Лоп1|лярны екции
ПО МАТЕМАТИКЕ
АС. СМОГОРЖЕВСКИЙ
О ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 23
А. С. СМОГОРЖЕВСКИЙ
О
ЛОБАЧЕВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957

11-2-1
АННОТАЦИЯ
Цель книги состоит в том, чтобы ознакомить
читателя с основными положениями неевклидовой
геометрии Лобачевского. Автор дает в книге
краткий очерк жизни и деятельности Н. И. Лоба-
Лобачевского и останавливается на вопросе о проис-
происхождении аксиом и их роли в геометрии.
Для понимания книги необходимо знание эле-
элементарной геометрии (в ее планиметрической ча-
части) и тригонометрии в объеме курса средней
школы. Кроме того, автор пользуется инверсией —
специальным геометрическим преобразованием,
основные свойства которого выясняются в одном
из первых параграфов книги.
Автор является крупным специалистом по гео-
геометрии Лобачевского, и его книга представляет
интерес не только для школьников — любителей
математики, но и для студентов младших курсоз
педагогических институтов и университетов.
Смогоржевский Александр Степанозач
Редактор В. А. Солодкоз
Техн. редактор Е. А. Ермакова	Корректор М. М. Шуламенко
Сдано в набор 11/VII 1957 г. Подписано к печати 12/IX 1957 г. Бумага 84X103/,,.
Физ. печ. л. 2,13. Условн. печ. л. 3,48. Уч.-нзд. л. 3,25. Тираж 2U 000 экз.
Т-08398. Цена книги 1 р.	Заказ .Ч> 2242.
Государственное издательство техникэ-теоретической литературы, Москва, В-71,
Б. Калужская ул., 15
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора	; .	4
§ 1. Краткий очерк жизни и деятельности Н. И. Лобачевского	5
§ 2. О происхождении аксиом и их роли в геометрии ....	8
§ 3. Инверсия		19
§ 4. Карта плоскости Лобачевского		27
§ 5. Окружность в плоскости Лобачевского		39
§ 6. Эквидистанта		43
§ 7. Предельная линия	•		44
§ 8. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского		45
§ 9. Дополнительные замечания		49
§ 10. О натуральных логарифмах и гиперболических функциях	50
§ 11. Измерение отрезков гиперболических прямых		55
§ 12. Основные формулы гиперболической тригонометрии ...	57
§ 13. Длины некоторых плоских кривых геометрии Лобачевского	62
Заключение		66
2 Зак. 2242. А. С Смогоржевский

ОТ АВТОРА
Цель настоящей книжки — ознакомить читателя с основ-
основными положениями неевклидовой геометрии Лобачевского.
Знаменитый русский ученый Н. И. Лобачевский был вы-
выдающимся мыслителем. Ему принадлежит одно из величай-
величайших математических открытий — построение своеобразной
геометрической системы, отличной от геометрии Евклида.
Краткие биографические сведения о Н. И. Лобачевском чи-
читатель найдет в § 1 нашей книжки.
Геометрии Евклида и Лобачевского имеют много общего;
различны в них лишь определения, теоремы и формулы,
связанные с аксиомой параллельности. Чтобы уяснить себе,
чем вызвано это различие, следует рассмотреть, как воз-
возникли и развивались основные геометрические понятия. Этому
вопросу посвящен у нас § 2.
Для понимания книжки, кроме знания геометрии (в ее
планиметрической части) и тригонометрии в объеме курса
средней школы, необходимо знакомство с преобразованием,
называемым инверсией. В § 3 мы даем обзор наиболее важ-
важных его свойств. Надеемся, что читатель без большого
труда и с пользой для себя овладеет содержанием этого
параграфа, который, как и § 10, играет в нашей книжке
хотя и вспомогательную, но весьма важную роль.

§ 1. КРАТКИЙ ОЧЕРК ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (по
новому стилю—1 декабря) 1792 года в семье бедного чи-
чиновника. Николай Лобачевский и два его брата рано оста-
остались на попечении матери, женщины энергичной и разумной.
Несмотря на крайнюю скудость средств, она определила всех
своих сыновей в Казанскую гимназию.
Н. И. Лобачевский учился в Казанской гимназии с 1802
по 1807 год, в Казанском университете — с 1807 по 1811 год.
Обладая блестящими математическими способностями, Лоба-
Лобачевский успешно прошел курс обучения и после окончания
университета был оставлен при нем для подготовки к про-
профессорскому званию, в котором и был утвержден в 1816 году.
Педагогическая деятельность Лобачевского оставила яр-
яркий след в памяти его учеников. Его лекции отличались
отчетливостью и полнотой изложения. Познания Лобачев-
Лобачевского в различных областях науки были обширными и раз-
разносторонними, что позволяло ему брать на себя чтение лек-
лекций не только по предметам математического цикла, но и
по механике, физике, астрономии, геодезии, топографии.
Избранный в 1827 году ректором Казанского универси-
университета, Лобачевский состоял в этой должности почти два-
двадцать лет. Талантливый и энергичный администратор, хорошо
понимавший задачи высшего образования, он сумел пре-
превратить Казанский университет в образцовое высшее учебное
заведение того времени. По его почину университет при-
приступил к изданию «Ученых записок». При Лобачевском
широко развернулось строительство университетских зданий
и была открыта астрономическая обсерватория университета.
Всемирную славу принесла Лобачевскому его научная дея-
деятельность. Он обессмертил свое имя созданием неевклидовой
2*	5

геометрии, которую в настоящее время по имени ее осново-
основоположника называют геометрией Лобачевского ')•
11 B3) февраля 1826 года на заседании Отделения физико-
математических наук Казанского университета Лобачевский
выступил с докладом, в котором впервые сообщил о сделан-
сделанном им открытии неевклидовой геометрии. Первым изложе-
изложением ее основ, появившимся в печати, был мемуар Лобачев-
Лобачевского «О началах геометрии», опубликованный в 1829—
1830 годах в журнале «Казанский вестник».
Открытие Лобачевского не было понято большинством
его современников; его геометрические труды получили от-
отрицательные отзывы как в России, так и за границей. Идеи
великого русского ученого были слишком смелыми и резко
расходились с господствовавшими тогда в науке воззрениями;
поэтому протекло немало времени, пока они завоевали об-
общее признание, пришедшее лишь после смерти Лобачевского.
Лобачевский не был разубежден нападками критики в пра-
правильности своих выводов и с присущей ему энергией и на-
настойчивостью продолжал заниматься разработкой созданной
им геометрической системы. Он публикует ряд работ, по-
посвященных вопросам неевклидовой геометрии. Последняя из
них, законченная Лобачевским незадолго до смерти, была
записана под его диктовку; сам он уже не мог писать из-за
поразившей его в старости слепоты.
Научная деятельность Лобачевского не ограничивалась
геометрическими исследованиями: ему принадлежит также
несколько фундаментальных трудов в области алгебры и ма-
математического анализа. Весьма остроумен и практичен най-
найденный Лобачевским метод приближенного решения алге-
алгебраических уравнений.
Философские воззрения Лобачевского имели ярко выра-
выраженную материалистическую направленность. Лобачевский
считал, что наиболее надежным средством проверки теоре-
теоретических выводов является опыт, практика. Он требовал
такого преподавания математики, которое приучало бы ви-
видеть за математическими действиями реальные явления жизни.
В 1846 году Лобачевский был отстранен от работы
в университете и назначен помощником попечителя Казан-
Казанского учебного округа. Хотя формально это было повыше-
1) Другое ее название — гиперболическая геоме-
геометрия— связано с тем, что в ней прямая линия, как и гипербола ев-
евклидовой геометрии, имеет две бесконечно удаленные точки (см. § 4).

нием по службе, но фактически таким путем высшее началь-
начальство постаралось избавиться от прогрессивно настроенного
и потому неугодного ему ректора; на новом посту, подчинен-
подчиненный попечителю учебного округа, Лобачевский был намного
больше стеснен в своих действиях, чем в бытность ректо-
ректором университета. Лобачевский тяжело переживал уход из
университета, с которым была связана вся его жизнь.
Ч-~«Щ
Скончался Лобачевский 12 B4) февраля 1856 года.
В 1896 году в Казани против здания университета был со-
сооружен памятник этому выдающемуся ученому J).
!) Более полные биографические сведения о Лобачевском чита-
читатель может найти в следующих книгах:
В. Ф. Каган, Лобачевский, М. — Л., 1948. Этот обширный труд
E06 страниц текста), кроме обстоятельно написанной биографии
Лобачевского, содержит также обзор его произведений.
В. Ф. Kara и, Великий ученый Н. И. Лобачевский и его место

§ 2. О ПРОИСХОЖДЕНИИ АКСИОМ
И ИХ РОЛИ В ГЕОМЕТРИИ
Для выяснения роли аксиом рассмотрим в общих чертах
наиболее важные этапы развития геометрии с древнейших
времен.
Родиной геометрии являются страны Древнего Востока,
где несколько тысячелетий тому назад в связи с потребно-
потребностями землемерия, архитектуры и астрономии были вырабо-
выработаны важные в практическом отношении правила измерения
углов, площадей некоторых фигур и объемов простейших
тел. Эти правила вырабатывались эмпирически (опытным пу-
путем) и, по-видимому, передавались устно: в древнейших до-
дошедших до нас математических текстах мы нередко встре-
встречаем применения геометрических правил, но не находим
попыток формулировать их.
С течением времени, когда расширился круг объектов,
к которым прилагались приобретенные геометрические зна-
знания, выяснилась необходимость формулирования геометри-
геометрических правил, и притом в наиболее общем виде, что обу-
обусловило переход в геометрии от конкретных понятий к
абстрактным. Например, правило, выработанное для измере-
измерения площади прямоугольного земельного участка, оказалось
пригодным для измерения площади ковра, поверхности стены
и т. п., в результате чего возникло абстрактное понятие —
прямоугольник.
Так сложилась система знаний, получившая название гео-
геометрии. На первой стадии своего развития геометрия была
эмпирической наукой, т. е. такой, все результаты которой
выводятся непосредственно из опыта.
Развитие геометрии пошло по новому пути, когда было
подмечено, что некоторые ее предложения не нуждаются
в эмпирическом обосновании, поскольку они могут быть
выведены из других ее предложений посредством умоза-
умозаключений, построенных по законам логики. В геометрии
в мировой науке, М. — Л., 1943. Небольшая популярно написанная
книжка.
П. А. Широков, В. Ф. Каган, Строение неевклидовой гео-
геометрии. Выпуск 1 серии «Геометрия Лобачевского и развитие ее
идей», М. — Л., 1950. В одном из разделов этой книги дано краткое,
хорошо выполненное изложение начал геометрии Лобачевского, до-
доступное широкому кругу читателей.
См. также статью «Лобачевский» в 25 томг Большой Советской
Энциклопедии B-е издание, стр. 314—317).

Начали различать предложения двух родов: установленные
опытным путем (позднее они были названы аксиомами) и до-
доказуемые логически на основе аксиом (теоремы).
Так как логическое обоснование, не требующее ни спе-
специальных приборов, ни многочисленных утомительных из-
измерений, в техническом отношении значительно проще эм-
эмпирического, то перед учеными античного мира встала,
естественно, задача свести к минимуму количество предло-
предложений первого рода (аксиом), чтобы тем самым облегчить
работу геометра, перенеся основную ее тяжесть в сферу
логического мышления. Эта цель оказалась достижимой, так
как геометрия абстрагируется от всех свойств тел, за ис-
исключением протяженности, — свойства весьма существенного,
но настолько простого, что всевозможные геометрические
соотношения могут быть выведены по законам логики из
ограниченного количества предпосылок — аксиом.
Так геометрия из науки эмпирической превратилась в де-
дедуктивную науку с характерным для ее современного со-
состояния аксиоматическим изложением !).
Первым дошедшим до нас систематическим изложением
основных положений геометрии были «Начала» Евклида, на-
написанные около 300 года до нашей эры. Этот труд построен
по следующей схеме: после определений и аксиом приво-
приводятся доказательства теорем и решения задач, причем каж-
каждая новая теорема доказывается на основе аксиом и ранее
доказанных теорем. Аксиомы не доказываются, а только
формулируются.
В течение двух тысячелетий «Начала» Евклида пользо-
пользовались в ученом мире непререкаемым авторитетом. Однако
одно место этого труда казалось не вполне оправданным.
Мы имеем в виду аксиому параллельности, которую Евклид
сформулировал так:
Если две прямые при пересечении с третьей прямой
образуют внутренние односторонние углы, сумма кото-
которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые,
продолженные неограниченно, встретятся с той стороны,
где эта сумма меньше двух прямых углов 2).
1)	Дедукция — вывод. Дедуктивной называется такая наука, в ко-
которой новые положения выводятся чисто логическим путем из пред-
предшествующих.
2)	В школьных учебниках геометрии аксиома параллельности
Евклида заменена следующим равносильным ей предложением:

Справедливость аксиомы параллельности Евклида не воз-
возбуждала сомнений. Неясность в отношении этой аксиомы
заключалась в другом: законно ли отнесена она к катего-
категории аксиом? нельзя ли доказать ее с помощью других аксиом
евклидовых «?1ачал» и, таким образом, перевести в разряд
теорем?
Первоначально попытки доказать аксиому параллельно-
параллельности отражали отмеченное выше стремление уменьшить ко-
количество геометрических предложений, требующих эмпири-
эмпирического обоснования. С течением времени положение изме-
изменилось: было забыто опытное происхождение аксиом, и они
стали трактоваться как истины, очевидные сами по себе,
вне зависимости от какого бы то ни было опыта 1). Такая
точка зрения породила уверенность в том, что аксиома
параллельности, которую трудно признать самоочевидной
из-за ее сложности, не является в действительности аксио-
аксиомой и, следовательно, можно найти доказательство содер-
содержащегося в ней утверждения. Однако многочисленные уси-
усилия в этом направлении не давали положительных резуль-
результатов; аксиома параллельности, словно заколдованный клад,
не открывала исследователям своей тайны. Обреченные на
неудачу попытки доказать ее, потребовавшие огромной за-
затраты умственного труда многих поколений ученых, были
расплатой за идеалистическое толкование сущности аксиом.
Наиболее распространенным типом ошибочного доказа-
доказательства аксиомы параллельности Евклида была замена
ее равносильным ей предложением, например: перпендику-
перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются;
или: существует треугольник, подобный данному тре-
треугольнику, но не равный ему; или: геометрическое место
точек, равноудаленных от данной прямой и лежащих по
одну сторону ее, есть прямая; или: через любые три точки
Через точку вне прямой можно провести только одну прямую,
параллельную данной прямой.
Две аксиомы евклидовой или иной геометрии считаются равно-
равносильными (эквивалентными), если из них вытекают одни и те же
следствия при условии, что все остальные аксиомы этой геометрии
сохраняют силу.
!) Известно, что слепорожденные, которым в зрелом возрасте
операционным путем возвращено зрение, не могут на первых порах
после операции отличить куб от шара, не ощупав их. Этим дока-
доказывается необходимость опыта для правильного восприятия геоме-
геометрических образов, без чего не могут выработаться геометрические
понятия.
10

можно провести либо прямую, либо окружность. Позже
мы покажем, что все эти предложения ложны, если аксиома
параллельности Евклида не имеет места. Следовательно, при-
принимая любое из перечисленных предложений за аксиому,
мы тем самым уже считаем справедливой евклидову аксиому
параллельности, т. е. исходим из справедливости того, что
требовалось доказать.
В своих исследованиях по теории параллельных линий
Лобачевский пошел по иному пути. Начав с попыток дока-
доказать аксиому параллельности, он вскоре заметил, что одна
из них приводит к совершенно неожиданным результатам.
Эта попытка состояла в использовании метода доказатель-
доказательства от противного и основывалась на следующем сообра-
соображении: если аксиома параллельности Евклида есть следствие
других аксиом «Начал» и если, вопреки ей, допустить, что
через точку вне прямой в определяемой ими плоскости
можно провести по меньшей мере две прямые, не пере-
пересекающие данной прямой, то это допущение рано или
поздно, в его ближайших или отдаленных следствиях, должно
привести к противоречию. Между тем, рассматривая всё
новые и новые следствия сделанного им допущения, парадо-
парадоксальные с точки зрения евклидовой геометрии, Лобачевский
убеждался, что они образуют стройную непротиворечивую
систему теорем, способных составить основу новой научной
теории.
Так был заложен фундамент неевклидовой геометрии;
ее аксиома параллельности отличается от евклидовой и
совпадает с приведенным выше допущением, которое в даль-
дальнейшем мы будем называть аксиомой параллельности Лоба-
Лобачевского J).
Всё же оставалось неясным, можно ли с уверенностью
утверждать, что ни одно из бесчисленного множества воз-
возможных следствий аксиомы параллельности Лобачевского
не приведет к противоречию. Лобачевский наметил решение
этого вопроса: он указал, что непротиворечивость открытой
им геометрии должна вытекать из возможности арифметизи-
ровать ее, т. е. возможности привести решение любого
геометрического вопроса к арифметическим вычислениям и
аналитическим преобразованиям, используя для этого фор-
формулы гиперболической тригонометрии, выведенные им же.
!) Впоследствии выяснилось, что, кроме геометрии, открытой
Лобачевским, можно построить много других неевклидовых геометрий,
11

Позднее другими учеными были найдены строгие доказатель-
доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского.
Исследования Лобачевского в области гиперболической
геометрии весьма обширны: они охватывают элементарную
ее часть, тригонометрию, аналитическую и дифференциаль-
дифференциальную геометрию. Используя методы созданной им геометрии,
Лобачевский нашел свыше 200 новых формул для вычисле-
вычисления определенных интегралов.
Открытие Лобачевского расценивалось его современниками
и даже его учениками как чудовищная нелепость, как дерзкий
вызов законам логики и здравому смыслу1). Не приходится
удивляться такому отношению к гениальной идее, ломавшей
привычные представления. Ведь так же враждебно была
встречена и гелиоцентрическая теория Коперника, отрицав-
отрицавшая то, что казалось совершенно очевидным, и утверждав-
утверждавшая то, что казалось немыслимым. Требовались очень глу-
глубокие соображения, чтобы понять допустимость сосущество-
сосуществования двух различных геометрий. К изложению некоторых
из этих соображений, наиболее доступных пониманию, мы
и перейдем.
В школьных учебниках геометрии в разделе «Планимет-
«Планиметрия» изучается плоскость независимо от окружающего ее
пространства; иными словами, планиметрия есть геометрия
евклидовой плоскости. Хорошо изучены также геометрии
некоторых криволинейных поверхностей; примером может
служить сферическая геометрия, находящая широкое приме-
применение в астрономии и других отраслях знания.
В каждой науке важное значение имеют простейшие
понятия. В евклидовой геометрии такими понятиями являются
точка, прямая, плоскость. Эти наименования сохраняются и
1) Нельзя, конечно, огульно заподозрить современных Лобачев-
Лобачевскому ученых в неспособности понять его открытие: многие не вы-
высказали своего мнения о нем по той, возможно, причине, что область
исследований Лобачевского не входила в круг их научных интересов;
известно также, что знаменитый немецкий математик Карл Гаусс и
выдающийся венгерский геометр Янош Больаи, пришедшие незави-
независимо от Лобачевского к мысли о возможности построить неевкли-
неевклидову геометрию, разделяли его взгляды. Однако Гаусс, опасаясь
быть непонятым и осмеянным, ни разу не выступил в печати с под-
поддержкой идей Лобачевского, а Больаи, видя, что его собственные
исследования по неевклидовой геометрии (опубликованные в 1832 году)
не получили признания, отошел от занятий математикой. Таким
образом, Лобачевскому пришлось в полном одиночестве бороться
за правоту своих идей.
12

в неевклидовых геометриях, причем «прямой» называется
линия, по которой измеряется кратчайшее расстояние между
двумя точками, а «плоскостью» — поверхность, обладающая
следующим свойством: если две точки «прямой» принадлежат
этой поверхности, то ей принадлежат и все остальные точки
той же «прямой». Например, в сферической геометрии
«плоскостью» и «прямыми» мы называем соответственно
сферу и окружности ее больших кругов. Эта терминология
вполне уместна, так как в любой геометрии «прямая» есть
простейшая из линий, а «плоскость»—простейшая из по-
поверхностей, причем первая
обладает наиболее важным
свойством евклидовой пря-
прямой, вторая — наиболее важ-
важным свойством евклидовой
плоскости1).
Отметим некоторые осо-
особенности сферической гео-
геометрии. Для наглядности
будем рассматривать ее как
геометрию поверхности гло-
глобуса. Нетрудно сообразить,
что две «прямые» этой гео-
геометрии (например, два ме-
меридиана) всегда пересека-	Рис. 1.
ются в двух диаметрально
противоположных точках глобуса. Далее, сумма углов сфе-
сферического треугольника больше 1d\ например, у треуголь-
треугольника, ограниченного четвертью экватора и дугами двух
меридианов (рис. 1), все три угла прямые2).
Известно, что в географии, наряду с глобусом, исполь-
используются карты земной поверхности. Это равносильно изуче-
изучению сферической геометрии путем рассмотрения карт сферы,
что вполне возможно, если только указано, как по изобра-
изображениям линий на карте находить их действительные длины
и действительные величины углов между ними. Дело в том,
что на карте получаются искаженные изображения, и характер
!) Заметим, что в проективной геометрии отсутствует понятие
расстояния между двумя точками; в случае геометрий такого рода
данная выше трактовка понятий «прямая» и «плоскость» не приме-
применима.
2) Углом между двумя линиями в точке их пересечения назы-
называется угол между касательными к ним в этой точке.
13

искажения не везде одинаков. Например, на карте земной
поверхности, исполненной в проекции Меркатора ') (рис. 2),
меридианам соответствуют параллельные прямые, к которым
перпендикулярны прямые, соответствующие географическим
параллелям, причем отрезок, изображающий 1° параллели,
имеет, независимо от ее широты, одну и ту же длину,
i
t
J
\
й
\
\
[i
iV
%
X
\\
в
ft
1
1
>
ft
\
¦¦'f
I
л
/
•1
i-v.
/
I
?
*
-Л
|
1
_у
1
1
/
:--'У
I
<
/
<;;
-г-
\
/\
¦*
~э
?;
¦•?
¦-]-¦--
\ -1 V;;
р:
•г*
ц
:А
<(
?
i
•Я
Г I
г-
V
\
'{
h
%
Ji
I
¦X
-A
\
fi
L
i
=?;
1
i
s
k
г
J
/
Рис. 2.
тогда как в действительности длина градуса параллели тем
меньше, чем выше ее широта.
Поскольку поверхность имеет два измерения, то геомет-
геометрию, изучающую фигуры, лежащие на определенной поверх-
поверхности, принято называть двумерной, а самое поверхность —
двумерным пространством. Издавна известны два вида дву-
двумерных геометрий: евклидова (для плоскости) и сферическая.
Факту существования двумерной неевклидовой геометрии,
а именно сферической, математики не придавали особого
!)Гергард Меркатор A512—1594) — выдающийся фла-
фламандский картограф. Предложенная им в 1569 году картографическая
Проекция получила всеобщее распространение, и с тех пор в этой
проекции составляются морские карты.
14

Значения по той простой причине, что сфера рассматрива-
рассматривалась в трехмерном евклидовом пространстве, и это заста-
заставляло забывать о неевкл 1довых свойствах сферы как та-
таковой.
В результате исследований Лобачевского выяснилось,
что мыслимы не только поверхности с неевклидовыми свой-
свойствами, но и трехмерные неевклидовы пространства.
Введение понятия трехмерных неевклидовых геометрий
может вызвать недоумение, если не сделать следующих
разъяснений.
Результаты изучения определенного класса явлений иногда
удобно представлять в геометрической форме. Например,
данные о росте производительности труда нередко приво-
приводятся в виде графиков и диаграмм. Это показывает, что
с помощью геометрических образов можно описывать раз-
различные реальные процессы и состояния, не имеющие к гео-
геометрии прямого отношения.
Если рассматривать график как линию евклидовой пло-
плоскости, то становится ясным, что в приведенном выше при-
примере использованы образы двумерной евклидовой геометрии.
В более сложных случаях приходится прибегать к трехмер-
трехмерным и даже многомерным евклидовым и неевклидовым гео-
геометриям. Отсюда не следует, что все они описывают отно-
отношения протяженности; это — теории, пользующиеся в своих
формулировках геометрическими терминами, которым, вообще
говоря, приписывается содержание, не связанное с простран-
пространственными представлениями. Так, присоединяя к трем изме-
измерениям реального пространства в качестве четвертого
измерения время, мы вводим понятие четырехмерного про-
пространства, в котором определенный промежуток времени
рассматривается как «отрезок прямой». В большинстве
случаев такой подход создает только видимость наглядности,
что все же облегчает до известной степени анализ явления,
изучаемого этим методом.
Таким образом, построение неевклидовых геометрий
оправдывается возможностью применять их выводы к реально
существующим объектам. То обстоятельство, что эти выводы
излагаются в терминах геометрии, не имеет существенного
значения: геометрические формулировки нетрудно видоизме-
видоизменить так, чтобы они отвечали свойствам изучаемых пред-
предметов и явлений.
Заметим, что в приложениях математики часто практи-
практикуется замена одних понятий другими в тех случаях, когда
15

Теория обслуживает подчиненные одним и тем же математи*
ческим законам, но качественно различные объектыJ).
Особо следует сказать о трехмерных геометриях. Они
могут рассматриваться, независимо от иных их приложений,
как гипотезы, претендующие на описание свойств реального
пространства. Вопрос о том, какая из этих гипотез ближе
соответствует действительности, может быть решен только
путем опытной проверки их положений.
Отметим следующий важный для дальнейшего изложения
факт: в евклидовой плоскости можно построить, и притом
не единственным способом, карту плоскости Лобачевского,
подобно тому как это делается для сферы. Рассмотрение
одной из таких карт мы положим в нашей книжке в основу
изучения гиперболической геометрии.
Характерно, что геометрия Лобачевского получила все-
всеобщее признание при следующих обстоятельствах. В 1868 году
итальянский математик Евгений Бельтрами обнаружил, что в
евклидовом пространстве существует поверхность, обладаю-
обладающая свойствами плоскости Лобачевского, вернее, некоторого
куска этой плоскости (если рассматривать кратчайшие линии
на этой поверхности как «прямые»). Это открытие, привед-
приведшее вскоре к построению различных карт плоскости Лоба-
Лобачевского, убедило ученых в справедливости идей великого
русского геометра, послужило толчком к углубленному изу-
изучению его трудов и положило начало многочисленным иссле-
исследованиям в области неевклидовых геометрий.
Открытие неевклидовых геометрий поставило перед физи-
физикой чрезвычайно сложную задачу: выяснить, является ли
реальное физическое пространство евклидовым, как думали
раньше, и если нет, то к какому типу неевклидовых про-
пространств оно принадлежит2). Для решения этой задачи
необходима опытная проверка справедливости аксиом, причем
ясно, что с совершенствованием измерительных приборов
возрастает надежность получаемых опытных данных и по-
появляется возможность проникновения в такие детали, кото-
которые ускользали раньше от внимания исследователей.
1)	Относительно практического применения этого принципа см.
статью «Моделирование» в книге В. Г. Болтянского «Что
такое дифференцирование?» (серия «Популярные лекции по матема-
математике», выпуск 17, стр. 61).
2)	При рассмотрении этого вопроса следует считаться с возмож-
возможной неоднородностью реального пространства, т. е. с тем обстоя-
обстоятельством, что его геометрическое строение может оказаться не везде
одинаковым.
16

Таким образом, Лобачевский вернул геометрию к мате-
материалистическому истолкованию аксиом как предложений,
констатирующих основные геометрические свойства про-
пространства, осознанные человечеством в результате опыта.
В настоящее время нельзя считать решенным до конца
вопрос о геометрической структуре реального физического
пространства. Отметим все же, что на основании многочис-
многочисленных данных современная теория относительности рас-
рассматривает реальное пространство как неевклидово, и притом
более сложное по его геометрическим свойствам, чем про-
пространство Лобачевского. Один из сильнейших ударов по
убеждению в евклидовом строении реального пространства
был нанесен открытием физического закона, согласно кото-
которому не существует скорости, превышающей скорость света.
Теперь мы можем ответить на вопрос, который нередко
приходится слышать: какая же из двух геометрий — Евклида
или Лобачевского — является истинной?
Относительно двумерных евклидовой и сферической гео-
геометрий аналогичный вопрос не возникает; совершенно оче-
очевидно, что обе они истинны, но каждая из них имеет свою
область приложений: нельзя пользоваться формулами сфери-
» ческой геометрии для плоских фигур и формулами двумерной
евклидовой геометрии для фигур на сфере. То же справед-
справедливо и в отношении различных трехмерных геометрий:
каждая из них, будучи логически непротиворечивой, находит
применение в определенной области, и притом не обязательно
геометрического характера; однако она откажется служить,
если приписать ее положениям универсальный характер.
Что касается геометрического строения реального про-
пространства, то этот вопрос, как мы уже указывали, относится
к компетенции физики и силами чистой геометрии не может
быть разрешен. Особенность его заключается, между прочим,
в том, что ни одна геометрия не отображает отношений
протяженности с абсолютной точностью; например, в силу
молекулярного строения материи не существует тел доступ-
доступных осязанию размеров, которое обладало бы геометри-
геометрическими свойствами идеального шара. Поэтому применение
геометрических правил к решению конкретных задач неиз-
неизбежно будет давать приближенные результаты. Таким обра-
образом, наше представление о геометрическом строении реаль-
реального пространства сводится на деле к научно обоснованному
убеждению, что определенная геометрия лучше других гео-
геометрий описывает действительные отношения протяженности.
17

Из того, что в теории относительности применяются
формулы неевклидовой геометрии, не вытекает еще необхо-
необходимости сдать в архив геометрию Евклида, как это случилось
с астрологией, алхимией и подобными им лженауками. И та
и другая геометрии представляют собой инструмент для
изучения пространственных форм, но первая позволяет
производить более тонкие исследования, вторая же доста-
достаточна для решения подавляющего большинства важных
в практическом отношении задач с весьма высокой степенью
точности, а так как вместе с тем она отличается большой
простотой, то ей всегда будет обеспечено широкое приме-
применение.
Заканчивая наш краткий очерк, отметим то ново*, что
было внесено Лобачевским в развитие геометрических идей.
Научные заслуги этого выдающегося мыслителя не исчер-
исчерпываются тем, что он сорвал покров с тысячелетней тайны
аксиомы параллельности; значение его исследований неизме-
неизмеримо шире.
Подвергнув критическому анализу одну из евклидовых
аксиом, Лобачевский положил начало пересмотру некоторых
исходных положений системы Евклида, что привело впо-
впоследствии к разработке строго научных принципов аксио-
аксиоматического построения геометрии и других математических
наук.
Открытие Лобачевским гиперболической геометрии вы-
вывело науку о пространственных формах из узких рамок
евклидовой системы. Геометрия Лобачевского нашла непо-
непосредственное применение в теории определенных интегралов
и в других областях математики.
Лобачевский вызвал к жизни разработку вопросов, ко-
которые не могли возникнуть при прежнем состоянии мате-
математики, в том числе вопроса о геометрическом строении
реального пространства. Без его открытия не могла бы
развиться теория относительности — одно из крупнейших
достижений современной физики. Исходя из исследований
Лобачевского, ученые построили теорию, позволяющую
производить расчет процессов, происходящих внутри атом-
атомного ядра.
Отметим в заключение гносеологическое *) значение идей
великого русского математика. До Лобачевского в геомет-
геометрии в течение многих столетий господствовала идеалисти-
*) Гносеология — наука о познании.
19

ческая точка зрения, восходящая к философу античной
Греции Платону: приписывая аксиомам евклидовой системы
абсолютный характер, она отрицала их опытное происхо-
происхождение. Лобачевский решительно порвал с этим воззрением
и вернул геометрию на позиции материализма.
§ 3. ИНВЕРСИЯ
Пусть указано правило, позволяющее переходить от
любой данной фигуры к другой так, что вторая фигура
вполне определена, если задана первая, и обратно. Такой
переход называется геометрическим преобразованием. К числу
наиболее употребительных геометрических преобразований,
наряду с параллельным перенесением, преобразованием по-
подобия, вращением фигуры, проектированием, принадлежит
также инверсия. Это преобразование широко применяется
в математике, например, как метод решения задач на по-
построение, в теории функций комплексного переменного, при
изучении карт плоскости Лобачевского.
В настоящем параграфе мы даем определение инверсии
и связанных с нею понятий и рассматриваем ряд основных
ее свойств.
Пусть в плоскости а дана окружность k радиуса г
с центром О и отличная от О точка А. Выберем на полу-
полупрямой О А точку А' так, чтобы произведение отрезков О А
и О А' было равно квадрату радиуса окружности k:
ОА-ОА' = г2.	A)
Условимся говорить, что точки А и А' симметричны
относительно окружности k.
Если одна из точек А, А' лежит вне окружности k, то
другая лежит внутри k, и обратно; например, из неравен-
неравенства О А > г заключаем, принимая во внимание условие A),
что О А' < г. Если же точка А или А' лежит на окруж-
окружности k, то А и А' совпадают.
Рассмотрим рис. 3, где АВ—касательная к окруж-
окружности k, В А'—перпендикуляр к О А. Так как О А' — про-
проекция катета ОВ прямоугольного треугольника ОАВ на
гипотенузу ОА, то
О А ¦ О А' = ОВ2 = г2,
следовательно, точки А я А' симметричны относительно k.
Отсюда ясен способ построения точки А', если дана точка А,
и точки А, если дана «точка А'.
3 Зак. 2242. А. С. Смогоржевский	19

Теорема 1. Если окружность q проходит через две
различные точки А и А', симметричные относительно
окружности k, то окружности k и q взаимно ортого-
ортогональны.
в
Рис. 3.	*
Две окружности называются взаимно ортогональными,
если они пересекаются под прямым углом, т. е. касатель-
касательные к ним в точке их пересечения (или, что то же, их
Рис 4.
радиусы, проведенные в эту точку) взаимно перпендику-
перпендикулярны.
Пусть Р — одна из точек пересечения окружностей k и q
(рис. 4). Так как ОР—радиус окружности k, то равен-
равенство A) принимает вид: О А • О А' = ОР2. С другой стороны,
20

произведение отрезков ОА и ОА' равно квадрату касатель-
касательной, проведенной из точки О к окружности q; поэтому ОР
есть касательная к q. Следовательно, радиусы ОР и QP
данных окружностей взаимно перпендикулярны, и эти окруж-
окружности взаимно ортогональны.
Заметим, что любая окружность, проходящая через две
различные точки, симметричные относительно прямой, пере-
пересекает ее под прямым углом. Аналогия этого свойства
с фактом, установленным в теореме 1, обусловила перене-
перенесение термина «симметрия» на случай двух точек, располо-
расположенных относительно данной окружности так, что любая
проходящая через них окружность ортогональна к данной
окружности.
Теорема 2. Если окружности k и q взаимно орто-
ортогональны, то прямая, проходящая через центр О окруж-
окружности k и пересекающая окружность q, пересекает ее
в точках, симметричных относительно k.
Обозначим точки пересечения этой прямой с q через А
и А', а одну из общих точек окружностей k и q — через Р
(рис. 4). Поскольку данные окружности взаимно ортого-
ортогональны, то прямая ОР касается окружности q; поэтому
ОА-ОА'=ОР2. Отсюда заключаем, что точки Л и Л'
симметричны относительно окружности k.
Теорема 3. Пусть дан треугольник ОАВ, где О —
центр окружности k, и точки А' и В', симметричные
с А и В относительно k. Тогда
/_ ОАВ = /_ ОВ'А' и /_ ОБА = /_ О А'В'.
Рассмотрим рис. 5. Из равенства
О А ¦ ОА' = ОВ ¦ ОВ',
вытекающего из условия A), получим: О А : ОВ' = ОВ : О А'.
Следовательно, треугольники ОАВ и ОВ'А', имеющие общий
угол АОВ, подобны. Отсюда заключаем, что теорема верна.
Заметим, что около четырехугольника ABB'А' можно
описать окружность, так как /_А'АВ-\-?_А'В'В~2й. Из
теоремы 1 вытекает, что эта окружность ортогональна
к окружности к.
Рассмотрим теперь преобразование плоскости а, состоя-
состоящее в следующем: каждые две точки этой плоскости, сим-
симметричные относительно окружности k, меняются местами.
Такое преобразование называется инверсией, окруж-
окружность k называется окружностью инверсии, ее
3*	21

центр — полюсом инверсии. Если инверсия относи-
относительно k преобразует фигуру F в фигуру F', то говорят,
что F симметрична с F', a F' симметрична с F относи-
относительно окружности k.
Заметим, что не существует точки, симметричной с по-
полюсом инверсии относительно окружности инверсии.
Нетрудно видеть, что точки, лежащие вне круга, огра-
ограниченного окружностью инверсии, преобразуются в точки
Рис. 5.
этого круга, исключая полюс инверсии, и обратно; точки
окружности инверсии переходят в себя; прямая, проходящая
через полюс инверсии О, преобразуется в себя, но теряет
при этом точку О.
Теорема 4. Инверсия преобразует прямую, не прохо-
проходящую через полюс инверсии, в окружность, проходящую
через полюс инверсии.
Пусть А — основание перпендикуляра, опущенного из
полюса инверсии О на прямую /, В — произвольная точка
прямой /, А' и В' — точки, симметричные соответственно с
Л и В относительно окружности инверсии k (рис. 6). Построим
на отрезке О А' как на диаметре окружность q. В силу тео-
теоремы 3 /_ ОБ'А' = 1_ОАВ, поэтому /_ОВ'А' ~d; следо-
следовательно, точка В' лежит на окружности q. С другой сто-
стороны, пусть С — любая отличная от О точка окружности q;
тогда прямая ОС пересечет / в некоторой точке С, кото-
которая, как легко видеть, преобразуется при данной инверсии
в точку С. Итак, теорема доказана, но нужно учитывать,
что прямая / преобразуется в фигуру, состоящую из окруж-
окружности ^ без точки О.
22

Заметим, что центр окружности q лежит на перпенди-
перпендикуляре, опущенном из О на /.
Если прямая / не имеет общих точек с окружностью
инверсии k, то окружность q лежит внутри k.
Рис. 6.
Если / касается k в некоторой точке, то q касается k
в той ж.е точке.
Если / и k пересекаются, ,то q проходит через точки
их пересечения.
Теорема 5. Инверсия преобразует окружность, про-
проходящую через полюс инверсии, в прямую, не проходя-
проходящую через полюс инверсии.
Пусть О (полюс инверсии), А и В— три различные
.точки' окружности q, А' и В' — точки, симметричные с Л
и, В относительно окружности инверсии. В силу теоремы 4
прямая А'В' преобразуется в окружность, проходящую
через О, А, В, т. е. в. окружность q, а отсюда следует,
что q преобразуется в прямую А'В'.
Теорема 6. Инверсия преобразует окружность,~не
проходящую через полюс инверсии, в окружность, также
не проходящую через полюс инверсии.
Пусть k — окружность инверсии радиуса г с центром О,
q — данная окружность, не проходящая через О (рис. 7)"
Возьмем на q произвольную точку А и обозначим через В
вторую точку пересечения прямой О А с q, через А' и В' —

точки, симметричные соответственно с А н В относительно k.
Тогда
О А ¦ О А' = ОВ • ОВ' = л2.
Отсюда
ОА ОВ	B)
ОВ' ОА'
ОА-ОВ ¦ ОА' ¦ ОВ' = гК
Произведение
не изменится, в силу известных теорем элементарной гео-
геометрии, при перемещении точки А по д. Следовательно,
Рис. 7.
g—постоянная величина, положительная, если О лежит
вне <7> и отрицательная, если О лежит внутри q (так как
в последнем случае направления отрезков ОА и ОБ про-
противоположны).
/-4
Из двух последних равенств находим: О А' ¦ ОВ' = —,
следовательно,
ОА OB__g^
ОВ' ' ОА' ~ Н '
или, принимая во внимание соотношение B),
ОА я
О В'
24

(знак выбран правильно, так как отрезки ОВ и ОВ' имеют
одно и то же направление). Из последнего равенства вы-
вытекает, что фигуры, описанные точками А и В', подобны;
следовательно, теорема доказана: точка В' описывает окруж-
окружность (обозначим ее через q').
Полюс инверсии О будет центром подобия окружно-
окружностей q и q1, внешним, если g > 0, и внутренним, если
g < 0. В первом случае О лежит вне, во втором — внутри
окружностей q и q'.
Если окружность q касается окружности k в некоторой
точке, то q' касается k в той же точке.
Если окружности k и q пересекаются, то q' проходит
через точки их пересечения.
Окружность q, ортогональная к k, преобразуется при
инверсии относительно k в себя (q' совпадает с q), что вы-
вытекает из теоремы 2.
Если линия центров окружностей k и q пересекает q
в- точках М и N, то отрезок M'N', где М' и N'— точки,
симметричные с М и N относительно k, будет диаметром
окружности q' (рис. 7). Этим замечанием можно воспользо-
воспользоваться для построения окружности q'.
Отметим, что центры окружностей q и q' не симме-
симметричны относительно окружности инверсии k.
Теорема 7. Точка пересечения двух окружностей р
и q, ортогональных к окружности k, симметричны от-
относительно k.
Теорема очевидна, так как каждая из окружностей р и q
преобразуется при инверсии относительно k в себя, следо-
следовательно, точки их пересечения А и AL поменяются местами
(рис. 8).
Теорема 8. Если М и М' — симметричные относи-
относительно окружности k точки двух симметричных отно-
относительно k линий т и т'', то касательные к т и т'
в точках М и М' либо перпендикулярны к прямой ММ',
либо образуют с ней равнобедренный треугольник с осно-
основанием ММ'.
Берем на т отличную от М точку Af и строим точку N',
симметричную с N относительно k (рис. 9). Очевидно,
.-V лежит на т'. Прямые ММ' и AW' проходят через
центр О окружности k. Строим прямые MN и M'N'; пусть
^ни пересекутся в точке Р. Если
25

то в силу теоремы 3 /_ O/V'/W = ср. Поэтому в треуголь-
треугольнике ММ'Р
/_Л1=ср, /_АГ = ср4-Й.
Рис. 8.
Рис. 9.
Пусть угол 0 стремится к нулю при условии, что
точка М неподвижна. Тогда в пределе секущие MN и M'N'
перейдут в касательные к т и т' в точках М и М!,
26

а треугольник ММ'Р станет равнобедренным. Действи-
Действительно,
lim (ср —J— в) = lim ср -\~ lim Н = lim 9-
Итак, теорема доказана.
Теорема 9. Инверсия не изменяет величины угла.
Рассмотрим линии т и п, пересекающиеся в точке А.
Пусть т, п, А преобразуются при инзерсии относительно
окружности k в /те', п', А'. Из теоремы 8 вытекает, что
угол между касательными к т и п в точке А равен углу
между касательными к т' и п' в точке Л', что и требова-
требовалось доказать.
Преобразование, не изменяющее величин углов, назы-
называется конформным. Из предыдущего следует, что
инверсия есть конформное преобразование.
§ 4. КАРТА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Рассмотрим плоскость шив ней прямую и, делящую о>
на полуплоскости т и т'. Пусть полуплоскость т предста-
представляет собой карту некоторого двумерного пространства Н.
Мы будем различать длину s линии пространства Н и
длину а ее изображения на данной карте; величины s и з
мы будем называть соответственно гиперболической
и евклидовой длинами.
В основу измерения длин на рассматриваемой нами карте
мы положим следующие принципы:
1°. Гиперболическая длина отрезка MN, параллельного
прямой и и находящегося от нее на расстоянии у, равна
MN
	, т. е. равна частному от деления евклидовой длины
этого отрезка на его евклидово расстояние от и.
2°. Если а — евклидова, s — гиперболическая длина дуги
кривой (или отрезка прямой, не параллельной и), у и у'—
соответственно наименьшее и наибольшее евклидовы рас-
расстояния ее точек от и, при;ем у Ф 0 (рис. 10), то выпол-
выполняются неравенства:
—Г < S < — .
у'	у
Позже мы убедимся, что пространство Н, карта кото-
которого обладает пере шсленными выше свойствами, есть пло-
плоскость Лобачевского.
27

Исходя из принципов 1° и 2°, нетрудно указать общий
способ измерения гиперболических длин.
Найдем сначала гиперболическую длину s дуги АВ,
обладающей следующими свойствами: если точка переме-
перемещается по этой дуге от Л к В, то ее расстояние от пря-
прямой и возрастает; расстояние точки Л от и не равно нулю;
дуга АВ—плавная, т. е. не имеет изломов (рис. 11).
Рис. 10.
Рис. 11.
Отметим на дуге АВ, следуя от Л к В, точки
Л, Р^, Г2> ..., РП-\> "•
Пусть величины
Уо> У1> Уг	Уп-v Уп>
(*)
обозначают соответственно: евклидовы расстояния точек (*)
от прямой м; евклидовы длины дуг APV P±P2	Pn_tB,
являющихся частями дуги АВ; евклидовы длины хорд, стя-
стягивающих эти дуги.
Составим суммы:
У\
Уо
Ci
Уз1
У\
У\ Уг
В силу принципа 2° будем иметь:
Уп
Уп-1
Уп
C)
28
Так как согласно условию 0 < у0 < ух <
смотрим разность
< уп.
ас-
асПравая часть этого равенства увеличится, если каждую
из величин cjj, o2, ..., сп заменить наибольшей из них (обо-
(обозначим ее через а'), а каждый знаменатель заменить на По-
Последовательно,
= -^т(Уп — Уо)-
Уо
Если а' стремится к нулю, то из этого неравенства вы-
вытекает, что разность ?' — S также стремится к нулю.
Преобразуем теперь сумму Z к виду:
— . —-I- -5l
У1 °1	У2
Уп
Отсюда, обозначая через а наименьшее, через J3 наиболь-
наибольшее из отношений
А Я	?п
а2
получим
D)
Пусть число и неограниченно возрастает и пусть вместе
с тем каждая из величин at, o2, ..., оп, а значит, и вели-
величина с' стремится к нулю. Тогда разность S'—S будет,
как доказано выше, стремиться к нулю, величины же а и J3
будут стремиться к единице 1). В связи с этим из нера-
неравенств C) и D) вытекает, что каждая из сумм 2, Б', Z
будет стремиться к одному и тому же пределу и этот пре-
предел равен гиперболической длине s дуги АВ.
1) Известно, что отношение хорды к дуге, которую она стяги-
стягивает, стремится к единице, если длина дуги стремится к нулю (здесь
мы имеем в виду дугу плавной линии).
29

Так как согласно условию 0 < у0 < ух < ... < уп. Рас-
Рассмотрим разность
Правая часть этого равенства увеличится, если каждую
из величин clt o2, ..., сп заменить наибольшей из них (обо-
(обозначим ее через <з')> а каждый знаменатель заменить на По-
Последовательно,
У о
= —On—.
Уо
Если а' стремится к нулю, то из этого неравенства вы-
вытекает, что разность ?' — ? также стремится к нулю.
Преобразуем теперь сумму Z к виду:
Ух ' °i У2 °2	~^ Уп ' °п
Отсюда, обозначая через а наименьшее, через [3 наиболь-
наибольшее из отношений
получим
aS<Z<,8S.	D)
Пусть число п неограниченно возрастает и пусть вместе
с тем каждая из величин at, o2, ..., оп, а значит, и вели-
величина а' стремится к нулю. Тогда разность 2'—Б будет,
как доказано выше, стремиться к нулю, величины же а и [3
будут стремиться к единице *). В связи с этим из нера-
неравенств C) и D) вытекает, что каждая из сумм S, S', Z
будет стремиться к одному и тому же пределу и этот пре-
предел равен гиперболической длине s дуги АВ.
!) Известно, что отношение хорды к дуге, которую она стяги-
стягивает, стремится к единице, если длина дуги стремится к нулю (здесь
мы имеем в виду дугу плавной линии).
29

Удобнее всего пользоваться суммой Z, поскольку в ней
фигурируют длины евклидовых отрезков, а не дуг. Итак,
s = |im Z = lim (-^- -f- -^
\У1 Уа
Уп
E)
где переход к пределу совершается при указанных выше
условиях.
Заметим, что в равенстве E) за ух можно принять рас-
расстояние произвольной точки отрезка АРг от прямой и, за
уг — расстояние произвольной точки отрезка РгР2 от и
и т. д. При этом сумма Z может изменить свою величину,
но ее предел не изменится.
Если дугу некоторой линии можно разбить на конечное
число частей, удовлетворяющих условиям, поставленным
выше в отношении дуги АВ, то ее гиперболическая длина
представляет собой сумму гиперболических длин этих частей.
Например, дугу AD, показанную на рис. 12, разбиваем на
Рис. 12.
м,
Рис. 13.
части АВ, ВС и CD, но точки деления на дуге CD отме-
отмечаем, следуя от D к С.
Пусть точки полуплоскости т переместятся так, что
гиперболическая длина любой дуги, лежащей в этой полу-
полуплоскости, будет равна гиперболической длине той же дуги
в новом ее положении. Такое перемещение точек мы будем
называть гиперболическим движением. Это поня-
понятие аналогично понятию движения евклидовой плоскости,
например повороту евклидовой плоскости на некоторый
угол около какой-либо ее точки.
Если гиперболическое движение преобразует фигуру F
в Fv то фигуры F и Fx называются гиперболически равными.

Рассмотрим простейшие виды гиперболических движений.
1)	Если каждую точку полуплоскости г перенести на
одно и то же расстояние в одном и том же напра ленки
параллельно прямой и, то каждая фигура преобразуется
в гиперболически равную ей фигуру, так как не изменяется
ни ее евклидова величина, ни расстояния ее точек от и.
Отсюда заключаем, что евклидов сдвиг полуплоскости х
вдоль прямой и есть гиперболическое движение.
2)	Пусть преобразование подобия с центром подобия
в произвольной точке О прямой и и с положительным коэф-
коэффициентом подобия преобразует отрезок MN в отрезок M1N1
(рис. 13). Обозначим через у и у1 соответственно расстояния
точек N и Nt от прямой и. В силу подобия треугольни-
..... „,, ,, ,	MN MiNi
ков OMN и OMiNi будем иметь: 	= ——±.
У	У\
Отсюда и из равенства E) вытекает, что при указанном
преобразовании не изменяется гиперболическая длина опре-
определенной дуги любой линии.
Следовательно, преобразование подобия с центром по-
подобия на прямой и и с положительным коэффициентом
подобия есть гиперболическое движение.
Коэффициент подобия берется положительным для того,
чтобы отрезок M1N1 оказался расположенным в полупло-
полуплоскости х, а не в полуплоскости х'.
3)	Рассмотрим инверсию относительно окружности k
произвольного радиуса R с центром О на прямой и (рис. 14).
Рис. 14.
Пусть М и N — достаточно близкие друг к другу точки,
М' и N' — симметричные им точки относительно окруж-
окружности k. Обозначим через учу' расстояния от и точек пе-
пересечения биссектрисы угла MON с отрезками MN и M'N'.
Так как треугольники OMN и ON'M' подобны, то
MN M'N'
У'
31

Отсюда и из равенства E) заключаем, что при данном
преобразовании не изменяется гиперболическая длина опре-
определенной дуги любой линии.
Следовательно, инверсия относительно окружности
любого радиуса с центром на прямой и есть гиперболи-
гиперболическое движение.
4) Наконец, нетрудно убедиться, что преобразование
симметрии относительно оси, перпендикулярной к пря-
прямой и, есть гиперболическое движение.
Заметим, что каждое из рассмотренных гиперболических
движений есть конформное преобразование. Это очевидно
в отношении сдвигов полуплоскости т вдоль прямой и,
а также преобразований подобия и симметрии; что касается
инверсии, то ее конформность доказана в § 3.
Так как гиперболическое движение обладает свойством
переводить любую фигуру в гиперболически равную ей, то
тем же свойством обладает и преобразование, представляю-
представляющее собой последовательность нескольких гиперболических
движений, в силу чего такое преобразование также является
гиперболическим движением.
Отметим без доказательства, что любое гиперболическое
движение можно представить в виде последовательности
конечного числа рассмотренных выше простейших гипербо-
гиперболических движений.
Покажем теперь, что в полуплоскости т с установлен-
установленными для нее правилами измерения длин осуществляются
положения геометрии Лобачевского.
Нам придется рассматривать в полуплоскости т некоторые
фигуры, характеризующиеся теми же свойствами, что и
соответствующие фигуры геометрии Евклида, но, возможно,
отличающиеся от последних по форме; мы будем сохранять
для них термины евклидовой геометрии с приставкой «гипер-
«гиперболический»: например, гиперболической прямой мы будем
называть линию, по которой измеряется кратчайшее гипер-
гиперболическое расстояние между любыми двумя ее точками;
гиперболической окружностью мы будем называть геомет-
геометрическое место точек, находящихся на одном и том же
гиперболическом расстоянии от данной точки.
Выясним, какие линии полуплоскости т являются гипер-
гиперболическими прямыми.
Гиперболическими прямыми будут, прежде всего, евкли-
евклидовы полупрямые, перпендикулярные к прямой и, что выте-
вытекает из следующих соображений.
32

Пусть точки А и В лежат на перпендикуляре к прямой и
(рис. 15). Соединим эти точки отрезком прямой АтВ и
какой-нибудь кривой или ломаной АпВ. Пусть две доста-
достаточно близкие друг к другу прямые а и Ь, параллельные и.
пересекают отрезок АтВ в точках С и
D, а линию АпВ — в точках Е и F.
Так как евклидова длина отрезка CD,
вообще говоря, меньше евклидовой дли-
длины дуги EF, а их гиперболические дли-
CD ЕГ
ны можно считать равными •	 и —,
где у—расстояние точки D (или F) от
прямой и, то гиперболическая длина
отрезка CD, вообще говоря, меньше
гиперболической длины дуги EF (эти ги-
гиперболические длины будут равны между
собой лишь при условии, что дуга EF
есть отрезок евклидовой прямой, пер-	Рис. 15.
пендикулярной к и; ясно, что это усло-
условие не всегда выполняется, так как в противном случае дуга
АпВ совпала бы с отрезком АтВ). Отсюда вытекает, что
гиперболическая длина отрезка АтВ меньше гиперболиче-
гиперболической длины дуги АпВ, что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что полуокружность евклидовой окруж-
окружности k с центром на прямой и также есть гиперболиче-
гиперболическая прямая.
Рис. 16.
Пусть k пересекает прямую и в точках АпВ (рис. 16).
Опишем окружность q с центром в точке А и примем ее
за окружность инверсии. Пусть k и q пересекаются в точ-
точках М и N. При инверсии относительно q окружность k,
проходящая через полюс инверсии, преобразуется в пря-
33

мую MN (см. § 3). Так как инверсия есть гиперболическое
движение, а прямая MN перпендикулярна к и, то отсюда
видим, что полуокружность k гиперболическим движением
преобразуется в гиперболическую прямую. Следовательно,
эта полуокружность также является
гиперболической прямой.
Итак, гиперболическими прямыми
полуплоскости т будут евклидовы по-
полупрямые, перпендикулярные к пря-
прямой и, и евклидовы полуокружности
с центрами на прямой и. Ниже, рассма-
рассматривая аксиому 1, мы убедимся, что
иных гиперболических прямых не суще-
существует.
Восставим в полуплоскости т пер-
перпендикуляр к прямой и в произволь-
произвольной ее точке М (рис. 17), возьмем
на нем точку А и построим точки
Av А2, Л3, . .. так, чтобы выпол-
выполнялись равенства:
AA1=AlM, А1А2 = А2М,
А2А3 = А3М, ...
Иными словами, А1 есть середина
отрезка AM, A2 — середина отрезка
АХМ, Л3—середина отрезка А2М
и т. д.
Рассмотрим преобразование подо-
подобия с центром подобия М и коэф-
коэффициентом подобия !/г- Это преоб-
преобразование есть гиперболическое движение, переводящее точ-
точки A, Av А2, ... соответственно в точки Av Аг, А3, ...
Отсюда вытекает, что гиперболические длины отрезков АА1г
АХА2, А2АЪ, ... равны между собой. Таким образом, выпол-
выполненное нами построение сводится к отлэжению от точки А на
гиперболической прямой AM гиперболически равных между
собой отрезков АА1г AYA2, A2A3, ..., причем, как видно
из построения, мы никогда не дойдем до точки М, сколько бы
таких отрезков ни построили. Следовательно, М есть бес-
бесконечно удаленная точка гиперболической прямой AM.
Поскольку М — произвольная точка прямэй и, то из пре-
предыдущего заключаем, что каждая точка прямой и есть бес-
бесконечно удаленная точка полуплоскости -z.
м
Рис. 17.

Процесс отложения на гиперболической прямой AM
гиперболически равных между собой отрезков ABV В^В2,
В2Вг, ... (рис. 17) можно произвести и в направлении,
противоположном рассмотренному выше, причем и этот
процесс будет бесконечным. Отсюда следует, что точка
прямой AM, бесконечно удаленная в смысле евклидовой
геометрии, будет вместе с тем бесконечно удаленной точ-
точкой гиперболической прямой AM.
Всякая точка гиперболической прямой AM, кроме двух
указанных выше ее точек, будет находиться на конечном
гиперболическом расстоянии от Л, так как при достаточно
большом конечном значении целого положительного числа п
она окажется лежащей либо на отрезке ААп, либо на
отрезке АВп.
Итак, гиперболическая прямая AM, а значит и каждая
гиперболическая прямая, имеет две и только две бесконечно
удаленные точки.
Если гиперболическая прямая изображается евклидовой
полуокружностью с центром на прямой и, то точки пере-
пересечения ее с и будут ее бесконечно удаленными точками.
Заметим, что евклидова прямая имеет только одну беско-
бесконечно удаленную точку; это — общая точка данной прямой
и всех параллельных ей прямых.
Теперь нетрудно убедиться, что в полуплоскости т
выполняются все плоскостные аксиомы геометрии Лобачев-
Лобачевского. Мы ограничимся рассмотрением двух аксиом.
Аксиома 1. Через две различные точки можно про-
провести одну и только одну гиперболическую прямую.
Если данные точки А и В лежат на евклидовом перпен-
перпендикуляре к прямой и, то этот перпендикуляр будет иско-
искомой гиперболической прямой. В противном случае находим
на прямой и точку N, равноотстоящую от Л и В, и опи-
описываем из центра N радиусом NA евклидову полуокруж-
полуокружность (рис. 18); это — искомая гиперболическая прямая.
Докажем, что через две различные точки А и В не
могут проходить две различные гиперболические прямые I
и /'. Достаточно предположить, что А и В лежат на евкли-
евклидовом перпендикуляре I к прямой и (рис. 19), так как
всякий иной случай приводится к этому с помощью надле-
надлежащего гиперболического движения. При таком расположе-
расположении точек А и В кратчайшее гиперболическое расстояние
между ними измеряется, как было доказано выше, только
по евклидовой прямой I, поэтому на отрезке АВ I и I'
35

совпадают. Допустим теперь, что точка С, лежащая на /',
не лежит на /, причем В находится на V между А и С.
Тогда дуга АС евклидовой полуокружности k с центром
на и принадлежит гиперболической прямой, не совпадающей
на отрезке АС с /', что, как мы сейчас видели, невозможно.
Итак, I и V полностью совпадают.
Отсюда вытекает, что не существует иных гиперболи-
гиперболических прямых, кроме евклидовых полупрямых, перпенди-
перпендикулярных к и, и евклидовых полуокружностей с центрами
л/
Рис. 18.	Рис. 19.
на и: через любые две данные точки проходит единствен-
единственная гиперболическая прямая, и притом одного из двух этих
видов.
Аксиома 2. Через точку Р, не лежащую на гипер-
гиперболической прямой р, можно провести две гиперболиче-
гиперболические прямые, параллельные р.
Две гиперболические прямые называются параллель-
параллельными, если они имеют общую бесконечно удаленную точку.
В частности, гиперболические прямые, изображенные в виде
евклидовых перпендикуляров к и, параллельны: их общая
бесконечно удаленная точка в полуплоскости т та же, что
и в евклидовой плоскости со.
Обозначим бесконечно удаленные точки гиперболической
прямой р через А и В (рис. 20). Проведем через Р к А
евклидову полуокружность т с центром М на прямой и,
через Р и В — евклидову полуокружность п с центром yV
на и. Евклидовы полуокружности тип будут искомыми
гиперболическими прямыми; они параллельны гиперболиче-
гиперболической прямой р в различных ее направлениях: т — в напра-
направлении от В к А, п — в направлении от А к В.
Через точку Р проходят гиперболические прямые трех
родов: 1) пересекающие прямую р, 2) параллельные р,
3) не пересекающие прямой р и не параллельные ей.
36

Существует бесконечное множество гиперболических пря-
прямых первого рода, бесконечное множество гиперболических
прямых третьего рода и только две—второго рода.
Для построения гипербол 1ческой прямой первого рода
нужно из произвольной точки К отрезка MN как из центра
М	ь	N	в
Рис. 20.
описать полуокружность к радиуса КР (рис. 21). Если
выполнить такое же построение, приняв за центр полуок-
полуокружности произвольную точку L прямой и, лежащую вне
отрезка MN, то получим гиперболическую прямую I треть-
третьего рода (тот же рисунок).
Теперь ясно, что аксиома 2 равносильна аксиоме парал-
параллельности Лобачевского, сформулированной в § 2.
Если две гиперболические прямые не пересекаются и не
параллельны, то их называют расходящимися. Напри-
Например, прямые pal (рис. 21) расходятся.
Итак, в полуплоскости х выполняются аксиомы, а значит,
и теоремы геометрии Лобачевского. Поэтому полуплоскость х
с установленными для нее выше правилами измерения длин
представляет собой плоскость Лобачевского, или, точнее,
карт)' плоскости Лобачевского в евклидовой плоскости.
37

Поучительно сопоставить эту карту с картой земной
поверхности, исполненной в проекции Меркатора; на послед-
последней меридианы изображены в виде параллельных прямых,
к которым перпендикулярны прямые, изображающие парал-
параллели (см. рис. 2 на стр. 14). «Прямыми» на сфере следует
считать окружности больших кругов, в частности мери-
меридианы. Параллели, исключая экватор, не являются «пря-
«прямыми», но на карте они изображены в виде евклидовых
прямых. Аналогично в полуплоскости т из евклидовых пря-
прямых, перпендикулярных к прямой и и параллельных ей,
первые являются гиперболическими прямыми, вторые нет
(подробнее о них будет сказано в § 7).
Далее, дллна градуса параллели тем меньше, чем выше
ее широта, но на карте Меркатора отрезок, равный 1°
параллели, имеет одну и ту же длину независимо от широты
параллели. Аналогичную картину мы наблюдаем и в полу-
полуплоскости t (см. принцип 1°).
Важно отметить, что карта т конформна, т. е. евкли-
евклидова величина угла на этой карте равна его действительной
величине в плоскости Лобачевского.
Докажем это сначала для случая прямого угла. Опишем
полуокружность k с центром в точке М прямой и и вос-
восставим в М к и перпендикуляр р (рис. 22). Рассмотрим
углы /, 2, 3, 4, образованные гиперболическими прямыми k
и р. Существует гиперболическое движение, преобразующее
углы / в 2 и 3 в 4 (симметрия относительно р), и гипер-
гиперболическое движение, преобразующее углы / в 3 и 2 в 4
(инверсия относительно k). Отсюда вытекает, что в пло-
плоскости Лобачевского (как и "на карте х) /_1=/_2 = /_3 =
=/_4, следовательно, каждый из этих углов — прямой.
Воспользовавшись конфигурацией рисунка 22, обозначим
точку пересечения линий k и р через А, а одну из точек
пересечения линий k и и—через N (рис. 23). Опишем из
центра /V евклидову полуокружность п радиуса NA. Она
разделит угол /, показанный на рис. 22, на два угла — 5
и 6, евклидовы величины которых, как легко убедиться,
равны между собой. Инверсия относительно п преобразует k
в р и р в k, следовательно, углы 5 и 6 поменяются местами.
Отсюда заключаем, что не только евклидовы, но и дейст-
действительные (гиперболические) величины углов 5 и 6 равны
между собой, т. е. в плоскости Лобачевского (как
и на карте т) каждый из них равен половине прямого
угла.
38

Обозначим через L точку пересечения линий и и п,
лежащую по ту же сторону точки М, что и точка N, и
опишем из центра L окружность / радиуса LA (рис. 23).
Она разделит угол 6 на углы 7 и 8. Нетрудно убедиться,
что
d
а так как
= ^d, то /_7=—d, следовательно, евкли-
евклидовы величины углов 7 и 8 равны между собой. Вместе
/
/^3~
(
1
г
Р \
\
1
Рис. 22.
Рис. 23.
с тем равны между собой также и гиперболические их
величины, поскольку при инверсии относительно окруж-
окружности I эти углы меняются местами.
Аналогично доказывав?.!, что углы, имеющие на карте х
1,1,
евклидову величину-^-а, -тг-", ..., имеют такую же величину
и в плоскости Лобачевского.
Так как каждый угол можно представить в виде суммы
конечного числа или в виде предела суммы неограниченно
возрастающего числа слагаемых вида
, 1 , 1 , 1 , 1 ,
~2	Т "8" Гб
то конформность карты \ доказана.
§ 5. ОКРУЖНОСТЬ В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Выясним, как изображается на карте х окружность пло-
плоскости Лобачевского.
Через то ку М прямой и проведем евклидову прямую р,
перпендикулярную к и, и возьмем на ней в полуплоскости х
39

две произвольные точки В и С (рис. 24; MB > МС). По-
Построим на р точку А так, чтобы выполнялось равенство
СМ' __АМ
АМ~~ ВМ'
F)
Из этого равенства заключаем, что гиперболические длины
отрезков СА и АВ одинаковы. Действительно, преобразо-
Рис. 24.
вание подобия с центром подобия М и коэффициентом -г-г;
переводит отрезок АВ в СА г).
*) ВМ • -jjrj = ВМ • -к-г; = AM, следовательно, В переходит в А;
AM - -j-r-j — СМ, следовательно, А переходит в С.
40

Обозначим через О евклидову середину отрезка ВС,
опишем из центра О радиусом ОВ евклидову окружность q
и построим точку Av симметричную с Л относительно
прямой и.
Так как
ОА=-ОМ — АМ, ОА1 = ОМ-\-МА1 = ОМ-\-АМ,
то
OA-OAL = OM2 — AM2.	G)
Далее,
а в силу равенства F)
Следовательно, равенству G) можно придать вид
О А >ОА1 = ~ (ВМ -f СМJ — ВМ-СМ =
= j(BM2+2BM -CM-j-CM2 —4SM ¦ CM)
или
OA-OA^jiBM — CMJ.	(8)
Так как
~(ВМ — СМ) = ОВ,
то из равенства (8) получаем
О А • ОАг = ОВ2.
Отсюда видим, что точки Л и Л; симметричны относи-
относительно окружности q.
Покажем, что гиперболические расстояния всех точек
линии q от точки Л равны между собой.
Проведем через А и Л1 произвольную евклидову жруж-
ность п (рис. 25). Ее центр N лежит на прямой и, следо-
следовательно, ее часть, расположенная в полуплоскости х, пред-
представляет собой гиперболическую прямую.
Пусть п и q пересекаются в точках D и Е, п и и —
в точках F я G. Опишем радиусом FA из центра F евкли-
евклидову окружность /. Окружности q и / взаимно ортогональны,
так как / проходит через точки Л и Av симметричные
41

относительно q (см. § 3); поэтому инверсия относительно /
преобразует окружность q в себя.
Далее, та же инверсия преобразует прямую р, не про-
проходящую через полюс инверсии F, в окружность, проходящую
через F, а также через точки А и Av остающиеся при
данной инверсии неподвижными, т. е. в окружность п.
С другой стороны, окружность п, проходящая через полюс
инверсии, преобразуется в прямую, а именно в р, поскольку
эта прямая должна пройти через точки А и Ау.
Рис. 25.
Отсюда вытекает, что дуги AD и АЕ окружности п
преобразуются соответственно в отрезки АВ и АС прямой р.
Следовательно, гиперболические длины отрезков AD и АЕ
гиперболической прямой п равны гиперболическим длинам
отрезков АВ и АС гиперболической прямой р, иными сло-
словами, гиперболические расстояния точек В, С, D, Е от
точки А одинаковы. Это показывает, что гиперболическая
окружность изображается на карте т в виде евклидовой
окружности, не имеющей общих точек с прямой и; однако
изображение ее центра (А) не совпадает с центром (О)
соответствующей евклидовой окружности.
42

Заметим в заключение, что каждая гиперболическая
прямая, проходящая через А, пересекает окружность q под
прямым углом, что аналогично известному свойству диаметров
евклидовой окружности.
§ 6. ЭКВИДИСТАНТА
Пусть р и q—перпендикуляр и наклонная к прямой а
в некоторой ее точке М, P^Qi и P2Qo — дуги евклидовых
окружностей с общим центром М, или, иными словами,
отрезки двух гиперболи ;еских прямых ту и т2 (рис. 26).
Так как т1 и тг пересекают р под
прямым углом, то гиперболические
длины дуг PiQi и P2Qz представ-
представляют собой гиперболические расстоя-
расстояния точек Qt и Q2 от гиперболической
прямой р. Эти гиперболические рас-
расстояния равны между собой, поскольку
дугу P-iQi можно перевести в дугу
P2Q2 преобразованием подобия с цен-
центром в М.
Отсюда заключаем, что линия q
есть геометрическое место точек, ги-
гиперболические расстояния которых от
гиперболической прямой р одинаковы.
Такая линия называется эквидистантой, гиперболиче-
гиперболическая прямая р—ее базисом. Эквидистанта, как видно
из результатов § 4, не является гиперболической прямой.
Допущение, что геометрическое место точек, находящихся
на одном и том же расстоянии от данной прямой и лежащих
по одну сторону ее, есть прямая, противоречит указанному
свойству эквидистанты, а значит, и аксиоме параллельности
Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности
Евклида.
Заметим, что гиперболические прямые, перпендикулярные
к базису эквидистанты, пересекают ее под прямым углом,
что очевидно из рис. 26.
Инверсия относительно окружности с центром на пря-
прямой и, отличным от М, преобразует q в евклидову окруж-
окружность; она, как и гиперболическая прямая, пересекает пря-
прямую и, но центр ее не лежит на и.
Итак, на карте % эквидистанта изображается либо в виде
евклидовой полупрямой, пересекающей прямую и под острым
Рис. 26.
43

Или тупым углом, либо в виде дуги евклидовой окружности,
пересекающей прямую и, но с центром вне и. Легко убе-
убедиться, что не существует эквидистант иного вида.
§ 7. ПРЕДЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ
Проведем диаметр р окружности q, перпендикулярный
к прямой и, и обозначим через С точку пересечения его
с д, ближайшую к и (рис. 27). Если закрепить точку С и
неограниченно увеличивать радиус окружности q так, чтобы
ее центр перемещался по прямой р в направлении, указан-
указанном стрелкой, то в пределе q превратится в евклидову
прямую h, параллельную и.
Линия h не является гиперболической прямой; она назы-
называется предельной линией. Таким образом, предель-
предельная форма окружности, одна из точек которой и касательная
в этой точке закреплены и радиус которой неограниченно
возрастает, есть в геометрии Евклида прямая линия, а в гео-
геометрии Лобачевского—предельная линия. Этим свойством
предельной линии объясняется ее название.
Рассмотрим гиперболическое движение, представляющее
собой инверсию относительно окружности п с центром N
на прямой и (рис. 27). Оно преобразует линию h в евкли-
евклидову окружность hx, проходящую через N, с центром на
общем перпендикуляре NNt евклидовых прямых и и h,
откуда следует, что h1 касается прямой и.
Итак, предельная линия изображается на карте х либо
в виде евклидовой- прямой, параллельной и, либо в виде
евклидовой окружности, касающейся и.
44

¦ Проведем через Л' евклидову окружность I с центром L
на прямой и (рис. 27). Так как радиусы евклидовых окруж-
окружностей А, и I взаимно перпендикулярны, то гиперболическая
прямая/ пересекает предельную линию hr под прямым углом.
Отсюда заключаем, что все гиперболические прямые, про-
проходящие через бесконечно удаленную точку предельной
линии и называемые ее осями, пересекают эту линию
под прямым углом.
Любая предельная линия h гиперболически равна любой
иной предельной линии hlt т. е. существует гиперболиче-
гиперболическое движение, преобразующее h в hx. Таким гиперболи-
гиперболическим движением будет: преобразо-
вание подобия с центром подобия
на прямой и, если h и hx — евкли-
евклидовы прямые, параллельные и, или
евклидовы окружности разных радиу-
М
Рис. 28.
Рис. 29.
сов, касающиеся и (рис. 28 и 29); сдвиг полуплоскости % вдоль
прямой и, если h и hx — евклидовы окружности одного и
того же радиуса, касающиеся и; инверсия с полюсом на и,
если одна из линий h, hx — евклидова прямая, параллельная и,
другая — евклидова окружность, касающаяся и.
§ 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО
Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника
меньше 2d.
Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC
(рис. 30). Его стороны а, Ь, с изображены соответственно
в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и,
дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евкли-
евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол А
равен углу между касательными к окружностям b и с
в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA
и МА этих окружностей. Наконец, l^B = ?_BNN[.
45

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову
окружность q; она имеет с окружностью с одну только
общую точку В, так как ее диаметр является радиусом
С
Рис. 30.
окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, огра-
ограниченного окружностью q, следовательно,
/_ А = [_ MAN < [_ MBN. . . .
Отсюда в силу равенства /_MBN' ~\- ?_В-= d имеем:
поэтому /_A-\~^mB~\-/_C<C,2d, что и требовалось-дока-
требовалось-доказать.
Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического
движения любой прямоугольный треугольник можно распо-
расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидо-
евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, исполь-
использованный нами метод вывода неравенства (9) применим
к любому прямоугольному треугольнику.
Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его
одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма
46

острых углов этих прямоугольных треугольников равна
сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда,
принимая во внимание неравенство (9), заключаем, что
теорема справедлива для любого треугольника.
Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше Ad.
Для доказательства достаточно разбить четырехугольник
диагональю на два треугольника.
Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один
и только один общий перпендикуляр.
Пусть одна из данных расходящихся прямых изобра-
изображается на карте i в виде евклидова перпендикуляра р
к прямой и в точке М, другая — в виде евклидовой полу-
полуокружности q с центром на и,
причем р и q не имеют общих
точек (рис. 31). Такое располо-
жение двух расходящихся гипер-
Рис. 31.
- Рис. 32.
болических прямых на карте т всегда может быть достиг-
достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.
Проведем из М евклидову касательную MN к q и опи-
опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокруж-
полуокружность т. Ясно, что т—гиперболическая прямая, пересе-
пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, • т
изображает на карте т искомый общий перпендикуляр дан-
данных расходящихся прямых.
Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих
перпендикуляров, так к*к в этом случае существовал бы
четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противо-
противоречит теореме 2.
. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого
угла на другую его сторону есть отрезок (а не полу--
прямая, как в геометрии Евклида).
Справедливость теоремы очевидна из рис. 32, где отрезок
АВ1 есть прямоугольная проекция стороны АВ острого
угла ВАС на его сторону АС'
47

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности
с центром М есть перпендикуляр к гиперболической пря-
прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклон-
наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и
наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются,
противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно
равносильно аксиоме параллельности Евклида.
Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны
соответственно трем углам треугольника А'В'С, то
эти треугольники равны.
Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ
и АС отрезки АВ1 = А'В', АС1 = А'С. Очевидно, тре-
треугольники АВ1С1 и А'В'С равны по двум сторонам и заклю-
заключенному между ними углу. Точка Bt не совпадает с В,
точка Ct не совпадает с С, так как в любом из этих слу-
случаев имело бы место равенство данных треугольников, что
противоречит допущению.
Рассмотрим следующие возможности.
а) Точка Вх лежит между А я В, точка Сх — между А
и С (рис. 33; на этом и следующем рисунке гиперболиче-
гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых).
Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника
ВСС1В1 равна Ы, что невоз-	с,
можно в силу теоремы 2.
Сд
Рис. 34.
6) Точка Вх лежит между А и В, точка С — между А
и Сх (рис. 34). Обозначим через D точку пересечения
отрезков ВС и BtCv Так как LC = LC' и Lc' = Lcv
то. ^ С = ^ Cj, что невозможно, поскольку угол С — внеш-
внешний относительно треугольника CCJD 1).
х) Доказательство теоремы «Внешний угол треугольника больше
внутреннего, не смежного с ними не зависит от аксиомы
параллельности.
48

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.
Теорема доказана, поскольку сделанное нами допущение
привело к противоречию.
Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского
не существует треугольника, подобного данному треуголь-
треугольнику, но не равного ему.
§ 9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Из рассмотрения карты т можно сделать ряд важных
выводов.
Во-первых, каждая теорема геометрии Лобачевского
приводится на карте т к некоторой теореме геометрии
Евклида. Поэтому наличие противоречия в геометрии Лоба-
Лобачевского влекло бы за собой противоречие в евклидовой
геометрии. Следовательно, геометрия Лобачевского непро-
непротиворечива.
Во-вторых, знакомство с геометрией Лобачевского чрез-
чрезвычайно облегчает вскрытие ошибок в попытках доказать
аксиому параллельности Евклида, сводящихся в большинстве
случаев к принятию допущения, равносильного этой аксиоме.
Чтобы убедиться в необоснованности допущения, достаточно
показать, что оно противоречит аксиоме параллельности
Лобачевского. Так мы и поступили в трех рассмотренных
выше примерах (о геометрическом месте точек, равноуда-
равноудаленных от прямой, о пересечении перпендикуляра и на-
наклонной к данной прямой, о существовании подобных, но
не равных треугольников).
Приведем еще один пример. Математик прошлого века
Фаркаш Больаи (отец упоминавшегося выше Яноша Больаи)
предложил доказательство аксиомы параллельности Евклида,
основанное на допущении, что через три точки, не лежащие
на одной прямой, всегда можно провести окружность.
Ф. Больаи считал этот факт очевидным, но он не имеет
места в геометрии Лобачевского, так как через три точки
плоскости Лобачевского, не лежащие на одной прямой,
проходит либо окружность, либо предельная линия, либо
эквидистанта, следовательно, через такие три точки не
всегда можно провести окружность. Отсюда видим, что
допущение Ф. Больаи равносильно евклидовой аксиоме
параллельности, что свидетельствует о несостоятельности
его доказательства.
Лобачевский в своих исследованиях не пользовался мето-
методом построения карт гиперболической плоскости; этот метод
49

был впервые предложен итальянским математиком Евгением
Бельтрами A835—1900) в его работе, вышедшей из печати
в 1868 году, спустя 12 лет после смерти великого русского
геометра.
Карта плоскости Лобачевского, рассмотренная в нашей
книжке, значительно отличающаяся от карты, построенной
Бельтрами, была введена в науку французским ученым Анри
Пуанкаре A854—1912).
§ 10. О НАТУРАЛЬНЫХ ЛОГАРИФМАХ
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Изложенный ниже материал будет использован в после-
последующих параграфах х).
Установим предварительно несколько важных соотношений.
Введем обозначения:
где п — целое положительное число. Очевидно,
«И.4.1 = I
'п+1 ¦
Из равенств A0) и A1) получаем:
1 \» л
i _|_ —I — ^	(\О\
		__ 	]_
1
Разлагая правую часть последнего равенства на множи-
множители, получим
!) Затронутые здесь вопросы более подробно освещены в кни-
книгах: А. И. Маркушевич, Площади и логарифмы и В. Г. Ш е р-
ватов, Гиперболические функции (серия «Популярные лекции по
математике», выпуски 9 и 16).
50

Заменяя в квадратных скобках каждый сомножитель
1 -|	-т—т- на 1 -|	, мы увеличим выражение A4), что
после упрощений приведет к неравенству
1 / 1 \и
Отсюда в силу равенства A2) будем иметь
bn o-n+i "\ "п ап<
или
a-n+i > о-п-
Следовательно, величина ап возрастает с возрастанием
числа п.
Заменим теперь в квадратных скобках выражения A4)
каждый сомножитель 1-)	на 1 -|	—г. В результате
выражение A4) уменьшится, что после упрощений приведет
к неравенству
Нетрудно убедиться, что
)
действительно, после упрощений отсюда получим:
1 л + 2
7Г>(я+1J>
или
(л-j- 1J> л (л+2).
Справедливость последнего неравенства очевидна.
Из A5), A6) и A3) получаем
Следовательно,
Итак, величина Ъп убывает с возрастанием числа п.
Так как а±==2, Ь1 == 4, то из предыдущего заключаем,
что
51

Отсюда и из A2) вытекает неравенство
К—ап<~.	A7)
Поскольку при возрастании числа п ап возрастает, Ъп убы-
убывает и разность Ьп—ап стремится к нулю, что следует
из A7), то величины ап и Ьп стремятся к одному и тому же
пределу, который принято обозначать буквой е, причем
первая всегда меньше, вторая всегда больше этого пре-
предела. Итак,
A \п	/	1 \n+1
1 +~ = lim ! + 7Г •	A8)
II
+ ¦?¦) •	A9)
В частности, при п = 1 имеем
2 < е < 4.	B0)
Число е — иррациональное; его приближенное значение
равно 2,71828.
Из неравенств A9) вытекает приближенное равенство
¦е;	B1)
его погрешность меньше разности Ьп — ап и, следовательно,
4
меньше — .
п
Пусть х— правильная положительная рациональная дробь.
Будем придавать целому положительному числу п такие
значения, чтобы число nx~k было целым. В силу нера-
неравенств A9) получим
Следовательно, будет иметь место приближенное равенство
(l+?)*«**.	B2)
Его погрешность меньше, чем
B3)
52

Далее, по формуле бинома Ньютона имеем
* i . „ , А(А-1)
+
... + 1
Отсюда вытекает приближенное равенство
1+ k) ~ [^Х-
Обозначим его погрешность через а. Очевидно,
-1) (ft-2)
2 [ k
. B4)
B5)
Из B2), B5) и B6) заключаем, что
ех',
B7)
и погрешность этого соотношения не превышает ~-р.	-,
хвх
так как предел выражения —г- [см. B3)] равен нулю, когда k
неограниченно возрастает. Эта погрешность может быть
сделана сколь угодно малой, если величине х придавать
достаточно малые значения.
Формула B7) справедлива и в том случае, когда х <^ \ —
положительное иррациональное число, в чем можно убе-
убедиться, рассматривая его рациональные приближенные
значения.
Заметим, что формула B7) справедлива и для отрица-
отрицательных значений х, меньших по абсолютной величине
единицы; в этом случае ее погрешность не превышает
2A+*) '
Из B2) и B4) можно получить еще одно приближенное
равенство, более точное, чем B7). Так как k-^-oo, то
53

предел третьего члена правой части равенства B4) равен -~- х2.
Следовательно, можно положить
е ~_ 1 -\- х -f- g х .	(/о;
Этой формулой пользуются, если х настолько мало, что
величиной х3 можно пренебречь. Оценку погрешности фор-
формулы B8) производить не будем.
Рассмотрим систему логарифмов с основанием е. Такие
логарифмы называются натуральными; в высшей мате-
математике они играют весьма важную роль.
Натуральный логарифм числа х обозначается так: lnx.
В силу известных свойств логарифмов 1п 1 =0, 1пе= 1.
Логарифмируя обе части соотношения B7), получим
следующее приближенное равенство:
In (I +x)^x;	B9)
им можно пользоваться, если величина х достаточно мала.
С помощью числа е определяются гиперболические
функции—-гиперболический синус и гиперболический
косинус (обозначения: sh и ch):
рХ 	р — X	рХ J_- р — Х
ьи л — g i >-u х — н •	V.""/
Две другие гиперболические функции — гиперболический
тангенс и гиперболический котангенс (обозначения: th и cth) —
могут быть определены так:
,,	sh х ,,	ch л:	.„,.
thx=—г— , cth x = -г—.	C1)
ch л:	sh х	v '
Гиперболические функции обладают рядом свойств, ана-
аналогичных свойствам одноименных тригонометрических функ-
функций. За подробностями отсылаем читателя к упомянутой
выше книге В. Г. Шерватова.
Для достаточно малых значений величины х получим из
B7), C0) и C1) следующие приближенные равенства:
shxsrix, chx^al, th x яа х,	C2)
а из B8), C0) и C1)—приближенные равенства:
1	1х
гч V| v* /^n^ V	ли v f****J 1 !	, \.~и	4-\л v* ¦rm^^J _„—^^—...
1 2	2 -у xi
54

§ 11. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
ПРЯМЫХ
В этом параграфе будет показано, как вычисляются
гиперболические длины отрезков гиперболических прямых.
Рассмотрим сначала евклидову полупрямую полупло-
полуплоскости т, перпендикулярную к прямой а в ее точке М
(рис. 35), и на ней точки А, В, С, D, распо-	.
ложенные так, что	^
MB ^MD
МА~~ МС
или, что то же,
MB MA
MD МС w
Обозначая каждое из двух последних
соотношений через |л, замечаем, что преобра-
преобразование подобия с центром М и коэффициен-
коэффициентом [х переводит отрезок CD в отрезок АВ,
следовательно, гиперболические длины этих
отрезков равны между собой.
Из сказанного вытекает, что гиперболи-
гиперболическая длина отрезка АВ (будем обозначать __
ее через ABV) характеризуется отношением	м
-Г7-Г-, или, иными словами, есть некоторая ™L- °°-
функция этого отношения. Покажем, что за эту функцию
можно принять логарифм, т. е. можно положить
„ г, л MB
ABl.^\og-MJ.	C4)
Пусть F—точка отрезка АВ. Тогда
МВ___МР_ MB
МА~~МА'~Ш'
Логарифмируя это равенство, получим в силу формулы C4)
АВС = AFr + FBr,
что соответствует правилу сложения отрезков.
Вообще говоря, в формуле C4) можно брать логарифм
с любым—но для всех отрезков одним и тем же — положи-
положительным основанием (отличным от 1); однако для согласова-
согласования выводимого нами правила с положениями параграфа 4
55

необходимо остановить выбор на натуральном логарифме и,
следовательно, писать формулу C4) в виде
1 MB	....
АВг = 1пМА-	<35>
Действительно, если отрезок АВ достаточно мал
по сравнению с отрезком МА, то из соотношений
In
MB
:1п
МА + АВ
МА	МА ~
получим в силу формул B9) и C5)
АВ
0
МА
АВГ
'МА '
что соответствует принципу, принятому в параграфе 4.
Заметим, что гиперболические длины отрезков АВ и ВА,
вычисленные по формуле C5), равны по абсолютной вели-
величине, но отличаются знаком. Это показывает, что при изме-
изменении направления отрезка на обратное его гиперболиче-
гиперболическая длина меняет знак. Если направление отрезка для нас
безразлично, то в правой части формулы C5) следует брать
абсолютную величину логарифма.
Рассмотрим теперь евклидову полуокружность q с цен-
центром М на прямой и, пересекающую и в точках Л/"' и N,
и евклидов перпендикуляр к а в точке М, пересекающий q
в точке А (рис. 36).
56

Пусть В — точка дуги AN. Проведем евклидову пря-
прямую NB и обозначим через В' ее пересечение с МА. Не-
Нетрудно убедиться в равенстве отрезков АВ и АВ' гипер-
гиперболических прямых q и МА. Действительно, инверсия
относительно окружности q' радиуса NA с центром N
преобразует q в евклидову прямую МА; при этом точка А
преобразуется в себя, а точка В—в В', так как В и В'
лежат на евклидовой прямой, проходящей через полюс
инверсии N. Следовательно,
Обозначим угол NMB через 9; тогда {_ MNB =90° — -=- и
МА ~ MN ё \	2) ug2'
Отсюда
д
.	C6)
Если С—точка дуги BN (рис. 36) и /_NMC— cp, то,
как следует из C6),
АСТ = lnctg|-, ВСГ=АСГ — АВГ = In ctg|~ In ctg-|.
Отсюда
(^i)	C7)
Итак, нами получены формулы как для случая, когда
гиперболическая прямая, содержащая данный отрезок,
изображается евклидовой полупрямой, так и для случая,
когда она изображается евклидовой полуокружностью.
§ 12. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ
ТРИГОНОМЕТРИИ
Рассмотрим в полуплоскости х прямоугольный треуголь-
треугольник ABC (рис. 37). Его сторона ВС—отрезок евклидовой
прямой OB (OB J_ а), сторона С А — дуга евклидовой окруж-
окружности радиуса / с центром О, сторона АВ — дуга евкли-
евклидовой окружности радиуса / с центром М, /_С—-прямой,
/_ А = а, /. В = %
57

Опустим из точки А перпендикуляр AN на прямую и
и введем обозначения:
ОВ*=р, NA=q, MO=m, MN=n, /_NMA=b, /_NOA=y.
Обозначим гиперболические длины сторон ВС, СА, АВ—
данного треугольника соответственно через а, Ь, с. (Наобо-
(Наоборот, /, т, п, р, q — евклидовы длины.)
Заметим, что
так как касательные в точке А к сторонам угла А перпен-
перпендикулярны к сторонам угла О AM, а касательные в точке В —
к сторонам угла В перпендикулярны к сторонам угла ОМВ.
Рис. 37.
Установим теперь ряд зависимостей между рассматри-
рассматриваемыми величинами.
Из треугольников ОВМ и О AM имеем:
1 =
т2
Отсюда
= О А2).
— 1 =2т(п — т), р2~\-1 =2(/2 — тп). C8)
58

Далее, в силу формулы C5)
Следовательно,
а — In у =1п/?.
sh а — - (еа — е-а) — -
sn о — 2 ^ е ; — 2
Отсюда, воспользовавшись равенствами C8), получим:
, т (п — т) I2 — тп	.-„.
sha = —5	'-, cha =	.	C9)
Из треугольника OAN имеем:
sin y — q, cos cp = п — п.	D0)
Следовательно,
<Р	l+costp	 1 -(-л — т
ctg-
Sitl Cf>
, <р 	 1 — cosf^	^ 1 — п-\-т
Так как в силу C6)
то
.ъ -i_. 9 1 + л — т	__,, ,__ tp i__,j_lot
Отсюда
sh^ = -^—, chft = -.	D1)
Далее, из треугольников (ЭВМ и О AN находим:
D2)
D3)
59

Отсюда
_6_ _ 1 + cos 6	_ t_+jt	в _ 1 — cos 6 _ / — я
Clg 2 ~ sin 6	— ^ ;	tg 2 ~ sin 6 — q '
, |	1 — cos p		/ —/w	p 	1 + cos 3 	l + m
g 2 ~	CtS
|
2 ~ sin p ~~ p ' CtS Y ~ sir
Так как в силу C7)
то
ее — *- 6 t~ P —. У-\-п)A-т) P + in-lm-mn
s 2 s 2	p?	pq
gTcgy	.
Следовательно,
shc = —	'-, chc =	.	D4)
pq	pq	v
Наконец, из треугольника ОАМ получаем
a = cp — 6.
Отсюда, принимая во внимание D0) и D2), будем иметь:
ь • г, qn — q (n — т)
sm a = sin cp cos (i — cos cp sin Й ==	—	'-,
cos a = cos cp cos Q + sin <p sin 6 = " (" ~//w) + ?'' =
— Ф
поскольку q2=l2 — л2. Итак,
am I2—mn	..сч
sin a = 2y-, cos a = ——	.	D5)
Из C9), D1), D3), D4) и D5) получим:
..	m (n — m) ,,,	,,	I (n — m)	,.cs
tha = —?	, thb = n — u, the =-4	'-,	D6)
1г — mn	/2 — mn	v '
,	qm	,	P — mn
tg,3=|-> ctg? = |.	D8)
С помощью равенств C9), D1), D3) — D8) нетрудно
проверить справедливость следующих формул, являющихся
60

основными формулами гиперболической тригонометрии:
ch с = ch a • ch b,	D9)
sh a = sh с • sin a,	E0)
sh b =sh с • sin 3,	E1)
th a = sh * . tg a,	E2)
th* = sha-tg3,	E3)
tha = thc • cos3,	E4)
th b = th с • cos a,	E5)
cos a = ch a • sin 3,	E6)
cos 3 = ch b • sin a,	E7)
ch с = ctg a • ctg 3.	E8)
Формулам D9) — E8) можно придать более общий вид,
если заменить в них величины а, Ь, с соответственно на —,
—, —, что равносильно изменению масштаба гиперболиче-
гиперболических длин. Здесь г — постоянная, общая для всех отрез-
отрезков.
Характерно, что при достаточно малых значениях вели-
величин а, Ь, с из полученных нами зависимостей между эле-
элементами прямоугольного треугольника вытекают приближен-
приближенные равенства, аналогичные формулам евклидовой тригоно-
тригонометрии. Например, воспользовавшись соотношениями C2)
и C3), получим из E0), E2) и E4):
а та с sin a,
а «й b tg a,
am ccosp,
а формуле D9) придадим вид
откуда
пренебрегая последним слагаемым правой части по причине
его малости, получим после упрощений
Таким образом, формула D9) соответствует теореме
Пифагора евклидовой геометрии.
61

§ 13. ДЛИНЫ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Длина дуги предельной линии. На рис. 38
дуга ADB евклидовой окружности с центром О на пря-
прямой и изображает отрезок гиперболической прямой, а евкли-
евклидов отрезок АВ, параллельный и,—дугу предельной линии.
Рис. 38.
Обозначим их гиперболические длины соответственно через
2а и 2s.
Воспользовавшись формулой C6), получим a=lnctgy;
отсюда ctg у = еа. Далее, применение принципа 1° пара-
параграфа 4 дает:
-ji— tg у) = у (<?<*-
АС
ОС
Отсюда в силу определения гиперболического синуса
получим
s = sh a;	E9)
следовательно, 2s = 2 sh а. Таким образом, длина дуги пре-
предельной линии равна удвоенному гиперболическому синусу
половины хорды, стягивающей эту дугу.
Поскольку а < s, то из E9) будем иметь
а < sh а (если а > 0).
F0)
Длина окружности. Докажем предварительно два
вспомогательных предложения.
62

а)	Если а — достаточно малая положительная величина,
то tha<a'). Действительно, из C3) имеем
th а ~ 9 4- а ^ а (если a > 0).
б)	Принимая во внимание, что периметры вписанного
в евклидову окружность радиуса 1 и описанного около нее
правильных я-угольников стремятся при неограниченном
возрастании числа п к одному и тому же пределу, равному
длине этой окружности, получим
lim 2resin— = lim 2retg— = 2тг.	F1)
Найдем теперь длину s гиперболической окружности
радиуса R. (Здесь и дальше все обозначения относятся
к гиперболическим длинам.) Пусть /S и CD — стороны
вписанного в эту окружность и описанного около нее пра-
правильных я-угольников2); обозначим их периметры через р
и Р, а длины отрезков АС и EF—через р и р' (см. рис. 39;
на нем гиперболические фигуры изображены условно в виде
евклидовых фигур).
Из прямоугольных треугольников ОАЕ и OCF, где
О—центр данной окружности, получим в силу формул
E2) и E0):
th АЕ = sh ОЕ ¦ ig —,
s п >
sh CF = sh ОС • sin Ц,
или
th ^-= sh (/? — pO'tg —>	F2)
sh9- = sh(/? + p).sin—.	F3)
!) Отметим без доказательства, что это неравенство справедливо
при всяком положительном значении величины а.
2) Пусть А — точка гиперболической окружности q с центром О.
Построим угол АОМ = —, где т — данное целое положительное
число, и проведем в точке А касательную к окружности q. Эта ка-
касательная и полупрямая ОМ либо пересекутся в некоторой точке S,
либо не пересекутся. В первом случае отрезок АВ будет половиной
стороны правильного m-угольника, описанного около окружности q.
Во втором случае около q нельзя описать правильный т-угольник,
но можно описать правильный л-угольник, если целое число п, боль-
большее т, достаточно велико.
63

Пусть число п настолько велико, что th —-</-; так
Р	Р
как к- < sh y B силу неравенства F0), то из формул F2)
и F3), умножая их почленно на 2я, будем иметь:
sh (R — рО • 2я tg Ц- < /> < s < Р < sh (# -f- р) • 2я sin ~. F4)
Принимая во внимание равенства F1) и учитывая, что
р и р' стремятся к нулю, когда п неограниченно возрастает,
Рис. 39.
приходим к выводу, что первый и последний члены в цепи
неравенств F4) стремятся к одному и тому же пределу
2тс sh /?, совпадающему с величиной s:
Итак, в геометрии Лобачевского длина окружности равна
гиперболическому синусу ее радиуса, помноженному на 2тт.
Длина дуги эквидистанты. Пусть точки Pv
Р2, ...i Pn-i> находящиеся на евклидовых расстояниях ylt
Уг> •••> Уп-i от прямой и, делят отрезок АВ на п евкли-
евклидово равных частей и пусть евклидовы длины отрезков ОВ
и АВ равны соответственно _уп и ^ (Рис- 40; OB J_ и). Рас-
64

смотрим дуги АА', РХР[	В В' евклидовых окружностей
с общим центром О, изображающие перпендикуляры, опу-
опущенные из точек эквидистанты ОВ' на ее базис ОВ. Гипер-
Гиперболическая длина h каждого из этих перпендикуляров
определяется согласно формуле C6) равенством h = In ctg -=-.
Обозначим гиперболические длины дуги А'В' данной
эквидистанты и отрезка АВ ее базиса через s и а. Так как
Рис. 40.
евклидовы расстояния точек PJ, Р'2	В' от прямой и
равны соответственно ytsinb, _y2 sin G	_yrasin9, а евкли-
евклидова длина каждой из частей, на которые поделены отрезки
АВ и А'В', равна —, то в силу выводов § 4 будем иметь:
о = lim Z, s = 1im Z', где
Z = — —+—+
п \У\ Уч
кУ
Z'
Отсюда
I_	|
n \yt sin 6 ~r y2 sin 6
_
yn sin 0
Z'
"z"
1
' sin
65

Поскольку отношение величин Z' и Z сохраняет постоян-
постоянное значение, то то же значение будет иметь отношение их
пределов:
s_ 1	1 / , 8 , , 8 \ 1
а
' sin 6
Следовательно,
s = a ch h.
Итак, длина дуги эквидистанты равна прямоугольной
проекции этой дуги на базис эквидистанты, помноженной
на гиперболический косинус расстояния ее точек от базиса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключительных строках нашей книжки мы ознакомим
читателя, не приводя доказательств, с некоторыми предло-
предложениями геометрии Лобачевского, оттеняющими ее свое-
своеобразие.
Расскажем прежде всего об одной поверхности евкли-
евклидова пространства, о которой мы упомянули вскользь в § 2.
Рис. 41.
Рис. 42.
На рис. 41 изображена евклидова плоскость, в ней —
прямая а и связанная с а кривая t (трактриса), обла-
обладающая следующим свойством: отрезок касательной к t
в любой ее точке, заключенный между точкой касания и
точкой пересечения касательной с прямой а, имеет постоян-
постоянную длину, не зависящую от выбора точки касания.
66

Если трактрису t вращать вокруг прямой а, то она опи-
опишет поверхность, называемую псевдосферой (рис. 42).
Псевдосфера и есть та поверхность, которую исследовал
Бельтрами, доказавший, что она характеризуется свойствами,
присущими куску плоскости Лобачевского (если считать
«прямыми» кратчайшие линии на ней).
Подобно этому в пространстве Лобачевского существует
поверхность, на которой выполняются (при той же трак-
трактовке понятия «прямая») плоскостные положения евклидовой
геометрии; это—так называемая предельная поверх-
поверхность; ее описывает предельная линия, вращаясь вокруг
одной из своих осей.
Приведем теперь формулировки некоторых наиболее
простых предложений, характерных для геометрии Лобачев-
Лобачевского.
1.	Две параллельные прямые асимптотически сближаются
в направлении их параллельности (т. е. расстояние точки
одной из этих прямых от другой может быть сделано сколь
угодно малым) и неограниченно расходятся в противопо-
противоположном направлении.
2.	Пусть прямая с пересекает расходящиеся прямые а
и J в точках А к В. Длина отрезка АВ будет наименьшей,
н	В	С
Рис. 43.
если с совпадает с оэщчм перпендикуляром данных расхо-
расходящихся прямых. По обе стороны от их общего перпенди-
перпендикуляра прямые а н b неограниченно расходятся.
3. Площадь треугольника ABC равна г2(к—/_А—/_В—
— /JC), где величины углэв взяты в радианной мере,
а г—упомянутая в § 12 постоянная, общая для всех тре-
треугольников. Наибольшую площадь тег2 будет иметь треуголь-
треугольник, все углы кэторого равны нулю (на рис. 43 такой тре-
треугольник заштрихован).
67

4.	Вписанный в окружность угол не всегда измеряется
половиной дуги, на которую он опирается. В частности, на
диаметр всегда опирается острый угол (а не прямой, как
в евклидовой геометрии).
5.	Если дано произвольное целое число п > 6, то можно
построить такую окружность, что сторона правильного впи-
вписанного в нее «-угольника равна ее радиусу. Сторона впи-
вписанного в окружность правильного шестиугольника всегда
больше ее радиуса.
6.	В геометрии Лобачевского в некоторых случаях можно
выполнить квадратуру круга, т. е. построить, пользуясь
линейкой и циркулем, равновеликие круг и «квадрат» (точ-
(точнее— равноугольный ромб, поскольку в гиперболической
плоскости не существует четырехугольника с четырьмя пря-
прямыми углами). В евклидовой геометрии квадратура круга,
как известно, невыполнима.
Рассмотренные нами примеры показывают, как велико
подчас расхождение между выводами геометрий Евклида и
Лобачевского.
* *
*
В нашей книжке намечены только первые вехи пути,
ведущего к проникновению в глубины гиперболической гео-
геометрии. Мы будем рады, если читатель, ознакомившийся по
нашему изложению с началами этой замечательной науки,
заинтересуется ею и пожелает изучить специальные посвя-
посвященные ей труды, в том числе творения ее основополож-
основоположника Н. И. Лобачевского.