Основы теории синтезированных антенн - Сазонов В.В., Караваев В.В.

Автор: Сазонов В.В. Караваев В.В.
Теги: электротехника радиотехника радио техника
Год: 1974
Похожие
Антенны и устройства СВЧ
Основы радиотехники и антенны. Часть 1
Основы радиотехники и антенны. Часть 2
Антенны и устройства СВЧ
Текст
                    В.В.КАРАВАЕВ
В.В.САЗОНОВ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
СИНТЕЗИРОВАННЫХ
АНТЕНН
В. В. КАРАВАЕВ
В. В. САЗОНОВ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
СИНТЕЗИРОВАННЫХ
АНТЕНН
МОСКВА, «СОВЕТСКОЕ РАДИО», 1974 г.
УДК 621.396.962.629.7
Караваев В. В., Сазонов В. В. Основы теории синтезиро-
ванных антенн. М., «Сов. радио», 1974, 168 с.
В монографии излагаются теоретические основы явлений,
происходящих при синтезировании апертуры. В вводной главе
изложена элементарная теория, охватывающая основные сто-
роны явлений, существенных при синтезировании. В последую-
щих главах дается строгий количественный анализ. Основные
результаты выводятся по ходу изложения с использованием
минимального количества библиографических ссыпок. Это де-
лает книгу доступной широкому кругу читателей.
Кроме традиционных вопросов синтезирования апертуры, ра-
бота содержит ряд новых результатов. В частности, подробно
проанализированы получение изображения дальних космиче-
ских объектов, а также картографирование шумовых радио-
источников методом пассивного синтезирования, используемым
в радиоастрономии.
Книга рассчитана на радиоинженеров и научных работников,
и ее можно рекомендовать аспирантам и студентам старших
курсов радиотехнических и радиофизических специальностей,
интересующимся перспективными методами радиолокации и
радиоастрономии.
36 рис., 13 библ. назв.
Редакция литературы по вопросам космической радиоэлектроники
Валентин Валентинович Караваев
Владимир Васильевич Сазонов
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
СИНТЕЗИРОВАННЫХ АНТЕНН
Редактор В. Ю. Севастьянова
Художественный редактор 3. Е. Вендрова
Обложка художника Б. Л. Николаева
Технический редактор Г. А. Мешкова
Корректоры: М. Ф. Белякова, 11. в. Панкина
Сдано в набор 31/1 1974 г.
Формат 84 X Юв’/зг
Объем 8,82 усл. печ. л.,
Тираж 7000 экз.
Подписано в печать 4/VI 1974 г. Т-09648
Бумага типографская № 2
8,668 уч.-изд. л.
Зак. 57	Цена 52 коп.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693.
Набрано в московской типографии № 13 Союзполиграфпрома
при Государственном Комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, Б-5, Денисовский пер., 30.
Отпечатано в типографии изд-ва «Советское радио». Зак, № 1454
30402-0'8'1
046(01)-74
© Издательство «Советское радио», 1974 г.
Предисловие
В последнее десятилетие предложен и широко развива-
ется метод повышения угловой разрешающей способности
антенн, основанный на принципе построения синтезиро-
ванной апертуры. Этот принцип заключается в использо-
вании движущегося совмещенного приемно-передающего
устройства, при движении которого происходит излучение
зондирующих и запись отраженных от наблюдаемого
объекта сигналов. В результате когерентной обработки
записанного сигнала достигается такой же эффект, как
если бы использовалась антенна с раскрывом, равным
удвоенной длине пути, пройденного приемопередатчиком
за время его работы. Описанный метод получил в лите-
ратуре название синтезирования апертуры. Высокая раз-
решающая способность, сравнимая с разрешающей спо-
собностью оптических систем, а также возможность
работы в любое время суток независимо от метеороло-
гического состояния атмосферы, обусловили успешное
использование систем с синтезированной апертурой для
картографирования земной поверхности.
Впервые принцип синтезирования был предложен в
1961 г. Д. Катроной и его сотрудниками для повышения
разрешающей способности при картографировании мест-
ности [1]. В последующие годы системы, основанные на
этом принципе, нашли широкое применение и для дру-
гих целей.
Вопросы, связанные с теорией и проектированием та-
ких систем, к настоящему времени представлены доста-
точно большим числом журнальных статей и тремя мо-
нографиями (Реутов А. П., Михайлов Б. А., Кондратен-
ков Г. С., Байко Б. В. Радиолокационные станции боко-
вого обзора. «Сов. радио», 1970; Harger R. О. Synthetic
aperture radar systems: theory and design, Academic
press, New York — London, 1970; Буренин H. И. Радио-
локационные станции с синтезированной антенной, «Сов.
радио», 1972).
Однако, несмотря на большое количество работ, по-
священных этим системам, их исследование нельзя счи-
тать исчерпанным. В имеющейся по этому вопросу ли-
тературе предполагается, что за время распространения
сигнала от передатчика до объекта наблюдения и об-
ратно до приемника носитель радиолокационной станции
1*
3
не успевает сместиться на сколько-нибудь заметное рас-
стояние, так что излучение и прием происходят в одной
точке. Такое предположение, справедливое при картогра-
фировании земной поверхности с самолета, не позволяет
рассмотреть случай картографирования объектов при
большом удалении носителя РЛС. Кроме того, обычно
предполагают, что траектория носителя станции прямо-
линейна. Это предположение на практике выполняется
только при картографировании земной поверхности
с самолета. При использовании же суточного или орби-
тального движения Земли траектории движения приемо-
передатчика в принципе криволинейны, поэтому при
большом времени синтезирования апертуры результаты,
полученные для прямолинейной траектории, нельзя рас-
пространить на этот случай.
В предлагаемой монографии при изложении теоретиче-
ских основ явлений, происходящих при синтезировании
апертуры, указанные предположения не вводятся, что
позволяет существенно расширить круг рассматриваемых
вопросов и получить ряд новых результатов.
Кроме традиционных вопросов теории систем с син-
тезированной апертурой, в монографии подробно проана-
лизированы, в частности, процессы получения изображе-
ний дальних космических объектов, а также картогра-
фирование источников теплового радиоизлучения мето-
дом пассивного синтезирования, используемым в радио-
астрономии. Теория пассивных систем с синтезированной
апертурой недостаточно рассматривалась в литературе,
поэтому в монографии ей уделено большое внимание.
Проводится исследование точностных характеристик и
разрешающей способности пассивных систем. Отмечают-
ся черты сходства и различия принципа пассивного син-
тезирования и апертурного синтеза Райла.
Рассматриваются вопросы о влиянии дестабилизиру-
ющих факторов на работу систем с синтезированной
апертурой.
В начале книги помещена обширная вводная глава,
в которой в доступной форме изложена элементарная
теория, охватывающая основные стороны явлений, су-
щественных для синтезирования. Строгий количествен-
ный анализ с подробным математическим обоснованием
дается в последующих трех главах.
Для< облегчения пользования книгой авторы пред-
почли последовательно, по ходу изложения, выводить
4
все основные результаты, используя библиографические
ссылки в минимальном количестве. Более полную биб-
лиографию интересующийся читатель может найти в
[2, 3, 4].
Авторы считают своим приятным долгом выразить
благодарность чл.-корр. АН СССР С. М. Рытову, про-
смотревшему рукопись книги и давшему ряд полезных
советов, а также д-ру техн, наук Д. С. Конторову за по-
стоянную поддержку и внимание.
Авторы весьма признательны также д-ру техн, наук
Г. С. Кондратенкову и д-ру физ.-мат. наук В. П. Яков-
леву за высказанные при рецензировании рукописи за-
мечания, способствовавшие улучшению книги.
Список основных обозначений
и — частота сигнала
Д<о — допплеровский сдвиг частоты
k = 2тс/Х — волновое число
R(0 — радиус-вектор, направленный от на-
блюдаемого точечного объекта к
приемопередатчику
n (t) = R (t)lR (t) — единичный вектор в направлении R (t)
Ro — радиус-вектор, соответствующий на-
чалу работы системы
Д — вектор смещения наблюдаемого то-
чечного объекта
Д^— проекция вектора Д на плоскость,
перпендикулярную Ro
ДИ —проекция вектора Д на направление
вектора Ro
3 = Д//?о — нормированный вектор смещения
наблюдаемого объекта
5|- Д2/д„
0 = 6^ — угловое смещение наблюдаемого
объекта
ri (О> г2 (^) — векторы траекторий движения стан-
ции при передаче и приеме
г1ц> г2 и—продольные (по отношению к Ro)
компоненты векторов fi и г2
г1±’ г2± — поперечные компоненты векторов Г]
и г2
Р1 = Г1//?о, р2 — г2/Я0— нормированные векторы траектории
Д1
х = 2Д^ <Г1 ± + г2±) “ среднее
арифметическое проекций
траектории на направление попереч-
ного смещения
Т — время синтезирования
хп (t) = —~г-1 хп (t) dt — траекторный момент п-го порядка
ц(О =
dx (t)
dt
а — длина раскрыва реальной антенны
D — длина синтезированной апертуры
О
0 —разрешающая способность по углам
О
R — разрешающая способность по даль-
ности
6
s (f) — сигнал, отраженный от несмещенного
рассеивателя
$д (f) — сигнал, отраженный от рассеивателя,
смещенного на величину А
з (0 (t)dt — функция отклика
2
— функция неопределенности
— со
оУС — нормировочный множитель
К {t' — t) = <s (0	— корреляционная функция случайного
процесса s (t)
т
s (w) = s(f)e~imtdt— спектральное представление случай-
b
ного процесса s (/)
тКОр — время корреляции
ти—длительность импульса
Тп — период повторения импульсов
N — число импульсов в посылке
ф(Р) — диаграмма направленности реальной
антенны
S (<о) — спектр мощности детерминирован-
ного сигнала
М (<о) — спектр мощности шумового сигнала
У (to) — спектр мощности помехи
Na — спектр мощности белого шума
Глава 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
СИНТЕЗИРОВАНИЯ АПЕРТУРЫ
1.1. Принцип активного синтезирования
Под синтезированной апертурой понимают вообра-
жаемую апертуру, образованную единственным прием-
ным или приемно-передающим элементом, установлен-
ным на движущемся аппарате и занимающим в прост-
ранстве ряд последовательных положений. Принимае-
мые во время синтезирования сигналы записываются и
обрабатываются в аналоговых или цифровых устрой-
ствах.
Метод синтезирования апертуры, как и большинство
других радиофизических процессов, допускает описание
на разных, в принципе эквивалентных языках. Выбор
того или иного языка в большинстве случаев не дикту-
ется конкретными условиями задачи, а скорее, является
делом вкуса и привычки. Поскольку данная книга пред-
назначена в основном для радиоинженеров, описание яв-
лений на спектральном языке кажется нам наиболее ес-
тественным и удобным для восприятия. Будем исходить
из хорошо известной ситуации, когда приемник движет-
ся относительно передатчика, вследствие чего возникает
допплеровское смещение принимаемой частоты относи-
тельно частоты излучения.
Если расстояние от приемника до передатчика равно
некоторой изменяющейся во времени величине R(t), то
приемник примет каждую из спектральных компонент
передатчика, сдвинутой по частоте на величину
Д<о = —	(1.1)
где точка означает дифференцирование по времени, со —
частота рассматриваемой гармоники, ас — скорость све-
та. Знак минус в формуле (1.1) означает, что увеличи-
вающемуся со временем расстоянию R(t) (т. е. положи-
тельной производной /?) соответствует кажущееся умень-
шение исходной частоты в приемнике. Заметим, что в
формуле (1.1) не учитывается ряд побочных эффектов,
которые будут приняты во внимание в последующих па-
8
раграфах. Эти эффекты, однако, несущественны для
проводимого ниже элементарного рассмотрения.
Какую информацию можно извлечь, наблюдая сигнал
с допплеровским смещением частоты, если излучаемая
частота ш точно известна? Из формулы (1.1) ясно, что
по А© можно определить величину радиальной скоро-
сти приемника Й. Пусть абсолютная величина скорости
приемника и ее направление точно известны. Если пере-
датчик находится столь далеко, что за время наблюде-
ния угол 0 между нормалью к вектору скорости приемни-
ка и направлением на передатчик остается неизменным,
величина радиальной скорости Й приемника относитель-
но передатчика также остается неизменной и равной
и sin 9 (рис. 1.1). Таким образом, в описанной ситуации
Рис. 1.1. Измерение угловой координаты передатчика по эффекту
Допплера.
Рис. 1.2. Измерение угловой координаты пассивного рассеивателя по
эффекту Допплера.
по величине допплеровского сдвига Дсо и известной ско-
рости v можно найти направление на передатчик, т. е.
величину угла 0. Этот метод измерения угловой коор-
динаты является, в сущности, простейшей реализацией
угловых измерений с помощью синтезированной апер-
туры.
В случае, когда необходимо измерить угловое положе-
ние не передатчика, а какого-либо объекта, рассеивающе-
го радиоволны, его можно «подсвечивать» неподвижным,
9
или, как это чаще бывает, движущимся вместе с при-
емником передатчиком. В последнем случае передатчик
наводит в неподвижном рассеивателе О (рис. 1.2) ток
с частотой о)'=со—этот ток является источником
вторичного поля, воздействующего на приемник. Рассе-
янный сигнал при обратном распространении испыты-
вает вторичный допплеровский сдвиг, так что его часто-
та оказывается равной
= со (1 - ^/с)2 = с» (1 — 2Rlc + (7?/с)2).	(1.2)
В обычных условиях величина R/c очень мала (не пре-
вышает 10-5), так что в формуле (1.2) можно пренеб-
речь второй степенью этого отношения. В результате для
наблюдаемого сдвига частоты находим
Дсо = _ 2RU/C.	(1.3)
Поскольку радиальная скорость 7?=г>зт0, мы можем,
измеряя допплеровское смещение Асо, восстановить угло-
вое направление на интересующий нас объект О.
Рассматриваемая задача немного усложняется, если
отказаться от сделанного вначале допущения о неизмен-
ности угла в процессе синтезирования апертуры (т. е.
в процессе движения приемопередатчика). Это необхо-
димо, если расстояние до рассеивателя не очень велико.
В этом случае величина 0(0 в (1.3) медленно меняется
со временем, и ее можно разложить в степенной ряд
До) = (— 2-ucd/c) sin (0о +	+ ...).	(1.4)
Во всех практически встречающихся случаях можно ог-
раничиться первыми двумя членами такого разложения,
записав (1.4) в виде
До) = (— 2‘Цо)/с) (sin 60 ф- Qi t cos 60).	(1.5)
Входящий в (1.5) коэффициент 01 проще всего найти из
геометрических соображений, рассматривая рис. 1.3.
Здесь А и В — соответственно начало и конец синтези-
рования; АВ — длина синтезированной апертуры, рав-
ная D = vt кля. времени синтезирования Т. Очевидно,
разность 0о — 0(Т) равна углу, под которым синтезиро-
ванная апертура видна из точки О. С другой стороны,
как видно из рис. 1.3, этот угол приблизительно равен
vT cos Qo/Ro, так что для коэффициента 01 находим 01 =
= — v cos 0о//?о- Таким образом, в случае конечного рас-
W
стояния до рассеивателя 7?0 приращение частоты Аси
будет переменной во времени величиной, описываемой
выражением
Да> (/) =
J^«^sin60--^-cos2e0
(1.6)
В сигнале с таким допплеровским смещением часто-
ты содержится информация не только об угловом поло-
жении рассеивателя 0О, но и о расстоянии до него Ro.
При этом по аналогии со случаем обычной апертуры го-
ворят, что синтезированная апертура работает в фокуси-
рованном режиме, или, что то же самое, во френелевской
зоне. В таком режиме можно по
измеренной величине прираще-
ния допплеровского смещения за
время синтезирования найти с оп-
ределенной точностью расстоя-
ние до рассеивателя; направле-
ние на него определяется частью
смещения частоты, постоянной
во времени.
Вкратце ознакомившись с
принципом синтезирования апер-
туры, можно сразу же задать ряд
законных вопросов. Во-первых,
Рис. 1.3. Изменение допп-
леровской частоты при
конечном расстоянии до
рассеивателя.
каковы преимущества описан-
ной угломерной системы по
сравнению с обычными устрой-
ствами измерения угловых коор-
динат? Ведь обычный радиоло-
катор также позволяет за счет сканирования диаграммы
направленности антенны измерять угловые коорди-
наты рассеивающего объекта. Кроме того, зависимость
допплеровского смещения частоты от расстояния до рас-
сеивателя учитывается в формуле (1.6) только малым
множителем ~D/RQ, поэтому фактическая точность из-
мерения дальности оказывается гораздо меньше, чем для
обычного локатора. Как увеличить эту точность? Нако-
нец, приведенные выше простейшие примеры относились
к случаю прямолинейного движения приемопередатчика.
Каким образом, хотя бы качественно, использовать по-
лученные результаты для случая произвольных траек-
торий? Этим вопросам мы и посвятим оставшуюся часть
этого параграфа.
11
Ответ на первый вопрос основан на сравнении раз-
решающей способности по углам для обычной антенны
и синтезированной апертуры. Как известно, разрешаю-
щая способность обычной антенны с линейным размером
D, работающей на длине волны X, определяется соот-
ношением
0=X//)cos9.	(1.7)
Формулу (1.7) можно легко получить из следующих эле-
ментарных соображений. В обычной антенне при нали-
чии только одного источника излучения, находящегося
на угловом направлении 0, фаза наблюдаемого поля
линейно зависит от координаты х вдоль раскрыва, так
что распределение поля по апертуре имеет вид
Е (л) = A exp (io)Z) exp (1	х sin (Q.
Если присутствуют два источника с малым угловым раз-
несением 60 и амплитудами At и А2, то суммарное поле
на раскрыве записывается как
Е (х) — Ai exp (i ад/) exp (i -y^- x sin б) X
X |1 + -y-exp [i-y- x(sin(9 -ф 89) — sin9)J |
Л1ехр(1«)/)ехр( i -— x sin 9 1 X
X [1 + -^-exp (i “T"^cos9-89)J.	(1.8)
В отличие от случая с одним источником, поле Е(х)
промодулировано медленно меняющимся с изменением
х множителем, стоящим в скобках. Наличие этой моду-
ляции является единственным показателем, позволяю-
щим судить о том, присутствуют два объекта или один.
Полагая, что наличие модуляции считается установлен-
ным, если наблюдается по крайней мере один полный ее
период, находим, что 0 — минимальная величина разне-
сения 60 — должна удовлетворять условию (2лД) D X
О
Xcos 0-0 = 2л, откуда следует формула (1.7).
Малый угол 0 характеризует тот минимальный угло-
вой разнос между двумя точечными рассеивателями, при
котором они еще воспринимаются (при соответствующей
обработке сигнала) по отдельности. При меньшем, чем 0,
12
угловом разносе мы не можем на основании анализа от-
раженного сигнала даже приближенно судить о виде на-
блюдаемого объекта. В частности, нельзя решить, при-
сутствует один протяженный либо два изолированных
рассеивателя, что особенно важно для выявления де-
тальных свойств наблюдаемой группы объектов (напри-
мер, земной поверхности).
Чтобы найти разрешающую способность синтезиро-
ванной апертуры, повторим почти дословно приведенные
выше рассуждения, помня лишь, что сигналы двух близ-
ко расположенных рассеивателей отличаются в данном
случае допплеровскими смещениями частоты. Соглас-
но формуле (1.3) отраженные от этих рассеивателей сиг-
налы дадут на входе приемника два синусоидальных
колебания с частотами
coj = о А---sin 9^ ,
<02 = CDQl - -y-sin(6 + 89)J
со (1---~ sin 9----89 cos 9^
и амплитудами соответственно А[ и Аг- Тогда суммар-
ное колебание на входе приемника
5 (/) = At exp (i сох/) [1 + (A2/Aj) exp (i (<o2 — (oj 0]
оказывается промодулированным уже по времени мед-
ленно меняющейся функцией, стоящей в скобках; период
этой модуляции равен 2ir/(o>1 — <п2) = п/<о — 89 cos 9.
Поскольку одиночному рассеивателю соответствует
немодулированный сигнал, будем считать, что утвержде-
ние о наличии двух рассеивателей можно сделать с до-
статочной достоверностью только тогда, когда за время
наблюдения Т модулирующая функция успевает изме-
ниться хотя бы на один период модуляции. Из послед-
него условия найдем угловую разрешающую способность
синтезированной апертуры
9	cos9^ X/2Z) cos9,	(1.9)
где мы учли, что со/с=2л/Х, a D=vT — путь, проходи-
мый приемопередатчиком за время синтезирования Т.
Сравнивая полученное выражение с формулой (1.7)
для разрешающей способности обычной апертуры длины
13
D, мы убеждаемся, что они отличаются лишь множите-
лем 1/2, возникающим из-за того, что для синтезирован-
ной апертуры разрешение обеспечивается в равной мере
за счет движения как приемника, так и передатчика.
Из сказанного ясен ответ на первый из поставленных
вопросов: в системах с синтезированной апертурой мож-
но получить разрешающую способность, недостижимую
в обычных антеннах из-за ограниченности их апертуры.
Апертуру обычных антенн по чисто техническим сообра-
жениям нельзя сделать больше нескольких десятков мет-
ров. В то же время, установив приемопередатчик, на-
пример, на самолете или искусственном спутнике, мож-
но работать с эквивалентными апертурами порядка ки-
лометров и более.
Аналогично можно найти величину разрешающей
способности по дальности 7?. Разница в том, что здесь
измерению подлежит частота, линейно изменяющаяся со
временем по формуле (1.6). В самом деле, пусть имеют-
ся два рассеивателя, расположенные на расстояниях 7?о
и 7?о-|-67?о и имеющие одну и ту же угловую координату
0о- Из формулы (1.6) ясно, что эхо-сигналы этих рассе-
ивателей дадут в приемнике суммарный сигнал вида
$(/) = Аг exp(i<o1/) X
X [1 + 4ехр (1	(1.10)
По-прежнему допускаем, что наличие модуляции в
этом сигнале можно считать с достоверностью установ-
ленным только тогда, когда показатель экспоненты в
квадратных скобках изменится за время синтезирования
не менее, чем на величину 2л. Разрешающая способ-
ность по дальности R находится, таким образом, из
уравнения
= 2 (м/с) № cos20o (1 /7?о ~ 1/(7?0 + Л))-
Учитывая, что 7? < 7?0, разность в круглых скобках
можно записать в виде R/Ro и для разрешающей спо-
собности по дальности найти
J? = (X/2 cos2 0О) (7?O/Z))2.	(1.11)
Можно показать, что такое же выражение (с точностью
до множителя у2) получается и для разрешающей спо-
14
собности по дальности, достижимой с помощью обычной
апертуры размера D. Весьма быстрый рост разрешаемо-
го интервала R (т. е. уменьшение разрешающей способ-
ности по дальности) с ростом расстояния Ro и умень-
шением отверстия D хорошо знаком, например, всем
фотографам (величина R в фотографии называется «глу-
биной резкости»).
Описанный способ измерения дальности, к сожале-
нию, нельзя практически реализовать в радиолокации,
ибо для всех представляющих интерес объектов отноше-
ние Ro/D оказывается слишком большим. Для получе-
ния разрешающей способности по дальности приходится
прибегать к импульсной работе передатчика. При этом,
однако, возникают дополнительные осложнения, связан-
ные с неизбежной для импульсной работы неоднозначно-
стью измерений. Действительно, в случае непрерывного
сигнала можно детально проследить изменение разности
фаз зондирующего и принятого сигналов при построении
синтезированной апертуры. Скорость изменения этой
разности, равная допплеровскому смещению частоты, по-
зволяет однозначно определить направление на рассеи-
ватель. Для сигнала, представляющего собой последова-
тельность коротких импульсов, проследить изменение
разности фаз можно только от импульса к импульсу, не
зная, как эта фаза меняется в промежутках между им-
пульсами. В общем случае этот неконтролируемый фазо-
вый набег составляет величину 2лп, где п=0, 1, 2..., что
соответствует неконтролируемому допплеровскому сдви-
гу частоты 2лп/Тп, где Тп— период повторения импуль-
сов. Из формулы (1.3) следует, что точечный рассеива-
тель, расположенный, например, под нулевым углом 0,
будет казаться находящимся под целым рядом углов 0п,
определяемых уравнением
2тш/Гп = — (2v/c) <о0 sin вп,
откуда
или
где ^x = vTn — шаг синтезированной решетки, т. е. рас-
стояние, проходимое приемопередатчиком за время между
15
импульсами. Для малых разностей 9п+1 — 0„, когда
sin0n+1^sin0„ + Д0соэ0й, период угловой неоднознач-
ности оказывается равным
Д0 = 0я+1 -0n^X/2Axcos0. (1.12)
Рассмотренная угловая неоднозначность несущест-
венна при картографировании объектов, угловой размер
которых меньше периода Д0. В этом случае можно рас-
сматривать лишь углы 0 внутри любой из областей одно-
значности, не учитывая другие области. Иначе обстоит
дело для достаточно протяженных объектов, занимаю-
щих в пространстве угловую ширину, большую Д0.
Проблема устранения неодно-
значности в этом случае зани-
мает центральное место в тео-
рии синтезирования апертуры,
и необходимо подробнее оста-
новиться на методах решения
этой проблемы.
Наиболее простой из них
основан на использовании на-
правленности реальной антен-
ны приемопередатчика, позво-
ляющей при определенных ус-
ловиях отличить истинное на-
правление прихода сигнала от
ложных. Для этого раскрыв
реальной антенны нужно вы-
брать таким, чтобы он разре-
шал угловые направления,
равные периоду неоднозначно-
сти. По формуле (1.7) нахо-
дим, что раскрыв реальной ан-
тенны равен а=2Дх, т. е. ре-
альная антенна должна обеспе-
Рис. 1.4. Заполнение синте-
зированной апертуры раск-
рывом реальной антенны.
чивать по крайней мере двой-
ное перекрытие апертуры, синтезированной за время
(рис. 1.4). По последнему условию, период повторения
сигнала передатчика Тп не должен превышать a/2v, что
жестко ограничивает зону обзора по задержкам сигнала.
Для протяженного объекта при указанных условиях эта
зона не может быть больше периода повторения, т. е.
величины a/2v, что соответствует зоне обзора по даль-
ности сГп/2= (а/4) (c/v) .Таким образом, при импульсной
16
работе синтезированная апертура позволяет произвести
однозначный обзор участков местности, угловой размер
которых равен A0 = Xcos0/n, а размер по дальности
ДД= (п/4 sin е) (c/v), где е — угол наклона луча станции,
отсчитываемый от вертикали.
В тех случаях, когда интересующая нас зона на-
блюдения выходит за границы найденных областей, ее
приходится мысленно разбивать на участки, укладываю-
щиеся в области однозначности, и строить изображение
каждого из них в отдельности. Порядок этого разбиения
принципиального значения не имеет, однако практиче-
ски при обзоре земной поверхности удобно производить
«построчное» синтезирование, как это изображено на
рис. 1.5 [2]. Здесь переход от одной области угловой
Рис. 1.5. Построчное синтезирование протяженных
объектов.
однозначности к другой происходит за счет непрерывно-
го скольжения по земной поверхности пятна засветки
реальной антенны, неподвижно установленной на лета-
тельном аппарате. Особенность такого метода обзора со-
стоит в том, что линейная разрешающая способность в
предельном случае большого времени синтезирования
оказывается не зависящей от расстояния до объекта [5].
Для доказательства справедливости этого утверждения
достаточно заметить, что, как видно из рис. 1.4, точка
объекта О, находящаяся на расстоянии R от апертуры,
переизлучает не все время синтезирования Т, а сущест-
венно меньшее время, порядка T'=QaR/v, где 0а отно-
сится к реальной антенне и при 0 = 0 равна, согласно
(1.7), отношению К/a. Летательный аппарат за время Т'
проходит расстояние D'=KRJa, так что угловая разре-
2 Заказ № 57	17
шающая способность согласно (1.7) оказывается равной
al2R, а линейная — просто а/2, т. е. половине длины рас-
крыва реальной антенны.
Отмеченные ограничения на зону обзора при им-
пульсной работе передатчика можно значительно осла-
бить, если сложным образом модулировать излучаемые
импульсы. Действительно, единственной причиной угло-
вой неоднозначности является наличие промежутков
между импульсами, так как именно за эти промежутки
могут появиться неконтролируемые фазовые набеги. От-
сюда ясно, что угловую неоднозначность можно устра-
нить непрерывным «заполнением» синтезированной апер-
туры сигналом, либо путем двойного перекрытия рас-
крывом реальной антенны. В первом случае используется
непрерывный сигнал, обладающий достаточно быстрой
случайной модуляцией для достижения высокого разре-
шения по дальности. У таких сигналов угловая однознач-
ность обусловлена их непрерывностью, а однозначность
и разрешение по дальности — случайным характером
модуляции, т. е. отсутствием корреляции между значе-
ниями сигнала, взятыми в какие-либо два фиксирован-
ных несовпадающих момента времени. Такой способ,
обеспечивающий также существенный энергетический и
технологический выигрыш, связанный с облегчением ре-
жима работы передатчика, не нашел, однако, практиче-
ского применения из-за отсутствия простых устройств
корреляционной обработки сигналов длительностью в
десятки секунд и более, а также из-за сложности развяз-
ки передатчика и приемника. Следует все же заметить,
что современные методы акустооптики вполне позволя-
ют создать устройства, необходимые для записи корре-
ляционной функции таких сигналов в реальном времени,
так что описанный способ, безусловно, следует признать
перспективным.
Допустимо, конечно, и одновременное использование
обоих способов «заполнения» синтезированной апертуры.
При этом используются зондирующие импульсы доста-
точно большой длины, а остающиеся промежутки между
импульсами перекрываются раскрывом реальной антен-
ны (рис. 1.6). Этот метод позволяет уменьшить длину
реальной антенны а при заданном периоде повторения,
т. е. при заданной ширине зонь! однозначности по даль-
ности. Конечно, увеличение длительности зондирующих
импульсов приводит к необходимости введения соответ-
18
ствующей внутриимпульсной модуляции, обеспечиваю-
щей требуемое разрешение по дальности.
Рассмотрим теперь методы устранения неоднознач-
ности по дальности. Как и для устранения угловой неод-
нозначности, здесь естественно использовать направлен-
ность реальных антенн станции. Ширина диаграммы
Реальна, я антенна
Непреры8нь/й сигнал
Рис. 1.6. Комбинированное заполнение • синтезированной
апертуры.
направленности в вертикальной плоскости выбирается
такой, чтобы освещаемый антенной участок местности
целиком находился в границах области однозначности
(рис. 1.7).
Рис. 1.7. Устранение неоднозначности по дально-
сти за счет направленности реальной антенны.
Второй метод устранения неоднозначности по даль-
ности заключается во введении псевдослучайной модуля-
ции, которой подвергается от импульса к импульсу зон-
дирующий сигнал. В простейшем случае такая модуля-
ция представляет собой чередование знака зондирующе-
го импульса от посылки к посылке по псевдослучайному
коду.
Угловая неоднозначность в этом методе остается той
же самой, что и для простой импульсной модуляции, но
2*	19
неоднозначность по дальности исчезает потому, что зон-
дирующий сигнал становится непериодическим во вре-
мени. Обработка и генерирование такого сигнала весьма
просты. Для этого достаточно в промежутки времени
между посылками коммутировать фазу передатчика на
нечетное число л, а спустя время, необходимое для рас-
пространения до объекта и обратно, аналогично комму-
тировать фазы приемника (например, фазу его гетеро-
дина). В процессе накопле-
наличии продольного движе-
НИЯ.
ния сигнала при облете
апертуры сигналы с ожи-
даемого интервала дально-
стей окажутся в одной и
той же фазе и сложатся ко-
герентно (т. е. по амплиту-
де), в то время как фазы
сигналов с других дально-
стей будут случайно менять-
ся от импульса к импульсу,
а сами сигналы, следова-
тельно, сложатся некоге-
рентно (т. е. по мощности).
Сигналы, складываю-
щиеся когерентно, дают сум-
марную энергию, пропор-
циональную квадрату числа
импульсов N, а складываю-
щиеся некогерентно — про-
сто числу импульсов, т. е.
оказываются в сравнении с
когерентными подавленны-
ми в N раз. Если учесть,
что в реальных условиях
речь идет о числе импуль-
сов порядка десятков тысяч,
то становится ясным, что
описанный метод обеспечи-
вает степень подавления неоднозначности по дальности,
во много раз превышающую достигаемую с помощью
направленных свойств реальных антенн. Подобную об-
работку сигнала можно производить одновременно для
нескольких интервалов однозначности по дальности, су-
щественно расширяя этим зону обзора.
Последний вопрос, который мы рассмотрим в данном
20
параграфе, относится к качественному выяснению влия-
ния вида траектории приемопередатчика на характери-
стики синтезированной апертуры. Необходимость тако-
го исследования достаточно понятна, если для синтези-
рования используется траекторное или вращательное
движение планет и спутников.
Для выяснения роли различных видов движения при-
емопередающей станции рассмотрим сначала плоскую
задачу, изображенную на рис. 1.8. Здесь станция дви-
жется по произвольной траектории, лежащей в плоско-
сти ху, так что угол 0(0 между нормалью и к траекто-
рии и направлением на рассеиватель О, лежащим на оси
у, зависит от времени. Для допплеровского сдвига часто-
ты мы имели зависящее от времени выражение
[см. (1.4)]
Аш = — 2о) [-и (/)/<?] sin 0 (/)•
Сама эта величина еще не характеризует интересующий
нас процесс измерения или разрешения, ибо такой про-
цесс всегда строится только на сравнении наблюдаемых
величин (в нашем случае допплеровских сдвигов) для
различных значений возможных угловых координат и
дальности до рассеивателя. Таким образом, основную
роль играет не сама величина Agj(O, а разность Асо(О —
— Асо'(О, где допплеровский сдвиг Аа>' относится к тому
же моменту времени и характеризует рассеиватель, сдви-
нутый на малый угол 69 или расстояние 67?
(см. рис. 1.8). Для введенной разности находим
а а г л v (О • 0 — 6'	0 + 0'
Дм — Аси — — 4(о —sin —~— cos —т?—
с 2	2
А v (0	.	80 (t) / Q 80	,	. n .	80 \ Zi iO4
~ — 4(u —sin —( cos 0 cos -x—h sin 0sin	). (1.13)
Величина 60 (/), как выяснено ранее, характеризует уг-
ловое расстояние между рассеивателями О и О', а если
рассеиватели находятся во френелевской зоне, то и рас-
стояние 6/?. Последнее определяется при помощи линей-
ного изменения 60 (0 во времени. В случае бесконечно
удаленного источника 60(0 =60о при угловом разнесе-
нии рассеивателей О и О', и 60(0=0 при их радиаль-
ном разнесении.
В практически важных задачах диапазон возможных
изменений углов и дальностей таков, что всегда 60(О<С
<С1. Но в этом случае можно в формуле (1.13) пренеб-
21
рассеиватель,
стики станции
речь вторыми степенями этой величины, что дает для
разности допплеровских частот следующее простое вы-
ражение:
8(о = До) — Д(о' = — 2(о cos 9(/)•89 (/) -~
v ।
= — 2(о89 (/),
где —проекция скорости станции и на плоскость,
перпендикулярную направлению на рассеиватель. Таким
образом, мы показали, что возможность измерения и раз-
решения координат точечных рассеивателей определяет-
ся только поперечным, по отношению к направлению на
[ станции. Поэтому характери-
эванной апертурой, движущейся
по любой сложной траектории,
в точности совпадают с харак-
теристиками, полученными при
замене истинной траектории
ее проекцией на поперечную
плоскость.
Заканчивая качественное
рассмотрение характеристик
синтезированных антенн, оста-
новимся еще на влиянии вида
траектории (которую, учиты-
вая вышесказанное, можно
считать плоской) на распреде-
ление разрешающей способно-
сти по углам. Для этого обра-
тимся к рис. 1.9. Пусть траектория станции лежит в пло-
скости Р, а подлежащий измерению угол 69 между двумя
точечными рассеивателями лежит в какой-либо плоско-
сти S, перпендикулярной Р. Интересуясь только изме-
рениями углов, будем считать, что два изолированных
рассеивателя О и О' лежат в дальней зоне действия син-
тезированной антенны. Тогда в каждый момент време-
ни t разность допплеровских частот от О и О' равна,
очевидно,—	(sin 9(/) — sin0'(/)). Эту разность удоб-
ней записать в векторном виде как 2(о(п— n')v(^)/c, где
п и п'—нормированные векторы из рассеивателей О и О'
в направлении рассматриваемой точки апертуры. По-
скольку мы считаем, что О и О' лежат в дальней зоне
апертуры, то векторы пип' будут постоянны во време-
22
с
Рис. 1.9. Влияние формы
плоской траектории на уг-
ловое разрешение в задан-
ной плоскости.
ни, а их разность направлена вдоль оси х, совпадающей
с линией пересечения плоскостей Р и S. Соответственно,
в скалярное произведение (п — n')v(/) войдет только
проекция vx скорости станции на плоскость S. А это
и означает, что для достаточно малых углов отклонения
от перпендикуляра к плоскости Р диаграмму направлен-
ности можно вычислить, заменив истинную траекторию
эквивалентной, т. е. проекцией истинной траектории на
плоскость, в которой вычисляется диаграмма направ-
ленности. В тех случаях, когда условие малости угловых
отклонений не выполнено, приведенное выше правило не-
сколько усложняется за счет очевидной необходимости
строить свою перпендикулярную плоскость S для разных
возможных угловых координат рассеивателей.
1.2. Принцип пассивного синтезирования
Как известно, предмет обычной пассивной локации —
это исследование объектов, которые сами являются ис-
точниками сильного радиоизлучения. В большинстве
случаев здесь приходится иметь дело с астрономиче-
скими объектами, обладающими собственным радиоиз-
лучением и находящимися на столь больших расстоя-
ниях, что их активная локация невозможна. В данном
параграфе мы покажем, каким образом можно видо-
изменить принцип синтезирования для подобных само-
излучающих объектов. Необходимость перехода к син-
тезированным апертурам здесь, как и ранее, вызвана
стремлением получить большую разрешающую способ-
ность при использовании небольших реальных антен-
ных раскрывов.
В предыдущем параграфе мы видели, что разре-
шающая способность по углам достигается за счет
сравнения допплеровских сдвигов передаваемого и при-
нимаемого сигналов. При попытке без изменения при-
менить этот принцип к объекту, излучающему случай-
ное поле, мы сталкиваемся с тем, что принятый сигнал
не с чем сравнивать, ибо вид случайного спектра излу-
чения не может быть известен заранее. Таким образом,
необходим еще и источник опорного сигнала, которым
в самом простом случае может служить второй прием-
ник, неподвижный относительно объекта. Такая систе-
ма показана на рис. 1.10. Здесь приемник 1 непо-
23
Рис. 1.10. Принцип пассивного
синтезирования.
движен, а приемник 2 движется равномерно и прямоли-
нейно со скоростью v. Информация со второго приемни-
ка по добавочной линии связи поступает на устройство
обработки, куда подается и опорный сигнал, принятый
неподвижным приемником. Каждая спектральная ком-
понента сигнала приемника 2 сдвинута по частоте на
величину Асо =—сои sin 0/с относительно соответствую-
щей спектральной ком-
поненты неподвижного
приемника. Это соотно-
шение позволяет изме-
рить, при известной ско-
рости v, угловое положе-
ние источника 0. Естест-
венно, при таком измере-
нии необходимо исклю-
чить допплеровский сдвиг
во вспомогательном ка-
нале связи.
Принципиальное от-
личие от активного син-
тезирования заключается
здесь в том, что, кроме
задачи измерения допп-
леровского сдвига, возни-
кает еще и задача иден-
тификации в принятом и опорном сигналах спектраль-
ных компонент, между которыми необходимо измерить
этот сдвиг. Для вывода необходимых условий такой
идентификации полезно вспомнить, что представляет
собой спектр стационарного случайного процесса дли-
тельности Т.
Запишем комплексный случайный процесс x(t) с ну-
левым средним в виде интеграла Фурье
оо
х(Л = х (а>)е1ш^(»,
—оо
772
гдех(со)= \ х (/?)
-TI2
Для функции корреляции К (со' — со) спектра х(со)
получаем выражение
24
Т(2
К (со'-о)) = \Х (со) х* (to')) = № к (t'—t) e-^-^dtdt' =
-772
Т/2
= П K{t' — ^Q^'-^-^-^'dtdt',	(1.14)
-772
где K(t'—t) = {x(t)x*(t'))— корреляционная функция
сигнала x(t). Здесь и везде далее угловыми скобками
обозначено статистическое усреднение. Предполагая
время корреляции тКор процесса x(t) гораздо меньшим
времени наблюдения Т, можно перейти в интеграле
(1.14) к интегрированию независимо по f и x=t'—/,
устремив пределы интегрирования по т в ±со. Прини-
мая во внимание, что
Г/2
С	Г а / /	\ >/i Jit sin [(<0' — w) Г/2]
J exp [i —<>)/]	.
-Г/2
оО
а интеграл j К (у) er^dx по теореме Хинчина равен
спектру мощности М ((d), получаем для функции корре-
ляций спектра процесса х(/) следующее выражение:
i \	\ sin [(<о'— <о) г/2]
к («' - Ш) = М (ш) —•
Таким образом, спектр ограниченного по длительности
процесса представляет собой неоднородный случайный
,,	sin [О'— <о)Г/2]
процесс с коэффициентом корреляции —
и дисперсией ТМ ((d). Спектр сигнала движущегося при-
емника имеет ту же форму, что и спектр неподвижного,
но сдвинут на величину Д(п.
Из сказанного ясно, как можно однозначно измерить
сдвиг Лео. Для этого надо воспользоваться обычной кор-
реляционной техникой, но применительно не к самим
процессам, а к их спектрам, т. е. для всех возможных
значений До образовать величину
z (Дсо) =
То значение Д(о, при котором 2 (Дю) максимальна, долж-
но, очевидно, приниматься за оценку истинного доппле-
ровского смещения.
хг (о) Х2 (to -|- Дсо) d®
25
Оценим разрешающую способность описанной си-
стемы пассивного синтезирования. Если имеются два
объекта, соответствующие допплеровским сдвигам Да»
и Да/, то при достаточной величине разности бо> =
=До>—До/ взаимная корреляционная функция /С(о/—а»)
сигналов будет иметь два максимума вблизи истинных
значений этих сдвигов, а разрешающая способность бу-
дет характеризоваться той минимальной разностью 6а>,
при которой эти максимумы еще не сливаются. С до-
статочной точностью можно принять, что это происхо-
дит, когда максимум, отвечающий первому источ-
нику, приходится на первый нуль корреляционной
функции второго. Это произойдет при б<о = 2л/Г, что со-
ответствует угловому разносу между источниками
0 = X/Z)cos0. Сравнивая эту величину с разрешающей
способностью активной системы (1.9), мы убеждаемся,
что они совпадают с точностью до множителя 2. Это
различие связано с тем, что в пассивной системе про-
цесс синтезирования апертуры происходит только при
приеме.
В тех случаях, когда источник находится во
френелевской зоне, в приведенной схеме рассуждений
можно, подобно тому, как это делалось для активной
системы, учесть и изменение угла 0(/) в процессе син-
тезирования, а также вычислить соответствующую раз-
решающую способность по дальности. Впрочем, даже
без подробных выкладок ясно, что разрешающая спо-
собность по дальности для пассивных систем дается
тем же выражением (1.11), что и для активных, но при
половинной апертуре D.
Несмотря на то, что описанная схема пассивного
синтезирования является весьма упрощенной, она охва-
тывает все основные черты вопроса. В самом деле, про-
смотрев еще раз сделанный в предыдущем параграфе
вывод о возможности замены истинной пространствен-
ной траектории станции эквивалентной плоской траек-
торией, нетрудно убедиться, что приведшие к этому
выводу рассуждения в равной мере применимы и к пас-
сивному синтезированию. То же самое, разумеется, от-
носится и к найденной ранее зависимости углового раз-
решения от характера плоской эквивалентной траек-
тории.
В практике важной модификацией описанного прин-
ципа является так называемый апертурный синтез Рай-
26
ла [6], идея которого первоначально возникла из по-
пытки устранения неоднозначности, присущей двухпози-
ционным радиоинтерферометрам. Нам представляется
полезным подробнее остановиться на этом методе как
на практически ценном, а также и потому, что это по-
зволит по-новому взглянуть на принцип пассивного син-
тезирования. Рассмотрим сначала работу обычного
двухпозиционного интерферометра, изображенного на
рис. 1.11. В таком интерферометре для измерения угло-
Рис. 1.11. Схема двухпозиционного интерферометра.
вой координаты 6 источника радиоизлучения сигнал
с одной из позиций, задержанный на время т', смеши-
вается с сигналом другой позиции, после чего эта смесь
интегрируется во времени, так что на выходе устрой-
ства образуется величина
т
Re z (V) = Re (/) (t — <с') dt, (1.15)
о
где s2(0 =^1 (/+т), Т — время синтезирования, а т —
истинная величина задержки, связанная с истинной ко-
ординатой источника 0 соотношением x=D sin 0/с, где
D — база интерферометра. Для оценки величины за-
держки берется то ее значение, при котором функция
Re^(x') максимальна для всех возможных задержек т'.
Соответствующее этому значению задержки угловое
направление Q'^x'c/D принимается в качестве оценки
угловой координаты.
27
Поскольку сигналы Si(/) и «г(0 представляют собой,
как правило, узкополосные процессы, функция Rez(r') =
=Rez(0'D/c) вблизи 0 = 0' имеет косинусоидальную зави-
симость от 0', как это изображено на рис. 1.12. Следст-
вием этого является неоднозначность определения
истинного положения источника. Период неоднознач-
ности, равный h/D, определяется длиной базы интерфе-
рометра, в то время как положение основного максиму-
ма, соответствующего истинному угловому направлению
Рис. 1.12. График выходного сигнала двухэлементного интер-
ферометра.
источника, от длины базы не зависит. Указанное свой-
ство позволяет избавиться от неоднозначности, сложив
ряд интерференционных картин, соответствующих раз-
ным длинам базы. Для этого достаточно, например,
сделать одну из позиций передвижной и помещать ее
последовательно на расстоянии D, D{, ..., Dn от первой.
При таком сложении в точке, соответствующей истин-
ному положению объекта, появится максимум суммар-
ного выходного эффекта, поскольку в этой точке на-
блюдаются максимумы на всех интерференционных
картинах. Во всех остальных точках сложение интер-
ференционных картин произойдет некогерентно, поэтому
выходной эффект будет существенно меньше, чем для
точки истинного положения источника.
Описанный способ подавления неоднозначности но-
сит название апертурного синтеза Райла и связан с опи-
санным ранее принципом пассивного синтезирования.
Чтобы убедиться в этом, достаточно устремить шаг из-
менения базы к нулю, положив D(t)=vt. При этом
28
суммарная интерференционная картина будет иметь
вид
о,
Rez(9')ssRe? z(jS-')dD =
b,
т,
-и Ref 51(/)5*(/-^}^,	(1.16)
rt
где Ti и Т2— моменты времени, соответствующие нача-
лу и концу обработки сигнала, a и D2— расстояния
между позициями в моменты начала и окончания ра-
боты интерферометра.
Если учесть, что в радиоинтерферометрии обычно
приходится иметь дело с узкополосными процессами
вида s(t) = A (Z)exp(icooO> а характерное время флук-
туаций амплитуды A(t) оказывается, как правило, го-
раздо больше времени пробега (Р2—D\)!c=v(T2—Т\)/с
радиосигнала между позициями и в то же время
гораздо меньше времени наблюдения (Т2—TJ, то выра-
жение (1.16) можно упростить, записав его в виде
г3
Re z (О') = v (| 51 (/) |2) Re ехр £ 1<о0 (6 — 9') -у- di =
sin [(к/Х) (6 — op] (Ра-£>,)
(«/Х)(0 —О') А
X Re [ехр {1	(0 —6')(£>2 + О,)}] ® (|S,(О|2>- (1.17)
Как видно из (1.17), зависимость суммарного вы-
ходного эффекта от разности (0—0') определяется как
первым сомножителем, имеющим острый пик шириной
Х/(Т>2—Di) при 0 = 0', так и вторым сомножите-
лем, осциллирующим по (0—0') с периодом 21/(D2+D]) •
Если период этих осцилляций совпадает с шириной
пика первого сомножителя, что возможно лишь при
= 0, то результирующий выходной эффект равен
Re z (9') = v (15, (/) р) [sin ^-(9 - 9') £>, ]/ %. (9 - 9') D,_
(1-18)
с шириной главного пика по (0—0') равной *klD2.
В другом предельном случае большой начальной ба-
зы £>! осциллирующий множитель приводит к быстрым
29
колебаниям выходного эффекта по 0—0' и, следова-
тельно, к неоднозначности интерференционной картины.
Чтобы этого избежать, приходится в качестве выходного
эффекта принимать не Rez(0'), а интерференционную
картину, сглаженную по описанным осцилляциям, т. е.
величину
Tt
|^(0')|2=1?2	|2-	(1.19)
Л
Применяя к входящему в (1.19) интегралу теорему Пар-
севаля и учитывая узкополосность сигналов Si (0 и$г(0»
находим
(г(0')|2 = -и2
1
2тс
2
(о>) S* (<0 + Д(0) d(O
где частотный сдвиг Дсо определяется как Д(в = о)о0,у/с.
Таким образом, синтез Райла при большом началь-
ном расстоянии между позициями сводится к рассмот-
ренной ранее допплеровской корреляционной обработке
при пассивном синтезировании. Принципиальное отли-
чие синтеза Райла от описанного выше пассивного синте-
зирования заключается в неизбежной при дискретных из-
мерениях угловой неоднозначности с периодом Д0 = Х/Дх,
Рис. 1.13. Заполнение апертуры раскрывом реальной
антенны при пассивном синтезировании.
где Дх— шаг синтезируемой решетки. Эта неоднознач-
ность имеет ту же природу, что и в активных системах.
Для ее преодоления необходимо использовать направ-
ленность приемных антенн, диаграммы которых должны
иметь угловую ширину Д0, что соответствует линейному
размеру раскрыва антенны а = Дх. Последнее условие
эквивалентно требованию полного перекрытия синтези-
руемой апертуры раскрывом реальной антенны
(рис. 1.13).
При попытках практической реализации принципа
пассивного синтезирования обычно оказывается, что от-
носительно неподвижного источника движутся оба
30
приемника. Это характерно, например, для одного из
наиболее перспективных методов пассивного синтезиро-
вания, использующего естественное вращение Земли или
иной планеты. Из рис. 1.14 видно, что эффект синтези-
рования здесь создается за счет того, что приемники 1
и 2 находятся в разных точках, и потому движутся
по разным траекториям. Если с помощью такой системы
Рис. 1.14. Система пассивного синтезирования
апертуры, использующая естественное враще-
ние Земли.
рассматривается бесконечно удаленный источник (на-
пример, радиозвезда), то в образовании допплеровских
сдвигов между первым и вторым приемниками играет
роль только их движение друг относительно друга. А это
значит, что в плоскости 5, перпендикулярной направ-
лению на звезду, любой из приемников, например пер-
вый, можно считать покоящимся, в то время как второй
вращается вокруг него по кругу, как показано на
рис. 1.15. Очевидно, максимальное разрешение дости-
гается в плоскости Р, параллельной хорде D эквива-
лентной траектории, а минимальному угловому разре-
шению соответствует плоскость R, параллельная «стрел-
ке» h. Синтезированная апертура всегда имеет вид
части окружности, лежащей в экваториальной плоско-
сти. При малом времени синтезирования, когда разре-
шение за счет «стрелки» h отсутствует, двумерное раз-
решение межно реализовать либо за счет многократно-
го синтеза с разными длинами базы, либо путем ис-
пользования трехэлементного интерферометра с базами
31
«север — юг» и «восток — запад». Как легко сообразить,
в последнем случае в экваториальной плоскости синте-
зируются две ортогональные друг другу апертуры.
Рис. 1.15. Эквивалентная траектория при пассивном синтезировании.
1.3. Построение изображения объектов
в системах с синтезированной апертурой
В предыдущих параграфах при описании принципов
синтезирования апертуры мы рассматривали точечные
объекты. Именно для изолированных точечных объектов
мы находили допплеровские сдвиги спектров и соответ-
ствующие им разрешающие способности. В практике
основной областью применения синтезированной апер-
туры является картографирование протяженных объек-
тов, таких, как отдельные участки местности или целые
планеты. В связи с этим возникает естественный вопрос
о том, как интерпретировать полученные результаты
для протяженных объектов. Этот на первый взгляд три-
виальный вопрос таит в себе немало «подводных кам-
ней», и на него до сих пор нельзя дать исчерпывающего,
даже в качественном смысле, ответа. Поэтому в этом
параграфе нам придется ограничиться лишь достаточно
грубыми моделями явлений, происходящих при построе-
нии изображений протяженных реальных объектов. Та-
кое описание надо рассматривать как введение в соот-
32
Рис. 1.16. Модель протяженного
объекта.
ветствующий круг сложных вопросов, на многие из
которых ответы пока не получены.
Все реальные объекты, если не говорить о зеркаль-
ных поверхностях, обладают обычно мелкой случайной
структурой и единственной информацией, которая тре-
буется от системы картографирования, является прост-
ранственное распределение некоторого усредненного
радиоконтраста такого объекта.
Рассмотрим сначала предельно грубую модель по-
верхности в виде совокупности точечных рассеивателей
со случайными одинаковыми поперечниками рассеяния,
расположенных на слу-
чайных расстояниях h^k
от подстилающей плоско-
сти Р (рис. 1.16). Такая
модель приближенно опи-
сывает реальные шерохо-
ватые поверхности. Что
представляет собой спектр
сигнала, отраженного от
такого объекта? Очевид-
но, если многократные
рассеяния между точками
объекта не играют суще-
ственной роли, то спектр
принятого сигнала будет
равен сумме спектров каждого рассеивателя. Пусть на
площади объекта, отсекаемой установленной выше обла-
стью предельного разрешения 0 = %/2Z), умещается доста-
точно много отдельных рассеивателей. Тогда значение
спектра при частоте со, отвечающее углу 0, фактически
окажется равным сумме множества комплексных слагае-
мых примерно одной амплитуды, но со случайными фаза-
ми, определяемыми 'случайными расстояниями каждого
из рассеивателей внутри угла 60 до подстилающей пло-
скости Р. Большое число рассеивателей внутри 60 позво-
ляет считать выполненными условия центральной пре-
дельной теоремы, по которой спектр принятого сигнала
на каждой составляющей является гауссовским. Таким
образом, спектр (он является также и изображением)
однородной поверхности с 'равномерным распределением
радиолокационного контраста является нормальным
случайным процессом с дисперсией, определяемой теку-
щим радиоконтрастом поверхности и радиусом корреля-
3 Заказ № 57
33
ции порядка Л/2£>. Интенсивность изображения 7, т. е.
квадрата модуля гауссовского сигнала, распределена по
закону Больцмана
/м 1 -//</>
/’(/)= <7>-е
с дисперсией о2 = <А72>, равной квадрату средней интен-
сивности <7>. Это значит, что изображение является
в высшей степени изрезанным.
При сильных флуктуациях для суждения об истин-
ном распределении радиоконтраста необходимо дополни-
тельно сглаживать изображение в области, содержащей
достаточно много характерных масштабов флуктуаций
интенсивности, т. е. по углам, гораздо большим теоре-
тического интервала разрешения X/2D. Известно, что
при таком_усреднении относительная флуктуация падает
как l/V^N, где N— число независимых суммируемых
участков. Таким образом, полученное при усреднении
распределение интенсивности будет повторять реальное
распределение радиоконтраста объекта только в том
случае, когда характерный масштаб изменения радио-
контраста по порядку величины составляет несколько
десятков интервалов углового разрешения 0. А это озна-
чает, что для протяженных объектов реальная разре-
шающая способность оказывается, по крайней мере, на
порядок меньше, чем для точечных. Конечно, разрешаю-
щую способность можно повысить за счет некогерент-
ного сложения изображений, полученных при несколь-
ких сеансах синтезирования.
Описанный эффект не является характерной особен-
ностью только метода синтезированной апертуры. Ана-
логичное уменьшение разрешающей способности наблю-
дается при попытке получить изображение в когерент-
ном свете с помощью обычных оптических систем. На-
пример, лист бумаги, освещенный светом лазера,
приобретает кажущуюся грубую структуру с характер-
ным масштабом порядка величины линейного разреше-
ния глаза. При наблюдении же в естественном свете
описанный эффект не наблюдается из-за случайного ха-
рактера засветки. При этом поля элементарных рассеи-
вателей, попадающих в интервал углового разрешения
оптической системы (или глаза), складываются по ин-
тенсивности. Так как в интервале разрешения обычно
содержится достаточно много элементарных рассеива-
34
телей, результирующая интенсивность оказывается
практически постоянной величиной, пропорциональной
контрасту объекта >в наблюдаемой точке.
Интересно отметить, что в пассивных системах син-
тезирования отмеченный эффект уменьшения разрешаю-
щей способности отсутствует. Это связано с тем, что
радиус корреляции источников теплового поля светя-
щегося объекта, как правило, гораздо меньше интервала
углового разрешения 0. Это приводит к тому, что
в плоскости изображения эффекты полей этих источни-
ков складываются некогерентно, обеспечивая тем самым
усреднение изображения в пределах каждого интервала
разрешения. Поэтому при той же длине апертуры и при
работе с протяженными объектами разрешающая спо-
собность пассивной системы синтезирования фактически
оказывается примерно на порядок выше активной.
Проведенное рассмотрение основывалось на весьма
существенном предположении об отсутствии переизлу-
чения между точечными рассеивателями протяженного
объекта. Это позволило считать, что в процессе синте-
зирования при изменяющемся угле падения первичного
поля и изменяющейся вследствие эффекта Допплера его
частоте фаза вторичных токов в каждой из точек рас-
сеивателя остается неизменной и равной фазе первич-
ного поля. В действительности, каждый протяженный
объект характеризуется некоторой отличной от нуля
областью нелокальности d. Это значит, что величина
вторичного тока в заданной точке объекта А определяет-
ся свойствами объекта и значениями падающего поля
в некоторой окрестности площади d2 около этой точки.
В процессе синтезирования непрерывно меняется угол
облучения объекта полем передатчика, поэтому меняет-
ся и разность фаз падающего поля в крайних точках
области нелокальности d. В свою очередь, это приводит
к непредсказуемым изменениям амплитуды и фазы вто-
ричных токов в любой точке области нелокальности, т. е.
в конечном итоге к нарушению когерентности рассеян-
ного поля. Для того чтобы эта когерентность сохраня-
лась в процессе синтезирования, необходимо потребо-
вать, чтобы изменение разности фаз падающего поля
было гораздо меньше единицы. Последнее условие мож-
но записать в виде <7 cos 0- А0<СХ, где Д0— изменение
угла падения поля в процессе синтезирования. Подстав-
ляя для Д0 приближенное выражение Д0^£) cos 0/7?,
3*
35
мы приходим к следующему ограничению максимальной
длины апертуры: D^XR/dcos2 9.
Для проверки выполнения этого условия па конкрет-
ных моделях рассеивающих тел необходимо знать, хотя
бы приближенно, длину области нелокальности d. В на-
стоящее время, к сожалению, нет достаточных теорети-
ческих или экспериментальных данных для подобных
оценок.
Кроме изменения угла падения поля передатчика,
временная когерентность вторичных токов объекта мо-
жет нарушаться из-за дисперсионных свойств рассеи-
вающего тела, т. е. из-за случайной зависимости фазы
вторичных токов от частоты падающего поля. Возмож-
ность появления такой дисперсии тоже целиком связа-
на с конечной длиной области нелокальное™ и вызы-
вается запаздыванием фазы вторично рассеянного
поля при изменении частоты засветки. Такое запазды-
вание несущественно, если изменение частоты Aco/2n
гораздо меньше обратного времени пробега сигналом
длины области нелокальное™ d, т. е. величины с Id.
Изменение частоты в процессе синтезирования обычно
является следствием переменной продольной скорости
передатчика, например при его движении по криволи-
нейной траектории. В этом случае приведенное условие
налагает ограничение на максимально возможное изме-
нение продольной скорости Kv<^kcld. Последнее усло-
вие, по всей видимости, можно считать выполненным
для всех практически возможных траекторий станции.
Глава 2
АКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
С СИНТЕЗИРОВАННОЙ АПЕРТУРОЙ
2.1. Вид принимаемого сигнала
Проведенное в первой главе элементарное рассмот-
рение охватывает, в принципе, все основные характер-
ные черты и свойства систем с синтезированной апер-
турой. Однако полученные результаты носят в основном
качественный характер. Количественные результаты
должны получиться при более строгом и подробном рас-
смотрении, учитывающем ряд факторов, влияние кото-
рых для простоты было опущено в первой главе. К та-
ким факторам относится, например, несовпадение поло-
жений станции при передаче и приеме, обусловленное
большим временем распространения сигнала до объекта.
В последующих главах в основном будут рассматри-
ваться два круга вопросов — это вопрос о разрешающей
способности (ее анализ будет основываться на изучении
свойств функции неопределенности) и вопрос о возмож-
ных ошибках измерения координат точечных рассеива-
телей, возникающих из-за аддитивных шумов и пара-
зитных флуктуаций параметров системы синтезирова-
ния. Очевидно, для подобного исследования необходимо
прежде всего найти связь между зондирующим и при-
нимаемым сигналами для случая точечного рассеивате-
ля, расположенного в заданной точке пространства.
Кроме того, знание точного вида принятого сигнала не-
обходимо и для построения функциональных схем его>
обработки. Интересно, что в последнем случае из-за
большого времени обработки могут оказаться сущест-
венными эффекты, связанные с релятивистскими поправ-
ками к частоте принимаемого сигнала.
Действительно, релятивистские эффекты дают по-
правку к допплеровскому смещению частоты поряд-
ка 2a>(f/c)2, что соответствует дополнительному набегу
фазы в 2(о(и/с)27’ рад. Если подставить в эту формулу
величину скорости 10 км/с (такой порядок имеет ско-
рость траекторного движения планет и спутников), то
релятивистский эффект дает набег порядка 1 рад уже
37
для траекторий порядка 10 км. Если не принять соот-
ветствующих мер в устройствах обработки для ком-
пенсации этих набегов, они могут существенно нарушить
когерентность принятого сигнала и заметно понизить
эффективность синтезирования. При соответствующей
компенсации релятивистские эффекты оказывают ни-
чтожно малое влияние на рабочие характеристики
системы.
В данном параграфе будет найдена связь между зон-
дирующим и принятым сигналами с учетом возможно-
сти приема и передачи в разных точках и релятивист-
ских эффектов. Эти эффекты фактически полностью
определяются различием хода времени в системах ко-
ординат передатчика, приемника и неподвижной систе-
мы. Известно, что если в неподвижной системе отсчета
между событиями прошло время T=ti—12, а скорость
станции в той же неподвижной системе равна v(Z), то
в системе станции между этими событиями пройдет про-
межуток времени, равный
= J ]Л1 — р2(/) dt, где р (/) = <и
Строго говоря, существуют еще релятивистские эф-
фекты, связанные с преобразованием поляризации и вол-
нового вектора электромагнитного поля при переходе
в движущуюся систему координат. Эти поправки влия-
ют только на амплитуду принятого сигнала и не имеют
тенденции накапливаться за время наблюдения. Учет
таких поправок во всех практических ситуациях оказы-
вается совершенно излишним; более того, в последую-
щем изложении мы вообще пренебрегаем векторным ха-
рактером электромагнитного поля как совершенно не-
существенным для выяснения принципиальных черт
синтезирования.
Итак, задача ставится следующим образом. В мо-
мент времени t=t0 включается передатчик станции, дви-
жущейся в неподвижной системе координат по заданной
траектории. Излучаемый сигнал отражается от непо-
движного рассеивателя О и встречается со станцией
вновь в момент времени t. Требуется найти время встре-
чи и форму принятого сигнала в системе отсчета
станции.
38
Пусть в неподвижной системе координат, связанной
с точечным рассеивателем О, положение станции опре-
деляется зависящим от времени радиус-вектором R(0*
Рассмотрим сначала распространение простейшего сиг-
нала— импульса, излучаемого станцией в момент вре-
мени to в точке траектории R(^o) и описываемого дель-
та-функцией Дирака б(/).
Этот импульс, спустя время R(to)lc после момента
излучения, достигает объекта О и рассеивается на нем.
Считая объект точечным, мы пренебрегаем дисперсией
при рассеянии, т. е. полагаем, что вторичный ток объек-
та характеризуется временной зависимостью вида 6(0-
Рассеянный объектом сигнал снова встречается со стан-
цией в момент времени /, в неявном виде задаваемый
уравнением
t = t‘o + R (t0)/c + R	(2-1)
Здесь R(t)—расстояние от станции до рассеивателя
в момент встречи с рассеянным сигналом. В неподвиж-
ной системе координат сам сигнал может быть, согласно
(2.1), записан в виде
С (t I \------1____ 5 Сt   t   R^tf) + R(^)\ /П OX
где множитель l/R(t)R(t0) описывает уменьшение
амплитуды на пути распространения сигнала. Выраже-
ние (2.2) можно упростить, заменив дальности R(t) и
R(to) некоторой средней дальностью Ro и воспользовав-
шись известным свойством дельта-функции:
где х(у)—решение уравнения f(x, y)=Q. В нашем слу-
чае | дЦдх| ~ 1 + v/c. Отбрасывая амплитудные поправ-
ки порядка v/c, приходим к записи принятого сигнала
в неподвижной системе координат в виде
ММ») = 4-8 (Л,-/„(/)),	(2-3)
^0
где tQ(t)—решение уравнения (2.1).
Пусть теперь зондирующий сигнал в системе отсчета
станции имеет вид s(t), где t — собственное время стан-
ции (здесь и далее тильдой помечены времена, измерен-
ные в системе отсчета станции). В неподвижной системе
39
в точке R(t) соответствующее колебание записывается
в виде
t
О
или
ОО
50(/)= J. so(zoW — *о)^о-	(2.4)
— 00
При распространении до цели и обратно каждый из
дельта-образных сигналов описывается выражением
(2.3), поэтому для сигнала, принятого в неподвижной
системе координат в точке R(t) ив момент времени t,
получаем
оо
so(^ t0) — f $о(^о)^(^о	?о(С)^о-	(2-5)
— оо
Чтобы найти сигнал в системе отсчета станции, доста-
точно в формуле (2.5) вернуться снова к времени t.
Для этого введем функцию t (/), обратную монотонной
t
функции	= §	— р2 (/') и подставим ее в (2.5).
о
В результате для принятого станцией сигнала находим
s(7) = A.s( [	(2-6)
0 VJ	)
В нерелятивистском случае (0 (0—*-0) (2.6) перехо-
дит в выражение
s(/) = -±-s(M0)-	(2-7)
Щ)
При локации близко расположенных объектов можно
пренебречь различием между R(t) и R(tQ). При этом
решением уравнения (2.1) является функция f0 = t—
— 2R(t)/c, и принятый сигнал записывается в следую-
щем простом виде:
s(/)=^-s(z-^F).	<2-8)
40
Таким приближением мы пользовались при элементар-
ном рассмотрении в гл. 1.
В заключение этого раздела кратко рассмотрим слу-
чай, когда сам рассеивающий объект движется по из-
вестной траектории. Тогда можно перейти к поступа-
тельно движущейся системе координат, в которой объ-
ект неподвижен, и рассматривать траектории станции
уже в этой последней системе. При этом, очевидно, при-
менимы все полученные формулы для связи излучаемого
и принимаемого сигналов.
2.2. Функция неопределенности сигналов
в активных системах
Функция неопределенности является в радиолокации
фундаментальным понятием. Эта функция позволяет до-
статочно универсально и наглядно описывать свойства
разрешения и точностные характеристики радиолокаци-
онных устройств. Обычно функция неопределенности
определяется как нормированный квадрат модуля ска-
лярного произведения сигнала, принятого в отсутствие
шумов, на такой же сигнал, но со сдвинутым относи-
тельно первоначального значением какого-либо пара-
метра, подлежащего анализу. Широко используемая в
радиолокации функция неопределенности Вудворда опре-
деляется как
_ 1
~ Ж
где s(tJ со)—принятый сигнал, Д/— задержка сигнала
по времени, До — сдвиг по частоте, который считается
одинаковым для всех спектральных компонент сигнала,
а нормировочный множитель определяется из усло-
вия, что /(0,0) = 1, и равен
со
J |$(Л co)|2dZ
— со
Функция неопределенности дает количественную ме-
ру отличия сигналов, соответствующих двум различным
значениям информативных параметров. Интересно от-
метить, что в случае приема на фоне аддитивного бело-
оо
С s (/, со) 5* (t -|- Д/, си 4- Дю) di 12, (-2.9)
41
го шума функция неопределенности совпадает с квад-
ратом огибающей на выходе линейного фильтра, согла-
сованного с сигналом s(t, со), при подаче на его вход
сигнала со смещением At по времени и Аш по частоте.
Так как операция согласованной фильтрации являет-
ся оптимальной только с точки зрения максимизации от-
ношения сигнал/шум, применение функции неопределен-
ности для рассмотрения разрешающих свойств реальных
систем является в большой степени условным и, пожа-
луй, оправдывается лишь тем, что какой-либо иной об-
щий критерий оптимального разрешения чрезвычайно
трудно сформулировать. Попытки же реализации уст-
ройств, построенных по другим частным критериям, по-
казали, что сравнительно небольшой выигрыш в разре-
шающей способности достигается обычно ценой очень
больших потерь в отношении сигнал/шум и в точности
измерений параметров. Поэтому далее будем пользо-
ваться в качестве характеристики разрешения функцией
неопределенности во введенной ранее форме.
В задачах синтезирования апертуры анализируемы-
ми параметрами обычно являются значения полярного
и меридионального углов и дальности до рассеивателя.
Эта тройка параметров, очевидно, адекватным образом
описывается вектором А возможного смещения рассеи-
вателя относительно некоторого фиксированного поло-
жения в пространстве (рис. 2.1).
Найдем сначала зависимость от вектора А так на-
зываемой функции отклика, определяемой выражением
со
Ф(А)= J 5(7)?д(Г)лгл	(2.Ю)
— со
где s(t)—принятый сигнал, отраженный от несмещен-
ного рассеивателя, а бд(?)— сигнал, отраженный от рас-
сеивателя, смещенного относительно первого на величи-
ну вектора А. Очевидно, функция неопределенности свя-
зана с функцией отклика соотношением
Записывая принятый сигнал через зондирующий соглас-
но формуле (2.6) и принимая во внимание, что зависи-
мость от смещения рассеивателя входит только в вели-
42
чину находим для функции отклика выражение
оо 7о('(0)
Г(А)= J	J /1-₽2(*)^]х
— оо	О
*од ('(О)
Рис. 2.1. Геометрические соотношения при активном синтезировании-
Считая смещение Д настолько малым, что можно пре-
небречь изменением величины ]/" 1 — р2 (/0 (/)) за время
пробега сигналом расстояния Д, аргумент второго сомно-
жителя под интегралом в (2.11) можно представить
в виде
'од (НО)	+
f	f	/1
О	о
*о (' (О)	________ _________________________
~ J dt + V 1-Р2 (4>	(/(?))• (2Л2>
О
43
Переходя к новой переменной интегрирования
z=f0(^(?)) и по-прежнему пренебрегая малыми ампли-
тудными поправками порядка v/c, находим
чр*( Д) = J /1 -₽2(O^)s*(jVi	+
— ОО О	О
+ ]Л -р2(г)-Д?0 (2)J dz.	(2.13)
Дальнейшее упрощение интеграла в (2.13) связано
с тем, что во всех практических случаях зондирующий
сигнал s(t) можно представить в виде
s(7) = X(7)e1<u“r,	(2.14)
где ©о — несущая частота, a4(t) —медленно меняющая-
ся комплексная функция модуляции. Тогда функцию от-
клика можно переписать в виде
Т(Д)= J |Л	/1 -р2(/)dt +
— со О	О
+ Д/0(гЩ1-Р2(г)) X
X ехр [1 <d0]/ 1 — p2(z) AZo(z)]dz. (2.15)
Несложные оценки показывают, что при реальных
скоростях модуляции и траекториях станции различием
Z
между A(z) и	К1 —	можно пренебречь,
о
В связи с этим запись интеграла в (2.13) можно упро-
стить:
У(Д)= js(z)x
X S* (z + д/о (г) /1 -₽2(z)) dz. (2.16)
Таким образом, на функции отклика релятивистские эф-
фекты сказываются лишь наличием множителя 1 — р2 (z)
перед Д^С?)-
Дальнейшим шагом должно быть нахождение явной
зависимости Д?о(^) для заданной траектории станции.
44
При этом ограничиваемся рассмотрением достаточно
узкой области вблизи главного пика функции неопреде-
ленности, что обычно делается в теории антенн, а имен-
но, будем считать, что возможные отклонения вектора А
вдоль какой-нибудь оси координат i подчинены условию
(2.17)
где по-прежнему символ б< означает интервал разреше-
ния по этой оси. Условие (2.17) позволяет, при реальных
скоростях станции, получать выражения для функции не-
определенности, справедливые на протяжении многих
тысяч боковых лепестков, и поэтому не вносит никаких
существенных ограничений.
Величину Af0(z) будем искать, воспользовавшись
уравнением (2.1), которое можно переписать в более по-
дробном виде:
/ — Z — д70 =-b(|R(£) — A|-|-|R(z-f-Д ^,)—А|). (2.18)
Разложим функции в правой части (2.18) в ряды по Д
и А/о. Сохраняя лишь члены первого порядка по ука-
занным величинам, имеем
R (z + Д?о) ~ R (z) + R (z) Д ?0,
| R (z + Д/о) - А | ~ | R (z) + R (г) Д|Г0-Д|~
~ | R (z) J + (R (г) Д?о - A) grad | R (z) | =
= |R(z)| + г>ц (z) Д?о—Anjz), (2.19)
где (г) — единичный вектор в направлении R(z) при
передаче, a v ц(г) — продольная (по отношению к век-
тору пДг)) компонента скорости станции.
Подставляя разложения (2.19) в (2.18), находим
Д?о =	.	(2.20)
°	с (1 + V и (гг)/с)	V 7
Для того, чтобы можно было в явном виде интегриро-
вать далее выражение (2.16), необходимо выразить вхо-
дящую в (2:20) величину пД/) через переменную интег-
рирования z. Для этого воспользуемся уравнением (2.1),
которое будем исследовать методом последовательных
45
приближений. В наших обозначениях это уравнение
имеет вид
t - z = -!-(/?(<) + R (z)).	(2.21)
Здесь величина R(t)/c мало отличается от Ro/c, так что
в качестве нулевого приближения естественно взять
функцию
/° = Z + 7? (г)/с 4- R (Z + 2т0)/с,	(2.22)
где То = Ro/c, a Ro мы определили как значение R(z)
в точке z = О (рис. 2.1). Подставляя это приближение
в правую часть (2.21), находим поправку первого при-
ближения:
й1=1(Л(2)_ад+1(/гГг+,,+»-
V	V X	\	(/	/
-Я(2с0)).	(2.23)
Нетрудно видеть, что уже учет членов порядка б^1 яв-
ляется излишним при ограничениях, налагаемых усло-
вием (2.17) на максимальное значение Л. Действитель-
но, первое слагаемое в (2.23) по порядку величины рав-
но D/c, где D — длина синтезированной апертуры. Для
второго слагаемого легко найти оценку
4 IM* + 'о +	- Л (2<0)] ~
« -L [я (г + 2т„ + Я (2т0)] яг
Поэтому дополнительный набег фазы б^, связанный с по-
правками порядка D/c, согласно (2.17), удовлетворяет
условию
Я “’An D ~ 2тс	2тсДг/1 „1
ОС
а фазовая поправка, пропорциональная (z)H /с)2то, равна
где Т — время синтезирования апертуры. Очевидно, в по-
следнем случае поправка к фазе также гораздо меньше
единицы и может не приниматься в расчет.
46
Таким образом, формулу (2.16) теперь можно пред-
ставить в следующем упрощенном виде:
°° .-------------------
Т(Д)= [ S (г) s* lz 4- у' р*(г2Д[П|(г> + Пг(г)1)^г,
' ’ J ' ’	\	с (’ + vi> (*)/«)	/
—оо
(2.25)
где мы ввели обозначение n2(z) = гц (г + т0 + R (2то)/с)
для единичного вектора в точке приема, соответствую-
щей моменту передачи z. Представляя далее ' гц (z)
в виде
П1 (z) = n10 + V! (z),
где п10 = П1(0), a n2(z) в виде n2(z) = n20 + v2(z), где
n2g — fij (то + R (2то)/с) — орт в точке приема, соответ-
ствующей началу работы передатчика, и ограничиваясь
членами не выше второго порядка по v/c, находим
оо
Ф(Д)= J 5(г)5*^-|__к^Д(п10 + п20)-
—оо
-2АП1.(ЦИ + 4(^У)
+ Д (?! (z) ч- v2 (z))]) dz.	(2.26)
При выводе этого выражения мы. воспользовались тем
фактом, что | Пю—п20| порядка v/c.
Остановимся на физическом смысле отдельных сла-
гаемых в аргументе s* в (2.26).
Слагаемое Д(пю + п2о)/с не зависит от времени и
представляет собой задержку принятого сигнала, завися-
щую от продольного смещения рассеивателя. Эта за-
держка влияет на величину интеграла в (2.26) только
в том случае, если s (z) — модулированный сигнал (для
немодулировэнного сигнала соответствующий сомножи-
тель, равный по модулю единице, выносится за знак ин-
теграла). Для модулированного сигнала элемент разре-
шения по времени равен, как известно, 2л/Д®, где До —
полоса модуляции. Если мы заменим в (2.26) величину
Д(П1о + п2о)/с на 2Дпо/с, то внесем ошибку порядка
Ди/с2, которая по условию (2.17) оказывается гораздо
меньше характерного периода модуляции 2л/Д®. Поэто-
му проводить в дальнейшем в этом члене различие меж-
ду Пю и п20 не следует.
47
Второе слагаемое в аргументе s* в (2.26), равное
2An0t> и (z) /с2, отлично от нуля лишь для смещений по
дальности, как и только что рассмотренное; в него вхо-
дит только параметр vn(z) траектории при передаче.
Это слагаемое представляет собой переменную задержку
сигнала передатчика, зависящую от его продольной ско-
рости, изменяющейся во времени, и обусловливающую
частотную модуляцию сигнала в месте расположения
рассеивателя. Такого рода модуляция не отличается от
модуляции сигнала в самом передатчике и тоже обеспе-
чивает разрешение по дальности. Пусть станция имеет
продольную скорость, переменную во времени (напри-
мер, линейно растущую), т. е. v n(z) = v N 0 4 az. Тогда
без учета всех других эффектов функция неопределенно-
сти имеет вид
= f exp 6	=*
е/1 IJ \ с \	°	/
о
=Н (4 4 (Дпо))]/ (4 4	• (2-27)
Таким образом, разрешение по дальности в этом случае
определяется изменением продольной скорости передат-
чика и равно Д и = (Лп0) = кс^аТ. В обычных условиях,
когда применяется импульсная работа, эффект дополни-
тельного разрешения по дальности, связанный с модуля-
цией частоты из-за переменной продольной скорости,
практически не играет никакой роли.
Слагаемое (Лп0/с) (о±/с)2 описывает аналогичные эф-
фекты для поперечной скорости, но в отличие от только
что рассмотренного является чисто релятивистским. Не-
сложные оценки показывают, что достигаемое за счет
этих эффектов разрешение по дальности во всех возмож-
ных ситуациях чрезвычайно мало и в расчет принимать-
ся не должно.
Наконец, слагаемое A(vi(z) 4^г(^))/с определяет
разрешение синтезированной апертуры по углам и (для
немодулированного сигнала) по дальности. Чтобы запи-
сать его в более привычной «оптической» форме, разло-
жим вектор vi (z) по степеням малого вектора смещения
Pi(z) =Г1(г)/7?о, описывающего траекторию передатчика
(см. рис. 2.1). Имеем
П1 (г) = R (z)/1R (г) I = (Ro 4 (z))/ ] Ro 4 П (z) | =
- (ti0 4 P1) (1 - noP1 - (p2 -3 (P1n0)2)/2). (2.28)
48
По установившейся терминологии члены первого поряд-
ка по малому параметру рл в (2.28) носят название фра-
унгоферовых, а второго порядка — френелевских. Более
высокой точности в наших условиях не требуется.
Итак, ограничиваясь френелевским приближением,
т. е. оставляя в (2.28) слагаемые не выше второго поряд-
ка по р 1, находим
СО = - п0р2±/2 - Р11 (Р1II - 1),
где pi и = (порл) n0, pi 1 = Pi — pi и •
Если объект находится во фраунгоферовой зоне, т. е.
выполнено условие р^ <С hRo, в разложении надо оста-
вить только первые степени pi, что дает vi(z) = рц (г).
Для вектора V2(z), относящегося к точке приема, анало-
гичные формулы получаются заменой рДг) на Ps(z) =
= р 1 (z + 2то). Заменять вектор п10 на П20 не следует, так
как по условию (2.17) это нарушает выбранную степень
точности.
Если для относительного смещения рассеивателя вве-
сти обозначение 6 = A/Ro, то, учитывая все сказанное
ранее, в том числе возможность пренебрежения реляти-
вистскими эффектами, находим искомое выражение для
функции неопределенности:
оо
Q/1 | J	\	С \ С 1
— оо
В I г, .	В . г9 I
-------— Pill)--------------------— P2||) +

(2.29)
Константа £££ в (2.29) выбирается из условия, что
/ (0) = 1. Относительные смещения рассеивателя о и и 8±
определяются выражениями 8ц=8п0, 8± = 8 — п0 (8п0)
и представляют собой соответственно скалярное продоль-
ное и векторное поперечное смещения.
При дальнейшем анализе выражения (2.29) будем
пренебрегать членами порядка рц =Гц/К0 по сравнению
с единицей. Это оправдывается малостью дополнитель-
ного слагаемого <*>8_Lr1p м/г? по сравнению с основным сла-
гаемым (о§±г±/с, определяющим угловую зависимость
/ (8). Чтобы это дополнительное слагаемое приобрело
4 Заказ № 57
49
существенную величину порядка 2тс, необходимо сме-
ститься в область углов S± порядка Х/г±рц
« 20/?o/Z), где 6 — элемент углового разрешения, рав-
ный \l2D. Таким образом, учет продольного движения
(т. е. учет р„ в формуле (2.29)) приводит только к не-
которому плавному смещению очень дальних (с номером
RJD) боковых лепестков функции неопределенности.
Поскольку дальние боковые лепестки из-за их малости
не представляют большого интереса, в дальнейшем
будем записывать I (3) без учета продольных движений
станции
ОО	Л *
1 С	/	2Д„ /
/(S)=dH J
—оо
у,, (О
с
d	Ь	\	2
----(п± + г2±) + “2^Г (г1± "I-Г21)]	 (2.30)
С целью дальнейшего упрощения формы записи (2.30)
обозначим через x(t) среднее арифметическое из проек-
ций векторов Г! (/) и г2 (£) на направление поперечного
смещения Д±, т. е. x(t) — (14 (/) + r2 (^)) i/2, где i — орт
в направлении вектора В±. Вводя более привычное обо-
значение для угловой координаты S± = 0 и обозначения
т Ц = Д и /с и рг (/) = г2± (/) + г2± (/), представим выраже-
ние для функции неопределенности I (3), исследованию
свойств которой будут посвящены последующие разделы
настоящей главы, в виде
1 । г	/	I	V„ (/) \
/(8|,’6)==^| j s(z)s*(z+2^
—оо
-^+ (2-з1)
2.3. Свойства функции неопределенности
для немодулированного сигнала
В предыдущем параграфе был отмечен ряд эффек-
тов, определяющих свойства разрешения системы с син-
тезированной апертурой. В этом разделе будет проведено
их количественное исследование, причем для удобства
50
будем рассматривать каждый из эффектов отдельно,
предполагая, что остальные отсутствуют. В дальней-
шем можно без труда объединить полученные резуль-
таты.
Рассмотрим эффекты направленности и фокусировки.
Они определяются последними двумя слагаемыми в ар-
гументе s* выражения (2.31). В отсутствие модуляции
принятого сигнала, вызванной как модуляцией зонди-
рующего сигнала, так и продольным ускорением носите-
ля станции, находим
т
С I . шп
\ехр р-/
/(8"’e)=i
29х (/)
2
. (2.32)
о
Рассмотрим сначала раз-
решающую способность си-
стем с синтезированной
апертурой по угловым коор-
динатам, положив 6 и = 0.
Будем считать, что интере-
сующее нас поперечное сме-
щение лежит в произ-
вольной плоскости (xz),
причем ось z направлена в
некоторый условный центр
исследуемой области про-
странства (рис. 2.2). Тогда
Z(6) =
в и/,*(/)
2Я0
di
Рис. 2.2. К выводу зависимости
функции неопределенности от
угловой координаты.
Учитывая, что I (0) =
= Т2/Ж= \ и переходя к ин-
тегрированию по оси х введенной нами системы коорди-
нат, нетрудно полученное выражение переписать в виде
о
(2.33)
где w(x) = dxjdt— проекция скорости станции на ось х,
зависящая от пространственного положения станции.
Итак, функция неопределенности по угловой коорди-
нате представляет собой с точностью до постоянного
4*
51
множителя преобразование Фурье от функции \/v(x).
Выражение (2.33) аналогично выражению для диаграм-
мы направленности линейного синфазного раскрыва
с амплитудным распределением, описываемым функцией
1/и(х). Такого рода диаграммы хорошо известны [7],
поэтому подробного исследования выражения (2.33) про-
водить не будем. Отметим лишь, что в простейшем слу-
чае равномерного и прямолинейного движения станции
выражение (2.33) принимает вид
I (0) = [sin» (^-Ds)]/(^ De)2,	(2.34)
где D = vT — полусумма длин проекций на ось х апер-
тур, синтезированных при приеме и передаче. График
функции (2.34) изображен на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Функция неопределенности по угловой
координате для немодулированного сигнала.
В том случае, когда станция движется вдоль оси х,
а расстояние до объекта невелико (время распростране-
ния сигнала до объекта гораздо меньше времени синте-
зирования), величина D в (2.34) представляет собой дли-
ну синтезированной апертуры. Из (2.34) следует, что
разрешающая способность 0, определяемая по ширине
главного лепестка, равна 0 = %/2£>, причем D зависит от
52
ориентации плоскости, в которой лежит угол 0. При кар-
тографировании близко расположенных объектов, когда
прием и передача сигнала происходят практически в од-
ной точке траектории станции, величина D максимальна
в случае измерения углов, лежащих в плоскости аперту-
ры, и равна нулю при измерении углов в перпендикуляр-
ной плоскости. В общем случае угловая разрешающая
способность определяется движением станции как на
приеме, так и при передаче. Максимальное угловое раз-
решение будет в той плоскости, для которой максималь-
на сумма проекций апертур приема и передачи на ось х.
Ясно, что в случае прямолинейного движения станции
всегда существует плоскость, в которой угловое разре-
шение отсутствует. Для того чтобы угловое разрешение
сохранялось для всех плоскостей наблюдения, необходи-
мо, чтобы траектория станции либо на приеме, либо на
передаче, либо в обоих случаях была криволинейной.
Уместно заметить, что вариации скорости станции и(х)
при синтезировании апертур весьма малы, и их влияние
на функцию неопределенности (2.34) сводится к малым
поправкам. Поэтому выражение (2.33) можно прибли-
женно вычислить с любой степенью точности, разлагая
функцию l/v(x) в ряд по степеням х и выражая полу-
ченный результат через производные различных поряд-
ков от (2.34).
Если одновременно б и и не равны нулю, точное
исследование выражения (2.32) затруднительно. Поэто-
му для произвольного движения станции исследуем пове-
дение функции неопределенности в окрестности главного
лепестка (т. е. при малых 6), а полное исследование этой
функции проведем лишь для равномерного прямолиней-
ного движения.
Исследование главного лепестка тем более интересно,
что вид функции неопределенности вблизи главного мак-
симума определяет, как это будет показано далее, потен-
циальные точностные характеристики системы с синтези-
рованной апертурой. В области главного максимума экс-
поненту, входящую в выражение (2.32), можно разло-
жить в ряд, сохраняя лишь члены второго порядка мало-
сти по 8,
т
2
Z(8|b&) =
о
ь,1 Р2(О 11
2/?0 JJ
53
т
= -Д g ехр f 1[29(х(0 -	-
О 1
± й!1 “	Л20 (х (t) ~х ° ~
о
В..	12)
-^(/’ЧО-У’ЧО)] \dtdt'.
Вводя далее обозначения для траекторных моментов
т	т
M2 = -^r[x2(t)dt-(^r^ x(t)dt^-,
о	о
т	/	т	\
Мг = ±ЛрЩ) x(t)dt-{-^^p2(t)dt\x
о	\	о	/
(т	\
(2.35)
О	'
Т	/	Т	\2
О	\ lO	/
находим выражение для функции неопределенности
вблизи главного максимума
1 (»„.о) -1 - т2	+w4 (2.зб)
\ л /	4/\g	ч®
Кривые постоянных уровней I (&ц\6) представляют собой соосные
эллипсы с углом наклона а, определяемым соотношением
tg 2а =______—___________——	(2 37^
8 (Л37>
и эксцентриситетом
/1 + (М2 уИ4 4- М1)132М1#1
1 + (ЗМ2М4 + Aff)/64Af|^ ‘	(2’38)
Сечение главного максимума функции неопределенности представ-
лено на рис. 2.4. Как следует из формул (2.37) и (2.38), с увеличе-
нием 7?о угол наклона эллипсов уменьшается, а эксцентриситет
стремится к единице.
54
Поскольку формула (2.36) справедлива только вблизи
главного максимума /(8ц,6), здесь нельзя разрешаю-
щую способность характеризовать шириной функции
неопределенности по ее первому нулю. Правильнее для
приближенной оценки разрешающей способности взять
ширину / (Ви, 9) на половинном уровне. Учитывая ма-
лость угла наклона эллипса а, для разрешающей спо-
собности 6 по угловой координате 9 находим
Q =	(2.39)
Рис. 2.4. Сечение функции неопределенности /(Тц,6) = const
для смодулированного сигнала.
а для разрешающей способности по дальности —
(2.40)
BJ простейшем случае равномерного и прямолинейного
движения и при условии т0 Т

8l(^O,8U?o/ZX
(2.41)
(2.42)
Полученные формулы с достаточной точностью соответ-
ствуют значениям разрешающей способности, найденным
в гл. 1, и основанным на определении разрешающей
способности как полуширины функции неопределенности
по первым нулям.
Более детальное исследование свойств функции не-
определенности можно провести, ограничиваясь случаем
равномерного и прямолинейного движения, когда
x(t) = vt, а р2 (/) =
55
В этом случае функция неопределенности (2.32) прини
мает вид
/(8||.8)=4
(2.43)
Р о— /	w8 и /2\
expi-^- (29 vt-------op-1 dt
t)	A \	^*>0	/
0
Интеграл в (2.43) сводится к табличному, так что
- 2*8 ]/	+ s ]/w)]2)’ <2'44)
где через С(х) и S(x) обозначены интеграл-косинус
и интеграл-синус Френеля
С (х) = ~7-2— \ cos /2 dt, S (х) = sin Р dt.
v у 2л J	v '	/2г. J
г о	о
В начале этого параграфа мы рассмотрели функцию
неопределенности в зависимости от угловых координат
наблюдаемого объекта. Формулу (2.33) легко получить
из выражения (2.44) предельным переходом (т. е.
устремлением бц к нулю).
Рассмотрим разрешающую способность по дальности,
считая, что поперечные отклонения объекта отсутствуют,
т. е. di = 0. Тогда функция неопределенности (2.44)
принимает вид
I (8ц) - (’,'2^8,i)[C2(/J8;) + S2 (У^)],	(2.45)
где g = ,wT2'k/)<Rq — так называемый волновой параметр
Френеля. График функции (2.45) изображен на рис. 2.5.
При малых значениях аргумента / (8ц )=4 — g-282 /180.
Для достаточно больших значений параметра можно
воспользоваться известными асимптотическими представ-
лениями функций С(л) и S(jc):
С (л)	1 /2 4- sin х/У2tzx, S (x) 1 /2 — cos х/У2тсх.
Использование этих формул, дающих весьма хорошее
56
приближение уже при х 2, приводит к следующему
выражению:
, ' J slnO, —2-)	!
+^! (2-«)
Формула (2.46) описывает поведение функции неопре-
деленности при больших смещениях по дальности.
Рис. 2.5. Функция неопределенности немо-
дулированного сигнала в сечении 0 = 0.
2.4. Свойства функции неопределенности
при модулированном зондирующем сигнале
Для достижения высокой разрешающей способности
по дальности необходимо использовать модуляцию зон-
дирующего сигнала, поскольку разрешение, достигаемое
за счет фокусировки, оказывается, как правило, неудов-
летворительным. Для выяснения основных свойств функ-
ции неопределенности при модулированном зондирую-
щем сигнале достаточно рассмотреть амплитудную пери-
одическую модуляцию с большой скважностью. Более
общие виды модуляции, включающие модуляцию фазы
и частоты, вызовут некоторое усложнение проводимого
далее анализа, однако никаких существенно новых черт
при этом не возникнет.
Итак, будем рассматривать зондирующий сигнал
вида
N
s(/) = e>“«'2/(t-A7’„),	(2.47)
k= о
57
где функция f(f) описывает вид отдельного импульса,
N — число импульсов в посылке, а Тп — период повторе-
ния; длительность импульса f(t) считается гораздо
меньше периода повторения (тиСГп). Подставляя сиг-
нал (2.47) в общую формулу (2.31), получаем
1
(ЛМ2
Т	2
/С (Z, а) е1 di
о
(2.48)
В выражении (2.48) мы для удобства записи обозначили
через (р (Л 8) величину
1 Г	s и Р1 (i)
<р (Л ») “ 7- [ 2г„ ® „ (о + 2х (f) 6 - 4^-J. (2.49)
а через К (i, 3) — корреляционную функцию
N N
К(М) = SS f((- *Л,)/*0!-^п+ 2т„ -<р(М)).
i=0 k—0
(2.50)
Наибольший практический интерес представляют эле-
ментарные зондирующие импульсы f(t) прямоугольной
формы, поскольку они обеспечивают хорошее разреше-
ние по дальности, легко генерируются и обрабатываются.
Поэтому дальнейший подробный анализ выражения
(2.48) проведем именно для таких импульсов. Обобще-
ние на произвольную форму импульсов не составляет
труда, но приводит к некоторому усложнению оконча-
тельных выражений.
Для прямоугольных импульсов функция K.(t, 6) мо-
жет принимать лишь значения 0 или 1 (без ограничения
общности считаем, что зондирующие импульсы имеют
единичную амплитуду). Областям единичного значения
этой функции соответствуют заштрихованные участки на
рис. 2.6. На остальных участках плоскости (t, 2ти) эта
функция равна нулю. Таким образом, интеграл по t в
(2.48) распадается на сумму интегралов по отдельным
отрезкам, которые отсекаются прямой 2т и = const от
обозначенных на рис. 2.6 заштрихованных участков. При
вычислении интегралов по каждому из этих отрезков не-
обходимо учитывать сделанное в начале этого параграфа
предположение о малой скважности применяемой им-
пульсной последовательности. Это значит, что длитель-
ность каждого отдельного импульса гораздо меньше пе-
риода повторения, так что, переписывая интеграл (2.48)
58
в виде суммы по заштрихованным участкам, необходимо
учитывать фазовые набеги только между отдельными
членами этой суммы, пренебрегая изменением величины
фазы внутри каждого такого участка.
2тя
Рис. 2.6. Сечение функции Kit, о).
Введем нумерацию этих участков. Номер участков по
оси 2т и будем обозначать через k, причем, очевидно,
k меняется от —N до N. Номер заштрихованного участ-
ка по оси t будем обозначать через /, при этом для
0 N — k, а нумерация ведется от участков, лежа-
щих на оси 2т и . Для k < 0 — 0 TV — | k |, а нуме-
рация начинается с элементов, расположенных на пря-
мой t =—2т п (см. рис. 2.6). В пределах одного за-
59
штрихованного участка значение t можно считать неиз-
менным и равным t = /Тп. При сделанных выше предпо-
ложениях функцию неопределенности можно переписать
в виде

N-k
2 (ги 1и kTп'
— ?[(£ + J) Тп, S] I) exp (i <00<F [{k + J) Ta, 8])
(2.51)
при й>0и
ЛГ-1Л1
2 (Ти I 2х II kTa
j=Q
2
— <P (/T’n. s)|) exp (i a)0? (JT n, 3):
при остальных k. Здесь вновь введенная функция
равна длине отрезка прямой 2т h = const, заключенного
в заштрихованной области с номером (k, у), и опреде-
лена следующим образом: lkJ = х . при x>0, lkJ = 0
при х-<0.
При исследовании выражений (2.51) полезно провести
рассмотрение нескольких областей изменения угловой
координаты 0 в отдельности. Сначала рассмотрим случай
достаточно малых отклонений, когда изменение фазы
принятого сигнала от импульса к импульсу существенно
меньше л. Такие малые отклонения соответствуют так
называемой области угловой однозначности, определяе-
мой условием
6 < АМП,	(2.52)
где v — некоторая средняя по траектории скорость стан-
ции. Если учесть, что величина vTn представляет собой
пространственный период синтезированной решетки, то
ясно, что условие (2.52) аналогично условию угловой од-
нозначности обычной решетки с расстоянием между эле-
ментами (шагом решетки), равны 2иТп.
Кроме малости самих изменений 0, потребуем допол-
нительно, чтобы при таких изменениях мало менялась
бы и величина /&j. Для этого должно выполняться усло-
вие QD/c <С ти или
0 < L/D,	(2.53)
где L — сти — длина импульсного объема в пространстве.
60
Оба введенных выше условия не налагают существен-
ных ограничений ни на параметры системы, ни на число
исследуемых лепестков функции неопределенности внут-
ри ее области однозначности. Действительно, определяе-
мая условиями (2.52) и (2.53) область изменения 0
должна быть гораздо больше ширины главного лепестка
функции неопределенности. Легко видеть, что для пер-
вого из приведенных неравенств это эквивалентно усло-
вию N 1, а для второго — условию L/K 1. Очевидно,
оба условия выполняются во всех практических ситуа-
циях.
В области достаточно малых отклонений 0, а именно,
при выполнении соотношения (2.53), выражение для
функции неопределенности при k 0 можно переписать
в виде
(ти — I 2т ,, — АТП| ) X?	2
/» (») = Д,-----------ехр (1	[(4 + J) Г„, 8])
(2.54)
Учитывая
+ /) Ль б]
2

при 12-с и — АГп|<ти;
Zft(S) = O при |2тц - k7\ |>ти.
условие малости изменения фазы сооф [ (& +
от импульса к импульсу, можно сумму в вы-
ражении (2.54) заменить интегралом, что дает
Г— kT
(ти — | 2т— fcTJ) р п
—----1---И----ПМ I е1 Шо<р (/, 8) dt
О
при |2тц— £Гп|<ти,
/й(3) = 0 при ,2тц _£Гп|>ти.
Аналогично, при £<Д0 находим
:и — I 2т .. — I k I Тп I ) ?
(2.55)

Л(8) =
7ЧИ
2
(2.56)
14 Гп
при |2т]| -|*1ЛК<Й,
/й(8) = 0 при |2т1!-|А;|7,п|>ти.
Из (2.55) и (2.56) следует, что при достаточно ма-
лых 6 функция неопределенности модулированного сиг-
нала представляет собой произведение кусочно-парабо-
лической функции
/» (ы) “ Kb - 12г „ - I k I Т„ I) (Т - \k 17’П)/7Ч|1]2
61
(её график изображен на рис. 2.7) и функции неопре-
деленности немодулированного сигнала
/*(»)-
T-kTn	2
? e^^dt
/	kT n J
о
/г>0;
Л(*) =
1
Г-|ф'п
Т	2
е1о>0<Р(6 *}dt
imn
fe<0,	(2.57)
которая была подробно исследована в предыдущем па-
раграфе.
Более полное исследование функции неопределенно-
сти, включающее в себя рассмотрение также и областей
вдали от главного максимума по 0, возможно лишь при
обращении к конкретным траекториям станции. При
достаточно сложных траекториях суммирование в (2.51)
Рис. 2.7. Сечение функции неопределенности импульсномоду-
лированного сигнала по оси 2т ц.
возможно лишь в численном виде. Поэтому для получе-
ния аналитических выражений рассмотрим лишь случай
равномерного прямолинейного движения станции, когда
(2.51) можно исследовать, не прибегая к помощи вычис-
лительной техники. При этом слагаемое 2т и v h (t)/c
в (2.49) для <р(/, 6) не зависит от t и поэтому не влияет
на вид функции неопределенности.
При дальнейшем исследовании будем пренебрегать в
(2.49) и членом 6ц p2(/)/2cR0, характеризующим фокуси-
ровку системы по дальности. Это оправдывается тем, что
разрешение по дальности, достигаемое за счет амплитуд-
но-импульсной модуляции, во всех практических случаях
гораздо выше, чем разрешение, достигаемое за счет фо-
кусировки.
62
С учетом сказанного, при равномерном и прямоли-
нейном движении станции функция ср(/, 6) принимает
вид
<р (/, 3) = (Z, 6) = 2x0[с = 2-у/б/б?,	(2.58)
так что в этом случае «коридоры», в которых расположе-
ны заштрихованные участки (см. рис. 2.6), имеют по-
стоянные углы наклона, определяемые величиной 0.
Подставляя (2.58) в (2.51) и принимая во внимание,
что в пределах одного заштрихованного участка можно
считать t — jTn, получаем для функции неопределенно-
сти выражения
N-k
X exp (i аб (j + k))

|2t„-kT„ —C/ + *)-£-|) X
I	wo I /
2
при k > 0,	(2.59)
'	(Л^и)2
X exp (i a9 j)
2
при k <0,
где мы для краткости записи ввели обозначение
a = 2'Ц(1)0Гп/с.	(2.60)
Остановимся подробней на зависимости функции Ikf
от угла 0. Эта зависимость описывает влияние конечного
времени пробега сигнала вдоль синтезированной апер-
туры, и, вследствие значительных размеров последней,,
оказывается весьма существенной при рассмотрении по-
бочных угловых максимумов функции неопределенности.
Действительно, пренебрегать зависимостью Ikj от 0 мож-
но лишь при условии, что за время синтезирования Т ар-
гумент функции 7<(т, 6) изменится на величину, гораздо
меньшую, чем длительность импульса ти. Следовательно,
при таком рассмотрении максимально возможное значе-
ние 0 должно удовлетворять условию 0 << x^cj^D.
С другой стороны, период неоднозначности функции
неопределенности по 0 составляет, как уже говорилось
выше, величину Л/ vTn. Следовательно, рассмотрение хо-
63
тя бы первого побочного максимума функции неопреде-
ленности требует выполнения неравенства
Х/2т>7п<;9	ти<?/2£) или 2r:7V < <о0ти.
Последнее неравенство, как правило, на практике не вы-
полняется.
Суммы, входящие в (2.59), легко вычислить, вос-
пользовавшись формулой для суммы геометрической
прогрессии. Однако окончательные выражения при про-
извольных значениях тц и 0 слишком громоздки. Поэтому
мы приведем только формулы, для главных сечений
функции неопределенности, соответствующих ее зави-
симостям от 9 при 2т и = kTn и зависимостям от 2т и при
значениях 9, отвечающих главному и побочным мак-
симумам.
Рассмотрим сначала зависимость функции неопреде-
ленности от 9 в главных сечениях 2т ц = kTn. При этом
для	функция неопределенности принимает вид


здесь через М обозначено число заштрихованных участ-
ков, пересекаемых прямой 2тн=^Гп. Функцию неопре-
деленности при отрицательных k можно получить
из (2.61), приняв k = Q.
При малых 9 угол наклона „коридора", в котором
лежат заштрихованные участки для соответствующего
значения k, тоже мал. В этом случае все участки пере-
секаются прямой 2тI, =kTu и, следовательно, макси-
мальное значение М равно N — | k |. С увеличением 9
угол наклона „коридора" увеличивается, поэтому заштри-
хованные участки, номера которых превышают номер
J = М, не пересекаются прямой 2тп = ^Гп. Для этих
участков длины отрезков lkj оказываются равными нулю.
Значение Л4 определяется соотношениями
М — Е (а)Оти/а9 — k) при £ > 0,
7И = Е (а)оти/а9) при
(2.62)
где Е(х) —целая часть от х.
Ввиду большой скважности обычно используемой им-
пульсной модуляции многократные пересечения «коридо-
ров» (заштрихованных участков с уровнями 2т и = kTu)
исключаются, поэтому мы их не рассматриваем.
Итак, порядок вычисления функции неопределенно-
сти должен быть следующий. Для каждого 0 по форму-
лам (2.62) нужно определить значение М, подставить
это значение в (2.61) и провести суммирование. Если
вычисленное значение М превосходит N— [&], суммиро-
вание в формуле (2.61) следует проводить до N—|£|.
Как изменяется величина М с изменением параметра 0?
Очевидно, величину М можно считать неизменной при
изменениях параметра 0, удовлетворяющих условию
Д0«ж/^-
Подставляя в последнее неравенство производную
dM/dQ = (ооти/а02, найденную из (2.62), получаем требуе-
мое условие Д0 С 7Иа02/(ооти = 0- Из него следует, что
при вычислении функции неопределенности .в области
дальних боковых лепестков (больших 0) значение М в
пределах нескольких лепестков можно считать неизмен-
ным. Это условие заведомо можно считать выполненным
в области побочных максимумов, для которых 0 =
= %гп/2уТп, т = 1, 2, ...
Проведя суммирование в (2.61), находим для функ-
ции неопределенности при k 0 следующее выражение:
J	1	\(	(Л1 + 2й)а0 \2 sin2(Л1а0/2) ,
(^H)2IVH 2®0 J sin2 (аО/2) +
, а262 Г (Af — 1) COS (Л4а0/2) Sin (а0/2) — sin ((Л4 — 1) аО/2) “|2-| (()
+ 4<o2L	Sin2 (аО/2)	J Р '
Выражение для Л(0) при &<0 можно получить из
(2.63), положив k = 0.
При малых 0 функция неопределенности определяет-
ся первым слагаемым в фигурных скобках выражения
(2.63). Это слагаемое пропорционально функции /(0) =
= sin2(Afa0/2)/sin2(a0/2), описывающей функцию неоп-
ределенности немодулированного сигнала, подробно рас-
смотренную в предыдущем параграфе. Однако, как вид-
но из (2.63), при возрастании 0 начинает сказываться и
второе слагаемое, пропорциональное функции dI(Q}/dQ.
Обратимся теперь к зависимости функции неопреде-
ленности от параметра 2т и в главных сечениях 0, т. е.
при 0 = Кт^иТ-а, т = 0, 1,2, ...
Выражение для функции неопределенности при этом
принимает вид
5 Заказ № 57
65
N—k
I k (®> T il) = (ЛГти)2 [ 3	( ти “ | П “
7=o
-‘('.+Э-'ч1>Г
при &^>0,	(2.64)
N- |A|
k (0’т н)=(^и)2 [ 2 (ти ~ |^т и_
7=o
При k<Z®.
Рассмотрим сначала верхнюю полуплоскость 0^0.
Задача сводится к вычислению сумм, входящих в выра-
жение (2.64). Для импульсных сигналов с большой
скважностью функция lkj отлична от нуля лишь вблизи
значений 2*си, равных kTn. В то же время из рассмот-
рения рис. 2.6 видно, что интервал значений параметра
2т ц, внутри которого сумма имеет ненулевое значение,
равен (k(Tu + а0/®о) — ти, kTn + afiN/(o0 + ти) при
и (£ГП —ти, kTn + аб (ТУ — | k |)/а>0 + ти) при #<0. Сле-
довательно, функция неопределенности несимметрична
относительно параметра 2т ц.
При вычислении сумм, входящих в выражение (2.64),
удобно разбить весь интервал значений параметра 2т ц
на три подынтервала. Остановимся подробно на рассмот-
рении первого выражения (2.64); нее сказанное при этом
полностью переносится и на второе выражение (2.64),
необходимо лишь заменить в окончательных результатах
/г (74 + аО/соо) на kTu и N — k на N— |fe|.
Для первого подынтервала значений параметра 2т и,
удовлетворяющих условию
k (Тп + а6/о)0) — ти < 2т и < k (Гп + а0/(оо),	(2.65)
характерно возрастание суммы, поскольку с увеличением
параметра 2ти происходит увеличение числа пересекае-
мых заштрихованных участков и их длины (см. рис. 2.6).
Это возрастание происходит по закону, близкому к квад-
ратическому. Сумма равна
м
(0, т II) = 2 (ти 4- 2т || — Л (Гп + а0/фо) — Уа0/а)о) =
;=о
= М (ти + 2т и — k (7П + а0/оо)) — а0Л42/2шо,	(2.66)
66
где
М = (2т и — k (Гп + а9/<п0) + ти) соо/а9 (2.67)
— наибольший номер заштрихованного участка, пересе-
каемого уровнем 2т и, 0 М <С N — k. Если вычислен-
ное по формуле (2.67) значение М превышает N — k,
следует М положить равным N— k.
Для второго подынтервала значений 2т N, удовлетво-
ряющих условию
kTn + af)N/(i>0 С 2т и < kTn + oQN/<b0 + ти, (2.68)
характерно почти квадратическое убывание суммы с воз-
растанием параметра 2т и, обусловленное уменьшением
числа пересекаемых заштрихованных участков и их дли-
ны. Величина суммы в этом случае вычисляется по фор-
муле.
N-k
W (0> т II) = 3 (ти — 2г и + k (Га + а9/ш0) + уа9/(00)
«(AT- к-- 2Ч + k (г„ + ^~У) +
+ ^I.(JV-	^>1’	(2-69)
где
= (2т и — k (Гп + а6/соо) — ти) (Мо/а9 (2.70)
— наименьший номер заштрихованного участка, пересе-
каемого уровнем 2ти, 0<Ж1<Л4.
В третий промежуточный подынтервал входят значе-
ния параметра 2т и, удовлетворяющие условию
k(Гп + a9/(D0)<2ти <	4-a6jy/(o0.	(2.71)
Здесь возможны два случая, различающиеся величиной
параметра 0. При выполнении условия
а9(tV- Л)< 2шоти	(2.72)
внутри подынтервала (2.71) можно выделить два харак-
терных участка. На первом из них (от &(ТП+аЭ/соо) до
k(Tu + аб/соо) + d&(N — £)/2<оо) происходит возраста-
ние суммы, а на втором (от k(Ta+ аО/соо) + а0(М—
— k)/2g)q до kTu + a02V/(Oo) —убывание.
Если же выполняется условие
а9(ЛГ- Л)>2<о0ти,	(2.73)
5*
67
то в середине подынтервала (2.71) можно выделить ха-;
рактерный участок (от 6 (Тп+аО/соо)+ти до kTn +
+ aQN/a)o — ти), внутри которого величина суммы остает-
ся почти неизменной. До указанного участка величина
суммы возрастает, а после него убывает.
Значение суммы внутри подынтервала (2.71) можно
вычислить по формуле
'11)= 2 (ти— 2тп +	+	+ 7-^) +
м
J=M9
~ г„ (М - Ж.) + (2т „ - k (тп + (ТИ -2М, + М,)-
-	(ЛР - 2М% + М ?),	(2.74)
где
М2 =-- (2т „ - k (Гп + а6/о0)) (а)0/а6)	(2.75)
— граничный номер заштрихованного участка, пересе-
каемого уровнем 2т Ц, при переходе через который ме-
няется аргумент функции lkj,
Итак, пользуясь приведенными формулами, можно
найти зависимость функции неопределенности от пара-
метра 2т и в ее главных сечениях по 0. Порядок вычис-
ления функции неопределенности при этом должен быть
таким: для каждого значения параметра 2т и по фор-
мулам (2.67), (2.70) и (2.75) вычислить соответствующие
числа М, Mi, ЛТ2 и подставить их в формулы (2.66),
(2.69) и (2.74). Если вычисленное по формуле (2.70)
значение Mi окажется отрицательным, его следует по-
ложить равным нулю.
На рис. 2.8 изображен вид функции неопределенно-
сти в зависимости от параметра 2т ц для различных зна-
чений параметра 0.
Аналогично можно подсчитать суммы и для нижней
полуплоскости 9<0, входящие в выражения (2.64).
В этом случае интервал значений параметра 2т ц, внутри
которого сумма имеет ненулевое значение, равен
(kTn + atiN/о)о — ти, k (Гп + а6/(о0) -|- ти)
68
Рис. 2.8. Зависимость функции неопределенности импульсномодули-
рованного сигнала от параметра 2т ц в главных сечениях параметра
0 (0 > 0).
При ^>0 И
(kTn + аб (N — I k |)/ш0 — ти, kTn + ти)
при Л<^0. Следовательно, как и для верхней полупло-
скости, функция неопределенности несимметрична отно-
сительно параметра 2т ц. На рис. 2.9 изображены области
изменения параметра 2т ц, внутри которых выражения
(2.64) отличны от нуля.
Указанный интервал изменения параметра 2ти мож-
но и в этом случае разбить на три подынтервала, внутри
каждого из которых сумму легко вычислить. Не останав-
69
ливаясь на этом вопросе подробно, приведем выражения
для суммы внутри этих подынтервалов для случая
k 0. При отрицательных значениях k результаты будут
аналогичны, необходимо лишь заменить k(Ta + а0/соо)
на kTn и (N— k) на (N—|Л|).

Рис. 2.9. Области изменения параметра 2т
При
kTn + a6.V/(D0 - ти < 2т н < kTn + a07V/(i)o,	(2.76)
получим
N—k
*(«. ’и) = 2 (*»-	+ £) + 2х„
(277)
где
Ml = (тя + 2т и — k (7\ + а0/о)о)) (1>0/а6.	(2.78)
Если же
k (Гп + а0/шо) < 2т п < k (Тп + а0/фо) + ти, (2.79)
то
(МII) = 2 ('и - 2т II + k + я9/“о) + /а9/“о) ~
7=0
я» М - 2т „ + k (?„ + а0/<оо)) + аШ2/2<о0> (2.80)
70
где
М = (2т п - k (Гп + аО/(о0) - ти) ш0/ае. (2.81)
В случае
kTa + aSTV/(D0 < 2т н < k (Гп + а6/ш0)	(2.82)
имеем
ль
*(Ми)=2(*»-<Гп+^) + 2г„-/-£) +
j=Mt
м
+ S О--2*»+*(?’„+ -£) + /-£>
;=Af,
~ ТИ (Ж - Мх) + (k (7П -F а0/шо) - 2т „) (М - 2М2 + Ж1) +
+ а9 (Ж2 - 2Ж? + Ж1)/2о)0,	(2.83)
где
М2 = (2т н — k (Гп + аО/(о0)) Шо/а9. (2.84)
Пользуясь этими формулами, можно вычислить функ-
цию неопределенности в нижней полуплоскости б^О.
Построенные по этим формулам графики зависимости
функции неопределенности от параметра 2т N совершенно
аналогичны приведенным на рис. 2.8.
2.5. Вопросы оптимального выбора параметров
систем с синтезированной апертурой
Проведенный в § 2.4 анализ позволил исследовать за-
висимость функции неопределенности модулированного
сигнала от углового параметра 0 и параметра дально-
сти т и . Мы показали, что функция неопределенности
для импульсного сигнала представляет собой ряд узких
пиков, расположенных в узлах решетки с координатами
(A/n/2t>Tn; ЛГП); rn, k = 0, ±1, ±2, ... (рис. 2.10).
С другой стороны, функция неопределенности представ-
ляет собой (в отсутствие помех) двумерное изображение
точечного объекта в том виде, в каком оно будет исполь-
зоваться для картографии, измерения отдельных пара-
метров и т. и. Таким образом, изображением точечного
объекта является не точка на плоскости 0, 6 и, а целая
система более или менее размытых пятен. Ясно, что при
исследовании объекта достаточно больших размеров мы
71
неизбежно столкнемся с тем, что изображения сущест-
венно разных точек объекта окажутся в одной и той же
точке плоскости изображения. Следовательно, однознач-
ное изображение получается лишь для объектов, кото-
рые целиком укладываются в заштрихованном на
рис. 2.10 прямоугольнике с центром в главном лепестке
функции неопределенности, т. е. в так называемой об-
ласти однозначности. Эта область ограничена по азиму-
тальному углу величиной Kl2vT^, а по дальности — сТп!2.
Рис. 2.10. Функция неопределенности модулированного сигнала.
Эти величины обратно пропорциональны, так что увели-
чивая область однозначности по дальности за счет уве-
личения периода повторения Гп, мы неизбежно вызовем
пропорциональное уменьшение области однозначности по
угловой координате. Величина площади этой области
останется неизменной и равной Хс/4и.
Часто, например при картографировании земной по-
верхности, реальный объект оказывается больше области
однозначности и целиком в ней не умещается. Для по-
лучения однозначного отображения в этом случае необ-
ходимо, как уже отмечалось в гл. 1, разбить исследуе-
мую область на участки, целиком укладывающиеся в об-
ласти однозначности, и последовательно проводить их
картографирование (рис. 1.5). Для получения изображе-
ния каждой отдельной «строки» объекта требуется соот-
ветствующим образом сузить диаграмму направленности
станции в вертикальной плоскости так, чтобы освещенное
пятно объекта не превышало ширины каждой «строки».
Последовательный обзор областей однозначности, при-
72
надлежащих выбранной «строке», осуществляется авто-
матически при движении самой станции и соответствую-
щем «скольжении» освещенного участка по выбранной
«строке» объекта.
При таком «скольжении» отраженный от единичного
точечного рассеивателя сигнал окажется амплитудно-мо-
дулированным по закону азимутальной зависимости диа^
граммы направленности реальной антенны. В свою оче-
редь это приведет к тому, что .при работе по выбранно;
му точечному рассеивателю диаграмма направленности
будет синтезироваться не все время Т работы станции,
а только время Т', определяемое шириной реальной диа-
граммы по 0 и приближенно равное времени пролета
станцией линейного интервала азимутальной однознач-
ности ‘kR/2vTII. Эффективная длина D' синтезированной
апертуры в данном случае равна этому интервалу, а
соответствующая ей угловая разрешающая способность
равна приблизительно %/2D' = vT^/Ro, что соответствует
линейной разрешающей способности, равной vTu. По-
следняя величина, очевидно, равна пути, проходимому
станцией за период повторения.
С другой стороны, ширина диаграммы направленно-
сти реальной антенны с апертурой длины а составляет
угловую величину порядка Х/а и должна равняться угло-
вой ширине интервала однозначности к/2оТп. Поэтому
а = 2vTn и мы приходим к выводу, что для устранения
неоднозначности при картографировании протяженного
объекта в оптимальном варианте зондирующие импуль-
сы должны посылаться через промежутки времени Тп,
за которые реальная антенна смещается на половину
своего раскрыва. Таким образом, для устранения неод-
нозначности синтезированная апертура должна быть,
образно выражаясь, «заполнена» с двойным перекрытием
раскрывом реальной антенны в моменты ее работы.
Полученное условие на величину реального раскры-
ва является приближенным. Далее мы рассмотрим более
строгие критерии оптимизации величины реального рас-
крыва. Возможны случаи, когда «построчное» засвечива-
ние объекта не обеспечивает требуемой разрешающей
способности. В этом случае необходимо отказаться от
возможности получить изображение всей «строки» за
один облет, и ограничиться исследованием какой-либо
одной области однозначности. Для того чтобы эта об-
ласть не выходила за пределы освещенного пятна, при
73
движении станции необходимо менять угловую ориента-
цию диаграммы реальной антенны синхронно с движени-
ем станции, постоянно сохраняя .направление максимума
диаграммы в центр выбранной области объекта. Таким
способом можно получить линейное разрешение поряд-
ка длины волны при сохранении однозначности. В этом
случае функция неопределенности получается из выве-
денной в предыдущем разделе умножением на квадрат
модуля реальной диаграммы ф(р, бц).
Для того чтобы исследовать функцию неопределен-
ности при «построчном» синтезировании, вернемся снова
к формуле (2.48), в которой надо дополнительно учесть
модуляцию сигнала, связанную с прохождением движу-
щейся диаграммы через рассеивающую точку. При этом
ограничимся случаем равномерного и прямолинейного
движения станции и совпадающих точек приема и пере-
дачи. Этим ограничением из рассмотрения исключается
локация удаленных космических объектов, для которых,
впрочем, проблема устранения неоднозначности вообще
не возникает.
Будем считать, что совместная диаграмма направлен-
ности по азимуту и угломестной координате представ-
ляется в виде произведения диаграмм ф(Р) и ф(8н)
отдельно по р и 8ц. Тогда достаточно исследовать
влияние только азимутальной амплитудной модуляции,
имея в виду, что конечная ширина диаграммы направ-
ленности по угломестной координате В п приводит к умно-
жению функции неопределенности на |ф(Вц)|I 2.
Влияние азимутальной диаграммы направленности
ф(Р) сводится к тому, что под интегралом в (2.48) появ-
ляется дополнительный множитель
р (Л 0) = Ф* ((* — *о) ^о) Ф*2 ((* — Q ^0 + е)’ (2-85)
описывающий амплитудную модуляцию сигналов точеч-
ных рассеивателей, сдвинутых по углу на величину 0.
Здесь /о — момент времени, когда максимум диаграммы
реальной апертуры приходится на рассматриваемый то-
чечный рассеиватель. Таким образом, функция неопреде-
ленности имеет вид
I (8) = |Фу|8-) jj р (/, S)K (t, 8) e‘<w<W/12. (2.86)
о
Будем рассматривать величину /(6) только вблизи
главного и побочных максимумов, когда изменения фазы
74
между отдельными членами суммы в выражении (2.50)
для K\t, 6) можно считать малыми. Тогда соответствую*
щую сумму можно заменить на интеграл, считая в по-
следнем, из-за предполагаемой узости реальной диаграм-
мы, пределы интегрирования бесконечными. В плоскости
8 и = 0 это дает в случае равномерного и прямолинейно-
го движения
fA9> - 7Г I т; $	(£) **2	е'2(“°/*'di Г’
-	--оо
(2.87)
где — направление на рассматриваемый у-й побочный
или главный (при 9; = 0) максимум, а 6 — угловое рас-
стояние от центра этого максимума. (Без ограничения
общности считаем, что |ф(8ц)|2 при 8 п = 0 равно 1.)
В интеграле (2.87) удобно перейти к безразмерной
угловой переменной р = /,у/7?0, что дает

( ф2 (Р) ф*2 (р + 9.)	г/р 2. (2.88)
1	V
Нормировочная константа <££ находится из условия
/0 (0) = 1 и равна
оо
<Х = (/?0т„/г,7’л)2 ( $ IФ (₽) IW)2-	(2.89),
Интеграл, входящий в (2.88), нетрудно вычислить
в явном виде через распределение поля f (х) в раскрыве
реальной антенны, если воспользоваться известными
свойствами преобразований Фурье.
Действительно, рассматриваемый интеграл есть пре-
образование Фурье по переменной & — 2соо7?о9/с от про-
изведения двух функций Fj (р) = ф2 (р) и F*2 (Р) =
= Ф*2(₽ + ^-)> которое можно выразить через свертку
оо	оо
$	( /=•,(»')	^2	+	(2.90}
— оо	«—©о
где
оо
=	«==!• 2.
75
Функция ф(р), представляющая собой азимутальную
диаграмму направленности реальной антенны, является
преобразованием Фурье от распределения поля в ра-
скрыве f (В):
Ео/2
ф(Р) = ? е-^/(В)^,
—Ео/2
где |. = 2зтх/Х— безразмерная координата вдоль раскры-
ва реальной антенны, х— истинная координата раскры-
ва, а £о = 2шг/% — безразмерная длина реальной апер-
туры. Поэтому входящая в (2.90) функция выра-
жается через свертку апертурного распределения f(g):
оо	£0/2
F, (*) = 2М t2 (М e'w₽ - $ z G) г (& — S) Л.
— оо	—Ео/2
Замечая, что
перепишем (2.90) в виде
°°	00 Ео/2
$ ^(P)^)e'sW = 2^“[	/(«)/(»'-Е)<rt] X
—00	—00 —£0/2
Ео/2
х[ /(e)/(a + &'-e)^]%’*'0/W. (2.9i)
-Ео/2
Этот интеграл можно вычислить в явном виде для
многих типов распределений f(B)- Соответствующие ре-
зультаты, однако, весьма громоздки даже в простейшем
случае равномерного апертурного распределения. Поэто-
му, ограничиваясь равномерным распределением, прове-
дем полное исследование только для главного пика
(0,- = 0), а для побочных пиков отыщем лишь их макси-
мальные значения, приходящиеся на -& = 0. В последнем
случае интеграл (2.91) легко вычисляется и равен
ОО
( Л (₽) К(₽)	=-да- (ЕЛ, - sin to0J. (2.92)
-Joo	So0/
Для области главного пика, соответствующего зна-
чению = 0, достаточно простые формулы получаются
и для отличных от нуля смещений Нетрудно пока-
зать, что в этом случае интеграл (2.91) равен разности
двух функций (&) и <р2 ($), графики которых изобра-
<76
жены на рис. 2.11, а, б. Первая функция описывается
уравнением ($) = тс (2В0 — | $ |)3/3^ при | & | < 2£0 и равна
нулю при | $ | > 2£0, а вторая — уравнением <р2 ($) =
= 4к (£0 — 19- |)3/ЗВ* при Р J и равна нулю при р | > |0.
Результирующий график изображен на рис. 2.11, в.
Из сравнения величин интеграла для главного и по-
бочного максимумов делаем вывод, что реальная диа-
грамма направленности понижает уровень у-го побоч-
ного пика в
У (U = 6 (Wj - sin ^Ъ)/(Ш3	(2.93)
Рис. 2.11. Азимутальное сечение
функции неопределенности для
равномерного распределения поля
в раскрыве реальной антенны.
раз. График функции
(2.93) изображен на
рис. 2.12. Из этого рисун-
ка ‘ВИДНО, что вплоть до
значений параметра BoOj
порядка 2л происходит
быстрое спадание функ-
Рис. 2.12. График функ-
ции у(10).
ции у(£о), а затем скорость спадания резко уменьшается.
Поэтому выбор параметра большим, чем 2л, нецеле-
сообразен, так как это приведет лишь к относительно не-
большому дополнительному подавлению побочного пика,
достигаемому, однако, ценой существенной потери ази-
мутальной разрешающей способности.
Важно подавить, как правило, первый побочный пик,
соответствующий приближенному значению параметра
77
^o0i, равному rtalvTn. Вспоминая, что приведенная длина
реальной апертуры связана с ее действительной длиной
соотношением go = 2лаД, получаем, что для эффектив-
ного подавления первого побочного пика достаточно вы-
брать размер реальной апертуры, равный а = 2уТп-
Этот результат находится в полном соответствии с ка-
чественным рассмотрением, проделанным в начале этого
параграфа.
Таким образом, учет диаграммы направленности ре-
альной антенны станции приводит к тому, что в плоско-
сти S и = 0 главный пик функции неопределенности су-
щественно расширяется и искажается, оставаясь в то же
время практически недеформированным в плоскости
9 = 0. Что касается побочных пиков по 0, то здесь про-
исходит их существенное ослабление и расширение. По-
бочные пики по 6 и дополнительно подавляются реаль-
ной диаграммой в вертикальной плоскости в | ф (6 ц) |2
раз.
Как же выбрать диаграммы направленности в азиму-
тальной и угломестной плоскостях, чтобы, сохраняя при-
емлемую разрешающую способность, свести к миниму-
му помехи от неоднозначности? Достаточно обоснован-
ный простой критерий такого выбора предложить в об-
щем случае невозможно, поэтому приходится прибегать
к чисто интуитивным соображениям. В частности, впол-
не приемлемой кажется реальная антенна с диаграм-
мой направленности прямоугольной формы, равномерно
«засвечивающая» ту часть картографируемого объекта,
которая полностью укладывается в изображенную на
рис. 2.10 область однозначности, и обеспечивающая ну-
левую напряженность поля вне этой области. При такой
реальной диаграмме можно было бы полностью подавить
побочные пики, сохранив в то же время хорошую угло-
вую разрешающую способность. К сожалению, такую
диаграмму нельзя образовать раскрывом конечных раз-
меров; можно лишь стремиться в какой-то степени к ней
приблизиться, заранее зафиксировав размер раскрыва
реальной антенны.
Следовательно, критерий оптимизации диаграммы
направленности физической антенны заключается в тре-
бовании максимальной отдачи энергии в заштрихованную
на рис. 2.10 область однозначности при фиксированном
размере реальной апертуры [4]. Чтобы полученное ре-
шение имело практический смысл, необходимо ограни-
78
чить реактивность реальной антенны. Такое ограничение
можно ввести, считая заранее заданной и ограниченной
полную мощность (сумму активной и реактивной мощно-
стей), подводимую к антенне.
Сформулированные требования в аналитическом виде
можно записать следующим образом. Мощность, отда-
ваемая в телесный угол заданной величины й, соответ-
ствующий области однозначности, дается выражением
^ = (2^И|£(ж)12Л’	(2-94)
ц
где х — поперечная часть волнового вектора излучаемого
поля, dx = k2d£l, k — 2лД, a f(x) —диаграмма направ-
ленности реального раскрыва А в направлении, задава-
емом вектором х:
£(z)= exp(izr)/(r)r/r.	(2.95)
А
Здесь функция f(r) характеризует амплитуду и фазу
возбуждения антенны, так что полная подводимая к ан-
тенне мощность равна
оо
W'o =	$ I / (г) I2 dr =	| Е (к) |Ш. (2.96)
А	—со
Требуется подобрать такую функцию f(r), которая обес-
печивала бы максимум Wq при дополнительном условии
постоянства Wq. Решение проще всего найти, подставив
явное выражение для поля £(х) из (2.95) в формулу
(2.94). Находим
Г 2 = jjjj R (г, г') / (г) /* (г') drdr', (2.97)
А
где
Я (г, г') = (2^г $exPti%(r “	(2.98)
2
Очевидно, R(r, г') обладает свойством эрмитовости, т. е.
R (г, г') =	(г', г). Но последнее означает, что она об-
ладает полным набором так называемых собственных
функций фт(г), таких, что
А
(2.99)
79
Числа Кт называются собственными числами, отвечаю-
щими собственным функциям <pm(r). Эти функции орто-
гональны и нормированы, т. е.
=	(2.100)
А
и удовлетворяют условию полноты
8(г-г') = 3-Ри(>-)тХ(г')-	(2.Ю1)
т
Из условия полноты вытекает, в частности, что любую
функцию ф(г) можно разложить в ряд по собственным
функциям фт(г). Действительно, умножая обе части ра-
венства (2.101) на ф(г') и интегрируя по г', находим
♦ (г) = 2($тХ(г') 'Иг') ^г')ч>т (г) = S“A(r).
mA	т
где
а/п = §<й(г)Ф(г)^г.
А
Такое разложение можно написать для любой функции от
г, в том числе и для нашего распределения поля в рас-
крыве антенны f(r). Поэтому задачу отыскания опти-
мального распределения поля можно свести к адекват-
ной задаче нахождения оптимального набора коэффи-
циентов разложения ат.
Подставим такое разложение в выражение (2.97)
для мощности, излучаемой в зону однозначности Q. На-
ходим
=	r')?n(r')?*m(r)rZr6Zr' =
пт	А
“32 аЛК $ Ъ (г) <.(>•) = 3.1 ап 14,- (2-102)
п т	А	п
При выводе (2.102) мы воспользовались условиями (2.99)
и (2.100). Для полной подводимой мощности Wo анало-
гичным образом получаем
А
=^-35дх!)?»(«•)?;«•)rfr=4-ЗИ-12- (2.ЮЗ)
п т	А	п
80
Теперь решение поставленной задачи очевидно: сумма
2 f ап |2\г максимальна / при заданной величине суммы
п	\
2|ая|2) лишь тогда, когда все коэффициенты ап, кроме
л /
соответствующего максимальному собственному значе-
нию Хо, равны нулю. Максимальное значение Wq равно,
очевидно, WqKq, Таким образом, задача оптимизации
распределения в раскрыве сводится к отысканию соб-
ственной функции <р0 (г), соответствующей наибольшему
собственному значению интегрального уравнения
r')To(r')rfr'. (2.104)
А
Ядро этого уравнения /?(г, г') зависит от выбранной
формы области однозначности Й. Проще всего находит-
ся решение задачи в единственно интересующем нас слу-
чае прямоугольной области однозначности. При этом яд-
ро /?(г, г') распадается на произведение ядер
Я (г, г') = (2^Ж Q ехР С* - X
Д*1
X ( jj exp ixy (у - у') d^ = (х - х’) (у - у'),
Ах,
причем
(2.105)
d /у	1 sin(x —х')А0/2
И * ) ~ 2л (х-х')£/2
п л, „п— 1 sin (у— у')Ле/2
— у ) —	---77-- .х .♦
(2.106)
где Д%1 = £0 и Д%2 = Ле — соответственно области угло-
вой однозначности по азимуту 0 и углу места 8. Поэто-
му задача решения интегрального уравнения (2.104) ста-
новится одномерной; например, для нахождения опти-
мального распределения поля f(x) вдоль оси х надо ре-
шить интегральное уравнение
а/2
« = аЦ ST-x')yk/22 dx>' <2ло7>
-а/2
где а — длина раскрыва реальной антенны вдоль оси х.
Решения такого типа уравнений хорошо известны —
6 Заказ № 57
81
это так называемые функции вытянутого сфероида
Sqo (с, х), определяемые как решения интегрального
уравнения [8]
Voo (С. X) - -И	$<ю (с, Л-') dx',
— 1
где с = а£6/4, Хо =- XQk.
График зависимости величины максимального собст-
венного числа Хо от приведенной ширины диаграммы на-
правленности с представлен на рис. 2.13. На рис. 2.14
Рис. 2.13. Зависимость максимального соб-
ственного числа Хо от параметра с.
приведены графики самой функции SOo(c, х) для разных
значений параметра с. Оба графика заимствованы авто-
рами из [4]. Каков смысл параметра с? Так как /г = 2л/Х,
а отношение К/а есть разрешающая способность реаль-
ной антенны с равномерным возбуждением, находим, что
параметр с равен коэффициенту уширения лв/26 тре-
буемой диаграммы направленности по сравнению с диа-
граммой реальной антенны заданной длины с равномер-
ным апертурным распределением. В частности, при
0 = 6 с = 0,5л и оптимальным распределением является
практически равномерное распределение поля в раскры-
ве, как это видно из рис. 2.14. С ростом коэффициента с
растет доля энергии, попадающая в выбранную область
Q (она равна Хо), соответственно снижается уровень по-
82
бочных максимумов, но вместе с тем падает и коэффи-
циент использования раскрыва за счет его неравномер-
ного синфазного возбуждения.
Сформулированные ранее требования к диаграммам
направленности антенн в азимутальной и угломестной
плоскостях можно существенно снизить, если ввести
межимпульсную модуляцию зондирующего сигнала.
Рис. 2.14. Собственная функция SOo(c; х), соответствующая наи-
большему собственному числу.
По-видимому, проще всего это достигается путем одно-
временного изменения фазы на л/2 в приемнике и пере-
датчике по псевдослучайному закону. Для этого доста-
точно, например, с помощью электронного ключа менять
фазу общего задающего генератора. Все устройства по-
следующей обработки сигнала останутся для такого вида
манипуляции без изменений.
При межимпульсной фазовой модуляции зондирующий сигнал
имеет вид
$ (О = exp (1 со0О S аь? $ ~ kT^'	(2 •
k
где числа ан принимают значения —1 или 1 в соответствии с псевдо-
случайным кодом. Для такого сигнала входящая в (2.48) функ-
ция Л(/,б) равна
8)	= ^^akajf(t~kTll) X
* j
JTn + 2т „ - cp (t, 5)).	(2.109)
6*
83
Рассмотрим сначала область вблизи оси т ц =0. Поскольку, как
обычно, считаем <р (Л б) < Та, в двойной сумме (2.109) останутся
только диагональные члены, для которых = af = 1. Таким
образом, для малых Тц функция (2.109) имеет вид
/< М) = £ / (* - kTa) f* (t - kTa + 2т (| - T (t, §)),
k
что аналогично сигналу без фазовой модуляции. Следовательно,
в полосе однозначности по т ц функция неопределенности полностью
совпадает с найденной ранее (см. § 2.4). Преимущества же межим-
пульсной модуляции становятся очевидными, если рассмотреть
окрестность любой полосы побочных максимумов по Тц , например
соответствующих задержке 2т ц = 1ТП. Тогда в сумме (2.109) оста-
нутся члены, отвечающие условию k = / — I, в соответствии с чем
она запишется в виде
К (t 5) = akak+l f(t- kTn) f* (t - kTп + 2т |( - 1Тп - <p (/, §)).
к
В этой сумме амплитудный множитель ОлПа+z, зависящий от номера
k, является, как и коэффициент а*, псевдослучайной величиной, при-
нимающей значения ±1. Поэтому исчезают те избранные направ-
ления 0J, соответствующие азимутальным пикам функции неопре-
деленности, в которых все слагаемые суммы (2.109) складываются
синфазно. Вместо этого происходит сложение этих слагаемых со
случайными амплитудами ±1, т. е. их суммирование по мощности.
т
Поэтому, если при т(( =0, 0 = 0 выражение | K(f,б) ехр icoo<p(£,6)
и
было пропорционально (Мти)2, то при 2т и = 1Та оно пропорцио-
нально Мги2, т. е. в N раз меньше.
Соответствующие количественные выражения легко получить,
пользуясь результатами, изложенными в § 4.4, когда будет рассмат-
риваться влияние случайных флуктуаций фазы на функцию неопре-
деленности. Здесь же еще уместно заметить, что случайный харак-
тер фазовой межимпульсной модуляции не является оптимальным,
поскольку можно предложить такие последовательности, у которых,
по крайней мере для нескольких первых значений I, сумма ^ahak+i
k
равна ±1. Такие последовательности обеспечивают подавление по-
бочных максимумов не в N, а в № раз. Подробное изложение соот-
ветствующей теории выходит за рамки этой книги. Читатель, инте-
ресующийся этими вопросами, может обратиться, например, к [9].
Итак, мы убедились в том, что можно, используя
достаточно простые методы, существенно подавить угло-
местную (дальностную) неоднозначность, сохраняя неод-
нозначность по азимуту. Это позволяет с большой сво-
бодой распоряжаться тактовым периодом Тп, не заботясь
о дальностной неоднозначности, а для подавления ази-
84
мутальной неоднозначности использовать несравненно
более простые одномерные (например, вдольфюзеляж-
ные) антенны.
2.6. Некоторые вопросы теории
оптимальной обработки сигналов
В предыдущих параграфах мы рассматривали си-
стемы с синтезированной апертурой в применении их к
задачам картографирования, когда основной интерес
представляет разрешение близко расположенных объ-
ектов, т. е. четкость изображения. Наряду с этим пред-
ставляют интерес и другие вопросы, например, связан-
ные с обнаружением объектов и точностью измерения их
параметров.
При решении задач картографирования помехи не
учитывались. Однако в задачах обнаружения сигнала и
оценки его параметров неизбежные помехи являются оп-
ределяющим фактором, поэтому в дальнейшем нам при-
дется ввести их в рассмотрение. Следует различать по-
мехи, возникающие в тракте приема и усиления, и по-
мехи, обязанные своим происхождением паразитным
отражениям от местности, на фоне которой наблюдается
интересующий нас объект. Мы не будем останавливать-
ся подробно на статистических свойствах обоих типов
помех (речь о них будет идти ниже). Заметим лишь, что
присутствующие помехи, на фоне которых происходит
прием полезного сигнала, можно считать нормальным
случайным шумом.
Задача обработки сигнала заключается, во-первых, в принятии
решения о том, является ли рассматриваемая реализация смесью
полезного сигнала и шума либо только одним шумом; во-вторых,
если это окажется необходимо, в оценке некоторых априорно неиз-
вестных значений информативных параметров сигнала. Первую
часть задачи принято называть задачей обнаружения, а вторую —
задачей измерения параметров сигнала.
Прежде чем принимать решение о присутствии сигнала или о
значении какого-либо его параметра, необходимо предельно сокра-
тить объем данных, содержащихся в принятом сигнале, оставив
лишь те из них, которые непосредственно несут интересующую нас
информацию. Какую же информацию можно получить из наблю-
дения смеси сигнала с шумом? Если бы шума не было, то такой
информацией были бы истинные значения неизвестных параметров.
В присутствии шума получить истинные значения, конечно, невоз-
можно, и информация о них может быть сведена к указанию веро-
ятностей, с которыми в принятой реализации содержится каждый
85
из возможных видов сигналов. Иными словами, приемник должен,
уничтожая лишнюю информацию, давать наблюдателю лишь услов-
ное (при заданной реализации x(t)) распределение вероятностей
параметров 6 сигнала. Эту условную вероятность обозначим через
P(6/x(f)). Рассмотрим операции, необходимые при приеме для об-
разования этой величины. Воспользуемся известной формулой из
теории вероятности	ч
Р (А/В) Р(В) = Р (В/Л) Р (А),	(2.110)
где Р(А/В)—условная вероятность наступления события 4, если
наступило событие В, а Р(А)—соответствующая безусловная ве-
роятность. Из формулы (2.110), называя событием А присутствие
параметра 6 в принимаемом сигнале, а событием В — прием реали-
зации x(t), получаем для условного распределения возможных зна-
чений б при заданной реализации х(/) выражение
Р (Ъ/х (0) = р (X (ЩЪ) Р (Ъ)1Р (х (/)).	(2.111)
Такую величину должен образовывать на первом этапе приемник,
на вход которого поступило колебание x(t).
Итак, в нашем распоряжении оказался набор вероятностей
P(8/x(t)) для каждого из возможных значений неизвестного пара-
метра б. Что нужно делать дальше с этим набором, чтобы решить
с наименьшей ошибкой, какое значение параметра б истинно? Для
принятия такого решения можно предложить много разнообразных
критериев, из которых простейшим и, пожалуй, самым естественным
является принятие решения по максимуму функции распределения
Р (б)/%(/); он носит название критерия максимального правдоподо-
бия [10]. Так как от параметра б в (2.111) зависит только про-
изведение Р(х(/)/б)Р(б), при нахождении экстремума (2.111) по б
можно не принимать в расчет множителя 1/Р(х). Более того, рас-
пределение Р(б), называемое априорным и описывающее вероятно-
сти всех возможных значений б, как правило, гораздо шире апо-
стериорного распределения Р(б)/х(/), и к тому же обычно неиз-
вестно. Поэтому решение об истинном значении неизвестного пара-
метра принимают по величине Р(х(/)/б), известной под названием
функции (для дискретных последовательностей х(/)) или функцио-
нала (для непрерывных процессов) правдоподобия.
Итак, приемник должен по принятому сигналу x(t) образовать
величину P(6/x(t)) для всех возможных значений б и затем иссле-
довать ее на максимум. При непрерывном распределении всех воз-
можных значений параметра б решение о его истинной величине
(оценка б*) совпадает с корнем уравнения
д	I
78-₽(*OT/®)|,=s.-°.	(2.112)
Другие известные критерии построения оценки б* по заданному
P(x(t)/&) по существу приводят во всех практических ситуациях
к тем же результатам, что и критерий максимального правдоподо-
бия. Различие между ними сводится к некоторым тонким и в ко-
личественном отношении незначительным эффектам.
Точность оценки обычно характеризуют дисперсией оценки, т. е.
квадратом разности между оценкой б* и соответствующим истин-
ным значением б0, усредненным по всем возможным для данного б&
реализациям процесса х(?). В математической статистике показано,
86
что дисперсия оценки ограничена сверху так называемой дисперсией
эффективной оценки определяемой как [10]
-----(2.113)
где символ <->х означает усреднение по всем входным воздей-
ствиям, отвечающим рассматриваемому истинному значению пара-
метра б. Для детерминированных сигналов дисперсия оценки мак-
симального правдоподобия при больших отношениях сигнал/шум
стремится к эффективной оценке (2.113). Поскольку задача измере-
ния решается именно для сильных сигналов, когда происходит на-
дежное обнаружение, точность измерения достаточно характеризо-
вать дисперсией эффективной оценки.
В том случае, когда измерению подлежит не один параметр,
а целая совокупность параметров {6J (например, два: дальность и
азимут), точность характеризуется матрицей совместных эффектив-
ных оценок
= ((&/	®/о)	&йо))»
которая является обратной так называемой информационной мат-
рице Фишера
уд2	\
ln р (х <2Л14>
Этой формулой мы будем пользоваться в тех случаях, когда
возможна оптимальная обработка принимаемых сигналов. В основ-
ном, это относится к случаю измерения координат изолированного
объекта активными системами с синтезированной апертурой при
наличии собственных шумов приемника и теплового радиоизлуче-
ния. В других случаях, как, например, измерение координат объекта
пассивными системами синтезирования и активными системами при
сильных мешающих отражениях, точностные характеристики будут
отыскиваться другим методом. Это связано с тем, что в пассивных
системах оптимальная обработка, как мы увидим далее, невозмож-
на из-за физических ограничений на частотную полосу тракта об-
работки, а в активных системах при наличии сильных хаотических
отражений от фона — из-за ограничений на динамический диапазон.
Сказанное выше относилось, в основном, к процессу измерения
параметров сигналов. Другая часть задачи приема — задача обна-
ружения сигналов — в практике использования синтезированной
апертуры почти не встречается, однако ее решение необходимо при
построении функции неопределенности пассивных систем. Поэтому
коротко рассмотрим сущность этой задачи.
Пусть измеряемый параметр 6 в (2.111)—это постоянный ам-
плитудный множитель сигнала, принимающий только два значения:
0, когда сигнал отсутствует, и 1, когда он присутствует. Тогда,
обозначая через Р(0) и Р(1) вероятности отсутствия и наличия сиг-
нала, формулу (2.111) можно переписать в виде
р	р (1) + р (£)/()) р (0) -
= л (X (О) / (л (X (0) + ТТоЕ)’
87
где величина Л(х(/)) называется коэффициентом правдоподобия
и определяется как
Л(х(О) =
/>(*(*)/!)
P(W) •
Замечая, что условная вероятность Р(1/х(/)) монотонно зави-
сит от Л(х(£)), можно сделать вывод, что оптимальное устройство
обнаружения должно сравнивать с заданным порогом саму вероят-
ность jP(1/x(/)), либо коэффициент правдоподобия Л(х(/)), либо
наконец, любую монотонную функцию Л(х(/)). Если при этом пре-
вышается величина порога, то принимается решение о наличии сиг-
нала, в противном случае сигнал считается отсутствующим. В по-
следующих параграфах, где будет говориться об измерении парамет-
ров, предполагается, что до процесса измерения задача обнаруже-
ния решена в положительном смысле. Это требование совпадает с
условием большого отношения сигнал/шум, необходимого для одно-
значности оценок измеряемых параметров.
2.7. Потенциальная точность локализации
объектов в активной системе
(случай белого шума)
Покажем, каким образом можно применить описан-
ные в предыдущем разделе результаты к исследованию
характеристик системы с синтезированной апертурой.
Основная задача, рассматриваемая здесь, заключается в
нахождении истинных координат точечного объекта по
принятому сигналу, искаженному шумами. Такие иска-
жения могут возникать по самым разнообразным причи-
нам, которые можно разделить на два основных типа.
Во-первых, это влияние аддитивного шума входных уст-
ройств, фонового излучения и хаотических отражений от
соседних точек излучаемого объекта. Другая причина ис-
кажений сигнала заключается в наличии всякого рода
нестабильностей самой системы и среды распростране-
ния, например, флуктуаций траектории станции, случай-
ных искажений фазы сигнала в среде распространения
и т. п. Оба типа причин порождают совершенно отлич-
ные друг от друга механизмы ухудшения точностных
свойств системы и поэтому должны рассматриваться от-
дельно.
Оставляя до гл. 4 исследование влияния нестабиль-
ностей, займемся только предельными точностными ха-
рактеристиками, связанными с аддитивным шумом, ко-
торый всегда с достаточной точностью можно считать
88
гауссовским. Рассмотрим сначала задачу для белого
шума, спектр мощности которого ЛЦсо) можно считать
постоянным в полосе частот сигнала и равным No- Слу-
чай небелого шума будет рассмотрен в следующем па-
раграфе.
Пусть истинное положение объекта описывается ра-
диус-вектором Ro- Как и прежде, для описания возмож-
ных отклонений от этого истинного положения вводим
величины Ап и Дд_, равные проекциям вектора откло-
нения Л соответственно на радиус-вектор Ro и плоскость,
перпендикулярную Ro-
Как известно, оптимальная обработка принимаемых
сигналов при наличии аддитивного белого гауссового шу-
ма возможна, поэтому, в соответствии со сказанным в
предыдущем параграфе, потенциальную точность изме-
рения компонентов вектора отклонения А будем харак-
теризовать моментами эффективных оценок, определяе-
мых через информационную матрицу Фишера (2.114).
Обозначим входной сигнал, представляющий собой
аддитивную смесь полезного сигнала s(t) и шума n(t),
через x(t). В отсутствие полезного сигнала функционал
распределения входного сигнала (белого шума) имеет
вид [И]
т
Р (х(/)) = const -ехр| —	1Л(^)|2	(2.115)
б
В тех случаях, когда на входе приемника присутствует
полезный сигнал s6(Z) с совокупностью параметров {8Z},
являющихся компонентами вектора относительного сме-
щения 8 = Д/7?О, нормальным распределением обладает
разность х (/) — 56 (?) е1?, где фактор е1? учитывает
неконтролируемый фазовый набег возникающий при
рассеянии сигнала на объекте и остающийся постоянным
в процессе синтезирования. В соответствии с этим функ-
ционал распределения x(t) записывается в виде
2х	Г
Р (х (0/3) ~~ const exp| — 2)7"^ I -*(0—$б(0 e1^2 dt^dy =
0	° 0
T	T
= const-exp \x(t)\2di~ J |s8(012 dt} x
0	° о
2it	T
X exp{ — Re jj x (/) s* (0 eltp dt j dy.	(2.116)
0	°	0
89
Интегрирование по <р.в (2.116) необходимо для усредне-
ния по неконтролируемому фазовому набегу, который
мы считаем случайной величиной, равномерно распреде-
ленной в интервале (0,2 л).
Для нахождения оценок параметров {6<} и их дис-
персий необходимо, согласно (2.112) и (2.113), диффе-
ренцировать условное распределение по {6;}. При этом
надо иметь в виду, что первое слагаемое в показателе
экспоненты в (2.116) не зависит от {бД и потому может
быть опущено. То же самое можно сказать и о втором
слагаемом, представляющем собой полную энергию ожи-
даемого сигнала. Очевидно, эта энергия не зависит от
небольших смещений Л рассеивателя относительно точки
его истинного положения, для которой Л=0. Выполняя
в (2.116) интегрирование по ср в пределах (0,2л), на-
ходим
т
Р (х (Z)/§) = const Io ( 1-^- t jc (/) ^* (/)£//1V (2.117)
' I ’ 0 J	I
0
где Io (г)—модифицированная функция Бесселя нуле-
вого порядка, а прямые скобки в ее аргументе означают
взятие огибающей от выражения, стоящего внутри них.
При сильных сигналах, когда единственно имеет
смысл решать задачу об измерении параметров, функ-
цию Бесселя можно заменить ее известным асимптоти-
ческим выражением
I0(z)~e*//2^	(2.118)
и пренебречь в нем зависимостью от по сравнению с
экспоненциальной. Тогда логарифм функционала прав-
доподобия P(x(t)/6) приближенно равен
т
In Р (х (/)/§) = А-1 jj х (/) (/) dt | + const. (2.119)
0 о
Ограничиваясь асимптотическим пределом больших
отношений сигнал/шум
т
=	(2.120)
0 о
т
величину | \ х (I) я* (/) dt | можно представить в виде
о
90
т	т
О	о
о
s(t)s*(t')sl(t)Sb(t')dtdt'
(2.121)
где, в отличие от сигнала s8(Z), зависящего от измеряе-
мых параметров {8Z}, фиксированный сигнал с парамет-
рами 8Z = О обозначен через s (/).
Дифференцируя дважды выражение (2.119), находим
с учетом (2.121) следующее выражение для элементов
матрицы Фишера:
\ dbidbj /~"
т
X (ЭД s (t)s* (t')± (s* (/) s (/')) di dt') x
0
T
X ( s (0	«') 4. <5* Ws о dt dt'") +
0	1
+	------й * W ** (*’)-sGr(s*(i) x
N0^ls(i)|2<tt °
о
X stt'yjdtdf. (2.122)
Подставляя значения частных производных
(И -(П+s* w
d2s*(t)s(t') _ dzs* (/)	(,r. ds* (t) ds (f) ,
<)SzdB; dBzdfi; ; r db( dbj
! ds* (t) ds(t') * ( d2 s (Г)
“T dbj db, d <ftz da.
91
и приравнивая сигналы s (/) и ss (/), получаем после не-
сложных преобразований окончательную формулу
т
D	1 Гг» С д2 s* (t) ,, .	1
~ LRe J 5 dbi dbj dt+ T	X
JI 5(0l2^
0
XlmJ s(t)dX^dt -Im J S(O-^2U], (2.123)
о	о	}
которую можно записать через введенную в § 2.2 функ-
цию отклика
т
T(5)=jjs(/)s; (/)<//	(2.124)
о
в виде
о _ 1 Г пр «(Ю , Ifn ^(Ь) Тт<^Ш	/919^
ви - ~ 7Л L R 55, <иу + Im ~дъГ ’ “Э5ГJ»=o  (2-I25)
Далее нам будет удобно характеризовать положение
объекта тремя координатами в прямоугольной системе
координат, ось z которой совпадает с направлением
радиус-вектора Ro, а оси х и у лежат в плоскости, пер-
пендикулярной Ro. Обозначим через x(t) полусумму про-
екций векторов Г1± (t) и Гг_1_ (/) на ось х, а через у (/)—
полусумму проекций этих векторов на ось у. Соответ-
ственно проекции вектора относительного поперечного
смещения 6± на оси х и у будем обозначать через 8Х
и 8_у, а продольную компоненту относительного смещения
8и — через 8^,. Тогда аналогично (2.48), для функции от-
клика Ф (5) будем иметь
т
^(3) = jj/C(Z, 5)ехр(1<о0?(/, tydt, (2.126)
о
где
К (t, 8) = 3 3 / (t - ^n) f*	+ 2г,,), (2.127)
i *
т (/, 8) = 4- [8, (2t0 (t) - p*+
+ 28,x(/) + 28„y(0J.	(2.128)
В отличие от (2.50) мы здесь не учитываем зависимость
K(t, 6) от «р^, 6), ибо все входящие в (2.125) производ-
92
ные вычисляются только в окрестности главного пика
функции неопределенности.
Дифференцируя (2.126) с учетом (2.127) и (2.128) и
подставляя полученные выражения в (2.125), находим
элементы информационной матрицы Фишера:
Вхх = 4р (<^)2
Вуу = ^ (<%/с)2 (у2— у2),
Вгг =	(Д<П2) + р- (<00/О2 [(2т0	Р2/2^о)2 —
-(2т0^- ^/2^)2],	(2.129)
Вху = 4р, (<о0/с)2 (ху-х'у),_______
Bxz = 2(1, (<п0/с)2 [л (2t0 vz - р2/2^с)]-
— * (2x0vz — p2/2RQ)],
Byz = 2Р- Ь/<)2 [у (2to^z — pWRq) —
- у (^o^-pWo)] •
Здесь через (Дсо2) обозначена среднеквадратическая ши-
рина спектра
(Д(02)= J ((0-(1)0)2|5 (и)l2^ Ш$((1))|26/<О, (2.130)
о	/ о
а черта сверху в траекторных моментах означает усред-
нение по времени синтезирования, например
о
В проведенном рассмотрении выбор системы коорди-
нат (х, у, z) оставался произвольным. Путем соответ-
ствующего выбора начала этой системы и ориентации
ее осей можно добиться того, чтобы матрица Вц стала
диагональной. Действительно, смешанный момент Вху
можно обратить в нуль, повернув систему координат на
угол у, определяемый из условия
Два других смешанных момента, Bxz и Byz, обращаются
в нуль при сдвиге начала повернутой системы координат
93.
на величину
а==2Т? х <2т°Vz ~	(2т°	рг/2/?0)
по оси абсцисс, и на величину
= 2Л> У — л72#о) ~J &qVz— p2/2Rq)
°	у2 —7
по оси ординат.
В выбранной таким „образом системе координат мат-
рица Фишера становится диагональной и ее легко мож-
но обратить, получив при этом матрицу дисперсий эф-
фективных оценок:
= \)ВХХ = [4р. (<о0/с)2 (л:2— х2)]-1 ,
<4 = 1 1Вуу = [4р (а)0/с)2 (у2 — у2)]"1 ,
О2 = 1 !BZZ = [4рто (Aw2) + р. (а)0/с)2 X
X ((2т0^-р2/2Л0)2 - (2W-р2/2/?0)2)]-1
=	=	=	(2.132)
Из формул (2.132) видно, что потенциальные точно-
сти локализации объекта пропорциональны отношению
сигнал/шум ц. Дисперсия ошибки измерения дальности
o2z определяется как среднеквадратической шириной
спектра (Да>2), так и параметрами траекторий станции
при приеме и передаче. При импульсной работе средне-
квадратическая ширина спектра достаточно велика и
оказывает доминирующее влияние на точность измере-
ния дальности. Соответствующая дисперсия ошибки
равна
а2 = [4^2(Да)2)]-\	(2.133)
При непрерывной работе передатчика основным являет-
ся второе слагаемое в квадратных скобках выражения
для о2г, из которого следует, что точность измерения
дальности можно повысить, увеличив продольные уско-
рения станции или геометрические размеры апертур, син-
тезируемых при приеме и передаче. Обычно продольные
ускорения незначительны и не оказывают существенного
влияния при измерении дальности. Поэтому в случае
непрерывной работы можно считать, что
4 = [(н/4/?о) («-о/с)2 (? -F)]"1 •	(2.134)
94
Эта формула характеризует потенциальную точность
измерения дальности за счет фокусировки.
Для иллюстрации вычислим ошибки измерения поло-
жения рассеивателя в случае равномерного и прямоли-
нейного движения станции при приеме и передаче. Из
соображений симметрии здесь ясно, что матрица
диагонализируется, если ось х расположить вдоль векто-
ра r]±-f-r2j_. Дисперсия ошибки измерения дальности
за счет фокусировки равна
4 = 45^2/4^2^	(2.135)
а дисперсии угловых измерений определяются выраже-
ниями
02 = З/^kW2,	= оо.	(2.136)
Здесь k = a)o/c, D=x(T) —х(0)—эффективная длина
синтезированной апертуры. Из приведенных формул
видно, что линейная продольная ошибка Rodz приблизи-
тельно в 2(R0/D) раз больше линейной азимутальной
ошибки RoOx.
В проведенном анализе не учитывалась азимуталь-
ная модуляция, связанная с конечной шириной диаграм-
мы направленности реальной антенны. Что изменится
в проведенных рассуждениях, если учесть эту диаграм-
му? Такой учет необходим, как уже говорилось, только
при локации близко расположенных протяженных объ-
ектов, когда, во-первых, можно пренебречь отличием
траекторий при передаче и приеме и, во-вторых, считать
их в пределах эффективной длины синтезирования пря-
молинейными и направленными, скажем, вдоль оси х.
При этом по осу у разрешение отсутствует, так что соот-
ветствующей дисперсии ошибки можно не рассматри-
вать.
Будем по-прежнему обозначать диаграмму направ-
ленности реальной антенны через ф0. Влияние азиму-
тальной модуляции проявится лишь в том, что вместо
функции отклика (2.124) мы должны пользоваться функ-
цией
т
ч (S) = $ F f® + 8,) X
6
X s(/)s*	(2.137)
Учитывая, что ширина диаграммы направленности ре-
альной антенны гораздо больше ширины синтезирован-
95
ной диаграммы, в выражении (2.137) можно пренебречь
слагаемым дх в аргументе -ф *. Кроме того, эффективное
время синтезирования для каждой отдельной точки объ-
екта оказывается обычно гораздо меньше полного вре-
мени синтезирования Т. Это позволяет раздвинуть в
(2.137) пределы интегрирования в бесконечность, т. е.
пользоваться функцией отклика в виде
оо
«Г(») = $ |ф (-^)|4	(2.138)
— оо
Как видно из сравнения (2.138) с формулой (2.124),
здесь добавился не зависящий от измеряемых парамет-
ров амплитудный множитель |ф(/и/7?0) |4- Влияние этого
множителя на окончательные выражения проявится
лишь в том, что изменятся формулы для траекторных
моментов. А именно, при их вычислении пределы ин-
тегрирования можно считать, как и в (2.138), бесконеч-
ными, а под знак интеграла необходимо ввести указан-
ный выше амплитудный множитель.	__
Например, траекторный момент второго порядка х2
при учете диаграммы реальной антенны запишется в
виде
оо	г>3	00
-тг h(4)Гtidt- тттг hwiw <2-139)
7 эф J I \	/ I	1 эф V J
— оо	—со
где через ТЭф обозначено эффективное время синтезиро-
вания, определенное как
ОО	00
Г.ф- $	=	$ 1Ф(₽)М- (2-и°)
—оо	—со
Аналогично запишется траекторный момент первого по-
рядка:
оо	2	00
=	(2.141)
—оо	— со
Учитывая, что обычно диаграмма направленности ф(Р)
реальной антенны симметрична, х = 0.
Поскольку узкие реальные диаграммы направленно-
сти применяются только при импульсной работе пере-
датчика, когда разрешающая способность за счет фоку-
сировки не реализуется, нет необходимости рассматри-
вать траекторные моменты выше второго порядка, опре-
«6
деляющие точность измерения дальности за	счет фоку-
сировки.	Если	ввести среднеквадратическую	угловую
ширину реальной диаграммы
00	I оо
Р=	$ ₽2|4><₽)J4rf₽/ $| <К₽)1М».	(2.142)
— оо	[ — 00
то дисперсии ошибок измерений азимута и дальности
описываются выражениями
4 = Х2/16«гн,ф W, Л = 1/4(1,ф т02(До>2). (2.143)
Входящая в эти формулы величина р9ф равна эффектив-
ному отношению сигнал/шум; в отличие от (2.120) в цЭф
учитывается азимутальная модуляция, обусловленная
диаграммой направленности реальной антенны
1М=	I И- (₽) I’ (2-144)
—оо
т
где W = — | s (/) |2 dt — средняя по времени мощность
о
принимаемого сигнала.
В случае равномерного апертурного распределения
поля реальной антенны величины р2 и цЭф можно выра-
зить в явном виде через длину раскрыва. Для этого за-
метим, что
со	со
$ ₽2W(₽)IM=--^- $ F(₽)<!>*2(₽)е»М₽|9=0. (2.145)
— 00	—оо
Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.145),
вычислялся в § 2.5. Используя результаты этого пара-
графа, находим, что
Р-ЗМ а м = 4^/?0/3^0,
где £0 = 2тш/Х — безразмерная длина раскрыва реальной
антенны. Подставляй эти значения в (2.143), получаем
о2 =	а2 =------------- (2.146)
7 Заказ № 57
97
2.8. Потенциальная точность локализации
объектов в активной системе
(случай небелого шума)
В предыдущем параграфе исследование потенциаль-
ной точности измерения координат изолированного объ-
екта было проведено в предположении, что аддитивный
случайный шум, вызывающий ошибки измерений, можно
считать гауссовым процессом с равномерной спектраль-
ной плотностью. Правомочность такого предположения
относительно собственных шумов приемника, а также
теплового излучения фона, не вызывает сомнения. Од-
нако дело обстоит сложнее, когда речь идет о случайной
помехе, обусловленной хаотическими отражениями зон-
дирующего сигнала от местности, на фоне которой на-
блюдается объект. Этот шум можно считать нормаль-
ным, так как он образуется в результате сложения
большого количества независимых (или почти независи-
мых) случайных сигналов, отраженных от различных
участков местности. Что же касается его спектральных
характеристик, то здесь возможны различные ситуации,
которые мы сейчас и рассмотрим.
Спектральные характеристики помехи, обусловленной
хаотическими отражениями, существенно зависят от
спектральных свойств зондирующего сигнала. Поэтому
сначала нам придется в явном виде найти спектр после-
довательности радиоимпульсов, появляющихся в момен-
ты времени th = kTn и промодулированных в соответст-
вии с реальной диаграммой станции. Длительность каж-
дого импульса ти, как и ранее, считается гораздо меньше
периода повторения Тп.
С учетом диаграммы направленности реальной антенны гр(0>
принимаемый станцией сигнал записывается в виде
АГ/2
S (0 =	f (t — kT^ eXP iw°Z'’
k=-N!4
где v — компонент скорости станции в направлении, перпендикуляр-
ном радиус-вектору Ro, соединяющему рассматриваемый рассеива-
тель и середину траектории станции. Вычислим спектр этого сигнала
Т	‘ N/2
S'	( tv \ V*
/< /(/ —ЛГп)ехр[1(®, —®)0s0 (2.147>
О	k = -NI2
98
Учитывая, что на протяжении периода повторения Тп функция
ф(/и//?о) меняется пренебрежимо мало, формулу (2.147) можно пе-
реписать в виде
Лг/2	т
s (со) - J ("Х^) J f V - ЛГп)ехр[1 (а>0 —• <о)/]Л. (2.148)
k=-NI2	О
Входящий в (2.148) интеграл равен
т
J f (t — kTn) ехр [i (<о0 — со)/] dt =
о
т
= J f {t - kTn) exp [1 (COо - (O) (t - kTn + kTJ]dt =
о
OQ
= exp [1 (co— <oo) k 7n] \ f (t) exp [i (co0 — co) /] dt =
- exp [i (coq — co) kTn] f (co — coo),
oo
где f (co) = J f (t) exp (— i <o/) dt — спектр модуляции элементар-
ного импульса. Таким образом, выражение (2.148) приводится
к виду
N/2
«(«)-/(» — <»•) X ф2 (—j^)exp[i (со0—со)ЛТп].
k--N/2
Прежде чем вычислять сумму, входящую в это выражение, заме-
тим, что она является периодической функцией частоты о с перио-
дом 2л/Та. Внутри каждого периода эта функция фактически отлич-
на от нуля только вблизи тех точек, где expi(coo—a>)kTa = 1 для
всех k, что соответствует значениям частоты со, равным соп = соо +
+ 2лп/Тп, n — Q, ±1, ±2, ... Вблизи точек изменение функции
expi(a>o—‘(о)АТп между соседними слагаемыми суммы мало, что
позволяет заменить ее интегралом
N/2
S (гъг’)ехр t1 д<°>=
k=—N/2
N[2
- S Ф2 (	) ехр (— 1 ДаЛГп)«
й=-ДГ/2
Т/2
1 Г / tv \
« yr- 1 ф2 (——} ехр (— 1 Дсо/) dt.
—Т{2
7*
99
Здесь Дсо = со — соп — отклонение от точки максимума спектральной
линии.
Таким образом, спектр принимаемого сигнала, вычисленный с
учетом диаграммы направленности реальной антенны станции, равен
ОО	оо
® (“) = S sn (®) = S / (® — “о) X
П=—ОО
Т/2
1- С /	\
—Т/2
exp [I (<ол — со) dt.
(2.149)
Как видно из (2.149), при достаточно большом числе им-
пульсов спектр сигнала состоит из отдельных идентич-
ных линий вида
Т/2
7- \ Ф2
1 п J \*<0 /
-Т/2
промодулированных медленно меняющимся спектром
элементарного импульса /(со — соо).
Каждая такая линия при отражении зондирующего
сигнала от множества точек фона, на котором располо-
жен рассматриваемый точечный рассеиватель, даст не-
прерывный набор идентичных линий, соответствующих
разбросу допплеровских сдвигов, зависящих от азиму-
тальных координат точек фона. В результате спектры
мощности принимаемого сигнала и помехи имеют вид,
изображенный на рис. 2.15. Здесь у каждой спектраль-
100
ной линии сигнала появился шумовой «пьедестал», шири-
на которого определяется допплеровским разбросом час-
тот хаотических отражений от фона или, что одно и то
же, его угловой шириной. Интенсивность образующейся
таким образом помехи в каждом из «пьедесталов» про-
порциональна интенсивности исходной линии сигнала,
т. е. величине |f(co — coo) |2-
В каких случаях описанную помеху можно считать
белым шумом, подобным внутреннему шуму приемника?
Очевидно, только в том случае, когда ширина каждого
«пьедестала» больше характерного масштаба изменения
спектра, определяемого шириной функции |f((o — ©о) |2.
Для прямоугольного импульса единичной амплитуды и
длительности ти, имеем
J v 07 и\ (<0 —ш0)<си/2 ) '
и функция f((o —(йо) обладает характерной шириной по-
рядка 2л/ти. Чтобы помеху от хаотических отражений
можно было считать белым шумом, необходимо, чтобы
максимальное допплеровское смещение каждой линии,
равное 20oWo^/c, где 0О — угловой размер фона, было
больше 2л/ти- Для протяженного фона величина 0О опре-
деляется шириной реальной диаграммы направленности,
которая, как мы видели раньше, должна быть выбрана
равной ’kl2vTn- Теперь нетрудно найти условие, при ко-
тором помеху можно считать белым шумом; оно имеет
вид ти^Тп. Это неравенство выполняется, конечно, толь-
ко для непрерывной работы передатчика.
Итак, в случае, когда шум хаотических отражений
превалирует над внутренним шумом приемника, необхо-
димо учитывать неравномерность его распределения по
спектру. Практически такую неравномерность имеет
смысл учитывать только в двух предельных случаях:
1. Помеховый «пьедестал» по ширине равен ширине
каждой из линий спектра полезного сигнала и повторя-
ет ее форму. Так как ширина линии спектра сигнала оп-
ределяет его азимутальную разрешающую способность,
приходим к выводу, что этот случай реализуется, когда
источник помехового фона не разрешается синтезирован-
ной апертурой. В этом случае все допплеровские частоты
отраженного от фона сигнала попадают в область спект-
ральных линий полезного сигнала, и поэтому сигнал по-
мехи отличается от полезного сигнала только по приз-
наку дальности.
101
Тогда для оптимальной селекции полезного сигнала
и помехи необходимо применить такой тип фильтрации,
который обеспечил бы минимальную длительность как
полезного сигнала, так и сигнала помехи, а следователь-
но, и максимальную селекцию по дальности. Это значит,
что в процессе оптимальной фильтрации принятый сиг-
нал должен превращаться в дельта-образный импульс,
имеющий равномерное спектральное распределение, не
зависящее от частоты. Соответствующий фильтр должен
иметь частотную характеристику вида l/s(<n). Спектр
мощности хаотических отражений на входе фильтра име-
ет вид |s((o) |2, а после фильтрации становится равно-
мерным.
Описанную обработку можно произвести с помощью
известного из теории обработки сигналов фильтра Урко-
вица. Реализация таких фильтров связана обычно с из-
вестной трудностью, состоящей в том, что соответствую-
щий фильтр должен значительно (в пределе безгранич-
но) поднимать уровень сигнала в тех спектральных об-
ластях, где он мал. При этом возникают многочисленные
побочные эффекты, связанные с неизбежным шумом ап-
паратуры и практической нереализуемостью большого
динамического диапазона,
2. Ширина каждой из линий спектра сигнала гораздо
меньше ширины помеховых «пьедесталов». В этом слу-
чае форму каждого «пьедестала», очевидно-, можно счи-
тать не зависящей от формы сигнала; она определяется
исключительно протяженностью мешающего фона и уг-
ловым амплитудным распределением, диктуемым видом
реальной диаграммы направленности. Если эта диаграм-
ма имеет вид ф (р), то в окрестности каждой линии
спектр мощности помехи описывается функцией |f(® —
— ©о) |2|ф(сД(о/2п(Оо) |4, где Дсо— отклонение от центра
спектральной линии. При импульсной работе диаграмму
реальной антенны ф(р) нельзя выбрать произвольно.
Для однозначности воспроизведения объекта угловая
ширина диаграммы ф(р) должна быть порядка р =
= А/2и71п, что соответствует допплеровскому сдвигу час-
тоты, равному расстоянию 2п!Ти между линиями спектра
сигнала. Исходя из этого, можно уточнить условие опти-
мального выбора ширины диаграммы ф(Р), вводя требо-
вание минимального уровня помехи. В самом деле, из
рис. 2.15 ясно, что в окрестности каждой из линий спект-
ра сигнала уровень шума минимален, если туда не по-
102
падают «хвосты пьедесталов», принадлежащих соседним
линиям. Это соответствует случаю, когда нули функции
| ф (cAco/2u(oo | приходятся на значения Дсп, кратные рас-
стоянию между точками 2п!Т-а.
Итак, если угловой размер фона разрешается реаль-
ной апертурой, можно считать, что мощность помехи
медленно меняется по спектру сигнала, оставаясь прак-
тически постоянной на расстояниях порядка нескольких
интервалов между линиями, и плавно спадает по закону
|/((й — ©о) |2 при удалении от несущей соо. Следователь-
но, и в этом случае оптимальный приемник должен про-
изводить предварительное «нивелирование» уровня шу-
ма, поднимая его значения на «хвостах» спектра до зна-
чений на частоте соо- Такое неравномерное усиление вход-
ных сигналов практически оказывается нереализуемым
по тем же соображениям, которые приводились для пер-
вого случая.
Таким образом, в весьма важном для практики слу-
чае помех типа хаотических отражений оптимальная об-
работка сигнала оказывается практически нереализуе-
мой. Поэтому для таких помех бессмысленно вычислять
дисперсии эффективных оценок, поскольку последние су-
ществуют только при оптимальной обработке сигнала.
Следовательно, нам придется воспользоваться другими
методами оценки ошибок измерения, не требующими оп-
тимальной фильтрации.
Прежде всего выберем способ обработки принятого
сигнала и нахождения оценки интересующих нас пара-
метров. Для белого шума оптимальная обработка, как
это следует из (2.119), сводится к образованию на вы-
ходе приемника функции, монотонно зависящей от вели-
чины
т
о
а нахождение оценки — к отысканию экстремума выход-
ного эффекта |£(6)| по неизвестному параметру 6. Рас-
сматривая случай небелого шума, будем считать, что
оценка параметра 6 принятого сигнала заключается в
отыскании экстремума величины
т
г (3) = | С(») I2 -1 Jjx (t) sj (/) di |2	(2.150)
103
Так как мешающие отражения от фона существенны
лишь при наблюдении близко расположенных объектов,
в этом разделе можно ограничиться случаем равномер-
ного и прямолинейного движения станции и совпадаю-
щих точек передачи и приема. В соответствии с этим
оценке подлежат только два параметра рассеивателя —
его дальность 62 (задержка xz) и азимутальное положе-
ние 6^=6. Кроме того, рассматривая лишь импульсную
работу, можно пренебречь эффектом фокусировки по
дальности, поскольку он вносит пренебрежимо малую
поправку в интересующие нас точности измерения.
При этих предположениях нетрудно записать явное
выражение для сигнала, принимаемого в точке траекто-
рии с координатой r(t), отсчитываемой для удобства от
ее середины. Вернемся снова к формуле (2.8), выра-
жающей принимаемый сигнал s(t) через зондирующий
сигнал s0(t):
где (f) —расстояние между станцией и рассеивате-
лем в момент времени t. Обозначим через R(Z) вектор из
некоторой средней точки О возможных положений рас-
сеивателя в текущую точку траектории. Тогда вектор из
истинного местоположения цели, описываемого смещени-
ем А относительно точки О, в текущую точку траектории
в момент времени t дается выражением (рис. 2.1)
RA(/) = R(Z) —А, а его длина, с точностью до первого
порядка по смещениям А, равна
(Z) = K(RW-A)2 = R (t)	=
= R (t)/1 -2n(/)A//?(i:) + AW(/) =
^7?(/)-п(/)Д,	(2.151)
где n (!) = R(?)/R(/) —единичный вектор в направлении
R(0-
Пользуясь малостью смещения г(£) станции относи-
тельно средней точки траектории, представим вектор
n(t) в виде
п (*) = tГ =--------=> (2.152)
v 7 I Ro + г (01 Ro /1 + 2пор (О + Р2(0 v
где Ro — вектор из точки О в среднюю точку траек-
тории, а
p(Z) =
104
Разлагая далее (2.152) в ряд по малому относительному
смещению р(/) и сохраняя члены до второго порядка
находим
П (/) = По + р± (1 - Рг) - п0 р^/2,	(2.153),
где р2 и г± — соответственно продольная и поперечная
(по отношению к п0) компоненты смещения станции. Под-
ставляя (2.153) в (2.151), получаем для величины Яд(0
выражение
Яд (/) = я (С - Р± (1 -рг) +	Р1/2, (2.154)
где Д2 и Д± — соответственно продольная и поперечная
составляющие вектора А. Эта формула совместно с (2.8)
описывает зависимость принимаемого сигнала от смещения
рассеивателя А.
В случае равномерного и прямолинейного движения
г± (/) = -у/, где v — поперечная к Ro компонента скорости
станции. Рассматривая . импульсную работу, необходимо
учитывать, что зависимость формы сигнала от продоль-
ного смещения в основном определяется слагаемым Д2
в (2.154). Поэтому для малых смещений Дг (т. е. малых
ошибок измерения) можно сразу отбросить слагаемое
Д2р^/2. По этой же причине можно пренебречь и малой
поправкой р2 по сравнению с единицей. При этом фор-
мула (2.154) принимает вид
Яд (t) = Я (/) - Az - Д± ^/Яо = Я (/) - Д, - М, (2.155)
где 6 = Д±/Яо — малое угловое смещение рассеивателя.
Принимаемый сигнал выражается через зондирующий
сигнал по' формуле
(t) = (1//Й)s0(t - 2(/?(t)lc-1г-ivtjc)), (2.156)
где t2 = Дг/с. Для рассеивателя, расположенного в точ-
ке О, тг = 0 = О, и $(£) = (1/Яо)£о(£ —2Я(^)/с).
Для дальнейшего нам понадобится явное выражение
сигнала s5(Z) через s(t). Покажем, что с принятой точ-
ностью связь между ними дается соотношением
в (0 = $ (* + 2 (тг + М/с)).
(2.157)
105
Действительно,
,	„/	м\\	1	(	2й(< + г(тг+^))
s(<+2(,,+ «£))-----------------ь----S—£_> +
+2М^(?+2(л+^))])-
В последнем выражении можно сразу отбросить слагае-
мые, пропорциональные вторым степеням смещений tz
и 6, а величину /? (/ Ц- 2 (тг fruttc)) разложить в сте-
пенной ряд около точки /, ограничившись линейными
членами
/? (/ + 2 (^ + М!с)) = /? (О + (2/? (*)/<?) • (?zc + 9^)-
Напомним, что при выводе выражения (2.156) мы огра-
ничились членами порядка Az и 0р; в написанное разло-
жение эти члены входят с малым множителем
R(t)/c ~v/c, что дает возможность с точностью До v/c
считать + 2(tz + Bvt/c)) = R(t), после чего спра-
ведливость формулы (2.157) становится очевидной.
Так как точностные свойства системы удобно выра-
жать через спектральные характеристики сигналов и по-
мех, запишем спектральный аналог формулы (2.157)
оо
5в((0)= jj s6(/)exp( — \wt)dt =
—оо
оо
= s (z (1-f-+ 2т., ) exp ( — \<mt)di =
—оо
оо
= ех₽ (‘ ttw) $5 & ехр(-‘ rpw) dt'
—оо
или с точностью до первого порядка по %z и О
s5 (со) = s (о (1 — 20-п/б?)) exp (12(отД (2.158)
Теперь, используя явные выражения для принятых
сигналов, найдем точности измерения интересующих нас
параметров — продольной задержки tz и углового смеще-
ния 0. Рассмотрим подробнее величину z (6), определяе-
мую выражением (2.150) и зависящую от измеряемых
параметров. Прежде всего заметим, что в отсутствие
шума x(t) = s(t) exp (i<p), где ф описывает случайноеиз-
106
менение фазы при отражении сигнала. Максимальное
значение модуля интеграла
т
(2.159)
о
достигается при Д=0, если истинное положение рассеи-
вателя соответствует точке О. Присутствие шума иска-
жает функцию s(t) в (2.159), и максимальное значение
z(6) придется не на истинное значение параметра Д=0,
а на какое-то другое значение, которое следует считать
ошибкой измерения. Считая априори эту ошибку малой
(меньшей ширины пика функции z(6)'), разложим z(6)
в ряд Тейлора в. окрестности истинного значения 6=0,
сохраняя члены не выше второго порядка малости по 6:
г(») = г(0)+	+ 4-2 3
/=1,2	i=l,2k-l,2
= М-	(2.160)
Для нахождения точки максимума z(6), т. е. величины
ошибки измерения, следует продифференцировать
(2.160) по измеряемым параметрам и приравнять произ-
водные нулю, в результате чего получим систему урав-
нений для нахождения ошибок 6<:
2
<М0) , V6 ^£(0)_0 о
А = 1
Вводя обозначения dz (0)/d8z = А[у d2z {Qi)ldbld^k = Biki
эту систему уравнений можно представить в матричном
виде
А + 2^А = о.
k
После умножения левой части последнего уравнения на
матрицу BTk, обратную матрице В1к, получим
=	(2.161)
Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы
матрица В1к была диагональной, т. е. Blk = ZikBh где
Ъ1к — символ Кронекера (очевидно, для эрмитовой мат-
рицы Bik это всегда можно сделать). Тогда обратная
к ней матрица BTk тоже будет диагональной, а её эле-
менты равны ВТ* ^Ъщ/Bl. При этих условиях выражения
107
для ошибок измерения параметров 8Z принимают сле-
дующий простой вид:
<2Л62>
Входящие сюда случайные величины At и BL зависят от
шумовой составляющей принятого сигнала и определяют
случайный характер ошибки 8Z. В отсутствие шума z(3)
имеет максимум в точке 5 = 0, так что производная
а вместе с ней и ошибка 8Z равна нулю.
Наибольший практический интерес представляют вто-
рые моменты ошибок 8Z, характеризующие точности
измерений, для которых из (2.162) находим
<8Л> - (А^В^).	(2.163)
Входящие в (2.163) величины At и Bt выражаются через
функцию отклика С(3) следующим образом:
Л = 2148)1^1,=0,
В‘ “2	+ 21С <S> I	(2.164)
X UQi у	дЪ} а=о
Представим функцию отклика в виде С (5) = ЧГ(8) + т)(8),
г
где SF (5) = s (/) s* (/) dt — сигнальная, а
о
т
=	(2.165)
о
— шумовая компоненты, п (t) — аддитивный шум.
Моменты ошибок о2. будем искать с точностью только
до первого порядка по дисперсии шумов, которая по
смыслу задачи измерения должна предполагаться доста-
точно малой. В отсутствие шума Az=0, a' Bt =
= 2|Цг|д2|Т[/д82. Это значит, что разложение At по
амплитуде шумов начинается с членов первого порядка,
a Bt — с нулевого порядка. Произведение AtAk дает
требуемый второй порядок по амплитудам шумов (пер-
вый порядок по дисперсиям), и учет шумов в Z?z ста-
новится излишним. Это позволяет заменить в (2.163)
величины Bt их значениями, взятыми в отсутствие шу-
мов, т. е.
BL = 21Т | d2;| Ф
10®
а для At пользоваться приближенным выражением, учи-
тывающим только первый порядок по амплитудам шумов:
А, ~ 2 |Ф|<? | С | /д^.
Таким образом, для дисперсий ошибок получается
следующее выражение:
д2 /Р^1у^К1А\/^|ЧГИа1^1-1
dbt Д дЦ )/\ дЪ2 дъ2) •
(2.166)
Найдем явный вид входящих сюда производных. Для
д | С 1/дВ; имеем
VW + hP+SRe^ ~
А | у | /1 + 2Re^/|9fp ~	(ЧГ*т)) =
так что числитель в формуле (2.166) оказывается равным
£Ш\_________L_ Re I I ЧГ Р	-4-
\ dBz дВА / ~ 2) ^|2 n [J 1 дЧ/ ~Н
. л 7) |2\ *1	ф А	цг* А* Л) к 1
+	' дВ/ + dBz т М дък/ + дък Зв;/]-
(2.168)
Подставляя в эту формулу функции Т и ц, выраженные
через спектр сигнала s (/),
= 2Г 5 5 (<°) 5в 6/(0 =
о
= 2Гр (<•>) s* (о) (1 - 20t//c)) е“12“Мш,
со
Ч = 27 J П (Ш) 58 (Ш) d(3) =
о
= п (о>) 5* (О) (1 - 20-п/с)) е"12шх^(0,
и учитывая, что шумовой процесс ti(t) во всех практи-
ческих случаях можно считать стационарным, получаем
109
<-> f S
о	о
X	Л» Л чД | s (и) |W («) Л L (») dm X
О	о
X ( s* (°>)dS^- dco -|- s*(ю)	N (w) du x
о	0
X | s (<“) |2^ш §	(w) du + 5* (<o)-S^~ N(<o) du X
о	0	1	0
X J | 5 (<O) |2^ f 5* (to) дГа>] ,	(2.169)
о	0
где TV(w) — спектральная плотность шума, определяемая
из соотношения (п (о>) п* (<в')) = 2^8 (щ — и') N (<и). Анало-
гично находим выражение длй величины ^2|Ф |/<?8?, вхо-
дящей в знаменатель формулы (2.166),
I $ (<о) pd©
db2t
du -р
О
(2.170)
1
Для нахождения дисперсий ошибок измерения необ-
ходимо далее подставить в (2.169) и (2.170) выражение
для спектра сигнала se (/), задаваемое формулой (2.158),
продифференцировав его по интересующим нас парамет-
рам хг и в.
Рассмотрим сначала точность измерения продольной
временной задержки Для нее выражения (2.169)
и (2.170), определяющие числитель и знаменатель дис-
персии ошибки, принимают вид
110
I oo	i 2
\ ® I S (“) l’*“ „
------------ $ЛГ(«)Х
\ I s (to) |2^“
» 0	I
toTV (to) I s (to) pflfto -|-
0
+ to27V (to) | 5 (to) |2fZto
о
<j2|W| = _2_
dt2 n
»	(Jj“ |s(®)|!rf® )
p I s(®) рл + -2-s-----------------------
0	\ I S (to) |2rfto
(2.171)
(2.172)
Выберем несущую частоту сигнала w0 таким образом,
со
чтобы (to — to0) | s (to) |Mto = 0. Тогда дисперсия ошибки
о
измерения продольной задержки оказывается равной
оо
(ю — “о)2^ (©) | s (to) |adto
% =	’	(2.173)
2	(“ ~ “о)21 5 (to) pdto)
о
а дисперсия ошибки измерения продольного смещения
выражается через 0t2 по формуле
2	2,2
°Z =
Заметим, что, полагая в формуле (2.173) М(со)=ЛГо, мы
приходим к полученному ранее выражению для диспер-
сии ошибки в случае белого шума (см. (2.133)).
111
Найдем теперь точность измерения углового смеще-
ния 0. В этом случае выражения (2.169) и (2.170) при-
нимают вид
оо	оо
о	о
о
о
ds (со)
д<л
о
о
ds (со)
д<л
о
(2.174)
d2]T|
d62 —
о
d2s* (со) .	.
о
ds* (<о)
dco
(2.175)
о
Оба эти выражения можно существенно упростить, если
пренебречь изменением ш в пределах спектра сигнала.
Тогда
оо	оо
о>5 (о>) d® (о0 s ((d) d(a =
J ''ОСО	UJV/OC0
о	о
Г/2
= 12тса>0 t j s (/) ^dt = 0.
—Г/2
Используя последнее равенство, для дисперсии ошибки
измерения углового положения получаем следующее вы-
ражение:
00
С I ds (со) 12
4cOqV2
(2.176)
d2s* (со) \2
переходящее в случае белого шума в (2.136).
При заданном спектре мощности помехи N(со) можно
в явном виде вычислить интегралы, входящие в формулы
112
(2.173) и (2.176). Не останавливаясь подробно на ана-
лизе всех возможных ситуаций, ограничимся лишь са-
мым интересным в практическом смысле случаем, когда
угловой размер фона разрешается диаграммой направ-
ленности реальной апертуры. Как уже говорилось в на-
чале параграфа, в этом случае спектральную плотность
помехи в пределах ширины каждой из спектральных ли-
ний сигнала можно считать постоянной, а поскольку эта
помеха обусловлена хаотическими отражениями зонди-
рующего сигнала, постоянно также и отношение энергии
сигнала в каждой отдельной спектральной линии к
спектру мощности помехи, которое мы в дальнейшем бу-
дем обозначать через цо- По своему определению, эта
величина равна
оо
<2-177)
о
где $п(со) согласно формуле (2.149) описывает спект-
ральную линию сигнала вблизи частоты со™. Для интег-
рала входящего в (2.177), нетрудно найти выражение
оо
(2.178)
о	/п
где Гэф — эффективное время синтезирования,
—оо
Из выражений (2.177) и (2.178) легко найти связь меж-
ду спектром мощности помехи и спектром сигнала:
* (ш) = (Лф/^п) !/(«>- <°о) I2-	(2.179)
Для найденного спектра мощности помехи вычислим ин-
тегралы, входящие в формулы (2.173) и (2.176). Для
числителя выражения (2.173) имеем
СО	у1 °°
((“> — ®o)!jV (®) I $ (“)	— “>о)2Х
5	S
ОО
X | / (<0 — Шо) |2 2 I Sn (“) N<*>
П = —оо
— <*>о)2Х
оо Г/2
х IZO—<оо)Г$| j -
О -Г/2
£-!(«-%)	(2.180)
8 Заказ № 57
113
Используя известное соотношение
00
ехр [— 1<о (Z — /')]	— Ц/ — /'),
— 00
преобразуем правую часть (2.180) к виду
---2 (“>» — “о)2 I / (“» — “о) I4-
'‘Л
Входящую в последнее выражение сумму вследствие
медленности изменения ее слагаемых в зависимости от
п можно заменить интегралом по частотам, что оконча-
тельно дает
“	Г2 Р
\ (fl) — (Oq)2N ((d) | S ((d) |2fif(D = -Mf- \ ((О — (D0)2 X
2	00
X |/(«- ">0)[4Л> =	\ <H7WI4rf“- (2-181)
Аналогично находим знаменатель (2.173):
оо	оо
f ((D - (й0)2 | $ ((D) |2г/<0 =	( ф2 I f ((D) |2rf(D.
J	п J
О	— оо
Тогда дисперсия ошибки измерения дальности тг для
разрешаемого фона оказывается равной
оо
ш2| f ((о)|4Д?Ш
42  ---------^5-------------——-	(2.182)
16тер,07’п7'Эф( J <о2| f (<о)
— ОО
Форма диаграммы реальной антенны влияет здесь толь-
ко через множитель ТЭф на величину ц0, равную, согласно
(2.177) и (2.178),
Po-r,*|/WP/rj7V(«>).
В случае отсутствия эффекта направленности реальной
апертуры ТЭф равно просто времени синтезирования Т.
Обратимся теперь к формуле (2.176), которая описы-
вает дисперсию ошибки измерения угловой координаты
0. При нахождении производных от спектра сигнала
114
можно пренебречь изменением функции f(a — <оо), доста-
точно плавной по сравнению с пиками спектра. Тогда
числитель выражения (2.176) оказывается равным
оо Т/2
2 —2 °°
X dtdt'du =	( I f (®) IM®, (2.183)
где х2— траекторный момент второго порядка, опреде-
ляемый формулой (2.139).
Аналогично находим выражение и для знаменателя
(2.176):
оо
jj S (со) дг^}	| / (% - (»о) I2X
О	п п
оо т/2
гК (*
X (i — t'.)]dtdt’dv =-\ I /((й) |2tZ(D.	(2.184)
v * п J
—00
Подставляя (2.183) и (2.184) в (2.176), находим диспер-
сию ошибки измерения угловой координаты при разре-
шаемом фоне:
оо	со
irwiw4’'MTn^( Jirwi’d®)2. (2.185)
— 00	—оо
Зависимость а2 от диаграммы направленности реальной
антенны входит в эту формулу через отношение сиг-
нал/шум р.о и траекторный момент х2.
8*
115
Глава 3
ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
С СИНТЕЗИРОВАННОЙ АПЕРТУРОЙ
3.1. Функция неопределенности сигналов
в пассивной системе с синтезированной
апертурой
Для пассивных систем с синтезированной апертурой
можно предложить большое число различных вариантов
их исполнения, различающихся, главным образом, лока-
лизацией устройства обработки и объединения сигналов
и способами передачи принятых с движущихся станций-
приемников сигналов в это устройство. Каждый из та-
ких вариантов обладает присущими ему одному осо-
бенностями преобразования принятых сигналов. Не
останавливаясь подробно на всех вариантах, исследуем
наиболее существенные черты пассивных систем, кото-
рые совершенно не зависят от конкретных реализаций
устройств обработки и передачи данных. Для этого рас-
смотрим наиболее простую, но универсальную модель
пассивной системы.
Примем, что интересующие нас источники радиоизлу-
чения расположены в области, которая является либо
неподвижной, либо движется поступательно. Условный
центр О этой области находится на достаточно большом
расстоянии Ro от условного центра области синтезиро-
вания, образуемой двумя движущимися приемниками
(рис. 3.1). Координаты первого и второго приемников
в области синтезирования задаются векторами п и г2.
Тогда в неподвижной (или движущейся поступательно
вместе с источниками) системе координат колебания на
входах приемников, соответствующие колебанию s(t)
в точке О области источников, в отсутствии шумов, за-
писываются в виде
тМ- (1/^ (*М - МО). (3.1)
где Ti(f)=^i(O/c — время распространения сигнала от
точки О до i-ro приемника, i=l,2. Ограничимся рас-
смотрением выражений (3.1), не переходя к их пред-
ставлению в системе координат приемника. При необ-
116
ходимости такое представление нетрудно найти для
каждого конкретного случая, следуя в основном порядку
расчета, проделанному в § 2.1. Как и в предыдущей
главе, основное внимание будет уделено анализу функ-
ции неопределенности для совокупности сигналов (3.1),
поэтому прежде всего необходимо уточнить понятие
функции неопредленности сигналов для пассивной си-
стемы.
Условимся, что функция неопределенности должна
служить мерой разрешающей способности системы в
условиях, когда присутст-
вуют сложные объекты с не-
известными свойствами.
Простейшая задача разре-
шения состоит в том, чтобы
по принятому сигналу опре-
делить, наблюдается ли еди-
ничный протяженный объ-
ект или же несколько изо-
лированных. Наиболее есте-
ственным путем решения
этой задачи является, на
первом этапе, проверка ги-
потез о присутствии сигна-
лов с каждым из возмож-
ных значений параметров
(например, азимутального
угла 0). Второй этап заклю-
чается в рассмотрении полу-
ченного множества решений
Рис. 3.1. Геометрические со-
отношения при пассивном
синтезировании.
для нахождения изолиро-
ванных областей отрицательных и положительных
решений, отвечающих соответственно областям присут-
ствия или отсутствия протяженного объекта. Функция
неопределенности должна в количественном смысле опи-
сывать перечисленные процедуры, давая* количествен-
ную оценку отличия границ отдельных областей множе-
ства решений от реальных границ этих областей объ-
ектов. Для детерминированных объектов эта функция
дается общепринятым выражением (2.9) и равна квад-
рату огибающей отклика согласованного фильтра, на-
строенного на какое-либо значение параметра точечного
объекта, при поступлении на его вход колебания, соот-
ветствующего смещенному значению этого параметра.
117
Функция неопределенности показывает, насколько «раз-
мазывается» изображение точечного объекта.
Точно те же рассуждения можно применить и к пас-
сивным системам, назвав функцией неопределенности
нормированное среднее (усреднение необходимо из-за
случайного характера сигналов) значение напряжения
на входе порогового устройства оптимального обнару-
жителя при условии, что исследуемый объект смещен на
некоторое расстояние А относительно положения, на ко-
торое настроен обнаружитель.
Таким образом, приступая к исследованию функции
неопределенности в пассивных системах, необходимо
прежде всего найти схему устройства оптимального об-
наружения сигнала от источника с заданными коорди-
натами. Для этого надо конкретизировать вид сигналов
и ms(/), а также характер шумов в системе. Бу-
дем считать, что исследуемые сигналы — нормальные
стационарные случайные процессы с заданными функ-
циями корреляции. Характерное время корреляции тКОр
этих процессов будем предполагать гораздо меньшим
времени наблюдения.
Аналогичными свойствами обладают и шумы. В этих
условиях различие между сигналами и шумами обус-
ловлено, во-первых, возможным различием их спект-
ральных распределений, и, во-вторых, разной степенью
пространственной когерентности. При оптимальном об-
наружении сигналов оба эти фактора, естественно, дол-
жны приниматься во внимание.
Чтобы получить выражение для оптимальной обра-
ботки сигналов в пассивной системе, необходимо, как
уже говорилось в § 2.6, построить в явном виде выра-
жение для отношения правдоподобия. Перейдем к спект-
ральному представлению процессов, обозначив через
Xi((o) и тДсо) соответственно случайные реализации
спектров смеси сигнала и шума и одного сигнала в
i-м канале, г=1,2. Как известно, для стационарных про-
цессов эти реализации дельта-коррелированы по часто-
там с дисперсией, пропорциональной спектру мощности.
В нашем случае длительность как сигнального, так и
шумового процессов ограничена временем наблюдения
так что их нельзя считать строго стационарными. Не-
смотря на это, если длительность Т гораздо больше
характерного времени корреляции сигналов, оптималь-
ная обработка должна практически совпадать с таковой
118
для стационарного случая. Пользуясь этим, а также учи-
тывая очевидную некоррелированность шумов в раз-
личных приемниках, можно записать совместный функ-
ционал распределения спектральных компонент шумов
в виде (см. (2.115))
2 оо
Р (х„ х2/0,0) ~ exp { - i 3 $	л},	(3.2)
i=l 0
где Л^о)) — спектр мощности шума, определяемый из
выражения
<«/ (“)	(«>')> =	(а/ — («) jV(<о),
Пг(<о)—случайная реализация спектра шума в t-м ка-
нале, i=l,2; §ik — символ Кронекера.
Аналогично (3.2) можно записать условный функ-
ционал распределения входных спектров Xi(d>) при ус-
ловии, что в каждом канале присутствует некоторый
известный сигнал со спектром тДсо); в этом случае
нормальным распределением с нулевым средним обла-
дают уже не сами входные сигналы хДсо), а разности
Xi (со) — ГПг((д):
2 оо
Р (Хр х2 / /Пр т2) ~ ехр	J	(Ц>) |2 *4 =
о
2 оо	оо
^expU-l-y r^^(<tZa>4-0^(-)|2tZw-
ехР{	TV (со) + J ДГ(оз)
/=1 о	о
оп С (“) "4 (<>) , 11	/о
~2Re\—<3-3)
о
Выражение (3.3) необходимо далее усреднить по
совместному распределению сигналов mi (со) и m2(co).
Поскольку нас интересует только точечный источник
теплового поля, то принимаемые первым и вторым при-
емниками сигналы m\{t) и т2(£), по сути дела, пред-
ставляют собой один и тот же сигнал и отличаются
между собой только величиной задержки, зависящей от
текущих расстояний между источником и каждым из
приемников. В задаче, обнаружения точное местополо-
жение источника следует считать известным, так что
при заданных траекториях станций известна и относи-
тельная задержка обоих сигналов Ti2(Z) —т2(0-
119
Считая эту задержку скомпенсированной на входе
одного из приемников, в выражении (3.3) можно поло-
жить, что сигналы mi (со) и тг(й)) отличаются только
некоторым фазовым множителем ехр i <р, остающимся
постоянным за время синтезирования и описывающим
непредсказуемые фазовые набеги при распространении,
приеме и обработке сигналов. В связи с этим выраже-
ние (3.3) можно упростить, исключив из него сигнал
Р (хх, х21тг, т2) = P(xv х^т^ ~
2 оо	оо
1=1 О	О
on С	+ е1<₽ Хг	11 /о лч
- 2Re J----------лги-----------
В такой форме условный функционал распределе-
ния легко усреднить по всем возможным реализациям
случайного спектра сигнала тД/). Функционал распре-
деления этих реализаций, по аналогии с (3.2), записы-
вается в виде
оо
Р (mt (®)) ~ ехр {- -Ц 'мю'1 Л}’	(3’5)
О
где М (о>) — спектр мощности сигнала тх (t), определяе-
мый из соотношения
(mi (<о) т* (о/)) .= 2тг8 (со — o') М (<о).
Для того чтобы реально выполнить функциональное
интегрирование произведения (3.4) и (3.5) по всем ре-
ализациям mi (со), достаточно заметить, что функцио-
нальный интеграл
оо
jj ехр|— jj |от(ю)~ d{a }dni (3-6>
о
Q W > О,
не зависит от вида функции g(o>). Ясно, что для усред-
нения (3.4) по /П1(со) надо дополнить сумму показате-
лей экспонент в (3.4) и (3.5) до полного квадрата мо-
дуля, выделив в явном виде сомножитель типа (3.6).
120
Это дает (с точностью до коэффициента) для безус-
ловного функционала распределения выражение
Р(хр х2) ~ехр
_______L V С 1х/ (с°)12 da>
2л J N (<о)
1—1 о
I J_ С | *1 (ц) + Хг (со) exp i у Is Л1 (со) ,
J 7V (со) (2Л4 (со) + 7V (со))
о
(3-7)
В этой формуле осталось провести усреднение по
случайной межканальной фазовой ошибке <р, которую,
как обычно, считаем равномерно распределенной в ин-
тервале (0,2л). Соответствующий интеграл легко при-
водится к табличному; вычисление его дает
оо 2
1//(“I1’+
0 I- 1
1 С ^(Ю)(|х, Р + | Х2|г) С/сО )
2л ) W (ф) (2Л1 (со) 4-	(со)) J А
о
Х1 (со) Л2 (со) М (со) с/со I \
ЛГ(со) (2М(со) + N(co))|j-
(3.8)
Поделив функционал распределения (3.8) входного
процесса в присутствии сигнала на функционал рас-
пределения одного шума (3.5), получаем функционал
правдоподобия
оо
A(x1} х2)~ехр
о
М (со) ( |хг (со) Р + 1*2 (<*>) I2) d<*
N (со) (2М (со) + N (со))
. / 1 I (* Af (со) *! (со) *2 (ю) du>
Х 1о I J N (со) (2М (со) + N (со))
о
(3.9)
который и описывает алгоритм оптимальной обработки
принятых сигналов.
Как следует из (3.9), оптимальный прием включает
в себя следующие операции:
1)	выравнивание временных задержек между кана-
лами;
121
2)	пропускание сигналов Xi(f), x2(t) через фильтры
с частотными характеристиками
Н (а>) = 1/ T7-,-T7oi7>(<L	(3.10)
в результате чего образуются сигналы уД/) и у2(0;
3)	вычисление полной энергии отфильтрованных сиг-
налов
1 С (1^ (<о) |2 + |хг (ш)|2)Л4(а>)дГш
2я J N (<о) (2М (<о) + N (со))
о
т
-JUjUOP + IMOI2)*» (3-11)
о
и модуля их взаимокорреляционной функции
I 1 f Хг (а>) Х*2 (со) М (<о) I	IP	I	/0 104
I 2kJ АГ (<о) (2М (ш) + ЛГ((й)) =	р	(3.12>
О	О
4)	объединение полученных ‘ величин по формуле
(3.9).
Указанные операции довольно легко реализуются на
практике, за исключением п. 2 — фильтрации входных
сигналов. Дело в том, что зачастую исследуемые теп-
ловые источники обладают столь широким спектром из-
лучения, что его нельзя полностью обработать в прием-
никах по чисто техническим соображениям. В этих слу-
чаях ширина и форма спектров сигналов и помех на
входах устройств обработки определяется только фор-
мой частотных характеристик антенн и предваритель-
ных усилителей. Следовательно, эти спектры различа-
ются только по интенсивности, т. е.
Л/(со) = р2У((о).	(3.13)
Величину ц естественно назвать отношением сигнал/шум.
Если применить к таким сигналам найденный ранее ал-
горитм оптимальной обработки, то окажется, что ха-
рактеристика фильтра должна иметь вид
НМ = [l/1/TvWJ Гн/(2н+1)-	(3-14)
Ясно, что такой фильтр должен существенно поднимать
уровень сигналов за пределами полосы пропускания
входных устройств, т. е. в конечном итоге обеспечивать
122
возврат к процессам на входе антенн. Поэтому при
заданной (из чисто технических соображений) полосе
тракта обработки такая фильтрация представляется ли-
шенной реального смысла, и от нее приходится отка-
заться, сохранив, тем не менее, в прежнем виде осталь-
ные операции оптимального обнаружения.
Таким образом, оптимальный для описанного случая
приемник должен образовывать величину
т	т
exp [j (| Xi (012+ 1*2 (О I2)	*о ( | jj *1 (z) х2 (*)dt I)-
о	0
(3.15)
Учитывая практическую важность применения прин-
ципа пассивного синтезирования именно к исследованию
широкополосных тепловых радиоисточников, мы в даль-
нейшем будем рассматривать только обработку, описы-
ваемую формулой (3.15), считая, что дополнительной
фильтрации в устройстве оптимальной обработки не
производится.
Для того чтобы перейти от выражения для опти-
мальной обработки (3.15) к функции неопределенности,
необходимо принять, что в сигналах хДсо) и Х2(<й) шу-
мовые компоненты отсутствуют, а сигнальные компонен-
ты обладают задержками
определяемыми отклонением истинного положения ис-
точника от точки О. Тогда вместо (3.15) необходимо
рассматривать зависимость от смещения А величины
т
exp [ jj (\mr (t - Atj (0)|2 +1 тх (t - Дт2 (/)) р) dt\X
о
т
х i„ ((| m, (t - Дт, (/))	(/ - Дт2 (0) dt (3.16)
В выражении (3.16) первый интеграл представля-
ет собой сумму энергий принятых сигналов, задержан-
ных на время Ать малое по сравнению с временем на-
копления Т. При больших Т эта энергия практически
не зависит ни от задержек Атй ни от конкретных реали-
заций сигналов и поэтому при построении функ-
ции неопределенности соответствующий множитель
можно не учитывать.
123
Напротив, второй интеграл в (3.16), представляющий
собой усредненный по выборке корреляционный функ-
ционал сигнала	существенным образом зависит
от разности Дт(£)=Дт1(£)—Дтз(0> т.е. в конечном итоге
от вектора Л смещения источника. Поэтому функцией
неопределенности естественно назвать нормированное
среднее значение от квадрата модуля этого интеграла,
т. е. величину
т
"Ч (t - Д',) m\ (I - Дг2) dt |2 у, (3.17)
которую, учитывая малость Дтх (/) и Дт2 (Z) по сравнению
со временем синтезирования Г, можно записать в виде
т
О
(3.18)
Нормировочный множитель выбирается из условия:
/(0) = 1.
Конечно, функцией неопределенности можно было
бы назвать среднее значение от модуля рассматривае-
мой корреляционной функции, или вообще от любой
монотонной функции этого модуля. Для описания раз-
решающих свойств системы все эти определения прак-
тически равноценны. Форма записи (3.17) выбрана на-
ми по аналогии со случаем детерминированного сиг-
нала.
Для дальнейших преобразований (3.18) удобно вве-
сти обозначения: mi(t)=m, m\(t')=m', mi(Z+Ax(/)) =
= m, и mi (t' + Дт(/')) = mf..
Тогда (3.18) переписывается в виде
/(Д)»
m'* т') dtdt'.
(3.19)
о
Если теперь воспользоваться известным свойством мо-
ментов нормальных величин тит, позволяющим вы-
разить момент четвертого порядка через возможные
произведения моментов второго порядка, то функция
неопределенности /(Л) оказывается равной
(Л)=dr Ш
о
Т
о
(3.20)
124
Вводя корреляционную функцию сигнала по формуле
К (т) = (т (Z) т* (t + т)), находим
т
/(Л)=зИ1$АГ(Ах(0)ЛГ+
о
т
+ к (/' - /) К * (i' -1 + Д-с (/') - Дт (/)) dtdt' ]. (3.21>
о
Оба интеграла в формуле (3.21) достигают своего
максимального значения при А=0, т. е. при Ат(£)^0.
При этом квадрат модуля первого из них равен Г2Х2(0).
Второй интеграл легко оценить, если воспользоваться
малостью времени корреляции флуктуаций сигнала
m(t) и перейти к интегрированию по разности t'—t в-
пределах ±оо, а по t — в пределах от 0 до Т. Тогда
оказывается, что в точке максимума (т. е. при Д=0)
этот интеграл по порядку величин равен 77С2(0)тКор,
т. е. в Ткор/71 раз меньше первого слагаемого. Это по-
зволяет при анализе функции неопределенности отбро-
сить второе слагаемое в (3.21) и пользоваться следую-
щим окончательным выражением для функции неопре-
деленности:
т	т
I(А) = i | $ к № (0) dt |2 -| (Дг (/)) dt |2 .
О	о
(3.22>
Входящая в эту формулу переменная задержка Дт (/)
равна, согласно введенному ранее определению, раз-
ности [ д (/) —	— [А?2а (/) — Т?2 Если ис-
пользовать выражение для (см. формулу (2.154)),
то
Дт(0=-----[₽1Х (1 — Pl ||) — Р2±(1—Р2||)] —
--гМР?х~₽и)}’	<3-23>
где Aj.— вектор смещения источника относительно
точки О в плоскости, перпендикулярной радиус-векто-
ру Ro, а Дп— смещение источника вдоль Ro, p/j_ и
р/ и — соответствующие величины для смещений обоих
приемников относительно средней точки траектории.
125-
Запишем корреляционную функцию сигнала К (t)
в виде
ЛГ(х) = Д(т)е-1т»’,	(3.24)
где wo — несущая (средняя частота тракта обработки
информации), а функция Д(т) вещественна, если высо-
кочастотная спектральная линия сигнала симметрична
относительно частоты <оо. Последнее условие чаще всего
выполняется на практике. Как и в случае активных
систем, функцию неопределенности в явном виде удает-
ся исследовать только для определенных предельных
случаев, характеризуемых геометрией системы и соот-
ношением между масштабом изменения Ат(0 и масшта-
бом корреляции Ткор-
Предположим сначала, что изменение Ат(/) за вре-
мя синтезирования гораздо меньше характерного мас-
штаба флуктуаций сигнала тКор- Тогда из-под интеграла
в выражении для функции неопределенности
т
' (д) - W71SА (Л’е-'“" 4’('’dt 12 (Х25)
1 о
можно вынести остающийся практически неизменным
за время синтезирования амплитудный множитель
j4(At(0), и функция неопределенности
т
/(А)=	(3-26)
о
представляется в виде произведения двух сомножите-
лей, зависящих от смещения А. Первый сомножитель
| А (Ат(0) )/А (0) |2 играет существенную роль только
тогда, когда начальное расстояние между приемниками
существенно больше, чем длина каждой из траекторий,
так что за время синтезирования аргумент экспоненты
во втором интеграле (3.26) остается практически по-
стоянным. Это справедливо только в предельном слу-
чае неподвижных приемников, когда множитель
| А (Дт(0))/Д (0) |2 описывает некогерентный интерферо-
метрический эффект двух разнесенных приемников.
Действительно, два неподвижных приемника, разде-
ленные расстояниём D, образуют интерферометр, явля-
ющийся, в зависимости от принятого способа обработки
•сигналов, когерентным или некогерентным. Этот интер-
ферометр обладает разрешающей способностью в лю-
126
бой плоскости, проходящей через линию базы D
(рис. 3.2). Если фазовый сдвиг между приемниками
точно контролируется (когерентный интерферометр), то
измерение координат источника производится по вели-
чине относительной задержки между двумя сигналами,,
обеспечивающей максимум корреляционной функции
(3.24). В нашем случае существует межканальная раз-
ность фаз ф, постоянная за время синтезирования, но-
априори неизвестная, поэтому измерение координат (или
разрешение) источника можно производить не по са-
мой корреляционной функции (3.24), а по ее модулю*
4(т), что и отражено в формуле (3.25). Описанный ин-
терферометрический эффект отсутствует, если в началь-
ный момент времени местоположения приемников сов-
падают.
Итак, отвлекаясь от интерферометрических эффектов
синтезированной апертуры, запишем функцию неопре-
деленности в виде
т
|§ехР 1-7-{д±[₽I1(1 -Pin)-
О
- (1 - р2 II)] - 4- д»(₽1 х~ Их)} dt 12 •	(3-27>
Если здесь пренебречь, как это делалось в гл. 2, сла-
гаемыми p/ц, малыми по сравнению с единицей, и ввести
127
обозначения
Х— (Pl± Р2±) J ^0» A_l—
где j — орт в направлении вектора Д±, то выраже-
ние (3.27) приобретает вид
/ (д) =	I § ехр {1-^ [ох-Ь А „ (Р?±- Pix)] } dt |2.
о
(3.28)
Во фраунгоферовой зоне вторым слагаемым в пока-
зателе экспоненты можно пренебречь, и тогда функция
неопределенности (3.28) полностью совпадет с функцией
неопределенности для активной системы (2.31). По-
следнюю мы исследовали достаточно подробно в гл. 2.
Для френелевой зоны отличие от случая активного син-
тезирования более существенно, ибо вместо слагаемого
•оц(г?±+ r2i)/2^o в (2-31) здесь стоит разность
д« (р?х- рУ/2 =5II
Это значит, что при сравнимых длинах траекторий пас-
сивная система всегда обладает существенно меньшей
разрешающей способностью по дальности. В частности,
для траекторий приемников, у которых =
разрешающая способность по дальности отсутствует.
Этот вывод иллюстрируется рис. 3.3. В приведенном при-
мере относительная задержка между приемниками рав-
на нулю независимо от расстояния до источника.
Таким образом, разрешение по дальности в пассив-
ных системах обеспечивается только в том случае, когда
зависимости длин траекторий приемников от времени
существенно различны. В простейшем случае равномер-
ных и прямолинейных движений приемников для оцен-
ки этой разрешающей способности, можно воспользо-
ваться соответствующими результатами § 2.3, если вве-
сти некоторый поправочный множитель перед Д>|.
В заключение этого параграфа рассмотрим условия,
при которых возможен переход от (3.25) к (3.26), и
исследуем предельный случай, когда такой переход за-
ведомо неприменим. Очевидно, вынести Д(Дт(0) из-под
знака интеграла можно только для таких отклонений
источника 0, когда Дт(/) за время синтезирования ос-
128
Рис. 3.3. Отсутствие разрешения
по дальности при симметричных
траекториях.
тается гораздо меньшим времени корреляции тКор. Это
значит, что должно выполняться условие
^/с « Ткор.	(3.29)
Так как х по порядку величины равен длине синтези-
рованной апертуры D, то условие (3.29) равносильно
тому, что диапазон применимости формулы (3.26) огра-
ничен углами
0 Хкор/Тпроб’	(3.30)
где Тпроб — время пробега сигнала вдоль синтезирован-
ной апертуры D, тПроб=^/с. Легко показать, что если
интересоваться допусти-
мым относительным диа-
пазоном изменения углов
0, то условие (3.30) пере-
писывается как
6/е о)0/До), (3.31)
где Q — X/D — угловая раз-
решающая способность
синтезированной аперту-
ры, Д<о— полоса обра-
ботки. Если учесть, что
почти всегда шриходится
иметь дело с весьма уз-
кополосными сигналами
(шо/Дсо^ 100), то условие
(3.31) не вносит больших
ограничений и позволяет
рассматривать области уг-
лов, содержащие доста-
точно много элементарных ячеек разрешения 0. Несмот-
ря на то, что область достаточно больших угловых от-
клонений 0 вызывает обычно гораздо меньший интерес,
чем окрестность главного пика, полезно все же рассмот-
реть предельный случай, когда зависимость функции
неопределенности от угловой координаты можно найти
в точном виде при любых значениях 0. Это можно сде-
лать, когда оба приемника движутся равномерно и
прямолинейно.
Действительно, в этом случае, пренебрегая эффек-
тами фокусировки (что возможно, когда источник на-
ходится во фраунгоферовой зоне, либо же его продоль-
9 Заказ № 57
129
ное отклонение Ди мало), функцию неопределенности
записываем в виде
1	| $А (Л) ех₽ 0 -г	)dt Г  <3-32)
о
где, по аналогии с разностной координатой -£ = (Гц_ —
— r2j_)j, вводим разностную скорость -и = (Уц,.— V2_!_) j.
Произведя в (3.32) замену переменной и выражая
функцию корреляции Л(т) через спектральную плот-
ность сигнала М(со) по теореме Хинчина
К (т) = .М (о) exp 1 сот d<a,	(3.33)
о
находим
СО	TOvIc
$ ехР1Ш^т|2-
О	о
[ехр(1<»Г0^)-1]л|2. (3.34>
и
При вычислении последнего интеграла можно вос-
пользоваться тем, что практически всегда М((о)—уз-
кополосная функция. Это позволяет заменить множи-
тель 1/со на его значение при центральной частоте сиг-
нала (Оо- Тогда
00
1 ® = (т(0)к.ог Л Л И1 ех'Р d“ -
о
- 2^УИ((о)(/а)|2.	(3.35)
о
Если теперь снова воспользоваться формулой (3.33),
то для функции неопределенности по угловой коорди-
нате получается следующее выражение:
//оч 1 1 k(Tv%lc)~\ 12 __
<o2l Tvb/c I -
__[1 -|- а2(ТуЪ/с)— 2Re а (ГиО/с)ехр (i (ооГу6/с)] ,7g.
~	<»2(7vfl/c)8	’	‘° *
130
Здесь для упрощения записи мы ввели нормированную
функцию корреляции сигнала
k (т) = К (0) = а (т) exp (I <о0т:).
При малых угловых смещениях 0, когда можно пре-
небречь зависимостью огибающей корреляционной функ-
ции от 0, формула (3.36) запишется в виде
Г (п\ = 2 (1 — COS (<о0ТуО/с)) _ (sin (ю0ГуО/2с))2
1 W—	(<o0Tve/c)2	“ (<oo7'v0/2c)a
(sin (itDO/X))2
= (kDS/X)2
(3.37)
где D = vT. Выражение (3.37) находится в полном со-
ответствии с тем, что говорилось ранее о поведении / (0)
при малых углах 0.
В противоположном случае больших углов 0, при ко-
торых a(Tvft/c) <С 1, функция неопределенности, как это
видно из (3.36), теряет свой осциллирующий характер
и описывается зависимостью вида
/ (0) = (Х/2к07))2.	(3.38)
Эта асимптотическая формула справедлива и для
произвольных (а не только равномерных и прямоли-
нейных) движений станции. Чтобы показать это, доста-
точно обратиться к формуле (3.25). Заметим, что при
достаточно больших относительных задержках Лт(/)
(т. е. при больших 0) величина интеграла по t опреде-
ляется лишь узкой областью t вблизи нуля, когда ам-
плитудный множитель А(Дт(/)) еще достаточно велик.
Указанное обстоятельство позволяет аппроксимировать
в этой области реальную (достаточно плавную) траек-
торию каждой станции прямой линией, а верхний пре-
дел интегрирования устремить к бесконечности. Тогда
/(Л) оказывается равной
о
/<(0)
(3.39)
Покажем, что фигурирующий здесь квадрат модуля
равен единице. Проще всего это сделать, если предста-
9*
131
вить интеграл по т в виде
оо	со
О	— оо
где 6 (т) — функция Хевисайда,
и воспользоваться теоремой Парсеваля:
§ 0 (т) К (*с) dx = -1 0 (ф) М (со) с/<о.	(3.40)
— оо	0
Спектр функции Хевисайда 0(<о) имеет вид
0(ф) = ^е/ш/ dt = (со) —	(3-41)
о
где символ р перед 1/со в (3.41) означает, что при по-
следующем интегрировании по со надо брать главное
значение соответствующего несобственного интеграла.
Согласно предположению об узкополосности сигнала,
^(<О)Л1((О)С/(О ==0,
о
со	оо
1 С	_ _1------Г
2я J о>	2жш0 J ' '
о	о
К(0)
приходим к требуемому заключению о тождественности
формул (3.38) и (3.39).
3.2. Точность локализации источников
случайного поля пассивными системами
с синтезированной апертурой
Как и в гл. 2, изучение точностных свойств интере-
сующей нас системы начнем с исследования операций
оптимального измерителя параметров. Для этого необ-
ходимо установить явный вид зависимости условной ве-
роятности P(«i, входных сигналов U\(t) и u2(t)
при заданном смещении источника А. Этот функционал
132
легко получить из использовавшегося ранее, при нахож-
дении функции неопределенности, функционала P(xi, Ха)
для сигналов Xy(t) и x2(t) со скомпенсированной разно-
стью задержек. Однако теперь, в отличие от предыду-
щего параграфа, мы считаем, что источник находится не
в точке О, а смещен относительно нее на вектор Д.
Тогда эта задержка равна Tia(0 =	(0—^2а(0]/с-
Чтобы получить из выражения (3.8) для P(xi, х2) услов-
ный функционал P(ui, «а/Д)> надо ввести в него в явном
виде разность задержек заменив Xi(t) на «1(0, а
x2(t) на u2(t — Ti2(0)- При этом надо принять во внима-
ние, что интегралы типа
С I х/ (<*) |2	„ С I xt (<d) |2 м (©)
J	J ЛГ(<й)(2Л4(*>) +ЛГ(®))>
о	о
определяющие энергию входных реализаций, отфильтро-
ванных достаточно широполосными фильтрами, практи-
чески не зависят от смещения источника Д. Это обуслов-
лено малым временем корреляции флуктуаций сигна-
ла как по сравнению с временем накопления Т, так и
по сравнению с характерным масштабом изменения
Данная зависимость существенна только в послед-
нем сомножителе (3.8), т. е. в
. / 1 I? АГ («») (<о)	(«>) i\
J N (<о) (2А1 (®) + N («)) I/
о
Входящий в (3.42) интеграл представляет собой обоб-
щенную взаимокорреляционную функцию входных сиг-
налов, пропущенных через фильтры с частотными ха-
рактеристиками
Н (to) = VМ (и)/N (to) [2М » + АГ (to)] .
Поскольку фактически такая фильтрация не реализует-
ся (см. § 3.1), нам придется исключить ее из рассмот-
рения, перейдя от операций, даваемых формулой (3.42),
к субоптимальной обработке, заключающейся в обра-
зовании вместо (3.42) величины
ОО	Т
2(д) = [гГ $	= |$«i(0«2(z—Ti2(z))^[2==
о	о
Г
= |$«1(<+т12(о)«;(ол |2.	(3.43)
о
133
Обработку, описываемую этим выражением, доста-
точно просто можно реализовать на практике, если ис-
пользовать оптические методы обработки информации
[12].
Отличие оптимального измерителя от субоптималь-
ного в сущности заключается в исключении операции
фильтрации входных сигналов. Использование квадрата
модуля соответствующего интеграла вместо (3.42) не
приводит к дополнительным потерям, так как не вызы-
вает смещения точки максимума, опредляющей оцен-
ку Д.
Итак, устройство измерения должно для каждого из
возможных положений объекта 6=Д/7?о образовать
разность Т12(0 = (Riл—Т?2д)/с, вычислить функцию z(6)
и найти ее точку максимума. Соответствующее этому
максимуму значение 6 считается оценкой истинного зна-
чения неизвестного параметра. Для нахождения дис-
персий этих оценок, т. е. дисперсий смещений точки
максимума z(6) при фиксированном положении источ-
ника, например в точке О, происходящих из-за наличия
аддитивного шума в сигналах и\ и «2, воспользуемся
той же процедурой, которая применялась при исследо-
вании точности неоптимальных активных систем в § 2.8.
А именно, считая смещения малыми, разложим 2(6) в
степенной ряд около точки 6 = 0 и найдем случайную
оценку 6 в виде
8, = -	А„,	(3.44)
где 8Z — компоненты вектора 5, ВТь — матрица, обратная
матрице
Blk = д2 z (§)/дМ&* |в -0, Ak = dz (8)/d8Je = о.
Для моментов второго порядка оценок oz справедлива
следующая формула:
<&/8т) = №1Д^1ЛЛ>-	(3.45)
Если в (3.43) выделить отдельно шумовые (Л1 и п2)
и сигнальные (mJ компоненты входных процессов, то
выражение для z(6) можно переписать в виде
z (§) = | в (8)|2 + 2 Re {5* (8) [С (8) Н- D (8)]}, (3.46)
где
т
В (8) = jj mx (t т12 (/))	(/) dt,
о
134
г	т
(/-Н12 (/)) dt + jj т\ (t) пх {t 4- т12 (/)) dt,
о	()
т
£>($) = J n^t^^t^n^db {ЗА!)
о
Заметим, что величины В (5), С (8) и D (3) в (3.47)
имеют следующие порядки по малому отношению ткор/Г:
B(S)~<|»1i|2>7-[1+(tkop/7-)],
С (в) ~ I <К12) <|«Н> Т	(3.48)
O(S)~(I«I2)7'(WO-
Вычислим величины Л4. Первое слагаемое в (3.46)
имеет максимум при 3 = 0 и не влияет поэтому на .4Р,
которые оказываются равными
А„- ^-2 Re {В* (3) [С (3) + D (3)]}.	(3,49)
При нахождении элементов матрицы Bih восполь-^
зуемся малостью времен корреляций сигнала и шумов
по сравнению со временем синтезирования Т. Так как
величины Ak, согласно (3.48), имеют порядок тКОр/Т, то,
ограничиваясь при вычислении <6г6&> вторым порядком
по этому отношению, элементы матрицы В^ можно вьн
числять только с учетом главных членов в (3.48). Это
дает
причем величину 5(8), по той же причине, следует счи-
тать равной
т	К
В(3)= J(т,(/ + -С12(О)от;(0)л = U*(t12(/))<//, (3.51)
О	о
где К (т) = (т (/) т* (t 4- т)) — корреляционная функция
сигнала.
С учетом сказанного элементы матрицы Blk даются
выражением
т
B(e = 2{7-Re [/ё(О)К(О)^^-«!/] +
о7
о	о
135
Здесь точки сверху означают операцию дифференциро-
вания. Вводя матрицу траекторных моментов по фор-
мулам
1 J (70/	(70^
О
<3-52)
О	о
где /?12 (t) = ci:12 (t), и пользуясь тем, что для узкопо-
лосных процессов
оо	оо
(D2Af (<о) d<£> ~ (D2 М (<d) flf(D,
О	О
получаем окончательное выражение для элементов мат-
рицы В1к:
2Т*М1к<$ , ] р	ч2
Вп=----------------( 27 J М (ш)d®) •	(3-53)
о
Найденная матрица симметрична и поэтому соответству-
ющим поворотом системы отсчета приводится к диаго-
нальному виду. Считая, что такое преобразование уже
совершено, т. е. Bik представлена в виде	для
обратной матрицы В^1 имеем
В^=---------—(=Ц.М(»)Ж>'Г2.	(3.54)
2Т*<$Ми J 4 1 J v ’
Для вычисления моментов оценок	остается
найти только среднее значение	т. е. величину
(А4А,>= 4 —(Re [В* (8) (С (8) + D (8))] X
0©£ (70^
X Re [В* (8Л) (С (Г) + D (Г))]> |в=<и,	(3.55)
где штрихи при смещениях 8 определяют порядок
дифференцирования. Ограничиваясь, как мы раньше усло-
вились, только членами порядка (ткор/7')2, получаем
13®
(Re (В* (J) С (»)) Re (В* (S') С (»'))> =
=4- Re {$*•(’«,) dt J K(t\,)dt' [C K*(t ~t' + t12 -
О	()	(Г
-t^Ko(t-t')dtdt' + $ K(t~t')Ko X
0
X (t -1' + T12 — t[2) dt dt' ]},	(3.56)
(Re (B* (8) D (8)) Re (B* (S') D (8'))) =
=-!• Re{ ^K*(tl2)dt J K(-Qdt' К» V - t'+	-
-^Ka(t-t')dtdt'\,	(3.57)
(Re (B* (8) D (8)) Re (B* (S') C (S'))) = 0,
где Kq (i) = (fit (/) (t + т)) — корреляционная функция
шума, а штрихи при относительной задержке т12 озна-
чают, что она берется в момент времени t' и при сме-
щениях В = 8'. После несложных выкладок находим про-
изводную от (3.56):
Л 2 14	w'	
\ U	(«)</<»),. (3.58)
О	о
а производная от (3.57) оказывается равной
g «2 л _	w
—kl (2^- $м (ш) У (4? $N2 о°)^<0• <3-59)
о	о
При выводе этих выражений мы воспользовались тем,
что для узкополосных процессов можно считать
оо	оо
О)2 М (<о) N (ш) б/о) О)о М (о)) N (о) Д?0),
о	о
оо	со
о) М (о) N (о>) dio ~ (о0 М (и) N (<о) dm.
о	о
(3.60)
137
Подставляя (3.54), (3.58) и (3.59) в (3.45), находим
интересующие нас моменты оценок
оо	оо
Mim\2 (jj Л4 («) ЛГ (ю) + -у J N*
<MJ=------------2------------------°—--------• (3.61)
Ми Мтт2ът( M(<D)d<o)
о
В наиболее частом случае, когда спектры сигнала и
шума определяются только полосой приемников, можно
ввести отношение сигнал/шум по формуле и =
= Л4(со)/Л^((о) и эффективную ширину спектра
оо	] оо
Aw == ( М I 7И2(<п) d<o.
о	I о
При этом
<8z8m) = Mim Л2 (1 + 1/2^/МцМтт2^Т^. (3.62)
Таким образом, задача сводится к вычислению мо-
ментов Mim, определяемых видом траекторий и относи-
тельным положением объекта.
В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда один
приемник неподвижен, а второй движется относительно него рав-
номерно и прямолинейно вдоль оси х. Исследуемый объект нахо-
дится в зените, на расстоянии /?. Требуется найти точность изме-
рения направления на объект 0 и расстояния до него. Из простых
геометрических соображений находим
ст, = R, сЧ| = (ДО — х (О)2 + Я2.
Дифференцирование этих выражений по 0 и R дает
d-c,	dti	дт2
с W = °’ cdR = 1’ с~дё^~х
di2	R	1
с дБ- =  у 	— « 1 — -у- (х (t)/R)2,
dR	+ х2 (0	2 v v ”
и траекторные моменты оказываются равными
D2	1 / D \2
^=45 VR ) ’
где D — длина синтезированной апертуры.
138
Глава 4
ВЛИЯНИЕ НЕСТАБИЛЬНОСТЕЙ
НА РАБОТУ СИСТЕМ
С СИНТЕЗИРОВАННОЙ АПЕРТУРОЙ
4.1.	Классификация нестабильностей в системах
с синтезированной апертурой
Как и всякая антенная система с когерентной обра-
боткой сигнала, система с синтезированной апертурой
весьма чувствительна ко всякого рода искажениям при-
нимаемых сигналов. Такие искажения неизбежны в си-
лу целого ряда объективных, а также чисто технических
причин, и могут появляться во всем тракте передачи-
приема, начиная от задающего генератора и кончая оп-
тическй системой обработки данных.
Рассмотрение влияния нестабильностей удобно на-
чать со сравнения синтезированных антенн с большими
фазированными антенными решетками. Как известно,
предел разрешающей способности таких решеток огра-
ничивается требованием пространственной когерентно-
сти сигналов на выходах каналов, обслуживающих каж-
дый из ее элементов. Вопросы временной когерентности
обычно в теории антенных решеток не рассматриваются,
ибо в нормальных условиях приходится иметь дело
с достаточно короткими импульсами, за время длитель-
ности которых электрические параметры отдельных ка-
налов не успевают сколь-нибудь существенно изме-
ниться.
Пространственная когерентность в фазированных
антенных решетках может нарушаться вследствие раз-
личных причин. Во-первых, нарушение когерентности
происходит в силу объективной причины — случайных
флуктуаций среды распространения. При этом сигнал,
распространяющийся, например, от точечного рассеива-
теля, приходит к отдельным элементам решетки, грубо
говоря, по разным геометрическим путям с отличными
от нуля нескомпенсированными в устройстве обработки
разностями хода. С таким явлением приходится стал-
киваться и в системах с синтезированной апертурой;
единственное (и чисто формальное) отличие здесь за-
139
ключается в том, что нарушается не пространственная,
а временная когерентность принятого сигнала. Резуль-
тирующий эффект будет таким же — происходит слу-
чайный сдвиг максимума одновременно с частичным
или полным размыванием формы функции неопределен-
ности.
Второй причиной нарушения когерентности в боль-
ших фазированных антенных решетках является отно-
сительная техническая нестабильность отдельных эле-
ментов решетки и линий передачи информации на цент-
ральное устройство обработки. Поскольку в системах
с синтезированной апертурой используется только один
приемник, то проблем, связанных с такого рода погреш-
ностями, естественно, не возникает. Вместо этого на
передний план выступает обычно несущественная для
фазированных антенных решеток временная нестабиль-
ность приемника, связанная как с временной нестабиль-
ностью радиотракта (случайные отклонения приемо-пе-
редатчика от заданной траектории), так и с временной
нестабильностью устройств обработки.
Кроме этого, существует еще одна причина сущест-
венного нарушения временной когерентности принятого
сигнала. Она заключается в неизвестном априори дви-
жении каждого отдельного рассеивателя. Конечно, та-
кое движение приходится учитывать и в системах с фа-
зированными антенными решетками, для чего в устрой-
стве обработки используется несколько допплеровских
каналов, соответствующих возможным скоростям цели.
Возможность изменения скорости в такой системе не
учитывается, ибо. в большинстве случаев это изменение
за время когерентной обработки несущественно. Однако
в системах с синтезированной апертурой длительность
когерентной обработки может оказаться столь большой,
что за это время скорость объекта существенно меняет-
ся. Это приводит к необходимости введения обработки
сигнала, предусматривающей в идеальном случае точ-
ную настройку на целую совокупность параметров, опи-
сывающих (с той или иной степенью точности) всю тра-
екторию движущегося объекта.
Следовательно, для движущихся объектов оптималь-
ная система должна осуществлять не двумерную обра-
ботку принятого сигнала (на плоскости временная за-
держка— азимутальный угол), а n-мерную, причем
число п равно числу независимых параметров, необхо-
140
димых для определения траектории цели. Такого рода
обработка не поддается обычной (и наиболее простой)
аналоговой оптической интерпретации, ибо область при-
менения последней существенно ограничена двумерным
полем данных [12]. По этой причине всякое движение
объектов также должно рассматриваться как объектив-
ная причина нестабильностей, не поддающихся техни-
ческой компенсации.
В соответствии с приведенной классификацией неста-
бильностей мы и построим дальнейшее изложение в этой
главе. Сначала коротко остановимся на влиянии неста-
бильности опорного гетеродина как, на первый взгляд,
наиболее уязвимого элемента когерентного накопления
сигналов. Затем исследуем вопрос о влиянии движения
рассеивателя на параметры системы с синтезированной
апертурой. При этом нам казалось естественным рас-
смотреть детерминированное движение и не вычислять
статистических характеристик результирующих пара-
метров, ибо они полностью определяются статистически-
ми характеристиками параметров движения; построение
каких-либо вероятностных моделей этого движения, на
наш взгляд, лишено реального смысла.
Далее будет исследован вопрос о влиянии техниче-
ских временных нестабильностей тракта, которые без
существенного ограничения общности можно учесть вве-
дением переменных во времени случайных фазовых оши-
бок. Случай ошибок, связанных с флуктуациями среды
распространения, также полностью согласуется с опи-
санной моделью, и поэтому особо не выделяется.
4.2.	Влияние нестабильности опорного
гетеродина на работу систем
с синтезированной апертурой
Прежде чем остановиться на влиянии нестабильно-
сти опорного гетеродина, полезно, как нам кажется,
в общих чертах ознакомиться с принципом оптической
обработки информации в системах с синтезированной
апертурой. При этом достаточно ограничиться простым
случаем равномерного прямолинейного движения, не
рассматривая сложные криволинейные траектории стан-
ции.
14.1
Пусть зондирующий сигнал представляет собой по-
следовательность посылок вида
t
Sq = A (t) ехр т J о>0 (^') dt'^,
о
где используемая нами интегральная форма записи экс-
поненты указывает на возможность «ухода» опорной
частоты соо за время работы генератора, т— номер гар-
моники, используемой для передачи в эфир. Принятый
сигнал обрабатывается согласованным фильтром с пе-
редаточной характеристикой Д*(—t), при этом происхо-
дит сжатие каждого из импульсов, отраженных от эле-
ментарных отражателей объекта, с одновременным уве-
личением отношения сигнал/шум (шум предполагается
белым). В образующемся после сжатия сигнале осу-
ществляют понижение несущей частоты, в результате
чего он принимает вид
t—2т0	t
s (t) = В (/)ехр i [т jj <asQ(tr)dt' — п <о0(/')	(4.1)
о	о
где п — номер гармоники опорного гетеродина, исполь-
зуемой для гетеродинирования, а 2т0 учитывает задерж-
ку распространения сигнала до рассеивателя и обратно.
Из последнего выражения видно, что фазовые ошибки,
возникающие из-за нестабильности опорной частоты (оо,
при прочих равных условиях тем меньше, чем ближе
номера гармоник передачи и гетеродинирования. Мини-
мальным фазовым ошибкам соответствует случай т=п,
когда сигнал приобретает вид
t
s (/) = В (/) ехр 1 т <d0(/')^').	(4.2)
t—2т0
В этом случае смещение частоты существенно лишь за
время распространения сигнала 2то- Описанное преоб-
разование комплексного сигнала с несущей «о в комп-
лексный сигнал без несущей вида (4.2) носит название
гомодинирования. Недостаток гомодинирования носит
практический характер и связан с необходимостью за-
писи в устройствах обработки отдельно вещественной
й мнимой частей сигнала s(t), в то время как для сиг-
нала с несущей достаточно записать лишь, например,
вещественную часть s(t). Мнимую часть можно восста-
новить сдвигом фазы вещественной части на л/2.
142
Сущность дальнейшей оптической обработки сигна-
лов s(t) заключается в том, что их временная зависи-
мость переводится в пространственную. Через получен-
ную маску пропускается коллимированный пучок света.
При этом различные временные гармоники сигнала
превращаются в пространственные, которые затем легко
разделяются с помощью линзы. Обычно применяется
цилиндрическая линза, осуществляющая разделение
гармоник (фокусировку) лишь по азимутальной коорди-
нате. Зависимость изображения от координаты дально-
сти остается той же, что и на исходной фотопленке.
Сигнал, полученный после гомодинирования, может
быть записан на фотопленке в виде двух строк: одна
строка для его мнимой части, а другая — для вещест-
венной. Фаза светового поля для этих двух строк при
восстановлений изображения должна отличаться на л/2,
что связано с определенными техническими затрудне-
ниями. Поэтому обычно этот способ записи не исполь-
зуется, хотя при этом способе фазовые ошибки мини-
мальны.
При работе сигналом с несущей, полученным после
гетеродинирования и имеющим вид (4,1), фазовые ошиб-
ки больше, чем для сигнала вида (4.2), но этот сигнал
проще обрабатывать. В этом случае фазовые ошибки
можно уменьшить за счет выбора близких (но не рав-
ных) значений т и п в формуле (4.1). Насколько же
близкими можно выбрать эти числа? Очевидно, единст-
венным критерием является условие, чтобы полоса мо-
дуляции не превышала величины несущей (т—п)соо.
Для получения интересующих нас приближенных оце-
нок можно считать, что полоса сигнала равна наиболь-
шей из величин полосы модуляции передатчика Q и по-
лосы допплеровских частот Д<о. Первая величина связа-
на с элементом разрешения по дальности ти соотноше-
нием Й=2л;/ти, а вторая выражается через возможный
диапазон Д0 подлежащих исследованию азимутальных
углов 0:
Ди = 2щ<оо,иЛ6/с.
Но диапазон азимутальных углов ДО, как было показа-
но в § 2.5, в силу требования однозначности изображе-
ния, не может быть больше периода однозначности, ко-
торый равен X/2vTa. Следовательно, должно выполняться
соотношение Лю^2л/Гп. Поскольку элемент разрешения
ти всегда гораздо меньше периода повторения Тп, то
143
Q>Aco, откуда следует, что ширина полосы определяет-
ся лишь величиной Q, т. е. модуляцией зондирующего
сигнала. Итак, величина несущей, используемой при об-
работке сигнала, определяется модуляцией сигнала
и может быть принята равной сон=2л/ти. Все эффекты,
связанные с нестабильностью задающей генератора, бу-
дем рассматривать именно на этой несущей.
Нестабильность опорного гетеродина приводит к то-
му, что запись сигнала на несущей (он, кроме полезной
амплитудной и фазовой модуляции, связанной с изучае-
мым объектом, содержит также и случайную фазовую
модуляцию, обусловленную случайным смещением фазы
опорного гетеродина относительно требуемого значения
toHt Очевидно, очень медленные смещения фазы не пре-
пятствуют фокусировке картинки изображения в про-
цессе обработки сигнала. Поэтому величину фазовых
ошибок удобно описывать квадратичным выражением,
из которого с самого начала исключены постоянные за
время синтезирования фазовые набеги. Таким выраже-
нием, широко используемым в статистической теории
антенн, является структурная функция случайных фа-
зовых ошибок, определяемая как
D(t, O=<lf(0-?(H12), |<-t'\<T,	(4.3)
где <p(Z)—значение случайной фазы, связанное со слу-
чайным отклонением Асо(П частоты опорного генерато-
ра <оо(О от ее среднего значения <соо(0 > соотношением
t
?(/)= jj До)(/')б/Г.
о
Очевидно, структурная функция D(t, f) есть просто дис-
персия разности случайных фаз в различные моменты
времени синтезирования апертуры.
При вычислении структурной функции фазовых оши-
бок воспользуемся хорошо известным из теории автоге-
нераторов фактом, что корреляционная функция /?(т)
мгновенной частоты может быть представлена в виде
суммы двух независимых слагаемых: корреляционной
функции Re(x) естественных флуктуаций, обусловленных
дробовым током и тепловым шумом и характеризующих-
ся весьма малым (порядка периода колебаний) време-
нем корреляции те, и корреляционной функции Лт(т)
технических уходов, связанных со случайными измене-
.144
ниями параметров схемы генератора и имеющих очень
большое (порядка минут и даже часов) время корре^
ляции:
R (’) = <(<*>0 (0 - <“о (О» (“о (*-’)- <“о (t - г)») =
= Л. (t)+/?,«•	(4-4)
Подставляя в (4.3) выражение для фазы сигнала, за-
даваемого формулой (4.1), имеем
t—2т0	t
D(t, tf) =	— п	—
о	о
t'
— т о>0(/1) п <i>o(/i)d/J	=
о	о
t—2т0	t
2т0	t'
t— 2т0 t—2т0	t t
= т2 S $ R{tx-t2)dixdt2-\-n2 Ня(^—'
2т0 V—2т0	V t'
t—2т0 t
— t2)dt1dt2~2mn ?	(/j—/2) dtx dt2 =
P-2t0 t'
= De(t,t') + Dr(t,t'),	(4.5)
где De(t, t') и DT(t, t'} —соответственно структурные
функции фазовых ошибок, обусловленных естественны-
ми флуктуациями и техническими уходами.
Рассмотрим сначала структурную функцию для ес-
тественных флуктуаций. При малых значениях разности
t—t' из (4.5) находим
ре (/, /') = (ш - л)2 Re (0) (t - ty. (4.6)
В практическом отношении этот случай не представляет
никакого интереса, ибо время распространения всегда
оказывается больше масштаба корреляции те.
При большом значении разности t—t' (гораздо боль-
ше величины те) находим
De(/t Г) = (от-Л)2 (t-t’)X
оо	со
X Re (т)	+ 4/пя т0 ( Re(t) dx. (4.7)
Ю Заказ № 57
145
откуда следует, что естественные флуктуации всегда,
в том числе и при гомодинировании, приводят к фазо-
вым ошибкам. В том случае, когда т п, а разность
t — t' гораздо больше времени распространения сигнала
то до объекта (что обычно и бывает на практике), при-
ходим к известному диффузионному закону возрастания
дисперсии фазы со временем:
оо
De (Л t') =	— п)2 (/ — tr) jj Re (т) dx.	(4.8)
— оо
Обратимся теперь к структурной функции фазовых
ошибок, обусловленных техническими уходами. Для при-
ближенного вычисления соответствующих интегралов
в (4.5) воспользуемся условием достаточной медленно-
сти технических уходов. Это позволяет считать, что при
условии \t—t'\<.T корреляционную функцию	—t')
можно заменить ее параболической аппроксимацией
/?т (t - е) ~	(0) +	(0) (/ -1') +
+ 1/2^т(0) (/ — /')2.	(4.9)
После такой замены нетрудно вычислить интегралы
в (4.5) получить для структурной функции выражение
D, (t, /') = (t - t’y l(m - п? (R, (0) +
+	(0) (i - i')2) - 4щпт„2 Я, (0)].	(4.10)
Из формулы (4.10) следует, что фазовые ошибки умень-
шаются с уменьшением разности т—п. При гомодини-
ровании, когда т = п, технические уходы также приводят
к фазовым ошибкам со структурной функцией D.t
= -4тЧ/?т(0)(<-Г)2-
Прежде чем использовать полученные формулы (4.7)
и (4.10) для оценок требований к стабильности генера-
тора, напомним одно важное обстоятельство, во многих
случаях существенно снижающее эти требования. Речь
идет о том, что искажения, вносимые линейными по t
(а значит, и по t') фазовыми ошибками, приводят лишь
к смещению всего изображения объекта как целого на
некоторый угол и не вызывают изменения взаимного,
положения различных точек объекта либо их размытия.
Действительно, дополнительный линейный во времени
фазовый набег эквивалентен смещению всех допплеров-
146
ских частот (а значит, и углов, под которыми наблю-
даются изображения объектов) на постоянную величи-
ну. Такие линейные фазовые набеги, очевидно, приводят
к появлению в структурной функции членов, пропорцио-
нальных (t—t')2. По этой причине в выражении (4.10)
можно принимать во внимание лишь член, пропорцио-
нальный (t—t')4, т. е. считать
DT (t, i') = (т~ п)2 /?т (0) (/ - /')4/12
или
DAt, n = (<fl2H/^)^T(0)(^/,)4/i2.
Естественно, при гомодинировании эти искажения от-
сутствуют. Воспользуемся тем, что величина несущей
сон при обработке должна выбираться по крайней мере
равной полосе модуляции 2л/ти. В этом случае послед-
нее выражение для £>т(/, t') можно преобразовать к
виду
ЯТ(М') =
Тс2 (t -	(0)	кV Т у (	(0)
о 2 2--------ПГ	VW) ——
ЗтиФ0	d W	<0*
(4.11)
Аналогично получается выражение для структурной
функции фазовых ошибок, обусловленных естественны-
ми флуктуациями:
У
Z)e (Z, /') = (*-*')—"
“о
4тс2 (t — t') р
(4.12)
В теории стабилизации частоты генераторов и, в со-
ответствующих экспериментах принято описывать фак-
тор стабильности величиной [13]
02 (<t) = а2	= <(? (Z) _ ? (//))2)/(/ _	(4Л 3)
Подставляя в формулу (4.13) выражения (4.8) и (4.10)
структурных функций для естественных флуктуаций
и технических уходов и предполагая, что разность т=
= t—t' гораздо больше времени распространения т0 сиг-
10*
147
нала до объекта, для величины o2(t) имеем
оо
02 (т) =	__	[J_ jj dx +
—оо
+ ₽T(0)+-^/?Tt’].	(4-14)
При малых «с здесь доминирует первое слагаемое, что
позволяет, зная величину а2(т) из экспериментальных
оо
данных, найти 7?е(т)^т:. При больших значениях т до-
— оо
минируют два последних слагаемых, необходимые для
определения характеристик технических уходов.
Оценка известных экспериментальных данных пока-
оо
зывает, что величина J 7?е (т) dr/coo обычно столь мала,
что заметный фазовый сдвиг наступает только по про-
шествии нескольких суток. Поэтому естественные флук-
туации не оказывают каких-либо ограничений на время
синтезирования. Следовательно, вопрос сводится к тому,
какие ограничения вносятся техническими уходами?
К сожалению, для исчерпывающего ответа на этот во-
прос в настоящее время нет достаточно достоверных
данных. Отметим, однако, что относительная стабиль-
ность о(т)/<оо у лучших генераторов составляет ~10-13,
что было установлено при наблюдениях в течение не-
скольких суток.
4.3.	Влияние движения наблюдаемого объекта
и нестабильности траектории станции
на функцию неопределенности
Отклонения траектории станции от расчетной всегда
можно свести к адэкватным «блужданиям» наблюдае-
мого объекта путем соответствующего преобразования
координат. В дальнейшем будем считать, что это пре-
образование выполнено, и рассматривать задачу о кар-
тографировании точечного объекта, испытывающего ма-
лые отклонения от своего расчетного положения.
W
Для анализа возникающих при этом искажений удоб-
но вернуться к функции неопределенности, которую бу-
дем рассматривать вблизи ее главного пика. Интере-
суясь лишь импульсной работой станции, воспользуемся
формулой (2.48) для функции неопределенности моду-
лированного сигнала. При этом, рассматривая импульс-
ный режим работы станции, как всегда, пренебрегаем
в выражении <р(/, 6) (2.49) слагаемым &i]p2(t)/2cR0, опи-
сывающим фокусирующую способность системы по даль-
ности. В той же формуле пренебрегаем и малой моду-
ляцией, вызванной переменной продольной скоростью
станции и выражаемой слагаемым 2т цфц(/) 1с. Далее,
поскольку нас интересует лишь область вблизи главно-
го пика функции неопределенности, в выражении для
корреляционной функции модуляции сигнала 6),
описываемой формулой (2.50), пренебрегаем слагаемым
ср (Л 6). При сделанных предположениях функция не-
определенности приобретает вид
т
IW -	|(t, 8) ехр {1»„ [2т' (/) -
о
_(V + »l(/))(r,1+r2±)ji	(41б)
где
N N
2/(z-^n)/*(^-^n+2T;(0), (4.16)
k~\ Z=1
«t । (/), S^(/) — зависящие от времени составляющие продоль-
ной задержки и поперечного смещения, обусловленные
движением наблюдаемого объекта; все остальные обоз-
начения те же, что и в § 2.4.
Заметим, что формула (4.15) отличается от исследо-
ванного ранее выражения для функции неопределенности
модулированного сигнала наличием в показателе экспо-
ненты зависящей от времени составляющей задержки (Z),
которая раньше предполагалась отсутствующей.
Принимая во внимание условие малости изменения
фазы
»о(2т; (о —Ь (5± + «2 <0) (rix + ru))
149
на протяжении длительности зондирующего импульса,
при малых S функцию 8) в выражении (4.15) можно
заменить интегралом
со
*(^,(0)- $ /(*')/*('' +2г;,	(4.17)
—оо
зависящим от величины переменной задержки т' (О-
Если продольные и поперечные смещения гораздо
меньше соответствующих элементов разрешения по даль-
ности и азимуту, то величиной 3'±(/)(г1± + Г2±)М в (4.15)
по сравнению со слагаемым 2т'|(/) = 28'|| (/)/?0/с можно
пренебречь, а функцию К (т7 (^)) считать не зависящей
от t и вынести ее за знак интеграла. Тогда
2

/(8)
Т
Jexp [1о)о(2т'|| (0 —(гц+г21)/с).]^ •
(4.18)
Выражения (4.15) и (4.18) отличаются тем, что в
первом учтена возможность выхода наблюдаемого объ-
екта при его движении из соответствующего строба по
дальности. Когда это происходит, синтезирование для
данной дальности прекращается, и эффективная длина
синтезированной апертуры оказывается существенно
меньше ее номинальной длины.
Исследование выражений (4.15) и (4.18) в общем
случае произвольного движения как объекта, так и при-
емопередатчика, возможно только в численном виде.
Но для некоторых частных случаев, представляющих,
тем не менее, основной практический интерес, удается
получить аналитические выражения.
Самый простой результат получается, когда продоль-
ное смещение Лц (t) можно представить в виде скаляр-
ного произведения вектора (п _l +**2 j_) на какой-либо
постоянный вектор 80, лежащий в плоскости, перпенди-
кулярной линии визирования. Это соответствует, напри-
мер, случаю равномерных прямолинейных движений
станции и рассеивающего объекта. Если к тому же пре-
небречь возможностью выхода рассеивающего объекта
из строба по дальности, т. е. воспользоваться формулой
(4.18), то функция неопределенности для движущегося
объекта совпадет с таковой для неподвижного объекта,
150
характеризуемого поперечным смещением 6—26о- При
этом полностью сохраняются разрешающие свойства си-
стемы, но каждая из движущихся точек изображения
представляется смещенной в поперечном направлении
на постоянный вектор 2бо-
Рассмотрим случай достаточно больших, но плавных
смещений- наблюдаемого объекта в процессе синтезиро-
вания. Полученный ранее результат дает возможность
представить функцию неопределенности в этом случае
в виде суперпозиции функций неопределенности, отве-
чающих плавно изменяющимся в процессе синтезирова-
ния значениям смещений наблюдаемого объекта. Вычис-
ление функции неопределенности в этом случае можно
провести, используя метод стационарной фазы.
Введем систему координат (х, у, z), ось z которой
направлена вдоль вектора Ro, а оси х и у лежат в пло-
скости, перпендикулярной к Ro. Обозначим через х(/)
и у (t) средние арифметические из проекций векторов
П1(0 и Г2±(0 на оси х и У соответственно, т. е.
jc(^) = 1/2 (n±(O + r2±(O)J>
У(0=1/2 (hi (0 + г2± (/)) i,
где j — орт в направлении вектора 8j_, a i — орт в пер-
пендикулярном к 8± направлении. Предположим (а на
практике это почти всегда выполняется), что х (/) — мо-
нотонная функция t. В этом случае существует обрат-
ная функция t = t (х), с помощью которой в выражении
(4.16) мы перейдем от переменной t к новой перемен-
ной х:
* (Г)
IIP К (х, В) { г
1 = ЗС 11 «(*) ехр f1 —
Л(О)
---(20х + 29' (х) (х cos ф (х) -ф у (х) sin ф(х)^]} dx | ,
(4.19)
где -о (х) = х, а ф — угол между векторами 8± и §1 (/),
ФЮ = 8±«1(0/М1Ю.
Представляя формулу (4.19) в виде
I (3) = ~ IС F (х, 3) exp [ 1 ср (х, 3) — 12(о06х/(?] dx I , (4.20).
Q/i |J	I
Х(0)
151
где F (х, 8) = К (х, 8)/*» (х), а
ср (х, 8) = со0 [2т' (х) — 26' (х) (х cos <|> (х) 4-
+ у (x)sin<p(x))/c],	(4.21)
нетрудно убедиться в том, что она описывает спектр
мощности функции F(x, 6)expitp(x, 6) с медленно ме-
няющейся амплитудой и частотой. Для простоты даль-
нейшего анализа предположим, что dtp (х, Ь)/дх является
монотонной функцией, а производная d2cp(x, 6)/дх2 ни-
где в пределах синтезированной апертуры не обращает-
ся в нуль. (Протяженные участки, где <р(х, 6) линейно
зависит от х, можно выделить и рассматривать как об-
разующие изолированные пики /(6). Это, в сущности,
было сделано выше.)
Для вычисления интеграла в выражении (4.20) вос-
пользуемся методом стационарной фазы, позволяющим
вынести за знак интеграла медленно меняющуюся функ-
цию F(xt 6) в стационарной точке х0 фазы <р(х, 6) —
—2(о0Ох/с и разложить указанную фазу -в подынтеграль-
ном выражении в ряд Тейлора вблизи точки х0. При
этом, поскольку величину интеграла, в основном, опре-
деляет область в окрестности стационарной точки, а
интегралы, соответствующие краям области интегриро-
вания, вследствие быстро осциллирующего поведения
подынтегральной функции равны нулю, пределы интег-
рирования в (4.20) можно раздвинуть в бесконечность.
Поэтому
/(B)- If(^5>l--| J exp[iT(x0, 8)- 12шо0^- +
—-оо
+ -у- i ? (х0, 8) (х - х0)2] dx =
= *F 5)  I J exp i (х0, 8) (х — x0)2J dx | =
—со
__	711 К (Л'о> I2	(4.22)
2e/f I v (л0) р <Р (х0, 8)
где значение стационарной точки х0 определяется из
уравнения
(х, Ъ)/дх — 26ш0/с = 0.	(4.23)
152
Согласно предположению о монотонности функции
д<р(х, Ь)/дх, уравнение (4.23) имеет единственное реше-
ние.
Итак, в случае больших, но плавных смещений объ-
екта при выполнении вышеуказанных условий функция
неопределенности дается выражением (4.22). Нормиро-
вочный множитель УС определяется из условия равенст-
ва единице функции неопределенности при 6=0, что
дает
X = * | К (х0, 0) р/21 ® (ЛО) Р ? (х0, 0).	(4.24)
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим случай,
когда станция движется равномерно и прямолинейно, а наблюдае-
мый объект—равноускоренно. При этом пренебрежем возможностью
выхода объекта из ячейки разрешения по дальности. Тогда функция
неопределенности описывается формулой (4.18), в которой
т'н (0 = Д', (t)lc = (Vi + At2/2)lc,
где V и А — продольные составляющие начальной скорости и уско-
рения наблюдаемого объекта, а
3±(rl_L + 1*21)/с = 20vf/c,_
где у —проекция скорости станции на направление вектора 5^.
Вычисляя интеграл методом стационарной фазы, получаем
( 0 в остальных случаях.
Пределы изменения параметра 0 в (4.25) определяются из того
условия, что стационарная точка to, задаваемая равенством
А, = (во _ V)(A	(4.26)
должна лежать в интервале синтезирования (0, Г).
Из формулы (4.25) видно, что вычисленная по приближенной
формуле функция неопределенности имеет прямоугольную форму
с шириной по 0, стремящейся к нулю при стремлении к нулю уско-
рения А. Последнее обстоятельство является следствием сделанных
упрощений и еще раз подтверждает сказанное ранее о непримени-
мости наших рассуждений при малых изменениях скорости объекта.
В этом смысле анализ выражения (4.25) поможет оценить пределы
применимости формулы (4.22). В самом деле, формула (4.25) спра-
ведлива лишь в том случае, когда изменение скорости за время син-
тезирования ДV — АТ приводит к расширению функции неопреде-
ленности существенно большему, чем ее естественная ширина в от-
сутствии движений объекта. Легко видеть, что это требование сво-
дится к следующему- условию применимости (4.22):
ДИ/v > X/D,
или, учитывая, что D = vt,
ДИТ»!.	(4.27)
153
4.4.	Влияние быстро флуктуирующих фазовых
ошибок на функцию неопределенности
В этом параграфе рассмотрим случай, когда погреш-
ности, обусловленные нестабильностями различных па-
раметров, относящихся к траектории станции, характе-
ристикам среды распространения, положению наблю-
даемого объекта и т. д., можно учесть с помощью
введения быстро флуктуирующих фазовых ошибок. Ма-
лый интервал корреляции этих ошибок позволяет ис->
пользовать статистические характеристики функции
неопределенности, чего нельзя было сделать в случае
медленных ошибок. Ограничимся для краткости рас-
смотрением влияния этих ошибок на зависимость функ-
ции неопределенности только от углового параметра 0.
Их влияние на разрешающую способность по дальности
(при непрерывной работе) можно рассмотреть анало-
гично, при этом задача не приобретает существенно но-
вых особенностей.
Если при импульсной работе ограничиться рассмот-
рением углов 0 внутри области однозначности, то за-
висимость функции неопределенности от угловой пе-
ременной определяется, как было показано в гл. 2,
выражением
т
/0(®)~ yr J exp(i 2<оо0 х	dt |	(4.28)
о
для каждого фиксированного значения дальности.
Будем считать, что в том случае, когда фазовая не-
стабильность обусловлена случайным движением объек-
та, последний не выходит из строба разрешения по
дальности, а на протяжении длительности элементарно-
го импульса фазовая погрешность остается постоянной.
Тогда зависимость функции неопределенности от даль-
ности остается той же, что и при отсутствии фазовых
ошибок, а под интегралом в (4.28) появится фазовый
множитель expPF(/), обусловливающий случайный ха-
рактер угловой зависимости функции неопределенности:
Г
у е1 2а>оМО/Се1	|2
о

(4.29)
Исключая из рассмотрения неизвестную случайную на-
чальную фазу, постоянную для всех точек синтезирован-
154
ной апертуры и поэтому не влияющую на (4.29),предста-
вим случайную функцию х(0 =ехр i4f(Z) в виде
/(/) = <*(*)) +W).	(4.30)
где <%(/)> —ее среднее значение, которое из-за произ-
вольности постоянной начальной фазы может, очевидно,
считаться вещественным и равным <созф>, а Дх(^) —
флуктуационная часть функции х(0» которую мы будем
считать стационарным случайным процессом.
Для Дх(0 можно построить два вида функций кор-
реляции:
Д', (/'-^) = <ДХ(/)ДХ* (/')), I
ЛГ2(/'-/) = (ДХ(/)ДХ (/')>, /
зависящих лишь от разности x=t'—t, которым, соглас-
но преобразованию Фурье, соответствуют два нормиро-
ванных «спектра мощности»:
^(0)) =
С2(а>) =
(4.32)

Применение кавычек в термине «спектр мощности» объ-
ясняется тем, что в данном случае он может не обла-
дать некоторыми привычными свойствами обычного
спектра мощности флуктуаций вещественной величины.
Для дальнейшего удобно ввести понятие времени
корреляции случайной функции Лх(О- В соответствии
с двумя видами функций корреляции (4.31) существуют
два характерных масштаба корреляций функции Дх(О>
определяемых соотношениями
4.,,= J
— оо
оо
ткор 2 = j 7<2(т)^/2/<2(0).
(4.33)
155
Принимая во внимание, что
^(0)=(|ДХ(/)р>=1-(созфУ,
к2 (0) = ((ДХ (0)2> = - ((COS ф>2 - (cos 2ф»,
выражения (4.33) принимают вид
,'Kopi = Rej K1(t)^/[l-(cos<|»>2],
„ °	(4-34)
ткор2 = — f Кг (т) <W[<COS ф)2 — (COS 2 ф>].
о
Предположение о малости времени корреляции фа-
зовых ошибок ф(/) по сравнению со временем наблю-
дения Т позволяет считать характерные масштабы кор-
реляции Ткорг также малыми по сравнению с Т.
Вычислим среднюю функцию неопределенности. Под-
ставляя (4.30) в (4.29) и проводя усреднение, находим
(Z (0)) = /0 (0) (cos ф)2 + (I g (9) |2>/7Л	(4.зб)
где функция g(6) задается соотношением
т
g (0) = J ДХ (/)ехр (12wo0x (t)/c) dt. (4.36)
о
Заметим, что поскольку характерный масштаб кор-
реляций функции Ау(0 много меньше времени наблю-
дения Т, g(0) представляет собой сумму большого чис-
ла независимых или почти независимых случайных сла-
гаемых, которая согласно центральной предельной тео-
реме, распределена по нормальному закону. Очевидно,
среднее значение g(0) равно нулю. Вычислим < |g(0) |2>.
Имеем
т
X ехр Г12	(/'))] dtdt' =
О
^-(х(0 - х(/'))1 dtdt'. (4.37)
156
Поскольку функция Ki(t'—t) отлична от нуля лишь
при малых значениях разности f -—t, функцию х(/) в
(4.37) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности
точки t—t', ограничиваясь лишь двумя членами разло-
жения:
т
о
X ехр	- t)v(t)\dtdtr, (4.38)
где =
Переходя в (4.38) от интегрирования по t и t' к ин-
тегрированию по V—t и t и используя предположение
о малости времени корреляции тКор i по сравнению с ха-
рактерным временем изменения v (t), находим
Т	ОО
< | g (») I2) = J с, (2«> (t)/c) dt J К, (т) Л =
О	— оо
-ЯТЧонМ». в)(1 - <«МП (4.39)
где
т
°! (0» 0/) = -г J (2шо0,у (*)М)ехр 1
о
(4.40)
При постоянной скорости v(t) 01(0, 0) представляет
собой угловой спектр мощности флуктуаций функции
Если скорость v(t) зависит от времени, то
01(0, 0) —траекторное среднее значение от этого спект-
ра мощности. В обоих этих случаях, однако, си (0, 0)
представляет собой медленно меняющуюся функцию 0,
равную единице в окрестности нуля и существенно спа-
дающую при 0 порядка %/2уткор 1 (v— средняя по траек-
тории скорость).
Подставляя (4.39) в (4.35), получаем для средней
функции неопределенности выражение
(/ (0)> = /о (б) <cos ф)2 + 2 (ткор Х!Т) (1 - (cos ф)2) (0, 6).
(4.41)
Согласно (4.41), средняя функция неопределенности
при фазовых ошибках определяется двумя слагаемыми.
157
Первое слагаемое представляет собой уменьшенную в
<cos i|') 2 раз функцию неопределенности при отсутствии
фазовых ошибок, и быстро спадает с ростом угловой ко-
ординаты 0. Второе слагаемое описывает медленно ме-
няющийся с ростом 0 «пьедестал»; его зависимость от 0
определяется спектром мощности фазовых флуктуаций.
В окрестности 0=0 это слагаемое обусловливает сгла-
живание осцилляций средней функции неопределенно-
сти. Максимальная величина пика средней функции
неопределенности, нормированной на значение невозму-
щенной функции неопределенности в нуле, равна
(/ (0)>/Z0 (0) = (cos + (ткор JT) (1 - (cos ф)2). (4.42)
При малых фазовых ошибках, когда <созф>»1, отно-
шение (4.42) практически не зависит от времени кор-
реляции, т. е. от малой величины. тКОр \1Т. Эта зависи-
мость становится существенной только при весьма боль-
ших флуктуациях фазы, когда <созф>л;0. В последнем
случае отношение (4.42) пропорционально масштабу
корреляции Ткор 1- Подчеркнем, что во всех .случаях
</(0)>/Z0(0)	1.
Вычислим теперь второй момент случайной функции
неопределенности:
(Д/ (0) Д/ (6')) = </ (0) / (0')) - </ (0)) </ (0')>. (4.43)
Первое слагаемое в (4.43) можно представить в виде
</(0)/(0')} = (созф)4/|,(0)/(,(0') +
+	[Л> ОТ (I g (6') + /о (»') < I g (9) |2)] +
+ ^<|g (9)l2Xk(9'>|2} + т4[1<£(9)Г(9')>|2 +
+1 <g(9)g (9')) I21 + 4(СрФЛ(Re	(9) g* (9)] X
X Re [w (S') g* (9')]),	(4.44)
где
т
w (9) = ~ J e12“o0 Wl'di	(4.45)
0
— амплитудная диаграмма направленности синтезиро-
ванной апертуры. При выводе (4.44) мы воспользовались
тем, что случайная функция £(0) распределена по нор-
158
мальному закону, так что ее четвертый момент выра-
жается через вторые по формуле
< |g(0)l2Jg(0')l2> = Ш(0)12><к(б')12) +
+ К^(0)^*О12 + 1ИШН)Р-
Вычитая из (4.44) произведение средних диаграмм
(/ (6))</ (9')) = (cos ф>4/0 (9)/0 (9') +
+-	[/о (9) < 1 g Ю12> + /о (9') < I g (9) 12>1 +
+ 4r<U(9)l2Xlff(9')l2>.
находим
(Д/ (0)Д/ (0')) = А- {I (g (0) g» (0')) р +
+ I < g (9) g (»')> |2+ 4Г2 (cos ф>2 X
X (Re [w (6) g* (9)] Re [ w (S') g* (O')])}-	(4.46)
Поступая так же, как при выводе (4.39), имеем
<g (6) Г (6')) = 2Ггкор, (1 - (cos ф)2) О1 (9, 9'),
<g (е) g (®')> = — 2Гткор 2 ((cos ф>2 — (cos 2 ф)) а2 (9, — О'),
(4.47)
1 Г	\ 1 —л(/)(9-в')
=	с2(^(/))е с dt. (4.48)
(Д/ (9) Д/ (9')) = 4 (cos ф>2 (1 - (cos ф)2) X
X Re [w (9')w* (0) о1 (9, 9') — тw (О') w (0) о* (9, — 0')] +
+ 4(1- (cos ф)2)2	[ 1(0, 0') |2 + т21o2 (0, - 0') I2],
(4.49)
-Скор 2 «cos ф}2—(cos 2 Ф»
(4.50)
:KOp 1	(1 — (COS Ф)2)
Рассмотрим физический смысл полученного выраже-
ния. Первое слагаемое в (4.49) пропорционально первой
159
степени малого параметра TKopi/^ и отлично от нуля
(из-за наличия множителей w(6z) и ш(0)) только в уз-
кой области изменения угловых параметров 0 и 0' вбли-
зи нуля. Оно описывает флуктуации в главном пике
средней функции неопределенности (4.41). Второе сла-
гаемое, которое на порядок по тКор \1Т меньше первого,
относится к флуктуациям в «пьедестале» функции не-
определенности.
Исследуем сначала второе слагаемое. Заметим, что
функции 01(0, 0') и о2(0> G') отличны от нуля толь-
ко в окрестности 0=0'. Действительно, множитель
Сг(2(оо0у(О/с) под интегралом в (4.40) и (4.48) пред-
ставляет собой медленно меняющуюся (из-за малости
масштаба корреляции фазовых ошибок) функцию вре-
мени Л Поэтому временная зависимость соответствую-
щих подынтегральных выражений, в основном, обусловле-
на осциллирующим множителем ехр i(2<o0/c)x(0 (0—0'),
обеспечивающим быстрое спадание ог-(0, 0') с ростом
разности 0—0'. В связи с этим слагаемое в (4.49), про-
порциональное | Qi (0, 0') |2, описывает корреляцию флук-
туаций в соседних точках «пьедестала» функции неопре-
деленности, а пропорциональное |о2('0>—0') | 2 — в зер-
кальных точках. Относительная флуктуация в «пьеде-
стале» для значений 0 вне главного пика равна
(Д/2(0)>/(7 (0))2 = 1.	(4.51)
Степень симметрии „пьедестала" описывается коэффи-
циентом корреляции г в зеркальных точках 0 = —0',
вне главного лепестка
<Д/ (Q) Д/( — Q)) I g2(6, 0) |2
<(Д/(0))2> РММ) Г
При малых фазовых ошибках, когда можно считать
ехр 1ф = 1 + 1ф — ф2/2, корреляционные функции (т)
и ЛГ2('С) равны
= « ♦(* + *)>.
JC2 (т) =_(<), (г) ф(< + ,)>,
и отличаются лишь знаком. В связи с этим нормирован-
ные „спектры мощности" СДш) и С2(о)) совпадают,,
а коэффициент у обращается в единицу. Из (4.52) видно,
что при этих условиях обращается в единицу и коэф-
фициент корреляции в зеркальных точках г.
160
Выражение (4.49) существенно упрощается, если
ограничиться значениями угловой переменной 8, не боль-
шей б = 8 (Г/ткор где 6 — разрешающая способность
синтезированной апертуры. Действительно, „спектры
мощности" СД<») остаются, практически постоянными
вплоть до значений w = 2тс/т;кор г, что соответствует угло-
вой переменной 6 = Х/2'и(^)ткор Р Поэтому для 8</б мож-
но считать, что Ci(2ooQv(t)/с) не зависят от изменений
скорости (которые практически всегда невелики) и рав-
ны своим значениям при 0 = 0, т. е. единице. Тогда
коэффициент корреляции флуктуаций в «пьедестале»
оказывается равным
г (9, 6') = /.(»-»') +7V. (О + И	(4 54)
/(1 + 7s/, (29» (1 + fl, (2«'))
В области вне главного пика /0 (26)	/0 (28') 0, а
г (б, 8') = /0 (8 - 8') + 72/о (б + 8').	(4.55)
В последнем случае зависимость коэффициента корре-
ляции от разности 0—0' (или для зеркальных точек, от
|0| —10'|) совпадает с угловой зависимостью невозму-
щенной функции неопределенности /о(0).
Обратимся к исследованию первого слагаемого
в (4.49), описывающего флуктуации в главном пике
функции неопределенности. Присутствие множителей
о>(0) и ш(О') позволяет сразу исключить плавную зави-
симость Oi(0, 0') отдельно от 0 и 0', оставив лишь за-
висимость от разностной переменной, и считать (см.
(4.40) и (4.48))
01(8, 8') = w(8 —8'),
о2(б, _ б') = w(8 + 8').	(	}
Тогда относительная флуктуация функции неопределен-
ности в главном пике (т. е. в области, где вторыми
слагаемыми в (4.41) и (4.49) можно пренебречь), равна
(ДГ(0)>	4/1 A
</№ /О(0)к<созф>а
X (1 -1КЛД20) cos (2<f (9) - <f (29)));	(4.57)
здесь <р (б) — аргумент амплитудной диаграммы направ-
ленности	_____
w (б) = У/0 (8) exp 1ср (б).
11 Заказ № 57
161
Когда x(t)=vt, т. е. в случае равномерного прямоли-
нейного движения, cos (2<р(0)—ф(20)) = 1. При 0=0,
т. е. в максимуме функции неопределенности, относи-
тельная флуктуация определяется выражением
= 4(.	- 1)(1 -т),	(4.58)
</ (и))2	\ (соэф)2	’
и обращается в нуль для малых фазовых флуктуаций,
когда у=1. При этом флуктуации в «пьедестале», не
учитываемые в (4.57), остаются; их относительная ве-
личина равна единице, а интенсивность
<Д/2(0)> = 4(1 — (cos ф)2)2 (^у^)2[1 + Т2] ~
~8<ф2}2(-^)2.
Коэффициент корреляции флуктуаций в главном пи-
ке зависит отдельно от 0 и 0'; при 0 =—0' он описывает
степень симметрии случайной функции неопределенности.
Для таких точек коэффициент корреляции дается вы-
ражением
r (Q _ _ / 7 о (20) cos [<р (20) — 2<р (6)] — 7	4
7	l-7//o(2O)cos[T(2O)-2cp(0)] *	7
При малых фазовых флуктуациях, когда 7 = 1, г (6, — 0)=
= — 1. Это означает, что флуктуации в главном пике
полностью антикоррелированы, т. е. флуктуационная
часть функции неопределенности антисимметрична отно-
сительно точки максимума. Отсюда, в частности, сле-
дует, что малые фазовые ошибки вызывают лишь сме-
щение главного пика без его деформации. Такое сме-
щение, конечно, приводит к ошибкам измерения угловой
координаты рассеивателя, производимого обычно по по-
ложению главного максимума. Оценим величину этой
ошибки.
В отсутствие погрешностей направлению пика функ-
ции неопределенности соответствует значение 0=0.
Действие различного рода нестабильностей вызывает
отклонение этого направления на величину 0, опреде-
ляемую из уравнения
д! (0)/<?0 = 0.	(4.60)
Естественно, что при малых фазовых ошибках эти от-
клонения будут малы, поэтому функцию неопределен-
ности /(0) можно разложить в ряд Тейлора вблизи точ-
162
ки 0 = 0, ограничиваясь при этом квадратической ап-
проксимацией,
/(е)=7(0) + в^ + -1-^^®).	(4.61)
Подставляя (4.61) в (4.60), получим уравнение для
определения 0:
д/ (0) , б дЧ (0) _
д0 дО2
из которого находим искомую величину отклонения
д! (0) / дЧ (0)
дв / дб2
(4-62)
Очевидно, среднее значение флуктуаций направления
пика равно нулю, а их дисперсия определяется выра-
жением
<•> - <р? /ч?г> - <т->/
(4.63)
Приближенный переход в формуле (4.63) справед-
лив при малых фазовых ошибках, когда, как уже гово-
рилось выше, происходит смещение пика функции не-
определенности как целого без его деформации. Заме-
тим, что
или, учитывая, что при дифференцировании выражения
</(0)7(0')>, задаваемого формулой (4.44), производные
от его первых трех слагаемых равны нулю,
<(^Т)2> = W <Д/ WД/ !’=•'=»• <4-64>
Выражение <Л/(0)AZ(0')> вычислено выше и задано
формулой (4.49). Прежде чем его дифференцировать,
в соответствии с формулой (4.64) заметим, что входя-
щие в выражение для ог(0, 0') функции Сг(2(оо0*(О/с)
медленно меняются с изменением 0, поэтому при диф-
ференцировании функций сУг(0» 0') можно пренебречь
зависимостью Сг(2соо0*(О/с) от 6, положив
о,(0, O') = ®(0-O'),	-
о2(0, -О') = 10 (0 + 0').	1 • ’
Вычислим теперь производные, входящие в (4.64).
Имеем
? । Wd90?'	~ — [ww* -j- 2ww* + w*w]. (4.66)
11*
163
Подставляя р (4.66) функцию w (6), определяемую фор-
мулой (4.45), получим
2
=8“^Р-^)Г	(4.67)
00(70	|G=6'=0 С2 4	'	'	’
Т
где xk = xk (t) dt — траекторные моменты, Л = 1, 2.
о
Аналогично находим
9
=-8Л(^-^)>	(4.68)
двое	|е=в'=о	с2 4	' v ’
д2 (w* (0 + O')’w (0) w (О')) 1	_
дОд©'	[в=0'=о
ы2 ___ _
= <w*w2 + 2w | isd |2 4- w* (w)2 — — 4(x2 — x2),	(4.69)
d2 (w* (0 — 0') w (0) w* (O')) I _
dOdO'	|e=:0'=o
= w*| w]2 + w(w*)2 = 4-^-(x2 — x2).	(4.70)
Точки над функцией ш(0) в формулах (4.66), (4.68) —
(4.70) означают дифференцирование. Подставляя те-
перь (4.49) в (4.64) и используя найденные выше вы-
ражения для производных, получим
2
<т2> Ь= 16^- (^ - X’) (1 - (cos ф>’)х
X (^) (1 +1) [{COS ф)2 + 2 (1 - (cos ФЯ (1 - -г)],
или, принимая во внимание, что при малых фазовых
ошибках у =1,
|,=0=32 4 <« (М - *)• <4-71 >
Выражение для знаменателя формулы (4.63) имеет вид
(4.72)
Подставляя (4.71) и (4.72) в (4.63), получим выражение
для дисперсии флуктуаций направления пика функции
неопределенности
<02) =	.	(4.73)
2ф2/с2.(х2 — X2)	v
164
Как видно из формулы (4.73), дисперсия флуктуаций
направления пика тем больше, чем больше величина
фазовых ошибок <ф2> и относительная величина време-
ни корреляции (tkopi/Т1)- В случае равномерного прямо-
линейного движения формула (4.73) принимает вид
(62)	= (3 (ф2)/2к2) (Х//))2 (ткор1/Г). (4.74)
Из (4.74) следует, что с увеличением длины синтезиро-
ванной апертуры D дисперсия флуктуаций пика функ-
ции неопределенности уменьшается.
В заключение отметим, что все рассмотренные харак-
теристики синтезированных антенн при наличии фазо-
вых ошибок с малым временем корреляции выражаются
через четыре параметра, описывающие статистические
свойства фазы. Это —времена корреляции TKOpi и тКОр2
и средние значения <соз-ф> и <соз2ф). В общем случае
эти величины берут из опыта либо рассчитывают на
ЭВМ для заданных моделей фазовых ошибок.
Существует, однако, важный класс распределений фазы, когда
для этих величин можно предложить простые аналитические выра-
жения. Это — нормальные распределения, записывающиеся в виде
Р (ф) = (1 / /ОТ) ехр (— ф2/2а2) t	(4.75)
для которого, как легко проверить непосредственным вычислением,
(ехр 1 ф) = ехр (— <ф®>/2).
Указанное свойство нормальных распределений флуктуаций фазы
позволяет сразу найти (соэф> и (соэ2ф)
(cos ф) = -у- [(е1ф) + (е-1ф)] = е“’’/2,
(cos 2ф> = е—2’’,
и корреляционные функции (4.31)
К, (t' — t) = (ДХ (0ДХ* (t’)} = ((e’W — <(е,«/)>) X
_ < до)-ф(<ог >
х (е-"И") - (e-W')») = е 2	- е-’’,
_ < (Ф(П+Ф(ИР >
— 0 = е 2	— е ° .
Представляя ((ф (0 + Ф (О)а> в виде
2 [о2+ %(*' — 0],
где х (/' — 0 = (ф (0 Ф (О)» находим
K1(Z'-0»e-”(e^-O-1),	|
К2 (V -t) = е“’’	1). I
165
Для гауссовой и экспоненциальной форм х(т) вычисление
Tkopi и Ткорг по формулам (4.76) и (4.34) было проведено с по-
мощью ЭВМ. Результаты представлены в виде двух графиков на
рис. 4.1 и 4.2, на которых изображена зависимость от диспер-
сии о2 коэффициентов пропорциональности и между тКорь
Рис. 4.1. Зависимость времени
корреляции Ткор] от дисперсии
фазовых флуктуаций:
1 — для гаусовой функции кор-
реляции; 2— для экспоненциаль-
ной функции корреляции.
Рис. 4.2. Зависимость времени
корреляции тКОр2 от дисперсии
фазовых флуктуаций:
1 — для гаусовой функции кор-
реляции; 2— для экспоненциаль-
ной функции корреляции.
Тиор2 и временем корреляции флуктуаций фазы Тф, определенным
в соответствии с (4.34) в виде
ТФ =
% (т)	(0) .
Из этих кривых видно, что с ростом дисперсии а2 время корреля-
ции ткор ! монотонно уменьшается, а время TKOp2— растет. Вблизи
начала координат, где фазовые ошибки малы, обе эти величины
совпадают с Тф.
Список литературы
I.	Радиолокационная станция с высокой разрешающей способно-
стью для наблюдения за полем боя. — «Зарубежная радиоэлек-
троника», 1961, № 12. Авт.: Катрона, Вивиен, Л ей с,
Холл.
2.	Радиолокационные станции бокового обзора. Под ред. А. П. Реу-
това. М., «Сов. радио», 1970. Авт.: А. П. Реутов, Б. А. Ми-
хайлов, Г. С. К о н д р а т е н к о в, Б. В. Б о й к о.
3.	Буренин Н. И. Радиолокационные станции с синтезированной
антенной. М., «Сов. радио», 1972.
4.	Н а г g е г R. О. Synthetic aperture radar systems: theory and:
design. New-York — London, Academic press, 1970.
5.	К а т p о н а Д., Холл Г. Сравнение различных способов до-
стижения высокой азимутальной разрешающей способности.—
«Зарубежная радиоэлектроника», 1966, № 4.
6.	Ryle М., Не wish A., Shakeshaft J. R. The synthesis of
large radio telescopes.— «Trans. IRE», 1959, v. AP-7, Spec. Suppl.,,
p. 120.
7.	M а к - К о p д X. Л. Эквивалентность трех подходов к выводу
формул для диаграмм направленности синтезированных антен-
ных решеток и к определению способов анализа и обработки
принимаемых сигналов.— «Зарубежная радиоэлектроника», 1963,
№ 2.
8.	Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оп-
тике. Пер. с англ. Научная обработка М. К. Размахнина и
В. П. Яковлева. М., «Сов. радио», 1971.
9.	Кук Ч., Б е р н ф е л ь д М. Радиолокационные сигналы. Пер. с
англ. Под ред. В. С. Кельзона. М., «Сов. радио», 1971.
10.	К р а м с р Г. Математические методы статистики. Пер. с англ.
Под ред. А. Н. Колмогорова. М., Изд-во Иностр, лит-ры, 1948.
11.	Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на
фоне случайных помех. М., «Сов. радио», 1960.
12.	Оптические системы фильтрации и обработки сигналов.— «За-
рубежная радиоэлектроника», 1962, № 10. Авт.: Катрона,
Лей с, Палермо, Парчелло.
13.	К а т л е р Л. С., С и р л ь К. Л. Некоторые аспекты теории и
измерений частотных флуктуаций стандартов	частоты.—
«ТИИЭР», 1966, т. 54, № 2.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ....	3
Список основных обозначений	6
Глава 1. Элементарная теория синтезирования апертуры
1.1.	Принцип активного синтезирования........................ 8
1.2.	Принцип пассивного синтезирования.......................23
1.3.	Построение изображения объектов в системах с синтези-
рованной апертурой	.	.............. 32
Глава 2. Активные системы с синтезированной апертурой
2.1.	Вид принимаемого сигнала................................37
2.2.	Функция неопределенности сигналов в активных системах 41
2.3.	Свойства функции неопределенности для немодулирован-
ного сигнала .	.................................50
2.4.	Свойства функции неопределенности при модулированном
зондирующем сигнале..........................................57
2.5.	Вопросы оптимального выбора параметров систем с син-
тезированной апертурой.......................................71
2.6.	Некоторые вопросы теории оптимальной обработки сиг-
налов ...	.................................85
2.7.	Потенциальная точность локализации объектов в актив-
ной системе (случай	белого шума).......................88
2.8.	Потенциальная точность локализации объектов в актив-
ной системе (случай	небелого шума)	98
Глава 3. Пассивные системы с синтезированной апертурой
3.1. Функция неопределенности сигналов в пассивной системе
с синтезированной апертурой.............................116
3.2 Точность локализации источников случайного поля пас-
сивными системами- с синтезированной апертурой	132
Глава 4. Влияние нестабильностей на работу систем
с синтезированной апертурой
4.1.	Классификация нестабильностей в системах с синтезиро-
ванной апертурой............................................139
4.2.	Влияние нестабильности опорного гетеродина на работу
систем с синтезированной апертурой..........................141
4.3.	Влияние движения наблюдаемого объекта и нестабиль-
ности траектории станции на функцию неопределенности 148
4.4.	Влияние быстро флуктуирующих фазовых ошибок на
функцию неопределенности ...	.	.154
Список литературы ..........................................167