П. П. ИРОШНИНОВ
А.	М. ПЫШКАЛО
амостоятельные
работы
в курсе
АЛГЕБРЫ
16 нласса

н. п. ИРОШНИНОВ
А. м. ПЫШНАЛО
Самостоятельные
работы
в курсе
АЛГЕБРЫ
6 нласса
(Дидактический материал)
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ11
МОСКВА 1968

Рукопись рецензировали:
допоит П. В. Страпшлатоа п учители Е. Ф. Мальцева
и А. Д. Паршина.
Предлагаемые «Самостоятельные работы в курсе
алгебры VI класса.') содержат тексты 18 работ и крат¬
кие методические указания к их использованию.
Предлагаемый вид самостоятельных заданий возник'
и практике работы К- И. Пешкова (школа № 314
Москвы) и А. М. Пышкало (школа-интернат № 30
Москвы) в ходе преподавания арифметики в пятых
классах. В 1964 г. издательство «Просвещение» выпус¬
тило подготовленные ими «Самостоятельные работы
в курсе арифметики V класса» (дидактический материал).
Настоящая книга содержит самостоятельные рабо¬
ты по всем основным разделам курса алгебры VI клас¬
са. Текст каждой работы представлен в пяти вариан¬
тах.
Авторы считают своим приятным долгом поблаго¬
дарить доцента П. В. Стратилатова и учителей
Е. Ф. Мальцеву и А. А. Паршину за ценные советы.
6-4-1
162-67
Николай Петрович Ироишиков,
Анатолий Михайлович Пышкало
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
6 класс
Редактор Э. К. Викулина. Художник Н. Н. Румянцев. Художественный редактор
В. С. ЭрОенко. Техническим редактор В. В. Новоселова. Корректор Р. Б. Штут-
ман. Сдано в набор 6/Х II 1967 г. Подписано в печать 15/IV 1968 г. 84X 108'/з2-
Типографская N° 2. Печ. л. 6,25(10,50). Уч.-изд. л. 8,07. Тираж 100 тыс. экз.
(Пл. 1967 г. N° 162). А07008. Зак. 1925. Издательство «Просвещение» Комитета по
печати при Совете А1иннстров РСФСР. Москва, З-й проезд Марьиной рощи, 41.
Полнграфкомбинат им. Я Коласа Государственного комитета Совета Министров
БССР по печати, Минск, Красная, 23. Цена 22 ког>

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
§ 1. Назначение самостоятельной работы
Одним из недостаточно разработанных вопросов методики обучения
математике является учет индивидуальных особенностей ученика.
Между тем совершенно ясно, что активизация обучения, его резуль¬
таты во многом связаны именно с тем. насколько успешно преподава¬
тель учитывает индивидуальные способности каждого ученика. В си¬
лу недостаточной методической разработанности указанной проблемы
в центре внимания учителя чаще всего находятся средние и слабые
ученики. Такая организация работы на уроке обычно приводит к тому,
что лучшие учащиеся остаются «не у дел».
Попеки форм работы, обеспечивающей проведение индивидуального
подхода в обучении, ведутся широким фронтом. Здесь можно назвать,
например, попытки реализовать идеи программированного обучения.
Частичное решение проблемы индивидуального обучения достигается
главным образом благодаря применению самостоятельных работ. Боль¬
шинство проводимых в школе самостоятельных работ по математике
предназначено для закрепления уже изученного материала (тренировки
и контроля).
Предлагаемые нами работы предназначены для формирования навы¬
ков самостоятельного изучения нового материала, в част¬
ности чтения математической литературы. При разработке содержания
предлагаемых самостоятельных работ учитывались особенности, отли¬
чающие чтение математической литературы: «В силу лаконичности язы¬
ка и высокой абстракции математических понятии чтение должно со¬
провождаться выполнением чертежей, расчетов, воспроизведением дока¬
зательств и выводов»1. Следует заметить, что структура стабильных
учебных материалов для школы (разделение учебной книги по матема¬
тике на теоретическую и практическую — учебник и задачник) мало
способствует выработке навыка чтения научной книги у школь¬
ников.
Таким образом, предлагаемые самостоятельные работы преследуют
в основном две цели: 1) развивать навыки самостоятельного .чтения
математической литературы, 2) использовать индивидуальные особен¬
ности каждого ученика при изучении нового материала.
Система самостоятельных работ посвящена изучению 18 вопросов
курса алгебры VI класса. Темы работ выбирались прежде всего с та¬
ким расчетом, чтобы рассматриваемый в них материал содержал новые
понятия, был небольшим по объему и имел приложение в курсе мате¬
матики.
В каждой работе учащимся сообщаются некоторые сведения
и предлагаются органически связанные с ними упражнения. Система
упражнений н теоретических сведений обеспечивает формирование но¬
вых понятий.
Объем самостоятельной работы и характер заданий рассчитаны
так, чтобы се о с н о в н у ю часть каждый ученик успел выполнить
1 К. М. И е ш к о в, А. М. Пыш к а л о, Самостоятельные работы
в курсе арифметики V класса. М., (.Просвещение», 196-1, 1967, стр. 3.
3

р точение 20— 30 минут. Остальные, более трудные упражнения предназ¬
начены для наиболее сильных н подготовленных учащихся, которые
iправятся с основной частью работы аа 10— 15 минут. Дополнительные
хиражнишх создают условии дли использовании индивидуальных воз¬
можностей Детей.
Каждая из предлагаемых работ может быть включена в систему
изложения учебного материала, принятую учителем. Самостоятельные
рботы, как правило, предназначены для применения на уроках. Од.
пако многие из них могут быть использованы в качестве домашнего
гадания (листки даются учащимся на дом).
Место тон или иной работы в системе преподавания курса алгеб¬
ры, избранной учителем, определяется только се содержанием. А^ето-
днческие указания лишь уточняют его.
В силу особенностей и назначения предлагаемых работ следует
иметь в виду, что их ценность будет снижена, если уже до ее прове¬
дения учзшнеся будут ознакомлены с теми понятиями, рассмотрению
и изучению которых она посвящается. Материал, рассматриваемый
в работе, должен быть для учащихся новым.
Успех работы во многом зависит от подготовки к ес проведению.
При составлении плана изучения каждой! темы учитель должен преду¬
смотреть возможность использования самостоятельной работы, опре¬
делить ее место в системе уроков. Это позволит своевременно повто¬
рить необходимый для проведения работы учебный материал. Например,
успешное выполнение работы 5 зависит от того, насколько свободно
учащиеся решают уравнения (используя зависимость между данными
числами и результатом действий над ними), а также от того, насколько
они овладели составлением выражений по условию задач.
Эффективность работы во многом определяется тщательностью под¬
готовки к ее проведению. К уроку, на котором намечено проведение ра¬
боты, должны быть заблаговременно подготовлены необходимые на¬
глядные пособия (таблицы, графики п т. д.) п инструменты.
В организационном отношении урок, на котором проводится та или
икая самостоятельная работа, делится на следующие части:
1. Беседа о порядке выполнения работы — 1 — 2 минуты.
2. Выполнение всеми учащимися обязательной часта работы —
20 — 25 минут.
3. Итоговая (обобщающая) беседа учителя— 10— 15 минут.
В кратком разъяснительном слове, предшествующем раздаче ва¬
риантов, учитель объясняет порядок выполнения работы. Он рассказы¬
вает о необходимости внимательного чтения объяснительных текстов
и заданий.
Ученик должен внимательно прочитать теоретическую часть ргбо-
ты, разобрать разъясняющие примеры и задачи и приступить к выпол¬
нению упражнений.
Во вступительной беседе учитель указывает' задания, которые не
следует переписывать. Так, в самостоятельных работах 1, 2, шести¬
классники записывают в своих тетрадях только решения. В ра¬
боте 3 нм придется в тетрадях начертить и заполнить таблицы (уп¬
ражнения 2, 3, 4, 5, 6, 7). В работе 10, упражнение 2, записывается
только ответ, в упражнениях 3, 4, 5 — пример и его решение, в уп-
§ 2. Организация самостоятельной работы

ражиешш fi учащиеся переписывают пример, но вместо звездочки ста-
| пят один из знаков « = », « > », « < ». Во всяком случае, учитель, д-ол-
| жен освободить учащихся от ненужного переписывания
Ответы учащихся также по возможности должны быть краткими.
1 Например, при выполнении самостоятельных работ 1 и 2 записывают¬
ся только ответы, без каких-либо письменных обоснований. Так, реше¬
ние задачи 1 (работа 1-а) будет следующим: (a-f- b) ко п.
Все необходимые обоснования даются устно при проверке само¬
стоятельной работы. Среди заданий, которые должны выполнить уче¬
ники. встречается много устных упражнений. Таковы, например, уп¬
ражнения 2 (самостоятельная работа //;, 3 — 5 (самостоятельная ра¬
бота 8) и др.
Во вступительной беседе к некоторым самостоятельным работам
полезно показать па доске образец записи решения упражнения.
Например, решение упражнения 2, г (самостоятельная работа 18-а)
следующее: (2 о3/- = 4 аи.
Надо показать учащимся, как записываются ответы на вопрос ти¬
па (самостоятельная работа 15-а):
I.	В каких из следующих примеров все члены подобны:
а) - 4а»; 5.2а»;	г)	3 -L abc:	- 2аЬ'-.
} 2
б) ху2, —0,6у2х\	д)	2.4 knm2\	0,3 knm2,	—nkm2,
в) xr'y, ху5;	е)	0,7 k3(rnn-,	hnnk3.
В тетрадях ученик записывает следующий ответ на этот вопрос:
1а, б, д, е.
На первых порах учащихся может затруднить формулировка уп¬
ражнения (самостоятельная работа 7-а, упражнение 9;: «Сколько су¬
ществует чисел, абсолютная величина которых 5; 0?» Учитель должен
разъяснить во вступительной беседе, что здесь содержится два вопро¬
са: «Сколько существует чисел, абсолютная величина которых 5?*
и «Сколько существует чисел, абсолютная величина которых 0?»
Ответ ученика: 9. Два, одно.
Тщательное разъяснение учителя значительно снизит число вопро¬
сов, которые неизбежно возникнут у учащихся в ходе выполнения ра¬
боты.
Особенно подробно разъясняется работа 1, ибо при выполнении ра¬
бот в дальнейшем у детей уже вырабатывается определенный опыт, ошт
привыкнут к предъявляемым требованиям, разберутся в особенностях
самостоятельных работ.
В начале урока- после кратких объяснений (иногда по ходу всту¬
пительной беседы), каждый ученик получает одни из пяти вариантов
заданий и приступает к его выполнению. Учитель внимательно следит
за ходом работы учащихся. Особое внимание он уделяет ученикам,
которые допускают ошибки или затрудняются выполнить задание. Не¬
которым из них преподаватель задает вопросы с целью проверить по¬
нимание смысла задания и степень сознательности выполнения упраж¬
нений.
Если трудности при выполнении задания связаны с пониманием
ранее пройденного материала, то учитель может предложить ученикам
прочитать текст соответствующих параграфов учебника.
5

Срок окончания самостоятельной работы определяется учителем цг
коду IV выполнения. Объем обязательной части указан в методичес^,^
разъяснениях к каждой из работ.
По указанию преподаватели учащиеся прекращают выполнение с
мостоитольной работы и принимают участие в итоговой беседе.
те.чь рассматривает упражнения, а и а л о г н ч ни е тем. которые у,,.^
щнеся выполнили самостоятельно. По .ходу беседы устанавливав
правильность усвоения основных положении, уточняются формуляр^,
кн выводов и определений, предложенных учащимися, делаются
ходнмые обобщения. Волее подробные советы к проведению беседщ Да[
ны и методических указаниях.
По окончании урока шестиклассники сдают тетради с самостоя¬
тельными работами для проверки. Учитель может оценить работу цСех
или только части учеников. Положительная оценка ставится только
в том случае, когда ученик выполнил основную часть работы.
§ 3. Возможные варианты использования «Самостоятельных работ*
Мы рассмотрели структуру урока, на котором проводятся предла¬
гаемые самостоятельные работы. Однако она не может быть осуществ¬
лена сразу, если ученики V класса не работали с дидактическим ма¬
териалом1. В этом случае надо научить школьников выполнять дан¬
ный вид самостоятельных работ. Поэтому первая работа может про¬
водиться так. Классное задание делят на две части, из которых пер¬
вая заканчивается упражнением 2. После выполнения этого упражнения
проводится беседа, цель которой — проверить правильность решений
н дать необходимые разъяснения. В конце урока проводится заключи¬
тельная беседа. Начиная с самостоятельной работы 6 можно осуще¬
ствлять ту структуру урока, о которой говорилось в § 2.
Учитель по своему усмотрению может внести изменения в лю¬
бую самостоятельную работу. Эти изменения прежде всего касаются
уменьшения числа заданий в данном упражнении. Так, если учитель
заранее знает, что учащиеся его класса затратят много времени на
выполнение упражнения 1 (самостоятельная работа 12), а потому не
успеют выполнить упражнение 4, являющееся основным в данной ра¬
боте, то он может уменьшить число задании в упражнении 1. Те из
заданий этого упражнения, которые не будут решены в классе, мо¬
гут быть выполнены дома. Это нужно сделать для того, чтобы уча¬
щиеся рассмотрели все различные наименования компонент, которые
могут быть неизвестными при решении уравнений. Иногда учитель
может изменить п последовательность упражнений. Так, некоторые
упражнения с геометрическим материалом (упражнение 15, самосто¬
ятельная работа /; упражнение 7, самостоятельная работа 3) могут
быть даны значительно раньше. Сказанное относится и к вопросам
теоретического характера. Так, решение уравнений способом проб (са¬
мостоятельная работа 4) можно предпослать упражнению 3.
Возможно, что учитель сочтет нужным некоторые из упражнений
(ие входящих в обязательную часть работ) перенести в домашнее за¬
дание. Однако во всех этих случаях он предварительно должен убе-
J К. П. Пешков, А. АТ Пышкало, Самостоятельные работы
в курсе арифметики V класса. АТ, «Просвещение», 1964, 1967.
О

литься, чго такие изменении не нарушают ни логической структуры
работы, ни дидактического принципа постепенного перехода «сгг прос¬
того к сложному».
Содержание домашнего задания согласуется с содержанием вы¬
полненной и классе самостоятельной работы. Иногда в качестве до¬
машнего задания могут быть использованы упражнения самостоятель¬
ной работы (путем замены вариантов). В некоторых случаях, когда
работа велика по объему и не сложна по содержанию, можно пред¬
ложить учащимся завершить ее выполнение дома.
Самостоятельные работы по усмотрению учителя могут быть ис¬
пользованы и как тренировочный материал, и как материал для про¬
ведения текущего контроля знаний. Это целесообразно делать в том
случае, когда учитель не использует данную систему работ по их
прямому назначению. Совершенно очевидно, что учитель может исполь¬
зовать в обучении не все предлагаемые в настоящей книге работы,
а выбирать из них те, которые, по его мнению, в условиях данного
класса могут дать хороший результат.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К работе 1
Работа проводится в разделе «Алгебраические выражения» сразу
после выполнения учащимися упражнений, в которых они знакомятся
с составлением числовых фор м у л по условиям задач. Имеется
в виду, что школьники уже решили примеры с использованием бук¬
венных обозначений.
На уроках, предшествующих самостоятельной работе, следует;
а) повторить известные учащимся сведения о записи и чтении ал¬
гебраических выражений;
б) рассмотреть возможность составления выражения по условиям
простейшей задачи с конкретными числовыми данными.
Беседуя с отдельными учениками в процессе выполнения само-
стоятельной работы, преподаватель выясняет:
а) как составлены алгебраические выражения к задачам 1—4;
б) как выполнены упражнения 5—6;
в) какие трудности возникают при выполнении упражнения 7;
г) как объясняют учащиеся ход составления выражении по усло¬
виям задач 8, 9.
Примечание. Это место работы требует особого внимания со
стороны учителя: упражнения 1—9 составляют обязательную часть ра¬
боты, которая должна быть выполнена в течение 20—25 минут всеми
учащимися.
Заключительную беседу следует начинать с рассмотрения упраж¬
нений, аналогичных упражнениям 1, 6, 7. Главное внимание в беседе
уделяется рассмотрению хода решения упражнении, аналогичных уп¬
ражнению 9. Если останется время, то полезно подробно рас¬
смотреть один из вариантов упражнения 15 (составление выражении
для вычисления площади фигуры по данным чертежа).
Т
/

К роботе 2
Робота выполняется п разделе «Лчгебрзпшгекит выражения» гюс.
ле ныполпгшш учшщынея тренировочных упражнении на чтение и
запись алгебраических выражении, перед течением вопроса о нахож¬
дении числовых значении алгебраических выражении. На уроках, пред¬
шествующих самостоятельной работе, или в ходе выполнении домаш¬
них задании с.тедчг:
а)	напомнить учащимся основные сведения о правилах вы-
числения площади прямоугольника, квадрата п прямоугольного
треугольника, когда даны его кагеты;
’б) напомнить учащимся сведения овыч нелеп пи объема пря¬
моугольного параллелепипеда, куба.
В процессе выполнения шестиклассниками самостоятельной рабо¬
ты учитель ( в поле зрения у него наиболее слабые школьники) выяс¬
няет:
а) как в упражнениях I н 2 составлена формула для в ы чи с л е-
н и я длины отрезка и ломаной линии, как составлена формула для
вычисления периметра фигуры в упражнении 3 (или 4);
б) успешно ли справляются учащиеся с составлением формулы
для вычисления площади прямоугольника и особенно прямоугольного
треугольника;
в) как составлена формула для вычисления объема прямоугольно¬
го параллелепипеда в упражнении 5.
Примеча пне. Обязательной частью самостоятельной работы,
с выполнением которой должны справиться все учащиеся в течение
20 — 25 минут, являются упражнения 1 —5.
К заключительной беседе можно приступить после того, как все
учащиеся закончат выполнение упражнения 5. Вопросы, освещаемые
в упражнениях I —5. могут быть рассмотрены в беседе подробно лишь
в случае, если преподаватеть обнаружит, что многие учащиеся за¬
труднялись выполнить эти упражнения. В беседе следует остановиться
и на рассмотрении упражнения, аналогичного упражнению 6.
К работе 3
Работа 3 прозодптся в разделе «Алгебраические выражения» как
заключительная. На уроках, предшествующих ее проведению, учитель
должен убедиться в тем, что учащиеся;
а) усвоили употребление букв для обозначения чисел;
б) имеют навык составления формул и выражении по условию
задачи;
в) помнят порядок действий при решении примеров без скобок
и со скобками.
Наблюдая за ходом выполнения работы отдельными учениками,
преподаватель выясняет:
а) как выполнено упражнение 1; учащимся, у которых при ре¬
шении возникли затруднения, предлагает еще раз внимательно про¬
читать вводную задачу;
б) как выполнены упражнения 2, 3, 4.

Прим е ч а н и е. Обязательную часть работа, которая должна
быть выполнена всеми учащимися, составляют упражнения 1 — 4.
Заключительную беседу можно начать с рассмотрении упражне¬
ния, аналогичного упражнению 3 или 4. Следует обратить внимание
учащихся на характер изменения значения выражении
в зависимости от выбираемых значений букв, т. е. подчеркивать фун¬
кциональный смысл процесса. В ходе выполнения учащимися вычис¬
лений надо следить за возможным применением приемов их
р а ц и о и а л и з а ц и и,
В качестве домашнего задания можно использозать (путем заме¬
ны вариантов) часть упражнений самостоятельной работы (упражне¬
ния 6, 7) или аналогичные упражнения из стабильного задачника.
К работе 4
Работа выполняется в разделе «Алгебраические выражения» после
составления учащимися формул, после введения буквенных обозначе¬
ний, составления алгебраических выражений и вычислений их число¬
вых значений.
На уроке, предшествующем самостоятельной работе (или в качест¬
ве домашней работы), следует напомнить учащимся основные сведения
о названиях чисел (компонентов) и зависимостях ре¬
зультата д е й с т в и й от данных чисел при сложении, вычитании,
умножении и делении (правила нахождения неизвестного слагаемого,
уменьшаемого, вычитаемого и т. д.).
Беседуя с отдельными учащимися в процессе выполнения работы,
учитель выясняет:
а) как поставлены вопросы в упражнении 1;
б) правильно ли выписаны уравнения в упражнении 2;
в) как справляются учащиеся с выполнением упражнения 3 (осо¬
бенно это следует выяснить в связи с анализом неудачных решений
уравнений в упражнении 4).
П р и м е ч а н и е. Выполнение учащимися упражнений 1—4 требует
особого внимания от учителя, так как эти упражнения составляют
основную часть работы. Она должна быть выполнена всеми учащими¬
ся в течение первых 20 — 25 минут урока.
Заключительную беседу следует начинать с рассмотрения упраж¬
нений, аналогичных упражнению 3. Главное внимание уделить рассмот¬
рению хода решения примеров вида ,v-|-7 = 11 и Зх + 7 = II.
Если останется время, то надо разобрать решение уравнений м е-
тодом проб (упражнения 7 и 8). При этом подчеркнуть, что поря¬
док выбора новых значении х не случаен, а зависит от того,
как изменялась разница между числовыми значениями левой и правой
частей уравнения (уменьшалось или увеличивалось их значение в зави¬
симости от того пли иного пробного значения неизвестного).
В заключение должны быть рассмотрены уравнения вида:
kx ± Ь —с, пли х : k ± b = с
Учитель подчеркивает, что правила их решения оспозаны на зна¬
нии зависимости между данными и результатами действии над ними.
9

А' работе 5
Работа проподптся в рал доле «Рациональные числа. Урапменщ,
после изучения темы «Решение уравнений первой степени с одним цу*
известным».
Jfj уроках, предшествующих самостоятельной работе, следует;
и) повторить с \ч.нцн.мнся вопросы, связанные е составление^
алгебраических выражений по условиям задач;
б)	убедиться в том, что все учащиеся овладели навыками рец1е_
пня уравнении первой степени с одним неизвестным.
беседуя с отдельными учащимися в процессе выполнения работы
учитель выясняет;
а) характер затруднении, возникших у учащихся при решении за.
дачи I,
б) как выполнено решение задачи 2;
Ы вызвало ли затруднение решение задачи 3;
г)	как справились учащиеся с решением задачи по чертежу (уп.
рлжненне 4).
При м е ч а и и е. Эго место самостоятельной работы требует со
стороны учителя особого внимания, так как упражнение 4 является
последним упржаненнем обязательной части, которое должно быть вы¬
полнено всеми учащимися.
К заключительной беседе можно приступать после того, как псе
учащиеся выполнили упражнение 4, Беседу можно начинать с рас¬
смотрения упражнения, аналогичного упражнению 3. Следует иметь
и виду, что на этом этапе ознакомления учащихся с решением задач
с помощью составления уразненпя не следует схематизировать этот
процесс. Главной целью является формирование навыка сос¬
тавления уравнения по условию задачи. Если останет¬
ся время, то целесообразно рассмотреть решение задачи, аналогичной
упражнению 5. В качестве домашнего задания можно предложить
часть упражнении самостоятельной работы.
К работе 6
Работа выполняется при изучении раздела «Рациональные числа»,
сразу же после введения понятий «отрицательные числа» и «рацио¬
нальные числа».
На уроках, предшествующих работе, следует:
а) освежить в памяти учащихся сведения о числовом луче, об
изображении положительных чисел точками луча;
б) обратить внимание на выбор единичного отрезка,
позволяющего изображать большие числа или дробные числа:
в) повторить основные сведения о центральной снимет-
р и и точек.
Наблюдая за учащимися, выполняющими самостоятельную работу,
учитель обращает особое внимание на наиболее слабых из них
и выясняет:
а)	как учащиеся справились с «чтением» чисел, изображенных
на рисунке 1;
10

С) правильно ли построили точки, изображающие числа, в упраж¬
нении 2;
и) как учащиеся справились с изображением чисел на оси с по¬
мощью единичного отрезка (упражнение 3);
г) как учащиеся справились с упражнениями 4 и 5 (нахождение
единичного отрезка);
д) успешно ли справились учащиеся с упражнениями 7 и 8.
П р и м е ч а н и е. Это место самостоятельной работы требует осо¬
бого внимания со стороны учителя, так как оно является заключи¬
тельным упражнением, которое должно Сыть выполнено всеми уча¬
щимися.
К беседе можно приступать пос.ю того, как все учащиеся за¬
кончат выполнение упражнения 8.
Вопросы, освещаемые в упражнениях 1 и 2, можно рассмотреть
в беседе подробно лишь тогда, когда учитель заметил, что многие
учащиеся затруднялись в их выполнении. В этом случае следует
разобрать аналогичные задания.
Важным местом беседы является рассмотрение упражнения, ана¬
логичного упражнению 3. Нужно, чтобы всем учащимся стал понятен
смысл изменения единичного отрезка (масштаба). Полезно рассмотреть
одпо-два упражнения, в которых основным вопросом является нахож¬
дение единичного отрезка (аналогичного упражнению 4 и 5).
Центральным местом беседы является рассмотрение упражнении,
аналогичных упражнениям 7 и 8, и вывода, сделанного в упражнении
6.	Здесь можно использовать плакат «Числовая ось», который представ¬
ляет собой длинную (1,5 — 2 м) бумажную или картонную полоску
с начерченной на ней прямой, масштабными отметками и начальной
точкой. Установку чисел па плакате можно осуществить с помощью
разноцветных пластилиновых шариков.
В результате выполнения самостоятельной работы 6 учащиеся
должны понять, что числовая ось есть прямая, на которой каждое
число изображается (пли может быть изображено) точно й.
Учитель выясняет, что для того, чтобы прямая стала числовой
осыо, надо:
1) задать точку, изображающую число нуль;
2) задать единичный о т р е з о к;
3) выбрать положительное направление.
Однако можно указать п другой перечень условий, которые дос¬
таточны для того, чтобы на этой прямой можно было изобразить лю¬
бое число, а именно задание изображения двух чисел достаточно для
того, чтобы прямая стала числовой осыо (упражнения 12, 13). При.
этом, конечно, предполагается, что следование точек, соответствующих
любым числам, указано порядком следования точек, изобра¬
жающих данные числа, а длину единичного отрезка определит рас¬
стояние между заданными точками.
К работе 7
Работа проводится в разделе «Рациональные числа. Уравнения»,
непосредственно после ознакомления учащихся с положительными
и отрицательными числами и их изображением на числовой прямой.
И

Мл уроках, предшествующих самостоятельной работе, следует-
а) повторить сведения о числовой прямой, об изображении ц0л
жите.тьных и отрицательных чисел точками этой прямой;	°*
б) повторить вопрос о противоположных числах;
в) напомнить, что в записи положительного числа обычно зца|,
«-{-» опускается, т. е. вместо + 5 записывают 5.
Проводя в процессе выполнения работы наблюдения (обращая осо¬
бое внимание на наиболее слабых учащихся), следует:
а) выяснить правильность выполнения упражнения 1, в случае
затруднений отсылая учащихся к вводному тексту работы;
б) выяснить, как записано решение упражнения 2, при этом под.
черкнуть, что в записи вида |-f 0,0011 = 0,001 в правой части ранец.
ctbj знак плюс не ставится; он может быть опущен и в левой части
Эго значит, что записи | -j- 0,00J | = 0,001 и | 0,001, = 0,001 имеют
один и тот же математический смысл;
в) в случае, если учащиеся допускают ошибки при выполнении
упражнения 3. отослать их к объяснительному тексту, предшествую-
щему этому упражнению;
г) установить причину ошибок, допускаемых учащимися при вы¬
полнении упражнения 4;
д) выяснить, назвали ли учащиеся числа, приводимые в результа¬
те решения упражнения-6, противоположными.
П р и м е ч а и и е. Обратить особое внимание иа выполнение уча¬
щимися упражнения 5, так как упражнениями 5 п 6 завершается ос¬
новная часть работы.
Заключительную беседу следует начинать с рассмотрения упраж¬
нений, аналогичных упражнениям 2, 3. Учащиеся должны подметить,
что абсолютная величина противоположные чисел — одно и тоже
число (упражнение 5).
Если останется время, то полезно рассмотреть упражнения, ана¬
логичные упражнениям 11 — 12.
К работе 8
Самостоятельная работа 8 выполняется в разделе «Рациональные
числа», до изучения сложения и вычитания рациональных чисел.
Иа уроках, предш, ствующих работе, следует:
а) повторить сведения о числовой прямо й н изображении
рациональных чисел точками этой прямой;
б) повторить сведения о противоположных числах;
в) повторить сведения об абсолютной величине рацио¬
нального числа.
Все это можно сделать в процессе решения соответствующих при¬
меров и упражнений.
Во время беседы с отдельными учащимися в процессе выполне¬
ния ими самостоятельной работы учитель выясняет:
а) как выполнено упражнение I; что значит расположить числа
в порядке возрастания (или у б ы в а н и я);
б) какие трудности встретились учащимся при выполнении упраж¬
нения 2;

I
в) подмс чем ли учащимися основной принцип сравнения р а-
ц н о п а л 1, н и х чисел (если нет, то учешик адресуется к вступи*
,тельному тексту самостоятельной работы;; выясняется точность фор¬
мулировки правил сравнения рациональных чисел с нулем, положи¬
тельных чисел с отрицательными (упражнения 3, 4, 5);
г) как выполнены упражнения 6, 7.
Примечание. Упражнение б является последним в обязатель¬
ной части работы. Оно должно быть выполнено всеми учащимися
класса к моменту начала заключительной беседы.
Заключительную беседу начать с рассмотрения упражнения, ана¬
логичного упражнению 6. При этом установить, понят ли учащимися
и р и и ц пн сравнения р а ц и о и а л ь и ых ч и с е л, в основе ко¬
торого лежпг расположение точек, изображающих эти числа на чис¬
ловой осн. Затем проводится работа по уточнению формулировок,
предлагаемых учащимися по результатам выполнения упражнений
! 3, 4 и 5.
Важным местом беседы является рассмотрение упражнения 8
и уточнение формулировки вывода о сравнении двух отрицательны:-:
чисел. Пели останется время, то с учащимися могут быть рассмотре¬
ны и остальные упражнения самостоятельной работы.
К работе 9
Работа проводится в разделе «Вычитание рациональных чисел».
Па уроках, предшествующих проведению работы, следует:
а) напомнить учащимся, что между действия.',ш сложением и вы¬
читанием (например, натуральных чисел) существует определенная
зависимость: вычитание — действие, обратное сложению, когда
по известной сумме двух слагаемых и одному из них находят другое
слагаемое;
б) напомнить учащимся название компонентов при сло¬
жении и вычитании;
в) восстановить в памяти учащихся сведения о противоположных
числах.
В процессе выполнения отдельных заданий самостоятельной рабо¬
ты учитель беседует с некоторыми шестиклассниками и выясняет:
а) подмечено ли учащимися, что вычитание, например, положитель¬
ных чисел можно заменить сложением;
б) как выполнены упражнения 1 и 2;
в) в чем ошибаются учащиеся при решении упражнения 3.
Если допущена ошибка в выполнении замены вычитания сложени¬
ем, то следует вернуться к вводной части самостоятельной работы
(если ошибки в сложении рациональных чисел, то необходимо обра¬
титься к учебнику).
Заключительную беседу можно начинать после выполнения всеми
учащимися упражнения 4. В начале беседы рассмотреть с учащимися
упражнение, подобное упражнению 3. Это подготовит их к сознатель¬
ному выполнению упражнений, подобных упражнению 4. В процессе
выполнения упражнений все учащиеся должны усвоить правило вы¬
полнения вычитания рациональных чисел.
13

I
К работе 10
Работа проводится в раздело «Рациональные числа» сразу пос*
усвоения учащимися действия умножения рациональных чисел, ч
На уроках, предшествующих проведению работы, следует:
а)	восстановигь в памяти учащихся, что между действиями уРм
ножением и делением (например, положительных чисел) существует з^'
вис им ость: деление — действие, обратное умножению, когда по л^’
вестному произведению двух сомножителей и одному из сомножитъ
лен находят другой сомножитель;	1
б) напомнить учащимся названия компонентов rip» yf, -1
пожени» и делении,
в) убедиться в том, что все учащиеся овладели правилами умц,*.
женил рациональных чисел.
В процессе выполнения самостоятельной работы учитель беседует
с отдельными учениками и выясняет:	*
а) как усвоено учащимися правило определения знака ч а-
с т н о г о;	^
б) как выполнено упражнение 1;
г.) характер ошибок, допускаемых учащимися при решении упраж
нения 3;
г) как справляются учащиеся с решением упражнения 4.
Заключительную беседу можно начинать после выполнения всеми
учащимися упражнения 4. В начале беседы остановиться на рассмот¬
рении вопроса, затрагиваемого во вводной части самостоятельной рабо¬
ты. В процессе решения примеров, аналогичных упражнению 3, сле¬
дует дополнить (отшлифовать) формулировку правила деления рацио¬
нальных чисел.
Работа проводится в разделе «Рациональные числа» после озна¬
комления учащихся с умножением и делением рациональных чисел.
На уроках, предшествующих самостоятельной работе, следует:
а) повторить правило знаков при умножении рациональных
чисел;
б) вспомнить с учащимися случай, когда приходится выполнять
умножение одинаковых сомножителей (вычисление площади, объема;.
Во время выполнения работы учащимися преподаватель выясняет:
а) как усвоены понятия: «основание степени», «показатель степе¬
ни»;
б) как выполнено упражнение 3;
в) какие ошибки допущены при выполнении упражнения 4;
г) правильно ли выполнено упражнение 5.
Примечание. Задание 5 завершает обязательную часть рабо¬
ты и должно быть выполнено всеми учащимися класса.
Беседу можно начинать с выполнения упражнения, аналогичного
упражнению 5. В процессе решения примеров уточняется и закрепля¬
ется терминология и правила вычисления натуральной степени рацио¬
нального числа. Целесообразно разобрать с учащимися упражнение 8 и,
если останется время, упражнение 6,
К работе 11
14
I

К работе 12
Работа выполняется п разделе «Рациональные числа. Уравнения*,
после того как преподаватель убедится в том, что учащиеся име'ог
навыки выполнения действии над рациональными числами.
На уроках, предшествующих выполнению работы, следует:
а) напомнить учащимся сведения о названиях чисел и
о зависимостях результатов- действий от данных чисел при
сложении, вычитании, умножении и делении рациональных чисел;
б) напомнить правила нахождении неизвест но г о сла¬
гаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя и т. д.
В ходе выполнения самостоятельной работы, беседуя с отдельны¬
ми учащимися, учитель выясняет:
а) насколько внимательно ученик прочитал вводную часть рабо¬
ты и разобрался в приведенных примерах;
б) как названы неизвестные компоненты в примерах 1 и 2;
в) как выполнено упражнение 3;
г) каким способом ученик устанавливает, что полученное число
является или не является корнем уравнений из упражнения 4.
К заключительной беседе можно приступать после того, как все
ученики решили примеры (а) и (б) упражнения 5 (эти и предыдущие
упражнения составляют основную часть работы). В ходе беседы уточ¬
нить определения терминов: корень уравнения и другие. Это
выполняется в процессе рассмотрения упражнений, подобных 5 и 6.
К работе 13
Работа проводится в конце изучения раздела «Рациональные чис¬
ла. Уравнения», после того как учащиеся приобретут навыки решения
уравнений и задач. Однако работу можно проводить и ранее (сразу
после ознакомления школьников с рациональными числами).
На уроках, предшествующих самостоятельной работе, или в до¬
машнем задании следует:
а) напомнить учащимся основные сведения об изображении
чисел точками числовой прямой (оси);
б) восстановить в памяти учащихся правила построения линейных
или столбчатых диаграмм;
в) рассказать о том, что положение точки (предмета) нл
плоскости (поверхности) можно ^определить, зная два числа. Например,
место в зрительном зале кинотеатра определяется двумя числа-
м и: номером ряда и номером кресла; положение города на географи¬
ческой карте определяется также двумя числа м и: широтой
и долготой и т. п.
Беседуя в процессе выполнения работы с отдельными шестиклас¬
сниками, учитель выясняет:
а) как перенесен в тетрадь рисунок 2 (упражнение 1), отмечены
ли начальная точка, точка пересечения осей температуры и времени;
б) правильность построения двух заданных чертежом точек;
в) правильность выполнения задания 2 — определение времени
и температуры по положению точки;
г) правильность выполнения упражнения 3;
д) как справляются учащиеся с построением графика в соответ¬
ствии с данными таблицы (в упражнении 4); это место работы тре-
15

бует особого внимания потому, что здесь у с в л н о а г о т с л осноащ,.,
дения о графике температуры;	Сп'-'
с) как отвечают учащиеся па вопросы упражнения 5 (чгещ^ f,
фика температуры).
Примечание. Каждый учащиеся должен ответить хотя бь,
вопросы а), б), п) и г) упражнения 5. Упражнения 1—5	[вклк)/11
вопросы а), б), в) и r)j следует считать обязательной частью ра^3'1
для всех учащихся класса.	u
Заключительную беседу следует начинать с рассмотрения упрал,
нений, аналогичных упражнению 5. С этой целью можно использовзт*
заранее подготовленный на доске чертеж (пли плакат). Главное в11(Ь
мание в беседе следует уделить разбору вопросов, связанных с (j^ "
мированием навыка чтения графика температуры. Если остается
мя, то полезно рассмотреть и вопросы, поставленные в упражнении р>"
В качестве домашнего задания могут быть даны упражнения из ста¬
бильного задачника или упражнение 6 (замены вариантов).
К работе 14
Работа проводится в разделе «Рациональные числа. Уравнения*
через некоторое время после ознакомления учащихся с графиком тем¬
пературы (после проведения работы 13).
На уроках, предшествующих самостоятельной работе, следует:
а) напомнить учащимся основные сведения об изображении
чисел точками плоскости (например, паре чисел: 3 часа и —
соответствует одна точка плоскости);
б) выполнить несколько примеров на вычисление числовых значе¬
ний выражений (заполнить таблицу и т. п.).
Беседуя в ходе самостоятельной работы с отдельными учащими¬
ся, преподаватель должен выяснить:
а) как заполнена таблица в вводном тексте;
б) как выполнено построение осей и точек, соответст¬
вующих данным таблицы;
в) п о л у ч и л а с ь ли у учащихся прямая л и и и я, после
того как были соединены построенные точки. Если прямой линии не
получилось, то ученику необходимо выполнить проверку данных таб¬
лицы и правильность построения точек;
г) как использован график для ответов на вопросы
упражнения 3;
Ответ в тетради ученика на вопрос упражнения 3, а (работа
14-6) может быть таким: «9 минут». Устный ответ: «Поезд отправился
в 0 минут».
Примечание. Обязательная для всех учащихся часть работы
завершается вопросом г) упражнения 4.
Заключительную беседу можно начинать с рассмотрения упраж¬
нения, аналогичного упражнению 4. График, по которому учащиеся
отвечают на вопросы, может быть изготовлен в виде плаката или за¬
ранее начерчен иа доске. В ходе беседы следует обратить внимание
учащихся, что в отличие от графика температуры данные для постро¬
ения графика движения могут быть получены путем вычислений, т. е.
16

подчеркнуть функциональный характер отношении между путем и вре¬
менем движении, если скорость движения постоянна (движение равно¬
мерное и прямолинейное). Важно добиться от всех учащихся усвоения
основных приемов чтении графика. В качестве домашнего задания це¬
лесообразно дать упражнение на построение /рафика движения по
табличным данным, которые могут быть получелы учащимися.
К работе 15
Работа выполняется в разделе «Действия над целыми алгебра¬
ическими выражениями/) после ознакомления учащихся с понятием
«коэффициент». На уроках, предшествующих самостоятельной работе,
следует:
а) восстановить в памяти учащихся основные сведения о действи¬
ях (сложение, вычитание) над рациональными числами;
б) проверить усвоение всеми учащимися понятий «алгебраическое
выражение», «одночлен», «коэффициент».
Беседуя с отдельными учащимися в процессе выполнения ими са¬
мостоятельной работы, учите,зь должен выяснить:
а) как усвоено понятие «подобные члены» (это можно установить
по результатам выполнения учениками упражнений 1—4);
б) как справились учащиеся с выполнением упражнений 5—6.
П р п меча н и е. Выполнение учащимися упражнения 6 требует
особого внимания со стороны учителя, так как это упражнение завер¬
шает обязательную часть работы (выполнение этой части работы дол¬
жно быть завершено за 25 — 30 минут всеми учащимися) и по качеству
его выполнения можно судить об усвоении школьниками изучаемого
вопроса.
Заключительную беседу следует начинать с рассмотрения упраж¬
нений. аналогичных упражнению 6. Важно обратить внимание уча¬
щихся на то, что для правильного выполнения приведения по¬
добных членов нужно хорошо уметь складывать рациональные
числа, уметь определять коэффициент данного одночлена.
Проверяя, как выполнил ученик приведение подобных членов, сле¬
дует обратить внимание на наиболее рациональны и подсчет
его коэффициентов.
Если позволяет время, то полезно рассмотреть упражнения, ана¬
логичные упражнениям 8, 9 и 10.
К работе 16
Работа выполняется в разделе «Действия над целыми алгебраиче¬
скими выражениями» после усвоения учащимися сложения п вычита¬
ния одночленов. Па уроках, предшествующих этой работе, необходи¬
мо восстановить в памяти учащихся сведения о действиях над
рациональными числами, об одночлене, коэффициенте. На¬
помнить учащимся сведения о возведении чисел в натуральную
степень.
Наблюдая за учащимися в процессе выполнения ими самостоятель¬
ной работы, учитель обращает особое внимание на наиболее слабо
подготовленных учащихся и выясняет;
17

а) кпк учащиеся споавчиюь с решением упражнения ! (пащ-
прои’ведение натуральных сгененей одного и того же основании); 11
б) какие затруднения возникли при выполнении задании j.
ь сл\чае неправильного выполнения этого задания ученику предлаг ’
ется еще раз прочитать предварительный текст и внимательно разоб."
рать решение примера, приведенного в этом тексте;
в) как учащиеся справились с решенном примеров в задаи),Пх
4 и 5.
П р н м е ч а н п е. Обязательной частью самостоятельной работы
с выполнением которои должны справиться все учащиеся в течецц.1
25-30 минут, являются упражнения 1—5.
К заключительной беседе можно приступить после того, кпк fiCe
учащиеся закончили выполнение упражнения 5.
Вопросы, освещаемые в упражнениях 1 — 2, могут быть подробно
рассмотрены в беседе в том случае, если учитель обнаружил, ЧТо
многие учащиеся встретили затруднения при их выполнении. Главным
образом в беседе следует рассмотреть упражнения аналогичные уп.
ражнениям 5, 6.
В качестве домашнего задания можно использовать (путем заме¬
ны варнангои) часть упражнений самостоятельной работы пли анало¬
гичные упражнения из стабильного задачника.
К работе 17
Работа проводится в разделе «Действия над целыми алгебраиче¬
скими выражениями» (в заключение изучения этого раздела).
На уроках, предшествующих самостоятельной работе, следует;
а) восстановить в памяти учащихся сведения о составлении ал¬
гебраических выражений по условиям задач;
б) напомнить учащимся о правилах решения уравнений.
Беседуя с отдельными учащимися в ходе выполнения самостоя¬
тельной работы (обращая особое внимание на наиболее слабых уча¬
щихся), учитель выясняет:
а) как выполнено упражнение I;
б) вызывало ли затруднение выполнение задания 2;
в) как справились учащиеся с решением задачи 3,а.
Примечай н е. Это место самостоятельной работы требует осо¬
бого внимания от учителя, так как упражнением 3,а завершается
обязательная часть работы, которую должны выполнить все учащиеся
за 25-30 минут.
Пусть учителя не пугает немного «странный» ответ в некоторых
задачах — несколько необычайный вес товара. Это объясняется тем,
что учтен вес упаковки.
К заключительной беседе можно приступать после того, как все
учащиеся решили задачу 3,а. Вначале рассматривается упражнение,
аналогичное задаче 1 или 2. В качестве домашнего задания исполь¬
зуются (путем замены вариантов) упражнения самостоятельной рабо¬
ты 1; 2; 3, или аналогичные задачи из стабильного задачника. В ка¬
18

честве домашнего задания могут быть предложены и упражнения,
аналогичные упражпечшям 3,6; 4; 5 В отличие от первой самостоя¬
тельной работы (самостоятельная работа 5), посвященной решению
задач, здесь уже обращается внимание на ознакомление учащихся со
схемой решения задачи. Однако главной целью является созна¬
тельное составление уравнения по условию за да-
ч и. Этой цели служат и рисунки, содержащиеся в работе.
Естественно, что обучение школьников решению задач с помощью
уравнений будет продолжено на следующих уроках. В этой работе на¬
до показать, как проверяется полученный ответ. При этом
очень важно подчеркнуть, что следует проверять не реше¬
ние составленного уравнения, а решение данной
задач и.
К работе 18
t
Работа выполняется в разделе «Действия над целыми алгебраичес¬
кими выражениями/', после того как учащиеся приобрели навыки ум¬
ножения многочлена на многочлен.
Па уроках, предшествующих самостоятельной работе (пли в до¬
машних заданиях), следует:
а) обратить внимание на ч т е и и е алгебраических в ы р а-
ж е н и й;
б) восстановить в памяти учащихся сведения о возведении
в квадрат одночлена.
Наблюдая за ходом выполнения работы (обращая особое внима¬
ние на слабых учащихся), необходимо выяснить:
а) правильность выполнения учащимися упражнения 1;
б) как выполнены задания 2-3. В случае, если учащиеся допусти¬
ли ошибки, следует вернуться к объяснительному тексту работы или
к учебнику;
в) все ли учащиеся выполнили упражнение 4.
Примечание. Упражнением 4 завершается обязательная часть
самостоятельной работы.
Заключительную беседу следует начинать с рассмотрения приме¬
ров, аналогичных заданию 1 н 4. Учащиеся должны усвоить чтение
формулы квадрата суммы двух чисел. Если останется время, то по¬
лезно рассмотреть упражнения 6 и 7.

Самостоятельная работа 1-а
Составление алгебраических выражений
Задача. В классе а мальчиков и 20 девочек. Сколь¬
ко в классе учеников?
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти сумму
числа а и числа 20. Эта сумма есть алгебраическое вы¬
ражение а-\- 20.
Следовательно, в классе учатся (а+20) учеников.
Упражнения
1. Учебник геометрии стоит а копеек. Учебник алгеб¬
ры на Ь копеек дороже учебника геометрии. Сколько
стоит учебник алгебры?
2. Рост Ванн а сантиметров. Маша на 5 см ниже
Вани. Найти рост Маши.
3. Высота телевизионной вышки х метров. Высота
телеграфного столба k метров. На сколько метров теле¬
графный столб ниже, чем телевизионная вышка?
4. Сумма двух чисел 120. Одно слагаемое Ь. Найти
другое слагаемое.
5. Одна груша стоит т копеек. Сколько стоят 7 таких
же груш?
6. Скорость пешехода v км в час. Поезд движется
в п раз быстрее пешехода. Найти скорость поезда.
7. На весы положили п одинаковых по весу деталей.
Стрелка весов показала Р кг. Сколько килограммов ве¬
сит каждая деталь?
8. Сколько учеников ходили за тетрадями, если из¬
вестно, что: 1) в класс принесли k тетрадей; 2) в каждой
пачке было по а штук тетрадей; 3) каждый ученик нес
только одну пачку?
9. Мастер за один час изготовляет т деталей. Ученик
за один час изготовляет 3 детали. Сколько деталей изго¬
товят мастер и ученик вместе за / часов?
10. В октябре на отопление школы израсходовано
21

а итни угли, в ноябре — b топи, а в декабре израс.ходОПа>
по угля в дня ролл больше, чем в октябре. Сколько yJVjj)
израсходовано за эти месяцы?
II.	Урожайность пшеницы па всем поле одна и та
С д гектаров собрали m центнеров пшеницы. Сколько
пшеницы собрали с х гектаров того же поля?
12.	Физкультурный зал имеет следующие размера,.
</ метров — длина, b метров — ширина и г метров — Вц-
сота. В зале занимается 40 учеников. Сколько кубичен.
кп\ метров воздуха прн.ходптся на каждого ученика?
13.	Из двух городов, расстояние между которым],
/давно 700' к.и, одновременно навстречу друг другу вы¬
слал// автомобиль со скоростью </ километров в час и м0_
то цикл со скоростью b километров в час. Через сколько
часов они встретятся?
14.	На складе b тонн пшеницы. Со склада ежедневно
отпускают по а тонн пшеницы. Сколько пшеницы оста¬
нется па складе через п дней?
15.	Составить алгебраическое вы-
| ражение для вычисления площади
\а детали, изображенной на рисунке 1.
16.	Составить алгебраическое вы¬
ражение для вычисления периметра
фигуры, изображенной на рисунке 2.
Рис. 2
2о
2Ь
Р/i С. J
17. Придумать задачу, решением которой было бы
/лгебранческое выражение (х—5)о,

Самостоятельная работа 1-6
Составление алгебраических выражений
Задача. Каждый предмет на Лупе весит в б раз
меньше, чем па Земле. Сколько будет весить на Луне
космонавт, вес которого па Земле Р килограммов?
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо вес космонав¬
та на Земле Р килограммов разделить на 6, т. е. найти
частное от деления Р па 6. Полученное частное есть
алгебраическое выражение Следовательно, космонавт
на Луне будет весить -^- килограммов.
Упражнения
1. В Васютине 342 жителя. В Дубепках на b человек
больше. Сколько жителей в Дубенках?
2. Мальчик поймал а штук рыб. Это были окупи
и плотва. Окуней было пять. Сколько штук плотвы пой¬
мал мальчик?
3. На нижней полке п книг, на верхней — на 15 книг
меньше. Сколько книг на верхней полке?
4. Сумма двух чисел 0,03. Одно число у, найти другое,
5. Корове ежедневно требуется а килограммов сена.
Сколько сена надо заготовить для коровы па месяц?
6. Ширина мостовой р метров, ширина тротуара q
метров. Во сколько раз ширина тротуара меньше шири¬
ны мостовой?
7. Сосуд вмещает р литров молока. Сколько литров
1 -
молока в — сосуда?
О
8. Сколько автобусов потребовалось для перевозки
туристов, если известно, что: I) всего было п туристов,
2) в каждый автобус село т туристов.
9. Скорость плота 2,5 км в час. Скорость катера
в стоячей воде х километров в час. Какой путь пройдет
катер по течению за I часов?

I
10. \ I Л класс собрал г килограммов металлолом^
\'l Б —p килограммов металлолома, a VI В — на ]50 к’
больше, чем \ I Л. Сколько всего металлолома собрал^'
эти классы?
11. За п ме1 ров ткани заплатили b рублей. Сколько
стоят m метров топ же ткани?
12. Длина комнаты а метров, ширина комнаты равна
4‘	1
~ длины, а ее высота — длины. Каков объем ком.
О	о
паты?
13.	/Мастер ежедневно изготовляет п детален, уче.
пнк — Ь детален. За сколько дней, работая вместе, онц
изготовят 600 детален?
14.	Килограмм ягод стоит а копеек. Пра купила пол-
кнлограмма ягод. Сколько она получила сдачи с b ко-
пеек?
15.	На рисунке 1 изображена деталь.
Составить алгебраическое выражение
для вычисления ее площади.
1
Рис. J
16.	На рисунке 2 изображена фигу¬
ра. Составить алгебраическое выраже¬
ние для вычисления периметра фигуры.
Рис. 2
17. Пр иду мать задачу, решением которой было бы
?	У~\~8
алгебраическое выражение ——.
24
&

Самостоятельная работа 1-в
Составление алгебраических выражений
Задача. Ежедневно в столовую привозят 120 кг
хлеба. Сколько будет весить хлеб, который привезут в
столовую за п дней?
Чтобы ответить па вопрос задачи, надо найти произ¬
ведение чисел J20 п п. Это произведение есть алгебраи¬
ческое выражение 120/?. Следовательно, за п дней в сто¬
ловую привезут 120/? кг хлеба.
Упражнения
1. Миша и Петя собирают марки. У Миши Ь марок,
у Пети 115. Сколько марок у Пети п у Миши?
2. Маме а лет, папа на одни год старше мамы. Сколь¬
ко лет папе?
3. Моему старшему брату с лет, а мне d лет. На
сколько лет брат старше меня?
4. Сумма двух чисел 135. Одно слагаемое /. Найти
другое слагаемое.
5. Рубашка стоит 3 рубля. Костюм в k раз дороже.
Сколько стоит костюм?
6. Скорость самолета и километров в час. Скорость
поезда а километров в час. Во сколько раз скорость са¬
молета больше скорости поезда?
7.	Вес	любого предмета	на Луне равен -i- его	веса
на	Земле.	Сколько будет весить на Луне космонавт,	если
на Земле он весит d килограммов?
8.	Сколько дней работал	токарь, если известно,	что:
а)	за	все	время он обточил	р деталей; б) каждый	день
он обтачивал г деталей?
9. Площадь одного участка 5 гектаров, другого —
4 га. Сколько картофеля собрали с. этих участков, если
с одного гектара собирали q килограммов картофеля?
10. В деревне Дворики с жителей, в деревне Мамоно-
25

no d жителей, а в селе Луковка жителей в 3 раза о,)л
ию, чем в Двориках, Сколько всего жителей в этих се:/!'
пнях?
N. Известно, что V кубических сантиметров метал
весят Р граммов. Сколько весят у кубических сантц^/4,
ров того же металла?
12.	Классная комната имеет следующие разм0рь_
длина—а метров; ширима — b метров; высота — 3 ^ -
В комнате х человек. Сколько кубических метров возду>/
приходится на одного человека?	d
13. Скорость парохода в стоячей воде а километр0в
в час, скорость течения реки 2 км в час. Определить, За
сколько времени, двигаясь без остановки, пароход
плывет х километров против течения?
14. На одно платье идет / метров ткани. Сшили ю
платьев. Сколько ткани осталось от куска в п метров?
з
15. Составить алгебраическое выра¬
жение для вычисления площади фцГу
ры, изображенной на рисунке 1,
а
Рис. 1 '
У
1C). На рисунке 2 изображена фигу¬
ра. Составить алгебраическое выраже¬
ние для вычисления периметра фигуры.
120
Рис. 2
17. Придумать задачу, решением которой было бы
алгебраическое выражение (2-{-д) *5,

Самостоятельная работа 1-г
Составление алгебраических выражений
Задача. В ящике 45 кг конфет. Ящик без конфет
весит р килограммов. Сколько весит ящик с конфетами?
Чтобы ответить па вопрос задачи, надо к весу кон¬
фет 45 кг прибавить вес ящика р килограммов, т. е. най¬
ти сумму чисел 45 и р. Эта сумма есть алгебраическое
выражение 45+/?. Следовательно, ящик с конфетами ве¬
сит (45+/?) килограммов.
Упражнения
1. С первого школьного участка собрали cl килограм¬
мов моркови, со второго на 30 кг больше. Сколько кило¬
граммов моркови собрали со второго участка?
2. Длина Волги 3690 км, длина реки Дубенки / кило¬
метров. На сколько километров Волга длиннее Дубенки?
3. В пионерском лагере а мальчиков и b девочек.
Сколько пионеров в лагере?
4. Сумма двух чисел 3 Одно число 5. Найти дру-
о
гое.
5. Автобус вмещает 40 человек. Сколько может пере¬
везти автобус за т рейсов?
6. Высота класса h метров, высота школьного здания
// метров. Во сколько раз высота класса меньше высоты
школьного здания?
7. Известно, что V литров жидкости весят Р кило¬
граммов. Сколько весит 1 л той же жидкости?
8. Сколько ящиков с мылом поступило в магазин,
если известно, что: 1) в магазин привезли s кусков мыла;
2)	в каждом ящике было / кусков?
9. Скорость плота п километров в час. Скорость паро¬
хода в стоячей воде и километров в час. Какое расстоя¬
ние пройдет пароход, двигаясь против течения без оста¬
новки, за 2 часа 15 минут?
27

1
10.	Петя поймал d рыб. Сережа — b рыб, a
половину гого, что поймал Петя. Сколько всего рыо'^ >
мали мальчики?	|,0Гь
И. Бригада маляров за п дней работы поду
г рублей. Сколько получила бригада за у дней, ра-Чиа^
если оплата труда все время была одна и та же? °ГЦ
12. Спортивный зал имеет следующие размеры: ц
ров —длина. / метров — ширина, h метров — выс^ет'
В зале занимается 50 человек. Сколько кубических к'Та-
ров воздуха приходится на одного человека?	1°‘г*
13. Две машины перевезли 5 тонн картофеля, q
машина за один рейс, перевозила 5 т, другая — ь Т(^Па|
Каждая машина сделала одно и то же число рейсов
сколько репсов был перевезен картофель?	‘
14. Самолет должен был пролететь 5 километпг ■
Пролетев t часов со скоростью а километров в час ^
сделал посадку. Какое расстояние осталось пролетев
самолету?	ь
15. На рисунке I изображена де.
таль. Составить алгебраическое вы-
ражение для вычисления ее плодщ.
дп.
ю
10
Рис. 1
16. Составить алгебраическое выражение для вычис¬
ления периметра фигуры, изображенной на рисунке 2
17.	Придумать задачу, решением которой было бь
2
алгеорапческое выражение —- а-а.
О
28

Самостоятельная работа 1-д
\
Составление алгебраических выражений
Задача. Речка Соеновка имеет в длину а километ¬
ров. Речка Вплюпка на 10 км короче. Какова длина реч¬
ки Вилюйки?
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо от числа а
отнять число 10. Эта разность есть алгебраическое вы¬
ражение а—10. Следовательно, длина речки Вилюйки
{а—10) километров.
Упражнения
1. В нашем городе а восьмилетних и 9 десятилетних
школ. Сколько всего школ в нашем городе?
2. Карандаш стоит 3 копейки. Краски на а копеек
дороже. Сколько стоят краски?
3. Высота школьного здания Н метров, высота класса
h метров. На сколько метров высота школьного здания
больше высоты класса?
4. Сумма двух чисел 22,5. Одно число х. Найти другое
число.
5. Пете а лет. Его мама в k раз старше. Сколько лет
■ маме?
6. Ладожское озеро имеет площадь 18 400 кв. км.
Площадь Бисерного озера а кв. км. Во сколько раз пло¬
щадь Ладожского озера больше площади Бисерного
озера?
7. Из / метров ткани сшито п одинаковых рубашек.
Сколько метров этой ткани идет на одну рубашку?
8. Какая площадь засеяна пшеницей, если известно,
что: а) на один гектар идет р килограммов семян; б) все-
^ го посеяно т килограммов семян?
9. Скорость течения реки 3 км в час. Скорость катера
1 в стоячей воде у километров в час. Какое расстояние
пройдет катер против течения реки за с часов, если он
будет плыть без остановки?
29
V

10. 11а три грузовые машины погрузили зерно ь
первую — т центнеров, на вторую — и центнеров
третью — на 0,8 центнера меньше, чем на первую. Ско^1
ко всего погрузили зерна на эти три машины?	* **
11. На к пальто идет / метров ткани. Сколько ТКа
пойдет па п точно таких же пальто?	1
12. Куб, ребро которого а сантиметров, весит р K(la
граммов. Сколько весит 1 куб. см материала, из котор0г
сделан куб?	‘
13. Бассейн наполняется через две трубы. Через пел
вую трубу наливается d литров в час, через вторую.^
с литров в час. За сколько времени обе трубы, работа'
одновременно, нальют 1000 л?	1
14. Бригада лесорубов должна была заготовить k kv
бическнх метров дров. Ежедневно бригада заготовляла,
кубических метров дров. Сколько кубических метров др0'
останется заготовить бригаде после t дней работы?
15. Составить алгебраическое выражение для вычи^.
ленпя площади фигуры, изображенной на рисунке 1,
16. На рисунке 2 изображена фигура. Составить ал¬
гебраическое выражение для вычисления периметра это)
фигуры.
17. Придумать задачу, решением которой было бк
алгебраическое выражение 3/з+4т,
30

Самостоятельная работа 2-а
Составление формул
для вычисления геометрических величин
Задача. На рисунке 1 изображен прямоугольник,
стороны которого а и Ь. Составить формулу для вычис¬
ления площади прямоугольника.
Обозначим площадь прямоугольни¬
ка буквой 5. Тогда S = ab, так как пло¬
щадь прямоугольника равна произведе¬
нию длины (а) на ширину (Ь).
и	S	—	a-b—формула площади пря-
Рнс 1 моугольннка.
Упражнения
1.	Составить формулу для вычисления длины отрез¬
ка X (рис. 2).
ЯШ
7777777
ШШ
т
Рис. 2
2. Составить формулу для вычисления длины у лома¬
ной (рис. 3).
3. Составить формулу для вычисления периметра Р
фигуры, изображенной на рисунке 4, если известно, что
AB=AE = CD = 2a и BC = ED — ci.
А
31

4.	Составить формулу для
числения площади S прнмоуголь^
го треугольника (рис. 5).	*	,1^
5. Составить формулу для вычисления объема V п
моуголыюго параллелепипеда, изображенного на рисуц
ке 6.
6. Составить формулу для вычисления площади $
фигуры, изображенной на рисунке 7, если известно, что
BC — CD = k, AD = 2k.
7. Ребро куба а. Из таких ку¬
бов образовано тело, изображен¬
ное на рисунке 8. Составить фор¬
мулу для вычисления объема У
этого тела.
8. Пользуясь условиями пре¬
дыдущей задачи, составить фор¬
мулу для вычисления площади
поверхности Q тела, изображен¬
ного на рисунке 8.
32

Самостоятельная работа 2-6
Составление формул
для вычисления геометрических величин
Задача. На рисунке 1 изображен прямоугольный
треугольник, стороны которого х п у. Составить формулу
для вычисления площади этого трс-
yiольннка.
Обозначим площадь буквой S.
Площадь треугольника равна поло¬
вине площади прямоугольника, у
которого стороны х и у\ так как пло¬
щадь прямоугольника равна х-у, то
с 1
площадь треугольника 5= - х-у.
S— ~2Х'У—формула площади прямоугольного тре¬
угольника.
Упражнения
1.	Составить формулу для вычисления длины отрез¬
ка т (рис. 2).
Рис. 2
2.	Составить формулу для вычисления длины лома¬
ной /, изображенной на рисунке 3.	'
2 Зак. 1925
Рис. I

3.	( Л Ч'Т<1 HI I I Ь формулу ДЛЯ
числения периметра Р фигу^'
изображенной па рисунке 4, Q.. 4>
н.жеогно, что AB = LD = Zk^
.4 Е = ВС — CD — k.	1
* C,v :*** ^ формулу для вычисления площади ^
г *vO VOlbVrfKJl (рис. 5).
Я CVvrjwtkTh формулу для вычисления объема V цря
м** лл.«ы*>го параллелепипеда, изображенного на р„’
окмг (с
Рис. 7
~- 5
т*- формулу для вычисления площади 5
—на рисунке 7, если известно, что
IA = jc.
7.	Из кубов сложено тело, изоб^
раженное на рисунке 8. Составить
формулу для вычисления его объе¬
ма V, если ребро каждого куба рав¬
но х.
8.	Пользуясь данными предыду¬
щей задачи, составить формулу для
вычисления площади поверхности S
тела, изображенного на рисунке 8.
i

Самостоятельная работа 2-в
Составление формул
для вычисления геометрических величин
Задача. На рисунке 1 начерчен
квадрат, сторона которого т. Соста¬
вить формулу для вычисления площа¬
ди этого квадрата.
Обозначим площадь буквой S. Тог¬
да S = m-m, так как площадь квадра¬
та равна произведению его длины (т)
па ширину (т).
S = m-m — формула площади
квадрата.
Упражнения
1.	По данным рисунка 2 составить формулу для вы¬
числения длины отрезка с.
Рис. 1
Рис. 2	Рис.	3
2. На рисунке 3 изображена лома¬
ная линия и указаны^ длины каждой
из ее сторон. Пользуясь данными ри¬
сунка, составить формулу для вычис¬
ления длины ломаной у.
3. На рисунке 4 изображен пяти¬
угольник, о котором известно, что
AE=ED=AB = BC=2n и DC=n. Со¬
ставить формулу для вычисления пе¬
риметра Р этого пятиугольника.
4. Составить формулу для вычис¬
ления площади S прямоугольного тре¬
угольника, изображенного на рисун-
Рис. 4	ке	5.
2*
35

5. По данным рт-упки 6 составить формулу дЛ5(
числении объема Г прямоугольного параллелепипед^ 1
с
Рис. 5
6.	Составить формулу для вычисления площади л
фигуры, изображенной на рисунке 7.
А	40	А
Q
D 20	С
Рис. 7
/
7. Тело, изображенное на рисун¬
ке 8, сложено из кубов. Составить
формулу для вычисления объема V
этого тела, если ребро каждого ку¬
ба k.
8. Пользуясь данными рисунка 8
предыдущей задачи, составить фор¬
мулу для вычисления площади по¬
верхности Q тела.
Рас. 8

с
Самостоятельная работа 2-г
Составление формул
для вычисления геометрических величин
Задача. На рисунке 1 изобра-
жеп прямоугольник со сторонами
с и d. Составить формулу для вы¬
числения площади S этого прямо¬
угольника.
Обозначим площадь прямоуголь¬
ника буквой S. Тогда S = ccl, так как
площадь прямоугольника равна произведению его шири¬
ны (с) на длину (d).
S = cd— формула площади прямоугольника.
Рис.
Упражнения
1. По данным рисунка 2 составить формулу для вы¬
числения длины отрезка х.
 а
""
п
4
Рис. 2	Рис.	3
2. Длина ломаной линии (рис. 3) обозначена бук¬
вой L. Пользуясь данными рисунка 3, составить форму¬
лу для вычисления длины ломаной.
3. Составить формулу для вычисления периметра R
фигуры, изображенной на рисунке 4, если известно, что
AE = d, CB = CD = 2d, AB = ED = 3d.
А м
Н
Рис. 4
37

4.	По дшшым рисунка 5 с ост¬
ынь формулу для вычисления
щади S прямоугольного треуГол0'
Рис. 5
5.	Па рисунке 6 изображен прямоугольный параду
лешшел и даны его размеры. Составить формулу '
вычисления объема V этою прямоугольного параллеле-
липода.
/п с
Рис. 6
Рис. 7.
6.	На рисунке 7 изображен четырехугольник. Поль¬
зуясь данными рисунка 7, составить формулу для вычис¬
ления площади этого четырехугольника.
7.	Из кубов составлено тело, изо¬
браженное на рисунке 8. Пользуясь
рисунком, составить формулу для
вычисления его объема К, если реб¬
ро каждого куба я.
8.	Используя данные предыду¬
щей задачи, составить формулу для
нахождения площади поверхности 5
тела, изображенного на рисунке 8.
38

Самостоятельная работа 2-д
Составление формул
для вычисления геометрических величин
Задача. На рисунке 1 изобра¬
жен прямоугольный треугольник со
сторонами а и Ь. Составить форму¬
лу для вычисления площади прямо¬
угольного треугольника.
Обозначим его площадь бук¬
вой S. Площадь прямоугольного
треугольника равна половине пло¬
щади прямоугольника со сторонами а и Ь\ так как пло¬
щадь прямоугольника равна ab, то площадь треуголь-
ab
ника 5 = —.
1
Рис. I
S=-ab
формула площади прямоугольного
треугольника,
Упражнения
1.	По данным рисунка 2 составить формулу для вы->
числения длины отрезка Ь,
к
Рис. 2
2.	На рисунке 3 изображена ломаная линия и обозна¬
чены длины ее сторон. Составить формулу для вычисле¬
ния длины х ломаной линии.
64

3. По данным рисунка 4 составить формулу площад^
.S примоуголышка.
4. На рисунке 5 изображен пятиугольник, о сторона);
которого известно: BC — CD = t, AJ3 = DB = 2t, АЕ = 3/
Составить формулу для вычисления периметра Р.
5. Составить формулу для вычисления объема V пря.
моугольного параллелепипеда, изображенного на рц.
супке 6.
6.	Составить формулу для вычисления площади S
- фигуры, изображенной на рисунке 7.
Рис. 4
Рис. 5
за
Рис. 7
т
Рис. б
7.	Тело, изображенное на ри
сунке 8, составлено из кубов. Поль
зуяеь данными рисунка, составит
формулу для вычисления объема 1
этого тела, если ребро каждого ку
ба а.
Рис. 8
8.	По данным предыдущей зада
чн составить формулу для вычпсле
нпя площади поверхности Q телаг
изображенного на рисунке 8.

Самостоятельная работа 3-а
Вычисление числового значения алгебраического
выражения. Составление таблиц,
Задача. Сколько часов в сутки должен спать ре¬
бенок?
Врачи установили, что ответ на этот вопрос можно
найти, если вычислить числовое значение следующего
Г
алгебраического выражения: 17	—,	где Г — возраст
ребенка в годах.
Вычислим, сколько часов должен спать ребенок, если
Т
ему 1 год. Для этого вместо Т в выражение 17	—	П°Д'
ставим число 1. Тогда получим 17	^-=16-^-.	Следова-
1
тельно, ребенок, которому 1 год, должен спать 16-- часов.
Вычислим, сколько часов должен спать ребенок, ко-
• 2
(, торому 2года: 17	—=16. Двухлетний ребенок должен
спать 16 часов,
f Результаты вычислений запишем в таблицу:
»•
*
Упражнения
1.	Ответить на вопрос предыдущей задачи, заполнив
следующую таблицу. В верхней строке таблицы указан
возраст ребенка. Найти время сна для каждого из ука¬
занных возрастов.
Т (возраст ребенка)
1
2
Т
17 — -g- (время сна)
1
16-2-
16
Т
5
6
8 | 10
, 12 1 16 1
т
17-у
■С

,1 Вычислить числимы о ^качения алгебраического
I #■ 1 -
3
5
10
15
| 20
(1 +г)(р + 1>1
4. Вычислить числовые значения выражения 10—2*-f
—х-х при значениях х, указанных в таблице:
Л
0
1
0.5 | 2
10
10—2x-t-.v-.v
5.	Автомашина за один рейс перевозит 6 т груза.
Сколько груза перевезет автомашина за k рейсов? Найти
see перевезенного груза при значениях k, указанных
з таблице:
к
3
1 1
1 12
1 19
Вес груза, перевезен¬
ного за к рейсов
|
6.	Найти числовое значение алгебраического выраже¬
ния —Чг при значениях у, равных 1; 3; —; 1,5.
у—2	2
Составить таблицу (по образцу, дан¬
ному в предыдущих упражнениях), в ко¬
торую записать результаты вычислений.
7.	Вычислить площадь фигуры, изоб¬
раженной на рисунке 1, при значениях Ь,
равных I; 5; 10; 20.
Составить таблицу, в которую запи*
сать результаты вычислений.

Самостоятельная работа З-б
Вычисление числового значения алгебраического
выражения. Составление таблиц
Задача. В чемпионате по хоккею с шайбой участ¬
вуют п команд. Каждая команда играет только один раз
со своим соперником. Сколько игр должно состояться
на чемпионате?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти чис¬
ловое значение следующего алгебраического выражения:
п (п— 1 )
—— 	,	где	п — число команд чемпионата.
Подсчитаем, сколько игр будет на чемпионате, если
в нем	участвуют	6	команд. Для	этого вместо п	в	выра-
«(я-1)	с т	6(6-1)
женпе	——-—- подставим 6. Тогда	получим:	  =1э.
Следовательно, если в розыгрыше участвуют 6 команд,
то на чемпионате будет 15 игр.
Подсчитаем, сколько игр будет на чемпионате, если
10(10-1)	„
в нем будут участвовать 10 команд:	  =45.	При
10 командах на чемпионате будет
вычислении запишем в таблицу:
45 игр.
Результаты
п (число команд в чемпионате)
6
1 Ю 1
«(я — 1) ,
2 (число игр в чемпионате)
15
1 45 1
Упражнения
1.	Ответить на вопрос предыдущей задачи, заполнив
следующую таблицу. В верхней строке указано число
команд чемпионата. В нижней записать число игр на
чемпионате при данном составе.
п
8 12 16 | 20 | 28 | 32
«(« — !)
2
|
43

2.	llafmi числовые значения алгебраического
3
ження 4m-f3 при значениях ш, равных 0; —; 1; j 1
5; 100.	~
Результаты вычислении записать в таблицу;
т
0
3
а"
1
1
1 —
L.
5
Ь)0
Ат + 3
3. Вычислить числовые значения алгебраического вы,
ражения (.v+2) (.v— 1), заполнив следующую таблицу;
1
1
о
3
5 1
8 1
1.1
(г+ 2) (х-\)
4. Нанти числовые значения алгебраического выра¬
жения при значениях у, указанных в таблице:
У
0 | 1
2
3 | 4 5
У'У + У + М
5. В одном бидоне 45 л молока. Сколько молока в п
бидонах? Найти объем молока при значениях п, указан¬
ных в таблице:
п
2
5
9
14
Объем молока в п бидонах
6. Нанти числовое значение алгебраического выра«
жения ■ 9"jpj ПРИ значениях х, равных: 1; 2; 0,5; 1,5.
Составить таблицу (по образцу
данному в предыдущих упражиени
ях), в которую записать результать
вычислении.
21	7. На рисунке 1 изображена фи
гура. Вычислить ее площадь пр*
значениях /, равных 40; 60; 100; 20ь
Составить таблицу, в которУ1*
Рис. I	записать	результаты вычислении.
44

Самостоятельная работа 3-в
Вычисление числового значения
алгебраического выражения
Задача. Как вычислить сумму всех натуральных
чисел or 1 до 100? Как вычислить сумму всех натураль¬
ных чисел от 1 до 10 000? Как вычислить сумму всех на¬
туральных чисел or 1 до натурального числа /г? Дока¬
зано, что сумма всех натуральных чисел от 1 до п вклю-
п (/z +1)
чительио равна —^
Вычислим сумму натуральных чисел от 1 до 10, т. е.
вычислим 1+2+3+4 + 5+6+7+8+9+10. Для этого вме¬
сто п в выражение -~П^Г ^ ^ подставим число 10. Тогда
получим: ---(10+') = 55. Итак, 1+2+3+4+5+6+7+
+8+9+10 = 55.
Вычислим сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.
п	И (tl -J- 1 )
Для этого в выражение  ——— вместо п подставим
число 1000. Получим: - -	(^ОД+З)—500 5QQ, Следова¬
тельно, сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000 вклю¬
чительно будет 500 500. Это записывают и так: 1+2+
+3+ ... +999+1000 = 500 500.
Результаты вычислений запишем в таблицу:
п (число натуральных слагаемых от 1
до п включительно)
10
1000
п (п -(- 1)
	2	(сумма всех натуральных чисел
от 1 до п)
55
500 500
Упражнения
1. Вычислить сумму натуральных чисел от 1 до п
1 включительно. В верхней строке указано число слагае-
мых п. В нижней надо записать соответствующее зна-
J чение суммы. *
45

2. ВычiKvnnь числовые значения алгебраического
ження Юо-Н при значениях п = 0; 0,1; 0,5; 4; щ.
Результаты вычислении записать в таблицу:
а
и
ОЛ
0,5
•1
11
30
10а + 1
3. Найти числовые значения алгебраического вьц
женин (1+2) (/—2), заполнив следующую таблицу:
1
2
3
8
12
98
10,2
I (1 + 2)(1-2)
4. Вычислить числовое значение алгебраического выра¬
жения 2-/1-П+29 при значениях п, указанных в таблице:
п
| 0 | 1
1 2
3
4
5
2 • п • п + 2 9 1 1
5, Площадь прямоугольника 240 кв. см. Длина одной
его стороны b сантиметров. Вычислить длину другой сто¬
роны а при значениях Ь, указанных в таблице;
6. Найти числовое значение алгебраического выра-
2т 4-1
женил — при значениях х, равных; 1; 2; 0,5; 1,5.
Составить таблицу (по образцу,
данному в предыдущих упражне¬
ниях), в которую записать резуль-
ш таты вычислений.
7.	Вычислить площадь фигуры,
изображенной на рисунке 1, при зна¬
чениях т, равных: 20; 30; 70; 120.
г г	Составить	таблицу,	в	которую
Рнс. I	записать	результаты вычислений,
40
I

Самостоятельная работа 3~г
Вычисление числового значения
алгебраического выражения
Задача. Сколько копеек надо заплатить за теле¬
грамму?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо вычислить чис¬
ловое значение алгебраического выражения Зл:+10, где
х — число слов в телеграмме.
Вычислим, сколько копеек надо заплатить за теле¬
грамму, в которой 11 слов. Для этого вместо х в выра¬
жение Зл'+Ю подставим число 11. Тогда получим:
3-11 + 10 = 43. Следовательно, телеграмма из 11 слов
стоит 43 коп.
Вычислим, сколько будет стоить телеграмма, в кото¬
рой 19 слов: 3-19+10 = 67. Телеграмма из 19 слов стоит
67 коп.
Результаты вычислений запишем в таблицу:
х (число слов в телеграмме) j 11
19
За:+10 (стоимость телеграммы в1 ^
коп.) 1
67
Упражнения
1.	Ответить на вопрос предыдущей задачи, заполнив
следующую таблицу. В верхней строке таблицы указано
число слов в телеграмме. В нижней строке записать ее
стоимость.
х 13
15 | 20 | 23 | 28 30
3.V+10 |
2.	Найти числовые значения алгебраического выра-
5
жения 5 + 2л при значениях п, равных 0; —; 1; 2;
1
2 у; 4; 1000.
47

Результаты вычислении записать в таблицу;
/(
0
5
о
1
2
4
5 -f 2a
Юоо
3. Найти числовые значения алгебраического Выра
жепия (/—1)0+0, заполнив следующую таблицу;
1 t
1 “
1 3
0
13
15
(t-\)(t + \)
4. Найти числовые значения выражения л'-л'+jc-f |у
при значениях х, указанных в таблице:
х • х -j- х -}- 17
5. Разность двух чисел 15. Уменьшаемое равно cl:
Вычислить вычитаемое при значениях d, указанных в таб¬
лице:
16 1
19
25
100
/ Вычитаемое
|
6.	Найти числовое значение алгебраического выра¬
жения —г—^ при значениях /, равных: 1; 2; 1,1; 1 -j-.
о	2
Составить таблицу (по образцу,
данному в предыдущих упражне¬
ниях), в которую записать резуль¬
таты вычислений.
7.	На рисунке 1 изображена фи¬
гура. Вычислить ее площадь при
значениях р, равных: 90; 110; 130;
140.
Составить таблицу, в которую
записать результаты вычислений.

Самостоятельная работа 3-д
Вычисление числового значения алгебраического
выражения. Составление таблиц
Задача. Как вычислить стоимость проезда в такси
от стоянки до первой остановки, не пользуясь показани¬
ем счетчика?
Ответ на этот вопрос можно найти, если вычислить
числовое значение алгебраического выражения 10/10,
где /— длина пути, измеренная в километрах. Стоимость
проезда выражена в копейках.
Вычислим, сколько должен заплатить пассажир, кото¬
рый сел на стоянке и проехал без остановки 5 км. Для
этого вместо / в выражение 10/+10 подставим число 5.
Тогда получим 10-5+10 = 60. Следовательно, пассажир
должен заплатить 60 коп.
Вычислим, сколько должен заплатить пассажир, если
он сел на стоянке и проехал без остановки 8 км: 10-8+
+ 10 = 90. Пассажир должен заплатить 90 коп.
Результаты вычислений запишем в таблицу:
1 (расстояние, пройденное такси,
В КМ)
5
8
10/ + 10 (стоимость проезда, в коп.)
60
90
Упражнения
1.	Ответить на вопрос предыдущей задачи, заполнив
следующую таблицу. В верхней строке указано расстоя¬
ние, пройденное такси. Найдите стоимость проезда для
каждого из указанных расстояний:
/ 2
3
7
9
10 17
10/+ 10

49

2.	Напти числовые значения алгебраического uLl
жсния 3//+2 при значениях // = 0; 0,5; J; 1,5; 2; Ку
Результаты вычислении записать в таблицу:
;/
0
0.5
1
1.5
2
10
3</ + 2
3. Иаитп числовые значения алгебраического выра
женин (с—0,5) (c-f-0,5), заполнив следующую таблицу.
с
0,5
1.5
2,5
3,5 | 4,5
1
(с + 0,5) (с - 0,5)
4. Найти числовые значения выражения x-x-]~3x~Pi
при значениях х, указанных в таблице:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5
6
Х-Х + &+1
III
5.	Скорость самолета 600 км в час. Самолет летит без
посадки. Сколько он находился в пути, если пролетел 5
километров. Определить время полета, заполнив следую¬
щую таблицу:
1 5
| 200
| 300
1 600
1200
1 Время полета j
6.	Найти числовое значение алгебраического выраже-
b-j-2	,	,	_	1
-ния —2^- при значениях Ь, равных: J; 3; —; 1,5.
Составить таблицу (по образцу,
данном у в предыдущих упражнениях),
в которую записать результаты вычис-
а ленин.
7.	Вычислить площадь фигуры, изо-
браженной на рисунке 1, при значени-
в в ях а, равных: 200; 220; 230; 240.
*	*	Составить	таблицу,	в	которую за-
Ряс. 1 писать результаты вычислений.

Самостоятельная работа 4-а
Уразнения
При рассмотрении равенства л:-[-20 = 35 можно поста¬
вить вопрос несколькими способами:
а) К какому числу надо прибавить число 20, чтобы
получить число 35?
б) Найти число, сумма которого с числом 20 рав¬
на 35.
в) Чему равно неизвестное слагаемое (а), если изве¬
стна сумма (35) и другое слагаемое (20)?
г) При каком значении буквы х равенство -xr-f-20 = 35
будет верным?
Упражнения
1. Поставить несколькими способами вопрос к равен¬
ствам:
а)	А'—11=20; б) а: 10 = 90.
В приведенных выше равенствах нужно найти неиз¬
вестное число, обозначенное буквой. Такие равенства на¬
зывают уравнениям и.
2. Из следующих примеров выписать уравнения:
а)	6+5=17;	в) а<2;
б)	а+2;	г) 13-10 = 3;
д)	4а-1=27.
Решить уравнение — это значит найти число¬
вое значение буквы, при котором равенство верно.
Это можно сделать несколькими способами. Решим
уравнение способом, который основан на знании зависи¬
мости между данными числами н результатом действия
над ними.
Решим уравнение 4а+10 = 38. Нам неизвестно сла¬
гаемое 4а. Неизвестное слагаемое 4а равно сумме (38)
минус известное слагаемое (10). Поэтому 4а = 38—10;
> 51

4л* = 28. В этом уравнении неизвестен один из cofotJ
гелей. Неизвестный сомножитель х равен произв^д0'1^
(28), деленному на известный сомножитель (4), 3j,0,||i,q
л* = 28:4; х — 7 — р е ш е и и е у р а в п е и и я.	а<1+
Проверим эго: 4-7+10 = 38.
3. Решить уравнения:
в)	7+л = 18,7; в) 5с/—4 =11;
б)	330=5i/;	г)	7+л* = 7.
4. Решить следующие уравнения:
1
а)	0=2.V—7;	в)	.Y+7—15;
б)	«+7 = 0;	г)	~ а—7= 15.
5. Не решая уравнений, определить, правильно
найдены значения неизвестных:	11
а) л+ + = 1 • Л' = 2'' О 2f+l4 = 28, с = 7;
б)	i/+l = l, У — 0;	г) х+1=2х—3, х=4.
6. Написать, какие из чисел 3; 5; 2; 1; 0 являются
решениями уравнения:
х(х— 1) =0.
7. Разобрать, как решать уравнения способом
подбора числового значения неизвестного (методом
проб).
Решим подбором, например, уравнение 11— х=3+*.
Предположим, что х=10. Тогда в левой части будет
11 — 10=1, а в правой части уравнение 3+10= 13. Число
*=10 не подходит (в левой части уравнения число мень¬
шее, чем в правой).
Проверим число 3. Слева: 11—3 = 8; справа 3+3 = 6;
следовательно, * = 3 не подходит (слева число больше,
чем справа). Мы узнали, что число * будет меньше 10,
по больше 3. Пусть * = 6. Слева 11—6 = 5; справа 3+
+6 = 9 (слева меньше, чем справа). Попробуем *=4:
слева 11—4 = 7, справа 3+4 = 7. Следовательно, 11—4 =
= 3+4 и * = 4 — решение уравнения.
8.	Решить подбором следующие уравнения:
а)	20—х = 3х;	б) 25—х = 5+х.
52

Самостоятельная работа 4-6
Уравнения
При рассмотрении равенства а-5 = 30 можно поста¬
вить вопрос несколькими способами:
а) Найти число, произведение которого на число 5
равно 30.
б) Какое число нужно умножить на 5, чтобы полу¬
чить 30?
в) Чему равен неизвестный сомножитель (а), если
известно произведение (30) и другой сомножитель (5)?
г) При каком значении буквы а равенство 5а = 30
будет верным?
Упражнения
1. Поставить устно несколькими способами вопрос
к равенствам:
а) 7-ft/=19; 21-Л=П.
В приведенных выше равенствах нужно найти неиз¬
вестное число. Такие равенства называют уравне¬
ниям и.
2. Из следующих примеров выписать уравнения:
а) я-f5=14,	в) ас2;
б) 3+6;	г) 15-11=4;
Д) 4X—11=9.
Решить уравнение — это значит найти число¬
вое значение буквы, при котором равенство верно.
Это можно сделать различными способами.
Решим уравнение способом, который основан на зна¬
нии зависимости между данными числами и результата¬
ми действий над ними.
Например, решим уравнение Зу—10 = 23.
Нам неизвестно уменьшаемое (Зу). Неизвестное
уменьшаемое (Зу) равно разности (23) плюс вычитаемое
53

iiuii множитель (8): л' = 32:8; л = 4. Решенном Уранщ,,
будет .v = 4.	t:
Проверим это: 8-4 + 10 = 42.
3.	Ианти неизвестное число, обозначенное будц0-.
а) 17 = л:2;	в)	121 = 11*;
Г,) За—17= 1; г) (),1+п=1.01.
,4. Решить уравнения:
а) л-Н-1 = 1;	в)	4- +3,1=4;
О
б) 2*—6 = 0; г) у-3'1=4'
5. Не решая уравнении, определить, правильно Л||
найдены значения неизвестных:
а) -——1=2, д- = 4;	в) 5.V+15 = 20, *=1;
б) 3 = ш+3, /и = 0;	г) 7.с— 1=бл*+1, * = 2.
6. Написать, какие из чисел 5; 1; 4; 3; 6; 0; 8 являют,
ся решениями уравнения 0= (//— 1) • (у—3).
7. Разобрать, как решать уравнения способом подбо
ра числового значения неизвестного.
Решим подбором, например, уравнение г/—2,5=
= 13,5-//.
Предположим, что // = 3. Тогда в левой части уравне¬
ния будет 3—2,5 = 0,5, а в правой 13,5—3=10,5 (значе¬
ние левой части меньше значения правой); у — 3 не под¬
ходит. Пусть //=10, тогда в левой части будет
10—2,5 = 7,5; в правой 13,5—10 = 3,5 (значение левой
части больше значения правой); //=10 не подходит.
Но нам удалось установить, что искомое число меньше
10, но больше 3. Попробуем принять у = 8. Слева:
8—2,5 = 5,5; справа 13,5—8 = 5,5. Следовательно, 8—2,5=
= 13,5—8 и //=8 — решение уравнения.
8. Решить подбором следующие уравнения:
а)	18+£ = 4£;	б) 17-2*= 10—
56

Самостоятельная работа 4-г
Уравнения
При рассмотрении равенства а:3 = 6 можно поста¬
вить вопрос несколькими способами:
а) Какое число надо разделить на 3, чтобы получить
число 6?
б) Найти число, частное от деления которого на чис¬
ло 3 равно 6.
в) Чему равно неизвестное делимое (а), если изве¬
стен делитель (3) и частное (6)?
г) При каком значении буквы х равенство а:3 = 6
будет верным?
Упражнения
1. Поставить (устно) вопросы к равенствам:
а)	9• m — 71; б) 114 = 31-f3/г.
Во всех приведенных равенствах нужно найти неиз¬
вестное число, обозначенное буквой. Такие равенства н а-
з ы в а ю т уравнениями.
2. Из следующих примеров выписать уравнения:
Решить уравнение — это значит найти чис¬
ловое значение буквы, при котором равенство верно.
Решить уравнение можно несколькими способами.
Решим уравнение способом, который основан на знании
зависимости между данными числами и результатом дей¬
ствия над ними.
Решим, например, уравнение 24:л‘+11 = 15. Нам не
известно слагаемое (24:а). Неизвестное слагаемое 24:а
равно сумме (15) минус известное слагаемое (11). Поэ¬
тому 24:а= 15—11, пли 24:а = 4. В этом уравнении нам
а) 17:9—0,4;
б) а—3 = 7;
в) я>3;
г) —-J-1 = а—3;
А
д) 3аЪ.
57

не известен делитель (.v). Неизвестный делитед,
равен делимому (2-1), деленному на частное (4). ijuJ (jtj
.v = 2-l: 1, .v = 6. Решение уравнения а = 6.	JT°+'
Проверим это: 24:6+11 = 15.
3. Найти значение букв в следующих равецСТи "
а) д:4=12,4;	в) 11 =С0лг;	'Х‘
б) 3/?—12 = 6;	г) 2,002 = 0,11 +Аг.
4. Решить уравнения:
а) 5 = .v+5;	в) у -1=2;
б) 0 = 6-3;/;	г) у + 1=2.
5. Не решая уравнении, определить, правильно q
найдены значения неизвестных:
а) —	3=1,	/?i	=	20;	в) 16+2*=17, л== -L.
Ь	2	’
б) л'+12 = 12, л' = 0;	г)	96—1=8/г+1, k^2.
6. Написать, какое из чисел 0; 1; 2 является рещецп.
ем уравнения л(2—л') =0.
7. Разобрать, как решать уравнения способом под.
бора числового значения неизвестного.
Решим подбором уравнение 21—х=1+3х.
Предположим, что д' = 3; тогда значение левой части
будет 21—3=18, а правой 1+3-3=10 (значение левой
части больше значения правой); ,v = 3 не подходит.
Пусть л' = 6. Тогда слева будет 21—6=15, а справа
14-3-6=19 (значение левой части меньше значения пра¬
вой); х = 6 не подходит. Но можно сказать, что число х
будет больше 3, но меньше 6. Пусть х = 5; тогда слева
21—5=16, справа 1+3-5=16, т. е. 21 —5 = 1+3-5.
Значит, * = 5 — решение уравнения.
8. Решить подбором следующие уравнения:
а)	2х:3 = х—2; б) 7+*=13—

Самостоятельная работа 4-д
Уравнения
При рассмотрении равенства 12—/г = 0 можно поста¬
вить вопрос несколькими способами:
а) Какое число надо отнять от 12, чтобы получить 9?
б) Найти такое число, что разность числа 12 и этого
числа равна 9.
в) Чему равно неизвестное вычитаемое (л), если
известны разность (9) и уменьшаемое (12)?
г) При каком значении буквы п равенство 12—л = 9
будет верным?
Упражнения
1. Поставить несколькими способами вопрос к равен¬
ствам:
а)	3:*=1; б) 17+26 = 21.
В приведенных равенствах нужно найти неизвестное
число, обозначенное буквой. Такие равенства называ¬
ют уравнениям п.
2. Из следующих примеров выписать уравнения:
а) 35+11—2;	г) 32//;
б) 7<*;	д) 1:ш+2 = т—4.
в) 19*= 190;
Решить уравнение — это значит найти число¬
вое значение буквы, при котором равенство верно.
Это можно сделать несколькими способами. Решим
уравнение способом, который основан на знании зави¬
симости между данными числами п результатами дей¬
ствий над ними.
Решим, например, уравнение *:3—7=12.
В этом уравнении нам не известно уменьшаемое
(*:3). Неизвестное уменьшаемое (*:3) равно разности
(12) плюс вычитаемое (7), т. е. х:3= 12+7= 19. Следо-
59

вателыю. -V:3 = 19. В полученном уравнении нам ц0
вестно делимое (.*). Неизвестное делимое (х) равно ц.1'
пому (19), умноженному на делитель (3), т. е.
л = 57. Решение уравнения .* = 57.
Проверим это: 57:3—7=12.
3.	Найти значение букв в следующих равенст^
а) 2 = .v+2; в) -”+1=2;
б) 0 = 3-v —С; г) 4--1=2.
О
4. Решить уравнения:
а) 12,2 = 2:.*	в) 1446=12;
б) 2 = 46—14;	г) 0,11+ш=1,001.
5. Не решая уравнении, проверить, правильно лп цар
дены значения неизвестных:
а) —5=1. £/= 15; в) 20+Здг = 21, * = +
о	О
б) 6+7 = 7, 6 = 0;	г) 8а — 1 =3а+19, а = 4.
6. Написать, какое из чисел 0; 1; 2; 3 является рещ*
ннем уравнения у(3—у)=0.
7. Разобрать, как решать уравнения способом подбе
ра числового значения неизвестного.
Решим подбором уравнение 2.V+3 — .*+3. Предполс
жим, что д- = 3. Тогда 2-3+3 = 9 (9 — значение левой ч:
сти) и 3+3 = 6 (6 — значение правой части); л: = 3 р
подходит, потому что значение левой части уравнения ь
равно значению правой части. Попробуем д- = 4. Слеи
будет 2-4+3=11, справа 4+3 = 7. Разница между знг
ченпем левой п правой части не уменьшилась, а уве.д
чнлась. Значит, число д должно быть меньше 3. Попрс
буем взять д* = 2. Слева будет 2-2+3 = 7, справа 2+3=£
д‘ = 2 не подходит, но разница между значениями лево
и правой части уменьшилась. Значит, х должен быть мет
ше 2. Пусть д:=1. Слева 2-1+3 = 5, справа 1+3=*
х=[ не подходит. Значит, х должен быть меньше 1
Пусть д' = 0, тогда слева будет: 2-0+3 = 3, спраа
0+3 = 3, пли 2-0+3 = 0+3. Следовательно, х = 0 — реше
ние нашего уравнения.
8. Решить подбором следующие уравнения:
а)	4д=.*+27; б) II— х = 2-\-2х.
G0

Самостоятельная работа 5-а
Составление уравнения по условию задачи
С помощью уравнении можно решать задачи. Для
Этого нужно уметь по условию задачи составить урав¬
нение. Поясним это па примере.
«В школьном саду собрали 245 кг яблок. Часть яблок
подарили детскому саду, а для школьной столовой оста¬
вили 150 кг яблок. Сколько яблок подарили детскому
|саду?»
Решение. Нам не известно, сколько килограммов
яблок подарили детскому саду. Обозначим это число
буквой X. Из условия задачи следует, что если это число
отнять от 245, то получится 150. Следовательно, можно
записать: 245—л'==150.
» Мы составили уравнение по условию задачи. Решим
'его: * = 245—150, * = 95.
j Ответ. Детскому саду подарили 95 кг яблок.
Решим с помощью уравнения еще одну задачу:
j «Площадь физкультурного зала 150 кв. м. Длина это-
го зала 15 м. Найти ширину физкультурного зала».
1е Решение. Нам не известна ширина физкультурно-
го зала. Обозначим ее буквой а. Зал имеет форму прямо-
1 угольника, поэтому его площадь равна произведению
длины на ширину, т. е. 150= 15■ а. Решим это уравнение:
1' д = 150:15, а=10.
Ответ. Ширина физкультурного зала 10 л,
>;
й Упражнения
Г
1. После того как неизвестное число умножили па 2,3,
I- получили число 34,5. Найти неизвестное число, составив
3 уравнение.	'
2. VI А класс собрал 475 кг металлолома. К этому
„ количеству металлолом добавили учащиеся VI Б класса,
после чего оказалось, что эти два класса собрали 1002 кг
61

металлолома. Сколько металлолома собрали учащ.
VI Г> класса? Решить задачу, составив уравнение. \
3.	Число 1225 разделили на неизвестное число 1(
лучили 35. Найти неизвестное число, составив уравц,, ^
4. Периметр треугольника,
раженного на рисунке I, ’ р 3°П.
45.4 см. 11анти длину стороны ^
составив уравнение.
5. От половины неизвестного i,
ла отняли 8 и получили 124. На-!1с'
неизвестное число.	Иги
0.	Мячи для настольного
нпса разложены поровну в трц
робки. Для игры взяли 7 мячей, после чего в кор0бк°
оставалось всего 20 мячей. Сколько мячей было пер^
начально в каждой коробке?
7. Периметр прямоугольника
изображенного на рисунке 2, раве/
48.4 м. Пользуясь данными рисуцКа'
найти сторону AD.
S.	После того как Володя отдаг|
1
- всех сооранных им орехов своей
О
сестре, у него осталось 30 орехов. Сколько орехов собрал
Володя?
Рис. 2
А
Рис. I

Самостоятельная работа 5-6
Составление уравнения по условию задачи
Если искомую в задаче величину обозначить буквой
и составить по условию задачи уравнение, то, решив
уравнение, мы ответим па вопрос задачи. Решим с по¬
мощью уравнения следующую задачу:
«После того как неизвестное число разделили на 5,
получили число 2,7. Найти неизвестное число».
Решение. Обозначим неизвестное число какой-ни¬
будь буквой, например буквой у. Из условия задачи из¬
вестно, что если число у разделить па 5, то получится
2,7. Следовательно, можно записать: у:5 = 2,7.
Мы составили уравнение по условию задачи. Решим
это уравнение: // = 2,7-5 = 13,5, у— 13,5.
Ответ. Искомое число 13,5.
Решим с помощью уравнения еще одну задачу:
«Измеряли глубину водоема. Шест длиной 2,45 м вер¬
тикально опустили в воду. После того как нижний конец
шеста достал до дна, над водой оказалась его часть дли¬
ной 0,49 м. Найти глубину водоема в этом месте».
Решение. Глубина водоема измеряется длиной
той части шеста, которая оказалась под водой. Пусть она
равна л' м. Длина всего шеста (2,45 м) складывается из
длины подводной части (х ж) и длины надводной части
(0,49 м), т. е. ^-f0,49 = 2,45. Решим это уравнение:
*=2,45—0,49; *=1,96.
Ответ. Глубина водоема 1,96
Упражнения
Решить следующие задачи, составив уравнения.
1. Если неизвестное число вычесть из 127,8, то полу-
чится 38,9. Найти это число.
2. Каждому из участников туристского похода выдана
пачка печенья весом 0,15 кг. Всего участникам похода
выдано 4,5 кг печенья. Сколько человек ходило в поход?
63

3.	Какое число надо разделить па 2— чтобы Jl0
5,
чпть 4 -у?
4. Периметр треугольника, изображен,
в го на рисунке I, ранен 4,5 м. Найти м» /*■
стороны АС, если ЛВ = ВС~\,7 м. ' ".
5. К третьей части неизвестного 4li(^
прибавили II —j и получили 26 Цдц
это число.
6. В несколько ящиков упаковали 19qc
деталей так, что в каждом оказалось V
375 детален и остались еще не упаковащщ
ми 25 деталей. Во сколько ящиков упаковали детали;'
7.	Периметр шестиугольника, изоб
й цл„ о раженного на рисунке 2, равен 37,4 Л
Пользуясь данными рисунка, найти cm
Рону {АВ — СК = КМ = ОА\ ВС=
=бМ).
Р,1С- 2	8.	После	того	как с полки сняли -1
4
часть всех стоявших на ней книг, на полке осталось еще
21 книга. Сколько книг стояло на полке первоначально?
С

Самостоятельная работа б-в
Составление уравнения по условию задачи
С помощью уравнении можно решать задачи. Для
этого нужно научиться составлять уравнение по условию
задачи. Составить уравнение и решить с его помощью
следующую задачу:
«Если неизвестное число умножить на 3 и из полу¬
ченного произведения вычесть 11, то получится 10. Найти
неизвестное число».
Р е ш е ft и е. Обозначим неизвестное число какой-
нибудь буквой, например буквой х. Из условия задачи
видно, что неизвестное число нужно умножить на 3,
а затем из Зх вычесть 11. Значение выражения Зх—11
равно 10. Следовательно, можно записать уравнение:
Зх—11 = 10.
Решим это уравнение: Зх= 10+11;- Зх=21; х = 21:3;
х=7.
Ответ. Искомое число 7.
Решим с помощью уравнения еще одну задачу:
«Самолет летел на высоте 9250 м. Летчик заметил
впереди облака и решил пролететь под ними на высоте
4750 м. На сколько метров снизился самолет?»
Решение. Обозначим искомую величину через а м.
По условию задачи значение выражения (9250—а) м
должно быть равно 4750 м. Можно составить уравнение:
9250—а = 4750. Решим его: а = 9250—4750; а = 4500.
Ответ. Самолет снизился на 4500 м.
Упражнения
Решить следующие задачи, составив уравнения по их
условиям.	j
1. Если из неизвестного числа вычесть 12— то по¬
лучится 0,75. Найти это число.
2. Найти вес одной пачки печенья, если 30 таких па¬
чек весят 4,5 кг.
3 За к. 1925
65

з. I Га клм^' ,,пс;,°
l[[11ь -173.-»
 	  -1.73,	4-iofib,
O* I .4-	..
4iiih'173?
4.	Иернчпр i j-ojmiihv.'i, и	о
ке I. /uuu'ii < м. liiiiiu cn>f><>iii,i мою 'f роуГОг
* Ч0П1С1ЧИ Ill'll IIH'C I mil <> 'IIICJI.I OlllfiJJit )
’	^	fir	^
4
4
5.	Or 'R'HU’1'11! 111
Ч1Ы.1 2-J. ПаЛ.н 'll"v"’-
HI Z*y. I itiu , i. . .
0.	li.i платформе Лм.ю 2<HH)u дет алом станков и
к? них иог|))Л1.-ц| н II н;п<>п()н; В каждом нагоцп Ч
одна н то же число легален. Сколько детален г 6b|‘70
в каждым вагон, если на мл а (форме осталось 57 „л^3,,4
„ дста-ч
7 Периметр пятиугольника, изображенного на ри.
сунке 2 равен 47,7 м“Найти его стороны, если известно,
что AB = BC=CD=AE и ££ = 3,7 Л1.
8.	После того как из комнаты вышла — часть всех
находившихся в ней людей, в ней еще осталось 4 чело¬
века. Сколько людей находилось в комнате перво¬
начально?

Самостоятельная работа о-г
Составление уравнения по условию задачи
С помощью уравнений можно решать задачи. Для
этого нужно уметь по условию задачи составить уравне¬
ние. Решение этого уравнения и будет решением задачи.
Решим с помощью уравнения следующую задачу:
«Число 2,5 разделили на неизвестное число. От ре¬
зультата отняли 7 и получили число 18. Найти неизвест¬
ное число».
Решение. Обозначим неизвестное число какой-
нибудь буквой, например буквой х. Разделим на х число
2.5 и от результата отнимем 7; получим (2,5:х)— 7. Зна¬
чение этого выражения по условию задачи равно чис¬
лу 18. Можно составить уравнение: (2,5:л) — 7 = 18.
Решим это уравнение: 2,5: л' = 18 -)- 7; 2,5:* = 25;
* = 2,5:25; * = 0,К
Ответ. Искомое число равно 0,1.
Решим с помощью уравнения еще одну задачу:
«За 12,5 руб. купили несколько метров ткани по
2.5 руб. за метр. Сколько метров ткани купили?»
Решение. Предположим, что купили 6 метров тка¬
ни. Тогда 2,5-А: (руб.) — выражение, определяющее стои¬
мость всей купленной ткани. По условию задачи эта
стоимость равна 12,5 руб. Следовательно, можно соста¬
вить уравнение: 2,5 - /г = 12,5.
Решим это уравнение: 6=12,5:2,5; 6 = 5,
Ответ. Куплено 5 м ткани.
Упражнения
Решить следующие задачи, составив уравнение по их
условию.
1.	После того как число 121 разделили на неизвестное
число, в результате получилось число 110. Найти неиз¬
вестное число.
з*
67

С. Нанти вес одного вагона, если известно, что сос*
из 32 таких вагонов весиг 1302 т.
3.	Какое число нужно умножить на 0,002, чтобы
лучить 0,001?	п°-
4.	Периметр треугольника, изоб
жеиного на рисунке 1, равен 224^'
Нанти неизвестную сторону этого’ м
угольника.
5.	К половине неизвестного
тРе.
ч«сла
прибавили 3— ив сумме получили 7 —. Найти эТо
число.	ло
6.	Из к\ска ткани длиной 98 м сшили костюмы. fja
I костюм идет 3 м ткани. Сколько костюмов сшили, есд„
после раскроя осталось 2 м ткани?
7. Периметр фигуры, изображенной
на рисунке 2, равен 98,5 см. Найти сто¬
роны фигуры, пользуясь данными рц.
сунка 2 и’тем, что AB = BC = CD = DE,
8. После того как я прочитал
— часть всей книги, мне еще оста-
3
лось прочитать 42 страницы. Сколько
страниц в этой книге?

Самостоятельная работа 5-д
Составление уравнения по условию задачи
Задачи можно решать с помощью уравнения, которое
составляется по условию задачи.
Составим, например, уравнение по условию задач и:
«Если к удвоенному неизвестному числу прибавить
3.5, то получится 7,5. Найти это число».
Решение. Обозначим неизвестное число какой-
нибудь буквой, например буквой *. Удвоив это число,
получим 2х. Прибавим, как это говорится в задаче, к
удвоенному неизвестному числу 3,5. Получим выражение
2*+3,5, значение которого по условию задачи равно
7.5. Можно составить уравнение 2*+3,5 = 7,5. Решим
это уравнение: 2-V = 7,5—3,5; 2л: = 4; *=4:2; х = 2.
Ответ. Искомое число разно 2.
Решим с помощью уравнения еще одну задачу:
«Периметр прямоугольника равен 22,2 м. Одна из
сторон 6,7 м. Найти другую сторону прямоугольника».
Решение. Пусть неизвестная сторона * метров.
Составим выражение для вычисления суммы двух сто¬
рон, имеющих общую вершину: *+6,7. Эта сумма со¬
ставляет половину периметра прямоугольника, т. е. чис¬
ло 22,2:2=11,1. Составим уравнение: *+6,7=11,1. Ре¬
шим его: *=11,1—6,7; *=4,4.
Ответ. Сторона прямоугольника равна 4,4 jw.
Упражнения
Решить следующие задачи, составив уравнения по их
условию.
1. Неизвестное число разделили на 2,05 и получили
12,4. Найти неизвестное число.
2. В бидон, вмещающий 44 л, налили 23,5 л молока,
после чего бидон стал полным. Сколько молока было
в бидоне первоначально?
69

3.	Какое число нужно разделить на 1,02, чтобы
^0;
чпть число 10,2?
4.	Периметр треугольника, изображенного ца
ке 1, равен 111 см, АВ = ВС. Пользуясь данными
п рисунка, найти неизвестную сторону треугольника^
5. К четверти неизвестного числа прибавили -L и По
лучили 0,75. Найти неизвестное число.
6. Турист должен был пройти 187 км. После 8 дНец
пути ему осталось пройти 19 км. Сколько кнлометр0в
в среднем проходил турист в день?
7. Периметр фигуры, изображенной на рисунке 2
равен 89,7 м. Найти стороны фигуры, пользуясь данными
рисунка п тем, что AB=AE = ED.
8. После того как спортсмен пробежал — часть всего
пути, ему осталось пробежать еще 800 м. Сколько метров
должен был бежать спортсмен?

Самостоятельная работа 6-а
Изображение чисел на числовой оси.
Противоположные числа
На прямом (рмс. 1) отметим точку О. Назовем се
начальной т о ч к о и. Булем считать, что эта точка
изображает число нуль. Примем отрезок АВ за еди-
п и ч и ы й о т р е з о к. Отложим единичный отрезок от
точки О иа прямой вправо один раз. Будем считать, что
-/ 0 +1
D	£	М	К	р
Рис. I
полученная при этом точка изображает число + 1. Отло¬
жим от точки О на прямой отрезок АВ влево один раз.
Будем считать, что полученная точка изображает число
— 1. На этой прямой можно изобразить любое число.
Такую прямую называют числовой осью.
Упражнения
1. Пользуясь рисунком 1, записать числа, которые
изображены точками D, Е, Му К, Р.
2. Начертить числовую ось, приняв за единичный от¬
резок 1 см. Построить точки, изображающие числа: —3;
-0,5; +1; +3; -2; -5,5; +7.
3. На числовой оси изобразить числа: —25; —20; +40.
Если за единичный отрезок взять 1 см, то точки, изо¬
бражающие эти числа, не попадут на лист бумаги. Как
быть? Чтобы выйти из затруднения, надо удачно выбрать
единичный отрезок. Построить эти точки, приняв за еди¬
ничный отрезок 1 мм.
4. На рисунке 2 изображены числа +5 и 0. Постро¬
ить точку, изображающую число +1.
О	+5
Рис. 2
71

Б. На рисунке 3 изображены числа —1 и -{-3. р»
нть точку, изображающую число 0.	^
/	+3
Рис. 3
6.	Начертить числовую ось, приняв за единичны4
резок 1 см, Отмстить красным карандашом точки И °т-
Сражающие числа —3 и +3, синим карандашом !, M:i°'
'И С;
+ 1,5 и —1,5, черным карандашом числа —4,5 ц щ ^
Обратить внимание на любую пару точек, отмече*
одним и тем же цветом. Они расположены по pa^11*
стороны от точки и на одинаковом от нее расстоя
(т. е. они с и м м е т р и ч н ы относительно точки п'11
Числа, изображенные такой парой точек, называю
противоположным II.	^
7.	Построить числовую ось и точки, нзображаюи
пары чисел: —5 и +5; +2,5 и —2,5; +6 и —6. Как
— 1-	  -	>	7	1	'	,	~	vclK	Нй
зывается каждая пара чисел?
8.	Из всех чисел, изображенных на числовой
(рис. 4), выписать только пары противоположных чисе*
-8 -б а -2	0	+1	b	+6	+?‘
Рис. 4
9.	В скобках указано одно число	( — 1,37;
(+783;	);	(0,00001;	).	Написать
это число и рядом — ему противоположное.
10. Построить числовую ось, выбрав единичный от¬
резок. Построить точки, изображающие числа: +-3,5; —6.
Построить точки, изображающие числа, противополож¬
ные данным.
11. Написать пять пар противоположных чисел.
12. На рисунке 5 изображена часть числовой прямой
и две точки. Пользуясь данными рисунка, построить точ¬
ку, изображающую число +45.
+40	+^>	Рис-	5
13. На рисунке 6 изображена часть числовой прямой
и две точки. Пользуясь данными рисунка, построить точ¬
ку, изобоажающую число —104.
-Ш	402
Риг fi

Самостоятельная работа 6-6
Изображение чисел на числовой оси.
Противоположные числа
Пусть отрезок ху изображает единицу масштаба —
единичный о т р е з о к, а точка О на прямой (рис. 1) —
число нуль. Отложим на прямой от точки О вправо еди¬
ничный отрезок (ху). Получим точку. Будем считать, что
эта точка изображает число +1. Отложим иа прямой от
-1 0	+1
А	В	Е	С	м	к
Рис. 1
точки О влево единичный отрезок (ху) и будем считать,
что полученная точка изображает число —1. На этой
прямой можно изображать любое число. Такую прямую
называют числовой осью.
Упражнения
1. Пользуясь рисунком 1, записать числа, которые
изображены точками Л, В, С, М, К, Е.
2. Начертить числовую ось, приняв за единичный от¬
резок 1 см. Построить точки, изображающие числа: —2;
—0,5; +1; +3;	5;	-(-4,5.
3. На числовой оси изобразить числа +30; —20; +45.
Если за единичный отрезок принять 1 см, то точки, изо¬
бражающие эти числа, не попадут на лист тетради. Как
быть? Чтобы выйти из затруднения, нужно удачно вы¬
брать единичный отрезок. Построить эти точки, приняв
за единичный отрезок 1 мм.
4. На рисунке 2 изображены числа —7 и 0. Постро¬
ить точку, изображающую число —1.
Рис. 2
5.	На рисунке 3 изображены числа —2 и 3. Постро¬
ить точку, изображающую число 0.
-2 3
Рис. 3
73

6. Начертить числовую ось (единичный отрС1ок
Отмстить красным карандашом чочки, пзобра>Ка ц
числа —4; 4-4, синим карандашом—точки +2,+ l(J4
черным карандашом — точки —2; +2. Обратить ’ВГЧ*
пне на любую пару одноцветных точек. Они расП,4
жены по разные стороны от точки О п на одцПа|<пЧ;
or нее расстоянии (т. е. они с п м м е т р и ч и ы 0т‘'^
тельно точки О). Числа, изображенные такой nap0-‘\
чек. называются против о п о л о ж и ы м п.	11	\
7. Построить числовую ось, выбрав единичный
зок. Построить точки, изображающие пары чпсел°Тр-
п +6; -f 1,5 и -1,5; +3,5 и -3,5; +1 п —I. 1 Ч
Написать, как называется каждая пара чисел
8. Пз всех чисел, изображенных на числовой
(рис. 4), выписать только пары противоположных чцс°еС|
-4 О -з -2,5 -2	0	+1	+2	+3 ь +4
Рис. 4
9. В скобках указано одно число (+0,17; j
(-795;	); (-0,0001;	);	(бЗ	).	Выписат,
его и рядом с ним написать ему противоположное.
10. Построить числовую ось, выбрав единичный отре.
зок. Построить точки, изображающие числа: +4,5; —5
Построить точки, изображающие числа, противополож-
ные данным.
П. Написать пять пар противоположных чисел.
12.	На рисунке 5 изображена часть числовой оси г.
две точки. Пользуясь данными рисунка, построить точку,
изображающую число 72.
+66	+70
Рис. 5
13.	На рисунке б изображена часть числовой оси н две
точки. Пользуясь данными рисунка, построить число
-1921.
-1919	-1918
74
Рис. 6

Самостоятельная работа 6-в
Изображение чисел на числовой оси.
Противоположные числа
Назовем точку О прямой, изображенной на рисунке 1,
начальной т очко й. Будем считать, что эта точка
изображает число нуль. Отрезок АВ примем за едн-
н и ч н ы II отрезок и отложим его от точки О на пря¬
мой вправо. Полученную таким образом точку будем
-1 0 +1
х ни '	'	у	i	Ь
Рис. 1
считать изображением числа +1. Отложим на прямой
от точки О отрезок АВ влево. Полученную точку будем
считать изображением числа —1. На этой прямой мож¬
но изобразить любое число. Такую прямую называют
числовой осью.
Упражнения
1. Пользуясь рисунком 1, назвать числа, которые изо¬
бражены точками X, У, М, К, Е, D.
2. Построить числовую ось, приняв за единичный от¬
резок 1 см. Построить точки, изображающие числа: —2;
+3,5; —5,5; +6;	4;	3.
3. На числовой оси изобразить числа: —25; +35; —40.
Если за единичный отрезок принять 1 см, то точки, изо¬
бражающие эти числа, не уместятся на листе тетради.
Как поступить в этом случае? Чтобы выйти из затруд¬
нения, надо умело выбрать единичный отрезок. Постро¬
ить эти точки, приняв за единичный отрезок 1 мм.
4. На рисунке 2 изображены числа +3 и 0. Постро¬
ить точку, изображающую число +5.
	0	+3
Рис. 2
75

5. На рисунке 3 изображены числа —2 и + 5. ^
нть точку, изображающую число 0.
 ~2 ^
Рис. 3	"ч
6. Начертить числовую ось, приняв за единичные
резок 1 см. Отметить красным карандашом точки °т-
Сражающие числа —5 и +5, сипим карапдащ0м ’ S.
и -3,5, черным карандашом +1 и —1.	«Я}
Обратить внимание иа любую пару точек, отмечен
одним и тем же цветом. Эти точки расположены по
ные стороны от точки О и на одинаковом расстояци,
точки 0 (т. е. они с и м метрпч н ы относительно I °7
ки 0). Числа, изображенные такой парой точек, назы°4'
ются противоположны М П.	8а'
7. Начертить числовую ось, выбрав единичный 0тп
зок. Построить точки, изображающие пары чисел- .+
и +4; 5,5 и —5,5; —7 и +7; +1.5 и —1,5. Как называв
каждую пару чисел?	т
8. Из чисел, изображенных иа числовой прямо*
(рис. 4), выписать пары противоположных чисел. * 11
к -/з -Ю -5	0	+5	+7	а	+13
..	»	,	»	—«—	— —	-	в	|
Рис. 4
9. В скобках указано одно из чисел (+4320; у
(-3|;	); (17,42; К + Ц; )• Написать
число и рядом с ним ему противоположное.
10. Построить числовую ось, выбрав единичный отре¬
зок. Построить точки +4,5; —6 и точки, изображающие
числа, противоположные данным.
11. Написать пять пар противоположных чисел.
12. На рисунке 5 изображена часть числовой прямой
и две точки. Пользуясь данными рисунка, построить точ¬
ку, изображающую число 37.
-^3 Я5	 Рис.	5
13. На рисунке 6 изображена часть числовой прямой
и две точки. Пользуясь данными рисунка, построить точ¬
ку, изображающую число —93.
-JL	-J0	Рис.	6
ЭТО

Самостоятельная работа 6-г
Изображение чисел на числовой оси.
Противоположные числа
Па прямой (рис. 1) отмечена точка О. Эту точку на¬
зывают л а ч а л ь н о й и считают, что она изображает
число пуль. Если принять отрезок АВ за е д и н и ч и ы й
отрезок и отложить его на прямой от точки О вправо,
то полученная	точка будет	изображением	числа	-}-1.	От-
-1	0 +1
“х ' у '	и ' м'	1	'	' с '	Ъ	\
Рис. I
ложпм единичный отрезок на прямой от точки О влево.
Полученная точка изображает число —1. На этой пря¬
мой можно изобразить любое число.
Такую прямую называют ч и с л о в о й осью.
Упражнения
1. Назвать числа (рис. 1), изображенные точками
X, У, /С, М, С, D, Е.
2. Начертить числовую ось, приняв за единичный от¬
резок 1 см. Построить точки, изображающие числа: +2;
-3; +3,5; -4; +7.	‘
3. На числовой оси изобразить числа: 15; —45; +25.
Если за единичный отрезок принять 1 см, то для этого
не хватит листа тетради. Как же поступить? Чтобы вый¬
ти из затруднения, следует выбрать другой единичный
отрезок. Построить эти точки, приняв за единичный от¬
резок 1 мм.
4. На рисунке 2 изображены числа —4; 0. Построить
точку, изображающую число +1.
-4	'	О
Рис. 2
5.	На рисунке 3 изображены числа —2 и —1. Постро¬
ить начальную точку (О).
 '	'	-2	•	Ч	'
Рис. 3
77

fi. Начертить числимую оеь (единичный отрезок ]
Отменит» крпеным карандашом точки, ц №0рс1}ка[Г1С’\
числа -5 и + 5, сипим карайдапюм -- числа + и
черным карандашом — чпелл —-3 и +3. Обратить""^
манне на любую пару одноцветных точек. Они р8с %.
жены не разные стороны ог начальной точки О j, „аП0;К
лакоиом or нее расстоянии (т. о. они с и м м е т р п °+.
отноеительпо точки О). Числа, изображенные такси'4 ^
рой точек, называются п р о т п н о и о л о ж и ы м ({f па.
7. Построить числовую ось, выбрав единичный ’
зок. Построить точки, изображающие пары чисел- °Т^
и 4-3,5; +4 и —1; +6 п —6. Как называются числа
дой пары?	Ка;К.
8. Из чисел, изображенных па числовой оси (пн
выписать пары противоположных чисел.	‘	4),
-2J -р X | -6 -3 0 +3 +6,5	+12	у	^	^
Рне. 4
9. В скобках указано одно число (-2,73- j
(+398;	);	(	0.0101;	) + +	).	Выписать	^
число и рядом с ним нагшеать ему противоположное
Ю. Начертить прямую линию. Выбрать начальную
точку и единичный отрезок. Построить на полученной
числовой прямой числа +5 и —3,5 и числа, противопо¬
ложные данным.
И. Написать пять пар противоположных чисел.
12.	На рисунке 5 изображена часть числовой оси и
два числа. Пользуясь данными рисунка, построить точку,
изображающую число +35.
+31	+32
Рис. 5
И. На рисунке б изображена часть числовой оси и
два числа. Пользуясь данными рисунка, изобразить на
прямой число —109.
-104
73
Рис. 6

Самостоятельная работа 6-д
Изображение чисел на числовой оси.
Противоположные числа
Назовем точку О прямой линии (рис. 1) начальной
точкой. Будем считать, что эта точка изображает число О,
а отрезок А В является единицей длины. Отложим от
точки 0 на прямой вправо отрезок АВ. Получим точку,
которая изображает число +1. Отложим от точки 0 едп-
+1 0 -1
К М С	Ь	'	'	ГГ"
Рис. 1
ничиый отрезок влево. Полученная точка изображает
число —1. На этой прямой можно изобразить любое чис¬
ло. Такую прямую называют числовой осью.
Упражнения
1. Назвать числа (рис. 1), которые изображены точ¬
ками /С, М, С, D, Е, L.
2. Начертить числовую ось, приняв за единичный от¬
резок 1 см. Построить точки, изображающие следующие
числа: —6; +0,5; —1; +4; —1,5; +6.
3. На числовой осп изобразить числа: +25; —15; —35.
Если за единичный отрезок взять 1 см, то точки, изо¬
бражающие эти числа, не уместятся на листе тетради.
Как же быть? Нужно выбрать другой единичный отрезок,
например 1 мм. Построить числовую ось и точки, изобра¬
жающие эти числа, приняв за единичный отрезок 1 мм.
4. На рисунке 2 изображены числа —5 и 0. Построить
точку, изображающую число —1.
-5  0
Рис. 2
70

5. На рисунке 3 изображены числа +1 и — 3, pj
нть точку, изображающую число пуль.	CtPq%
~3				И— Рис. з
6. Начертить прямую. Отметить па пей начал
точку О. За единичный отрезок взять 1 см. Огм^'п
красным карандашом точки, изображающие чиелаТ,,Ть
и —4, синим — числа —2,5 и +2,5 и черным—1Ч
— 1 и +1. Обратить внимание на любую пару 0дц0 Ис+
них точек. Эти точки расположены по разные стог т*
отточки О и на одинаковых ог нее расстояниях (т е 4
симметричны относительно начальной точки n'!l
Числа, изображенные такой парой точек, называю
противоположными.	Тся
7. Начертить числовую прямую. Построить Т01,
изображающие пары чисел: —6 и +6; —3,5 и +3,5- .Sj
и —2. Как называются числа каждой пары?	’	’
8. Из чисел, изображенных на числовой оси (рцс ^
выписать пары противоположных чисел.	’	'•
-30	т-17	-W	0	+10.	+т	п	+3Q
Рис. 4
9. В скобках указано одно Число (+3,07; у
(9013;	); (—0,00123;	). Написать это число и р*
дом — ему противоположное.
10. Построить числовую ось, выбрав единичный от¬
резок. Отметить на оси точки, изображающие числа +5,5;
—2 и им противоположные числа.
11. Написать пять пар противоположных чисел.
12. На рисунке 5 изображена часть числовой оси
и две точки. Пользуясь данными рисунка, отметить точкуг
изображающую число +92.
I4	^	Рис.	5
13.	На рисунке 6 изображена часть числовой оси и две
точки. Пользуясь данными рисунка, построить точку, изо
бражающую число —1293.
а**	  рис.	е
80

Самостоятельная работа 7-а
Абсолютная величина рационального числа
На рисунке 1 точка А изображает число —3. Длина
отрезка О А называется абсолютной величиной числа — 3.
Точка В изображает число -f3. Длина отрезка ОВ будет
абсолютной величиной числа +3. Отрезок 0/1 = 05. Сле¬
довательно, равны и их длины. Поэтому абсолютная ве-
А	0+1	3
Рис. 1
личина числа —3 равна абсолютной величине числа +3.
Абсолютная величина числа обозначается знаком | |.
Например, абсолютная величина числа —3 обозначается:
|-3|.
Так как длина отрезка есть число неотрицательное,
то | —3 | = 3; |+3 | = 3.
Абсолютная величина положительного числа и нуля
есть само число; абсолютная величина отрицательного
числа есть противоположное ему число.
Упражнения
1. Прочитать записи:
а) |+1000|=1000;
-10001=1000;
б),
в)
г)
|-2 | = 2;
| 0 1 = 0;
д)
е)
ж)
з)
-7,01
«т
= 7,01;
0,00025 1 = 0,00025.
а) -0,01;
г) -1
2.	Найти абсолютную величину следующих чисел:
43’
б) +3,724;	д) 1;
в) -135;	е)	-101,2054.
Так как абсолютная величина числа есть положительное
число или нуль, то абсолютные величины с р а в нива-
81

ю т с и т л к ж е, к а к и о о т р и ц а т е л ь иые ч „
11;inpiiMCj), |-100|>|-Ю|, так как 100>Ю.
3.	Вместо звездочки поставить одни из знаков:
*>» пли «О:
—3 | *
+31*
-31 *
1-100,01 |.
|130бРа/ка,01ц1
не.
-2 ;	г)	|-3|*|+2
-2 ;	Д)	| 3 | * | +2 |;
+3;	О	|+100,03|*
4. На числовой осп построить точки,
следующие числа:
а) 0,5; б) -2; в) | -2 |; г) | +0,5 |.
5. На числовой оси построить числа, абсолютные
личины которых равны:
а)	1,5; б) 3; в) 0.
6. Написать два неравных числа, имеющих равны
абсолютные величины. Как называются такие числа^ 6
7. Написать несколько чисел, абсолютная велнчй,
каждого из которых равна этому числу. Какие это числа)
8. Написать несколько чисел, абсолютная величин
каждого из которых не равна самому этому числу. Какие
это числа?
9. Сколько существует чисел, абсолютная величина
которых 5; О?
10. На числовой оси (рис. 2) изображен отрезок
Любое число от 0 до 1 может быть изображено точками
этого отрезка. Написать некоторые из этих чисел.
О
+ /
Рис. 2
П. На числовой оси (рис. 3) изображен отрезок АВ.
Выписать несколько чисел, которые изображаются точ¬
ками этого отрезка.
 	-3	-2
Д	б
Рис. 3
12. На числовой оси отметить несколько точек, изо¬
бражающих числа, удовлетворяющие следующему не¬
равенству. I а |<3.
13. Где на числовой оси расположатся точки, изо¬
бражающие числа х, если | х (7>3?
82

1 Самостоятельная работа 7-6
Абсолютная величина рационального числа
Рассмотрим рисунок 1. Точка С изображает число
—2. Длина отрезка ОС называется абсолютной величи¬
ной числа —2. Точка D изображает число +2. Абсолют¬
ной величиной числа +2 является длина отрезка OD.
Отрезок ОС равен отрезку OD(OC=OD), значит, равны
С	0+1 В
Рис. I
и их длины. Следовательно, абсолютная величина числа
—2 равна абсолютной величине числа -\-2. Так как дли¬
на отрезка есть число неотрицательное, то абсолютная
величина тоже число неотрицательное. Поэтому аб¬
солютная величина как числа +2, так и противополож¬
ного ему числа —2 равна 2.
Абсолютная величина положительного числа и нуля
есть само число; абсолютная величина отрицательного
числа есть противоположное ему число.
Абсолютная величина обозначается так: |	|. Напри¬
мер, абсолютная величина —2 обозначается: | —2 |. Мы
установили, что | —2 | = 2.
Упражнения
1. Прочитать записи:
а)	|+146|==146;	д)	| 213,4 1 = 213,4;
б)	|-146 |=146;	е)	|—7+(=7-|-;
в)	|—28 | = 28;	ж)	|—1|=1;
г)	10( = 0;	з)	1—0,00231 = 0,0023.
2. Найти абсолютную величину чисел;
а) -0,001;	г)	—19 +;
б) -17,85;	д)	-1;
в) +143;	е)	713,43.
Абсолютная величина любого числа есть положи¬
тельное число или нуль. Поэтому абсолютные величины
83

сравниваются так же, как неотрицательные
ла. Например: |—700|>| 701, гак как 70070.
3. Вместо звездочки поставить одни из знаков
«>» или «<»:	,	,	\
а) |-10|*|-5|; г) |+10	|	-51;
61 1 + 10 |* |-10|;	д) I М>|* +7>|;
в)	| — 101 * 151:	о) |+Ю00,05|*|-1000,0|.
4. Построить па числовой оси точки, изображаю,,
следующие числа:	^
а) -1,5; б) 5; в) |-1,5|; г) | +51.
5. На числовой осп построить числа, абсолютные
личины которых равны:	8е'
а)	3,5; б) 6; в) 0.
6. Написать два неравных числа, имеющих рав,
абсолютные величины. Как называются такие числа^
7. Написать несколько чисел, абсолютная велнчй
каждого из которых не равна самому этому числу к'9
кие это числа?	’
8. Написать несколько чисел, абсолютная величт
каждого из которых равна этому числу. Какие ^
числа?	т°
9. Сколько существует чисел, абсолютная величин
которых равна 1,7; О?
10. Любое число от —2 до —1 может быть изобра¬
жено точками отрезка числовой осп (рис. 2).
 -2 -1
I
Рис. 2
Написать некоторые из этих чисел.
П. На числовой оси (рис. 3) изображен отрезок CD.
Выписать несколько чисел, которые изображаются
точками этого отрезка, расположенными по разные сто¬
роны от точки 0.
 -1 0 +1
+	i	j
Рис. 3
12. Отметить на числовой оси несколько точек, изо¬
бражающих числа, удовлетворяющие следующему нера¬
венству: |&|>4.
13. Где на числовой оси расположатся точки, изо¬
бражающие числа у, если 11/1<4?
м

Самостоятельная работа 7-в
Абсолютная величина рационального числа
На рисунке 1 точка М изображает число —4. Длина
отрезка ОМ называется абсолютной величи¬
ной числа —4. Вообще, абсолютная величина числа
есть длина отрезка от точки, изображающей это число,
до точки О. Например, точка N изображает число +4.
и	0+1	п
Рис. 1
Длина отрезка ON — абсолютная величина числа +4.
Так как длина отрезка есть число неотрицательное, то
абсолютная величина тоже число неотрицательное. Аб¬
солютная величина числа —4 есть 4, абсолютная вели¬
чина противоположного ему числа +4 есть тоже 4.
Абсолютная величина положительного числа и нуля
есть само число; абсолютная величина отрицательного
числа есть противоположное ему число.
Абсолютная величина обозначается так: |	|.	Напри¬
мер, абсолютная величина —4 обозначается: | —4 |.
Мы установили, что |— 4| — 4.
Упражнения
1. Прочитать записи:
а) | -4-243 | = 243;
| —243 | = 243;
| — И |=11;
10 1 = 0;
б)
в)
г)
д)
е)
7,21 1 = 7,21;
-4
ж) I —I 1=1;
з) |—113.4|=113,4.
2. Найти абсолютную величину следующих чисел:
а) +0,0001;	в) 4,437;	д) —563;
б) +4ур	г) -1;	е) -174,31.
Так как абсолютная величина любого числа есть по¬
ложительное число или нуль, то абсолютные величины
сравниваются так же, как неотрицательные числа. На¬
пример: |—999|7>|—8 |, так как 999>8.
85

а)
-15
*
--11:
г)
б)
— 15
*
+ 151;
д)
в)
+ 15
♦
—И:
о)
3. Вместо звездочки поставить одни нз знаков *
«>» или «О:
— 15 | * | 4 |;
15|*|+4 |;
937,36 | * | +937,37,
4. На числовой осп построить точки, изображав
следующие числа:
а)	3; б) -0,5; в) | -0,5 |; г) |+3 |.
5. На числовой оси построить числа, абсолютны
личины которых равны:	е
а)	1; б) 2,5; в) 0.
6. Написать два неравных числа, имеющих па&
абсолютные величины. Как называются такие числ
7. Написать несколько чисел, абсолютная велич
каждого из которых равна этому числу. Какие это'чис^-
8. Написать несколько чисел, абсолютная велич^'
каждого из которых не равна самому этому числу vHa
кие это числа?	*	^а*
9. Сколько существует чисел, абсолютная величину
которых равна 2	0?
О
10. На числовой оси (рис. 2) изображен отрезок
Любое число от 3 до 4 (включая 3 и 4) может быть изо!
бражено его точками. Выписать некоторые из этих чисел
	+3	+4-
 — 1 ,
Рис. 2
11. На числовой оси (рис. 3) изображен отрезок АШ.
Написать несколько чисел, которые изображаются точ¬
ками этого отрезка.
	0	+13	^3
м	N
Рис. 3
12. На числовой оси отметить несколько точек, изо¬
бражающих числа, удовлетворяющие следующему не¬
равенству: 1 Ь | <С 1 -
13. Где на числовой оси расположатся точки, изобра¬
жающие числа у, если \ у\ >1?

Самостоятельная работа 7-г
Абсолютная величина рационального числа
Рассмотрим рисунок 1. Точка К изображает число
Длина отрезка ОК называется абсолютной величи¬
ной числа 4-5. Точка Е изображает число —5. Длина
отрезка ОБ — абсолютная величина числа —5.
Так как длина отрезка есть число неотрицательное,
£	0+1	К
Рис. 1
то абсолютная величина отрицательного числа тоже
число неотрицательное. Отрезок ОЕ равен отрезку ОК.
Значит, равны и их длины. Следовательно, абсолютная
величина числа —5 равна абсолютной величине числа
4-5 и равна 5.
Абсолютная величина положительного числа и нуля
есть само число; абсолютная величина отрицательного
числа есть противоположное ему число.
Абсолютная величина обозначается так: |	|.	Напри¬
мер, абсолютная величина —5 обозначается | —5 |.
Мы установили, что | —5 | = 5.
Упражнения
1. Прочитать записи:
а) |4-125|=125; д) | —3,02 | = 3,02;
б) 1 —125 |=125; е) 1131=13 4'
В) |-7'|=7;	ж) 1-1 1=1;
г)	| 0 |=0;	з)	| —10,0013 |= 10,0013.
2. Найти абсолютную величину следующих чисел:
а) 4-1300;	в) -12,75;	д) -345;
б) +4-Ц;	г) -1;	е) 17,428.
Абсолютная величина любого числа есть положитель¬
ное число или нуль. Поэтому абсолютные величины
сравниваются так же, как и неотрицательные
числа. Например: | —347 | 7> | —5 |, так как 347>5.
87

3.	Вместо звездочки поставить один из знаков ^
«>» или «О:
а) 1-21
(,) |-21
в) |-21
*
г) |+21 |*|-1
* +211;	д) 121 | * | +1 |;
•|1|;	с)	| —18,363 | * |	+48,361
4.	Построить на числовой осп точки, изображаю,,
следующие числа:
-4.5; б) 2;
_4._
Г) I +2
5.	На числовой осп построить числа, абсолютные
личины которых равны:
а)	6; б) 5-^-; в) 0.
6.	Написать дез неравных числа, имеющих равць
абсолютные величины. Как называются такие числамlG
7. Написать несколько чисел, абсолютная велищ',,,
каждого из которых не равна самому этому числу. ]^аа
кие это числа?
8. Написать несколько чисел, абсолютная величина
каждого из которых равна этому числу. Какие это числа?
0.	Сколько существует чисел, абсолютная величина
которых равна 0,22; 0?
10.	На числовой оси (рис. 2) изображен отрезок
Любое число от —0,5 до 4 может быть изображено точ¬
ками этого отрезка. Написать некоторые из этих чисел.
-0,5	+4
Рис. 2
11. На числовой оси (рис. 3) изображен отрезок КЕ.
Выписать несколько чисел, которые изображаются точ¬
ками этого отрезка.
-3	-1	О
—	*	— I	■ >■	)	1	1	   —
К	£
Рис. 3
12. Отметить на числовой оси несколько точек, изо¬
бражающих числа, удовлетворяющие следующему не¬
равенству:	|т|>2.
13. Известно, что |я|<2. Где на числовой оси рас¬
положатся точки, изображающие числа х?
S8

Самостоятельная работа 7-д
Абсолютная величина рационального числа
На рисунке 1 точка Е изображает число —6. Длина
отрезка ОЕ называется абсолютной величиной числа
—6. Точка Г изображает число +6. Абсолютной величи¬
ной числа +6 будет длина отрезка OF. Вообще, абсо¬
лютной величиной числа называют длину отрезка от
Е	0+1	F
точки, изображающей это число, до точки О. Так как
длина отрезка есть число неотрицательное, то абсолют¬
ная величина тоже число неотрицательное.
Отрезок ОЕ равен отрезку OF. Следовательно, абсо¬
лютная величина числа —6 равна абсолютной величине
противоположного ему числа +6 и равна 6.
Абсолютная величина положительного числа и нуля
есть само число; абсолютная величина отрицательного
числа есть противоположное ему число.
Абсолютная величина обозначается так: |	|.	Напри¬
мер, абсолютная величина —6 обозначается | —6 |. Мы
установили, что | —6 | = 6.
Упражнения
1.	Прочитать записи:'
2.	Написать абсолютную величину следующих чисел:
Так как абсолютная величина любого числа есть по¬
ложительное число или нуль, то абсолютные величины
сравниваются так же, как неотрицательные числа.
Например, | —1971 |>| —4 |, так как 1971>4.
Рис. 1
а) |+327 | = 327;
б) | —327 | = 327;
в) |—43 | = 43;
г) | 0 | = 0;
д)	!45;
ж) |
з) |+20,031|=20,031.
а) -0,1;	в) +13,25;	д) -297;
б) -3	г) -1;	е)	130,043.

, 3. Нмоото деадаики поеташт. од.ш из а„ак„в
«;>» и.'Iч «О:
о > I —so I * I —6 /;	г)	I 30 I * I 0 I*
0) I +30 I * I —30 I;	Д)	I 30 I I +0 |;
# | — 30 1*14-01:	о)	I-7J7.81	П	"717,80,	(>
6)
1{) '■■■„•	,	г	'•
4.	Па ччс.’ювоч осп построить топки, 11 з о о р а ж а 10|ц
имел я:
а)	—3	б)	+1,5;	в)	|-f1,5 |; г) | —3,5;
5. На числовом осп построить числа, абсолютные
личины которых равны:	а
а) 4; б) 6,5; в) 0.
6. Написать два неравных числа, имеющих рав
абсолютные величины. Как называются такие числа?1
7.	Написать несколько чисел, абсолютная велич
каждого из которых равна этому числу. Какие это 1111
8.	Написать несколько чисел, абсолютная велич**
каждого из которых не равна самому этому числу
Я ?
кие это числа ^
9.	Сколько существует чисел, абсолютная величии-
которых равна —; 0?
/0. На числовой оси (рис. 2) изображен отрезок
Любое число от 10,5 до 14,5 (включая 10,5 и 14,5) может
быть изображено его точками. Выписать некоторые из
этих чисел.
+ 10,5	+14,5
Рис. 2
П. На числовой осп (рис. 3) изображен отрезок/У.
Написать несколько чисел, которые изображаются точ¬
ками этого отрезка, расположенными по разные сторо¬
ны от точки О.
-I 0	4,5	<’
Рис. 3	(
12. Отметить на числовой оси несколько точек, изол
бражающнх числа, удовлетворяющие следующему
равенству: jdl<l,5.
13. Известно, что |о/|;>1,5. Где на числово-
положатся точки, изображающие числа у-
90

Самостоятельная работа 8-а
Сравнение рациональных чисел
Па числовой осп (рис. 1) изображены неотрицатель-
К ные числа, т. с. число пуль и положительные числа.
^ Легко заметить, что, чем больше неотрицательное число,
тем правее лежит изображающая его точка. Будем
01234-5	678
ь	Рис.	1
считать, что эта закономерность имеет место для всех
е рациональных чисел.
Рациональное число b больше рационального числа а
а (Ь>а), если точка, изображающая число Ь, расположе-
) на на оси правее точки, изображающей число а (рис. 2).
I	 ,	I
а	о	Ь
Рис. 2
Какое число больше: —5 или —1?
Чтобы ответить на этот вопрос, изобразим эти числа
на оси (рис. 3). Точка, изображающая число —1, лежит
правее точки, изображающей число —5. Следовательно,
-1>-5. 	 ,	,	,
-5 -4 -3	-? -1	О
Рис. 3
Упражнения
1. На числовой оси (рис. 4) изображены числа. За¬
писать их в порядке возрастания.
- 4|	~1,5	0	+lj	+4,5	+6,75
Рис. 4
2. Изобразить на числовой оси числа:	—3;	+1,5;
—5,5; —1; 1; 3 Записать эти числа в порядке убы¬
вания.
3. Точка,	изображающая	число	нуль,	лежит	на	оси
левее точки,	изображающей	любое	положительное чис¬
ло. Какой вывод из этого можно сделать? Подумать, как
сформулировать правило сравнения положительных чи¬
сел с нулем.

4.	Точка, изображающая число нуль, лежит
правее точки, изображающей любое отрицательн
иа
ло. Подумать, как сформулировать правило срац
отрицательных чисел с числом нуль.
N.
*'ia
5.	Подумать, как сформулировать правило сравн
положительных чисел с отрицательными.
С. Вместо звездочки поставить знак «>» цЛц
а)	-Г+0,5;	г)	+120* -121;
б)	+1000 *-1000;	Д)	+0,001 *-1000-
в)	0 * +240;	е)	—1000 000 * 0.	*
7.	Вместо звездочки поставить знак «>» или
а)	+5 *+7;	|	+5 | *	| +7 |;
12100 | * | 172 |;	2100 *172;
3,27 * 0, 327; | 3,27 | * | 0, 327
9
б)
в)
г)
19
3-^*3^-
17	19’
Справедлив ли вывод: из двух положительных ч
сел меньше то, у которого меньше абсолютная величин'
8. Сравнить следующие отрицательные числа, сра^
нить их абсолютные величины, поставив вместо звездой
кн знак «>» или «<»:
*-9; | —51 * | —9 |;
| —101 * | —171; -10* -17;
-3,5 *-2,5; |-3,51 |*|-2,51 |;
а)
б)
в
г)
з±
17
19
-*3°-
17	19'
В следующем предложении вставить недостающее
слово: из двух отрицательных чисел то больше, абсолют¬
ная величина которого ... . Пропущенное слово за¬
писать в тетрадь.
9. Сравнить следующие пары чисел:
а) -3000 и -100;	г) -0,001 и -10;
б) ~ и —0,4;	д) —и —0,75;
10.
числа:
200
в) -17,1 и 0,171; е) -278 и 39.
Расположить в порядке возрастания следующие
-20; +21; -0,9; +124; -1000; -2,8; +2,7,
11. Написать наибольшее целое число, котор
меньше:
а) 100,2; б) 0,1; в) -3,14; г) +3,14. -
92

Самостоятельная работа 8-6
Сравнение рациональных чисел
На числовом оси (рис. 1) изображены положительные
числа и число нуль. Такие числа называют неотрицатель¬
ными. Легко заметить, что, чем больше неотрицательное
число, тем правее лежит изображающая его точка.
О J 2 3 4 5
Рис. 1
Будем считать, что эта закономерность имеет место
для всех рациональных чисел. Следовательно, рацио¬
нальное число т больше рационального числа п (т>п),
если точка, изображающая число т, расположена на чис¬
ловой оси правее точки, изображающей число п (рис. 2).
от	О
Рис. 2
Чтобы ответить на вопрос, какое из двух чисел: —8
ПЛи —3 — больше, нужно изобразить эти числа точками
числовой осп (рис. 3). Точка —3 лежит на оси правее
точки —8. Следовательно, —3>—8.
-8 -7 -6 -5	-4 -3	-2 -1
Рис.. 3
Упражнения
1. Записать в порядке возрастания числа, изобра¬
женные на числовой оси (рис. 4).
-6,5	-5	-0,75	0	+1,5	+3	+6$
Рис. 4
2. Изобразить на	числовой	оси числа:	+3;	—4;
— 1	+2,5;	4,5.	Записать эти	числа в порядке
убывания.
3. Точки, изображающие любое положительное чис¬
ло, лежат на оси правее точки, изображающей число
нуль. Какой вывод из этого можно сделать? Продумать,
как сформулировать правило сравнения положительных
чисел с нулем.

4.	Точки, изображающие любое отрицательное чцс
лежат на оси левее точки, /изображающей число ,,3'\
Подумайкак сформулировать правило сравнения '
рниатсльиых чисел с нулем.	0?-
Л. Подумать, как сформулировать правило сравцс,
положительных чисел с отрицательными.
6.	Вместо звездочки поставить знак «<Г» или «\
а) +7 *-8;	г) —5000 * 0,005;	*■
б) -300 *+300;	д) 0 *—10 000;
в) -144 *+143;	е) 130*0.
7.	Вместо звездочки поставить знак «7>» или
а) +1000 * +2; 1+10001*1+21;
б) 12201 *1403/; 220 *403;
в) 2,03 *2,43; / 2,031*12,431;
44И4/; 4*4
Справедлив ли выв од: из двух положительных ц
г меньше то, у которого меньше абсолютная величин'
S.	Сравнить следующие отрицательные числа, Срав'
Тк IIV ЛП^П П mTULia D^nfnrrfULf ПЛлТОппп	__	*
нить н.х абсолютные величины, поставив вместо звездо '
кн знак «<» или «>»:
а) —13* —II; 1-131*1-111;
б)1-414-81; -4 *-8;
в) 1-0.51 4-1.51; -0,5 *-1,5;
г) -0.25 * -4 у; ) -0,251 * j -4 ~ |.
В следующем предложении вставить недостающее
слово: из двух отрицательных чисел, то меньше, абсо¬
лютная величина которого .... Пропущенное слово за¬
писать в тетрадь.
9.	Сравнить следующие пары чисел:
а) -7003 и —32;	2
3	г)	_ То " -0'2;
б) -^и -0,99;	10
20	д)	-1300 н 2;
в)	-21,7	п	-2,17;	е)	-0,004 и -400.
КО. Расположить в порядке возрастания следующие числа:
+40;	-13,3;	-200; +1000; -Ну -0,43;
-0,44; 0,43; 0,44,
П. Написать наибольшее целое число, которое мень-
ше; 19,2; -6,1; +6,1 +4-Р,
94
I

Самостоятельная работа 8-в
Сравнение рациональных чисел
На числовой оси (рис. 1) изображены неотрицатель¬
ные числа: число пуль и положительные числа. Обра¬
тить внимание па то, что чем больше неотрицательное
число, тем правее лежит изображающая его точка.
012	3456789
Рис. 1
Будем считать, что эта закономерность имеет место для
всех рациональных чисел.
Рациональное число К больше рационального Р
(f\>P), если точка, изображающая число К, располо¬
жена на оси правее точки, изображающей число Р
(рис. 2).	|('
Р	О	К
Рис. 2
Какое число больше: —2 или —7?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо изобразить эти
числа на осп (рис. 3). Точка, изображающая число —2,
лежит правее точки, изображающей число —7. Следо¬
вательно, —2>—7.
-7 -Б -5 -4 -3	-2 Ч О
Рис. 3
Упражнения
1. На числовой осп (рис. 4) изображены числа. За¬
писать их в порядке возрастания.
-6,25	-3,5	~2	0	+2,5	+4,75	+6
н «Н I I •	*	■*■■■!	•	♦ I » I 14
Рис. 4
2. Изобразить на числовой оси числа: —5; —0,5; +6;
+0,5; 1. Записать эти числа в порядке убывания.
3. Точка, изображающая число нуль, лежит на оси
левее точки, изображающей любое положительное чис¬
ло. Какой вывод из этого можно сделать? Продумать,
как сформулировать правило сравнения положительных
чисел с нулем.
4. Точка, изображающая любое отрицательное число,
лежит на оси левее точки, изображающей число нуль.
95

Подумать, как сформулировать праппло с раине»*,,
пниа тельных чисел с нулем.	о,
5. Подумать, как сформулировать правило Спа
имя отрицательных чисел с положительными.	Ч
6. Вместо звездочки поставить	знак «>» 1Ш
а) -6*+1;	г)	98 *-99;
б) +5000 * -5000;	д)	0,02 * -200-
о) 0 *380;	е)	—10 000 * 0.’
7.	Вместо звездочки поставить знак «;>» Илм
а) +10 *+35; 1+101*1+35 1;
б) 1201*1 1115}; 20* 1115;
в) j 10,3 j * I 4,05 I; 10,3*4,05;
^2т*'т 12т1+т1-
Справедлив ли вывод: из двух положительн
чисел больше то, у которого больше абсолютная ее
чина.	Ли'
8.	Сравнить следующие отрицательные числа, Сп
нить их абсолютные величины, поставив вместо звездо8
кп знак «>» или «<С»:	ч‘
а) —9 * —15; |-9/*|-15|;
б) 1-141*1-31; -14 * -3;
в) -10,5*-5,5; 1-10,51*1—5,51;
г) 1-21|* (-4,25); -2| * -4,25.
В следующем предложении вставить недостающее
слово: из двух отрицательных чисел больше то, у кото¬
рого абсолютная величина .... Пропущенное слово за¬
писать в тетрадь.
9.	Сравнить следующие пары чисел:
-96 и -1040;	-0,006 и -6000;
-4“-“
-0,029 и -0,29;	9 и -9934.
19. Расположить в порядке возрастания следуют1 I
числа:	ц
-75;	-93 у; +0,21;	-0,22;	-0,21;
-0,001; 0; -5320.	е
11.	Написать наибольшее целое число,
меньше:	7
300,8; -0,2; +0,2; +14 —.
96

I
I
j	Самостоятельная	работа	8-г
Сравнение рациональных чисел
На числовой оси (рис. 1) изображены неотрицатель¬
ные числа, т. е. положительные числа и нуль. Легко за¬
метить, что, чем больше неотрицательное число, тем
правее лежит изображающая его точка. Будем счи-
0	/	2	3	4	5	6	7	в	Рис.	1
тать, что эта закономерность имеет место для всех ра¬
циональных чисел.
Рациональное число х больше рационального числа с
(х>с), если точка, изображающая число х, расположе¬
на правее точки, изображающей число с (рис. 2).
С	О	Т
Рис. 2
Какое число больше: —3 или —7? Чтобы ответить на
этот вопрос, изобразим эти числа на числовой оси
(рис. 3). Точка, изображающая число —3, лежит правее
точки, изображающей число —7. Поэтому, — 3>— 7.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -I О	’
Рис. 3
Упражнения
1. Записать в порядке возрастания числа, изобра¬
женные на числовой оси (рис. 4).
-5,5	-2,5	[	-jo	+1	+7
Рис. 4
2. Изобразить на числовой оси числа:
+2; -2; -3 -Ь 5,5; -6; -1,5.
Записать эти числа в порядке убывания.
3. Точка, изображающая любое положительное чис¬
ло, лежит на оси правее точки, изображающей число
нуль. Какой вывод из этого можно сделать? Подумать,
как сформулировать правило сравнения положительных
чисел с нулем.
4 Зак. 1925	97
I

4. Точка, изображающая число нуль, ле>кцТ
прайсе точки, изображающей любое отрицательно9 V
ло. Подумать, как сформулировать правило Ср * у
отрицательных чисел с нулем.
5. Подумать, как сформулировать правило 51
пня положительных
(>.
чисел с отрицательными.
сРа
Вместо звездочки
а) +3 * — Ю;
б) -70 * +70;
в) 190*0;
7. Вместо звездочки
поставить знак «Д>;
г) —226 * 226
д) —700 * 0,07;
е) 0 *—1000.
поставить знак ««<»
а) |+13|*|+4|;	+13	* +4;
б) 1356 * 125;	| 1356 | * | 125 !•
в) | 3,72 | * | 0,372 |;	3,72 * 0,372;
7	I 7
г) 5*^; 15'- 1
или
ПЛИ
11
11
Справедлив ли в ы
меньше то, у kotoj.
8. Сравнить следующие отрицательные чпела**^
ь их абсолютные величины, поставить вместо оРЭЕ
од: из двух положительны*
сел меньше то, у которого меньше абсолютная ее/и
г, ^	'	аичц^
пить
дочки знак «>» пли «<»:
а) -16 *-23;	|-16|*|-23|;
б) I -6.5 | * | -8,5 |;	-6,5	* -8,5;
в) j —27 |*| —18 |;	—27*	—18;
г) -10
-2 +
10 +
2 —
звез.
В следующем предложении вставить недостающее
слово: из двух отрицательных чисел то меньше, у кото¬
рого абсолютная величина .... Пропущенное слово за¬
писать в тетрадь.
9. Сравнить следующие пары чисел:
-6800 и —42;	—0,007	и	—7000;
— 1,99 н 1-|-;	6	и	—0,25;
—34,5 и 3,05;	+7	и	—6990.
10. Расположить в порядке возрастания следуют»
числа:
-301,0;	-0,78;	+0,79;	-0,79;	+0,78;
-0,00048;	-4800;	+3	-|-.
11. Написать наибольшее целое число,
ше 70,8; 0,3; -1,4; +1,4.
которое меиь
98

Самостоятельная работа 8-д
Сравнение рациональных чисел
На числовой оси (рис. 1) изображены неотрицатель¬
ные числа, т. е. число нуль и положительные числа. Лег¬
ко заметить, что, чем больше неотрицательное число,
тем правее лежит изображающая его точка. Будем
0	/	2	3	4	5	6
Рис. 1
считать, что эта закономерность имеет место для всех
рациональных чисел.
Рациональное число а больше рационального числа у
(а>у). если точка, изображающая число а, расположе¬
на правее точки, изображающей число у (рис. 2).
У	а	О
Рис. 2
Какое из чисел больше: —6 пли —4? Чтобы ответить
на этот вопрос, изобразим эти числа на оси (рис. 3).
Точка, изображающая число —4, расположена правее
точки, изображающей число —6. Поэтому, —4>—6.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 О
Рис. 3
Упражнения
1. На числовой оси (рис. 4) изображены числа. За¬
писать их в порядке возрастания.
-7,51	|	|	-3,51	-/I	0	(	| +3f t +5 +6,5
Рис. 4
2. Изобразить на числовой оси числа:
-5; +4,5; 0,5; +6 у; -4,5; +1.
Записать их в порядке убывания.
3. Точка, изображающая число нуль, лежит на оси
левее точки, изображающей любое положительное чис¬
ло. Какой вывод из этого можно сделать? Подумать, как
сформулировать правило сравнения нуля с положитель¬
ными числами.
4*
99

4. Точка, изображающая число нуль, лежит ,1а
правее точки, изображающей любое отрицательно». °СЧ
ло. Полумать, как сформулировать правило сравп4llt*
нуля с отрицательными числами.
5. Подумать, как сформулировать правило CD
н/1я положительных чисел с отрицательными. Bt*e.
6. Вместо звездочки поставить знак «Г>» п„
а)	-II * +2;	г)	-63 *-04-
б)	-{-800 * —800;	д)	—0,003 * 3000-
в)	0 * 450;	е)	— 1 000 000 * 0.
7.	Вместо звездочки поставить знак «с» нп.
а) J4 * 45;	|	14|*|45 |;
б) | 3127 J	* J 1543|;	3127* 1543-
в) 100.1 *	10,01;	| 100,1 | * | 10,01	|;
г) 131т1*14-3|: 3ТТ*4,3.
Справедлив ли вывод: из двух положительных
сел больше то, у которого больше абсолютная вели
8.	Сравнить следующие отрицательные	числа ТНйш
нить	их	абсолютные	величины, поставить	вместо
мочки знак «>»» или «<»:
а) -20 *-17;	|	—20	1*1—171:
б) 1-5П-21;	-5	*-2;
в) —6,5 * —8,5;	|	—6,5 | * | -8,5 |;
г) (— Э|* j-10 — j; —3 * — J0-—.
В следующем предложении вставить недостающее1
слово: из двух отрицательных чисел больше то, у кото¬
рого абсолютная величина .... Пропущенное слово за¬
писать в тетрадь.
9.	Сравнить	следующие пары	чисел:
а)	—5303	и —33;	г)	—3300 и	-0,0033;
б> _2Л	„ —2,1;	*>	-™ИЮ	" +''
в)	-7,64	и -765;	е*	“ 25 “ ~°'8'
10.	Расположить в порядке возрастания следующие числа:
-34;	-1,7;	+1,8;	+1,7; -1,8;
-6500,0;	-1;	325.
11.	Написать наибольшее целое число, меньшее, чем.
а)	50,5 б) 0,02; в) -5,24; г) .+5,24.
100

Самостоятельная работа 9-а
Вычитание рациональных чисел
Вычитанием называется действие, обратное сло¬
жению. Это значит, что при вычитании находится неиз¬
вестное слагаемое, когда известна сумма и другое сла¬
гаемое.
Например, неизвестное число х в уравнении x-V-3=10
находится вычитанием: х=10—3; х = 7. Это же число
можно найти сложением: x=10-f(—3); х=7. Таким
образом, можно записать, что 10—3= Ю-f (—3).
Нам удалось вычитание заменить сложением: при
этом уменьшаемое остается без изменения, а вычитае¬
мое заменяется противоположным числом. Это справед¬
ливо для любых рациональных чисел.
Пример 1. (-22)-(+8) = (-22)+ (-8) =-30.
Пример 2. (—22) — (—8) = (—22) + (+8) = — 14.
Упражнения
1. Найти пример, в котором неверно выполнена за¬
мена вычитания сложением. Решить его верно, объяснив
ошибку:
а) (+4) — (+10) = (+4) + (—Ю);
б) (—2) — (+3) = (—2) + (+3);
в) (—21) — (+15) = (—21)+ (—15):
г) ( + 100) —(—50) = (+100) + (+50);
д) (—17) — (—6) = (—17) + (+6).
2. В следующих примерах, не выполняя действия,
заменить вычитание сложением:
а) (+24) — (+12);	в) (—0,9) — (—1,4);
б) ( + 12,5) — (—27);	г) (—16,01) — (+101).
101

3. Выполнить действия:
а) ( + 5)-(+Щ
б) (+5)-(-11)
в) (—5) — (—11)
Д) (+П)-(+5);
е) (-Н 1)-(-5);
ж) (— J I) — (+5);
г)	(-5) —(+11);	з)'(—1})'—(—5).
4.	Не производя вычитания, проверить, правильно
поставлен знак результата:
в)	(—3)	(+14)	=	17;	в) (4-3) —( — 14)=	. „
б)	(+3)	(+14)	=	I 1;	г) (_3)-(—
Объяснить ошибку в неверно решенном примепр
5.	Решить пример: (+4) — (—10).
Какие из приведенных ниже примеров имеют тот
ответ (объяснить почему):	^
Л (+4) + (+Ю); б) (	4) + (—10); в) (+10)-(-4))
6.	Решить уравнения:
a) x-j-13 -3- —14;	д)	(—н)+*=13
2’
2 ’
б)	(_,3т)+Х=,4; г) л-+14=13у
в)	(—13-у)+*=(—14); е) (—14) +jf=_i3-I_.
7.	Разобрать доказательство следующей теоремы:
Числа а и b рациональные. Доказать, что
а—Ь = а-\- (—Ь).
Теорема будет доказана, если установим, что сумма
вычитаемого (Ь) и разности а+(—6) равна уменьшае¬
мому a. Это действительно так:
[a+(-£)J=£+a+(-0 = [6+(-0]+fl=e-
так как
Ь+(-Ь)=0.
102

Самостоятельная работа 9-6
Вычитание рациональных чисел
Действие, обратное сложению, называется в ы ч и-
танием. Это значит, что при вычитании находится не¬
известное слагаемое, когда известна сумма и другое
слагаемое.
Например, неизвестное число у в уравнении 11 -\-у = 27
находится вычитанием: у = 27—11; у= 16. Это же число
найдем сложением:	у = 27+(—11); у =16. Поэтому
можно записать, что 27—11=27+ (—11).
Итак, нам удалось вычитание заменить сложением.
Эта замена заключается в следующем: уменьшаемое
остается без изменения, а вычитаемое заменяется про¬
тивоположным числом. Это справедливо для любых ра¬
циональных чисел.
Пример 1. (—17) —(+2) = (—17) + (—2).
Пример 2. (	17)	(	2)	=	(	17)	+ (+2).
Упражнения
1. Найти пример, в котором неверно выполнена за¬
мена вычитания сложением. Решить его верно, объяснив
ошибку:
а)	(+1) — (+23) = (+1) + (—23);
б) (+9)-(-30) = (+9)+ (+30);
в) (—4) — (+23) = (—4) + (—23);
г, (—4) —(—5) = (—4) + (—5);
д)	(—193) — (—251) = (—193) + (+251).
2. В следующих примерах, не выполняя действия,
заменить вычитание сложением:
а)	(—12) —(+7);	в)	(+12,5)-( + 17,5);
б) (+Зу)-(-1-1);	г) (—42,3) —(—13,5).
103

3, Выполни it. дсГк'тьии:
а) (4-5)-(-Н7);	д)	(4*5);
б)	(4-5) —(-17);	е)	(—17)—(-5);
в)	(—5) —(—17);	ж) (4-17) —(—5);
г) (—5) —(4-19).'	з) (4-17) — (4-5).
4.	Проверить, правильно ли поставлен знак резуЛь
тата, не производя вычитания:
а) (4-2)-(-10) = 4-12;	в) (-2) - (-10) =+8,
б)	(+2)-(+10)=-8;	г) (—2) —(4-Ю) = ф12
Объяснить ошибку в неверно решенном примере
5.	Решить пример: (—20) — (— 7).
Какие и j приведенных ниже примеров имеют тот же
ответ (объяснить почему):
а)	(+7)+ (~20); б) (-20)-(+7); в) (-20) + (+?)>
6.	Решить уравнения:
а)	(-8,5)+*=12 j-;	г)	*+ (-121 ) = -8,5:
б)	x+8,5 = -l2j-;	д)	^+(_12J-)=+8i5
в)	*+ ( 8,5) =	124-; е) л+12у=-8,5.
7.	Разобрать доказательство следующей теоремы:
Числа а и b рациональные. Доказать, что
a—b = a-\- (—b).
Теорема будет доказана, если установим, что сумма
вычитаемого (Ь) и разности a-f-(—£) равна уменьшае¬
мому (а). Это действительно так:
£+ [a+(—b)]=b+a+(—b) = [b+(—b)]+a=a,
так как
ь+{—ь) =0. '
J04
i

Самостоятельная работа 9-в
%
Вычитание рациональных чисел
Вычитанием называется действие, обратное сло¬
жению. Это значит, что при вычитании мы находим не¬
известное слагаемое, когда известна сумма и другое сла¬
гаемое.
Рассмотрим уравнение х-|-5=13. Неизвестное чис¬
ло х в этом уравнении находится вычитанием: х=13—5;
х=8. Это же число можно найти сложением: х=13+
ц_(_5); х = 8. Поэтому можно записать, что 13—5=
= 13-f- (	5).
Нам удалось вычитание заменить сложением. При
такой замене уменьшаемое остается без изменения,
а вычитаемое заменяется противоположным числом. Это
справедливо для любых рациональных чисел.
Пример 1. (+15)-(-4) = (+15) + (+4).
Пример 2. (—15) —(—4) = (—15) + (+4).
Упражнения
1. Найти пример, в котором неверно выполнена за¬
мена вычитания сложением. Решить его верно, объяснив
ошибки:
а) (+14) — ( + 27) = ( + 14) + (—2/);
б) ( + 17) — (+32) = (-J-17) + (—32);
в) (—21) — (—13) = (—21)+ ( + 13);
г) ( + 120) — ( — 37) = ( + 120) + (+37);
д) (+7)-(-3) = (+7) + (—3).
2. В следующих примерах, не выполняя действия, за¬
менить вычитание сложением:
а) ( — 13) —( + Ю);	в) (+4у3)-(-3^);
б) (—10,51) —(—12,32), r) (+7i23)_(+1|).
105

3.	Ныполинп. ДОНСТВИЯЗ
я) (И)-(+10)
«) (-'|)-(-10)
„) (—4) — (+19)
Г) (+'0- (-19)
Д) ( + 10) — (—4)-
р\ 1—191 —1-L +
е) (-19) — (+4у.
ж) (-19)-(-4 :
з) (+Ю)	(+4)	’
4.	Проверить, правильно ли поставлен зцак
тата, пс производя вычитания:	^ез!
а) ( —Г>) — (—13) =+8;	(+5) — (+13) =-_8.
б) ( 5) (+13)— 18; ( + 5) — (—13) = — jg
Объяснить ошибку в неверно решенном примере
5.	Решить пример: (—11) — (—6).
Какие из приведенных ниже примеров имеют т
ответ (объяснить почему):	0т
а)	(-11) +(+6); б) (-11)-(+6); в) (+6)-(+]
G. Решить уравнения:
а) х+10,5 = — 23;	г)	(—23)+*= 10,5;
б) ( — 10,5)+*=—23;	д) *+(-23) =-10,5;
в) *+( —10,5) =+23;	е) *+23= —10,5.
7. Разобрать доказательство следующей теорем
Числа т \\ k рациональные. Доказать, что
Теорема будет доказана, если установим, что сум
вычитаемого (k) и разности [m+(—k)] равна уме
шаемому (пг). Это действительно так:
k-\- [m+(—k)]	k)	=
так как
£+(—Л)=0.

Самостоятельная работа 9-г
Вычитание рациональных чисел
Действие, обратное сложению, называется вычи¬
танием. Это значит, что при вычитании мы находим
неизвестное слагаемое, когда известна сумма и другое
слагаемое.
Рассмотрим уравнение а+14 —29. Неизвестное чис¬
ло а в этом уравнении находится вычитанием: а~29—
 14; я= 15. Это же число можно найти сложением:
а__29Ч~(—14); а=\5. Таким образом, можно записать,
что 29— 14 = 29-f-( 14).
Обратите внимание на то, что нам удалось вычитание
заменить сложением. При такой замене уменьшаемое
остается без изменения, а вычитаемое заменяется про¬
тивоположным числом. Это справедливо для любых ра¬
циональных чисел.
Пример 1. ( —19) —(-f-13) = (—19) + (—13).
Пример 2. (—19) —(—13) = ( —19) + ( + 13).
Упражнения
1. Найти пример, в котором неверно выполнена за¬
мена вычитания сложением. Решить его верно, объяснив
ошибку:
а) ( + 11) — (+33) = (+1 0 + (—33);
б) (—13) — (	17)	=	(	13)+ (+17);
в) (+6)~(+10) = (+6) + ( + 10);
г) ( + 14)-(-8) = (+14)-г(+8);
д) (—31) — ( + 19) = (—31) + (—19).
2. Заменить вычитание сложением, не выполняя дей¬
ствия:
а) (+18) —(+3);	О (—4 “§")—(	!)•
б) (—13,5) (+15);	г) (+3,75) — (—121).
107

3.	Выполнить действия:
а) (+9)-(+13);	Д)	(—13) —(—9).
б) (—9) —(-1-13);	е)	(—13) —(+9)-’
в) (—9) —(—13);	ж)	(4-13) — (—9)-
г) (+9)+ ( — 13);	з)	( + |3)-(+9)';
4.	Не производя вычитания, проверить, прав,
поставлен знак результата:	Ь|1о	^
а) ( 7) — ( 15) = -+-8;	в) (+7)-(_,«
б) ( 7) (+15) = 22;	г) (+7) - (+15}^+^
Объяснить ошибку в неверно решенном при-
+8
5. Решить пример: (—6) — (—32).
Какие из приведенных ниже примеров имеют
ответ (объяснить почему):	т°т	>к0
а)	(+32)-(+6); б) (-6) + (+32); в) (-6) + (s}
6. Решить уравнения:
а) (-8т)+*=18Т;	Г) ^	^8,5) +л:=g-i-
б) x+8-j=-18-b	д)	(	18,5)	+лг=—g
в)	-<■+(—8-у) = —18е) 18,5+*=-;
2
7. Разобрать доказательство следующей теоремы'
Числа р и k рациональные. Доказать, что
p—k=p+(—k).
Теорема будет доказана, если установим, что сумма
вычитаемого (ft) и разности [p-\-(—k)] равна умень¬
шаемому (р). Это действительно так:
[Р~\~ (—— [^ + (	]~3гР==Р>
так как
k+(—k) =0.
108

Самостоятельная работа 9-д
Вычитание рациональных чисел
В ы ч и т а н и е м называется действие, обратное сло¬
жению. Это значит, что при вычитании мы находим не¬
известное слагаемое, когда известна сумма и другое сла¬
гаемое. Например, в уравнении 9+х = 21 неизвестное
число х находится вычитанием: х=2\— 9; х=12. Это же
число можно найти сложением: х=21 + ( —9); х=\2.
Поэтому можно записать, что 21—9 = 21 + (—9).
Обратите внимание на то, что мы вычитание заме¬
нили сложением. При этом уменьшаемое осталось без
изменения, а вычитаемое заменяется противоположным
числом. Это справедливо для любых рациональных
чисел.
Пример 1. (+43)-(-10) = (+43) + (+10).
Пример 2. (—43)-( —10) = (—43) + ( + 10).
Упражнения
1. Найти пример, в котором неверно выполнена за¬
мена вычитания сложением. Решить его верно, объяснив
ошибку:
а) (+3)-(+15) = (+3) + (-15);
б) (—7) — (—9) = (—7) + (+9);
в) (-12)-(+13) = (—12) + (—13);
г) (—)) — (+4) = (—1) + (+4);
д) (+11)-(-16) = (+11) + (+16).
2. Заменить вычитание сложением, не выполняя дей¬
ствия:
а) (—4) —(—6);	в)	(-32,5)-(+11,25);
б) ( + 13тМ+2т);	О (+4,101) — (—999).
109

3. Выполнить действия:
а) (+И)-(+18)
0) (-n)-(-iS)
в) (+И)-(-18)
г) ( I I)	(-{-18)
д)	(4-18) — (-— 1 |)
с) ( J 8)	(— | |)
ж) ( — 18) — (-f-i |)
з) (4-18) —(4-1 и
4. Не производя вычитания, проверить, править
гтавлеи знак результата:	110	Л|
поставлен знак резул
а)'(-1С)-(+20)
б) (-16) -(-20) =+4;
а)-(-10)-(+20) =-32; в) (+16) - (-20) _ ,,
г)	(+16)-(+20)442;
+4,
Объяснить ошибку в неверно решенном пр|шРп
5. Решить пример: ( — 17) — (4-12).	Ре-
Какие из приведенных ниже примеров имеют то
ответ (объяснить почему):	т
а)	(	17)	(	12);	б)	(—12) —(+17);
в) (+17) — (—12) ?
6.	Решить уравнения:
а)	.у4-11,5=16',	г)	а-/- 16 = 11,5;
б)	(—11,5) -j-x=	16;	д)	A*-f- (—16) = 11)5;
в)	(-11,5)+х=16;	е)	х+ (-16) = —Ц,5.
7. Разобрать доказательство следующей теоремы-
Числа cut рациональные. Доказать, что
c-t=c-J- (—().
Теорема будет доказана, если установить, что сумма
вычитаемого (t) и разности [£+(—0] Равна уменьшае¬
мому (с). Это действительно так:
/+ [£+ (—0 ]	(	0 = 1У+ ( 0 ] а .
так как
/+(-/)=о.

Самостоятельная работа 10-а
Деление рациональных чисел
Деление м называется действие, обратное умно¬
жению. Это значит, что при делении мы находим по из¬
вестному произведению двух чисел и одному из сомно¬
жителей другой неизвестный сомножитель.
Рассмотрим уравнения:
( + 5) х= +10;	(-f-5)a = —10;
( —5)г/ = —10;	(—5) 6 = -J— 10.
Путем подбора рациональных чисел найдем неизве¬
стное каждого уравнения. Получим: х=+2; у = -\-2;
£ = —2; а = — 2.
Подтвердим, например, что у = -(-2. Действительно,
(—5) • (+2) = Ю.
В каждом из рассматриваемых уравнении неизвест¬
ный сомножитель находится делением (столбец слева),
но результат деления мы уже нашли (правый столбец):
*=(+Ю)
у— (—10)
а= (-10)
Ь=(+ Ю)
Обратим внимание на правый столбец. Во всех при¬
мерах абсолютная величина частного равна абсолютной
величине делимого, деленной на абсолютную величину
делителя. Знак частного зависит только от знаков дели¬
мого и делителя.
Если делимое и делитель имеют одинаковые
знаки, то частное положительно, если различные
знаки, то частное отрицательноt
:(+5),
или
(+10)
(+5) =
= +2;
:(-5).
или
(-10)
(-5) =
= +2;
:(+5),
или
(-10)
(+5) =
-—О-
: (—5),
или
( + Ю)
(-5) =
= -2.
У пражнения
1.	Не производя деления, выписать примеры, в кото¬
рых частное отрицательно:
Ш

а) (-731): (+2-18):
«> h2i):(-42i):
в)	1,009: (—17,97);
r) (+2.00001): (+1,0002).
2.	He записывая примеров, вычислить абсолю
величину частного. Записать только ответы:	нУ!о
а) (-3,5): (+7);	в) (+25):(-1);
б) (-14): (-0,7);	г) (+3): (+100).
3.	Выполнить деление:
а) (-225): (-15);	г)	(-0,7): 10;
6} 85 + 1-у);	д)	(-1,5): ( + 1 -1),
в)	(+6): (-1000);	е)	-2,7589: (-1).
4.	Выполнить действие п проверить результаты-
а) -0,1:100;	г) 100: (-0,1);
б) (-1,6).5;	д)(_,+.(_4).
в) 0: (—6);	е) (-6,75)-0.
5.	Решить уравнения:
а) а;: (-5) =22;	г)	-175:*=-25;
б) 4*=—3,6;	д)	—2,5*=250;
в) -1357х=0;	е)	1000:*= —1.
6.	Вместо звездочки поставить один из знаков «=»,
«>», «<»:
а) (-0,75): (-0,1) * (-0,75) • (-0,1);
б) (-625) :0,5* (-0,1): (-1000);
в) (—1,2) :0.3 * 1200: (-600);
г) 0,3-(-20) * 1,5* (-4).
7. Вычислить значения алгебраического выражения
(—60:Ь) и заполнить таблицу:
1 6
|+20
1+6
+ г
-35
-15 | - 12
— 10
— 6
-5
(-60): Ь
|
112

Самостоятельная работа 10-6
1
Деление рациональных чисел
Действие, обратное умножению, называется деле¬
нием. Это значит, что делением находится неизвестный
сомножитель, когда известно произведение двух сомно¬
жителей и другой сомножитель.
Рассмотрим уравнения:
(+6)* = +24;	(+6)ш = -24;
(—6)*/ = —24; (-6)п = +24.
Путем подбора найдем неизвестное каждого уравне¬
ния. Получим: х= +4; ty = +4; т = —4; п = —4.
Подтвердим, например, что п = — 4. Действительно,
(-6)-(-4) =+24.
В каждом из рассмотренных уравнений неизвестный
сомножитель находится делением (столбец слева), но
результат деления мы уже нашли (правый столбец):
*=(+24): (+6), или (+24): (+6) =+4;
у={-24): (-6), или (-24): (-6) =+4;
т= (—24): (+6), или (—24): (+6) =— 4;
п= (+24) : (—6), или (+24): (-6) =-4.
Обратите внимание на правый столбец. Во всех при¬
мерах абсолютная величина частного равна абсолютной
величине делимого, деленной на абсолютную величину
делителя. Знак частного зависит только от знака дели¬
мого и делителя.
Если делимое и делитель имеют одинаковые
знаки, то частное п о л о otc и т е л ь н о, если различные
знаки, то частное отрицательно%
Упражнения
1* Не производя деления, выписать примеры, в кото¬
рых частное положительно:
а) (+140): (-139);
б) (-16,01): (-0,016);
из

e; (+3-f): (+!■&)'' г> <-9-03>:(+ит)-
2.	Вычислить абсолютную величину частною, 3au(,Caj
только о/исты:
а) (-0,5): (+1000);	в)	(+1): (- I -§~ );
б) (+S.1): (—9);	г)	(+13) : ( + 0,01).
3.	Выполнить деление:
;;шт'йЛ|	•» -»*•<-**
'	■' ' '	3 С д)	+3,4785: (-1);
в)	14,31: (-100);	о)	—5: (+0,001).
4.	Выполнить действие п проверить результат:
а) -0,25-(-1000);	г)	0: (—12,3);
б) -1,25:0,01;	д)	(-2 ± ) ■ (-Щ;
в) 0-(-12,3);	е)	—I: (—0,25).
5. Решить уравнения:
а) .v: (-4) =0,36;	г)	—1,2*=36;
б) (—20) :л-=—40;	д)	0,05:*= —1;
в) (—20) -Д'=—40;	е)	а:(—134) =0.
6. Вместо звездочки поставить один из знаков «=»
«>», «<»:
а) (-5,25): (-у) * (—5,25) - (—0,5);
,б) (—125):0,25 * (-0,01): (-2000);
в) 140: (-35) * (-2,8): 0,7;
г) (+1753)-(-342)	*	(-0,001)-(-0,01).
7.	Вычислить значения алгебраического выражения
о:(—25) п заполнить таблицу:

Самостоятельная работа Ю-в
»
1
Деление рациональных чисел
Действие, обратное умножению, называется деле¬
нием. Эт'о	значит, что при	делении мы находим	по	из¬
вестному	произведению двух	чисел и одному	из	сомно¬
жителей другой неизвестный сомножитель.
Рассмотрим уравнения:
(+4)л: = + 12;	(+4)а	= -12;
(—4)// = — 12;	(—4)6	= 4-12.
Путем подбора найдем неизвестное каждого урав¬
нения.
Получим: х=-\-3\ y = Jr3; ci = —3; Ь = —3. Подтвер¬
дим, например, что у — +3. Действительно, (—4) • (43) =
= — 12.
В каждом из рассмотренных уравнений неизвестный
сомножитель находится делением (столбец слева). Но
результат деления мы уже нашли (столбец справа):
* = (4-12): (4-4), пли (4-12): (4-4) = 43;
//=(-12): (-4), или (-12): (-4) =43;
а= (—12): (4-4), или (—12): (4-4) =—3;
6= (4-12): (-4), пли (4-12): (-4) =-3.
Обратим внимание на правый столбец. Во всех при¬
мерах абсолютная величина частного равна абсолютной
величине делимого, деленной на абсолютную величину
делителя. Знак частного зависит только от знака дели¬
мого и делителя.
Если делимое и делитель имеют одинаковые
знаки, то частное положительно, если различные
знаки, то частное отрицательно.
Упражнения
1. Не производя деления, выписать примеры, в кото¬
рых частное отрицательно:
а)	(-175): (-107);	в) (+300,8): (+4,09);
б> (~2 ~т)' (+'° ^5) ’	о (5.43): (-2-!).
115

2.	Вычислить абсолютную величину частного,
t an юлько ответы;	И
а)	(+5,5):(-1,1);	в) (-1):( + 8);
О (-•»«): (-1.2);	г) U: (-13-Г).
3.	Выполнить деление:
а)	(-7,2): (+0,02);
в)	26,7: (-1000);
С) (+3): (—125),
4.	Выполнить действие н проверить результат-
г)	0: (— 150);
Д) (-1.7). (-12);
а) -100: (-0,25);
б) +з± :(-,±);
в) 0-(-150);
5. Решить уравнения:
а) х: (• 8) =	0,3;
б) -2х=-1,8;
в) —975х=0;
е) (—18000): 900.
г) (+125):*=-5;
д) 125.г = —5;
е) (—200) =£7=1.
6.	Вместо звездочки поставить один из знаков «=»
«>», «<Г»:
а) -18:0,9 * 64: (-3,2);
б) -500: (-2) * (-500) *(+2);
в) (-180): (-1000) * 0,2-1000;
г) -0,143: (+4) * 0,143: (-4).
7. Вычислить значение алгебраического выражения
(—с): 10, заполнить таблицу:
1 с — 400j — 30 j — 10 — 1
С4
О
70
130
500
(-с) : 10 j
1 1
1 1
116

Самостоятельная работа 10-г
Деление рациональных чисел
Делением называется действие, обратное умно¬
жению. Это значит, что при делении мы находим один
(неизвестный) сомножитель, когда известны произведе¬
ние двух сомножителей и другой сомножитель.
Рассмотрим уравнения:
( + 7)х = + 14;	(+7)а	=	-14;
(—7)у = -14;	(-7)й	=	+ 14.
Путем подбора рациональных чисел найдем неизве¬
стное каждого уравнения. Получим-. х=+2; (/ = +2;
а = -2; 6 = -2.
Подтвердим, например, что а = —2. Действительно,
(+7) - (—2) = — 14.
В каждом из рассмотренных уравнении неизвестный
сомножитель находится делением (столбец слева), но
результат деления мы уже нашли (столбец справа):
*=( + 14): ( + 7), или (+14): (+7) =+2;
(/=(-14): (—7), или (—14): (-7) = +2;
а= ( —14): (+7), или (—14): (+7) =—2;
Ь= (+14): (—7), или (+14): (-7) = -2.
Обратим внимание на правый столбец. Во всех при¬
мерах абсолютная величина частного равна абсолютной
величине делимого, деленной на абсолютную величину
делителя. Знак частного зависит только от знака дели¬
мого и делителя.
Если делимое и делитель имеют одинаковые
знаки, то частное положительно, если различные
знаки, то частное отрицательно.
Упражнения
1.	Не производя деления, выписать примеры, в кото¬
рых частное положительно:
117

«> Зуу-	»)	( U.U78): (	,00,3);
б)	(—127): 15;	')	(+2,04): ( + |-£ j
2.	limb и абсолютную величину частного, залила
только ответы:
а) (-6,6) :(-0,3);	в) (+)):(-—);
б) (+1,2): (—2,4):	г) 10: (+2000).
3.	Выполнить деление:
а) (+lS00):(—200);	г)	10: (—0,01)-
б) (-1,275): (-1,275);	д) (+0,48): (_’6).
в) (-1): (+‘~f):	е)	(-47,08):(-!)_
4.	Выполнить действие и проверить результат-
а) (-0,35): (-0,01);	г)О.(-З-Г);
б) 4,25-(-1000);	д)(_14):Д_.
b)0:(-3-j);	е) (-0,35) • (-2 Л).
5. Решить уравнения:
Д': (—14) =—3;	(—27)	:лг=—3;
5.г=—0,025;	—27л:=3;
27 :х=—3;	—4000:*=1.
6.	Вместо звездочки поставить один из знаков «=»
«>>», «О:	1
а) (_,т);(_2’5)	*	( 2,5) • (—1,5);’
б) (-3500): (+7000) * (—0,25): (—0,5);
в) (-3,6): (-1,8) * (+120): (+60);
г) (—5000) :2 * (—1): (—5000).
7. Вычислить значение алгебраического выражения
\:(—т) и заполнить таблицу:
1 m — lOOl — 200| — 10-1
-0,1
0,01
25
50
100
500
1
1
118

Самостоятельная работа Ю-д
Деление рациональных чисел
Делением называется действие, обратное умно¬
жению. Это значит, что при делении находится неизве¬
стный сомножитель, если известно произведение двух
сомножителей и другой сомножитель.
Рассмотрим уравнения:
( + 2)* = + 18;	(+2)/г	=—18;
(—2)|/ = —18;	(-2)с	= + 18.
Путем подбора рациональных чисел найдем неизве¬
стное каждого уравнения. Получим: х = 9; у=9; k = — 9;
с = —9. Подтвердим, например, что с = — 9. Действи¬
тельно, (-2). (-9) = + 18.
В каждом из рассмотренных уравнений неизвестный
сомножитель находится делением (столбец слева), но
оезультат деления мы уже нашли (столбец справа);
х= ( + 18) : (+2) , или (+18); (+2) = +9;
У= (—18): (—2), или (—18): (—2) =+9;
k= ( —18): (+2), пли (—18): (+2)=—9;
с— ( + 18): (—2), или (+18): (—2) =— 9.
Обратим внимание на правый столбец. Во всех при¬
мерах абсолютная величина частного равна абсолютной
величине делимого, деленной на абсолютную величину
делителя. Знак частного зависит только от знака дели¬
мого и делителя.
Если делимое и делитель имеют одинаковые
знаки, то частное положительно, если различные
знаки, то частное отрицательно.
Упражнения
1.	Не производя деления, выписать примеры, в кото¬
рых частное отрицательно;
а) (+34): (-173);	в)	(-3,43): (-3,41);
б) (-4-1);( + -|-);	г) (+1,003): (+2,004).
119

2.	Найти абсолютную величину 4 •'	’	зап,1саь
только ответы:
а)	(-17): (-0,001);
г)	0: (-0,2475).
в) (—4,01) : (+0,01);
6)	(+12,5): (—12“);
3.	Выполнить деление:
а) (-2): (-200);
б) 8: (-0,25);
в) (+0,001): (-0,01);
4.	Выполнить действие и проверить результат:
а) 2,4: (-4,8);
б) (-0,02)-(-0,003);
в) 0: (-0,475);
5.	Решить уравнения:
г) 0-(-0,475);
Л) (-12,5)-(-|);
е) (-8,4): (-2).
дг:(-Л) = 11;
-0,02х=200;
0,001 :х=-1;
—375*=0;
с: (-4,5) =2-1;
(—750)ж=— 0,5.
6.	Вместо звезд очки поставить один из знаков «=»,
«О или «>»:
(-0,01): (-0,25) * (-0,25)-(-0,01);
(-4): (-500) * (-500): 4;
(-4): (-500) * (+4): (+500);
16: (-0,4) * (-200)-5.
7.	Вычислить значение алгебраического выражения
(—2х:3) и заполнить таблицу:
X
1- 12
1 -9
1 -з
- 1 0
(/
9
1 12
30 | 90
Г*”
|
120

Самостоятельная работа ' И-а
Возведение в степень
В произведении 2-2-2-2*2-2 все сомножители равны
между собой. Такое произведение записывают короче 2°.
Число 2 есть один из равных сомножителей; его назы¬
вают основанием стелен и. Число 6, показываю¬
щее, сколько равных сомножителей содержит произведе¬
ние' называют показателем степени. Резуль¬
тат’—число 26:—называется шестой степенью
числа 2. Оно читается «два в шестой степени».
Таким образом, 26=2-2-2-2-2-2 = 64.
Действие нахождения степени числа называют воз¬
ведением в степень.
Упражнения
1. Выписать в одной строке показатели степени, а в
другой—основания следующих степеней:
З5; 74; (y)6; (—4)10; 0,12; х15; 12\
2. Прочитать следующие степени:
2=>; З2; 1,12; (-7)’; (у)\ а2»»; 20СГ
3. Записать цифрами следующие степени:
а) пять во второй степени, т. е. пять в квадрате;
б) минус два в третьей степени (минус два в кубе);
в) 6,3 в одиннадцатой степени;
г) минус три целых четыре десятых в двенадцатой
степени;
д) игрек в четвертой степени;
е) два в степени эн;
ж) эн в степени два;
з) а в степени т.
121

4. Упростить запись, используя показатель стоц01
л) З-З-З-З-З-З;	')	о,2-0,2-0,2-0,2-0,2;
о) (-5) •(-»)• (-5)-(-5); Д{	,
j i |	е)	2-2-2-2-6-6-Л-ь.
и' У' У ’ Т:
Возвести в степень:
а) 25;
б) 0,1-;
в) (-])»;
г) (-I)9;
ж) b-a-a-b-а-а-Ь,
з) Ъ-гп-п-п-п-Ь-п,
д)	(-2)5;
О (-2)‘;
-) (т)’=
з)	О25,
6. Вычислить значения алгебраического выра>к
о-; заполнив таблицу:	11
Пя;
a
-3
1
3
0
0.2
1
1.5
17
loo
|
Разложим число 72 на простые множители-
72=2-2-2-3-3. Результат можно записать в виде произ!
ведения степенен чисел 2 и 3, а именно: 72 = 23-32.
7. Разложить на множители и записать в виде про¬
изведения степеней следующие числа:
а)	96; б) 36; в) 1600; г) 12 600.
8. Записать следующие числа с помощью степени
числа 10:
а) 1000;	в) 1000 000;
б) 100 000 000;	г) 10 000 000 000 000.
9. Сравнить степени, поставив вместо звездочки один
из знаков «=», «>» или «<»:
д) (—2)4*24
е) (—2)3 * 23
ж) (—4)2 * 23
з) (-5)3* (—5)2
/
а)
23
* 22,
б)
0,23:
* 0,22;
в)
273 :
* 2711;
г)
0,14’
* 0,16;
122

Самостоятельная работа Н-б
%
Возведение в степень
Обратите внимание на то, что в произведении 5-5-G-5
умножители равны между собой. Такое произведе¬
те записывают короче 54. Число 5 есть один из равных
Умножителей; его называют основанием степе-
° „ Число 4, показывающее, сколько равных сомножи-
Jgq’eii содержит произведение, называют показате¬
лем степени. Результат — число 54 — называют
четвертой степенью числа 5. Оно читается:
«пять в четвертой степени».
Таким образом, 54 = 5 - 5 - 5 - 5 = 625.
Действие нахождения степени числа называют воз¬
ведением в степень.
Упражнения
1. Выписать в одной строке показатели степени, а в
другой — основания следующих степеней:
!'3; 153; (т!)4;	°-12	55;	fc8;	10-
2. Прочитать следующие степени:
992; 2", ЗЗ3; (-6)6;	(18,3)“;	е27;	200.
3. Записать цифрами следующие степени:
а) пятнадцать во второй степени (пятнадцать в квад¬
рате);
б) минув девять в третьей степени (минус девять в
кубе);
в) 1,03 в двадцать пятой степени;
г) минус две тринадцатых в четвертой степени;
Д) десять в степени q\
е) q в степени десять;
ж) е в степени k.
123

4 Упростить лопксь, используя показатель ст
а) 10-10- 10 • 10-10-10* 10- Ю;	°Ч
б) (-G).(-(i) ■(-«):
Jill J_#
3 ’
в)
3 3	3	3	3
г) 0,3 -0,3 -0,3 -0.3;
д) d'd-li-d-d-d\
е) Ы-4-4-4-4-5-5-5;
ж) d'C’3d'C-d\
з) б а-д-д-б б-л-.с.
5.	Возвести в степень:
а) З4;
б) 0,3*;
3
д) (-3)’;
е) (-3)*;
d) (— 1)
Г) (—1)“:
) (!)‘
О33.
6.	Заполнить таблицу, вычислив числовые значен
алгебраического выражения:
п
1 -6
1
7
0
0,01
1
3,2
и
п*
100
Разложим число 144 на простые множители: 144=J
«=2-2-2-2-3-3. Результат можно записать в виде произ-1
ведения степеней чисел 2 и 3, а именно: 144 = 24- З2.
7. Разложить на множители и записать в виде произ
ведения степеней следующие числа:
а) 405; б) 49; в) 5000; г) 12 000/
8. Следующие числа записать с помощью степени
числа 10:
а) 100 000;	в)	10	000 000 000;
б) 10 000 000;	г) 100 000 000 000 000.
9. Сравнить степени, поставив вместо звездочки один
из знаков «=», «>» или «<>:	'
а) 52 * 53;
б) 0,52 * 0,53;
в) 1213 * 123;
г) 0,15 *0,12;
Д) (-5)3*53;
е) (-5)4*54;
ж) (—2)4 * З2;
з) (-2)3* (-2)2.
124

Самостоятельная работа П-в
Возведение в степень
g произведении З-З-З-З-З-З-З-З все сомножители
равны между собой. Такое произведение записывают
короче З8. Число 3 есть один из равных сомножителей;
ег0 называют основанием степени. Число 8,
показывающее, сколько равных сомножителей содержит
произведение, называют показателем степени,
результат — число З8 — называют восьмой сте¬
пенью числа трех. Оно читается так: «три в вось¬
мой степени».
Таким образом, 38 = 3-3 - 3-3 - 3-3-3-3 = 656i.
Действие нахождения степени называют возведе¬
нием в степень.
Упражнения
1. У следующих степеней выписать в одной строке
показатели степени, а в другой основания:
73; 4'; (it )5;	°>012;	ьт' 22"-
2. Прочитать следующие степени:
102; 2“>;	113;	(—6)6; (—	Ю00;	121р.
3. Записать цифрами следующие степени:
а) четыре во второй степени (четыре в квадрате);
б) минус единица в третьей степени (минус единица
в кубе);
в) 7,4 в тринадцатой степени;
г) минус пять целых семь десятых в шестьдесят тре¬
тьей степени;
д) икс в десятой степени;
е) четыре в степени эль;
ж) с в степени k.
4- Используя показатель степени, упростить запись:
а) 8-8-8-8'8-8-8-8'8*8*8;
б) (~7). (-7) -(-7) -(-7) -(-7);
125

г)	0,001 -0,001-0,001;
Д) У'У'У'У-У-У'У'У''
с) 9-9-9-9-Э- Ю-10;
ж) а-х-х-а-а-а-х\
з) 2-с-с-с-с-2.
5.	Возвести в степень:
а) 27;
б) 0,23;
в) (-О5;
г) (-1)6;
д) (~2)7;
е) (-2)»;
Ш’.
з) О100.
6.	Вычислить числовое значение алгебраического вы¬
ражения т2, заполнить таблицу:
— 4
0,1
2,5
10
21
Разложим число 200 на простые множители: 200=
= 2• 2 • 2■ 5*5. Результат можно записать в виде произве¬
дения степенен чисел 2 и 5, а именно: 200 = 23-52.
7. Разложить на множители и записать в виде про
изведения степеней следующие числа:
а) 224; б) 81; в) 4000; г) 12 800.
8. Следующие числа записать с помощью степе1
числа 10:
а) 100;	в)	1 000 000 000;
б) 100 000 000;	г)	10 000 000 000 000.
9. Поставив вместо звездочки один из знаков «=
«>» или «<», сравнить степени:
а) З3 * З2;	д)	(—3)4*34;
б) 0,33 * 0,32;	е)	(—3)5*35.
в) 154*1510;	ж)	(—4)2 * З4;
г) 0,012 * 0,014; з) (-4)2* (-4)3.
126

Самостоятельная работа 11-г
Возведение в степень
Обратите внимание на то, что в произведении
7.7.7*7-7 все сомножители равны между собой. Такое
произведение записывают короче: 75. Число 7 есть один
из равных со м н о ж и т е л е й; его называют осно¬
ванием степей н. Число 5, показывающее, сколько
равных сомножителей содержит произведение, называют
показателем степени. Результат — число 7s —
называют пятой степенью числа семь. Оно
читается: «семь в пятой степени».
Таким образом, 75= 7• 7■ 7*7*7= 1G 807.
Действие нахождения степени числа называют воз¬
ведением в степень.
Упражнения
1. Выписать в одной строке показатели степени, а в
другой — основания следующих степеней:
8‘;	57;	(-|)6;	(-11>;	0,007*; у*»; 13.
2. Прочитать следующие степени:
1 ООО3; 27; 72; 3,410; (-3)3; k\ 4.
3. Записать цифрами следующие степени:
а) шесть во второй степени (шесть в квадрате);
б) минус пять в третьей степени (мину'с пять в
кубе);
в) 0,3 в семнадцатой степени;
г) минус восемь целых шесть десятых в тридцать пер¬
вой степени;
д) зет в девятнадцатой степени;
е) девятнадцать в степени зет;
ж) t в степени s.

4.	/Клан.;ун пока к» голь степени, упростить
(1) №00 IООО- W00■ WOO- IООО - IООО;
б I 2.5-2.5-2.5-2.5;
ИС.
Л-4М-'тМ-'тК-'тН-4).
г) (-2.00J) ■ (-2,003) ■ (-2,003);
д) i i-z-i-i- z-z-z-z - z - z;
eJ О-О-б-o-S -lS-8-S;
^) и- t:i -d-и- rn • d - {n - d ■ d;
s) \-t-p-p-3-p.
5. Возвести в степень:
л) 2-\	д)	(-2)*;
б)	0.5*;	с)	(-2)';
а)	(-1Г-.	ж)	(f))
г)	(-!)>:	з)	ОТ
6.	Вычислить значение алгебраического выраж-
k1 заполнить таблиц у:
еНЦЯ
0,3
1,6
18
Разложим число 1125 на простые множители:
П?5 = 3‘3’5’5-5. Результат можно записать в виде
шоояззеления степеней чисел 3 и 5, а именно: 1 125=32.53 1
7.	Разложить на множители и записать в виде про- j
вдс-деняя степенен следующие числа:	'
а)	184; б) 64; в) 2ООО; г) 11 ООО.	|
5.	Следующие числа записать с помощью степени
10:
а) 100000;	в) 100 000 000;
б) 10000 000;	г) 1000 000 000 000.
9.	Сравнить степени, поставив вместо звездочки од»н
S3 знзюз < = », «>» пли «О-*
а) б2 ‘6s;	д) (-6)3* (-6)2;
б) 0,6s ‘ 0,62;	е) (—6)4 * 64;
ж) (-3)2* (—З)2;
з) (-30)2 * (-20)3.
в) 93 * 920;
г) О,!7 * О,!4;
£
• I
Л.

Самостоятельная работа 11-д
Возведение в степень
g произведении 4-4-4-4-4-4-4 все сомножители рав-
,ы между собой. Такое произведение записывают коро¬
ле- 47. Число 4 есть одни из равных сомножителей; его
называют основанием степени. Число 7, пока¬
зывающее, сколько равных сомножителей содержит про¬
изведение, называют показателем степени,
результат — число 47 — называют седьмой с т е-
пеНью числа 4. Оно читается: «четыре в седьмой
степени».
Таким образом, 47 = 4-4-4-4-4-4*4 = 16 384.
Действие нахождения степени числа называют возве¬
дением в степень.
Упражнения
1. Выписать в одной строке показатели степени, а в
другой — основания у следующих степеней:
6“; 32;	(-17)6;	0,013*; а15;	11.
2. Прочитать следующие степени:
II2; 2“;	2,И; (-5)5;	(--|с»;	100.
3. Записать цифрами следующие степени:
а) четырнадцать во второй степени, или, то же самое,
четырнадцать в квадрате;
б) минус двенадцать в третьей степени, пли, то же
самое, минус двенадцать в кубе;
в) 0,03 в двадцать шестой степени;
г) минус три четвертых в 12-й степени;
д) t в третьей степени;
е) три в степени t\
>к) d в степени к.
</г5 Зак. 1925	129

•I. Упростить запись, используя показатель с
а)	12-12-12-12-12;
1,1,1 1 ');
ГЧ-
в\ о — •'> — -2 —
В) 3 “ 3	3
г) 2,7-2,7 -2,7-2,/;
д) л - .V • .v • л’ • л* • а' • V • л* • .V • .V • .V • .V;
о) 7-7-2.2-2-2;
ж) a-a-c-C'Ci'C'Ci-c-c • с\
з) 8 • с/ • / • 8 • 8 • / • / • /.
5. Возвести в степень:
а) 5*;
б) 0,35;
В) (-!)’•;
г)	(-1)3;
6. Вычислить значение алгебраического
с-, заполнив таблицу;
Д) (-5)'*;
е) (-5)»;
-> (!)'
з) 0Ь3.
выРа
с
-7
1
11
0
0,4
1
1,2
14
25
с3
Разложп.м число 3969 на простые множители: 3969=
==3-3-3-3-7-7. Результат можно записать в виде произ¬
ведения чисел, а именно:
3969 = 34-72.
7. Разложить на множители н записать в виде про¬
изведения степенен следующие числа:
а)	192; б) 25; в) 8000; г) 8400.
8. Следующие числа записать с помощью степей
числа 10:
а) 10 000;	в) 10 000 000 000;
б) 1 000 000;	г) 100 000 000 000 000.
9. Поставив вместо звездочки один из знаков «=*
«>» или «<», сравнить степени:
а)	43	* 42;	д)	(-4)3*43;
б)	ОД3	*0,43;	е)	(—4)4*44;
в)	202	* 2020;	ж)	(-10)2* (—10)3;
г)	0,ОН -* 0,013;	з)	(—10)3* 103.
130

Самостоятельная работа 12-а
Уравнения
уравнением называется равенство, которое со-
1еоЖцт неизвестное число (или несколько чисел), обо-
значенное буквой (или буквами).
Например, следующие равенства являются уравне-
пнями. х+7=11.	0	5==7с;' —0,2я+13= 15а.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, назы¬
вается левой частью уравнения, справа —
правой частью уравнения. Числовое значение
буквы, при котором в левой н правой частях уравнения
получаются равные числа, называется корнем или
решением уравнения.
Например, *=14 является корнем уравнения 2я—
__13=*+1, так как при *=14 в левой части будет чис¬
ло 15 и в правой части будет то же число 15. Действи¬
тельно: 2-14—13=15 и 14+1 = 15.
При решении уравнений можно пользоваться под¬
бором корней или зависимостью между компонентами
арифметических действий.
Пример 1. Решим уравнение *+7 = 2, используя
зависимость между компонентами действия сложения.
Неизвестное слагаемое (*) равно сумме (2) без извест¬
ного слагаемого (7), т. е. х=2—7; *=—5 — корень
уравнения *+7 = 2.
Проверим это: —5+7 = 2.
Пример 2. Решим уравнение — Зх—7=12. Нам
неизвестно уменьшаемое (—Зх). Неизвестное уменьшае¬
мое (—Зх) равно разности (12) плюс вычитаемое (7).
Поэтому —3*=12+7, пли —-3*=19. В этом уравнении
нам неизвестен сомножитель (*), который равен произ¬
ведению (19), деленному на известный сомножитель
т. е. *=19; (—3); x——.qA корень уравнения.

Проверим .-тк — 3-	6 — j—7= 12.
Упражнения
1. Написать, как начинается неизвестный комП0|)
в следующих уравнениях:	11
а) tf-f-I0,2 = 4;	г) 11,2 = 6,G-f- (—b);
б) —5л = 24,8;	д) ~	3.
/
и)	£—3,3 = —2;	е)	12:с=-4.
2.	При решении следующих уравнений нам при\0дИт
ся дважды использовать зависимость между компонею I
тами. Записать названия неизвестных компонентов Й*1
каждом случае:	1
а)	7—2х= —4;	б)	— -7 = -4.
х !
3.	Вычисляя значения левой и правой частей урав-1
нения, проверить, будет ли число —3 корнем следующих 1
уравнений:	!
а)	—3.v-f 1 = 6,5+2.v; б) —-v —f— 4 = —5-v—8.	I
4.	Решить следующие уравнения:
а) —5-f-„v=2;	г)	— 5—х=2;
б) -5+у=-2;	д)	—5—л = —2;	.
в) 5+с=2;	е)	0 = -5-*.
5.	Решить уравнения и сделать проверку:
а) 7х+15=1	в)	7л:+14 = 0;
б) — 1 = —15+7£;	г)	7,v—15 = —15.
3
6.	Решить уравнение —+]= — 2. Является ли ре¬
шение этого уравнения также и решением следующих
уравнений:
а) 3+х=2х-f-4;	в) 0=3*+3;
б) -^-+1=2;	г) 4х+4 = 0?
7.	Решить уравнение —3* (—1+0,5*) =0.
J32

Самостоятельная работа 12-6
Уравнения
Уравнением называется равенство, которое со-
держит неизвестное число (или несколько чисел), обо¬
значенное буквой (или буквами).
Например, следующие равенства являются уравне¬
ниями:
у—13 = 27;	-у- =а: 12;	—0,4m+8 =-1,2т.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, назы¬
вается левой частью уравнения, справа — пра¬
вой частью уравнения. Числовое значение бук¬
вы, при котором в левой и правой частях уравнения по¬
лучаются равные числа, называется корнем или ре¬
шением уравнения.
Например, х=\2 является корнем уравнения
Зх—15 = 45—2а:, так как в левой части будет число
3.12—15 = 21 и в правой части будет то же число
45-2-12 = 21.
При решении уравнений можно пользоваться подбо¬
ром корней или зависимостью между компонентами
арифметических действий.
Пример 1. Решим уравнение л*:11=—5, исполь¬
зуя зависимость между компонентами действия деления.
Неизвестное делимое (я) равно делителю (11), умно¬
женному на частное (—5), т. е. х = 11 • (—5); х=— 55 —
корень уравнения х: 11 = —5.
Проверим это: (—55): 11 = —5.
Пример 2. Решим уравнение 4+-^= —1. Нам
не известно слагаемое —. Неизвестное слагаемое
равно сумме (—1) без известного слагаемого (4), т. е.
10
л;
~1—4, или — =—5. В этом уравнении не нзве-
133

Упражнения
1.	Написать, как называется неизвестный комп
следующих уравнениях:	0,5eip
а) 20 +с = 5;	г)	20,4 = —а—17;
б) (—6) ://= 13,5;	д)	—1,4 =/г—8,3-
в) — 2р—170;	е)	т:18 = —7,4. ’
2.	При решении следующих уравнений нам
дится дважды использовать зависимость между к
нентамн. Написать названия неизвестных компонрМП°‘
в каждом случае:	Нт°и
a)	7-2.v=4;	б)	7+ -у =4.
3. Вычисляя значения левой и правой частей уравн
ния, проверить, будет ли число —0,5 корнем следующ^
уравнений:
а)	2*— 1=3х—0,5;	б)	— Зх+4 = \0х—22.
4. Решить следующие уравнения:
а) 8-}-х=3;	г)	3-|-г/ = 0;
б) —3 = а+8;	д)	—3—т = —8;
в) -8-6 = 3;	е)	—8 — 6-3.
5.	Решить уравнения и сделать проверку:
а) бх— J J = — 1;	в)	66—11=0;
б) 11 —6a—11;	г)	—б0-1=-П.
6.	Решить уравнение 1—-^-= —’3. Является ли ре¬
шение этого уравнения также и решением следуют11-
уравнений:
а) *-4=-3*;	в) -*-4=3*;
б) -х+4=3х;	г) -f-yf0'
7.	Решить уравнение—5(0,2у 1)

Самостоятельная работа 12-в
Уравнения
Уравнением называется равенство, которое со¬
держит неизвестное число (или несколько чисел), обо¬
значенное буквой (или буквами).
Например, следующие равенства являются уравне¬
ниями:
15—jc=2;	 g-fe+8=-~0,lfe.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, на¬
зывается левой частью уравнения, справа —
правой частью уравнения. Числовое значение
буквы, при котором в левой и правой частях уравнения
получаются равные числа, называется корнем, или
решением уравнения.
Например, х = 7 является корнем уравнения {-\Ь=
21 „ * Х
=20	,	так	как	в левой части уравнения будет число
14
i— -f-l5=17, в правой части будет то же число
20--у =17.
При решении уравнений можно пользоваться подбо¬
ром корней пли зависимостью между компонентами
арифметических действ11й.
Пример 1. Решим уравнение 4х=—36, исполь¬
зуя зависимость между компонентами действия умноже¬
ния. Неизвестный сомножитель (х) равен произведению
(—36), деленному на известный сомножитель (4), т. е.
*=(—36):4; х = — 9 — корень уравнения; 4х = —36.
Проверти это: 4(—9) =—36.
Пример 2. Решим уравнение 5—~ =5,1. Нам
п

т. е. =5—5,!, или 4- =-0,1. В этом уравнении цам
6	Ь
не известно делимое (л-). Оно равно произведению част-
ного (—0,1) на делитель (6), т. е. х— (—0,1).q.
х = — 0,6 — корень уравнения.
Проверим это: 5  —jr—^- =5,1.
Упражнения
I.	Написать, как называется неизвестный компонент
в следующих уравнениях:
а) (—42,8) :а— 15;	г) у:22—=-1,7;
б) Ю0 = -м+0,01; д) —21а'=— 4,7;
в) д-+13 = —4,3;	е) — v—53=10,1.
2.	При решении следующих уравнений нам прихо¬
дится дважды использовать зависимость между компо¬
нентами. Записать названия неизвестных компонентов
в каждом случае:
а) —+2=15;	6) -^--2=15.
X	J
3. Вычисляя значения левой н правой частей уравне¬
ния, проверить, будет ли число —1 корнем следующих
уравнении:
а)	-2х+7=10х-25;	б) 1 l.v+21 =—6дг+4.
4. Решить следующие уравнения:
а) 16+у=11;	г)	-11-а=16;
б)' -16+.г=0;	д)	11—р = —16;
в) ] 1 = —16—гг;	е)	—16= — 11+/г.
5. Решить уравнения и сделать проверку:
а) \4-\7у=-3;	в)	-14 = 3-17*/;
б) —14—17*/=0;	г)	—3—17*/ = —3.
6. Решить уравнение -у— 5 =—7. Является ли ре-
шение этого уравнения также и решением следующих
уравнении:
а) 10-5*=—7*;	в) 10+2х=0;
б) 10+5*=7*;	г) 20+4*=0?
7.	Решить уравнение —^ * =].
136

Самостоятельная работа 12-г
Уравнения
' * Уравнением называется равенство, которое со¬
держит неизвестное число (или несколько чисел), обо¬
значенное буквой (или буквами).
Например, следующие равенства являются уравне¬
ниями:
—13+//= 14; 13 = 15: Л; 2,3—11 = —т.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, на¬
зывается левой частью уравнения, справа —
правой частью уравнения. Числовое значение
буквы, при котором в левой и правой частях уравнения
получаются равные числа, называется корнем или
решением у р а в и е н и я.
*
Например, л:= 10 является корнем уравнения ——2 =
= 10—*, так как в левой части уравнения будет число
-——2 = 0 и в правой будет то же число 10—10 = 0.
5
При решении уравнений можно пользоваться подбо¬
ром корней или зависимостью между компонентами
арифметических действий.
Пример 1. Решим уравнение 27:* = —3, исполь¬
зуя зависимость между компонентами действия деления.
Неизвестный делитель (*) равен делимому (27), делен¬
ному на частное (—3), т. е. *=27: (—3); *=—9 — ко¬
рень уравнения 27:*=—3.
Проверим это: 27: (—9) = —3.
Пример 2. Решим уравнение б*—17 = —24. Нам
не известно уменьшаемое (6*). Неизвестное уменьшае¬
мое (6*) равно разности (—24), сложенной с вычитае¬
мым (17). Значит, б*=(—24) + 17, или 6* = —7. В этом
137

уравнении не известен сомножитель. Он равен проц3в
дсшно (—7), деленному на известный сомножитель
I
т е х=(—7):6; х= — 1-= корень уравнения.
Проверим это: б - ^—1 ~q~ ) —17=	24.
Упражнения
I.	Написать, как называется неизвестный компонент
в следующих уравнениях:
а) 13,7—л =—24;	г) (-4	:Ь= 18,6;
б) -2,2а = 53;	Д) 23 = 4I3-f/?z;
в} л;(_3_у = _П;	е) 180 = п—570.
2.	При решении следующих уравнении нам прихо¬
дится дважды использовать зависимость между компо¬
нентами. Записать названия неизвестных компонентов
в каждом случае:
а) 5х—14 = —8; б) 14— ~ =—8.
3.	Вычисляя значения левой и правой частей уравне¬
ния, проверить, будет ли число —4 корнем следующих
уравнений:
а) 4х-10=6х-15; б) —х+2 = —2х—2.
4.	Решить следующие уравнения:
а) 12-\-у=4;	г)	0 = —4—а;
б) —12—р=—4;	д)	—4+т = —12;
в) —12—х=4;	е)	12 = — п—4.
5. Решить уравнения и сделать проверку:
а) —13*—10=3;	в)	— 13г/—3= —3;
б) о= —136+10;	г)	—13*/+3 = —10.
g
6. Решить уравнение -f2 = —1. Является ли ре¬
шение этого уравнения также и решением следующих
уравнений:
а) 6+х=—2х;	в) 3*-f-6 = 0;
б) 3-f-*=—2*—3;	г) б*—12 = 0.
7 г>	0,3//—f—4
7.	Решить уравнение —~— = — 1.
О
138

Самостоятельная работа 12-д
Уравнения
Уравнением называется равенство, которое со¬
держит неизвестное число (или несколько чисел), обо¬
значенное буквой (или буквами).
Например, следующие равенства являются уравне¬
ниями:
_аг+14 = 2; —2,3 = а:5; 4- -6 = Зс+4,2.
О
Выражение, стоящее слева от знака равенства, на¬
зывают левой частью уравнения, справа —
правой частью уравнения. Числовое значение
буквы, при котором в левой и правой частях уравнения
получаются равные числа, называется корнем млн
решением уравнения.
Например, х = — 1 является корнем уравнения
5	+4
 |-8 = —^—\-7, так как в левой части будет число
х 5	Х	'
——— +8 = — 5+8 = +3; в правой части будет то же
число -	+7 = —4+7 = +3.
При решении уравнений можно пользоваться подбо¬
ром корней или зависимостью между компонентами
арифметических действий.
Пример 1. Решим уравнение л:— 15 = — 12, исполь¬
зуя зависимость между компонентами действия вычита¬
ния. Неизвестное уменьшаемое (х) равно разности
(—12), сложенной с вычитаемым (15), т. е. х=(—12) +
+ 15 = 3. Корнем уравнения х—15 = —12 является л;=3.
Проверим это: 3—15 = —12.
Пример 2. Решим уравнение —2.v+13=21. Нам
не известно слагаемое (—2х). Неизвестное слагаемое
(—2л:) равно сумме (21) без известного слагаемого (13),
т. е. —2аг=21 —13, или — 2л: = 8. В последнем уравнении
139

нам но известен сомножитель (л). Он равен произве,
ник) (8), деленному на известный сомножитель
так как дг = 8: (—2); д = —4 — корень уравнения. '•
11ронерпм это: (—2) • ( — 4) -{-13 = 21.
Упражнения
I.	Панпеать, как называется неизвестный компонецг
н следующих уравнениях:
а) Ь: 12,3 = 5,2;	г)	п+4,3 = —90;
б) 7д = —4,3;	д)	0,24 :х= —7;
в) —и—0,03 = —1,7;	е)	-р-2,4=\0~^.
2.	При решении следующих уравнении нам прцХо.
днгся дважды использовать зависимость между ко\щ0.
нептамп. Написать названия неизвестных компонентов
в каждом случае:
а) 20 -р ——6; б) 20+у =-0.
3.	Вычисляя значение левой и правой частей урав¬
нения, проверить, будет ли число —1,5 корнем следую¬
щих уравнений:
a) Gx+8=0,5+x; б) -х-5 = 2х-35.
4.	Решить следующие уравнения:
а)	\3+Ь = 2:	г)	—-V—2= — 13;
б)	-13-с=2;	д)	—2+г/= —13;
в)	0=13-х;	е)	-//+2=13.
5.	Решить уравнения и сделать проверку:
20	20
а) — —22= —J7;	в) — —22 = —2;
Д'	.у
20	20
б) --22=0;	г)	=	—22= + 17.
л	X
6.	Решить уравнение 18—4х=—2. Является ли ре-
шение этого	уравнения также	решением следующих
уравнении:
а) 4,5—х=—0,5;	в) \8-2х=2х-2;
б) 4,5+х=+0,5;	г) Ю-2х=0.
7.	Решить уравнение 0,4(3у—2) ——0,8.
/40

Самостоятельная работа 13-а
График температуры
Составлена таблица по данным наблюдений та температурой
воздуха через каждый час в течение одного дня.
Время в часах |
Ч
ч
ч
ч
П1
12)
13 (
14 ( 15 |
16 \ 17\ 18
Температура в
градусах С
—3
—2
—1
—1
0
+1
+2
+ 4
По таблице можно судить о том, как изменялась температура
воздуха. Более наглядные представления об этом можно получить,
вели по данным таблицы построить график. Для этого берут две
Рис. 1
числовые оси (рис. Г), которые пересекаются в начальных точках
и образуют прямые углы. На одной оси, например на горизонталь¬
ном, будем откладывать время, а на другой—температуру.
Каждом паре чисел таблицы (времени и соответствующей тем¬
пературе) будет соответствовать одна точка, которую можно полу¬
чить следующим образом (рис. 2). Например, находим на горклом
тлльной осп точку «6 часов». Из таблицы видно, что в это врем?
Рис. 2
141

температура воздуха была с—3е». Поэтому от точки «б часоги
«опустимся» (и направлении вертикальной оси) но 3 единицы и ()Тт
метим точку А. Построим точку Б, л.чпример. изображающую тем.
пер.ггуру оо «духа о 10 часов. Для этою от точки *10 час он» нужно
«подняться» (и направлепнм вертикальной осп) на б единиц, Тг-,к
как в 16 часов температура воздуха (см. таблицу) была +0°. От-
метим точку Б
Упражнения
1. Перечертить в тетрадь рисунок 2.
2. Пользуясь рисунком 2, написать, в котором часу и какой
была температура воздуха, изображаемая точкой С?
3. Построить, пользуясь данными таблицы, точки, соответствую-
тис температуре воздуха в 7, 8, 17 часов.
4. Пользуясь данными таблицы, построить остальные точки.
Соединить отрезками, последовательно, все полученные на чертеже
точки. Линия, которую мы получили, есть график темпера¬
туры. По графику можно судить (приближенно) об изменении
температуры в течение данного промежутка времени.
--
-
-t-h

-
_
1
I
1
2
0
1
3
5
1 1 *
Р
12
15
18
21
V
\
s
1
- (--
5. На рисунке 3 изображен график изменения температуры воз¬
духа в течение одних суток. Пользуясь графиком, ответить на сле¬
дующие вопросы: а) Какая температура была в 14 часов? в 3 часа?
в 24 часа? б) В котором часу была самая низкая температура?
в)	В котором часу была самая высокая температура? г) Определить
время суток, когда температура воздуха была равна 0°. д) Опреде¬
лить промежуток времени, когда температура воздуха была выше 0°.
е)	Определить промежуток времени, когда температура была
ниже 0°.
6. Пользуясь данными таблицы, построить график изменения
средней температуры в течение первой декады (десяти дней)
февраля:
Дни февраля | 1 | 2
3
4 5 6 | 7
8
9
10
Температура воздуха
в градусах С
-11
-15
—8
-6
— 1
0
+ 1
—3
—7
— 12
Определить по графику: а) промежуток времени, в течение ко¬
торого температура повышалась; б) промежуток времени, в течение
которого температура понижалась.
142

Самостоятельная работа 13~б
График температуры
Через каждый час измеряли температуру воздуха и составили
следующую таблицу:
По таблице можно судить о том, как изменялась температура
воздуха. Более наглядное представление об изменении температуры
воздуха можно получить, если по данным таблицы построить график.
Для этого чертят две числовые оси (рис. 1), пересекающиеся в на-	к
чальных точках под прямым углом. На одной оси, например иа го-	^
ризонтальной, откладывают время, а на другой — температуру,	«
Рис. 1
Условимся, что каждой паре чисел таблицы (времени и соответ¬
ствующей температуре) будет соответствовать точка, которую мож¬
но получить следующим образом. Например (рис. 2), находим иа
горизонтальной осп точку «4 часа». Из таблицы видно, что в это
Рис. 2
—f5
4
-3
Ь2
1 2 3 4 5
Время в часах
Время в часах
1 4 1
5 | 6 |
7 \ 8 \ 9 \
10 |
11 \ 12 \ 13 \ 14 \ 15\ 16\ 17
Температура
в градусах С
+г|+з
+з|+2|+1
0
143

время температура воздуха была «-Н0». Поэтому от точки «4
♦поднимемся* (по направлению вертикальной осп) па J одщщ3*
и отмстим точку М. Построим точку К, изображающею, напрпмр^
температуру в 17 часои, Смотрим и таблицу. 13 17 часов телиц.,,!’’
ту[»л воздуха была « —2V Поэтому от точки «17 часов* «опуею
емся* (но вертикали) на 2 единицы. Отмечаем точку К.	а'
Упражнения
1. Начертить в тетради все, что изображено на рисунке 2
2. Пользуясь рисунком 2, написать, в котором часу ц Ка|{ „
была температура воздуха, изображенная точкой л?	11
3. Построить на своем чертеже, пользуясь данными таблщ.
точки, дающие представления о температуре воздуха в 6, 7, 14 jc'
16 часов.
4. Пользуясь данными таблицы, построить остальные точки. Сое
динить (последовательно) эти точки отрезками.
Линия, которую мы получили, есть график температуры, ц
трафику можно судить (приближенно) об изменении температур»0
воздуха в течение промежутка времени от 4 до 17 часов.	J
5. На рисунке 3 изображен график изменения температуры воз¬
духа в течение одних суток. Пользуясь графиком, ответить письмен¬
но на следующие вопросы: а) Какая температура была в 3. 10. 15
и 20 часов? б) В котором часу была самая высокая температура?
в) В	котором часу	была самая	низкая температура	воздуха?
г) Определить время	суток, когда	температура воздуха	была рав¬
на 0°.	д) Определять	промежуток	времени, когда температура воз¬
духа была ниже 0°. е) -Определить промежуток времени, когда тем¬
пература была выше 0°.
6.	Пользуясь данными таблицы, построить график	изменения
средней температуры воздуха в течение двух недель марта:
Дни марта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Температура
воздуха в
градусах С
-3
-5
-6
-5
-3
— 1
-1
0
+ 1
+2
+2
+4
+3
+4
Определить по графику: а) промежуток времени, в течение ко¬
торого температура воздуха понижалась; б) промежуток времени,
в течение которого температура воздуха повышалась.
144

Самостоятельная работа 13-в
График температуры
По данным наблюдения температуры воздуха за каждый час со¬
ставлена следующая таблица:
Время в часах
3
4 | 5 | 6
7 \ 8 j 9 \ 10 | 11 | 12 \ 13 \ 14 1 15\ \(>\
Температура в
градусах С
—2
— 1
0 (+2
+з
+3
+б|+4
0
Таблица дает возможность судить об изменении температуры
воздуха. Более наглядные представления об изменении температуры
можно получить, если по данным таблицы построить график. Для
этого чертят две числовые оси (рис. 1), пересекающиеся в началь¬
ных точках под прямым углом. Иа одной, например вертикальной,
осп откладывают время, а на другой оси — температуру. При этом
каждой паре чисел таблицы (времени и соответствующей темпера-
-i
12 345
емя 8 часах
Рис. 1
туре) будет соответствовать только одна точка, которую можно
построить так. Например, на горизонтальной оси (рис. 2) находят
точку «3 часа», «отступают» от этой точки вниз (в направлении
вертикальной оси) на 2 единицы (в 3 часа температура была « — 2°»)
3 Рис.
145

и отмечают точку /1 Построим точку П, изображающую томиеряту.
гу » 10 чаюв. омшрим гайанцу: и 10 часов температура была « 1-5°»'
Поэтому or точки «10 часов*, «поднимаемся* на 5 единиц ц отме¬
чаем точку Б.
Упражнения
1. Начертить в тетради все, что изображено на рисунке 2.
2. Пользуясь рисунком 2, написать, в котором часу и како*
была температура, изображаемая точкой В?	If
3. Построить на своем чертеже, пользуясь данными таблицы
точки, дающие представления о температуре воздуха в 4, 5, J5 |g
часов.
4. Пользуясь данными таблицы, построить остальные точки
Соединить (последовательно) эти точки отрезками. Линия, которую"
мы получили, есть график температуры. По графику .можно судить
об изменении температуры воздуха за промежуток времени от 3 до
lb часов.
5. На рисунке 3 изображен график изменения температуры
воздуха в течение одних суток. Пользуясь графиком, ответить
(письменно) на следующие вопросы: а) Какая температура была
в 3, 9, 12, 22 часа? б) В котором часу температура воздуха была
Ггт
ь
-5
3
-*-2
/
*
\
--1
ч
в
\
lb
2
0
2
4
f
?
п
/
S
А
т*-
/
S
/
fj ■
П"5"
/
/
I
равна 0°? в) В котором часу была наиболее высокая температура?
г)	В котором часу была самая низкая температура? д) Определить
промежуток времени, когда температура воздуха была выше 0°.
е)	Определить промежуток времени, когда температура воздуха
была ниже 0°.
6.	Пользуясь данными таблицы, построить график изменения
средней температуры в течение первой декады января месяца:
Дни января
1
2
3 1 4
5 | 6
7
8
9
10
Температура
в градусах С
-11
-9
-8
—6
—4
— 1
0
+ 1
—3
—4
Определить по графику: а) Промежуток времени, в течение ко¬
торого температура воздуха понижалась; б) промежуток времени,
в течение которого температура воздуха повышалась.

Самостоятельная работа 13-г
График температуры
Данные измерения температуры воздуха (через каждый час)
записали в таблицу:
1 Время в часах
5 | 6 | 7 ) 8 I
I9
Ю|
ill
12\ 13\ 14\ 15\ 16\ 17 \ \b\
1 Температура
в градусах С
_ 3|— з|_ 1
0
+2
+3
Г1о таблице можно судить об изменении температуры воздуха.
Болес наглядные представления об изменении температуры можно
получить, если по данным этой таблицы построить (начертить)
график. Для этого чертят две числовые оси (рис. 1), пересекающие¬
ся в начальных точках под прямым углом. На одной оси, например
горизонтальной, откладывают время, на другой — температуру. При
.-5
4
-3
-г
-1
т°
—t
Время В часах
Рис. 1
этом каждой паре чисел таблицы (например, 5 час. и —3°; 12 час.
и +5°) будет соответствовать только одна точка, которую можно
получить следующим образом. На горизонтальной оси (рис. 2) на¬
ходят точку «5 часов», «отступают» от этой точки вниз (в направ¬
лении вертикальной оси) па 3 единицы (потому, что в 5 часов тем-
--5
-4
-~з
-2
-I
-о-
-1
-г
—з
Н
К
У
Ь
1?
’М
Рис. 2
147

пер.чтура была «-30») if отмечают точку М. Точку К, изображаю¬
щую температуру воздуха п 12 часов, строят тик: находят
горизонтальной оси точку «12 часов». Находят и таблице ссютнот.
стпующую температуру « + 5°», «отступают» от точки «12 часов»
вертикально вверх иа 5 единиц п отмечают точку /С.
Упражнения
1. Начертить в тетради все, что изображено на рисунке 2.
2. Пользуясь рисунком 2, написать, в котором часу и какой
была температура воздуха, изображенная точкой //.
3. Пользуясь данными таблицы, построить иа своем чертеже
точки, изображающие температуру воздуха в G, 7, 13 и 14 часов.
4. Пользуясь данными таблицы, построить остальные точки.
Соединить (последовательно) эти точки отрезками.
Линия, которую мы получили, есть график температуры воз¬
духа. По этому графику можно судить об изменении температуры
воздуха за промежуток времени от 5 до 18 часов.
5. На рисунке 3 изображен график изменения температуры
воздуха в течение одних суток. Пользуясь графиком, написать:
а)	Какая температура воздуха в 2, б, 13, 24 часа? б) В котором
часу была наиболее низкая температура? в) В котором часу тем¬
пература воздуха была равна 0°? г) В котором часу была самая
высокая температура суток? д) Промежуток времени, когда тем¬
пература воздуха была выше 0°. е) Промежуток времени, когда
температура воздуха была ниже 0°.
6.	Пользуясь таблицей средней температуры воздуха в течение
первой половины февраля месяца, построить график:
Дни февраля
1
2
3
4
5
6
7 8
9 | 10
11 12
13 | 14
Температура
в градусах С
0
-2
—4
—4
-5
-6
—7
—5
—4
О
—О
	2
— 1
0
+2
Определить по графику и записать в тетради: а) промежуток
времени, в течение которого температура воздуха повышалась;
б)	промежуток времени, в течение которого температура воздуха
понижалась,
148

Самостоятельная работа 13-д
График температуры
По данным наблюдении за температурой воздуха через каждый
чае составлена таблица:
Время в часах j
Ч
3 1
4 1 5 1
Ч
7 1
8 | 9 | 10 | 11 \ 12 | Vi\ 14 | \Ь\
Температура
и градусах С


-1
— 1
—г|—2
— 1
,
0
V2\ ° \
Рассматривая таблицу, можно узнать, как изменялась темпе¬
ратура воздуха. Более наглядные представления об изменении
температуры можно получить, если по данным таблицы построить
(начертить) график. Для этого строят две числовые оси (рис. \);
пересекающиеся в начальных точках под прямым углом. На одной
(например, горизонтальной) осп откладывают время, на другой —
соответствующую температуру.
~i
-
1
-
1 1
—1—
1
~~Г -у
/
1
-5
4
3
2
-1
-о
-1
-2
-з
%
_Со
§1
6
— tl-
_&
с
12 3 4 5
3Я
7С
IX
?мя 0
V
■ I
Т—Г-
Заметим, что каждой паре чисел таблицы (например, «2 часа»
и «—1°»; «13 час.» и « + 4°») будет соответствовать только одна
точка, которая получается следующим образом. На горизонтальной
осп (рис. 2) находят точку «2 часа», «отступают» от этой точки
-
~5
~4
-з
-2
-f
-о
-1
-2
-з
-4
...
М
1
Р
13
X
~
,
Рис. 2
119

шип (n направлении вертикальной оси) на одну единицу (1|С)
тому, что в '2 часа была температура —1°) п отмечают точку р
Точку М, изображающую температуру воздуха н 1.3 часов, находЯт
так: от точки «13 часов» (на горизонтальной оси) «отступают» «вер*
на -1 единицы (см. таблиц): в 13 часов было +4°) и отмечают
точку М (рис. 2).
Упражнения
1. Начертить в тетради все, что изображено на рисунке 2.
2. Пользуясь рисунком 2, написать, в котором часу и какой
была температура воздуха, изображенная точкой дг?
3. Пользуясь данными таблицы, построить иа своем чертеже
точки, изображающие температуру воздуха в 3, 4; 14, 15 часов
4. Пользуясь данными таблицы построить остальные точки"
Соединить (последовательно) нее построенные точки отрезками.
Линия, которую мы получили, есть график температуры воздуха
По этому графику можно судить (приближенно) об изменении тем¬
пературы воздуха за промежуток времени от 2 до 15 часов.
5. На рисунке 3 изображен график изменения температуры
воздуха в течение одних суток. Пользуясь графиком, написать-
а) Какой была температура воздуха в 1; 7; 14; 22 часа? б) В кото¬
ром часу была самая низкая температура? в) В котором часу была
самая высокая температура? г) В котором часу температура воз¬
духа была 0°? д) Промежуток времени, в течение которого темпе¬
ратура была ниже 0°. е) Промежуток времени, в течение которого
температура была выше 0°.
6.	Пользуясь таблицей средней температуры воздуха построить
график изменения температуры в течение первой декады марта:
Дни марта
1
2
3
4
5
6
7
8
9 | 10
Температура
в градусах С
-3
-2
-1
0
+2
+з
+з
+ 1
0
-1
Определить по графику и записать в тетради; а) промежуток
времени, в течение которого температура повышалась; б) проме¬
жуток времени, в течение которого температура воздуха пони¬
жалась.
150

Самостоятельная работа 11-а
График равномерного движения
В этой работе мы будем рассматривать только
равномерное движение, т. е. такое движение,
при котором тело за равные промежутки времени про¬
ходит равные расстояния.
Задача. Плот идет по реке со скоростью 3 км
в час. За t часов плот пройдет 3/ километров.
а)	Заполнить следующую таблицу:
t (время в часах) | 0 | 1
1,5
2 | 3
4 | 4.5
6
3/ (путь в кило¬
метрах)
б) Начертить две взаимно перпендикулярные число¬
вые оси, пересекающиеся в точке 0 (за единичный отре¬
зок принять 1 см).
Для каждой пары чисел таблицы построить точку
плоскости так, чтобы основание перпендикуляра, прове¬
денного из этой точки на горизонтальную ось указывало
время движения, а — на вертикальную указывало рас¬
стояние, пройденное за это время.
в) Соединив полученные точки отрезками, получим
график равномерного движения. Он оказался прямой
линией. Точки графика дают возможность найти:
во-первых, расстояние, пройденное плотом за время /,
во-вторых, время, за которое пройдено данное расстояние.
Упражнения
1. Пользуясь построенным графиком, найти:
а) расстояние, пройденное плотом за 5 часов;
б) время, за которое плот прошел 1,5 км.
2. На рисунке 1 дан график движения тела со ско¬
ростью 100 м в секунду.
151

Пользуясь графиком,
следуют) ю таблицу:
за по
Л!ЩТь
t (Н|)СМЯ
1) счк\ пд;1.\) ^
0,2
■4
2,8
s = ПШ
(пуп,
и мегрлх)
50
200
250
Рис. J
И
3.	Пользуясь графиком движения
катера (рис. 2) ответить на следую,
щпе вопросы:
а) Когда катер отправился от
пристани Пионерская?
б) В котором часу он подошел к
пристани Школьная?
в) Какое расстояние между
Школьной п Пионерской?
г) За какое время катер
прошел от Пионерской д0
Школьной?
д) С какой скоростью дви¬
гался катер от Пионерской до
Школьной?
е) Сколько времени дли-
лась остановка на пристани
Школьная?
ж) В котором	часу катер
отошел от пристани Школьная?
з) В котором	часу катер
прибыл на пристань Комсомольская?
и)	На каком расстоянии от пристани Пионерская
находился катер в 5 часов?
4.	Задача.	Пионерский отряд вышел	из лагеря
в 3 часа утра	и	шел со скоростью 4 км в	час. Через
2,5 часа он сделал привал. После полутора часового от¬
дыха	пионеры	пошли дальше и, отойдя	за 3 часа
от привала на 9 км, остановились на ночлег. Построить
график движения пионерского отряда.
Указание. По горизонтальной оси 1 см изображает 1 час,
по вертикальной оси J см изображает 1 км.
Рис. 2
J52

Самостоятельная работа 14-6
I
График равномерного движения
В этой работе мы будем рассматривать только
равномерное д в и ж е и п е, т. е. такое движение,
при котором тело за равные промежутки времени про¬
ходит равные расстояния.
Задача. Турист идет со скоростью 5 км в час.
За t часов он пройдет 5/ километров.
а)	Заполнить следующую таблицу:
t (время в часах)
0
1
1.5 | 2,5 | 4
4,5
5
51 (путь в кило¬
метрах)
б) Начертить две взаимно перпендикулярные оси,
пересекающиеся в точке 0 (за единичный отрезок при¬
нять 0,5 см). Для каждой пары чисел таблицы построить
соответствующие точки, откладывая время на горизон¬
тальной оси, а путь — на вертикальной.
в)	Соединить полученные точки отрезками. Написать,
по какой линии располагаются точки.
Выполнив предыдущее задание, вы получили график
равномерного движения. Он оказался прямой ли-
н и е й. Точки графика дают возможность найти: во-пер-
ных, расстояние, пройденное туристом за время /, во-
вторых, время, за которое пройдено данное расстояние.
Упражнения
1. Пользуясь построенным графиком, найти (напи¬
сать) :
а)	расстояние, пройденное туристом за 3 часа;
б)	время, за которое турист прошел 10 км.
2. На рисунке 1 дан график движения тела со ско¬
ростью 150 м в секунду. Пользуясь графиком, заполнить
следующую таблицу:
153

/ (время
в секундах)
0,8
I
1,2
5=190/ (рас¬
стояние
в метрах)
0
75
зоо
390
Рис. 1
Дачная )0i
Я
Отдыл
т
ш
гг
3. Пользуясь графиком движенцу
(рис. 2), ответить иа следующие вопро¬
сы:
а) Когда поезд отправился от стан¬
ции Отдых?
б) Когда прибыл на станцию Дач¬
ная?
в) Какое расстояние между стан¬
циями Отдых и Дачная?
г) За какое время проехал поезд
расстояние от станции Отдых до стан¬
ции Дачная?
д) С какой скоростью ехал поезд
до станции Дачная?
е) Сколько времени сто¬
ял поезд на станции Дачная?
ж) Когда отправился по¬
езд от станции Дачная?
з) Когда прибыл поезд
на станцию Лесная?
и) Сколько времени бу¬
дет идти поезд от станции
Дачная, до станции Лесная?
4. Построить график дви¬
жения автобуса от остановки Текстильщик до остановки
Машиностроитель по следующим данным:
а) между остановками Текстильщик и Машиностро¬
итель была только одна стоянка в поселке Щеглово;
б) автобус отошел с остановки Текстильщик в 3 часа
утра и шел до поселка Щеглово со скоростью 60 км
в час;
в) в поселок Щеглово автобус прибыл в 5,5 часа утра
и стоял там 30 минут;
г) расстояние от Щеглова до остановки Машиностро¬
итель, равное 75 км, автобус прошел за 1,5 часа.
Указание. По горизонтальной оси 1 см изображает 1 час,
по вертикальной оси 1 см изображает 20 км.
it 30 « 50 И W tHUH
Рлс. 2
154

Самостоятельная работа 14-в
График равномерного движения
В этой работе мы будем рассматривать только
равномерное двнжени е, т. е. такое движение,
при котором тело за равные промежутки времени про¬
ходит равные расстояния.
Задача. Автомобиль движется со скоростью
1,5 км в минуту. За t минут он пройдет расстояние
1*5 t километров.
а)	Заполнить следующую таблицу:
t (время в минутах)
0
1
2
3 | 5
8
10
1,5/ (расстояние
в километрах)
б) Начертить две взаимно перпендикулярные оси,
пересекающиеся в точке 0 (за единичный отрезок при¬
нять 1 см). Для каждой пары чисел таблицы построить
соответствующие точки, откладывая время на горизон¬
тальной, а путь на вертикальной оси.
в) Соединить полученные точки отрезками. Написать,
по какой линии располагаются точки.
Выполнив предыдущее задание, вы получили график
равномерного движения. Он оказался прямой ли¬
нией. Точки графика дают возможность найти: во-пер¬
вых, расстояние, пройденное автомобилем за время /,
во-вторых, время, за которое пройдено данное расстояние.
Упражнения
1. Пользуясь построенным графиком, найти (напи¬
сать) :
а) расстояние, пройденное автомобилем за 4 минуты;
б) время, за которое автомобиль проехал 9 км.
2. На рисунке 1 дан график движения тела со ско¬
ростью 200 м в секунду. Пользуясь графиком, заполнить
следующую таблицу:
155

( (|1|Х'М<1
н секундах)
0.2
0,6
2,5
s = 200 /
(расстояние
н метрах)
0
100
300
400
3. Пользуясь графиком движе1щ.л
лыжника (рис. 2), ответить на еле-
дующие вопросы:
а) Когда лыжник отправился из
турбазы Спутник?
б) В котором часу он прибыл на
турбазу Молодежная?
в) Какое расстояние между тур.
базами Спутник и Молодежная?
г) За какое время про¬
ехал лыжник расстояние от
турбазы Спутник до турбазы
Молодежная?
д) Сколько времени дли¬
лась остановка на турбазе
Молодежная?
е) С какой скоростью
ехал лыжник до турбазы Мо¬
лодежная?
ж) В котором часу вы¬
ехал лыжник из турбазы
Молодежная? *
з) В котором часу лыжник прибыл на турбазу Под¬
солнечная?
и) На каком расстоянии от турбазы Спутник нахо¬
дился лыжник в 5 часов?
4.	Построить график движения поезда от станции Ан¬
тоновка до станции Васильково по следующим данным:
а) между станциями Антоновка и Васильково была
только одна остановка на станции Дубрава;
б) поезд вышел со станции Антоновка в 4 часа утра
и шел до станции Дубрава со скоростью 70 км в час;
в) на станцию Дубрава поезд прибыл в 5 часов утра
и стоял там 30 минут;
г) расстояние от станции Дубрава до Васильково,
равное 90 км, поезд прошел за 1,5 часа.
Указание По горизонтальной оси 1 см изображает 1 час,
но вертикальной оси ] см изображает 20 км.
Рис. 2
156

Самостоятельная работа 14-г
График равномерного движения
В этой работе мы будем рассматривать только
равномерное д в и ж е н и е, т. е. такое движение,
при котором тело за равные промежутки времени про¬
ходит равные расстояния.
Задача. Пешеход движется со скоростью 4 км
в час. За t часов он пройдет 4/ километров.
а)	Заполнить следующую таблицу:
/ (иремя в часах) j 0 | 0,5
1 | 2.5 (4 4,5 | 5 1
4/ (расстояние
а киломстрах)
1 1
б) Начертить две взаимно перпендикулярные оси,
пересекающиеся в точке 0 (за единичный отрезок при¬
нять 0,5 см). Для каждой пары чисел таблицы построить
точку плоскости так, чтобы основание перпендикуляра,
проведенного из этой точки на горизонтальную ось ука¬
зывало время движения, а — на вертикальную указы¬
вало расстояние, пройденное за это время.
в) Соединив полученные точки отрезками, получим
график равномерного движения. График оказался пря¬
мой линией. Точки графика дают возможность найти:
во-первых, расстояние, пройденное пешеходом за вре¬
мя /, во-вторых, время, за которое пройдено данное рас¬
стояние.
Упражнения
1. Пользуясь построенным графиком, написать:
а) расстояние, пройденное пешеходом за 1,5 часа;
б) время, за которое пешеход прошел 6 км.
2. На рисунке 1 дан график движения тела со ско¬
ростью 300 м в секунду. Пользуясь графиком, заполнить
следующую таблицу:
157

/ (время
в секундах)
0.5
2
2,5
5 = 300/ (рас¬
стояние
п меграх)
0
300
ТОО
900
Рис. 1
3.	Пользуясь графиком движе¬
ния автомобиля (рис. 2), ответить
на следующие вопросы:
а) Когда автомобиль отпра¬
вился от остановки Ромашкиной
б) Когда автомобиль прибыл
на остановку Торфяник?
в) Какое расстояние
между остановками Ромащ-
кино и Торфяник?
г) За какое время авто¬
мобиль проехал расстояние
от остановки Ромашкино до
остановки Торфяник?
д) С какой скоростью
ехал автомобиль до останов¬
ки Торфяник?
е) Сколько времени сто¬
ял автомобиль на остановке
Торфяник?
Когда автомобиль выехал с остановки Торфяник?
За какое время автомобиль прошел расстояние от
остановки Торфяник до остановки Озерная?
4.	Построить график движения мотоциклиста от по¬
селка Егорово до поселка Семиречье по следующим
данным:
а) между поселками Егорово и Семиречье мотоцик¬
лист сделал только одну остановку в поселке Березовка;
б) мотоциклист выехал из поселка Егорово в 5 часов
и ехал до поселка Березовка со скоростью 50 км в час;
в) в поселок Березовка мотоциклист приехал в 8 ча¬
сов и стоял там 1 час;
г) расстояние от поселка Березовка до поселка Семи¬
речье, равное 105 км, мотоциклист проехал за 2,5 часа.
а го гз и и « *s sotrw
Рис. 2
Ж)
3)
Указание. По горизонтальной оси 1 см изображает 1 час,
по вертикальной оси 1 см изображает 50 км.
158

Самостоятельная работа 14-д
График равномерного движения
В этой работе мы будем рассматривать только
равномерное движение, т. е. такое движение,
при котором тело за равные промежутки времени про¬
ходит равные расстояния.
Задача. Поезд движется со скоростью 2 км в ми¬
нуту. За t минут он пройдет 21 километров.
а)	Заполнить следующую таблицу.
( (время в минутах)
0
1 | 2
4 | 7 | 8
9
21 (путь в кило¬
метрах)
j
б) Начертить две взаимно перпендикулярные оси,
пересекающиеся в точке 0 (за единичный отрезок при¬
нять 1 см). Для каждой пары чисел таблицы построить (
соответствующие точки, откладывая время на горизон¬
тальной оси, а путь — на вертикальной.
в) Соединить полученные точки отрезками. Написать,
по какой линии располагаются точки.
Выполнив предыдущее задание, вы получили график
равномерного движения. Он оказался прямой линией.
Точки графика дают возможность найти: во-первых, рас¬
стояние, пройденное поездом за время t, во-вторых, вре¬
мя, за которое пройдено расстояние.
Упражнения
1. Пользуясь построенным графиком, найти (напи¬
сать) :
а) расстояние, пройденное поездом за 5 минут;
б) время, за которое поезд проехал 6 км.
2. На рисунке 1 дан график движения тела со ско¬
ростью 50 м в секунду. Пользуясь графиком, заполнить
следующую таблицу;
159

t (г.рем и
н
секундах)
4
5
2-L
2
s == 50 1 (рас¬
стояние
в метрах)
И
75
|
1оп|
22Г>
П!,1-
PlIC. 1
Лр*лМК
Л)
а
я
faptiapdtiO
V
Я
и
7
7
3.	Пользуясь графиком ДГИ1.
жспия велосипедиста (рис. 2),
ответить на следующие вопро¬
сы:
а) Когда велосипедист
ехал из села Желудево?
б) В котором часу он
ехал в село Карачарово?
в) Какое расстояние между
селами Желудево и Карачарово?
г) За какое время ве¬
лосипедист проехал рас¬
стояние от Желудева до
Карачарова?
д) С какой скоростью
ехал велосипедист от села
Желудево до села Кара-
чарово?
е) Сколько времени
длилась остановка в селе
Карачарово?
ж) Когда выехал велосипедист из села Карачарово?
з) Когда велосипедист прибыл в село Муромское?
и) На каком расстоянии от села Желудево находился
велосипедист в 7 часов?
4.	Построить график движения катера от пристани
Сокол до пристани Марина по следующим данным:
а) между пристанями Сокол и Марина была одна
остановка на пристани Лавренево;
б) катер отплыл от пристани Сокол в 4 часа утра
и шел до пристани Лавренево со скоростью 12 км в час;
в) на пристань Лавренево катер прибыл в 5 часов
30 минут и стоял там 30 минут;
г) расстояние между пристанями Лавренево и Ма¬
рина, равное 24 км, катер прошел за 2 часа.	.1
Указание. По горизонтальной оси 1 см изображает I liac*
по вертикальной оси I см изображает 6 км.
160
Рис. 2

Самостоятельная работа 15-а
Подобные члены. Приведение подобных членов
рассмотрим несколько одночленов: 2 а3; —0,3 ху;
JL c2d. Каждый из них отличается и буквенными вы¬
ражениями, и коэффициентами. Однако часто встреча¬
ются одночлены, отличающиеся только коэффициентами,
2
например: —3,5х2у\ — х2у\ 0,01 ух2.
Одночлены, отличающиеся только коэффициентами
или ничем не отличающиеся, называются подобными.
Упражнения
1. В каких из следующих примеров все члены по¬
добны:
а) —4а3; 5,2а3;	в) х-чу\ хуъ;
б) ху2; —0,6у2х;	г) 3-^-абс; —2ab2;
д) 2,Akm2n\ 0,3knm2; —nkm2;
е) 0,7k3lmn\ trunk3.
2. В каждом из следующих примеров выписать толь¬
ко подобные члены:
а) mn; -i- m2n; — 5/7/n; 4,5mn; —6m;
2	1	2
б)	—	abx2;	—0,4 ах2Ь;	— ад'6;	—	ab.
О	о	о
3. Написать три одночлена, имеющих коэффициент
—2,1, но не являющихся подобными.
4. Написать два одночлена, подобных одночлену
—0 Jkltn.
5. Подчеркнуть различными цветными карандашами
члены многочлена 2аЬ—3a-\-2b-\-7a—0,2ab —3b—ab+4a
tan, чтобы все подобные между собой члены были под¬
черкнуты одним цветом. Если выражение содержит не¬
сколько подобных членов, то его можно упростить. Для
этого надо сложить коэффициенты подобных членов и к
полученному числу приписать буквенный множитель
члена, например: -3a2b2-{-5a2b2—a2b2-\-7a2b2—8a2b2. Ко¬
эффициент 8 получен сложением коэффициентов: —3-J-
161

4-3— I-f7=8. Такое упрощение называется приводе-
н н е м п о д о б н ы х ч л е п о в.
6.	Выполнить приведение подобных членов:
а) Зх-2,5х~1~4х-х-0,5х;
б) 2ab-Q,3ab-2ab+0,3ab-4ab;
в) +a3b+0,7a:’b+0l3a3b;
г) -2-1^+5у^-3 yx2!/+!I*2-
7.	Выполнить приведение подобных членов, предва¬
рительно (чтобы не допустить ошибки при подсчете сум¬
мы коэффициентов) подчеркнув подобные члены. Все
подобные между собой члены должны быть одинаково
выделены:
а) 2a-3b+4a-5b+7a—2b—3t>;
б) mn-\-0,2ni2n2—0,5mn-\-0,8m2n2;
в) х3у—tfx-)-0,3а'3//—0,8х3у4- //.V34-4у3х;
г) 3abd—2bcd-{-abd—4abd—2abd+5abc\
д) 2ab+2b-j-2a.
8.	Решить уравнения:
а) У+Зу—4 = 8;
б) х+х+2х+7=15;
в) a-i-2a—a-i~8a—12=3,5;
г) 0,2y—3,4y—0,6y-j-0,8y-j-15=3.
9.	Привести подобные члены и вычислить числовое
значение алгебраического выражения:
а) 3a-j-4a2-j-a—5a2 при а=1;
б) —bc-\-0,7bc—2bc+0,\bc-\-0,2bc-\-4bc
при Ь = 0,5, с=Ю.
10. Составить алгебраическое выражение для вычис¬
ления длины отрезка АВ (рис. 1). Вычислить (наиболее
В
 1 1 1 1
0,5	Г)	2,1 П
Рис. 1
рационально) длину отрезка АВ при значениях я, ука¬
занных в таблице:
1 n 1 1
10
| 100
I Длина отрезка АВ j
162

Самостоятельная работа 15-6
Подобные члены. Приведение подобных членов
рассмотрим несколько одночленов: 40а:5; —2,1 ab\
JLklni2. Каждый из них отличается и буквенным выра¬
жением, и коэффициентами. Однако часто встречаются
одночлены, отличающиеся только коэффициентами, на*
пример: 2ЬЧ\ -3.26**;
Одночлены, отличающиеся только коэффициентами
или ничем не отличающиеся, называются подобными.
Упражнения
1. В каких из следующих примеров все члены по¬
добны:	j	1
а) — а7;	в) 22q3^;	—6й3;
б) —2/ил3; —2т3п\	г>	+2л^
д) 5-^- абс3; asbc-, аЬгс\
е) 2,3cden\ —0,3ncde2.
2. В каждом из следующих примеров выписать толь¬
ко подобные члены:	i
а) а2Ь\ ЗаЬ\ —0,4Ьа\ 0,46; — 1об;
3	3	1
б) ~—т2пх\	4хп\ —0,2/im2*; -г-*2; —- х2п.
5	оо,
3. Написать три одночлена, имеющих коэффициент
—0,8, но не являющихся подобными.
4. Написать два одночлена, подобных одночлену
3,8 xyz2.
5. Подчеркнуть различными цветными карандашами
члены многочлена Ъху-2х-{-7у-\-2у—4х—5ху—0,Зх—
—2,5ху так, чтобы все подобньш между собой члены бы¬
ли подчеркнуты одним цветом.
Если выражение содержит несколько подобных чле¬
нов, то его можно упростить. Для этого надо сложить
коэффициенты подобных членов и к полученному числу
приписать буквенный множитель члена, например:
—563р-1-2/г3р—4k3p+k3p — — 6k3p. Коэффициент 6 полу¬
чен сложением коэффициентов: <—5-J-2—4-J-1 = —6. Та-
163

кое упрощение называется приведением п о д 0 G
и ы х ч л е н и в.
б.	Шлюлпигь приведение подобных членов:
и)	I2/-1S/-0.3/+101-0,71;
б) —we-f 3///в—0,2/7/в—0,8/и°;
в) —I Ьх+2хЬ -f- 7 bx—2bx-j~ 4хЬ\
г) —3b2y+2b2y—6yb2—8yb2.
7.	Выполнить приведение подобных членов, предвари,
тельно (чтобы не допустить ошибки при подсчете сумм»,
коэффициентов) подчеркнув подобные члены. Все подоб¬
ные между собой члены должны быть одинаково выло,
лены.
а) —2у-{-Зс—4у—Зс—с-{-6у:
б) у.Ьяс3—-уЬс—уЬяс3—Ьс;
в)	—	2п	Vn	-f	п	тs+2mnJ-\-3m r,ri;
г) 5х+3у+5ху;
д) 6abc—ЗаЬх—2bcx—4abc— Юасх—abc.
8.	Решить уравнения:
а) -х+4х-!=8;
б) у-Зу-2у+9=-\1\
в) —7с—12с+с—2с—6 = —8;
г) 0,3b-3,4b+0,3b-0,6b-6=-26.
9.	Привести подобные члены и вычислить числовое
значение алгебраического выражения:
а) 6k—5£3—46-f6k3 при 6=0,5;
2 1 2 1
б) ХУ~ у *У+ у А7/+2 у ху- — xp-f 7х//
при х=0,5, у= — \.
10.	Составить алгебраическое выражение для вычис¬
ления длины отрезка Л//Ал (рис. 1). Вычислить (наиболее
М	N
 1 ( ( 1
/77	/,<9/77	2/77
Рис. 1
рационально) длину отрезка MV при значениях т, ука¬
занных в таблице:
m
5
10
15
Длина отрезка MN
164

Самостоятельная работа Jo-e
Подобные члены. Приведение подобных членов
2
рассмотрим несколько одночленов: —4—а2х; —0,3х3:
5
120 р. Каждым из них отличается и буквенными выра¬
жениями, и коэффициентами. Однако часто встречаются
одночлены, которые отличаются только коэффициентами,
например: —4,2аху\ аху\ ~^ахУ-
Одночлены, отличающиеся только коэффициентами
или ничем не отличающиеся, называются подобными.
Упражнения
1. В каких из следующих примеров все члены по¬
добны:
1	4
а)	—3,4а5; — а5;	г)	— тпр;	Зт2р\
б)	а2*3;	—3Л'3а2;	д)	a3bc; ,b3ac\ c3ab\
в)	—5а4/?;	5а/?4; .	е)	4,8axby2;	8,4их2Ьу.
2. В каждом из следующих примеров выписать толь¬
ко подобные члены:
а)	Ъху2\ —ху\ Зух\	5xtj\ —0,3x;
б) 0,8kl2p- kip;	0,8&/;	—3Ipk.
3. Написать три одночлена, имеющих коэффициент
12, но не являющихся подобными.
4. Написать два одночлена, подобных одночлену
—5р/?4.
5. Подчеркнуть различными цветными карандашами
члены многочлена 7tnc—7c-\-3tn—4c-\-mc-)r2mc—3tn-\-3c
так, чтобы все подобные между собой члены были под¬
черкнуты одним цветом.
Если выражение содержит несколько подобных чле¬
нов, то его можно упростить. Для этого надо сложить
коэффициенты подобных членов и к полученному числу
приписать буквенный множитель членов, например:
~\4ab-\-20ab—3ab—ab = 2ab. Коэффициент 2 получен
сложением коэффициентов: —14+20—3— 1 =2. Такое
165

упрощенно называется приведением подобны*
ч л о н о и.
(>. Выполнить приведение подобных членов:
а) 11д — 13х+1,7х—0,7х;
б) 0,8bp—2kp—Q,8pk—,Зкр\
в) — I 2xi/2— 132Х1/ yzx-\-2bxyz\
г) n4.v2—п4д-+3л-п4.
7.	Выполнить приведение подобных членов, предва¬
рительно (чтобы не допустит/, ошибки при подсчете сум¬
мы коэффициентов) подчеркнув подобные члены. Все
подобные между собой члены должны быть выделены
одинаково.
а) —x+2v—3v+5x—6x—7v;
б) 0,ЗМ*+0,7кР- 1,3^/4+2.3кР;
в) Aa-b—3a-b—abz—0,5b2a-\-2ab2—0,5ba1\
г) 4axij—2aby—3cibx—axy-\-6cibij— 1 Obxy;
д) х*+х+Л
8.	Решить уравнения:
а) -6х+2х+11 = -9;
б) — I— a—5«-f 16(7 = — 1;
в) 5у-2у—5у—у-\- \ 1 =2;
г) iTc_TTc+fic+5e_,=_5-
9. Привести подобные члены н вычислить числовое
значение алгебраического выражения:
а) 4m2—2m—3m2-l~8m при т=— 3;
б) -l,6bc+0,6bc+bc-0,3bc-0,7bc+2bc
при b = — 1, с=—2.
10.	Составить алгебраическое выражение для вычис¬
ления длины отрезка КР (рис. 1). Вычислить (наиболее
К f		Р
о 2jc	2,(о	Рис.	1
рационально) длину отрезка КР при значениях с, ука¬
занных в таблице:
| 1 | 5
10
Длина от резка КР

Самостоятельная работа 15-г
Подобные члены. Приведение подобных членов
Рассмотрим несколько одночленов: —л6; 120а/;
J- а3ху. Каждый in них отличается и буквенными выра¬
жениями, и коэффициентами. Однако часто встречаются
одночлены, отличающиеся только коэффициентами, на¬
пример: —а3с2\ 0,8а3с2; — а3с2.
Одночлены, отличающиеся только коэффициентами
или ничем не отличающиеся, называются подобными.
Упражнения
1. В каких из следующих примеров все члены по-
добны:	2
а) —8,7т8;	2 —т6;	г)	1 — mtik\ — m2k\
б) 9xyk\ —6xkij\	д)	a2b2d\ —b2d2c\	—d2c2a\
в) —0,2 x3y, 0,1 yx3\	e)	—m3np3r\ lnm3rp3.
2. В каждом из следующих примеров выписать толь¬
ко подобные члены:
а) -~Ьс\	—5с&;	&3с2;	5Ь3;	-0,46с;
б) —4,3 а2Ьу; —2,3 by\ ya2b\ aby.
3. Написать три одночлена, имеющих коэффициент
-jp но не являющихся подобными.
О
4. Написать два члена, подобных одночлену +6— d3b.
5. Подчеркнуть различными цветными карандашами
члены многочлена — a-j-3/г—ac-f4a—4£+0,5ac—За-ф8/г
так, чтобы все подобные между собой члены были под¬
черкнуты одним цветом.
Если выражение содержит несколько подобных чле¬
нов, то его можно упростить. Для этого надо сложить
коэффициенты подобных членов и к полученному числу
приписать буквенный множитель члена, например:
—6/г/г2-}-4/?/г2—kn2-\-$knz—5kn2. Коэффициент 5 получен

сложенном коэффициентов: —6+4—1+8 = 5. Такое упро-
тенпе называется п р и иод е и п с м подоб л ы х
ч . / оно в.
(>. Выполнить пршк'донне подобных членов:
а) —6а+3,4а—3(7+0,0(/+о;
б) /^-7/6+0,++,
в) Зау—ау+ 7уа—3шу—4уа\
г) —a-b—4a-b—3ba1—0,2ba1.
7.	Выполнить приведение подобных членов, предва¬
рительно (чтобы не допустить ошибки при подсчете еум-
мы коэффициентов) подчеркнув подобные члены. Все
подобные между собой члены должны быть выделены
одинаково.
а) u—6a—2u+4u—a+2a—u\
б) —1,7х3у3+0, бху — 10.V-V-— 1 Зху;
в) 3abi—5aib—2ba/‘+10bia—пД4—
г) —4ktnn+3t7inp+1 \knip—3kmn+2nuip—kmp\
д) 7a+7ab+7abc.
8.	Решить уравнения:
з) —у—3у+10= 11;
б) 4х—8х— 1 Ох— 7=28;
в) —3b—4b—5b—6b—7=—8;
г) 0,3(1—0,4т—5(7+0,1 (7+14 =—6.
9.	Привести подобные члены н вычислить числовое
значение алгебраического выражения:
а) 3с3—3с—2с3—7с при с =
2	3	1
б) ab- — ab—-—ab-\--—ab-\-5ab—ab при а = 2,
ь=-о,з. 10	15
■2;
10.	Составить алгебраическое выражение для вычис¬
ления длины отрезка АС (рис. 1). Вычислить (наиболее
Рис. 1
3,1 е	е	2jqB
рациональным способом) длину отрезка АС при значе¬
ниях е, указанных в таблице:
е
I
10
100
Длина отрезка АС
I68
I
J

Самостоятельная работа 15-д
Подобные члены. Приведение подобных членов
рассмотрим несколько одночленов:	—21/г2;	2,5	ab\
J- сгх3. Каждый ил них отличается и буквенными выра¬
жениями, и коэффициентами. Однако часто встречаются
одночлены, отличающиеся только коэффициентами, на-
пример: 90аЬ3;	-0,8об’;	ab\
Одночлены, отличающиеся только коэффициентами
или ничем не отличающиеся, называются подобным и.
Упражнения
1. В каких из следующих прпмероз все члены по-
добн ы:
а)	—2.8а°;	Г)	ахУ’>
б)	—5^3с4;	0,5с4Ь3;	д)	3kl2m- -3lk2m\	ЪктЧ\
в)	—15 63с4;	15 64с3;	е)	—px3qhj\ —x3pyq3.
2. Из данных одночленов выписать подобные члены:
а) л'2; — Зл'/гш; — 1-5-л'п2; —5п2х\ 3пх\
б) —17abx3\ —17abx\ 170 abx2\ 1700 abx3.
3. Написать три одночлена, имеющих коэффициент
—4,5, но не являющихся подобными.
4. Написать два члена, подобных одночлену —8а3Ь2с.
5. Подчеркнуть разлйчными цветными карандашами
I члены многочлена 20c-b—2\b-\-2\bc—bc—bc—4bc—4b
так, чтобы все подобные между собой члены были под-
* черкнугы одним цветом.
Если выражение содержит несколько подобных чле¬
нов, то его можно упростить. Для этого надо сложить
коэффициенты подобных членов и к полученному числу
приписать буквенный множитель члена, например:
2х3уз__ 8х3у3—9л+/3+4а+/3= — 1 \х3у3. Коэффициент —11
получился так: 2—8—9+4 = —11. Такое упрощение на-
' ЗЬ1вается приведением подобных членов.
6 Зак. 1925	169

0. Вымол Min ь приведение подобных членов:
а) 0,3ш+2,7т - т —1 т -f 1 От;
б) —г ху—j -v//+3 -у ху-\-ху—ху\
в) ae4-f-2c*fl—9ас4;
г) — 6.V-//-+6i/“.v2—ly-x1— 15л'У.
7. Выполнить приведение подобных членов, предоа,
рнгельно (чтобы не допустить ошибки при подсчете сум.
мы коэффициентов) подчеркнув подобные члены. Все
подобные между собой члены должны быть выделены
одинаково.
а) — 7а-\-ВЬ—3,5л—0,5а—2Ь—Ь;
б) 0,4.v2a-0,8a3-f0,6a.v2-0,2a3;
в) —xM/Si/x2 -f 3//2*4 -j-л'4//2—5.*2 f/4+7 -v2r/4;
г) 2атп-4стп-{-\Ьасп-{-Запт:\-4спт—\0сап;
Д) х+у+2.
8. Решить уравнения:
а) 14-v— 15.v—8=7;
б) л'-Зл'-6л4-9=9;
в) -Зу+4//+5//+6//+7 = 8;
х 3 .	2	.	1	. . 12 . , ,	1
г) 1з	Тз Тз +1з +	Тз’
9. Привести подобные члены и вычислить числовое
значение алгебраического выражения:
а) 7р—р2—2р-\-2р2 при р = — 2;
б) 0,8ax—2,3ах—0,7ах+2ад:+0,2ал'—• Юад;
при а=— 0,5, х=—4.
10. Составить алгебраическое выражение для вычис-
А	м
 1	1	з	1	1
OJy	2fy	у
Рис. 1
ления длины отрезка AM (рис. 1) при значениях у, ука¬
занных в таблице:
У
1 | 10
50
Длина отрезка AM
170

Самостоятельная работа 16-а
Умножение одночленов
Умножим степени с одинаковыми основаниями, на¬
пример одночлен с2 на одночлен сs. Так как с2 = с-г,
а с5 = ОС-С-С-£\ ТО С1-СГ'> = С’С'С’С • с • с • с = с2+5 = с1.
Итак, в этом случае показатель степени произведения
(7) равен сумме показателей сомножителей (2+5).
Вообще, при умножении степеней с одним и тем же
основанием показатели степеней складываются, а осно¬
вание остается прежним.
Примеры: а) а93-а502=а600; б) 3723-3 = 3724.
Упражнения
1.	Выполнить действия:
а) а21-а43;	в) 24-26;	д)	b'°-b;
б) а301-а;	г)	З5 - 3;	е)	е •<?.
Умножим одночлен 8а3//4 на одночлен 2аifk1. Приме¬
няя переместительный п сочетательный законы умноже¬
ния, получим:
8а3//4 • 2 а ifk°- = (8 • 2) • (а3 • а) • (//4 • if) • /е2 = 1 6а4 • if . k\
При умножении одночленов:
1) перемножаются их коэффициенты;
2) находится сумма показателей степеней с одинако¬
выми основаниями (чтобы найти произведение этих сте¬
пеней) ;
3) буквы, входящие только в один сомножитель, бе¬
рутся в произведении с их показателями.
Пример: (—4kGmn3) • (—5k3me) =20k*ni2n2e.
2. Умножить:
а) 0,5а3 на 4;	в) 20а на 0,25а13;
б) а2 на а11;	г)	4а13	на	2а12.
3. Умножить:
а) с на k\	в) с4 на /?10;	д) 22/; на 0,8а30;
б) 8/г на 4р;	г) 5я8 на За5; е) 3/е на 3/е.
с*	ч171

4. выполнить действия;
a) (-12) • ( + .4);	О	(—t\r>//")-(-0,8uU);
б)	—l2a^^■.rн/:,;	л)	Р-(—
b) -12и“-5Ь3;	о)
5.	Ломти произведение одночленов:
о) 15л/у • (>;	д)	(—• ( — <,••'’£);
б) ^i/2, V	e)	(—13///4/Л) • (2n7///~);
в) (—9br)-Gxb2;	ж)	аяЬ<хг,-х2а*Ьк:
г) я'-ЗПг*;	з)	—2,4а12-0,0
6.	Выполнить действия:
а) (-Ь)-(-Ь)-(-Ь).(-Ь);
б) V4 •//*•//*:
в) (4v4)-(--v‘) •(-«*);
г)
7. Нанти числовое значение произведения двух одно¬
членов: IQab н Аа-b при д = 3, Ь = 4.
8.	Чему равна площадь пря-
моуголыюго треугольника, изо-
браженного на рисунке 1? Вычис¬
лить площадь при значениях b,
указанных в таблице:
ь
1
1
2
2
Площадь
треугольника
9. Выполнить действия:
а) 7h-7a\	в) UMI;	д) а'У-д-у;
б) 6 * бЛ;	г)	аь-аь+7]	е)	п-п2-па.
10. Чему равен объем прямоугольного параллелепи¬
педа, ширина которого а сантиметров, а отношение ши¬
рины к длине и высоте равно отношению чисел 1:.3:2?

Самостоятельная работа 16-6
Умножение одночленов
Умножим степени с одинаковыми основаниями, на¬
пример одночлен if па одночлен у2. Так как у°=
= У-У^У‘Ц-У’У, а у2 = у-у, то 1/-у2 = у-у-у-у-У‘У-у-у =
=л/6+2 = /А Итак, в этом случае показатель степени про¬
изведения (8) равен сумме показателей сомножителей
(G-j-2).
Вообще, при умножении степеней с одним и тем же
основанием показатели степеней складываются, а осно¬
вания остаются прежними.
Пример: а) с17-с183=с200; б) 7148 - 7 = 7149.
Упражнения
' 1. Выполнить действия:
а) у-у;	в)	43-42;	д)	с17-с2;
б) л?9-*2;	г) 36-3;	е) s-s8.
Умножим одночлен 12а263р на одночлен 8а5у9. Приме¬
няя переместительный п сочетательный законы умноже¬
ния, получим:
\2a2b3y -Sa5if— (12-8) • (а2-а5) •b3- (у-if) =%a1b?,yl°.
При умножении одночленов:
1) умножаются коэффициенты одночленов;
2) находится сумма показателей степеней с одинако¬
выми основаниями (чтобы найти произведение этих сте¬
пеней);
3) буквы, входящие только в один из сомножителей,
берутся в произведении с их показателями.
Пример: (—6а4х6у) • (+8а6У) = — Ш^х'-чу.
2.	Умножить:
а) 14а8 на 3;	в) 15с на 2с20;
б) b9 на Ь'ц	г)	0,4х5 на 25а15.
173

3. Умножить:
я) х па у\
б)	1 G/г на 4р\
в) s1 на с4;
г) 7хн на 5d'J;
л) 12а пд п ^
О 5"' на
г) (-Ия").(-5«12).
д) (—0--V;
с) — ],I.Vn- ](1//'«.
4.	Выполнить действия:
а) (—18) • (—3);
б) (-kS64).(-3/>-);
в) (—IS/и4) • (-31У-);
5.	Найти произведение одночленов:
а) Юа7>-(2.v);	д)	3,5я3л'2-2лг’//;
б) (-1,2л-^)-Тщ	с)	(—4а8л') • (—2хаь);
в) (—а9) • (—Зал-'1);	ж)	-5a2bna-па;
г) (-/ia)-20/J7sp;	з)	cibcd-cicn.
б.	Выполнить действия:
а) (-»)-(-»)-(-п)-(-п).(-п).(-п);
б) С2’С2-с2-С2-С2-С2-,
в) (-r2).(_.v2).(_//2).(_fl2).(_6=);
г) (-а).(-Ь).(-Ь).(+а)-(-а).
7.	Найти числовое значение произведения двух одно¬
членов 15я.г и 0,оаах при а = 2, х= — ].
8.	Чему равна площадь прямо¬
угольного треугольника, изображен¬
ного на рисунке 1? Вычислить пло¬
щадь треугольника при значениях п,
Рис. J. указанных в таблице:
п | 1
3 | 9
Площадь
треугольника
9. Выполнить действия:
а) 10-10^;	в) 2-2ш;	д) db-dx\
б) 9s-9;	г) ca‘Ca+l;	е) х>х3-хк.
10. Высота прямоугольного параллелепипеда т сан¬
тиметров. Отношение высоты параллелепипеда к ширине
и длине равно отношению чисел 1:1:3. Определить объ¬
ем параллелепипеда.
174

Самостоятельная работа 16-в
Умножение одночленов
Умножим степени с одинаковыми основаниями, на¬
пример одночлен kfl иа одночлен k6. Так как k'i — k-k-k-kt
ъ №=k-k-k-k-k'k, то kk-№=k-k-k’k-k'k-k>k'k'k —
Z==k^+G=k10. Итак, в этом случае показатель степени про¬
изведения (10) равен сумме показателей сомножителей
(4+6).
Вообще, при умножении степеней с одним и тем же
основанием показатели степеней складываются, а осно¬
вание остается прежним.
Пример: а) р93 -+07=/;200; б) 4147 • 4 = 4148.
Упражнения
1. Выполнить действия:
а)	в)	53• 52;	д) + •</;
б) с-с200; г) 52-5;	е) р-р.
Умножим одночлен 0,3а*8 па одночлен 10а-Ь-х’н При¬
меняя переместительный и сочетательный законы умно¬
жения, получаем:
0,3а*8- \ 0a2b2x/i— (0,3-10) (а-а2)/^*8-*1) =3а362*12.
При умножении одночленов:
1) умножаются коэффициенты одночленов;
2) находится сумма показателей степеней с одинако¬
выми основаниями;
3) буквы, входящие только в один из сомножителей,
берутся в произведении с их показателями.
Приме р: (-11 а8+£) - (-3арЧ) = 33а9+/+.
2. Умножить:
а) 6а5 на 8;
б) + па +;
в) 8* на 15*6;
г) 0,2+ на 10+.
175

3. Ум ножи п>:
а)	к iij г;	в) 1л7 и л 20//я;
fi) рь на съ\	г) 7d на ЬЬ\
4. Выполнить действия:
д)	15//J па -L/4s.
О (Jti на ‘Jo
а) ( h7)-(~S);
б) 7л!'- (—.Vs);
в) 7/г41- (—л-»);
г)	(-0,12п3) • Ido*7;
Д) (-д).(-к);
е)
5.	Лапти произведение одночленов:
а) 3х-5тп\	д)	(—Заг'/г2)-(~2Ь/^)-
б) 7агЬ • (—2/0); е) (-бл'У) • (—4//7Л»з);
в) (— л6) • 12r.v3; ж) (—АсРЬх)-2х*Ь\
г) р'1- (—21 а3с5); з) 12и3Ь2с-0,За‘с3.
6.	Выполнить действия:
а) (—т) • (—/п) • (—т)\
б) №-Ьъ-Ьъ-Ь*\
в) Ьъ• аъ• сь ■ а:';
г) (-х)-(-У)-(-х)-(+у)'(-У).
7. Найти числовое значение произведения двух одно¬
членов 2k х и 3£4.v при л' = — 5, £ = —1.
8.	Чему равна площадь прямоугольного
треугольника, изображенного на рисунке 1?
Вычислить площадь треугольника при значе¬
ниях л\ указанных в таблице:
Рис. 1.
X
I | 4
8
Площадь
треугольника
9.	Выполнить действия:
а)	3?у• За; в) 100-100*;
д) ат-ап\
е) У‘У2-Уп-
б)	8"-8; г) х-х*+1\
10.	Длина прямоугольного параллелепипеда р санти¬
метров. Отношение длины параллелепипеда к высоте н
ширине равно отношению чисел 1:0,8:0,5. Определить
объем параллелепипеда.
176

Самостоятельная работа 16-г
Умножение одночленов
Умножим степени с одинаковыми основаниями, напри¬
мер одночлен Ьг> на одночлен /?4. Гак как b'J=b-b-b-b-b,
а Ь'*=Ь -Ь - Ь, то br>- b3 = b • b • b • b ■ b ■ b • b • b = Ь^+3=ЬН. Итак,
в этом случае показатель степени произведения (8) ра¬
вен сумме показателей сомножителей (5+3),
Вообще, при умножении степеней одного и того же
число показатели степеней складываются, а основание
остается прежним.
Пример: а) с99-сш = сш\ б) 12743-12 = 12744.
Упражнения
1. Выполнить действия:
'а) а5-а?;	В) З2-З4;	д)	*3-j;
б)	у-уш\	г) 26-2;	е)	п-п.
Умножим одночлен 5а2/?3 на одночлен 3аЬксъ. Приме¬
няя переместительный п сочетательный законы умноже¬
ния, получим:
5а2/?3 • 3а/?4с5 = (5 • 3) (а2 • а) (Ь3 • /?4) с3= 15а3/?7с5.
При умножении одночленов:
1) умножаются их коэффициенты;
2) находится сумма показателей степеней с одинако¬
выми основаниями;
3) буквы, входящие только в один из сомножителей,
берутся в произведении с их показателями.
Пример: ( — 9а7/?2) -4а6с3=—Зба,3/?2с3.
2. Умножить:
а) 5л'4 на 12;	в) 4а на За8;
б) р3 на /т8;	г) 0,2+ на'10+.
177

Умпожпгь:
(l 11:1 b>	n) k2 k\ д)	ig«	J,6i0
6)	Cm нл Ы;	г) Злл nj 2tf-, 0)	7c	na	7*
4.	Выполнить действия:
•'*) (—3)'(+4);	г) (—0,5л"3) • (-f-0,G.v4);
б)	( Зи~) • (—4а);	д) nG-(—20//ie);
u)	(—3a2) • (—4k);	e) (-x).(-y).
5.	Найти произведение одночленов:
а) I7ab-Sk;	д) 5а2Ь3-всЧ\
б) —6mn-m-;	е) — 3/76//2- (—2/?V);
в) 3r?3-.v4;	ж)	— 1 OT7j^£7 • 0,ва^2-
г) 8£,0-(—6£2);	з) 4аЬ3х2• 2br,xye.
0.	Выполнить действия:
а) (~к).(-к).{~к).(~к).(-к)-
б) A*3-A'3-.V3-.V3;
nj (-a)-(-a)'(-b).(-b).(-b)'
г)	x*-tf-(-Z*)’(-X^).
7.	Найти числовое значение произведения двух одно¬
членов бху и 5.\'2у2 при а*=2, у—3.
8.	Чему равна площадь прямо¬
угольного треугольника, изобра¬
женного на рисунке 1? Вычислить
площадь треугольника при значе¬
ниях к, указанных в таблице:
Рис. 1.
к 1
1 2
5
Площадь
треугольника
,
9. Выполнить действия:
а) 2-2А;	в) 10-10';	д)
б) 5”-5;	г) bk‘bk+l;	е) у-ук'Уь.
10. Длина прямоугольного параллелепипеда b санти¬
метров. Отношение длины параллелепипеда к ширине и
высоте равно отношению чисел 1:0,5:0,4. Определить
объем параллелепипеда.
178

Самостоятельная работа 16-д
Умножение одночленов
Умножим степени с одинаковыми основаниями, на¬
пример одночлен а*3 па одночлен а6. Так как хг=х-хх,
а Л'с = X • X • X • X • X • X, ТО А'3-Х6 = А'-А'-А'• X-X-А* Х-Х'Х —
= л'3+6 = л'9. Итак, в этом случае показатель степени про¬
изведения (9) равен сумме показателей сомножителей
(3+6).
Вообще, при умножении степеней одного и того же
числа показатели степеней складываются, а основание
остается прежним.
Пример: a) /2104-/i296 = /z400; б) 8190• 8 = 8200.
Упражнения
1. Перемножить одночлены:
а) \b-k-k\	в) 23-25;	д) а,0-а5;
б) Ь-6105;	г) З4• 3;	е) m*-m.
Умножим одночлен 769с5 на одночлен 10bcnk3. Приме¬
няя переместительный н сочетательный законы умноже¬
ния, получим:
7б9с5* 10Ьс11/г3= (7-10) ■ (69-6). (с5.с11)/г3 = 70Ь10с16/г3.
При умножении одночленов:
1) умножаются коэффициенты одночленов;
2) находится сумма показателей степеней с одинако¬
выми основаниями (чтобы найти произведение этих сте¬
пеней);
3) буквы, входящие только в один из сомножителей,
берутся в произведении с их показателями.
П р и м е р: 14а86с3-(—За265/г) =— 42а10Ь6с3/г.
2. Умножить:
а) 3if на 6;	в) 166 на 869;
б) А'5 па а8;	г) 0,7с11 на 20с6.
3. Умножить:
а) k на /;	в) х* на х2;	я) 0,8а на 15г®;
б) 14с на 46; г) 23у7 на 2а5;	е) 10х на 10х.
173

4. Вымолим п. действия:
а) (-!о)-(-ЗЧ
б) 15*4-8**):
9)
г)	(-0X0 • (~0,4c'3).
Д) C-(-tl);
е)
о
5.	Найти произведение одночленов:
а) 15<'-	v),	д)	(—ЗяЛд--) • (_o,5Kv7)-
б) л-0,^5-^;	е)	(-8/гЧ*«) • (—G/eVz^)	’
в) л(-бг5);	ж)	(-2л-Д/г) • (-0,1хг)'
r) (-J*) -0,8 Jaw/11’;	з)	mWp'>-rnhj/i*.
(>. Выполнить действия:
а) (-д-н-д-и-Л;
б) (-а‘) ■(-«■'•)■ (-а6) -(-й3);
в) (-a*)-(-0’)-(-c*)-(-tP)-,
г) (~Р) -(-р)-(-р)-(-!>)■ (-*) •
7.	Найт и числовое значение произведения двух одно¬
членов 8£// и 2/>3// при Ь =—2, у= — 1.
8.	Чему равна площадь прямо¬
угольного треугольника, изображен¬
ного на рисунке ]? Вычислить пло¬
щадь при значениях а, указанных в
таблице;
Рис.
a
1
1
2
3
Площадь
треугольника
9.	Выполнить	действия:
а)	7т-7п;	в) 4-46;	д)	хп-хт;
б)	5а-5;	г) bs-bs+2\	е)	у-у3-уа.
10.	Высота	прямоугольного параллелепипеда d сан¬
тиметров. Отношение высоты параллелепипеда к длине
и ширине равно отношению чисел 1:5:1. Определить
объем параллелепипеда.	.	■
180

Самостоятельная работа 17-а
Решение задач с помощью уравнений
Задача. Из 65 вагонов сформировали два состава.
В первом составе на i 1 вагонов было меньше, чем во
втором. Сколько вагонов было во вгором составе?
Р е ш е н п е. В задаче спрашивается, сколько ваго¬
нов было во втором составе. Обозначим это неизвестное
число буквой у. В первом составе было на 11 вагонов
меньше, чем во втором, т. е. (у—11) вагонов. В двух
составах было (у+у—11) вагонов. Это число по усло¬
вию задачи равно 65, так как известно, что в двух со¬
ставах было 65 вагонов. Поэтому у-\-у—11=65.
Все рассуждения в задаче можно провести (п запи¬
сать) короче:
Во втором составе было у вагонов.
В первом составе было (у—11) вагонов.
В двух составах было (у-\-у—11) вагонов.
Но в двух составах было 65 вагонов, поэтому
у-\-у—11=65. Решим уравнение: 2у—11=65; 2у = 76;
У = 38.
Во втором составе было 38 вагонов.
Упражнения
1. В трех бутылках нали-
то 1 — л молока,
4
В первой И второй некими
молоко поровну, а в тре¬
тьем на л больше, чем в —
первой. Сколько молока в
первой бутылке?
Vn
v* yMv + iHl
Рис. 1.
(V+*)a
По тексту этой задачи со¬
ставлен рисунок 1 и уравне-
181

2.	Рассмотреть рисунок 2. Расшифровать уравнен
k—3-\-k-\-k—3 = 50, записав ответы па следующие Т'
прпсы:	°'
а)	Что обозначено буквой k?
о) Что обозначает алгебраическое выражение k~~30
в)	Почему к-З-т-кф-к—З равняется 50?
Решить задачу по данным рисунка 2.
Л. Решить следующие задачи с помощью уравнении:
а)	Сумма двух чисел 10,2. Одно число на 2,5 больше
другого. Нантп эти числа.
и)	Бассейн вмещает 900 куб. м воды и наполняется
двумя насосами. Если оба насоса будут действовать од¬
новременно, то первый накачает на 72 куб. м воды боль¬
ше. чем второй. Сколько кубических метров воды нака¬
чивает второй насос?
4.	Решить задачу по данным рисунка 3, составив
уравнение.
/
/
/
so
Рис. 2
Рис. 3
5. По условию задачи составлено уравнение: р—5+
ту—19. Записать условие этой задачи.

Самостоятельная работа 17-6
Решение задач с помошью уравнений
Задача. Мастер и его ученик изготовили 45 дета¬
лей. Мастер изготовил на 5 деталей больше, чем ученик.
Сколько деталей изготовил ученик? Решим задачу с
помощью уравнения.
Решение. В задаче спрашивается, сколько дета¬
лей изготовил ученик. Обозначим это неизвестное число
буквой х. Мастер изготовил на 5 деталей больше, т. е.
(-V+5) деталей. Мастер и ученик вместе изготовили
(jc-f-*-{-5) деталей. Это число по условию задачи рав¬
но 45, так как известно, что мастер и ученик изготовили
45 деталей. Поэтому *+*+5=45. Все рассуждения в
задаче можно провести (и записать) короче:
Ученик изготовил х деталей.
Мастер изготовил (*+5) деталей.
Ученик и мастер изготовили вместе (*+*+5) де¬
талей.
Ученик и мастер изготовили 45 деталей, поэтому
*+*+5 = 45. Решим это уравнение: 2*+5 = 45; 2* = 40;
*=20.
Ученик изготовил 20 деталей.
Упражнения
1.	Два тома «Детской энциклопедии» и один том
«Библиотеки приключений» стоят 6,2 руб. Том «Детской
энциклопедии» стоит на
1,3 руб. дороже, чем том
«Библиотеки приключе¬
нии». Сколько стоит том
«Библиотеки приключе¬
ний», если оба тома «Дет¬
ской энциклопедии» имеют
одну и ту же цену?
По тексту этой задачи
составлен рисунок 1 и
бруь.20коп.
Х+(ХНЗ) + (Х + 1,3) = б12
Рис. I
183

уравнение. Расшифровать состапленное уравнение, отве¬
тив и,| следующие вопросы:
а)	Чго обозначено буквой д?
п) Что обозначай алгебраическое выражение л'- (- ]
в) Что обозначает алгебраическое выражение Д'ф-л'-f.
+ I.3+.V+I.3?
г) Почему A'-f-л1,3 —f— л* —(— 1,3 равняется 6,2?
2.	Рассмотреть рисунок 2. Расшифровать уравнение;
Рис. 2
fl-f-a-f-a—7= 14G, записав ответы на следующие вопросы:
а) Что обозначено буквой а?
б) Что обозначает алгебраическое выражение а—7?
в) Почему а+а+а—7 равно 146?
Решить задачу по данным рисунка 2.
3.	Решить следующие задачи с помощью уравнений:
а) Сумма двух чисел 10,7. Одно число на 0,8 больше
другого. Найти эти числа.
б) Расстояние между Кошкиным и Мышкиным 130 км.
Из Кошкина и из Мышкина одновременно вышли две
автомашины, которые встретились через 1 час. Опреде¬
лить их скорости, если известно, что скорость одной ав¬
томашины на 10 км в час больше скорости другой.
Рис. 3
4. Решить задачу по данным рисунка 3, составив
уравнения.
5. По условию задачи составлено уравнение -х-\-х—
“-11 = 19. Записать условие этой задачи.

Самостоятельная работа П-в
Решение задач с помощью уравнений
Задача. В математическом и физическом кружках
занимаются 47 учеников. В физическом кружке на 5 уче¬
ников меньше, чем в математическом. Сколько учеников
в математическом кружке?
Решен и е. В задаче спрашивается, сколько учени¬
ков в математическом кружке. Обозначим это неизве¬
стное число буквой х. В физическом кружке на 5 учени¬
ков меньше, чем в математическом, т. е. (х—5) учеников.
В математическом и физическом (х+х—5) учеников.
Эго число по условию задачи равно 47, так как известно,
что в этих двух кружках занимаются -17 учеников. По¬
этому *+*—5 = 47. Все рассуждения в задаче можно
провести (и записать) короче:
В математическом кружке * учеников.
В физическом кружке (а*—5) учеников.
В математическом и физическом кружках (1'+х—5)
учеников.
В этих двух кружках 47 учеников, поэтому
*+*—5 = 47. Решим это уравнение: 2*—5 = 47; 2х = 52;
*=26.
В математическом кружке занимаются 26 учеников.
Упражнения
1. В трех пачках 47 книг.
В первой и третьей пачках
книг поровну, а во второй па 5
больше, чем в первой. Сколько
книг в третьей пачке?
По тексту этой задачи со¬
ставлен рисунок I. Расшифро¬
вать составленное уравнение,
ответив на следующие вопросы:
X книг	(Х+5)книг	Хкниг
47 книг
Х+ (X-t-5) + X —47
- Рис. 4
185

а) Чiо обозначено буквой х?
б) Что обозначает алгебраическое выражение
н) Что обозначает алгебраическое выражение лг-р*7
-f-5-f-x?
1) Почему .v-f (x-f-5) -j-x = 47?
2.	Рассмотреть рисунок 2. Расшифровать уравнение-
0/-2) + (//-2)+//=30, записав ответы на следующие
вопросы:
а) Что обозначено буквой у?
б) Что обозначает алгебраическое выражение у—2?
в) Почему у-2Ч~у—2-\-у равняется 30?
Решить задачу по данным рисунка 2.
3.	Решить следующие задачи с помощью уравнений:
а) Сумма двух чисел 135,5. Одно число на 2,3 меньше
другого. Найти эти числа.
б) Туристы до привала прошли на 11 км больше, чем
после привала. Какое расстояние туристы прошли до
привала, если длина пройденного ими пути 35 км?
4.	Решить задачу по данным рисунка 3, составив
уравнение.
Рис. 3
5. По условию задачи составлено уравнение
7. Записать условие этой задачи.
186

Самостоятельная работа 17-г
Решение задач с помощью уравнений
Задача. В аквариумах Наташи и Иры 36 рыб.
В аквариуме Наташи иа 6 рыб больше, чем в аквариуме
Иры. Сколько рыб в аквариуме Иры?
Решение. В задаче спрашивается, сколько рыб в
аквариуме Иры. Обозначим это неизвестное число бук¬
вой х. В аквариуме Наташи иа 6 рыб больше, т. е.
(x-f-б) рыб. В двух аквариумах (хф-х+б) рыб. Это чис¬
ло равно 36. Поэтому х+х+6 = 36.
Все рассуждения в задаче можно привести (и запи¬
сать) короче:
В аквариуме Иры х рыб.
В аквариуме Наташи (х-}-6) рыб.
В двух аквариумах вместе (x-fx-j-С) рыб.
В двух аквариумах по условию задачи 36 рыб. По¬
этому x+-v+6 = 36. Решим это уравнение: 2хф-6 = 36;
2х = 30; * =15.
В аквариуме у Иры 15 рыб.
Упражнения
1.	Таня, Люся п мама нашли 102 гриба. Люся нашла
грибов столько же, сколько Таня, а мама на 6 грибов
больше, чем Люся. Сколько
грибов нашла Люся?
По тексту этой задачи со¬
ставлен рисунок 1 и уравне¬
ние. Расшифровать состав¬
ленное уравнение, ответив
на следующие вопросы:
а) Что обозначает бук¬
ва х?
б) Что обозначает алгеб¬
раическое выражение х + 6?
102 ГРИБА
А грибов X I рибов (A-Hi) грибов
А' + Л’ + (.\'+6) = 10'2
Рис. 1
187

н) Чю обозначает алгебраическое
г) 11очсму v-f.r-fх-рв равно 102?
л) Чю обозначено буквой d?
ti у MU'it']W_) nyi‘ I «■* I -I j'uun/n. 1У л UUT
Решить задачу по данным рисунка 2.
/
/
\
\
\
\
\
JL
Рис. 2
3.	Составить уравнения по условиям следующих за¬
дач и решить задачи:
а) Одно число на 1,2 меньше другого. Сумма чисел
17,2. Найти эти числа.
б) Скорость течения реки на 18 км в час меньше ско¬
рости парохода в стоячей воде. Пароход по течению за
1 час проплыл 22 км. Найти скорость парохода в стоя¬
чей воде.
4.	Решить задачу по данным рисунка 3, составив
уравнение.
5.	По условию задачи составлено уравнение.
4+//+//=80. Записать условие этой задачи.
Рис. 3
188

Самостоятельная работа 17-д
Решение задач с помощью уравнений
Задача. В двух витринах -Maiaanna выставлено
96 банок консервов. Во второй витрине на 8 банок мень¬
ше, чем в первой. Сколько банок консервов в первой
витрине?
Решение. В задаче спрашивается, сколько банок
в первой витрине. Обозначим это неизвестное число бук¬
вой у. Во второй витрине на 8 банок меньше, чем в пер¬
вой, т. е. (у—8) банок. В двух витринах (у-ЬУ—8) банок.
Это число по условию задачи равно 96, так как известно,
что в двух витринах 96 банок. Поэтому у-fy—8 = 96.
Все рассуждения в задаче можно провести (и запн- *
сать) короче:
В первой витрине у банок консервов.
Во второй витрине (у—8) банок консервов.
В двух витринах вместе (у+у—8) банок консервов.
В двух витринах 96 банок консервов, поэтому
у-{-у—8=96. Решим это уравнение: 2у—8=96; 2у=104;
£/ = 52.
В первой витрине 52 банки консервов.
Упражнения
iiMciui нлищадь о си. i y т Y Y I т г т ; т т • т т ,
Площади первых двух	! $$£?$! § $ ф i Ф Ф Ф $ Ф i
По тексту этой зада¬
чи составлен рисунок 1
и уравнение. Ответить
на следующие вопросы:^
Х + Х + (х+о,М=в
Рис. 1
189

а) 11 то обозначено буквой л?
б) Чго оболычасг алгебраическое выражение x-j-0,8?
вI Чго обозначает алгебраическое выражение х+х-р
+X+0.S?
г) Почему .v-f.v-f.v-f 0,8 равняется 8?
2. Рассмотреть рисунок 2. Расшифровать уравнение
b-j-b-j-b-j-S=56, записав ответы на следующие вопросы:
а) Что обозначено буквой £?
б) Что обозначает алгебраическое выражение 6-f8?
в) Почему b-f-b-f-b-j-8 равняется 56?
Решить задачу по данным рисунка 2.
3.	Решить следующие задачи с помощью уравнений:
а) Одно число на 3,2 меньше другого. Сумма чисел
14,6. Найти эти числа.
б) Расстояние в 3700 км геологи проехали поездом
и пролетели самолетом. Расстояние, которое пролетел
самолет, на J300 км меньше расстояния, которое прошел
поезд. Определить расстояние, которое проехали геологи
поездом.
4.	Решить задачу по данным рисунка 3, составив
уравнение.
Рис. 3
5.	По условию задачи составлено уравнение
Записать условие этой задачи.
190

Самостоятельная работа 18-а
Формула сокращенного умножения (а + Ь)2
Квадрат суммы двух чисел может быть представлен
в виде многочлена. Поясним это на примере квадрата
суммы чисел и н b\ (а-\-Ь)2 = (ci-\-b)	= a--\-ab-\-
-\-Ьа-\-Ьг = а2-\-2аЬ-\-Ь2. Таким образом, имеем:
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
■ Эту формулу называют формулой квадрата
! суммы двух чисел и читают так: квадрат суммы
1 двух чисел а и b равен квадрату первого числа (а-)
плюс удвоенное произведение первого числа на второе
(2ab) плюс квадрат второго числа (b2).
i
Упражнения
1. Проверить, верны ли следующие равенства:
а) (m+я)2 = m2-{-2mn-\-n2\
б) (а+1)2=а2+2а+1;
в) (3k+p)2= (3/г)2+2(ЗЛ) .p-+-/e2=9fe2-b6ftp4-P2;
г) (За+5б)2= (3а)2+2(3а) • (5Ь) + (5Ь)2 = 9а2+
+30а6+2562.
2. Написать квадрат первого числа каждого из сле¬
дующих квадратов суммы:
а) (х+У)2\	в) (7&+5)2;
б) (1 +р)2;	г) (2а3+1)2.
3. Написать удвоенные произведения первого числа
на второе следующих квадратов суммы:
а) (дс+а)2;	B)(T_|_.vj;	д) ^_La+2f>') ;
б) («4-1)=*;	г) (*+4л)2;	б) (4,,Г'+Т)*•
191

4.	Пользуясь формулой квадрата суммы двух чисел
раскрып> скобки:
a) (Ь+г)’;	Л)	(З+И2;
fi) (3 + ь)-;	*')	(l+3bf)2;
и)	(Ь-рз)2;	ж)	(~2~ c~t~3c) ;
г)	(Ь+Зс)2;	з)	(0,5a+4ab)2.
!>. Написать в виде квадрата	суммы следующие мно¬
гочлены:
а) k2-\-2kb-\-b2; в) \-\-2in-\-tn2;
б) 4a2-j-4ab-j-b2; г)	+ р-фр2.
6.	Вместо треугольника п звездочки поставить алге-
браическне выражения так, чтобы было верным равен¬
ство:
а) (a+А)2=а2+4аЬ-}~А2;
б) ( * +3т)2= * +6ш+9/п2;
в) ( * +А)2=9а3+2- * -А + 16;
г)	(*+А)2=А2+тп+п2.
7. Рассмотреть рисунок 1. Объ-
Qb I яснпть только по рисунку, почему
(а + Ь)2 равняется ci2 + 2ab + b2.
8. В каких примерах можно вос¬
пользоваться формулой квадрата
суммы двух чисел:
а) (1+а)*	в)	(а+ЗО2;
Рис I	б)	(х+!/+а)2; г) (Р+тУ■

Самостоятельная работа 18-6
Формула сокращенного умножения (а + Ь)2
Квадрат суммы двух чисел может быть представлен
в виде многочлена. Поясним это на примере квадрата
суммы чисел а н Ь\
-\-Ьа-\-Ь- = аг-\-2аЬ-\-Ьг. Таким образом, имеем:
(a+b)2 = a2+2ab+b*.
Эту формулу называют формулой квадрата
суммы двух чисел н читают так: квадрат суммы
двух чисел а и b равен квадрату первого числа (а2) плюс
удвоенное произведение первого числа на второе (2ub)
плюс квадрат второго числа (b2).
Упражнения
1. Проверить, верны ли следующие равенства:
а) (Р+-7)2 = Р'2+2р<7+о/2;
б) (/71-J-3)2 = ш2-|-2ш• 3 —|— 3“^ = /?72 —6/7i —К9
в) (4a-f 1)2 = (4a)24-2-4a-fl — 16a2-]-8a-f 1;
г) (2/г+7ш)2=(2п)2+2-2я-7//7+(7т)2=4/г2+'
-f-28/zm+49'?i2.
2. Написать квадрат второго числа каждого из сле¬
дующих квадратов суммы:
а) (6-М2;	в)	(Зл'+ЭД2;
б) (Р+1)2;	г)	(5-М4)2.
3. Написать удвоенные произведения первого числа
на второе следующих квадратов суммы:
а) (у+О2;	в)(-Н+|)2;	Л	(Н+4сУ;
б) (3+^)2;	• г)	(у+2,56)2;	е)	(0,5*42)2.
193

•J. По.II.дуясь формулой квадрата суммы двух чисел
раскрыть скобки:	'
а) (*+0s:	Л)	(5+а*)*:
б) (5+*)2;	с)	(1+5аЛ)=;
в) (*+5)2:	ж)	(~2а + Г°к)	''
г) (5a+k)2;	з)	(^4х-f ~ ху
5.	Написать в виде квадрата суммы следующие мно¬
гочлены:	*■
а) c2-j-2c/nв) b2-\-bbc-{-9c2\
б) 1+4х+4х2;
\ 1 , J . ,
г)	7б + Тя+а '
6.	Вместо треугольника и звездочки поставить алге¬
браические выражения так, чтобы было верным равен¬
ство:
а) (Д+6//)2=Д2+12//+36?/2;
б) (с+*)2=с2+4Ьс+*2;
в) (А+*)2=25*3+2А-*+4Ь2;
г) (*+&)*=*4-2uv+ti4'\
Г
Лг
Ьх
Рис. I
7. Рассмотреть рисунок 1. Объ¬
яснить только по рисунку, почему
(b+х)2 равняется Ь2 + 2Ьхф-х2.
8. В каких примерах можно вос¬
пользоваться формулой квадрата
суммы двух чисел:
а) (1+"04;
б) (а+6+Jr)2;
в) (.V+0.2//3)2;
г) (х+ОЖ-У-

Самостоятельная работа 18-в
Формула сокращенного умножения (а + Ь)2
Квадрат суммы двух чисел может быть представлен
в виде многочлена. Поясним ьто на примере квадрата
суммы чисел а и Ь:	(а+Ь)2	= {а-\-Ь) (а-f b) =a--f ab-f
-j-ba-\-b2 = a2-\-2ab-\-bz. Таким образом, имеем:
(а+Ь)2 = а2+2аЬ+Ь2.
Эту формулу называют формулой квадрата
суммы двух чисел и читают так: квадрат суммы
двух чисел а и b равен квадрату первого числа (а2) плюс
удвоенное произведение первого числа на второе (2аЬ)
плюс квадрат второго числа (b2).
Упражнения
1. Проверить, верны ли следующие равенства:
а) (c-M)2=c2+2cd+d2;
б) (1 + 6)2=1+2&+&2;
в) (4т+я)2= (4m)2+2*4m-n+/i2=16m2+8mn-l-n2;
г) (5й+4/;)2=(5/г)2+2-5/г-4/7+(4р)2=25/г2+
-Н0/гр+16р2.
2. Написать квадрат первого числа каждого из сле¬
дующих квадратов суммы:
а) (и+ц)2;	в)	(10п+3)2;
б) (1+х)2;	г)	(4пг3+Ь)2.
3. Написать удвоенное произведение первого числа
на второе следующих квадратов суммы:
а) (т +х)2;	в)	( 3k+~ I J-	д)	(с2+1 )2;
б) (10+О:;	г)	^2ш+у)2;	е>	(“Ч-0,2563)2-
195

4.	Пользуясь формулой квадрата суммы двух чисел
раскрыть скобки:
а) (У+«)'"•	Л)	(‘1+y):
(,) (1+0’-;	О	(0,2х+//)-;
в) (в+л)'.	ж)	(С+3)-;
г) (с+6)’-;	:-i)	(а+Зис)-.
5. Написать в виде квадрата суммы следующие мно¬
гочлены:
а) .6+2.П/+/2;	в)	4+4а+а2;
1 2
б) I6u2-f-8u:'-f-v2; г) — -J- — &+/е2.
6.	Вместо треугольника и звездочки поставить алге¬
браические выражения так, чтобы было верным равен¬
ство:
а) (т+Д )2=л'2+6л‘а +А2;
б) (*+2b)2= *+4Ь+4Ь2\
в) ( *+Д)2=|6ш2+2- * • Д + 9/г2;
г) (*+Д)2= *2+-|-аН-с2.
1 лде
n2
7. Рассмотреть рисунок 1. Объ¬
яснить только по рисунку, почему
(т-\-п)2 равняется т2+2тя+/г2.
—1
8. В каких примерах можно вос¬
пользоваться формулой квадрата
m4
ton
суммы двух чисел:
LJ-
т
~~n	J
а) (с+1)6; в) (17+2,5а2)4;
Рнс. 1
б) (*+c+fl?)2; г) (17+2,5а4)2.

Самостоятельная работа 18-г
%
Формула сокращенного умножения (а + Ь)2
Квадрат суммы двух чисел может быть представлен
в виде многочлена. Поясним это на примере суммы
чисел а и b: (а + 6)2= (a+b) (а+6) ==a2+ab-f 6a-j-b2 =
=	2ab-\-b2. Таким образом, имеем:
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
Эту формулу называют формулой квадрата
суммы двух ч и с е л и читают так: квадрат суммы
двух чисел а и b равен, квадрату первого числа (а2) плюс
удвоенное произведение первого числа на второе (2ab)
плюс квадрат второго числа (b2).
Упражнения
1. Проверить, верны ли следующие равенства!
а) (fc-j-m)2 = fc2-j-2ftm + m2;
б) (4+я)2 = 42+2-4-п+/г2=16+8п+м2;
в) (1+7а)2=12+2-7а+(7а)2=1 + 14аЧ-49а2;
г) (7c+3d)2= (7с)2+2• 7с• 3d+ (3d)2=49c2+42cd+
+9 d2.
2. Написать квадрат второго числа каждого из еле*
дующих квадратов суммы:
а) (/г+/у)2;	в) (c+10d)2;
б) (*+1)2;	г) (4*+3j/3)2.
3. Написать удвоенные произведения первого числа
иа второе следующих квадратов суммы:
а) (я+а)2; в) (1+G&)2; Д) (oj5m+lyyj;
б) (и+9)2; г) (0,5/7+Ь)2; е) (ау-За)2.
197

4.	Пользуясь формулой квадрата суммы двух чисел
раскрыть скобки:
а)	(гп+х)‘; д) (у/г-1-m)*;
6) (1+6)-;
в) (Р+5У-;
г) (0,6+а)-;
с) (а+х2)2;
ж) (x2~ha)2;
з) (0,4x~hlOxi/)2.
5.	Написать в виде квадрата суммы следующие мно-
то члены:
а) k2-\-2nk-hn2;
б) 10-hSx+x2;
в) 1+4с+4с2;
г) 0,25+!/+!/3.
С. Вместо треугольника и звездочки поставить алге¬
браические выражения так, чтобы было верным равен¬
ство:
а) (u-h*)2=a2+8ab + l№2;
б) (х -f- Д)2—.v2+8xi/ -(- А2;
в) (*+Д)з=л*//2+2Д-*+1;
г)	(*+A)*=c2+fc+A*
cd
cd
7. Рассмотреть рисунок 1. Объ¬
яснить только по рисунку, почему
с (c+d)2 равняется c2-h2cd + d2.
8. В каких примерах можно вос¬
пользоваться формулой квадрата
d суммы двух чисел:
Рас.
а) (5+А)7;
б) (m+n+a)'1;
в) (9+*>Я;
г) (9+J?)2

Самостоятельная работа 18-д
%
Формула сокращенного умножения (а + Ь)2
Квадрат суммы двух чисел может быть представлен
в виде многочлена. Поясним это на примере квадрата
суммы чисел а и b:	(a-\-b)'l=	(a-\-b)	=a2-\-ab-\-
лгЬа-\-Ьг=аг^-2аЬ-\-Ь2. Таким образом, имеем:
(а+Ь)2=а2+2аЬ+Ъ2.
Эту формулу называют формулой квадрата
суммы двух чисел и читают так: квадрат суммы
двух чисел а и b равен квадрату первого числа (а2) плюс
удвоенное произведение первого числа на второе (2аЬ)
плюс квадрат второго числа (Ь2).
Упражнения
1. Проверить, верно ли следующее равенство:
а) (/е+/)2 = /г2+2/г/4-/2;
б) (m + l)2=m2+2m4-1;
в) (2/г+3)2= (2/г)2+2-2/г-3-Ь32=4/г2+.12/г+9;
г) (За+5Ь)2=(За)2+2-За.5Ь+(5б)2=9а2+ЗОаЬ-Н
-f-25b2.
2. Написать квадрат первого числа каждого из сле¬
дующих квадратов суммы:
а) (а-Ь*)2;	в) (8а+6)2;
б) (1+ш)2;	г) (5аЧ-Ь)2.
3. Написать удвоенные произведения первого числа
на второе следующих квадратов суммы:
а) (Р+«)2;	В) (0,2р+5(?)2;	д) (m3-\-1)2;
б) (m+5)2;	r)(l + yfd)2;	е) (х+0,Ы/)\
199

4.	Пользуясь формулой квадрата суммы двух чисел,
раскрыть скобки:
a) (Q-W;	л) (1+‘М2:
в)	(а>+1)-=	е> (4а+о);
в) (-ici+p)2;	ж) (д3+0,1)2;
з)	(- - гп4-хт ) .
г) (/>-Но)2;	\ 2	/
5.	Записать в виде квадрата суммы следующие мно¬
гочлены:
а) n2-\-2bri + b2\	в) I +G//-f-9«2;
б) a2-f 18ae-fSk2;	г) -1 +	/«	+	/п2.
6.	Вместо треугольника и звездочки поставить алге¬
браические выражения так, чтобы было верным равен¬
ство:
а) (fi+A)2=№+№b+As;
б) (*-f4r)2=*2fSf-H6e2;
в) (*-{-Д)2=]-{-2-*• Дф-а2Ь2;
Г) (*+A)2=a*-f-2fl2b2-f Д2.
*
7. Рассмотреть рисунок 1. Объяс¬
нить только по рисунку, почему (c-j-y)2
равняется c2 + 2cyi-y2.
8. В каких примерах можно вос¬
пользоваться формулой квадрата сум¬
мы двух чисел:
су
Уг
су
Рис. 1
а) (10О-М)100;
б) (н+я+Ь)2;
в) (4+За2)7;
г) (4+За7)2.