УДК 517.4(075.8)
И20
Рецензенты:
кафедра прикладной математики Уральского государственного универси-
тета путей сообщения (заведующий кафедрой доктор физико-математичес-
ких наук, профессор С. П. Баутин)-,
В П. Федотов, доктор физико-математических наук, профессор (Инсти-
тут машиноведения УрО РАН)
Иванов А. О., Булычева С. В.
И20 Метод интегральных преобразований в уравнениях с частными
производными: Учеб, пособие. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-
та, 2004. - 78 с.
ISBN 5-7996-0194-7
В пособии рассмотрены основные положения метода интегральных пре-
образований в приложении к решениям краевых задач в частных производ-
ных Изложены ключевые аспекты математической теории интегральных
преобразований Фурье и Лапласа. Учебный материал представлен на при-
мере решения большого количества гиперболических и параболических
задач математической физики. Для закрепления усвоенных навыков при-
ведены задачи с ответами. Пособие содержит все необходимые сведения
для самостоятельного изучения метода интегральных преобразований
Для студентов-математиков всех форм обучения, сталкивающихся с за-
дачами подобною типа, а также для научных работников и инженеров.
УДК 517.4(075.8)
ISBN 5-7996-0194-7
©АО Иванов, С. В Булычева, 2004
© Уральский государственный университет, 2004
Оглавление
Введение	4
Основные определения............................... 6
Общие свойства интегральных преобразований ....	9
1.	Интегральные преобразования	Фурье	11
1.1.	Ряды Фурье................................... 11
1.2.	Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фу-
рье ......................................... 15
1.3.	Различные виды формулы	Фурье................. 19
1.4.	Преобразования Фурье......................... 20
1.5.	Свойства интегральных преобразований Фурье .	22
1.6.	Примеры решения задач........................ 25
1.6.1.	Решение задач в бесконечной области . .	25
1.6.2.	Решение задач в полуограниченных обла-
стях .................................... 29
1.6.3.	Интегральные преобразования по несколь-
ким переменным........................... 34
1.6.4.	Замечания.............................. 37
1.6.5.	Задачи для самостоятельного решения . .	38
2.	Интегральное преобразование Лапласа	40
2.1.	Свойства интегрального преобразования Лапласа 43
2.2.	Примеры решения задач........................ 52
2.3.	Замечания ................................... 61
2.4.	Задачи для самостоятельного	решения.......... 62
3.	Ответы. Указания	64
3.1.	К задачам на преобразование	Фурье............ 64
3.2.	К задачам на преобразование	Лапласа.....	67
Литература	69
Приложение	70
3
Введение
Метод интегральных преобразований - один из мощных ме-
тодов решения дифференциальных уравнений, в том числе и
с частными производными. Суть метода заключается в следу-
ющем. Искомой функции / из класса функций {/} ставится в
соответствие другая функция F из класса функций {F} —
Л[/] = F или / F.
(D
В качестве закона соответствия А выступает некоторый ин-
теграл (отсюда и название - интегральное преобразование).
Функцию / называют оригиналом (прообразом), а функцию F,
определенную в (I), изображением или образом функции /.
Преобразование, которым функция F, определенная в (I),
снова преобразуется в функцию /, называется обратным пре-
образованием :
-А = f или F /•
(П)
При этом само преобразование называется прямым.
Для практического применения интегральных преобразо-
ваний важно, чтобы прямое (I) и обратное (II) преобразова-
ния устанавливали взаимно-однозначное соответствие между
классами функций-оригиналов {/} и их изображений {F}. При
этом условии можно установить также соответствие между опе-
рациями на обоих классах функций.
Обычно интегральное преобразование строится так, чтобы
оно обладало определенными свойствами, позволяющими заме-
нять сложные операции над функциями-оригиналами из клас-
са {/} простыми операциями над функциями-изображениями
из класса {F}.
Так, для многих известных интегральных преобразований
операции дифференцирования функций исходного класса {/}
соответствует умножение функции-образа F на независимую
4
переменную, благодаря чему задачи для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами при-
водятся к алгебраическим задачам для преобразованных функ-
ций.
Аналогична идея применения интегральных преобразова-
ний и к дифференциальным уравнениям с частными производ-
ными. При решении подобных задач стремятся выбрать инте-
гральное преобразование, которое позволило бы дифференци-
альные операции по одной из переменных заменить алгебраи-
ческими операциями, что приводит к избавлению в преобразо-
ванной задаче от частных производных по одной из перемен-
ных. Таким образом, в новом дифференциальном уравнении
(для функций-образов) будет на одну переменную меньше, чем
в исходном, то есть задача упрощается.
Затем решается более простая задача в образах. К найден-
ному решению этой задачи применяется обратное преобразова-
ние й-1[...], в результате чего получается решение исходной
задачи. Общий алгоритм изображен на схеме.
Исходная задача		Решение исходной задачи
I. Интегральное преобразование 1		t III. Обратное интегральное преобразование t ...
Задача в образах	И. Решение „ задачи в образах	Интегральный образ искомого решения
5
Осуществление последнего этапа решения задачи (нахожде-
ние обратного преобразования) во многом упрощается благода-
ря наличию множества таблиц интегральных преобразований
[2, 3]. Эти таблицы представляют собой два столбца, один из
которых содержит функцию-оригинал, а другой — ее образ.
Основные определения
Определение 1. Преобразование, которым каждой функ-
ции f(xi,...,xn) п вещественных переменных сопоставляется
функция
6
= / K{xvX)f{xi,...,xn)p(xj)dxj = А[/]	(1)
а
п — 1 вещественных переменных xi,x%,...,x3-i,xs+i,... ,хп и
параметра А, вообще говоря, комплексного, называют инте-
гральным преобразованием по переменной х}. Переменную х3
называют переменной преобразования.
Всякое интегральное преобразование (1) определяется
ядром K(xj,X), пределами преобразования а, Ь (которые могут
быть и бесконечными), множеством функций ... ,хД},
к которым оно применимо, и весовой функциейр(х3). Для опре-
деления конкретного интегрального преобразования необходи-
мо указать все эти данные.
Возможны интегральные преобразования сразу по несколь-
ким или по всем переменным. Обобщение на этот случай данно-
го выше определения очевидно. Ниже мы будем рассматривать
в основном преобразования только по одной переменной. По-
следовательное применение таких преобразований (по другим
переменным) эквивалентно одному преобразованию по несколь-
ким переменным (см. 1.6.3 данного пособия).
В дальнейшем примем следующие обозначения: функции-
оригиналы будем обозначать строчными буквами (/, д, и, ...),
6
их изображения - прописными (F, G, U, V, ...), интеграль-
ные преобразования - готическими (S, Для сопоставле-
ния функции-оригинала и ее изображения будем использовать
знак «=». Запись «/ = F» означает- «/ является функцией-
оригиналом для изображения F» или «F является изображе-
нием (образом) функции f».
Определение 2. Преобразование, которое восстанавлива-
ет первоначальную функцию /(xi,..., хп) из преобразованной
F(xi,..., А,..., хп), называют обратным преобразованием:
A~l[F] = f.	(2)
Отметим, что обратное преобразование не всегда является
интегральным.
Для каждого типа задач вид интегрального преобразова-
ния (1), его ядра К(х3, А) и весовая функция р(х3) могут быть
определены в соответствии с теорией, развитой в [1, гл. 33].
Целью данного пособия не является построение интегральных
преобразований для каждой конкретной задачи. Мы будем ис-
пользовать наиболее известные из них. При этом укажем, к
задачам какого типа они применимы, а также сформулируем
некоторые выводы из [1], которыми будем руководствоваться
при выборе того или иного ядра интегрального преобразова-
ния.
Пределы интегрирования при преобразовании, очевидно,
следует выбирать так, чтобы они совпадали с пределами (а, Ь)
изменения переменной преобразования х3. В противном случае
либо не были бы учтены значения преобразуемых функций вне
интервала интегрирования, либо интегрирование распростра-
нялось бы на область, в которой преобразуемые функции могут
быть не определены Таким образом, если переменная преоб-
разования изменяется в конечных пределах, то и интегральное
преобразование будет иметь конечные пределы, в противном
случае интегральное преобразование должно быть осуществле-
но в бесконечных пределах.
7
В соответствии с этим различают конечные и бесконечные
интегральные преобразования. Применение конечных интег-
ральных преобразований к решению задач для уравнений в
частных производных гиперболического и параболического ти-
па на отрезке х G [0, £] эквивалентно методу разделения пере-
менных (метод Фурье). Действительно, получаемые решения
для искомой функции двух переменных u(t,x) в виде рядов
Фурье и формулы для коэффициентов ряда Фурье
u(t,x) = '^Uk(t,Xk)Xk(x,Xk),
k
t
Uk(t,Xk) = ——2 / u(t,x)Xk(x,Xk)dx,
11**11 {
** , A*) = Xk cos Xkx + h sin Xkx
имеют форму соотношений (1), (2), где в качестве ядра высту-
пают собственные функции Хк задачи Штурма—Лиувилля на
отрезке [О, tj, множитель 1/||Хд.||2 играет роль весовой функции
р, а обратное преобразование представляет собой сумму.
В данном пособии рассматриваются бесконечные интеграль-
ные преобразования, то есть преобразования, где один или оба
предела интегрирования бесконечны. Другими словами, рас-
сматриваются задачи, в которых областью изменения перемен-
ной преобразования Xj является вся числовая прямая
(—оо, +оо) или ее положительная полуось [0, +оо).
Как известно из теории дифференциальных уравнений в
частных производных, для обеспечения единственности' реше-
ния уравнения необходимы дополнительные данные. В общем
случае в качестве таковых могут выступать начальные и гра-
ничные условия, условия на бесконечности, условия периодич-
ности решения по какой-либо переменной, условия сопряжения
на границе сред и т. д. При осуществлении интегрального пре-
образования задачи, конечно, должны быть преобразованы как
уравнения, так и дополнительные условия.
8
Интегральное преобразование определено, если интеграл в
(1) существует. Ниже мы будем предполагать, что все функ-
ции, подвергаемые нами интегральному преобразованию, обла-
дают свойствами, которые делают такое преобразование воз-
можным При рассмотрении конкретных интегральных преоб-
разований мы укажем достаточные условия их существования,
то есть опишем класс функций {/}, для которых это инте-
гральное преобразование определено.
Общие свойства интегральных
преобразований
1° Взаимная однозначность
Как уже отмечалось, каждому прямому преобразованию
(1) соответствует обратное преобразование (2). Они устанавли-
вают взаимно однозначное соответствие между классом функ-
ций-оригиналов и их изображений. Последовательное приме-
нение прямого и обратного преобразования дает в результате
исходную функцию
Л-‘[ А [/] ] = A-’[F] = f.
2° Линейность преобразования
Из соотношений (1), (2) следует свойство линейности
А\а f + b д\ = aF + bG.
Здесь a,b — постоянные, / = F, д = G.
3° Операция свертки
Интегральный образ произведения двух функций, вообще
говоря, не равен произведению образов этих функций, т. е.
A[fg] * FG.
Однако каждое интегральное преобразование имеет опера-
цию, которая в некотором смысле играет роль произведения.
9
Такая операция называется сверткой функций:
A[f*g] = FG, (f * д) = A~l[FG].	(3)
Это свойство удобно применять в случае, когда найденное
решение .задачи в образах имеет вид произведения F(A)G(A).
Если известны прообразы f(x) и д(х) от каждой из функций
F(A) и G(A), то прообраз от их произведения вычисляется с по-
мощью операции свертки (3). Конкретный вид операции сверт-
ки определяется для каждого интегрального преобразования.
1. Интегральные преобразования
Фурье
1.1. Ряды Фурье
Функция /(ж) при довольно общих предположениях может
быть представлена бесконечным рядом вида
00
f(x) =	+ У^(ап cos пт + bn sinnrr), (1.1)
2	П=1
где
7Г
ап = — J f (х) cos nxdx (n = 0,1,2,...);	(1.2)
— 7Г
7Г
Ьп = — / f(x) sinnxdx (n = l,2,...).	(1-3)
J
— 7Г
Этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье.
Числа ап и Ьп называются коэффициентами Фурье функции
/(т). Так как все члены ряда (1.1) периодические с периодом
2тг, то при исследовании этого ряда можно ограничиться лю-
бым интервалом длины 2тг.
Вопрос возможности представления функции /(т) рядом
Фурье (1.1) с коэффициентами (1.2), (1-3) эквивалентен вопро-
су сходимости указанного ряда к функции f(x). При его изуче-
нии мы будем рассматривать два практически важных случая,
когда (а) функция f(x) в точке xq непрерывна либо (6) имеет в
этой точке лишь разрывы первого рода (конечные скачки), так
что оба предела f(x0 + 0) и /(то — 0) существуют. Обозначим
в случае (а) /(то) — So,
/,ч /(то - 0) +/(то + 0)
в случае (о) -----------------= bo-
ll
Достаточных признаков сходимости рядов Фурье несколь-
ко [4, п. 684—686]. Наиболее общим из них (охватывающим не-
сколько классов функций) является
Признак Дирихле-Жордана. Ряд Фурье функции f(x) в
точке xq сходится к So, если в некотором промежутке
[то — h,xo + h] с центром в этой точке функция имеет огра-
ниченное изменение.
Из курса «Математического анализа» известно
Определение 3. Функция f(x) действительного переменного
х есть функция ограниченного изменения на интервале [а, Ь],
если существует такое положительное число М, что для всех
разбиений а = xq < ху <    < хп = b интервала [а, Ь] выполня-
ется неравенство
п
^|/(т.)-/(х.-1)|<М.
i=i
Для функций, определенных на бесконечном интервале,
данное выше определение выглядит следующим образом.
Определение 4. Функция имеет ограниченное изменение в
промежутке [а, +оо), если она является функцией ограничен-
ного изменения в любой его конечной части [а, Л].
Отметим, что в этих определениях никакой роли не играет
вопрос о непрерывности функций.
Опишем основные классы функций с ограниченным изме-
нением:
1)	кусочно-монотонные на [а, 6] функции (такие, что отре-
зок [а, &] может быть разбит на конечное число частей, в каж-
дой из которых У(х) монотонна);
2)	функции, удовлетворяющие условию Липшица:
|/(ж) — f(x)\ <	— х|, где L = const, а х и х — любые точки
промежутка [а, &];
3)	функции, имеющие на отрезке [а, Ь] ограниченную про-
изводную, то есть |/'(я:)| < Z;
12
4)	функции /(х), представимые в конечном (или даже бес-
конечном) промежутке в виде интеграла с переменным верх-
X
ним пределом: /(х) = С + f	где ф(£) предполагается
а
абсолютно интегрируемой (то есть интегрируемой вместе со
своей абсолютной величиной |</>(£)| ) в этом промежутке.
Отметим, что первоначально сформулированные самим Ди-
рихле условия разложимости функции в ряд Фурье носили бо-
лее частный характер, хотя ими чаще пользуются на практике.
Признак Дирихле. Если f(x) периода 2тг кусочно-монотон-
на в промежутке [—тг, тг] и имеет в нем не более чем конечное
число точек разрыва, то ряд Фурье этой функции сходится
во всем промежутке и сумма этого ряда равна:
/(х)	во всех точках непрерывности /(х),
лежащих внутри интервала (—тг, тг);
/(х0 —0) +/(хо + О)
------------------- во всех точках разрыва
непрерывности;
/(—7Г + 0) + /(тг + О)
------------------- на концах промежутка.
Так как функция, удовлетворяющая условиям Дирихле,
имеет ограниченное изменение в любом конечном промежутке,
то этот признак формально перекрывается признаком Дирих-
ле-Жордана.
Сходимость ряда Фурье (1.1) во многом обусловлена свой-
ством коэффициентов (1.2), (1.3), описываемым теоремой
Римана-Лебега и ее следствиями.
Теорема Римана-Лебега. Если функция f(x) интегрируема
на интервале (а,Ь), то при А —> оо
ь	ь
j f(x) cos Xxdx —> 0,	f (x) sin Xxdx —> 0.
a	a
Следствие 1. Коэффициенты Фурье an и bn любой интегри-
руемой функции стремятся к нулю при п —> оо.
13
Следствие 2. Поведение ряда Фурье в некоторой точке х за-
висит только от поведения функции в непосредственной
окрестности этой точки (принцип локализации).
В случае интервала произвольной длины разложение
функции имеет аналогичный вид. Эта задача приводится к
предыдущей изменением масштаба, то есть введением вместо
х вспомогательной переменной £ по формуле х =
Таким образом, для функции /(х), определенной на проме-
жутке [—£,£], разложение (1.1) заменяется следующим:
оо
.. . ао Г ^пх , • лпх1	,
f(x) = у + 2_> [ап cos — + Ьп sin — ] .	(1.4)
п—1
В этом разложении коэффициенты Фурье ап и Ьп определяются
по формулам
е
ап = ~ j f(x) cos ^^-dx, n = 0,1,2,...;
-e
i
bn = ~ J f(x)sin^pdx, n = 1,2,3,....	(1.5)
-e
Если f(x) — четная функция (то есть /(—х) = /(х)), то
. кпх	ттх
f(x) cos — четная, а / (х) sin —- нечетная для каждого
значения п . Определяя коэффициенты ряда Фурье для четной
функции по формулам (1-5), получим
е
2 Г ттх ,
ап =	/ IVх) cos —£-dx, bn = 0,
о
так как интеграл от четной функции по симметричному проме-
жутку может быть заменен удвоенным интегралом по половине
промежутка, а интеграл от нечетной функции по симметрично-
му промежутку равен нулю. Таким образом, ряд Фурье четной
функции содержит члены только с косинусами.
14
Совершенно аналогично для нечетной функции / (х) ее ряд
Фурье будет содержать только члены с синусами, так как
Цд — О,
I
,	f ri х  ЯПХ ,
bn=e ^х’sm ~7~dx'
о
Если функция определена на интервале [0, £], то она может
быть продолжена на интервал [—£, 0] четным или нечетным об-
разом и на интервале [—£,£] может быть представлена рядом
Фурье (1.4) по синусам или по косинусам.
Разложение функции /(ж) в ряд Фурье есть представление
этой функции в виде дискретного набора слагаемых с длинами
тг
волн An = nA, кратными основной длине: А = —; коэффициен-
ты ап '
и Ьп представляют вклад cosAnz и sinAnx в функцию
1.2.	Интеграл Фурье как предельный
случай ряда Фурье
Непериодические функции, определенные на (—оо, +оо), не
разлагаются в ряд Фурье. Для некоторых таких функций мож-
но построить аналог ряда Фурье - интеграл Фурье, то есть
функцию f{x) можно разложить в непрерывную совокупность
функций (а не дискретный набор функций, как в рядах Фурье).
Для функции f(x), определенной на отрезке [—£,£], спра-
ведливо разложение в ряд Фурье (1.4)—(1.5). При подстановке
вместо коэффициентов ап и Ьп их выражений ряд (1.4) можно
переписать в виде
/(*) =
/(e)cosT(e-i)de.
(i-6)
Пусть теперь функция f(x) будет определена во всем бес-
конечном промежутке (—оо,+оо). В этом случае, каково бы
15
ни было х, соответствующее значение f(x) выразится разло-
жением (1.6) при любом £ > |х|. Переходя здесь к пределу при
£—> 4- оо, попытаемся установить «предельную форму» этого
разложения.
+оо
В предположении, что J	сходится, получаем, что
—оо
первый член в (1.6) стремится к нулю. Обращаясь к бесконеч-
птт
ному ряду, можем рассмотреть множители — под знаком ко-
, 7г 2тг	птг
синуса как дискретные значения А] = Аг =	Ап = —
некоторой переменной А, непрерывно меняющейся от 0 до 4-оо;
7Г
при этом приращение ДА = An+i — Ап = — очевидно стремится
к нулю при £ —> -f-оо. В этих обозначениях ряд (1.6) перепишет-
ся так:
f&)
/(£) cos An(£ - x)d£.
(1-7)
Этот ряд напоминает интегральную сумму по переменной
А для функции
I
У /(£) cos А(£ - *)</£.
-t
Переходя к пределу в (1.7) при £ —> 4-оо (ДА —> 0), вместо
ряда получим интеграл; таким путем и приходим к интеграль-
ной формуле Фурье-.
+оо +оо
/(ж) = / rfA / /(£)cosA(£
О —оо
(1-8)
Раскрывая выражение для косинуса разности, эту формулу
можно представить в виде
/(ж) =
4-оо
У [а(А) cos Хх 4- &(А) sin Ат] dA,
о
(1-9)
16
где
+оо
а(А) = ~ [ /(£)cosA£d£,
(1-Ю)
—ос
+ос
&(А) = ~ [ f(£)sin>£d£.
(1-11)
Интегралы, стоящие в правой части (1.8), (1.9), называются
интегралом Фурье функции f(x).
Здесь явно обнаруживается аналогия с тригонометричес-
ким разложением. Лишь параметр А, пробегающий ряд нату-
ральных значений для ряда Фурье, заменяется на непрерывно
изменяющийся параметр А, а бесконечный ряд - интегралом.
Коэффициенты а(А), 6(A) по своей структуре также напомина-
ют коэффициенты Фурье (1.5).
Конечно, все эти соображения имеют характер лишь наве-
дения, действительные условия справедливости интеграла Фу-
рье сформулируем ниже.
Предположим, что функция f(x) абсолютно интегрируема
в бесконечном промежутке, то есть существует интеграл
У \f(x)\dx — М.
При изучении вопросов сходимости интеграла Фурье к функ-
ции f(x) в точке %о ограничимся рассмотрением тех же случа-
ев, что и для рядов Фурье (а), (Ь).
В рамках сделанных относительно функции / (ж) предполо-
жений справедлив
Признак Дирихле-Жордана (достаточные условия суще-
ствования интеграла Фурье функции f(x)): интеграл Фурье
функции в точке хо сходится и имеет значение So, если в
17
некотором промежутке [xq—/г, хо+^] с центром в этой точке
функция f(x) имеет ограниченное изменение.
На практике, однако, указанное выше основное предполо-
жение об абсолютной интегрируемости функции f(x) во всем
бесконечном промежутке от —оо до +оо иной раз представля-
ется стеснительным, и, как показано в [4, п. 714], его можно
видоизменить, сохранив допущение:
(1*) функция f(x) абсолютно интегрируема в каждом конеч-
ном промежутке,
а условие на бесконечности заменить следующим:
(2*) для |х| > L функция /(х) монотонна (то есть монотонна
для х > L и х < —L по отдельности) и притом
lim f(x) = 0.	(1.12)
.т->±оо
Можно показать [4, п. 714], что при новых предположениях
относительно функции f(x) признак Дирихле-Жордана оста-
ется в силе.
Из всего сказанного вытекает достаточное условие су-
ществования интеграла Фурье: если f(x) имеет ограничен-
ное изменение во всем бесконечном промежутке (—оо, -Ьоо) и
выполняется предельное равенство (1.12), то в каждой точке
хо интеграл Фурье сходится и имеет значение So = f(xo) во
, с /(хо-О)+/(хо+О)
всех точках непрерывности f(x) и г>о =---------------- в
точках разрыва f(x).
В частности, исходя из описания класса функций ограни-
ченного изменения, может быть сформулировано более «част-
ное» по отношению к предыдущим достаточное условие суще-
ствования (сходимости) интеграла Фурье функции /(х): если
f(x) абсолютно интегрируема на интервале (—оо,+оо), удо-
влетворяет условиям Дирихле (кусочно-монотонна и имеет
18
конечное число точек разрыва первого рода) во всяком конеч-
ном интервале, тогда f(x) представима в виде интеграла Фу-
рье (1.8).
Замечание. В соответствии с вышесказанным в последней фор-
мулировке условие абсолютной интегрируемости на (—оо, +оо)
может быть заменено на (1*) + (2*).
1.3.	Различные виды формулы Фурье
Так же как и в теории рядов Фурье, при наложении на f(x)
дополнительных условий мы можем получить различные ва-
рианты интегральной формулы Фурье.
Если f{x) — четная функция, то
+оо
а(А) = 2 I /(£) cos A£d£, Ь(А) = О
о
и формула (1-9) примет вид
+оо	4-оо
/(т) = — / cosArrdA j /(£)cosA£d£.	(1.13)
о	о
Формула (1.13) называется косинус-формулой Фурье.
Аналогично, если /(ж) — нечетная функция, то получаем
синус-формулу Фурье:
4-оо	4-оо
/(х) ~ ~ sinArrdA У /(£)sinA£d£,	(114)
о	о
так как в этом случае
4-оо
а(А) = О и Ь(А) = ^ I /(£) sin А£ d£.
о
19
Принимая во внимание известное тождество Эйлера, свя-
зывающее тригонометрические функции с показательной:
егх = cos х + г sin х,
интеграл в (1-8) можно представить в комплексной форме:
+оо +оо
/(*) = J dX У /(£)1	+ dx =
О	—оо
e-’AldA+^-
2тг
e’AldA.
Заменим в первом интеграле А на —А и соответственно преде-
лы интегрирования (0 —> 0, +оо —> —оо). Затем сменим знак
перед первым интегралом и поменяем местами пределы инте-
грирования. В результате получим экспоненциальную формулу
интеграла Фурье функции /(х):
etAa:dA.
(1-15)
1.4.	Преобразования Фурье
В предположении, что формула Фурье (1.15) имеет место
для всех значений х в промежутке (—оо, +оо), ее можно пред-
ставить как суперпозицию двух таких формул:
ОО
9[/(х)] = F(A) = ~±= [ f(x)e~,Xxdx,
V Lt* J
—оо
00
9-1[F(A)] = /(x) = -As [ F(X)eiXx dX,
V^TT J
—oo
(116)
20
где второй интеграл в (1.16) понимается в смысле главного зна-
чения, то есть как предел
t
lim f F(X)elXxdX.
^-400 J
-t
Функция F(A), сопоставляемая по первой формуле (116)
функции /(ж), называется ее экспоненциалънъии интеграль-
ным преобразованием Фурье. В свою очередь, по второй фор-
муле функция f(x) является (обратным) преобразованием Фу-
рье для функции F(X). Таким образом, формулы (1.16) задают
прямое 9 и обратное преобразования Фурье для функции
f(x). Заметим, что F(A) будет, вообще говоря, комплексной да-
же при вещественной f(x).
Обратившись к формулам (1-13) и (1.14) и предполагая, что
они выполняются для всех положительных х, каждую из них
можно представить в виде суперпозиции двух - на этот раз
вещественных и совершенно симметричных - формул:
/"2” 'ЭО
^с[/] = Fc = у - / /(rr)cos Xxdx,
о
__ оо
Зс l[Fc] = f = у | / FC(A) cos XxdX,
о
%[/] = Fs = J - I f(x)sinXxdx,
о
,— oo
3S ^Fs] = f = у / Fs (A) sin Az dA.
о
(1.17)
(1-18)
Функции FC(X) и FS(A) называются соответственно косинус-
преобразованием и синус-преобразованием Фурье для функции
f(x). Эти преобразования (а иногда и их линейная комбина-
21
ция с соответствующими коэффициентами) используются при
решении задач в полуограниченных областях.
Сопоставляя функции F, Fc и Fs, можно сказать следую-
щее: в случае четной функции /(т) имеем F(A) = FC(A), а в
случае нечетной f(x) получаем F(A) = zFs(A).
1.5.	Свойства интегральных
преобразований Фурье
Интегральные преобразования (1.16), (117) и (1.18) облада-
ют свойствами 1°, 2° и 3°, описанными во введении настоящего
пособия.
Операции свертки (3) для этих преобразований опреде-
ляются по-разному.
Пусть функции F(A) и (7(A) - преобразования Фурье (экс-
поненциальное, или косинус-, или синус-преобразование) со-
ответственно функций f(x) и д(х), определенные формулами
(1.16), (1.17) или (1.18).
Вычисляя формально обратное преобразование от произ-
ведения F(A)G(A) для экспоненциального преобразования Фу-
рье, имеем
^-Ч^(А)С?(А)] =
dX =
(119)
22
то есть функции F(X)G(X) и
+оо
h(x) = ~ [ д(Ы(х-~Ж
VJ
— оо
(1.20)
являются парой преобразований Фурье. Функция h(x) назы-
вается сверткой функций f(x) и д(х) и обозначается (/ ♦ д).
Таким образом, формула (1.20) определяет операцию свертки
для экспоненциального преобразования Фурье.
По аналогии с (1.19) в случае косинус-преобразоваиия Фу-
рье получаем
/—+°°
3“1[FC(A)GC(A)] = [Fc(A)Gc(A)]cosAzdA =
о
+оо	4-оо
= — У FC(X) cos XxdX у <?(f)cosA£d£ =
о	о
4-оо	.— +оо
= У д(Ж	УFC(A) [cos Ajx - $1 + cos X(x 4- ()] dX =
о	0
+oo
= -4= [g(W(\z-t\) + f(z+£)]d£ = (f*g)c.	(1.21)
V2tt J
о
Последняя строка формулы (1.21) определяет операцию
свертки для косинус-преобразования Фурье.
Для синус-преобразования Фурье операция свертки опре-
деляется формулой
4-ос
(f * д)а = —~= [ 9(<) [/(|х - (I) - f(x + ()] d£.
V47T J
О
(1.22)
Справедливость формул (1.20)—(1.22) следует из законно-
сти обращения порядка интегрирования при вычислении соот-
23
ветствующих выражений вследствие предполагаемой абсолют-
ной сходимости.
Отметим, что операция свертки обладает свойством комму-
тативности (функции fag можно поменять местами).
Преобразование производных. Рассмотрим действие
операторов 3, Зс и на производные функции f(x), предпо-
лагая, что эти производные принадлежат к классам функций,
для которых интеграл Фурье существует.
Для экспоненциального преобразования Фурье имеем
Ж)= 1
2тг J
—ОО
etXl dx = ~^=
/(х)е гА1
—ОО
e~lXx dx
= гА§[/] - iXF(X),
И
—оо
е~гХх dx = -A2S[/] = -A2F(A).
(1-23)
Последнее соотношение получено двукратным интегрировани-
ем по частям с использованием того, что f(x) —> 0 и fx(x) -> 0
при |х| —> оо (см. достаточные условия существования инте-
грала Фурье).
Для косинус-преобразования Фурье преобразование произ-
водных
+ АГЯ(А),
/'(0) - А2^с(А).
(1-24)
Аналогично для синус-преобразования Фурье
' ЗДД = —XFC(X),
$s[fxx] = -\PXf(O) - A2FS(A).
V тг
(1-25)
+гА
24
1.6.	Примеры решения задач
1.6.1.	Решение задач в бесконечной области
Пример 1.1. Решить задачу о распространении тепла в
бесконечном стержне при заданной начальной температуре ф(х):
щ — а2ихх, —оо < х < +оо, t > О,
и(х,О) = ф(х), —оо < х < 4-оо.
(1.26)
Обращаясь к схеме (см. введение), разбиваем решение на
три шага.
Шаг 1. Поскольку пространственная переменная х изменя-
ется в пределах от — оо до 4-оо, подвергаем задачу (1.26) экспо-
ненциальному преобразованию Фурье (1.16), предполагая, что
оно существует:
3[ut(x,t)] = a2§[uxx(x,t)\,
9[u(x,0)] = &[<^(х)] = Ф(А).
Рассмотрим подробнее действие оператора С? на производ-
ные щ и ихх. Поскольку временная и пространственные пе-
ременные независимы, то, предполагая, что соответствующие
интегралы сходятся хорошо, получаем
где производная по t вынесена из-под знака интеграла как па-
раметрическая производная, a U = 9[и] — Фурье-образ иско-
мого решения. Подробное обоснование такой операции можно
найти в литературе. Действие оператора Фурье на ихх дает в
соответствии с формулой (1.23)
25
9[uxx] = -A2tf(A,f)-	(1-28)
В результате после первого шага получаем задачу в обра-
зах:
< ~dt = ~а2х2Ц' * > °’	(1.29)
, С7(А,О) = Ф(А).
Шаг 2. В задаче (1-29) параметр преобразования Фурье А
является некоторой произвольной константой. Поэтому реше-
ние находится элементарно:
„2\2.
U(X,t) = Ф(А)е-а А \	(1.30)
Шаг 3. Для нахождения решения исходной задачи (1.26)
нужно подействовать обратным оператором З-1 (1-16) на функ-
цию l7(A,t) (1.30). При этом удобно использовать операцию
свертки. Прообразом функции Ф(А) является начальная функ-
ция ф(х). Прообраз от е~“2л2{ находим по таблицам преобразо-
ваний-
z,2\2. J	„2
е-а A t	e~^i,	(1>31)
a\/2t
Решение исходной задачи принимает вид свертки (1.20) функ-
ции ф(х) и функции (1.31):
ОО
1 Г (*-с2
«(i,®) = у ф(£)е iait <£, t > 0,	(1.32)
—оо
известной как формула Пуассона.
Пример 1.2. Решить задачу о поперечных колебаниях бес-
конечной струны, на которую действует распределенная внеш-
няя сила f(t, х) при нулевых начальных условиях.
utt — а2ихх + f(x,t), —оо < х < +оо, t > 0,
и(х, 0) = 0, —оо < х < +оо,
пг(х, 0) = 0, —оо < х < +оо.
(1.33)
26
Шаг 1. Считая, что соответствующие интегралы существу-
ют, применяем к задаче (1 33) прямое экспоненциальное пре-
образование Фурье. Повторяя рассуждения (1.27)—(1.28), при-
ходим к следующей задаче в образах U = &[u], F = &[/]:
= -а2 А217(A, t) + F(X,t), t > О,
< 17(А,0)=0,	(1.34)
<Й7(А,О) Q
dt
Шаг 2. Для решения задачи в образах используем метод
вариации произвольных постоянных для линейных неоднород-
ных уравнений второго порядка с постоянными коэффициен-
тами. Сначала находим общее решение однородного уравнения
Поо(А, t) = A sin a At + В cos aXt.
Далее, в соответствии с общей идеологией метода вариа-
ции, считаем произвольные постоянные функциями перемен-
ной A(t) и B(t). После подстановки в уравнение (1.37) для
определения A(t) и B(t) получается система дифференциаль-
ных уравнений
( A (t) sin aXt + В' (t) cos aXt = 0,
( A'(t)aX cosaXt — B'(t)aXsinaXt = F(X,t),
из решения которой получаем
t
A(t) = —- / F(X, т) cos aXrdr + const,
aX J
о
t
B(t) =------- I F(X, t) sin aXrdr + const.
aX J
о
(1.35)
Используя начальные условия из (1.34) и известное триго-
нометрическое выражение, записываем решение в образах:
27
t
r)dr.
(1.36)
о
Шаг 3. При проведении обратного преобразования предпо-
лагаем, что интеграл (1.36) сходится настолько хорошо, чтобы
можно было переставить порядок интегрирования по т и по А:
u(x, t) — 9' 1[С7(А, i)] =
оо
=
J
—оо
t "
t
eiXxdX =
0
oo
sinoAlt - г)е,л,м
dr =
A
0
t
—oo
sinaA(£ — т)1
-------- ат.
A
О
Прообразом функции F(X, t) является неоднородность f{x, t)
в исходном уравнении. Прообраз сомножителя находим по та-
блицам интегральных преобразований:
) = Я[1 + а(<-т)]-Я[х-а(<-т)] =
где H(z) — функция Хевисайда.
Используя операцию свертки, получаем окончательное ре-
шение:
t
u(x,t) —
О
OO
—oo
t x-t-a(t-r)
-H[x-(-a(t-T)]}d^dT = ^- [ f f
(1-37)
0 x—a(t—r)
28
1.6.2. Решение задач в полуограниченных
областях
При решении задач на полуограниченных областях приме-
няют синус (косинус)-преобразование Фурье или так называе-
мое смешанное преобразование Фурье.
В качестве ядра интегрального преобразования Фурье для
задач на полупрямой нужно брать такое частное решение
К(Х,х) уравнения, получающееся разделением переменных из
основного уравнения задачи, которое удовлетворяет гранично-
му условию задачи, если это условие однородно, или соответ-
ствующему однородному граничному условию, если граничное
условие задачи неоднородно.
Весовая функция р(х) выбирается так, чтобы выполнялось
условие 9 о Ъ1=Е [1, гл. 33].
Таким образом, при решении задач, в которых перемен-
ная преобразования меняется в пределах от 0 до +оо, появля-
ется дополнительный шаг — определение ядра интегрального
преобразования. Применение этого правила выбора ядра инте-
грального преобразования продемонстрировано в примере 1.4,
хотя для простейших задач ядро К(Х, х) может быть определе-
но непосредственной подстановкой в исходную задачу, как это
сделано в приводимом ниже примере.
Пример 1.3. Решить задачу теплопроводности в полу бес-
конечном стержне с изолированной боковой поверхностью и
произвольным начальным распределением температуры, если
на границе задано условие теплоизоляции:
{. Ut — П ^ХХ) О, 9,
и(х,0) = ф(х), х > 0,	(1.38)
ui(0, t) = 0, t > 0.
Дополнительный шаг. Запишем интегральное преобразова-
ние в общем виде:
§[u(x,t)]	l7(A,t) =
/У f
л/— / и(х, t)X(X,x)dx
о
(1.39)
29
и подействуем им на задачу (1.38). Производная по переменной
t преобразуется аналогичным (1.27) образом, а при операции
над ихх получаем
OO
uxx(x,t)X(X,x)dx =
b
OO
OO OO
=71/
о
У-	OU	OQ
= ux(x,t)X(X,x) — u(x,t)X(X,x) +ru(x,t)X (X,x)dc =
0	0 о
= -^| ux(0,t)X(X,0) + ^ u(0,Z)Y(A,0)-A217(A,Z), (1.40)
0
0 0
где учтено, что X" = — A2JV, и -> 0 и ux -> 0 при x —> оо.
В преобразованную производную ихх в (1.40) входят значение
функции на границе п(0, £) и значение производной ux(0.t), а
ядро _¥(А, х) представляет собой sin Ах, cos Ах либо их супер-
позицию. Поскольку в постановке исходной задачи нам задано
условие 2-го рода, то ядро необходимо выбрать так, чтобы сла-
гаемое в (1.40), содержащее u(0,t), занулилось. Естественно,
Х(х, А) = cos Хх (при этом X (0, А) = 1, X' (0, А) = 0).
Таким образом, задачу (1.38) необходимо решать с помо-
щью косинус-преобразования Фурье (1-17).
Шаг 1. Обозначим 5c[u(x,t)] = U(X,t). Применяя косинус-
преобразование Фурье к нашей задаче и учитывая правила пре-
образования производных (1.24), (1.27), получим
= -a^u'x(0,t) - a2A2L7(A, t), t > 0,
, ЩА,О) = ЗД(х)Г=Ф(А).
Учитывая, что u'x(O,t) — 0, получаем задачу в образах:
^^ = -a2A2l/(A,Z), t>0,
at
17(А,0) = Ф(А).
(1-41)
30
Шаг 2. Решение задачи в образах имеет вид (1.30)
U(X,t) = Ф(А)е~а2АЧ	(1.42)
Шаг 3. Как и в предыдущих примерах, при обратном пре-
образовании необходимо использовать операцию свертки (1.21)
и таблицы интегральных преобразований. В таблицах находим:
e-a2A2t .
П~ -4
V^e 7
(1.43)
Ответ нашей задачи:
(1.44)
При решении задач основную трудность представляет на-
хождение обратного преобразования. Использование таблиц су-
щественно упрощает эту проблему. Однако во многих случаях
обратное преобразование может быть вычислено впрямую (при
некоторых дополнительных предположениях). Это продемон-
стрировано в следующем примере.
Пример 1.4. Решить задачу о распространении тепла в по-
луограниченном стержне при наличии в нем тепловых источ-
ников, плотность которых характеризуется функцией f(t,x).
Начальная температура стержня равна нулю, а на границе х =
= 0 поддерживается нулевая температура.
щ = а2ихх + f(x.t), х > 0, t > 0,
и(х,0) =0, х > 0,
u(0,f) =0, t >0.
(1-45)
Дополнительный шаг. В соответствии с правилом опреде-
ления ядра интегрального преобразования (а следовательно, и
самого интегрального преобразования) разделяем переменные
31
(то есть находим решение в виде u(t, х) = T(t)X(x)). В резуль-
тате получаем уравнения для Х(х) и T(t)
X" - XX - О, Т" + Ха2Т = 0.
Частное решение первого уравнения на [0,+оо), удовлетворя-
ющее граничному условию в точке х = 0, имеет вид sin\/Ax.
Поэтому воспользуемся при решении задачи синус-преобразо-
ванием Фурье.
Шаг 1. Применяем синус-преобразование Фурье к нашей за-
даче (1.45). Повторяя рассуждения (1.27) и учитывая формулы
(1.25) преобразования частных производных по пространствен-
ной переменной, получаем задачу в образах
J	= -а2А2П(А, i) + F(A, i), t > 0,	(1 4g)
( С7(А,0) = 0.
Здесь Е7(А, t) = Ss[u(a;, t)], F(A, t) =	(x, t)].
Шаг 2. Для решения полученной задачи используем стан-
дартные методы решения. Общее решение однородного урав-
нения
U(A,t) = e~a2x2t.	(1.47)
Используя метод вариации произвольной постоянной (то
есть полагаем в общем решении произвольную постоянную за-
висящей от £), для определения C(Z) получаем следующее урав-
нение:
'2Л2.
C'(t)e~a А z = F(X,t),
решение которого
t
C'(t) = J Р(Х,т)еа2х2т dr.
о
Тогда общее решение нашей задачи в образах
t
U(X,t) = Cre-a2x2t + J Р(Х,т)е~а2х2^~т>> dr.
о
32
При подстановке начальных условий получаем, что Ci — 0.
Решение задачи (1.45) приобретает вид
t
U(X,t) = f F(X,T)e~a2x2(t-T') dr.
о
Шаг 3. При проведении обратного преобразования предпо-
лагаем, что подынтегральная функция интегрируема во всей
области, вследствие чего мы можем поменять порядок инте-
грирования.
и(х, t) =	1 [17(А, £)] =
sin Хх dX =
=Л/ /
sinAxdA =
о Lo L о
t +oo	-l-oo
j t) e~a2x^'t~^> sin A£sin Xx dXd£dr =
0 0	0
’ +oo
C0S >(x-^-COS >(x+£)
J	2
. о
dX d£ dr.
Внутренний интеграл распадается на разность двух инте-
гралов, каждый из которых может быть вычислен [3, № 681.20]:
ОО
/29	. /тт	%2
е~а г cos zxdz — ——е^7.
2а
о
В результате для внутреннего интеграла получаем
I(X) =
’	<*-t)2	(*+е2 '
g 4a2(t—т)   g 4а^(<—г)
2a\/t — т
33
Решение исходной задачи (1.45) принимает вид
u(x,t) =
ЯШ т} Г (*-<)2	<*+& '
е ‘,a2(t-T) — е 4“2('-’-) d(dr.
о о
1.6.3. Интегральные преобразования
по нескольким переменным
Во введении отмечалось, что интегральные преобразова-
ния, проводимые по нескольким переменным одновременно, мо-
гут быть заменены последовательным применением несколь-
ких интегральных преобразований, каждое из которых прово-
дится только по одной переменной. Ниже приводятся два спо-
соба решения подобных задач.
Пример 1.5. Решить задачу о распространении тепла в
бесконечной пластине, если известно начальное распределение
температуры ip(x,y).
(	ut = а2(ихх + иуу), -оо < х, у < +оо, t > 0,	,
(	и(х,у, 0) = <р(х,у),оо <х,у < 4-оо.	' ’ '
Шаг 1. Для решения поставленной задачи применим дву-
мерное интегральное преобразование Фурье по переменным х
и у (так как обе эти переменные меняются в бесконечных пре-
делах) .
н-оо +оо
Э2[п(х,уД)] = je~l^x+™}u(x,y,t)dxdy = U(X,y,t),
—оо -оо
(1.50)
где через U(A,y, t) обозначен Фурье-образ функции u(x,y,f).
Выясним, каким образом преобразуются частные производ-
ные щ(х, у, t), их(.. .),ихх(..иу(...), иУу(...). Так же как и в
примере 1, частная производная по времени выносится как па-
раметрическая (см. (1.24)):
34
s2[ut] = Ut(X,y,t).	(1-51)
Преобразование частной производной их(х,у., t) будет вы-
глядеть следующим образом:
4-оо 4-оо
^[Чг] = (V^ir)2 / / e~'^x+™}vJ^,y,t)dxdy =
— ОО —оо
4-оо +оо
= j f e~l^x+riy^u{x,y^t)dxdy = iXU(X,i],t).
—oo —oo
Мы видим, что частная производная ux(x,y,t) преобразу-
ется в случае двумерного преобразования Фурье так же, как и
при одномерном преобразовании (1.23). Можно показать, что
частные производные ихх,иу,иуу при применении интеграль-
ного преобразования (1.50) преобразуются аналогичным (1.23)
способом:
^2[uyy]
= -А2С7(А,Т7,О,
— i/r]U(X,T],t),
= -7]2U(X,7],t).
(1.53)
В результате преобразованная задача (1.49) будет выгля-
деть следующим образом:
= -а2(А2 + гр) U(X,7j,t), t > О,
П(АЛ,О)=Ф(Ал),
35
где Ф(А,т?) =	у))] — Фурье-образ функции <р(х,у).
Шаг 2. В задаче (1.54) параметры А и у могут рассматри-
ваться как постоянные. Её решение
L7(A,t7,<) = Ф(Х,т])е-а2^2+^.	(1.55)
Шаг 3. Для определения искомой функции и(х, у, t) подей-
ствуем на (1.55) обратным двумерным преобразованием Фурье:
+оо +оо
J J	(1.56)
— OO —OO
= ^1[Ф(А,т?) .e-“2(^W)«].
В последнем выражении произведение функций Ф(А,т?) и
экспоненты наводит на мысль о применении свертки. Для это-
го нам необходимо знать прообразы перемножаемых функций.
Прообразом функции Ф(А,т?) является функция </?(х,у); про-
образ функции <?(А,т/, t) = е~а (•х2+’?2)г может быть получен
применением к ней обратного двумерного интегрального пре-
образования:
+оо +оо
9г21[е"“2(А2+’,2)‘]=	f / e~a2{x2^2}te^x+^dXdy==
— ОО —оо

+оо	)
-U [ e-a2x4elXxdX 1 dy =
VZv J	I
— OO	J
Здесь нижний индекс (ж) у знака обратного преобразования
G-1 означает обратное преобразование по переменой х. Для
вычисления выражения в фигурных скобках используем та-
блицы интегральных преобразований.
36
+оо
av2t
-a2rj2t
1 х2+/
= 2Й'	=g(x,y,t).
Таким образом, остается применить формулу свертки для
двумерного преобразования Фурье (рекомендуется вывести са-
мостоятельно) .
4-схЯ-оо
&21 [Ф  G] = (</> * д)2 = -^2 [ [ <р(С С, t)g(x -£,у-(, t)d£dQ.
y/’l'K J J
—00-00
В результате получаем решение исходной задачи (1.49):
4-оо 4-оо
11 Г Г	(*-{)2-ку-<:)2
u(x,y,t) = 2^2^. J J	4a2’	d£d(. (1.58)
— OO —OO
1.6.4.	Замечания
1.	Главный недостаток преобразования Фурье в том, что
его можно применять не ко всем функциям. Фурье-образ име-
ют только те функции, которые достаточно быстро стремятся
к нулю при |х| —> оо. Вместе с тем наши предположения о том,
что интегралы Фурье существуют и хорошо сходятся в приме-
рах 1.1—1.3, привели к решениям (1.32), (1.37), (1-44), область
действия которых достаточно широка. Например, указанные
решения имеют смысл при постоянных функциях ф(х) = const
в (1.32) и (1.44) и f(t,x) = const в (137), хотя, строго говоря,
применять преобразование Фурье к таким функциям нельзя.
2.	Традиционно преобразования Фурье применяются по про-
странственным переменным. Поэтому нельзя их использовать
37
для решения уравнений с переменными коэффициентами, за-
висящими от пространственных координат. В этом случае не
получится замкнутой задачи в Фурье-образах.
3.	Бессмысленным является применение преобразований
Фурье к нелинейным дифференциальным уравнениям в част-
ных производных, так как невозможно получить замкнутую
задачу в Фурье-образах.
1.6.5.	Задачи для самостоятельного решения
Используя интегральные преобразования Фурье, решите сле-
дующие краевые задачи:
11 f Ut ~	< х < °°’ * > о,
( и(0, х) — 0, —оо < х < оо.
{«« = а2ихх, —оо < х < оо, t > О,
и(х,0) = ф(х), —оо < х < оо,
щ(х,0) = ф(х), —оо < х < оо.
1.3.
1.4.
1.5.
Utt = а2ихх, х > 0, t > О,
н(х,0) = ф(х), х > О,
iit(x,O) = ф(х), х > О,
it(0, t) = 0, t > 0.
utt = а2ихх, х > 0, t > 0,
и(х,0) = </>(х), х > 0,
ut(x,0) = ф^х), х > 0,
uI(0, t) — 0, t > 0.
нц — и ихх, 1 > О, t 0,
u(s,0) = 0, х > 0,
ut(x,0) = 0, х > 0,
u(0, t) — /i(i), t > 0.
38
{utt = a2uxx, x > 0, t > 0,
w(i,0) = 0, x > 0,
ut(x,0) = 0, x > 0,
Wi(0,t) = t > 0.
utt = a2uxx + f(x,t), x > 0, t > 0,
u(x,0) =0, x > 0,
ut(x,0) =0, x > 0,
u(0, t) = 0, t > 0.
utt — a?uxx + x > 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, x > 0,
щ (x, 0) = 0, x > 0,
иДО, t) — 0, t > 0.
{ut = a2uxx, x > 0, t > 0,
u(0, x) = x > 0,
u(O,t) = 0, t > 0.
1.10.
1.12.
ut — a2uxx, x > 0, t > 0,
< u(0,x) = 0, x > 0,
u(0, t) = n(t), t > 0.
ut = a2uxx + x > 0, t > 0,
< u(0, x) = 0, x > 0,
us(0, i) =0, t > 0.
39
2.	Интегральное преобразование
Лапласа
Рассмотренное в предыдущем разделе интегральное пре-
образование Фурье (1.19)—(1.20) с ядром JC(A,x) = e-tAl ча-
сто бывает неудобно в применении к решению задач тем, что
должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости
функции /(х) на всей оси х:
ОО
У |/(z)|dr = М < +оо.	(2.1)
-оо
Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого
ограничения.
Традиционно интегральное преобразование Лапласа при-
меняют по временной переменной t, хотя его можно произ-
водить по любой переменной, которая определена в области
[0, +оо).
Определение 5. Интегральным преобразованием Лапласа
функции /(t) называется функция F(p) комплексного перемен-
ного р — з + го, определяемая формулой
+оо
= F(p) = I f^e-^dt,	(2.2)
о
где интеграл берется по положительной полуоси t.
Как видно из этого определения, преобразование Лапласа
обладает важным преимуществом по сравнению с преобразо-
ванием Фурье. Это преимущество обусловлено наличием зату-
хающего множителя (ядра К(р, i) = e~pt) в подынтегральном
выражении, что обеспечивает возможность применения преоб-
разования Лапласа к более широкому классу функций. Более
точное представление об этом классе функций дает следующая
теорема.
40
Достаточные условия существования преобразования
Лапласа. Если:
1)	функция f(t) равна нулю при t < 0;
2)	функция f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных
точек, в которых f(t) имеет разрывы первого рода, при-
чем на каждом конечном интервале оси t таких точек
может быть лишь конечное число;
3)	при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее
показательной функции, то есть существуют констан-
ты М > 0 и s такие, что для всех t
| /«) |< Mest,	(2.3)
то преобразование Лапласа F(p) (2.2) определено в полуплос-
кости Re р = s > sq и является в этой полуплоскости анали-
тической функцией.
Точная нижняя грань so всех чисел s, sq = infs, для кото-
рых выполняется неравенство (2.3), называется показателем
роста функции f(t).
Замечание. В общем случае неравенство | f(t) |< MeSot не
имеет места, но справедлива оценка | /(f) |< Me^s°+e^, где
е > 0 — любое. Так, функция /(t) = t, t > 0 имеет показатель
роста so = 0. Для нее неравенство 11 |< М для любого t > 0 не
выполняется, но Ve > 0, Vt > 0 верно неравенство | t |< Meet.
В любом случае условие (2.3) менее жесткое, чем условие
(24).
Выведем формулу обращения преобразования Лапласа
(обратного преобразования Лапласа).
Пусть /(f) — кусочно-гладкая на конечном отрезке [0, а]
функция, удовлетворяющая условиям 1 — 3 предыдущей тео-
ремы и имеющая показатель роста sq. Рассмотрим функцию
<p(t) = /(f)e~st, где s > so — любое.
41
Функция y>(t) удовлетворяет условию применимости инте-
грального преобразования Фурье, и, следовательно, справед-
лива формула обращения преобразования Фурье (1.19)
y>(t) =
(2-4)
где
(2-5)
Здесь учтено, что <p(t) = 0 при t < 0. Подставляя в (2.5) <p(t) —
—	получим
Ф(А)
(s+iA)t dt _
(2-6)
где F(p) - преобразование Лапласа функции /(t) при
р = s 4- гА.
Формулу (2.4), используя (2.6), можем переписать в виде
ОО
<p(t) = f(t)e~st = ~ [ F(s + iX)eiXt dX,
27Г J
—оо
откуда для f (t) получаем формулу обращения преобразования
Лапласа
оо	s+ioo
= ~ [F(S + iX)e^+i^dX=~ [ Ftp^dp, s>s0.
I* J	2тгг J
—oo	s—ioo
42
Таким образом, нами доказана теорема обращения: если
функция f (Z) удовлетворяет достаточным условиям сущест-
вования интегрального преобразования Лапласа и имеет пока-
затель роста so, a F(p) — ее изображение, то в любой точке
непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
s+ioo
= f F(p)ept dp = £~'[F(p)],	(2.7)
5 — 200
где интеграл берется вдоль любой прямой Re р = s > sq и
понимается в смысле главного значения, то есть как
s+iN
lim [ Р(р)е?*(1р.
I
s—iN
Формула (2.7), называемая формулой Меллина, определяет
обратное преобразование Лапласа.
Теорема единственности является следствием теоремы обра-
щения: две непрерывные функции f(t) и имеющие одно и
то же изображение F(p), тождественны.
Использование формулы (2.7) подразумевает знакомство с
техникой интегрирования по контурам в комплексной плоско-
сти и теорией вычетов. Однако чаще при обратном преобразо-
вании Лапласа используются таблицы и свойства этого преоб-
разования.
2.1.	Свойства интегрального
преобразования Лапласа
Интегральное преобразование Лапласа (2.2), (2.7) обладает
свойствами 1°, 2° и 3°, описанными в п. 2 введения настоящего
пособия. А именно:
43
1° Пара преобразований (взаимная однозначность)
W(*)D =/(*)•
2° Линейность преобразования. Если f = F, д = G, то для
любых постоянных а и /3
af(t) +	= aF{p) + (3G (p).
3° Сверткой (J *g) функций f(t) и g(t) называется новая функ-
ция от t, определяемая равенством
(/ * 9) = J f(T)g(t ~ r)dr.
о
(2-8)
В теории преобразований Лапласа свертка играет такую
же роль, что и в теории преобразований Фурье. Однако в (2.8)
интегрирование ведется по конечному промежутку (0,f), а не
по бесконечному, как в (1.20)—(1.22). Доказательство теоремы
о свертке (теоремы умножения) проводится ниже.
Нетрудно проверить, что операция свертки коммутативна,
то есть функции /(<) и g(t) можно поменять местами.
4° Теорема дифференцирования оригинала. Пусть f =
F и пусть для	..., также существуют пре-
образования Лапласа, s = max{so, si,..., sn}, где Sk — показа-
тель роста функции (t) (k = 0,1,..., n).
Тогда
f'(t)=pF(p)-f(O)	(2.9)
и вообще
fn\t) -• pnF(p)~ р(п-1У(О)- p(n~2)/'(0)- • •  - /(n-1)(0). (2.10)
44
Доказательство. Найдем изображение функции /'(<):
°9	t=+oo оо
£[Ш] = J f'(t)e~ptdt = f{t)e~pt +pf f{t)e~ptdt.
0	t=0 о
Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль при t —> +оо,
так как при Re р = s > sq имеем
| /(i)e-₽t |< Ме~^~^------------> О,
t->+оо
подстановка t = 0 дает —/(0). Второе слагаемое равно pF(p).
Таким образом, получили соотношение (2.9).
Для отыскания изображения n-й производной функции /(<)
запишем
ОО
£[/(n)(f)] = I f(n\t)e~ptdt,
о
откуда, интегрируя п раз по частям, получим требуемое соот-
ношение (2.10).
Эта теорема устанавливает замечательное свойство инте-
грального преобразования Лапласа: оно, как и преобразова-
ние Фурье, переводит операцию дифференцирования функций-
оригиналов в алгебраическую операцию умножения на р функ-
ций-изображений .
Применение преобразования Лапласа к решению уравнений
с частными производными требует знания правил преобразо-
вания производных по различным переменным. Для функции
u(t, х) преобразование Лапласа, производимое по переменной t
(t — переменная интегрирования), обозначим через U(x,p) =
= <£[u(a:,t)]. Производные по переменной х от функции и(х, t)
преобразуются как производные от интеграла по параметру, а
производные по переменной t — в соответствии с формулами
(2.9) -(2.10). В результате для преобразований Лапласа част-
ных производных функции u(x,t) получим следующие форму-
45
лы :
оо
2[ux] = j ux(t,x)e~ptdt — Ux(x,p),
0
OO
^[^xx] — uxx(t,x}e p dt — Uxx(x,p),
oo0	(2-11)
£[ut] = ^ut(x^t)e~ptdt — pU(x,p) — u(x,0),
о
oo
= futt(t,x')e~ptdt=p2U(x,p)—pu(rr,0) —ut(s,0).
о
5° Теорема интегрирования оригинала. Интегрирование
функции-оригинала f(t) сводится к делению изображения F(p)
на р. Если f == F, то
оо
=	(2.12)
о
Доказательство. Положим
ОО
¥>(«) = I/т-	(2.13)
о
Нетрудно проверить, что если для /(<) существует преоб-
разование Лапласа, то и для функции <p(t) преобразование Ла-
пласа будет существовать, причем у>(0) = 0. Пусть <p(t) f= Ф(р).
В силу (2.13)
^[/(t)] = £[¥>'(*)] = Р ф(Р) - ¥>(0) = Р Ф(р),
так что /(<) ==' р Ф(р). С другой стороны, /(i) = F(p), откуда
F(p)
F(p) — р Ф(р), то есть Ф(р) = ------. Последнее равносильно
доказываемому соотношению (2.12).
46
6° Теорема подобия. Если f(t) = F(p), то для любого а > О
(2-14)
Доказательство. Докажем первое из утверждений (2.14). По-
ложим at — т, тогда
f(at) .= / /(о«)е-₽1Л =
- [ f(r)e~°Tdr = -F(-) •
a J	а \а/
7° Теорема запаздывания. Если f(t) = F(p), то для V-r > О
Я(4-т)/(«-т)=е-₽тГ(р),
(2-15)
где
называется функцией Хевисайда.
Доказательство. Так как H(t — r)f(t — т) = 0 для t < т, то
£[f(t “ т)] = / H(t - т)/(« - rje'^dt = f(t- r}e~ptdt.
Обозначим £ = t — т, тогда dt — d£. При t = т получаем £ = О,
при t -- +оо имеем £ = +оо, поэтому предыдущее соотношение
принимает вид
£[/(* - т)] = / /(e)e-₽(C+T)de = е“рт / №e-rtd£ = e-^F{p).
47
8° Теорема смещения. Если f(t~) = F(p), то для любого ком-
плексного числа ро
е^/Щ = Е(р-Ро).
(2-16)
Доказательство. В самом деле,
ОО
оо
2[e₽°7(f)]= / e₽07(t)e-₽tdt = //(f)e-(p-p°)tdt = F(p-po).
9° Теорема дифференцирования изображения. Диффе-
ренцирование изображения сводится к умножению на (—f)
оригинала. Другими словами, если f(t) .= F(p), то
F^(p) = (-l)ntn/(t).	(2.17)
ОО
Доказательство. Так как функция F(p) — j f(t)e~ptdt в по-
о
лупространстве Re р = s > so является аналитической, то ее
можно дифференцировать по р. Имеем
ОО
F'(p)	= -f tf(t)e-ptdt,
о
ОО
F"(p) =	f t2 f (t)e~ptdt,
о
F(«)(p) = J(~l)ntnf(t)e~ptdt.
о
Последнее из приведенных выражений, равное (2.17), как
раз и доказывает нашу теорему.
10° Теорема интегрирования изображения. Если f(t) =
ОО
== F(p) и интеграл f F(q)dq сходится, то он служит изобра-
р
л. Л*)
жением функции....то есть
48
oo
f(t)  fn 'J
— •= J F(q)dq.
p
Доказательство Действительно,
(2-18)
Предполагая, что путь интегрирования (р, оо) лежит в по-
луплоскости Re р > а > so, мы можем изменить порядок
интегрирования (t > 0):
/(i)e-9‘di
Таким образом, мы доказали утверждение (2.18).
11° Теорема умножения. Если f = F, д = G, то свертка
(f * д) имеет изображение F(p)G(p):
t
(/*9) = У f(r)g(t-T)dT = F(p)G(p).	(2.19)
о
Доказательство. Нетрудно проверить, что свертка (/ * g)(t)
функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем ро-
ста з* = max{si,32}, где si и зг — показатели роста функций
f(t) и g(t) соответственно. Найдем изображение свертки:
49
Здесь мы воспользовались тем, что g(t — г) = 0 при т > t. За
счет этого во внутреннем интеграле верхний предел интегри-
рования t заменен на оо.
Далее, меняя порядок интегрирования в последнем выра-
жении (при Re р = з > so такая операция законна) и применяя
теорему запаздывания (2.15), получаем
/в Pt	je Pt9{t-T)d7 dt =
о Lo
о Lo
j f(r}£[g(t - r]dr = jf(r) [e рт(7(р)] dr =
= G(p) e~prf(r)dT = G(p}F{p).	(2.21)
о
Таким образом из (2.20) и (2.21) находим
/(r)g(t - r)dr = F(p)G(p) или (/ * g) = F(p)G(p), (2.22)
умножению изображений отвечает свертка оригиналов.
11° Формула Дюамеля. В приложениях преобразования Ла-
пласа к решению обыкновенных дифференциальных уравне-
ний и дифференциальных уравнений в частных производных
часто пользуются следствием теоремы умножения, известным
под названием формулы Дюамеля.
Пусть /(f) и у>(<) — функции-оригиналы, причем /(<) непре-
рывна на [0, Too], a <p(t) непрерывно-дифференцируема
на [0, Тоо]. Тогда если /(<) = F(p) и <р(«) = Ф(р), то по теореме
умножения получаем, что
- r)dr = Г(р)Ф(р) = W(p). (2.23)
50
Нетрудно проверить, что функция "0(t) непрерывно-диффе-
ренцируема на [0, 4-оо], причем
t	t
^'(<) =	- r}dT =	+ У /(т)<Д(г - т)(1т.
о	о
(2.24)
Отсюда, в силу теоремы дифференцирования оригиналов,
учитывая, что V’(O) = О, получаем следующее соотношение:
= р W(p) = р Г(р)Ф(р).
Подставляя вместо ее выражение из (2.24), получаем
формулу Дюамеля
t
/(t)v’(O) + У f ('г)^'(^ - T)dr = рГ(р)Ф(р). (2.25)
о
Если мы поменяем местами функции /(f) и <p(f) (в силу того
что операция свертки в преобразовании Лапласа коммутатив-
на, это возможно), получим другое выражение для интеграла
Дюамеля:
t
Ш) + У f{t - rMr)dr = рГ(р)Ф(р). (2.26)
о
Интеграл Дюамеля используют в случае, когда при реше-
нии задач возникает необходимость найти оригинал произве-
дения рЕ(р)Ф(р).
Формула Дюамеля является очень важной для эксперимен-
таторов. Она позволяет выразить решение задачи с изменяю-
щимися во времени граничными условиями (или неоднород-
ностью в исходном уравнении) через решение задачи с посто-
янными граничными условиями (стационарной неоднородно-
стью в уравнении). Другими словами, получив замеры пара-
метров исследуемой системы (решение задачи) при стационар-
51
ных условиях, с помощью формулы Дюамеля можно предска-
зать поведение системы (решение задачи) при изменяющихся
во времени условиях (см. пример 2.4).
2.2.	Примеры решения задач
Пример 2.1. Решить задачу о распространении тепла в по-
лубесконечном стержне с теплоизолированной боковой поверх-
ностью и произвольным начальным распределением темпера-
туры, если на границе х = 0 поддерживается постоянная тем-
пература А.
щ = а2ихх, х > 0, t > О,
u(i,0) = 0, х > 0,	(2.27)
u(O,t) = A, t > 0.
Шаг 1. Подействуем на задачу (2.27) прямым преобразова-
нием Лапласа. Заметим, что в соответствии с правилом (2.11)
преобразования производной по времени от функции u(x,t),
начальные условия задачи (2.27) "перейдут"в уравнение зада-
чи в образах. Поэтому действуем преобразованием Лапласа на
исходное уравнение и граничные условие задачи (2.27):
£[ut] = £[a2uzz(i,t)],
2[u(0,f)] = /[А].
Используя формулы (2.11) преобразования производных,
свойство линейности 2° и то, что 2“[1] получим
р U(x,p} - u(x,0) = a2Uxx(x,p), х > 0, р > 0,
’ Щ0,р) = А-.
Р
С учетом начального условия (и(ж, 0) = 0) получаем задачу
в образах:
р U(x,p) = а2[/хх(т,р),
и(0,р) = j 
х > 0, р > 0,
(2.28)
52
Шаг 2. При решении задачи в образах Лапласа (2.28) впер-
вые проявляется одна особенность этого преобразования. Де-
ло в том, что необходимо решать обыкновенное дифференци-
альное уравнение из (2.28) 2-го порядка с одним граничным
условием (!?). Однако реально всегда имеется дополнительное
условие, вызванное необходимостью существования интеграла
в (2.2). Фактически это приводит к требованию
U(p -> оо) -> 0 Vs.	(2.29)
Таким образом, всегда получается необходимое число усло-
вий. Общее решение уравнения (2.28) имеет вид
U(x,p) = Схе^ а +С2е~^ «.
Из двух слагаемых первое не удовлетворяет описанному вы-
ше условию, так как является расходящейся функцией. Следо-
вательно, для того чтобы существовало обратное преобразова-
ние Лапласа, постоянная Сх должна быть равна нулю.
Используя условие (7(0, р) = j, определяем постоянную С2
и находим решение задачи в образах:
U(x,p) = -е~^ «.	(2.30)
Р
Шаг 3. Для нахождения обратного преобразования исполь-
зуем таблицы:
Тогда искомая функция и(х, t) будет иметь вид
u(x,t) = £ 1
А-
= А£~1
л с ( х \
= А  erfc I -I .
\2aVtJ
53
Рис. 1. Графики функций erf (г) и erfc(z)
оо
Пояснение. Функция erfc(z) = -^= f е~^ называется
Z
функцией, дополнительной к интегралу ошибок, который сам
z
определяется как erf(z) = f е~^ d£. Их сумма равна едини-
о
це erf(z) + erfc(z) = 1, так как представляет интеграл Пуассо-
на:	= 1. Схематически графики функций erf(z) и
v о
erfc(z) изображены на рис. 1.
Таким образом, в развернутом виде ответом нашей задачи
является функция
___ оо	оо
u(x,t) = A - J- [ e'?d£ = —4=7 [ e'&idr]. (2.31)
V тг J	2ax/ivt J
2a Vi	X
Поведение решения (2.31) при различных значениях t (<i <
< <2 < • • • < in) показано на рис. 2.
Пример 2.2. Решить задачу о поперечных колебаниях по-
лубесконечной струны, на которую действует распределенная
сила плотности /(<). В начальный момент времени струна по-
54
Рис. 2. Решение задачи и(х, t) при А — 1
коилась. На границе задано свободное закрепление.
{utt = а2ихх + f(t), х > 0, t > О,
и(х, 0) — 0, х > 0,
ut(x,0) = 0, х > О,
ux(0, t) = 0, t > 0.
(2.32)
Шаг 1. Действуем на задачу (2.32) прямым преобразовани-
ем Лапласа (2.2). Используя правила преобразования произ-
водных (2.11) и учитывая начальные условия, получаем задачу
в образах:
f p2U(x,p) = a2Uxx(x,p) + F(p), х > 0, s > 0,	.
1^(0,р)=0.	(	}
Здесь F(p) — преобразование Лапласа функции /(£) (F(p) =
К задаче (2.33) необходимо добавить дополнительное усло-
вие (2.29) (см. предыдущий пример).
Шаг 2. Общее решение уравнения (2.33) имеет вид
U(x,p) = С\ер « + С2е~р « +
55
Из трех слагаемых первое не удовлетворяет описанному вы-
ше условию, для выполнения которого необходимо Ci поло-
жить равным нулю.
Используя условие Ux(fi,p) = 0, находим постоянную
С2 = 0. В результате получаем окончательное решение задачи
в образах
U(x,p) =
Р
где из структуры преобразования (2.2) видно, что при р —> оо
соответствующий интеграл и F{p) стремятся к нулю.
Шаг 3. Для нахождения обратного преобразования исполь-
зуем операцию свертки (2.8):
i-'
= 2?-1[<?(р)г(р)] = (9(о*т
где Q(p) = а через q(t) обозначен прообраз функции Q(p),
пока неизвестный.
По таблицам определяем
«(<) = i-1
= t.
Таким образом, решение исходной краевой задачи, найден-
ное с помощью преобразования Лапласа, имеет вид
Пример 2.3. Решить задачу о поперечных колебаниях по-
лубесконечной струны при условии, что ее левый конец упруго
закреплен в опоре, которая движется по некоторому закону,
зависящему от времени. В начальный момент времени струна
находится в покое. Коэффициент жесткости пружины постоя-
нен.
56
Utt — Uxx^ T > 0, t > 0,
( w(z, 0) = 0, x > 0,
щ(х, 0) = 0, x > 0,
k ux(0, t) — hu(0, t) = K(t), t > 0.
(2-34)
Шаг 1. Применение преобразования Лапласа по переменной
t к (2.33) дает задачу в образах:
p2U(x,p) = a2Uxx(x,p) + F(p), х > 0, р > 0,
их(0,р) - hU(0,p) = К(р),
U(p —> оо) —> 0	Vz,
(2.35)
где U(x,p) = £[и(х, <)], а К(р) = £ [«(<)]. Здесь учтено, что
начальные условия задачи нулевые, а также добавлено допол-
нительное условие (2.29).
Шаг 2. Решение задачи в образах (2.35):
U(x,p) = -а-^^-е-р °.
р + ha
Шаг 3. Обозначим Q(p) — —Тогда решение, получен-
р + ha
ное на шаге 2, примет вид
U(x,p) = -a Q(p) е~р «.
Наличие в этой формуле множителя е~р° наводит на мысль
об использовании теоремы запаздывания (2.15):
е~рт F(p) = H(t — r)f (t — т),
где H(z) — функция Хевисайда, определенная в (2.15).
В нашем случае т = £, а роль функции F(p) выполняет
функция Q(p). Таким образом,
57
Определим функцию q(t), которая является прообразом
функции Q(p), и в качестве аргумента в нее подставим t — |.
«(«) = £-' [ад—
р + tlCL
Используя табличные значения ( —Ц— = e~hat ), то, что
\р + па	)
прообразом функции К(р) является функция «(<), и операцию
свертки, получим
t
q(t) = I K^e'^-^dr.
о
Итак, ответом нашей задачи является функция
'О, х > at,
О
Пример 2.4. Решить задачу теплопроводности в полубес-
конечной среде, на границе которой температура меняется по
известному закону //(£), а начальная температура везде была
постоянной и равнялась нулю.
Для демонстрации применения формулы Дюамеля прове-
дем параллельно решение исходной задачи и вспомогательной,
в которой условие на границе х = 0 возьмем в виде p(i) = 1.
Исходная задача:
Вспомогательная задача:
щ — а2ихх, х > 0,t > О,
и(т,0) =0, х > 0,
u(0,t) = p(t), t > 0.
uj — a uxx, x > 0, t > 0,
u(t,0) =0, x > 0,
u(0, t) = 1, t > 0.
58
Шаг 1. После применения интегрального преобразования
Лапласа по времени к нашим задачам получим следующие за-
дачи в образах:
( pU(x,p)=a2Uxx(x,p),
X С/(О,р) = М(р);
р V(x,p) = a?Vxx(x,p),
i
У(0,Р) =
р
где U(x,p), V(s,p) и М(р) — образы Лапласа функций u(x,t),
v(x,t) и p(t) соответственно.
Шаг 2. Решение каждой из задач в образах с учетом допол-
нительного условия ограниченности (2.29) имеет вид
U(x,p) =М(р)е~^,
V(x,p)
1
= - е
Р
Нетрудно видеть, что решение исходной задачи в образах
может быть выражено через решение вспомогательной задачи:
J7(x,p) =р V(x,p) М(р) = £[ot]£[p(t)].
Нам достаточно определить функцию v(x,t), вычислить ее
производную по времени и подставить в формулу Дюамеля.
Шаг 3. Вычисление прообразов. Для функции V(x,p) вос-
пользуемся табличными значениями (см. пример 2.1). А функ-
ция п(х,р) может быть вычислена с помощью формулы Дюа-
меля
u(x,t) — p(t)v{x,G) 4- j p(r)vt(t — r)dr,
о
oo
„(М) = erfc
Я
2ay/t
(2.36)
Заметим, что v(x,0) = 0 (из начальных условий вспомога-
тельной задачи).
59
Вычислим производную vt(x,t). Для этого воспользуемся
соотношением erfc(z) = 1 — erf(z) и правилом дифференциро-
вания интеграла с пределами интегрирования, зависящими от
параметра, по этому параметру:
2а yft
О
.	.	2 д ( х \	)	х __£*
vt(x,t) =------= — I ------р е	е
л/тг [dt \2a\/t)	J 2а-Ул<3/2
Окончательно, подставляя вычисленную производную
vt(x,t) в первое из соотношений (2.36), получаем решение ис-
ходной задачи:
t
(237)
о
Аналогичным образом поступают и в случае, когда исход-
ное уравнение является неоднородным, причем неоднородность
представляет функцию, зависящую от времени. Во вспомога-
тельной задаче эту функцию заменяют на постоянную (проще
всего — единицу).
Важно отметить, что формула Дюамеля впрямую примени-
ма только к задачам с нулевыми начальными условиями. Но
это не должно нас особо беспокоить, так как для задач в по-
луограниченной (или бесконечной) области мы всегда можем
представить решение в виде суммы функций, одна из кото-
рых описывает влияние начальных условий (ненулевых),
а другая — влияние неоднородности в уравнении и гранично-
го режима (при этом начальные условия считаются нулевы-
ми) . Первая из этих задач может быть решена любым из ранее
описанных способов, а вторая — с использованием интеграла
Дюамеля.
Решение (2.37) может быть получено и без применения ин-
теграла Дюамеля. Достаточно воспользоваться табличными
60
значениями и операцией свертки:
-тЗ/Р	X	х2
е « =--------—- е
2av7rf3
u(t,x) =	* £~l[e°]) = X" =. [	3 e 4a2<‘-r)dr
2аул J (£ — r)2
(так как формула Дюамеля является следствием теоремы
умножения, то есть операции свертки). Все дело в том, что за-
частую в таблицах не удается найти прообраз некоторой функ-
ции F(p), а вот прообраз функциисуществует. В этом слу-
чае как раз и применяется формула Дюамеля.
2.3.	Замечания
1.	Преобразование Лапласа можно применять к неоднород-
ным уравнениям с частными производными и к уравнениям
с коэффициентами, зависящими от пространственных коорди-
нат. Но его нельзя, вообще говоря, применять к уравнениям с
переменными по времени коэффициентами, поскольку не по-
лучится замкнутой задачи в образах.
2.	При решении краевых задач используются также другие
интегральные преобразования: Ганкеля, Фурье—Бесселя, Мел-
лина и т. д. Они отличаются от преобразований Фурье и Ла-
пласа в одном отношении. Преобразование Лапласа заменяет
производную умножением по формуле (2.9):
2[у'] = з/[у] — 3/(0).
Преобразование Фурье (1-15) заменяет умножением вторую
производную (1.23):
9[у"] = “ А2^[у]-
В то же время другие указанные интегральные преобразо-
вания заменяют умножением некоторый дифференциальный
61
оператор. Например, для преобразования Ганкеля справедли-
во соотношение
оо
Hm[y(r)] = J ry(r) Jm(£r)dr,
о
Нт [у"(г) + |у'(г) - ^у(г)] = -(.2Нт[у(г)].
С его помощью можно решать задачи, сводящиеся к специ-
альному дифференциальному уравнению Бесселя. Такие ситу-
ации возникают в полярных или цилиндрических координатах.
2.4.	Задачи для самостоятельного решения
Используя преобразование Лапласа, решите следующие кра-
евые задачи:
{ut = a2uxa;, х > 0, t > О,
w(rr, 0) = 0, х > 0,
nx(0, t) = i/(t), t > 0.
{ut = a2uxx, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = «0) т > 0 (no = const),
ux(0, t) — u(0, t) — 0, t > 0.
2.3.
ut = a2uxx + /(t), x > 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, x > 0,
u(O,t) =0, t > 0.
utt = a2uxx, x > 0, t > 0,
n(rr,O) =0, x > 0,
nt(rr,0) =0, x > 0,
_ u(0,t) = /x(t), t > 0.
( Utt = a2uxx, x > 0, t > 0,
I u(x,0) =0, x > 0,
| nt(rr,O) = 0, x > 0,
( n(0, t) = v(t), t > 0.
62
2.6.
— ^xz + и + /(д;), x > 0, t > О,
< u(O,t) = t, x > О,
ux(O,t) =0, t > 0.
2 7.
щ = uxx 4- и 4- Bcos(x), x > 0, t > 0,
< u(0, t) = Ae-3t, t > 0,
иДО, t) = 0, t > О (A, В — const).
{щ = a2uxx — /Зи, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = sin x, x > 0,
u(0, t) = 0, t > 0	(0 — const).
{ut = uxx, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, x > 0,
u(0, t) = Ae-t, t > 0 (A - const).
2.10.
ut = uxx 4- a2u 4- f(x), x > 0, t > 0,
u(0, t) =0, t > 0,
uT(0, t) = 0, t > 0.
2.11.
ut = a2uxx — h(u — uq), x > 0, t > 0,
u(x, 0) = uq, x > 0,
u(0, t) = 0, t > 0 (Zi,uq — const).
{Щ = a2uxx, x > 0, t > 0,
п(ж,0) = 0, x > 0,
^(O^) — hu(O,t) = «(t)> t > 0 (h — const).
3. Ответы. Указания
3.1.	К задачам на преобразование Фурье
1.1.
t
о°	,
/ /(т,£)е 4а ^d£dT.
y/t-т J
—оо
Использовать экспоненциальное преобразование Фурье.
1.2.
x+at
u(t, х) = ~{ф(х - at) + ф(х + at)] + —

x—at
Использовать экспоненциальное преобразование Фурье.
1.3.
x+at
1	If
u(t,x) = ~[ф(х - at) + ф(х +at) sign(x - at)] + — / ф(£)с1£.
z	za j
|x—at|
Использовать синус-преобразование Фурье, рассмотрев от-
дельно решения для случаев, когда х > at и х < at. При реше-
нии учесть, что
x+at
I Ш =
x—at
___ оо	x+at
f ф(АМА уГ sin(A£)d£ =
О	x—at
о
cos А(т — at) — cos А(т + at)
w (A)-----------------------------aA.
64
1.4.
u(t, x) =
+
— at I) + ф(х + at) sign(.r — at)] +
x+at	|x—at|
J V’(C)^ - sign(rr - at) У
о	о
Применить косинус-преобразование Фурье.
1.5.
где 8(z) — дельта-функция.
Применить синус-преобразование Фурье.
1.6.
u(t, х) = <
Применить косинус-преобразование Фурье.
1.7.
t x+a(t-r)
и(х, t) =
О |z-a(t-r)|
Применить синус-преобразование Фурье. Учесть, что
2 sin aA(t — т) sin Хх _ cos А[х — a(t — т)] — cos А[т 4- a(t — г)]
x+a(t—r)
cos X[a(t — r) — ,t] — cos A[a(t — т) + ж] _
x—a(t—t)
a(t—r)+x
65
1.8.
t ( x+a(t-r)
u(x,t) = ^,fdT] f M’T№~
0	(	0
|x—<x(t-r)|
- signfx - a{t - t)] J f(£,T)d£>.
о
Применить косинус-преобразование Фурье. Воспользовать-
ся соотношениями, аналогичными рассмотренным в предыду-
щей задаче.
1.9.
о
Применить синус-преобразование Фурье.
1.10.
t+oo	^-i)2	__<?+Q2. .
1 Г Г е 4“2(‘-г) + е 4«2(‘-’-)
= 2^///к’г)--------------7Г=7--------
о о
Применить синус-преобразование Фурье. При обратном пре-
образовании учесть (см. пример 1.4), что
00
/2 \2
е а А Asin(Aa:)dA = —
о
где
оо
/2x2	у/тг х2
е а А cos(Arr)dA = ~2^е
о
66
Применить косинус-преобразование Фурье. Воспользовать-
ся соотношениями из указания к предыдущей задаче.
1.12.
t +оо _
1 Г Г	е 4a2(t-r) 1 е 4a2(i-r)
(z,i) =	--------
2аутг J J	y/t — т
о о
Применить косинус-преобразование Фурье (см пример 1.4).
3.2. К задачам на преобразование
Лапласа
2.1.
t
о
х2
g 4a^(t —г)
x/i — т
dr.
2.2.
u(t, х)
2
= uq — но -7=
v77
2.3.
2.4.
u(x,t) = -
Использовать теорему запаздывания.
67
2.5.
°’
u(x,t) = <
—a I и\т)ат, х at.
' о
Использовать теоремы запаздывания и интегрирования ори-
гинала.
2.6.
X
и(х, t) = i cos ж + sin ж + J /(£) зт(ж — £)d£.
о
Применить интегральное преобразование Лапласа по пере-
менной х.
2.7.
д
и(х, t) = Xe~3*cos2x — —ж sin ж.
Применить интегральное преобразование Лапласа по пере-
менной х.
2.8.
u(x,t) — e (“2+£) fsina:.
2.9.
u(rr,t) =
lfe-(^T)A
I -----5----dr.
0
2.10.
X
U
о
Применить интегральное преобразование Лапласа по пере-
менной х.
2.11.
/	Wo .
щх, t) — uq —— е
xVh ( X	.
+ е » erfc I ----р + Vht
\2ax/i
aS » / х	ГГ7\
о erfc I --— vht) +
\2aVt J
68
2.12.
t
u(x, t) = —a j
о
x2
e 4“(f-r)
- ae/lx+/l2a2(t T>erfc I ----------h ha\/(t- r) | dr.
\2ay/(t-T)	1
Литература
1.	Кошляков H. С., Глинер Э. В., Смирнов М. М. Уравнения
в частных производных математической физики. М.: Высш,
шк., 1970.
2.	Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобра-
зования и операционное исчисление. М.: Изд-во физ .-мат. лит.,
1961.
3.	Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по опера-
ционному исчислению. М.: Высш, шк., 1965.
4.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и инте-
грального исчисления: В 3 т. М.: Наука, 1969. Т. 3.
5.	Фарлоу С. Уравнения с частными производными для на-
учных работников и инженеров. М.: Мир, 1985.
Приложение
ё(х - то) =
Принятые обозначения
°°’ Х. Х°’ дельта-функция Дирака
О, х ,4 .то
Эта функция обладает следующим свойством, которое ча-
ще всего используется при решении задач методом интеграль-
ных преобразований:
/(т)5(х - xo)dx = /(т0).
функция Хевисайда
зеркально отраженная
функция Хевисайда
1. Экспоненциальное преобразование Фурье
{Ы = 75 7
_________ —оо___________
/(•т)
f"(x)
f^\x)
f(ax), а > О
Т(А) = Ж 7
___________—оо__________
iAF(A)
-A2F(A)
(iA)nF(A)
1F(A)
a 'a'
70
Экспоненциальное преобразование Фурье
(окончание)
ОО
/(*) = vh f F(X)eiXxdX
—оо 
/(* - a)
OO
(/ * a) = J
—oo
e—a2x2
f 1 1ж1
H(x + a) - H(x - a) = ! J’ £ >
e-° kl
6(x — a)
I [<5(rr + a) + 6(x - a)]
a
a2+x2
x e~“lxl, a > 0
cos(arr)
sin(ax)
оо
F(A) =	/ f(z)e-iXxdx
— OO
е-1аЛГ(А)
m-G(X)
, A2
a.x/2
12 sin aX
у тг A
-7== COS aX
V2ir
о [2 iaX
“*2у*(^+Я2
+ a) +	— a)]
гУ|[<*(А + а)-<5(А-а)]
71
2. Косинус-преобразование Фурье
/(ж) = y/l f F(A)cos Xxdx 0 < x < oo	F(x) =	f f(x) cos Xxdx 0 < Л < oo
f"(*)	-A2F(A)-yj/'(0)
(f *g)c	F(A)G(A)
/(arr)	
2 e~ax	—i= в 4a v2a
e~ax	П. °- У 7Г <x2+A2
6(x)	
X 2	1 >/x
H{a — x)	Г2 sin(aA) V 5Г A
sin(ai) X	- A)
a a'2+x2	
-x2f(x)	
ОО
(f * д)с = 4= J /(£) [я(к - £1) +	+ £)] <*£
VZ7T 0
72
3. Синус-преобразование Фурье
73
4. Преобразование Лапласа
c+too f(x) =	f F{p}e^dp c—too 0 < t < oo	F(P) = °ff(t)e-^dt 0 0 < p < oo
/(n)(i)	pnF(p) - pn~' /(0) - ...
(-l)nin/(i)	F<n)(p)
/(of)	f^(^)
/(f)	aF(ap)
e“7(i)	F(p-a)
H(t - a)f(t — a)	e~aPF(p)
f f(r)dT 0	F(p) P
(/*<?) = f f(r)g(t - i}di 0	F(p)-G(p)
/(O)g(t) + f f'(r)g(t - r)dr 0	pF(p)  G(p)
c	-, c — const p’
tn	n!
1 vGrt	7?
74
Преобразование Лапласа (продолжение)
С4-1ОО	oo
/(*) = 2^ J F{p)eptdp F(p) = f f(t)e'*dt
c—too	0
0 < t < oo	0 < p < oo
eQt
faat ~ 1)
№)
5(t — a)
H(t - a)
sin(at)
cos(at)
sh(at)
ch(ai)
1
p—a
1
p(p-“)
1
e-ap
ip-“P
Pe
a
p^+a2
/j. p> a
p>a
erf(v^t)
— ae®2* erfc(ay/t)
e~Qt + y/a erf(y/crt)
1
^Vp+S
i
y/p+a
75
Преобразование Лапласа (продолжение)
= f F{p)eptdp
c—tco
О < t < oo
-£= e «
VTTt
e‘ erfc(\/z)
e“2t erfc(a-\/i)
ef erf(\/z)
^ea< erf (Vai)
erf(5\/f)
OO
F(p) = f f(t)e~ptdt
0
0 < p < 00
^e-^cosy/p
^e-^siny/p
1 --
-4=e p
v₽
-A=e p
Py/P
е~°у/Р
y/P
e-°-y/P
e~ay/P
P
1
P+y/P
1
y/p(y/p+a)
1
x/p(p-1)
1
y/p(.P-a)
l(l_e-V^P)
76
Преобразование Лапласа (окончание)
/(®) = 2J7 f F{pyptdP
с—гос
О < t < оо
ОО
F(p) - f f(t)e~ptdt
о
О < р < оо
е bt erfc(lvl)
1 [g-y/ab erfc	_ тДЛ +
+ e'^b erfc + y/btjj
4=e-^ - be(ba+b2e> erfc (+ by/t]
V	\ V *	/
i erfc ~ i e<‘“+‘"‘) erfc (s? + b'/i)
e-\/a(p+b)
p+i>
e-i/a(p+b)
P
e~a^
b+y/p
р(Ь+^/р)