наблюдаются два максимума —
Рис. 3.22 Сравнение экспериментальных данных по поляризации протонов
с энергией 313 Мэв, рассеянных на углероде, с вычислениями в борновском
приближспип [Woifenstein L. Ann. Rev. Nucl. Sci., 6, 55 (1956)].
в переднем и заднем направлениях. Поперечное сечение почти симметрично
относительно 90°.
На основании соотношений (3.214) и (3.218) эти максимумы могут быть
интерпретированы как результат одинакового вклада обычных сил и обмен-
ных сил Майорана. Силы такого типа:
|(1-Г-^г)У(г) (3.229)
называются силами Сербера1.
1 Силы Сербера количественно не согласуются с экспериментом. В § 22 приводится
более современное обсуждение п-р-рассеяния.
11* 163
Протон-протонное поперечное сечение при той же энергии, напротив,
почти сферически симметрично, и этот факт может рассматриваться как
указание в пользу спин-орбитальных или тензорных сил.
На практике обменный характер сил можно использовать для получе-
ния пучков нейтронов высокой энергии. Протонный пучок синхроцикло-
трона сбрасывается на внутреннюю мишень, где значительная часть прото-
нов рассеивается назад (в системе центра инерции), выбивая нейтроны
в направлении вперед в лабораторной системе. С тем же успехом процесс
может рассматриваться как рассеяние вперед протонов, у которых опро-
кидывается их изотопический спин в результате обмена зарядом с нейтро-
ном мишени.
Наблюдаются и поляризационные эффекты. Если ввести в синхроцикло-
трон внутреннюю углеродную мишень и исследовать рассеянный пучок, то
Рпс. 3.23. Экспериментальные данные по поляризации про
тонов с энергией 300 Мэв, рассеянных на алюминии, и теоре-
тическая кривая Штейпгаймера IWoJfenslei n L. Ann.
Bev. Nucl. Sci, 6. 56 (1956)].
выясняется, что он поляризован. Поляризация может быть измерена в опыте
по двойному рассеянию. Полученные результаты (рис. 3.22) находятся
в грубом соответствии с предсказаниями борновского приближения.
В других случаях (рис. 3.23) борновское приближение не является
достаточным и лучшее согласие с опытом может быть достигнуто лишь
с помощью более точной теории.
Получение пучков поляризованных протонов высокой энергии пред-
ставляет значительный интерес для изучения нуклон-нуклонпых взаимо-
действий.
§ 19. ИЗМЕРЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПРИ РАССЕЯНИИ ЧАСТИЦ
СО СПИНОМ 1 2
а. Спины 0 и 1/2. Обсудим теперь некоторые аспекты
рассеяния частиц со спином 1 2, не прибегая к разложению
на конечное число парциальных воли или к какому-либо
другому приближенному методу, и сосредоточим внимание главным образом
на поведении спина, а не на угловом распределении..
Если в процессе рассеяния участвуют две частицы со спинами 0 и 1/2,
полная асимптотическая волновая функция, которая удовлетворяет урав-
нению Шредингера с рассеивающим потенциалом, принимает вид
eiKf
и(0; q )\ еыг
r(6, q j т
(3.230)
164
где а и Ъ (нормированные так, что | а |2 | b |2 1) — постоянные, опи-
сывающие спин падающей волны, а и и v — комплексные функции углов
рассеяния 6 и ф. Спиновая функция ( не нормирована, и ее квадрат
описывает интенсивность рассеянного пучка.
Для того чтобы получить амплитуду рассеяния пучка, находящегося
в произвольном состоянии поляризации ( ” ) аа 60, достаточно знать
амплитуды для состояний а и 0. Однако, если выбирать ось квантования
спинов вдоль направления первичного пучка, амплитуды двух этих состоя-
ний оказываются связанными из-за инвариантности относительно отраже-
ния. Таким образом, достаточно определить экспериментально амплитуды
рассеяния только для одного начального состояния поляризации. С этой
целью следует выполнить по три измерения при каждом угле, так как необ-
ходимо найти функции | и |, | г | и разность их фаз (относительную фазу).
Для того чтобы выяснить, какого вида измерения должны быть сделаны,
введем
|/(6, Ф)|2 |u(6, ff)|2 + |r(6, Ф)|2 (3.231)
и опишем направление поляризации рассеянного пучка углами 6S и ф8.
(функциями 6, <р), выражающими ориентацию спина:
л /н(6, ф)\ /cos (6s/2) exp [ — i (<ps/2)]\
TFT V (6> ф)/ \ sin (6s/2) exp [i (<ps/2)J ) ’ (3"232)
Очевидно, что полное исследование рассеяния при каждом угле 6 требует
измерения дифференциального поперечного сечения
£-=|/|2 = № + H2 (3.233)'
и измерения углов 0S и <ps.
Угол 0S может быть определен из поляризации рассеянного пучка,,
измеренной вдоль нормали к плоскости рассеяния:
U2 — V2 cos2(es/2) —sin2(0s 2) „ /Ч
г u2-j-v2 cos2(Os/2)+sin2(0s 2) CKbs’ (3.264/
п может быть получен из опыта по двойному рассеянию, описанного в § 17.
Определение <ps требует измерения тройного рассеяния.
Проблема рассеяния двух частиц со спинами 0 и 1/2 может рассматри-
ваться также с помощью матрицы рассеяния F. Для случая, описываемого
соотношением (3.230), матрица рассеяния такова, что 1
/п(0, ф)\
Ф)7
(\а \
(3.235)
Так как это матрица 2 X 2, то она может быть выражена в виде суммы
единичной матрицы и трех спиновых матриц Паули с подходящими коэф-
фициентами. Эти коэффициенты ограничиваются условием, что матрица
рассеяния должна быть скаляром, поскольку она преобразует функцию
спина 1/2 в другую функцию того же спина. Следовательно, матрица <т должна
быть скалярно умножена на аксиальный вектор, зависящий от геометрии
рассеяния. Поскольку единственным псевдовекторцм является нормаль
к плоскости рассеяния
к >.. к'
кк' sin 6 ’
1 Матрица рассеяния для n-Не-рассеяния уже была введена в выражении (3.196).
Однако матричные элементы ограничивались S- и /'-рассеяниями, тогда как уравне-
ние (3.235) определяет F (6, <р) независимо от анализа по парциальным волнам.
165
можно написать
F (Q, ф) - g (0, ф) h (6, ф) <у-п, (3.236)
где g и h — комплексные функции направления.
Если ось z берется, как обычно, в направлении первичною пучка и пло-
скостью рассеяния является плоскость xz, то
(g — ih\
(3.237)
1Л. g )
При использовании этой формулы 0 считается положительным для рассея-
ния направо. Если ось z выбрана вдоль п,
g + Л 0 \
О g — h)
(3.238)
Очевидно, что всестороннее исследование рассеяния требует трех опы-
тов для каждого 9, так как должны быть определены абсолютные величины
g и h и их относительная фаза.
б. Спины 1/2 и 1/2. Для исследования ядерных сил более интересен
случай двух частиц со спинами, равными 1/2, когда волновая функция имеет
вид
(3.239)
Для каждого начального состояния a, b, с, d получается полное описа-
ние рассеяния, если найдены четыре комплексные функции u, v, w, z. Это
требует семи измерений при каждом угле, соответствующих четырем абсо-
лютным величинам | и |, | v |, | w |, | z | и трем относительным фазам. Но
нельзя ожидать, что все начальные состояния ведут себя одинаковым обра-
зом: поведение триплетов, например, может отличаться от поведения син-
глета. Для каждого начального спинового состояния должны быть выпол-
нены семь измерений и описание процесса рассеяния может крайне услож-
ниться. Можно показать, что для полного описания достаточно определить
шесть комплексных функции (или И вещественных).
Начнем, как и раньше, с определения матрицы рассеяния F (0, ф) такой,
что
+
+
} (3-241)
Теперь F — это матрица 4x4. Она должна быть скаляром. Ее наиболее
общая форма [77] является линейной комбинацией скаляров, получаемых
скалярным умножением 16 спиновых тензоров типа, описываемых соотно-
шениями (1.123), на тензоры импульса
1 — скаляр
к' — к = К — вектор
к' X к = п — псевдовектор
п . К Р — вектор
KtKj, Tijnj, PiPj — симметричные тензоры +
K,PjKjPL —симметричный тензор —
Знак (плюс или минус) обозначает четное или нечетное поведение относи-
тельно отражения времени (при отражении времени к — к'; следова-
1G6
гельно, к' — к = — к + к' четная; к X к = (—к) X (- к') = — к' X к
нечетная и т. д.).
Мы видим, что можно сконструировать шесть линейно независимых
скалярных, инвариантных относительно отражения времени операторов.
Их линейная комбинация, которая является самой общей формой F, есть
F =. 1 + В (Oi +1) + С (<ц 4- о2) • n + D («ц — <т2) • п 4-
4- Е (<ц К) (<т2 К) + G (<ь Р) (<т2 Р). (3.242)
Величины А, В, С, D, Е, G — комплексные функции угла и энергии. Для
того чтобы найти эти шесть функций и их пять относительных фаз, требуется
11 различных опытов.
Положение несколько упрощается, если предположить, что справед
лива зарядовая независимость. В этом случае необходимо иметь D = 0, так
как (У! —<г2 смешивает синглеты и триплеты. Следовательно, для описания
нуклон-нуклонного упругого рассеяния при данной энергии достаточно
пяти комплексных функций угла рассеяния (или девяти действительных
функций).
Характер измерений, необходимых для того, чтобы восстановить нук-
лон-нуклонную матрицу рассеяния, так называемый «полный набор» экспе-
риментов, рассмотрен в новой работе [74]. За исключением измерений сече-
ния и поляризации, «полный набор» должен содержать опыты с поляризо-
ванными первичными пучками и, возможно, поляризованными мишенями,
для того чтобы установить, как рассеяние воздействует на спиновые состоя-
ния. Связь между начальными и конечными спиновыми состояниями может
быть выражена посредством тензоров, а именно: тензора корреляции поля-
ризаций Си, тензора деполяризации Г)ц и тензора передачи поляризации
Kjj, которые определяются и используются в литературе.
Условия унитарности (см. гл. 5. § 4г) дополнительно уменьшают
число опытов, требуемых для полного набора.
§ 20. РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
И ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ
а. Нуклон-нуклонное рассеяние. Из опыта следует, что
величины сечений «-/^-рассеяния отличаются от величин
сечений р-р-рассеяния. Однако этот факт не обязательно
противоречит предположению о зарядовой независимости, так как принцип
Паули не позволяет всем состояниям, возможным для (и — р)-системы,
реализоваться в (р — /?)-системе.
В этом параграфе в качестве следствия зарядовой независимости выве-
дем простое неравенство (3.247), которое легко может быть сопоставлено
с экспериментальными данными по рассеянию при высоких энергиях.
Перед тем как приступить к выводу, заметим, что нейтрон-протонное
рассеяние (которое в целях удобства изучается с нейтронным пучком и водо-
родной мишенью) можно исследовать экспериментально как нейтронным, так
и протонным счетчиками. В первом случае регистрируется рассеянная
частица, а во втором — частица отдачи. Можно также сказать, что ней-
тронный счетчик регистрирует рассеяние с сохранением заряда (г) (или
без опрокидывания изотопического спина) при угле, под которым он рас-
положен, тогда как протонный счетчик под своим собственным углом дает
информацию о рассеянии с перезарядкой (х) (или с опрокидыванием изото-
пического спина).
Так как зарядовая независимость требует сохранения изотопического
спина, можно рассматривать изоспины двух нуклонов таким же образом,
как рассматривались их физические спины для Х-волны [24] (орбитальный
момент не имеет аналогии в изотопическом пространстве). Элементы матрицы
167
рассеяния 1 могут быть подразделены на изоспиновые синглеты и триплеты
Fjt, s и Ffjt t- Они также могут быть записаны как операторы в пространстве
изотопического спина аналогично соотношению (3.33)
Ffi=AsFfi,s + AeFfijt, (3.243)
где проекционные операторы А.,. и формально те же, что и в соотношении
(1.83), независимо от подстановки изоспина вместо физического спина.
Так как два протона обязательно принадлежат изоспиновому триплету,
амплитуды /?-/?-рассеяния равны
Ffi,pp~ Ffipt- (3.244)
Система (п — р) может быть разложена на изотопический синглет и три-
плет. Амплитуды рассеяния с сохранением заряда и перезарядкой вычис-
ляются тем же способом, каким рассчитывалось рассеяние с опрокидыва-
нием и без опрокидывания обычного
спина в выражении (3.35). Следова-
тельно,
^,г 4^'-' <3-245>
Ffi,* -^{Fji^t — Fti,s). (3.246)
Рис. 3.24. Соотношение между амплиту-
дой р-р-рассеяния и п-р-амплитудой без
перезарядки и с перезарядкой (Ft -+-
Fs) n~(Ft-Fs).
Амплитуды в соотношениях (3.244),
(3.245) и (3.247) образуют треугольник
в комплексной плоскости, как пока-
зано на рис. 3.24, и должно выпол-
няться следующее неравенство:
ф) I Г (6, ф)| +
|/щх(0, ф)|. (3.247)
Но амплитуды для сохранения за-
ряда и перезарядки связаны тем, что
нейтрон и протон движутся в противоположных направлениях в системе
центра масс. Следовательно, в этой системе можно написать
I Ff t, рр (0- ф) IСI Ff i, г (6, ф) | +1 Ffi, г (л — 6. л + <р) |,
(3.248а)
и, в частности, при 90° (рассеяние с сохранением заряда является просто
и-р-рассеянием)
|^,рр (т’ °) |<|^9"Р (т* °) l + НН я) I • <3-248б>
Если бы нуклоны не имели спинов, два члена в правой стороне были бы
равны друг другу (так как лево-правая асимметрия не может возникать),
и при возведении соотношения (3.2486) в квадрат получается
(3.249)
Это соотношение является неравенством, которое и требовалось доказать.
В реальном случае для нуклонов со спином 1/2 справедливость такого же
соотношения может быть доказана для сечений, усредненных по спину.
С этой целью соотношение (3.2486) должно быть возведено в квадрат, про-
суммировано по / и усреднено по i. Затем, учитывая, что среднее по спину
должно быть одинаковым для = 0 и <р = л, получим, что в правой стороне
(Упр (л/2, 0) + апр (л/2, л) = 2а„р (л/2) плюс члены удвоенных произведений,
которые меньше, чем 2 2 [опр (л/2, О)]1^ X [н,1р (л/2, л)]1 а 2опр (л/2). Таким
образом, неравенство (3.249) доказано.
1 Индексы i и / обозначают начальное и конечное спиновые состояния, подробно
объясненные в § 24.
2 Если а£ и Ь; неотрицательны, то У; V Oj V, Ь;.
168
Сравнение этого неравенства с экспериментом рассматривается в § 22,
б. Мезоп-нуклонное рассеяние. Неравенства, аналогичные (3.249), могут
быть получены [26, 661 как следствие зарядовой независимости для взаимо-
действующих частиц с различными изотопическими спинами. Одно из этих
неравенств, справедливое для изотопических спинов 1 и 1/2 (пион-нуклонное
рассеяние):
2-^<| 1/-^ + 1/4^ 2 > (3-250)
dco | V da ‘ V da> ' '
где о+ — упругое сечение л+ + р(л+ + р—>л+ + р); о_ — поперечное сечение
рассеяния л -|-р с сохранением заряда (л"4-р—-> л- 4- р); о0— поперечное
сечение перезарядки л" -|- р (л“ + р—>л0 + и).
Доказательство в качестве задачи предоставляется читателю.
§ 21. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОТОН-ИРОТОННОГО
РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
а. Описание опытов. Целью экспериментального иссле-
дования рассеяния должно быть полное определение матрицы
рассеяния. В § 19 было показано, что в нуклон-нуклонном
рассеянии из принципов сохранения следует, что необходимо проводить
по девяти экспериментов для каждого угла и энергии.
Однако могут существовать и другие ограничения, что позволит полу-
чить желаемую информацию из меньшего числа экспериментов. Уже известно,
что для нейтронов достаточно малой энергии разрешено только 5-рассеяние.
Проблема сводится к определению двух вещественных длин as и at. Их
можно получить из трех источников экспериментальной информации: пол-
ного поперечного сечения рассеяния неполяризованного пучка, когерент-
ного сечения рассеяния неполяризованного пучка и существования дейто-
на (которое фиксирует знак at).
В общем, вследствие малого радиуса ядерных сил возможно описать
рассеяние через относительно малое число фазовых сдвигов. Таким образом,
опыты при различных углах не являются полностью независимыми, и све-
дения об угловом распределении могут сделать необязательными полное
исследование поляризации при каждом угле, как было показано для н-Не-
рассеяния в § 17. Кроме того, число независимых экспериментов ограни-
чивается условием унитарности матрицы рассеяния (см. гл. 5, § 4г).
Вследствие отсутствия поляризованных мишеней опыты практически
ограничиваются определением некоторых из следующих пяти параметров:
1) сечения рассеяния неполяризованного пучка о (6);
2) поляризации Р (0);
3) деполяризации D (6), вызываемой вторым рассеивателем в опыте
по тройному компланарному рассеянию;
4) вращения поляризации во втором рассеивателе (опыт по тройному
рассеянию в следующих под прямым углом одна за другой плоскостях);
5) поляризационных измерений с начальной продольной поляриза-
цией А (6).
Для этого осуществляется эксперимент по тропному рассеянию с маг-
нитным полем перед вторым рассеивателем. Первый рассеиватель поляри-
зует поперечно, и магнитное поле поворачивает спин до направления, парал-
лельного пучку.
б. Экспериментальные результаты. Экспериментальные результаты по
нуклон-нуклонному рассеянию при высоких энергиях были собраны в обзор-
ной статье, которая появилась в 1958 г. [40]. С этого времени несколько
групп ученых сосредоточили усилия на точном определении амплитуд рас-
сеяния при конкретных энергиях. Следует отметить работу в Гарвардском
университете (Вильсон и др.) при 95 и 140 Мэв и работу в Рочестерском
университете (Тинлат и др.) при 210 Мэв.
169
Рис. 3.25. Сечения полного и упругого р-р рассеяния [Hess
W. Rev. Mod. Phys.,’30, 369, 370 (1958)].
Некоторые данные о р-р-рассеянии представлены на рис. 3.25— 3.27.
Одной из самых удивительных особенностей поведения сечения р р-рас-
сеяния является его постоянство в функции от угла вплоть до высоких
энергий («500 Мэв, см. рис. 3.25). Исходя из обычных центральных сил.
170
б,*10'г’'’ см^/стерад б,*10 ^см^/уперав
Рис. 3 27. Поляризация при р-р-рассеянии в области 400 Мэе
[Hess W. Rev. Mod. Phys., 30, 396 (1958)].
можно ожидать некоторого вклада /’-волны при энергии ~ 10 Мэв, но сече-
ние при этой энергии постоянно. Можно объяснить отсутствие /’-рассеяния
обменными силами типа Сербера [соотношение (3.229)1, но в соответствии
с характером этих сил должно наблюдаться D-рассеяние при несколько
большей энергии. Поперечное сечение, напротив, остается почти сферически
симметричным до энергий »500 Мэв, несмотря на то что оно становится
больше 4лХ2, т. е. максимальной величины для чистой 5-волны.
Наблюдаемое поведение было интерпретировано как доказательство
значительного вклада нецентральных сил (спин-орбитальных или тензор-
ных) [161.
Выше 500 Мэв наблюдается значительный вклад пеупругого рассеяния,
которое возникает в результате генерации л;- и /f-мезонов. Этот эффект при-
водит к возрастанию полного сечения (рис. 3.24). Упругая часть сечения
становится максимальной в переднем направлении, как ожидается при
дифракции на непрозрачной сфере.
172
парциальных волн в типичных случаях (Stapp et al In
Rochester, Interscience, N. Y., 1960).
в. Фазовый анализ. Если экспериментальная информация достаточно
полная и точная, можно получить численные значения фаз рассеяния при
какой-либо одной энергии. Для Т = 1 обычно рассматривается набор ^фазо-
вых сдвигов, описанный состояниями (3.185).
Анализы, допускающие, что фазовые сдвиги вещественны, справедливы,
пока рассеяние упруго, т. е. до энергий «400 Мэв.
Расчет, известный под символом SYM [68], осуществлен в 1957 г. на основе
данных для энергии 310 Мэв. Было выполнено много опытов, включая опыты
по тройному рассеянию. В результате было получено пять наборов фаз,
каждый из которых дает удовлетворительное описание измерений. Любое
из этих решений, пронумерованных с 1 по 5, выступает в двух слабо раз
личающихся формах, называемых чистыми фазами ядерного
рассеяния («nuclear bar») и ВВ 1 в соответствии с различными мето-
дами учета кулоновской интерференции.
1 Блатт — Биденхарн.
173
9о9, град
а
Рис. 3.29. Сравнение экспериментальные результатов по дифференциале
фазовых сдвигов, а также сравнение для поляризации (б). Все сечения
Чтобы уменьшить неоднозначность, был предложен модифицированный
метод анализа [18], в котором при выборе наилучшего набора решений
нужно руководствоваться приближенной формой мезонной теории (ОРЕС,
т. е. вклад одномезонного обмена, или ОРЕР, т. е.
о д н о м е з о н н ы й обменный потенциал).
Чтобы вычислить фазы для высоких моментов, используется ОРЕР,
который предполагается применимым на больших расстояниях (на малых
174
TTi.irr сечениям p / рассеяния (я) с расчетами на основе YLAM и других
даны в КГ27 м2 IBreit G. et al. Phys. Rev., 120, 2240—2241 (I960)].
расстояниях должен учитываться многопион-ный обменный
потенциал МРЕР, так как радиус обратно пропорционален обме-
ниваемой массе).
При сравнении OPEC с SYM найдено [53], что SYM 1 и SYM 2 прием-
лемы и достаточны, а три других решения должны быть отброшены.
Очень похожие решения найдены при энергии 210 Мэв. Наконец, послед-
ние измерения параметра А при 210 Мэв и больших углах [21] показали,
175
что одно из двух оставшихся решений не является правильным, и, следо-
вательно, разумно предположить [56], что SYM 1 является единственным
приемлемым решением при энергиях 200—300 Мэв.
При 145 Мэв имеется два набора экспериментов, не согласующихся
друг с другом, и, по-видимому, здесь нецелесообразно производить фазовый
анализ. В разумных предположениях получается единственный набор фаз
из данных для энергии 95 Мэв [55, 57, 751. Этот набор согласуется с ОРЕР,
и х2 имеет острый максимум [72] для массы пиона 125 Мэв, близкой к истин-
ной массе 136 Мэв.
Обширные расчеты (р — р)-фаз для энергий от 9,7 до 345 Мэв выпол-
нены Брайтом и сотр. [13J. Эти авторы заметили, что анализ данных по рас-
сеянию при одной энергии может дать много возможных решений, но суще-
ствуют теоретические обоснования для классификации энергетической зави-
симости фаз на приемлемую и неприемлемую категории. Например, Y-волна
должна преобладать при низких энергиях, а волны с другими I должны
последовательно возникать с возрастанием энергии. Таким образом, иссле-
дуя изменения различных решений с энергией, можно отбросить некоторые
ложные наборы. Можно также заметить случайные ошибки в эксперимен-
тальных данных по тому признаку, что они вызывают резкие скачки в энер-
гетической зависимости.
Используя эти критерии и исходя из предшествующих решений для
определенной энергии, находят семейства фазовых сдвигов, зависящих от
энергии. Решение, находящееся в наилучшем соответствии с данными, назы-
вается YLAM (рис. 3.28). Некоторые примеры сравнения с экспериментом
показаны на рис. 3.29. На Рочестерской конференции 1960 г. было рас-
смотрено несколько работ по этому вопросу, которые появились в трудах
конференции [13, 73|. Стапп, Моравчик и Нойес представили предвари-
тельные результаты фазового анализа в функции от энергии, которые исхо-
дят из SYM 1 и в которых для соблюдения непрерывности использовалось
требование, чтобы к ctg б была аналитической функцией энергии.
Результаты представлены в форме графиков (рис. 3.28) и сравниваются
с YLAM. Состояния LS’o и :’Р2 почти идентичны в обоих расчетах. Е-фаэы
также находятся в грубом соответствии. Можно сделать вывод, что попытки
анализировать данные по р-р-рассеянию через фазовые сдвиги оказались
в определенной мере успешными. Различные группы, занимаклциеся этой
работой, находятся почти в количественном согласии по наборам фазовых
сдвигов, которые описывают данные однозначно и имеют приемлемую энер-
гетическую зависимость.
Кроме того, фазовые сдвиги для больших орбитальных моментов согла-
суются с предсказаниями мезонной теории в одномезонном приближении.
Это согласие существенно потому, что по крайней мере при энергии 95 Мэв
оно критически зависит от величины массы мезона и, в общем, требует той
же 1 мезон-нуклонной константы взаимодействия, которая получается из
экспериментов по рассеянию мезонов на нуклонах.
§ 22. РЕЗУЛЬТАТЫ ПО РАССЕЯНИЮ НЕЙТРОНА НА ПРОТОНЕ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
а. Экспериментальные данные. Полное и дифференциаль-
ное сечения нейтрон-протонного рассеяния, показанные на
рис. 3.30 и 3.31, взяты из работы Гесса. Та же работа содер-
жит результаты поляризационных экспериментов. Дифференциальное попе-
речное сечение характеризуется симметрией вперед — назад, о которой
уже упоминалось и которая была объяснена Сербером равным вкладом
обычных сил и сил Майорана.
1 В действительности константа взаимодействия, требуемая для рассеяния,
несколько больше, чем для мезон нуклонного рассеяния, и различие не объяснено.
176
зи
не
Р£
ДЕ
Сравнивая данные по п-р- с данными по р-р-рассеянию, замечаем пора-
зительные различия и задаемся вопросом, совместимы ли они с зарядовой
Рис 3.30. Полное сечение п-р-рассеяния [Н ess W Rev. Mod. Phys.,
30, 369 (1958)].
независимостью. В этой связи Ястров [47] первый заметил, что п-р- и р р-
рассеяния могут быть объяснены общим взаимодействием, если взаимо-
действие содержит отталкивающую сердцевину.
Рис. 3.31 Дифференциальные сечения п-р-рас-
сеяппя |Н е ss W. Rev. Mod. Phys., 30 379
(1958)].
Рис. 3.32. Сравнение 4опр (л/2) и
Орр (л/2) (Hulthen L., Sugawa-
г а М. Handbook of Physics, 39, 126,
Springer Verlag, Berlin, 1957).
Более формально зарядовая независимость может быть проверена по
соотношениям § 20а, откуда следует, что неравенство ирр (л/2) <4стпр (л/2)
12 Ядерные взаимодействия
177
не может нарушаться, если зарядовая независимость имеет место.
На рис. 3.32 показаны соответствующие экспериментальные данные, из
которых можно заключить, что нарушение изотопической инвариантности
отсутствует.
б. Фазовый анализ для /1-7^-рассеяния. Фазовый анализ н-р-рассеяния,
очевидно, более сложен, чем фазовый анализ р-р-рассеяния, так как (п — р)-
система может быть найдена как в изоспиновом триплете, так и в синглете.
Однако в соответствии с зарядовой независимостью фазы, соответствующие
Т = 1, должны быть одинаковыми для р-р- и n-р-рассеяний, и из анализа
?г-р-рассеяния остается определить только фазы с Т = 0.
Из опубликованного фазового анализа для энергии 95 Мэв фазы изо-
топического триплета определены однозначно [54], и только один набор этих
фаз хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Более обширное исследование, охватывающее область энергий от 13,7
до 350 Мэв, выполнено Йельской группой [44]. Здесь авторы получили
несколько наборов фаз, названных YLAN, которые несущественно отли-
чаются друг от друга и удовлетворительно описывают экспериментальные
данные. Лучшее согласие дает YLAN ЗМ.
Тот факт, что экспериментальные данные могут быть объяснены изо-
триплетными фазами из р-р-рассеяния без смешивания состояний Т = 0
и Т =1, снова показывает, что нет указаний на нарушение зарядовой неза-
висимости.
§ 23. ПОТЕНЦИАЛЫ ЯДЕРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
а. Значение потенциалов. Изучение потенциала ядерного
взаимодействия в течение многих лет оставалось основной
проблемой ядерной физики. В некотором смысле эта проб-
лема уже решена, так как некоторые модели потенциалов прекрасно описы-
вают данные по рассеянию.
Но с другой точки зрения решение проблемы представляется далеким,
поскольку в ближайшем будущем нет надежды на получение однозначной
и точной формы взаимодействия. По этой причине интерес к описанию дан-
ных с помощью потенциалов был утрачен. На конференции 1962 г. по физике
высоких энергий работы такого рода не были представлены.
Если силы короткодействующие, то эксперименты не смогут непосред-
ственно прозондировать потенциалы. Они дают сведения лишь об асимп-
тотическом поведении- волновых функций. Так как теория не должна вво-
дить неизмеримых величин, возможно, не следует говорить о потенциалах
и рассмотрение должно быть ограничено асимптотическим поведением,
которое адекватно представляется фазовыми сдвигами различных J-, IV-
и .8'5''-волн или матрицей рассеяния (3.240).
При описании данных и предсказании результатов новых экспериментов
проблема определения формы потенциала, отвечающей матрице рассеяния,
становится задачей второстепенной важности. Тем не менее, если можно
было бы найти удовлетворительное аналитическое выражение, правильное
при всех энергиях,— а это совсем не гарантировано — мы испытали бы
чувство, что достигли более глубокого понимания ядерных взаимодействий.
В этом смысле ядерные потенциалы заслуживают внимания.
б. Потенциалы из мезонных теорий. Уже упоминалось о некоторых
идеях, предложенных для объяснения рассеяния при высоких энергиях.
Они включают в себя обменные силы типа Сербера, отталкивающую серд-
цевину, большие тензорные силы и спин-орбитальную связь.
Параллельно с этим качественным рассмотрением было выполнено
много работ, посвященных изучению мезонных теорий с надеждой полу-
чить из них правильное описание нуклон-нуклонного взаимодействия.
После обнадеживающего начала был период, когда эти попытки казались
тщетными из-за невозможности найти точное решение и из-за отсутствия
подходящего способа аппроксимации. Интерес к мезонным потенциалам
178
возобновился в 1952 г. благодаря Леви, который показал, что псевдоска-
лярная мезонная теория может давать нерасходящиеся результаты для
двухнуклонной системы.
В 1954—1955 гг. Чу и Лоу рассчитали мезон-нуклонное рассеяние
при низких энергиях, использовав нерелятивистскую статистическую форму
мезонной теории с неточечным источником (см. гл. 7, § 13). Это привело'
Р-г
О 0,Ь 0,8 1,2 1,6
Р-г
Рис. 3.33. Потенциалы Гартенхауза и Гаммеля—Талера р яь- 1,4-10 13 см [S i n g-
n е 1 1 Р., Marshak R. Phys. Rev., 109, 1229 (1958)].
Гартенхауза к использованию той же формы теории с учетом одно- и двух-
мезонных обменов при расчете нуклон-нуклонного взаимодействия [29] (см.
гл. 7, § 8 и 14).
Потенциал Гартенхауза (рис. 3.33) находится в удовлетворительном
соответствии со структурой дейтона (см. гл. 1, § 12). и было естественно
сравнить предсказания, следующие из этого потенциала, с данными по
рассеянию при высоких энергиях.
Необходимые расчеты выполнены Гаммелем и Талером [30], но резуль-
таты оказались весьма неутешительными, особенно для р-р-рассеяния при
высоких энергиях.
в. Феноменологические потенциалы. После неудачной попытки объяс-
нить рассеяние потенциалом Гартенхауза Гаммель и Талер осуществили
совершенно другой подход. Они искали феноменологический потенциал [31 ]т
который может объяснить фазы, полученные Стаппом и другими, и в частности
решение SYM1. Иэ-за существования обменных сил типа Майорана потен-
циал предполагался различным в четных и нечетных орбитальных состоя-
ниях. Руководствуясь поведением фаз набора SYM1, Гаммель и Талер
выбрали следующую форму:
для синглетных четных состояний
-]- оо
1Т7+ ехр(—1рсг)
— Ч с------г-;-----
1ltcr
Для
для
(3.251а)
12» 179
для триплетных нечетных состояний
( +оо для г<г0,
= i V схР(-Нт'-) ,т SF ехр( —pLSr)\ (3.2516)
I Г12Гг +L-bl/bS---—-----^дляг>г0.
Другими словами, четные синглетные состояния имеют отталкивающую
сердцевину, окруженную притягивающим потенциалом типа Юкавы, в то
время как нечетные триплетные состояния имеют отталкивающую сердце-
Рис. 3.34. Сравнение данных по поперечному сечению с вычислениями на
основе потенциалов Гартенхауза (пунктирная лилия) п Сигнела — Мар-
шака (сплошная лпния) [S i g п о 1 1 Р.. Marshak R. Phys. Rev.,
106. 832, 833 (1958)].
Чтобы получить значения постоянных в потенциале (3.251), обеспечи-
вающих наилучшее согласие с экспериментальными данными, были произ-
ведены численные расчеты. Результат таков:
^ = 0,4 10~13 см; 1[гс = 1,45 < Ю13 ел’1; 4^ = 425,5 Мэе;
г0 0,4125 х 10-13 см; - 0,8 х Ю1а слг1; VT~—22,5 Мэв;
Pns = 3,7 х 1013 см1; VLS =7317,5 Мэв
Полученные потенциалы показаны на рис. 3.33.
г. Полуфеноменологические потенциалы. Сигнел и Маршак в ряде статей
{67, 69—71] обсуждали форму взаимодействия, с помощью которой они
получили хорошее описание экспериментальных данных. Взаимодействие
содержало потенциал Гартенхауза, к которому были добавлены коротко-
действующие спин-орбитальные силы (Кейс и Пайс). %
Добавление спин-орбитальной связи к потенциалу Гартенхауза есте-
ственно. Расчеты Гартенхауза были проведены в рамках статической мезон-
ной теории, в которой масса нуклона предполагается бесконечной. Таким
образом, нуклон Гартенхауза не может двигаться, и исчезновение спин-
180
орбитальной связи является необходимым следствием сделанного прибли-
жения. Добавка спин-орбитального взаимодействия может рассматриваться
как попытка компенсировать предыдущее упущение.
Работы Сигнела и Маршака содержат многочисленные рисунки, кото-
рые указывают на согласие данных по рассеянию и поляризации с разумно
выбранной G + СТ^-формой взаимодействия (рис. 3.34).
Дальнейшая работа по статическому потенциалу со спин-орбитальной
добавкой была выполнена Брайеном [14], который достиг улучшенного
согласия эксперимента с теорией для р-р-рассеяния в области энергий от
40 до 310 Мэв.
Другие авторы пытались объяснить ядерные силы потенциалами, которые:
частично выведены из мезонной теории, но содержат варьируемые пара-
метры. Некоторые из этих попыток [28, 41, 441 увенчались значительным
успехом в объяснении полученных данных.
В заключение можно констатировать, что в настоящее время возможно
получать потенциалы, которые объясняют экспериментальные данные. Хотя
определение потенциалов неоднозначно и нельзя сказать что-либо оконча-
тельное о выборе параметров и о детальной форме взаимодействия, некото-
рые стороны явления, несомненно, установлены. Среди них можно указать
на справедливость однопионного приближения при больших расстояниях
(г >— 12 комптоновских длин пиона), на большие тензорные силы
и отталкивающую сердцевину.
§ 24. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ И МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СПИНА И ПОЛЯРИЗАЦИИ
а. Матрица рассеяния для произвольных спинов. В этом
параграфе предполагается рассмотреть теорию рассеяния
частиц со спином и представить ее в несколько более общей
форме, чем та, которая уже использовалась в этой главе. Если бы нашей
целью было подчеркнуть теоретические аспекты процессов рассеяния, а не
экспериментальные сведения по ядерным взаимодействиям, этот параграф
хорошо было бы поместить в начале главы. В действительности же его можно
рассматривать как теоретическое приложение к обзору по рассеянию.
Предположим, что падающая частица имеет спин s17 а мишень — спин
s2. Рассмотрим полный набор ортонормировапных спиновых состояний
системы из падающей частицы и частицы мишени £s с 0<sCg [см. соот-
ношение (3.175)] и назовем £ и £' (0, ф) спиновыми функциями до и после
рассеяния. Асимптотическая форма решения задачи рассеяния представ-
ляется в виде
ф ~ £е1к-г4-(0, ф) —-— (3.252а)
пли
(3.2526)
где cs = Cs = £«£'•
Как и в предыдущем параграфе, допустим, что начальное спиновое
состояние нормировано на единицу:
(3.253)
G — потенциал Гартенхауза; СР — потенциал Кейса — Пайса.
181
в то время как конечное спиновое состояние нормировано так, что
| cs (0, <р) |2/г2— плотность рассеянных частиц с поляризацией s. Таким
образом, коэффициенты c's связаны с дифференциальным поперечным сече-
нием рассеяния соотношением
о (0, Ф) = 2 I Cs (9- Ф) I2- (3.254)
8
Рассмотрим, в частности, случай, когда начальное состояние является
одним из базисных спиновых состояний, скажем £;, и разложим конечное
состояние £' в сумму по базисным состояниям. Соответствующее асимптоти-
ческое решение задачи рассеяния может быть записано в виде
х, elftr
ф;^Сю1к-г + 2 • (3.255)
f
Коэффициенты Ffi (0, <р) разложения конечного состояния представ-
ляют собой элементы матрицы амплитуд рассеяния F (0, <р),
зависящей от направления рассеяния. Более общая формулировка соот-
ношения (3.52) получается путем суммирования решенийс амплитудами ct:
c;=ScfFsf(0, ф). (3.256)
г г
Исходя из этого формализма, можно получить парциальные сечеппя
перехода из данного начального поляризационного состояния пучка и мишени
в определенное конечное состояние поляризации рассеянной частицы
н частицы отдачи.
Очевидно,
<Ф/ (0, ф) (6, ф) = | Ffl (0, q) j2. (3.257)
Чтобы получить некогерентное поперечное сечение для неполяризован-
ных частиц, необходимо, как обычно, суммировать по / и усреднять по i:
° = (3.258)
V V V if
Но так как сумма распространяется на полный набор состояний, можно
написать
а (0. ф) = 4 2 (Е+Е)г/ =- 4 TrF-F. (3.259)
ё ё
i
Спиновые суммы и средние орто-параводородной задачи § 6 и 7 могут
быть вычислены с помощью соотношения (3.259). Такие расчеты представ-
ляются в качестве упражнения в использовании метода шпуров.
б. Поляризованный, неполяризованный и частично поляризованный
...............;......~(i)..............................................
ции одной или более частиц. Если все частицы системы имеют одинаковую
спиновую функцию, поляризация равна 100%. Если прибавить коге-
рентно другую спиновую функцию, полученная система будет все же
полностью поляризована:
Результирующее состояние является чистым спиновым состоянием (т. е.
состоянием с полностью определенными спинами), так же как состояния,
которые были просуммированы.
182
Например, если когерентно складываются а и р, то получается
новое спиновое состояние
/1\ /0 1\ /IX /1\
41) lo)G)=GJ- (3-263)
Для того чтобы получить частично поляризованную или неполяри-
зованную систему, спиновые состояния должны складываться некоге-
рентно. В неполяризованном пучке нет пнтерференцированных эффектов
между различными спиновыми состояниями, которые соответствуют разным
частицам, т. е. частицам, не связанным по фазе, и складываются вероятности,
а не амплитуды. Этому правилу необходимо следовать при вычислении
поперечных сечении рассеяния неполяризованных частиц. Для частично
поляризованного пучка из 7V частиц со спином 1/2 поляризация вдоль оси z
в соответствии с соотношением (3.202) равна разности нормированных вероят-
ностей обнаружения спинов аир. Если спиновое состояние является супер-
позицией многих спиновых состояний
_ I I
s \b<-n'> J ’
каждое из которых обозначено верхним индексом (п), сложенных когерентно
или некогерентно, поляризация вдоль оси z равна
У [|а<«> |2_р(п>|2]
Рг = -Д-------------------. (3.264а)
Если сложить аире равными вероятностями либо некогерентно, либо
когерентно, получим Рz = 0. Однако в первом случае (50% состояний а
п 50% Р) поляризация равна нулю во всех направлениях, в то время как
во втором случае (каждое состояние есть а + р или а + ip) имеет место
поляризация, перпендикулярная к оси z.
Для каждого состояния (п) относительные амплитуды вероятности обна-
ружения спина в направлениях или ±1/ равны
-Д- 1 ± 11 .. . ) = —],
ф 2 J -\/2
1 х /а(П)\ 1
= vr[a(n)Ti/,(n)]-
Из этих формул получается степень поляризации вдоль осей х и у для
того пучка, поляризация которого вдоль оси z выражена соотношением
(3.264а):
2 [4 Д’”: ь<п,12
| а(Я)_Ь<П) |2
2 Re У а<п>*Ь<«>
Ру
___________________ ________t п_____________
|Д| а(п> — ЬМ |2^j У, [|аШ>|24-|Ь<«)|2]
2 Im у
У [| а<п>|2_|_| 6<п)|2]
п
(3.2646)
(3.264в)
183
В частности, каждое состояние (и) может быть отождествлено с состоя-
нием одной частицы. Тогда удобно использовать нормировку | «(,1) |2 +
4- | fe<n> |2 = 1 и легко видеть, что для N частиц формулы (3.264а) — (3.264в)
эквивалентны выражению
Л'
р=~2
71—1
(3.264г)
Можно заключить, что если пучок не полностью поляризован вдоль оси
z (в этом случае либо все а(п), либо все должны обращаться в нуль)
и фазы не полностью случайны (в этом случае сумма 2 в (3.264г) обра-
тилась бы в нуль), пучок обязательно поляризован в направлении х или у.
Рх, Ру и Pz могут рассматриваться как компоненты псевдовектора,
абсолютная величина которого Р — определяющая степень поляризации
пучка независимо от направления. Величина Р дается соотношением
P^PlA-Py + Pl
(3.265)
в. Матрица плотности. Полное описание поляризации в случае произ-
вольного спина [781 должно позволить нам предсказать результаты любого
опыта со спинами. Пусть s( и s2— соответственно спины падающей частицы
и частицы мишени. Тогда спиновое состояние (п) выражается
S = (2S1 + 1)(2s2 + 1).
(3.266)
Любое наблюдение над спинами представляет собой измерение дина-
мической переменной, зависящей от спинов, которая соответствует опера-
тору (Э и представляется матрицей с g строками и столбцами. В состоянии
(п) ожидаемая величина наблюдения 0 имеет вид
Оп =
224n)*№
k i______
2Hn)l2
(3.267)
(Знаменатель равен единице, если нормирована, но мы не нормируем
£(п) на единицу, так как хотим допустить производные вероятности
для каждого п.)
Если падающий пучок и мишень описываются суперпозицией (коге-
рентной или некогерентной) спиновых состояний, ожидаемая величина
должна быть усреднена по п:
«9>п V 2 e^c^Qk.
= 2 £(п)|х(п) = 2 21c(n) I2 ' (3-268)
п п j
Теперь введем матрицу плотности [27]
п
Тогда
2 2 Pjk0kj 2
1(Л\ __ fe з_____
k 'n Tr p ' Tr p Tr p •
Последняя формула показывает, что если матрица плотно-
сти р известна, можно предсказать результат любого наблюдения над
пучком. Следовательно, матрица плотности полностью описывает поляри-
зацию пучка. Для простоты обратим внимание только на частицы одного
184
сорта, как, например, в задаче рассеяния пучка из N частиц на единицу
объема бесспиновой или неполяризованной мишени. Удобно выбрать нор-
мировку таким образом, что £(п)1£(п) = является плотностью
вероятности обнаружения частицы в спиновом состоянии (п). Интенсивность
пучка равна
7V= V 4n)*c<n) = Spp.
(3.271)
n. i
В качестве примера рассчитаем матрицы плотности для пучка из N
частиц со спином 1/2. Из соотношения (3.269) получим:
Поляризация Поляризация Поляризация
в направлении х в направлении у в направлении z
Поляризации
нет
,v Л 1
2“ 11 1
уу /1 — i
"Hi 1
N /1 О'
“И О 1
1 о
о о
В общем, можно удостовериться, что матрица плотности для неполяри
зованного пучка из N частиц со спином s равна
2s-4-1
(3.273)
где 1 — это единичная матрица с 2s + 1 строками и столбцами. Расчет
матрицы плотности для спинов, больших 1/2, предлагается в качестве
упражнения.
г. Использование матрицы плотности в задачах по рассеянию. Задача
рассеяния систем с произвольной поляризацией может быть поставлена
следующим образом: даны матрица плотности р начальной системы и матрица
рассеяния F, которая определяет закон рассеяния; нужно найти матрицу
плотности р' рассеянной системы на расстоянии г = 1.
Решение следующее: при г = 1 рассеянная и начальная амплитуды для
поляризованных пучков связаны соотношением (3.255) и матрица плотности
после рассеяния равна
№=5 [2 «Г] П
п I т 1т п
= S FjlPlmFhm ='^1F jlPlmFmk = (FpFtyjk-
(3.274)
Дифференциальное сечение [см. соотношение (3.271)] равно
что для неполяризованных пучков [см. соотношение (3.273)1 сводится к выра-
жению (3.259).
Вычисление поляризационных эффектов при Не-н-реакции (см. § 16)
может быть выполнено на основе метода матриц рассеяния и плотности
и предоставляется читателю в качестве задачи для самостоятельного решения.
Литература
1. Hughes D. J. Pile Neutron Research, Addison-Wesley, Cambridge Mass., 1953,
p. 309.
2. Hulthen L., Sugawara M. Handbook of Physics, vol. 39, Springer-Verlag,
Berlin, 1957, p. 3, 51.
3. Mott N. F., M a s s e у H. S. W. The Theory of Atomic Collisions. Clarendon Press,
Oxford, 1933 (Мотт H. Ф.. Месси X. С. В. Теория атомных столкновений.
М., Изд-во иностр, лит., 1953).
4. S с h i f f L. I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill, N.Y. 1949.
5. A m a 1 d i E., Fermi E. Phys. Rev., 50, 899 (1936).
6. Alvarez L. A., P i t z e r K. S. Phys. Rev., 58, 1003 (1940).
7. Adair R. K. Phys. Rev., 86, 155 (1952).
185
8. Austern N. Nucl. Phys., 7, 195 (1958).
9. В e t h e H. A., Backer R. F Rev. Mod. Phys., 8, 82 (1936).
10. Bloch F. Phys. Rev., 51, 994 (1937).
И В e t h e H. A Phys. Rev., 76, 38 (1949).
12. Breit et al. Phys. Rev., 120, 2227 (1960).
13. Breit G. Proc. Int. Conf. High En. Phys., Rochester, Interscience, N.Y., 1960.
14. Bryan R. A. Nuovo Cimento, 16, 895 (1960).
15. Bergia et al. Phys. Rev. Letters, 6, 367 (1961).
16. Cas e К. M., Pais A. Phys. Rev., 80, 203 (1950).
17. С 1 e m e n t e 1 E., Villi C. Nuovo Cimento, 4, 1207 (1958).
18. C z i f f r a et al. Phys. Rev., 114, 880 (1959).
19. de Vries et al. Phys. Rev. Letters, 8, 381 (1962).
20. E к s t e i n H. Phys Rev., 76, 1328 (1949).
21. England et al. Proc. Int. Conf. High En. Phys., Rochester, Interscience, N.Y.,
1960, p. 111.
22. Fermi E., Marshall L. Phys. Rev., 72, 1139 (1947).
23. Fermi E. Phys. Rev., 91, 947 (1953).
24. Feldman I). Phys. Rev., 89, 1159 (1953).
25. Fermi E. Nuovo Cimento, 11, 407 (1954).
26. F e 1 d m a n D. Phys. Rev., 103, 254 (1956).
27. Fano U. Rev. Mod. Phys., 29, 74 (1957).
28. F e s h b a c h et al. Phys Rev. Letters, 6, 635 (1961).
29. Gartenhaus S. Phys. Rev., 100, 900 (1955).
30. Gammel J L., Thaler R M Phys. Rev., 103, 1874 (1956).
31. Gammel J. L„ Thaler R. M. Phys. Rev., 107, 291 (1957).
32. Halpern O., J о h n s о n M H Phys. Rev,, 55, 898 (1939).
33. Il amermesh M. Phys. Rev., 75, 1766 (1949).
34. H u g h e s D. .1., В u r g у M. T. Phys. Rev., 81, 498 (1951).
35. Havens et al. Phys. Rev., 82, 345 (1951).
36. H am ermesh et al. Phys. Rev., 85, 483 (1952).
37. H u b e r P., В a 1 d i n g e r E. Helv. Phys Acta, 25, 435 (1952).
38. H u g h e s et al. Phys. Rev., 90, 497 (1953).
39. H о I s t a d s t e r R Rev. Mod Phys , 28, 214 (1956).
40. Hess W. N. Rev. Mod. Phys., 30 , 368 (1958).
41. H a m a d a T et al. Progr. Theoret. Phys., 22, 566 (1959).
42. Hamada T. Progr. Theoret. Phys., 24, 1033 (1960).
43. H о f s t a d t e r R. et al Phys. Rev., Letters, 5, 263 (1960).
44. H u 1 1 et al. Phys. Rev., 122, 1606 (1961).
45. H о f s t a d t e r R. et al. Phys. Rev. Letters, 6, 290 (1961).
46. Hofstadter R. and Herman R. Phys. Rev. Letters, 6, 293 (1961)
47. Jastrow R. Phys. Rev., 81, 165 (1951).
48. L e v i n t о v et al. Nucl. Phys., 3, 221 (1957).
49. Littauer et al. Phys. Rev. Letters, 7, 141 (1961).
50. Littauer et aL Phys. Rev. Letters, 7, 144 (1961).
51. M e 1 к о n i a n E. Phys. Rev., 76, 1744 (1949).
52. M e 1 к о n i a n et al. Bull. Am. Phys. Soc., 1, 62 (1956).
53. McGregor M. et al. Phys. Rev., 116, 1248 (1959).
54. McGregor M. Phys. Rev., 123, 2154 (1961).
55. M c G r e g о r M. et al. Phys. Rev., 123, 1835 (1961).
56. Noyes H. P Proc. Int. Conf. High. En. Phvs., Rochester, Interscience, N.Y., 1960,
p. 117.
57. P a 1 m i e r i et al. Ann. Phys., 5, 299 (1958).
58. Schwinger J Phys. Rev., 52, 1250 (1937).
59. S u 11 о n et al. Phys. Rev., 72, 1147 (1947).
60. Shull et al. Phys. Rev., 73, 842 (1948).
61. S h u 11 C. G., S m a r t J. S. Phys. Rev., 76, 1256 (1949).
62. S h u 1 1 C. G. et al. Phys. Rev., 83, 333 (1951).
63. Shull et al. Phys. Rev., 84, 912 (1951).
64. Seagrave J. D. Phys. Rev., 92, 1222 (1953).
65. Squires G. L., Stewart A. T. Proc. Roy. Soc., A-230, 19 (1955).
66. Sakurai J. J. Phys. Rev., 107, 908 (1957).
67. S i g n e 1 1 P. S., M a r s h a к R. E. Phys. Rev., 106, 832 (1957).
68. S t a p p et al. Phys. Rev., 105, 302 (1957).
69. S i g n e 1 1 P. S., M a r s h a к R. E. Phys. Rev., 109, 1229 (1958).
70. S i g n e 1 1 P. S., M a r s h a к R. E. Phys. Rev. Letters,. 1, 416 (1958).
71. S а у 1 о r et al. Phys. Rev. Letters, 5, 266 (1960).
72. S i g n e 1 1 P. S. Phys. Rev. Letters, 5, 474 (1960).
73. Stapp et al. Proc. Int. Conf. High En. Phys., Rochester, Interscience, N.Y., 1960.
74. Schumacher C. R., В e t h e H. A. Phys. Rev., 121, 1534 (1961).
75. T h о r n d i к e E. H., О p h e 1 T. R. Phys. Rev., 119, 362 (1960).
76. W о 11 a n E. O., S h u И C. G. Phys. Rev., 73, 830 (1948).
77. Wolfenstein L., Ashkin J. Phys. Rev., 85, 947 (1952).
78. W о 1 f e n s t e i n L. Ann. Rev. Nucl. Sci., 6, 43 (1956).
ГЛАВА 4
Взаи. и одействи е нуклонов
с излучением
А. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
а. Введение. До сих пор рассматривались ядерные силы,
действующие между нуклонами и ответственные за связь
ядерного вещества. Нашей целью является описание про-
гресса в изучении законов сильного взаимодействия, но оказывается, что
до удовлетворительного описания ядерных сил еще далеко.
Совершенно другая ситуация во взаимодействиях нуклонов с излуче-
нием, которые предполагается рассмотреть в этой главе. Электромагнитное
взаимодействие может быть описано с высокой точностью. Нуклоны рассма-
триваются нерелятивистски, так как они движутся в ядерном веществе
с малыми скоростями. Они взаимодействуют с электромагнитным полем
благодаря своему заряду и магнитному моменту, величины которых берутся
из эксперимента без какой-либо попытки объяснения. Конечные размеры
нуклонов, так же как другие мезонные эффекты типа «обменных токов»,
не принимаются во внимание в этой части нашего рассмотрения.
Хотя в указанном приближении элементарное взаимодействие хорошо
известно, его применение к сложным ядрам не может быть точным из-за
недостаточности наших знаний о ядерных состояниях. Основная цель
экспериментального и теоретического изучения ядерных электромагнитных
явлений — испускания у-квантов, фоторасщепления и т. д.— состоит
в поисках новой информации о ядерных квантовых числах и ядерных вол-
новых функциях.
б. Гамильтониан. Поглощение и вынужденное испускание света атомами
пли ядрами можно рассматривать квазиклассически при помощи теории
возмущений. Неквантованная плоская электромагнитная волна, распро-
страняющаяся в направлении оси г, описывается вектором-потенциалом
A = 2A0cos(/cz — coZ) Aoei(fti-tu,> +A0e-i(*i-«o (4.1)
и взаимодействует с зарядами и магнитными моментами частип. Это взаимо-
действие рассматривается как возмущение, которое в соответствии с теорией
возмущений, зависящей от времени, вызывает переходы между невозму-
щенными энергетическими уровнями системы частиц.
Гамильтониан частиц в присутствии вектора-потенциала, описываемого
соотношением (4.1), имеет вид
«=>'+2 жг (р“А) “ 2 жт rotА=
а а
Т + 2 + + (4.2)
а
где а — порядковый номер частицы, а А вычисляется для положения га.
В этом равенстве V — невоэмущенный потенциал, собственные состояния
которого являются уровнями атома или ядра при отсутствии излучения.
Величины Ма, еа, ра— это соответственно масса, заряд и магнитный момент
187
частицы а. Все другие обозначения имеют свой обычный смысл. Совместно
с членом, содержащим р2, V образует нерелятивистский невозмущенный
гамильтониан
(4-3)
а
Следующий член (пропорциональный ра) в формуле (4.2) написан
в форме, справедливой для общего случая, когда А является функцией
положения, не коммутирующей с р. Однако в дальнейшем выберем такую
нормировку, что V-A = 0, и напишем 2А-ра вместо Ара + раА.
Наконец, пренебрежем членом с А2, так как предполагается, что А
вызывает малые возмущения.
В рамках этих приближений выражение (4.2) принимает вид
<§0 = <^о + $Г, (4.4)
где
= ( Мас А’Р“+ 2Мас M«-rotA) • (4-5>
а
Гамильтониан возмущения состоит из двух членов, которые выражают
взаимодействие поля с зарядами и магнитными моментами частиц.
в. Результаты теории возмущений. Подставляя соотношение (4.1) в
в выражение (4.4), увидим, что <$?'' состоит из двух частей: с отрицательной
частотой [зависимость от времени — ехр (—icoi)] и с положительной частотой.
Можно показать, что с отрицательной частотой вызывает переходы из
начального состояния с энергией Et [с зависимостью от времени
exp [—i (Еt/1i) ill в конечные состояния с энергией Ef = Et Йен Такие
переходы интерпретируются как поглощение света. Аналогично положи-
тельные частоты в приводят к переходам в состояния с более низкой
энергией и. следовательно, соответствуют вынужденному излучению.
Вероятности переходов могут быть рассчитаны на основе теории воз-
мущений, зависящей от времени. Результат выражается соотношением
([7], гл. VIII)
w
поглощения
вынужденного испускания
= Ри (£) I J (0) |2, (4.G)
где рр (Е) — число конечных состояний на единичный энергетический интер-
вал (см. гл. 5, § 1) и (0) — величина возмущения (4.5) при г = t = 0 1:
( — ^аАо Ра ± ie-^AoXk-Цо.) . (4.7)
а
Мнимая единица, соответствующая сдвигу по фазе между электрическим
и магнитным полем, показывает отсутствие интерференции между членами,
возникающими из-за взаимодействий с зарядом и с магнитным моментом.
г. Введение фотонов. В предыдущем изложении электромагнитная вол-
на имела любую интенсивность, соответствующую произвольным величи-
нам Ао. Но известно, что свет состоит из фотонов, и интересно выяснить,
как должно проявиться их существование.
Для этого нормируем амплитуду Ао таким образом, чтобы энергетиче-
ская плотность волны [формула (4.1)], усредненная по времени:
SF«Е!> + <№» " да <О)*>+1ST ««* А)*> =
“ да (tz - = -да-. (
1 Мы пишем М вместо Ма, так как массы нуклонов приблизительно одинаковы.
188
соответствовала п фотонам в единице объема:
Получим
(4.9)
(4.10)
где g — единичный вектор, определяющий поляризацию электромагнитной
волны. При подстановке соотношения (4.10) с п = 1 в выражение (4.6)
получаем вероятность перехода, соответствующую одному фотону в единице
объема, или потоку С фотонов в единицу времени. Если затем разделить
вероятность перехода на поток с, получим поперечное сечение поглощения
или вынужденного испускания
(^поглощения — ~Г ^поглощения (4-11)
вынужденного испускания с вынужденного испускания
§ 2. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
а. Система частиц и излучения. Рассмотрение взаимодей-
ствий между частицами и излучением посредством теории
возмущений, выполненное в § 1, не может нас полностью
удовлетворить. Во-первых, оно не объясняет, по крайней мере непосредст-
венно, спонтанное излучение. Во-вторых, хотя оно и описывает переходы
в атоме или ядре, оно не говорит непосредственно о том, что происходит
с фотоном. И наконец, оно основывается на асимметрии между «волнами»
и «частицами», что противоречит духу квантовой механики.
Вместо рассмотрения частиц как «системы» и электромагнитной волны
как возмущения более целесообразно описывать фотоны и частицы на оди-
наковой основе.
С этой целью рассмотрим ограниченную область пространства, напри-
мер кубический ящик с ребром, равным единице \ который содержит частицы
и фотоны. Частицы могут быть связаны или не связаны (свободные волны),
но из-за граничных условий на поверхности ящика связанные и несвязан-
ные состояния квантованы; то же следует сказать и о состояниях фотонов.
Система состоит теперь как из частиц, так и из фотонов, находящихся
в ящике. Ее состояние должно дать полную информацию о содержимом
ящика. Эта информация включает в себя:
1) число атомов и ядер каждого сорта, каждого внутреннего состояния
и каждого состояния движения и направления спина;
2) число свободных частиц для каждого волнового числа и направле-
ния спина;
3) число фотонов для каждого волнового числа и поляризации.
б. Состояния свободного излучения. Предположим, что рассматриваемый
ящик содержит только излучение. Граничные условия на стенке могут соот-
ветствовать или стоячим волнам (отражающая стенка, А = 0 на поверхности
ящика), пли бегущим волнам (А периодичен на поверхности). В дальнейшем
мы ограничимся рассмотрением стоячих волн. В этом случае возможны лишь
такие волновые векторы фотонов, которые имеют компоненты
кх = птх, ку = тпу’, kz — nmz, (4.11а)
где тх, ту и mz — положительные целые числа, неравные нулю. Для каж-
дого возможного волнового вектора имеется два возможных состояния поля-
ризации.
1 Нормирующий объем (объем ящика) не входит пи в одну из формул, которые
могут быть сопоставлены с экспериментом. По этой причине удобно говорить о кубе
с единичным ребром и сфере единичного радиуса. Единица длпны должна быть выбрана
очень большой по сравнению со всеми длинами волн, представляющими пптерес. Санти-
метр подходит для у-лучей. Для радиоволн можно было бы взять световой год или парсек.
189
Будем характеризовать величиной к возможный тип колебания ящика.
Величина X соответствует определенному набору чисел тх, тпу, тг и опреде-
ленной поляризации. Так как фотоны удовлетворяют статистике Бозе,
в каждом состоянии X может быть произвольное число фотонов. Пусть пх —
число фотонов в состоянии X, присутствующих в ящике (число з а п о л-
н е н и я). Набор чисел п-,_ полностью описывает состояние излучения
в ящике.
Угловая частота, соответствующая данному X, определяется выражением
О)х = сАх; = л(z»ix+»4 + m^)1/2- (А 12)
Энергетические уровни типа X равноотстоящи. Расстояние между ними равно
и соответствует прибавлению дополнительного фотона той же моды
колебаний X. Можно заметить поразительное сходство между энергетиче-
скими уровнями каждой моды и уровнями осциллятора той же частоты.
Аналогия между модами колебаний и осцилляторами становится еще более
явной, если использовать гамильтоновский формализм.
в. Гамильтониан свободного излучения. Произвольный вектор-потен-
циал, который классически описывает состояние излучения в ящике, может
быть разложен в сумму колебательных компонент
А=2(<7,Ал + ^А?*) (4.13)
л
с
Ах=еле1к< (4.14)
где ех характеризует направление поляризации компоненты X (ех может
быть комплексной, а именно х + гу, если использовать круговую поляриза-
цию). Заметим, что вектор А, записанный выше,— величина действительная.
Можно записать </>. = ^о^е-1“У в классической форме, где qot, — произволь-
ные постоянные. Состояние излучения в соответствии с выражением (4.13)
разлагается в набор поляризованных бегущих плоских волн, аналогич-
ных (4.1):
Ак = е>.<7о\2 cos (k?. г — wxZ). (4.15)
В соответствии с идеями квантовой физики амплитуды q> должны быть
проквантованы 1 для того, чтобы описывать целое число фотонов. Величины
q}, должны рассматриваться как операторы. Исходя из формулы (4.10),
можно ожидать, что в результате квантования матричные элементы чисел
заполнения вблизи равны
Пл|^л| ^пк) ЖС /2 для больших (4.16)
Теперь приступим к квантованию поля. Из ортогональности А-,_ следует,
что гамильтониан поля излучения в ящике единичного объема может быть
разложен в сумму по различным модам
(4.17)
где 2
J (ЕХ + Щ)Л =
Един,
куб. ,
Г414-(^+^)Г + 1г°1(^Ах+^АП121*. (4.18)
OJ v gj L *' ] ''" j II
Един,
ьуб.
1 Аналогичное рассмотрение проведено у Ферми [3] и Гайтлера [4].
2 Пишем вместо д*, так как q рассматривается как оператор.
190
Если учесть, что qy отвечает частоте (<)-,= кус, так что1
</>.= — qy = i<£>yqy,
соотношение (4.18) может быть представлено в форме
оЖ = -§“7 (|(7л— (7л I2 +1 (7л + qt |2)-
Теперь введем два эрмитовых оператора
Q% = q% + qk\
PK = -^-(qk — ql) m(qK + ql),
где
(4.19)
(4.20)
(4-21)
(4.22)
(4.23)
Тогда соотношение (4.20) переходит в
&С у = 2^ + ~2
Это выражение формально аналогично гамильтониану линейного осцилля-
тора с координатой Qy, импульсом Ру, массой т и угловой частотой сщ.
г. Квантование поля свободного излучения. Теперь можно прокванто-
вать каждую моду колебаний поля излучения тем же способом, каким кван-
туется линейный осциллятор, для которого результаты хорошо известны.
Собственными величинами энергии являются
Еу = [пк +у) Й(щ, (4.24)
где целые числа Пу имеют то же значение, что и числа заполнения, упомяну-
тые в (б). У каждого осциллятора имеется нулевая энергия Они вно-
сят бесконечную нулевую энергию в общее поле излучения. Избавимся от
этой бесконечной энергии, утверждая, что нас интересуют только ее изме-
нения, и закроем глаза на трудности, возникающие в связи с бесконечной
энергией вакуума.
В гайзенберговском представлении операторы д?. изменяются со временем
как exp (±iwxi) и имеют форму, близкую к форме классической амплитуды.
Однако мы выберем представление Шредингера, в котором операторы
не зависят от времени. Тогда матричными элементами Qy между двумя состоя-
ниями с числами заполнения пу и пу являются {п'у | Qy | пу). Они образуют
матрицу
о j/ Т о о ...
УТ 0 /2 0 .. .
'Mid с 0/2 0 /з . (4.25)
0 0 /3 о . . .
где пу и пу изменяются от нуля (включительно) до бесконечности.
Следовательно, равенствам (4.21) удовлетворяют, операторы
qy —>
2лЙ \ Т/2
«Л /
сау,
qi
2лЙ\ 1/2
(4.26)
1 Равенства (4.19), несомненно, справедливы, если q явно зависит от времени как
е±1<0(. Одпако они правильны и в более общем случае [см. соотношения (4.26) и (4.29)],
как операторные равенства.
191
где 0 Vi 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... Pi (о
0 0 /2 0 ... Vi 0 0 0 0 ...
ак = 0 0 0 Гз ... (1* = 0 V2 0 0 0 ... (4.27)
0 0 0 0 ... 0 0 V3 0 0 .. . в
•Операторы (4.26) и (4.27) должны быть сопоставлены с выражением (4.16).
Если использовать соотношение (4.24), производные по времени, при-
сутствующие в соотношении (4.19), выразятся в виде
I ак | пк) = <(п’к | ~ — а%ак) | пЛ^> = Ю;~ (п'к | а-,. | пк), (4.28)
(«к | al | п>) = ^nl | A- (al3£ — ^al) = (”Л -”г)С°Л (п’к 141 пк).
Они соответствуют матрицам
0 ]/Т с 0 ..
0 0 V2 0 . .
л — “Л
аг- i 0 0 0 /3 ..
0 0 0 0 ..
4=-^- 0 0 00.. -Vi о о о .. 0 — V2 0 0 .. о о -j/з о .
(4.29)
Прямой подстановкой можно проверить, что энергия, выраженная соот-
ношением (4.18), в соответствии с (4.24) является диагональной матрицей
t 2лЛ 9 2 О
~ 8лс2 (D;. С С0?' О
О 0 ...
3 0 ...
О 5 ...
1 0 0 .. .
ЮХ 2: th ^2 0 3 0 . . -
+ 8лс2 '~^С о о 5
(4.24')
и что ее собственные значения в состоянии | п>.) есть E-f, = («;. +1/2)
Векторный потенциал (4.13) и (4.14) также представляет собой эрмитов
оператор, и его разложение по различным модам колебания имеет вид
I
1
I
}
fh
А = ]/ 2лй с У *_ (Е^е**’г + в?.4е_£к'г).
(4.30)
Операторы и 4 называются операторами 'уничтожения
и рождения излучения моды X, так как их матричные эле-
менты отличаются от нуля только для тех состояний этой моды, числа запол-
нения которых различаются на +1.
Теперь отнесем операторы и al к состояниям электромагнитного поля
в ящике. Каждое состояние характеризуется набором чисел заполнения
для каждой моды излучения X. Следовательно, имеется дважды бесконечный
192
ряд состояний, каждое из которых отвечает возможному числу заполнения
(от нуля до бесконечности) для каждого возможного типа излучения:
Х=1: пк= (), 1, 2, 3, ..
Х = 2: пк = 0, 1, 2, 3, ...
7 = 3 : пх=« 0, 1, 2, 3, ...
В этом представлении оператор ах, который оставляет неизменными все
моды излучения, кроме Z, имеет вид
Л Мода 1 Мода 2 Мода К
Л' \ X пК 0, 1. 2, . . . 0, 1, . . . с, 1, ..
Мода 1 0 1 2 10 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 0
Мода 2 0 1 0 10 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
Пода X 0 1 0 0 0 о (/Т 0 1/2 0 0
0 0 0 0 1
Интересно сравнить операторы уничтожения и рождения фотонов
(или бозонов) (4.27) с соответствующими операторами для нуклонов (фер-
мионов) в выражении (2.63). Для фермионов применяются матрицы 2x2,
поскольку имеется всего два возможных состояния (заполненное и свободное)
для каждой моды. Заметим также, что матрица
О
1
О
О
О
О
О ...
О ...
2 ...
является, аналогично матрице (2.67), диагональной матрицей, элементы
которой — число частиц в состоянии (или моде) X.
Фермионные операторы рождения (или уничтожения) для различных
мод должны антикоммутировать, чтобы получилась антисимметричная вол-
новая функция. Соответствующие бозонные операторы коммутируют.
13 Ядерные взаимодействия
193
д. Взаимодействие между частицами и излучением. Теперь предположим,
что ящик содержит как частицы, так и излучение. При отсутствии взаимо-
действия между частицами и излучением его состояние может быть записано
в виде
Y = I ip4acT^2 . .. пк .. (4.31)
где Ч'част является волновой функцией частиц, а п}— числа заполнения раз-
личных типов излучения.
Гамильтониан состоит из трех частей:
Sti = St! част + <Й?пзл “Г St!гзаим, (4.32)
где [как и в выражении (4.3)]
St!част Г 2 (4.33)
Об
и [см. соотношение (4.17), (4.18)]
<жзл=2 $ №+dr- (4-34)
к
Сумма
SS = (Й/част + S£nm (4.35)
есть невозмущенный гамильтониан, для которого состояния (4.31)—собственные.
Гамильтониан взаимодействия [см. соотношение (4.5)]
о^'= — 2 77Г (е“4’Р“ : e T^a’rotA) <4-36)
сс
с А, раскрытым в соответствии с выражением (4.30). В квантованной форме
первый член соотношения (4.36) представляется в виде
^-А-ра. ^]^с2—^(ex-pKaxeik^r“+eX-pa4e-lk^r“), (4.37)
лес мс уИх
а второй член равен
iSrra-rotA 2^hc 2 рУ;
л 1 ’
У (Ел кщле1кл'г“—et Z кщ!е-1к^ Га). (4.38)
Гамильтониан взаимодействия и в этом случае рассматривается как
возмущение, которое вызывает переходы между стационарными состояниями
(4.31) оператора (4.35). В первом приближении вероятности переходов выра-
жаются формулой, подобной (4.6):
?тг
ш ^Рр(Е)|(у/|(^'|чу|2. (4.39)
Если сосредоточить внимание на поглощении или испускании излучения
некоторого частного типа Г, матричный элемент расщепится на две части,
которыми являются множитель частиц
- ’ITT О1'2" 2 $ ф*е±1кл'г“ [ ± > (^ ' М] фг Гт (4.40)
а •
(знак плюс для поглощения, минус — для испускания; если е комплексен,
используем е* для испускания) и множитель излучения, который равен для
поглощения
« ... пк ... | «л IЩ ... пк . ..) =а 6„,П1 . . . 6п^ „ t , (4.41а)
194
для испускания
n'j . . . щ, .. .\(iV\nv . . . n>... .) ... <4.416)
Теория описывает как изменение состояния системы частиц, так и появ
ление или исчезновение фотонов. Она объясняет спонтанное испускание,
так как соотношение (4.416) не равно нулю, даже если в начальном состоя-
нии не было излучения (все — 0).
§ 3. ПОЛЯ МУЛЬТИПОЛЕЙ
а. Разложение поля излучения по сферическим волнам:.
В § 1 и 2 электромагнитное поле было представлено как
сумма соответствующих мод излучения в кубическом ящике.
Выбранными модами излучения являлись плоские волны, т. е. собственные
функции импульса йк. Разложение выполнимо, так как плоские волны обра-
зуют полную систему. Однако разложение по плоским волнам не всегда
наиболее удобно. Как уже было показано в случае частиц, задачи, подле-
жащие решению, часто характеризуются сферической симметрией. Поэтому
использование сферических волн упрощает рассмотрение. Это имеет место
в случае центрального потенциала, например, такого, который отвечает
за дискретные связанные состояния атома или за непрерывные состояния
в задаче рассеяния.
Рассмотрим переход между двумя атомными или ядерными состоя-
ниями, сопровождающийся излучением у-кванта. Начальное и конечное
состояния системы частиц есть собственные состояния J, Мj и Рг (чет-
ности). Законы сохранения требуют, чтобы разности начальных и конеч-
ных квантовых чисел — //, Л/, — Mf, л; — Л/ принадлежали полю-
излученной волны. Следовательно, более целесообразно рассматривать волны,
излученные или поглощенные атомами и ядрами, как собственные состояния
момента количества движения, а не как собственные состояния импульса.
Такие собственные состояния называют электрическими или
магнитными м у л ь т и и о л ь н ы м и волнам и. Они состав-
ляют полную систему и могут быть использованы вместо плоских волн как
состояния, по которым разлагается произвольное поле. При квантовании
ноля каждая мультипольная волна соответствует осциллятору, у которого
гг-й электрический уровень имеет энергию (п + 1/2) Йсо, соответствующую
целому числу «??» сферических фотонов.
б. Мультипольные поля. Мультипольные поля являются решениями
волнового уравнения в вакууме для заданных полного момента и четности.
В соответствии с общепринятыми обозначениями квантовые числа следую-
щих друг за другом электрических и магнитных мультиполей таковы:
Электрический 2J-n<wib $У;
полный момент J;
полная четность (— 1)J.
Магпитный 2—поль ,.//У;
полный момент У;
полная четность (—1)J+1
Более йодэобно:
Электрический диполь “61: У 1
Магнитный диполь 1
Электрический квадруполь $2: 2
Магнитный квадруполь сУ/2: 2
Электрический октуполь ‘ЙЗ: 3
и т. д.
(4.42а)
(4.426)
,л —1
4 1
4 1 (4.43)
— 1
— 1
13* 195
Каждое мультипольное поле может быть описано либо вектором-потен-
циалом А, либо полями Е и Н. Поскольку А и Е — внутренне нечетные,
так как они являются векторами, а Н — внутренне четный, будучи аксиаль-
ным вектором, орбитальная четность А и Е противоположна орбитальной
четности Н в каждом мультиполе (гл. 1, § 5г).
Чтобы исключить путаницу, орбитальная четность этих векторов для
различных мультиполей приведена в табл 4.1.
Таблица 4.1
Мультиполь Четность
Полная Орбитальная
Е или А II
kJ (-1/ -(-1/ (-1/
MJ -(-1/ (-1/
в. Аналитическое выражение для мультипольных полей. Хорошо из-
вестно, что волновому уравнению в вакууме
(V2 + /cs)u = 0 (4.44)
удовлетворяют скалярные решения, являющиеся собственными функциями
момента импульса L2 —> I (I + 1) Ti и его z-компоненты (Lz-> т). Они выра-
жаются в виде
иТ (кг) = ji (кг) У™ (0, ф). (4.45)
Функции ji и У™ были введены в гл. 1, § Зг
Теперь необходимо рассмотреть векторные решения волнового уравнения
(V2 + /c2)A—0, (4.46)
где А — векторный потенциал электромагнитной волны, и ввести мульти-
польные поля Ай [16] Ч
= (4.47а)
АХ = (4.476)
где L — оператор орбитального момента [соотношения (1.16), (1.17)].
Заметим, что выражение Lz/./ может быть раскрыто при помощи соотно-
шений (1.42), (1.43), (1.45) и табл. 1.4.
Luj —jj (— L е+ + Тоео — L+e_) 1 j =
= Й/г { - [4 + М) (J - М +1)]1/2 yf-1 e+ + MY j'e0 +
+ а/+1)]1/2у7+1;_} =
= к^УЦ^^[С(Л/; М-1, 1)У?-‘ё+ +
+ C(JU- M,O)Y^eo + C(JU; М + 1, -1)Y^+'^]. (4.18)
* В наших наименованиях индекс М обозначает четности (о/И или +), J и М.
Мы используем символ А^-, чтобы указать мультипольность при неопределенной чет-
ности (либо <М, либо $), но определенных J и М.
196
Векторные поля Ац, описывают сферические стоячие волны, которые
имеют свойства, присущие электрическим (?) и магнитным (e/Z) мультипо-
лям. Эти свойства подробно описаны ниже.
1. Все поля Ац свободны от источников:
div Ар. = 0. (4.49)
Это следует из векторного тождества
div rot = div L 0.
2. Векторные поля (4.47) представляют собой решения волнового урав-
нения (4.44) для волнового числа к. Это верно для магнитных мультиполей^
что видно из соотношения (4.48). Для электрических мультиполей заметим
сначала, что вследствие равенства (4.49) волновое уравнение может быть
записано в виде (rot rot — к2) Atgj = 0. Так как rot, очевидно, коммутирует
с (rot rot — к2), то электрические мультиполи также удовлетворяют вол-
новому уравнению.
3. Векторные поля (4.47) являются собственными полями J2 и Jz с соб-
ственными значениями J (J Д- 1) и М. Для магнитных мультиполей это
можно видеть, сравнивая соотношение (4.48) с правилом сложения моментов
импульса [соотношение (1.75)1 и вспоминая, что единичные векторы е+,
е0, е_ — собственные векторы спина 1 [соотношение (1.70)1. Для электри-
ческих мультиполей можно немедленно получить доказательство, если
учесть, что J2 и J z коммутируют с rot Ч
4. Орбитальные четности А^ и A^j равны соответственно — (—1)^
и (—1)J в согласии с условиями (4.42) и (4.43). Это можно показать, учиты-
вая, что каждый дифференциальный оператор, или каждый множитель г,
изменяет четность 2.
5. Поля (4.47) нормированы на единицу на сфере единичного радиуса
1
§ г2 dr J | Ац,рМЙ I. (4.50)
0 4л
Чтобы проверить это утверждение для магнитных мультиполей, необхо-
димо вычислить выражение вида
1
\b(kr)\2r2dr^ |L^|2dQ. (4.51)
о
Интегрирование по телесному углу дает J (J + 1) Й2, что можно дока-
зать при использовании соотношения (4.48). Радиальный интеграл легко
вычисляется, если единичный радиус содержит много длин волн (к А 1)
и если мультиполь не слишком высокий (Лк < 1). В этом случае Д (кг)
можно заменить выражением {sin [/er — I (л/2)]}/Ат и | jj (кг) |2 — его сред-
ним значением (2Л2г2)-1.
Чтобы доказать этот пункт,
напишем операторы в матричной форме
получаются непосредственно путем перемножения матриц.
Перестановочные отношения
2 Поля А представляют векторные потенциалы и, следовательно, являются внут-
ренне нечетпыми. Таким образом, в левой системе координат нужно взять противопо-
ложный знак в равенстве (4.47).
197
Переходя теперь к интегралам для электрических мультиполей, нужно
вспомнить, что
| rot V |2 = (rot V'*) (rot V) div [V X rot V*] + V rot rot V*.
Член с дивергенцией при интегрировании исчезает. Затем, используя вол-
новое уравнение, получим
rol LwJf |2 dr к2 \ | Lw” |2 dr.
(4.52)
Нормировка (4.50) легко проверяется с помощью этих соотношений.
§ 4. МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ИСТОЧНИКА
а. Приближения для кг < 1. В предыдущем параграфе
была дана точная формулировка мультипольного излуче-
ния. Однако, для того чтобы выполнить многие из вычисле-
ний, представляющих интерес для обсуждения экспериментальных резуль-
татов, целесообразно получить более простые приближенные выражения.
Приближения для кг 1 применимы при изучении взаимодействия
с источниками малой протяженности и, следовательно, при расчетах вероят-
ностей переходов для поглощения и испускания излучения атомами и ядрами.
Приближения для кг 1 описывают поведение полей далеко от источ-
ника и могут быть применены для вычислений угловых распределений
и поляризаций.
Первая оценка векторных потенциалов и магнитных полей вблизи начала
координат (кг х 1) получается при использовании приближения (1.34)
в выражении (4.47). Отвлекаясь от множителей порядка единицы, вблизи
начала координат можно написать1 2
|а^|~
(453а)
|А^|^Л(Лт/;
(4’53б)
Заметим, что эти формулы подтверждают подразделение мультиполей
на электрические и магнитные, так как для кг 1
|E./Z|~A;|AG#|«|H я|.
Хотя формулы (4.53) часто достаточно точны для грубой оценки вероят-
ностей переходов, для дальнейших расчетов напишем более точные выра-
жения [42], используя тождество (которое нетрудно проверить)
-4-rotLuf=-^fv (1 + r rV21. им (4.54)
пк J к t ‘ J J
и рекуррентное соотношение между сферическими функциями Бесселя2
(1 + r-^) jj(kr) (J+l)ij(kr) — (kr)jJ+l(kr). (4.55)
1 Эти оценки получаются из соотношения (4.47) с uj jj (kr)J, /. % 1,
rot 1/г. Произведение rot-rot в равно к2, что следует из волнового уравнения.
Те же оценки могут быть получены из соотношений (4.58) и (4.60).
2 Равенство (4.55) может быть получено из обычной формы рекуррентного соот-
ношения
di т (кг) J . „ , ,, ,
-ЦкгГ
умножением на кг и добавлением jj в обе части равенства.
198
I [олучаем
-Д- rot Lzz¥ =
ък J
= 4-grad [(J +1) up-krjJ+i (kr) yf ] + tki^r. (4.56)
В приближении кг < 1 важен только первый член. Можно написать
rot Lz^y 4; (J +1) grad u¥
tik J к ' ' J
«т-етш«^и*г’’г?1- <4-57>
Вводя соотношение (4.57) в выражение (4.47) и отвлекаясь от фазовых мно-
жителей, получим следующие приближенные выражения, справедливые
вблизи начала координат:
<г «/• руда grad 1 (*г«1); (4.58а)
Лй/ ' /г X grad ((Лг/У?| (4.586)
Для электрических полей всюду справедливо соотношение
= -| 4 =±ikA^- <4-59)
Магнитные поля можно вычислить как роторы векторных потенциалов.
Следовательно, H^j имеет вид, аналогичный Agj, и получается
на основе того, что rot rot =k2Lu^. В результате получим (пренебрегая
фазовыми множителями)
/7(TH)-(2TW'X«'“d|<4r)'’rfl (4г<1>’ <4'№)
СС /Щ+1!. gyA- grad Цкг)1 У?) (кг X 1). (4.606)
Применим эти выражения к дипольным полям. Используя
(1.37). (1.38) и (1.44), видим, что
grad(z-y;)
grad(ryf‘) +]//А(х±1у) j/4e±,
для электрического диполя получаем:
CL —U А-ё0; AiJ _ Лё±;
®‘ / 3rt ®* ф/Зл ±
соотношения
(4.61а)
и для магнитного диполя:
* 0 _ к2 ~ ± 1 Л'2
^ей1 = У15лГ <е°’ * c/Z1 = ф-'12лГ Л е±’
[/ ол [/Зя
б. Промежуточная зона (кг»1) и орбитальный jm
кг « 1 наиболее трудна для количественного рассмотрения, так как здесь
простые приближения невозможны. В этой области поля не являются ни
(4.616)
Область
199
радиальными, как в начале координат, ни тангенциальными, как в волно-
вой зоне.
Вектор Пойнтинга S = (с/4л) Е X Н не радиальный в промежуточной
зоне, и в этой области поля несут неисчезающую плотность момента импульса
г X S. Полный момент волн получается интегрированием г X S по всему
пространству [17, 27], и классический результат согласуется с тем, который
можно было бы ожидать в предположении излучения фотонов: для каждого
количества излученной энергии Йсо момент импульса, уносимый 2J-nonbiibiM
излучением, равен |Л/ (J + 1) й с z-компонентой MTi.
§ 5. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
МУЛЬТИПОЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В ВОЛНОВОЙ ЗОНЕ
а. Связь между мультипольными полями и векторными
сферическими гармониками. Угловое распределение и поля-
ризация мультипольных полей в волновой зоне являются
характеристиками векторных спин-угловых функций определенными значе-
нями полного момента и четности.
Для того чтобы обсудить эти свойства, вспомним, что векторное поле
обладает внутренним моментом количества движения или спином S = 1
(гл. 1, § 4в). Для каждого положения в пространстве вектор V (г) может быть
выражен в виде суммы трех компонент
V (г) = - (г) е+ + Vo (г) е0 - V+ (г)ё_, (4.62)
где единичные векторы е+, е0 и е_ — собственные векторы S2 [для собствен-
ных величин S (S + 1) Й2 = 2й2] и Sz (для собственных величин + й, О
и —Й).
Обычное правило сложения моментов может быть использовано для
конструирования векторных спин-угловых функций полного момента J
и его проекции М на ось z, или векторных сферических гар-
моник. Применяя соотношение (1.75), эти функции можно записать
в виде
Yjm- М-т, <р)ёт. (4.63)
7П= —1
Векторные сферические гармоники [выражение (4.63)] нормированы
на полный телесный угол. Они являются комбинацией собственных состоя-
ний спина 1, ет с собственными функциями орбитального момента I,
Y^-m (0, ф).
Для каждой величины J и М имеется три сферические гармоники
для I, равные J + 1, J, J — 1. Каждая соответствует сумме трех членов.
Важно отметить, что орбитальные четности Yjf j, ( и Yj*j±j д равны
соответственно (—1)J и (—1)J+*.
Векторные сферические гармоники Y“ j, t употребляются особенно
часто и для краткости обозначаются Xj1. Их можно записать более подробно,
используя табл. 1.4:
J Ъ e+ + ^==yjeo +
Так как векторные сферические гармоники образуют полную систему,
произвольное векторное поле может быть разложено следующим образом:
оо J
V(r) 2 2 4[bM('-)Y^Jit (4.65)
J=0 M=-.J
гДе fjM O’), gjM (r), hJM (r) — функции, зависящие только от г.
200
Разложение мультипольных полей по векторным сферическим гармо-
никам особенно просто. Рассмотрение выражения (4.48) сразу же дает
LY" = Я /7(/+1) X?, (4.66)
и. следовательно,
А^7 = rot I/J (*г) ’ (4.67a)
лХ=К2*/ДЛг)ХУ. (4.676)
Используя волновое уравнение (rot rot А — к2А) = 0, можно легко
получить магнитное поле электрического мультиполя с помощью первого
из этих равенств. С другой стороны, электрическое поле магнитного муль-
типоля может быть вычислено как производная A^j по времени. Следова-
тельно (исключая фазы, не представляющие интереса), будем иметь
Hfу = Ee/ZJ = /2 /г2Л (кг) хУ. (4.68)
Как известно из теории электромагнетизма, поля, описываемые соотно-
шением (4.68), касательны к фронту волны.
Остальные поля в волновой зоне могут быть получены, исходя из того,
что Е и И перпендикулярны к г и друг к другу. Следовательно, опуская
фазовые множители, получим
Е^у « « /2 k2h (кг) т х X" (кг » 1). (4.69)
Равенства (4.68) и (4.69) вместе с соотношением (4.64) полностью опреде-
ляют поля в волновой зоне, где их можно исследовать экспериментально.
Видно, что магнитные мультиполи поляризованы под углом 90 по отноше-
нию к электрическим.
Заметим, что равенство (4.68) справедливо также в ближней зоне, в то
время как выражение (4.69) — нет.
6. Дипольные и квадрупольные поля. Электрическое поле магнитного
диполя или магнитное поле электрического диполя имеют, как это видно
из соотношений (4.68) и (4.64), следующую зависимость от спина и угла:
- _ [- у?-.+ г;Ч+
+ (4 70)
Подставив в это выражение соотношения (1.26), (1-37) и (1.38), получим
х! - --pj (/i sm«е-**) [ - -pf (’ + +° +
+Тг (“ / w-si”ве*’) [ тг |х -,у)]"
— sin0( — sin <р х + e°s еру J ; (4.71)
X*1 = 1/#- ( - e±i<pi + cos & Х-4-У ) • 0-72)
* Г 8л \ |/2 r V2 /
Векторная сферическая гармоника XJ имеет хорошо известный диполь-
ный характер. Интенсивность (рис. 4.1, я)
| X® |2 =sin8 0 (4.73)
201
равна нулю вдоль полярной оси. Вектор XJ всегда перпендикулярен к оси z
и радиусу-вектору.
Волны XJ и Х“* имеют интенсивность (рис. 4.1, б)
I XII2 = | хд |* = А (4 sin* е + cos* о) = А. 1 (1 + COS2 0). (4.74)
Для 0 = 0 волны, как и ожидалось, обладают круговой поляризацией отно-
сительно оси z, так как они несут единичный момент импульса в этом направ-
лении. Для угла 0 = л/2 волны линейно поляризованы и поляризация
Рис. 4.1. Угловое распределение интенсивности волей некоторых простых мульти-
полей [Jackson J. Classical Electrodynamics, Wiley, N. Y., 1962].
параллельна оси z. В промежуточных случаях излучение поляризовано
эллиптически.
Для квадрупольного (J = 2) излучения имеем
г« _ ы4' _ym_ Г (2 + М) (3 —Л1)
~ А2 = — [-----------J2----J В2 е+ +
Г (2-М) (3 + М) f/2 ,,и+1: 47к
У<г е0 + L 12 J *2 - У-75)
Интенсивности и поляризацию можно подсчитать, как уже показано
для диполя, путем подстановки сферических гармоник. Например, отвле-
каясь от постоянных, получим (см. рис. 4.1, в — д'):
| Х“ |* » sin* 6 cos* 0;
| X* I* » 1—3 cos2 0 + 4 cos4 0; (4.76)
|X*|2«1— cos4 0.
Волны более высокой мультипольности могут быть рассмотрены точно
таким же способом.
§ 6. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МУЛЬТИПОЛИ
а. Разложение плоской волны. Чтобы выявить связь
между разложением поля излучения по плоским волнам
и по мультиполям, целесообразно представить плоскую
волну как сумму мультиполей.
Рассмотрим плоскую волну векторного потенциала, распространяю-
щуюся вдоль оси z и поляризованную в направлении х:-
A = xeiftz. (4.77)
Эту волну можно разложить на компоненты, поляризованные по кругу:
—А+ + А~
V2
( — е+е1Лг 4- e_elftz
(4.78)
202
Тогда каждая циркулярно поляризованная компонента может быть разло-
жена по сферическим волнам в соответствии с соотношением (3.1):
A e±elftz il |Л4л (2Z + 1) ii(kr) У? (0)е±. (4.79)
i
Наконец, произведение У? (0) е± может быть выражено в виде суммы вектор-
ных сферических гармоник в соответствии с соотношением (1.76):
»+1
П(6)е±- S C(Z1J; 0±l)Y^i-
= [ 2 m-1)]12 Y'-‘- '•1 + ЬЙЛу] 2 Yl+*’l’1 т TT х,±1' (4‘80)
Подставляя выражение (4.80) в соотношение (4.79), получаем
А* e±eiftz =
(4.81)
Сумма (4.81) берется до I оо. Наинизшими величинами I, которые вносят
вклад при М ± 1, являются / 0, I 2 и I 1 для трех членов в скоб-
ках. Подставим J Z-J-1 в первый член, J I — 1 во второй и J Zb тре-
тий. Тогда вся сумма берется от ./ 1 до J оо и получаем
A* e±elftz V iJ [2л (27 +1)]1'2
jj 1 (27^т) 1 4-i (277Г1) ! +
~~£J
О -*
(4.82)
В этом выражении плоская волна представлена как сумма членов с раз-
личным J (полным моментом количества движения)). Для каждого 7 два
первых члена в скобках имеют орбитальную четность (—1)J и являются
(см. табл. 4.1) вкладом 77; последний член с орбитальной четностью (—1)J —
вклад MJ.
При малых кг в /0 (кг) доминирует электрический дипольный член. Он
равен ]/2л-3-1 З/ЗУ^уд = ] 4лУ"е± = е±. Следовательно, вклад элек-
трического диполя в начале координат может быть получен как первый
член разложения экспоненты в степенной ряд: eihz » 1. Как хорошо известно,
второй член степенного ряда ikz представляет собой смесь магнитного диполя
и электрического квадруполя и т. д.
б. Поле излучения как сумма квантованных мультиполей. Следуя про-
цедуре, примененной в § 2, можно проквантовать электромагнитное поле,
представив его в виде суммы фотопов определенной мультипольности.
Кубический ящик, использованный в § 2а, заменяется сферой единич-
ного радиуса, собственными состояниями для которой являются стоячие
мультипольные волны с кц тя (т — целое). Каждое собственное состоя-
ние характеризуется индексом р,, который, для краткости, означает все кван-
товые числа klL, J, М, л. Таким образом, произвольное поле .может быть
представлено точно так же, как в § 2;
А=2(диА11 + д-Л*), (4.83)
И
203
где Ац — мультипольные поля, a — их амплитуды, которые должны быть
квантованными. Квантованные амплитуды суть, как и в выражении (4.2(5),
/2nft
(4.84)
где 6/ц—операторы уничтожения [выражение (4.27)[. Гамильтониан взаимо-
действия может быть раскрыт через операторы рождения и уничтожения,
как в соотношениях (4.37) и (4.38). Член, содержащий р-А, переходит в
А • Р« = С bV ’ Ра«и Ь • Ра41 •
И 1
Аналогично член с о-Н равен
eft тт
-оГг~ РаО- II
1Мс
(4.83)
1
Г'й?
= Ра са 2
В
(rot Ацйц + rot А*67ц).
(4.86)
§ 7. ВЕРОЯТНОСТИ МУЛЬТИПОЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ
а. Матричные элементы. Чтобы вычислить матричные
элементы для вероятностей переходов с испусканием или
поглощением у-квантов, нужно квантованный гамильтониан
взаимодействия (4.84) и (4.85) проинтегрировать по объему ядра. Если
ядерный радиус R много меньше длины волны, как это имеет место в боль-
шинстве представляющих интерес случаев, можно использовать прибли-
жения кг х kR < 1. Тогда, принимая импульс каждой частицы ра = —ih^a
равным ~ h/R и используя (4.53), получим следующие выражения, дающие
порядок величины относительного значения матричных элементов 1 в одно-
частичной модели:
е , /2лА . м ,, \/к I взаимодействие электрического \ ,, .... ,
77“ V А7л‘Р~С"7Г(Л'Я) ( мультиполя с зарядом J: (4.86а)
eft _ /2nft ..А[ ~ р ~|/fc ( взаимодействие электрического )./zoi '\
2М V (о 11 eJ С —v'-'Ч (мультиполя с магнитным моментом) > (4.ооо)
взаимодействие магнитного
мультиполя с зарядом
j; (4.8бв)
eft _/2nft „и „ [/ft j / взаимодействие магнитного \
V (о Рст’ “Mj ~ Ц щ/г) 1 (мультиполя с магнитным моментом!’
(4.86г)
где
с-=4-1/^- 1/2я
М V с г у Нс MW V 137v ’ \ Мс /
Может быть получена более точная оценка недиагональных матричных
элементов импульса:
H L If tL
— (f | ra | i) да ±iMi»R.
(4.87)
1 Матричные элементы имеют каткущуюся размерность (энергия) X (длина)1 2-
Это происходит потому, что радиус нормирующего ящика был выбран равным единице
и он не присутствует в формулах. Если бы нормирующий радиус был равен L, возникал
бы дополнительный множитель Z,_1/2 и матричные элементы имели бы размерность
энергии.
204
Здесь, в модели независимых частиц, ра— оператор импульса отдельной
частицы и — гамильтониан, который задает ее движение. Оценка (4.87)
эквивалентна оценке, использованной в соотношениях (4.86), если Й/7? =
MaR или
Й(0 = -^- = 2,2 Мае (4Д-ТР ) хМэв.
МН у Лддра /
При использовании соотношений (4.87) и (4.53) матричный элемент (4.85)
переходит в
TF р « С^- Vк (kR)3 ; (4.88а)
ir АХ- р « с^г ’ <4-886)
где постоянные те же, что и в соотношениях (4.86).
б. Вероятности переходов. Плотность состояний мультипольных волн
в единичной сфере равна 1
и не зависит от энергии. Следовательно, квадраты выражений (4.86) и (4.88)
определяют зависимость вероятностей переходов от энергии. Исходя,
например, из соотношения (4.88а), можно непосредственно удостовериться,
что в соответствии с элементарными соображениями 2 вероятность электри-
ческого дипольного перехода пропорциональна R2k3. Вводя матричные
элементы (4.86) и плотность состояний (4.89) в (4.39), получим оценку
вероятностей одночастичных переходов. Чтобы исключить громоздкие кон-
станты, будем использовать естественные ядерные единицы:
единица длины: ММс = 0,21 хЮ-13 см,
единица времени: к/Мс2 = 0,7 Х'Ю-24 сек.
Получаем, соответственно 4л w~ Тэт' (4.90а)
4л W~ 137' (WJ+2; (4.906)
4л W = 137' (WJ; (4.90в)
4л W 137 ^(WJ. (4.90г)
Если используются матричные элементы [выражения (4.88а) и (4.886)]
вместо (4.86а) и (4.866), выражения (4.90а) и (4.906) заменятся следующими:
w = ~k(kR)2S-, (4.91а)
w = ^k(kR)2J+2. (4.916)
Более подробные оценки вероятностей радиационных переходов в ядер-
ной физике приведены в § 14.
1 Из = тл (т — целое) имеем dm = dk/л. Таким образом, на единичный энер-
гетический интервал приходится число состояний dm/dE = (лкс)~1.
2 По классической теории энергия, излучаемая за единицу времени dE/dt, про-
порциональна квадрату ускорения. Для х = R sin at dE/dt R2<o4. Следовательно,
вероятность испускания фотона равна (feco)-1 (dE/dt) 7?2<о3 чк R2ks.
205
Б. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИСТЕМЫ НЕЙТРОН — ПРОТОН
С ИЗЛУЧЕНИЕМ
§ 8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ!
РАССМОТРЕНИЕ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЕНТОНА
а. Описание экспериментов. Взаимодействие нейтрон-
протонной системы с излучением вызывает реакцию
п р 7 4 I) 4 у. (4-92)
При переходе слева направо выражение (4.42) описывает захват ней-
тронов протонами. Обратное направление реакции соответствует фоторасщеп-
лению дейтона. ।
Эти реакции являются единственными ядерными процессами, которые
могут быть вычислены с некоторой точностью на основе наших знаний
Гис. 4.2. Сечение фоторасщиилеппя дейтонов при низкой энер-
гии [II и 1 1 h е и N., SugawaraM. Handbook of Physics, 39,
112, Springer-Verlag, Berlin (1957)].
о взаимодействии между элементарными частицами. По этой причине мы
обсудим их довольно подробно.
Фоторасщепление дейтона не легко исследовать экспериментально.
Определение полного сечения требует измерения интенсивности у-лучей,
которое никогда не бывает столь же точным, как измерение интенсивности
пучка заряженных частиц. Тем не менее при нескольких энергиях имеются
данные по сечениям, измеренные с точностью -~Ю% (рис. 4.2 и 4.3).
Для наблюдения продуктов реакций использовалось несколько мето
дов. Наиболее прямой метод счета фотонейтронов не является наиболее
точным. Более удобно регистрировать фотопротоны в фотографических
эмульсиях, насыщенных дейтонами, или в пропорциональных счетчиках
и в камерах Вильсона, наполненных дейтерием.
Помимо измерения полного сечения можно изучать угловое распреде-
ление продуктов расщепления, которое, как будет видно, важно для опре-
деления момента количества движения в конечном состоянии. Зависимость
сечения от угла имеет вид
1 + A sin2 0, (4.93)
где 0 — угол между направлениями у-кванта и испущенного прото набили
нейтрона. Коэффициент А увеличивается с энергией.
206
Сечение обратного процесса (захвата нейтрона протоном) много меньше,
чем сечение рассеяния нейтронов на протонах. Следовательно, эту реакцию
изучать трудно, и величина сечения известна с хорошей точностью лишь
для тепловых нейтронов:
о = (0,329 ± 0,004) х 1(Г24 см2.
(4 94)
Прежние измерения этой величины были описаны в гл. 3, § 11. Сечение
(4.94) было получено [29] путем сравнения с другими хорошо известными
сечениями, измеренными при активации иода в водном растворе Nal, с добав-
кой и без добавки солей бора, облученного нейтронами.
б. Качественное рассмотрение процесса. Необходимо отдельно рассмот-
реть фоторасщепления, характеризующиеся сферически симметричным рас-
пределением протонов, и фоторасщепления, при которых рожденные про-
тоны имеют угловое распре-
деление типа sin2 9 [см.
(4.93)].
В последнем случае ко-
нечное состояние представ-
ляет собой Р-состояние.
Электромагнитный переход
является электрическим ди-
польным переходом — как
большинство атомных пере-
ходов, — соответствующим
правилу отбора AZ = AJ =1,
Ал =/= 0. Можно считать, что
электрический вектор падаю-
щей волны действует на заряд
протона и выбивает частицу
в направлении, преимущест-
венно перпендикулярном на-
правлению распространения
у-кванта.
Когда продукты расщеп-
ления испускаются сфери-
4
7 2 4 7 10 20 W 70100 200 hv, Мэй
Рис. 4.3. Сечение фоторасщепления дейтонов при
энергии до 400 Мэв [ II u 1 t h е n N., Sugawa
г а М. Handbook of Physics, 39, 14, Springer-
Verlag, Berlin (1957)].
чески симметрично, конеч-
ное состояние должно быть 5-состоянием. Следовательно, Д/ = 0 1 и имеет
место переход из связанного 35-состояния в несвязанное 15-состоя-
ние, вызываемый взаимодействием между магнитным полем волны и маг-
нитными моментами нуклонов. Квантовые числа частиц изменяются в соот-
ветствии с Д/ = 1, Дл = 0. Расщепление вызывается магнитно-дипольной
частью электромагнитной волны.
§ 9. РАСЧЕТ СЕЧЕНИЯ ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЯ
а. Начальное и конечное состояния. Вычисление сече-
ния фоторасщепления дейтона представляет собой прямое
применение описанных в разд. А методов, относящихся
к взаимодействию между частицами и излучением. Обсудим подробно эту
задачу как в связи с физическим результатом, который в ней заключен, так
и в качестве иллюстрации теории.
Поперечное сечение фотоэффекта определяется выражением (4.95)
(4.95)
1 Пренебрегаем примесью Л-состояния в дейтоне.
207
где w — вероятность перехода из (4.39). Начальное состояние в этой фор
муле, содержит дейтон и первичный у-квант:
|Тг) = |фьО, 0, ...» 1Х, ...), (4.96)
где фг— нормированная волновая функция дейтона, а все числа заполнения
поля излучения равны нулю, за исключением состояния X, занятого падаю-
щим фотоном.
Если предположить, что дейтон в начальном состоянии имеет импульс
ПК, то можно написать
фг = ехр (iK-Rc) фп(г), (4.97)
где Rc — координата центра масс дейтона и фс (г) — внутренняя волновая
функция дейтона, выраженная через относительную координату г (рас-
стояние между нейтроном и протоном).
Вычислим сечение, предполагая ради простоты центральные силы
в приближении нулевого радиуса. В этом случае из соотношения (1.132),
используя соответствующую нормировку и вводя спиновую часть волновой
функции, получаем
1 е-г/л
<4-98’
Мы увидим, что приближение нулевого радиуса весьма точное. Расчет
для конечного радиуса оказывается более трудоемким, но прибавляет к пони-
манию теории и фактов лишь немногое.
Конечное состояние совсем не содержит фотонов и может быть описано
функцией
(VJ =<%, 0, 0, ... |, (4.99)
где ф/ — конечное состояние частиц. Волновая функция ф/ — стоячая волна,
нормированная на единицу в объеме, где квантованы состояния свободных
частиц. Плотность конечных состояний pF должна быть вычислена в том же
самом объеме.
Конечное состояние частиц является собственным состоянием невозму-
щенного гамильтониана, который включает в себя ядерные силы. Для опи-
сания конечного состояния можно использовать либо сферические, либо
«искаженные» плоские волны. Сферические волны обычно нормируются
в сфере единичного радиуса. Вне области ядерных сил (и везде в прибли-
жении нулевого радиуса) можно написать
ф/ = e,K'-Fc У2к п (кг + б,) У)п (6, ср), (4.100)
где КК'— полный импульс в конечном состоянии, Лк — импульс относи-
тельного движения в конечном состоянии — конечное спиновое состоя-
ние; б/— фазовые сдвиги из-за ядерного потенциала. Нормировку легко
проверить, если воспользоваться асимптотической формой /г (Ат), которая
правильна в большей части пространства для не слишком больших величин I.
Заметим, что по закону сохранения энергии
Л<о-Б = Лы—. (4.101)
Используя соотношение (4.100), получим, что плотность конечных
состояний в системе центра масс, вычисленная в том же сферическом объеме,
равна 1 2
dn М 1
Pf’~“ dE ~ 2л ' ‘ (4.102)
1 См. сноску на стр. 41.
2 Исходя из к = тл (т — целое) и Е — Н2к*!М, получим dmldE — Mdkl(2nh2kdk).
208
Соотношения (4.100), (4.102) и (4.95) дают полное сечение перехода
в конечное состояние с определенным моментом количества движения.
Угловое распределение фотопротонов определяется функцией | Y™ |2.
В качестве другой возможности для конечного состояния можно исполь-
зовать «искаженные» (сдвинутые по фазе) плоские волны, распространяю-
щиеся в направлении, определяемом волновым вектором к. Сдвиг по фазе
необходим, так как свободные плоские волны не являются решением задачи
о невозмущенной частице.
Вне области ядерных сил (и везде в приближении нулевого радиуса)
такая искаженная плоская волна [см. (3.176)] имеет вид
ф/ = е1К ' 2 ]/4л (21 + 1) (Ат-|-бг) У?(cos кг). (4.103)
г
Для 6г = О она переходит в плоскую волну elk r, нормированную в куби-
ческом ящике единичного объема. В этом же ящике плотность состояний
в телесном угле dbl вокруг к равна (см. гл. 5, § 1)
__ (Ы)2 d (hk) dQ dQ Mhk .р,.
Рр ~ (2nk)s-2d (h2k2,'2M) = = (2лЛ)3 2“ ' 1U4^
Подставляя выражения (4.103) и (4.104) в соотношение (4.95), получим
дифференциальное сечение для испускания фотопротонов внутри телесного
угла dQ. Полное сечение получается интегрированием по телесному углу.
Оба метода совершенно эквивалентны.
Для фоторасщепления при малой энергии (меньше — 1С Мэв) можно
принять следующие приближения, справедливость которых подтверждается
опытами по рассеянию:
6г = 0 для Z=H=O;
60 = 6г для триплета в 5-состоянии; (4.105)
60 = 6S для синглета в 5-состоянии.
б. Гамильтониан взаимодействия. Матричные элементы вычисляются
в предположении
kjl « 1, (4.106)
где к}. — волновое число у-кванта и Н — радиус дейтона. В области ядер-
ной физики низких энергий величина i/k^ равна по порядку величины комп-
тоновской длине волны электрона, в то время как R имеет порядок комп-
тоновской длины волны мезона. Поэтому соотношение (4.106) выполняется
достаточно хорошо.
Гамильтониан для падающей плоской электромагнитной волны дается
формулами (4.36) — (4.38), где для состояний, описанных выше, можно
написать а} = 1 и = 0. Импульс ра может быть представлен в виде суммы
импульса движения центра масс Рс и импульса протона относительно центра
масс, рр = М (г/2) = рг = fik. где г — относительная координата (рас-
стояние между п и р) и [г — приведенная масса. В член Ара должны быть
включены только импульсы рр, так как операторы Рс и рп в поставленной
задаче имеют исчезающие матричные элементы (они не расщепляют дейтон).
Экспоненту exp (ikvrp) можно разделить на два множителя:
ехр (ikx-Re) и exp (tk;.-г/2).
Чтобы получить матричный элемент, указанные 'множители нужно про-
интегрировать между начальным и конечным состояниями. Интегрирование
по переменной Вс, очевидно, обеспечивает сохранение импульса, так как
интеграл не равен нулю лишь для К' = к; + К: частицы испытывают
отдачу при поглощении у-кванта.
Остается интеграл по относительной координате г. Вудем принимать во
внимание только первый член в разложении экспоненты и заменим
И Ядерные взаимодействия
209
exp (ik;.-r/2) единицей. Как было объяснено в конце § 6а, это эквивалентно
учету исключительно дипольных вкладов: электрического для члена А р
и магнитного для ц-Н.
Теперь подсчитаем матричные элементы возмущенного гамильтониана
<$?' = — |Л2лЙ С -р=-Е^.рр +
Ц-i | 2лйс ' 2д/с НрДр)"®!. X (4.107)
между начальными и конечными состояниями частиц. В выражении (4.107)
индексы пир относятся к нейтрону и протону, а магнитные моменты выра-
жены в ядерных магнетонах.
в. Сечение фотоэлектрического расщепления. Так как два члена в выра-
жении (4.107) не интерферируют, то нужно в отдельности подсчитать два
сечения расщепления. Соответствующие процессы называются фотоэлек-
трическим и фотомагнитным расщеплениями.
Для описания конечного состояния выберем сферические волны и при-
мем приближение нулевого радиуса. Для фотоэлектрического сечения
нужно вычислить матричный элемент рр между состоянием дейтона [выра-
жение (4.97)] и конечным состоянием [выражение (4.100)]. Если предполо-
жить, что у-квант плоскополяризован с электрическим вектором в направ-
лении х, этот матричный элемент будет равен
<Ф/ | х -рр | фг) =. | рр cos 0х | фг) =
__ „ ,, —r/R
= £;£tK2A' ji (кг) у; (cos 0Х) рр cos 0Х • -^"7—2лг2 dr d cos 0Х, (4.108)
где, как этого требует сохранение момента импульса, конечное состояние
выбирается с Z = l, m; = 0. Очевидно, нужно положить £у = £(. >
Можно подставить точную форму Д и У£ в соотношение (4.108)
и написать i(M/2)cor вместо рр [соотношение (4.87)]. Тогда имеем1
(ф/|х-Рр|ф;) =
. » ГД , / 3 V 2л га 1 / sin кг . \
~ 11 2 V ТУ 2 “ Д/2лД J 7 C0S Лг) *
,,'7Л 9 J 7 Q .2 Мы к2
X r C((S2 6х г2 dr d cos 0Х = j у.. —. F+l2)2 . (4.109)
Комбинируя соотношения (4.95), (4.102), (4.107) и (4.109), получим
an (JL 1 ) га 71/2(02 ki
fee М 2л fe2/J Lw2'2 Ы/13 R ’(Я-2-1 4-2)4
8л е2 11 ы43
Т" ' feAT' 7Г' (7Г2+У2Д •
(4.110)
Но, используя выражение (4.101), можно исключить и. Тогда соотноше-
ние (4.110) переходит в
8л е2 1 4® ’ . . . .
°Г_'~Т"Ус"Я''(R-2+fe2)3 • (4.111)
2
3" ’
cos2 0xrf cos 6,
С' / sin кг
\ V кг
б
2к2
(7?-2_|_ £2)2 •
cos кг I е r/Kr dr
210
Угловое распределение определяется квадратом угловой функции
конечного состояния Y“ (cos 0т). Оно пропорционально cos2 0Х, где 0Х—
угол относительно направления поляризации у-кванта. Если у-квант не
поляризован, то нужно усреднять по двум ортогональным поляризациям.
В этом случае угловое распределение должно иметь осевую симметрию отно-
сительно направления z падающего пучка. Этого будет достаточно, чтобы
определить его в плоскости xz. Усредняя по поляризациям в направлениях х
и у, получим
(cos2(ex, к)) у cos2 0х ~ ~ sin2 6, (4.112)
где 0 — угол между направлениями падающего у-кванта и вылетающего
протона.
г. Сечение фотомагнитного расщепления. Теперь обратим внимание на
второй член гамильтониана взаимодействия, определяемого выражением
(4.107) и соответствующего взаимодействию между магнитным полем волны
и магнитными моментами нуклонов. В дейтоне два антипараллельных маг-
нитных момента, знаки которых противоположны. Поле стремится сделать
их параллельными и, следовательно, вызывает переходы из триплетного
в синглетное состояние. Так как синглет не связан, наступает расщепление.
Выберем полярную ось z в направлении магнитного поля щжк;.. Тогда
гамильтониан возмущения будет иметь вид
i 1 2лЙ с 2Мс "Т Bp°pz)- (4.113)
Возмущение воздействует на спин, но не на орбитальный момент. В этом
расчете необходимо различать три начальных состояния в соответствии
с тремя ориентациями спина дейтона относительно оси z. Поперечное сече-
ние должно быть усреднено по ним. Конечное состояние представляет собой
1.'>-волну [см. соотношение (4.100)]:
|/2fc sln <*;+*•> . (4.114)
Подсчитаем матричные элементы оператора (p;1onz-[- ppopz) между тремя
различными начальными состояниями £Н=апар, —1^1/2 (anfip + f)nap),
?71= и конечным состоянием £s=| 1/2(апрр — рпар). Имеем
(Cs | Bnanz + Bp°pz | й> = Й (Bn + Вр) й = °;
(L|BnOnz + Bp(7Pz|Ci) = Cs (Bn — Bp)C° =Bn —Bp5 >
(Cs | BnPnz + BpPpz | C?* 1) = Й (— Bn — Bp) Cr1 = 0. .
(4.115)
Таким образом, сечение, усредненное по трем начальным состояниям»
равно1
1 / 2л \ / М 1 \ , \2 . 1/2лй сЛ» еЪ. 2
(irw)^n-Bp)2 1 v- -2^
sin (кг + Ss)
кг
1___
[/4 л
1
Т/2Й7?
r/R |2
-— 4лг2 dr =
2л е2 , . .2 <о / (1/Я) sin 6s + /c,cos Ss т 2
~ "Г ’ — ~kR ( R~2-\-k2 )
... , f ,, , s , -r/R , (l/Я) sin 6K-j-/r cos d.,
1 Используем ck) <o; \ sm (/cr-j-6s) e ' dr =-------- -------------
J £1 c
0
возникает из-за усреднения по начальным состояниям.
(4.116)
множитель 1/3
14* 211
Вблизи порога, подставляя соотношение (4.101) и Aclg6s —1/щ,
получим [соотношение (3.21)]1
„2л е2 / h \2 k R [(as /?) —1]2
3 'he (.Me) l-|_fc2a2 ' (1.117)
§ 10. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
а. Фоторасщепление. Сечения расщепления, вычислен-
ные в предыдущем параграфе [формулы (4.111) и (4.117)1,
находятся в удовлетворительном соответствии с экспери-
ментом вплоть до энергии ~10 Мэв. Согласие улучшается, если учитывается
конечный радиус волновых функций.
Фотоэлектрическое сечение мало при низкой энергии:
афото0иектр~-з--1з77?2(А-/?)3, где kR 1.
(4.118)
Оно возрастает как ks и имеет максимум при к —- 1/7/.
Фотомагнитное сечение более существенно при малых к'.
Офотомагн-^-^ (17г)2(Ип-Нр)2 (^-1)2(Ай), где kR - 1, (4.119)
но возрастает с к медленнее. Для kR х 1 фотоэффект доминирует приблизи-
тельно в отношении/?2 (квадрата радиуса дейтона) к (й/Л/с)2 (квадрату комп-
тоновской длины волны нуклона).
Согласие между теорией и экспериментом подтверждает наши пред-
ставления о дейтоне и (п — р)-взаимодействии при низких энергиях, но
ничего не прибавляет к нашим сведениям о ядерных силах.
Явление фоторасщепления при высоких энергиях рассмотрено во мно-
гих теоретических работах и было предметом широкого экспериментального
исследования. В теории должны учитываться конечный радиус ядерных
сил, влияние излучения высокой мультиполыюсти и вклад л-мезонов.
Однако мы не будем вдаваться в обсуждение этих эффектов. Для справок
можно обратиться к литературе [5].
б. Захват нейтронов протонами. При обращении времени процесс фото-
расщепления переходит в процесс захвата нейтронов протонами. Благодаря
инвариантности относительно обращения времени вероятность перехода
между двумя любыми состояниями (и — р)-с и с т е м ы
должна быть одинаковой в обоих направлениях.
Поэтому сечение захвата связано с сечением фоторасщепления соотноше-
нием
_______1_____
оэахв _ gc поток нейтронов плотность конечных состояний у .. .
СУрасщ gd 1 плотность конечных ' ' '
поток у нуклонных состояний
В этом выражении множители g возникают в результате усреднения
по начальным спиновым состояниям и равны:
для электрического излучения — gc 3/4; •
gd=l'.
для магпптпого излучения — gc = 1./4;
gd- 1/3. .
(4.121)
Для расчета потоков и плотностей состояний удобно использовать плос-
-кие нуклонные и у-волны, нормированные в кубе единичного объема. Сле-
1 / 1 . . V 1 / 1 , , . s V *2K«s «)-П2
sin6s + /ccos6sj i-pctg266. (я + cg6s) л2о| + 1
212
довательно 1см. соотношения (4.104) и (5.6)1,
hk
нейтронный поток--—
dQ Мы2
плотность конечных у-состояшш — (2л Й-)3-с^~
поток у-квантов— с‘
dQ 1
ПЛОТПОСТЬ конечных нуклонных СОСТОЯНИИ—0>л^)3 ' ~Т
Для магнитных переходов соотношение (4.120) дает
°захв _ 3 _ и2
°расщ 2 с2/г2
(4.122)
Теоретическое сечение захвата можно сравнить только с эксперимен-
тальными данными для тепловых нейтронов. При таких низких энергиях
преобладает магнитный эффект. Из соотношений (4.119) и (4.122) получаем
Озахв. тепл
137 ( Мс ) Ир)2 ( Я *)
2 Д2(„2 1
с2 kR
(4.123)
Сечение ведет себя как 1/А. Множитель - равен
к В* _ В 2,2
~ВАГ"к^2^ Мс2 “931
Интересно заметить, что сечение зависит от знака as и, следовательно,
от того, является ли синглетный дейтон связанным или несвязанным. Почти
идеальное согласие сечения (4.123) с экспериментом подтверждает заклю-
чение о том, что синглетный дейтон не может быть связанным.
Следует упомянуть, что даже если улучшить теорию введением конеч-
ного радиуса, между теорией и экспериментом все же остается расхождение
в несколько процентов. Это может быть объяснено тем, что мы пренебрегли
обменными мезонными токами. К сожалению, наши знания ядерного взаи-
модействия и мезонной физики слишком неполны для количественного
расчета этого эффекта.
В. ИСПУСКАНИЕ у-КВАНТОВ
§11. ПРАВИЛА ОТБОРА ПО СПИНУ И ЧЕТНОСТИ
ДЛЯ МУЛЬТИПОЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
а. Значение высоких мультиполей в ядерной физике.
Испускание у-квантов при переходах между ядерными
состояниями является, по существу, тем же явлением, что
и излучение света при атомных переходах. Хотя длина волны 2л/к в ядерных
задачах значительно меньше, неравенство kR < 1 справедливо в обоих слу-
чаях, так как размеры излучающей системы уменьшаются приблизительно
в той же степени. В результате низшие мультипольные переходы оказы-
ваются более вероятными, чем переходы, соответствующие высшим мульти-
полям.
В атомной физике обычно учитываются только электрические диполь-
ные переходы. Переходы, не удовлетворяющие дипольным правилам отбора,
называются «запрещенными» и рассматриваются редко. Возбужденное атом-
ное состояние не часто высвечивается с испусканием излучения высокой
мультипольности, поскольку атомные состояния, возникающие благодаря
столкновениям или возмущениям другого типа, редко являются «чистыми».
Атомные состояния, которые, будучи чистыми, имели бы большое время
жизни, обычно высвечиваются с испусканием электрической дипольной
волны. Это становится возможным благодаря примеси состояния с подходя-
щими квантовыми числами.
213
В ядрах ситуация иная, поскольку они не так легко подвергаются
влиянию внешних факторов. Ядерные возбужденные состояния, для кото-
рых все переходы связаны с большими изменениями
момента количества движения, остаются чистыми и в
конце концов высвечиваются (возможно, со временем
жизни, измеряемым днями или месяцами) с испусканием
излучения высокой мул ь тип о л ьн ости (например, см.
рис. 2.30). Это и есть хорошо известное явление ядер-
ной и з о м е р и и.
Характер испущенного излучения можно исследовать
экспериментально, измеряя угловые распределения и
' поляризации (§ 12 и 13). Коэффициенты внутренней кон-
версии (§ 15) также зависят от мультиполытости пере-
хода. То же следует сказать и о времени жизни возбуж-
денных состояний, однако характер этой зависимости
не может быть точно вычислен из-за недостаточного
знания ядерных волновых функций (§ 14 и 16).
Таким образом, исследование излучения высокой
мультиполытости имеет большое значение в ядерной спек-
троскопии.
б. Момент количества движения и правила отбора по
четности. Правила отбора для момента количества движе-
следуют непосредственно из принципов сохранения.
во-первых (рис. 4.4), излучение, испущенное при пере-
ходе между определенным магнитным подуровнем М, начального состоя
ния и конечным состоянием со спином ноль. Момент количества движения
и магнитное квантовое число излучения полностью определены. Используя
квантовые числа, указанные на рисунке, имеем испускание
—1— Jf =Hf =0; лj
Рис. 4.4. Поле
излучения при пе-
реходе из выделен-
ного начального
магнитного под-
уровня в конечное
состояние с пуле-
вым спином имеет
определенные зна-
чения J—Ji,
M=Mj п л -щлу.
ния и четности
Рассмотрим,
2 г-польного излучения с угловым
распределением, описываемым
в волновой зоне выражением:
(4.125)
В соответствии с выбором знака в следующем равен-
стве:
(4.124)
JiJT;
Рис. 4.5. Поле
излучения без вы-
деления магнит-
ных подуровней
начального и ко-
нечного состоя-
ний. Излучение
сферически сим-
метрично,
квантовые
зависят от J[, TiiJf
п лу, но не от М;
и Mj.
№
(4.126)
излучаемым квантом является
или gj,-,
ИЛИ
(4.127)
era
числа
и, следовательно, этим устанавливается его поляризация.
Большее практическое значение представляет случай,
когда магнитные подуровни не определены (рис. 4.5), но
спины и четности начального и конечного состояний из-
вестны. Сохранение момента количества движения (вместе
пого сложения этой величины) требует, чтобы излученные 2J-My.TbTiinoли
были ограничены соотношением
c
законом вектор-
Введем обозначение
(4.128)
J0 = \Ji-Jf\ (4.129)
для момента количества движения низшего возможного мультиполя и обратим-
ся к четности. С этой целью целесообразно обсудить два отдельных случая.
Случай 1, или случай благоприятной четно-
сти: низший разрешенный мультиполь является
214
электрическим. Это условие эквивалентно следующему:
(— 1)/о = ЯгП/=л. (4.130а)
Тогда все разрешенные мультиполи имеют четность, описываемую выраже-
нием (4.130а), и суть:
Г/о, ^(Л+1), ё(Л+2), ..., ё(Л + Л). (4.131а)
Случай 2, или случай неблагоприятной чет-
ности: низший разрешенный мультиполь являет-
ся магнитным. Это эквивалентно
— ( — 1)J° = ЛгЛу =л. (4.1306)
Тогда разрешенными мультиполями являются
c#Jq, S(Jo4“l)> •••! ^(Ji~\~Jf)- (4.1316)
Конкретизируя, можно написать следующую таблицу (нулевые полюса
в электромагнитном излучении не существуют!);
4о = 1Л —J/I Разрешенные мультиполи
q не 0 —» .0 •— $1, с/Н2 до М (Jj + J2)
4- Т71, ^2 . . до <5
1 £1, «з//2, W3 . ДО Й (J i -|- J 2)
1 + о«1, %2, <МЬ . . . до М (Л 4-А)
2 — ^/2, £3, Mb. - ДО O//Z (J 1 -|- J2)
2 £2, е«3, £4 . . до £ (Л + 42)
Если Ji + J2 велико, может иметь место смесь многих мультиполей.
Однако в приближении R < 1 эта смесь ограничивается практически только
первым или двумя первыми разрешенными мультиполями.
в. «Чистота» мультиполей. Если предположить, что излучение испу-
скается при одночастичном переходе (модель независимых частиц), порядок
величины вероятности перехода может быть получен из (4.90). Если опу-
стить общий множитель 4л/137, то она будет такова:
Случай благоприятной четности
— взаимодействие с зарядом (k/R2) (kR)2J°~2 X 1
— взаимодействие с магнитным моментом (k/R2) (kR)2J°~2 X (kR)1
c#(J0-|-l) — взаимодействие с зарядом (k/R2) (kR)2J°~2 X (kR)11
x/l (Jo-(-1)— взаимодействие с магнитным моментом (к/R2) (kR)2J°~2 X (kR)*
(Jo + 2) — взаимодействие с зарядом (к/R2) (kR)2J°~2 х (kR)11
Z" (Jo 4-2)— взаимодействие с магнитным моментом (k/R2) (kR)2J°~ X (kR)s
Случай неблагоприятной четности
flJ0 — взаимодействие с зарядом (k/R2) (kR)2J°~2 X (kR)2
dlJfi—взаимодействие с магнитным моментом (k/R2) (kR)'2J° 2 X (kR)2
$f(J04~l) — взаимодействие с зарядом (k/R2) (kR)2J°~2 X (kR)2
$s(Jo+l)—взаимодействие с магнитным моментом (k/R2) (kR)2J°~2 X (kR)6
o#(J04-2)— взаимодействие с зарядом (k!R2)(kR)2J°~2 X (kR)6
J/(Jo4-2)—взаимодействие с магнитным моментом (k/R)2 (kR)2J°~ X (kR)6
Ясно, что для kR < 1 в переходах с благоприятной четностью с сущест-
венной интенсивностью испускается только Jo-излучение. В случае небла-
гоприятной четности, наоборот, могут быть излучены со сравнимой интен-
сивностью Мо и g(Jо + 1) и можно наблюдать смесь этих двух мульти-
полей.
215
Для коллективных переходов оценки отличаются, но и в этом случа
вероятность излучения различных разрешенных мультиполей сильно огра
ничивает их смешивание.
§ 12. ПРЯМОЕ НАБЛЮДЕНИЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
а. Экспериментальное выделение ядерных переходов и
измерение углового распределения. Для экспериментально-
го исследования углового распределения | Xj | 2 необхо-
димо выделить переходы, соответствующие заданным J и М. Это возможно
в принципе, а для нескольких случаев — также на практике [13, 45]. Класси-
ческим примером является изучение с Со80. Рассмотрим переход между состоя-
нием со спином и состоянием с Jf — Mf — 0. Если начальные спины
поляризованы вдоль произвольной оси z,
так что М i — J;, J- и 1/-излучения опре-
деляются полностью.
Получение поляризованных ядерных
источников весьма сложно. Магнитная энер-
гия р/7 » (eh/2Mc) Н равна ~10'19 эрг в
магнитном поле ~2 . 104 гс. Следовательно,
поляризация ядер «грубой силой» с помощью
практически достижимых магнитных полей
требует температуры ~10“3 К.
В некоторых парамагнитных ионах и
некоторых кристаллах, однако, магнитное
поле вблизи ядра равно — 10е гс.
Поэтому используя преимущества ионных и
кристаллических полей, можно приготовить
поляризованные образцы определенных ядер,
таких, например, как изотопы Со и Мн
[22, 38].
Схема распада Со80 показана на рис. 4.6
Радиоактивное ядро имеет спин 5. Оно испы-
тывает [3-распад с полупериодом 5,3 года, переходя в возбужденное состоя-
ние Ni со спином 4. Если Со60 поляризован полностью, поляризация
сохраняется в дочернем состоянии вследствие правил отбора для разрешен-
ного |3-излучения (AJ — 0 или 1, ДЛ/ = 0 или 1, Дл = 0). Два после-
дующих ^З-перехода приводят к основному состоянию Ni60. Для каждого
из них ожидается угловое распределение вида | Х| |2 » 1 — cos4 0 [формула
(4.76)], и, следовательно, анизотропия
Соео
Ои^ЗЗНзВ
_Е_ чистый Е2Н=Х1
г Z
J-0'
0^1,332Ы
чистый EZlhXl
Рис. 4.6. Схема распада ядра
Со60 для поляризованного началь -
ного состояния.
| X (л/2) р-1 X (0) [2
|Х(л/2)р
(4.132)
равна единице.
Амблер и др. [8] осуществили поляризацию ядер, заменив атомами Со
некоторые из атомов Мп в сложном кристалле Ce2(NO3)e-Mg3(NO3)6-24Н2О
и охладив его до 0,004 К. Наблюдаемая анизотропия оказалась в согласии
с предсказываемой.
Хотя опыты подобного типа трудны, они в принципе могут быть про-
ведены с целью определения мультипольности испускаемого излучения
и, следовательно, момента количества движения возбужденных ядерных
состояний.
б. Измерение поляризации. Используя некоторые свойства эффекта
Комптона, можно создать анализаторы, чтобы обнаруживать либо плоскую,
либо круговую поляризацию у-квантов.
Комптоновское рассеяние происходит преимущественно в плоскости
магнитного вектора падающей волны. Это можно понять с классической точки
зрения, если учесть, что волна вызывает колебания свободных электронов
216
в направлении, параллельном электрическому вектору, и что осциллирую-
щий электрон излучает рассеянную волну с дипольным распределением
интенсивности.
Это явление может быть использовано для создания анализаторов
плоскополяризованного излучения.
Чтобы измерять круговую поляризацию, используют тот факт, что комп-
тоновское сечение рассеяния волны, поляризованной по кругу, зависит от
того, параллелен или антипараллелен спин рассеивающего электрона момен-
ту количества движения излучения. Отсюда, например, следует, что погло-
щение у-квантов с правой круговой поляризацией в намагниченном железе
зависит от того, параллельно или антипараллельно намагничение направ-
лению распространения. Эффект мал, так как только два из 26 электронов
железа могут быть поляризованы, но он легко обнаруживается.
Полное понимание этих эффектов вытекает из расчетов сечения компто-
новского рассеяния, выполненных Клейном и Нишиной. Схема этого рас-
чета, который требует применения релятивистской квантовой электродина-
мики, рассматривается в гл. 6, § 9, и результаты даны в соотношении (6.152).
Пока что ограничимся утверждением, что измерения круговой поляризации
излучения поляризованных ядер Со60 уже выполнены [45] и результаты соот-
ветствуют теории.
Интересно заметить, что если имеется некоторое излучение вдоль оси
ядерной поляризации, оно должно быть полностью по кругу поляризо-
вано. Это происходит потому, что орбитальный момент не вносит вклада
в магнитное квантовое число, когда волна распространяется вдоль оси z.
Следовательно, магнитное квантовое число полностью определяется спином
у-кванта, для которого допустимы лишь значения ±1- Из предыдущего
следует также, что состояния с | Mi — Mf |=# 1 не излучают в направле-
нии z: для 0=0 Хд1 обращается в нуль, если М +1 [сравните с соот-
ношением (4.64), вспоминая, что У/1 (0 = 0) = 0 для М U, и см.
рис. 4.1, я, в, д].
§ 13. УГЛОВЫЕ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И КОРРЕЛЯЦИИ
а. Относительные вероятности переходов для различных
магнитных подсостояиий. Для того чтобы в более общем
виде рассмотреть угловое распределение и поляризацию,
нужно учесть вклад переходов с различными Mi и Mf (рис. 4.7). Можно
считать Ji и Jf фиксированными и рассматривать только излучение чистого
мультиполя J. Смесь мультиполей (как в неблагоприятном случае § 11)
не рассматривается.
Чтобы найти смешанные эффекты переходов на разные магнитные под-
уровни. необходимо знать относительные вероятности перехода и'^. м f.
Они могут быть просто и точно вычислены с помощью теоремы Вигнера —
Эккерта (1.78) Ч
Щи.М/ » | С (JiJJf, Mi, Mf - Mi) |2 « | C (JfJJf, Mf, Mi - Mf) |2. (4.133)
Эту формулу можно вывести без каких-либо приближений, исходя из сохра-
нения момента импульса.
Для тех, кто не знаком с теоремой Вигнера — Эккарта, тот же результат
может быть получен менее корректно и менее общим методом, если исполь-
зовать формализм теории возмущений. Заметим, что вероятность перехода
определяется гамильтонианом возмущения, получаемым путем скалярного
умножения мультипольных полей на векторные операторы р и о. Следова-
тельно, угловая зависимость гамильтониана представляет собой угловую
1 Равенства справедливы с точностью до постоянной, которая нс зависит от М-,
и Mf.
217
зависимость мультипольных полей, в которой собственные векторы спина
1, е() ие_£ заменены скалярными собственными функциями момента 1, У, и У*1.
Отсюда можно сделать вывод, что гамильтониан является скалярной функци-
ей. угловая зависимость которой характеризуется теми же квантовыми
числами момента J и М, что и испускаемое излучение. Относительно враще-
_______ ния он должен вести себя как сферическая гармоника
Л,)<4 Yj для поглощения и как (Yj1)* для испускания.
В таком случае можно перейти к вычислению матрич-
ного элемента для испускания, пренебрегая спиновыми
эффектами и предполагая, что ядерные состояния явля-
ются собственными состояниями орбитального момента.
Получим выражения с точностью до множителей, не
зависящих от M-L и Mf (постоянные и радиальные инте-
гралы), которые имеют форму
------Ц, $ (Vf/)* {Y^y (У,/) Ж. (4.134)
---------------------------------
Но из соотношения (1.78) находим, что зависимость
Рис. 4.7. Пример
2J-цельного пере-
хода между дан-
ными магнитными
этих интегралов от магнитных квантовых чисел задается
в виде
(4.135)
подуровнями.
и выражение (4.133) доказывается путем возведения
соотношения (4.135) в квадрат.
б. Угловое и поляризационное распределения. Рассмотрим частично
нолярпэоиапный источник -у-квантов, спин которого Jf. Допустим, что раз-
личные состояния Mi заполнены с относительной вероятностью рм.. Пусть
Jf — спин конечного ядра и Mf — его магнитное квантовое число, которое
не контролируется.
Если испускаемое излучение есть
чистый 27-поль, угловое распределе-
ние интенсивности выражается в виде
(4.136)
Следующие примеры дипольных
переходов представляются читателю
® качестве задачи Ч
2J-nont
Mi=Ji,
J(6)^ l+cos26;
Рис. 4.8. Корреляция между двумя у-кван-
тами, испускаемыми каскадно.
J (0)^1
2Jj — 1
27THCOS 0;
Mi^Jt, Jf = Ji + l, J (0) ~ 1 + ^^.^cos2 0.
Рассмотрение поляризации более сложно из-за некогерентности фото-
нов, излучаемых в различных переходах. Общее обсуждение вопроса тре-
бует использования матрицы плотности [15].
в. Угловые и поляризационные корреляции [10, 19, 28, 33J. Вследствие
относительной простоты экспериментальной техники наибольшее практиче-
1 Вычисление упрощается, если считать, что из-за сохранения четности переходы
с \М = 1 и ДМ = — 1 имеют одинаковые угловые распределения.
218
ское значение имеет явление угловой корреляции между двумя у-квантами,
испускаемыми каскадно. как показано на рис. 4.8. Эксперименты являются
весьма простыми, так как не требуют
применения поляризованных ядерных
источников.
Расчет может быть разделен на две
стадии. На первой вычисляют запол-
нение подуровней Мп, предполагая, что
квант Йю испущен в направлении осиз,
определенной положением первого счет-
чика и используемой в качестве оси
квантования. Для неполяризованного
источника получаем
= 3 ^Мгм„ I (0) Р, (4.137)
где дается формулой (4.133) и
*п (0) |1 2 нужно взять при 0 = 0.
Уже было показано (§ 126), что
\Jf (0) не равен нулю только для
Л/ ± 1. Следовательно, для каждого Мп
сумма содержит лить два члена:
/'Ч,1 = 21У«п±1."п —
(4.138)
Источник
Рис. 4.9. Принципиальная схема поля-
риметра для исследования у-корреля-
цин. Счетчик А детектирует первый
у-квант; счетчик С регистрирует вто-
рой уквант, после того как он испытал
комптоновское рассеяние в точке В
|М е t г g е г F.,Deutsch М. Phys.
Rev., 78, 551 (1950)].
На второй стадии рассчитывается угловое распределение Й(о' введением
выражения (4.138) в (4.136) *. Если 0 определяет угол второго счетчика,
угловое распределение имеет вид ГН, 16, 18, 39]
И (е) Iх"" M/(0)|a.
(4.139)
Некоторые простые примеры представлены в табл. 4.2 [10].
моментов возбужденных состояний ядер. Корреляция угол — поляризация
также была изучена экспериментально (рис. 4.9) и позволила получить
информацию о четности ядерных состояний.
г. Влияние внеядерных полей на угловые корреляции. Если ядра источ-
ника. используемого в опыте по угловым корреляциям, помещены в стати-
1 Вклады различных промежуточных состояний складываются некогерентно,
поскольку путем измерения круговой поляризации первого у-кванта можно обнаружить,
каким именно было промежуточное состояние (Мг- 4- 1 или Л7г- — 1).
219
Рис. 4.10. Распад hi111—Cd111.
чсское поле, они могут прецессировать вокруг направления поля. Особый
интерес представляет прецессия промежуточного состояния п в течение
короткого времени его жизни. Когда эта прецессия происходит вокруг оси,
перпендикулярной к направлению первого у-к ванта (оси квантования)
с периодом, меньшим, чем время жизни промежуточного состояния, уровни
Мп смешиваются и угловые корре-
ляции изменяются. Это легко понять
из классического рассмотрения.
Поле, вызывающее прецессию,
может быть или магнитным полем /7,
в котором частота прецессии равна
-цп-Н, (4.140)
или аксиально симметричным элек-
трическим полем с градиентом q
— dEJdz, для которого
Зе(М2-ЛГ2)
(4Л41)
ГД₽ Цп и Qn — магнитный и квадру-
польный моменты промежуточного
состояния.
Чтобы этот эффект (заключаю-
щийся в подавлении асимметрии)
был наблюдаем в достижимых полях, время жизни промежуточного состояния
не должно быть слишком коротким. Классическим образцом для этих иссле-
дований является у-у-каскад при распаде In111 (рис. 4.10), в котором проме-
жуточное состояние имеет время жизни 8 X 10~8 сек. В результате исследо-
вания воздействия известных внеядерных полей на угловые корреляции
можно измерить моменты возбужденных ядерных состояний р„ и Q„ и изучить
эффективные поля в ядрах. Этот вопрос представляет определенный интерес
в связи с теорией твердого тела.
§ 14. ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕН РАДИАЦИОННЫХ ПЕРЕХОДОВ
а. Оценка для одночастичного перехода |24, 34, 42].
Для того, чтобы рассчитать вероятности радиационных пере-
ходов между двумя ядерными состояниями, необходимо знать
их волновые функции. Если последние неизвестны, то в лучшем случае можно
получить лишь оценку порядка величины. Но даже эти оценки интересны,
так как предсказания для различных мультиполей различаются на несколько
порядков.
Вероятность перехода для неполяризованного источника получается
из соотношения (4.39). Если ограничиться испусканием излучения опре-
деленной мультипольности р1, то
Pf1j7+T 2 2 |\^|2 ’ (4-142)
ЛГ. Му а
где а представляет собой ц-часть гамильтониана [см. выражения (4.85)
а
и (4.86)1, суммированную по всем частицам в ядре (1 <а<А). Плотность
конечных состояний (>,. дается формулой (4.89).
При вычислении матричного элемента используем одночастичную модель,
в соответствии с которой только один нуклон испытывает на себе влияние
перехода. Это позволяет пренебречь У, и рассматривать ф; иф, как одноча-
а
стичные волновые функции.
1 Как и в § Зд, р обозначает здесь сразу / и четность.
220
На первый взгляд может показаться, что в члене еА-р, описывающем
взаимодействие заряда, должны учитываться только протонные переходы.
Однако это не так из-за сохранения импульса: если нейтрон совершает
дипольный переход, остаток ядра испытывает отдачу и возникает излуче-
ние. Эффект отдачи учитывается заменой нуклонного заряда эффективным
зарядом е.
Для дипольного перехода эффективный заряд можно вычислить по
классической теории, принимая во внимание, что, если нуклон движется
со скоростью V, результирующий ток ev равен
Ev = ev — (Z — l)e-^-^-x^-v (для протона); (4 143)
ег = — Ze ~ — у v (для нейтрона).
Формулы для эффективного заряда, применимые к мультипольному
излучению любого порядка, можно найти в литературе [24]. Однако ввиду
неопределенностей расчета примем
Ej = ± е/2 для J — 1;
(е—для протона (4.144)
для J > 2.
О — для нейтрона
Аналогично можно ввести эффективный магнитный момент рщ, который
зависит от природы частицы и порядка мультипольности J.
Принимая во внимание эффективный заряд и вводя в соотношение (4.142)
оценки по формулам (4.906), (4.90г), (4.91а) и (4.91в), получим для вероят-
ностей однонуклонных переходов с мультипольностью J:
Wy Ж 2_^.A2/+17?2J, (4.145a)
Wy X № 2 4л , 2J+3 p2J. 137 ’ (4.1456)
w.. s» (¥ j2 4л , 2J+3p2(J+i). 1 137 A Л (4.145b)
w-{ » .(*• i2 4л , 2J+1 P2(J+1) I 137 A H (4.145r)
В этих формулах все величины выражены в ядерных единицах, опре-
деленных в § 7. Для численных расчетов можно заменить В на Го/113 =
1 2 1013.11/3 см и ввести энергию у-кванта Еу = tike в мегаэлектрон-
вольтах. Тогда соотношение (4.145а) принимает следующий вид:
~ 1,3 X 10- (^)2J+1 (б^)2' сек-К (4.146)
Другие выражения (4.145) преобразуются аналогично.
б. Болес точная оценка одночастичных матричных элементов. Для
более тщательной оценки используем более точные выражения (4.58) и (4.60)
для мультипольных полей вблизи начала координат [а не соотношения
(4.90) и (4.91), которые выведены из соотношения (4.53)].
Обсудим в качестве примера взаимодействие электрического мульти-
поля с зарядом, для которого матричный элемент, фигурирующий в соот-
ношении (4.142), равен
/ 2тЛ_с i-j 2(7 + 0 • ^^р-Дф? grad [(Ат/Уд ]*-рфг-dr. (4.147)
Г СО Me Г J | 1^1! eJ
Сначала проинтегрируем по частям, используя соотношение
(ф?рф;) grad [(Ат/ УУ]* I div [(Ат/ (У?)* (ф?рф;)] - (kr)J (Yj) div (ф?рфг).
221
Затем, основываясь на сохранении заряда, заменим множитель div (ф*рф;)
в неисчезающем интеграле:
- м =
Наконец, интеграл в соотношении (4.147) переходит (без фазовых множите-
лей) в
Л/<о § .%; (Ат/^,г2 dr § (2/ jff)* (Y^y (9j‘) dQ, (4.148)
где волновая функция расщеплена на спин-угловую (З/j1) и радиальную
(J?) части.
Функции Л неизвестны и в лучшем случае поддаются оценке на основе
ядерных моделей в некоторых благоприятных ситуациях. Для того чтобы
оценить порядок величины радиального интеграла, предположим, что
л
J? = const = ]/^З//?3 [ так что ^}2r2dr = (R3/3) = 1 j .
о
Тогда
р г 3 3 т
$ (A-r)J./Ar2 dr А/ (АТ?/. (4.149)
Этот результат может рассматриваться как верхний предел; интеграл
для истинных радиальных функций может быть на один или два порядка
меньше.
Интеграл по телесному углу выражает сохранение момента количества
движения и содержит коэффициенты Клебша — Гордана. Величина
ЭД, J, Jf)= -Уу 2 IS (4.150)
ЛТ; Vf
называется «статистическим множителем», который может быть найден
в таблицах |34]. Он равен по порядку величины единице. Вводя в соот
ношение (4.142) различные оценки, определяемые выражениями (4.143),
(4.147) — (4.150), получаем следующие вероятности электрических мульти-
польных переходов:
_ / rJ \2.S'(./,././,) 2(74-1) / 3 \2 2J+1 2J
е J 1.37 J [(27-pl)!’]2 W43J A (4.151)
(взаимодействие электрического мультиполя с зарядом).
Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (4.145). Формула
(4.151) совпадает с точностью до множителя (е^/е)25 с оценкой Блатта и Вайс-
копфа (2. стр. 627].
Не будем столь же подробно проводить вычисление магнитных перехо
дов. Заметим только, что в соответствии с выражениями (4.90) и (4.91) вероят-
ности переходов уменьшаются по сравнению с вероятностями электрических
переходов на множитель (Й/МсТ?)2. Учитывая, однако, что магнитные момен-
ты нуклонов больше единицы, Блатт и Вайскопф увеличили вероятности
магнитных переходов в 10 раз и получили
, 1 20 (J 4~ 1) ( 3 ) - I h ^2 ,2/4-1 тэ2/ zz
v ~ 137'7 [(27-J-1)!!]2 (у-!-з) (, McR) А R (4.152)
(магнитный мультиполь).
Эти формулы были широко использованы при описании эксперименталь
ных результатов.
в. Вероятности переходов и ядерные модели. Если ограничиться опре-
деленной моделью ядра, можно произвести точный расчет вероятностей
переходов [20]. Сравнение результатов с экспериментом дает полезную
информацию о состоятельности модели.
В простейшей модели предполагается, что у-кванты излучаются при
переходе данной отдельной частицы между двумя состояниями сферически
симметричной оболочечной модели независимых частиц. Расчет в точности
222
такой же, как проведенный н общих чертах в пункте «б». Единственное раз-
личие состоит в том, что радиальные функции теперь являются шаровыми
функциями Бесселя, обращающимися в нуль на ядерной поверхности,
с количеством узлов, соответствующим рассматриваемой оболочке.
Даже в сферически симметричную модель оболочек можно ввести много-
частичные эффекты с помощью метода, описанного в гл. 2, разд. В. Если
учитывать только спаривание в пределах оболочек, как в гл. 2, § 15, то
матричный элемент перехода можно вычислить методом, использованным
при расчете квадрупольного момента в задаче «многих тел». При этом мы
обнаружим, что матричный элемент зависит от числа пар р, и pf в рассматри-
ваемых состояниях. В состояниях с квантовыми числами 0 п 1 вероятность
одночастичного перехода умножается на множитель
/i + 1/2—Р; 7/4—/г— р/ я перехода нечетной частицы; (4.153)
Уг4“ /2 If + '/Z
. М .- для перехода четной частицы.
7i + 1/2 7/4-42
Следовательно, вероятность перехода уменьшается в присутствии спаренных
частиц (подавление).
При учете сил между разными оболочками могут возникнуть переходы
между квазичастичными состояниями и вероятность меньше, чем рассчи-
танная для состояний с настоящими частицами. Можно показать, что веро-
ятности умножаются на величину
UfUi+VfVi, (4.154)
где знаки «плюс» и «минус» относятся соответственно к магнитному и электри-
ческому переходам. В нескольких случаях, когда удается провести сравнение
с экспериментом, согласие оказывается удовлетворительным. Эффект дистор-
сии и других длиннодействующих взаимодействий между частицами в обо-
лочечной модели вызывает «коллективные» переходы, которые могут быть
значительно более быстрыми из-за когерентного излучения многими части-
цами, чем ожидаемые по одночастичной модели (усиление).
Вероятности могут быть рассчитаны, исходя из специальных предполо-
жений о форме ядер, моментах инерции и других коллективных характери-
стиках. Теория оболочечной модели с учетом взаимодействий часто в состоя--
нии предсказать параметры, оказывающиеся в согласии с опытом.
§ 15. ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ
а. Описание процесса. Времена жизни возбужденных
состояний изолированного ядра равны обратным величинам
вероятностей радиационных переходов, оцененных в § 14.
Однако возбужденные состояния ядра обычного атома имеют более короткие
времена жизни благодаря наличию атомных электронов, обеспечивающих
альтернативный путь перехода в основное состояние. Процесс аналогичен
эффекту Оже, обычному в рентгеновских лучах, и называется внутрен-
ней конверсией. Ядерные переходы происходят без испускания
излучения. Их энергия определяется из кинетической энергии электронов,
равной 7?о — Ej, где Е; — ионизационный потенциал атомного уровня.
Процесс обычно интерпретируется как внутренний фотоэффект, при котором
ядерный у-квант поглощается атомными электронами того же атома. Более
точно он должен рассматриваться как дополнительный способ распада,
который увеличивает вероятность перехода.
Если we — вероятность излучения электрона, то среднее время жизни
т определяется выражением
j
— = w.{ 4- we = Wy 4- wK 4- wL + ..., (4.155)
где К, L, . . . относятся к различным атомным оболочкам.
223,
Интересная сторона рассматриваемого явления в том, что коэффициенты
внутренней конверсии для различных атомных оболочек
«к —; аь = -^,... (4.156)
IZ.’V ' '
можно рассчитать, не зная ядерных волновых функций 4, и, по крайней
мере, в принципе точно. Коэффициенты ак, аЛ, . . . зависят от мультиполь-
ности перехода. Измерение коэффициентов конверсии дает ту же инфор
мацито, что и исследование поля излучения.
На практике, однако, вычисление коэффициентов внутренней конверсии
затруднительно. Чтобы получить точные результаты, необходимо исполь-
зовать релятивистские атомные волновые функции и релятивистские волно-
вые функции для свободного электрона в кулоновском поле атома в конечном
состоянии.
б. Элементарное вычисление коэффициентов внутренней конверсии для
электрических мультиполей. Следуя схеме расчета Блатта и Вайскопфа,
произведем упрощенное качественное рассмотрение процесса внутренней
конверсии. Это рассмотрение не имеет целью получить точные результаты,
но должно осветить природу эффекта и продемонстрировать принципы более
точных вычислений.
Ограничимся чистыми электрическими мультипольными переходами
(случай 1 из § 11), электронами на ТОоболочке в нерелятивистском прибли-
жении и энергиями переходов, значительно превышающими границу, опре-
деляемую связью электронов на этой оболочке. Результат справедлив
в области малых Z и высоких, но нерелятивистских энергий.
Коэффициенты внутренней конверсии могут быть вычислены по формуле
2 2 । <>е I I О I2
а . (4.157)
PK.v X] I </v | | г) |2 v ’
Поскольку знаменатель уже был рассчитан в § 14 для расходящихся
сферических электромагнитных волн, выгодно использовать сферические
волны и для описания испускаемых электронов, присутствующих в числите-
ле. Исходя из соотношений (4.102) для pFj(, (без множителя 1/2, который J
входил благодаря проведенной массе (и-/?)-системы) и (4.89) для oPi т, полу-
чаем
РГ, е _ '»fic
РГ, V ^ке
Начальные и конечные состояния теперь должны описывать атомные электро-
ны наряду с ядром и полем излучения. В очевидных обозначениях:
1|Фкх, Ф;е, 0, 0, ..., 0);
</?| = (Ф^, 0, 0, ..., 1, ..., 0|; (4.159)
(/е| = (Ф/№ Ф/е, 0, 0, . .., 0|.
Если учитывать только электроны на А'-оболочке, можно написать
нерелятнвистское выражение
где а — боровский радиус (я = 137й/тес).
Неискаженная нормированная электронная волна в конечном состоянии
имеет вид [соотношение (4.100)]
ф/е= ^2A-e/z (А-еГе) К™ (бе, Че). (4.161)
1 Это строго справедливо лишь в том случае, если мы пренебрежем радиусом ядра
по сравнению с радиусом электронных орбит.
224
Нерелятивистская форма выражения (4.100) пригодна при малых Z (Z < 137,
так как скорость на А"-оболочке равна CZ/137). Формула (4.161) справедлива
для переходов с большой энергией, так как она получена в пренебрежении
кулоновскими эффектами (ке > Z/a).
Гамильтониан взаимодействия имеет вид
Ж = Ж + Ж, (4.162)
где гамильтониан уже был рассмотрен. Он вызывает переходы между
I i) и {fy | с матричным элементом, оцененным в § 14.
В полной теории рождение конверсионных электронов, которое связано
с изменением как ядерных, так и атомных состояний, должно рассматривать-
ся как процесс второго порядка [44]. Необходимо учитывать два промежуточ-
ных состояния ф/г/Фге и фгд-ф/е, которые возникают за счет излучения вирту-
альных фотонов (без сохранения энергии). Однако поскольку было бы неточ-
но рассматривать нерелятивистски обмен фотонами, взаимодействующими
с электронным током, то ограничимся электростатическими эффектами,
которые преобладают при малых скоростях. Они адекватно описываются
взаимодействием 1
= 2 2 2 <Ре)[^(0ЯФ«)1*. (4-163)
a J=0 М=-J Ге
На втором этапе надо воспользоваться разложением | ге —га |-1, справед-
ливым при Ге > га 2.
Сразу же видно, что для каждого нуклона (используя модель независи-
мых частиц, надо отбросить индекс а и применить обозначение е для эффек-
тивного заряда нуклона)
(/ I Ж 1 i} = I Ж I фшфге) =
= 2ее izjr [J dr $ (0ф)]* X
JM
X УЫей (кеТе)^ /-g-exp (-g^) re2 dre J (У?1)* Y? . (4.164)
Если ограничить наше рассмотрение случаем, в котором самый низший
разрешенный мультиполь является электрическим, ядерный интеграл вно-
сит вклад только при J = | JL — Jf |, М = Mt —Mf и сумма сводится
к одному члену. Кроме того, угловой интеграл по координатам электрона
обращается в нуль, если не выполняются равенства I = | — Jf |, m =
= Mi — Mf и электрон испускается с моментом количества движения и угло-
вым распределением, соответствующими рассматриваемому ядерному пе-
реходу.
Важно заметить, что, за исключением множителя ку, ядерные интегралы
совпадают с интегралами, присутствующими в знаменателе формулы
(4.157). Следовательно, они сокращаются при вычислении а, что приводит
к результату, не зависящему от волновой функции
ядра. Этот вывод является совершенно общим и не зависит от выбранной
модели ядра.
Радиальный интеграл по координатам электрона можно записать
___ со
/U kJe~Y J Л(ж)ехр (-g-) x-^dx. (4.165)
о
1 В теории квантованных полей кулоновское взаимодействие [гамильтониан (4.163)]
рассматривается как обмен поперечными виртуальными фотонами и фактически соответ-
ствует процессу второго порядка.
2 Вклады для ге < га обсуждаются в пункте «г».
15 Ядерные взаимодействия
225
Интеграл, фигурирующий в соотношении (4.165), слабо зависит от энергии,
и, следовательно, зависимость коэффициента электронной конверсии от атом-
ного номера и энергии определяется главным образом величиной
fc2J-3
(4-166)
Для больших, но нерелятивистских энергий Tik't:/2mc = kv, поэтому
axZ3k~J~5/2. (4.167)
Можно заключить, что коэффициенты конверсии возрастают как Z3 и умень-
шаются с ростом kv. Коэффициенты внутренней конверсии возрастают также
Рис. 4.11. Коэффициенты внутренней
конверсии для Z = 40. Нижняя шкала
относится к электрическому излуче-
нию, верхняя шкала — к магнитному
излучению. Число / обозначает поря-
док мультиполя. Значения коэффициен-
тов взяты из таблиц Роуза и др.
[Блатт Дж., Вайскопф В. Тео-
ретическая ядерная физика. М., Изд-во
иностр, лит., 1954].
с увеличением порядка мультиполь-
ности.
в. Определение мультипольности
из измерений конверсионных электро-
нов. Точные расчеты коэффициентов
конверсии для электронов с А’-оболоч-
ки были выполнены с помощью элек-
тронных вычислительных машин [40]
и имеются в табулированном виде
[6, 41]. В качестве примера на рис. 4.11
представлены теоретические результаты
для Z = 40.
Коэффициенты внутренней конвер-
сии для переходов низкой энергии и
высокой мультипольности значительно
больше единицы. Внутренняя конвер-
сия может увеличить вероятность пе-
рехода на несколько порядков.
Прямые измерения ак требуют
счета у-квантов и электронов. Так как
абсолютные измерения интенсивности
у-квантов всегда сложны, часто при-
бегают к менее прямым методам. Если
с помощью бета-спектрографа изучается
такой p-источник, что испускание
Р-излучевия сопровождается у-перехо-
дом в 100% случаев, можно получить
коэффициент внутренней конверсии
(рис. 4.12) из измерения площади
непрерывного спектра (шр = wv — ive)
и площади конверсионных максимумов
(шс).
В более сложных схемах распада
легче
CCr/cCm
измерять отношения aK/aL,
и т. д., чем абсолютные вели-
чины ак, aL, ам и т. д. Эти отношения
также зависят от мультипольности переходов. Хотя коэффициенты конверсии
для А-оболочки не вычислены с точностью, сравнимой с точностью расчетов
для Х-оболочки, во многих случаях отношения aK/aL и т. д. достаточно
хорошо известны из теоретической интерполяции экспериментальных данных
и могут быть использованы для определения мультипольности.
г. Вклад при < га. Из конечных значений ядерных радиусов следует,
что имеется вероятность обнаружения электронов в ядерном объеме, отлич-
ная от нуля. Это приводит к исследованию возможности ге < га, которой
мы пренебрегли в разложении (4.163) и которая не учитывалась в расчетах
Роуза и др. ]40].
226
Е
Рис. 4.12. Наблюдения электронов конвер-
сии с помощью бета-спектрографа.
Для ге < га разложение гамильтониана /У' содержит степени ге/га .
Радиальные ядерные интегралы в матричном элементе (4.164) имеют вид
§ ^*ra(J+1)Wadra. При введении их в формулу (4.157) они не сокра-
щаются с интегралами в матричных элементах для у-излучения.
Следовательно, коэффициенты внутренней конверсии зависят (в боль-
шинстве случаев слабо) от волновой функции ядра, а не только от мульти-
польности. Если мультипольность
известна, например, из экспери-
ментов по угловым корреляциям,
определение коэффициента конвер-
сии может дать сведения о ядерных
состояниях.
Интересно заметить, что для
J = 0 радиальные интегралы не
обращаются в нуль, даже если
Ji = Jf = 0 (соответствующие ин-
тегралы для те > га исчезают из-
за ортогональности и при
различных энергиях). Таким обра-
зом, из-за вклада при ге < га
внутренняя конверсия обеспечи-
вает механизм для распада воз-
бужденных состояний, даже когда
единственно возможным переходом
является 0 —> 0 и у-излучение
вестны несколько уровней с J = 0, которые переходят в низшее состояние
с J = О' исключительно путем электронной эмиссии. Их время жизни на
основании изучаемого процесса находится в удовлетворительном согласии
строго запрещено. Действительно, из-
с расчетным.
Для энергий возбуждения, больших чем единицы мегаэлектронвольт,
могут иметь место 0 —> 0-переходы с испусканием электронно-позитронных
пар. При высокой энергии этот процесс становится более существенным,
чем внутренняя конверсия, и доминирует при распаде первого возбужденно-
ного состояния О16 (6,06 Мэв). Этот способ распада обсуждается в гл. 6, § Ив.
§ 16. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ЖИЗНИ ВОЗБУЖДЕННЫХ ЯДЕРНЫХ
СОСТОЯНИИ
Теперь можно рассмотреть экспериментальные резуль-
таты по средним временам жизни возбужденных ядерных
состояний.
Методика, используемая для измерений, изменяется в зависимости от
порядка величины рассматриваемых времен. Времена жизни, большие секун-
ды (изомерные состояния), могут быть отсчитаны с помощью хронометра;
в области между секундой и миллисекундой могут быть использованы различ-
ные механические методы; электронная техника сдвинутых совпадений
эффективна в области от 10-5—10-11 сек (короткоживущие изомеры) [14];
в некоторых случаях для измерения более коротких времен используются
измерения времени пролета или ширины линии. Измерения сечений куло-
новского возбуждения (см. § 19) дают матричные элементы для поглощения
радиации и эквивалентны измерениям времени жизни.
Непосредственно измеряемые средние времена жизни т определяются
двумя различными процессами: испусканием излучения и внутренней кон-
версией электронов, как показано в соотношении (4.155). Следовательно,
для сравнения с оценками § 14 необходимо знать вероятность электронного
распада we, чтобы получить тт = 1/шт. Коэффициент внутренней конверсии
15* 227
О 10 20 30 4/7 50 60 70 80 90 100 110 120 130 VtO 150 160
Число нейтронов N
Рис. 4.13. Приведенные времена яшзни для $2-, $3-, <£4- и ^5-переходов в зависи-
мости от числа нейтронов А. Линии соответствуют теоретическим величинам для
однопротонных переходов со статистическим множителем S, взятым равным единице,
и радиусом, определенным из В. = 1,2 х 10-13 АЧЗ см [Goldhaber М.,
WesenerJ. Ann. Rev. Nucl. Sci., 5, 13 (1955)].
О 10 20 30 W 60 70 80 90 100 110 120 130 КО
50 82 126
Число нейтронов N
Рис. 4.14. Приведенные времена жизни для с<1-, М2-, М3-и ’^4-переходов в зависи-
мости от числа нейтронов N. Линии соответствуют теоретическим значениям для одно-
протонных переходов со статистическим множителем S, равным единице, и радиусом,
определенным из Л = 1,2-10-1М1/3 см [Goldhaber М., WesenerJ. Ann. Rev.
Nucl. Sci., 5, 12 (1955)].
может быть либо измерен непосредственно, либо вычислен с достаточной
точностью из теории, если мультипольность известна.
Сравнение между величинами tv, полученными из опыта описанным
способом, и предсказаниями теории представлено в графической форме
на рис. 4.13 и 4.14 [24, 25]. На рис. 4.13 отложены парциальные средние
времена жизни для электрических переходов, умноженные на выражение,
пропорциональное соотношению (4.145а), в зависимости от числа нейтронов.
Таким путем получаются приведенные времена жизни, которые зависят
лишь от порядка мультипольности и не должны зависеть ни от энергии,
ни от массового числа, если применима одночастичная теория. Для каждого
J ожидается определенная величина, которая соответствует горизонтальной
линии на рис. 4.13.
Экспериментальные точки, отвечающие одночастичным переходам, долж-
ны находиться на соответствующих теоретических линиях или несколько
* 2-нечетн о К1 "нечетн о с °8 U “ °8°* о Нейтрон -J
1 1 1 1 1 1 L Протон —। 1 1 i_
10 20 30 40 SO 70 Ж 90 100 110 120 '130 7W
SO 82 120
Число нейтроноб N
Рис. 4.15. Приведенные времена жизни для перехода &Ж4 в зависимо-
сти от числа нейтронов А. Линии соответствуют теоретическим вели-
чинам для однонейтрониых и однопротонных переходов. Радиус
определяется из Во = 1,2х10-13А1/з см [Goldhaber М.,
W е s е и е г J. Ann. Rev. Nucl. Sci., 5, 16 (1955)].
выше. Точки, расположенные ниже этих линий (усиленное излу-
чение), могут интерпретироваться как доказательство существования коге-
рентных многочастичных переходов или «коллективного» излучения. Точки,
значительно приподнятые над линиями (подавленное излуче-
н и е), могут быть объяснены как переходы между мпогочастичными состоя-
ниями частиц и квазичастицами.
Из рис. 4.13 видно, что большинство экспериментальных точек нахо-
дится выше линии, соответствующей экспериментально определенной вели-
чине J, и ниже линии J 1. Переходы различной мультиполыюсти разде-
ляются, но, поскольку ожидаемые значения для мультиполей, следующих
один за другим, различаются на множитель 10е, трудно рассматривать этот
факт как триумф теории.
Поведение квадрупольных переходов для 82 < N <Z 126 является исклю-
чением, замечательным своей регулярностью. Эти переходы представляют
собой коллективные вращательные переходы, рассмотренные в гл. 2, § 12.
В согласии с тем, что было отмечено в этом параграфе, находим, что коллек-
тивный характер более выражен вдали от магических чисел. Действительно,
вблизи от N = 126 времена жизни становятся больше, чем по оценкам для
одночастичных переходов.
Можно сделать аналогичные замечания в отношении магнитных мульти-
польных переходов (рис. 4.14). Здесь принято, что зависимость от энергии
и массового числа описывается выражением (4.145г) для взаимодействия
магнитного момента. Расчетные линии достаточно хорошо разделяют данные,
принадлежащие разным мультиполям.
Особый интерес представляет закономерность, наблюдаемая в изомерных
переходах типа с#4, которая становится еще ярче выраженной (рис. 4.15),
230
если принять во внимание, что теоретические предсказания содержат стати-
стический множитель, описываемый выражением (4.150). Эти изомерные
переходы принадлежат к «островам», упомянутым в гл. 2, § 11, которые
хорошо объясняются элементарной моделью оболочек. Понятно, что в этом
случае должна быть применима одночастичная модель.
При объяснении положения некоторых отдельных точек на рис. 4.13
и 4.14 па основе более совершенных ядерных моделей, обсуждавшихся в
в § 14в, достигнут значительный прогресс. В заключение следует отметить,
что исследование матричных элементов у-пе реходов нельзя рассматривать
как завершенное и наши сведения о средних временах жизни еще ограничен-
ны. Однако теория развита до степени, обеспечивающей полуколичественную
интерпретацию данных, и является мощным инструментом при исследовании
ядерных волновых функций и моделей.
§ 17. ПРАВИЛА ОТБОРА ПО ИЗОТОПИЧЕСКОМУ СПИНУ
а. Формулировка правил отбора. Гамильтониан, опи-
сывающий взаимодействие нуклонов с электромагнитным
излучением, содержит заряды и магнитные моменты нукло-
нов. Следовательно, он может быть выражен с помощью протонных и нейтрон-
ных проекционных операторов (1 ± таЕ) [см. соотношения (1.169) и (1.171)1.
Рис. 4.16. (Не в масштабе.) Парциальная схема уровней для
А = 14 (у-персход между уровнями 8,06 и 2,313 Мае не наблю-
дался; ср. с рис. 2.12).
Если ради простоты исходить из неквантованного гамильтониана, описывае-
мого выражением (4.5), то его можно представить в виде суммы двух частей:
о&' — dtt's + S£'v, (4.168)
где изоскалярный член ке содержит изоспина
|[~AT« + -^(^ + fV)rotA] (4.169)
а
и изовекторный член содержит члены с та£
= ЬтГА'р“+ 2S7(|LlJ'“1Lln)rotA] • (4.170)
а
231
Для того чтобы обнаружить возможные эффекты правил отбора по
изотопическому спину, необходимо, естественно, исследовать ядра в опре-
деленных изотопических состояниях, т. е. легкие ядра, для которых влияние
кулоновского отталкивания пренебрежимо мало.
Но даже в этом случае нельзя говорить о сохранении изотопического
спина в радиационных процессах, так как электромагнитное взаимодействие
нарушает зарядовую независимость. На это ясно указывает тот факт, что
представляет собой сумму двух членов: первый, ffl's, является скаля-
Рис. 4.17. (Не в масштабе.)
Парциальная схема уров-
ней О10. Все уровни с Т =
= 0. Переходы, запрещен-
ные сохранением изоспина,
показаны волнистыми пунк-
тирными линиями.
ром в изотопическом пространстве и соответствует
излучению фотона без изменения изоспина; вто-
рой, а$'у, представляет собой третью компоненту
вектора изоспина и вызывает испускание фотонов
с изменением изоспина источника на единицу.
В предположении о сохранении изоспина нужно
было бы утверждать, что фотон имеет изотопиче-
ский спин 0 или 1. Следовательно, вообще
говоря, бессмысленно приписывать фотону опре-
деленное изоспиповое квантовое число, но можно
сказать, что квант излучения не может уносить
изоспин, больший единицы.
Особенно интересна ситуация, распростра-
няющаяся на электрические дипольные переходы
[23], для которых разрешены только фотоны
с изоспином 1. Это имеет место потому, что
векторный потенциал А (га), входящий в гамиль-
тониан взаимодействия, может быть заменен
постоянной величиной. Так как в системе центра
масс Y;pa = 0 основной член в выражении (4.169)
обращается в нуль *, то частью гамильтониана
можно пренебречь по сравнению с aft'v
(S гсцРа не исчезает!),
а
Следовательно, в переходе
AJ: 1^0; л^=—1, (4.171)
для которого допустимо только ₽1-излучение,
должны наблюдаться правила отбора по изотопи-
ческому спилу, определяемые исключительно частью гамильтониана
Так как множитель У, та^ра имеет в изотопическом пространстве У“-по-
а
ведение относительно вращения, изменения изоспина должны быть
ограничены обычным векторным правилом отбора
AT = ±1 или 0 (нет 0 —> 0-переходов) (4.172а)
с дополнительным ограничением
А7’= + 1, только если 7^ = 0, (4.1726)
которое следует из того факта, что С (j, 1, у; 0, 0) = 0 (см. табл. 1.14) 1 2.
б. Сравнение с экспериментом. Геллман и Телегди рассмотрели два
случая, в которых должны действовать правила по изоспину, определяемые
соотношениями (4.172). Первым является переход между двумя возбужденны-
1 Можно понять физическую причину отсутствия электрического дипольного излу-
чения для изоскалярной части электромагнитного взаимодействия. Дело в том, что для
этой части взаимодействия оба нуклона имеют заряд е/2. Следовательно, изоскалярные
дипольные колебания с необходимостью содержат движение центра масс нуклонов.
2 Для ДТ= 0 оператор имеет собственные величины Z — N [см. соотно-
шение (1.183)], которые становятся равными нулю, если — 0 (А = Z).
232
ми состояниями N14 (7\ — 0) с энергиями 8,06 и 2,313 Мэв, спинами и четно-
стями 1_ и 0+, изоспинами 1 и 1 (рис. 4.16). Для N14 у-распад должен быть
запрещен вследствие соотношения (4.1726), в то время как соответствующее
^ излучение двух других членов изотопического триплета (С14 и О14, Т^ =
= ± 1; рис. 2.12) должно быть разрешено. По-видимому, результаты
экспериментов это действительно подтверждают.
Низшие возбужденные состояния О10 (все с Т = 0) являются другим
интересным примером. В этом случае gl-излучение должно быть строго
запрещено, как изоспиновый 0 —0-переход. На наблюдаемое соотношение
ветвей распада уровней 7,12 и 6,91 Мэв действительно влияют правила отбора
по изоспину, как видно из рис. 4.17 и из результатов, представленных ниже:
Распад уровня 7,12 Мэв:
<5 1 на основной ( ~ 120 (наблюдаемое)
Отношение —-— ( Ю7 (ожидаемое при игнорировании
<5 на , эв правила отбора по изоспину) В
Распад уровня 6,91 Мэв:
< 1/200 (наблюдаемое)
6 (ожидаемое при игнорировании
правила отбора по изоспину) >.
_ $ 1 на 6,14 Мэв
Отношение —--------------
6 2 па основной
Г. ПОГЛОЩЕНИЕ у-ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 18. РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
Изомерное
состояние
Основное
состояние
Рис. 4.18. Возбужде-
ние изомерных со-
стояний при погло-
щении у-кванта.
а. Исследования до открытия эффекта Мёссбауэра. Ядер-
ное поглощение у-квантов не легко наблюдается, из-за
того что электромагнитное излучение взаимодействует с атом-
ными электронами, эффект поглощения которыми (фотоэлектрический
и комптон-эффект) маскирует значительно более слабые ядерные взаимодей-
ствия. Ядерное поглощение наблюдается с относи-
тельной легкостью, если оно приводит к ядерной
реакции, а именно к фоторасщеплению, продукты
которого могут быть зарегистрированы соответ-
ствующими счетчиками. Поглощение с переходами
между связанными состояниями наблюдается, если
оно приводит к изомерному состоянию. Эксперимент
может быть выполнен при помощи рентгеновской
установки, которая генерирует непрерывный спектр
у-квантов. Резонансное излучение поглощается
(рис. 4.18), в результате чего возникает некоторое
возбужденное состояние, которое в свою очередь рас-
падается на изомерное состояние, излучение которого
удобно исследовать после выключения установки.
Естественно, поглощение с прямым переходом в изо-
мерное состояние не имеет места, так как он сильно
запрещен.
Намного более интересными являются попытки
резонансное поглощение (аналогичное атомному поглощению оптической
линии натрия атомами натрия), в котором у-кванты, испускаемые при пере-
ходе из возбужденного в основное состояние, поглощаются при противо-
положном переходе (рис. 4.19).
Это явление трудно наблюдать в ядерной физике, так как частоты сое
и (0о испускаемого и поглощаемого излучения не равны в точности частоте
E/h, соответствующей энергии возбуждения. Разность Ег — результат отда-
чи ядра и, как это требует сохранение импульса, для свободного атома равна
наблюдать
р2 ^202 (Я<о) Мэв
2МА 2МЛс2 ~2А X 930
(4.173)
1 Одночастичная оценка.
233
Численная оценка для А = 50 показывает, что энергия отдачи ~10 эв
для Йы « 1 Мэв. В случае ядра Ет намного больше естественной ширины
линии
Г = —«10"2 эв
т
(4.174)
(эта оценка сделана для т ~ 10~13 сек) и часто значительно больше, чем
допплеровская ширина при комнатной температуре:
А 2 , / AT t .f..t
Д — 1/ -.-гг Йы ~ 10 '’ho.
с Г МА
(4.175)
Следовательно, между частотой излучения и частотой, необходимой
для поглощения, пет перекрытия, и резонанс не возникает.
Только при исключительно быстрых переходах (электрический диполь)
естественная ширина линии достаточно велика для наблюдения резонансного
Основное состояние Основное состояние
источника поглотителя
Рис. 4.19. Резонансное поглощение у-квантов.
поглощения. Степень поглощения возрастает с температурой, так как доп-
плер-эффект еще более расширяет линию.
При наблюдениях резонансного поглощения или резонансного рассеяния
возможно измерение времени жизни некоторых быстро распадающихся ядер-
ных состояний. Особый интерес представляет 1" —> 0+ gl-переход Sm152
с энергией 0,961 Мэв. Измеренное время жизни равно (3 ± 1) X 10~14 сек [26].
Как будет видно, этот результат важен в связи с измерением спиральности
нейтрино (гл. 8, § 8 г).
б. Эффект Мёссбауэра. В 1958 г. Мёссбауэр показал [35—37], что можно
наблюдать испускание и поглощение у-квантов без отдачи, если соответ-
ствующие ядра сильно связаны в кристаллической решетке. До тех пор,
пока связь может рассматриваться как жесткая, решетка испытывает отдачу
как целое, поглощая незначительное количество энергии из-за своей большой
массы.
Явление может быть понято, если учесть, что колебания решетки кванто-
ваны и что отдача от у-кванта возбуждает только целое число фононов. Когда
энергия у-кванта мала и связь в решетке велика, существенна вероятность
испускания или поглощения у-кванта без изменения числа фононов.
Следовательно, в значительном числе случаев -возможно наблюдать
резонансное поглощение ядерных у-квантов без отдачи. Первым случаем,
исследованным Мёссбауэром, была у-линия 1г191 с энергией 129 кэв. За этим
последовало много других измерений и наиболее широко исследован переход
Fe57 с энергией 14 кэв.
Интересной стороной ядерного резонансного поглощения является пре-
дельная острота линий. Для Fe57 среднее время жизни возбужденного состоя-
234
ния ~10-7 сек и, следовательно,
Г 10-27 1
1 ~ ________________ ~ 1 Г)-12
Е ~ 10-’ 1,4 Х104Х Ю-i2 ~ •
Мёссбауэр показал, что возможно уничтожить резонанс, вводя доппле-
ровский сдвиг. С соответствующим механическим оборудованием, обеспе-
чивающим скорости в несколько миллиметров в секунду, можно сдвинуть
энергию излучаемых у-кваптов па малую известную величину и исследовать
поведение поглощения вблизи главного резонанса. Таким путем могут быть
изучены форма, структура и положение резонансной линии. Эти исследова-
ния привели к открытию целого ряда эффектов большого значения в различ-
ных областях физики.
§ 19. КУЛОНОВСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
Когда стабильные ядра облучаются пучками протонов
и у-квантов от электрических генераторов при энергии,
недостаточной для проникновения
через электростатический потенциальный барь-
е р, часто наблюдается излучение характерных у-линий, как если бы ядро
было возбуждено проходящим ионом. Кулоновское возбуждение коллектив-
ных вращательных и колебательных состояний, которые возникают с доволь-
но большими сечениями, может быть попятно классически, по в принципе
возможно возбуждение всех типов состояний.
Теоретическое рассмотрение эффекта аналогично рассмотрению внутрен-
ней конверсии. При внутренней конверсии заряженная частица (электрон)
поглощает энергию возбуждения ядра, в то время как при кулоновском
возбуждении ядро поглощает энергию заряженного иона. Начальное
и конечное состояния «частиц» различны, но гамильтониан взаимодействия
одинаков для двух процессов. Состояния ионов при кулоновском возбужде-
нии являются искаженными плоскими волнами, соответствующими траекто-
риям резерфордовского рассеяния, и их можно рассматривать нереляти-
вистски с хорошим приближением.
Как и при внутренней конверсии, матричные элементы перехода рас-
щепляются на два множителя: множитель «частицы», который может быть
вычислен, и ядерный множитель, являющийся таким же, как при испускании
и поглощении у-квантов.
Следовательно, измерение сечения кулоновского возбуждения экви-
валентно измерению среднего времени жизни относительно у-перехода
и дает тот же тип информации о ядерных волновых функциях.
В качестве превосходной теоретической и экспериментальной обзорной
статьи читателю рекомендуется работа Алдера и др. [9].
§ 20. ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЯДЕР J
а. Экспериментальные данные. Эксперименты по фото-
расщеплению обычно проводятся с помощью тормозного
излучения от бетатрона. Излучаемые у-кванты имеют непре-
рывный спектр с распределением интенсивности, пропорциональным dai/ы
вплоть до энергии электронного пучка. Результаты измерений выхода ней-
тронов или наведенной активности пропорциональны интегралу сечения
фоторасщепления. Зависимость сечения от энергии получается по разности
сечений, измеренных при различных энергиях. Типичные результаты по-
казаны на рис. 4.20.
Кривые могут быть подразделены на две части. Около порога (в области
10 Мэв) сечения малы, порядка 10 27 см2, и изменяются с увеличением энер-
гии медленно. В этой области фоторасщепление может быть объяснено как
поглощение £2 у-квантов. В области от 20 до 25 Мэв имеется максимум,
часто называемый гигантским резонансом [32, 43, 461.
235
При фоторасщеплении при низких энергиях один из нуклонов непосред-
ственно выбивается у-квантом. Наоборот, гигантские резонансы являются
результатом двухступенчатого процесса, в котором принимают участие все
Гис. 4.20. Кривые сечений для нескольких фотореакций на
С, N и О. Также показаны пороги для различных реакций.
[S t г а и с h К. Ann. Rev. Nucl. Sci , 2, 111 (1953)].
нуклоны. Сначала поглощается у-квант, что приводит к «высокой темпера-
туре» ядерного состояния (составное ядро) с энергией возбуждения, стати-
Рпс. 4.21. Иллюстра-
ция к модели Гольд-
хабера — Теллера.
стически распределенной между нуклонами, пока
нейтрон (или, возможно, протон) не «испарится».
б. Элементарная интерпретация гигантского
резонанса. Для объяснения резонанса будем приме-
нять элементарную модель, предложенную Гольд-
хабером и Теллером. В соответствии с ней у-квант
действует на все нуклоны, вызывая колебания всех
протонов относительно всех нейтронов.
Пусть R — радиус ядра, р — плотность прото-
нов (равная плотности нейтронов) и £ — расстояние
разъединения нейтронной и протонной «жидкостей»
(рис. 4.21). Если £ меньше, чем радиус ядерных сил
г0, каждый протон подвергается действию возвращаю-
щей силы, пропорциональной £. Энергия разъедине-
ния равна 1/2ATS;2, где К — некоторая постоян-
ная.
Но для g > г0 должно иметься 2л7?2р£Е0 нуклонных пар, которые пол-
ностью разделены. Если Vo — глубина притягивающей ядерной ямы, тогда
энергия, требующаяся для разделения, равна 2лУ?2р§Е0. Если потребовать,
чтобы эти два выражения для энергии разъединения непрерывно сшивались
при £ = г0, то будет иметь место выражение К = 4л/?2рЕо/го-
Такие силы, постоянно действующие на массу (4л/3) 7?3р7И, вызывают
резонансные колебания с частотой
(4.176)
236
(для малых амплитуд) и, следовательно, с резонансной энергией ft со. Под-
ставляя г0 = 2-10-13 см и Vo = 40 Мэв, получаем
ftco = 16 Мэв для U,
ftco = 20 Мэв для Си,
ftco = 20,6 Мэв для С.
Согласие с экспериментом хорошее, имея в виду качественный характер
приведенных оценок.
Величина сечения, которая может быть вычислена, также оказывается
удовлетворительной. Поэтому представляется, что идея об участии всех
нуклонов в дипольных колебаниях может быть воспринята серьезно. Кван-
товомеханическое развитие этой идеи изложено в следующем пункте.
в. Квантовомеханическое рассмотрение. Использование правила сумм.
Мы следуем здесь с некоторыми упрощениями основной линии работы
Левипгера и Бете [30], в которой с помощью правила сумм рассчитано
сечение фоторасщепления. Хотя этот метод и описан в некоторых книгах
[1], выведем необходимые формулы.
Прежде всего необходимо внести некоторые изменения в формулу для
сечений, так как первый этап процесса поглощения приводит к дискретным
конечным ядерным состояниям фу, для которых неприменим статистический
расчет плотности конечных состояний. Начнем с выражения
<4-177)
f
где сумма берется по всем конечным состояниям в интервале энергий dE.
Поскольку экспериментальные измерения проведены для непрерывного
спектра, целесообразно вычислить проинтегрированное сечение
ОО
= (4-178)
о /
где произведено суммирование по всем конечным состояниям. Чтобы вычис-
лить матричный элемент, предположим, что все Z протонов и N нейтронов
дают вклад в дипольное поглощение с эффективным зарядом еа [см. соотно-
шения (4.143) и (4.144)], где
Еа = -j- е для 1 < а < Z (протоны), ]
z > (4.179)
Еа=-~- е для Z-|-l<.a<CX (нейтроны). I
Тогда, предполагая, что электрический вектор поляризован в направле-
нии Z, используя выражение (4.87) и исключая фазовые множители, полу-
чаем
(/|<^'|г> = <(/|2>А-Ра|Ф = ^2Щ^Гё02еа</1г«1^- (4Л8и>
а а
Это выражение должно быть возведено в квадрат и просуммировано по
всем конечным состояниям с помощью правила сумм. Это приводит
к конечному результату без необходимости перечисления участвующих
состояний.
Начнем с того, что раскроем квадрат, как двойную сумму по нуклонам:
А
^-2К/|Ж|0|2= y_(Ef-Et) 3 eaee(i|Za|/)(/|Zp|j) =
a fa, Р=1
= 22 /> (Ef-Et) (f | | i). (4.181a)
f «₽
237
Теперь применим ядерный гамильтониан ЗВ в предположении, что он
не содержит обменных операторов. Тогда можно написать
zra<^|/)=za|f)E/ И {i\Seza = E{i\za
и преобразовать соотношение (4.181а) в
у 2 2 £а£₽{<zI~<^za|f)(/|zB|i)-J-(i|za|/)</|<^’zB — z^g\i)}, (4.1816)
t <X₽
которое с помощью соотношения zaS£— o^za = (ihlM)paz и правила умно-
жения матриц переходит в
-^2 е«еВ ^IPazZR — ZaP^ | i). (4.181в)
Таким образом, сумма по / вычислена без расчета отдельных членов.
Наконец, можно использовать перестановочные соотношения между za
и Paz- Члены с а = р дают
Ш V 2/ Г Д-2 £2 Л ft2e2 ZN ,OQ.
-Ж2еа(-^) = 1дГ[2-^- + Л^=— — . (4.182)
а
Члены с а =£ р обращаются в нуль. Однако если бы Sd содержал обменные
операторы <9\в, то имелся бы вклад других членов, увеличивающий теоре-
тическое сечение.
В заключение получим (пе учитывая обменных сил)
? о dE = 2л2 ~ (JL) 2 Мс2 4 ~ 0.015Л х Ю21 ши2 х Мэв. (4.183)
Сопоставим этот результат с экспериментально измеренной энергией гигант-
ского резонанса и с проинтегрированным сечением тормозного излучения:
о dE « Ерез jj сг 4-= 0,024 х 10 24 см2 х Мэв. (4.184)
Получается удовлетворительное согласие, даже если учесть, что обменные
силы могут увеличить теоретическое сечение [см. соотношение (4.183)].
Резонансная энергия может быть также вычислена теоретически как
средняя величина поглощенной энергии:
j (Ef—Ei) g dEf
) GdE
Ерез
(4.185)
Числитель в (4.185) может быть преобразован следующим образом:
jj (Ef -Et) OdEf=%LV (Ef-£;)2 2 Е«Ев (i \za | /> (/1 zB | i) =
f a₽
= 4Et2 2 eaeB(i|za<^ —<^Za]/Xf|^ZB—ZBc^|i> =
/ a₽
= '^r‘^2E“eB<zIP“2Pi3Z|j). (4.186)
оф
Сумма по f в (4.186) также найдена с помощью правила умножения матриц.
Можно отбросить смешанные члены в последней сумме, если предполо-
жить, что нет корреляций между движениями различных нуклонов. Введем
в соотношение (4.186) еа « ев » е/2 и вычислим (р„2> ~ (р2^), исходя
из газовой модели ядра (гл. 2, § 9), в соответствии с которой средняя величи-
на кинетической энергии нуклона равна 18 Мэв и, следовательно, (р2) —
= 2М-18/3 Мэв. Используя также соотношения (4.183) и (4.185), получаем
£рез = А.18 Мэв = 24 Мэв, (4.187)
О
что находится в достаточно хорошем согласии с экспериментом.
238
Можно также рассмотреть поглощение на основе модели независимых
частиц (с корреляциями) и установить, каким образом одночастичные пере-
ходы входят в сумму, которая была вычислена.
Литература
1. В е t h е Н. A., Salpeter Е. Е. Quantum Mechanics of One and Two Electron
Atoms. Academic Press, N.Y., 1957.
2. В 1 a 11 J. M., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. Wiley, N.Y., 1952
(Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М., Изд-во
иностр, лит., 1954).
3. Fermi Е. Elementary Particles. Yale University Press, 1951 (Ферми Э. Эле-
ментарные частицы. М., Изд-во иностр, лит., 1953).
4. Н е i 11 е г W. Quantum Theory of Radiation. Oxford University Press, 1954.
5. Hulthen L. and Sagawara M. Handbook of Physics, vol. 39, Springer-Verlag,
Berlin, 1957.
6. R о s e M. E. «Internal Conversion Coefficients». North Holland Publishing Company
(1958).
7. S c h i f f L. I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill, N.Y., 1949.
8. Ambler et al. Phil. Mag., 44, Ser. 7, 216 (1953).
9. A 1 d e r et al. Rev. Mod. Phys., 28, 432 (1956).
10. Brady E. L., D e u t s c h M. Phys. Rev., 78, 558 (1950).
И. В i e d e n h a г n L. C., R о s e M. E. Rev. Mod. Phys., 25, 729 (1953).
12. Bohr A., Mottelson B. R. Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat. Rys. Medd.,
27, No. 16 (1953).
13. В 1 i n - S t о у 1 e et al. In p- and y-Spectroscopy (edited by K. Siegbahn). North Hol-
land, Amsterdam, 1955 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред. К. Зигбана. М., Изд-во
иностр, лит., 1960).
14. DeBenedetti S., McGowan F. Phys. Rev., 74, 128 (1948).
15. D e G г о о t S. R., T о 1 h о e k H. A. In p- and y-Spectroscopy (edited by K. Sieg-
bahn). North Holland, Amsterdam, 1955, p. 613 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред.
К. Зигбана. М., Изд-во иностр, лит., 1960).
16. F а 1 к о f f D. L., U h 1 е n b е с к G. Е. Phys. Rev., 79, 323 (1950).
17. Franz W. A. Physik, 127, 363 (1950).
18. F a n о U. Phys. Rev., 90, 577 (1953).
19. F r a u e n f e I d e г H. In P- and y-Spectroscopy (editedby K. Siegbahn), NorthHol-
land, Amsterdam, 1955, p. 531 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред. К. Зигбана.
М., Изд-во иностр, лит., 1960).
20. French J. В. In Nuclear Spectroscopy (edited by V. Ajzenberg-Selove), Academic
Press, N.Y., 1960.
21. Goldhaber M., Teller E. Phys. Rev., 74, 1046 (1948).
22. G or te г C. G. Physica, 14, 504 (1948).
23. G e 1 I - M a n n M., Telegd i V. Phys. Rev., 91, 169 (1953).
24. Goldhaber M., Weneser J. Ann. Rev. Nucl. Sci., 5, 1 (1955).
25. Goldhaber M., S u n у a г A. W. In P- and y-Spectroscopy (edited by K. Sieg-
bahn), North Holland, Amsterdam, 1955, p. 453 (Бета-гамма-спектроскопия. Под
ред. К. Зигбана. М., Изд-во иностр, лит., 1960).
26. G г о d z i n s L. Phys. Rev., 109, 1014 (1958).
27. H e i 11 e г W. Proc. Cambridge Phil Soc., 32, 673 (1936).
28. H a m i 11 о n D. R. Phys. Rev., 58, 122 (1940).
29. H a m e r m e s h et al. Phys. Rev., 90, 603 (1953).
30. Lev inger J.S., Bethe H. A. Phys. Rev., 78, 115 (1950).
31. L i p p m a n B. A. Phys. Rev., 81, 162 (1951).
32. Levinge’r J. S. Ann. Rev. Nucl. Sci., 4, 13 (1954).
33. M e t z g e r F., D e u t s c h M. Phys. Rev., 78, 551 (1950).
34. M о z k о w s k i S. A In P- and y-Spectroscopy (edited by K. Siegbahn), North Holland,
Amsterdam, 1955 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред. К. Зигбана. М., Изд-во
иностр, лит., 1960).
35. М б s s b а и е г R. Z. Physik, 151, 124 (1958).
36. М о s s b а и е г R. Naturwiss., 45, 538 (1958).
37. М б s s b a u е г R. Z. Naturforsch., 14а, 211 (1959).
38. R о s е М. Е. Phys. Rev., 75, 213 (1949).
39. R а с a h G. Phys. Rev., 84, 910 (1951).
40. R о s е et al. Pbys. Rev., 83, 79 (1951).
41. R о s e M. E. Appendix IV in P- and y-Spectroscopy (edited by K. Siegbahn), North
Holland, Amsterdam, 1955, p. 905 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред. К. Зигбана.
М., Изд-во иностр, лит., 1960).
42. S t е с h В. Z. Naturforsch., 7а, 401 (1952).
43. S t г а и с h К. Ann. Rev. Nucl. Sci., 2, 105 (1953).
44. T г a 1 1 i N., Goertzel G. Phys. Rev., 83, 399 (1951).
45. T о 1 h о e k H. A. Rev. Mod. Phys., 28, 277 (1956).
46. W i I k i n s о n D. H. Ann. Rev. Nucl. Sci., 9, 1 (1959).
ГЛАВА 5
Ядерные реакции
А. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЯДЕРНЫХ
РЕАКЦИЙ
§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МНОЖИТЕЛИ
а. Доступный фазовый объем. При рассмотрении реакций
между ядрами или элементарными частицами часто при-
ходится иметь дело с явлениями, для которых неизвестен
закон взаимодействия. Поэтому иногда оказывается полезным предположе-
ние, что вероятность перехода просто пропорциональна числу конечных
квантовых состояний, доступных для рассматриваемого процесса. По тер-
минологии теории возмущений, зависящей от времени, такая точка зрения
равносильна допущению о постоянстве квадрата матричного элемента,
т. е. его независимости от координат и импульсов 1 *.
Вычисление статистических множителей можно, по меньшей мере, рас-
сматривать как первый шаг к попытке интерпретации нового явления: если
наблюдения расходятся со статистическими предсказаниями, то, следова-
тельно, имеет место сугцественная информация о неизвестном взаимодействии,
в частности с точки зрения теории возмущений мы получаем сведения
о поведении матричного элемента.
В данном рассмотрении предполагается, что среди конечных продуктов
реакции имеется несколько свободных частиц. Будем считать, что спин всех
частиц равен нулю, если не делается дополнительных оговорок. В этом
случае каждая частица может иметь лишь одно конечное состояние в эле-
менте фазового пространства, равном (2лй)3; если же спин s отличен от нуля,
то число состояний умножается на 2s + 1.
Основные формулы могут быть легко написаны. Рассмотрим распад
системы, центр масс которой покоится, на N частиц с импульсами, заключен-
ными в пределах от ра до (ра + dpa).
Поскольку в соответствии с законом сохранения импульса
3 Ра = 0, (5.1)
а=1
то независимы только N — 1 значений импульсов; если (N — 1)-й импульс
задан, то импульс А-й частицы однозначно определен, и в соответствии
с этим число состояний рассматриваемой системы на единичный интервал
энергии (в ящике единичного объема) равно:
_ 1 dSPl d3P2 dSPN 1 /с ox
dE0 ‘ (2лЛ)3' (2лА)3 • • (2лЯ)3 ’ v’’4'
N
где Ео = \ — полная доступная в этом процессе энергия.
а=1
Часто удобно пользоваться полярной системой координат в простран-
стве импульсов и писать р*айра dQa вместо d3pa.
Если масса одной из частиц, например А-й, много больше массы других,
JV-1
соответствующей энергией отдачи можно пренебречь и dE0 = dEa. Таким
а=1
1 Речь идет о матричных элементах для плоских волн в конечном состоянии,
не содержащих зависящих от энергии нормировочных множителей.
240
образом, тяжелая частица не дает вклада в (5.2), и плотность состояний
в этом случае будет той же, как и в случае JV — 1 частиц без ограничений,
устанавливаемых законом сохранения импульса.
В общем случае спектр импульсов какой-либо частицы, например пер
вой, может быть получен путем интегрирования по импульсам остальных
частиц 1
<5-3>
а—2
Наконец, в том случае, когда начальные энергии частиц не фиксирова-
ны, а могут принимать произвольные значения, ожидаемая энергетическая
зависимость вероятности переходов будет получена путем интегрирования
по всем импульсам
а=1
Рассмотренные соотношения справедливы и в релятивистском смысле,
если используются релятивистские соотношения между импульсами и энер-
гиями. Релятивистские расчеты статистических весов для многочастичных
конечных состояний становятся крайне громоздкими, но подробные формулы
для случая N = 3, 4, 5 опубликованы в работе [11].
Ограничимся рассмотрением нескольких примеров в качестве иллю-
страции.
б. Пример нерелятивистской ядерной реакции. Нерелятивистский рас-
пад на две частицы уже рассматривался в связи с фоторасщеплением дейто-
на. В общем случае, когда массы частиц, возникающих при распаде,
равны Mi и Мг, из уравнения (5.2) получаем
PidpidCl} p^dp1dQi [ipjJQ, .г г.
где р— приведенная масса.
Эта формула может быть использована в задаче об «испарении» нейтро-
на из тяжелого ядра; в этом случае р почти точно равна массе нейтрона.
Вычислим статистический множитель для испускания у-квантов. В этом
случае в соотношении (5.2) необходимо учесть предельно релятивистскую
(71/ = 0) кинематику фотона:
1 р2 dp dQ 1 р2 ,,, ,г
0р=.., PTS-—-у--=/О мГ—(р.Ь)
1 * (2лЛ)3 с dp (2лЛ)3 с v '
Те же множители применимы и для процесса ^-захвата, в котором испускает-
ся нейтрино с нулевой массой.
Теперь рассмотрим энергетическую зависимость некоторых эффективных
сечений, воспользовавшись соотношением
a^pF = 7TpF’ (5’7)
где р, — приведенная масса, a pt — импульс падающей частицы в системе
центра масс.
Для упругого рассеяния Pt = Pf, р, = Р/ и
о =» pt — dLi = const. (5.8)
Pi
1 Интеграл в выражении (5.3) описывает число состояний, возникающих при фикси-
рованном р! и при энергии, изменяющейся до Eq. Беря производную, получаем число
состояний, отнесенных к единичному интервалу энергии.
16 Ядерные взаимодействия
241
Действительно, уже было показано [см. соотношения (3.1) и (3.12)]. что
при малых энергиях и короткодействующих силах рассеяние 5-волны про-
исходит с постоянным сечением. При более высоких значениях I эффективное
сечение растет с энергией приблизительно как | Ь[/к |2 л; kil « Е21 [см. соот-
ношения (3.1) и 3.13)]. Такую энергетическую зависимость можно связать
с проницаемостью «центробежного потенциаль-
ного барьера».
Для экзотермических реакций, например, з а х в а-
т а нейтрона, сопровождающегося испусканием фотона, или рас-
пада с испусканием заряженной частицы, можно при малых энергиях
пренебречь энергетической зависимостью и считать
(5.9)
Легко видеть, что энергетическая зависимость эффективного сечения
захвата нейтрона протоном [см. соотношение (4.123)] при малых энергиях
совпадает с соотношением (5.9). Все эффективные сечения захвата нейтронов
ведут себя подобным образом, и это относится также к эффективному сечению
индуцированного нейтроном экзотермического расщепления В и Li.
Для эндотермических реакций, характеризующихся
энергией порога Ео, скорость падающих частиц вблизи порога почти постоян
на, в то время как доступный фазовый объем растет как импульс испущенных
частиц. Таким образом,
о Р1 к УЕ~Е0. (5.10)
Так ведет себя сечение фотомагнитного расщепления дейтона вблизи порога
[см. соотношение (4.119)]. Фотоэлектрическое расщепление пропорционально
(Р/)3> что связано с зависимостью электрического дипольного матричного
элемента от энергии.
В качестве примера распада на три частицы рассмотрим статистическое
поведение в эндотермических реакциях (у, 2и) и л и
(и, 2п). Две частицы в конечном состоянии имеют массу нейтрона М, а третью
частицу будем считать бесконечно тяжелой. Если Ео — энергия при распаде
(равная превышению энергии над порогом реакции), то спектр испускаемых
нейтронов будет описываться формулой
[гдДЕо-ВД^/г
pMdPl = ~ ^Pldp^yE^-EjdE, (5.11)
о
Вблизи порога (vt — скорость частиц у порога) эффективное сечение
имеет вид
Ео Ко
о (Е) « А V pF (Ej) dE, я \ ] ЕДЕо-ЕО dEl - Е*. (5.12)
0 0
Во всех'рассмотренных примерах заряженные частицы не принимали
участия в реакциях. Для участия в ядерных реакциях протоны и а-частицы
должны преодолеть кулоновский потенциальный барьер, и это вызывает
появление в формулах сильно зависящего от энергии коэффициента про-
ницаемости, который маскирует роль статистических множителей. Расщепле-
ние Li и В на заряженные частицы представляет исключение, что связано
с малой величиной Z и относительно большой доступной энергией.
в. Релятивистские примеры из ^-распада. 1. Начнем с явления, которое
нельзя описать с помощью одних лишь статистических множителей, а именно
с двухчастичного распада л-мезона, идущего по одному из двух каналов:
л—(5.13а)
л—>e-]-v. (5.136)
242
Полная доступная энергия в этом] случае равна тпс2, а импульсы испущен-
ных частиц полностью определяются из законов сохранения импульса и энер-
гии. Из схемы распада (5.13а) в предположении, что масса нейтрино равна
нулю, получаем
/^2 __________________________________________
p^c = PxC = Ev = ~^-±c2, (5.14а)
171 2 —1— J71 2
Е„ = тлс2 ~EV = V ц с2. (5.146)
Статистические множители можно рассчитать по формуле (5.2), используя
соотношения dE^ = с2р^dp^ и EvdEv = c2pvdpv — cPp^dp^. Получаем
P\k^P\L P\L Eyfiv j rv
Рр=(2лЛ)»‘ dE^-\-dEv =(2nft)3'T2'’£’g + £v *
Воспользовавшись соотношениями (5.14a) и (5.146), после интегрирова-
ния по телесному углу получаем
4лс / тл—\2 тл+т1
Pf — (2лЯ)з V 2лмл J 2т^
(5.16)
Выражение (5.16) дает возможность предсказать отношение вероятно-
стей распадов по схемам (5.13а) и (5 136)
л-^e + v _ ("£-"tl)2(4+"tD _ о о г и7ч
л-^-ц + v (тл-«’ц)2('«л + ™ц) ’ ’ '
Экспериментальная величина отношения (5.17) оказывается приблизительно
равной 10“3. Чтобы объяснить такое расхождение, очевидно, нужна более
полная теория. Этот вопрос рассматривается в гл. 8, § 176.
2. Рассмотрим теперь |3-р аспад нейтронов и ядер —
явление, находящееся в прекрасном соответствии со статистическими пред-
сказаниями. Бета-распад нейтрона
тг —>е + v, (5.18)
или тяжелого ядра, заключается в распаде на три частицы. В этом распаде
две частицы — электрон и нейтрино — являются релятивистскими, а третью
частицу — остаточное ядро или нуклон — можно считать бесконечно тяже-
лой. Предположим, что нейтрино имеет конечную массу, и используем фор-
мулу (5.3) для нахождения спектра электронов:
-|-[СЕо-Ее)2-тПу'«]1/2
4лр2 dpe С1 р . „ ,
$ inp-xdpv
О
1^-6.А.(£0-Ее)1 (£0 Ее)2~т^р2с1ре. (5.19)
Экспериментальные результаты соответствуют этой формуле, если предпо-
ложить, что mv = 0. Таким образом, формула (5.19) может быть записана
в виде
[>F(Pe)dp, -^^..-L.pl(E0~Ee)2dpc. (5.20)
Величина, обратная среднему времени жизни [З-распада, должна быть
пропорциональна интегралу от выражения (5.20).
Интегрируя соотношение (5.20) и выражая энергии частиц в единицах
тс2, получаем
—----PE(Pe)dpe =
т₽ Э
При высоких энергиях (Ео > тс2) этот интеграл пропорционален Е5.
16* 243
Выражения (5.20) и (5.21) хорошо выполняются для разрешенных
^-переходов (хотя при этом необходимо ввести кулоновские поправки)
Рис. 5.1. Геометрическое построение для вычисления стати-
стического веса при р-распаде.
И, в частности, для распада зеркальных ядер. Сравнение с экспериментом
см. в гл. 8, § 1 и 2.
3. Вычисление статистических множителей для распада мюона
представляет более сложную задачу, поскольку ни одна из трех частиц,
ш возникающих в распаде
р,—>e-bv1 + v2,
(5.22)
Рис. 5.2. Статистиче-
ский спектр электронов
при распаде мюона.
[Ферми Э. Элемен-
тарные частицы. "М.,
Изд-во иностр. лит.,
1951].
не может считаться тяжелой. Так как результат
этих вычислений имеет большое значение, приведем
соответствующие расчеты.
Статистический спектр электронов от ц-распада
в соответствии с соотношением (5.3) имеет вид
Рк (Ре) dpe == dpe S dSpvi ’ (5 •23)
где интеграл определяет величину фазового про-
странства, доступного для одного нейтрино при
фиксированном ре и при Е<СЕ0. Для вычисления
этого интеграла примем mv = те = 0 (это допустимо,
поскольку те < тц) и воспользуемся геометриче-
ским построением [3], приведенным на рис. 5.1.
В силу сохранения энергии периметр треуголь-
ника АВС со сторонами рс, pvi, pV2 равен Е0/с
(^т^с). Если ре и Ео заданы, то в соответствии
с этим точка С будет перемещаться по поверхности
эллипсоида вращения, объем которого равен рас-
сматриваемому интегралу. Полуоси эллипсоида а и Ъ легко определяются,
и для объема эллипсоида получаем
Vd3p |яаЬ2=^(^._3^_ре + 2^рЛ . (5.24)
Статистическая форма спектра получается путем подстановки выражения
(5.24) в соотношение (5.23):
Рг (Ре) dpe = 96jll^ Pl (2pl — бт^сре + Зт^с2) dpe. (5.25)
244
Полученная форма спектра приведена па рис. 5.2. Она находится в гру-
бом соответствии с экспериментом. Детальное сравнение с экспериментом
проведем позже — в гл. 8, § 12 (рис. 8.36).
Интегральный объем доступного фазового пространства равен
1/2тцс
S dPe = 965F160 • (5'26)
о
Весьма примечательно, что отношение измеренных вероятностей распада
мюона и нейтрона — с точностью до множителя порядка — равно отно-
шению статистических весов [соотношения (5.21) и (5.26)1:
/ iN \ J Рг(Ре) dpe из соотношения (5.26)
\ /эксп ( Pf (ре) dpe из соотношения (5.21)
Таким образом, на основании одних лишь статистических соображений
приходим к выводу, что распады мюона и нейтрона вызваны взаимодействи-
ем одинаковой природы.
§ 2. АНАЛИЗ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН ДЛЯ РАССЕЯНИЯ
С ПОГЛОЩЕНИЕМ
а. Введение комплексного сдвига фаз. В гл. 4 изучались
ядерные реакции, вызванные такими взаимодействиями, как
фоторасщепление, захват и кулоновское возбуждение. Описа-
ние этих реакций возможно, при использовании гамильтониана для электро-
магнитного взаимодействия, в первом либо втором порядке теории возму-
щений.
Большинство других ядерных реакций вызывается сильнодействующими
ядерными силами. Для этих сил гамильтониан не известен и, по-видимому,
нельзя использовать теорию возмущений. Механизм близкодействия
(малые г) для таких реакций не поддается адекватной трактовке, и в боль-
шинстве случаев приходится ограничиваться общим асимптотическим рас-
смотрением (большие г). В оставшихся параграфах этого раздела будут
изложены методы такого асимптотического описания и получены некоторые
выводы, которые содержат большую информацию, чем выводы, получаемые
из простого статистического приближения; второй раздел (гл. 5) посвящен
описанию различных моделей ядер с целью рассмотрения реакции в сложных
ядрах с точки зрения близкодействия.
Общая теория ядерных реакций подобна теории рассеяния, так как
в пределе эти реакции можно рассматривать как такой вид рассеяния, при
котором изменяется природа частиц и не сохраняется кинетическая энергия.
Однако для малых расстояний между соударяющимися частицами по край-
ней мере два явления физически кажутся различными: взаимодействие,
вызывающее упругое рассеяние (оно может хотя бы в принципе быть пред-
ставлено вещественным потенциалом), и реакции, которые описываются
значительно более сложным образом.
Начнем с рассмотрения того, каким образом можно, введя поглощение,
расширить возможности анализа рассеяния методом парциальных волн.
Для простоты пренебрежем наличием спина у частиц и электростатиче-
скими эффектами.
В гл. 3, § 2, уже рассматривалась асимптотическая форма решения
волнового уравнения, соответствующая рассеянию. Используя соотношение
(3.76) и выражая синусы через экспоненты, можно представить это решение
в форме 1
K2TM-i1+1-y[e-1('lr_‘^)-e2i6'-e4'I(fi''~^]y?. (5.28)
i
1 Как и в гл. 3, § 2, знак як означает, что идет речь об асимптотическом равенстве.
245
Из этого уравнения видно, что испущенные парциальные сферические
волны сдвинуты по фазе по отношению к падающим волнам. При рассеянии
фазы действительны; множители е216/ по модулю равны 1 и интенсивность
испущенных волн равна интенсивности падающих. Это естественно, если
поглощение отсутствует.
Для получения волн, описывающих в равной мере рассеяние и погло-
щение, необходимо допустить, что комплексный множитель, связанный
с испущенной волной, может по модулю быть и меньше 1, или, иначе, нужно
считать, что фазовый сдвиг может быть и комплексным:
e2i6'= e2i(“«+ipi) = е-2р*-е21Ч (5.29)
Величины аг и |Зг вещественны, причем |Зг принимает положительные зна-
чения.
При введении комплексного сдвига фаз поглощение рассматривается
как диссипативный процесс; поглощенная частица и ее кинетическая энергия
исчезают. Такая трактовка соответствует, очевидно, допущению о возможно-
сти несохранения энергии и не отражает в полной мере картину ядерных
реакций. Волновая функция, описываемая соотношением (5.28) и содержа-
щая комплексное значение б;, не является решением какого либо волнового
уравнения, составленного с участием гамильтониана, удовлетворяющего
законам сохранения.
в § 3 будет произведено более точное рассмотрение ядерных реакций;
но на данном этапе ограничимся рассмотрением некоторых следствий, выте-
кающих из описания процесса поглощения с допущением о наличии комплекс-
ного сдвига фаз.
б. Амплитуда столкновения. Амплитуда е216' носит название ампли-
туды столкновения, соответствующей волновой функции для
момента количества движения, равного I, и обозначается символом
5г = е21\ (|5г|а<1). (5.30)
Отметим, что амплитуды рассеяния at [соотношение (3.6)] представляют
собой амплитуды рассеянной Z-волны при единичной плотности падающей
волны; амплитуды столкновений S г представляют собой амплитуды (с обрат-
ным знаком) для испущенной Z-й сферической волны, соответствующей г-й
падающей сферической волне, для которой поток равен скорости бомбарди-
рующей частицы v \ Удобно нормировать сферические волны на единичный
поток: при такой нормировке можно написать
ф/ « -----— - Y4 - Sl -----—— Y?, (5.31)
Г yv Г УV
или, проще,
(5.32)
где Ci i и Gi относятся к падающей и отраженной Z-й сферической волне, нор-
мированном на единичный поток.
Амплитуды рассеяния просто связаны с эффективными сечениями.
Эффективные сечения получаются непосредственно, если ввести выражение
(5.30) в соотношения (3.6) и (3.11):
= =^2(2Z + 1)|1-Sz|2. (5 33)
I I
Д, P / 511) 511) \
1 Используя выражение V dr ------------dr ) ^B2 dQ для потока через
сферу произвольного радиуса В, легко видеть, что (е±,Лг'/г) У® соответствует
h к
потоку - V.
246
Эффективное сечение поглощения определяется соотношением
но = oG, г = (2Z +1) (1 -1 Sz Р), (5.34)
где 1 — | 51 |2 — разность между падающим и отраженным потоками для
Z-й сферической волны.
и, таким образом, возможно рассеяние без поглощения. С другой стороны,
в силу наличия дифракционных явлений
поглощение (S г 1) без рассеяния невоз-
можно.
Соотношения между рассеянием и
поглощением иллюстрируются рис. 5.3.
Для полностью поглощающей сферы
радиусом R > -г- S t = 0 для Z < kR и
Si = 1 для l>kR\ поэтому
ля
osc = на = (2Z +1) nR\ (5.35)
z=o
Таким образом, каждая величина nsc
п <тге равна половине эффективного сече-
ния рассеяния для полностью отражаю-
щей сферы того же радиуса [см. соотно-
шение (3.173)]. С другой стороны, полное
эффективное сечение
Ot = ° sc + оа = 2nR2 (5.36)
равно той же величине, что и для пол-
ностью отражающей сферы. Выражение
(5.36) находит применение при опреде-
лении радиуса ядер по измерениям пол-
ного сечения для нейтронов.
в. Поглощение и рассеяние, соответ
ствующие логарифмической производной
на сферической поверхности. Для изучения
ядерных реакций полезно получить фор-
it
6g,Z
(Zt+lW
Рис. 5.3. Соотношение между рас-
сеянием и поглощением при данном
значении oG, i (величины crsc, / огра-
ничены заштрихованной площадью).
(Блатт Дж., Вайс конф В.
Теоретическая ядерпая физика М.,
Изд во иностр, лит., 1954).
мулы, связывающие эффективные сечения, определяемые соотношениями
(5.33) и (5.34), со свойствами волновой функции на поверхности ядра х.
Предположим, что ядро-мишень представляет собой сферу радиусом R, и
введем символ pz/R для Z-й логарифмической производной на поверхности
ядра:
pz Re р/ + i Im pz
filui/drX
\ 4-l/r )
r~R
(5.37)
где U[ гфг иф7 — волновая функция, соответствующая моменту количества
движения, равному I. Для того чтобы описать как рассеяние, так и поглоще-
ние, величина pz предполагается комплексной со значением, зависящим от
энергии налетающей частицы.
1. Начнем с рассмотрения простейшего случая нейтральных частиц
в S-состоянии (медленные нейтрон ы.) В этом случае асимптоти-
ческое выражение (5.31) применимо повсюду вне ядра, и, подставив его
непосредственно в уравнение (5.37), получаем
р0 — ikR
е-21Щ? + 5о
e^ikJi_Sg
(5.38)
1 Или, в более общей форме, на поверхности, окружающей ядро.
247
откуда следует, что
Sn Ро + ^Д e-2if<B _ (1 2ifcR ) e-2i/(R /5 ЧСН
°0 po-iWf l1+p0-iwde • ^.JV)
Тогда из соотношений (5.33) и (5.39) получаем для сечения рассеяния S-волны
(5.40)
а для сечения поглощения S-волны из соотношений (5.34) и (5.39) получаем
__ л —4А-Д1шр0
“>0 ~ *2 - (Re p0)2-]-(lm р0-ЛД)2 •
(5.41)
2. Для быстрых нейтронов следует учесть наличие волн
с Z у= 0. В этом случае асимптотическое выражение для ехр f + i [кг — ~) I
из соотношения (5.31) нельзя использовать на поверхности ядра и его необ-
ходимо заменить функцией от кг]г ± (кг), где величины Д + (кг) определены
соотношением (1.35).
Процедура дальнейших расчетов совпадает с приведенной в пункте 1;
результаты можно найти в книге Блатта и Вайскопфа [2].
3. Дальнейшее усложнение аналитических выражений возникает в слу-
чае заряженных частиц, для которых волны искажаются действи-
ем кулоновского поля ядер. Не станем рассматривать этот случай, поскольку
он не добавляет ничего принципиально нового к нашей трактовке элементар-
ных взаимодействий. Интересующийся этими вопросами читатель может
обратиться к книге Блатта и Вайскопфа [2].
§ 3. КАНАЛЫ РЕАКЦИИ: МАТРИЦА СОУДАРЕНИЙ
(РАССЕЯНИЯ)
а. Спиновые и орбитальные каналы. Рассмотрим пробле-
му упругого рассеяния при наличии спиновых эффектов.
Для простоты по-прежнему будем пренебрегать электроста-
тическими эффектами (резерфордовским рассеянием).
Если допустить, что имеются соответствующие поляризаторы для
начального пучка и мишени и анализаторы для рассеянного пучка и частиц
отдачи, то можно будет измерить порознь величины, относящиеся к рассея-
нию для данного, начального и конечного состояний. Величины, характери-
зующие рассеяние,— эффективные сечения, амплитуды, сдвиги фаз и т. п.—
будут, как известно, зависеть от двух индексов, определяющих состояние
поляризатора (или начального спинового состояния) и анализатора (или
конечного спинового состояния).
Введем новую терминологию и станем говорить, что каждое состояние
поляризатора и анализатора представляет собой спиновый канал.
Термины спиновый канал и спиновое состояние могут исполь-
зоваться как синонимы. Поляризатор выделяет начальный спин, или входной
спиновый канал, тогда как анализатор выделяет конечный спин, или выход-
ной спиновый канал.
Величины Si = е21\ входящие в соотношения § 2, превращаются
в матрицы, воздействующие на спиновые состояния, элементы которых нуме-
руются индексами каналов. Волны, которые описывают входной и выходной
каналы, могут быть по аналогии с (5.31) записаны в виде
ехр
с
Г |/ V
Гг', (5.42)-
Гт’
248
где и £а- характеризуют входной и выходной каналы. Суммирование
по I' и т' необходимо для того, чтобы учесть переходы между орбитальными
моментами количества движения, которые совместимы с выбранными кана-
лами. Заметим, что анализирующие поляризаторы поглощают некоторые
из рассеянных частиц и что | Sa’O |2 может быть меньше единицы.
б. Каналы реакций. Перейдем к описанию не только упругого рассея-
ния, но и всех возможных реакций, возникающих в результате соударения
двух частиц — At и А2:
At + А2—>At+ Аг (упругое рассеяние)1; (5.43)
Bi + В2,
С1 + С2 и т. д.
Различие между частицами может быть установлено соответствующими
приборами, такими, как масс-спектрометр, ионизационно-пробежные детек-
торы, по следам частиц в фотоэмульсиях и т. п., подобно тому, как раз-
личные спиновые состояния выделяются анализатором и поляризатором.
Таким образом, теперь можно использовать термин канал как для выде-
ления «вида» реакции, так и для выделения спинового состояния. В схемах
(5.43) At + А2 означает входной канал реакции, а Л1 +
4- А 2, Bi + В2, Ct С2 и т. д.— различные выходные каналы ре-
акции.
Частицы, находящиеся в разных состояниях возбуждения, будут
рассматриваться как различные, так что упругое и неупругое рассеяния
будут представлять собой два различных канала.
Для компактности обозначений введем индекс р, выделяющий канал,
и тогда соотношение (5.43) запишется в виде
МР+^2Р->МР'+^2Р', (5-44)
ИЛИ
р->р'. (5.45)
В этих обозначениях упругому рассеянию соответствует запись
р' = р.
При р' 5^ р скорости частиц изменяются в процессе реакций; обозначим
через vp скорость для канала р, через vp> скорость для канала р'.
Волны, которые по аналогии с (5.31) асимптотически описывают реакцию
(5.45), при орбитальном моменте количества движения, равном Z, и в пред-
положении, что спины всех частиц равны нулю, имеют вид
где фр и фр- — внутренние волновые функции частиц во входном и выходном
каналах, а гр, гр- — их расстояние до начала.
в. Матрица столкновений (или рассеяния). Отметим, что на выражения
(5.41) и (5.46) наложены те же ограничения, что и на рассмотрение рас-
сеяния с поглощением, выполненное в § 2: только один канал конечного
состояния входит в эти выражения, и они не дают ни полного описания
столкновения, ни решения уравнения Шредингера, соответствующего сохра-
нению энергии.
Для полного асимптотического описания столкновения, порожден-
ного данной частицей находящейся в спиновом канале ст, р, необходимо-
просуммироват ь испущенные волны по всем возможным
каналам о', р'. Эти суммы содержат большое число индексов, поэтому
1 Сюда же относится и случай 6/ = 0, при котором падающий пучок проходит
без взаимодействий.
249
желательно введение более компактных обозначений. Будем сокращенно писать
а для о, р; а для о, р, I, ш —0;
о • А , , г , (5.47)
р для а , р ; b для о , р , I , т .
Асимптотические выражения для волн, описывающих столкновения, воз-
никшие в канале а, принимают вид
ВДа-ЗЯЛ©!,, (5.48)
ь
где За и (% соответствуют падающим и испущенным волнам (нормирован-
ным на единичный поток), которые описывают начальное и конечное состоя-
ния движения:
ехр
\5а =
&prp —
I (6₽, фр),
ехр
, л.Г
кР'го—^Г
(5.49)
Уг'(еР', Фр-).
где 4;G и Ф{, включают спиновые и внутренние волновые функции частиц,
нормированные к единице:
Чга = 'фрСо; гГь = фр^. (5.50)
Коэффициенты Sba представляют собой элементы матрицы соударений
(или рассеяния) 5 1 [5, 9, 18, 22].
Графическое пояснение рассматриваемых положений приведено на
рис. 5.4. Заштрихованная площадь представляет собой область, в которой
происходит столкновение (малые г).
Мы не пытаемся описать, что про-
исходит в той области, в которой
действуют ядерные силы. Линии,
выходящие из заштрихованной обла-
сти, представляют различные спин-
частичные каналы, для которых
и записываются асимптотические вы-
ражения волн: рис. 5,4, а соот-
ветствует упругому бесспиновому
рассеянию [соотношение (5.31)1;
рис. 5.4, б соответствует выходному
каналу, который отличается от вход-
ного канала, в соответствии с фор-
мулами (5.42) и (5.46); рис. 5.4, в
соответствует
столкновения, возникшего в канале
(о), в соответствии с соотношением
(5.48).
г. Эффективные сечения. Для
вычисления эффективных сечений
необходимо сначала видоизменить
соотношение (5.48), чтобы падающие
сферические волны были такими же,
как и для плоской волны в единич-
ном потоке. Этого легко достичь путем введения соответствующих множи-
телей 2 и суммирования по всем Z:
и иругие
частицы
Рис. 5.4. ^люстрация. к обсуждению
вопроса о ядерных реакциях.
полному описанию
(5.51)
ЛР , ' . '
___________ Z, тп b
1 Наименование матрицы рассеяния повсеместно используется в современной лите-
ратуре и будет в дальнейшем использоваться и нами.
2 См. соотношение (5.28). Множитель 0 соответствует распространению падаю-
щей волны вдоль оси z.
250
Эффективное сечение а —> Ъ определяется выходным потоком в канале b
за вычетом испущенной части плоской волны. Такое вычитание необходимо
только для упругого канала.
Если учесть это, то легко выразить все виды парциальных и полных
сечений через матрицу рассеяния. Например, эффективное сечение реакции
а р (а Р) для заданных конечных орбитальных моментов количеств
движения Г, т' определяется выражением* 1
оа^рГт, = -£-1 2 i‘ Г2ГИ Sba |2 . (5.52)
₽ i
Угловое распределение, связанное с этим парциальным эффективным
сечением, равно, очевидно, | К”- |2, в то время как угловое распределение
для реакции а—>р равно
(6Р-, <ГР') 11 2 [l~1' SbaY?' (6pS qy) |2 (5.53)
₽ I’m’ I
Полное эффективное сечение найдем, выполнив интегрирование по сШр-; оно
равно
2 I 2 i1 К2ГИ sba |2 . (5.54)
₽ Гт’ I
Для определения упругого рассеяния необходимо вычесть испущенную
плоскую волну и соотношение (5.52) можно заменить более общей формулой
j (iSba — ^а₽) j • (5.55)
Формулы (5.53) и (5.54) можно применять также и к упругому рассея-
нию, если вычесть 6а(3 из Sba.
Если рассматривать эффективные сечения при отсутствии поляризации,
то, как обычно, необходимо выполнить операции суммирования и усреднения
по индексам спиновых каналов.
§ 4. СВОЙСТВА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
а. Взаимность. Из инвариантности по отношению
к обращению времени следует, что матрица рассеяния
должна быть симметричной по отношению
к перестановке каналов реакции; но она несимметрична
по отношению к обмену спиновыми каналами, поскольку направление спина
переворачивается при обращении времени. Это свойство приближенной
симметрии матрицы рассеяния называют взаимностью. Оно выражает-
ся записью
а{т) — ^a(—т), Ь(—т')’ (5.56)
которая указывает на то, что при перестановке каналов а и Ъ все магнит-
ные квантовые числа меняют знак.
б. Принцип детального равновесия. Принцип инвариантности по отно-
шению к обращению времени и свойства взаимности матрицы рассеяния
могут быть использованы для определения эффективных сечений обратных
реакций.
В гл. 4, § 10, уже была получена формула, определяющая связь между
эффективным сечением фоторасщепления дейтона и n-p-захвата. Эта формула
была получена на основании эрмитовости гамильтониана для электромагнит-
ного взаимодействия, в первом порядке теории возмущений.
, _i j»/2
1 Фазовый множитель i-1' возникает из-за наличия множителя е л “ в уходящей
волне [см. соотношение (5.49)].
251
Эффективное сечение, усредненное по значениям спина, можно вычислить
по формуле (5.44), если произвести усреднение по начальным значениям
спинов и суммирование по их конечным значениям. Если все магнитные
квантовые числа эквивалентны, то, воспользовавшись свойством взаимности
матрицы рассеяния, получим
«Ч->Р-> _ (26’р. t+1) (2>Ур, 2 + l)fcg,
(2Sp>1 + l)(2Sp,2-|-l)fc* ’
где скобки ( ) указывают на усреднение по спинам, а величины 5Р, 4 и т. д.
обозначают спины участвующих частиц.
Соотношение (5.57) между сечениями обратных реакций известно под
названием принципа детального равновесия. Этот
принцип применим к большинству случаев, представляющих интерес, но
в приложении к конкретным спиновым состояниям он неприменим.
в. Унитарность. Уже было замечено, что потоки WaJa и 45,Оь по
любой сфере, окружающей начало отсчета (центр масс), равны единице.
Но полный поток для всех испущенных волн в соотношении (5.48) должен
также равняться единице, если частицы во входном канале не могут беско-
нечно накапливаться у начала, не передавая энергию (в любой форме) неупру-
гим процессам. Таким образом,
= (5.58)
ь ь
Другое соотношение между элементами матрицы рассеяния можно
получить, исходя из свойств ортогональности состояний. Мы уже пользова-
лись ортогональностью волновых функций Тц и Чрь; но поскольку скалярное
произведение двух решений одного и того же волнового уравнения для
одних и тех же энергий не зависит от времени *, то отсюда следует, что волны,
описывающие соударение, возникшее в канале а, ортогональны к волнам,
описывающим соударение, возникшее в канале Ъ. Отсюда получаем
3<%Аь = 0 (а^Ь). (5.59)
С
Если соотношения (5.56) и (5.57) записать совместно в виде
VSc*aScb=6ab, (5.60)
С
то получим, что матрица соударений должна быть унитарной:
5'5=1. (5.61)
Условие унитарности для упругого рассеяния без спиновых частиц сво-
дится к условию | т]/ |2 = 1 и требует, чтобы сдвиги фаз были веществен-
ными [см. соотношение (5.30)].
г. Ограничения для упругого рассеяния, следующие из унитарности.
Унитарность матрицы рассеяния можно выразить в форме соотношения
между амплитудами рассеяния. Чтобы показать характер этих соотношений,
рассмотрим случай бесспинового упругого рассеяния, для которого вещест-
венность в сдвиге фаз 6г эквивалентна условию унитарности.
Если бi вещественны, то из соотношения (3.6) легко получить следую-
щие равенства между парциальными амплитудами рассеянных волн:
I a-i |2 = сна* = (сц — = Im at. (5.62)
Формула (5.62) при учете соотношения (3.5) и теоремы сложения (1.30)
и (1.31) преобразуется в соотношение между амплитудами, зависящими
от 0:
J /(0^)/*(W')^" = -^- 1т/(6№). (5.63)
1 Прп этом мы исходим из физического представления о том, что падающие
и испущенные волны следует рассматривать в виде волнового пакета.
252
При к = к' формула (5.63) сводится к оптической теореме (3.103);
в общем случае она может рассматриваться как обобщение оптической
теоремы.
Подобным же образом, но с большей сложностью, можно получить
соотношения и для упругого рассеяния частиц со спином. Это особенно
важно при рассмотрении нуклон-нуклонного рассеяния, ибо такие соотно-
шения вносят дополнительные ограничения в матрицу амплитуд рассеяния
в дополнение к тем ограничениям, которые возникают из законов сохране-
ния и были уже рассмотрены в гл. 3, § 19, формула (3.242).
Этот вопрос обсуждался Л. Пузиловым и др. [19], которые нашли, что
число экспериментов, необходимых для определения нуклон-нуклонной
матрицы рассеяния, равно только пяти (но не девяти, как это следовало
из рассмотрения законов сохранения моментов количества движения, чет-
ности, обращения времени и свойств изоспина в гл. 3, § 19). Эти пять экспе-
риментов должны быть, однако, выполнены так, чтобы они дали зависимость
от угла, тогда как полный опыт при данном угле требует выполнения девяти
экспериментов.
§ 5. РЕЗОНАНСЫ
а. Резонансы и промежуточные состояния. Если пред-
ставить эффективное сечение некоторых ядерных реакций
как функцию энергии, то можно обнаружить наличие острых
максимумов. Поведение эффективного сечения в районе максимума хорошо
воспроизводится формулой:
°" ~ —— • (5-64)
(Е-ЕГ)Ч -4
где Е — энергия, Ег — резонансная энергия и Г —«полная ширина» на
половине высоты максимума.
Формулы, подобные (5.64), описывают различные резонансные явления.
Они, например, определяют амплитуду вынужденных колебаний осцилля-
тора при наличии затухания (в этом случае Е соответствует частоте и Г —
коэффициенту затухания) или токи в резонансной цепи переменного тока.
В оптике формулы, подобные (5.64), описывают дисперсию света для частот,
близких к характеристической атомной частоте; эта задача может быть рас-
смотрена либо классически как вынужденное колебание, либо квантово-
механически с помощью теории возмущений второго порядка.
Ядерные резонансы интерпретируются аналогично оптической диспер-
сии; в обоих случаях предполагается, что реакция идет двумя ступенями:
—> С —> (5.65)
где С — составное состояние (Бор, 1936) с энергией Ет и средним временем
жизни, равным Й/Г.
Дисперсионная формула была введена в ядерную физику Брейтом
и Вигнером [7]; общий вывод этой формулы был дан Вигнером и Эйзенбадом
[18, 21—24], которые воспользовались методом матрицы рассеяния. Для
более ясного представления о сущности физических явлений мы в после-
дующем жертвуем в какой-то мере строгостью изложения.
б. Резонансы как нулевые точки в значениях логарифмической производ-
ной на поверхности ядра. Если встать на ту точку зрения, что вблизи резо-
нансов ядерные реакции представляют собой двухступенчатый процесс
[реакция (5.65)], в котором проявляется только одно промежуточное состоя-
ние, то эффективное сечение для выделенных каналов может быть записано
в виде произведения двух множителей: эффективного сечения образования
составного состояния для входного канала и относительной вероятности
его распада в выходной канал.
253
Пренебрегая спинами, можно написать
Гр
Ора — Оса j, ,
(5.66)
где Гр представляет собой парциальную ширину возбужденного
канала Р и
Г = 2Гр (5.67)
Р
равна полной ширине; оса — эффективное сечение образования составного
состояния.
Теперь предположим, что ядра представляют собой сферы радиусом В
и что решение задачи о составном ядре дает логарифмическую производную
волновой функции на поверхно-
сти ядра. Наконец, для просто-
ты ограничимся 5-волнами
(кВ < 1) и не будем учитывать
электростатических эффектов
(медленные нейтроны).
Будем считать, что можно
пользоваться формулами § 2в и
в особенности (5.40) и (5.41).
Разумно предполагать, что ре-
зонансы возникают там, где
исчезает вещественная часть р0.
Условие Rep0 = 0 не только
соответствует максимуму эффек
тивного сечения, но и макси-
мальной вероятности проникно-
вения падающих частиц внутрь
ядер, как это качественно по-
казано на рис. 5.5.
Если выразить р0 через резонансную энергию, то получим
р0 = с0(Е—Er)-ife (5.68)
(а и fe — вещественные постоянные). Подставляя это значение в соотноше-
ние (5.41), получаем
_ л (2АЯ/о.) (2b/a) „
°а, о - * j •
(£ — £г)2 + (2Ь/о + 2Ы?/с)2
Рис. 5 5. Волновая функция внутри ядра при
исчезновении производной на поверхности (а) и
для случая равенства внутренней и внешней
амплитуд (б).
Энергетическая зависимость эффективного сечения согласуется с дис-
персионной формулой. Находим, что полная ширина Г определяется фор-
мулой
r = A + AL. (5.70)
ЧчоС/Н ТАВНЯЧЯ яричину наличия двух членов в выражении (5.70), вычис-
лим эффективное сечение рассеяния вблизи резонанса, вводя соотношение
(5.68) в соотношение (5.40)
„ _ JLMiab____л_________И ----------12 (5 71)
Орас.,0— к2 |Л 1 (£ —£r) —i (6,'с+АЯ/с.) I V '
Видно, что амплитуда рассеяния состоит из двух частей: нерезонапс-
ной части, которая называется потенциальной амплитудой рас-
сеяния,
^nOT=4-(e2U‘R~1) для кВ< 1), (5.72)
К
254
и резонансной части, которая зависит от параметров а и Ъ составного состоя-
ния,
. 1 2iA/?/o i 2kRJa
-™рез- Г' (E-ET)-i(b/a + kR/a) ~ ~~Г Г ’ < ' '
(£,—Ьг)-1 ~2
и соответствует рассеянию, обусловленному распадом составного ядра с испу-
сканием ранее поглощенной частицы.
Если теперь ввести парциальную ширину для такого испускания погло-
щенной частицы (ширину частицы)
Га = ^- (5-74)
и парциальную ширину для всех других типов реакций (ширину
реакции)
Гг=2ГВ = ^’ (5 75)
«=/=₽
то формулы получат простую интерпретацию, согласующуюся с соотноше-
ниями (5.66) и (5.67). Эффективное сечение поглощения или реакции выра-
жается соотношением
и эффективное сечение резонансного рассеяния [как это следует из соотно-
шений (5.71) и (5.74) в пренебрежении потенциальным рассеянием] равно
г2
^рез. рас., О — j • (*>•' О
(£-£г)2 + -4 Г2
Таким образом, для полного эффективного сечения возникновения состав-
ного ядра получаем
31 [ГГа .r _Q.
ОЦ-к?, о — Оп,0 Проз, раз., О—j • (и.Io)
(£-£г)2+^Г2
При резонансе эффективное сечение для возникновения составного обра-
зования равно in/k2 (Га/Г); если возможно только упругое рассеяние, то
оно уменьшается до 4л//с2, что согласуется с выражением (3.11) для 6=л/2.
Вблизи резонанса упругое рассеяние может привести к интерференции
между «потенциальной» и «резонансной» частями. Вдали от резонанса эффек-
тивное сечение реакции стремится к нулю, а сечение упругого рассеяния —
к постоянному значению
Орас., 4л/?2 (кН < 1; Е — > Г). (5.79)
Отсюда, так же как и из формул (5.74) и (5.77), видно, что эффективное
сечение рассеяния постоянно при малых энергиях, как этого и следует
ожидать из статистических соображений. Из формул (5.74) — (5.76) следует,
что эффективное сечение реакций при малых энергиях изменяется как 1/к,
что также согласуется со статистическими соображениями.
Эти выражения есть не что иное, как формулы Брейта — Вигнера,
соответствующие бесспиновым 5-волнам для одного уровня. Эти формулы
широко используются при интерпретации данных по рассеянию нейтронов.
С некоторыми изменениями они могут быть распространены и на волны
с моментами количества движения более высоких порядков, а также и на
ядра со спинами. Если момент количества движения равен J, то появляется
множитель, равный 2J ]- 1; если же нуклон мишени имеет спин I, а спин
255-
составного состояния равен J, то в выражении для эффективного сечения,
усредненного по спинам, должен быть введен статистический множитель
2J + 1
2(27 + 1)’
Понятие о ширине сохраняет свое значение также для моментов коли-
чества движения высоких порядков и даже для заряженных частиц. На вели-
чину ширины влияют факторы, связанные с проницаемостью кулоновского
и центробежного барьеров.
§ 6. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ РЕАКЦИЙ
а. Общие соображения. Законы сохранения четности
и момента количества движения, как мы видим это в некото-
рых частных случаях, управляют угловым распределением
ядерных реакций. Детальное вычисление угловых распределений можно
выполнить подобно тому, как это делают для у-у-корреляций, после построе-
ния спин-угловой функции, соответствующей конкретным значениям спи-
нов участвующих частиц. Теория слишком громоздка, и читателю, кото-
рого интересуют подробности, следует обратиться к специальным рабо-
там [101.
В этом параграфе будет сделана попытка объединить некоторые общие
соображения и показать их применение на примерах. Для ясности рассмо-
трим два случая: для первого из них будем предполагать, что реакции про-
текают в два этапа и исследования ведутся вблизи резонанса, так что суще-
ственно только одно промежуточное состояние; во втором случае
резонанс отсутствует, и если максимум и наблюдается, то это означает,
что имеется вклад более чем от одного промежуточного состояния.
Первый случай важен потому, что угловое распределение позволяет
установить неизвестные квантовые числа промежуточного состояния, если
известны остальные квантовые числа.
Так как ядерные состояния можно подразделить на четные и нечетные,
то из сохранения четности следует, что:
1. Если реакция идет через единственное промежуточное состояние,
то амплитуда выходного канала будет содержать либо только четные, либо
только нечетные степени cos 6; таким образом
дифференциальное эффективное сечение должно с о’д е р ж а т ь
только четные степени cos0; (5.80)
угловое распределение должно быть симметричным по отно-
шению к 90° в системе центра масс.
Кроме того, это может быть доказано в общем виде на основании закона
сохранения момента количества движения.
2. Если реакция происходит через промежуточное состояние с моментом
количества движения J, то
в выражение для дифференциального эффективного сечения
не могут входить степени cos 6 более высокого порядка,
чем (cos 0)2J. (5.81)
И, наконец, необходимо учитывать наличие ограничения kR 1. Это
ограничение определяет предел возможных значений орбитальных момен-
тов количества движения для волновых функций, участвующих в реакции.
Можно утверждать, что:
3. Если орбитальный момент количества движения для волновых
функций l^L, то
выражение для дифференциального эффективного сечения
не может содержать степени cos 0 более высокого порядка,
чем (cos 0)2L. (5.82)
256
Данное утверждение почти тривиально для случаев, когда спин равен
нулю, и в его справедливости для произвольных спинов легко убедиться, если
выполнить усреднение по неполяризованным состояниям.
Сделаем некоторые замечания в отношении второго случая, в котором
либо проявляется несколько промежуточных состояний, либо отсутствует
резонанс. В силу интерференции вкладов от промежуточных состояний
с различной четностью в угловом распределении могут проявиться нечетные
степени cos 6, как это происходит для рассеяния нейтронов на Не. Для
определения влияния всех возможных значений J и четности необходим
детальный фазовой анализ.
б. Следствия из сохранения изоспина. В этом месте, вероятно, целесо-
образно в связи с применением законов сохранения к ядерным реакциям
рассмотреть следствия, возникающие из сохранения изоспина.
Сохранение изоспина важно в реакциях между элементарными части-
цами; некоторые примеры будут рассмотрены в связи с физикой пионов
(в гл. 7, § 4г, 10, 18). Для физики ядра можно ожидать, что сохранение
изоспина будет существенным в реакциях с легкими ядрами; в этом случае
резонансы, вызванные промежуточными состояниями изоспина, отличны
от состояний сталкивающихся частиц и не будут наблюдаться или, по край-
ней мере, будут сильно подавлены.
Рассмотрим, например, три первых возбужденных состояния Li6:
7 = 3+; 7 = 0; 2,19 Мэв,
7 = 0+; 7 = 1; 3,57 Мэв,
J = 2+; 7 = 0; 4,52 Мэв.
При рассеянии дейтона на а-частицах (7 = 0) наблюдаются резонансы,
соответствующие первому и третьему состояниям, второе состояние с 7 = 1
в виде составного ядра не образуется.
в. Пример: четность Li7. Реакция
Li7 + p —> Be8* —> Не4Ц-Не4 (5.83)
проходит через резонанс *, соответствующий возбужденному состоянию Be8.
Спины начального и конечного состояний частиц, входящих в реакцию
(5.83), равны в порядке написания состояний 3/2, 1/2, 0, 0, а угловое
распределение продуктов реакций имеет вид 1 + A cos1 26. Из этих данных
можно сделать вывод о четности Li7.
Поскольку два ядра Не4 удовлетворяют статистике Бозе, то они могут
существовать только в состояниях с четной четностью и четным моментом
количества движения (т. е. в состояниях 0+, 2+, 4+, . . .). Только одно
из этих состояний даст вклад в реакцию вблизи резонанса. В соответствии
с сохранением момента количества движения начальное состояние Li7 Ц- р
могло бы существовать в виде 552, 3Р2, Б72, SD2, 6Т>2> и т. п., но
Б52 должно было бы дать сферическую симметрию в угловом распределении
продуктов реакций, тогда как состояния Т>2, 74 и т. д. должны бы дать
угловые распределения, включающие члены с cos4 6, а это не наблюдается.
Состояние F к тому же в ощутимой степени не проявляется при энергии,
соответствующей резонансу, и им можно пренебречь.
Можно сделать заключение, что начальное состояние должно быть Р2,
и резонансное состояние Be8 будет 2+. Сохранение четности требует, чтобы
Li7 был бы «внутренне нечетным».
Нечетность Li7 является «внутренней» лишь- в том случае, пока
это ядро рассматривается как частица без внутренней структуры. Тем не
менее известно, что нечетность Li7 обусловлена «внутренней» орбитальной
четностью.
1 Считают, что этот резонанс возникает при энергии 440 кэв либо вблизи этой
энергии [5; 6; 12, стр. 319).
17 Ядерные взаимодействия 257
г. Пример: квантовые числа первого возбужденного состояния протона.
Для того чтобы показать, каким образом угловые распределения могут быть
использованы для определения внутренних свойств элементарных частиц,
рассмотрим фоторождение нейтрального пиона (см. гл. 7, § 15, 16)
у-| р —> + р.
(5.84)
Пион имеет нулевой спин, и конечному состоянию реакции (5.84) соот-
ветствует угловое распределение 1 -г 3/2 sin2 0. Эффективное сечение мак-
симально при 330 Мэв, что указывает на существование промежуточного
3/2
----1/2
1—1—^
1—|—ж
I IIix't
--------1---1/2
Гис. 5.6. Реакция фоторождения
л°-мезоЕга через промежуточное воз-
бужденное состояние протона. Ука-
заны переходы только для протона,
у которого в начальном состоянии
спин направлен вверх (по направле-
нию распространения у-кванта).
состояния, которое следует рассматривать
как возбужденное состояние протона.
Легко показать, что наблюдающееся
угловое распределение согласуется с по-
глощением дипольных у-квантов и со зна-
чением спина 3/2 для промежуточного
состояния. Будем пользоваться методом,
развитым для у-у-корреляций. На рис. 5.6
нижнее дублетное состояние соответствует
нуклону в его основном состоянии, а более
высокое квадруплетное состояние — ну-
клону в возбужденном состоянии. Изви-
листые линии изображают поглощаемые
фотоны, а числа возле них — относитель-
ную вероятность перехода между различ-
ными магнитными подсостояпиями (они
равны квадратам коэффициентов Клеб-
гпа —Гордана). Пунктирные линии соот-
ветствуют испущенным мезонам; рядом
с ними стоят величины, указывающие на
относительную вероятность перехода и
угловое распределение, соответствующее
Р-волпе. D-Волпы, разрешенные законами
сохранения момента количества движения, сюда не входят, поскольку они
противоречат опыту; таким образом, четность состояния 3/2 противопо-
ложна четности пиона.
Угловое распределение, рассчитанное на основе рис. 5.6, имеет вид
in1!2 , (5.85)
что хорошо согласуется с опытом.
Другие возможные значения спина возбужденного состояния не согла-
суются с существующими данными.
Б. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ И МОДЕЛИ ЯДЕР
§ 7. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЯДРО
а. Ширина резонансов для медленных нейтронов. Реакции
с тяжелыми ядрами — это сложные явления, о которых
собрано большое количество эмпирических данных. Имеются
большие книги, которые содержат одни лишь экспериментальные данные
о нейтронных поперечных сечениях (4]. На первый взгляд имеющиеся дан-
ные кажутся столь сложными, что детальное теоретическое объяснение
представляется невозможным. И хотя многие аспекты каждой реакции дей-
ствительно невозможно объяснить, все же большое число особенностей может
быть понято. Именно эти вопросы будут рассмотрены в следующих пара-
графах.
Простейшими ядерными реакциями являются реакции, вызванные
медленными нейтронами, т. о. нейтронами, взаимодействующими только»
258
Рис. 5.7. Схематическое описание упругого
рассеяния («) и захвата (6) медленных нейтро-
нов сложными ядрами.
в S'-состоянии и имеющими энергию, недостаточную, чтобы возбудить самое
нижнее из возбужденных состояний ядра-мишени; энергия таких нейтро-
нов не превышает 100 кзв. Hi упругое рассеяние в этих условиях происхо-
дить не может, и в большинстве случаев открытыми являются лишь два
канала (рис. 5.7):
n-|-7V — п -]-Д —упругое рассеяние, (5.86)
n-\-N —-» М 4- у — радиационный захват. (5.87)
Исключениями являктся реакции медленных нейтронов с легкими
элементами Li и В, коте ые приводят к распаду этих ядер, и поглощение
нейтронов некоторыми тя i
ядрами, за которым след» г .
ние. Экзотермический распад Li
и В происходит быстр > и II ’ I
малой энергии (Г > |Е
поэтому сечение этих рею । i
подчиняется закону —1/г 1см.
отношения (5.9), (5.76z, а т
рис. 5.101. Отклонения от зави и
мости 1/г для ядра В ( /
указывают на то, что Е
Г 250 кзв.
Вынужденное делен , напро-
тив, является процессом м<.
ным и I меня т обычно а
поперечного сечения, о > >ю
для процессов (5.' 6) и
Во всех друт х слу
и (5.87) и полное попе
нансы, которы гово; i
межуточных состоя
100 л. з,
гетически разрешены только каналы (5.86)
гние имеет многочисленные и острые резо-
i зоваиии относит льно долгоживущих про-
Ш. г резонансов для медленных нейтронов
Рис. 5.8. Отклонение поперечного сечения взаимодействия нейтронов
от зависимости вида 1/г для ядра В10.
на средних ядрах в области энергий 0—100 кэв близка к ~ 10-1 эв. Расстоя-
ние между резонансами равно примерно 10 эв (рис. 5.9).
б. Модель конденсированного вещества для промежуточного ядра.
Ширина резонанса —0,1 эв соответствует среднему времени жизни —10"14 сек,
что по порядку величины близко к времени, необходимому для испускания
у-квантов на одно из нижних ядерных состояний в одночастичном ^2-пере-
ходе. Это время, однако, намного больше, чем время, которое нужно ней-
17* 259
трону, чтобы пройти ядро. При скорости нейтрона — 109 см/сек (внутри
ядра благодаря потенциалу поля притяжения кинетическая энергия ней-
трона увеличивается) оно равно —10~21 сек. Поэтому в рамках одночастич-
ной модели невозможно объяснить, каким образом нейтрон остается в ядре
настолько долго, что он может образовать острые резонансы и наблюдаемые
радиационные захваты.
Если сравнить спектр возбужденных ядерных состояний со спектром
атома, то видно, что между ними имеется значительное различие; атом имеет
непрерывный спектр для состояний, лежащих выше потенциала иониза-
ции, в то время как дискретный спектр ядра заходит в область, лежащую
выше энергии диссоциации.
Непрерывность ионизованных атомных состояний объясняется тем
обстоятельством, что электроны, имеющие энергию, большую, чем потен-
Рис. 5.9. Поперечное сечение взаимо-
действия медленных нейтронов с Ag.
(Evans Т. Nuclear Physics, McGraw-
Hill, N.Y., 1955, jp. 443).
циал ионизации, являются свободными
и могут покинуть атом. Малая ширина
нейтронных состояний в области выше
энергии диссоциации говорит о том,
что нейтрон может задержаться в ядре
на время, значительно большее, чем
ему требуется для свободного прохож-
дения через ядро. Причина различных
свойств спектров заключается в том,
что атом в хорошем приближении можно
представить как систему независимых
частиц, тогда как ядро трактовать по-
добным образом нельзя.
Ядерная модель конденсированного
вещества необходима, чтобы объяснить
узость несвязанных промежуточных
состояний, образующихся в ядерных
реакциях (промежуточное ядро).
Согласно модели промежуточного
ядра налетающий нейтрон сталкивается
системой, находящейся при 0° К.
с конденсированной многочастичной
Такая система представляет собой как бы смерзшуюся каплю. Энергия
нейтрона распределяется между многими частицами, и температура капли
возрастает. В результате этого внутри капли не оказывается нейтрона
с энергией, в среднем достаточной, чтобы выйти из ядра. Образуется квази-
стабильная система с резкими квантовыми уровнями. В конце концов эта
система испускает поглощенную энергию или в виде излучения и переходит
в состояние с меньшей энергией [радиационный захват; см. соотношение
(5.87)1, или путем испарения нейтрона [резонансное рассеяние; см. соот-
ношение (5.8б)[. Так же как и в обычной термодинамической теории, испа-
рение происходит только в том случае, когда в результате маловероятной
флуктуации одна из частиц приобретет энергию, достаточную, чтобы поки-
нуть ядро.
Отметим, что классическая «капельная» модель лучше применима к про-
межуточному ядру, которое имеет конечную температуру, чем к основному
состоянию ядра, которое находится при температуре абсолютного нуля.
§ 8. ОБЪЯСНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
а. Экспериментальные данные. На рис. 5.10 представлены
некоторые типичные кривые зависимости поперечного сече-
ния нейтронов от энергии. Пики помечены массовым числом
изотопа, ответственного за резонанс, а в круглых скобках — процент
распространенности. Треугольники дают понятие о приборном разрешении.
260
Эти данные относятся к значениям энергии от самой малой до энергии
первого резонанса. Из рисунка видно, что этот резонанс определяет весь
ход поперечного сечения в рассматриваемой области, и, хотя действие дру-
гих резонансов на рисунке не показано, их действие может оказаться важ-
ным для количественного объяснения. Если Ет, Гп и Г? (или Ет, а и Ь)
взять из эксперимента, то соотношения (5.69) и (5.71) дают количествен-
ное описание хода поперечного сечения вблизи резонанса.
Рассмотрим более подробно некоторые отдельные случаи. Поперечное
сечение бора и его почти точное изменение по закону 1/и обсуждались в пре-
дыдущем параграфе. Изотопы Cd113 и Хе13® имеют резонанс в области 0,1 эв
с Г ш Ег. Их резонансный пик простирается почти до нулевой энергии,
Рис. 5.10. Полуколичественный график поперечных сечений различ-
ных элементов для низкоэнергичных нейтронов в области первого
резонанса. Пики помечены массовым числом изотопа, ответственного
за резонанс, и в круглых скобках — распространенность. Треуголь-
ники дают понятие о приборном разрешении.
поэтому эти ядра хорошо поглощают тепловые нейтроны и относительно
прозрачны к нейтронам более высокой энергии. Изотопы In115 и ЭЬ121являются
типичными примерами изотопов, первый резонанс которых лежит в обла-
сти 1—10 эв. Эти резонансы являются обычными резонансами поглощения.
Если Ет мало, а Гг достаточно велико, то это приводит к поглощению в теп-
ловой области, где поперечное сечение захвата идет как 1/к. Если же пер-
вый резонанс лежит при относительно большой энергии (Bi) или если во
всей рассматриваемой области элемент не имеет резонансов (С), то попереч-
ное сечение в области малых энергий определяется главным образом потен-
циальным рассеянием; оно не зависит от энергии и по порядку величины
равно 4зт7?2.
На языке реакторной техники Хе135 является «ядом», так как, будучи
продуктом деления, он поглощает полезные нейтроны. Cd используют в теп-
ловых реакторах в качестве управляющих стержней. In и Sb из-за
их большого сечения резонансного захвата — нежелательные элементы. Bi
имеет свойства хорошего реакторного «строительного материала», и, так
261
как он обладает очень низкой температурой плавления, его можно исполь-
зовать в качестве теплоносителя. Углерод из-за малого веса и слабого по-
глощения применяют в качестве замедлителя.
б. Отношение вероятностей рассеяния и радиационного захвата. ПТири-
ну захвата в принципе можно получить с помощью метода, рассмотренного
в гл. 4 для вероятности испускания у-квантов. Ввиду того что рассматри-
ваются процессы с большими энергиями (—10 Мэв), можно считать, что
в пределах ширины уровня (~ 0,1 эв) вероятность не меняется. Возможны
различия от одного уровня до другого, которые не очень велики, так как
разрешенные переходы всегда происходят в одно из многих доступных
Рис. 5.11. Экспериментальные значения отношения попереч-
ных сечений рассеяния и поглощения для медленных
нейтронов.
конечных состояний. Таким образом, для медленных нейтронов ширину
захвата или радиационного излучения, по крайней мере по порядку вели-
чины, можно считать константой.
В отличие от сказанного выше ширина для испускания нейтрона в согла-
сии с соотношением (5.74) изменяется линейно с изменением к. Таким обра-
зом,
Прае t а
Па 1 г
(5.88)
Это соотношение довольно хорошо подтверждается эксперименталь-
ными результатами, приведенными на рис. 5.11. Экстраполяция этих резуль-
татов (включая предположение о том, что все уровни ведут себя примерно
одинаковым образом) приводит к заключению, что
Прае ~ Оа при Е Я? 10 Эв.
(5.89)
Таким образом, тепловые резонансы являются в основном резонан-
сами поглощения, тогда как резонансы для энергий Е > — 10 эв это глав-
ным образом резонансы рассеяния.
В согласии с этим резонансы Bi (Ег к 103 эв, см. рис. 5.11) обнаружи-
вают явления интерференции между амплитудами резонансного и потен-
циального рассеяния. Полное поперечное сечение для образования про-
межуточного состояния при резонансе имеет следующий вид:
о - 2/-+1
и промеж ут
4лГа , г,___ г, .
~2(2/ + 1)‘
(5.90)
2G2
[см. соотношения (5.78) и (5.79)]. Следовательно, величину поглощения рас-
сеяния можно получить из отношения поперечного сечения в максимуме
к Milk2. Это отношение легко вычислить из данных рис. 5.11 для каждого
изотопа, но предварительно необходимо ввести в данные поправку на раз-
решающую способность прибора.
в. Плотность уровней. На основании вышеизложенного видно, что
поперечное сечение медленных и тепловых нейтронов можно определить,
если с помощью какой-либо теории ядра предсказать место и ширину резо-
нансных уровней. Но мы. очевидно, далеки еще от обладания такой теорией,
тем более что энергия уровней должна быть известна с точностью — 1 эв при
энергии выше ~ 10 Мэв.
Можно, однако, оценить плотность уровней, исходя из статистических
соображений (гл. 2, § 9), и таким образом объяснить, по крайней мере,
основные особенности хода поперечных сечений. В соответствии с соотно-
шением (2.39) плотность состояний для модели ферми-газа быстро возра-
стает с ростом массового числа и энергии возбуждения. Эта тенденция под-
тверждена полуколичественно; для тяжелых ядер расстояния между уров-
нями в среднем меньше и плотность свободных уровней значительно выше,
чем плотность состояний с низким возбуждением.
Следует ожидать отклонений от модели независимых частиц, особенно
для магических ядер, которые действительно имеют меньшую плотность
уровней.
Если подобрать константы, входящие в соотношение (2.39), таким обра-
зом. чтобы достичь наилучшего согласия с экспериментальными данными,
то получим полуэмпирическое описание наблюдаемых закономерностей.
§ 9. ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В НЕУПРУГОЙ
ОБЛАСТИ
а. Экспериментальные результаты. Когда свободный нейтрон
име т энергию, достаточную для возбуждения ядра-мишени,
то становится возможным неупругое рассеяние (рис. 5.12, а).
По мере возрастания энергии может быть возбуждено все больше и больше
состояний и число «открытых каналов» реакции увеличивается. Начиная
примерно с 1 Мэв (рис. 5.13)
быстро возрастает с энергией и
вскоре доходит до половины
полного сечения; при этом един-
ственпмм остающимся источни-
ком уп го рассеяния являет-
ся ди j :ция.
Н >ч пя с 10 Мэв в столк-
новении начиняют принимать
участие остальные нарцлдтьные
волны, отвечающие б 1ьшим
значениям момента количества
двпж пия, и полное поперечное
сечена становится равным
~2л/?7 [соотношение (5.36)1.
F1 п :угое
пром» ж\ чного ядерного
СТОЯН мож.гг
различными путями. Однако
при не о" нь высоких энергиях
преоб дает неупругое рассеяние нейтрона, так как испусканию заряжен-
ной частицы, особенно в тяжелых ядрах препятствует кулоновский потен-
циальный барьер (см. рис. 5.12, б). Обычно между различными конечными
каналами возникает конкуренция. Общую тенденцию в распределении
поперечное сечение неупругого рассеяния
Рис. 5.12. Неупругое п о'- (о) п п-д-(6) рассеяние.
расщ пление
со-
происходить
263
парциальных ширин можно удовлетворительно объяснить, если рассмо-
треть статистические множители, плотность состояний и проницаемость
барьеров.
На опыте в области, где преобладает неупругое рассеяние, острых
резонансов не наблюдают. Хотя плоский ход кривой поперечного сечения
можно было бы отнести за счет плохой разрешающей силы прибора, однако
имеются основания полагать, что в этой области энергий резонансы дей-
ствительно отсутствуют.
б. Непрерывная теория ядерных реакций. Когда неупругие явления
преобладают, у волновой функции нейтрона вне ядра все еще имеется внеш-
няя часть, соответствующая нерассеявшимся и дифракционно рассеявшимся
нейтронам. Однако внутренняя волновая функция налетающего нейтрона
содержит только входящие волны, интенсивность которых по мере прохож-
дения от поверхности к центру ядра уменьшается.
Если К — это внутреннее волновое число (К > к) и если на расстоя-
ниях, больших ПК, пренебречь поглощением, то внутренняя волновая
функция вблизи поверхности ядра будет иметь вид
гф = const e~iKr, (5.91)
и, таким образом, логарифмическая производная S'-волны на поверхности
ядра становится мнимой:
р0=- 1KR. (5.92)
Отсюда и из соотношения (5.41) получаем
что говорит об отсутствии резонанса. Для чистых S'-волн и при отсутствии
спина поперечное сечение для данного канала реакции а —> § становится
равным
Сто (а —> ₽) = -р- • (к+к)2 • г ‘ (5.94)
При достаточно высокой энергии необходимо включить в рассмотрение
волны больших орбитальных моментов количества дв ижения, но это не
изменит ни основных выводов, ни общей физической картины.
264
Формулу (5.94) можно также получить как среднее для многих пере-
крывающихся уровней. Если расстояние между уровнями обозначить D
и для простоты считать его константой, то поперечное сечение, проинтегри-
рованное по всем резонансам S-волны, будет в среднем равно
. л. Г„Гй Р dET л2 ГаГ₽
со(« —* D (£—Гг)2 + Г2/4 — А2 ' Dr ‘ (5.95)
о
Можно найти соотношение между величинами D и Гп. Но сначала отме-
тим, что если ядерная волновая функция является смесью ряда состоя-
ний <£п с энергией Еп = Ей + nD, то
N N
Ф = 2 е-ЧЕ"'/й) =e-W/») 3 а^пе-‘(пЕг/й) (5.96)
п=1 п=1
и квадрат этой функции имеет период, равный 2nh!D, который можно интер-
претировать как период волнового пакета внутри ядра. Таким образом,
войдя в ядро, нейтрон DlnH раз в секунду ударяется о его поверхность,
и каждый раз вероятность выйти из ядра равна ккК (к-\-К)~2, что, как
легко можно проверить, есть прозрачность скачка потенциала, который
меняет волновое число от к до К', тогда можно написать
<5-97>
и таким образом эквивалентность соотношений (5.94) и (5.95) доказана.
в. Спектр пеупругих нейтронов. Спектр неупругих нейтронов, испу-
скаемых в реакции, можно вычислить статистически с точностью, завися-
щей от обычных ограничений статистической модели и ее применимости.
Обозначим через Е энергию входящего нейтрона и через Е* энергию
возбуждения остаточного ядра. Тогда
Е' = Е—Е*} (5.98)
есть энергия неупруго рассеянного нейтрона. Ширина испускания ней-
трона с энергией E’ из-за множества состояний, имеющихся у свободного
нейтрона, изменяется как ]//?'. С другой стороны, количество состояний,
имеющихся в конечном ядре, для Е' в интервале dE" есть р (Е — Er) dE',
где р = 1/D — плотность состояний конечного ядра. Но р (Е*) можно выра-
зить с помощью соотношения (2.39), и тогда получим спектральное распре-
деление
I (Е’) dE' \ Е' exp (const А1^ У Е — Е’) dE’.
Эта формула ^особенно для Е' < Е, rpfi (Е — Е')1^ « Е1/2 (1-----^-Е'/е) j
имеет некоторое сходство с максвелловским распределением.
Таким образом, в известном смысле подтверждается модель «испаряю-
щейся капли».
§ 10. ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
НЕЙТРОНОВ
а. Промежуточная энергия. Баршаллом были получены
обширные данные о поперечных сечениях нейтронов в обла-
сти энергий в несколько мегаэлектронвольт [8]. В этой
области не обнаружено ни одного острого максимума и на отдельных кривых
нет никаких примечательных особенностей. Но при сравнении поперечных
сечений различных элементов наблюдается постоянная тенденция, завися-
щая от атомного номера. Она становится особенно заметной, если выразить
энергию через безразмерный параметр kR2 и поперечное сечение через без-
размерные величины u/nR2 (рис. 5.14).
265
Рис. 5.14. Наблюдаемые полные поперечные сечения пегтронив к к фикция : ергги п массового числа.
Рис. 5.15. Теоретические полные нейтронные поперечные сечения, вычисленные для потенциала оптической модели.
Создается впечатление, что поперечные сечения не зависят от внутрен-
него строения ядра, и можно понять их особенности в терминах дифрак-
ции и поглощения на полупрозрачной однородной сфере.
Это представление подробно разобрано в работе [141, где доказана его
полная пригодность. Соответствующая модель ядерных реакций называется
оптической моделью или (менее формально) моделью
непрозрачного кристаллического шарика.
Как и в модели независимых частиц, ядро описывается потенциальной
ямой, но, для того чтобы обеспечить возможность поглощения, к потен-
циалу добавляется мнимая часть. Из этого комплексного потенциала можно
точно вычислить фазовые сдвиги, а рассеяние и поглощение нейтронных
волн получают совершенно так же, как
в оптике при рассеянии и поглощении
света на полупрозрачной сфере.
Результаты расчетов находятся в
замечательном согласии с эксперимен-
том. Это видно из кривых на рис. 5.15,
которые рассчитаны для потенциала
P=P0(l + ^)l(l-th^), (5.99)
где
Я = 1,35-10-13Л1/з слг,
Ро= — 42 Мэв-,
5 = 0,08;
(7=1,16-10 13 см.
Радиальная зависимость этого по-
~"о 5 10 г,х10~13сн
Рис. 5.16. Потенциальная яма, исполь-
зуемая в вычислениях для модели не-
прозрачного шарика. Видна веществен-
ная компонента потенциальной ямы и,
кроме того, имеется 8%-ная мнимая
компонента такого же вида. тенциала изображена на рис. 5.16
(сравните с рис. 2.18).
В полном согласии с оптической моделью угловое распределение рас-
сеянных нейтронов (рис. 5.17) обнаруживает дифракционные явления.
В заключение следует признать, что модели «промежуточного ядра»
и «оптическая», хотя и кажутся взаимно исключающими друг друга, имеют
определенные области применимости. Таким образом, имеет место такое же
положение, которое было при обсуждении статических моделей ядра, где
нужно было учитывать обе модели —«капельную» и «свободных частиц».
б. Поперечные сечения при высоких энергиях и образование звезд.
Поперечные сечения в области высоких энергий (50—500 Мэв) также могут
быть вычислены с помощью модели непрозрачного кристаллического шарика
[15]. С результатами, полученными в этой области энергий, согласуется
эффективный радиус ядра, равный
7? = (1,25 ±0,05) Л’/з-Ю"13 см.
Однако, чтобы удовлетворить экспериментальным данным, реальная
и мнимая части потенциала должны меняться с энергией. Было предложено
несколько схем, дающих возможность получить потенциалы оптической
модели из фазовых сдвигов нуклон-нуклоиного рассеяния.
В ядерных реакциях, идущих при высокой энергии, испускается много
частиц, как нейтральных, так и заряженных. В фотоэмульсии такие реакции
создают характерные «звезды». В угловых и энергетических распределе-
ниях следов, идущих из звезд, имеются быстрые (серые) следы, направлен-
ные вперед, и медленные (черные) следы, распределенные изотропно. Быстрые
следы образуются в результате нуклон-нуклонного столкновения (одно-
частичное взаимодействие), а медленные следы являются результатом испа-
рения перегретого ядра (модель конденсированного промежуточного ядра).
Начиная с энергии примерно 0,5 Бэе важное значение приобретает
образование мезонов.
268
б, х 10~г7сн г/стерад
Рис. 5.17. Дифференциальные поперечные сечения для ней-
тронов С энергией 14 Мэе (кривые — теория, точки — экспе-
римент).
§ И. РЕАКЦИИ СРЫВА И РЕАКЦИИ ПОДХВАТА
а. Элементарное описание процессов. В качестве типичных
примаров «прямой» реакции, для которой можно построить
достаточно простую и удовлетворительную модель, кратко
обсудим процесс срыва и обратный ему процесс — реакцию подхвата. Наи-
более простым примером срыва является то, что происходит с дейтоном
в реакциях
D N —> N' 4- р,
D4-ZV -» N" + n.
(5.100)
В этих реакциях кон' чнып протон или нейтрон вылетает вперед почти
с тем же импульсом, которым они обладали в первичном дейтоне. Этот про-
цесс очень просто представить,
Г1 5
Э. т.тар! ая модель срыва.
если допустить, что только «по-
ловина» дейгона ударяет ядро
вблизи его края; вследствие
соударения дейтон распадается,
один нуклон поглощается, а
другой проходит почти без взаи-
МОД1 йствия с ядром.
Обратным этому процессу
является подхват нуклонов про-
тонами или нейтронами и обра
зование при этом дейтонов.
Если энергия налетающей частицы в реакции срыва мала, то в резуль-
тате электрического отталкивания протона ядром-мигпенью происходит
поляризация дейтона. Электрический распад дейтона может произойти без
фактического «контакта» с ядерной поверхностью, и образующийся при
этом свободный нейтрон может быть захвачен ядром-мишеныо.
Когда реакция срыва происходит благодаря электростатическим эффек-
там, имеет место процесс Оппенгеймера — Филлипса.
Если пренебречь электростатическими эффектами, то поперечное сечение
срыва можно вычислить следующим образом: если RN — радиус ядра
и (1/2) RD— радиус дейтона \ то параметр столкновения для «половинной
длины соударения» лежит между RN и RN 4- (1/2) RD и поперечное сечение
приблизительно равно л [T?N 4- (1/27?)ь]2— nR\ да nRKRv (рис. 5.18).
Это соотношение по порядку величины справедливо для срыва при высоких
энергиях (—100 Мэв).
В этой модели вылета частиц угловая апертура вперед определяется
соотношением между внутренним дейтонным импульсом и импульсом нале-
тающих частиц. При энергии бомбардирующих частиц 200 Мэв ожидаемый
раствор угла в согласии с экспериментом равен — (2,2 Мэв/200 Мэв)1^ =
= 0,1 рад — б . Энергия частиц, вылетающих в направлении вперед, при
тех же условиях находится в пределах (1/2) (200 ± 20) Мэв, и это также
подтверждается измерениями, выполненными в работах [16, 20].
Более тщательная оценка распределения внутреннего импульса дей-
тона следует из фурье-преобраэования волновой функции дейтона. Для
упрощения расчета можно допустить, что в области нуля волновая функ-
ция движущегося дейтона
фц да [exp (iKn -7ЦГ- ) ] [у ехр (
(5.101)
(где ЙКц— импульс налетающего дейтона и г = | гр — гп |) (рис. 5.19).
1 Коэффициент 1/2 взят потому, что 7?ц = 4,3-10-13 см является обозначением
п-р-рассеяния.
270
Тогда амплитуда вероятности для одного из нуклонов, например протона,
иметь импульс в интервале dkp равна1
a (kp — ~ Кв) ~ ехр (— ikp • rp) ifD (гп, rp) drv =-4nexp(ikn-r„) , (5.102)
“ *D2T|kp-yKD|
где к„ =-- Ки — кр. Если бы срыв происходил с равной вероятностью для
всех величин кр, то квадрат этого выражения дал бы спектр импульсов
и угловое распределение испущенных протонов. В действительности же это
выражение дает лишь грубое
описание свойств спектра, и
для понимания его деталей не
обходимо рассмотреть вероят-
ность захвата.
б. Реакция срыва и ядерная
модель независимых частиц. Рис- 519- Кинематика срыва.
Реакции срыва и подхвата ши-
роко применяются для изучения связанных ядерных состояний. При срыве
захваченный нуклон (например, нейтрон) занимает в ядре-мишени один из
возможных энергетических уровней, а другой нуклон (например, протон)
несет некоторую информацию об этом уровне. Наоборот, при подхвате
захваченный нуклон покидает занимаемый или энергетический уровень и
возникший дейтон содержит некоторую информацию об этом уровне.
Таким образом, реакции срыва могут быть использованы для изуче-
ния незанятых одночастичных ядерных состояний, а реакции подхвата —
для исследования заполненных состояний.
В эксперименте можно измерить угловое и энергетическое распределе-
ние частиц, испускаемых в направлении вперед. Например, в реакции срыва
точное измерение энергии испускаемого протона (рис. 5.20) определяет энергию
уровня, на который был захвачен нейтрон, а угловое распределение опре-
деляет момент количества движения состояния, на которое произошел захват.
Упрощенное рассмотрение процесса, включая описание захвата, может
быть получено в борновском приближении, если пренебречь спиновыми
и кулоновскими эффектами и считать, что ядра являются бесконечно тяже-
лыми и сферически симметричными. Амплитуда перехода в этом случае
является матричным элементом между начальным состоянием дейтона
[соотношение (5.101)1 и конечным, в котором нейтрон находится в одноча-
стичном ядерном состоянии пг (rn) У™ (0nq>„), а протон распространяется
как плоская волна с импульсом Ъкр. Абсолютное значение кр устанавли-
вается законом сохранения энергии, а угловое распределение протонов
дается (как будет вычислено ниже) квадратом амплитуды.
Потенциал возмущения V (гп) сферически симметричный; допускается,
что он зависит только от координаты нейтрона: в этом смысл модели, согласно
которой «протон проходит невозмущенным».
В этом предположении и при использовании соотношений (5.101),
(5.102) и (3.1) амплитуда вероятности процесса срыва равна (без норми
ровки и опуская константы):
§ e~ikf'r Piii (rn) [17 (An)]* I' (rn) 4|-D (rn, rp) drn drp ~
~ [/?712 + |кр-4к1)|2]-1 § щ (rn) [У?(An)]*F (rn) elk"’rMrn ~
~ +1 kp -1KD |2] 1 [17(An)]* J ill (rn) V (rn) h (knrn) r* drn. (5.103)
1 Удобно провести интегрирование по параметру г = гр — гп, так как dr = drp
для rn = const. Конечную область действия ядерных сил можно учесть, используя гуль-
теновскую форму волновой функции дейтона; в этом случае соотношение (5.102) содер-
жит два члена одинакового вида.
271
Детали угловой зависимости содержатся в интеграле по drn, который
меняется с углом быстрее, чем сферическая гармоника. Чтобы изучить его
Рис. 5.20. Протонный спектр из реакции Sn124 (d, р). Каждый максимум соответствует
уровню нейтронного захвата ядра-мишени. [В Cohen, R. Price Phys. Rev , 121,
1442(1961)].
поведение, допустим, что V (гп) действует только на поверхности ядра
Г(гп) = Гоб(Гп-Вк).
Тогда функцию Бесселя можно вывести из-под интеграла и записать как
ii (&nPjv); окончательно угловое распределение протонов будет иметь вид
7(0)^-------[П(ММ]2 (5104)
|_R52+|kp-TKD| J
В этом выражении знаменатель имеет минимум при kp = -|-KD, что
соответствует максимуму в испускании вперед, о котором уже шла речь
в пункте (а). Функция Бесселя в числителе модулирует этот максимум, так
как она вводит зависимость от орбитального углового момента I нейтрона
в его конечном состоянии.
Чтобы понять хотя бы качественно особенности модуляции, надо с помо-
щью законов сохранения импульса и энергии выразить кп как функцию
протонного угла 6:
кп = k*p + Кв — 2крК d cos 6
Те2 А'2
- — 4- О,
2М 4М ' v’
272
Рис. 5.21. Угловое распределение прото-
нов из реакции Sn118 (d, р) Sn117, дающее
орбитальный момент количества движения
где (7 — энергия, выделяющаяся в реакции, или разность между энергией
связи нейтрона в дейтоне и в поглощающем ядре.
Не производя дальнейших вычислений, отошлем читателя к рис. 5.21,
где произведено сравнение между теорией и экспериментальными данными
для одного частного случая. Из этого рисунка видно, что момент количе-
ства движения захватывающего состояния можно получить, измеряя угло-
вое распределение протонов срыва. Более полное теоретическое описание
читатель найдет в работе Батлера [1].
в. Влияние межоболочечных взаимодействий. Кроме информации об
энергии и орбитальном моменте количества движения захватывающего
состояния из экспериментальных данных можно найти число частиц, уже
находящихся в этом состоянии. Очевидно, что захват не может происходить
в состояниях I, j, которые уже пол-
ностью заняты, и поэтому можно ожи-
дать, что поперечное сечение воз-
растет с увеличением числа свобод-
ных мест.
Согласно элементарной оболо-
чечной модели число имеющихся
состояний — целое число, но если,
как в гл. 2, § 17, рассматривать
силы, действующие между различ-
ными оболочками, то состояния явля-
ются только частично заполненными
и число возможных состояний не
обязательно является целым числом.
Отсюда можно заключить, что (в си-
стеме обозначений гл.' 2, § 17) попе-
речное сечение срыва с захватом в
состояние у ядра-мишени пропорцио-
нально U}, а поперечное сечение
подхвата из того же состояния про-
порционально V].
Эти представления были использованы в работе [13] при объяснении
результатов, полученных в реакциях дейтонного срыва (D, р) и подхвата
(D, t) при 15 Мэв, где в качестве мишеней использовалось олово с массовыми
номерами 116, 118, 120, 122, 124 (Z = 50; N = 66, 68, 70, 72, 74). Согласно
элементарной оболочечной модели этих ядер (см. рис. 2.29), нейтроны
должны последовательно заполнять уровни между магическими числами 50
и 82: lg7/2; 2d&/z; 3d3/2, 3s; 1Лц/2, причем каждый уровень заполняет целое
число нейтронов от 0 до 2j + 1. Так как V’j имеет смысл амплитуды запол-
нения для каждого магнитного подуровня, то величины У (2/ + 1) Vj должны
з
быть целыми-
В следующей таблице приведены значения К|, полученные из экспери-
мента:
А Я N— 50 Z = 116 = 66 = 16 = 50 118 68 18 120 70 20 122 72 22 124 74 24
0,78 0,86 0,89 (0,92) (0,95)
2d^/z 0,79 0,80 0,87 0,86 0,93
2d3/ 3/2 0,25 0,33 0,55 0,59 0,68
2s 0,42 0,50 0,61 0,69 0,74
1ЛН/2 0,27 0,33 0,35 0,47 0,55
Легко проверить, что У (2/ + 1) V] = N — 50 и что заселенность всех
/ состояний увеличивается с ростом числа нейтронов, причем нижние уровни
Майер—Йенсена заполняются первыми.
18 Ядерные взаимодействия
273
Но если рассмотреть экспериментальные значения V}. то в согласии
с предположением об остаточных взаимодействиях между частицами на
разных уровнях число частиц в каждом состоянии не является целым чис-
лом. Порядок заполнения уровней и величины Vj находятся в хорошем
согласии с расчетами парной теории [17].
Хотя рассмотренная интерпретация опытов и не свободна от некоторых
сомнений все же согласие с теорией парности является хорошим. Изучение
деталей ядерной структуры с помощью ядерных реакций представляет
несомненный интерес.
Литература
I. Butler S. S. Т. Nuclear Stripping Reactions, Wiley, N.Y., 1957.
2. Blatt J. M., W e i s s k о p f V. F. Theoretical Nuclear Physics, Wiley, N.Y., 1952.
(Блатт Дж., В а иск опф В. Теоретическая ядерная физика. М., Изд-во
иностр лит., 1953.)
3. Fermi Е. Elementary Particles. Yale University Press, 1951. (Ферми Э Элемен-
тарные частицы. М., Изд-во иностр, лит., 1953.)
4. Hughes D. J., Schwartz В. В. Neutron Cross Sections. BNL-325, U.S.,
Government Printing Office, 1958.
5. S a c h s R. G. Nuclear Theory Addison — Wesley, Cambridge, Mass., 1953.
6. Ajzenberg F., Lauritsen T. Rev. Mod. Phys., 27, 77 (1955).
7 Breit G., Wigner E. P. Phys. Rev., 49, 519 (1936).
8. Barschall H. H. Phys. Rev., 86, 431 (1952).
9. В 1 a t t J. M., В i e d e n h a г n L. C. Rev. Mod. Phys., 24, 258 (1952).
10. В i e d e n h a r n L. C., R о s e M. E. Rev. Mod. Phys., 25, 729 (1953).
11 Block M. M. Phys. Rev., 101, 796 (1956).
12. C r i t c h f i e 1 d C L., T e 1 1 e r E. Phys. Rev., 60, 10 (1941).
13. Cohen B. L., P r i c e R. E. Phys. Rev., 121, 1441 (1961).
14. F e s h b a c h et al. Phys. Rev., 96, 448 (1954).
15. Fernbach S., Rev. Mod. Phys., 30, 414 (1958).
16. H e 1 m h о 1 z et al. Phys. Rev , 72, 1003 (1947).
17 К issl inger L. S., S о r e n s e n R. A. Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.
Fys Medd., 32, No. 9 (1960)
18. L a n e A. M., Thomas R. G. Rev. Mod. Phys., 30, 257 (1958).
19. II у з и л о в Л. и др. «Ж. энсперим. и теор. физ.», 32, 592 (1957).
20. Serb е г R. Phys. Rev., 72, 1008 (1947).
21 Т е i с h m a n n Т. Phys. Rev., 77, 506 (1950).
22 T e i c h m a n n T., W i g n e r E. P. Phys. Rev., 87. 123 (1952),
23. Wigner E. P., E i s e n b u d L. Phys. Rev., 72, 29 (1947).
24. Wigner E. P. Phys. Rev., 73, 1002 (1948)
ГЛАВА 6
Реля nt и висте* кое
взаимодейстп вис
фермионов с излучением
А. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРИИ ДИРАКА
§ 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ
а. Введение. Эта глава посвящена рассмотрению волнового
уравнения Дирака, которое играет большую роль в даль-
нейшем изложении. Кроме того, будут кратко описаны
некоторые результаты применения релятивистской теории возмущений
к взаимодействию с электромагнитным излучением, поскольку эти резуль-
таты важны для рассмотрения слабых взаимодействий.
Мы приводим здесь формулы, которые понадобятся в будущем, не давая
фундаментального изложения релятивистской теории электрона; последняя
хорошо изложена в других курсах и обсуждается в ряде книг [1—4]. Однако
примененные формулы снабжены минимально необходимыми пояснениями
и иллюстрируются примерами, представляющими интерес для ядерной физики
и ядерных взаимодействий.
б. Единицы. В дальнейшем мы выбираем такие единицы, что
/i = c=l. (6.1>
Таким образом, приводимые формулы содержат только числа, например
л = 3,1416...
е= =2,718 ...
и безразмерные константы связи:
е2
(р2 \ 1
— | = —— электромагнитное взаимодействие,
пс /
/2 0,08 — пион-нуклонное взаимодействие.
Наряду с этими безразмерными величинами в формулы входят массы частиц-
В зависимости от ситуации (которую всегда можно пояснить указанием
размерности любого выражения в системе \LMT]) масса т может заменять
собой:
массу [М] — т\
обратную длину [L-1] —;
обратное время [У-1] — -j?-;
импульс [ЛТЕТ1-1] — тс\
энергию \ML2T~2\— тс2.
и т. д.
18* .275
Масса электрона, например, может иметь такие численные значения:
[М], те = 9,1 -IO-2® г;
\L *], те = 3 86.10-и см \
1 <6-2)
[Z JJ, пге— 1288.10-21 се* г;
[ML2T~2], те = 0,511 Мэв
и т. д.
Представляющие физический интерес величины, в которые входит
масса электрона, получаются последовательным делением на константу
связи:
е2
[L], ---= классический радиус электрона;
те
[L], —— =- комптоновская длина волны;
[L], m е2 s борове кий радиус;
1 1
[L], —т ДЛИНУ волны последней линии водорода
и т. д.
Приведенные выше формулы можно упростить еще больше, если за
единицу массы взять массу определенной частицы; при изложении пионной
физики мы воспользуемся этой возможностью. Тогда остаются только без-
размерные физические величины (отношение масс и константы связи): хотя
существующая теория не в состоянии вывести эти числа, в конце концов,
они, быть может, найдут себе чисто математическое истолкование.
в. Релятивистские обозначения. В специальной теории относительности
четырехмерный мир пространства-времени относится к четырем дейст-
вительным ортогональным осям:
или xh xt (ц = 1, 2, 3, 4; i = l, 2, 3), (6.3)
где
Xi~x; х2 = у; x3 = z; xi = t.
Четырехмерный вектор
v или v, щ (6.4)
имеет компоненты
v, = vx; 1’2 = Vy', V3 = vz; vi = ut.
Как и в элементарной физике, полагаем, что все компоненты вектора
(и тензора) преобразуются как координаты, т. е. контравариантно.
Скалярное произведение двух 4-векторов v и и определяется так:
----j-
v-u = r4u4 —v-u= 3 v»un- (6-5)
Для обозначения (абсолютной) величины трех- и четырехмерных векто-
ров используем разный шрифт (см. сноску 1 на стр. 277):
г2 = v-v = г, +1’1+ г’?,
2 222,2 (6-6)
276
Если не оговорено иное, то в этой главе и в следующих
суммирование по пространственно-временным
тензорным индексам всегда надо понимать так:
---— +•
Определение (6.5) можно получить из обычного определения скалярного
произведения, вводя ковариантные и контравариантные компоненты и при-
нимая такую метрику:
— 1 0 0 0
II Ю 0 — 1 0 0
0 0 — 1 0
0 0 0 1
(6-7)
Однако, так как мы всегда используем декартовы ортогональные коорди-
наты 1 2, нет необходимости различать ковариантные и контравариантные
компоненты, и здесь это различие не приводится.
Чтобы свести суммы вида — — — + к обычным, можно использовать
символ 6pV. Например:
----1- ++++
ap.vbvK = ац2^2Я, 4-ац4^4>. = 2 ap.vbvK ~ 2 ^срар.аЬр%. (6.8)
v ар
Заметим также, что при нашем уговоре относительно суммирования сим-
вол 6^v заменяет тождественную (единичную) матрицу
----F ++++
6p,v*^'‘V === == 2 ЗС-v (6.9
V
Некоторую осторожность следует соблюдать в связи с четырехмерным
оператором градиента □, так как его компоненты обычно даются в кова-
риантной форме dldxp.
Введем контравариантные компоненты градиента следующим обра-
зом3:
(в,=v„a=4). (6.10)
Заметим, что в согласии с определением (6.5) можно написать
a^=V.v + ^-; П^д^^-У2, (6.11)
4-вектор энергии — импульса р имеет компоненты (или pit Е). Из формулы
(6.5) находим, что его квадрат Е2— р2 равен квадрату массы покоя. Кванто-
вомеханические операторы (1.3) — (1.7) принимают вид
Pt = E=i 4) (6.12)
Одним из преимуществ последовательной системы контравариантных
обозначений является исчезновение в этих преобразованиях различия
в знаках между пространственными и временными компонентами.
1 Чтобы не возникало путаницы при чтении нашего шрифта, приводим его
образцы:
k, р, q, v, х, А, В и т. д.—4-векторы,
k, р, q, v, х, А, В и т. д.—3-векторы,
fc, р, q, v. Я', А, Ви т. д. — величины 4-векторов,
к, р, q, v, х. А, В и т. д. —величины 3-векторов.
2 Очевидно, указанное ограничение не исключает возможности использования
в трехмерном пространстве других систем координат, как это обычно делается в нере-
лятивистской теории.
3 Заметим, что ковариантные и контравариантные компоненты метрического тен-
зора (6.7) совпадают между собой. Круглые скобки в формулах (6.10) и (6.13) введены
для того, чтобы показать, что по р и v нет суммирования.
277
Если (или А,, Ф, где А — вектор-потенциал, а Ф — электростатиче-
ский потенциал) — компоненты электромагнитного четырехмерного вектор-
потенциала, то дважды контравариантные компоненты тензора поля равны
с обычными НИЯМИ E^v — д^Ау — (бцц) , Av (6VV) —(6.13) электрическим и магнитным полями они связаны соотноше- Et-Fu- ()t , 3. (6.14) Aj <>х j dxh (no i, /, к — циклическая перестановка).
§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ
а. Уравнение Клейна — Гордона. Из релятивистского соот-
ношения между массой и энергией, которое в обозначениях
§ 1 записывается так:
р2 —ш2 0, (6.15)
получаем с помощью квантовомеханических операторов (6.12) релятивист-
ское волновое уравнение (Клейн — Гордон)
(□2 + т2)ф-0 [^-=(У2-ш2)ф] , (6.16)
которому должны удовлетворять волновые функции всех свободных частиц.
При т — 0 уравнение (6.16) совпадает с волновым уравнением для любой
компоненты электромагнитного поля.
Однако уравнение (6.16) не дает связи между различными состав-
ляющими многокомпонентного поля, поэтому оно не в состоянии опи-
сать распространения полей, соответствующих частицам со спином. Известно,
что электромагнитное поле удовлетворяет более жестким уравнениям Макс-
велла. Аналогично частицы со спином 1/2 правильно описываются уравне-
нием Дирака.
б. Матрицы у. Дирак искал набор линейных дифференциальных урав-
нений для составляющих комплексной многокомпонентной волновой функ-
ции. Чтобы получить эти уравнения, не меняя вида фундаментальных кван-
товомеханических операторов для Е и р [формулы (6.12)[, необходимо,
очевидно, исходить иэ линейного соотношения между массой и энергией.
Уравнение (6.15) нельзя линеаризовать, используя законы коммута-
тивной алгебры. Самое большее, его можно линеаризовать по одной из пере-
менных, например по энергии:
Е — + У р2 + ш2; (6.15')
очень важно, что здесь появляется неоднозначность в знаке.
Но уравнение (6.15) можно линеаризовать как по Е, так и по рг, если
использовать некоммутирующие коэффициенты. Рассмотрим выражение вида
ThPh = — Y • р + ytPi = т, (6.17)
которое, однако, не должно противоречить уравнению (6.15). Умножая
выражение (6.17) само на себя, получаем
(YhPb)(YvPv) m2,
(6.18)
278
что сводится к соотношению (6.15), если все четыре уц антикоммутируют
между собой:
YbYv=— YvYb (P=^v) (6.19)
И Yi (Yi) (Yi) = — 1, Yl = (Y’4) (Y4) = 1 (6.20)
или, короче, ~2 (YuY’v + YvYh) = ®uv- (6.21)
> (6.25)
Видно, что у, у4 представляет собой 4-вектор только в том смысле, что
ожидаемые значения операторов у4уц преобразуются как компоненты 4-век-
тора (см. § 4).
Знак т в (6.17) можно выбрать произвольно. Припишем знак «части-
цам»; при этом, как будет видно из дальнейшего, знак — соответствует
«античастицам»; случай т = 0 будет рассмотрен отдельно (в гл. 8, § 10а).
Определим 1
Ys = YiY2Y3Y4- (6.22)
Заметим, что
Y.r,Ys= —1; YsYn = YhYs-
Если написать
iylyj = ck (по i, /, к — циклическая перестановка), (6.23)
то обнаружится, что ад обладают всеми свойствами спиновых матриц Паули.
Например,
= ii (y2Y3Y3Yi) = Y2Y1 = — Y1Y2 = ^з- (6.24)
[Ср. с формулой (1.53).]
Таким образом, получаем релятивистское обобщение спина (четырех-
мерный антисимметричный тензор с нулевым следом, см. § 4):
Gnv = ~2 (YuYv YvYb),
(по i, j, к — циклическая перестановка).
Полезно также заметить для дальнейшего, что
«Y4Y5Y1 = 1Y4Y1Y2Y3Y4Y1 = 0’2 Ys = Oil
O’4YsY2 = а2’, O4Y5Y3 = °3
и что можно написать другое релятивистское обобщение спина (четырех-
мерный псевдовектор, см. § 4):
Од = O’4YsYb- (6.26)
Очевидно, что равенству (6.21) можно удовлетворить, если у представляют
собой матрицы 4x4. Тогда четыре матрицы уц, шесть независимых произ-
ведений y(tyv, четыре независимых произведения У(ДЧТ>. вместе с у5 и еди-
ничной матрицей образуют полный набор из 16 независимых матриц 4x4.
Полезное, но не единственное представление матриц у можно получить
через спиновые матрицы Паули 2x2 [см. формулы (1.52)].
Если написать
/ 0 аЛ /1 0\
Y^ = V —о, О Г Y4=U-1? (6’27а)
то легко убедиться, что равенства (6.19) и (6.24) удовлетворяются. В этом
представлении другие независимые матрицы 4x4 имеют вид (по i, j, к
1 Другие определения у5 отличаются от приведенного здесь множителем I. Шве-
бер, Бете и Гофман используют выражение 75 = 74717273, которое отличается от данного
знаком. Другие авторы используют у5 = (JJ), что отличается множителем i [см. соот-
ношение (6.27г)].
279
циклическая перестановка):
(<jh 0 \ /О иЛ
О aJ’Wi = \aiO/
(6.276)
(матрицы у4у; иногда называют а;);
/О -1\ 7-ofe 0\
0oJ;
/О 1\
Y5 = YiWY3Y4 = i I i oj
(6.27в)
(6.27г)
и, конечно, единичная матрица
В представлении (6.27) три матрицы yt антизрмитовы; более того, все
четыре матрицы уц унитарны:
Yi = уг1 = — Yi; y! = Y? = Y« (6.28a)
или короче
Yh = YS1 = Y4YuY4- (6.286)
в. Перечеркнутые векторы. При развитии теории часто встречаются
выражения типа YihV Следуя Фейнману,1 удобно использовать сокращение
Y(Mn = Y4A — у • А Л. (6.29)
Полезно заметить, что из соотношения (6.286) следует
Л^ = У4ЛУ4- (6.29')
Перечеркнутый вектор —это скаляр. Получаем следующие перестано-
вочные соотношения для перечеркнутых векторов и матриц у или других
перечеркнутых векторов)
уцЛ=-Лу(1 + 2Л; (6.30а)
АВ= -ВА + 2А-В (АВ — — ВА, если Л-В = 0); (6.306)
АА = А2; (б.ЗОв)
АВ = АВ-Ао^М^-Л^) (6.30г)
(АВ = В А = А -В, если ЛхВ = 0).
г. Уравнение Дирака. Уравнение Дирака получается подстановкой
в соотношение (6.17) обычных квантовомеханических операторов энергии
и импульса. Поэтому его можно записать так:
(id — zn)i]5 = 0, (6.31а)
или, в более явном виде2
+ v — т) гр = О. (6.316)
1 По техническим причинам вместо введенного Фейнманом перечеркнутого век-
тора мы используем для произведения обозначение Т(ХЛ'Ц = Л. При этом для А мы
сохраняем название «перечеркнутый вектор». Однако на рис. 6.6, 8.13 и 8.28 вместо А
оставлено обозначение перечеркнутого вектора. (Прим, изд-ва).
2 Заметим, что
, д
а _ тЛ _ „А _ _ Г1 + Т1 л. + V2 +
280
Поскольку уц — матрицы 4x4, действующие на волновую функцию ф,
последняя должна иметь четыре компоненты. Ее можно рассматривать
как матрицу, состоящую из одного столбца:
(6.32)
Римские индексы использованы для того, чтобы показать, что тут нет
никакой связи с координатными осями: волновая функция не является
4-вектором! Для римских индексов справедливо обычное правило сумми-
рования, а тождественная (единичная) матрица есть 6RS.
Конечно, элементы операторов, действующих на ф (в частности, эле-
менты матриц у), тоже помечаются римскими цифрами; чтобы произвести
операцию умножения, надо представить себе, что сама дираковская вол-
новая функция есть матрица 4 X 4, у которой отличны от нуля только
элементы первого столбца:
(фх 0 0 0\
фп 0 0 0 |
Фш О О О I
фт v о 0 0/
Эрмитово сопряженная волновая функция имеет вид
Ф* = Ф? Фп Ф*ш ФП-
(6.33)
Заметим, что произведение двух дираковских состояний ф и ф может
быть записано либо в виде ф*ф, либо в виде фф'. В первом случае получаем
матрицу, у которой единственный отличный от нуля элемент стоит в верхнем
левом углу. Таким образом, ф^ф — просто число:
Ф'Ф = ФТфт + Фнфп + Фгпфш + фпфп-
(6.34)
Напротив, произведение фф'—полная матрица, у которой в общем
случае нет равных нулю элементов. Можно написать
(ФФ')в8 = Фнфз, (6.35)
где римские цифры в индексах заменены заглавными буквами S, Р, Q, R.
Уравнение (6.31) допускает решение в виде пдоской волны
ф = не—ip,3c = uei(px-E<\ (6.36)
если четырехкомпонентная величина и (дираковский спинор) удовлетворяет
уравнению
(р—т)и = 0', (6.37)
это уравнение не содержит дифференциальных операторов и и не зависит
от х и I. Сопряженная дираковская функция (6.33) удовлетворяет сопря-
женному уравнению
Ф'( —ЦтЛ—те) = 0, (6.38)
причем производные действуют палево. Вводя функцию
ф = ф|у4, (6.39)
281
можно переписать соотношение (6.38) в виде1
ЯЦ-id—т) = 0, (6.40)
подразумевая опять-таки, что производные в перечеркнутом векторе д дей-
ствуют налево.
В представлении (6.27)
^ = 4? -грш -Ш- (6.41)
§ 3. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
а. Нерелятивистское приближение. Если уравнение Дирака
(6.316) умножить слева на у4, то получим
(i + n’4Y ’v — W.) = 0.
(6-42)
Видно, что оператор
= — iy4Y •v + mY4
имеет смысл гамильтониана свободной дираковской частицы.
Но из соотношения (6.27) следует
/0 Г
1 0
и, таким образом, уравнение Дирака для энергии Е можно записать в виде
Г/1 0\
(о l)E+i
Y4Y;
О;
(6.43)
1 О'
0 -1
т ip = 0.
(6.44)
0 1
1 0
Рассмотрим теперь в отдельности верхние (U) и нижние (L)
компоненты тр:
где
Я’ = Я’и + 11’ю
4и =
(6.45)
Тогда выражение (6.17) распадается на две части:
= 0;
EtyL 4- io • 4- mtyL = 0.
Отсюда получаем
tv т
. и- V-фи .
1 E + m
в нерелятивистском приближении Е ~ т и
"Фи > Фь-
Для Е т верхние компоненты велик
в состояниях с отрицательной энергией
1 Используя соотношение (6.286), имеем
— ?4тУ4)==Ф (— 'YiA~"О Y4=0-
282
(6.46)
(6-47)
(6.48)
и, а нижние компоненты малы;
(Е — т) ситуация обратная.
ф+( —m)=4>+ ( —*Y4YuY4flu —
Для положительной энергии и р < т можно написать Е 4- т ж 2т.
Таким образом, уравнение для больших компонент принимает вид [под-
ставляем второе уравнение системы (6.20) в первое и учитываем антикомму-
тацию ог-1:
(Е-т) Фп = - ^ (6.49)
Это уравнение Шредингера для свободной частицы с массой т и кинетиче-
ской энергией Е — т.
Двухкомпонентные волновые функции можно отождествить с нереля-
тивистским спинором Паули.
б. Четыре решения для заданного импульса. Для заданного импульса
р существуют четыре независимых решения уравнения Дирака: ф(2),
4(3) И Ф(4>-
Они имеют вид
ф(з) = м(£)е-КК'-р-х) (s 1, 2, 3, 4)
где Е = + У р2 + т2, a u(S) должны удовлетворять уравнению
Ср — w(s) = 0.
Теперь, если £ — произвольный спинор Паули, то из
следует, что U(S) имеет вид
для Е> О
(6.50)
(6.51)
соотношения (6.47)
для Е < О
ер f
g-P
|£|+m
(6.52)
Выбирая £ =
. можно написать для заданного
импульса р
четыре
независимые величины
и:
“(1)
E>0
E>(J
“(3)
П(4)
спин вверх
спин вниз
спин вверх
I Е |4-т
Рх iPy
СПИН вниз
/ — Px+iPy\
|£| + m
Pz
Pz
Px + iPy
Рх iPy
Е-[-т
— Pz
Е-\т t
что при р =
(1>„И М(2>’ U
(6.53)
собственные значения гамильтониана
7П ДЛЯ ^(2) II
Легко показать,
(6.43) таковы- для и
Спиноры (6.52) и (6.53) не нормированы на единицу, и для обычной
нормировки на единичный трехмерный объем пт и = 1 их нужно умножить
на нормирующий множитель
[‘ +(| £Щ-т)2 ]
Однако такая нормировка не является релятивистски инвариантной.
_1/2
V2
(6.54)
1 Величины u(s) не являются собственными значениями oz
и клас-
сификация по направлениям спина вверх или вниз годится только в нерелятивистском
пределе.
1
0
U
1
1
о
0
1
о
283
в. Ожидаемые значения дираковских матриц. Скорость и ток. Обращаясь
к представлению (6.27), можно увидеть, что в нерелятивистском приближе-
нии ожидаемые значения матриц Дирака велики (~1), если верхняя левая
матрица 2x2 отлична от нуля.
Таким образом, среди 16 матриц (6.27) только матрицы 1, у4, у{у^
и ТгТ>у4 имеют в нерелятивистском пределе большую величину, а именно 1,
1, —iOft и —соответственно.
Ожидаемое значение у4уг имеет смысл г-й компоненты скорости (в едини-
цах с); это можно доказать, используя гамильтониан (6.43):
= -у4уг (хг-Д—^-а:г) = № (6.55)
В соответствии с этим ожидаемые значения представляют собой
компоненты электрического тока; однако в них содержится не только часть,
связанная с движением заряда электрона е, но также и ротор плотности
его магнитного момента е/У-т.
Чтобы доказать это важное утверждение, используем соотношения (6.40)
и (6.31) и запишем первую компоненту в виде
еф^’^ф = [(фш) у4ф + фу4 (щф)] = ЦфЭ) У1Ф~ ФУ1 (^)1 =
= — ^фу,) TiM’ — tYi (Y4 М—Yi о'г'Ф) 1 -
Теперь видно, что (для решений с определенной энергией) члены с d4
сокращаются, а члены с дг (в нерелятивистском приближении, для ф ф*)
дают ток бесспиновой частицы
-F-Ф + Ф-Д-Ь (6.56)
2mi \ oxj т т дх^ } ' '
Наконец, члены с д2 и ds дают
е ( Л|< . , Лр — Л]> — ЛЬ \
(^W^ + ^-.YsY^-^-^-^Ys-^) =
= -h №зф)--^ (W»] = [rot (фиф)],, (6.57)
что представляет собой электрический ток, создаваемый плотностью магнит-
ного момента ~ (е/2ш) ф*ф в направлении спина.
Интересно отметить, что, хотя ожидаемые значения = dx-Jdt малы,
величина (dxi/dty = (у4у,)2 = 1 велика. Это отнюдь не очевидное утверж-
дение можно обосновать, используя принцип неопределенности; говорят,
что оно соответствует «дрожанию».
§ 4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ,
ОТРАЖЕНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
а. Общее преобразование Лоренца. Поскольку преобразова-
ния Лоренца — частный случай вращений в пространстве —
времени, то можно рассматривать их совместно со всеми
другими возможными вращениями и отражениями осей. Рассмотрим общее
преобразование
Хц = (6.58)
[подразумевается суммирование по одинаковым индексам, имеющее смысл
(6.5), так что тождественное преобразование соответствует a(tv = 6^vl
с ограничением (ортогональность)
(6.59)
284
которое требуется для того, чтобы скалярное произведение было инвариан-
том 1.
Используя суммирование типа + + + + . можно переписать (6.58)
в виде:
++++
х'ц— 2 (6.58')
Xv
откуда следует в обычных обозначениях для ковариантных и контрава-
риантных компонент:
++++ ++++
= 2 a^xv, где а% = 2 6px«a.v- , (6.58")
v X
Если выполняется условие (6.59) 2, то детерминант может принимать
два значения:
detav=j-l, (6.60)
В-
смотря по тому, сохраняет или меняет знак 4-объем 3 при преобразовании
(6.58).
Если выражение (6.60) положительно, то преобразование называется
собственным: оно не содержит отражений нечетного числа осей.
В противоположном случае преобразование называется несобствен-
ным и включает в себя преобразования четности и обращения времени.
б. Преобразование ф. Постулаты теории относительности и сохранения
четности требуют, чтобы при преобразовании xtl —» х’ц форма уравнения
Дирака и его численные коэффициенты не менялись. Однако 4-вектор
преобразуется, как координаты, и состояние ф тоже может перейти в дру-
гое состояние ф'. Определим оператор S так 4:
ф'=г,$ф. (6.61)
Тогда уравнение Дирака
(тДдц — т) ф=0 (6.62)
перейдет в такое:
(уДдц — т) ty' = (y^a^idv — т) 5ф = 0, (6.63а)
где уц и т не изменились. Умножая его слева на S~T, получаем
(S^y^Sa^id-v — т) ф = 0. (6.636)
Но соотношения (6.62) и (6.63) должны иметь одну и ту же форму,
для чего необходимо, чтобы
Умножая обе части на a^v и используя соотношение (6.59), заключаем, что
матрица преобразования S должна удовлетворять уравнению
S^yxS = aKvyv. (6.64)
Иными словами,
как координата х^.
1
2 В ковариантных
S должно быть таким, чтобы S преобразовывалось
~ ai^VUVailKVK — ailvailkUVVh'
обозначениях соотношение (6.59) принимает вид:
2
3
“•Ч и.гя iuvl «.и., и.Л2
4 Точнее, фд (х') = 2 (х), гДе и xv связаны уравнением (6.58); R и S
~ 8 ~
-заменяют римские индексы, введенные в § 2г.
285
в. Матрицы преобразования S. Теперь можно убедиться, что в пред-
ставлении (6.27) можно выписать матрицы преобразования S для всех слу-
чаев, представляющих интерес:
Вращение на угол 6 вокруг пространственной оси г:1
>$н,г = ехр( — убуЛ’й) (по г, ], к — циклическая перестановка). (6.65)
Преобразование Лоренца со скоростью v вдоль оси I: 2
SL, t= exp убУйУ/) (n = th0). (6.66)
Инверсия пространственной оси I:
Sp,i~ ±YjYaY4 (по i, /, к — циклическая перестановка). (6.67)
Инверсия (всех) осей трехмерного пространства (операция чет-
ности): 3 *
Sr, r -- ± Y4- (6.68)
Инверсия оси времени:
Sp, 4 ~±Y1Y2Y3- (6.69)
Теперь введем матрицы преобразования для обращения времени
ST и зарядового сопряжения Sc, используя обозначения, действую-
щие в представлении (6.27):
ST = ± и2К = ± iysYi^ (6.70)
и
Sc ±у2К, (6.71)
где К —оператор комплексного сопряжения, обсуждавшийся в гл. 1, § 7.
Изучение введенных операторов и обсуждение их физического смысла
откладывается до § 6. после того как в § 5 будет дана формулировка для
электромагнитного взаимодействия дираковских частиц.
г. Преобразование ф. Преобразование для ф получается из его опре-
деления;
(Ф)' (Ф')‘Yt GWY4 = ’I’^Yi- (6-72)
1 Например, для пространственного вращения вокруг оси 3
з е.хр ( —у б у,у2) . (*5‘л, з)-1 = ехр (у буруг) = 3)f-
Видно, что з остается инвариантным, а другие угб'д, 3 преобразуются
как координаты:
(-S’R.sHYlGS’fl.s) = ехр (^-буп’г) Yiехр А-бу^г) -
е ^1>2Yi (l -0Y1Y2—g-62—^-e3y1y2 + ^-6i+.. J yt =y1cos6 + Y2sin6.
2 Например, для движения вдоль оси 1
•$1.1 ехр ( — у бу4У1) =(-Уь,1)1; (‘S’b.ir1 =ехр (y6y4Yi) .
Легко показать, что при лорепцевом преобразовании ведет себя как коор-
дината Xf.
Isl, i)-1 Yi (•$ l, i) = ехр ( у бY4Y1) Yi ехр ( — бy4Yi) -= Yie 4> 1 =
/ б2 б3 1 \
У1 [1-0Y4Y1 + -2--згУ4У1+^!-б'»-|-.. J =YiCos'A6 —y4siD/i6 =
= (Vi — гу4) cos кв = .
у 1 — V2
3 Из 5p = (Уp)-1 = (SP)i = ± y4 получаем (Ур)-1 У/Ур Y4YiT4= — У/, откуда видно
что матрицы у; меняют знаки. Вообще говоря, можно было бы написать Sp — ± у4
или ± гу4 [27], ио выбор Sp — -l- iy^ не имеет физического смысла [25].
286
Легко показать, что для соотношений (6.65), (6.66), (6.68) и (6-^1)
^Y4 = T4^-1.
Следовательно,
(ф)' = ф^"1 = tyS-i. (6.73)
Операции инверсии оси времени [см. соотношение (6.72)] и обращения вре-
мени [см. соотношение (6.73)] ведут себя по-другому:
>S'tY4= —У',1'’’-?'-
Поэтому для соотношений (6.72) и (6.73)
(ф)' =—ф5-1. (6-74)
д. Пять тензоров теории Дирака. Теперь можно рассмотреть тензорные
свойства ожидаемых значений 16 матриц Дирака.
Используя соотношения (6.61), (6.64) и (6.73), легко найти, что (для
преобразований без инверсии времени):
фф— скаляр, (6.75)
фУцФ — 4-вектор (6.76)
и
гфУцУтЯ’ — тензор. (6.77}
Доказательство не представляет трудностей:
ф'ф' = (ф5'-1) (5ф) = фф,
Ф'уЛ' = (Ф^1) Yu ТО = MY4
Докажем теперь, что
фу5ф — псевдоскаляр. (6.78)
Для этого заметим, что у5 можно записать 4! различными способами,
переставляя матрицы уи и вводя для компенсации изменения знака символ E(tV/x‘-
Ys = (etiv/.AYnYvY/.Yfc) без суммирования.
Суммируя все эти 4! одинаковых выражений, получим
++++
4’Y5== 2 EnvXfiYnYvYm-
livKk
Теперь соотношение (6.78) доказывается одним только использованием
ковариаптно-контравариантных обозначений и суммированием вида + + + +
4!ф'у5ф= БцгХйф'уцУ^Ь,/гф'= =
= 2 elxvMaaap«ya6'4’Y“Y₽YvY6'»l’= 2 (det д^) Еа|3т6фус‘у^Ъ’еФ =
liv'/Ji аруб ссруб
= 4! (det д’) фу5ф.
Наконец, пз соотношений (6.76) и (6.78) следует, что для всех наборов
разных индексов fi, v, A, k
гфУ|АМ’^Ф = ± — 4-псевдовектор. (6.79)
Чтобы изучить поведение компонент тензора при обращении или инвер-
сии времени, надо обратиться к соотношению (6.74); однако в дальнейшем
этого вопроса мы касаться не будем.
е. Тензоры Дирака в нерелятивистском приближении. Тензоры (6.75) —
(6.79) в том виде, как они написаны, все эрмитовы и имеют множителем i.
287
Можно получить некоторое представление о физическом смысле этих тензоров,
рассматривая их в нерелятивистском приближении:
фф = ф*у4ф ф+ф« 1, (6.75')
_ . ( р = 4: фАф »1,
фу ф = фту4у ф = < . (6.76')
пит т 1ит р^=4: ф у4у/ф V, <—1- ' '
Таким образом, в соотношении (6.75) скаляр сводится к плотности, а вектор
в соотношении (6.76) —4-вектор плотности —скорости, дающей при умно-
жении на электрический заряд четырехмерный ток (ср. § 13в). Для малых
скоростей (у < 1) пространственные компоненты этого вектора много меньше
временных компонент.
Диагональные элементы yuyv равны ± 1, и их ожидаемые значения такие
же, как в соотношении (6.75). Их можно исключить из тензора (6.77), кото-
рый принимает вид [см. соотношение (6.25)]
ск
на
Эз
BI
у Ф (YuYv — YvYh) Ф = j ФЧ (YuYv — YvYu) Ф =
v ¥= 4: у ф*у4 (угу, — У?У0 Ф = ФТУ*о»Ф ~ фТоАф ~ 1,
. t (6.77')
И или v = 4: у ф*у4 (у4уг ~ YiYj Ф = »Ф 'УгФ ~ vi ~ 1-
Для малых скоростей компоненты с р или v = 4 пренебрежимо малы
по сравнению с компонентами спина (р, v 4). В релятивистском случае
малые компоненты тензора (6.77) отличаются от малых компонент вектора
(6.76) множителем у4.
Псевдоскаляр, определяемый выражением (6.78), имеет порядок v и мал,
когда v < 1; в этом можно убедиться, написав
ФУьФ = Ф^МТУгУзУйФ = — ф1 = — ф*У1УгУзФ = г’Ф'УДЧ'Ф = гф^г^гФ =
= 1фТУзОзФ ~ гф+у-аф a; v-a <— 1. (6.78')
В1
3J
в
б|
Э
Д|
т<
В нерелятивистском случае псевдовектор (6.79) сводится к спину,
и в этом смысле его компоненты совпадают с пространственной частью тен-
зора (6.77'). Однако в релятивистском случае j они отличаются множите-
лем у4:
*фУзУлф = гф+У4У1УгУзУ4УйФ = ~ *ФУ1УгТзУйФ =
( к 4: ф чтьф 1,
= 1 Ь / 7 I 1 4 (6.79)
[ Л = 4: —гф у5ф < — 1.
ч
г
1
С
Тензор (6.77) и псевдовектор (6.79) представляют собой два разных
четырехмерных обобщения спиновых операторов Паули.
§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
а. Точечный заряд. Электроны и мюоны. Для дираков-
ской частицы с точечным зарядом электромагнитное вза-
имодействие получается добавлением к компонентам 4-импуль-
са обычных калибровочно-инвариантных членов:
р—>Р еА, (6.80)
где А— четырехмерный потенциал с компонентами
Ах, Ay, Л4=Ф. (6.81)
Таким образом, уравнение Дирака принимает вид
(id — еА— лг)ф —0, (6.82)
где для отрицательного электрона е - —1/]/137.
288
Интересно определить влияние электромагнитного поля в нерелятивист-
ском приближении. Действуя так же, как в § За, вместо соотношения (6.49)
найдем х:
(Е — еФ — т) % = А-[<у.( — IV — еА)1 [<т-( - ZV — еА)|ф(• =
= 2^[(aiV)(<yzV) + e(<r-iV)(<y-A) + e(o-A) (o-z'V)]^ =
= [i?+ir<iT'A+A!T)-i7<’-rolA]4>v t6-83»
Это уравнение Шредингера с кинетической энергией р1 2/2т и с членами,
выражающими взаимодействие:
еф-^г(р-А+А-р)-^гаго1А- <6-84)
Первые два члена взаимодействия совпадают с членами для нереляти-
вистского взаимодействия между зарядами (гл. 4). Последний член пока-
зывает, что точечный заряд, даже если он находится
в покое, должен взаимодействовать с магнитным полем так, как если
бы он обладал магнитным моментом е!2т (дираковский магнитный момент).
Это предсказание согласуется с видом тока в § 13в и хорошо подтверж-
дается для электронов и мюонов.
Если учесть поправки более высокого порядка, то предсказываемый
теорией магнитный момент электрона [22, 231 будет равен:
щ = £- (1 +-?---0,328^+ ...) = X 1,0011596,
г 2m V 2л л2 /2т ’
а экспериментальные значения, по данным двух независимых измерений
/14—161, таковы:
{-£-•(1,001146 + 0,000012);
-£-•(1,001165 ± 0.000011).
б. Точечный магнитный момент: нейтрон. Если магнитный момент
частицы отличается от значения, предсказываемого ее зарядом, то можно
говорить об аномальном магнитном моменте. В нерелятивистском прибли-
жении взаимодействие аномального магнитного момента выражалось чле-
ном— р,„о-Н. В релятивистском случае необходимо к энергии взаимодей-
ствия добавить член 2
P-aHnv = £ p-aO^E^v = щ, (— G Н ± /у4у • Е), (6.85)
где o^v дается выражением (6.25), a F^v — тензор электромагнитного поля —
выражениями (6.13) и (6.14).
Соответствующая добавка к дираковскому гамильтониану равна:
ой?' ра( — fte-H-Hy-E). (6.86)
Член сб-Н пояснять не надо, однако релятивистский член с у - Е требует
некоторого внимания.
1 Во второй строке уравнения (6.83) пренебрегаем членами с А2. Такое же при-
ближение использовалось в гл. 4.
2 °12 ^+^2 4*°21 ^2^1 °12(^1у'2—^2УЙ) °12^12=—сЗЕз',
°41 ^4У6 О14 (б4Л4—Щ+) O14F14 О14Л’1
1
= у 1 (YiY4— Y4Y1) Et - A1Y4E1 = — IY4Y1E1-
Ко знак члена 1,4 должен быть изменен в соответствии с правилом суммирования
— — — +•
19 Ядерные взаимодействия
289
Прежде всего заметим, что в нерелятивистском приближении этот член
м а л, потому что в матрице у в левом верхнем углу стоят нули. Проводя
различие между верхними и нижними компонентами и используя соотношение
(6.27), находим, что ожидаемое значение этого члена равно
<^у.Е) = * На WI V • Е I Ф> = фа ЖI <У ЕI чрь) — ф0 | <у - Е | Лри). (6.87 a)
Выразим теперь нижние компоненты через верхние с помощью соот-
ношения (6.47) \ используя справедливое при малых скоростях приближение
Е — т. Формула (6.87а) принимает вид
(фс | (а- Е) (а V) - (<у• V) (<у.Е) | %) =
= 4£-<Фи| Е-V-V.E + i<T-(E X V)-io.(V х Е) | ч]^). (6.876)
Но
— V.Eipu= — Е-Ггри—(V-E) чрг,
и, поскольку rot Е О,
— V х Ечри = Е х Vipy.
Окончательно связанную с членом уЕ энергию взаимодействия можно запи-
сать так:
(Фи I — (div Е) + 2io- Е X V | чр^), (6.87в)
где оператор дивергенции не действует на чру.
Мы приходим к выводу, что даже в покое (Гчру = 0) существует
взаимодействие между нейтральной частицей с аномальным магнитным
моментом и электростатическим полем.
Этим выводом можно воспользоваться для получения электростатиче-
ского взаимодействия между нейтроном и электроном. Электрическое поле,
создаваемое электроном (заряд — | е |), удовлетворяет уравнению
div Е = — 4л | е 11 чре |1 2. (6.88)
Таким образом, энергия взаимодействия покоящихся электрона и ней-
трона равна
= (6.89)
где р„ = — 1,91. Обычно принято выражать это взаимодействие в терми-
нах сферической потенциальной ямы с радиусом е2/т. Глубина этой потен-
циальной ямы равна
-д- п
Это потенциал притяжения, и он находится почти в полном согласии с опы-
тами, описанными в гл. 3, § 13.
Это согласие говорит об отсутствии вклада от конечных размеров ней-
трона.
в. Частицы конечных размеров. Формфакторы нуклонов. Электромаг-
нитное взаимодействие точечного заряда и точечного магнитного момента
нс является наиболее общим взаимодействием, пригодным для использова-
ния в уравнении Дирака. Принимая во внимание, что оператор (_)2 — ска-
ляр, можно написать [12, 13]:
[id _ т _ V п 2пД + п2» F(tv)]о. (6.91)
п-0
Константы еп и р,,} имеют размерности ех2п и цх2п. В частности, е0 = е,
Цо =
1 Для случая электромагнитного взаимодействия соотношение (6.47) надо видо-
изменить, однако поправки содержат высшие степени е и ими можно пренебречь.
290
Члены с п #= 0 описывают взаимодействие частицы конечных разме-
ров, а коэффициенты еп имеют смысл четных моментов заряда.
Чтобы показать связь между коэффициентами еп, т. е. моментами заряда,
и формфакторами, напишем члены с у4Ф в (6.91) более подробно
-^епПапу4Ф= -¥42^(£~^2)"Ф- (6-92)
п п
Если рассматривать статический потенциал [(d2/dt2) Ф = 0J, то это
выражение можно сравнить с электростатической энергией заряда, имею-
щей сферически симметричное распределение р (г) во внешнем поле с потен-
циалом Ф:
Р (г) Ф (r) dsv--*=
— il/ 1 --------КГ (—:—9 р (г) xlyJzn~l~i d3r =
il/!(n — l — /)! V дхг dyj дгп~г--1 Jr=O J '
ijn
= Ф p (r) d3r - Г2Ф p (r) r2 d3r + ...
В результате в нерелятивистском случае для сферически симметрич-
ного заряда в электростатическом поле получаем:
ег = 4г Р (r)r2 (6.93)
аналогичные выражения можно вывести для п > 2.
В свою очередь, последующие моменты связаны с зарядовыми форм-
факторами, поскольку
Fc (?) = v § Р(г)е’ч-Г</Зг == v 9(г) (1— у52г2+ • ) d3r-
Следуя в существенных чертах той же процедуре, можно показать, что
коэффициенты р.„ связаны с моментами и с формфакторами плотности ано-
мального магнитного момента.
Уравнение Дирака вида (6.91) применяется для расчета электромаг-
нитного взаимодействия нуклонов, которые, как уже неоднократно упо-
миналось, являются частицами конечных размеров. Наиболее интересное
применение относится к рассеянию электронов на нуклонах (см. гл. 3,
§ 14). Поскольку такое рассеяние является упругим, переданная энергия
д4 в системе центра масс (инерции) равна нулю и формфакторы в этой
системе зависят только от q2.
Более точное релятивистское определение формфакторов и рассмо-
трение взаимодействия нуклонов конечных размеров с квантованным элек-
тромагнитным полем будет сделано в § 96.
Б. ЭЛЕКТРОНЫ, ПОЗИТРОНЫ И ФОТОНЫ
§ 6. СПИНОРЫ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОТОНОВ
а. Нормировка спиноров свободного электрона. Перед изло-
жением взаимодействия электронов (или других зарженных
частиц со спином) с электромагнитным полем мыопишем
состояния свободного движения электрона и позитрона с помощью метода,
который будет полезен при дальнейшем развитии теории. Излагаемая теория
известна уже много лет и своим появлением обязана, главным образом,
Дираку. Однако методы вычислений даны Фейнманом, который добился
значительных упрощений расчетов и устранения некоторых из оставшихся
трудностей.
Свободная частица обладает постоянным импульсом р; свободный фер-
мион удовлетворяет уравнению Дирака и может существовать (при задан-
19* 291
ном р) в четырех различных состояниях, характеризуемых четырехкомпо-
нентным спинором, как это было показано в § 36. Смысл четырех спиноров
u(S) в (6.53) следующий:
м<1> е ; >0 спин вверх или -н электрон:
W<2> е ; >0 спин вниз или +1 электрон;
u<3> Е< С 0 спин вверх или —t электрон; (6.94
К<4> Е< с ° спин вниз или — 1 электрон;
для U(S) можно записать так:
и уравнение Дирака
(р — 7n)u(s) = 0.
(6.95)
В системе покоя (р 0) эти спиноры ортогональны и нормированы
обычным образом: U(‘s) U(S) = 1; в нерелятивистском случае волны, описы-
ваемые соотношением (6.53), можно нормировать в единичном объеме на
единицу, используя коэффициенты из соотношения (6.54).
Для быстро движущихся частиц удобнее нормировать волновые функ-
ции в объеме, зависящем от скорости в соответствии с лоренцевым сокра-
щением: нормировка на единицу производится в объеме (1 — г1 2)1^ :.= т1 | Е |,
а это требует, чтобы
u(s> и(я) ~ ~ т~' (6.96)
Для такой нормировки спиноры в соотношении (6.53) надо умножить
на величину
(W'-tWr (^),/!- <«•»’>
Легко, однако, показать *, что = (т!Е) таким
образом, нормировку (6.96) можно переписать:
Е
И(8) W(s) — ( г.
+ 1 для состояний с положительной
энергией;
— 1 для состояний с отрицательной
энергией.
(6.98)
б. Спиноры свободного позитрона. Рассмотрим теперь зарядово-
сопряженные решения уравнения Дирака, которые соответствуют волновым
функциям положительных электронов, или позитронов. Они полу-
чаются применением оператора Sc, определенного формулой (6.71). Легко
проверить, что квадрат Sc равен единице:
и что 2
^сЬс-Уг^Уъ^——У2.У2 — I
Sc (id — еА — т) 8сг id -|- еА — т.
(6.99а)
(6.996)
Как и полагается оператору зарядового сопряжения, Sr меняет в уравне-
нии Дирака заряд и только заряд.
Но заряд явным образом не входит в решения уравнения, отвечающие
свободной частице, и не ясно, преобразуются ли при зарядовом сопряжении
эти решения, и если да, то как. Чтобы получить результат преобразования,
применим формально оператор Sc к состоянию свободного электрона
Ч’со (₽)• Используя, начиная с этого момента, зна.к «+» в формуле (6.71),
1 Умножим (р — т) = 0 слева на u(sj у4; умножим (р — т) = 0 справа
на -y4u(s); складывая, получаем: у4 (р — т) (р — т) = 0, пли
U(s) U(S) = 0.
2 Читателю полезно проверить равенство (6.996).
292
получим:
Аналогично доказывается, что
*М(1)(р) —1^(4) (-р);
М(2>(р) == — i^(3)(—р);
^4(3) (р) ^(2>(—р);
^(4) (Р) = — — Р)-
(6.100)
Можно сделать вывод, что в отсутствие внешних полей решения заря-
дово-сопряженного уравнения совпадают с решениями первоначального
уравнения, но собственное значение р оператора импульса изменило знак;
кроме того, порядок решений переменился, так что знак энергии и направ-
ление спина изменились на обратные.
Короче говоря, даже в пределе - 0 зарядовое сопряжение обращает
импульс, энергию и спин; состояние *S'ci]7(1) (р), которое соответствует пози-
трону с импульсом р, положительной энергией и спином вверх, фор-
мально эквивалентно состоянию электрона с импульсом - р,
отрицательной энергией и спином вниз.
Хорошо известно, что позитронные состояния физически можно пред-
ставить в терминах теории дырок, согласно которой позитрон -
это недостающий электрон с противоположным импульсом, энергией и спи-
ном в «океане» из электронов с отрицательной энергией. Однако в дальней-
шем нами будет дана другая интерпретация, которая исключает отри-
цательные энергии и не нуждается в придумывании ненаблюдаемых
«океанов».
С этой целью интересно сравнить в отдельности действие оператора Sc
на независимую от пространственно-временнь х координат часть спинора
U(S) и на экспоненту е—ip x, которая описывает распространение волны
свободного электрона. Выражение и(1) (р) с точностью до фазовых множи-
телей преобразуется в п(4) (—р) и т. д., и распространение зарядово-сопря-
женной волны отвечает инверсии сразу импульса и энергии. В результате,
хотя направление распространения остается тем же самым, знак частоты
меняется на обратный. Такое положение вещей можно интерпретировать
двояко: можно сказать, что зарядово-сопряженное состояние имеет энергию
другого знака или же что оно распространяется назад во времени
с той же энергией.
В остальной части этого раздела будем придерживаться второй точки
зрения; для этой цели четыре спинора U(g), отвечающие обоим знакам энергии,
будут заменены четырьмя спинорами w(s) (см. соотношение (6.98)], которые
отвечают двум знакам заряда. Формальная связь между операторами заря-
дового сопряжения и обращения времени обсуждается в пункте (Д). В § 7
мы используем для практического вычисления матричных элементов пред-
ставление о позитроне как об электроне, распространяю-
щемся назад во времени.
293
Введем сначала четыре спинора соответствующие позитрону
С ИМПУЛЬСОМ р; для этого построим таблицу, подобную (6.94):
*4i)(p) = 5cu(1)(p)x= — iu(4)(—р)
Е > 0 спин вверх или + f
^(2) (р) 5сЫ(2) (р) = iU(3) ( — р)
Е > 0 спин вниз или +1
^(3) (р) - Л'си(з) (р) = Ш(2) ( — р)
Е < 0 спин вверх или — f
Ц4) (р) = Scuw (р) = — iu(1) (— р)
Е <0 спин вниз или —|
позитрон;
позитрон;
позитрон;
позитрон. )
(6.101)
Поскольку, как уже отмечалось, эти зарядово-сопряженные спиноры
удовлетворяют первоначальному дифференциальному уравнению Дирака для
четырех собственных значений импульса — р, можно написать
(p + m)y(s) = 0,
(6.102)
что с точностью до знака перед массой совпадает с соотношением (6.95).
Естественно, релятивистски-инвариантная нормировка z?(s) должна быть
выбрана так, чтобы
= —~ • (6.103)
Действуя так же, как в сноске к стр. 292, но используя вместо выражения
(6.95) уравнение (6.102), можно показать, что нормировка (6.103) эквива-
лентна равенству
— 1 для состояний с положительной
энергией;
+1 для состояний с отрицательной
энергией.
(6.104)
в. Свободные спиноры состояний с положительной энергией. Было
показано, что полный набор спиноров для импульса р можно получить
двумя путями: определяя электронные спиноры П(8) или же позитронные
спиноры 2?(S).
Введем теперь набор четырех решений уравнения Дирака третьим спо-
собом, что даст возможность избежать фиктивных состояний с отрицатель-
ной энергией и дырок в ненаблюдаемых «океанах». Выберем четыре неза-
висимых спинора Ш(в), все соответствующие импульсу р и положительной
энергии:
w(i) (р) = w(i) (Р)
Ш(2) (р) = Щ2) (р)
1^(3) (р) = У(1) (р) = — ш{4) ( — Р)
^(4) (р) = ^(2) (Р) = Ш(3) ( — р)
электрон | Е > 0;
электрон ( £’>0;
позитрон |
позитрон ( Е>0.
(6.105)
Явное выражение для этих спиноров можно получить из формул (6.53)
и (6.100), (6.101), используя нормировочный множитель (6.97). Можно
294
написать:
Pz
E + m
Рж + iPy
IZ’(2) =
1
Px — iPy
E +m
— Pz
E + m
(6.106a)
E-^m
~Pz
E + m
2m
E + m
Px + 'Ey
E + m
1
w<i)
Px— i-Py
W(2) =
Px + iPy
E-\-m
— Pz
(6.1066)
2m
W(+) = —1
Рх~\~1Ру
Pz
0 -1
E m
Px — IPy
E + m 10
/ E + m
w^=l ~^r
. 1 / T'1
^)=-4
1
О
0
1
m
1 0
m
0 1
В этих формулах E всегда положительно.
Функции w нормируются следующим образом:
f^(s)4’(s') — 8(s) (s'), ГД® 8(e) (s') ~ О ДЛЯ S +~ S
= + 1 для s = s' — 1, 2
= —1 для s = s' — 3, 4.
(6.107)
Кроме того, они удовлетворяют соотношениям
3 W(s)^(s)e(s) (S) — 4,
(V - 1 х (<И08>
\Z1 W(s)^(s)e(s) (s)JRS OrS‘
(s)
Эти выражения вытекают из того способа, каким были введены w,
и их справедливость непосредственно видна из соотношения (6.106).
г. Проекционные операторы. Полезно ввести проекционные операторы
для свободных состояний с разными зарядами. Проекционные операторы
электрона и позитрона таковы:
Ле = £±^-, Ap=PfEL' (6.Ю9)
2m ’ р 2m ' ’
Поскольку из соотношений (6.93) и (6.102) легко найти, что
ЛеЩ(1), (2) = ЛеЦ(1)1 (2) = U(()t (2)’, Лр^З), (4) — ЛеУ(1)>;(2) — О',
(2) = Apu(i)j (2) = 0; ЛрЩ(З), (4) = АрУ{1)1(2)= —f(i)i(2).
(6.110)
295
Заметим, что в последней из формул (6,110) стоит знак минус: это сделано
для того, чтобы ожидаемое значение Лр в позитронных состояниях было
положительным: i\XpVi v2Xpv2 = + 1.
д. Связь между инверсией, обращением времени и зарядовым сопряже-
нием. Легко видеть, что, когда оператор инверсии оси времени SPi 4 Y1Y2Y3
[см. (6.69)] действует па волновую функцию, временная часть всех перечерк-
нутых векторов меняет знак:
SP, ь (iYi^4 + iy •v — еу4А4 -| еу • А — т) SP\ г, -
= H’Y ’v + eYiA + ry ’ A — m.
Таким образом, кроме изменения знака времени оператор SPti изменил
знак электрического поля, но оставил неизменным магнитное поле. Поскольку
обращение времени должно менять знак времени и магнитных полей и остав-
лять неизменными электрические поля (см. гл. 1, § 17), очевидно, что SP, 4
надо рассматривать как произведение обращения времени и зарядового
сопряжения. Вводя для удобства фазовый множитель i, можно написать
Sp, 4 = Y1Y2Y3 — iSrSc- (6.111)
Умножая справа на Sc у2А, получаем
St - у Y1Y2Y3Y2A = гузУтА, (6.112)
что подтверждает определение оператора обращения времени в соответствии
с соотношением (6.70).
«Заметим, что полученный в выражении (6.112) оператор ST коммутирует
с Sc, поэтому выбор порядка следования в произведении Sc, Sr в соотно-
шении (6.111) произволен.
В нерелятивистском пределе оператор обращения времени сводится
к о2А, т. е. к оператору, введенному в гл. 1, § 7.
§ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
II ПОЗИТРОНОВ 1
а. Волновая функция как четырехмерный поток. Поведение
волновой функции фермиона управляется уравнением
Дирака, которое представляет собой дифференциальное
уравнение первого порядка по времени. Следовательно, если известна
волновая функция во всем пространстве в момент времени f = 0, можно
найти ее значение в том же пространстве в любой момент времени t > 0.
Решение волнового уравнения можно получить, складывая шаг за шагом
изменения, происходящие за бесконечно малые интервалы времени dt. Дру-
гой возможностью является разработка метода, позволяющего переходить
непосредственно к конечным интервалам времени.
Следуя Фейнману ]11], изберем второй путь, который особенно полезен
в теории столкновений, где желательно вычислить состояние после соуда-
рения (конечное), исходя из состояния перед соударением (начальное),
не заботясь о том, что происходило в промежутке между ними.
Поскольку в релятивистской теории время не играет никакой специаль-
ной роли, применим следующий метод. Обозначим черезф (1), ф (2) и т. д.
значения волновой функции дираковской частицы ,в пространственно-вре-
менных точках 1 (^jyiZjZi), 2 (x2y2z2t2) и т. д. и будем искать способ вычис-
1 В § 7 и 8 дается доказательство «правил» квантовой электродинамики, приве-
денных в § 9. Поскольку окончательным подтверждением этих правил является их успех
в описании экспериментальных данных, читатель может пропустить эти два параграфа
и перейти непосредственно к изучению § 9.
296
ления ф (2) в любой точке 2, зная ф в достаточно большой пространственно-
временной области.
Для этого вспомним, что в отсутствие полей гр удовлетворяет уравне-
нию Дирака 4:
(i^t—т)ф(1) = 0, (6.113)
и введем функцию Грина (или, вернее, матрицу Грина) К° (2, 1), являющуюся
решением уравнения 1 2
(id2 — т)К°(2, l) = id4(2, 1). (6.114а)
Умножая это уравнение справа на (id, —т) и замечая, что 5161(2, 1) —
= —<?3д4(2, I), находим
К°(2, 1)( — id — m) = i64(2, 1). (6.1146)
Умножим теперь (6.1146) справа на ip (1), а (6.113) слева на К° (2, 1),
вычтем одно из другого, проинтегрируем по d4xt и получим:
ф(2)= — А°(2, 1) (51 + ^1)Ф(1) d4xt.
Но подынтегральное выражение (5ИК°) уиф + К°у^ (дмф) = ду (А'"урф) —
четырехмерная дивергенция величины К° (2, 1) уцф (1), поэтому четырех-
мерный интеграл можно пре-
образовать в поток через
замкнутую трехмерную по-
верхность, окружающую точ-
ку 2:
ф (2) = ф К° (2, 1)пф (1) d’xp
(6.115)
t"
Пространство
t .Время
Рис. 6.1. Трехмерное пространство, окружающее
точку 2. Горизонтальные линии изображают про-
странство для различных времен (вертикальная
ось): t' — прошедшее время, I" — будущее время.
где п — единичная внутрен-
няя нормаль к самой поверх-
ности.
На практике формулу
(6.115) используют, выбирая
такую трехмерную поверхность, которая упрощает расчеты, но разрушает
четырехмерную симметрию: в качестве трехмерной поверхности, окру-
жающей точку 2, берется все пространство в прошлом и будущем времени
(рис. 6.1). Тогда соотношение (6.115) принимает вид
ф(2) = J А'°(2, 1)у4ф(1)й3 * * бХ1— § А°(2, l)y4ip(l)d3X1. (6.116)
t'<t2 l">t2
1 В уравнении (6.113) символ dt заменяет
Yf (d/dtt) I- ух (д/дх,) + \y (d/dyd Г Yz (d/c'Zj)
и то же самое для d2 в соотношении (6.114).
2 б4 (2, 1) — четырехмерная 6-функцня
б4 (2, 1) б (х2 —xj) б (р2 —Pi) б (z2—z4) б (t2 —tj).
Удобно использовать следующее представление:
б (т2 — T1) = lim
А—>оо
sin Л (х2— Xj)
л (г2 — хх)
ОО
J_ ? е-Ц>х(*г-*1) dpx,
23Т J
— оо
из которого следует
б4 (2, 1) = б4(х2-х1)=-7^гГ ? е-^-У) d4p.
— оо
297
Хотя вывод этих формул и прост, их интерпретация далека от очевид-
ности. В особенности следует разъяснить смысл вклада от будущего.
б. Вакуумное ядро К0 и его полюса. Чтобы отыскать ядро интеграла
в соотношении (6.115), надо решить уравнение (6.114). Легко проверить прямой
Рис. 6.2. Фейнмановские пути интегри-
рования вдоль действительной оси р4
и замыкание по бесконечным полуок-
ружностям, которые дают исчезающе
.малые вклады от прошлого времени
и от будущего.
подстановкой, что решение (6.114) есть
. i е е-‘Р ф-^’
> (2л)4 2
(6.117а)
Множитель i(p — w.)'1 называется про-
пагатором фермиона с массой т
и импульсом р.
Для дальнейшего полезно переписать
соотношение (6.117а) в других эквива-
лентных формах:
Я°(2, 1) = Vе-1Р-(х2-51) =
' (2л)4 j р2 * — т2 _
(6.1176)
I - Р е-’Р'Ч2-^)
=+rri} j =
(6.117в)
= W’(i5'2 + m)x
х J) е>Р-^-1)^р p2_m2- dp,.
(6.117г)
Очевидно, что подынтегральное выражение имеет полюса при
р2 = ш2 или р4 = ± ]/р2-|-т2 == ± | Е(р)|. (6.118)
Таким образом, вакуумное ядро не будет определено, пока не указано, как
обращаться с полюсами. Следуя Фейнману, установим следующее правило:
при р,= -рУр2-рт2 (электронный полюс) учитывать
вклад в полюс только от прошлого (интеграл вычис-
ляется для /! = /'< t2);
при р,— — У р2~рт2 (позитронный полюс) учитывать
вклад в полюс только от будущего (интеграл вычис-
ляется для t, = t' > Z2).
(6.119)
Если интеграл по dp, берется в комплексной плоскости, выбор в соот-
ветствии с правилом (6.119) соответствует контуру рис. 6.2 х. В самом деле,
если замкнуть путь интегрирования бесконечной полуокружностью, которая
не дает вклада, то для вклада от будущего необходимо выбрать верхний
полукруг (e-W'a-h)—>0, когда р,—»ioo и Z1>Z2), а Для вклада от прош-
лого— нижний полукруг (е-*мЙ2-<1) —> 0, когда р,——loo и^<<2). Таким
образом, путь от будущего охватывает позитронный полюс, а путь от прош-
лого — электронный полюс.
1 Вместо того чтобы деформировать путь интегрирования вблизи полюсов, можно
было бы сместить полюс отрицательной энергии слегка вверх, а полюс положительной
энергии слегка вниз и интегрировать прямо вдоль действительной оси. Требуемое сме-
щение полюсов достигается путем добавки к массе частицы небольшой отрицательной
мнимой части, —ie. Этому приему соответствует следующее положение полюсов
р, — ± Ур2 Р I та —ie-12 =» i ~|/₽2 + m2— 2ime.
298
Если, используя теорему Коши *. выполнить интегрирование по указан-
ным путям, то получим для всех времен
л - Н>4(*2-*1) р p-iF4(*2-n) п;
\ ----— dPi = \ % f2-7 . 6Zp4 = n^-ne-* iIE(P)IP2-f1l. (6.120)
Рис. 6.3. Вклады в состояния
i)i(2), соответствующие интегралу
в соотношении (6 116): электро-
нов, приходящих из прошлого
(а), и электронов, приходящих
из будущего (позитронов) (б).
в. Физическая интерпретация. Разъясним еще раз причины, по которым
учитывается вклад от будущего.
Можно было бы выбрать путь интегрирования так, чтобы для обоих
полюсов Кп (2, 1) имел значение только вклад от прошлого; но, говоря сло-
вами Фейнмана, возникающие в результате такого выбора формулы были бы
приложимы скорее к одноэлектронной теории Дирака, а не к теории пози-
трона. В соответствии с одноэлектронной
теорией, амплитуда распространяется в сто-
рону увеличения положительных значений
времени как для положительной, так и для
отрицательной энергии, т. е. как для поло-
жительной, так и для отрицательной скорости
изменения фазы, что соответствует четырем
электронным решениям п(1), н(2), Ц3) и н(4).
Теория позитрона в § 66 вместо этого
утверждает, что состояния с отрицательной
энергией (н(3), н(4)) для электрона недоступны,
но что существуют дополнительные состояния
с положительной энергией (п(1), vm), соот-
ветствующие позитронам и распространяю-
щиеся с отрицательной скоростью изменения
фазы; поскольку фаза содержит произведение энергии на время распро-
странения, а в рассматриваемой интерпретации присутствуют только
состояния с положительной энергией, то необходимо обратить направление
распространения позитронов во времени.
Это иллюстрируется рис. 6.3, который станет более понятным после
учета влияния электромагнитного поля, рассматриваемого в следующем
параграфе.
Можно непосредственно убедиться в том, что уравнение (6.116) с ядром,
описываемым выражениями (6.117г) и (6.120), действительно отвечает рас-
пространению волн свободного электрона и позитрона. Для доказатель-
ства, предоставляемого читателю, электронную волну надо записать в виде
w(lb(2>exp (—ip-x^, где u(1)1 (2) удовлетворяет уравнению (6.95), а пози-
тронную волну — в виде u(3)j(4) exp (ip-xj, где u(S)>(4, удовлетворяет урав-
нению (6.102).
§ 8. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 2
а. Ядро взаимодействия. В присутствии электромагнитного
поля электрон удовлетворяет уравнению
[i<5t — еА (1) — ш]ф(1) = 0 (6.121)
и его распространение больше не описывается интегральным уравнением
(6.115), в котором К0 удовлетворяет соотношению (6.114).
е-Ш4Й2-*1)
1 ВЫЧСТ (P4-I£|)(р4 + |£|)' ПРЯ Р4 = ±£ РМеН ±2|Е| ’• Н° П0ЛЮС ПРП
+ |£| (от прошлого) обходится по часовой стрелке, а полюс при —| Е | (от будущего)
обходится против часовой стрелки.
2 См. сноску 1 на стр. 388.
299
Теперь введем ядро взаимодействия К (2, 1), являющееся решением
уравнения
[id2 — еЛ(2) — т] А (2, 1)- id4 (2. 1). (6.122)
Покажем, что амплитуда ф (2) определяется интегралом, подобным
(6.115), в котором вакуумное ядро К0 (2, 1) заменено ядром взаимодействия
К (2, 1).
Но прежде рассмотрим решение уравнения (6.122) и покажем его разло-
жение в ряд (сходимость этого ряда исследоваться не будет). Пусть
К1 (2, 1) = - ie § К° (2, 3) А (3) К° (3, 1) с/4х3,
К2 (2, 1) .= — ie § К°(2. 3)И(3)А4(3, l)d4x3 =
- е2 § К0 (2, 3) А (3) А0 (3, 4) А (4) К° (4, 1) d*x3 d4x4.
Кп (2, 1) — ie J К° (2, 3) А (3) Кп1 (3, 1) d4x3,
(6.123)
Определенные таким образом Кп удовлетворяют уравнениям 1
[id2-eA(2)-m]K°(2, 1) i64(2, 1)-еЛ (2) An(2, 1),
[id,-М(2) —т]К1(2, 1) = еА (2) К°(2, 1)-еА (2) А1 (2, 1). (G124>
Складывая (и-)-1) таких уравнений, получаем
[id,—еЛ(2)-ш][А°(2, 1) + А4(2, 1)+......фА'1(2, 1)1 164(2, 1) + Л("\
(6.125)
где /?(п) — остаток порядка (еА)'1, которым согласно обычной теории возму-
щений можно, по-видимому, пренебречь. Таким образом.
А (2, 1) = А°(2, 1)4-К1 (2, 1)+... (6.126)
есть решение уравнения (6.122).
Можно теперь показать, что А (2, 1) — правильное ядро для случая
электромагнитного ноля.
Для этого заметим, что эрмитово сопряженное с уравнением (6.122)
уравнение можно записать так:
A(l, 2)[ — id — еА(1) — т] = — iy46* (2, 1).
Умножим это уравнение справа на ф(1), а уравнение (6.121) слева на
А (1, 2). Если вычесть полученные выражения одно из другого и проинте-
грировать результат по всему пространству э:,, то получается
ЯД2)= ^у4А(1, 2) (d +3)4(1)^.
Можно убедиться [используя соотношения (6.117), (6.29) и (6.123)1,
что для каждого члена разложения (6.125) справедливо у4Кп (1, 2,) =
= — А" (2, 1). Таким образом, предыдущее выражение дляф (2) приобретает
такой же вид, как и формула (6.114). Этим замечанием доказательство исчер-
пывается.
1 Первое из уравнений (6.124) получается прибавлением — е 1 (2) К° (2, 1) к обеим
частям соотношения (6.114); второе — заменой 1 на 3 в том же соотношении, умноже-
нием справа на.1 (3) Л'о (3, 1), интегрированием по d4x3 if, наконец, прибавлением к обеим
частям — е.4 (2) К' (2, 1) и т. д.
300
б. Амплитуда перехода первого порядка. Распространение электрона
в нулевом порядке описывается вакуумным ядром К° (2, 1):
ф°(2) Ja°(2, 1) «-ф(1) (6.127)
где интегрирование распространяется на поток, исходящий из всего про-
странства как в прошлом, так и в будущем.
Электромагнитное поле добавляет к ф (2) новый член. Вклад первого
порядка получается из вакуумного ядра К* 1 * (2, 1):
ф1(2) = ^А1(2, 1) m|?(l) fFx, —ie^fFx, А0 (2, 3)4(3) А°(3, 1)геф (l)d4x3.
(6.128)
В то время как уравнение (6.127) выражает «прямое» распространение
от точки 1 к точке 2, формулу (6.128) можно интерпретировать как описы-
вающую прямое распространение из точки 1 в точку 3, взаимодействие
в точке 3 и прямое распространение из точки 3 в точку 2. Поскольку А'"
распространяется во времени как
вперед, так и назад, имеются
вклады в интеграл от всех значе-
ний t3 (до и после t2), при которых
может осуществляться взаимодей-
ствие. Различные процессы, со-
ответствующие вкладам первого
порядка (только однократное
взаимодействие), иллюстрируются
рис. 6.4.
Рассмотрим теперь амплитуду
перехода (матричный элемент)
в процессе первого порядка, кото-
рый вызывается электромагнитным
взаимодействием. Для этого вы-
делим два ортогональных «невоз-
мущенных» состояния — началь-
ное и конечное:
Фг(1) ((.129)
Чч (!)
Рис. 6.4. Различные вклады в амплитуду
первого порядка ч])1 (2), содержащиеся в интег-
рале (6.128): рассеяние вперед в точке 3
электрона, приходящего из прошлого,— а;
рассеяние назад электрона, приходящего
из прошлого,— б (аннигиляция электрона
с позитроном в точке 3); рассеяние вперед
в точке 3 электрона, приходящего из буду-
щего, — е (рождение пары в точке 3);
рассеяние назад электрона, приходящего из
будущего, — г (рассеяние позитрона в точ
ке 3).
где спиноры Wj и wF определяют спин и заряд состояния (электрон или
позитрон). Если, например, нас интересуют процессы, вызываемые электро-
ном, то начальное состояние распространяется вперед во времени от (1) к (2)
и принимает вид
фД2) = Ф/0(2) + ф)(2) ... J А»(2, + J А1 (2, 1) у4ф, (1) ^х, + ••
(6.130)
Поскольку ф? (2) ортогонально к фн(2), содержащаяся в выражении
(6.130) амплитуда конечного состояния равна1
<4°(*2) 1 V’} (М) = § ® (2) у4ф) (2) d3x2 =
= J Чк (2) у4А4 (2, 1) у4ф, (1) сРх2 d3X1 =
— ie фУ(2) у4А° (2, 3)4(3) А°(3, 1) у4фг-(1) d3x2 dix3d3x1 =
— ie фя (3) 4 (3) ф10) (3) dix3 — — ie (wpA (3) Wj) е1 2Ез dixs.
~ (6431)
1 В выкладках (6.131) последовательно применяются соотношения (6.130), (6.123),
(6.115) и (6.129).
301
в. Вероятность перехода первого порядка. Взаимодействие с виртуаль-
ными фотонами. Вероятность перехода между (невозмущенными) состоя-
ниями ф, и "ф,,. дается квадратом выражения (6.131). Если в рассмотрении
участвует много конечных состояний, то вероятность перехода надо просум-
мировать по всем этим состояниям. Если считать, что на единичный интервал
конечной энергии приходится р (Ер) эквивалентных состояний, то интеграль-
ная вероятность перехода равна
= p(£'J.)6Z£J,.| —ie (и?рЛ(х)1Р/) о1~j) ~б?4х|2 . (6.132)
Пусть А меняется со временем с частотой о>
А (х)=_А0(х)еТ1“*. (6.133)
Заметим, что квадрат интеграла по dt можно переписать так:
|2 = 2л6(£Л —£У+ ®) Л. (6.134)
Здесь 6-функция обеспечивает сохранение энергии, если верхний (нижний)
знак отвечает поглощению (испусканию). Теперь интеграл по dt входит
в первой степени. Уравнение (6.132) принимает вид:
и>- — | — ie [(tfpAo (х) Wj)] е“* (pF~pi) *d3x |2 X
2л J р (Ек) е1 (Ег-ЕгТб»' 6 (EF - Е, + со) dEF dt. (6.135)
Интеграл по dEp берется легко вследствие наличия 6-функции, и последний
интеграл равен
Р (Е/ ± со) dt.
Вероятность перехода пропорциональна времени интегрирования, которое
можно рассматривать как время, в течение которого действует возмущение.
Таким образом, приходим к формуле для вероятности перехода в единицу
времени:
ir- 2лр(Ег.)|Л/(1)|2, (6.136)
где Е р — Е j ± а>, а «матричный элемент первого
порядка» равен 1
Л7(1) = — ie § (WpA0 (х) Wj) е-1(рр-рР х d3x. (6.137)
Получается формулировка теории, аналогичная той, которой пользо-
вались в гл. 4. Хотя матричные элементы выглядят по-другому, они пред-
ставляют собой все же трехмерные интегралы и их связь с вероятностью
перехода такая же, как в нерелятивистском случае.
Интеграл по d3x отличен от нуля, только если электромагнитное поле
Ао (х) имеет компоненты, меняющиеся с изменением положения, как'е* (рх~рР ';
иными словами, формула (6.137) автоматически выбирает те компоненты
Фурье от Ао (х), которые отвечают сохранению импульса в системе электрон
электромагнитное поле.
Формула (6.137) упрощается, если для этих,компонент использовать
специальное обозначение:
a (q) = Ао (х) е~ 'Ч-х d3x; (6.138)
1 По отношению к матричным элементам возмущающего гамильтониана здесь раз-
ность фаз — I.
Ж
в этом случае можно написать
М(1) 2 * Ч = — ie (wF a(pF — р,) w,).
(6.139)
Взаимодействующая частица получает от поля такое количество энер-
гии и импульса, как если бы она поглотила квант с энергией соР — и1
и импульсом р,, —рР Хотя этот квант является осциллирующей компонен-
той электромагнитного поля, его неправильно было бы называть фотоном,
поскольку его масса покоя |сот? — оц |2 — |рг — р7 |2 отлична от нуля.
Однако стало общеупотребительным описывать взаимодействие с полем как
взаимодействие с «виртуальным» фотоном или же с фотоном,
который «не лежит на массовой поверхност и».
Важно напомнить, что поглощение или испускание «реального» фотона
(к2 — 0) свободной частицей с ненулевой массой нарушает законы сохране-
ния энергии и импульса.
г. Взаимодействие с точечными частицами. Для ядерной физики осо-
бенный интерес представляет случай, когда действующее на электрон поле
Ао (х) создается точечной частицей.
Для бесспиновой точечной частицы с массой М, зарядом Ze и импульсом
Р можно написать х:
ЛОц = у, где /ц- ZePJM, (6.140а)
откуда 2
«(?) (6-1406)
Таким образом, соотношение (6.139) принимает вид
7И(1) = - i (WpPiv,) -j———. (6.141)
М v ' и I Рк —Р/ )2 v f
Эта формула применима к кулоновскому рассеянию электронов. Вычис-
ления проведены в § 11а.
Если же действующее на электрон (а) поле Ао (х) создается другой
частицей (Ь) с зарядом Ze и спином 1/2, то
ЛСТ1 = V ’ где = Ze (6.142)
и соотношение (6.139) принимает вид
M(l) = — 4niZe2
IP^-P^I2
(6.143)
Этот матричный элемент первого порядка можно использовать для рассея-
ния электрона на электроне [см. соотношение (6.155)].
д. Процессы высших порядков. Амплитуда перехода кто порядка
получается, как и в (6.131), заменой ф) и Л'1 (2, 1) на ф? иА'"(2, 1).
1 С калибровкой, где div А = 0.
2
„-iq x р ,, ( ei<ir_e-iqr
------dx = — 2л \ е lg’cos 0 г dr d cos 6 — 4л \-------dr =
г-----j 3 iiq
4лР . , , , 4л Р _а2х . , 4л
— \ sin (qr) dr = —к hm \е ’ sinxax=--— .
Ч J (,2 >(1 Д <72
Выражение Рц в (6.1406) и (6.141) заменяет обозначение матричного элемента Р^
между начальным и конечным состояниями частицы с массой М, создающей поле.
303
Например, для электрона во втором порядке получаем
(h) | ф? (,2)) = $ ф° (2) у4К2 (2, 1) у4ф, (1) <73х2 d3^
(- ie)2 § фк (2) у4Л'и (2, 3) А (3) К° (3, 4) .<
X А(4)Л'°(4, 1) у4ф/ (1) й3х2<74х3 </4x4(/3x1 =
= (-ie)2 § (3)К°(3, 4) Л (4)ш/]е1-7? -3“£г-4)<74х3б/1х4. (6.144)
Интегральная вероятность перехода равна, как и в (6.132),
w = § Р (Ef) | (ф£ 1ф?> |2 dEF. (6.145)
Допустим, что так же, как и в соотношении (6.133),
А (х3) = Ао (х3) ет*“з(з; А (х4) — Ао (х4) ет‘“^4 (6.146)
(опять верхний знак соответствует поглощению, а нижний — испусканию),
и введем в соотношение (6.145) выражение для К° (3, 4) по формуле (6.117а).
Теперь квадрат интеграла по dt3 и интеграл по dEp можно преобразовать
так же, как это делалось в пункте «в». Замечая, что интеграл по равен
2л 6 (Е — Ej н= со4), преобразуем интеграл по dE (четвертая компонента р)
заменой Е на Ej + со4. Находим, что вероятность перехода в единицу вре-
мени дается выражением, подобным соотношению (6.136), в котором вместо
Л/(,) стоит матричный элемент второго порядка
Л/(2) - тЙг (х*>w') <
К"1/ t) V Р--т 1
X ei(p-pF)x3ei(Pj-P).x4rf3X3d3X4 J3pi (6.147)
где временная компонента p равна y4 (Ej + co4).
В обозначениях, введенных в выражении (6.138), формула (6.147) при-
нимает вид:
М(2) ( — ie)2 § ^Wpa(pp — р) а(р-рД Wj) d^P.. (6.148)
Интегрирование распространяется на все промежуточные импульсные состоя-
ния, число которых в единичном нормировочном объеме, согласно соотно-
шению (5.2), равно (2л)-3 d3p.
Формула (6.148) описывает взаимодействие с двумя виртуальными фото-
нами, соответствующими множителям а (р — р,) и а (р,, — р), тогда как
множитель г (р — иг)-1 представляет свободное распространение электрона
в промежуточном состоянии между точками взаимодействия х3 и х4.
С помощью описанного здесь метода можно получить матричные элемен-
ты еще более высоких порядков. Их можно получить и более прямым спо-
собом, физически обобщая результат вычислений (6.148), чтобы включить
большее число взаимодействий и большее число свободных распространений;
для этой цели большую помощь оказывают диаграммы § 10.
е. Взаимодействие с реальными фотонами. Наиболее интересным при-
ложением теории возмущений второго и более высоких порядков является
поглощение и испускание реальных фотонов, которое в первом порядке
запрещено законами сохранения энергии и импульса.
Рис. 6.5 иллюстрирует различные процессы второго рорядка, вызывае-
мые электронами (стрелки, направленные вверх в начальном состоянии).
В этих процессах электрон проходит через промежуточное состояние, кото-
рое распространяется вперед или назад и может быть интерпретировано
как промежуточный электрон или позитрон.
Диаграммы а и б соответствуют комптоновскому рассеянию, если взаи-
модействия в точках 3 и 4 происходят с реальными фотонами, из которых
304
один поглощается, а другой испускается. Если оба фотона виртуальные,
то эти же диаграммы представляют рассеяние второго порядка во внешнем
поле. Если один из фотонов виртуальный, а другой реальный, то они опи-
сывают рассеяние во внешнем поле, сопровождающееся испускапием кванта
(испускание рентгеновских лучей, тормозное излучение х).
Аналогично диаграммы ваг представляют двухфотонную аннигиляцию,
а д и е — образование пары двумя фотонами.
Наконец, если обратить направление стрелок, то диаграммы рис. 6.5
будут описывать те же процессы, но вызываемые позитроном.
Рис. 6.5. Процессы второго порядка, вызываемые электронами.
Поскольку интегрирование по времени уже выполнено и из состояний
и полей, входящих в матричные элементы (6.147) и (6.148), исключена вре-
менная зависимость, интегралы так же, как в гл. 4, трехмерны, и можно
воспользоваться развитой там техникой расчета.
Рассмотрим чуть подробнее взаимодействие электрона с двумя реальны-
ми фотонами, например комптон эффект. Обозначим через к3 = (к3, со3)
и к4 (fc4, сщ) 4-импульсы фотонов, взаимодействующих в точках 3 и 4;
предположим также для простоты, что процессы поглощения происходят
из однофотонных состояний (а = 1), а процессы испускания — из бесфотоп-
ных состояний («+ = 1). Чтобы вычислить матричный элемент, поля Ао (х3)
и А о (х4) разлагаются по операторам рождения и уничтожения, согласно
соотношению (4.30), и соответствующие члены вводятся в соотношение
(6.147): ___
Л (3) 1/— ё3е±1кз-*з,
У Юз (6.149)
4(4)-*]/ ~ е4е±1к4’х4,
где е3 и е4 — единичные векторы (которые мы считаем действительными),
определяющие поляризацию обоих квантов (см. сноску 1 на стр. 307).
Задание импульсов взаимодействующих фотонов фиксирует компоненту
фурье-поля и определяет импульс промежуточного состояния 2. Таким обра-
зом, в этом случае нет необходимости проводить суммирование по проме-
жуточным состояниям, как в соотношении (6.148), и получается матричный
1 В § 10 этот процесс называется процессом третьего порядка,
считая также взаимодействие электромагнитного поля с тяжелым зарядом, создающим
поле. ,
2 Если подставить выражение (6.149) в соотношение (6.147), интеграл по d3x4 станет
равным
Р *(Рг— Р±М)*4
\ е 1 2 d3x4 (2л)3 6 (р7 + k4 — р).
Таким образом, значение р фиксировано, и остальные интегралы немедленно берутся.
Получаем формулу (6.150), если рг — Рт = ik3 + k4; в противном случае результат
равен пулю.
20 Ядерные взаимодействия
305
элемент
= . (6.1.W)
где p p7 + k4 = pF + k3; верхний знак относится к поглощению, а ниж-
ний— к испусканию.
Эта формула почти графически наглядна. Видно, что начальный элек-
трон (множитель Wj) взаимодействует, поглощая или испуская фотон к4
(множитель —ie ]/2л/со4 е4), затем свободно распространяется с 4-импульсом
Pj ± к4 [множитель i (р — те)-1] до точки взаимодействия с фотоном к3
(множитель —ie )^2л/со3е3) и, наконец, достигает конечного состояния (мно-
житель wF).
4-импульс промежуточного электрона таков, что р2 = (р7 + к4)2
— pj + ± 2р/ -к4 — те2 -)- 0 ± 2р/ к4 те2. Таким образом, промежу-
точный электрон не удовлетворяет кинематике частицы с массой те; эта
ситуация выражается словами: промежуточный электрон
«в и р т у а л е н», или он не лежит на «массовой поверх-
н о с т и», или же (терминология старой литературы) в переходах в промежу-
точное состояние сохраняется импульс, но не энергия.
Развитая здесь процедура позволяет вычислять и матричные элементы
более высоких порядков, но поскольку теперь ясен физический смысл фор-
мул, то их можно прямо выписывать. Для этой цели, как это будет показано’
в § 9, полезно пользоваться графиками (диаграммами).
Пример расчета процесса второго порядка приведен в § 12.
§ 9. ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
а. Процессы с участием электронов и фотонов. Для электро-
магнитных процессов (исключая связанные состояния) мат-
ричный элемент проще всего написать с помощью знаме-
нитых диаграмм Фейнмана. Эти диаграммы являются интуитивным гра-
фическим способом описания как всего физического процесса, так и расчета
по теории возмущений. На этих диаграммах каждый электрон изображается
сплошной линией со стрелкой, указывающей направление его распростране-
ния. Условимся стрелки для отрицательных электронов направлять вверх
(к будущему), а для позитронов — вниз (к прошлому). Каждый фотон, реаль-
ный или виртуальный, изображается волнистой линией.
Процесс распадается на ряд последовательных элементарных
взаимодействий; в каждом взаимодействии осуществляется пог-
лощение или испускание одиночного фотона (элек-
трон-фотонная вершина). Поскольку каждый акт поглощения или испуска-
ния сообщает амплитуде множитель ~1/|/137, наиболее важны диаграммы
с наименьшим числом фотонов. Здесь обсуждаются только
такие диаграммы1.
Однако необходимо иметь все возможные диаграммы,
в которых участвует наименьшее число фотонов. Две диаграммы считаются
разными, если они различаются порядком актов поглощения и испускания,
поскольку соответствующие амплитуды не коммутируют.
На рис. 6.6 показаны две диаграммы комптон-эффекта, построенные
по указанным правилам.
Чтобы пояснить обозначения, удобно около линий падающей и испускае-
мой частиц написать символы, используемые для их импульсов. Затем
там, где это возможно, вычисляются промежуточные импульсы в предполо-
жении, что в вершинах справедлив закон сохранения, и их значения выпи-
сываются около соответствующих линий.
1 Если не применять соответствующей процедуры перенормировки, то диаграммы
высших порядков дают в матричном элементе расходимость.
306
Теперь на диаграмме можно указать множители, входящие в матричный
элемент (обведенные выражения на рис. 6.6). Эти множители получаются
Рис. 6.6. Диаграммы Фейнмана для комптон-эффекта с указанием импульсов и множите-
лей в амплитуде (заключены в рамку).
по следующим правилам, которые (с точностью до фазовых множителей)
согласуются с развитой в предыдущих разделах теорией возмущений:
множитель w (р) около каждой входящей электронной линии (начальный
спинор с нормировкой ufiw - Е/т)-,
множитель w (р) около каждой выходящей электронной линии (конечный
спинор с нормировкой ufiw = Elm)-,
множитель ]/2л,'со около каждой входящей и выходящей фотонной линии
(нормировка для каждого фотона);
множитель ее около каждой вершины с реальным фотоном (е — заряд
частицы, а е — единичный вектор1 в направлении поляризации фотона);
множитель еа около каждой вершины с виртуальным фотоном, выражаю-
щий взаимодействие электрона с внешним полем; для взаимодействия между
точечными частицами множитель в виртуальной электрон-фотонной вершине-
можно записать в виде еуи при условии, что вводится пропагатор виртуально-
го фотона 2 — 4л/к2 (см. § 8г);
1 Дальше все единичные векторы обозначаются чертой над вектором (к, е и т. д.) —
(Прим, изд-ва).
2 Ядро распространения свободного фотона Ку (2, 1) можно ввести аналогично
ядру электрона [см. соотношение (6.114)] по уравнению U2ATy (2, 1) = 4л6 (2, 1). Мно-
житель 4л перед 6-функцией требуется для согласования с выбранными электромагнит-
ными единицами: удобно его включить, если мы хотим использовать А’у (2, 1) как функ-
цию Грипа при решении неоднородного уравнения □2Иц = 4л/|г.
Решая уравнение для Ку (2, 1), получаем
, р -1к(х2+х1)
'wo-pg. Sе ~
Неоднозначность при интегрировании вокруг полюса к2 = 0 устраняется, если
ввести оговорку, что фотон распространяется во времени тс/лько вперед. Таким образом,
контур интегрирования следует замкнуть нижней бесконечной полуокружностью и полюс
при kt — к обходится сверху; другая возможность заключается в смещении полюса вниз
с помощью приписывания фотону небольшой мнимой отрицательной массы.
Фурье-компонента Ку (2, 1), используемая в матричном элементе, равна — 4л/А’2.
Это согласуется с результатом теории возмущении (см. § 8г).
Говоря проще, пропагатор фотопа вида 1 /к2 соответствует зависимости электромаг-
нитного потенциала вида 1/г (см. споску к стр. 397).
20* 307
множитель (р — т)~1 около каждой линии виртуального электрона,
распространяющегося между двумя вершинами (пропагатор электрона в им-
пульсном представлении).
Наконец собираем множители в одну формулу (следуя по диаграмме
в направлении стрелок и выписывая каждый следующий множитель впереди
предыдущего) и интегрируем (2л)-3 cF*pj по промежуточным испульсам,
которые остаются неопределенными. Вклады различных диаграмм склады-
ваются, симметризуются по неразличным фотонам и антисимметризуются
по неразличным электронам.
Нетрудно проверить, что эта процедура дает такие же квадраты матрич-
ных элементов, как и предсказываемые теорией возмущений в § 8. Фазовые
Рис. 6.7. Диаграммы Фейнмана для
двухфотонной аннигиляции.
множители в наших формулах выбраны
так, что в нерелятивистском приближении
они согласуются с матричными элемен-
тами гамильтониана возмущения.
Перейдем теперь к примерам при-
ложения этих правил: к написанию
матричных элементов для некоторых фун-
даментальных процессов. В §11 и 12
дается несколько примеров детального
расчета поперечных сечений и вероятно-
стей перехода.
б. Примеры.
1) Комптон-эффект. Диа-
граммы на рис. 6.6 описывают поглощение
электроном фотона с импульсом lq и ис-
пускание фотона с импульсом к2.
Следуя правилам, получаем матричный элемент
Впервые поперечное сечение из этой диаграммы вычислили Клейн
и Нишина; для плоско-поляризованных фотонов они получили1
*=4Кг+5 -2+4 <'< Eif] <6152а>
и, усредняя по поляризациям,
dCT=-^--4<^2(“ -К —— sin2t)} , (6.1526)
2m2 ш2 С>1 С>2 ) ' ’
где 6 — угол комптоновского рассеяния.
Для рассеяния циркулярно-поляризованных фотонов на поляризованных
электронах получаем
*к=_^.4Г(^ b±i_sin2e) + (^1—‘Mcose’i, (6.152В)
2m2 Olj L \ <i>2 W1 / V Ыо 611 / J 1
где знак плюс соответствует случаю, когда спин электрона параллелен
моменту количества движения у-кванта.
2) Аннигиляция пары. Сохранение энергии и импульса тре-
бует, чтобы аннигиляция пары электрон — позитрон была процессом по край-
ней мере второго порядка. Диаграммы рис. 6.7 соответствуют двухступен-
чатому рассеянию электрона, который в результате меняет направление
движения во времени на обратное.
* Детали расчета в современных обозначениях см. в работе |1 ].
308
Из диаграмм легко получить амплитуду:
— е2 Г (^ie2 -----------------р------Ei^i) + ( W4 -----------—
у СО1СО2 LV Pi — ^i — m 7 \ Pi ^2—т
e2^i) ] •
(6.153)
Поперечное сечение аннигиляции для позитрона с энергией Е, сталки-
вающегося с покоящимся электроном, равно
а_«£ * i8 (А + /5Е») —. (6.154)
т2 Е-\ т L г.2—т2 ь \ т ' г т2 ) ~\/Е2 т2 J '
В § 12 это сечение вычисляется в
пределе Е —> т.
3) Рассеяние электрона на
электроне. Процесс, изображен-
ный на рис. 6.8, описывает обмен вирту-
альным фотоном между двумя электро-
нами. Поскольку амплитуду теперь надо
антисимметризовать по электронам, по-
лучим следующий матричный элемент:
Г (^зТрДД)
L ।। и—рз12
(ичТрДД) (“’зТи.Ц’г) ~]
|Р4- P1I2 J ’
— 4ле2
(6.155)
Рис. 6.8. Диаграммы рассеяния (мёл
леровского) электрона на электроне.
Заметим, что выражение (6.155) согласуется с соотношением (6.143) х.
Полученное из выражения (6.155) поперечное сечение — сечение мёлле-
ровского рассеяния:
, 2е4р dQ Г4х4-8а: cos 6 — Z sin2 0 -f-4 cos О
do—Ё8-|_-------------------------------Ь
4./2 — 8х cos 64-2 sin2 0 - 4 cos 6 4 (1 j-ж) (ж- -3) Ч
(l-рcos б)2 (1—cos0)(l cos0)J’ (о.lob)
где л = Е21р2.
4) Процессы высших порядков. В качестве примеров
процесса третьего порядка (три акта испускания и поглощения) на рис. 6.9
Рис. 6.9 Одна пи
диаграмм двойно-
го комптон-эффен-
та.
Рис 6.10. Одна из
диаграмм трехфо-
тонной аннигиля-
ции.
и 6.10 воспроизводится по одной из диаграмм для двойного комптон-эффекта
и для трехфотонной аннигиляции.
1 Для сравнения с соотношением (6.143) заметим, что в системе центра масс
Pit — P3t = Pit — Рч = 0- Заметши также, что электростатическая часть прямого
(не обменного) матричного элемента положительна ()’4Т4 = 1, I Pi — Рз I 2 =
= — I Pi — Рз I 2), как и должно быть для отталкивающих сил.
309
Другими процессами того же порядка являются радиационные поправки
к кулоновскому рассеянию (тормозное излучение, рис. fi.ll) и образование
пары в поле ядра (рис. 6.12).
в. Процессы с участием нуклонов. 1. Н и з к о э н е р г е т и ч е с к о е
приближение. Нуклоны являются фермионами и взаимодействуют
Рис. 6.11. Диаграммы тормозного излучения.
с электромагнитным полем подобно электронам. Однако в ядерной физике
низких энергий часто справедливо приближение для v < 1 (гл. 4) и можно
ввести следующие упрощения.
Множители w заменяются спинорами Паули (а пространственная часть
волновой функции есть решение уравнения Шрёдингера).
Нуклон-фотонная вершина ев = е (—у -с) принимает вид 1:
~ — (еа/7И) е-р, где са = у (1 + Ч) но наД° добавить сюда релятивист-
ские эффекты, не исчезающие при нулевой скорости, а именно взаимодействие
дираковского магнитного момента, электростатическое взаимодействие ней-
Рис. 6.12. Диаграммы образования пар в
поле ядра.
трона (§ 56) и взаимодействие аномальной части магнитного момента. Сле-
довательно, мы возвращаемся к взаимодействию гл. 4, которое соответствует
вершине вида Цеа/М} в-ра + раоа Н].
Часто пропагатор нуклона с импульсом р после поглощения или испу-
скания кванта с импульсом к можно вычислять, полагая р = (О, О, О, М)
и у, < Тд ~' 1- Тогда {р1±к — М)~х » (+ AJ-1, в согласии с результатом
нерелятивистской теории возмущений второго порядка, которая приводит
к множителю (Енач — Епром)-1-
В некоторых задачах нуклоны можно считать' бесконечно тяжелыми
и всегда находящимися в покое. Если нуклоны объединяются в ядро с ну-
левым спином, то необходимо учитывать только электростатические эффекты
и вершина равна просто Ze. Такое приближение можно использовать в диаг-
раммах рис. 6.11 и 6.12; оно развивается в § 11.
При калибровке с А = 0.
ЗЮ
2. Вершина для высокой энергии. В процессах при
высокой энергии нуклоны надо считать релятивистскими. При расчете ил
электромагнитного взаимодействия необходимо включать аномальный маг-
нитный момент и учитывать также формфакторы.
Как указывалось в гл. 3, § 14, интерес представляют четыре форм-
фактора нуклона. В релятивистской теории они являются инвариантными
функциями квадрата переданного 4-импульса к1 2 = | pF — Рг|2- Формфак-
торы измеряются с помощью рассеяния электронов на нуклонах, и наиболее
удобно определять их в системе центра масс рассеяния, где переданная энер-
гия кл равна нулю. Пусть в этой система рЛ-, с и и — плотности заряда
и аномального магнитного момента. Тогда, по определению, формфакторы
равны
Лт, с (к) = 4 § e~ik'rpx, с d3r; (6-157)
1 р
(6.153а)
Г„.е(0) = 1.
ио 128
Fn,e(0) 0. (6.1586)
Принимая во внимание формфакторы, получаем, что фурье-образ плот-
ности тока, связанной с зарядом нуклонов, равен2
eFN, е (A) (wN, pTp.H’N, т) - (6.159)
К этому току необходимо добавить ток, связанный с аномальным магнит-
ным моментом.
В классическом случае плотность намагничивания ш соответствует
плотности тока j — V х m. В релятивистской теории аномальный магнитный
момент свободного точечного нуклона соответствует току3
У Фа, N’n, F (ThTv — TvTh) /1 = Ра, (W, F<Wk, l) =
= pn, N (WpG^Wj) -= ± фа, Л- k^ - -
и его фурье-образ с учетом формфактора равен
=Ь iFK, и (Aj [La, N (WfG/.vWi) kv, (6.160)
где к — 4-импульс поглощаемого (если знак « ф ») или испускаемого (знак
«—») фотона.
Множитель в нуклон-фотонной вершине диаграммы Фейнмана полу-
чается путем проецирования оператора тока на направление поляризации
фотона е, эта вершина с учетом взаимодействия как заряда, так и магнит-
ного момента равна
eFK, с (к) е ± ф0> NFN, ц (к) o-ivfciEv (6.161а)
Это выражение можно преобразовать, используя соотношения (6.25)
и (6.30г) и считая, что к и е ортогональны, к виду:
eF]\-t с (к) е + |г(1, r-.-Fx, и (к) ик. (6.1616)
1 Заметим, что нормировка магнитного формфактора отличается от принятой
в гл. 3, § 14.
2 Пишем F (к), а не F (к), чтобы получить формулу, справедливую в любой системе
отчета.
3 В нерелятивистском случае для v = 1 сумма (г/2) dp [ф (VpVv — ТтТр) Ф! имеет
два члена, поскольку член с ц = 1 исчезает, а член с ц = 4 мал. Таким образом, сумма
принимает вид —д2 (фЩф) Т д3 (фщф), что является первой компонентой выражения
V X (фоф).
311
§ 10. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
а. Вычисление матричного элемента. После того как в соот-
ветствии с правилами предыдущего раздела был выписан
матричный элемент, можно приступить к вычислению вероят-
ностей перехода.
Первый шаг состоит в удалении матриц -у из знаменателя пропагатора.
Для этого числитель и знаменатель множителя (р — ту1 умножаются на
р 4- т, что дает
= (6.162)
р — т v ’
После рационализации вычисление матричного элемента производится
непосредственно, с использованием явного вида спиноров (6.106). Этот спо-
соб использован в § 116.
В пунктах «б» и «в» настоящего параграфа опишем, как можно вычислить
спиновые средние методом следов [ср. с соотношением (3.259)], который
часто существенно сокращает алгебраические выкладки.
Пример расчета этого типа приведен в § 11а и б.
б. Сциновые средние. Чтобы получить вероятности перехода, необхо-
димо вычислить квадрат матричного элемента вида:
Л/ = (шр©ш2),
(6.163)
где 0 —оператор, который может содержать матрицы у. Если определить
<? = Т40, С1 = <Э+Т4, <6-16*)
то матричный элемент принимает вид, встречавшийся в § 8:
М = (wpQwj). (6.163')
Его квадрат можно записать так:
| М |2 = (wpOwj) (wfOwj)* = (wF0ip/) (wi&utp) =
= (^гТйОшг) (Wjyy^Wp) = (wpQwj) (wjytQ^ybWp). (6.165)
Часто вероятность перехода требуется усреднить по спинам началь-
ного состояния и просуммировать по спинам конечного состояния. Спино
вая сумма S есть сумма по двум из четырех решений уравнения Дирака
для заданного импульса. Эту сумму можно распространись на все четыре
решения, воспользовавшись проекционными операторами, соответствующим
знаку рассматриваемой частицы (см. § 6г):
Вообще
4
S= I ле
(s)=l
4
s=- 2 Ар
(3)=1
для электронов,
для позитронов.
(6.166а)
4
s = 2 e(s)A,
(з)=1
(6.1666)
где E(s) - E(S) (S) [см. соотношение (6.107)] равно 4-1 для (s) = 1, 2 (элек-
троны) и —1 для (s) = 3, 4 (позитроны).
Таким образом, используя соотношение (6.108) и обозначая через А1г
Ар проекционные операторы для начальной и конечной частиц, получаем
(| М | )2, усредненное по спину = у § S | AJ |2 =
— ~2~ 2 2 [u’^(s)C>A2e(S-)!r’i(S-)] [iPi(S')'y4^t’y4AFe(8)ipF(S)] =
(8) (s')
4 S (u,T'(s)<?A1y4<2t-y4AFe(s)wF(s)) = 4 Ti- {^А^О^Лр}. (6.167)
(S)
312
Если Q не содержит матриц у, то Y4C+Y4 = Ct; если же Q содержит у,
то полезно вспомнить, что 'У^’ц'УЧ = Тц-
в. Вычисление следов. Хорошо известно, что в произведении матриц
можно циклически переставлять сомножители; при этом величина следа
не меняется:
Тг ABCD = Тг DABC = Тг CD АВ = Тг BCD А. (6.168)
Следы простых произведений с у-матрицами можно легко вычислить:
Тг1=4, Тгур. = 0 (р = 1, 2,3, 4, 5),
Тгу|=—4, Тгу®= 4-4, Тгуцуг = О для
Формулы часто упрощаются, если учесть, что
след всякого произведения, которое содержит нечетную степень
любой матрицы уй (р = 1, ..., 5), равен нулю. (6.170)
След перечеркнутого вектора (см. § 2в), так же как след произведения
нечетного числа перечеркнутых векторов, равен нулю. След произведения
двух перечеркнутых векторов легко получить, используя соотношение (6.30г):
ТгЛ5 = ТгА.В = 4А-В (6.171)
Аналогично повторным применением соотношений (6.168) и (6.30) получаем
полезную формулу
Tr(ABCD) — 4[(A-B)(C.D)-(A C)(B.p)4-(A D)(B C)]. (6.172)
г. Внешние множители. Чтобы вычислять вероятности переходов,
в целях нормировки надо знать плотность состояний. Обычно матричные
элементы относятся к спинорам ш, которые наиболее удобны для вычислений;
их нормировка ww = ± 1 соответствует спинорам и или v, нормированным
на единицу в объеме ml | Е | (см. § 6). Таким образом, плотность состояний
каждого свободного электрона в конце следует записать так:
т р2 dp dQ тр dQ pdp ___ тр dQ н.
~Ё ' (2л)3 dE ~ (2л)з E~dE (2 л) з ' 1 • >
Наконец, для формулы поперечного сечения необходимо вычислить
начальный (падающий) поток; поскольку плотность падающих электронов,
соответствующих wx, равна | Е \/т, необходимо использовать выражение
„ | £ | I ЕI р р /а л 7/ \
падающий поток = -—L к = J =—. (6.174)
' т т\Е\ т ' '
В терминах импульсов выражения (6.173) и (6.174) совпадают с соответ-
ствующими нерелятивистскими величинами.
§ 11. ДВА ПРИМЕРА ПРОЦЕССОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
а. Резерфордовское рассеяние. Применим теперь развитый
в предыдущих параграфах математический аппарат к простой
и классической задаче о кулоновском рассеянии электрона
на тяжелой частице с массой М и зарядом Ze. Соответствующая этому процес-
су диаграмма показана на рис. 6.13, а.
С помощью соотношений (6.173) и (6.174) обычная формула для попереч-
ного сечения дает 1:
_2л_ .М)2 (6.175)
поток 1 ' '1 1 (2л)2 II’ ' '
1 Из-за кулоновских искажений данное рассмотрение при больших Z теряет силу;
в этом случае полная теория (Мотт, [18]) предсказывает поляризационные эффекты,
которые здесь не учитываются.
313
где матричный элемент вычисляется по формуле (6.141) с Р = (О, О, О, Л/).
Используя вместо 1 и F индексы 1 и 2 и обозначая q = р2 — pi, имеем:
М = — /±^1(^4^). (6.176)
Можно также представить себе, что процесс состоит во взаимодействии элек-
трона с виртуальным электростатическим (поперечным) квантом с импуль-
сом q, который возникает в результате фурье-анализа электростатического
Рис. 6.13. Рассеяние электронов па тяжелом ядре (а) и образование
пары в О16 (б). Волнистыми линиями обозначены виртуальные
фотоны — переносчики электромагнитного взаимодействия
Диаграммы демонстрируют сходство обоих процессов
поля г. В такой интерпретации матричный элемент (6.176) получается (с точ
ностью до множителя i) по обычным правилам с использованием диаграммы
рис. 6.13, а.
Спиновое среднее квадрата матричного элемента в (6.176) можно вычис-
лить методом следов. Ниже эти вычисления выполнены последовательно,
например:
4- s s । (uw’i)i2=
1 2
— -ту1 Г (УйЛет^чАег) —
+ Y4(P2+^)1 =
1 А А
= -g- Tr (Y4P1Y4P2 + т2 + бесследовые члены) =
= ~8т^~ + т2) ~
= ~8т^^ — 4p!-p2-}-8Ei£2-|-4m2) =
2^2- + Р1 • I’2 + (1 + C°4 S 6 + Ж ) =
£2
2^2
(1 + v2 cos 0 4-1 — v2) = (1 — v2 sin2 •
(6.177)
1 В упругом рассеянии qt = 0.
.314
Собирая подобные члены и используя равенство q Upsin — О, полу
чаем поперечное сечение на единицу телесного угла:
с
ZM
4р2р2 sin4
--- V- 4111
(6.178)
Результат такой же. как в классической теории, если отвлечься
от релятивистской поправки, пропорциональной и'2.
б. Расчет без использования следов. Читателю, незнакомому с техникой
вычисления следов матрицы, этот расчет может показаться, в зависимости
от настроения, весьма хитрым или уж очень искусственным. Чтобы пока-
зать, что в этом роде вычислений нет ничего сверхъестественного, преобра-
зуем сумму (6.177) более прямым путем.
Сумма состоит из четырех членов, соответствующих решениям (s) = 1
и (s) = 2 (см. § 6в) для начального и конечного состояний электрона. Пред-
полагаем, что начальный импульс направлен вдоль оси z (компоненты 0,0, р),
а конечный импульс лежит в плоскости та (компоненты р sin 6, 0, р cos 6).
Вычислим только два члена для начального электрона в состоянии
(s) _ 1 (в нерелятивистском пределе состояние со спином вверх), поскольку,
как легко проверить, два других члена дают тот же вклад в сумму. Эти два
члена можно выписать с помощью соотношения (6.106):
[^(1)<Pf)T4^(1)(Pi)1
0
1
1
0
Е~0т < о —Р cos 0 —р sin 0
2т Е-рт Е-\-т
-1
о
о
о
Е-'т Г. , p2cos0 Л
~ 2т L + (£ + ™)2 J ’
Е-\-т
2т
Е-\-т р2 sin 0
2m (Е-\-т)2
(6.1796)
0
0
0
0
Половина суммы будет вычислена, если возвести в квадрат и сложить
эти два члена. Таким способом мы получим тот же результат, что
и в соотношении (6.177). В этом легко убедиться, так как, возводя в квад-
рат выражения (6.179а) и (6.1796) и складывая их, получаем
(Д-4-m)2 г . р4 , 2р2 cos 0 ~1 _
4m2 L (E-|-m)4 (£-f-m)2 J
[ <'++ ТВД?-+2Рг 6 ] =
-т)! + (Е — m)24-2pBeos0j
£2 /. т2 „
2т2 И + £2 + 1 COs()) •
315
в. Рождение пар в ядерных нуль-нуль переходах. Рассмотрим теперь
распад ядра через переход 0—>0 с излучением электронных пар [19, 20|.
Классическим примером является распад возбужденного состояния О16
с энергией 6,06 Мэв (см. рис. 4.17). Диаграмма дана на рис. 6.13.
Этот пример представляет особый интерес для введения в теорию
р-распада.
В классической модели можно считать, что ядро претерпевает сфериче-
ски симметричные колебания с частотой со = Е0!И — 6 МэвИ. Такая вибра-
Рпс. 6.14. Импульсный спектр позитро-
нов (а) и электронов (б) из рождающих-
ся в О16 пар. Сплошные кривые — тео-
рия, точки — эксперимент. [Lee Y. et
al. Phys. Rev. Letters, 10, 258 (1963)].
ция создает пульсирующий элек-
тростатический потенциал внутри
ядра, конечный радиус которого В
должен быть принят в расчет. В свою
очередь этот потенциал рождает пары
через процесс первого порядка, в кото
ром электрон при рассеянии меняет
направление распространения во вре-
мени с прямого на обратное.
При написании матричного эле-
мента будем считать движение ядра
нерелятивистским и для ядерного
4-тока будем использовать прибли-
жение (6.76'). Поэтому промежуточный
фотон на рис. 6.13 является чисто
«электростатическим» или продольным
фотоном со спином 0. По этой при
чине в электронно-фотонной вершине
диаграммы выписан только член с
Если, как обычно, выбрать калибровку
с div А = 0, то будем иметь в ваку-
уме дФ/dt = 0 и пропагатор будет
равен 4л/д2. Этот множитель такой
же, что и в случае упругого рассеяния,
и он соответствует формфактору куло
невского поля.
Множитель в ядерно-фотонной
вершине содержит в себе некоторые
соображения из ядерной физики. Взаи-
модействие электрического тока
(е/М) р-А в гл. 4 следует заменить взаимодействием электрического заряда
еФ (оператор у4 можно опустить вследствие нерелятивистского движения
нуклонов).
Поскольку точечное ядро не дает рассматриваемого эффекта, запись
ядерной части матричного элемента должна содержать запаздывание
<Фн | 2 е“ ехР (— 'Ч ’ г«) |
В этом выражении ядерные состояния и ф2? сферически симметричны
и ортогональны друг другу. Таким образом, первый и второй члены в раз-
ложении экспоненты, 1 — iq-r, дают нулевой вклад, а преобладающий член,
усредненный по всем направлениям q, равен
4 xJ’f | 2 | Ч’г/ == 4 ?2е-^2<
а
где J? » R в одночастичной модели.
Получаем матричный элемент следующего вида:
М -- 4 е (^Yt^i)- (6-1 80)
316
Его надо возвести в квадрат и просуммировать по спинам электрона и пози-
трона, что дает
S S I МI2 = 4 -^2 Tr IY4 (А + т) у4 (Р2 - zn)l =
р е
= ^_{ад + р1.р2_те2}> (6л81)
Теперь можно вычислить вероятность перехода для импульса электрона
в интервале от pt до pi + ^Pi и для направлений вылета позитрона по отно-
шению к электрону, лежащих в телесном угле dQ. Вспоминая, что по соот-
ношению (6.173) нормировочные множители равны mlEi и т!Е2, получаем
^2тиах
$ >#0^. (в.182)
О
Интеграл можно преобразовать в интеграл по dE2, используя
р22 dp2IE2 = р2 dE2.
Теперь он зависит от Ео только через верхний предел Ео—и дифферен-
цирование выполняется немедленно. Переходя и для электрона к энергии
в качестве переменной, получаем из соотношения (6.182)
wdEldE2 = ^:-e‘i.y/i{ElE2^-pi-p2 — и?2} p^dEidQ. (6.183)
Эта формула описывает спектр вылетающих электронов и находится
в отличном согласии с опытом ([12, 23], рис. 6.14).
В высокоэнергетическом приближении можно пренебречь величиной т,
a Pi и р2 можно заменить на и Е2.
wdEi d£l ^2 e4J?4 (1 -|-cos 6) Е2Е2 dEt dtl.
Наконец, интегрируя по dQ и dEt, получаем следующее выражение для
полной вероятности перехода:
Ео
w=-w(£’° - Е^ dEl=чАг е^4£о-
о
Измеренное на опыте время жизни (период полураспада) возбужденного
уровня О16 с энергией 6,06 Мэв равно 5,0 + 0,5-1011 сек, что находится
в удовлетворительном согласии с оценкой по этой формуле.
§ 12. ЭЛЕКТРОИ-ПОЗИТРОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ
ПРИ МАЛОЙ скорости
а. Приближения, используемые в расчете. Вычислим теперь
поперечное сечение аннигиляции, исходя иэ амплитуды,
даваемой выражением (6.153). Пример этот поучителен
и особенно прост, если предположить, что электрон и позитрон движутся
с малой скоростью.
Расчет основывается на следующих приближениях:
1) Предполагаем, что для электрона и позитрона v < 1 и неисчезающей
считается только четвертая компонента pi и р2.
2) Предполагаем, что v > 1/137, так что электростатическим притяжени-
ем между электроном и позитроном можно пренебречь. После вычисления
матричного элемента для электрона и позитрона, описываемых плоскими
волнами, можно учесть электростатические эффекты, чтобы распространить
область применимости результата на меньшие скорости.
317
Выпишем временнье и пространственные компоненты участвующих
в задаче 4-импульсов, используя законы сохранения энергии и импульса
в установленном приближении:
Р1~ Рг 0, т\
kt = mk1, т\
k2 = —mk2, т,
(6.184)
где kj—единичный вектор в направлении распространения «первого»
у-кванта.
б. Вычисление матричного элемента. Первым шагом вычисления
является «рационализация» матричного элемента. Следуя описанному в § 10
способу, получаем
2ле2 Г / — ' Pi — + т А \ ,
- tss L (-*• '”) +
+ '*’) ] • <с- ,Я5>
Если теперь ввести приближения в соответствии с выражением (6.184), го
матричный элемент принимает вид1
2я₽2 Г (w р + m 2 ... ) । /Г.; -mY-ki+m- _ \-|
т L I 2 2 2^ 11J + ( 2 1 2m2 J •
Поскольку члены £2nl£i + Е,т£2 = 2m£iE2 не содержат матриц у, они
не вызывают переходов между электроном и позитроном и их можно опу-
стить. Матричный элемент сводится к
~[И’2 (EoYMi — £1ТМ2) ^11- (6.186)
В этом пункте следует, между прочим, иметь в виду, что вероятность
перехода в конечном счете должна быть просуммирована по всем конечным
состояниям поляризации у-квантов. Фиксируя Et на некоторое время,
видим, что параллельная поляризация обоих у-квантов (щ = е2) дает
исчезающий вклад, поэтому необходимо рассматривать только случай, когда
все три единичных вектора (ej, е2 и к3) ортогональны.
Из ортогональности этих векторов следует, что еь y-kj и е2 антикомму-
тируют [см. формулу (6.30)1, следовательно,
EzY-kjEj -EjykjEg 2е2у-к1Е1
= 2 2 У-У/У^гЛ^м,
поскольку для i = j и т. д. можно вычеркнуть равное нулю скалярное про-
изведение. Учитывая, что у^-ул (—1)?,ужуйУг (где р — число парных
перестановок, приводящих от xyz к ijk), можно записать матрицы (6.186)
с помощью смешанного произведения векторов е», е2 и kf
E2y -kei= УхУй’г»! X e2 ki.
Таким образом, матричный элемент (6.186) принимаем вид
— £1 X е2 («Wx/byzU’i). (6.187)
Теперь можно произвести окончательное вычисление матричного элемента.
Если подходящим образом выбрать положительные направления Ej, е2
1 | Pi — kj |2 р1 />1—2р]к( т2’ 0—2т2 =—т2.
318
и ki, смешанное произведение Ej X равно единице; матричный эле-
мент, содержащий спиноры, можно переписать в виде (ш+узм^) и легко пока-
зать \ что его неисчезающие элементы равны:
= 1;
(W’(3)Y5^<2>)- — 1-
Первый из этих элементов соответствует аннигиляции пары а_0+ (нереляти-
вистский электрон со спином вверх, позитрон со спином вниз), а второй —
аннигиляции пары а+р . Из-за противоположных знаков матричных эле-
ментов [соотношение (6.188)] аннигилируют только синг-
летные пары (1/]/г2)(а_р+ — |3_а+) и спинорные матричные элементы
вносят множитель ]/2.
В результате получаем
W 2 [2^ . (6 i8g)
Интересно отметить, что в матричном элементе оба члена Е( X e2-k
и (u’jYsH’i) являются псевдоскалярами. Как будет видно в Г, это согласуется
с сохранением четности: внутренняя четность пары отрицательна и такая же
четность у аннигиляционных у-квантов.
в. Вероятности перехода и поперечные сечения. В рассматриваемом
приближении плотность конечных состояний такова2:
А~1 /.2 _ „2 /О 4
“ 8л3 ' 2dki 8л3 kl 8л® ’ (O.19U)
и вероятность перехода для синглетной комбинации плоских волн
электрона и позитрона с единичной плотностью может быть записана
в виде3
<6Л91>
Сечение синглетной аннигиляции в свободных столкновениях равно
(6192>
где ] (0) |2 = 1, если пренебречь кулоновским притяжением; в противном
случае эту величину можно вычислить по кулоновским волновым функциям.
Сечение триплетной аннигиляции много меньше, так что среднее сечение
для неполяризованных частиц равно 1/4 от соотношения (6.192).
1 Матрица у5 переводит электрон со спином вверх в позитрон со спином вниз
и наоборот. Однако в этих случаях возникают противоположные фазы [см. соотноше-
ние (6.106)]:
2 Множитель 2 в числителе появляется из-за двух поляризаций; в знаменателе
написано dE0 — 2dA1.
3 Интегрирование по dQ, дает 2л, поскольку у-кванты неразличимы и вклады
от обеих диаграмм были сложены. Соответствующее соотношению (6.191) сечение анни-
гиляции с включением всех констант равно <т8 = 4л (c/v) (е2/тс2)2.
319
Особенно интересен случай синглетного позитрония, когда плотность
позитрона в точке, где находится электрон |ф (0) |1 2, легко вычислить, решая
задачу из атомной физики:
Ws~ Ts — m2 Н (°)1 —~^Г'п(2/те^^~2е — l,25xl0"10 С€К ' (6’193)
Триплетный позитроний в два у-кванта не аннигилирует. В этом случае
для удовлетворения законов сохранения требуется по крайней мере три
у-кванта [см. пункт «г»[ и вероятность перехода меньше на множитель поряд-
ка е2 [5, 6, 8, 10[.
г. Правила отбора для аннигиляции позитрония. Покажем теперь, как
некоторые из результатов расчета можно было бы предсказать на основании
законов сохранения. Для этого потребуется определить квантовые числа
позитрония.
Величина полного углового момента J, как и для любого другого атома,
находится комбинированием L (= 0, 1,2, . . .) и S (=0, 1). Состояния можно
классифицировать так: х50, 35f, 1Рй, 3Ро, 3Pi, 3Рг и т. д.
Орбитальная четность позитрония равна (—1),
а внутренняя четность отрицательна. Для того чтобы
в этом убедиться, предположим, как всегда, что в нерелятивистском случае
электронная волновая функция имеет положительную внутреннюю четность:
в соответствии с соотношением (6.68) это означает, что в четном орбиталь-
ном состоянии фе (г) при отражении осей переходит в у4фе (—г) «фе(—г). Но
позитронная волновая функция фР (г) = 5сфе (г) ведет себя по-другому:
T4SclM —г)= — 5су4фе( — г) 5сфе( — г) = —фр ( — Г).
Таким образом, электроны и позитроны имеют противоположную внутрен-
нюю четность х. Таким образом, можно сделать вывод, что полная чет-
ность позитрония равна (—1)L+1.
Как хорошо известно, собственные значения спинообменного
оператора еРо равны -|-1 для триплета и —1 для синглета; в общем случае
•они равны (—l)s+1.
Еще один оператор имеет определенные собственные значения в состоя-
ниях позитрония, а именно оператор зарядового сопряже-
ния. Можно показать [261, что его собственные значения равны (—1)L+S;
тот факт, что они имеют противоположный знак по сравнению с собственными
значениями оператора ёРгаРо, связан с необходимостью антисимметриэации
•состояний двух электронов.
Можно привести в пользу этого простой аргумент, не требующий кван-
тования дираковского поля. Позитроний — состояние двух неразличимых
электронов а и Ь, из которых один находится в точке г, имеет спиновую коор-
динату s и знак «—», а второй — в точке г' со спиновой координатой s' и зна-
ком «+». Состояние позитрония принимает такую форму:
ф«5фа(г, S, — )фъ(г', s', +) —фь(г, S, — )фа(г', S', + ),
откуда сразу видно, что2
5сф SS фа(г, S, +)фь(г', s', —) — фь(г, S, +)фа(г', s', — ) =
=ад/ф= -(-1)£(_1)я+‘ф=(-1)£+8ф.
Поскольку аннигиляция в Р-состояниях происходит редко (радиацион-
ные переходы 2Р -> 15 гораздо вероятнее, чем аннигиляций в состоянии 2Р),
1 Противоположная четность нерелятивистских электронов и позитронов просто
доказывается с помощью соотношений (6.68), (6.27) и (6.106). Очевидно, SP1 г = у4 остав-
ляет неизменными большие компоненты iP(1) и и>(2) и меняет знак больших компонент
«><з> и Ww-
2 Заметим, что 8с играет здесь ту же роль, что J°r в системе п = р.
320
будем рассматривать только квантовые числа позитрония в S'-состояниях
Они таковы:
Состоя- ние J Четность SC
^0 0 —1 1 —1 1
ЗА, 1 -1 1 1 — 1
Рассмотрим теперь квантовые числа состояний электромагнитного поля.
Покажем, что два фотона, вылетающие в противоположных направле-
ниях, могут иметь полный момент количества движения J = 0 или 2 (и более),
но не J = 1; этот пункт важен также в связи с распадом л°- и т]°-мезонов.
Для доказательства [28] выберем ось квантования z вдоль направления
распространения. Теперь, если оба у-кванта имеют правую поляризацию
(пп) или оба левую (лл), то у них М j = 0; если же их спиральности про-
тивоположны (пл или лп), то для них Mj = ±2. Таким образом, для про-
тивоположных спиральностей J = 1 исключается. Чтобы показать, что
J = 1 исключается и для одинаковых спиральностей, заметим, что состояние
с J = 1, Mj — 0 должно вести себя при вращениях как z-компонента векто-
ра: оно должно менять знак при повороте на 18U° вокруг оси, перпендикуляр-
ной z. Но при таком повороте два разлетающихся в противоположных направ-
лениях у-кванта с одинаковой спиральностью просто меняются местами;
поскольку фотоны являются бозонами, повернутое состояние имеет тот же
знак, что и первоначальное, и оно не может поэтому быть компонентой состоя-
ния J = 1 С Mj = 0.
Таким образом позитроний в состоянии 3S не может аннигилировать
в два кванта. То же самое справедливо вообще для любой системы с J = 1.
Что касается четности, то (пл) или (лп) четные состояния, а (лл) и (пп)
являются собственными состояниями оператора инверсии (не имеют опре-
деленной четности). Можно, однако, построить комбинации (пп) ± (лл),
имеющие соответственно четность +1, которые, как можно показать, отве-
чают параллельной и перпендикулярной линейной поляризации квантов
друг по отношению к другу.
При нулевом угловом моменте два фотона имеют положительную или
отрицательную четность в зависимости от того, поляризованы они парал-
лельно (скаляр Ej • е2 в матричном элементе) или перпендикулярно друг
к другу [псевдоскаляр щ X как в соотношении (6.187)]. Таким обра-
зом, перпендикулярная поляризация аннигиляционных у-квантов следует
из отрицательной внутренней четности позитрония.
Для распада на много квантов правила отбора, очевидно, менее жесткие,
однако можно получить простое правило отбора па основании инвариантно-
сти относительно зарядового сопряжения.
Электромагнитное поле при зарядовом сопряжении меняет знак, и для
каждого фотона собственное значение этого оператора равно —1. Это про-
исходит потому, что все векторы электромагнитного поля меняют знак прп
зарядовом сопряжении. Следовательно, позитроний в состоянии kS'o может
распадаться только на четное, а в 3Sj — только на нечетное число квантов *.
Литература
1. Feynman R. Р. Quantum Electrodynamics. Benjamin N.Y., 1961.
2. Pauli W. Die Allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, Handbuch der Pliysik.
Springer — Verlag, Berlin, 1933; also, Edwards, Ann Arbor, 1947.
3. Bose M. F. Belativistic Electron Theory, Wiley. N.Y., 1961.
4. Schweber et al. Mesons and Fields, Vol. 1, Bow. Peterson, N.Y., 1955.
1 Обзор свойств позитрония см. в работе [7].
21 Ядерные взаимодействия
321
5. Deutsch M. Phvs. Bev., 83, 866 (1951).
6. D e Benedet ti S., S i e g e 1 R. Phys. Rev., 85, 371 (1952).
7. DeBenedetti S., С о г b e n H. C. Ann. Rev. Nucl. Sic., 4, 191 (1954).
8. D e Benedetti S., S i e g e I R. Phys. Rev., 94, 955 (1954).
9. Devons et al. Proc. Phys. Soc. (London), 67A, 134 (1954).
10. Deutsch M., D u 1 i t E. Phys. Rev., 84, 601 (1961).
11. Feynman R. Phys. Rev., 76, 749 (1949).
12. F о 1 d у L. Phys. Rev., 87, 688 (1952).
13. F о 1 d у L. Phys. Rev., 87, 693 (1952).
14. F г a n к e n P., L i e b e s S. Phys. Rev., 104, 1197 (1956).
15. Gardner J. Phys. Rev. 83, 996 (1951).
16. Koenig et al. Phys. Rev., 88, 191 (1952).
17. Lee et al. Phys. Rev. Letters, 10, 258 (1963).
18. Mott N. Proc. Roy. Soc., A135, 429 (1932).
19. Oppenheimer L, Schwinger J. S. Phys. Rev., 56, 1066 (1939).
20. Oppenheimer J. Phys. Rev., 60, 164 (1941).
21. Rasmussen et al. Phys. Rev., 77, 617 (1950).
22. S о m m e r f i e 1 d C. Phys. Rev., 107, 328 (1957).
23. S о m m e r f i e 1 d C. Ann. Phys., N.Y., 5, 26 (1958).
24. Wick G. Phys. Rev., 80, 268 (1950).
25. Wick et al. Phys. Rev., 88, 101 (1952).
26. W о 1 f e n s t e i n L., R a v e n h a 1 I D. G. Phys. Rev., 88, 279 (1952).
27. Yang С., T i о m u о J. Phys. Rev., 79, 495 (1950).
28. Yang C. Phys. Rev., 77, 242 (1950).
ГЛ 1В \ /
Физика )тонов
А. ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ИДЕИ
§ 1. ОТКРЫТИЕ МЮОНА И ПИОНА
Идея, что квантом поля ядерных сил является частица
с массой, промежуточной между массой электрона и ну-
клона (меэона), была впервые высказана Юкава (1935 г.).
В простейшем виде ее можно сформулировать следующим образом. Урав-
нение
□ 2Л= и (7.1)
описывает распространение электромагнитного поля, которое может быть
проквантовано и соответствует частицам нулевой массы (фотоны). В стацио-
нарном случае уравнение (7.1) принимает вид:
Г2Л 0 (7.2)
п допускает сферически симметричные решения
(7-3)
Таким образом, поле 1/г (с бесконечным радиусом действия) соответствует
частице с массой покоя, равной нулю.
Рассмотрим теперь поле (для простоты возьмем одну компоненту), кото-
рое удовлетворяет уравнению (6.16)
(□2 + /н2)^ =0, (7.4)
где in — константа с размерностью 1/L. Константу т можно рассматривать
как обратную комптоновскую длину волны тяжелой частицы.
Легко проверить, что статическая форма уравнения (7.4)
(V2-m2)^ 0
допускает сферически симметричные решения вида
р—ТПГ
Это решение можно интерпретировать как потенциал с радиусом
ствующий между точечными источниками поля ф.
Юкава заметил, что если воспользоваться соотношением (7.6) для опи-
сания поля ядерных сил с радиусом действия ~10 13 см, то следует предпо-
ложить те < Му, а точнее т ж 200те. Поэтому частицы, предсказан-
ные Юкава, названы мезонами.
Замечание Юкава не привлекало внимания до тех пор, пока частицы
с массой около 200те не были обнаружены в космических лучах.
События, которые привели к открытию мезона, развивались следующим
образом [6]. Росси показал (1934 г.), что космическое излучение содержит
мягкую и жесткую компоненты. Мягкая компонента состоит из электронов
и у-квантов, которые поглощаются в результате многократных процессов
тормозного излучения и образования пар, приводящих к образованию харак-
терных ливней. Предполагалось, что жесткая компонента состоит из прото-
нов, которые из-за своей большой массы излучают гораздо слабее. Однако
21* 323
(7-5)
(7-6)
i/m, дей-
Неддермейер и Андерсон обнаружили, что отдельные частицы, проходящие
сквозь платиновую пластинку толщиной в 1 см, помещенную в камеру Виль-
сона, выбивают слишком много электронов большой энергии, чего не могут
делать такие тяжелые частицы, как протоны. Стрит и Стивенсон (1937 г.)
нашли, что потери энергии некоторых частиц космического излучения соот-
ветствовали массе ~100ше. Наконец, Неддермейер и Андерсон (1938 г.)
наблюдали частицу, которая остановилась в камере Вильсона после про-
хождения металлической пластины, и смогли определить ее массу. Она ока-
залась близкой к 240 электронных масс.
Новая частица, открытая в космических лучах, имела еще одно свой-
ство, предсказанное Юкава: она претерпевала |3-распад со средним временем
жизни ~2-10~6 сек. Этот распад был впервые обнаружен по ослаблению
интенсивности жесткой компоненты в атмосфере (вследствие распада на лету),
а затем был зарегистрирован и распад остановившихся мезонов (Разетти,
1941 г.).
Несмотря на все эти обнадеживающие результаты, в конце концов ока-
залось, что частица, открытая в жесткой компоненте космических лучей,
не была квантом поля ядерных сил, предсказанным Юкава. Поэтому эта
частица не является собственно мезоном, ее назвали мюоном (а не р,-мезоном).
Этот важный вывод следовал из опыта (Конверси, Панчини, Пиччиони,
1945 г.), продемонстрировавшего, что отрицательные частицы космического
излучения, оказавшиеся на А-оболочке в атоме углерода, не захватывались
ядром в течение нескольких микросекунд; такая слабость ядерного взаимо-
действия не могла быть согласована с теорией Юкава. Этот эксперимент
противоречил и принципу детального равновесия, так как жесткая компо-
нента космических лучей рождается с большим поперечным сечением в ядер
ных столкновениях в верхних слоях атмосферы.
Возникшие трудности удалось разрешить с появлением ядерных эмуль-
сий, достаточно чувствительных для детектирования быстрых ионизующих
частиц. Было обнаружено (Латтес, Мюирхед, Оккиалини и Пауэлл, 1947 г.),
что в космическом излучении присутствует два вида частиц. В дальнейшем
они получили названия пиона (или л-мезона) и мюона. Пион не наблюдался
в ранних экспериментах вследствие короткого времени жизни; он быстро
распадается по схеме
л±—>р± + т, (7.7)
тогда как р-мезон распадается на три частицы:
р± —> + v-|-г. (7-8)
я (или первичный) мезон можно отождествить с частицей Юкава, по
мюон является загадкой. Никто не знает, почему масса мюона отличается
от массы электрона, так как мюоны и электроны идентичны во всех других
своих проявлениях (см. гл. 8, § 15). Кроме того, при современном уровне
наших знаний имеется ощущение того, что мир оставался бы по существу
тем же самым, если бы мюон не существовал. Таким образом, зта частица
остается как необъясненной, так и ненужной.
§ 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИДЕИ
(БЕЗ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЯ)
а. Уравнения для скалярного и векторного мезонов в вакууме.
Квантовая форма теории Юкава объясйяет ядерные силы
в терминах обмена мезонами между нуклонами и требует,
чтобы спин пиона был целым. Поэтому до получения искус-
ственных мезонов на ускорителях большой энергии думали, что мезон должен
быть скалярным или векторным [71.
Скалярный мезон соответствует однокомпонентному полю, поведение
которого полностью описывается уравнением Клейна — Гордона.
324
Уравнение для векторного мезона [78] может быть получено обобщением
уравнений Максвелла. Для электромагнитного поля 4-потенциал А % удовлет-
воряет волновому уравнению
□аА = 0 (7.9)
и условию Лоренца
б»?.А = О. (7.10)
Поля в соотношении (6.13)
= (7-11)
удовлетворяют уравнениям [которые следуют из соотношений (7.9) и (7.10)1
3vAv = 5vc)Mv-D2/1v, (7.12)
которые являются частью уравнений Максвелла в вакууме. Совершенно
аналогично, если компоненты векторного мезонного поля удовлетворяют
волновому уравнению
(□2 + ™2)^ = 0 (7.13)
одновременно с условием1
с^ = 0, (7.14)
то величины
gbv = drfv — (7.15)
удовлетворяют уравнениям [используя соотношения (7.14) п (7.15)]
dvgKV=^dvd}^v~ О2 = (7.16а)
которые являются соответствующим обобщением уравнений Максвелла.
В трехмерной записи можно определить мезоэлектрическое поле е и мезо-
магнитное поле h, которые удовлетворяют уравнениям в вакууме [14]:
dive4~m2^4 = 0; )
В вакууме псевдоскалярный и псевдовекторный мезоны описываются
теми же уравнениями, что скалярный и векторный мезоны.
б. Источники мезонов. Источниками мезонных полей, очевидно, являют-
ся нуклоны. Необходимо представить себе, что нуклоны обладают мезонным
зарядом, который является источником пионного поля, так же как электри-
ческий заряд является источником электромагнитного поля.
Электромагнитный потенциал, создаваемый точечным источником —
частицей со спином 1/2 и зарядом е, удовлетворяет уравнению
□ 2 Л?. = 4ле(фу?.ф), (7-17)
где ф — волновая функция источника.
Однако видно также, что если источник обладает аномальным магнит-
ным моментом ц„, то следует добавить еще один член источника, как в гл. 6,
§ 9в, и написать
□ 2Э?. ^4ле(фу?г];) + 4л|1иу av[ip(yvY;.--YzYv) ф]. (7.18)
Па языке теории поля можно сказать, что вектор-потенциал связан с источ-
ником «векторной связью» или «тензорной связью с,производными» соответ-
ственно с «константами связи» е и р,а.
1 При этом ограничении только три из компонент ф;. являются независимыми; это
следует из того факта, что состояния с J = 1 являются триплетами. Без ограничения
соотношения (7.14) четвертая компонента Ф\ могла бы быть отнесена к дополнительной
частице с нулевым спином. Но такая частица имела бы отрицательную энергию и должна
быть отброшена (см. [7], гл. 3)
325
Эти положения могут быть легко распространены на мезонные ноля.
Правило простое: член источника должен содержать волновую функцию
источника и должен иметь те же самые тензорные свойства, что и поле.
Применяя эрмитовы тензоры гл. 6. § 4д, приходим к следующим урав-
нениям:
скалярная мезонная волновая функция
(□2+ '«”) ф - | 4л /^(ФхФ.х) (флУ'фх); (7-19)
псевдоскалярная мезонная волновая функция
(С?-±т2)Ф — Г-4л /рНФлЛ’ьФ) 'У,'4Л /р1<9' (флТ5¥гфл); (7.20)
векторная мезонная волновая функция
(qs + т^) ф} _ ], д.у (ф. ±1-*"- fVT дх [фу (yxY'y ~ VvYx) фл]; (7.21)
п с е в д о в е к т о р н а я (или а к с и а л ь н о - в е к т о р н а я)
мезонная волновая функция
(□2 + т2) ф}. — i | 4л /Л k (фууоУлфл) ।
+ ''Л'/* л1> дх I’f ' Y5 (W ~ YvYx) Фл1- (7-22)
В этих уравнениях фл — нуклонная волновая функция, а / — соответ-
ствующие константы связи \ определяемые из эксперимента.
Для скалярного мезона, описываемого уравнением (7.19), член с /КБ
соответствует скалярной теории со скалярной связью, а член с fsv — скаляр-
ной теории с векторной связью и так далее.
Так как константы связи в уравнениях (7.19) — (7.22) умножены на
коэффициент то они названы нерациона лизированны-
м и. Рационализированные константы связи Fss, Fsv и т. д. также встре-
чаются в литературе. Соотношение между рационализированными и нера-
ционализированными константами связи то же самое, что и в электромагне-
тизме
F2 inf2. (7.23)
в. Метод Лагранжа. Волновые уравнения, приведенные в пункте «б»,
могут быть получены как уравнения движения из соответствующих лагран-
жианов поля. Вспомним, что если X— плотность лагранжиана, то уравнения
Лагранжа для компонент срп поля таковы:
з
()Х <> дХ д дХ _____________g ,7
дфп г)х, / дфп \ dz4 / 1)фп \ ’ '
Плотность лагранжиана свободного скалярного поля, состоящего из
нескольких, возможно комплексных, компонент2, есть:
1 Все константы / имеют одинаковую размерность, так как множитель dvlm являет-
ся безразмерным. При соответствующей нормировке волновых функций константы /
являются чисто действительными числами. Полезно вспомнить, что при выборе эрмито-
вых тензоров в данной теории, вещественность констант связи соответствует требованиям
инвариантности относительно обращения времени.
2 Различные компоненты скалярного поля используются для описания мезонов
с разными зарядами (см. гл. 7. § 4г). Лагранжиан векторного поля, согласующийся
с волновым уравнением (7.16), см. у Вентцеля «Введение в квантовую теорию волновых
полей» [7].
326
Легко проверить, что плотность лагранжиана (7.25). подставленная в соот-
ношение (7.24), дает уравнение распространения (7.13) [именно
(—[j2—ш2)^ = 0] для каждой компоненты поля.
Лагранжианы взаимодействия, которые, будучи добавлены к соотно
шению (7.25), дают члены источника в соотношениях (7.19) — (7.22), имеют
вид:
— I 4л fss (фдф.х) ф —fsv (флУЖ) (7-2в)
— |л4л /Рр(флУэФх) ф —/ра (ФхУьУЧфл) дхф. (7.27)
I 4л/и..(фл-угфл) --Ц^Л’т(флУхУтФл) — дхф}.), (7.28)
— 11 in fAA (фтУкУтфл) —
---1 fAn ('’MWCYv’I’.v) (дкфк — дхф}_). (7.29)
Очевидно, лагранжианы взаимодействия должны быть скалярами, обра-
зованными свертыванием индексов компонент мезонного поля или их произ-
водных с тензорами того же самого ранга, образованными из спиноров
источника.
Плотности гамильтонианов могут быть получены использованием соот-
ношений
<$? =фп-Х, фп (7-30)
„ 4
Из соотношений (7.25) и (7.30) получаем гамильтониан свободного ска-
лярного поля:
71 г=1
Если лагранжиан взаимодействия не содержит фп, можно написать
<Й?вз=-^вз- (7-32)
Это соотношение верно для всех первых членов выражений (7.26)—(7.29).
которые не содержат связи с производными; для выражения (7.27), которое
представляет особый интерес, величина дХ/дф » (УьТл) является малой
в нерелятивистском случае, и в этом приближении соотношение (7.32) выпол-
няется для обоих членов лагранжиана взаимодействия псевдоскалярных
мезонов
§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА пионов и мюонов
а. Массы заряженных мезонов. Точные значения масс пионов
и мюонов получены по измерению в ядерных фотоэмульсиях
параметров л —> р распада в сочетании с определением
поглощения рентгеновского излучения мезоатомов.
Выполненные в ядерных фотоэмульсиях измерения кинетической энер-
гии р+-мезонов, образующихся при распаде остановившихся л+-мезонов,
дали следующее значение разности масс л — р:
тл+ — т11+— (66,41 ±0,1)/ие. (7.33)
Измерение энергии рентгеновского излучения мезоатомов по краю кривой
атомного поглощения дает значения верхнего и нижнего пределов для масс
327
(7.34а)
отрицательных мезонов
(272,2 + О,иЗ) те < тп- < (273,5 + 0,04) /+;
(206,77 + 0,04) те < тц- < (208,95 ± 0,04) те.
Предполагая, что mM+ = и тл+ = тл~, можно получить массы заряжен-
ных мезонов. Еще более точное значение массы мюона было получено по
измерению перекрытия между линией рентгеновского излучения р-мезоатома
фосфора, соответствующей переходу 3d —> 2р, и /0-краем кривой поглощения
свинца [22, 52].
Выполненные в последние годы точные измерения гиромагнитного отно-
шения (см. гл. 8, § 15а) и магнитного момента мюона [611 дают другой способ
определения его массы. Получено, что
шм = (206,77 + 0,01) те. (7.346)
Если снова принять, что = т^- и тп+ тл_, то можно определить
массы всех заряженных мезонов [21]:
= (105,655 + 0,010) Мэв- (7.35)
шя± = (139,59+ 0,05) Мэв. (7.36)
Предположение, что массы мезонов не зависят от знака, подтверждено
с точностью 0,2% в фотоэмульсионных работах по л-мезонам.
б. Время жизни заряженных мезонов. Время жизни р+-мезона измерено
с помощью электронной методики. Его значение 1
Тц+- (2,212 + 0,001) х IO’6 сек. (7.37)
Для свободных ц“-мезонов отсутствуют прямые измерения времени жизни,
так как эти частицы до распада образуют р-мезоатомы. Однако из измерений
времени жизни связанного р "-мезона можно сделать вывод, что с хорошей
точностью время жизни свободных мезонов является одинаковым для мезо-
нов обоих знаков.
То же самое справедливо и для пионов. Время жизни л+-мезона измере-
но непосредственно по распаду остановившегося л+-мезона [21]. Оно равно
тл+ = (2,55 + 0,03) X Ю'8 сек. (7.38')
Наблюдения распада л “-мезонов ограничены случаями распада на лету.
Вследствие этого время жизни л“измерено менее точно [70J, но все же сов-
падает со значением, приведенным в формуле (7.38'),
тп- = (2,55 + 0,19) X 10“8 сек. (7.38)
Равенство времен жизни свободных частиц противоположных знаков
является следствием предположения об инвариантности относительно заря-
дового сопряжения.
в. Спины. Многие косвенные данные давно уже свидетельствовали
1 IT
в пользу спина для мюона. Из способа распада следует, что спин должен
+
быть полуцелым, а величина гиромагнитного отношения с большой точностью
согласуется с тем, что мюон является дираковской частицей (см. гл. 8. § 15а).
Наконец, последние измерения сверхтонкой структуры атома мюония
окончательно установили, что
спин мюона равен . (7.39)
Спин л-мезона получен применением принципа детального равновесия
(см. гл. 5, § 46) к прямой [27, 29] и обратной [28, 471 реакциям
p + p-»D4-n+;
л+4-D—> р + р.
1 См. ссылки в гл. 8, § 12г.
328
Получено, что
спин пиона ранен 0.
(7.40)
г. Открытие нейтрального л-мезона и его свойства. Так как одинаковые
нуклоны не могут обмениваться заряженными пионами, то для объяснения
наблюдаемой зарядовой независимости ядерных сил
необходимо постулировать существование л°-мезона.
Основой для поисков этой частицы было предполо-
жение (позднее подтвержденное), что она должна
быстро распадаться на два у-кванта. Этот процесс
запрещен для заряженных л-мезонов вследствие
закона сохранения электрического заряда. Пред-
полагается, что распад л°-мезона происходит через
образование промежуточной нуклон-антинуклонной
пары (рис. 7.1).
Фоторождение л°-мезона было открыто Стейн-
бергером и Пановским в Беркли (1950 г.). Они на-
блюдали совпадения у-квантов от распада л°-мезо-
нов, образующихся в реакции у + N —> N -Б л°.
Приблизительно в то же самое время Ианов-
Рис. 7.1. Диаграмма рас-
пада нейтрального пиона.
ский изучал у-кванты, возникающие при захвате
л"-мезонов в водороде. Он показал, что их можно разделить на две группы,
соответствующие реакциям
п~ + р-^п + у,
(7-41)
те -4~ р —"4"
(7-42)
происходящим примерно с одинаковой вероятностью [«Отношение Пановско-
го» R = п°/у = 0,94 ± 0,2 по данным первых экспериментов; ~1,5 на
основании более поздних измерений (см. гл. 7, § 17)].
Энергия нейтрального л-мезона в реакции (7.42) зависит от разности
масс л~- и л°-мезонов. Кинетическая энергия л°-мезона в свою очередь при-
водит к допплеровскому уширению длины волны испускаемых у-квантов.
По измерению допплеровского уширения Пановский получил
шл- — тл0 = (10,6 + 2,0) те.
Более поздние измерения [33, 36] угловых корреляций между у-кванта-
мн (у-кванты испускаются в противоположных направлениях в системе
покоя л°-мезона) дают
тп- — Шдо = (8,9 + 0,14) те.
Самое последнее определение массы л°-мезона привело к значению [21]:
Шло = 135,00+ 0,05 Мэв. (7.43)
Спин л°-мезона не может быть равен 1, так как два у-кванта, разлета-
ющиеся в противоположных направлениях, не могут унести момент количе-
ства движения, равный единице. Предполагают, что он равен нулю подобно
спину заряженных пионов.
Время жизни л °-мезона очень мало.
В последнее время были выполнены прямые измерения этой величины
123, 63, 95, 96]. Одно из самых последних опубликованных значений
тло ~ (1,9 X 10-16 сек. (7.44а)
Измерение времени жизни заключается в определении длины пробега
л°-мезона, образовавшегося в ядерной эмульсии (рис. 7.2) при распаде
А-мезона (А+ —> л° + л+), в тех редких случаях (около 10'2 основной схемы
329
распада на 2 у-кванта), когда л°-мезон распадается на у-квант и элек-
тронно-позитронную пару.
Выл предложен также косвенный метод измерения времени жизни л°-
мезона [62, 80], основанный на изучении реакций, обратных распаду,
а именно
у + у —»л°, (7.45а)
у4- кулоновское поле тяжелого ядра—>л° (7.456)
пли
е+4 е~—>л°, (7.45в)
п на применении принципа детального равновесия.
О наблюдении процесса, описываемого схемой (7.456), сообщалось
в работе [99]. По данным этой работы
тло 5-10“17 сек, возможно значение ~ 10“16 сек. (7.446)
д. Четность л-мезонов. Пановский с сотрудниками провели также
исследование по захвату л_-мезонов в дейтерии [79]. Наблюдались у-кванты
Рис. 7.2. л+- и л°-мезоны, образующиеся на конце следа А'4-ме-
зона в ядерной фотоэмульсии. След л +-мезона виден слева в виде
последовательности темных зерен. дО-мезон движется направо и
распадается с испускав нем у-кванта п электронной пары (е1, е2),
следы которых видимы и пересекаются в точке распада л°-ме-
зоиа (7V).
из реакции л“ 4- D—*п п ± у, однако эти у-кванты не соответствовали
всему количеству захваченных л “-мезонов. Авторы сделали вывод, что
реакция
л~1) —> и + и (7.46)
идет с вероятностью, соответствующей отношению
п-\-п
п4-пД- у
= 2,4 ±0,5.
Реакция (7.46) непосредственно наблюдалась Чиновским и Стейнберге-
ром [32] методом совпадении между нейтронами; они нашли, что
(п ± п)/(п 4 н у) = 1,5 ± 0,8. О более поздних результатах измерения
этого отношения сообщается в § 17.
Рассмотрим баланс спина и четности в реакции (7.46).
Имеются как теоретические, так и экспериментальные данные о том,
что изолированная система л- 4“ D образует до захвата л “-мезона мезоатом
в 15-состоянии. Теоретические данные основаны на вычислении вероятности
радиационного перехода между 2Р- и 15-состояниями мезоатома дейтерия
и на оценке прямого ядерного захвата мезона из 2/-1-состояния [15]. Экспе-
риментальные данные основаны на наблюдении рентгеновского излучения,
соответствующего переходу 2р —> 1s в мезоатомах Be и Li.
330
фундирует в веществе подобно тепловому нейтрону и взаимодействует с но-
лями смежных атомов. Вследствие эффекта Штарка состояние с большим
главным квантовым числом и Z^= О смешиваются с Z Он состояниями, в кото-
рых пион заметно перекрывает дейтон. Таким образом, захват может происхо-
дить из ^-состояний с главным квантовым числом, большим единицы, без
предшествующих каскадных переходов на более низкие атомные орбиты [501.
Таким образом, приходим к заключению, что как в газообразном, так
и в жидком веществе состояние, из которого происходит захват [левая часть
реакции (7.46)1, имеет
спин 1. Его орби-
тальная ч е т н о с т ь
п о л о ж и т е л ь н а, а
полная четность
равна внутренней
четности пиона.
Для того чтобы пол-
ный момент количества
движения был равен еди-
нице, два нуклона в пра-
вой части уравнения (7.46)
должны находиться в 35-,
л°(четный)
(нечетный)
Рис. 7.3. Поляризация у-кваитои в распаде л°-мезоца.
3Р( , 3/Д-или 1Pt состоя
ниях. Но, так как оба нуклона являются нейтронами, то в силу прин-
ципа Паули 35-, 3Z)j- и ’^(-состояния запрещены.
Следовательно: нейтроны должны находиться
в нечетном ЪР\- состоя ним.
Отсюда приходим к заключению, что л_-м е з о н и м е е г о т р и-
нательную внутреннюю четность по отношению к нук
лонам. Если произвольно приписать нуклонам положительную четность.
т. е. , то для отрицательного пиона получим 0 . Полновая функция л -
мезона в состоянии с орбитальным моментом количества движения, равным
нулю, инвариантна относительно поворота координатных осей, но изменяет
знак при отражении осей. Она является псевдоскаляром.
Прямое определение четности л+-мезона отсутствует, но вследствие
инвариантности по отношению к зарядовому сопряжению ее также считают
отрицательной.
Четность л°-мезона также полагают отрицательной, ибо три пиона
должны иметь одинаковые свойства для объяснения зарядовой независимо-
сти. Эксперимент для измерения четности л°-мезона был предложен Янгом
1104]. Он заключается в изучении относительной поляризации 2у-квантов,
образующихся при распаде л°-мезона. Если четность л°-мезона положитель-
на, то у-кванты должны быть поляризованы в одной и той же плоскости,
в противном случае плоскости поляризации перпендикулярны друг другу
(рис. 7.3). как в состоянии позитрония.
Это предложение рассматривалось многими экспериментаторами, но
было отвергнуто вследствие трудности создания эффективных поляриметров
для у-квантов высокой энергии. Если, однако, в распаде лр-мезонов вместо
двух у-квантов испускаются две электронно-позитронные пары (пары Далит-
ца), то их можно наблюдать в конце л -мезонного следа в водородной пузырь-
ковой камере.
Такая двойная внутренняя конверсия является исключительно мало-
вероятным событием [его вероятность ~1/30 ООО ~137-2]. Но корреляция
между плоскостями пар зависит от четности л°-мезона [68] и может быть
измерена.
Анализ 112 событий [83, 94] (было изучено 836 000 снимков!) привел
к выводу, что четность л°-мезона, как и предполагалось, отрицательна.
331
Заметим, что внутренняя четность л0-мезона измеряется абсолютно
(т. е. по отношению к вакууму), тогда как внутренняя четность л~-мезона
определена по отношению к четности протона и нейтрона. Таким образом,
естественное предположение, что оба нуклона имеют положительную чет-
ность, а все три пиона — отрицательную, находится в согласии с опытом.
§ 4. НЕКВАНТОВАННАЯ ПСЕВДОСКАЛЯРНАЯ МЕЗОННАЯ
ТЕОРИЯ С ПЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ СВЯЗЬЮ
а. Нерелятивистское псевдоскалярное взаимодействие для ней-
тральных мезонов. В предыдущем разделе были представлены
доказательства псевдоскалярного характера пионной вол-
новой функции. По крайней мере в нерелятивистском приближении этот
экспериментальный результат однозначно определяет вид взаимодействия
между нуклонами и мезонным полем.
Безусловно, это взаимодействие аналогично взаимодействию петли элек-
трического тока с псевдоскалярным магнитостатическим потенциалом Ф,н.
Петля с током, имеющая магнитный момент р., создает потенциал Ф,„
= — р-V (1/г); та же самая цепь во внешнем потенциале Фт имеет энергии!
р- ГФт. В результате этого две петли р( и р2 взаимодействуют друг с другом
с потенциалом
-(p1-V)(p2-V)(l/r),
который эквивалентен описываемому выражением (1.119).
Аналогичные выражения найдены для взаимодействия точечных нукло-
нов с мезонным полем и друг с другом. Единственное различие заключается
в том, что радиальная функция 1/г принимает вид (1/г) ехр (—тг) и магнит-
ный момент заменяется произведением спина на константу связи.
Для более формального рассмотрения начнем с псевдовекторной части
плотности лагранжиана взаимодействия (7.27) и рассмотрим только нейтраль-
ный мезон, волновая функция которого предполагается действительной.
В нерелятивистском приближении, сохранив только «большие» члены этого
лагранжиана, получим
•£вз = — i fPA (te’l’) =-----Чг fpA (7- 'h >
III/ UJL/^ III/
Так как cifyldt больше не входит в лагранжиан, то соответствующий гамиль-
тониан также имеет формуо-V^—такую же, как и энергия взаимодействия
в соответствующем электромагнитном случае.
Для точечного ядра в точке г матричный элемент (ф‘‘сгд|;) можно заменить
выражением (ог> 6 (г —г'), где о г —матрицы Паули 2 X 2. В дальнейшем
будет полезно рассматривать нуклоны конечного размера, для которых
распределение мезонного источника дается функцией р (г), удовлетворяющей
уравнению р (г) dr = 1.
Тогда, если ядро находится в точке г, плотности лагранжиана и гамиль
тониана в г' имеют вид
Увз(г, Г')= — Ж>з(г, г')= —^/РАр(|г' — г |)<т-?</> (г'). (7.48)
Соответствующие лагранжианы и гамильтонианы получаются интегрирова-
нием по «внутренней» переменной г'. Выражение (7.48) — скаляр, что требует
теория с сохранением четности, поскольку V</> является псевдовектором *.
1 Мезонное поле подобно магнитостатическому потенциалу должно быть нечетным
при обращении времени для того, чтобы обеспечить инвариантность взаимодействия
относительно обращения времени.
332
Можно усомниться в том, что выражение (7.48) является единственным
выражением, и предположить, что можно получить другой результат, если
начать с псевдоскалярной части лагранжиана взаимодействия (7.27). Однако
можно показать, что это не так. В самом деле, с помощью пространственных
и спиновых координат рассматриваемых частиц невозможно сконструировать
скалярное выражение, отличающееся от выражения (7.48). Вспомним [см. соот-
ношение (6.78)1, что 'ф'Уз'Ф сводится в нерелятивистском случае к
~ (<т-Рл)- которое приводит к виду, подобному (7.48). Эквивалент-
ность между псевдоскалярным и псевдовекторным взаимодействием имеет
силу, до некоторой степени даже в релятивистском случае, и обсуждается
более точно в § 6д.
Теперь введем два упрощения в обозначении:
1) Опустим буквенные индексы в константе взаимодействия
f = /ра- (7-49)
2) Будем пользоваться такими единицами, что
тп = 1. (7.50)
Тогда плотности лагранжиана и гамильтониана нерелятивистского
взаимодействия для нуклона в начале координат запишутся
^вз (г) = — <Ж3 (г) - ~ V4л /р (г) о-\<f> (г). (7.51а)
Проинтегрированный гамильтониан имеет вид
<^’вз = ]'Л4л / \ p(r)o-V^(r)dr, (7.516)
а волновое уравнение1
(□2+1)$г> = К4л/о-Гр. (7.52)
б. Нейтральное мезонное поле. Для точечного источника, помещенного
в начало координат, р (г) можно заменить 6-функцпей, тогда статическое
решение уравнения (7.52) есть
<753)
в то время как в общем случае для распределенного источника имеем
t е p-lr-r'l
ф(г)== w°’v S р(И |r~--?rdr (7-54)
Формулы (7.53) и (7.54) описывают мезонное облако в нерелятпвистской
псевдоскалярной теории, подобно тому как выражение (7.6) представляло
мезонное облако в скалярной теории.
Так как мезоны в облаке неподвижны, то их волновая функция не зави-
сит от времени и, следовательно, энергия мезонов равна нулю. Это означает,
что энергия покоя скомпенсирована энергией связи и что требуется едини-
ца энергии (=н?пс2), чтобы мезоны проявлялись как свободные частицы.
Мезонное облако простирается на единичное расстояние (Л/тлс). Это
расстояние несколько больше, но — того же порядка, что и «размер» прото-
на. Волновая функция (7.53) включает угловую зависимость cos аг, характер-
ную для /''-состояния. Так как нуклоны вместе с их мезонным полем должны
быть четными, то, очевидно, для компенсации внутренней отрицательной
четности мезона требуется нечетная угловая зависимость.
в. Ядерные силы. Допустим для простоты, чтр нуклоны 1 и 2 являются
точками. Пусть нуклон 1 находится в начале координат и создает согласно
соотношению (7.53) мезонное поле:
, f г-е-г
1 Отметим сходство между — V (р<т) в источнике в соотношении (7.52) и «плотностью
магнитного заряда» — Vm [31].
333
Тогда второй нуклон в этом поле, в точке г, согласно соотношению (7.516)
имеет энергию
U (г) = fo2 -Ufa (г) = f* (*2 V) (О, V) . (7.55)
Мы получили в простейшем виде ядерный потенциал псевдоскалярной мезон-
ной теории. Вычисляя градиенты * 1 получим
и /2[(4-< (7.56)
где 512 —оператор тензорной силы, даваемый выражением (1.121).
Выражение (7.56) является, ио меньшей мере, обнадеживающим. Путем
очень простых выкладок можно получить потенциал, который включает
тензорные и спиновые обменные силы и имеет радиус действия необходимого
порядка величины. Если предположить, что нуклоны являются мезонными
источниками конечного размера, то член, содержащий 6-функцию, характе-
ризует притяжение или отталкивание сердцевины нуклона.
г. Изотопический спин пиона и зарядово-симметричный гамильтониан.
До сих пор рассмотрение включало только нейтральные мезоны; оно, очевид-
но, зарядово-независимо, так как всем нуклонам приписывается одинаковая
константа связи мезонного поля, и они поэтому ведут себя в точности оди-
наковым образом, поскольку речь идет о сильном взаимодействии.
Однако все нуклоны не могут вести себя одинаково в отношении заря-
женных мезонов. Нейтрон, например, может испустить отрицательный мезон
и стать протоном или может испустить нейтральный мезон и остаться ней-
троном, но он не может испустить положительный мезон.
Как уже отмечалось, обмен заряженными мезонами не может иметь
место в наинизшем порядке, между одинаковыми нуклонами.
Теперь необходимо сформулировать теорию, которая учитывала бы
существование трех зарядовых состояний пиона и согласовывалась с зарядовой
независимостью ядерных сил. Для этого воспользуемся формализмом изото-
пического спина.
Вспомним, что оператором изотопического спина для нуклонов является
1
вектор т в изоспиновом пространстве, компоненты которого равны опыт-
ным матрицам Паули (1.52) с множителем 1/2. Собственное значение -2 т 2
1 Для любой функции г, / (г)
V«r2V/) v(l-g-<r2-r) ^-(a2.r)v4-+A(o2.r)V-g- +
i «/ _ . . -, г <*2/ 1 <?/ п 1 sf
V (<T2-r) г (<т2-г) -----<т2---------/- ,
г дг ' “ ' * |_ dr2 г dr J г дг
и тем самым
(O1-v)(n2.v/) 3(0Г7)(02.7)1[ ] |-(ffl.o2)±-^- =
= (3(<71.7)(<Т2.7)-<71.<Т2)11 ] (Щ-П2) + ]J.
Для / --— мы получим соотношения (7.56), выполняя дифференцирование и учи-
7* /
ты на я, что
1 1
Заметим, что для т 0 e-r 1 и —1, и, следовательно, уравнение (7.56) сво-
Г
дится к уравнению (1.119).
334
есть , а собственные значения -у- т3 равны + — в зависимости от того,
в каком зарядовом состоянии находится нуклон: в протонном или нейтрон-
ном. Короче говоря, изотопический спин нуклона равен : т. е. волно-
вая функция нуклона является дираковским
спинором в физическом пространстве и спино-
ром Паули в изоспи новом пространстве.
Так как л-мезон существует в трех зарядовых состояниях ( ' , 0, —),
то естественно утверждать, что его изотопический спин
равен 1. Изоспиновый оператор пиона — вектор t, компоненты которого
являются матрицами (1-72) или (1.73). Собственное значение | t |1 2 есть 2,
а собственные значения t3 есть pl, О, —1 в зависимости от того, находится
мезон в положительном, нейтральном или отрицательном зарядовом состоя-
нии. Пионная волновая функция должна вести себя при вращении в изоспи-
новом пространстве так же, как равный единице момент количества дви-
жения. Таким образом, пионная волновая функция ф
является псевдоскаляром в физическом про-
странстве и вектором1 в изосииновом простран-
стве. Компоненты волновой функции фи ^>2, ф3 выбираются таким образом,
чтобы быть действительными 2.
Условие зарядовой независимости может быть сформулировано таким
положением (см. гл. 1, § 15а): гамильтониан взаимодействия
должен быть инвариантом относительно вращения
(скаляром) в изоспиновом пространстве. Таким
образом ф, входящие в гамильтониан, должны быть скалярно умножены
на изоспиновые векторы соответствующих нуклонов. Если нуклон находится
в начале координат, то плотность нерелятивистского лагранжиана взаимо-
действия должна быть видоизменена 3:
<5?вз— — — И4л/р(г)а- Г(тф) =
= — /р(г)о--V (T^j + Tg^ + T^s). (7.57)
Из этого лагранжиана получается волновое уравнение
(□2+1)ф 1 ^/ro.Vp(r), (7.58)
статическое решение которого
/ р ₽—1Г—Г'1
ф ~ /— то V \ р (г') ---уу- dr'. (7.59)
Г lz4n J L v ' |r-r' I >
Нуклон-нуклонный потенциал для точечного источника дается выра-
жением
~ /2т1т2 | (73- + — +- 1 ) $12 + О] • | -
Лтт
---tf/2(T-T2) (Oj-o2)6 (г). (7.60)
Описанный формализм взаимодействия, впервые предложенный Кеммером
167], носит название зарядово-симметричного взаимодействия.
Важно отметить, что потенциал (7.60) получен только из предположения,
что взаимодействие между нуклонами передается псевдоскалярными пионами
и что оно зарядово-независимо. При этом использовались следующие при-
ближения: нуклоны являются точечными и нерелятивистскими, а взаимодей-
1 Или псевдовектором, но не будем обсуждать здесь вопрос изотопической четности.
2 В § 15г будет показано, что это утверждение согласуется с инвариантностью
при зарядовом сопряжении.
3 В последующих формулах символы <у, т означают матричные элементы соответ-
ствующих операторов между интересующими ядерными состояниями.
3,45
ствие — слабым. Однако можно было бы создать теорию с релятивистскими
источниками мезонов или с источниками конечного размера.
Обобщение теории на случай сильной связи (/2 > ~ 1), наоборот, являет-
ся очень сложным, так как пришлось бы рассматривать мезон-мезонные
взаимодействия и другие эффекты более высокого порядка.
§ 5. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
а. Сравнение для случая ядерных сил в синглетном S'-состоя-
нии. Потенциал в соотношении (7.60), очевидно, имеет
некоторые особенности, существенные для объяснения ядер-
ных сил. Он имеет радиус действия правильного порядка величины, является
зарядово-независимым и содержит операторы обменных и тензорных сил.
Теперь необходимо этот потенциал сравнить более подробно с уже имеющи-
мися данными о ядерных взаимодействиях, начиная с данных для низких
энергий.
S-состояние двух нуклонов может быть как изосинглетным (т,т2 = 1),
так и изотриплетным (tiT2 = — 3). В первом случае имеем спиновый триплет
(djOg = — 3), а во втором — спиновый синглет (о, -о2 = 1). В обоих случаях
можно написать
(т1-т2)-(ст1-п2)= — 3. (7.61)
Тем самым потенциал в соотношении (7.60) — потенциал притяжения,
за исключением члена, содержащего б-функцию, который характеризует
отталкивание и не накладывает дополнительного ограничения на решение
радиального волнового уравнения и = гф. На это решение уже было нало-
жено требование равенства нулю в начале координат из-за предполагаемой
непрерывности ф, поэтому 6-функцией можно пренебречь *.
Если ограничиться синглетными состояниями, в которых тензорные
силы отсутствуют, то потенциал в соотношении (7.60) сводится к простому
потенциалу притяжения Юкавы (потенциальная яма):
*7сингл = . (7.62)
член /2 можно определить из величины синглетной длины рассеяния. Извест-
но, что эта длина [см. соотношение (3.110)1 является большой и соответ-
ствует почти нулевой связи в синглетном состоянии. Для прямоугольной
ямы условием нулевой связи является Vor^ = п2/(4Л7) » (0,47И)-1 [см. соот-
ношение (1.139)]. Для потенциала Юкавы имеем аналогичное соотношение,
но с другим численным коэффициентом ([2], стр. 56, формула 2.17) —/2г„ =
(0,5Ч7И)-1, где г0 —комптоновская длина волны пиона (равная 1 в рас-
сматриваемой системе единиц), а М — масса нуклона (примерно равная 6,7).
Исходя из вышеизложенного, получаем
= 0,59x6,7 Z- (7.63)
Таким образом найдено, что константа связи псевдоскалярной теории с акси-
альной связью значительно больше элементарного электрического заряда,
но меньше единицы.
Учитывая, что /2 ~ 1, надо считать, что теория, конечно, является
неточной, если в ядерном потенциале не учтены эффекты более высокого
порядка. Следовательно, величина константы связи, определяемая соотно-
шением (7.63), не может быть точной. Вопрос о ядерных силах в нереляти-
вистской мезонной теории будет обсуждаться снова в § 8 и 14, где будет
показано, что значение /2 = 0,08 является лучшей оценкой для нереляти-
вистской константы связи.
1 Отметим, что применение борновского приближения для потенциала типа 6-функ-
ции, вообще говоря, не является оправданным.
336
б. Триплетное состояние и необходимость обрезания. В триплетных
состояниях, как, например, у дейтона, должны учитываться тензорные
силы. Качественно эти силы дают дополнительное притяжение и их можно
считать ответственными за связь в дейтоне. Кроме того, знак этих сил объяс-
няет знак квадрупольного момента дейтона.
Однако если попытаться решить уравнение Шредингера для дейтона
с помощью потенциала (7.60), то будет разочарование. Член 1/г3 расходится
слишком быстро в начале координат, чтобы можно было получить приемле-
мое решение. В результате получается бесконечно малый дейтон с бесконечно
большой энергией связи. Это вызвано тем, что формула (7.60) является нере-
лятивистским выражением второго порядка и нельзя надеяться, чтобы она
осталась справедливой на коротких расстояниях, где начинают играть
роль большие значения переданного импульса и многомезонный обмен.
К сожалению, еще не найдена подходящая удовлетворительная трактов-
ка многомезонного обмена в релятивистской теории. Для того чтобы обойти
эту трудность, в большинстве теорий прибегают к приему «обрезания»,
который эквивалентен допущению, что источник мезонов размазан по огра-
ниченному объему. Тогда особенности в начале координат устраняются.
Леви [71, 72] первый отметил, что последовательное рассмотрение рас-
пределенного источника размазывает потенциал отталкивания (типа 6-функ-
ции) на конечное расстояние, создавая отталкивающую сердцевину, которой
дальше пренебрегать нельзя.
Таким образом, теория «обрезания» предсказывает отталкивающую
сердцевину, как и требуется для интерпретации результатов нуклон-нуклон-
ного рассеяния, и не противоречит современным представлениям о ядерных
силах.
Мезонные теории с обрезанием имеют два параметра, которые подби-
раются в соответствии с экспериментальными данными:
1. Константа связи /, описывающая связь мезонов на не слишком
коротких расстояниях. Она не обязательно является той же самой констан-
той связи, что и для точечного взаимодействия.
2. Параметр обрезания — минимальный радиус гМ1Ш или максимальный
импульс Т^маьс, который описывает «размер источника».
Обрезание часто вводится предположением, что мезонный источник
(покоящийся нуклон) имеет плотность р (г) и что фурье-образ этой плотно-
сти (формфактор)
г (Л-) = e-lk rp (г) (?г (7.64)
обрезается при к /гмакс
v(k)=l при Л-<Л-МакС; 1
i I (7.6э)
и (к) О при А>Л-макс- I
Таким способом устраняются все неприятные эффекты, возникающие на
коротких расстояниях и при высоких энергиях. Однако структура распре-
деленного источника остается покрытой тайной, а теории обрезания, по
словам Фейнмана, эквивалентны «скрыванию грязи под ковром».
Тем не менее нельзя отрицать, что теории обрезания оказались удач-
ными для интерпретации физики пионов низких энергий, несмотря на то
что они не могут быть применены при высоких энергиях. Более подробное
обсуждение этого вопроса и ссылки на литературу см. в § 13.
в. Возможное существование второго нейтрального пиона. Было пока-
зано, что можно сформулировать зарядово-независимую мезонную теорию,
совместимую с существованием пионного зарядового триплета. Но можно
также получить зарядовую независимость с пиопным зарядовым синглетом,
что соответствует нейтральному пиону с изоспином, равным нулю.
Может быть, существуют два различных нейтральных пиона: один,
являющийся нулевым зарядовым состоянием изоспииового триплета, а дру-
гой — единственным членом изоспииового синглета.
22 Ядерные взаимодействия
337
Ответ на этот вопрос может дать только эксперимент. Некоторые авторы
искали второй л °-мезон, исходя из предположения, что его масса не слишком
отличается от массы л°-мезона, открытого Пановским. Результаты этих иссле-
дований всегда были отрицательными 139, 91].
За последнее время, однако, псевдоскалярный нейтральный мезон
с Т 0 был найден в экспериментах при высоких энергиях (см. § 21). Эта
частица оказалась более чем в три раза тяжелее пиона. В данном случае,
при обсуждении физики пионов низких энергий, мы пе будем принимать
во внимание существование этого мезона.
§ 6. КВАНТОВАНИЕ МЕЗОННОГО ПОЛЯ
а. Квантование свободного нейтрального поля. Необходимо
теперь ввести в рассматриваемый формализм важную кон-
цепцию, которой до сих пор пренебрегали, а именно мезон-
ное поле, соответствующее частицам. Энергия свободного мезонного поля
не может принимать произвольные значения. Для каждой волны с импуль-
сом к энергия изменяется только ступенями, величина которых ]/ к1 2 + 1.
В этом случае положение совершенно аналогично электромагнитному
полю, которое следовало квантовать, чтобы учесть его фотонную природу
(см. гл. 4, § 2). Квантование мезонного поля может быть осуществлено
с помощью точно такой же методики. Сначала надо предположить, что опыты
будут проводиться в ящике единичного объема 1, так что состояния свобод-
ных мезонов квантованы. Возможные стационарные состояния мезонов
в ящике обозначаются индексом к, который соответствует определенному
значению импульса (| /с, | = nmi, где i — х, у, z, a mt —положительное
целое число).
Если рассматривать только нейтральные мезоны, то поле в ящике может
быть разложено в сумму по собственным состояниям
= 2 toeik r + <7*e-ik r), (7.66)
а амплитуды qh должны быть проквантованы.
Плотность неквантованного гамильтониана свободного поля [см. соот-
ношение (7.31)1 cm - 1 равна
а^свое= 4 (| |2 +! I2 +1ФI2) (7-б7>
Подставив соотношение (7.66) в выражение (7.67) и выполнив интегрирова-
ние, получим гамильтониан свободного поля
о^?своб — к2 (cjk Q*)2 (<]k ~ ?*)‘1 =
ii
’ (7-68)
h
где ____
<о* Юс2+1. (7.69)
— квант энергии, и, как в гл. 4, § 2, Qh qh -д q*, Ph m (qh + q*).
Однако здесь m = 1 (вместо m = 1/4лс2).
Заметим, что гамильтониан свободного мезонного поля подобно гамиль-
тониану электромагнитного поля излучения соответствует сумме осцилля-
торов, и нет необходимости проводить вычисления дальше, так как можно
использовать результаты гл. 4, § 2 2.
1 Единичный объем в данном случае должен быть больше, чем куб комптоновской
длины волны мезона! Для того чтобы согласовать с используемыми единицами, необхо-
димо говорить о ящике объемом L3 >> 1, но так как размер ящика никогда не входит
в конечные результаты, то в наших формулах мы не будем писать L3.
2 Эти результаты отличаются на множитель ) 4л, потому что гамильтониан элек-
тромагнитного поля, выраженный соотношением (4.1 8), имеет множитель 1/8л, тогда как
гамильтониан мезонного поля (7.67) имеет множитель */2-
Д’
338
Мезонное поле можно разложить по операторам уничтожения и рож-
дения ah и 4
4 = 21/Л^(а*е‘к‘Г + ^е-1к г)- (7-70)
k
Теперь необходимо разложить гамильтониан взаимодействия между
нуклоном и мезонным полем в ряд по операторам рождения и уничтожения.
Для этого рассмотрим нуклон в точке г [для которого неквантованпый
гамильтониан взаимодействия дается выражением (7.516) с заменой г на
г' — г) и введем в эту формулу мезонное поле в квантованном виде (7.70).
Таким способом получаем квантованный гамильтониан
с^взаим = Г 4л / У 1/Р (| г' — г I) о-v (flfe eik'г' + 4 e-ik’r') dr' =
’ cl
It
- i K4S/Z 44 ]/-^<bk(afeeik-r-4e-ik r), (7.71)
k
ine v (к) определены соотношением (7.64).
Этот гамильтониан действует на спиновые состояния нуклона и на со-
стояния мезонного поля.
6. Применение «циркулярных» осей в изопространстве. Прежде чем
перейти к квантованию заряженного мезонного поля, полезно описать его
неквантованные компоненты для положительного, нейтрального и отрица-
тельного зарядов.
Выберем фиксированную правую ортогональную систему координат
в изопространстве, определяемую единичными векторами е4, е2, е3, и спроек-
тируем все изоспиновые векторы на направления единичных «циркуляр-
ных» векторов1:
4 = —Л- (ei + /ег); j
1 2 I
е_ = -4=-(е1-/е2); } (7.72)
У Z I
е0 = е3. J
Эти векторы, как уже известно, являются нормированными собственными
векторами, отвечающими изоспину, равному 1, для трех компонент, равных
соответственно 4-1, —1 и 0 [см. соотношение (1.70)1. Компоненты мезонное»
поля па эти направления следующие:
Ф+ =---у=4Ф1 + *Фг), ( Ф1 (Ф+~Ф )) ’> |
ф_= W1-^2), (^=-^(Ф+4 ф.)) ; [ (7.73)
фо = фз, (Фз 9 о)-
Они отвечают соответственно тем частям мезонного поля, для которых третья
изоспиновая компонента равна -I 1, —1, 0, и, следовательно, соответствуют
положительному, отрицательному и нейтральному пионам.
Легко видеть, что выраженная через ф+, ф_ и ф0 плотность лагранжиана
свободного мезонного поля, даваемая соотношением (7.25), принимает вид
(для т = 1);
-i { -1 vk |* -1V*. f- (W+1 |!+1 |!+
+ • (7.74)
1 Сравните с гл. 1, § Зд.
22* 339
Плотность лагранжиана взаимодействия, выраженная соотношением
(7.57), можно написать с помощью «циркулярных» компонент изоспина:
т+ ~W(T1 + ZT2) — V2(Si);
т — ir2) = |/2 (У °) ; (7.75)
* - -(!_?)• .
В результате получаем
взаим = О^взаим I 4л /р (/’) О-V ( То<£о) =
= 1Йр(Г)б.т[] Т (° J) ф—ГГ (J 0) ф+ + (J J) ф0] . (7.76)
Эта формула выражает формальную связь между зарядовыми состоя-
ниями мезонов и нуклонов. Ее значение станет ясным после квантования
заряженного поля.
в. Квантование зарядово-симметричного поля. Три действительные ком-
поненты ф1, ф2, Фз пионного поля по декартовым осям в пространстве изо-
спина могут быть разложены в ряд по операторам уничтожения и рождения
°г,л, al h (i — 1, 2, -3) точно так же, как ото было сделано для нейтрального
поля.
Таким образом, разложение для комплексных полей ф+ и ф_ имеет вид:
Ф« =---77т X 1а1.й + г«2,л)е‘к г + (4,л 1 й/t,л)е1к г];
*------ (7.77)
Ф- = -77т V К«|Д-Ti2ift)eik г К«(,/г — Ш2,ь)е~‘к г1-
pz - л
Интерпретация этих формул требует некоторых пояснений, так как
коэффициент при e~ikl' в выражении для является эрмитово-сопряженным
коэффициенту при e+ikr в выражении для ф_. а не в самом ф+.
Смысл операторов в соотношении (7.77) становится понятным, если вве-
сти эти разложения в соотношение (7.76); тогда видно, что оператор ф+ умио-
/0 О'. -г /0 0\
жается на матрицу ц 1 . Зак как матрица ь q] понижает заряд нуклонов,
то для сохранения электрического заряда ф + должен повышать заряд мезон-
ного поля; аналогично, оператор ф_, который умножен на , должен
понижать заряд мезонного поля. Таким образом, операторы в соотно-
шении (7.77) имеют следующий смысл:
(Gl, A J га2, а) = а
ь — оператор уничтожения для л";
(at,h— ia2,k) = fl+, а —оператор
1
)/2
+ + +
{а1,ь — ^2$) = ft-, /? — оператор
уничтожения для л+;
рождения для л
(/.78)
(«!, h + k) = at, k — оператор
рождения для л .
Из соотношений (7.76)—(7.78) 1 получаем следующее выражение для кван-
тованного гамильтониана взаимодействия с обрезанием, в виде разложения
1 Уравнение (7.76) написано для нуклона в начале координат, и, для того чтобы
получить соотношение (7.79), оно должно быть преобразовано для нуклона в точке г.
340
по операторам уничтожения и рождения для положительного, отрицатель-
ного и нулевого зарядов:
О^взапм “ — йвзаим — । J fv (к) 9 б-к X
г -.tuft
Л
- 2 I Vtetfulk} ]/о. к
х [VTC 2)“1.*+1/Г (о J)<*+ (< _Л4л]е-« '. (7.7Э>
Хотя вторая сумма является эрмитово-сопряженной первой, она, для
ясности, все же выписана в явном виде.
Физический смысл этого выражения ясен: преобразование нейтрона
в протон оператор QJ J) j сопровождается либо поглощением положитель-
ного пиона (оператор а+> ft), либо в эрмитово-сопряженном выражении —
испусканием отрицательного пиона (оператор в‘ ,л). Все другие члены выра-
жения (7.79) объясняются аналогичным образом, в согласии с законом сохра-
нения заряда.
Для целей вычисления, однако, иногда более удобно использовать дей-
ствительные декартовы оси в изоспиновом пространстве. В таком случае
имеем
с/ взапм - ~взаим
____ а
У i [ 4л/к(/с) 1/^-тг— <ьк У тг (a;,ftcik r —«(>he-ik r), (7.80)
ft 1=1
где операторы т,- имеют вид обычных спиновых операторов Паули и являют-
ся эрмитовыми.
г. Матричные элементы для мезонных процессов. Если предположить,
что константа связи между пионами и нуклонами не слишком велика, то
мезонные процессы можно рассчитать методом теории возмущений, а мат-
ричные элементы перехода могут быть получены с помощью диаграмм Фейн-
мана .
Мезонные процессы изображаются диаграммами, подобными диаграм-
мам, описывающим взаимодействие электронов с излучением. При этом
нуклоны, являющиеся фермионами, и пионы (бозоны) заменяют соответ-
ственно электроны и фотоны. На таких диаграммах представлено условно
распространение пиона в виде пунктирной линии.
Из обсуждения будет видно, что в диаграммах Фейнмана нужно исполь-
зовать нормирующий множитель
/2г . К-81)
где ______
®fe = /A-2 Г1
для каждой входящей или выходящей мезонной линии. Применяя операцию,
аналогичную используемой для фотонов ’, получаем множитель
для каждой мезонной линии, соединяющей две вершины.
1 Поступая, как в примечании в гл. 6, § 8г, находим, что трехмерным формфак-
тором е~тг/г является 4л/(А2 га2).
Также можно ввести мезонный пропагатор в четырех измерениях аналогично тому,
как это было сделано для электрона [соотношение (6.114)] или для фотона (примечание
341
Однако физика проблемы заключается в определении множителя при
пион-нуклонной вершине. Его можно записать в релятивистском
случае для псевдоскалярной связи как
(7.83)
а для псевдовекторной связи
± z J4 л /раТйУЖт,- = + К4л/рАу5*тг (7.84)
(здесь знак «+» для поглощения, знак «—» для испускания). В нерелятивист-
ской псевдовекторной теории с обрезанием множитель при вершине прини-
мает вид
+ i ]/4л fv (к) октг. (7.85)
Во всех приведенных выражениях множитель т, — компонента изоспино-
вого оператора нуклона в направлении i действительной изоспиновой поля-
ризации (зарядовое состояние) взаимодействующего пиона. Аналитически
простейшим является случай пионов, поляризованных вдоль одной из дей-
ствительных изоспиновых осей; тогда т, являются эрмитовыми матрицами
Паули т1; т2, т3.
Но с экспериментальной точки зрения представляет интерес пион с поло-
жительным, отрицательным и нулевым зарядом; в этом случае т; уже не
является эрмитовым и должен быть заменен на т) для испускания. Его выра-
жение как оператора и численный коэффициент, который заменяет Т; в раз-
личных процессах, получаются из квантованного гамильтониана, давае-
мого выражением (7.79). Результаты приведены в следующей таблице:
Вершина Т/ (А'|тг|А)
о к к п л+ —> р
Й о рн л ^-п Г2
с р + Л° —> Р /1 0\ 1
1= п -|- л° —> п ко -1J 1
Вершина (Л"|т||А)
в р —> п 4- л" G 2) V2
£ о п > ргп 1'^(оо) 12
В Р - > р ; л° /1 0\ + 1
п —> п ' л° ко -1) -1
Величины (т,-) последнего столбца таблицы, кроме того, показаны на
диаграммах рис. 7.4.
д. Эквивалентност!, между псевдоскалярной и псевдовекторной связью.
Теперь докажем, что матричные элементы первого порядка в теории с псевдо-
к гл. 6, § 9а). Мы
которого является
исходим из уравнения (□ | + т2) К„ (2,
1) - б (2, 1), решением
Кп (2, 1)
— 1 Р e-ik(x2-xi)
-----— \ _____________/?41г
(2л)4 к2-т2
Неопределенность пути интегрирования устраняется, как и для фотонов, если учесть
только вклады от прошлого, (/с2 — тп2)-1 — фурье-преобразование Кп (2, 1) и является
тем пропагатором, который следует использовать в релятивистском матричном элементе.
Эти вопросы изложены более подробно, например, в книге Швебера, Бете и Гоф-
мана [5] «Мезоны и поля».
342
скалярной связью, определяемые соотношением (7.83), тождественны матрич-
ным элементам первого порядка в псевдовекторной теории, даваемые соот-
ношением (7.84), независимо от изменения в величине константы связи.
В § 4 приводились доводы неквантового характера в пользу эквивалент-
ности двух связей. Для более полного доказательства и более точной оценки
Рис. 7.4. Численные множители (т;> или (т<) в матричных эле-
ментах для поглощения или испускания пионов. Полные вершипы
множителей получаются умножением их на +i } 4л ft- (к)• <т к
(знак <<-р » Для поглощения, знак «—» для испускания).
соотношения между константами связи можно начать с выражения (7.84).
В этом уравнении к заменим выражением ± (Pf —р1)-импульсом, пере-
данным нуклону. Затем матричный элемент, соответствующий множителю
в выражении (7.84) при вершине поглощения, можно записать следующим
образом:
i |/л4п fPA [w (pF) у5 (pF — рг) т,ш (р5)] = I ]/4л fPAw (pF) (— pFy5—у5рД тгш (р,)
= — гУ^л2М [ш(рг)у5тгш (р,)].
Далее используем уравнение Дирака
PjW (рД = Mw (рД и ш(рР)рр=Мш(рр),
где М — масса нуклона.
Замечаем, что кроме несущественного множителя —г, матричные эле-
менты соотношения (7.84) тождественны с матричными элементами соотно-
шения (7.83), если только
2М/рД---=/ГР. (7.86)
Вопрос о том, распространяется ли эквивалентность на члены более
высокого порядка теории возмущений, исследовался несколькими авторами
[5, 46]. Не вдаваясь в подробности отметим, что в точном гамильтониане не
удается устранить различие между псевдоскалярной и псевдовекторной
связью.
§ 7. ТРУДНОСТИ ТЕОРИИ СИЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
а. Псевдовекторная и псевдоскалярная константы связи. На
этой стадии, возможно, создается впечатление, что гамиль-
тонианы предыдущего параграфа можно использовать так
же, как гамильтониан электромагнитного взаимодействия, т. е. с их помощью
можно, применяя диаграммы в наинизшем порядке теории возмущений и,
343
возможно, включая поправки более высоких порядков, получать точные
результаты. Однако это не так, и, прежде чем продолжать, необходимо сделать
несколько замечаний. В § 13 будет показано, что нерелятивистская псевдо-
скалярная зарядово-симметричная мезонная теория почти количественно
описывает некоторые результаты в пионной и ядерной физике низких энер-
гий, если принять значение константы связи
/2 ж 0.08
(7.87)
и величину импульса обрезания
^’макс ~ f*
(®макс ~ 800 Мдв).
(7.88)
Малая величина f2 является (подобно е2 1 137 в электромагнетизме)
параметром, который определяет отношение вкладов возмущений соседних
Рис. 7.5. В результате сильной связи
первоначально «голые» пион (о) и
нуклон (б) приобретают сложную
структуру.
соотношения (7.86), подставляя
порядков. Малость этой величины до-
пускает использование теории возмуще-
ний с некоторыми оговорками (см. § 12в)
и изменениями (см. § 13). Судет видно,
что результаты, полученные таким обра-
зом, согласуются с экспериментом, пока
рассмотрение ведется ниже порога
обрезания и можно пренебречь реляти
вистскими эффектами на нуклонах.
В пределах применимости этой теории
псевдоскалярная и псевдовекторная связи
совершенно эквивалентны. Нерелятивист-
ская псевдоскалярная связь вводит ско-
рость нуклона там, где в псевдовекторной
связи имеется скорость мезона. С точки
зрения сохранения импульса подходящим
выбором констант связи обе связи могут
быть сделаны одинаковыми. Количествен-
но этот вопрос обсуждался в § ба. Из
М х 6,7, находим, что псевдоскалярная
константа связи, соответствующая соотношению (7.87), равна
= (2Л/)2/2^ 17).
(7.89)
Однако при высоких энергиях трудности возрастают.
Рассмотрим, например, аннигиляцию нуклонов с антинуклонами, при
которой выделяется энергия порядка 2 Гэв. При аннигиляции испускаются
пионы, а не у-кванты, и это само по себе доказывает, что пиоп-нуклонная
связь много сильнее связи между нуклонами и фотонами. Кроме того, обна-
руживается, что число пионов, испускаемых в процессе аннигиляции, часто
является большим: в среднем образуется четыре или более пионов (см.
рис. 7.38). Но ведь статистические факторы благоприятствуют низкой мно-
жественности, поэтому, если рассматривать проблему с точки зрения теории
возмущений, необходимо сделать вывод: или связь является сильной, или
в рассмотрение должны быть включены другие эффекты, например пнон-
пионные силы.
Но при этих условиях рассмотрение возмущений становится бессмыс
ленным. Также бессмысленно спрашивать, какой из множителей наилучшим
образом соответствует описанию однопионпой нуклонной вершины: псевдо-
векторный или псевдоскалярный. Некоторые теоретики отдают предпочте-
ние псевдоскалярному виду связи, потому что из этой теории можно устра-
нить расходимости методом «перенормировки».
344
б. Теория возмущений и периферические соударения. Если принять
псевдоскалярную связь с множителем я? 15, то нельзя использовать
теорию возмущений. Для такой большой величины связи трудно даже опре-
делить, что понимается под словами «пион» или «нуклон».
Действительно, если попытаться наглядно представить пион (рис. 7.5,а),
то необходимо включить в рассмотрение нуклон-вакуумную поляризацию,
которая сопровождает его, и все виртуальные пионы, которые он генерирует.
Если же вместо этого представить себе «голый» нуклон (см. рис. 7.56), то
необходимо рассматривать мезонное облако, окружающее его и все нуклон-
антинуклонные пары, которые он создает.
Таким образом ясно, что «голые нуклоны» и «голые пионы» существуют
только в нашем словаре и в нашем воображении.
ствуют только «физические нукло-
ны» и «физические пионы», которые
имеют весьма сложную структуру
и отличаются друг от друга вслед-
ствие их различных квантовых
чисел, но в сущности состоят из
одной и той же материи. Говоря
простым языком, трудно провести
различие между нуклонами и
«клеем», который покрывает и
пропитывает их!
Остается решить задачу опи-
сания взаимодействия между
физическими нуклонами и физи-
ческими пионами. Очевидно, это
взаимодействие является доста-
В реальном же мире суще-
Рис. 7.6. Сложная структура вершины,
соединяющей физические пион и пуклоп, как
следствие сильной связи (а). Для дальних
точно сложным (рис. 7.6,а). Одна-
ко, если рассматривать только
«периферическую» часть взаимо-
действия — дальние соударения
или малый переданный импульс,—
соударений опа заменяется простой вершиной
с относительно малой константой связи (б).
положение значительно упро-
щается (см. рис 7.6,6). При соответствующем обрезании, кото-
рое эквивалентно введению формфакторов мезонного источника,
указанные затруднения исчезают и преобладают диаграммы наинизшего
порядка.
Таким образом, применение теории возмущений снова кажется оправда-
нии, если под каждой вершиной (рис. 7.4.) понимать вершину рис. 7.6,6,
описывающую периферическую связь физического
нуклона с физическим мезоном.
Для более полного описания сильных взаимодействий необходимы
новые математические методы. Некоторый прогресс в этом направлении
достигнут с развитием «дисперсионных соотношений». Однако здесь это
новое и расширяющееся теоретическое направление 1 рассматриваться не
будет.
Заметим, что даже вполне последовательная и удовлетворительная тео-
рия пион-нуклонных взаимодействий не давала бы законченного описания
сильных взаимодействий, так как известно, что странные частицы и особенно
К-мезоны, конечно, играют роль в ядерных силах при высоких энер-
гиях.
Поэтому мы ограничим наше рассмотрение, начав его с нерелятивистской
теории, и пренебрежем такими сложными эффектами, характерными для
высоких энергий, как многомезонный обмен, нуклон-антинуклонные пары
и странные частицы.
1 Краткие вступительные замечания по этому вопросу даются в § 13.
355
§ 8. РАССМОТРЕНИЕ ЯДЕРНЫХ СИЛ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Рис. 7.7. Диаграм-
ма второго поряд-
ка для потенциала
ядерных сил.
Наметим теперь основные пути вычисления [59] ядерного
потенциала, возникающего из-за обмена виртуальными мезо-
нами между нуклонами. При этом будем пользоваться поло-
жениями предыдущего параграфа.
Если ограничиться исследованием ядерных сил для не слишком боль-
шого переданного импульса, то нуклоны можно рассматривать как жесткие
тела, взаимодействующие с мезонным полем, имеющим константу связи
значительно меньше 1. Поэтому можно надеяться, что теория возмущений
до некоторой степени законна и можно выполнить вычисления с помощью
только членов наинизшего порядка, который в данном случае является
вторым или четвертым. Пренебрегаем также отдачей нуклона при взаимодей-
ствии с мезоном в соответствии со «статическим» прибли-
жением, при котором нуклоны предполагаются тяжелыми.
Чтобы получить взаимодействие двух нуклонов
1 и 2 с квантованным мезонным полем, используется
гамильтониан, представленный выражением (7.80).
Тогда вклад второго порядка в ядерный потенциал
U2 (|г2— Г1 |) получается из диаграммы на рис. 7.7
и принимает вид:
Г72 (I г2 —]) =
= (7.90)
Заметим, что в борновском приближении матричный
элемент рассеяния на этом потенциале elk’r' С72 (г*) d3r' равен матрич-
ному элементу, полученному из диаграммы рис. 7.7 по правилам, изложен-
ным в § 6г.
Выполняя интегрирование, можно показать, что Uz содержит централь-
ную и тензорную части. В отсутствие обрезания [к (k) = 1] и для состояний
с четным моментом количества движения центральная часть потенциала
имеет вид потенциальной ямы притяжения типа Юкавы [точно так же, как
в соотношении (7.62)] и отталкивающую сердцевину типа б-функции
^2(центр) - ~ f2—~—Ь 4л/2б (г),
(7-91)
где г=|г2 —гД.
Для конечных величин /смакс потенциальная яма притяжения несколько
искажается и отталкивающая сердцевина принимает конечный размер, не-
обходимый для интерпретации экспериментов по нуклон-нуклонному рас
сеянию. Однако для состояний с нечетным моментом количества движения
отталкивающая сердцевина не возникает.
Вклады четвертого порядка в потенциал вычисляются из диаграмм,
включающих два виртуальных мезона (рис. 7.8 а—д). Диаграммами типа а
и б пренебрегают, потому что они описывают «внутреннее мезонное облако»
или внутреннюю структуру нуклона, которые уже учтены при использова-
нии эмпирических величин масс нуклона, константы связи и параметра обре-
зания. Также пренебрегают так называемой лестничной диаграммой (в),
отвечающей двум голым нуклонным линиям между двумя виртуальными
мезонными линиями х.
Вклад оставшихся четырех диаграмм нетрудно вычислить. Не будем
приводить здесь вычисления и громоздкие формулы, которые получаются
1 Этот отбор диаграмм четвертого порядка введен Брюкнером и Ватсоном [16].
Справедливость такого отбора остается до сих пор открытой для обсуждения.
346
в итоге. Результат, включающий вклады второго и четвертого порядка, уже
приводился в графическом виде на рис. 1.12 и 3.33. Кривые, приведенные
на этих рисунках, вычислены при численных значениях /2 и &макс, близких
к тем, которые даны в соотношениях (7.87) и (7.88).
Сравнение потенциала, полученного таким способом, с данными по дей-
тону и нуклон-нуклонному рассеянию также обсуждалось в гл. 1, § 12 и гл. 3,
§ 23. Вспомним, что сравнение с данными при низкой энергии было удовлет-
ворительным, но сравнение экспериментов при высоких энергиях давало
Рис. 7.8. Диаграммы четвертого порядка, которые должны
учитываться при вычислении ядерных сил.
только частичное согласие с предсказанием настоящей теории. Учитывая,
что теория не содержит никаких произвольных констант, поскольку / и fcMflKC
определяются из л-ТУ-рассеяния (см. § 13), и что для вычисления использо-
вался ряд приближений, то даже это частичное согласие может считаться
удо в л етв орите л ь ным.
Б. РАССЕЯНИЕ ПИОНОВ НА НУКЛОНАХ
§ 9. ПОЛНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ л-р-РАССЕЯПИЯ
а. Экспериментальные данные. Значения полных сечений
рассеяния л+- и л'-мезонов в водороде стали известны из
измерений ослабления пучков, выполненных вплоть до
~2 У’эв. Результаты 1 2 показаны на рис. 7.9.
Наиболее интересное свойство кривых на рис. 7.9 заключается в нали
чип резонансов. Как и при рассеянии нейтронов в ядерной физике низких
энергий, эти резонансы можно интерпретировать как доказательство суще-
ствования промежуточных состояний, время жизни которых велико по срав-
нению со временем пролета через ядро. Таким образом здесь имеет место
возбужденное состояние2нуклона. На рис. 7.10 показана
диаграмма энергетических уровней нуклона с его первыми тремя возбуж-
1 Данные для низких энергий (пик около ~ 200 Мэв) получены Ферми с сотрудни-
ками, Ашкиным с сотрудниками и др. (для более подробного ознакомления см. Бете
и Гофман [1]). Первые эксперименты при высоких энергиях выполнены Пиччиони и др.
[35]. Разделение двух максимумов в области 500—1000 Мэв в л~-р-рассеянии произве-
дено совсем недавно (Барроус и др. [20]; Бриссон и др. (Сакле) [19]; Девлин и др.
(Беркли), [53]). В последние годы получены результаты для более высоких энергий,
по здесь мы их не рассматриваем.
2 Эти возбужденные состояния часто называют изобарами, но мы избегаем
такой терминологии.
347
денными состояниями; здесь же приведены квантовые числа, приписываемые
каждому состоянию. Четвертое возбужденное состояние (при энергии рас-
Рис. 7.9. Полные сечения для л+-р- и лг-р-реак-
ции.
свивающегося л-мезона, равной
1,4 Гэв) не включено из-за от-
сутствия достаточной информа-
ции. Величины энергий полу-
чены из простой кинематики,
а выбор квантовых чисел об-
суждается ниже.
В начале обсуждения уде-
лим особое внимание макси-
муму в области ~200 Мэв и тем
самым первому возбужденному
состоянию. При дальнейшем
увеличении энергии рассеяние
уже не является полностью
упругим, так как появляется
возможность реакции
Лг 4- л > N 4- л 4- л
и, следовательно, возможно
второе возбужденное состояние.
б. Выбор квантовых чисел. Квантовые числа изотопического спина
можно установить, если иметь в виду, что для изотопического спина
л+-р-состояния обязательно Т = 3/2, тогда как в л_-р-состояпиях
МэО
1670-----
1520-—
1230 ---
931-----
Нукп'он
Состояние
л L „обпака ‘
-(?) 2(?) D.M?)
J/C
2 ^3/2
+ 1 Р3/2
+ 1 Р1/2
Рис. 7.10. Нуклон и его первые три возбужденных состояния
с предполагаемыми квантовыми числами. Стрелки указывают
моды распада с испусканием л мезонов.
осуществляется смесь состояний с Т 1/2 и Т = 3/2. Применяя правило
сложения моментов количества движения, можно написать
1»*р' ||. 4'; • Р-И)
i«-p> (7-м>
где квантовые числа с правой стороны относятся к Т и Т3.
Таким образом, резонансы в области ~60U и ~900 Мэв, которых нет
для л+-р-состояний, должны быть чистыми состояниями с Т = 1/2. Макси-
348
мумы в области -~200 и 1400 Мэв должны, по крайней мере, частично иметь
Т = 3/2. Отношение сечений л+-р- ил -p-состояний, равное 3/1 при 200 Мэв
указывает на то, что первый резонанс является чистым состоянием с Т = 3/2
Интересно отметить, что первое возбужденное состояние нуклона прояв-
ляется в четырех зарядовых состояниях с зарядом, изменяющимся от
1 (л"и) до +2 (л+р).
Большая часть информации, относящейся к определению моментов
количества движения, получается из анализа дифференциальных сечений.
Однако тот факт, что полное л+-р-сечение в максимуме при ~200 Мэв равно
8л//с2, является само по себе сильным аргументом в пользу величины J = 3/2
для первого резонансного состояния [сравните с выражением (3 183)].
Так как ожидается, что большая часть л-TV-взаимодействия осущест
вляется в P-состоянии, то естественно считать, что «мезонное облако» первого
резонанса находится в Рз 2-состоянии и поэтому имеет положительную чет-
ность, как и нуклон в основном состоянии. Начальное увеличение полного
сечения с ростом энергии указывает на то, что рассеяние не может быть упру-
гим 5-рассеянием, так как его сечение не зависит от энергии для малых
импульсов. Наблюдаемая вблизи нулевой энергии зависимость сечения
л-Д—рассеяния от энергии соответствует /^-зависимости преобладающих
разовых сдвигов, что находится в согласии с предсказанием для коротко-
действующего Р-рассеянпя [см. соотношение (3.13)].
в. Рассеяние с обменом зарядами. Поскольку нуклоны существуют
в двух зарядовых состояниях, а пионы — в трех, то полное эксперименталь-
ное изучение л-N рассеяния должно содержать шесть различных экспери-
ментов. Однако результаты этих экспериментов связаны требованием заря
довой независимости и вся необходимая информация может быть получена из
л+-р- и л -р рассеяния.
С помощью имеющихся заряженных пучков мезонов и водородных мише-
ней можно измерить три сечения ст+, ст_ и ст0, соответствующие упругим реак
циям:
л+ -[- р —> л+ -[- р; (7.94+)
л" + р —> л"4-р; (7.94 )
. л“ -г р —> л° -|- п, (7.940)
л°-мезоны в реакции (7.940) детектируются по их распаду на у-кванты. Полное
сечение л р-рассеяния, приведенное на рис. 7.9 (при низкой энергии, когда
неупругими событиями можно пренебречь), равно сумме о и <т0- Реак-
ции (7.94 ) и (7.940) обычно называют л -р-рассеянием без обмена или
с обменом заряда соответственно или рассея-
нием без изменения ориентации или с измене-
нием ориентации изоспина.
Сечения ст и ст, не являются независимыми, если Т — хорошее кванто
вое число в промежуточном состоянии. Вообще соотношение между сг и <т0
может быть получено аналогично рассмотрению рассеяния с изменением
и без изменения ориентации физического спина, которое подробно обсужда-
лось в гл. 3.
Амплитуда для рассеяния без изменения заряда из соотношения (7.93)
дается выражением:
1 9
(л р|а|л р) — ат=А 24-уат 1/2- (7.95)
Вычисляя
,п /2|3 1 \ /1 1 1 х ,7 и...
V ’ 2/+КзГ 2/’
получаем амплитуду рассеяния с обменом зарядами:
^л°п|а|л-р) у ) 2ат=3/г—у/2а/ i/2- (7.97)
349
Таким образом отношение сечений реакций (7.94-) и (7.940) равно
il , 3 |2
о_ з ат=з/2-г 2 ат=1/2
о„ — I 1 1 12 • (7.98)
I "gl 2 аТ—3/2~ "д’ I 2йТ=1/2|
В частности, если рассеяние является чистым состоянием с Т = 3/2 в обла-
сти резонанса —200 Мэв, то ат=1/2 = 0 и
гт 1
-1- = 1(~200 Мэв). (7.99)
Это отношение находится в хорошем согласии с опытом. Так как уже было
показано, что теория и эксперимент согласуются с отношением <т+/(о_ + ст0) =
= 3, то находим, в соответствии с зарядовой независимостью и со значением
Т = 3/2 для первого возбужденного состояния, следующее соотношение
о+ : О- : о0 = 9 : 1 : 2 (— 200 Мэв). (7.100)
Эти три сечения в максимуме в этом случае полностью определены законами
сохранения и найденными квантовыми числами:
а+-=8л//с2; О- = -^-8л/А:2; о0 = ~ 8л//с2 (—200 Мэв). (7.101)
§ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ И ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
а. Определение фазовых сдвигов. Для энергий, представ-
ляющих интерес с точки зрения интерпретации первого
резонанса, угловое распределение л-р-рассеяния может быть
объяснено только S- и Р-волнами. Следовательно, для каждой энергии
дифференциальное сечение рассеяния может быть выражено с помощью
девяти коэффициентов х:
Д . 4- /К cos 6 4 С+ cos2 6; 1
dw т ’ j
f/.°- .1 В cos6 C_cos26; J. (7.102)
f/O> l ' '
До 4 В0 cos 6 4- Со cos2 6. J
Эти девять коэффициентов получены из измерения дифференциального
сечения.
Величинами, сохраняющимися при рассеянии, являются J, Т и I (как
отмечалось из гл. 3, § 176, орбитальный момент количества движения —
хорошее квантовое число вследствие сохранения четности). Таким образом,
амплитуды рассеяния и соответствующие фазы должны быть помечены тремя
квантовыми числами: I, J, Т. Стало привычным использование следующей
записи для амплитуд а,-у:
I = 0 (5-волна) I 1 (Р волна)
J = ^(Si/2) J ---^(Р[/2) J = ~^{Рз/2}
j ------------------------- (7. ЮЗ)
Т =-----------------------------------------------------а1-Яц Щз
Т = ~2 аз °31 ' азз
Каждой амплитуде здесь соответствует действительный сдвиг фазы
согласно соотношению (3.6).
1 Кулоновское рассеяние имеет значение только при очень низких энергиях
и малых углах.
350
Если предположение о зарядовой независимости справедливо, то можно
выразить девять эмпирических коэффициентов, входящих в соотноше-
ние (7.102) с помощью шести действительных сдвигов фаз, соответствующих
амплитудам, определенным в соотношении (7.103). Коэффициенты А, В и С,
так же как и бг;, зависят от энергии, но не зависят от угла.
б. Анализ фазовых сдвигов. Сначала произведем разделение изоспи-
новых состояний. Для этого определим для каждого угла рассеяния 0 две
амплитуды /1 (0) и f3 (0) для Т — 1/2 и Т = 3/2 соответственно.
Кроме того, для каждого эксперимента по л+р- и л_р-рассеянию (без
обмена зарядом) и лурассеянию с обменом зарядами определим амплитуды
/+ (0), у_ (0), /о (0). Тогда можно написать [см. соотношения (7.95) и (7.97)]
/+(О) = /3(0); (7.104+)
Л(О) = 4-[/3(6) + 2А(0)]; (7.104)
О
/о(0) ;±]/2[/3(0)-/,(0)]. (7.1040)
Анализ реакции (7.94") по 5-, Рх/^-, /7з/2-волнам выполняется точно так же,
как и для рассеяния нейтронов в Не. Для двух других уравнений тот же
самый анализ должен быть осуществлен раздельно для амплитуд изоспино-
вого синглета и триплета.
Подставляя выражение (3.193а), получаем:
/+ = [«з + (2«33 + Оз1) cos 0] а 4- (а31 — a3S) sin 0ei(<[3;
/_ = — ({(«з 4- 2а1) -)-12 (а33 Т 2а13) 4- (а31 4- 2an)| cos 0} а
+ [ («зг Н 2ап) — (а33 4- 2а13)] sin 0е1Ч>[3);
/о = у 1^2 ({(а3 — щ) + [2 (а33— а13) -j- (а31 — «ц)1 cos 0} «4-
+ [(«31 — «и) — («зз — «1з)1 sin Ое’Ч’Р)
и, наконец,
= | «з + (2а3з + «31) cos 012 +1 а31 — «зз |2 sin2 0;
= у|(«з + 2а1) (2а33 + а31 + 4а13 4 2<zu)cos0|2
+ у| («314 2аи — а33 — 2а13) sin 0 |2;
= -| |(«з —«1) + [2 (азз—«,з)4 («31 — а(з)] cos О [2 р
+ || [(«31-«и)- («зз — «i3)]sin0|2.
(7.105)
(7.106)
Сравнение с соотношением (7.102) дает соотношение между шестью
комплексными амплитудами аи и девятью экспериментально определенными
константами A j., В±, С±. В тех случаях, когда аи выражены через фазовые
0 0 0
сдвиги, получаются желаемые соотношения между шестью действительными
фазами б/7- и девятью экспериментальными константами [1].
в. Неопределенность в значениях фаз. Численное решение уравнения
для сдвигов фаз получают с помощью электронно-вычислительных машин,
однако, если не требуется максимальная точность, можно использовать
простой графический метод [8].
Найдено, что для каждой энергии можно выбрать набор фаз, который
должен объяснить экспериментальные данные в пределах точности наблю-
дений; при этом, однако, приходится столкнуться с необходимостью выбора
из нескольких наборов фаз. Для того чтобы устранить такую неопределен-
ность, были выполнены новые эксперименты, и величины фаз теперь извест-
ны с хорошей точностью и без неопределенности вплоть до энергий, при
которых становится важным вклад неупругого рассеяния.
351
1 znZ2 1
Т' (137)2n2 ' (1- (т/МА) ’
§ 11. ДРУГИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ППОН-НУКЛОННЫХ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ
а. Рентгеновское излучение л-мезоатомов. Наблюдая спектр
рентгеновского излучения л-мезоатомов, можно изучить
взаимодействие отрицательных мезонов с ядрами при малой
кинетической энергии. Для элемента с атомным номером Z энергии состоя-
ний л-мезоатома в простейшей боровской модели даются выражением
(7.107)
где п — главное квантовое число, МА — масса ядра, т — масса мюона
или пиона на атомной орбите.
Из формулы (7.107) видно, что энергии К линии мезоатома водорода
имеют порядок несколько килоэлектронвольт, что представляет трудность
для экспериментального изучения. Поэтому рентгеновское излучение мезо-
атома было измерено только для более тяжелых элементов.
Можно ожидать отклонений от выражения (7.107) по нескольким причи-
нам. Наиболее важные из них следующие:
1) Конечный радиус ядра, это важно и для тяжелых ц-мезоатомов
(см. гл. 2, § 6в).
2) Релятивистские поправки, которые можно вычислить из уравнений
Дирака (для мюонов) или Клейна — Гордона (для пионов).
3) Эффект поляризации вакуума, поддающийся вычислению из кван-
товой электродинамики.
4) Взаимодействие мезона с ядром, ожидаемое только для пионов.
После того как эффекты (2) и (3) вычислены и экспериментально опре-
делены радиусы ядер с помощью мюонов, становится возможным изучение
взаимодействия пионов с ядрами (4).
Из-за высокой вероятности захвата рентгеновское излучение л-мезоато-
ма наблюдалось только для относительно малых Z. Уже для Z 10 Л-линпи
становятся слабыми из-за прямого поглощения ядром из 2Р-состояния, а для
Z да 20 интенсивность L-линий также уменьшается вследствие захвата из
3D -состояния. Если учесть малое перекрытие 2Р- и ЗП-волновых функций
с ядром, то увидим, что пионы в действительности быстро захватываются
нуклонами. Для того чтобы объяснить экспериментальные результаты,
среднее время жизни пиона в ядерном веществе должно быть -L Й Im^c1 да
да 10~24 сек.
Таким образом, рентгеновское излучение л-мезоатомов может быть
наблюдено только в интервале энергии между ~10 и 100 кэв. Оно измеряется
с помощью сцинтилляционных спектрометров, пропорциональных счетчиков
и сравнением краев кривых атомного поглощения рентгеновских лучей (кри-
тическое поглощение) 149, 891.
Наиболее важным зкпериментальным результатом является то, что
энергии линии А'-серий рентгеновского излучения л-мезо атома уменьшаются
благодаря ядерному взаимодействию. Это соответствует отталкива-
нию между мезоном в 15-состоянии и ядром и исключает неопределенность
в знаке при определении сдвигов фаз.
Ядерные сдвиги К-линий пионов в легких элементах показаны на
рис. 7.11. Эти данные могут быть поняты в предположении, что действия
отдельных нуклонов аддитивны х.
Согласно зтой точки зрения почти постоянная амплитуда 5-рассеяния
для медленных мезонов на ядре равна
а = Nan A~Z(ip, (7.198)
1 Хотя допущение аддитивности считается наивным, не существует пока какого-
нибудь более удовлетворительного теоретического объяснения этого явления [48].
352
где ап и ар — амплитуды рассеяния на нейтроне и протоне, которые просто
выражаются через фазовые сдвиги «S'-рассеяния
63
ап = а3«-^ .
2 1 з’61+з'63
уа1 + “у'а3~----дГ--—
(7.109)
В борновском приближении амплитуда рассеяния соответствует потен-
циалу типа б-функции 1
который, в свою очередь, дает сдвиг в атомных уровнях
4£ = $ rwt « -|*(0)F2n «- -2^- «.
где величина г0=(137)2 (-^ + 7^4
(7.П1)
равна боровскому радиусу мезона.
-72
-74
-16
т Границы из метода
1 критического поглощения
£ Положение пика из измерений
х Теоретические Величины
7.11. Сдвиг К-линий рентгеновского излучения л--мезоатома
[Stearns, Stearns, DeBenedetti and Lei-
p u n e г. Phys. Rev., 97, 241 (1955)].
Таким образом, согласно этой теории, измерение ДЕ позволяет опре-
делить амплитуду
а = Z + ^-7V. (7.112)
о/с /с
Измерения и теория не являются достаточно точными для подробного
анализа каждого элемента. Тем не менее общая тенденция сдвигов удовлет-
ворительно описывается формулой для N = Z = А/2
а«А(б1 + 2б3), (7.113)
которая находится в согласии с величиной фазовых сдвигов, полученных из
опытов по рассеянию, и определяет их знак.
б. Интерференция между ядерпым и кулоновским рассеянием. При
низкой энергии и малых углах возникает возможность наблюдать интер-
1 Использование борновского приближения с потенциалом типа 6-функции, несом-
ненно, является оправданным, по крайней мере, для сравнения фаз рассеяния
со сдвигами атомных уровней.
23 Ядерные взаимодействия
353
ференционные эффекты между ядерным и кулоновским рассеянием. Как
и в измерениях рентгеновского излучения л-мезоатомов, наблюдение этих
Рис 7.12. Сечение л_-р-рассея-
нияпри энергии 125 Мэв, показы-
вающее ослабляющую интерферен-
цию между кулоновскими и ядер-
нымп амплитудами [Р и р р i G.
Proc Conf. High. En. Phys., Roche-
ster (1955)].
эффектов устраняет неопределенность
в знаке при выборе фазовых сдвигов
рассеяния. Эксперименты [82] выполнены
в ядерных эмульсиях, которые более
удобны для наблюдения рассеяния на
малые углы при низких энергиях, чем счет-
чики. Результат для энергии л+-мезонов
с энергией 120 Мэе (рис. 7.12) показывает,
что интерференция является ослабляющей
и, следовательно, ядерное взаимодейст-
вие — притягивающим. Так как в этих
экспериментах наиболее существенна фаза
бзз, то можно считать, что б33 > 0. Это
согласуется с 6i ± 2б3 < 0, полученным
в пункте «а».
в. Измерения поляризации. После уст
ранения неопределенности в знаке все же
остаются неопределенности в определении
фазовых сдвигов. Как и при рассеянии
нейтронов в гелии, измерения поляризации
дают дополнительные данные, которые
могут быть использованы для выбора
правильного набора фаз.
На рис. 7.13 показана ожидаемая
поляризация протонов отдачи для различ-
ных углов рассеяния при энергии -мезо-
нов 220 Мэв. Четыре кривые относятся
к четырем наборам фазовых сдвигов, кото-
рые удовлетворительно описывают сечение
рассеяния в отсутствие поляризации. Экспериментальные данные [69]
исключают два набора фазовых
с первым набором фаз, пред-
ложенным Ферми.
г. Величины фазовых
сдвигов. Ожидается, что при
малой энергии сдвиги фаз
5-рассеяния изменяются про-
порционально к, а фаз Р-
рассеяния — пропорциональ-
но А:3. Имея это в виду
и учитывая все указания,
следующие из опыта, и доводы
теории, приходим к выводу,
что при малой энергии сдвиги
фаз имеют следующие значе-
ния ]10] (в радианах, к в еди-
ницах тяс):
б1 = (0,173 ±0,011) к;
б, (—0,11 ±0,004) к-,
б33 (0,234 ± 0,019) к3-
б31 = (0,044 ±0,005) к3-,
би — незначителен.
(7.114)
сдвигов и согласуются, как и ожидалось,
Гис. 7.13. Теоретическая поляризация для протона
отдачи в лГ-р-рассеянии для четырех различных
наборов сдвигов фаз и экспериментальные
результаты [К u и z е et al. Phys. Rev., 117, 859
(I960)].
Особенно важным является сдвиг фазы б33, который пре-
обладает при энергии ~100 Мэе и объясняет первый резонанс в
354
рассеянии. Другие сдвиги фаз не превышают 5—10° в области первого
резонанса.
Теория нулевого радиуса взаимодействия [см. соотношение (3.12)]
позволяет ожидать, что /c3ctg 633 — const. Представляет интерес сравнение
наблюдаемых величин 633 с этим предсказанием. Можно показать (см.
рис. 7.15), что наблюдаемые отклонения связаны с конечным размером нук-
лонного источника, протяженность которого (обрезание) может быть полу-
чена из анализа поведения фазового сдвига. Теоретическое обсуждение сдви-
гов фаз и особенно величины б33 представляет фундаментальное значение
и является предметом следующих двух параграфов.
Для энергий свыше ~300 Мэв [57, 77] угловое распределение содержит
члены с cos8 6 и анализ сдвига фаз должен включать 2)-волны. Более того,
при энергиях ~400 Мэв становится заметным неупругое рассеяние
—> л -]- л + N), а сдвиги фаз оказываются комплексными. Около второго
и третьего максимумов (в области ~ 500—1000 Мэв) большая часть пол-
ного сечения создана неупругим рассеянием. При энергии -~900 Мэв угловое
распределение упругого лг-р-рассеяния становится вытянутым назад, и это
«говорит о влиянии амплитуды переворачивания спина, связанной с /’-вол-
ной». При 760 Мэв имеется порог для образования странных частиц (л +
-|- tV-> А + К).
§ 12. РАССЕЯНИЕ ПИОНОВ В ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ ТЕОРИИ г
НИЗШИЙ ПОРЯДОК ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
а. Сечения для различных зарядов. Вычисление сдвигов фаз
является способом краткого выражения экспериментальных
данных. Успешный характер этих вычислений находится
в соответствии с законами сохранения, но не означает подробной проверки
какой-либо теории. Попытаемся теперь провести более детальное сравнение
экспериментальных данных с теоретическими результатами псевдоскаляр-
ной теории. Для этого перейдем к вычислению рассеяния в низшем порядке
а 6
Рис. 7.14. Диаграммы пион-нуклонного рассеяния.
теории возмущений (борновское приближение 1100]). В зтом случае диаграм-
мы для рассеяния мезонов (рис. 7.14) совпадают с,диаграммами для компто-
новского рассеяния. Если считать нуклон бесконечно тяжелым, то функция
распространения (см. гл. 6, § 9в) просто обратна энергии поглощаемого или
испускаемого пиона (Ео — Авзаим)1 = ±<о-1, как в обычной теории возму-
щений. Вершинные множители на диаграммах написаны в соответствии
с выражением (7.85), при этом и (к) = 1, так как вычисления производятся
для энергий ниже порога обрезания. В обозначениях рис. 7.14 матричный
23* 355
элемент имеет вид:
м™=м.,+мь=^/« (7115)
Чтобы произвести вычисления для мезонов в определенных зарядовых
состояниях, ожидаемое значение произведений т,Т/ и Т/Тг можно взять из
таблицы в § 6г или из рис. 7.4 Ч Эти произведения получаются следующим
образом:
т)тг л+4 р л+-| п л° |- р л° п л~ р л 1 п
- л+4 Р 0 0 0 0 0 0
л+4-п л° +- р 0 0 У 2 |/2 уТ 1 0 0 0
Л° + п Л-/-Р 0 0 0 1 -1/2 -1/2 2 0 0
Л~4-П 0 0 0 0 0 0
г -> л+ + р л+ + п л° -р р л.о - п л~ + р (7 116) л- + и
-р л+ + р 2 0 0 0 0 0
'I' л+4-n л°-|- р 0 0 0 - У2 -У 2 1 0 0 0
л0-|-п л“+р 0 0 0 1 1'2 |/2 0 0 0
л-4-п 0 0 о 0 0 2
1 Проиллюстрируем методику вычислений на случае рассеяния с перезарядкой
л- + р -* л° + п. Множители тг и т| не коммутируют, и в пашем случае (г = _,
f = 0) получаем, как показано на диаграммах:
т|тг (n I tJ| п) (П I т_ ) р) = (— 1) (1/2) = — У 2,
тгт| (п | т_| р> (р | Тр | р) = ( У2) (1) =Д/2.
356
Скалярные произведения по спинам могут быть получены с помощью
выражений
(о-k/) (o-k;) = k/-ki Н-to-k/ X к{ = к2 cos 6— ik2o-n sin 6;
(о - к,) (о-ку) = к; ку + io-ki xkf = к2 cos 6 + ik2o- n sin 0,
где П — (к; х kf)lk2 — единичный вектор, нормальный к плоскости рассеяния
Подставляя его в соотношение (7.115), найдем матричные элементы
для п р—>п~р
М<_£) 2л - к2 [2 (cos 0 — in-о sin 0) + 0 (cos 0 + in о sin 0)]; (7.117 )
для л р —» п°п
МоВ) = — 2л-^-Л2|1 2(cos0—in • о sin 0) + 2 (cos 0-|-in osinO)]; (7.1170)'
для п^р —> л+р
М(£) = 2л ~ к2 [0 (cos 0 — in о sin 0) — 2 (cos 0 4- in • о sin 0)]. (7.117+)
Таким образом, для о n= +1 сечения, если не обращать внимания
на обычные множители, должны быть пропорциональны соответственно:
| М(£) |2 ~ 41 cos 0 —in-osin0|2 = 4; (7.118')
| M(|B) |2 ~ 8cos20; (7.1180)
|M(1B)|~4. (7.118)
К сожалению, эти формулы не согласуются с наблюдениями. Причина рас-
хождений заключается в несправедливости борновского приближения.
б. Амплитуды для заданных Т и J. При вычислении выражений (7.118)
изоспиновые компоненты делились согласно знаку зарядов, а угловые рас-
пределения выразились в виде простых тригонометрических функций. Это
удобно для непосредственного сравнения с экспериментальными данными.
Однако в § 10 и 11 видно, что экспериментальные результаты могут
быть выражены в более краткой и значительной форме с помощью шести
сдвигов фаз для хороших квантовых чисел процесса рассеяния. Поэтому
желательно выразить результаты теории возмущений в таком виде, который
содержал бы квантовые числа 1/2 и 3/2, относящиеся к J и Т, а не заряды
и углы.
Начнем с получения амплитуд рассеяния а«£| [те = 11, 13, 31, 33; см.
соотношение (7.103)1 из матричных элементов в борновском приближении.
Для бесспиновых частиц [см. соотношения (3.5) и (3.210)1 в этом приближе-
нии соотношение, связывающее приведенные амплитуды с матричными эле-
ментами плоской волны, дается выражением
/ (0) ]/1л V ]Л2?+ 1 а|В)У? (cos 0) = - М(£). (7.119)
i
В случае л-А-рассеяния необходимо произвести некоторые изменения,
связанные с наличием у нуклона спина. Матричные элементы, описываемые
выражением (7.117), являются операторами по начальным спиновым состоя-
ниям, а разложение f (0) представляет сумму по I и /.
Выбрав ось z вдоль направления падения волны и предполагая, что
нуклон находится в начальном спиновом состоянии а, можно написать [из
соотношения (3.182)]:
V 2 ]^2Z+T [ - }/ +
i
I -1Л * + * „(В) <2/1/2 1 _ w
“Г у 2Z-J-1 f+l/2j 2л ” а'
357
В этом выражении масса покоя р. заменена полной энергией в соответ-
ствии с релятивистской кинематикой и Л = 1. Учитывая далее, что только
/^-состояния дают вклад в рассеяние и сумма состоит только из двух членов,
получаем
-«15/^^ + У 2 = - - -%--М(В)«- (7.120)
2л |/ 4л
Это уравнение должно быть решено относительно амплитуд а, причем
для правой части используются матричные элементы (7.117). Для л+-р-рас-
сеяния (которое является чистым состоянием с Т = 3/2) равно М<_в\
а и а1?з/2 равны соответственно а(3В) и а3в), исходя из соотношения (7.103).
Для рассеяния налево в плоскости xz (п = у, <р = 0) уравнение (7.120)
принимает вид:
(<Р 0) + (<р = 0)
- —(cos6 j icr„sinG)a. (7.121)
]/4Ш£>
Это уравнение может быть решено относительно aSJp и если исполь-
зовать свойство ортонормированности 2/. Возьмем выражение, эрмитово-соп-
ряженное к соотношению (7.121), умножим справа на ^]/2 и 3/з/2 соответст-
венно и проинтегрируем по всему телесному углу, тогда получим1:
азВ1 =------ал (cos G — icy sin 6) (---------------~ a cos 0----------В sin б) dtl =
~|/4л(в J ' l' 4л V 4 л '
_ 2/2*2 /1 2 \ „ /2*2
~ w ( 3 3 / Z 3<o
и
a* (cos G — io,. sin G) ( a cos G----------В sin 0^ t/£2 =
У2 1/4ШЙ <3 ' y ’ ("I'4л У 2 Д/4л в I
2/2*2 / У2 2 \ , /2*2
~ Д '2сД 3 + 3 |/2/ ~ 4 3w
Решение для амплитуд рассеяния в состоянии с 7 = 1/2 является
несколько более сложным. Используя соотношение (7.104), получаем
= |л57(-4?г/:',-+К2»1,?3'%). (7.122)
Таким образом,
4f=—“ V at (mLb>*—^2dti= ~8^,
2л У 4л Л V V2 / /2 Зю
= 1 at (M(B)t + 4= МоВ)‘1 -2^ •
2л |/4л У2 I ( |/2 / /2 3co
1 Используем:
»%»-!>)--|/|Ч« + У4!ЧР--У=«е>>!в-^р!тв.
о!Й(ф-о> - >-!»+|/A no- у-i).
а также
iCyO. — — Pl i’o^P = a.
358
Можно записать кратко
Хи= -8,
<В) = £Х“’ где ^1з = *31=-2, (7.123)
Т-зз = + 4.
Выражение (7.123) совершенно эквивалентно выражению (7.117) и также
не согласуется с экспериментом.
Интересно заметить, однако, что а33 положительно, а другие амплиту-
ды а отрицательны, как если бы силы носили характер притяжения в сос-
тоянии с Т = J = 3/2 и отталкивания в других случаях. Это свойство
можно использовать для объяснения существования резонанса для а — 33.
в. Вычисление сдвигов фаз. Значение полюсов. Амплитуды рассеяния
Z-волны связаны со сдвигом фаз уравнением (3.6)
2i6Z 4 х
<7-124)
так что можно написать
Actgd/ = Re— (для к действительных). (7.125)
а1
Вышеприведенные соотношения (7.124) и (7.125) являются точными.
В результате борновского приближения были получены действительные
амплитуды, выраженные соотношением (7.123), для л-А-рассеяния. Вообще
говоря, эти амплитуды представляют собой плохую аппроксимацию точных
амплитуд, которые являются комплексными. Борновское приближение
имеет смысл только тогда, когда можно пренебречь мнимой частью амплитуды,
что имеет место для действительных к, при условии
ctgfiz»l. (7.126)
Это условие выполняется, если сдвиги фаз малы или близки к л.
Даже когда точные амплитуды действительны или почти действительны,
амплитуды, даваемые соотношением (7.123), не обязательно точные. Естест-
венно, однако, предположить, что амплитуды в борновском
приближении справедливы около со = 0 (к tv V), где
они становятся настолько большими, что дру-
гими членами возмущений можно пренебречь.
Этот аргумент является основой многих современных соображений
о сильном взаимодействии. Методы теории возмущений
не могут быть справедливы вообще, но можно
ожидать, что они дадут правильные результа-
ты вблизи предсказываемых «резонансов» или
«п о л ю с о в». Теория, развиваемая на этой основе, получила неофициаль-
ное название полология. В связанном состоянии дейтона к = ИВ, ctg 60 =
= —1/7? является полюсом амплитуды рассеяния, который доминирует
в n-р-рассеянии при малых энергиях. Таким же образом со = 0 (к = 1)
резонанс определяет л-А-рассеяние по крайней мере для а = 33.
Применяя это соображение к л-А-рассеянию, можно написать
«аВ) = «а для <оя»О (7.127а)
или
= i Т л------т Для ® ~ 0. (7.1276)
Зсо а fcctg6a — ik м '
Членом ik можно пренебречь по сравнению с членом 3<о//2А:2Ха во всех пред-
ставляющих интерес случаях, и получается простой результат
z . о Зсо 1 /
A:ctgOa = p-^,-y- для
(7.128)
359
В какой мере должно быть выполнено условие <й а 0, чтобы уравне-
ние (7.128) было справедливым? Ответ на этот вопрос априори не очевиден,
но в некоторых случаях уравнение (7.128) может быть использовано с неко-
торой поправкой даже для действительных импульсов (®>1).
§ 13. ФОРМУЛА ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО РАДИУСА
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
а. Упрощенное рассмотрение сдвигов фаз. Из выражения
(3.12) видно, что для рассеяния в /•'-состоянии, обуслов-
ленного короткодействующим силами, величина fc® ctg б
не зависит от энергии. Теория, изложенная в предыдущем разделе, приводит
фактически к похожему результату. Из соотношения (7.128) имеем
—У7’7г=сопр1’ (7129)
Так как эта формула была получена без введения формфакторов или
обрезания при высокой энергии, то ее можно интерпретировать как прибли-
жение нулевого радиуса в л-Лг-рассеянии. Медленно меняющийся множи-
тель 1/со в левой части уравнения (7.129) в нерслятивистском случае сводится
к константе (массе покоя) и должен быть отнесен к кинематически реляти-
вистским эффектам, а не к конечному радиусу действия сил.
Выражаясь просто, уравнение (7.129) означает, что для нулевого радиу-
са величина к3 ctg ба/о не меняется с энергией и может быть определена из
полюса первого порядка при о) = 0, который соответствует пионам, связан-
ным в мезонном облаке, окружающем нуклон.
В частности, для а = 33 приближение нулевого радиуса, определяемое
условием (7.129), дает
Если эту формулу сравнить с данными при низкой энергии, приведен-
ними в выражении (7.114), то получим f2 « -0,235 = 0,17. Эта оценка не
слишком отличается от полученной из нейтрон-протонного взаимодействия
при низкой энергии в соотношении (7.63).
Однако если рассмотреть экспериментальные данные при несколько
более высокой энергии, то обнаружим зависимость величины A:3ctg 633/w
от энергии, что не согласуется с приближением нулевого радиуса. Это не
является неожиданным, так как предполагается, что уравнение (7.130)
несправедливо вблизи резонанса для действительных к (см. комментарии
в конце гл. 3, § 2в).
Для обсуждения зависимости от энергии удобно заменить со новой
переменной, а именно полной энергией a>t, которая содержит кинетическую
.энергию нуклона в системе центра масс:
®t (/.131)
Если построить зависимость экспериментальной величины к3 ctg 633/<oz
от <oz (рис. 7.15), то получим, что эта величина уменьшается линейно, прохо-
дит через нуль в максимуме резонанса 33 и приблизительно описывается
следующим уравнением:
fcg ctg633 9_/ 1ю , (7.132)
Можно интерпретировать постоянный член в пра-
вой части уравнения (7.132) к а к вклад рассеяния
с нулевым радиусом взаимодействия, а член с од
как поправку на эффективный радиус взаимо-
действия.
360
(7.133)
Такая интерпретация согласуется с теоретическим вычислением попра-
вок на эффективный радиус взаимодействия [см. пункты «г» и «д»], из которых
следует уравнение вида
А-Зсщё33 3 „
со, 4/2 Уз3 '
Сравнивая уравнения (7.132) и (7.133), можно оценить два параметра, соот-
ветствующих рассеянию в состоянии са = 33 \
/2 = 0,88, /?зз=4,1, (7.134а)
В 33 — параметр эффективного радиуса взаимодействия имеет размерность
значение соответствует
импульса и можно показать, что его численное
импульсу обрезания
&макс — 6.
Таким образом, рассеяние при низкой энергии
может быть описано с помощью двух
теории обрезания (см. § 5). Из
этих данных получаем численные
значения константы связи и им-
пульса обрезания. Всё значение
этого результата может быть оце-
нено только после того, как будет
доказано, что те же самые числен-
ные значения количественно объяс-
няют многие другие явления взаи-
модействия мезонов низкой энер-
гии и ядерной физики. Этому по-
священы следующие параграфы.
Теперь распространим рассмо-
трение эффективного радиуса взаи-
модействия на а #= 33 и напишем
в общем случае
A3 etg ба
И/
или
A3ctgda =
со(
(7.1346)
в соответствии с а = 33
что соответствует идеям
(7.135а)
лсс7
параметров.
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
оо^попная энергия 6 систепе центра пасс
(за исключениеп пассы покоя протона)
Рис. 7 15 Зависимость экспериментальных
величин (A3 etg 633)/toj от coj [В а г n е s et al.
Phys. Rev., 117, 235 (I960)].
3
^(l-ra<of); га =
= Ц~^а- (7.1356)
Это уравнение, представлен-
ное здесь почти как эмпирическое,
на самом деле получено Чу и Лоу
теоретически. Оно не только коли-
чественно описывает рассеяние в состоянии с а — 33, но находится также
в качественном согласии с результатами для других значений а.
Его успех связан с тем фактом, что константы Ва должны быть поло-
жительными. Поэтому резонансы (etg 6а = 0 для <о> 1) в о змо ж-
ны только в случае, если > 0.
Беглый взгляд на соотношение (7.123) убеждает нас в том, что нельзя
ожидать резонансов для а =^= 33. Этот вывод означал первый успех псевдо-
скалярной мезонной теории рассеяния и имел большое значение для всех
последующих исследований.
Если проанализировать сдвиги фаз для а 33 более подробно, го
можно показать, что они не удовлетворяют уравнению (7.135) при /2 = 0,08.
1 Лучшее согласие с данными рис. 7.15 получается для /2 = 0,085. В последней
экспериментальной работе [24] приводится значение /2 = 0,087 ± 0,01.
361
Это противоречие не должно считаться существенным пороком теории, так
как соответствующие сдвиги фаз малы и могут подвергнуться сильному
влиянию эффектов, не учитываемых при упрощенном рассмотрении.
б. Современные теоретические исследования. Рассмотрение n-TV-pac-
сеяния, проводимое в этом параграфе, является упрощенной интуитивной
версией теоретических данных, полученных первоначально в результате
глубокого изучения.
Как уже упоминалось, выражение (7.135) для эффективного радиуса
взаимодействия впервые было получено Чу и Лоу [30, 34] из анализа отно-
сительного значения диаграмм возмущений различных порядков и соответ-
ствующей интерпретации значения обрезания. Метод, использованный зтими
авторами, представлен и разъяснен в обзорной статье Вика [100].
Некоторые из рассматриваемых идей уже обсуждались в § 56 и 7. Мы
отказались от мысли, что теория возмущений может дать законченное опи-
сание подлинного релятивистского взаимодействия между «голым» точечным
нуклоном и мезонным полем. Это взаимодействие, вероятно, содержит боль-
шую константу связи [/рр « 15, см. соотношение (7.89)], что требует рас-
смотрения сложных диаграмм с многократным испусканием и поглощением
мезонов, виртуальных нуклонных пар и т. д.
Нам пришлось удовлетвориться описанием взаимодействия мезонов
низкой энергии с покоящимся «физическим» нуклоном («статическое при-
ближение»), уже окруженным некоторым «внутренним облаком» конечного
размера. Константа связи /2 = 0,08 («перенормированная константа связи»)
определяет силу связи мезонов низкой энергии с «физическим» нуклоном,
а импульс обрезания А’ма1;с = 6 ограничивает применимость теории взаимо-
действиями с малым переданным импульсом или с относительно большим
параметром удара (периферические соударения), не играющими большой роли
при высокой энергии и малом параметре удара.
Справедливость формулы эффективного радиуса взаимодействия была
показана Джексоном [3] [см. пункт «д»1, исходившим из общепринятой теории
эффективного радиуса взаимодействия, а вывод, основанный на вычислении
логарифмических производных, сделан Вайскопфом [101].
В дальнейшем были разработаны новые теоретические подходы к про-
блеме сильного взаимодействия. Исходя из принципа «причинности» (соглас-
но которому событие в пространственно временной точке xt, Ц не может
вызвать действие в пространственно-временной точке х2, t2, если | х2 — х( | >
> с| <2 — ti |), Гольдбергер и Гелл-Манн вывели некоторые уравнения, назы-
ваемые дисперсионными соотношениями, которые привлекли широкое вни-
мание ученых и нашли многочисленные применения. Те же самые диспер-
сионные соотношения впоследствии были получены из предположения, что
амплитуды и матрица рассеяния могут считаться с некоторыми ограниче-
ниями аналитическими функциями их комплексных кинематических пара-
метров (предположение Мандельштама). В тех случаях, когда полюса ампли-
туд известны либо из теории возмущений, либо из экспериментов, связанных
с резонансами, и определены другие особенности, становится возможным
получить функциональную зависимость сечений с помощью теоремы
Коши.
В следующем пункте («в») введем этот метод и применим его к выводу
уравнения Чу и Лоу (см. пункт «г»).
в. Введение в аналитичность. В нерелятивистском случае кинематика
рассеяния определяется кинетической энергией и углом рассеяния. Соответ-
ствующими релятивистскими инвариантными величинами являются к в a fl-
par энергии sb системе центра масс и квадрат
переданного 4-и м п у л ь с a t. Эти величины могут быть определе-
ны с помощью рис. 7.16:
5 — | Pl ' р2 I — | Рз + Р4 |а;
^=|P1 + P3|® = |P2+P4|S-
362
Как показано стрелками на диаграмме, импульсы в системе центра масс
должны быть взяты положительными для входящих частиц (начальные
импульсы для любых реакций 1 4- 2 —^3 + 4, 1 + 3 —>2 4- 4, 1 + 4 —>
—> 2 + 3) и отрицательными для выходящих частиц. Сумма в определении t
фактически является разностью между начальным и конечным импульсами
для канала 1 4~ 2 —> 3 4~ 4, которая означает соответствующий пере-
данный импульс.
С помощью несложных преобразований * 1 можно показать, что для
л-ТУ-рассеяния s и t имеют следующие значения:
s = (Е\ Кя)2; |
t = — 2/>3 (1 —cos 8) = —4р sin2 у 6. j (7.137)
Можно также ввести третью переменную — квадрат обменного переданного
4-импульса tex — следующим соотношением:
|Pi+P4|2=|P2+P3|'. (7.138)
но она не является независимой от двух других переменных, так как
«- Z4-fet = 2(M24-l).
(7.139)
В «физической» области s и t должны быть действительными и cos 6 <1.
Но мы будем рассматривать как «физические», так и «нефизические» значения
этих переменных. Переменные s и t позволяют опре-
делить любую величину в комплексной области.
Тогда амплитуды рассеяния / (s, t) являются функ-
циями этих комплексных переменных и в предпо-
ложении аналитичности могут быть вычислены с
помощью формулы Коши. Например, для фикси-
рованного t
<7Л4О>
где интеграл берется против часовой стрелки по
контуру, окружающему точку а (вблизи точки), но
контур не должен включать никакого полюса или раз-
рыва функции f (a, t). Уравнение (7.140) можно счи
тать самым простым дисперсионным соотношением.
Рис. 7.16. Система обо-
значений для кинемати-
ческих реакции из двух
частиц в начальном и ко-
Часто оказывается удобным расширить контур нечном состояниях,
интегрирования на бесконечные окружности в ком-
плексной плоскости. В том случае, когда интеграл в уравнении (7.140)
не сходится достаточно быстро, полезно воспользоваться процедурой вычи-
тания, чтобы исключить или уменьшить расходимость. Применяя эту про-
цедуру и обратив внимание на зависимость от переменной s, получим
дисперсионное соотношение
. »•;>,— к.
2т a (s —sj (s —$2)
(7.141)
которое содержит высшую степень s' в знаменателе подынтегрального выра-
жения.
При вычислении интегралов необходимо знать аналитические свойства
амплитуды. В пункте «г» этого параграфа на частном примере л-Л’-рассеянпя
для P-волны будет показано, как это сделать.
1 Вксистеме центра масс нуклона и пиона pN = — рп получаем
|Р14-Р2|2-(^4-^л)2.
I Pi А_Рз12 1_РЛ—Р.х'I2 =J?N“bPx* 2рд-cos 0 -
= 2М% — 2E*N + 2рг„ cos 6 = 2p2N (-14- cos 6).
363
Тот же самый метод, примененный к s-рассеянию в нерелятивистском
случае, приводит к соотношению для эффективного радиуса взаимодейст-
вия (3.58) в случае п-/)-рассеяния. Доказательство этого утверждения пред-
лагается читателю.
г. Вывод уравнения Чу и Лоу из условия аналитичности. В случае
л-Л-рассеяния взаимодействие, по крайней мере теоретически, происходит
только в P-состоянии. Поэтому угловая зависимость (зависимость от t)
содержится в спин-угловых функциях. Нами рассматривается только энер-
гетическая зависимость амплитуд аа (s) для P-волн. Предполагается, что
функция аа (s) известна при s = 7И2 (со - 0), где она имеет полюс, получен-
ный из борновского приближения; необходимо вычислить ее значение для
величин s в физической области. Чтобы сделать это, не беспокоясь о расхо-
димости при s — М2, применим дисперсионное соотношение (7.141) к отно-
шению 0^1 аа и получим
ааВ) <s) _ аа ° (М2) = S — MZ ( ааВ) (И ds' „ . ,
«а (s) «а (Л/2) 2лт $ (s') (s' — s) (s' — Л/2) ' ( ’
В зто уравнение можно ввести
<В)(Л/2)
«а (Л/2)
s — M2 (ЕЛ- + <о)2-Л72 = /саЧ<о2 + 2ЕЛчо^2Л7й)(. (7.143)
С другой стороны, с помощью соотношения (7.124) можно написать
а(В)
= а^в) (A ctg 6а-/Л). (7.144)
аа
Нас интересует аналитическое продолжение ctg6a в физическую область,
где зта величина вследствие унитарности является действительной. Для
этого необходимо исследовать разрывы отношения а^1аа в комплексной
s-плоскости.
Наиболее важным и единственным из этих разрывов, который мы будем
рассматривать, является ветвь разреза вдоль физической области для реак-
ции рассеяния
^действ (Л/ I)2.
В этой области импульс является действительным и может быть выражен
в виде
A=±|A(s)| = ±A /4[s-(A/ + 1)2Hs-(A7-1)2], (7.145)
причем знак плюс (минус) берется для значений s, лежащих немного выше
(ниже) действительной оси.
Если ограничиться рассмотрением области не слишком больших импуль-
сов, которые преобладают при J Т 3/2-резонансе, то справедливо
пренебречь всеми другими полюсами и разрывами. Такие разрывы, соответ
ствующие виртуальному образованию возбужденных состояний нуклона
или резонансных состояний между мезонами, могут быть учтены в более
усовершенствованной теории 1.
Разумно выполнить интегрирование в выражении (7.142) вдоль контура,
показанного на рис. 7.17, ибо вклад от окружности бесконечного радиуса
исчезает, так как а^/а^, вероятно, ведет себя хорошо на бесконечности.
Поэтому интеграл в соотношении (7.142) разбивается на сумму интегралов,
берущихся вдоль действительной оси. Учитывая выражения (7.144) и (7.145),
1 Ветвью разреза для действительных s [0 < s < (М — I)2], где, как видно из соот-
ношения (7.145), к — действительно и имеет неопределенность в знаке, также пренебре-
гают, так как она идет вдоль физической области для пион-антинуклонного рассеяния.
364
можно написать для а = 33:
p f' «33^ (s ) I k (s ) I , ,
9’= ~2l j (P-S) (s'-М2)ds
(M+l)2
Подставляя это уравнение в выражение (7.142) и используя соотноше-
ние (7.143), получаем
6 «33 (s)
^Кз3 к etg 633 =
Зсо
«зТ <s') I к И I
. _ M ______________________
n (s'— s) (s' — M2)
(M-H)2
Интеграл расходится и должен быть обрезан заменой верхнего предела
некоторым ограниченным 8макс- В таком случае для s < «макс интеграл стано-
вится слабо меняющейся функ-
цией, и его можно считать поло-
жительной константой.
Таким образом установлено,
что уравнение (7.146) эквивалент-
но соотношению (7.133). Числен-
ная оценка интеграла для а = 33
показывает, что величина «макс,
требуемая для согласия с экспе-
риментом, соответствует импульсу
обрезания, определяемому выра-
жением (7.134).
д. Вывод уравнения Чу и Лоу
из теории эффективного радиуса
взаимодействия. Теперь докажем
уравнение Чу и Лоу, используя
теорию эффективного радиуса вза-
имодействия в ее обычном виде
(см. гл. 3, § 5). Однако, для того
чтобы применить эту теорию к
рассеянию псевдоскалярных ме-
зонов, необходимо распростра-
нить формализм, показанный в
Определим функцию vn аналогично соотношению (3.49): в данном слу-
чае vn является решением в виде P-волны для V = 0 со сдвигом фазы 6П
по отношению к асимптотическому решению в виде P-волны, которое ведет
себя регулярно в начале координат. По определению,
у л|-<5;г)
(7.146)
Рис. 7.17. Коптур интегрирования в комп-
лексной 5-области для вычисления формулы
Чу и Лоу. Контур обходит ветвь разреза
в физической области рассеяния.
гл. 3, § 5, на случай Р-волн.
Sill
Vn(r
— sin
1
sin бп
j ctg6n-[-cos [kr — ynj
(7.147)
и, следовательно [см. соотношение (1.33)],
vn (г) = кпг [Д (knr) etg <5П + Hi (Anr) |
( sin knr
cos кпА etg 6n + sin кпг -ф -os кпГ
/ ипг
Чтобы поступить, как в гл.З, § 5, необходимо вычислить vn и в начале
координат, но это невозможно, так как член (cos knr)lknr расходится при
г = 0. Удовлетворимся вычислением vn и v‘n вблизи начала координат для
малого г = е. Для этого нужно уравнение (7.148) разложить по степеням г.
(7.148)
365
Формулы (1.34) недостаточно, и необходимо сделать следующий шаг. Запи-
сывая
sin кпе, = кпе — -Л"е)3, 1
, 4 (ЗД» | <7Л49>
cos кпе — 1 — < J
и подставляя в выражение (7.148), сохранив при этом члены вплоть до (/се)2,
получаем
r(e) = ^ctg6n + ^ + ^; '
г, Л Л (7-150)
1’ (е) А„ (А„е) ctg 6п - + уJ - J
Теперь можно продолжать, как в гл. 3, § 5. Единственное различие
заключается в том, что волновое уравнение содержит член момента количе-
ства движения 2/г2. Этот член исчезает при вычитаниях, и полученное урав-
нение в точности подобно уравнению (3.55).
Учитывая, что ип (0) = ип (0) 0, напишем
оо
(I’ni’m — vmi’n)r^e = (кп —кт) (unum — vnvm)dr. (7.151)
Е
Подставим выражение (7.150) в левую часть этого уравнения. Так как е
мало, то в этих произведениях необходимо сохранить все отрицательные
степени /се [продолжение разложения соотношения (7.150) в ряд не дает
какой-либо более высокой отрицательной степени Аге], однако можно исклю-
чить все положительные степени. В результате получаем
-j~j— [&»> Ctg 6,„ — кп Ctg бп + (кт — /fn) 4] =
ОО
(An к,л) (п-пНП1 Vn^m) dr. (7.152)
е
Конечно, расходимость в начале координат (е = 0) остается. Однако такая же
расходимость существует и в правой части уравнения, где произведение
д„г’т меняется, как hknkmr2. Воспользуемся формальным соотношением
и преобразуем члены с 1/е под знаком интеграла
к-т Ctg dm кп Ctg 6n -
ОО
= (к^ — кт) [/cn/cm (unum—vnvm) dr. (7.153)
E
Предположим, что интеграл, входящий в уравнение (7.153), является мед-
ленно меняющейся функцией энергии и что он имеет конечный предел
при кп =кт 0. Тогда можно определить эффективный импульс Р-волны
оо
ке= lira \кткп(ипит — vnvm)-\—^-1 dr. (7.154)
<L r J
Наконец, поправки к теории нулевого радиуса, согласно которой величина
к3 ctg 6 не зависит от энергии, даются уравнением
кт ctg 6m — к3п ctg 6n = (kl — кт) ке. (7.155)
3U6
Если зту формулу использовать для сравнения величин к3 ctg 6 при к I (со л 0)
и при любых действительных к (со > 1), то получим
к3 ctg 6 — (к3 ctg б)о—о — (— 1 — А2) ке = — со2Ае, (7.156)
и это подтверждает вид уравнений (7.133) и (7.135).
§ 14. ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ И АНОМАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
а. Ядерные силы. Разумеется, было бы очень важно пока-
зать, что знание двух параметров нерелятивистской псевдо-
скалярной теории/2 и Амакс, определенных из n-N рассеяния,
позволяет получать разумные результаты в других проблемах. Начнем еще
раз с проблемы нуклон-нуклонного взаимодействия в 5-состоянии.
Как было показано в § 5, для получения согласия между длиной рассея-
ния в ^-состоянии и потенциалом, описываемым соотношением (7.60)
(ОРЕР 1 без обрезания), необходимо положить /2 = 0,25. Это значение суще-
ственно отличается от значения /2, найденного в предыдущем параграфе.
Такое расхождение не является неожиданным, ибо модель ОРЕР без обре-
зания, очевидно, неправильна на коротких расстояниях, что и является
причиной возникшего для 35-связи несогласия.
Далее кратко укажем, каким образом в полуэмпирическом методе можно
учесть роль коротких расстояний без каких-либо предположений о величи-
нах обрезания или об определенном виде МРЕР [65]. Чтобы понять этот
метод, разделим свойства 5-состояния на «внутренние» и «внешние» в соот-
ветствии с поведением волновой функции на малом или большом расстоянии.
В частности, нас интересует квадрупольный момент и триплетный эффектив-
ный радиус взаимодействия дейтона в 35-состоянии.
Квадрупольный момент Q [см. соотношение (1.157)] является типично
«внешним» свойством, так как он представляет собой интеграл по радиусу
от квадрата ядерной волновой функции, умноженный на г'1. Триплетный
эффективный радиус взаимодействия Зге [см. соотношение (3.57)] является,
наоборот, типичным «внутренним» свойством, так как он представляет собой
интеграл, взятый по радиусу от разности между асимптотической и точной
величиной квадратов волновых функций.
Таким образом, эффективный радиус взаимодействия дает информацию
о внутреннем поведении волновой функции дейтона. Можно показать, что
зта информация совместно с ОРЕР-взаимодействисм достаточна для опре-
деления внешней части волновой функции без какого-либо дополнительного
знания свойств короткодействующего потенциала. Следуя этому методу,
можно вычислить квадрупольный момент дейтона, исходя из двух парамет-
ров, а именно триплетного эффективного радиуса взаимодействия Зге, кото-
рый известен экспериментально, и константы связи/, которая входит в ОРЕР.
Значение величины /2, которое согласуется с экспериментальными дан-
ными по ядерным состояниям 35 и 1S, равно
0,07 </2< 0,09.
Таким образом, константа связи, полученная из рассмотрения эффек-
тивной области рассеяния пионов, может быть успешно использована для
понимания эффективной области ядерного 5-состояния при низкой энергии.
При более высокой энергии следует ожидать, что ОРЕР является аде-
кватным рассмотрением только для дальних соударений и тем самым для
больших значений момента количества движения. В гл. 3, § 21 в было пока-
зано, что эта теория объясняет сдвиги фаз в /?-р-рассеянии для больших
моментов количества движения при константе связи, близкой к 0,08.
Чтобы развить теорию в применении к более близким соударениям
и к другим явлениям, характерным для малых расстоянии, некоторые авто-
1 См. гл. 3, § 216.
3G7
ры пытались вычислить эффект обмена двумя мезонами. Но предсказания
теории для таких обменов не являются вполне однозначными. Было показа-
но, однако, что вычисления (Гартенхауз, см. § 8), выполненные с учетом
спин-орбитальной связи (Сигнелл и Маршак, см. гл. 3, § 23г), объясняют
многие свойства УУ-УУ-рассеяния при помощи /2 и /£Maitc, определенных из
л-УУ-рассеяния.
Знание же взаимодействия между нуклонами до сих пор очень ограни-
ченно, но кажется, что любой успех в понимании свойств мезонов может
быть использован для создания лучшей теории ядерных сил. Например,
обмены двумя и тремя пионами в виде р- и w-векторных мезонов (см. § 19 и 20)
могут оказаться весьма плодотворными. Создается впечатление, что перво-
начальная гипотеза Юкава, согласно которой ядерные силы обусловлены
обменом мезонов, полностью подтверждена и что удовлетворительная мезон-
ная теория привела бы к удовлетворительному пониманию ядерных сил.
В той ограниченной степени, в которой современная теория может
объяснить рассеяние пионов, она в состоянии также описать взаимодействие
между нуклонами.
б. Аномальные магнитные моменты. Существует естественное желание
объяснить аномальную часть магнитного момента нуклона электрическим
током мезонного облака. Если допустить, что аномальный момент создается
главным образом пионами во внешней части облака (виртуальные пионы
с малым импульсом), величина этого момента может быть согласована
количественно с константами f2 и /£макс, полученными из л-УУ-рассеяния при
низкой энергии.
Эта точка зрения развита Миязава [75] в случае квантовой формы мезон-
ной теории (см. графики на рис. 7.42). Еще не обсуждалось электромагнитное
взаимодействие квантованного мезонного поля (см. § 15), поэтому здесь
будут вычислены аномальные магнитные моменты, возникающие из класси-
ческого мезонного поля [3].
Заряженная часть облака получается решением относительно <р+ и ф_
волнового уравнения, полученного из свободного лагранжиана с членом
источника из соотношения (7.76). Таким способом получаем
ф±=—^=/т±о.уУ(г), (7.157)
|/4л
ь
_| г_r* | макс
Y (г) Р(г')-р—7rj_^3г,^ Р eik r<Z3k. (7.158)
о
Облако, описываемое соотношением (7.157), соответствует плотности электри-
ческого тока
je= — ^(<НуФ+~Ф+¥ФХ —Ф*¥Ф- + Ф-¥<Н= — ie( — $-V4>+ + 4>+v4 ) (7.159)
Отметим, что поскольку поля ф и ф_ являются коммутативными функциями,
то первый член тока может быть записан либо как ф уф+, либо в виде
(уф+)ф-, но после выполнения подстановки соотношения (7.157) порядок
сомножителей становится важным, так как т+ и т_ не коммутируют. Неопре-
деленность возникает из того факта, что неквантованная теория статиче-
ского облака не отличает процессов поглощения от испускания. Если неопре-
деленность устранена в соответствии с квантовой теорией, то получаем
je =
/2 f (т+а • v у )T-V(° • vy)—т-(° Vy) т+V(° • vy)l=—/22тз(о Vy) v(° • Vy) >
и, таким образом, оператор аномального момента имеет вид:
Ра = у § (г X Ь)d3r = — ie тз J (а- Vy) (г X V) (а- Vy) dSr =
368
= tТз S -^-(°-r)(r x v)!-f-(°-r)d3r =
= -ге-^т3 § ~ [^2(o-r)(rxo)d3r. (7.160)
Для z-компоненты интеграл содержит множитель (^o« + i/<7y + za2)
X (жоу —i/oz), в котором только члены х2ахоу— y2GtJox = i(5z (х2 4-у2) =
= iozr2sin20 и дают неисчезающий вклад. Таким образом, величина (р,а)г
в состоянии «спин вверх» равна
, . /2 Р ( dY \2 . 2 о „ /3 2 Р ( dY \2 „..
<^> = ^3^ 81П20й3г = ет3-^-у J d8r. (/.161)
Для /2 = 0,08 и квадратичного обрезания Джексон получил р,а = 1,76т3,
что следует сравнить с аномальными моментами, равными соответственно
+1,79 для протона и —1,91 для нейтрона. Согласие действительно
кажется удовлетворительным. Но классическое мезонное облако дает только
«изовекторный» (пропорциональный т3, см. гл. 4, § 17) аномальный момент.
Из квантованного вида теории получены также «изоскалярная» часть и вклад
от сердцевины нуклона. К сожалению, это уточнение теории ухудшает согла-
сие с измеренными значениями и проблема аномальных магнитных момен-
тов остается еще не разрешенной.
в. Выводы. Из обсуждения, проведенного в трех последних параграфах
можно сделать вывод, что статическая псевдоскалярная мезонная теория
с зарядово-симметричной нерелятивистской псевдовекторной связью и обре-
занием удовлетворительно объясняет некоторые явления при мезон-нуклон-
ных и нуклон-нуклонных взаимодействиях низкой энергии.
Некоторые успехи и недостатки теории суммированы ниже.
1. Теория предсказывает, что л TV-взаимодействие происходит исклю-
чительно в /-’-состоянии; из опыта действительно следует, что л-Л^-рассеяние
является преимущественно рассеянием Р-волн.
2. Теория в соответствии с экспериментом предсказывает резонанс
3 3
в ——состоянии.
3. Теория позволяет определить константы/2 и ккакс. Значения /2 и /смакс,
найденные из анализа рассеяния, дают объяснение нескольким другим
явлениям, включая ядерные силы, и, по крайней мере в упрощенной трак-
товке, — аномальные магнитные моменты.
4. Теория не дает прямого объяснения тому, что сдвиги фаз л-TV-pac-
сеяния в 5-состоянии отличны от нуля.
5. Теория не объясняет, что происходит за пределами первого макси-
мума в сечении л-Лг-рассеяния.
6. Из-за статического приближения теория не может сделать предсказа-
ния о спин-орбитальной связи в /V-/V-взаимодействии.
В. РОЖДЕНИЕ ПИОНОВ
§ 15. ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ В ФОТОРОЖДЕНИЕ ПИОНОВ
а. Качественное описание явления. Пионы рождаются при
бомбардировке пучками частиц высоких энергий, выведен-
ных из ускорителей, мишеней из различных веществ. Как
обычно, будем рассматривать «элементарные» мишени, а именно протоны
и нейтроны. Начнем обсуждение с анализа экспериментов по фоторождению.
Эти эксперименты в некотором смысле являются, наиболее легкими для
понимания, так как связь с электромагнитным полем изучена лучше, чем
сильное ядерное взаимодействие. Эксперименты по рождению л-мезонов
путем взаимодействия у-квантов со свободными нуклонами ограничиваются
изучением двух реакций:
у -j- р —> л+ + п, (7.162)
у + р —»зт°+р. (7.163)
24 Ядерные взаимодействия
369
Энергия налетающего фотона, Мэв
Рис. 7 18. Сечение фоторождепия (J ack son
J. D. The Physics of Elementary Particles 1958,
Princeton University Press.)
В предположении о зарядовой независимости реакции на нейтронных
мишенях не могут дать никакой существенно отличной информации.
Полные сечения для реакций (7.162) и (7.163) приведены на рис. 7.18.
Фоторождение л°-мезона имеет максимум при резонансной энергии из-за
образования промежуточного первого возбужденного состояния нуклона,
отвечающего Т = J = 3/2 (N*3).
Угловое распределение л°-мезонов, как было показано в гл. 5, § 6г,
з
пропорционально 1 + — sin2 6.
Сечение фоторождения заряженных мезонов труднее интерпретировать.
Оно определяется суммой нескольких отдельных амплитуд. Вблизи порога
фоторождения, как показывает
зависимость сечения от энергии,
преобладает 5-волна.
При более высокой энергии
в конечных состояниях важную
роль играет P-волна, как и
при рождении нейтральных пио-
нов. С теоретической точки зре-
ния следует различать по мень
шей мере три разных способа
вычисления матричных элемен-
тов. Они представлены диа-
граммами, приведенными на
рис. 7.19—7.21. Диаграммы
рис. 7.19 соответствуют так на-
зываемому переходу «со стряхи-
ванием», подобному л iV-рассея
нию. Этот процесс усиливается
образованием промежуточного
резонансного состояния N33, ко-
торое образуется в результате //1-перехода, вызванного взаимодействием
с магнитным моментом (pA,orotA). Электрическое дипольное взаимодей-
ствие у-кванта с током протона (ер-А) незначительно, потому что масса
нуклонов велика (бесконечна в статическом приближении).
Рис. 7.19. Диаграммы фоторожде-
пия в процессе «со стряхиванием».
Рис. 7.21. Ка-
тастрофическое
рождение фото-
мезонов.
Рис. 7.20. Диа-
грамма фоторож-
дения, отвечающая
фотоэффекту.
Заметим, что переход «со стряхиванием» приблизительно в равной мере
важен для нейтрона и протона. Он является единственным механизмом фото-
рождения л°-мезонов, так как не содержит прямого мезон-фотонного взаимо-
действия.
Диаграмма на рис. 7.20 иллюстрирует другой механизм фоторождения,
когда у-квант выбивает мезон из «блока», окружающего нуклон-мишень.
Этот процесс подобен атомному фотоэлектрическому эффекту. Взаимодей-
370
ствие представляет собой р-А-взаимодействие между электрическим полем
у-кванта и электрическим током мезона. Оно исчезает для л.°-мезона.
Наконец, диаграмма на рис. 7.21 описывает процесс первого порядка
или «катастрофический» процесс, который имеет место только для л^-мезо-
нов благодаря члену в гамильтониане взаимодействия, происхождение и вид
которого станут ясными в следующем пункте.
б. Лагранжиан и гамильтониан взаимодействия. При наличии электро-
магнитного потенциала А плотность лагранжиана нуклон-мезонной системы
может быть представлена в виде суммы следующих членов:
У’ — Хд-+ л Н* <Х'а <Za’jx4 .7 nA + + ^NnA- (7.164)
Обозначения очевидны: первые три члена являются лагранжианами
свободного поля, следующие три — лагранжианами взаимодействия, а по-
следний член соответствует фоторождению в первом порядке (см. рис. 7.21).
Нерелятивистские нуклоны, свободное электромагнитное поле и их
взаимодействие были уже рассмотрены в гл. 4, и здесь обсуждать члены
£а и £NA не будем.
Вследствие важности электрического заряда в электромагнитной связи
удобно использовать выраженным через «циркулярные компоненты».
Учитывая, что ф* = — ф_, лагранжиан, выраженный соотношением (7.74),
можно записать
= уф+ • уф- - ~~ Чг - 4^ФоУ + 4 ( 44)2 - i (- 2ф+ф- + Фо)- (7-165)
Для нуклона, помещенного в начало координат, лагранжиан 3: Nn запишем,
исходя из соотношений (7.57) и (7.76),
<5£>л = —a^Nn = /4л/р(г)а-у(т+ф_+т_ф+ — тофо). (7.166)
Очевидно, взаимодействие пионов с векторным потенциальным полем полу-
чается заменой
уФ± —> (V + *7?А) Ф± (7.167)
в выражениях (7.165) и (7.166). Подставляя выражение (7.167) в соотно-
шение (7.165), получаем новые члены:
^ла= — о^ла = ^(ф_.А-у</>+ —<£+А-уф_)-(-е2Л2ф+ф_, (7.168)
а из лагранжиана (7.166) получаем «катастрофический» член
Хыпа = — о№кпа = ieV4л/р (г) (т+ф_—Т_ф+)О-А. (7.169)
в. Матричные элементы и вершинные множители. Плотность гамиль-
тониана, определяемого соотношением (7.168), соответствует классическому
взаимодействию между электрическим током мезонов [сопоставьте с выра-
жением (7.159)] и электромагнитным полем. В квантованной форме она позво-
ляет вычислить вершинный множитель для диаграмм Фейнмана, описываю-
щих взаимодействие между пионами и фотонами. Вычислим классический
гамильтониан, пренебрегая, как обычно, членом с е2А2, и проинтегрируем
соотношение (7.168) по всему пространству
о%?па = —^(ф_А-уф+— Ф+А-уф_) d3r.
Это выражение можно переписать в квантованном виде, разложив поля
ф_, ф+, А в сумму операторов рождения и уничтожения, как в соотноше-
ниях (7.77) и (7.78). В качестве примера рассмотрим представляющий инте-
рес член на диаграмме рис. 7.20, соответствующий поглощению фотона
с импульсом кт положительным мезоном, который изменяет свой импульс
24* 371
от кл до кл. Матричный элемент взаимодействия представляет собой коэффи-
циент1 а±
М(л+-)-у—>л+) -
= zej/ т^-^/ —у 4^^ (егкл‘ге‘ктгЕт-уе~’кл г —е~*к' ’е;/гг rEv-y7e кл г) 5:!г —
= е V ~^гУ ^(2я)36(кл + кт-кл.)Ёг(кл + кл). (7.170)
л '7
Это выражение должно быть еще проинтегрировано по всем промежуточным
импульсам Г (2л)-3 \ 53кл1 ; учитывая, что Е7кл =Ет-(кл — кт) = Ет-кл, получаем
м(я.+у_»я,)=2е}/_±_
(7.171)
где кл — импульс испускаемого пиона.
Так как нормирующие множители написаны около линий, входящих
в диаграмму, то вершинный множитель равен
2еЕт-кл. (7.172)
Естественно, что для отрицательного мезона знак должен быть изменен.
Матричный элемент для катастрофического фоторождения л+-мезона полу-
чается интегрированием соответствующего члена в соотношении (7.169) по г
(у + Р —>гс + л+) = ze]/4л/т_ р(г)ф+о-А53г (7.173)
и заменой <р+ на коэффициент оператора рождения л+, а А — на коэффи-
циент оператора аннигиляции фотона в квантованном выражении полей.
В результате получаем
М(у+р-^гс+л+)= — ieV 4л/п(|кл — к7|) \/^ [/ ТГОетт- (7.174)
с со = <ov — сол. Вблизи порога, где переданный импульс мал, вершинный
множитель для «катастрофического» фоторождения л+ равен
— ie ]/~4л /о- evt_. 7.175)
Этот множитель превращает протон в нейтрон и содержит обе константы
связи ей/.
г. Поведение пионов при зарядовом сопряжении и обращении времени.
Прежде чем закончить этот раздел об электромагнитном воздействии л-мезо-
на, целесообразно сделать краткие замечания о поведении мезонного ноля
при зарядовом сопряжении.
Уравнение Клейна — Гордона с электромагнитной связью
(5ц + геЛц) (5ц + ieAJ ф + т2ф = 0 (7.176)
содержит электрический заряд, умноженный на мнимую единицу. Поэтому
оператор зарядового сопряжения С совпадает с оператором комплексного
сопряжения ± К. Это оправдывает выбор комплексных сопряженных состоя
ний для л+- и л--мезонов.
Выбор знака должен быть сделан таким образом, чтобы объяснить раз-
решенный распад л° на два у-кванта в предположении об инвариантности
при зарядовом сопряжении. Таким образом, нужно написать Сф = Кф ф*.
1 Предполагается, что поглощение происходит из состояния, содержащего одиноч-
ный квант, и что кванта нет до испускания.
372
Преобразования мезонов трех знаков при зарядовом сопряжении полу-
чаются немедленно:
С I Л+> = К [ (ф, + ^2)] = - ^ (•/>! - = - | л->;'
C|n) = /<[^(^-i^2)] = ^(^ + ^2)=-|n+); (7-177)
С | по) = Кф3 = ф3 = | л°). J
В квантованной теории мезонное поле выражается в операторах рожде-
ния и уничтожения. Операция комплексного (не эрмитового) сопряжения
преобразует оператор рождения для л:+ в оператор рождения для л- и т. д.,
как показано выражениями (7.78).
Теперь исследуем поведение связи пионов с нуклонами при зарядовом
сопряжении. Требование инвариантности относительно зарядового сопряжения
удовлетворяется, если преобразование а+—>cz_ и т. д. сопровождается пре-
образованием т_—»— т+ и т. д., что можно увидеть из лагранжиана взаимо-
действия (7.79).
Таким образом, оператор соответствующий реакции р —>- п + л+т
преобразуется в —т+«1, который должен быть интерпретирован как опера-
тор, описывающий зарядово-сопряженную реакцию1 р —> п + л \
Для внутренней согласованности необходимо изоспин —1/2 приписать
антипротону, а изоспин +1/2 — антинейтрону. Заряд нуклона равен
1/2 (А + т3), где А — 1 для нуклона и Л = —1 для антинуклона. Закончим
этот раздел кратким замечанием о временной инверсии. В сноске на стр. 332
отмечалось, что нейтральное пионное поле должно менять знак при времен-
ной инверсии точно так же, как магнитостатический потенциал.
Для исследования поведения заряженных компонент при обращении
времени обратимся к уравнению (7.176). В этом уравнении обращение вре-
мени приводит к изменению знака 54 и А,, поэтому операция обращения вре-
мени действительно эквивалентна операции комплексного сопряжения.
Отсюда приходим к заключению, что оператор обращения времени, приме-
ненный к пиоиному полю, является произведением операций изменения
знака и зарядового сопряжения: Тф = — Кф — —ф*.
§ 16. СЕЧЕНИЯ ФОТОРОЖДЕНИЯ
а. Схема вычисления. Сечение фоторождения может быть
записано в виде
° = 7 V А'п“ 1 Mi + Мг + Мз I*’
(7.178)
где Mj, М2, М3 — матричные элементы для трех процессов, описанных
в предыдущем параграфе, а со = сол = cov.
Начнем вычисление «катастрофического» процесса из диа-
граммы рис. 7.21, так как гамильтониан содержит множитель е, который мал,
и можно смело использовать теорию возмущений. Из соотношения (7.175)
получаем
М1= V2. (7.179)
Далее рассмотрим матричный элемент для диаграммы фотоэффекта,
приведенной на рис. 7.22. Здесь также может быть оправдано применение
теории возмущений в наинизшем порядке.
1 р и п означают антипротон и антинейтрон.
373
Используя соотношение (7.172) и следуя обычным правилам, можем
написать
Мг— ~ 2<о (кл—kv)2—1 [ 4л /о-(кя kv) | 2]. (7.180)
Процесс фоторождения со стряхиванием более сложен, ибо
диаграммы (рис. 7.23, а) аналогичны диаграммам рассеяния (см. рис. 7.23, б)
пионов на нуклонах, для которых низший порядок теории возмущений
неприменим. Однако, как при рассеянии, необходимо вычислить амплитуду
Рис. 7.22. Диаграмма фоторождеипя, отвечающая фотоэф-
фекту, с множителями, входящими в матричный элемент.
•у-Лг-взаимодействия при о » 0 в низшем порядке, а затем перейти к физиче-
ски интересным значениям со (со > 1), поступая, как в § 13.
Этот метод должен быть столь же успешным, как и рассмотрение рас-
сеяния, и может поэтому неплохо описывать фоторождение со стряхиванием
вблизи J = Т = 2/3-р е з о н а н с а.
Если диаграммы на рис. 7.23 не могут быть применены для вычисления,
то их, по крайней мере, можно использовать для сравнения амплитуд рассея-
ния и фоторождения. Поэтому вблизи резонанса можно написать:
М [/2л/к> (у-А-всршинпый множитель)
3 [/1 /2со (л°-/V-вершинный множитель)
где М(л° + р—>л°4-р)и М(л°-Ур—>n+|-?i) могут быть вычислены из
сдвигов фаз при рассеянии. Вершинный множитель процесса y-N рас-
сматривается в гл. 6, § 9в. Однако только часть, соответствующая образо-
ванию первого возбужденного состояния нуклона, будет давать заметный
вклад в область, в которой оправдана данная методика.
Переход нуклона в состояние с Т = J = 3/2 характеризуется
AJ=1, \л = 0, AZ = 1,
(л0-)-/’—+ N), (7.181)
и поэтому следует рассматривать только часть у/У-связи, участвующей в маг-
нитя ом дипольном переходе с изменением изоспйна. Так как нерелятивист-
ская магнитная связь равна —(е/2М) pAfcr-rot А, то, если взять только изо-
векторную часть магнитного момента нуклона [из соотношения (1.180)|,
мож но написать
у-ТУ-вершинный множител ь = — г -Р- т3а kv \ ev , (7.18 Г)
374
как показано на рис. 7.23. Таким образом, матричный элемент (7.181) при-
нимает вид
I Мз1 = W | М (по + р -> л +7V)
(7.182)
б. Сравнение с экспериментом. Сначала рассмотрим фоторождение ней-
тральных пионов, для которого имеет значение только матричный элемент
Рис. 7.23. Сравнение диаграмм фоторасщеп-
ления со стряхиванием (а) и рассеяние
л°-мезонов (б). Множители, входящие в ма-
тричные элементы (а) и (б), различны.
Рис. 7.24. Сравнение эксперимента
л теории фоторождепия л°-мезона
[Ко ester et al. Phys. Rev., 105,
1000 (1957)].
M3. Если учесть соответствующие «внешние» множители, то выражение
(7.182) дает следующее соотношение между сечениями фоторождепия
и рассеяния л°-мезонов:
о(у + Р^Р + л°) = 4 (^у)2 (ИР 2 ИП) <т(л° + р-^ лО-Ьр), (7.183)
где, как уже упоминалось, сечение рассеяния может быть вычислено из
фазовых сдвигов § Иг. Если это сделать, то найдем, что сечение (7.183)
удовлетворительно описывает данные по фоторождению л°-мезонов (рис. 7.24)
с величиной /2, полученной из рассеяния.
Другим аспектом фоторождения, который допускает простое сравнение
теории с экспериментом, является поведение сечения образования заряжен-
ных л-мезонов для малых /г„ вблизи порога. В этом случае ожидается, что
сечение «катастрофического» процесса будет преобладать и приведет к рож-
дению фотомезонов в 5-состоянии. Теоретическое сечение легко получается
заменой в соотношении (7.178) выражения Mi выражением (7.179)
о=8л—е2/2, <о«1. '
со 1 ’
(7.184)
Это предсказание для /2 = 0,08 также находится в удовлетворительном
согласии с экспериментом. Таким образом независимое подтверждение вели-
чины /2 может быть проанализировано в первом порядке теории возмущений.
375
§ 17. ЗАХВАТ ПИОНОВ НУКЛОНАМИ
а. Захват остановившегося л_-мезона в водороде и дейтерии.
Как мы видели в § Зг и д, захват отрицательных пионов
с атомной /<-оболочки в водороде и дейтерии, осуществляю-
щейся с испусканием и без испускания излучения, происходит со сравни-
мыми вероятностями. На первый взгляд это наблюдение может казаться
6s(p+p-^JC,+D)
[Зарядовая
\ независимость
6s(n+n-—jr+D)
ХДетапъное
| равновесие
6s(jr~+D—~n+n)
Рис. 7.25. Связующие звенья между экспериментами с пионами низ-
кой энергии. Обведенные величины получены экспериментально.
неожиданным, потому что электромагнитное взаимодействие обычно не кон-
курирует с реакциями, вызванными сильным взаимодействием. Такое поло-
жение дел находит простое объяснение, если принять во внимание, что л~
захватывается из атомного 5-состояния. В этом состоянии ядерные взаимо-
действия слабы из-за псевдовекторного характера связи и, возможно, они
того же порядка, что и «катастрофическое» взаимодействие, ответственное
за радиационный захват.
Вероятности радиационного захвата можно вычислить с хорошей точ-
ностью с помощью матричного элемента (7.165) «катастрофического» взаимо-
действия. Однако существующая теория, которая ограничивается мезон-
нуклонным взаимодействием в Р-состоянии, не дает возможности непосред-
ственно вычислить 5-состояние без радиационного захвата.
Из-за этой трудности, результаты экспериментов по захвату сравнивают-
ся не с теорией, а с другими экспериментальными результатами, с которыми
они связаны общепринятыми принципами детального равновесия и зарядо-
вой независимости. Логическая схема, которая связывает эксперименталь-
ные результаты физики пионов низкой энергии, приведена на рис. 7.25,
взятом из работы Кесселса [40]. На рисунке измеряемые величины обведены,
376
а соединяющие теоретические звенья указаны стрелками. Для отношения
Пановского имеем весьма точное экспериментальное значение [51, 87]
р = я-+р^я0+га=1 51 + 0 (7.185)
я- + р->у + п
которое можно сравнить с 5-волновой частью сечения л-TV-обменного рас-
сеяния и с 5-волновым сечением фоторождения. Соответствующее отноше-
ние 5 для дейтерия также известно [871:
5 = 3,16+ 0,10. (7.186)
+ >2га-|-у — '
В этом отношении числитель связан с 5-волновой частью сечения реак-
ции р + р->- л+ + П, а знаменатель можно связать с сечением фоторож-
дения.
Одна из связующих линий представляет величину отношения Т радиа-
ционных захватов в дейтерии и водороде, определяемую формулой
1<2п| 2 <г(Л')-^(т£ЛТ)/У2)|П, л->|2
m л -D ~2га~Ь У ________N=l, 2_______________________ /у л оу\
>-га+у | (га | <г-е* (т_/Д/2) | р, л-) |2
где плотность конечных состояний предполагается одинаковой в числителе
и знаменателе для нуклонов, которые много тяжелее, чем фотоны.
Отношение квадратов волновых функций л~-мезонов, которое может
быть вычислено для ядра мезоатома, дает множитель (rJVrJ*)3, где г'1 п —
боровские радиусы мезоатомов водорода и дейтерия. Если теперь рассмот-
реть у-кваиты, поляризованные вдоль оси z, то, как и в гл. 4, § 9г, найдем,
что дейтон расщепляется только в том случае, если он находится в состоянии
с Mj = 0, превращаясь в нейтроны в ^-состоянии. Таким образом, усредне-
ние по начальным спинам дает множитель 1/3.
Наконец, отношение матричных элементов равно [Л21 и приходим
к заключению, что
2 / гН . з
= =0,81. (7.188)
б. Сравнение данных для пионов низкой энергии. Представляет боль
шой интерес проверить, какие из теоретических отношений, указанных на
диаграмме рис. 7.25, удовлетворяются в действительности. Несогласие
с опытом могло бы быть связано с несостоятельностью гипотезы о зарядовой
независимости или указывало бы на пренебрежение некоторыми сущест-
венными фактами, как, например, существованием nJ с Т = 0.
Экстраполяция сечений на основании принципа детального равновесия
для получения вероятности захвата при низкой энергии не является, одна-
ко, столь простой операцией, как это можно было бы предполагать. Основ-
ная трудность в том, что нужна только часть сечения, связанная с 5-волной,
в то время как эксперимент измеряет вклады от всех моментов количества
движения. Особенно трудным является выделение «катастрофической»
5-части сечения фоторождения. Даже очень близко к порогу можно ожидать
некоторого вклада «фотоэлектрического» фоторождения, который нужно
вычесть.
1 В знаменателе (т_/ф 2) р = га. В числителе необходимо вычислить для Mj = 0
/ *r(D \ | 4
j _i_(p(l>ra(2)_re(l)p<2>)_L_.(a(l>p<2> + a<2)p(l)) =
— 1/2 (га(1>га<2>) —^(a<1>P<2>-a<2’P<1>) = V2| два синглетных нейтрона).
377
Эти вычитания и экстраполяционные методы подробно рассматривались
в работах [17, 381, и после тщательного анализа данных были получены зна-
чения величин, приведенные в последнем столбце таблицы:
Отношение Из измерений при нуле- вой энергии Р и S Из сечений при положи- тельной энергии (Кесселе)
(Кесселе, 1959) (Райн, 1962)
р л -| р —> л° + п 1,74 1,51 1,53
л- + р-—у-1-n
ST л“ + D —' 2п 1,88 2,56 1,63
л~4-р-^>п + у
ST » 2п 1,08 1,7 1,06
р Л--1-Р —г лО -|- П
Сравнение измерений при нулевой энергии с результатами экстраполя-
ции обнаруживает превосходное согласие для отношения Пановского, если
принять последние экспериментальные результаты, подтверждаемые неза-
висимыми измерениями двух групп. Однако новые экспериментальные дан-
ные приводят к значительному расхождению для двух других отношений.
Очевидно, необходимы дополнительные экспериментальные и теоретические
работы.
В настоящее время, учитывая хорошее согласие для отношения Панов-
ского и многочисленные трудности в экспериментах и экстраполяционных
методах, можно утверждать, что не существует определенных указаний на
противоречия между теорией и экспериментом.
§ 18. РОЖДЕНИЕ ПИОНОВ В НУКЛОН-НУКЛОННЫХ
СОУДАРЕНИЯХ
а. Анализ изотопического спина и момента количества дви-
жения при низкой энергии. С теоретической точки зрения
рождение пионов в нуклон-нуклонном соударении является
проблемой более сложной, чем фоторождение, вследствие множества сильно
связанных вершин,
Рис. 7.26. Одна из
простейших диаграмм
рождения пионов нук-
лонами в наинизшем
порядке.
которые появляются даже в самой простой диаграмме
(рис. 7.26). Наличие трех частиц в конечном состоянии
также создает дополнительные экспериментальные
и теоретические трудности.
Поэтому начнем обсуждение с рассмотрения след-
ствий, вытекающих из законов сохранения и в особен-
ностииз зарядовой независимости. Начальные состояния
двух нуклонов можно разделить на изосинглетные
и изотриплетные. В конечном состоянии полный изоспин
лучше рассматривать с точки зрения некоторой упро-
щенной схемы связи.
Схема связи, подходящая для анализа изоспина
вблизи порога (293 Мэв), соответствует диаграмме,
приведенной на рис. 7.27, на которой рассматри-
вается действие 5-состояния нуклон-нуклонного
взаимодействия в конечном состоянии. Важность
этого взаимодействия подтверждается тем фактом, что два нуклона часто
появляются связанными в дейтоне (рис. 7.28).
Сечения реакции могут быть выражены с помощью трех амплитуд,
которые соответствуют различным начальным изоснинам Т и конечным
378
изоспипам двух нуклонов Т'~.
Ац = (Т' 1|А|Р 1); I
.10! = (Г 0|Л|7 1); S
До -<Г 11А\Т 0). J
(7.189)
Амплитуда перехода (Т О)—»(7”=U) равна нулю, потому что процесс
не совместим с рождением мезона с изоспином, равным 1.
Если принять во внимание правила векторного сложения, то полные
сечения возможных реакций связаны с амплитудами следующим образом:
р+р-^р+р+^°,
—-р- /г-|-ль,
—> D +л+,
п + Р ~>Р + РА л •
—>п -|- п-|-л+,
—> р ' п + л°,
—> ОДЛО,
и Иц;
п= Ooi + ^n;
(Т -= ХИо!?
°н);
1 /
G '°10
Ф -2'(О10" ani)i
1
<7 “2~-r(Toi’
(7.190)
где1
<Гц ~2 I |2’ °01 I ^oi I2’ Ст|о "зГ । ^1П I"’
где интегрирование выполняется по углам, энергии и т. д.
Вышеприведенные выражения содержат соотношения между сечениями,
которые проверены опытом, а множитель х может быть определен из вероят-
ности наблюдения дейтонов, которая примерно равна 50%.
Экспериментальные полные сечения рождения л-мезо-
нов в /J-р-соударениях вблизи порога (при 340 Мэв) можно
выразить в зависимости от импульса рожденного пиона
следующим образом [86]:
о1( = ° (Р + Р ~* л°) ~ 0.2/с8;
<Го1 о (р + р —-> л+) — пи 1,5/с4;
<710 2о (?г-{-р—> л±)— On^;0,3A:4;
(7.191)
Рис. 7 27. Рож
дение пионов в
нуклон-нуклоп-
ных соударе
ниях со взаимо-
действием в ко-
нечном состоя-
нии между нук-
лонами.
<тр и (р Д р —> л+ Д D) я» 0,14/сД 1,0А-3.
Зависимость сечений от энергии можно объяснить
с помощью статистических соображений. Скорость первич-
ного пучка вблизи порога постоянна, плотность конечных
состояний для п нерелятивистских частиц дается выра-
жением /с3 а матричный элемент пропорционален к8,
где g — равно числу испущенных частиц в Р-состоянии.
Поэтому для по (п = 2, g = 0 или 1) зависимость от энергии пропорцио-
нальна к или к3. Для трехчастичных реакций (п — 3, g = 0, 1 или 2) ожи-
даемая зависимость от энергии пропорциональна А’4, к6 или к8.
Из этого анализа следует, что испускание л-мезонов в Р-состоянии
происходит во многих случаях.
При более высоких энергиях нуклон-нуклонное взаимодействие в конеч-
ном состоянии имеет меньшее значение, что демонстрируется уменьшением
сечения рождения дейтона (см. рис. 7.28); здесь требуется совершенно дру-
гой метод анализа.
1 Более подробно эти вопросы изложены в работе Ферми [55].
379
б. Кинематический и изоспиновый анализ при промежуточной энергии.
Будем рассматривать область энергий, которые слишком велики для нуклон-
нуклонного взаимодействия в конечном состоянии, но недостаточно велики
Рис. 7.28. Сечение реакции р -j- р -> D + л+
[N a g а п о w et al. Proc. Int. Conf. High.
En. Phys., Rochester (1958)].
для множественного рож-
дения пионов или испус-
кания странной частицы.
Эта область энергий про-
стирается от ~500 Мэв
до 1 или 2 Гэв.
В этой области нук-
лон-пионное взаимодейст-
вие играет доминирующую
роль и приводит к обра-
зованию возбужденных со-
стояний нуклонов в каче-
стве промежуточных со-
стояний *. Поэтому реак-
ция может быть описана
двустадийным процессом
-—
(7.192)
При написании реакции
(7.192) сделано разлитое
между нуклоном «отдачи»
Nr и «распадным» нукло-
ном Nd (рис. 7.29), спектры
которых различны.
В отсутствие взаимодействия между тремя частицами в конечном состоя-
нии их энергетический спектр должен был бы описываться статистическими
Рис. 7.29. Качественные спектры пеупруго рассеянных протонов на
данный угол в лабораторной системе координат для случаев без
взаимодействия между частицами в конечном состоянии (а) и для рас-
пада и отдачи при наличии взаимодействия в конечном состоянии (б).
множителями. Однако если реакция идет в две стадии, как указано в выра-
жении (7.192), то энергия нуклона отдачи определяется кинематикой двух
частиц. Поэтому нуклон отдачи имеет определенную энергию в системе
центра масс (и при каждом угле в лабораторной системе) независимо от вну-
тренней ширины N*.
1 «Изобарическая модель» [74, 90].
380
Таким образом, справедливость реакции, описываемой процессом (7.192),
может быть проверена исследованием кинематики нуклон-нуклонного неупру-
гого рассеяния, которое сопровождается рождением пионов. Спектр нукло-
нов, рассеянных на данный угол, можно разложить на компоненты, как
показано на рис. 7.29. Максимумы, соответствующие образованию возбуж-
денных состояний нуклона, наблюдены в эксперименте со счетчиками [441
по неупругому р-р-рассеяпию (р + р->-р+р + я°) и в работе, выполнен-
ной на диффузионной и пузырьковой камерах для реакции р + р -> р
+ п + л+ [18].
Таким образом, механизм (7.192) подтвержден. Относительные вероятно-
сти различных реакций рождения пионов через промежуточное 7У*3-состоя-
ние могут быть вычислены из анализа изоспина
п+п
р+/%0)
П+7Г*
Р+7Г0
З/Ч
1/6
7/Г
1/6
1/3
П+7Г°_________1/
р+тг----------7/
к=(о,о,о,п)
Рис. 7.30. Диаграмма рождения пиона. Пра-
вая сторона аналогична диаграмме рас-
сеяния.
Аналогичную таблицу можно написать и для других возбужденных состоя
ний нуклона.
в. Теория периферических соударений. На рис. 7.30 воспроизведена про-
стая диаграмма (см. рис. 7.26) с добавлением нескольких формул, позволяю-
щих производить вычислительные
операции. В этой наинизшего поряд-
ка диаграмме ядерные силы рассмат-
риваются в ОРЕР (однопионный
обменный потенциал) — приближе-
нии, которое, как известно, имеет
ограниченную область применения.
Однако если переданный импульс
к' мал, то ОРЕР должен давать
основной вклад в матричный эле-
мент. Так как малый переданный
импульс соответствует большому
параметру удара, то о диаграммах,
подобных приведенной на рис. 7.30,
говорят, что они представляют
?ния».
диаграммы
рис. 7.30 левая вершина может быть
рассмотрена в соответствии с правилами нерелятивистской псевдоскалярной
связи (см. § 6) с /2 = 0,08. Замечаем, что правая часть диаграммы представ-
ляет собой диаграмму Ат-л-рассеяния. В соответствии с этим используем пра-
«периферические соудг
При вычислении
381
вую часть матричного элемента Msc задачи рассеяния, который может быть
либо вычислен теоретически, либо получен из измерений сечения рассеяния.
Таким образом, можно написать
«(*+*—»+*+»)- (7.193)
В этом выражении aN/kN л; MlkN представляет собой обратную вели
чину входящего потока, pF — плотность конечных состояний, 4л (тг-)2/2А'2 —
вклад левой вершины, а (А’'2 — I)-1 — функция распространения обмен-
ного пиона; другие множители представляют собой квадрат матричных
Рис. 7.31. Энергетический спектр нейтронов отдачи в реакции
р Т р -> р Т п Т л+ (энергия 970 Мэв) по сравнению со статисти-
ческой и периферической теориями [S е 1 1 е г i. Phys. Rev. Letters,
6, 65 (1961)].
элементов рассеяния, полученных из сечения после учета соответствующих
кинематических множителей.
В связи с этой формулой следует сделать несколько замечаний и по-
правок.
Прежде всего из-за неразличимости протонов необходимо рассмотреть
еще другую диаграмму, в которой два первоначальных протона перестав-
лены, и сконструировать антисимметричную комбинацию. Это легко сде-
лать, но это не имеет значения для малых углов, так как во второй диаграм-
ме переданный импульс гораздо больше, а функция распространения много
меньше.
Второе, и более важное, замечание: до сих пор использовались сечения
рассеяния и кинематические множители в выражении (7.193), не уточняя,
при какой энергии они должны быть взяты. Кажется разумным исполь-
зовать сечение рассеяния при энергии конечного пиона и распадного нукло-
на в их собственной системе центра масс, равной <о". Однако понятно, что
эта энергия не совпадает с энергией налетающего нуклона co' = <о0 — гог
нашего «рассеяния». Это происходит потому, что «падатщций» мезон являет-
ся виртуальным и его 4-импульс не удовлетворяет соотношению к2 = т2Л = 1
(он лежит не на массовой поверхности).
Оправдано ли применение сечения, измеренного для реальных частиц,
к «рассеянию» виртуальной частицы? Ответ заключается в том, что, хотя
этот метод и не точен, он может оказаться приблизительно верным, особенно
если виртуальная частица находится не слишком далеко от массовой поверх-
382
ности (fc‘1 2 « т2), а именно такие виртуальные частицы дают наибольший
вклад в сечение (7.193) из-за большой величины функции распространения.
Формулы, аналогичные (7.193), но с некоторыми аналитическими
подробностями, приведены в литературе. Например, Чу и Лоу [41] написали
Рис. 7.32. Экспериментальный спектр неупруго рассеян-
ных протонов вперед (сплошная линия), теоретический
спектр протонов отдачи (пунктирная линия) и теоретиче-
ский спектр протонов отдачи и протонов, возникающих
от распада (штрих-пунктирная линия) [Chadwick et
al. Phys. Rev., 128, 1828 (1962)].
формулу x, аналогичную (7.193), как предел для А/2 —т2:
т д2ст /2 к'^/тл? , /~ 1 g , .....
lim .. , ,г „1 ю I/ со2 — т- о ,. (7.194)
fc,2^m2 а/с 2 d<o2 2nAg |fc 2 — m2 | V 4 y '
Несмотря на приближенный характер, этот метод был весьма успешно
применен к проблеме рождения пионов. Селлери 2 (рис. 7.31) сравнил нери-
1 Кинематические множители в соотношении (7.194) взяты для случая рождения
пионов пионами (см. § 19).
2 См. эту работу по антисимметризации, требуемой в тех случаях, когда частицы
являются одинаковыми фермионами [92].
83
ферическую модель с данными по рождению л+-мезонов в р + р реакции,
а Чедвик с сотрудниками [44] — с опытом по рождению л-мезонов в р + р-
в заимо действии.
Прежде всего замечательно то, что теория позволяет получать сечение
без какого-либо произвольного множителя и что константа связи f2 = 0,08
дает правильную величину вероятности перехода. Видно также, что диф-
ференциальное сечение находится в хорошем согласии с измеренным спек-
тром неупругого рассеяния. Из опыта по р ф- р —> л°-рождению, сделан-
ного со счетчиками с хорошей статистической точностью, видно, что при
рассеянии протонов на малые углы, где переданный импульс меньше
(рис. 7.32), согласие оказывается лучшим.
§ 19. РОЖДЕНИЕ ПИОНОВ ПИОНАМИ И р-ЧАСТИЦА
а. Кинематический анализ рождения пионов пионами. Энер-
гетический спектр частиц, испускаемых в реакции
л + 7У->л + л + Л\ (7.195)
может быть изучен по фотографиям следов частиц, получен-
ных в пузырьковой камере, помещенной в магнитное поле. Мезоны выде-
ленной энергии, близкой к 1 Гэв, входят в камеру, где взаимодействуют
с протонами жидкого водорода.
Рис. 7.33. Образование р+-мезоиа (но не р++) в реакции “л+ ф-
ф-р -*• N ф- л+ ф- л-. Сплошная линия — статистическая теория;
пунктирная—вычисленный спектр для реакции л+4-р -> ф- л
[S t о n е h i 1 1 et al. Phys Rev., Letters, 6, 625 (1961)].
Анализ данных заключался в поисках доказательств образования про-
межуточных резонансных состояний. Если два конечных продукта реакции
образуют такое состояние, то третья частица (частица отдачи) имеет опре-
384
деленную энергию в системе центра масс, как это было видно при рождении
пионов в нуклон-нуклонных соударениях.
Были произведены поиски двух процессов:
л + N—> л ± (л ± N)
-» л ±7У;
(7.196)
л 7V —> (л л) ± ТУ
I-----> Л ± л.
(7.197)
Оба процесса были найдены.
Существование возбужденных состояний ТУ-л-системы уже рассма-
тривалось, но открытие л-л-резонанса является новым важным фактом
Рассмотрим некоторые эксперименталь-
ные данные об этом резонансе.
Типичные результаты для пер-
вичных л+-мезонов представлены на
рис. 7.33, а для яг-мезонов — на
рис. 7.34. На этих рисунках отложено
число наблюдаемых случаев в зависи-
мости от кинетической энергии Q^n
двух пионов в их системе центра масс.
Если распределение имеет максимум
при энергии Q = @рез, то можно ска-
зать, что два пиона образуют промежу-
точное сложное состояние, масса кото-
рого равна 2тя±()лл, а время жизни
этого состояния может быть определено
из ширины максимума.
б. р-Частица. Резонанс в системе
2л, описанный выше, был назван р-ча-
стицей. Ниже приведены свойства этой
частицы:
масса — 775 ±10 Мэв
7 = 1
J = 1
Рис. 7.34. Данные по образованию р°-
н р_-мезонов в реакции л' u р N ±
±л~ + л [Pickup et al. Phys. llev.
Letters, 7, 193 (1961)]
четность — отрицательная
распад—> л ± л с шириной—100 Мэв.
Величина изоспина следует из того
факта, что наблюдались нейтральные
и однозарядные р-частицы (см. рис. 7.33 и 7.34), однако дважды заряжен-
ные р-мезоны не обнаружены.
Значение спина J = 1 следует из анализа углового распределения
продуктов распада р-частиц, испускаемых параллельно или антипараллель-
но направлению налетающего пиона [9]. В этих направлениях, когда отсут-
ствует орбитальный момент количества движения, распад должен быть
сферически симметричным для J = 0, вместо этого наблюдается распреде-
ление, характерное для J — 1.
Отрицательная четность следует из того факта, что J — 1, если вспом-
нить, что оба пиона, возникающие от распада р-частицы, имеют внутренний
спин, равный нулю, и положительную внутреннюю четность.
в. Сечение пион-пионпого рассеяния. На рис. 7.35 приведены простей-
шие диаграммы для вычисления рождения пионов пионами. Первая диаграм-
ма предполагает механизм двойного стряхивания, а вторая аналогична
2а Ядерные взаимодействия
385
фотоэффекту, вызванному мезоном, или диаграмме, описывающей рождение
пиона нуклоном1.
Если существует сильное пион-пионное взаимодействие, то вторая
диаграмма должна преобладать, особенно если обменный мезон является
Рис. 7.35. Диаграммы рож-
дения пионов пионами.
Рис. 7.36. Механизм пиои-
пиоииого взаимодействия
посредством рождения вир-
туальных нуклонных пар.
почти реальным (переданный 4-импульс близок к 1, функция распростра-
нения велика). Отличие от предыдущего случая в том, что неизвестно, какое
взаимодействие следует написать для четырехпионной вершины.
Основная псевдоскалярная теория предсказывает, что пион-пионное
взаимодействие 2 осуществляется посредством промежуточных нуклон-анти-
нуклонных пар (рис. 7.36). Но эту
идею нельзя провести количественно,
потому что рождение нуклонной пары
происходит при энергиях значительно
выше энергии обрезания в теории
Чу и Лоу.
Поэтому используем вторую диа-
грамму рис. 7.35 в обратном направ-
лении. Написав формулу, аналогич-
ную (7.193):
Рис. 7.37. Полное сечение рассеяния
пионов пионами [Auerbach et al Phys
Bev. Letters, 9, 175 (1962)].
таты приведены на рис. 7.37. Как
о (л f- Д'
л
'итД2/2Л'2
|/v'2— 1 |2
-HV) _ 2л-^р,.
«о
, (7. 198)
2лрк„ со" V 7
используем экспериментальное сече-
ние рождения пионов для того,
чтобы получить сечение пион-пион-
пого рассеяния [11, 12, 43|. Резуль-
и следовало ожидать, наблюдается
максимум, соответствующий возбуждению р-частицы.
1’о обстоятельство, что выражение (7.198) справедливо только в пре-
дельном случае, когда А1'2 —1, можно учесть в процессе обработки данных.
Экспериментальное сечение является функцией величины А*'2, которая может
быть измерена по нуклону отдачи и энергии, сопл, пионов в их системе центра
масс в конечном состоянии. Можно построить как функцию А*'2, затем
экстраполировать (либо на глаз, либо с помощью теоретических рецептов)
А1'2-> 1, чтобы получить сечение рассеяния реальных пионов. Однако, хотя
1 Обширная литература по этому вопросу приведена в работе [85].
2 Заметим, что не может быть взаимодействия между тремя ппонными линиями,
потому что переход 2л -> л запрещен законами сохранения момента количества движе-
ния п четности.
386
некоторые авторы и пытались применить экстраполяционный метод к экспе-
риментальным данным, все же точный результат этим методом еще не получен.
§ 20. РОЖДЕНИЕ ПИОНОВ ПРИ АННИГИЛЯЦИИ
НУКЛОН —АНТИНУКЛОН II о-ЧАСТИЦА
а. Некоторые особенности аннигиляции нуклон—антинуклон.
При аннигиляции нуклон-антинуклонных пар происходит
испускание л-мезонов (и, возможно, А-мезонов) [88J. Если
при электронно-позитронной аннигиляции испускается минимальное число
у-квантов, совместимое с законами сохранения, то нуклон-антинуклонная
аннигиляция происходит с испусканием многих
частиц (рис. 7.38). Это является доказательством
сильной нуклон-мезонной связи.
Благодаря большой силе пион-нуклонной
связи, аннигиляция не обязательно ограничивает-
ся начальными 5-состояниями. Уже было пока-
зано, что лг-мезопы мезоатомов могут захватывать-
ся из состояний с I 1, 2 ... и т. д., несмотря
на малое перекрытие мезонной волновой функции
с ядром. Аналогично предполагаем, что атом
свободного протония имеет малую, но конечную
вероятность аннигилировать из Р-состояний.
Аннигиляция протония с образованием
пионов (А-мезоны должны испускаться парами
для сохранения странности и испускаются
редко ’) ограничена правилами отбора, которые
сложнее правил отбора, действующих при анни-
гиляции позитрония. Сложность возникает из
необходимости рассмотрения различных состоя-
ний момента количества движения в начальной
системе и различных зарядовых состояний в ко-
нечной системе.
Для того чтобы установить эти правила
отбора [71, должны быть найдены квантовые
Чис по следов
Рис. 7.38. Распределение
множественности заряжен-
ных пионов при иротон-
аитипротонной аннигиля-
ции в водороде.
числа четности и зарядовой сопряженности представляющих интерес
состояний. Квантовые числа протония те же, что у позитрония
(см. гл. 6, § 12г): полная четность равна (—l)z н, а собственное значение
оператора зарядовой сопряженности равно (—1); +s. Система из двух пионов
имеет положительную внутреннюю четность, и. следовательно, четность
такой системы равна (—1)'п; квантовое число зарядовой сопряженности
для л°-л°-системы равно 1, а для системы л+-л~ равно (—1)/л.
Положение усложняется, если в конечном состоянии рождаются три
пиона. В этом случае удобно рассматривать относительный орбитальный
момент количества движения Ln двух мезонов и орбитальный момент коли-
чества движения 1П третьего мезона относительно центра масс двух других.
Нетрудно получить следующую таблицу:
Характеристики Протоний ЛОдО л+л- ПОЛОЛО Jt+л-ЛО
Момент количест- ва движения Четность Зарядован сопря- женность J L-I-S ( 1)'1« (четный) 1 :-1 J? * к ' 11 1 J Ьл (четный) + 1л (-1)1+'л 1 •^л ~ ^л (_1)1+Ея+г« (-1)7"
1 Эксперимент по аннигиляции антипротонов (на лету) в пропане показал, что А-
мезонные пары испускаются приблизительно в 4% случаев [64].
25* 387
Правила отбора получаются из сохранения момента количества движения
и четности и инвариантности при зарядовом сопряжении.
Разрешенные распады сведены в нижеследующую таблицу, где кванто-
вые числа L„ обозначаются посредством S, Р и Z), а /„-состояния — посред-
ством s, р и d
Протоний лОлО л+л- полол» л+л-ло
^0 Л.?(| Wo,. . . tS*$0, ,
— Pi — PPi, Ffi,-.-
— — — Pst, Pd^.
3Л) ^0 — —
5Pi, Dpi,... Spi, Dp^.
3Р2 d2 D2 Ррт.1 Dfa,... Dp2, Df2, •
/
В
н
и
в
н
и
Для распадов более чем на три пиона положение сильно усложняется,
а правила отбора являются менее строгими из-за наличия многих возмож-
ных квантовых чисел в конечном состоянии.
7W
Эффективная масса триплета , ГэВ
Рис. 7.39. Данные по образованию со°-мезона (но незаряжен-
ных со) из анализа триплетов с протон-антипротонной аннигиля-
цией с испусканием пяти мезонов [Stevenson et’ al. Phys.
Rev., 125, 687 (1962)].
Правила отбора для двух пионов могут быть использованы для опреде-
ления относительной вероятности аннигиляции протония из 5- и Р-состоя-
ний, так как аннигиляция на 2л°-мезона может происходить только из
388
P-состояния атома. К сожалению, нейтральные пионы трудно наблюдать
в водородной пузырьковой камере, и поэтому такой эксперимент осуществить
нелегко. Однако те же самые правила отбора имеют силу и для аннигиля-
ции на два /^“-мезона, и, хотя такая аннигиляция происходит редко, все же
наблюдать ее легче, так как “-мезоны могут распадаться на две заряжен-
ные частицы внутри камеры. Отсутствие такого распада [13] может быть
интерпретировано как указание на то, что в большинстве случаев протоний
Рис. 7.40. То же, что на рис. 7.39, но с испусканием семи мезонов [Xuong
and Lynch Phys. Rev., Letters, 7, 327 (1961)].
находится перед аннигиляцией в 5-состоянии. В жидком водороде атом
протония, вероятно, аннигилирует из 5-состояний с большим главным
квантовым числом благодаря примеси от штарковского столкновения [54]
(см. также обсуждение л~-£)-захвата в § Зд). В настоящее время произво-
дится подробный анализ различных схем аннигиляции протония на мате-
риале снимков, полученных в водородной камере ЦЕРНа.
б. Открытие ni-частицы. Наличие взаимодействий между пионами, рож-
дающимися при аннигиляции антипротонов, можно обнаружить по кине-
матике их испускания. Таким способом оказалось возможным установить,
что в аннигиляционном процессе образуется р-частица.
Некоторые теории ядерного формфактора (см. § 22) требовали сущест-
вования нейтрального мезона с Г = 0 и J = Е («-частица), поэтому произ-
ведем поиск таких частиц среди продуктов аннигиляции антипротонов.
Частица с вышеприведенными квантовыми числами не может распа-
даться на 2 л-мезона, так как два пиона в состоянии с Т = 0 должны иметь
положительную четность вследствие статистики Бозе. Поэтому поиск ю-ча-
389
стицы был основан на предположении, что она должна распадаться патри
пиона
ю —> л+ -|- л' + лс;
со —> л° 4- л° 4- л°.
Для этого исследования были отобраны случаи аннигиляции с четырьмя
и шестью видимыми следами. Во многих случаях баланс энергии и импульса
(протоний аннигилирует в покое) указывал на то, что видимые следы сопро-
вождались одним нейтральным пионом в соответствии с реакциями
р р 2л+ 4-2л 4-л" (четыре видимых следа),
р-\-р Зл+-| Зл“ -Г л0 (шесть видимых следов).
В этих случаях кинематика каждого пиона определена и можно вычис-
лить эффективную массу для каждого пионного триплета.
Распределение этих масс [76, 97, 103] (рис. 7.39 и 7.40) обнаруживает
максимумы для нейтральных триплетов, тогда как в распределении заря
женных триплетов таких максимумов нет.
Эти эксперименты можно рассматривать как четкое указание на суще-
ствование резонанса в системе Зл-мезонов или «-частицы со следующими
свойствами:
масса1 784,0 + 0,9 Мэв
Т 0
J 1
четность — отрицательная
распад на Зл с шириной1 9,5+ 2,1 Мэв.
Предполагаемые квантовые числа 1 подтверждаются угловым распределе-
нием продуктов распада (график Далитца).
§ 21. ц-ЧАСТИЦА
а. Открытие и свойства ц-частицы. Первые данные о сущест-
вовании нейтральной частицы с массой ~550 Мэв, распадаю-
щейся на Зл-мезона были получены Певзнером с сотрудни-
ками [84]. Частица наблюдалась в дейтериевой пузырьковой камере, экспо-
нированной в пучке л -мезонов с импульсом 1,23 Гэв1цикл, и была названа
ц-частицей. Рождение ц-частицы происходило в реакции
Л+ 4 D —> р I- р |- цо
I—• -> л+ р л -(- л°.
(7.199)
Распределение по эффективным массам системы из Зл-мезонов имеет
два максимума: один вблизи ~77О Мэв отвечает «"-частице, а другой —
ц"-ч истице.
Сообщений о заряженных щчастицах не было, и поэтому можно пред-
положить, что у ц-частиц Т 0 2.
Образование ц-частицы подтверждено в Беркли 125], где эта частица
наблюдалась при бомбардировке протонов к -мезонами
к 4 р —> А 4- ц
-> л+4- л 4- я0.
(7.200)
1 См. [65]; ширина соответствует времени жизни (0,69 ± 0,15)-10~22 сек.
2 Для более подробного ознакомления см. [42].
390
Группа из Беркли нашла, что q-частица имеет весьма малую ширину,
близкую к разрешению прибора, и указала верхний предел ширины, рав-
ный 7 Мэв.
ц-Частица часто распадается на нейтральные частицы; отношение вероят-
ностей соответствующих распадов равно
т) —>- л+ ± п~ 4- л°
т] —> нейтральные частицы
0,31 ±0,11.
(7.201)
Недавние исследования, выполненные на метил-иодидной пузырьковой
камере [45] показали, что ц-частица распадается на два у-кванта. Приблизи-
тельно для половины нейтральных распадов выполняется соотношение
р—>у+у;
p->y+y
ц —>- все моды
40%
(7.202)
другие 60% нейтральных распадов, вероятно, происходят по схеме: р -> Зл°
(наблюдались случаи с шестью и пятью зарегистрированными у-квантами).
Таким образом, спин р-частицы обязательно равен 0,2 или больше.
Спин 2 или больший исключается, так как он должен был бы приводить
к заметным анизотропиям в распаде, которые не наблюдаются Поэтому
можно смело приписать р-частице спин J 0. Ее четность можно опреде-
лить из отсутствия распада на два пиона. Как уже замечалось, четность
двух пионов в состоянии с Т 0 обязательно положительна и в силу этого
р-частпца должна иметь отрицательную четность.
Свойства р-частицы следующие:
масса 550 Мэв
ширина <7 Мэв
т о
J о
четность — отрицательная
распад па л4‘ + л_±л0, у 4 Y
и возможно л° 1- л" ± л°
Согласно соотношению (6.190), плотность конечных состояний для рас-
пада на два у-кванта пропорциональна т2. Следовательно, р-частица должна
иметь у-ширину, раз в 20 большую ширины л° [соотношение (7.44)]. Если
учесть, что распад на у-кванты дает приблизительно половину ширины,
то среднее время жизни р, полученное сравнением со средним временем
жизни л°, должно быть ~5-10’18 сек1. Это соответствует ширине, мень-
шей 1 кэв.
б. Правило отбора по G-четности и распад р-частицы. Применяя рас-
смотренные ранее законы сохранения, р-частице приписали квантовые чис-
ла, объясняющие ее схему распада. Но предстоит объяснить еще один важ-
ный экспериментальный факт, а именно — почему «электромагнитный» рас-
пад на два у-кванта конкурирует с «сильным» распадом на три л-мезона?
Ответ на этот вопрос вытекает из так называемого правила отбора
по G-чегности [81].
Это правило отбора не содержит в себе какого-либо нового закона
сохранения. Оператор G определяется как произведение операторов заря-
довой симметрии (см. гл. 1, § 14) и зарядового сопряжения. Формально
его можно записать так:
G (л), ' (7.203)
где /{.^ (л) означает операцию поворота на 180 вокруг изоспиновой
оси ц. Все взаимодействия, инвариантные относительно зарядового сопря-
1 Броун и Сингер получили оценку -3-10 18 сек [26].
391
женин и вращения в изоспиновом пространстве, должны быть обязательно
инвариантны относительно операции G.
Однако оператор G удобен еще и потому, что пионы всех знаков пред-
ставляют собственные состояния оператора G, но вообще они не являются
собственными состояниями операторов вращения в изопространстве и заря-
дового сопряжения порознь.
Собственные значения оператора С для пионов легко получить (см. § 15г):
G | л+> = KRn (л) [-А=- (fa +1^) ] =
G | л~) = KR^ (л) [ (ф5 — ?</,„) ] =
= к [ 1 ^~г<М= -Iя’);
с|л«)=.-а:/?;(п)^ = к(-^) -|л°).
(7.204)
Таким образом, три пиона являются нечетными относительно опера-
ции G, или, как иногда говорят, они имеют отрицательную G-четность.
Если теперь предположить, что ц-частица является четной относительно
операции G (или относительно операции С, так как вращения в изопростран-
стве не воздействуют на частицу с Т — 0)
С|л> = И>, (7-205)
то сразу получаем приближенное правило отбора, которое объясняет медлен-
ный распад ^-частицы на три л-мезона.
Поэтому можно сказать, что ц является частицей с квантовыми числа-
ми 0“+, где квантовые числа в порядке написания относятся к спину, четности
и оператору G [58].
Распад ц-частицы на три пиона происходит с нарушением сохранения
G-четности. Так как С-четность должна строго сохраняться, то нарушается
Т-четность. Это не является неожиданным, так как известно, что правила
отбора по Т не являются строгими потому, что электромагнитные взаимодей-
ствия нарушают зарядовую независимость.
Распад на три пиона в таком случае должен происходить с виртуальным
электромагнитным переходом.
В современной литературе можно найти много теоретических размыш-
лений, касающихся относительной вероятности различных ветвей распада
ц-частицы, однако, вероятно, дальнейшие обсуждения лучше отложить до
получения дополнительных данных.
в. Квантовые числа мезонов и нуклонные пары. В настоящее время
можно считать установленным существование четырех видов нестранных
мезонов, квантовые числа которых приведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Мезоны J Рт т G
л 0 —1 +1 —1
1) 0 —1 0 4—1
р +1 —1 +1 +1
со 1 -1 0 — 1
G-четность р- и ш-мезонов установлена в предположении, что про-
исходит распад на два л- и три л-мезона соответственно.
392
Интересно отметить, что квантовые числа четырех мезонов совпадают
с квантовыми числами нуклон-антинуклонной системы в 5-состоянии, приве-
денными в более подробной табл. 7.2.
Таблица 7.2
Мезоны J Рг т G С Эквивалентная TWV-система
л+ | г рп в 1S (Т — 1)-состоянии
п~ \ 0 —1 +1 —1 - : — пр В CS (Т = 1)-состоянии
л° J 1 н 1 рр или пп в V (Т = 1)-состоянии
4° 0 —1 0 +1 +1 рр или пп в 1iS (Т = 0)-состоянии
р+ 1 1 1 г рп в SS (Т 1)-состоянии
р- + 1 —1 -И + 1 I пр В 3>S (Т = 1)-СОСТОЯНИИ
р° 1 < -1 рр или пп в 3,S’ (71 = 1)-состоянии
со0 +1 —1 0 —1 —1 рр или пп в 3S (Т = 0)-состоянии
Эквивалентность мезонов и соответствующих AW-систем не вызывает
сомнений для электрического заряда и квантовых чисел J и Рг. Для изоспина
эквивалентность легко проверить, если вспомнить (из § 15г), что антинукло
ны имеют проекцию изоспина т3, противоположную нуклонам, так что рп
и пр представляют чистые состояния с Т = 1, в то время как рр
и пп представляют смешанные состояния с Т = 0 и Т = 1.
Теперь покажем, что заряженные нуклон-антинуклонные состояния имеют
те же собственные значения оператора G, что и соответствующие мезоны
Для этого начнем с изучения трансформационных свойств нуклонов и анти-
нуклонов при зарядовой симметрии.
Имея в виду вращательные свойства спиноров Паули, получаем
(л) | Р) = I
/01 (л) j п) = В^ (2л) | р) = — | р)
и аналогично |так как С и ВГ1 (л) действуют на различные координаты
и поэтому коммутируют]:
!?> = !»>;_ (7 2066)
Нт, (л)|п)= — |р).
Из выражений (7.206) непосредственно следует
G | р) = ScBr} (л) | р) = Sc | п) = | и);
G |n) = ScH^ (л) | п) = — Sc | р) = — | р); (7.207)
G|p) = |n), G|re)=—|р).
Используя этот результат, можно найти квантовые числа G заряженных
нуклон-антинуклонных пар так же, как в соотношении (6.184). Например,
[G | рп) = G [фа (г, S, р)фь(г', s', п)— фь(г, S, р)фа(г', s', И)] =
= — фа(г, S, п)фь(г', S', р) + фь(г, S, п)фа(г', S', р) =
= I рп) = (- 1)L (- l)s+1 I рп).
В частности, при L = 0 заряженные нуклон-антинуклонные_системы
имеют G = (—1)J+1. Таким образом, ^-состояние р-n- и и-р-систем
имеют G — — 1, как у л+-и л“-мезонов, а 35-состояния имеют G - - + 1,
как и у р+- и р~-мезонов.
393
Далее рассмотрим нейтральные состояния. Нейтральные системы р-р
и п-п вообще не являются собственными состояниями оператора G, но
являются собственными состояниями оператора С с собственным значением
(—1)L s [см. соотношение (6.194)]; для L — 0 собственные значения опера-
тора С равны (—1)J. Однако часть нейтральной системы с Т 0 является
четной относительно операции /?,, (л), а часть нейтральной системы с Т 1
является нечетной относительно той же самой операции. Отсюда следует,
что величина оператора G для р-р- или п-п-систем в ^-состоянии равна
(—1)J т. Это замечание завершает проверку табл. 7.2.
Квантовые числа в табл. 7.2, которые можно легко распространить
на состояния с L =£ 0, приводят к правилам отбора для аннигиляции заря-
женных нуклон-антинуклонных пар с испусканием мезонов [73] различного
вида. Вообще их следует иметь в виду при предсказании и интерпретации
всех реакций — реальных или виртуальных, в которых происходит рожде-
ние и поглощение мезонов и нуклонных пар.
§ 22. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СТРУКТУРА НУКЛОНОВ
а. Изоскалярпый и изовекторный формфакторы. Эксперимен-
тальные величины формфакторов нуклонов получены путем
сравнения сечений рассеяния электронов на нуклонах при
высокой энергии (см. гл. 3, § 14) с результатами вычислений, основанными
на уравнении Дирака для источника конечного размера. Определение форм-
факторов из соотношения (6.157) включает четыре значения плотности
заряда и магнитного момента рР( с (г); рП(С (г); pPi р (г); р„1(Х (г), где г изме-
ряется в системе центра масс e-N-рассеяния.
Вспомним, что эксперименты указывают на размер нуклонов, соответ-
ствующих радиусу, меньшему, чем пионная комптоновская длина волны.
Чтобы объяснить это наблюдение, необходимо прибегнуть к частицам тяже-
лее, чем пион. Согласно этой гипотезе было предсказано существование
р-мезона, исходя из рассмотрения магнитного формфактора, который
является по существу чистым изовекторным количеством.
С точки зрения мезонной теории удобно разложить зарядовую плотность
и плотность магнитного момента по их изоскалярным и изовекторным частям
Ps,« (г); Pv,c (И; Ps.p. (г); ри.ц (г):
рл-.сО) -т1р«, с(г) 1 NXvpv, с (/•)!;
t (7.2о8)
р.х, ц (г) у [Ps, И (с) + (т3).х рг, р. (г)].
Формфакторы, соответствующие только что введенным плотностям, опре-
деляются как обычно:
Fs,c(q) у е-‘ч rpSt с (г) d3r с ^6,с(0) у; (7.209а)
Fv,c(q) у е_’ч гру,с (г) с/3г с Fy,c(O)у ; (7.2096)
Fs,u((Z) = y е-«1гр6.,и(г)й3г с /’s.n(O) -Ь'Р 2~-- ; (7-209в)
ЛмД?)- у § е-<«гру,р.(г)с/3г с Fv,n(0) k“P 2~— 1,83-^-. (7-209г)
Соотношение между новыми формфакторами и формфакторами из соотно-
шений (7.157) и (7.158) имеет вид:
Гх,с(9) |[^,с(?) + (тз)к^,с(<?)[;
е >
~[^8>е(9) + ('Гз)х^И,и('/)1- .
На, N
(7.210)
394
Изоскалярный и изовекторный формфакторы получаются из данных
по рассеянию электронов на нуклонах, сообщенных в гл. 3, § 14. Полуколи-
чественный результат приведен на рис. 7.41.
Из рисунка видно, что аномальный магнитный момент и его распреде-
ление почти полностью обусловлены изовекторной частью формфактора,
тогда как заряд и его распределение соответствуют изоскалярным и изовек-
торным формфакторам того же самого порядка величины.
Рис. 7.41. Изоскалярный и изовекторный формфакторы для заряда (а) и для
аномального момента (6} [L i t I а « е г et al. Phys. Rev. Letters, 7, 145(1961)].
б. Изоскалярпое и изовекторное электромагнитное взаимодействие нук-
лона. В гл. 4, § 17 было уже показано, что электромагнитное поле может
быть связано с изоскалярной и изовекторной частью заряда и магнитного
момента нуклона. Для того чтобы создать теорию изоскалярной и изовек-
торной части формфакторов, рассмотрим отдельно взаимодействие электро-
магнитного поля с изоскалярными и ивовекторными комбинациями виртуаль-
ных мезонов, окружающих нуклон.
а 5 б г
Рис. 7.42.Электромагнитные взаимодействия нуклона: пря-
мое (я); посредством одного пиона — запрещенное (б),
посредством двух пионов — изовекторное (в), посредством
трех пионов — изоскалярпое (г) и т. д.
Чтобы установить эти понятия, рассмотрим векторное электромагнитное
взаимодействие, соответствующее диаграммам на рис. 7.42. Диаграмма а
представляет прямое взаимодействие с точечным нуклоном; диаграмма б
не дает вклада, потому что она нарушает закон инвариантное ги относительно
зарядового сопряжения (вспомним, что зт°-мезон имеет положительную,
а у-квант отрицательную четность относительно операции С); диаграм-
ма в представляет связь электромагнитного поля с мезонным током. Эта
диаграмма соответствует квантованному виду лагранжиана (7.168) и объяс-
няет аномальный магнитный момент в упрощенном приближении (см. § 146).
Как видно из формы выражения (7.161), она приводит к изовекторной связи.
Диаграмма г указывает на возможность трехпионного взаимодействия и, воз-
можно, на привлечение других диаграмм, в которых электромагнитная связь
передается любым числом промежуточных пионов.
Теперь докажем в общем виде, что все диаграммы с четным
числом пионов дают вклад в изовек торную связь.
.395
то гда как все диаграммы с нечетным числом пио-
нов дают вклад в изоскалярную связь.
Для доказательства начнем с замечания, что фотон нечетен
относительно операции зарядового сопряжения,
тогда как система /г-пионов имеет G-четность, равную (—1)п, потому что
Нелокальное
Взаимодействие,
обусловленное обменомр„
(только изовекторное)
Взаимодействие^-^ Нелокальное
точечных зарядов, обуслов- взаимодействие зарядов,
ленное фотонным обменом обусловленное обменом ц,
(изоскалярпое и изовекторное) (только изоскалярпое)
между электроном
Рис. 7.43. Векторная электромагнитная связь
и нуклоном, обусловленная обменом фотонами и нейтральными
векторными мезонами.
нейтральное изовекторное состояние является нечетным относительно опе-
рации Rri (л), а изоскалярпое — четным относительно того же самого вра-
щения в изопространстве. Из этого следует, что четное число пио-
нов с 7=1 и нечетное число пионов с Т = 0 имеют
отрицательную четность отно
Рис. 7.44. «Аномальное»
менаду электроном и
обменом нейтральными векторными мезонами.
Нелокальное магнитное
Взаимодействие,
обусловленное обменом р0
(только изоВекторное)
магнитное взаимодействие
нуклоном, обусловленное
Нелокальное магнитное*.
Взаимодействие,
обусловленное обменом азп
(только изоскалярпое) 0
сительно операции
зарядового сопря-
жения. Доказательство за-
кончено, если предположить
инвариантность относитель-
но зарядового сопряжения \
Важно отметить, что
когда вклады от диаграмм на
рис. 7.42 суммируются, то
заряд нуклона остается тем
же самым, что и заряд, дава-
емый одной лишь первой
диаграммой. Это является
следствием закона сохране-
ния заряда, который выте-
кает из формализма калиб-
ровочной инвариантности.
Таким образом, диаграммы в и г могут размазывать заряд, но не будут
изменять его полной величины.
Положение становится другим для магнитного момента, для которого
получаем не только распределение конечного размера, но также и вклад
в проинтегрированную величину.
в. Эффект новых мезонов. На диаграммах рис. 7.42 не обращалось
внимание на возможное существование пион-пионных сил. Однако известно,
что существуют резонансы в системах двух и трех пионов и можно ожидать,
что такие резонансы могут оказывать некоторое воздействие на электро-
магнитную структуру нуклонов.
Рис. 7.43 и 7.44 показывают в символической графической форме основ-
ные вклады в рассеяние электронов на нуклонах при' предположении, что
поправки к электродинамике точечной частицы преобладают из-за проме-
жуточного образования нейтрального со- и р-мезонов.
1 Мы должны также приписать значения G фотону. Легко видеть, что изоскаляр-
ная часть фотона по G является нечетной (подобно нечетному числу пионов), а изовек-
торная часть фотона по G — четной (подобно четному числу пионов).
396
Эти промежуточные состояния дают новые функции распространения,
которые могут быть идентифицированы как формфакторы. Функции распро-
странения трех диаграмм на рис. 7.43 имеют полюса при т2 = оо, mf., и т2р
соответственно.
Полные зарядовые формфакторы получаются суммированием вкладов
от трех диаграмм со своими весами, которые должны удовлетворять ограни-
чению Fs, с (0) = FVt с (0) = е/2, но, кроме того, их можно определить
из эксперимента. Следовательно, можно написать 1
F8,. («) -1 [ (П о) + ] - 4 + h.. (7.211а)
Fг. .(«) = |Г(1+ «г. е) + (fe-] = 1 + h,. . (7.2115)
L_ У ''‘р J ’/ ',ьр
где а и / — соответствующие константы, отношение которых равно е/2.
Подобным образом формфакторы для взаимодействия с аномальным
магнитным моментом могут быть написаны из диаграммы рис. 7.44:
= (7.211b)
= (7-211Г)
где /s, ц/тш=—0,06е/27И, а /v, ц/г«р= 1,83е/2Л/.
Формула (7.211) может быть обобщена, чтобы учесть ширину р- и и-ре-
зонансов и включить другие вклады, возможно, возникающие из-за наличия
других ппон-пионных взаимодействий.
В таком случае константы / становятся функциями масс (спектраль-
ные функции) и нужно интегрировать по массам:
ОО
^,e(Q) = |+Q2 § ; (7.212а)
сю
^v,e(e) = | + (Z2 J (7.2126)
2тл
P /в, LL (m2) dfffi
^.В(9)= 5 ; (7-212B)
Зтл
P fv u (™2) dm2
Fv.M- $ (7,212.)
2тя
Эти уравнения первоначально были выведены Чу и др. [37, 60]. При
анализе данных по формфакторам аномального момента при помощи урав
нений (7.212) Фрезер и Фулко [56] нашли, что/у>|11 должны иметь пик при
т2 a; 20m„, и предположили существование резонанса пион-пионного рас-
сеяния, который впоследствии был найден (р-мезон).
Однако если спектральные функции имеют пик только при та и /пр,
то согласие с экспериментальными формфактррами при высоком передан-
ном импульсе является плохим. По-видимому, требуются вклады более
высоких масс, возможно, новые резонансы.
1 Для сравнения с формфакторами, описываемым! соотношением (7.209) (кото-
рые определены в системе центра масс рассеяния, где qt — 0), </2 должен быть заменен
на —д2 в выражениях (7.211) и (7.212).
397
г. Некоторые родетвенные вопросы. Структура элементарных частиц
является вопросом, представляющим наиболее фундаментальный интерес,
экспериментальное исследование которого не ограничивается изучением
рассеяния электронов на нуклонах.
Рассеяние электронов нуклонами преобладает благодаря первому поряд-
ку электромагнитного взаимодействия с нуклоном и дает формфактор нукло-
нов, рассматриваемых как обладающих жесткой формой. С другой стороны,
комптоновский эффект на нуклонах содержит две нуклон-фотонные верши-
ны в его наинизшем порядке описания и на него накладывает отпечаток
промежуточное образование нуклонных возбужденных состояний.
Измерения комптоновского эффекта при ~ 1 Гэв и выше 198] дают неко-
торую информацию о вкладе этих состояний, которые в классических тер-
минах соответствуют поляризуемости нуклонов. Нуклоны не являются
единственными частицами, структура которых представляет интерес. Пионы
должны иметь формфакторы, сравнимые с формфакторами нуклонов.
К сожалению, электрон-штонное рассеяние нелегко изучить из-за отсут-
ствия пионных мишеней. Возможность бомбардирования электронов пионами
рассматривается. Однако существуют трудности, возникающие из-за нали-
чия нежелательных нуклонов в электронных мишенях, кроме того, малая
масса покоя электрона уменьшает энергию центра масс. Структурные эффек-
ты, которые могли бы также оказать влияние на распад л°-мезона на два
у-кванта, искали в угловом распределении пар Далитца (см. § Зд). но
не были обнаружены вследствие их малой величины.
. I и мерам ура
1. Bethe Н.. <1 е Hoff щ a n F. Mesons anil Fields. Vol. If. How. Peterson, N.Y.,
1955.
2. Blatt J., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. Wiley, N.Y., 1952
(Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М., Изд-во
иностр, лит., 1953).
3. Jackson J. Elementary Particles. Princeton University Press, 1958.
4. Roman P. Theory of Elementary Particles. North Holland, Amsterdam, 1960.
5. S c h w e b e r et al. Mesons and Fields. Vo). 1, p. 405. Row. Peterson, N.Y., 1955.
6. T h о rn d i к e A. Mesons, A Summary fo Experimental Facts. McGraw-Hill, N.Y.,
1952.
7. W ent zel G. Quantum Theory of Fields. Interscience, N.Y., 1949 (Original edition,
1943).
8. A shk i n J., Vosku S. Phys. Rev., 91, 1248 (1953).
9. Adair R. Phys. Rev., 100, 1540 (1955).
10. A s h к i n J. Nuovo cimento Suppl., 14, 221 (1959).
11. Anderson et al. Phys. Rev. Letters. 6, 365 (1961).
12. Auerbach et al. Phys. Rev. Letters, 9, 173 (1962).
13. A r m e n t e г о s et al. Proc. Int. Gonf. High En. Phys. GERN, 1962, p. 351.
14. Bethe H. Phys. Rev., 57, 260 (1940).
15. Brueckner et al. Phys. Rev., 81, 575 (1951).
16. Brueckner K_, Watson K. Phys. Rev., 92, 1023 (1953).
17. Reneventano et al. Nuovo Cimento, 10, 1109 (1958).
18. Batson et al. Proc. Roy. Soc. (London), 251, 219 (1959).
19. Brisson et al. Valladas, and Yuan (Saclay). Phys. Rev. Letters, 3, 561 (1959).
20. В u г г о w e s et al. Phys. Rev. Letters, 2, 119 (1959).
21 В a г к a s W., Rosenfeld A. In 1960 Rochester Conference Report, Interscience,
N.Y.. 1960, p. 878.
22. Bearden A. Phys. Rev. Letters, 4, 240 (1960).
23. В 1 а с к i e et al. Phys. Rev. Letters, 5, 384 (1960).
24. В a r n e s et al. Phys. Rev., 117. 235 (I960).
25. Bastien et al. Phys. Rev. Letters, 8, 114 (1962).
26. Brown, Singer. Phys. Rev. Letters, 8, 460 (1962).
27. Cartwright et al. Phys. Rev., 81, 652 (1951).
28. Clark et al. Phys. Rev., 83, 649 (1951).
29. С r a w f о r d et al. Phys. Rev., 82, 97 (1951).
.30. Chew G. Phys. Rev., 94, 1748, 1755 (1954).
31. Chew G. Phys. Rev., 95, 1669 (1954).
32. Chinowsky W., Steinberger J. Phys. Rev., 95, 1561 (1954)
33' C h i n о w s к у W., Steinberger J. Phys. Rev., 93, 586 (1954).
34. Chew G., L о w F. Phys. Rev., 101, 1570 (1956).
398
35. Cool et al. Phys. Rev., 103. 1082 (1956).
36. Cassels et al. Proc. Phys. Soc. (London), A70, 405 (1957).
37. Chew et al. Phys. Rev., 110, 265 (1958).
38. C i n i et al. Nuovo cimento, 10, 243 (1958).
39. Cassels et al. Proc. Phys. Sue. (London), 74, 92 (1959).
40. Cassels J. Nuovo cimento Suppl., 14, 259 (1959).
41. Chew G., L о w F. E. Phys. Rev., 113, 1640 (1959).
42. C a r in о n у et al. Phys. Rev. Letters, 8, 73, 117 (1962).
43. C a r m о n у Van de W a 1 1 e R. Phys. Rev. Letters, 8, 73 (1962).
44. Chadwick et al. Phys. Rev., 128, 1823, 1836 (1962).
45. Chretien et al. Phys. Rev. Letters, 9, 127 (1962).
46. D у s о n F. Phys. Rev., 73 (1948).
47. D u r b i n et al. Phys. Rev.. 83, 646 (1951).
48. Deser et al. Phys. Rev., 96, 774 (1954).
49. DeBenedetti S. Nuovo cimento Suppl., 4, 1209 (1956).
50. Day et al. Phys. Rev. Letters, 3, 61 (1959).
51. Derrick et al. Phys. Rev., 120, 1022 (1960).
52. D e v о n s et al. Phys. Rev. Letters, 5, 330 (1960).
53. D e v 1 i n et al. Phys. Rev. Letters, 4, 242 (1960).
54. D e s a i B. Phys. Rev., 114, 1385 (1960).
55. Fermi E. Nuovo cimento SuppL, 2, 17 (1955).
56. Frazer W., F u 1 с о J. Phys. Rev. Letters, 2, 365 (1959).
57. Falk-Variant P_, V a 1 1 a d a s G. Rev. Mod. Phys., 33. 362 (1961).
58. F о e 1 s c h e et al Phys. Rev. Letters, 9, 223 (1962).
59. Gartenhaus S. Phys. Rev., 100, 900 (1955).
60. Gell-Mann M. Proc. Int. Conf. High En. Phys. CERN, 33 (1958).
61. Garwin et al. Phys. Rev., 118, 271 (1960).
62. Glasser V., Ferrell R. Phys. Rev., 121, 886 (1961).
63. Glaser et al. Phys. Rev., 123, 1014 (1961).
64. G о 1 d h a b e r et al. Phys. Rev., 121. 1525 (1961).
65. G e 1 1 a n d et al. Phys. Rev. Letters, 11, 436 (1963).
66. I w a d a r e et al. Progr. Theor. Phys., 16, 455 (1956).
67. Kemmer N. Proc. Cambridge Phill. Soc., 34, 354 (1938).
68. Kroll N., Wada W. Phys. Rev., 98, 1355 (1955).
69. Kunze et al. Phys. Rev., 117, 859 (1960).
70. L о a r et al. Bull. Amer. Phys. Soc., 26, 23 (1951).
71. Levy M. Phys. Rev., 86, 806 (1952).
72. Levy M. Phys. Rev., 88, 72, 725 (1952).
73. Lee T., Yang C. N. Nuovo cimento, 3, 749 (1956).
74. Lindenbaum S., Sternheimer R. Phys. Rev., 105, 1874 (1957).
75. M i у a z a w a H. Phys. Rev., 101, 1564 (1955).
76. M e g 1 i c et al. Phys. Rev. Letters, 7, 178 (1961).
77. Moyer B. Rev. Mod. Phys., 33, 367 (1961).
78. P г о c a J Phys., 7, 347 (1936).
79. P a n о f s к у et al. Phys. Rev., 81, 565 (1951).
80. Primakuf f H. Phys. Rev., 81, 899 (1951).
81. P a i s A., J о s t R. Phys. Rev., 87, 871 (1952).
82. P u p p i G. Proc. Coni. High En. Phys., Rochester, Interscience, N.Y., 1955, p. 9.
83. Plano et al. Phys. Rev. Letters, 3, 525 (1959).
84. Pevsner et aL Phys. Rev. Letters, 7, 421 (1961).
85. Pickup et al. Phys. Rev. Letters, 7, 192 (1961).
86. Rosenfeld A. Phys. Rev., 96, 139 (1954).
87 R у a n J. Bull. Amer. Phys. Soc., 7, 468 (1962).
88. Segre E. Ann. Rev. Nucl. Sci., 8, 127 (1958).
89. Stearns M. Progr. Nucl. Phys., 6, 108 (1958).
90. Sternheimer R., Lindenbaum S. Phys. Rev., 109, 1723 (1958).
91. S e 1 о v e W., G e t t n e r M. Phys. Rev., 102, 593 (1960).
92. S e 1 I e r i F. Phys. Rev. Letters, 6, 64 (1961).
93. S t о n e h i 1 1 et al. Phys. Rev. Letters, 6, 524 (1961).
94. S a m i о s et al. Phys. Rev., 126, 1844 (1962).
95. Shwe et al. Phys. Rev., 125, 1024 (1962).
96. Shwe H. Bull Amer. Phys. Soc., 7, 468 (1962).
97. Stevenson et al. Phys. Rev., 125, 687 (1962).
98. S t e i n i n g et al. Phys. Rev. Letters, 10, 536 (1963). •
99. T о 1 1 e s t r u p et al. Proc. Int. Conf. High En. Phys. Rochester, Interscience,
N.Y., 1960.
100. Wick G. Rev. Mod. Phys., 27, 339 (1955).
101. W e i s s к о p f V. Phys. Rev., 116, 1615 (1959).
102. Y u о n g N., L у n c h G. Phys. Rev. Letters, 7, 327 (1961).
103. Young N., Lynch G. Phys. Rev , 128, 1948 (1962).
104. Yang C. Phys. Rev., 77, 242 (1950).
ГЛАВА 8
Слабые взаимодействия
А. ЯДЕРНЫЙ 0-РАСПАД (ТЕОРИИ С СОХРАНЕНИЕМ
ЧЕТНОСТИ)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
а. Общее описание ядерного Р-раснада. С первых дней
открытия радиоактивности было известно, что некоторые
ядра испускают электроны, а первое полученное искусствен-
ным путем радиоактивное ядро, как оказалось, испускало позитроны; по
традиции этот процесс называется Р-распадом.
Тождественность 0_-частиц и атомных электронов подтверждается тем
фактом, что электроны радиоактивности удовлетворяют принципу исключе-
ния (принципу Паули) \
С другой стороны, позитроны радиоактивности (0+-частицы) аннигили-
руют с электронами вещества. Вместо излучения позитронов может про-
исходить захват одного из атомных электронов (К- или Z-захват). Таким
образом, 0-частицы тождественны обычным электронам вещества или их
античастицам и имеют спин 1/2.
Однако опыт показал, что спин источника меняется на целое число.
Это является прямым нарушением закона сохранения момента количества
движения. Кроме того, испускаемые Р-частицы имеют непрерывный спектр,
простирающийся от нулевой энергии до максимальной, Ео, тогда как состоя-
ния начального и конечного ядер дискретны, что противоречит закону
сохранения энергии.
Чтобы сохранить законы сохранения, была постулирована новая части-
ца — нейтрино (Паули, 1927). Предполагалось, что она имеет нулевой
заряд, малую массу и спин 1/2 и что она уносит недостающую энергию
и момент количества движения ускользающим от наблюдения способом.
Фундаментальным (простейшим) процессом p-распада является распад
нейтрона 1 2 на протон, электрон и нейтральную частицу, которую называют
антинейтрино:
_ 70 = 0,78 Мэв,
п~^р-}-е ф-v „ ._ (8.1)
г 7i/2=12 мин. ' '
Хотя такое название совершенно произвольно, оно согласуется с законом
сохранения лептонов (лептонного заряда), который, как будет
видно, имеет некоторый физический смысл. Этот закон можно сформулиро-
вать следующим образом: лептоны, т. е. легкие частицы со
спином 1/2 (э л е к т р о н ы, н е й
как бозоны, рождаться и
лировать) по одному, а
лептонов минус число
остается постоянным.
трино и мюоны), не могут,
уничтожаться (апниги-
только парами; число
антилепт.онов всегда
1 Иначе электроны, теряя кинетическую энергию, садились бы на атомную А'-обо-
лочку с испусканием характеристического рентгеновского излучения.
2 Отрицательный электрон мы будем обозначать символом е или е~, позитрон —
символом е или е+; аналогично нейтрино будет V, а антинейтрино v.
400
Большое время жизни нейтрона указывает на слабость р-взаимодей-
ствия; у-распад со сравнимой энергией происходит в среднем за ~10 12 сек.
Свободный протон является стабильной частицей, но при достаточной
энергии реакция (8.1) может проходить в обратном направлении. На деле
эго происходит, когда протон связан в ядре; в этом случае требующаяся
для распада энергия может доставляться за счет изменения энергии связи
ядра. В ядерной физике Р-распад может идти тремя хорошо известными
путями:
р-: 2V(Z, N)—>N' (Z+ I, Л —IJ-f-e' + v; (8.2a)
p+: N(Z, N)-+N'(Z — l,7V + l) + e+4 v; (8.26)
захват электрона: N (Z, JV) + e-^> N' (Z—1,2V+1) + '’. (8.2b)
Энергия, расходуемая на кинетическую энергию лептонов, равна (при-
нимая во внимание, что нейтрино имеет нулевую массу)
E0 = M(Z, N)-M(Z + 1, TV—1); (8.3а)
E0 = M(Z, N) — M(Z — 1, 2V+ 1)— 2m; (8.36)
E0 = M(Z, N) — M(Z— — EB1 (8.3b)
где EB — энергия связи захваченного электрона в атоме, а М — масса
атома (пренебрегая разницей между энергиями связи атомных электронов).
Уравнение (8.3) показывает, что атом Z, N стабилен относительно Р-распада
только тогда, когда он легче обоих соседних изобар и оно запрещает
существование пар соседних стабильных изобар.
б. Нейтринные опыты. Опыты, которые ставились для доказательства
существования нейтрино, имеют длинную историю.
Первая категория экспериментов состояла в попытках измерить отдачу
от нейтрино; эти эксперименты имели целью доказать, что существование
нейтрино нужно не только для сохранения энергии и момента количества
движения, но и для восстановления баланса импульсов. В последние годы
такими экспериментами было успешно доказано существование отдачи от
нейтрино, и в них были измерены распределения по величине и направле-
нию импульсов испущенных нейтрино (см. § 56).
Наконец, Коуан и Рейнес [24, 27] смогли зарегистрировать эффекты
от свободных нейтрино вдали от их источника, наблюдая реакцию захвата
нейтрино, испущенных из ядерного реактора:
v + p—>п-|-е+, (8.4)
с помощью жидкого сцинтилляционного счетчика емкостью 1400 л (370 гал-
лонов). Процесс обнаруживался по временным соотношениям между анни-
гиляционными у-квантами от позитронов и задержанными у-квантами от
радиационного захвата нейтронов.
Интересно отметить, что Дэвису [33, 34] не удалось обнаружить реакцию
v + i?Cl37^]SAr37 + e- (8.5)
(v + ny р + е“), (8.6)
которую он пытался найти (тоже вблизи реактора) путем химического раз-
деления газообразных продуктов реакций. Причину этой неудачи следует
искать в законе сохранения лептонов: нейтрино из реактора, испускаемые
главным образом радиоизотопами с избытком нейтронов, являются антича-
стицами и могут порождать только антиэлектроны.
Другим доводом в пользу закона сохранения лептонов является отсут-
ствие двойного Р-распада. Рассмотрим, например, три изобара: Sn124, Sb124
и Те124, массы которых расположены в указанном на рис. 8.1 порядке. Энер-
гетически Sn124 может превращаться в Те124 с испусканием двух отрицатель-
ных электронов. В соответствии с законом сохранения лептонов электроны
должны сопровождаться двумя антинейтрино; езли же число лептонов
26 Ядерные взаимодействия
401
не должно сохраняться, то два электрона могут испускаться без нейтрин-
ного сопровождения (или с испусканием пары v, v, которые аннигилируют
друг с другом).
В случае сохранения числа лептонов ожидаемое среднее время жизни
больше, поскольку осуществляется процесс более высокого порядка. Поэто-
му неудача в поисках двойного [3-распада Sn124 является косвенным аргу-
ментом в пользу существования различающихся между собой нейтрино
и антинейтрино и в пользу сохранения числа лептонов.
В дальнейшем увидим, что нейтрино и антинейтрино отличаются друг от
друга существенным образом: они имеют противоположную «спиральность».
в. Кулоновские поправочные коэффициенты. Константа взаимодей-
ствия чрезвычайно мала, поэтому, чтобы написать выражение для вероятности
Рис. 8.1. Схема уровней, иллюстри-
рующая возможность двойного [3-рас-
пада в Sn124. Из величин атомных
масс (Amer. Inst. Phys. Handbook,
McGraw-Hill, 1957) видно, что на кине-
тическую энергию двойного Р-распада
приходится около 2 Мэв. Масса Sb124
на 2,9 Мэв больше массы Те124
распада, можно использовать теорию
возмущений. Статистические множи-
тели, входящие в Р-распад и А-захват,
уже обсуждались [см. соотношения
(5.20), (5.21) и (5.6)]; матричный элемент
должен соответствовать рождению леп-
тонных пар в ядре.
Поскольку ядро электрически заря
жено, волновая функция рождающе-
гося в p-распаде электрона представ-
ляет собой не плоскую волну, а скорее
кулоновскую волновую функцию. В ре-
зультате матричные элементы расщеп-
ляются на два сомножителя, один из
которых соответствует рождению сво-
бодных пар электрон — нейтрино, а
другой является кулоновским попра-
вочным коэффициентом.
Если считать ядро точечным, то поправочный коэффициент равен
F (± Z, Е)
Шкулон
I Ф (°) 1своб
(8.7)
и в нерелятивистском случае
F (+ Z, Е) = ------2л.п 9 х
'— ' 1 — ехр (— 2л т])
где Ц = ± %e2lv для Р± (у — скорость электрона в единицах с).
Релятивистские выражения для F (±Z, Е) были получены численным
расчетом и протабулированы в работе |88].
Кулоновский множитель в захвате электронов представляет собой
плотность захватываемых электронов вблизи ядра. Для захвата 76-электро-
нов имеем
F (А) = ~ — (me2Z)\ (8.8)
v ’ 1Ф(0)1?воб л
г. Экспериментальная форма спектра. Большинство наблюдающихся
спектров ^-электронов согласуется с ожидаемой формой произведения ста-
тистического множителя, описываемого соотношением (5.20) и кулоновского
поправочного коэффициента, даваемого соотношением (8.7). Этот последний,
как можно ожидать на основании элементарной электростатики, увеличи-
вает вероятность обнаружения позитронов с большой энергией и электронов
с малой энергией (рис. 8.2).
Сравнение теории и эксперимента производится с помощью «графика
Ферми» (который иногда называют графиком Кюри). Эксперименталь-
ные данные, обычно полученные на магнитном бета-спектрометре, который
дает спектр импульсов dNIdp, используются для вычисления величины
402
[(dNldp)/p2F (+ Z, E)]1^. Результат наносится на график в функции от
энергии (рис. 8.3).
В большинстве случаев такая процедура дает прямую линию, пересе-
кающую ось энергий в точке Е - Ео. Отсюда следует, что м а т р и ч н ы i
элемент не зависит от энергии. Существуют исключения,
например ВаЕ, который был первым тщательно исследованным изотопом.
Р
Рис. 8.2. Схематическое изображение куло-
новских поправок к f-распаду. (Блатт Дж.,
Вайскопф В. Теоретическая ядерная
физика. М., Изд-во иностр, лит., 1954.)
Рис. 8.3. Спектры Ферми для f-распа-
дов. Сплошная линия — для нулевой
и пунктирная — для конечной масс
нейтрино.
Кроме того, надо указать на экспериментальные трудности, связанные с рас-
сеянием и поглощением электронов в источнике — он должен быть тонким
и иметь подложку из легкого материала.
В настоящее время установлено, что большинство графиков Ферми
линейны, в том числе график для Н3, у которого Ео = 18 кэв.
Изучение графика Ферми вблизи точки Ео дает сведения о массе нейтри-
но. Влияние конечной массы нейтрино, согласно рассмотрению в гл. 5, § 1
и соотношению (5.19), показано на рис. 8.3 пунктиром. Из линейности
графика Ферми для Н3 был получен верхний предел массы нейтрино [55, 95]
mv < — 200 эв.
§ 2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ft И ПРАВИЛА ОТБОРА
а. Определение величины ft. Обозначим через | М |ср —
квадрат матричного элемента p-перехода, усредненный по
спинам начального состояния, просуммированный по спинам
конечного состояния, а также усредненный соответствующим образом по
импульсам электрона и нейтрино. Тогда, подставляя вычисленный в гл. 5,
§ 1 статистический множитель pF(E'), получаем для периода полураспада 0/2
выражение
к» ±
4^- 2 л | М |£р pF (£) F (kZE0) dE dQe ? =
4,2 J J J
-2^ I M |?₽ $ F (± Z, E) p2 (£0- E)2 dp для p±,
= - 0
| M !cp4n (Ze2m)3 E2 для ^Г-захвата.
Обычно вводят безразмерные функции
/±=^T^(±Z, E)p2(E0-E)2dp-
с
/к- ^(Zc2m)3C
(8-9)
(8.10)
26* 403
и тогда оказывается, что во всех случаях произведение f±h/2, или, короче,
к
ft, равно
# = -m6|M|gp- V в секундах) (8.11)
и обратно пропорционально вероятности 0-распадного перехода, деленной
на внешние множители (статистический и кулоновский)
б. Значения ft и правила отбора. Значения ft для различных р-пере-
ходов получаются, если к измерениям энергии и среднего времени жпзни
применить формулы (8.10). В табл. 8.1 приведены результаты для некото-
рых типичных случаев.
Примеры величин ft
Таблица 81
Зеркальные ядра lg/t Другие ядра iff fl
/ 1+ 1- X
-г) 3,075 014 (0+—->0+) 3,49
—И»’ (‘2 *2) 3,06 Не6 (0+ —> 1+) 2,91
„ /3- 3- \
3,36 Na22 13,82
(i-^) 3,50
К13 3,67 С14 9,05
015 3,65 Со60 7,51
Nel» 3.28 К.40 18,05
Mg23 3,65 Rb«7 16,52
•Cl33 3,78 RaE 8,05
Се89 3,49
Видно, что для всех зеркальных ядер ft т 3000; имеются случаи, когда
ft много больше.
Значения 1g ft меняются от 3 до 18. Переходы с 1g ft х 3, а именно
нейтрон, все зеркальные ядра, Не6, О14, называются разрешенными 1 2. Пере-
ходы со значительно большими значениями ft называются запрещенными;
они обычно происходят с большим изменением спина, и в этом случае долж-
ны осуществляться правила отбора, аналогичные правилам, установленным
для испускания у-лучей. Из данных табл. 8.1 и рис. 8.4, как и в случае
у-лучей, неясно различие между разными порядками запрещения.
В дальнейшем изложении будем заниматься почти исключительно раз-
решенными переходами для выяснения природы слабого взаимодействия:
1 Для численных расчетов обычно пишут соотношение (8.11) в более полном виде
2л3й.7 In 2
m5c4 | М |ср
1,13-IO-34
----------- гг-см1^-сек *.
I М |ср
В этой формуле / — простое число (Е и р в единицах тс2 и тс соответственно), at —
период полураспада в секундах, М для разрешенных переходов (ft 1000) порядка
10“49 эрг • см3.
2 В литературе по ядерной физике эти переходы называются сверхразрешенными.
Остальные разрешенные переходы имеют значения ft вплоть до — 5.
404
Из рассмотрения табл. 8.1 заключаем, что
разрешенные
переходы
происходят, когда
J (правила отбора Ферми для
/XJ U Ал 0 । нерелятивистского скаляра)
AJ=l,0 1 (правила отбора Гамова— (8.12а)
Ал =- 0, но не I Теллера для нерелятивист-
0 —» 0 ского аксиального вектора).
Наиболее типичным чистым фермиевским переходом является распад
О14, тогда как Не6 представляет собой классический пример разрешенного
распада, следующего правилам отбора Гамова — Теллера.
Можно считать, что в фермиевском (F) разрешенном переходе электрон
и нейтрино испускаются в 5-состоянии с антипараллельными спинами,
Рис. 8.4. Гистограмма величин Igft. Заштрихованная область соответ-
ствует зеркальным переходам. (Deutsc Ji М., К of oed-H аи-
s е n О. Experimental Nuclear Physics. E. Serge, editor, Wiley, 1959.)
а в гамов-теллеровском (GT) переходе орбитальный момент по-прежнему
равен нулю, но спины лептонов параллельны. Эта идея была развита в нере-
лятивистском приближении Блаттом и Вайскопфом [II- В дальнейшем перей-
дем непосредственно к релятивистскому рассмотрению, что существенно,
так как рассматриваемые частицы имеют большие скорости.
§ 3. ТЕОРИЯ ФЕРМИ
а. Формулировка теории. До 1957 г. принималось, что в сла-
бых взаимодействиях, например в 0-распаде, четность сохра-
няется. Эта идея, как показали эксперименты, поставленные
но предложению Янга и Ли, была ошибочной, и она значительно тормозила
прогресс в понимании природы 0-распада; крупные шаги в этом направле-
нии были сделаны только после того, как закон сохранения четности был
отброшен.
Однако в изложении мы будем придерживаться исторического подхода.
Во-первых, мысли, содержащиеся в новейших теориях, легко понять, если
следовать за их развитием с самого начала. Во-вторых (что не менее важно),
очень поучительно наблюдать смену успехов и неудач, разных эксперимен-
тов и теорий, поисков и ошибок, столь характерную для современной
физики. Слабое взаимодействие является прекрасным примером плодотвор-
ного применения новейших методов исследования, и оно может служить
образцом для других областей, в которых не было пока такого стремитель-
ного прогресса.
403
История начинается с Ферми. Он был первым, кто развил теорию 0-рас- i
пада с учетом одновременного испускания электрона и нейтрино. В теории ч
Ферми 0-взаимодействие получается по аналогии с электромагнитным взаи- i
модействием нуклонов
1 — т
-у- (1 + ъ) е (ФгАцфД (8.13)
которое описывает испускание фотона (кванта поля Л и). При этом источник
претерпевает переход от начального состояния ф/ к конечному состоянию ф^.
В формуле (8.13) электромагнитный вектор-потенциал локально умно-
жается на векторный ток источника таким образом, чтобы получилось ска-
лярное взаимодействие,— это требуется для сохранения момента количе-
ства движения и четности.
Теория 0-распада должна описывать испускание электрона и нейтрино.
Поэтому вектор А в формуле (8.13) надо заменить вектором, содержащим
Рис. 8.5. Диаграммы 0-распада как перехода лептонов из
состоянии с отрицательной энергией в состояния с положи-
тельной энергией.
одновременно волновые функции электрона и нейтрино. Как образуют-
ся векторы из состояний электрона и нейтрино в отдельности, известно:
надо написать выражения вроде фефцфе или фуУ|Хфу [соотношение (6.76)]:
но можно также образовать векторы, содержащие оба поля, написав
ФЛ’цфч или ф¥уцфе. Именно эти векторы можно использовать вместо Ац
для описания процесса 0-излучения.
Эти смешанные электрон-нейтринные векторы лучше всего интерпрети-
ровать на языке квантовой теории поля, в которой состояния фе и фу имеют
смысл операторов уничтожения и рождения. Однако их также можно понять,
сравнивая с матричными элементами ф^ф/, участвующими в вычислении
кулоновского рассеяния и образования пар (см. гл. 6, § 11). Там матрич-
ный элемент кулоновского рассеяния описывал вызванный электростати-
ческим потенциалом переход между двумя состояниями электрона (отсюда
наличие у4, являющейся четвертой компонентой вектора); с тем же успехом
можно сказать, что матричный элемент ф^Фг описывает уничтожение
электрона в состоянии I и рождение электрона в состоянии F. Аналогично
матричный элемент образования пары можно интерпретировать как уничто-
жение одного электрона в состоянии с отрицательной энергией и рождение
второго с положительной энергией или же как рождение двух электронов
с положительной энергией, но распространяющихся в противоположных
направлениях во времени.
Совершенно так же существуют две разных интерпретации матричного
элемента фе, рфцфу, i- Можно сказать, что он уничтожает нейтрино с отри-
цательной энергией в состоянии I и рождает электрон с положительной
энергией в состоянии F (рис. 8.5), или же что он рождает электрон и анти-
нейтрино (рис. 8.6). Для последующих вычислений примем эту вторую
406
точку зрения, поскольку уже был разработан подходящий для нее теоре-
тический аппарат (спиноры ИД), отвечающие положительной энергии,
и проекционные операторы частицы и античастицы [(р + т)/2т]).
В любом толковании теория автоматически удовлетворяет закону сохра-
нения лептонов.
Если необходимо, чтобы в теории сохранялись момент количества движе-
ния и четность, надо, как и в соотношении (8.13), вектор, описывающий
испускаемые частицы, скалярно умножить на вектор, описывающий источ-
ник и переходы в нем. В данном случае источник испытывает переход от
нейтронного состояния к протонному или наоборот, и вектор источника
следует записать в виде фр-рцфп или фпУрфр.
Входящая в формулу (8.13) связь с электромагнитным зарядом ~ (1 ф- т3) е
должна быть заменена новой связью, интенсивность которой выражается
J3+ Захват эпектрона
Рис. 8.6. Диаграммы 0-распада как рождения лептона (движу-
щегося вперед во времени) и антилептона (движущегося назад
во времени).
константой связи g, а изотопические свойства описываются оператором
в соответствии с измене-
нием заряда нуклона, претерпевающего 0-распад.
Для элементарного процесса 0-распада можно написать фермиевский
матричный элемент в виде эрмитова оператора, состоящего из двух членов:
первый соответствует 0 “-распаду, а второй (сопряженный первому) —
0+-распаду. Опуская, ради простоты, знак интегрирования по пространствен-
ным координатам, можно записать матричный элемент так:
g [(‘Фтх’, Г’т+Фл’, г) (ФеУифт) + (Флг, F1 /) (Ф^УцФе)Ь (8.14)
где константа связи g должна быть определена из эксперимента.
Диаграммы, иллюстрирующие этот матричный элемент, показаны на
рис. 8.5 и 8.6.
Матричный элемент для распада ядра из А нуклонов (помеченных
индексом а) выглядит так
g [фР(1, ..., А) (т+уДфг(1, , 4)] (ФО’цфт) + э. с., (8.15)
а=1
где ф7 и фр — начальное и конечное состояние ядра.
Это выражение представляет собой точную формулировку теории Фер-
ми, и если известны волновые функции, то оно должно предсказывать все
детали распада, в том числе поляризацию лептонов и их угловые распре-
деления.
1 В соотношении (8.15) вместо х,, <ц, Ti стоит 1; э. с. означает эрмитово сопряжение.
407
б. «Разрешенное» приближение. Каждый член матричного элемен-
та (8.14) или (8.15) состоит из двух сомножителей, которые называются
ядерной скобкой и лептонной скобкой.
Обычно для вычислений пользуются следующими приближениями, про
которые говорят, что они соответствуют разрешенным перехо-
д а м:
1. Поскольку нуклоны в ядре движутся со скоростями v < с, то про-
странственными компонентами можно пренебречь по сравнению с чет-
вертой компонентой.
2. Поскольку длины волн электрона и нейтрино 1/р и 1/д во всех инте-
ресных случаях много больше радиуса ядра, то величинами р-г и qr
можно пренебречь во сравнению с единицей.
Таким образом, при обсуждении разрешенных переходов в формулах
(8.14) и (8.15) из всех членов сумм остается только четвертый, а в ядерной
скобке вместо можно написать 1. В лептонной скобке экспоненты в выра-
жениях ф,, = ые ехр (гр-г) и фт = wv ехр (iq-г) опускаются.
Таким образом из соотношения (8.15) получаем
М = g [фи(1, . .., Л) (У т+)ф, (1, ..., Л)] (шеу4Шу) + э. с. (8.16)
а
Ядерный интеграл, входящий в соотношение (8.16), принято сокращать
следующим образом:
$ 1 = $ф|.(1, ...,Л)(2 ^)Ч’/(1, ...М)^ ... d3xA. (8.17)
а
в. Вероятность перехода. Чтобы получить вероятность перехода, надо
возвестив квадрат матричный элемент (8.16), усреднить его по спинам началь-
ного состояния и просуммировать по спинам конечного состояния.
Рассмотрим сначала лептонную скобку. Чтобы получить плотность
конечных состояний, нормированную на единичный объем в лабораторной
системе, надо, так же как в соотношении (5.12), ввести в квадрат матричного
элемента множитель (тс/\ Ее\ ) (mv/\ Evl); это нужно для компенсации
множителей Elm, появляющихся при нормировке w (в конце вычислений
перейдем к пределу гщ,—>0). Усредняя по спинам, необходимо считать
электрон и нейтрино вторичными частицами, и перед спиновой суммой мно-
житель 1/2 не появляется. Таким образом, если р — импульс электрона,
a q — импульс антинейтрино, то соответствующим образом усредненный
квадрат лептонной скобки для 0“-распада имеет вид (см. гл. 6, § 106)
1м‘1’р Tir-wrSS Iwvl2
е v
_ mmv т / q — mv р + »'\
\Ее\ |£v| kY4 2mv Vi 2т ) ‘
Теперь, переходя к пределу mv —> 0, получаем
IMz 12ср TjXTWTTr lY4^'4 + m) । =
= W Tr (Y4ffY4P) = Tr (- qp + 2Eq)
= W {~EEq ~ 4- “ W (8£q ~ 4Eq ‘ 4p'4) "
1 + 1 + v cos 6ev,
(8.1<S)
(8.19)
где v = p/E — скорость электрона.
408
Таким образом получено теоретическое выражение для угловой корре-
ляции электрон — нейтрино, из которого следует, что предпочтительны
малые углы между нейтрино и электроном х. При усреднении по 6CV квадрат
лептонной скобки дает единицу и возведение соотношения (8.16) в квадрат
дает
|М^р = ^|(ЯТУт+^)|2. (8.20)
а
Как можно догадаться, теория Ферми для ядерных переходов дает правила
отбора Ферми Д7 = Дл = 0.
Чтобы продолжить вычисление ядерной скобки, надо взять интеграл
от ядерных волновых функций. В отдельных случаях это можно сделать
приближенно с достаточной точностью. Для состояний легких ядер Т являет-
ся хорошим квантовым числом, поэтому для переходов между двумя ядра-
ми, принадлежащими одному и тому же изотопическому мультиплету, инте-
грал можно вычислить 1 2.
При распаде зеркальных ядер Т = 1/2 и Т3 меняется от + 1/2 до + 1/2.
Поэтому, согласно соотношению (1.45), У т£ = У 2Та — 1, и для всех зер-
кальных ядер, в том числе для распада нейтрона в протон, можно написать
| м |ср (Ферми) = £2- (8-21)
Этот результат легко понять на модели независимых частиц: в зер-
кальных ядрах вследствие принципа Паули одиночные нуклоны претерпе-
вают p-распад. Волновая функция дочерней частицы (ядра) такая же. как
у материнской (исходной) (если рассматривать только зависимость от спи-
нов и пространственных координат), поэтому ^фкфг = 1-
г. Определение фермиевской константы связи. Из анализа распадов
зеркальных ядер величину фермиевской константы связи получить нельзя,
потому что эти распады являются переходами 1/2—>-1/2 без изменения
четности, а это разрешается правилами отбора как Ферми, так и Гамова —
Теллера. Распад О14 интерпретируется проще. Этот изотоп в результате
распада переходит в первое возбужденное состояние N14 (см. схему уровней
на рис. 2.12), и квантовые числа начального и конечного состояний хорошо
известны: от J = 0+ к J — 0+; от Т = 1, Т3 = 1 к Т = 1, Т3 = 0. Переход
разрешен правилами отбора Ферми и запрещен правилами отбора Гамо-
ва — Теллера.
В этом случае можно ожидать, используя одночастичную модель, что
I фв (S та) фг12 — 2, поскольку имеются два протона, которые могут распа-
СО
даться в соответствии с принципом Паули. Тот же результат получается
более формально, если использовать понижающий оператор момента коли-
чества движения; вспоминая, что
У,Т^ V2T-
СО
и что [см. соотношение (1.45)1
<Т= 1, Т3 0|Т_|Т=1.Т3 1 = ]/^(1 + 1)(1-1 + 1)-1,
1 Тот же результат имеет силу для Р+, так как знак при m в р ± m не влияет
па угловое распределение.
2 Напомним, что полный изоспин равен (см. соотношение (1.182)] 7’= У — та.
а
Его (±)-компоненты равны Г± = V У т± и их можно вычислить
а а
по формулам теории момента количества движения.
!(Ю
получаем для О14 из соотношения (8.20)
I М [ср (Ферми) — 2g1 2.
(8.22)
Среднее время жизни и энергия распада О14 хорошо известны [60],
поэтому фермиевская константа связи может быть определена точно. Ошиб-
ка такого определения проистекает главным образом из трудности вычис-
ления двух небольших теоретических поправок. Первая соответствует раз-
личию волновых функций О14 и N14 из-за электростатических эффектов,
а вторая — это радиационная поправка (см. § 7).
Хендри и Герхарт опубликовали следующие значения фермиевской (век-
торной) константы связи:
gr = (l,420 -f- 0,003) х Ю’49 эрг-см3 (8.23)
с кулоновской поправкой [78], но без радиационных поправок и
/1 407 \
gv = ( ’ ± 0,003 | X К)'9 эрг-см3 (8.24)
\1,427 )
с радиационной поправкой, оцененной разными способами [35, 66].
§ 4. ДРУГИЕ ТЕОРИИ С СОХРАНЕНИЕМ ЧЕТНОСТИ
а. Пять теорий, сохраняющих четность. Очевидно, теория
[3-распада Ферми не объясняет тот факт, что распад
Не6 (АТ = 1, Ал = 0) разрешен, и чтобы объяснить гамов-
теллеровские переходы, надо обратиться к другим формам взаимо-
действия.
Если ограничиться теориями, в которых соблюдается закон сохранения
четности и момента количества движения, то матричный элемент по-преж-
нему должен быть скаляром; такой скаляр можно получить перемножением
любого образованного из ядерного состояния тензора (не обязательно векто-
ра) и тензора того же ранга, образованного из электрон-нейтринного поля.
Как было видно в гл. 6, § 4, из дираковских спиноров можно составить пять
тензоров, поэтому (если не вводить связи, зависящей от производных)
можно сформулировать пять различных теорий [3-распада, совместимых
с законами сохранения и с релятивистской инвариантностью.
Введем пять тензорных операторов Qx (X = S, V, Т, А и Р—скаляр,
вектор, тензор, аксиальный вектор и псевдоскаляр), которые выписаны
ниже 1 вместе со своими нерелятивистскими приближениями:
(2s = 1,
Qv = Yu,
<2r=-y(YuY^ —YvYu).
(2л = — YuYvYx = — YsYp
Qp — Ys,
- 1;
~ Y4 « 1;
- Ф;
j,£07,
— io-Y < 1-
(8.25)
Теперь можно выписать матричный элемент в любой из этих теорий2:
Mx=gx [фр(1, - . ., A) 2(T+<2x)a4Y(l, • --М)] (Фе(МЧ’) + Э- с- (8-26)
а
Очевидно, теория Ферми представляет собой частный случай X=V.
1 Операторы (8.25) выбраны так, что произведения 4'+TiiQ \"Ф — эрмитовы,
за исключением 4'+740л'||‘, которое антиэрмитово. Такой выбор обеспечивает знак «плюс»
в матричном элементе МА разрешенного перехода в соотношении (8.27).
2 Точка означает суммирование по повторяющимся тензорным индексам, как это
было определено в соотношениях (6.5) и (6.8).
410
В «разрешенном»
и qR < 1) матричный
приближении (нерелятивистские
элемент принимает вид:
нуклоны,
pR < 1
Ms — gs (
1) (welwv) 4-э. с.;
Му = 1) 4- э. с.;
Мг = gT ст) (weCTWv) -э. с.;
МЛ = §Л y) (шеу4стич) 4-э. с.;
MP=gp [i$(l, • И) У (т+ф.ст-у)г/1|:;(1, ...,Л)]х
а
(8.27)
X (шеу5ш\,) 4-э. с.
1 был определен в соотношении (8.18), а
ст = (1, ..., Л) У (т+ст)а 1рт (1, • • •, Л) d3x, ... d3xA. (8.28)
а
Ясно, что S и V дают правила отбора Ферми (монополь); Т и Л дают
правила отбора Гамова — Теллера (магнитный диполь); Р в статическом
случае дает нуль, поскольку матричный элемент содержит скорость V^Vi,
и он должен приводить к правилу отбора AJ = 0, nF =# л./, находящемуся
в противоречии с экспериментом. Поэтому, но крайней мере при обсужде-
нии разрешенного Р-распада, можно отбросить этот вариант теории.
б. Угловые корреляции. Двигаясь дальше аналогично тому, как было
в теории Ферми, можно вычислить квадраты лептонных скобок, просумми-
рованные по спинам. Получится следующий результат, который описывает
предсказываемые разными теориями угловые корреляции электрон — нейт-
рино:
—— g g | лепт, скобка |2 = 1 4-Tancos 0ev>
e v
xs=—1; )
= -f-1; j
где i - A •
Ат- + з >
\a= ,
(8.29)
Имеет смысл детально рассмотреть один из вариантов гамов-теллеров
ского взаимодействия со связью между спинами; рассмотрим случай аксиаль-
ного вектора. Если начальное ядро имеет ненулевой спин J, то направим
ось z вдоль направления J и запишем точечное (локальное) произведение
ядерной и лептонной скобок в обозначениях гл. 1, § Зд:
<rV (А’ЛА = — <о+)н <iYsY->z ~ <°->n (rYsY+h 4- <ог)н OYsYz)i- (8-30)
Первый и второй чтены соответствуют AM^=J=1 для состояния ядра,
а последний член соответствует \Му = 0. В этом последнем случае квадрат
лептонной скобки, усредненный по спинам, равен
SSI^y5YzW2==
€ V
= W Тг — iYzYs)p] =
= Тг (YztfYzPl = 4^- тг I - YzYzW + 2р2р51 =
~ (Eq — р• q 4- 2p2g2) =l~v cos 0ev 4- 2v cos 0eJ cos 0v.;. (8.31)
411
Таким образом получаем угловые распределения электронов и нейтрино
относительно спина ядра1; теперь для получения угловой корреляции
электрон — нейтрино нужно усреднить по ориентациям оси спина
(cos 0(.j cos (Jvj)cp = (cos 6eJ- (cos 6eJ cos 6ev + члены c cos rp))cp =
= (cos2 eeJ cos e,.v)cp=cos eev.
Подставляя в соотношение (8.31) это среднее, получаем приведенный выше
результат, описываемый выражением (8.29).
Вычисления для -|- 1 немного сложнее. Вместо соотноше-
ния (8.31) получаем
S S I 1Л’е (й’51’±) I2 -= 1 — К COS ecJ COS evJ. (8.31 ±)
e v
Результат усреднения этой формулы тоже согласуется с выражением (8.29).
в. Ядерный матричный элемент. Поскольку все выражения (8.29) после
усреднения по углу вылета нейтрино дают 1, имеем:
|MS|2P= 1|2 ; '
|Mv|’p = g*JV 1 I2 ;
1 ! (8.32)
|МГ]?Р
|M4|*p-=glKa|2.
IP p
Вычисление \ о сложно даже для зеркального’ ядра. Оно требует
знания не только спина, но и конфигурации ядерных состояний (отношения
£ = J + 1/2 к £ = J- 1/2) [105].
Только один случай можно рассчитать легко и точно — это распад
свободного нейтрона, когда j о | = <fx + al + о2 = 3.
Таким образом, существуют два примера, в которых все матричные
элементы можно довольно точно вычислить, исходя из простых сообра-
жений:
распад свободного нейтрона, для которого
1 |MS|C2P gl;|Mv|2p g2; 1
| Мг |“р- 3g2T; |МЛ|2Р - 3g2., J
и распад О14, для которого
|Ms|cp 2gs; |Му|ср 2gv; 1
9 о ! (o.oA)
I |Mr|2p= 0; |MA|2p 0. J
Очевидно, нельзя из значений ft для нейтрона и О14 получить четыре
константы связи, если только не привлечь другие соображения, о которых
будет идти речь в следующем разделе.
г. Теории со связью, зависящей от производных. Упомянутые выше
пять теорий не являются единственно возможными; как было показано
на примере электромагнитного и мезонного полей, можно ввести инвариант-
ным образом связи, зависящие от производных. Такие связи были введены
I
г
I
Т1
а
г
г
1 Заметим, что p-q — скаляр; р2 =& p-J и qz ъ? q-J — псевдоскаляры, но их произ-
ведение снова скаляр, как и должно быть в теории, сохраняющей четность.
412
в теорию p-распада Конопинским и Уленбеком; например, векторному
взаимодействию, зависящему от производных, соответствует матричный
элемент такого вида
gv [фкУн (S ) ’I’r] OM'v). (8.35)
сс
Матричные элементы взаимодействия, зависящего от производных, содер-
жат импульс электрон-нейтронного поля и предсказывают искажение спект-
ра. Они серьезно обсуждались до тех пор, пока не были получены точные
данные относительно формы спектров; сейчас такие матричные элементы
можно отбросить, поскольку они не согласуются с экспериментом.
§ 5. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
а. Правила отбора и форма спектров. В теории наиболее
общего вида матричный элемент представляет собой сумму
десяти членов с десятью произвольными константами связи:
пять gx (из теорий без связи с производными (см. соотношение (8.35))]
и пять g'Y (из теорий со связью, зависящей от производных)
М = Ms + Mv 4-Мт +Мл+ . . . (8.36)
Десять констант g надо определить из эксперимента. Уже упоминалось,
что справедливы равенства
gx=O; gP = 0. (8.37)
Следовательно, остаются четыре константы связи, возможно не равные
нулю, и формула (8.36) в «разрешенном» приближении принимает вид
М ( 1 j [Ше (gs gvY4)^]+Of) •1и’е(^дТ4 + ^т)<^т1 + э.с. (8.38)
Правила отбора требуют, чтобы коэффициенты при 1 и ^<т не равня-
лись нулю. Поэтому gs и gv (а также gA и gT) не могут равняться нулю
одновременно.
Покажем теперь, что если спектр разрешенного перехода не искажен
(матричный элемент не зависит от энергии), то только одна из констант gs
и gv (и только одна из констант gT и gA) может отличаться от нуля.
Предположим, например, что gs и gv отличны от нуля. Тогда средний
квадрат фермиевской лептонной скобки равен
~ S S I we (gs + gry4) wv I2 = Tr [(gs + gvY«) q (gs + gv^)'(P + 41) I
2 9
скалярная часть c gg 4- векторная часть с gy +
+w gsgv’T г ^1,дт+
Интерференционный член (Фирца) с gsgv дает (2т/Е) gsgv и зависит
от энергии.
Отсюда в пределах той точности, с которой была экспериментально
обоснована неискаженная форма спектра *, имеем
gsgv 0 (8.39)
и аналогично для гамов-теллеровских переходов
£т£л = 0. (8.40)
1 Согласно By [110], из опытных данных моя.но получить, что 2gsgv/(gs + gv) А'
< 0,2 и
ZgTgA/<gT + вл) < ~ 0,08.
413
В последующем изложении будем считать, что равенства (8.39) и (8.40)
соблюдаются в точности; этому упрощенному представлению не противо-
речит ни один экспериментальный факт.
Рис. 8.7. Схема двойного спектрометра, применявшегося при изучении спектров отдачи
в f-распаде. Эффективный объем источника находится внутри конуса в левой части
рисунка. [Allen J. Rev. Mod Phys., 31, 795 (1959).]
б. Эксперименты по угловой корреляции электрон — нейтрино. Посколь-
ку нейтрино зарегистрировать нельзя, угловые корреляции электрон —
Рис 8.8. Спектр ядер отдачи в распаде
Не6, соответствующий псевдовекторпому
взаимодействию. [Allen J. Rev. Mod.
Phys., 31, 795 (1959) ]
путем, из измерений отдачи ядер,
Рис 8.9. Спектр ядер отдачи для распа-
да Аг35, соответствующий векторному
взаимодействию. [Allen J. Rev. Mod.
Phys., 31, 795 (1959).]
в предположении, что энергия и импульс сохраняются. Но ядра гораздо
тяжелее лептонов, и энергия отдачи мала; поэтому связанность атомов
в твердом источнике может привести к ошибочным результатам.
На деле единственным пригодным источником являются благородные
газы. Методика измерения отдачи ядер разрабатывалась на протяжении
414
ряда лет, главным образом Алленом [4], и это, наконец, привело к успеш-
ному измерению угловой корреляции. В приборе на рис. 8.7 [4] энергия
отдачи ядер из газового источника (регистрируемых электронным умножи-
телем) измеряется с помощью двойного электростатического спектрометра.
Естественно, энергия отдачи больше в том случае, когда лептоны испускают-
ся в одну, а не в противоположные стороны.
Полученные для Не6 данные (рис. 8.8) лучше всего согласуются с вели-
чиной X = — 0,39 ± 0,05, откуда следует, что гамов-теллеровское взаимо-
действие является по преимуществу аксиально-векторным (2.л = — 1/3);
сходные результаты были получены для №3 и Ne19 (тоже гамов-телле-
ровские распады). Распад Аг35 (глав-
ным образом, фермиевский) дает
Z. = + 0,97 ± 0,04 (рис. 8.9), что
соответствует векторному взаимо-
действию (Лг = 1).
На основании этих результатов
можно написать:
gv ¥= 0, gA Ф 0; (8.41)
все остальные g и g' исчезают,
и можно сделать заключение, что
фермиевские распады являются
чисто векторными, а гамов-телле-
ровские распады — чисто псевдо-
векторными.
в. Определение константы дл.
Так как gv известно (см. соотноше-
ния (8.23) и (8.24)1, то значение gA
можно получить из распада нейтро-
на [см. соотношение (8.33)]. Нахо-
дим [47]
|g| = l,19±0,04. (8.42)
Таким образом константа gA
почти равна константе gv. Не будем
сейчас комментировать этот факт
(он обсуждается в § 166).
Рис. 8.10. График для определения величи-
ны j gA/gV I 113 некоторых сверхразрешен-
ных распадов [Michel L. Rev. Mod.
Phys., 29, 277 (1957).]
Время жизни нейтрона измерить трудно, поэтому интересно получить
значение константы gA из других данных. Если использовать выражение 1
(8.43)
то величину gA можно определить в любом распаде, для которого \ 1 и \ ц
вычисляются с хорошей точностью. Это справедливо для нескольких легких
ядер, структура которых довольно хорошо известна. Получив эксперимен-
тальные значения /1 и теоретические значения 1 и <т, можно построить
следующую величину
(8.44)
которая должна быть одинаковой для всех ядер, -так как ft обратно про-
порционально |М|сР, как функцию от | gAigv | 2 (рис. 8.10). Если бы
не было ошибок, прямые линии, полученные для разных изотопов, должны
1 Смешанный член, имеющий первую степень по о,-, исчезает при усреднении
по спинам.
415
были б пересечься в одной точке, соответствующей общему для всех значе-
нию | gAlgv | 2. Из рис. 8.10 видно, что пересечения концентрируются
около величины
1= 1,11 ±0,05, (8.45)
в соответствии с соотношением (8.42). Факт преобладания | gA | над | gv |
кажется твердо установленным.
§ 6. ЗАПРЕЩЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Если два соседних изобара имеют уровни, для которых
матричные элементы 1 и <г обращаются в нуль, то гово-
рится, что ^-переход между двумя уровнями запрещен. Это
не означает, что вероятность [3-перехода между двумя такими состояниями
обязательно равна нулю, это только значит, что велико среднее время жизни
и велико произведение ft.
Чтобы объяснить наличие запрещенных переходов, снова необходимо
рассмотреть члены, выпавшие из «разрешенного приближения» [см. § 36
и соотношение (8.27)1. Было сделано два упрощающих предположения.
Во-первых, пренебрежения малыми компонентами матриц Дирака в ядер-
ной части (скобке) матричного элемента; во-вторых, экспоненты exp (ip г)
и exp (iq-r) в лептонных волновых функциях были заменены единицами,
т. е. мы пренебрегли «эффектами запаздывания».
Члены, обусловленные малыми компонентами, уменьшены на фактор
порядка ж соа 7? л; E0R по отношению к «разрешенному» матричному
элементу.
Эффекты запаздывания можно учесть, если написать волновые функции
электрона, испущенного а-м нуклоном и нейтрино, поглощенного им же,
в виде
фе = шее —— wvel(8.46)
где р — 4-импульс электрона, а — q — 4-импульс поглощенного нейтри-
но (Н q импульс вылетевшего антинейтрино).
Но га в показателях экспонент в выражении (8.46) действуют на ядер-
ную волновую функцию Е При разложении в ряд последовательные степе-
ни га обусловливают переходы возрастающих порядков запрещения. Каж-
дая следующая степень га добавляет к матричному элементу множитель
порядка (р ± q) R E0R; этот множитель того же порядка, что и фактор,
вносимый малыми компонентами дираковских матриц.
Поэтому переходы, обусловленные либо первой степенью ra, i ибо
малыми релятивистскими добавками в ядерном матричном элементе, приня-
то называть переходами первого порядка запрещения.
Используя компактную запись 2, получаем следующие матричные элемен-
ты и правила отбора:
1 Это можно не заметить, если ядерный и лептонный матричные элементы пишутся
как отдельные множители, но это становится ясным, если, например, соотношение (8.15)
переписать в виде:
Л
(1, ..., А) V (т+ти)а (уц)
лепт ФгЧД (1....4).
а=1
2 Например, вместо
§ фк(1, ..., А) У (т+у)а фт (1, .... А) ... d»xA
а
пишется \ у
416
Переходы первого порядка запрещения для векторного взаимодействия
Ядерный матричный элемент Характер тензора (трехмерного) Ядерное правило отбора
Y яь v (малый релятивистский член) Г (первый член разложения экспоненты) Вектор Вектор AJ = O,1, но не 0 —> 0; л.р =# л/ То же
Переходы первого порядка запрещения для аксиально-векторного взаи-
модействия
Ядерный матричный элемент Характер тензора (трехмерного) Ядерное правило отбора
§1<т' а г § Y5Y4 (малый релятивистский член) Вектор Симметричный бессле- довый тензор * Псевдоскаляр Псевдоскаляр ДТ = 0,1, по пе 0—>0; Пр =# Л2 ДТ = 0, 1, 2, но не 0—> 0, 1 1 не — —> — , не 0 < > 1 лк л/ ДТ = 0, пр =£ То же
2
* Bij = cixj + (,jxi--36iia T
Аналогично, во второй порядок включаются переходы под действием
матричных элементов, имеющих второй порядок по г (например, г;г7) или
одновременно релятивистски малых и имеющих первый порядок по г (на-
пример, у-г).
При разложении экспонент в соотношении (8.46) каждый га сопровож-
дается множителем (р + q), поэтому спектры запрещенных переходов могут
искажаться. В некоторых случаях можно однозначно предсказать форму
спектра. Например, переход первого порядка запрещения с AJ = 2 обяза-
Рис. 8.11. График Ферми для Y81.
Сплошные кружки — обычный гра-
фик, a const; светлые кружки —
график с исправлением на иска-
жение, а = a. [Deutsch М_,
К о f о е d-H a n s е п О. Experi-
mental Nuclear Physics. Е. Segre,
editor, John Wiley, 1959, p. 531)].
W/m0c2
27 Ядерные взаимодействия
417
тельно имеет матричный элемент Вц. Следовательно, множитель, иска-
жающий спектр, имеет график вида (|p + q|2) и после усреднения по
всем направлениям вылета нейтрино он обращается в
щ = р2 + е2 = (А2 - ш2) + (Ео - А)2.
(8.47)
На рис. 8.11 показан спектр с такого рода искажением.
Обсуждая запрещенные переходы, необходимо иметь в виду также воз-
можный вклад не только V и А, но и других взаимодействий. Было пока-
зано, что в разрешенных переходах S, Т, Р и связь, зависящая от произ-
водных, пренебрежимо малы; однако они могут входить с меньшими, чем gv
и gA константами, и их роль может возрасти, если распад, соответствую-
щий преобладающему V- и Л-взаимодействию, запрещен.
Для дальнейших подробностей о запрещенных переходах читатель
отсылается к литературе [32, 65, 116].
§ 7. РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
а. Описание эффекта. Рассмотрим теперь электромагнитное
излучение, сопровождающее иногда процесс Р-распада. Оно
состоит из рентгеновских лучей, образующихся в кулонов-
ском поле радиоактивного атома (внутреннее тормозное излу-
чение); кванты имеют непрерывный спектр энергий от 0 до максимально
Рис. 8.12. Диаграммы радиационных поправок
к р_- и р+-распадам.
возможной энергии Ео. Теоре-
тически, применяя методы
гл. 6, разд. Б, можно рассчи-
тать это излучение как радиа-
ционную поправку к ^-распаду.
Испускание тормозного из-
лучения увеличивает вероят-
ность распада и при аккурат-
ном определении констант
связи оно должно быть принято
в расчет. В электронном захвате
энергию перехода, обычно уно-
симую нейтрино, можно опре-
делить, измеряя максимальную
энергию внутреннего тормоз-
Этот эффект играет роль и в распадах
ного излучения.
элементарных частиц (например,
в распадах л- и р-мезонов, где он имеет
большее значение из-за большей
выделяемой энергии) Расчет этого эффекта представляет интерес как пример
электромагнитного процесса высшего порядка
Можем начать с рассмотрения диаграмм (рис. 8.12). В каждом случае
имеет значение только одна диаграмма, потому что нейтрино не излучает
вовсе, а нуклоны вследствие своей большой массы излучают слабо.
Затем подробно рассчитаем вероятность внутреннего тормозного излу-
чения для электронного захвата. Эта задача проста, так как захватываемый
электрон можно считать нерелятивистским.
б. Расчет тормозного излучения при электронном захвате. На рис. 8.13
изображены диаграммы A-захвата с радиационными поправками и без них
и указаны принятые для вычислений обозначения. Для простоты рассмотрим
только случай разрешенного ферми-перехода
1 В теории с нарушением четности фактор в вершине р-взаимодействия следует
—-(1—Г5). Тогда внутреннее тормозное излучение будет иметь
100%-ную левую круговую поляризацию.
418
Цель данного расчета — получить спектр и относительную частоту
тормозного излучения в A-захвате: wK,ydklwK‘, при вычислении этой
величины ядерные матричные элементы, стоящие в числителе и знаменателе,
одинаковы и сокращаются. Можно написать (обозначения ясны сами по себе)
WK, v __ РК, v I V Icp Q 48)
U'K № |Мк[2р ’ >
где (нормировка на единичный объем в лабораторной системе)
Eo-h
^ydkd^-^k^dk-^- ? = (8.49а)
0
q^dqdQg E2
Pk— (211)3 dq ~ (23l)sd^q’ (8.496)
= •’ <8‘5Ua>
MK = gv (^vYilpe). (8.506)
Рис. 8.13. Диаграммы К -захвата без радиационных поправок и с поправками пока-
заны обозначения, использованные в вычислениях, и некоторые множители, которые1
надо вставить в матричный элемент.
Применяя технику вычисления следов и вспоминая, что р = ту4, можно
легко возвести в квадрат матричный элемент (8.506) и просуммировать его
по двум спинам: А-электрона и нейтрино
?8|МкГ-^(*4г*£)-^ (8.51)
Перед возведением в квадрат скобки в выражении (8.506) надо изба-
виться от операторов в знаменателе и произвести упрощения. Видно, что
она может быть записана так 1 2:
е^) = 2^ (^vV4'^e). (8.52)
1 Множитель 2 в соотношении (8.49а) появляется из-за двух возможных поляриза-
ций у-к сайта, совместимых с выражением (8.50а), которое получено для заданной поля-
ризации е. Множитель (zrav/g)* “ в выражениях (8.50а) и (8.506) введен для нормировки
волновой функции нейтрино на единичный объем в лабораторной системе.
2 Чтобы упростить числитель пропагатора, заметим, что р = тпу[к антикоммути-
рует с е= —e1Y1 е2у2— бзУз5 поэтому (рД-zre) gwe = e (— р |-m) we = 0, так как
удовлетворяет уравнению Дирака. Раскрывая квадрат в знаменателе, получаем
| р — к [2 = р2 — fc2— 2рк = m2 — 0 — 2тк.
27* 419
Применяя теперь технику вычисления следов* 1, можно возвести соотно-
шение (8.52) в квадрат и просуммировать:
»SS| (^еЧ)|’ = даТг (у4*ё^^ёЛу4^-) =
4 9/,- - 1л
= W 4^ Тг = Т С1 + cos е^)- (8-53)
Таким образом найдешь угловая корреляция между у-квантами и ней-
трино. Собирая члены, получаем
wK< ydkdQh 2(E0 — k)2 * * *k^dkdQh 9п mv а ,, , Л ,
" (2л)3£§ 6 ~к ' Т ‘ 2rf^v + C0S =
(8.54)
Наконец, интегрируем no dQ*
wk> v dk _ e2 (£0-*)2 * dA „
wK - л El nfl ’ (й.йй)
Рис. 8.14 иллюстрирует сравнение этой формулы с экспериментом.
Рис. 8.14. Внутреннее тормозное излучение для А37; точки —
эксперимент, кривая 2 — теория Моррисона и Шиффа, в основ
ном совпадающая с изложенной в тексте. (Linguist, W и.
Phys. Rev., 100, 149 (1955)].
Б. НАРУШЕНИЕ ЧЕТНОСТИ В ЯДЕРНОМ ₽-РАСПАДЕ
§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАРУШЕНИЯ ЧЕТНОСТИ
а. Наблюдение несохранения четности в распаде К-мезопа.
В конце 40-х и в начале 50-х годов нашего столетия физики
открыли ряд новых частиц и были очень заняты исследо-
ванием их свойств. Одна из частиц, первоначально названная 6, распада-
лась на два л-мезона, а другая, названная т-мезоном, распадалась на три
л-мезона. Изучение угловых распределений ясно показало, что момент
количества движения этих частиц равен нулю, и так как внутренняя чет-
ность л-мезона отрицательна, то естественно было 6- и т-частицам приписать
спин и четность соответственно 0+ и 0~.
1 В формуле (8.53) можно, как это обычпо делается, вынести т в числителе Ае.
Учитывая, что еу4е=—ееу4=е еу4=у4, получаем, что след во второй строке выра-
жения (8.53) равен
1 . . .
Tr4^(Y^’4^’49).
Но7су4А=й(— Лу4-(-2/с) = 2кк, поскольку АА = А2 = О. Следовательно, след равен
ОН л „ 9 Ь 9/.-
Tr^ (Y4^) = ^Tr(-Ag + 2M) = -(Ag + k.q).
420
Измерения массы и среднего времени жизни вначале были неточны,
но в 1957 г. были получены следующие результаты:
е+
Масса
Время жизни
966,7+2,0
1,21+0,02
966,3+2,1 (в массах электрона)
1,19+0,05 (в 10~8 сек)
Янг и Ли, пораженные сходством этих данных, рассмотрели такую
возможность, что на самом деле бит являются одной частицей (теперь ее
называют /^-мезоном) с двумя разными модами распада. Но если бы это
было так, то четность не могла бы быть хорошим квантовым числом: чет-
ность могла бы не
сохраняться.
Эта мысль заставила Ян-
га и Ли пересмотреть экспери-
ментальные доказательства
сохранения четности, и они
пришли к выводу,
что существует
множество данных
в пользу сохране-
ния четности в силь-
ных и электромаг-
нитных взаимодей-
ствиях. но нет ни
одного факта, из
10см
ЧаЗ
М,5см
Откачка из
Вакуумной
рубашки
Люситодый
сВет о пробое
Термометрические
катушки
Взаимоиндукции
Рис. 8.15. Асимметрия [3-элек-
тронов (сплошная кривая)
и анизотропия у-кваптов (пупк-
тпр) | AJ ] 2 в распаде поляри-
зованного Сов0 (спин вверх).
Образец
песто для
нитрата CeHgyi
Проходная
Вакуумная
рубашка
Кристалл
антрацена
ЬБсм
ц-
NaJ
Рис. 8.16. Прибор для доказательства
нарушения четности в 0-распаде Сой0.
Счетчик с NaJ изменяет у-аппзотропию
(и, следовательно, поляризацию об-
разца), а кристалл антрацена — аспм
метрию р электронов [W u et al.
Phys. Rev.. 105, 1413 (1957]).
которого следовало бы, что четность сохраня-
ется в слабых взаимодействиях, в том числе при
Р-р а с п а д е.
Поскольку 0- и т-распады происходят в результате слабых взаимодей-
ствий, Янг и Ли предположили, что четность может не сохраняться в лю-
бом слабом взаимодействии; они теоретически подсказали ряд измеримых
эффектов, вытекающих из нарушения четности в Рраспаде, и предложили
определенные эксперименты с целью проверки закона сохранения четности.
б. Экспериментальное доказательство корреляции между «-пином ядра
и импульсом p-электрона. Согласно обсуждению в гл. 1, § 5, сохранение
четности требует, чтобы все члены уравнения вели себя при отражении
одинаково. Поэтому вероятность перехода (число событий в единицу вре-
421
мени) должна быть скаляром и не может содержать псевдоскалярных чле-
нов Как мы видели, этот закон справедлив для электромагнитных
п сильных взаимодействий.
Если в ядерном 0-распаде четность не сохраняется, то вероятность
перехода может, по-видимому, содержать как скалярные, так и псевдоска-
лярные члены:
w-A^l-i a = А (1 +acos 0Jp), (8.56)
где Ana — скаляры, J — спин ядра, ар — импульс вылетевшего электро-
на. Другими словами, число электронов, вылетевших параллельно и анти-
параллельно направлению спина, может быть разным (рис. 8.15).
По предложению Янга и Ли такая возможность была экспериментально
исследована и испущенные электроны обнаружили значительную а с и м-
м е т р и ю.
Опыты (рис. 8.16) были выполнены с источниками Со60 [111] и Со58 [2],
потому что из этих изотопов, как было показано в гл. 4, § 12а, наложением
магнитного поля при низкой температуре можно приготовить поляризо-
ванные образцы. Степень поляризации источника определялась путем изме-
рения анизотропии у-лучеп, вылетающих из криостата; одновременно с по-
мощью счетчика электронов, расположенного внутри криостата, исследова-
лась асимметрия 0-электронов. Была обнаружена четкая корреляция
с соответствующим «коэффициентом асимметрии»
а<0 для 0" (Со60),
а>0 для Р+(Со68). (8.57)
Это отвечает испусканию электронов преимущественно против спина и испу-
сканию позитронов вдоль спина.
В этих экспериментах было трудно точно измерить настоящее значение
коэффициента а из-за обратного рассеяния и приборных эффектов. Теоре-
тически было показано, что а пропорционально скорости электрона и долж-
но содержать численный множитель, зависящий от величин спинов началь-
ного и конечного ядер. Если сравнить экспериментальные данные с теорией,
все они говорят о том, что а всегда равно максимальному теоретически
возможному значению. Нарушение четности не является малой поправкой
к теориям, сохраняющим четность: эффекты всегда достигают своей пре-
дельно возможной величины.
Другой способ изучения асимметрии, позволяющий не прибегать к низ-
ким температурам, заключается в измерении корреляции
между 0-э лектронами и круговой поляризацией
у-к в а н т о в. В этом методе 0-источник неполяризован, а поляризация
ядра после 0-распада обнаруживается по круговой поляризации у-излу-
чепия, сопровождающего распад.
в. Спиральность электронов. Другим возможным следствием нарушения
четности является поляризация р-частиц по направлению их движения
(спиральность). Поляризационные эффекты с электронами Р-распада
наблюдались еще в 1928 г. [23], но тогда эти опыты не привлекли к себе
того внимания, которого они заслуживали.
Вслед за работами Ли и Янга и опытами By и Амблера поляризацию
электронов в p-распаде изучали многие. С этой целью p-электроны сперва
отклонялись электростатическим полем, чтобы превратить продольную поля-
ризацию в поперечную, а затем рассеивались в электростатическом поле
1 Амплитуда перехода (матричный элемент) может содержать псевдоскалярные
операторы, не нарушающие четности. Например, матричный элемент пион-нуклонного
взаимодействия содержит оператор <гр с отрицательной четностью, которая компенсирует-
ся тем, (.что волповые функции пиона и нуклона имеют противоположную четность.
В атом случае вероятность перехода содержит член | <тр | 2, являющийся скаляром.
Однако сохранение четности запрещает смешивание
четных и нечетных операторов в амплитуде, потому что такое смеши-
вание приводит к появлению в квадрате амплитуды нечетных интерференционных членов.
422
ядра (моттовское рассеяние) (рис. 8.17). Асимметрия рассеяния служит
мерой поляризации [67].
Можно также исследовать продольную поляризацию непосредственно
путем рассеяния на мишени
из электронов [67], поляри-
зованных вдоль пучка пада-
ющих частиц (мёллеровское
рассеяние на намагниченном
железе).
Еще один способ состоит
в измерении круговой поля-
ризации у-квантов внутрен-
него тормозного излучения
[46] [см. соотношение (8.17)],
которая зависит от направ-
ления спина излучающего
электрона (рис. 8.18).
Спиральность позитронов
можно также исследовать с по-
мощью наблюдения их анни-
гиляции [56—58, 82]. Можно
видеть, например, что число
событий двухфотонной (синг-
летной) аннигиляции в на-
— расточник
> Спин Вверх
^Электронный луч
Электростатический
дефлектор
Рис. 8.17. Изучение поляризации р-электронов
с помощью моттовского рассеяния. Рассеянные
электроны детектируются в плоскости, перпенди-
кулярной чертежу.
Спин Вверх
Тяжелый
\рассеиватель
магниченном железе зависит от направления намагничения, т. е. от того,
параллельно оно или антипараллельно пучку падающих позитронов.
Рис. 8.18. Прибор для измерения степени и знака круговой
поляризации тормозпого излучения от р_-источнпка. |Gold-
haber М. et al. Phys. Rev., 106, 826 (1957J).
В A-захвате нарушение четности обнаруживается по наличию круго-
вой поляризации внутреннего тормозного излучения [11]
Все эти эксперименты говорят о том, что |3-электроны и позитроны
частично поляризованы и что степень поляризации такова (в пределах
точности измерений):
— (левая, р и о антипараллельны) для электронов,
+ (правая, р и о параллельны) для позитронов. (8.58)
423
г. Спиральность нейтрино. Спиральность нейтрино была измерена
в остроумном опыте Гольдхабера, Рродзинса и Синьяра [50]. Эти авторы
использовали в качестве источника Ей152, который путем /^-захвата распа-
дается в Sm152 с испусканием у-кванта (gl) с энергией 961 кэв (рис. 8.19, а).
Переход 961 кэв происходит так быстро [т — (3 ± 1) у 10-14 сек], что при
Детектор
for Спин вниз
г- 152
Ей -источник
/ Спин вверх
Анализатор круговой
поляризации из намаг-
ниченного железа
пенный вверх)
Резонансный рассеива-
тель бт11г (резонанс-
ное рассеяние требует,
чтобы нейтрино ле-
тело вверх)
Рис. 8.19. Измерение спиральности нейтрино.
комнатной температуре можно наблюдать резонансное
рассеяние, если нейтрино испускается против
вылета у-к ванта; это компенсирует отдачу при у-излучении. Круго-
Векторное взаимодействие,
преимущественно параллельный вылет
Д1=±1или0
v(unu е+)
'ПУ
е~(или у)
Аксиальное взаимодействие:
преимущественно антипараллельный вылет
вая поляризация у-квантов, дающих
резонансное рассеяние, измеряется
с помощью поляриметра, который
работает «в проходящем свете». Этим
способом определяется направление
спина возбужденного уровня 961 кэв,
которое противоположно направлению
спина нейтрино.
На опыте наблюдалось, что резо-
нансно рассеянные у-лучи имеют отри-
цательную спиральность (спин вверх
на схеме рис. 8.19, б). Следовательно,
спин возбужденного состояния 961 кэв,
Рис. 8.20. Связь между спиральностью
и угловой корреляцией (скалярные и
тензорные взаимодействия приводят
к противоречию между спиральностью и
корреляцией).
испускающего резонансно рассеивае-
мыед-кванты, направлен вверх. Из то-
го, что ядро Ей152 (9,3 ч) имеет нуле-
вой спин, делается вывод, что в про-
цессе Tv-захвата момент количества
движения источника меняется^на{единицу в направлении вверх. Орбиталь-
ный момент не надо учитывать, поскольку значения спина и четности ука-
зывают на то, что имеет место разрешенный гамов-теллеровский переход,
а электрон захвачен из 5-состояния. Спин захваченного электрона должен
был быть направлен вверх, а спин вылетевшего нейтрино — вниз.
Наконец, так как известно, что нейтрино вылетело вверх \ можно
заключить, что его спиральность отрицательна.
Результаты опыта согласуются со 100%-ной поляризацией нейтрино.
Поэтому впредь будем считать, в согласии с простейшими теоретическими
1 Чтобы сохранялось число лептонов, нейтрино К-захвата должны быть частицами,
а не античастицами!
424
соображениями и с экспериментальными данными, что
Pv = Tl
— для нейтрино,
+ для антинейтрино.
(8.59)
д. Связь между спиральностью и угловой корреляцией. Интересно
отметить, что измерения спиральности согласуются с опытами по угловой
корреляции электрон — нейтрино. Чтобы в разрешенном фермиевском пере-
ходе осуществлялось правило Д/ = 0, электрон и нейтрино должны быть
поляризованы и иметь антипараллельные спины; в гамов-теллеровском
распаде спины двух лептонов, чтобы осуществлялось правило Д/ = 1,
должны быть параллельны (рис. 8.20).
Поэтому выбор векторного и аксиально-векторного взаимодействия
можно было бы сделать на основании результатов измерения спиральности.
(И так было на самом деле: спиральность была определена раньше, чем
были выполнены корректные измерения угловых распределений.)
§ 9. ТЕОРИЯ р-РАСПАДА С НАРУШЕНИЕМ ЧЕТНОСТИ
а. Проекционные операторы спиральности. Для формули-
ровки теории слабых взаимодействий с нарушением четности
используется релятивистский псевдоскалярный оператор
или эквивалентный ему эрмитов оператор Г5 \ соответствующий обычной
терминологии и принятому выбору знаков,
/0 1\
Г5=—^5=^ 0) • (8.60)
Введем операторы смешанной четности
Дг = 1(1 + Г5), Лг=4(1-Г5), (8.61)
которые удовлетворяют обычным для проекционных операторов соотношениям
Лг4-Лг = 1; ЛгЛг = Л/Лг = 0;
Д-гД-г — Д-г» Д/Д/ — Д/
(8.62}
Л| = ЛГ; Л/Т = ль ЛгУц = ТцА/, Л/Уц, = ТцЛг. (8.63)
Эти
вой
и Лг
Л/ в
операторы называются проекционными операторами пра-
и левой спиральности, поскольку, как легко показать, Аг
отбирают соответственно правое и левое нейтрино. Напишем, например,
виде матрицы
0\ 10 ! / 1 -1\
1/ \1 0/J = '2\— 1 1/
(8.64)
и применим
энергией
его к дираковскому
спинору в состоянии с положительной
-1\/ X
1 1_^Р_ J
7 \|E| + mV
Л^=4 _!
/ Г______SLE--Г
л ь |ЕЦ-т ь
2 I _ r , ч-Р г
\ ’ | Е\ + т *
(8.65)
1 В настоящем изложении принято представление у-матриц вида (6.27).
425
Для нейтрино (rti — O) соотношение (8.65) переходит в
если
если
(левая
спиральность);
(правая
спиральность).
(8.66)
Этим доказывается, что Aj отбирает левые нейтрино. Можно видеть
также, что он отбирает правые антинейтрино; в этом можно убедиться,
привлекая теорию «дырок» или, более формально, учитывая тот факт, что
Г5 антикоммутирует с оператором зарядового сопряжения Sc.
Операторы спиральности при действии на электроны, которые имеют
массу, отличную от нуля, отбирают пучки с частичной поляризацией. Отно-
сительные вероятности Рт и Pi для левой и правой поляризаций (о-р = ±р)
в состоянии Лгфг равны
Р |2 .
I I ’
(8.67)
1 |£
поэтому поляризация (левая) пучка электронов, «пропущенного» операто-
ром, равна
_ р = Pl-Pr 4[д/(| £ 14-тп)] = д(|Е| + т) р _
Pr + Pi 2+2[р/(|Е| + гП)]2 £2 + f„|£| |£| v-
Сравнивая выражения (8.66) и (8.68) с соотношениями (8.58) и (8.59), видим,
что эти формулы согласуются с наблюдаемыми спиральными при условии
замены в гамильтониане слабого взаимодействия лептонных волновых
функций их левыми компонентами Лд|;.
Из спиральности можно вывести асимметрию, например, такую, кото-
рая наблюдалась в опыте By и Амблера (это уже было показано в § 8е).
Более строгое вычисление асимметрии проведено в пункте «в» настоящего
параграфа.
б. Матричный элемент, нарушающий четность. Поскольку согласую-
щуюся с опытом спиральность можно получить, если лептонные волновые
функции ф заменить их левыми компонентами, в теории с несохранением
четности будем писать матричный элемент, вставляя всюду слева от лептон-
ных состояний множитель Л/. Если для левых компонент ввести специаль-
ное обозначение
Лгф s х, (8-69)
то лептонную скобку матричного элемента |3~-распада следует писать в виде:
Для векторного взаимодействия;
XeYsYixXv для аксиально-векторного взаимодействия.
Интересно отметить, что спиральность одного из двух лептонов опре-
деляется спиральностью другого. Это следует из сохранения момента коли-
чества движения, формально это можно доказать следующим образом 1-.
= ^eYnA/lpv =
фуцАгЛгфу = феЛгуцЛгф¥ = (8.71)
ЛгфеУм.ЛгФг = XeYaXv
Поскольку введение Л; не меняет предсказания относительно электрон-
нсйтринной угловой корреляции, ядсрная скобка должна содержать только
1 Если матричный элемент содержит четное число матриц -у, например как в слу-
чае скалярного или тензорного взаимодействия, то оказывается, что левые нейтрино
испускаются вместе с правыми электронами.
^=41
Q
426
векторный и аксиальный члены со следующими константами1:
Векторная константа связи = ]z 2 g
Аксиальная константа связи = ]/Л2Rg (| R [ ж 1,15),
где g = 1,4-10 49 эрг-см3 — векторная константа связи в теории с сохране-
нием четности [см. соотношения (8.23) и (8.24)]. Поэтому на основании
соотношения (8.26) можно написать
М = V2g [xpF (1, ..., А) 2 (t+Yh)c^ (*> • • , л)] (XeYuXv) —
а
-/22?g[^(l, . , А)3(т+Г5уи)агрг(1, ..., А)] (хД^хД + э. с. (8.73)
а
Но лептонные скобки оказываются теми же самыми2:
XeYuXv = хД sYuXv (8.74)
и формуле (8.73) можно придать более простую форму:
М = ]Л2^{ф^(1, ..., А) 3 [т+(1 —7?Г5)уй]афг(1, ..., A)} (XeYixXv) + 3.c. (8.75)
С6
В нерелятивпстском приближении для нуклонов она имеет вид:
M=]^2g(J 1) (XA'/.Xv) +/2’Ag ст) -(XeY4<*Xv) + 3. с. =
= /2g (§1) (XeY4Xv) —K2Hg (§ o+) (W-Xv)- V^Rg ( ст ) (x^+Xv)+
+ V2Rg стг) (XeY4OrzXv) + 3. c. (8.76)
1
Для разрешенных переходов ф,„ е заменяется на wVt е, a %v, е — на (1 — Г5) wVi е-
в. Вероятности переходов и асимметрии. Чтобы вычислить асимметрию,
необходимо подсчитать в новой теории средний квадрат матричного эле-
мента для поляризованного ядра. Для этого нужно поступить как в соот-
ношениях (8.19) и (8.31), вставляя для отбора левых нейтрино проекцион-
ный оператор Az = -g-(l—Г5); как показано в соотношении (8.71), это
автоматически отбирает и левые электроны.
Если новый матричный элемент возводится в квадрат и усредняется
методом вычисления следов, достаточно писать левый проекционный опера-
тор только один раз 3. Поэтому новая вероятность перехода состоит из двух
отдельных слагаемых: сохраняющего и не сохраняющего четность 4. Часть,
сохраняющая четность, уже была вычислена [см. соотношения (8.19) и (8.31)].
Для части, не сохраняющей четность, надо повторить вычисление следов,
1 Множитель 1/2 возникает потому, что мы хотим иметь ту же вероятность пере-
хода при данном значении g, несмотря на то что используется только половина нейтрин-
ных состояний.
1 1
2 TsYhXv = —УдТ5 ~2 И — Т6) 4’v = — Yu ~2 Дб 1) 1l,v=YuXv
3 Например,
Tr QA#y4 (QAiY Y4 (P +»«) = Tr QAz?Y4AzQ+Yu (P+m) =
= Tr QAzAZ9Y4QfY4 (p + m) = Tr QAz^Q^ G»+m).
4 Принимая во внимание соотношение (8.72), можно видеть, что g2 из старой тео-
рии заменяется в части, сохраняющей четность, на (1/2 g)2= g2, а в части новой
1
вероятности перехода, не сохраняющей четность, на — ( ]/ 2g)2 —Г5 = — g2T5.
предварительно вставив слева от нейтринного проекционного оператора
множитель (—Г5).
Путем подсчета матриц можно немедленно установить, что вклад
в матричный элемент от несохранения четности обращается в нуль для не-
релятивистского векторного взаимодействия (у4) и для членов без переворота
спина в аксиально-векторном взаимодействии (у4ог или —Г5у3):
Тг [у4( — Г5)<7у4(р + т)] = 0; (8.77)
Тг [Г5у3 (— Г5) дГ6у3 (р + т)] = 0. (8.78)
Для членов с переворотом спина (у4о± = — Г5у±) след, нарушающий
четность, не исчезает, и его вклад описывает разного рода асимметрию.
Получаем* 1:
-4^-Тг [Г6у± (— Г5) дутГа (p |-m)] = =Fucos 6eJ ± cos 6VJ. (8.79)
Сравнивая с выражением (7.76), видим, что для ядерного перехода
с ДТП = — 1 (ядерный член с о_, лептонный член с <т+) надо брать верхние
знаки в формуле (8.79). Получается, таким образом, в согласии с опытом,
что электроны Со60 вылетают преимущественно назад с коэффициентом
асимметрии v, а нейтрино вылетают преимущественно вперед с коэффи-
циентом асимметрии 1.
Полученные формулы справедливы для Р “-распада. Результаты для
Р+-распада выводятся тем же способом и тоже согласуются с экспериментом.
г. Общая формулировка теорий, не сохраняющих четность. В теории
с несохранением четности (без связи с производными) матричный элемент
общего вида можно получить, видоизменяя выражение (8.26). Общий мат-
ричный элемент будет суммой пяти членов (для разных X = S, V,T, А, Р).
но теперь каждый из этих членов может содержать в лептонной скобке
четную и нечетную части. Чтобы это получить, перепишем соотношение
(8.26), подставляя вместо каждого gx выражение (1/]/2) (gx ф- ragx),
где Г5 действует на лептоны, в виде
Мх = [фр (1, ..., Л) 2 (т+Сх)аФг (1, • ., -1)] х
а
X [фе(?х |/^-у (gx + Tsgi) ф^ ф-э. с. (8.80)
В теорию теперь входит 10 произвольных констант gx и g'y. Если
нужно учесть возможное нарушение инвариантности относительно обраще-
ния времени, то все gx и g'x становятся комплексными и налицо 20 действи-
тельных констант.
Были выведены и имеются в литературе [63] формулы, описывающие
эффекты, связанные с нарушением пространственной и временной четности
(асимметрии, спиральности и т. д.), включающие эти 20 констант. Полу-
ченные этим путем эффекты нарушения пространственной четности меньше
тех, которые следуют из соотношений (8.68) и (8.79), если только не осуще-
ствляется равенство | gx | = | g'x |.
1 Во-первых, сразу доказывается, что у4 (TaY±) + у4 у^Г5. Для доказательства
заметим, что член с т, как обычно, исчезает, и можно использовать равенство
Тогда след выражения (8.79) равен:
1 .
— Тг [Г5у±д утр]= — у Тг UY1Y2Y3Y4 (Yi ± «Тг) Я (Yi Т Ф’г) Р1 =
1 _
=у Тг PY1Y2Y3Y4 (Yi ± Ч2) (Y1 + Ф’2) Я Р г бесследовые члены] =
= Тг [ZY1Y2Y3Y4 (Т 2г' Y1Y2) Я Р ф- бесследовые члены] =+ Тг узУ4<7 Р = 4 (Т ЯРз ± #9з)-
428
§ 10. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СПИНОРОВ
а. Теория двухкомпонентного нейтрино. Из формулы (8.65)
видно, что оператор Аг (а также Аг) превращает четырех-
компонентный спинор в такой спинор, у которого верхние
и нижние компоненты отличаются только знаком. Поэтому % = А/ф пред-
ставляет собой на самом деле двухкомпонентную волновую функцию.
Для нейтрино (т = 0) Xv удовлетворяет уравнению Дирака. В этом
легко убедиться, умножая уравнение Дирака для нейтрино г’5фу = 0 слева
АЛ
на Лг = у (1 -f- Г6); вспоминая, что Ar<? = dAi, можно написать
ihv-0, (8.81)
или
iV4^4Xv = — гу • vXv, (8.82)
что является уравнением Дирака с нулевой массой для %v.
Чтобы выяснить смысл этого уравнения, умножим уравнение (8.82)
слева на Г5у4; учитывая, что Г8%г = — и Г5у4у; = о, [см. соотношение
(6.26)], получаем
id^v = ia-Vxv (8.83)
Формула (8.83) для определенного импульса q и энергии Е принимает вид
^Xv=—c-qXv- (8.84)
Уравнение для Xv в этой форме ясно показывает, что если <r q = —q
(левые нейтрино), то Е = q, а если nq = q (правые нейтрино), то Е = —q\
таким образом, все нейтрино с положительной энергией имеют левую поля-
ризацию, а нейтрино с отрицательной энергией — правую.
Сразу видно, что уравнение (8.84) распадается на два двухкомпонент-
ных уравнения. Проводя различие между верхними и нижними компонен-
тами и используя соотношение (8.66), можно переписать уравнение (8.84)
в виде
Е( ’М. (8-85)
\ — Хи, v/ \ 0 tr-q/\ —Xu,v/
что, очевидно, эквивалентно двум одинаковым двухкомпонентным уравне-
ниям.
Возможность формулировки релятивистской теории нейтрино только
с двумя компонентами волновой функции была осознана давно [81]. Эта
возможность следует из того факта, что для т = 0 уравнение (6.18), (УцРц)х
<(TvPv) = 0, переходит в (6.15), Е2 = р2, если у — квадратные двухрядные
матрицы, уг = а£; у4 == ± 1. Таким образом, волновое уравнение первой
степени для частице нулевой массой и со спином 1/2 можно написать в виде
<t-vs±4^=0’ <8-86)
где £ — двухкомпонентный спинор Паули; выражение (8.86) переходит
в уравнение (8.83), если £ отождествить с верхними или нижними компо-
нентами Xv и выбрать знак минус.
Уравнение (8.86) было отброшено в свое время, потому что оно не
сохраняло четность, но для описания нейтрино в теории Р-распада с нару-
шением четности оно вполне пригодно.
б. Двухкомпонентное уравнение для электрона. Понятие спиральности
для электрона принципиально отличается от понятия спиральности нейтри-
но, и это различие можно объяснить, пользуясь простыми физическими
представлениями.
Поскольку нейтрино всегда движется со скоростью света, его спираль-
ность одинакова во всех системах отсчета. Но спиральность электрона
не является инвариантом: электрон, кажущийся в лабораторной системе
левым, будет казаться наблюдателю, движущемуся быстрее самого электро-
429
на, правым, потому что он будет видеть то же направление спина, но проти-
воположное направление импульса.
Такое поведение отражено в различиях формализма. Функция %е = Лгфе
не удовлетворяет уравнению Дирака с массой т Ф 0 (поскольку ЛГЭ =
= 5Лг, но Л г иг = тЛг).
Интересно заметить, что уравнение для спиноров с конечной массой
тоже может быть записано в двухкомпонентной форме. Однако в любом
случае оно является дифференциальным уравнением второго порядка по
времени, поэтому задание начального состояния требует знания двухком-
понентной волновой функции и ее производной, т. е. всего четырех различ-
ных функций, как и в исходном уравнении Дирака.
Чтобы найти двухкомпонентные уравнения для электрона, умножим
уравнение Дирака (6.82)
(id — еА — т) фе = О
1 - - . Л
слева на -^(l + Г5). Вспоминая, что ГД — — <ЗГ6, Г54 = /1Г6 и Г5«г = тГ5,
получаем
(id — еЛ)у (1 — Г5) фе = т — (1 +Г5)фе = тфе + т у ( —1 4-Г6)фе.
Используя равенство 1/2 (1 — Г5) фе = можно написать
фе = -^-(*5 — еАА-т) у_е.
Наконец, учитывая, что фе удовлетворяет уравнению (6.82), находим сле-
дующее уравнение второго порядка для
Л j
(id — еА — т) — (id — еА-(- т) %е= 0.
Это уравнение можно переписать в следующей форме:
(id — еА)2%е = т2%е. (8.87)
После возведения скобки в квадрат получается
[(ОД — еЛД (гс»ц —еЭД —Хе = т?%е. (8.88)
Это уравнение Клейна—Гордона с добавочным спиновым членом.
Проведем теперь различие между верхними и нижними компонентами х-
Если использовать тот факт, что согласно уравнению (8.65) Хь — —Хг»
и переписать произведение o^F^v, как в выражении (6.85), то уравне-
ние (8.88) распадается на два одинаковых уравнения для Хи и Хь:
[(idM — еАи)2 + ео-(Н-|- iЕ)] /и = m2yv, (8.89)
которые, очевидно, являются двухкомпонентными.
в. Двухкомнонентпая формулировка взаимодействия между «левыми»
частицами. Лептонную скобку в матричном элементе соотношения (8.70)
в двухкомпонентной теории удобно переписать следующим образом:
(XYsX) = Хи — Хи () = 2 (хиХи);
"---\ —Хи/
(XYiX) = Хи — Хи (° п VXU 1 = 2
______________- о А-хи/
’(8.90)
Такой формализм особенно полезен в релятивистских вычислениях
с четырьмя слабо взаимодействующими «левыми» частицами, например при
430
распаде мюона. Для этого случая получается
(XvYxXn) (XeY?.Xv') = 4 (хи, vXu, п) (Хи, eXu, v) —
— 4 (Xu, v&xu, я) • (Xu, еОхи, v’)- (8-91)
Двухкомпонентная запись теории облегчает релятивистские вычисления,
поскольку с матрицами Паули иметь дело проще, чем с четырехрядными
матрицами Дирака.
§11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ЗНАКА
ВЕКТОРНОГО И АКСИАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ИЗ РАСПАДА ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НЕЙТРОНОВ
а. Расчет асимметрий в распаде поляризованных нейтронов.
В предыдущих параграфах знак перед Г5 в лептонной скобке
матричного элемента, нарушающего четность, выбирался
так, чтобы получить наблюдаемую спиральность электронов и нейтрино.
Теперь мы должны рассмотреть ядерную часть взаимодействия, в частности
вопрос об относительном знаке векторного и аксиального членов. Если
отношение В констант аксиальной и векторной связи положительно, то гово-
рят о теории «вектор плюс аксиа л», или, короче, V + Л,
а если В < 0, то теорию называют «вектор минус а к с и-
а л», или V — А.
Можно показать, что если бы В оказалось отрицательным (V — Л),
то ядерная и лептонная скобки имели бы почти одинаковый вид; действи-
тельно, в релятивистской формуле (8.75) ядерный множитель каждого-
нуклона был бы равен
Г2 g {фус+ (1 +1В I Г5) УифД = Г2 g {фрт+ум (1 -1В I Г5) ф2} «
^2y2g(x^xi)- (8-92)
Если отвлечься от небольшого различия между | В | и единицей, можно-
было бы говорить о простом взаимодействии нуклонов и лептонов в состоя-
ниях с левой поляризацией г.
Но эти соображения эстетического характера не являются доказатель-
ством, и выбор знака в ядерной скобке матричного элемента должен быть
сделан на основании опыта.
Опыт для проверки этого пункта должен включать в себя распад, в кото-
ром одновременно участвуют и интерферируют векторное (Ферми) и аксиаль-
ное (Гамов — Теллер) взаимодействия; типичным в этом отношении является
распад нейтрона [см. соотношение (8.33)]. Поэтому начнем с вычисления
ожидаемой асимметрии в распаде поляризованных нейтронов для произволь-
ных, положительных и отрицательных значений В.
Если первоначально направление спина нейтрона соответствует направ-
лению +Z, то матричный элемент дается формулой (8.76), где 1) = 1,
( о+) =0, ( ° ) = V"2 и ( 15 ядерные матричные элементы ( 1)
И Gz) дают вклаД в переходы без переворота спина, а вызывает
распад с поворотом спина. Поэтому можно написать
Мс повор= 2Bg (XeYi^+Xv); I (8 93)
Мбез повор - /2 g (XeY4Xv) + V2 Bg (xe Y4^Xv). I
Теперь возведем в квадрат и просуммируем по состояниям лептонов,
используя технику вычисления следов. Для переходов с поворотом спина
1 «Левое» взаимодействие всех частиц можно было бы примирить с V + А-теорией,
только если бы электроны были частицами, а нуклоны — античастицами или наоборот.
431
результат получается непосредственно из соотношений (8.31 ±) и (8.79) х:
->--^SS|Mc повор|1 2 =
4 е v
= 47?2g2 (1 — с cos 0cj cos 6vj — c cos 6eJ + cos 6 VJ). (8.94a)
Распад без переворота спина немного сложнее. Вклад от квадрата век-
торного члена можно получить непосредственно из соотношений (8.19) и (8.77),
от аксиального члена — из соотношения (8.310), но остается вычислить
смешанное произведение. Вычисление тоже можно провести методом следов 2,
что дает следующий результат:
S S I М6ез повор I2 = 2g2 [(1 + -0 COS 6ev) +
4 е v векторная часть
+ 7?2 (1 —с cos 9ev + 2с cos 0CJ cos 6VJ) — 2R (c cosOeJ-|-cos 0vj)L (8.946)
аксиальная часть смешанный член
Теперь надо просуммировать по конечным спиновым состояниям нуклона.
Это достигается простым сложением двух последних формул
S S ( | Мбез повор I2 + I Мс повор |2) =
е vJ
= 2g2 [1 + 37?2 + (1 — Я2) с cos 0ev —
— 2 (R2 + R) v cos 0eJ + 2 (R2 — R) cos 0VJ]. (8.95)
Правая часть этой формулы пропорциональна вероятности перехода и выра-
жает ее зависимость от направлений электрона и нейтрино.
В частном случае 7? = ± 1, 7?2 = 1; в этом интересующем нас случае имеем
8g2 (1 — 1 1 с cos 0е j + 1 cos 0vj j . (8.96)
Теория V + А предсказывает, что нейтрино имеют почти сферически
симметричное распределение, а электроны летят против спина, тогда как
по V — А-теории надо ожидать, что электроны имеют почти сферически
симметричное распределение, а нейтрино летят по направлению спина.
б. Измерение асимметрий в распаде поляризованных нейтронов. В Аргонн-
ской национальной лаборатории была измерена асимметрия испускания
электронов и нейтрино из пучка поляризованных нейтронов. Из формулы
(8.95) легко вычислить результат для обоих относительных знаков вектор-
ного и аксиального членов. Для J, направленного вдоль полярной оси,
получается
1 — 0,07сcos0e-f-cos0v для V — /1-теории, |7?] = 1,15;
1 — ccos9e + 0,07cos9v для V + A-теории, |7?| = 1,15.
Поляризованные нейтроны получались отражением от намагниченных
зеркал (см. гл. 3, § 12в), а электроны регистрировались по совпадениям
1 Напомним, что у4О; = г'у5у; =—Г5у,.
2 Следуя процедуре, гл. 6, § 106, получаем для матричных элементов Mj и М,
двух операторов «А и Q2
S S (Л/*М2) Тг (Q2AIyiQtyiA.F).
I F
В нашем случае, для части с сохранением четности = y4oz = — Г5у3, Q2 = у4 п в сме-
шанном произведении стоят два члена: MJMg+MJMj; часть, сохраняющая четность,
Дает:
Тг[у4д( —Г5у3) р + (—Г5у3) ду4р] = 0.
Часть, нарушающая четность, получается, если вставить Г5 слева от q".
Тг 1Т4 (— Г5) q (— Г6у3) р-[-(— Г5уз) (— Г5) 5у4р] =
= Тг (—у^УзР — Y3QY4P) = — 4 (2?рз+29з£).
(8.97)
432
с протонами отдачи. В первом опыте [10] направление вылета протонов
отдачи не определялось, и был получен такой результат
1 —(0,37 ± 0,11) и cos 0е.
Это не согласуется ни с одной из теорий, хотя, по-видимому, ближе к V + А-
теории. Однако представлялось ясным, что вследствие анизотропии вылета
протонов отдачи возникает асимметрия испускания нейтрино, которая может
повлиять на результаты опыта.
Во втором эксперименте [13] отбирались как направления электронов,
так и направления протонов отдачи, что позволило измерить обе асиммет-
рии — электронов и нейтрино. Опыт дал следующий результат:
1 — 0,09t> cos 0е + 0,88 cos 0V,
находящийся в хорошем согласии с V — Л-теорией.
Справедливость V — A-теории теперь признана повсеместно.
в. Экспериментальные доказательства инвариантности относительно
обращения времени. Для обсуждения возможного нарушения инвариантности
относительно обращения времени надо было бы развить теорию слабых
взаимодействий с комплексными константами связи. Однако, чтобы избе-
жать сложностей формализма, рассмотрим обращение времени с более про-
стых физических позиций.
Физически ясно, что если принять временную инвариантность, то в ве-
роятности перехода не должны содержаться члены, меняющие знак при
изменении направления оси времени х. Поэтому в формулу для вероятности
перехода не могут входить скалярные выражения, например
J-pXq (8.98)
в обычном p-распаде (J — спин ядра), или псевдоскаляры, например
J-(pxk)(J-k) (8.99)
в Ру-корреляции (к — импульс у-кванта), поскольку эти выражения содер-
жат нечетное число сомножителей, меняющих знак при обращении времени.
Из наличия члена, подобного выражению (8.98), вытекает, что в рас-
паде нейтронов, поляризованных вдоль оси z, вероятность перехода для
электронов, летящих вдоль у, и нейтрино, летящих вдоль х, должна отли-
чаться от вероятности для электронов и нейтрино, обменявшихся импульсами.
Это и другие подобные предсказания были проверены на опыте, и ни в рас-
паде нейтрона [14, 26], ни в каком-либо другом опыте не было получено
данных, противоречащих временной инвариантности.
Поэтому принято считать, что слабые взаимодействия
инвариантны относительно обращения времени.
Из общей теоремы теории поля 1 2 [69], согласно которой любая лоренц-
пнвариантная теория взаимодействующих полей должна быть инвариантна
относительно произведения трех операций РТС (пространственная инвер-
сия, обращение времени и зарядовое сопряжение), следует, что слабые
взаимодействия:
инвариантны относительно РТС;
инвариантны относительно Т;
инвариантны относительно PC,
но известно, что слабые взаимодействия
не инвариантны относительно Р и С'в отдельности. (8.101)
(8.100)
1 Этот аргумент справедлив, если взаимодействие, исследуемое на предмет вре-
менной инвариантности, рождает или поглощает частицы в состоянии с определенным
импульсом. Кулоновские искажения конечного состояния вводят поправки порядка Ze2
2 Эта теория (теорема Людерса — Паули) справедлива для локальных взаи-
модействий.
28 Ядерные взаимодействия
433
На языке физики РС-инвариантность означает, что, хотя 0-распад Сое°
не инвариантен относительно отражения (рис. 8.21, а), распад зарядово-
сопряженного Со60 является зеркальным изображением распада Со60(рис. 8.21)
J3 -излучение
преимущественно
вверх
Зеркаль-
ней
Соео
fi -излучение(
преимущественно,.
Т, Зарядово-
сопряженный
зеркальный Со№
J3*- ИЗлуЧдние
Преимущественно
9 вниз
"fi+
5
Рис. 8.21. Распад зеркального Со60 не является зеркальным
изображением распада Со60; но распад зеркального анти-Со60
есть зеркальное изображение распада Со60 («зеркало» перпенди-
кулярно направлению ->).
Таким образом, если электроны распада Со60 лево-поляризованы, то пози-
троны 0+-распада анти-Со60 должны иметь правую поляризацию и испу-
скаться преимущественно вдоль спина.
В. СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ р-МЕЗОНОВ
И л-МЕЗОНОВ
§ 12. РАСПАД р-МЕЗОНА И ИДЕЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО ФЕРМИ-
ВЗАИМОДЕИСТВИЯ
а. Аналогия между 0-распадом мюонов и нуклонов. Из вре-
мени жизни мюона [см. соотношение (7.37)] и из статистиче-
ского анализа его трехчастичного распада [см. соотношение
(5.26)] можно получить первую (грубую) оценку константы связи в распаде
ц-мезона:
ёц ~ Мц —
/ 11 96-160 л*116
\ 2.ч 7 с4т,’
И
~ 3 • 10 49 эрг см2.
(8.102)
Прежде всего поражает тот факт, что результат (с точностью до множи-
теля ~-2) тот же самый, что и для констант связи gv и gA в ядерном 0-распа-
де [см. соотношения (8.23), (8.24) и (8.45)].
Возникает желание предположить, что слабое взаимодействие есть
общее свойство всех фермионов и что константы связи так же, как и прочие
закономерности взаимодействия, во всех случаях одинаковы. Это и есть
идея универсального ферми-взаимодействия, успехи
и ограничения которой обсуждаются ниже.
Начнем с более подробного анализа распада мюона, с тем чтобы провести
более аккуратное сравнение его с распадом нуклонов.
б. Теория распада р-мезона с сохранением четности. Развивая теорию
распада мюона, сохраняющую четность, можно ввести любую линейную
комбинацию из пяти возможных связей: S, V, Т, А и Р; и если допускается
нарушение четности, то необходимо рассмотреть члены с различной четностью.
434
Однако существуют и другие неопределенности. Одна заключается
в возможности или невозможности различить два нейтрино, другая состоит
в выборе порядка, в котором разные фермионы входят во взаимодействие. Этих
возможностей всего шесть, и они иллюстрируются диаграммами рис. 8.22.
Если выбрать один из
шести вариантов взаимодейст-
вия и задаться видом Qx, мож-
но вычислить матричный эле-
мент способом, аналогичным
тому, который применялся для
Р-распада. Главное отличие
в вычислениях заключается
Рис. 8.22. Различные способы связи мюона с элек-
трон-нейтринным полем. Каждая из диаграмм
дает два разных результата в зависимости от того,
считаются нейтрино различными пли нет.
в том, что в мюонной скобке
нельзя использовать нереля-
тивистское приближение, как
это делалось в ядерной скобке.
Матричный элемент зависит от энергии дочерних частиц распада мюона,
и дифференциальная вероятность перехода дается выражением вида
4np2dpe d ,
dw = const —.-.—у,---\ M 2
(2л)л dE0 J 1 1
d3Pv
(2л)3 ’
(8.103)
Если пренебречь массой электрона, то ре меняется в пределах
"ги
'е < Ро — ~~2~ ’
(8.104)
Для случая с сохранением четности вычисления проводились Тиомно
и Уилером [104] и были дополнены Мишелем [77].
В результате была получена такая форма спектра электронов
“ (t)d Ш «[(* -£) 0-^)] (t) • <*•««>
Рис. 8.23. Спектр электронов распада р-ме-
зона. [Michel L. Rev. Mod. Phvs., 29,
227 (1957)].
где p (так называемый параметр
Мишеля) для разных вариантов
теории имеет разные значения.
На рис. 8.23 показан вид спектра
при разных значениях р.
в. V — А -теория. Известно, что
распад нуклона нарушает четность,
и естественно предположить, что
в распаде мюона происходит то
же самое. Говоря более точно,
примем в соответствии с идеей
универсального ферми-взаимодей-
ствия, что слабое взаимодействие
мюона есть V — Л-взаимодействие
с операторами левой спиральности
для всех фермионов [ср. с соотно-
шениями (8.75) и (8.92)] и с
I R I = 1.
Предполагая, что испускае-
мые нейтрино являются частицей
и античастицей, можно написать матричный элемент распада мюона
2 I 2 g (XvYzXh) (XeYxXv) э. с., (8.106)
причем
g = = (8.107)
Поскольку на самом деле существует экспериментальное доказательство
различимости двух нейтрино [см. пункт «г» и § 14д], нет надобности анти-
28* 435
симметрировать выражение (8.106) по двум нейтрино, и все частицы входят
равноправно. Следовательно, порядок множителей в матричном элементе
(8.106) не имеет значения, и V — Л-теорию можно сформулировать однознач-
ным образом. В результате получается вероятность распада (67], которую
приводим здесь без вывода:
w d (?) d (cos Ок°)=
\ Р0 > \ РО '
-V [ (3~2 ± (2 *) »~] (#)!<,(£)"е->' (»•,08)
где 0ео —угол между спином мезона и импульсом электрона, а знаки ±
соответствуют распадам ц±-мезонов.
Интегрируя выражение (8.108) по телесному углу, получаем спектр
g2Pn
Зл3
3 — 2—) ,
Ро / \ Ро / \ Ро )
(8.109)
который соответствует
р = 3/4. (8.110)
Если вместо этого проинтегрировать выражение (8.108) по энергии, получим
угловое распределение
w (0еа) d (cos 0ео) = (1 j- -^-cos 0еа) d (cos 0ео). (8.111)
Член с cos 0ео выражает эффект нарушения четности, асимметрию испу-
скания по отношению к начальному спину. Естественно ожидать, что испу-
скаемые нейтрино и электроны продольно-
Рис 8 24. Запрещенная схема
распада если оба нейтрино оди-
наковы.
поляризованы: электрон имеет почти пол-
ную поляризацию, потому что v т с.
Наконец, интегрируя выражение (8.111)
по телесному углу, получаем полную веро-
ятность перехода
1
1
<
(
<
и
I
k
а
k
с
(
с
т
Е
о
Е
В
б
В
т
л
с
в
I g2pii _ g2mti / g2pij \
т 6л.3 192л3 \ 6л3Л7с6 )
(8.112)
г. Сравнение с опытом. Начнем с экспериментального доказательства
различимости двух нейтрино в распаде р-мезона. Если бы два нейтрино
были неразличимы, они подчинялись принципу Паули и не могли испускать-
ся в одинаковых состояниях: не могла бы осуществляться возможность
распада, показанная на рис. 8.24 (электрон испускается вперед с половиной
всей энергии, а тождественные нейтрино — назад).
Можно показать более общим путем, что, если нейтрино тождественны,
электрон никогда не может унести половину всей энергии распада.
Поскольку в распаде мюонов часто находят электроны с энергией р/2,
можно сделать вывод, что два нейтрино не тождественны.
Прежде всего приходит мысль, что одно из них — нейтрино, а другое —
антинейтрино; в соответствии с такой схемой распада
р* —> е± v + V.
(8.113)
Тогда оба нейтрино должны иметь противоположную спиральность,
а спин электрона из высокоэнергетического конца спектра должен иметь
то же направление, что и спин мюона. Принимая сохранение лептонов,
приходим на основании схемы (8.113) к заключению, что р~ —лептон, как
и е_, а |г+ — антилептон, как и е+.
Хотя опыт действительно показал, что два нейтрино имеют противо-
положную спиральность 1. схема (8.113) и вытекающая из нее аргументация
•т
р
й
л
п
р
р
ч
п
и
[I
с
и
т
т
и
м
1 Это следует из измерения спиральности мюонов от распада л-мезонов (см. § 17а)
и из изучения асимметрии и поляризации электронов от распада р-мезонов.
436
I
Рис. 8.25. Спины и асимметрии
в распадах пионов и мюонов. При
построении принято, что существуют
нейтрино только одного сорта со
своими античастицами, однако спи-
ральности и асимметрии согласуют-
ся с действительно наблюдаемыми.
распада можно измерить, если
не имеют смысла; теперь установлено (см. § 14д), что два нейтрино различны,
не являясь частицей и античастицей.
Перейдем к определению константы связи, которое теперь может быть
сделано более точно, чем по статистической теории. Множитель в выражении
(8.105), содержащий р, при интегрировании исчезает, поэтому соотношение
между константой связи и временем жизни мюона не зависит от формы
спектра. Из выражения (8.112) и из последних экспериментальных данных
поправок
g (1,428 ± 0,002)-10“48 эрг-см3, (8.114а)
а вводя радиационные поправки [66]
g -- (1,431 ± 0,002)-10“49 эрг-см3. (8.1146)
Можно видеть, что предположение
(8.106) находится в хорошем согласии
с опытом. Разница между значением
(8.1146) и одним из значений gv, приве-
денным в выражении (8.24), составляет
около 1%. Хотя указанная эксперимен-
тальная погрешность меньше 1 %, не
исключено, что расхождение целиком
объясняется ошибками из-за опущений
или допущений в теоретических поправ-
ках *.
Форма спектра в распаде ц-мезонов
была объектом многочисленных исследо-
ваний. В опыте значение р определить
трудно, и в течение ряда лет публикова-
лись разные результаты. Приведем только
самые последние и, по-видимому, наиболее
надежные данные [25, 84, 89, 98]:
р 0,65 ±0,05,
р = 0,79 ± 0,03.
Видно, что форма спектра Р-распада
также хорошо согласуется с V —Л-тео-
рией, предсказывающей р = 3/4.
Асимметрию в испускании электронов
использовать то преимущество, что распад л-мезонов дает пучки продольно-
поляризованных ц-мезонов (рис. 8.25). Недавние и очень трудные опыты
показали, что ц+-мезоны от распада покоящихся л+-мезонов — лево-поля-
ризованы, а р, “-мезоны от распада л" — право-поляризованы 1 2. Эта поля-
ризация сохраняется в процессе торможения ц-мезонов, что позволяет полу-
чить поляризованный источник из покоящихся ц-мезонов.
Теперь можно измерить асимметрию относительно направления спина,
передвигая счетчики электронов вокруг источника, или же, что проще
и корректнее, вращая спин мюона наложением внешнего магнитного поля
[51]. Находим, что позитроны от распада р+-мезона испускаются преимуще-
ственно навстречу направлению пучка мюонов, следовательно, параллельно
их спину, как это предсказывает V—A-теория. Эмиссия отрицательных элек-
тронов тоже происходит преимущественно навстречу пучку мюонов, но
теперь это соответствует испусканию мюонов антипараллельно спину, как
и должно быть.
Говоря более количественно, находим, что абсолютное значение пара-
метра X тоже близко к 1/3, как это предсказывается V—А-теорией [15, 72].
1 См. дискуссию о влиянии формфакторов в § 12в и 16д.
2 Описание этой работы см. в § 17.
437
Левая спиральность электрона и правая спиральность позитрона от
распада ц,-мезона были подтверждены также наблюдением пропускания их
тормозного излучения через намагниченное железо [28].
В заключение можно сказать, что идея универсального ферми-взаимо-
действия оказалась очень плодотворной при сравнении главных черт (3-распа-
да нуклонов и р-мезонов. В дальнейшем придется встретиться с трудностями
и ограничениями этой идеи.
§ 13. ЗАХВАТ МЕЗОНОВ ЯДРАМИ
а. Формулировка упрощенного ферми-взаимодействия. В соот-
ветствии с идеей универсального ферми-взаимодействия
должна существовать слабая связь между нуклонами и p-v-
полем. Разность масс нейтрона и протона слишком мала, чтобы мог про-
исходить р-распад нуклонов, но явление нуклонного р захвата, аналогич-
ного электронному
Zf-захвату, энергетически возможно и
на опыте. В элементарном виде
записать так:
наблюдалось
его можно
Рис. 8.26. Треугольник
Пуппи для слабых взаимо-
действий между нуклонами
и лептонами.
(8.115)
Слабое взаимодействие между
нуклонами
и лептонами можно графически изобразить с по-
мощью «треугольника Пуппи» (рис. 8.26). В этом
предварительном рассмотрении пренебрежем,
простоты ради, фактом отличия | R | от единицы
в ядерном Р-распаде и примем, в согласии с прин-
ципом универсального ферми-взаимодействия,
что р-захватное взаимодействие имеет ту же
форму (V — А) и такую же константу связи,
что и Р-распад мюона.
Ниже производится сравнение следствий этого
предположения с опытом.
б. Захват мюонов сложными ядрами. Элементарную реакцию (8.115)
наблюдать трудно из-за того, что мюоны в подавляющем большинстве вместо
захвата попадают на водородные А'-орбиты. В данный момент ограничим
обсуждение захватом мюонов в сложных ядрах; захват в водороде рассматри-
вается в пункте «д» настоящего параграфа.
После того как отрицательный мюон попал на атомную ТГ-оболочку,
он распадается или претерпевает захват. Среднее время его жизни дается
выражением
(8.116)
(8.117)
1
— = +wc,
тк
где wd и wc — вероятности распада и захвата. С другой стороны, число
электронов распада на каждый мюон равно
Ne wd
Таким образом из выражения тк и Ne/N^ можно получить как wd, так
и wc.
Вероятность распада wd отличается от вероятности распада свободного
мюона. Этому есть ряд причин: имеющаяся в распоряжении энергия (энергия
связи p-мезона в РЬ порядка 10 Мэв, а вероятность распада пропорциональна
пятой степени высвобождающейся энергии), наличие кулоновского поля
и релятивистские поправки, возникающие из-за орбитальной скорости мюо-
на. Не будем подробно излагать измерения wd [16, 71, 118], поскольку интер-
претация результатов использует хорошо известные взаимодействия и не
вызывает затруднений [54].
438
Измерения wc на ряде элементов от Be до U были опубликованы Сен-
сом [93] (в этой работе есть ссылки на ранние работы); позднее точные данные
были получены в Ливерпуле [3, 8] и в Технологическом институте Карнеги.
Простейшая теоретическая оценка вероятности захвата получается, если
использовать модель атома с точечным ядром и предположить, что все про-
тоны в равной степени участвуют в захвате мюона. В этом случае надо ожи-
дать, что wc ~ Z4, поскольку плотность волновой функции мюонов в ядре
пропорциональна Z3, а число протонов ядра равно Z.
Однако известно (см. гл. 2, § 6в), что размером ядра по сравнению с пер-
вой боровской орбитой мюона пренебрегать нельзя; лучшая оценка вероятно-
сти ц-захвата получается, если при вычислении мюонной волновой функции
и вероятности обнаружения мюона внутри ядра принять в расчет конечный
радиус ядра [109].
Удовлетворительная теория ц-захвата требует, чтобы матричный эле-
мент ядерного перехода был точно известен. Прежде всего из сохранения
энергии и импульса ясно, что нейтрино уносит большую часть освобождаю-
щейся энергии. На концах следов ц-мезонов редко попадаются звезды с види-
мыми лучами: остающаяся в ядре после захвата энергия часто недостаточна
для его разрушения, самое большее, она может вызвать испускание несколь-
ких нейтронов.
При столь малых энергиях возбуждения важную роль играет принцип
Паули, и в захвате могут участвовать только те протоны, которые достаточно
близки к «поверхности Ферми».
Обсуждение данных по тяжелым элементам обязательно должно исполь-
зовать приближенные модели ядра. В результате такого анализа Лейте-
Лопец [70] нашел, что опытные данные согласуются с величиной константы
связи для захвата g = 1,5 X 10"4® эрг-см5. Сравнение этого результата
с константами связи для распадов нуклона и мюона служит убедительным
доводом в пользу идеи универсального ферми-взаимодействия.
К аналогичным заключениям можно прийти [99, 108], сравнивая опытные
данные с теоретической формулой Примакова [86].
в. Универсальное ферми-взаимодействие и сильные взаимодействия.
Ядра, возникающие после захвата мюонов в тяжелых элементах, имеют
разные возбужденные состояния и могут распадаться с испусканием тяжелых
частиц. Конечное состояние имеет много квантовых чисел, поэтому трудно
делать детальные заключения о природе взаимодействия.
В новых опытах по захвату на легких элементах производится отбор
конечных состояний ядер, и результаты этих опытов поддаются более точной
интерпретации. При обсуждении этих результатов уже недостаточно предпо-
ложения о простой V—А -связи, и приходится учитывать влияние сложной
структуры нуклонов.
Поскольку нуклоны не являются точечными частицами, а окружены
пионами, которые в свою очередь слабо распадаются на лептоны, можно
ожидать, что константы слабого взаимодействия для нуклонов зависят от
переданного импульса q. Из-за малости энергии ядерного Р-распада надо
считать, что ранее определенные величины gv и gA действительны только
при q2 = 0; в ц-захвате они могут возрасти на несколько процентов.
Если в согласии с идеей сохранения слабого тока предположить, что
формфактор gv такой же, как и зарядовый (электрический) формфактор
нуклона (см. гл. 3, § 14), то получим 1
g^-=0,97g<₽). (8.118)
Сравнение аксиальных констант связи нельзя провести столь прямо-
линейно, хотя можно ожидать, что gA> и gA} очень близки друг к другу;
в литературе можно встретить соотношение = 0,999
1 Подробный вывод формул (8.118) и (8.122) приводится в работе [43].
439
г
При написании матричного элемента экспоненту ехр (—zpv-r) заменять
единицей нельзя, поскольку длина волны нейтрино, испускаемого в p-захва-
те, сравнима с комптоновской длиной волны пиона.
Кроме того, нельзя полностью пренебречь скоростью нейтрона отдачи,
и чтобы учесть поправки в первом порядке по скорости, векторная константа
связи должна быть заменена эффективной константой (стр. 597)
Gv = g^(H-^) . (8Л19)
магнетизма
Рис. 8.27. Распад л-мезоиа
через промежуточную нуклон-
антинуклонную пару.
Из § 6 можно видеть, что в аксиальном взаимодействии нет вклада
первого порядка от отдачи. Однако сюда необходимо включить эффекты
6в), которые имеют тот же порядок величины.
Если и ц„ — магнитные моменты нуклонов
(полные), то получаем эффективную аксиальную
константу
Ga = g£> - g£° (Нр - Ип) (8.120)
В приближении того же порядка необходимо
также рассмотреть псевдоскалярные члены
трех типов: малые релятивистские члены
в аксиально-векторном взаимодействии (см.
§ 6), слабый магнетизм (см. § 16в) и «прямое»
псевдоскалярное взаимодействие. Эффективная
псевдоскалярная константа равна
GP = [g£>- g^> (Ир - Hn) + g£>] • (8.121)
«Прямая» псевдоскалярная константа gpJ возникает от слабого взаимодей-
ствия облака пионов, окружающего нуклон, и она вычисляется в пункте
«г» этого параграфа.
С использованием этих эффективных констант ядерная скобка матрично-
го элемента p-захвата на протоне принимает вид
М = Gv + GA (O|* Ор> — GP ((<ти - pv) (Op - pv)). (8.122)
г. Псевдоскалярное взаимодействие. Можно показать, как сильное
взаимодействие нуклонов с пионами приводит к псевдоскалярному слабому
взаимодействию нуклонов, которое в p-распаде пренебрежимо мало, но
может влиять на р-захват [70].
Начнем с анализа процесса распада л~-мезона (см. гл. 7, § 36), который
идет через промежуточное рождение нуклон-антинуклонных пар (рис. 8.27).
В описывающей этот процесс вершине, которая на рис. 8.28 заменена для про-
стоты точечным взаимодействием, векторный индекс обычной лептонной
скобки насыщается векторным индексом импульса пиона. Меняя направле-
ние импульсов на обратное, заключаем, что не существует никакого другого
возможного вида взаимодействия.
Если ввести подходящую константу связи gnil, множитель в вершине
принимает вид 1
z'?LP".^(XaY5Yav) = ig«n(bY5-^L-Xv) I (8.123)
если пионы покоятся, то он просто равен g-^ (XaTsTiXv)-
1 Поскольку Г5.-\; = — Аг, оператор у3 можно опустить — это не меняет резуль-
тата.
440
Вероятность перехода можно вычислить по обычным правилам и полу-
чаем
2 л,
"»л т-п и v
-PuSS j/-2-gn!l(bY5Y4Xv)
2
-А- Рцйц [1 + cos (180°)] = g^ (1 - гц).
л
(8.124)
Физическое объяснение появления
ствен за подавление л — е-распада,
Вводя статистический и кине-
матический множители, вычислен-
ные по соотношениям (5.16)
и (8.155), а также используя
экспериментальное значение
(см. гл. 7, § 36), можно опреде-
лить величину константы х, кото-
рая равна
g^=2,lUxlO-L (8.125)
Теперь можно продолжить
вывод величины индуцированного
слабого псевдоскалярного взаимо
действия на основании диаграммы
рис. 8.28. Сразу получаем матрич-
ный элемент
множителя 1 — Гц, который ответ-
приводится в § 176.
М---ёяц (XvY5 Хц I 2,____„2 z
\ тп / рп тл
]/4л
/ рр Г2(ш;гу5шр). (8.126)
Для ц-захвата на протоне
передаваемый импульс ря ~
«(рг, 0,05тл)«(0,95тц pv, 0,05тц).
Из рассмотрения гл. 7, § 6д
нуклонная скобка может быть
написана в виде (ap-pv)pv/2M
и лептонная скобка принимает
вид — (ou-pv) 0,95тц/тя.
Отсюда вместо соотношения
(8.126) получаем
Рис. 8.28. Графики Фейнмана для л — р-рас-
пада (с) и для индуцированного пионом псев-
доскалярного p-захвата (б); = 2,1 Х10-7
и Грр 15.
М = К 8л gnllfPP ’ ц (<гц. pv) >
"‘"Л
>: те^(0,95тц)2
Если сравнить это с «прямым» псевдоскалярным матричным элементом,
описываемым соотношениями (8.121) и (8.122)
М = (<VPv) >
то получим
(Ш- °’95mn V8я ЯщЛрр
m2 -|-(0,95?пп)2
(8.127)
1 Неоднозначность в знаке устраняется, если считать, что л-распад происходит
через образование промежуточной нуклон-антинуклонной пары [112].
441
Чтобы вычислить величину gW в эрг-см3, надо умножить правую часть
выражения (8.127) на hs/c. Затем, используя численные значения выраже-
ний (8.125), (7.89), (8.23) и (8.72), получаем
g^=—12,5 X Ю’49 эрг-см3 = — 8,8gv = 7,7gA. (8.128)
Часто этот результат пишут в виде
= 8g А.
В p-распаде индуцированный псевдоскаляр мал из-за малости массы
электрона.
д. Сравнение с экспериментом. Обсудим теперь результаты измерений
вероятности ц-захвата, когда начальное и конечное состояния ядра известны.
Простейшим из этих опытов, по крайней мере в принципе, является
ц-захват на протонах согласно соотношению (8.115).
Вероятность ^.-захвата в жидком водороде измерялась в пузырьковой
камере [61, 201 и со счетчиками [21, 92]: в обоих случаях метод состоял
в наблюдении нейтронов отдачи с энергией 5,2 Мэв, на совпадениях с оста-
навливающимся мезоном.
Опыт надо было производить в исключительно чистом водороде, потому
что атом мезоводорода (небольшая нейтральная частица) диффундирует
в веществе наподобие нейтрона и легко может потерять свой мюон, передавая
его ядрам примеси. Но даже в чистом водороде дело обстоит не просто, так
как там образуются мюонные молекулы (р, р, ц, е). Не входя в детальное
обсуждение этих эффектов, приведем экспериментальные результаты:
iv = (435 ± 100) сек'1 [61);
w — (450 ± 50) сек"1 [91];
w = (464 ± 42) сек-1 [92],
где IV — вероятность захвата в молекулах ррре жидкого водорода.
Эти результаты можно сравнивать с теоретическим значением, вычислен-
ным по формулам (8.122) и (8.128):
w = (562 ± 60) сек"1 [21].
Среди опытов со сложными ядрами проще всего для интерпретации
опыты по захвату в Не3 и С14, в результате которых получаются Н3 и В12
в основном состоянии. Интерпретация упрощается в связи с тем, что Н3
и В12 превращаются снова в Не3 и С12 путем ^-перехода через те же ядер-
ные состояния, что и в ц-захвате; сравнение вероятностей 0- и ц-переходов
теоретически представляет значительно более простую задачу, чем расчет
каждой из них в отдельности.
Экспериментальные данные по захвату в Не3 очень точны. После опытов
в диффузионной камере, содержащей Не3 [45,119], были выполнены измерения
на Не3 со сцинтилляционными счетчиками ([9], Беркли; [38], Карнеги).
В этих опытах измерялась энергия отдачи конечного ядра трития, чтобы
удостовериться, что оно образовалось в связанном (основном) состоянии.
Результаты таковы:
w = (1410 ± 140) сек"1 [45];
iv = (1520 ± 50) сект1 [9];
iv = (1440 ±90) сек"1 [38],
и находятся в согласии с теоретическим предсказанием
ш = (1540 ±80) сек"1 [115].
Что касается С12, результаты различных групп не согласуются пол-
ностью между собой. Последний результат для, вероятности} перехода
442
С12 -j- |i -> В12 (основное состояние) -j- v
w = (6,31 + 0,24) X 10s сек-1 [79]
согласуется с соотношением = 8gА.
Наконец, были получены данные по захвату в О16 с образованием N16
в определенных состояниях, которые идентифицировались путем регистра-
ции ядерного у-излучения, сопровождающего захват. Но обсуждать в данной
книге эту работу было бы, по-видимому, преждевременно.
В этой связи интересны также результаты исследования асимметрии
нейтронов, испущенных после захвата поляризованных мюонов.
Из простого V — Л-варианта взаимодействия в «разрешенном прибли-
жении» следует, что не должно наблюдаться никакой асимметрии. Матричный
элемент перехода из соотношения (8.76) с R = — 1 содержит оператор
1 — Орвц, действующий на нерелятивистские состояния мюона и протона.
Вспоминая, что собственные значения операторов <гР<тц для триплетного
и синглетного состояний равны соответственно 1 и —3 [см. соотношение
(1.82)], видим, что захват происходит только из синглетного состояния мезо-
водорода.
Так как захват свободными протонами происходит в сферически сим-
метричном 15-состоянии, испускание нейтрино и нейтрона отдачи должно
быть изотропным, даже если захваченные мюоны были поляризованы.
Хотя полная теория и предсказывает наличие некоторой асимметрии,
опыты по захвату в сере и магнии [5, 106] показали, что асимметрия
больше ожидаемой; чтобы объяснить наблюдавшуюся величину, константа
псевдоскалярного взаимодействия должна была бы быть больше, чем 8gА.
На основании зависимости вероятности захвата в водороде от спина
нужно ожидать, что для более тяжелых элементов разные уровни сверхтон-
кой структуры должны иметь различные вероятности захвата и, следователь-
но, различные времена жизни. Эти эффекты тоже подвергались теоретиче-
скому и экспериментальному исследованию [12, 107].
Можно сделать вывод, что вопрос о слабом взаимодействии между нукло-
нами и мюонами остается по-прежнему открытым. Хотя опыты по захвату
в Не3 (самые точные из всех) согласуются с теорией, вероятность захвата
в водороде и асимметрия нейтронов, испускаемых тяжелыми элементами,
требуют большей псевдоскалярной константы связи, чем это предсказывается
теорией.
§ 14. ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ РАСПАДА II ЗАХВАТА ц-МЕЗОНОВ.
ОТКРЫТИЕ ДВУХ ТИПОВ НЕЙТРИНО
а. Законы сохранения для универсального ферми-взаимо-
действия. Область применимости универсального ферми-
взаимодействия ограничивается правилами отбора, которые
во многих случаях запрещают это взаимодействие. Некоторые правила отбо-
ра соответствуют уже знакомым нам законам сохранения: инвариантности
относительно вращений и трансляций, инвариантности относительно Т и РС,
сохранению заряда; но приходится ввести и новые: в литературе последнего
времени можно встретить много спекулятивных рассуждений относительно
их смысла.
Если бы слабые взаимодействия связывали одну пару фермионов с любой
другой парой фермионов одинаковым образом, то протон мог бы распадаться
на позитрон и два нейтрино, нейтрон — на пару электронов и нейтрино,
а мюон — на три электрона. Известно, что ни, одно из этих событий не про-
исходит в действительности.
Первое из этих новых правил отбора — закон сохранения
нуклонов, являющийся частным случаем закона сохране-
ния барионов. Если определить барионы как сильно взаимодей-
ствующие фермионы (нуклоны — наиболее легкие из них), то закон сохра-
нения барионов гласит: полное число барионов минус
443
г
полное число антибарионов должно быть кон-
стантой.
Было бы соблазнительно связать сохранение барионов с сохранением
мезонного заряда наподобие того, как стабильность электрона можно свя-
зать с сохранением электрического заряда. Это, однако, невозможно, так
как уравнение неразрывности, подобное закону сохранения электрического
заряда, Эц/ц = 0, может быть написано только для источников векторного
поля без массы, так что сохранение барионов следует принять как опытный
факт (и очень благоприятный) г.
Другое ограничение на число возможных слабых связей накладывается
постулируемым законом сохранения лептонов, который был
сформулирован в § 1а.
б. Две запрещенные слабые реакции. Чтобы запретить распад мюона
на три электрона
ц± —» е± ф- е+ е~ (8.129)
или безнейтринную конверсию ц в е" вблизи ядра
+ N —> е~ 4- N, (8.130)
требуется новое и независимое правило отбора, потому что эти реакции
могут идти без нарушения всех указанных выше законов сохранения.
Трехэлектронный распад мюона искали в опыте в пузырьковой камере
[73], где это событие легко распознать. Надо только иметь в виду, что за
трехэлектронный распад можно принять радиационную поправку к обычному
ц-распаду: испускание трех электронов, два из которых рождаются проме-
жуточным виртуальным у-квантом
ц+—>е+-(-т4-^ + (у)
Le- + e+> (8.131)
отличается от прямого испускания трех электронов [см. выражение (8.129)]
тем, что они не уносят всей энергии распада ц-мезона и не обладают в сово-
купности нулевым импульсом.
Из полного числа 2,2-105 р+-мезонов, остановившихся в камере, наблю-
далось только три трехэлектронные звезды, но ни одна из них не принадле-
жала реакции (8.129). Поэтому можно сделать заключение [87], что
отношение И е +е 5 ~ 101. (8.132)
р+ —>-e+-|-v-|-v
Возможная конверсия мюонов в электроны по реакции (8.130) изучалась
также недавно в опыте с искровой камерой [31]. Результат такой, что в меди
отношение l 'v З-Ю"7. (8.133)
I все pi ' 7
Отсюда приходим к выводу, что реакции (8.129) и (8.130), мягко выра-
жаясь, маловероятны, и есть соблазн связать этот факт с существованием
некоего нового правила отбора.
в. Гипотеза промежуточного бозона. Было замечено [41, 96, 97], что
отсутствие реакций (8.129) и (8.130) можно объяснить, если слабые взаимодей-
ствия осуществляются через заряженную частицу. Эта гипоте-
тическая частица получила название промежуточный бозон (Weacon). Если
бы существовал промежуточный бозон, слабая связь между фермионами
стала бы похожа на электромагнитное взаимодействие '(рис. 8.29), и это
делает особенно привлекательной идею промежуточного поля.
Гипотетический промежуточный бозон должен был бы обладать следую-
щими свойствами:
Закон сохранения можно написать [102] для источника векторных мезонов
с нулевой «голой» массой, даже если их «физическая» масса конечна, так что сохранение
барионов может быть связано с существованием р- и w-мезонов.
444
1) спином, равным 1, и неопределенной четностью — чтобы обусловить
V—А -вариант взаимодействия;
2) положительным или отрицательным (но не нулевым) зарядом;
3) массой, большей массы А'-мезона (~500 Мэв), чтобы объяснить ста-
бильность этой частицы относительно распада К± -+ W± + у.
При условии mw > тк обе диаграммы рис. 8.29 дают для всех инте-
ресующих нас реакций одни и те же результаты. Матричный элемент на
диаграмме б содержит добавочный мно-
житель — пропагатор (k\V — тм)~\
где Кц- — четырехмерный импульс,
переданный от одной пары фермионов
к другой. Поэтому, пока k\V < mfr,
этот множитель практически постоянен,
и эффекты «нелокальности» взаимодей-
ствия пренебрежимо малы. В ядерном
Р-распаде kw» 1 Мэв, поэтому про-
пагатор почти константа. Несколько
больших эффектов надо ожидать в рас-
паде р-мезона, где kw 100 Мэв.
Находим, например, [68, 74], что па-
раметр Мипгеля р становится равным
|~ + у (тц/тиО2, однако отличие от 3/4
Рис. 8.29. Прямая слабая связь (с)
и слабая связь через промежуточный
бозон И7 (б).
все еще слишком мало, чтобы его
можно было заметить с помощью современной экспериментальной техники.
г. Поиски промежуточного бозона. Поскольку промежуточный бозон
предполагается заряженным, он взаимодействует с электромагнитным полем
Рис. 8.30. Диаграммы, описывающие распад р. -> е + у через
промежуточный бозон и нейтрино.
и поэтому для поисков его возможного существования можно использовать
его радиационные свойства. В самом деле, было найдено [40], что существо-
вание промежуточного бозона должно сказаться в появлении радиационного
распада мюона
р±—>е±-|-у (8.134)
в соответствии с диаграммами рис. 8.30 [42].
Незнание свойств промежуточного бозона не позволяет нам вычислить
вероятность реакции (8.134) т. Можно заставить исчезнуть эту вероятность
выбором определенной комбинации магнитного и квадрупольного моментов;
можно ожидать, что реакция (8.134) содержит от 10-3 до 10-6 всех распадов
ц-мезона.
Вопрос исследовался экспериментально несколькими группами [19]
и разными способами. Результат всегда был отрицательным, и на основании
1 Реакция (8.134) не может протекать через обычное электромагнитное взаимо-
действие (см. [92]).
445
последних данных можно сказать, что
отношение ~*~е 10 7. (8.135)
|1+ —> е++ т + v
По-видимому, промежуточный бозон или не существует, или он очень
тяжел, или же, наконец, к несчастью, существует некоторое вычитание в его
радиационных свойствах г.
д. Открытие двух разных нейтрино. Отсутствие реакций (8.129) и (8.130)
можно объяснить, если принять, что существуют два разных типа нейтрино
[64]: ve и т’ц, каждый со своей собственной античастицей, и что
сохранение мюонных лентонов, пли лептонов, состоящих из мюона
п мюонного нейтрино (р и v|L) и сохранение электронных лепто-
нов, или эптонов, состоящих пз электрона и электронного (8 1361
нейтрино (ей ре)—это два закона, каждый из которых в отдельности '
обязан выполняться. Мы имеем закон сохранения в каждой вершине тре-
угольника Пуппи.
Электронное и мюонное нейтрино отличаются друг от друга некоторой
внутренней степенью свободы, вероятно, той же самой, что описывает разни-
цу между электроном и мюоном.
Идея двух нейтрино объясняет все факты и согласуется с гипотезой
промежуточного бозона, поскольку она должна препятствовать радиацион-
ному распаду мюона по диаграммам рис. 8.30. Эту идею, однако, нельзя
было окончательно принять, пока различие двух нейтрино не было установле-
но независимо на опыте.
Опытная проверка [74, 85, 100] идеи двух нейтрино была недавно прове-
дена в Брукхейвене на ускорителе высокой энергии (30 Гэв). В опыте исполь-
зовались нейтрино высокой энергии (несколько Гэв) от распада л-мезонов.
Если справедливо равенство (8.136), то это должны быть мюонные нейтрино.
Когда они взаимодействуют с веществом (сечение возрастает при очень боль-
ших энергиях), можно ожидать рождения мюонов
Vn + TV-^-m-TV, (8.137а)
но не электронов
'Vn + TVy^e + TV. (8.1376)
Если же, напротив, равенство (8.136) не выполняется, то должны
рождаться как электроны, так и мюоны, причем электроны чаще, так как
фазовый объем больше.
Данные опыта [36] показывают, что нейтрино из распада л-мезонов
рождают одни только мюоны, поэтому электронное и мюонное нейтрино
существенно различны.
На опыте пучок нейтрино генерировался в распадах л-мезонов на лету;
л-мезоны в свою очередь рождались протонами с энергией 15 Гэв, падающими
на бериллиевую мишень. После того как все другие частицы были отфильтро-
ваны из пучка железным экраном толщиной 13,5 м 2, в 10-тонной алюминие-
вой искровой камере наблюдались нейтринные взаимодействия; 29 однолуче-
вых событий, удовлетворяющих заданным геометрическим и энергетическим
критериям, были идентифицированы как ц-мезоны, что и ожидалось, исходя
из взаимодействия мюонных нейтрино. Чтобы убедиться, что остальные
события не могли быть электронами, порожденными нейтрино, были продела-
ны соответствующие эксперименты.
1 В периодической печати появилось предварительное сообщение о возможном
обнаружении промежуточного бозона [103].
2 1,35-103 см-7,8 г/см3 101 2 г/см3. Для сравнения скажем, что сторона осно-
вания пирамиды Хеопса, построенной 100 000 рабочими, которые работали несколько
десятилетий, составляет 2.3-104 с.и-3 г/см3 я- 7-Ю4 г/c.w2. Важно подчеркнуть согла-
сие по порядку величины, которое, однако, недостаточно, чтобы делать количественные
выводы.
446
§ 15. О РАЗЛИЧИИ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОННЫМИ И МЮОННЫМИ
НЕЙТРИНО
[а. Магнитный момент и гиромагнитное отношение мюона.
Соответствует ли различие между электронными и мюон-
ными нейтрино какому-либо осязаемому различию в их струк-
туре или в их взаимодействиях, которое могло бы объяснить правила от-
бора и разность масс электрона и мюона?
Чтобы ответить на этот вопрос, интересно узнать сначала, есть ли у мюо-
на аномальный магнитный момент.
Если мюон является дираковской частицей без всяких аномалий, то
надо ожидать, что его гиромагнитное отношение с включением квантовых
электродинамических поправок равно *:
gTeop = 2 (1 + “ +-f-g- + ...) =2x1,00116. (8.138)
\ и J L /
Аккуратное измерение частоты прецессии мюонов в магнитном поле
[53] дало результат, согласующийся с соотношением (8.138) и с ранее изме-
ренным значением массы мюона.
С другой стороны, величина g была измерена способом, не зависящим
от массы мюона, которую теперь можно вычислить из сравнения результатов
этих опытов.
Легко видеть, что если бы g было в точности равно 2, то частота обраще-
ния мюона по траектории в магнитном поле была бы равна частоте прецессии
спина. Поэтому если пучок мюонов вошел в магнитное поле продольно-
поляризованным в направлении движения, то он и вышел бы из него про-
дольно-поляризованным, какой бы длинной и запутанной ни была его траек-
тория. Любое отклонение от такого поведения можно использовать для
измерения разности g — 2.
В эксперименте в ЦЕРНе [29, 30] мюоны «сохранялись» в магните более
чем на 1500 оборотов. Из измерения различия продольной поляризации на
входе и выходе магнита (которая определялась по асимметрии распада)
получается gsKcn = 2 х (1,001145 ± 0,000022). (8.139)
Согласие с обыкновенной теорией Дирака производит глубокое впечат-
ление. Этот эксперимент не обнаружил никакого «осязаемого» различия
между мюонами и электронами.
б. Открытие мюония и его сверхтонкое расщепление. Мюоний является
нейтральной атомной системой, состоящей из электрона и мюона; обычно
это отрицательный электрон, связанный с положительным мюоном. Его
основное состояние может иметь два разных значения J, а именно 0 и 1.
Можно вычислить ожидаемую величину магнитного момента мюония
в триплетном состоянии: она обусловлена в основном электроном и много
больше величины магнитного момента свободного мюона. Таким образом,
присутствие мюония можно обнаружить по его характеристической частоте
прецессии в магнитном поле, сильно отличающейся от частоты свободного
мюона. В свою очередь, прецессия мюония обнаруживается по прецессии
асимметричной картины испускания элект-
ронов [л-распада.
1 Может показаться удивительным, что тео-
ретическое гиромагнитное отношение мюона вооб-
ще отличается от такого же отношения для элек-
трона. Различие (в члене с а2, который является
членом пятого порядка в магнитном моменте) возни-
кает при сравнении диаграмм пятого порядка а и б.
Эффект поляризации электронного вакуума в элек-
тромагнитном взаимодействии электронов а и эф-
фект поляризации мюонного вакуума в электромаг-
нитном взаимодействии мюонов дают одинаковый вклад в поправки к гиромагнитному отно-
шению обеих частиц. Но для мюона существует еще вклад поляризации электронного ваку-
ума [83, 94], тогда как поляризацией мюонного вакуума для электронов можно пренебречь.
447
Именно этим путем Юз и его сотрудники смогли впервые показать, что
в аргоне высокого давления может образовываться мюоний, и точно изме-
рить частоту прецессии мюония [59. 1201. Они получили из опытных данных,
что сверхтонкое расщепление его основного состояния равно
Av8Kcn = 4461,3 ± 2,2 Мгц, (8.140)
что можно сравнить с теоретическим значением
ЛттеОр -4463,13 ± 0,10 Мгц, (8.141)
так что мюон по отношению к связи с электронами ведет себя вполне
нормально.
в. Возможная аннигиляция мюония. Очевидно, мюон в мюонии может
распадаться со своим характерным временем на электрон и два нейтрино.
Необходимо выяснить, может ли мюоний, как и позитроний, аннигилировать
в два у-кванта.
Заметим, что электромагнитная аннигиляция мюония не нарушает ни
один из обычных законов сохранения, но она запрещена отдельным сохра-
нением эптонов и ментонов.
На опыте было обнаружено, что двухфотонная аннигиляция электронов
и мюонов но имеет места. Измерение совпадений под углом 180° в медной
мишени, в которой останавливались положительные мюоны [117], дало
следующий нижний предел для среднего времени жизни по отношению
к аннигиляции:
1
т(ц+ + е —» у + у) > сек. (8.142)
Это можно сравнить с временем жизни позитрония в Си, которое ~10-9 сек!
Отсутствие аннигиляции мюония, несмотря на то что в отдельности
электрон и мюон ведут себя как обычные дираковские частицы, служит
дополнительным аргументом в пользу глубокого различия между электро-
нами и мюонами.
§ 16. СЛАБЫП ТОК И ЕГО СОХРАНЕНИЕ
а. Слабый ток и слабые взаимодействия. Слабые взаимодей-
ствия между нуклонами и лептонами можно просто описать
как взаимодействие нарушающего четность слабого тока
с самим собой [41].
Если принять во внимание существование двух разных нейтрино, то
слабый ток <7 может быть записан в виде суммы трех членов, соответственно
для нуклонов, электронных и мюонных лептонов
Зу. = 3V + 3^ + УА (8.143)
где _
= )/4 ФЛЧ (1 -1 7? | Г6) Г2 ХрУГХп;
Jxe) j/y —Г5)фе- 12Хуеуае; (8.144)
Зкп) = j/y Ф'дУх С1 “ rs) 'Фи = 1^2 XvmYzXb
[частицы е и ц имеют отрицательные знаки, и все три члена в соотношении
(8.143) повышают заряд]. Если постулировать гамильтониан слабого взаимо-
действия в виде
•Я? = 1 2gjljx, (8.145)
то получаем такое же взаимодействие, как и описываемое соотношениями
(8.105); (8.75) при Л = — 1.
448
Очевидно, член соответствует ядерному [3+-распаду, член
— ядерному [^“-распаду и т. д., а такие члены, как gJ^e)tjV\
выражают слабое рассеяние электронов на электронных нейтрино и т. д.
Таким образом, выражение (8.145) в компактной форме описывает все
взаимодействия в треугольнике Пуппи, которые выражаются симметричным
образом (в приближении | R | = 1), что соответствует идее универсального
ферми-взаимодействия. Выражение (8.145) автоматически исключает запре-
щенные реакции, приведенные в § 14в.
б. Сохранение векторного слабого тока. При написании выражения (8.145)
принималось, что векторная связь между тремя парами слабо взаимо-
действующих фермионов одинакова. Это предположение подкрепляется почти
точным равенством констант gv и gM, определенных из опыта.
С первого взгляда равенство этих двух констант находится в прямом
п самом удовлетворительном согласии с идеей универсального ферми-взаимо-
действия. Однако при более глубоком размышлении это первое впечатление
оказывается несколько наивным.
В самом деле, естественно было бы предположить, что идея универсаль-
ного ферми-взаимодействия применима к «голым» фермионам, к таким, как
мюон п электрон, которые удовлетворяют уравнению Дирака для частиц
с точечным зарядом и без аномального магнитного момента, иными словами,
к тем частицам, которые не окружены сложным «облаком» из сильно взаимо-
действующих полей.
Именно голые нуклоны, а не реальные должны обладать векторной
связью с константой, равной gM. Наблюдаемая константа связи для нейтрона
должна быть меньше, поскольку эта частица —«часть времени»— разложена
на р + л-, а протон не может испускать |3~-частицы.
Но на опыте найдено, что именно физический, а не «голый» нуклон
обладает такой же векторной связью, как и мюон. Это — новый и важный
факт, не содержащийся в идее универсального ферми-взаимодействия.
В связи с этим можно заметить, что векторные связи физического прото-
на и мюона одинаковы и в случае электромагнитного поля; это происходит
потому, что в виртуальной реакции р п + сохраняется заряд — пион
уносит заряд, потерянный нуклоном *. Однако тензорная (обязанная ано-
мальному магнитному моменту) связь физического протона с электромагнит-
ным полем разная для протона и мюона; известно, что различие обусловлено
облаком мезонов, которое окружает ядро.
Таким образом, поведение электромагнитного и слабого полей аналогии
но: в обоих случаях имеет место сохранение векторного тока. Но сохранение
не распространяется на другие варианты связи; по-видимому, взаимодействие
с мезонами, которое дает аномальную тензорную электромагнитную связь
(рк = 1), ответственно также и за аномальную слабую аксиальную связь
( |Я I =# 1).
Точно так же, как пион «подменяет» нуклон в его векторном взаимодей-
ствии с электромагнитным полем, пион «подменяет» нуклон и во взаимодей-
ствии со слабым полем (рис. 8.31). Отсюда следует, что пионы должны быть
источником слабого векторного поля и должны претерпевать |3-распад. Этот
пункт более полно обсуждается в § 17.
Аналитическое выражение этих идей имеет следующий вид. В обозначе-
ниях изотопического спина электрический ток, связанный с голым нуклоном
(ЬА), равен
/Г’ = 1 (1 + т3) фЛ-. (8.146)
1 Равенство векторной (зарядовой) связи р и ц с электромагнитным нолем имеет
силу только при малых энергиях, когда формфактор нуклона можно заменить еди-
ницей. Формфактор имеет свой эквивалент и в слабом взаимодействии нуклонов
(см. пункт «д).
\ 4 “9 Ядерные взаимодействия
449
Этот ток не сохраняется при изменении т3 (например, при фоторождении
л + , р ++ п). Таким образом,
(8.147)
Электрический ток нуклонов и пионов вместе равен
h = е Гфуул у (1 + т3) + геф д^3ф,
(8.148)
где t3 — третья компонента оператора изотопического спина пиона \ этот
ток сохраняется 1 2 и удовлетворяет уравнению
д}.]\ = 0.
(8.149)
Если теперь предположить, что этот аргумент справедлив для всех
изоспиновых компонент тока, то можно будет точно таким же способом раз-
Рис. 8.31. Электрический заряд
при виртуальном расщеплении про-
тона остается постоянным: вектор-
ная константа связи с фотонами
не зависит от присутствия нуклон-
ного облака (а). Векторная связь
слабого взаимодействия тоже по-
стоянна, несмотря на виртуальное
расщепление нейтрона (б).
вить слабое векторное взаимодействие.
В этом случае ток «голых» нуклонов равен
N>’v = 4 фх -Тлт+фдг (8.150)
и имеет дивергенцию. Но мы получим век-
тор без дивергенции по аналогии с выра-
жением (8.148), если напишем
jtx), v _ 1/ 1 тГф.у + ] '2 1ф д}.1+ф,
(8.151)
I
где t+ it2) — оператор, повыша-
ющий заряд мезона на единицу.
Из выражения (8.151) следуют опреде-
ленные предсказания для |3-распада пиона,
которые обсуждаются в следующем параг-
рафе. Теперь же займемся влиянием со-
хранения векторного слабого тока на
ядерный Р-распад.
в. Слабый магнетизм. Можно заме-
тить, что векторная часть ядерного тока
< Т ~~
у ~ФкТхЛ+Фгс связана с нарушающим чет-
ность слабым током j/^2/_cyxZv (выписан для простоты только электронный
j __
член) так же, как электрический нуклонный ток-^-(1 -ф т:() фд-Т?.фд- связан
с электромагнитным потенциалом А)..
Поэтому разрешенный ферми-член с у4, который описывает связь между
четвертыми компонентами вектора, можно назвать слабой электро-
статикой, а малые ферми-члены с дают вклад в слабый магне-
тизм.
Но аналогию можно продолжить. «Облако» пионов, которое даег ано-
мальный магнитный момент нуклона, тоже связано со слабым полем в пред-
положении сохраняющегося векторного тока. Если пионное облако образует
изовекторную (см. гл. 7, § 14в) тензорную [соотношение (6.85)1 связь с элек-
тромагнитным полем, то оно должно также давать изовекторную тензорную
связь со слабым полем. Та же аргументация распространяется на обменные
1 Матрицы t; прп диагональной t3 имеют форму матриц S,, описанную выраже-
нием (1.73). Отсюда впдно, что
— ietpT t^= 1еф-А? 13ф_ ф 1еф_^ 13Ф+ — 1еф^Т 13ф0 — /еф+'Хгф_ - 1еф_У?ср+.
представляет собой мезонный электрический ток в соответствии с выражениями (7.159)
и (7.166).
2 Странные частицы не рассматриваются.
150
пионные токи, ответственные за ядерные силы: если эти токи дают вклад
в магнитный момент, они должны также давать вклад и в слабый магнетизм.
Изовекторная константа магнитной связи нуклона равна
“(Нр — Нп) т3е/(27И) [соотношение (1.180)1. Соответствующая константа свя-
зи для слабого магнетизма равна -^-(цр — рп)(—|х2т+) gv/(2M) для повы-
шения заряда ядра и 4~(рР — jin)(V2T_) gv/(2M) для понижения заряда
Рпс. 8.32. Пример 0-перехода, в котором можно оцепить
эффекты слабого магнетизма, сравнивая его с электро-
магнитным e/JZl-переходом.
ядра. Эта последняя константа входит в вычисление захвата мюона [соотно-
шение (8.120)]. Для слабых взаимодействий магнитное поле заменяется
ротором слабого лептонного тока.
В качестве примера предсказания слабого магнетизма в [3-распаде рас-
смотрим, следуя Гелл-Манну [47], переход между компонентами изоспино-
вого триплета с J = 1+ и изоспиновым синглетом с J = 0+ (рис. 8.32).
Состояния с одинаковыми Т3 связаны у-переходом с мультипольностыо
2.//1. Поскольку АТ1 = — 1, вклад в вероятность перехода дает только изо-
векторная часть электромагнитного перехода. Тогда в нерелятивистском
приближении эффективный гамильтониан имеет вид:
-^mvxa), (8-152>
где [1 — магнитный момент перехода (изовекторный) в ядерных магнетонах.
Состояние с разными Т3 связаны разрешенным гамов-теллеровским
(3-переходом, который в обычной теории [3-распада обусловлен аксиально-
векторным вариантом взаимодействия. Но если принять идею сохранения
слабого векторного тока, то состояния, связанные между собой радиационным
переходом Н 1, точно так же связаны с полем [3-распада. В перелятивистском
приближении добавочный член в гамильтониане [3-распада равен
(8.153)
где и имеет ту же величину, что и в соотношении (8.152).
Этот член является нерелятивистской частью тензорного взаимодействия
с производными (см. § 4г). Если он достаточно велик, то может дать наблю-
даемое искажение формы спектра из-за интерференции с преобладающим
вкладом аксиального вектора.
Важно отметить, что матричный элемент (8.152) и, следовательно, выра-
жение (8.153) можно получить из измерения вероятности у-перехода. В этом
случае, по крайней мере в принципе, предсказания относительно слабого
магнетизма полны и однозначны.
29* 451
г. Опытное подтверждение существования слабого магнетизма. После
некоторых предварительных попыток обнаружения эффектов слабого магне-
тизма в f-распаде [80, 114] недавно были опубликованы результаты решающе-
го опыта [75]. Непосредственно в f-спектрометре бомбардировкой пульси-
рующим пучком от генератора Ван де Граафа образовывались источники
В12 (0,02 сек) и N12 (0,012 сек): использовались реакции В11 (cl р) В12
Рис. 8.33. Поправки к форме f-спектра В12 и N12. [Lee Y. et
al. Phys. Rev. Lett., 10, 253 (1963)].
и В10 (He3, n) N12, а f-спектры измерялись в промежутках между импульса-
ми. Спектрометр был тщательно откалиброван, чтобы убедиться, что он
не дает искажений, и был получен график Ферми для двух изотопов. Как
захват р -мезонов про-
Рпс. 8. 34. Диаграммы, описывающие
тонами.
предсказывала теория слабого магнетизма, были обнаружены слабые откло-
нения от линейности, соответствующие поправочным множителям (рис. 8.33).
Поправочный член в согласии с теорией меняет знак при переходе
от f' к f+, и величина наблюдавшегося эффекта в пределах ошибок согласу-
ется с вычисленным значением.
д. Формфакторы для слабых взаимодействий. Поскольку «облако» мезо-
нов играет важную роль в слабых взаимодействиях, можно ожидать, что
при достаточно большой передаче импульса будет чувствоваться влияние
конечных размеров облака. Хотя нуклоны в f-распаде можно считать точеч-
ными, при их взаимодействии с мюонами могут иметь некоторое значение
явления, связанные с существованием формфакторов.
452
Если принять во внимание все возможности, ядерную скобку нару-
шающего четность слабого тока (8.144) можно записать в виде 149, 52, 113]
№ = V4 |F 1 KF2 (<7)уД\, +
4- AF3 (g) oKhqk + BF,t (g) Г5?х] wn, (8.154)
где q — четырехмерный импульс, переданный нуклону.
В этом выражении Ft — четыре формфактора, удовлетворяющие соот-
ношению Ft (0) = 1; А и В — две константы, подлежащие определению.
Первый и второй члены представляют собой обычную векторную и аксиаль-
ную связь, третий соответствует аномальному слабому магнетизму [сравните
с выражением (6.160)], а последний — псевдоскалярной связи. В предполо-
жении сохраняющегося тока константу А можно предсказать, исходя из
аномальных моментов, а формфакторы и F3 можно вычислить из электро-
магнитных формфакторов нуклонов; BF4 вычисляется, как в § 13г.
Рис. 8.34 иллюстрирует с помощью диаграмм происхождение отдельных
членов в выражении (8.154). Слабый магнетизм обязан процессу л-> л°
+ В + а псевдоскалярная связь — процессу л + р. + Vp..
В последних работах по p-захвату получено некоторое эксперименталь-
ное подтверждение этих эффектов (см. § 13д).
4В*
v
Рис. 8.35. Распад пиона с направлением
спинов, соответствующим лево-поляри-
зованным нейтрино.
§ 17. РАСПАДЫ л-МЕЗОНА
а. л-д-распад. В «обычном» распаде пиона [см. соотноше-
ние (7.7)] образуются мюон и нейтрино. Из законов сохра-
нения импульса и момента количества движения следует,
что эти две частицы должны испускаться с противоположными
спинами и с одинаковой спиральностью (рис. 8.35).
Начнем с рассмотрения л-распада в старом предположении о нейтрино
одного типа: как и для ядерного Р-распада, можно ожидать, что испускаемое
нейтрино должно быть лево-поляри-
зованным, а антинейтрино — право-
поляризованным. Кроме того, посколь-
ку нион имеет лептонное число, равное
нулю, лептонные числа распадных
мюона и нейтрино должны быть про-
тивоположны.
Из анализа распада р-мезона из-
вестно , что по гипотезе одного нейтрино
отрицательный мюон является леп-
тоном. Поэтому сохранение лептонов
требует, чтобы он сопровождался
право-поляризованным антинейтрино.
Таким образом, спины продуктов распада л-мезона однозначно предсказы-
ваются на основании предположения о существовании одного нейтрино
и сохранения лептонов, как показано на рис. 8.35. Заметим, что знак спи-
ральности мюона противоречит его лептонному числу.
Очевидно, очень интересно было бы измерить спиральность мюонов
в л-распаде, особенно после открытия того факта, что мюонные нейтрино
отличаются от электронных. К несчастью, прямые измерения затруднены,
поскольку спиновые эффекты — релятивистские, а пучки мезонов на обычных
синхроциклотронах имеют нерелятивистские скорости.
Тем не менее недавно три разные группы экспериментаторов опублико-
вали результаты, согласующиеся с рис. 8.35. Первый эксперимент был выпол-
нен в Советском Союзе преимущественно с положительными р-мезонами
космических лучей [6]. Вторым было исследование мёллеровского рассеяния
пучка рг-мезонов с импульсом 8 Гэв!цикл на поляризованных электронах
в намагниченном железе в ЦЕРНе [17]. Третьим было измерение моттовского
V2 29 Ядерные взаимодействия
453
рассеяния пучка р,_-мезонов большой энергии тоже в ЦЕРНе [18]. Хотя
ошибки велики, все эти опыты согласуются со спиральностями рис. 8.35
которые отныне будем считать твердо установленными.
Удобно поэтому продолжать называть отрицательным мюон частицей,
как и отрицательный электрон. Тогда из измерения спиральности следует,
что в слабых взаимодействиях все частицы связаны одинаково и взаимодей-
ствуют своими «левыми» компонентами.
Противоречие между спиральностью мюонов л-распада и «левым» вза-
имодействием ц~ только кажущееся: мюон вылетает с малой кинетической
энергией в системе покоя л-мезона — тп^ = 4,2 Мэе < тц), поэтому
доля левой поляризации, требуемая оператором 1 — Г5, очень мала [см. соот-
ношение (8.68)]. Мюон может манкировать своей «левизной», но ультра-
релятивистскому нейтрино это не позволено.
б. л-е-распад. Тот факт, что два продукта л-распада должны, разлетаясь
в противоположных направлениях, уносить противоположные моменты
(и поэтому иметь одинаковую спиральность), благоприятствует испусканию
медленного, тяжелого мюона по сравнению с быстрым, легким электроном.
Именно поэтому мюонная мода распада пре-
обладает, несмотря на фазовый объем.
Это рассуждение можно провести количественно, и оно правильно
предсказывает отношение (л —> е + v)/(n —>- р, + v).
Вероятность испускания право-поляризованного отрицательного мюона,
взаимодействующего через «левую» компоненту, равна 1 [ср. с соотношением
(8.68) и см. выкладки в выражении (5.14)]
л л Рг
1—^=1— -g—
'в
(8.155)
Затем, учитывая вычисленные в соотношении (5.16) статистические множите-
ли, получаем
отношение
л —> е-\- v
л p + v
Ре
Рд
1 — »е
1,3 xiu4.
(8.156)
После нескольких неудачных попыток электронный распад пиона уда-
лось наблюдать со счетчиками и в пузырьковых камерах [39, 62]. Наконец,
он был исследован количественно с помощью магнитного спектрометра
(рис. 8.36) [7]. Экспериментальное значение отношения е/р, равно
(1,21 ± 0,07) X 10-4, что находится в хорошем согласии с выражением
(8.156).
в. Дальнейшие соображения относительно распада пиона на два лептона.
Упомянув об успехе, с которым теория слабых взаимодействий предсказала
отношение е/р в л-распаде, необходимо все же подчеркнуть, что остается
много пунктов, требующих разъяснения.
Например, нужно объяснить величину среднего времени жизни л-мезона.
Это является трудной задачей теории, потому что пион, по-видимому, связан
с мюон-нейтринным полем через промежуточные нуклон-антинуклонные
пары. Простейшая диаграмма, описывающая распад л-мезона, была показана
на рис. 8.32.
Даже если считать, что хорошо известны слабые взаимодействия, все
равно в пион-нуклонной связи представлены все неопределенности, присущие
сильным взаимодействиям. Релятивистская связь пионов с нуклонами изве-
стна плохо, и наряду с рис. 8.27 следует рассматривать много более сложных
диаграмм.
Можно преодолеть эти трудности с помощью техники дисперсионных
соотношений. Используя этот метод и величину сильной константы связи
/рр = 15 [см. соотношение (7.89)], Гольдбергер и Трейман [48] с довольно
хорошей точностью объяснили наблюдаемое время жизни л-мезона.
1 Для более формального вывода фактора 1 — г.д см. соотношение (8.124).
454
г. Трехчастичпый распад заряженных пионов. Поскольку заряженные
пионы тяжелее нейтральных, энергетически возможна реакция
л± —> л° + е± + v. (8.157)
Ее вероятность можно однозначно предсказать на основании идеи сохра-
няющегося слабого векторного тока, которая обсуждалась в § 16. Из соот-
ношений (8.144), (8.145) и (8.151) связь, ответственная за реакцию (8.157),
имеет вид
г2 ]Л2 g (ф • др+ф) (xe\\xv) + э. с.
Отсюда можно предсказать величину парциальной вероятности распада
(0,31 + 0,07) сек-1, которая соответствует следующему отношению
= (!-° ± 0.2) X IO-’. (8.158)
Рис. 8.36. Спектры я — е- и р. — е-распадов (после энергии 55 Мм
масштаб изменен). [Andersonetal. Phys. Rev., 119, 2060 (I960).]
Трехчастичный распад заряженного пиона трудно наблюдать из-за его
редкости, но недавние успехи в технике эксперимента, например искровые
камеры, сделали возможным опытное исследование этого фундаментальнейше-
го процесса. Результаты недавних измерений отношения (8.158) таковы:
(1,15 + 0,22) X Ю-8 [36],
(1,0 +0,3) хЮ-8 [21]
(1,1 ± 0,2) х Ю’6 [120]
в согласии с теорией сохраняющегося векторного тока.
Литература
1. Ambler et al. Phys. Rev., 106, 1361 (1957).
2. A s t h ury et al. Proc. Phys. Soc. (London), 72, 494 (1958).
3. A 1 1 e n J. Rev. Mod. Phys., 31, 791 (1959).
4. A s t b u г у et al. Phys. Rev. Letters, 3, 476 (1959).
5. Алиханов и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 38, 1918 (1960).
6. A n d е г s о n et al. Phys. Rev., 119, 2050 (1960).
7. Asthury et al. Proc. Phys. Soc. (London), 78, 1151 (1961).
8. Auerbach et al. Phys. Rev. Letters, 11, 23 (1963).
29* 455
9. Burgy et al. Phys. Rev., 107, 1731 (1957).
10. В erna r d in i et al. Nuovo cimento, 7, 419 (1958).
11. Bernstein et al. Phys. Rev., Ill, 313 (1958).
12. Burgy et al. Phys Rev., 110, 1214 (1958)
13. Burgy et al. Phys. Rev. Letters, 1, 324 (1958).
14. В ard on et al. Phys. Rev. Letters, 2, 56 (1959).
15. Barrett et al. Phys. Rev., 113, 661 (1959).
16. В а с к e n s t о s s et al. Phys. Rev. Letters, 6, 415 (1961).
17. В a r d о n et al. Phys. Rev. Letters, 7, 23 (1961).
18. Bartlett et al. Phys. Rev. Letters, 8, 120 (1962).
19. В e r t о 1 i n i et al Proc. Int. Conf. High En. Phys., Geneva (1962).
20. В 1 e s e r et al. Phys. Rev. Letters, 8, 288 (1962).
21. Bartlett et al. Bull. Amer. Phys. Soc., 9, 71 (1964).
22. Cox et al. Proc. Nat. Acad. Sci., 14, 544 (1928).
23. Cowan C., Reines F. Phys. Rev., 107, 528 (1957).
24. С г о w e K. Bull Amer. Phys. Soc., 2, 206 (1957).
25. C 1 a г к et al. Phys. Rev. Letters, 1, 100 (1958).
26. С о w a n C., R e i n e s F. Nature, 178, 466 (1959).
27. C u 11 i g a n G. et al. Bull. Amer. Phys. Soc., 4, 81 (1959).
28. Charpack et al. Phys. Rev. Letters, 6, 128 (1961).
29. C h a г p а с к et al. Phys. Letters, 1, 16 (1962).
30. С о n v e r s i et al. Phys Rev. Letters, 8, 125 (1962).
31. D e u t s c h M., Kof oed-H ansen O. Experimental Nuclear Physics (E. Segre,
editor). Wiley, N.Y., 1953.
32. Davies R. Phys. Rev., 97, 766 (1955).
33. Davies R., Harmer. D. Bull. Amer. Phys. Soc., 4, 217 (1959).
34. Durand et al. Phys. Rev. Letters, 4, 620 (1960).
35. D a n b у et al. Phys. Rev. Letters, 9, 36 (1962).
36. D u p о m m i e r et al. Phys. Letters, 5, 61 (1963).
37. Edelstein et al. Report at the Brookhaven Conference on Weak Interactions, 1963.
38. F a z z i n i et al. Phys. Rev. Letters, 1, 247 (1958).
39. Feinberg G. Phys. Rev., 110, 1482 (1958).
40. Feynman R., Gell-Mann M. Phys. Rev., 109, 193 (1958).
41. Feinberg et al. Phys. Rev. Letters, 3, 527 (1959).
42. F u j i i A., Primakoff H. Nuovo cimento, 12, 327 (1959).
43. Frankel et al. Phys. Rev. Letters, 8, 123 (1962).
44. F a 1 о m к i n et al. Phys. Letters, 3, 229 (1963).
45. G о 1 d h a b e r et al. Phys. Rev., 106, 826 (1957).
46. G e 1 1 - M a n n M. Phys. Rev., Ill, 362 (1958).
47. Goldberger M., Trieman S. Phys. Rev., 110, 1178 (1958).
48. Goldberger M., Trieman S. Phys. Rev., Ill, 354 (1958).
49. G о 1 d h a b e r et al. Phys. Rev., 109, 1015 (1958).
50. G a r w i n et al. Phys. Rev., 105, 1415 (1959).
51. Gell-Mann M. Rev. Mod. Phys., 31, 834 (1959).
52. G a r w i n et al. Phys. Rev., 118, 271 (1960).
53. G i 1 i n s к у V., Mathews J. Phys. Rev., 120, 1450 (1960).
54. Hamilton et al. Phys. Rev., 92, 1521 (1953)
55. H a n n a S., P r e s t о n R. Phys. Rev., 106, 1363 (1957).
56. Hanna S., P r e s t о n R. Phys. Rev., 108, 160 (1957)
57. H a n n a S., P r e s t о n R. Phys. Rev., 108, 1460 (1958).
58. Hughes et aL Phys. Rev. Letters, 5, 63 (1960).
59. H e n d r i e D., Gerhard J. Phys. Rev., 121, 846 (1961).
60. Hildebrand R., Doede J. Proc. Int. Conf. High En. Phys., Geneva (1962).
61. I m p e d u g 1 i a et al. Phys. Rev. Letters, 1, 249 (1958).
62. Jackson et al. Phys. Rev., 106, 517 (1957).
63. К о n о p i n s к i E., M a h m о u d H. Phys. Rev., 92, 1045 (1953).
64. Konopinski E. In book: 0 and у Spectroscopy (edited by K. Siegbahn). North
Holland, Amsterdam, 1955, p. 292 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред. К. М. Зпг-
бана. М., Изд-во иностр, лит., 1960).
65. К о п о s h i t а Т., S i г 1 i n A. Phys. Rev., 113, 1652 (1959).
66. Konopinski E. Ann. Rev. Nucl. Sci., 9, 99 (1959).
67. Lee T., Yang C. Phys. Rev., 108, 1611 (1957).
68 L u d e r s G. Ann. Phys., 2, 1 (1957).
69. L e i t e Lopez J. Phys. Rev., 109, 509 (1958).
70. Lundy et al. Phys. Rev. Letters, 1, 102 (1958).
71. Lynch et al. Phys. Rev. Letters, 1, 471 (1958).
72. Lee J., S a m i о s N. Phys. Rev. Letters, 3, 55 (1959).
73. Lee T., Yang C. Phys. Rev. Letters, 4, 307 (1960).
74. Lee et al. Phys. Rev. Letters, 10, 253 (1963).
75 Michel L. Proc. Roy. Soc. (London), A63, 514 (1950).
76. Michel L. Thesis, University of Paris, 1953.
77 MacDonald W. Phys. Rev., 100, 1420 (1958).
456
78. Maier et al. Phys. Rev. Letters, 6, 417 (1961).
79. N ord b erg et al. Phys. Rev. Letters. 4, 23 (1960).
80. Pauli W. In book: Handbuch der Physik (1933 edition), Vol. 24, Part I, p. 226,
Springer-Ver lag, Berlin.
81. Page, He in berg, Phys. Rev., 106, 1220 (1957).
82. Petermann A. Phys. Rev., 105, 1931 (1957).
83. Plano R., Le Curtois A. Bull. Amer. Phys. Soc., 4, 82 (1959).
84. Понтекорво Б. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 37, 1759 (1959).
85. Prim a k off Н. Rev. Mod. Phys., 31, 802 (1959).
86. Parker S, Penman S. Nuovo cimento, 23, 485 (1962).
87. Rose M. Appendices II and III. In book: 0 and у Spectroscopy (edited by K. Sieg-
bahn). North Holland, Amsterdam, 1955 (Бета-гамма-спектроскопия. Под ред.
К. Зигбана. М., Изд-во иностр, лит., 1960).
88. Rosenson L. Phys. Rev., 109, 958 (1958).
89. Reiter et al. Phys. Rev. Letters, 5. 22 (1960).
90. R u h b i a C. Report at the Brookhaven conference on weak interactions, 1963.
91. Rothberg J. Columbia University Thesis, 1963.
92. Sens J. C. Phys. Rev., 113, 679 (1953).
93. S о m m e r f i e 1 d C. Phys. Rev., 107, 328 (1957).
94. S a k u r a i J. Phys. Rev. Letters, 1, 40 (1958).
95. S a k u r a i J. Nouvo cimento, 8, 649 (1958).
96. Sudershan E., Marshak R. Phys. Rev., 109, 1860 (1958).
97. S a r g e n t et al. Phys. Rev., 99, 885 (1959).
98. Sens J. Phys. Rev., 113, 679 (1959).
99. S c h w a r t z M. Phys. Rev. Letters, 4, 306 (1960).
100. Russell Stannard F. Phys. Rev. Letters, 4, 523 (1960).
101. Schwinger J. Phys. Rev., 125. 397 (1962).
102. Sullivan W. The New York Times, 113, Oct 13, 1963.
103. Tiomno J., Wheeler J. Rev. Mod. Phvs., 21, 144 (1949).
104. Trigg G. Phys. Rev., 86, 506 (1952).
105. Telegdi V. Proc. Int. Conf. High Eng. Phys., Rochester, Interscience, N.Y.,
1960, p. 718
106. Telegdi V. Proc. Int. Conf. High Eng. Phvs., Rochester, Interscience, N.Y..
1960, p. 715.
107. Telegdi V. Phys. Rev. Letters, 8, 327 (1962).
108. Wheeler J. Rev. Mod. Phys., 21, 133 (1949).
109. W u C. In book: p and у Spectroscopy (edited by K. Siegbahn), North Holland, Amster-
dam. 1955 (Бета гамма-спектроскопия. Под ред. К. Зигбана. М., Изд-во иностр лит.,
1960).
110. Wu et al. Phys. Rev., 105, 1413 (1957).
111. Wolfenstein L. Nuovo cimento, 8, 882 (1958).
112. Wolfenstein L. Nuovo cimento, 13, 319 (1959).
113. Weidenmuller H. Phys. Rev. Letters, 4, 299 (1960).
114. Wolfenstein L. Bull. Amer. Phys. Soc., 6, 33 (1961).
115. Weidenmuller H. Rev. Mod Phys., 33, 574 (1961).
116. York et al. Phys. Rev. Letters, 3. 288 (1959).
117. Yovanovitch D. Phys. Rev., 117, 1580 (I960).
118. 3 а й м и д о p о г а Б. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 41, 1804 (1961).
119. Z i о с k et al. Phys. Rev. Letters, 8, 103 (1962).
120. Дунайцев А. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 47, 84 (1964).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Цифры, стоящие в скобках, показывают параграфы книги по оглавле-
нию. Цифры без скобок означают страницы книги.
Аксиальный вектор (см. псевдовсктор)
а-распад, условия стабильности 68
а-частицы, аномальное рассеяние 61
Амплитуда, матрица 99, 100, 105, 106,
120—122, 131—133, 143—144.
— — перехода (см. матричный элемент)
— — рассеяния 95—96
— — см. также рассеяния матрица
Аналитичность 363, 366
Анизотропия испускания у-излучения 216,
420
Аннигиляция мюония 448
— нуклонных пар 343, 387—388, 394
— позитрония 320
— протония 387
— трехквантового позитрония 320
— электронно-позитронных пар 294, 304—
306, 316—321 (6.27)
Аннигиляции и рождения операторы
— — — для квазичастиц 106, 109
— — — для парных частиц 100
— — — для пионов 324
— — — для фермионов нерелятивистских
97
— — — для фотонов мультипольных 203
— — — для фотонов плоской волны 192
Аномальный магнитный момент 37, 46, 75
— — — распределение (см. формфакторы)
— — — взаимодействие с покоящимися
электронами 146, 290
— — — в пионной теории с обрезанием
367—368
— — — релятивистское электромагнит-
ное взаимодействие 289, 311
Асимметрии в (З-распаде 420
— в (х-захвате 443
— в ц-распаде 436
— в п — Не-рассеянии 160
Барионы, сохранение 443
Бардина состояния пробные 107—109
Бартлетта силы и оператор 56, 96
Бесселя функции 15
Бозон, промежуточный 445
Борновское приближение
— — для рассения нуклонов при высокой
энергии 161—163
— — для рассеяния нуклонов связанны-
ми атомами 130
— — для рассеяния пионов 4, 353, 355—
360
— — для релятивистского кулоновского
рассеяния 313
Борновское приближение для спин-орбп-
тальной связи 162
Брейта — Вигнера формула 253—256
Брайена ядерный потенциал 180
Брэгговское рассеяние и отражение нейтро-
нов 134
Бета-распад
— мюона 243, 434—438 (8.31)
— пиопа 455
— энергия, вычисление по массе атомов
66, 80—83
— ядерный 36—37, 243, 400—435 (8 1; 8.2)
Вакуум квазпчастиц, 106, 110
— — для релятивистских фермионов 97
Вектор + аксиал (V + А), 387
— аксиал (F — А), 431, 433 . 435, 438
— перечеркнутый, 281
Вектора коэффициенты сложения, 22
Векторная волновая функция и спин 7. 21
— — — связь в слабых взаимодействиях
410, 437, 449
— — — теория P-распада Ферми 405—
410 (8.13)
Векторное мезонное поле, 324—327
Векторные мезоны, см. Ро-мезон, Омега-
мезон
— — сферические гармоники, 200
Векторный слабый ток
см. также Изовектор
Вещество ядерное, 71—77
Вигнера силы, 39, 96, 161
Вигнера — Эккарта теорема 22. 32,
217
Виртуальные состояния, Не5 и Li” 61
---фотона 225—257
— — электрона 306
Внутренняя конверсия 223—227 (4.35)
Внутренний момент количества движения
(см. спин)
Внутреннее образование пар 315—316
Внутреннее тормозное излучение 417—420
(8.17), 423
Возбужденные состояния вращательные
89—91
— — — колебательные 91—92
— — — колебательные 89—93
— — — легких ядер 68—71 (2.15)
— — — магнитные и квадрупольные мо-
менты 280
— — — нуклонов 257, 348
— — — ядер и квазичастпц 109—114
(2.36)
458
Возбужденных состояний квантовые числа,
определение
— — — — по внутренней конверсии 225
— — — — по у-у-корреляцпп 279
— — — — по реакциям срыва 256
— — — — по ядерным реакциям 256—
258
Возбужденных состояний плотность 78 —
79,’ 83—84, 259, 262, 265
— — — среднее время жизни 227—230
— •— — схема уровней 67—70
— — — ширина по резонансам
— — — ширина для медленных нейтро-
нов 259
Возбуждения энергия и квазпчастпцы 106,
110
Возраста уравнения для замедления нейт-
ронов 139
Вращение 11, 17, 19, 26
Врашательные состояния ядер 89—91
Временной оси инверсия и преобразование
— — — — дираковских состояний 286,
295
Времени обращения 33—36 (1.17)
— и обратные реакции 212, 251—252
— и преобразование мезонного поля 373
— и преобразование дираковских состоя-
ний 286 — 295
— и слабые взаимодействия 433—434
Гамильтониан (или плотность гамильто-
ниана)
— внутренней конверсии 224—225
— Дирака 479 , 287
— магнитного рассеяния нейтронов 141
— мезон-нуклон-взаимодействия 333, 341
— мезон-нуклон-фотон-взаимодействия
372
— нуклон-электромагнитное поле взаимо-
действия 182, 193
— парного взаимодействия 96, 104, 114
— свободного электромагнитного поля 190,
193
— свободного мезонного поля 327, 339
— ядерных сил 39, 41, 46—57 (1.33) 95, 96
у-И.чл учение (испускание) 213—233 (4.3)
у-Излучение (поглощение ядрами) 233—
240 (4.4)
Гамма-матрицы, Г5, определение 430
— свойства 279—280
Гамова — Теллера правила отбора 404
Гартенхауза потенциал 48, 179, 345,367
Гейзенберга силы и оператор 56
— — — в теории многих тел 97
— — — и насыщение ядерных сил 62
Гигантские резонансы 92, 235—239
Двойной 0-распад 401
Двухкомпонентная теория нейтрино 429
Двухкомпонентное уравнение для электро-
на 429
Двойное рассеяние 160, 165
Деление 83—84
Дельта-функция и ее представление 296
Детальное равновесие 212, 251—252, 430
Деформированное ядро 88
— — п оболочечная модель 92, 93
— — и силы деформации 96, 112—114
Деформирующие силы в ядре 96, 112—
114
Дейтон 37, 41—49
— захват пиона дейтоном 331, 375 —378
— п мезонная теория 481—368
— как изоспнглет 53
Дейтон образование в А'-Л' столкновениях
379—380
— радиус и энергия связи 137
— фоторасщепление 36, 206—212
Дипейтрон 37, 50
Диполь, электростатический 29, 33
— магнитный 30
— см. также магнитный момент
— потенциал взаимодействия двух дипо-
лей 39
Диполя изучение 195
— — поле вблизи источника 199
— — поле в волновой зоне 201—202
— — правила отбора при излучении 213,
231
— — четность 28—29
Дипротон 37, 50
Дирака уравнение 280
— — матрицы состояния 281
— — спиноры и т. д. 275, 291
Дисперсионные соотношения 345, 363—
364
Дисперсионная формула (Брента — Виг-
нера) 253—256
Дифракция нейтронов 133—135
Диффузия и замедление нейтронов 139
— — тепловых нейтронов 140—141
Длина рассеяния 121
для п-р-взаимодействия 137
для р-р-взаимодействия 149
Дрожание 284
Дублеты обращенные 61, 85
— — изоспиновые (см. зеркальные ядра)
Дырки и теория позитрона 293
— — и ядерная модель многих тел
96, 98, 112
Единиц система, где Й. = с = 1 275
Единицы естественные ядерпые 205
Замедление нейтронов 137—140 (3.21)
Запрещенное •у-излучение и изомерия 87,
213, 227, 233
Запрещенный 0-распад 342—344
Зарядовая независимость
— — гамильтониана ядерных сил 54
— — мезонной теории 329, 334
— — изоспиповых триплетов 67
— — при нуклон-нуклонном рассеянии для
высоких энергий 167—169 (3.55), 176 —
178
— — при нуклон-нуклонпом рассеянии
— — для низких энергий 150
Зарядово-симметричная мезонная теория
334
Зарядовое сопряжение
— — для дираковских состояний 287.
292—296
— — и изоспин 372
— — для шинного поля 372
— — для слабого взаимодействия 434
Заряда распределение (см. формфактор)
Зарядовая симметрия 49 , 54, 66
и G-четность 391
Захват мезонов ядрами 438—443
— нейтронов ядрами 253—256, 258—262
— нейтронов протонами 40, 178, 267, 275,
36, 140, 206, 212
— пионов протонами и дейтонами 328, 331,
375—378 (7.33)
см. также Поглощение
«Звезд» образование в реакциях при высо-
кой энергии 268
Зеркальные ядра 49, 65
459
Зеркальные ядра электростатическое оттал-
кивание 65
Изобары (см. нуклона возбужденные со-
стояния)
Пзовектор, связь с электромагнитным по-
лем 231
Изовекторные мезоны (см. л-, р-мезоны)
Изовекторный нуклона формфактор 394—
396
Изомеры 87, 213, 227—231, (4.36), 233
Изопространство, или изоспиновое про-
странство 50
— изотропия 54
— «циркулярные» оси в изопространстве
339
Изоскалярные мезоны (см. гр, <о-мезоны)
Изоскалярный формфактор нуклона 394—
396
Изоспин 50—54 (1.32)
— обменный оператор, 55
— переворачивание 163, 167—168
— пиона 334
— правило отбора при •у-излучении 230—
233
— и рассеяние пионов на нуклонах 351
— тр, р- и <о-мезонов (см. ц-, р- и <о-мезоны)
Изоспиновый анализ нуклонных формфак-
торов 394—396
Изоспиновые дублеты (см. Зеркальные
ядра)
— синглеты 60, 64, 65, 67, 69, 70
— триплеты 64, 65, 67, 69. 70
Изотопический спин (см. Изоспин)
Импульса оператор 9
— сохранение 9
Инвариантность
— относительно вращения 17
— относительно вращения изоспина см. 50
— зарядовая независимость, Зеркальная
симметрия
— относительно зарядового сопряжения
см. 54
Зарядовое сопряжение
— относительно инверсии оси времени
286—296
— относительно обращения времени 33—
36 (1.17) 251, 286. 295, 332, 372
— относительно отражения 25—29 (1.15)
— относительно преобразования Лоренца
284—286
— относительно сдвигов во времени 9
— относительно сдвигов в пространстве 9
— относительно СР, СРТ 134
— относительно G-четности 391—394
уравнений Дирака 283—288
Испарение частиц из ядер 79, 235, 241.
260, 265, 268
Каналы реакции 248—251 (5.13)
Капельная модель ядра 80—84, 260
Катастрофическое фоторасщепление пио-
нов 370, 372, 373, 375
Квадрупольный момент дейтона 37. 45,
49, 374
— — — и возбужденных ядерных состоя-
ний измерение 206
— — — и деформирующие силы, 114
— — — и колебания ядер 90
— — — и коллективная деформация ядер
88
— — — п модель оболочек 86
— — — оператор 33
— — — электростатический 29, 32
Квадрупольное излучение
— — в волновой зоне 201—202
— — магнитное 195
— — правила отбора 279
— — электрическое 195
Квазичастицы 106, 109—112
Квантование пионного поля 338—343
- электромагнитного поля 169—195
А'-захват 241, 400, 402, 441
— внутреннее тормозное излучение 417—
420, 423
Клебша — Гордона коэффициенты 22—25
Клейна — Гордона уравнение 278
Клейна — Нишипы формула 217—308
А-мезон 330, 345 , 355 , 387, 420 , 444
Когерентность и оптическая теорема 136
— — и поляризация 182—184
- — — в рассеянии 124, 129, 131, 133
Колебательные состояния в ядрах 90—
92, 112
Коллективные движения 88—93 (2.27)
— — и квазичастицы 112
и остаточные силы с большим радиу-
сом действия 96
Коллективная модель 88—93 (2.27)
Комптоновская длина волны пиона 44
— — — электрона 276
Комптон-эффект 216, 217, 219
— двойной 309
— на нуклонах 397
— сечение эффекта (формула Клейна —
Нишины) 307
Конкуренция в ядерных реакциях 263
Конфигурация перемешивания 105
Кулоновское возбуждение 227, 234
Кулоновская интерференция в р-р-рассея-
нии 149
— — в л-р-рассеянпи 354
Кулоновское отталкивание в ядрах 59,
65—68 (2.14), 71—80
Кулоновские поправки в Р-распаде 402
Кулоновское рассеяние
— — см. Резерфордовское
— — Моттовское
— — Меллеровское
Кюри график, 403
Лагранжиана плотность, поле свободного
мезона 326, 339, 371
— — для мезон-нуклон-взапмодействпя
325, 332, 335
— — для мезоп-нуклон-фотон-взапмодеп-
ствия 371
Легкие ядра 58—71 (2.1)
Лежандра полиномы 14
Лептоны 400, 407, 437
Лоренца преобразование 284
— — свойства дираковских состояний
285—286
— — собственное и несобственное 285
Магические числа, 84—86
Магнетизм, слабый, 450—453
Магнетон, ядерный, 33
Магнитное взаимодействие нейтронов,
139—146 (3.31)
Магнитный момент, аномальный, 37, 46,
75
— — возбужденных состояний, измерение,
220
— — дейтона, 37, 45
---Дирака, 284. 288, 447
— — в модели независимых частиц (пре-
дел ы IIIмидта), 73—74
460
3(
Магнитный момент печетио-иечетпых ядер,
76
— — нуклонов, 36, 37
— — и парность, 100, 102
— - четно-нечетных ядер, 73—74
— — четно-четных ядер, 73—74
— — ядер, 73—74
Майорана сила (и оператор), 56
— — в многочастичной теории, 96
— — п насыщение ядерных сил, 61, 62
— — п рассеяние нуклонов в борновском
приближении, 162
Массы атомные, полуэмппрпческая форму-
ла, 80
— — и энергия Р-распада, 65, 400
— — и энергия связи, 59
Массы единицы (физическая), 36 .
Матричные элементы, Р-распада, 407, 411,
426, 427
— — слабых взаимодействии, 449, 453
— — электромагнитные, 173, 195, 204,
222, 302—311
— — см. также Правила написания мат-
ричных элементов разпых процессов
Мезоатомиос рентгеновское излучение (см.
Рентгеновское излучение мезоатомов)
Мишеля параметр (спектр электронов [х-
распада), 435—437
Многочастичпая модель, 93—115 (2.3)
(спектр электронов из ц-распада)
Многих частиц теория ядерпого вещества,
93—115 (2.3)
Модели ядерные 58—115 (2)
Меллеровское рассеяние, 309, 423, 454
Момент инерции (ядра), 89—91, 114
Момент количества движения 10—25
(1.13), (1.14)
— — — измерение по внутренней кон-
версии, 225
— — — — по распределению частпц в
реакциях, 256
— по статистическим множите-
лям (детальное равновесие), 251, 328
— — — — по угловому распределению
у-квантов п корреляциям, 217 —220
— — — правила отбора см. Правила от-
бора
— — — сложение моментов, 22—25
— — — сохранение момента, 17
— — — и угловое распределение в реак-
циях, 256—258 (5.16)
— — — электромагнитного поля, 195—
198. 200 см. также Мультипольное
излучение
— — Мёссбауэра эффект, 235
— — моттовское рассеяние, 149, 313, 315,
423
— — мультпполыюстп определение по
угловым распределениям
— — п корреляции, 217—220 (4.33).
— — — по внутренней конверсии, 225—
227
Мультипольпее излучение, 195—203
(4.13—4.16)
— — вероятность переходов, 205, 220—
223, 227—231 (4.36)
— — наблюдение 215—217 (4.32)
— — правила отбора, 213—215, (4.31)
Мультиполи статические, электрические и
магнитные, 29—33, (1.16)
— — — — высших порядков, 31
Мюон, гиромагнитное отношение 446
Мюон, захват, 438—443 (8.32)
— магнитный момент, 446
— открытие, 323
— распад, 244, 435 438 (8.31)
— рентгеновское излучение мезоатомов
72, 327, 353
— свойства, 327
Мюоний, 447
Насыщение ядерных сил 61,
Независимых частиц модель 64, 76, 87
— — — и вероятность у-переходов для
одиночной частицы 204
— — — и магнитные моменты 73—76
(2.22)
— — — п срыва реакции, 271—273 (см.
также Ферми-газа модель, Оболочек
модель)
Нейтрино, двухкомпонентная теория 429
— массы измерения 244, 403
— свойства, 400
— экспериментальное обоснование, 400
Нейтронов, быстрых, ядерные сечения,
248, 263—269 (5.23) — (5.24)
— Р-распад, 36, 400, 412, 413, 431—435
(8 24)
— дифракция, 133—135
— замедление, 135 -140
— захват ядрами, 258—262 (5.21) — (5.22)
— захват протоном, 37, 141, 206, 212
— испускание ядрами 81
— магнитное рассеяпие, 141—146 (3.31)
— медленных, ядерные сечения, 260—262
— отражение 136, 146
— показатель преломления 134—137 (3.19)
146
— поляризация 144, 163, 433
— пучки, высокой энергии, 163
— — малой энергии, 116
— — поляризованных, 144, 163
— рассеяпие в Не, 60, 154—161, (3.52)
— рассеяние протоном, 5-волна 117, 124—
137 (3.14—3.19)
— — при высокой энергии 176 178 (3.57)
— рассеяние электроном, 141—149 (3.3), 290
— свойства 36
— структура (см. Формфактор)
— нейтроны тепловые 116, 140, 141
Неоднозначность анализа фазовых сдвигов
— — — — для рассеяния нейтрон — ге-
лий, 160
— — — — для рассеяния пион — нук-
лон, 352—355
Нссферические ядра, см. Деформирован-
ные ядра
Нефизическая область, 363
Нечетно-нечетпые ядра 65, 67
Р-распада энергия, 84
— магнитные моменты, 76
Нильсона диаграммы, 93
Нормировка дираковских состояний 283,
292
Нуклоп-нуклонпое взаимодействие (ядер-
ные силы)
— — п мезопная теория 333, 335, 337,
346—368
— — и насыщение ядерных сил, 61
— — и нуклон-нуклонное рассеяние при
высоких энергиях 161—181 (3.53—3.58)
— — общее обсуждение вопроса, 37—56
(1 22___1.33)
— — в ^-состоянии 121—137 (3.13—3.19)
149—150 (3.4)
30 Ядерные взаимодействия
<61
Нуклонов, аннигиляция пар 36, 50, 344,
387—394
— взаимодействие с электронами 141 —
149, 396
— — с мезопами 332, 333, 335, 340, 371
— возбужденные состояния
— нерелятивистское взаимодействие с
электромагнитным полем, 187—239 (4)
— нуклоп-нуклонпое рассеяние в борнов-
ском приближении, 161—164
— принцип Паули, 53
— релятивистское взаимодействие с элек-
тромагнитным полем, 289—291
— структура, размеры см. Формфактор
— (см. также Нейтрон, Протон)
Область действия сил, эффективная 126—
129 (3.15)
— — — для n-p-синглета и триплета 49,
137, 368
— — — для л-Л'-системы 366—367
— — — для р-р-синглета 150
Обмен изоспииом, оператор Гейзенберга
55, 56
Обмен координатой, оператор Майорана 56
— токами 45, 75, 187, 213
Обменные явления в фоторасщеплении
237—239
Обменные силы (см. Нуклон-нуклонные вза-
имодействия)
Обмен спинамп и оператор Бартлета 24,
56
Оболочек модель 81, 84—88 (2.26)
— — в несферической яме 92—93
— — и реакции срыва 272—273
— — со взаимодействием 95—114 (2.3)
Образование электронно-позитронных пар
301, 304
Обращенные дублеты 61, 85
Обрезание в мезонной теории 337, 345
Обрезания параметр 337, 344, 363
Одиночной частицы модель (см. Модель)
— независимых частиц
Октупольный момент 32
Октупольное излучение 196
Октупольные колебания ядер 92
Омега-мезон (и мезон) 368, 388
и нуклонные формфакторы 396
Оппенгеймера — Филлипса процесс 270
Оптическая модель 265—269 (5.24)
Оптическая теорема 135, 253
Орбитальный момент количества движе-
ния 10—17 (1.13), 273
Орбитальная четкость 28, 196, 197, 200
Остаточные силы в оболочечной модели
95—115 (1.3)
Отражение Брэгговское 135
Отражение нейтронных пучков 136, 146
Отталкивающая сердцевина 43, 48, 63,
176, 180, 334, 337, 346
Нановского отношение 331, 376, 377
Парность 65, 73, 80, 88, 95, 103—109
(2.34-2.35), 114
Парные частицы (в ядрах) 100, 101
Пар образование, аннигиляция, см. ан-
нигиляция, Образование пар
Паули матрицы для спина; 1/2 18
— — для изоспина 1/2 50
Перехода амплитуды (см. матричные эле-
менты)
Перехода вероятность
в квантовой электродинамике 302, 303,
304
для -у-излучения 183, 205, 215, 216, 220,
223
в Р-распаде 403, 408, 409, 411, 412, 427,
428
Перечеркнутые вектора, определение и
свойства 280
Периферические столкновения (л — JV)
344, 345
и рождение л-мезонов 380—383
Пи-мезоны (см. пионы)
Пионы 323—398 (7)
распад 242, 243, 453
Плоская векторная волна, разложение
на мультиполи 202—203
Плоская волна, разложение по сфериче-
ским функциям 119
Плотность возбужденных состояний
см. Возбужденные состояния
Плотность заряда и магнитного момента
нуклона, см. формфакторы
Плотность конечных состояний 240—245,
313
Плотности матрица 184—185
Поглощение -у-излучений 187—189 (4.11)
233—239 (4.4)
непрозрачной сферой 247
парциальных волн анализ 245—248 (5.12)
и резонансы 253—256
см. также Захват, Аннигиляция
Подавление -у-излучения 223, 230
Подхват 270—273 (5.25)
Позитроний, аннигиляция 320, 321
Позитроны, рождение и аннигиляция 293,
300
как дырки в море отрицательных энер-
гий 293
Проекционный оператор 295
см. также P-Распад, Образование пар
Показатель преломления нейтронов 135
в намагниченных веществах 144, 146
и оптическая теорема 169—136
Полология 360
Полюса в амплитуде рассеяния 359—360
365
Поляризация
-у-излучения, измерения 216, 217
корреляция при испускании -у-лучсн 217
220 (4.33), 422
круговая при тормозном излучении Р-ча-
стиц 418, 423
нейтронов 144, 145
общие свойства 182—185
при л-р-рассеяпии 355
при рассеянии 154, 157—161, 162, 164,
165—167, 170, 173
Правила написания матричных элементов
в квантовой электродинамике 303, 311
в ядерной физике 342, 372
в слабых взаимодействиях, Р-распаде 355
для слабых токов 449, 452
Правила отбора
для -у-излучения 213—215
Гамова — Теллера, разрешенный р-рас-
пад 404, 411
по С-четности 391, 392
и запрещенные пе'реходы 416, 417
по изоспину 230—233, 257
в ц-распаде и р-захватс 443—445
в нуклон-аптинуклонной аннигиляции
387—394 * «
в позитрония аннигиляции 387—394
в протонной аннигиляции 387
462
Преобразования матрица для дираковских
состоянии 284—288 (6.14)
Принцип Паули 53
операторы обмена 56
энергия симметрии 78
Причинность 363
Проекционный оператор
для 1 = 14- 1/2 132
изоспппа «вверх» и «вниз» 51
правой и левой спиральности 424, 425
спина «вверх» и «вниз» 20
триплета и синглета 24
электронный и позитронный 295
Промежуточный бозон слабого взаимодей-
ствия 444—446
Промежуточные ядра 61—68; (2.14)
Пропагаторы электронные и для
дираковских частиц 298
мезонов, см. свойства 342
фотонов 307
Протоны
возбужденные состояния 257, 258, 348
испускание ядром, энергетические усло-
вия 81
р-р-рассеяние 149—150 (3.4)
рассеяние на Не4 60
рассеяние нейтронов см. Нейтронов свой-
ства 36
структура, размеры см. формфакторы
Протоний 387—388
Псевдовекторные величины 26
Псевдовекторный (или аксиально -вектор-
ный) мезон 325, 326
Псевдовекторные источники и связи 326
Векторная теория Р-распада 410, 412, 414
Псевдоскалярные величины 26
Псевдоскалярный мезон 326, 331
Псевдоскалярная мезонная связь 326,
331—335 (7.14), 347, 344
Псевдоскалярная теория Р-распада 410—412
Псевдоскалярная связь при ц-за хвате
441—443
Пуппи треугольник 438, 446, 449
PC-преобразование, инвариантность 435
РСТ-преобразование, инвариантность 435
Разрешенные переходы в Р-распаде 404
Разрешенное приближение в р-распаде 407,
411
Радиационные эффекты в Р распаде 410,
417—420 (8.17), 423
Радиус ядра 62, 66, 71—73 (2.21)
нейтрона 148
протона 149
Рарита и Швингера уравнение 46
Распространение электронов и позитронов
296—300 (6.22)
вакуумное ядро 296
ядро взаимодействия 300—301
Рассеяние 116—185 (3)
у-квантов (см. комптон-эффект)
пионов нуклонами 347—369 (7.2)
Рассеяния матрица 248—253 (5.13, 5.14)
Реакции ядерные 240—273 (5)
Резерфорда рассеяние 61, 149, 354
релятивистских электронов 303, 313—315
Резонансное поглощение у-квантов 235
Резонансы гигантские для у-квантов 92, 235
и полюса в амплитуде рассеяния 360
в .ч-Л'-расссяпии 347
в ядерных реакциях 253—256 (5.15)
260—262 (5.22)
Релятивистская инвариантность уравне-
ния Дирака 284—288 (6.14)
Релятивистское волновое уравнение Ди-
рака 280
Релятивистские обозначения 277
Релятивистское уравнение Клейна — Гор-
дона 278
Рентгеновское излучение мезоатомов
мюонных 72, 327, 352
пионных 327, 352—354
Рождения операторы, см. Аннигиляции и
рождения операторы
Рождение пионов при аннигиляции нуклон-
ных нар 388
в нуклоп-нуклонных столкновениях 378,
383 (7.34)
в л-пуклонных столкновениях 383—387
(7.35)
у-квантами 369—375 (7.31, 7.32)
Ро-мезон (S) 368, 384—387 (7.35) 393
и формфактор нуклонов 396
Сверхпроводимость 95, 105, 107
Связи константы
аксиальная или Гамова—Теллера 413,415
векторная или Ферми 409, 410
другие конставты связи 411, 413
для р-захвата 439—443
для ц-распада 437
пион-нуклонная 325, 336, 343, 360,
363, 375
слабого взаимодействия для Р-распада
407, 411
соотношение' между константами 343
Связи энергия 10, 36, 61, 80
Связь через производные волновых функ-
ций
в Р-распаде 413
в пион-нуклонном взаимодействии 325—
326
Сербера силы 163
Сечение эффективное, формулы и теория
аннигиляция позитронов, 319
борновское приближение для рассеяния
нуклон—нуклон, 161—163 (3.53)
для рассеяния пион—нуклон, 355,
360 (7.24)
дейтона фоторасщепления, 207, 211 (4.22)
дисперсионная формула Брейта — Виг-
нера, 253—256 (5.15)
захвата нейтрона протоном, 212
захвата нейтрона ядрами, 245—256
(5.11—5.15)
комптоновского рассеяния, 404.
кулоновского возбуждения, 235
мёллеровского рассеяния (электронов
электронами), 309
нейтронов быстрых, 263—269, (5.23—
5.24)
нейтронов магнитного рассеявия, 141 —
145 (3.31)
нейтронов медленных, 260—262, (5.22)
нейтрон-протонного рассеяния
при малых энергиях, 124—129, (3.14,
3.15)
на орто- и параводороде, 129—133
(3.16, 3.17)
непрозрачной сферы, 247
в оптической модели, 265, 269 (5.24)
оценки статистические, 241
пион-нуклопное
дифференциальное, 350—352, (7.21)
из псевдоскалярной теории, 355—357
полное 347, 350 (7.21)
30* 463
Сечение преломляющей сферы, 151
— рассеяния с поглощением 246—248
рассеяния упругого 5-волпы, спин О
121-122
рассеяния упругого 5-волны, спин 1/2
и 1/2 122—124
рассеяния упругого всех воли со спи-
нами 153. 181, 185
резерфордовского рассеяния релятиви-
стских электронов (моттовское рассе-
яние), 313 — 316
фоторасщепления дейтопа, 207—211,
(4.22)
— фоторасщепления ядер, 235—239, (4.43)
Сечение эффективное, Экспериментальные
данные
— нейтрон — ядро 259, 261, 262, 264, 268
п — Не 155, 158
захват нейтрона протоном 140, 198
м-р-рассеяние, высокие энергии 177
м-р-рассеяпне, малые энергии 117,131,137
пион-нуклонное рассеяпие 347
пионов фотообразование 369, 375
пионов образование нуклонами 379, 380
р-р-рассеянпс высокие энергии 170, 172
р-р-рассеяние, малые энергии 190
Сильное взаимодействие см. Мезоны, нук-
лон-нуклопное взаимодействие.
Симметрии, см. Законы сохранения, инва-
риантность
Симметрии эффекты в ядрах 63—65 (2.13) —
78, 80
Скалярные величины 26
Скалярный источник мезонов п связь 325,
326
Скалярный мезон 323
•Скалярная теория Р-распада 410—412
см. также Изоскаляр
Скорость в теории Дирака 283
Слабые взаимодействия 41)0—455
Слабый магнетизм 450—453
•Слабый ток 448—453 (8.35)
След матрицы плотности 184, 185
метод усреднения по спину 182
в теории Дирака 312, 313
Синглетное состояние дейтона 50, 53, 126,
131, 207, 336
для двух частиц со спином 1/2 24
Составное ядро 113, 235, 253, 258—260
(5.21)
Сохранения законы 7—36 (1.1)
для барионов 443
для Р-распада 40 , 435
для лептонов 400, 401, 406, 443, 445
см. также Инвариантность
Спин
зависимость ядерных сил от спина 38
орбитальная связь 41, 61, 84—87, 162,
180, 368—369
переворачивание 125, 129, 154, 156
свойства прп обращении времени 34, 35
спин 1/2, сипи 1/2, спип 1 17—25 (1.14)
в теории Дирака 279, 280, 282, 283, 288
см. также Момент количества движения,
Поляризация, Рассеяние
Спиноры 283, 291, 295 (6.21)
Спиральность 26
p-нейтрино и угловые корреляции 424,
425, 426
Р-электронов 422. 423, 426
в двухкомпонептнон теории 429, 430
— в ц-распаде 436—438
Спиральность в л-распаде 453
Срыва реакции (стрипинг) 353—358 (5.25)
Стабильность ядер 81—84
Старшинство 103. 104
Статистические множители 240—245; (5.11),
313
Столкновения амплитуды 246
Структура электромагнитная протона и
нейтрона, см. Формфакторы
Сумм правило 236, 238
Супермультиплеты (Вигнер) 65
Сферические гармоники 13
Сферические векторные гармоники 200
Сферические функции Бесселя 15
Тензор неприводимый 23, 29
Тензор спина в теории Дирака 279, 288
Тензор электромагнитный 277
Тензорная связь мезонов 326
теория—Р-распада 410—412
Тензорные силы 39, 55, 114
в псевдоскалярной мезонной теории 334
в уравнении дейтона 46—48 (1.25)
Токи, в теории Дирака 283—288, 311
Тормозное излучение 304, 309
внутреннее при р-распаде 417—420, 423
Тяжелые ядра 71—115 (2.3)
Угловое распределение Р-частиц, 420—421,
427
вторичных частиц прп ядерных реакциях
335—338 (5.16)
у-квантов 202, 218
при рассеянии см. рассеяние
при реакции срыва 272
при фоторасщеплении дейтрона 206, 209
прп фоторожденип пиона 258
Угловые корреляции у-у 217—220 (4.83)
связь со спиральностью 424
электрон — нейтрино 408, 411, 413—415
Универсальное фермиевское взаимодейст-
вие 435—443
и ц-захват 438—443 (8.32)
и ц-распад 435—438 (8.31)
Унитарность матрицы рассеяния 252
Уровни ядерные, см. возбужденные состоя-
ния
Фазовые сдвиги, упругое рассеяние 120
анализ п-Не-рассснпия 154—161 (3.52)
анализ н-р-рассеяния 176—178
анализ р-р-рассеяния 170—176
анализ л-.У-расссяпия 350—355 (7.22—
7.23)
комплексные фазовые сдвиги и поглоще-
ние 245—248 (5.12)
Фейнмапа диаграммы и правила
для Р-распада 406
для взаимодействия мезоп-нуклон-фотон
370—375
для образования мезонов 378, 381
для взаимодействия мезон-нуклон 341 —
343
для взаимодействия электрон-фотон
306-311 (6.24)
см. также правила
Ферми-газа модель 76—80 (2.24)
Ферми график в Р-распаде 403
Ферми правила отбора в Р-распаде 404, 409
Ферми теория Р-распада 405—410
Физическая область 363
Фирца интерференционные члены 413
Фононы, взаимодействие с квазичастп-
цами 112
— взаимодействие с квазичастицамп
464
в твердых телах п эффект Мёссбауэра
235
в ядрах 91
Формфакторы, магнитные, атомов 142
нуклонов 146 — 149 (3.33), 150, 290, 310,
394—337
пионов 397
Фотоны виртуальные 225, 303, 307, 313,
315
и квантование электромагнитного поля
190—193, 203
поведение волновой функции при заря-
довом сопряжении 321
рассеяние, см. Комптон-эффект
четность, спин, момепт количества дви-
жения, см. мультипольное излучение
Фотоны поглощение и испускание, пио-
нами 369—378
иолукласспческое рассмотрение 187—
189
релятивистскими фермионами 303—306,
307-311
ядрами 187- 239 (4)
Фоторождеиие пионов 369—375 (7.31, 7.32)
Фоторасщепление дейтона 36, 206—212
(4.21—4.23)
сложных ядер 235 238 (4.43)
/т-произведение 403 —405 (8.12)
Химический потенциал 106, 107
Циркулярные координаты 16
в изопростраистве 339
Четно-нечетные эффекты в ядрах 65, 68,
80 см. также
парность
Четно-нечетные ядра
энергия 0-распада 83
магнитные моменты 74—75
Четности нарушения в 0-распаде 420— 434
(8.21—8.24)
в ц-захвате 443
в р-распаде 435—438
Четность 25—29 (1.15)
внутренняя 27—29
дейтона 83
G четность, правила отбора 514—515
Li7, определение 337
мезонов, см. ц-,л-,р-, ы-мезоиы
орбитальная 27—29
основных состояний ядер 75
сохранение ч. и угловое распределение
в реакции 256
сохранение ч. и правила отбора для у-
излучеиия 213—216 (4.31)
сохраняющие ч. теории 0-распада 400-
420 (8.1)
сохраняющие ч. теории р-распада 435
электромагнитного ноля излучения, см.
мультипольные переходы
электрон-нозптронной пары 320
ядерных состояний по поляризации у-
излучепия 219
Четно-четные ядра, 65, 68, 75, 73
вращательные состояния 90
энергетическая щель и квазичастицы 106
энергия 0-распада 83
Чу и Л оу формула
Ширина резонансов 235, 253—255 (5.15),
258—260 (5.21)
Шмидта пределы 75
Экзотермические реакции
статистический множится!. 241
Электромагнитная структура нуклопов, см;
формфактор
Электромагнитное поле
взаимодействие с нерелятпвпстскпмп
нуклонами и ядрами 187—239
с пионами 369—378
с релятивистскими фермионами
275—321
Электромагнитного поля тензор 278
Электрона радиус 276
Электронов двухкомпоиептная теория
429
Электронов, высокой энергии, рассеяние,,
дейтонами 149
ядрами 72
протонами 146
Электронов релятивистская теория 275—
321 (6)
Электроны, магнитное рассеяние медленных
нейтронов 141—145
см. также Внутренняя конверсия, 0-рас-
пад, образование пар
Электростатическое отталкивание в ядрах
59, 65—68, 71, 72, 80
Эндотермические реакции,
статистический множитель 236
Эпергия, баланс в 0-распаде 400
сохранение 3
щель 96, 103, 106, 108, 109 — 111
положительные и отрицательные значе-
ния для дираковских спиноров 275—
291
ц см. Эта-мезон
Эта-мезон пли эта-частица 321, 390 —
393
Эффективный радиус 126—129, 360, 367
в нейтроипо-нротонном синглете 137
в протон-протон системе 150
в пейтроп-протонном триплете 367
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 3
Из предисловия автора ... . . 5
Глава 1. Общие свойства ядерных сил . .. 7
А. Перелятивистские законы сохранения и симметрии пространства и времени . 7
§ 1. Введение .......................... . 7
а. Проблемы ядерных взаимодействий . .7
б. Силы и законы сохранения .... 8
§ 2. Сохранение энергии и импульса и однородность пространства и времени 8
а. Сохранение энергии................................................. 8
б. Сохранение импульса................................................ 9
в. Сохрапенпе массы и числа частиц . . . . . . . 10
§ 3. Сохрапенпе орбитального момента количества движения и изотропия про-
странства ........................................................... 10
а. Сохранение орбитального момента количества движения . ............ 10
б. Орбитальный момент количества движения и операторы поворотов ... Ц
в. Коммутационные соотношения для операторов поворота и момента
количества движения ............................................... 12
г. Собственные функции момента количества движения . . . 13
д. Применение декартовых циркулярных координат....................... 16
5 4. Сохранение полного момента количества движения. Спины 1/2 и 1 17
а. Разложение бесконечно малого поворота на орбитальную и внутреннюю
составляющие ........................................................ 17
б. Метод матриц Паули для двухкомпонентных волновых функции (спин 1/2) 18
в. Векторные волновые функции (спин 1)............................... 20
г. Собственные функции полного момента количества движения и векторное
сложение моментов количества движения . ......... 22
§ 5. Инвариантность к инверсии пространства и сохранение четности . 25
а. Оператор четности................................................. 25
б. Инвариантность к отражению в классической физике 26
в. Сохранение четности в квантовой механике ... 27
г. Орбитальная, внутренняя и полная четности . ........... 28
§ 6. Статические электрические и магнитные мультиполи высших порядков 29
а. Определение мультиполей ............................................ 29
б. Ограничения, возникающие из сохранения четности .................. 31
в. Ограничения, возникающие из сохранения момента количества движения 31
§ 7. Инвариантность к обращению времени . . 33
а. Поведение состояний Шредингера ... ........ 33
б. Обращение времени для электромагнитного поля . 34
в. Поведение состояний Паули............................ . 34
Б. Силы между нейтроном и протоном; дейтон . . 36
§ 8. Свойства нуклонов и дейтона 36
а. Протон и нейтрон.................................................. 36
б. Свойства ядер с двумя нуклонами . . 37
§ 9. Общее рассмотренпе сил между нейтроном и протоном . 37
а. Качественные характеристики пейтрон-протонных сил 37
б. Описание (п — р)-взаимодействия................'.................. 38
в. Наиболее общая форма не зависящего от скорости гамильтониана для
двух частиц со спином 1/2............................................ 39
г. Силы, зависящие от скорости................................ .... 40
§ 10. Дейтон как чистое S-состояние..................... ... . 41
а. Волновое уравнение для центральных сил............................ 41
б. Соотношение между шириной и глубиной потенциальной ямы............ 43
466
§ 11. Дейтон как смесь S- и D-состоянпй . . . . ................. 44
а. Поправки к волновой функции дейтона 44
б. Магнитный момент дейтона и величина PD................. 45
в. Квадрупольный момент ...................................... 46
§ 12. Дифференциальные уравнения для радиальных функций v (г) и w (г) . . 46
а. Уравнения Рарита и Швипгера ... ... 46
б. Пример современных решений . ......... 18
В. Нуклон-нуклонные силы ................. . . . 49
§ 13. Гипотеза зарядовой независимости................................. 49
§ 14. Формализм изоспина ............................................ 50
а. Введение понятия пзоспина................ . 50
б. Изоспин многих нуклонов .... . ... 52
в. Прпмер для /1 = 2 ... . ->2
г. Принцип Паули для нуклонов........................................ 53
д. Подобие и различие между спином и изоспином . . 53
§ 15. Зарядово независимый гамильтониан........................... .... 54
а. Сохранение изотопического спина................................... э4
б. Зарядово независимый гамильтониан . . 55
в. Операторы обмена и обменные силы . .............................. 56
Литература к гл. 1.............................. . ........ . . 57
Г л а в а 2. Модели ядра ..... . ........... ................ 58
А. Легкие ядра ............................................................ 58
§ 1. Ядра с тремя и четырьмя нуклонами ................. 58
а. Н3 и Не3........................................................... 58
б. Электростатическое отталкивание ................................... 59
в: Не«............................................................... 60
§ 2. Ядра с пятью нуклонами. Спин-орбитальная связь и насыщение .... 60
а. /1 = 5. Рассеяние нейтронов и протонов на Не...................... 60
б. Спин-орбитальная связь............... ... .... 61
в. Насыщение и обменный характер ядерных сил . 61
§ 3. Легкие ядра. Явления симметрии............ ..................... 63
а. Явления симметрии ............................................. 63
б. Четно-нечетные эффекты ............................................ 65
§ 4. Промежуточные ядра. Электростатические эффекты . 66
а. Кулоновское отталкивание........................................... 66
б. Конкуренция между симметрией и электростатическими эффектами ... 68
§ 5. Энергетические уровни легких ядер............................ . . 68
Б. Средние и тяжелые ядра............................................. . 71
§ 6. Плотность ядерного вещества....................................... 7J
а. Радиусы ядер на основании энергии кулоновского отталкивания ... 71
б. Измерения радиусов ядер с помощью сильно взаимодействующих частиц 72
в. Измерение радиусов ядер с помощью электронов и мюонов............ 72
§ 7. Магнитные моменты ядер в модели независимых частиц . . . 73
а. Четно-четные ядра и парные эффекты............................... 73
б. Четно-нечетные ядра......................................... . 74
в. Нечетно-печетные ядра . . .... ... 74
§ 8. Состояние ядерного вещества («конденсированное» или «газообразное»?) 76
§ 9. Модель ферми-газа . . . . ............. 77
а. Симметричный нуклонный газ . . . 77
б. Несимметричный нуклоппый газ................................. . 78
в. Экспериментальное изучение внутриядерных движений . 78
г. Возбужденные состояния........................................... 78
§ 10. Полуэмпирическая формула масс (капельная модель)................ 80
а. Формула масс..................................................... 80
б. Стабильность к испусканию тяжелых частиц . . 81
в. P-Стабильность изобар ... .. . . 82
г. Возбужденные состояния.................... 83
д. Деление ядра................................................... 84
5 11. Оболочечная модель .......................................... . 84
а. Магические числа.............................. ................ 84
б. Оболочки в прямоугольной потенциальной яме...................... 85
в. Оболочки в прямоугольной яме со спин-орбитальной связью......... 86
г. Многочастичные конфигурации .................................. 88
467
§ 12. Коллективные движения и единая модель Бора и Моттельсона 88
а. Описание модели ...................................... . . 88
б. Коллективные вращательные состояния............................... 89
в. Колебания и другие коллективные движения . . . . 92
г. Оболочечная модель для несферической потенциал г,ион ямы 93
В. Многочастичная теория ядерных моделей . . ... 93
§ 13. Модель оболочек со взаимодействиями 93
а. Описание модели .................................................. 93
б. Энергетическая щель и парные силы..................... . . 95
в. Длиннодействующпе силы и коллективное повсдеппс 96
§ 14. Многочастичные состояния и наблюдаемые........................... 96
а. Антисимметричные состояния большого числа фермионов............... 96
б. Многочастичные наблюдаемые...................................... 98
§ 15. Эффекты парности и вычисление квадрупольных моментов . 100
а. Рассмотрение эффектов парности.................................. 10()
б. Операторы парных частиц и их состояния 100
в. Оценка квадрупольных моментов................................ 102
§ 16. Парное взаимодействие и «сениорити» (старшипство) внутри оболочки 103
а. Гамильтониан модели оболочек с парными силами . 103
б. Расчет парной энергии и «сениорити».............................. 103
§ 17. Основные состояния ядер с парным взаимодействием между разными
оболочками............................................................ 104
а. Предварительное обсуждение .... 104
б. Пробная волновая функция Бардина . 107
в. Вариационный расчет ................................ ... 108
§ 18. Квазичастпцы и возбужденные состояния........................... 109
а. Метод квазичастиц ............................................... 109
б. Графическое представление для взаимодействующих квазичастиц . . 111
в. Возбужденные состояния ядра . . . .............112
г. Искажающие взаимодействия . . . ИЗ
Литература к гл. 2 ..................... . . 115
Глава 3. Анализ экспериментов по рассеянии»........................ . 116
А. Рассеяние нейтронов малых энергий...................................... 116
§ 1 Измерения нейтропных сечепий при энергиях ниже 10 Мэв............. 116
§ 2. Обзор теории рассеяния для бесспиновых частиц . . . 118
а. Разложение плоской волны по сферическим волнам . 118
б. Формализм рассеяния ............................................. 119
в. Зависимость фаз от энергии для короткодействующего потенциала
рассеяния ........................................................ 120
§ 3. 5-рассеяние для спина 0 и 1/2 .... 121
а. Амплитуда и длина рассеяния 5-волны 121
б. 5-рассеяние частиц со спином 1/2...................... . . 122
в. Рассеяние неполяризованных пучков............................. . 124
§ 4. Обсуждение п—р-рассеяпия в приближении нулевого радиуса ... 121
а. Приближение нулевого радиуса при нулевой кинетической энергии 124
б. Приближение нулевого радиуса при конечной энергии............ 126
§ 5. Теория эффективного радиуса, не зависящая от формы ямы . . . 126
а. Поперечное сечение для прямоугольной ямы конечной ширины . 126
б. Полезное тождество в теории, не зависящей от формы ямы 126
в. Эффективный радиус.................................... . . 128
§ 6. Когерентное рассеяние на молекулах водорода и знак as . 129
а. Качественное обсуждение рассеяния на орто- и параводороде........ 129
б. Поправка на приведенную массу при рассеянии на связанных протонах 129
в. Поперечные сечения для орто- и параводорода 130
г. Сравнение с экспериментом.................. . . 130
§ 7. 5-расссяние для спинов I и 1/2. Спин нейтрона ., ... 131
а. Матрица 5-рассеяния для спинов I и 1/2........................... 131
б. Сечения рассеяния нейтронов с произвольным спином на орто- и параво- 129
дороде ............................................................ 132
§ 8. Когерентное рассеяние на кристаллах.............................. 133
а. Когерентное и некогереитное рассеяние одинаковыми центрами . . . 133
б. Когерентное рассеяние на различных центрах....................... 134
в. Измерение когерентного рассеяния от кристаллов, содержащих водород 134
468
§ 9. Показатель преломления нейтронных волн . 135
а. Оптическая теорема.............................................. 135
б. Зеркальное отражение нейтронов ... . . . . 136
Б. Поведение нейтронов в веществе....................................... 137
§ 10. Замедление нейтронов.......................................... 137
а. Кинематика столкновений в 5-состояпии........................... 137
б. Скорость потери энергии при последовательных столкновениях . 138
в. Диффузия в пространстве, сопровождающаяся потерями энергии 139
г. Фермиевское уравнение возраста.............................. • 139
§ 11. Поведение тепловых нейтронов................................... 140
В. Взаимодействие нуклонов с электронами................................. 141
§ 12. Магнитное взаимодействие между нейтронами и электронами . 141
а. Теория магнитного рассеяния............................... . 141
б. Вычисление сечения магнитного рассеяния......................... 142
в. Эксперименты по магнитному рассеянию............................ 144
§ 13. Другие взаимодействия медленных нейтронов и электронов 145
а. Нейтрон-электронпые взаимодействия ... . . 145
б. Экспериментальные работы........................................ 145
§ 14. Рассеяние электронов высокой энергии нуклонамп 146
а. Рассеяние электронов протонами ... 146
б. Рассеяние электронов на нейтронах............................... 148
Г. Рассеяние протонов на протонах при низких энергиях . . 149
§ 15. Ядерное S-рассеяние протонов протонами......................... 149
Д. Рассеяние нуклонов высокой энергии.................................... 151
§ 16. Анализ по парциальным волнам для частиц со спином 151
а. Рассеяние бесспиновых частиц.................................... 151
б. Рассеяние частиц со спином...................................... 151
в. Спин 0 и 1/2................................... . 152
г. Спины 1/2 и 1/2. Нуклон-нуклонное рассеяние..................... 153
д. Поперечные сечения, поляризация и опрокидывание спина . 154
§ 17. Рассеяние нейтронов на Не . . . . 1э5
а. Структура матрицы рассеяния..................................... 155
б. Определение фаз рассеяния из дифференциального сечения 156
в. Поляризационные эффекты ..... ... 157
г. Поляризационные эксперименты .................. . . . 160
§ 18. Рассеяние при высоких энергиях в борновском приближении 161
а. Обычный потенциал............................................. 161
б. Обменные силы Майорана . .... 161
в. Спин-орбитальная связь . . . ........... 162
г. Сравнение с экспериментом......................... . 163
§ 19. Измерение поляризации при рассеянии частиц со спином 1/2 . . . . 164
а. Спины 0 и 1/2........................... . ..... 164
б. Спины 1/2 и 1/2............................................... 166
§ 20. Рассеяние при высоких энергиях и зарядовая независимость....... 167
а. Нуклон-нуклонное рассеяние . ...... 167
б. Мезон-нуклонное рассеяние ............................... ...... 169
§ 21. Результаты изучения протон-протонного рассеяния при высоких энер-
гиях ............................. . . . . 169
а. Описание опытов ..................... ... . 169
б. Экспериментальные результаты . 169
в. Фазовый анализ . ............................................ 173
§ 22. Результаты по рассеянию нейтрона на протоне при высоких энергиях 176
а. Экспериментальные данные ... . . . . 176
б. Фазовый анализ для п-р-рассеяния . . ..... 178
§ 23. Потенциалы ядерного взаимодействия . 178
а. Значение потенциалов.............. ... . 178
б. Потенциалы из мезонных теорий .............................. ... 178
в. Феноменологические потенциалы................................. 179
г. Полуфепоменологические потенциалы .............'. ..... 180
§ 24. Матрица рассеяния и матрица плотности для произвольных спина
и поляризации............................................. . . 181
а. Матрица рассеяния для произвольных спинов....................... 181
б. Поляризованный, неполяризоваппыи и частично поляризованный пучки 182
в. Матрица плотности .................... .............. . . 184
г. Использование матрицы плотности в задачах по рассеянию........... 185
469
Литература к гл. .3 .............................. 185
Глава 4. Взаимодействие нуклонов с излучением . . . . 187
А. Теоретическая формулировка ....................................... . 187
§ 1. Квазиклассическое рассмотрение .... . 187
а. Введение ................................................ . 187
б. Гамильтониан .................................... . 187
в. Результаты теории возмущений .... . . 188
г. Введение фотонов ........................ . 188
§ 2. Квантование поля излучения .... ............. 189
а. Система частиц и излучения .... . ... 189
б. Состояния свободного излучения ... 189
в. Гамильтониан свободного излучения ... 190
г. Квантование поля свободного излучения ... 191
д. Взаимодействие между частицами и излучением . . . . . 194
§ 3. Поля мультиполей............................. . 195
а. Разложение поля излучения по сферическим волнам . . 195
б. Мультппольные поля ............................ 195
в. Аналитическое выражение для мультипольных полей . 196
§ 4. Мультилольные поля вблизи источника.......... 198
а. Приближение для кг -С 1............................ 198
б. Промежуточная зона (кг 1) и орбитальный момент . . . 199
§ 5. Угловое распределение и поляризация мультипольных полей в волновой
зоне .................................................................. 200
а. Связь между мультипольными полями и векторными сферическими гармо-
никами .............................................................. 200
б. Дипольные и квадрупольные поля . . 201
§ 6. Примеры разложения на мультиполи . .... 202
а. Разложение плоской волны ....................................... 202
б. Поле излучения как сумма квантованных мультиполей.............. 203
§ 7. Вероятности мультипольных переходов . . . . 204
а. Матричные элементы ........................................ 204
б. Вероятности переходов....................... .............. 205
Б. Взаимодействие системы нейтрон — протон с излучением .... 206
§ 8. Экспериментальные данные и качественное рассмотрение расщепления дей-
тона ............................................... .... . . 206
а. Описание экспериментов............ ............ . 206
б. Качественное рассмотрение процесса . . .......... . . 207
§ 9. Расчет сеченпя фоторасщепления . ... 207
а. Начальное и конечное состояния . . 207
б. Гамильтониан взаимодействия .......... 209
в. Сечение фотоэлектрического расщепления . ........ . 210
г. Сечение фотомагнитного расщепления ... 211
§ 10. Сравнение теории с экспериментом ... . ...... 212 •
а. Фоторасщепление ............... ............ . . . 212
б. Захват нейтронов протонами . . . . 212
В. Испускание у-квантов ................................ 213
§ 11. Правила отбора по спину и четности для мультипольного излучения . 213
а. Значение высоких мультиполей в ядерной физике.......... 213
б. Момент количества движения и правила отбора по четности . 214
в. «Чистота» мультиполей ................................. 21.5
§ 12. Прямое наблюдение мультипольных полей......................... 216
а. Экспериментальное выделение ядерных переходов и измерение углового
распределения.............. . . . . . 216
б. Измерение поляризации . . . . 216
§ 13. Угловые и поляризационные распределения и корреляции.......... 217
а. Относительные вероятности переходов для различных магнитных под-
состояний .......................................... . . . . 217
б. Угловое и поляризационное распределения . .' 218
в. Угловые и поляризационные корреляции .... 218
г. Влияние внеядерных полей на угловые корреляции . 219
§ 14. Оценки вероятностей радиационных ’переходов . 220
а. Оценка для одночастичного перехода......................... 220
б. Более точная оценка одночастичных матричных элементов .... 221
в. Вероятности переходов и ядерные модели......................... 222
470
§ 15. Внутренняя конверсия ... 223
а. Описание процесса .............................................. 223
б. Элементарное вычисление коэффициентов внутренней конверсии для элект-
рических мультиполей ............................................... 224
в. Определение мультипольности из измерений конверсионных электронов 226
г. Вклад при ге < га . . . ... ... 226
§ 16. Среднее время жизни возбужденных ядерных состоянии 227
§ 17. Правила отбора по изотопическому спину . . 231
а. Формулировка правил отбора...................................... 231
б. Сравнение с экспериментом....................................... 232
Г. Поглощение у-излучения................................................ 233
§ 18. Резонансное поглощение....................................... 233
а. Исследования до открытия эффекта Мёссбауэра . 233
б. Эффект Мёссбауэра............................................... 234
§ 19. Кулоновское возбуждение ... . . 235
§ 20. Фоторасщепления сложных ядер ... 235
а. Экспериментальные данные ....................................... 235
б. Элементарная интерпретация гигантского резонанса . . 236
в. Квантовомеханическое рассмотрение. Использование правила сумм . 237
. 1итература к гл. 4.................................................... 239
Глава 5. Ядерные реакции............................................... 240
\. Асимтотическое описание ядерных реакций . ... 240
§ 1. Статистические множители . . 240
а. Доступный фазовый объем......................................... 240
б. Пример нерелятивистской ядерной реакции 241
в. Релятивистские примеры из Р-распада . . . 242
§ 2. Анализ парциальных волн для рассеяния с поглощением . 245
а. Введение комплексного сдвига фаз . . . . 245
б. Амплитуды столкновения........................................ 246
в. Поглощение и рассеяние, соответствующие логарифмической производной
на сферической поверхности.......................................... 247
§ 3. Каналы реакций: матрица соударений (рассеяния) . 248
а. Спиновые и орбитальные каналы................................... 248
б. Каналы реакций ... ......... 249
в. Матрица столкновений (или рассеяния) 249
г. Эффективные сечения ... . . 250
§ 4. Свойства матрицы рассеяния...................................... 251
а. Взаимность............................... . 251
б. Принцип детального равновесия . . . . . . 251
в. Унитарность...................................................... 252
г. Ограничения для упругого рассеяния, следующие из унитарности 252
§ 5. Резонансы....................... 253
а. Резонансы и промежуточные состояния . 253
б. Резонансы как нулевые точки в значениях логарифмической производ
ной на поверхности ядра........................ . . . 253
§ 6. Угловое распределение продуктов реакции . . 256
а. Общие соображения.................. . 256
б. Следствия из сохранения пзоспина . 257
в. Пример: четность Li7......................................... . 257
г. Пример: квантовые числа первого возбужденного состояния протона . . 258
Б. Ядерные реакции и модели ядер......................................... 258
§ 7. Промежуточное ядро ............................................. 258
а. Ширина резопансов для медленных нейтронов....................... 258
б. Модель конденсированного вещества для промежуточного ядра . 259
§ 8. Объяснение поперечных сечений медленных нейтронов . 260
а. Экспериментальные данные............................... . . 260
б. Отношение вероятностей рассеяния и радиационного захвата 262
в. Плотность уровней .............................................. 263
§ 9. Поперечное сечение нейтронов в неупругой области . . 263
а. Экспериментальные результаты................................. . . 263
б. Непрерывная теория ядерных реакций . . ... 264
в. Спектр неупругих нейтронов...................................... 265
471
§ 10. Оптическая модель поперечного сечения нейтронов . . . 265
а. Промежуточная энергия........................................... 265
б. Поперечные сечения при высоких энергиях и образование звезд 268
§ И. Реакции срыва и реакции подхвата............................... 270
а. Элементарное описание процессов................................. 270
б. Реакция срыва и ядерная модель независимых частиц 271
в. Влияние межоболочечных взаимодействий . 273
Литература к гл. 5...................................................... 274
Глава 6. Релятивистское взаимодействие фермионов с излучением 275
А. Формулировка теории Дирака............................................ 275
§ 1. Обозначения . ......................... 275
а. Введение . ........................... . 275
б. Единицы............... . . . . ................ 275
в. Релятивистские обозначения ................ . . 276
§ 2. Релятивистские волновые уравнения для свободных частиц . 278
а. Уравнение Клейна — Гордона . . 278
б. Матрицы -у ..................................................... 278
в. Перечеркнутые векторы . . . 280
г. Уравнение Дирака . . 280
§ 3. Интерпретация решений уравнения Дирака 282
а. Нерелятивистское приближение.................................. . 282
б. Четыре решения для заданного импульса........................... 283
в. Ожидаемые значения дираковских матриц. Скорость и ток 284
§ 4. Инвариантность относительно вращений, отражения и преобразовании
Лоренца............................. . . .................... 284
а. Общее преобразование Лоренца .... 284
б. Преобразование ф .......... . . 285
в. Матрицы преобразования S . 286
г. Преобразование ф ............................................... 286
д. Пять тензоров теории Дирака..................................... 287
е. Тензоры Дирака в нерелятивистском приближении 287
§ 5. Электромагнитное взаимодействие ... 288
а. Точечный заряд. Электроны и мюоны . . . 288
б. Точечный магнитный момент: нейтрон ............................. 289
в. Частицы конечных размеров. Формфакторы нуклонов 290
Б. Электроны, позитроны и фотоны............... . . . . 291
§ 6. Спиноры свободных электронов и фотонов . . 291
а. Нормировка спиноров свободного электрона . 291
б. Спиноры свободного позитрона...................... . 292
в. Свободные спиноры состояний с положительной энергией 294
г. Проекционные операторы ....................................... 295
д. Связь между инверсией, обращением времени и зарядовым сопряжением 296
§ 7. Распространение свободных электронов и позитронов . . . 296
а. Волновая функция как четырехмерный поток 296
б. Вакуумное ядро К° и его полюса . . 298
в. Физическая интерпретация . . 299
§ 8. Теория возмущений . . 299
а. Ядро взаимодействия ............................................ 299
б. Амплитуда перехода первого порядка . . .................... 3(11
в. Вероятность перехода первого порядка. Взаимодействие с виртуальными
фотонами ..................................................... 302
г. Взаимодействие с точечными частицами . . 303
д. Процессы высших порядков........... . . 303
е. Взаимодействие с реальными фотонами . 304
§ 9. Диаграммы Фейнмапа и матричные элементы . . . 306
а. Процессы с участием электронов и фотонов . .> . 306
б. Примеры ................... . 308
в. Процессы с участием нуклонов . . 310
§ 10. Методы расчета ............. ............. . 312
а. Вычисление матричного элемента ................................ 312
б. Спиповые средние........................................ . 312
в. Вычисление следов 313
г. Внешние множители............................................... 313
472
1
11. Два примера процессов первого порядка ... . 313
а. Гезерфордовское рассеяние..................................... . 313
б. Расчет без использования следов . . . . 315
в. Рождение пар в ядерных нуль-нуль переходах....................... 316
§ 12. Электрон-позитронная аннигиляция при малой скорости ... . 317
а. Приближения, используемые в расчете . ....... . . . . 317
б. Вычисление матричного элемента . . 318
в. Вероятности перехода и поперечные сечения 319
г. Правила отбора для аннигиляции позитрония . 320
Литература к гл. 6........................ . 321
Глава 7. Физика пионов . ............ ........................ 323
А. Основные эксперименты и теоретические идеи................. ... 323
§ 1. Открытие мюопа и пиона.............. . . ... 323
§ 2. Предварительные теоретические идеи (без квантования поля)........ 324
а. Уравнения для скалярного и векторного мезонов в вакууме.......... 324
б. Источники мезонов ............................... . . 325
в. Метод Лагранжа .................. . . 326
§ 3. Основные свойства пионов и мюонов 327
а. Массы заряженных мезонов .... 327
б. Время жизни заряженных мезопов . . 328
в. Спины ........................................................... 328
г. Открытие нейтрального л-мезона и его свойства . 329
д. Четность л-мезонов.......................................... . 330
§ 4. Неквантованная псевдоскалярная мезопная теория с нерелятивнстской
связью................................................................ 332
а. Перелятивистское псевдоскалярное взаимодействие для нейтральных
мезонов ........................................................... 332
б. Нейтральное мезонное поле ................................ . . 333
в. Ядерные силы .................................................... 333
г. Изотопический спин пиона и зарядово-симметричный гамильтониан . . 334
§ 5. Сравнение с экспериментом....................................... 336
а. Сравнение для случая ядерных сил в синглетном S-состоянии .... 336
б. Триплетное состояние и необходимость обрезания .................. 337
в. Возможное существование второго нейтрального пиона ... . 338
§ 6. Квантование мезонного поля......................... . 338
а. Квантование свободного нейтрального поля......................... 338
б. Применение «циркулярных» осей в изопрострапстве ..................339
в. Квантование зарядово-симметричного поля .... . . . . 340
г. Матричные элементы для мезонных процессов ................... . 341
д. Эквивалентность между псевдоскалярной и псевдовекторной связью . 342
§ 7. Трудности теории сильных взаимодействий.......................... 343
а. Псевдовекторная и псевдоскалярная константы связи ............... 343
б. Теория возмущений и периферические соударения.................... 344
§ 8. Рассмотрение ядерных сил с точки зрения теории возмущений........ 346
Б. Рассеяние пионов на нуклонах.............. . ........................ 347
9. Полное сечение для л-р-рассеяппя . ...............347
а. Экспериментальные данпые . ... . . ... 347
б. Выбор квантовых чисел............... . . 348
в. Рассеяние с обменом зарядами .... . 349
§ 10. Дифференциальное сечение и фазовый анализ . . ............... 350
а. Определение фазовых сдвигов.................................... 350
б. Анализ фазовых сдвигов........................................... 351
в. Неопределенность в значениях фаз................................. 351
§ 11. Другие эксперименты для определения пион-н уклонных фазовых сдвигов 352
а. Рентгеновское излучение л-мезоатомов............................. 352
б. Интерференция между ядерным и кулоновским рассеянием ............ 353
в. Измерения поляризации .... . . '. 354
г. Величины фазовых сдвигов ... . 354
§ 12. Рассеяние пионов в псевдоскалярной теории. Низший порядок теории
возмущений ..................................... . . ............. 355
а. Сечения для различных зарядов ... 355
б. Амплитуды для заданных Т и J................................... 357
в. Вычисление сдвигов фаз. Значение полюсов ........................ 359
473
§ 13. Формула для эффективного радиуса взаимодействия . .... 360
а. Упрощенное рассмотрение сдвигов фаз . . . . . ......... 360
б. Современные теоретические исследования.......................... 362
в. Введение в аналитичность........................................ 362
г. Вывод уравнений Чу и Лоу из условия аналитичности .............. 364
д. Вывод уравнения Чу и Лоу из теории эффективного радиуса взаимо
действия............................................................ 365
§ 14. Ядерные силы и аномальные моменты.......................... ... 367
а. Ядерные силы................................................. 367
б. Аномальные магнитные моменты . . 368
в. Выводы ... . . .............. . 369
В. Рождение пионов ... ......... . . . . . 369
§ 15. Общее введение в фоторождение пионов . 369
а. Качественное описание явления .... . 369
б. Лагранжиан и гамильтониан взаимодействия ... 371
в. Матричные элементы и вершинные множители........................ 371
г. Поведение пионов при зарядовом сопряжении и обращение времени . . 372
§ 16. Сечение фоторождения ........................................ 373
а. Схема вычисления................................................ 373
б. Сравнение с экспериментом .......... ............ 375
§ 17. Захват пионов нуклонами.......................... . . 376
а. Захват остановившегося л_-мезона в водороде и дейтерии.......... 376
б. Сравнение данных для пионов низкой энергии . 377
§ 18. Рождение пионов в нуклон-нуклонных соударениях................. 378
а. Анализ изотопического спина и момента количества движения при низкой
энергии .......................................................... 378
б. Кинематический и изоспиновый анализ при промежуточной энергии . . 380
в. Теория периферических соударений . .......... ... 381
§ 19. Рождение пионов пионами и р-частица .... 384
а. Кинематический анализ рождения пионов пионами ... . 384
б. р-Частица ............................................... ... 385
в. Сечение ппоп-пионного рассеяния............................... 385
§ 20. Рождение пионов при аннигиляции пуклон — антинуклон и <в частица 387
а. Некоторые особенности аннигиляции нуклон — антинуклон.............. 387
б. Открытие со частицы ..... . ... 389
§ 21. трЧастица ....................... ... .........390
а. Открытие п свойства т) частицы.......................... ....... 390
б. Правило отбора по G-четностп и распад трчастпцы . . . 391
в. Квантовые числа мезонов и нуклонные пары . . . . 392
§ 22. Электромагнитная структура нуклонов .... . 394
а. Изоскалярный и изовекторный формфакторы......................... 395
б. Изоскалярпое и изовекторное электромагнитное взаимодействие нуклона 395
в. Эффект новых мезонов............................................ 396
г. Некоторые родственные вопросы.................................... 398
Литература к гл. 7....................................................... 398
Глава 8. Слабые взаимодействия........................................... 400
А. Ядерный |3-распад (теории с сохранением четности).................. . 400
§ 1. Введение.......................... . . . ... 400
а. Общее описание ядерного р-распада . ....................... 400
б. Нейтринные опыты................................................ 401
в. Кулоновские поправочные коэффициенты............................ 402
г. Экспериментальная форма спектра........................ . , 402
§ 2. Произведение /£ и правила отбора.............................. 403
а. Определение величины ft ... . . .............. . 403
б. Значения ft и правила отбора................................. 404
§ 3. Теория Ферми................................................... 405
а. Формулировка теории........................................... 405
б. «Разрешенное» приближение................... •.................. 408
в. Вероятность перехода.................... . . . 408
г. Определение фермиевской константы связи ....... . 409
§ 4. Другие теории с сохранением четности .......................... 410
а. Пять теорий, сохраняющих четность ..............................410
б. Угловые корреляции ........................................... 411
в. Ядерный матричный элемент....................................... 412
г. Теория со связью, зависящей от производных...................... 412
474
§ 5. Анализ экспериментальных данных...................................... 413
а Правила отбора и форма спектров...................................... 413
б. Эксперименты по угловой корреляции электрон — нейтрино . . 414
в. Определение константы gA............................................. 415
§ 6. Запрещенные переходы ... ................. ...............416
§ 7. Радиационные поправки............... . . . . . . . 418
а. Описание эффекта........................................ . . . 418
б. Расчет тормозного излучения при электронном захвате.................. 418
Б. Нарушение четности в ядерном Р-распаде....................................... 420
§ 8. Доказательство нарушения четности............................. . 420
а. Наблюдение несохранения четности в распаде Л-мезона................. 420'
б. Экспериментальное доказательство корреляции между спином ядра и
импульсом р-электрона........................... . . - . - 421
в. Спиральность электронов....................................... . 422
г. Спиральность нейтрино......................................... . 424
д. Связь между спиральностью и угловой корреляцией ...... . . 425
§ 9. Теория Р-распада с нарушением четности .............................. 425
а. Проекционные операторы спиральности........... . . 425
б. Матричный элемент, нарушающий четность ............ 426
в. Вероятности переходов и асимметрии...................... . . . 427
г. Общая формулировка теорий, не сохраняющих четность . . . 428
§ 10. Релятивистские уравнения для двухкомпонентпых спиноров 429
а Теория двухкомпонентного нейтрино ................................... 429
б. Двухкомпонептное уравнение для электрона.............................429
в. Двухкомповентная формулировка взаимодействия между «левыми» части-
цами ................................................................... 430
§ 11. Определение относительного знака векторного и аксиального взаимо-
действий из распада поляризованных нейтронов................. . . 431
а. Расчет асимметрии в распаде поляризованных нейтронов . .... 431
б. Измерение асимметрий в распаде поляризованных нейтронов.............. 432
в. Экспериментальные доказательства инвариантности относительно обраще-
ния времени......................... . . .... 433
В. Слабые взаимодействия р мезонов и л-мезонов............................ 434
§ 12. Распад р-мезона и идея универсального ферми взаимодействия 434
а. Аналогия между (3-распадом мюонов и нуклонов . . 434
б Теория распада ji-мезона с сохранением четности . 434
в. V — Л-теория .... 435
г. Сравнение с опытом . . 436
§ 13. Захват мезонов ядрами............................................ 438
а. Формулировка упрощенного фермп-взаимодействия 438
б. Захват мюона сложными ядрами........................................ 438
в. Универсальное ферми-взаимодепствие и сильные взаимодействия 439
г. Псевдоскалярное взаимодействие..................................... 440
д. Сравнение с экспериментом........................................... 442
§ 14. Правила отбора для распада и захвата р-мезопов. Открытие двух типов
нейтрино................................................................. 443
а. Законы сохранения для универсального ферми-взаимодействпя . 443
б. Две запрещенные слабые реакции . . . .... 444
в. Гипотеза промежуточного бозона .... . . . . 444
г. Поиски промежуточного бозона . . 445
д. Открытие двух разных нейтрино...................................... 446
§ 15. О различии между электронными и мюонными нейтрино . . 447
а. Магнитный момент и гиромагнитное отношение мюона . . . 447
б. Открытие мюопия и его сверхтонкое расщепление............... . . 447
в Возможная аннигиляция мюония...................................... 448
§ 16. Слабый ток и его сохранение........................................ 148
а. Слабый ток и слабые взаимодействия . . . . 448
б. Сохранение векторного слабого тока . .......... 449
в. Слабый магнетизм............................................. . 450
г. Опытное подтверждение существования слабого магнетизма . . . 452
д. Формфакторы для слабых взаимодействий .,..................... 452
§ 17. Распады л-мезона ........................................... . 453
а. я-р-распад ...... 453
б. л-е-распад.......................................................... 454
в. Дальнейшие соображения относительно распада пиона на два лептона . . 454
г. Трехчастпчный распад заряженных пионов . . .......... . 455
Литература к гл. 8 . . . . 455
Предметный указатель................................................... 458
С. де Бенедетти
ЯДЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Редактор С. А. Федорова
Художник А. Ф. Серебряков
Художественный редактор А. С. Александров
Технический редактор Н. А Власова
Корректор И. С. Мордасова
Сдано в набор 6. X. 1967 г.
Подписано в печать 24. VII. 1968 г. Формат 70xl08/i6
Бумага типографская № 1
Усл. печ. л. 41,65 Уч. изд. л. 39,43
Тираж 4500 экз. Заказ изд. 1513
Цена 3 р. 02 к. Заказ тип. 1370
Атомиздат, К-31, ул. Жданова, 5/7.
Московская типография JM5 16 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9.