7/1
В МИРЕ НАУКИ И ТЕХНИКИ G5)
А.РЕНЬИ
трилогия
о тптЕтптикЕ
ДИАЛОГИ О МАТЕМАТИКЕ.ПИСЬМА О ВЕРОЯТНОСТИ
ДНЕВНИК.ЗАПИСКИ СТУДЕНТА
ПО ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА
МИР

RENYI ALFRED
DIALOGUSOK A MATEMATIKAROL
AKADEMIAI KIADO', BUDAPEST, 1967
LEVELEK A VALOSZINOSEGROL
AKADEMIAI KIADO, BUDAPEST, 1969
NAPLO AZ INFORMACIOELMELETROL
GONDOLAT, BUDAPEST, 1976

АЛЬФРЕД РЕНЬИ
ТРИЛОГИЯ
О МАТЕМАТИКЕ
Диалоги о математике
Письма о вероятности
Дневник. — Записки студента
по теории информации
Перевод с венгерского
под редакцией и с предисловием
акад. АН УССР проф. Б. В, ГНЕДЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1980

51@9M17.8
P39
Реньи А.
Р39 Трилогия о математике. (Диалоги о матема*
тике. Письма о вероятности. Дневник. —
Записки студента по теории информации.) Пер. с вен*
гер./Под ред. и с предисл. акад. АН УССР проф-
Б. В. Гнеденко. —М.: Мир, 1980.
376 с. с ил. (В мире науки и техники)
В сборник включены основные научно-популярные
произведения известного венгерского математика Альфреда
Реньи: «Диалоги о математике», «Письма о вероятности»,
«Дневник. — Записки студента по теории информации», а
также четыре статьи: о теории вероятностей, о ее
преподавании, о числах Фибоначчи и о математической теория
«деревьев».
ЛЗдание -рассчитано на широкий круг читателей.
20204-185 t t702060000
P04i(blb80185-80 1502000000
Редакция научно-популярной
и научно-фантастической литературы
Составление, предисловие,
перевод на русский язык* Мир» 1980

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателей сборник можно
рассматривать как своего рода научно-популярное наследие известного
венгерского математика Альфреда Реньи A921—1970).
Советскому читателю уже знакомы два из составляющих его
произведений— «Диалоги о математике» (М.: Мир, 1969) и «Письма о
вероятности» (М.: Мир, 1970). Обе книжки не залежались на
прилавках магазинов и давно уже стали библиографической
редкостью. Их с удовольствием читали и читают люди разного
возраста, различных интересов и с любой математической
подготовкой, и каждая категория читателей находит в этих
серьезных по существу, но необычных по форме работах много
поучительного и даже неожиданного для себя. Кроме того, в
настоящий том включены «Дневник. — Записки студента по теории
информации», который увидел свет уже после безвременной
кончины автора, а также несколько его популярных статей.
Литературная форма каждого из этих произведений
различна: диалоги, письма, дневник, статья, но един литературный
талант автора, который захватывает читателя: каждая вещь
читается одним духом, за один присест. Все три основных
произведения посвящены разным темам: «Диалоги» — вопросам
методологии математики, «Письма» — первым шагам в развитии науки
о случайном и «Дневник» — современному этапу развития науки,
основным понятиям теории информации. Соответственно
«возрасту» проблемы изменяется и уровень требований,
предъявляемых к математическим познаниям читателя. В первом случае
читатель, в сущности, может не иметь никаких математических
познаний, во втором — уже требуется иметь представление о
математике, а в третьем, где используется математическая
символика, необходим некоторый навык в чтении формул.
Каждое. из произведений Реньи касается не частных задач
той или иной области математики, а ее принципиальных
вопросов, ставит и достаточно глубоко освещает проблемы большого
методологического значения. Именно этим объясняется успех
книг Реньи не только на его родине, но и за ее пределами: в
кратчайший срок они были переведены на многие европейские
языки. Хочется надеяться, что их выход в свет на русском
языке привлечет интерес нашей школьной и студенческой
молодежи к методологическим, педагогическим и популяризационным
проблемам математики. Это обстоятельство, несомненно,
послужит толчком к появлению у нас новой, разнообразной по форме

и содержанию, увлекательно написанной популярной литературы
по математике.
Альфред Реньи родился 20 марта 1921 года в Будапеште в
семье инженера. Его дед со стороны отца был известным
литературным критиком и большим знатоком древнегреческой
литературы. Надо думать, именно от него унаследовал внук
литературные способности. Отец будущего ученого свободно владел
многими европейскими языками.
Окончив в 1944 году университет в Будапеште и защитив
первую диссертацию в Сегеде, Реньи поступил в докторантуру
к академику Ю. В. Линнику (Ленинградское отделение
Математического института им. В. И. Стеклова). Научная атмосфера
Ленинграда, семинары Линника, беседы с ним, одаренность и
трудолюбие самого Реньи позволили ему менее чем за год
закончить докторантуру. Его диссертация была посвящена
вопросам теории чисел, которой в ту пору особенно усиленно
занимался Линник. Интерес Линника к теории вероятностей,
возникший под влиянием работ московской школы, захватил и Реньи.
Дружеские отношения ученика и учителя установились на всю
их короткую жизнь, полную для обоих напряженной научной и
литературной деятельности.
Возвратившись после защиты диссертации в Венгерскую
Народную Республику, Реньи приступил к научно-педагогической
работе в Дебреценском университете. За три года A946—1948)
он опубликовал 15 работ, преимущественно по теории чисел, а с
1949 года начал активно работать над задачами теории
вероятностей и развитием теоретико-вероятностных методов в теории
чисел. Этот год оказался знаменательным для Реньи: он был
избран членом-корреспондентом Академии наук ВНР, получил
профессуру в Дебреценском университете и был награжден
орденом Кошута (в серебре).
В 1950 году при активном участии Реньи в Будапеште был
создан Институт прикладной математики Венгерской Академии
наук (позже он был переименован в Институт математики).
Первым и бессменным (на протяжении двадцати лет)
директором этого института стал Альфред Реньи. На этом посту он
сделал очень многое для развития л и укрепления венгерской
школы математики. В частности, он 'начал издание Трудов ин*
ститута, которые стали авторитетным периодическим изданием,
много усилий внес в дело развития и укрепления научных связей
Венгрии и СССР.
С 1952 года Реньи заведовал кафедрой теории вероятностей
Будапештского университета имени Этвеша. В ту пору
раскрылся и педагогический талант ученого: он обновляет курс теории
вероятностей, используя опыт советской школы; организует
работу специальных семинаров и читает спецкурсы; объединяет
вокруг себя талантливых учеников и товарищей по работе.
Результаты не замедлили сказаться — именно с этого времени
заявила о себе и стала быстро набирать силу венгерская школа
теории вероятностей.
В 1954 году увидел свет написанный Реньи учебник по
теории вероятностей (впоследствии он был переработан автором для
немецкого, французского и английского изданий). В этом
учебнике уже заметное внимание было уделено понятию информации,
6

которая занимала ученого до конца его дней. В том же году за
выдающиеся научные, педагогические и организационные заслуги
Реньи был награжден орденом Кошута (в золоте).
Огромную по размаху научную, педагогическую и
организационную работу Реньи сочетал с популяризацией научных
знаний. Он выступал с докладами о математике перед школьниками,
читал лекции по телевидению, писал популярные статьи в
газетах и журналах.
Как рассказывал сам Реньи, дискуссии с коллегами о
принципиальных вопросах математики привели его к мысли изложить
эти беседы в виде диалогов. Такая форма позволила автору не
только изложить собственные взгляды на предмет, но и
противопоставить им иные точки зрения и привести доводы «за» и
«против». Первоначально опубликованные в специальных
журналах, эти диалоги затем были собраны вместе и в 1965 году
изданы в виде небольшой книжки, которая тут же была
переведена в ГДР, Румынии, Советском Союзе, США, Португалки и
ряде других стран.
Вслед за этой книгой, принесшей Реньи широкую
известность как популяризатору и ученому, занимающемуся
философскими проблемами математики, он начал работать над другой
популярной книгой — «Письмами о вероятности». Замыслами
о ней Реньи поделился со мной в октябре 1966 года, когда я
был гостем венгерских математиков в Будапеште. Как-то перед
одной из своих лекций по телевидению, посвященной элементам
теории вероятностей, он, рассказывая мне о том, что собирается
публично выступить с демонстрацией игральных костей
различных времен и народов, упомянул о замысле задуманной им
книги. Надо полагать, идея написания такой книги и ее форма
были навеяны его поездкой во Францию по случаю 300-летия со
дня смерти Б. Паскаля, когда он побывал не только в Париже,
но и в Клермон-Ферране, неподалеку от которого Паскаль
проводил свои опыты.
В ноябре 1969 года я послал Реньи только что вышедшие
в русском переводе «Диалоги о математике». В самом конце
декабря в ответном письме он сообщил, что занят работой над
новой популярной книгой — «Записками студента по теории
информации», и выразил пожелание получить еще несколько
экземпляров советского издания «Диалогов». Я поспешил
выполнить его просьбу, но ответа уже не получил... Вскоре пришло
официальное сообщение от венгерского Математического
общества имени Бойяи о том, что 1 февраля 1970 года А. Реньи
скончался. До последних дней он сохранял бодрость духа,
усиленно работая над новой книгой, с которой теперь имеет
возможность ознакомиться советский читатель, хотя она и осталась
несколько не завершенной.
Преждевременный уход Реньи из жизни — тяжелая утрата
не только для венгерской математической школы, но и для
математики в целом. В его лице наука потеряла одного из
блистательных своих представителей, а все мы — обаятельного,
интересного, неизменно доброжелательного, страстно увлеченного
своим делом человека.
Альфред Реньи умер в расцвете сил, не достигнув
пятидесяти лет. Не долог был его жизненный путь, но он отмечен

печатью большого таланта и удивительного умения
систематически, напряженно и плодотворно работать. Список его работ (в
том числе переизданий и переводов на другие языки)
насчитывает почти 350 наименований. После него остались
многочисленные ученики, которые продолжают начатые им работы,
превосходный Институт математики и научные труды, в том числе
книги. Все это еще долгие годы будет оказывать влияние на
подрастающие поколения математиков.
Почти двадцать пять столетий математика существует не
как сборник практических рецептов, а как дедуктивная наука,
в которой огромное число содержательных результатов
выводится логическим путем из ничтожно малого числа исходных
предложений — аксиом. Естественно, что и в самой математике,
и в философии с древнейших времён не могли не возникать и не
обсуждаться определенные вопросы:
Что такое математика и каков предмет ее исследований?
Каково отношение математики к действительности?
Как возникают математические понятия?
Каким образом математическое абстрагирование естественно*
научной или инженерной проблемы позволяет проникать в суть
явлений глубже и точнее, чем непосредственное наблюдение и
экспериментальное изучение?
Какое значение имеет разработка специфического научного
языка для развития как самой математики, так и ее применений
к проблемам реальной жизни?
Все эти, а также многие другие вопросы продолжают
волновать ученых и сегодня. Как и два с половиной тысячелетия
назад, представители различных философских направлений
отвечают на них по-разному.
Будучи убежденным материалистом, прекрасно разбираясь
в естественных науках и превосходно владея современной
математикой, Альфред Реньи в своих «Диалогах» на многие из
перечисленных вопросов дает определенные и вполне обоснованные
ответы. Воздействие этого произведения на читателя приобретает
особую силу благодаря своеобразной форме изложения, к
сожалению почти забытой современными авторами. Реньи не поучает
читателя, не стремится вложить в него уже готовые собственные
мысли, а как бы беседует с ним: заранее предугадывая
возможные сомнения и возражения, он вкладывает их в уста
собеседников. В результате читатель сам становится как бы участником
диалога — предмет изложения перестает быть для него чем-то
навязываемым извне и обсуждаемые проблемы воспринимаются
уже как собственные.
Оказалось, что форма диалога, так удачно
использовавшаяся древними, в частности Платоном, а позднее Галилеем и
многими другими учеными, писателями и философами, превосходно
подошла к обсуждаемым проблемам. Благодаря литературному
дарованию автора, а также прекрасному знанию литературы,
философии и истории произведение получилось по-настоящему
увлекательным.
В каждом из диалогов имена собеседников, кроме синьоры
Никколини, хорошо знакомы нам из истории науки. Однако
8 "

здесь не следует искать исторической точности. История служит
лишь канвой, фоном, на котором естественно развивается
изложение. Этот исторический фон держит читателя в постоянном
напряжении, и неважно, что к тому времени, когда Рим напал
на маленькие Сиракузы, царь Герон уже почил в бозе.
Несомненно, что и беседы Архимеда с Героном, о которой мы читаем
во втором диалоге, не было, но она вполне, могла состояться,
поскольку ее содержание, идеи и положения о сущности
прикладной математики, а также роли математики в человеческом
познании, высказываемые Архимедом, близки духу его
творчества.
Сейчас важнее, чем когда-либо, выяснить особенности
прикладной математики. К сожалению, даже весьма серьезные
математики порой интересуются лишь абстрактно-теоретическими
вопросами, свысока взирая на математика-прикладника. Они
полагают, что прикладными вопросами занимаются лишь те, кто
не может внести свою лепту в теорию. Это не только
ошибочная, но и вредная точка зрения. В наше время прогресс науки
неотделим от достижений талантливых
математиков-прикладников.
Математик-прикладник обязан вникнуть в существо
реальной задачи, суметь- выбрать адекватный математический аппарат,
а если такового не существует, то разработать его, построить
разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести
из нее необходимые следствия, найти их прикладное
истолкование и оценить соответствие модели реальному процессу.
Подлинный прикладник не может ограничиваться каким-либо одним
методом исследования и втискивать реальную проблему в
известный ему набор математических средств. Для каждой проблемы
он должен находить те математические средства, которые в
наибольшей степени соответствуют ее природе. И прав Реньи, когда
устами Архимеда говорит, что тот сделал шаг вперед по
сравнению с чистыми геометрами, указав на нематематические
следствия из теорем о параболе.
Проблемы, затрагиваемые в «Диалоге», приобретают сегодня
особо актуальное значение: учащиеся средних школ и студенты
вузов должны видеть в математических методах, понятиях и
результатах не просто логически стройную систему знаний, но и
возможности их использования для проникновения в тайны
природы, управления техническими и экономическими процессами,
лучшего использования природных ресурсов и более полного
извлечения информации, содержащейся в опытных данных. Очень
важно — и это должно быть одной из основных идей
математического образования, — чтобы возможно большее число молодых
математиков было способно сделать тот «шаг вперед», о
котором говорит Архимед в книге Реньи.
В диалоге о приложениях математики Архимед высказывает
важные и созвучные нашему времени мысли о месте и роли
прикладной математики в познании природы и развитии самой
науки. Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. На-,
ряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета
прикладного исследования. В его задачу входит создание
математической модели изучаемого явления на базе имеющихся
наблюдений и опытных данных, он обязан найти, а в ряде случаев
9

и изобрести новые методы математического исследования.
Последние годы дают нам многочисленные примеры того, как
вопросы практики, порой весьма узкие и недостаточно четко
сформулированные, способствовали созданию новых областей
математических исследований и глубокому преобразованию наших
взглядов на содержание и возможности математики.
В первом диалоге собеседником Сократа — непременного
участника всех диалогов древнего философа Платона — является
Гиппократ. Из курса элементарной геометрии читатель,
наверное, помнит о гиппократовых луночках. Идя навстречу желанию
Гиппократа углубить свои знания, Сократ постепенно открывает
ему предмет математических исследований, пути образования
математических понятий, истоки которых находятся в
непосредственном восприятии окружающего нас мира. Собеседники
затрагивают много острых вопросов, которые возникают как в
среде учащихся, так и у тех, кто использует в своей работе
математические методы. Например, они обсуждают, почему
математическое абстрагирование — казалось бы, уход от
рассмотрения непосредственного предмета исследования — позволяет
больше и глубже узнать о некоторых сторонах изучаемого объекта.
Особенно актуален в наше время вопрос, который Сократ
задает себе: «Уж не думаешь ли ты, Сократ, что метод,
применяемый математиками при изучении чисел и геометрических
фигур, пригоден только для-нужд математики? Почему бы тебе не
попытаться убедить людей в том, что о чем бы они ни
размышляли— о насущных ли проблемах повседневной жизни или о
государственном устройстве, — методы мышления остаются по
существу такими же, какие применяют в своей области
математики?»
В настоящее время, когда происходит бурный процесс
математизации наших знаний, этот вопрос приобретает особый
интерес. Современная организация производства и торговли,
биология и медицина, экономика и военное дело уже не могут
оставаться на позициях полуинтуитивных представлений, неполно
определенных понятий и нечетко сформулированных вопросов.
Когда перед конструктором стоит задача создать автомат для
управления технологическим процессом, для ее решения
недостаточно одних общих идей и представлений. Машина не
понимает, что значит фраза «варить сталь до готовности».
Необходимы точные указания условий прекращения процесса. Точно
так же для автомата, который должен контролировать
температуру, недостаточно одного указания о прекращении нагревания
в случае аварийной ситуации.
С требованиями точных количественных методов описания
самых разнообразных процессов приходится сталкиваться
буквально во всех областях человеческой деятельности. Крайне
важно приучать молодежь к тому, чтобы она не только познавала
формальные математические сведения, но и овладевала умением
применять их к изучению явлений природы и процессов, с
которыми сталкивается на практике. Математика в сознании
учащихся должна быть не просто системой знаний, оторванной от
жизненных задач общества, а полнокровным методом
исследований, неразрывно связанным с задачами практики, мощным
орудием познания окружающего нас мира.
10

Третий диалог дополняет первые два. В нем автор
останавливается на таких важных идеях, как необходимость разработки
математических методов движения, построение математической
теории случайных явлений, невозможность исследования законов
природы в отрыве от математики и ее специфического языка.
Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на
математическом языке и потому прочесть ее может только тот,
кто знаком с ее знаками, за столетия, прошедшие со времени
Возрождения, нашла множество блестящих подтверждений.
Сейчас же нам важно подчеркнуть, что по мере возникновения
новых задач познания природы само содержание математики не
может оставаться неизменным. Оно, подобно живому
организму, развивалось и развивается: на математическом древе
появляются новые ветви, вырастают новые корни. Об этом в третьем
диалоге рассказывает Галилей на примере начал теории
вероятностей.
Вряд ли нужно доказывать, что в науке особенно важны
точность и ясность выражений. Научный язык не должен
создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой
информации. Без этого требования не может быть науки как
системы знаний, не может быть уверенности в том, что
определенное утверждение или предположение не было искажено в
процессе рассуждений. Научное изложение должно быть кратким и
вполне определенным. Именно поэтому наука вынуждена
разрабатывать свой собственный язык, способный максимально точно
передавать свойственные ей особенности. Математическая
символика как раз и является таким языком, своего рода
стенографической записью абстрактной мысли. Она не оставляет места для
неточности выражений и расплывчатых толкований. Но этого
мало — математическая символика позволяет автоматизировать
проведение тех действий, которые необходимы для получения
выводов, сжимать запись информации, делать ее обозримой и
удобной для последующей обработки. Она дает большие
возможности и для общения с автоматом. Именно математике как
языку науки и посвящен третий диалог.
Уже само название «Письма о вероятности» указывает на
своеобразный литературный жанр: все, что хочет сообщить автор
читателю, он излагает в виде писем своего героя. В данном
случае этим героем является великий Блэз Паскаль, чье имя вошло
в историю математики, физики, литературы и философии. Иная
литературная форма, но все то же ее совершенство, а тема-^
возникновение теории вероятностей.
К XVI веку в естествознании трудами ряда ученых, и в
первую очередь Галилео Галилея, были заложены основы детерми-
нистско-механистического понимания закономерностей
окружающего нас мира. Позднее эту точку зрения развивали Ренэ
Декарт и его последователи. Пожалуй, наиболее яркое выражение
этих идей строгого детерминизма мы находим в известном труде
Пьера Лапласа «Опыт философии теории вероятностей». На
второй странице этого труда содержится такое утверждение: «Все
явления, даже те, которые по своей незначительности как будто
не зависят от великих законов природы, являются следствиями
U

столь же неизбежными этих законов, как обращение солнца».
И далее: «Таким образом, мы должны рассматривать настоящее
состояние вселенной как следствие ее предыдущего состояния и
как причину последующего.
Ум, которому были бы известны для какого-либо
определенного момента все силы, одушевляющие природу, и
относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок
он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти
данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших
тел вселенной наравне с движением легчайших атомов: не
осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее,
так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором».
Такое сведение качественно различных закономерностей мира
к вполне детерминистическому взаимодействию обедняет
истинную картину мира, и отрицание случайного, к которому
сводилась такая концепция, не приводит к действительному
исключению случайного из арсенала необходимых средств познания
окружающих нас явлений. Случайное остается случайным и
продолжает играть свою роль, даже если великие исследователи
отрицают за ним действительное его существование. И сам
Лаплас был вынужден разрабатывать теорию вероятностей как
метод количественного изучения случайных явлений. Со времен
Лапласа, а тем более Паскаля роль случайного в
естествознании и в практической жизни резко возросла. Недаром
современная физика считает, что все законы, которым подчиняются
физические явления, носят статистический характер.
То, что случайные явления в реальном мире представляют
собой не исключение, а правило, было замечено еще в
древности. Об этом прекрасно говорит Реньи. Попытки математически
подойти к изучению случайных явлений делались задолго до
Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости от*
носителышх частот случайных событий, связанных с
демографическими явлениями и вопросами снабжения продовольствием
больших масс людей, были ивзестны еще в Древнем Китае и
Древнем Риме. Изучать случайные явления с помощью точных
методов пытались Кардано и Галилей. Однако начала теории
вероятностей как особой науки положила только переписка Паскаля
и Ферма. К тому времени процесс научного познания уже
победил; научное мышление уверенно одолевало схоластику теологов, и
свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к
одному из основных вопросов познания: каковы типы
закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с
механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего
с помощью количественного анализа охватывать явления
природы шире и глубже?
На эти вопросы теперь даны определенные и
положительные ответы: закономерности теории вероятностей дают нам
детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного
случая включает детерминизм жесткий, в реальных явлениях
наблюдаемый лишь приближенно.
Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса в научный обиход
вошли первые понятия теории вероятностей — математической
науки о случайных событиях и их вероятностях. Эти понятия
формировались в значительной степени на примерах изучения
12

азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо
понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрений.
Об этом прекрасно сказано у Реньи в заключительной части
четвертого письма: «...в мире господствует случай и
одновременно действуют порядок и закономерность, которые формируются
из массы случайностей согласно законам случайного. Вот
почему я и придаю такое значение выяснению понятия
вероятности и интересуюсь неразрывно связанными с этим вопросами.
Разумеется, мне нет нужды объяснять Вам, что с самого начала,
как только мы начали переписку по поводу этих проблем, и Вы
и я знали, что речь идет о вопросах куда более серьезных, чем
игра в кости».
Заметим, что эта же мысль, но только высказанная другими
словами, содержится в трактате Христиана Гюйгенса «О
расчетах в азартных играх» A660): «...Я полагаю, что при
внимательном изучении читатель заметит, что имеет дело не только с
игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и
глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере
подтвердило эту точку зрения.
Задавшись целью рассказать-о начальном периоде
формирования теории вероятностей как математической науки, Реньи
решил вести рассказ от имени одного из ее творцов — Блэза Пао
каля. С этой целью он создал четыре вымышленных письма
Паскаля Пьеру Ферма. При этом он постарался, приблизиться
не только к литературному стилю Паскаля, но и к возможному
кругу интересовавших ученого проблем. Несомненно, что тем
самым Реньи сознательно лишил себя возможности рассказать
о многих более поздних направлениях развития, найденных
глубоких связях теории вероятностей с естествознанием,
инженерным делом, экономикой, организацией производства и пр. Он
лишил себя также возможности выявить место теории
вероятностей в современной науке, ее роль в процессе создания научной
картины мира. Однако такое ограничение имело и свои
преимущества— оно дало автору простор для выяснения центральных
философских вопросов теории вероятностей. Речь, собственно,
идет исключительно о понятии вероятности случайного события,
выяснении законности рассмотрения субъективных вероятностей
и резкой критике такого подхода.
Следует отметить такт, с которым Реньи отстаивает диалек-
тико-материалистическую точку зрения на развитие
человеческого знания. Заслуживает упоминания и та настойчивость (но
отнюдь не навязчивость), с которой он отстаивает тезис, согласно
которому ученый-естествоиспытатель в вопросах науки, пусть
даже стихийным путем, но непременно становится
материалистом. Достаточно вспомнить беседу Паскаля с Митоном
(четвертое письмо).
На мой взгляд, Реньи удалось создать превосходное и
глубокое философское произведение. Оно волнует читателя и
позволяет ему ознакомиться с особенностями эпохи, литературным
стилем великого ученого-гуманиста Блэза Паскаля и с теми
противоречиями, которые раздирали его, ибо в нем причудливо
сочетался глубокий мыслитель и исследователь Природы и
одновременно фанатически религиозный человек. Реньи знаком со свое*
образием литературного стиля Паскаля и в вымышленных письмах
13

тонко ему подражает, широко используя характерные для
последнего длинноты и многократное возвращение к одному и
тому же предмету обсуждения. При этом вся небольшая книга
основана только на тех произведениях, которые волновали в ту
пору научные и литературные круги. И в то же время
затронутые в письмах вопросы глубоко современны и постоянно
возникают в том или ином виде и теперь — как в философских и
математических трактатах, так и в университетских лекциях и
на диспутах ученых. Подход, избранный Реньи, позволил ему
показать тот тяжкий путь, который проходит человечество от
незнания к знанию и от знания неполного к знанию более
полному.
Нельзя не отметить и превосходных литературных находок
автора: письма Труверьена (Ничего-не-нашедшего) не случайно
присланы из Химеры первого апреля, а сам Труверьен является
профессором Университета Контеблэ (Голубая сказка).
Тема последней книги «Трилогии о математике» — «Записки
студента по теории информации» — относится уже к
сегодняшнему дню математики. Первые шаги теория информации сделала
каких-нибудь сорок лет назад, но черты развитой отрасли науки
ей придали лишь десятилетие спустя Клод Шеннон и другие
исследователи. С тех пор теория информации бурно развивается,
одновременно находя применение в самых разнообразных
областях знания.
В «Дневнике» Реньи стремился как бы проанализировать
процесс познания и показать молодежи и преподавателям
необходимость и важность глубокого осмысления новых идей и
понятий на привычных представлениях. Нельзя говорить, что что-то
изучено, если оно не подвергнуто внутреннему переосмыслению,
если изучающий не попытался разобраться в свежих идеях на
доступных ему примерах, с которыми он сроднился, которые
ему близки и позволяют с неожиданной стороны осветить новые
представления. Мнимый автор «Дневника» старается осмыслить
идеи и понятия теории информации, прибегая к широкоизвестной
игре в отгадывание задуманного слова по нескольким вопросам.
Эта игра сопровождает все рассуждения Бонифация Доната и
позволяет читателю свыкнуться с основными понятиями теории
информации.
Отдельные замечания Бонифация Доната касаются
педагогического процесса. Реньи сумел посмотреть на него не с позиции
обучающего, а с позиций обучающегося. Именно этим
объясняется тот факт, что Бонифаций Донат после каждой лекции,
стремясь вникнуть в ее содержание, неизменно обращается к
игре «Бар-Кохба». Он сам задает себе вопросы по поводу
услышанного и постепенно находит на них ответы. Такой метод
позволяет не только лучше усвоить материал лекций, но и
выработать свой собственный подход. Познание становится активным.
Этот момент следует учитывать каждому преподавателю.
Ведь нередко случается, что во время занятий учащиеся о чем-то
переспрашивают и в ответ на свой вопрос слышат те же слова,
что и прежде. Как правило, это происходит не от того, что они
их не расслышали первоначально, а просто по какой-то причине
сказанное не дошло до их сознания. Что же может добавить
14

повторение того, что уже не было понято? Вот почему при
повторном объяснении непременно следует найти новые слова, новый
аспект подачи, который пробил бы путь к сознанию учащегося.
А вот что написал наш студент о манере изложения
профессора: «Насколько я могу судить, наш лектор придерживается
метода, состоящего в постепенном разъяснении сложных
понятий. ...Этот метод (хотя он и необычен)—обладает
неоспоримыми преимуществами, главное из которых состоит в том, что
он приучает аудиторию мыслить самостоятельно, критически».
Несомненно, что основная цель обучения состоит не в том,
чтобы набить память учащегося возможно большим количеством
знаний, а в том, чтобы научить его мыслить, находить подход
к решению вопросов, на которые еще нет ответа, замечать
пробелы как в собственных, так и в чужих рассуждениях и
восполнять их. И это следует делать на всех ступенях обучения —
от детского сада до аспирантуры, до самостоятельного
совершенствования знаний.
Очень интересны и своевременны суждения Бонифация
Доната об экзаменах. Поскольку эти мысли в какой-то мере близки
моим собственным, которые я неоднократно высказывал как в
частных беседах, так и на ученых советах, я надеюсь, мне не
поставят в вину цитату: «В последнее время много говорилось
о необходимости сократить число экзаменов. Думаю, что
основная беда все же не в числе экзаменов, а в их характере. На
мой взгляд, экзамены должны быть не отчетом студентов о том,
что они успели наспех выучить в последние дни перед экзаменом
и что затем почти бесследно изгладится из их памяти при
подготовке к очередному экзамену, а проверкой умения мыслить
самостоятельно и выявления той части знаний, которая навсегда
запечатлена в сознании экзаменуемого...».
Размышления Бонифация Доната о том, чему следует учить
в университете, заслуживают самого пристального внимания,
поскольку в наши дни математики занимаются не только научной
и педагогической работой в области самой математики.
Значительная часть выпускников математических факультетов идет
работать в заводские лаборатории, в нематематические
институты, и несомненно, что подготовка в университете должна
облегчить им вхождение в прикладную тематику. Показать
математику в действии как элемент познания процессов природы,
экономики и техники — вот один из обязательных элементов
университетского обучения математике.
Однако не педагогические проблемы главное в последней
работе Реньи.
«Дневник» посвящен выяснению основного понятия теории
информации — количества передаваемой информации. Форма, к
которой прибегнул автор, своеобразна и удивительно интересна, и
можно только сожалеть, что преждевременная смерть не
позволила завершить книгу. Это сделали его ученики и друзья.
В настоящий сборник включены также четыре статьи
А. Реньи. Одни из них и задуманы были как научно-популярные
очерки, другие родились из докладов на международных
конференциях. Но какую бы задачу ни ставил перед собой автор, форма
их неизменно остается доступной широкому кругу читателей,
15

а существо касается основополагающих сторон рассматриваемых
вопросов.
Азартные игры были предметом многочисленных серьезных
математических исследований. В истории науки они
неоднократно сообщали первичный толчок появлению новых научных идей.
Лет пятнадцать назад в печати появились сообщения об одном
молодом математике, который нашел стратегию, неизменно
приводящую его к выигрышу. В очерке «Азартные игры и теория
вероятностей» Реньи рассказывает об этом эпизоде. Для нас
здесь интересен не столько факт открытия выигрышной
стратегии для вполне определенных условий, сколько средства,
позволившие это сделать, — то, как научное мышление при точной
формулировке задачи помогает находить целесообразную линию
поведения. Свою задачу автор видит в том, чтобы пробудить
у читателя потребность во всех жизненных ситуациях находить
оптимальное решение.
Вопросы, затронутые в «Заметках о преподавании теории
вероятностей», сейчас интересуют очень многих, и весьма полезно
узнать мнение на этот счет крупного ученого и педагога.
Однако наряду с тремя основными целями, которые автор
считает необходимым преследовать в преподавании теории
вероятностей, следует отметить еще одну, быть может
важнейшую, — расширение представлений обучающихся о
закономерностях, с которыми приходится сталкиваться при изучении
окружающего нас мира.
Литература о числах Фибоначчи огромна. А. Реньи в
«Вариациях на темы Фибоначчи», отправляясь от классической
задачи, дает еще четырнадцать дополнительных интерпретаций, ос«
вещая числа Фибоначчи с новых, а порой и неожиданных позиций.
Очерк «О математической теории деревьев» посвящен
важной дисциплине прикладной математики — теории графов, точнее»
одному из ее разделов — теории «деревьев». Он был
подготовлен в качестве доклада на традиционных Роуз-болловских
чтениях в Кембридже. Реньи вводит читателя в круг исследований^
которые тесно связаны с многими областями естествознания,
теорией информации, исследованием операций, и показывает
прикладные возможности теории деревьев.
В настоящем издании переводы произведений Реньи
осуществлены разными лицами. «Диалоги о математике» впервые
увидели свет на английском языке, и именно с этого издания был
сделан русский перевод Д. Б. Гнеденко и Е. А. Масловой (М.з
Мир, 1969). Вышедшее впоследствии венгерское издание
несколько отличается от английского. Перевод его осуществил
Ю. А. Данилов. Советскому читателю предлагается объединение
обоих этих вариантов, поскольку так удалось с наибольшей
полнотой выразить замысел автора. «Письма о вероятности»
переведены с венгерского Д. Саасом и А. Крамли в бытность их
аспирантами МГУ (М.: Мир, 1970). Перевод с венгерского
«Дневника» и статей выполнен Ю. А. Даниловым. Переводчики
с любовью отнеслись к авторскому тексту, и я надеюсь, что
советский читатель сможет по достоинству оценить не только
содержание и форму произведений Реньиг но и их труд.
J5. Гнеденко
М

a
ДИАЛОГИ О МАТЕМАТИКЕ

ДИАЛОГ О ТОМ,
ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА*
Сократ. Ты чем-то озабочен, дорогой
Гиппократ? Кого-то ищешь?
Гиппократ. Уже нашел! Где я только не был,
разыскивая тебя: заглянул в лицей **, потом на
агору ***. Там кто-то сказал мне, что ты
прогуливаешься по берегу Иллисоса. Я тотчас пустился
вслед за тобой, и вот я здесь.
Сократ. Ну что ж, скажи, что привело тебя ко
мне и почему ты горишь от нетерпения, а потом и я
хочу порасспросить тебя кое о чем. Запала в душу
мне беседа, которую мы вели втроем: ты, я и Про-
тагор. Ты не забыл, о чем мы тогда говорили?
Гиппократ. Забыть о той беседе? Да не
проходит дня, чтобы я не размышлял о ней. И к тебе я
пришел потому, что она не выходит у меня из
головы.
Сократ. Я думаю, дорогой Гиппократ, что ты
жаждешь обсудить со мной именно то, о чем и я
хотел поговорить с тобой, мы оба едины в наших
желаниях. А математики твердят, будто два не равно
одному!
Гиппократ. Сократ, ты смотришь в корень:
о математике я и хотел потолковать с тобой.
Сократ. Но ведь тебе, Гиппократ, хорошо
известно, что я не математик. Почему бы тебе не обра^
титься к известному своей ученостью Теодору?
* © Renyi Alfred, 1964.
© Перевод на русский язык, Мир, 1980.
** Лицей (греч.) — одна из трех гимнасий в Афинах,
находившаяся за городской чертой у храма Аполлона Ликейского,
откуда она и получила свое название. — Прим. перев.
*** Агора (греч.) — торговая площадь, служившая местом
народных собраний, также называвшихся агорой, — Прим, перев*
18

Гиппократ. Я просто поражен, как ты,
Сократ, умудряешься отвечать мне, прежде чем я
успеваю задать тебе вопрос. Ведь я пришел за тем, чтобы
спросить твоего совета, не пойти ли мне в ученики
именно к Теодору. В прошлый раз, когда я надумал
было пойти в ученики к Протагору, ты отправился
к нему вместе со мной и так искусно повел беседу,
что мне стало ясно: Протагор, хоть и слывет
софистом, ничего не смыслит в том, о чем толкует с
ученым видом. Не знает он ни своей науки, ни того, на
что она надобна. Разумеется, я тотчас же переменил
свои намерения и не помышляю более о том, чтобы
учиться у него. К сожалению, из той беседы я узнал
лишь, чего не следует делать, но она не научила меня
тому, что следовало бы предпринять. С тех пор этот
вопрос не дает мне покоя. Вместе с приятелями я
захаживаю в палестру*, бываю на пирах и не могу
сказать, чтобы мы плохо проводили время, но все
это не приносит мне удовлетворения. Меня не
покидает мысль о том, как мало я знаю, точнее, как
зыбко и неопределенно то, что я знаю. Когда мы вели
беседу с Протагором, мне стало ясно, как плохо я
разбираюсь, например, в таких понятиях, как добро,
красота, истина, которые прежде казались мне
очевидными. Во время той беседы я почерпнул у тебя
немало полезного. Особой удачей я считаю, что мне
удалось осознать, сколь скудны мои познания об
этих понятиях.
Сократ. Я рад, дорогой Гиппократ, что ты так
хорошо меня понял. Ведь я всегда открыто говорю о
том, что ничего не знаю, но в отличие от многих
отнюдь не думаю, будто знаю нечто такое, чего я в
действительности не знаю.
Гиппократ. Это, бесспорно, доказывает твою
мудрость, Сократ, но я ищу другого. Мне бы очень
хотелось получить прочные, основательные знания, и
я не успокоюсь до тех пор, пока не добьюсь своего.
Со времени твоей дискуссии с Протагором я часто
* Палестра (греч.)—частная школа для мальчиков от 12
до 16 лет (в отличие от гимнасии — общественной школы), где
учащиеся занимались борьбой, кулачным боем, метанием копья,
бросанием диска, бегом, прыжками и плаванием Иногда
палестры устраивались и для взрослых мужчин» — Прим, перев.
19

ломаю голову над тем, чем заняться и что изучать;
коль скоро мне не удалось пройти школу у софистов,
Недавно я разговаривал .с Теэтетом, и тот посовето-:
вал мне изучать математику у Теодора, сказав, что
во всех Афинах не найдется человека, более
сведущего в теории чисел и геометрии. По мнению Теэтета,
только математика позволяет постичь незыблемые
истины, к познанию которых я так стремлюсь.
Потому я и пришел к тебе за советом, что мне не хотелось
бы поступить опрометчиво, как в тот раз, когда я
вознамерился стать учеником Протаго^ра. Ответь же мне,
дорогой Сократ, сумею ли я обрести то, что мне
хотелось бы, если поступлю в ученики к Теодору, или
же ты считаешь мои надежды несбыточными?
Сократ. Задавая мне такой вопрос,
Гиппократ, ты оказываешь мне слишком высокую честь.
Могу сказать тебе лишь, что если ты и впрямь
вознамерился изучать математику, то лучшего учителя,
чем мой высокочтимый друг Теодор, тебе не найти.
Но решить, правилен ли твой выбор и стоит ли тебе
изучать математику, можешь лишь ты сам, ибо кому,
как не тебе, лучше знать, чего ты хочешь.
Гиппократ. Почему ты отказываешься мне
помочь, Сократ? Быть может, я, сам того не желая,
чем-то обидел тебя? Скажи тогда, чем я могу иску-*
пить свою вину перед тобой.
Сократ. Ты не так меня понял, Гиппократ.
Я ничуть не обижен и охотно помог бы тебе, но ты
требуешь от меня невозможного. Как я могу решить
за тебя, что тебе следует делать? Такие вопросы
каждый должен решать сам. Я могу лишь, подобно
акушерке, облегчить рождение твоего решения.
Гиппократ. Прошу тебя, дорогой Сократ, не
отказывай мне в помощи, и если ты свободен, то
приступим к беседе немедля.
Сократ. Будь по-твоему! Укроемся в тени вон
того платана и начнем. Но скажи мне прежде, со-
гласен ли ты вести беседу на излюбленный мной
манер: я стану спрашивать, а ты отвечать? Не забывай,
что из нашей беседы ты не можешь извлечь большей
пользы, чем ясно осознать то, о чем ты знал и
раньше. Мы лишь поможем расцвести тому, что скрытно
дремлет в твоей душе, как жизнь в семени.
20

Не уподобишься ли ты царю Дарию,
приказавшему умертвить управляющего медным рудником лишь
за то, что тот добывал там медь, а не золото?
Дарий не подумал, что добыть из земных недр
можно только те' сокровища, которые таятся в них*
Надеюсь, ты не совершишь такой ошибки.
Гиппократ. Клянусь Зевсом, что не попрекну
тебя ни словом, но, прошу, не медли, начнем
разрабатывать наш рудник.
Сократ. Хорошо, пусть будет по-твоему. Ответь
мне прежде всего на вопрос: знаешь ли ты, что
такое математика? Раз ты собираешься изучать ее, то,
должно быть, знаешь, что это такое.
Гиппократ. На этот вопрос ответит и
ребенок. Математика —• это наука, и причем не
какая-нибудь, а одна из прекраснейших!
Сократ. Я просил тебя описать сущность
математики, а не восхвалять ее. Быть может, ты лучше
поймешь, что мне неясно, если мы сначала
потолкуем о другой науке, скажем о медицине. Могу ли я
утверждать, что медицина — это наука о болезнях и
о здоровье человека и что смысл ее состоит в
исцелении больных и в поддержании здоровья тех, кто
здоров?
Гиппократ. Мне кажется, что такое
утверждение правильно.
Сократ. Какие бывают болезни, как их
распознавать и лечить, знают, да и то не слишком много,
только врачи. Но назначение медицины как раз и
состоит в том, чтобы разузнать как можно больше о
болезнях и научиться пользовать от них. Не кажется
ли тебе, что с математикой все обстоит иначе?
Гиппократ. Дорогой Сократ, поясни, в чем
различие. Признаться, от меня оно ускользает.
Сократ. Подумай хорошенько над таким
вопросом: существует ли то, что изучает медицина, или
не существует? Были бы болезни, если бы врачей
вдруг не стало?
Гиппократ. Конечно, были бы. Их даже при*
бавилось бы.
Сократ. Возьмем теперь какую-нибудь другую
науку или искусствен Подумай хорошенько, мой друг*
21

можно ли утверждать, что астроном занимается
изучением движения небесных светил?
Гиппократ. Думаю, что ты в праве
утверждать так.
Сократ. А что ты мне ответишь, если я
спрошу тебя, существует ли то, чем занимаются
астрономы?
Гиппократ, Отвечу, что существует.
Сократ. А были бы на свете небесные светила,
если бы ни одного астронома не стало?
Гиппократ. Конечно, были бы! Более того, я
ничуть не сомневаюсь в том, что если бы Зевс в
гневе уничтожил все человечество, то и тогда небесные
светила продолжали бы сиять как ни в чем не
бывало. Но почему мы толкуем о небесных светилах,
а не о математике?
Сократ. Умерь свое нетерпение, мой друг.
Прежде чем перейти к математике, рассмотрим еще
несколько наук и искусств, чтобы нам было с
чем сравнивать математику и то, чем занимаются
математики. Как бы ты назвал того, кто изучает
животных и растения и знает все о существах,
обитающих в чащах лесов и в глубинах морей?
Гиппократ. Естествоиспытателем, изучающим
живую природу.
Сократ. А как по-твоему: существует ли в
природе то, что изучает такой естествоиспытатель?
Гиппократ. Несомненно.
Сократ. А как бы ты назвал человека,
изучающего горные породы и знающего, какие из них
содержат железо?
Гиппократ. Знатоком минералов.
Сократ. Занимается ли он изучением того, что
существует в природе, или же тем, чего нет и
никогда не бывает?
Гиппократ. Разумеется, наш знаток
минералов изучает то, что существует.
Сократ. А можем ли мы теперь утверждать,
что всякая наука занимается изучением чего-нибудь
существующего?
Гиппократ. По всей видимости, можем.
Сократ. Тогда скажи мне, любезный
Гиппократ, чем занимаются и что изучают математики?
22

Гиппократ. Я спрашивал об этом у Теэтета,
и он ответил мне, что математики изучают числа и
геометрические фигуры.
Сократ. Ответ хорош, я сам не мог бы ответить
на твой вопрос лучше. Но подумай; можно ли
утверждать, что числа и геометрические фигуры
существуют?
Гиппократ. Полагаю, что можно: ведь если
бы они не существовали, то как бы мы могли вообще
о них говорить?
Сократ. Ты прав, но вот что меня смущает.
Можно ли утверждать, что, например, простые числа
существуют в том же смысле, в каком существуют
небесные светила или рыбы? Существовали бы простые
числа, если бы не было математиков?
Гиппократ. Я начинаю сознавать, к чему ты
клонишь. Дело действительно обстоит не так просто,
как мне казалось, и должен признаться, что твой
вопрос ставит меня в тупик.
Сократ. Тогда я поставлю вопрос по-другому.
Как по-твоему, будут ли светила сиять в небесах,
если некому будет наблюдать их, а рыбы плавать в
море, если никто не станет ловить их ни для того,
чтобы употребить в пищу, ни для того, чтобы
исследовать их строение?
Гиппократ. Будут, конечно.
Сократ. А где были бы простые числа, если бы
математики раздумали их изучать?
Гиппократ. Простых чисел не было бы нигде,
потому что, когда математик размышляет о простых
числах, те существуют у него в голове.
Следовательно, если никто не станет думать о простых числах,
то их нигде и не будет.
Сократ. Так верно ли судят о математике те,
кто утверждает, будто математика занимается
изучением чего-то такого, что не существует вне?
Гиппократ. Думаю, что они не ошибаются.
Сократ. А буду ли я прав, если стану
утверждать, будто математика занимается изучением чего-
то такого, что не существует или по крайней мере
существует не в том смысле, в каком существуют
небесные светила или рыбы?
Гиппократ. Несомненно!
23

С о к ра т. Не торопись и не давай
опрометчивых ответов. Нет ли у тебя с собой восковой
дощечки?
Гиппократ. Как не быть! Вот она.
Сократ. Следи внимательно: на дощечке я
напишу какое-нибудь число, например число 29. Как
по-твоему: оно существует?
Гиппократ. Конечно, ведь мы видим его и
даже можем дотронуться до него рукой.
С о к р at. Значит, числа все-таки нечто
существующее?
Гиппократ. Уж не хочешь ли ты посмеяться
надо мной, почтенный Сократ? Смотри: я нарисовал
на восковой табличке льва и дракона с семью
головами. И того, и другого ты видишь своими глазами.
Но львы действительно существуют,, а драконов нег
и в помине. По крайней мере, мне никогда не прихо^
дилось видеть дракона, и мне не встречался никто,
даже среди глубоких старцев, кому на своем веку
доводилось видеть дракона. Если же я ошибаюсь и
где-нибудь за Геркулесовыми столпами все же
водятся драконы, то и тогда они существуют отнюдь не
потому, что на этой восковой табличке я изобразил
некий плод моего воображения. Если драконы вообще
существуют, то они существуют, даже если бы я не
нарисовал ни одного из них.
Сократ. Ты совершенно прав, дорогой
Гиппократ. Сдается мне, что ты схватил истину за ворот.
Значит, хотя мы и толкуем о числах или можем
написать их, это еще не означает, что числа реально
существуют?
Гиппократ. Да, по крайней мере не
существуют в том смысле, в каком существуют львы или
небесные тела.
Сократ. Над этим следовало бы еще
поразмыслить. Кое-что смущает меня по-прежнему. Скажи,
можно ли сосчитать овец на лугу или корабли в
гавани Пирея?
Гиппократ. Нет ничего проще!
Сократ. А существуют ли овцы и корабли?
Гиппократ. Разумеется, существуют!
Сократ. Но если существуют овцы, то разве не
существуют числа, позволяющие нам пересчитывать
24

овец? Сдается мне, что математики все же
занимаются изучением чего-то существующего.
Гиппократ. Ты снова шутишь Сократ, но я не
потерплю насмешек! Математики, да будет тебе
известно, не ведут счет овцам. Это — занятие
овцеводов, к тому же не требующее особой учености.
Сократ. Должен ли я понимать тебя так, что
математики занимаются не счетом овец или
кораблей, а изучением самих чисел, то есть их интересует
нечто, существующее не в действительности, а лишь
в их сознании?
Гиппократ. Именно так я и думаю.
Сократ. Если мне память не изменяет, ты
утверждал, ссылаясь на Теэтета, что математики зани-^
маются изучением чисел и геометрических форм.}
Дабы избежать поспешных выводов, попытаемся вьи
яснить, не обстоит ли дело с геометрическими
фигурами также, как с числами? Что бы ты ответил мне,
если бы я спросил, существуют ли геометрические
фигуры?
"Гиппократ.- Ответил бы, что существуют,
Ведь если гончару удастся ваза, то всякий скажет,
что она красива на вид и имеет изящную форму.
Геометрические фигуры мы можем видеть своими
глазами, прикасаться к ним руками. Мне кажется поэтому,
что у нас есть все основания считать геометрические
фигуры существующими.
Сократ. Мой дорогой Гиппократ, ты так
прекрасно выразил свою мысль, что почти убедил меня,,
Но позволь мне все же указать на одно место в
твоих рассуждениях, которое мне не вполне ясно.
Гиппократ. Какое место, дорогой Сократ?
Неужто и на этот раз я впал в ошибку?
Сократ. Сам посуди: что ты видишь, когда со-!
зерцаешь вазу? Саму вазу или ее форму?
Гиппократ. И то, и другое.
Сократ. Должно быть, с вазой все обстоит так
же, как с овцой: когда ты видишь, овцу, то видишь
и овечью шерсть.
Гиппократ. Твое сравнение мне кажется
весьма удачным.
Сократ. А мне сдается, что мое сравнение
хромает, как Гефест. Ведь овцу можно и остричь, и
25

тогда ты сможешь любоваться овцой без шерсти и
овечьей шерстью без овцы. А можно ли вазу
отделить от ее формы?
Гиппократ. Нет, этого не в силах сделать ни
я, ни кто-нибудь другой.
Сократ. И все же ты утверждаешь, что
геометрические фигуры можно видеть?
Гиппократ. Я усомнился в этом.
Сократ. А мне теперь кажется, что форма вазы
не может существовать в отрыве от вазы. Но скажи:
если бы математики действительно занимались
формой ваз или горшков, то не лучше бы им было
называться гончарами?
Гиппократ. Резонно!
Сократ. Но если бы математики занимались
формой ваз и горшков, то Теодор был бы
искуснейшим гончаром, ибо кто более его сведущ в
геометрических телах и фигурах? И все же, сдается мне,
Теодор не сможет вылепить из глины даже простейший
сосуд.
Гиппократ. Многие хвалили мне Теодора.
Поэтому-то я вознамерился пойти к нему в ученики.
Но ни от кого мне не приходилось слышать, что
Теодор знает толк в гончарном искусстве.
Сократ. Может быть, математики занимаются
изучением форм зданий, колонн или статуй? Но тогда
их следовало бы называть архитекторами или
скульпторами.
Гиппократ. Ты прав.
Сократ. Кажется мне, дорогой Гиппократ, что
математики все же занимаются изучением не форм
существующих предметов, а самих форм в чистом
виде, нимало не4заботясь о томг каковы носители
этих форм. Более того, математиков интересуют даже
не зримые и осязаемые формы и фигуры,
существующие в обычном смысле слова, а формы,
существующие лишь в их воображении. Ты тоже так считаешь?
Гиппократ. Не стану спорить.
Сократ. Итак, мы установили, что математика
занимается изучением чего-то существующего не в
действительности, а лишь в воображении, в мыслях.
Рассмотрим теперь утверждение Теэтета о том, что
выводы математики основательнее и надежнее выво-
26 •'

дов любой другой науки. Скажи, друг мой, не
приводил ли Теэтет каких-нибудь примеров или же
ограничился общим утверждением?
Гиппократ. Нет, в подтверждение своих слов
Теэтет сослался на несколько примеров, простых,
ясных и, должен признаться, показавшихся мне
весьма убедительными.
Сократ. А не мог бы ты привести
какой-нибудь из этих примеров, чтобы и я почерпнул нечто
поучительное для себя?
Гиппократ. Попытаюсь. Но если меня
подведет память или я допущу неточное выражение, то
прошу винить меня, а не Теэтета.
Сократ. Оставь напрасные опасения и
приступай к примеру.
Гиппократ. Теэтет утверждал, например,
будто невозможно с полной уверенностью назвать
расстояние, отделяющее Спарту от Афин. Те, кому
случалось проделать этот путь, сходятся во мнении
относительно того, сколько дней ушло у них на дорогу,
но не могут точно назвать число шагов. С какой бы
точностью ни измеряли расстояние (например,
мерной веревкой), результат измерения не может быть
абсолютно точным. Стоит лишь измерить то же
расстояние вторично, как результаты двух измерений
заведомо разойдутся. Вместе с тем со времен
Пифагора мы можем совершенно точно устанавливать
длину диагонали квадрата, причем всякий, кто
разбирается в существе дела, согласится с нами.
Сократ. Теэтет прав, и ты, должно быть, точно
передал смысл его слов, о чем я могу судить хотя
бы по убежденности, с которой ты говоришь. А не
припомнишь ли ты еще какой-нибудь пример?
Гиппократ. Подожди, дай мне немного
подумать. Как не припомнить! Теэтет утверждал, что
никто не может точно установить, сколько человек
живет в Элладе. Если бы кто-нибудь пересчитал
всех эллинов, то из этого все равно ничего не вышло
бы: во время подсчета рождались бы дети, умирали
старики, приходили в гавань и уходили в плавание
корабли. Словом, ответить на такой вопрос можно
лишь неточно и приблизительно. Если же мы
спросим у математика, например, сколько ребер
27

у додекаэдра, то математик ответит со всей
определенностью и ответ его не оставит места сомнениям, что
поскольку додекаэдр ограничен двенадцатью
пятиугольными гранями, каждая из которых имеет по
пять сторон, и любая сторона каждого
пятиугольника принадлежит одновременно двум граням
додекаэдра, то всего у додекаэдра имеется тридцать ребер.
Сократ. А приводил ли Теэтет другие
примеры?
Гиппократ. О да, Теэтет приводил великое
множество примеров, всех и не упомнишь. Впрочем,
вот один из них. Теэтет утверждал, что в
окружающем нас мире нет двух одинаковых предметов.
Например, колонны в храме Посейдона, хотя и очень
близки по форме, все же не- вполне повторяют друг
друга. Не найти и двух вполне тождественных по
форме яиц. В то же время две диагонали любого
прямоугольника в точности равны по длине, между
ними нет различия. Равны и углы при основании
равнобедренного треугольника. Еще Теэтет сказал, что
все существующее, как учил еще Гераклит,
изменяется и что достоверное знание можно получить лишь о
неизменном, например о чёте и нечете, о прямой и
окружности.
Сократ. Приведенных тобой примеров вполне
достаточно. Доводы Теэтета убедили меня, что в
отличие от повседневной жизни и других наук
математика дает нам незыблемые, абсолютно достоверные
знания. Попытаемся теперь подытожить все, к чему
мы пришли. Итак, насколько можно судить,
математика занимается изучением вещей, не существующих
в природе, и позволяет утверждать об этих вещах
неоспоримые истины. Можно ли сказанное мною
считать итогом всех наших предыдущих рассуждений
или же я несколько исказил их сущность?
Гиппократ. Клянусь Зевсом, ты точно
выразил самую суть нашей беседы.
Сократ. Тогда скажи мне, дорогой Гиппократ,
не кажется ли тебе странным, что, если верить
сказанному мной, о несуществующих вещах мы знаем
больше и знания наши более определенны, чем о
вещах существующих?. ,,•
28

Гиппократ. Это действительно странно, хотя
понять, как такое может быть, выше моих сил. Я и
не нахожу ошибок в наших рассуждениях, но меня
не покидает ощущение, что где-то в них все же
вкралась ошибка, только я не знаю, где именно.
Сократ. Но ведь каждый шаг в наших
рассуждениях мы проверяли весьма тщательно и рассматррг-:
вали со всех сторон. Ошибки здесь быть не может.
Впрочем, подожди! Мне сейчас пришла в голову
одна мысль, которая поможет нам объяснить эту
загадку.
Гиппократ. Говори, не медли!
Неопределенность мне тягостна.
Сократ. Не далее как сегодня утром я был у
второго архонта *, где разбиралось дело жены плот*
ника из деревушки Питтос. Она обвинялась в том,
что нарушила супружескую верность и с помощью
любовника убила мужа. Женщина упорно лгала и
клялась Артемидой и Афродитой, что никого не
любила так, как своего мужа, и утверждала, будто
мужа убил грабитель. Были допрошены многие
свидетели. Одни утверждали, что женщина виновна,
другие клятвенно заверяли архонта в ее
невиновности. Установить истину так и не удалось.
Гиппократ. Ты поступаешь со мной не очень-
то красиво, Сократ. Вместо того чтобы помочь мне
найти истину, сбиваешь с толку и рассказываешь
какие-то странные истории. Может быть, ты опять
вздумал вновь посмеяться надо мной?
Сократ. Ты несправедлив, дорогой Гиппократ.
Я не без умысла заговорил о женщине, виновность
которой невозможно ни доказать, ни опровергнуть.^
Одно лишь можно утверждать об этой женщине со
всей определенностью: она существует. Я видел ее
своими глазами, да и не только я один, а все, кто
собрался в зале суда у второго архонта. Я могу на-»
звать несколько почтенных людей, заслуживающих
доверия, не солгавших ни разу в жизни даже в
помыслах.
* Второй архонт, базилевс (грен.), — один из девяти высших
сановников в Афинах, ведавший культом и разбором дел,
связанных с оскорблением религии и убийствами, — Прим. перее,
29

Гиппократ. В этом нет ни малейшей
необходимости, дорогой Сократ. Твоего свидетельства для
меня вполне достаточно, но, молю тебя, скажи,
какое отношение имеет эта несчастная женщина к
математике?
Сократ. Гораздо большее, чем ты думаешь. Но
скажи прежде, знаешь ли ты предание об
Агамемноне и Клитемнестре?
Гиппократ. Кто же его не знает. В прошлом
году мне довелось видеть трилогию Эсхила в театре.
Сократ. Напомни кратко ее сюжет.
Гиппократ. Пока Агамемнон, царь Аргоса,
вел десятилетнюю осаду Трои, его супруга
Клитемнестра, нарушив святость брачных уз, вступила в
преступную связь с двоюродным братом мужа Эгистом.
Когда же после падения Трои Агамемнон возвратился
домой, Клитемнестра вместе со своим любовником
убила мужа.
Сократ. Скажи, Гиппократ, откуда Эсхилу
стало известно, что Клитемнестра изменила мужу и
убила его?
Гиппократ. Не знаю, почему тебе пришло в
голову расспрашивать меня о том, что хорошо
известно каждому эллину. Эту историю можно найти и у
Гомера: когда Одиссей был в преисподней, то
встретил там тень Агамемнона, которая и поведала ему о
своей печальной судьбе.
Сократ. Скажи мне, дорогой Гиппократ, а ты
уверен, что Агамемнон и Клитемнестра
действительно жили когда-то на свете и Гомер, повествуя о них,
не уклонился от истины?
Гиппократ. Может быть, я заслуживаю,
чтобы меня побили камнями, но позволь мне сказать со
всей прямотой: я убежден, что по прошествии
стольких веков невозможно с уверенностью сказать, жили
ли такие люди, и если жили, то как сложилась их
судьба. Впрочем, это не имеет ни малейшего
отношения к делу: ведь, говоря об Агамемноне и
Клитемнестре, мы имеем в виду не реальных людей из плоти
и крови, о которых, даже если они некогда и жили,
нам известно весьма немного, а действующих лиц из
трагедии Эсхила, которых он изображает в духе
гомеровской традиции.
30

Сократ. Правильно ли я тебя* понял, дорогой
Гиппократ? По-твоему, мы можем утверждать лишь,
что о реальной Клитемнестре и реальном
Агамемноне, если они когда-нибудь жили на свете, нам почти
ничего не известно. Зато о Клитемнестре и
Агамемноне, персонажах трагедии Эсхила, мы в праве со
всей определенностью утверждать все, что нам
известно о них со слов Эсхила. В частности, мы,
не колеблясь, можем заявить, что Клитемнестра, о
которой повествует Эсхил, изменила Агамемнону,
упоминаемому в трагедии, и убила его.
Гиппократ. Ты правильно схватил суть моих
слов, но я по-прежнему не понимаю, куда ты
клонишь.
Сократ. Сейчас поймешь. Подумай сам, разве
герои трагедии Эсхила — реально существующие
люди?
Гиппократ. Нет.
Сократ. Смотри, что получается. Мы можем
неопровержимо установить, что Клитемнестра из
трагедии, порожденная поэтическим воображением
и, по всей видимости, никогда не существовавшая в
действительности, изменила другому вымышленному
персонажу трагедии, Агамемнону, и убила его, хотя
не можем выяснить, изменила ли живая женщина из
плоти и крови, представшая сегодня перед судом,
своему мужу и убила ли она его.
Гиппократ. Кажется, я начинаю
догадываться, куда ты клонишь, но все же предпочел бы, чтобы
ты сам сделал вывод.
Сократ. Изволь. Сдается мне, дорогой
Гиппократ, что речь идет о том же, к чему мы пришли,
рассуждая о математике. О несуществующих,
вымышленных людях, персонажах трагедии, мы знаем не-
сравненцо больше (и знания наши носят более
определенный характер), чем о людях реально
существующих, живущих на земле. Что, собственно,
означает наше утверждение о виновности Клитемнестры?
Лишь то, что виновна Клитемнестра, вымышленная и
описанная Эсхилом, поскольку ее виновность со всей
очевидностью следует из трагедии. Это очень
напоминает пример с прямоугольником, который ты
привел со слов Теэтета, когда мы говорили о математике.
31

Можно с уверенностью утверждать, что диагонали
прямоугольника равны, поскольку это с абсолютной
ясностью следует из свойств прямоугольника, каким
его определяют математики.
Гиппократ. Итак, насколько я могу понять,
ты, Сократ, утверждаешь, что математики
занимаются изучением чего-то, существующего не в
действительности, а лишь в их воображении, и располагают
о своих «вымыслах» гораздо более достоверными
знаниями, чем естествоиспытатели о том, что
существует в действительности. Сколь ни парадоксальным
кажется поначалу твое утверждение, оно тем не
менее верно. Более того, если поразмыслить над ним,
то оно перестает казаться удивительным и
становится вполне естественным. Математика, занимающаяся
изучением воображаемых, не существующих в
природе объектов, именно потому и может
устанавливать о них истину, что эти объекты такие, какими их
создали. Реально существующие объекты ведут себя
иначе. Они могут отличаться от общего
представления о них, сложившегося у человека.
Сократ. Вот видишь, дорогой Гиппократ, ты
докопался до истины и выразил ее лучше, чем смог
бы сделать я сам.
Гиппократ. Весьма признателен тебе, Сократ,
что ты согласился быть моим проводником на пути
к истине. Теперь мне ясно, что Теэтет был прав,
посоветовав мне изучать математику, коль скоро я хочу
приобщиться к познанию вечных, незыблемых истин,
не утверждений, содержащих лишь долю истины, а
самих истин в чистом виде. Теперь мне понятно,
почему выводы математики столь непреложны. Но
прошу тебя: раз уж ты с таким терпением
растолковывал мне все до сих пор, не покидай меня и впредь,
поскольку стоящая передо мной дилемма отнюдь не
разрешена. Мне даже кажется, что до самого
главного мы еще не дошли.
Сократ. А что ты считаешь главным, мой
дорогой Гиппократ?
Гиппократ. Ведь я пришел к тебе, Сократ, за
советом, стоит ли мне идти в ученики к Теодору. Ты
разъяснил мне, чем занимается математика и почему
ей удается устанавливать незыблемые истиньь Я по-
32

нял, что математик сам создает те понятия, которые
он изучает, и воображаемые им объекты обладают
лишь теми свойствами, которыми математик наделил
их в своем воображении. Именно это и позволяет
математику открывать при помощи рассуждений не
частичную, а полную истину о вымышленных им объ*
ектах. Мне стало ясно, что, обратившись к занятиям
математикой, я познаю незыблемые и нерушимые
истины, хотя еще не могу взять в толк, много ли от
этого проку, В том, что о вещах существующих по*
лезно знать любую малость, уверен и ребенок, Ведь'
тот, кто знает что-нибудь о минералах, животных или
растениях, может извлечь из своих познаний немало
пользы не только для себя, но и для своего государ?
ства и вообще для всех людей. Даже более или ме«
нее правдоподобные сведения о небесных светил ах*
удаленных от нас на огромные расстояния, Morytf
оказаться кому-нибудь полезными. Например, по
звездам можно ориентироваться в открытом море. Но
скажи мне, Сократ, для чего надобны знания о том,
что вообще не существует?
Сократ. Мне кажется, дорогой Гиппократ, что
точный ответ на твой вопрос тебе уже известен. Ты
просто хочешь испытать меня.
Гиппократ. Клянусь Гераклом, что не имею
ни малейшего представления о том, каким должен
быть ответ на мой вопрос.
Сократ. Будь по-твоему! Коли так, то ответь
мне на мои вопросы. Мы знаем теперь, что
математик изучает понятия, которые сам же и создает.:
Скажи, Гиппократ, означает ли это, что математик
может выбирать эти понятия совершенно произвола
но?
Гиппократ. Полагаю, что это так. Мы уже
сравнивали математику с драматургией. Мне кажет*
ся, что математик волен выбирать свои понятия с
ничуть не меньшей свободой, чем драматург героев
своих трагедий. Подобно тому как драматург
наделяет по своему усмотрению действующих лиц теми
или иными характерами, математик вводит понятия
и приписывает им любые свойства, какие только
взбредут ему в голову*
2 Зак, 401 33

Сократ. Если бы все обстояло так, как ты
говоришь, дорогой Гиппократ, то математик на свете
было бы столько же, сколько и математиков. Ведь
если каждый математик выбирал бы понятия по
своему усмотрению, то все математики лишь по игре
случая могли бы заниматься изучением одного и того
же. Как же ты объяснишь в таком случае, что все
математики изучают одни и те же понятия и
проблемы? Когда они говорят о числах, то понимают под
этим одно и то же. Столь же едины математики и во
мнении относительно того, что такое прямые,
окружности, квадраты, сферы и правильные тела.
Гиппократ. Не в том ли следует искать
объяснение, что люди мыслят сходным образом и
поэтому их взгляды на вещи также близки?
Сократ. Любое объяснение, дорогой Гиппократ,
мы признаем удовлетворительным не раньше, чем
подвергнем его всестороннему рассмотрению. Почему
нам часто приходится быть свидетелями тому, как
математики, живущие далеко друг от друга,
например один в Таренте *, другой на острове Самос, не
ведая друг о друге, открывают одну и ту же истину?
В то же время мне ни разу не приходилось слышать
о том, чтобы два поэта независимо друг от друга
написали одни и те же стихи.
Гиппократ/Должен признаться, что и мне не
случалось слышать ни о чем подобном. Твой вопрос
напомнил мне об одном замечании Теэтета. Он
сделал весьма интересное открытие. Если я правильно
помню, речь шла о несоизмеримых отрезках. Когда
Теэтет сообщил о своем открытии Теодору, тот
показал ему письмо от Архита, в котором почти
дословно повторялось то, о чем рассказал Теэтет.
Сократ. Вот видишь, друг мой, а в поэзии и
драматургии ничего подобного произойти не может.
Впрочем, приведу еще один довод: почему
математики всегда едины во мнении относительно того, в чем
заключается истина? Если же речь заходит о
правлении государством или о наилучшей форме
государства, то не только персы, но и спартанцы думают
* Тарент — древнегреческая колония на берегу Тарентского
залива в Италии (ныне — г. Тарант). — Прим. перев<
84

иначе, чем мы, да и большинство афинян расходятся
между собой во мнениях.
Гиппократ. На твой вопрос, дорогой Сократ,
ответить нетрудно. Когда речь заходит о делах
государственных, то людьми движет не только
стремление к истине, но и корысть и интересы различных
людей сталкиваются в противоборстве. В математике
же ничего подобного не происходит. Математики
преследуют лишь одну цель: постижение истины.
Сократ. Не хочешь ли ты сказать, дорогой
Гиппократ, что математики стремятся постичь нечто,
полностью независимое от их личности, лежащее вне ее?
Гиппократ. Именно это я и утверждаю.
Сократ. Итак, мы установили, что математики
создают понятия не по собственному усмотрению,
хотя могли бы поступать так, а руководствуясь
какими-то пока не ясными соображениями, и стремятся к
постижению истин, лежащих вне их самих. Осталось
лишь выяснить, почему математики действуют
именно так.
Гиппократ. Ты прав. Попытаемся
разобраться в этом.
Сократ. Ну что ж, если есть желание, то
почему бы не разобраться? Скажи, как по-твоему; что
общего между мореплавателем, открывшим ранее
неизвестный остров, и художником, составившим
новую, никем ранее не виданную краску?
Гиппократ. Скажу, что и тот и другой
подарили миру то, чего не было до них.
Сократ. А в чем, по твоему, различие между
мореплавателем и художником?
Гиппократ. Мне кажется, что мореплавателя
правильнее было бы назвать открывателем: ведь ему
удалось обнаружить некий объект (остров),
существовавший и прежде, о котором, однако, никто ничего
не знал. Художника правильнее было бы назвать
изобретателем, поскольку он создал нечто такое
(а именно краску), о чем никто ничего не знал,
и этот новый объект прежде вообще не существовал,
Сократ. Лучшего ответа на мой вопрос и не
придумать! Скажи мне теперь, как по-твоему, когда
математику случается набрести на новую математик
ческую истину, он открывает или изобретает ее? Ина-
2* 35

че говоря, кем следует считать математика: открыв
вателем или изобретателем?
Гиппократ. Ты задал мне трудный вопрос,
поскольку я еще не успел составить об этом
собственного мнения. Но судя по тому, что рассказал мне
Теэтет об исследованиях, проводимых им совместно
с Теодором, я склонен все же считать математиков
открывателями, хотя многое указывает на их
сходство с изобретателями. Более того, именно это и
привлекает меня в математике: математики
кажутся мне отважными мореплавателями, людьми,
дерзающими выйти в неизведанные просторы моря
разума, чтобы обследовать его берега, острова и пу«
чины.
Сократ. Метко сказано, дорогой Гиппократ^
Я также склонен считать математиков скорее
открывателями, нежели изобретателями. Но почему ты
ответил не сразу? О чем ты подумал, когда сказал*
что у математиков есть немало общего и с
изобретателями?
Гиппократ. Мне вспомнилось то, о чем мы
уже говорили: что математик сам создает те понятия,
которые исследует. Когда математик выступает как
творец нового понятия, он действует как изобретатель.
Когда же он исследует понятие, созданное им самим
или кем-нибудь другим, и высказывает о новом
понятии какие-то утверждения или теоремы, то он
действует уже как открыватель. Судя по тому, что
рассказал мне Теэтет, открытие теорем играет в работе
математика несравненно большую роль, чем
изобретение понятий, ибо даже такое простейшее понятие, как
например, понятие числа или делимости, приводит к
столь глубоким проблемам, что математикам удалось
решить лишь незначительную долю их.
Сократ. Сдается мне, дорогой Гиппократ, что
Теэтет уже успел многому научить тебя и ты
великолепно усвоил его уроки. Думаю, ты верно судишь
о том, в какой мере математика можно считать
открывателем и в какой — изобретателем. Правильно ли
я выражу твое мнение, если скажу, что математик-^
это прежде всего открыватель? Изобретателем же он
является лишь постольку, поскольку каждого
открывателя можно считать изобретателем. Если морепла*
36

ватель намеревается отправиться в такие края, где
до него никто не бывал, то ему волей-неволей
придется стать изобретателем и построить судно, более
приспособленное к плаванию по бурному морю, чем
суда его предшественников. Мне кажется, что создав
ваемые математиками новые понятия чем-то
напоминают постройку новых судов, способных доставить
мореплавателя, стремящегося к открытиям новых
земель, в неизведанные области быстрее и надежнее,
чем суда устарелых конструкций.
Гиппократ. Мой дорогой Сократ! В Афинах,
да и во всей Элладе, вряд ли найдется человек,
который мог бы сравниться с тобой в искусстве вести
беседу. Всякий раз, когда ты подводишь итог
сказанному мной, тебе удается привнести от себя нечто
такое, о чем я, может быть, смутно догадывался, но что
не сумел бы выразить столь ясно, и это «нечто» по-*
зволяет нам продвинуться чуть дальше. Из слов
твоих мне стала яснее ясного конечная цель математики:
проникновение в тайны бескрайнего океана разума.}
Создание же новых понятий не более чем
вспомогательное средство для достижения этой цели. Следо-?
вательно, хотя математики могут создавать любые
понятия, какие им только вздумается, в
действительности произвол в выборе понятий мнимый. Ведь и
мореплаватель, отправляясь открывать новые земли,
может построить свое судно, как ему только
заблагорассудится, однако он не настолько глуп, чтобы пу-:
ститься в плавание на судне, которое не выдержит
первого же шторма. Ясно, что наш мореплаватель;
будет изо всех сил стараться построить самое лучшее*
судно, какое только возможно. Это сравнение позво*
ляет понять, почему математики (по крайней мере,
если говорить о математиках, живущих в одну эпоху
и поддерживающих между собой связь) используют
одни и те же понятия, они как бы следуют примеру
моряков, обменивающихся опытом и строящих суда
одних и тех же типов, хорошо зарекомендовавшие
себя. Теперь я гораздо яснее представляю себе, что
такое математика.
Сократ. Тогда я спрошу тебя еще раз: что же
такое математика?
37

Гиппократ. Попробую ответить, хотя ничуть
не сомневаюсь в тщетности своих усилий. Стоит мне
начать, как тотчас же выяснится, что я постиг лишь
часть истины.
Сократ. И все же последуем девизу отважных
моряков: смелее вперед!
Гиппократ. Насколько я понимаю сейчас, мы
глубоко заблуждались, когда утверждали ранее, что
математика занимается изучением чего-то не
существующего в действительности. То, чем занимается
математика, существует, но не в том смысле, в каком
существуют камни и деревья. Оно невидимо и
неосязаемо, соприкоснуться с ним может только разум.,
< И все же то, что изучает математика, существует,
хотя и не так, как обычные предметы, одушевленные
и неодушевленные. Когда мы размышляем о
математических понятиях, то думаем о них так же, как все,
кто занимается математикой. Поэтому
математические понятия в каком-то смысле существуют
независимо от тебя или меня, хотя каждый из нас может
соприкоснуться с ними только силой собственного
разума. Следовательно, существует иной мир, мир
математики, отличный от того, в котором мы живем,
а математиков можно считать своего рода отважными
мореплавателями мира мыслей. Не ведая страха,
исследуют они его просторы, и никакие трудности или
опасности не в силах остановить их.
Сократ. Мой дорогой Гиппократ! Твой восторг
столь заразителен, что я едва не разделил его с
тобой. Боюсь, однако, что увлекаясь, ты не замечаешь
кое-каких вопросов.
Гиппократ. Что за вопросы, дорогой Сократ?
Ты столь щедро уделил мне время, что было бы жаль
останавливаться на полпути. Скажи же, что,
по-твоему, я упустил из виду?
Сократ. Надеюсь, что не сочтешь меня
чрезмерно придирчивым, если я скажу, что нам все еще не
удалось найти ответ на твой вопрос? Спору нет, что
такое математика и чем занимаются математики, мы
знаем теперь несравненно лучше, но вопрос о том,
каковы цели и в чем смысл математики, по-прежнему
остается без ответа.
38

Гиппократ. Если вдуматься, то ты, конечно,
прав. Я обрадовался, когда понял, почему при
изучении математики мы постигаем незыблемые истины.
Предвкушаю неслыханное блаженство, которое мне
предстоит пережить, погрузившись в изучение пре-
красного мира математики. Подумать только: исти-:
ны, не оставляющие места сомнениям! Когда же я
осознал, что мир математики существует независимо
от нас, хотя и не так, как существуют камни и
деревья, то обрадовался еще больше. Но для чего
нам исследовать этот мир? Не кажется ли тебе, что
мы быстрее достигнем цели, если откажемся от
твоего метода и ты просто ответишь на мой во*
прос? Боюсь, что мне самому не под силу найти ра«
зумный ответ.
Сократ. Я не стал бы отвечать на твой вопрос,
даже если бы мог сделать это, ибо из моего ответа
ты не почерпнул бы ничего полезного для себя.
Человек глубоко постигает лишь то, до чего
додумывается сам. Чужие идеи, попадающие ему в голову в
готовом виде, в одно ухо влетают, из другого
вылетают. Нечто подобное происходит при поливе растений:
растение не может жить без воды, но если воду лить
на листья, то пользы от этого никакой, так как вода
скатится на землю. Растение усваивает лишь ту
влагу, которую впитывает своими корнями.
Гиппократ. Ты убедил меня. Я не прочь
вернуться снова к старому методу. Но подтолкни меня
хотя бы слегка в нужном направлении, а то я,
кажется, сел на мель, как корабль.
Сократ. Мне кажется, мой дорогой Гиппократ,
что если мы хотим продвинуться вперед, то нам
необходимо проследить за нитью нашей беседы в
обратном направлении.
Гиппократ. И до каких пор?
С о к р а т. Думаю, нам лучше всего вернуться к
тому месту нашей беседы, где мы установили, что
математики занимаются не подсчетом числа овец или
кораблей, а изучением самих чисел и интересуют их
не формы сосудов и предметов, а сами формы или
фигуры. Подумай, можно ли при подсчете овец
использовать те свойства чисел, которые математик
обнаружил, изучая числа сами по себе? Пусть, напри-
39

мер, математик установил, что число 17 — простое*
Не означает ли это, что 17 живых овец можно
разделить между несколькими людьми так, чтобы каждому
из них овец досталось поровну, лишь в том случае,
если каждый из 17 человек получит по одной овце?
Гиппократ. Означает.
Сократ. Итак, применимо ли то, что математик
устанавливает о числах вообще, к реально
существующим предметам, как одушевленным, так и
неодушевленным?
Гиппократ. Применимо.
Сократ. Выясним теперь, так ли обстоит дело
и с геометрией! Разве архитектор, вычерчивая план
здания, не опирается на геометрические теоремы,
открытые математиками? Разве не использует он
теорему Пифагора всякий раз, когда ему приходится
строить прямой угол?
Гиппократ, Ты прав, все обстоит именно так,
как ты говоришь.
Сократ. А разве работа землемера не зиждется
на геометрии?
Гиппократ. Без знания геометрии землемеру
не ступить и шагу.
Сократ. А те, кто строит корабли или кроет
крыши черепицей? Могут ли они обойтись без
геометрии?
Гиппократ. Без геометрии им не обойтись.
С о к р а т, А когда гончар лепит шар из глины или
когда мореплаватель высчитывает, сколько зерна
вмещает его корабль, разве не нужна им математика?
Гиппократ. Все это так, но мне кажется, что
в названных тобой ремеслах математика нужна лишь
в том объеме, в каком ее знали египетские писцы. От
новейших открытий, о которых мне с таким восторгом
поведал Теэтет, ремесленникам было бы немного
пользы, даже если бы они могли что-нибудь понять.
Не думаю, впрочем, чтобы кто-нибудь из них слышал
о новейших математических открытиях.
Сократ. Ты и прав, и вместе с тем не прав,
дорогой Гиппократ. Не исключено, что когда-нибудь и
те открытия, о которых упоминал в беседе с тобой
Теэтет, найдут практическое применение. То, что
сегодня мы оцениваем как потенциальную возможность,;
40

в один прекрасный день становится реальностью
(хотя, должен признаться, так происходит не во всех
случаях).
Гиппократ. Меня прежде всего интересует не
будущее, а настоящее.
Сократ. Ты непоследователен, дорогой
Гиппократ. Если ты собираешься стать математиком, то
должен работать на будущее.
Гиппократ. Что ты этим хочешь сказать?
Сократ. Вспомни о том, как мы сравнивали
математика с мореплавателем, отправляющимся к не-?
изведанным землям. Как по-твоему, что происходит,
когда мореплаватель открывает неизвестный ранее
необитаемый остров?
Гиппократ. Вернувшись домой,
мореплаватель расскажет, где расположен открытый им остров*
пригоден ли он для обитания, есть ли на нем
источники пресной воды и какие плоды произрастают.
Рано или поздно непременно найдутся люди,
обуреваемые жаждой приключений. Они переплывут море
и исследуют вновь открытый остров. Первые
путешественники могут погибнуть в морской пучине, стать
жертвами диких зверей или попасть в рабство к пи*
ратам. Может случиться, что между первыми noce-f
лендами разгорится распря и они перебьют друг
друга. Но все равно рано или поздно остров будет
заселен и на нем возникнет город.
Сократ. Ты совершенно прав, друг мой. Я вш
жу, ты хорошо разбираешься в таких вещах. А теперь
скажи: чем удобнее расположен остров, чем лучше
его гавани, тем быстрее он будет заселен, не так ли?
Гиппократ. Конечно, так.
Сократ.' Иу а если остров расположен далеко
и на нем нет удобных гаваней? Будет ли заселен
такой остров?
Гиппократ. Для этого потребуется больше
времени, но рано или поздно люди обживут и его.
Сократ. Вот видишь. А почему с
математическими открытиями должно обстоять иначе?
Гиппократ. Теперь мне ясно, что ты прав.
Сократ. Впрочем, если угодно, оставим
будущее. Ответь мне на вопрос: как можно применять к
реально существующим вещам математические поня-
41

тия? Ведь они принадлежат иному, математическому
миру, отличному от того, в котором мы живем (о
чем уже не раз говорилось). Их нельзя ни увидеть,
ни потрогать рукой. Лишь разум позволяет входить в
соприкосновение с ними. Не находишь ли ты все это
странным и удивительным?
Гиппократ. Бесспорно. Теперь, когда ты задал
свой вопрос, мне кажется, что это совсем непонятно.
Сократ. Думаю, что, поразмыслив, мы сможем
не только рассеять все недоумения, но и получить
ответ на твой первоначальный вопрос.
Гиппократ. Не говори загадками, дорогой
Сократ, и не уподобляйся Пифии *. Если надумал
что-нибудь, то так и скажи.
Сократ. Сейчас все поймешь. Но прежде
ответь мне на несколько вопросов. Нужно ли
удивляться тому, что человек, побывавший в дальних
странах, много видевший и многое испытавший, по
возвращении в родной город способен в случае
необходимости дать жителям мудрый совет?
Гиппократ. Не думаю, чтобы это
кого-нибудь удивило.
Сократ. Даже если в тех странах, где побывал
путешественник, обитают другие народы, говорящие
на других языках и поклоняющиеся другим богам?
Гиппократ. Ив этом случае никого не
удивит, если бывалый путешественник присоветует что-
нибудь дельное: между народами немало общего,
даже если они говорят на разных языках.
Сократ. Ну а теперь подумай сам: стал бы ты
удивляться применимости математики в
повседневной жизни, если бы оказалось, что мир математики
и мир, в котором мы живем, во многих отношениях
сходны, хотя между ними имеются и значительные
различия?
Гиппократ. Если бы это было так, то я не
удивился бы. Но в чем проявляется сходство между
миром математики и миром, в котором мы живем?
Сократ. Скажи, видишь ли ты скалу на том
берегу реки, где она широко разливается, как бы
образуя небольшое озеро?
* Пифия — жрица, истолковывавшая прорицания
Дельфийского оракула. — Прим, перев%
42

Гиппократ. Конечно, вижу,
Сократ. А видишь ли ты отражение скалы на
поверхности воды?
Гиппократ. Вижу.
Сократ. Тогда скажи, что общего и в чем
различие между скалой и ее отражением?
Гиппократ. Скала — это огромный кусок
твердого, тяжелого вещества, теплый от солнца,
шершавый на ощупь. Отражение же неосязаемо. Если
к поверхности воды прикоснуться в том месте, где
я вижу отражение, ощутишь лишь прохладу воды.
Строго говоря, никакого отражения не существует..
Это иллюзия и больше ничего.
Сократ. Ты перечислил, чем отличаются скала
и ее отражение. Назови же теперь, что между ними
общего.
Гиппократ. В каком-то смысле отражение
есть точная копия скалы. Все выступы и впадины,
которые мы видим на скале, отчетливо различимы
и у ее отражения. Кое-какие мелкие детали
исчезают, но общие очертания отражение воспроизводит
без искажений.
Сократ. А смог бы ты, не глядя на скалу,
а рассматривая лишь ее отражение в воде, сказать,
как можно было бы взобраться на самую вершину?
Гиппократ. Конечно, смог бы! Уж не хочешь
ли ты сказать, что мир математики — не более чем
зеркальное отражение в нашем сознании реального
мира, в котором мы живём?
Сократ. Не я хочу сказать, а ты сам пришел
к этой мысли.
Г ип п о к р а т. Но как такое может быть?
Сократ. Вспомни, как в математике возникают
абстрактные понятия. Мы уже говорили о том, что
когда математик изучает числа, то его интересует
не число овец или судов в гавани, а числа вообще,
независимо от того, о числе каких предметов идет
речь. Но могли бы возникнуть такие абстракции,
если бы людям никогда не приходилось считать
осязаемые, реально существующие предметы? Когда
детей учат считать, то начинают со счета камешков
или деревянных палочек, и лишь потом, когда
ребенок научится считать камешки и деревянные палочки
43

и поймет, что два камешка и три камешка вме*
сте составляют пять камешков, ему открывается
важная истина: если взять любые два предмета и
к ним прибавить еще три предмета, то получится
пять предметов, или два плюс три равно пяти.
Абстрактные геометрические понятия также
появляются не сразу. К понятию шара ребенок приходит
лишь после того, как познакомится с мячами и
другими подобными предметами и накопит достаточный
опыт, чтобы образовать абстрактное понятие шара.:
То же можно сказать не только о детях: столь же
медленно и постепенно складывались в прошлом все
важнейшие понятия математики. И в наши дни
живут дикари, умеющие считать только до трех или
четырех, и то лишь по пальцам. Для больших чисел
у них нет даже названия. Итак/создавая
абстрактные понятия, математик исходит из известных ему
свойств реально существующего мира. Поэтому не
удивительно, а вполне естественно, что некоторые
черты абстрактных математических понятий
свидетельствуют об их происхождении, подобно тому как
дети обладают сходством с родителями. Дети,
подрастая, становятся опорой престарелых родителей^
Точно так же любой раздел математики, достигнув
определенной ступени развития, становится полезным
средством познания реально существующего мира.
Гиппократ. Хотел бы я все же знать, дорогой
Сократ, как математические истины, относящиеся
к не существующим в действительности, но неизмен^
ным понятиям, могут оказаться полезными при
изучении реально существующего и непрерывно изме*
няющегося мира?
Сократ. Хороший вопрос ты задал, дорогой
Гиппократ, не так-то просто на него ответить.
Впрочем, не. прибегнуть ли нам снова к сравнению? Как
по-твоему, могут ли мореплаватель или
путешественник точно определить по карте свое местоположение,
разумеется, если карта точная?
Гиппократ,, Даже по собственному опыту
знаю, что могут.
Сократ. А ты не находишь, что с математикой
и реально существующим миром вез обстоит точно
также?, "'^""' ••*-"• •— — •

Гиппократ. Ты открываешь мне глаза, доро-*
гой Сократ! Теперь мне все понятно! Заниматься
математикой *— значит рассматривать мир, в котором
мы живем, в зеркале нашего разума и изучать
«мысленные отражения» реально существующих
предметов. Математика — это своего рода карта реального
мира. Теперь я все понял!
Сократ. Ты слишком торопишься, Гиппократ.;
По-моему, один важный вопрос остался невыяснен*
ным. Не поможешь ли ты разобраться в нем?
Гиппократ. С величайшим удовольствием,
хотя бы из благодарности за то, что ты открыл
мне столько истин. Боюсь, однако, что ты снова
потешаешься надо мной. Должно быть, мы не все
рассмотрели до конца. Поэтому не смущай меня
просьбой о помощи, а лучше скажи, на что следует
обратить внимание.
Сократ. Дорогой мой Гиппократ! При.
рассмотрении столь сложных вопросов не следует
никогда упускать из виду конечную цель. Ты хочешь
узнать, имеет ли смысл исследовать при помощи
математики реальный мир, и если имеет, то какой.
Вот мне и кажется, что на этот вопрос мы еще
не получили полного ответа.
Гиппократ. А мне ответ показался вполне
приемлемым. Насколько я понимаю, в мире
математики мне удастся обрести столь милые моему сердцу
незыблемые истины. Остается открытым лишь
вопрос, нужны ли еще для чего-нибудь познания в
математике или же они пригодны лишь для того,
чтобы насытить мою жажду знаний и тем доставить
мне радость. Теперь мы продвинулись достаточно
далеко, чтобы понять: познания в математике
надобны и для многого другого. Все, что мы обретаем в
мире математики, может рано или поздно пригодиться
в будущем, ибо мир математики не что иное, как
отражение реально существующего мира в зеркале
нашего разума. Следовательно, познавая ту или
иную истину о зеркальном отражении нашего мира,
мы тем самым способствуем познанию мира реально
существующих вещей. Этого с меня вполне
достаточно.

Сократ. Если я скажу, что твой ответ не
полон, то сделаю это отнюдь не для того, чтобы
уязвить тебя. Просто я уверен, что рано или поздно ты
и сам почувствовал бы неудовлетворенность и тогда
мог бы упрекнуть меня, сказав: «Мой дорогой
Сократ! Ты несравненно опытнее меня в искусстве
задавать вопросы и подвергать предмет беседы
всестороннему рассмотрению. Почему же ты не разъяснил
мне, что я глубоко заблуждаюсь, полагая, будто
знаю, что такое математика, тогда как в
действительности ответ на зтот важнейший вопрос еще не
получен?» Именно поэтому я прошу тебя набраться
терпения и ответить мне еще на несколько
вопросов.
Гиппократ. Спрашивай, Сократ, а я
постараюсь ответить на твои вопросы, если только это
в моих силах.
Сократ. Тогда прежде всего ответь мне на
вопрос: какой смысл рассматривать отражение
предмета в зеркале, если можно'взглянуть на сам
предмет?
Гиппократ. Над этим вопросом мне
следовало бы призадуматься и самому! Ты злой волшебник,
дорогой Сократ: несколькими словами ты обращаешь
в руины все, что мы возвели с таким трудом. На
твой вопрос напрашивается ответ, что бессмысленно
рассматривать зеркальное отражение, когда можно
взглянуть на оригинал. Но мне кажется, что
правильный ответ на твой вопрос должен указывать
лишь на слабость сравнения. Если же говорить
о математике, то из расставленной тобой ловушки
какой-то выход непременно должен быть.
Сократ. Если он существует, то при некотором
прилежании мы его отыщем. Я придерживаюсь того
же мнения, что и ты: нас сбило с истинного
пути неудачное сравнение. Сравнение что твой лук:
стоит натянуть тетиву слишком сильно, как он
ломается.
Гиппократ. Попробуем избавиться от
сравнения математических понятий с зеркальным
отражением. Не можешь ли ты сформулировать свой
вопрос, не прибегая к опасному сравнению? Что же
касается меня, то я на это не способен.
46

Сократ. Ставить вопросы нетрудно. Это —*
единственное искусство, в котором я изрядно
поднаторел. Что ты мне ответишь, если я спрошу: какой
смысл, вместо того чтобы рассматривать
непосредственно объекты реально существующего мира,
заменять их абстракциями и рассматривать бесплотные
понятия, забыв о том, откуда они взялись? Может
быть, окольный путь позволяет нам узнать об
объектах реально существующего мира то, что осталось
бы скрытым от нас при непосредственном
рассмотрении? Если это действительно так, то в чем здесь
причина? В каком смысле изучение общих понятий,
выведенных из рассмотрения реальных объектов,
предпочтительнее изучения самых объектов?
Гиппократ. Думаю, что на этот вопрос я
могу ответить. Абстрагируясь от реально
существующих предметов, мы получаем возможность единым
махом приобретать знания, относящиеся к
множеству самых различных предметов, вместо того чтобы
исследовать каждый предмет в отдельности.
Например, установив некоторое свойство чисел, мы сразу
же переносим его на все реально существующие
предметы, которые когда-либо были или будут_со-
считаны. Установив какое-нибудь свойство
окружности, мы тотчас переносим его на все годные на что-
нибудь круглые предметы. Таким образом,
абстрактные математические понятия, с одной стороны,
содержат нечто, присущее многим реальным объектам,
а с другой стороны, не учитывают различий между
этими объектами. Нередко это сулит большие
преимущества. Действительно, отвлекаясь, от
второстепенных деталей, не представляющих интереса в
данный момент, мы упрощаем рассматриваемый предмет
и делаем его более доступным для анализа.
Возможно, что здесь уместно еще раз вернуться к
сравнению с картой. Определить свое местоположение
по карте мы можем именно потому, что она
додержит лишь самое важное. Достаточно одного взгляда,
брошенного на карту, чтобы охватить огромные
расстояния, на преодоление которых у нас ушли бы
месяцы или даже годы. Именно поэтому мы
пользуемся картой всякий раз, когда нам предстоит
отправиться в путешествие и требуется выбрать
47

наиболее рациональный маршрут. Разумеется, для
разных целей и карты должны быть разными. Если мы
отправляемся в дальний путь, то сначала нам
понадобится карта, на которой был бы изображен весь
наш маршрут целиком, а затем, когда мы будем уже
в пути, более подробные карты той местности, через
которую пройдет наш маршрут. Если математику мы
хотим использовать для изучения реально
существующего мира, то нечто аналогичное должно быть
верна и относительно нее.
Сократ. Неплохо сказано, дорогой Гиппократ.
Вряд ли мне удалось бы выразить свою мысль столь
же ясно. Но почему бы нам не воспользоваться еще
одним сравнением? Разве то, о чем мы говорим:, не
похоже на город, рассматриваемый с вершины горы?
Оттуда открывается чудесный вид. Те же, кто
блуждает в лабиринте узких улочек, не смогут охватить
весь город единым взглядом.
Гиппократ. Согласен, дорогой Сократ. По*
зволь и мне привести сравнение: полководец, озира*
ющий с вершины холма ряды наступающего против*
ника, имеет лучшее представление о происходящем,
чем солдат, стоящий в первой шеренге, который
видит лишь того, кто находится прямо перед ним.
Сократ. Ты превзошел меня^ дорогой
Гиппократ, но я не собираюсь сдаваться. Случилось мне
недавно быть у Аристофана, сына Аглаофона, и
видеть одну из его картин. Сказал он мне тогда: «Не
подходи к картине близко, Сократ, а то увидишь
цветные пятна, а не всю картину».
Гиппократ. Художник был прав, как прав и
ты, когда не захотел прервать нашу беседу, прежде
чем мы не выясним, что следует ожидать от
математики как средства познания реально существующего
мира, чего нельзя было бы установить без нее. Как
незаметно пролетело время! Пора возвращаться
в город: темнеет и я умираю от голода и жажды.
Если терпение твое еще не иссякло, то я хотел бы по
дороге порасспросить тебя еще кое о чем.
Сократ. Ну что же, отправимся в город, а по
дороге можешь расспрашивать меня о чем угодно.
Гиппократ. Слушай же, Сократ! После
нашей беседы у меня не осталось ни малейших сом не-
48

ний в том, что я поступлю правильно, если займусь
изучением математики. Ты растолковал мне, что
такое математика, и я весьма признателен тебе за
это. Лишь одно мне непонятно. Тебе превосходно
удалось убедить меня в том, сколь полезно будет
мне заняться математикой. Ты разъяснил мне, в чем
сущность математики, несравненно лучше, чем Теэ-
тет, а ведь он не только сильнейший из учеников
Теодора, но и когда-нибудь превзойдет своего
учителя. Так почему же, скажи на милость, ты сам не
занимаешься математикой? Судя по тому, как ты
объяснил мне, что такое математика, никто другой
не мог бы лучше тебя заниматься этой наукой. Наша
беседа полностью убедила меня в том, что мне сто*
ит изучать математику. Но я вынес из нашей
беседы не менее твердое убеждение, что ты был бы для
меня лучшим учителем, если бы только захотел взва*
лить на себя столь тяжкое бремя.
Сократ. Нет дорогой Гиппократ, я не мргу
учить тебя математике. Это не мое дело. Теодор
понимает в математике больше, чем я, и лучшего
учителя, чем он, тебе не найти. Ты спрашиваешь, почему
я сам не занимаюсь математикой. Попытаюсь отве*
тить тебе. Я никогда не скрывал, сколь высоко я
ценю математику. Думаю, что нам, эллинам, ни
в одной другой области не удалось достичь таких
высот, как в математике. И это лишь начало. Если
бы мы не вели друг с другом бессмысленных войн
и распрей, то достигли бы в математике еще
большего и как «открыватели», и как «изобретатели»*
1Гы спрашиваешь, почему я не принадлежу к числу
!гех, кто весь свой талант отдает на службу матема*
тике. Сдается мне все же, что и я занимаюсь
математикой, только делаю это несколько иначе, чем
другие (присмотрись повнимательнее, и ты
убедишься в этом). Еще в юности внутренний голос, «демон»
(можешь называть его совестью, если угодно), к
которому я всегда прислушивался, задал мне вопрос:
«Как математикам удается получать столь красивые
результаты?» «Математики,— ответил я,— как никто
другой, заботятся о чистоте своего мышления, не
знают компромиссов в своем стремлении к поста-
кению истины и неукоснительно придерживаются
49

принципа, согласно которому неопровержимый резуль*
тат можно получить, лишь если мыслить ясными
понятиями, не допускающими двусмысленного
толкования и внутренне непротиворечивыми». На это мой
внутренний голос возразил: «Уж не думаешь ли ты,
Сократ, что метод, применяемый математиками при
изучении чисел и геометрических фигур, пригоден
только для нужд математики? Почему бы тебе не
попытаться убедить людей в том, что, о чем бы они
ни размышляли — о насущных ли проблемах
повседневной жизни или о государственном устройстве-—
методы мышления остаются, по существу, такими же,
какие применяют в своей области математики?»
С тех пор я и занимаюсь тем, что пытаюсь довести
до сознания людей то, о чем мне поведал мой
внутренний голос. Должно быть, ты помнишь, что и
в нашей беседе с Протагором речь шла о том,
до какой степени люди, считающие себя мудрецами,
не понимают, сколь зыбки основания, на которые
опираются их рассуждения, и все потому, что они
исходят из понятий совершенно неясных, если
оценивать их по математическим меркам. К сожалению,
своими поучениями я лишь навлек на себя гнев
других людей. Для тех же, кто столь ленив, что привык
довольствоваться туманными понятиями и мыслить
вяло, я стал живым укором. А люди не любят тех,
кто указывает им на их же собственные ошибки,
которые они не желают или не могут исправить. Когда-
нибудь они сплотятся и уничтожат меня *. А ты все
же ступай к Теодору!
* Сократ был обвинен в том, что развращает умы
юношества, не поклоняется богам, признанным в Афинах, вводит
новых богов, и казнен (принял яд цикуты). — Прим, перев.

ДИАЛОГ
О ПРИЛОЖЕНИЯХ МАТЕМАТИКИ
Архимед. Ваше Величество! В столь поздний
час! Какая неожиданность! Чему я обязан высокой
чести видеть в стенах моего скромного жилища царя
Герона?
Г е р о н. Архимед, любезный друг мой! Желая
отпраздновать победу, одержанную малым городом
Сиракузами над могущественным Римом, устроил я
сегодня вечером во дворце пир. Ты также был зван,
но твое место осталось пустым. Почему же ты не
пришел, ведь кому, как не тебе, обязаны мы нашей
победой? Твои мощные зеркала из бронзы позволили
поджечь десять из двенадцати тяжелых римских
кораблей. Гонимые юго-западным ветром, они вышли
из гавани, как пылающие факелы, но затонули, так
и не успев уйти в открытое море. Я не мог заснуть,
не поблагодарив тебя прежде за избавление нашего
города от врага.
Архимед. Они могут вернуться, а с суши мы
все еще окружены.
Г е р о н. Об этом после! Прежде я хотел бы
одарить тебя лучшим из того, что есть в моей
сокровищнице.
Архимед. Какое замечательное произведение
искусства!
Г е р о н. Блюдо сделано из чистого золота. Ты
можешь проверить это своим методом и не найдешь
в нем даже следа серебра.
Архимед. Если не ошибаюсь, на барельефах
изображены сцены из странствий Одиссея. А в центре
блюда я вижу простодушных троянцев. Не помышляя
о коварстве данайцев, тащат они гигантского
деревянного коня в свою крепость. Я часто размышлял
51

над тем, не прибегли ли они к блокам. Должно быть,
деревянный конь был на колесах, ведь дорога в
город шла круто в гору.
Г е р о н. Любезный друг, забудь хоть на миг о
своих блоках! Вспомни, как я был удивлен, когда ты
один при помощи тройного блока спустил на воду
тяжело груженный корабль, который я хотел послать
царю Птолемею. Взгляни-ка лучше на другие сцены,
изображенные на подносе.
Архимед. Я вижу циклопа Полифема и
волшебницу Цирцею, превратившую спутников Одиссея
в свиней, а здесь Одиссей, привязанный к мачте ко-»
рабля, слушает пение сирен. Как выразительно
мастер изобразил лицо Одиссея! Кажется, будто и сам
слышишь соблазнительное пение. Вот Одиссей
встречает в преисподней тень Ахиллеса, а здесь пугается
прекрасной Навсикеи и ее рабынь. Вот, наконец,
. сцена, где Одиссей, переодетый нищим старцем,
врывается с натянутым луком на празднество и сводит
счеты с женихами Пенелопы. Чудеснейшее произвел
дение искусства! Благодарю тебя, государь, за
щедрый, поистине царский подарок!
Г е р о н. Это блюдо — лучшее из того, что
хранилось в моей сокровищнице, но оно твое по праву*
Я выбрал его не только за красоту и бесценную сто*
имость. Была у меня еще одна причина подарить тебе
именно его: то, что ты сегодня сделал для Сиракуз,
можно сравнить лишь с хитроумием Одиссея. Вы
оба олицетворяете собой торжество разума над гру«
бой силой.
Архимед. Ты заставляешь старика краснеть от
смущения, государь! Но разреши напомнить теб§, что
война с Римом еще не окончена. Хочешь ли услышать
мой совет?
Г е р о н. Как царь повелеваю, а как друг и
родственник прошу, чтобы ты немедля поделился своими
соображениями.
Архимед. Настал благоприятный момент для
заключения мира с римлянами. Ни разу с тех пор,
как началась война, обстановка не складывалась
столь удачно для нас. Если до полуночи Марцелл не
пришлет посла, то тебе до рассвета надлежит самому
послать к нему гонца, с тем чтобы мир был заклю*
62

чен еще до наступления нового дня. Марцеллу не
терпится побыстрее отвести войска, осаждающие
Сиракузы, и обратить их против Ганнибала. Если он
завтра заключит с тобой мир, то сможет сообщить
в Рим не только дурную весть о гибели флота, но и
донести об одержанной им дипломатической победе.
Если же слух о сегодняшней битве дойдет до Рима,
раньше, то римляне придут в ярость и тогда уже не
удовлетворятся ничем, кроме полной победы. На
форуме начнутся речи о том, что «нужно смыть позор»*
Впрочем, мысль о том, будто случившееся можно
как-то переделать,— типично варварская!
Г е р о н. Ты проницателен. Молва о сегодняшней
победе будет передаваться и через тысячелетия, даже
если Сиракузам и суждено рано или поздно
погибнуть от огня и меча. Ты совершенно верно
оцениваешь сложившуюся обстановку. Парцелл уже прислал
ко мне гонца с предложением на определенных усло«
виях заключить мир и отвести свои войска. Но если бы
ты знал его условия, то вряд ли стал бы советовать
мне торопиться с заключением мира.
Архимед. Чего же хочет Марцелл?
Г е р о н. Прежде всего десять новых кораблей
взамен утонувших. Кроме того, он требует снести все
укрепления, кроме одного форта, в котором разме-»
стится римский гарнизон, ну и, конечно, много
золота и серебра. Но это еще не все. Мы должны
объявить войну Карфагену. Наконец, он требует моего
сына Гелона, дочь Елену и тебя, мой друг, в качестве
заложников! Взамен он обещает мне при соблю*
дении условий договора не причинять ущерба
жителям города.
Архимед. Возможно, он не станет особо
настаивать на соблюдении некоторых условий, но бу*
дет настаивать на выдаче меня.
Гер он. И ты так спокойно говоришь об этом?
Клянусь всеми богами Олимпа, что, покуда жив, я
не отдам врагу ни своих детей, ни тебя. Золота и
и серебра мне не жалко — пусть берет. Больше всего
в его условиях меня настораживает то, что, приняв
их, мы оказываемся целиком в его власти. А кто
поручится, что Марцелл станет соблюдать договор?,
53

Архимед. Берегись, как бы до него не дошли
твои сомнения! Римляне весьма щепетильны в
вопросах чести. Возможно, выдачи твоих детей все же
удастся избежать.
Герои. А что будет с. тобой? Неужто ты готов
принести такую жертву на благо своего города?
Архимед. Это просьба или всего лишь вопрос?
Г е р о н. Рзумеется, вопрос и не более того.
А хочешь знать, что я ответил Марцеллу?
Архимед. Как, ты уже послал ему ответ?
Г е р о н. Да. Я принял все условия, кроме
одного: выдать тебя в качестве заложника. Правда, я
оговорил, что отдам своих детей лишь в том случае,
если Марцелл пришлет мне двух своих детей. Что же
касается тебя, то я сослался на твой преклонный
возраст, не позволяющий тебе жить в военном
лагере. Зная, что ему не столько нужен ты, сколько твои
познания, я обещал ему, что ты подробно опишешь
все свои изобретения, имеющие отношение к
военному делу.
Архимед. Этого я не сделаю никогда!
Г е р о н. Но почему? Если нам удастся заключить
мир, то надобность в твоих изобретениях все равно
отпадет. Почему бы тебе не описать их?
Архимед. Если у тебя хватит терпения
выслушать меня, то я приведу свои доводы.
Г е р о н. Охотно выслушаю тебя. Все равно мне
не спать, пока не придет ответ от Марцелла.
Архимед. Тогда можно не спешить: Марцеллу
потребуется немало времени, чтобы составить ответ.
Ведь он должен звучать, как удар бича!
Гер он. Ты думаешь, он прервет переговоры?
Архимед. Сверен! Ты задел его честь, и этого
он тебе не простит. Соглашение с Римом невозможно.
Я всегда восхищался твоим дипломатическим
искусством и особым даром разгадывать сокровеннейшие
замыслы своих противников. К сожалению, на этот
раз ты не использовал всех своих возможностей.
Г е р о н. Признаться, ты прав. Должно быть, я
был опьянен не столько вином, сколько одержанной
победой. Теперь же изменить что-либо уже не в моих
силах. Но мне не терпится выслушать твои доводы.
Архимед. Если угодно, то я могу изложить их,
54

хотя теперь твой вопрос имеет лишь теоретическое
значение. Ты сравнил мои боевые машины с
троянским конем. На мой взгляд, сравнение весьма удачно,
но совсем в другом смысле, чем ты думаешь. Одиссею
деревянный конь понадобился для того, чтобы
вместе со своими спутниками проникнуть в
осажденную Трою. Мне же мои боевые машины
необходимы для того, чтобы внедрить в общественное
сознание Эллады мысль о том, что математику,
причем не только ее основы, но и высшие разделы,
можно с успехом применять на практике. Признаюсь,
что на этот шаг я решился лишь после долгих
колебаний, поскольку мне ненавистны война и
кровопролитие. Но война идет, и боевые машины —
единственное, чем я могу привлечь внимание к своим идеям.
Я перепробовал и множество других средств, но
безуспешно. Вспомни хотя бы водоотливную машину,
которую я изобрел несколько лет назад. Она
позволяла откачивать воду из твоих копей, чтобы людям
не приходилось работать, стоя по горло в воде. Ты
не проявил, тогда ни малейшего интереса к моему
изобретению. Надсмотрщик заявил мне тогда, что
его ничуть не беспокоит, если рабы промочат себе
ноги: не сахарные! А помнишь, как я предложил
искусственно орошать поля при помощи водяной
машины? Мне ответили, что рабский труд обойдется
дешевле. А знаешь, что ответил мне царь Птолемей,
когда я предложил ему приводить в движение
мельницы силой пара? Он заявил, что мельницы,
безотказно работавшие на его деда и отца, неплохо
потрудятся и для него. Стоит ли приводить другие
примеры? Я мог бы перечислить по меньшей мере с
дюжину их. Мое стремление показать миру, как можно
применять математику в мирных целях, не
находило отклика. Но когда разразилась война, то сразу
же вспомнили о моих рычагах, зубчатых колесах и
блоках. В мирное время мои изобретения считали
пустой забавой, достойной незрелого юнца, но отнюдь
не философа. Даже ты, неизменно поддерживавший
меня и помогавший мне в осуществлении моих
замыслов, относишься к моим идеям не вполне
серьезно. Ты хвастаешься моими машинами перед своими
гостями, но и только. Когда же разразилась война
55

и римский флот блокировал сиракузскую гавань, я
в разговоре с тобой обронил замечание о том, что
неприятельские суда можно разогнать, если при
помощи метательной машины бросать в них каменные
глыбы. Ты тотчас же обеими руками ухватился за
мое предложение! Сказанного не вернешь, и мне при*
шлось приняться за постройку метательной машины.
Успех превзошел все мои ожидания! Но стоило мне
лишь ступить на этот путь, как конца ему не стало
видно. Разумеется, меня не могло не радовать, что
теперь никому и в голову не пришло бы потешаться
* над моими изобретениями и что мне наконец
предоставилась возможность показать всему миру, на что
способна математика. Но с самого начала я не мог
отделаться от смешанного чувства. Не так мне хоте*
лось доказать «пользу» математики. Я видел, как
машины убивали людей, и чувство вины не покидало
меня. Терзаясь угрызениями совести, я поклялся
богине Афине никогда не разглашать тайну моих
боевых машин ни устно, ни письменно. Свою совесть я
пытался успокоить следующими рассуждениями. Слух
о том, что Архимед при помощи математики прогнал
римлян от Сиракуз, разнесется по всему грекоязыч-
ному миру. Не забудут об этом и когда война
наконец окончится. Тайну же моих боевых машин я унесу
с собой в могилу.
Г е р о н. Действительно, слава о твоих боевых
машинах разнеслась повсюду, где только говорят по-
гречески. Одно за другим я получаю письма от
царей, дарящих мне свою дружбу, в которых те
осведомляются о твоих изобретениях.
Архимед. И что ты им отвечаешь?
Г е р о н. Отвечаю, что пока мы находимся в
состоянии войны, твои изобретения охраняются
строжайшей тайной.
Архимед. Мне удалось сохранить свои
изобретения в тайне даже от тех, кто помогал мне вопло^
тить замыслы в машинах. Каждый из моих
помощников знал лишь малую толику всего. Я рад, что ты
никогда не расспрашивал меня о боевых машинах:
мне пришлось бы уклониться от ответа даже тебе.
Г е р о н. До сих пор я действительно никогда не
расспрашивал тебя о твоих боевых машинах, а теперь
56

хочу разузнать кое-что о них. Не бойся, я не хочу
отнимать у тебя твою тайну. Мне надобно выяснить
лишь кое-какие подробности об основных принципах
их действия.
Архимед. Охотно отвечу, если для этого мне
не придется нарушить клятву Афине.
Гер он. Я хочу расспросить тебя о приложениях
математики, но прежде ответь мне на другой вопрос:
почему ты придаешь столь большое значение
признанию своих идей о применимости математики для
нужд практики?
Архимед. Может быть, ты сочтешь меня наив-
ным^ но я надеялся, что мне удастся изменить ход
истории. Меня заботят судьбы эллинского мира. Мне
казалось, что если бы могли шире применять
математику, изобретение, по существу, греческое (а я
считаю математику наиболее значительным и,
безусловно, самым крупным достижением эллинского духа),
то, быть может, нам удалось бы спасти эллинский
образ жизни, Теперь я вижу, что время для этого
упущено. Римляне захватят не только Сиракузы, но
и другие греческие города. Наше время подходит к
концу.
Г е р о н. Я все-таки надеюсь, что наша
эллинская культура не погибнет: римляне воспримут ее*
Посмотри, как они повсюду и во всем пытаются
подражать нам. Они копируют наши статуи, переводят
творения нашей литературы, и, как видишь, Марцел*
ла интересует твоя математика.
Архимед. Римляне не способны
по-настоящему постичь математику. У них нет склонности к
абстрактному мышлению.
Г е р о н. Они больше интересуются
практическими приложениями математики.
Архимед. Абстрактная математика неотделима
от прикладной. Тот, кто отвергает абстрактную
математику, закрывает себе путь к ее практическими
приложениям. Кто хочет с успехом применять
математику на практике, тот должен обладать вообра»
жением.
Г е р о н. Ты говоришь парадоксами. До сих пор
я полагал, что для практических приложений
математики прежде всего необходим здравый смысл.
57

Архимед. Разумеется, чтобы воплотить
замыслы, нужна практическая сметка. Но одного лишь
здравого смысла недостаточно: подобно тому как без
рыбы нельзя сварить уху, ничего не получится без
удачной идеи.
Г е р о н. Вот теперь настал черед задать тебе
главный вопрос. В чем секрет твоего успеха? В чем
секрет новой науки, открытой тобой (назовем ее
прикладной математикой), и чем она отличается от той
математики (назовем ее чистой математикой),
которой обучают в школах?
Архимед. Государь, как мне ни жаль, но
должен разочаровать тебя: обе математики по существу
представляют собой одно и то же. Нет двух
математик: существует лишь та математика, которая тебе
известна. Тебя учили ей в дни юности, насколько
мне известно, небезуспешно. Ее-то и можно
применять на практике. Прикладной математики в том
смысле, как ты ее понимаешь, то есть науки,
обособленной от чистой математики и независимой от нее,
не существует. Свою «тайну» мне удается сохранить
лишь потому, что, строго говоря, никакой тайны нет.
Она очевидна, и в этом ее лучшая маскировка. Она
подобна золотой монете, валяющейся в уличной
пыли. Поднять монету может каждый, кто за ней
наклонится. Тот же, кто станет искать монету в
тайниках, не сможет найти ее никогда.
Г е р о н. Ты утверждаешь, что твои
необыкновенные боевые машины построены при помощи
обыкновенной математики, известной каждому
образованному человеку?
Архимед. Ты недалек от истины.
Г е р о н. Чтобы мне было понятнее, приведи ка-
код-нибудь наглядный пример.
Архимед. Возьмем хотя бы зеркала,
сослужившие нам сегодня такую хорошую службу. Я лишь
придумал, как использовать одно известное свойство
параболы: если любую точку Р параболы соединить
прямой с фокусом F и провести через точку Р
прямую, параллельную оси параболы, то обе прямые
образуют один и тот же угол а с касательной
к параболе в точке Р. Иначе говоря, параболическое
зеркало отражает падающие на него параллельные
58

солнечные лучи так, что те проходят через одну й ту
же точку — фокус параболы. Предмет, помещенный
в фокус параболического зеркала, загорится от тепла
солнечных лучей. Это утверждение ты можешь найти
сам в книгах моих высокочтимых коллег из
Александрии.
Г е р о н. Подумать только, что половина флота
Марцелла обращена в прах столь безобидно
звучащей геометрической теоремой! Стоит лишь раскрыть
любую книгу по геометрии, и ты найдешь в ней эту
теорему вместе с сотнями ей подобных! Припоминаю,
РИС. 1.
что я некогда знал ее, но со временем доказательство
изгладилось из моей памяти.
Архимед. Должно быть, в ту далекую пору ты
досконально разбирался во всех тонкостях
доказательства и, быть может, восхищался его красотой и
изяществом. Некоторые математики идут дальше: они
извлекают из теоремы чисто геометрические
следствия или находят новое доказательство, но на этом
они останавливаются. Мне удалось продвинуться чуть
дальше: я задумался над тем, как применить эту
теорему для нужд практических.
Г е р о н. Признаться, я думал, что ты открыл
новый закон оптики.
Архимед. А что такое оптика, как не раздел
геометрии или, лучше сказать, не приложение
геометрии к изучению лучей света? Из оптики же мне
понадобился лишь давно известный закон отражения.
59

Г ер он. Ты полагаешь, что для практических
приложений надобность в новых математических
результатах отпадает? Если я правильно тебя понял,
ты считаешь, что достаточно, сообразуясь с
насущными потребностями, выбрать из хорошо известных
теорем наиболее подходящие и, так сказать,
«приспособить» их к делу.
Архимед. Нет, государь, все обстоит далеко не
так просто. Нередко бывает, что нужная теорема
неизвестна, поэтому ее еще требуется открыть и
доказать. Но даже если необходимости в этом не
возникает, то найти для данного практического
приложения «наиболее подходящую», как ты изволил
выразиться, теорему (я предпочитаю говорить о выборе
математической модели) довольно трудно: ведь речь
идет не о том, чтобы к одной перчатке подобрать
под пару другую. Начать хотя бы с того, что для
одной и той же ситуации, встретившейся на практике,
можно построить бесчисленное множество
математических моделей, из которых нужно отобрать наиболее
подходящую. Она должна как можно точнее
соответствовать практической ситуации (хотя никогда не
может быть полностью адэкватной ей) и не быть
чрезмерно сложной, чтобы ее можно было рассматривать
при помощи обычных математических методов.
Точное соответствие и простота — требования
противоречивые. Добиться равновесия между ними в общем
случае весьма сложно, хотя и необычайно важно.
С одной стороны, требуется, чтобы приближение
было хорошим со всех точек зрения, существенных
для решения выбранной практической задачи. С
другой стороны, необходимо абстрагироваться от всего
второстепенного. Математическая модель не должна
быть во всех отношениях похожей на реальность —
впрочем, добиться полного сходства невозможно.
Достаточно, если модель правильно передает те стороны
реальности, которые существенны для решения вы*
бранной нами задачи. Этим же объясняется, почему
одну и ту же математическую модель можно
использовать для описания совершенно различных реальных
Ситуаций. Например, свойства параболы я использо-
Йал при постройке катапульт, поскольку траекторию
падающего камня достаточно точно можно описать

параболой. Свойства параболы позволили мне вычис*
лить и глубину осадки судна в зависимости от веса
взятого на борт груза. Разумеется, поперечное
сечение судна по форме отлично от параболы, но более
точная математическая модель была бы слишком
сложной и, следовательно, бесполезной. Впрочем,
расхождение между результатами моих вычислений и
промерами было незначительным. В частности, мне
удалось выяснить, при каких условиях судно,
раскачиваемое волнами и ветром, всякий раз
выпрямлялось: вся хитрость в том, чтобы центр тяжести судна
был расположен как можно ниже. Во многих случаях
при исследовании сложной ситуации, встретившейся
на практике,, весьма полезна даже математическая
модель, позволяющая получить хотя бы качественно
правильный результат: такой результат иной раз
несравненно важнее, чем точное значение интересую^
щей нас величины. Из собственного опыта мне
известно, что поиск подходящей математической модели
часто приводит к более глубокому пониманию ис-*
следуемой ситуации, поскольку вынуждает нас
логически продумать все возможности, ясно определить
используемые понятия, учесть все наиболее сущест*
Генное и отобрать то, что имеет решающее значение-
Если выбранная нами математическая модель
приводит к результатам, противоречащим фактам, то это
означает, что при создании модели мы упустили из
виду какое-то важное обстоятельство. В этом случае
модель следует видоизменить так, чтобы учесть то,
чем мы пренебрегли сначала. Модели, не слишком
подходящие для описания реальной ситуации,
нередко приносят немалую пользу тем, что позволяют
глубже понять происходящее.
Г е р о н. Применение математики в делах
практических напоминает мне превратности войны: иной
раз поражение следует ценить выше, чем
одержанную победу, поскольку оно позволяет нам понять, что
следует изменить в нашем вооружении или в
избранной нами стратегии.
Архимед. Я вижу, ты ухватил самую суть
сказанного.
Г е р о н. Расскажи мне еще что-нибудь о своих
зеркалах* .
61

Архимед. Главное ты уже знаешь. После того
как я додумался использовать свойство параболы
собирать в фокусе лучи света, параллельные ее оси,
оставалось еще решить множество практических
задач. Прежде всего возник вопрос, как отшлифовать
вогнутое металлическое зеркало, имеющее форму
параболоида вращения, но мне не хотелось бы говорить
об этом. Для изготовления зеркала нужно было
подобрать подходящий материал, но с твоего
соизволения я умолчу и об этом.
Г е р о н. Будь по-твоему! Я не хочу выведывать
твои тайны. Но из сказанного тобой следует, что
одного лишь свойства параболы фокусировать
солнечные лучи, параллельные ее оси, для создания
зеркала мало: необходимо еще основательно разбираться
в свойствах металлов и знать толк в их обработке.
Как мне кажется, это означает, что вздумай кто-
нибудь применять математику на практике, то его
познаний для этого может оказаться недостаточно, если
они лежат целиком в области математики. Не
находится ли в таком случае всякий, кто пожелает
применить математику для решения какой-нибудь
практической задачи, в положении человека, который
хотел бы скакать верхом на двух конях сразу?
Архимед. Позволю себе лишь слегка изменить
твое сравнение. Тот, кто хочет применить математику,
находится в положении человека, впрягающего в
свою колесницу двух коней. Задача эта не столь
трудна. Нужно лишь знать толк и в колесницах, и в
лошадях, а такими познаниями обладает всякий
возничий.
Г е р о н. Я окончательно перестал понимать что-
либо! Применение математики для решения чисто
практических задач для меня всегда было неким
таинством. Ты же объяснил мне, что ничего сложного
здесь нет. Но стоило мне поверить, что это
действительно очень просто, как ты заявляешь, что все
гораздо сложнее, чем я думаю.
Архимед. В принципе все очевидно и просто, но
если вдаваться во все подробности, то картина
значительно усложняется.
Г е р о н. Я не очень ясно представляю себе, что
ты называешь математической моделью.
62

Архимед. Помнишь ли ты прибор, который я
построил несколько лет назад, чтобы воспроизвести
движение Солнца, Луны и пяти планет? Этот прибор
позволял показывать, как происходят солнечные
затмения.
Гер он. Еще бы! Он и по сей день стоит в моем
дворце, и я имею обыкновение демонстрировать его
своим гостям. Они созерцают твой прибор, разинув
рты от изумления. Быть может, этот прибор и есть
математическая модель Вселенной?
Архимед. Нет, я бы назвал его физической
моделью. Математическая модель невидима, она
существует лишь в нашем сознании, и запечатлеть ее
можно лишь в формулах. Математическая модель
Вселенной — это то общее, что имеют между собой
действительно существующая Вселенная и построенная
мной ее физическая модель. В моей физической
модели каждая планета представлена шаром, из которых
меньший размером с апельсин. В математической
модели планетам соответствуют точки, не имеющие
протяженности в пространстве.
Г е р о н. Я, кажется, начинаю понимать, что ты
называешь математической моделью. Но вернемся к
сравнению с лошадьми. Одно дело запрягать лошадей
и править ими, и совсем другое — заниматься
разведением лошадей. Не так ли и с математикой: одно
дело, если человек занимается приложениями
математики, и совсем другое, если он способствует
развитию самой математики, придумывая новые теоремы и
отыскивая их доказательства?
Архимед. В том, что касается лошадей, ты
целиком и полностью прав. Все же не могу не заметить,
что тот, кто вырастил коня, знает все его особенности
и поэтому сумеет запрячь его и управлять им лучше,
чем кто-нибудь1 другой. С математикой же, как я уже
говорил, дело обстоит так: кто хочет с успехом
применять ее, должен основательно и досконально
разбираться в математике. Тот же, кто, применяя
математику, не просто повторяет то, что делали другие в
более или менее сходных обстоятельствах, а
стремится изыскивать новые, не исцользованные ранее
никем возможности для приложений математики,
должен сам быть искусным математиком. Решение при-
63

кладиых задач в свою очередь может служить
стимулом для чисто теоретических исследований по
математике и указывать их направление.
Г е р о н. Как такое возможно? Приведи, будь
добр, какой-нибудь пример.
Архимед. Может быть, ты помнишь, что
некоторое время назад меня весьма интересовала одна
задача механики: определение центра тяжести тел.
Результаты, полученные мною при помощи кое-каких
соображений относительно центра тяжести,
заимствованных из механики, позволили мне не только
осуществить задуманное (например, определить форму
корпуса, при которой судно будет устойчивым), но и
привели меня к открытию новых геометрических тео-
РИС. 2.
рем. Я разработал свой собственный метод. Сводился
он к тому, что для исследования геометрических
задач я привлекал различные соображения из
механики, относящиеся к положению центра тяжести. Мой
метод позволил мне открыть множество
геометрических теорем, которые впоследствии я строго доказал
цри помощи методов традиционной геометрии (мой
'«механический» метод не мог дать строгого
доказательства). Найти строгое доказательство теоремы
гораздо легче, если предварительно при помощи
механических аналогий составить общее представление о
нем и понять, что, собственно, требуется доказать, а
не бросаться очертя голову на штурм задачи.
Г е р о н. Назови хоть одну теорему, которую тебе
удалось открыть столь необычным способом.
Архимед. Пожалуйста: площадь сегмента
параболы на одну треть больше площади треугольника,
имеющего то же основание и ту же высоту, К этой

теореме я пришел, опираясь на соображения,
заимствованные из механики, а затем доказал при помощи
обычных строгих методов геометрии.
Г е р о н. А для чего тебе понадобилось доказьи
вать теорему традиционными методами геометрии,
если ты открыл ее, исходя из механических
соображений?
Архимед. Прежде, когда я еще только
приступил к разработке своего метода, мне случалось
получать и такие результаты, которые при проверке
оказывались неверными. Размышляя над тем, в каких
случаях мой метод приводит к ошибочным
заключениям, я понял, как следует его усовершенствовать,
чтобы он всегда давал правильные результаты. Но и
поныне мне не удалось доказать, что всякий
получаемый этим способом . результат правилен. Может
быть, когда-нибудь мне или кому-нибудь другому
удастся доказать это, но пока этого не произошло, я
не могу поручиться за правильность результатов и
вынужден подвергать каждый из них проверке,
доказывая его традиционными, не оставляющими никаких
сомнений методами.
Г е р о н. Это я понял, но мне неясно, для чего в
приложениях вообще нужны строгие доказательства.
Ведь ты же говорил, что любая математическая
модель не более чем грубое приближение к
действительности. Если формула верна, то, применив ее, мы
получим результат, согласующийся с реальными
фактами. Что же касается абсолютной точности, то она,
как ты сам подчеркивал, недостижима.
Архимед. Ты заблуждаешься, государь.
Именно потому, что математическая модель лишь
приближенно описывает действительность и никогда не
передает полностью всех деталей, мы должны неусыпно
следить за тем, чтобы необдуманным или небрежным
обращением с математической моделью не увеличить
расхождение между нею и реальностью. Именно
поэтому в приложениях доказательства теорем
надлежит проводить с не меньшей тщательностью, чем в
чистой математике. Замечу, кстати, что широко рас-
пространеное мнение о том, будто использование
приближений означает отказ от математической
строгости, ошибочно. И для приближений существуют
3 Зак. 401 65

точные теории, а различные утверждения
относительно приближений, неравенств и т. п. следует
доказывать столь же строго, как, например, утверждения
относительно равенств. Быть может, ты еще помнишь
приближенные значения для площади круга, которые
я вывел несколько лет назад. Доказательства их по
строгости не уступают доказательствам теорем
Евклида.
Г е р о н. А какие еще результаты удалось тебе
получить при помощи своего «механического»- метода?
i. . [
РИС. 3.
Архимед. Мне удалось установить, что объем
сферы равен двум третям объема описанного вокруг
сферы цилиндра.
Г е р о н. Я слышал, будто ты завещал высечь эту
теорему на своем надгробии. Означает ли это, что ты
считаешь ее самым значительным из полученных
тобой результатов?
Архимед. Я действительно высоко ценю эту
теорему, но считаю, что метод, позволивший мне
открыть ее, несравненно важнее любого полученного
при помощи его результата. Я не вполне
удовлетворен, о чем уже говорил, методом, поскольку мне так
и не удалось доказать, что он всегда приводит к
правильным результатам. Помнишь, как однажды, когда
мы с тобой беседовали о рычаге, я сказал: дайте мне
точку опоры, и я сдвину земной шар. Разумеется, в
действительности такой точки не существует. Но в
математике найти твердь, ка которую можно было бы
66

опереться, не столь трудно: я имею в виду аксиомы и
логику. Именно поэтому я считаю, что и приложения
математики немыслимы без строгих доказательств и
безупречной логики. Применять математику означает
приводить мир в движение, опираясь на незыблемую
точку опору — математику!
Г е р о н. Ты все время говоришь о приложениях
математики, а в качестве примеров ссылаешься на
приложения геометрии. Мне кажется, теперь я знаю
как применять геометрию на практике. Работа любой
машины зависит от формы и размеров ее деталей.
Каменная глыба, брошенная тобой из катапульты,
описывает кривую, которую, по твоим словам,
приближенно можно считать параболой. Эти примеры
показывают, какая связь может существовать между
геометрией и реальным миром. А как обстоит дело с
другими разделами математики, например с теорией
чисел? Трудно представить себе, чтобы она могла
иметь практическое значение. Не пойми меня
превратно: я имею в виду не элементы арифметики,
используемые в любых расчетах, а такие более тонкие
понятия, как делимость, простые числа, наименьшее
общее кратное и так далее.
Архимед. Пусть, например, два зубчатых
колеса с различным числом зубцов находятся в
зацеплении и требуется узнать, как скоро вся система
возвратится в исходное положение, если мы вздумаем
вращать колеса. Чтобы решить эту задачу, нам
непременно понадобится понятие наименьшего общего
кратного. Достаточно ли этого простого примера или
мне привести другие?
Г е р о н. Вполне достаточно.
Архимед. Все же я хотел бы в этой связи
рассказать тебе еще кое о чем. Недавно я получил
письмо от своего доброго друга Эратосфена из Кирены, в
котором тот сообщает о найденном им простом, но
необычайно остроумном методе нахождения простых
чисел, который сам Эратосфен назвал «методом
решета». Размышляя над письмом, я придумал машину,
которая бы действовала, как решето Эратосфена.
Главным узлом в этой машине должна была стать
ось с насаженными на ней зубчатыми колесами.
.Чтобы определить, просто ли любое не слишком
3* 67

большое число п, достаточно было бы п раз
повернуть ось за рукоять и заглянуть в специальное
отверстие, которое открывалось бы в том и только в том
случае, когда п—простое число. Если же п —
составное число^то отверстие оставалось бы закрытым. Так
моя машина позволяла бы без труда определять,
просто ли интересующее нас число или нет.
Гер он. Если война окончится, то ты сможешь
построить свою машину! Вот удивятся мои гости,
увидев такое чудо.
Архимед. Если буду жив, то непременно
построю тебе такую машину. Она будет представлять
особый интерес, поскольку покажет, что машины
могут решать математические задачи. Может быть,
прослышав о ней, математики поймут, сколь полезно
и интересно заниматься машинами даже с точки
зрения чистой математики.
Г е р о н. Мне припомнился один анекдот об
Евклиде, который тебе, должно быть, известен. Рас-
\ сказывают, будто один из юношей, изучавший под
руководством Евклида геометрию, спросил у него:
«А какая мне польза от того, что я выучу все это?»
В ответ Евклид кликнул своего раба и приказал,
указав на юношу: «Лай ему один обол *, ибо он жаждет
извлекать пользу из того, что изучает». Если верить
этой истории, то Евклид, должно быть, считал
недостойной математика заботу о практических
приложениях своей науки.
Архимед. Мне приходилось слышать этот анек*
дот, но тебя, по всей видимости, удивит, если я
скажу, что полностью разделяю мнение Евклида. На его
месте и я ответил бы что-нибудь в том же духе.
Г е р о н. Не скрою, тебе опять удалось до
крайности удивить меня. То ты с восторгом повествуешь о
практических приложениях математики, то вдруг
объявляешь себя заодно с теми, кто полагает, будто
радость познания — единственная польза, к которой
надлежит стремиться при изучении математики.
Архимед. Думаю, что, подобно большинству
людей, ты неверно понял, в чем соль анекдота об
Евклиде. Ведь речь в нем шла не о том, будто
* Обол — мелкая монета в */в драхмы. — Прим, перев,
68

Евклид не интересовался практическими
приложениями математики или считал это занятие
недостойным истинного ученого. Думать так просто нелепо!
Евклид, как тебе прекрасно известно, написал книгу
по астрономии, другую книгу посвятил оптике, ему
же принадлежит сочинение под названием
«Катоптрика», которое я использовал, работая над
зажигательными зеркалами. Евклид много занимался
механикой. Я считаю, что соль анекдота совсем в другом.
Евклид, как мне кажется, хотел подчеркнуть одно
весьма примечательное обстоятельство: изучение
математики приносит истинную пользу только тому, кто
занимается математикой не ради выгоды, а из любви
к самой математике. Этим математика напоминает
твою дочь Елену, которая подозревает каждого
жениха в том, что он не питает к ней искренних чувств и
просит ее руки лишь из желания стать зятем царя.
Ей же нужен муж, который полюбил бы ее ради нее
самой, за ее красоту, обаяние и блестящее остроумие,
а не за богатство и власть, уготованные тому, кто
женится на царской дочери. Математика точно так же
дозволяет заглянуть в свои сокровенные глубины
лишь тому, кто преисполнен восторга ее красотой и
ищет близости с ней, движимый лишь любовью к
знанию. Если же на каждом шагу спрашивать «Какая от
этого польза?», то в математике удастся достичь
немногого. Я уже говорил тебе, что римлянам не дано
глубоко постичь математику. Теперь ты видишь
почему: к изучению математики они подходят слишком
практично.
Г е р о н. Мне кажется, что и нам есть чему
поучиться у римлян. Тогда бы мы могли успешнее
сражаться с ними!
Архимед. Я не согласен с тобой. Если бы мы
вздумали во имя победы отказаться от идей, которые
отстаиваем, и стали бы во всем подражать
противнику, то проиграли бы еще до исхода сражения. Даже
если бы нам удалось выиграть войну таким способом,
то это не имело бы никакого смысла: такая победа
хуже поражения.
Г е р о н. Но оставим войну и обратимся снова к
математике. Скажи мне: как ты строишь
математическую модель?
69

А р х и м е д. На столь общий вопрос трудно отве*
тить. Может быть, полезно обратиться к сравнению:
математическая модель возникающей на практике
ситуации — это не что иное, как тень, отбрасываемая
реальным миром на экран нашего разума.
Г е р о н. Похоже, что твоя философия — полная
противоположность философии Платона. Тот
утверждает, что реальные предметы не более как тени идей,
а ты, насколько я могу судить, считаешь наши идеи
тенями реального мира.
Архимед. Обе точки зрения, моя и Платона, не
столь далеки, как кажется на первый взгляд.
Платову не давала покоя взаимосвязь между
математическими понятиями и действительностью. Объяснение
этой загадочной взаимосвязи он считал основной
задачей философии. Вплоть до этого пункта я с ним
полностью согласен. Но я решительно расхожусь с
ним в ответах на поставленный им вопрос, хотя не
могу не признать, что он был первым, кто поставил
столь важный вопрос и рассмотрел логически
возможные ответы. Впрочем, мне кажется, что нам пора
оставить философию и вернуться на землю: я слышу,
как кто-то стучится в дверь. Пойду открою.
Гер он. Позволь мне отворить дверь. Я думаю,
что это мой гонец вернулся с ответом от Марцелла.
Да, вот оно, послание от Марцелла.
Архимед. И что он пишет?
Г е р о н. Прочти сам.
Архимед. «Марцелл шлет свой привет царю
Герону и извещает, что овладеет Сиракузами до
наступления новолуния. Это убедит царя Герона в том,
.что римлянин держит свое слово».
Г е р о н. Что ты на это скажешь?
Архимед. Что по-гречески он изъясняется
недурно. А если говорить о содержании, то Марцелл
ответил тебе так, как я и ожидал.
Г е р о н. Да, твое предсказание оказалось верным,
словно ты нашел его своим методом.
Архимед. Теперь мы по крайней мере знаем,
чего следует ожидать.
Г е р о н. Я пойду. Мне нужно выспаться.
Назавтра следует подготовиться к новому штурму.
Благодарю за интересную беседу.
70

Архимед. В последнее время мне редко
доводилось беседовать о математике. Мне приятно, что ты
дал мне прекрасный повод для этого. Благодарю тебя
еще раз за твой бесценный дар!
Г е р о н. Рад, что блюдо тебе понравилось.
Спокойной ночи, мой друг. Думаю, что и тебе не мешает
отдохнуть.
Архимед. Спокойной ночи, государь! Мне не до
сна: я тороплюсь закончить письмо, в котором
сообщаю своему другу Досифею из Пелузия о своих
новых результатах. Быть может, теперь, когда римский
флот потерпел сильный урон, каким-нибудь судам
удастся завтра утром выйти из сиракузской гавани
прежде, чем римляне снова установят блокаду. Мне
не хотелось бы упускать эту возможность: другого
случая может не представиться•*.
* В 212 г. до н. э, Сиракузы пали. Архимед погиб от руки
римского легионера. По преданию, последними словами его
были: «Не прикасайся к моим кругам!» — Прим. перев.

БЕСЕДА О ЯЗЫКЕ
КНИГИ ПРИРОДЫ
Торричелли. Позвольте представиться, синь*
ора. Я Эванджелиста Торричелли, ученик аббата
Кастелли и, будучи математиком, довожусь синьору
Галилею как бы племянником.
Синьора Никколини. Так это вы тот моло*
дой человек, который прислал синьору Галилею
восторженное письмо? В нем вы, если не ошибаюсь,
называли себя ревностным приверженцем идей
Коперника и Галилея.
Торричелли. Немало найдется молодых
людей, разделяющих мои убеждения. Аббат Кастелли
в разговоре со мной упомянул о новом труде, к кото;-
рому приступил маэстро. Об этом мне и хотелось
поговорить с ним.
Синьора Н и к к о л и н и. Но разве вы не
знаете, что синьор Галилей — узник Священной
конгрегации *? Лишь по настоятельной просьбе великого
герцога Тосканского ему разрешили жить под
домашним арестом здесь, в палаццо моего мужа, послан*
ника великого герцога. Мой муж клятвенно заверил
Священную конгрегацию, что к синьору Галилею не
будут пускать посетителей.
Торричелли. Никто не видел, как я вошел
сюда. Мой визит останется в тайне.
Синьора Никколини. Хорошо, но только
пусть это будет в первый и последний раз. Я уступаю
лишь потому, что хочу порадовать старого синьора.
Пусть он обсудит со сведущим человеком свои идеи,
* Священная конгрегация — высший орган инквизиции,
обладавший неограниченным правом производить следствие по делан
об отступничестве от католицизма. — Прим. перев.
72

За неимением других слушателей он иногда пытается
объяснить мне то, над чем сейчас размышляет, но
я не успеваю следить-за его рассуждениями. Сегодня
он в превосходном настроении: прошлой ночью ему
впервые после многих недель бессонницы удалось
выспаться. Ступайте за мной! Если вас кто-нибудь
увидит, я скажу, что вы мой родственник и пришли
навестить меня.
Торричелли. Благодарю вас, синьора, вы
оказываете мне высокую честь.
Синьора Никколини. Пожалуйста сюда,
Синьор Галилей, я привела к вам гостя, которому
вы будете рады: Эванджелисту Торричелли.
Галилей. Рад от души! Как хорошо, что вы не
побоялись навестить старика, подозреваемого в ереси!
Торричелли. Вместе со своими друзьями
я считаю ваш «Диалог о двух главнейших системах
мира» своей библией. Аббат Кастелли сообщил мне,
что сейчас вы работаете над новым сочинением,
которое превзойдет все когда-либо написанное по
механике. Я и пришел сюда за тем, чтобы разузнать
о вашем новом сочинении поподробнее.
Галилей. План этого сочинения я вынашиваю
уже давно. Несколько месяцев назад я наконец
приступил к работе над ним, но ее тут же пришлось
прервать: меня вызвали сюда, в Рим, мне предстоит
предстать перед судом инквизиции. С тех пор как я
здесь, мне не удалось написать ни строчки. И все же
мысль о создании задуманной книги, которая должна
вместить в себя все, что я знаю о движении, не
оставляет меня. Это будет лучшее из всех моих
сочинений. Но я опасаюсь, что не смогу завершить его-
Даже если мне удастся одержать победу в борьбе,
к которой меня вынудили, это будет Пиррова победа,
коль скоро после нее у меня не хватит сил закончить
задуманную мной книгу.
Торричелли. Я был бы очень рад услышать
хотя бы что-нибудь из вашего будущего сочинения.
Галилей. Греческие математики достигли
великолепных результатов, а некоторые из них,
например Архимед, весьма успешно применяли
теорию для решения различных практических вопросов,
но от математического описания движения греки
73

воздержались. С тех пор никто не пытался этого
сделать! В моей работе, если мне суждено будет
довести ее до конца, наиболее существенным момен-г
том будет именно математическое описание движения.
Торричел ли. Странно, что греки обошли столь
важную проблему. В чем здесь причина?
Галилей. Греческие философы вели между
собой ожесточенные дискуссии о движении.
Достаточно вспомнить хотя бы знаменитые апории * Зенона
об Ахилле и черепахе и о стреле. Своими апориями
Зенон стремился показать, что движение невозможно.
Разумеется, о том, что в природе существует
движение, Зенон знал ничуть не хуже Гераклита. Своими
апориями Зенон лишь желал обратить внимание на
логическую противоречивость понятия движения, не
позволявшую дать математическое описание
движения. Аристотель оспорил правомерность выводов
Зенона и попытался опровергнуть апории о движении, но
приводимые Аристотелем контрдоводы были весьма
поверхностными. Ему удалось доказать лишь то, что
известно и малому ребенку: из его рассуждений
следовало, что движение существует. Подлинное
опровержение апорий Зенона было бы достигнуто,
если бы кому-нибудь удалось доказать, что движение
допускает математическое описание. По существу,
Аристотель вторил Зенону, утверждавшему, что
описание движения не принадлежит к числу задач,
решаемых математически, но приводил в обоснование
своего мнения иные аргументы. Аристотель считал,
что естествознание занимается изучением реально
существующих и изменяющихся объектов, в то время
как математика изучает несуществующие и
неизменяющиеся объекты, поэтсму такой не
существующий сам по себе и вместе с тем изменяющийся
объект, как, например, движение, не может быть
предметом изучения науки. Вето, наложенное
Аристотелем, на протяжении почти двух тысяч лет
удерживало математиков и философов от математического
подхода к описанию движения. Ложное учение
Аристотеля наносило ущерб науке еще и потому, что
воздвигало искусственную преграду между матема-
* Апория — трудный вопрос (греч.). — Прим, перев.
74

тикой и естествознанием, преодолеть которую
решились лишь немногие.
Торричелли. С нетерпением жду того
момента, когда смогу прочитать ваше сочинение.
Стыд и позор, что вам докучают нелепыми
обвинениями и не дают сосредоточиться на работе, которая
откроет новую эпоху в науке. Но позвольте задать
вам один вопрос: зачем вы прибыли в Рим, вместо
того чтобы где-нибудь в тиши работать над своим
сочинением?
Галилей. Что мне было делать, если я получил
вызов от инквизиции?
Торричелли. Вы могли бы бежать куда-нибудь,
где вас не могла бы достать рука инквизиции.
Галилей. Когда я прибыл в Рим, меня еще не
оставляла надежда, что мне удастся убедить церковь
в главном: вопрос о движении Земли — не
религиозная проблема, он не выходит за пределы реального
и решение его следует предоставить науке. Я считал
своим долгом не только перед наукой, но и перед
церковью объяснить, что, поддерживая .систему
Птолемея, церковь окажется в положении человека,
остающегося на борту тонущего судна. Я попытался
показать это в своих «Диалогах» и надеялся, что если
мне удастся лично изложить свою точку зрения, то
я сумею убедить церковь в необходимости
пересмотреть позицию, которую она занимает по
отношению к учению Коперника. Я был уверен, что мне
удастся убедить папу. В бытность его кардиналом
Маттео Барберини мы поддерживали с ним
дружеские отношения и он неоднократно выказывал мне
свою приязнь и уважение. Не знаю, слышали ли вы,
но он даже посвятил мне стихи. Я всегда считал его
истинным другом науки, и свою деятельность на
папском престоле он начал с того, что освободил из
тюрьмы несчастного Кампанеллу. Я надеялся в
личной беседе убедить его, что в интересах церкви
предоставить полную свободу в изучении вопроса о
движении Земли. Но я глубоко заблуждался в своих
надеждах: папа не захотел выслушать меня. Мои
враги наговорили ему, будто в своем «Диалоге»
я, желая посмеяться над ним, вывел его под маской
простака Симпличио, и старая дружба сменилась
75

враждой и ненавистью. Может быть, вы и правы:
мне не следовало приезжать в Рим. Но теперь, поздно
сетовать.
Торричелли. Надеюсь, что не все еще
потеряно. Здесь можно говорить открыто?
Галилей. У меня нет тайн от синьоры Ник-
колини, она мой верный друг. Это она убедила своего
дядюшку патера Риккарди дать разрешение на
публикацию моих «Диалогов». Теперь же, когда я живу
здесь, она ухаживает за мной, словно мать за малым
ребенком, оберегает меня от малейшего дуновения
ветерка и постоянно заботится о том, как придать
силы мне, чтобы я, старик, мог легче переносить те
лишения, которые выпали на мою долю. При ней вы
можете говорить спокойно.
Торричелли. Я так и думал. Когда синьора
Никколини провела меня к вам, я понял, что ей можно
довериться. Но в наше время и стены имеют уши.
Синьора Никколини. В этом доме вы
можете говорить спокойно.
Галилей. Синьоре Никколини можно верить,
мой друг. Лишь сегодня она уволила одного из своих
слуг — выяснилось, что он был доносчиком
инквизиции,— но не хотела ничего говорить мне, чтобы не
тревожить. Не так ли, Катарина?
Синьора Никколини. Коль скоро вы уже
знаете, не стану отрицать. Но остальным слугам я
вполне доверяю. Они флорентийцы и проверенные
люди. Можете говорить спокойно. Все, что будет
здесь сказано, останется в тайне.
То рричелли. Я и мои друзья называем себя
ревностными приверженцами Галилея. У нас все
готово к вашему побегу, маэстро. Сначала мы
отправимся в Венецию. Там вы на некоторое время
почувствуете себя в безопасности, так как Венецианская
Республика ни при каких обстоятельствах не выдаст
вас инквизиции. Если Венеция покажется вам
недостаточно надежным убежищем, то можно перебраться
куда-нибудь подальше, например уплыть на корабле
в Голландию, и там без помех трудиться над новым
сочинением. Мы тщательно продумали весь план
побега до мельчайших деталей. Вы должны лишь
решиться и назначить удобное вам время.
76

Галилей. Хозяева этого дома поручились за
меня. Своим побегом я поставил бы их в крайне
неприятное положение. Я вынужден отказаться от
вашего предложения хотя бы по этой причине, не
говоря уже об остальном.
Торрич.елли. Мы все предусмотрели! После
всестороннего обсуждения было решено, что удобнее
всего похитить вас, когда вы отправитесь на
очередной допрос в Священную конгрегацию. Мы устроим
вам побег по дороге, прямо на улице. Тогда никто
не посмеет обвинить синьору Никколини в соучастии
или попустительстве. У нас есть надежные люди, и
они без труда справятся с вашей охраной.
Галилей. Не могу высказать, как я тронут тем,
что вы со своими друзьями хотите освободить меня.
Но сколь ни прекрасен ваш план, я все же вынужден
отказаться от него, поскольку не выдержал бы всех
тягот, неизбежно связанных с путешествием. Лишь
недавно я, -как вы, должно быть, слышали, перенес
тяжелую болезнь и еще не совсем поправился.
Торричелли. И об этом мы позаботились.
Побег организован так, чтобы по возможности
избавить вас от неудобств. Один из моих друзей по
профессии врач, он мог бы сопровождать вас и следить
за вашим здоровьем. Маршрут продуман до мель*
чайших деталей. Мы позаботились, чтобы на
протяжении всего пути от Рима до Венеции для вас
ежедневно было подготовлено надежное убежище у
верных людей. Должен признать, что мы не всегда
сможем обеспечить вам все удобства, которыми вы
окружены в стенах этого дома. Но не забывайте
о том, что каждый день могут вас отправить в
темницу Священной конгрегации! Мне кажется, что если
выбирать приходится между хижиной честного
пастуха и тюремной камерой, то не следует терять время
на размышления.
Галилей. Мой друг, вы слишком молоды и при
всех ваших добрых намерениях не в состоянии
войти в мое положение. Но оставим это. Предположим,
что я выдержал бы все тяготы путешествия. Но
почему вы не спросите, хочу ли я вообще бежать?
Торричелли. Но вы же сами посетовали на
то, что вам не следовало приезжать в Рим. Я принял
77

йаши слова за выражение готовности к побегу при
первом же удобном случае. Разве не так?
Галилей. Нет! Я не могу отступить. Мне
необходимо выдержать борьбу до конца, хотя шансов у
меня гораздо меньше, чем я думал сначала, когда
приехал в Рим.. Если я сбегу, то противники мои
одержат победу и со свободой науки в Италии
будет покончено. Ради вас, ради молодого поколения
я не имею права согласиться на побег,
Торричелли, Не понимаю вас, маэстро. Ведь
вы сами рассказали мне, как огорчились, узнав, что
не сможете более рассчитывать на поддержку папы.
На кого еще вы можете положиться? Разумеется,
мне известно, что некоторые иезуиты разделяют ваши
взгляды. Но не думаете же вы всерьез, что они
найдут в себе мужество отстаивать ваши идеи перед
папой? Недавно мне довелось разговаривать с патером
Гринбергером, и я спросил его напрямик, какого он
мнения о вашем «Диалоге».
Галилей. И что ответил вам почтенный патер?
Торричелли. Должно быть, он не хотел
погрешить ни против своей научной совести, ни против
церкви. Он заявил, что высоко ценит вашу
кристально ясную логику и несравненные познания, но
опасается, как бы вы некоторыми своими
недостаточно осторожными выражениями не предоставили
врагам удобный повод ложно истолковать их и тем
настроить против вас влиятельных особ. Гринбергер"
добавил, что лично он никогда не сомневался в
чистоте ваших помыслов. Ваши доводы он считает
заслуживающими всяческого внимания, но полагает,
что иногда вы чрезмерно увлекаетесь, настолько, что
некоторые ваши утверждения вызвали у него серь«
езные возражения.
Галилей. Поистине дипломатический ответ!
Каждый может найти в нем то, что захочет. Вы
правы: на помощь столь осторожных друзей
надеяться не приходится. Что он еще сказал?
Торричелли. Да, быть может, даже это может
сослужить вам неплохую службу. Он сказал, что
считает вас добрым католиком.
Галилей. Патеру Гринбергеру хорошо известно,
что речь идет не о религии. И то, что мои враги
78

выступают против меня в роли защитников церкви,
не должно вводить вас в заблуждение. Они с самого
начала придерживаются этой тактики, и теперь после
многолетних интриг им удалось восстановить церковь
против меня и против науки. Но в действительности
здесь кроется нечто совсем иное!
Торричелли. А кто ваши враги и почему они
с такой ненавистью относятся к вам?
Галилей. Настоящие мои враги — глупые и
бездарные коллеги, шарлатаны, бессмысленно
повторяющие Аристотеля и не желающие взглянуть в мой
телескоп, дабы им не пришлось вносить коррективы
в их ложные теории. Они ненавидят меня из боязни
перед единственно правильным научным методом
изучения природы. Цель философии я усматриваю в
познании законов природы. Достичь этой цели
можно лишь точными наблюдениями, тщательно
продуманными опытами и анализом получаемых данных,
а записать законы природы нам позволяет лишь
математика. Мои же враги понимают под философией
нечто иное: каждый из них норовит угодить в голову
оппоненту подходящей к случаю цитатой из
Аристотеля.
Торричелли. Не понимаю, как можно
отвергать научный метод, если ты стремишься к познанию
природы. Все верное в учении Аристотеля добыто,
если не им самим, то другими древнегреческими
учеными, по существу, тем же методом.
Галилей. Если бы Аристотель был жив и
поныне, то он, несомненно, выступил бы против таких
шарлатанов, причем весьма резко. Не следует,
однако, забывать о том, что эти люди отнюдь не
стремятся к познанию природы, наука не интересует их по-
настоящему, они лишь рядятся в мантию ученых и
заботятся только о том, чтобы им побольше платили.
Я давно уже перестал удивляться тому, что они
строят против меня всяческие козни. Что бы я ни написал
или ни сказал, они непременно к чему-нибудь
придерутся. К интригам их влечет сильнее, чем к
научным исследованиям, и удаются им интриги
несравненно лучше. Жаль лишь, что происки этих людишек
отрывают меня от работы. Лучшие годы ушли у
79

меня понапрасну на защиту от подозрений, на
опровержение ложных измышлений. И вот я уже старик,
а книга, давно задуманная мной, все еще не
написана.
Торричелли. Если бы вы одобрили наш план,
то получили бы наконец возможность работать над
своим сочинением, которого с нетерпением ждут все,
кто интересуется наукой. Не понимаю, почему вы не
хотите избавиться от столь унизительного
положения. От ваших врагов ничего хорошего ждать не
приходится. Ваши друзья не могут вам ничем помочь.
На что вы надеетесь?
Галилей. Мне остается уповать лишь на одно:
на истину! Подумайте сами, какое обвинение мне
можно предъявить? «Диалог», к написанию
которого меня поощрял сам папа, я, как полагается,
представил цензору. Он весьма основательно и
всесторонне изучил рукопись и утвердил ее к печати.
Следовательно, выход в свет «Диалога» не могут вменить
мне в вину. Говорят, что, будь цензор
поосмотрительней, он не разрешил бы напечатать «Диалог». А
какое мне до этого дело? И что они мне могут сделать?
Запретить «Диалог»? Но это меня ничуть не
беспокоит, так как весь тираж давно распродан. Если же
они решат сжечь «Диалог», то не знаю, где им
удастся раздобыть для этого хотя бы один экземпляр
моего сочинения. Было бы совсем неплохо, если бы для
того, чтобы привести приговор в исполнение, им
пришлось отпечатать «Диалог» заново! Впрочем, даже
тогда им не удастся доказать, что цензор, дав
разрешение на издание «Диалога», поступил опрометчиво.
Я строго следовал указаниям кардинала Беллармйно
«не разглашать» учение Коперника. В своем
«Диалоге» я, строго придерживаясь фактов, привел сначала
все аргументы в пользу учения Коперника, а потом
столь же обстоятельно перечислил все аргументы
против него, или, лучше сказать, в пользу
птолемеевой системы. Мои аргументы в пользу
неподвижности Земли были несравненно сильнее, чем у моих
тупологовых противников, с пеной у рта набрасывав
ющихся на Коперника. Убедиться в этом может
всякий, кто прочитает мой «Диалог». Не моя вина, если
80

эти доводы оказались не столь убедительными. Пусть
бросит в меня камень тот, кто сможет привести хотя
бы один довод в пользу неподвижности Земли, не
упомянутый в моем «Диалоге»! На предыдущих
допросах мне так и не удалось высказать им все это.
Меня просто лишали слова и спрашивали вновь и
вновь, почему я не напомнил цензору о том, что еще
в 1616 г. Священная конгрегация рассматривала
вопрос о публикации моего «Диалога». Какая
нелепость! Кто, как не цензор, должен был знать об этом?
В ответ они заявили мне, что я должен был
довести до сведения цензора мнение кардинала Беллар-
мино, высказанное мне шестнадцать лет назад. Но
кардинал только ознакомил меня с решением
Священной конгрегации. Затем меня спросили, говорил
ли Беллармино, чтобы я «не разглашал» учение
Коперника, или настоятельно рекомендовал мне
«никоим образом не затрагивать» его. Разумеется, о том,
чтобы я «никоим образом не затрагивал» учения
Коперника, не могло быть и речи. У меня остался про
запас еще один козырь: письмо от кардинала Беллар-
миноу в котором упоминается наша беседа с ним,
В нем совершенно ясно сказано, что мне вменяется в
обязанность «не защищать учение Коперника».
Синьора Никколини. А что вы станете
делать, если враги ваши предъявят документ с
противоположным утверждением?
Галилей. Не придумывайте! Такого документа
нет и быть не может.
Синьора Никколини. Но бывали же
случаи, когда документы подделывали.
Галилей. Я считаю, что даже мои враги не
способны на такую подлость.
Синьора Никколини. Не следует
забывать, что каждый, кто выступает против истины,
становится неразборчивым в выборе средств и все
сильнее запутывается в хитросплетениях лжи и клеветы.
Почему бы вашим врагам не прибегнуть к
фальшивым документам?
Г а л и л ей. Нет, на это они не способны! Я
убежден: если мне удастся предъявить письмо от
Беллармино, с вопросом о точном смысле полученных
81

мной указаний будет покончено навсегда. Это было
бы очень кстати. Подумать только, они непрестанно
задают мне формальные вопросы, а о главном —
движется ли Земля вокруг Солнца и вращается ли она
вокруг собственной оси или же недвижимо покоится
в центре Вселенной — не было сказано ни слова.
Если бы мне хоть раз представился случай раскрыть
рот, то, полагаю, я смог бы изменить в свою пользу
весь ход дела.
Торричелли. Маэстро, а что бы вы сказали,
если бы такая возможность вам представилась?
Рассеяли бы вы у них все сомнения и принялись бы
доказывать им, что теория Коперника — единственно
верная?
Галилей. Я был бы счастлив, друг мой, если
бы мне это удалось, поскольку у меня нет ни
малейших сомнений в том, что это так. Но, к сожалению,
я не в силах дать безупречное доказательство
правильности коперниковской картины мира. Я могу
лишь доказать, что теория Коперника согласуется со
всеми известными нам фактами, что ни один из них
не противоречит этой теории и что все кажущиеся
противоречия легко объяснимы. Мне удалось
доказать, что если Земля движется, то мы, живущие на
ней и переносимые ею, вообще не можем заметить
этого движения. Следовательно, теорию Коперника
невозможно опровергнуть ссылкой на повседневный
опыт. С движением Земли все обстоит так же, как с
ее шарообразностью. Люди с большим трудом
поняли, что Земля имеет форму шара. Во времена Данте
еще говорили, что представление о шарообразной4
Земле противоречит здравому смыслу, причем в
подтверждение опять-таки ссылались на повседневный
опыт, говорили, что если бы Земля была круглой,
как шар, то люди на противоположной стороне
Земли висели бы вниз головой и не могли бы удержаться
на ее поверхности. А сколько небылиц рассказывали
об антиподах! Ныне об этих дискуссиях никто и не
вспоминает. Люди давно привыкли к мысли о том,
что Земля имеет шарообразную форму. Впрочем, им
не оставалось ничего другого после того, как они
своими глазами увидели, что корабли, отплывшие
82

Iia запад, по прошествии некоторого времени
вернулись с востока. В этом году исполняется сто
одиннадцать лет со дня возвращения из первого
кругосветного путешествия «Виктории», одного из пяти судов
экспедиции Магеллана. Что касается движения
Земли, то пока мы не располагаем столь же доступным
и наглядным доказательством его существования.
Именно поэтому те, кто отстаивает истину, находятся
в довольно трудном положении. Я могу лишь
доказать, что все аргументы, выдвигаемые противниками
Коперника, зиждятся либо на недоразумении, либо
на невежестве. Я могу привести веские доводы в
йользу того, что видимые движения Солнца, Луны и
планет теория Коперника позволяет объяснить
проще, чем система Птолемея. Луны Юпитера, кольца
Сатурна, фазы Венеры и множество других открытых
мной небесных явлений подкрепляют теорию
Коперника, но ни одно из них нельзя считать решающим
доказательством ее правильности. На допросах меня
обвиняли в том, что я написал свой «Диалог» лишь
для того, чтобы доказать правильность теории
Коперника. В ответ я возразил, заявив, что мой «Диалог»
написан с иной целью, и при этом не погрешил
против истины. Правда, я умолчал, что лишь отсутствие
решающего доказательства не позволило мне
посвятить «Диалог» проповеди теории Коперника.
Торричелли. А разве приливы и отливы вы
не считаете решающим доводом в пользу теории
Коперника?
Галилей. Когда я работал над своим
«Диалогом», то придавал вопросу о приливах и отливах
необычайно большое значение. Но перечитав недавно,
по прошествии трех лет, «Диалог», обнаружил, что
тот раздел, где речь идет о приливах и отливах, у5ке
не удовлетворяет меня. Если бы мне довелось писать
«Диалог» заново, то я либо целиком исключил бы
этот раздел, либо изложил его иначе.
Торричелли. Но почему? Ведь приливы и
отливы вы весьма убедительно объяснили двойным
движением Земли.
Галилей. Не поймите меня превратно, Я
отнюдь не утверждаю, будто сомневаюсь в правильно-
83

сти своего объяснения приливов и отливов. Но я
понял нечто другое: приведенные мной доводы
убедительно показывают, что гипотеза о суточном
вращении Земли позволяет объяснить приливы и отливы
проще, чем другие гипотезы, но и только. Поэтому
мое объяснение нельзя считать более решающим
аргументом в пользу теории Коперника, чем все
остальные.
Торричелли. Понимаю.
Галилей. Я вижу, вы размышляете над тем,
стоило ли навлекать на себя столько бед, если все
равно не удалось прийти к окончательному решению
вопроса о правильности теории Коперника. Не нужно
протестовать. Я знаю, что эта мысль напрашивается
сама собой, она вполне естественна. В последние
месяцы и я неоднократно думал над тем, не лучше
ли было бы подождать несколько лет с публикацией
«Диалога». Может быть, за это время мне удалось
бы найти решающее доказательство правильности
теории Коперника? Но, по зрелом размышлении, я
все же решил, что откладывать печатание «Диалога»
не следовало. Я стар и не могу ждать долго. К тому
же я не уверен, что доживу до того времени, когда
кому-нибудь удастся найти решающее доказательств
во. Вместе с тем я чувствую, что найденные мною
аргументы, хотя они и не закрывают проблему
окончательно, достаточно важны для того, чтобы их стоило
поведать миру. Я счел своим долгом собрать
воедино все известные мне доводы в пользу теории Ксшер-
ника, чтобы помочь тем, кто занят поиском
решающего доказательства. Боюсь, что мы еще далеки от
него. Да и саму теорию Коперника не мешало бы
усовершенствовать, поскольку она не вполне точно
описывает движения планет, а расхождения между
теорией и наблюдениями пока не поддаются
объяснению.
Торричелли. Кеплер утверждает, что
лучшего согласия удастся достичь, если принять два
предположения. Он предлагает, во-первых, считать
орбиты планет эллипсами с Солнцем в одном из фокусов
и, во-вторых, отказаться от гипотезы о
равномерности движения планет и предположить, что произведем
84

ние скорости на длину перпендикуляра, опущенного
из фокуса на направление скорости, постоянно.
Галилей. Кеплер действительно высказывает
нечто подобное? Странно, что я не обратил на это
внимание раньше. Впрочем, столь странные гипотезы
вряд ли необходимы. Почему планеты непременно
должны двигаться по эллипсам? Разве не
напоминает это те эпициклы, которыми время от времени
пытались спасти птолемееву систему? Лишь гипотеза о
том, что планеты равномерно движутся по круговым
орбитам, объяснима с точки зрения механики, и пока
мы не располагаем более простым объяснением.
Торричелли. Простое объяснение не всегда
бывает правильным! Разве вы сами, маэстро, не
потешались над глупцами, упорно не желавшими
поверить ,в то, что на* Луне есть горы, хотя, взглянув в
ваш телескоп, они отчетливо могли бы рассмотреть
пики и хребты на лунной поверхности? Их смущало,
что если бы на Луне были горы, то Луна не имела
бы форму идеального шара и, следовательно, не была
бы «совершенной».
Галилей. Что и говорить, аргумент
смехотворный! Еще нелепее была попытка Клавия спасти
шарообразность Луны. Он утверждал, будто впадины
на поверхности Луны заполнены невидимой породой
и поэтому Луна якобы имеет форму идеального
шара, хотя на ней отчетливо различимы горы. С тем
же успехом я мог бы утверждать, что у самого
Клавия ослиные уши, но только не из обычной плоти, а
из абсолютно прозрачной и необычайно тонкой
материи, невидимой, неосязаемой и вообще
недоступной наблюдению. Что же касается эллипсов Кеплера,
то его гипотеза заслуживает тщательной проверки.
Если свобода научного исследования не будет
ограничена, то со временем такую проверку непременно
произведут. А пока самое главное — добиться от
церкви, чтобы она не связывала рук науке ни в
вопросе о движении Земли, ни в других вопросах,
относящихся к природе. Мой «Диалог» иногда
называют символом веры коперниковской системы. На это
я отвечаю, что главную цель «Диалога» вижу в
борьбе за свободу научного исследования. Стремление
85

достичь столь высокой цели побудило меня написать
«Диалог» и вынуждает терпеливо переносить
гонения, выпавшие на мою долю после выхода
«Диалога» в свет. Я беспокоюсь не за судьбу теории Копер*
ника: истинность ее рано или поздно будет
доказана. Меня сильно тревожит другое: если мне не
удастся выиграть судебный процесс, доказать свою
правоту, то наука, по крайней мере у нас, в Италии,
надолго окажется парализованной. Что толку, если бы
мне удалось бежать в Голландию? Я не говорю уже
о том, что с трудом могу представить, как в моем
возрасте все начинать заново. Побег означал бы, что
я признал свое поражение прежде, чем противнику
удалось одержать победу. Нет, до тех пор покуда во
мне теплится хотя бы искра надежды, я не могу
согласиться на побег. Прошу вас, передайте мои
наилучшие пожелания вашим друзьям! Мне было
приятно узнать, что есть люди, готовые всеми силами
прийти ко мне на помощь.
Т о р р и ч е л л и. Вы всегда и во всем можете
рассчитывать на меня и моих друзей. Боюсь лишь,
что если мы станем медлить, то можем опоздать с
осуществлением задуманного нами плана. Прощайте,
маэстро! Сообщите, если вы передумаете или вам по-
требуется наша помощь.
Галилей. Прощайте, мой друг! Благодарю вас
и за то, что вы решились ко мне прийти, и за то, что
хотели для меня сделать. Прощайте!
Синьора Никколини. Я провожу синьора
Торричелли... Какой милый молодой человек!
Отведайте этих великолепных персиков из Флоренции,
синьор Галилей! Стоит взглянуть на них, и все
дурные мысли тотчас улетают прочь... Я с интересом
следила за вашей беседой, но, признаюсь, мне не все
было понятно. Если у вас когда-нибудь найдется
немного свободного времени, я бы охотно послушала
ваши пояснения.
Галилей. С превеликим удовольствием готов
хоть сейчас ответить на все ваши вопросы! Мне
приятно беседовать с вами, Катарина. У вас здравый,
острый ум, не испорченный схоластической уче«
ностью.
85

Синьора Никколини. Может быть, вам
лучше отдохнуть? Ведь вы устали от продолжитель-
Йой беседы.
Галилей. Нисколько! Я слегка взволнован, но
бодр и с удовольствием побеседую с вами о чем
угодно. Итак, с чего вы хотели бы начать?
Синьора Никколини. Мне непонятно,
почему о теории Коперника вы сказали, что убеждены
в ее правильности, хотя не можете* доказать этого.
Как можно быть убежденным в правильности того,
что нельзя доказать? Если же у вас имеются веские
причины, чтобы считать теорию Коперника верной,
то для чего тогда вам нужны еще какие-то
доказательства? -
Галилей. Каверзный вопрос! В двух словах на
него не ответишь. Чтобы вам все стало понятно, я с
вашего разрешения сначала расскажу вам кое-что о
научном методе. Но прежде ответьте мне на один
вопрос, который не дает мне покоя: как вам удалось
обнаружить, что ваш слуга шпионит за мной?
Синьора Никколини. Охотно, расскажу
вам, как все произошло. Меня насторожило, что
Джузеппе (так звали этого негодяя) время от
времени исчезал и подолгу пропадал где-то. В прошлую
пятницу я пошла днем на рынок и встретила его в
подворотне, где он о чем-то шептался с
монахом-доминиканцем. Мне это показалось подозрительным, но
я не была уверена в том, что он подослан
инквизицией, и решила его проверить. Я посадила одного
из моих ловчих соколов в мешок и попросила патера
Кастелли отправить его к нам домой, адресовав
синьору Галилею. Когда в дверь постучали, я приказала
Джузеппе пойти открыть и, выждав несколько минут,
отправилась вслед за ним. И что же я вижу? Сокол
летает по всей лестнице, а Джузеппе с руками,
искусанными в кровь, пытается поймать его. Теперь я
была почти уверена в том, что Джузеппе подослан
инквизицией, но все же кое-какие сомнения у меня
оставались: а вдруг он никакой не соглядатай, а
просто чрезмерно любопытен? Тогда я решила
произвести еще одну проверку. Я написала письмо
архиепископу Асканио Пикколомини, в котором извещала
87

почтенного прелата о вашем здоровье, и как бы
невзначай оставила письмо незапечатанным на столе.
Затем я сделала вид, будто нечаянно пролила
чернила на пол, кликнула Джузеппе, велела ему убрать,
а сама вышла на террасу. Там, стоя к нему спиной,
я в свое венецианское зеркальце принялась
незаметно наблюдать за тем, что он станет делать. Я
увидела, как он быстро пробежал глазами письмо, а
отдельные места даже скопировал. Теперь у меня не/
оставалось никаких сомнений, но все же, желая
проверить свою догадку еще раз, я на следующий день
позвала его и спросила: «Джузеппе, ты умеешь
читать и писать?» Он ответил, что не в состоянии
нацарапать даже собственное имя. «Так ступай
прочь из моего дома! — сказала я ему. — Мне не
нужны неграмотные болваны». Не знаю, право, стоило ли
докучать вам, синьор Галилей, такой длинной
историей.
Галилей. Напротив, премного вам признателен
за вашу историю. Из сказанного вами я вижу, что
вы хотя и не занимались специально изучением
научного метода, имеете о нем более верное
представление, нежели все перипатетики * Падуанского
университета. Как вы действовали? Заметив, что
Джузеппе отлучается из дому, вы стали размышлять, в
чем здесь причина. Увидев, что Джузеппе шепчется
о чем-то с монахом-доминиканцем, вы предположили,
что ваш слуга — соглядатай, подосланный
инквизицией. Затем вы не стали сидеть сложа руки и ждать
новых подтверждений, а вместо этого придумали
эксперимент с соколом, сказав себе: «Если Джузеппе
доносчик, то он непременно захочет узнать, что в
мешке!» И Джузеппе действительно заглянул в мешок*
Другой бы на вашем месте довольствовался этим
и считал свои подозрения доказанными. Но вы
мыслите глубже и спросили себя: «Можно ли поведение
Джузеппе объяснить как-нибудь иначе, а не только
тем, что он соглядатай?» И сами себе ответили: «Да,
* Перипатетики — философская школа последователей
Аристотеля, существовавшая почти 900 лет C35 г. до н. э. -—
529 г. н.э.). Название происходит от греческого jtepittatrjTiaeoa-^
любитель прогулок, поскольку сам Аристотель обычно проводил
занятия преимущественно во время прогулок. — Прим. ред, ^
88

слуга может быть излишне любопытным». Еы
поняли, что, хотя проведенный вами эксперимент привел
к тому результату, который вы ожидали получить,
его отнюдь нельзя считать решающим. И тогда вы
придумали новый эксперимент с письмом.
Закончился он именно так, как вы и ожидали. И все же вы
сочли необходимым произвести последнюю проверку
и спросили Джузеппе, умеет ли он писать и читать.
Лишь когда тот солгал вам и притворился
неграмотным, вы окончательно убедились в том, что перед вами
соглядатай, и выгнали его из дома. Тем, кто
занимается изучением тайн природы, приходится
действовать так же. Сначала на основе наблюдений
выдвигается гипотеза. Затем, чтобы проверить ее, ставят
тщательно продуманный эксперимент.
Естествоиспытатель не может довольствоваться случайно
подслушанными словами природы. Производя эксперименты,
он подвергает природу жесточайшему допросу. Если
эксперимент не привел к тому результату,
который можно было ожидать, исходя из гипотезы,
то гипотезу надлежит отвергнуть. Если же
эксперимент закончился так, как следовало ожидать, то это
еще ничего не доказывает, поскольку
экспериментатор должен спросить себя: а нельзя ли исход
проведенного эксперимента объяснить как-нибудь иначе?
Если такое объяснение удастся найти, то есть если
существует другая гипотеза, позволяющая объяснить
исход эксперимента, то необходимо придумать новый
эксперимент, который бы приводил к другому
результату и позволил бы выяснить, какая из двух
гипотез верна. Если исход нового эксперимента будет
находиться в согласии с первой гипотезой и
противоречить второй гипотезе, то вторую гипотезу следует
либо отвергнуть, либо по крайней мере изменить.
Синьора Никколини. Но так может
продолжаться без конца! Всегда можно подобрать
достаточно хитроумную гипотезу, которая позволит
«объяснить» результаты всех ранее проведенных
экспериментов. Например, то, что Джузеппе прочитал
оставленное на столе письмо, могло объясняться его
неуемным любопытством. То, что отдельные места он
тщательно переписал, одним лишь любопытством не
объяснишь, но вполне подходит другое объяснение;
89

Отдельные обороты так понравились ему, что он не
&лот удержаться и переписал их. То, что он солгал
мне, когда я спросила его, умеет ли он читать и
писать, также вполне объяснимо: Джузеппе
испугался, что, я поручу ему работу переписчика. Разве это
не означает, что .гипотезы о природе мы можем лишь
опровергать, но нам никогда не удастся доказать ни
одну из них?
Галилей. Не означает. Разумеется, после
каждого эксперимента, исход которого противоречит
гипотезе, мы можем видоизменить неверную гипотезу,
исхитриться, «вывернуться» так, что нам покажется,
будто противоречие устранено. Но далеко не
безразлично, позволяет ли одна простая и естественная гипо-
теза заранее предсказать исходы множества
независимых экспериментов, или же для того, чтобы спасти
гипотезу, опровергнутую очередным экспериментом,
нам приходится вводить в нее новые, каждый раз все
более хитроумные изменения. С каждым новым
экспериментом, исход которого предсказуем заранее на
основании принятой нами гипотезы и с трудом
согласуется с другой гипотезой, крепнет наша уверенность
в том, что наша гипотеза верна. Если число экспери*
ментов, подкрепляющих нашу гипотезу, достаточно
велико, мы можем быть твердо уверенными в том,
что принятая нами гипотеза верна (хотя, по
существу, у нас нет решающего доказательства ее
правильности).
Синьора Никколини. Я начинаю
понимать. Если я вижу, что рубашка стара и изношена
настолько, что стоит поставить заплату на одном
месте, как она тотчас же рвется в другом, то мне
следует призадуматься над тем, нужно ли вообще
чинить такую рубашку или ее лучше выбросить. Но вы
еще не ответили на мое замечание 6 том, что мы ни*
когда не можем с уверенностью сказать, верна ли
принятая нами гипотеза о природе.
Галилей. В действительности ни одну
физическую гипотезу о природе невозможно доказать так,
как мы доказываем математическую теорему, то есть
вывести из основных постулатов или аксиом,
представив в виде последнего звена цепочки логических умо«.
заключений. Наши гипотезы о природе, по существу,
90

представляют собой аксиомы, и доказать их матема*
тически невозможно. Доказать аксиомы геометрии мы
также не в силах. Но в том, что они верны, нас
убеждает весьма немаловажное обстоятельство: по-
строенная на этих аксиомах геометрия правильно
описывает пространство, в котором мы живем. Вооб»
ще говоря, физические гипотезы также не поддаются
прямой проверке при помощи эксперимента. Мы
можем лишь, исходя из принятых нами гипотез, строить
прогнозы относительно того, как будут протекать на*
блюдаемые, допускающие экспериментальную
проверку явления, и проверять свои предсказания.
Чтобы вывести следствия из исходных гипотез, мы
прибегаем к математическим методам: принимаем
гипотезы за аксиомы и извлекаем из них следствия со
всей обычной для математики строгостью.
Синьора Ни к к о л и н и. Только теперь я
начинаю понимать, почему математика столь
необходима для изучения природы.
Галилей. До сих пор я успел назвать лишь
одну из причин, почему математика незаменима для
изучения природы, но существует еще одна, гораздо
более глубокая причина: законы природы можно
сформулировать только на математическом языке, то
есть представить их в виде соотношений между
выражениями, в которые входят различные физические
величины, каждая из которых характеризуется
определенными числовыми значениями. Свою мысль я
выражу иначе: читать великую Книгу Природы может
лишь тот, кто знает язык, на котором написана эта
Книга, и язык этот — математика. Те, кто лишь
болтает о природе, вместо того чтобы наблюдать ее к
при помощи экспериментов заставлять рассказывать
о себе, никогда не смогут по-настоящему постичь
природу. Но если нам удастся заставить природу за«
говорить, то она заговорит на языке математики, и
если мы не будем знать этого языка, то напрасными
окажутся все наши старания: понять, о чем говорит
с нами природа, невозможно. Заблуждается тот, кто
считает (а таких, к сожалению, немало), что язык
этот достаточно изучить лишь поверхностно: легко
может случиться, что он не поймет то, о чем говорит
природа, а если сам попытается что-нибудь сказать
91

на языке математики, то раздастся лишь жалкий
лепет. Среди естествоиспытателей найдется немало
философов, которые придерживаются весьма странных
(я бы сказал, даже варварских) взглядов на
математику. Ныне они уже не могут отрицать, что
математика необходима, но полагают, будто каждому, кто
применяет математику для изучения природы, нет
надобности знать ее в совершенстве. Эти
недальновидные люди утверждают, что их интересуют лишь
конечные результаты и у них нет ни времени, ни
желания вдаваться в детали доказательств или
вникать в точные формулировки теорем. Это столь же
неслыханная глупость, как если бы кому-нибудь
пришло в голову заявить: «Обрежем корни и листву
дерева, потому что нам нужны только его плоды».
Математика — единое целое, и тот, кто хочет вкушать
от ее плодов, должен, желает он того или нет, не
забывать об этом.
Синьора Никколини. Не понимаю, как
можно применять математику и в то же время столь
безрассудно и злонамеренно идти наперекор ее духу.
Я делаю в математике лишь первые шаги и знаю
лишь то, что успела почерпнуть у вас, синьор
Галилей, во время наших бесед, поэтому с моей стороны
было бы непростительной дерзостью, если бы я
вздумала высказать свое мнение по столь серьезному
вопросу. Но и мне удалось кое-что понять. Впрочем, не
стану вас утомлять: ведь все, о чем бы я ни
захотела сказать вам, синьор Галилей, давно известно.
Галилей. Не робейте, говорите смелее. Мне
очень интересно узнать, что вы извлекли для себя из
наших- бесед. Ваш беспристрастный взгляд нередко
позволяет вам подмечать то, что ускользает от
многих из моих ученых коллег.
Синьо ра Никколини. По-моему, нельзя
считать, что понял математическую теорему, до тех
пор, пока до конца не разобрался в ее доказательств
ве. Иногда весь смысл теоремы доходил до меня
лишь после того, как вы, синьор Галилей, приводили
второе доказательство ее, полностью отличное от
первого. Должна признаться, что, когда вы в первый
раз привели несколько доказательств одной теоремы,
мне было непонятно, к чему такое обилие доказа*
92

тельств. «Разве не достаточно одного?» — подумала
я тогда. Но потом я поняла, что знать несколько
доказательств действительно полезно. Скульптуру
недостаточно видеть с одной точки зрения. Ее
необходимо обойти со всех сторон. Я понимаю, что трудные
доказательства отпугивают многих. И я сама не раз
пугалась длинной и запутанной цепочки
рассуждений, которую мне предстояло проследить шаг за
шагом. Я чувствовала себя, как скалолаз, с риском для
жизни взбирающийся по крутому склону к- вершине:
стоит лишь раз оступиться и упадешь в пропасть. Но
когда удалось взобраться на вершину и перед тобой
открывается не только пройденный путь, но и
бескрайняя ширь, то чувствуешь себя с лихвой возна*
гражденным за все трудности. Сначала лишь
ожидание того сладостного момента, когда содержание
теоремы раскрывается во всей своей полноте, давало
мне силы следить за ходом трудного доказательства,
но со временем я стала замечать, что неожиданный
поворот в рассуждениях или использование какого-
нибудь тонкого соображения доставляет мне не
меньшее наслаждение, чем музыка. Я думаю, что и
скалолазам знакомо это чувство: сначала они подвергают
себя тяжким испытаниям в предвкушении чудесного
вида, который открывается им с вершины горы, но
когда они наберутся опыта, то и сам подъем на
кручи, преодоление препятствий, изыскание новых
приемов скалолазания начинает доставлять им не
меньшее удовольствие.
Галилей. Вы даже не знаете, сколь удачно
ваше замечание. За всю мою долгую жизнь мне
посчастливилось встретить лишь очень немногих
учеников, которые бы столь глубоко понимали и меня
самого, и дух математики. Поэтому наши беседы
доставляют мне живейшую радость. Рассказывая вам
что-нибудь новое, я всегда слежу за выражением
ваших глаз. Стоит им загореться, как я знаю, что вы
ухватили самую суть. На протяжении всей моей
жизни огонь в глазах учеников всегда приносил мне
глубочайшее удовлетворение. Я позволю себе сравнить
этот огонь с пламенем в печи: сначала мы высекаем
искру, потом раздуваем ее и лишь потом вспыхивает
яркое пламя. Иные учителя пытаются преподавать
93

математику, заставляя своих учеников выучивать
наизусть правила и набивать руку нескончаемыми
упражнениями. Основное значение они придают
формулированию чисто механических навыков. Таких учи*
телей я считаю круглыми невеждами, их уроки
немногого стоят. Истинный учитель стремится к тому,
чтобы его ученики докапывались до первопричин,
постигли глубинную сущность, и всячески поощряет
самостоятельность мышления. Тот, кто, не понимая, в
чем суть дела, выучивает лишь рецепт, не сможет
даже правильно им воспользоваться, ибо хорошо
считать может тот, кто хорошо мыслит. Кто только
считает, вместо того чтобы мыслить, чаще всего считает
слишком сложным способом и нередко не то, что
нужно. Полученный им результат не стоит и
выеденного яйца, даже если все сосчитано верно. К
сказанному вами я хотел бы добавить лишь два соображе*
ния. Математика полезна и даже необходима, если
мы хотим познать природу и обратить на службу
себе ее силы (например, строить различные
машины). Но при всем том математика интересна и
прекрасна, это — волнующее и увлекательное
приключение человеческого разума. Я глубоко убежден, что
красота математики не случайна, она заложена изна*
чально в самой природе математики. Подлинная
истина всегда прекрасна, а подлинная красота всегда
истинна. Древние греки отлично это знали. Те же
философы, о которых я сказал, что они
придерживаются варварских взглядов на математику, этого на
понимают. Они не воспринимают красоту
математики, не приближаются к математике настолько, чтобы
можно было явственно ощутить ее красоту. Если
кому-нибудь из них все же случится заметить, как
прекрасна математика, то к своему наблюдению он
относится с подозрением. Красоту эти слепцы считают
излишней роскошью и полагают, что, отворачиваясь
от прекрасного, они становятся ближе к
действительности. Им доставляет наслаждение именовать себя
практиками. К тем же, кто проникся истинным духом
математики, они относятся с презрением и называют
их фантастами, витающими в облаках. Нет ничего
более беспочвенного, чем высокомерие, которым эти
люди пытаются скрыть свою ограниченность. Движим
94

мый тем же высокомерием, Александр Великий
разрубил мечом гордиев узел, когда понял, что не в
силах развязать его. При дворах восточных тиранов
искусство и наука действительно были роскошью. Но
уже у древних греков искусство и наука стали
неотделимой частью жизни. Действуя различными
средствами, они служили единой цели: познанию человеком
самого себя и окружающего мира. Теперь, две
тысячи лет спустя, мы наконец можем продолжить то, что
начали древние греки. И начать нам следует с того,
на чем остановился Архимед.
Синьора Никколини. Вы совершенно
правы, и наши художники также считают себя
преемниками античного искусства. Но, синьор Галилей, вы
упомянули о двух замечаниях, а сделали только
одно. Где же второе?
Галилей. Мое второе замечание тесно связано
с первым. До сих пор я говорил о красоте
математики, о радости, которую доставляет постижение
математических истин, заставляющей глаза сиять от
восторга. В этом отношении математика весьма близка
к искусству, волнующему и трогающему нас встречей
с прекрасным. Однако эта радость дается не даром:
чтобы ощутить ее, необходимо упорно работать. Ваше
сравнение со скалолазами весьма удачно, поскольку
затрагивает и эту сторону дела. Любое сколько-йи-
будь заметное продвижение в математике требует
напряженной работы ума. Но тот, кто испытал радость
познания, постиг красоту математики, не сочтет
чрезмерной платой любое напряжение сил. Одну из глав*
ных целей обучения математике я вижу в том, чтобы
приобщать начинающих к красоте математики и,
опираясь на нее, вырабатывать дисциплинированное
логическое мышление и умение сосредоточивать всю
силу разума на решаемой задаче. Без этих качеств
в математике невозможно достичь успеха. И
последнее: тот, кто занимаясь математикой, приобщится к
искусству логического мышления, сможет
пользоваться им во всех областях жизни.
Синьора Никколини. Значит, вы не
согласны с теми, кто утверждает, будто все беды от
того, что каждый думает своей головой и видит
избавление, от всех зол в послушании авторитетам?
95

Галилей. Всю свою жизнь я борюсь с такими
взглядами. Именно поэтому я и нахожусь теперь на
положении обвиняемого. Приведу лишь один пример.
Аристотель считал, что для поддержания
равномерного прямолинейного движения необходима сила. Он
заблуждался. Главный тезис моего нового сочинения,
подкрепленный многочисленными наблюдениями, как
раз и состоит в том, что сила необходима лишь для
изменения скорости движения! Если же на
движущееся тело не действует никакая сила, то скорость
его остается неизменной. Чтобы осознать этот
простой факт, без которого невозможно понять сущность
движения, людям понадобилось почти две тысячи
лет, и все потому, что авторитету Аристотеля они
доверяли больше, чем своим глазам. Я же всегда
стремился думать собственной головой, и если мне
удалось чего-то достичь, то обязан я этим лишь
тому, что не следовал авторитетам. В повседневной
жизни самостоятельность мышления необходима
ничуть не меньше, чем в науке! Я не считаю людей
овцами, рсоторым лающие собаки не должны давать
отбиться от стада. Люди отличаются от животных
прежде всего тем, что обладают способностью
мыслить. Те же, кто не хочет, чтобы человек думал
самостоятельно, низводят людей до положения
.животных. Впрочем, мы далеко отклонились от темы нашей
беседы. Не знаю, удалось ли мне ответить на ваш
вопрос.
Синьора Никколини. Мне не всегда было
понятно то, о чем вы говорили с синьором Торричел-
ли, когда упоминали о решающих доказательствах
правильности теории Коперника. Из того, что вы
сказали, я поняла, что привести решающее
доказательство вообще невозможно.
Галилей. Вы ошибаетесь, синьора.
Доказательство, которое окончательно опровергает гипотезу
о том, что Земля неподвижно покоится в центре
мироздания, а Солнце обращается вокруг Земли,
привести можно. Когда я говорил о решающем
доказательстве в пользу теории Коперника, то имел в виду
наблюдение или опыт, которые нельзя объяснить
сколько-нибудь разумно в рамках птолемеевой
системы. Поисками такого доказательства я занят непре-
96

станно. Чтобы понять, почему эта проблема столь
трудна, вообразите следующий опыт. Представьте
себе, что вы находитесь на корабле в каюте без
окон. Проснувшись ночью, вы не сможете определить,
стоит ли корабль на месте или движется равномерно
и прямолинейно, поскольку, какими бы
измерительными приборами вы ни располагали и какие бы
опыты ни производили, вам не удастся отличить
состояние покоя от состояния равномерного и
прямолинейного движения, не выходя из каюты. Например, если
вы выпустите из рук какой-нибудь предмет, то рн
будет падать совершенно одинаково и в том случае,
если корабль стоит, и в том случае, если корабль
движется прямолинейно с постоянной скоростью по
прямой. Но если движение корабля изменится
(корабль ляжет на другой курс, ускорит или заменит
свой ход), то вы это сразу заметите. Если же корабль
движется равномерно и прямолинейно, то установить
это, находясь в закрытой каюте, невозможно. Вот
если бы в вашей каюте было окно, то, выглянув из
него, вы могли бы установить, движется ли корабль
относительно берега. Иное дело, если корабль вышел
в открытое море и из окна вашей каюты в лучшем
случае можно увидеть какое-нибудь другое судно.
Заметив, что корабль, на борту которого вы
находитесь, движется относительно другого судна, вы не
сможете установить, что происходит: движется ли
ваше судно, а другое стоит, или ваше судно стоит,
а другое движется, или же движутся оба судна.
Синьора Никколини. Это мне понятно, но
по теории Коперника Земля не движется равномерно
и прямолинейно относительно Солнца, а обращается
вокруг него. Разве движение Земли вокруг Солнца
нельзя сравнить с движением судна, непрестанно
меняющим курс? А это, как вы сказали, можно
установить, даже если находишься в закрытой
каюте.
Галилей. Если судно меняет свой курс очень
медленно, то заметить изменение трудно. Мы хорошо
ощущаем лишь внезапные изменения направления.
Чтобы совершить один оборот вокруг Солнца, Земле
требуется целый год, поэтому за несколько часов
направление, в котором движется Земля, успеваем
4 Зак. 401 97

измениться лишь весьма незначительно. Наблюдать
столь малые изменения необычайно сложно.
Синьора Никколини. А можем ли мы ус*
тановить, что Земля вращается вокруг собственной
оси? Если я правильно помню, то, согласно
Копернику, Земля успевает совершить один полный оборот
.вокруг своей оси за сутки. Существует ли
какой-нибудь способ, позволяющий непосредственно
наблюдать это вращение?
Галилей. Судя по вашему вопросу, вы хорошо
представляете, какого рода решающие
доказательства я ищу. Но, как я уже говорил, пока мне не уда*
лось их найти. Тем не менее меня не покидает
надежда, что рано или поздно науке удастся заполу*
чить такие доказательства.
Синьора Никколини. Вы говорили о том,
что законы природы можно выразить лишь на языке
математики. Я не совсем поняла, что вы имели в ви-
ду. Не могли бы вы привести какой-нибудь
пример?
Галилей. Прошу вас, подойдите к окну.
Смотрите: вот мячик, я возьму его и брошу из окна.
Следите внимательно за тем, как он будет падать из
окна на землю. Что вы заметили?
Синьора Никколини. Мне показалось, что
мячик падал все быстрее и быстрее.
Галилей. Правильно, но как изменялась его
скорость? Оказывается, движение мячика подчинено
простому закону: если сравнить расстояния,
проходимые мячиком за равные промежутки времени, то
выяснится, что они относятся между собой, как
нечетные числа. Иначе говоря, за вторую секунду мячик
проходит втрое большее расстояние, чем за первую,
за третью секунду он успевает пройти в пять раз
большее расстояние, чем за первую, за четвертую
секунду — в семь раз большее расстояние, чем за
первую, и так далее. Иначе говоря, падающее тело
совершает равноускоренное, или «равномерно
неравномерное», движение. Схоласты пытались
рассматривать равноускоренное движение, но не
воспользовались математическими методами, а понять такое
движение без математики невозможно.
Синьора Никколини. Как интересно!
98

Галилей. Подождите, я еще не рассказал вам
всего," чгГд хотел, о свободно падающем теле. Все,
что вы успели сказать, можно выразить одной
фразой: скорость падающего тела возрастает
пропорционально времени. Выясним, какое расстояние успевает
пройти падающее тело от начала движения до
произвольно выбранного момента времени. Пусть а —
расстояние, пройденное телом за первую секунду.
Тогда за вторую секунду тело, как я уже говорил,
проходит расстояние За и, следовательно, за две
первые секунды падания успевает пройти расстояние
а + За = 4а. Вы еще помните, какое расстояние
проходит тело за третью секунду?
Синьора Никколини. Разумеется, помню:
5а. Следовательно, за первые три секунды падающее
тело успевает пройти расстояние 4а + 5а = 9а, а
поскольку, как вы сказали, за четвертую секунду оно
проходит расстояние 7а, то за четыре секунды после
начала падения оно проходит расстояние 16а.
Галилей. Итак, за две секунды падающее тело
проходит расстояние 4а, за три секунды —
расстояние 9а, за четыре секунды — расстояние 16а. Не
замечаете ли вы какой-нибудь закономерности в этих
числах?
Синьора Никколини. Мне кажется, что
число, показывающее, во сколько раз расстояние,
пройденное падающим телом, больше расстояния,
пройденного им за первую секунду, совпадает с
квадратом числа секунд, отсчитанных от начала падения.
Я правильно угадала?
Галилей. Правильно. Более того, подмеченная
вами закономерность верна не только для целого
числа секунд, но и для любых отрезков времени.
Синьора Никколини. А можно ли
доказать это в общем виде?
Галилей. Можно, причем очень просто.
Проведем прямую и пометим на ней точку, которую мы
условно примем за начало движения. Кроме того,
выберем произвольный отрезок и будем считать, что
его длина соответствует единице времени. Каждая
точка, лежащая на прямой справа от помеченной
точки, изображает некоторый момент времени: измерив
расстояние от этой точки до помеченной в длинах
4* 99

выбранного нами отрезка, мы узнаем, сколько
времени прошло от начала падения. Из каждой точки на
прямой восставим перпендикуляр и отложим на нем
отрезок, равный скорости падающего тела,
соответствующий точке на нашей прямой. Так как скорость
У(скарость)
f (время)
Движение с постоянной скоростью
t, tt
Движение с кусочно-постоянной* споростью*
s lot t l
Р„ • t Pt
Движение с равномерно изменяющейся ащ^
РИС. 4.
падающего тела возрастает пропорционально
времени, то концы отложенных на перпендикулярах
отрезков будут лежать на луче, выходящем из начальной
точки.
Синьора Никколини. Это понятно. Но я
хотела спросить вас вот о чем: как можно, взглянув
на такой чертеж, определить расстояние, пройденное
телом к определенному моменту времени?
100

Галилей. Очень просто. Это расстояние равно
площади треугольника, образованного тремя
прямыми: осью времени, прямой, на которой лежат концы
скоростей, и перпендикуляром, восстановленным из
интересующей вас точки на оси времени.
Синьора Никколини. Если вас не
затруднит, объясните поподробнее. Я все еще не понимаю.
Галилей. Пусть тело движется равномерно, то
есть скорость его постоянна. Тогда пройденное им
расстояние равно произведению скорости на время,
которое оно находится в движении. Если время
откладывать по горизонтальной, а скорость — по
вертикальной оси, то пройденное телом расстояние
равно площади прямоугольника, построенного на
отрезках, соответствующих его скорости и
продолжительности движения. Но если тело движется с переменной
скоростью, то вычислить пройденное им расстояние
несколько сложнее, но и в этом случае оно равно
площади некоторой фигуры. Например, если скорость
тела сначала постоянна, а затем скачком изменяется
до какого-то другого значения, то расстояние,
пройденное телом, равно сумме площадей двух
прямоугольников. Если скорость неоднократно изменяется
скачком, но между двумя скачками постоянна, то
пройденное телом расстояние равно сумме многих
различных по величине прямоугольников. Наконец,
если скорость непрерывно, но равномерно
изменяется, то путь, пройденный телом, равен площади
треугольника. В этом вы убедитесь, если представите
себе, что треугольник составлен из бесконечно
многих параллельных отрезков различной длины, то есть
из бесконечно многих бесконечно узких
прямоугольников.
Синьора Никколини. Даже не верится!
И об этом вы расскажете в своем новом сочинении?
Галилей. И об этом, и о многих других
законах движения. Вы знаете, как вычислить, где будет
находиться падающий камень через две или три
секунды после начала движения, но точно так же
можно вычислить, что камень, брошенный под углом к
горизонту, опишет параболу, определить, с какой
скоростью он будет двигаться и где упадет на землю.
Все эти вопросы представляют не только практиче-
101

ский интерес. Рассматривая их, я покажу, как ком*
бинировать различные законы движения. Мне всегда
было непонятно, как люди, научившиеся со времен
Птолемея или даже с более глубокой древности
вычислять видимые движения Солнца, Луны и планет,
за которыми изо дня в день, из года в год ведутся
точные наблюдения, чне удосужились толком
выяснить, что происходит со свободно падающим или бро«
шенным под углом к горизонту камнем. Никто из
моих предшественников, кроме, быть может,
Архимеда, не занимался этим. И даже если за это меня
снова станут обвинять в ереси, я, не колеблясь, стану
утверждать: движение тел на Земле происходит по
тем же законам, что и на небе!
Синьора Никколини. Но тогда всю
Вселенную можно сравнить с гигантским часовым
механизмом, в котором все шестерни от самых больших
до самых малых вращаются так, что движение их
поддается математическому расчету.
Галилей. И все эти поистине удивительные
закономерности составляют лишь одну из глав Книги
Природы. Не следует забывать и о том, что в
природе в изобилии встречаются и всякого рода
иррегулярности, беспорядок и случайность.
Синьора Никколини. Что вы имеете в
виду?
Галилей. Вспомните хотя бы о новых звездах,
время от времени вспыхивающих на небе, как это
было около шестидесяти лет назад. В течение нес^
кольких лет они ярко сияют, а потом столь же
неожиданно, как и появились, исчезают. Вспомните о
пятнах на Солнце, которые обращаются вокруг
Солнца в непосредственной близи от его поверхности. Они
то увеличиваются в размерах, то уменьшаются, то
появляются, образуя скопления, то исчезают.
Вселенная ничем не напоминает часовой механизм. Она
скорее похожа на ветреную, капризную женщину.
Синьора Никколини. Должно быть, в
Книге Природы есть и такая глава, которая написа^
на не на языке математики. Капризы и причуды не
поддаются вычислениям!
Галилей. Вы заблуждаетесь, синьора, хотя
ваша ошибка вполне понятна, математическое опи-
102

<сяга$е случайных явлений делает лишь первые шаги.
И все же недавно мне на простом примере удалось
показать, что математическое описание таких явле-
ний возможно.
Синьора Никколини. А что это за пример?
Галилей. Игра в кости, древняя, как мир, но
не забытая и поныне. Когда мы бросаем игральную
кость, то, какой гранью она выпадет, зависит
целиком от случая. Если грани пометить, как обычнр,
одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью
очками и бросить кость один раз, то утверждать можно
лишь одно: число выпавших очков может быть
любым от 1 до 6. Но стоит бросить кость несколько раз
подряд, как нетрудно подметить определенную
закономерность: все шесть граней выпадут
приблизительно одинаковое число раз. Еще интереснее бросать
одновременно две игральные кости и складывать
выпавшие на них очки. Как вы думаете, удастся ли в
этом случае заметить какую-нибудь
закономерность?
Синьора Никколини. Мне ясно лишь, что
сумма очков может быть любым числом от 2 до 12.
Галилей. Вы, безусловно, правы, но не все
одиннадцать чисел встречаются одинаково часто.
Чаще всего примерно в Ve всех случаев сумма
выпавших очков оказывается равной 7. Затем идут
суммы, равные 6 и 8: каждая из них встречается
примерно в 5/зб всех случаев, а 5 и 9 — в */э всех случаев.
В Vi2 всех случаев сумма выпавших очков равна
4 и столь же часто 10. В 1/& всех случаев сумма
равна 3 или И, а каждая из сумм, равных 2 и 12,
встречается лишь в Узб всех случаев.
Синьора Никколини. Звучит весьма
загадочно. А почему так происходит?
Галилей. По очень простой причине. Например,
четыре очка мы можем получить при бросании костей
тремя способами: если на первой кости выпадет одно
очко, а на второй три очка, или если на первой кости
выпадет 3 очка, а на второй одно очко, или, наконец,
если на обеих костях выпадет по 2 очка. Двенадцать
очков мы можем получить лишь в
одном-единственном случае: если на обеих костях выпадет по шесть
ЮЗ

очков. Поэтому и сумма очков, равная 4, будет ветре*
чаться в три раза чаще, чем сумма очков, равная 12.
Синьора Никколини. Когда-нибудь я сяду
играть в кости и проверю, сбываются ли эти
предсказания математики случайного* Как вы полагаете,
i
y//,
ш
Щ
V//
Ш
w
Щ
Ш
m
V//
У/л
3* 1+2*2+1
S*1+b*2*3*3+2*W
6 = 1+&ж2+Ь~3+3* 4+2*5+1
W
1
Ш
7* 1+ 6- 2+5* 3+Ь=Ь+3*5+2*6+Т
8* 2+6*3+5=4+4*5+3*6b
t
0* 3+6 **t\ 5-5* ***.$+$ *
W- 4 \ 6*5+5* 6+
5+i
•
/2*
6+6
РИС. 5.
синьор Галилей, много сумею я выиграть со своими
познаниями?
Галилей. Игра считается справедливой, если
правила ее составлены с таким расчетом, чтобы? ни
один игрок не имел преимуществ перед другими. Если
же правила игры составлены неудачно, то один из
игроков может получить больший выигрыш. Только
для этого ему необходимо располагать изрядной
104

суммой денег, чтобы суметь продержаться до тех пор,
пока законы случая не станут благоприятствовать
ему.
Синьора Никколини. Вот уж никогда не
думала, что и в азартных играх таится математика.
А как называется раздел математики, который
занимается изучением законов случая?
Галилей. Он так молод, что еще не имеет
своего названия.
Синьора Никколини. А как могло
случиться, что я о нем ни разу не слышала?
Галилей. Математики, имевшие обыкновение
заниматься изучением различного рода
закономерностей и точных зависимостей, до недавнего времени
побаивались приниматься за исследование законов
случая, опасаясь, что это им не по силам. В
обоснованности подобных сомнений их укреплял авторитет
Аристотеля, считавшего, что математика должна
заниматься изучением неизменного. А что более
подвержено всяким переменам, чем случай? Изучению
законов случайного препятствовали и гораздо более
древние предрассудки. С незапамятных времен люди
привыкли усматривать волю богов в таких случайных
явлениях, как бросание игральных костей, полет
птиц, причудливые извивы линий на печени
жертвенных животных, и созерцали их со страхом. Мысль
о том, что человеческий разум может найти
объяснения всем этим явлениям, казалась кощунственной.
Но для того человеку и дан разум, чтобы его
использовать.
Синьора Никколини. В математике (хотя
я знаю о ней лишь то, что успела почерпнуть из
бесед с вами) меня привлекает ее способность делать
простым самое сложное. Многое из того, что было
запутанным и непонятным, в свете математической
истины приобретает кристальную прозрачность и
становится почти очевидным.
Галилей. Что верно, то верно. Но не могу не
заметить: иногда математике удается показать, что
кажущаяся простота обманчива и таит в себе
значительную сложность.
Синьора Никколини. Что вы имеете в
виду, синьор Галилей?
105

Галилей. Приведу лишь один простой пример.
Выпишем на листок бумаги целые числа, начиная с
нуля. Представим себе, что наша числовая
последовательность продолжается до бесконечности. Будем
вычеркивать из нее все квадраты. Обратите
внимание: чем дальше мы продвигаемся, тем реже
встречаются квадраты и тем больше промежутки между
двумя соседними квадратами.
Синьора Никколини. Действительно,
расстояния между соседними квадратами равны 1, 3, 5,
7,9.... нечетным числам!
Галилей. Так же как расстояния, проходимые
за равные промежутки времени падающим камнем.
Впрочем, не об этом речь. Сейчас нас интересует
лишь, почему квадраты по мере возрастания целых
чисел встречаются все реже. Верно ли утверждение
о том, что квадратов меньше, чем всех целых чисел?
Синьора Никколини. Безусловно.
Галилей. Тогда проделаем вот что. Напишем
под каждым целым числом его квадрат: ч
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
Все квадраты стоят во второй строке, и каждый
встречается лишь один раз, не так ли?
Синьора Н и кко л и ни. Так! -
Галилей. Под каждым числом из верхней
строки стоит какое-то число из нижней строки.
Разве не доказывает это со всей очевидностью, что в
нижней строке столько же чисел, сколько и в
верхней? И вы по-прежнему утверждаете, что квадратов
меньше, чем всех целых чисел? Должно быть, мы
ошибались, когда думали, что это так.
• Синьора Никколини. Ваш пример совсем
сбил меня с толку. Какая мораль из него следует?
Галилей. То, что верно для конечного
(например, такое утверждение, как «часть меньшего
целого»), перестает быть верным для бесконечного. По
существу, это заметил еще Зенон: вспомним хотя бы
его апорию «Стадий». Зенон обратил внимание на
следующее обстоятельство. Если все точки отрезка
fi'C', параллельного основанию ВС треугольника
106

и соединяющего середины сторон, выходящих из
вершины Л, спроектировать из этой вершины на ВС, то
каждой точке отрезка В'С' будет соответствовать
какая-то точка основания ВС и, наоборот, каждой
точке основания будет соответствовать какая-то
точка отрезка В'С' (например, точке Р' будет
соответствовать точка Р, а точке Р — точка Р').
Следовательно, на отрезке В'С', параллельном и
равном отрезку ВА', где А' — середина стороны
ВС, умещается столько же точек, как и на вдвое
большем отрезке ВС. Правда, Зенон не знал, что,
6 р а'
РИС. 6.
по существу, тот же самый парадокс возникает и в
связи с целыми числами.
Синьора Никколини. Точно так же можно
показать, что четных чисел столько же, сколько всех
целых чисел, хотя четно лишь каждое второе из
целых чисел.
Галилей. Я вижу, вы отлично усвоили все, о
чем мы говорили. Ведь только то, что понято до
конца, можно видоизменять и преобразовывать по-сврему,
как бы создавая заново.
Синьора Никколини. Вы, как всегда,
правы. Того, кто неотступно следует наставлениям
поваренной книги, не назовешь хорошим кулинаром.
.Искусный повар не боится отойти от проверенных
рецептов. Он вносит в них то одни изменения, то
другие. Прибавит или убавит специй. Зато одно и то же
107

блюдо, сколько бы раз он его ни готовил, всегда
имеет новый вкус.
Галилей. Иначе говоря, искусный повар
экспериментирует так же, как и естествоиспытатель. При
этом у него есть одно неоспоримое преимущество
перед естествоиспытателем: он не боится, что его
обвинят в ереси!
Синьора Никколини. Синьор Галилей, вы
рассказали мне сегодня столько интересного, что я не
заметила, как пролетело время. Уже поздно, и вам
пора на покой. Мне жаль, что я лишила вас отдыха.
Должно быть, наша затянувшаяся беседа вас очень
утомила.
Галилей. Ничуть. Беседа с вами для меня
всегда радость, тем более что за разговором я забыл о
предстоящем мне судебном процессе.
Синьора Никколини. Я рада, если мне
удалось отвлечь вас от грустных мыслей.
Галилей. Думаете, я не заметил, что вы
нарочно расспрашиваете меня о математике, чтобы дать
мне хотя бы на время позабыть все заботы?
Синьора Никколини. Надеюсь, вы не
сердитесь на меня за это? Однако поверьте, что я
расспрашивала вас о математике не только из тайного
желания отвлечь вас от неприятных размышлений, но
и из любознательности. Впрочем, мне кажется, что
вы, синьор Галилей, без труда читаете не только в
Книге Природы, но и в душах людей. Не понимаю
только, почему бы вам не обратить свое умение
против ваших врагов. Вы могли бы тогда лучше
защищаться и не раздражать их понапрасну.
Галилей. Читать в вашей ангельской душе,
синьора Никколини, для меня не меньшая радость,
чем читать в Книге Природы. Но я не имею
обыкновения заглядывать в души своих врагов: лишь свиньи
любят копаться в грязи.
Синьора Никколини. Но если бы вам
удалось преодолеть отвращение и разгадать сокровенные
замыслы врагов, то вы; быть может, не стали бы
столь решительно отвергать план, разработанный
вашими восторженными почитателями, от имени
которых говорил синьор Торричелли.
108

' Галилей. Как, вы тоже считаете, что мне
необходимо бежать? Вы полагаете, что следовало принять
план этих молодых людей? .
Синьора Никколини. Я не могу с
уверенностью сказать «Да!» лишь потому, что не могу
судить, сколь хорошо продуман план побега и
осуществим ли он. На вашем месте, синьор Галилей, я бы
прежде всего попыталась разузнать обо всем
подробнее. Если план выполним, в чем я, к сожалению,
весьма сомневаюсь, то им следовало бы
воспользоваться. Я не хотела вмешиваться в вашу беседу с
синьором Торричелли и позволила себе высказать
свое мнение только потому, что вы меня об этом
спросили.
Галилей. Значит, вы не верите, что мне
удастся выиграть мой судебный процесс?
Синьора Никколини. Вы сами говорите,
что верите лишь в торжество истины. Я тоже считаю,
что истина рано или поздно восторжествует, но не
уверена в том, что мы доживем до ее полной победы.
Вы говорите, что выдвинутые против вас обвинения
необоснованны и недоказуемы. Однако, синьор
Галилей, вы глубоко заблуждаетесь, если полагаете, что
инквизиция в делах веры предъявляет к
доказательствам столь же высокие требования, как и вы в
вопросах науки. Но оставим эту тему. Может быть, все
страхи лишь мерещатся мне. Вам действительно пора
отдыхать. Надеюсь, сегодня вам удастся выспаться не
хуже, чем прошлой ночью.
Галилей. Вчера мне снилось, будто я сижу у
себя в комнате у окна и вдруг мое кресло начинает
подниматься все выше и выше до самых облаков, а
потом еще выше —в безвоздушное пространство. Вы
даже представить не можете, какой охватил меня
восторг, когда я глядел на уменьшающуюся вдали
Землю, сиявшую в темном небе под лучами Солнца,
как Луна. Затаив дыхание, я смотрел, как она
обращается вокруг Солнца и вертится вокруг своей оси,
Я был счастлив, как никогда. Еще бы! Мне удалось
своими глазами видеть, как движется Земля! Я
вытащил свой телескоп, в который прежде смотрел с
Земли на небо, и направил его с неба на Землю в
сторону Рима. Телескоп оказался отменным, гораздо лучше
109

тех, которые я строил своими руками. Я мог даже
различать отдельные лица. И представляете, я
увидел две подлые души, Инхофера и Паскуальо. Они
прогуливались по берегу Тибра и о чем-то спорили
между собой. Я повернул какой-то винт на телескопе
и чудесным образом вдруг услышал, о чем они
говорят. Спор шел о движении Земли. Они наперебой
утверждали, что мнение о том, будто Земля движется,
ложно и пахнет ересью. А Земля, между тем, нимало
не заботясь о напыщенной болтовне этих ослов, во
всеуслышание поносивших меня и Коперника,
продолжала свой величественный бег вокруг Солнца,
одновременно вращаясь вокруг собственной оси. Это
показалось мне столь забавным, что я не выдержал и
расхохотался. У меня даже слезы выступили от смеха.
Смеясь, я проснулся.
Синьора Никколини. Поистине
прекрасный сон. Но, может быть, было бы еще лучше, если
бы вам пригрезилось время, когда о том, что Земля
движется вокруг Солнца, детям будут рассказывать в
школе.
Г а л и л е й. Я часто мечтаю об этом времени и не
сомневаюсь, что оно скоро наступит. Развитие науки
невозможно остановить. Насколько я могу судить,
оно никогда не происходило беспрепятственно и
прямолинейно. Путь его скорее напоминает
вьющуюся виноградную лозу. Науку создают люди, и
поэтому в будущем новые идеи неизбежно вступят в
борьбу со старыми, но истина рано или поздно
непременно пробьет себе дорогу, подобно молодым
зеленым побегам, произрастающим на скалах, и многое
из того, что ныне представляется нам загадочным;
озарится светом истины. Но иногда меня охватывает
сомнение относительно того, что принесет
человечеству новое знание. Станет ли человечество
счастливее? В юности я наивно полагал, что человек,
занимающийся наукой, не может быть плохим. Как я
заблуждался! Может быть, в те грядущие времена, о
которых мы мечтаем, все будет иначе? Может быть,
человечество навсегда избавится от догм и
предрассудков? Неужели и тогда будут встречаться тупые,
завистливые, злобные люди, способные на гнусные
козни? Неужели и в те времена сохранится обычай
НО

обливать честных людей грязью? Неужели цветущее,
вечно зеленое древо науки и тогда будут
подтачивать черви?
Синьора Никколини. Когда мы
задумываемся о будущем, нам, конечно, хотелось бы, чтобы
человечество обрело не только знания, но и
научилось любви к ближнему. Убеждена, что с каждым
новым поколением появится все больше людей, которые
отдадут все свои силы, чтобы приблизить то время, о
котором мы мечтаем. Оглядываясь в прошлое, эти
люди увидят, что Галилео Галилей был на две
головы выше своих современников, и сердца их
преисполнятся гордости от того, что они по праву могут
назвать себя его учениками, продолжателями его дела,
его духовными наследниками.

ПОСЛЕСЛОВИЕ
Оптимистически настроенный автор не пишет
предисловия к своей книги, так как уверен, что она сама
говорит за себя. Он убежден, что читатель без
дополнительных объяснений разберется в том, о чем ему
хотели рассказать.
Я также преисполнен надежд на то, что мне
удастся достичь взаимопонимания с читателем.
И все же считаю нелишним рассказать, если не в
предисловии, то хотя бы в послесловии, о целях,
которые я ставил перед собой, и соображениях,
побудивших меня остановиться на несколько необычной
литературной форме.
Свои пояснения я привожу в послесловии по той
простой причине, что читать их следует лишь после
того, как будут прочитаны сами диалоги.
Интерес к математике и ее приложениям растет
год от года, и все большее число людей приобретает
математические познания. Занимаясь по роду своей
деятельности популяризацией математики в самых
различных формах, я на собственном опыте
убедился, что люди не только стремятся приобрести
конкретные знания из того или иного раздела этой
науки, но и узнать, что такое математика, в чем
особенности математических методов и чего следует
ждать от математики другим областям науки и
техники. Многие из тех, кто посещает общедоступные
лекции или читает научно-популярные книги, отнюдь
не ожидают, что им удастся овладеть определенными
методами расчета, скорее они хотели бы пополнить
общее образование и расширить свой кругозор. Более
того, даже те, кому те или иные математические ме-
112

тоды необходимы по роду работы, хотели бы, прежде
чем затрачивать немалые усилия на изучение
конкретного раздела математики, выяснить, что это им
даст.
В процессе своей работы я на собственном опыте
узнал, сколь широко распространены весьма
ошибочные и превратные представления об
основополагающих вопросах математики и ее приложений, причем
не только среди людей, далеких от математики, но и
среди тех, кто по роду своей деятельности вынужден
соприкасаться с одним или несколькими разделами
математики. Впрочем, этому вряд ли следует
удивляться: к ошибочным обобщениям склонны именно те,
кто обладает познаниями в определенной области, но
лишен достаточно широкого кругозора. Что же
касается принципиальных вопросов математики и ее
приложений, то в наши дни они нередко становятся
предметом довольно острых дискуссий. Все это
делает избранную мной тему чрезвычайно актуальной.
Тщательно взвесив все обстоятельства, я пришел к
заключению, что было бы весьма своевременно дать
общедоступное, но вместе с тем лишенное
вульгаризации изложение принципиальных вопросов математики
и ее приложений. Но рассказать об абстрактных
вопросах широкому кругу читателей — задача не из
легких. Поэтому я попытался найти способ, который
облегчил бы тем, кого это интересует, первоначальное
ознакомление со столь абстрактной темой. У меня
возникла идея попытаться использовать форму
сократовского диалога. Сократовский диалог динамичен не
только по форме, но и по содержанию, поскольку
показывает, как возникает и как развивается идея,
позволяет как бы драматизировать идею, привлечь к
ней внимание читателя и облегчить понимание.
Темой первого диалога я избрал вопрос о том, что
такое математика. Рассмотрению этого вопроса я
придавал особенно большое значение потому, что
система преподавания математики, принятая в школе,
еще и поныне далека от того, чтобы дать
всеобъемлющее, правильное и современное представление о
математике. В этом диалоге я стремился по
возможности следовать методу и даже стилю сократовских
диалогов. .Поскольку главным действующим лицом я
113

избрал Сократа, то диалог по моему замыслу должен
был происходить в те времена, когда математика еще
только возникла как самостоятельная наука. Я хотел
представить ее, так сказать in statu nascendi *,
В этом диалоге Сократ применяет свой знаменитый,
носящий ныне его имя, метод — докапываться до
существа рассматриваемого явления при помощи
вопросов. Своеобразие сократовского диалога заключается
в том, что в нем не происходит борьбы мнений:
участники беседы совместными усилиями пытаются
прийти к единому мнению и на основе логического
анализа предмета спора лишь постепенно, шаг за
шагом, вырабатывают правильное представление.
Сократовский диалог обладает еще одной неповторимой
особенностью: в ходе его участники высказывают
(иногда в весьма категорической форме) спорные
суждения, несостоятельность которых выясняется
лишь на более позднем этапе обсуждения.
Убедившись в неправильности прежнего мнения,
участники диалога либо вносят в него
соответствующие изменения, либо совсем отказываются от него*
Это позволяет выделить в сократовском диалоге
утверждение, противоположное окончательному выводу*
Таким образом, сократовский диалог представляет
собой единое целое, и понять его можно, лишь
прочитав от начала и до конца. Все эти особенности
сократовского диалога придают ему необычайную живость
и выразительность, то есть наделяют качествами,
столь необходимыми для популярного изложения
сложных и абстрактных вопросов.
Форму сократовского диалога я избрал и еще по
одной причине. Я считаю (и выразил свое мнение в
заключительных словах Сократа), что сократовский
метод, по существу, имеет много общего с
математическим методом. К этому убеждению я пришел на
основании основополагающих исследований Арпада
Сабо по истории математики, представивших
возникновение античной математики в совершенно новом
свете.
Первый диалог был прочитан в 1961 г. в
Будапеште на заседании Общества по распространению науч-
* В момент возникновения (лат.). — Прим. перев.
114

ных знаний и опубликован в 1962 г. в третьем номере
журнала Valosag (стр. 40—56). В этом же, 1962 г.
ему была посвящена лекция, прочитанная мной в
Венгерском институте в Париже, французский
перерод был опубликован в выпуске 208—209 журнала
Les Cahiers Rationalistes (стр. 4—32). В следующем
году я выступил с докладом на заседании
американских и канадских физиков в Эдмонтоне. Текст моего
выступления был опубликован в 1964 г. в журнале
Canadian Mathematical Bulletin (вып. 3, стр. 441 —•
462), а также в журналах Physics Today A7, 1964,
стр. 24—36) и «Simon Stevin» C8, 1964, стр. 25—44)"!
Благоприятные отзывы на мой первый диалог как
в Венгрии, так и за рубежом со стороны математиков
и нематематиков побудили меня продолжить
эксперимент со столь необычной литературной формой.
Поскольку в первом диалоге отношение между
математикой и действительностью было дано лишь крупным
планом, выяснены лишь наиболее фундаментальные,
философские аспекты, то в следующем диалоге я
решил основное внимание сосредоточить на более
подробном изложении проблем, возникающих в связи с
приложениями математики. Главным действующим
лицом второго диалога должен был стать,
разумеется, Архимед, первый в истории
«математик-прикладник», имя которого еще в древности стало
неотделимым от практических приложений математики.
Этот диалог был впервые прочитан в университете
г. Торонто и вышел на английском языке в журналах
Ontario Mathematics Gazette (вып. 2, 1964, стр. 28—
40) и Simon Stevin C9, 1965, стр. 3—17).
Исторические рамки второго диалога не позволили мне
высказать по этому поводу всего, что я хотел.
Недосказанность второго диалога привела к
появлению третьего диалога, в котором главным
действующим лицом стал Галилей, первым из
мыслителей нового времени осознавший решающее значение
математических методов в изучении законов природы.
Галилеевский диалог был впервые прочитан мной на
заседании кружка юных физиков имени Жолио Кюри
при Центральном научно-исследовательском
институте физики в Будапеште, а сокращенный вариант был
опубликован в журнале Szemle A5, 1965, стр. 129—
115

138). Таким образом, второй и третий диалоги до*
полняют друг друга и служат естественным
продолжением первого диалога. Вместе с тем второй и
третий диалоги существенно отличаются от первого по
форме. Ни Архимед, ни Галилей не придерживались
сократовского метода:, вместо того чтобы искусно
поставленными вопросами заставить собеседника
самого прийти к тому выводу, который они считают
верным, оба ученых мужа предпочитают высказать свое
мнение. Это лишило меня возможности использовать
главный источник внутреннего напряжения, присущий
сократовскому диалогу. Я попытался в какой-то мере
восполнить потерю, выбирая в качестве времени
действия диалогов весьма острые и тяжелые
исторические ситуации, динамика развития которых
неразрывно связана с обсуждаемыми вопросами. Такой прием
позволил усилить эмоциональное воздействие
диалогов. Что касается затронутых проблем, то появление
таких фигур, как Архимед и Галилей, позволило
затронуть во втором и в третьем диалогах гораздо
больше конкретных математических понятий и
результатов, чем в первом диалоге, главным образом
# тех, которые были введены в математику Архимедом
и Галилеем. По существу, все наиболее значительные
достижения этих ученых так или иначе затронуты во
втором и в третьем диалогах.
В этой связи я хотел бы сказать несколько слов
о соблюдении в диалогах исторической правды. Вряд
ли нужно говорить о том, что во всех трех диалогах
я стремился избегать заведомых анахронизмов и
следил за тем, чтобы мои герои не обнаруживали позна*
ний в математике и в других науках и не
высказывали взглядов, которых у них не могло быть в
описываемую эпоху. Но поскольку и Архимед, и Галилей
считались первооткрывателями не только в прошлом,
но и остаются таковыми, даже если подходить к
оценке их творчества с вполне современными
мерками, то, строго следуя исторической правде, я все же
смог высказать все, что хотел. Разумеется,
стремление избежать анахронизмов все же не могло не
наложить кое-каких ограничений. Так, приводя
математические примеры, я был вынужден черпать их главным
образом из элементарной математики. Что же ка-»
Пб

сается математики инфинитезимальных, или
бесконечно малых, величин, то ее я смог затронуть лишь в
том объеме, в каком она была известна Архимеду и
Галилею, разделившим вместе с некоторыми другими
математиками славу ее создателей. Это ограничение
следует рассматривать скорее как преимущество:
именно оно способствовало тому, что я отказался от
намерения включить в диалоги некоторые примеры,
достаточно простые с точки зрения математика, но
сложные с точки зрения человека, далекого от
математики.
Вместе с тем я отнюдь не стремился скрупулезно
следовать историческим фактам и считал себя
вправе приписывать героям диалогов не только знания и
мнения, подтверждаемые документально, но и такие
мысли, которые (хотя их принадлежность Архимеду
или Галилею не установлена) все же могли быть
высказаны ими. В особенности это относится к
утверждениям, логически вытекающим из идей, о которых
мои герои были осведомлены, или результатов,
связываемых по преданию с именами Архимеда и
Галилея. Однако в тех случаях, когда мои герои
придерживались либо отчасти неверных, либо даже
полностью ошибочных взглядов, я в полном соответствии
с историческими фактами не утаивал их заблуждений
от читателя. Так, Галилей считал, что планеты
обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам, и не
понимал, что удерживает планету на орбите сила
притяжения со стороны Солнца. Высказывания Галилея
на эту тему, приведенные в третьем диалоге,
отражают его подлинные взгляды.
В to же время я считал, что не слишком погрешу
против истины, если приму некоторые смелые
допущения. Например, Архимед у меня владеет некоторыми
основополагающими идеями кибернетики и создает
механическое устройство, способное отсеивать
простые числа *, а Галилей, перечитывая в 1633 г. свой
«Диалог о двух главнейших системах мира», выра-
• Устройство, осуществляющее функции решета Эратосфена
и основанное на использовании фотоэлектрического эффекта,
было впервые описано Д. Лемером. См. Lehmer D. H. A
Photoelectric Number Sieve. — American Mathematical Monthly, 40, 1933,
401—406.
117

жает сомнение в правильности предложенного в нем
объяснения приливов и отливов. Я не располагаю
никакими документами, подтверждающими правила
ность моих вольных предположений, и далек от Torog
чтобы утверждать, будто они соответствуют истине*
Я утверждаю лишь, что эти предположения
достаточно правдоподобны и мы не располагаем данными, гк>
зволяющими доказать или опровергнуть их. Надеюсь,
что «поэтическая вольность» дает мне право исполь-
зовать такие предположения. Что же касается исто*
рической канвы событий, то во втором и третьем
диалогах она воспроизведена достоверно. И осада Сира^
куз, и судебный процесс, затеянный инквизицией над
Галилеем, действительно происходили. Лишь в том
месте, где во втором диалоге говорится о том, будто
обороной Сиракуз при осаде их римлянами в 212 г*
до н. а. руководил царь Герон, я сознательно отошел
от исторических фактов: царь Герон умер тремя го«.
дами раньше. События, описываемые в диалогах,
могли и не происходить, но они не противоречат
тому, что нам известно о той эпохе. В частности, это
относится к плану побега Галилея из Рима: мы не
располагаем никакими сведениями о том, что Торри-
челли и его' сообщники, называвшие себя
приверженцами Галилея, разрабатывали такой план, но вполне
можно представить себе, что они его предложили.
Желание по мере возможности не отходить от
исторической правды побудило меня включить в реплики
основных действующих лиц моих диалогов фразы,
которые почти дословно воспроизводят утверждения,
принадлежащие героям диалогов или приписываемые
им их современниками. Таковы, например, некоторые
высказывания Сократа о самом себе *, Архимеда о
своем методе ** и Галилея «о языке, на котором на-
* См., например, апологии Сократа (Платон. Сочинения в
трех томах, т. I. — М.: Мысль, 1968). — Прим. ред.
** См. «Послание Архимеда к Эратосфену о механических
теоремах» (Архимед. Сочинения.— М.: Физматгиз, 1962, стр. 262) з
«Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено
при помощи механики, позднее было также доказано и
геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не
является доказательством: однако получить при помощи этого
метода некоторое предварительное представление об
исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чел
производить изыскания, ничего не зная». — Прим. ред%
118

писана Книга Природы» * (такие места выделены
курсивом). Диалог о Галилее написан мной под
сильным влиянием драмы Ласло Немета «Галилей».
Мысль о введении таких действующих лиц, как
Торричелли и синьора Никколини, заимствована мной
из этой драмы.
Для тех из читателей, у кого возникнет желание
более подробно ознакомиться с проблемами истории
науки, затронутыми в диалогах, приведен список
литературы. Он отнюдь не претендует на полноту и
содержит лишь те работы, из которых я почерпнул
сведения, понадобившиеся мне в процессе работы над
диалогами.
Вот, пожалуй, и все, что мне хотелось сказать
относительно целей, которыми я руководствовался при
создании диалогов. В какой мере мне удалось
осуществить свои намерения, я предоставляю судить
читателю.
Альфред Репьи
* См. работу Галилея «Пробирных дел мастер» (Galileo
Galilei, И Siggiatore. В кн. Le Ореге di Galileo Galilei. — Edizione
Nazionale, Firenze 1890—1909, v. VI, 272): «Философия написана
в той величественной книге, которая постоянно открыта у нас
перед глазами (я имею в виду Вселенную), но которую
невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не
узнать те письмена, которыми она начертана. Ее язык — язык
математики, и эти письмена суть треугольники и другие
геометрические фигуры, без которых невозможно понять в ней ни
единого слова: без них мы можем лишь вслепую блуждать по
беспросветному лабиринту», — Прим, ред.

ЛИТЕРАТУРА
К первому диалогу
1. Платон. Сочинения в трех томах. — М.: Мысль, 1968—1971.
2. Szabo A. Hogyan lett a matematika deduktiv tudomannya. —•
Matematikai Lapok, 1957, No. 8, 8—36.
3. Szabo A. A gorog matematika definicios — axiomatikus alap*
jai. — Matematikai Lapok, 1959, No. 10, 71—121.
4. Szabo A. Der alteste Versuch einer definitorisch — axiomatis-
chen Grundlegung der Mathematik. — Osiris, 1962, No. 14, 308—
369.
Ко второму диалогу
1. Heath Т. L. The works of Archimedes with the Method of
Archimedes.—New York: Dover, 1960. (См. также: Архимед,
Сочинения.— М.: Физматгиз, 1962).
2. Heath Т. L. A manual of greek mathematics. — New York:
Dover, 1963.
3. Плутарх. Сравнительные жизнеописания, т. 1. — М.: Изд. АН
СССР, 1961.
4. Clagett M. Greek Science in Antiquity. — London, Abelard —
Schumann, 1957. -
К третьему диалогу
1. Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах —
птолемеевой и коперниковой. В кн.: Галилео Галилей. Избранные
труды, т. 1. — М.: Наука, 1964.
2. Drake S. Discoveries and Opinions of Galileo. — New Yorki
Doubleday, 1957. .
3. Галилей Г. Беседы о двух новых науках. В кн.: Галилео
Галилей. Избранные труды, т. 2. — М.: Наука, 1964.
4. Geymonat L. Galileo Galilei. — Budapest: Gondolat, 1961.
5. Santillana G. de. The crime of Galileo. — London: Mercury,
1961.
6. Arrnitage A. The world of Copernicus. — New York: Signet
Science Library, 1947.
7. Вопросы истории естествознания и техники. Вып. 16. — Мл
Наука, 1964,

ПИСЬМА О ВЕРОЯТНОСТИ

ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ *
Химера,
1 апреля 1966 года
Профессору
Альфреду Репьи
Будапешт
Дорогой профессор Реньй!
Я не уверен, что Вы помните наш разговор,
который состоялся 9 июня 1962 года во время
конференции в Клермон-Ферран«, посвященной 300-летию со
дня смерти Паскаля. Поэтому разрешите вкратце
напомнить Вам его содержание.
В тот день для участников конференции была
организована экскурсия на вершину Пюи ,де Дом, где
19 сентября 1648 года Перье, шурин Паскаля,
проводил предложенные Пас&алем опыты по измерению
давления воздуха. Попивая на террасе находящегося
там ресторана кофе, мы любовались раскинувшейся
перед нами панорамой и говорили, конечно, о
Паскале. Разговор шел о его трудах, которые оказали
наибольшее влияние на развитие науки,— о его
работах па аэро- и гидродинамике, исследованиях
бесконечно малых величин, о создании элементов теории
вероятностей,, о сконструированной им первой
счетной машине.
Я рассказал Вам тогда о датированном 1654
годом письме Паскаля в Парижскую академию
(основанную Марсенном и позднее возглавленную Ле
Пеллером), где ученый перечисляет ряд намеченных
и почти завершенных им работ, которые он намерен
вскоре направить в академию. Среди этих работ
Паскаль называет статью, посвященную совершенно
новой, нигде до тех пор не нашедшей систематической
• © Renyi Alfred, 1969.
© Перевод на русский язык, Мир, 1980.
122

разработки теме — математике случайного. Я,
помнится, сказал, что из немногих строк, касающихся
содержания этой работы, вытекает, что Паскаль
отчетливо сознавал принципиальное и в то же время
практически важное значение открытой им новой области
науки — теории вероятностей.
Очень жаль, сказал я Вам далее, что Паскаль не
написал этой работы, особенно потому, что в
сохранившихся рукописях и письмах к Ферма, в которых
изложена суть теории вероятностей, он ограничился
лишь решением задач кавалера де Мере (и
изложением проблем комбинаторики, связанных с этими
задачами). Останься неизвестным это письмо Паскаля
в Парижскую, академию, и у нас не было бы
никакой уверенности в том, что он вообще понимал,
какой переворот в нашем научном представлении о
картине мира произвели заложенные им и Ферма основы
новой отрасли науки.
Вы, г-н Реньи, ответили мне, что, по Вашему
мнению, Паскаль не мог где-то не изложить свои мысли
о теории вероятностей, а поэтому следует непременно
продолжить поиски утерянной рукописи. На это я
заметил, что не многими посмертными рукописями
занимались столь основательно, как рукописями
Паскаля; я сам посвятил несколько лет архивным
поискам, правда почти безуспешным. Однако это не
убедило Вас, и Вы высказали предположение, что
Паскаль мог по обычаям того времени изложить
свою теорию в письмах к Ферма. При этом может
статься, что не только в известных нам письмах
Паскаля на эту тему речь шла об игре в кости. Вы
добавили к тому же, что, быть может, поиски не
увенчались успехом еще и потому, что исследователи
искали потерянные рукописи в бумагах Паскаля,
вместо того чтобы искать их в наследии Ферма.
Тогда Ваше замечание заставило меня
задуматься; высказанная Вами гипотеза показалась мне
заслуживающей внимания. Однако большая
загруженность не позволила мне всерьез заняться поисками,
и я вспомнил об этом только в самом начале 1966
года, когда вынужден был по личному делу выехать
в Тулузу. Случилось так, что умер мой дядюшка—*
старый холостяк с причудами,— он завещал мне свое
123

имущество и тулузское имение при условии, что я
раскрою историю тяжбы трехсотлетней давности,
которая происходила вокруг него. К желанию дяди я
отнесся с предельной добросовестностью, тем более
что меня интересовала история нашей семьи. В
январе текущего года я выехал в Тулузу и приступил к
исследованию городского архива, в котором хранятся
связки деловых бумаг, относящихся к 1660 году. Как
я уже говорил, несколько лет жизни я посвятил
изучению рукописей Паскаля, а потому, смею уверить
Вас, его почерк знаю лучше своего собственного. Не
удивительно поэтому, что я сразу же узнал его, как
только взял в руки письмо из досье, на котором
среди других стояла и подпись Ферма. Можете себе
представить тот священный трепет, который охватил
меня! Это случилось вечером 17 января, я не
покидал архива до следующего утра. Забыв о пище и
питье, я продолжал перебирать бумаги до тех пор,
пока не нашел еще трех писем. Позднее я выяснил,
что после смерти Ферма эти письма затерялись
среди судебных бумаг, датированных 17 января
1665 года и оставшихся на его квартире, и таким
образом оказались в архиве. Триста лет на них никто
не обращал внимания!
Вот так, совершенно случайно, я стал
владельцем писем, имеющих столь огромное научное и
историческое значение. Их открытие в действительности
не моя заслуга, просто мне улыбнулось счастье. Вы
же первым с уверенностью предположили, что
утраченные заметки Паскаля по теории вероятностей
могли содержаться в письмах к Ферма и их надлежит
искать среди сохранившихся бумаг последнего.
Поэтому я считаю, что именно Вам принадлежит право
опубликовать эти письма.
Я вкладываю в конверт перепечатанный и
тщательно проверенный мною текст. Однако я вынужден
просить Вас самостоятельно, без моего участия,
подготовить письма к печати.
Моя просьба может Вас удивить, поэтому я
должен объяснить, чем она вызвана. Надеюсь, Вы меня
поймете. Среди судебных бумаг я обнаружил
несколько листков с записями теоретико-числового
содержания, сделанными рукой Ферма. Текст на
J24

них почти отсутствует. Они сплошь покрыты
формулами. Однако и без текста совершенно очевидно, что
эти записи имеют непосредственное отношение к
великой теореме Ферма. Теперь и днем и ночью я
тружусь над их расшифровкой. Надеюсь, что мне
удастся либо найти доказательство, данное Ферма, либо
обосновать, что свою теорему он в действительности
доказать не смог и осознал это в последние годы
жизни. Я убежден, что Вы понимаете, сколь важен
для меня этот вопрос и почему, не разрешив его, я
не могу заняться ничем другим. Обнаружив письма
Паскаля, я предполагал сопроводить их публикацию
большой статьей. Но тут упомянутые заметки Ферма
нарушили все мои планы, и с тех пор я занимаюсь
только ими. Если я сумею разгадать тайну этих
листков, то еще успею написать задуманную статью о
письмах Паскаля. Однако затягивать издание писем
я не считаю возможным, а потому и прошу Вас
взять на себя труд скорейшей их публикации.
Заранее примите мою признательность и
разрешите выразить Вам, мой дорогой друг, глубокое
уважение.
Преданный вам
Анри Труверьен,
профессор истории математики
Университета Контеблэ

Будапешт,
10 апреля 19% года
Профессору
Анри Труверьену
Химера
Дорогой профессор Труверьен!
Ваше любезное письмо от 1 апреля и письма
Паскаля я получил, за что приношу Вам свою сер-
дечную благодарность. Вашу просьбу я, разумеется,
выполню с большой радостью. Но прошу Вас
разрешить мне вместе с письмами Паскаля опубликовать
и лрисланное Вами лисьмо. Это объяснит научной
общественности, что именно Вы нашли письма и при
каких обстоятельствах. Я далек от намерения
отвлекать Вас от расшифровки заметок Ферма. Как я,
так и все мои коллеги желаем Вам в этой работе
самых больших успехов и с огромным нетерпением
ожидаем ее результатов.
Хотел бы задать Вам еще один вопрос: как Вы
думаете, есть ли надежда найти ответы Ферма на
письма Паскаля?
С искренним уважением
Альфред Реньи

Химера,
3 мая 1966 года
Профессору
Альфреду Реньи
Будапешт
Дорогой профессор Реньи!
Благодарю Вас за письмо от 10 апреля. Я
счастлив, что Вы взяли на себя заботы по опубликованию
писем Паскаля и тем самым предоставили мне
возможность сосредоточить все силы на расшифровке
заметок Ферма. К сожалению, эта задача оказалась
труднее, чем я полагал. Ферма употребляет
совершенно необычные обозначения,, в понимании которых я
делаю только первые шаги. Разумеется, я не
возражаю, чтобы вместе с письмами Паскаля Вы
опубликовали мое предыдущее письмо, а если сочтете
целесообразным, то и настоящее.
Что касается ответов Ферма, то мне не
представляется, каким образом их можно найти. После
смерти Паскаля сестра покойного, Жильбер Перье,
привела в порядок его бумаги. Она тщательно сохранила
все заметки, написанные Паскалем, но, к сожалению,
все письма, адресованные Паскалю, уничтожила.
Поэтому о содержании писем Ферма мы можем
судить лишь по ответным письмам Паскаля.
Искренне расположенный к Вам
Анри Труверьен

ПИСЬМА ПАСКАЛЯ К ФЕРМА
ПЕРВОЕ ПИСЬМО
Париж»
предместье Сен-Мишель,
28 октября 1654 года
Г-ну Пьеру Ферма
Тулуза
Дорогой г-н Ферма!
Наш общий друг, г-н Каркави, вчера сообщил
мне, что собирается в Тулузу, и спросил, не желаю
ли я передать Вам письмо. Конечно, я не хотел
упустить удобный случай, но ввиду ограниченного
времени смог написать лишь несколько строк **.
Однако оказалось, что г-н Каркави отложил свою
поездку на два дня, и у меня появилась возможность
написать Вам подробнее.
Теперь, когда вопросы, поставленные около года
назад шевалье де Мере — во время путешествия в
Пуату в обществе герцога Роаннского и г-на Мито-
на,— решены, должен признаться, больше всего меня
радует тот факт, что связанная с ними переписка
послужила укреплению нашей дружбы. Я ценю эту
дружбу превыше всего не только потому, что считаю
Вас крупнейшим геометром2 современной Европы,
но и потому, что Ваши письма помогли мне узнать
человека, дружбой которого могут гордиться и
короли. Так вопросы доблестного шевалье — даже если
сами по себе они и не представляют серьезного
интереса — сослужили неоценимую службу. Именно
потому, что я столь дорожу Вашей дружбой, мне хотелось
бы поделиться с Вами некоторыми мыслями. Я
ощущаю потребность сообщить Вам, почему они меня
так волнуют, отчего я считаю их — причем по двум
* Здесь и далее цифрой отмечены авторские примечания,
помещенные на стр. 194.
128

различным причинам — достойными внимания
математиков и откуда у меня взялась смелость
пригласить Вас принять участие в разрешении этих
проблем. При том я сознаю ответственность, которую
беру на себя, пытаясь отвлечь Вас от тех
исследований, перед коими, впрочем, никто не преклоняется
больше меня. И хотя, как я уже отмечал, в этом
отношении моя совесть чиста, считаю своим долгом
пояснить, о чем же идет речь, поскольку в наших
письмах об этих проблемах еще не говорилось. Ру-
ковбдствуясь этими соображениями, я пришел к
мысли написать Вам настоящее письмо.
Однако на это имеются и другие причины. Хочу
надеяться, что Вы знакомы с моим письмом в
Парижскую академию, которое я написал несколько
недель назад3. Боюсь, что Вам покажется
высокопарной следующая фраза, которая отражает содержание
задуманной, но еще не написанной мной работы:
«Таким образом, это учение, объединяющее точность
математических доказательств с неопределенностью
случая и примиряющее эти, казалось бы,
противоречивые элементы, с полным правом может
претендовать на титул «математика случайного»4. Эти слова
я записал тотчас, как только у меня зародилась
и созрела самая мысль. Перечитывая их вновь, я
вспоминаю то ликование, которое охватило меня,
когда я нанес их на бумагу. Ведь зародился новый раз*
дел математики и, смею надеяться, с большим
будущим! Я не удивлюсь, если кто-нибудь усмотрит в
моей безудержной радости нечто дурное и подумает,
будто в ней повинно то обстоятельство, что в
"создании нового раздела математики есть доля и
моего участия. Что ж, такого рода гордость является
одним из видов человеческой слабости, которых я не
лишен, хотя и постоянно пытаюсь с ними бороться.
Спешу, однако, заметить, что Вашу долю в создании
нового учения я считаю гораздо более значительной.
Я убежден, что все, о чем я говорю в настоящем
письме, Вы воспримете лишь как несовершенную
попытку выразить Ваши, быть может, еще не
высказанные и не записанные, но уже давно
перебродившие и выкристаллизовавшиеся мысли. В оправдание
недостаточной четкости своих формулировок могу
5 Зак. 401 129

лишь сказать, что для выражения этих мыслей я не
имел подходящих слов и был вынужден
воспользоваться словами обиходного языка, придавая им
новый смысл.
Надеюсь, Вы понимаете, почему я ощущаю
непреодолимое желание поделиться с Вами своими
мыслями. По-видимому, Вы уже задаете себе вопрос, к
чему так много предварительных разъяснений. Но
Вы первый, ком/ я поверяю свои мысли, и, хотя ни
у кого я не могу рассчитывать на большее
понимание, чем у Вас, я все-таки с трепетом ожидаю
Вашего суда: сумел ли я дать Вам правильное
представление об их сути? Именно поэтому я столь
многословен и так оттягиваю начало, уподобляясь некоему
больному, который боится выдернуть зуб и всячески
тянет время, сообщая врачу излишние подробности
об ужасной боли и о том, как долго она продолжает*
ся. Но хватит об этом, пора перейти к делу.
По моему убеждению, человек родился, чтобы
думать. Способность мыслить отличает его от
животных, в этом состоит его человеческое достоинство5.
Нас окружает двойная бесконечность: с одной
стороны, бесконечная протяженность Вселенной, в которой
не только мы сами, но и Земля, и даже вся
Солнечная система являются не более чем каплями в море;
с другой — бесконечная сложность мира, в котором
каждая капля воды сама по себе образует
небольшую Вселенную. Мы сами находимся посредине
между бесконечно большим и бесконечно малым. Мы
пылинки в сравнении со звездами и гиганты в срав-
нении с мельчайшими живыми существами,
кишащими в каждой капле воды6. Обращаем ли мы наш
взор к звездам или же проникаем в собственную
душу, желаем ли мы изучить будущее или
прошлое — повсюду в равной мере мы не можем
найти прочной точки опоры. Если все, что нам известно
и в чем мы убеждены, поместить в центр нашего
внимания под микроскоп нашей логики и тщательно
рассмотреть, то окажется, что мы ничего не можем
утверждать с уверенностью. Я нахожу ничтожным
утешением то, что моя тщетная борьба с этими
проблемами все же доказывает, что «я существую».
Впрочем, меня интересует не вопрос, существую ли я, а
130

кто я, собственно, есть. На этот вопрос я не нахожу
ответа и иногда страдаю от этой тягостной
неопределенности. Мы не знаем, откуда мы взялись, зачем
родились и куда идем. Человечеству есть над чем
поразмыслить. Но задумывается ли над этим
большинство людей? Безусловно, нет. Люди думают о войне,
деньгах, развлечениях и азартных играх. Впрочем,
игрока я еще могу понять: игра делает его
счастливым, поскольку на время он забывает о своих
нуждах и заботах. Однако при этом он забывает и о
себе. Игра одурманивает его, как опиум, и отвлекает
от истинных проблем7. Но если кто-либо время от
времени забывается, погружаясь в освежающие струи
игры, то и в этом еще нет большой беды; нельзя
лишь допускать, чтобы при этом он захлебнулся. На
мой взгляд, размышление над замечательными
закономерностями азартных игр как раз могут стать тем
средством, которое способно освободить игрока от
притягательности игры и возвратить его в мир
мышления. В этом несомненная, но далеко не самая
главная польза от исследования математических задач,
связанных со справедливым разделом ставок,
сделанных во время игры.
Перед тем как перейти к изложению сути этих
вопросов, я должен добавить, что такого рода
исследования оказали на шевалье де Мере самое
положительное влияние. Недавно я встретил его вновь и
был поражен, увидев, как он изменился за этот год.
Прежде он гордился тем, что его ничто
по-настоящему не интересует, внимал всему с холодным
равнодушием. Ему было стыдно признаться, что его может
заинтересовать или захватить что-либо, кроме игры.
Он гордился тем, что не подвержен страстям, в том
числе и страсти к науке. Так оно и было на самом
деле. А теперь он удивил меня своими
фундаментальными знаниями в области математики, которыми он
овладел за столь короткий отрезок времени, а также
тем, сколь ревностно и основательно он занимается
самыми разными проблемами, и не без успеха.
Поймите меня правильно, я не обольщаюсь мыслью, что
это дело моих рук: соответствующие стремления
были у него и до нашего знакомства. Об этом лучше
всего свидетельствует тот факт, что он сам поставил
5* 131

задачи, связанные с игрой в кости, и даже нашел
решение наиболее легкой из них8. Но он не смог
решить вторую задачу —- задачу, к одинаковому реше-_
нию которой Вы и я пришли совершенно
различными путями. Возможно, Вы помните, как,
переполненный восторгом, я написал Вам тогда, что истина
едина как для Парижа, так и для Тулузы 9. Именно это,
я думаю, вызвало в шевалье де Мере упомянутые
изменения, задело его самолюбие. Разобравшись в
наших решениях, он понял, что, занявшись
посерьезнее, и сам бы мог к ним прийти. Вы, разумеется,
знаете, что это случайность. Каждое правильно
понятое открытие оказывает подобное воздействие.
В этом я вижу верный признак того, что шевалье де
Мере правильно понял наше решение (и это меня
очень радует), но не больше. Однако я снова
отклонился от основной темы, тем более что Вас вряд ли
интересует шевалье де Мере, так как Вы его не знаете.
Тягостная неопределенность, о которой я говорил
выше, коренится в предрассудке, свойственном
многим людям, — ведь большинство из них считает, что
если они о чем-либо не имеют полного знания (а мы
никогда не имеем полного знания), то они вообще
ничего об этом не знают. Я же убежден, что такого
рода мнение глубоко ошибочно. Частичное знание
также является знанием, и неполная уверенность
равным образом имеет некоторое значение, особенно
когда мне известна степень этой уверенности.
Кто-нибудь может спросить: «А разве можно измерить
степень уверенности числом?» Конечно, отвечу я; лица,
играющие в азартные игры, основывают свою
уверенность именно на этом. Когда игрок бросает
игральную кость, он заранее не знает, какое именно число
очков выпадет. Но кое-что он все же знает.
Например, то, что все шесть чисел— 1, 2, 3, 4, 5, 6 —
имеют одинаковую долю успеха. Если мы условимся
принять возможность появления достоверного за
единицу, то возможность выпадения шестерки, так
же как и каждого из остальных пяти чисел,
выразится дробью .7б- Если бросить игральную кость
четыре раза, то, как справедливо заметил шевалье
де Мере, выгоднее (при равных ставках) держать
пари, что по меньшей мере один раз выпадет шестер-
132

ка. Это можно выразить и по-другому, сказав,
что уверенность в событии выпадения по меньшей
мере одной шестерки при четырехкратном бросании
игральной кости будет больше чем V2. Если шансы
наступления некоторого события и того, что оно не
наступит, точно совпадают (как, например, при
бросании монеты шансы выпадения «герба» и
«решетки»), то я говорю, что степень уверенности в
наступлении этого события составляет V2, то есть она в
точности равна степени уверенности в том, что это
событие не наступит. Конечно, то, что я выбираю
степень уверенности в появлении достоверного
события равной единице, сделано совершенно
произвольно; вместо единицы можно было выбрать и другое
число, например 100. Тогда степень уверенности в
том, что зависящее от случая событие будет иметь
место, выряжалась бы в процентах. Можно также
приравнять полную уверенность в каждом
конкретном случае другому подходящему числу; например,
при бросании кости взять его равным шести. Тогда
степень уверенности в выпадении каждой из шести
граней будет равна единице. Однако я считаю более
простым и естественным принять степень
уверенности в появлении достоверного события равной
единице. Тем самым степень возможности наступления
случайных событий соизмеряется с тем, какую часть
единицы она составляет. Само собой разумеется, что
степень уверенности в наступлении невозможного
события оказывается равной нулю. Итак, если степень
возможности появления случайного события
является положительным числом, то это означает, что
наступление этого события возможно, даже если шансы
его наступления ничтожны.
Замечу сразу же, что степень возможности (уве«
ренности) события я назвал вероятностью. Я много
размышлял над выбором подходящего слова и в
конце концов именно его счел наиболее выразительным.
По-моему, оно находится в полном соответствии с
обычным словоупотреблением. В будничной речи
принято говорить о некотором случайном событии,
что оно вероятно и невероятно или что одно событие
вероятнее другого. В своей теории я исхожу из того
йсновного предположения, что каждому событию,
133

наступление которого зависит от случая, в качестве
его вероятности можно поставить в соответствие
определенное число, заключенное между нулем и
единицей. Вероятности событий, которые в разговорной
речи называют вероятными, близки к единице, то
есть к вероятности достоверного события; точно так
же вероятности событий, которые в обычной речи
называют невероятными, близки к нулю, то есть
к вероятности невозможного события. При выборе
слова «вероятность» меня в известной мере смущало
то обстоятельство, что в казуистике это слово
употребляется совсем в ином смысле. Там достоверными
называют такие утверждения, которые находятся в
Священном писании, папских буллах или же в
решениях соборов. Те же утверждения, которые находятся
в книгах теологов, называют вероятными. Если по
одному и тому же вопросу различные теологи
высказали взаимно противоречащие утверждения, то
каждое из утверждений такого рода называют
«вероятным» 10. Однако я придерживаюсь того мнения, что
^это странное словоупотребление не дает оснований
опасаться использования слова «вероятный»,
поскольку вряд ли кому-нибудь (кроме иезуитов)
придет в голову понимать это слово по-другому.
Впрочем, в вопросе выбора обозначения я опираюсь
на Декарта, который в своих «Правилах» п говорит:
«Всякий раз, как я хочу ввести новый специальный
термин, я выбираю его из слов, находящихся в
употреблении, и то из них, которое мне кажется самым
подходящим, я всегда употребляю в установленном
мной значении». В дальнейшем я всюду буду
пользоваться термином «вероятность» для обозначения
числа, выражающего степень уверенности.
. Наиболее существенное из всего сказанного
заключается в том, что неполное знание также может
иметь определенную ценность, но только в том
случае, если мы можем выяснить степень его
истинности. Если известно, что вероятность случайного
события измеряется некоторым числом, то нам о нем
известно нечто определенное, хотя, собственно говоря,
у нас нет уверенности в его наступлении.
Следовательно, надо ценить и неполное знание, но нельзя
его переоценивать, смешивая с полным знанием,
134

Монтень, «Опыты» которого — самая близкая для
меня книга (хотя во многом я с ним не согласен),
сформулировал эту мысль так: «Меня заставили
возненавидеть вероятные суждения те, кто выдает их за
верные»12. Эти слова Монтеня отвечают и моему
внутреннему убеждению. Неоднократно случалось,
что мои друзья хотели убедить меня в чем-то, но я
соглашался с ними тольков общем и целом, они же
желали, чтобы их мнение оыло принято без оговорок.
В результате споров наши мнения расходились еще
больше, поскольку, как выяснилось впоследствии, мы
различно понимали и такие факты, относительно
которых я первоначально думал, что наши мнения
совпадают. И мы расставались по-разному
мыслящими людьми. Мне кажется, у Монтеня были те же
переживания, поскольку так неизбежно случается с
каждым, у кого слова и дела едины — quibus vivere
est cogitare13. Но я опять отклонился от темы;
я хотел говорить не о Монтене и сослался на него
только для того, чтобы доказать: хотя идея
количественного измерения вероятностей и нова, она
является логическим продолжением давно известных
замыслов.
Вы, должно быть, уже заметили, что при
измерении степени уверенности я пользовался
предположением относительно безграничной делимости
достоверности подобно линии, пространству или числу. В
связи с этим следует задаться вопросом: может ли на
самом деле вероятность появления случайного
события принимать любое значение между нулем и
единицей? Простым примером я берусь показать, что это
действительно так.
Друзья постоянно подсмеиваются над моей
привычкой (присущей, как утверждают, в Париже лишь
мне одному, хотя я считаю ее вполне естественной)
класть ночью часы возле кровати, чтобы знать время,
когда я просыпаюсь (а это случается очень часто).
Так вот: как велика вероятность того, что,
проснувшись ночью и взглянув на часы, я увижу большую
стрелку между цифрами 15 и 20? Поскольку большая
стрелка движется равномерно, то из 60 минут 5
минут (то есть Vi2 часа) она будет находиться между
указанными границами и, стало быть, искомая веро-
135

ятность составляет 5/6о = Vi2- Можно, конечно, об
этом же событии сказать и так: большая стрелка
окажется в 30-градусном секторе, вероятность чего
равна 307360° = Vi2. Но если я выберу на моих
часах такой угол, величина которого равна 360°•*,
где х — любое число между 0 и 1, то вероятность
того, что проснувшись, я увижу большую стрелку в
заданном угле; равна точно х.
Конечно, в азартных играх бывают только такие
вероятности, которые можно выразить как отношение
двух целых чисел. Ведь в этах играх всегда можно
указать, сколько равновозможных и взаимно
исключающих исходов может произойти. Таким образом,
вероятность любого события, относящегося к
результату игры, равна частному от деления числа
благоприятных для этого события исходов на число всех
возможных исходов. Например, при бросании кости
число всех возможных исходов равно шести, так как
результат может быть любым из чисел 1, 2, 3, 4, 5,
или 6. Следовательно, вероятность события,
состоящего в выпадении шестерки при бросании кости,
равна 7б, а события, что шестерка не выпадет,—<
б/б (ибо в первом случае число благоприятных
исходов равно единице, а во втором — пяти). Сумма
вероятностей события, что выпадет шестерка, и
противоположного события (шестерка не выпадет)
равна единице. Это, очевидно, характерно и для любого
события, поскольку вероятность достоверного
события, то есть единица, разделяется между событием и-
противоположным ему событием. И еще одна общая
черта: если событие подразделяется на несколько
взаимно исключающих, то его вероятность равна
сумме* вероятностей, его составляющих, подобно тому
как при делении определенного объема жидкости на
несколько сосудов сумма объемов жидкости в
отдельных сосудах равна объему всей жидкости. Другими
словами, если в некоторой игре рассматривается
несколько взаимно исключающие событий, то сумма
вероятностей этих событий равна вероятности того,
что какое-нибудь из этих событий наступит. Это
правило я назвал теоремой сложения вероятностей.
Наряду с этой почти самоочевидной теоремой я
устанавливаю также другую, более глубокую теоре-» _
136

му, которую мне хотелось бы назвать теоремой умно*
женин вероятностей. Она утверждает следующее»
если некто сыграет в одну и ту же игру дважды, то
вероятность того, что одно определенное событие
произойдет при первой игре, а другое определенное
событие (которое может быть тождественно первому
или же отличаться от него) *— при второй игре, будет
равна произведению вероятностей этих событий при
отдельных играх. То есть если я подбрасываю одну,
и ту же кость дважды, то вероятность того, что как
при первом, так и при втором бросании получатся
числа, отличные от шести, равна 5/б-5/б = 25/зб<
Результат в обоих случаях может быть произвольной
упорядоченной парой чисел, взятых из 1, 2, ,.., 6, их
число равно 36. Среди них имеется 25 пар, в
которых оба члена отличны от шести. Аналогично, если
я подброшу игральную кость четыре раза,
вероятность того, что я ни разу не получу шестерку, равна
25/зб-25/зб = 62Vi296; это произведение означает, что
шестерка не появится ни при первых двух, ни при
вторых двух бросаниях. Вероятность
противоположного события, то есть что при четырех бросаниях
кости по меньшей мере один раз выпадет шестерка,
равна 1 — 625/i296 = 671/i296. Таким образом, мы полу*
чили Ваш хорошо известный ответ на первый вопрос
шевалье де Мере.
Как просты две основные теоремы математики
случайного! Вы можете спросить, относятся ли эти
размышления к самой математике, или же к
естественным наукам, использующим математические сооб<
ражения. Я считаю, что здесь речь идет о новой
ветви математики, которую можно назвать математикой
случайного (что я и сделал в моем письме в
академию); можно также назвать ее теорией вероятностей.
Второе название кажется мне более выразительным*
Итак, назовем новое учение, цель которого
состоит в том, чтобы давать определенное знание о
случайных, неопределенных событиях, теорией вероятч
ностей. Что же касается того, является ли теория
вероятностей областью математики, то весь вопрос
сводится к следующему: что мы подразумеваем под
математикой? Если под математикой понимают
только традиционные ееразделы—геометрию^арифметику
137

и алгебру, то, конечно, в таком узком определении
нет места ни для какой новой ветви. Я же в этом
вопросе .согласен с Декартом, который утверждал,
что все исследования 14, направленные на изучение
порядка и меры, принадлежат математике
независимо от того, что является их предметом и к чему
относятся рассматриваемые порядок и мера.
Теперь, когда все, о чем я столько думал, уже
написано, я испытываю облегчение (так как у меня
были трудности при формулировании) и
одновременно озабоченность (ибо не знаю, удалось ли мне
понятно выразить то, о чем я думал). Прошу Вас, не
оставляйте меня слишком долго в неведении и
сообщите побыстрее Ваше мнение об этой весьма
капризной по характеру новорожденной, которую я нарек
«теорией вероятностей». Если Вы найдете в ней
какие-либо недостатки, ошибки или противоречия, то
можете быть уверены, что от Вас я с благодарностью
приму самую строгую критику.
Многие важные вопросы, над которыми я уже
давно задумываюсь, здесь не затронуты. Если из
Вашего ответа мне станет ясно, что я иду по верному
пути, то постараюсь привести в порядок мысли и в
следующем письме поделиться с Вами своими
соображениями.
Возможно, Вы избавите меня от связанных с этим
мук — если в Вашем ответе мне удастся прочесть
:вои собственные мысли в столь ясном изложении,
какого сам я не мог и вообразить.
Письмо получилось слишком длинным, и все же
я не могу закончить его, не сказав Вам, что,
размышляя обо всем этом, я много раз доставал Ваше
письмо об игре в кости, стараясь прочесть Ваши
мысли между строк. Мысленно я вел спор с Вами, и
многое из написанного здесь является как бы ответом
на те вопросы, которые Вы задавали мне во время
наших воображаемых бесед. Я был бы невообразимо
счастлив, если бы все сказанное оказалось не пустой
фантазией, а, возможно, пусть несовершенным и
грубым, но черновиком Ваших мыслей.
Ваш искренний и верный поклонник и почитателе
Блэз ПаскалЫ

ВТОРОЕ ПИСЬМО
Париж,.
6 ноября, 1654 года
Г-ну Пьеру Ферма
Орлеан
Дорогой г-н Ферма!
Ни одно послание до сих пор не приносило мне
такой радости, как Ваше письмо, отправленное Вами
с г-ном Каркави. Я ждал возвращения г-на Каркави
с огромным нетерпением, чтобы узнать'от него, как
Вы восприняли мое письмо от 28 октября. Я
рассчитывал лишь услышать от него о Вашем обещании
вскоре ответить. Но получить Ваш ответ было сверх
всяких ожиданий. Поэтому, несмотря на то что Ваше
письмо дает материал для размышлений на долгие
месяцы, я отвечаю Вам без промедления, хотя и
сознаю, что именно из-за этого мой ответ -будет во
многом несовершенным. Мне говорили, будто некоторые
шахматисты используют при игре песочные часы,
дабы ограничить время каждого из игроков на
размышления. На мой взгляд, наша переписка похожа
на такую шахматную партию. Я с огромной радостью
принимаю участие в ней, совершенно не сожалея о
том, что в этом соревновании Вы, без сомнения,
выйдете победителем.
Итак, попытаюсь ответить на Ваши вопросы. Прав
ли я в том, что делаю это столь быстро, или нет —
судить Вам. Но обо всем этом я много размышлял
и прежде, что позволяет мне ответихь без
подготовки. Более того, когда я уже запечатал свое
последнее письмо, мне стало ясно, что по поводу Ваших
вопросов, особенно второго вопроса, следовало бы
написать в нем. Впрочем, со мной это вечная
история: я только в самом конце письма понимаю, с чего
мне следовало бы начинать. Но именно из-за того,
что я уже привык по окончании работы быть недо-
139

вольным началом, я ничего и не изменял в том пись*
ме к Вам. Ибо если бы я его переписал, то в конце
вновь остался бы недоволен написанным.
Ответ на Ваш первый вопрос чрезвычайно прост,
и я убежден, что он Вам хорошо известен; вероятно,
Вы хотите лишь выяснить для себя, насколько
основательно я продумал то, о чем писал. Ваш вопрос
относятся к тому, что в азартных играх, как я
утверждал, вероятность некоторого события можно
определить путем деления числа благоприятствующих
событию исходов на число всех возможных, равновоз-
можных исключающих исходов. Вы абсолютно правы,
когда пишете, что вместо «равновозможных» можно
говорить о «равновероятных» исходах; оба эти
выражения означают одно и то же. Вы спрашиваете, не
идет ли здесь речь о circulus- vltiosus (порочном
круге), поскольку при определении вероятности мы
опираемся на понятие «равновероятных событий» и,
следовательно, само определение вероятности
опирается на это понятие; это, разумеется,
непозволительно и к тому же не менее абсурдно, чем если бы мы
утверждали, что можно поднять самого себя, начав
тянуть за волосы кверху.
В действительности же здесь нет никакой
логической ошибки; дело в том, что на сей раз речь идет
не об определении вероятности как понятия, а лишь
о правиле для определения численного значения
определенной вероятности.
По моему предположению, каждое случайное
событие обладает определенной вероятностью, которая
является числом, заключенным между нулем и
единицей, и выражает степень неполноты уверенности в
том, что рассматриваемое событие наступит. Вопрос
в том,, являются ли два события равновероятными
или нет, может быть решен без значения численных
значений их вероятностей. Когда я утверждаю, что
игральная кость «правильна», это означает, что если
ее грани не помечены числами от 1 до 6, то их
невозможно распознать (различить). Если же кто-либо
в мое отсутствие перенумерует грани теми же числа-,
ми от 1 до 6, но в другом порядке, то, вернувшись,
я не смогу ничего заметить. Следовательно, при бро-
сании^ игральная кость с равными вероятностями па*.
НО

дает на любую грань. С аналогичной ситуацией мы
встречаемся, когда хотим убедиться в равенстве двух
отрезков, не прибегая к измерению их длин:
достаточно наложить отрезки друг на друга, и, если их
конечные точки совпадают, значит они равны. Точно
так же равноплечие весы позволяют решить вопрос
о том, одинакова ли тяжесть двух предметов (то есть
имеют ли они равный вес), без измерения веса
каждого из предметов.
Ответ на Ваш второй вопрос далеко не так прост.
Вы спрашиваете, как можно для неправильной кости,
центр тяжести которой - не совпадает с
геометрическим центром, определить вероятности выпадения
каждой из граней. Этот безобидный на первый
взгляд вопрос в действительности очень сложен,
поскольку он затрагивает выяснение другого
основополагающего вопроса, которым, собственно, мне
следовало заняться еще в первом письме. Конечно, задай
Вы этот вопрос моему другу, шевалье де Мере, он
заявил бы, что играет в кости .только с людьми
порядочными, в компании, где не принято играть
неправильными костями, доведись там такое, так
неправильную кость выбросили бы вместе с ее
владельцем. На это Вы с полным правом могли бы
возразить: а откуда они узнали бы, что кость
неправильная? Шевалье, по всей видимости, не нашел бы
ничего иного, как сказать: играющий неправильной
костью получал бы при бросании шестерку чаще,
чем этого можно ожидать от правильной кости,
поскольку именно в этом и состоит замысел тех, кто
изготовляет неправильные кости.
Но если бы Вы затем, и вполне логично,
спросили— надеюсь, Вы простите меня за то, что я делаю
Вас главным действующим лицом диалога,— какого
результата ожидал бы шевалье для правильной
кости, то он ответил бы Вам, что при достаточно
длительной игре грань с шестеркой должна выпадать
приблизительно с такой же частотой, как и все
другие грани, то есть примерно в */б всех случаев. Тем
самым шевалье, собственно, и ответил бы на Ваш
первоначальный вопрос, хотя к этому и не стремился,
а именно: если неправильную кость бросить N раз я
шестерка при этом выпадет xN раз (здесь х — неко-
141

торое число, больше 7б), то очевидно, что
вероятность выпадения шестерки при бросании
неправильной кости равна х.
Тут Вы снова могли бы задать каверзный вопрос:
если кто-нибудь бросает неправильную кость 600 раз
и при этом шестерка выпадает 150 раз, то можем ли
мы быть уверены в том, что для этой кости
вероятность выпадения шестерки равна 15О/боо = !Д- На
это шевалье*мог бы ответить таким образом
(конечно, при условии, что он прочитал мое предыдущее
письмо и использует введенные там понятия), что его
ответ можно было бы счесть необоснованным
заключением. Ведь если бы кость была правильной и тем
самым вероятность выпадения шестерки равнялась
бы 1/б, то из 600 бросаний шестерка выпадала бы
не ровно 100 раз. Поэтому и а случае неправильной
кости нельзя утверждать на основании исходов
бросаний, что вероятность выпадения шестерки в
точности равна 74» можно лишь говорить, что она близка
к 1/±. В таком случае Вы могли бы спросить: как же
все-таки можно найти точное значение искомой
вероятности? На это шевалье, игрок опытный,
наверняка ответил бы, что он не знает метода, с помощью
которого можно было бы найти точное значение
искомой вероятности. Но если полученное приближенное
значение Вас не удовлетворяет (хотя проведенный
эксперимент с несомненностью подтверждает, что
кость неправильная и самое лучшее — выбросить ее
поскорее), то Вы могли бы получить более точное
приближение, увеличив число бросаний, скажем, до
1200. Если, к примеру, в серии из 1200 бросаний
игральной кости шестерка появилась бы 288 раз, то
для упомянутой вероятности Вы получили бы более
надежное приближение 288/i2oa ~ 0,24. Быть может,
шевалье к сказанному добавил бы еще (как я Вам
уже писал, в последнее время он начал усиленно
интересоваться философией), что, в то время как
правильной игральная кость может быть только одним
способом, неправильной она может быть в силу
бесконечного множества причин, то есть бесконечно
большим чидлом способов.
Я не стану продолжать этот воображаемый диалог,
поскольку Вы и без того знаете значительно больше,
142

чем смогли бы почерпнуть от шевалье де Мере.
Вместо этого я попытаюсь ответить на Ваши вопросы
своими собственными словами.
Ради краткости я хотел бы предпослать
изложению одно определение. Предположим, что мы
неоднократно проводим опыт в одних и тех же условиях;
тогда число опытов, в которых произойдет
определенное событие Б, можно назвать частотой события Е,
а отношение частоты к числу всех опытов (при
которых мы наблюдаем за появлением и непоявлением
события Е)—относительной частотой Е в данном
.ряде опытов. Те, кто не раз играл в азартные игры,
знают, что относительная' частота любых событий
при многократном повторении игр, вообще говоря,
близка к вполне определенному числу; более того,
отклонение относительной частоты от его верЬятности
тем меньше, чем дольше длится игра. Например, при
игре в кости относительная частота появления
шестерки при стократном бросании.кости будет близка
к уб (если кость правильная) или к другому числу
(если кость неправильная). Вероятность выпадения
каждой из сторон неправильной кости можно
приближенно определить — для этого имеется лишь
единственный, только что описанный путь. В принципе на
этом пути указанные вероятности можно определить
с любой точностью; практически же, однако, эту
точность нельзя увеличивать безгранично: во-первых, на
это потребовалось бы очень много времени и,
во-вторых, сама кость изнашивалась бы в процессе опытов.
Но, я думаю, Вас по-настоящему интересует не
точное значение вероятности того, что при бросании
неправильной кости выпадет шестерка, в
действительности Ваш вопрос значительно глубже: как можно
вообще определить вероятность зависящего от случая
события, если задача не может быть сведена к
подсчету числа благоприятных, равновероятных и
исключающих друг друга исходов испытания? Правила,
применимые для правильной (но не для
неправильной) кости, можно считать основанными на симмет*
рии, поскольку они опираются на симметрию
правильной кости. Пример кристаллов показывает,
однако, что симметрия встречается и в природе, а не
только в искусственно созданных человеком объек-
143

тах. Тем не менее во многих естественных явлениях
мы вообще не находим симметрии. Среди
обточенных водой камешков, которые попадаются нам во
время прогулки по берегу моря, едва ли удается
найти такой, который обладал бы сколько-нибудь
правильной геометрической формой, например был
бы шаром. Да и человека не назовешь вполне сим*
метричным. Недавно я где-то прочел, что в Древнем
Риме солдаты играли не правильными деревянными
или сделанными из бивней слона костями (они
назывались «тессера» и были распространены среди
богатых-людей), а использовали кости коленной
чашечки овцы или козы, так называемые талус, или
таксиллус. Эти косточки были известны еще древним
грекам (там они назывались «астраголос» и
употреблялись с той же целью). Вероятности возможных
исходов для этих костей могут быть приближенно
определены только эмпирически, путем наблюдения
относительных частот. .
Хотя таксиллус имеет шесть граней, выпасть
могут только четыре из них, поскольку две остальные
выпуклые. Древние греки и римляне обычно бросали
сразу четыре кости; наибольшую ценность имело то
бросание, когда каждая из костей выпадала своей
собственной, отличной от других стороной. Такое бро-»
сание называлось Венерой. Недавно я достал две
такие игральные кости и провел с ними эксперимент*
У одной из них частота выпадения граней при
тысяче бросаний оказалась равной 408, 396, 91 и 105.
Другую я подбросил только 100 раз, после чего она
затерялась. Из этих 100 бросаний частота выпадения
граней оказалась равной 38, 43, 11 и 8. Обозначим
два наиболее вероятных положения таксиллуса через
Л и В, -а два менее вероятных — через С и D.
Предположим ради простоты, что положения Л и В так-
силлуса имеют равные вероятности — по 4/ю, а
положения С и D — по Ую- Согласно моему
эксперименту, это предположение близко к истине. Тогда,
как Вы также можете легко подсчитать, при
бросании четырех таксиллусов вероятность появления
Венеры равна 24/б25- Согласно упомянутой в моем
первом письме теореме умножения вероятностей, прежде
всего перемножим все эти четыре вероятностна
144

Vio'Vio'Vio'Vio == !/б50. Но это вероятность того, что
грани А, В, С, D появятся на определенным образом
упорядоченных костях. Четыре же таксиллуса можно
упорядочить 24 различными способами. На
основании теоремы сложения вероятность появления
Венеры равна 2Уб25> то есть немного меньше V25.
Отсюда понятно, почему римляне радовались появлению
Венеры.
Косточки таксиллус, конечно, не вполне
одинаковы, и поэтому возможно, что для них вероятность
выпасть стороной А не одна и та же для различных так-
силлусов: для одного экземпляра равна 4/ю, для
другого 38/юо и т. д. Но если выбран определенный
таксиллус, то для него вероятность выпадения грани
А является вполне определенным числом.
Относительная частота выпадения грани А определенной кости
таксиллус сама зависит от случая, и поэтому
невозможно предвидеть ее значение; известно только, что
она будет близка к вероятности. Если, например,
100 раз подбросить таксиллус, для которого
вероятность появления А равна 4/ю, то это отнюдь не
означает, что грань А выпадет в 40 случаях; это число
может быть 38 или 41, 44 или 36 и т. д. Если же
провести серии по L00 бросаний, то, вообще говоря,
относительная частота в различных сериях будет
различна, но она почти всегда будет находиться вблизи
от вероятности, то есть будет равна примерно 4/ю.
Таким образом, вероятность есть та неподвижная
точка, вокруг которой случайным, непредсказуемым
образом колеблется относительная частота, но в своих
капризных изменениях она, как правило, будет
отклоняться от вероятности лишь незначительно. Если
число наблюдений увеличивается, то отклонения
частоты _от ожидаемой величины (то есть от
произведения вероятности на число наблюдений) также
увеличиваются, но отклонения относительной частоты от
вероятности, как правило, будут уменьшаться.
Например, если мы бросим таксиллус 400 раз, то
действительное число выпадений грани С редко будет
отклоняться от ожидаемого, то есть от Vio-400 = 4.0,
больше чем на 12. Но если мы проведем серию из
1000 бросаний, то частота выпадения грани С будет
.отклоняться от ожидаемого значения, то есть от
145

1000-Vio = 100, на 12 или даже на большую
величину достаточно часто, но очень редко будет
превосходить 20. Это означает, что, в то время как при 400
бросаниях относительная частота появления грани С
будет находиться между 7/юо и 13/юо, в случае 1000
бросаний она в подавляющем большинстве случаев
будет находиться между 8/юо и 12/юо-
В то время как вероятность некоторого
случайного события является вполне определенным числом
(хотя, возможно, и не известным нам точно), которое
не зависит от случая, частота того же случайного
события является числом неопределенным, зависящим
от случая. Точное его значение предвидеть
невозможно, его можно определить только экспериментальным
путем. Но мы не должны забывать, что это значение
могло бы быть и иным, и если мы повторим
эксперимент, то следует помнить, что мы встретимся с совсем
другим числом. Если вероятность нам известна
(например, в силу соображений симметрии либо
благодаря использованию правил сложения и умножения
или дуэугих аналогичных правил), то значение
относительной частоты мы можем предвидеть с большей
или меньшей точностью. С другой стороны, на
основании наблюдений за относительной частотой мы мо*
жем сделать заключение о приближенном значении
вероятности (если она нам неизвестна). Оба эти спо*
соба заключений существуют, но природа их
совершенно различна. Первый способ по своему характеру
подобен' вычислению массы предмета по известной
плотности и известному объему, тогда как второй-^
вычислению неизвестной плотности вещества по
измеряемым массе и объему предметов из этого вещества.
Впрочем, если мы произведем такого рода расчеты с
различными предметами из того же вещества, то для
плотности получим не точно совпадающие, а только
близкие друг к другу значения, поскольку измерение
связано с ошибками.
Зависимость вероятности от относительной
частоты примерно такая же, как отношение точного и
полученного в результате измерений значения плотно*
сти. Следовательно, наблюдение относительной ча«
стоты можно рассматривать как способ измерения
вероятности. Это измерение позволяет получить не»
146

точное значение (как, впрочем, и любое другое
измерение), но неточность измерения можно произвольно
уменьшить за счет увеличения числа наблюдений*
Правда, встав на этот путь, нельзя получить
абсолютно точного значения вероятности. Монтень
однажды утверждал 15, что «факты не дают полной
уверенности, потому что сами всегда изменчивы». Эти
слова Монтеня я бы дополнил так: факты не дают с
полной достоверностью определить даже степень
уверенности. Значит, на практике нам следует
довольствоваться лишь частичным знанием неполной
уверенности. Это равносильно тому, как если бы Вы
получили только часть моего письма, поскольку
остальная часть его была потеряна при передаче, да и эту
часть смогли прочесть не полностью, так как
почтальон уронил ее в воду и поэтому строки
расплылись. Я искренне надеюсь, что настоящее письмо
такая судьба не постигнет; что же касается
документов прошлого, то они почти неизбежно теряются
таким или подобным образом. Тем не менее
историческая наука даже по неполным документам пытается
восстановить картину давнего прошлого, но наши
представления об отзвучавших временах по
необходимости в известной мере гипотетичны, хотя
большинство историков не желает признать это с полной
искренностью.
Резюмируя сказанное, мы можем заключить, что
отношение частоты некоторого события к числу
наблюдений приблизительно такое же, как отношение
вероятности этого события к вероятности
достоверного события, то есть к единице. Это соответствие
между фактами и логикой, между возможностью и
осуществимостью я нахожу поистине замечательным!
Оба упомянутых вида заключений можно
применять также попеременно: из наблюдений частоты мы
можем делать заключения о значении определенной
вероятности, а из полученных таким образом
вероятностей вычислить другие, пользуясь правилами
вычисления вероятностей, и, наконец, отсюда извлекать
сведения о возможности появления событий в
будущем. Так, из наблюдений и размышлений, которые
взаимно дополняют друг друга, появляется
возможность познать мир. Я не строю иллюзий, будто мне
147

первому выпала честь осмыслить это явление; я
убежден, что оно было известно еще Платону.
Недавно я перечитал «Тимея» и нашел там следующее
замечательное положение 16. «Как возникновение
относится к бытию, так размышление относится к истине».
По-моему, этим таинственно звучащим
высказыванием Платон хотел выразить ту же мысль, о которой
только что шла речь. Мое убеждение подтверждается
тем, что непосредственно за процитированной фразой
Тимей говорит о вещах, которые не достоверны, а
лишь вероятны. Мне кажется, что в Древней Греции
были и другие философы, например Карнидес,
которые понимали, что хотел сказать Платон, однако со
временем истинный смысл этого несколько неясного
высказывания забывался. Когда же на днях мне
удалось обнаружить это место в «Тимее», я
почувствовал себя сродни тем, кто из глубин земли выкопал
прекрасную греческую „статую и, очистив ее от грязи,
увидел, как мрамор засиял в первозданном блеске.
От моей свечи остался лишь небольшой огарок;
отсюда я делаю вывод, что ответ на Ваш второй
вопрос потребовал от меня много времени. Ваш третий
вопрос проще, хотя он, подобно факелу, освещает
некоторые оставшиеся в тени части нашей проблемы.
Но надеюсь, Вы простите меня за то, что ответ на
него я оставляю на будущее, ибо завтра утром мне
предстоит встретиться с одним надежным лицом,
которое завтра же отправляется в Орлеан — где, как я
слышал, Вы сейчас находитесь у г-на Каркави,— и
лередаст Вам это письмо.
Мне бы очень хотелось, чтобы Вы получили его
как можно скорее и смогли убедиться, что семена,
посеянные Вами, не только взошли, но и успели уже
принести плоды. От души надеюсь, что эти плоды
моих размышлений, хотя они еще не вполне зрелы8
Вы все же найдете съедобными. Дабы они не
показались Вам терпкими, посылаю Вам еще корзину яблок
из моего сада. Вряд ли эти яблоки лучше тех, что
произрастают в Тулузе, но, возможно, этот скромный
дар поможет мне убедить Вас в том, что у Вас нет
более искреннего единомышленника и горячего почи*
тателя, чем
Блэз Паскаль

ТРЕТЬЕ ПИСЬМО
Париж,
8 ноября 1654 года^
на рассвете
Г-ну Пьеру Ферма
Орлеан
Дорогой г-н Ферма!
Прошедшей ночью меня мучили кошмары, и я
проснулся весь в поту и с сильным сердцебиением.
Чтобы отвлечься, я решил ответить на Ваш третий
вопрос, а именно показать, при каких условиях верна
теорема умножения вероятностей. Вы, в частности,
отметили, что если из колоды дважды подряд
вытянуть по одной карте, то теорема умножения вероят*
ностей окажется верной лишь в том случае, когда,
прежде чем вынуть вторично карту, мы возвратим в
колоду вынутую первоначально карту и всю колоду
хорошенько перетасуем. Если же не возвратить карту,
теорема перестанет быть верной.
Рассмотрим, например, колоду, состоящую из
16 карт и содержащую по четыре карты — туз,
король, дама и валет — каждой масти (пики, черви,
трефы и бубны). Тогда вероятность того, что сначала
мы вытянем короля, составит х/\. Если, перед тем
как вновь тянуть, мы возвращаем вынутую карту в
колоду, то и на сей раз вероятность вытянуть короля
окажется равной 1Д- Если же после первого раза мы
не возвращаем вынутую карту, то вероятность
вытянуть короля как в первый, так и во второй раз уже
будет равна не Y^A == Vie» a только Y20, ибо
двух королей при этом мы можем извлечь только
4*3== 12 различными способами (тогда как число
всех возможных способов составит 16* 15 = 240). На
первый взгляд этот пример противоречит теореме
умножения, о которой я писал Вам в письме от 28
октября; но это противоречие — кажущееся. Стоит нам
149

подробнее изучить приведенный пример, и мы увидим,
что теорема умножения верна и здесь.
Действительно, если после первого извлечения мы
не возвращаем в&нутую карту в колоду и при этом
вынутым оказался король, то -при втором извлечении
в колоде остаются уже 15 карт и среди них лишь
три короля. Тем самым вероятность извлечения
короля во второй раз оказывается равной 3/i5, то есть
Vs. Но тогда, согласно теореме умножения, искомая
вероятность составит lU*Vs = V20, как и следовало
ожидать. Если же предположить, что в первый раз из
колоды вынут не король (и карта обратно не
возвращена), то вероятность извлечения короля во второй
раз будет равна 4/i5. Итак, вероятность того, что в
первый раз мы вытянем не короля, а во второй —
короля, согласно теореме умножения, равна 3/4 • 4/is =
= Vs. Вероятность же того, что во второй раз
мы вытянем короля, независимо от результата
первого извлечения составляет V20 + Vs = V4, то есть
она столь же велика, как если бы после первого
раза мы вновь положили вытянутую карту в колоду.
Однако это верно, лишь до тех пор, пока нам не
становится известным результат первого извлечения.
Если же он стал нам известен, то положение
изменяется, и теперь если первая извлеченная карта
оказалась королем, то вероятность извлечения короля во
второй раз оказывается равной только Vs (то есть
меньше V4). И наоборот, когда при первом извлечении
вынут не король, вероятность того, что во второй раз
мы вытянем короля, оказывается равной уже 4/i5
(то есть больше V4). Естественно, напрашивается
вопрос: меняется ли вероятность от того, что мы узнаем
о вынутой карте? Ведь карта не может знать о том,
что я подсмотрел, что появилось! Другими словами,
как может мое знание повлиять на вероятность
результата второго извлечения, ведь она зависит не от
меня, а только от состава колоды? Это
действительно так, но если я подсмотрю, какая карта вытянута
в первый раз, то с полной достоверностью буду
знать, какой из 16 карт нет среди оставшихся 15!
К тому же отсутствие этой карты влияет й на
упомянутую вероятность, ибо от этого зависит, сколько
королей — четыре или только три — находится среди
150

оставшихся карт. Собственно говоря, нас смущает то
обстоятельство, что я подсмотрел вытянутую карту;
на самом-то деле речь идет не ol том, увидел ли я,
какая это карта, а лишь о том, сохранились ли среди
15 карт все четыре короля. Следовательно, важно не
то, что нам становится известна извлеченная карта, а
то, оказалась ли вытянутая при первом извлечении
карта к&ролем. Поскольку нас интересует лишь
вторая карта, которую мы извлекаем из колоды, при
вычислении вероятности того, что она окажется
королем, мы должны учитывать обе возможности первого
извлечения (то есть был вынут король или же король
не был вынут) и образовать взвешенное среднее
значение условных вероятностей Vis и 4/i5 с
вероятностями обоих возможных результатов первого
извлечения (то есть взять вероятность Vs с весом
У4, а вероятность 4/is— с весом 3/4). Таким
образом, в действительности получаем ]/4 • Vs + 3Д •
>7.i6 = V4.
Приведенный пример показывает, сколь большой
осмотрительности требует обсуждение этих на первый
взгляд простых вопросов; почти на каждом шагу нас
подстерегают засады. Но об этом мне хотелось бы
написать Вам в другой раз. Что же касается теоремы
умножения, то общая и корректная формулировка ее
сводится к следующему: вероятность того, что
события А и В осуществятся, равна произведению
вероятности события А на вероятность события Ву причем
последняя вероятность вычисляется при условии, что
событие А осуществилось. Это последнее значение я
называю условной вероятностью В при условии А.
По-моему, я ввел новое понятие — условную
вероятность. Но в принципе оно не отличается от
понятия вероятность. В самом деле, вероятность любого
события зависит от некоторых условий, при которых
рассматривается его наступление или ненаступление.
Когда мы утверждаем, что вероятность выпадения
шестерки при бросании игральной кости равна Ve-
мы заранее предполагаем, что кость правильная.
Когда мы говорим, что вероятность извлечения
короля из протянутой нам колоды равна 74, мы исходим
из того, что в колоде 16 карт, среди них четыре
короля и сами карты хорошо перетасованы. Если условия
151

изменились, то меняется и вероятность. Если условия
вполне определенные и не изменяются, то о них
просто не упоминают. Введение понятия условной
вероятности, по сути, является плеоназмом *, подобным
выражению «смертный человек», ибо всем известно,
что человек смертен/Но во избежание недоразумений
все же целесообразно говорить об условных
вероятностях в тех случаях, когда условия изменяются, а
не заданы навечно.
Может случиться, что вероятность события В при
условии, что событие А уже произошло, равна
вероятности события В без дополнительного уеловия,
В этом случае вполне обоснованно называть события
А и В независимыми событиями; при этом
вероятность события А не зависит от того, произошло или
не произошло событие В. В том случае, когда
события А и В независимы, теорему умножения
вероятностей можно сформулировать, не прибегая к
понятию условной вероятности. При этом мы можем
прямо утверждать: вероятность того, что наступят оба
события А к В, равна произведению вероятностей
каждого из этих событий в отдельности. Это произой-
дет, если события Л и В, например, касаются
выпадения числа очков (на разных костях). При этом
события А и В независимы, поскольку кости не могут ока-
зывать влияние друг на друга. Если же кости как-то
связаны между собой, например посредством нити,
то оба события уже не являются независимыми.
Два события могут быть независимыми не только
тогда,-когда невозможно представить себе, каким
образом наступление шансов, благоприятствующих
одному ,из них, может повлиять на другое. Для
примера обозначим через А событие, которое заключается
в том, что при извлечении наугад карты из колоды
мы вынем карту масти пик, а через В — что
извлеченная карта окажется королем. В таком случае оба
события относятся к одному и тому же явлению и все
они зависят друг от друга. Действительно, среди
16 карт имеются четыре короля, среди четырех карт
масти пик имеется один король. Далее, среди 12 ос-
* Плеоназм — многословие, стилистический оборот речи,
содержащий однозначные излишние слова, — Прим, перев,
152

тавшихся карт имеются три короля; таким образом,
вероятность события В равна ]Д — как в том случае,
когда событие А наступило, так и в том, когда оно не
наступило, а также тогда, когда событие А вообще не
принимается во внимание,
8 ноября, вечер
Перечитав написанное мной на рассвете, я
пришел к выводу, что мой ответ не может не вызвать
новых вопросов. В самом деле, что же, собственно
говоря, означает утверждение, что колода карт
«тщательно перетасована»? Если бы мы спросили об этом
опытного игрока, например шевалье де Мере, то он,
очевидно, ответил бы, что это означает следующее:
один из играющих достаточно долго тасует колоду,
не делая при этом попыток обмануть других; иными
словами, он, подражая опытным игрокам, поручает
случаю порядок расположения карт в колоде и не
пытается оказать на него влияние. Но я пошел бы
дальше и спросил: можно ли только по порядку рас-
положения карт (не зная, как именно они
тасовались) установить, хорошо ли перетасованы карты? На
первый взгляд вопрос кажется вполне безобидным, и
мне чрезвычайно любопытно, что ответил бы на него
шевалье де Мере. Если бы он и в. самом деле
ответил так, как я представляю себе, то мне хотелось бы
спросить его, какова, по его мнению, вероятность
того, что после тщательного тасования карт дама
червей будет лежать сверху. По-видимому, он ответит,
что после хорошего тасования у каждой из 16 карт
будет одна и та же вероятность оказаться сверху, то
есть вероятность эта составит Vie- Хорошо,
продолжил бы я, если дама червей окажется сверху, то
какова вероятность, что следующая за ней карта
окажется тузом пик (или любой другой из оставшихся
карт)? Очевидно, что Vi5, ответил бы па это ше-.
валье.
Все эти соображения позволяют нам заключить,
что при тщательном тасовании вероятности каждого
из возможных порядков расположения карт должны
быть одинаковы. Но как же в таком случае лишь на
основании изучения того, как расположены карты,
153

можно решить, насколько хорошо перетасована
колода, ведь появление одного порядка расположения
столь же вероятно, как и появление любого другого?
А если на основании рассмотрения порядка нельзя
решить, что колода хорошо перетасована, то имеет ли
само это выражение какой-нибудь определенный
смысл? На это де Мере ответил бы, что, конечно,
результаты одного-единственного тасовгания еще не
позволяют установить, обманывает ли тасующий; но
если он слишком часто, чаще, чем этого следовало бы
ожидать, сдает себе хорошие карты, то можно не
сомневаться, что мы имеем дело с плутом. После
этого я спросил бы шевалье: если игрок тщательно
тасует карты, то, как он полагает, каждый
возможный порядок их расположения наступает с
приблизительно одинаковой частотой или нет? Если бы его
ответ был утвердительным, то он и на сей раз
угодил бы в ловушку. Ведь число всех возможных
расположений карт равно произведению всех целых
чисел от 1 до 16, а это число столь велико, что если бы
играющая в карты компания занималась этим и день
и ночь без перерыва и ежеминутно тасовала бы
колоду, то потребовалось бы около 39 миллионов лет,
чтобы мог появиться каждый возможный порядок! *
Таким образом, следуя по этому пути, невозможно
практически проверить качества тасования. Недавно
я придумал незамысловатое устройство для
тасования карт: карты соскальзывают по наклонной
плоскости и попадают в коробку, которую часовой
механизм тащит наверх и затем переворачивает, высыпав
колоду на другую наклонную плоскость. Процесс
повторяется последовательно много раз. Возможно, что
это устройство и способно производить за минуту
10 тасований, но и ему'понадобилось бы проработать
около 4 миллионов лет, прежде чем могли бы
появиться все возможные расположения карт. Когда же
я подсчитал возможное число порядков
расположения карт в колоде из '52 карт, у меня едва не
началось головокружение.
* Как убедится читатель, расчеты Паскаля очень просты:
1-2-3-4--6-7-8-9-10-11.12-13-14-15-16 _ оп ППГ1 ЛЛЛ
365.24.60 ; 39 000 000.
154

Но не будем пока касаться щекотливого вопроса о
тщательности тасования карт и предположим, что
для этого имеется надежная машина (или опытный и
честный игрок), которая (который) с одной и той же
вероятностью получает каждый возможный порядок
расположения карт. Машина (игрок) тасует колоду
из 16 карт, и в результате осуществляется
определенный порядок — один из более чем 20 тысяч
миллиардов. Вы только подумайте, что это означает: мы
можем стать свидетелями события, вероятность
которого меньше 0,00000000000005, то есть равна единице,
деленной на 20 миллиардов! До сих пор мне казалось,
что событие, которое имеет очень малую вероятность,
скажем всего одну миллиардную, практически
невозможно. Однако, как показывает пример с тасованием
карт, с подобными выводами не следует торопиться.
Итак, мы должны поставить следующий вопрос: в
каком же все-таки смысле верно, что наступление
событий малой вероятности можно принимать почти
исключённым, в то время как наступление событий с
вероятностью, близкой к единице, можно принимать
практически достоверным? По-моему, этот вопрос не
так труден, как кажется на первый взгляд. Ведь если
я заранее указываю порядок, в котором должны
расположиться карты, а затем тасую колоду, то
появление именно этого порядка практически исключено,
хотя он не менее вероятен, чем любой другой, в том
числе и тот, который в действительности
осуществляется.
В свое время, когда я только начал размышлять
о вероятности, все казалось мне простым и ясным, и
лишь теперь я постигаю всю глубину своего
заблуждения. Всякий раз, когда мне кажется, что я нашел
истину, она ускользает из моих рук. Почти на
каждом шагу подстерегают здесь нас ловушки.
Возможно, все это и отразилось на моем сне, который так
мучил меня прошедшей ночью. Мне снилось, будто я
нахожусь в пещере и в непроглядной тьме пытаюсь
отыскать выход. Я старался двигаться в том
направлении, откуда, как мне казалось, пробивается свет.
Но путь преграждала огромная скала. После многих
попыток мне наконец удалось ее обойти, и я увидел
отверстие, которое, видимо, служило выходом из
155

пещеры, ибо там проглядывал свет. Выпрямившись, я
направился было к отверстию, но едва сделал два
шага, как кто-то невидимый схватил меня за плечо и
толкнул назад. Не иначе, как задел, плечом нависший
кусок камня, подумал я (ведь я знал, что, кроме
меня, в пещере никого нет). Поднявшись, я вновь
направился к выходу. На сей раз я был осторожнее и,
цепляясь за стену, внимательно смотрел перед собой. То,
что открылось моему взору, заставило меня
отшатнуться: прямо передо мной зияла какая-то яма. Если
бы не тот толчок, я непременно свалился бы в нее.
На первых порах я даже не осознал в полной мере,
какой опасности избежал. Любопытства ради я
бросил в яму камень и начал равномерно считать, чтобы,
услышав удар камня о дно, установить глубину про--
вала. Досчитав до 5 и все еще не слыша удара
камня, я впервые осознал свое положение; весь дрожа,
я досчитал до 10, затем до 20, а стука все не было.
Объятый ужасом, я тщетно считал дальше, пока
меня не сморил сон.
Думаю, после всего сказанного Вы поймете,
почему, проснувшись, я не делал попыток заснуть вновь
и, стремясь избавиться от удручающих впечатлений
сна, на рассвете принялся за это письмо.
Сейчас я уже могу спокойно размышлять о
странном сне, но все еще не представляю, как объяснить
его. Возможно, первопричиной здесь послужила моя
упорная борьба со все ускользающим от меня
понятием вероятности. Недаром же об этом некогда пи-<
сал Лукрецкий:
Если же кто-нибудь занят каким-либо делом прилежно,
Иль отдавалися мы чему-нибудь долгое время,*
И увлекало наш ум постоянно занятие это,
То и во сне представляется нам, что мы делаем то же 17.
А возможно, мой сон значит совсем другое. В чем
же состоит опасность, которая подстерегала меня, чья
таинственная рука удержала меня от гибели? И
вообще, откуда берутся наши сны и следует ли придавать
им какое-нибудь значение? Здравый смысл подсказы-»
вает мне, что отдыхающий во сне мозг неосознанно
смешивает самые различные представления, подобно
тому как игрок, тасуя карты, придает им случайный
порядок. Не удивительно, что во сне эти представлен
156

ния возникают в произвольном порядке, и в их
появлении вовсе не следует искать каких-либо особых
причин или таинственных знаков, равно.как и в
случайном расположении карт после тасования. Понятие
случайного на протяжении тысячелетий окружалось
суеверными представлениями, и, видимо, именно это
удерживало члюдей от попыток сделать случайные
явления предметом научных исследований. Что же
касается меня, то я уверен, что мне удалось сбросить
парализующие цепи ужасных суеверий, но в
объяснении моего сна никакие логические аргументы не
позволяют мне освободиться от гнетущего чувства, что
он все-таки должен что-то означать.
Простите, что, помимо всего прочего, я докучаю
Вам еще и описанием своих сновидений. Меня самого
это несколько стесняет, но все же я испытываю
большое облегчение от того, что смог поделиться с
Вами размышлениями относительно причин этого
кошмарного сна. Надеюсь, что Вы, столь хороню
понимающий мои мысли, вникните в их суть и поймете
мое напряженное душевное состояние. И если кого-
нибудь иного, с кем меня не связывает столь тесное
душевное родство, такая исповедь, пожалуй, и
напугала бы, то для Вас эта откровенность будет допол-
нительным залогом нашей дружбы и Вы еще раз
воспримете из этого письма, что Вашим самым
искренним другом, самым горячим почитателем остается
Блэз Паскаль

ЧЕТВЕРТОЕ ПИСЬМО
Париж,
19 ноября 1654 года
Г-ну Пьеру Ферма
Тулуза
Дорогой г-н Ферма!
В письме, которое Вы послали мне 12 ноября из
Орлеана, с присущей Вам скромностью Вы
сообщаете, будто Вам не известны ответы на те вопросы,
которые были поставлены Вами в предыдущем письме.
Не сочтите за обиду, но я по-прежнему убежден, что
мои ответы не могли явиться для Вас
неожиданностью. И так как я уверен, что Вы заранее
ответили на все предложенные Вами вопросы, то особенно
рад тому обстоятельству, что, как можно судить по
Вашему письму, Вы в основном соглашаетесь с моим
ответом.
Что же касается новых вопросов, которые Вы
поставили в последнем письме, то я склоняюсь к
мнению, что они отнюдь не риторические. К тому
же вопросы эти столь тесно связаны с основными
философскими проблемами, что, по' моему глубокому
убеждению, к ним во все эпохи будут возвращаться
мыслители. Так как человечество постоянно
накапливает знания, ответы на эти вопросы будут
становиться все более полными, но ни один из них не будет
в состоянии дать исчерпывающее решение. Ваша
несомненная заслуга в том, что Вам первому удалось
сформулировать эти вопросы с такой неподражаемой
ясностью. Если бы, скажем, лет через триста мне
удалось воскреснуть и я увидел, бы, что математики,
естествоиспытатели и философы все еще спорят по
этому поводу, меня бы это нисколько не удивило.
Не удивился бы я и появлению множества весьма
туманных суждений. Поскольку в данном случае
речь идет о принципе неопределенности, мы вправе
158

ожидать, что люди поверхностные отнесутся к этому
как к области, где отнюдь не обязательно стремиться
к совершенной чистоте мышления. Меня ничуть не
удивило бы и отношение людей, питающих
отвращение к математическому методу мышления: они
полагают, что, поскольку случайные явления все равно
нельзя предвидеть (а если можно, то лишь в самых
общих чертах), при их математическом толковании
можно допускать определенную небрежность и
пользоваться непродуманными и недостаточно
аргументированными понятиями. В действительности же
дело обстоит как раз наоборот. Все хозяйки хорошо
знают, что для свежего хлеба требуется более
острый нож, чем для черствого. По сути, мы ведем
речь о том же самом. В любом научном
исследовании, для того чтобы приблизиться к истине,
необходимо оперировать отточенными логическими
суждениями и кристально чистой аргументацией,
осторожно продвигаться вперед и проверять каждый свой
шаг. И это особенно важно именно при изучении
случайных явлений.
В силу только что сказанного Вы вряд ли
будете удивлены, обнаружив, что я не беру на себя
смелость дать окончательные и полные во всех
отношениях ответы на Ваши вопросы. Более того, я спешу
поделиться с Вами теми мыслями, которые будят во
мне Ваши вопросы; одно это способно доказать Вам,
до какой степени меня интересует то; о чем Вы мне
писали, причем делаю я это охотно, так как Ваши
вопросы не явились для меня полной
неожиданностью. Хотя я и не сумел так четко и сжато
их сформулировать, как Вы, все же должен
признаться, что эти проблемы увлекают меня уже
довольно давно.
Некоторое время назад в салоне мадам д'Эгийон
я беседовал о них с моим давним другом Дамьеном
Митоном; он присутствовал и при том, когда шевалье
де Мере ставил мне вопросы, связанные с игрой
в кости. С тех пор г-н Митон, естественно,
интересуется этими вещами и частенько расспрашивает меня
о том, чего я достиг в изучении математики
вероятностей. Вы, очевидно, знаете, что г-на Митона, как
весьма образованного человека, привлекает не только
159

литература (занимаясь которой он снискал
заслуженную известность), но и наука, и острота его ума
подобна лезвию бритвы. Однако при этом он
обладает свойством, которое нередко ввергает меня в
споры с ним: обо всем у него совершенно категоричное
суждение, даже о том, о чем он слышит впервые.
Эта его самоуверенность меня раздражает, и я по
мере сил пытаюсь доказать ему скороспелость его
мнения. Чтобы Вы составили себе представление
об этом человеке, позвольте привести следующий
пример. Если во время спора удается загнать г-на
Митона в угол, то и тут он весьма своеобразно аа-
канчивает баталию: в таких случаях он обычно п>
ворит, что признаёт возможность вполне серьезного
обоснования мнения, отличного от его собственного
и даже противоположного ему, и потому не желает
убеждать меня в истинности собственного суждения,
а также с готовностью признает, что каждый имеет
право на личное мнение, но именно потому просит,
чтобы я не навязывал ему своего. Его любимое
выражение: «Одни предпочитают блондинок, другие
брюнеток». Обычно он добавляет, что в этом вопросе
он лишен предрассудков. На этом дискуссия чаще
всего заканчивается и разговор переходит на тему
о красивых женщинах. (В этой области у меня нет
оснований сомневаться в обстоятельности знаний и
обоснованности суждений г-на Митона.)
После всего сказанного, я думаю, Вы уже може«
те судить, каков г-н Митон вместе со всеми его доб*
родетелями и недостатками. История учит, что люди,
которые, подобно ему, считали, что каждый имеет
право на собственное мнение и никто не смеет
ограничивать других в этой свободе, приносили
человечеству все же намного меньше бед, чем люди,
которые стремились навязать истину — действительную
или мнимую — огнем, мечом или крстром
инквизиции. В свете истории я не удивлюсь тому, что
многие думают так же, как Митон. Что же касается
науки, то для нее свобода мышления подобна
живительному воздуху, без которого она задохнется.
Впрочем, и здесь я не могу во всем согласиться
с Митоном: в науке свобода мышления не должна
распространяться столь далеко, чтобы пренебрегать
160

фактами. Если суждения противоречат фактам или
попросту бессмысленны, поскольку они
противоречивы сами по себе и алогичны," то высказывать их по
меньшей мере глупо. Но если бы в научных спорах
мы отказались от стремления убеждать других в
правоте своего мнения, основываясь лишь на фактах
и логике, то остановилось бы само развитие науки*
Естественно, что я имею в виду лишь
аргументированные убеждения, а не насильственное навязывание
своего мнения другим или же подавление
оригинальной мысли.
Теперь мне хотелось бы перейти к изложению
беседы с г-ном Митоном о вероятности, содержание
которой я записал в тот же вечер. Разумеется, мне
удалось сформулировать собственные мысли гораздо
яснее, нежели высказанные сгоряча, они звучали
в жарком споре. Понятно, что я не устоял перед
искушением записать сказанное в этом, уже
несколько перебродившем виде. Но справедливость
требовала, чтобы и слова г-на Митона подверглись
огранке, что я и сделал. И хотя запись нашей дискуссии
лишена точности судебного протокола, я надеюсь,
что в таком виде мне удалось лучше передать суть
нашего спора, чем если бы я дословно записал всю
беседу.
В самом начале беседы на вопрос г-на Митона
о том, чего я достиг в исследовании математических
закономерностей случайного, я вкратце изложил
содержание моих писем к Вам. Я определил
вероятность как степень уверенности и при этом
подчеркнул, что, собственно говоря, любая вероятность
является условной и ее значение изменяется с
изменением-условий. Я указал, что относительная частота
события колеблется около его вероятности как
центра колебаний, повинуясь капризам случая. Конечно,
продолжал я, это верно лишь в том случае, когда
наступление или ненаступление события
наблюдается в последовательности попыток, осуществленнных
в одинаковых обстоятельствах независимо друг от
друга и не оказывающих никакого взаимного
влияния. При этом я сослался на следующий пример.
Упомянутое правило справедливо, если из урны,
содержащей черные и белые шарьгв заданной про-
6 Зак. 401 . 16Ц

порции, мы последовательно вынимаем шар за
шаром, но после каждого извлечения возвращаем
вынутый шар обратно, а затем хорошенько встряхиваем
урну, восстанавливая тем самым положение, в кото*
ром урна находилась перед предыдущим
извлечением. Именно к этому примеру и относилось первое
замечание Митона.
М и т о н. Г-н Паскаль, мне понятно
воодушевление, которое вы испытываете в связи с тем, что вам
первому удалось сформулировать этот интересный
закон. Однако, как мне кажется, круг его
применимости весьма узок: за исключением лотерей и
азартных игр (которые, кстати, интересуют и меня, но не
в такой степени, как нашего общего друга шевалье
де Мере), мне трудно представить себе ситуацию,
в которой выполнялись бы условия этой теоремы.
Вы, г-н Паскаль, очевидно, знаете, что я частенько
бываю на скачках18. Причем не столько с целью
выиграть (к счастью, в деньгах я не нуждаюсь),
сколько ради хорошего общества. Но коль скоро я
попадаю на скачки, то с интересом слежу за
происходящим и из собственного опыта знаю, что
невозможно предсказать, какая лошадь выиграет заезд,
если придерживаться тех же правил, что и при
бросании игральной кости, хотя и здесь речь идет о
случайности. На скачках ваш закон неприменим; ведь
если бы в них неоднократно принимали участие одни
и те же лошади и наездники (чего никогда не
бывает), то у лошадей были бы различные шансы, ибо
как раз здесь очень многое зависит от состояния
и лошадей, и наездников. Часто случается, что какая-
нибудь лошадь спотыкается и падает, или же у нее
подвертывается нога, или же получает травму
всадник. И если даже к следующим соревнованиям они
обретут форму, все равно происшедшее не проходит
для них бесследно.
Паскаль. Правильность закона не нарушается
от того, что иногда предположения, в рамках
которых он выведен, оказываются невыполненными,
в силу чего закон становится неприменимым. Он
сомнителен лишь тогда, когда его выводы в каком-
то случае оказались ошибочными, хотя условия его
применимости и были выполнены. Однако вы правь^
162

утверждая, что существуют случайные события,
наступление которых можно наблюдать лишь раз,
поскольку наблюдать их в подобных же условиях
более невозможно. Такие случайные события я
называю однократными случайными событиями.
М и т о н. Значит, при таких однократных
случайных событиях определить вероятность эмпирическим
путем, то есть посредством наблюдения
относительной частоты, невозможно?
Паскаль. Вы правы. Ведь при этом можно
провести только одно наблюдение, следовательно,
значение относительной частоты может быть только
О или 1.
М и т о н. Что же означает тогда для таких
однократных случайных событий утверждение, что их
вероятность равна некоторому определенному числу,
например !/г?
Паскаль. Смысл этого утверждения тот же,
что и в случае событий, которые можно наблюдать
сколько угодно раз. Вспомните, например, широко
распространенный обычай тянуть за концы косточку
из грудки цыпленка, которая имеет вид вилки. При
этом каждый из тянущих загадывает желание, и
у того, у кого кончик косточки не сломается, оно
исполнится. Но так как упомянутая косточка
симметрична, то разумно утверждать, что оба тянущих
могут выиграть с вероятностью !/г вопреки тому,
что сломать данную кость можно только один раз.
М и т о н. На этот раз мы в самом деле можем
говорить о правильности вашего закона, ибо если
неоднократно наблюдать, как ломаются косточки,
то нетрудно убедиться, что приблизительно в
половине случаев выигрывает как тот, кто держит левую
часть косточки, так и тот, который держит ее правую
часть. Иначе обстоит дело со скачками. В этом
случае дилемма неразрешима. Впрочем, я согласен
с вами в одном: и в случае скачек можно
утверждать, что одна из лошадей выиграет с некоторой
вероятностью, скажем с вероятностью !/2- В самом
деле, зрители на скачках имеют об этом достаточно
определенное мнение и именно поэтому заключают
между собой пари об их исходе. Однако я замечал,
что обычно мнения зрителей сильно расходятся в за-
6* 163

висимости от той информации о лошадях, которой
они располагают. На основании этого я заключаю,
что люди по-разному оценивают вероятность одного
и того же события, и я не вижу оснований,
позволяющих судить, кто же из них прав. Тот, чья лошадь
приходит к цели первой, тем самым еще вовсе не
доказывает свою правоту или правоту тех, кто ставит
на эту лошадь: верно лишь, что им повезло.
Конечно, когда речь заходит об азартных играх, все
знатоки придерживаются единого мнения, но ведь так
бывает лишь в исключительных случаях. Вы, г-н
Паскаль, 'определили вероятность события как
степень уверенности в его наступлении. Мне кажется
целесообразным изменить это определение так:
вероятность данного случайного события для каждого
человека имеет свое значение, поскольку она выра-
жает степень его уверенности в наступлении данного
события.
Я полагаю, что о вероятности случайного события
можно говорить так же, как о красоте стихов,
картин или женщин; о вкусах не спорят. Вкусы
различны, и поэтому люди по-разному судят о шансах
случайных событий.
Паскаль. В этом я не могу с вами
согласиться; я считаю, что вероятность случайного события не
зависит от нашего суждения о ней, она представляет
собой некое число, значение которого разными
лицами оценивается по-разному. Если кто-либо на
скачках посоветует мне поставить на определенную
лошадь и эта лошадь и в самом деле выиграет, то это
вовсе еще не означает, что мой советчик правильно
судил об ожидаемом исходе скачек. Однако, если его
советы в большинстве случаев, скажем в 9/ю,
удачны, а советы другого удачны лишь в !/ю части
случаев, не кажется ли вам, что к первому советчику
следует прислушаться, а советами второго пренебречь?
М и т о н. Конечно.
Паскаль. Можем ли мы в этом случае
говорить о том, что суждения первого надежнее, чем
суждения второго?
М и т о н. Очевидно.
П а с к ал ь. Вот я и поймал вас. Ведь это как
раз и означает, что первый советчик способен лучше
164

оценивать истинную вероятность исхода скачек; тай
(что и в этом случае имеет смысл говорить о
действительном значении вероятностей данных событий,
хотя точно их никто не знает и различные лица
могут оценивать их по-разному.
М и т о н. Я признаю, что вы весьма ловко меня
обошли, хотя, собственно говоря, вы имеете в виду
вероятность совершенно другого события, а именно
вероятность того, что знаток скачек даст
правильный совет. Но при этом речь идет уже не об
однократном случайном событии, а о событии, которое
можно повторить много раз и тем самым оценить
его вероятность на основании наблюдения
относительной частоты. Но оставим скачки в покое, ведь
важен не пример, а принципиальный вопрос. Мне
хотелось бы выяснить, на чем вы основываетесь,
когда говорите о вероятности вообще, независимо от
лица, у которого складываются суждения
относительно ее. Я убежден, что любая вероятность
субъективна; если же вы полагаете, что это не так, что
разумно говорить об объективной вероятности, то и
докажите мне свою правоту.
Паскаль. Я охотно признаю, что не сумею
этого доказать. Это аксиома, а, как известно,
аксиомы нельзя, да и не нужно доказывать. Я могу
только утверждать, что эта аксиома столь же разумна,
как и те аксиомы, в правильности которых ни вам,
ни кому другому и в голову не придет сомневаться,
и что следствия этой аксиомы согласуются с нашим
ответом. Пожалуй, вас удивит, если я скажу, что
аксиома об объективной вероятности является
естественным и само собой разумеющимся следствием
одной общепринятой аксиомы.
М и т о н. Какую аксиому вы имеете в виду?
Паскаль. Аксиому причинности, согласно
которой в природе течение явлений точно определено
совокупностью факторов, оказывающих на них
влияние, и одинаковые причины всегда приводят к
одинаковым следствиям. Этого нельзя доказать, и
именно поэтому она основополагающая. Разве из ничего
можно было бы что-нибудь доказать? Я надеюсь, вы
не сомневаетесь в принципе причинности?.
165

М и т о н. Не сомневаюсь, хотя мне никогда не
приходило в голову, что это недоказуемая аксиома.
Паскаль. Она не только не доказуема, но и
не нуждается в доказательстве; она является
основой нашего научного мировоззрения, и каждый закон
природы, открытый наукой, служит дополнительным
аргументом правильности • и необходимости этой
аксиомы. Однако тот, кто принимает принцип
причинности, должен принять и другую аксиому,
согласно которой случайные события имеют определенные,
независимые от нас и тем самым объективные
вероятности, ибо это не что иное, как более
универсальная и точная формулировка того же принципа.
Митон. Ваше утверждение удивительно и мне
непонятно. Не могли бы вы пояснить его на каком-
либо примере?
Паскаль. С великим удовольствием.
Обобщенный принцип причинности можно сформулировать
следующим образом: если нам известны все
обстоятельства, которые влияют на данное явление, то они
однозначно определяют его течение. Однако если нам
известна лишь часть существенных обстоятельств,
то они позволяют явлению изменяться многими
путями, хотя и определяют однозначно вероятность
каждого пути. Когда говорят, что наступление события
зависит от случайности, подразумевают следующее:
принятые во внимание обстоятельства не определяют
однозначно, что именно произойдет, а позволяют
установить как то, что событие наступит, так и то,
что оно не наступит; они определяют вероятности
каждой из этих возможностей. То, что в одних
случаях эти вероятности известны нам точно, в
других — приближенно, а в третьих — неизвестны
совсем, не относится к сути дела, а также к принципу
причинности. Это аналогично тому, как в одних
случаях для вполне детерминированных явлений
нам известен точный закон, которому подчинено их
развитие (например, как будет падать брошенный
камень), в то время как в других этот точный закон
нам неизвестен. Так как вы хотели, чтобы я привел
доступный вам пример, то рассмотрим движение
маятника, которое изучал Галилей. Если известна
длина маятника и известно, когда и из какого поло-
Гбб

жения маятник был приведен в движение, то
(предполагая, что трение и сопротивление воздуха
пренебрежимо малы) для любого момента времени мы
можем точно вычислить положение маятника.
Однако, если нам известны длина и исходное положение
маятника, но неизвестен момент, в который он начал
двигаться, то мы не можем точно предсказать, в
каком положении он будет в определенный момент,
но все-таки можем утверждать, что с вероятностью
1/2 он будет находиться слева или справа от самого
нижнего положения. И какой бы угол а ни был
задан, можно подсчитать вероятность того, что
направление маятника в данный момент наблюдения
отклонится от вертикального положения на угол,
меньший чем а.
М и т о н. Я начинаю понимать вашу мысль, хотя
этс вовсе не означает, что я принимаю ее. Если я вас
правильно понял, то совершенная
детерминированность является лишь предельным случаем принципа
объективности вероятности, не правда ли?
Паскаль. Вы превосходно поняли меня. Это
в самом деле идеальный предельный случай,
который в действительности никогда не осуществляется
абсолютно точно, а лишь приблизительно. Ведь нам
никогда не бывают в точности известны все
обстоятельства, которые оказывают влияние на данное
явление. В приведенном выше примере я указал, что,
если отвлечься от трения в точке подвеса и
сопротивления воздуха, мы можем точно определить
движение маятника. В действительности же полностью
пренебречь действием этих причин нельзя. Если бы
даже нам удалось поместить маятник под колпак,
из-под которого выкачан воздух — как в том
эксперименте, который я провел вслед за Торричелли,—
то и тогда мы не смогли бы полностью исключить
трение и вибрацию здания, в котором производится
эксперимент, а также ряд других более или менее
случайных факторов. И картина не меняется во всех
случаях, когда мы считаем, что имеем дело с
точными законами. Если нам и удастся когда-нибудь
учесть все важнейшие причины, определяющие
явление, то ход явления можно будет представить лишь
в самых общих чертах; в мельчайших подробностях
167

предусмотреть его нет никакой возможности. Быть
может, вы помните о моих экспериментах, связанных
с измерением давления воздуха. Мне удалось
показать, что на высокой горе, например на вершине
Пюи де Дом, столбик ртути ниже, чем у ее
подножия, так как у подножия вес столба воздуха
больше, чем на вершине горы, поскольку он выше.
Однако вес воздуха не остается постоянным даже в одной
и той -же точке пространства — он зависит от
погоды и от влажности, а эти факторы постоянно изме«
няются, и притом непредвиденным образом. Итак,
нельзя утверждать, что вес воздуха в* Париже имеет
вполне определенное значение; мы можем лишь
говорить о том, что с большой вероятностью он окажется
между какими-то определенными пределами. Но эта
вероятность определена географическим положением
Парижа, временем года и погодой, и, что бы вы ни
думали о вероятности, от этого в опыте Торричелли
ртуть не поднимется и не опустится даже на сотую
долю миллиметра. Сошлемся также на пример
падения звезд. Как известно, чаще всего падающие
звезды наблюдают в августе. Но они падают и тогда,
когда этого никто не видит. Падающих звезд в
августе больше не потому, что мы так думаем, наоборот,
мы думаем об этом так лишь потому, что в этот
месяц их действительно больше. Случайные события,
происходящие на Луне, также имеют определенные
вероятности, хотя ни у кого из нас о них не может
быть собственного мнения, ведь мы не знаем даже,
о каких событиях идет речь.
М и т о н. Не продолжайте, г-н Паскаль, здесь я
вполне с вами согласен. Я, как и вы, считаю, что
вероятности, относящиеся к явлениям неживой
природы, имеют объективное значение; в этом я никогда
не сомневался. Позвольте, однако, напомнить, что
. в нашем споре вы вновь уклонились в сторону, где
имеете возможность опереться на прочную основу,
ибо все приводимые вами примеры относятся к
явлениям, которые можно наблюдать в одинаковых
условиях (если не практически, то по крайней мере
в принципе сколько угодно раз), и тем самым о
действительных значениях вероятностей можно делать
заключения по щ относительным частотам, Мои же
16&

возражения относились к однократным случайным
событиям, таким, как исход-скачек или
кораблекрушения. Я и впредь буду настаивать на том, что в та*
ких случаях вероятностное суждение может быть
лишь субъективным.
Паскаль. В том, что однократные случайные
события имеют объективные вероятности, я убежден
потому, что они также имеют причины. Кроме того,
я не вижу принципиальной разницы в объективности
вероятностей для случайных событий, относящихся
к неживой и к живой природе. Закон причинности
имеет силу и в живой природе; вероятности событий,
относящихся к живой природе, также определенны и
объективны, с той только разницей, что связи в них
намного сложнее и, следовательно, более
необозримы. Именно поэтому точно предвидеть события в
живой природе нам еще труднее, чем в природе
неживой; однако из этого следует лишь еще большая
важность исследования вероятностей в этой области,
естественно, когда такие исследования возможно
провести.
Рассмотрим пример с кораблекрушением.
Несомненно, что всякий коммерсант может определенным
образом судить о вероятности того, что корабль с его
грузом в целости и сохранности прибудет к месту
назначения. Я слышал, в Англии такие коммерсанты
стремятся обезопасить себя от возможных потерь,
связанных с переправкой грузов морем, прибегая
к услугам специальных компаний. Заранее
выплачивая некоторую сумму такой компании, коммерсант
может рассчитывать на возмещение ущерба в случае
гибели груза при кораблекрушении или нападении
пиратов. Если же груз благополучно прибывает на
нужное место, то страховой взнос остается за
компанией. Несомненно, при установлении размера взноса
коммерсант и компания как-то оценивают
вероятность потери груза, и, хотя оба суждения имеют
чисто субъективный характер, все же, по-моему,
и в этом случае можно говорить об объективной
вероятности благополучного прибытия корабля;
только нужно честно признаться, что нам эта вероятность
неизвестна. Каково бы ни было наше личное мнение
р. шансах благополучного прибытия корабля в порт,
№

оно никак не скажется на судьбе корабля. На нее
оказывает влияние лишь объективная вероятность,
которая является не чем иным, как квинтэссенцией
объективных обстоятельств. Как, по-вашему, если бы
вы подумали, что некий корабль может утонуть, и
это на самом деле случилось бы, мог бы суд
привлечь вас к ответственности на том основании, что
вы послужили причиной катастрофы? Не правда ли,
вы отвели бы обвинение, заявив, что ваше личное
мнение никак не могло повлиять на судьбу корабля?
Будь я судьей, я снял бы с вас обвинение в гибели
судна, но осудил бы вашу точку зрения относительно
субъективности вероятности. Впрочем, то
обстоятельство, что страховое общество хотя бы
приблизительно верно оценивает эти вероятности, зависит от того,
насколько выгодно для него это предприятие. Если
общество ошибочно оценивает действительную
вероятность (которая может изменяться от случая к
случаю), то по прошествии некоторого времени оно
разорится: либо потому, что возмещение убытков
превысит сумму взносов, либо потому, что взносы столь
высоки, что коммерсанты не склонны их
выплачивать.
Митон. Г-н Паскаль, вы напоминаете мне
кошку, которая всегда падает на лапы. Теперь вам вновь
удалось перейти от однократных событий к
событиям, которые наблюдаются многократно и для
которых наблюдение относительной частоты дает
объективную оценку вероятности.
Паскаль. Поверьте, г-н Митон, причиной тому
не мои скромные способности к дискуссии, а тог
факт, что истина на моей стороне.
Митон. Дабы доставить вам удовольствие,
я склонен принять, что и однократным случайным
событиям можно придать не зависящую от нас
объективную вероятность, хотя мы не знаем ее точного
значения и, более того, не можем ее знать. Однако,
по-моему, занятие вещами, которые недоступны
опытной проверке, едва ли может составлять
предмет науки; если же вещи и существуют, то возникает
вопрос: что следует понимать под их
существованием?
170

Паскаль. Да то же, что и под существованием
атомов Лукреция, которые мы также не в состоянии
увидеть даже под микроскопом. Тем не менее с их
помощью мы можем объяснить все, что видим
в окружающем нас мире. В обоих случаях речь идет
о научной гипотезе, непосредственно проверить
которую мы не можем и делаем это лишь с помощью
проверки выведенных из нее следствий.
М и т о н. Г-н Паскаль, вы могли бы быть
выдающимся адвокатом; я замечаю, с какой ловкостью
вы пользуетесь методом argumentum ad hominem *.
Вы, верно, помните, в свое время я вам сказал, что
весьма люблю читать книгу «О природе вещей», и
не только потому, что, подобно Лукрецию, высоко
ценю богиню Венеру. И хотя вы еще не вполне
убедили меня, ваше сравнение с атомами заставляет
меня задуматься. Значит, по-вашему, вероятности
однократных событий также принадлежат к тем
вещам, о которых некогда говорил поэт 19?
Выслушай то, что скажу, и ты сам, несомненно, признаешь,
Что существуют тела, которых мы видеть не можем.
Ветер, во-первых, морей неистово волны бичуют,
Рушит громады судов и небесные тучи разносит.
Стало быть, ветры — тела, но только незримые нами.
Так вы полагаете, что незримый ветер и
неизвестная вероятность совместно топят несчастные
галеры?
Паскаль. Можно выразиться и так, с этим
согласился бы и сам Лукреций, ведь по его
представлениям весь мир — результат случайного
столкновения атомов. Вы, очевидно, помните следующие его
строки:
Первоначала вещей, разумеется, вовсе невольно,
Все остроумно в таком разместилися стройном порядке
И о движениях своих не условились раньше, конечно.
Если ж начала вещей во множестве, многоразлично
От бесконечных времен постоянным толчкам подвергаясь,
Тяжестью также своей гнетомые, носятся вечно,
Всячески между собой сочетаясь и все испытуя,
Что только могут они породить из своих столкновений,—
То и случается тут, что они в этом странствии вечном,
* Аппеляция к чувствам человека (лат.).
щ

Всякие виды пройдя сочетаний и разных движений,
Сходятся так наконец, что взаимная их совокупность
Часто великих вещей собой образует зачатки:
Моря, земли и небес, и племени тварей живущих20.
М и т о н. Как же не помнить! Я превосходно
помню и то место, где Лукреций сравнивал
случайное движение первичных элементов с танцем пыли-»
нок, который можно наблюдать, если смотреть сбоку
на луч солнца в комнате21. По-вашему, теорией
вероятностей можно воспользоваться и для изучения
таких случайных явлений?
Паскаль. Я в этом убежден. Для меня
очевидно, что теория вероятностей позволит
математическими методами исследовать такие явления
природы, которые немыслимо объяснить другими мате->
матическими методами; я имею в виду явления
природы, зависящие от случая.
Митон. Вы говорите о случайности так, словно
с полной определенностью можно утверждать,
зависит ли событие от случайности или нет. Мне же
кажется, что однозначно решить нельзя даже это. То,
что для одного является случайным, для другого
вовсе не случайно. Если вы не знаете, в какой момент
я отпускаю маятник, то для вас положение
маятника в данный момент является случайным. Но если
я отпустил^ маятник, то я точно знаю, когда это
произошло, и для меня движение маятника вполне
определенно и не зависит от случая. Следовательно,
представление о случайности данного события
является субъективным.
Паскаль. Я вполне согласен с тем, что одно
и то же событие в одних случаях приходится считать
случайным, а в других вполне
детерминированным — в зависимости от того, при каких
обстоятельствах мы его исследуем. Вспомните, что я говорил
вам в самом начале нашей беседы: каждая
вероятность в действительности условна. И вообще, то
обстоятельство, что данное событие является
случайным, зависит от объективных условий, и если оно
случайно, то именно эти условия определяют его
вероятность.
Митон. Пусть будет так, я не стану оспаривать
это положение, Вы убедили меня в том, что ваша
т

трактовка последовательна и продумана и, вне сом«
нений, на вещи можно смотреть и с таких позиций,
И все же я остаюсь при своем мнении о
субъективных вероятностях, так как их я знаю, а с вашими
объективными вероятностями, даже если я и приму
их, мне нечего делать, так как их я не знаю. По
вашей милости я нахожусь сейчас в таком состоянии,
словно вы сначала долго и настойчиво расхваливали
мне кого-то, а затем, убедив меня в том, что
общество упомянутого господина или дамы было бы мне
приятно, сообщили, что у вас нет ни сил, ни
возможностей познакомить меня с ним.
Паскаль. Позвольте мне несколько
видоизменить ваше сравнение. На мой взгляд, положение
скорее таково, что я расхвалил вам древнегреческого
автора, с кем лично бессилен вас познакомить,
но произведения которого хотя и не полностью, но
в подавляющей части сохранились. Так вот, из этих
произведений, если вам удастся преодолеть
языковые трудности, вы сможете узнать и автора; более
того, вы даже сможете с уверенностью догадаться
и о том, что могло содержаться в утерянных
произведениях. Конечно, задача не из легких, но она
заслуживает усилий.
М и т о н. Я об этом подумаю. Сейчас же, г-н
Паскаль, скажите мне лишь следующее: относятся
ли открытые вами математические закономерности,
например законы сложения и умножения, только
к объективным или же и к субъективным
вероятностям?
Паскаль. Субъективные вероятностные сужде*
ния в большинстве случаев даже не количественные,
а только качественные. Но если бы чьи-то
субъективные суждения всегда были количественными, то и
тогда упомянутые законы оказались бы верны,
но лишь при условии, что суждения данного чело*
века находятся в полном соответствии друг с другом
и составляют когерентную систему без противоречий.
Я не верю, что такой человек существует. Поэтому
если исходить из субъективной оценки вероятности
какого-то события, то лучше поступать так:
оценивать вероятность сложного события не на основании
собственных ощущений, а вычислять посредством ма-
J73

тематических формул на основании ранее оцененных
исходных вероятностей. При этом, конечно, только
если исходные вероятности не противоречат друг
другу, Bbi получите систему, которая внутренне
непротиворечива; в ней общие законы выполняются без
каких бы то ни было исключений. Ведь в этом
случае вы получите то значение, которое было бы
истинной (объективной) вероятностью, если бы исходные
вероятности, принятые на основе субъективных
суждений, совпали с действительными значениями.
Следуя по этому пути, рано или поздно можно дойти
до события, вероятность которого проверяется
эмпирически. В случае необходимости априорные
значения, принятые на основе субъективных суждений,
можно исправить.
М и т о н. Следовательно, вы тоже признаете,
хотя бы только для априорных значений,
необходимость субъективных вероятностей?
Паскаль. У меня иной подход: то, что вы
называете субъективным вероятностным суждением,
я воспринимаю как гипотезу.
М и т о н. Мне кажется, здесь различие только
в названиях.
Паскаль. Не совсем. На первых порах я не
придаю гипотетическим вероятностям определенного
числового значения, но обозначаю их буквами,
скажем х, у, г и т. д. И только затем на основании
наблюдений над другими событиями, вероятности
которых зависят от этих величин, пытаюсь делать
выводы об их значениях.
М и т о н. После всего сказанного вами мне
начинает казаться, что наши точки зрения не так
различны, как представлялось в начале беседы: по крайней
мере в том, что касается практических выводов,
различия несущественны. Поэтому, я думаю, нам не
следует надоедать своим спором всему обществу.
К тому же, сколько бы мы ни спорили, каждый из
нас остается при собственном мнении, а потому по
необходимости в наших заключениях всегда будет
оставаться некоторое различие. Мне кажется, что
в процессе спора наши мнения сблизились,
насколько это вообще возможно, поэтому дальнейшее
обсуждение вопроса было бы попросту бесцельным.
174

К тому же прекрасные дамы, окружающие нас,
начинают на нас сердиться — они думают, что мы
ими пренебрегаем. Если вы не возражаете, закончим
на сегодня нашу дискуссию.
Паскаль. Как вы пожелаете, г-н Митон.
На этом мы прервали нашу беседу. Так как в ней
содержится все, что я могу сказать по поводу Ваших
вопросов, то я счел за благо привести ее целиком,
без каких-либо комментариев. Прошу Вас, во имя
нашей дружбы напишите совершенно откровенно,
что Вы думаете об этой беседе с г-ном Митоном
Вашего самого верного почитателя
Блэза Паскаля
P. S. На днях, приводя в порядок книги, я
наткнулся на «Размышления» Марка Аврелия и
случайно открыл ту страницу, где он пишет о двух
возможностях: либо мир является огромным хаосом,
либо в нем царствует порядок и закономерность;
какая из двух взаимоисключающих возможностей
реализуется, мыслящий человек должен решить
сам — он, как скала в море, о которую разбиваются
яростные волны, должен оставаться там, куда его
забросила судьба или случай. И хотя я уже много
раз читал эти строки, но теперь впервые задумался
над тем, а почему, собственно, Марк Аврелий считал,
что в мире господствует либо случайность, либо
порядок и закономерность? Почему он думал, что эти
две возможности исключают друг друга? Мне
кажется, в действительности оба утверждения не
противоречат друг другу, более того, они действуют
одновременно: в мире господствует случай и одновременно
действуют порядок и закономерность, которые
формируются из массы случайностей согласно законам
случайного. Вот почему я и придаю такое значение
выяснению понятия вероятности и интересуюсь
неразрывно связанными с этим вопросами. Разумеется,
мне нет нужды объяснять Вам, что с самого начала,
как только мы начали переписку по поводу этих
проблем, и Вы и я знали, что речь идет о вопросах
куда более серьезных, чем игра в кости.

ПИСЬМО К ЧИТАТЕЛЮ
Дорогой читатель!
В связи с эпистолярной формой этой книги мне
хотелось бы сообщить Вам то, о чем Вы не могли не
догадаться, а именно что профессора Анри Труверь-
ена никогда не существовало, а потому он не мог ни*
чего найти (на это намекает и его имя — Труверьен,
то есть Ничего не нашедший) t так что приведенных
писем Паскаль в действительности не писал.
Возможно, Вы все же ждете от меня объяснений,
почему для изложения основ теории вероятностей я
избрал именно эпистолярную форму, прибегнув к
вымышленным письмам. Но вопрос этот не требует
ответа. Если Вы внимательно и с интересом прочли
эти письма, Вы не станете ни о чем спрашивать;
если же письма Вам не понравились, то никакие
объяснения не помогут. Поэтому я лишь замечу, что
я данном случае при выборе литературного жанра
я руководствовался примерно теми же
соображениями, что и при написании «Диалогов», только на сей
раз мне захотелось проэкспериментировать с другой
его формой *. Вымышленные письма — весьма
распространенная литературная форма, восходящая
к Древней Греции. Уже при Платоне она была
обычной, в ней нередко излагались философские вопросы.
Это поэтическое искусство живо и в наши дни.
В качестве примера я хотел бы сослаться на
мастерское произведение Торнтона Уайлдера «Мартовские
иды» **.
* Вернее, я комбинировал обе родственные формы, введя в
письма короткий диалог.
** Уайлдер Т. Мартовские иды. — Новый мир, 1976, № 7, 8.

Что же касается выбора корреспондентов,
Паскаля и Ферма, то я придерживался тех же принципов,
что и в «Диалогах»: я отнес их переписку ко
времени возникновения понятий теории вероятностей,
чтобы представить себе их in status nascendi (в
состоянии зарождения), сохранив при этом всю их
первозданную свежесть.
«Письма о вероятности» и «Диалоги» роднит и то
обстоятельство, что в обоих произведениях я стреч
милея сохранить историческую правду, по возмож*
ности избегая анахронизмов и выдерживая стиль,
который соответствовал бы изображаемой эпохе.
Желая приблизить письма к подлинникам, я
включил в текст многие мысли и афоризмы из трудов
Паскаля; некоторые строки даже полностью (или
же с ничтожными изменениями) соответствуют
подлинным словам ученого. На соответствующие
выдержки из трудов Паскаля сделаны ссылки в
примечаниях. В публикуемых письмах Паскаль часто
цитирует других авторов; все эти цитаты
заимствованы из трудов, о которых достоверно известно, что
Паскаль их знал. Некоторые из них (например,
«Очерки» Монтеня) были любимым его чтением.
Итак, дорогой читатель, я сделал все, что было
в моих силах, чтобы Вы поверили в возможность
написания этих писем. Разумеется, я был далек от
мысли обмануть Вас и заставить думать, что Вы
читаете подлинники. Что же касается их
содержания, то я не смею утверждать, будто оно в
действительности было придумано Паскалем, но оно вполне
возможно, и никакими историческими аргументами
этого нельзя опровергнуть.
Вы вполне резонно можете спросить, почему же
я не опубликовал и «ответы» Ферма? Конечно, я мог
бы это сделать, но посчитал излишним, так как
содержание ответов Ферма, за исключением некоторых
деталей, нетрудно восстановить по письмам Паскаля.
К тому же, как Вы помните, профессор Труверьен
довольно убедительно разъяснил причины, в силу
которых до нас не дошли письма Ферма.
Сердечно благодарю Вас за терпение. Искренне
Ваш Альфред Репьи

ДОПОЛНЕНИЯ
I. Краткая биография Паскаля
Блэз Паскаль родился в Клермон-Ферране 19
июня 1623 года. Его отец, председатель
финансово-судебной палаты, был человеком обширных и глубоких
знаний. Блэз очень рано, в трехлетнем возрасте,
потерял мать — Антуанетту Бегон; с тех пор отец сам
воспитывал его и двух дочерей — старшую Жильбер
(впоследствии вышедшую замуж за Этьена Перье)
и младшую Жаклин (которая затем ушла в
монастырь). Паскаль не учился ни в школе, ни в
университете, образование ему дал сам отец. Уже в
отрочестве Блэз обнаружил необыкновенный талант:
когда ему было всего 16 лет, он написал трактат «Опыт
теории конических сечений». В этой работе
содержится знаменитая теорема, согласно которой три точки
пересечения противоположных сторон
шестиугольника, вписанного в коническое сечение, находятся на
одной прямой. В 1642 году, когда Паскалю
исполнилось 19 лет, он сконструировал счетную машину.
В последующие годы он изготовил еще семь счетных
машин, некоторые из них сохранились; на выставке,
организованной в Клермон-Ферране в 1962 году по
случаю трехсотлетней годовщины со дня смерти
ученого, можно было видеть одну из них. Мы
вправе считать Паскаля пионером кибернетики, ибо он
понимал принципиальное значение своего
изобретения. Это подтверждают следующие его слова:
. «Счетная машина способна производить действия,
которые ближе к мышлению, чем все, на что
способны животные» 22.
В 1648 году Паскаль повторил во многих
вариантах опыт Торричелли и дал полное объяснение полу*
178

ченных результатов. Он доказал, что давление
воздуха зависит от высоты, отсчитываемой от уровня
моря, открыл основной закон гидродинамики и
принцип устройства гидравлического пресса.
Чтобы понять, почему эти исследования Паскаля
вызвали столь большой отклик и послужили поводом
к страстным дискуссиям, нужно знать, что своими
опытами Торричелли опровергал учение Аристотеля,
согласно которому вакуум невозможен, так как
природа боится пустоты. Тем самым опыты Торричелли
означали тяжкое поражение схоластики. Паскаль
полностью сознавал революционное значение
эксперимента Торричелли и собственных экспериментов
для научного мышления и потому проводил их
с особой тщательностью и осмотрительностью. Он
резко критиковал тех, кто в своем преклонении перед
авторитетами оставался слепым к фактам.
Сохранился набросок предисловия к ненаписанному трактату
Паскаля о вакууме, который заканчивается
следующими словами: «Как бы высоко мы ни ценили
мнения древних, истина, сколь бы нова она ни была,
всегда заслуживает еще более высокой оценки, ибо
в действительности истина старше всех мнений.
И если мы думаем, будто истина родилась с ее
открытием людьми, то это лишь означает, что мы не
знаем ее природы» 23.
В вопросах науки Паскаль твердо придерживался
экспериментального метода и свободного от
предрассудков логического мышления, но был убежден,
что в вопросах религии постичь истину силами
чистого разума невозможно, необходимо также
обращение к вере24.
В духовном мире Паскаля религия играла
большую роль. Как отмечают биографы, 1646 год —
время его «первого обращения к вере». Но все же в ту
пору религия еще не стала главенствующей в его
жизни. Годы 1652—1654 относятся к так
называемому «светскому периоду» жизни Паскаля. В 1653
году со своими знатными друзьями — герцогом Роанн-
ским, шевалье де Мере и Дамьеном Митоном —
Паскаль ездил в Пуату. Во время этого путешествия
де Мере задал Паскалю два вопроса об азартных
играх. Имевно они легли в оенову переписки Паскаля
179

с Ферма, в ходе которой и зародилась теория
вероятностей25.
Первое письмо Паскаля датируется 29 июля
1654 года, второе — 24 августа и третье (всего
несколько строк)—27 октября 1654 года. Как уже
говорилось выше, письма посвящены, двум вопросам
шевалье де Мере. Первый вопрос состоит в следу*
ющем: сколько раз надо бросить две игральные
кости, чтобы вероятность выпадения двух шестерок
была больше половины? Эту задачу де Мере решил
сам. Второй его вопрос потруднее, и ответить на
него самостоятельно шевалье не смог. Вопрос
заключается в следующем. Два игрока играют в азартную
игру; в каждой партии шансы на выигрыш у них
одинаковы; в начале игры ставки одинаковы; ставку
выигрывает тот, кто первым наберет п выигранных
партий. Как следует разделить ставку, если по
какой-то причине игра прервана в тот момент, когда
один игрок выиграл а партий, а другой Ь партий?
Мы приведем здесь несколько начальных строк
первого письма, из которых читатель сможет сам
составить представление о содержании и стиле
писем.
«Дорогой г-н Ферма! Мной овладело нетерпение,
и, хотя я еще нахожусь в постели, мне трудно
удержаться от того, чтобы не взять перо и не сообщить
Вам, что вчера вечером г-н Каркави передал мне
Ваше письмо о справедливом разделе ставки,
которое привело меня в неописуемый восторг. Не стану
растягивать вступления и скажу сразу: Вы вполне
правильно решили задачу о костях и задачу о
справедливом разделе ставки. Для меня это большая
радость, поскольку теперь, когда мы получили столь
изумительно совпадающий результат, я больше не
сомневаюсь в собственной, правоте.
Метод, к которому Вы прибегли, решая проблему
разделения, восхитил меня еще больше, чем решение
задачи об игре в кости. Многие, и среди них сам
шевалье де Мере и г-н Роберваль, удачно ответили
на последний заданный вопрос- Но де Мере не смог
правильно решить задачу о разделе ставки, он даже
не смог подступиться к этому вопросу, так что

до сих пор я был единственным, кто знал правила
ное соотношение раздела.
Ваш метод вполне надежен; в свое время, когда
я сам начал размышлять най указанным вопросом,
я тоже шел подобным путем. Однако подсчет
различных встречающихся комбинаций утомителен, и
поэтому позднее мне удалось найти другой, более
простой и изящный метод, о котором мне и хотелось бы
Вам рассказать. Я и впредь хотел бы по мере
возможности делиться с Вами своими мыслями.
Я более не сомневаюсь в правльности полученного
мной результата, так как он удивительным образом
совпадает с найденным Вами. Как я вижу, истина
едина и для Тулузы, и для Парижа»26.
Эти письма посвящены только двум задачам де
Мере, общие же проблемы теории вероятностей в них
не затрагиваются, не упоминается даже само слово
«вероятность».
На тот же 1654 год приходятся работы Паскаля
о так называемом «треугольнике Паскаля» и
связанных с ним вопросах комбинаторики. Интерес к
комбинаторике был вызван теоретико-вероятностными
исследованиями ученого.
Вскоре после написания этих трех писем, а именно
23 ноября 1654 года, произошел решительный поворот
в жизни Паскаля, который биографы называют «вто^
рым обращением к вере». Записки, сделанные им той
знаменательной ночью в порыве религиозного экстаза,
с тех пор он носил с собой в качестве памятки, зашив
их в подкладку камзола27.
Вслед за этим Паскаль вступил в теологическую
борьбу с иезуитами, со всей свойственной ему
энергией встав на сторону янсенитов*. Он написал 19 пол-
* Янсенизм — религиозное течение в Голландии и
общественно-религиозное движение во Франции, возникшее в XVII в. на
основе учения Корнеллия Янсения A585—1638), который
отрицал свободу человеческой воли, проповедовал учение о
предопределении избранных к спасению и грешников к вечной ги-
бели. Во Франции янсенизм отразил разочарование в
католицизме и ненависть к иезуитам и явился своеобразной формой
оппозиции абсолютизму. Паскаль своими «Письмами провинциала»
нанес сильнейший удар авторитету ордена иезуитов во Фран-.
ции, — Прим, ред,
181

ных блеска и остроумия писем, известных под
названием «Письма провинциала» и являющихся шедевром
французской художественной прозы. Не вызывает
сомнения тот факт, что эта борьба была в центре
внимания Паскаля с 1645 по 1658 год. Но утверждение,
что после своего «второго обращения к вере» он
полностью отошел от математики и науки вообще,
ошибочно. Именно к 1658—1659 годам относятся его
исследования циклоиды, имеющие исключительно
большое значение: Паскаль определил площадь циклоиды,
центр тяжести сегмента циклоиды, объем и центр
тяжести тела, полученного от вращения сегмента
циклоиды. Тем самым он сделал решительный шаг к
созданию дифференциального и интегрального
исчислений. И хотя он удовлетворился тем, что применил свое
открытие к вычислению определенных интегралов,
связанных с циклоидой, но и в этом уже содержались
черты общего метода, позднее развитого Лейбницем.
Сам Лейбниц подчеркивал, что на понятие
производной его натолкнул трактат Паскаля «О синусе
четверти круга» («Traite de sinus du quart de cercle»),
В 1658 году Паскаль трудился над работой «Разум
геометра и искусство убеждения» («De Tesprit geome-
trique et de Tart de persuader»). Этой работой он
опередил век в отношении оценки значения
аксиоматического метода для математики. Проиллюстрируем это
выдержкой из названной работы: «Все должно быть
доказано, и при доказательстве нельзя использовать
ничего, кроме аксиом и ранее доказанных теорем.
Никогда нельзя злоупотреблять тем обстоятельством, что
разные вещи нередко обозначаются одним и тем же
словом, поэтому определяемое слово должно быть
мысленно заменено определением»28.
Самым известным произведением Паскаля, правда
незаконченным, является его сборник афоризмов,
появившийся уже после смерти автора под названием
«Мысли» («Pensee»). Из помещенных там афоризмов
я процитирую только один, который со всей
определенностью показывает, что Паскаль-моралист
неотделим от Паскаля-ученого: «Наше достоинство
заключается в наших мыслях... Отсюда следует, что
правильно мыслить должно быть принципом морали»29.
Я не стану даже пытаться нарисовать в этой книге
182

полный портрет интереснейшей и противоречивой
личности Паскаля; к тому же через 300 лет нелегко
проанализировать сложные повороты на его жизненном
пути. Я не чувствую себя подготовленным к
выполнению столь ответственной задачи, да это и не является
целью моей книги. Мне хотелось бы только в
заключение процитировать следующие • строки (см. [17]),
принадлежащие поэту Эндре Ади *:
Я, как и каждый человек, Величие,
Северный полюс, Тайна, Необычность,
Далекий блуждающий огонек,
Далекий блуждающий огонек.
Творчество Паскаля, несмотря на его
незавершенность и противоречивость, и теперь, спустя три
столетия, можно уподобить ярко горящему факелу.
II. О датах писем
Как я уже отмечал в биографическом очерке,
последнее письмо Паскаля к Ферма, в котором
обсуждаются вопросы де Мере, датируется 27 октября
1654 года. Упоминалось также, что ночь на 23
ноября 1654 года была поворотным пунктом в жизни
Паскаля. Если предположить, что помимо сохранившихся
Паскаль послал Ферма еще и письма, посвященные
понятию вероятности, то эти письма могли относиться
к периоду с 28 октября по 23 ноября 1654 года. Они
не могли быть написаны до 27 октября — в этом
случае в дошедших до нас письмах были бы на них'ссыл-
, ки. Не могли они быть написаны и после 23 ноября —
после этой даты мысли Паскаля были заняты совсем
иным. Все известные нам биографические данные
почти полностью исключают предположение о том, что
после 23 ноября 1654 года Паскаль возвращался к
проблеме «математики случайного».
Но вполне возможно, что между 27 октября и
.23 ноября Паскаль продолжал заниматься этими
вопросами. Таким образом, для датировки наших писем
* Эндре Ади A877—1919) —один из крупнейших венгерских
поэтов XX века; его перу принадлежат двенадцать сборников
поэтических произведений. Книга его стихов в русском переводе
была издана Изд-вом художественной лит-ры в 1958 году. —
Прим. редщ
183

оставался очень короткий промежуток времени *— при-*
близительно четыре недели. Так как в те времена
передвижение осуществлялось медленно, мы можем за*
ключить, что если бы Паскаль написал письмо в
конце октября, то ответа на него он не получил бы
раньше 5 ноября. И даже в случае своего немедленного
ответа до 15 ноября ответа Ферма он не мог получить.
Естественно предположить, что обсуждаемая тема так
волновала Паскаля, что, не дожидаясь ответа, он
написал еще одно письмо, которое дополняло второе.
Когда же он получил от Ферма ответ на свое второе
письмо (по нашим предположениям, в период с 15 по
20 ноября), то написал свое четвертое письмо. Вряд
ли возможно, чтобы какие-нибудь письма были
написаны сверх этих четырех посланий *.
Итак, основываясь на предположении, что в
течение четырех недель Паскаль написал четыре письма,
можно с точностью до одного-двух дней рассчитать
даты их написания.
Как отмечают биографы, последние перед 23
ноября недели Паскаль находился в крайне возбужденном
состоянии. Это обстоятельство обыграно в части
писем (особенно во второй половине третьего письма,
где Паскаль сообщает о своем кошмарном сне)«
III. Об истории теории вероятностей
Теория вероятностей — сравнительно молодая ветвь
математики. Ее развитие как самостоятельной науки
началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году,
хотя значительно раньше этих ученых многие
математики занимались задачами, относящимися к азартным
играм:, Так, например, Лука Пачоли A445—1514) в
своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Pro-
portioni e Proportionalita» рассматривал одну задачу
о вероятностях, но пришел к ошибочному решению.
Однако уже Кардано A501—1576) и Галилей A564—•
1642) правильно решали отдельные
теоретико-вероятностные задачи. Понятие вероятности восходит к древ-
* Стремясь ускорить обмен письмами, я предположил, что
с середины ноября Ферма находился в Орлеане, то есть ближе
к Парижу, Кстати, Паскаль и Ферма лично никогда не
встреча лисц
w

ним временам; оно было известно уже античным фи«
лософам (вспомним, что во втором письме приведена
цитата из Платона). Мысль о том, что законы природ
ды проявляются через множество случайных событий,
впервые возникла у древнегреческих математиков. Ее
подробное изложение мы находим в поэме Лукреция
Кара «О природе, вещей», отрывки из которой цити4
руются в беседе Паскаля и Митрна (и в примеча*
ниях), приводимой в четвертом письме. В развитии
теории вероятностей весьма большую роль играли за*
дачи, связанные с азартными играми, в первую оче<
редь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости
была весьма популярна. Сведения о таксиллусе, кото*
рый упоминался во втором письме, я заимствовал из
превосходной работы Хагстрёма [11]. История теории
вероятностей от Паскаля до Лапласа была подробно
изучена Тодхентером [18]; много интересных задач
содержится в книге К. Иордана [19] ив работе Ф. Дэ*
вида [33].
Я не намерен на страницах этой книги подробно
излагать историю теории вероятностей; мне хотелось"
бы только отметить влияние переписки Паскаля и
Ферма на дальнейшее развитие этой области науки*
В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса
A629—1695) «О расчетах в азартных играх» («De га*
tioniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное
изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паска-*
лем (автор явно опирался на переписку этих двух уче«
ных), но, кроме того, им было выдвинуто и много ана«
логичных вопросов. С работой Гюйгенса непосред*
ственно связана основная работа Якоба Бернулли
A654—1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»),
которая была опубликована лишь после его смерти
в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли
воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приво*
дит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс
поставил, но не решил. Однако важнейшей частью
книги является четвертая, в которой изложен закон
больших чисел. Произведение Монморта A678—1719)|
«Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse suh
les jeux de hazard»), написанное несколько позже, чем4
«Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в
1708 году). Оно также опирается; на. книгу Гюйгенса
VA

и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля
и Ферма. То же можно сказать и относительно
важнейшей работы Абрахама де Муавра A667—1754)
«Об измерении случайности, или вероятностях
результатов в азартных играх» («De mensura sortis seu de
probabilitate eventuum in ludis a casu fortuito penden-
tibus»), которая была опубликована в журнале
Philosophical Transactions в 1711 году.
Наряду с задачами азартных игр уже в самом
начале возникновения теории вероятностей появились
задачи, связанные с составлением таблиц смертности
и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года
велись точные записи о смертности. На основе этих
записей Джон Граун A620—1674) в 1662 году
впервые составил таблицы вероятности смерти как
функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде
и Ван Витт в Голландии, проделав аналогичные
расчеты, использовали их для вычисления пожизненной
ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были
изложены Галлеем. Вполне естественно предположить, что
уже Паскаль обратил внимание на связь теории
вероятностей с закономерностями смертности и
страхованием; именно поэтому я счел возможным в четвертом
письме говорить о связи теории вероятностей со стра*
хованием судов.
IV. О математических основах вероятности
Как и любые понятия, математическое понятие
вероятности возникло не сразу. В переписке Паскаля и
Ферма оно еще явно не определяется/Любопытно, что
у Гюйгенса основным понятием является
математическое ожидание, а не вероятность. Гюйгенс так
определяет математическое ожидание: «Если число случаев,
в которых я выигрываю сумму а, равно р, а число
случаев, в которых я выигрываю сумму bt равно q,
причем все случаи одинаково возможны, то значение
моего ожидания равно *v" q » (см. [35], стр. 8).
Определение вероятности встречается впервые в «Ars
conjectandi» Якоба Бернулли. Согласно Бернулли,
вероятность есть «степень уверенности и относится к
достоверности как часть к целому». Хотя это определе-
186

ние имеет скорее философский, чем математический,
характер, Бернулли дает в основных чертах и так
называемое классическое определение вероятности:
«...вероятность события есть отношение числа
благоприятствующих случаев к числу всех возможных
случаев, причем все случаи предполагаются равновозмож-
ными». Правда, Бернулли говорит об этом несколько
по-иному: приведенная же формулировка
принадлежит Лапласу A749—1827). Она дается в его
основополагающем труде «Аналитическая теория
вероятностей» («Theorie analitique de la probabilites»),
который не только подытожил успехи классической теории
вероятностей, но и дал значительный толчок ее
дальнейшему развитию. Такое же определение содержится
и в другом труде Лапласа «Опыт философии
вероятности» (Essai philosophique sur la probabilites») [36],
в котором можно найти подробное, ясное,
увлекательное и волнующее изложение принципиальных
вопросов, связанных с понятием вероятности. И хотя
приведенное определение в подлинных письмах Паскаля
явно не фигурирует, я отнюдь не считаю
анахронизмом помещение классического определения в
вымышленные письма, ибо в действительности ученый
пользовался им при решении задач шевалье де Мере. Это
определение было удовлетворительно и с точки зрения
практики — до тех пор, пока теория вероятностей
занималась элементарными задачами, связанными пре-
имуществнено с азартными играми. С принципиальных
же позиций оно неудовлетворительно, несмотря на то
что аргументы, приведенные Паскалем в его защиту
во втором письме, верны и теперь и, следовательно,
в нем нет ничего порочного.
В действительности же недостаток этого
определения состоит не в том, что ему свойствен порочный круг
(как утверждают иногда и теперь*), а в том, что оно
не является определением. На вопрос, что такое
вероятность, оно не отвечает, дает лишь метод ее
вычисления в простейших случаях (согласно современной
терминологии, в случае «классических вероятностных
полей»).
* См. хотя бы [361 (речь идет о примечании редактора
немецкого издания. — Ред.).

Создатели теории вероятностей и не вкладывали;
иного смысла в понятие вероятности; собственно
определением вероятности они считали упомянутое выше
определение Бернулли, согласно которому вероятность
есть не что иное, как степень нашей уверенности*
В значительной мере они не ощущали потребности в.
формальном определении вероятности, поскольку
считали вероятность основным понятием, значение ко*
торого очевидно и не требует определения. На*
стоящую задачу они усматривали в том, чтобы в кон*
кретных вопросах вычислить вероятности событий,
которые представляют для них интерес. Принимая во
внимание уровень развития математики того времени,
этому не приходится удивляться: ведь и понятия чис»
ла, функции, предела равным образом не были
выяснены в современном4 смысле этого слова, но тогда в
этом и не ощущали потребности.
Положение дел существенно изменилось в XIX ве-
це, когда сама математика и понятие математической
строгости значительно преобразились; возникли
современные концепции математики и ее отношения к
реальности. Согласно этим представлениям, каждая
ветвь математики должна быть построена
аксиоматически, абстрагирована от ее реального
происхождения; она должна развиваться как замкнутая в себе и
логически непротиворечивая теория, в которой
основные понятия нельзя (да и не нужно)' определять и
вносить в них какое-либо дополнительное содержание
извне, помимо того, которое неявно уже заключено в
аксиомах.
Математическая теория, построенная таким
аксиоматическим путем, может быть использована в
качестве абстрактной модели окружающей нас
действительности. Последовательное проведение этой
концепции в жизнь преобразовало математику и послужило
исходным пунктом ее современного стремительного
расцвета. Развитие теории множеств, теории функций
действительного и комплексного переменного,
топологии, современной алгебры и функционального анализа,
появление математической логики коренным образом
изменили лицо современной математики. Выяснение
принципиальных вопросов дало мощный толчок ее

применению в различных областях, естественных и об*
щественных наук.
Теория вероятностей удивительно долго, вплоть до
первых десятилетий XX века, стояла в стороне от
указанной грандиозной перестройки. И несмотря на то
что в XIX столетии Гаусс, Лаплас, Пуассон, Чебышев,
Марков, Бертран, Пуанкаре и многие другие
обогатили теорию вероятностей новыми направлениями
исследований, а ее практические применения в
естествознании, общественных науках и в экономике
приобрели фундаментальное значение, в области оснований
теории вероятностей серьезного прогресса не
наблюдалось.
Это привело к тому, что еще в начале текущего
столетия большинство математиков не признавало
теорию вероятностей равноправной и органической
частью математики; они считали ее наукой
сомнительной ценности, находящейся где-то между математикой
и физикой или математикой и философией. На
вредность подобного отставания еще в 1900 году указал
Давид Гильберт. Он включил проблему
аксиоматического обоснования теории вероятностей — и тем
самым способствовал ее подъему на уровень
математики XX века — в составленный им список важнейших
проблем математики.
Первая серьезная попытка * решить эту задачу,
сделанная Рихардом фон Мизесом A883—1953),
относится к 1919 году. И хотя предложенная им
система не привела к цели и теперь имеет скорее лишь
историческое значение, вызванные ею дискуссии
привлекли внимание многих математиков к этой
проблеме. Построение теории вероятностей в духе
современной математики, основанное на точном
аксиоматическом фундаменте, впервые вполне удовлетворительным
образом было осуществлено в 1933 году А. Н.
Колмогоровым ** (род. в 1903 году [21]).
* Первая такая попытка принадлежит С. Н. Бернштейну
A880—1968) и относится к 1917 году; см. его «Опыт
аксиоматического обоснования теории вероятностей», Сообщения
Харьковского математического общества, 15, 209—274 A917).—
Прим. ред.
** Как и всякое научное открытие, теория Колмогорова
опиралась на результаты предшественников [22]
189

В аксиоматическом построении теории
вероятностей по Колмогорову случайные события
рассматриваются как некоторые множества, а соответствующие
им вероятности являются определенной на них
нормированной мерой; математическое ожидание в этой
теории является попросту лебеговым интегралом
(абстрактным). Поставив теорию вероятностей на
теоретико-множественную основу, точнее, на фундамент
теории множеств и теории меры, Колмогоров одним
махом дал не только . логически удовлетворительное
обоснование теории вероятностей, но и включил ее в
кровеносную систему современной математики,
позволив тем самым использовать развитие ее ветви для
нужд теории вероятностей. По простоте и
естественности, а также упомянутым преимуществам теория
Колмогорова быстро стала общепринятой и служит
твердой основой для построения теории вероятностей
на протяжении последних 30 лет *.
Выяснение основ не только способствовало
развитию теории вероятностей как математической науки,
но и позволило существенно расширить сферу ее
применений в других науках. С этого времени теория
вероятностей, бурно развиваясь, находит все новые и
новые приложения.
. * Некоторые проблемы, связанные с физикой (в частности,
с квантовой механикой), статистикой и другими науками,
требовали развития теории Колмогорова и введения понятия
условных вероятностей [23]. На возможность этого логического
развития своей теории указывал и сам Колмогоров, но не
разрабатывал эту идею.

ЕЩЕ ОДНО ПИСЬМО
К ЧИТАТЕЛЮ
Дорогой читатель!
Перечитав обращенное к Вам письмо, я увидел,
что оно нуждается в дополнении. В этом письме я
попытался объяснить, чем именно привлекла меня
форма вымышленных писем Паскаля, но не объяснил, что
заставило меня избрать те вопросы, которые
затронуты в этих письмах. Я хочу исправить допущенный
мной просчет в настоящем письме.
В дополнении IV я стремился показать, что
относительно самой математической теории вероятностей
среди компетентных математиков разногласий нет.
Этого, однако, нельзя сказать о таких важных
вопросах, как взаимосвязь теории вероятностей с
окружающим нас миром, применимость и интерпретация
различных положений теории вероятностей. Все эти
вопросы являются скорее философскими,
гносеологическими, чем математическими, и не удивительно, что
до сих пор они служат предметом острых дискуссий.
Каждый, кто хочет глубже изучить теорию
вероятностей, а также с успехом применять ее результаты на
практике, кто стремится понять, чем полезна эта
теория и что она может дать естествоиспытателю или
инженеру, неизбежно сталкивается с этими вопросами.
Мой личный опыт преподавания теории
вероятностей (а я читал этот курс студентам самых разных
научных интересов и различной математической
подготовки) и мои попытки применить ее на практике
позволили мне сделать следующий вывод. Для
углубления в математическую теорию вероятностей и для ее
применения недостаточно (но, безусловно,
необходимо) просто постичь ее суть; необходимо разобраться
191

и самостоятельно продумать принципиальные вопрос
сы, связанные с самим понятием вероятности. А для
этого следует ближе познакомиться с некоторыми
конкретными применениями теории вероятностей. Именно
этой цели и служит настоящая книга.
Элементы теории вероятностей, без которых немьь
слимо понимание затронутых принципиальных вопро^
сов, содержатся в самих письмах. Я надеюсь, что Вам,
дорогой читатель, они были понятны, и я был бы сча-
. стлив, если бы Вы, не занимаясь ранее теорией
вероятностей, после прочтения их изъявили бы желание
глубже познакомиться с ней. И хотя вопросы,
изложенные в книге, понятны и без предварительной
подготовки, это отнюдь не свидетельствует об их
простоте: напротив, их трудность скорее логического, чем
математического, характера; они могут возникать в
связи с рассмотрением самых элементарных задач
теории вероятностей. Именно поэтому естественно
предположить, что уже Паскаль и Ферма поставили
их и пытались на них ответить хотя бы только для
себя. Вот почему никак нельзя считать анахронизмом,
что в этой книге Паскаль высказывается по всем
затронутым вопросам.
Как я уже отмечал, упомянутые вопросы носят
гносеологический характер и тесно связаны с основными
проблемами научного познания. Разумеется, дорогой
читатель, я не льщу себя надеждой, что этими
письмами мне удалось завершить длившиеся столетиями
споры. Моя цель была намного скромнее: я хотел
лишь изложить общепринятое представление об этих
вопросах. В ходе изложения, как нетрудно
догадаться, я выражал и свое личное мнение. Особенно это
относится к четвертому письму.
Точка зрения, которую выражал Митон, впервые
была сформулирована в 1847 году Морганом. По
мнению Моргана, любое утверждение о вероятности
какого-то события по необходимости субъективно; оно
зависит от лица, которое его устанавливает, и отражает,
в какой мере лицо рассчитывает на наступление этого
события. Таким образом, вероятность является
числовой мерой убежденности данного лица. Хотя в
настоящее время подавляющее большинство математиков,
занимающихся теорией вероятностей, придает вероят-
Ш

ности объективное значение, все же и сейчас
встречаются сторонники субъективного подхода (см. хотя
бы [24—26]). Вряд ли нужно подчеркивать, что в
этих вопросах я разделяю точку зрения Паскаля.
Если у Вас, дорогой читатель, возникнет желание
глубже заняться рассматриваемыми вопросами и
подробнее ознакомиться с различными подходами к
понятию вероятности, то мне хотелось бы обратить Ваше
внимание также на работы [27—32].
В заключение я хочу заметить, что
принципиальные вопросы, относящееся к понятию вероятности,
тесно связаны с некоторыми фундаментальными
проблемами математической статистики и теории
информации. (Так, например, в споре об объективности или
субъективности вероятности главную роль играет так
называемый байесовский метод.) Однако все это уже
выходит за рамки настоящей книги. Возможно, когда-
нибудь я напишу и о них. Пока же желаю Вам всего
наилучшего.
Ваш Альфред Реньи
7 Зак. 401

ПРИМЕЧАНИЯ
1 Ссылка на письмо Ферма от 27 октября 1654 года, см.
[1], стр. 90.
2 Ср. с письмом Паскаля к Ферма от 10 августа 1660 года,
см. [1], стр. 522.
3 Celeberrimae Matheseos Academiae Parisiensi, см. [1],
стр. 73—74.
,• , * Перевод латинского оригинала таков:
«И таким образом, сочетая математические доказательства
с неопределенностью случая и применяя то, что кажется
противоположным, и беря наименования от того и другого, по праву
присваиваем такое ошеломляющее название — математика
случая».
5 См. [1], стр. 1156; [2], стр. 9—10.
6 См. [1], стр. 1105—1107; [2], стр. 46—47.
7 См. [1], стр. 1Г47; [2], стр. 16—17.
8 См. письмо Паскаля к Ферма от 29 июля 1654 года|
ср. [1], стр. 77. .
9 См. письмо Паскаля к Ферма от 29 июля 1654 года; ср,
также с примечанием 26.
10 См. [1], стр. 710; [3h стр. 63.
11 См. [14], III правило, стр. 12.
12 См. [10], стр. 268.
13 См. [15], V, 38, стр. 220—221; [16], стр. 224.
14 [14], стр. 21. Декарт в IV правиле так характеризовал
математику:
«...к области математики относятся только те науки, в
которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно
не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или
что-нибудь другое, в чем отыскивается мера; таким образом,
должна существовать некая общая наука, объясняющая все,
относящаяся к порядку и мере, не входя в исследование никаких
частных предметов...»
194

15 См. «Диалоги о математике»: «..* математика должна
заниматься изучением неизменного. А что более подвержено
всяким переменам, чем случай».
16 См. [13], стр. 33.
17 См. [12], Книга четвертая, стр. 263, строки 963—966.
18 Здесь я допустил анахронизм; скачки появились во
'Франции лишь после смерти Паскаля; в Англии они зародились
намного раньше.
19 См. [12], Книга первая, стр. 23, строки 268—278.
20 См. [12], Книга пятая, стр. 307, строки 418—431.
Паскаль здесь имеет в виду следующий стих Лукреция (см.
[12], Книга пятая, стр. 293—294, строки 185—194):"
Как же узнали они о силе частиц изначальных
И о возможностях их в сочетаниях между собою,
Если природа сама не давала примера творенья?
Ибо начало вещей во множестве многоразлично
От бесконечных времен постоянным толчкам подвергаясь,
Тяжестью также своей гнетомые, носятся вечно,
Всячески между собой сочетаясь и все испытуя,
Что только могут они породить из своих столкновений.
И удивляться нельзя, что они в положенья такие _
Между собою пришли и в такое движенье, которым
Держится нынешний мир в постоянном своем обновленьи.
Он мог также цитировать строки 1022—1032 Книги первой
([12], стр. 65), которые почти дословно совпадают с
приведенным в тексте утверждением:
Первоначала вещей, разумеется, вовсе невольно
Все остроумно в таком разместилися стройном порядке
И о движеньях своих не условились раньше, конечно,
Но многократно свои положения в мире меняя,
От бесконечных времен постоянным толчкам подвергаясь,
Всякие виды пройдя сочетаний и разных движений,
В расположенья они, наконец, попадают, из коих
Вся совокупность вещей получилась в теперешнем виде
И, приведенная раз в состояние нужных движений,
Много бесчисленных лет сохраняется так и при этом
Делает то, что всегда обновляется жадное море...
21 Митон намекает здесь на следующий стих Лукреция (см.
[12], Книга вторая, стр. 79—81, строки 113—124):
Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает
В наши жилища и мрак прорезает своими лучами,
Множество маленьких тел в пустоте ты увидишь, мелькая,
Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света;
Будто бы в вечной борьбе они бьются в сражениях и
битвах,
В схватке бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя,
Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь.
Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно
Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся.
7* 195

Так о великих вещах помогают составить понятье
Малые вещи, пути намечая для их достиженья.
Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье
На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете.
Что из нее познаешь ты материи также движенье.
Мне не известно какое-либо иное более поэтическое
описание броуновского движения.
22 См. [1], стр. 1146; [2], стр. 74.
аз См. [1], стр. 535; [4], стр. 29.
24 См. [1], стр. 1222; [4], стр. 279 или [5], т. И, стр. 139.
25 Корреспонденция Паскаля и Ферма была опубликована в
собрании сочинений Ферма (см. [34], далее в переводе на
английский появилась в качестве добавления к интересной книге
Ф. Н. Дэвида [33] по истории теории вероятностей. Первое
письмо Паскаля к Ферма потеряно; Ферма ответил (даты нет)
на потерянное письмо; этот ответ сохранился. Существует и
второе письмо Паскаля от 29 июля 1654 года и ответ на него
Ферма (адресованный Каркави) от 29 августа 1654 года; третье
письмо Паскаля от 24 августа 1654 года, письмо Ферма от
29 августа, перекрещивается с этим, его же ответ от 25
сентября на третье письмо Паскаля и, наконец, четвертое
(собственное) письмо Паскаля от 27 октября 1654 года. По мнению
Дэвида, решение проблемы де Мере (и вместе с этим- основание
теории вероятностей) является преимущественно заслугой
Ферма. Аргументы, которыми подкрепляет это мнение Дэвид, не
вполне убедительны. Остроумное решение проблемы
справедливого раздела, состоящее в том, что не все случаи перечислялись,
но использовалось рекурсивное соотношение, настраивает
(ошибочно) против Паскаля, но если рассмотреть все остальное, то
можно увидеть, что Паскаль одними этими идеями внес
существенный вклад в развитие теории вероятностей.
28 См. [1], стр. 77. Заключительная теорема по [35], стр. 137,
87 Текст находится, например, в [6], стр. 119—120.
28 см. [1], стр. 597; [4], стр. 57.
** См. [1], стр. 1156—1157; [41], стр. 69, 203.
ЛИТЕРАТУРА
1. Pascal В. CEvres completes, Bibliotheque de la Pleade (при*
меч. J. Chevalier). — Paris: Galimard, 1954.
2. Pascal B. Gedanken uber Gott und den Menschen, Ausgewfihlt
und ubersetzt von Wilhelm Willige. — Leipzig; Insel Verlag,
1948.
3. Паскаль Б. Письма к провинциалу. — СПб.: 1898.
4. Паскаль Б. Мысли. 3-е изд. — М.: Ю05.
5. Pascal's Gedanken. Fragmente und Briefe. Deutsch von
C. F. Schwertz, — Leipzig: Otto Wigand Verlag, 1850,
196

6. Pascal В. Geist und Herz. Eine Auswahl aus dem Gesamtwerk.
Herausgegeben von Hans Giesecke. — Berlin: Union Verlag;
1964.
7. Pascal B. Eine Auswahl aus seinen Schriften von Walter War*. .
nach. •— Dusseldorf: Verlag L. Schwann, 1947.
.8. Mesnard J. Pascal. — Paris: Hatier, 1951.
9. Beguin A. Blaise Pascal in Selbstzeugnissen und Bilddokumen*:
ten. — Hamburg: Rowohlt, 1959.
10. Монтень. Опыты. Пер.. В. П. Глебовой. — СПб.: 1891.
11. Hagstroem К. G. Les preludes antiques de la theorie des proba-
bilites. — Stockholm: С E. Fritzes K. Hovbokhandel, 1942.
12. Лукреций. О природе вещей. Пер. с лат. Ф. А.
Петровского.—М.: Изд. АН ССР, 1946.
13. Платон. Тимей. — В кн.: Сочинения, переведенные с
греческого и объясненные Карповым. — 2-е изд., СПб.: 1863—1879.
14. Декарт Р. Правила для руководства ума. — В кн.:
Избранные произведения. — М.: Госполитиздат, 1950.
15. Цицерон. Письма. В 3-х томах. —М.: Изд. АН СССР, 1949—
1951.
16. Цицерон. Речи. В 2-х томах. —М.: Изд. АН СССР, 1962.
17. Renyi A. Blaise Pascal, 1623—1662. —Magyar Tudomany,
No. 8, 102—108 A964).
18. Todhunter I. A History of the Mathematical Theory of
Probability from the time of Pascal to that of Laplace. — Cambridge
and London: MacMillan, 1865; New York: 1949.
19. Jordan K. Fejezetek a klasszikus valosznusegszarnitasbol. —
Budapest: Academiai Klado, 1956.
20. Мизес Р. Вероятность и статистика. Пер. с нем.— М.: ОНТИ,
1936.
21. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.—
М.: Наука, 1974.
22. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang uber
Informationstheorie. — Berlin: Auflage, VEB Deutscher Verlag
der Wissenschaften, 1966.
23. Renyi A. On a new axiomatic theory of probability. — Asta
Math.Acad. Sci. Hung., 1955, N 6, 285—335.
24.л Finetti B. de, La previsions: ses lois logiques, ses sources
subjectives. — Ann. Inst. Henrie Poincare, 1937, No. 7.
25. Savege J. L. The foundations of Statistics. — New York:
Wiley, 1954.
26. Studies in subjective probability. Ed. by H. E. Kyburg and
H. E. Smoker —New York: Wiley, 1964.
27. Carnap R. Logical foundations of probability. — Chicago:
University of Chicago Press, 1950.
28. Борель Э. Вероятность и достоверность. Пер. с фр. —'
3-е изд. —М.: Наука, 1969.
29. Good I. J. Probability and the Weighing of evidence. —
London: Griffin, 1950.
30. Колмогоров А. Н. Вероятность математическая. — В кн. БСЭ,
2-е изд., т. 7, 1951, 500—508.
31. Theorie. des probabilites, expose sur ses fondemente et ses
applications. — Paris: Gauthier-Villars, 1952.
32. Пойа Г. Математика и правдоподобные рассуждения. —»
В кн.2 Индукция и аналогия в математике, — М.; ИЛ, 1957*
197

33. David F. N. Games, Gods and Gambling (The origins and
History of probability and statistical ideas from the earliest
times to the Newtonin era). — London, Griffin, 1962.
34. Fermat P. CEvres, v. 2 (publiees par les soins de P. Tannery
et C. Henry). —Paris: Gauthier-Villars, 1894.
35. Bernoulli J, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ars conjectandi.—
В серии: Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. —
Nr. 107, Leipzig: Wilh. Engelman, 1899.
36. Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. — М.: 1908.

с
ДНЕВНИК ЗАПИСКИ СТУДЕНТА
ПО ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ

ПРЕДИСЛОВИЕ *
Несколько лет назад, вскоре после
государственных экзаменов, я обнаружил среди присланной мне
почты объемистый пакет. К нему было приложено
сопроводительное письмо. Обращался ко мне один из
выпускников того года. Привожу текст письма
полностью.
«Уважаемый профессор! Направляя Вам эту
рукопись, я выполняю обещание, данное мной
во время нашей беседы, которая произошла
после государственного экзамена. Позвольте
мне кратко напомнить ее содержание. Для меня
разговор с Вами был и продолжает оставаться
весьма важным, и поэтому он запечатлелся в
моей памяти особенно отчетливо, однако, зная
Вашу загруженность, я ничуть не удивился бы,
если бы Вы успели забыть его подробности.
Моя дипломная работа называлась «О
математическом понятии информации». После
успешной защиты Вы предложили мне
опубликовать ее, пояснив, что на венгерском языке до
сих пор нет работ, написанных на достаточно
высоком и одновременно доступном для
неспециалистов уровне, которые знакомили бы
читателей с наиболее фундаментальными
вопросами теории информации. Вы заметили также,
что для этого мой опус следует подвергнуть
основательной стилистической переработке,
поскольку для нематематиков он написан слиш-
Renyi Zsuzsa, 1976.
Перевод на руский язык, Мир, 1980,
200

ком сухо и абстрактно и к тому же предпола*
гает у читателей такие познания, которыми те
заведомо не обладают. Я ответил, что примусь
за предложенную Вами переделку с величай*
шим удовольствием. И это действительно было
так, тем более что в процессе подготовки дип-
ломной работы я вел дневник, в который зано-
сил различного рода мысли, возникавшие у
меня по ходу изучения теории информации, а
затем, когда необходимый материал был соб*
ран, переписал их в форме, принятой для
дипломных работ. Я сознавал, что без
предварительной обработки мой дневник также не
пригоден для печати, но, поскольку он написан
несравненно более живым слогом, при
подготовке будущей публикации, на мой взгляд, было
бы целесообразнее отправляться от него. Узнав
о существовании дневника, Вы выразили
желание ознакомиться с ним, разумеется, если в нем
нет записей личного характера, которые бы
мне не хотелось показывать кому-нибудь.
Именно тогда я и пообещал Вам прислать свой
дневник*
Между тем я получил сообщение о том, что
прошел по конкурсу, объявленному ЮНЕСКО,
на замещение вакан?ного места преподавателя
в Мадагаскарском университете. Когда Вы
получите это письмо, я уже буду в путч на
Мадагаскар, где, по-видимому, проведу три года. На
участие в этом конкурсе я решился главным
образом из-за недавней женитьбы. Жить нам
пока негде, и поездка на Мадагаскар
позволяет, с одной стороны, решить на три года
проблему жилья, а с другой — надеяться на то, что
нам удастся за это время скопить сумму,
достаточную для приобретения квартиры по
возвращении. Если говорить о моих планах, связанных
с продолжением математического образования
(которые Вы горячо поддержали), то нельзя не
признать, что Мадагаскар не лучшее место для
их осуществления. Но все же я не теряю
надежды на то, что у меня будет оставаться хотя бы
201

немного свободного времени для размышления
над предложенными Вами задачами, и, если мне
удастся хотя бы частично продвинуться в их
решении, я непременно свяжусь с Вами по почте.
Я был бы чрезвычайно признателен Вам, если
бы Вы сумели выкроить время для ответа и
указаний относительно моей дальнейшей
работы.
Что же касается записок, которые Вы
получите вместе с этим письмом, то на Мадагаскаре
у меня вряд ли найдется время, чтобы привести
их в надлежащий вид. Поэтому я обращаюсь
к Вам, мой дорогой профессор, с убедительной
просьбой передать мой дневник, если Вы
найдете его заслуживающим внимания и
пригодным к опубликованию после соответствующей
переработки, тому, кто, по-вашему, способен
справиться с этим трудом. Буду очень рад, если
дневник удастся опубликовать в любом виде —
первоначальном или перёработайном.
Единственное, о чем я прошу, —- сохранить втайне
мое имя. К этому меня побуждают следующие
причины. 1) Я не питаю никаких иллюзий
относительно оригинальности соображений,
изложенных в моем дневнике, поскольку они
возникали под впечатлением лекций,
прослушанных мною в университете, и, следовательно, их
скорее можйо считать духовной собственностью
моих преподавателей, чем моим личным
достоянием. 2) Если в моем дневнике что-то и
отражает мои мысли» так это различного рода сооб*
ражения относительно постановки
преподавания в университетах. Не знаю, решите ли Вы
опустить их или сочтете возможным предать
гласности. В последнем случае для меня
особенно важно, чтобы мое имя осталось
неизвестным: по возвращении с Мадагаскара я надеюсь
стать преподавателем университета и боюсь,
как бы критические замечания,
опубликованные под моим именем, не стали препятствием
на пути к осуществлению моих планов. (Не
исключено, что мои опасения преувеличены. Но,
к сожалению, на собственном горьком опыте я
202

успел убедиться в том, что осторожность в столь
деликатном деле не помешает.)
Позвольте мне еще раз поблагодарить Вас
за помощь во время занятий (я навсегда
признателен Вам за нее) и неизменнную
благожелательность.
искренним уважением
Бонифаций Донат»
Ознакомившись с записками Бонифация Доната,
я решил опубликовать их без каких бы то ни было
изменений, купюр и переделок. Любое вмешательство
нанесло бы непоправимый ущерб своеобразию и
искренности дневниковых записей. Разумеется, я
решительно отвергаю те доводы, на которые ссылается
Бонифаций Донат, желая остаться неизвестным. Прежде
всего, я не согласен с утверждением, будто записки
содержат лишь идеи, которые их автору довелось
услышать на лекциях: на страницах дневника
встречается немало оригинальных, самостоятельных и по-
новому сформулированных'мыслей, которые с полным
основанием можно отнести к духовной собственности
Бонифация Доната. Что же касается его критических
замечаний по поводу постановки преподавания в
университетах то, даже если они не вполне зрелы, над
ними стоит призадуматься, поскольку высказаны они
единственно из желания сделать преподавание в
университетах более эффективным. В конечном счете
обучение существует для студентов, а не наоборот, и
поэтому студенты вправе выносить свое собственное
мнение о том, как и чему их учат. Серьезные
размышления над проблемами университетского образования
не повод для упреков, даже если кто-нибудь не
согласен с представлениями студентов о том, что хорошо и
что плохо. Именно поэтому я считаю
безосновательными опасения Доната, будто кто-либо может мстить
ему за критические замечания. Не составляет особого
труда догадаться, на какой горький опыт намекает
Донат. Насколько я могу судить, речь идет о моем
203

намерении принять его стажером на свою кафедру.
В этой связи я часто беседовал о ним и, как водится
в подобных случаях, расспрашивал о занятиях в ,уни-
верситете, времяпрепровождении, общественной
работе и т.д. К сожалению, мне не удалось осуществить
свое намерение, так как штаты кафедры были уже
полностью укомплектованы, но, по-видимому, Донат
приписал это иным причинам.
Не разделяя доводов моего бывшего студента, я
с уважением отнесся к его пожеланию и выбрал для
него псевдоним Бонифаций Донат *. Разумеется, если
по прошествии времени он вздумает раскрыть свое
инкогнито, я с радостью подтвержу его авторство. Но
до тех пор, хотя дневник и будет предан гласности **,
подлинное имя автора останется неизвестным..
Надеюсь, что дневник Доната' поможет многим
вдумчивым читателям разобраться в важных, но сложных
проблемах, связанных с понятием информации, и,
тщательно взвесив все факты и доводы, вынести (как это
сделал Донат) свое собственное суждение.
Альфред Реньи
* Те, кто знаком с латынью, заметят скрытый в
вымышленном имени намек на добровольный дар. — Прим. перев.
** Я публикую только первую часть дневника, в которой
рассматриваются основные понятия теории информации. Во
второй его части речь идет о теоремах теории информации,
использующих более серьезный математический аппарат и поэтому
недоступных пониманию читателя-нематематика. К тому же вторая
часть дневника носит совсем иной характер> непринужденный
«дневниковый» стиль записей отходит на второй план и дневник
превращается > в обычный студенческий конспект лекций.
По-видимому, новые чисто математические проблемы и трудности
настолько захватили Доната,, что у него не оставалось времени на
размышления над наиболее важными вопросами, а именно такие
размышления и делают первую часть дневника интересной и
поучительной как для математика, так и для нематематика»

ДНЕВНИК
Есть у меня шестерка слуг,
Проворных, удалых.
И все, что вижу я вокруг,-*
Все знаю я от них.
Они по знаку моему
Являются в нужде.
Зовут их: Как и Почему,
Кто» Что, Когда и Где.
Киплинв
ЛЕКЦИЯ ПЕРВАЯ
Сегодня я прослушал первую лекцию по теории
информации. Лектор, кажется, нам попался толковый*
Едва успев взойти на кафедру, он заявил, что на его
лекциях мы будем изучать новый раздел математики,
которому нет еще и двадцати лет*: когда родились
мы, сидящие в аудитории, теории информации еще не
было. Может быть, это по-детски наивно, но слова
лектора поразили мое воображение настолько, что, не
успев, по существу, ничего толком узнать о теории
информации, я решил всерьез заняться этим предметом.
Тогда же я принял и другое решение: вести не
конспект лекций по теории информации, а дневник. В него
я стану заносить не только услышанное на лекциях,
но и свои размышления, вопросы, которые будут у
меня возникать, и ответы, если мне удастся их найти.
В качестве эпиграфа я избрал одно из стихотворений
Киплинга (в своем собственном, не очень удачном
переводе**).
Слушая лекцию, я все больше убеждался в пра*
вильности принятого мной решения. Мне очень понра*
вилось заявление лектора о том, что занятия он на*
мерен проводить в форме семинаров и хотел бы, что*
* «Дневник» был написан А. Реньи в 1969 1\~-Прим. ред,
венгерского издания.
** Мы приводим это стихотворение в переводе С. Я.
Маршака. —• Прим. перев,
205

бы мы приняли в них активное участие. Иногда ои
будет задавать вопросы нам и разрешает прерывать
его и задавать вопросы ему, если что-нибудь окажется
неясным. Такой метод ведения занятий мне куда
больше по душе, чем торжественное вещание с кз:фе-
дры перед безмолвно внимающей аудиторией. Если
лектор разрешает прерывать себя вопросами, то это
значит, что он вполне владеет предметом и не боится
услышать -вопрос, на который не сможет дать ответ.
Вряд ли нужно говорить о том, что для лектора,
такого рода боязнь по меньшей мере неосновательна:
никто не требует от преподавателя «всезнайства».
Преподавателя, действительно знающего свой
предмет, невозможно Поставить в тупик. Так, в прошлом
году один мой однокурсник задал профессору на
лекции вопрос: тот сказал, что вопрос очень интересен и
нов, насколько ему известно, до сих пор им никто не
занимался, и обещал подумать. На следующей
лекции профессор сообщил, что ему удалось найти
решение предложенной задачи и он намерен поместить ее
в готовящийся к печати сборник, указав имя нашего
сокурсника как автора задачи. К сожалению,
встречаются преподаватели, реагирующие на вопросы
аудитории и иначе. В бытность мою на втором курсе один
из лекторов неправильно доказал теорему. Когда
студенты заметили, что один пункт в доказательстве
(как выяснилось впоследствии, именно в нем и была
допущена ошибка) им непонятен и попросили
разъяснить его, лектор высокомерно отказался, посоветовав
впредь быть более внимательными.
Первую лекцию наш новый лектор начал с того,
что сказал несколько слов о фундаментальном
значении понятия информации. Он заявил нам, что будет
краток, поскольку все, о чем намерен сказать, нам
должно быть хорошо известно. В любом живом
существе происходит передача информации. Так, в
организме человека сбором информации о внешнем мире
занимаются органы чувств. Затем нервная система
передает эту информацию в головной мозг, который
перерабатывает ее и рассылает приказы
(выработанные на Основе поступившей информации и сами по
себе являющиеся информацией) по нервным волокнам
в мышцы, и т.д. Аналогичным образом передается
206

информация на любом предприятии или в
организации, где трудится совместно множество людей. Эта
информация передается в виде докладных,
распоряжений, запросов и т. д. — всего того, без чего
невозможна коллективная деятельность. По словам
лектора, в любом выдающемся достижении современной
техники главную роль играют передача, хранение и
переработка информации. Так, одна из основных
проблем, возникающих в связи с космическими полетами,
состоит в обмене информацией между космическим
кораблем и наземным центром управления полетом.
Сущность электронных вычислительных машин
состоит в том, что они по заданной программе (то есть
на основе определенной информации) с огромной
быстротой перерабатывают большие количества
информации. Одна из основных проблем автоматизации
сводится к обмену информацией между отдельными
частями автомата. Обратная связь означает, например,
что в центр управления поступает информация о том,
как исполнительные устройства обрабатывают
получаемые от центра команды. На основе получаемой
информации центр управления вносит
соответствующие коррективы в отдаваемые команды, сообразуясь
с требованиями изменившейся обстановки. Перечень
подобных примеров при желании можно было бы
продолжить.
Возникновение математической теории
информации, по утверждению лектора, стало возможным после
того, как было осознано, что количество информации
можно задать числом так же, как мбжно выразить
числом расстояние, время, массу, количество тепла
и т. д.
Каким образом можно измерить количество
информации, лектор пояснил на примере игры «Бар-Кохба».
Один участник игры должен отгадать то, что задумал
его партнер. Количество информации, необходимой
для отгадывания, можно измерить числом вопросов,
которые требуется задать при наиболее рациональной
тактике «дознавания». По правилам игры
«Бар-Кохба» вопрос должен допускать лишь два ответа: либо
«да», либо «нет». Записав полученные ответы и
заменив все «да» единицами, а все <снет» — нулями, мы
получим последовательность, состоящую из нулей и
207

единиц и заменяющую первоначальную
последовательность ответов на заданные вопросы (которая од-
нозначно определяет задуманное). Процесс замены
ответов единицами и нулями называется
кодированием, а состоящая из нулей и единиц
последовательность— кодовым словом. Хорошо известно, что любое
натуральное число можно записать в виде
последовательности нулей и единиц: для этого достаточно
представить его в двоичной системе счисления *. Ясно
также* что последовательности, состоящие из нулей и
единиц, позволяют закодировать любой текст на
венгерском (или другом) языке. Для этого достаточно
закодировать в виде последовательности нулей и
единиц буквы алфавита и записать текст буква за буквой.
Возьмем, например, алфавит, состоящий из 30 букв;
а, а, Ь, с, d, е, ё, f, g, h, i, j, k, 1, m, n, o, 6, p, q, r, s, t,
u, u, v, w, x, y, z, — и, кроме того, условимся считать
отдельными буквами точку и пробел между словами.
Если каждой букве такого алфавита поставить в со«
ответствие «свою» последовательность нулей и единиц,
то для кодирования всех букв понадобятся всего
32 последовательности, а последовательностей из пяти
цифр, каждая из которых может быть нулем или
единицей, существует ровно 32. Следовательно, каждой
букве нашего алфавита, включая точку и пробел
между" словами, можно поставить в соответствие одну из
пятизначных последовательностей, состоящих из
нулей и единиц. Ясно, что при таком кодировании для
записи текста нам понадобится в 5 раз больше знаков,
чем букв. Аналогичным образом любую информацию
можно записать в виде достаточно длинной
последовательности, состоящей из нулей и единиц. Это об-
* Вместо сложных пояснений: числа 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8 в
двоичной системе счисления записываются в виде 1, 10, 11, 100,
101, ПО, 111, 1000. Следовательно, каждое следующее число
получается при сложении предыдущего числа с единицей, а если
сумма цифр в каком-нибудь разряде оказывается равной 2, то
происходит «переполнение» разряда: в нем записывается нуль,
а единица переходит на один разряд влево. Единица, стоящая
на первом месте справа, означает число 1, на втором месте
справа — десятичное число 2, на третьем месте справа
—"десятичное число 22 = 4, на четвертом месте справа — десятичное
число 23 = 8 и т. д. Например, двркчное число 1110 означает
число 8 + 4 + 2= 14 (в десятичной системе счисления),— Прим*
ред. венгерского издания,.
208

стоятельство имеет важное практическое значение:
поскольку двоичная система счисления является для
машин «родным языком», то при программировании для
электронных вычислительных машин не только
подлежащие переработке числа надлежит вводить в
машину в двоичной системе, но и сами команды следует
кодировать в виде последовательностей, состоящих из
нулей и единиц, и также вводить в машину.
Резюмируя сказанное; количество информации можно
определить следующим образом. Чтобы измерить
количество любой информации, необходимо закодировать ее
в виде последовательности нулей и единиц наиболее
рациональным способом (то есть способом,
позволяющим получить самую короткую последовательность).
Длина (количество знаков) полученной
последовательности нулей и единиц (кодового слова) может
служить мерой количества информации. Лектор
подчеркнул, чтск это-1— яе точное математическое
определение (оно будет приведено позднее), а всего лишь
наглядное описание того, что мы имеем в виду, говоря
о количестве информации, позволяющее нам
приблизиться к пониманию сущности этого понятия.
Сказанное, пояснил лектор, следует считать лишь первым
шагом на пути к понятию количества информации.
Лектор также подчеркнул, что когда нам необходимо
измерить количество информации и выразить его
числом, то мы умышленно и вполне" сознательно
оставляем без внимания содержание и значение
информации.
Шумный успех (в особенности у девушек) имел
следующий пример, приведенный лектором. Ответ на
вопрос «Любите ли вы сыр, фрейлен?», независимо от
того, каким будем ответ — утвердительным или
отрицательным, содержит одну единицу информации.
Такое же количество информации содержит и ответ на
вопрос «Любите ли вы меня, фрейлен?», хотя
очевидно, что эти два ответа по своему содержанию и
значению совершенно* различны. Пользуясь случаем,
лектор еще раз обратил наше внимание на то, что ответ
на вопрос, допускающий лишь два ответа—«да» и
«нет», а в остальном произвольный, служит
единственной единицей для измерения количества информации-
Ту же мысль можно выразить иначе; единица ин-
209

формации — это количество информации, которое
можно записать (закодировать) при помощи либо нуля,
либо единицы. Например, каждая цифра числа,
записанного в двоичной системе счисления, содержит одну
единицу информации. Отсюда и название единицы
информации— бит (от английского binary digi/ —
двоичная цифра). В этом названии кроется игра слов: bit
по-английски «частица, небольшой кусочек чего-то».
Таким образом, бит — это крохотная частица
информации. ^
В связи с кодированием речь зашла и о том, что
информацию следует кодировать не вообще, а
сообразуясь с тем, какой способ избран для ее передачи.
Например, при передаче телеграмм текст удобно
кодировать при помощи азбуки Морзе (короткими
сигналами—точками и длинными сигналами — тире).
Изображение, передаваемое [ю телевизионному
каналу, кодируют, разбивая его на мелкие «точки». В
зависимости от того, какая точка «обозревается»
телекамерой— светлая или темная, на передающее
устройство поступают различные сигналы, которые
переносятся электромагнитными волнами к телевизионным
приемникам, вновь преобразующими их в
изображение, то есть г декодирующими их. Можно, привести
и гораздо более простой пример декодирования. Он
всем известен, хотя и под другим названием: всякий
раз, когда мы пишем, нам, по существу, приходится
заниматься кодированием, поскольку звукам мы
ставим в соответствие буквы, а чтение представляет
собой не что иное, как декодирование. Наш мозг
каким-то образом кодирует информацию, которля
хранится затем в памяти, но как происходит кодирование
и декодирование в человеческом мозгу, до сих пор
полностью не известно. Завязывая узелок на память,
мы также кодируем информацию. Лектор рассказал
нам, что в одном индейском племени этот способ
кодирования был доведен до высокой степени
совершенства: посылая друг другу шнуры с особым
образом завязанными узелками, люди этого племени
могли передавать любые сообщения. Судовые огни
и сигналы SOS, которые в Альпах терпящие бедствие
туристы подают свистками, также могут служить
примером кодированной информации. Разумеется, лю-
210

бая разновидность Атайнописи также является кодом
(от тайнописи, собственно говоря, и происходит слово
«кодирование»). Музыка или речь, записанные на
грамофонной пластинке или магнитофонной ленте,
также закодированы. Один из моих приятелей
заметил, что с кодированием, по-видимому, все обстоит
так же, как с тем мольеровским персонажем,
который не знал, что всю жизнь говорит прозой: нам
и в голову не приходило, что почти все, чем мы
занимаемся, связано с кодированием и декодированием
информации.
На лекции присутствовало 32 студента. Лектор
спросил, сколько вопросов необходимо задать, чтобы
установить, кого из нас он задумал. Я тотчас же
ответил, что для этого понадобится 5 вопросов. Тогда
лектор попросил меня пояснить, какие вопросы я
имею в виду. Я сказал, что прежде всего составил
бы список присутствующих, расположив их фамилии в
алфавитном порядке, и спросил бы (в этом и состоял
бы мой первый вопрос), не внесен ли задуманный
лектором студент в первую половину списка.
Полученный ответ, каким бы он ни был—утвердительным
или отрицательным, позволил бы сузить круг
поисков, вдвое уменьшив число «подозреваемых» (понизив
его с 32 до 16). Действуя аналогично, я вторым
вопросом сократил бы число студентов, среди которых
может оказаться задуманный лектором слушатель,
до 8, третьим вопросом — до 4, четвертым —до 2 и,
задав пятый вопрос, установил бы, кто был задуман.
Затем лектор поинтересовался, хватило бы мне пяти
вопросов, если бы их надо было задавать все сразу,
то есть если бы, ставя очередной вопрос, я не знал
ответов на предыдущие вопросы. Должен признаться,
что тут лектор поставил меня в тупик. Поскольку
в игре «Бар-Кохба» следующий вопрос всегда
выбирают на основании ответов на предыдущие вопросы,
мне казалось, что если все вопросы задавать сразу,
то их понадобится больше пяти. Но я заблуждался.
Лектор показал, как следует задать сразу пять
вопросов, чтобы по ответам на них можно было
установить, кто из студентов был задуман. Перенумеруем
сидящих в аудитории последовательными целыми
числами от 0 до 31 и запишем порядковый номер
2.11

каждого студента в двоичной системе. Каждой из
32 фамилий мы тем самым поставим в соответствие
некое пятизначное двоичное число (если двоичная
запись порядкового номера окажется короче пяти
знаков, припишем недостающие знаки (нули) слева;
например, число 0 запишется в виде 00000, а ,число
1—в виде 00001). Я оказался в списке
четырнадцатым *. Это означает, что моя фамилия получила
порядковый номер 01110. Пять вопросов, которые можно
задать сразу, заключаются в следующем:-верно ли,
что в двоичной записи порядкового номера фамилии
задуманного студента первая, вторая, третья,
четвертая и пятая цифры равны единице? Предположим,
что ответы на эти вопросы гласят: «нет», «да», «да»,
«да», «нет». Это означает, что лектор задумал меня.
Я был изумлен. Ведь я знаю толк в игре «Бар-Кохба»
(мы частенько играем в нее у себя в общежитии)
и даже снискал лавры лучшего игрока (успеха я
добился, разгадав следующую фразу: «Червоточина,
проеденная червем в яблоке, которое упало на
голову Ньютона»), но я не догадывался, что вопросы
можно задавать не один за другим, а сразу.
Затем лектор предложил разобрать несколько
новых примеров, в том числе ответить на вопрос,
сколько битов информации содержит номер паспорта?
Лектор сообщил нам, что в Венгрии около 7,5
миллиона взрослого населения имеют паспорта.
Следовательно, требуется узнать, сколько вопросов типа
задаваемых в игре «Бах-Кохба» необходимо задать,
чтобы установить, кто из 7,5 миллиона венгерских
граждан «задуман». Разумеется, ответить на этот
вопрос не составляло особого труда. Так как 222 —;
= 4 194 304 и 223 = 8 388 608, то понадобится 23
вопроса. Затем лектор спросил нас, верно ли
утверждение о том, что номер паспорта содержит 23 бита
информации. Многие из нас ответили, что это
утверждение было бы абсолютно истинным, если бы число
паспортов было бы равно 8 388 608, то есть числу,
логарифм которого по основанию 2 равен 23. Если
* Бонифаций Донат имеет в виду свою подлинную
фамилию: ведь он и не подозревает о том псевдониме, который я
выбрал для него.
212

же число паспортов достигает лишь 7,5 миллиона, то
номер паспорта содержит менее 23, но более 22 битов
информации. Так, совместными усилиями мы пришли
к следующему выводу: если правила игры «Бар-Кох-
ба» -видоизменить так, чтобы задумывать
разрешалось любой из N различных предметов (как
одушевленных, так и неодушевленных), то для угадывания
его необходимо располагать log2N битами
информации. Затем лектор предложил нам сформулировать
полученный результат, не обращаясь к игре «Бар-
Кохба». После нескольких попыток у нас получилось
следующее: если в заданном множестве Я,
содержащем N элементов, выделен какой-то элемент ху о
котором заранее известно лишь, что он принадлежит
множеству Я, то, чтобы найти х, необходимо
получить количество информации, равное log2N битам.
Эту формулу обычно называют формулой Хартли.
Затем лектор познакомил нас с законом
аддитивности информации. Проще всего этот закон можно
понять на примере игры «Бар-Кохба». Если нам
необходимо отгадать сразу два предмета х\ и х2у о
которых известно лишь, что х\ — элемент множества
Ни содержащего N\ элементов, а х2 — элемент мно-
,жества Я2, содержащего N2 элементов, то вполне
допустимо считать, что мы должны отгадать пару
(хихг), принадлежащую множеству Я всех пар
(хи х2), где х\ — произвольный элемент множества
Ни а х2— произвольный элемент множества Я2, не
зависящий от выбора элемента Х\* Ясно, что
множество Я содержит N\N2 элементов, и, следовательно,
чтобы отгадать задуманную пару (xi,x2), по
формуле Хартли необходимо задать Iog2 N1N2 вопросов
(то есть для отгадывания пары (хих2) необходимо
получить log2N\N2 битов информации). С другой
стороны, элементы х\ и х2 можно отгадывать
независимо. Для отгадывания Х\ нам потребуется Iog2#i
вопросов, для отгадывания х2 — Iog2 Л^ вопросов.
Следовательно, общее число вопросов, необходимое для
отгадывания элементов х\ и х2, равно log2A^i-r-J
!+log2N2, то есть количество информации,
необходимое для установления пары х\ и х2> составляет
iog2Ni +_log2Af2 битов. Итак, мы получили два
выражения для количества информации, необходимой
213

для того, чтобы отгадать сразу х\ и x2i нр по хороша
известному свойству логарифмической функции
(логарифм произведения равен сумме логарифмов
сомножителей) оба выражения равны;
\og2N{N2 = log2N
Итак, мы пришли к закону аддитивности информации.
В заключение лекции мы еще раз обсудили
понятие информации. Лектор обратил наше внимание на
то, что теперь мы уже можем измерять количество_
информации числом и что само слово «информация»
используется нами в двух значениях — абстрактном
и конкретном, .или качественном и количественном.
С одной стороны, мы понимаем под информацией
конкретную информацию (сообщение), с другой — ее
численную меру, то есть выраженное в битах количество
абстрактной информации, содержащейся в
интересующей нас конкретной информации. Название
«информация» удобно сохранить только за конкретной
информацией, а численную меру абстрактной
информации, содержащейся в конкретной информации,
называть «количеством информации». Во избежание
недоразумений мы иногда вместо слова «информация»
будем употреблять слово «сообщение». Было бы
интересно выяснить, заметил лектор, одинаково ли мы
понимаем слово «информация» (в его конкретном,
качественном значении). Он предложил каждому из нас
написать на листке бумаги с десяток слов, значение
которых в большей или меньшей степени совпадает
со значением слова «информация». Я написал
следующие 1С слов:
1) сообщение, 6) задание,
2) известие, 7) справка,
3) сведения, 8) уведомление,
4) новость, 9) характеристика,
5) данные, 10) заявление.
На листочках, заполненных другими студентами,
встречались и такие варианты, как весть, извещение,
коммюнике, перечень данных, сводка данных,
высказывание, указание, описание, объявление.
Мы пришли к выводу, что дать формальное опре^
деление интуитивно ясного понятия информации было
214

бы чрезвычайно трудно, но, к счастью, в этом нет
необходимости, потому что, употребляя слово, мы
все, по существу, имеем в виду одно и то же.
Строгое определение математического понятия
информации будет приведено позже. Лектор подчеркнул, что
мы еще не дошли до точного определения
информации, хотя и успели сделать первый шаг на пути
к нему — по стопам пионера теории информации
Хартли, отважившегося совершить первый шаг еще
в 1928 г.
Под конец лекции мы решили несколько задач,
позволивших нам лучше понять формулу Хартли.
Например, мы разобрали вопрос, относящийся, как
сообщил нам лектор, к важному разделу теории
информации— теории поиска. Имеется 27 золотых монет,
из которых 26 настоящих, а одна фальшивая,
отчеканенная из другого металла, но позолоченная и
неотличимая по внешнему виду от настоящих. Известно,
что фальшивая монета легче настоящих. Для
определения фальшивой монеты в нашем распоряжении
имеются равноплечие весы с двумя чашками,
позволяющие лишь устанавливать, одинаково ли по весу
содержимое чашек, а если неодинаково, то
содержимое какой из двух чашек тяжелее. Спрашивается:
сколько взвешиваний необходимо произвести, чтобы
обнаружить фальшивую монету? Прежде чем
приступать к решению задачи, мы получили оценку
необходимого числа взвешиваний снизу: фальшивой
может оказаться любая из 27 монет, следовательно, по
формуле Хартли количество недостающей
информации составляет log2 27 битов.
Любое взвешивание может завершиться одним из
трех исходов (более тяжелой оказалась левая чашка,
более тяжелой оказалась правая чашка, обе чашки
находятся в равновесии), следовательно, каждое
взвешивание может дать нам только Iog2 3 битов
информации. Если мы хотим определить фальшивую
монету за х взвешиваний, то должно выполняться
неравенство х log2 3 ^ log2 27. Так как log2 27 =*
= 3>log23t то х ^ 3. Это означает, что для
определения фальшивой мо«еты необходимо произвести по
крайней мере 3 взвешивания. В действительности,
чтобы найти фальшивую монету, достаточно произве-
215

сти ровно 3 взвешивания. При первом взвешивании на
каждую чашку весов необходимо положить по 9
монет, Если одна из чашек поднимется, то фальшивая
монета находится на ней. Если же чашки весов
окажутся в равновесии, то фальшивая монета находится
среди 9 монет, отложенных в сторону. И в том, и в
другом случае мы при помощи одного взвешивания
уменьшили число монет, среди которых может
оказаться фальшивая монета, с 27 до 9. При втором
взвешивании на обе чашки весов необходимо
положить по 3 монеты. Следовательно, после второго
взвешивания останутся только 3 монеты, из которых
нам нужно выбрать фальшивую. При третьем взве*
шивании мы кладем на чашки весов по одной монете
из трех оставшихся и, в каком бы положении ни
остановились чашки весов, определяем. фальшивую
монету.
К концу лекции мне показалось, что я хорошо
усвоил все услышанное. Нр теперь, продумывая всю
лекцию еще раз, я убеждаюсь, что не могу ответить
самому себе на многие вопросы.
Ясно, что ответ на вопрос, допускающий лишь
ответы «да» или «нет», содержит одну единицу, или
один бит, информации. Все это так, но что, если я,
приняв участие в игре «Бар-Кохба», в которой при
рациональной стратегии для' выигрыша достаточно
пяти вопросов, стану действовать не лучшим
способом и за пять вопросов не сумею отгадать
задуманное? Как такое может произойти? Ведь даже
действуя нерационально, я на пять вопросов получил
пять ответов и, следовательно, стал «богаче» на пять
битов информации. По-видимому, здесь кроется
какое-то противоречие: в одном случае для отыскания
одного элемента в множестве, состоящем из 32
элементов, достаточно пяти битов информации, а в
других тех же пяти битов оказывается недостаточно?
Количество информации не может зависеть от того,
насколько удачно я выбираю вопросы. Сформулирую
свою мысль несколько иначе: ясно, что если вопросы
выбраны не самым разумным образом, то количество
информации, извлеченной из ответов на пять вопро-
216

сов, окажется меньше пяти битов и составит,
например, лишь три бита. Но ведь и в этом случае каждый
ответ на вопрос, допускающий лишь ответы «да» или
«нет», содержит по одному биту информации. Куда
же исчезают два бита? Сначала «утечка»
информации казалась мдог таинственной и необъяснимой, но
затем я вспомнил о случае, происшедшем со мной
во время последней игры в «Бар-Кохбу»; он-то и
помог мне решить загадку. Играли мы поздно вечером,
и я был рассеян. Задумавшись, я повторно задал
вопрос, на который уже получил ответ минутой раньше,
«Да ведь ты об этом уже спрашивал!» — закричали
мои партнеры и предложили закончить игру, если
я устал. На том мы и порешили. Тогда я был огорчен
допущенным промахом, но теперь досадная оплош?
ность сослужила мне хорошую службу: навела, на
мысль, что самый простой способ неудачно задать
вопрос состоит в повторении предыдущего вопроса,
Разумеется, и в этом случае утверждение о том, что
и ответ на первый вопрос и ответ на второй вопрос
(тождественный первому) содержит по одному биту
информации, остается в силе, но второй бит не несет,
новой информации, а лишь повторно воспроизводит
ту, которая содержалась в ответе на первый вопрос,.
Поэтому при неудачном выборе вопросов два одина*
ковых ответа на два одинаковых вопроса содержат
в общей сложности не два, а лишь один бит инфор*
мации. То же самое происходит, по существу, ив том
случае, если задающий вопросы не совершает столь
грубой ошибки, а лишь действует неоптимальным
образом. Разумеется, если второй вопрос не повторяет
первый, то задаюи*ий вопросы не получает дважды
в точности одну и ту же информацию, но в бите
информации, полученном из ответа на второй вопрос,
новой является лишь какая-то доля, а другая часть
содержится в информации, полученной при ответе на
первый вопрос, to есть два бита информации
частично перекрываются. Если общая часть составляет,
например, 1/2 бита, то из двух ответов нам удается
извлечь в общей сложности не два, а лишь полтора
бита информации. Предположим, что я должен отга?
дать одно из первых 8 натуральных чисел. Если я
сначала спрошу, содержится ли задуманное числр
217

среди чисел 1, 2, 3, 4, а затем независимо от ответа
задам второй вопрос: нет ли задуманного числа среди
чисел 1, 5, 6, 7,— то ответ на мой второй вопрос даст
мне новую информацию, но количество ее будет
меньше одного «целого» бита. Именно поэтому, прц
нерациональном выборе вопросов тложет случиться,
что для отгадывания задуманного числа понадобятся
не три, а четыре вопроса. Если бы, задавая второй
вопрос, я спросил, находится ли задуманное число
среди чисел 1, 2 и 5, 6, то третий вопрос заведомо цозг
волил бы мне отгадать задуманное число. При
неудачном выборе вопросов задуманное число иногда
удается отгадать с двух вопросов, тогда как при
рациональном подходе к отгадыванию такого произойти
не может, ^поскольку всегда необходим еще и третий
вопрос! Таким образом, неудачный выбор вопросов
имеет много общего с азартными играми. Мне
кажется, что в азартной игре в среднем игрок остается
в проигрыше. Пожалуй, над этим следовало бы
основательно поразмыслить. Но это потом,, а пока меня
занимает другая проблема. Полагаю, что разобраться
в ней необходимо для лучшего понимания проблемы
«утечки» информации. Я хочу уяснить, что означает
нецелое число битов информации. Утверждение о
том, что для отгадывания неизвестного элемента
множества Ну содержащего N элементов, необходимо
log2Af битов информации,-вполне ясно, если Iog2^ —
целое число, то есть если N = 2й, где k —
положительное целое число, поскольку в этом случае ровно
k вопросов достаточно для отгадывания задуманного
элемента, а меньшего числа вопросов может не
хватить. Но как следует понимать утверждение о том,
что задуманный элемент какого-то множества можно
найти, задав log2N вопросов, если \ogiN не целое
число? Этот вопрос на лекции не рассматривался. Не
исключено, что лектор затронет его на одной из
следующих лекций, но мне хотелось бы разобраться
в нем сейчас.
После долгих размышлений мне, кажется,
удалось найти ответ на мучавший меня вопрос.
Набрести на истину помогло следующее рассуждение.
Чтобы найти элемент множества, состоящего из 7
элементов, необходимо задать 3 вопроса, а чтобы найти
218

элемент множества, состоящего из 9 элементов,—•
4 вопроса, то есть (по формуле Хартли) получить
соответственно Iog27 и Iog29 битов информации. Но
если я хочу отгадать сразу элемент х\ множества Н\у
содержащего 7 элементов (например, отгадать один
из дней'недели), и элемент х2 множества Н2
(например, отгадать одну из 9 планет), то для этого мне
потребуется задать не 3 + 4 = 7, а лишь 6 вопросов,
поскольку из общего числа пар (*i,jc2), равного
7-9—=63, мне необходимо найти одну и 63 < 64 =
= 26 (или, что то же, log2 63 = log2 7 + log2 9 =
= 5,97728 < 6). Разобравшись в этом примере, я
понял, как ответить на интересующий меня вопрос
в общем случае: верно ли утверждение о том, что
если множество содержит N элементов, где N не
совпадает с положительной целой степенью двойки, то
для отгадывания элемента этого множества
необходимо задать Iog2 ЛЛ вопросой (log2Af не целое число!).
Это утверждение означает следующее. Предположим,
что я должен отгадать неизвестный элемент
множества, содержащего N элементов, не один, а несколько
(например, k) раз. Для этого мне нужно как бы
k раз сыграть в игру «Бар-Кбхба» с различными
партнерами, каждый из которых независимо от
других задумал по одному элементу из множества,
содержащего N элементов, а я должен отгадать^все k
задуманных элементов сразу. Расспрашивать о
каждом из этих k элементов в отдельности совсем не
обязательно. Можно попытаться отгадать набор из
k неизвестных элементов (xj,x2, ..., Xk). Поскольку
таких наборов всего существует Nk, то число
вопросов, которое необходимо задать, чтобы отгадать
набор из k задуманных элементов, я найду, взяв
двоичный логарифм числа Nk и округлив его до целого
числа. Если Sk — это число,
Но
]og2Nk = k \og2N,
поэтому
k #
219

Число Sk показывает, сколько вопросов необходимо
задать, чтобы отгадать k элементов множества,
содержащего N элементов. Следовательно, отношение
Sk/k показывает, сколько вопросов в среднем
необходимо для того, чтобы отгадать один элемент
множества, содержащего N элементов. Поскольку,
выбирая k достаточно большим, дробь l/k можно
сделать сколь угодно малой, то это означает, что, когда
N ле совпадает с положительной целой степенью
двойки, число вопросов, которое в среднем
необходимо задать для отгадывания одного элемента
множества, содержащего k элементов, будет
превосходить log2N на сколь угодно малую величину. В этом
смысле верно утверждение о том, что для
отгадывания одного элемента множества, содержащего 7
элементов, необходимо задать 2,80735..* вопросов.
Действительно, пусть N = 7. Так^как 76 —= 117 649 <217,
то, если требуется отгадать сразу 6 элементов,
достаточно задать 17 вопросов. Следовательно, чтобы
отгадать один неизвестный элемент этого множества,
в среднем придется задать 17/6 = 2,833... вопроса.
Меня заинтересовало название игры «Бар-Кохба».
Я решил выяснить, кем был Бар-Кохба и почему эта
игра названа его именем. Оказалось, что Бар-Кохба
был предводителем восстания, вспыхнувшего в 135 г.
в Иудее против владычества римлян. (Бар-Кохба
означает «сын звезды».) Превосходящее по силам
римское войско осадило крепость, которую героически
оборонял малочисленный гарнизон под
командованием Бар-Кохбы. Это —исторические факты. Игра
же получила свое название якобы потому, что Бар-
Кохба послал в лагерь римлян своего лазутчика.
Римляне схватили его, подвергли жестоким пыткам и
отрезали несчастному язык. Бежав из стана врагов,
лазутчик предстал пред Бар-Кохбой, но не мог
рассказать о том, что ему удалось высмотреть у
противника. Тогда Бар-Кохба стал задавать вопросы, на
которые можно было ответить только либо «да», либо
«нет», а искалеченный воин в ответ либо кивал, либо
отрицательно покачивал головой. Так Бар-Кохбе
удалось выведать у немого все'сведения о римском
войске, которые были столь необходимы для обороны
крепости,
220

К сожалению, исторические источники
умалчивают об этом эпизоде иудейской войны. Не
исключено, что легенду сочинил тот, кто придумал игру*
Имя создателя игры мне пока установить не удалось.
Впервые игра «Бар-Кохба» появилась, насколько
известно, в Будапеште в начале XX века. Во всяком
случае в девятисотых годах она пользовалась
необычайной популярностью, главным образом в
писательских кругах. О ней нередко упоминают в своих
произведениях КарРйнти и Костолани. Известно, что оба
этих писателя "так же, как и Иштван Сомахази, были
выдающимися мастерами игры «Бар-Кохба».
Я подумал, что если бы легенда о Бар-Кохбе
соответствовала действительности, то его по праву
можно было бы считать предтечей теории
информации. Но, по-видимому, легенда о Бар-Кохбе
полностью лишена исторической основы. Было бы инте«
ресно выяснить, с каких пор стало известно, что
любую информацию можно выразить ответами «да —
нет» и, следовательно, записать (закодировать)
в виде последовательности из двух символов.
По-видимому, это было установлено очень давно (в пользу
такого предположения говорит один фрагмент из
древнеиндийского эпоса). Так или иначе теория
информации уходит своими корнями в далекое про*
шлое, несмотря на то что эта наука очень молода*
Мы как бы получаем новый пример, подкрепляющий
истину, которой открывается пролог к «Иосифу и его
братьям» Томаса Манна: «Прошлое—это колодец
глубины несказанной...»
ЛЕКЦИЯ ВТОРАЯ
На этот раз лектор начал с того, над чем я
столько ломал голову: объяснил, как следует пони*
мать формулу Хартли, если log2iV не целое число*
Когда на прошлой лекции мы говорили об
отгадывании неизвестного элемента множества,
содержащего N элементов, заявил лектор, то исходили из
молчаливого предположения о том, что все N
элементов^ равновероятны. Однако в действительности
такое предположение выполняется редко. Когда мы
221-

говорим, что g — неизвестный элемент множества
Н = {хих2у ..., xN}> то это означает, что ь |—
случайная величина, принимающая значения Х\, х2, ...
..., х^. Пусть рк:— вероятность того, что g принимает
значение Xk (k = 1, 2, ..., N). Тогда в общем случае
Ри Р% ..., Pn — произвольные положительные-числа,
сумма которых равна единице. Когда мы узнаем, что
величина g приняла то или иное значение, то есть
производим наблюдение над случайной величиной |,
то это наблюдение дает нам некоторое количес¥йо
информации. Обозначим его #(£). Если разобраться,
то до сих пор мы занимались не чем иным, как-
определением именно этого количества информации
#(£), причем ограничивались рассмотрением случая,
когда величина | принимает допустимые значения
(то есть значения х\, х2, ...,*#) с одной и той же
вероятностью, равной 1/N, то есть когда р\ = р2 — .'.',.
1/лг
р
В этом частном случае формула Хартли
остается в силе. В общем же случае количество
информации НA) можно найти по формуле Шеннона
+ Plog^+ +Plog
Смысл этой формулы для НA) в общем случае, по
существу, такой же, как и в случае равновероятных
значений случайной величины £, с одним лишь совсем
небольшим отличием. На языке игры «Бар-Кохба»
величина #(£) допускает следующую интерпретацию.
Если g означает то, что требуется отгадать (другой
партнер задумывает Х\ с вероятностью ри х2 с
вероятностью р2, ..., хм с вероятностью рм), и сыграно
достаточно большое число партий, то, чтобы отгадать
задуманное, при оптимальном выборе вопросов с
вероятностью, сколь угодно близкой к единице, нам
потребуется в среднем задать число вопросов,
превосходящее Я(|) на сколь угодно малую величину.
Отклонение от частного случая формулы Хартли
состоит в оговорке «с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице», необходимость в которой в
симметричном случае не возникает.
222

Если от игры «Бар-Кохба» мы перейдем к
кодированию, то величине #(£) можно дать следующее
определение: g — случайная величина, принимающая
значения jcj, х2, ..., хм с вероятностями, равными
соответственно р\, рг, ..., ры. Произведем над | одно
за другим независимые наблюдения'. Результат
каждого наблюдения можно закодировать в виде
последовательности, состоящей из нулей и единиц. Тогда
с вероятностью, сколь угодно близкой к единице,
можно добиться, что число нулей и единиц в
последовательности, соответствующей результату одного
наблюдения, в среднем будет сколь угодно мало
отличаться от Н {%) = p{\og2^r + P2^og2~ + ... +
Р\ Р2
Правильность этого утверждения проверим на
следующем примере. Рассмотрим бросание двух
монет. Пусть g означает число выпавших «орлов».
Следовательно, g принимает значения 0, 1 и 2" с
вероятностями, равными х/4, lfa и Vi. Утверждение,
подлежащее проверке, сводится к следующему. Если за
значениями g. наблюдать на протяжении достаточно
большой серии бросаний, то исходы бросаний можно
закодировать в виде последовательности нулей и
единиц так, что с вероятностью, сколь угодно близкой
к единице, для кодирования исхода одного бросания
в среднем понадобится число знаков, которое будет
отличаться от
1 1 l 1 , 1 1 1 1 с
+ Т log27TY =
4)
на сколь угодно малую величину. Нетрудно показать,
что разумный способ кодирования состоит в
следующем. Если при бросании выпал 1 орел (то есть если
|=1), то исходу бросания ставится в соответствие
кодовое слово 1. Если | = 0 (то есть если выпали две
«решки»), то исходу бросания соответствует кодовое
слово 00. Наконец, если £ = 2 (то есть если выпали
два «орла»), то исходу бросания ставится в
соответствие кодовое слово 01,
223

При таком способе кодирования исход каждого
бросания мы записываем при помощи одного (при
6=1) или двух (в остальных случаях) знаков. Так
как I принимает значение 1 с вероятностью у2, то слу^
чайная величина ц (длина кодового слова, соответ^
ствующего исходу одного бросания) с вероятностью 7г
принимает значение 1 и с вероятностью !/г —
значение 2. Следовательно, математическое ожидание
длины кодового слова равно Gг) • 1 + 1 • Gг) -2 = 1,5. По
закону больших чисел *, если произвести достаточно
много бросаний, то с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице, средняя длина кодового слова будет
* отличаться от 1,5 меньше чем на е, где е—
произвольно малое положительное число.
Способ кодирования, которым мы воспользовались
в этом примере, в переводе на язык игры «Бар-Кох-
ба» означает следующее: если требуется угадать,
сколько «орлов» выпало у нашего партнера при
бросании двух монет, то прежде всего необходимо
спросить, не выпал ли у него один «орел». Если партнер
ответит утвердительно, то мы с одного вопроса узнали
все; что нам нужно. Если партнер ответит
отрицательно, то следует спросить, не выпало ли у н£го 2
«орла»'. Независимо от того, ответит ли он «да» или «нет»,
мы сможем установить, сколько «орлов» выпало у
него при бросании: если ответ на наш второй вопрос
утвердительный, то 2, а если отрицательный, то 0.
* Не стремясь к особой строгости, закон больших чисел
можно сформулировать следующим образом: среднее
арифметическое большого числа значений, полученных из независимых
наблюдений случайной величины, в среднем приблизительно
совпадает с математическим ожиданием значения этой случайной
величины. «Приблизительно» в данном случае означает, что если
число наблюдений достаточно велико, то с вероятностью, сколь
угодно близкой к единице, среднее арифметическое будет
отличаться от математического ожидания меньше чем на 8, где е —
произвольно заданное положительное число.
Пример. При бросании игральной кости с вероятностью
7б выпадает 1,2, 3, 4, 5 и 6 очков. Математическое ожидание
-случайной переменной (числа выпавших очков) равно
1+2+3+4+5+6 '
6 в3'5"
По закону больших чисел среднее число очков, выпавших при
1000 бросаний игральной кости, почта всегда будет близко к
3,5. — Прим, ред, венгерского издания%
224

Хорошеныю поразмыслив над тем, почему вопросы
партнеру лучше задавать именно так, а не иначе, мы
поймем, в чем дело: по возможности всегда следует
стремиться к тому, чтобы утвердительные и
отрицательные ответы на задаваемые нами вопросы были
равновероятны. Если же по каким-то причинам
достичь этого нельзя, то вопросы следует ставить так,
чтобы вероятность утвердительного ответа как можно
меньше отличалась от вероятности отрицательного
ответа. Этим же способом можно убедиться в том, что
формула Шеннона верна и в общем случае. На том
же занятии мы рассмотрели еще один пример, когда
монету бросают до тех пор, пока исход бросания
впервые не повторится, то есть либо «орел», либо «решка»
не вьшадут вторично. Пусть g означает всю серию
бросаний. Нетрудно .видеть, что интересующее нас
событие происходит на втором бросании, если исходы двух
первых бросаний одинаковы. Если же исходы двух
первых бросаний различны, то повторное выпадение
«орла» или «решки» происходит при третьем
бросании, поскольку исход его непременно должен совпасть
с исходом либо первого, либо второго бросания.
Следовательно, g принимает значения 00, РР, ОРО, ОРР,
POO, POP (О означает «орел», Р — «решка») с
вероятностями, равными 74, lU, 7s, 7s, Vs, 78, и поэтому
+ 4
В этом примере рациональный способ кодирования
состоит в том, что О мы сопоставляем нуль, Р —
единицу. Тогда значения, принимаемые g, преобразуются
при этом в кодовые слова 00, 11, 010, 011, 100, 101
(порядок кодовых слов сохранен прежним), а
математическое ожидание значения g оказывается равным
|7г#2 + 7з*3 = 2,5. Обращаясь снова к закону больших
чисел, мы заключаем, что если значения g наблюдать
очень много раз и результаты наблюдений кодировать
нашим способом, то с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице, средняя длина кодового слова
будет отличаться от 2,5 меньше чем на е, где е —
произвольно малое положительное число.
В обоих разобранных нами примерах найти
оптимальный способ кодирования было так легко потому,
8 Зак. 40С 223

что вероятности ри Р2, ..., Pn совпадали со степенями
числа х/2. Это позволяло на каждом шагу производить
разбиение еще не рассмотренных случаев на классы
так, чтобы их вероятности были в точности равны*
В общем случае такое разбиение невозможно, и
поэтому проверка формулы Шеннона несколько
сложнее, хотя сущность ее остается той же самой,
поскольку в конечном счете она зиждется на законе больших
чисел.
Доказывать формулу Шеннона для общего случая
лектор не стал, а лишь наметил общий ход
доказательства, предоставив нам самостоятельно
разобраться во всех деталях. Схема доказательства сводится к
следующему. Если случайная величина g принимает
значения х\, х2, ..., Xn с вероятностями pi, р2, ••-, ры
и мы достаточно много (например, п раз) наблюдали^
значения g, причем наблюдения производились
независимо, то по правилу, хорошо известному из теории
вероятности (вероятность^ наступления независимых
событий равна произведению их вероятностей),
вероятность того, что значение х\ встретится п\ раз,
значение Х2 — п2 раз, ..., значение xN — nN раз, равна
р^р ... p^N. По закону больших чисел, если б и
е — сколь угодно малые положительные числа и п
достаточно велико, то с вероятностью, большей или
равной 1—б, п\/п отличается от р\, п2/п — от р2, ...
..., un/п — от ры меньше чем на е. Следовательно,
вероятность р^р ... pnNM приближенно равна q =
— (pPlp22--- Pn**)*' Поскольку сумма вероятностей
всех возможных последовательностей результатов
наблюдений равна единице, то (если отбросить
«патологические» случаи с суммарной вероятностЫо меньшей б)
вероятность любой последовательности наблюдаемых
значений £ приближенно равна Л /q. Для кодирования
каждой из таких последовательностей требуется около
log2 \/q нулей и единиц. Так как
'7вя
226

то тем самым доказано, что для кодирования одного
значения g с вероятностью, близкой к единице, в
среднем понадобится последовательность из нулей и
единиц длиной в #(£) знаков. В свою очередь это
означает, что формула Шеннона установлена со всей
общностью. Ясно, что формула Хартли содержится в
формуле Шеннона как частный случай. Действительно,
если
1
Pi = р2 = • • • = Pn = 77 »
1 1 1
рl . •. р2 Pn
= log2 N.
Докажем теперь, что если при фиксированном
значении N распределение вероятностей (рь/?2> •••> Pn)
отлично от равномерного распределения, то сумма
Pi log2-J- + P2log2-~+ ... +pNlog2-~ всегда.
Pi P2 PN
меньше чем log2iV. Это означает следующее: если о
случайной величине % известно лишь, что она
принимает N различных значений, то при наблюдении
одного значения g еацбольшую информацию мы
получаем в том случае, если все возможные значения g
равновероятны.
Доказывается это утверждение следующим
образом. Как известно, график функции г/ = log2——
выпуклая кривая *. Если на этой кривой задать любые N
* Функция f(x) называется выпуклой, если отрезок прямой,
соединяющий любые две точки на графике этой функции,
расположен целиком под кривой (или, быть может, совпадает с ее
дугой). Выпуклые кривые удовлетворяют неравенству
Действительно, в левой части стоит значение функции в
середине, а в правой — значения функции на концах того же
отрезка. Можно доказать также, что аналогичное неравенство
(неравенство Иенсена) выполняется для произвольного числа
8* 227

точек и поместить в них произвольные положитель*
ные массы, то центр масс системы N выбранных
материальных точек всегда будет находиться под кривой,
а это означает, что
В конце занятий лектор сообщил нам, что формулу
Винер вывел в 1948 г. независимо от Шеннона. О;фако
еще в прошлом веке эта формула встречалась в
работах Больцмана, поэтому ее часто называют формулой
Болъцмана — Шеннона. Больцман пришел к ней,
занимаясь совсем другой задачей: опередив Шеннона
более чем на полстолетия, он вывел ее как формулу
для энтропии, когда занимался проблемами
статистической физики. Больцман показал, что если в газе,
состоящем из большого числа молекул, вероятности
состояний отдельных молекул равны р\, р2, • ••, р#*
то энтропия системы определяется соотношением
где с — некоторая постоянная. (В статистической
механике используют не двоичные, а натуральные
логарифмы, но это различие не имеет особого значения,
поскольку логарифмы по одному основанию отли*
чаются от логарифмов по другому основанию только
постоянным множителем.) Энтропия физической
системы, как известно, служит мерой неупорядоченности
системы. Следовательно, можно считать, что энтропия
системы является мерой неопределенности состояния
молекул, образующих систему.
точек fli, Дг, ..., ап и произвольных масс (а не только для
равных масс, равных */г» сосредоточенных на концах отрезка):
(a2)+ .r + pnf (an).
ред, венгерского издания.
228

Эта интерпретация позволяет весьма просто по*
нять, почему Больцман получил для энтропии такую
же формулу, какую Шеннон и Винер вывели для
информации. Действительно, если хорошенько подумать,
то станет ясно, что неопределенность есть не что иное,
как недостача информации* или отрицательная
информация. Ту же мысль можно выразить иначе:
информация есть не что иное, как убыль неопределенности.
До наблюдения случайной величины g мы пребываем
в полной неопределенности относительно того, какое
из своих значений она может принять. После того как
наблюдение произведено, неопределенность
устраняется. Как было показано, наблюдение случайной
величины g содержит НA) битов информации;
поскольку эта информация позволила избавиться от
неопределенности, существовавшей до наблюдения,
естественно принять число Я(|) за меру этой
неопределенности. Таким образом, #(£) можно рассматривать
относительно значения, принимаемого величиной g, и
как меру неопределенности, существовавшей до
наблюдения случайной величины g. Эту меру
неопределенности и принято называть энтропией. Итак,
формула Шеннона допускает следующую интерпретацию.
Если случайная величина g принимает значения
xt,X2, ».., xn с вероятностями рир2у ..., Pn, to
энтропию величины § (то есть меры неопределенности
существовавшей до наблюдения величины g), которую
мы обозначим #(g), можно вычислить по формуле
N
Кто-то из студентов спросил у лектора, почему
энтропию, или информацию, обозначили буквой Я.
Лектор ответил, что это обозначение ввел Больцман,-оно
• Знак J^ (сумма) означает, что в стоящем рядом с ним
выражении индексу k нужно придать значения 1, 2, ..., N, а
все полученные члены просуммироватК-Таким образом, в правой
части равенства в сокращенном виде записана сумма
bPl0g + +Pl0gr
*—Прим, ред. венгерского издания*
229

привилось и стало традиционным. Затем он обратил
наше внимание на то, что энтропия #(£) случайной
величины | (или, что то же, количество информации,
содержащееся в наблюдении случайной величины £)
не зависит от £, то есть от чисел х\, х2, ..., xN (о
которых достаточно знать, что они различны), а
определяется лишь вероятностями р\, рг, -^ Рлг, с которыми
g принимает свои значения. Следовательно, если f(x) —
любая функция, принимающая в точках х\9 х2, ••., хн
различные значения, то энтропия случайной величины
РИС. 1.
f(g) будет такой же, как энтропия случайной
величины g, то есть #[/(g) ] = #(£). Пользуясь
выпуклостью функции xlog2*, мы показали, что если
функция f(x) принимает в точках х\, дгг, ..., хы не только
различные значения, то Н [/(£)] < Я(£), то есть в этом
случае значение случайной величины /(£) обладает
меньшей неопределенностью, чем значение случайной
величины g: Аддитивность информации, ранее
доказанную при помощи формулы Хартли, теперь удалось
распространить на общий случай. В своем
обобщенном виде этот закон формулируется следующим
образом: если g и г\ — независимые случайные величины,
то количество информации, содержащееся в
совместном наблюдении величин £ и т) — обозначим его
Н(A,г\))у — равно сумме количеств информации,
содержащихся в наблюдениях каждой из величин g и ц
в отдельности, то есть Н(Ц, л)) = Я(|) + #(т]). Это
соотношение следует из основного свойства
логарифмической функции. Действительно, если случайная ве-
230

личина I принимает значения Xk (k = 1, 2, *, •, N)i с
вероятностями р&, а случайная величина ц принимает
значения /// (/=1,2, ..., М) с вероятностями q/, то
пара величин ($, г)) принимает пары значений (Xk>yj)
с вероятностями pkqj. Используя соотношения 2р# = 1,
= 1, получаем
N М
N М
/ 4=1
«Я F) +Я (л).
Если бы мне вздумалось позлословить, то я бы
сказал, что вторая лекция прошла под девизом «посеять
сомнение в истинности того, о чем говорилось на
первой лекции». Разумеется, это было бы
преувеличением: в действительности на второй лекции мы лишь
уточнили, о чем на первой лекции узнали только в
общих чертах. Насколько я могу судить, наш лектор
придерживается метода, состоящего в постепенном
разъяснении сложных понятий. Стремясь выделить
главное, он на первом этапе умышленно опускает
второстепенные детали и лишь после того, как мы
освоимся с новым понятием, устраняет неточности,
допущенные при первоначальном ознакомлении, и вносит
необходимые дополнения. Такой подход к
формированию понятий напоминает работу ваятеля над статуей
из мрамора или дерева. Сначала он лишь намечает
контуры фигуры и уже затем приступает к проработке
деталей. Такой метод (хотя он и необычен) обладает
неоспоримыми преимуществами, главное из которых
состоит в том, что он приучает аудиторию мыслить
самостоятельно, критически. Разумеется, вести конспект
лекций при таком способе изложения весьма непросто,
231

поскольку в записи, сделанные на одной лекции,
постоянно требуется вносить исправления и дополнения
на основе последующих лекций. Если бы я вел
обычный конспект (записывая только определения,
теоремы и доказательства), то мне пришлось бы довольно
туго, но поскольку я с самого начала решил вести
дневник, то не испытываю никаких затруднений.
Поэтому я очень рад, что вздумал вести дневник.
Посмотрим, что из сказанного на первой лекции
нуждается в исправлении и уточнении. Прежде всего
необходимо внести коррективы в утверждение о том,
что всякий ответ «да» или «нет» (кодовый знак,
который может быть, например, только нулем или
единицей) всегда содержит один бит информации. Из
сказанного на второй лекции для частного случая
N = 2 мы заключаем, что это утверждение надлежит
видоизменить следующим образом: кодовый знак,
который может принимать лишь два значения, содержит
один бит информации только тогда, когда оба его
значения равновероятны (то есть вероятность каждого из
них равна 7г), а во всех остальных случаях
количество информации, содержащейся в таком знаке,
меньше одного бита. Точнее, если в игре «Бар-Кохба» мы
задали вопрос, на который с вероятностью р
последует утвердительный ответ и с вероятностью 1—р —
отрицательный ответ, то, как нетрудно усмотреть из
формулы Шеннона, ответ на такой вопрос содержит
h(p) = p\og2 — + A — p)log2—— битов
информации. Я построил график функции h(p) (рис. 1). В
точке р = 72 (и только в этой точке) функция h(p)
достигает значения, равного единице. Во всех остальных
точках ее значения меньше единицы. График функции
h(p) симметричен относительно прямой, проходящей
через точку р = 1/2 перпендикулярно к оси р:
действительно, из выражения для h(p) видно, что А(р) =
= ЛA—р) и, следовательно, ЛGг + x)=h(l/2 — х)
при 0 ^ х ^ 7г. Разумеется, симметрию функции Л(р)!
можно было бы предвидеть заранее: ясно, что если
предполагаемый ответ оценивать по количеству
содержащейся в нем информации, то безразлично, будет ли
вероятность утвердительного ответа равна р, а
отрицательного равна 1 — р или, наоборот, вероятность
232

утвердительного ответа равна I—*р, а вероятность
отрицательного равна р. Например, если кто-нибудь
бросит игральную кость, а я спрошу, не выпала ли
шестерка, то ответ будет содержать не целый бит, а
лишь
бита информации, поскольку вероятность
утвердительного ответа равна x/q.
Другой пример —шутка нашего лектора. Если я
спрошу у девушки, согласна ли она стать моей женой,
то количество информации в ее ответе будет зависеть
от того, сколь велика вероятность получить
утвердительный ответ. Если эта вероятность очень мала или,
наоборот, близка к единице, то ответ будет нести в
себе мало информации, поскольку я почти наверняка
получу тот ответ, который рассчитывал получить-
Дойдя в своих рассуждениях до этого места, я с
необычайной отчетливостью осознал замечание лектора
о том, что если случайная переменная % принимает
свои значения с различными вероятностями, то при
отгадывании значения вопрос следует задавать так,
чтобы вероятность утвердительного ответа как можно
меньше отличалась от 1/2, — тогда ответ будет
содержать наибольшее количество информации. Все это
лектор мог бы объяснить нам и сам, но, по-видимому,
он счел за благо предоставить нам докопаться до сути
дела самостоятельно. Теперь для меня не составляет
труда вычислить, сколько информации мы получаем в
игре «Бар-Кохба» при неудачном выборе вопросов.
Например, если мне нужно отгадать одно из первых
восьми натуральных чисел и в начале игры каждое из
них равновероятно, то есть может быть задумано с
вероятностью 7в, то, задавая свой первый вопрос, я
спрошу, находится ли задуманное число среди чисел
1, 2, 3 и 4. Поскольку вероятность утвердительного
ответа равна У2, то я получу ровно один бит
информации. Затем я спрошу (и это будет мой второй вопрос),
находится ли задуманное число среди чисел 1, 5, 6 и 7,
Если ответ на первый вопрос был утвердительным, то
с (условной) вероятностью lU я получу
утвердительный ответ и на второй вопрос, а если ответ на первый
233

вопрос был отрицательным, то (условная)
вероятность утвердительного ответа на второй вопрос равна
3Д. В обоих случаях полученный ответ на второй
вопрос содержит лишь h({U) = 0,83653 бита новой
информации, то есть в 1 бите информации,
содержащейся в ответе на второй вопрос, на долю новой
информации приходится лишь 0,83653 бита, а остальные
0,16347 бита составляет уже известная информация.
Тщательно продумав еще раз задачу об
определении фальшивой монеты, я понял, почему нам всего
лишь за 3 взвешивания удалось установить, какая из
27 монет легче остальных: «тактика» взвешивания
была выбрана с таким расчетом, чтобы возможные
исходы взвешиваний были равновероятны.
Действительно, в противном случае хоти взвешивание и имело
бы три возможных исхода, но одно взвешивание
давало бы менее log2 3 битов информации. Например,
если бы фальшивую монету нужно было обнаружить
среди 25, а не 27 монет и на чашки весов мы
положили по 8 монет, то вероятности трех возможных
исходов взвешивания были бы равны 8/г5> 8/25> 9/25.
Следовательно, по формуле Шеннона одно взвешивание
давало бы не Iog23 = 1,58496 бита, а несколько
меньшее количество информации, равное
2 • -klo& it + ilog2 т"= 1 >58269
бита. ; .
Немало пришлось мне поломать голову над тем,
что, собственно, означает возможность
интерпретировать информацию как убыль неопределенности.
Приступая к игре «Бар-Кохба», я нахожусь в полной
неопределенности относительно того, что задумал мой
партнер. По мере поступления информации,
извлекаемой из полученных ответов, эта неопределенность
убывает и в тот момент, когда я отгадываю
задуманное, полностью исчезает. Если в начале игры
неопределенность составляла В битов, то, после того как я
получил х битов информации, оставшаяся
неопределенность оценивается в В — х битов.
Следовательно, в ходе игры суммач
неопределенности, оставшейся относительно задуманного, и
полученной информации постоянна (не зависит от того, в ка-
234 ;

кой момент времени ее рассматривать), поскольку
х + (В — х) = В. Эта зависимость -показалась мне
очень знакомой, я был уверен, что где-то мне_уже
доводилось встречаться с аналогичным соотношением.
После некоторых размышлений^ вспомнил, что имел
в виду закон сохранения энергии: сумма кинетической
и потенциальной энергии падающего тела постоянна.
Покоясь на крыше дома, кирпич обладает лишь
потенциальной энергией, а его кинетическая энергия равна
нулю. Когда же кирпич начинает падать, то его
кинетическая энергия возрастает, но так, что сумма
потенциальной и кинетической энергии на протяжении
всего падения остается постоянной. Это сравнение
навело меня на новую мысль, которая сильно
взволновала меня: мне кажется, что между понятиями
информации и энергии имеется определенное сходство,
аналогия. Но это еще не все: по-видимому, должно
существовать нечто вроде закона сохранения информации.
Действительно, подмеченную мною зависимость
между неопределенностью и количеством полученной
информации можно словесно выразить следующим
образом: в любой момент времени в ходе игры «Бар-Кох-
ба» сумма уже полученной и еще недостающей
информации постоянна. На следующем же занятии
непременно спрошу у "лектора, правильно ли мне
удалось заметить определенные параллели между
понятиями информации и энергии.
Сходство между этими понятиями я усматриваю
еще в одном пункте: имеется определенная аналогия
между преобразованием энергии (например,
преобразованием электрической энергии в механическую) и
кодированием информации. Например, когда
телевизионные камеры кодируют информацию, превращая
изображение в электромагнитные волны, а те
переносят информацию к телевизионным приемникам, где
она вновь преобразуется в изображение, то это очень
напоминает преобразование механической энергии в
электрическую* которое происходит в динамо-машине,
последующую передачу электрической энергии по
проводам и обратное преобразование электрической
энергии в механическую, происходящее в электромоторе.
Чувствую, что между понятиями энергии и
информации существует глубокая связь. С нетерпением жду
235

следующую лекцию, чтобы выяснить у нашего препо*
давателя, насколько верна моя догадка.
ЛЕКЦИЯ ТРЕТЬЯ
Сегодня мы впервые узнали, что такое условная
энтропия (или условная информация). Пусть В —
случайное событие, происходящее с положительной
вероятностью, а |-г случайная величина, принимающая
значения х\, Х2, * *., xn (о которых известно лишь, что
они различны). Обозначим через Ak событие £ = Xft
\(k = 1,2, * *., N). Тогда по определению условной
энтропией величины | при условии В называется
энтропия случайной величины ^вычисленная по
распределению условных вероятностей в предположении, что
событие В произошло, то есть величина
в1. A)
где P(Ak\B) — условная вероятность события Аи при
условии В, то есть
Р (Ak I В) — р ^
(событие AkB означает, что событие Ak происходит
вместе с событием В). Пусть х\ — другая случайная
величина, принимающая значения у\, г/2, **., ум, а
В — событие ц =— у/ (/ = 1, 2, ..., М). Тогда условной
энтрбпией случайной величины | при заданном
значении случайной величины г\ называется величина
Ят,E), совпадающая по определению с
математическим ожиданием величины Яв/(^), то есть величина
B)
Выясним, на сколько убывает энтропия случайной
величины g (то есть неопределенность значения
величины g) при наблюдении случайной величины т|.
Величину убыли, которую мы обозначим 7(|, т|), можно
понимать как количество информации о случайной ве«
236

личине g, полученной при наблюдении случайной ве«
личины т]. По определению
Воспользуемся тождеством \, Р {AkBt) = P (Ak) (оно
выполняется, поскольку события AkB\, AkB2, *** ,АкВм
взаимно исключают одно другое, и если происходит
событие Ak, то происходит и какое-то из событий
AkBj, причем ровно одно) и получим, что
Р{АкВ;)
Относительно величины 7(g, г))' можно утверждать
следующее.
а) Величина 7(g, ц) всегда неотрицательна и
обращается в 0 лишь в том случае, если £ и ц независимы.
(Это следует из выпуклости функции log2 —. ) Итак,
если £• и т) независимы, то наблюдение случайной
величины ц не дает никакого выигрыша в информации
относительно случайной величины .£. В связи с этим
лектор в шутку заметил, что из сказанного мы можем
извлечь для себя успокоительный вывод: чему бы нас
ни учили в университете, от этого мы можем только
поумнеть, но никак не поглупеть, поскольку в худшем
случае информация от изучения чего угодно может
быть только нулевой.
б) Справедливо неравенство /(£, ti)< #(£)',
причем равенство в нем достигается в том и только в jom
случае, если g = f (ц), то есть если значения случайной
величины г] однозначно определяют значения
случайной величины I. Действительно, в этом случае
наблюдение случайной величины ц позволяет точно
установить значение случайной величины, то есть получить
полную информацию относительно g. Иначе говоря,
наблюдение случайной величины г\ позволяет
полностью устранить всю неопределенность #(g)^ относи-
237

тельно случайной величины g. В частности, при ц = g
получаем /(g, g) = Я(|).
в) Величина /(g, rj) симметрична: /(g, r|) == I(rj, g),
то есть наблюдение случайной величины rj позволяет
получить точно такое же количество информации
относительно случайной величины g, какое наблюдение
случайной величины g дает относительно случайной
величины ц. Именно поэтому величину /(£, л) принято
называть взаимной информацией случайуых величин
I и т|.
По этому поводу лектор сделал одно весьма
интересное и принципиально важное замечание. Он сказал,
что равенство /(£, rj) = / (r|, g) имеет более глубокую
причину, а именно: если мы рассматриваем две
случайные величины, в определенной мере зависящие
друг от друга, то средства теории информации не
позволяют определить, какая из них играет роль
причины и какая — следствия. Единственное, что в наших
силах, — это установить, насколько тесна связь между
двумя случайными величинами. Пусть, например, ц
означает уровень воды в Дунае в окрестностях
Будапешта, а £ — количество осадков, выпавших в
Баварии за две недели до измерения уровня. Ясно, что
хотя и g, и г) — случайные величины, между ними
существует определенная зависимость: если в Баварии
пройдут обильные дожди, то уровень воды в Дунае
в окрестностях Будапешта от этого поднимется. Эта
связь носит причинно-следственный характер,
поскольку ясно, что именно дожди в Баварии
обусловливают высокий уровень воды в Дунае в окрестностях
Будапешта, а не наоборот. В то же время речь не идет
о функциональной зависимости, так как уровень воды
в Дунае в окрестностях Будапешта зависит от
множества других факторов (от количества осадков,
выпавших в Австрии, Словакии, Задунайском крае
и т.д.), хотя зависимость между g и rj довольно
однозначна. Разумеется, наблюдение случайной величины
g дает кое-какую не пренебрежимо малую инфрома-
цию относительно rj и наоборот, но "поскольку оба
количества информации равны, то на оснований
только этого факта нельзя сделать вывода о
существовании причинно-следственной связи между g и ц. '
238

Тем, кто не боится сложных расчетов, лектор
предложил следующую задачу. Предположим, что из
партии в N деталей, изготовленных на конвейере, для
выборочного контроля изъяты п деталей. Обозначим
через | процент брака во всей партии, а через т) —-
процент брака в выборке. Вычислим, сколько
информации относительно \ дает наблюдение случайной
величины т^Это позволит нам дать обоснованные реко-
мендацииГотносительно объема выборки при
статистическом контроле за качеством продукции,
позволяющей судить о проценте брака во всей партии.
На лекции мы рассмотрели следующий пример.
В первой из двух урн находятся а красных и Ъ белых
шаров, во второй — Ь красных и а белых шаров.
Внешне обе урны одинаковы и неотличимы. Выберем одну
из урн и вытянем из нее шар. Пусть \ = 1 означает,
что мьизыбрали первую урну, а 1 = 2 — что наш
выбор пал на вторую урну. Положим г\ = 1, если
извлеченный из урны шар красный, и т] = 2, если он белый.
Требуется вычислить /(g, rj), то есть определить,
сколько информации, сообщает нам цвет извлеченного
из урны шара о том, из какой урны был вытянут шар.
Пусть А\ означает событие g— I, А2— событие g = 2,
Bi — событие т] = 1 и В2 — событие ц = 2. Тогда
2)= 2(a+b).
(A2Bl)= 2{ab+b)
и, следовательно,
+ *тт-**7?г-'-*Gтт;)-
Например, при а = 1, Ъ = 3 получаем
/(|, л)= 1 — Л (-^) = 0,16347,
а при а = 1, ft = 7
/(I, 'П)= 1 —Л (у) =0,4564.
239

Наоборот, если а = Ь, то /(£, т})=0. В этом случае
g и г) независимы. Полученный нами результат можно
сформулировать следующим образом: наблюдение
случайной величины ц позволяет получить тем
большую долю недостающего бита информации
относительно £, чем больше дробь а/{а:\-Ь) отличается
от 7г.
Затем мы узнали о совершенно ином пути, также
приводящем к понятиям энтропии и взаимной
информации. Каждому случайному событию А поставим в
соответствие число V(A)— неожиданность события А.
Предположим, что V(A) обладает следующими оче-
видными свойствами/
1. Число V(A) зависит только от вероятности
Р(А) события Л, функцией которой оно является, то
есть
: V(A) = f[P(A)]9 E)
где /(л:)'—монотонно убывающая функция (чем
меньше вероятность события, тем неожиданнее оно
происходит) .
2. Если А и В — независимые события, то
неожиданность их совместного наступления равна сумме
неожиданностей каждого из двух событий.
Следовательно, если АВ — событие, состоящее в том, что события
А и В происходят вместе, то
V(AB)=V(A) + V(B). F)
3. За единицу неожиданности примем
неожиданность события, происходящего с вероятностью 7г
(например, бросание нефальшивой монеты), то есть
Кг)-1-
Все три условия оказываются соблюденными, если
(8)
Воспользуемся тем, что логарифмическая функция
выделяется среди всех монотонных функций
следующим отличительным свойством: логарифм
произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
Нетрудно видеть, Что все другие функции, кроме
логарифмической, не обладают тремя свойствами E), F) и G).
Итак, по определению неожиданность случайного
события А задается формулой (8).
240

Энтропию случайной величины (принимающей
конечное число значений) можно теперь определить как
математическое ожидание неожиданности значения,
принятого этой случайной величиной. Если случайная
величина £ принимает (различйые) значения х\, л;2, ..*
..., хы с вероятностями pi, р2, ..., Рлг, то пусть Ак~>
событие, состоящее в том, что \ = Xk (k = 1, 2,..., N)<
Так как неожиданность события Л* равна Iog2(l/p&)
и рл — вероятность того же события, то энтропия слу-
чайной величины g равна
#(g) = Pilog2-~ + p2log24-+ ••• +Ptflog2-~-. (9)
Р\ Р2 Pn
Так мы другим путем снова пришли к формуле
Шеннона. Но этот же путь приводит и к понятию
взаимной информации.
Пусть А и В — произвольные случайные события,
находящиеся в одинаковом отношении к
производимому нами испытанию. Если мы наблюдаем
наступление события В, то наше наблюдение изменяет
неожиданность события Л. Первоначально
неожиданность события А была равна Iog2(l/P^)), но после
наблюдения события А вероятность события В
изменилась и стала равной условной вероятности
Р(А\В)— Р(АВ)/Р(В). Следовательно, новое
значение (условной) неожиданности события А будет
равно log2*(l/P(i4B)). Итак, обозначив изменение
неожиданности события А, вызванное наблюдением
события В> через V{A, В), получим
Величина V(A,B) положительна при Р(АВ)>]
г> Р(А)Р(В)У отрицательна при Р(АВ) < Р{А)Р(В)
и равна нулю при Р(АВ) = Р(А)Р(В), то есть если
события А и В независимы. Значит, если события А и
В независимы, то неожиданность события А не
изменяется при наблюдении события В. Если же события
Л и В не являются независимыми, то наблюдение
события В уменьшает или увеличивает неожиданность
события Л в зависимости от того, какое из чисел
Р(АВ) или Р(А)Р(В) больше.
241

Пусть теперь £ и ц — две случайные величины, g
принимает значения хи *2» • • •, jcjv, г] — значения
У\, У2, • •., J/м. Обозначим через Аи событие, состоящее
в том, что \ = хи (k*=l, 2, ..., N)y и через Bj
событие, состоящее в том, что r\ = yj (/=1, 2, ..., ЛГ).
Выясним, как изменяется в среднем неожиданность
значения, принимаемого £, при наблюдении значения,
принимаемого т), то есть вычислим математическое
ожидание величины V(Ak, В/). Проделав
необходимые выкладки, получим
N М
Итак, мы получили следующий результат:
взаимную информацию Щу ц) можно определить как
математическое ожидание изменения внезапности
значения случайной величины |, вызванное наблюдением
случайной величины ц. Эквивалентность двух
определений взаимной информации /(£, ц) можно выразить
следующим образом: уменьшение определенности
значения случайной величины £, вызванное наблюдением
случайной величины г\, совпадает с математическим
ожиданием изменения неожиданности значения,
принимаемого g, которое вызвано наблюдением случай-
ной величины ц.
В конце лекции я задал лектору мучивший меня
вопрос о том, верно ли, что между понятиями
информации и энергии существует определенная аналогия.
Лектор очень обрадовался моему вопросу и сказал,
что такая аналогия действительно существует и он
намеревался рассказать о ней на одной из
последующих лекций, но поскольку я додумался сам, то было
бы неплохо, если бы я выступил с небольшим
докладом на эту тему, и-даже пообещал подобрать
литературу. Словом, я забил мяч в собственные ворота.
Впрочем, сожалений я не испытываю, поскольку сама
по себе проблема взаимосвязи между понятиями
информации и энергии меня живо интересует.'Правда,
242

вопрос этот скорее философский, чем математический,
но меня всегда интересовали философские проблемы,
связанные с математикой.
Последняя лекция заставила меня призадуматься
над тем, какие различия существуют между
понятиями неопределенности и неожиданности и как связаны
между собой эти два понятия. Я считаю, что лектор
не уделил должного внимания логическим
трудностям, возникающим в связи с этим кругом вопросов,
хотя и упомянул о них вскользь. Должно быть, эти
понятия стали для него настолько привычными, что он
просто не замечает тех трудностей, с которыми мы
сталкиваемся, когда встречаемся с ними впервые. Мне
пришлось изрядно поломать голову, пока я докопался
до истины. Прежде всего'необходимо отчетливо созна- .
вать, что понятия неопределенности и неожиданности
относятся, по существу, к различным сторонам дела
и имеют под собой различную основу: неожиданным
может быть случайное событие, неопределенной —
случайная величина. Чтобы продемонстрировать
различие между неожиданным и неопределенным
наиболее ярко, рассмотрим вместе со случайным событием
А случайную величину а, значение которой зависит
лишь от того, произошло событие А или не
произошло. Пусть а = 1, если событие Л произошло, и а = О,
если событие А не произошло. (Иначе говоря,
случайная величина а служит своего рода индикатором
события А.) Обозначим вероятность события А через
Р(А) = р. Тогда неожиданность события А
определяется величиной V (А) = v (р) = log2 —» а
неопределенность (энтропия) индикатора а события А —
величиной h(p) = plog2 h A •— р) log2 \ —р • СУТЬ дела
станет ясной, если построить на одном чертеже
графики функций v{p) и h(p) (рис 2). Как видно из
рис. 2, аначения функций h(p) и v(p) совпадают лишь
при значениях р, равных г/2 и 1: если р = 1/2, то
h(p)= v{p)= 1, а если р = 1, то ft(p) =и(р)= 0.
Когда значение р стремится к нулю, функция h(p)
также стремится к нулю, а функция v (p) неогранй*
ченно возрастает. .Возникающую при этом ситуацию
243

лучше всяких слов описывает соотношение )
= pv(p) + (\—p)v{\—р), допускающее следующую
интерпретацию: неопределенность случайной
величины а относительно событий А и Л (то есть событий
у(р)
1
РИС. 2.
а = 1 и а = 0) есть среднее взвешенное неожиданно*
стей этих событий с весами, равными их
вероятностям. Неопределенность случайной величины а
максимальна при р = Уг- Что же касается неожиданности
события Л, то она становится тем больше, чем меньше
его вероятность р.
Сравним теперь уменьшение неопределенности
с изменением неожиданности. Кратко ситуацию здесь
можно охарактеризовать следующим образом. При
наблюдении одной случайной величины
неопределенность (энтропия) другой случайной величины всегда
убывает или остается неизменной — последнее в том
случае, если две случайные величины независимы*
В отличие от этого при наблюдении одного события
неожиданность другого события может убывать,
возрастать и оставаться прежней —* последнее только в
244

том случае, если два события независимы.
Уменьшение неопределенности всегда можно понимать как
информацию. Что же касается изменения
неожиданности, то оно информацией не является и только
математическое ожидание этой величины можно
интерпретировать как количество информации, да и то
лишь потому, что оно равно уменьшению
неопределенности. Поразмыслил я и над тем, какую
«размерность» имеет неожиданность, или, иначе говоря,
можно ли выражать неожиданность в битах. Я считаю,
что с чисто математической точки зрения это вполне
допустимо, но если ^говорить о существе дела, то
было бы неправильно приписывать «размерность»
неожиданности информации, поскольку это означало
бы, будто с изменением неожиданности мы
обращаемся как с количеством информации, что неверно!
!(Рассматривать изменение неожиданности как
информации недопустимо хотя бы потому, что при
таком подходе, производя наблюдения, мы получаля
бы в некоторых случаях отрицательную информацию,
а это абсурдно!) Разумеется, неожиданность можно
было, бы измерять в каких-нибудь новых единицах и
придумать для них специальное название, но я не
вижу в этом никакой необходимости: нам и не нужно
указывать «размерность» неожиданности, достаточно
уметь оценивать ее числом.
Шутливое замечание лектора о неравенстве
7E, т])^0 (из которого якобы следует, что от всего,
чему учат в университете, вреда не будет, а в
худшем случае просто не будет пользы) также дало мне
пищу для размышлений. Разумеется, можно было бы
возразить в ответ, что если человек успевает
продумывать услышанное на лекции или вычитанное из
учебника, то это идет ему на пользу, а от
бессмысленной зубрежки он только тупеет. Не берусь
утверждать, что подготовка к экзаменам не сказывается
пагубно на умственных способностях студентов. В
последнее время много говорилось о необходимости
сократить число экзаменов. Думаю, что основная беда
все же не в числе, а в характере экзаменов. На мой
взгляд, экзамены должны быть не отчетом студентов
о том, что они успели наспех выучить в последние
дни перед экзаменом и что затем почти бесследно из-
245

гладится из их памяти при подготовке к очередному
экзамену, а проверкой умения мыслить
самостоятельно и выявления той части знаний, которая навсегда
запечатлена в сознании экзаменуемого. Нужно ли
говорить, что экзамены подобного типа еще не
разработаны. Не исключено также, что мои мечты просто
несбыточны. Может быть, хотя бы теория
информации способна помочь в решении этого наболевшего
вопроса? Ведь, по существу, речь идет именно об
информации: во время экзамена преподаватель
должен выяснить, каким количеством информации об
изучаемом предмете располагает студент.
- Недавно мы договаривались с профессором о
времени сдачи экзамена, он обронил замечание о том,
что, по его мнению, наша система университетского
образования страдает от чрезмерного «экзаменоцент-
ризма» и что это нелепо. В подтверждение своих слов
он рассказал нам анекдот о гениальном норвежском
математике Нильсе Хенрике Абеле, который в юные
годы приехал в Берлин, чтобы продолжить свое
образование. Немецкий он знал весьма слабо и, передавая
профессору Креллю рекомендательное письмо от своих
норвежских учителей, с трудом смог выдавить из себя
несколько приличествующих случаю слов. Не
разобрав сказанного, Крелль решил, что Абель жаждет
расспросить его о предстоящих экзаменах, и начал
подробно объяснять, какие предметы и в какие сроки
надлежит сдать гостю из Норвегии. Абель, имевший
к тому времени в портфеле законченную научную
работу, содержавшую множество новых значительных
результатов, некоторое время почтительно слушал
хозяина дома, но потом, не выдержав, прервал его и
воскликнул на ломаном немецком: «Нет, господин
профессор, никаких экзаменов, только математика!» Наш
профессор добавил, что, по его наблюдениям,
современные студенты напрочь лишены этого духа. Должен
признать, что он прав: психология большинства
студентов действительно проникнута экзаменоцентриз-
мом. Однако мне кажется, что повинны в этом не
только студенты: корень ошибки надлежит искать в
самой системе современного университетского
образования. Экзаменоцентризм исходит от университета, а
мы лишь подпадаем под его влияние. Все существую-
246

щие.ныне оценки качества работы молодежных
организаций целиком и полностью зависят от
успеваемости студентов. Необходимы перемены. Если говорить
о студентах-математиках, то положение можно было
бы исправить, оценивая их работу в учебном году не
по результатам сдачи экзаменов, а по выступлениям
на семинарах, письменным работам и
самостоятельно выполненным заданиям .по решению задач.
Математикам такая система подошла бы как нельзя
лучше, но, разумеется, я не уверен, была бы она столь же
пригодна для других специальностей. Впрочем, откуда
следует, что надо искать единственное решение
проблемы для студентов всех специальностей? Не
исключено, что именно стремление к унификации является
источником всех бед. Проблемы в различных
областях знания ставятся по-разному, и подходить к их
решению также следует по-разному.
Можно ли оценивать трудность экзамена по тому,
сколько типов информации необходимо знать
студенту для успешной сдачи? В общеобразовательных
дисциплинах такой подход не лишен смысла, но, если
говорить о его применимости к математике, то он
абсурден, поскольку в математике одно следует из
другого и тот, кто досконально разобрался в основах, в
принципе знает или мог бы знать все. Разве все
результаты математической теории не таятся, как в
зародыше, в ее исходных аксиомах? Впрочем, так ли
это? Тут есть над чем поразмыслить.
Но вернемся к неравенству /(£, ц)^0. Судя по
отдельным замечаниям при обсуждении этого
неравенства, наш профессор прослышал о спорах,
разыгравшихся в последние недели на нашем курсе: учат
ли нас тому, что больше всего понадобится в работе
по окончании университета. Многие из моих сокурс-*
ников испытывают серьезные сомнения по этому
поводу. Споры идут лишь о том, какие предметы в
программе излишни, поскольку каждый считает важным
тот предмет, который ему интересен и нравится, и
ненужным— предмет, менее интересный или же
дающийся с трудом. В итоге, о каком бы предмете ни
заходила речь, у него всегда находятся и сторонники,
и противники. Что касается меня, то я решительно не
приемлю подобной «критики» учебного "плана и счи-
247

таю ее в корне ошибочной. Наведя справки о том, ка«
кие распределения получили выпускники прошлых
лет, я со всей очевидностью понял, что каждого из нас
ожидает свое назначение со специфическими
обязанностями и что предвидеть заранее, какие
специальные знания понадобятся нам по окончании
университета, просто невозможно. Отсюда следует
непреложный вывод: университет не в состоянии научить
каждого из нас именно тому, что потребуется для
успешной работы: куда бы нас ни направили по
распределению, нам обязательно придется самостоятельно
пополнять свои знания. Из всего этого можно
заключить, что при оценке изучаемых в университете
предметов необходимо учитывать, сколь прочную основу
они закладывают для последующего самообразования.
На мой взгляд полезно не только знание
определенных фактов: не меньшее значение имеют
вырабатываемые за годы учения особый склад ума и навыки
мышления. Я убежден, что не существует
сколько-нибудь обоснованного критерия, позволяющего заранее
судить о степени пригодности того или иного
предмета, о котором зачастую нам извест/но лишь его
названия, для работы после окончания университета, и
поэтому считаю все наши неумолчные споры о том, что
следует и что не следует изучать в университете,
бесплодными. Должен признаться, что поначалу к
высказанным мной взглядам однокурсники отнеслись без
особого энтузиазма. Доводы моих оппонентов
сводились к тому, что студентам не безразлично, как
решаются проблемы образования, и что в настоящее
время университет поощряет наше участие
(разумеется, в определенных пределах) в составлении учебных
планов. На это я ответствовал, что и не думал
отказываться от предоставляемых студентам прав, но
предлагаю пользоваться ими разумно, в пределах
нашей компетентности. Вряд ли кто-нибудь может
лучше нас судить о том, интересны ли лекции или
полезен ли практикум: интуитивно мы ощущаем,
способствует ли то, чему нас учат, нашему развитию. Не
составляет для нас труда установить, что данный
экзаменатор ставит несправедливые оценки, но для того,
чтобы мы могли вмешиваться в составление учебного
плана, нашему кругозору недостает широты* .
248

Занятую мной позицию и то, что я отнюдь не отри*
цаю право студентов судить от достоинствах и недо«
статках университетского образования, мои однокурс-
ники поняли лишь во время продолжительной
дискуссии о преподавании физики. Я подверг читавшийся
нам курс физики особенно резкой критике. Физика
меня очень интересует и, быть может, поэтому,
выступая перед студентами-математиками, я говорил не
только о недочетах в преподавании физики, но и о том,
как, на мой взгляд, ее следовало бы преподавать
математикам. Мне кажется, что большинство моих
однокурсников впали в ошибку: даже не пытаясь
представить себе, как можно было бы преподавать физику
иначе, они лишь справедливо отмечали, что от
читаемого ныне курса физики толку немного. Отсюда они
делали вывод (на мой взгляд ошибочный), будто пре<*
подавание физики для математиков следует $ппразд-<
нить за ненадобностью или по крайней мере суще**
ственно сократить число часов, отводимых по про-/
грамме для курса физики. Идеология тех, кто
придерживался такого мнения* сводилась к следующему: в
прежние времена математические методы находили
применение главным образом в физике, тогда как
теперь центр тяжести приложений математики
переместился в область экономических проблем. Хотя
подобное утверждение содержит в себе определенную
долю истины, сама по себе вся аргументация
противников преподавания физики не состоятельна: физика
и поныне остается одной *из основных областей
приложения математических методов и весьма многие
разделы современной математики (например,
функциональный анализ, теория групп, теория функций одной
и многих комплексных переменных, теория
обобщенных функций и т. д.) находят применение прежде
всего в физике. Более того, именно потребности развития
физики послужили и продолжают оставаться
стимулом для создания многих бурно развивающихся
разделов математики. Отсюда я заключаю, что число
часов, отводимое учебным планом для курса физики,
отнюдь не чрезмерно, но лекции по физике для
математиков следует читать совсем в другом духе, чем это
делается сейчас. Действительно, нам, будущим
математикам, физику преподают точно так же, как студен-
249

там-физикам, а это неверно. В лекциях по физике,
предназначенных для математиков, основной упор
надлежит делать на использование математических
методов. Думаю, что осуществить перестройку курса
физики в желательном для математиков направлении
удастся "лишь в том случае, если лекции, по физике
станут читать математики, достаточно сведущие в
физике. Это позволило бы одним ударом устранить
главную причину нашего недовольства лекциями по
физике: пренебрежительное отношение лекторов к
вопросам математической строгости. Большинство
лекторов-физиков не склонно принимать "всерьез наших
замечаний, высказанных по этому поводу, и, как
правило, ссылаются на то, что физические соображения
по своей природе не позволяют впасть в ошибку, к
которой могла бы привести некорректность в
постановке математической задачи. Нужно ли говорить, что
такое «объяснение» оставило у нас чувство
неудовлетворенности: ведь мы интересуемся в основном
применением математических методов в физике! Некоторое
время назад у меня произошло довольно сильное
столкновение с одним из преподавателей,
проводивших у нас физический практикум. Указав на
допущенную им ошибку в выкладках, я напомнил ему
положение математической логики «Из ложного
утверждения— что угодно», согласно которому из одного-
единственного ложного утверждения можно вывести
любое другое утверждение, как истинное, так и
ложное, и заметил, что после того, как он написал
заведомо-неверное равенство, ни к чему возиться с
последующими выводами.
Но вернемся к лекции по теории информации.
Я много размышлял над тем, что лектор сказал о
равенстве /(£, т]) = /(т],. £) и о направленности причинно-
следственных зависимостей. У меня создалось
впечатление, что лектор несколько упростил вопрос.
Действительно, из одного лишь равенства /(£, т]) = /(т], |)
отнюдь не следует, что величина /(£, ц) дает
представление лишь о том, насколько сильно связаны
между собой случайные4 величины g и г], но ничего не
говорит о характере зависимости между g и tj. Мне
кажется, что истинное положение дел лучше всего
поясняет следующий пример. Бросим два раза под-
250

ряд нефальшивую монету. Пусть | — исход двух
бросаний. Величина | может принимать значения 00,
ОР, РО и РР, где О — «орел», а «Р»— «решка».
Положим т] = 0, если* исходы двух бросаний одинаковы,
то есть если оба раза выпадают только орлы или
только решки, а т) = 1, если исходы двух бросаний
различны (один раз выпадает орел и один раз —
решка). Значение случайной величины g однозначно
определяет значение, принимаемое случайной
величиной г], но не наоборот, в силу чего /(£, г])= Н(х\)= 1,
в то время как/(т), 1)фНA) = 2. Следовательно, хотя
равенство /(£, т)) = /(г], £) заведомо выполняется и
в этом случае, но лишь соображения теории
информации позволяют установить, что значения случайной
величины g определяют значения случайной
величины т], но ц своими значениями не определяет
значений g (так как 1A, т)) = #-(т)), но /(л, g)^#(g)).
Таким образом, в этом примере представляется
возможным установить направленность зависимости и
рассматривать ее как причинно-следственную
зависимость (£— причина, г) — следствие). Разумеется,
положение осложняется, если ни одна из случайных
величин g и г] не является функцией другой, но
приведенный мной пример позволяет надеяться, что те же
соображения позволят в какой-то мере установить
характер зависимости между % и ц и в общем случае.
Придется спросить об этом у лектора, хотя, как это
уже неоднократно бывало и прежде, он может и сам
вернуться к этому вопросу и уточнить утверждения,
содержащиеся д сегодняшней лекции.
ЛЕКЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ
Эта лекция началась с того, на чем мы
остановились в прошлый раз, — с анализа количества
взаимной информации. Нетрудно видеть, что
/(|)Л) = Я(Е) + Я(т1)-Я(|)т1). A)
Из этого соотношения и неотрицательности взаимной
информации следует, что для любых случайных
величин | и г) выполняется неравенство
(|) + #(т]), B)
251

причем равенство имеет место в том и только в том
случае, если g и к\ — независимые случайные
величины. Преобразуем соотношение A) к виду
Я((|,ч))-Я0) + Я(л)-//F1ч)=й'(т|) + Я||(Э, A')
в котором его можно рассматривать как обобщение
закона аддитивности информации. Действительно,
соотношение A') допускает следующую интерпретацию.
Если g и г| — любые две случайные величины, то,
наблюдая их значения, мы получаем информацию,
содержащуюся частично в наблюдении величины g и
частично в наблюдении величины т|. Количество
информации, содержащееся в совместном наблюдении
двух величин, мы найдем, просуммировав количество
информации, содержащейся в наблюдении случайной
величины т|, и количество условной информации,
содержащейся в наблюдении заданного значения
случайной величины g. Иначе говоря, чтобы найти
значение #((£, г])), необходимо из суммы энтропии #(£);
и Н(ц) вычесть количество той информации, которая
входит в эту сумму дважды, то есть величину /(g~ tj).
Суть дела отчетливо видна на следующем примере.
Пусть а, C и у— независимые случайные величины,
каждая из которых принимает с вероятностью х/г знач
чения 0 и 1. Обозначим через | пару (а, Р) и через т|
пару (Р, у)'. Ясно, что наблюдение каждой из
случайных величин а, р, у содержит по одному биту
информации, а наблюдение каждой из пар g и г\ — по два
бита информации. Что же касается пары (£, х\)\ то ее
наблюдение эквивалентно наблюдению каждой из
случайных величин а, р и у (причем наблюдение
величины р производится дважды, но это детали), в силу
чего Н((£, т])) = 3. Наконец, нельзя не отметить
равенство /(£, г|) ===== 1. Действительно, произведя
наблюдение над случайной величиной g, мы устанавливаем
значения случайных величин а и Р. Определив
значение, принимаемое случайной величиной а, мы не
получаем никакой информации относительно
независимой от а случайной величины т), но найденное при
наблюдении g значение случайной величины р дает
1 бит информации из двух, поскольку из двух
случайных величин т) =^(Р, у)] остается неизвестной лишь у.

Поскольку 3 = 2 Ц- 2 — I —= 2 +I, то, как и следовало
ожидать, соотношение (V) в рассматриваемом случае
выполняется.
Затем лектор познакомил нас с новым понятием
теории информации — расстоянием между двумя
распределениями вероятностей. Пусть
& = {рир2> •••> Pn) и #г={<7ь?2» •••
— два распределения вероятностей, состоящие из од*
них и тех же положительных чисел (следовательно*
2 Pk = 2 <7а — 1 1 • Нумеруя вероятности р; и 9/, не*
трудно установить между ними взаимно-однозначное
соответствие. Расстояние от распределения $? до рас*
пределения Q в смысле теории информации (условим-'
ся обозначать его D (&>, Q)) определяется по формуле
N
Из выпуклости функции Iog2 — следует, что теоре«
тико-информационное расстояние D(^, Q) всегда
неотрицательно и обращается в нуль в том и только в
том случае, если распределения вероятностей 9* и Q
тождественны. Если же распределения $Р и Q не
тождественны, то в правую часть равенства C)
непременно входят как положительные, так и отрицательные
слагаемые, но вся сумма в целом, как мы успели
убедиться всегда положительна! Формулу, задающую
расстояние D{9>,Q), можно преобразовать к виду
D (<?, O) = YaPb О0»^-— 1°ё2 -~). C')
Соотношение (Зг) наводит на мысль о следующей
интерпретации величины D(!Py ($). Пусть события
А\у Лг, ..., AN означают взаимно исключающие
исходы некоторого опыта. Предположим, что Q —
распределение вероятности исходов этого опыта, то есть что
qk — P(Ak) {k=l, 2, ..., N), а ^ — распределение
вероятности исходов того же опыта в несколько иных
условиях. Тогда разность log2 log2 — можно
253

истолковать как изменение неожиданности события
Ak\ вызванное отходом от первоначальных условий
опыта, и, следовательно, D (!?> Q) означает не что иное,
как математическое ожидание изменения
неожиданности события Аь. При вычислении
математического ожидания каждую из величин log2 log2 —
Qk Pk
необходимо взять с весом, равным вероятности
события Ak при новых условиях проведения опыта, то есть
оперировать с новыми вероятностями pk (а не со
старыми вероятностями qk). Расстояние О(Ф, Q) можно
выразить через энтропию #(§) и взаимную
информацию /(£, ц) следующим образом. Пусть 3> —
распределение вероятности значений случайной величины £,
то есть если \ принимает значение xk с вероятностью
pki то &>={ри р2, ..., pN}y a Q — равномерное
распределение вероятности для того же числа значений,
то есть Q = {l/N, \/Ny ..., l/N]. Тогда .
' 4). D)
Из соотношения D) без труда можно было бы
установить и без того хорошо известное нам неравенство
H(l)lN
()g
Пусть теперь g и г\ — любые случайные величины,
принимающие значения Х\у Х2, ..., Хм (величина g)
и уь у«2, ..., Ум (величина г\). Обозначим через Ам
событие, состоящее в том, что £ = х* (А = 1, 2, ..., N)\
и через Bk событие т] == г// (/==1, 2, ..., М). Пусть
gi == {P (AkBj) — совместное распределение
вероятности случайных величин £ и т), а &*Q — распределение
вероятности {P(Ak)P(B})}. Нетрудно видеть, что
5Э*^2> — совместное распределение вероятности таких
случайных величин £i и Ци что распределение
вероятности для £i совпадает с распределением вероятности
для £, распределение вероятности для Ц\ — с
распределением вероятности для г] и, кроме того, случайные
величины £i и цх независимы (в отличие от случайных
величин I и т], которые в общем случ'ае не являются
независимыми). Тогда
^*С), E)
то есть взаимная информация /(£, ц) равна
расстоянию (понимаемому в смысле теории информации) от
254

распределения вероятности 91 до распределения
вероятности 3* * Q.
Затем лектор ввел еще одно новое для пас
понятие: код с переменной длиной слова. Пусть g
—случайная переменная, принимающая значения х\, х2 ...
..., xN с вероятностью р\9 р2,..., р#. Сначала мы
рассмотрели наиболее простой случай —так называемый
двоичный код, в котором | принимает лишь два
значения: 0 и 1. Закодируем значения х\,х% ..., xN
различными наборами (длина которых может
варьироваться) нулей и единиц. Если ни одно кодовое слово
не совпадает с начальным отрезком какого-нибудь
другого кодового слова, то код называется
префиксным. Префиксные коды обладают тем большим
преимуществом, что позволяют не указывать конец слова
и записывать одно кодовое слово за другим без
пробела, поскольку префиксность кода позволяет
разбить «сплошной» текст на отдельные слова одним и
только одним способом. Иначе говоря, префиксный
код допускает однозначное декодирование.
Разумеется, далеко не всякий код, допускающий однозначное
декодирование, префиксный (чтобы убедиться в этом,
достаточно рассмотреть код, состоящий из двух слов:
О и 01). В подтверждение своих слов о преимуществе
префиксных кодов лектор привел пример. Пусть | —
случайная величина, принимающая значения 0, 1,2,...
..., 9. Закодируем цифры от 0 до 9 наборами нулей
и единиц следующим образом:
0->00,
1->01,
2-М 000,
3-М 001,
4-М01,
5-М10,
6-М ПО,
7-М1110,
8-М 11 ПО,
9-М11111
Нетрудно видеть, что перед нами префиксный код.
Если кодовые слова записать без пробелов одно за
другим в произвольной последовательности (кодовое
слово может встречаться в тексте любое число раз),
255

то полученный набор знаков можно разбить на кодо«
вые слова одйим и только одним способом.
Следовательно, кодированная запись допускает однозначное
декодирование. Например, набор нулей и единиц
111010111110100000000110011111110101
допускает лишь одно разбиение на кодовые слова
1110]101I11110[1000|00|00|01|1001|111111101101
Декодировать его можно только как
64720013911.
Префиксный код называется примитивным, если
его невозможно сократить, то есть если при
вычёркивании любого знака хотя бы в одном кодовом слове
код перестает быть префиксным. Нетрудно видеть,
если код префиксный и мы выбрали любой набор из s
нулей и единиц, не входящий в число кодовых слов,
то возможно одно из двух: либо не существует
кодового слова, начальный отрезок которого совпадает с
нашим набором, либо (если такое кодовое слово
существует), приписав к концу нашего набора нуль или
единицу, мы получим какое:то кодовое слово или
начальный отрезок кодового слова. Примитивный
(двоичный) префиксный код можно изобразить в виде
особого графа — дерева, у которого из корня и любой
вершины, кроме свободных, исходят по две ветви. Если
мы условимся всегда сопоставлять левой ветви нуль,
а правой единицу, то каждой свободной вершине
дерева будет однозначно соответствовать некий набор
нулей и единиц, показывающий, в какой
последовательности нужно сворачивать направо и налево,
добираясь до этой вершины из корня дерева. Итак,
предложенный нами способ кодирования позволяет
каждой свободной вершине дерева поставить в
соответствие определенное кодовое слово. Построенный граф
называется деревом кода. Например, Примитивному
префиксному коду, рассмотренному на этой лекции,
соответствует дерево, изображенное на рис. 3.
Пусть Nk — число кодовых &-значных слов в
примитивном префиксном коде. Если г — число
знаков в самом длинном кодовом слове,' то справедливо
тождество
256

В рассмотренном нами примере
поэтому
2* ""^ 22 ""^ 23 ""^ 2* ""^ 25 ""^ 26
-i + i + i + i + i
"~~ 22 23 24 25 26 """
— 1 4-1 4- JL -f 1 _ 16 + 8 + 6+1 + 1 _t
2 ^ 4 "r 16 ^ 32 32 ~ *
В общем случае тождество F) можно доказать,
рассуждая следующим образом. Возьмем любой при*
wno mm
11110
woo 1001 1110
Корень
РИС 3.
митивный префиксный код и начертим
соответствующее ему дерево. Представим себе, что на это дерево
взбирается обезьяна. Начав с корня, она с
вероятностью 1/2 выбирает любую из двух исходящих из него
ветвей. Добравшись до очередной развилки, она с
вероятностью 1/2 продолжает двигаться по правой ее
9 Зак, 40f 257

ветви и с вероятностью *Д отдает предпочтение левой'
ветви. Достигнув свободной вершины (то есть
добравшись до конца ветви), обезьяна останавливается. Ясно,
что до всех свободных вершин, которым соответствуют
&-значные кодовые слова (отстоящих от корня на
расстояние k «переходов»), обезьяна доберется с
вероятностью 1/2*, а поскольку таких вершин всего Л^, то с
вероятностью Nk/2k обезьяна, миновав k развилок,
остановится. Так как остановиться обезьяна может,
лишь добравшись до свободной вершины дерева, то
должно выполняться тождество yZ(Nk/2k)= l (сумма
вероятностей всех взаимно исключающих исходов
опыта всегда равна единице).
Тождество F) можно преобразовать к иному виду.
Если случайная величина £ принимает значения
х\, Х2, ..., xn и примитивный префиксный код ставит
им в соответствие наборы нулей и единиц длиной в
/ь h> ..., In знаков, то должно выполняться тождество
i+i + '-'+^r^1- <7>
Действительно, дробь 1/2* входит в левую часть
соотношения G) ровно Nk раз, поэтому все выражение,
стоящее в левой части соотношения G), равно
2(Л/*/2*), а эта сумма в силу тождества F) равна L
Итак, числа 1/2*1, 1/2/з, ..., l/2/iVзадают некоторое
распределение вероятности. Обозначим его Q и рас*
смотрим распределение вероятности ^={рь Рг, ..«
..., pN}y отстоящее от Q на расстояние Dijp, Q) (в
смысле теории информации). Так как расстояние
неотрицательно, то выполняется неравенство
из которого после несложных преобразований
получаем неравенство
Zpkk>H(l). (8)
Смысл величины L — 2 pklk очевиден: это не что иное,
как математическое ожидание длины кодовых слов
(наборов нулей и единиц), соответствующих значе»
ниям случайной величины g. Таким образом,
неравенство (8) допускает следующую интерпретацию; если
258

значения любой случайной величины g закодировать
наборами нулей и единиц, причем воспользоваться
примитивным префиксным кодом, то средняя длина
кодового слова не может быть меньше количества ин-
формации, содержащегося в |. Объясняется это тем,
что как нуль, так и единица могут содержать не более
одного бита информации, в силу чего для
кодирования #(|) битов необходим набор нулей и единиц
длиной в среднем не менее #(£) знаков (при условии, что
при кодировании информация не теряется). При
кодировании с использованием префиксных кодов утраты
информации не происходит, поскольку, как было
показано, эти коды допускают однозначное декодирование.
Таким образом, смысл неравенства (8) можно
выразить следующим образом: #(£) битов информации
нельзя представать в виде набора нулей и единиц
длиной менее #(£) знаков. Следовательно, информация
ведет себя как несжимаемая жидкость. ^
До сих пор мы говорили о кодировании при
помощи знаков, принимающих лишь два значения: нуль и
единица. Однако все сказанное без труда обобщается
и на кодирование при помощи наборов знаков,
каждый из которых может принимать по q значений.
В этом случае вместо неравенства (8) выполняется
неравенство
Ш1 (9)
допускающее аналогичную интерпретацию: знак,
могущий принимать q значений, содержит не более Iog2<7
битов информации. Следовательно, если для
кодирования одного значения случайной величины £
необходимо кодовое слово в среднем из L знаков, каждый из
которых может принимать q значений, то одно
кодовое слово содержит не более L log2 q битов
информации. Если код допускает однозначное декодирование,
то L Iog2 q не может быть меньше чем #(£).
Непосредственное отношение к сказанному имеет
понятие избыточности, с которым мы также
познакомились. Если какой-нибудь текст состоит из знаков,
каждый из которых может принимать q значений, и
каждый знак содержит Н битов информации, то
избыточностью R текста по определению называется
величина
9* 259

Ясно, что R не меньше нуля и не больше единицы. Это,
означает, что при оптимальном кодировании часть
текста можно без ущерба для понимания опустить.
Шеннон исследовал избыточность литературного
английского языка и нашел, что она составляет около 0,5.
Следовательно, при идеальном кодировании
литературный текст на английском языке (с 26-буквенным
алфавитом) можно сократить примерно наполовину.
Избыточность других языков несколько меньше, но
также довольно значительна C0—40%). В этой связи
лектор заметил, что было бы ошибочным считать
избыточность естественных языков их недостатком.
Наоборот, избыточность языка выполняет весьма
важную функцию: ограничивает число ошибок (список
опечаток и т. п.) и позволяет понять смысл устного
или письменного .текста, несмотря на содержащиеся в
нем ошибки. Если бы язык не обладал достаточно
высокой избыточностью, то мы не могли бы
разговаривать в шумном месте* например в вагоне мчащегося
поезда. Можно сказать, что именно избыточность
позволяет языку противостоять влиянию шума. Лектор
упомянул о том, что весьма скоро, когда мы перейдем
к рассмотрению центральной проблемы теории
информации— проблемы передачи информации по каналу
с шумом, речь пойдет о кодах, обнаруживающих и
исправляющих ошибки. Эти коды позволяют
автоматически исправлять некоторые не слишком
многочисленные ошибки. Живые языки можно рассматривать как
естественные коды, обнаруживающие и
исправляющие ошибки. Избыточность какого-нибудь текста,
достигающая 50%, означает, что если в этом тексте
наугад стереть около половины букв, то по оставшимся
буквам все же можно будет однозначно восстановить
весь текст. Какую часть текста удастся
реконструировать, зависит, вообще говоря, не только от языка, но
и от характера и содержания самого текста.
Например, язык газетных сообщений обладает большей
избыточностью, чем язык литературных произведений,
в особенности стихов, поскольку журналисты
предпочитают пользоваться определенными стереотипными
выражениями и оборотами, в то время как поэты стре*
260

мятся сделать язык наиболее ярким и выразительным.
В качестве примера лектор выбрал наугад фразу из
свежего номера газеты и, вычеркнув из нее 50% букв,
написал на доске (черточками разделены слова,
пропущенные буквы обозначены точками):
С..ЗД—Ц.ЛИ..М—.—П.ЛН...ЫО—ОД..РИ.—
М..ОПР..Т.Я—Ц.—ПАР...—.О—..РЬБ.—.—
ТР.ЦК..М.М—И—ПР.В..—УКЛ...М.
Каждый без труда восстановит пропущенные буквы
(разумеется, если ему случалось неоднократно читать
почти дословно совпадающие варианты этой фразы
в более старых номерах газет).
В последней лекции мое воображение более всего
поразило замечание о том, что информация ведет себя
как несжимаемая жидкость. Мне показалось
удивительным, что информация, носящая ярко выраженный
материальный характер, действительно обладает
свойствами, аналогичными свойствам материи. Размышляя
над этим, я подумал, что информация, не будучи
материей, все же может существовать лишь в том случае,
если она накрепко «привязана» к материи. Носителем
информации всегда может быть только материя или
энергия (например, электромагнитная волна),
которая как носителе информации входит в понятие
Материи. Чтобы зафиксировать буквенный текст, мы
записываем или печатаем его на бумаге, высекаем на
камне и т. д. Звук^ представляющий собой не что иное,
как колебания молекул воздуха, можно
зафиксировать, записав его на граммофонной пластинке или на
ленте магнитофона и т. д. Передачу информации
между двумя пунктами, находящимися на большом
расстоянии друг от друга, можно осуществить либо по
проводам при помощи электрического тока, либо при
помощи радиоволн. Разумеется, было бы неплохо
знать, как функционирует наш мозг, в какой форме
представлены в нем мысли и как они хранятся в
памяти. Хотя далеко не все в этой области нам известно,
ясно одно: мышление тесно связано с химическими
процессами и электрическими токами, протекающими
в материальной среде — в материи мозга. Отсюда
следует, что скорость передачи информации не может
261

быть произвольно большой, поскольку она не должна
превосходить скорость распространения света.
ч Я много размышлял над понятием избыточности.
Восстанавливая в каком-нибудь тексте недостающие
буквы, я использую содержание текста, хотя нас
учили, что, все, что так или иначе связано с содержанием
информации, не имеет и не может иметь никакого
отношения к теории информации. Строго говоря,
испробованный нами метод, позволивший однозначно
восстановить текст по нестертым буквам, не применим
при рассмотрении избыточности текстов. Этот метод
позволяет получить правильную оценку избыточности
лишь в том случае, если реконструкцию текста
производит вычислительная машина. Действительно,
поручив машине восстанавливать недостающие буквы, мы
тем самым исключаем участие содержания текста в
его реконструкции, поскольку машина не прибегает
к содержательному толкованию текста, а вписывает
недостающие буквы, руководствуясь только словарем
и правилами грамматики. Например, прочитав
СОБ.КА—.АЕТ—КА.АВАН—...АЕТ,
вычислительная машина может «догадаться», что в
первом слове пропущена буква А, во втором — буква
Л, в третьем—буква Р и в четвертом буквы Ш, А и
Г, поскольку при подстановке этих букв получаются
вполне осмысленные слова русского языка. Но
реконструируя последнее слово, машина не сможет решить,
следует ли вместо трех недостающих букв подставить
Ш, А, Г или их следует заменить буквами К, У, С,
поскольку с точки зрения грамматики фраза «Собака
лает, караван кусает» вполне допустима, хотя и
лишена смысла, но именно это обстоятельство и
ускользает от машины. Более того, имеются достаточно
веские основания считать, что машина с большей
вероятностью найдет именно второе решение. Действительно,
в реконструируемой фразе встречается слово
«собака», а в словаре, которым пользуется машина, найти
упоминание о собаке, кусающей что-нибудь или кого-
нибудь, несравненно легче, чем о шагающей собаке.
На этом примере отчетливо видны трудности, стоящие
на пути машинного перевода.
262

Поразмыслил я и над тем, как при заданном
распределении вероятности длины кодовых слов
построить примитивный префиксный код (или
соответствующее ему дерево) с переменной длиной слова,
чтобы средняя длина кодового слова была
наименьшей. При N = 2 вопрос тривиален. Если N = 3, то
единственному примитивному префиксному коду,
принимаемому в расчет, соответствует дерево,
изображенное на рис. 4. Остается лишь выяснить, какую из
вероятностей pi, р2, Рз следует поставить в
соответствие вершиде графа, находящейся' на расстоянии,
равном 1, от корня дерева. Нетрудно видеть, что ею
дрлжна быть наибольшая вероятность, то есть двум
вершинам графа, отстоящим от корня на расстояние,
равное 2, мы должны поставить в соответствие две
РИС. 4.
меньшие вероятности. Это и навело меня на мысль о
том, как в общем случае можно построить код с
минимальной средней длиной кодового слова или
соответствующее ему дерево. Построение я производил
рекуррентным способом. Предположим, что при числе
кодовых слов, равном N, способ построения уже
известен. Зададим теперь (N + 1) кодовых слов и
расположим их в порядке убывания их вероятностей
Р\ ^ р2 ^ ... ^ Pw-i ^ Pn ^ Pn+\. Прежде всего
заменим исходное распределение вероятности другим.
Для этого вычеркнем две наименьшие*вероятности ры
и рлч-i и вместо них припишем к числам рь р2, .. •, ры-х
новое число P*N = PN + PN+{. Проделав это
преобразование, известное под названием «сжатие алфавита»,
мы получим распределение вероятности, состоящее из
N членов. По предположению способ построения
примитивного префиксного кода с минимальной средней
длиной кодового слова или соответствующего такому
263

коду дерева с N свободными вершинами, которым
соответствуют числа pv pv ..., p*Ni уже известен.
В этом дереве из вершины, помеченной числом p*N9
выпустим две ветви, а их концам поставим в
соответствие числа pN и рлн-ь Мы получим префиксный код
с минимальной средней длиной кодового слова для
распределения вероятности слов(рьр2, • •> Pn,Pn+i)'<
Поясним построение кода на примере. Пусть N=5,
а распределение вероятности слов имеет следующий
вид:
1111 1
Вычислив сумму двух меньших вероятностей, получим
распределение 1/г, 4/i5, l/$, Vs- Вычислив' сумму двух
меньших вероятностей в новом распределении,
получим трехчленное распределение 2Д, 1/3; 4/15. Что
делать с распределением, состоящим из трех чисел,
известно. Так мы получаем дерево кода, которое
представлено на рис. 5, с средней длиной «лова *4/х5=а
5
= 2,266... знаков (заметим, что £ pk log2
.= 2,220 ...) (На рис. 5 число, стоящее "у любой точки
ветвления, равно сумме чисел, стоящих у висячих
(свободных) вершин, до которых можно добраться,
поднимаясь из данной точки ветвления вверх по
дереву.)
Я продумал до мельчайших подробностей
доказательство для общего случая. Это оказалось совсем не
трудно. Не стану приводить его здесь; уже после того,
как мне удалось решить задачу и найти
доказательство для общего случая (чему я был очень рад), в
одной из книг, которую дал мне почитать лектор, я
обнаружил «свой» метод построения кода и узнал, что
префиксный код с Минимальной средней длиной кодового
слова и заданным распределением вероятности слов
называется кодом Хафмана.
Не скрою, узнав, что построенный мной
префиксный код с минимальной средней длиной слова давно
известен, я был несколько разочарован. Мне так
хотелось открыть нечто новое! Однако, поразмыслив над
случившимся, я пбйял, что ничего другого ожидать
было нельзя: ведь мы едва успели познакомиться с
264

азами теории информации, и рассчитывать на то, что
на этом уровне нам встретится нерешенная задача,
было по меньшей мере наивно. Впрочем, я не сожалею
о времени, затраченном на решение задачи, поскольку
успел уяснить для себя мнЪгое из того, что касается
кодов и их деревьев, и это позволило мне глубже
разобраться в вопросах, затронутых на лекции. Где-то
я вычитал, что человек до конца понимает лишь то, до
чего додумывается сам, подобно тому как растение
усваивает лишь ту влагу, которую впитывают его
корни.
Сегодня же мне довелось побеседовать с нашим
лектором и рассказать ему о том, как я «открыл» код
Хафмана. В утешение мне лектор заметил, что, как бы
там ни было, мне удалось получить замечательный
результат и то, что я не был первым, отнюдь не умаляет
значимости найденного мной решения. В связи с
кодом Хафмана лектор упомянул об одной
действительно не решенной проблеме: как следовало бы
видоизменить построение кода с минимальной средней
длиной слова, если длина любого кодового слова не
превосходит заранее установленного предела? Я
непременно подумаю лад этим вопросом, хотя трудно
сказать заранее, почему он столь труден. Ясно лишь, что
предложенная лектором задача не из легких, иначе ее
бы давно решили. Эта задача показывает, что довод,
приведенный мной выше, не верен: хотя мы успели
познакомиться лишь с простейшими понятиями
теории информации, но уже встретили задачу, решение
которой пока не известно!
265

ЛЕКЦИЯ ПЯТАЯ
На этой лекции мы перешли к рассмотрению
центральной проблемы всей теории информации —
проблемы передачи информации по каналу с помехами.
Лектор начал с того, что начертил на доске
следующую схему:
передатчик
(источник)
->
кодирование
помехи
-
канал
связи
->
декодирование
->
приемник
На ней в сильно упрощенном виде изображен процесс
передачи информации по каналу связи с помехами.
Источник информации, или передатчик (им может
быть человек или автомат), передает некоторое
сообщение. Предварительно это сообщение поступает к
шифровальщику (или на кодирующее устройство),
который кодирует его. Делается это, в частности, для
того, чтобы придать сообщению «устойчивость»
против вредного влияния помех. «Канал» связи
представляет собой путь, проходимый закодированной
информацией от кодирования до декодирования. Если речь
идет о телеграмме, то канал связи — это провода, по
которым распространяются электрические сигналы.
Если же мы говорим о сообщении, переданном с
борта космического корабля, то каналом связи, по
существу, следует считать всю Вселенную. В канале связи
передаваемая информация подвергается случайным
воздействиям помех и искажается. Под «помехой»
(или шумом) принято понимать любое внешнее елу-
чайное влияние, искажающее сообщение. Например,
если кто-нибудь отправил кому-нибудь сообщение с
третьим лицом, то «вестник», несущий сообщение,
будет каналом связи, а неточность его памяти или его
невнимательность — источником помех. Для. радио-
двязи с космическим кораблем или для телевизионных
передач каналом связи служит земная атмосфера, а
источником помех — происходящие в ней
электрические явления (атмосферное электричество, работа
радиостанций, передатчиков или находящихся поблизо-
266

сти электромеханических устройств, например
подъемников в лифтах и т. д.).
В каналах связи с помехами декодирование имеет
несравнимо большее значение, чем в рассмотренном
нами ранее случае отсутствия помех. При передаче
информации без помех декодирование сводится просто
к прочтению установленного при кодировании
взаимно-однозначного соответствия в обратном
направлении. Если же передача информации производится по
каналу связи с помехами, то для декодирования
поступают закодированные слова, искаженные
помехами. Следовательно, декодирование должно выяснить
(в той мере, в какой это возможно), каким было
слово до того, как его исказили помехи, и
реконструировать первоначальный вариант закодированного
слова. Разумеется, в общем случае реконструкция
искаженных слов неоднозначна, поэтому приходится
выбирать один из нескольких возможных вариантов.
Обычно при декодировании предпочтение отдают наиболее
вероятному варианту. Такое декодирование
называется идеальным декодированием. Чтобы оценить
вероятности различных вариантов реконструкции, тому, кто
производит декодирЪвание, необходимо знать
вероятности кодовых слов и вероятности искажений,
вносимых в них при прохождении канала, то есть
статистические характеристики канала. Однако если передача
сообщений по каналу на протяжении длительного
времени происходит при неизменных условиях, то все
необходимые сведения можно считать известными.
Именно такой случай передачи сообщений по каналу
связи с помехами и рассматривает теория
информации.
Иногда отправитель получает уведомление о том,
что посланное им сообщение дошло до получателя.
В -"таких случаях мы говорим, что между приемником
и передатчиком существует обратная связь.
Рассмотрим сначала лишь такие каналы связи, в которые
знаки поступают поочередно, причем каждый сигнал
может принимать лишь конечное число значений.
Пусть а\9 а2, ..-, ая — значения, принимаемые
сигналами. Предположим, что помехи искажают или не
искажают каждый сигнал независимо и что, искажая
значение а/, помехи переводят его в одно из значений
267

я/ (i Ф l) • Условимся также, что^ алфавиты на входе
и на выходе канала связи ничем не отличаются друг
от друга. Пусть g— сигнал, поступающий после
кодирования на вход канала связи, а г\ — тот же сигнал с
возможными искажениями, поступающий с выхода
канала связи для декодирования (если сигнал g не хюд-
вергся искажениям, то r\ = g, во всех остальных
случаях Г) Ф1).
Ясно, что эффективность канала связи
определяется количеством информации /(g, т]): нас интересует,
какое количество информации о g (сигнале,
переданном отправителем) содержится в ц (сигнале,
поступившем к получателю). Величина /(g, r\) зависит от
распределения вероятности значений, принимаемых
сигналом g. Рассмотрим максимум величины 7(g, ц)
по всем возможным распределениям значений
сигнала g. Эта величина называется пропускной
способностью канала и обозначается С. Итак,
C = max/(g, r\).
Интуитивно ясно, что С— наибольшее количество
информации, которое можно передавать по каналу
связи. (Впрочем, это утверждение допускает и строгое
доказательство). Предположим, что для передачи
одного сигнала по каналу связи требуется затратить
время т. Тогда скорость передачи информации по
каналу связи (количество информации,- передаваемое в
единицу времени) не может превышать величину С/т.
Следовательно, если источник информации
производит в единицу времени количество информации,
превосходящее предельно допустимое значение С/т, то
при самом рациональном способе кодирования канал
связи не может пропускать столько информации*
В то же время можно доказать, что, задав любую
скорость v, меньшую предельной скорости С/т, можно
передавать информацию по каналу связи со скоростью
v, причем так, чтобы вероятность правильной
реконструкции переданной -информации сколь угодно мало
отличалась от единицы. В следующей лекции мы
рассмотрим так называемые теоремы о кодировании и
докажем это утверждение при различных предполо*
жениях. Однако теоремы о кодировании устанавли-
268

вают лишь принципиальную возможность передачи
информации с произвольной скоростью v < С/т, но
умалчивают о том, как осуществить передачу
информации со скоростью v. Разработкой методов передачи
сообщений занимается другой раздел теории
информации— так называемая-теория кодов,
обнаруживающих ошибки, которая использует в основном алгебра*
ические методы (линейную алгебру, теорию групп,
теорию Галуа и конечные геометрии, а также
результаты современного комбинаторного анализа). Со всем
этим нам еще предстоит познакомиться, а сегодня мы
рассмотрели следующий пример. Пусть сигналы на
входе и выходе канала связи принимают лишь два
значения: 0 и 1. Предположим, что под влиянием помех 1
на входе с вероятностью р переходит в 0 на выходе
(а 0 на входе с вероятностью р переходит в 1 на
выходе) и что с вероятностью 1—р оба значения
сигнала передаются без искажений:
Такой канал связи называется двоичным
симметричным каналом. Если Р (|= 0) = w и Р (g = 1) = 1 — w,
то, введя обозначение q = w(l—р) + A—w)p,
получаем
Следовательно, /(£, ц) достигает максимума при
q = 7г и
Как показывают несложные выкладки, равенство
q = у2 выполняется в том и только в том случае, если
w = 1/2. Кроме того, q = Р (ц = 0). Следовательно,
чтобы максимально использовать пропускную
способность симметричного двоичного канала связи,
значения 0 и 1 необходимо подавать на вход с
вероятностью 72- В этом случае значение на выходе с
вероятностью 7г будет равно 0 или 1, причем каждое
значение на выходе будет содержать лишь 1—h(p)
битов переданной информации. Этот результат
правдоподобен, потому что, хотя каждое значение сигнала
на выходе несет 1 бит информации, h{p) бинтов из
этого количества информации приходится на потери
269

из-за помех, а остальные 1—h(p) битов — на долю
«полезной» информации, принятой на выходе канала
связи. При р — 1/2 получаем 1—й(р) = 0, то есть
информация, поданная на вход канала связи, не
достигает выхода. Нетрудно понять, почему так
происходит: при р = 1/2 сигнал на выходе полностью не
зависит от сигнала на входе. В связи с этим примером
лектор заметил, что если не стремиться к достижению
скорости передачи информации, близкой к предельной,
устанавливаемой пропускной способностью канала
связи, то надежность передачи информации, несмотря
на помехи, можно обеспечить довольно просто:
достаточно каждый отдельный сигнал передавать не один,
а несколько раз. Например, если все сигналы мы
будем повторять пои Bs+1) раз, где s^l, то среди
принятых на выходе сигналов, прошедших по каналу
связи и, возможно, претерпевших искажения, будет
определенное число (обозначим его г) единиц, а
остальные 25+1 — г сигналов будут нулями. При
декодировании мы можем придерйиваться «принципа
большинства»: если г ^ 5 + 1, то сигнал, повторенный
на входе Bs + 1) раз, был единицей; если же r^s,
то он был нулем. (Мы потому и повторяли сигнал на
входе нечетное число раз, чтобы исключить «спорный»
случай, когда на выходе могло бы оказаться нулей и
единиц поровну). Разумеется, не исключено, что,
декодируя сигнал на выходе, мы ошибемся. Однако, как
показывает несложный подсчет, вероятность этого
можно сделать сколь угодно малой, разумеется, при
условии, если О < р < !/г- Оно заведомо выполняется
при достаточно большом s. Однако, чем
больше-выбранное нами значение s, тем меньше скорость
передачи информации. Разумеется, мы кодировали
сигналы весьма* простым способом, но и при более
сложном, (и более рациональном) кодировании результат
был бы тем же: можно добиться, чтобы вероятность
ошибки была сколь угодно мала, не снижая при этом
катастрофически скорость передачи информации.
Размышляя над содержанием сегодняшней лекции,
я попытался свести передачу информации по каналу
связи с помехами к игре «Бар-Кохба». Мне удалось
270

придумать вариант этой игры, который я назвал «Бар-
Кохба для лжецов». Состоит он в следующем.
Предположим, что для~установления задуманного предмета
разрешается задавать определенное число вопросов,
а тому, кто отвечает на них, разрешается
определенное число раз солгать. Разумеется, задающий вопросы
не знает, какой из ответов истинный и какой ложный.
Отвечающему на вопросы не обязательно лгать «по
максимуму»: число ложных ответов может быть и
меньше установленного предела. Например, если
задумать можно лишь какой-нибудь один из двух
предметов и при ответе на вопросы разрешается лгать не
более одного раза, то, чтобы отгадать задуманный
предмет, понадобится задать 3 вопроса.
Предположим, что задумать можно было одно из двух чисел:
О и 1. Тогда я задам 3 раза подряд один и тот же
вопрос: [Задумано ли число 0?» Если среди полученных
ответов окажется не менее двух утвердительных, то
я смогу с уверенностью сказать, что мой партнер
задумал нуль. (Действительно, по правилам игры мой
партнер мог солгать не более одного раза.
Следовательно, отвечая дважды на мой вопрос утвердительно,
он не мог лгать, поскольку это означало бы, что он
солгал дважды). Если среди полученных ответов ока^
жется не менее двух отрицательных, то можно быть
уверенным, что мой партнер задумал единицу.
Предположим теперь, что можно задумать один из четырех
предметов и разрешается лгать один раз. В этом
случае, как нетрудно видеть, чтобы отгадать задуманный
предмет, необходимо задать 5 вопросов. Если при
ответе на вопросы разрешается лгать два или большее
число раз, то определить минимальное число вопросов
довольно сложно. Думаю, что при большем числе
ложных ответов игра «Бар-Кохба для лжецов»
становится слишком сложной. Она хороша лишь тем, что
позволяет прочувствовать те трудности, которые
возникают при передаче информации по каналу связи с
помехами. Эта проблема действительно
представляется мне весьма серьезной, и я с нетерпением ожидаю,
когда мы перейдем к доказательству теорем о
кодировании.
Недавно я прочитал фантастическую повесть о
разумных существах, обитающих на затерянной где-то
271

в глубинах Млечного Пути планете и располагающих
высокоразвитой техникой, и об установлении связи с
ними. Прослушав сегодняшнюю лекщда, я понял, что
в этой повести речь шла о проблеме теории
информации. Действительно, если инопланетяне открыли
радиоволны и научились использовать их для передачи
информации, то любое переданное ими сообщение
достигнет нас лишь в сильно искаженном виде,
поскольку в космическом пространстве на него наложатся
помехи. Декодировать такое сообщение несравненно
труднее, чем в случае схематизированного канала с
помехами, рассмотренного на лекции, поскольку
заранее неизвестно, имеем ли мы вообще дело с
сообщением от разумных существ или перед нами набор
сигналов, представляющих собой запись чисто случайных
шумов из космического пространства. Более того,
даже если удастся установить, что принято послание
от разумных существ, мы не имеем ни малейшего
понятия о том, какого рода сигналы нам предстоит
выделить на фоне помех. Иначе говоря, нам не известны
сигналы на входе канала связи, которые мы должнь*
декодировать. Эта проблема потруднее традиционных
задач теории информации о передаче сигналов по
каналу связи с помехами. R лучшем случае может
произойти следующее. Обитатели иного мира, обладая
достаточно развитым интеллектом, поймут, что Земля
населена разумными существами, и сумеют найти
способ преодолеть огромное расстояние и известить о
себе собратьев по разуму. Для этого им придется
сузить информацию настолько, чтобы люди сумели
отличить ее от помех и, поняв, что имеют дело с
разумным сообщением, разгадать его смысл. Если же
обитатели далекой планеты не в состоянии додуматься до
этого, то вряд ли стоит сожалеть о том, что им не
удастся наладить связь с нами.
Вчера я посмотрел фильм «451° по Фаренгейту».
Должно быть, от того, что в последнее время я
усиленно занимаюсь теорией информации, сюжет этого
фильма показался мне также имеющим некоторое
отношение к интересующей меня теме. Например, фильм
напомнил мне о довольно интересном факте. Чтобы
выучить наизусть одну-единственную книгу, человек
должен приложить почти героические усилия. В то же
272

время образованные люди прочитывают по нескольку
сот (а некоторые даже по нескольку тысяч) книг, и о
каждой из них в памяти остается более или менее
определенная информация, причем для этого вовсе не
требуется титанических усилий, и при разумно
организованном чтении каждый в состоянии запечатлеть в
памяти прочитанное. По-видимому, человеческий мозг
устроен так, что информация в нем хранится иначе,
чем в книге или в вычислительной машине. Мне
кажется, что в отличие, например, от вычислительной
машины человеческий мозг запоминает наиболее
характерную черту или особенность, хранит содержание
информации. Наш мозг делает, следовательно, то, на
что не способна машина, и слаб в том, в чем она
особенно сильна: в точном запоминании длинной
последовательности «сухих» цифр, лишенных всякого
содержания.
Впрочем, коль скоро речь зашла о книге,
способной целиком, до последнего слова, разместиться в
человеческом мозгу в полном соответствии с природой
человеческой памяти, отбирающей лишь самое
существенное, то нельзя не вспомнить о наших
преподавателях. Каждого из^них по праву можно назвать
ходячей книгой, хотя текст в ней напечатан не
типографскими литерами. На мой взгляд, суть университетского
образования должна состоять именно в том, чтобы
преподаватель обучал студентов тому, чего не
найдешь ни в одном учебнике и что есть только у него
в голове. Часть лекторов именно так и поступает. Но
есть и другие лекторы, которые читают или
воспроизводят учебник по памяти и еще удивляются, что
основная масса студентов сбегает со второго часа, а те, кто
все же остается в аудитории, почему-то предпочитают
занимать места в задних рядах. В этом году к нам в
университет приезжал один иностранный математик.
Он выступил с лекцией на заседании Венгерского
математического общества имени Бойяи. Сформулировав
одну из теорем, он добавил: «А теперь я расскажу
вам, почему эта теорема имеет право на
существование». Под несколько необычным выражением наш
гость понимал весьма многое: он попытался объяснить
«на пальцах», чем интересна его теорема и что в ней
существенно, указал, какое место в доказательстве
273

представляет наибодьшую трудность и
продемонстрировал, как преодолеть эту трудность, сообщил, какие
обобщения допускает теорема и т. д., то есть поведал
своим слушателям все те подробности, о которых
стыдливо умалчивают учебники, монографии и статьи,
выдержанные в традиционном стиле. На вопросы
такого рода невозможно дать ответ, удовлетворяющий
всем требованиям математической строгости, но даже
нестрогий ответ, в большей или меньшей степени
отражающий существо дела («право на существование»),
может быть интересным, в особенности для того, кто
задал вопрос. Именно из таких замечаний и
составляется постепенно та «книга», которую мы носим в
голове и с надеждой стремимся передать следующему
поколению.
На этом кончаю, так как хочу подготовиться к
докладу об аналогии между энергией и информацией,
который должен состояться на будущей неделе.
ТЕЗИСЫ ДОКЛАДА
Тема моего доклада относится скорее к области
философии, чем математики, а потому я решил
поинтересоваться, не знают ли философы чего-нибудь о
глубокой аналогии между энергией и информацией.
У меня был близкий друг, серьезный философ. Ему я
и задал свой вопрос. Как и следовало ожидать, вопрос
вызвал у него неподдельный интерес, поскольку
энергия и информация играют одинаково важную роль в
нашей жизни. Но вот ответить на него сразу мой друг
не смог и пообещал сделать это позже.
Однако все его поиски не принесли
сколько-нибудь ощутимых результатов. Прежде всего он
проштудировал от корки до корки произведения классиков
марксизма, затем обратился к Гегелю, но так ничего
и не нашёл. Несколько разочарованный постигшей его
неудачей, мой друг заметил, что решения новых
проблем следует искать не в прошлом, а в современных,
новых идеях.
Между тем я успел мысленно перебрать почти все,
что имеет отношение к энергии и передаче информа-
274

ции, и аналогии между энергией и информацией стали
напрашиваться сами собой.
Возьмем, например, столь далекую, казалось бы,
область,исак история. Историю человечества в шутку
можно назвать историей энергии. Огромное значение'
здесь имело открытие огня. Чтобы хранить и
поддерживать огонь, была необходима организованная
группа людей. Возникла потребность в способе передачи
информации, в языке жестов, в речи. Следовательно,
можно установить связь (хотя и не слишком прямую)
между открытием огня и возникновением одной из
форм передачи информации. Но двинемся дальше.
Человек овладел простейшим видом природной
энергии— ветром, приручил животных, развил
судоходство, земледелие. Развитие транспорта, и товарное
производство способствовали появлению определенной
прослойки одаренных людей, профессионально
занимавшихся разработкой нового способа передачи
информации: искусства, живописи, скульптуры.
Гончарный* круг, приводимый во вращение то в одну, то в
другую сторону энергией ноги, сообщил толчок
мастерству гончара, и произведения гончарного искусства
многое говорят о прошлом (и настоящем) человека.
Можно усмотреть параллель между изобретением
колеСа, рычага и других простых механизмов и
возникновением письменности, между изобретением
паровой машины и книгопечатанием. Наконец, совсем
очевидный пример: практическое использование
электрического тока привело к разработке, быть может,
самых важных устройств для обмена информацией:
телефона, радио и телевидения.
Я не решился показать найденные мной параллели
своим друзьям-историкам. Они, несомненно,
обнаружили бы множество ошибок, указали бы на
недостаточную убедительность моей аргументации или на
несоответствия в. датах. Тем не менее в .подмеченных
мной параллелях что-то есть. Впрочем, даже если в
них ничего нет, то все равно ясно, что развитие
человечества тесно связано не «только с развитием
отдельных видов энергии и способов передачи энергии на
расстояние, но и с развитием способов передачи
информации. На первый взгляд кажется, что между
двумя величайшими открытиями недавнего прошло-
275

го — атомной энергией и электронной вычислительной
машиной — не существует тесной связи, но все же
ясно, что открытие нового источника энергии и
создание нового средства обработки информации не
случайно совпали во времени.
Не выходя за пределы того же круга вопросов,
заметим, что уровень экономического развития страны
почти однозначно можно охарактеризовать
количеством потребляемой энергии. (При таком подходе
Венгрия могла бы показаться весьма отсталой
страной: общеизвестно, что она бедна энергетическими
-ресурсами.) Но столь же выразительно характеризует
уровень развития и другой показатель — количество
текущей информации, под которой я понимаю все: от
последних известий до экономической информации.
Вряд ли кого-нибудь удивит, если я скажу, что
параллели между энергией и информацией можно
усмотреть и в биологии. Живые существа обладают
способностью преобразовывать один вид энергии в дру*
гой или вещество (пищу) в энергию. Чем выше
ступень развития, на которой стоит животное, тем
хитроумнее, сложнее решаемая его организмом задача
превращения как видов энергии, так и веществ в энергию.
Но, насколько можно судить, еще сложнее происходят
преобразования, которые претерпевает в организме
животного информация. Даже простейшие животные
обладают способностью, обнаружив при помощи
органов чувств пищу, не поедать ее прежде, чем они
передадут информацию о своей находке (для этого
животные совершают в определенной последовательности
сигнальные движения). Попадая, например, на*
сетчатку глаза животного, информация достигает свето-
- чувствительного элемента и от него по множеству
мельчайших нервных волокон весьма интересным
способом (в виде импульсов химической активности кле-'
ток) поступает в мозг. Там информация подвергается
сложнейшей обработке. Ведь даже павловский
условный рефлекс представляет собой весьма сложную
разновидность переработки информации. Мне не хотелось
бы писать о том, сколь сложной переработке
подвергается информация в человеческом мозге, чтобы
марсианин, случайно заглянувший в мой дневник, не мог
276

обвинить нас, людей, в чрезмерном самомнении (хотя
не исключено, что его упрек не лишен оснований).
Еще один пример из области биологии. Встав
утром с постели, я вскоре завтракаю, то есть заряжаюсь
энергией (не потому, что намерен заниматься этим
весь день напролет, а просто потому, что я голоден).
Одновременно я принимаюсь за чтение газеты, и это
занятие поглощает меня настолько, что иногда я
проношу кусок мимо рта. Это не что иное, как утоление
информационного голода. Надо будет как следует
продумать подмеченную параллель в течение дня и
посетовать на самого себя за то, что не записал
пришедшие мне в голову соображения по порядку.
Нормальное функционирование не только всякого
живого существа, но и всякой организации (будь то
математическое общество, завод, армия, муравейник)
совершенно невозможно без обмена энергией и
информацией. ^
Я опасаюсь, как бы перечисление длинного ряда
аналогий не сделало мой доклад нестерпимо скучным.
Попробую разобраться в них несколько глубже. Что
можно сказать о материальности энергии и
информации? Материальность, энергии бесспорна, тогда ^как
информация по своей природе относится скорее к
духовной сфере. Но как же так? Разве материальность
информации не проявляется в том, что она может
быть передана лишь посредством материи (или
энергии): в виде знаков, написанных на бумаге,
электрических импульсов и т. д. *? Все это действительно так,
но одну и ту же информацию можно передать
многими способами, например используя газету и радио.
Следовательно, информация не должна зависеть от
своего материального носителя. Вог теперь все ясно!!
Точно так же обстоит дело и с энергией. Существенна
не форма, в которой мы получаем энергию, а ее коли-
* Здесь мне пришло в голову, что существуют явления из
области телепатии, или, если воспользоваться более научной
терминологией, парапсихологии, в которых передача энергий
происходит якобы без участия материального носителя. Но
относительно этих явлений нельзя с уверенностью сказать,
существуют ли они, и если существуют, то каковы особенности их
протекания. Возможно, что передача материи или энергии
происходит в.них в каких-то ранее не известных формах, и тогда
они также не противоречат высказанным мной соображениям.
277

чество. С этой точки зрения между информацией и
энергией имеется полная аналогия. Поэтому я и
написал, что, по существу, если отвлечься от носителей
энергии, остается лишь одно число — количество
энергии. Если же мы абстрагируемся от материальных
носителей информации, то вся информация сохранится
целиком, хотя современная теория занимается
изучением только количества, а не качества информации.
После более или менее продолжительной
дискуссии я достиг соглашения с самим собой по этому
вопросу и перешел к рассмотрению несколько. более
серьезных взаимосвязей между энергией и
информацией.
О преобразованиях энергии нам известно,
например, что энергия не исчезает. Я уже давно стал
задумываться над тем, что, кодируя последовательность
сигналов, мы, по существу, преобразуем информацию,
аналогично тому как энергия падающей воды
преобразуется в электроэнергию. Верно ли, хотя бы в
каком-нибудь смысле, что количество информации при
таком преобразовании не возрастает и не убывает, и
если верно, то в каком смысле?
Этот вопрос подробно рассмотрен в одной из
математических статей, которые дал мне профессор.
Если сигнал | содержит информацию H(Q ив
процессе кодирования на один сигнал приходится в
среднем L = X Pkh знаков, то сохранение информации в
принципе должно означать, что закодированная
последовательность из L знаков содержит информацию
//(£), то есть на один знак приходится количество
информации, равное
Н=-^-. A0)
Это соотношение (если оно вообще верно) должно
быть непосредственно применимо, например к
преобразованию энергии трансформатором. Если на
каждый виток первичной обмотки трансформатора
приходится по L витков вторичной обмотки, то энергия,
«падающая» на один вольт напряжения на первичной
обмотке, равна умноженной на L энергии, приходящейся
на один вольт напряжения на вторичной обмотке, то
278

есть
Ml г Ml
V ~L W
где Е\ и E2 — энергия соответственно первичной и
вторичной обмотки, a V\ и У2 — напряжение на
первичной й на вторичной обмотке. Поскольку при
трансформации напряжение повышается в L раз, то V2 — LV\.
Таким образом, из Соотношения A1) следует, что
Е\ — Е2, то есть трансформатор работает в полном
соответствии с соотношением A0). Равенство A1)
означает не что иное, как закон сохранения энергии.
Поэтому величину Я по аналогии с соотношением
E/V = I можно назвать силой информационного тока
(соответствующей информации #(£)).
На соотношение A0) профессор, по существу,
ссылался в четвертой лекции. Действительно, в
кодированной последовательности на один сигнал могло
приходиться q различных'сигналов. Следовательно,
величина Я была ограничена сверху числом Iog2 q. Таким
образом, из соотношения A0.) мы получаем
неравенство \og2q^ H(%)/L, эквивалентное неравенству (9).
Более того, новое неравенство указывает на то, что
в неравенстве (9) точное равенство недостижимо,
поскольку величина Я всегда меньше числа \og2q.
Плохо лишь, что величина Я до сих пор не
определена. В том, что Я нельзя определить так же, как
Я(£), нас убеждает следующий пример. Пусть g-—
случайная величина, принимающая два значения х\
и х2 с вероятностями р\ и р2. Предположим, что 00 —
код значения х\> а 01 —код значения х2. Тогда первый
знак в кодированной последовательности заведомо
будет нулем, а второй знак с вероятностью р\ будет
нулем, а с вероятностью р2 — единицей. Нетрудно
видеть, что энтропия первого знака (равная нулю)
отлична от энтропии второго знака. Таким образом,
величину Я нельзя определить просто как энтропию,
приходящуюся на один знак (хотя величину ЯE) мы
определяли именно так). Следующая идея состояла
в том, чтобы взять энтропию первых п знаков и
разделить ее на п. При таком подходе к определению Я
не следует упускать из виду, что энтропия первых п
знаков не равна сумме энторпий отдельных знаков,
279

так как зависит от выбора кода. Например, если х\
и х2 закодированы наборами знаков 00 и 01, то
энтропия первых двух знаков равна
pilog2 — + p2log2 — >
а энтропия каждого из знаков в отдельности отлична
от этой величины. Разумеется, новое определение
величины Я нельзя признать удачным, поскольку,значе-
ние Я все еще зависит от п. Предположим, однако, что
отношение энтропии первых п знаков к п при п-+оо
стремится к некоторому числу. Это число мы и будем
считать величиной Я.
Такое определение «силы информационного тока»
Я позволяет строго обосновать соотношение A0), если
кодирование допускает однозначное декодирование.
В статье, о которой я уже упоминал, приводилось
подробное обоснование этого соотношения, но я решил
в своем докладе опустить доказательство, поскольку
оно довольно громоздко. В других работах,
указанных мне профессором, я обнаружил гораздо более
общие доказательства соотношения A0) (например, для
случая, когда некоторые сигналы обладают
протяженностью во времени). Обобщенные варианты сотноше-
ния A0) были доказаны при гораздо более широких
предположениях, чем неравнество (9), но из
первоначального соотношения A0) тривиально выводится
неравенство L ^ Я(£)/тах Я. Итак, философское
соображение о том, что должно выполняться соотношение
A0), позволило в весьма общем случае найти решение
важной для практики задачи: установить, что речь
идет о минимальной длине кодового слова. Так,
рассмотрение аналогий между информацией и энергией,
которое я склонен был считать самоцелью, принесло
вполне ощутимый результат.
И все же у соотношения (К)) есть изъян, мимо
которого невозможно пройти: оно выполняется лишь в
том случае, если кодирование допускает однозначное
декодирование. Например, если при кодировании всем
~xi ставится в соответствие нуль, то Я = 0 и
соотношение A0) утрачивает всякий смысл. То, что при этом
происходит, можно интерпретировать следующим
образом. Преобразуя энергию, нам не всегда удается
280

направить ее в нужное русло, и часть энергии может
перейти, например, в тепловую. Что же касается
информации, то она при плохом кодировании не
исчезает, так как исходная последовательность знаков
сохраняется и после кодирования. Еще хуже то, что
если мы учтем исходную информацию, то энтропия
закодированной последовательности знаков от этога
только возрастет и станет больше, чем прежде.
Таким образом, никакой параллели с кодированием,
допускающим однозначное декодирование, провести не
удается.
При любом преобразовании энергии всегда
происходит ее небольшая (а иногда и довольно
значительная) утечка. В одних случаях, например в трансфор*
маторе, потери энергии связаны с переходом ее части
в тепловую энергию, в других случаях — с трением., но
передать целиком весь запас энергии не удается
никогда. Совсем иначе обстоит дело с кодированием ин«
формации, допускающим однозначное декодирование-
Правда, после кодирования информацию обычно
«передают» по идеализированному каналу связи без
помех. На практике таких каналов связи не бывает.
Вероятность ошибки очень мала, но все же отлична от
нуля. Для каналов с низким уровнем помех можно
доказать нечто, аналогичное соотношению A0).
Последовательность сигналов на выходе канала связи мы
декодируем и тем самым понижаем ее энтропию.
Энтропия полученной последовательности сигнала
совпадает с энтропией исходной последовательности не
точно, но с достаточно хорошим приближением обе
величины можно считать равными. Точнее говоря, если
наибольшая вероятность ошибки стремится к нулю, то
энтропия декодированной последовательности
сигналов стремится к энтропии исходной
последовательности сигналов.
Всю эту премудрость я не почерпнул в готовом
виде из тех статей, "которые дал мне профессор, но,
пользуясь ими, без труда смог доказать нужные
утверждения. Если трение служит источником слабых
помех в канале связи, то небольшая часть
информации при передаче по каналу оказывается безвозвратно
утраченной, причем величина ее тем меньше, чем
ниже уровень помех. Однако утверждать, будто коли*
281

чество утраченной информации совпадает с
количеством «дезинформации», внесенной помехами, неверно.
Тем не менее я ничуть не сомневаюсь, что это
утверждение стало бы верным, если сформулировать его
несколько иначе. Я считаю, что с точки зрения теории
информации было бы весьма важно найти и доказать
соотношение между количеством информации,
теряемой при передаче, и уровнем помех в канале. Не могу
понять, как эта задача не пришла в голову авторам
проштудированных мной статей и почему они ни
словом: не упомянули о ней. Должно быть, они пытались
решить ее сами и не хотели, чтобы кто-нибудь
опередил их. Как бы то ни было, я считаю,такую тактику
ошибочной и не забыл сформулировать эту задачу в
своем докладе. Если бы кому-нибудь пришла в голову
какая-то удачная идея, которая позволила бы
продвинуться в решении «моей» задачи!
Говоря (/законе сохранения энергии, нередко
вспоминают о вечном двигателе. А как обстоит дело с
информационным «вечным двигателем»? Если в начале
связи помехи отсутствуют, то есть передача
информации происходит без помех, то информация целиком
сохраняется. Можно было бы ожидать, что в
отсутствие помех информация совершала бы нескончаемый
кругооборот, напоминающий безостановочное
механическое движение в отсутствие трения. Представим
себе, что мы построили для венгерского языка код
Хафмана. Выбрав какую-нибудь венгерскую фразу,
закодируем ее буква за буквой при помощи кода
Хафмана и получим последовательность нулей и единиц.
Затем перекодируем эту последовательность нулей и
единиц по азбуке Морзе. (Для этого мы восстановим^
буквы венгерского алфавита, скрытые за кодовыми
комбинациями нулей и единиц в коде Хафмана, и
закодируем их заново, пользуясь азбукой Морзе.)
Наконец, декодировав последовательность букв азбуки
Морзе, мы придем к исходной венгерской фразе.
Такой круговорот информации может продолжаться
вечно, при этом информация будет полностью
сохраняться.
В реальных каналах связи передача информации
происходит иначе. Возьмем, например, слухи, кото-
282

рые циркулируют довольно часто. Если мы сами
распустим какой-нибудь слух, то, дойдя снова до нас
(описав один замкнутый круг), он окажется сильно
искаженным. Распустив его вторично, мы услышим
новые вариации. Так будет продолжаться до тех пор,
пока от начальной версии не останется и следа.
Итак, мы видим, что если говорить о кодировании
с последующей передачей информации по каналу,
легко поддающемуся математическому
моделированию, то установить параллель между информацией и
энергией не составляет особого труда. Но так ли
просто усмотреть аналогию между информацией и
энергией применительно к гораздо более сложным
явлениям природы? Например, процесс кристаллизации
протекает так, как если бы информация возникала из
ничего. Однако в действительности эта берущаяся
неизвестно откуда информация .хранится до начала
кристаллизации в структуре электронных оболочек
атомов. Специфические особенности строения этих
оболочек предопределяют расположение атомов в
узлах кристаллической решетки, совершенство и
правильность внутренней структуры кристаллов. Странно
лишь, что эта информация хранится в атомах. Вообще
говоря, аналогия между информацией и энергией
неполна. Различие между ними проявляется в том, что
при передаче энергии одной из сторон энергия
производится, а другой — расходуется, в то время как,
например, при кодировании текста содержащаяся в нем
информация сохраняется.
.Именно поэтому процесс кристаллизации мне не
вполне ясен. Действительно, возьмем такое вполне
аналогичное кристаллизации явление, как
зарождение и развитие жизни, происходившее на -протяжении
миллиардов лет. Можно ли объяснить его тем, что
возникающая информация хранилась в атомах? Нет,
отнюдь не хочу утверждать, будто решение проблемы
возникновения жизни следует искать методами теории
информации, в особенности теперь, когда так поздно
и мне непременно нужно выспаться перед
предстоящим завтра утром докладом. Признаться, я очень
волнуюсь. Если бы у меня было хотя бы немного больше
времени, чтобы лучше продумать конец доклада!
283

Доклад, как я и надеялся, прошел хорошо. Было
много споров* На кристаллизацию и проблему
возникновения жизни мне просто не хватило времени.
После доклада профессор похвалил меня. Особенно
интересными ему показались мои соображения о законе
сохранения информации при передаче по каналу связи
с помехами. Он подчеркнул, что оглашать «сырые»
результаты или строить йепроверенные предположения
было бы ошибочно.
С нетерпением жду следующую лекцию.
Профессор выглядит не вполне здоровым, но надеюсь, что
с ним ничего серьезного.

СТАТЬИ

АЗАРТНЫЕ ИГРЫ
И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой статье я хочу изложить некоторые идеи и
методы теории вероятностей на относительно простых
и интересных задачах, возникающих при анализе
азартных,' ив частности карточных, игр .*. Стремясь по
возможности избегать перечисления всех правил игр,
выбранных мной в качестве примеров, я тем не менее
старался приводить выдержки из сводов правил с
достаточной полнотой, чтобы эти игры были понятны не
только знатокам, но и тем, кому они известны лишь
понаслышке. Разумеется, любители бриджа извлекут
из примера с теоретико-вер-оятностным разбором этой
игры несравненно больше, чем те, ктр встречается с
ней впервые.
У читателя может возникнуть вопрос: стоит ли
вообще заниматься научным анализом азартных, и в
частности карточных, игр? Я глубоко убежден, что
ответ на этот вопрос непременно должен быть
утвердительным. Азартные игры заслуживают
теоретического разбора не только потому, что их анализ
способствует более глубокому пониманию комбинаторики и
теории вероятностей. Не следует забывать о том, что
возникающие при этом задачи представляют интерес
для истории науки, поскольку, как известно, именно
задачи, связанные с азартными играми, сыграли
важную роль в становлении теории вероятностей.
Наконец, нельзя не упомянуть и о том, что при разработке
* Подробное теоретико-вероятностное рассмотрение
азартных игр не входит в мои намерения, но те из читателей, кто
пожелает изучить математическую теорию отдельных игр более
обстоятельно, смогут почерпнуть недостающую информацию из
книг, упоминаемых по ходу изложения,
286

многих важных понятий современной науки и техники
первостепенное значение приобретают опыт и мате-
iMaraqecKne знания, накопленные при анализе
азартных игр. Хорошим примером может служить такое
понятие, как тасование карт, имеющее непосредственное
отношение не только к широко используемым в
химической технологии процессам перемешивания, но и к
фундаментальным понятиям термодинамики.
2. О ТАСОВАНИИ КАРТ
Всякий раз, когда, отвечая на вопросы
относительно того или иного распределения карт, нам
приходится прибегать к теоретико-вероятностным
соображениям, мы исходим из молчаливого предположения о
том, что колода карт, с которой производятся мани*
пуляции, «тщательно перетасована». Любители
карточных игр часто говорят о тасовании карт, но
поскольку обычно точное определение того, что следует
понимать под тщательным тасованием, не приводится,
то уместно начать с несколько.более подробного
рассмотрения этого вопроса.
С точки зрения теории вероятностей колода карт
"считается тщательно перетасованной, если после
тасования карты в колоде с равной вероятностью
располагаются в любом порядке (иначе говоря, если все
перестановки карт равновероятны). Предположим, что в
колоде п карт. Тогда из них можно составить п\
упорядоченных наборов *. Следовательно, тщательно пе*
ретасованной считается колода карт, в которой
вероятность любой перестановки карт составляет \/п\. Это
означает, что вероятность любого события Л, не зави-
сящегог от порядка карт, равна k/n\, где к — число
* Действительно, первой может быть любая из п карт, то
есть первую карту можно выбрать п способами. Независимо от
того, какая карта выбрана первой, она не может быть второй.
Следовательно, вторую карту можно выбрать лишь п — 1
способами, а первые два карты — п- (п—1) способами. Продолжая
рассуждения, получаем, что общее число упорядоченных
наборов из п карт равно п(п—\)(п — 2)...2-1, так как последнюю
карту можно выбрать лишь одним способом: взять ту, которая
осталась. Произведение п(п — 1) (я_— 2) ... 2-1 принято
сокращенно обозначать п\ — Прим. ред. венгерского издания.
287

перестановок карт, при которых происходит событие
Л. Например, если колода из 52 карт тщательно
перетасована, то вероятность того, что верхняя карта
окажется тузом, равна Vi3- Действительно, 51! из 52!
перестановок карт начинаются с туза определенной
масти (например, если верхняя карта — туз червей, то
лежащие под ним карты — их всего 51 —могут
располагаться любым из 51! способов). Поскольку в
колоде 4 туза, то k = 4-51! и вероятность того, что
верхняя карта окажется тузом,чравна
k\ _ 4» 51! _ »4 __ 1
52! ~ 52! 52 13 *
В действительности тасование карт происходит иначе:
один из игроков или специальный автомат для
тасования карт производят 10—20 однообразных движений.
При каждом движении порядок расположения карт
в колоде изменяется, то есть над картами
производится некоторая подстановка. Известно, что
последовательно производимые подстановки образуют, группу *.
Произведение PQ двух подстановок Р и Q
означает, что сначала необходимо выполнить подстановку
Р, а над картами, расположившимися в
образовавшемся порядке, произвести подстановку Q. Например,
если п = 32, то есть если речь идет об обычной ко-
* Чтобы ввести понятие группы, прежде всего необходимо
ввести понятие операции. Мы говорим, что на множестве задана
операция, если *любым двум элементам множества (взятым в
определенном порядке) поставлен в соответствие некоторый
элемент того же множества (может быть, один из двух выбранных
элементов). На множестве целых чисел такими операциями
являются сложение и умножение. Поскольку в группе задана лишь
одна операция, то ее обычно называют умножением. Множество
с заданной на нем операцией называется группой, если,
во-первых, в нем существует элемент е, при умножении на который
каждый элемент группы переходит в себя; во-вторых, для
любого элемента а найдется такой элемент, что при умножении его
на а произведение равно е. Если речь идет о сложении целых
чисел, то е = 0, поскольку при сложении с нулем все числа
остаются неизменными и, кроме того, для любого числа а всегда
найдется число [равное (—1)-а], которое при сложении с а даст
нуль. Если же речь идет об умножении целых чисел, то е = 1,
но, например, для числа 2 -невозможно найти целое число а,
которое при умножении на 2 давало бы 1. Следовательно,
множество целых чисел, наделенное операцией умножения, не
образует группу. — Прим. ред. венгерского издания,
288

лоде в 32 карты, Р — подстановка
1 ... 16 7 ... 32
17 ... 32 1 ... 16,
то есть после выполнения подстановки Р первой
оказывается карта, находившаяся первоначально на 17-м
месте, второй — карта — находившаяся до
подстановки на 18-м месте и т. д., шестнадцатой — карта,
бывшая первоначально последней (при выполнении
подстановки Р тасующий карты снимает верхнюю
половину колоды и кладет ее на стол, а на нее кладет 16
карт, которые раньше находились внизу) и Q = P,
то есть вторая подстановка сводится к той же
операции над колодой, что и первая, то PQ = Р2 = I —
тождественная подстановка. Иначе говоря, после
выполнения подстановок Р и Q мы возвращаемся к
исходному расположению карт в колоде.
Рассмотрим теперь две наглядные математические
модели (существенно упрощенные схемы) тасования
карт. Первую из них мы будем называть
детерминистической моделью, вторую — стохастической
моделью,
Предположим сначала, что тасующий при каждом
своем движении производит над картами одну и ту же
подстановку. Если эту подстановку обозначить Р, то
fe-кратное повторение движения можно заменить
одной однозначно определенной подстановкой,
производимой над картами, расположенными в исходном
порядке, а именно подстановкой, соответствующей &-й
степени подстановки Р *. Теоретически такой способ
тасования карт нельзя признать удовлетворительным,
поскольку результат производимых над картами
манипуляций точно предсказуем (по крайней мере — в
принципе). Практически он также неприемлем,
причем пригодность его тем меньше, чем меньше порядок
подстановки Р, то есть наименьшее положительное
целое число г, при котором Рг = 1 (I означает
тождественную подстановку, оставляющую все карты в
колоде на месте). В приведенном выше примере поря-
* Эту подстановку мы получим, произведя k раз подряд
подстановку Р, Ее принято обозначать Pkt •— Прим, ред.
венгерского издания,
Ю Зак, 40J ' 289

док подстановки Р равен 2. Действительно, если Р-*
подстановка порядка г, то все подстановки Р, Р2, .*«
..., Рг различны (а все степени подстановки Р боль*
ше г совпадают с одной из них). Следовательно,
повторяя подстановку Р порядка г любое число раз, мы
принципиально не можем получить более г различных
перестановок карт в колоде. Разумеется, если бы
существовала подстановка Р порядка /г!, то, повторяя ее,
мы могли бы получить все /г! перестановок карт. Но
при п ^ 3 такой подстановки не существует:
симметрическая группа степени п при п ^ 3 не циклическая
(и даже не абелева *, в то время как все
циклические группы абелевы). С чисто математической точки
зрения весьма интересен вопрос о распределении
подстановок по порядкам. Эту задачу недавно удалось
решить П. Эрдёшу и П. Турану [1], но поскольку в
действительности тасование карт не сводится к
повторению одних и тех же операций, то мы не будем
останавливаться здесь на этом более подробно **.
Другая (более близкая к действительности)
модель тасования карт состоит в следующем.
Предположим, что тот, кто тасует карты,
производит движения наугад и при каждом движении с
определенной вероятностью могут возникать все
подстановки карт в колоде. Условимся также считать, что
движения независимы. Последнее, если говорить
точнее, означает следующее. Перенумеруем в любом
порядке все п\ подстановок п элементов. Пусть Q/ —
подстановка с номером /, a q\ — вероятность, с которой
она возникает при любом движении тасующего (/ =
* Симметрическая группа степени п — группа подстановок
п элементов. Циклическая группа — группа, все элементы
которой являются степенями одного элемента. Абелева группа —
группа, в которой произведение не зависит от порядка
сомножителей. — Прим. ред. венгерского издания.
** В работе [1] Эрдёш и Туран доказали, что порядки
большей части п\ подстановок степени п заключены в пределах от
е('/2~е) .\п2 п д0 еGг+е) \п2 п^ где положительное число 8 можно
сделать сколь угодно малым, выбрав достаточно большое п.
Применительно к тасованию карт это означает, что для большей
час^ти перестановок 52 карт тасующему понадобится повторить
движения менее 200 000 раз, прежде чем исходная перестановка
встретится еще раз. Для сравнения заметим, что 52!
представляет собой 68-значное число,
290

ess 1, 2, ..., п!). Разумеется, X qj = 1. Если тасующий
/-1
своим i'-м движением производит подстановку IL, то
П/ — случайные подстановки с распределением
вероятности
P(Hi = Qi) = qi (/=1, 2, ..., п!; /=1, 2, ...)
(то есть случайная подстановка П/ с вероятностью #/
будет совпадать с заранее заданной подстановкой Qj)
и распределение вероятности для подстановки IL не
зависит от подстановок Пь Пг, ..., П,_1.
В этом случае после &-го движения тасующего мы
получаем подстановку
U{U2 ... Пк = П{к)
(если до тасования карты в колоде располагались по
порядку: 1, 2, ..., ft). Подстановки n<fe> образуют так
называемую цепь Маркова *. Итак, известно, что если
{?/'}—распределение вероятности, при котором для
любой истинной подгруппы G группы всех
подстановок выполняется неравенство
£ 9/<1 BЛ)
(то есть если распределение вероятностей не
сосредоточено ни на одной из истинных подгрупп), то при
больших k распределение будет равномерным по П(Ч
то есть после того, как тасующий карты произведет
достаточно большое число операций, все подстановки
будут возникать с почти одной и той же вероятностью
(равной ~\/п\)> или, точнее **,
HmP(nw = Q/) = ~r (/=1,2, ..., ft!). B.2)
* Это означает лишь, что при заданной подстановке Ш*-1)
подстановка Ш*> не зависит от подстановки П(Л~2> (и всех
предыдущих подстановок), то есть, иначе говоря, подстановка П<*>
зависит только от самой подстановки П(*-1) и не зависит от ее
предыстории. — Прим. ред. венгерского издания.
** Соотношение B.1) представляет собой не что иное, как
частный случай обобщения центральной предельной теоремы
теории вероятностей на случай топологических групп, в котором
предполагается сходимость по мере Хаара (см., например, [2]
и [3]).
10* 291

(Условие B.1) выполняется, например, в том случае,
если qi > 0 при всех значениях /.)
Из сказанного следует практический вывод: если
все движения тасующего случайны, то в принципе при
тасовании колоды может возникнуть любая подста-
новка карт, а если число движений достаточно
велико, то колоду карт с достаточным основанием
можно считать «тщательно перетасованной». Вопрос о
том, что следует понимать под «достаточно большим»
числом движений, мы рассматривать здесь не будем*
Столь подробное рассмотрение процесса тасования
карт интересно хотя бы потому, что трюки,
используемые шулерами, в большинстве случаев основаны на
недостаточно хорошем тасовании карт (см. [5]).
3. ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТ
: Рассмотрим несколько простых примеров.
А) Покер. Для игры в покер берут колоду в
52 листа. Каждый из игроков получает по 5 карт.
Различают следующие покерные фигуры.
1. Флеш ройяль: 5 карт одной масти и
последовательных значений (например, девятка, десятка,
валет, дама и король треф). Туз можно принять равным
единице или считать следующим по старшинству за
королем.
2. Покер: 4 равные по значению карты (например,
4 короля), пятая карта — любая.
3. Фул: 3 равные по значению карты и 2 карты»
равные по значению, отличному от значения первых
3 карт (например, 3 десятки и 2 короля).
4. Цвет: 5 карт одной масти (например, все
5 карт — трефы).
5. Стрит: 5 карт последовательных значений, на
различных мастей (например, пятерка треф, шестерка
треф, семерка пик, восьмерка червей и девятка бубен).
6. Тройка: 3 карты равного значения (например,
3 семерки) и 2 карты любых других, но не
совпадающих значений (при совпадении значений последней
пары фигур называется фул).
7. Две пары: 2 карты одного значения, 2 карты
другого значения (например, 2 туза и 2 шестерки) и
292

пятая карта любого значения, отличного от значений
карт, образующих пары.
8. Одна пара: 2 карты равного значения
(например, 2 дамы) и 3 карты любых других попарно
неравных значений.
Вычислить вероятность появления любой покерной
фигуры совсем нетрудно: для этого необходимо лишь
подсчитать, в скольких случаях она возникает, и
разделить полученный результат на число способов,
которыми можно выбрать 5 карт из 52. Например, покер
возникает в 13-48 случаях, 5 карт из 52 можно
выбрать ( 5 J способами *, поэтому вероятность
появления покера равна
^3 :48 13-48-120 1_ _
52.51-50.49-48 ~ 4165 ~
Вероятность появления покерных фигур можно
вычислять и иным способом (отличным от приведенного
выше), если учесть, что порядок карт в пятерке не
существен. Конечный результат при этом останется
прежним, поскольку 5 карт можно расположить в
различном порядке 5! = 120 способами, а величина дроби
не изменится, если числитель и знаменатель сократить
на одно и то же число 120. Имея в виду это
обстоятельство, вероятность появления покера можно
вычислить следующим образом. Предположим, что в покер
играют четверо и карты сдают по кругу. Игрок,
сидящий на первом месте, получает первую, пятую, девятую,
тринадцатую и семнадцатую карты. Ясно, что число
* /52\ 52!
I - J — сокращенная запись выражения =*
52-51-50-49-48 тт
—. Нетрудно понять, что означает число,
5!
стоящее в правой части. Подсчитав, сколькими способами можно
выложить в ряд 5 карт, мы получим 52-51-50-49-48.
Действительно, первой картой может быть любая из 52 карт полной
колоды, второй —любая из 51 оставшейся карты и т. д.
Поскольку карты в каждой пятерке можно переставить 5!
способами, то число различных пятерок мы получим, разделив
62-51-50-49-48 на 5!
В произведение 13-48 множитель 13 входит потому, что
4 карты одного значения (и соответственно 4 различных мастей)
можно выбрать 13 способами. Пятой картой может быть любая
Из остальных 48 карт. — Прим, ред. венгерского издания.
293

перестановок, в которых 5 заданных карт имеют зара*
нее указанные номера, равно 47!, поскольку остальные
47 карт можно перенумеровать 47 еще свободными
номерами ровно 47! способами. Следовательно,
вероятность того, что, открыв свои карты, игрок обнаружит
покер, равна
13-48-5!471 _ 13-48 ._ 1
52! ~~ ( 52 \ ~ 4165 '
VI)
Как мы и предсказывали, новый результат совпадает
со старым.
Вероятности появления всех покерных фигур,
вычисленные с точностью до шестого знака,
представлены в следующей таблице:
флеш ройяль 0,000014
покер 0,000240
фул 0,001385
цвет - 0,001967
стрит 0,003532
тройка 0,021055
две пары 0,047373
одна пара 0,422570
«пустая» фигура 0,501864
Итого 1,000000
Итак, ценность фигуры в покере тем выше, чем
меньше вероятность ее появления. (Шкалу
вероятностей появления покерных фигур можно изменить, взяв
колоду с другим, отличным от 52, числом листов или
с одним или несколькими джокерами.)
По правилам игры, после того как игрок увидел
свои карты (и сделал соответствующую ставку), он
может отбросить часть из них и прикупить новые
карты. Исходная пятерка карт не образует ни одной из
покерных фигур с вероятностью несколько большей,
чем 1/2. Если игрок берет прикуп, то с вероятностью
!/г (значение вероятности мы опять округляем) у
него и во второй раз не получится ни одной покерной
фигуры. Поскольку оба события (образование
«пустой» фигуры при сдаче карт и при прикупе) почти
независимы, то с вероятностью, составляющей лишь
около у4, на руках у игрока после первой сдачи и
294

прикупа не окажется ни одной покерной фигуры.
Следовательно, если мы играем в покер с тремя
партнерами, то вероятность того, что на руках у них нет
даже одной пары, близка к ]/б4*. Это означает, что
если у нас есть лишь одна пара, то можно почти с
уверенностью утверждать, что по крайней мере у одного
из трех партнеров также на руках имеется одна пара
или еще лучшие карты.
Ясно, что открытие с одной парой дает весьма
малые шансы на выигрыш (иное дело — блеф,
допускаемый правилами игры в покер).
В заключение сошлемся на книгу К. Иордана [4],
в которой рассмотрены многие другие
теоретико-вероятностные задачи, связанные с игрой в покер.
Б) Бридж**. Для игры в бридж берут колоду
карт в 52 листа. Карты сдают поровну четырем
игрокам, подразделяющимся на две пары: два игрока,
сидящие напротив друг друга, образуют коалицию
против двух других игроков, также сидящих напротив
друг друга. Игра состоит из двух частей: лицитации
(торговли) и розыгрыша. Существует несколько
систем лицитации. При игре в бридж по системе Кал-
бертсона (см. [5]) играющие сначала устанавливают
ценность сданных им 13 карт, а затем решают, чем
вступать в торговлю. Ценность сданных игроку карт
определяется суммой «очков счета» (потенциальных
взяток), которые назначаются по следующим
правилам:
туз (без короля и дамы той же масти) 1 очко
туз и король (одной масти без дамы той же масти) 2 очка
туз и дама (одной масти без короля той же масти) 1,5 очка
туз, король и дама одной масти 2,5 очка
король (без туза и дамы той же масти) 0,5 очка
король и дама (одной масти без туза той же масти) 1 очко
* Выпадение «бесфигурных» комбинаций у
партнеров—события почти независимые, хотя их нельзя считать полностью
независимыми. Ввиду малости отклонения от независимости ошибка,
совершаемая при умножении вероятностей, не слишком велика.
** Строго говоря, бридж не принадлежит к числу азартных
игр в точном смысле этого слова, поскольку информация,
которой располагают игроки, имеет гораздо большее значение, чем
случайность. Но распределение карт в бридже случайно, чем и
объясняется большое число теоретико-вероятностных задач,
связанных с бриджем.
295

Ценность карт мы найдем, подсчитав сумму очков,
соответствующих тем комбинациям, которые
содержатся среди 13 карт, сданных игроку. Например, если
игроку сданы карты:
пики
туз
дама
десятка
восьмерка
семерка
ЧЕРВИ
король
дама
четверка
тройка
двойка
БУБНЫ
дама
семерка
ТРЕФЫ
восьмерка
то их ценность составляет 1,5+1 =2,5 счетных очка.
Найдем математическое ожидание* ценности 13
карт, получаемых игроком при сдаче.
Для этого необходимо вычислить, как
распределяется ценность карт между игроками, то есть
установить, с какой вероятностью ценность сданных игроку
13 карт достигает каждого из допустимых значений.
(Нетрудно видеть, что ценность карт может
измеряться любым целым и полуцелым числом счетных очков
от 0 до 10.)
Математическое ожидание ценности 13 карт нетрудно
найти при помощи прямых выкладок, но мы поступим
иначе: воспользуемся одним хорошо известным
свойством математического ожидания, а именно тем, что
математическое ожидание -суммы случайных величин
равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Пусть ei, е2, е3, е4 — счетные очки, измеряющие
ценность карт первого, второго, третьего и четвертого
игроков. Если карты в колоде тщательно перетасованы,
то математические ожидания очков, набранных
каждым из четырех игроков, равны. Ценность карт,
сданных первому игроку, можно представить в виде сум-
* Математическое ожидание случайной величины вычисляют
как взвешенную сумму ее значений (каждое из которых берется
с весом, равным вероятности значения). Если случайная
величина | принимает значения хи х2, ..., хп с вероятностями
Ри р2, ..., рп, то ее математическое ожидание есть величина
Математическое ожидание — важная характеристика
случайной величины: закон больших чисел утверждает, что, чем
больше значений принимает случайная величина, тем ближе их
среднее арифметическое к ее математическому ожиданию.

мы четырех слагаемых:
8i = еп + eJ2 + е13 + е14,
где 8ц, 8i2, 813, 8н — число счетных очков карт каждой
из четырех мастей (пик, червей, бубен и треф),
сданных первому игроку.
Аналогичным образом можно представить в виде
суммы четырех слагаемость ценности карт, сданных
трем остальным игрокам в бридж:
^2 = 821 + 822 + 823 + 824>
83 = 831 + 832 + 833 + 834>
84 = 841 + 842 + 843 + е44.
Ясно, что математические ожидания случайных
величин е// (i= 1, 2, 3, 4; /= 1, 2, 3, 4) равны.
Обозначив их общее значение через т, то есть положив
Щ*ц) = т (/,/=1, 2, 3, 4),
получим в силу аддитивности математического
ожидания
М (ej) = Am• = М (еп + e2i + e3i + e4i).
Величина еп + e2i + 83i + £4i —это сумма счетных
очков карт пиковой масти, сданных всем четырем
игрокам* Итак, мы доказали, что математическое
ожидание ценности карт одного игрока равно
математическому ожиданию суммы числа счетных очков карт
пиковой масти, сданных всем игрокам. Для вычисления
последней величины необходимо лишь знать, как
могут распределяться между четырьмя игроками туз,
король и дама пик. Если туз пик сдан одному игроку,
король пик — другому,, а дама пик сдана третьему
игроку, то еп + 82i + 831 + 84i = 1,5. Если же 2 карты из
трех (туза, короля и дамы пик) сданы одному игроку,
а третья карта при сдаче досталась другому игроку, то
8п + e2i + 831 + 841 = 2. Наконец, если туз, король и
дама пик сданы одному игроку, то 8ц + £2i + e3i +
+ 841 = 2,5.
Вероятность первого события (туз, король и дама
пик при сдаче карт оказываются у трех различных
игроков) можно вычислить следующим образом. Если
туз пик находится у игрока Л, то вместе с тузом пик
297

А получает при сдаче еще 12 карт, а остальные
игроки— 39 карт из 51. Следовательно, вероятность того,
что игрок А при сдаче карт не получил короля пик,
равна 39Ль Как показывают аналогичные
рассуждения, если при сдаче карт туза пик получил игрок Л,
а короля пик — игрок В, то вероятность того, что
даму пик получил либо игрок С, либо игрок D, равна
26До. Следовательно, с вероятностью
39» 26 _ Ш_ _ 0 oqo
51-50 ~ 425 ~ >dy
туз, король и дама пик при сдаче карт достанутся
трем различным игрокам.
Вероятность того, что две карты из трех (туза,
короля и дамы пик) окажутся в одних руках, а третья
достанется другому игроку, как нетрудно проверить,
равна
п 12 39 234
Наконец, с вероятностью
• = -Ц- = 0,052
туз, король и дама пик при сдаче карт окажутся у
одного игрока. Как и следовало ожидать, сумма
вероятностей всех трех событий равна единице: 0,398 +
+ 0,550 + 0,052 = 1.
Итак, математическое ожидание ценности карт,
сданных одному игроку, составляет 1,5-0,398 +
+ 2-0,550+ 2,5-0,052 = 0,597+1,100 + 0,130 = 1,827,
или округленно 1,8. Этот результат подтверждает
обоснованность того правила торговли при игре в бридж
по системе Калбертсона, по которому тому, кто
начинает лицитацию, необходимо иметь 2,5 счетных очка
(поскольку разрыв между 2 счетными очками и
средней ценностью карт еще слишком незначителен), а
если торговлю начинает партнер из коалиции, то для
повышения достаточно иметь 1,5 счетных очка (то
есть число счетных очков, сравнимое со средней
ценностью карт одного игрока). Действительно,
математическое ожидание суммарной ценности карт двух
298

противников составляет 3,6 счетного очка, а посколь*
ку 2,5 + 1,5 = 4, то игрок, начинающий лицитацию,
может рассчитывать на то, что вместе со своим
партнером по коалиции он окажется сильнее противников,
даже если у партнера наберется всего лишь 1,5
счетных очка.
Нельзя не упомянуть еще об одной интересной
задаче, возникающей в связи с игрой в бридж.
Предположим, что игрок А получает при сдаче карт
2 туза. Какова вероятность того, что его партнер
получит 2 других туза, одного из двух других тузов или
останется без тузов? Ясно, что 2 туза, не доставшиеся
при сдаче карт игроку Л, находятся среди 39 карт,
сданных трем другим игрокам, и существует Q J
равновероятных способа извлечь 2 карты из 39.
С точки зрения ответа на первый вопрос
благоприятными являются B J случая, поэтому вероятность
того, что партнер игрока А также получит при сдаче
2 туза, равна Q )/B ) = 6/57-
Вероятность того, что партнер игрока А получит
/13\
только 1 туз, составляет 13 • 26/f 2 1 = 26/57, а
вероятность того, что он не получит ни одного туза,
равна B )/B ) = 25/57. Сумма трех вероятностей,
как нетрудно проверить, равна единице: F + 26 +
+ 25)/57= 1.
Подробное и доступное рассмотрение теоретико-
вероятностных задач, возникающих с игрой в бридж,
можно найти в книге Э. Бореля и А. Шерона [6].
4. СТРАТЕГИЯ ИГРЫ
Чтобы избавиться от второстепенных деталей и
сосредоточить внимание на главном, рассмотрим
упрощенный вариант азартной игры, состоящий в
следующем. Игрок (назовем его Петер) ведет игру против
банка. Игра состоит из серии партий. Перед каждой
партией Петер имеет право решить, какой суммой
денег имеет* смысл рискнуть. Эта сумма называется
ставкой Петера. Перед началом каждой партии Петер
299

обязан выложить свою ставку на стол, поэтому
размер ставки не может превышать сумму наличных,
которой располагает Петер. Сделав ставку, Петер
производит случайное испытание с двумя возможными
исходами (события А и Л), имеющими соответственно
вероятности р и q (p-\-q = I, О <С р < I). Если
исходом испытания является событие Л, то Петер
забирает свою ставку и, кроме того, банк
выплачивает ему вознаграждение в размере сделанной
Петером ставки. Если же исходом испытания является
событие Л, то сделанную Петером ставку забирает
банкомет. К этому типу игр принадлежит, например,
игра в орла или решку, для которой (если монета не
фальшивая) р = 7г, а также рулетка, если Петер
всегда ставит на красное. Поскольку по окружности
рулетки нанесены 18 красных положительных чисел,
18 черных положительных чисел и нуль и если
выпадает нуль, то ставку забирает банк, вероятность
события А составляет р = 18/37.
Известно, что если р ^ 72, то не существует
стратегии, гарантирующей Петеру заведомый выигрыш*
Рассмотрим для простоты случай р = 7г. Пусть
е^ == +1, если k-ю партию выигрывает Петер (то есть
если происходит событие Л), и е* = —1, если
сделанная ставка остается за банком (то есть если
происходит событие Л). Обозначим через Sk ставку
Петера в k-и партии. Ясно, что Sk может зависеть от
8Ь 82, ..., ejfe-ь то есть Sk = 5*(8ье2, ..., e*-i), и
принимать только неотрицательные значения, причем
Sk = 0 означает, что Петер не принимает участия
в А-й партии (если Sn Ф 0, а 5/ = 0 при любом
/ > пу то это означает, что Петер выходит из игры
после п-й партии).
Если Петер садится играть с N форинтами в
кармане, то при любой из выбранных Петером
допустимых стратегий 5fe(ei,e2, •.., e^-i) :(k=l, 2, ...) —
неотрицательные функции, принимающие
произвольные значения (Si — постоянная, а каждая из
переменных е/ может принимать значения -±1) и
удовлетворяющие условиям
е2, ,.., eftel)>0 (я=1, 2,
300

Пусть g0 = N. Тогда величина
п
£ е2, ..., ek^) (п = 1, 2, ...)
показывает, какая сумма денег остается у Петера
после /г-й партии. Случайные величины £rt образуют
так называемый мартингал (см. [7]). Это означает,
что математическое ожидание величины |„ при
заданных значениях £ь Ы •**> £*-i всегда равно %п-и
Нетрудно видеть, что если р = 1/2, то М(^)=0
(п = 1, 2, ...), то есть никакая стратегия не
гарантирует Петеру заведомого выигрыша. В этой связи
интересно кратко рассмотреть ошибочную «систему
игры», согласно которой Петер должен делать ставки
в 1 форинт до первого выигрыша, после чего, получив
вознаграждение в 1 форинт, прекращать игру (попу*
лярность этой стратегии объясняется тем, что боль*
шинство любителей азартных игр незнакомо с
теорией вероятностей). На первый взгляд кажется, будто
такая система игры обеспечивает Петеру выигрыш
в 1 форинт, поскольку (с вероятностью, равной 1)
событие А рано или поздно непременно произойдет.
Однако при более внимательном рассмотрении вывод
оказывается иным: стратегия, о которой идет речь,
отнюдь не гарантирует выигрыш. Действительно,
приведенные выше правила игры не позволяют Петеру
придерживаться этой стратегии, поскольку если
Петер проиграл, например, первые N партии или в
серии из Af+2Af партий проиграл всего N-{-М и
выиграл М партий, то остался совсем без денег и,
следовательно, не мог продолжать игру, а это означает,
что Петер с положительной вероятностью проиграет
все наличные деньги. В том, что математическое
ожидание выигрыша Петера равно нулю, можно
убедиться следующим образом. Пусть fk{N) —
вероятность того, что, прежде чем проиграть все N
форинтов, Петер успеет выиграть k — N форинтов. Если
N ^ 2, то
f(N+l) + ±fk(N-l). D.1)
Действительно, событие, о котором идет речь, мо*
жет произойти в двух случаях; либо Петер проиграет
301

первую партию, а затем, прежде чем проиграть
остальные (N—1) форинтов, успеет выиграть (k —
— N + I) форинтов, либо Петер выиграет первую
партию, а затем, прежде чем проиграть (Af+1) Ф°-
ринтов, успеет выиграть (k — N—1) форинтов.
Нетрудно доказать *, что все возможные решения
разностного уравнения D.1) представимы в виде
fk(N) = AN + B. Так как /Л@)=1 (если у Петера
вообще нет денег, то он не может принять участие
в игре и, следовательно, не может выиграть) и
fk(k) = O (если к началу очередной партии Петер
уже успеет выиграть k форинтов, то он должен
прекратить игру), то fk(N)=\—N/k. В обоих
интересующих нас случаях k = iV+ 1, поэтому Петер с
вероятностью \l{N+\) проиграет все свои N
форинтов прежде, чем выиграет 1 форинт. Следовательно,
если Петер будет придерживаться изложенной выше
стратегии, то математическое ожидание его
выигрыша окажется равным
У читателя может сложиться превратное мнение
о том, будто теория вероятностей рекомендует
любителям азартных игр: если играть «на интерес», а не
для развлечения, то лучше не играть совсем. Однако
это не соответствует действительности: если игрок
хочет, чтобы математик сообщил ему
беспроигрышную стратегию, то выполнить такое требование
невозможно— математик бессилен помочь игроку. Но
если игрок ставит перед собой вполне достижимую
цель, то математик может ответить на вопрос о том,
* Доказательство этого утверждения проводится следующим
образом. Если вероятность fk(N) удовлетворяет разностному
уравнению D.1), то величина g (N) = fk (N) т- (fk (k) — ffc(O))—•
— fk @) также удовлетворяет этому уравнению и g@) =
= g(k) = 0. Пусть maxg(N) = G(Ni). Тогда по индукции
можно доказать, что g(Nt + j)= G (/= 1, 2, ..., k — Ni) и
аналогично, что g(N± — /) = G (/'=1, 2, ..., Ni). Таким образом,
при N = 0, 1, ..., к выполняется равенство g(N)= 0 и,
следовательно, fk(N) = AN -f- В, где
л = y {fk W -{k <°» и в
302

как действовать наилучшим образом, чтобы добиться
желаемого.
Рассмотрим сначала следующий вопрос.
Предположим, что Петер играет в орла или решку,
располагает до начала игры N форинтами и решает играть
до тех пор, пока либо не увеличит свое
«благосостояние» до М> N форинтов, либо не проиграет все
свои деньги. При какой стратегии шансы Петера на
выигрыш максимальны? Пусть w =
w(N,M)—вероятность того, что Петер завершает игру с М
форинтами. Поскольку Петер не может проиграть
больше чем N форинтов, а математическое ожидание
выигрыша должно быть равно нулю, то w(M — N)—-
— A—w)N = wM ^ N = 0, то есть должно
выполняться неравенство w ^ N/M. Следовательно, наш
исходный вопрос допускает уточнение: какую
стратегию должен избрать Петер для того, чтобы
вероятность выигрыша была w = N/M? Назовем «смелой»
стратегию, при которой Петер ставит сразу всю
имеющуюся у него в наличии сумму денег х до тех пор,
пока она не превышает половины М (х ^. М/2), а
если она больше половины, но меньше М (М/2 <С
<Cx<zM), то ставит лишь М — х форинтов, то есть
ровно столько, сколько необходимо, чтобы в случае
выигрыша в следующей партии достичь намеченной
суммы в М форинтов. Например, если N = 1 и М =
= 10, то Петер в первой партии ставит 1 форинт
и, если проигрывает, выходит из игры, а если
выигрывает, ставит зетем уже 2 форинта.
Итак, во второй партии ставка Петера достигает
уже 2 форинтов. В случае проигрыша он с грустью
удаляется, а в случае выигрыша ставит все наличные
деньги D форинта) в следующей партии. Проиграв
ее, он отправляется домой с пустым карманом, а
выиграв, получает 8 форинтов. В очередной партии он
делает ставку только в 2 форинта и, выиграв,
получает наконец долгожданные 10 форинтов и выходит
из игры. Если же Петер проиграет, то у него
останется еще 6 форинтов и он сможет продолжить игру:
поставить 4 форинта, в случае выигрыша довести
«наличный капитал» до 10 форинтов и с торжеством
удалиться, а в случае проигрыша поставить в
очередной партии последние 2 форинта и т. д. В рас-
зоз

смотренном нами примере оборот денежных сумм,
которыми располагает Петер, можно изобразить
в виде ориентированного графа, из каждой вершины
которого выходят 2 ребра, выбираемых с
вероятностью 7г (см. рисунок). Если pi — вероятность того,
что игрок, отправляясь из /-й вершины (i = 1, 2, 4, 6,
8), достигнет вершины 10, то справедливы
соотношения
1 , 1
: т + т Ръ
P4 = -§" P*>
1
P2 =  P4»
Они образуют систему из 5 линейных уравнений.
Эта система совместна, так как определитель ее
отличен от нуля. Действительно, производя
соответствующие подстановки, получаем
и, кроме того,
304

откуда
и, следовательно,
P.=JL (/=1, 2, 4, 6, 8).
Итак, w(l, 10)= Vio. Аналогичным образом можно
вычислить вероятности w(N, M) для случаев, когда
Лг и М — произвольные положительные числа, N <t
;<Ми M/N — рациональное число. Если N и М очень
велики, то способ, позволивший найти w A,10),
становится мало пригодным для вычисления w(N,M),
так как приводит к необходимости решать систему
линейных уравнений высокого порядка. Учитывая это,
мы воспользуемся для доказательства оптимальности
предлагаемой стратегии в общем случае другим
способом. Справедливо общее утверждение: если N и
М — произвольные (не обязательно целые)
положительные числа и N <. М, то w(NyM) = N/M.
Убедиться в том, что оно верно, можно следующим
образом. Не ограничивая общности, предположим, что
М = 1 и 0 < Af < 1, поскольку М всегда можно
выбрать за денежную единицу. Пусть w(N91) = f(N)
@ ^ N ^ 1). Ясно, что
\f{2x) при 0<х<^-,
i- + JL/B*-l) при у<*<1.
Решить это функциональное уравнение можно тем
же способом, которым мы нашли решение
разностного уравнения D.1).
Пусть g(x) = f{x) — х. Ясно, что g(x)]
удовлетворяет соотношениям
) при 4
. D.3)
-1) при |<*<1.
г
Функция g(x) ограничена (—l^g(x)^l)y так
как f(x)—вероятность и, следовательно, O^f(x)^
<; 1. Пусть G — supg(x) и {хп} —-такая числовая
0<<1
последовательность, для которой lim g(xn) = G.
Д-»оо
305

Из ограниченной числовой последовательности
{хп} можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. Пусть ijn — члены этой подпоследовательности.
Тогда
lim уп = у и lim g (уп) — О.
Я-»ос П->оо
Если неравенства 0 ^ уп ^ 7г выполняются для
бесконечно многих я, то из соотношений D.3) следует,
что
G = lim g (yn) < 4- lim SUP 8 <2#«) < 0/2.
Л-»оо
Если же бесконечно много членов
подпоследовательности {уп} удовлетворяют неравенствам Ч2 ^Уп^ h
то
G= lim g(ynX± lim
Следовательно, и в том и в другом случае G <: G/2,
то есть G ^ 0.
Пусть g = inf g (д:). Как показывают аналогич-
0<<1
ные рассуждения, величина g удовлетворяет
неравенству g ^ 0. Это означает, что g = G = 0, то есть
g(x)=0 и /(*)—i 0. Наше утверждение доказано.
Заметим, что при игре в орла или решку любая
стратегия, при которой Петер с вероятностью 1 за
конечное число шагов либо проигрывает все деньги,
либо выигрывает заранее намеченную сумму,
приводит к такой же вероятности выигрыша, как и
рассмотренная выше «смелая» стратегия.
Рассмотрим теперь игру, в которой Петер в
каждой партии с вероятностью р выигрывает и с
вероятностью 9=1— Р проигрывает ставку, причем 0<
< Р < 7з. (К числу таких игр относится, например,
рулетка, если Петер всегда ставит на красное.
В этом случае, как было показано, р = 18/з7.) В
такой игре выбор стратегии уже не безразличен и
«смелая» стратегия действительно является оптимальной.
Предположим, что перед началом игры Петер
располагает капиталом в х денежных единиц, где 0<
Х*<1, и намеревается довести его до 1. Пусть
g(x,p\—вероятность того, что Петер достигнет на»
306

меченной цели, если будет придерживаться «смелой»
стратегии.
Как показывают рассуждения, аналогичные тем,
которыми мы воспользовались для вывода
функционального уравнения D.2) при р = 7г, вероятность
g{x,p) удовлетворяет функциональному уравнению
е(х D) = ( при
\p + (l-p)g{2x-l,p) при
D.4)
и, кроме того, условиям g@,p) = 0 и g(l,p)—=L
Решением уравнения D.2) служит функция f(x)"9
тождественно равная х. Аналогичные соображения
позволяют доказать, что при дополнительных
условиях g"@, р) = 0 и g"(l,p)= 1 существует, и притом
только одно, решение функционального уравнения
D.4). (Впервые это доказал де Рам, см. [10].)
Построить решение функционального уравнения D.4)
можно следующим образом. Пусть gi, |2» ••• —
независимые случайные переменные, принимающие
значения 0 и 1 с вероятностями р и 1—р.
оо
Пусть, далее, г\ = £ Ij2n и Fp (x) — функция
распределения случайной величины г\ *. Нетрудно
проверить, что Fp(x) удовлетворяет функциональному
уравнению
_( pFpBx) при 0<лг<72,
p{X)~\' + (lp)FBx-l) при
и условиям fp @) = 0, Fp A) = 1. Следовательно,
Fp(x) = g(x,p). Меру |1р(Л), принимающую на бо-
релевских множествах интервала @,1) значения
Vp{fa,b) = Fp(b) — Fp(a), где 1а,ь — замкнутый слева
и открытый справа интервал а^.х<.Ь @^.а<'-
< Ь ^ 1), можно задать следующим образом.
Выбрав меру равной р на интервале @, 7г) и 1— р—*
на интервале A/2, 1), перераспределим затем меру р
* Функцией распределения случайной величины ц называется
функция F(x) = Р(т| < х), значения которой показывают, с
какой вероятностью случайная величина г| меньше хщ — Прим. ред,
венгерского издания.
307

на интервале @, 7г) в отношении р: A—pj между
подынтервалами @, 74) и G4,72)» проделаем
аналогичную операцию с мерой, сосредоточенной на
интервале Gг, 1), и после п повторений на (*М из
интервалов (k/2n, {k+l)/2») (£ = 0, 1, ...» 2"— 1) будет
сосредоточена мера pl{\—p)n~l ,A = 0, Ь •'.., гг).
Нетрудно доказать, что Fp(x) — монотонно (строго)
возрастающая, непрерывная сингулярная функция
(последнее означает, что ее производная почти всюду
равна нулю). При рхфр2 меры \ipi и \ip2
ортогональны. Ясно, что цл/а совпадает с обычной мерой
Лебега, поскольку
Мы не будем доказывать для общего случая
утверждение о том, что при р < 7г выбор стратегии
небезразличен и «смелая» стратегия оптимальна,
а вместо этого рассмотрим подтверждающий его
численный пример.
Предположим, что Петер с 25 форинтами в
кармане садится играть в рулетку (p = l7/zs)y
намереваясь выиграть 100 форинтов, и решает
придерживаться «смелой» стратегии. Осуществить свое
намерение Петер может в том и только в том случае, если
ему удастся выиграть 2 первые партии, что
произойдет с вероятностью р2 = 0,244 .... Посмотрим
теперь, что произойдет, если Петер вздумает избрать
более осторожную стратегию и будет всякий, раз
ставить лишь по 25 форинтов. Нетрудно доказать, что
Петер может выиграть 100 форинтов с вероятностью
лишь рУ(\—2р + 2р*)у а поскольку при р <С 7г
то р3/A—2р + 2р2)<р2. В частности, при р — 17/зв
получаем р3/A —2р + 2р2) = 0,2301 .... Таким
образом, при «смелой» стратегии вероятность выигрыша
для Петера превышает 23,5%, а при «осторожной»
стратегии оказывается меньше 23,5%.
В более общей постановке аналогичные проблемы
рассмотрены в книге Л. Э. Дуббинса и Л. Дж. Сэ-
виджа [8].
308

5. МАТЕМАТИК ПРОТИВ ИГОРНОГО ДОМА
В заключение мы хотим рассказать об одном
весьма интересном случае, когда и сильные и слабые
стороны математической теории азартных игр
проявились особенно наглядно. Несколько лет назад
преподавателю университета в Лос-Анджелесе
американскому математику Эдварду О. Торпу во время
зимних каникул случилось провести несколько дней
в Лас-Вегасе. Воспользовавшись оказией, Торп
заглянул в один из игорных домов, сел играть в
«двадцать одно» и, разумеется, проиграл.
Раздосадованный неудачей, ученый принялся размышлять над
тем, какая стратегия оптимальна для игрока при игре
в двадцать одно (точнее, в том варианте этой игры,
который принят в игорных домах штата Невада*)*
Как известно, при игре в двадцать одно банкомет
(служащий игорного дома) сдает игрокам по 2 карты
из тщательно перетасованной колоды в 52 листа.
Полученные карты игроки банкомету не показывают.
Самому себе банкомет сдает 2 карты и первую из
них показывает игрокам. Карты оцениваются по
следующей шкале: все фигуры (валеты, дамы, короли)
получают по 10 очков, а остальные карты, за
исключением тузов, — то количество очков, которое
совпадает с их значением (например, семерки — по 7
очков). Туз оценивается либо в 1 очко, либо в 11 очков.
Выигрывает тот, у кого сумма очков оказывается
наиболее близкой к 21 (оставаясь при этом не
больше 21).
Оценив сданные ему карты, каждый игрок имеет
право прикупить столько карт, сколько сочтет
необходимым, но если сумма очков набранных им карт
превзойдет 21, то игрок должен показать свои карты
и выбыть из игры. Банкомет также может прикупать
карты. Верхний и нижний пределы ставок
устанавливаются заранее, но в остальном игроки могут
выбирать размеры ставок по своему усмотрению. Если
карты у игрока лучше, чем у банкомета, то игрок
получает выигрыш в размере сделанной ставки, а если
* В США игорные дома и азартные игры запрещены
законодательством большинства штатов. Штат Невада составляет
исключение: в нем игорный бизнес процветает вполне легально.
309

хуже, то теряет свою ставку. Если сумма очков у
игрока и у банкомета оказывается одинаковой
(например, если они оба набирают по 21 очку), то каждый
из них остается при своих деньгах.
Большое преимущество банкомета состоит в том,
что игроку всякий раз приходится открывать свои
карты и в случае перебора он проигрывает
сделанную ставку, даже если у банкомета также будет
перебор. Выяснить последнее обстоятельство в
действительности не удается, так как банкомет не обязан
открывать игроку свои карты, он лишь сгребает
ставки специальной лопаточкой, если все игроки бросают
свои карты.
Торп обратил внимание на то, что во всех
игорных домах существуют строгие правила,
предписывающие служащим игорного дома выбор
определенной стратегии в той или иной ситуации *. Например,
одно из этих правил гласит: если сумма набранных
очков больше или равна 17, то банкомет не должен
прикупать карты. Торп решил, что поскольку игрок
в отличие от банкомета не обязан выполнять никакие
жесткие правила и показывать первую из сданных
ему карт и, кроме того, может выбирать по своему
усмотрению размер ставки, то, несмотря на
определенное преимущество (о котором мы уже упоминали)
банкомета перед игроками, вполне возможно (по
крайней мере принципиально) разработать стратегию,
выигрышную для игрока. Торп исходил главным
образом из того, что в игорных домах штата Невада
в то время для ускорения игры не было принято
тасовать карты после каждой партии: банкомет сдавал
карты до полного «исчерпания» колоды, а затем
собирал и тасовал отброшенные карты. Этот обычай
позволял игроку, заметившему, какие карты «вышли» из
игры, внести надлежащие коррективы в свою
стратегию и тем самым повысить шансы на выигрыш,
разумеется, при условии, что он сумеет распорядиться
собранной информацией. Ясно, что игрок должен
* Требуя от своих служащих неукоснительного соблюдения
этих правил, владельцы игорных домов стремятся
воспрепятствовать вступлению банкомета в тайный сговор с игроками, что
(вопреки обычному распределению доходов) нанесло бы ущерб
интересам владельцев,
310

знать, с какой вероятностью банкомет может и'звлечь
ту или иную карту из неполной колоды и как строить
стратегию, обеспечивающую ему наибольшее
преимущество. Правила для отыскания оптимальной
стратегии должны быть простыми и легко
запоминающимися, поскольку игроку необходимо в считанные
секунды решать, будет ли он прикупать новые карты
или воздержится. Торп не пожалел труда и,
произведя соответствующие расчеты на ЭВМ ИБМ 704
Массачусетского технологического института *,
разработал весьма удобную стратегию, обеспечивающую
игроку перед банкометом преимущество в несколько
процентов. О своих результатах Торп сообщил в
докладе на заседании Американского математического
общества, состоявшемся в 1960 г. в Вашингтоне.
Доклад вызвал необычайный интерес, а несколько дней
спустя Торп получил от некоего бизнесмена письмо
с чеком на 100 тысяч долларов, предназначенных для
проверки выигрышной стратегии на практике. Торп
принял чек и, выучив сформулированные им правила
наизусть, отправился в Неваду, чтобы испытать свое
открытие. Испытание прошло успешно: менее чем за
2 часа Торп выиграл 17 тысяч долларов. Разумеется,
владелец игорного дома не разделял восторгов Торпа
и его компаньона по поводу успешного исхода
испытания и на следующий день предпринял все от него
зависящее, чтобы помешать Торпу снова сесть за
игорный стол. Позднее Торп пытался проникнуть
в другие игорные дома, но весть о нем уже успела
распространиться, и двери всех игорных домов
неизменно оказывались закрытыми для него. Несколько
раз, нацепив фальшивую бороду или
загримировавшись под китайца, Торп все же добирался до
игорного стола, но при любой маскировке его неизменно
выдавал постоянный выигрыш. От дальнейших
проверок разработанной им стратегии Торпу пришлось
отказаться. За свое «изгнание» от отомстил
владельцам игорных домов, издав книгу, в которой подробно
изложил найденные им правила (см. [9]). Число
игроков, овладевших выигрышной стратегией по
* Для проведения этих расчетов потребовалось 3 часа
машинного времени.
311

книге Торпа, оказалось столь велико, что владельцам
игорных домов в штате Невада не оставалось ничего
другого, как радикальнейшим образом изменить
правила игры. В числе этих изменений новые правила
предусматривают непременное тасование карт после
каждой партии, что обращает в прах краеугольный
камень выигрышной стратегии Торпа. Так мы вновь
вернулись к тому, с чего начали: к тасованию карт.
ЛИТЕРАТУРА
1. Erdos P., Turan P. On some problems of statistical group
theory, I. — Zeitschs. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte
Gebiete, 1965, No. 4, 175—186.
2. Prekopa A., Renyi A., Urbanik K. On the limiting distribution
of sums of independent random variables in commutative
compact topological groups. — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1956,
No. 7, 11—16.
3. Grenander U. Probabilities an algebraic structures. — New
York: Wiley, 1963. (Имеется перевод: Гренандер У.
Вероятности на алгебраических структурах. — М.г Мир, 1965.)
4. Jordan К. Fejezetek a klasszikus valoszinusegszamitasbol. —•
Budapest: Akademiai Kiado, 1955.
5. Culbertson E. New and Complete Summary of Contract
Bridge. —Philadelphia: John C. Winston, 1935.
6. Borel Ё., Cheron A. Theorie mathematique des bridges, a la
portee de tous. Paris: Gauthier — Villars, 1955.
7. Doob J. L. Stochastic processes. — New York: Wiley, 1953.
(Имеется перевод: Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. —
М.: ИЛ, 1956.)
8. Dubbins L. Е. Savage L. J. How to gamble if you must. —•
New York: McGrow Hill, 1965.
9. Thorp E. O. Beat the dealer. A winning strategy for the game
of twenty one. — New York: Blaisdell, 1962.
10. de Rham G. Sur quelques courbes definies par des equations
fonctionelles. — Rend. Seminario Matem, Unw, Torino, 1956—
1957, No. 16, 1Q1—113%

ЗАМЕТКИ О ПРЕПОДАВАНИИ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ВВЕДЕНИЕ
Приводимые ниже соображения о преподавании
теории вероятностей носят общий характер и не
ограничены рамками ни специального типа учебного
заведения, ни определенного круга учащихся.
Затрагиваемые в них проблемы возникают независимо от
того, в какой форме ведется преподавание теории
вероятностей. Я намерен коснуться трех основных
вопросов:
1. Для чего следует преподавать теорию
вероятностей?
2. Что следует преподавать в курсе теории
вероятностей?
3. Как следует преподавать теорию вероятностей?
Таким образом, речь пойдет о целях, содержании
и методах преподавания теории вероятностей.
При написании заметок я исходил из личного
опыта. Излагаемые в них взгляды сложились в про-
сессе учебной работы в университетах и чтения
лекций по теории вероятностей на вечерних курсах при
Будапештском университете (где часть аудитории
составляли школьники, интересующиеся математикой)]
и по телевидению (где цикл лекций предназначался
для весьма широкого и разнообразного по составу
круга зрителей, совсем юных и взрослых, значительно
отличающихся по своим интересам и уровню знаний)*
.1. ДЛЯ ЧЕГО НЕОБХОДИМО
ПРЕПОДАВАТЬ ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ*
На первый взгляд кажется, что точный ответ на
этот вопрос можно дать лишь в том случае, если
известно, в какой форме и на каком уровне ведется
313

преподавание теории вероятностей. Тем не менее
я глубоко убежден, что кое-какие общие
утверждения на эту тему все же можно высказать без каких
бы то ни было уточняющих предположений. Я имею
в виду главные цели преподавания теории
вероятностей. Именно их, по моему мнению, должен ставить
перед собой каждый, кто преподает любой раздел
теории вероятностей, хотя акценты, разумеется, могут
варьироваться в зависимости от типа учебного
заведения. Итак, я считаю, что при выборе главных целей
любого курса теории вероятностей надлежит
руководствоваться следующими мотивами.
A) Теорию вероятностей необходимо преподавать
потому, что она играет важную роль в развитии
мышления учащихся.
Б) Теорию вероятностей необходимо преподавать
потому, что ее выводы находят применение в
повседневной жизни, науке, технике и т. д.
B) Теорию вероятностей необходимо преподавать
потому, что она имеет важное, ни с чем не сравнимое
значение для математического образования.
Прокомментируем кратко эти аргументы.
А) Один из профессоров юридического
факультета Будапештского университета любил задавать
студентам на устном экзамене вопрос: «Что вы
увидите, взглянув на Будапешт с горы Геллерт?»
Предполагаемый ответ должен был гласить: «Объекты
и субъекты права».
Не знаю, что сказал бы почтенный профессор,
если бы кто-нибудь из студентов вздумал ответить:
«Случайный процесс». Скорее всего профессор счел
бы такой ответ неправильным, хотя он не менее
верен, чем ожидаемый. Знакомство с основными
понятиями теории вероятностей необходимо для того,
чтобы мы могли познавать окружающий мир и
создавать одну из научно обоснованных картин этого
мира. Преподавание любого раздела математики
благотворно сказывается на умственном развитии
учащихся, поскольку прививает им навыки ясного
логического мышления, оперирующего четко
определенными понятиями. Все сказанное о преподавании
любого раздела математики в полной мере относится
и к преподаванию теории вероятностей, но обучение
314

«законам случая» играет несколько большую роль
и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории
вероятностей, учащийся познает, как применять
приемы логического мышления в тех случаях, когда
приходится иметь дело с неопределенностью (а такие
случаи возникают на практике почти всегда).
Изучение теории вероятностей благоприятно
сказывается и на характере учащихся, например
развивает смелость, поскольку позволяет понять, что при
определенных обстоятельствах неудачи можно просто
отнести к случайностям и, следовательно, потерпев
неудачу, отнюдь не следует отказываться от борьбы
за достижение намеченной цели. Люди, стоящие на
низкой ступени развития, склонны к чрезмерной
подозрительности: какая бы беда ни приключилась
с ними, они склонны приписывать ее чьему-то злому
умыслу, даже если подобные утверждения лишены
малейших оснований. Объясняется это тем, что
примитивные люди не знакомы с таким понятием, как
случайность. Преподавание теории вероятностей
может принести несомненную пользу, поскольку
позволяет окончательно порвать с пережитками
магического мышления каменного века. Изучая теорию
вероятностей, люди становятся более
снисходительными и терпимыми к окружающим и, следовательно,
с большей легкостью вписываются в жизнь общества.
Б) В повседневной жизни нам постоянно
приходится сталкиваться со случайностью, и теория
вероятностей учит нас, как действовать рационально с
учетом риска, связанного с принятием отдельных
решений. Хорошим примером применения теории
вероятностей в повседневной жизни может служить выбор
наиболее целесообразной формы страхования. При
планировании семейного бюджета или поездки за
границу зачастую приходится оценивать расходы,
носящие в известной мере случайный характер. Эти
примеры показывают, что знакомство на том или
ином уровне с законами случая необходимо каждому.
Применение теории вероятностей в науке, технике,
экономике и т. д. приобретает все возрастающее
значение. Именно поэтому у все большего числа людей
в процессе работы возникает необходимость в
изучении теории вероятностей. Разумеется, объем курса
315

теории вероятностей зависит от типа учебного заве*
дения. Но не следует забывать и о другом:
современный образованный человек независимо от профессии
и рода занятий должен иметь хотя бы самое общее
представление о том, что такое атомная энергия,
радиоактивность, генетика и т. п. Перечень
необходимых познаний включает в себя и знакомство, пусть
даже весьма поверхностное, с простейшими
понятиями теории вероятностей. В наши дни, когда
прогноз погоды содержит сообщение о вероятности дождя
на завтра, каждый должен знать, что собственно это
означает.
В) Изучение теории вероятностей способствует
лучшему пониманию взаимосвязей между
действительностью и математикой, математических моделей
действительности. Если в курсе математики теория
вероятностей обходится полным молчанием, то у
учащихся складывается неверное представление об
истинном характере математики и ее применениях.
Люди, не знакомые с теорией вероятностей,
разделяют ошибочное мнение о том, будто математические
методы можно применять лишь в тех случаях, когда
речь идет о простых и точных зависимостях между
точно измеримыми и вычислимыми величинами.
Нередко можно услышать и утверждение о том, будто
математические методы непригодны для изучения
и описания тех или иных явлений, поскольку те
«слишком сложны». Подобный предрассудок живет
в умах людей, не изучавших ни математику, ни тем
более теорию вероятностей. Именно те, кто
придерживается этих в корне неверных взглядов, до
недавнего времени препятствовали (по крайней мере в
некоторых странах) применению математических
методов в экономике, социологии, биологии, психологии
и других областях науки.
Нельзя не упомянуть и о мнении тех, кто считает,
что преподавание теории вероятностей не выходит за
рамки программ по математике в учебных заведениях
средней или еще более низкой ступени. Это мнение
согласуется с другими современными тенденциями в
преподавании математики, что легко объяснимо: его
разделяют те, кто преподает теорию вероятностей и
своей деятельностью реализует новые тенденции. Со-
316

вершенно очевидно, что преподавание теории вероят*-
ностей упрощается, если учащиеся заранее
ознакомлены с теорией множеств или теорией булевых алгебр.
С другой стороны, изучение теории вероятностей дает
великолепный повод для более основательного и
глубокого знакомства и с теорией множеств, и с теорией
булевых алгебр.
2. ЧТО СЛЕДУЕТ ПРЕПОДАВАТЬ
В КУРСЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ?
Поскольку я намереваюсь затронуть лишь самые
общие проблемы, относящиеся к преподаванию теории
вероятностей на любом уровне, а содержание курса
сильно зависит от типа учебного заведения, возраста
учащихся, уровня математической подготовки и т. д.,
мне не остается ничего другого, как ограничиться
несколькими замечаниями.
Я считаю, что следующие четыре темы должны
непременно входить в любой курс теории
вероятностей:
A) Практический «фон» теории вероятностей, то
есть констатация статистических закономерностей,
встречающихся в повседневной жизни, в природе и
в азартных играх.
Б) Математическая теория вероятностей.
B) Применение теории вероятностей в различных
областях для описания случайных массовых явлений
и прогнозирования в общих чертах особенностей
протекания таких явлений.
Г) История теории вероятностей и рассмотрение
философских проблем, связанных с
теоретико-вероятностными понятиями.
Эти четыре пункта расположены в порядке,
соответствующем логической последовательности, в
которой их (по моему мнению) надлежит рассматривать.
Во избежание недоразумений мне хотелось бы особо
подчеркнуть, что, хотя я и рекомендую начинать
преподавание теории вероятностей с понятия
«статистическая закономерность», это отнюдь не означает,
будто начинать следует со статистики. Наоборот, я
никогда не одобрял (ни с логической, ни с дидакти-
317

ческой точки зрения) экспериментальных курсов,
в которых статистика предваряет теорию
вероятностей. Я считаю, что преподавание теории
вероятностей лучше всего начинать с разъяснения смысла
понятия «статистическая закономерность» на хорошо
подобранных примерах и опытах. Прежде всего
следует добиться, чтобы учащиеся глубоко усвоили те
фундаментальные факты, которые необходимы для
овладения теорией вероятностей, и лишь затем
переходить к рассмотрению теории вероятностей в
объеме, соответствующем возрасту учащихся и уровню
их математической подготовки. Разумеется, не
следует упускать из виду количество часов, отведенных
теории вероятностей, и те специфические цели,
которые ставит перед собой данное учебное заведение.
Я считаю, что преподавать математическую
статистику как отдельный предмет можно только на
университетском уровне, где статистику надлежит
выделить в отдельный факультативный курс.
Относительно приложений теории вероятностей
мне нередко приходится слышать, будто
практическую значимость теории вероятностей помогает
осознать лишь изучение статистики. Не думаю, чтобы
это соответствовало действительности: значительную
часть наиболее важных приложений теории
вероятностей можно понять совершенно независимо от
статистики на основе какого-нибудь вводного курса
теории вероятностей. Разумеется, любой краткий курс
теории вероятностей должен содержать разъяснения
относительно того, как можно оценить основные
параметры в большинстве случаев, которые могут
встретиться в действительности, но если выборка
достаточно велика, то сложные статистические методы для
этого не требуются. В частности, из вводного курса
ясно и определенно должно следовать, что изучение
обратных задач теории вероятностей (так принято
называть задачи, в которых, исходя из наблюдений,
требуется оценить параметры искомого
распределения вероятности) составляет особую тему,
относящуюся к компетенции математической статистики, и,
хотя основанием статистики служит теория
вероятностей, тем не менее она представляет собой
самостоятельную математическую дисциплину, а не
318

составную часть теории вероятностей. Разумеется,
метод Байеса вполне допустимо рассматривать в
рамках теории вероятностей, и если количество часов,
отведенное на изучение теории вероятностей,
позволяет, то его вполне можно «вмонтировать» в курс
теории вероятностей.
Что же касается пункта (Г), то, как мне кажется,
экскурс на исторические темы, велик он или мал,
полезен и желателен при изложении любого предмета,
а при изучении теории вероятностей он играет
особую роль. Даже в кратком вводном курсе весьма
важно рассматривать философские пробемы,
связанные с вероятностными понятиями, поскольку это
помогает учащимся вырабатывать при получении
теории вероятностей самостоятельность мышления.
Философские вопросы теории вероятностей естественно
затронуть даже в кратком отступлении об истории
теории вероятностей. Оно будет одновременно и
небольшим экскурсом на темы философии теории
вероятностей.
В заключение я хотел бы подчеркнуть, что отношу
такие понятия, как энтропия и информация, к числу
фундаментальных понятий теории вероятностей и
настоятельно рекомендую преподавателям уделить часть
времени, отведенного курсу теории вероятностей,
изучению этих понятий.
3. КАК СЛЕДУЕТ ПРЕПОДАВАТЬ
ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ?
При рассмотрении этого курса вопросов мы
сталкиваемся с трудностью, противоположной той,
которая возникала при попытке дать ответ на два
предыдущих вопроса. Сказать на избранную нами тему
можно так много (причем почти без ограничений),
что необходим хотя бы какой-то отбор. Многие
важные вопросы мне придется поэтому обойти
молчанием, и лишь в связи с тремя следующими
проблемами я выскажу кое-какие соображения:
A) Вопросы математической строгости.
Б) Опыты со случайными событиями.
B) Введение понятия «поле вероятностей».
319

А) Вообще говоря, я принадлежу к сторонникам
разумной строгости в преподавании математики,
поскольку считаю, что без строгости математика не
математика. Разумеется, это отнюдь не означает, что
каждое утверждение необходимо строго доказывать:
одну часть теоремы можно сформулировать без
доказательства, другую обосновать при помощи
эвристических рассуждений и лишь некоторые детали
доказать со всей строгостью. Однако между различными
типами информации необходимо проводить резкое
различие: учащиеся всегда должны знать, что
доказано и что приведено без доказательства. С особой
осторожностью необходимо следить за тем, чтобы не
принять за доказательство аргументацию
эвристического характера. Не менее четкое различие нужно
проводить между определениями и теоремами. Все
это в равной мере относится и к преподаванию
любого раздела математики, но в преподавании теории
вероятностей соблюдение перечисленных «мер
предосторожности» довольно часто имеет первостепенное
значение, и поэтому я и хотел обратить на них особое
внимание. Если преподаватель хочет убедить своих
учеников в необходимости строгости, то убедить их
в этом он сможет, тщательно подобрав примеры,
когда небрежность, допущенная в доказательстве,
приводит к явно ошибочным результатам. Хорошо
подобранные примеры составляют основу
преподавания всей математики в целом, но нигде нет столь
богатого выбора будоражащих воображение и в то
же время элементарных примеров, как в теории
вероятностей.
Б) Наглядное представление о статистической
закономерности можно почерпнуть из книг, газет и т. п.,
но гораздо более сильное впечатление на учащихся
производит то, что они могут увидеть собственными
глазами или, еще лучше, извлечь из результатов
опытов, подготовленных и проведенных собственными
руками. Кое-кто из преподавателей не согласен с этим
мнением, поскольку опасается, что опыты не всегда
приводят в точности к тем результатам, которые
можно ожидать заранее, как это бывает с
физическими опытами. К счастью, подобные опасения не
обоснованы, и если преподаватель хорошо знает тео-
320

рию вероятностей, то никаких неприятностей не
произойдет. Преподаватель должен быстро реагировать
на происходящее, поскольку оценивать опыты,
которые сам преподаватель видит впервые, несравненно
труднее, чем производить разбор экспериментов,
результаты которых преподаватель мог придумать
заранее. И все же достоинства производимых в школе
(учебном заведении любого типа) опытов столь
велики, что, несмотря на те трудности, о которых шла
речь, я склонен всячески их отстаивать. Разумеется,
постановку опытов следует тщательно продумывать
заранее. Выступая по телевидению с чтением курса
лекций по теории вероятностей, я решил
продемонстрировать знаменитый опыт Бюффона с бросанием
иглы. К своему удивлению, я обнаружил, что, хотя
об «игле Бюффона» упоминается почти во всех
учебниках по теории вероятностей, ни в одной из книг не
говорится, как следует проводить этот опыт и какие
условия необходимо соблюдать для того, чтобы
достичь достаточно хороших результатов. Кончилось
тем, что мне пришлось изобрести незамысловатый
механизм для бросания иглы. Нечто аналогичное
произошло, когда я захотел продемонстрировать
телезрителям еще один классический опыт — с доской
Гальтона. И снова выяснилось, что если постановку
опыта не продумать надлежащим образом заранее,
то его исход сильно отличается от ожидаемого,
поскольку между числом шариков, попавших в
различные отделения в нижней части доски, имеется
зависимость. Чтобы получить нужное распределение
шариков, мне пришлось сконструировать специальное
приспособление. Что касается игральных костей, то
из тех, которые мне довелось видеть, лучшими были
кости в форме икосаэдра, выпускаемые для контроля
качества в Японии. Насколько мне известно, там их
производят в огромных количествах. Не думаю,
чтобы наладить выпуск обычных игральных костей для
нужд преподавания теории вероятностей было бы
чрезвычайно трудно. В связи с игральными костями
мне хочется заметить, что тем зрителям я показывал
не только опыты с обычными (шестигранными)
игральными костями, но и с костями, в которые играли
древние греки и римляне. Существует множество
11 Зак. 401 321

других опытов, не менее пригодных для демонстрации
в курсе теории вероятностей: бросание монеты,
извлечение карт из тщательно перетасованной колоды,
игра в рулетку и т.. д. Как много интересных и
поучительных примеров может почерпнуть преподаватель
теории вероятностей из области азартных игр, я
осознал, когда мой коллега д-р Пал Ревес, делясь
впечатлениями о чтении курса лекций по теории
вероятностей в Эфиопии, посетовал на неожиданную
трудность, с которой ему довелось - столкнуться. Дело
в том, что в Эфиопии азартные игры совершенно
неизвестны, а поскольку они находятся под строгим
запретом, то о них нельзя упоминать и в лекциях.
При изготовлении «реквизита» для опытов
необходим строжайший контроль за качеством. Например,
для телевизионного курса лекций по теории
вероятностей я заказал мешок с пластмассовыми шариками
и пластмассовую лопатку со 100 небольшими
отверстиями, расположенными в виде квадратной решетки
10X10. Стояло погрузить такую лопатку в шарики,
как те наэлектризовывались и прилипали к лопатке,
заполняя отверстия. Шарики в мешке были двух
сортов: белые и красные, причем доля красных
шариков была меньше 1 (составляла 74). Исходы
испытаний, производимых при этом опыте, достаточно
хорошо укладывались в распределение Пуассона.
Нельзя не упомянуть и о том, что анализ данных,
полученных из опытов, неоднозначен и может вести не
только к пониманию существа понятия
«статистическая закономерность», но и гораздо дальше — к
понятию «независимость» и другим понятиям, связь
которых со случайными явлениями менее очевидна.
Например, в своих лекциях я неоднократно
демонстрировал слушателям две последовательности из нулей
и единиц и говорил, что одна последовательность
получена при бросании монеты (нуль означал
выпадение «орла», единица — выпадение «решки»), а
вторая представляет собой не более чем искусную
подделку случайной последовательности. Каждая из
последовательностей содержала около 150 нулей и
единиц. Слушателям предоставлялось решить, какал
из двух последовательностей «настоящая» и какая
«поддельная». («Искусственная» последовательность
322

обладала весьма правильной структурой, например
не содержала длинных отрезков, состоящих только
из нулей или только из единиц, в то время как в
случайной последовательности такие отрезки,
встречались.)
В) В заключение мне хотелось бы рассказать
0 том, каким образом в последнее время я ввожу
понятие «поле вероятностей»» На первый взгляд
кажется, что речь идет лишь о новой терминологии,
однако, как я покажу, в действительности за этим
понятием кроется нечто большее.
Полем вероятностей * принято называть тройку
Q, А, Р, где Q — непустое множество, А — ст-алгебра
подмножеств множества Q и Р — мера, заданная на
А и удовлетворяющая условию Р(Л)=1.
Множество Q я называю опытом, а элементы соеQ —
возможными исходами опыта. Любое подмножество из
0-алгебры А я буду называть событием, состоящим
из всех принадлежащих ему исходов опыта.
Подмножества, являющиеся элементами совокупности Л,
будем считать наблюдаемыми событиями, а все
подмножества множества Q, не принадлежащие а-ал-
гебре А, — ненаблюдаемыми событиями. Меру Р(Х)
наблюдаемого события X я буду, как обычно,
называть вероятностью события X. Необходимо
подчеркнуть, что вероятность ненаблюдаемых событий
однозначно не определена.
Типичным примером может служить опыт с
бросанием двух одинаковых игральных костей. В этом
случае Q состоит из 36 пар чисел ((a,d)GQ, если
1 ^ а ^ 6 и 1 ^ 6 ^ 6), а совокупность А
подмножеств содержит подмножества множества Q, обла*
дающие свойством: если (а,6)е4, то и F, а)^А.
Из 236 подмножеств множества Q этим свойством
обладают только 221: они и являются наблюдаемыми
событиями.
Как показывает этот пример, включать в А все
подмножества множества Q может оказаться нецеле-
* Материал, изложенный на этой и двух следующих
страницах, предназначен в первую очередь для специалистов по
теории вероятностей. Неспециалисты могут найти необходимые
определения в книге А. Реньи «Письма о вероятности»,
помещенной в этом сборнике. — Прим. ред. венгерского издания.
И* 323

сообразно, даже если Q — конечное множество. Ра*
зумеется, если вместо множества Й упорядоченных
пар чисел (а, Ь) взять множество неупорядоченных
пар чисел, то А будет состоять из всех подмножеств
множества. В общем случае множество исходов опыта
разумно выбирать относительно большим, а
множество наблюдаемых событий ограничивать
совокупностью тех подмножеств, вероятности которых
определены.
Следуя логике рассуждений, мы приходим к
предположению о том, что совокупность подмножеств А
должна быть алгеброй множеств. Действительно, если
какое-то событие наблюдаемое, то и
противоположное событие также наблюдаемо. Кроме того, если два
события наблюдаемы, то и событие, состоящее из
исходов, принадлежащих хотя бы одному из них,
наблюдаемо. (Это утверждение не верно в квантовой
механике, но всегда выполняется в классической
механике.)
Так, я пытался ввести понятие «поле
вероятностей» в учебных заведениях различных (и
университетского, и более элементарного) уровней и на
собственном опыте убедился, что учащиеся усваивают
это понятие гораздо легче, если акцент делать на
понятии наблюдаемости. Преимущества такого
подхода становятся очевидными лишь на более поздних
этапах чтения курса: учащиеся с большей легкостью
усваивают столь общие понятия, как условная
вероятность и условное математическое ожидание, если
с самого начала преподаватель сумеет довести до их
сознания, что совокупность множеств, на которых
задана мера, не обязательно должна быть наиболее
широкой. Авторы многих учебников обосновывают то
обстоятельство, что вероятностная мера определена
не на всех подмножествах, а лишь на некоторой
а-алгебре подмножеств основного множества, ссылкой
на трудности чисто математического характера, не
позволяющие довольно часто перенести
вероятностную меру на все подмножества. Хотя это замечание,
строго говоря, верно, я все же считаю его способным
вводить в заблуждение. Действительно, как правило,
было бы совершенно бессмысленным распространять
вероятностную меру на все подмножества основного
324

множества, поскольку «расширенная» мера была бы
совсем иной, чем исходная мера, заданная в
соответствии с теорией вероятностей. Мне не хотелось бы
вдаваться в подробности по этому вопросу, поскольку
он в большей степени представляет интерес лишь
для тех, кто преподает теорию вероятностей.
Возвращаясь к преподаванию этой теории на более
элементарном уровне, я хотел бы еще раз высказать
глубокое убеждение, вынесенное мной на основании
личного опыта: учащиеся усваивают понятие «вероят-
ность» или, точнее, постигают математическую
структуру теории вероятностей с большей легкостью в том
случае, если с самого начала разъяснить им роль
понятия «наблюдаемость событий», на котором
зиждется понятие «вероятности».

ВАРИАЦИИ НА ТЕМУ ФИБОНАЧЧИ
Вариации на избранную тему — жанр хорошо
известный в музыкальной литературе. Большим
любителем этого жанра был Моцарт: в форме темы с
вариациями написана, например, первая часть
знаменитой моцартовской сонаты A-dur (в катологе Кёхеля
это сочинение числится под номером 331). Первая
часть сонаты As-dur Бетховена (соч. 26) также
состоит из вариаций на одну тему. Отличительная
особенность произведений вариационного жанра
заключается в том, что они в большинстве случаев
начинаются с несложной основной темы, претерпевающей
в дальнейшем значительные изменения по темпу,
настроению и характеру. Некоторые вариации бывают
весьма неожиданными и смелыми. Но сколь бы
причудливыми ни были вариации, у слушателя
непременно должно создаваться впечатление, будто
каждая из них является естественным развитием
основной темы, содержится в ней в зародышевой форме
и композитору остается лишь услышать и подробно
разработать их.
Последуем примеру музыкальной литературы и,
выбрав простую математическую тему
(последовательность, образуемую так называемыми числами
Фибоначчи), рассмотрим ее вместе с
многочисленными вариациями. Эти вариации различны по
свойствам, допускают различные интерпретации, находят
различное применение и обладают различной сте*
пенью общности.
ОСНОВНАЯ ТЕМА
Рассмотрим следующую числовую
последовательность:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....
826

Можно ли усмотреть в этой последовательности
какую-нибудь закономерность? Нетрудно видеть, что
каждый член последовательности, начиная с третьего,
равен сумме двух предыдущих членов: 3=1 + 2,
5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, 13 = 5 + 8, 21=8+13. Но
коль скоро это установлено, нашу последовательность
можно продолжать неограниченно:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ... A)
Первая вариация. Попытаемся продолжить
последовательность A) в противоположную сторону,
сохранив при этом основное правило: каждый член
равен сумме двух предыдущих. Решить эту задачу
совсем не трудно. К последовательности A) можно
приписать слева неограниченно много членов: необ*
ходимо лишь каждый раз вычесть из второго члена
первый, а разность приписать к последовательности
перед первым членом. В результате мы получим
последовательность, неограниченно продолжающуюся
в обе стороны:
...-21,13, -8,5, -3,2, -1,1,0,1,1,2,3,5, ...B)
Нетрудно видеть, что, двигаясь от нуля влево, мы
будем встречать с чередующимися знаками те же
числа, которые встречаются при движении от нуля
вправо.
Вторая вариация. Правило образования числовой
последовательности A) можно Сформулировать
иначе. Под каждым членом последовательности A),
начиная со второго, запишем разность между
последующим членом и предыдущим. В нижней строке мы
получим те же числа, что и в верхней, но сдвинутые
на одно место вправо:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...,
1, 2, 3, 5, 8, 13, ....
Разумеется, то же самое можно утверждать и отно*
сительно последовательности B):
..., —8, 5,-3, 2,-1, 0,1,1,2,3,5,8,...,
..., 13, -8, 5,-3, 2,-1,0, 1, 1,2,3,5, ....
327

Третья вариация. Члены последовательности A)
в математической литературе принято называть
числами Фибоначчи, так как впервые они появились
в вышедшей в 1202 г. «Книге абака» итальянского
математика Леонардо Фибоначчи* A170—1250).
Будучи купцом, почтенный Леонардо (иногда его
называют Пизанским, поскольку родом он был из города
Через 5 лет
в ветвей
Через 4- года
5 ветвей
Через 3 го&а
3 ветви
Через 2 года
2 ветви
Через /год
/ ветвь
РИС. 1.
Пиза) неоднократно путешествовал по странам
Востока и в своей книге использовал труды арабских
математиков (ал-Хорезми, Абу Камила и других).
Как известно, в Центральной Европе древнегреческая
математика в ту пору была предана забвению и
продолжала жить лишь в трудах арабских математиков,
* Фибоначчи означает «сын Боначчи»,
328

находившихся под влиянием индийской математики.
В эпоху крестовых походов забытая математика из
трудов арабских ученых вновь проникла в Европу,
и первым из значительных произведений европейской
математики была «Книга абака» Леонардо
Фибоначчи. Трудно сказать, что нового добавил
Фибоначчи к тому, о чем узнал от арабов. В его книге
встречаются задачи (к их числу относится и задача
о числовой последовательности A)), происхождение
которых неизвестно, но мы не знаем, принадлежит
ли их авторство достопочтенному Леонардо
Фибоначчи или же он заимствовал их из каких-то не
сохранившихся до наших дней источников. Фибоначчи
ввел числовую последовательность A), решая задачу
0 размножении кроликов.
Мы сформулируем ее иначе — как задачу о росте
деревьев, чтобы условия задачи выглядели менее
искусственными, чем в случае размножения кроликов.
Итак, пусть некоторое дерево растет так, что каждая
новая ветвь, в первый год только тянется вверх или
в сторону, а затем (начиная со второго года)
ежегодно дает по одному боковому побегу.
Спрашивается, сколько ветвей будет на дереве, выросшем из
саженца без единого бокового отростка, через 1, 2, 3,
4 года и т. д.? Такое дерево, выросшее в полном
соответствии с условиями задачи, изображено на рис. 1.
Легко видеть, что у двухлетнего дерева имеется лишь
1 ветвь, у трехлетнего дерева число ветвей возрастет
до 2, у четырехлетнего — до 3, у пятилетнего — до 5,
у шестилетнего — до 8. Если выписать эти числа
подряд, то получится последовательность A). Нетрудно
понять, почему выполняется правило, до которому
любой член последовательности равен сумме двух
предыдущих. Какого бы возраста ни достигло дерево,
число ветвей у него равно сумме числа ветвей,
которые были год назад, и числа вновь появившихся
боковых побегов. Последнее же в точности совпадает
с числом ветвей, бывших у дерева два года назад,
так как новые побеги могли пустить те и только те
ветви, возраст которых не меньше двух лет.
Четвертая вариация. Дома в новом поселке
требуется окрасить так, чтобы каждый этаж оказался
329

выкрашенным либо в белый, либо в синий цвет. Из
эстетических соображений никакие два соседних
этажа не должны быть окрашены в синий цвет.
Сколькими способами можно окрасить дома в
поселке с соблюдением указанных требований, если
Одноэтажные дома
Двухэтажные дома
□ D
□ □
□ D
□ □
ии|
пл]
DD
ПП
|Пп|
ГТ1
Трехэтажные дома
пп
DD
DD
ПП
ПП
ПП
ПП
ш
Четырехэтажные дома
РИС. 2.
число этажей задано? Все возможные способы
окраски одно-, двух-, трех- и четырехэтажных домов
показаны на рис. 2.
Ясно, что одноэтажные дома можно окрасить
двумя способами, двухэтажные — тремя, трехэтаж-
ные — пятью и четырехэтажные — восемью
способами. Это означает, что с увеличением числа этажей
число способов возрастает следующим образом:
2, 3, 5, 8, .... C)
330

Эта последовательность совпадает с
последовательностью A) чисел Фибоначчи, у которой
отброшен первый член. Остается ли в силе замеченная
нами закономерность для домов с большим числом
этажей? Например, верно ли, что пятиэтажные дома
можно окрасить 13 способами? В том, что это
действительно так, можно убедиться следующим
образом. Верхний этаж пятиэтажного дома можно красить
либо в белый, либо в синий цвет. Способов окраски
пятиэтажного дома, при которых верхний этаж
выкрашен в белый цвет, существует столько же, сколько
имеется способов правильной окраски
четырехэтажных домов (то есть 8). Действительно, возведя на
каждом из 8 четырехэтажных домов, изображенных
на рис. 2, по одному этажу и выкрасив надстройку
в белый цвет, мы получим все возможные варианты
окраски пятиэтажных домов, при которых верхний
этаж оказывается белым. Число способов окраски
пятиэтажных домов, при которых верхний этаж
выкрашен в синий цвет, можно найти при помощи
следующих рассуждений. Если пятый этаж выкрашен
в синий цвет, то четвертый этаж непременно
выкрашен в белый цвет, так как по условиям задачи два
соседних этажа не могут быть выкрашены в синий
цвет. Следовательно, число всех возможных
вариантов окраски пятиэтажных домов, при которых
верхний этаж выкрашен в синий цвет, мы получим,
возведя на каждом из 5 правильно окрашенных
трехэтажных домов, изображенных на рис. 2, еще по два
этажа и выкрасив четвертый этаж в белый, а
пятый— в синий цвет. Итак, пятиэтажные дома можно
окрасить 8 + 5 = 13 способами. Как показывают
аналогичные рассуждения, шестиэтажные дома можно
окрасить в белый и синий цвета (с соблюдением
условий задачи) 8+13 = 21 способом, семиэтажные —
13 + 21 =34 способами и т. д. Мы видим, что и на
этот раз при решении задачи возникает
последовательность Фибоначчи.
Пятая вариация. Программа телевизионных
передач составлена так, что передачи из некоторой
серии (например, из цикла научно-популярных лекций
по математике) транслируются только по определен-
331

ным дням недели и в другие дни зрители увидеть их
не могут. Сколькими способами можно составить
программу передач на неделю, чтобы передачи, о кото*
рых идет речь, не транслировались два дня подряд?
Следует иметь в виду, что эта задача при всем
сходстве с предыдущей все же отличается от нее. Семь
этажей сехмиэтажного дома соответствуют семи дням
Стол, накрытый на 7 персон
РИС. 3.
недели (соответствие между этажами и днями
недели можно задать, например, сопоставив первый
этаж понедельнику, второй этаж вторнику и т. д.,
седьмой этаж — воскресенью), синий цвет —
передачам из интересующей нас серии. Кроме того, каждая
программа передач, составленная с учетом всех
требований, соответствует определенному способу
правильной окраски семиэтажного дома, но обратное
утверждение не верно. Действительно, ничто не
мешает нам выкрасить нижний и верхний этажи
семиэтажного дома в синий цвет, но такая окраска не
332

соответствует правильно составленной программе пе«
редач, поскольку передачи из выбранной серии при*
шлись бы на понедельник и воскресенье, а
понедельник наступает сразу же за воскресеньем. Допустимые
варианты программ показаны на рис. 3. Цифры от 1
до 7 означают дни недели, кружками обведены те
дни, на которые приходятся передачи из нашей
серии. Нетрудно видеть, что программу передач,
удовлетворяющую всем условиям задачи, можно
составить 29 способами. Хотя число 29 и не встречается
среди чисел Фибоначчи, рассматриваемая нами
задача все же связана с этими числами. Действительно,
подсчитаем, сколькими способами можно было бы
составить программу передач не на неделю, а,
например, на трехдневку или четырехдневку.
При взгляде на рис. 3 невольно напрашивается
следующий вариант нашей задачи. На банкете гостей
рассаживают за'круглым столом. Все места за
столом перенумерованы. Сколькими способами можно
рассадить за столом мужчин и женщин так, чтобы
две дамы не сидели рядом. На рис. 4 представлены
все возможные способы размещения за столом 2, 3,
4, 5 и 6 гостей (номера мест, доставшихся дамам,
обведены кружками).
Как показано на рис. 3, за столом, накрытым на
7 персон, гостей можно рассадить 29 способами.
Следовательно, число способов, которыми можно
рассадить за круглым столом 2, 3, 4, 5, 6 и 7 гостей,
совпадает соответственно с первым, вторым, третьим,
четвертым, пятым и шестым членом последовательности:
3, 4, 7, 11, 18, 29. D)
Приглядимся к этой числовой последовательности
повнимательнее. Чтобы установить, каким образом
члены последовательности D) связаны с числами
Фибоначчи, выясним более подробно, почему за стол,
накрытый -на 5 персон, гостей можно рассадить
11 способами. На каждом месте за столом может
сидеть мужчина или дама. Если за столом сидит
мужчина, то на остальные четыре места гостей можно
рассадить столькими же способами, сколько
существует вариантов поэтажной окраски в белый или
синий цвет четырехэтажного здания, то есть 8 спо-
333

Colon, накрытый на 2 оерсоШ
Стоп, накрытый на 3 персоны
* К 2 U (A U г
Стол., накрытый на 4 персоны
Стол, накрытый на б персон
РИС. 4.
834

собами. Если же за столом на каком-то месте сидит
дама, то на соседних местах справа и слева от нее
должны сидеть мужчины, а на остальных двух местах
мужчин и дам можно рассадить столькими же
способами, сколько существует вариантов окраски двух-
этажного здания, то есть 3 способами, и 8 + 3= 11,
Аналогичным образом нетрудно убедиться в том, что
за столом, накрытым на 6 персон, гостей можно
рассадить 13 + 5 = 18 способами, а за столом, накрытым
на 7 персон, — 21+8 = 29 способами и т. д.
Следовательно, числовую последовательность D)
мы получим из последовательности A), образуемой
числами Фибоначчи, прибавив к каждому члену
последовательности A) (начиная с третьего) два
предыдущих члена:
2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 5 + 2 = 7, 8 + 3= 11, 13 + 5=18
21 +8 = 29 и т. д.
Например, за столом, накрытым на 10 персон, гостей
в полном соответствии с условиями задачи можно
рассадить 123 способами.
Заметим, что число способов, которыми можно
разместить за столом, накрытым на 1 персону,
удается включить в намеченную схему, если считать
недопустимым, чтобы дама сидела за столом в
одиночестве. Приняв это предположение, мы сможем
рассадить гостей за одноместным столом в полном
соответствии с общим правилом 1 + 0 = 1 способом*
Заметим, что требование, предъявляемое к
размещению гостей за столом, допускает разумную
интерпретацию: мужчины развлекают дам застольной
беседой и поэтому рядом с каждой дамой по правую
и левую руку от нее должны сидеть мужчины. У тех
же, кто сидит за столом, накрытым на 1 персону, нет
соседей (можно считать, что сидящие в одиночестве
за отдельными столиками, являются соседями сами
себе), их развлекать некому. Именно поэтому дам
запрещается рассаживать за одноместные столики,
Итак, мы видим, что решение нашей задачи также
приводит к числам Фибоначчи, но ответ задачи дает
не соответствующее число Фибоначчи, а сумма двух
таких членов последовательности A), больший из
которых расположен на два места правее меньшего*
335

Шестая вариация. Выпишем снова числовую
последовательность, полученную в предыдущей
вариации:
3, 4, 7, И, 18, 29, 47, 76, 123, ... E)
Рассматривая разности соседних членов, нетрудно
заметить, что эта последовательность обладает таким
же свойством, как и последовательность, образуемая
числами Фибоначчи. Каждый член
последовательности E) равен сумме двух предыдущих:
7 = 3 + 4, 11=4 + 7, 18 = 7+11, 29=11 + 18,
47=18 + 29, 76 = 29 + 47.
В чем здесь причина? Как связано это свойство
последовательности E) с тем, что она скреплена
«родственными узами» с последовательностью A)?
Чтобы ответить на эти вопросы, удобно
воспользоваться обозначениями, принятыми в математике при
изучении последовательностей. Пусть Fn— л-й член
последовательности A). Тогда
Л = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, F5 = 8 и т. д.
По определению чисел Фибоначчи при любом п
(большем или равном 3) справедливо соотношение
Fn = Fn_x + Fn_2. F)
Обозначим через Gn число способов, которыми (в
соответствии с условиями задачи) можно рассадить за
круглым столом п гостей. Тогда
•Gi = l, G2 = 3, G3 = 4, G4==7f G5=ll и т. д.
Завершая предыдущую вариацию, мы доказали, что
Gn = Fn + Fn_2. Ga)
Требуется доказать, что
Gn = Gn^ + Gn_2. G6)
Это соотношение без труда выводится из соотноше*
ний Gа) и F):
Gn = Fn + Fn-2 = (Fn_, + Fn_2) + (Fn-S + Fn_4) =
= {Fn-i + fn^s) + (Fn-2 + Fn_4) = О„_, + Gn_2.
336

Седьмая вариация. Поскольку теперь мы
располагаем уже двумя последовательностями, каждый
член которых равен сумме двух предыдущих, то
естественно попытаться составить общее представление
о всех таких последовательностях. Назовем
последовательностью типа Фибоначчи любую числовую
последовательность, в которой всякий член (начиная
с третьего) равен сумме двух предыдущих членов.
Если п-й член такой последовательности обозначить
через ап (п = 1, 2, ...), то по определению при
любом п выполняется соотношение
dn = an^ + an^2 (л = 3, 4, ...). (8)
Ясно, что два начальных члена
последовательности а\ и a<i можно выбирать произвольно, поскольку
соотношение (8) не накладывает никаких
ограничений ни на первый, ни на второй из них. Но если ах
и аг заданы, то все остальные члены
последовательности уже полностью определены и при желании
можно выписать любое число членов
последовательности. Например, если а\ = 1, а2 = 6, то мы
получаем последовательность
1, 6, 7, 13, 20, 33, 53, 86, ... (9)
Разумеется, чтобы полностью определить
последовательность типа Фибоначчи, не обязательно
задавать первые два члена, а достаточно указать любые
два члена последовательности.
Рассмотрим, например, последовательность типа
Фибоначчи, первый член которой равен 1, а
четвертый член равен 9. Пусть х — второй член этой
последовательности. Тогда третий член равен 1 + х,
а четвертый х + A + х) = 1 + 2х. Поскольку по
предположению четвертый член равен 9, то можно
составить уравнение 1+2jc = 9, откуда л: = 4.
Следовательно, речь идет о последовательности
1, 4, 5, 9, 14, 23, ... A0)
Восьмая вариация. Выясним, могут ли быть
простейшие числовые последовательности, известные со
школьной скамьи, последовательностями типа
Фибоначчи. Нетрудно убедиться в том, что
арифметическая прогрессия может быть последовательностью
7212 Зак. 401 337

типа Фибоначчи лишь в том случае, если все члены
ее равны нулю. Действительно, разность последова*
тельных членов арифметической прогрессии
постоянна, в то время как разности «соседних» членов
последовательности типа Фибоначчи (как показано во
второй вариации) сами образуют такую же
последовательность, как исходная (только сдвинутую на одно
место вправо).
Обратимся теперь к геометрической прогрессии
и попытаемся ответить на вопрос, может ли она быть
последовательностью типа Фибоначчи.
Геометрической прогрессией называется последовательность, в
которой отношение двух соседних членов постоянно.
Если аи 02, ..., CLm ... — геометрическая
прогрессия и q — отношение двух соседних членов, то а^ —
2 и т. д., или
(л=1, 2, ...). A1)
Итак, если (ап) — геометрическая прогрессия,
которая в то же время является последовательностью
типа Фибоначчи, то должны выполняться тождества
а3 = п\ + аг, #4 = #2 + #з> ... или в общем случае
ап = ап-\ + ап-2. Подставляя в них выражение A1),
при соответствующих значениях получаем
Нетрудно видеть, что каждое из соотношений A2)
получается из предыдущего при умножении правой
и левой части на q. Следовательно, если выполняется
соотношение, стоящее в первой строке, то
выполняются и все остальные соотношения A2). Это
означает, что геометрическая прогрессия A1) может быть
последовательностью типа Фибоначчи в том и только
в том случае, если
axq2 = ax + axq. A3)
Предположим, что а\ ф 0. Тогда правую и левую
части соотношения A3) можно разделить на ах и
получить уравнение
<72=l+<?. (И)

Это означает, что геометрическая прогрессия A1)
является последовательностью типа Фибоначчи в том
и только в том случае, если q — корень уравнения
A4). Квадратное уравнение A4) имеет два корня:
и а <> =
Итак, если q\ и q%— числа A5), то геометрические
прогрессии ап==а\A1\'"х и а/г===а1?2" ~~. последова-
тельности типа Фибоначчи (а\ — произвольное число).
Девятая вариация. Поскольку д/5
—иррациональное число, то qx и ^2 —также иррациональные числа,
при этом полученная последовательность типа
Фибоначчи состоит не из целых чисел. Например, если
а{ = д/5 + 3, то числа ап = a\qn~x (п = 1, 2, ...)
образуют последовательность типа Фибоначчи
4, Зд/5"+7, бУвГ+И, ... . A6)
Подчеркнем, что члены этой последовательности
мы получим, суммируя члены последовательности
типа Фибоначчи 1, 2, 3, 5, ..., умноженные на д/5 >
и соответствующие члены последовательности типа
Фибоначчи 3, 4, 7, 11, ....
Нетрудно убедиться в том, что, умножив все
члены последовательности типа Фибоначчи на одно
и то же число, мы снова получим последовательность
типа Фибоначчи и почленное сложение любых двух
последовательностей типа Фибоначчи также
порождает последовательность типа Фибоначчи. В общем
случае, если (ап) и (&п)—-две произвольные
последовательности типа Фибоначчи, а А и В — любые два
числа, то числа
сп = Аап + ВЬп A7)
также образуют последовательность типа Фибоначчи.
Действительно, если ап = ап-\ + ап-ч и Ьп =
= Ьп-\ + Ьп-2, то из соотношений A7) получаем
сп = Аап + ВЬп = А (ап_{ + ап_2) + В (Ьп-Х + Ьп_2) =
= Лая_1 + В6Л_1 + Аап-2 + ВЬп-2 = ся-1 + сп-2-
A8)
7212* 339

Таким образом, выбрав наугад две различные
последовательности типа Фибоначчи, мы получаем
возможность построить любую последовательность типа
Фибоначчи. Это означает, что справедливо, например,
следующее утверждение: любую последовательность
(ап) типа Фибоначчи можно представить в виде
an = AFn + BGn, A9)
где (Рп)— последовательность A, 2, 3, 5, 8, ...),
a (Gn)—последовательность A, 3, 4, 7, 11, ...).
Действительно, если члены а\ и а2
последовательности (ап) заданы, то постоянные А и В можно
выбрать так, чтобы соотношение A9) выполнялось
при п = 1 и п = 2: для этого числа А и В должны
удовлетворять системе уравнений
Й1 = Л + В' B0)
а2 = 2А + ЗВ. К '
Система уравнений B0) разрешима, и ее решение
имеет вид
B — a2 — 2ai.
Итак, мы доказали, что любую последовательность
(ап) типа Фибоначчи можно представить в виде
ап = (За! - а2) Fn + (а2 - 2а{) Gn. B2)
Соотношение B2) показывает, каким образом
(при заданных «базисных» последовательностях
(Fn) и (Gn)) можно выразить произвольный член
любой последовательности типа Фибоначчи через ее
первые два члена. Например, если взять
последовательность A0) с а\ = 1 и а2 = 4, то по формуле B2)
ее n-й член можно представить в виде
an = 2Gn-Fn. B3)
Следовательно, ее пятый член должен быть равен
as = 2G5 — ^5 =2-11 — 8 = 14, и действительно,
пятый член последовательности 1, 4, 5, 9, 14, 23, ...
равен 14. Аналогичным образом любой член ап
последовательности типа Фибоначчи можно выразить через
последовательности (#?) и (^) типа Фибоначчи, где
340

gi= o—г» а^2= —I-——s—г Для чисел Фибо-
наччи jFn получаем
_ дГяГ
ИЛИ
tn~ ¥+4f : • l }
Это выражение называется формулой Бине.
Десятая вариация. Выясним теперь, как ведут
себя 'отношения чисел Фибоначчи с номерами,
отличающимися на единицу:
— = 2; у = 1,5; —-=1,666 ...; у = 1,6.
Продолжив эту последовательность, мы заметим, что
отношения колеблются, становясь то больше, то
меньше, но колебания постепенно затухают.
Нетрудно доказать, что отношения, то есть числа
/Fn, стремятся к пределу
_ B5)
Убедиться в этом можно многими способами.
Как было показано, q\ удовлетворяет уравнению
qr2 _ 1 j^ q^ Разделив правую и левую части этого
уравнения на q\y получим
* = !+-£•. B6)
С другой стороны, из соотношения Fn+\ = Fn + Fn-i
следует, что
^ Ё <27)
поэтому
l±l ^(fV B8)
Из равенства B8) видно, что разности (Fn+i/Fn)—д\
принимают попеременно то положительные, то отри*
341

дательные значения, а абсолютная величина dn+i
разности (Fn+\/Fn) — q\ (напомним, что Fn-\<Fn)
удовлетворяет неравенству
d«+i<-^. B9)
то есть dn+i меньше l/q\ от dn. Так как q\ — 1, 6 • «.
•.. > 3/2> то каждый член последовательности (dn)
меньше 2/3 предыдущего члена. Поэтому при
достаточно большом п числа dn становятся сколь угодно
РИС. 5.
малыми, а это означает, что предел отношений
/n при /г, стремящемся к бесконечности, равен qx.
Одиннадцатая вариация. Число q\ =(д/5+ 1)/2
кажется нам знакомым, и оно действительно очень
известно. Если отрезок прямой разделить на две
части так, чтобы отношение большей из них к
меньшей было равно qu и длину всего отрезка принять
за единицу, то длина большей части составит l/qu
а длина меньшей части будет равна 1 — l/q\ =
= (qi — 1)/<7ь Равенство q\ = 1 + l/<7i можно
представить в виде равенства двух отношений
Следовательно, если отрезок разделен на две части
так, что длина большей из них составляет \jq\ от
длины всего отрезка, то большая часть относится ко
342

всему отрезку так же> как меньшая часть к большей.
Такое разбиение отрезка древнегреческие
математики называли золотым сечением.
С золотым сечением мы встречаемся при
построении стороны правильного десятиугольника.
Действительно, как видно из рис. 5, сторона правильного
десятиугольника составляет l/q\ радиуса описанной
окружности.
Из рис. 5 видно также, что радиус окружности и
сторона вписанного в нее правильного
десятиугольника несоизмеримы, то есть что золотое сечение —
число иррациональное. (Разумеется, иррациональность
золотого^ сечения следует и из соотношения
^1==(ху/5 + l)/2, так как число 5 не является
квадратом целого числа).
Недостаток места и времени не позволяет нам
остановиться подробнее^ на значении золотого сечения.
Упомянем лишь о том, что золотое сечение играло
важную роль в античном искусстве. Оно встречается
в пропорциях древнегреческих зданий и классических
статуй, особенно приятных (в чем нетрудно убедить*
ся) для глаза.
Двенадцатая вариация. Рассмотрим следующую
практическую задачу. Требуется определить, при
какой скорости автомашина будет наиболее
экономичной то есть при какой скорости расход горючего на
100 км пути будет наименьшим. Построив график
зависимости расхода горючего (измеряемого
количеством бензина в литрах, потребляемого двигателем
автомашины на расстоянии 100 км) от скорости
(измеряемой в км/час), мы получим кривую,
изображенную на рис. 6. Нетрудно видеть, что на этой кривой
имеется лишь одна точка минимума (самая низкая
точка графика). При приближении к ней слева кривая
убывает, а миновав точку минимума, начинает
возрастать.
Нам необходимо найти скорость х,
соответствующую наименьшему расходу горючего, то есть
минимуму кривой. Вся кривая, разумеется, неизвестна, но
измерить расход горючего при нескольких скоростях
в наших силах. Впрочем, производить замеры —
занятие трудоемкое, особенно, если они должны быть
343

литры
15
Ю
достаточно точными, поэтому желательно научиться
определять наиболее экономичную скорость с
заданной точностью за наименьшее число измерений.
Можно доказать, что если наиболее экономичная
скорость заключена в пределах от а до Ь и ее требуется
определить с наименьшей ошибкой за заданное число
измерений п, то удобнее всего первым делом
разделить интервал [а, Ь] на Fn равных частей и
рассмотреть значения функции (то есть расход горючего) в
Fn-i-й и Fn-2-й точках
деления. (Таким
образом, если допустимое
число измерений
велико, то, как показано в
предыдущей вариации,
мы каждый раз будем
производить золотое
сечение интервала
скоростей.) Например,
если оптимальную
скорость требуется
определить за 5 замеров,то
поступить можно
следующим образом.
Выберем интервал
скоростей, заведомо содер-
рис- 6- жащий наиболее
экономичную скорость,
например интервал
О, км/час—160 км/час, разделим его на F& = 8
равных частей и границами следующего интервала
будем считать точки деления с номерами F3 = 3 и
FA = 5, то есть скорости 60 км/час и 100 км/час.
Измерив расход топлива при этих скоростях, получим
значения функции /F0) и /A00). Нетрудно убедиться
в том, что при /F0)^/A00) наиболее экономичная
скорость заключена между 60 км/час и 160 км/час, а
при /F0) ^:/A00) наиболее экономичная скорость
лежит между 0 км/час и 100 км/час. Предположим,
что /F0) </A00). Теперь у нас осталось лишь 4
замера, поэтому интервал скоростей необходимо
разделить на 5 равных частей и рассмотреть вторую точку
деления, то есть скорость 40 км/час. (Третья точка
50
100
150 ^L
час
344

деления соответствует скорости 60 км/час, и значение
функции (расход горючего) в ней нам уже известно.)
Измерив расход горючего при скорости 40 км/час, мы
получим значение /D0). Предположим, что /D0) >
>/F0). Тогда можно с уверенностью утверждать,
что оптимальная скорость заключена в интервале от
60 км/час до 80 км/час. Для определения ее у нас
остался еще лишь 1 замер. Разделив интервал
скоростей 60 км/час — 80 км/час пополам и измерив
расход горючего в его середине, то есть при скорости
70 км/час, мы получим значение /G0). Если /G0)<
К/F0), то это означает, что оптимальная скорость
больше 70 км/час, но меньше 80 км/час. Можно
доказать, что никаким другим способом .невозможно
определить оптимальную скорость за 5 замеров с меньшей
ошибкой.
Рассмотренная нами задача представляет лишь
одну из интересных проблем математической теории
поиска, решение которых приводит к числам
Фибоначчи *. Разумеется, несущественно, что означает на
практике та функция, максимум (или минимум)
которой требуется найти. Например, изложенный выше
способ позволяет найти оптимальное число оборотов
бобины ткацкого станка или наиболее эффективный
план капиталовложений.
Тринадцатая вариация. Начнем с хорошо
известного треугольника Паскаля:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
15 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
* Идея столь интересного применения чисел Фибоначчи при*
надлежит И. Киферу (см. Proceedings of the American
Mathematical Society,*, 502 A953)).
13 Зак. 401 345

Все знают, что k-й член (£==0,1» «».)/!-й строки
[(/i=ftf I, 2r ,..) указывает, сколькими способами мо-*
жно выбрать k предметов- из я, то есть совпадает с
биномиальным коэффициентом Г * ) • ^е менее изве-
стно и другое свойство треугольника Паскаля: каж*
дый элемент равен сумме двух соседних элементов»
стоящих в строке над ним (например, 21 ==6+15L
Это свойство треугольника Паскаля аналогично опре*
деляютдему свойству чисел Фибоначчи. Нетрудно до*
казать, что етежду треугольником Паскаля и числами
Фибоначчи дейсгвнтельно существует взаимосвязь.
Если строки треугольника Паскаля записать так,
чтобы каждый элемент располагался на строку ниже,
чем элемент, стоящий слева от него в первоначальной
записи треугольника Паскаля, то есть если часла,
принадлежащие одной строке треугольника Паскаля
в новом расположения расставить «ходом коня»
(каждое число, начиная со второго, переставить на два
места вправо и на одно место вниз), то суммы чисел
в каждой строке полученного «косого» треугольника
Паскаля будут таелашг Фибоначчи;
Например
0+0
1
1
1
1
1
1 8
9
+ G)
t
i
i i
1 2
3
4
5
6
7 15
21
+ ©н
1
3
6 I
10 4
10 1
20 5
/4\ _ . , _
r W ~ l + ''
1
I
2
3
5
8
13
21
34
55
Ы6+1
346

В общем виде соотношение, о котором идет речь,
можно представить следующим образом:
В правильности соотношения C1) нетрудно убедить-'
ся, если воспользоваться правилом построения тре«
угольника Паскаля, но можно доказать em и иначе,
исходя из комбинаторного смысла биномиальных
коэффициентов и приведенной в четвертой вариации
комбинаторной интерпретации чисел Фибоначчи. Дейь
ствигалыш, нетрудно убедиться в том,, что -существуют
\ у" ) допустимых способов окраеяи п-этажного
дома, при которых в синий цвет оказываются
выкрашенными k этажей, и тем самым вывести формулу
C1).
Четырнадцатая вариация. Обратимся снова к чис*
ловой последовательности B). На этот раз нас будет
интересовать четность ее членов. Обратим внимание
на то, что после двух нечетных чисел в выписанном
отрезке ее идет одно четное число. Наше замечание
заведомо верно для чисел 1, 1, 2. Правило, по
которому мы вычисляем члены последовательности B),
позволяет поэтому утверждать, что, сколько бы мы ни
продолжали ее, за двумя нечетными числами всегда
будет идти одно четное число, затем снова два
нечетных числа и т. д. Выясним теперь, как обстоит дело
с делимостью членов последовательности B) на 3.
Выпишем под каждым членом последовательности B)
остаток от деления его на 3:
— 21,13, — 8, 5, — 3, 2, — 1,1, 0,1,1,2,3,5,8, 13, ...
C2)
О, 1, 2,2, 0,2, 2,1,0,1,1,2,0,2,2, 1, ....
Заметим, что в последовательности остатков
группа чисел 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1 повторяется, то есть что
последовательность, остатков от деления чисел Фибо-
13* 347

наччи на 3 периодическая, К аналогичному выводу
мы придем, рассматривая последовательность остат»
ков от деления чисел Фибоначчи на 4:
— 21,13,— 8,5, — 3,2,— 1,1,0,1,1,2,3,5,8,13,21,
C3)
3, 1, 0,1, 1,2, 3,1,0,1,1,2,3,1,0, 1, 1, ....
Справедливо и более общее утверждение: остатки
от деления чисел Фибоначчи на любое целое число N
всегда образуют периодическую последовательность,
то есть для любого целого N всегда найдется такое
число (In, что разность Fn+dN — Fn будет делиться на
N при любом п. (Из рассмотренных выше примеров
видно, что d2 = 2, dz = 8, d* = 6.)
Доказательство этого утверждения весьма просто*
Рассмотрим последовательность, образуемую остат*
ками от деления на N членов последовательности типа
Фибоначчи. Члены последовательности остатков могут
принимать значения 0, 1, ..., N—1, то есть N значе-»
ний, отличных от АЛ Следовательно, из двух соседних
членов последовательности остатков можно составить
не более N2 пар чисел. Последовательность, образуе*
мая остатками, обладает тем же свойством, что и
исходная последовательность: любой из членов
последовательности остатков равен сумме двух предыдущих
членов (если она меньше N) или сумме двух
предыдущих членов, из которой предварительно необходимо
вычесть N (если она больше или равна N). (Иначе
говоря, каждый член последовательности остатков ра*
вен сумме двух предыдущих членов «по модулю N»),
Поскольку последовательность остатков обладает
отличительным свойством последовательностей типа Фи«<
боначчи, то, задав любые два соседних ее члена, мы
полностью определим всю последовательность. На*
пример, последовательность остатков от деления на
7 членов последовательности типа Фибоначчи мы
построим, задав первые два члена A, 2) и вычислив
каждый последующий член либо как сумму двух
предыдущих членов (если она меньше 7), либо как сумму,
уменьшенную на 7 (если сумма больше или равна 7),
Полученная последовательность имеет вид
1,2,3,5,1,6,0,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,5,6,0, ....C4)
348

Выбрав отрезок длиной N2-\-2 членов
последовательности остатков от деления на N, мы сможем
составить из входящих в него членов N2 + 1 пар
соседних чисел. Все эти пары не могут быть различными,
поскольку из остатков от деления на N можно
составить лишь N2 различных пар. Следовательно, по край*
ней мере одна пара встречается на выбранном отрезке
последовательности дважды, и, начав строить
последовательность с двух различных мест (а именно с тех
мест, где стоят повторяющиеся пары), мы получим
одинаковые продолжения. Тем самым доказано, что
последовательность, образованная остатками от
деления на N членов последовательности типа
Фибоначчи *, периодическая и длина периода не превышает N2
членов. Более того, если учесть, что пара чисел О, О
не может встречаться в последовательности остатков
'(в противном случае все члены последовательности, в
том числе и 1, делились бы на N, что невозможно), то
длина периода не превышает N2 — 1 членов, то есть
dN<N2—l. (Заметим, что d2 = 3 = 22—1 и d3 =
= 8 = 32—1.) Отыскав в приведенном выше примере
(последовательности остатков от деления на 7) то
место, где впервые повторяется пара чисел 1, 2, мы
обнаружим, что d7= 16. (Заметим, что длина периода d7
не равна числу 72 — 1 = 48, а является его
делителем.)
Поскольку в последовательности B) встречается
число 0, а последовательность остатков от деления ее
членов на N периодическая, то последовательность
остатков содержит бесконечно много нулей. Это
означает, что при любом целом числе N
последовательность чисел Фибоначчи A) содержит бесконечно
много членов, делящихся на N.
Интересная задача возникает при попытке выяс-
иить, какие числа Фибоначчи делятся на другие числа
Фибоначчи. Приведем без доказательства лишь
наиболее важный результат, относящийся к этому кругу
вопросов: число Fn делится на число Fm A ^ гп < п\
в том и только в том случае, если п + 1 делится на
/п+ 1. Отсюда следует, что Fm может быть простым
* Многие другие замечательные свойства чисел Фибоначчи
приведены в интересной брошюре Н. Н. Воробьева «Числа
Фибоначчи» B-е изд.— М.: Наука, 1964).
349

числом лишь в том случае, если либо п +1 — простое
число, либо п = 3. Разумеется, это отнюдь не озна*
чает, что если р — простое число, то число Фибоначчи1
Fp-i заведомо простое. Более того, остается открытым
вопрос, существует ли наибольшее простое число Фиг-»
боначчи или последовательность A) содержит беско*
нечно много простых чисел.
Заметим, что приведенное выше доказательство
периодичности последовательности, образуемой
остатками от деления на произвольное целое число N чле*
нов последовательности типа Фибоначчи, применимо
ко всем последовательностям, члены которых
принимают значения 0, 1, ..., N—I, а каждый из членов
образуется по определенному правилу из заданного
числа предыдущих членов. Все такие последователь-^
ности периодичны. Это обстоятельства играет нажную
роль при генерировании так называемых
«псевдослучайных чисел», «Случайные» числа необходимы при
решении задач на ЭВМ по методу Монте-Карло, и
ЭВМ генерирует их по специально составленной
программе. Если алгоритм, при помощи которого ЭВМ
имитирует случайные числа, генерируя так
называемые псевдослучайные числа, устроен так, что каждая
очередная цифра вычисляется по нескольким
предыдущим, то, как показывают приведенные выше
рассуждения, полученная числовая последовательность
непременно будет периодической. Разумеется, это
отнюдь не означает, что члены последовательности не*
возможно использовать в качестве случайных чисел:
необходимо лишь позаботиться о том, чтобы длина
периода была очень большой.
Пятнадцатая вариация. Рассмотрим частичные
суммы ряда Фибоначчи, то есть члены числовой
последовательности
S2= 1+2 = 3,
S3=l+
S6=l+2 + 3 + 5 + 8+13 = 32
350

и т. д. Если каждый из членов этой
последовательности
1, 3, 6, 11, 19, 32, ... C5)
увеличить на 2, то получатся числа 3, 5, 8, 13, 21,
34, ..., то есть все числа Фибоначчи, начиная с
третьего. Это утверждение можно записать более кратко
в виде формулы
SF 2. C6)
Заметим, что сами по себе частичные суммы Sn не
образуют последовательности типа Фибоначчи: если
говорить о правиле, по которому образованы члены
последовательности (Sn)j то каждый член, начиная со
второго, равен не сумме двух предыдущих, а больше
этой суммы на 2, то есть
Sn =5«-i + 5^2 + 2. C7)
! Рассмотрим теперь последовательность, которая
получится, если >из последовательности чисел
Фибоначчи вычеркнуть каждый второй член, то есть
последовательность
1, 3, 8, 21, 55, 144, ... . C8)
Выясним, по какому правилу образуются члены
последовательности A38). Как нетрудно проверить,
каждый член этой последовательности, начиная с третьего,
равен разности между утроенным предыдущим членом
н членом, номер которого на 2 меньше (то есть 8 =
= 3-3—1, 21=3-8 — 3,55 = 3-21— 8, 144=3-55—21
и т. д.). Если /г-й член последовательности C8) обо*
значить через Яп, то
Нп = ЗНп_{-Нп_2. C9)
Правило C9) представляет собой частный случай
рекурсивных алгоритмов. Рекурсивным называется
алгоритм, позволяющий вычислять любой член
последовательности по предыдущим членам. Алгоритм C9)
не только рекурсивен, но и линеен, то есть сводится
К вычислению новых членов последовательности как
суммы предыдущих членов, взятых с
соответствующими коэффициентами. Нелинейный рекурсивный
алгоритм используется, например, при вычислении чле-
351

нов последовательности
2, 4, 8, 32, 256, 8192, D0)
Каждый член этой последовательности (начиная о
третьего) равен произведению двух предыдущих
членов. Нетрудно проверить, что /г-й член последователь*:
ности D0) равен 2*4 где Fn — п-е число Фибоначчи,
Рекурсивные алгоритмы обладают одной замечав
тельной особенностью: программировать вычисление
на ЭВМ членов последовательности, задаваемых ре*
курсивным алгоритмом, сравнительно просто, так кан
ЭВМ должна производить над различными числами
одни и те же операции. Такие программы называются
циклическими.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ АККОРД
Начав «вариации» с чисел Фибоначчи, мы затрону*
ли множество интересных вопросов, относящихся к ал»
гебре, теории чисел, комбинаторике, геометрии, теории
разностных и дифференциальных уравнений, теории
поиска, рекурсивных алгоритмов и методу
Монте-Карло. Разумеется, избранная нами тема отнюдь не
исчерпана, но и приведенных выше «вариаций»
достаточно для того, чтобы понять простую истину: подоб*
но тому как незатейливая мелодия таит в себе не*
сравненно больше, чем кажется при первом прослуши*
вании, простая математическая задача (например, за»
дача Леонардо Фибоначчи о размножении кроликов)!
при всестороннем рассмотрении позволяет заглянуть
в широкий круг актуальных проблем довременной ма-»
тематики.

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ДЕРЕВЬЕВ*
ВВЕДЕНИЕ
Эта лекция должна послужить введением в мате*
матическую теорию деревьев. В ней предпринята
попытка дать обзор обширного круга возможных прило*
жений теории деревьев (к алгебре, теории информа*
ции, исследованию операций, химии, биологии и т. д.)в
Что касается названия лекции, то принадлежность
теории к математике подчеркнута во избежание
недоразумений. Быть может, более уместно было бы
назвать лекцию «О теории математических деревьев»,
поскольку «деревья», о которых я намереваюсь
говорить, являются в действительности математическими
объектами, а именно определенным типом графов.
Теория деревьев представляет собой не что иное, как
раздел общей теории графов.
Именно по этой причине в знаменитой книге Роу-
за-Болла «Математические развлечения и очерки»,
впервые вышедшей в свет в 1892 г., в которой
деревьям отведена целая глава ([1], стр. 260—262), они
названы «геометрическими деревьями». Однако если
говорить о геометрии в современном значении этого
слова, то графы вообще и деревья в частности не
принадлежат к числу изучаемых ею объектов. Тем не
менее графами мы называем плоские геометрические
фигуры, состоящие из точек (вершин), которые
определенным образом соединены попарно отрезками
прямых (ребрами). Граф не является геометрическим
объектом потому, что расположение точек на
плоскости совершенно несущественно, важно лишь число вер-
* Выступление на традиционных Роуз-болловских чтениях
Э Кембридже 30 апреля 1968 г,
353

шин и последовательность соединения вершин
ребрами. Именно поэтому можно считать, что на рис. 1
изображен один и тот же граф.
Представленный на рис. 1 граф принадлежит к
числу деревьев (хотя из трех изображений графа на
дерево похоже лишь правое). В общем случае граф G
задается упорядоченной парой (V, £), где V —
множество объектов Pi, Р2, .. •, Рп (называемых точками,
или вершинами, графа), а Е — некоторое множество
пар элементов множества V (называемых ребрами
графа), то есть Е — подмножество множества V2,
состоящего из всех различных (неупорядоченных) пар
W-+
РИС. 1
элементов множества V. Пара (Р/, Р/) (/=^/, Р/, Р/е
е У) называется ребром, соединяющим вершины Р,
и Р/, а точки Р^ и Р/ — концами ребра е = (Р*, Ру).
Если G=(V, £) — граф, Pi, Р2, ..., Рг — различные
точки, принадлежащие множеству F, а (Рь Р2),
(Рг, Рз), •.., (Рг~ь Рг) — какие-то ребра,
принадлежащие множеству Е ребер графа G, то эта
последовательность ребер называется маршрутом, ведущим из
вершины Pi в вершину Рг. Если Pi, Р2, ,.., Pr~i —
различные точки, a Pr = Pi, то последовательность
ребер (Рь Р2), (Р2, Рз), ..., (Рг-ь Рг) называется
циклом ил1£ замкнутым царшрутом. Граф называется
связным, если для любых двух вершин существует
маршрут, ведущий из одной вершины в другую.
Связный граф называется деревом, если он не содержит
замкнутых маршрутов.
Ясно, что из любой вершины дерева в любую
другую ведет один и только один маршрут. Длина самого
длинного маршрута в графе, называется диаметром
354

графа. Если о графе известно лишь, что он не
содержит циклов, то такой граф все же может быть
несвязным. В этом случае он состоит из связных кусков,
называемых компонентами. Каждая из компонент
является деревом, поэтому весь граф в целом
естественно назвать «лесом». Каждому связному графу с п
вершинами соответствует некоторое дерево с п
вершинами, которое называется остовом графа. Если граф
не является деревом, то у него имеется по крайней
мере 3 таких остова.
Термин «дерево» ввел в 1857 г. А. Кэли,
рассмотревший эту разновидность графов в одншй из своих
в *
РИС. 2
первых работ. За первой основополагающей работой
Кэли [2] по теории деревьев последовали еще три
работы [3], [4] и [5]. Поскольку первые существенные
результаты в этом разделе теории графов
принадлежат, разумеется, Кэли, то можно считать, что теория
деревьев зародилась в стенах Кембриджского
университета. Но если говорить о понятии «дерево», то
нельзя не признать, что оно несколько старше теории
деревьев. Например, за 10 лет до Кэли, в 1847 г., Кирх-
гофф, занимаясь изучением электрических цепей,
рассматривал деревья. Задолго до этого понятие дерева
использовалось при иерархическом упорядочении
офицерских званий и чинов. В XVII веке, а может быть
еще раньше, появилось понятие генеалогического
дерева. Перенесемся в еще более отдаленную эпоху,
355

В первой европейской книге по
математике—сочинении Фибоначчи, относящемуся к XIII веку, —
приведена задача о размножении кроликов. Решение этой
задачи сводится к построению знаменитой числовой
последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...» члены которой
получили название чисел Фибоначчи в честь автора
книги. Задачу Фибоначчи можно сформулировать
иначе, как задачу о подсчете числа ветвей некоторого
дерева (рис. 2).
В дальнейшем мы еще вернемся к этой задаче и
процессу ветвления.
ДЕРЕВЬЯ И СВЯЗАННЫЕ
С НИМИ ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
Число вершин дерева называется порядком дерева.
Простейшую из теорем о деревьях можно
сформулировать следующим образом: число N ребер дерева
л-го порядка равно п—\ (на рис. 3,а — д показаны
деревья порядка 1, 2, 3, 4 и 5).
Приведем единое доказательство этого
утверждения, пригодное при любом п. Выбрав произвольную
вершину, назовем ее «корнем» дерева* Остальные
вершины перенумеруем числами 1У 2,..., п— 1. Каждому
ребру мы присвоим номер той из его вершин,
которая служит конечной точкой маршрута,
начинающегося из корня дерева и содержащего данное ребро.
Все ребра окажутся перенумерованными, причем
каждое из чисел 1, 2, ..., п—1 будет встречаться среди
номеров один и только один раз (поскольку из корня
дерева в любую вершину ведет один и только один-
маршрут). Итак, мы доказали, что число ребер
равно п— 1.
Первый нетривиальный вопрос о деревьях был
поставлен и решен Кэли: сколько существует различных
деревьев с заданным числом вершин? Разумеется,
отнюдь не ясно, какие два дерева допустимо считать
различными. На этот вопрос можно дать по крайней
мере два ответа. Первый ответ относится к тому
случаю, если вершины дерева можно перенумеровать, то
есть считать различимыми, второй — к тому случаю,
когда вершины дерева неразличимы. При п=1 и
356

л = 2 оба толкования вопроса приводят к одному и
тому же числу деревьев, поскольку в любом случае
существует лишь одно дерево с одной вершиной
(рис. 3, а) и лишь одно дерево с двумя вершинами
(рис. 3,6). Но если число вершин увеличить еще на
<*)
N=0
б)
I V
/7=2 П=*3
г)
V
/7=5
РИС.3
единицу, то станет ясно, что существуют три
различных дерева с тремя помеченными вершинами, однако
стоит лишь отказаться от нумерации, как все три
дерева утрачивают индивидуальность.
Пусть Сп — число деревьев с п помеченными
вершинами (для краткости условимся называть такие
деревья помеченными). Кэли доказал, что
„n-2
то есть
= 31==3,
и т. д
Шестнадцать помеченных деревьев с 4 вершинами
можно получить из двух типов непомеченных деревьев,
изображенных на рис. 3,г, следующим образом. Вер*
357

шины дерева первого типа (маршрута длины 3)
можно перенумеровать 12 способами (если все вершины
дерева перенумеровать сначала в одном, а затем „в
обратном порядке, то обе нумерации —прямая и
обратная—будут соответствовать одному и тому же
помеченному дереву). Что же касается непомеченных
деревьев второго типа (звезды с тремя лучами,
изображенной на рис. 4), то их вершины можно
перенумеровать 4 способами — по числу вариантов нумерации
вершины в центре звезды. Наиболее изящное
доказательство теоремы Кэли предложил Прюфер [6].
Основная идея этого доказательства состоит в
сопоставлении каждому дереву набора из п — 2 знаков,
каждый из которых совпадает с одним из чисел 1,2, *»., /г.
РИС. 4
Такой набор называется «словом в коде Прюфера».
Ясно, что общее число слов в коде Прюфера равно
пп~2. Следовательно, теорема Кэли будет доказана,
если нам удастся убедиться в том, что между
нумерованными деревьями и словами в коде Прюфера
существует взаимно-однозначное соответствие. В свою
очередь это станет понятным, если мы рассмотрим, как
происходит процесс кодирования и декодирования.
Прежде чем переходить к правилам кодирования и
декодирования, введем два простых понятия. Степенью
вершины Р графа G называется число ребер, один из
концов которых совпадает с точкой Р. Вершина Р
первой степени графа G называется «висячей вершиной»
(или предельной точкой). Ребро, один из концов
которого является висячей вершиной, назовем «торчащим»
ребром. Ясно, что дерево с числом вершин не меньше
двух содержит не менее двух висячих вершин. После
этих предварительных замечаний мы можем
приступить к предложенному Прюфером доказательству тео-
358

ремы Кэли. Алгоритм кодирования сводится к
следующим операциям (рис. 5):
а) Выбрав висячую вершину, помеченную
наименьшим числом, сотрем ее вместе с заканчивающимся в
ней ребром и выпишем номер, стоящий у другого ков*
ца ребра. Это число и будет первым знаком кодового
слова.
б) Будем повторять аналогичные операции над
остатками дерева до тех пор, пока де получится граф
с двумя вершинами, после чего остановимся.
Полученный набор знаков будет словом в коде Прюфера,
соответствующим исходному помеченному дереву.
Поясним сказанное на примере (рис, 5). Первой
будет стерта висячая вершина, помеченная номером 3,
44112
Слово в поде
Дерет
РИС. 5
а первым знаком слова в коде Прюфера — число 4,
стоящее у другого конца торчащего ребра с концом
в вершине 3.
Нетрудно видеть, что процесс кодирования
допускает однозначное обращение, то есть по кодовому
слову можно восстановить дерево.
Алгоритм декодирования сводится к следующему.
Выпишем под кодовым словом в порядке возрастания
все те из чисел 1, 2, ,.., п, которые не входят в
кодовое слово. Назовем полученный набор чисел антико.
дом. Точку, помеченную первым знаком кодового ело*
ва, соединим с точкой, помеченной первым знаком
антикода, после чего вычеркнем эти знаки из кодового
слова и антикода* Если вычеркнутый знак кодового
слова не встречается в оставшейся части слова, то
впишем его на соответствующее место в антикоде. За-»
повторим ту же операцию с новым кодовым сло«
359

вом и антикодом и будем повторять так до тех пор,
пока все знаки слова не окажутся зачеркнутыми.
Наконец соединим две точки, помеченные номерами,
совпадающими со знаками последнего антикода, и
получим соответствующее дерево.
Поясним сказанное на примере. Слово в коде Пркь
4$ра имеет вид 6233. Процесс декодирования
подразделяется на следующие этапы:
6233 233 33 3
145 456 256 56 36
Построенное дерево изображено на рис. 6.
Из предложенных Прюфером алгоритмов
кодирования и декодирования следует, что если дерево обла-
РИС. 6
дает помеченной номером k вершиной степени Й, то
число k входит в слово, соответствующее этому дереву
в коде Прюфера, ровно d— 1 раз. В частности, слово
в коде Прюфера не содержит тех (и только тех)
номеров, которыми помечены висячие вершины.
У полного графа с п вершинами существует /гл~2
деревьев, каждое из которых служит его остовом.
Дерево называется «посаженным» (корневым) f
если одна из его вершин выделена (корень дерева)*
Из теоремы Кэли следует, что число посаженных де«
ревьев с п помеченными вершинами равно пл"!.
Подсчет непомеченных деревьев представляет со*
бой гораздо более трудную задачу, но Кэли сумел
решить и ее. Девять возможных вариантов
непомеченных деревьев с 5 вершинами изображены на рис. 7*
360

К сказанному мне хотелось бы добавить, что Роуз-
Болл [1] весьма остроумно воспользовался теоремой
Кэли для подсчета числа способов, которыми можно
разместить на плоскости п попарно не
пересекающихся кругов (два круга могут располагаться либо один
:; v
®
2
вне другого, либо один внутри другого). Например,
при я = 3. существует всего 4 варианта размещения
кругов. Все они представлены на рис. 8.
Роуз-Болл показал, что п попарно не
пересекающихся кругов можно расположить на плоскости столь-
о о о
РИС. 8.
кими же способами, сколько существует посаженных
непомеченных деревьев с п + 1 вершиной (при п = 3
число таких деревьев равно 4). В правильности этого
утверждения нас убеждают следующие соображения.
Рассмотрим любое из допустимых расположений п
кругов и заключим всю конфигурацию в один боль-
Шой круг. Каждому из (п+ 1) кругов сопоставим вер-
кшну дерева и соединим две вершины ребром, если
861

соответствующие им круги расположены так, что один
из них лежит внутри другого, но не отделен от него
границей третьего круга. Большому кругу, внутри
которого размещается вся исходная конфигурация из п
кругов, сопоставим корень дерева. Деревья,
соответствующие четырем вариантам расположения на
плоскости трех кругов, изображены на рис. 8.
Как показал Роуз-Болл, из первой теоремы Кэли
следует, что если п кругов помечены номерами, то
число различных конфигураций разно (n+ l)*-1.
Например, при п = 3 конфигурации, представленные на
рис. 8, можно перенумеровать 6, 6, 3 и 1 способами,
поэтому
31
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕРЕВЬЕВ
Начнем со следующего вопроса: сколько висячих
вершин может быть у дерева с п вершинами? На
первый взгляд ответ кажется тривиальным. Число /
висячих вершин всегда удовлетворяет неравенству 2 ^ t ^
^ п — 1, причем как предельные случаи
(прямолинейный маршрут и звезда), так и все промежуточные
случаи осуществимы. Но такой ответ на поставленный
нами вопрос нельзя считать исчерпывающим.
Действительно, если число п очень велико, то среди
огромного числа возможных конфигураций (напомним, что
существует пп~2 вариантов строения помеченных
деревьев с п вершинами) предельные случаи f = 2 и
/ =— п — 1 крайне редки: случай t = п — 1 встречается
только п раз, а случай £ = 2 встречается п\/2 раз.
Хотя число п\/2 само по себе велико, оно все же (как*
следует из формулы Стирлинга) очень мало по
сравнению с числом nn~2. Учитывая это, поставим наш вопрос
несколько иначе: сколько помеченных деревьев с п
вершинами имеют ровно t висячих вершин? В
частности, сколько помеченных деревьев с п вершинами
обладают наибольшим числом висячих вершин? В
новой постановке наш вопрос можно сформулировать
также следующим образом: если пп-2 различных
(помеченных) деревьев с п вершинами сложить в болы
шую шляпу и вытягивать их оттуда наугад по одному,
362

каждый раз подсчитывая у извлеченного дерева число
висячих вершин, то с какой вероятностью будет
встречаться то или иное число? Более кратко тот же
вопрос можно поставить и так: сколько висячих вершин
у «типичного» дерева с п вершинами?
Полное решение этой задачи было опубликовано
мной несколько лет назад в работе [7]. Полученный
ответ гласил: наибольшее число висячих вершин у
деревьев с п вершинами равно приблизительно п/е, где
е — основание натуральных алгоритмов (е=2,7182...),
то есть висячие вершины составляют около 36,8% от
общего числа вершин «типичного» дерева.
Аналогичным образом можно спросить: сколько вершин
степени d у типичного дерева с п вершинами? Ответ:
число вершин степени d приблизительно равно
n/e(d— 1)!, то есть у дерева с п вершинами имеется
около п/е вершин степени 2, около п/2е вершин
степени 3, около n/Qe вершин степени 4 и т. д. Заметим,
оо
что 2 п/е (d —• 1)! = 1.
Иначе говоря, математическое ожидание числа
типичных деревьев с вершинами, степень которых
убывает каждый раз на 1, подчиняется распределению
Пуассона, Что касается среднего значения степени*
вершины d, то, как нетрудно проверить, оно всегда
равно 2 — 2/п. Действительно, сумма степеней всех
вершин графа совпадает с удвоенным числом ребер,
то есть в дереве с п вершинами равно 2п — 2.
Доказательство всех этих утверждений следует из
предложенного Прюфером алгоритма кодирования
деревьев. Действительно, этот алгоритм допускает
следующую интерпретацию: выбор наугад одного из
помеченных деревьев с п вершинами (в предположении,
что все пп~2 деревьев равновероятны) можно
производить, вытягивая наугад п — 2 шаров, разложенных по
п коробкам (урнам) так, что каждый шар с равной
вероятностью может оказаться в любой из коробок.
После того как все шары разложены, число пустых
коробок совпадает с числом висячих вершин, число
коробок с одним шаром — с числом вершин степени 2, ...,
число коробок с (d—1) шарами — с числом вершин
степени d. Задача, к которой сводится интересующий
363

нас вопрос, допускает простое решение: оказывается,
что распределение деревьев по числу висячих вершин
с достаточной точностью можно считать нормальным
с математическим ожиданием ~ п/е и дисперсией
Что касается распределения деревьев по числу
вершин степени d, то оно близко к нормальному распре-
РИС. 9.
делению (рис. 9) с математическим ожиданием
n/e(d— 1)\ и дисперсией
e(d
п /«
- 1)! V1
\+(d-2J
e{d-\)\
Рассмотрим теперь (также со статистической
точки зрения) деревья высотой А, то есть задачу об
определении наибольшей длины маршрута, начинающегося
от корня дерева (длина маршрута равна числу
образующих его ребер графа). Недавно решение этой
задачи опубликовал Дьердь Секереш [9]. Ответ на
аналогичный нестатистический вопрос тривиален: длина
самого короткого маршрута равна 1, длина самого
длинного маршрута равна п—1 и маршруты любой
промежуточной длины также существуют.
Что касается высоты типичного «посаженного»
(корневого) дерева с п вершинами, то, как показы-
вают полученные оценки, асимптотически она равна
л/2пп« 2,506 л/п'. Удалось найти и распределение
посаженных деревьев с п (помеченными) вершинами
по высоте: можно показать, что диаметр типичного де-
* Распределение деревьев по числу вершин стемени d
можно найти, если воспользоваться недавно предложенным Ю. В.
Болотниковым [8] решением соответствующей классической задачи
об извлечении шаров из урн.
364

рева по порядку величины совпадает с л/п . Предел
отношения Р/л/п остается пока неизвестным.
Заметим, что задачу о числе посаженных деревьев
с п вершинами поставил еще Кэли.
ПРИЛОЖЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ
Рассмотрим следующую практическую задачу: сеть
коммуникаций (кабель, шоссе, железную дорогу
и т.д.) необходимо проложить так, чтобы она связала
РИС. 10.
любые два из некоторого числа городов. Из
соображений экономии расходы на строительство сети
необходимо минимизировать. Кроме того, сеть должна
состоять из участков, соединяющих города попарно.
Расходы на строительство всех участков заранее заданы.
Нетрудно видеть, что оптимальная сеть непременно
будет деревом. Как было показано выше, всего
существует /гл~2 деревьев, связывающих п городов.
Следовательно, одно из пп~2 деревьев и должно быть
оптимальной сетью. Для решения этой задачи мы
воспользуемся алгоритмом, предложенным Борувкой
[£10] (см. также Крускал [И]). Этот алгоритм
позволяет строить последовательные приближения к
оптимальному решению (рис. 10).
Расходы на строительство участков составляют:
СA,2)=1; СA,3)=1,5; СA,4) = 3; СA,5) = 6;
СB,3) = 2; СB,4)=1,5; СB,5)=1,2; СC,4) = 8;
СC,5) = 4; СD,5) = 3.
Другая задача исследования операций, также при*
водящая при определенных условиях к деревьям, со*
стоит в следующем. Предположим, что между п аэро-
365

дромами, расположение которых задано, требуется на*
ладить воздушное сообщение так, чтобы с каждого
N-15
[Граф Пегперсена)
РИС. И.
аэродрома на любой другой можно было добраться,
совершив не более (d — 1) пересадок. Кроме того, при
поиске решения необходимо соблюдать еще одно огра*
ничение: дело в том, что пропускная способность каж<
дого аэродрома конечна (и определяется эксплуата*
ционными нормами), поэтому число рейсов, связываю*
щих каждый аэродром с другими, не должно превы*
шать некоторое заданное число k. Вопрос, каково ми*
нимальное число беспосадочных рейсов, позволяет со*
здать сеть воздушных сообщений, удовлетворяющую
всем требованиям. На языке теории графов нашу за*
дачу можно сформулировать следующим образом: по*?
строить связный граф с п вершинами, у которого диа«
366

метр не превосходит dy степени вершин не больше ky
а число ребер минимально. В совместной работе [12]
Пала Эрдёша и Веры Т. Шош показано, что если k не
меньше некоторой нижней грани Ud(n), то
оптимальный граф всегда является деревом (и, следовательно,
обладает п — 1 ребром). Например, при d = 3 (то есть
если сеть воздушных сообщений должна быть такой,
чтобы с каждого аэродрома на любой другой можно
было долететь, совершив не более двух пересадок)
нижняя грань Uz(n) равна п/2.
На рис. 11 изображены оптимальные сети при
п = 10 и к = 3, 4 и 5. Мы видим, что при k = 5 =
= 10/2 оптимальная сеть является деревом.
ДЕРЕВЬЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Кэли принадлежит следующее интересное
замечание: если задана бинарная операция АоВ и она не
ассоциативна, то есть (А о В) о С не обязательно
совпадает с Л о (В о С) (например, (АВ)С^А(ВС)), то
символы Л ©Во С, АоВоС <>Д и т. д. могут принимать,
вообще говоря, не одно, а несколько значений и
становятся однозначно определенными лишь в том случае,
если последовательность выполнения операций
указана при помощи скобок. Например, степень 22
можно понимать пятью способами:
Возникает вопрос: сколько различных значений
может принимать выражение А\оА2° ... <>ЛЛ?
Оказалось, что «произведению» А\оА2о ... оАп при
любой расстановке скобок соответствует посаженное
корневое) дерево с п висячими вершинами, у которого
все остальные вершины, кроме корня, имеют степень 3.
Такие деревья называются деревьями двоичного кода,
поскольку каждую из их висячих вершин можно
закодировать конечной последовательностью нулей и
единиц. Действительно, в каждую висячую вершину
от корня дерева ведет единственный маршрут.
Следуя по маршруту от начала до конца, условимся запи-
367

сывать нуль всякий раз, когда, выйдя из очередной
вершины, мы поворачиваем налево, и единицу, если
маршрут ведет направо. Такие деревья часто назы*
вают двоичными деревьями.
На рис. 12 изображены деревья, соответствующие
различным способам расстановки скобок в произве*
дении А о В о С о D.
Заметим, что двоичное дерево с п висячими верши*
нами содержит также (п—1) невисячих вершин, в
том числе корень дерева. Естественно возникает воп*
рос: сколько существует двоичных деревьев с п поме*
ченными висячими вершинами? Роуз-Болл нашел, что
число Вп таких деревьев определяется выражением
D 1-3-5- ... -Btt-3) on-i 1 /2«-l\
Bn = nl 2 =¥^{ n У
Двоичные деревья играют весьма важную роль в
теории информации. Предположим, что определенное
число сообщений требуется закодировать в виде ко*
нечных последовательностей различной длины, состоя*
щих из нулей и единиц. Код должен быть кодом без
запятой, то есть таким, чтобы, записав подряд
несколько слов, можно было без всяких разделительных
знаков указать, где кончается одно и начинается дру-
гое слово. Этому условию удовлетворяет префиксный
код, то есть такой код, в котором ни одно слово не
является началом другого, а при вычеркивании из
слова любого знака это свойство утрачивается.
Каждому префиксному коду можно поставить в
соответствие посаженное двоичное дерево, у которого число
висячих вершин совпадает с числом слов, представи*
мых в данном коде, и наоборот. Например, коду
111
1101
1100
10
01
001
000
368

принцип перечисления:
({AoB)oC)oD
AiO 0 О
В-О О !
СО 1
Ао(Во(СоП))
А: О
J5: ! О
С; 1 1 О
П 1 1 /
А В
(АоВ)о(СоЯ)
А--1 О
В: / /
С: О О
J): О 1
(Ao(BoC))oD
At О О
В: О 1 О
С: О 1 Г
D J
Ао((ВоС)оЛ)
А: о
В: 1 О О
С: 1 О J
D / /
At?
3:1 00
РИС. 12.

соответствует дерево, изображенное на рис. 13.
Если вероятности кодовых слов заданы, то
наилучшим считается код, в котором средняя длина слов
минимальна по сравнению с прочими распределениями
not
1100
РИС. 13.
вероятности. Задачу о построении такого
оптимального кода, то есть соответствующего дерева, позволяет
решать алгоритм" Хафмана.
Двоичные кодовые деревья допускают
интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при
этом сопоставляется вопрос, ответить на который
можно либо «да», либо «нет». Утвердительному и
отрицательному ответу соответствуют два ребра,
выходящие из вершины. «Опрос» завершается, когда удается
установить то, что требовалось.
Таким образом, если кому-нибудь понадобится
рзять интервью у различных людей и ответ на
очередной вопрос будет зависеть от (заранее не известного)
Ответа на предыдущий вопрос, то план такого
интервью можно представить в виде двоичного дерева.
ДЕРЕВЬЯ И ПЕРЕСТАНОВКИ
В ответ на замечание библиотекаря о
необходимости расставлять возвращаемые книги по полкам
читатель фундаментальной библиотеки математического
института возразил не без находчивости: «К чему это
Делать, если перестановки соседних элементов порож-
370

дают всю симметрическую группу?» Читатель имел
в виду, что любую перестановку чисел 1, 2, ..., п мо-
жно получить, проделав в определенной
последовательности несколько элементарных операций. Каж»
дая такая операция состоит в «пересаживании» чисел,
находившихся на k-м и (&+ 1)-м месте (k—одно из
чисел 1, 2, ..., п). Например, приняв за исходную пе*
рестановку числа 1, 2, 3, 4, расположенные в порядке
возрастания (то есть перестановку 1234), мы можем
получить из нее перестановку 4321:
поменяв местами 3 и 4, получим из 1234 перестановку 1243;
поменяв местами 2 и 3, получим из 1243 перестановку 1342;
поменяв местами 1 и 2, получим из 13^2 перестановку 2341;
поменяв местами 3 и 4, получим из 2341 перестановку 2431;
поменяв местами 2 и 3, получим из 2431 перестановку 3421;
поменяв местами 3 и 4, получим из 3421 перестановку 4321*
Можно задать общий вопрос: в каких случаях
п — 1 транспозиция (i9 /) порождает всю
симметрическую группу? Ответ на этот вопрос дал Дьердь Пойа
[13]. Он доказал, что так происходит в том и только
в том случае, если (Р/, Р))— ребро дерева с верши*
нами Рь Р2, ..., Рп.
Нетрудно видеть, что граф,' соответствующий
транспозициям 1234, 1243, J342, 2341, 2431, 3421, 2421,
связан. Это свойство весьма важно. Оказывается, что
множество транспозиций порождает всю
симметрическую группу, если соответствующий граф
(называемый графом Пойа) связан, то есть содержит
некоторое дерево с п вершинами [14].
Например, граф, соответствующий транспозициям
A, 2), B, 3), B, 4), связан. Перестановку 4321 можно
получить из этих транспозиций следующим образом;
D321) = B3) A2) B4) A2), то есть
1234, J324, 2314, 4312, 4321. Как известно, из п точек
можно построить пп~2 деревьев. Следовательно,
существует всего пп~2 наборов из п— 1 транспозиций,
каждый из которых порождает всю симметрическую
группу степени п.
371

ДЕРЕВЬЯ И ХИМИЯ
Еще Кэли рассмотрел задачу о возможных
структурах насыщенных (или предельных) углеводородов,
молекулы которых задаются формулой СпНгп+г. Все
атомы углерода четырехвалентны, все атомы
водорода одновалентны. Структурные формулы
простейших насыщенных углеводородов показаны на рис. 14
(а — метан СН4, б — этан СгНв, в — пропан СзН8, г—*
два изомера бутана С4Н10).
щ ' \
—и н й *с И
И
г)
РИС, 14.
372
Н НИ
а) Л
и И н
я
н и
S)
и и и и
, s* rt у*. .... it гш
U • и - ,(ф •••"**—.- ^" {/• • • - /7
Н Н И Н
Н И Н
Н с : С О Н

Молекула каждого предельного углеводорода
представляет собой дерево. Если удалить все атомы
водорода, то оставшиеся атомы углерода также будут
образовывать дерево (поскольку все атомы водорода
располагаются в висячих вершинах), каждая вершина
которого имеет степень не выше 4. Следовательно,
число возможных структур предельных углеводородов
jCnH2n+2 равно числу непомеченных деревьев с
вершинами степени ^ 4. Таким образом, подсчет числа
различных предельных углеводородов также приводит к
задаче о перечислении деревьев определенного типа.
Эту задачу и многие ее обобщения рассмотрел
Д. Пойа.
ДЕРЕВЬЯ И БИОЛОГИЯ
Мы уже упоминали о генеалогических деревьях.
Они играют важную роль в теории ветвящихся
процессов. Для простоты мы будем рассматривать только
/к
РИС. 15.
одну разновидность ветвящихся процессов —
размножение бактерий. Предположим, что через
определенные промежутки времени каждая бактерия либо
делится на две новые бактерии, либо погибает. Тогда
для потомства одной бактерии мы получаем двоичное
дерево.
Нас будет интересовать лишь один вопрос: в
скольких случаях /z-e поколение одной бактерии насчиты-
373

вает ровно 2k потомков? Обозначим число таких
случаев через Т(пу 2k), Нетрудно видеть, что
справедлива следующая рекуррентная формула:
Г (л + 1,2ft) - £ 7>, 2
Ей соответствует производящая функция
Производящие функции удовлетворяют
рекуррентному соотношению
поэтому
Л(*)-1+**,
Р2(х)=1+2х2 + х\
Р3 (х) = 5 + 8х2 + 8х4 + 4*6 + Xs
и т. д., а это означает, что, например, 7C,4) = 8
(рис. 15).
Рекуррентное соотношение (#) известно в теории
ветвящихся процессов под названием процесса Галь-
тона— Ватсона. Его можно рассматривать как
частный случай многих более общих формул.
О теории деревьев и ее приложениях я рассказал
здесь далеко не все. Тем не менее я надеюсь, что
затронутые мной темы позволят составить
представление о характерных особенностях этой теории и
широком применении, которое она находит в различных
разделах математики.
* В общем случае, если T(k)—функция, принимающая
положительные целые значения (дающие решения какой-нибудь
комбинаторной задачи при k = 0, 1 ,2, ...), то соответствующая ей
производящая функция
Р (х) = Т @) + Т A) х + Т B) х2 + ...
допускает разложение в бесконечный ряд.
Но если при каком-то k функция T(k) обращается в нуль,
то ряд обрывается и получается многочлен (сумма конечного
числа членов), — Прим, ред. венгерского издания,,
374

ЛИТЕРАТУРА
1. Rouse-Ball W. W. Mathematical recreations and essays.
11th ed., revised by H. S. M. Coxeter. — London: MacMillan
Co., 1947.
2. Cayley A. On, the theory of the analytical forms called trees. —•
I., Phil. Mag., 1857, No. 13, 172—176.
3. Cayley A. On the theory of the analytical forms called
trees.— II., Phil. Mag., 1859, No. 18, 374—378.
4. Cayley A. A theorem on trees. — Quart. Journ. Pure and Appl.
Math., 1889, 23, 376—378, No 895.
5. Cayley A. On the analytical forms called trees with
applications to the theory of chemical combinations. — Rep. British
Ass. Adv. Sci., 1875, 257—305.
6. Priifer A. Neuer Beweis eines Satzes tiber Permutationen.—
Arch. Math, und Phys., 1918, No. 27, 142—144.
7. Renyi A. On the theory of trees. —Publ. Math. Inst. Hung.
Acad. Sci., 1959, No. 4, 73—85.
8. Болотников Ю. В., Сходимость к гауссовскому и пуассонов-
скому процессам величин \хг(п) в классической задаче о
дробинках.— Теория вероятностей и ее применения, 1968, № 13,
39—50.
9. Renyi A., Szekeres G. On the height of trees. — Journ.
Australian Math. Soc, 1967, No. 7, 467—507.
10. Boruvka 0. On a minimal problem, Prace Moravske Pridove*
decke Spolecnosti. 1926, No. 3.
11. Kruskal W. The shortest spanning subtree of a graph and the
traveling salesman problem. — Proc. Amer. Math. Soc, 1956,
No. 7, 48—50.
12. Erdos P., Renyi A., Sos V. T. On a problem of graph theory.—
Studia Sci. Math. Hung., 1966, No. 1, 215—235.
13. Polya G. Kornbinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen,
Graphen Acta Math., 1937, No. 68, 145—255.
14. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. — Publ,
Math. Inst. Hung. Acad. Sci., 1960, No. 5, 17—61,

СОДЕРЖАНИЕ
S, Гнеденко. Предисловие 5
ДИАЛОГИ р МАТЕМАТИКЕ. Перевод Д. Гнеденко, /О.
Данилову Е, Масловой 17
ПИСЬМА О ВЕРОЯТНОСТИ. Перевод Д. Сааса и А. Крамли 121
ДНЕВНИК. ЗАПИСКИ СТУДЕНТА ПО ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ.
Перевод Ю. Данилова . 199
СТАТЬИ. Перевод Ю. Данилова 285
Азартные игры и теория вероятностей . 286
Заметки о преподавании теории вероятностей . . . .313
Вариации на тему Фибоначчи . 326
О математической теории деревьев ........ 353
Альфред Реньи
ТРИЛОГИЯ О МАТЕМАТИКЕ
Ст. научный редактор А. Г. Белевцева
Мл. науч. ред. М. А. Харузина
Художник В. С. Стуликов
Художественный редактор Б. Л. Безрученков
Технические редакторы Е. С. Потапенкова, И. М. Кренделева
Корректор В. И. Постнова
ИБ-2431
Сдано в набор 19.09.79. Подписано к печати 09.04.80. Формат 84X108Vsi.
Бумага типографская № 2. Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 5.88
бум. л. УсЛ. печ. л. 19,74. 18,76 уч.-изд. л. Изд. № 12/0685. Тираж 130 000 экз.
Заказ № 401. Цена 95 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-110, ГСП 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

оставил заметный след в науке.
Трехтомное собрание его
избранных работ содержит более
трехсот пятидесяти публикаций по
теории вероятностей,
математической статистике, теории
информации, комбинаторике, теории
графов, теории чисел и
математическому анализу. Особенно
значителен вклад А. Реньи в теорию
вероятностей, с которой его
интересы были неразрывно
связаны со времени его
краткосрочной (с октября 1946 г. по июнь 1947 г.) докторантуры
в Ленинградском отделении Математического института
им. В. И. Стеклова: в немногим более чем полугодовой
срок А. Реньи не только овладел русским языком,
блестяще защитил диссертацию и опубликовал две работы,
но и сумел войти в круг проблем нового для себя
раздела математики.
С 1950 г. и до конца жизни А. Реньи возглавлял
созданный им Математический институт Академии наук
Венгерской Народной Республики, он б(ыл избран
действительным членом этой академии, был членом редколлегий
многих национальных и международных журналов.
Тонкий музыкант и знаток литературы, А. Реньи высоко
ценил в математике эстетическое начало, интересовался
историей любимой науки и размышлял над ее
философскими проблемами. Реньи-математик неотделим от
Реньи-педагога и популяризатора науки. Блестящие по
форме и глубокие по содержанию научно-популярные
произведения А. Реньи, составляющие настоящий
сборник, позволят читателю узнать, как представляет себе
сущность математики и ее связь с реальностью один из
ее верных рыцарей и поэтов.