БОРН И К ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ
(! ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
И ТЕОРИИ
СЛУЧАЙНЫХ
ФУНКЦИЙ
।


СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ И ТЕОРИИ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Издание второе, дополненное
Под общей редакцией
заслуженного деятеля науки и техники РСФСР,
доктора технических наук профессора
А. А. СВЕШНИКОВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для'высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
о с к В А 19 7 0
517.8
В 68
УДК 519. 2 (076. 1)
Коллектив авторов:
Б. Г. ВОЛОДИН, М. П. ГАНИН, И. Я. ДИНЕР,
Л. Б. КОМАРОВ, А. А. СВЕШНИКОВ, К. Б. СТАРОБИН
Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций, под редакцией
А. А. Свешникова. Издательство «Наука», Главная редакция
физико-математической литературы, 1970.
Сборник охватывает все основные разделы теории вероятностей,
встречающиеся при решении практических вопросов, связанных с
автоматическим управлением, обработкой опытных данных, установ-
лением их точности и т. д.
В каждом параграфе дана краткая сводка рабочих формул и
схем, применение которых иллюстрируется решением примеров. Задачи
снабжены ответами, а в отдельных случаях и краткими указаниями,
позволяющими читателю самостоятельно найти путь к их решению.
В конце задачника приложены краткие таблицы для вероятностных
расчетов, необходимые при решении ряда задач.
Илл, 45. Библ, ссылок 77.
Володин Борис Григорьевич, Ганин Михаил Павлович,
Динер Исай Яковлевич, Комаров Лазарь Борисович,
Свешников Арам Арутюнович, Старобин Калман Беркович
Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций
М., 1970 г., 656 стр. с илл.
Редактор И, Е. Морозова
Техн, редактор К, Ф, Брудно Корректор М. Л. Медведская
Сдано в набор 1/1 1970 г. Подписано к печати 7/VII 1970 г. Бумага 84\
Физ. печ. л. 20,5. Условн. печ. л. 34,44. Уч.-изд. л. 34,30.
Тираж 100 000 экз. Т-09793. Цена книги 1 р. 35 к. Заказ №911. v
----------------------------------------------------------------Ч-----
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1
«Печатный Двор» имени А. М. Горького Главполиграфпрома Комитета
по печати при Совете Министров СССР, г. Ленинград, Гатчинская ул.» 26,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию............................. 6
Предисловие к первому изданию.............................. 7
Глава I.	Случайные события .............................. 9
§ 1.	Соотношения между случайными событиями ...	9
§ 2.	Непосредственный подсчет вероятностей.......	13
§ 3.	Геометрические вероятности .................... 18
§ 4.	Условная вероятность. Теорема умножения вероят-
ностей ............................................. 24
§ 5.	Теорема сложения вероятностей ................. 31
§ 6.	Формула полной вероятности..................... 39
§ 7.	Вычисление вероятностей гипотез после испытания
(формула Байеса)................................ 45
§ 8.	Вычисление вероятностей появления события при
повторных независимых испытаниях.................... 50
§ 9.	Полиномиальное распределение. Рекуррентные
формулы. Производящие функции .................. 59
Глава II.	Случайные величины ........................... 69
§ 10.	Ряд, многоугольник и функция распределения ди-
скретной случайной величины ......................... 69
§ И.	Функция распределения и плотность вероятности
непрерывной случайной величины ...................... 77
§	12.	Числовые характеристики дискретных	случайных
величин....................................... 84
§	13.	Числовые характеристики непрерывных	случайных
величин....................................... 96
§	14.	Закон Пуассона............................ 102
§	15.	Закон нормального распределения ........... 107
§	16.	Характеристические функции................ 112	•
§	17.	Вычисление полной вероятности и условной	плот-
ности вероятности после опыта для гипотез, являю-
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
щихся возможными значениями непрерывных слу-
чайных величин ............................... 118
Глава III. Системы случайных величин..................... 124
§ 18.	Законы распределения и числовые характери-
стики систем случайных величин.................... 124
§ 19.	Закон нормального распределения на плоскости
и в пространстве. Многомерное нормальное рас-
пределение ....................................... 134
§ 20.	Законы распределения подсистем непрерывных
случайных величин и условные законы распреде-
ления ............................................ 144
Глава IV. Числовые характеристики и законы распреде-
ления функций случайных величин........................	153
§ 21.	Числовые характеристики функций случайных ве-
личин .............................................. 153
§ 22.	Законы распределения функций случайных вели-
чин ................................................ 166
§ 23.	Характеристические	функции систем	и	функций
случайных величин........................ 178
§ 24.	Композиция законов	распределения....... 185
§ 25.	Линеаризация функций случайных величин	.	.	.	194
§ 26.	Композиция двумерных и трехмерных нормаль-
ных законов распределения с использованием по-
нятия векториальных отклонений.................... 205
Глава V.	Энтропия и информация......................... 219
§ 27.	Энтропия случайных событий	и	величин.......	219
§ 28.	Количество информации........................ 227
Глава VI. Предельные теоремы ............................ 238
§ 29.	Закон больших чисел ........................  238
§ 30.	Теоремы Муавра — Лапласа и Ляпунова........	245
Глава VII. Корреляционная теория случайных функций 252
§ 31.	Общие свойства корреляционных функций и за-
конов распределения случайных функций ....	252
§ 32.	Линейные операции над случайными функциями 258
§ 33.	Задачи о выбросах............................ 268
§ 34.	Спектральное разложение стационарных случай-
ных функций......................................... 278
§ 35.	Вычисление вероятностных характеристик случай-
ных функций на выходе динамических систем . .	287
ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 36.	Оптимальные динамические системы............... 301
§ 37.	Метод огибающих ............................... 314
Глава VIII. Марковские процессы ........................... 321
§ 38.	Цепи Маркова................................... 321
§ 39.	Марковские процессы с дискретным числом со-
стояний .............................................. 347
§ 40.	14епрерывные марковские процессы .............. 362
Глава IX. Методы обработки результатов наблюдений 387
§ 41.	Определение моментов случайных величин по ре-
зультатам опытов ..................................... 387
§ 42.	Доверительные вероятности	и доверительные	ин-
тервалы 	 403
§ 43.	Критерии согласия...................... 424
§ 44.	Обработка результатов	наблюдений	по	способу
наименьших квадратов . ....................с,	455
§ 45.	Статистические методы контроля качества ....	483
§ 46.	Определение вероятностных характеристик слу-
чайных функций по	опытным	данным ................ 513
Ответы и решения........................................... 522
Приложение. Таблицы........................................ 641
Испол	ьзованные таблицы	с	ссылками	на	литературу .	652
Литература................................................. 654
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга отличается от первого издания «Сбор-
ника задач по теории вероятностей, математической статистике
и теории случайных функций» (Наука, 1965 г.), в трех отно-
шениях.
Во-первых, в задачник добавлено небольшое количество
новых задач, показавшихся авторам интересными. Номера
всех новых задач даны со звездочкой. Для того чтобы
упростить пользование первым изданием задачника наряду
со вторым, нумерация остальных задач оставлена без изменения.
Во-вторых, текст книги был заново просмотрен, что позво-
лило устранить все замеченные недостатки и погрешности.
Наконец, в-третьих, в конце книги даны краткие таблицы,
необходимые при решении. ряда задач (в основном по стати-
стике). Эти таблицы имеют чисто учебное назначение, даны
с малым числом десятичных знаков и имеют грубые входы.
Для читателей, желающих произвести расчеты с большей
точностью, в соответствующих местах текста приведены ссылки
на источники, в которых можно найти подробные таблицы
данного типа. При ссылках сохранены прежние обозначения,
т. е., например, ссылка [ЗТ] показывает, что подобные таблицы
можно найти в источниках, указанных в списке использован-
ных таблиц в конце книги. В том случае, когда данная
таблица приведена и в задачнике, в конце соответствующего
пункта списка указан римский номер этой таблицы в прило-
жении.
Авторы выражают благодарность всем лицам, приславшим
замечания по первому изданию задачника.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга является переработкой книги тех же
авторов «Руководство для инженеров по решению ..задач
теории вероятностей», изданной в 1962 году Судпромгизом.
Переработка, помимо редактирования всего текста и испра-
вления обнаруженных погрешностей, состояла в добавлении
новой главы, посвященной теории марковских процессов,
а также в некотором расширении раздела, относящегося
к математической статистике.
Цель книги — помочь изучающим теорию вероятностей
приобрести навыки ее применения к решению различных
прикладных вопросов. Поэтому при подборе задач и мето-
дов их решения основное внимание было обращено не на
формально-математическую сторону теории вероятностей,
а на ее прикладное содержание.
В каждом параграфе книги даны решения типовых при-
меров. Остальные задачи снабжены ответами, а в ряде слу-
чаев и необходимыми указаниями по их решению.
«Сборник задач» рассчитан на читателя, владеющего
теоретическим материалом в объеме какого-либо общего
курса теории вероятностей (например, Е. С. Вентцель, «Тео-
рия вероятностей», 1962 или И. В. Дунин-Барковский
и Н. В. Смирнов, «Теория вероятностей и математическая
статистика в технике», 1955) и некоторыми добавочными
сведениями, имеющимися, например, в книгах: В. И. Буни-
мович, «Флюктуационные процессы в радиоприемных устрой-
ствах», 1951, А. А. Свешников, «Прикладные методы
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
теории случайных функций», 1961 и Р. Л. Стратонович,
«Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике»,
1961.
При написании книги использован ряд отечественных
и иностранных источников, однако большинство задач со-
ставлено авторами.
Авторы отказались от помещения в качестве приложе-
ния таблиц, необходимых для решения некоторых задач,
так как в последнее время появилось много книг, содержа-
щих подробные таблицы. Для удобства ссылок после текста
ответов приведен список используемых таблиц с указанием
источников, в которых эти таблицы могут быть найдены.
При ссылке на таблицу указывается ее номер в этом списке,
например [ЗТ].
В конце книги дан список литературы, в который вошли
все источники, использованные в той или иной степени при
составлении «Сборника задач».
Авторы выражают благодарность всем лицам, приславшим
замечания по содержанию «Руководства для. инженеров»,
и особенно благодарят Б. В. Гнеденко, сделавшего ряд за-
мечаний по содержанию книги, которые авторы стремились
учесть при ее переработке.
ГЛАВА I
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1.	Соотношения между случайными событиями
Основные формулы
Случайные события обозначаются латинскими буквами А,
В, С, Uy Vy причем U — достоверное, а V — невоз-
можное события. Равенство А = В означает, что появление
одного из этих событий влечет за собой появление другого.
Произведение событий А и В есть событие С=АВ, со-
стоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма собы-
тий А и В есть событие С= ЛЦ- By состоящее в наступле-
нии хотя бы одного из событий А и В. Разность событий А
и В есть событие С = А — By состоящее в том, что А про-
исходит, а В не происходит. Противоположное событие
обозначается той же буквой, но с чертой сверху. Например, А
и А — противоположные события, причем А означает, что А
не происходит. События А и В несовместны, если AB=V.
События Ak (k=\y 2, ..., п) образуют полную группу,
если в результате опыта обязательно должно произойти
п
хотя бы одно из них; при этом Ak=U.
Решение типовых примеров
Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно
равенство А-^- В — А7
' Решение. Сумма А Ц- В представляет собой событие,
состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В.
Если А В = А, то событие А включает в себя событие В,
10
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
(ГЛ. I
Например, если событие А — попадание в область
а В — в 5g, то область Sb расположена в
Аналогично решаются задачи 1.1 — 1.3 и 1.8.
Пример 1.2. Из таблицы случайных чисел наугад вы-
браны два числа. События А и В соответственно означают,
что выбрано хотя бы одно простое и хотя бы одно четное
число. Что означают события АВ и A -|-Z??
Решение. Событие АВ означает наступление событий А
и В, т. е. из двух выбранных чисел одно простое, а другое
четное. Событие означает наступление хотя бы одного
из событий А и В, т. е. среди двух выбранных чисел имеется
хотя бы одно простое или хотя бы одно четное число или
одно из этих чисел простое, другое четное.
Аналогично решаются задачи 1.4— 1.7.
Пример 1.3. Доказать, что АВ = А-\- В и C-\-D = CD.
Доказательство. Если положить С = А и D = B,
то второе равенство записывается в виде А-\- В = АВ,
т. е. А-\- В = АВ. Поэтому достаточно доказать справедли-
вость только первого равенства.
Событие АВ означает непоявление событий А и В. Про-
тивоположное событие АВ означает, что хотя бы одно
из событий А или В имеет место, а это сумма событий А —{— Z?.
Поэтому АВ = А А- В. Доказательство этого равенства можно
Рис. 1.
также произвести геометрически, связав каждое событие
с попаданием точки в соответствующую область.
Аналогично решаётся задача 1.9. Доказанные в примере 1.3
равенства используются при решении задач 1.10—1.14.
Пример 1.4. Электрическая цепь между точками М и N
составлена по схеме, приведенной на рис. 1. Выход из строя
элемента а — событие А, элемента bk — событие Bk (k — 1, 2, 3).
§ П
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
11
Записать выражения для событий С и С, если С означает
разрыв цепи.
Решение. Разрыв цепи произойдет в том случае, если
выйдет из строя элемент а или все три элемента bk (k= 1, 2, 3).
Эти события соответственно равны А и BiB2B3. Поэтому'
С = А + В1В.2В3.
Используя равенства из примера 1.3, находим
С = A-\-BiB2B3 = АВ^Вз = А	+ В3).
Аналогично решаются задачи 1.16—1.18.
Задачи
1.1.	Что означают события A-J-A и АА?
1.2.	Когда возможно равенство АВ = А?
1.3.	Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных
концентрическими окружностями с радиусами rk (k —
= 1, 2,..., 10), причем И <С Г2<С». .<С По. Событие Ak —
попадание в круг радиуса rk (Л=1, 2, ..., 10). Что озна-
чают события
6	ю
B='^lAk,	С=ПЛ?
/? = 1	/г = 5
1.4.	События: А — хотя бы один из трех проверяемых
приборов бракованный, В — все приборы доброкачественные.
Что означают события: а) А Ц-В; б) АВ?
1.5.	События А, В и С означают, что взято хотя бы
по одной книге из трех различных собраний сочинений,
каждое из которых содержит по крайней мере три тома.
События As и Bk означают соответственно, что из первого
собрания сочинений взяты $, а из второго k томов. Что
означают события: а) А-\-В-\~С; б) АВС; в) Ai-f-Bgj
г) А2В2; д) (А1Вз4-В1А3)С?
1.6.	Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число.
Событие А — выбранное число делится на 5; событие В —
данное число оканчивается нулем. Что означают события
А —В и АВ?
1.7.	Событие А — хотя бы одно из имеющихся четырех
изделий бракованное, событие В — бракованных изделий
среди них не менее двух. Что означают противоположные
события А и В?
12
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
1.8.	Упростить выражение Л = (B-J-C)(B-|-C)(B-J-C).
1.9.	Когда возможны равенства: а) А-]-В = А', б) АВ = А*,
В) А-\-В = АВ?
1.10.	Найти случайное событие X из равенства

1.11.	Доказать, что АВ АВ -}- АВ = АВ.
1.12.	Доказать эквивалентность и справедливость сле-
дующих двух равенств:
п	п
S ^=ГТ
Л = 1
п п
S ^=п
k=\ k=\
1.13.	Совместны ли события А и А-{-В?
1.14.	Доказать, что события А, АВ и А-\-В образуют
полную группу.
.1.15. Два шахматиста играют одну партию. Событие А —
выиграет первый игрок, В — выиграет второй игрок. Какое
событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы
получилась полная группа событий?
1.16.	Машинно-котельная установка состоит из двух
котлов и одной машины. Событие А — исправна машина,
событие Bk (Л=1, 2) — исправен Л-й котел. Событие С
означает работоспособность машинно-котельной установки,
что будет в том случае, если исправны машина и хотя бы
один котел. Выразить события С и С через А и Bk.
1.17.	Судно имеет одно рулевое устройство, четыре
котла и две турбины. Событие А означает исправность ру-
левого устройства, Bk (k=lf 2, 3, 4) — исправность Л-го
котла, a Cj (/=1, 2)— исправность /-й турбины. Собы-
тие D — судно управляемое, что будет в том случае, когда
исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы
одна турбина. Выразить события D и D через Л, Bk и Су.
1.18.	Прибор состоит из двух блоков первого типа
и трех блоков второго типа. События: Ak (Л=1, 2) —
исправен Л-й блок первого типа, Bj (/=1, 2, 3) — испра-
вен /-й блок второго типа. Прибор исправен, если исправны
хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков
второго типа. Выразить событие С, означающее исправность
прибора, через Ak и Bj.
§2]
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
13
§ 2.	Непосредственный подсчет вероятностей
Основные формулы
Если результат опыта можно представить в виде полной
группы событий, которые попарно несовместны и равновоз-
можны, то вероятность события равна отношению числа т
благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему
/71 т-г
числу п всех возможных исходов, т. е. р — -. Под равно-
возможными понимаются события, которые в силу тех или
других причин (например, симметрии) не имеют объективного
преимущества одно перед другим.
Решение типовых примеров
Пример 2.1. Куб, все грани которого окрашены,
распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Получен-
ные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность
того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две
окрашенные стороны.
Решение. Всего кубиков и =1000. Куб имеет 12 ре-
бер, на каждом из которых по 8 кубиков с двумя окрашен-
ными сторонами. Поэтому т= 12-8 = 96, ^ = - = 0,096.
Аналогично решаются задачи 2.1—2.7 и 2.23.
Пример 2.2. Определить вероятность того, что послед-
ние две цифры у куба наудачу взятого целого числа N
равны единице1).
Решение. Представим N в виде N=a-\-10&—|—.
где а, —произвольные числа, могущие принимать
любые значения от 0 до 9 включительно. Тогда N3 = a3-\-
-i- 30а2# Отсюда видно, что на две последние цифры
у N3 влияют только значения а и Ь. Поэтому число возмож-
ных значений п= 100. Так как последняя цифра у /V3 равна
единице, то имеется одно благоприятствующее значение
а~\. Кроме того, должна быть единицей последняя цифра
V3-l
} —jy-, т. е. должно оканчиваться на единицу произведе-
J)	Под «наудачу взятым числом» здесь понимается Л-значное
число (/г>1), у которого каждая цифра равновозможна от 0 до 9.
14
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
ние 3&. Это будет только при & = 7. Таким образом, благо-
приятствующее значение единственное (а = 1, Ь = 7), по-
этому /7 = 0,01.
Аналогично решаются задачи 2.8—2.11.
Пример 2.3. В партии из п изделий k бракованных.
Определить вероятность того, 4to среди выбранных наудачу
для проверки т изделий ровно I окажутся бракованными.
Решение. Число возможных способов взять т изделий
из п равно С^. Благоприятствующими являются случаи,
когда из общего числа k бракованных изделий взято I (это
можно сделать Clk способами), а остальные т — 1 изделий
небракованные, т. е. они взяты из общего числа п — k
(количество способов равно	Поэтому число благо-
приятствующих случаев равно	Искомая вероятность
Аналогично решаются задачи 2.12—2.20, 2.24 и 2.25.
Пример 2.4. Из полного набора костей домино наудачу
берутся пять костей. Найти вероятность р того, что среди
них будет хотя бы одна с шестеркой.
Решение. Найдем вероятность q противоположного
события. Тогда р=1—q. Вероятность того, что все взятые
пять костей не содержат шестерки (см. пример 2.3), равна
/^0z^5
q = —. Поэтому
Q>3
Г5
0 = 1----21 = 0,793.
c!s
Аналогично переходом к противоположному событию
решаются задачи 2.21, 2.22.
Задачи
2.1.	Лотерея выпущена на общую сумму п рублей. Цена
одного билета г рублей. Ценные выигрыши падают на т биле-
тов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.
. 2.2. Случайно выбранная кость домино оказалась не дуб-
лем. Найти вероятность того, что вторую также взятую
наудачу кость домино можно приставить к первой.
§ 2]	НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	15
2.3.	В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения
и возвращения одной карты колода перемешивается и снова
извлекается одна карта. Определить вероятность того, что
обе извлеченные карты одной масти.
2.4.	Буквенный замок содержит на общей оси пять дис-
ков, каждый из которых разделен на шесть секторов с раз-
личными нанесенными на них буквами. Замок открывается
только в том случае, если каждый диск занимает одно опре-
деленное положение относительно корпуса замка. Определить
вероятность открытия замка, если установлена произвольная
комбинация букв.
2.5.	Черный и белый короли находятся соответственно
на первой и третьей горизонталях шахматной доски. На
одно из незанятых полей первой или второй горизонтали
наудачу ставится ферзь. Определить вероятность того, что
образовавшаяся позиция матовая для черного короля, если
положения королей равновозможны jia любых полях указан-
ных горизонталей.
2.6.	В кошельке лежат три монеты достоинством по
20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна
монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой
в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая из-
влеченная монета имеет достоинство в 20 коп.
2.7.	Из партии деталей, среди которых п доброкачест-
венных и т бракованных, для контроля наудачу взято
s штук. При контроле оказалось, что первые k из s деталей
доброкачественны. Определить вероятность того, что сле-
дующая деталь будет доброкачественной.
2.8.	Определить вероятность того, что выбранное наудачу
целое число N при а) возведении в квадрат; б) возведении
в четвертую степень; в) умножении на произвольное целое
число даст число, оканчивающееся единицей.
2.9.	На десяти одинаковых карточках написаны различ-
ные числа от нуля до девяти. Определить вероятность того,
что наудачу образованное с помощью данных карточек
а) двузначное число делится на 18; б) трехзначное число
делится на 36.
2.10*	. Определить вероятность того, что номер первой
встретившейся автомашины: а) не содержит одинаковых цифр;
б) имеет две одинаковые цифры; в) имеет три одинаковые
Цифры; г) содержит две пары одинаковых цифр; д) состоит
16
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
(ГЛ. I
из одинаковых цифр. Известно, что все номера четырехзнач-
ные, начиная с 0001, не повторяющиеся и равновозмож-
ные.
2.11.	Десять книг на одной полке расставляются наудачу.
Определить вероятность того, что при этом три определен-
ные книги окажутся поставленными рядом.
2.12.	На восьми одинаковых карточках написаны со-
ответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. На-
угад берутся две карточки. Определить вероятность того,
что образованная из двух полученных чисел дробь сокра-
тима.
2.13.	Имеется пять отрезков, длины которых равны соот-
ветственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность
того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков из дан-
ных пяти можно построить треугольник.
2.14.	Из десяти билетов выигрышными являются два.
Определить вероятность того, что среди взятых наудачу
пяти билетов: а) один выигрышный; - б) оба выигрышных;
в) хотя бы один выигрышный.
2.15.	Обобщение задачи 2.14. Имеются п-\-т билетов,
из которых п выигрышных. Одновременно приобретаются
k билетов. Определить вероятность того, что среди них s
выигрышных.
2.16.	В генуэзской лотерее разыгрываются девяносто номе-
ров, из которых выигрывают пять. По условию можно
ставить ту или иную сумму на любой из девяноста номеров
или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти
номеров, причем для получения выигрыша должны выиграть
все выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каж-
дом из указанных пяти случаев?
2.17.	Для уменьшения общего количества игр 2л команд
спортсменов по жребию разбиваются на две подгруппы.
Определить вероятность того, что две наиболее сильные
команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной под-
группе.
2.18.	В зале, насчитывающем n-\-k мест, случайным об-
разом занимают места п человек. Определить вероятность
того, что будут заняты определенные т п мест.
2.19.	Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются
три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка,
семерка и туз.
§ 2J	НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	П*
2.20.	Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три
карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих
карт равна 21, если валет составляет два очка, дама — три,
король — четыре, туз — одиннадцать, а остальные карты —
соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять
очков.
2.21.	Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю,
три билета по три рубля' и два билета по пять рублей.
Наугад берутся три билета. Определить вероятность того,
что: а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стои-
мость; б) все три билета стоят семь рублей.
2.22.	Очередь в кассу, где производится продажа билетов
по 5 коп., состоит из 2п человек. Какова вероятность того,
что ни одному из покупателей не придется ждать Сдачи,
если перед продажей билета первому покупателю из очереди
у кассира было только 2/п цятаков, а получение платы за
каждый билет равновозможно как пятаком, так и гривенни-
ком?
2.23*	. По займу ежегодно разыгрываются шесть основных
тиражей и один дополнительный, происходящий после основ-
ного пятого. Из 100 000 серий в каждом основном тираже
выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном — 230
серий. Найти вероятность выигрыша на одну облигацию за
первые десять лет: а) в основном тираже; б) в дополнитель-
ном тираже; в) в каком-либо тираже.
2.24*	. Из имеющихся п изделий /-м признаком обладают
k
иj изделий (/=1, 2, ..., k), 2 tij = n. Определить вероят-
7= i
гость того, что из взятых наудачу т изделий указанными
признаками обладают соответственно ть т* ..., тк изделий,
k
причем У*, mj = m.
7=1
2.25*	. По т урнам случайным образом разложены п
одинаковых шаров. Определить вероятность того, что:
а)	в первой урне пх шаров, во второй — л2, ...
в /72-й—
б)	имеются урны, в которых соответственно пь п%, ..., пт
т
шаров, если числа пь п%, ..., пт различные, J] nk = n.
л = 1
18
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
§ 3.	Геометрические вероятности
Основные формулы
Геометрическое определение вероятности может быть
использовано в том случае, когда вероятность попадания
случайной точки в любую часть области пропорциональна
мере этой части области (длине, площади, объему и т. д.) и
не зависит от ее расположения и формы.
Если геометрическая мера всей области равна S, а гео-
метрическая мера части этой области, попадание в которую
благоприятствует данному событию, есть 5б, то вероятность
события равна р =	Области могут иметь любое число
измерений.
Решение типовых примеров
Пример 3.1. На горизонтальной плоскости вдоль пря-
мой АВ через интервал I расположены оси одинаковых вер-
тикальных цилиндров с ра-
диусом основания г. Под уг-
лом q к прямой бросается
шар радиуса R. Определить
вероятность столкновения
шара с цилиндром, если пере-
сечение линии движения цент-
ра шара с прямой АВ равно-
возможно в любой точке1).
Решение. Пусть х —
расстояние от центра шара до
через центр цилиндра парал-
ближайшей линии, проходящей
лельно направлению перемещения центра шара. Возможные
значения х определяются условиями (рис. 2)
О	Z sin q.
Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если
________________ 0 х R -j- г.
*) Используемое при формулировке ряда задач требование равно-
возможности попадания точки в любую часть области (линейной, дву-
мерной и т. д.) понимается в смысле применимости понятия геомет-
рической вероятности.
§31
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
19
Искомая вероятность равна отношению длин отрезков,
на которых находятся благоприятствующие и все возможные
значения х. Поэтому
2(/? + r)
Z sin q
1
Р =
при R г у sin q;
при R 4- г уsin q-
Аналогично решаются задачи 3.1—3.4 и 3.24.
Пример 3.2. На одной дорожке магнитофонной ленты
длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на
второй — записано аналогичное сообщение. Определить ве-
роятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет
промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих
сообщений равновозможны в любой точке от 0 до 180 м.
Решение. Пусть х и у — координаты начала записей,
причем х^у. Так как О^Сх^С 180; 0^j/^180 и х^у>
то областью возможных
значений х и у является
треугольник с катетами по
180 лл Площадь этого тре-
угольника S = — • 1802 лА
Найдем область значений
х и у, благоприятствую-
щих указанному событию.
Для того чтобы получи-
лась непрерывная запись,
необходимо выполнение
неравенствах —у <с20 м.
Чтобы интервал записи
был не менее 25 м, должно быть х—у^б м. Кроме того,
для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85 м
должно быть
45 м^у ^60 м, 65 м ^х^ 80 м.
Проведя границы указанных областей, получим, что бла-
гоприятствующие значения х и у заключены в треугольнике,
площадь которого 5б = -^-152л? (рис. 3). Искомая вероят-
ность равна отношению площади Ss, попадание в которую
20
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
благоприятствует данному событию, к площади области S
возможных значений х и у, т. е.
— (15 V — 1
Р \ 180 /	144 '
Аналогично решаются задачи 3.5—3.15.
Пример 3.3. В любые моменты промежутка времени Т
равновозможны поступления в приемник двух сигналов.
Приемник будет забит, если разность между моментами по-
ступления сигналов будет меньше т. Определить вероятность
того, что приемник будет забит.
Решение. Пусть х и у — моменты поступления сигна-
лов в приемник.
Областью возможных значений х, у является квадрат
площадью Т2 (рис. 4). Приемник будет забит, если I х—у | т.
Данная область лежит между прямыми х—у = т и х—у = — т.
Ее площадь = S—(Т—т)2, поэтому р—1 —	---.
Аналогично решаются задачи 3.16—3.19.
У
Пример 3.4. Какова вероятность того, что сумма двух
наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не
больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение
2
будет не больше
§ 3]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
21
Решение. Пусть х и у— взятые числа. Их возможные
значения	что на плоскости соответ-
ствует квадрату с площадью 5=1. Благоприятствующие
значения удовлетворяют условиям: х-\-у^1 и ху^-^.
Граница х-\-у= 1 делит квадрат пополам, причем область
хЛ-у^1 представляет собой нижний треугольник (рис. 5).
2
Вторая граница ху = -^- является гиперболой. Абсциссы
точек пересечения этих границ: Xi=l/3 и хз = 2/3. Вели-
чина благоприятствующей площади
2/3	2/3
о 1 । С л 1 । 2 С dx 1.21О
5б==	\	= y + -g J — = Т +9-ln2-
1/3	1/3
Искомая вероятность р=-~ = 0,487.
о
Аналогично решаются задачи 3.20—3.23.
Задачи
3.1.	В точке С, положение которой на телефонной линии
АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить
вероятность того, что точка С удалена от точки А на рас-
стояние, не меньшее Z.
3.2.	На плоскости проведены параллельные линии, рас-
стояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см.
Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту
плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной
линией.
3.3.	В круге радиуса 7? проводятся хорды параллельно
заданному направлению. Какова вероятность того, что длина
наугад взятой хорды не более 7?, если равновозможны лю-
бые положения точек пересечения хорды с диаметром, пер-
пендикулярным выбранному направлению?
3.4.	Перед вращающимся с постоянной скоростью диском
находится отрезок длиной 27г, расположенный в плоскости
диска таким образом, что прямая, соединяющая середину
отрезка с центром диска, перпендикулярна отрезку. По
касательной к окружности в произвольный момент времени
22
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
слетает частица. Определить вероятность попадания этой части-
цы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром
диска равно Z.
3.5.	Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических
прутьев радиуса г. Расстояния между осями прутьев равны
соответственно а и Ь. Определить вероятность попадания
шариком диаметра d в решетку при одном бросании без
прицеливания, если траектория полета шарика перпендику-
лярна плоскости решетки.
3.6.	Внутри эллипса с полуосями а =100 см и Ь— 10 см
симметрично расположен прямоугольник со сторонами 10
и 3 см, большая сторона которого параллельна а. Кроме
того, проведены не пересекающиеся с эллипсом, прямоуголь-
ником и между собой четыре окружности, диаметр каждой
из которых равен 4,3 см.
Определить вероятность того, что:
а) случайная точка, положение которой равновозможно
внутри эллипса, окажется внутри одного из кругов;
б) окружность радиуса 5 см, построенная вокруг этой точки
как около центра, пересечется хотя бы с одной стороной
прямоугольника.
3.7.	Начерчены пять концентрических окружностей, ра-
диусы которых равны соответственно kr (&=1, 2, 3, 4, 5).
Круг радиуса г и два кольца с внешними радиусами Зг и 5г
заштрихованы. В круге радиуса 5г наудачу выбрана точка.
Определить вероятность попадания этой точки: а) в круг
радиуса 2г; б) в заштрихованную область.
3.8.	Лодка перевозит груз с одного берега пролива на
другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность
того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если
с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают
его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судном
курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин. после пере-
сечения судном курса лодки? Любой момент и любое место
пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна
перпендикулярен курсу лодки.
’ 3.9. На отрезке длиной I наудачу выбраны две точки.Какова
вероятность, что расстояние между ними меньше kl, где 0<^Л<Ч ?
3.10.	На отрезке АВ длиной I наудачу поставлены две
точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет
ближе к точке М, чем к точке А
§ 31
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
23
3.11.	На отрезке длиной I наудачу ставятся две точки,
в результате чего этот отрезок оказывается разделенным
на три части. Определить вероятность того, что из трех
получившихся частей отрезка можно построить треугольник.
3.12.	На окружности радиуса наудачу поставлены три
точки А В, С. Какова вероятность, что треугольник АВС
остроугольный?
3.13.	Какова вероятность, что из трех взятых наудачу
отрезков длины не более Z можно построить треугольник?
3.14.	На отрезке АВ длиной I наудачу поставлены две
точки /И и N. Определить вероятность того, что длины
каждого из трех получившихся отрезков не превосходя^
заданной величины a Z^a^-5- ♦
\	J
3.15.	К автобусной остановке через каждые четыре ми-
нуты подходит автобус линии А и через каждые Тпесть ми-
нут— автобус линии В. Интервал времени между момен-
тами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего
автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до
четырех минут.
Определить вероятность того, что: а) первый подошедший
автобус окажется автобусом линии Д; б) автобус какой-либо
линии подойдет в течение двух минут.
3.16.	Два парохода должны подойти к одному и тому же
причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и
равновозможно в течение данных суток. Определить вероят-
ность того, что одному из пароходов придется ожидать
освобождения причала, если время стоянки первого парохода
один час, а второго — два часа.
3.17.	Два лиц& имеют одинаковую вероятность прийти
к указанному месту в любой момент промежутка времени Т.
Определить вероятность того, что время ожидания одним
другого будет не больше t.
3.18.	Два судна в тумане: одно идет вдоль пролива
шириной L, а другое курсирует без остановок поперек этого
пролива перпендикулярно курсу первого. Скорости движе-
ния судов соответственно равны Vi и v* Второе судно
подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоя-
нии d<^L. Определить вероятность того, что на первом
судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов
равновозможно в люэом месте пролива.
24
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ I
3.19,	Стержень длиной 7=200 мм наудачу ломается на
части. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть
стержня между точками излома будет не более 10 мм, если
точек излома а) две, б) три, причем излом стержня равно-
возможен в любом месте.
3.20.	На поверхности сферы радиуса 7? произвольно
выбираются две точки. Какова вероятность, что проходящая
через них дуга большого круга стягивает угол, меньший а
(а<л)?
3.21.	Спутник Земли движется по орбите, которая заклю-
чена между 60° северной и 60° южной широты. Считая
падение спутника в любую точку поверхности Земли между
указанными параллелями равновозможным, найти вероятность
того, что спутник упадет выше 30° северной широты.
3.22.	Плоскость разграфлена параллельными прямыми,
отстоящими друг от друга на расстоянии L. Найти вероят-
ность того, что наудачу брошенная игла длиной Z(Z<^L)
пересечет какую-нибудь прямую (задача Бюффона).
3.23.	Определить вероятность того, что корни а) квад-
ратного х2 -L- 2ах = 0, б) кубического х3 Зах -ф- 2Ь = 0
уравнений вещественны, если равновозможны значения коэф-
фициентов в прямоугольнике \а\^п, | b | т. Какова ве-
роятность, что при указанных условиях корни квадратного
уравнения будут положительными?
3.24.	На плоскости независимо друг от друга прямо-
линейно перемещаются точка А и центр В круга радиуса Я.
Скорости этих точек постоянны и равны соответственно и
и v. В фиксированный момент времени расстояние АВ —г
(r^>R), а угол между линией АВ и вектором v равен р.
Считая все направления движения точки А равновозмож-
ными, определить вероятность попадания точки А в круг.
§ 4.	Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей
Основныеформулы
Условной вероятностью Р (А | В) события А называется
вероятность появления этого события, вычисленная в пред-
положении, что имело место событие В. События А и В
независимы, если® Р (А | В) = Р (А). Вероятность произведения
§ 4]
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
25
двух событий определяется по формуле
р (АВ) = Р (А) Р (В | А) = Р (В) Р (А | В),
которая обобщается на произведение п событий:
р [ f[ AJ = Р (АО Р(А, | А,) Р (А31 А1А2)... Р (Ап
События Аь А2, ..., Ап независимы в совокупности, если
для любого л/z(t/z = 2, 3, п) и любых Лу(/=1, 2,	п),
1	k 1	^2 <\ • • • <\
/ т	\ т
Р П Ч- =Пр(Ч>
У=-1	7	J=1
Решение типовых примеров
Пример 4.1. Разрыв электрической цепи происходит
в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех
последовательно соединенных элементов. Определить вероят-
ность того, что не будет разрыва цепи, если элементы вы-
ходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и
0.6. Как изменится искомая вероятность, если первый эле-
мент не выходит из строя?
Решение. Искомая вероятность равна вероятности того,
что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие Ak
означает, что &-й элемент не выйдет из строя (Л = 1, 2, 3).
Тогда р = Р (AiA2A3). Так как события независимы, то
р = Р (А0 Р (Д2) Р (А3) = 0,7 • 0,6 • 0,4 = 0,168.
Если первый элемент не выходит из строя, то
р = Р (А2А3) = 0,24.
Аналогично решаются задачи 4.1—4.10.
Пример 4.2. Определить вероятность того, что выбран-
ное наудачу изделие является первосортным, если известно,
чго 4% всей продукции являются браком, а 75% небрако-
ванных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что вы-
бранное изделие небракованное, а событие В — выбранное
изделие первосортное.
Дано: Р (А) = 1 —0,04 = 0,96, Р (5 [А) = 0,75.
26
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
Искомая вероятность /? = Р(А£?) = 0,96-0,75 = 0,72.
Аналогично решаются задачи 4.11—4.19.
Пример 4.3. Партия из ста деталей подвергается вы-
борочному контролю. Условием непригодности всей партии
является наличие хотя бы одной бракованной детали среди
пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии
быть непринятой, если она содержит 5°/0 неисправных деталей?
Решение. Найдем вероятность q противоположного
события А, которое заключается в том, что партия деталей
будет принята. Данное событие является произведением пяти
событий А = А1А2А3А4А5, где Ал(^=1, 2, 3, 4, 5) озна-
чает, что /?-я проверенная деталь доброкачественная.
95
Вероятность события Ai P(Ai) = -y^-, так как всего де-
талей 100, а исправных 95. После осуществления события Ai
деталей останется 99, среди которых исправных 94, по-
этому Р(А2| А1) = -||-. Аналогично Р (А31 AiA2) = -||-,
а?	qi
Р(Д4| АДИз) = -д7- И Р(А3| А1А2А3А4)=-^-. По общей
формуле находим
_ 95 94 93 92
9	100 ' 99 ’ 98 ' 97 ’ 96 U’' ’
Искомая вероятность р=\—q = 0,23.
Аналогично решаются задачи 4.20—4.35.
Задачи
4.1.	Два стрелка, для которых вероятности попадания
в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят
по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного
попадания в мишень.
4.2.	Вероятность выхода из строя Л-го блока вычисли-
тельной машины за время Т равна pk (£=1, 2, ..., п).
Определить вероятность выхода из строя за указанный про-
межуток времени хотя бы одного из п блоков этой машины,
если работа всех блоков взаимно независима.
4.3.	Вероятность наступления события в каждом опыте
одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно
до наступления события. Определить вероятность того, что
придется производить четвертый опыт.
§ 4]	ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	27
4.4.	Вероятность того, что изготовленная на перволМ
станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изгото-
влении такой же детали на втором станке эта вероятность
равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на
втором три. Найти вероятность того, что все детали перво-
сортные.
4.5.	Разрыв электрической цепи может произойти вслед-
ствие выхода из строя элемента К или двух элементов К\
и Къ которые выходят из строя независимо друг от друга
соответственно с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,2. Определить
вероятность разрыва электрической цепи.
4.6.	Работа прибора прекратилась вследствие выхода из
строя одной лампы из общего числа N. Отыскание этой
лампы производится путем поочередной проверки каждой
лампы. Определить вероятность- того, что придется прове-
рять п ламп, если вероятности выхода из строя каждой лампы
одинаковы.
4.7.	Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных
чисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным,
что среди них хотя бы одно число четное?
4.8.	Вероятность того, что в результате четырех независи-
мых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, раьна
половине. Определить вероятность появления события при
одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.
4.9.	В круг радиуса R вписан равносторонний треуголь-
ник. Какова вероятность того, что четыре наугад поставлен-
ные в данном круге точки окажутся внутри треугольника?
4.10.	Определить вероятность того, что написанная на-
удачу простая дробь несократима (задача Чебышева)1).
4.11.	События А и В несовместны, Р (Д)	0 и Р (В)	0.
Зависимы ли данные события?
4.12.	Вероятность того, что в электрической цепи на-
пряжение превысит номинальное значение, равна рх. При
повышенном напряжении вероятность аварии прибора — по-
требителя электрического тока равна р%. Определить вероят-
ность аварии прибора вследствие повышения напряжения.
4.13.	На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются
12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых
Ч Считать, что числитель и знаменатель — наудачу выбранные
числа из ряда 1, 2, ..., k, и положить >оо.
28
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного
пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7.
Определить вероятность того, что на участке АС не будет
ни одной остановки.
4.14.	Три игрока играют на следующих условиях. Сна-
чала против первого последовательно ходят второй и третий
игроки. При этом первый игрок не выигрывает, а вероят-
ности выигрыша для второго и третьего игроков одинаковы
и равны 0,3. Если первый игрок не проигрывает, то он де-
лает по одному ходу против второго и третьего игроков и
выигрывает у каждого из них с вероятностью 0,4. После,
этого, игра заканчивается. Определить вероятность того, что
в результате такой игры первый игрок выиграет хотя бы
у одного партнера.
4.15.	Вероятность поражения первой мишени для дан-
ного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафик-
сировано попадание, то стрелок получает право на второй
выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих
мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероят-
ность поражения второй мишени.
4.16.	Детали могут быть изготовлены с применением двух
технологий: в первом случае деталь проходит три технологиче-
ские операции, вероятности получения брака при каждой из ко-
торых равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Во втором слу-
чае имеются две операции, вероятности получения брака при
которых одинаковы и равны 0,3. Определить, какая техно-
логия обеспечивает большую вероятность получения перво-
сортной продукции, если в первом случае для доброкаче-
ственной детали вероятность получения продукции первого
сорта равна 0,9, а во втором 0,8.
4.17.	Вероятности того, что любая деталь окажется бра-
кованной в результате механической и термической обра-
ботки, равны соответственно pi и р%. Вероятности того,
что брак является неустранимым, соответственно равны
Рз и р&.
Определить: а) какое количество деталей необходимо
взять после механической обработки, чтобы с вероятностью 0,9
можно было утверждать, что хотя бы одна из них будет
сдана доброкачественной в термическую обработку с учетом
возможности устранения брака; б) вероятность того, что
хотя бы одна из трех деталей будет иметь неустранимый
§ 4]
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
29
брак после прохождения сначала механической, а затем тер-
мической обработки.
4.18.	Показать, что если условная вероятность Р (А | В)
больше безусловной вероятности Р (А), то и условная ве-
роятность Р (В | А) больше безусловной вероятности Р (В),
4.19.	Мишень состоит из двух концентрических кругов
с радиусами kr и пг> где k<^n. Считая равновозможным
попадание в любую часть круга радиуса пг, определить ве-
роятность того, что при двух выстрелах будет одно попа-
дание в круг радиуса kr.
4.20.	С помощью шести карточек, на которых написано
по одной букве, составлено слово «карета». Карточки пере-
мешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова
вероятность, что в порядке поступления букв образуется
слово «ракета»?
4.21.	Абонент забыл последнюю цифру номера телефона
и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность
того, что ему придется звонить не более, чём в три места.
Как изменится вероятность, если известно, что последняя
цифра нечетная?
4.22.	В лотерее п билетов, из которых т выигрышных.
Какова вероятность выиграть, имея k билетов?
4.23.	В лотерее из сорока тысяч. билетов ценные выиг-
рыши падают на три билета. Определить: а) вероятность по-
лучения хотя бы одного ценного выигрыша на тысячу би-
летов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы
вероятность получения ценного выигрыша была не менее 0,5.
4.24*	. В урне п пронумерованных от 1 до п одинаковых
шаров. Производится т извлечений шаров по одному с воз-
вращением. Определить вероятность того, что ни разу не
будет извлечен шар с одним и тем же номером.
4.25.	Имеются четыре бракованных изделия: на одном
повреждена окраска, на другом имеется вмятина, на третьем —
зазубрины, а на четвертом — одновременно все три указанных
дефекта. Пусть А, В, С—события, заключающиеся в том,
что у первого наудачу взятого изделия повреждена окраска (А),
имеется вмятина (В) или имеются зазубрины (С). Являются
Ли данные события независимыми попарно и в совокупности?
4.26.	Пусть Аь А2, ..., Ап— совокупность попарно не-
зависимых событий. Всегда ли условная вероятность появле-
ния любого события, вычисленная в предположении, что
30
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. 1
какие-либо другие события из этой совокупности произошли
равна безусловной вероятности этого события?
4.27.	Квадрат горизонтальными линиями разделен нг
п одинаковых полос. В каждую из них бросается точка, по-
ложение которой равновозможно в любом месте полосы
Затем аналогично предыдущему проводят п—1 вертикальные
линий. Определить вероятность того, что в каждой верти-
кальной полосе будет только по одной точке.
4.28.	В обществе из 2п человек одинаковое число мужчиь
и женщин. Места за столом занимаются наудачу. Определить
вероятность того, что два ’лица одного пола не займут месте
рядом.
4.29.	Общество, состоящее из пяти мужчин и десяти
женщин, наудачу разбивается на пять групп по три человека
Найти вероятность того, что в каждой группе будет пс
одному мужчине.
4.30.	В урне имеются п -\-т одинаковых шаров, из ко-
торых п белого, а т черного цвета, причем т^п. Произ-
водятся подряд без возвращения п извлечений по два шара
Определить вероятность того, что каждый раз извлекаются
пары шаров разного цвета.
4.31.	В урне имеются п шаров с номерами от 1 до п
Шары извлекаются наудачу по одному без возвращения
Какова вероятность, что при k первых извлечениях номера
шаров совпадут с номерами извлечений?
4.32.	В урне имеются два шара — белый и черный. Про-
изводятся [извлечения по одному шару до тех пор, пока не
появится черный, причем при извлечении белого шара в урн^
возвращается этот шар и добавляется еще два белых шара,
Определить вероятность того, что при первых пятидесяти
опытах черный шар не будет извлечен.
4.33.	В очереди за билетами [стоимостью в 5 руб. стоя!
п-\~т человек, из которых п лиц имеют деньги пятирубле-
вого достоинства, а т	1) — десятирублевого. Каждый
покупает только один билет. В кассе до продажи билетоь
денег нет. Какова вероятность, что никому из очереди не
придется ожидать сдачи?
4.34.	Условия и вопрос задачи такие же, как и в 4.33.
но ' билет стоит один рубль, а покупатели имеют деньги
рублевого (п человек) и трехрублевого достоинства (//г чело-
век), причем 2т^п-[-1.
л	ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	31
4.35.	Баллотируются два кандидата, причем за первого
в урну опущено п бюллетеней, а за второго т бюллетеней
(я^>/п). Какова вероятность того, что в ходе подсчета бюл-
летеней число подсчитанных голосов, поданных за первого,
все время будет больше числа голосов, поданных за второго?
§ 5.	Теорема сложения вероятностей
Основные формулы
Вероятность суммы двух событий определяется по
формуле
Р (А В) = Р (А) 4- Р (В) — Р (А£),
которая обобщается на сумму любого числа событий
/ п	\	п	п—\п
Р(^)- S 5 р(»Л)+
4 = 1 /	*=1	Й=1 /=^4-1
л-2 п— 1 п '	I п \
+2 S S Р(дмА)—••+(-irlP Пл .
/?=1	< = 74-1	\/? = 1 /
Для несовместных событий вероятность суммы событий
равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
(п	\ п
S Ak )= S РИД
ft=l /	k=\
Решение типовых примеров
Пример 5.1. Определить вероятность того, что партия
из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет
принята при испытании наудачу выбранной половины всей
партии, если условиями приема допускается бракованных
изделий не более одного из пятидесяти.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее
в том, что при испытании не получено ни одного бракован-
ного изделия, а через В — событие, состоящее в том, что
получено только одно бракованное изделие. Искомая вероят-
ность р — Р (A-J- В). События А и В несовместны. Поэтому
Р = Р (А) + Р (5).
32
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
Из 100 изделий 50 можно выбрать С|оо способами. Ид
95 небракованных изделий 50 можно выбрать способами.
Поэтому Р(А) = -^-. Аналогично Р (£?) =	. Тогда
C»ioo	^100
 QQg=47>37
QSo"*	99.97
Аналогично решаются задачи 5.1—5.12 и 5.39*.
Пример 5.2. Электрическая цепь между точками М
и N составлена по схеме, приведенной на рис. 6. Выход из
строя за время Т различных элементов цепи — независи-
мые события, имеющие следующие вероятности (табл. 1).
Таблица 1
Элемент		А	Л,	Л2	Л з
Вероятность	0,6	0,5	0,4.	0,7	0,9
Определить вероятность разрыва цепи за указанный про-
межуток времени.
Решение. Обозначим через Ау(/=1, 2) событие, со-
стоящее в выходе из строя элемента Кр через А — выход
из строя хотя бы одного элемента Кр а через В — выход
из строя всех трех элементов Л/(/=Ъ 2, 3). Тогда иско-
мая вероятность
^ = Р(А + 5) = Р(А)-ЬР(В) —Р(А)Р(В).
Так как
Р (Д) = Р (Al) + Р (Д2) - р (А) Р (Д-з) = 0,8,
Р (В) = Р (Д) Р (Л2) Р (Л3) = 0,252,
то р 0,85.
Аналогично решаются задачи 5.13—5.16.
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
33
Пример 5.3. Появление события А равновозможно
в любой момент промежутка времени Г. Вероятность того,
что событие А за этот промежуток времени произойдет,
равна р. Известно, что за время t<^T данное событие не
произошло. Определить вероятность Р того, что событие А
произойдет в оставшийся промежуток времени.
Решение. Вероятность р появления события за время Т
t	X
равна вероятности у р появления данного события за время t
плюс произведение вероятности (1-----^~р\ того, что собы-
тие не произойдет за время t, на условную вероятность Р
появления события за оставшееся время, если раньше оно
не произошло. Таким образом, имеет место равенство
+ — 'Тр)р-
Отсюда находим
Пример 5.4. В урне имеются п белых, m черных
и I красных шаров, которые извлекаются наудачу по одному:
а) без возвращения; б) с возвращением после каждого извле-
чения. Определить в обоих случаях вероятности того, что
белый шар будет извлечен раньше черного.
Решение. Пусть Р\ — вероятность того, что белый шар
будет извлечен раньше черного, а Р\\ — вероятность того,
что черный шар будет извлечен раньше белого.
Вероятность Р\ является суммой вероятностей извлечения
белого шара сразу, после извлечения одного красного, двух
красных и т. д. Таким образом, можно записать в случае,
когда шары не возвращаются,
р{=______ч_____I_____L__________ч________l
11 + 7Л + Z 1 И + 77Z —Р~ I П-\-тА-1 — 1
I____I______I — 1____________п________I
п —р tn —р Z п —р т -р Z — 1 п —р т -р Z — 2	” f
а при возвращении шаров
р___ п_________[_____In______।____Z2n______.	__ п
п + т ~р Z (л-р m + Z)2 Т w z)3 Т* • • п _р т •
2 Б. Г. Володин и др.
34
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. Т
Для получения вероятностей в предыдущих формулах
нужно произвести замену п на т, а т на п. Отсюда сле-
дует, что в обоих случаях Р\:Р\\ = п: т. Так как, кроме
того, Р\ -1- Рп = 1, то искомая вероятность при извлечении
шаров без возвращения также равна Р\ =	,
Аналогично решаются задачи 5.23—5.27.
Пример 5.5. Некто написал п писем, запечатал их
в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал раз-
личные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы
на одном из конвертов написан правильный адрес.
Решение. Пусть событие Ak состоит в том, что на
Л-м конверте написан правильный адрес (А=1, 2,..., п),
(п \
2 Ak\- События Ak совместны;
при любых различных Л, у, z,... имеют место равенства:
Р(яА)=-=(-^=Д',
4 7 п п\ 9
Р (AkAj) = Р (А*) Р (Aj | Ak) =	,
(п \
Й> =я-
z?=l /
Используя формулу для вероятности суммы п событий,
получаем
„ (П----- 1)1	Л»2	2)! | /^3	3)1	।	1\П-1 1
Р — Сп~ж	СяТ__т'Сл—7Й	1) й
ИЛИ
^'-й+я—rH-ix-L
При больших п р 1 — ё~\
Аналогично решаются задачи 5.32—5.38 и 5.40*.
Задачи
Б.1. Каждое из четырех несовместных событий может
произойти соответственно с‘ вероятностями 0,012, 0,010,
0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в резуль-
тате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.
$ 5j	ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	35
5.2.	Стрелок производит один выстрел в мишень, состоя-
щую из центрального круга и двух концентрических колец.
Вероятности попадания в круг и кольца соответственно
равны 0,20, 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопада-
ния в мишень.,
5.3.	В квадрат, разделенный на п* одинаковых квадратов,
брошен шарик. Вероятность попадания шарика в малый квад-
рат Z-й горизонтальной и /-й вертикальной полос равна р^
(п	\
Определить вероятность попадания шарика
I, J= 1	'
в'/г-ую горизонтальную полосу.
5.4.	Две одинаковые монеты радиуса г расположены
внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается
точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет
на одну из монет, если монеты не перекрываются.
5.5.	Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты
фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой на-
зывается валет, дама или король)?
5.6.	В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет
по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть
монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не
более одного рубля?
5.7.	Известны вероятности событий А, В и АВ. Найти ве-
роятность события АВ и условную вероятность Р (В | А).
5.8.	Доказать, что из условия
Р(В|А) = Р(В|А)
следует независимость событий А и В.
5.9.	Событие В включает в себя событие А. Доказать,
что Р (А) Р (В).
5.10.	В двух урнах находятся шары, отличающиеся только
цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных
и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих
урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероят-
ность, что оба шара одного цвета?
5.11.	На плоскости проведены две параллельные полосы,
ширина которых 10 мм, а расстояние между ними 155 мм.
Вдоль прямой, перпендикулярной этим полосам, на расстоя-
ниях 120 мм друг от друга расположены центры окружно-
стей радиуса 10 мм. Определить вероятность того, что
2*
36
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. Т
хотя бы одна окружность пересечет любую из полос, если
центры окружностей располагаются на прямой независимо
от положения полос.
5.12.	Вдоль дороги на одинаковом расстоянии друг
ог друга посеяны в одну линию семена п растений. При
пересечении дороги пешеходом в неустановленном месте может
быть повреждена посадка одного растения с вероятностью р
<С • Определить вероятность того, что /n-й пешеход,
пересекающий дорогу в неустановленном месте, повредит
посадку, если пешеходы пересекают дорогу последовательно
и независимо друг от друга.
5.13.	Определить вероятность того, что наудачу выбран-
ное целое положительное число не делится: а) ни на два,
ни на три; б) на два или на три.
5.14.	Вероятность получения билета, у которого равны
суммы трех первых и трех последних цифр шестизначного
номера, равна 0,05525. Какова вероятность иметь такой билет
среди двух взятых наудачу, если оба билета: а) имеют последова-
тельные номера; б) получены независимо один от другого?
5.15.	Доказать, что при Р(А) = а и Р(В) = Ь ф 0 будет
5.16.	Известно, что Р(Х< Ю)=0,9, Р(| Y\^ 1) = 0,95.
Доказать, что при любой зависимости между X и Y для
Z=X-\-Y имеют место следующие неравенства:
P(Z< 11)^0,85,	P(Z^9)^0,95.
5.17.	Игра между А и В ведется на следующих условиях:
в результате первого хода, который всегда делает Л, он
может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом А
не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероят-
ностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает,
то А делает второй ход, который может привести к его
выигрышу с вероятностью 0,4. Определить вероятности
выигрыша для А и для В,
5.18.	Вероятность для данного спортсмена улучшить свой
предыдущий результат с одной попытки равна р. Опреде-
лить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улуч-
шит свой результат, если разрешается делать две попытки.
§ 5]
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
37
5.19*	Игрок А поочередно играет с игроками В и С по
две партии. Вероятности выигрыша первой партии для В
j. С равны 0,1 и 0,2 соответственно; вероятность выиграть
i’O второй партии для В равна 0,3, для С равна 0,4.
Определить вероятность того, что: а) первым выиграет В;
б) первым выиграет С.
5.20.	Из урны, содержащей п шаров с номерами от 1
до п, последовательно извлекаются два шара, причем первый
шар возвращается, если его номер не равен единице. Опре-
делить вероятность того, что шар с номером 2 будет извле-
чен при втором извлечении.
5.21.	Игрок А поочередно играет с игроками В и С,
имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекра-
щает игру после первого проигрыша или после двух партий,
сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности
выигрыша В и С.
5.22.	Вероятность выхода из строя прибора после того,
как он применялся k раз, равна Q(k). Найти вероятность
выхода из строя прибора при его последующих п примене-
ниях, если при предшествующих т применениях прибор из
сгроя не вышел.
5.23.	Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот,
у которого раньше появится герб. Определить вероятности
выигрыша для каждого из игроков.
5.24.	Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот,
у которого раньше появится герб. Определить вероятности
выигрыша для. каждого из игроков.
5.25.	Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре
двух равносильных волейбольных команд равна половине.
Определить вероятность получения одного очка для подаю-
щей команды.
5.26.	В урне имеются п белых и т черных шаров. Два
игрока последовательно достают по одному шару, возвращая
каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор,
пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить
вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок,
начинающий игру.
5.27.	Два стрелка поочередно стреляют по мишени до пер-
вого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка
равна 0,2, а для второго равна 0,3. Найти вероятность того,
что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.
38
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
5.28.	Доказать справедливость равенства
р(Й аЗ=1-р(£ Аь
4=1	/	4=1
5.29.	Упростить общую формулу для вероятности суммы
событий применительно к случаю, когда совпадают вероят-
ности произведений при равных количествах событий.
5.30.	Доказать, что
/ п	\	п	п—I п
р	S Р(ЛЙ+ЛУ.)+
4 = 1 / А?=1	Л=1 / = ^ + 1
п—2	п—\ п
4“ 2 S S Р(Аь4~А/4"А)— • ••
А=1 /=л+ 1 i=/4-l
..• + (- 1)-р(£ Ак
5.31.	Доказать, что для любых событий ЛА(^ = 0, 1, ..., п)
справедливо равенство
р(а>П а,)=р(Ло)- 2 Р(Л+Л)4-
\	4 = 1	/	4=1
п— 1 п ___________.______	Г~п. \
+ 25 Р(Л + Л + А,-)-... + (-1ГР £ AJ.
k= 1 /=/г-|- 1	4 = 0 /
5.32.	В урне имеется п одинаковых шаров с номерами
от 1 до п. Шары извлекаются по одному без возвращения.
Определить вероятность того, что хотя бы при одном извле-
чении номер шара совпадет с номером опыта.
5.33.	В помещении, насчитывающем п пронумерованных
мест, п лицам выдали п номерных билетов. Какова вероят-
ность, что ровно т лиц окажутся сидящими на местах, соот-
ветствующих номерам билетов, если все места занимаются
наудачу?
5.34.	В электропоезд, состоящий из п вагонов, входят
k(k^n) пассажиров, которые выбирают вагоны наудачу.
Определить вероятность того, что в каждый вагон войдет
хотя бы один пассажир.
5.35.	Двое играют до победы, причем для этого необхо-
димо первому выиграть т партий, а второму п партий.
§ б]	ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ	39
Вероятность выигрыша каждой партии первым игроком
равна р> а вторым <7=1—р. Определить вероятность вы-
игрыша всей игры первым игроком.
5.36.	Два игрока условились, что выигрыш получит тот,
кто выиграет определенное число партий. Игра была пре-
рвана, когда первому игроку осталось до выигрыша иг, а вто-
рому п партий. Как разделить ставку, если вероятность
выигрыша партии для каждого из игроков равна половине?
(Задача де Мере.)
5.37.	Задача о четырех лгунах. Из четырех человек а,
б, в, г один (а) получил информацию, которую в виде сиг-
нала «да» или «нет» сообщает второму второй — треть-
ему (в), третий — четвертому (г), а последний объявляет
результат полученной информации таким же образом, как и
все другие. Известно, что каждый из них говорит правду
только в одном случае из трех. Какова вероятность, что пер-
вый из этих лгунов сказал правду, если четвертый сказал
правду?
5.38.	На горизонтальной плоскости проведены параллель-
ные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии L. На
плоскость наудачу брошен выпуклый контур, периметр кото-
рого равен $. Найти вероятность того, что контур пересечет
одну из параллельных прямых, если диаметр наименьшего
круга, описанного около выпуклого контура, меньше L.
5.39*	. В партии из п изделий т бракованных. Для про-
верки наудачу выбирается s изделий. Партия бракуется, если
среди них бракованных изделий более k. Определить вероят-
ность того, что партия будет забракована.
5.40*	. При подрыве на любой мине затопляется с вероят-
ностью р	только один из п отсеков корабля. Корабль
гибнет, если будут затоплены все п отсеков. Определить
вероятность Р гибели корабля при т подрывах (/я^и).
§ 6.	Формула полной вероятности
Основные формулы
Вероятность Р (Д) появления события А, которое может
произойти только совместно с одним из событий ..., Нп,
образующих полную группу несовместных событий (гипотез),
40
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
определяется формулой полной вероятности
п
Р(А)= 2 Р(^)РИ|^)>
Л=1
где
п
2 Р(Я»)=1.
Л = 1
Решение типовых примеров
Пример 6.1. Среди п лиц разыгрываются т^п вы-
игрышей путем случайного извлечения из ящика п билетов.
Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих?
Когда выгоднее тащить билет?
Решение. Обозначим через Ak событие, состоящее
в извлечении выигрышного билета после k извлечений биле-
тов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно
сделать k 4-1 гипотез. Пусть гипотеза HkS означает, что
из k извлеченных билетов выигрышных было $. Вероятности
этих гипотез
(>k— s
.	(S = 0, 1, .	Л),
причем
Р (Нks) = 0, если s т.
Так как осталось п — k билетов, из которых т— s вы-
игрышных, то при m^s
P(W=S
По формуле полной вероятности находим
k	— S
^т^п-т m — S
Ck 11 —k’
р(Л)=2
5 = 0
где С^ = 0 при s^>m.
Данное равенство можно
записать также в виде
k pS pk — S
P^=n2 cfe . '•
5=0	1
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
41
§ 61
Имеем
b	k
к	и .	1	d$nm~1 (ik-Sun-m
V r rk^.s n-k-i— _L у Cs u a u ______________
“/г!	dus duk~s ~
"o	* = °
l dk t m-\ n-mx I dkun 1	n-k-\
= ТГ ti (Um lUn m) — Г7- -nr- =	1W >
k\ du*4	7 k\ duk n—i
t. e. справедливо равенство
k
2CS .Ck~s —Ck
m—1 n — m	л—Г
s=0
Искомая вероятность P(Ak) = ™ при любом k. Таким обра-
зом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извле-
чения не имеет значения.
Аналогично решаются задачи 6.1—6.17.
Пример 6.2. Отмеченный шар с вероятностями р и 1 — р
может находиться в первой или во второй урне. Вероятность
извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар
находится, равна Р (Р ф 1). Как следует распорядиться пра-
вом п раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероят-
ность извлечения отмеченного шара хотя бы один раз была
наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну?
Решение. Пусть событие А — извлечение отмеченного
шара. Гипотезы: Нх— шар находится в первой урне, Н2— во
второй. По условию Р(Н1)=р1 Р(//2)=1—р. Допустим,
что из первой урны извлечено т, а из второй п — т шаров.
Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут
Р(Д|/У1)=1—(1 —Р(А|/72)=1 — (1— Р)п~т.
По формуле полной вероятности искомая вероятность
р (А)=Р [ 1 - (1 — ру ]+(1 - р) [ 1 - (1 - P)"-q.
Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероят-
ность Р(Д). Дифференцируя Р (А) по т (для нахождения
приближенного значения т считаем т непрерывным), получаем
dm
= — р(1 — P)mln(l — P) + (l —p)(i — P)"'mln(l —Р).
42
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
Полагая ^^=0, приходим к равенству (1—Р)*т п ==
—Поэтому должно быть
1п^
7Z I	р
т~ 2 + 21n(l -Р) •
Данная формула используется при решении задач 6.18, 6.19.
Задачи
6.1.	Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, при-
чем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие,
взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую,
после чего выбирается наудачу изделие из второй партии.
Определить вероятность извлечения бракованного изделия из
второй партии.
6.2.	Из полного набора костей домино .наугад берутся
две кости. Определить вероятность того, что вторую кость
можно приставить к первой.
6.3.	В двух урнах находится соответственно и
белых и «1 и черных шаров. Из каждой урны наудачу
извлекается один шар, а затем из этих двух шаров наудачу
берется один. Какова вероятность, что этот шар белый?
6.4.	Имеется п урн, в каждой из которых по т белых
и по k черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается
один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй
урны наудачу извлекается один шар и перекладывается
в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения
после такого перекладывания белого шара из последней урны.
6.5.	В тире имеются пять ружей, вероятности попадания
из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.
Определить вероятность попадания при одном выстреле, если
стреляющий берет одно из ружей наудачу.
6.6.	Для контроля продукции из трех партий деталей
взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность
обнаружения бракованной продукции, если в одной партии
2/3 деталей бракованные, а в двух других — все доброкаче-
ственные?
6.7.	Радиолампа может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностями рь р* и р& где pL =рз = 0,25,
§ б]
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
43
^2=0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное
число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2
и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает
заданное число часов.
6.8*	. Случайная точка может находиться только в вер-
шинах ромба Bj (/= 1, 2, 3, 4), переходя за один шаг из
Bk в Bk,A с вероятностью pk (£=1, 2, 3), из Bj в В}^
с вероятностью #у-=1—pj (/= 1, 2), а из В3 в В.2 с веро-
ятностью <7з=1—Рз- Определить вероятность перехода слу-
чайной точки из вершины Bi в В^: а) не более, чем за s ша-
гов ($ = 3, 4); б) когда-либо.
6.9.	Характеристика материала, взятого для изготовления
продукции, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16
и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В за-
висимости от свойств материала вероятности получения перво-
сортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4;
0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной
продукций.
6.10.	Пластина из изолятора длиной 100 мм прикрывает
две проводящие полосы, идущие перпендикулярно ее длине
и имеющие от края пластины границы на расстояниях 20
и 40 мм и соответственно 65 и 90 мм. С центром в точке,
положение которой равновозможно в любом месте пластины,
просверлено отверстие диаметром 10 мм. Определить вероят-
ность получения электрического контакта с любой из полос,
если проводящий контакт приложен сверху к произвольной
точке, расположенной на том же расстоянии от основания
пластины, что и центр отверстия.
6.11.	Вероятность поступления k вызовов на телефонную
станцию за промежуток времени t равна РД^). Считая числа
вызовов за любые два соседние промежутка времени незави-
симыми, определить вероятность P2/(s) поступления 5 вызо-
вов за промежуток времени длительностью
6.12.	Определить вероятность того, что 100 лампочек,
взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно,
что число испорченных лампочек на 1000 штук равновоз-
можно от 0 до 5.
6.13.	В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар.
Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар,
если все предположения о первоначальном числе белых ша-
ров равновозможны?
44
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ I
6.14.	В ящике находятся 15 теннисных мячей, из кото-
рых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча,
которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры
такжё наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что
все мячи, взятые для второй игры, новые.
6.15.	В правом кармане имеются три монеты по 20 коп.
и четыре монеты по 3 коп., а в левом — шесть по 20 коп.
и три по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу пере-
кладываются пять монет. Определить вероятность извлечения
из левого кармана после перекладывания монеты в 20 коп.,
если монета берется наудачу.
6.16.	Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по
два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может
ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность
того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно
ответить на два вопроса из одного билета или на один во-
прос из первого билета и на указанный дополнительный
вопрос из другого билета.
6.17.	В каких случаях имеет место равенство
Р(Д) = Р(А|В)4-Р(А|В)?
6.18.	В одной из двух урн, в каждой из которых 10 ша-
ров, один шар отмечен. Играющий имеет право последова-
тельно извлечь 20 шаров из любой урны, каждый раз воз-
вращая извлеченный шар обратно. Как следует вести игру,
чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наи-
большей, если вероятность того, что отмеченный шар нахо-
дится в первой урне, равна 2/3? Чему равна эта вероят-
ность?
6.19.	Для поисков пропавшего самолета выделено десять
вертолетов, каждый из которых может быть использован для
поисков в одном из двух возможных районов, где самолет
может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2. Как следует
распределить вертолеты по районам поисков, чтобы вероят-
ность обнаружения самолета была наибольшей, если каждый
вертолет обнаруживает находящийся в районе поиска само-
лет с вероятностью 0,2, а поиски осуществляются каждым
вертолетом независимо от других? Найти вероятность
обнаружения самолета при оптимальной процедуре по-
исков.

§7]
ФОРМУЛА БАЙЕСА
45
§ 7.	Вычисление вероятностей гипотез после испытания
(формула Байеса)
Основныеформулы
Вероятность Р (Hk | А) гипотезы Hk после того, как имело
место событие А* определяется формулой
Р№|Л) = Н^^).
где
РИ) = 2 Р(Яу)Р(А|Яу),
7=1
а гипотезы Hj (/=1, 2, п) составляют полную группу
несовместных событий.
Решение типовых примеров
Пример 7.1. Телеграфное сообщение состоит из сигна-
лов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы,
что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сооб-
щений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов
«точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.
Определить вероятность того, что принят передаваемый
сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».
Решение. Пусть событие А — принят сигнал «точка»,
а событие В — принят сигнал «тире».
Можно сделать две гипотезы: Hi — передан сигнал «точка»,
Н% — передан сигнал «тире». По условию Р (Hi): Р (Н2) =
= 5:3. Кроме того, Р (Hi) -j-P(/72) = 1. Поэтому Р(/71) = -|->
Р (Я2) = -f-. Известно, что
о
Р(А|/71) = |,	Р (А | Н$ = |,
9	9
P(5|/7,) = f, Р(Я|/Л) = 4.
Вероятности событий А и В находим по формуле полной
вероятности:
Р(Л)=14+44=Т’ Р(В)=44+44=4-
46
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
Искомые вероятности будут:
А А
р(и I лч — Р(//1)Р(А|Щ_ 8 * 5
а)	г (Hi I А) р
_1 А
P№)P(£|tf2) — 8 * ?
б)	Р (Я21 В) =---
3 .
4 *
1
2 ’
Аналогично решаются задачи 7.1—7.16 и 7.19*.
Пример 7.2. Имеется две партии деталей, причем из-
вестно,, что в одной партии все детали удовлетворяют тех-
ническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недобро-
качественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии,
оказалась доброкачественной. Определить вероятность того,
что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкаче-
ственной, если первая деталь после проверки возвращена
в партию.
Решение. Гипотезы: Hi — взята партия с недоброкаче-
ственными деталями, — взята партия доброкачественных
деталей. Событие А — первая деталь доброкачественная. По
условию задачи	Р (Я1) = Р (772) = у,	Р (А |=
Р(А| /72)=1. Поэтому по формуле полной вероятности ве-
1/3	\	7
роятность события А будет Р(А) = у( —	1\ = ~, После
первого испытания вероятность того, что партия содержит
недоброкачественные детали, равна
P(^i|A)
Р(Я1)Р(А|Я1)
Р(А)
_1 А
2 ’ 4
7/8
3
7 ’
Вероятность того,
качественные детали,
что партия содержит только добро-
Р(Я2|Д)=А.
Пусть событие В состоит в том, что при втором испы-
тании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность
данного события также находится по формуле полной веро-
ятности. Если Pi и р± — вероятности гипотез Hi и после
3
испытания, то согласно предыдущим вычислениям =
§71
ФОРМУЛА БАЙЕСА
47
р2===у. Кроме того, Р (£ |/71) = -|-, Р {В | /72) = 0. Поэтому
3	1	3
искомая вероятность Р (В) = у . — =	.
Аналогично решаются задачи 7.17 и 7.18.
Задачи
7.1.	Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти
находятся по два черных и по два белых шара, а в одной —
пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу,
извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен
из урны, содержащей пять белых шаров?
7.2.	Имеется ki урн, в каждой из которых пц белых и
П1 черных\ шаров, и Л2 урн, содержащих по т* белых и по
гъ черных шаров. Извлеченный из наудачу выбранной урны
один шар оказался белым. Какова вероятность, что данный
шар извлечен из первой группы урн?
7.3.	Известно, что 96% выпускаемой продукции удовле-
творяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает
пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и
нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероят-
ность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль,
удовлетворяет стандарту.
7.4.	Из партии в пять изделий наудачу взято одно изде-
лие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изде-
лий равновозможно любое. Какое предположение о количе-
стве бракованных изделий наиболее вероятно?
7.5.	Определить вероятность того, что среди 1000 лам-
почек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу
100 лампочек все оказались исправными. Предполагается,
что число неисправных лампочек из 1000 равновозможно
от 0 до 5.
7.6.	Игрок D играет с неизвестным противником на сле-
дующих условиях: ничейный исход исключен; первый ход
делает противник; в случае его проигрыша делает ход D,
выигрыш которого означает выигрыш игры, а при проигрыше
игра повторяется второй раз на тех же условиях. Из двух
равновозможных противников В имеет вероятность выиграть
первым ходом 0,4, а вторым — 0,3; С имеет вероятность
выиграть первым ходом 0,8, а вторым ходом 0,6. Для D
48	СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ	[ГЛ. I
вероятность выиграть первым ходом равна 0,3 и не зависит
от противника, а для второго хода равна 0,5 при игре с В
и 0,7 при игре с С. Игру выиграл D.
Какова вероятность: а) что противником был В\ б) что
противником был С?
7.7.	Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятно-
стью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью 0,6
и 2 — с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок про-
извел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп
вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
7.8.	Вероятности попадания при каждом выстреле для
трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одно-
временном выстреле всех трех стрелков имелось два попа-
дания. Определить вероятность того, что промахнулся третий
стрелок.
7.9.	Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю,
который был убит одной пулей. Определить вероятности
того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотни-
ком, если вероятности попадания для них равны соответст-
венно 0,2; 0,4; 0,6.
7.10.	Попадание случайной точки в любое место обла-
сти S равновозможно, а область S состоит из четырех ча-
стей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8% всей
области. При испытании имело место событие А, которое
происходит только при попадании случайной точки в одну
из этих частей с вероятностями соответственно 0,01, 0,05,
0,2 и 0,5. В какую из частей области S вероятнее всего
произошло попадание?
7.11.	В урне имеется п шаров, причем цвет каждого из
них с равной' вероятностью может быть белым или черным.
Извлекаются последовательно k шаров, причем каждый раз
после извлечения шар возвращается в урну. Какова -вероят-
ность того, что в урне содержатся только белые шары, если
черные шары не извлекались?
7.12.	Из двух близнецов первый — мальчик. Какова веро-
ятность, что другой тоже мальчик, если среди близнецов
вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек соот-
ветственно равны а и Ь, а для разнополых близнецов веро-
ятность родиться первым для обоих полов одинакова?
7.13.	Принимая, что вероятность рождения однополых
близнецов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рожде-
§71
ФОРМУЛА БАЙЕСА
49
ния близнецов разного пола в любой последовательности
одинаковыми, а вероятность рождения в двойне первым маль-
чика равной 0,51, определить вероятность рождения второго
мальчика, если первым родился мальчик.
7.14.	Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероят-
ности попадания первыми выстрелами для них равны соот-
ветственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при после-
дующих выстрелах для каждого увеличиваются на- 0,05.
Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый
стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание
в мишень?
7.15.	Произведено три независимых испытания, в каждом
из которых событие А происходит с вероятностью 0,2.
Вероятность появления другого события В зависит от числа
появлений события А: при однократном появлении события А
эта вероятность равна 0,1, при двукратном появлении равна
0,3, при трехкратном появлении равна 0,7; если событие А
не имело места ни разу, то событие В невозможно. Опреде-
лить наивероятнейшее число появлений события А, если собы-
тие В имело место.
7.16.	В техникуме п студентов, из которых nk (&=1,
2, 3) человек учатся Л-й год. Среди двух наудачу выбранных
студентов оказалось, что один из них учится больше второго.
Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?
7.17.	Третья часть одной из трех партий деталей является
второсортной, остальные детали во всех партиях первого
сорта. Деталь, взятая из одной партии, оказалась перво-
сортной. Определить вероятность того, что деталь была взята
из партии, имеющей второсортные детали. Найти ту же вероят-
ность при условии, что взятая из той же партии вторая деталь
оказалась первосортной, если первая деталь после про-
верки возвращена в партию.
7.18.	Получена партия из восьми изделий одного образца.
По данным проверки половины партии, три изделия оказа-
лись технически исправными, а одно бракованным. Какова
вероятность, что при проверке трех последующих изделий
одно из них окажется исправным, а два бракованными, если
любое количество бракованных изделий в данной партии
равновозможно?
7.19*	. Прибор содержит два блока, исправность каждого
из которых необходима для функционирования прибора.
50
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. I
Вероятности безотказной работы в течение промежутка вре-
мени Т для этих блоков соответственно равны рх и /?2. Прибор
испытывался время Т и вышел из строя. Определить веро-
ятности того, что отказал первый блок, второй блок, оба блока.
w
§ 8. Вычисление вероятностей появления события
при повторных независимых испытаниях
Основные формулы
Вероятность Рп- m появления события m раз при п неза-
висимых опытах, в каждом из которых вероятность появле-
ния события равна р, определяется формулой биномиального
распределения
р — Cmomon~m
где q= 1 —р.
Вероятность появления события не менее nt раз при
п опытах вычисляется по формуле
п	тп — \
Rn; m === У, Rп\ k ИЛИ Rn-t m = 1 — Рk*
k — m '	k = 0
Вероятность появления события хотя бы один раз при
п опытах будет
Яг; i=l — qn.
Количество п опытов, которые нужно произвести для
того, чтобы с вероятностью не меньше Р можно было утвер-
ждать, что данное событие произойдет по крайней мере один
раз, находится по формуле
где р—вероятность появления этого события в каждом
опыте.
Наивероятнейшее значение числа ш появлений собы-
тия равно целой части числа (л-)-1)А а ПРИ целом
(n-f-i)P наибольшее значение вероятности достигается при
двух числах = (n —J— 1)р—1 к [х2 = (п + 1) Р-
Если опыты независимы, но вероятности появления собы-
тия различны, то вероятность РП) m появления события ш раз
§ 8]
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
51
при п опытах равна коэффициенту при ит в разложении
производящей функции
О (и) = П (PkU + Як) = У, Рп-, тЧт>
k— 1	771=0
где qk = \—Pk, Pk — вероятность появления события в #-м
опыте.
Коэффициенты Рп; т могут быть определены дифферен-
цированием функции G(w):
_ 1 {d*G(u)\
п'т т\\ dum ju = Q ’
что дает, например,
Р/г; 0 = ^2...^
Решение типовых примеров
Пример 8.1. Что вероятнее выиграть у равносильного
противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии
из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из
четырех или не менее пяти партий из восьми?
Решение. Так как противники равносильные, то ве-
роятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы
и равны p=q—\[<2.
а)	Вероятность выиграть три партии из четырех
^4;3 =	~	.
Вероятность выиграть пять партий из восьми Рв;5 =
1	7 гр	1 х. 7
=	= 1ак как	т0 вероятнее выиграть
три партии из четырех.
б)	Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех
#4;3 = Pi-,3 + РЫ = у +	>
а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми
^8;5 = Р8;5 4~ ^8;6 + Р8;7 “h ^8;8 =
— ZjJLZrs ! -Л1— 93
“32 ‘ \2	1 J 28“256’
52
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
гр	93 ч. 5
1ак как 256Тб ’ т0 веРоятнее выиграть не менее пяти
партий из восьми.
Аналогично решаются задачи 8.1—8.31, 8.44*, 8.45*.
Пример 8.2. Имеется шесть потребителей электри-
ческого тока, для первого из которых при определенных
условиях вероятность
того, что произойдет ава-
рия, приводящая к отклю-
чению потребителя, равна
0,6, для второго — 0,2, а
для четырех остальных —
по 0,3. Определить ве-
роятность того, что гене-
ратор тока будет отключен полностью: а) если все потреби-
тели соединены последовательно; б) если потребители со-
единены так, как показано на схеме (рис. 7).
Решение, а) Вероятность неотключения всех шести
потребителей равна произведению вероятностей неотключе-
ния каждого потребителя, т. е.
^ = ^^0,077.
Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя
бы одного потребителя, т. е. р = 1—</^0,923.
б) В этом случае генератор будет отключен полностью,
если в каждой паре последовательно соединенных потреби-
телей отключен хотя бы один потребитель:
/, = (1-^)(1-9У^0,177.
Аналогично решаются задачи 8.32—8.35.
Пример 8.3. Большая партия изделий содержит один
процент брака. Каков должен быть объем случайной выбор-
ки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бра-
кованное изделие была не меньше 0,95?
Решение. Искомое число п находится по формуле
п	. В данном случае Р = 0,95, а я = 0,01.
In (1 — р)	J	г
о	___In 0,05
Поэтому
Аналогично решаются задачи 8.36—8.40.
§ 8]
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
53
Пример 8.4. Оптовая база снабжает 10 магазинов,
оТ каждого из которых может поступить заявка на очередной
деИь с вероятностью 0,4 независимо от заявок других мага-
зинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероят-
ность получения этого числа заявок.
Решение. В данном случае п = 10, р = 0,4, (n-|- 1)р =
== 4,4. Наивероятнейшее число заявок равно целой части
числа («-]- \)р, т. е. р. = 4.
Вероятность четырех заявок из десяти
P10;4 = Cj0 • 0,44 • 0,66 = 0,251.
Аналогично решаются задачи 8.41—8.43.
Задачи
8.1.	Определить вероятность того, что номер первой
встретившейся автомашины не содержит: а) цифры пять;
б) двух и более пятерок; в) ровно двух пятерок.
Известно, что все номера четырехзначные, неповторяю-
щиеся и равновозможные (считается возможным номер 0000).
8.2.	В семье десять детей. Считая вероятности рождения
мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность
того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков
не менее трех, но и не более восьми.
8.3.	Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны
200 двузначных случайных чисел (от 00 до 99). Определить
вероятность того, что среди них число 33 встретится:
а) три раза; б) четыре раза.
8.4.	В библиотеке имеются книги только по технике и
математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет
книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7
и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей
подряд возьмут книги или только по технике, или только
по математике, если каждый из них берет только одну книгу.
8.5.	Две электрические лампочки включены в цепь после-
довательно. Определить вероятность того, что при повышении
напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв
иепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, для
обеих лампочек одинакова и в этих условиях равна 0,4.
8.6.	Событие В наступает в том случае, если событие
А появится не менее трех раз. Определить вероятность
54
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
появления события В, если вероятность появления события А
при одном опыте равна 0,3 и произведено: а) пять незави-?
симых опытов; б) семь независимых опытов.
8.7.	Электрическая схема, содержащая два блока типа А,
один блок типа В и четыре блока типа С, составлена так,
как это показано на рис. 8. Определить вероятность раз-
рыва цепи, неустранимого с помощью клйча К, если элементы
к


Рис. 8.
типа А выходят из строя с вероятностью 0,3, элементы
типа В — с вероятностью 0,4, элементы типа С — с вероят-
ностью 0,2.
8.8.	Вероятность того, что агрегат необходимо поста-
вить на ремонт после т аварий, определяется формулой
/ 1 \ w
G(#z)=l— 11— —) , где со — среднее число аварий до
постановки агрегата на ремонт. Доказать, что вероятность
того, что после п производственных циклов потребуется
/ р \ п
ремонт, определяется по формуле Wn=l— 1 — — \ , где
р — вероятность того, что во время одного производствен-
ного цикла произойдет авария.
8.9.	Производится четыре независимых опыта, в каждом
из которых событие А происходит с вероятностью 0,3.
Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если собы-
тие А произошло не менее двух раз; не может наступить,
если событие А не имело места, и наступает с вероят-
ностью 0,6, если событие А имело место один раз. Опре-
делить вероятность появления события В.
8.10.	По мишени в тире произведено 200 независимых
выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116
попаданий. Определить, какое значение вероятности попа-
дания на один выстрел более вероятно: 1/2 или 2/3, если до
опыта обе гипотезы равновероятны и единственно воз-
можны.

ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
55
§ 8]
8.11.	Рассчитать зависимость вероятности хотя бы одного
появления события А при 10 независимых опытах от вероят-
ности р появления события А в каждом опыте для следую*
ших значений р: 0,01: 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.
8.12.	Вероятность хотя бы одного появления события
при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероят-
ность появления события А при одном опыте, если при
каждом опыте эта вероятность одинакова?
8.13.	Вероятность появления некоторого события в каждом
из восемнадцати независимых опытов равна 0,2. Определить
вероятность появления этого события по крайней мере
три раза.
8.14.	Вероятность выигрыша на каждый из лотерейных
билетов равна 0,02. Рассчитать вероятности хотя бы одного
выигрыша на п билетов для л=1, 10, 20, 30, 40, 50, 60,
70, 80, 90, 100, если считать, что билеты принадлежат раз-
ным сериям.
8.15.	Если известно, что на лотерейный билет выпал
выигрыш, то вероятности того, что выигрышем будет вело-
сипед или стиральная машина, равны соответственно 0,03
и 0,02. Найти вероятность выигрыша хотя бы одного из этих
предметов на 10 выигравших лотерейных билетов, выбран-
ных из разных серий.
8.16.	Игра состоит в набрасывании колец на колышек.
Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого по-
падания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо
останется неизрасходованным, если вероятность попадания
при каждом броске равна 0,1.
8.17.	Определить вероятность получения не менее 28
очков при трех выстрелах из спортивного пистолета по
мишени с максимальным числом очков, равным 10, если веро-
ятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при
одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15,
а менее восьми очков — 0,4.
8.18.	Два баскетболиста делают по три броска мячом
в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске
равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того,
что: а) у обоих будет равное количество попаданий; б) у пер-
вого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.
8.19.	Вероятность того, что лампа останется исправной
после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятное^
56
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
того, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной!
после 1000 часов работы?
8.20.	Трое рабочих на своих станках производят изделиям
только отличного и хорошего качества, причем первый и
второй из них производят изделия отличного качества с ве-
роятностью 0,9, а третий — с вероятностью 0,8. Один из этих
рабочих изготовил 8 изделий, среди которых 2 хороших.
Какова вероятность, что среди следующих 8 изделий,
изготовленных тем же рабочим, будут 2 хороших и 6 от-
личных?
8.21.	Для победы в волейбольном состязании команде
необходимо выиграть три партии из пяти; команды неравно-
сильны. Определить вероятность выигрыша в каждой партии
для первой команды, если для уравнивания шансов она должна
дать фору: а) в две партии; б) в одну партию.
8.22.	Матч между двумя шахматистами проводится на
следующих условиях: 1) учитываются только результативные
партии; 2) выигравшим считается тот, кто первым наберет
четыре очка при условии, что у противника при этом не
более двух очков; 3) если у обоих игроков по три очка,
то выигрывает тот, кто первым наберет пять очков.
Определить вероятности выигрыша матча для каждого из
игроков, если вероятности выигрыша каждой партии для
них относятся как три к двум.
8.23.	Для прикуривания гражданин пользовался двумя
коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку,
Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка
пуста. Какова вероятность, что во второй коробке при этом k
спичек, если вначале в каждой коробке было по п спичек?
(Задача Банаха).
8.24.	Вероятность попадания стрелком в десятку равна
0,7, а в девятку — 0,3. Определить вероятность того, что
данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29
очков.
8.25.	Во время каждого из опытов на 1 час в цепь
включается батарея мощностью в 120 вт или в 200 вт\
вероятности благоприятного исхода опыта равны соответст-
венно 0,06 и 0,08. Результат проведенной серии опытов
считается достигнутым в случае хотя бы одного благоприят-
ного исхода опыта с батареей в 200 вт или хотя бы двух
с батареей в 120 вт. Общая энергия, затраченная на про-
§ 81	ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ	57
изводство всех опытов, не может превышать 1200 ватт-час.
Какие батареи выгоднее использовать?
8.26.	Прибор выходит из строя, если перегорит не менее
дяти ламп I типа или не менее двух ламп II типа. Опреде-
лить вероятность выхода из строя прибора, если известно,
что перегорело пять ламп, а вероятности перегорания ламп
I и II типов равны соответственно 0,7 и 0,3 (выход из строя
ламп — события независимые).
8.27.	Вероятность возникновения опасной для прибора
перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероят-
ность отказа прибора в серии из трех независимы! опытов,
если вероятности отказа прибора при одной, двух и трех
опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5 и 0,8.
8.28.	Вероятность участия в каждом из опытов любого
из п одинаковых объектов равна р [р . Если данный
объект участвовал в опытах не менее k раз, результат опытов
считается достигнутым. Определить вероятность достижения
результата после т опытов при т<^% k.
8.29.	В условиях предыдущей задачи определить ве-
роятность достижения результата при (2Л — 1) опытах,
если после достижения намеченного результата опыты пре-
кращаются.
8.30.	Вероятность отказа каждого прибора при испытании
равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы
с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трех отказов?
8.31.	Пункт А нужно связать с 10 абонентами пункта В.
Каждый абонент занимает линию 12 минут в час. Вызовы любых
двух абонентов независимы. Какое минимальное количество
каналов необходимо для того, чтобы можно было в любой
момент с вероятностью 0,99 обслужить всех абонентов?
8.32.	Последовательно послано четыре радиосигнала.
Вероятности приема каждого из них не зависят от того,
приняты ли остальные сигналы, и соответственно равны 0,1;
0,2; 0,3 и 0,4. Определить вероятность приема k сигналов
(6 = 0, 1, 2, 3, 4).
8.33.	Используя условия предыдущей задачи, определить
вероятность установления двусторонней радиосвязи, если ве-
роятность этого события при приеме одного сигнала равна
0,2, при приеме двух равна 0,6, а при приеме трех и четы-
рех •— единице.
58
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
[ГЛ. 1
8.34.	Вероятности перегорания первой, второй и третьей
ламп равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятности выход:
из строя прибора при перегорании одной, двух и трех ламг
равны соответственно 0,25; 0,6 и 0,9. Определить вероятносп
выхода прибора из строя.
8.35.	Охотник стреляет в лося с расстояния 100 м к
попадает в него с вероятностью 0,5. Если при первом выст-
реле попадания нет, то охотник стреляет второй раз, но с
расстояния 150 м. Если нет попадания и в этом случае, тс
охотник стреляет третий раз, причем в момент выстрела рас-
стояние до лося равно 200 ж. Считая, что вероятность по-
падания обратно пропорциональна квадрату расстояния, опре-
делить вероятность попадания в лося.
8.36.	Сколько чисел необходимо взять из таблицы слу-
чайных чисел, чтобы с наибольшей вероятностью обеспечи-
валось появление среди них трех чисел, оканчивающихся
цифрой 7?
8.37.	Вероятность попадания в десятку при одном вы-
стреле /7=0,2. Сколько нужно произвести независимых
выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в
десятку хотя бы один раз?
8.38.	За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За
какое количество циклов вероятность изготовления хотя
бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если
вероятность того, что любая деталь бракованная, рав-
на 0,01?
8.39.	На прямой через 60 см один от другого распо-
ложены центры окружностей, диаметры которых одинаковы
и равны 1 см. Несколько таких прямых устанавливаются
параллельно друг другу в одной плоскости, причем отно-
сительный сдвиг линий равновозможен на любую величину
от 0 до 60 см. Перпендикулярно этим линиям в той же
плоскости перемещается круг радиуса 7 см. Какое коли-
чество линий должно быть, чтобы вероятность пересечения
окружности перемещающегося круга с какой-либо окруж-
ностью была не менее 0,9?
8.40.	Из ящика, в котором 20 белы^ и 2 черных шара,
п раз извлекаются шары по одному, причем после каждого
извлечения шар возвращается. Определить наименьшее число
извлечений, при котором вероятность достать хотя бы один
раз черный шар будет больше половины.

§ 9]
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
59
8.41.	Для данного баскетболиста вероятность забросить
мяч в корзину при броске равна 0,4, Произведено 10 бросков.
14айти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую
вероятность.
8.42.	Найти наивероятнейшие числа отрицательных и по-
ложительных ошибок и соответствующую вероятность при
четырех измерениях, если при каждом измерении вероятность
получения положительной ошибки равна 2/3, а отрицатель-
ной — 1/3.
8.43*	. Определить число п повторных независимых испы-
таний, которые нужно произвести для того, чтобы наиверояг-
нейшее число появлений события равнялось 20, если вероят-
ность появления этого события при каждом испытании
равна 0,8.
8.44*	. По цели, состоящей из т элементарных целей,
произведено п независимых выстрелов. Вероятность попада-
ния в Л-ю цель при любом выстреле равна pk (k= 1, 2,..., д),
п
pk=1 — р0, где pQ — вероятность промаха. Определить
ь=\
вероятность поражения цели, если для этого необходимо
поразить не менее двух элементарных целей, каждая из ко-
торых поражается при одном попадании в нее.
8.45*	. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по
нему последовательно и независимо одну от другой п тор-
пед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью р.
ТГ	1
При попадании торпеды с вероятностью — затопляется один
из т отсеков корабля. Определить вероятность гибели ко-
рабля, если для этого необходимо затопление не менее двух
отсеков.
§ 9. Полиномиальное распределение. Рекуррентные
формулы. Производящие функции
Основные формулы
Вероятность того, что при п независимых опытах,
в каждом из которых может произойти только одно из
событий Alf А*..., Ат соответственно с вероятностями
Ръ Ръ •..,рт, события Ak (Л=1, 2,..., т) произойдут
60
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
ровно nk раз
т
У, nk — n
л=1	/	]
миального распределения	*
D	__ п\	'll	пт
Ип’ п'- ...пт —	... пт\ Pl Р* ’"Рт 
Вероятность Рл; П1, п2, ..., пт является коэффициентом при
... и”т в следующей производящей функции:
Производящая функция для n-\-N независимых опытов
является произведением производящих функций для п и соот-
ветственно для N опытов. Использование этого свойства
часто существенно упрощает вычисление искомых вероят-
ностей. Для этих же целей применяется соответствующая
замена аргументов в производящей функции. Если, например,
нужно определить вероятность того, что событие Ai при п
испытаниях появится на I раз больше, чем событие А* то в
производящей функции следует положить = —, щ = и,
iij=} (j=3, 4,..., zn). Искомая вероятность является ко-
эффициентом при и1 в разложении по степеням и функции
(т ч п
/’1“+'^+ 2 рц •
)
Если pk = -^ (k=\, 2,..., т) и требуется определить
вероятность того, что сумма номеров появившихся событий
равна г, то искомая вероятность является коэффициентом
при иг в разложении по степеням и функции
При разложении G(u) в ряд удобно для (1—и)~п исполь-
зовать следующее разложение:
(1—и) п=\АгСп *и Cn+lu* -J-	.
Факториалы больших чисел могут быть найдены из таблицы'
логарифмов этих величин [2Т] или вычислены по формуле
|, определяется формулой поливов
Ж



§9]
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
61
Стирлинга
п\ = У2кпппе~п (1 -}
12/z ‘ 288п2
Вероятность появления события при п опытах иногда может
быть получена с помощью соотношений (рекуррентных формул)
вида
Pk — akPk-A 4" bkPk-Ъ
где ak и bk — известные постоянные. Искомая вероятность
определяется переходом от л к л+1 после расчета по
исходным данным вероятностей для нескольких значений k.
Решение типовых примеров
Пример 9.1. Вероятности того, что диаметр любой
детали меньше допустимого, больше допустимого и в до-
пустимых пределах, равны соответственно 0,05; 0,10 и 0,85.
Из большой партии берутся наудачу 100 деталей. Определить
вероятность того, что среди них будет пять деталей с мень-
шим диаметром и пять деталей с большим диаметром.
Решение. Пусть событие Ai— выбрана наудачу деталь
первого, Л2— второго и А3— третьего типа. По условию
Pi = 0,05, /?2 = 0,10, р3 = 0,85. Всего производится п= 100
опытов. Определяется вероятность р того, что при этом
события Ai и Д2 произойдут по пяти раз. Тогда = п* = 5,
д3 = 90. Поэтому искомая вероятность
Р = Лоо; в. в, 90 = 5^Г °’058 • °’15 • °’8590-
Логарифмируя данное равенство, находим
Igp = 1g 100! —lg 90! —21g 5! +51g 54-901g 0,85—15.
Воспользовавшись таблицей для логарифмов факториалов
и таблицей десятичных логарифмов, получаем
lgp = 3,7824, т. е. р 0,006.
Аналогично решаются задачи 9.1—9.7 и 9.25.
Пример 9.2. При каждом испытании вероятность по-
явления события равна р. С какой вероятностью оно про-
изойдет четное число раз при п испытаниях?
62
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Решение. Обозначим через pk вероятность того, что]
после k опытов событие произойдет четное число раз. 1
Перед &-м опытом можно сделать две гипотезы: при^
(k — 1)-м опыте событие произошло четное или нечетное'
число раз. Вероятности этих гипотез равны соответственно'
Pk-1 и 1— pk_i. Тогда
т. е.
Pk=pk-i (1 —р)+(1 — Pk-l)p>
Pk=P+Pk-i(l—2p)-
Представив последнее выражение в виде
—4)=(1 -	(pk-i—4)
(Л = 1, 2, п)
и перемножив левые и правые части всех п таких равенств,
получим
Л=1	Л = 1
n —1
Сокращая обе части равенства на JJ [pk — находим
рп—у=<1—^ру1 (р*—4) •
Так как р0=1, то искомая вероятность будет
Рл=4[1 +(1 - 2р)п].
Аналогично решаются задачи 9.8—9.13, 9.26 и 9.27*.
Пример 9.3. Определить вероятность получения трам-
вайного билета, у которого равны суммы первых трех и
последних трех цифр номера, если номер шестизначный и
может быть любым от ООО 000 до 999 999.
Решение. Рассмотрим сначала первые три цифры
номера. Так как они произвольны, то можно считать, что
производится три опыта (п = 3), в результате каждого из
1	д.
которых с вероятностью р = -^ появляется одна из цифр.
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
63
В данном случае число событий т =10, вероятности
= (Л = 0, 1,	9), а производящая функция имеет
вид
(9 ч з
2м*)’
где индекс k у uk указывает на то, что в результате опыта
появляется число k.
Положим uk = uk. Тогда у функции
г . ч 1 ( V А3 1 /1 — Ulo\8
Gi (и) = -rjrr- 7 W = -77^- -7---
1 v 7	103 \ I 103 \ 1 — и J
\ft=0	/
коэффициент при па равен вероятности того, что сумма
первых трех цифр номера билета равна о.
Аналогично у функции
г , ч _ 1 / 1 — гГ10 V
°2(W)	10з	)
коэффициент при и~° равен вероятности того, что сумма
последних трех цифр номера билета равна о.
Но тогда у функции
1	/1_
О (и) = Ох (п) О2 (и) =	-г— •
v 7	147 v 7 iov7 \ i — и j
коэффициент при равен искомой вероятности того, что
суммы первых трех и последних трех цифр номера билета
равны?
Имеем
(1 — z?o)6 = i _ Ciwio C2w2o _ f
Поэтому искомая вероятность будет
p=-j5r (Q2 -	+ ад) = 0,055252.
Аналогично решаются задачи 9.14—9.24.
64
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Задачи
9.1.	В урне имеется три шара: черный, красный и бе-
лый. Из урны шары по одному извлекались 5 раз, причем
после каждого извлечения шар возвращался обратно. Опре-
делить вероятность того, что черный и белый шары извлечены
не менее чем по два раза каждый.
9.2.	Рабочий производит с вероятностью 0,90 годное
изделие, с вероятностью 0,09 — изделие с устранимым бра-
ком и с вероятностью 0,01 — с неустранимым браком. Про-
изведено три изделия. Определить вероятность того, что
среди них хотя бы одно годное изделие и хотя бы одно
с.устранимым браком.
9.3.	Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью
может быть помещен в один из трех первоначально пустых
ящиков. Определить вероятность того, что: а) в каждый
ящик попало по три шара; б) в один ящик попало четыре
шара, в другой — три, а в оставшийся — два шара.
9.4.	По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух
концентрических колец, производится десять выстрелов из
спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные
области при каждом выстреле равны соответственно 0,15;
0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом
будет шесть попаданий в круг, три — в первое кольцо и
одно попадание во второе кольцо.
9.5.	Прибор имеет четыре блока, в каждом из которых
имеются электронные лампы. Если известно, что одна лампа
вышла из строя, то вероятности того, что эта ламгга при-
надлежит данному блоку, равны соответственно р1 = 0,611Г,
=д3 = 0,0664, /?4 = 0,2561 и не зависят от того, сколько
ламп вышло из строя до этого. Определить вероятность
прекращения работы прибора при выходе из строя четырех
ламп, если прибор прекращает работать как при выходе из
строя хотя бы одной лампы из первого блока, так и в том
случае, когда и во втором и в третьем блоках выходят из
строя хотя бы по одной лампе.
9.6.	В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится
двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона
равновозможен. Определить вероятность того, что: а) в каж-
дый вагон вошло по два человека; б) в один вагон никто
не вошел, в другой — вошел один человек, в два вагона —

§ 9]
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
65
по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно
три и четыре человека.
9.7.	Урна содержит I белых, т черных и п красных
шаров. Производится Zi ^Ч -\-П1 извлечений шаров но
одному с возвращением каждого извлеченного шара. Опре-
делить вероятность того, что будет извлечено: а) сначала ч
белых, затем пч черных и, наконец, П\ красных шаров;
б) ч белых, mi черных и щ красных шаров, причем все
шары одного- цвета появляются подряд, но последователь-
ность цветов может быть любой; в) Zj белых, mi черных и пл
красных шаров в любой последовательности.
9.8.	Определить вероятность того, что при п бросаниях
монеты герб появится нечетное число раз.
9.9.	Два равносильных противника играют в шахматы
до тех пор, пока один из них не выиграет на две партии
больше, чем другой. Какова вероятность, что будет сыграно
результативных партий?
9.10.	Двое играют до тех пор, пока один из них не
выиграет все деньги у другого. Определить вероятность того,
что при этом будет сыграно ровно п партий, если все ставки
одинаковы, каждый игрок в начале игры имеет по три
сивки, а вероятность выигрыша в любой партии для каждого
из игроков равна половине.
9.11.	Два игрока продолжают игру до полного разорения
одного из них. Капитал первого игрока равен п рублей, вто-
рого — т рублей. Вероятности выигрыша каждой партии
для этих игроков равны соответственно р и q (p-\-q—\).
В каждой партии выигрыш одного игрока (проигрыш дру-
гого) равен одному рублю. Определить вероятности разоре-
ния для каждого из игроков.
9.12.	В шахматы играют п-\-1 равносильных игроков,
причем каждый по очереди играет с победителем. Игра про-
должается до тех пор, пока один из игроков не выиграет
подряд у всех п противников. Какова вероятность, что при
этом будет сыграно ровно т результативных партий (ничьи
не учитываются)?
9.13.	Матч между двумя равносильными шахматистами
происходит на следующих условиях:
1)	учитываются только результативные партии;
2)	победившим считается набравший шесть очков, если
его противник набрал не более четырех очков;
3 Б. Г. Володин и др.
66
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
3)	если у одного шесть, а у другого пять выигранный
партий, то игра продолжается до тех пор, пока разрыв не!
составит два очка.	1
Определить вероятность того, что результативных партий^
придется играть: а) не более десяти; б) ровно п.
9.14*	. Вероятность появления события в каждом из щ
независимых опытов одинакова и равна р. Доказать, что про-
изводящей функцией для вероятностей появления события
больше k раз является функция
9.15*	. Вероятность появления события в Л-м опыте равна
pk(k=l, 2, ./г). Доказать, что производящими функциями
для вероятностей появления события соответственно больше k
раз и не больше k раз при п независимых опытах являются
функции
1 — П ^k—РкЧ)	И (qk +PkU) — Ил+1
R1(4) =----------------- и	.
9.16.	Два стрелка производят по п выстрелов, причем
каждый стреляет по своей мишени. Определить вероятность
того, что у них будет по одинаковому числу попаданий,
если вероятность попадания при каждом выстреле постоянна
и равна половине.
9.17.	В каждом из двух одинаковых приборов — левом
и правом — имеется по две лампы. После 100 часов работы
только в одном приборе с вероятностью 1/4 перегорает одна
лампа и с вероятностью 1/16 — обе лампы. Определить
вероятность того, что в п парах таких приборов в левых при-
борах перегорит по крайней мере на т (т 2п) ламп больше,
чем в правых. Рассчитать эту вероятность для случая, когда
п = т = 3.
9.18.	Матч на звание чемпиона мира по стоклеточным шаш-
кам состоит, из двадцати партий. Определить вероятность того,
что матч окончится с результатом 12:8, если вероятности
выигрыша любой партии для каждого из игроков равны 0,2.
9.19.	Для победы в матче на звание чемпиона мира по
шахматам претенденту необходимо набрать не менее
121/»2 очков из 24 возможных. При ничейном исходе (12:12)
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
67
§ эд
звание чемпиона мира сохраняется за чемпионом. Встре-
чаются два равносильных противника, у которых вероятности
выигрыша каждой партии в два раза меньше вероятности
ничейного исхода. Определить: а) вероятность того, что чем-
пионом мира останется прежний чемпион, и вероятность
того, что чемпионом мира станет претендент; б) вероятность
того, что в матче будет сыграно двадцать партий.
9.20.	Определить вероятность того, что при бросании
п игральных костей (кубиков) сумма очков на верхних гранях
будет а) равна заданному числу т, б) не больше т.
Hai’nn эти вероятности при п= 10, т — 20.
9.21.	Определить вероятность получения билета, у кото-
рого с'мма цифр номера равна 21, если номер билета равно-
возможен от 0 до 999 999.
9.22.	Каждая из п величин A’i, Х2, ..., Хп с одина-
ковой вероятностью может принимать любое целое поло-
жи тельное значение от 1 до т. Найти вероятность того,
что сумма	... -\-Хп будет а) равна заданному
числу N	б) не меньше заданного числа N.
9.23.	Два стрелка производят по три выстрела каждый
в свою мишень. Один стрелок при каждом выстреле с оди-
наковой вероятностью выбивает любое количество очков
от 7 до 10, а для другого вероятности выбить 7 и 10 очков
равны 1/8, а вероятности выбить 8 и 9 очков равны 3/8.
Найти вероятность того, что: а) первый стрелок выбьет
25 очков; б) второй стрелок выбьет 25 очков; в) оба стрелка
выбьют одинаковое количество очков.
9.24.	Бросают две монеты. Определить вероятность того,
что равное количество гербов будет при и-м бросании монет
(не раньше).
9.25.	Определить вероятность необходимости повторного
голосования при выборе I человек, если голосуют п человек;
вероятность быть вычеркнутым для каждого из k кандидатов
одинакова и равна р, а для выбора кандидата необходимо
получить большинство голосов. Повторное голосование про-
изводится в том случае, если будет равное число голосов
У /-го и (/-}- 1)-го кандидатов (по числу полученных голосов).
9.26.	Две равносильные волейбольные команды играют
°Дну партию. Игра продолжается до тех пор, пока одна
команда не будет иметь по крайней мере на два очка
больше, чем другая, причем наименьшее необходимое число
3*
68
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
очков равно 15. Определить вероятности: a) Pk и Q&
выигрыша первой (подающей первый мяч) и второй команд
со счетом 15:k (& = 0, 1,	13); б) Рг и Qi выигрыша
для обеих команд, когда проигравшая команда имеет не более
13 очков; в) pk и qk выигрыша со счетом (16 -1- k): (14 -k)
(Л = 0, 1,...); г) Рп и Qu выигрыша, когда каждая ко-
манда потеряла не менее 14 очков; д) Р и Q выигрыша
первой и второй команд.
9.27*	. Независимые испытания проводятся до тех пор,
тока не будет серии из т появлений события А. Опреде-
лить вероятность того, что для этого придется провести п
испытаний, если вероятность появления события А при каж-
лом испытании равна р. Найти эту вероятность при иг — 2,
п= 5.
ГЛАВА II
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§	10. Ряд, многоугольник и функция распределения
дискретной случайной величины
Основные формулы
Случайная величина называется дискретной, если ее
частые (возможные) значения можно пронумеровать.
Дискретная случайная величина X может быть задана
рядс-м распределения или функцией распределения (инте-
гральным законом распределения).
Радом распределения называется совокупность всех воз-
можных значений xt и соответствующих ИхМ вероятностей
Pi — Р (X = Xi). Ряд распределения может быть задан в виде
таблицы (табл. 2) или формулой.
Таблица 2
xi	Х1	Х2	...	хп
Pi	Pi	Ръ	...	Рп
Вероятности удовлетворяют условию
1=1
где число возможных значений п может быть конечным или
бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется
многоугольником распределения. Для его построения
70
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
возможные значения случайной величины (х/) откладываются
по оси абсцисс, а вероятности — по оси ординат; точки Ал
с координатами (х^, соединяются ломаными линиями
(рис. 9).
Функцией распределения (интегральным законом распре-
деления) случайной величины X называется функция F (х),
равная вероятности Р(Х<^х) того, что случайная величина
будет меньше произвольно выбранного значения х. Функ-
ция F(x) вычисляется по формуле
^Ц)= ^xPi’
где суммирование ведется по всем значениям Z, для кото-
рых Xi<^X.
Решение типовых примеров
Пример 10.1. Из партии, содержащей 100 изделий,
среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным
образом пять изделий для проверки их качества. Построить
ряд распределений случайного числа X дефектных изделий,
содержащихся в выборке.
Решение. Так как в выборке число дефектных
изделий может быть любым целым числом в пределах от 0
до 5 включительно, то возможные значения x-t случайной
величины X равны:
х4 —0, х2=1, х3=2, х.4 = 3, xs = 4, х6 = 5.
§ 101
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
71
Вероятность Р(Х — k) того, что в выборке окажется
ровно k (/с = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна
Р(Х=А)
С ft Z',a ft
10^.90
^i’oo
В результате расчетов по данной формуле с точностью
до 0,001 получим:
= Р (X = 0) = 0,583,	р-2 = Р (Х = 1) = 0,340,
р3= Р (Х = 2) = 0,070,
/Л Р (Х= 3) = 0,007,	/л5 = Р (Х = 4) = 0,
рб = Р(Х = 5) = 0.
6
Используя для проверки равенство ^р/г=1, убеждаемся,
А’ = 1
что расчеты и округление произведены правильно (см. табл. 3).
Таблица 3
xi	0	1	2	3	4	5
Pi	0,583	0,340	0,070	0,007	0	0
Аналогично решаются задачи 10.13 и 10.14.
Пример 10.2. Изделия испытываются при перегру-
зочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти
4
испытание равны у и независимы. Испытания заканчиваются
после первого же изделия, не выдержавшего испытания.
Вывести формулу для ряда распределения числа испытаний.
Решение. Испытания заканчиваются на Л-м изделии
(^=1, 2, 3, ...), если первые k—1 изделий пройдут
испытания, а Л-е изделие не выдержит испытания.
Если X—случайное число испытаний, то
1/4 \ft-i
Р(Х = А)=-Т(|)	(/г=1, 2, 3, ...).
72
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Полученная формула для ряда распределения эквивалент]
таблице 4.
Таблица
Xi	1	2	3		k	<5
Pi	1 5	4 52	42	...	4&-1 5/г	

Особенность данной задачи состоит в то^м, что теорети-
чески' число испытаний может быть бесконечно большим,
однако вероятность такого события стремится к нулю:
_	4fe-i
lim Р (Х = Л) = Нш -^- = 0.
k -+ ОО	k -+ ОС.	;
Аналогично решаются задачи 10.2, 10.4, 10.5, 10.7,
10.10 и 10.12.
Пример 10.3. На пути движения автомашины четыре
светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разре-
шает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение.
Построить многоугольник распределения вероятностей числа .
светофоров, пройденных автомашиной без остановки.
Решение. X — случайное число светофоров, пройден-
ных автомашиной без остановки; оно может принимать сле-
дующие значения:
= 0, х2=1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4.
Вероятности pi = P (Х=Х;) того, что число пройденных
светофоров X будет равно .данному частному значению,
вычисляются по формуле
( р(1—р)1'1 для z=l, 2, 3, 4,
pi = P (X = xi)= { zi Ч1	.	-
, I (1 — P) для z = 5,
где p — вероятность для светофора задержать автомашину
(р = 0,5).	*
В результате вычислений получим р^ = 0,5, /х2 = 0,25,
jP3 = 0,125, Рь = 0,0625, Ръ = 0,0625. По полученным
§ 10]
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
73
данным строим многоугольник распределения вероятностей
(рис. Ю).
Аналогично решаются задачи 10.3, 10.8, 10.9.
Пример* 10.4. Космическая ракета имеет прибор,
состоящий из четырех блоков аь аъ а3 и каждый
из которых дает отказ при попадании в него хотя бы одной
элементарной частицы. Отказ прибора в целом наступает
как при отказе блока аь так и при одновременном отказе
всех трех блоков а2, а3 и
Построить функцию распределения Р{х) случайного
числа X частиц, после попадания которых в прибор он дает
отказ, если вероятность частице, попавшей в прибор, попасть
в блок равна = 0,4, а в блоки а2, а3 и ац соответ-
ственно равна р^—.р3=р^ = 0,2.
Решение. Обозначим Аь А$, А3 и Ац события, состоя-
щие в отказе блоков аь аъ а3 и соответственно.
Искомая функция распределения F(x) равна . вероятности
того, что при числе попаданий п<^х прибор выйдет из
строя, т. е.
F(x)=P(A^AM.
Используя формулу (см. § 1)
S' А^АзА4 = Ai (А$ -j- А3 ^4)==	^Мз S' =
'	. = (А + А) +	^з) (A S~ ^4)
74
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
и применяя формулу сложения вероятностей, получим
F (х) =1 — Р [(Ai 4- Аз) 4* (Ai + Аз) 4" (4i + А4)] =
= 1 — Р (Ai А?) — Р (Ai Аз) — Р (Ai -j- А4) 4“
4~ Р [(A J 4" 4з) (Ai 4“ Аз)] 4~ Р [(414- 4з) (414“ 44)] 4"
4" Р [(4i 4~ 4з) (Ai 4“ А4)] — Р [(414” 4з) (Ai4~ 4з) (Ai 4~ А4)]»
где все вероятности определяются при условии попадания
в прибор п0£>1) частиц. Так как /?14~ Лг 4~4~ Z7*= 1 и при
Ж
7 -
0,9*
0,8 -
Z77 -
Ц8 -
/7/7-
Щ -
ЦЗ -
%2 -
Z?7 
/7
9
tty
--------—
--------1
I	I
I	}
I	I
I
1	1
1	1
I	t
Рис. 11.
каждом попадании частицы в прибор обязательно дает отказ
один и только один из блоков, то
Р (Ai -р Аз) = (рз 4“ А)^	Р (41 “4 4з) = (^2 4“ А)п?
Р (4i 4~ А4) = (р* 4“ рз)п\
Р [(414- 4з) (41	А3)] =7^; Р [(Ai 4~ A) (Ai 4" А4)] =рп&
Р [(А + Аз) (А + А)] =Р^
Р [(Ai + А2) (Ai + A3) (Ai + А4)] = 0.
Таким образом, учитывая, что ръ=рз=рь = ®2, получим
/9W___П 2^
F(х)= 1 + 3^- 3 (2Л;Г = 1 — 3/7- (2- — 1) = 1 — 3	J —
§ 10]
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
75
где под [х] понимается наибольшее целое число, меньшее х,
например [5,9] = 5, [5] = 4. При 1 Д(х) = 0.
Таким образом, график функции распределения вероят-
ностей для нескольких начальных значений х имеет вид,
представленный на рис. 11.
Аналогично решаются задачи 10.6 и 10.11.
Задачи
10.1.	Построить ряд распределения и функцию распре-
деления случайного числа попаданий мячом в корзину при
одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину
при одном броске р — 0,3.
10.2.	Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты,
при каждом из которых герб выпадает с вероятностью
р —0,5. Для случайного числа появлений герба построить:
а) ряд распределения; б) многоугольник распределения;
в) функцию распределения.
10.3.	Производятся последовательные независимые испы-
тания пяти приборов на надежность. Каждый следующий при-
бор испытывается только в.том случае, если предыдущий
оказался надежным. Построить, ряд распределения случайно-
го числа испытанных приборов, если вероятность выдержать
испытания для каждого из них равна 0,9.
10.4.	Независимые опыты продолжаются до первого по-
ложительного исхода, после чего они прекращаются. Найти
для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) мно-
гоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов,
если вероятность положительного исхода при каждом опыте
равна 0,5.
10.5.	Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч
в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить
ряд распределения случайного числа бросков, производимых
каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для
первого равна 0,4, а для второго 0,6.
10.6.	Мишень состоит из круга № 1 и двух концентриче-
ских колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 дает 10
очков, в кольцо № 2 дает 5 очков, в кольцо № 3 дает
(—' 1) очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца
№ 2 и 3 соответс1венно равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить
76
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ряд распределения для случайной суммы выбитых очков
результате трех попаданий.
10.7.	Сигналы на включение приборов подаются через
каждые 5 сек. Время от момента передачи сигнала до вклю-
чения прибора 16 сек. Подача сигналов прекращается сразу
же после того, как включится хотя бы один прибор. Найти ряд
распределения для случайного числа поданных сигналов,
если вероятность включения для каждого прибора равна 1/2.
10.8.	Имеется п заготовок для одной и той же детали.
Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки
равна р. а) Найти ряд распределения числа заготовок, остав-
шихся после изготовления первой годной детали, б) По-
строить ряд распределения для случайного числа использо-
ванных заготовок.
10.9.	Производятся испытания п изделий на надежность,
причем вероятность выдержать испытания для каждого изде-
лия равна р. Построить ряд распределения случайного числа
изделий, выдержавших испытания.
10.10.	Прибор, состоящий из блоков а, Ь\ и Ь* дает
отказ в случае осуществления события С = А-\~ В^В* где А —
отказ блока а, Вх и В$— отказы блоков и соответст-
венно. Отказы происходят при попадании в блок хотя бы
одной космической частицы. Построить р'яд распределения
числа случайных частиц, попадание которых в прибор при-
водит к его отказу, если вероятности попадания в блоки
частицы, попавшей в прибор, равны Р(А) = 0,5, P(Bi) =
= Р (В.2) = 0,25.
10.11*	. Вероятность попадания в цель для одного выстрела
равна р. Вероятность поражения цели при т попаданиях
/	1 \т
G(/zz)=l—и —— \ ,	о)>1.
Построить ряд распределения числа произведенных выстре-
лов до поражения цели.
10.12.	Число проведенных ' опытов X случайно и может
изменяться в пределах от 0 до оо. Вероятность Р(Х = Л) =
nke-n
=	—. Каждый опыт может быть, успешным с вероят-
ностью р и неуспешным с вероятностью (1 —р). Построить
ряд распределения числа успешных опытов.
§ HJ	НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ	77
10.13.	Вероятность получения герба при каждом из пяти
бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения
отношения числа X появлений герба к числу Y появлений
решетки.
10.14.	Производится три независимых опыта, в каждом
из которых с равной вероятностью может быть получено
любое целое число от 0 до 9. Построить ряд распределения
суммы полученных чисел.
§11	. Функция распределения
и плотность вероятности
непрерывной случайной величины
Основные формулы
Случайная величина называется непрерывной, если суще-
ствует неотрицательная функция /(х), удовлетворяющая при
любых х равенству
х ♦
F(x)= § f{x)dx.
— со
Функция f(x) называется плотностью вероятности *
Дх->0
Непрерывная случайная величина задается либо функцией
распределения F (х) (интегральным законом распределения),
либо плотностью вероятности f(x) (дифференциальным за-
коном распределения).
Функция распределения F(x) = P (Х<^х), где х — про-
извольное действительное число, дает вероятность того, что
случайная величина X окажется меньше х.
Функция распределения F (х) имеет -следующие основные
свойства:
1)	P(a^X<b) = F(b) — F(a);
2)	F (Xi) F(x2), если xi<^x2;
3)	lim F(x)=l;
4)	lim F(x) = 0.
78
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Плотность вероятности (дифференциальный закон распре-
деления) /(х) обладает следующими основными свойствами:
1)	/(х)^0;
2)	/(х)=^;
3)	| f(x)dx—l;
— со
Ь
4)	P(a<X<h) = $/(x)<U
а
Величина хр) определяемая равенством F(xp}=pf называется
квантилем порядка р\ квантиль х0,8 называют медианой. Если
плотность имеет максимум, то значение х, при котором /(х)
достигает максимума, называется модой.
Понятие плотности вероятности /(х) может быть введено
и для дискретной случайной величины, если положить
/(*) = 2 РьЦх — Хь),
k= 1
где Xk — возможные значения случайной величины,
Pk — соответствующие им вероятности:
pk = P(X = X/t),
8 (х) — обозначение дельта-функции, т. е. такой функции,
что
{со, при х = 0,
О, при х ф О,
со	со
8(x)eZx=l, §	(-V)(Jz — x)dx = y[y),
— со	— со	—г
где ср(х) — любая непрерывная в точке х=у функция. Для
8(х) справедливо следующее аналитическое представление:
ч	со
§ (х) = ~	ei(i)X du*.
— со
(См., например, И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, «Обобщен-
ные функции и действия над ними».)
§ 11J	НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
79
Решение типовых примеров
Пример 11.1, Проекция X радиуса-вектора случайной
точки окружности радиуса а на диаметр имеет функцию рас-
пределения (закон арксинуса)
F(x) =
1
1,1	. х
-5-4---arcsin —
2 1 -те а
О
при х^а\
при —
при х^ — а.
Определить: а) вероятность того, что X окажется в пре-
(а а \	х
—2"’ Т/’ б) квантиль х0>73; в) плот-
ность вероятности /(х) случайной величины X; г) моду и ме-
диану распределения.
Решение, а) Вероятность того, что X окажется в пре-
[ а а\
делах I — у, yj, равна

б) По условию /7 = 0,75; решая уравнение
1	I 1	• Х°»75 П7К
---arcsin----= 0,75,
2	1 п \ а
находим
__ а / 2 '
•^0,73----2	•
в) Плотность вероятности /(х) случайной величины X
равна:
1) для всех х, принадлежащих промежутку (—a, а),
ч dF(x) d /1 1 1	. х\	1
f(x} = ——-----------------arcsin — = ——;
dx dx\2 тс	aJ	a2 — x2
2) нулю для всех остальных значений х.
г) Закон арксинуса моды не имеет, так как функция
/(*)= .
л У ст— х-
не имеет максимума.
80
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. II
Решая уравнение
1 I 1	. Л*л.к 1
•И------arcsin -^-z=a —
2 1 л	а 2
находим медиану х0>5 = 0.
Аналогично решаются задачи 11.1—11.8.
Пример 11.2. Плотность вероятности случайной вели-
чины равна
f(x) = ax*e~kx (Л}>0, 0^х<^оо).
Требуется: а) найти коэффициент а; б) найти функцию
распределения случайной величины X; в) вычислить вероят-'
ность попадания случайной величины в интервал ^0,	.
Решение, а) Коэффициент а определяем с помощью
равенства
§ ах*е~кх(1х= 1. \
о
Отсюда
1
а =----------
x*e~kx dx
о
Двукратным интегрированием по частям получаем
f x*e~kx dx = ~.
J	№
0
£3
Следовательно, a —-% и плотность вероятности имеет вид
f(x) = ^x4-kx.
б) Функция распределения F (х) случайной величины X
определяется по формуле
о
§ П1
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
81
в) Вероятность	попадания случайной
величины X в заданный промежуток вычисляется по формуле
р(о<х<^=^Ш = 1 — 1-^о>086-
\	k J \kj 2е
Аналогично решаются задачи 11.9, 11.10, 11.12.
Пример 11.3. Электронная аппаратура имеет три парал-
лельные дублирующие линии. Вероятность выхода из строя
каждой линии за время гарантийного срока работы аппара-
туры равна 0,1. Используя дельта-функцию, написать выраже-
ние для плотности вероятности случайного числа линий, вы-
шедших из строя за время гарантийного срока, если выход
из строя одной линии не зависит от того, работают или
вышли из строя другие линии.
Решение. Обозначим через X случайное число линий,
вышедших из строя. Случайная величина X дискретного
типа имеет следующий ряд распределения (табл. 5):
Таблица 5
xk	0	1	2	3
Pk	0,729	0,243	0,027	0,001
Пользуясь понятием плотности вероятности для дискрет-
ной случайной величины, получим
/ (х) = 0,729.В (х) + 0,243В (х — 1) +
Ц- 0,027В (х — 2) + 0,001В (х — 3).
Аналогично решается задача 11.15.
Задачи
11.1.	Функция распределения равномерно распределенной
случайной величины X имеет вид
0 при
F(x) = [ х при
1 прщ
Найти плотность вероятности
х<^0.
0<х< 1.
х^> 1.
случайной величины X.
82
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
11.2.	Дана функция распределения случайной величин^
X t*	>
1 С----2
F(x) = -7=. \ е 2 dt (закон нормального распределения).
у 2тс J
—ОО	'
Найти плотность вероятности случайной величины X
11.3.	В книге Г. Крамера [31] дана функция распределе-
ния годовых доходов лиц, облагаемых налогом:
FW=p-(*)' "Р"	(а>0).
(	0 при x<^xQ
Определить размер годового дохода, который для слу-j
чайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден-
с вероятностью 0,5.
11.4.	Функция распределения случайного времени безот-'
казной работы радиоаппаратуры имеет вид (экспоненциаль-
ный закон распределения)
_ L
F(f)=l — е т (f^O).
Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры
в течение времени Т, б) плотность вероятности /(/).
11.5.	Случайная величина эксцентриситета детали характе-
ризуется функцией распределения Рэлея
_ —
F(x)=l — е (х^О).
Найти: а) плотность вероятности /(х); б) медиану распре-
деления; в) моду распределения.	У
11.6.	Функция распределения Вейбулла
хт
F (х) = 1 — е	(х 0)
в ряде случаев характеризует срок службы элементов элек-
тронной аппаратуры.
Найти: а) плотность вероятности /(х); б) квантиль рас-
пределения порядка /?; в) моду распределения.
11.7.	Случайное время простоя радиоэлектронной аппара-
туры в ряде случаев имеет плотность вероятности
д.	(lg X —1g Х0)2
/(*)=—(х>0),
XG у 2tz
'§ Н]
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
83
где Л4 = 1g е = 0,4343... (логарифмически нормальный закон
распределения).
Найти: а) моду распределения при х0=1 и с = ]/"5М;
б) функцию распределения.
11.8.	Дана функция распределения случайной величины X:
р (х) — с b arctg ~ (— оо	х < -д- оо) (закон Коши).
Определить: а) постоянные с и Ь' б) плотность вероят-
ности; в) Р(а<^Х<^Р).
11.9.	Каково должно быть а, чтобы f(x) = ae~~x2 явля-
лось плотностью вероятности случайной величины X, изме-
няющейся в бесконечных пределах?
11.10.	При каком значении а функция
=	(—со<х<оо)
является плотностью вероятности случайной величины X?
Найти: а) функцию распределения случайной величины X;
б) вероятность попадания случайной величины в интер-
вал (— 1, 1).
11.11.	Шкала секундомера имеет цену делений 0,2 сек.
Какбва вероятность сделать по этому секундомеру отсчет
времени с ошибкой более 0,05 сек., если отсчет делается
с точностью до целого деления с округлением в ближайшую
сторону?
11.12.	Азимутальный лимб имеет цену делений 1°. Какова
вероятность при считывании азимутального угла сделать
ошибку в пределах ± 10', если отсчет округляется до бли-
жайшего целого числа градусов?
11.13.	Известно, что вероятность выхода из строя элек-
тронной лампы в течение Ах дней, с точностью до величины
порядка малости более высокого чем Ах, равна ЛАх неза-
висимо от величины х дней, которые ламца проработала
до интервала времени Ах. Какова вероятность выхода из строя
лампы в течение / дней?
11.14*	. Между двумя пунктами, отстоящими один от дру-
гого на расстоянии L, курсирует автобус с остановками по
требованию в любом месте. Достоверно известно, что в пре-
делах этого перегона садится, а затем выходит из автобуса
некий пассажир. Плотность вероятности посадки его в точке х
№ С х^ А) пропорциональна х (L — х)2> а плотность
84
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
вероятности выхода его в точке у, при условии, что по|
садку он совершил в точке х (x^y^L), пропорциональна!
(у — x)h, h^O.
Найти вероятность того, что: а) пассажир сядет в автобуД
ранее пункта г; б) пассажир, севший в автобус в точке л?|
выйдет после пункта г.
11.15.	Последовательные ускоренные испытания приборов
на надежность проводятся до первого отказа, после чего оний
прекращаются. Пользуясь понятием плотности вероятности!
для дискретной случайной величины, найти плотность вероят|
ности случайного числа испытанных приборов, если вероят-j
ность отказа для всех приборов одна и та же и равна 0,5^
§12. Числовые характеристики дискретных
случайных величин
Основные формулы
В качестве числовых характеристик дискретных случайны:
величин чаще всего используются моменты этих величин.
Начальный nik и центральный pk моменты Л-го порядка;
дискретной случайной величины определяются формулами
mk = M [Xk]='£l xty.,
i = l
= M [(X — x)k] = У, (Xi — x)k Pt,
t-i	i
где M [Xй] — математическое ожидание X\ xt— возможный
значения случайной величины X, pi — соответствующие им!
вероятности, а х — математическое ожидание X. Таким!
образом, начальный момент первого порядка определяется^
формулой	п '	J
х = М [Х] = 2 XlPi’
i = l
второй центральный момент, или дисперсия, — формулой
п
D [X] = М [(X - х)2] = у (х: - xfpi
или формулой
D [X] = М [X2] — (М [X])2.
§ 12]
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
85
Среднее квадратическое отклонение а определяется соотно-
шением
в=+/ЖГ-
Если вероятности различных значений случайной вели-
чины X зависят от события Ak, то условное математическое
ожидание случайной величины X при условии осуществления
Ak есть-
п
М [XIЛА] = £ х,Р(Х=хг|ЛА).
i —1
Если Ak (k = 1, 2, ..., т) образуют полную группу несовмест-
т
ных событий, т. е. У] Р(ДЛ)=1, то полное математическое
/г=-1
ожидание X связано с условным математическим ожиданием
формулой
т
М [X] = м {М [XI Л*]} = £ М [X | Л] Р (Ak).
k=i
Во всех приведенных выше формулах число слагаемых
в суммах может- быть бесконечным; в этом случае для суще-
ствования -соответствующего математического ожидания ряд
должен сходиться абсолютно.
Решение типовых примеров
Пример 12.1. Партия, насчитывающая 100 изделий,
содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом
отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная
выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных
изделий, содержащихся в случайной выборке*.
Решение. Случайное числр дефектных изделий, содер-
жащихся в выборке,, может иметь следующие значения:
Xi = 0, х2=1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4, х6 = 5.
Вероятности /^ = Р (X—Xi) того, что X принимает данное
значение xit равны (см. пример ЮЛ)
—	(Z=l, 2, 3, 4, 5, 6).
'^100
г
86
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Искомое математическое ожидание
6 . . 5
я = У (/ -1)	= J_ У jC{aci-i.
Juki	'-'100	'-'ioo ден
i = l	j=0
6
Так как 2 QoQo”7 есть коэффициент при и* в произведении
1 = 0
5
(1 +«)10(1 —}—zz)90, то	есть коэффициент при и8
J==0
в выражении
А {(1 + ыг (1 + „)’<•} |г_, = ю« (1 + иг.
Следовательно,
в
2 /Q;Qo-7=1OQ&) а Х =	= 0,5.
7 = 0
Аналогично решаются задачи 12.1 и 12.2.
Пример 12.2. Дискретная случайная величина X за-
дана рядом распределения pk — P(X — k\ 7г= 1, 2, 3, п.
Выразить математическое ожидание случайной величины X
через производящую функцию
G(») =
/? = 1
Решение. По определению математического ожидания
случайной величины
M[x]=s^-
/?=1
С другой стороны, значение производной от произво*
дящей функции, вычисленное при zz= 1, равно
G'(l)
dG (и) |
du lZr
Следовательно,
п
= У kpkuk~x
г
k=l
М [X] = G'(1).
= 2
к-1
Аналогично решаются задачи 12.3—12.6 и 12.24—12.26.
§ 12]
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
87
Пример 12.3. Опыт может быть успешным с вероят-
ностью р и неуспешным с вероятностью 1 — р.
Условная вероятность достижения намеченного результата
после т успешных опытов Р(т) равна
(1 \ т
(“>!).
Найти математическое ожидание числа независимых опытов,
необходимых для достижения намеченного результата.
Решение. Обозначим Рп (Д) вероятность достижения
намеченного результата при п опытах. Если Рп>т — вероят-
ность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов,
то согласно формуле полной вероятности
Рп{А)= 2 Рп,тР(т).
Так как опыты независимы и вероятность успешного
исхода в каждом из них равна р, то
Рп,т = с%рт(У-рГт.
Подставляя в формулу для Рп(А) значения Рп>т и Р(гп),
получим
п
Для достижения намеченного результата потребуется ровно
п опытов, если при n-м опыте он будет достигнут. Вероят-
ность последнего события равна Рп(А)— Рп_г(А). Следова-
тельно, математическое ожидание случайного числа опытов,
необходимых для достижения намеченного результата,
со
и И = 2 я [Рп (А) -	(А)] =
п = 1
со	со
=у	(1 _у zJi-^r1.
Ц со J	\ (О ] J СО	\ со У
п = 1	/1 = 1
88
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Для вычисления последней суммы воспользуемся раве^
ством	’«
d Г 1 1— 1
dx [ 1 — х] (1 — х)2 ’
справедливым при
1 Р
х= 1 — ~, получим
М [X]
в данном
со
”7‘
случа^
Аналогично решаются задачи 12.10—12.15, 12.2 Г и 12.31.
Пример 12.4. Прибор имеет п предохранителей. В слу-
чае перегрузки сгорает один из предохранителей, который за-
меняется новым. Каково математическое ожидание М [N] числа
перегрузок N, после которых в приборе окажутся заменен-
ными все первоначально установленные предохранители, если
выход из строя в момент перегрузки любого из п предо-
хранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?
Решение. Обозначим М [7V | Л] математическое ожидание
числа перегрузок, после которых все первоначально установ-
ленные п предохранителей окажутся замененными, если оста-
лись незамеченными k предохранителей.
Для вычисления М [7V | k\ воспользуемся формулой пол-
ного математического ожидания. Если остались незамечен-
ными k предохранителей (Л^1), то для повреждения одного
из них потребуется очередная перегрузка. В- зависимости от
результатов очередной перегрузки будут различными средние
числа перегрузок, необходимых для сгорания предохрани-
телей, оставшихся из числа первоначально установленных.
При очередной перегрузке могут произойти два события:
„ At — сгорел один из первоначально установленных пре-
k
дохранителей, вероятность чего Р(А1)= —;
А2 — сгорел замененный предохранитель, вероятность чего
Р(Л)=1-А.
Если при очередной перегрузке произойдет событие Alf
то математическое ожидание числа перегрузок для замены
всех k предохранителей, не замененных до очередной пере-
§ 12]	ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
89
грузки, будет равно 1 М [2V | k— 1]. Если же при очередной
перегрузке произойдет событие Д2, то это математическое
ожидание будет равно 1 —М [7V| £]. На основании формулы
полного математического ожидания имеем
== 14-4 М [A7]A —	[7V|A]
пли, после несложных преобразований,
M[2V|£] —	1] = J.
Если k—\, т. е. остался лишь один незамеченный предо-
хранитель, то вероятность его. замены равна —. Следова-
тельно, на основании примера 12.3 будем иметь «
М[АГ|1] = л.
Итак, имеем цепь равенств:
M[N|w] — M[N|w— 1] = ^,
M[N|n— 1] —	— 2]= —?—
M[N|3] —M [N|2] = |,
M[2V|2] — M[7V| 1] = -J,
M[W|1] = «,
суммируя которые, получим
M[N|n]=-H—Цн——9+...+4+4+^
L IJ n 1 n — 1 1 zz — 2 1	1 3 1 2 1
или
Аналогично решаются задачи 12.16, 12.20, 12.22 и 12.23.
Пример 12.5. В результате испытаний двух приборов.
(А и В) установлена, вероятность появления помех, оцени-
ваемых по трехбалльной системе (табл. 6). (В случае отсутст-
вия помех их уровень принимается равным нулю).
90
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Таблица |
Уровень помех		1	2	3
Вероятность появле- ния помех данного уровня	Прибор А Прибор В	0,20 , 0,06	0,06 0,04	0,04 0,10
По приведенным данным выбрать лучший прибор, если
лучшим является тот, который в среднем имеет меньший
уровень помех.
Решение. Обозначим через X случайный уровень по-
мех. Средний уровень помех для прибора А
Мл [X] = 0,20 • 1 + 0,06 • 2 + 0,04.3 = 0,44 балла.
Для прибора В
Мв [X] = 0,06 • 1 4- 0,04.2 -{- 0,10.3 = 0,44 балла.
Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны.
В качестве дополнительного критерия сравнения исполь-
зуем среднее квадратическое отклонение уровня помех:
с А = /БТРП=/мл[Л —(хл)2=
=/0,80 — 0,442	0,78 балла,
=/мви2]—(W =
= у 1,12 — 0,442№0,96 балла.
Таким образом, прибор А дает более устойчивые пока-
зания относительно средних, и, следовательно, он лучше
прибора В.
Задачи
12.1.	Определить математическое ожидание числа прибо-
ров, давших отказ за время испытаний на надежность, если
испытанию подвергается один прибор, а вероятность его
отказа р.
12.2.	Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью
может быть равен любому целому числу граммов от 1 до 10,
определить, при какой из трех систем разновесов: а) 1, 2,
§ 12]
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
91
2, 5, 10; б) 1, 2, 3, 4,t 10; в) 1, 1, 2, 5, 10 — среднее
число необходимых для взвешивания гирь будет наименьшим,
если при взвешивании разрешается гири ставить только на
одну чашку, а подбор гирь при взвешивании осуществляется
так, чтобы использовать наименьшее возможное число гирь.
12.3.	Испытуемый прибор состоит из пяти элементов.
Вероятность отказа для элемента с номером i равна
= 0,2 4- 0,1 (Z— 1).
Определить математическое ожидание и дисперсию числа
отказавших элементов, если отказы элементов независимы.
12.4.	Производятся независимые испытания трех при-
боров. Вероятность отказа каждого прибора соответственно
равна ръ р% и рз. Доказать, что математическое ожидание
числа отказавших приборов равно pi Д- Pi 4~Аз-
12.5.	Определить математическое ожидание числа при-
боров, отказавших в работе за время испытаний, если ве-
роятность отказа для -всех приборов одна и та же и равна р,
а число испытуемых приборов п.
12.6.	В лотерее имеется т\ выигрышей стоимостью
пъ— стоимостью ..., тп— стоимостью kn. Всего би-
летов N. Какую стоимость билета следует установить, чтобы
математическое ожидание выигрыша на один билет равнялось
половине его. стоимости?
12.7.	Первый игрок бросает 3, а второй 2 одинаковых
монеты. Выигрывает и получает все 5 монет тот, у которого
выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра по-
вторяется до получения определенного результата. Каково ма-
тематическое ожидание выигрыша для каждого из игроков?
12.8.	Три игрока Д С играют на следующих усло-
виях: в каждой партии участвуют двое; проигравший усту-
пает место третьему; первую партию играют А с В. Вероят-
ность выигрыша в каждой партии для каждого игрока
равна */2. Игра продолжается до тех пор, пока один из иг-
роков не выиграет подряд 2 раза. При этом он получает
т рублей. Каково математическое ожидание выигрыша для
каждого игрока: а) после первой партии при условии, что
А ее выиграл; б) в начале игры?
12.9.	Три игрока Д В, С играют на следующих усло-
виях: в каждой партии участвуют двое; проигравший
уступает место третьему; первую партию играют А с В.
92
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрок|
равна */2. Игра продолжается до тех пор, пока один из иг^
роков не выиграет подряд 2 раза; при этом он получает
сумму выигрыша, равную числу всех сыгранных партий;
Каково математическое ожидание выигрыша для игроков А
и С до начала игры?
12.10.	Автоматическая линия при нормальной настройке
может выпускать бракованное изделие с вероятностью р.
Переналадка линии производится после первого же брако-
ванного изделия. Найти среднее число всех изделий, изго-
товленных между двумя переналадками линии.
12.11.	Вероятность приема позывного сигнала одной ра-
диостанции другой радиостанцией равна 0,2 при каждой
посылке. Позывные подаются каждые 5 сек. до тех гор,
пока не будет получен ответный сигнал, принимаемый досто-
верно. Общее время прохождения позывного и ответного
сигналов равно 16 сек. Найти среднее число подаваемых
позывных сигналов до установления двусторонней связи.
12.12.	Найти математическое ожидание и дисперсию чисЦ
изделий, изготовляемых на поточной линии при нормальной
настройке за период между двумя переналадками, если прц
нормальной настройке вероятность изготовления бракованного^
изделия равна р, а переналадка производится после изготов-
ления Л-го бракованного изделия.
12.13.	Условная вероятность отказа прибора, вычислен-
ная в предположении о неработоспособности т элементов,
имеет вид:
а)	для прибора А
Р(т)=\—е~ат (а^>0; т — 0, 1, 2, ...’);
б)	для прибора В
(	0 при т = 0,
I ।	При т=\> 2, 3, ...
Найти математическое ожидание числа неработоспособных
элементов, приводящих к отказам приборов А и В.
12.14.	Блокировочная схема, состоящая из реле А, вклю-
ченного последовательно с двумя реле В и С, соединенными
параллельно, должна обеспечить замыкание цепи между
клеммами I и II (рис. 12), Вследствие неисправности реле А
§ 12]
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
93
может не сработать с вероятностью 0,18; а реле В и С —
с одинаковыми вероятностями, равными 0,22. Определить
среднее число включений
схемы до первого отказа
блокировочной схемы.
12.15. Прибор имеет эле-
менты Л, В и С, уязвимые к
космическому излучению и
дающие отказ при попадании
в них хотя бы одной части-
цы. Отказ прибора наступает
в случае отказа элемента А или совместного отказа элементов
В и С. Определить математическое ожидание числа частиц, по-
падание которых в прибор приводит к его отказу, если услов-
ные вероятности попадания в элементы Л, В и С частицы, уже
попавшей в прибор, соответственно равны 0,1; 0,2; 0,2.
12.16.	Прибор имеет п элементов типа Л и т элементов
типа В. В случае отказа элементов типа Л они не заменяются,
а работа прибора продолжается до тех пор, пока в схеме
есть хотя бы один исправный элемент типа Л. Отказы элемен-
тов типа В устраняются так, что число исправных элементов
типа В в схеме остается постоянным. Отказ любого из ис-
правных элементов прибора равновозможен. Определить
среднее число отказов элементов, приводящих к полному
отказу прибора, т. е. к выходу из строя всех п элементов
типа Л.
12.17.	Доказать, что дисперсия числа появлений события
при однократном производстве опыта не превосходит 1/4.
12.18.	Определить условия, для которых третий централь-
ный момент биномиального распределения равен нулю.
12.19.	Функция распределения случайной величины X
задана равенством
й
т — 0
где [х] — наибольшее целое число, меньшее х.
Доказать, что если limn/? = a, то limD[X] = a.
п->со	п->со
12.20.	Из урны, содержащей весьма большое число бе-
лых и черных шаров, смешанных в равной пропорции, вы-
нимаются последовательно 10 шаров. Шары, вынутые до
94
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
первого появления черного шара, возвращаются в урну; nepg
вый появившийся черный шар и все последующие переклй
дываются во вторую, первоначально пустую, урну. ОнредЯ
лить математическое ожидание числа белых и черных шарой
во второй урне.
Решить ту же задачу в предположении, что число
вынутых шаров является случайным и подчиняется закону
Пуассона с параметром а= 10, т. е.	ч
P{X=k)^e-a.
12.21»	Игра заключается в том, что монету бросают до
появления герба. Если герб выпал при £-м бросании монеты,-;
то игрок А получает k рублей от игрока В. Сколько руб-
лей должен уплатить игрок А игроку В перед началОхМ игры
для того, чтобы математические ожидания проигрыша для
каждого игрока равнялись нулю (чтобы игра была «безобид-
ной»)?
12.22.	Автоколонна может прибыть на станцию обслу-
живания в любой момент времени. При организации де-
журства п ремонтных рабочих способом А среднее число
обслуживаемых машин равно пр. При организации дежурства
способом В будет обслужено: п[1—(1—р)*] машин, если
автоколонна прибудет в первую половину суток; пр машин,
если автоколонна прибудет в третью четверть суток; 0,5/7/? ма-
шин, если автоколонна прибудет в четвертую четверть суток.
При каких значениях р следует предпочесть организацию
дежурства способом В?
12.23.	Рабочий обслуживает п однотипных станков, рас-
положенных в ряд с равными промежутками а. Закончив
обслуживание какого-либо станка, рабочий переходит к тому
станку, который раньше других потребовал обслуживания.
Предполагая, что неполадка в любОхМ из п станков равнове-
роятна; вычислить среднее значение длины одного перехода
рабочего.
12.24.	Случайная величина X может принимать целые по-
ложительные значения с вероятностями, убывающими в гео-
метрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель
прогрессии q так, чтобы математическое ожидание величины
X было равно 10, и вычислить при этОхМ условии вероят-
ность Р(Х^10).
§ 12] I ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
12.25.	Случайная величина X может иметь любое целой*
положительное значение п с вероятностью, пропорциональ-
ной Найти математическое ожидание X.
12.26*	. Случайная величина X имеет распределение
Р ~ 2й) = (2n — 1) (2«+ 1)	(п=1> 2> • • •)•
Найти М [X].
12.27.	Игра состоит в том, что повторяются независимые
опыты, в каждом из которых событие А может произойти
с вероятностью р. Если событие А произошло в п^>0 опытах
подряд, а в (пЦ- 1)-м опыте не произошло, то первый игрок
получает от второго игрока уп рублей. Если же /1 = 0, то
первый игрок платит второму игроку 1 рубль. Требуется
найти величину у при условии, что игра будет «безобидной»,
т. е. математическое ожидание выигрыша для обоих игроков
равно 0. Рассмотреть пример р = ^.
12.28.	Из .сосуда, содержащего т белых и п черных шаров,
извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар.
Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров
и его дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращался.
12.29.	Даны два ящика с белыми и черными шарами;
в первом ящике при общем числе шаров X находится М
белых шаров, а во втором ящике имеется Mi белых шаров
при общем числе М шаров. Опыт состоит в том, что из
каждого ящика вынимается один шар, который переклады-
вается в другой ящик, после чего шары перемешиваются.
Определить математическое ожидание числа белых шаров
в первом ящике по окончании указанных k опытов. Рас-
смотреть случай &->оо.
12.30.	Связь с дрейфующей станцией могут поддержи-
вать п радиостанций. Вступает в двустороннюю связь та,
которая первой примет позывные дрейфующей станции, при-
чем это событие равновероятно для всех п радиостанций
/	1 \
. Дрейфующая станция будет устанавливать связь
\	и /
tn раз. Определить вероятность того, что радиостанция № 1
вступит в двустороннюю связь k раз. Найти для нее же
математическое ожидание и дисперсию числа вступлений
в двустороннюю связь.
96	СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
12.31.	Независимые испытания аппаратуры повторяются
тех пор, пока не произойдет отказ. Вероятность отказ!
от испытания к испытанию не меняется и равна р, НайтЗ
математическое ожидание и дисперсию числа безотказный
испытаний/
12.32.	Двое поочередно бросают монету до тех пор,
пока у обоих не выпадает одинаковое число гербов. Вероят-
ность того, что после 2п бросаний у обоих будет одинако-
вое количество гербов, равна
D _	(2/z —2)!
п 22п~1п\ (п— 1)1*
Определить математическое ожидание числа бросаний.
§ 13. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин
Основ ные формулы
Математическое ожидание х = М [Az] и дисперсия D[Xp
случайной величины X, имеющей плотность вероятности-;
/(х), вычисляются по формулам
х = М [X] = $ х/(х) dx,
—со
D[X]= (х— x)*f(x)dx.
Математические ожидания и дисперсии непрерывных слу-‘
чайных величин обладают такими же свойствами, чго и
аналогичные вероятностные характеристики дискретных слу-
чайных величин. Среднее квадратическое отклонение о опре-
деляется формулой
Для симметричного закона распределения характеристикой
рассеивания случайной величины может служить срединное
отклонение В, определяемое из условия
Р (\Х-=
$ 13]	ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ВЕЛИЧИН	'97
Начальный момент &-го порядка mk и центральный мо-
мент k-vo порядка вычисляются по формулам
со	оо
mk = § xkf(x)dx, Pk= J (x — x)kf(x)dx.
—00	r	—00
Для существования моментов нечетного порядка необхо-
дима абсолютная сходимость соответствующих интегралов.
Решение типовых примеров
Пример 13.1. Плотность вероятности случайных амп-
литуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)
_ х2
=	(х>0).
Определить: а) математическое ожидание М [XJ; б) дис-
персию D [X] и среднее квадратическое отклонение av;
в) центральные моменты третьего и четвертого порядков
J-3 и
Решение. Вычисление моментов сводится к вычислению
интегралов вида
Jn = tne^ dt (п 0 целое),
. о
<оторые равны: при п четном
, _ 1 г/д । П —(2*-1)П1/Г
— 2 А \	* 2 / — gFFi '	\
'де
(2^ — 1)!! =(2^ — 1)(2Л — 3)(2£ — 5) ... 3-1,
и при п нечетном
Лл+1 = |г(^+1) = |.
/
а)	Математическое ожидание случайной амплитуды бе-
совой качки равно
х = М [X] = xf(x) dx = х*е 2а" dx.
о	о
4 Б. Г. Володин и др.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ	[ГЛ.
1
Произведя замену переменных -y^=t, получим
М [XJ = 2 У 2« | Л'*' Л = 2 /2 а/. =
= 2Г2!5« = «/|.
б)	Так как
с* = D [X] = М [X2] — (х)2 = 4а% — -J а® = а2 (2 — у),
1 /а л
то сх = а |/ 2—у.
в>	|i3 = M[(X—xf] = mz — 3xzzz24”2(^)3>
где /7г3 = 4уг2а3У4 = За3 J/^y.
Следовательно, рь3 = а3 (к — 3) j/~~,
р-4 = М [(X — Х)4] = 7Я4 — 4Х7/23 4- 6х27772 — Зх4,
где тп4 = 8а4Уй = 8а4. Следовательно, р4 = а4^8—-|-7c2je
Аналогично решаются задачи 13.2—13.13 и 13.22 —
13.23.
Пример 13.2. Найти срединное отклонение случайной
величины, плотность вероятности которой имеет вид (распре-
деление Лапласа)
/(x) = ye-lxL
Решение. Так как плотность вероятности симметрична
относительно нуля, то х = 0. Срединное отклонение Е вы-
числяется по формуле
Е	Е
1 =Р(|Х—x|<£)= V le-l*ldx= e-xdx=l—e-£.
"	J "	aJ
-Е	О
Отсюда Е = In 2 = 0,6931.
Аналогично решаются задачи 13.1 и 13.4.
§ 13]	ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ВЕЛИЧИН	99
Задачи
13.1.	Плотность вероятности случайной величины X
имеет вид (закон равномерного распределения)
/(х) =
при | х — а |	/,
О при | х — а | Z.
Определить: а) М [X]; б) D [X]; в) найти связь между
средним квадратическим и срединным отклонениями случай-
ной величины X.
13.2.	Функция распределения случайной величины X
имеет вид (закон арксинуса)
О
а arcsin х
1

при х^.-------1,
при , — 1 ^х^ 1,
при 1 х.
Определить постоянные а и Ь. Найти М [X] и D [X].
13.3.	Определить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X, если плотность вероятности
2Р ~р2Й
—е при х О,
Еу те
'	0 при х<^0.
13.4.	Плотность вероятности
имеет вид (закон арксинуса)
случайной величины X
/(x) = -i74:=i	(—а<х<а).
те ]/ а2 — х2
Определить дисперсию и срединное отклонение.
13.5.	Плотность вероятности случайных амплитуд А бо-
ковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея)
f (fl) JF &
(a^O),
где a2 — дисперсия угла крена.
Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и
большие средней?
4*
100
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. П ?
13.6.	Скорость молекул газа имеет плотность вероятности
(закон Максвелла)
f (у) — Av2e~ h2y2 (у 0).
Найти математическое ожидание и дисперсию скорости
молекул, а также величину А при заданном h.
,13.7. Плотность вероятности случайной величины X за-
дана в виде
0 при х<^0,
—г е~х при х 0.
Определить М [X] и D [X].
13.8.	Функция распределения случайной величины
к
имеет вид
,F(x) =
при
0 при
Х^Х0,
(Хо>О).
х<^х0
Найти М [X] и D [X].
13.9.	Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины, плотность вероятности которой имеет вид
=	(распределение Лапласа).
13.10.	Случайная величина X имеет плотность вероят-
ности (гамма-распределение)
fi \	( Ах*е~% при xSs0	(а>—
f(x) = lnxe
(	0	при х<^0.
Определить параметр А, математическое ожидание и дис-
персию случайной величины X.
13.11.	Случайная величина X имеет плотность вероятно^
ста (бета-распределение)
(	*)*-» при OsSxsgl (а>0; Z>>0),
/(х) — <
|	0	. при х<^0 и х^>1.
Определить параметр А, математическое ожидание и дис-
персию случайной велгчины X.
§ 13]
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ВЕЛИЧИН
101
13.12.	Случайная величина X имеет плотность вероят-
ности
' "+1
Дх) = Д(1+х2)	2 ’
где п — целое положительное число, большее 1. Определить
постоянную Д, математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины X .
13.13.	Плотность вероятности неотрицательной случайной
величины X имеет вид (^-распределение)
X2 ''
f(x)=Axn~*e 2»
где п^> 1.
Определить А, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
13.14.	Доказать, что при выполнении условий,,
lim [xF (х)] = 0 и Иш {х[1—F(x)]} = 0
X—► —ОО	х-*оо
для математического ожидания случайной величины справед-
ливо равенство
оо	О
М[Х]=$ [1— F(x)\dx — $ F(x)dx.
О	—оо
13.15.	Вероятность обнаружения затонувшего судна за
время поиска t задается формулой
(7>0).
Определить среднее время поиска, необходимое для
обнаружения судна.
13.16.	Определить математическое ожидание m(t) массы
радиоактивного вещества спустя время t, если в начальный
момент масса вещества была а вероятность распада ядра
любого атома в единицу времени постоянна и равна р.
13.17.	Определить время полураспада радиоактивного
вещества, если вероятность распада ядра любого атома в
единицу времени постоянна и равна р. (Время полурас-
пада Тп определяется моментом, когда масса радиоактивного
вещества в среднем уменьшается вдвое.)
13.18.	Обработка результатов одной переписи пока-
зала, что плотность вероятности возраста лиц, занимаю-
102	СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ	[ГЛ.
щихся научной работой, может быть представлена форму-
лой
f(t) = k(t — 22,5) (97,5 — О5
(t— время в годах, 22,5	97,5).
Определить, во сколько раз число научных работников
в возрасте ниже среднего превышает число научных работ-
ников в возрасте выше среднего.
13.19.	Найти для распределения Стьюдента, задаваемого
плотностью вероятности
Гм + П
/ / Ч 1	\ 2 /	2
v + n)
начальные моменты mk при k<^n.
13.20.	Случайная величина X подчиняется бета-распре-
делению, т. е. имеет плотность вероятности
f(x\ _ Г (Р + <?)	р-1 /1 _ г)9"1
T(p)T(q)X	Х)
(0<х.<1; р^>0; <?^>0).
Найти начальный момент Л-го порядка.
13.21.	Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины, имеющей в интервале (— у) плот-
2	2
ность вероятности — coszx.
13.22.	Выразить центральный момент через начальные
моменты.
13.23.	Выразить начальный момент mk через центральные
моменты и математическое ожидание х.
§ 14. Закон Пуассона
Основныеформулы
Законом распределения Пуассона называется ряд распре-
деления случайной величины X вида
лт
Р (X— т) = Рт = Р (т, а) = ^е а,
где а = М [Х].
§ 14]
ЗАКОН ПУАССОНА
103
Законом Пуассона может быть приближенно заменено
биномиальное распределение, когда вероятность р появления
события А в каждом отдельном опыте мала, а число п произ-
водимых опытов велико. В этом случае имеет место при-
ближенное равенство
ат
Рпг = С™рт (1 — рУ~т	-г е-а ,
п, т п" '	fn\ >
где а = пр.
Решение типовых примеров
Пример 14.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 элек-
троэлементов. Вероятность отказа одного элемента в тече-
ние одного года работы равна 0,001 и не зависит от со-
стояния других элементов. Какова вероятность отказа двух
и не менее двух электроэлементов за год?
Решение. Считая случайное число X отказавших эле-
ментов подчиняющимся закону Пуассона Р (Х=т) = Рт =
— ^е~а, где а = пр= 1000 • 0,001 = 1, получим:
1)	вероятность отказа ровно двух элементов
р (Х= 2) = А = е~а = = 0,184;
2)	вероятность отказа не менее двух элементов
оо
Р(№^2) =	Рт=1-Р0-/’1=1-е-«(1-|-а) =
т=2
9
= 1 — А 0,264.
е
Аналогично решаются задачи 14.1—14.7.
Пример 14.2. При разрыве баллона в процессе испы-
тания на прочность образовалось 100 осколков, распреде-
лившихся равномерно в «конусе разлета», т. е. в области,
ограниченной двумя коническими поверхностями с углами
30° и 60° (рис. 13). Найти математическое ожидание и
дисперсию числа осколков, приходящихся на 1 я* части по-
верхности сферы, находящейся внутри конуса разлета, если
радиус сферы 50 л/, а центр ее совпадает с точкой разрыва.
Решение. Пересечем конус разлета осколков сферой
радиуса 50 м и определим математическое ожидание числа
осколков, приходящихся на единицу площади поверхности
104
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1ГЛ. II'
шарового пояса, образовавшегося в результате пересечения
конуса разлета со сферой. Обозначим через 5 площадь по-
верхности шарового пояса:
2it it/3
5—502 sin 0 dcp = 5000тс ^cos у — cos^ =
= 2500k (/З - 1)	5725
Так как общее число осколков Af=100, то математи-
ческое ожидание числа их ау приходящегося на единицу пло-
щади поверхности шарового пояса, будет
А ЮО	7
а— -^- = -^=^- = 0,01745 осколка.
6 O/ZO
Вероятность попадания данного осколка в данную пло-
щадку So=l м* мала ^она равна ^?= 1,75* 10~4j, а на-
правления полета осколков взаимно независимы: поэтому
Рис. 13.
можно считать, что случайное число осколков X, приходя-
щееся на 1 лг2 поверхности сферы, распределено по закону
Пуассона и, следовательно, имеет .место равенство
D [X] = М [X] = а = 0,01745.
Аналогично решается задача 14.13.
Задачи
* 14.1. Математическое ожидание числа отказов радиоап-
паратуры за 10 000 часов работы1 равно 10. Определить
вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы.
§ U]
ЗАКОН ПУАССОНА
105
* 14.2. Вероятность того, что лю^ой абонент позвонит на
коммутатор в течение часа равна 0,01. ,Телефонная Станция
обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в те-
чение часа позвонят 4 абонента?
I 14.3. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных
элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна
р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он
наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
। 14.4. В течение часа коммутатор получает в среднем
60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек.,
в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни
одного вызова?
14.5.	Вероятность того, что изделие не выдержит испы-
тания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000
изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить
результаты расчетов, полученных с использованием распре-
деления Пуассона и с использованием биномиального распре-
деления. В последнем случае расчет производить с помощью
семизначных таблиц логарифмов.
14.6.	За рассматриваемый период времени среднее число
ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного
абонента, равно 8.- Какова вероятность, что для данного
абонента число ошибочных соединений будет больше 4?	<
14.7.	Найти вероятность того, что среди 200 изделий
окажется более трех бракованных, если в среднем брако-
ванные изделия составляют 1%.
* 14.8. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток.
Найти вероятность того, что, на странице не меньше трех
опечаток.
14.9.	В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактив-
ное вещество за промежуток времени 7,5 сек. испускало
в среднем 3,87 а-частицы. Найти вероятность того, что»
за 1 сек. это вещество испустит хотя бы одну а-частицу.
14.10.	Определить асимметрию случайной величины, рас-
пределенной по закону Пуассона. (Асимметрией называется
отношение Sk = ~|^ '
14.11.	В аппаратурный отсек космической ракеты за время
ее полета попадает г элементарных частиц с вероятностью
Р(Г, Х) = ^е-\
106
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
[ГЛ. I
Условная вероятность для каждой из них попасть при этом
в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в
блок: а) ровно k частиц; б) хотя бы одной частицы.
14.12	Определить дисперсию числа атомов радио-
активного вещества, распадающегося в единицу времени, если
даны масса вещества Л1, период полураспада 7П, атомный
вес вещества А, число атомов в грамм-атоме Nq.
14.131)	. Определить вероятность того, что в экран пло-
щадью 5=0,12 см*, поставленный на расстоянии г = 5 см
перпендикулярно потоку от а-радиоактивного вещества, по-
падает в течение секунды: а) ровно десять а-частиц; б) не
менее двух а-частиц, если период полураспада вещества
Гп = 4,4-109 лет, масса вещества 714 = 0,1 г, атомный вес
вещества А = 238.
14.14.	Доказать, что полиномиальное распределение
Рп (^1, ^2> • • • > km, km+i)-
_Qkvk^..........km,	Ank4 ... pkmDkm-}-i
n	'1'2	m r m4~l f
где
P1-J-P2-]- ••• -^rPm^Pm+l = 1,
a
k\ ^2 “F • • • "4" km + kmj(i = /7,
можно аппроксимировать функцией
e- +x2+ - +xm). 1 -?-
где к1- = ф/, если все вероятности pif за исключением рт+ь
малы, а п велико.
*) Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.
Число Авогадро Ао — 6,02И023 — число атомов в грамм-
атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен
атомному весу.
Периодом полураспада вещества Тп называется время,
в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается
в среднем вдвое.
§ 151
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
107
§ 15. Закон нормального распределения
Основные формулы
Плотность вероятности нормально распределенной случай-
ной величины имеет вид
1	(.у —-у)2
/(Х) = -^=в
gJ/ 2п
ИЛИ
f(x)
(Х-Х)2
где <з — среднее квадратическое отклонение, Е = р V*2 а —
срёдинное отклонение (иногда называемое и «вероятным от-
клонением»), р = 0,476936 ...
Вероятность попадания нормально распределенной случай-
ной величины X в интервал (хь х2) вычисляется по одной
из следующих формул:
1) Р(х1<Х<х,)=1[ф(^-^)-ф(^^)],
X t*
2	~~~2
где Ф (х) =	\ е dt — функция Лапласа (интеграл
г 2тс 3
о
вероятности);
2) Р (х, <Х<» = 1 [ф	— ф .
X
где Ф(х) = 4^ С e~?2t2dt— приведенная функция Лапласа.
0
Значения функций Ф(х) и Ф(х) даны в таблицах [8Т]-
и [ПТ].
Во всех задачах данного параграфа ошибки измерения
считаются нормальными величинами.
Решение типовых примеров
Пример 15.1. Измерение дальности до объекта сопро-
вождается систематическими и случайными ошибками. Систе-
матическая ошибка равна 50 м в сторону занижения даль-
ности. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону
108
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
со средним квадратическим отклонением а =100 м. Найти:
1) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превос-
ходящей по абсолютной величине 150 м\ 2) вероятность того,
что измеренная дальность не превзойдет истинной.
Решение. Обозначим через X суммарную ошибку из-
мерения дальности. Ее систематическая составляющая х==
= —50 м. Следовательно, плотность вероятности суммарной
ошибки имеет вид
__ (х 4-50)2
f(r\--	1 ' р 20 000
ПХ)~ 100/2^ в
1. Согласно общей формуле имеем
Р (| Х|< 150) = Р(— 150<Х< 150)= ,
Интеграл вероятности является- функцией нечетной, по-
этому
ф(_ 1)==_ф(1).
Отсюда
Р(|Х|<150) = 1[Ф(2) + Ф(1)].
Из таблицы [8Т] находим
Ф (2) = 0,9545,	Ф(1) = 0,6827;
окончательно
Р (| Х\< 150) = 0,8186.
2) Вероятность того, что измеренная дальность не пре-
взойдет истинной,
Р (— оо < Х< 0) = 1 [Ф (0,5) 4- Ф (со)].
Так как Ф(оо)= lim Ф(х)=1, а из таблицы [8Т] находим
Ф (0,5) = 0,3829, тГ“
Р (—оо << Х< 0) = 0,6914.
Аналогично решаются задачи 15.1—15.4 и 15.10—15.14.
Пример 15.2. Определить срединную ошибку прибора,
если систематических ошибок он не имеет, а случайные рас-
пределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8
не выходят за пределы ± 20 м.
§ 15]
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
109 ,
Решение. Из условия задачи следует, что
Р(|Х|^20) = 0,8.
Так как плотность вероятности случайных ошибок нор-
мальная, а х = 0 (систематические ошибки отсутствуют), то
Неизвестное значение срединной ошибки находим как
решение уравнения
ф(^ = 0,8.
С помощью таблицы [11Т]- получим
^=1,90,
откуда
f“5='« *
Аналогично решаются задачи 15.8 и 15.18.
Задачи
15.1*	. Измерительный прибор имеет систематическую
ошибку 5 м и среднюю квадратическую ошибку 75 м.
Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзой-
дет по абсолютной величине 5 м?
15.2*	. Систематическая ошибка удержания высоты само-
летом -|“20 лг, а случайная ошибка имеет среднее квадра-
тическое отклонение 75 м. Для полета самолета отведен ко-
ридор высотой 100 м. Какова вероятность, что самолет будет
лететь ниЖе^ внутри и выше коридора, если самолету задана
высота, соответствующая середине коридора? ?
15.3.	Срединная ошибка измерения дальности радиоло-
катором равна 25 м> а систематическая ошибка отсутствует.
Определить: а) дисперсию ошибок измерения дальности; б) ве-
роятность получения ошибки измерения дальности, по абсо-
лютной величине не превосходящей 20 м.
15.4	*. Случайное отклонение размера детали от номинала .
при изготовлении ее на данном станке имеет нулевое мате--
магическое ожидание и среднее квадратическое отклонение,
равное 5 мк. Сколько необходимо изготовить деталей,
по
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
чтобы с вероятностью не менее 0,9 среди них была хотя бы<
одна годная, если для годной детали допустимо отклонение^
размера от номинала не более, чем на 2 мк?
15.5.	Даны две случайные величины X и У, имеющие
одинаковые дисперсии, но первая распределена нормально,-
а вторая равномерно. Определить соотношение между их сре-
динными отклонениями.
15.6.	Нормально распределенная случайная величина X
имеет математическое ожидание х==—15 л/ и срединное от-
клонение 10 м. Вычислить таблицу функции распределения
для значений аргумента через каждые 10 м и построить график.
15.7*	. Систематическая ошибка высотомера равна -|~20лг,
а случайные ошибки распределены по нормальному закону.
Какую среднюю квадратическую ошибку должен иметь высото-
мер, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты по
абсолютной величине была меньше 100 м?
15.8.	Найти связь между средним арифметическим откло-
нением
£1==М[|Х — х|]
нормально распределенной случайной величины и ее средним
квадратическим отклонением.
15.9.	Определить для нормально распределенной случай-
ной величины Х} имеющей М [X] = 0,
1)	Р(Х^Ь) и 2) Р (| X | Ь) (при Л=1, 2, 3).
15.10*	. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах,
имеющих среднюю квадратическую ошибку взвешивания
150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Опре-
делить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес порохового заряда 2,5 г.
15.11*	. Производятся два независимых измерения прибо-
ром, имеющим среднюю квадратическую ошибку 30 м и систе-
матическую ошибку 10 м. Какова вероятность того, что
обе ошибки измерений, имея разные знаки, по абсолютной
величине превзойдут 10 л£?
15.12.	На плоскости проведены две параллельные прямые,
расстояние между ними L. На эту же плоскость бросается
круг радиуса /?. Центр рассеивания расположен на расстоя-
нии Ь от одной из линий во внешнюю сторону. Срединное
отклонение центра круга в направлении, перпендикулярном
линии, равно Е.
§15]	ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	111
Определить при одном бросании: а) вероятность накрытия
кругом хотя бы одной прямой; б) вероятность накрытия
обеих прямых, если L = 10 м, R = 8 м, Ь = Ъ м, £=10 м.
15.13.	Изделие считается высшего качества, если откло-
нение его размеров от номинала не превосходит по абсо-
лютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера
изделия от номинала подчиняются нормальному закону со
средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систе-
матические отклонения отсутствуют. Определить среднее число
изделий высшего сорта, если изготовляются четыре изделия.
15.14.	Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы
с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контро-
лируемым размером вне поля допуска, если случайные откло-
нения размера от середины поля допуска подчиняются закону
нормального распределения с параметрами х = 0 и o = 5jw?
15.15.	Какое наибольшее расстояние допустимо между
двумя рыболовецкими судами, идущими параллельными кур-
сами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, находя-
щегося посередине между ними, была не менее 0,5, если
дальность обнаружения косяка для каждого из судов явля-
ется независимой нормально распределенной случайной вели-
чиной с х = 3,7 км и средним квадратическим отклонением
о = 1,1 км?
15.16.	При большом числе измерений установлено, что
75% ошибок а) не превосходят 1,25 мм*, б) не превосходят
по абсолютной величине 1,25 мм. Заменяя частоты появления
ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях среднее
квадратическое отклонение ошибок измерения, считая их нор-
мально распределенными с нулевым математическим ожидание^.
15.17.	Случайное отклонение X размера детали от номи-
нала распределено по нормальному закону с математическим
ожиданием х и средним квадратическим отклонением о. Год-
ными деталями.являются те, для которых а<^Х<^Ь. Деталями,
подлежащими переделке, являются те, для которых Х^>Ь.
Найти: а) функцию распределения случайных отклонений
размеров деталей, подлежащих переделке; б) функцию рас-
пределения случайных отклонений размеров годных деталей.
15.18.	Нормально распределенная случайная величина X
имеет нулевое математическое ожидание. Определить среднее
квадратическое отклонение о, при котором вероятность
Р (а X <^Ь) была бы наибольшей (0 а Ъ).
у
112
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 16. Характеристические функции
Основныеформулы
' Характеристической функцией Е(ц) случайной величины X
называется математическое ожидание функции eiaX (где и —
вещественная величина, а 1 = У—1):
E(w) = Mk‘aX].
Для непрерывной случайной величины
Е(и) = $ eittXf(x)dx,
где f(x) — плотность вероятности случайной величины X.
Для дискретной случайной величины
E(U)=^pkeill\
k = l
где Хд, —частные значения случайной величины, Pk —
= Р(Х = х*)— соответствующие им вероятности.
Если начальный момент mk существует, то
Плотность вероятности /(х) однозначно выражается через
характеристическую функцию:
f (х) = е~iux Е (и) du.
Последняя формула для дискретных случайных величин
дает плотность вероятности в виде суммы дельта-функций.
Между функцией распределения и характеристической функ-
цией существует взаимно однозначное соответствие.
§ 161
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
113
Решение типовых примеров
Пример 16.1. В партии, состоящей из п изделий,
т изделий дефектных. Для проверки качества произведена
бесповторная выборка г изделий (tn г п — т). Найти
характеристическую функцию числа дефектных изделий, со-
держащихся в выборке.
Решение. Случайная величина X — число дефектных
изделий, содержащихся в выборке, — может принимать в^е
целочисленные значения в интервале (О, tn), Обозначим
pk = P (X — k), где k = 0, 1, 2, ..., т.
Имеем':
Следовательно,
Аналогично
Пример
случайной величины
Ck рГ— k
m^n-m
Pk —---^7—•
характеристическая функция
™ pk pr—k
E(u) = У	
решаются задачи 16.1 — 16.5.
16.2. "
Найти характеристическую функцию
X, плотность вероятности которой
Решение. Так
как характеристическая функция
Е(и) = eiuxf(x)dx,
то

“ 2
о
— co
_ 1 [ 1
“ 2 \ 1 — la	1
1
114
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
т. е.
Аналогично решаются задачи 16.6—16.12.
Пример 16.3. Случайная величина X имеет характе-
ристическую функцию
Найти плотность вероятности этой случайной величины.
Решение. Плотность вероятности f (x) связана с ха-
рактеристической функцией
Е(и) соотношением
со
=	§ e~iax E(u)du.
— 00
Подставив значение Е (и),
и получим
оо
=	§ 1 4--И’ du-
— 00
Будем рассматривать и как вещественную часть комплек-
сного переменного w = и lv.
При х<^0 интеграл по вещественной оси равен инте-
гралу по замкнутому контуру, состоящему из вещественной
оси и полуокружности бесконечно большого радиуса, лежа-
щей в верхней полуплоскости (рис. 14), т. е.
e-iux
/W —2я 14-Иа
— со
1 С e~ixw
du = -~- ф г-1—zdw
2^ j 1 + w2
На основании теоремы о вычетах
С e'ixw 1 о . (e~ixw\
Фтп---2UW=2uZ ~75---- =
j 14-w2	V lw=i,
или, учитывая, что х<^0, имеем >
§ 16]
' ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
115
Аналогичным образом при х^>0

e~iux	] P gittix
T+tfdu = b<, ) i 4.U|
| p eixw
dui = о - ф Ti—5 dw9
1 2к j 14- w8 • ’
где интегрирование ведется по тому
На основании теоремы о вычетах
же контуру (рис. 14).
pixw
т-i—rdw
1 + w2
пё
w — i
или, учитывая, что х^>0, имеем

Таким образом, для любого значения х
7(х)=1е-1Ч
Аналогично решаются задачи 16.15 и 16.16.
Пример. 16.4г Найти начальные моменты случайной
величины X, характеристическая функция которой Е(и) =
1 ’
— 1 + и* *	I .
Решение. Начальные моменты существуют любого
порядка, так как все производные от Е (и) непрерывны
в нуле. Следовательно,
1 dkE(u)l
Найдем производные -	| 0 как коэффициенты при uk/kl
,	1	И"~	АЛ
в разложении функции в ряд Маклорена, т. е. исполь*
зуем равенство
1	__у dkE (и) 1 ик
1+«а	duk и=о k\ *
k = 0
116
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
С Другой стороны, функция
суммой геометрической прогрессии:
оо
nh=r=W= 2 «"= 2
m = 0	т = 0
при I и | << 1 являете^
ч
оо
Итак, ряд Маклорена для функции р-р ц2~ содержит только
четные степени и. Отсюда следует, что
dkE(u) 1	( при k четном,
duk |и=о	I о при k нечетном,
а начальные моменты -
( k\ при k четном,
mk = < п
( 0 при k нечетном.
Аналогично решаются задачи 16.3, 16.7, 16.8, 16.10, 16.14.
Задачи
16.1.	Найти характеристическую функцию числа появле-
ний события при одном испытании, если вероятность появле-
ния события при одном испытании равна р.
16.2.	Найти характеристическую функцию числа появле-
ний события А при п независимых испытаниях, если вероят-
ность появления события А от испытания к испытанию ме-
няется и для Л-го испытания равна pk <(&=1, 2, ..., п).
16.3.	Определить характеристическую функцию случайной
величины X, имеющей биномиальное распределение, и по
ней найти М [X] и D [X].
16.4.	Найти 'характеристическую функцию дискретной
случайной величины X, подчиняющейся закону распределе-
ния Паскаля (пг = 0, 1,2,...)
(«>°)>
и по ней найти М [А"] и D [X].
16.5.	Случайная величина X дискретного типа подчи-
няется закону Пуассона (/га = 0, 1, 2,...)
пт
р^='">=д^-
§ 16]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
117
Найти: а) характеристическую функцию Е(и); б) исполь-
зуя Е(и), найти М [X] и D[X].
16.6.	Найти характеристическую функцию нормально рас-
пределенной ’Случайной величины с математическим ожида-
нием х и дисперсией о2.
16.7.	Найти характеристическую функцию и начальные
моменты случайной величины, плотность вероятности которой
е~х для х О,
О для х < 0.
16.8.	Найти характеристическую функцию равномерно
распределенной в интервале [а, Ь] случайной величины и все
ее начальные моменты.
16.9.	Случайная величина X имеет плотность вероят-
ности
/(х) = 2h*xe~ h2x2 (х 0).
Найти ее характеристическую функцию.
16.10.	Случайная величина X имеет плотность вероят-
ности
/(х) = /г(Х)-гХ	при х=^0’ (а, Х>0).
(	0	при х<^0
Найти ее^характеристическую функцию и начальные мо-
менты.
16.11.	Найти' характеристическую функцию случайной
величины X, плотность вероятности которой (закон аркси-
нуса)
fix)=---, 1 (I х I < а).
16.12.	Случайная величина X подчиняется закону Коши
f{x) = — (х _ с)а .
Найти ее характеристическую функцию.
16.13.	Пользуясь выражением
к., ч	Г. _ к2аг
Е (к) = ехр\тх-----у-
I
118
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
для характеристической функции закона нормального распре-
деления, найти характеристическую функцию для случайной
величины: a) Y=аХ Ь, б) X = X — X
16.14.	Пользуясь выражением
Е(и) — е	2
для характеристической функции центрированной случайной
величины X, подчиняющейся закону нормального распреде-
ления, определить все центральные моменты.
16.15.	Характеристическая функция случайной величины X
задана в виде
Е(и) — е~аШ (а>0).
Определить плотность вероятности X.
16.16.	Даны характеристические функции
о z ч 1 4- iu	г- , ч	1 — in
El (и)—j	Е2(н)	1 + а!.
Определить соответствующие им плотности вероятностей.
16.17. Дана характеристическая функция
Е (П) = 2e-~iu — 1 *
Показать, что она соответствует случайной величине дискрет-
ного типа. Найти ряд распределения этой величины.
§ 17. Вычисление полной вероятности и условной
плотности вероятности после опыта
для гипотез, являющихся возможными значениями
непрерывных случайных величин
Основные формулы
Полная вероятность события А вычисляется по формуле
со
Р(Л)= J f(x)P(A\x)dx,
—00
где f(x)— плотность вероятности случайной величины X,
от значений которой зависит вероятность появления собы-
§ 171
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ГИПОТЕЗ
119
тия А; Р (А | х) — вероятность появления события А, вычи-
сленная в предположении, что случайная величина X приняла
значение х.
Условная плотность вероятности /(х|Д) случайной вели-
чины X, т. е. плотность вероятности при условии, что со-
бытие А имело место, определяется формулой
f(x | А) — —о—р ।----------(обобщенная формула Байеса),
/(х)Р(Д \x)dx
— 00
где f(x)— плотность вероятности случайной величины X
др опыта.
Решение типовых примеров
Пример 17.1. Вероятность события зависит от случай-
ной величины X и выражается следующей формулой:
Г 1 — e~kx при х О,
Р(Д|х)={ п	(*>0).
1	(	0 при х<^0	^
Найти полную вёроятность события Д если X является
нормально распределенной случайной величиной с математи-
ческим ожиданием х и дисперсией а2.
Решение. Полная вероятность события А
Р(4) = 5 /(х) Р (А I х) dx.
— 00
Подставляя сюда заданную плотность вероятности
1	(*—*)3
f(x)=—±=e	™ ,
получим
«?	.	(л---у)2
Р(Д)=\—2а2 (l—^)dx==
1 Т (х — х)2 t
dx.
120
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Показатель степени • у
привести к виду
е в последнем интеграле можно.
kx
(х-х + Ь2)2	№\
2? Л Г “ 2 Ь
(X — х)2
2g2
Следовательно,
Аналогично решаются задачи 17.1—17.10.
Пример 17.2. Отклонение размера детали от середины
поля допуска шириной 2d равно сумме двух случайных ве-
личин X и У, имеющих плотности вероятности
и
?СУ) = —yfe 2’’
ау У 2л ,
Определить плотность вероятности случайной величины X
для годных деталей, если распределение <р (у) не зависит от
того, какое значение приняла случайная величина X.
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что
изготовленная деталь оказалась’годной. Условная вероятность
Р (А | х) получения годной детали, вычисленная в предполо-
§ 17}	ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ГИПОТЕЗ -	121
жении, что случайная величина X приняла значение х, равна
— х -\-d	_ у2
Р(А|х) =	—^re ^dy =
Пусть f (х | А)— условная плотность вероятности случай-
ной величины X для годных деталей, тогда
Лх|А)==	о/(х)Р(Л|х)	.
5 f(x)p(A\x)dx
— 00
Подставляя значения f(x) и Р (А | X), пЪлучим
_ *2_
/(х । а) =——LaJJ—
00	— —-
С 1	2о1 1 Га Iх + d \	- fx — d \] , >
\ --е -FT I Ф —-1--  ) — Ф (- П/х
' <зх	2 L \ а.у /	\ /J
—00
ИЛИ
_ х2 —
/(х | А) = 2 g*/2*- 1 \°у '- °у . .
'	‘ ф(/°г+°г)
Задачи
ч •
17.1.	На плоскости проведена прямая, на которой с рав-
ным интервалом I отмечены точки. Определить вероятность
того, что хотя бы одна точка попадает в круг диаметром Ь,
перемещающийся в той же плоскости таким образом, что
центр круга движется по прямой, пересекающей проведен-
ную прямую линию под углом 0, равномерно распределен-
ным в интервале (0Ь Оз), а точка пересечения прямых равно-
мерно распределена в интервале Z(Z^>£>). (Углы 61 и 02 удов-
летворяют условиям sin 01 у и sin 02 у А
122
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
17.2.	На каждой из двух параллельных прямых незави-
симо отмечены точки с постоянным интервалом / = 100 м.
Определить вероятность того, что хотя бы одна точка попа-
дет внутрь бесконечной полосы шириной D = 25 м, которая
расположена в той же плоскости, что, и прямые, таким обра-
зом, что ограничивающие ее прямые перпендикулярны дан-
ным прямым, а середина полосы равномерно распределена
на интервале /.
17.3.	Найти вероятность попадания одним выстрелом
в мишень, если расстояние D до мишени в момент выст-
рела — случайная величина, равномерно распределенная
в интервале от 100 до 200 м, а условная вероятность попа-
3000 о
дания в цель равна где D выражено в м.
17.4.	На берегу пролива шириной L = 30 км установ-
лена наблюдательная станция, дальность обнаружения которой
является нормально распределенной случайной величиной
с математическим ожиданием х = 20#лг и срединным откло-
нением Е = 1 км. Судно с равной вероятностью может про-
ходить через пролив, идя вдоль берега на любом рассто-
янии от берега. Найти вероятность того, что наблюдательная
станция обнаружит судно, если станция ведет наблюдение
перпендикулярно проливу.
17.5.	На правую чашку весов положен груз, вес кото-
рого подчинен нормальному закону распределения с параме-
трами х = 20 кг и Е=\ кг. На левой чашке весов нахо-
дится другой груз, вес которого равновероятен в пределах
от 0 до 50 кг. Определить вероятность того, что правая
чашка перевесит левую. Сравнить полученный результат
с тем, который получился бы в предположении, что груз
правой чашки не случаен, а в точности равен 20 кг.
17.6.	Произведено п независимых измерений нормальной
случайной величины X, математическое ожидание которой
совпадает с началом отсчета, а срединное отклонение равно R.
Найти вероятность того, что результат хотя бы одного
измерения отклонится от случайной величины Z не более
чем на ± г, если Z равномерно распределена в интервале
(-/, Z).
17.7.	Имеется п независимых случайных величин Хь Хъ ...
..., Хп, имеющих одну и ту же плотность вероятности f (х).
Размахом этих случайных величин называется случайная
§ 17]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ГИПОТЕЗ	123
I
величина
Wn == ^max X min>
где Хтах — наибольшее, a Xmin — наименьшее из полученных
значений Xj (/=1, 2,	п).
Найти функцию распределения размаха
F (w) = Р (Wn w).
17.8.	Какова вероятность того, что две точки, наудачу
выбранные в круге, будут лежать по одну сторону от хорды,
проведенной параллельно заданному направлению, расстояние
которой от центра является равномерно распределенной слу-
чайной величиной?
17.9.	Координаты Xi случайных точек Д, А2, Ап
независимы и имеют плотности вероятностей
fi(x) (/=1, 2,	и).
Одна из этих п точек совпадает с некоторой отметкой Ло,
отклонение координаты которой от заданного числа имеет
плотность вероятности /(х). Определить вероятность того,
что с точкой совпала точка А^
17.10.	Случайная величина X подчиняется закону Пуассона
Р{Х=т) = ^е~’,
параметр которого неизвестен, но имеет до опыта плотность
вероятности
f(a) = ae~a (а>0).
Произведен опыт, в результате которого случайная вели-
чина X приняла значение т$. Найти плотность вероятности а
после опыта.
ГЛАВА III
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§18. Законы распределения и числовые характеристики
систем случайных величин
Основные формулы
Функция распределения (интегральный закон распределе-
ния) F(xb х2, хл) системы п случайных величин
(Xi, Х2, ..., Хл) определяется формулой
F (xj, х2, ..., хя) — Р (Xi Xi, Х2 х2, ..., Хп xrt).
Для системы непрерывных случайных величин существует
плотность вероятности (дифференциальный закон распреде--
ления), определяемая формулой
/(-Vi, х2,
v ч___dnF(xlt х2, ..., хп)
п' dXidxs ... дхп ‘
Система дискретных случайных величин характеризуется
совокупностью вероятностей Р (Xi = Zi, Х2 = /2, ..., Хп = /л),
которые могут быть сведены в таблицу с п входами (по
числу случайных величин).
Функция распределения для непрерывных случайных вели-
чин выражается в виде кратного интеграла
F (Xi, х2,
• • > =
хп Xn-l XI
= 5	$ ••• $ /(хь •••> xn)dxidxi ,"dxn,
— ОО — 00	—00
§ 181
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
125
для дискретных случайных величин — в виде кратной суммы
F 0^1, *^2? • • • , ^п) —
= S S - S р№='ь	.... *„=/„),
ii<xih<x3 in<*n
суммирование производится по всем возможным значе-
ниям каждой из случайных величин, для которых 11<^хь
1'2	-^2> • • • >
При п = 2 система непрерывных случайных величин мо-
жет интерпретироваться как случайная точка на плоскости,
а при л = 3 —как случайная точка в пространстве.
Вероятность попадания случайной точки в область S -
равна интегралу от плотности вероятности по этой области.
Основными числовыми характеристиками системы п слу-
чайных величин являются математические ожидания
ОООООО'	-
М[Х,]= $ J ... J Xif(xb х* ..., хп) dxidx^ ... dxn,
—СО —00 .	—00
дисперсии
0[Хг] = Лгг = о? =
00	03 оо
= 5 J ... J (Xi — X/)2/(xi, х2, ..., хл) dxidx^... dxn
—оо —оо	—оо
и корреляционные моменты
М [{Xi - Xi) (Xj - х})] = k4 =
, 00 ОО 00
== s S * * * s j Xj) X
—ОО —00	—00
*2, . . • , Хл) dxidx* . . . dxn.
Аналогичным обрдзом вычисляются моменты для дискрет-
ных случайных величин, где интегрирование заменяется сум-
мированием по всем возможным значениям случайных величин.
126
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН i
Вторые центральные моменты составляют корреляцией*
ную матрицу
11Ы=
£11	£12	£13	•	•	•
£21	£22	£23	•	• •	£2/2
£31	£32	£33	•	• •	£зл ’
£Л1	£л2	£л3	•	• •	£лл
где kij = kji. Иногда оказывается удобной формула.
ktj = м [ХЛ7] - м [Х£]. м [Х;].
Случайные величины Xit Хъ ..., Хп, входящие в систему,
не коррелированы (не связаны), если недиагональные элементы
корреляционной матрицы равны нулю.
Безразмерной характеристикой связи между случайными
величинами X} и Xj служит коэффициент корреляции
£//
Гг7=уоЩоШ’
Коэффициенты корреляции
корреляционную матрицу
составляют нормированную
Г12	Пз	Пл
1	Из	• • •	Пл
^32	1	• • •	Пл	’
ГП1 Гп2 Гпъ ... 1
где п7 = />
Непрерывные случайные величины Хъ Хъ Хп, вхо-
дящие в систему, независимы, если
f (Xj, Хз, •.., Хл)-----------/1 (-^1) /2 (-^2) • • • fn
и зависимы, если
f («^1, -^2> • • •, *^л)	У1 0^1) У2 (^2) • • • f п (-^л)»
где — плотность вероятности случайной величины Xt
(см. § 20).
§ 18]
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
127
Дискретные случайные величины Хь ..., Хп незави-
симы, если при всех возможных tk
Р^ = 1Ь Х2 = 12, Xn = in) =
= P(Xl = i.) P (X2 = Z2)... P (Xn = in\
Решение типовых примеров
Пример 18.1. В результате испытания изделие может
быть либо отнесено к первому сорту с вероятностью pl9
либо ко второму сорту с вероятностью р2, либо забрако-
вано с вероятностью р3 = 1——р2. Испытано п изделий.
Определить распределение вероятностей различных чисел из-
делий первого и второго сорта, прошедших испытания, их мате-
матические ожидания, дисперсии и корреляционный момент.
Решение. Обозначим число изделий первого сорта
через Х9 а число изделий второго сорта через У. Так как
испытания независимы, то вероятность того, что k изделий
будет отнесено к первому сорту, 8 изделий — ко второму
сорту, а остальные п — k — s изделий будут забракованы
(с учетом числа всевозможных сочетаний трех слагаемых k,
s и п — k — 8, из которых может быть составлена сумма п),
равна
P(X=k, У=$)=.,,, п\----------T,^PlPnt~k~s>
4	’	7	k\s\ (п — k — 8)!Г1Г2Гз	’
Pi H-aH'A = 1.
Значения этой вероятности при & = 0, 1, п, 8 = 0,
1, ..., п и k-^-s^n составляют искомую совокупность
вероятностей различных чисел изделий первого и второго
сорта. Математическое ожидание числа изделий первого сорта
п n — k
М[ЛГ] = х=У У Ь-г. ”!.--------------=
L *	&!s! (п — k — §)!Г1Г2Гз
£ = 0s=0
(п n—k
2 2 ft!s! (n — k — s)\pklP^~k~S ’~
k — ^s=Q
~P1 (Pl +^2 + Ptf = nPl (Pl +?2 -f-ft)”-1 — Пру
128
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Дисперсия числа изделий первого сорта
D[X]= У У	-T\PkPs>Pt~k~s— х* =
1 J	k\s\ (п — k — 8)! Л1Г-Гз
Zf = O5 = O
= Pl^~/y У	— х~ =
ri дрг | ш &!s! (гг — &з)И 1Г2Гз |
(/г = 0$ = 0	•	J
=Pi	{«Л (Р1 + р* +/’з)'г-1} — & =
= npi-{-n(n— — п'р\ = прг(\ —pt).
Аналогично находим
М[И=^, D[Y] = np,[\-p^
Корреляционный момент между числом изделий первого
и второго сорта равен
kху= У У ks-rr-r-—-------------ъР^Р?~k~s— ху =
у	k\s\ (п — k — 8)!Л1Г2Гз
k=Qs=0
=P1 WlPi	~~ n*PiPi=
==Pl	{пр-2 (Pl -{-Pt Ч-Рз)"-1} — n<iPlPt =
= п(п— \)pip't. — tPpiPt = — nptpt.
Пример 18.2. Дана плотность вероятности системы
случайных величин (X, У):
/(х, j) = 0,5sin(x-|-jv) ^О^х^-^-,
Определить: а) функцию распределения системы; б) мате-
матические ожидания X и Y; в) корреляционную матрицу.
Решение. Находим функцию распределения ^при
О^х^у и
ху
F(x> д/) = Р(Х<^х,	= 0,5sin(x-{-j/)rZxrfy =
о о
— 0,5 [sin х 4- sin у — sin (х	j)].
§ 18]	ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Математическое ожидание случайной величины X
тс/2 тс/2
М [X] — 0,5 j $ х sin (х 4~.У) dx dy =
0 0
тс/2
= 0,5	х£—cos ^х4~у^ -j“COSx]</х=у = 0,785.
Дисперсия случайной величины X .
тс/2 тс/2
D [X] = 0,5 j	х4 sin (х + У) dxdy — jg ==
= 0,5^ х4[—cos^x4-Y^4_c°sx]dx — =
= S + ^H 2 = 0,188.
Из симметрии плотности вероятности относительно X и Y
следует, что
М[У] = М[Х], D[y] = D[XJ.
Корреляционный момент
тс/2 тс/2
kxy = 0,5 \ \ хуsin(х-|“У)dxdy — =
тс/2
ТС \ '	.	ТС /	| ТС J тс3
у 1 — sinx — -2 cos (х4- у) ах —	=
= у—! — та=—°’046-
2	lb
Таким образом, корреляционная матрица имеет вид
[ 0,188 —0,046
ИМ = ||_о,о46	0,188 ’
Аналогично решаются задачи 18.18 и L8.19.
5 Б. Г. Володин и др.
130	СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. 11^5
Пример 18.3. Иглу длиной I бросают на плоскость/
на которой на расстоянии L друг от друга проведены парал-
лельные линии. Определить вероятность пересечения иглой
одной из линий, если
1 11	"* (задача Бюффона).
Решение. Введем си-;
стему случайных величин
ч	(X, Ф), где X— расстояние
от середины иглы до бли-
жайшей линии, а Ф — острый
угол между иглой и линией
,	(рис. 15). Очевидно, что X
--------------------------- распределено равномерно
Рис. 15.	в интервале [0, L/2], а Ф
распределено равномерно
2 2	4
в интервале [0, те/2]. Поэтому /(х, <р) = —— = при
Пересечение иглой одной из линий происходит при задан-
ном ср, если О^х^-^2-^-. Отсюда
Z sin у
те/2	2
П	4	\ ,	\	.	2/
Р = ~т	•'	J	ах = -г.
тс/,	о	0	тс/.
Аналогично решаются задачи 18.20 и 18.21.
Задачи
18.1.	Координаты A, Y случайной точки распределены
равномерно внутри прямоугольника, ограниченного абсциссами
х = а, х = Ь и ординатами у = с, y = d (b^>af d^>c).
Найти плотность вероятности и функцию распределения си-
стемы величин X, У,-
18.2.	Система случайных величин (X, У) имеет плотность
вероятности
f(x> У) = 712(16_|_х2)(25 + у2) ’
Требуется: а) определить величину А; б) найти функцию
распределения F (х, у).
§ 18)
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
131
18.3.	Определить плотность вероятности системы трех
положительных случайных величин (X, У, Z) по заданной
функции распределения
F(x, у, г) = (1 — е-ах)(1— ^(1 — е**)
(х 0, у 0, z X 0).
18.4.	В условиях предыдущей задачи определить геомет-
рическое место точек, обладающих одинаковой плотностью
вероятности
У, z)=/o, f^abc.
18.5.	Система (X, У) задана следующей двумерной таблицей
(матрицей) распределения вероятностей (табл. 7):
Таблица 7
Р (X = Z, Y = /)
	0	1	2	3	4	5	6
0	0,202	0,174	0,113	0,062	0,049	0,023	0,004
1	0	0,099	0,064	0,040	0,031	0,020	0,006
2	0	0	0,031	0,025	0,018	0,013	0,008
3	0	0	0	0,001	0,002	0,004	0,011
Требуется: а) составить функцию распределения; б) опре-
делить вероятность Р(У^2); в) определить М [X], М(У] и
корреляционную матрицу.
18.6.	Система независимых случайных величин Xi, Х2, ...
• Хп задана плотностями вероятностей /i(Xi), /2(х2), ...
• • • > fп (х«). Определить функцию распределения этой системы
случайных величин.
18.7.	Задана плотность вероятности /(хх, х2) системы
Двух случайных величин, которые могут быть реализованы
лишь совместно. Наблюдены значения величин и и v. Опре-
делить вероятность того, что и является реализацией случай-
ной величины Xi, a v—случайной величины Х2.
18.8.	Задана плотность вероятности системы трех случай-
ных величин /(хъ х2, х3), которые могут быть реализованы
лишь совместно. Наблюдены значения этих величин и, v, w,
б*
132
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
{ГЛ.
причем неизвестно, реализацией какой из случайных вели-'
чин является каждое из этих значений. Определить вероят-7
ность того, что и является реализацией Хь aw — реализа-
цией Х3.
18.9.	Определить вероятность попадания случайной точки
в указанную на рис. 16 заштрихованную область, если задана
функция распределения F(x, у).
Рис. 16.
18.10.	Определить вероятность попадания точки с коор-
динатами (X У) в область, определяемую неравенствами
1^С_у=С2), если функция распределения (а0)
F (х, у) =
( 1 — а~х3— а~2Уг	а~х‘~2Уа при х^О, у^О,
|	0	при х<^0 или j/<o.
18.11.	Координаты случайной точки (X, Y) распределены
равномерно внутри прямоугольника, ограниченного абсцис-
сами (0, а) и ординатами (0, &). Определить вероятность по-
падания случайной точки в круг радиуса /?, если а^>Ьу
а центр круга совпадает с. началом координат.
18.12.	Плотность вероятности системы случайных вели-
чин равна
f(x	У•*?+.?) при
|0	при ха Ц-j/2	/?2.
Определить: а) постоянную с; б) вероятность попадания
в круг радиуса a<^R с центром в начале координат.
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
133
18.13.	Случайные величины X и У связаны соотношением
inX Л-nY — c, где т, п и с — неслучайные величины (zn О,
пФ 0).
Найти: а) коэффициент корреляции гху\ б) отношение
среднеквадрлтических отклонений ах]ау.
18.14.	Доказать, что коэффициент корреляции по абсо-
лютной величине не превосходит единицы.
18.15.	Показать, что
kxyz = М [(X - X) ( Y - у) (Z - z)] =
=.М [X YZ] — xkyz —ykxz — zkXy — xyZ.
18.16.	Дана корреляционная матрица системы случайных
величин (АГЬ X* Х3):
\\kiJ II —
16	—14	12
—14	49	—21
12	—21	36
Составить нормированную корреляционную матрицу || Г/у ||.
18.17.	Однотипные детали в зависимости от точности
изготовления различаются по форме на круглые и овальные,
а по весу — на легкие и тяжелые. Вероятности того, что взя-
тая наудачу деталь окажется круглой и легкой, овальной и
легкой, круглой и тяжелой, овальной и тяжелой, соответ-
ственно равны а, р, и 8 == 1 — а — р — 7. Взята одна деталь.
Найти математические ожидания и дисперсии числа круглых
деталей X и числа легких деталей У, а также корреляцион-
ный момент kxy между числом круглых и числом легких
деталей, если а = 0,40, р = 0,05, у = 0,10.
18.18.	Определить' математические ожидания и корреля-
ционную матрицу системы случайных величин (X, У), если
плотность вероятности
f(x, -V)=	1)3 •
18.19.	Определить плотность вероятности, математические
ожидания и корреляционную матрицу системы случайных
величин (X, У), заданных в интервалах (o^x^yj и
134
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[гл. пГ
если функция распределения системы
F(x, у) = sin х sin у.
18.20.	Решить задачу Бюффона о вероятности пересече-
, ния иглой хотя бы одной из прямых для случая 1^>L
(см. пример 18.3).
18.21.	Иглу длины I бросают на плоскость, состоящую
из прямоугольников со сторонами а и Ъ. Определить вероят-
ность пересечения иглой хотя бы одной из сторон, если
a<Z, &<Z.
§ 19. Закон нормального распределения
на плоскости и в пространстве. Многомерное
нормальное распределение
Основные формулы
Плотность вероятности для системы двух нормальных
случайных величин (X, Y) (для нормального закона распре-
деления координат точки на плоскости)
f(x,y) —
_	1 Г~	_ 2г(х — х) (у—у) . (у—у)г
=_________!______е 2ll"r2,l °Sy ’I •
2лахау У 1 — Г8
где х, у — математические ожидания X и У, ау — сред-
ние квадратические отклонения, г — коэффициент корреля-
ции X и Y.
Геометрическое место точек, имеющих равную плотность
вероятности, есть эллипс (эллипс распределения), определяемый
уравнением
(х —х)2 2г(х —х)(у—у) । (у—у)2 _ ,2
°Х°у .	Vy
Если г = 0, то оси симметрии эллипса распределения парал-
лельны координатным осям Ох и Оу, случайные величины
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
135
X и Y не связаны и независимы, а плотность вероятности
_ I Г(х-х)2, G-G)2!
1	2 Л +•	2
о2р-*)8. Су~я81
а -р ~F~+—~
__ г Q L X	> J
кЕхЕу
где = ахр ]/"2, Еу = аурУ~2 — срединные отклонения X и
Y соответственно, а р = 0,4769 ...
Эллипс, определяемый равенством
(х-х)2 । (у-у)*.
Е2х "Г" Еу
называется единичным эллипсом рассеивания.
Плотность вероятности для системы п нормальных слу-
чайных величин (для многомерного нормального распреде-
ления)
j -4 S (*/-*/)
/(хь х* хп) =----------.x—f-e	,
где
^11	Л12 . .. kin
д	Л-22 . • • kin
knl kn2 • • • ^nn
— определитель, составленный из элементов корреляционной
матрицы; kt]1' — элементы обратной матрицы, равные
^*/1) = у Ajt= у Atp
Ац — алгебраическое дополнение элемента kif.
В частном случае трех независимых нормальных случай-
ных величин X, У, Z имеем kxy = kyz = kxz = 0 и
_ ± rG-^)2.G-j)2.(^z)2]
1	О I 2 “Г 2 “Г 2 I
f(x, у, z) = —---------е L вх аУ	j==
(2л) ожауаг
о3Г(х-л)2 , (у-у)» , (г-?)81
— р_________р L Ех Бу Е* J
к3<2ЕхЕуЕг
136
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. III
где Ех, Еу, Ег — срединные отклонения X, У, Z соответ-
ственно.
Этому частному случаю соответствует параллельность
осей симметрии эллипсоида рассеивания координатным осям
Ох, Оу и Oz.
Решение типовых примеров
Пример 19.1. Дана корреляционная матрица системы
четырех нормальных случайных величин (Хь Х% Х3, Х£):
	15	3	1	0
	3	16	6	—2
II II		1	6	4	1
	0	—2	1	3
Определить плотность вероятности f(xb х2, х3, х4), если
Xj =10, х2 = 0, х3 =—10, х4=1.
Решение. Вычисляем алгебраические дополнения опре-
делителя А = det | kij |:
Иц =	16 6 —2			= 28;	Ац— —	3 1 0 3	6 —2		= —13;
	6 4 —2 1		1 3 -2			4 1 16	1 3 6	
	3	16 -						
Аз =	1 0 п	6 —2 > 1 0	1 3	= 16;	= — 11	1 0 5	6 —2 3	4 1 0	= — 14;
Аы —	1 с 15 1 0	i 4	1 1 1 3 i 3 6 । —2 15	<	1 4 = 1 1	162; Аз = — ( 15 = 205;	Л зз= 3 0 1	1 ) - 15	6 -2 3 16 - -2 3	1 : 3 0 —2 3 1	= — 291; = 633;
А^ — -		3 16 0 —2		6 =—405; Аи = 1	3 1	16 6	6 4	= 404.
§ 19]
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
137
Находим	величину	определителя:
15	3 1	0
3	16 6	—2
Д= 1	6 4	1 = 15Ац -4“ ЗД12 —|- А1з = 397.
0	—2 1	3
При составлении формулы плотности вероятности учиты-
ваем, что при в показателе степени содержатся равные
слагаемые
ty" — *i) С*/ —	n (Xj — xj) (Xi — Xi).
Плотность вероятности
Г(Х1, Xi, Xi, X4) = --y—exp {—ipSCXj—lO)9 —
— 2 6 (x4 — 10) x8 32 (x4 — 10) (x3 -|- 10) — 2 8 (x4 — 10) X
X (Xi — 1) -j- 162x| — 582xs (x3 4- 10) 4- 410xa (x4 — 1)
4-633(xa4- 10)2 — 810(x34- 10)(x4— 1)4- 404 (x4 — I)2]}.
Пример 19.2. Случайная точка в пространстве задана
тремя прямоугольными координатами, составляющими систему
нормальных случайных величин с плотностью вероятности
’	/3	-4-|2*2+Ъ’’-2уи + 5) + (г+5)8)
Требуется: а) составить корреляционную матрицу; б) опре-
делить геометрическое место точек, в которых плотность
вероятности равна 0,01.
Решение, а) Так как
/(х, у, Z)=/1 (x)/s (у, Z),
где
— —
/1(х) = с1<?” 4, f*(y, г) =
 1
то
kxy = kxz = 0.
1 Г v2	2Я* + 5) ,(* 4-5)21
Ур2-------4--+—— 1 =
1	ГУ2 __2г -У ~	> & - ~ZY2'
2 о-
138
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ величин
(гл. ш
Отсюда следует, что D[X] = <4 = 2; D[/] = aJ,=-j——*•
D[Z]=ol = r^-T;
L J	* J ___ ^.Z J
4 
з »
---7T---П = -г; r== 0,5; kyg =
’/И1- /)	4’ аусг	Уг
2 0 0
Для проверки можно вычислить нормирующий множитель:
1	_	/3	_ /3
(2л)3/VI— л3/2.2 /2 • /32 — 16л3/2 ’
б) Искомое геометрическое место точек с постоянной
плотностью вероятности является поверхностью эллипсоида
1 Атт3/2
2xs + 4У - 2у (z + 5) + (z + 5)2 = - 8 In	.
Пр и мер 19.3. Определить вероятность попадания точки
(X, У, Z) в область, заключенную между поверхностями
двух параллелепипедов, заданных плоскостями
х = аь	х = Ьь	у = С1,	y = db	z = tnb	z = nlt
а внутренняя поверхность — плоскостями
х = а2,	х = Ь%>	у = с*	у = d%,	z = m*	z = th
(РС>аь di^>cb ni^>mb Z=l, 2).
Рассеивание точек (X, У, Z) подчинено нормальному за-
кону с главными осями, параллельными координатным осям,
центром рассеивания в точке х, у, z и срединными откло-
нениями Ех, Еу, Ez.
Решение. Так как главные оси рассеивания параллельны
координатным осям, то событие, состоящее в том, что одна'
из координат, например X, примет значение в пределах от а
до Ь, не зависит от того, какие значения примут остальные
координаты. Поэтому
Р(а^Х^Ь, c^Y^d, m^Z^n) =
= Р (а Х^ b) Р (с У< d} Р (jn л),
§ 19]
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
139
где
Р (а -а X Ь) = 1 [Ф - 4 (^)].
Аналогично определяются вероятности других неравенств.
Искомая вероятность определится как разность вероят-
ностей попадания в параллелепипеды, ограниченные внешней
и внутренней поверхностями, т. е.
Задачи
19.1.	Известно, что X и Y—независимые нормальные
случайные величины с математическими ожиданиями х и у,
срединными отклонениями Ех и Еу соответственно. Выразить
функцию распределения системы (А, У) через приведенные
функции Лапласа.
19.2.	Даны математические ожидания двух нормальных
случайных величин М [А] = 26, М[У] =—12 и их корре-
ляционная матрица
II 196 —91
и//11— _91 169 •
Определить плотность вероятности системы (X, У).
19.3.	Дана плотность вероятности координат случайной
точки на плоскости
f(X, у} = се- [4(лг -5)2 + 2 U - 5) (у - 3) + 5(_у - 3)2].
Требуется: а) определить с\ б) определить корреляцион-
ную матрицу; в) вычислить площадь 5ЭЛ единичного эллипса
рассеивания.
19.4.	Определить в точке Xi — 2, х2 = 2 плотность ве-
роятности системы двух нормальных случайных величин, для
которых jCi = Xi — Q и ||л,7||=	.
140
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ. III
19.5.	Дана корреляционная матрица системы трех нор-
мальных случайных величин (X, У, Z):
II 5 2 —2
1|М=	2	6	3
II —2 3	8
Математические ожидания x=y — z = 0. Найти плот-
ность вероятности f(x,y, z) и ее максимальное значение.
19.6.	Система п нормальных случайных величин имеет
корреляционную матрицу
1 1 1 ... 1 1 1
1 2 2 ...	2	2	2
1 2 3 ...	3	3	3
ИМ= 	
1 2 3 ... п — 2 п — 2 п — 2
1 2 3 ... и —2 п—\ и—1
1 2 3 ... п — 2 п— 1 п
а) Вычислить обратную матрицу, б) Найти плотность ве-
роятности /(хь х2,..., хл), если х1 = х.2 = . . . = хл = 0.
19.7.	Координаты (А^, Yx) и (Х2, У2) случайных точек
на плоскости подчинены нормальному закону распределения,
причем математические ожидания всех координат равны нулю,
дисперсии всех координат одинаковы и равны 10; корре-
ляционные моменты между одноименными координатами
М PGAy = М [ У1У2] = 2; остальные пары координат не кор-
релированы. Найти плотность вероятности f(xi, yif х2, j2).
19.8.	Координаты (X, Y) случайной точки А на плоскости
подчинены нормальному Закону
f(x> У)
2паЬ
Определить вероятность того, что точка А окажется внутри
эллипса с главными полудиаметрами ka и kb, совпадающими
с координатными осями Ох и Оу. '
§ 19]
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
141
(X
19.9.	Координаты случайной точки А в пространстве
У, Z) подчинены нормальному закону
f(x, у, Z)
£2 • £2 ‘ £2 }
1	«2 о/
р’	-₽s
----е
^>2EiEtEl
Определить вероятность того, что точка А окажется
внутри эллипсоида с главными полудиаметрами kElf kE% и
kE& совпадающими с координатными осями Ох, Оу, Oz.
19.10.	Определение координат точки на плоскости сопро-
вождается систематической ошибкой d в одной из ее прямо-
угольных координат и случайной ошибкой, подчиненной нор-
мальному круговому закону распределения со срединным от-
клонением Е. Определить вероятность того, что линейная
ошибка в определении положения точки не превзойдет вели-
чины R.
19.11.	Система случайных величин (X, У) подчинена нор-
мальному закону с числовыми характеристиками М[Х] =
— м [У] = 0, Ех = Еу— 10, kxy = Q. Определить вероятность
того, что а) X У; б) X 0; У 0.
19.12.	Вычислить вероятность попадания случайной
точки А, координаты X, У которой подчинены нормальному
закону, в прямоугольник со сто-
ронами, параллельными главным
осям рассеивания, если коорди- /ГГЖх/тЖ
наты вершин прямоугольника бу- /П
дут (а, Ь), (а, d), (с, b), (с, d)	Тжд
при а = —5,	/>=10, г = 5, /	\
d = 20 и х = 0, J7= 10, Ех = 20,
Еу=i °.
1913. Случайная точка рас-
пределена по нормальному кру- \	\ х У
говому закону со срединным от- <
клонением £*=10 м. Сравнить
вероятность попадания в фигуру,
площадь которой 314 л/2, если она	Рис* 17,
имеет форму: а) круга; б) квадрата;
в) прямоугольника с отношением сторон 10:1. Центр рас-
сеивания совпадает с геометрическим центром фигуры.
19.14.	Найти вероятность попадания случайной точки
в заштрихованную (на рис. 17) фигуру, ограниченную тремя
концентрическими окружностями и лучами, выходящими из
142
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. III
общего центра О, если радиус внешней окружности /?, рас-
сеивание случайной точки на плоскости нормальное круго-
вое со срединным отклонением Е. Центр рассеивания сов-
падает с точкой О.
19.15.	Найти вероятность попадания случайной точки в фи-
гуру, ограниченную концентрическими дугами, проведенными
радиусами Ri и R^ и лучами, выходящими из общего, центра
дуг О, если рассеивание случайной точки на плоскости нор-
мальное круговое со срединным отклонением Д а угол между
лучами равен а. Центр рассеивания совпадает с точкой О
19.16.	Для вероятности попадания случайной точки в прямо-
угольник со сторонами 2d и 2&, параллельными главным осям
рассеивания, имеет место приближенная формула
Р(х,
А-Ц,е
кар
которой рекомендуется пользоваться при значениях d/Ex и
kfEz, не превосходящих 1,5. Приравняв нулевые и вторые
моменты левой и правой частей равенства, определить зна-
чения А, а и р.
19.17.	Пользуясь приближенной формулой предыдущей за-
дачи, определить вероятность попадания случайной точки в пря-
моугольник со сторонами 2d и 2Л, па-
раллельными главным осям рассеива-
ния, если координаты центра рассеива-
ния распределены равномерно внутри
данного прямоугольника, а Ех и Ег да-
ны. Сравнить полученный результат с
вероятностью попадания в ту же об-
ласть при совпадении центра рассеи-
вания с центром области.
19.18.	Мишень состоит из четы-
рех концентрических окружностей ра-
диусов 10, 20, 30 и 40 см (рис. 18).
Попадание в «яблочко» оценивается в 5 баллов, в каждое из
трех колец — соответственно в 4, 3 и 2 балла. Задание
считается выполненным, если после трех выстрелов получено
§ 19]
ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
143
не менее 7 баллов, и оценивается на отлично, если получено
более 12 баллов. Какова вероятность выполнить задание при
круговом рассеивании со срединным отклонением 20 см?
Какова вероятность получить при этом отличную оценку?
Центр рассеивания совпадает с центром мишени.
19.19.	Определить вероятность попадания случайной точки
в прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС ~—а и
АС = Ь) параллельными главным осям рассеивания (АСЦОу,
ВС || Ох), если центр рассеивания совпадает с точкой А, а
а b *
— 7Г —
^у
19.20.	Чему равна вероятность попадания точки с коор-
динатами X, Y, Z в область, * представляющую собой шар
радиуса R, из которого вырезан куб с ребром а (диагональ
куба меньше диаметра шара)? Центр рассеивания совпадает
с общим центром шара и куба. Рассеивание нормальное ша-
ровое со срединным отклонением Е.
19.21.	Рассчитать вероятность попадания точки А (X, У, Z)
в прямой круговой цилиндр с радиусом основания R и вы-
сотой h, если рассеивание в плоскости XY, параллельной
основанию, подчинено нормальному круговому закону со
срединным отклонением Е, а рассеивание по образующей
не зависит от X, Y и подчинено: а) нормальному закону со
срединным отклонением В (центр рассеивания находится на
оси цилиндра и делит ее в отношении т: п); б) равномерному
закону распределения в интервале (—Л7, Н) при H^>h.
19.22.	Определить вероятность попадания случайной
точки А (X, К, Z) в прямой круговой конус, вершина кото-
рого совпадает с центром рассеивания; высота конуса /г,
радиус основания Я; рассеивание в плоскости ху, парал-
лельной основанию, подчинено нормальному круговому закону
со срединным отклонением Е, а рассеивание по высоте не
зависит от X, Y и подчинено нормальному закону со сре-
динным отклонением а.
19.23.	Нормальный закон распределения на плоскости
задан математическими ожиданиями случайных величин Xi =
= х2=10 и корреляционной матрицей
мл "II-
144
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ TIt-j
Определить геометрическое место точек, в которых плот-
ность вероятности равна 10“5.
19.24.	Нормальный закон распределения в пространстве
задан математическими ожиданиями случайных величин Xi = 2,
Xa = 0, х3 =— 2 и корреляционной матрицей
\\Ы\ =
О —1
4	О
О	4
4
О
Определить геометрическое место точек, в которых плот-
ность вероятности равна 10Л
19.25.	Для многомерного нормального распределения,
приведенного в задаче 19.6, определить геометрическое место
точек, в которых плотность вероятности равна 10~5. При
каких п задача не имеет решений?
§ 20. Законы распределения подсистем непрерывных
случайных величин и условные законы распределения
/
Основные формулы
Если F (х, у) — функция распределения системы двух слу-
чайных величин, то функция распределения случайной вели-
чины X
х со
Fx(x)=F(x, оо)= § J f(x, y)dydx.
— 00 — 00
Аналогично для функции распределения Y
У 00
Fy(y)=F(oo, у) =	/(*> y)dxdy.
— 00—00
Плотности вероятности случайных величин, входящих
в систему, равны
tx{x)= \ f(x, y)dy,
— со
fy(y)— J f(x, y)dx.
— oo
§ 20)
УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
145
Если F(xb хъ ..., хл) — функция распределения системы п
случайных величин, то функция распределения части этих
случайных величин (подсистемы случайных величин), напри-
мер Xlt Х%,	, Xk> равна
Fl, 2...k (xi, x* ... , xk) = F (Xi, Хъ ... , xk, oo, ... , oo),
а соответствующая плотность вероятности
fl, 2, ,,. , k *^2> • • • >	~:
CO	00
----	f *^2» • • • > ^Xfa^X • • •
— oo — oo
Плотности вероятности одной из двух случайных величин,
входящих в систему, вычисленные при условии, что другая
случайная величина приняла определенное значение (условные
плотности вероятности), равны
Jy\y)	J х\л)
Плотность вероятности подсистемы случайных величин
(Хп Хъ ... , Xk\ вычисленная при условии, что остальные
случайные величины X*4i, Л^+2, ... , Хп приняли определен-
ные значения, равна
1(Х1, Х%, ... , Х^ j Х#+2, ... > х^) —•
__ f (*^1, Х%) ... , Хп}
fk+1) ... , n \Xk+it ••• > xn)
Плотность вероятности системы выражается через услов-
ные плотности вероятности по формуле
f (Х\9 Л72, Xfy • • • , Xf^ ——
= /1(Х1) /2(Х2|Х1) /з(*з|*Ь Х2) ... fn(xn\xb X* ... , Хп^).
Решение типовых примеров
Пример 20.1. Положение случайной точки А(Х, У)
равновероятно в любом месте эллипса с главными полудиа-
метрами а и &, совпадающими с осями координат Ох и Оу
соответственно.
Требуется: а) определить плотности вероятности каждой
из прямоугольных координат и их взаимные условные плотности
146
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. III
вероятности; б) исследовать зависимость и коррелированность
случайных величин, входящих в систему.
Решение, а) Так как
у) =
то при заданном х в интервале [—а, а] плотность f(x, у)
*1 /~ х%
отлична от нуля лишь тогда, когда —by 1—
значит,
При | х | а Д(х) = 0. Отсюда
-----== при |х|<а,
О при |х|<^а,
8 (у) при | х | = а.
ly^b 1^1-^,
Аналогично
у^Ь,

f(x\y)
1
= при
Ы<Л |х|<а]/1-р
И	_____
/(х|_р) = 0 при И<&, |x|>aj/”l — f2, . /(x||j|=s
= />) = 8(x).
§ 20]	УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	147
б)	Корреляционный момент X и Y
оо оо
kxy= §	§ xyf(x, y)dxdy,
—СО —00
причем функция под знаком интеграла отлична от нуля внутри
эллипса
а2 ь2 ~ 1 *
Производя замену переменных
х = ar cos ср,	y = br sin ср,
получим
2тс 1
kxy =	arbr cos ср sin ср abr dr dy = 0.
о о
Таким образом, случайные величины X и У являются не
коррелированными (kxy = 0), но зависимыми, поскольку
fx(x)fy(y)z£f(x, у).
Пример 20.2. Координаты случайной точки на пло-
скости подчиняются нормальному закону распределения
f(x9 у)= 2КО1О2/ТТГр X
VpYnJ 1	Г(* —*)а 2г(х — х)(у — у) . (у — у)211
Хехр| 2(1 - г2) L	Г a! Jr
Определить: а) плотность вероятности координат X и Y;
б) условные плотности вероятности /(_у |х) и /(х|_у); в) услов-
ные математические ожидания; г) условные дисперсии.
Решение, а) Для плотности вероятности координаты
X имеем
00
fx(A— $ f{x, y}dy.
— ОС
Производя замену переменных
и учитывая, что 4
рА-. [н* _ 2ruv +	= «*+ (Р^“)8,
148
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. III
получим
1
(?> — га) 2	1
2(1-^><й, = —J—е 2
а, /2тс
ИЛИ
(ж-*)3
fx(x) = —^=e	2о?
Gx У 2тс
Аналогично находим
(у-уУ
fy(y) = -^e 2°1
с2у2п
б) Разделив /(х, у) на fx{x\ получим
и аналогично
/Су I jc) . Оа ул2я _ г>
О1/2л/1-г8
в)	Из выражений для условных плотностей вероятности
следует, что условное математическое ожидание случайной
величины Y при фиксированном значении Х = х равно
Ух= м [ УI х] =J + г а± (х — х).
Аналогично
ху = М [Л' |j]=х+г J Су — J).
Эти уравнения, выражающие линейную зависимость услов-
ного математического ожидания одной из случайных величин
от фиксированного значения другой случайной величины, на-
зываются уравнениями регрессии.
г)	Из выражений для условных плотностей распределения
следует, что условные дисперсии равны
D[y|x] = o2V|X = o3(l-г»),
0Н|^=а1|>==0|(1-г3).
§ 20]
УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
149
Пример 20.3. Определить плотность вероятности длины
радиуса-вектора, если координаты его конца А подчинены
нормальному круговому закону
1	_ *2+.У8 Z ‘
Решение. Переходим от прямоугольных координат
точки А к полярным (г, <р). Вероятность попадания значения
радиуса-вектора в интервал (г, r-J-dr), равная fr(r)dr> может
Рис. 19.
быть найдена как вероятность попадания случайной точки А
в бесконечно узкое кольцо, показанное на рис. 19.
Следовательно,
fr(r)dr =	f(x, y)dxdy.
X2 + J2 (r +
Переходя к переменным интегрирования г, ср и учитывая
выражение для /(х, у), получим
21С	Г2	г2
JrK ’ j 2ка2	т а2
о
(распределение Рэлея).	<
Задачи
20.1.	Система случайных величин (X, У, Z) равномерно
распределена внутри прямоугольного параллелепипеда, обра-
зованного плоскостями х = а^ х = аъ y = bb y = b* z = cb
z — c*. Определить плотности вероятности системы (X, У, Z),
150
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. III
подсистемы (У, Z) и случайной величины Z. Проверить зави-
симость случайных величин, входящих в систему.
20.2.	Положение случайной точки (X, Y) равновозможно
в любом месте круга радиуса R, центр которого совпадает
с началом координат. Определить плотность вероятности и
функцию распределения каждой из прямоугольных координат
X, Y. Являются ли случайные величины X и Y зависимыми?
20.3.	В условиях предыдущей задачи определить услов-
ную плотность вероятности f(y | х) при	и | х | =R.
20.4.	В условиях задачи 20.2 вычислить корреляционную
матрицу системы случайных величин X и Y. Являются ли
случайные величины X и Y коррелированными?
20.5.	Система случайных величин X, Y подчинена равно-
мерному закону распределения внутри квадрата со сторо-
ной а. Диагонали квадрата совпадают с осями координат.
Требуется: а) определить плотность вероятности системы
(X Y)*, б) определить плотность вероятности каждой из прямо-
угольных координат; в) определить условные плотности вероят-
ности; г) вычислить корреляционную матрицу системы слу-
чайных величин (X У); Д) проверить их зависимость и кор-
релированность.
20.6.	Случайные величины (X, Y, Z) равномерно распре-
делены внутри сферы радиуса R. Определить для точек,
лежащих внутри сферы, плотность вероятности прямоугольной
координаты Z и условную плотность вероятности f(x, y{z).
20.7.	Дана плотность вероятности системы неотрицательных
случайных величин	'
f (х, у) = kxуе~ (*2+(х 0, у 0).
Определить k, fx(x), fy(y), f(x\y), /(>|x), первые и
вторые моменты распределения f (x, у).
20.8.	Для системы случайных величин (X, У) известны
fy(y), M[X|j/] и D[X|j/]. Определить М [X] и D[X].
20.9.	Система двух случайных величин (X, У) подчиняется
нормальному закону распределения
/(X, у) =
= k exp {—5А_[(х-5)2+0,8(х-5)(у+2)+0,25О+2Л}.
Определить: а) условные математические ожидания и ди-
сперсии; б) плотность вероятности каждой из случайных
§201
УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
151
величин, входящих в систему; в) условные плотности вероят-
ности f(y | х) и /(x|j/).
20.10.	Плотность вероятности системы двух случайных
величин (X, У) задана в виде
f (х} у) = Ае- ах2+Ьху - су2	(а > 0, с > 0).
Определить закон распределения fx(x) и fy(y). При каких
условиях X и У являются независимыми случайными вели-
чинами?
20.11.	Дана плотность вероятности системы двух случай-
ных величин
/(х, y) — ke~*x2-bxy-$y\
Определить постоянную k, корреляционный момент
между х и У и условные законы распределения f(x | у) и
20.12.	Положение ориентира на плоскости распределено
по нормальному закону при х= 125 м,у =— 30 м, 0^ — 40 л/,
<Ху = 30 м, г^ = 0,6. Координата X определяет отклонение
ориентира «по дальности», т. е. по направлению, параллель-
ному линии наблюдения. Координата У определяет отклоне-
ние ориентира «по боковому направлению», перпендикуляр-
ному линии наблюдения.
Определить: а) плотность вероятности отклонений ориен-
тира по дальности; б) плотность вероятности отклонений
ориентира по боковому направлению; в) условную плотность
вероятности отклонений ориентира по дальности при отсут-
ствии боковых отклонений; г) условную плотность вероят-
ности отклонений ориентира по боковому направлению при
отклонении по дальности -|-25 м.
20.13.	В условиях предыдущей задачи найти уравнения
регрессии У по X и X по У.
20.14.	Определить плотность вероятности длины радиуса-
вектора случайной точки и ее математическое ожидание,
если координаты точки (X, Y, Z) подчинены нормальному
закону распределения
,z .	1 ~ А
Ж у, z) = - 3, е 2aS
152
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. II!
20.15.	Координаты случайной точки А на плоскости хОу
подчинены нормальному закону распределения
Определить плотности вероятности полярных координат
этой точки fr(r) и /?(ср).
20.16.	В условиях предыдущей задачи найти условные
плотности вероятности /(г|ср) и /(ср|г).
20.17.	Прямоугольные координаты X, Y, Z точки в про-
странстве подчинены нормальному закону распределения
f(x, у, Z)=---------в
(2n)3^abc
Определить: а) плотности вероятности сферических коор-
динат этой точки (R, 0, Ф), если х = г cos 0 cos ср, у =
= г cos Osin ср, ^ = rsinO; б) плотность вероятности подси-
стем случайных величин (R, 0) и (0/ Ф); в) условные плот-
ности вероятности f(r 10, ср) и /(ср | г, 0).
20.18.	Для системы случайных величин Хи Yu Y* зада-
чи 19.7 найти плотности вероятности подсистем	х2)
и	У1).
20.19.	В условиях предыдущей задачи определить услов-
ную плотность вероятности /(х2, j/21 Хи j/i), условные мате-
матические ожидания и условные дисперсии
М[Х2|хь М[У8|хь л], D[X2|x„ >i], D[n|xb j/J
при Xj = 0, j/1=10.
20.20*	. Система нормальных случайных величин Хи Х^ ...
, Хп задана своими математическими ожиданиями Xj и
корреляционными моментами 1=\, 2, ... , п). Опреде-
лить условный закон распределения случайной величины
Х = Хп при заданных значениях хь х2, ... , хп^.
ГЛАВА IV
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 21. Числовые характеристики функций
случайных величин
Основные формулы
Математическое ожидание и дисперсия случайной вели-
чины У, связанной заданной функциональной зависимостью
У = <р (X) со случайной величиной X, плотность вероят-
ности f(x) которой известна, определяются формулами
оо
jj = M[y]= 5 <f(x)f(x)dx,
— 00
0[У]= I [<f(.x)]3f(x)dx—yi.
— 00
Аналогичным образом находятся начальные и центральные
моменты любого порядка:
оо
ть[У]= $ [?(x)]ft/(x)dx,
— 00
co
Iх* [ У] = $ 1<Р (X)	dx, k = 1, 2, ...
— co
154	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. IV
Данные формулы обобщаются на любое количество слу-
чайных аргументов: если У=ср(Х1, ... , Хл), то
mk [ И = J ... J [? (*i, x„)]ft X
— 00 (п) — со
f (Ху *^2> • • • , Х^) ^-^1 • • • ^Хц»
Р* [ И = Т • • • J [? (*1>	. . . > Хп) —у]к X
— 00 (п) — 00
f X2i • • •
где f(xb х.2, ... , хл)— плотность вероятности системы слу-
чайных величин Хь X^ ..Хп. Все интегралы предполагаются
сходящимися абсолютно.
Для дискретных случайных величин интегралы в приве-
денных выше формулах заменяются соответствующими сум-
мами, а плотности — вероятностями соответствующих наборов
значений случайных величин (Хь Х2, ... , Хп).
Так, например, если У = у(Хь Х9), где (Xif Х2)— система
двух случайных величин, то
У — м [ У] = у, у ср (хи, х2/)Р(Х1=хп; Х2 = х2у);
1 J
D[y] = £S[<р(хп, х^-у]^Р(Хх = Хи, Х2 = х2у) =
i j
= SS[?(*n, ху)]*Р (Хи = хи; Xi — Xi^—yt
i J
Если функция ср (Xi, Х2, ... , Хп) линейная, т. е. У =
п
= SaA/+&’то
- /=1
п
м [У]= S aJм [*/]+*>
7=1
D [ У] = s Ф [XJ+2 2 s aiajkip
/=1	i = 2/-=l	X
где kij — корреляционный момент случайных величин Xt и ХР
Знание закона распределения случайных аргументов для
нахождения моментов функции не является необходимым
§21]
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
155
также и в некоторых других частных случаях. Пусть Z=XYy
тогда М [Z] = М [X] М [Y] 4~ kxy. Если, кроме того, случай-
ные величины X и Y не связаны, т. е. корреляционный момент
kxy равен нулю, то
D [Z] = D [X] D[У]4-х2D[У] +У D[X],
М [Z]==M [А] М [У].
Последняя формула может быть обобщена на любое число
независимых случайных величин:
Если £-ый начальный момент линейной функции
п
2 ajXj-i-b
7=1
независимых случайных величин существует, то он опреде-
ляется формулой
п
л = 1,2......
7 = 1
оо
где Ex.(t) = fj(х) eltx dx — характеристическая функция
— оо
случайной величины Xj.
Асимметрия и эксцесс случайной величины У в этом
случае определяются формулами
Sk[y]
Г (О
1Ф" (/)f /*
Ех[У]
<PIV (О
1Г(ОР <=о’
где ф (0 = In | e,bt
П
7=1
f
t = 0
Решение типовых примеров
Пример 21.1. Случайная величина X подчиняется бино-
миальному закону .распределения:
P(X = k) = Cknpk(\ — p)n~k	(£ = 0, 1, 2,	п).
156
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ IV
Определить математическое ожидание и дисперсию случай-
ной величины Y=еаХ.
Решение. Случайная величина X может принимать зна-
чения 0, 1, 2, ... , п. Поэтому
п	п
м [ У] = S УтРп. т = S eamC^pmqn-m = (q +реа)*,
т = 0	т — 0
п	п
D [У] = 2	S С^(ре*Тдп-т-у*==
т=0	т = П
= (q-}-pe^r-(q-^pear.
Пример 21.2. Индикатор кругового обзора навигацион-
ной станции представляет собой круг радиуса а. Вследствие
помех может появиться пятно с центром в любой точке
этого круга. Определить математическое ожидание и дис-
персию расстояния центра пятна от центра круга.
Решение. Случайное расстояние R от центра круга
до пятна может быть выражено через прямоугольные коор-
динаты X и У:
Я = ]Л¥«-]- У8.
Плотность вероятности системы случайных величин (X У)
определяется формулой
f(.X, у) =
1
тса2
О
при X2 + У л2,
при х2 _У2^> а^.
Поэтому
2тс а
M[R]=^	= i ( d<f С r*dr = ^ а,
х2_|_у2<а2	Q О
D[R] = i $ $ (x^y^dxdy — гг =
х2_^у2<а*.
2тс a
1 f л С з j 4 э a2
= —2 \	\ dr — a2 = 77.
ля2 J T J	9	18
о о
§21]
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
157
Аналогично примерам 21.1 и 21.2 решаются задачи
21.1—21.14, 21.20—21.24, 21.26, 21.27, 21.29, 21.30.
Пример 21.3. Из партии в N изделий, в которой
имеется T = Np дефектных, произведен выбор без возвраще-
ния п изделий. Определить математическое ожидание и дис-
персию числа полученных дефектных изделий.
Решение. Обозначим через X случайное число полу-
ченных дефектных изделий.
Случайная величина X может быть представлена как
п
Х= ^\Хр где случайная величина Xj равна 1, если /-е
7=1
выбранное изделие оказалось дефектным, и 0 в проти-
воположном случае. Вероятность первого значения равна р,
следовательно, Xj = М [XJ = 0 • (1 — р) 1 -р—Р (так же,
как при решении примера 6.1, можно показать, что вероят-
ность получения дефектного изделия не зависит от J),
Тогда
М [Х] = м
= ^М[Х^ = пР.
j=i
При выборе из партии изделий без возвращения случай-
ные величины Xj зависимы, поэтому
D [Х] = D
п	п 1—1
= SD[X,]+2 S
i=4j = l
где
D [ Xt] = (1 - X^p + (0 - X()* (1 - p) =
= (1 — pYp +р* (1 — P) =P4,
ktj = M [(X, - Xi)(Xj-Xj}] = M [XiXj] - {M PG]}*==
= P (X,= 1) P (Xj = 11 Xi = 1) -p* =p %Et~p* =«
pg,
N— Г
158
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[гл. не-
окончательно
D [X] = npq (1
п — 1 \
А-1Г
Аналогично решаются задачи 21.15—21.17, 21.25, 21.28.
Пример 21.4. Определить математическое ожидание
квадрата расстояния между двумя точками, выбранными на-
удачу на любой из сторон прямоугольника.
Решение. При выборе двух точек наугад на любой
из сторон прямоугольника возможны следующие единствен-
но возможные и несов-
местные события (гипотезы)
(рис. 20):
Hi — точки выбраны на
одной и той же стороне а;
Н%— точки выбраны на од-
ной и той же стороне Ь;
Нз — точки выбраны на
смежных сторонах прямо-
угольника; /Д — точки выб-
раны на противоположных
сторонах а; Н$ — точки выбраны на противоположных сто-
ронах Ь.
Для вероятностей этих гипотез имеем
p<«’=2(£-£)=v-
р<">>=2(£'£)=£.
р<"-)=8(^'й=2?.
Р(ВД = 2(^-2у)=^.
р<"-)=2(^'й=$-
где 2р — периметр прямоугольника.
Определим условное математическое ожидание (т. е. ма-
тематическое ожидание при условии, что имела место
§21]
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
159
гипотеза квадрата расстояния между двумя точками:
М [Z31Я1] =	/(х, у) (х —j)3 dx dy=
О о
S S(х— y?dxdy=^>
о о
М [Z21 Я8] = 1 $ $ (x-y?dxdy = b~,
0 0
М [Z3|/73] = ^ $ $ (x2+/)dxdy = l(a2 + n
M[Z3|/74] = M[fe2 + (X— ]^2] = 63+М[(А'— У)3]=634-у,
М [Z21Я8] = М [а2 + (X — У)2] = а2 + М [(X— У)2]=а3+.
Находим полное математическое ожидание случайной ве-
личины Z2:
M[Z2]= £P(tfy)M[z2|tfy] =
/=1
= -gL (а4 + 4а3& + 6а2*2 + 4ай3 + Ъ*) = (-^±Д =£.
Аналогично решаются задачи 21.20, 21.21.
Зада чи
21.1.	Определить математическое ожидание длины хорды,
соединяющей заданную точку окружности радиуса а с другой
точкой, все положения которой на окружности равновоз-
можны.
21.2.	Найти математическое ожидание длины хорды, про-
веденной в круге радиуса а перпендикулярно выбранному
диаметру и пересекающей этот диаметр в произвольной точке,
все положения которой равновозможны на выбранном диа-
метре.
21.3.	При сортировке стальных шариков по их размеру
в группу с номинальным размером шарика 10 мм
160	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ величин	(гл: IV
попадают шарики, проходящие через круглое отверстие диа-
метром 10,1 мм и не проходящие через отверстие диа-
метром 9,9 мм. Шарики изготовлены из стали с удельным
весом 7,8 г[см\ Найти математическое ожидание и диспер-
сию веса шарика данной группы, считая распределение ра-
диуса шарика в поле допуска равномерным.
21.4.	Неподвижная точка О находится на высоте h над
концом А горизонтального отрезка АК длины I. На отрезке АК
наудачу выбрана точка В. Найти математическое ожидание
угла Ф между линиями ОА и ОВ.
21.5.	Ножки циркуля, каждая длиной 10 см, раздвинуты
на случайный угол Ф, значения которого равномерно распре-
делены в интервале [0, 180°]. Найти математическое ожидание
расстояния между остриями ножек.
21.6.	Случайная величина X подчиняется нормальному
закону распределения (х, <зх). Определить математическое
ожидание случайной величины У, если
Y = e .
21.7.	Вершина С прямого угла прямоугольного равно-
бедренного треугольника соединяется отрезком прямой с про-
извольной точкой М основания; длина основания 2 м. Найти
математическое ожидание длины отрезка СМ.
21.8.	На окружности радиуса а с центром в начале коор-
динат наудачу выбрана точка. Найти математическое ожидание
площади квадрата со стороной, равной абсциссе этой точки,
21.9.	В урне черные и белые шары; вероятность извлечь
белый шар равна р, а черный — q. Из урны извлекается
п шаров, причем вынутый шар каждый раз возвращается
обратно в урну. Каково математическое ожидание числа
случаев, при которых до и после белого шара извлекается
черный шар?
21.10.	Система случайных величин (X, У) подчинена закон)
нормального распределения
Определить математическое ожидание и дисперсию
К = У\
§2Ц
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
161
21.11.	В полукруге радиуса а наудачу выбраны две точки,
которые вместе с одним из концов ограничивающего диа-
метра образуют треугольник. Требуется определить матема-
тическое ожидание площади этого треугольника.
21.12.	На окружность единичного радиуса наудачу ставятся
три точки А, В и С. Найти математическое ожидание пло-
щади треугольника АВС.
21.13.	Число космических частиц, попадающих на дан-
ную площадку за время f, подчиняется закону Пуассона
рт = v е . Энергия каждой частицы является случайной
и характеризуется средним значением w. Найти среднюю
энергию, получаемую площадкой в единицу-времени.
21.14.	Радиоэлектронный комплекс содержит п элементов.
Вероятность повреждения (выхода из строя) &-го элемента
равна pk (£=1, 2, ..., п). Определить математическое ожи-
дание числа поврежденных элементов.
21.15.	Комплекс, состоящий из п однотипных блоков,
прекращает работу при выходе из строя хотя бы одного
из этих блоков, что происходит с одинаковой вероятностью
для любого из них. Вероятность прекращения работы ком-
плекса за некоторый цикл работы равна р. Новый цикл
начинается после завершения предыдущего или после ремонта
поврежденного блока, если предыдущий цикл не был завершен.
Определить математическое ожидание числа блоков, подвер-
гавшихся ремонту хотя бы один раз при т циклах.
21.16.	Имеется п блоков, действующих независимо один
от другого и совёршающих ряд последовательных циклов.
Вероятность выхода из строя любого блока за время одного
цикла равна р. Новый цикл начинается после завершения
предыдущего (отдельно для каждого блока) или после ремонта,
если предыдущий цикл для данного блока не был завершен.
Определить математическое ожидание числа блоков, подвер-
гавшихся ремонту хотя бы один раз, если каждый блок
работал в течение т циклов.
21.17.	Число элементов электронной машины, выходящих
из строя за некоторый промежуток времени, подчинено закону
Пуассона с параметром а. Длительность ремонта машины
зависит от числа т вышедших из строя элементов и опреде-
ляется формулой tm=T(\—е'1т). Определить математиче-
ское ожидание длительности ремонта и ущерба, причиненного
6 Б, Г. Володин и др.
162
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
простоем машины, если ущерб пропорционален квадрату
длительности ремонта: Sm = kt'm.
21.18.	Приборный комплекс включает п блоков, действия
которых независимы. Для выхода из строя комплекса доста-
точно повреждения хотя бы одного из блоков. Вероятность
выхода из строя комплекса за некоторый период времени
равна р, а повреждение любого из его блоков равновероятно.
Новый цикл начинается после завершения предыдущего или
после ремонта поврежденного блока, если предыдущий цикл
не был завершен.
По условию комплекс должен сделать 2т циклов, при-
чем после первых т циклов	все блоки, подверг-
шиеся ремонту хотя бы один раз, удаляются, а с оставши-
мися при прежних условиях повторяется еще т циклов. Опре-
делить математическое ожидание числа блоков, подвергшихся
ремонту хотя бы один раз после двух серий по т циклов.
21.19.	По п мишеням стрелок производит две серии
выстрелов по т в каждой. Стрельба организована так, что
выстрелы делаются последовательно по каждой мишени и
наблюдения за результатами внутри каждой серии не произ-
водятся. Пуля с вероятностью р может попасть только
в мишень, в которую прицелился стрелок. Мишень считается
пораженной, если хотя бы одна пуля попала в нее. Вторая
серия выстрелов производится после наблюдения результатов
первой серии и в тех же условиях, но по пораженным в- пер-
вой серии мишеням стрельба уже не ведется. Определить
математическое ожидание числа пораженных мишеней в двух
сериях для случаев п = /п = 8 и п^2т.
21.20.	Две точки выбраны наудачу на смежных сторонах
прямоугольника со сторонами а и Ь. Найти математическое
ожидание расстояния между этими точками.
21.21.	Найти математическое ожидание расстояния между
точками, выбранными наудачу на противоположных сторонах
прямоугольника со сторонами а, Ь.
21.22.	Получить формулы для математического ожидания
и дисперсии числа появлений события при п независимых
опытах, если вероятность его появления от опыта к опыту
изменяется и в &-м опыте равна pk (k—\, 2, ..., n).
21.23.	При взвешивании на чашку весов положено 10 раз-
новесов. Точность изготовления каждого из разновесов ха-
§211
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
163
рактеризуется срединной ошибкой в 0,1 г. Точность про-
цесса взвешивания характеризуется срединной ошибкой
в 0,02 г. Найти срединную ошибку в определении веса взве-
шиваемого тела.
21.24.	На отрезке длиной Z наудачу выбраны две точки.
Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния
между ними.
21.25.	Плотность вероятности для системы случайных ве-
личин (X У) задана формулой
1	— 1 ГС*-*5)2 . v(x—5) । .у2]
—1 е 1,5 L 100	150	225J
300л У 0,75
f(x, у)=
Определить математическое
чайной величины Z= аХ -\-ЬУ.
21.26. Случайная величина
закону распределения
ожидание и дисперсию слу-
X подчиняется нормальному
/(•*)
Р
— е .
Л
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной
величины У=|Х|.
21.27.	Случайная величина X подчиняется закону Пуас-
сона. Определить математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины y=cos^X.
21.28.	Дальность до маяка определяется как среднее
арифметическое из трех измерений. Связь между ошибками
измерения зависит от темпа измерений и характеризуется
следующими значениями коэффициентов корреляции:
а)	при темпе 3 сек. ri2=r23 = 0,9, Г13 = 0,7;
б)	при темпе 5 сек. г12=г23 = 0,7, Гп = 0,4;
в)	при темпе измерения 12 сек. Г;у = О,
Определить значения дисперсии для среднего арифмети-
ческого результата при измерениях с различным темпом, если
ошибки отдельного измерения характеризуются дисперсией,
равной 30
21.29.	Случайная величина X подчиняется закону распре-
деления Максвелла, плотность вероятности которого
.__ v2
X2 -| Л 2	— 5^2	____
/(х)= а*У п₽и
0 при х<^0.
6*
164
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ. Кг
Плотность вероятности случайной величины У задана фор-
мулой (закон распределения Рэлея)
’ 2Р«	--^-а
f(y)= т?уе Ei п₽и J'S30-
О при у < 0.
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Z—X— У, если случайные величины X и У не-
зависимы.
21.30.	Случайная точка на плоскости имеет прямоугольные
координаты (X, У), причем j?=10, у = —10, ол=100,
су — 20, kxy = 0. Определить математическое ожидание и
дисперсию расстояния Z от начала координат до проекции
точки на ось Oz, образующую с осью Ох утъл а = 30°.
21.31.	Определить коэффициент корреляции для случайных
величин X и У, если X — центрированная нормальная случай-
ная величина, а У=ХЛ, где п — целое положительное число.
21.32.	Определить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины 7=Х(У—_у), если плотность вероят-
ности системы (X, У) задана формулой
f(X> у)
хг
а’Д/2^
Х2	-
21.33.	Колесу, ось которого горизонтальна, придается
вращение, которое затухает вследствие трения; фиксирован-
ный радиус а, останавливаясь, образует с горизонтом слу-
чайный угол Ф, который равномерно распределен в пределах
от 0 до 360°. Найти математическое ожидание и дисперсию
расстояния конца радиуса а от горизонтального диаметра.
21.34.	Материальная точка под действием центральной
силы описывает эллиптическую траекторию. Известны боль-
шая полуось а эллипса и его эксцентриситет е. Предполагая,
что с одинаковой вероятностью возможно наблюдение за
движущейся точкой в любой момент времени, определить
математическое ожидание и дисперсию дальности в момент
наблюдения, если наблюдатель находится в притягивающем
центре, расположенном в одном из фокусов эллипса, а даль-
п	ж « г> а О — е*)
ность R до точки определяется формулой R == ।	--- ,
где и — угол, составленный радиусом-вектором R с большой
§211
ЧИСЛОВЫ? ХАРАКТЕРИСТИКИ
165
осью эллипса а. ^При движении в центральном поле сектор-
ная скорость R2 — const .j
21.35.	* Составляющая скорости Vx прямолинейно и равно-
мерно движущегося объекта определяется по значениям
Xj (/=1, 2, ... п) его прямоугольной координаты, измерен-
ным через равные промежутки времени т, по формуле
12 £ ^-6^+1)2 X]
у —___1^1__________
х	т(п1 — 1)	*
полученной методом наименьших квадратов. Систематические
ошибки измерения координат отсутствуют, а случайные — ха-
рактеризуются дисперсией D = а* (/ = 1, 2, ... п\
Найти DJVJ, если коэффициенты корреляции ошибок изме-
рения определяются условиями:
Г1 при	t=j>
а) riJ	| q Прй	i ф j.
( 1 при	1=]>
б) га— | г при	Z^/l
' 1 при	l=j,
в) rtj— г при |Z — /1 = 1,
0 при | 1—j | > 1;
г) ггу = е~а!/_Лх.
Определить, какие значения может принимать г для условий
б) и в).
21.36.	* Для условий задачи 21.35* найти дисперсию в
сглаженной координате Хс, соответствующей моменту послед-
него измерения, если
2(«4-1) 2 Х/-6 2/х7
Хс=-------------------.. 7=1------Н Vxtix.
с	п (п — 1)	1 х
21.37.	* Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Z = min(X У), если X Y—независимые
случайные величины, плотности вероятности которых заданы.
166
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
21.38.	* Электрическое напряжение в цепи измеряется
тремя равноточными приборами, ошибки измерения которых
независимы и подчиняются закону нормального распределе-
ния с математическим ожиданием, равным нулю, и диспер-
сией о2. Цепь размыкается, когда два любых прибора покажут
напряжение не менее заданного значения. Найти дисперсию
ошибок напряжения в момент выключения цепи.
§ 22. Законы распределения функций случайных величин
Основные формулы
Плотность вероятности fy (у) случайной величины У, где
У= ср (X)— монотонная функция, для которой обратная функ-
ция Х=ф(У) однозначная, определяется формулой
Л,О)=Л₽[фСу)]|У(»|.
Если на интервале возможных значений X обратная функ-
ция Х=ф(У) неоднозначна, т. е. одному значению у со-
ответствует несколько значений х: ф1 (у), ф2 (У), фз (У), • • • > tyk (у)
(рис. 21), то плотность вероятности случайной величины У
определяется формулой
k
fy(y)= saiwihw
/=1
Для функции нескольких случайных аргументов удобнее
исходить из формулы для функции распределения Fy(y).
Пусть, например, У—ср(Хь Х2) и задана плотность вероят-
ности Д(Хь х2) системы случайных величин (Ху Х2). Если
§ 22]
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
167
Dy — область на плоскости Х10х& для которой y<^j/, то
функция р аспределения
Ру О') = ЭД fx (хь Xi) dxi dx2,
а плотность вероятности случайной величины У fy(y) =
= ^Fy(y). В общем случае, если известен определитель
Остроградского—Якоби преобразования от случайных величин
(Хь Х2, . ..,ХЛ) к случайным величинам (Уь У2,.Уп)
д(хи х2, ..., хп)
dxt dxt dXj
дУ1 ду2 ‘ ‘ ’ дуп
дх2 дх2 дх2
ду* ду~п

дхп дхп дхп
” дуп
и если это преобразование взаимно однозначно, то имеем
=	У и
== I В 1 fx (*^1, *^2, • • • >
где величины хь х^..., хп вы-
ражены через ylf j/2,..., уп.	—*—
Р е ш е н и е т и п о в ы х	\
примеров	А
Пример 22.1. Через тОч- —3	- — &
ку А (О, Z) наугад проведена
прямая (рис. 22). Найти плот-	I
ность вероятности случайной	Рис. 22.
величины т] = I cos Ф.
Решение. Угол Ф является случайной величиной, рав-
номерно распределенной в интервале (0, тс) (рис. 22).
Так как при этом обратная функция ф(т]) однозначна
(с изменением угла ср от 0 до тс функция монотонно убывает),
то для определения плотности вероятности случайной вели-
чины т] применима формула
A(ti)=A [ф (»!)] I ’КОН
lee
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ.- IV
ф(т|) = arccos-y,
— при О^ср^тс,
О во всех остальных
случаях.
Окончательно имеем
Д(^)=
О при
Ал алогично решаются задачи 22.2, 22.5—22.7, 22.9—22.13,
22.19.
Пример 22.2. Случайная величина У задана формулой
У__ Ух при Х^О,
У — X при X 0.
Определить плотность вероятности случайной величины У,
если X — нормальная случайная величина с параметрами
х=0, D[X]=1.
Решение. В рассматриваемом примере обратная функ-
ция двузначна (рис. 23); так как одному и тому же значению
У соответствуют два значения X:
Х1=—	(У)
§22)
~ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
169
то по общей формуле имеем
л«=л<-л|-^|+л<л|^|=
4у
=	yie	при °^>'<°о’
О	при у	0.
Аналогично	решаются	задачи	22.3, 22.4,	22.8.
Пример	22.3.	Положение	случайной	точки	с	коорди-
натами (X, У) равновероятно внутри квадрата, сторона кото-
рого 1, а центр совпадает с началом координат. Определить
плотность вероятности случайной величины Z—XY.
Решение. Рассмотрим отдельно два случая: а) 0<<z<^
1 1
и 0 —Для этих ДВУХ случаев построим
на плоскости гиперболы, уравнения которых z — xy.
На рис. 24, а, б заштрихованы области, внутри которых
выполняется условие Z<^z.
Функция распределения случайной величины Z:
при 0
№) = Р (Z<z) = 1 - Р (Z>г)= 1 - 2Sd' =
Z
1/2	1/2
= 1 — 2 \ dy I dx=~-[-2z — 2г In 4г,
2z z[y
где Sn' — площадь области D’z;
uz
при —
1/2 zfy
Fg(z)=2SD =2 t dy ? dx—^--}-2z — 2г1п(—4г).
-2г	-1/2
Дифференцируя эти выражения по z, получим плотность
вероятности:
при	у
Л(г)=^г(г) = -2,п4г;
при —
/Дг)=^РДг)=-21п(-4г).	
170
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
!ГЛ. IV
Окончательно плотность вероятности для случайной вели*
чины Z=AT может быть записана в виде:
й)
у
6}
Рис. 24.
Пример .22.4. Система случайных величин (X,. У) рас-
пределена нормально с плотностью вероятности
1	_ х2+у2
Кх,у) = ^е .
§221
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
171
Найти плотность вероятности системы (R, Ф), если
X=/?cosO, Y=Rsin&.
Решение. Для определения плотности вероятности си-
стемы (R, Ф) применяем формулу
f(r, <f)=f[x(r, <Р), у {г, ?)]	|,
д (*, У)
ГДе<Цг, ?)
зования от заданной системы
определитель Остроградского — Якоби преобра-
к системе (R, Ф):
Поэтому
д (аг, у)
д (г, ?)
дх
дг
ЗУ
дг
дх
ду
д_У
ду
Z-2 COS2 <Р 4-г2 sin2 <Р	Г2
/И»	2™2б?	2тга2 е
= г
Случайные величины R и Ф независимы, так как
/(п ?)=/г(04(?)>
_ Г2.
где fr(r) = ~e 2а2—закон Рэлея, /?(<р)— закон равномер-
ного распределения.
Аналогично решаются задачи 22.22, 22.23, 22.25—22.27.
Задачи
22.1.	Функция распределения случайной величины X есть
Fx(x). Найти функцию распределения случайной величины
Y—aX-\-b.
22.2.	Дана плотность вероятности /(х) случайной вели-
чины X(0 <^х<^оо). Найти плотность вероятности случайной
величины У=1пХ
22.3.	Найти плотность вероятности случайной величины
Z=aX\ если X—нормальная случайная величина, х = 0,
D[А] = а2, а>0.
22.4.	Определить плотность вероятности случайной вели-
чины Y = | X |, если X—нормальная случайная величина, у
которой х = 0, а срединное отклонение Е дано.
172
функции сЛучаийых величин
(ГЛ. IV
225.	Случайная величина X равномерно распределена в
интервале (О, 1) и связана с Y функциональной зависимостью
те К
tg -£- = ех. Найти плотность вероятности случайной вели-
чины Y.
22.6.	Найти плотность вероятности объема куба, ребро
которого X—случайная величина, равномерно распределен-
ная в интервале (0, а).
22.7.	Через точку (О, Z) проведена наугад прямая. Найти
плотность вероятности абсциссы точки пересечения этой прямой
с осью Ох.
22.8.	Случайная величина X равномерно распределена в
[Т ТЛ
— "2 ’ 2" * Определить плотность вероятности
2те
случайной величины y=asin^X
22.9.	Случайная величина X подчиняется закону распре-
деления Коши
AW-n(1 -j-xs)-
Найти плотность вероятности случайной величины У, если:
а) У=1— X3; б) У==аХ*-, в) X=arctgX; г)
Л
22.10.	Определить плотность вероятности случайной ве-
личины Y=Xn, где п — целое положительное число, если
плотность вероятности

22.11.	Случайная величина X распределена в интервале
(0, оо) е плотностью вероятности fx(x) — e~x. Определить
плотность вероятности случайной величины У, если: а) У* = X,
а знак у У равновероятен; б) У=Ц-рлАг.
'22.12. Случайная величина X подчиняется закону распре-
деления Пирсона
Д(х)= У к Г (Л 4-1)
0
Найти плотность вероятности случайной величины У=
= arcsin X.
§22)	ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
173
22.13.	Случайная величина X равномерно распределена
в интервале [0, 1}. Определить плотность вероятности слу-
чайной величины У, если:
а)
22.14.	Случайные величины X и У связаны функциональ-
ной зависимостью У= Fx(X). Случайная величина X равно-
мерно распределена в интервале [а, 6], a Fx(x) — ее функция
распределения. Найти плотность вероятности случайной вели-
чины У.
22.15.	Случайная величина X равномерно распределена
в интервале [0, 1]. Задана функция ft(t)0, удовлетворяющая
оо
условию J	Случайные величины X и У связаны
— со
Y
функциональной зависимостью Х= J	Доказать, что
, — со
Л (У) есть плотность вероятности случайной величины У.
22.16.	Система случайных величин (X, У) подчинена за-
кону нормального распределения
2
f(x, у) =—Ц- е
Какому закону распределения подчиняется случайная ве-
личина Z—X— У?
22.17.	Определить плотность вероятности случайной ве-
личины Z—XY, если:
а) задана плотность вероятности /(х, у) системы случай-
ных величин (X, У);
174
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
б) X и У — независимые случайные величины, плотности
вероятности которых
1 — —
-УЛ
/у(У) = \Уе 2
о
При
при д/<^0;
в) X и У — независимые нормальные случайные величины
с х — у — 0 и дисперсиями al и ву соответственно;
г) X и У—независимые случайные величины, плотности
вероятности которых
fx(x) =
1у(У> =
1
, -- при
/1— X2
| jc | ===S 1,
О при |х|>1,
при
при
д) Плотность вероятности для системы двух случайных
величин задана формулой
_ 1 Г*2 ^ху 1 1
= __L__e 2(l-r2)L4
2™^ /1 - r3
22.18.	Найти плотность вероятности случайной величины
Z=y, если:
а)	задана плотность вероятности /(х, у) системы случай-
ных величин (X, У);
б)	X и У—независимые случайные величины, подчиняю-
щиеся закону распределения Рэлея:
fx —
— х2
-^е 2а3 при х^О,
О при х<^0,
/у(У) =
у2
2а2
а3
при
О
при
0;
§22]
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
175
в) X и У—независимые случайные величины, плотности
вероятности которых
fx оо
Л(У> =
пу2
п п > 2 уп~'е	л
W ГМ\ • НРИ
12?
0	при у < 0;
г) система случайных величин (X, Y) подчиняется нор-
мальному закону распределения
/(х, >)
1	_ 2, ХУ у2\
=	1 е 2 (1 -г8) 14 °х°у	4).
2лахау У 1 — Г3
2^.19. Найти плотность вероятности модуля радиуса-век-
тора R = ]f Х*-±- У2, если:
а)	плотность вероятности /(х, у) для системы случайных
величин (X, У) задана;
б)	случайные величины X и У независимы и подчиняются
одному и тому же закону нормального распределения с мате-
матическим ожиданием, равным нулю, и срединным отклоне-
нием Е;
в)	плотность вероятности для системы случайных величин
(X, У) задана формулой
/(х, J) =
1
—9 при
0 при
г)	X и У—независимые нормальные случайные величины,
плотность вероятности которых
(x-h)2 + y2
д)	случайные величины X и У независимы и подчиняются
закону нормального распределения с x=j7 = 0 и диспер-
сиями а* и Су соответственно.
176
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ, ТУ
22.20.	Система случайных величин (X, Y) имеет плот-
ность вероятности
2
X	1	2(1—Г8)
/ (X, J/)=--------7== е
V	9™	1/1 — г8
I* о/*—*) О'-»
Найти линейное преобразование случайных величин X, Y
к независимым случайным величинам U и V. Определить
средние квадратические отклонения новых случайных величин.
22.21.	Оба корня квадратного уравнения х24~ах-|-р = 0
с равной вероятностью могут принимать любое значение
от —1 до ~|-1. Определить плотность вероятности для коэф-
фициентов а и р.
22.22.	Прямоугольные координаты (X Y) случайной
точки — зависимые нормальные случайные величины, х, у,
гху даны. Найти плотность вероятности координат
(R, Ф) этой точки, если
——— = R cos Ф, ———=R sin Ф.
(j*	«V
' Каким законам распределения подчиняются R и Ф, если
гху = О?
>4/3
22.23.	Пусть S — So	, где So, Vo и А — нор-
мальные случайные величины; математические ожидания и
корреляционная матрица которых известны. Определить
плотность вероятности /(s| t).
22.24.	Найти плотность вероятности неотрицательного
квадратного корня из среднего арифметического квадра-
тов нормальных центрированных случайных величин У =
/ п
= 1/	если диспеРсии D[Xy] = o2(/= 1, 2,..., п).
22.25.	Прямоугольные координаты случайной точки
(X, Х> • • • > ХО имеют плотность вероятности
п
f (Х1, Х2, ..., Хп) — (2кучгап е J
§22!
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
177
Найти плотность вероятности для л-мерных сферических
координат этой точки /?, Фь Ф2,..., Фп_ь если:
Xi — R sin Фь
Х% = R sin Ф2 cos Фь
Х$ =R sin Ф3 cos Ф1 cos Ф2,
Х„л — R sin Ф^! cos Ф! cos Ф2... cos Ф„_2,
Хп =R COS ф, CQS Ф2. .. COS Фл_1.
22.26.	Две системы (Xh X* ..., Хп) и (Yb У«,..., Уп)
случайных величин связаны линейными зависимостями
п
причем det ||	|| ф 0. Определить плотность вероятности
fy (Уь Уъ • • •, У л), если плотность вероятности fx (хь х2,..., хл)
задана.
22.27.	Найти закон распределения системы случайных
величин (R, 0), где R — Yx^A-Y^-j-Z*— радиус-вектор
у
случайной точки в пространстве, а 0 = arcsin — широт-
ный угол, если плотность вероятности прямоугольных коор-
динат (X, У, Z) равна /(х, у, г).
22.28*	. Найти плотность вероятности случайной величины
y = max(Xi, ХъХп) и случайной величины Z=
= min (Ху Хъ ..., Хп), если Xj (j — 1, 2,..., ri) — независи-
мые случайные величины, плотность вероятности которых
задана.
22.29*	. Напряжение в электрической цепи измеряется
п равноточными приборами, ошибки измерения которых
iij (j= 1, 2,..., п) независимы и подчиняются закону нормаль-
ного распределения с нулевым математическим ожиданием
и дисперсией, равной о2. Цепь автоматически выключается,
после того как	приборов покажут напряжение
не менее заданного значения. Найти плотность вероят-
ности ошибок определения напряжения в момент выключе-
ния цепи.
22.30*	. Определить функцию распределения случайной
величины У, если она связана с нормальной случайной
178
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ. IV,
величиной X (х, <зх) нелинейным соотношением У=<р(Х)> где
a) <p(x) = -J;
б) <?(•*) =
ka,
kx,
— ka,
	k(b — a\ k(x — a\
В) <p(x) =	o, k (x -J- a), .— k (b — d),
b<^x,
a^x^b,
*— a<^x<^a,
— b^x^ — a,
x<" — b.
22.31 *. Коэффициенты уравнения X2 -f- ДхХ Л2 = 0 —
случайные величины, плотность вероятности которых f(ab а2)
известна. Определить вероятность Р того, что корни уравне-
ния 'kj = Xj-\- iYj не выйдут за границы области <S комплекс-
ной переменной (x-\-iy).
§ 23. Характеристические функции систем и функций
случайных величин
Основные формулы
Характеристической функцией системы случайных вели-
чин (Xi, Хъ ..., Хп) называется математическое ожидание
( п	1
функции expb	где uk (k= 1, 2,.п) — веще-
V £ = !	) ______
ственные величины, a i — V—1:
х2,
(иь иъ
П
I 2 akxk
ип) — М [<? fe=1
Для непрерывных случайных величин
Х2.....ха (^1>	• • • > "п) —
» ~	" i 2 ukxk
= \ \ ... \ е Л = 1 f (хь xit ..., хп) dXi dXi ... dxa.
— OO —00
— 00
§ 23]	' ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ
179
Характеристическая функция системы независимых слу-
чайных величин равняется произведению характеристических
функций случайных величин, входящих в систему:
Ех\, ЛГ2» . .. » хп • • • > ^п)-	| EXJ (llj).
j=l
Для многомерного нормального распределения с матема-
тическими ожиданиями хь	хп и корреляционной
матрицей
kn Л12 ... kin
k<21	^22 • • • k<2n
II M =
Е(иь иъ
knl kn<2 • • • knn
В том случае, когда начальные моменты системы случай-
ных величин соответствующего порядка существуют,
Если случайная величина У=ср(АЭ, то
Еу (и) = М [eiaY] = J eitt* <•*’ f (x) dx.
— oo
Характеристическая функция системы случайных величин
(Уь Уъ . ••> Уп)> каждая из которых является функцией дру-
гих случайных величин
У1 = ?1(А'1, X*..., Хт),
У2 = ?2(Х1,	хт),
Уп = <?п(Хь Хъ...,Хт),
180
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1ГЛ. IV
равна
» уп (Wb * * • ’ w«) —
п
1 S “лМ*!
е‘='
/(*1, ...»
•^m) Лх, >.. dx^
Характеристическая функция подсистемы случайных вели-
чин может быть получена из характеристической функции
системы, если переменные uk, относящиеся к величинам, не
входящим в подсистему, заменить нулями.
Решение типовых примеров
Пример 23.1. Частица начинает движение из начала
координат и перемещается в некотором направлении на рас-
стояние Zb Затем она мгновенно меняет направление движе-
ния и в новом произвольном направлении перемещается на
величину /2. Траектория блуждающей таким образом частицы,
состоит из отрезков длиной /ь /8,..., /л, направление каж-
дого из которых определяется углом аЛ с осью Ох, равно-
мерно распределенным в интервале [0, 2к]. Случайные вели-
чины а.ь а2,..., аЛ независимы. Найти характеристическую
функцию координаты X конечной точки траектории и соот-
ветствующую ей плотность вероятности.
Решение. Координата X определяется как сумма про-
екций отрезков lk на ось Ох*.
Х= у, /* cos а*.
Вследствие независимости аА
п
f («1, «2. • • •, ал) = П
к = 1
причем
/(«*) =
~ при 0sgaA5g2it,
0 при аА<^0, аА^>2тс.
$ Я)
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ
18)
Поэтому
п
00	00 ltt '£lkzot,,k
Ex(u)= ^ ... е *=l ZOi............... a„)dai ... <fa„ =
— 00 —00
п 2ic	n
= П $ e,aZftCOSaftS = lI7o(4w),
ft=l 0	k=l
где Jq — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Отсюда
оо	п
Н*У=к $ e'lttX ПЛ(4й)</и’
— оо	Л= 1
ИЛИ
00	п
f(x) — У cos их JJ Л (4«) ^м-
— 00	/? = 1
Пример 23.2. Задана корреляционная матрица || krS ||
системы шести нормальных случайных величин Хь А2,..., А6,
математические ожидания которых равны нулю. Пользуясь
методом характеристических функций, определить математи-
ческое ожидание произведения ХзХ^Х^
Решение. Математическое ожидание М [АзА2А4] оп-
ределяется распределением подсистемы случайных величин
(Х* А3, А4). Соответствующая этой подсистеме характери-
стическая функция имеет вид
4 S S
^xi. х3, *4	“1) == &
Искомое математическое ожидание может быть получено
путем четырехкратного дифференцирования характеристиче-
ской функции
м rpv Y 1______d'Ex*ix*>x* Из’
М [ А3 А2А4] —----------------------
И2 = И3 = П4 = 0
Первый способ. Если разложить характеристическую
функцию в ряд по степеням ее показателя степени, то об-
наружится, что при нахождении интересующей нас смешанной
182	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. tv
1
5
производной при и* = и3 = н4 = 0 только один член разло*
жения дает результат, отличный от нуля:
М[дал] = §-
dal ди% ди4
н2 = н3=и4=:0
Смешанная производная от квадрата многочлена при
и2 = н3 = н4 = 0 будет в свою очередь иметь отличными от
нуля только те члены, которые до дифференцирования были
пропорциональны изп2и4, т. е.
М ГX 1 ________—	(^^33^24^3^2^4 ~4~	__
1 з 2 4J 4	diz|diz2diz4
= ^33^24 4" 2^23^34’
Второй способ. Для удобства введем обозначение
Тогда
*Cr — krsus.
s= 1
6	6
=_d_e~2r?is?
ди3 dus е
d^ = Exl — Ep = Etf — Ek33,
dal 3 ди3 3
д3Е
dal dus
	— SE^^k^ — Et|^24 — 2Етзт4А2з 4~
4~ 2^34^23----£t2T4^33 4~ Ek^k33.
= — Ет3,
ZrtgT2 4“ 2£тзА2з 4" £т2^зз,
d*E
dal du2 dui
При И1 = п2 = ... = и6 = 0 имеем
E=\, tz = 0,
вследствие чего
M [Х|Х2Х4] = ^зз^24 4~ 2^23^34.
Аналогично решаются задачи 23.11 —23.14.
§ 231	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ	183
Задачи
23.1.	Доказать, что характеристическая функция суммы
независимых случайных величин равна произведению харак-
теристических функций слагаемых.
23.2.	Задана ЕХъ , х(^ь • • • > ил) — характеристическая
функция системы случайных величин (Хь Х%,..., Хл).
Найти характеристическую функцию суммы 2==Л1-|“^Н"-••
• • • + Хп.
23.3.	Найти характеристическую функцию линейной функ-
п	*	.
ции У= akXk-\-c независимых случайных величин
k=\
Хъ X*..., Хп, характеристические функции которых
заданы.
23.4.	Найти характеристическую функцию квадрата от-
клонения нормальной случайной величины от ее математиче-
ского ожидания Y=(X—х)2 и начальные моменты распре-
деления Y.
23.5.	Найти характеристическую функцию случайной ве-
личины Y=aF (Х)-\-Ь, где X—случайная величина, F(x)—
ее функция распределения.
23.6.	Найти характеристическую функцию случайной ве-
личины Y = 1п F (X), где X—случайная величина, a F(x) —
ее функция распределения. Определить начальные моменты
распределения У.
23.7.	Найти характеристическую функцию проекции от-
резка а на ось Оу, если угол между отрезком и осью Оу
распределен равномерно в интервале от 0 до 2тс. Определить
плотность вероятности проекции отрезка.
23.8.	Найти характеристическую функцию системы двух
случайных величин, подчиненных нормальному закону рас-
пределения
f(x, у) = —-------?
У 1 — г2
1	Г(х—х)2 2г (х—х) (j—J) (_у—>02~]
2 (1—7-2) L а2	ахая	а| J
23.9.	Найти характеристическую функцию системы п слу-
чайных величин (Хь Х%,..., Хп), подчиненных нормаль-
ному закону распределения, если заданы математические
184
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ. IV
ожидания случайных величин, входящих в систему, Хт — а,
и их корреляционная матрица
	10*	аа2	0	0	0 ...	0	0	
	аа’	о*	ас*	0	0 ...	0	0	
krs |		0	аа4	с*	ас*	0 ...	0	0	
	0	0	0	0	0 ...	а*	ас*	
	|0	0	0	0	0 ...	аа*	а*	«Г
		(Г, 5 =	= 1,	2,	, я).			
23.10.	Найти характеристическую функцию
п
у= Ц хт>
т—\
где (Xi, Хг,Хп) — система нормальных случайных величин,
хт — т,
km,i = n — \т — Z|.
23.11.	Пользуясь методом характеристических функций,
определить М [(X2— о2)^2— °2)], если Хь Х% — нормальные
случайные величины, для которых Jq = = 0,
М[Х2] = М[Х2] = о2, а М[ВД=:^,
23.12.	Пользуясь методом характеристических функций,
определить: а). М [ХДОЭД б) М [(X? — а2) (X* —а2)(X? — а2)],
если Xi, Хъ и Х3— нормальные случайные величины, для
которых = Jt2 = х3 = 0, М [X2] = М [X2] = М [X2] = а2,
a Z^ia, А?1з и ki3 — корреляционные моменты между соответ-
ствующими случайными величинами.
23.13.	Пользуясь методом характеристических функций,
определить М [Х1ХъХ9], если Xit X*, Х3 — нормальные центри-
рованные случайные величины.
23.14.	Пользуясь методом характеристических функций,
выразить М [XiXbXzXi] через элементы корреляционной
матрицы kmi системы нормальных случайных величин Хи
X* Х3 и Хь математические ожидания которых равны нулю.
§24}	КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	Ъ85
23.15.	Доказать, что центральный момент четного порядка
системы п нормальных случайных величин определяется
формулой
г,..гп=м КХ1 - ап № -	... № - т=
__г1! гз! Г”! У А . Ъ .
—	25s! Z ••• тЛ’
где	= а сумма распространена на все
возможные различные перестановки 2s индексов ть т* ...,тп
и 4, 4, ..., /я, из которых Г1 индексов равны 1, г2 индексов
равны 2, гп индексов равны п.
23.16.	Дана система зависимых нормальных случайных
величин (Xi, X* ...,~Хп). Доказать, что случайная величина
п
Y—^ajXj-y-b также подчиняется нормальному закону
распределения.
23.17.	Продукция завода состоит из однотипных изделий,
каждое из которых в r-м квартале года (г=1, 2, 3, 4)
с вероятностью рг относится к первому сорту и с вероят-
ностью qr = 1 — рг — ко второму сорту. Изделие первого
сорта оценивается в а второго — в рублей. Определить
характеристическую функцию системы случайных величин
X и У, где X—стоимость изделий, выпущенных за первые
три квартала, а У—за последние три квартала года. Опре-
делить корреляционный момент X и У. Число изделий,
выпускаемых в r-м квартале, равно Nr.
§ 24. Композиция законов распределения
Основныеформулы
Нахождение закона распределения суммы независимых
случайных величин по известным законам распределения сла-
гаемых называется композицией законов распределения. Если
X и У — независимые дискретные случайные величины, то
ряд распределения случайной величины Z=X-\- У опре-
деляется формулой
р (z=Zl)=2 р (*=*,) р (у==
J	=^{Y=yk)P{X=^zi-yh\
k
186
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ IV
где суммирование ведется по всем возможным значениям
случайных величин.
Если X и Y—непрерывные независимые случайные
величины, то плотность вероятности для случайной величины
Y
оо	со
Л(г) = $ fx(x)fy(z — x)dx = $ fy(y)fx(z — y)dy,
—OO	—00
а функция распределения Fz(z) определяется формулой
Pz(z) = $ $ fx(x)fy(y)dxdy.
Х+У<2
Плотность вероятности fy(y) суммы независимых случайных
величин Хъ Х^ ..., Хп (Y = Xi -j- Х%	оп-
ределяется или с помощью характеристических функций по
формуле
где
оо
EXJ(t)= $ elxtfXj{x)dx,
—00
или путем последовательного применения формулы компо-
зиции для двух случайных величин.
Решение типовых примеров
Пример 24.1. Найти плотность вероятности суммы
двух независимых случайных величин Z=X-\- Y, где X
равномерно распределена в. интервале [0, 1], a Y имеет рас-
пределение Симпсона (рис. 25):
400=
у
2-у
О
при	1,
при 1 У 2,
в других случаях.
Решение. Так как функции fx(x) и fy(y) отличны
от нуля только в определенных интервалах изменения своих
§24]
КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
187
аргументов, то удобнее сперва найти функцию распределения
случайной величины Z. Имеем
F2(z) = P(Z<2)= \fx(x)fy(y)dxdy,
Dz
где — область, внутри которой x-\-y<^z и ни одна из
функций fx(x) и fy (у) не обращается в нуль (рис. 26).
Вид области интегрирования будет различен в зависи-
мости от того, в каком из трех интервалов (0, 1), (1, 2)
или (2, 3) будет находиться значение г. Вычисляя для этих
случаев интегралы, получим
Fz{z) =
О	при г<^0,
z	z—y
\ fy (У) dy \ fx (х) dx= ~	при 0 z < 1,
о г?
Z— 1	I	Z— 1	z—Х‘	1 Z—X
dx ^ydy§ dx J (2—y)dy-\- § dx J ydy =
oo	0	1	z—i	о
= 1	=	при z <2,
1	6	6
’	2	1
1—	(2—y)dy	dx—\— y(3—zf при 2 sgz sg:3,
2—1	z—y
1	при Z 3.
188
ФУНКЦИИ случайных величин
(ГЛ. IV
Дифференцируя по zt определяем плотность вероятности:
г’
	
	’	2
^’-бг-1-9)
О
при 0Cz<4,
при 1 <1 z	2,
при 2	3,
при z<^0 или £^>3.
Функции fx(x)t fy(y) и Л (г) представлены на рис. 27.
Аналогично решаются задачи 24.1, 24.2, 24.4, 24.8.
Рис. 27.
Пример 24.2. Нд отрезке ДА длиной 2L наудачу
выбрана точка С. Возможное отклонение центра отрезка
F\Fi длиной 2В от середины отрезка ДА имеет нормальное
распределение со срединным отклонением Е. Определить
вероятность того, что удаление точки С от середины от-
резка FiF2 не превзойдет заданной величины (d-j-B).
22
Рис. 28.
Решение. Обозначим случайное отклонение точки С
от центра отрезка ДА через X, а отклонение центра от-
резка FiFa от середины отрезка AiA* через У (рис. 28),
« 24]	КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
тогда отклонение точки С от центра отрезка FiF* будет
равно Z— Y—X. Так как функция fy(y) отлична от нуля
на всей числовой оси, то
с	1 Г о
Л(*)= \ Л (•*)/>(* + •*) <**=57- \ —^=е	& dx*=
£±£
Е
$ ^"=е[4(т1+‘(М1-
Е
Удаление точки С от середины отрезка F^F* не превзой-
дет величины d -j- В, если | Z | < d В. Поэтому вероят-
ность этого события определяется формулой
d-4-В
P = P(|Z|<dH-B)= j	=
-W+B)
i у [6 Шф dz=
-(rf+B)
~2L
L+d+B
E
( Ф(ОЛ = ^{(£ + В+<И(^±£±*)_
L-d—B
E

C>	 C*
Аналогично решаются задачи 24.3, 24.5—24.7, 24.13—
24.15.
190
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Пример 24.3. Смешаны две группы однотипных деталей,
содержащие тц и деталей каждая. Число бракованных
деталей в каждой группе (соответственно X и У) имеет би-
номиальное распределение:
Р (Х= т) = C^pmqn^m	(т = 0, 1, 2,...,
Р (У = т) = C™j)mqn*-m	(т = 0, 1, 2,... , д2).
Найти ряд распределения случайной величины Z=X-\- У.
Решение. Для того чтобы вероятность Р (Z= г) была
отличной от нуля, Z должно быть целым и находиться в
интервале (0, п\ -J- Применяя общую формулу и учиты-
вая, что	получим
Р (Z = г) = 2 Cxipxqni~xC^—xpz~xqn^-~2+x =
х—0
г
2	= C^njfq^+^
х=0
(г = 0, 1, 2,..., щ 4“ Из)-
(Z
Равенство X CxnCz~* = Сг доказано при решении
х=0	12	12
примера 6.1.)
Эта задача может быть решена и с помощью характери-
стических функций. Для случайных величин X и У имеем
Ех (0 = М [е‘*] = (реи +
Еу (0 = М [elYt] = (реи + qy“.
Так как случайные величины X и У по условию неза-
висимы, то
Ег (0 = Ех (0 Еу (0 = (реи +
Из этого следует, что случайная величина Z также имеет
биномиальное распределение.
Аналогично решаются задачи 24.12, 24.16—24.21.
Задачи
24.1.	Определить плотность вероятности суммы двух
независимых величин, каждая из которых равномерно рас-
пределена в интервале (а, Ь).
§ 241	КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	' 191
24.2.	Найти композицию двух законов равномерного рас-
пределения с математическими ожиданиями х, у и параметра-
ми а и & (&^>а), соответственно. (Параметром закона равно-
мерного распределения называется половина интервала воз-
можных значений случайной величины.)
24.3.	Случайная величина X подчиняется нормальному
закону распределения с параметрами х и ах, a Y—закону
b — а _ а + Ь
равномерного распределения с параметром —g— иу =—£—.
Найти плотность вероятности случайной величины Z=
==Х-|- У, если X и У независимы.
24.4.	Найти плотность вероятности суммы трех незави-
симых случайных величин, каждая из которых равномерно
распределена в интервале [а, Ь].
24.5.	Найти композицию нормального закона (математи-
ческое ожидание х, срединное отклонение Е) и закона равно-
мерного распределения, заданного в интервале [х — /, х-|-/].
Определить относительную ошибку, возникающую от замены
суммарного закона нормальным законом, имеющим то же
математическое ожидание и ту же дисперсию. (Расчет про-
извести для х = 0, 1 = Е, 1=2Е, 1=ЗЕ и 1 = 4Е
в точке 2' = 0.)
24.6.	Найти плотность вероятности случайной величины
Z=X-]~ Y, если случайные величины X и У независимы
и подчиняются закону Коши:
fx (Х) = — 1 Л2 (Х _ д)2 » fy(y) = —	1 _|_ £2 (Д, _	•
24.7.	Найти плотность вероятности суммы двух незави-
симых случайных величин X и У, подчиняющихся закону
распределения гиперболического секанса:
fx(x)= — 7НТ’ fyW = ^"chy-
24.8.	Пусть X и У — независимые случайные величины,
плотности вероятности которых заданы формулами
х
fx(x) = -^e 2	(0=^х<оо),
1 -I-
192	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[гл; IV
Найти плотность вероятности случайной величины Z=
= X-f-У.
24.9.	Найти плотность вероятности расстояния между
случайными точками Л1(Хь УО и А*(Хъ УД если системы
случайных величин (Хь УО и (Х2, У2) независимы и нор-
мально распределены. Единичные эллипсы рассеивания то-
чек At и имеют главные полудиаметры (аь Ь^) и (а2, ЙД
Угол между полудиаметрами аг и равен а. Центры еди-
ничных эллипсов совпадают.
24.10.	Пусть Xj (/=1, 2,..., п) — нормально распре-
деленные независимые случайные величины, Х/=0 и D[XJ=1.
п
Доказать, что для случайной величины У = 2 плотность
М
вероятности определяется формулой (^-распределение)
2	__ У
=	---е 2 (0^_у<оо).
24.11.	Прибор дает при измерении систематическую
ошибку а и случайную ошибку, подчиненную нормальному
закону распределения со срединным отклонением Е. Дока-
зать, что при E^d вероятность р(а) получения ошибки
в пределах заданного допуска ± d приближенно определяется
формулой	_g а	___________
Р(а)^ „2^- * Bje , где Ех — л/' & + pW
С др У U	г
24.12.	Двое независимо один от другого стреляют в тире
каждый по своей мишени до первого попадания. Определить
математическое ожидание и дисперсию общего числа промахов
и найти функцию распределения общего дисла промахов, если
вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для
первого стрелка равна ph а для второго р%.
24<13г Какой запас прочности должен иметь образец,
чтобы вероятность того, что он выдержит нагрузку, была
не менее 98%? Ошибки в определении заданной нагрузки
и ошибки в определении предельной нагрузки подчиняются
законам нормального распределения и характеризуются сре-
динными отклонениями Eqt = Ю°/о4Г1 и £$t = 5%ft, где (fa
§ 24}
КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
193
и — математические ожидания заданной и предельной на-
грузок, причем ^ = 20 кг.
24.14.	Для навигационного обслуживания судов, прохо-
дящих через пролив шириной L, на каждом берегу пролива •
установлено по одному радиомаяку. Максимальные дальности
действия этих приборов являются независимыми нормальными
случайными величинами, характеризующимися математическим
ожиданием х и срединным отклонением Е. Полагая, что
удаление курса судна от берегов пролива равновозможно
и 2x<^L, определить: а) вероятность того, что судно будет
обслужено двумя радиомаяками; б) вероятность того, что
судно обслужит хотя бы один радиомаяк.
24.15.	Наблюдатель А из бесконечности двигается по на-
правлению к наблюдателю В. Максимальные дальности обна-
ружения друг друга для этих наблюдателей являются незави-
симыми нормальными случайными величинами, характеризую-
щимися соответственно математическими ожиданиями хА, Xq
и срединными отклонениями ЕА, Ев. Найти вероятность
того, что наблюдатель А обнаружит наблюдателя В первым.
24.16.	Найти композицию т экспоненциальных законов
распределения с одинаковьнм параметром X.
24.17.	X и У—независимые случайные величины, прини-
мающие целые неотрицательные значения I и j с вероятно-
стями Р(Х = /) = (1—а) а1 и Р(У=у) = (1—где
а и b — положительные числа, меньше единицы. Найти функ-
цию распределения случайной величины Z—X-}- У.
24.18.	X и У — независимые случайные величины; X при-
нимает три возможных значения 0, 1? 3 с вероятностями 1/2,
3/8, 1/8, а У—два возможных значения 0 и 1 с вероятно-
стями 1/3, 2/3. Определить ряд распределения случайной ве-
личины Z=X-\- У.
24.19.	X, Y—независимые случайные величины, каждая
из которых имеет распределение Пуассона:
р (X = т) = е'а, Р (У = т) = е а.
v 7 ml	v 7 ml
Найти ряд распределения случайной величины Z=X-]- У.
24.20.	Xj (/=1, 2,..., п) — независимые случайные ве-
личины, каждая из которых может принимать только два
значения: единицу с вероятностью р и нуль с вероятностью
7 Б. Г, Володин и др.
194
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ
[ГЛ IV
7=1—р. Найти ряд распределения случайной величины
п
/=1
24.21.	X и Y—независимые дискретные случайные ве-
личины, принимающие целые положительные значения k от
1 до оо с вероятностями (l/2)ft. Найти функцию распределе-
ния случайной величины	К
24.22*	. Определить плотность вероятности случайной вели-
чины X, если
п
л=1
где —независимые нормальные случайные величины,
D[By]= 1,
§ 25. Линеаризация функций случайных величин
Основныеформулы	,
Любая непрерывная дифференцируемая функция, произ-
водная которой не обращается в данной точке в бесконеч-
ность, при достаточно малых пределах изменения аргументов
может быть приближенно заменена линейной путем разло-
жения ее в ряд Тейлора с удержанием только линейных
членов. Если вероятность того, что аргументы функции при-
мут значения, лежащие вне области, в которой функцию
можно считать линейной, мала, то функцию случайных аргумен-
тов можно линеаризовать в окрестности точки, соответствую-
щей математическим ожиданиям ее аргументов. Приближенное
значение математического ожидания и дисперсии при этом
определяется:
а)	для функции одного случайного аргумента У=ср(20-
[?WD [X];
б)	для функции У=ср(Х1, Х2,..., Хл) нескольких слу-
чайных аргументов:
х2,..., хп),
П /	\2	П П /	\	/	\
°га+ 22Й ЙК
i=l j=l
§25]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
195
где ktj — корреляционный момент для случайных величин Xi
и Хр а через условно обозначены производные, вычи-
сленные для значений аргументов, равных их математиче-
ским ожиданиям.
Если случайные аргументы взаимно не коррелированы, то
“И”Ж °™-
1=1
Для уточнения результатов, полученных методом линеари-
зации, в разложении функции сохраняют кроме первых двух
и некоторые последующие члены. Если удержаны квадра-
тичные члены разложения функции в ряд, то математическое
ожидание и дисперсия функции приближенно определяются
по формулам:
а)	для функции одного случайного аргумента У=ср(Х):
D[y]M?WD[X] +
+1 [?" (*)f {p-4 И] - D2 [X]} + (*) / (*) из [X];
б)	для функции нескольких случайных аргументов Y =
= ср (Хь Х2, ..., Хп) математическое ожидание опреде-
ляется формулой
п
у ~	....«+i 2 +D ™+2 S»,
i = \	i<Zj
в общем случае и формулой
у <? (-^ь а, .. •, хп)+2 D »]’
когда случайные аргументы взаимно не коррелированы. Если
случайные аргументы взаимно независимы, то дисперсия
определяется формулой
D1 у]^ 2 Ш d[хи+|2 (йУ - °2та+
»=i	<=1	'
7»
196
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Решение типовых примеров
Пример 25.1. Математическое ожидание числа брако-
ванных аппаратов при проверке аппаратов на безотказность
действия определяется формулой
[/	р \АЛ
Н1-^) ]’
где Р -—вероятность того, что испытание одного из аппа-
ратов будет признано зачетным; 2 — среднее число зачетных
испытаний до получения отказа в действии аппарата; N—
число аппаратов, участвующих в проверке; т — число испы-
таний (зачетных и незачетных), приходящихся на один
аппарат.
Пользуясь методом линеаризации, определить зависимость
математического ожидания и дисперсии случайной величины Т
от т, если N, Р и 2 — независимые случайные величины,
математические ожидания и дисперсии которых соответ-
ственно равны:
М [N] = 5, М [Р] = 0,8, М [2] = 4,
D [N] = 1, D [Р] = 0,1, D [2] = 0,2.
Решение. Применяя общие формулы метода линеари-
зации, получим
М [Г] Г1 — (1 — ДГ1 = 5(1 —0,96'"),
L \ con / J
О m - D+ (Й‘D И+(к)’D и-
где
дт_дт\	=
дп дп |лг.=й, р=р,
_ 1 _ Л _ Ду" — 2Д/1 _ РУ"'1 —
\	ап /	ап \ ап /
= 1 — 0,96” — 0,04/7/0,96'"-’,
= = (1 — Д Г"’ = 0,25/7/0,96'”-*,
ЧР со \ соП /
^ = — О.Об/лО.Эб'"-1,
D [Г]	0,00835/я20,96‘('”-1> —
— 0,08w/ (1 — 0,96ffl) О^б”1"14- (1 — 0,96”')*.
§ 25]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
197
Приближенные значения математического ожидания и дис-
персии случайной величины Т для различных m приведены
в таблице 8. ч
Таблица 8
m	2	10	30	100
D[T]	0,025	0,327	0,684	0,854
М[Т]	0,390	1,675	3,530	4,915
Аналогично решаются задачи 25.1—25.11, 25.14, 25.17,
25.19—25.22.
П ример 25.2. Максимальная высота полета спутника
определяется формулой
Y — Ун + + -У о) [2 (i"tA) — 1 ] ’
где
Х = ДА (1 А" ’	е = У1 — 4Х(1 — X)cos®0,
Jo — высота начальной точки орбиты, g—ускорение силы
тяжести на поверхности Земли, R — радиус Земли.
Функция Y в области практически возможных значений
случайных аргументов линеаризуется. Начальная скорость V
и угол бросания 0 — нормальные случайные величины, плот-
ность вероятности которых
1	г/г> —^\2 • /8-ё\2	(-D-?)(9^0)1
6)==;_____1...-...р. 2(1-r2) L\ % /	) r %°о -1.
2л vojA 1 _ г2
Найти приближенное значение дисперсии для максималь-
ной высоты полета спутника.
Решение. Так как заданная функция по условию
линеаризуема в области практически возможных значений
случайных аргументов, то
(дУ\*	/дУ\*	[дУ\(дУ\г
198
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
где
дУ_Х(^+у0) [2 (1 — A) (2Х- l)cos2 6 + ^(1 4-g)]
dv	ve (1 — A)3	’
дУ\(Я+Уо) sin 26
dO	e
i
a X и e вычислены при V = v, 0 = 0.
Аналогично решаются задачи 25.13, 25.23.
Пример 25.3. Пусть X, У — независимые случайные
величины, плотности вероятности которых
- Д(х) = —(0^х<1),
71 У 1 — X2
о
Пользуясь методом линеаризации, определить математи-
ческое ожидание и дисперсию случайной величины Z =
X
= arctg-p. Полученные результаты уточнить, используя для
этого разложение заданной функции в ряд Тейлора с удер-
жанием в нем первых трех членов.
Решение. Используя общие формулы линеаризации,
имеем
М [Z] ъ arctg , D [Z] ъ (g)' D [X] 4- (g)’ D [ У],
где
1 *-
2 С хdx 2
X =у = — \	= —
К J /1 - X2 71 »
1
О Р	fl у	1	Д
D[A’] = D[y] = - \ . Д..........= - — -
я J V 1 - х3	2	я2 ’
и 1
dZ dZ_\	___ у  it_
дх дх |х=х, у=у х2 4-у3 Т’
dZ____ х ___________ it
ду х2, +У2	4 *
§25]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
199
Таким образом, метод линеаризации дает
М [Z] arctgy = ,
„1	~ к2 ti2 — 8_к2 — 8
2 16 ~2п2~'~ 16 *
Учитывая следующий член разложения в ряд Тейлора,
получим
М [Z] arctg J 4-1 {(g) D [X] + (g) D [ У]},
D & № (sf У D	+ (f)’D Г71 +
+1 {(й)2	w - °2 та+(^У 04 [ r] -D2 [ +
। d*Z nrv1nrvi • dz&z rviJ^Zd2/ rvi
+ WD [X] D	[*] + dy WИз[n
где
d2Z _ 2xy _	к2
dx2	(x2+y2)2	8»
d2Z _ 2xy _k2
dy2	(X2+y2)2	8’
d2Z __ x2-y2 _0
dxdy	(x2-\-y2)2	’
dZ d^Z_ _ k_ f_ ti2 \ _ _ tv*
dx dx2 ~ 4 \	8 J ~	32 ’
dZ d2Z /	л \ r?  к3
dy dy2	\	4/ 8	32 ’
|i3 [X] = p,3 [ У] = mz —	4- 2/z?i =
i	i
2 C xs dx Q _ C 2 x2 dx
= — \ -r= — 3x \------7= 4- 2x3 ±=
*	J n ]/ l -X2 Г-
_£_ 3_ I 16_ 16_J5
Зк К •" л3 7t3 3U >
[x4 [X] = |i4 [ У] = /n4 — 4//zтт3 -j- ^т\т^ — Ът\ =
_з_ 2_ 4_ , 4 4_qi6_jL-lJI —48
8	4 к * Зя 4“	• 2	к4-3k2 ‘ 8 K4 •
200	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. IV
Поэтому с учетом квадратичных членов ряда Тейлора получим .
ПГ7]^Л2-8 I **	1.7^	3
16	' 8-128 ‘ 48	2*
Аналогично решаются задачи 25.12, 25.15, 25.16, 25.18.
Задачи
25.1.	Количество тепла Q в калориях, выделяемое в про-
воднике с сопротивлением R при прохождении тока 1 в те-
чение времени Т, определяется формулой
Q = 0,2472/?T.
Ошибки измерения величин /, R, Т являются независи-
мыми нормальными случайными величинами с математическими
ожиданиями I— 10 а, г = 30 ом, 7=10. мин. и срединными
отклонениями Е/= 0,1 а, Е^ — 0,2 ом, ЕТ=Ъ,Ъ сек. Найти
приближенное значение срединного отклонения случайной ве-
личины Q.
25.2.	Частота основного тона струны определяется фор-
мулой
Ч/Т
где Р — сила натяжения, М — масса струны, L — длина струны.
Известны математические ожидания р, m, I и средние
квадратические отклонения ар, <зт и az. Определить рассеи-
вание частоты основного тона струны из-за разброса силы
натяжения, массы и длины струны, если соответствующие
коэффициенты корреляции равны rpb rpm, гтЬ
25.3.	Сопротивление участка электрической цепи опре-
деляется формулой
где R — омическое сопротивление, L — индуктивность про-
водника тока, С — его емкость, 2 — частота тока.
§ 251
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
201
Определить среднюю квадратическую ошибку в величине
сопротивления из-за ошибок при независимых измерениях
Я L, С и 2, если заданы г, 7, с, <о и средние квадратиче-
ские отклонения ог, аь ас и аш.
25.4.	При параллельном соединении элементов сила тока
в цепи определяется формулой
где Е— электродвижущая сила элемента, W—его внутрен-
нее сопротивление, п — число элементов, R — сопротивле-
ние внешней части цепи.
Пользуясь методом линеаризации, определить математи-
ческое ожидание и дисперсию силы дока, если случайные
величины Б, R и W независимы, е, г, w и а# aw
заданы.
25.5.	Используя метод линеаризации, найти срединные
отклонения Ех и Еу, характеризующие рассеивание координат
материальной точки, движущейся в безвоздушном простран-
стве, если
X=V7'cos0, Y= vrsin© —	,
I
где V—начальная скорость материальной точки (v =
= 800 м/сек, Bv=0,l% от v), Т — время полета (t =
= 40 сек., Ет = 0,1 сек.), 6—угол бросания (0 = 45°;
Е0 = 4'), g—ускорение силы тяжести.
Случайные величины V, Т и 0 независимы и нормальны.
25.6.	Найти приближенное значение срединной ошибки
определения проекции Vi скорости судна на заданное на-
правление вследствие ошибок измерения его скорости V и
курсового угла q, если Vi = —V cos q, Ev= 1 м/сек,
Eq=\°, а математические ожидания V и q соответственно
равны 10 м/сек и 60° (случайные величины V и q незави-
симы и нормальны).
25.7.	Применим ли в условиях предыдущей задачи метод
линеаризации, если ошибка расчетных формул не должна
превосходить 0,2 м/сек?
202	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. IV
25.8.	Найти приближенное значение средних квадратиче-
ских отклонений прямоугольных координат случайной точки
X — Н ctg е cos р,
Y=Н ctg е sin р,
Z=/7,
если случайные величины Н, е и р независимы, а математи-
ческие ожидания и средние квадратические отклонения их
соответственно равны: /г = 6200 м, е = 45°, р = 30°, оя =
= 25 м, о3 = ое = 0,001 рад,
25.9.	Переход от сферических координат к декартовым
производится по формулам:
X=Rsin 0 cos Ф,
Y= R sin 0 sin Ф,
Z=R cos 0.
Ошибки в определении 0, R и Ф независимы со сред-
ними квадратическими отклонениями о^=10 м, а& = аф =
= 0,001 рад. Определить приближенное значение средних
квадратических ошибок прямоугольных координат, если 0 =
= ср=45°, г = 10 000 м,
25.10.	Приближенное выражение для скорости ракеты
в момент окончания работы двигателя определяется форму-
лой К. Э. Циолковского
у=Шп±±£(
q
где U—эффективная скорость истечения газов, q — вес ра-
кеты без топлива, 2 — вес топлива.
Рассеивание веса топлива характеризуется средним квад-
ратическим отклонением Определить приближенное значе-
ние среднего квадратического отклонения скорости из-за раз-
броса веса топлива, если математическое ожидание М [2] = <о.
25.11.	Высота горной вершины И определяется по на-
клонной дальности D и углу места е:
// = Dsin е.
Найти приближенное значение срединной ошибки опреде-
ления высоты, если Вр = 80 м, £g = 0,001, а математические
§25]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
203
ожидания соответственно равны d= 12 300 м и ё = 31°,2.
(Случайные величины D и s независимы и нормальны.)
25.12.	Пусть Z=sinXY, где X и Y—независимые слу-
чайные величины. Найти приближенное значение если
x=j/ = 0, <зх = <^ = 0,001.
25.13.	Высота горной вершины определяется по формуле
Н= Osinе. Плотность вероятности ошибок в определении
наклонной дальности D и угла места е задана формулой
2
Ш е)=------’ е
Ve
где ad = 40 ж, ае = 0,001 рад, d— 10 000 ж, е = 30°.
Найти приближенное значение среднего квадратического откло-
нения ошибок определения высоты.
25.14.	Дальность Di (рис. 29)
определяется радиолокационной стан-
цией, ошибки измерения для которой
характеризуются срединным откло-
нением' Ер = 20 м. Дальность D*
может быть определена либо дально-
мером, срединное отклонение оши-
бок которого Ed = 40 м, либо
рассчитана по формуле
Определить, какой способ оп-
ределения дальности К%С является
более точным, если ошибки в опре-
делении расстояния между К\ и
характеризуются срединным отклонением £^ = 50 ж, M[d] =
= 2,5 км, М [291]= 10 км.
25.15.	Учитывая три первых члена разложения функции
У=(р(Х) в ряд Тейлора, определить математическое ожида-
ние и дисперсию случайной величины Y, если X подчиняется
нормальному закону распределения.
25.16.	Площадь треугольника определяется формулой
о ab .
S— у sin у.
204
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Учитывая члены разложения в ряд Тейлора функции
6'= ср (7) до включительно, определить математическое
ожидание площади треугольника и дисперсию его площади
из-за рассеивания угла, если случайная величина у распре-
делена нормально, причем 7 и D [у] заданы.
25.17. В треугольнике АВС (рис. 30) сторона а и про-
тиволежащий угол а — случайные величины, которые можно
считать некоррелированными и нормальными. Определить
приближенное значение математиче-
ского ожидания угла X и его сре-
динного отклонения, если база b из-
вестна, а математические ожидания
и срединные отклонения случайных
величин а и а заданы.
25.18. Случайная величина X
подчиняется закону нормального рас-
пределения
/х(А-)
1	(х4-5)3
—	1 __ е 200
10/21Г
Определить приближенное значение математического ожи-
дания и дисперсии случайной величины У = 4?, учитывая
л
первые два и первые три члена разложения в ряд Тейлора.
25Л9. Радиус шара можно считать нормальной случайной
величиной с математическим ожиданием г и дисперсией <з*
(г^><зг). Определить математическое ожидание и дисперсию
объема шара по точным формулам. Сравнить полученные
результаты с результатами, получаемыми методом линеари-
зации.
25.20.	Для определения объема конуса измерены: а) диа-
метр основания и высота; б) диаметр основания и длина
образующей. В каком из этих двух случаев дисперсия ошибки
определения объема конуса меньше, если математическое
ожидание высоты конуса h = 8 дм, диаметра основания
d— 12 дм, длины образующей 1= 10 дм, a ah = ad = Ql —
= 0,1 дм?
25.21.	При взвешивании вместо гирь использована дробь,
диаметр которой в среднем равен 2 мм. Какова срединная
§ 26]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИИ
205
ошибка взвешивания, если среднее квадратическое отклонение
диаметра дроби 0,04 мм, удельный вес металла, из которого
изготовлена дробь, равен 11,2 г[см?? При взвешивании ис-
пользовано 50 дробинок.
25.22.	Ускорение силы тяжести g вычисляется по фор-
муле g=-j2-, где L — длина физического маятника, а Т —
его период. Определить срединную ошибку в g, если изме-
рение длины маятника, произведенное со срединной ошибкой
5^ = 5 мм, дало L = 5 м, а измеренный период колебаний
маятника оказался равным 4,5 сек. Период колебаний маят-
ника найден по длительности времени п =10 полных
размахов, которое измеряется со срединной ошибкой
Et = 0,1 сек., а срединная ошибка определения момента .
прохождения маятника через положение равновесия Etl =
= 0,5’Д т.
25.23.	Используя метод линеаризации, определить при-z
ближенное значение дисперсии случайной величины Z =
= ]Zz?X2-J- У2, если X = sinlZ, y=cosl/, случайная ве-
личина V равномерно распределена в интервале |^0, у],
a k — известная постоянная.
§ 26. Композиция двумерных и трехмерных нормальных
законов распределения с использованием понятия
векториальных отклонений
Основные формулы
Всякий двумерный (трехмерный) нормальный закон рас-
пределения может рассматриваться как композиция двух (трех)
вырожденных нормальных законов распределения, характери-
зующих законы распределения независимых косоугольных
координат случайной точки на плоскости (в пространстве),
если за оси координат выбраны сопряженные направления
единичного эллипса (эллипсоида) рассеивания ’).
J) Если в качестве сопряженных направлений выбраны главные
диаметры эллипса (эллипсоида), то вырожденные законы распреде-
ления характеризуют законы распределения независимых прямо-
угольных координат случайной точки.
206
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Вырожденный нормальный закон распределения однозначно
характеризуется вектором, проведенным из центра распреде-
ления этого закона по направлению одного из сопряженных
диаметров единичного эллипса и равным величине этого полу-
диаметра. Определенный таким образом вектор называется
векториальным отклонением.
Композиция нормальных законов распределения на пло-
скости (в пространстве) эквивалентна композиции векториаль-
ных отклонений. Композиция нормальных законов распреде-
ления, лежащих в одной плоскости и заданных векториаль-
ными отклонениями (Z=l, 2, ..., Л), осуществляется по
следующим правилам:
1)	координаты х, у центра суммарного закона распреде-
ления определяются по формулам:
k	k
х == 2 у == S у**
г = 1	i = l
где yi — координаты начала векториального отклоне-
ния af,
2)	элементы корреляционной матрицы суммарного
закона распределения определяются формулами:
k	k
___ 1 у 2 ____________ А , ____________ 1 у , ___________ С
2р2 Z а‘х 2р2 ’ 2pf Z а‘У 2р2 ’
1 = 1	' 1 = 1
1 k в
^1а==2р2 а‘ха‘У~2?3'
1 = 1
где aix и aiy—; проекции векториального отклонения а,- на
оси произвольно выбранной прямоугольной системы ко-
ординат;
3)	главные направления 0, tj) суммарного закона рас-
пределения, соответствующие им дисперсии (а|, и
угол а, составленный осью 0$ с осью Ох, определяются
§ 26}
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИИ
207
формулами:
бс = Лп cos2 а #12 sin 2а -j- #22 sin2 а =
= ± [ А + С + Г(А-С)24-4^] ==
= ^[A + C + (A-Qsec2a])
а* = Ли sin2 а 4- #12 sin 2а 4- #22 cos2 а =
=	[ А + С - К(А-0^4-45^ =
= ±[A + C-(A-Qsec2a],
где а — любой из корней уравнения
. О	2&
^2а = ^.
Главные полудиаметры единичного эллипса рассеивания
равны
а = а^р]/~2, Ь = ^р ]/2.
Если а и b — главные полудиаметры единичного эллипса,
т и п — сопряженные полудиаметры того же эллипса, а и
р—углы, образуемые 'полудиаметрами п и т с полудиа-
метром а, Р4~а — угол между сопряженными полу диамет-
рами, то согласно теореме Аполлония (рис. 31)
/п2 + п2 = a2 4- Ь\
тп sin (а 4“ Р) = ab,
где
tgatg₽ = ^,
=____________________
Z>2 + (a3 — 62) sin2а"
208
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Композиция векториальных отклонений в пространстве
осуществляется по аналогичным правилам. Необходимые вы-
числения удобно вести, пользуясь следующей схемой расчета
(табл. 9):
->	Таблица 9
№ п/п (0	ai	aix	°‘У	aiz	aix	aly	aiz	aizaiy\	aixaiz	aiyaix	’i = aix+ + aiy+aiz	2
1 2 k												
S					Ai	л2	Аз	Br	Вг	B3		4-2 (^i +
Элементы корреляционной матрицы || суммарного
закона распределения определяются формулами:
1	___ 2	Z, ___ 2 ___ ^2 г _______ 2 ____ ^3
*и — Од-	> *22 — &у —	> *зз — &Z — 2р2 >
£	__ А ___________ &2 К _______ Дз
^23 —2^-2,	*31 —2р,	*12 —2р.
Последние два столбца таблицы 9 служат для контроля
правильности вычислений: должно выполняться равенство
k
2	= ^i “F ^2 4” ~Ь 2 (Bi -р ^2	#з).
1=1
Дисперсии 5, т], С по главным направлениям суммарного
эллипсоида распределения (о|,	<з£) определяются фор-
мулами
где а; Ь, с — главные полудиаметры единичного эллипсоида
суммарного закона распределения — связаны с корнями
§ 26]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
209
(zzi, и* ид уравнения iA-\-pu-\-q = 0 соотношениями:
и3 = th 4~ у,
&2 = «г+4>
2	I 1
с — 11з 4“ у ,
р ——	q = — lp-lr-LlmJs-n>
I=Ai -j- а2 -j- ^з,
т = Ai А-2 4- A2A3 4- А3А1 — Bi — Bi — В*
п = AiB{ 4- A%Bi 4~ А3В3 — А А2Аз — 2В1В.1В3,
Корни кубического уравнения могут быть найдены или
по специальным таблицам, или по формулам:
Ч\ = 2 ~\Г — ~ р cos 4, щ. = 2 ~\f — р cos ?~2- ,
у	и	О	у	О	О
__ Q ~5 Г 1	Ф А
Из—^ I/ — у р cos -'3- - ,
где	*	.
-9g
cos ф = —_ 2—.
2 V— З/?3
Направляющие косинусы осей В, ц, £ в координатной
системе Oxyz определяются как решения трех систем урав-
нений (/=1, 2, 3):
(Ai — Xf«) аг1 4- Вза^ 4- В&13 = 0,
^За/1 4- (^2-^i) Ui2 4- ^lai3 = 0>
ао 4~ а/-2 4“ а/з — ь ,
где
Xi = а2, Х2 = Z?2, Х3 =<2,
а агу обозначает косинус угла между Z-й осью координатной
системы Obfc и /-й осью системы Oxyz.
Решение типовых примеров
Пример 26.1. Положение точки А определяется с на-
блюдательного пункта О по дальности 0A = D и угловому
отклонению от ориентира В.
210
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Срединная ошибка в определении дальности составляет
1ООЛ°/о от дальности; срединная ошибка в определении
углового отклонения составляет е радиан. Ошибка нанесения
точки А на карту подчинена нормальному круговому закону
со срединным отклонением г; ошибка определения положения
точки О также подчинена нормальному круговому закону
со срединным отклонением R. Определить суммарный закон
распределения, характеризующий ошибку положения точки А,
нанесенной на карту. Как изменится вероятность попадания
точки А в квадрат 100X100 л/2 при уменьшении D с 20
до 10 км (г = 20 м, R = 40 м, е = 0,003, Л = 0,005)?
Решение. По направлению оси О А действуют незави-
симые векториальные отклонения kD, г и R, а в перпенди-
кулярном направлении — независимые векториальные откло-
нения eD, г и R1). Закон распределения ошибок положения
точки А, нанесенной на карту, определяется единичным
эллипсом с полудиаметрами
поэтому
р = ф (. ...........50....--Л ф [______—________
\ Vk2D2 + г2 + R2 ) \/£2Z)2 + r2 + R2 /
При дальности О А = 20 000 м
р _ф[.50 Аф(..99 .А_0,083
V109,5>	\74,8)	’ ° •
При уменьшении дальности до 10 000 м
р—ф (_99Л ф ! -92-А — о,181
2" \ 67,1У \53,8 }	’	•
- Пример 26.2. Положение точки К на плоскости опре-
деляется путем измерения дальностей до нее из точек М
и N. Координаты точки подчиняются нормальному закону
распределения, заданному главными полудиаметрами а = 60 м
и Z? = 40 м и углом оч = 47°52' между полудиаметром а и
направлением NK.
г) Вследствие малости угла е отклонение по дуге eD можно
заменить отклонением по касательной на величину zD и считать
это отклонение перпендикулярным радиусу D.
§26] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИИ 211
Как изменится закон распределения координат точки К, если
срединная ошибка измерения дальности МК уменьшится вдвое?
Решение. Векториальные ошибки определения коорди-
нат точки К, возникающие вследствие ошибок измерения
дальностей МК и NK, являются сопряженными полудиамет-
рами т и п единичного эллипса, направленными по норма-
лям к МК и NK соответственно. Поэтому (см. рис. 31).
а = 90° — а1 = 42°8',
- 2**	♦ 2 =2304 л/2, п = 48,0 м,
b2 (а2 — b2) sin2 а	’
h2
= 0,4913, р = 26°ю; а+р=68°18',
Главные полудиаметры единичного эллипса нового закона
распределения можно определить, если учесть, что сопря-
женными диаметрами этого эллипса будут отрезки ^- = 24,0 м
и m = 53,8 м, угол между которыми по-прежнему равен
а-(-р = 68018'. Применяя и в этом случае теоремы Апол-
лония, получим
+	=	+^2> ai&i = у от sin (а + р),
т. е.
а* + ^==3470 м\ а,&, = 483,9 м\
= 58,3 лг, bi = 8,3 м.
Пример 26.3. Составить корреляционную матрицу трех-
мерного закона распределения, являющегося композицией
четырех вырожденных нормальных законов распределения,
характеризуемых следующими векториальными отклонениями
(табл. 10):
Таблица 10
i	а.	cos	х)	cos (а., v)	cos	z} 
1	20	0,5	—0,5 /3	0
2	30	/0,4	/0,3	/ад
3	50	—0,8	0	—0,6
4	25	0	1	0
212
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Определить главные полудиамётры единичного суммар-
ного эллипсоида и направляющие косинусы углов между
наибольшим из главных полудиаметров и координатными
осями.
Решение. 1) Расчет элементов корреляционной матрицы
приведен в таблице 11.
Таблица 11
i	ai	aix	а. iy	a. iz	alx	2 aiy		a. a. ty iz	a. a. iZ IX	a. a. ix ty	X. i	A
1 2 3 4	20 30 50 25	10 18,97 -40 ' 0	-17,32 16,43 0 25	, 0 16,43 —30 0	100 360 1600 0	300 270 0 625	0 270 900 4 0	0 270 0 0	0 311,7 1200 0	-173,2 311,7 0 0	-7,32 51,83 -70 25	54 2686 4900 625
					A1== =2060	a2= = 1195	A3= = 1170	II § °? II	B2= =1512	B3= = 138,5		8265
Контроль: 2060+11954-Т1704-2 (270+1512+138,5) = 8266 1												
А„ = А=4528, Ай = А = 2627, Л33 =	= 2572,
ft23 = |l = 593,5, А31 =	= 3323, kK = || = 304,4.
2) Расчет главных полудиаметров единичного суммарного
эллипсоида.
По приведенным выше формулам находим
7 = 4425; т = 3892.1G3; и = — 8871-104;
р = —2635-Ю3; q = — 767 • Ю«;
cos ср = 0,4658; ср = 62° 14'20";
cos -*- = 0,9352; cos ^^ = — 0,1608;
cos Ц^ = — 0,7744;
, И1=1752; Ui = — 301,3; iz3 = —1451;
a2 =3227; ft2=1174;	c2 = 24;
a = 56,8;	ft = 34,3; c = 4,9.
3) Расчет косинусов углов между главным полудиамет-
ром а и координатными осями.
§26]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИИ
213
Составляем систему уравнений
— П67ап+ 138а12+1512а13 = 0,
138ап — 2032ан+ 270а13 = 0,
аи+ ah+ а1з=^1-
Из первых двух уравнений находим a12 = 0,1684an,
ai3 = 0,7563an; из третьего уравнения an = ± 0,7905.
Таким образом,
cos (а, х) = ап = ± 0,7905; cos (а, у) = аЬ2 = ± 0,1331;
cos (а, г) = a13 = zt 0,5978.
Аналогично решается задача 26.9.
Задачи	‘	(
26.1.	Найти композицию двух векториальных отклоне-
ний Ci й с2, если угол между ними у = 30°,	= 30 м, с* —
= 40 м, а центры распределения совпадают.
26.2.	Решить предыдущую задачу при у = 0 и при у = 90°.
26.3.	Найти суммарный закон распределения, являющийся
композицией векториальных отклонений а/, лежащих в одной
плоскости, если их величины и углы az между и поло-
жительным направлением оси абсцисс даны в таблице 12.
Таблица 12
i	аь м	ai | z		ah м	ai
1	0,9	30°37'	5	0,4	158°48'
2	0,5	59°36'	6	0,5	189° 3'
3	0,7	92°12'	7	0,2	273°18'
4	0,8	127°17'	8	0,3	316°54'
26.4.	Найти единичный эллипс суммарного закона рас-
сеивания точек на плоскости, получающегося при сложении
следующих векториальных отклонений, лежащих в этой пло-
скости (табл. 13).
26.5.	Найти композицию векториального отклонения
А (А = 18 X), образующего с направлением Ох угол ^ = 75°, и
214
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Таблица 13
i	аь м	а., град	i	ai, м	а., град
1	10	297	5	40	117
2	30	117	6	60	27
3	30	117	7	70	297
4	40	297	8	80	207
нормального закона распределения, заданного единичным эллип-
сом, одна из главных полуосей которого совпадает с направле-
нием Ох и равна а = 30 м, а другая главная полуось £ = 20 лг.
26.6.	Найти композицию двух нормальных законов рас-
пределения на плоскости:
а)	при главных полуосях единичных эллипсов сц = Ь\ =
= 50^, а2 = £2 = 25 м\
б)	при главных полуосях единичных эллипсов ^ = 50 м,
£1 = 25 м, а2 = 50 м, £2 = 25 м, если угол между полу-
осями ai и а2 равен 30°.
26.7.	Координаты случайной точки на плоскости подчи-
нены нормальному закону распределения, заданному единич-
ным эллипсом с главными полудиаметрами а = 24 м, Ь — 1 м.
Определить вероятность попадания случайной точки в ромб
со стороной 21 =60 м и острым углом y = 34°,3. Центр
ромба совпадает с центром распределения, а смежные сто-
роны ромба параллельны сопряженным полудиаметрам.
26.8.	Определить два векториальных отклонения, эквива-
лентных нормальному закону распределения на плоскости,
характеризуемому единичным эллипсом с главными полу-
осями 80 м и 60 м, если одно из векториальных отклоне-
ний образует с большей полуосью угол 30°.
26.9.	Координаты судна определяются путем измерения
радиолокационной станцией дальности до .берегового ориен-
тира и направления на ориентир. Ошибки измерения радио-
локационной станции заданы единичным эллипсом с главными
полуосями Ех = 80 м в направлении оси Ох и f2 = 30 м
в направлении оси Oz. Единичный эллипс ошибок опреде-
ления координат ориентира вследствие неточного знания его
места имеет главные полуоси Ех = 100 м, В2 = 40 м, при-
чем Ei образует с осью Ох угол 20°.
§26]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
215
Определить: а) плотность вероятности для суммарных
ошибок определения места судна в координатной системе xOz*,
б) главные полудиаметры и ориентировку относительно оси Ох
единичного эллипса суммарных ошибок определения коорди-
нат судна.
Таблица 14
А/, м	Ах = 400	Д2 == 600	А3 = 200
ty, град	6Х = 65	62 = 35	63 = 335
26.10.	Ошибки определения места судна в море вызваны
тремя векториальными ошибками, величины которых и углы
9/, составленные ими с меридиа-	g
ном, приведены в таблице 14.	л
Найти единичный эллипс оши-	/ \
бок определения места судна	/	\
в море.	/	\
26.11.	Найти закон распреде-	/	\
ления координат точки С, опре-	/	\
деленных путем ее визирования	/	\
с двух пунктов А и В, если дана /	\
база Б, углы Pi и р2, а также д ZVJ/ 5	&
срединные угловые ошибки визи-	рис. 32.
рования с обоих постов Ер1=Ер2 =
— Положение точек А и В известно без ошибок (рис. 32).
26.12.	В условиях предыдущей задачи рассчитать главные
полуоси единичного эллипса и их ориентировку относительно
направления АВ при Б =15 км, pi = 60°,' р2 = 75°,
Eh = Eb = 0,0005.
26.13.	В условиях задач 26.11 и 26.12 определить сум-
марный закон распределения ошибок координат точки С отно-
сительно пункта А, если кроме ошибок визирования Е^ и
£р2 задан закон распределения ошибок в определении поло-
жения точки В относительно точки А, характеризуемый еди-
ничным эллипсом рассеивания с главными полуосями вдоль
базы £1.= 30 м и перпендикулярно базе Е2=15 л*.
26.14.	Для определения истинного курса судна и его
скорости дважды независимо определяют место судна
216
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ. IV ..
(в точках Ai и Д2) через промежуток времени т = 20 сек.
Закон распределения ошибок определения места судна — круго-
вой, с радиусом единичного круга г = 30 м. Найти срединную
ошибку определения величины скорости судна и его курса,
если расстояние AiA% оказалось равным D= 1000 м.
26.15.	Координаты судна в момент £ = 0 известны
с ошибкой, подчиненной нормальному круговому закону
распределения, радиус единичного круга которого равен 100 м.
Срединная ошибка определения величины скорости судна
равна 2 MfceK, что составляет 10% от его скорости, а сре-
динная ошибка определения курса судна составляет 0,08 рад.
Рассчитать единичный эллипс ошибок положения судна для
момента времени t= \ мин.
26.16.	Положение метеорологического шара-баллона в мо-
мент наблюдения известно с ошибкой, подчиненной нормаль-
ному шаровому закону распределения, радиус единичного
шара которого равен 50 .м\ скорость шара-баллона известна
со срединной ошибкой 2 MjceK. Ошибки определения вектора
скорости шара-баллона в плоскости, перпендикулярной его
курсу, заданы нормальным круговым законом распределения
при радиусе единичного круга 3 м)сек. Рассчитать единичный
эллипсоид ошибок положенйя шара-баллона спустя 20 сек.
после момента определения его координат и вектора скорости.
26.17.	Найти плотность вероятности для суммы двух
случайных нормальных векторов в пространстве Oxyz и
случайного вектора в плоскости Oxz, для которых первые
моменты соответственно равны:
Xi = 20, jji = — Ю, Zi = —15,
х2=10, j2 = 25,	z2 =—40,
x3= 15,	z3 =—20,
а корреляционные матрицы проекций векторов на коорди-
натные оси					
	12 —2	0		10	2	1	
|М?1=	—2	8	1			2	8—1
	0	1 14				1 —1	17
			3 0 —	1	
	Н’11=		о 0	0	
			— 1 0	5	
§26]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИИ
217
Случайные векторы взаимно независимы.
26.18.	. Найти композицию векториального отклонения
х, параллельного оси Ох, х = 25, Е^ = 40; нормального
закона распределения на плоскости хОу с единичным эллипсом
(х + 5)2 . (Л-Ю)2	.
400	900
и нормального закона распределения в пространстве с еди-
ничным эллипсоидом
(%-Ю)2 . (у-Ю)2 । г*
100	‘	225	“Г 64 — 1 ’
если х, у, z — прямоугольные координаты точки в прост-
ранстве.
26.19.	Составить корреляционную матрицу системы трех
случайных величин (координаты точки в пространстве),
соответствующую композиции следующих векториальных
отклонений (табл. 15):
Таблица 15
i	ai	COS (Op xj	cos(av y)	COS(Op z)
1	40	0,6	—0,8	0
2	60			
3	80	—0,5	0,5 ,	0,5/2
218
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
26.20.	В условиях предыдущей задачи определить глав-
ные полуоси единичного суммарного эллипсоида и напра-
вляющие косинусы углов между наибольшей из главных
полуосей а и координатными осями.
26.21.	Положение точки К2 относительно точки Ki опре-
деляется по измеренным из точки А дальностям Di и Z)2
и углу в горизонтальной плоскости	= (рис. 33).
Найти корреляционную матрицу ошибок в определении по-
ложёния точки К2 относительно если известно, что
срединные ошибки в определении дальности равны Е&
а в определении угла а равны Еа. Ошибки измерения взаимно
независимы и подчинены нормальному закону распределения.
Высота Н точки А над горизонтальной плоскостью KiBK%
известна без ошибок.
26.22.	Решить задачу 26.21 при условии, что вместо
высоты Н задано (без ошибки) значение угла ъ= £AKiB.
ГЛАВА V
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
§ 27. Энтропия случайных событий и величин
Основные формулы
Пусть Аь А* Ап — полная группа несовместных
событий.
Тогда энтропия этой группы событий определяется фор-
мулой !)
н=- £ Р(Д/)1оеаР(А/).
7 = 1
Энтропия является мерой неопределенности ситуации при
проведении испытаний с полной группой несовместных со-
бытий А}, Аъ ... , Ап.
По такой же формуле определяется энтропия /7[Х] ди-
скретной случайной величины X, принимающей значения
х2, ... > хп с вероятностями pi, , рп:
п
Н[Х] = — £pjlogapj.
7=1
Те же формулы имеют место и когда п = сю.
Мерой неопределенности случайной величины X, при-
нимающей непрерывный ряд значений и заданной плотностью
*) Р (АЛ — вероятность события Af, Р (А Л1о£л Р (АЛ = 0, когда
Р(А/) = 0 или Р (Ay) = 1.	1	1	1
220	ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ	[ГЛ. V
вероятности /(х), является дифференциальная энтропия /7 [Л],
определяемая формулой
#[*] = — 5 f W 108а / W
’*	—оо
причем f (x)log af (х) = 0 для тех значений х, где /(х) = 0.
Условная энтропия случайной величины X относительно
случайной величины Y для дискретных X и Y
IЛ-] = — ij Р (* = xt I У=yj) >0goP (X=Xi I Y=yj);
i = 1
для непрерывных X и Y условная дифференциальная энтропия
Щ*1.У] = — 1 f(x\y)\ogaf(x\y)dx.
— 00
Средней условной энтропией Ну [X] называется математи-
ческое ожидание условной энтропии. Для дискретных слу-
чайных величин
^[X] = M[/7[X|^]=z
= -S S P(^=Jy)P(^ = -vd У=У1)Х
X loga Р (X = Xi I Y =yj),
для непрерывных случайных величин
ЯЯ*] = М[Щ*|.у|]==
= — $	$ fy(y)f(x\y)\oga-f(x\y)dxdy.
— со — оо
Аналогичные формулы имеют место для систем случайных
величин.
Так например,
/7[ХЬ X, .... %„] = - [ ... f/(xb х2, .... хп)Х
Xloga/(*1> Xi, xn)dx! ... dx„<
§ 271
ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ВЕЛИЧИН
221
— энтропия системы п случайных величин,
Нг[Х, У] =
— — 5 5 $ А (*)/(*> у I z) \ogaf(x, y\z)dx dy dz
.—-00 —ОО —00
— средняя условная энтропия подсистемы случайных вели-
чин (X У) относительно Z;
Hx,y[Z] =
— — J J $ f(x> y)f(z\x, J') 10go/(21х, yjdxdydz
— 00 — 00 — 00
— средняя условная энтропия случайной величины Z отно-
сительно случайных величин X Y. Справедливы неравенства
Н[Х, У] = Н[Х] + Нх[У]^Н[Х] + Н[У]
и
H[Xh X* .... Хп]^ 2 ^№1’
k = \
причем знак равенства имеет место только для независимых
случайных величин.
При а = 2 единицей измерения энтропии является энтро-
пия полной группы двух несовместных равновозможных со-
бытий. При а ф 2 значение энтропии, вычисленное для а — 2,
нужно умножить на loga 2. Единица измерения энтропии, на-
зывается двоичной при а = 2, десятичной при а =10 и т. д.
Решение типовых примеров
Пример 27.1. Производится стрельба по двум ми-
шеням: по первой мишени сделано два независимых выстрела,
по второй — три. Вероятности попадания при одном выстреле
соответственно равны 1/2 и 1/3. Исход стрельбы по какой
мишени является более определенным?
Решение. Исход стрельбы определяется числом попа-
даний в мишень, которое подчинено биномиальному закону
распределения Р (X = т) = Спрт (1 — р)п ~ т-
222
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Составляем ряд распределения для первой мишени при
л = 2 и /7=1/2 (табл. 16):
Таблица 16	Таблица 17
т	0	1	2
Р (X = пг)	1/4	1/2	1/4
т	0	1	2	3
Р (X = т)	1/27	2/9	4/9	8/27
для второй мишени при л = 3, /?=1/3 (табл. 17).
Мерой неопределенности исхода стрельбы служит энтро-
пия числа попаданий. При стрельбе по первой мишени
Я1 = —	— 4lg ттlg 4=0,452 дес-ед-’
по второй мишени
„	1,1	2	2	4,4
27	27	9 g 9	9 g 9
— ^lg~ = 0,511 дес. ед.
Исход стрельбы по первой мишени обладает большей опре-
деленностью.
Аналогично решаются задачи 27.1—27.11.
Пример 27.2. Среди всех законов распределения не-
прерывной случайной величины X, для которых задана одна
и та же дисперсия D, найти закон распределения с макси-
мальной дифференциальной энтропией.
Решение. Согласно теореме вариационного исчисления
для нахождении функции у=у(х), дающей экстремум ин-
теграла
ъ
1 — $ Ф(х, y)dx
а
при дополнительных условиях
ь
$ф5(х, y)dx = cs (s=l, 2, ..., /я),
а
§ 27] ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ и величин 223
необходимо решить (не дифференциальное) уравнение Эйлера
т
где Ф1==Ф-{- 2 М* а постоянные Х5 определяются с по-
5 = 1
мощью заданных дополнительных условий. В нашем примере
требуется найти максимум интеграла
оо
— $ /Infdx
— ОО
при дополнительных условиях
оо
J fdx=\
— со
И
' (х — xffdx — D.
— оо
Отсюда
Ф, (X, f) = -f In f + V+ (X — x)2/.
Следовательно, уравнение для определения f(x) имеет
вид
— In f — 1 —|— Xj	Xg (x — x)2 = 0,
откуда
где
c
Из дополнительных условий находим
’	2D*
Найденное решение соответствует максимуму энтропии.
Таким образом, при заданной дисперсии D наибольшей
энтропией обладает нормальный закон распределения
_ 1
— /2^
Аналогично решаются задачи 27.12—27.15. ,
224
энтропия И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Пример 27.3. Доказать, что максимум энтропии ди-
скретной случайной величины, принимающей п значений, до-
стигается при ^=^2 = ...==^=—,
Для доказательства воспользуемся неравенством In —
— — (х^>0) (знак = имеет место только при х=1). При-
меняя это неравенство, получим
п
— H+l0gan= Pk^ga(npk)^
k = l
n
n	1
----L) w------------
In a \ npk j In a
k = \
Отсюда
n
H = — 'ZiPk tegaPk 'S 10ga n.
fe = l '
Случаю npk=^ соответствует максимум энтропии, равный
loga П.
Аналогично решается задача 27.16.
Задачи
27.1.	В двух урнах имеется по 15 шаров,. причем в пер-
вой урне 5 красных, 7 белых и 3 черных, а во второй —
соответственно 4, 4 и 7. Из каждой урны вынимается по
одному шару. Определить, для какой -из урн исход опыта
является более определенным.
27.2.	Вероятность появления события при одном испы-
тании равна р, вероятность непоявления события #=1—р.
'При каком р результат испытания обладает наибольшей
неопределенностью?
27.3.	Исход какого из двух опытов обладает большей
неопределенностью: 1) внутри правильного треугольника
наугад ставится точка, которая может оказаться внутри или
вне вписанного в него круга; 2) внутри круга наугад ста-
§27]
ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ВЕЛИЧИН
225
вйтся точка, которая может оказаться внутри или > вне впи-
санного в него правильного треугольника?
27.4.	В правильный и-угольник путем соединения сере-
дин его соседних,сторон вписан другой правильный п-угольник.
Точка, поставленная внутри данного многоугольника, может
оказаться внутри или вне вписанного многоугольника.
Определить: а) энтропию опыта; б) значение п, при ко-
тором энтропия максимальна.
27.5.	Вероятность появления события А при одном испы-
тании равна р. Испытания повторяются до первого появления
события А. Найти энтропию числа испытаний и выяснить
характер изменения энтропии с изменением р,
‘ 27.6. Определить энтропию случайной величины, под-
чиненной биномиальному закону распределения: а) в общем
случае; б) при п==2, /? = <? = 0,5.
27.7.	Определить энтропию непрерывной случайной ве-
личины, подчиняющейся: а) закону равномерного распреде-
ления в интервале [с, d]\ б) нормальному закону распреде-
ления с дисперсией oj; в) экспоненциальному закону распре-
деления
сё~сх при х 0	(с 0),
0	при х < 0.
27.8.	Найти энтропию случайной величины X, функция
распределения которой
F(x) =
0 при
х2 при
1 при
х 0,
0<^х^С 1,
Х^> 1.
27.9.	Определить условную дифференциальную энтропию
Н [Х|.у] и среднюю условную дифференциальную энтропию
Ну\Х\ случайной, величины X относительно У, а также
Л7 [ У | х] и НДУ] случайной величины У относительно X
для системы (X, У) нормальных случайных величин.
27.10.	Найти энтропию системы п случайных величин,
подчиняющихся нормальному закону распределения.
27.11.	По заданным энтропиям Н[%| и Н [У] случайных
величин Хи У и средней условной энтропии Ну[Х]
8 Б. Г. Володин и др.
226
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
случайной величины X относительно Y определить среднюю
условную энтропию Нх [ У] случайной величины Y относи-
тельно X
27.12.	Среди всех законов распределения непрерывной
случайной величины X для которых плотность вероятности
равна нулю вне интервала а<^х<^Ь, определить закон
распределения с максимальной дифференциальной энтропией.
27.13.	Среди всех законов распределения непрерывной
случайной величины X, для которых плотность вероятности
равна нулю при х<^0, найти при заданном математическом
ожидании^ М [X] закон распределения с максимальной диф-
ференциальнрй энтропией.
27.14.	Найти плотность вероятности, при которой диф-
ференциальная энтропия случайной величины максимальна,
если задан ее второй начальный момент т%.
27.15.	Среди множества законов распределения непре-
рывных систем случайных величин с заданной корреляцион-
ной матрицей найти закон распределения, при котором
энтропия системы максимальна.
27.16.	Сообщение кодируется с помощью двух групп симво-
лов, причем в первой группе имеется k символов, встречаю-
/ k	\
щихся с вероятностями р1ь р12, .р^ I 2 /?п = а , а во вто"
4=1	!
рой группе п символов, встречающихся с вероятностями
(п \
2^2/=!—а). Определить при фиксиро-
/ = 1
ванном значении а вероятности р^ и р^р соответствующие
максимуму энтропии.
27.17.	Опыт А состоит в выборе наудачу целого числа
от 1 до 1050, а опыт В — в сообщении величин остатков
от деления этого числа на 5 и на 7. Определить энтропию
опыта А и среднюю условную энтропию опыта А относи-
тельно опыта В.
27.18.	Между двумя системами случайных величин
(X, X, • •, X) и (У2, Yn) установлено взаимно
однозначное соответствие Yk = (X, X, •••> Х)> Х =
= фл(^1>	“у, ^л)	1, 2, ..., п). Найти энтропию
Н [	У2, •. •, Yn\, если задана плотность вероятности
fX (х» -^2? • • • 9 X:).’
§28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
227 '
27.19.	Две системы (Хь ... , Хп) и (Уь У2, ... , Уп)
случайных величин связаны линейными соотношениями
(6=1, 2, ..., п).
/=1
Определить разность энтропий
Н[УЬ У*..., Уп]—Н[Хь X* Хп]
а) в общем случае; б) при и = 3 и матрице преобразования
з
1
о
II М =
2 —1
4 —2
—3	5
§ 28.	Количество информации
Основные формулы
Количество информации, которое может быть получено
в результате наблюдения полной группы несовместных собы-
тий, измеряется ее энтропией Н; количество информации,
которое может быть получено в результате наблюдения зна-
чения дискретной случайной величины X, — ее энтропией Н [X].
Количество информации о случайной величине X, кото-
рое может быть получено в результате наблюдения другой
случайной величины У, измеряется разностью энтропии слу-
чайной величины и ее средней условной энтропии относи-
тельно У:
1у [X] = tf[X]-
Для дискретных случайных величин
rrvi КД L Р(Х = х| У—у) 1
{у РП — М [loga Р(А’ = х) J —
Г Р(Х = х, Y=y) 1
— М [loga р (Х=;р —
п т
= .2 2 Р = Xb Y =У}) 10ga р (Х = х^Р (У=уj) •
Если после получения сообщения о дискретной случайной
величине У ^значение случайной величины X полностью опре-
делено, то Ну [X] = 0 и 1у [X] = Н [X].
8*
228
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Если X и У независимы, то Ну [A] = Н [АГ] и /^[А] = 0.
Для непрерывных случайных величин
1, [X] = М	= М [loga	=
L Тх\л) J L Jx	) J у \ •) J
— 00 — 00
Из симметрии формул для количества информации относи-
тельно величин А и У следует, что
1у1Х] = !ЛУ]-
Решение типовых примеров
Пример 28.1. Закодировать по методу Шеннона — Фэно!)
алфавит, состоящий из четырех символов A, В, С и Д если
вероятности появления каждого символа в сообщении равны:
Р (А) =0,28, Р (5) = 0,14, Р (С) = 0,48,
Р(П) = 0,10.
Определить экономность кода, т. е. количество инфор-
мации, приходящееся на один символ.
Решение. Располагаем символы алфавита в порядке
убывания вероятностей С, А, В, D и производим последова-
тельные разбиения на группы.
При первом разбиении в первую группу попадает С,^а во
вторую А, В и Д поскольку Р (С) = 0,48 и Р(А-|-^ + ^)=
= 0,52. Первой группе приписываем кодовый символ 1,
а второй группе 0. Аналогично из второй группы в свою
очередь получаем подгруппы А и B-[-D с вероятностями
О При кодировании по методу Шеннона — Фэно совокупность
символов (алфавит), расположенных предварительно в порядке убы-
вания вероятностей появления символов, разбивают на две группы
таким образом, чтобы сумма вероятностей появления символов,
входящих в группы, была примерно одинаковой. Каждая из групп
в свою очередь также разбивается на две по такому же принципу.
Операция продолжается до тех пор, пока в каждой группе не оста-
нется по одному символу. Каждый символ обозначается двоичным %
числом, последовате^ные цифры которого (единицы и нули) показы-
вают, в какую группу попал данный символ при очередном разбиении.
§ 28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
229
0,28 и 0,24 и кодовыми обозначениями 01 и 00. Наконец,
группа B-\-D разбиваемся на В и D с вероятностями 0,14
и 0,10 и кодовыми обозначениями 001 и 000.
Процесс кодирования удобно представить в виде таб-
лицы 18.
Таблица 18
Символы алфавита	Вероятности символов алфавита	Подгруппы и их кодовые обозна- чения	Кодовые обозначения символов алфавита
С	0,48	} 1	1
А	0,28	1 М-	01
В	0,14	? 0 1 о } 1	001
D	0,10	/ Г°}0	000
Появлению одного из символов алфавита соответствует
полная группа несовместных событий, а общее количество
информации в данном примере равно энтропии алфавита.
Поэтому количество информации, приходящееся на один кодо-
вый символ (экономность кода), равно отношению энтропии
алфавита к математическому ожиданию длины кодового обо-
значения символов алфавита:
— 0,48 log2 0,48 — 0,28 log2 0,28 — 0,14 log2 0,14 — 0,10 log2 0,10	_
1 • 0,48 + 2 • 0,28 + 3 • 0,14 + 3.0,10	—
Аналогично решаются задачи 28.9 и 28.11—28.13.
Пример 28.2. Вероятности поступления и непоступле-
ния сигнала на вход приемника соответственно равны а и
а=1—а. Вследствие помех сигнал, поступивший на вход
приемника, может быть зафиксирован на выходе с вероятно-
стью р и не зафиксирован с вероятностью р = 1 — р, а при
отсутствии сигнала на входе он может быть зафиксирован
вследствие помех с вероятностью у и не зафиксирован с ве-
роятностью м=1 — 7. Определить количество информации
о наличии сигнала на входе по наблюдению сигнала на выходе.
Решение. Обозначим через X случайное число сигна-
лов на входе и через Y случайное число сигналов на выхода
230
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Тогда
Р(Х=1) —а,
Р(у=1 |Ly=1) = ₽,
Р(У=1 |х = 0) = 7,
Р(Г=1) = ар4-а7>
Р(А' = 0) = а.
р (Г=о I X — 1) = р,
р (У=о I Х=0) = 7,
Р(У=0) = ар -l-a?.
Поэтому
И=«р	+*1	-л +
+a₽l06";rh+lIlog“;rh?
Можно также воспользоваться формулой
Iy[X] = Ix[Y]=H[Yi-Hx[Y],
где безусловная энтропия
н [ У] = — (ар 4- а-f) 10go (ар 4~ «7) — (ар af) loga (ар
а средняя условная энтропия
Нх [ У] = — а (Р loga р 4- Р 10go Р) — 3. (7 loga 74-7 loga 7).
Оба способа дают один и тот же результат.
Пример 28.3. Имеется 12 монет одного достоинства;’
И из них имеют одинаковый вес, а одна — фальшивая, отли-
чается по весу от остальных. Каково наименьшее число взве-
шиваний на рычажных весах без гирь, которое позволяет
обнаружить фальшивую монету и выяснить, легче ли она,
чем остальные монеты, или тяжелее? (См. [68]).
Решение. Каждая из 12 монет может оказаться фаль-
шивой и быть при этом тяжелее или легче настоящей. Таким
образом, имеется 24 возможных исхода, что при равной
вероятности этих исходов дает энтропию сложного опыта,
определяющего фальшивую монету, равную log2 24 = 3-|^
+ log, 3 = 3+gJ = 4,58.
Каждое взвешивание имеет три исхода, что в предположении
их равной вероятности дает энтропию, равную log* 3 = 1,58.
§ 28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
231
Следовательно, минимальное число взвешиваний не может
log2 24	4,58 о
быть меньше, чем т= —- = 2,90, т. е. оно не меньше
1 уОО
трех.
Действительно, покажем, что при оптимальном планиро-
вании опыта потребуется ровно три взвешивания.
Чтобы число взвешиваний было наименьшим, каждое взвеши-
вание должно давать наибольшее количество информации,
а для этого исход взвешивания должен обладать наибольшей
энтропией.
Пусть при первом взвешивании на обе чашки положено
по i монет. При этом, как упоминалось, возможны три исхода:
1)	чашки весов остались в равновесии;
2)	перевесила правая чашка;
3)	перевесила левая чашка.
При первом исходе фальшивая монета находится среди
12 — 2/ отложенных монет, и, следовательно, вероятность
этого исхода равна
Р1=^.
1	12 ‘
Во втором и третьем исходах фальшивая монета лежит
на одной из чашек весов. Поэтому вероятности этих исхо-
дов равны
Чтобы взвешивание дало наибольшую информацию, рас-
пределение вероятностей исходов должно обладав наиболь-
шей энтропией, чему соответствует равенство всех вероят-
ностей исходов. Отсюда
т. е. при первом взвешивании на каждую чашку весов сле-
дует положить по 4 монеты.
Далее рассмотрим отдельно случай а), когда при первом
взвешивании чашки весов остались в равновесии, и случай
б), когда одна из чашек перевесила другую.
В случае а) имеем 8 настоящих (заведомо не фальшивых)
монет и 4 подозрительных, которые не участвовали в первом
взвешивании. Для второго взвешивания мы можем положить
232
ЭНТРОПИЯ и ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
на правую чашку Z подозрительных монет (Z^4), а на л^-
вую j^t подозрительных и Z—j настоящих монет. При
это'м Z-[-/^4, так как число подозрительных монет равно 4.
Все возможные значения Z и j и соответствующие вероят-
ности исходов при втором взвешивании в случае а) сведены
в табл. 19.
Таблица 19
№ опыта	i	J	Pl	Pi	Рз	НЧ
1	1	1	0,5	0,25	0,25	0,452
2	1	0	0,75	.0,125	0,125	0,320
3	2	2	0	0,5	z0,5	0,301
4	2	1	0,25	0,375	0,375	0,470
5	2	0	0,5	0,25	0,25	0,452
6	3	1	0	0,5	0,5	0,301
7	3	0	0,25	0,375	0,375	0,47б
8	4	0	0	0,5	0,5	0,301
В этой таблице приведена также энтропия опыта, равная
Ни = — Л 1g Л ~ P21g P2 — P31g P3.
Наибольшую энтропию дают опыты № 4. и 7. Итак,
имеется два равноценных варианта второго взвешивания: необ-
ходимо либо положить на одну чашку весов две подозри-
тельные монеты, а на другую одну подозрительную и одну
настоящую (опыт № 4), либо три подозрительные на одну
чашку и три настоящие на другую (опыт № 7).
Читатель может самостоятельно убедиться в том, что
в обоих вариантах третье взвешивание -позволяет решить
поставленную задачу, т. е. определить фальшивую монету и
выяснить, легче ли она или тяжелее остальных.
В случае б), когда при первом взвешивании перевесила
одна из чашек, монеты распределяются на три группы, по 4
подозрительных, положенных на правую и левую . чашки
(4 «правых» и 4 «левых»), и 4 настоящих (не участвовавших
в первом взвешивании).
Если при втором взвешивании положить на правую чашку
весов /1 «правых» и Z2 «левых», а на левую чашку j\ «пра-
вых», у2 «левых» и Zi к — ji — fa настоящих монет и срав-
нить энтропии всех возможных вариантов, то окажется, что
§ 28]	КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ	233
имеется 13 равноценных вариантов с наибольшей (одинако-
вой) энтропией. Любой из этих вариантов, например /1 = 3,
/2 = 2, j\ — 1, /2 = 0 или /1=1, /2 = 2, /1 = 0,/а = 2, дает
наибольшую возможную информацию и позволяет при третьем
взвешивании определить фальшивую монету и выяснить,
легче ли она или тяжелее остальных.
Аналогично решаются задачи 28.2 и 28.5.
Задачи
28.1.	Прямоугольник разделен четырьмя продольными и
восемью поперечными полосами на 32 квадрата. Единственная
точка с равной вероятностью может находиться в одном из
этих квадратов.
Определить количество инфЬрмации в сообщениях: а) точка
находится в квадрате № 27; б) точка находится в третьей
продольной и первой поперечной полосе; в) точка находится
в шестой поперечной полосе.
28.2.	Имеется N монет одного достоинства, из которых
одна фальшивая, несколько легче остальных.
Сколькими взвешиваниями на рычажных весах без гирь
можно обнаружить фальшивую монету? При каком наиболь-
шем N достаточно пяти взвешиваний?
28.3.	Символы алфавита азбуки Морзе могут появиться
в сообщении с вероятностями: для точки —0,51, для тире —
0,31, для промежутка между буквами —0,12 и для промежутка
между словами —0,06. Определить среднее количество инфор-
мации в сообщении из 500 символов данного алфавита, счи^
тая, что связь между последовательными символами отсутствует.
28.4.	Сложная система находится в одном из N различ-
ных равновозможных состояний Ду. Состояние системы может
быть определено путем постановки контрольных опытов;
результат каждого из них показывает группу состояний,
в которых находится система.
В одном из опытов при состояниях Д1, Д2, ... , Д* сиг-
нал наблюдается, при состояниях Ak+V Дл+2, ?.., AN—не
наблюдается. При другом опыте сигнал наблюдается, если
система находится в одном из состояний Aif Ait ..., At(l^k)
уши Ak+i, Ak^,..., Ak+r (r^N — k\ и не наблюдается
в остальных состояниях. Чему равно количество информации
в первом и втором опытах?
234
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
28.5.	Неисправный телевизор находится в одном из пяти
различных состояний, которым соответствуют различные виды
неисправностей. Для обнаружения вида неисправности может
быть проведено несколько из семи возможных проверок, при-
водящих при различных состояниях телевизора к тому, что
контрольная лампрчка загорается или не загорается. приве-
денной таблице это обозначено соответственно единицей или
проверок, позволяющих определить вид неисправности теле-
визора.
28.6.	В сообщениях используются символы алфавита Аь
А2, А3, А4 с вероятностями Р (АО = 0,45, Р(А2) = 0,10,
Р (А3) = 0,15, Р(А4) = 0,30.
Для передачи сообщения по каналу связи могут быть при-
менены два кода — № 1 и 2. В первом коде символам алфа-
вита соответствуют символы кода a, bt с и d, во втором
коде — символы а, d, b и с.
Определить эффективность кодов, т. е. количество инфор-
мации, передаваемое в среднем в единицу, времени, если дли-
тельности передачи символов кода по каналу связи в услов-
ных единицах времени равны
ta = 8, tb = 6, tc = 5, td = 3.
28.7.	В условиях предыдущей задачи наряду с кодами
№ 1 и 2 рассмотреть другие возможные коды и определить
наиболее эффективный из них.
§28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
235
28.8.	Для передачи сообщений используется код, состоя-
щий из трех* символов, вероятности появления которых равны
0,8; 0,1 и 0,1. Корреляция между символами кода отсутствует.
Определить избыточность кода, т. е. величину, дополняющую
до единицы отношение энтропии данного кода к максималь-
ной энтропии кода, составленного из того же числа сим-
волов.
28.9.	Сообщение состоит, из последовательности двух
букв А и В, вероятности появления каждой из которых не
зависят от того, какая буква была передана ранее, и равны
Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,2.
Произвести кодирование по методу Шеннона — Фэно:
а) отдельных букв; б) блоков, состоящих из двухбуквенных
сочетаний; в) блоков, состоящих из трехбуквенных сочетаний.
Сравнить коды по их экономности.
28.10.	Сравнить коды предыдущей задачи по их избы-
точности, определяя средние вероятности появления символа
кода ау по формуле
т
• ---------------------->
S р(д,)лг
i— 1
где Zij — число символов в Z-й кодовой комбинации,
Ri — число всех символов в Z-й кодовой комбинации.
28.11	. Сообщение состоит из последовательности трех
букв А, В и С, вероятности появление которых не зависят
от предыдущего сочетания букв и равны Р(А) = 0,7,
Р (В) = 0,2 и Р(С)=р0,1.
1.	Произвести кодирование по методу Шеннона — Фэно
отдельных букв и двухбуквенных сочетаний.
2.	Сравнить коды по их экономности.
3.	Сравнить коды по их избыточности.
28.12	. Вероятности появления отдельных букв русского
алфавита приведены в таблице 20, где знаком « — » обозначен
промежуток между словами.
Произвести кодирование алфавита по методу Шеннона —
Фэно, считая вероятность появления последующей буквы не
зависящей от предшествующих букв.
236
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Таблица 20
Буква	—	о	е, ё	а	и	т	н	с
Вероятность	0,175	0,090	0,072	0,062	0,062	0,053	0,053	0,043
Буква	Р	в	л	К	м	д	п	У
Вероятность	0,040	0,038	0,035	0,028*	0,026	0,025	0,023	0,021
Буква	я	ы	3	ь, ъ	б	г	' ч	й
Вероятность	0,018	0,016	.0,016	0,014	0,014	0,013	0,012	0,010
Буква	X	ж	ю	ш	Ц	щ	э	ф
Вероятность	0,009	0,007	0,006	0,006	0,004	0,003	0,003	0,002
28.13	. Алфавит состоит из п символов Aj (J — 1, 2, ..., /г),
появление каждого из которых в сообщении .независимо и
имеет вероятность
Р(Ау) = 2-*4
где kj — целые положительные числа и
п
£Р(Ау)=1.
7-1
Показать, что при кодировании такого алфавита по методу
Шеннона — Фэно на каждый кодовый символ приходится
максимально возможное количество информации, равное одной
двоичной единице.
28.14	. По каналу связи передаются два сигнала Aj и А%
с вероятностями Р (А^ = Р (А2) = 0,5. На выходе канала
сигналы преобразуются в символы и а2, причем из-за
помех, которым одинаково подвержены сигналы Ах и А2>
§ 28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
237
в передачу вносятся ошибки, так что в среднем один символ
из 100 принимается неверно (at вместо а2 или а2 вместо ai).
Определить среднее количество информации на символ,
передаваемой по такому каналу. Сравнить ее с количеством
информации при отсутствии помех.
28.15	. По каналу связи с одинаковыми вероятностями
передаются сигналы Аъ- Д2, ..., Ат. При отсутствии помех
сигналу Aj соответствует символ (/=1, 2, ..., ni). При
наличии помех каждый из символов имеет вероятность р
быть правильно принятым, а с вероятностью —р иска-
жается и с равной вероятностью может перейти в любой из
остальных. Определить среднее количество информации на
один символ, передаваемое по каналу при наличии и при
отсутствии помех.
28.16	. По каналу связи с одинаковой вероятностью пере-
даются сигналы Дь А* ... , Ат. При отсутствии помех
сигналу Aj соответствует символ ау- (/= 1, 2, ..., т). Вслед-
ствие помех сигнал Aj может быть принят правильно с ве-
роятностью Pjj или воспринят как символ а/ с вероят-
/	т	\
ностью pij (/, /=1, 2,..., т,	Определить
i = 1	/
среднее количество информации на символ, передаваемое по
такому каналу с помехами, характеризуемыми матрицей \\р^ ||.
ГЛАВА VI
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 29.	Закон больших чисел
Основные формулы
Если случайная величина X имеет конечную дисперсию,
то при любом s 0 справедливо неравенство Чебышева:

Если Xi, X* Хп) ... — последовательность случай-
ных величин, попарно независимых и имеющих дисперсии,
ограниченные одной и той же постоянной: D [X*] С, Л = 1,
2, ..., то какова бы ни была постоянная е^>0,
(теорема Чебышева).
Если независимые случайные величины Хь X* Хп, ...
одинаково распределены и имеют конечные математические
ожидания х, то, какова бы ни была постоянная е^>0,
(теорема Хинчина).
Для последовательности зависимых случайных величин
Ху Х%, .Хп, удовлетворяющих условию
§29]
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
239
при любой постоянной е^>0
lim Р
л-*оо
(теорема Маркова).
Для того чтобы к последовательности как угодно зави-
симых случайных величин Хь Хъ Хп, ... был применим
закон больших чисел, т. е. чтобы при любой постоянной
е">0 выполнялось соотношение
выполнение равенства
необходимо и достаточно
(п	А 2
11т м---гХ--------Цг = °-
п 00	11 XI	I
I k=l	J
Решение типовых примеров
Пример
возрастающая
ществует, то
29.1. Доказать, что если
положительйая функция, а
ср (х) — монотонно
М [ср (X)] = т су-

Решение. Учитывая свойства функции ср(х), получим
цепь неравенств
Р(Х>/) = С f(x)dx^ —§ <p(x)/(x)dx^
x>t	x>t
W J <?(X)f(x)dx=-^-,
-co
240
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI

так как т = М [<р (X)] = § <?(x)f(x)dx. Отсюда
— со
, что и требовалось доказать.
Аналогично решаются задачи 29.2—29.5.
Пример 29.2. Дана последовательность независимых
случайных величин Xit , Хп, ...» имеющих одну и ту
же функцию распределения
FW=4 + iarct8'7-
Проверить, применима ли к этой последовательности теорема
Хинчина.
Решение. Для применимости теоремы Хинчина необхо-
димо существование математического ожидания случайной ве-
личины X, т. е. чтобы \ х dx сходился абсолютно.
J dx
— 00
Однако
ОО	00
С I	_____2а f х dx________
j I I dx it j x! + ?
— оо	0
= — lim In f 1 -4-	== оо,
кД->оо \	/
т. e. интеграл не сходится, математическое ожидание не су-
ществует и теорема Хинчина неприменима.
оо
Пример 29.3. Можно ли интеграл J= dx (а^>0)
а
Л	U
после замены переменных _у = — вычислить методом Монте-
Карло по формуле
п
1 уИ • «
— 7 —sin —
п ^yk yk
k=\
где yk — случайные числа из интервала [О, 1J?
§ 29}
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
241
Решение. Произведя указанную замену переменной,
получим
1
J= — sin — dy.
J У У
о
Величину Jn можно считать приближенным значением J
только тогда, когда справедливо предельное равенство
lim Р( | Jn — J | е) = 1.
п ->оо
Случайные числа yk имеют одинаковые распределения,
,	1 . а
а следовательно, и функции их —sin — имеют одинаковые
распределения. Для применения теоремы Хинчина остается
убедиться в существовании математического ожидания
М ^-jzsin -yj, где Y—случайная величина, равномерно рас-
пределенная в интервале [0, 1], т. е. надо доказать, что*
1
1	а
— sin —
У	У
dy сходится абсолютно.*
о
Однако если обозначить через s наименьшее целое число,
удовлетворяющее неравенству s ~, то
| sin х |.
X
| sin х |
X
dx =
OO ТС
sin у
у + kit
dy. •
А так как
00 к	oo	те	oo
V C sinv J x V 1 C . r 2 V 1
/ \ —7 —77—s\nydy = — 7	= oo,
J y + ^	(£ + 1) J s j K k 1
k = s 0	k = s	/ 0	k — s
то расходится и интеграл '
j 17sl" 71
242
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI '
Последнее означает, что	не существует, а сле-
довательно, и метод Монте-Карло в данном случае неприменим.
Пример 29.4. Можно ли принять величину
п
в качестве приближенного значения дисперсии ошибок испы-
туемого прибора, если Х2, ..., Хп, ... — независимые
измерения постоянной величины а, имеющие одинаковые функ-
ции распределения и конечные дисперсии?
Решение. Обозначим истинное значение дисперсии оши-
бок испытуемого прибора о2. Величину S'n можно рассматри-
вать в качестве приближенного значения о2, если
lim Р {|	— о21 < е} = 1.
п-*оо
Так как Хь Хъ .... Хп, ...— независимые случайные вели-
чины, имеющие одинаковые распределения, то величины Ул =
= (Xk — а)2 независимы и имеют одинаковые распределения.
Имеем М [ Yk\ = М [(Xk — а)2] = М [XI] — 2аМ [^] +
-ф- а2 = а24-х*— 2ах4" а2 = °2 + С* — а)2> г^е х=М[Хл].
Для выполнения равенства М[У4 = °2 необходимо, чтобы
х = а, что означает отсутствие систематических ошибок из-
мерения у испытуемого прибора.
Итак, если у испытуемого прибора отсутствуют система-
тические ошибки, то выполнены условия применимости закона
больших чисел и, следовательно,
lim Р
п->оо

Задачи
29.1	С помощью неравенства Чебышева оценить вероят-
ность того, что нормальная случайная величина отклонится
от своего математического ожидания больше чем на: а) че-
тыре срединных отклонения; б) три средних квадратических
отклонения.
§ 29]
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
243
29.2	Доказать для любой случайной величины X при
е^>0 неравенство
P(eX>Z24-lnJ)<6?-'2,
где J = М [ееХ].
29.3.	Доказать, что если М [еаХ] существует, то
Р (X е) бГаеМ [е“х] (а > 0, в > 0).
29.4.	Случайная величина X подчиняется показательно-
степенному закону распределения
=	0=5=0).
Доказать справедливость неравенства
Р (0 < А’< 2 (т + 1))>
29.5.	Вероятность появления события А в одном опыте
равна 1/2. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утвер-
ждать, что число появлений события А в 1000 независимых
опытах будет в пределах от 400 до 600?
29.6.	Определить, имеет ли место закон больших чисел
для среднего арифметического из п попарно независимых
случайных величин Х& заданных рядом распределения
(табл. 21).
Таблица 21	Таблица 22
*i	/2	0	-/2
	1	1	1
Pi	4	2	4
xi	У In k	— У In
	1	1
Pi	2	2
29.7.	Пусть Xk — случайная величина, которая с одина-
ковой вероятностью может принимать одно из двух значе-
ний ks или — ks. При каком s к среднему арифметическому
последовательности Xif X* ..., Xk, ... таких независимых
случайных величин применим закон больших чисел?
29.8.	Доказать, что к среднему арифметическому после-
довательности независимых случайных величин Xk, заданных
рядом распределения (табл. 22), применим закон больших
чисел.
244	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	[ГЛ. VI
29.9.	Установить, будут ли выполнены достаточные усло-
вия применимости закона больших чисел для последователь-
ности взаимно независимых случайных величин Xk с распре-
делениями, задаваемыми формулами (k— 1, 2, ...):
а)	Р(ХЛ = ±2*)=1;
б)	Р№ = ±2‘)=2^(й+|> Р№ = 0)=1-2'8‘;
в)	P(^ = ±4) = ~f=,	Р№=0)=1-±.
29.10.	Случайные величины Xif Хъ ...» Хп, ... имеют
одинаковые математические ожидания и ограниченные диспер-
сии. Применим ли к этой псследовательности закон больших'
чисел, если все корреляционные моменты Л/у=М[(Х,-— х) X
X (Ху — х)] отрицательны?
29.11.	Доказать, что к последовательности случайных
величин, в которой каждая случайная величина может зави-
сеть только от случайных величин со смежными номерами,
применим закон больших чисел, если только все случайные
величины последовательности имеют конечные дисперсии и
математические ожидания.
29.12.	Последовательность независимых и одинаково рас-
пределенных случайных величин Хх, Хъ ..., Х„ ... задана
рядом распределения
р(* = ‘) = к!й <* = !. 2. 3, ...),
ОО
где С (3) =	^з = 1,20256 — значение функции Римана при
k= 1
аргументе 3. Проверить, применим ли к этой последователь-
ности закон больших чисел.
29.13.	Дана последовательность случайных величин Х^
Х% ..., 'Хп> ..., для которых	и г,у->0 при
\1—/|->оо (г, у— коэффициент корреляции между X, и Ху).
Доказать, что к данной последовательности применим закон
больших чисел (теорема Бернштейна).
29.14.	Последовательность независимых и одинаково рас-
пределенных случайных величин Хъ Х2, ...» Хь ... задана
§30]
ТЕОРЕМЫ МУАВРА — ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА
245
рядом распределения
=	=	(£=1,2,...).
Проверить, применим ли к этой последовательности слу-
чайных величин закон больших чисел.
§ 30.	Теоремы Муавра— Лапласа и Ляпунова
Основные формулы
Для серии п независимых опытов, в каждом из которых
событие А появляется с одной и той же вероятностью р
согласно теореме Муавра — Лапласа справедливо
предельное равенство
1	U 2 Л = 1[ф(£)_ф(а)],
п-оэ \ У npq )	2
где т — число появлений события А в результате п опытов,
2 с" - —
ф(х) = —-\е 2 dt — функция Лапласа (интеграл вероятно-
V
сти), значения которой даны в таблице [8Т].
Если п конечное, то вероятность нахождения числа появ-
лений события А в пределах [пгь вычисляется по при-
ближенной формуле
р	1Ы~ + *Л~пр\ пр И.
2	( \	V npq	)	\ у npq ]}
Для последовательности взаимно независимых случайных
величин Ху Хъ .Xk, ..., удовлетворяющей при неко-
тором 8^>0 условию
п
п~^Вп
согласно теореме Ляпунова выполняется равенство
(п	\
а < 4- У № — xk) < b =
К = 1	'
1 / — — 1
= i4y 2Л = ±[Ф(&)-Ф(а)],
а
246
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
где xk = М [АГл] — математическое ожидание Xk, <4 = D[AjJ —
п
дисперсия Xk> В1=
Для применимости теоремы Ляпунова в случае одинаково
распределенных случайных величин достаточно убедиться,
что дисперсия слагаемых конечна и отлична от нуля.
Решение типовых примеров
Пример 30.1. Вероятность выхода из строя изделия
за время испытаний на надежность р = 0,05. Какова вероят-
ность, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя:
а) не менее 5 изделий; б) не более 5 изделий; в) от 5 до
10 изделий?
Решение. По условию задачи п =100; /? = 0,05; q —
= 1—;? = 0,95. а) Вероятность выхода из строя не менее
5 изделий:
п) = Р (5 - т100) ~ Гф(100+2^ -5) -
z L \ V 4,75	/
/15 — 0‘S_5\1	1
— Ф	° j j = ~ [Ф (44,1) + Ф (0,229)] = 0,591.
б) Вероятность выхода из строя не более 5 изделий:
Р (,« 5) = Р (0 т 5) 1 Гф /5 + ^L 5'
/О — 0 5 S\ 1	1
— Ф Г °) = у [ф (°’229) + ф (2>52)] = °'585-
в) Вероятность выхода из строя от 5 до 10 изделий:
Р(5«s т«; Ю)~ 1 Гфф=
I2 L \ /4,75 )	\ /4,75 /J
= 1 [Ф (2,52) -L Ф (0,229)] = 0,585.
Аналогично решаются задачи 30.1—30.4.
Пример 30.2. Сколько нужно произвести независимых
испытаний, чтобы с вероятностью 0,8 событие Л, вероят-
ность появления которого при одном опыте равна Р (А) = 0,05,
наблюдалось бы не менее 5 раз?
§ 30]
ТЕОРЕМЫ МУАВРА — ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА
247
Решение. На основании теоремы Муавра — Лапласа
Р (т Э- 5)
— Гф
2
/5 — 0,5 — 0,05п\'
\ /0,0475м	/.
In + 0,5 — 0,05п\
\ /0,0475м /
2,29 \ _ ^/4,5 - 0,05м\
Yn /	\ /0,0475м /
— Ф
Уже при п—1 Ф = (4,36	1; поэтому, заменив по усло-
вию Р (т 5) = 0,8, получим
1 = 0,8
2L . \ /0,0475/г ,/]
или *
ф /15—_0^0^г\   0 6
\/0,0475м ]
По таблице [8Т] находим аргумент х = —0,8416, соот-
ветствующий значению функции Ф(х) =— 0,6. Решая урав-.
нение
4,5 - 0,05м _ _ о 84 i б
Y§№Ьп
находим единственный положительный корень п=133. Итак,
для появления события А не менее пяти раз с вероятностью
0,8 необходимо произвести 133 испытания.
Аналогично решаются задачи 30.5—30.7.
Пример 30.3. Сколько опытов надо произвести при
вычислении интеграла
те
т
J= cosxdx
о
методом Монте-Карло для того, чтобы с вероятностью 0,9
можно было считать относительную погрешность в вычислен-
ном значении интеграла менее 5°/0?
те
V
2	2 С
Решение. Интеграл — J=--\ cosxdx можно рас-
о
сматривать как математическое ожидание функции cosx
от случайной величины X, равномерно распределенной
248
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI I
в интервале р, ^-j. Тогда приближенное значение интеграла
Jn — Yn C0SXb .
A?=l
где Xk — случайные числа из интервала |_0,
Составим случайную величину
•р _ J п J
л~/ЩлГГ
имеющую своим предельным законом распределения, согласно
теореме Ляпунова, функцию
/(О
1 --
/2л
так как величины cosX* независимы, одинаково распреде-
лены и имеют конечную, отличную от нуля дисперсию,
a 7= М [7Л]. Имеем
DW = 5d(c0SX] = ^
Применяя теорему Ляпунова, при Ь— —а — е получим
отсюда е= 1,645.
Для того чтобы относительная погрешность ^n~J~ была
меньше 0,05, учитывая, что 7=1, необходимо произвести
такое число опытов д, чтобы
(г? —8)(1,645)2
8 • (0,05)2	’
откуда получаем п ^>252.
Аналогично решаются задачи 30.10 — 30.12.
§ 30]
ТЕОРЕМЫ МУАВРА —ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА 4
249
Задачи
ЗОЛ. Вероятность появления события при одном опыте
равна 0,3. С какой вероятностью, можно утверждать, что
частота этого события при 100 опытах будет лежать в пре-
делах от 0,2 до 0,4?
30.2.	Имеются 100 станков одинаковой мощности, рабо-
тающих независимо друг от друга в одинаковом режиме,
при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8
всего рабочего времени. Какова вероятность того, что
в произвольно взятый момент времени окажутся включенными
от 70 до 86.станков?
30.3.	Вероятность выхода из строя за время Т одного
конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что
за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) не менее
20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14
до 26 конденсаторов.
30.4.	Пользуясь теоремой Муавра — Лапласа, показать,
что при достаточно большом числе независимых опытов
ТП	J „
где — — частота появления события, вероятность появления
которого в одном опыте р.
30.5.	Вероятность некоторого события определяется ме-
тодом Монте-Карло. Определить число независимых опытов,
обеспечивающих с вероятностью не менее 0,99 получение
искомой вероятности с ошибкой, не превосходящей 0,01.
Оценку произвести по теореме Чебышева и по теореме
Муавра — Лапласа.
30.6*	. При изготовлении отливок получается 20% де-
фектных. Сколько необходимо запланировать отливок к из-
готовлению, чтобы с вероятностью не менее 0,95 была
обеспечена программа выпуска изделий, для выполнения ко-
торой необходимо 50 бездефектных отливок?
30.7.	Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероят-
ностью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас собы-
тия будет отличаться от вероятности появления этого собы-
тия, равной 0,4, не более чем на 0,1?
250
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
30.8.	Вероятность появления некоторого события в одно»
опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие
появится в большинстве из 60 опытов?
30.9.	Вероятность некоторого события А равна —. Произ-
о
водится 45 000 независимых опытов. Каково срединное откло-
нение Е числа появлений события А?
1
30.10.	Вычисление интеграла’ J=^x*dx произведено
о
методом Монте-Карло на основании 1000 независимых опытов.
Вычислить вероятность того, что абсолютная погрешность
в определении величины J не превзойдет 0,01.
30.11.	Сколько опытов надо произвести при вычислении
интеграла
it
"2
о
методом Монте-Карло для того, чтобы с вероятностью
Р^0,99 можно было считать абсолютную погрешность вычис-
ленного значения интеграла не превосходящей 0,1% от J?
30.12.	Вероятность Р (С) = Р (А В), где Р (В | А) дана,
определяется методом Монте-Карло двумя способами: а) при-
ближенное значение Р (С) определяется как частота появления
события С в ряде из п независимых опытов; б) определяется
частота появления события А в ряде из п независимых
опытов, а приближенное значение Р (С) определяется по
формуле
Р (Qъ Рп(С) = + (1 -	Р {В | Л).
1.	Доказать, что оба способа ведут к правильному
результату.
2.	Определить необходимое число опытов в обоих слу-
чаях для получения ошибки в оценке Р(С), не .превосходя-
щей 0,01, с вероятностью не меньшей 0,95, есди Р (В | А) = 0,3,
а значение Р (А)‘ имеет порядок 0,4.
30.13.	Имеется 100 урн, в каждой из которых нахо-
дится по 5 красных и 95 черных шаров. Опыты организо-
§30]
ТЕОРЕМЫ МУАВРА - ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА
251
ваны так, что после каждого извлечения из урны шара он
вновь возвращается в ту же урну, а результаты опыта наблю-
дателю не сообщаются. Сколько потребуется опытов, чтобы:
1) с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы один красный шар
из каждой урны; 2) с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы
один красный шар не. менее чем из 50 урн?
30.14.	Вычислить характеристическую функцию Еу^и)
случайной величины
и найти ее предел при п—*оо, если случайные величины
Xi, , Хп, • • • независимы и имеют одинаковые плот-
ности вероятностей или ряды распределения вида:
a) =
~ при | Xi | /г,
0 при | Xi | /г;
__	пт
б) P(Xi = ni} = a^e~a (/n = 0, 1, 2, ...);
	0	при Xi<	^о,
В) /(Х,) =	Ва	а-1 -Вх. . T^)Xi е 1	при Х^	s0.
30.15.	Найти предел при п—*оо характеристической
функции (и) случайной величины
п
2 (Xi-Xi)
Уп= ----------=,
jX.SDPG]
если случайные величины Х2> • • • >	• • • независимы,
одинаково распределены и имеют конечную дисперсию.
ГЛАВА VH
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 31. Общие свойства корреляционных функций и законог
распределения случайных функций
Основные фо рм у л ы
Случайной функцией вещественного аргумента t называется
функция X(t), значения которой являются случайными вели-
чинами. Если 'аргумент t может принимать любые значения
из некоторого (конечного или бесконечного) интервала, тс
случайную функцию называют случайным процессом; еслт
аргумент t может принимать только дискретные значения
то X(t) называют случайной последовательностью.
Неслучайная' функция x(t), равная при каждом t матема^
тическому ожиданию М[Х(0] случайной величины X(t), на
зывается математическим ожиданием случайной функции X(f)
Корреляционная (автокорреляционная) функция Kx(tb
случайной функций X(t) определяется формулой
Кх(th t.) = М {[X* (6) - х* (0)] [X(Q — X(0)]} = Ki tj,
где знаком * отмечены комплексно сопряженные величины *)
' Для стационарных случайных функций имеем
кх (th 0) = кх (t2 — = Кх (т), X (0 = const.
Дисперсия ординаты случайной функции связана с Kx(tb t2
формулой D [X(0] = Ох (/) = Кх (t, t). Нормированная
0 В задачах, если не оговорено, X (0 считается вещественной
§ 31} ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
253
корреляционная функция определяется формулой
Будем считать случайную функцию заданной, если известна
совокупность законов распределения
f f (Хь х% |	f (хi, х2, Х3 j ^з), ...,
где /(Xi, xn\tb ..., Q есть плотность вероятности сов-
местного распределения ординат случайной функции в моменты
времени th t* t3, ..., tn. Математическое ожидание x(t) и
корреляционная функция Kx(tb определяются функциями
/(xi|^i) и f(xb х2 |^i, /2) по формулам1)
x(t)= xf(x\t)dx,
— со
00 оо
Kx(th ti)= J J XtXiftxi,	ti)dx1dxi — x(ti)x(Q.
— OO —00
Для нормального случайного процесса совместное распре-
деление ординат в п моментов времени (закон распределения
л-го порядка) полностью определяется функциями x(t) и
Kx(th ti) по формулам для закона распределения системы
нормальных случайных величин, математические ожидания
которых
x(ti),	x(tn),
а элементы корреляционной матрицы kjt = Kx(tj,	I, j =
= 1, 2, ..., n.
Корреляционная функция связи (взаимная корреляционная
функция) Rxy(tb f2) двух случайных функций X(t) и Y(t)
определяется формулой
Rxy(tb ^ = М{[Х*(/1)-х*(/0][У(^)-^(Ш = /?;Д^ ^i).
Для стационарно связанных процессов
Rxy it) — Rxy ^i) — Rxy (t).
2) Считаем X (t) вещественной.
254 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. УЦ
Понятие корреляционной функции обобщается и на слу?
чайные функции нескольких переменных (случайные поля).
Если, например, случайная функция Х(£, т|) является функ-
цией двух неслучайных аргументов, то
т)Ъ Чг) =
=м {[х* тц) - х* (е„ 710] [х%)—*	7)0]}.
Решение типовых примеров
Задачи данного параграфа принадлежат к двум основным
типам. В задачах первого типа требуется определить корре-
ляционную функцию случайной функции, использовав свой-
ства ее ординат, или установить общие свойства корреляцион-
ной функции. При решении этих задач нужно непосредст-
венно исходить из определения корреляционной функции.
В задачах второго типа требуется найти вероятность того,
что ординаты нормальной случайной функции примут опре-
деленные значения. Для решения этих задач необходимо вос-
пользоваться соответствующим нормальным законом распре-
деления, определяемым математическим ожиданием и корреля-
ционной функцией.
Пример 31.1. Определить корреляционную функцию
Kx(tb если
k
X(t)=	[Д/ cos + Bj sin	-
/ = i
где o)y—заданные числа, а вещественные случайные вели?;
чины Aj и Bj взаимно не коррелированы, имеют нулевые
математические ожидания и дисперсии, определяемые равен^
ствами	
О[ду] = О[я7]=о5 (j=i, 2,.... k). i
k	_
Решение. Так как х(0 = 2 (5/costo/“b^/sino)/)=^
/=1
то по определению корреляционной функции .	;
Kx(tb t^=	;
/ k k	\
==М }2 У, [Aycosw/i4- BySino>/i] [4/COS«>^2-[-5zsin<o/2]L
b=iz=l	J
§ 311 ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ 255
Раскрывая скобки и применяя теорему о математическом
ожидании, замечаем, что все слагаемые, содержащие множи-
тели вида М [AyAz], М [BjBt] при j ф I и М [AyZ?z] при
любых j и /, равны нулю, а М [Д}] = М [В}] Поэтому
k
0) = S «/COSWytfs — ti).
Л=1
Аналогично решаются задачи 31.3—31.6 и 31.10.
Пример 31.2. Пусть X(t) — нормальная стационарная
случайная функция, математическое ожидание которой равно
нулю. Доказать, что если
7ГА — 1 Fl _1_ XWX(t + x) -1
2 L "Г"\X(t)X(t + x) |J’
то
2(0 = -^-arccos [— Аж(т)],
где kx(x) — нормированная корреляционная функция X(t).
Решение. Пользуясь тем, что X(t) нормальна, плот-
ность вероятности второго порядка можем представить в виде
f(xb Xi\t, * + т) =
1	( xl + х* — 2kx ('с) Х1Х2 )
— 2^/Г-^(^)ехр{	Г
Искомое математическое ожидание может быть представ-
лено в виде
оо оо
2(0= тГ1 + Лф-|1/(Х1, Xi\t, t-Y'tydXidXi.
J J Z L I X1XZ |J
— OO — OO
Так как	Г * 4~
2 L 1 I *1Х21.
тождественно равна нулю в том
случае, когда знаки у ординат хг и х* различны, и равна
единице в противоположном случае, то
о о
z(t)=	$ /(Xi, х2|£, t -j- т) dxi dx% +
— OQ —ОО
ОО оо
"Ь И f(Xi’ Xi 1^’ * 4~ dxi dxt ==
о о
оо оо
= 2$ § f(xb Xi\t, t-\-x}dxidxi>
о о
256 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
что после выполнения интегрирования дает результат, указан^
ный в условии задачи. (При интегрировании удобно ввест^
новые переменные г, ср, положив Xi — rcosy, x2 = rsin<p.) 3
Задачи
31.1..	Доказать, что:
а)	|Кл-(^ь ti) | sg ах (/2);
б)	\Кх«ъ
31.2	. Доказать, что \Rxy(tb | ах {fl)°y f/s).
31.3	. Доказать, что корреляционная функция не изме
няется от добавления к случайной функции любой неслучай
ной функции.
31.4	. Найти дисперсию случайной функции X(t)y ординать
которой изменяются скачками на величины Ду в случайные
моменты времени. Число скачков, происходящих в течение
отрезка времени т, подчиняется закону Пуассона с постоян
ной Хт, величины скачков Ду взаимно независимы, имею:
одинаковые дисперсии о2 и нулевые математические ожида
ния, а АДО) — неслучайная величина.
31.5	. Найти корреляционную функцию случайной функ
ции X(t), которая может принимать два значения: -|-1 и—1
число перемен знака функции подчиняется закону Пуассон;
с постоянной временной плотностью К, а х (t) можно считал
равным нулю.
31.6	. Случайная функция X(t) состоит из отрезков гори
зонтальных прямых единичной длины, ординаты которые
взаимно независимы, могут с одинаковой вероятностью имет!
любой знак, а их абсолютные величины подчиняются закон]
распределения
/*(| х |) =	е~1 х 1 (гамма-распределение).
Определить Кх(т).
31.7	. Корреляционная функция угла крена корабля 0(/
имеет вид
Ко (т) = ае~*1 х 1 cos [к.
Определить вероятность того, что в момент време»1
= угол крена 0 (Q будет больше 15°, если 0(0 —
§ 31J ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ 257
нормальная случайная функция, 6 = 0, 0(0) = 5°, т==2сек„
а = 30 град*, а = 0,02 сек.-1, р = 0,75 сек.-1.
31.8	. Использование эхолота с корабля, испытывающего
бортовую качку, возможно, если угол крена | 0 (t) |	%.
Момент первого измерения выбирается так, чтобы это усло-
вие выполнялось. Определить вероятность того, что второе
измерение может быть произведено через время т0 сек., если
0(0 — нормальная функция, 0 = 0, а дисперсия D [0 (0] ==<5*
и нормированная корреляционная функция Л(т) = ^е0— даны.
а0
31.9	. Корреляционная функция угла крена корабля 0(0
(0 = аг-а 1 т 1 ^cospx-|-y sin р | т , где а = 36 град\ а =
= 0,25 сек.-1, р = 1,57 сек.-1. В момент времени t угол крена
равен 2°, 0(0^0. Найти вероятность того, что в момент
времени (f-|-2) сек. угол крена по величине будет меньше
10°, если 0(0 — нормальная, случайная функция, 0 = 0.
31.10	. Определить математическое ожидание и дисперсию
случайной функции Y(0 = а (0 X (0 -|- b (0, где а (0 и b (0 —
числовые (не случайные) функции, а Кх (0, 0) и х (0 известны.
31.11	. Найти закон распределения первого порядка для
ординат случайной функции
X (0 = А (0 cos [wf + 0 (0],
если законы распределения
функций А (0 и 0 (0 имеют
первого порядка для случайных
вид
__
=	" (05=0),
(0	0 < 20,

со постоянная, а для одного и того же момента времени
А (0 и 0 (0 взаимно независимы.
31.12	. Случайные точки распределяются на числовой оси
таким образом, что вероятность Рп появления в заданном
интервале т на оси п точек определяется законом Пуассона
Рп = v у - е , где А — положительная постоянная. Опреде-
лить закон распределения первого порядка для случайной
функции Х(т\ дающей расстояние между z/z-й и (z/zп 1)“й
случайными точками.
9 Б/ Г. Володин и др.
258
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
31J3. Определить закон распределения ординаты случай-
ной функции U(x, у) двух переменных х, у, если
[7(х, у)==^(х + ^, > + ^о) —С(аг, у),
корреляционная функция т])> определяемая равенством
^) =
=.М {[; (х, у) — с (х, j)] [t; (х 4- е, у +'•»))—с (х 4- е, у 4- т))]},
дана в виде
a2hl cos Pt? cos
C(S, т]) — нормальная случайная функция, а =100, 04 = 0,2,
02 = 0,1, р1==0,5, ₽2=1,0, £0=1, т]о = 2.
§ 32. Линейные операции над случайными функциями
Основные формулы
Оператором называется совокупность математических опе-
раций, в результате выполнения которых данной функции
приводится в соответствие другая функция1). Оператор Lo
называется линейным и однородным, если для него выпол-
няются условия
ЦЛср (t) = ALocp (0> Lo	(0 4“ ?2 (0]==: Lo'fi (0 + ^о?2 (0>
где А — любая постоянная, а <?(/), ?i(0> ?г(0 — любые
функции:
Линейным неоднородным оператором L называется опера-
тор, связанный с линейным однородным оператором соот-
ношением
L?(o=Lo?(o+m
где F(t) — заданная функция.
Если Y(£) = L0X(/) и оператор Lo является линейным
и однородным, то
У (f) = LqX (/), Ку (^1, ^2) ===	(fu ^2)?
г) Более строгое определение понятия «оператор» см., напри-
мер, в кн.: В. И. Смирнов «Курс высшей математики», т. 5.
$ 32] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 259
где L* — оператор, полученный из L путем замены всех коэф-
фициентов на комплексно сопряженные; индексы tr и в обо-
значении оператора Lo показывают, что в первом случае
оператор действует по переменной th а во втором случае —
по переменной t%. (Возможность применения оператора к дан-
ной случайной функции должна быть проверена в каждом
конкретном случае.)
Если L — неоднородный оператор, соответствующий одно-
родному оператору Lo и функции F (t), и Z(t)'=LX(t)f то
^(O = Lx(O = Lox(O + F(O> Kz{tu t,) = L^L0t2Kx(tb
т. e. корреляционная функция не зависит от функции F (t),
порождающей неоднородность оператора L.
Случайная функция дифференцируема (один раз), если ее
корреляционная функция имеет вторую смешанную частную
производную при равных значениях ее аргументов, что для
стационарных функций эквивалентно существованию второй
производной от К (у) при ^ = 0.
Нахождение математического ожидания и корреляционной
функции результата применения нелинейного оператора к слу-
чайной функции, вероятностные свойства которой известны,
значительно более сложно. Исключением является нормаль-
ный случайный процесс для некоторых типов нелинейных
операторов. Например, если X(t) — нормальная случайная
функция (считаем X(t) вещественной), а У(^) = Х2(0, то
У (0 = м [X* (0] = D [X (0] + [Я (0]’,
0) = М[^ (0)^(0)]—
- {D [Х(0)] + [X (0)]2} {D [АГ(0)] + [Я(0)]2} =
= 2КИ6> 0)-(-4л(0)а;(0)КД0, 0).
Так же могут быть получены математическое ожидание и
корреляционная функция существенно нелинейного выражения
y(0 = sgnX(0,
если X(t) нормальна (см. пример 32.2).
9*
260
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Решение типовых примеров
Задачи данного параграфа могут быть решены путем
использования общей формулы для корреляционной функции
результата применения линейного оператора к случайной функ-
ции, однако в некоторых задачах удобнее исходить прямо из
определения корреляционной функции. Второй путь является
неизбежным, если помимо линейных операторов в данное
выражение входят нелинейные операторы. Ниже рассмотрены
примеры применения обоих этих способов решения.
Пример 32.1. Определить среднее квадратическое откло-
нение угла Ф* поворота гироскопа направления после 10 мин.
работы гироскопа вследствие наличия случайного момента
Л4 (f), возникающего на оси внутреннего карданова кольца,
если уравнение, определяющее закон изменения Ф (0, может
быть принято в виде Ф (0 =	, где кинетический момент
/-7=21-Ю5^^-, а
сек2 *
Кт(г) = п*е а|Х| ^cos рт------------sinр | т |),
я= 1,36- 104	8 = 0,7 сек."1, а = 0,1 сек."1.
’	С.Р.К* > Г >	’
Решение. Так как после интегрирования имеем (началь-
ные условия, в соответствии со смыслом задачи, нулевые)
t
Ф(^) = А	т. е. Ф (t) связана с M(f) линейным
соотношением, то для корреляционной функции K^(tb f2)
получим
/1 /2
' Кф (tb h) = И	f)dt" dt'>
о о
а для дисперсии
' t t
D [«• (0] = 4 w = ±	(/" - f) dt’ dt’ =
t
0
§ 32] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 261
Так как
е'л 1 х 1 ^cos рх-sin р | т |^ =
. =^^^{^1Т'(со8рх + |5тр|т|)),
то последний интеграл просто может быть вычислен по
частям, что дает
D [Т (0] =	{1 “ (cos + j sin ъ
2п2	_________
~ И3 (а2 + 62) ’	40 
Пример 32.2. Определить дисперсию угла ЧТ (I) пово-
рота гироскопа направления, если угол Ф определяется урав-
нением-
d Т	b л
-=-sgne(t),
где 0 (f) — нормальная стационарная случайная функция, имею-
щая корреляционную функцию
К0 (т) = ае~а 1 х 1 ^cos рт -ф-	sin р | т |j ,
б = О, Ь и Н — постоянные.
Решение. В заданное выражение, помимо линейных
операций интегрирования и дифференцирования, входит нели-
нейная операцияsgn. Поэтому, обозначив временно 0 (f) = X(f),
положим Y(0 = sgn X(t\ Пользуясь определением Ку(у) как
второго центрального смешанного момента случайных вели-
чин Yx = sgn X (t) и T2 = sgn Х(^-]-т), получим
оо оо	0 оо
Ку (т) = 2 J § f(xb х2) dXi dx% — 2 f(xb х2) dx^ dx*
О 0	—оо О
где плотность вероятности f(xb х3) нормальна.
Подставляя значение этого закона распределения и пере-
ходя от прямоугольных координат хь х$ к полярным, легко
вычисляем оба интеграла и получаем
2
Ку (т) = — arcsin kx (т),
262 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
где нормированная, корреляционная функция kx(x) опреде-
ляется формулой
kx(t) = k^ (т) = е“а'т| ^cosp-t — j-sin
Искомая дисперсия
t
4b2
кН2
t
\ (f — x)arcsin e~a|TI (cos^ —	[ т H dx.
J	L \	г	/J
Задачу можно решить и другим способом. Если восполь-
оэ
зоваться формулой sgnX=i eiuX и подставить ее
— оо
в исходное дифференциальное уравнение, то после интегри-
рования по времени и нахождения математического ожида-
ния 4?2(f) получим
t t оо со
О 0 — оо — оо
где Е(иъ zz2)— характеристическая функция системы нор-
мальных величин X(^i) и zY(^).
Подставив в последний интеграл выражение для Е(иь zz2)
и проинтегрировав три раза, получим для D [Ф (0] то же
выражение, что и выше.
Пример 32.3. Определить математическое ожидание и
корреляционную функцию случайной функции
где a (t) и Ь (/) — заданные (числовые) функции, X (t) — диф-
ференцируемая случайная функция, a x(t) и Кх(р, t%) из-
вестны.
Решение. Функция Y (t) является результатом приме-
нения линейного оператора [а (0 + ^(0^] к случайной
функции Х(1), Поэтому искомый результат может быть по-
§ 32] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
263
лучен путем применения общих формул. Однако решение
проще найти путем непосредственного вычисления y(t) и
h). Имеем
у ft = М [а ft X ft + b ft	= a (t) х (t) + b (t)	,
Ку ft, ft = М [{а* ft) [X* ft) — х* ft)] +
* ° L dt, dt, Jjx
X {a ft) [X(ft - X ft)] 4- b	- ^]}] =
= a*ft)aft)Kxft, ^ + а*^)Ь^^Кх(<ь ft +
+ ft* ft) a ft) A Kx ft,	+ b* ft) b ^-^Kx (tb
Задачи	z
32.1.	Определить корреляционную функцию производной
случайной функции X(t), если
КДт)=^-а1-(1+а|т|).
32.2.	Определить корреляционную функцию и дисперсию
случайной функции
если Кх СО = cte'0,1 х 1 ^cos -|- j- sin р | т ,
32.3.	Пусть Х(1) — стационарная случайная функция,
корреляционная функция которой известна. Определить кор-
реляционную функцию связи X(t) и
32.4.	Сколько производных имеет случайная функция Х(0>
обладающая корреляционной функцией
Кх(т) = о2е-^2?
32.5.	Сколько раз можно дифференцировать случайную
Функцию А(0, если К^(О = Л~а|х| fl + а Ы 4“у а2т2) ?
264 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII5
32.6.	До какого порядка существуют производные слу-
чайной функции X (t), ' если ее корреляционная функция
имеет вид
Кх (т) =	а | т | — 2а2т2 + у а31 т3 |^?
32.7.	Случайная функция X (/) имеет корреляционную
функцию
Кх (т) = I (1 4- a IX |).
Определить корреляционную функцию связи
X(t + t^ и X(t).
32.8.	Корреляционная функция случайной функции X(t)
имеет вид
^(г) = 01е-“Н1(14-а|г|).
Определить дисперсии функций
Y (t) = X(t-\-x) и Z(0 = X(/ + t).-
32.9.	Дана корреляционная функция Кх(у) стационарной
случайной функции X (ft.
Найти корреляционную функцию
У(0 = а^.
32.10.	Определить вероятность Р того, что производная V(t)
от нормальной стационарной функции X(f) будет иметь зна-
чение, большее fe = |/r5 м[сек, если
7<х(т) =	(cos {3x4-4- sin{3|x|V
где а = 4 л/2, а — 1 сек."1, {3 = 2 сек.*"1.
32.11.	Известны математические ожидания, корреляцион-
ные функции и корреляционная функция связи двух случай-
ных функций X(t) и Y (/). Определить математическое ожи-
дание и корреляционную функцию случайной функции
Z(t) = Х(0+ Y(t).
§ 32] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 265
32.12.	По известным вероятностным характеристикам
системы п случайных функций Xj(f) (/=1, 2, ..., п)
определить математическое ожидание и корреляционную
функцию
х(0= S ЗД.
2 = 1
32.13.	Корреляционная функция Кх(т) стационарной слу-
чайной функции X(t) задана. Определить корреляционную
функцию Y (0, если
т(0=х(0+^+^-).
32.14.	Случайная функция X(t) имеет корреляционную
функцию
Определить корреляционную функцию
Z(0=X(0+^.
32.15.	Известна корреляционная функция Кх(у) случайной
функции X(t). Определить дисперсию
t
О
32.16.	Стационарная случайная функция Y(t) связана
с другой функцией X(t) соотношением
Г(0=^.
Определить корреляционную функцию X(f)> если X (/) = О
при Z = 0, а Ку СО известна.
32.17.	Определить корреляционную функцию связи между
t
X (/) и Y (t) = X (I) dl> если Кх (tb t%) известна,
о

266
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ.
32.18.	Определить дисперсию У(0 при / = 20 сек., если*
t	5
Y^=\X^dtb
О
Кх($ = ае-а^(14-а[т|), а==Ю-^-, а = 0,5 сек.-1.
Cc/v
32.19.	Определить корреляционную функцию и математи-
ческое ожидание
t
У (t) = а0Х (0 + at 4- bl е- «»X (f,) dtx с,
если x(t) и Kx(ti, 0) известны, а постоянные с, и bi
вещественные.
32.20.	Определить корреляционную функцию связи
Ryz^u 0), если
ад=£“И+^,
где а, Ь, с, d — вещественные постоянные.
32.21.	Скорость самолета определяется гироскопическим
интегратором, который дает ошибку
t
Д V (t) = g J sin 0 (0) dtb
0
где 0(0 — ошибка стабилизации оси интегратора, имеющая
корреляционную функцию
К0(т) = 4.10Л?-°’08Н рад* = ае~*\'\,
a g—ускорение силы тяжести. Найти среднюю квадратиче-
скую ошибку определения скорости после 10 часов полета
(т дано в сек.).
32.22.	/ Случайная функция _ 0 (0 является вещественной,
нормальной и стационарной, 0 = 0. Найти корреляционную
функцию
X (0 = ад (t) 4- Ьв (0 + с02 (0,
где а, Ь, с — вещественные постоянные.
J $ 32] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 267
32.23.	Возмущающий момент, действующий на ротор ги-
роскопического прибора, установленного на корабле, связан
с углом крена 0 (t) и углом дифферента ЧТ (0 корабля соот-
ношением
М (t) = а©2 (0 + № (0 + св (t) Ф (0.
Определить корреляционную функцию М (0, если СО
и КрСО известны, Я0ф(О~О, а 0(0 и ЧГ (0 нормальны.
32.24.	Дано Кл(т)==е“а2т2. Определить корреляционную
функцию если
У(0=Х(0+^р.
32.25.	Дано
Кх(у) =	а | т И~уа*т*)**
'1
Определить корреляционную функцию связи между X(t)
и dt2 '
32.26.	Дана корреляционная функция Кх(у). Определить
если У(0=а(0Х(04-£(0^Р, где а(0 и
b(t)— числовые (не случайные) функции.
32.27.	Дано
t
Y(t) = \X$)dl
о
Существует ли отличная от нуля функция Х(£), ПРИ ко"
торой Y(0 является стационарной случайной функцией?
32.28.	Является ли функция Z(t) = X(f)-\- Y стационар-
ной в широком смысле, если X(t)— стационарная случай-
ная функция, а У: а) случайная величина, не связанная с
А(0; б) Y=X(t^
32.29.	Определить дисперсию ошибки У(0 «невозмущае-
мой» гироинерционной системы через час после ее включе-
ния, если У(0 определяется уравнением
+^У(0 = Х(0,
268 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. Vt1
где v = 1,24 • 10~3 секЛ1— частота М. Шулера, а Х(0 —1
ошибка акселерометра, которую можно считать стационарной
нормальной функцией времени,	i
х — 0, Кх(х) = а2хе-^Х\,
о* = 0,01 -^2, а = 0,1 сек/А
32.30.	Угловые отклонения а и [3 .свободного гироскопа,
используемого в качестве указателя вертикали на качающемся
корабле, приближенно определяются системой уравнений
4?-№c=-Mgn[4ho],
' M4-//p=A2sgn[e со],
где моменты инерции Л, /2, кинетический момент ротора Н
и коэффициенты сухого трбния k\ и k% — постоянные, а угол
крена корабля 0 (0 и угол дифферента Ф (0 можно считать
независимыми стационарными нормальными функциями вре-
мени, корреляционные функции которых даны.
Определить D [а (0] и D [р (0], если t велико.
Указание. Ввести новую функцию т(0 = -±= а(0-|~
У Q
, Р — ~[~ > и заменить sgn [Ф (0] и
sgn [0(0] интегралами,, как в примере 32.2.
32.31.	Определить дисперсию случайной функции Z(0,
определяемой уравнением Z (0 -ф- а* [1 -J- Y(0] Z(t) = X
Z(0) = 0, где a — const, X(t) и У(0— независимые стацио-
нарные нормальные функции, математические ожидания кото-
рых равны нулю, а корреляционные функции даны.

§ 33. Задачи о выбросах
Основные формулы
Выбросом случайной функции X(t) за данный уровень а
называется пересечение снизу вверх графиком этой функ-
ции горизонтальной прямой, отстоящей от оси t на рас-
стоянии а.
§331
ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ
269
Вероятность того, что выброс произойдет в бесконечно
малом интервале времени dt, расположенном вблизи точки t,
равна р (а 10 dt; временная плотность вероятности р (а 10
выражается через плотность вероятности f (х, v 10 ординаты
случайной функции X(t) и ее производной У(0 = Аг(0, вы-
численной для момента времени t:
р(а | 0 = J /(a, v | t) v dv.
о
Временная плотность вероятности пересечения случайной
функцией уровня а сверху вниз
о
p1(a\t) = — $ f(a, v\t)vdv.
—00
Для нормальных функций
(а—х)*
аху + г^(а — х)
1 — г2
Г 1
2(1 — Г2)
(а-х)У
дК* (it,
dt%
д^Кх (Л, Ml 2
dttdt2 J
ti=tn=t
Для нормальных стационарных функций
(а-х?
p(a\t)=pi(a\t)=p(a) = ^e
Среднее число выбросов па стационарной случайной функции
в единицу времени равно р(а).
Среднее число выбросов стационарной функции в течение
промежутка времени Т равно, Na — Tp(a\'
Средняя длительность выброса стационарной случайной
Функции
оо
/(х) dx
Т = *________
а р(а) 9
где /(х)— плотность вероятности ординат случайной функции.
270 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Vl|
Для стационарного нормального процесса
(а-х)2
ха = ^е	[1—
а %	L	к 11
Аналогичные формулы для нестационарных процессов:
Т оо
_ Г оо	\Af(x\t)dxdt
т^а. = И vf(a> v\t)dv dt, ха ==	.
° 0	§ Jvf(a, v\t)dvdt
О о
К задаче о выбросах сводятся задачи определения сред-
него числа максимумов случайной функции (выбросы произ-
водной за нулевой уровень) и некоторые другие задачи. При
малом среднем числе выбросов в течение интервала вре-
мени Т вероятность Q непоявлений ни одного выброса за
этот промежуток времени может быть приближенно оценена
по формуле Q = e~Na} т. е. число выбросов в данном Ин-
тервале времени приближенно можно считать подчиняющимся
закону Пуассона.
Для однородного нормального случайного поля С (а?, у)
можно получить ряд формул, являющихся в известном смысле
обобщением формул для характеристик выбросов случайной
функции одной переменной [30].
Средняя длина контура 7 пересечения поверхности z —
= Цх, у) с плоскостью z = a9 приходящаяся на единицу
площади, определяется формулой
~l= I +-Wos exp Г- (-^g] (1 + -Г) 2Е(Г1—ra)>
где
__ ('»20 + fflpa) — V(mt<> — ffl08)8 + 4m8t~
(m20 + m02) + /(m30 — m02)a + 4m8t ’
E(x) — обозначение полного эллиптического интеграла Ле-
жандра второго рода, а
оо
1П]1— § (й/wf 5 (О)!, (1)2) dto2,
—оо
где S(o)i, <о2) — спектральная плотность случайного поля,
§33]
ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ
271
связанная с двумерной корреляционной функцией Кс(?1, т2)
соотношением
00
$(«>!, Ш2) = ^5 J	4)dTtdTt.
—оо
Среднее число максимумов лтах случайного поля С (**, у),
приходящееся на единицу площади, определяется формулой
я — 1	—М1/2
«max—2^-д^	~ I

где Е (k) и К (k) — полные эллиптические интегралы Лежандра
второго и первого рода:
я/2	J.	тг/2	__Л
Е(6)= $ (1—К (£)= $ (1 — >fe2sin2 <р) 2 d<f,
О	о
Ху — корни уравнения (Xi^>X2^X3)
у ^22
1
у ^13
1
у ^04
— W
— z/z22 — X
— Z/Z13
1
2 ^40
1
у/^31
1
2 ^22
Д2 = (тг(>тт - т*и), a k* =	•
Среднее число максимумов лтах, среднее число миниму-
мов nmin и среднее число седловых точек ns, приходящиеся
на единицу площади, связаны соотношением (для однород-
ного поля)
Я max + ^min =
Решение, типов ых примеров
Пример 33.1. Определить, сколько раз в среднем
в течение времени Т —10 мин. угол крена корабля 0 (t) на
качке будет принимать нулевые значения, если 6 = 0,
К0 (т) = аг-0»11т I fcos 0,7т у sin 0,7 | т |j,
272 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ.
где т выражено в секундах, 0(f) — нормальная случайна^
функция.	|
Решение. Среднее число выбросов за нулевой уровень
Так как
k (х) = — (0,72 + О, I2) е'0:11т I (cos 0,7т — sin 0,71 т |),
ТО
p(0) = ^KW = 0,1124 сек."1,
а число выбросов за 10 мин. Ng = 600-0,1124 = 67,5.
Искомое число равно 2N0=135.
Пример 33.2. Угол крена 0 (f) и угол дифферента
корабля Ф (f) — несвязанные нормальные случайные функции,
корреляционные функции которых заданы формулами
Ко (т) = 25г-0’07 Iт I (cos 0,7т	0,1 sin 0,7 | т |) град\
Кф(т) = 12,5^“°’021х 1 (cos ]/2т	10~2 V2 sin ]/2 | т |) град2,
где т выражено в секундах, а математические ожидания
6 и ф равны 0.
Определить среднее время пребывания мачты корабля вне
конуса, ось которого вертикальна, а угол, составленный
образующей с осью конуса, равен 2°, если отклонение мачты
от вертикали v можно определять по приближенной формуле
?=/024-чг2.
Решение. Отличие от предыдущего примера заключается
в том, что исследуемая случайная функция v(f) не является
нормальной. Поэтому необходимо применить общую формулу
т =	________
а — оо	,
§ vf (a, v) dv
о
/A dv (t)
где t>(0=-5r.
Для нахождения Плотности вероятности /(v) необходимо
проинтегрировать плотности вероятности системы нормальных
§33)
ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ
273
случайных величин 0 (0, ЧГ (0 по области у ]/02 4~ ф2
^v-|-zZv, что легко осуществляется, если от прямоуголь-
ных координат 6, ф перейти к полярным у = |/б24-ф2,
? = arctg-t.
Выполнив интегрирование, будем иметь
£
4
Ч_
/о
_1_\
°ф/
V8
---^dT0-03’2/» (0,01V4),
12,5/2	v ’
где /o(z) — функция Бесселя первого рода от мнимого аргу-
мента. Для получения /(у, /и) необходимо проинтегрировать
плотность вероятности системы взаимно независимых случай-
ных величин ©(/), ©(о, чгах Фю по области изменения
ее аргументов, для которой выполняются условия
v ~ "Кб2 4~ Ф2 v 4- dv, у )Л)2 4- Ф2 v dv.
Это интегрирование удобней выполнить, если от 0, 6, ф, ф
перейти к переменным интегрирования у, т? = у, <р, ф. Учи-
тывая определитель преобразования Остроградского — Якоби,
получим
/(v, 77) =
2тс ' оэ
у2	с С (	1Г/cos2 ср
4л2аа а.а. \ \ еХ₽ |	Т ( а?
« Ф 0 -Ч -со 1 LV 6
sin2 о
4 /
(у COS ср — уу sin ср)2
(у sin ср —Уф cos ср)2
а3,
е
о?
ф
В условиях задачи с^ = а2. = 12,5 град^сек?, поэтому
двойной интеГрал упрощается и может быть вычислен:
©2
— 0,03v2
/о (0,0b2).
/(V, Ц) =
V____„	25
-----т=е
62,5 /2тс
оо
Тогда Г%>/(2, v)dv = —^7== е-°-14/о(О,О4).
J	62,5 у 2к
о
274
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI! -
Подстановка полученного результата и плотности вероят-
ности / (у) в формулу для дает
$ е-О’О^ч/,, (0,0b2) dt
__	2
5е-0,12/0 (0,04)
Так как
СО	00
У е-&’270 (С^) V d't = у j* (ex) dx = —L=.
О	о
то интеграл, стоящий в числителе, можно представить в
виде
оо	2
У e“°-o3’2/o(O,Ob2)v^ = ^| — у e-o-e3’s7o(O,Olv«)vdv.
2	О
В последнем интеграле значение аргумента у функции Бес-
селя при верхнем пределе весьма мало. Поэтому, пользуясь
разложением функции Бесселя в ряд
7 / Ч_ 1 I I 1 !ZY | I 1 fZVk I
— 1 -f- ~r (2!)2 \2; +•••+“ (k\)*\2 J "+“•••>
получим
2
j .-0,03V2 [i +	+ . . ,pv (1 _ .-0,12),
0
t. e.
,/-/25	1
У К — 7-77 0,1131 1
\У^2 0,06 ' J
5e-0’12 (1 + 0,0004 +...)
= 6,0 сек.
Пример 33.3. Определить среднее число максимумов
нормальной случайной функции X(t), приходящееся на еди-
ницу времени, если
= [cos рту sin Р | т |V х = const.
\	г	/
Решение. Случайная функция X (t) имеет максимум,
если ее производная X (t) имеет выброс за нулевой уровень
(сверху вниз), следовательно,
а..
X
§331
ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ
275
Задачи
33.1.	Определить среднюю длительность выброса нор-
мальной случайной функции X(t) за уровень а = 2 см, если
зс =—8 см, а Кх(т) = 100^-°’11т I (1	0>11 |) сл?, где -с
выражено в секундах.
33.2.	Среднее число выбросов нормальной стационарной
случайной функции за уровень а = х в одну секунду
равно 0,01. Определить дисперсию скорости изменения этой
функции, если дисперсия самой функции равна 64 см\
33.3.	Корреляционная функция угла крена корабля 0 (Z)
определяется формулой
К0 (т) = be'*1 т 1 [cos рт 4-	sin р | т |Y.
Считая процесс качки нормальным, определить, сколько
раз в среднем за 20 мин. хода корабля угол крена будет
выходить за пределы ±25°, если 0 = 0, &= 100 град\
а = 0,1 сек"1, р = 0,7 сек-1.
33.4.	Ошибки на выходе динамической системы нор-
мальны, имеют нулевое математическое ожидание и характе-
ризуются корреляционной функцией
К(т) = а<га1т|(1-|-а|т|),
где а = 5 квадратным угловым минутам, а =1,3 сек-1.
Определить, на сколько секунд в среднем будет выключаться
система, если выключение производится автоматически при
получении ошибки, превосходящей по абсолютной величине 3'.
33.5.	Корреляционная функция нормального случайного
"'процесса
Кх (tb h) = а I - /11 (1 а | _ ^ |).
Определить значение времени t, начиная в которого
среднее число выбросов за уровень а = х в единицу вре-
мени станет больше заданного числа /?0.
33.6.	Для устранения вредного воздействия, оказываемого
внешним случайным возмущением, характеризуемым нормаль-
ной случайной функцией X(t), .необходимо затратить мощ-
ность W(t), пропорциональную Х2(£):
W(t} = kX\t\
276 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Определить, сколько раз в среднем в единицу времени
мощности двигателя будет не хватать для устранения воз-
мущения, если максимально возможная его мощность равна w0,
х = 0,
(т) = ае~а 1 т 1 (cos sin р | т ,
a fc, w0, а, а, р — известные постоянные.
33.7.	На самолете установлен прибор (акселерометр),
измеряющий ускорения, нормальные к оси фюзеляжа в пло-
скости крыла. Программа, заданная автопилоту самолета,—
горизонтальный прямолинейный полет с постоянной скоростью.
Вследствие ошибок управления угол Ф* (0, составленный на-
правлением вектора скорости самолета с неизменной верти-
кальной плоскостью, является стационарной нормальной слу-
чайней функцией. Определить, сколько раз в среднем в еди-
ницу времени чувствительный элемент акселерометра будет
доходить до упора, если это имеет место в том случае,
когда мгновенный радиус кривизны траектории самолета
в горизонтальной плоскости становится равным минимально
допустимому радиусу циркуляции Ro. Скорость самолета
v можно считать постоянной, а
К-(т) = ае-а'т' (cosр-г -тгsinр j т А.
33.8.	Высота H(t) полета самолета, управляемого авто-
пилотом, является случайной функцией, математическое ожи-
дание которой h равно заданной1 высоте полета, а корреля-
ционная функция
KhСО = ае'а 1 т 1 (cosРт + 4sinР I т I
\	Р	/
Считая высоту H(f) нормальной, определить, какую наи-
меньшую высоту h можно установить в системе приборов
автономного полета, чтобы за время полета Т вероятность
аварии самолета вследствие столкновения с поверхностью
Земли была меньше 8 = 0,01%, если а = 400 м\ а =
= 0,01 сек.-1, р = 0,1 сек.-1, Т=5 час.
33.9.	Радиолиния управления может обеспечить передачу
команды без искажения в том случае, если помеха Х(0,
поступающая на вход приемника, в течение передачи по аб-
солютной величине ни разу не превзойдет некоторого уровня а.
§ 33)
ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ
277
Определить вероятность Q передачи команды без искажения,
если X(0 — нормальная случайная функция,
х = 0, К^(т) = />г-а1Х1а+*Ы)>
а время передачи команды 7.
33.10.	Определить закон распределения ординат нормаль-
ной случайной функции X(t) в точках ее максимумов, если
х = 0, Кх(х) = ае-а^.
33.11.	Дан нормальный случайный процесс X(t). Найти
закон распределения,ординат его минимумов, если Х = const,
Кх (т) = Лга,т| (1 4-а I т I +уаМ) •
33.12.	Определить среднее число точек перегиба нор-
мальной случайной функции X(t), приходящееся на время Т,
если х = const,
Кх (т) = ае~ а2х2.
33.13.	* Определить дисперсию числа выбросов нормаль-
ного случайного процесса X (t) в течение времени Т за
уровень математического ожидания х, если корреляционная
функция процесса К(т) известна.
33.14.	* Определить среднюю площадь $, заключенную
между кривой y = X(t) и прямой у = а, приходящуюся на
один выброс (среднюю «площадь выброса»), если X(t) —
нормальный процесс,
JK = O,
й —— Од-, 2 Од-, Зод.,
33.15.	* Однородное нормальное случайное поле С(х, у)
имеет нулевое математическое ожидание и двумерную спект-
ральную плотность
2	2
3	_ <°1 _ О>2
5(а)ь ш2) = ^е 8	18.
Определить среднюю длину контура /, возникающего при
пересечении случайного поля плоскостью С = <з, приходя-
щуюся на единицу площади секущей плоскости.
33.16.	* В условиях предыдущей задачи определить сред-
нее число максимумов, приходящееся на единицу площади
секущей плоскости.
™ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII:
§ 84, Спектральное разложение стационарных
случайный функций
Основные формулы
Для всякой стационарной функции X(t) справедливо
разложение
Х(0 — Я = f
— 00
где в том случае, когда
оо
—ОО
приращения </Ф(<о) удовлетворяют соотношениям
М [ЙФ ((D)] = О, М [ЙФ* (о)) ЙФ (0)1)] = Sk (<d) 6 ((D — (DX) C?(D rf(Dlt
Здесь £x((d) — спектральная плотность случайной функции
X (/), 8 00 — обозначение дельта-функции (см. введение
к § И).
Корреляционная функция и спектральная плотность свя*
заны взаимно обратными преобразованиями Фурье
00	’	03
= J	&(<»)=^ $ e~™Kx^dx,
—00	—00
являющимися следствием спектрального разложения X(t).
При т = 0 первая из приведенных формул дает
00
^(0) = D[X(0]= Sx(a>)dm.
—00
Спектральная плотность не может иметь отрицательных
ординат; для вещественных функций
Sx(<o) = 5x(—о>).
Случайные функции, обладающие конечной дисперсией, имеют
спектральные плотности, обращающиеся на бесконечности
. 1
в нуль быстрее, чем — #
§ 34] СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ 279
Спектральная плотность производной X(t) связана с Sx (о>)
формулой
£.(ш) = (о*$Да)).
Необходимым и достаточным условием дифференцируе-
мости (один раз) случайной функции X(t) является условие
оо
J <«2SX (о>) da) оо,
—оо
для выполнения которого нужно, чтобы Sx(w) при росте
х 1
стремилась к нулю быстрее, чем
Если случайные функции стационарны и стационарно
связаны, то между корреляционной функцией связи Rxy($
и взаимной спектральной плотностью Sxy(p) имеют место
соотношения
00
Rxy^= e™Sxy(«>)d«>,
—00
оо
^(ш) = 1 $ e-^Rxy(x)d^.
—00
Из определений Rxy(y) и 5^(ш) следует, что
RXy (Т) == Ryx (	Т)> Sxy (Ш) ==	(W)’
Спектральная плотность произведения двух нормальных (веще-
ственных) стационарных случайных функций X(t) и Y(t):
z(0=x(om
выражается через Sx(w), Sy (<*>) и Sxy(p) по формуле
Sz (ш) = (ш — (wi) 4“	(ш) 4~	(ш)] 4~
—00
4“ j §ху (w — ш1) Syx (<°1)	4“ X*Sy (w) 4“	(ш)«
—oo
В частном случае, когда
У(0 = Х(0, 5y(u>) = 5'x>(o))==Sx(o)), имеем Z(0=A®(O
280
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
И
Sz (w) = 2 §	(в) — Wi) (o)i) do)i 4- 4x2Sx (о)).
—00
Тот же результат можно получить, если воспользоваться
формулой, справедливой для любых двух нормальных (ста-
ционарных) функций (Z=X* У):
кг (х) — Кх (х) Ку (х) + Rxy (х) Ryx (х) -|-
4- х*ку (т) 4- у‘‘кх (х)+ху	(4 4- Ryx (т)],
а затем применить преобразование Фурье.
Решение типовых примеров
Для решения задач 34.1—34.10 необходимо непосред-
ственное применение преобразования Фурье. При вычислении
корреляционной функции, когда спектральная плотность
является отношением полиномов w, обычно наиболее просто
результат может быть получен с помощью вычетов. При на-
хождении спектральной плотности по заданной корреляцион-
ной функции, когда в ее выражение входит модуль аргумента,
бесконечную область интегрирования нужно разбить на области
(—оо, 0) и (0, оо). В остальных задачах необходимо найти
корреляционную функцию или спектральную плотность, поль-
зуясь их определением, а в некоторых задачах и свойствами
нормальных величин.
Пример 34.1. Определить корреляционную функцию,
если
5(ш)
<4
*
Р ешей ие. Пользуясь преобразованием Фурье, имеем
При т^>0
оо
С
У +
—оо
равняется интегралу от функ-
ции комплексного переменного со, взятому по контуру, со-
§ 34] СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ 281
ставленному из вещественной оси, замкнутой полуокруж-
ностью бесконечного радиуса, расположенной в верхней
полуплоскости. Поэтому его значение равно вычету относи-
тельно единственного полюса о) = /Ху (считаем Re Ху 0),
расположенного внутри контура, умноженному на 2к/, т. е.

Аналогичным образом при т<^0, замыкая вещественную
ось через нижнюю полуплоскость, получим К(т) =
п
—	т. е. при любом знаке т
J=i 1
. /=1
Пример 34.2. Определить спектральную плотность,
если
/<(т) =	Iт i 1 —{— а | т |	•
Решение. Обозначив
J (а, (о) = е~1(йха2е" а 1 т 1 йт,
—00
замечаем, что
о/ л /	I а2 d*J
S(o>) = J—+
Так как
7 °	00	4
J(a, (D) = £J £	\	J=
7 2к ] J	1 J	| К (ar + a2)
(—оо	0	J
то после дифференцирования no a и простых преобразова-
ний получим
8a2a5
д^~3к(а)24-а2)з ’
к
282 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Пример 34.3. Определить спектральную плотность
Z(0 = X(0X(f),
если X(t) — нормальная случайная функция, а
Кх (т) = ае~а 1т I ^cos + у sin р | т |j, х = 0.
Решение. Так как Z(0 = y~X2(f), то
=	«>25Х2(<о) = о)2.^- Sx(<o —	(<0j) </«>! =
—OO
tfa(a2-f-₽2)	to2 (co2 + 20a2 + 432)
= i [(оз2 4- 4a2 4- 4£2)2 — 16^co2] (u2 + 4a2)
Задачи
34.1.	Дана спектральная плотность
( а>
S«o) = | 0)
если — b о by
если b | о) |.
Определить корреляционную функцию К(т).
34.2.	Дана спектральная плотность
0,
S(o))= с*,
0,
если	0	|	a)	j	о)0,
если	о)0	|	о)	|	2о)0,
если	2о)0	|	со	|.
Определить корреляционную функцию К(т).
34.3.	Определить спектральную плотность 5*(о)), еслг
К (т) = ае^а iт 1 (1 -j-'a | т |).
34.4.	Определить спектральную плотность 5*(a)), i
К(т) =
о
при | т | ^> 1.
34.5.	Определить спектральную плотность 5*(о)), если
X (т) = ^е~~a iт 1 cos рт.
§ 34] СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИИ
283
34.6.	Определить спектральную плотность S(o>), если
К (т) == Iт I (cos рт -J- 4- sin р | т |V
\	г	J
34.7.	Определить спектральную плотность S(o>), если
К(^) = 02е-“Иф4-а|т|—2аМ + уа3|т|3).
34.8.	Определить спектральную плотность S(o>), если
К(т) = ае~* 1т 1 ^cosрт-- sin р | т ,
34.9.	По виду спектральной плотности случайной функ-
ции X(t) определить, сколько производных имеет эта функ-
ция, если
Кх W = <А?-а iт I 4“ а I т I + У а2т2^ ,
34.10.	Определить спектральную плотность 5(а>), если
^(т)=2бг/е ауМ> Reay>0.
/=1
34.11.	Определить, для каких значений отношения
спектральная плотность
а
I
оГа)1 -	“2 + «2 + ?2
— п ((О2 + а2 + ₽2)2 — <со2
имеет максимухм при а) = 0.
34.12.	Определить дисперсию производной случайной
функции X(t), если
SxM=7-r^—Sri.
7 (со2 —а2)2
34.13.	Определить взаимные спектральные плотности
и (о>), если
Kx(t) = ae-“^.
34.14.	Команда Д(/), поступающая на органы управления
автоматически управляемого объекта, определяется по формуле
284
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIJ
Найти 5*д(о)), если
Ки (т) = ае~а Iт I (1	а | т | ).
34.15.	Динамическая система (учредитель) используете?
для получения значения входной случайной функции X(t
в момент времени где т0— время упреждения. Опре
делить взаимную спектральную плотность между X(t) i
У(t) == X (t т0), если Kv(t) дана.
34.16.	На вход динамической системы поступает случай
ная функция X (t), являющаяся суммой полезного сигнала U(t
и помехи V (t):
Задачей динамической системы является воспроизведение
функции
dtR
Определить взаимную спектральную плотность Sxy (ш)
если 5*^(0)), 5й(о>) и Suv(w) заданы.
34.17.	Определить спектральную плотность Sz (ю), еслр
Z(t) = X(t)Y (f), a X(t) и Y(t) — независимые случайные
функции, корреляционные функции которых заданы:
кх (т) —	Iт I 4s sin | т |),
Ку СО =	1 т 1 (cos р2т -j- — sin j321 т А .
34.18.	Определить спектральную плотность Sz (<d), еслр
Z(f) = W(fy
где X (t) и У(t) — независимые случайные функции, Кх (т) =
= aie-ailTl, Kv(T) = a2e“a2f Ti, а х и у даны.
34.19.	«Карданова ошибка» Д(0, возникающая при ис
пользовании карданова подвеса в некоторых стабилизацион
ных корабельных устройствах, связана с углами крена 0 (t
и дифферента № (t) корабля соотношением-
Д(0 = ©(0«-(0.
§ 34] СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ 285
Считая 0 (/) и Т (0 независимыми случайными функци-
ями, определить корреляционную функцию, дисперсию и
спектральную плотность ошибки Д(0, если 6 = ф = О,
Кб (т) = а^е-ч Iх I (cos у- sin | т |),
К. (т) — а%е-а21х। (cosр2тsinр21 т А.
34.20.	Определить спектральную плотность	если
Y (t) = X2 (0, где X (0 — нормальная стационарная случайная
функция, а
Кх(т) = ае~~* Iт I (cosрт —sin р [ т Q.
34.21.	Определить спектральную плотность Sy (<d), если
У(0 = Х2(0,
где X (0 — нормальная случайная функция, х известно, а
Кх(у) = ае-а^.
34.22.	Определить спектральную плотность Sy(to), если
где X(t)— нормальная случайная функция,
Sx ((d) = ае 2а2,
а х дано.
34.23.	Поправка Д(0 на качку корабля, поступающая
в угол горизонтального наведения навигационной радиолока-
ционной станции, Определяется формулой
Д (0 =? — Ф (0 -|- ЧГ (0 © (0 cos2? — ± [02 (0 — Ф2 (0] sin 2?.
Определить 5д (<d), если q можно считать постоянным,
а угол рыскания Ф(0, угол дифферента ЧР* (0 и угол
крена 0(0 — несвязанные нормальные случайные функции/
286
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
корреляционные функции которых заданы!
КрОО =	1т I (cos Р1Т	sin | т ,
Кф(т) = a2e-“s I * I (cos р2т +	sin р21 т ,
Кь (х) = а3<-“з1 т 1 (cos p3t -J-	sin р31 т |V	ф = 5 = ф = 0.
\	Рз	J
34.24.	Нормальная случайная функция X(t) имеет корре-
ляционную функцию Кх(т) —а!т I и математическое ожи-
дание х. Найти максимум спектральной плотности £, (со), если
У(Э=А?(0.
34.25.	Два одинаковых диска, оси вращения которых
совпадают, вращаются с различными (несоизмеримыми) угло-
выми скоростями 21 и 23 (рис. 34). В дисках проделаны от-
верстия, ограниченные радиу-
сами с центральным углом 7 и
окружностями с радиусами г —
— уД и г -]- у Центры от-
верстий выбраны на окружно-
сти в соответствии с равно-
мерным законом распределения.
С одной стороны дисков
расположен точечный источник
света •£, с другой — фотоэле-
мент F, перед которым распо-
ложена диафрагма D; просвет в диафрагме имеет форму сектора
с углом Г при вершине, ограниченного окружностями радиу-
сов г-----^Д и г.+ уД. Сила фототока J пропорциональна
сумме площадей просветов всех отверстий, попадающих в
просвет диафрагмы. Определить спектральную плотность силы
тока Sj (о>), если число отверстий в обоих дисках одинаково
и равно п, а для любого отверстия 1-го диска независимо
от положения других отверстий можно считать равновероят-
ным, что оно окажется против отверстия 2-го диска на любом
угловом расстоянии от оптической оси системы (источник
света — фотоэлемент)!). (Случаями, когда размер просвета
уменьшается диафрагмой, пренебречь.)
*) Прибор такого типа предложен В. С. Гительсоном.
§ 35J ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ
287
§ 35. Вычисление вероятностных характеристик
случайных функций на выходе динамических систем
Основные формулы
Для любого линейного дифференциального уравнения
+ai (о —.+дл (о у(о=х(о
общее решение может быть представлено в виде
п
/=1
где yj(t) — система независимых частных интегралов одно-
родного уравнения; Су — постоянные, определяемые началь-
ными условиями и являющиеся, вообще говоря, случайными
величинами; Yi (0 — частный интеграл неоднородного уравне-
ния, удовлетворяющий нулевым начальным условиям и опре-
деляемый равенством
t
= t^X^dty
О
где pft, 0) — весовая функция системы (импульсная переход-
ная функция), определяемая частными интегралами yj(t) по
формуле Pit,	Л ft) •••J'«ft) л ft) • ••Xft)		Л ft) ...^nft) У ft) ••• К ft)
	M’-W.. X’~2)ft) — УМ		yr~2>ft)...y;-2»ft) * XZI-1)ft)---УЛ-1)ft)
В том случае, когда коэффициенты уравнения постоянные,
весовая функция зависит только от разности аргументов
p(t, *i)=p(*-- *i).
Если система устойчива, = const, a X(t) стационар-
на, то при достаточно большом t (сравнительно с временем
переходного процесса) функцию У(0 можно считать также
288 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
стационарной. В этом случае
1 _
ап
О Л.А______________ft* __________
— I + ai	+ ... + ап |2 >
а Ку (т) может быть найдена путем обращения (о>) по Фурье
В том случае, когда X(t) связана со стационарной слу
< чайной функцией Z(t) формулой
У ГА	h dmZ I h dm~lZ W J_ • I h 7 (i\
X (0 — &o	" dtm~l---Г • • • +
имеем
o/^-l h + К th)™-' +- + bm\*
причем последняя формула остается справедливой и в тол
случае, если Z(/) не имеет производной z^-го порядка, нс
выражение для £До>) при росте о> убывает быстрее, чем —
Если время t, прошедшее после начала работы системь
невелико, система неустойчива, функция X(t) нестационарш
или коэффициенты уравнения зависят от времени, то дл5
нахождения вероятностных характеристик решения уравненш
необходимо воспользоваться общими формулами для линей
ных операторов, применяя которые, находим (считаем дл5
простоты Су не связанными с X (/)):
п _ *
У (0 = У, У} + W dti>
/=1	о
Ky(tb ^) =
— 'ZZyj	kil + $ 5 Р* ^tb ^Р	Т|) Кх	’l) &
J= 1 I = 1	0 0
где ||£у/|| — корреляционная матрица системы случайных ве-
личин Су.
Для уравнения с постоянными коэффициентами в послед
С них формулах вместо р (t1} t2) нужно подставить р (tr —
§ 35] ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ
Если X(t) — стационарная функция, то
--	t	со
'"Yj (t) = ^р (t, tijXdti-Y J у(у>, 0</Ф(ш),
О	—оо
где у (<о, /) — взятый при нулевых начальных условиях частный
интеграл уравнения, в котором X(t) заменена на е1Ш*.
В этом случае
J У* (“> ti)y (“, ti) Sx (o>) du>.
— OO
Аналогичная формула имеет место и тогда, когда X(f)
нестационарна, но может быть получена путем умножения
стационарной функции на заданную (не случайную) функцию
времени, например:
X(t) = b(t)X1(t\ .
где Xi(t) стационарна. В этом случае под j/(o), f) нужно
понимать частный интеграл уравнения, в котором правая часть
заменена на b(t)etait, т. е. по-прежнему стационарная функция
заменена на е"**.
Если задана система дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами, соответствующая устойчивой дй-
намической системе,
+ 2 ail Yl (/) = Xi (Z)> } = b 2...
Z=1
где a,ji — постоянные, Xj(t) — стационарные случайные функ-
ции, то для достаточно большого t ее решения являются
стационарными случайными функциями, спектральные плот-
ности и взаимные спектральные плотности которых могут
быть выражены через спектральные плотности и взаимные
спектральные плотности правых частей уравнений:
п п
2 2 WmjSxixm (®)
о	\ т=\
п п
2 2	(<*>) Amk (ш) Sxtxm fa)
О / х I = 1 ТП = 1	х
^yjyitW —	| А (<*)!’
10 Б. г. Володин и др.
290
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Здесь Д (со) — определитель, составленный из коэффициен-
тов левых частей уравнений:
an-|-f(D я12	... ain
д ____ ^21	#22 -f- Zw... а%п
ani	ani	... ann-\-bs>
— алгебраическое дополнение элемента этого опреде-
лителя, стоящего на пересечении Z-й строки и /-го столбца,
a SXj.x/ (ш) = SXJ («>).
Закон распределения решения линейного уравнения (си-
стемы линейных уравнений), в правую часть которого входят
нормальные случайные функции и нормальные случайные
величины, также нормален. Если уравнение линейное, но закон
распределения случайных функций, входящих в правую часть
равенства, не нормален, то закон распределения решения
также не будет нормальным. Математическое ожидание у и
центральные моменты [Ху этого закона распределения для
любого t определяются формулами
t
y = \p{t,
о
t t
V-* = \\p& *1)Р (*> Кх (*1, ti) dti dti,
о о
t t t
№==\\\p& Ь)Р<!> *дР(*> UyKxiti, ti, t^d^dftdtg,
0 0 0
где X(0 — случайная функция, стоящая в правой части урав-
нения, а
Kx(tu 9=м(п
(z= 1	J
Решение типовых примеров
Пример 35.1. Ошибка e(f) измерения ускорения само-
лета акселерометром определяется уравнением
е (0	(/) пЧ (t) = gn\ (t),
§ 35] ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ 291
где 7 (0 — случайная функция, характеризующая случайные
возмущения, испытываемые чувствительным элементом аксе-
лерометра, 5т(оо) = с2^ const, /г^>0.
Найти дисперсию скорости самолета, определяемой путем
интегрирования показаний акселерометра в течение времени
Г, если при интегрировании не возникает добавочных ошибок,
а время переходного процесса много меньше Т.
Решение. Согласно условию ошибку 8(f) можно счи-
тать стационарной случайной функцией времени, поэтому
Q Гий =	£2/?с2	_
61 '	| (п2 — <о2) +	|2	(w2 — п2)2 + 4Л2<о2 *
t
Ошибка скорости е (fx) уже не будет стацио-
о
парной, и ее дисперсия определится формулой D[S,n(7')] =
т т
= Ке — ^i)	^2. Переходя к новым переменным инте-
0 о
грирования ^ = ^2 —	5 = ^ + 4 и вычисляя интеграл по 5,
получим
Т	оо
D [8г/ (Г)] = 2 (Т — т) (т) dx ъ 2Т $ Ке (т) dx =
О	о
= 2кГ5£(0) = 2^с2Л
Подобным же образом решаются все задачи, в которых
искомая случайная функция является стационарным решением
линейного уравнения с постоянными коэффициентами или
результатом применения линейного оператора к стационар-
ному решению.
Пример 35.2. Определить для момента времени t дис-
персию частного интеграла Yj (t) уравнения -	-ф- л / (f) =
~tX(t\ удовлетворяющего нулевым начальным условиям,
если
Решение. В данном случае Y(t) не обладает свойством
стационарности, поскольку в правой части уравнения стоит
нестационарная функция времени.
10»	'
292
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ , СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Имеем
где	t Yl(t) = \e-a^-i^Z(ti)dtb 0
Так как	ОО
Кх(т)= e^Sx (u)) do) = а2хе- “ I * J,
— co
TO

t t
D [ Yj (0] = 7<v (t, f)=\\K2 (tb t$ e~ ° & -h- t^dt. dtb
'	о 0
что после выполнения интегрирования дает
D Г У/ (01 — 2а21	&________-L.	+ а _L
ULZ/l Л— х(2а(а + «)	2а2(я + а)2 4аЗ(а + «)2
1 а а)t 4аЗ — (2а + а) (а-а)2 м\
Г (й2_а2)2	Г 4дЗ(й2_а2) С [•
Пример 35.3. Найти спектральные плотности и взаим-
ную спектральную плотность стационарных решений системы
уравнений
^)+2^ + 4y(0 + Z(0=^i(0,
^ + 9Z(0 = X2(0.
если
5^(<0)	П(ш81_|_1)> ^s(u>)	71(о>2 2|_4)>
'S'xM'a (ю)	(ш8 _ 2)2	•
Решение. Заменяя в левых частях уравнений опера-
цию дифференцирования на Z<o, для определителя системы
§ 35] ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ. 293
алгебраических уравнений получим
Д(о>) =
— а)2 4-2Zo)+ 4	1
О	/о) + 9
= [(4 — (о2) + 2/о)] (/о) 4- 9).
Алгебраические дополнения элементов этого определителя:
А и ==: /^ 4“ 9, А12 = О, А21==: — 1»
А22=== (4 — о)2) 4- 2/о),
Следовательно, по общей формуле получим:
5,(0)) =
_ , Дп I2 sxi (со)-Н Д21|25Х2 (<о)4-Д?1Д215Х1Х2 (со) + Д?М1 А2Х1(оз) 
_	1	Н (О)2 + 81)	,
(а)24-81)[(а)2 —4)24-4(O2] I л((о2+1) Г
.	2а2 2а [(О2	9 (со2 — 2)2П
‘ тг (аД + 4) (аД — 2)* + О)2 Г
Syz (“>) =
_	(w) +Af*1A225X1A.2((o)4-A^1A13SX2X1(<o) -f- A21A225X2(<o) __
— -
___	1	j a (ia — 9)	.	2a3	1
'	[(co2 — 4) + 2/zo] (<02 + 81) l(co2 — 2)2 4- £co Л (<02 + 4) J ’
s2 (ю) = | Z(0 2|_ 9 |2 =	(032_|_8ц •
Задачи
35.1.	На вход динамической системы первого порядка,
описываемой уравнением
4^ + «К(0 = ^(О,	а>0,
поступает случайная функция X(t),
которой в полосе частот |-ш |^(п0,
принята постоянной:
Sx («>)«=> с3.
спектральная плотность
где (i)o5>a, может быть
Определить корреляционную функцию Y(t) при /^>
294
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. VII
35.2.	Динамическая система описывается уравнением
«о У = bo + blX (/) ’
ч.
где х = const дано, Кх (т) = <зхе~а 1 т — ^>0.
а0
Определить математическое ожидание и дисперсию ста-
ционарного решения этого уравнения.
35.3.	Отклонения U(t) кренометра, расположенного в
плоскости мидель-шпангоута корабля, определяются уравне-
нием
где F(t)= -i-	— c0(f)], Угол крена 0(f) и скорость
бокового смещения центра тяжести корабля ^(f) вследствие
орбитального движения можно считать несвязанными случай-
ными функциями,
К- (т) = а^е-^ 1г I ^cossin | т ,
К0 (т) = Iг I (cosp2T 4- ~ sin р2
\	Н2	/
а все постоянные, входящие в формулы, известны. Опреде-
лить 5й(оо).
35.4.	Астатический гироскоп с пропорциональной коррек-
цией расположен на корабле в плоскости мидель-шпангоута.
Определить дисперсию отклонения его оси а от направления,
даваемого физическим маятником, если угол а определяется
уравнением
а(0 + еа (t) = zU(t) (s > 0);
время, прошедшее после включения гироскопа, достаточно
велико, чтобы а(0 считать стационарным, а для определения
спектральной плотности (<п) воспользоваться результатом
решения задачи 35.3, приняв
ai = 1,24^Ц;	04 = 0,1 сек"1; 6х=1,20 сект1;
а2 = 3,8 • 10"2 рад*,	а2 = 0,04 сек."1; р2 = 0,42 сек."1;
h = 0,6 сек."1;	я = 6,28 сек."1; с =10 м\
е = 0,01 сек."1.
§ 35] ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ.
295
35.5.	Определить спектральную плотность и корреляци-
онную функцию стационарного решения уравнения
^-) + 2/г^ + Л2У(0 = ^(0 (^*>0),
если можно считать, что X(t) обладает свойствами «белого
шума», т. е. (ио) = с2 = const.
35.6.	Угловое отклонение 0(0 рамки гальванометра от
положения равновесия при разомкнутой цепи определяется
уравнением
+	+	= 4ID^r\
где I — момент инерции рамки; г — коэффициент трения; D —
коэффициент жесткости нити, на которой подвешена рамка;
7И (0—возмущающий момент, вызываемый случайными ударами
молекул окружающей среды.
Определить' спектральную плотность и корреляционную
функцию угла 0 (0, если спектральную плотность М (0 можно
считать постоянной, а согласно результатам статистической
физики GlD = kT, где k — постоянная Больцмана, Т — абсо-
лютная температура среды.
35.7.	Случайная стационарная функция У(0 связана со
случайной функцией X(t) уравнением
^ + 6^)+11^г + 6У(0==5Х(0 + 7^^-.
Определить спектральную плотность (оо) для стационар-
4
ного решения уравнения, если (оо) =	.
35.8.	Может ли уравнение
Y (0 — 2 Y (0 + 3 Y (0 = X (t)t
содержащее в правой части равенства стационарную функ-
цию Х(0, иметь стационарное решение?
35.9.	Определить дисперсию ординаты центра тяжести
корабля tc(t) на волнении, если
1С (0 + 2/zt (0 4-	(0 =	(0,
296 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VH
где ордината волнового профиля X(t) имеет корреляционную
функцию
Кх{х) = ае~а । * I (cos у sin ₽ | т |);
h и (о0 — постоянные, определяемые параметрами корабля;
а — параметр, характеризующий нерегулярность волнения;
Р — преобладающая частота волнения; <о0^
35.10.	Ошибка акселерометра, измеряющего горизонталь-
ное ускорение самолета, определяется уравнением
е (0 + 2/й (Q -|- пЧ (t) = gn\ (t),
где h = 0,6 сек."1, и = 6,28 сек.-1, ^=9,81 м/сек**, угол
крена (t) — стационарная нормальная случайная функция,
корреляционная функция которой дана:
(т) = 3-10Л?~ °>6 ИI (cos 5т + 0,12 sin 5 | т |).
Определить дисперсию е(0 при установившемся режиме
работы акселерометра.
35.11.	Доказать, что если на вход линейной устойчивой
динамической системы, описываемой уравнениями с постоян-
ными коэффициентами, поступает случайная функция Х(0,
обладающая свойствами «белого шума» (5Х (ю) = с2), то при
достаточно большом времени после включения системы кор-
реляционная функция выходного сигнала Y (t) определяется
равенством
Ку (т) = 2тсс2 5 р* (0р V + 111)dt’
о
где p(t) — весовая функция системы.
35.12.	Найти-дисперсию угла крена корабля 0(0, опре-
деляемого уравнением
0 (0 4-2/20 (0 4- k*Q (t) = k*F (0 (k > h > 0),
если угол волнового склона F(t) имеет нулевое математи-
ческое ожидание,
Kf (т) = ае~а Iт I ^cos рт-J-y sin р | т ,
а процесс качки можно считать установившимся.
§ 35J ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ 297
35.13.	Стационарная случайная функция Y(f) связана со
стационарной функцией X\t\ спектральная плотность кото-
рой известна, уравнением
У (0 + 2h Y (0 + k* Y (0 = k*X (0,
где k^h^>0.
Определить взаимную спектральную плотность
п корреляционную функцию связи Ryx(y).
35.14.	Дано:
У (0 + 8 Y (t) + 7 Y (0 = X (0, Кх (т) =
Определить корреляционную функцию Y (0 для моментов
времени, превосходящих время переходного процесса.
35.15.	На вход динамической системы с весовой функ-
цией p(t) поступает стационарная случайная функция X(t)
с нулевым математйческим ожиданием. Определить дисперсию
отклонения выходного сигнала У(0 от некоторой стационар-
ной функции- Z(0, если Кх(?) и Rxz(y) известны, £ = 0,
а переходный процесс системы можно считать окончившимся.
35.16.	Воспользовавшись спектральным разложением ста-
ционарной случайной функции X(f), определить для момента
времени t— дисперсию интеграла уравнения
У(0+ aY(t) = tX(t)
при нулевых начальных условиях, если
35.17.	Вследствие случайного дебаланса гиромотора, уста-
новленного на платформе, имеющей случайное вертикальное
ускорение UZ(0, гироскоп направления совершает прецессию
PL Г 1 т
с угловой скоростью = — р-|- — W(0J.
Определить математическое ожидание и дисперсию ази-
мутального ухода а (0. в момент времени t, если М [ L ] = 0,
D [L] = <гь f(w (т) и w заданы, Р, Н, g — известные постоян-
нь1е, а между L и W(t) нет связи.
298
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIIs
35.18.	Определить корреляционную функцию частного ин-
теграла Yj(t) уравнения
Y (0 + 2й Y (0 + A2 Y (0 = e~atX (/)
при нулевых начальных условиях, если
	(4г»/>>0).
35.19.	Случайная функция Y(f) связана со случайной
функцией X (/) уравнением
У(/)_/У(0 = Х(0.
Определить KAtb /2), если Кх(т) = ае~а 1хI, а при / = 0
У (0 = 0.
35.20.	Определить математическое ожидание и корреля-
ционную функцию частного интеграла уравнения
Y(t) — a*tY(t) = bX (/)
при нулевых начальных условиях, если =
35.21.	Определить математическое ожидание и корреля-
ционную функцию решения дифференциального уравнения
Y(t) + ±-Y(f) = X(t),
если при / = /0*>0 У(О=>о> где — неслучайная вели-
чина, х (/) —у;
Kx(tb ^ = /^-«^-4
35.22.	Написать общее выражение для математического
ожидания и корреляционной функции решения У(/) диффе-
ренциального уравнения w-го порядка, весовая функция ко-
торого p(tlf /2), если в правой части уравнения стоит слу-
чайная функция X(f)', x(t) и Kx(tb /2) известны, начальные
значения Y (I) и первых п—1 ее производных — случайные
величины, не связанные с ординатами случайной функции X (/),
с известными математическими ожиданиями и корреляци-’
онной матрицей ЦЛу/Ц (/, /=1, 2,	п).
§351
ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НА ВЫХОДЕ СИСТЕМ
299
35.23.	Дана система
Y1 (0 + 3 Yi (0 - У* (О = X (О, h (О + 2 У1 (0 = О.
Определить дисперсию У2(О для t — 0,5 сек., если
при / = 0 У1(/) и У2(/) являются случайными величинами,
Не связанными с X(t); D [ У2 (0)] = 1, О[У2(0)] = 2,
М {[ Yi (0) -yt (0)] [ У2 (0) - j>2 (0)]} = - 1,
' ^<ю) = ^Г(^НУсек-
35.24.	Определить дисперсии решений системы уравне-
ний в момент времени /:
ух(О+зyj(О- У2(0 = /Х(0, 1
У2(0 + 2У!(0 = 0,	J
если начальные условия нулевые, а
е /	2
v (.^0 1	/ 2 I 1 \ •
Х 4 7 К (<О2	1)
35.25.	Определить дисперсии решений системы уравнений
при £ = 0,5 сек.:
+	У2(0 = £Х(0, 1
У2(0 + 2Г1(0 = 0,	J
если Sx(od)
гс ^2 qj-j), а начальные условия нулевые.
35.26. На вход автоматического фрикциона, используе-
мого в качестве дифференцирующе-сглаживающего устрой-
ства, поступает случайная функция X(t\ Определить диспер-
сию сглаженной функции Z(t) и > дисперсию сглаженной
скорости ее изменения У(£), если.работа фрикциона описы-
вается системой уравнений
ЙУ(£)+ У(0 = аХ(£), 1
&Z(0 + Z(£) = X(£), J
где а и b — постоянные масштабные коэффициенты, Кх(у)=
==а£е-а1г1, а переходный процесс закончился.
300 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII'
35.27.	Определить для /=1 закон распределения реше-
ния уравнения
У(0+ЗУ(0 + 2У(0 = Х(0,
если при Z = 0 У(0=Уо, У(0 = П, а Уо, Уо и X(t)
нормальны и взаимно не коррелированы, -
М [Уо] = М [Уо] = х = 0, D[y0] = 1,5, D[yo] = O,2,
КДт) = 2е~Н.
35.28.	Отклонение U(t) от вертикали плоского физиче-
ского маятника, плоскость качания которого совпадает
с диаметральной плоскостью корабля, определяется уравне-
ниями
&(/)+2/zt/(/)+ У(0 t/(0 = X(0,
х (о = -{С со+Ч (о ф (о -
--рЛф2(0+^2 (0 + ^(0 ^(0] +
+ рг [Ф- (0+Ф (0 0 (0 + 2ф (0 ё (/)]},
у (t) = я2 Г1 —	Р^^.1
v L g Г
где все коэффициенты постоянны, а угол рыскания Ф(/),
угол дифферента Ф (0, угол крена 0 (0 и скорости коорди-
нат центра тяжести корабля ^с(0, Сс(0— нормальные
стационарные, не связанные между собой случайные функции.
Выразить спектральные плотности Sx(oo), Sy(oo) и S^(oo),
необходимые для нахождения вероятностных характеристик
U (0 на моделирующем устройстве, через спектральные
плотности S* (оо), Sp(oo), Se(oo), Si (оо), S- (оо), St (оо).
35.29.	Для момента времени	найти асимметрию
Sk и эксцесс Ех частного интегралу уравнения
У(О4-£У(0 = Х*(0,
удовлетворяющего нулевым начальным условиям, если X (0—:
нормальная стацйонарная функция, х=.О, *Кл.(т) = ае“’а1х^
§ 36]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
301
35.30.	Определить корреляционную функцию связи Ryz (т)
стационарных решений уравнений:
+ 2Й!	+ kl У (0 = %Х (0,
2Л2	+ £|Z(/) = k\X (0,
где случайная функция X (0 обладает свойством белого шума
(S* (id) с2), Л15>Л1^>0,
35.31*	. Определить дисперсию решения уравнения.
У(0+ЛУ(0 = ВХ(0,
если начальные условия нулевые, случайная величина А нор-
мальна, Л, В и X (0— независимы, х = 0, а Кх($>
а я b даны.
35.32*	. Углы аир отклонения физического маятника,
находящегося на подвижном основании, определяются систе-
мой уравнений
а-]~аа-}~Т У(0р=Х1(0,
Р + ар-ТУ(0а = Х2(0,
где а и Т — постоянные, а Хъ Ха и У — Нормальные ста-
ционарные функции, математические ожидания и корреля-
ционные функции которых известны, у = 0. Определить а и
р, считая начальные условия нулевыми.
§ 36. Оптимальные динамические системы
Основные формулы
Будем понимать 0 под оптимальной динамической системой
систему, которая по входной функции X(t) = U(t)-\-V(t\
где U(f) — «полезный сигнал», а V(f) — «помеха», получает
*) Возможны и другие определения понятия оптимальной дина-
мической системы. Например, под оптимальной системой можно
понимать систему, у которой вероятность того, что разность Y(t)—
— Z(t) по абсолютному значению не превысит данной величины,
Достигает максимума. Термин «динамическая система» понимается
здесь в техническом- смысле слова, т. е. под динамической систе-
мой понимается всякая система, состояние которой (характеризуе-
мое функцией, получаемой на «выходе» системы) изменяется под
влиянием внешних возмущений (функций, поступающих на «вход»
системы).
302 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. vi
$
на выходе функцию Y(t\ математическое ожидание которо!
равно математическому ожиданию некоторой функции Z(f), 1
D [s (t)] = D [ Y (0 — Z (?)] = min.
Фуйкция Z(t) связана с полезным сигналом U(t) соотно
шением
t	«
=	= tx)
о
где N — символ известного оператора, a n(t, — его весо
вая функция.
Под нахождением оптимальной системы понимается опре
деление по вероятностным свойствам случайных функций
U(t) и V(t) и виду оператора N вида оператора L ил!
соответствующей ему весовой функции Z(Y, ^), с помощьк
которых функция X(t) может быть преобразована в функ
цию Y(0:
t
У (0=LX (0 = \l (t, ti) X (ti) dtt.
о
Задача определения оптимальной динамической системь
решается просто, если: а) случайные функции U(t) и V(f
стационарны и стационарно связаны, а операторы N и I
линейны и не зависят от времени;
б) спектральная плотность (w) =	(о))(«)) 4
4“ a (<*>) + (w) является дробно-рациональной функцие!
своего аргумента, т. е. может быть представлена в виде
где полиномы Рт(м) и Qw(o)) имеют корни, расположенные
только в верхней полуплоскости комплексного переменного
т. е. могут быть представлены в виде
3	7
Рт (“) = П (“ — I1 j)mj, Qn И = П (W ~
1=1
где комплексные числа [iy и имеют Положительные мни
мые части, mj и ni — кратности соответствующих корней
р	7
2 т} = т, 2 «/ = «>’
у = 1	z = i
§36]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
303
в) при определении ординат функции Y(t) могут быть
использованы значения ординат функции X (t) за неограни-
ченно большой промежуток времени, предшествующий теку-
щему моменту времени t.
В этом случае передаточная функция L(z«>) оптималь-
ной динамической системы, связанная с ее весовой функцией
соотношениями
оо
Z0) = ± § ^L(Za>)da>,
— 00
!(/«,)= ^ e-iunl(y)dx,
— 00
определяется следующим образом (считаем u = v = ty.
Если система работает без запаздывания (т. е. Z(t)
является результатом применения некоторого оператора
к текущим или будущим значениям ординат функции
то
где
*<">= 2 2 АА-
г = 1/?==1
1 dlr~-k Г 7 Qn (t0)	1
Ckr = Л __ . I —k	Г n# / x (W)	>
\lr	[	Pm (co) J а) = хг
К (r=l, 2,	, a) — ПОЛЮС
Q* И
p*----5^(0)), лежащий в верхней
(co)
кратности lr выражения
полуплоскости.
Если оптимальная динамическая система должна
работать с запаздыванием (т. е. функция Z(t) является
результатом применения некоторого оператора к ординатам
Функции U(t) в момент времени, на т0 секунд предшествую-
щий текущему моменту времени /), то
L (zcd)
$xz(w)
$х (“>)
1&ф2ф(Ю),
304 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ, уд
где
Ckr
(<о — %г)к •
c'kr —
1	dlr~ь
Т’-----;-----—~ I (ш — *r)‘r р" Sxz (<о)
(/г - й)1	₽m(<0)
OJ = X
v., (г=1, 2,	а')—полюс кратности 1Г выражения
4^04
Pm (о)	’
лежащий в нижней полуплоскости.
Дисперсия В [е (0] Для оптимальной динамической системы
D[e(/)] = D[Z(0] — D[F(0].
Если динамическая система использует ординаты случай-
ной функции за конечный интервал времени (t—Т, t\ пред-
шествующий текущему моменту времени t («система с конеч-
ной памятью»), а полезный сигнал является суммой полинома
Rk (t) заданной степени k (коэффициенты полинома — любые
постоянные величины) и стационарной случайной функции U(0,
т. е. функция X (0, поступающая на вход системы, равна
сумме
то при тех же предположениях о виде спектральной плот-
ности Sx(o)) весовая функция /(т) оптимальной динамической
системы определяется формулой:
k	2m
J=Q	r=\
oo	n— m
J i H i
— oo	Z—1
Z=1
Здесь ar — корни уравнения | Pm (fa) |2 = 0, N(fa>) — пере-
даточная функция оператора N, а постоянные, входящие
§ 36]	ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ,	305
в правую часть равенства, определяются путем подстановки
выражения 7(т) в уравнение
л
$ I (.) кх (t -x)dx- rX2 (о == s V
о-	k J==o
(О^.^Г),
которому удовлетворяет весовая функция 7(т) оптимальной
динамической системы, и уравнивания коэффициентов как
у одинаковых степеней I, так и у одинаковых показатель-
ных функций. К получаемым таким образом
уравнениям необходимо добавить еще k 4-1 уравнений,
являющихся следствием требования равенства моментов функ-
ции I (т) и весовой функции п (т), соответствующей заданному
оператору N, т. е. уравнения
5 /(?)•?dx = ^.j (z = °> b 2>
О—
где
оо
Ру = J п (т) Т7 Йт.
— оо
Получающаяся таким образом система уравнений пол-
ностью определяет все постоянные, входящие в выражение
для /(т). Передаточная функция L(Z(n) может быть получена
из /(т) путем преобразования Фурье
L (го>)= f е-/т7(т)(/т,
— 00
а дисперсия ошибки e(Z) для оптимальной системы в дан-
ном случае
k
D [е (0] = D [Z(0] - Ryz (0) + 2
;=о
Аналогичным образом решается задача определения весо-
вой функции оптимальной динамической системы в том случае,
если неслучайная часть полезного сигнала содержит линейную
комбинацию (с постоянными, но неизвестными параметрами)
тригонометрических или показательных функций времени.
Отличие будет заключаться только в том, что в выражении
306
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII *
для /(т) появится аналогичная линейная комбинация, коэф-
фициенты которой могут быть определены путем подстановки
Z(t) в исходное интегральное уравнение.
В ряде задач отказываются от создания оптимальных
динамических систем вследствие трудностей, связанных с их
практической реализацией, и идут на создание систем,
не являющихся оптимальными в строгом смысле этого слова,
но дающих наименьшую дисперсию D[e(0] среди систем,
реализация которых в данном случае не представляет особых
затруднений. Например, при определении значения функ-
ции U(t) в момент времени ^-j-т в качестве функции Y(t)
можно принять
Y(t) = a1U(t)^raiU(t)
и определить аг и а2 так, чтобы при =
b [Г (0 — Z(0] = min.
При такой постановке задачи определение вида опера-
тора L (значений постоянных, входящих в выражение для
этого оператора) сводится к определению экстремума функ-
ции нескольких переменных.	>
Решениетиповыхпримеров
Пример 36.1. Динамическая система проектируется для
наилучшего приближения к случайной функции Z(0 =
= N U(t -j- т0). Определить взаимную спектральную плот-
ность SXz (w), если X (0 = U (0 + V (0, л передаточная
функция N(/(o) оператора N, время упреждения т0, спектраль-
ные плотности 5и(о)), Sy(w) и взаимная спектральная плот-
ность Suv(u>) известны.
Решение. Подставив V вместо X (0 в выражение
Яит)=М{[ХЧ0-*Ш2(М-’)-*]},	.
заменив /7(0 и У(0 их спектральными разложениями и
оо
учитывая, что Z(0= §	— т)б/т, после простых пре-
— 00
образований получим
SX2 («>) = [5И (ш) 4- Sva (ш)] N (Zu>) е‘“то.
§36]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
307
Аналогичным образом решаются задачи 36.1 и 36.2,
являющиеся вводными для данного параграфа.
Пример 36.2. На вход динамической системы поступает
случайная функция X (0 — U(0 + V (Q, где спектральная
плотность полезного сигнала Sa (w) = ^2^_^2, Suv (о)) = 0,
а спектральную плотность помехи можно считать постоянной:
54 (о>) = с2. Определить передаточную функцию L (zw) опти-
мальной динамической системы, если задачей системы является
получение функции Z(t) —	т)> где: а) б) т<^0.
Решение. В данном случае
<$*(“)=
С2а2
+ а2 + с2₽2
“2 + ?2
= С2
l-Pi (♦>) I2
I <?! (“) I2
Pi (<о) = ш — i
Qj (а>) == <о — /р,	} = -1
а) При выражение	Sxx(w)
имеет один полюс
в верхней полуплоскости: <o = zj3; следовательно,
L(zu>)
“LJ	=
С со — q со — 1$ Lv со -|- *7	(О2 4" 3“Jco-iр
___а2	е~$х
=	(3 + 7) (7+ М •
б) При т<0 8хг(а>) в нижней
один полюс а) = — /7; следовательно,
полуплоскости имеет
j _ __2_______е*»х.	______
— а)24-^	с2(а)2+;2)
_ 1 id! _1_ к, _|_ м
Y2 со — z’y со 4" /7 L ‘ <о П 6)2 + З2
еЫх
_1и>=.-1’Т
— с2 ^ + 72 L
f3 р7т”|
*(3 + 7) J
Пример 36.3. Дистанция D(t) до самолета, измеряемая
радиолокатором с ошибкой V(t\ для определения текущего
значения скорости поступает в динамическую систему, кото-
рая учитывает ее значения только за период времени (t — Т, t).
Определить оптимальную весовую функцию I (т), если	(т) =
= а2е-а 1 тистинное значение дистанции с достаточной точ-
ностью можно считать полиномом третьей степени от
0^ = 30 м, а = 0,5 сек. "Л Т=20 сек.
308
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Решение. Так как корреляционной функции Kv (т):
соответствует спектральная плотность ^(ш) —	-2 g2
а полезная часть - случайного сигнала U(t) = 0, то в соот*
ветствии с обозначениями, принятыми в данном параграфе,
имеем Л==3, п — т=\, Sx(о)) = 3^(w), числитель S-d(w) не
содержит (о и, следовательно, не имеет корней.
Весовая функция оптимальной системы будет .
Для определения постоянных после подстановки Z(t)
в уравнение
г+	з
о-	/ = 0
и уравнивания коэффициентов у одинаковых показательных,
функций получим:
— aAi -j- Do — — Di ft — -^з £>з = 0,
-а51 + О04-1(1+а7)и1 + 1(24-2а7’+а27'2)О.2 +
+ i (6 + 6а Т + За2 + 4- а3 Т9) D3 = 0.
Дополняя эти уравнения равенствами, получающимися при
уравнивании моментов /(т) и л(т) = 8^1)(т):
А + 51'+7'£»о + 4^01 + т^ + 4^з = 0,	
5,4-17£>04-i Г2Л4-1 m+y ^4+=- 1,
5i+| td9 4-	4-1 m+4 m=o, '
5i+| ж+| t®Pi+| m+4 ^з=°>
получим полную систему линейных уравнений, определяющих
искомые постоянные. Решение системы дает:
50 = 5,948-10+	52 = 9,618-10+	+ = 6,138,
5! = —7,803-10+	Р3 = —0,2896-10+	5i = —2,582.
§ 36]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
309
Задачи
36.1.	На вход динамической системы поступает
Х(0 = /7(0+V(0,
где U(0 — полезный сигнал, а V (0 — помеха. Определить
Sx((d), если 5д(о)), £»(«)) и известны.
36.2.	На вход динамической системы, предназначенной для
получения функции Z(t) — U (0, поступает случайная функ-
ция X(t)=U(0	V (f); V ft) — помеха, возникающая при полу-
чении Значений ординаты функции U(t). Определить взаимную
спектральную плотность Sxz(^\ если Sw((d), Suv((») и
известны.
36.3.	Определить передаточную функцию L(zcd) оптималь-
ной динамической системы, предназначенной для получения
производной от случайной функции X(t) за т секунд до по-
следнего наблюдения* ординаты Х(0, если
(Ш) = (^2	а2)2 •
Найти дисперсию ошибки определения скорости.
36.4.	Определить передаточную функцию L(zco) оптималь-
ной дифференцирующей - системы, есл^ система служит для
определения производной случайной функции U(t) в момент
времени t — т (т 0), а на вход системы поступает случайная
функция Х(0, являющаяся суммой полезного сигнала /7(0
и помехи V(0, которая не связана с /7(0. Дано:
(<*>) = ^2	а2)2 ,	5г, (а)) =	^)2 .
36.5.	Определить передаточную функцию оптимального •
фильтра, предназначенного для получения текущего значения
полезного сигнала, если на его вход поступает сумма полез-
* ного сигнала U(0 и помехи V (ty U(t) и V (0 взаимно не
коррелированы, а
5И (<о) =	,	^((0) = -^-^.
36.6.	Выразить дисперсию ошибки оптимальной динами-
ческой системы через спектральные плотности 5й(<о), 5г, (<о),
5ttI>(co) (/7(0 — полезный сигнал, V(t) — помеха), если пере-
даточная функция оптимальной системы L (zw), a N — оператор,
310 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI>
результат применения которого к функции U(t) система
должна вырабатывать с наименьшей дисперсией ошибки.
36.7.	На вход динамической системы, предназначенной для
получения производной 0(f), поступает X(t) =	V(t)>
где помеха V(t) не связана с U(t),
=	SvW = c* = const.
Определить оптимальную передаточную функцию системы
и дисперсию ошибки определения оптимальной системой про-
изводной U (0.
36.8.	Определить оптимальную передаточную функцию
динамической системы для получения значения ординаты
т), если на вход системы поступает случайная функ-
ция
Szz(o)) = ^4—2, а>0, т^О.
«V /	О)2 4"а
36.9.	Спектральная плотность входного сигнала S\.(id) =
=	, время упреждения т 0. Определить оптимальную
передаточную функцию динамической системы, Z(t) = X (t 4- т).
36.10.	Спектральная плотность входного сигнала
SJo))
_ a2(<o3 + <xs)
а>4 + 2р4	•
Найти оптимальную передаточную функцию динамической
системы для определения Х(£-|-т) и дисперсию ошибки
определения Х(^4“т) ПРИ ^^0-
36.11.	На' вход динамической системы поступает сумма
полезного сигнала U(t) ц помехи V(t), не коррелированных
между собой. Определить оптимальную передаточную функ-
цию для получения значения сигнала в момент времени
если т 0,
А2
=	М-> = 4,-
36.12.	На вход запаздывающего фильтра поступает сумма
некоррелированных сигналов: полезного U(f) и помехи V(t),
корреляционные функции которых известны:


§ 36]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
311
Определить оптимальную передаточную функцию динами-
ческой системы и дисперсию ошибки фильтрации, если время
запаздывания т0 (т0	0).
36.13.	Спектральная плотность входного сигнала 3^(0)) =
время упреждения т(т^О). Определить опти-
мальную передаточную функцию динамической системы для
нахождения +
36.14.	На качающемся корабле необходимо определить
такой момент времени t, чтобы через т0 секунд после него
линейная функция угла крена 0 (t) и его производной /^0 (0 -j-
4-	(0 (где и — заданные постоянные) приняла бы
заданное значение с. Определить оптимальную передаточную
функцию упредителя и дисперсию Og ошибки, если 5 = 0,
Kq (т) = О0б?~а 1 х 1 (cos рт ~ sin р | т А.
\	г	/
36.15.	Координата корабля, идущего прямым курсом при
неизменной скорости, определяется с ошибкой V(t), харак-
теризуемой корреляционной функцией
КДт) = ^-а-1, '
где 0^ = 25 ж, а = 0,25 сек."1.
Определить наибольшую точность, достижимую при опре-
делении скорости изменения координаты корабля, если время
наблюдения Т = 20, 40 и 240 сек.
36.16.	В условиях предыдущей задачи определить наи-
большую точность, достижимую при определении скорости
изменения координаты корабля, если"
Kv (т) =	1 т' (1 -f- а | т I),
а остальные условия те же.
36.17.	Для определения текущего значения угловой ско-
рости бортовой качки корабля 0(0 используется динамиче-
ская система, на вход которой поступает текущее значение
угла крена 0 (0, искаженное ошибкой измерения V (t). Опре-
делить дисперсию ошибки е (0 определения угловой скорости
качки,_ если динамическую систему можно считать оптималь-
ной, 6 = 0, v = 0,	(т) = а^е- К I, Rfa (т) = 0, Кв (т) =
= аое~а1Т1 ^cos рт 4у у-sin Р | х Q, а9 = 0,1 рад, а = 0,1 сек. Л
Р = 0,75 сек. <jv = 2 • 10-2 рад, = 0,5 сек.-1.
312 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI |
36.18.	Динамическая система проектируется для получе-
ния значения случайной функции X(t) в момент ^4“то по
значениям ординат этой функции в течение интервала вре-
мени (t—Т, t). Определить оптимальную передаточную функ-
цию системы и дисперсию ошибки определения Х(^4~то)|
если измерение ординат функции X(t) осуществляется прак-
тически без ошибок:
*(0 = ^i + ^4hW),
где сх и — неизвестные постоянные, a U(t)— случайная
функция, корреляционная функция которой
Ки(т) = а^|-(1+а|т|),
ом=1, а = 0,1 сек.""1, то=1О сек., .7=40 сек.
36.19.	Динамическая система проектируется для полу-
чения производной случайной функции X(t) в момент Z tq.
Определить оптимальную передаточную функцию системы,
если
X (0 = с. + cj + U (0, Ки (т) =	1 - (1 + а | т |),
где Q и — неизвестные постоянные, система обладает
«конечной памятью 7» (т. е. учитывает значения X(t) только
за интервал времени (t—Т, 0), ом=1, а = 0,1 сек."1,
то=1О сек., 7 = 40 сек.	'
36.20.	Определить весовую функцию /(т) оптимальной
динамической системы с «конечной памятью 7», предназна-
ченную для дифференцирования функции X(t) =	(I) U(0,
и дисперсию ошибки определения X (0, где Ri (0 — полином
первой степени, а Ки (0 = <з«е"а 1 т 1 (1 + a I т I )•
36.21.	Для автономного управления самолетами могут
быть применены инерциальные системы приборов управлениям
двух типов: в первом случае при работе системы опреде*
ляется полезный сигнал	'
tii (0 = а 4- с<£ 4~ с3 sin 2/ 4~ Q cos
где ci, съ — некоторые (неизвестные) постоянные, а
2 = 1,25• 10"2 сек."1; во втором случае полезный сигна^
имеет вид
(0 = r3 sin 4“ Q cos 2^.
Найти оптимальные передаточные функции динамический
систем, служащих для определения полезного сигнала Ъ nepj
§ 36]	ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	313
ром и втором случае, если системы обладают «конечной
памятью Т», 7= 20 сек., а полезный сигнал, поступающий
в систему, искажен ошибкой V (0,
Kv (т) =	1 х 1 ^cos рт -ф- у sin р [ т | j , v = 0,
а = 0,5 сек. р = 3 сек. aI = 4 • 10 4.
36.22.	В качестве упрежденного значения случайной функ-
ции Az(^-f-T0) взято Y(t) = aX(t). Определить значение по-
стоянной а, обращающей в минимум дисперсию ошибки
е(7) = дХ(0—	и величину минимальной диспер-
сии, если х = 0,
_ _9
36.23.	В качестве упрежденного значения-случайной функ-
ции Х(/-ф-т) взята линейная комбинация Z(f) = аХ bX(t).
Определить значения постоянных а и Ь, обращающих в мини-
мум дисперсию ошибки
е (0 = аХ(0 + ЬХ (0 — X (t + 0,
и величину минимальной дисперсии, если х = 0,
Кх СО=х 1 (cos рт 4~ уsin PIт I) •
36.24.	В качестве упрежденного значения случайной функ-
ции U (t -j- ^о) взято У (0 = а [ U (0 -ф- V (0], где V (0 — ошибка
определения текущего значения полезного сигнала U(0. Опре-
делить значение постоянной а, обращающей в минимум дис-
персию
е(0=У(0_(7(^то), и D[e(0]min,
если
аа2	fta2
^(°)) = 0> (со) =	, ^(0)) = г (а)8 + ₽2)’
й = 7) = 0.
36.25.	Сигнал требуется подать в момент, упреждающий
на -0 секунд нулевое значение производной 0 (0. В действи-
тельности сигнал подается в момент обращения в нуль ли-
нейной комбинации
У(0=а© (04-&©(04-G
314 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
j
Определить оптимальные значения постоянных а, Ь> с
величину дисперсии 0(7-{-то), если 6 = 0,
К9 (t) =	1 т ' (cos pt 4- у sin р I и I j,
а0 —5°, р = 0,7 сек.-1, а = 0,042 сек.-1, то = О,2 сек
36.26.	В условиях предыдущей задачи определить опти
мальные значения постоянных а, Ь, с, при которых
D [0 (t 4“ То) — Y (0] = min.
§ 37. Метод огибающих
Основные формулы
Всякую нормальную стационарную функцию X(f) можн<
представить в виде (х = 0)
Х(0 = Л(0созФ(0,
где случайные функции A(t) и Ф(0 являются взаимно неза
висимыми.
Функция X(t) с функцией Y (t) = A (t) sin Ф (t) имеет кор
реляционную функцию связи, которая определяется через 6^(0)
соотношением
оо
Rxy (т) = 2	(о)) sin сот tZu) =	(т).
о
Rxy(^) обращается в нуль при т = 0. Следовательно, дд
равных моментов времени функции X(t) и Y(f) не связаны
а так как они нормальны, то и независимы.	1
Законы распределения ординат функций A(t) и Ф(^)опнй
значно определяются корреляционной функцией Кх(х) = ах
по формулам:
одномерные плотности распределения
__а^
—	2’*,	flS&O,
= 0 2к;
§37]
МЕТОД ОГИБАЮЩИХ
315
двумерные плотности распределения
~ а\ + а2
fir, пх — ^р 2ахЧ2 Г (а1а* К1 -
/(аь а2) —а^2е /0(^ о^а
ft \	<72 Г 1	। х (~
/ (?Ь Та) 4яа [1 _ хз I 0 _х2)3/2 ^2
— + arcsin х| ,
о 1	9
где Дь <pi и а* <р2— значения амплитуды и фазы огибающей
в моменты времени t и	#2=1—Л2(т)— г2 (т),
х = х(') = 'К 1 — 9« cos(<р2 — <?! — 7), 7 = 7(T) = arctg-^-,
а /о С?)— функция Бесселя первого рода нулевого порядка от
мнимого аргумента.
Следствием приведенных выше формул являются услов-
ные законы распределения
/(ср21 <рх) =	Г—!---1-----—(— -4- arcsin х^
VT |Г' 2к [1 -х2 ‘ (1 — х2)3ф ‘ '	/
и формула для корреляционной функции
ка W=4 [2Е (Г г=^^) - ?4к (Г П=7) - у],
где К(*) и Е(Л)—обозначения полных эллиптических инте-
гралов первого и второго рода:
те
2*
К(А)= f	,
J У \ — k2 sin2 ср
о
2
Е(Л) = $ У1 — Л2sin2ср dcp.
о
316 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
л
Четырехмерный и двумерные законы распределена,
амплитуды, огибающей, ее фазы и соответствующие
скоростей имеют вид:
f{a, а, <?, ф) = 4л,	X	'
X ехр 2а*~(о>* - о>Н № +	— 2о)>? + Ф8)]]
к ^х к2	17	)
Ф) —	X
{~2	х
f(d, <₽)==-----1 -exp /------------------1,
f(a, d)—f(a)f(d),
/(<?> Ф)=/(?)/(Ф)>
f (d) = ,—	1	— exp /--------------1,
I 2a’(<0|-<o»)J
/(Ф)=______________________
w 2 [(6-0^ + («1-01)]^ ’
-где
CO
2 C
«>i=-2- \ Sx(u>)wduy,
X J
0
OG
2 p
°>2 = -^r I Sx(w)u>-dw.
0
Вероятность того, что ф больше нуля, определяется
ством
Р(Ф^0) = 1(1 + ^).
\	W2/
Аналогичным образом
р (ф < 0) =
§37]
МЕТОД ОГИБАЮЩИХ
317
При узкополосном спектре случайной функции X(t) вели-
чина Д2 = а>2 — o)J мала сравнительно с и некоторые из
вышеприведенных формул могут быть упрощены путем раз-
ложения соответствующих выражений по степеням малого
Д
отношения — .
В частности, при узкополосном спектре
Персии D[A(0] и О[Ф(0] становятся малыми, а так
М[А(0] = О, М[Ф(0] = о>1, то при дифференцировании
чайной функции X(t) = А (0 cos Ф (О в ряде случаев
можно считать равной нулю, а Ф(0 заменять на о)ь
дис-
как
слу-
Д(0
При узкополосном, спектре для плотности вероятности
времени пребывания т случайной функции выше (ниже) нуле-
вого уровня («закона распределения полупериода») имеет
место приближенное выражение
/СО
7сД2Т
2 [(т: — (о1Т)2 +Д2т2]3/2’
'	"	Д
точность которого тем  выше, чем меньше отношение —.
Решение типовых примеров
Пример 37.1. Определить среднее число выбросов
хв единицу времени случайной функции
в(0 = Ф(О —0)^,
где Ф(0 — фаза нормальной случайной функции X(t\ если
Кх(^ = ^'а,Х1(1+а|т|),
00
2 р
а)х = — | Sx (а)) о) rfo), а = 0,1 сек. .
О
Решение. Определяем спектральную плотность
со
1	.	2а3а2г
5х(и>) = 27 ) кх(^)е iaxdx=c я(ш2_|_а2)3
— оо
Следовательно,
00
_____________________4а3 С со fifco__2а
0)1 J (o>s + <x3)s
О
318 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Применяя общую формулу для числа выбросов в едини!
времени, получим
оо
Р=$ Z(6, ё)|0_об<
О
Так как 0(0 = Ф(0— то 0 будет иметь равноме
ный закон распределения в интервале [0, 2тс], а закон ра
пределения /(0, 6) может быть получен путем прост!
замены в законе распределения /(ср, ср) ф через 6 —т.
где
со .> со 1
4л [б'2 + Н -	’
ОО
о)2 = — С ((о) ci)2 dco = а2.
О
Подставляя /(9, б) в формулу для р, получим
р = ~У(1)1 — <в| — а-	—— = 0,0061 сек.1.
г 4тс г л 1	4г?
Задачи
37.1.	Корреляционная функция определяется формул!
KxW = Gk-a,T|.
Считая X(t) нормальной (х = 0), определить коррел
ционную функцию амплитуды огибающей этой функции. |
37.2.	Какова вероятность того, что фаза огибающей но*
мальной случайной функции Х(0 будет уменьшаться, ес|
КДт) = ок-“М(1+а|т|),	* = 0,
a = 0,01; 0,10; 0,50 сек."1?
37.3.	Для стационарной нормальной случайной
ции X (0 определить вероятность того, что фаза
увеличиваться (уменьшаться), если
Кх (ъ) = а2хe“a ।т I ^cos рт у sin И т l) •
J 37]
МЕТОД ОГИБАЮЩИХ
319
37.4»	Определить вероятность Р того, что скорость изме-
нения фазы огибающей будет больше
со
2 (•
о>1 = -з \ Sx(u)udu,
X J
О
если
К'А?(т) = а^“а1'с-1 ^cos [Зт + у sin £1 т Q , х = 0.
37.5.	Для нормальной случайной функции X(t) опре-
делить закон распределения скорости изменения фазы, если
Кх (т) = ахе~а ,т|(1+аЫ)> Х = 0.
37.6.	Определить закон распределения фазы нормальной
случайной функции X(t)— х, для которой
37.7.	Определить закон распределения скорости измене-'
ния фазы нормальной случайной функции X(t), обладающей
спектральной плотностью
______________________________________________
(^0 ~" / о 1 о 11 i л 9 2 >	0.
Л Ч '	(ц?— а2— р.2)2 + 4а2со2 ’
37.8.	Определить закон распределения огибающей и ско-
рости изменения огибающей нормальной случайной функ-
ции Х(1\ если
2а3а2
5х(а>)= , 3 ,	JC = O.
7	7с((О2-|-а)
37.9.	В условиях предыдущей задачи определить услов-
ный закон распределения огибающей в момент времени
если в момент времени t
A(t) = axi т = 2 сек., а = 0,1 сек.-1.
37.10.	Найти приближенное выражение для закона рас-
пределения времени пребывания случайной функции ниже
пулевого уровня, если
Кх (т) =	°’011 * I f cos 0,7т + sin 0,71 т | V	х = 0.
320 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
37.11.	Считая возможным пользоваться формулами для
огибающей случайной функции с узкополосным спектром,
найти закон распределения промежутков времени между
последовательными моментами прохождения палубы корабля
через положение равновесия, если угол крена 0(0 — нор-
мальная случайная функция, характеризуемая корреляционной
функцией
Ке(т) = о|е-о.11’1 (cos 0,7т + у sin 0,7 А, 0 = 0,
а килевая качка отсутствует.
37.12.	Определить среднее число выбросов в единицу
времени случайной функции A(f) за уровень 2ох, если A(t)—
амплитуда огибающей нормальной случайной функции Az(0, а
KvW==4e-a|T|(14-ahl)>	*=о.
37.13.	Определить среднее число выбросов амплитуды^
огибающей нормального случайного процесса X(t) за уро "
вень 2ох, если
Кх (т) =	1х I (1 а | т | -j- у , х = 0.
37.14.	Определить условный закон распределения фазь
нормальной случайной функции X(t) в момент времени
л если в момент времени t фаза равнялась нулю, а
Кх СО = <Ле~а1 т । (cos рт -ф- у sin р | т , х === 0. j
Пренебрегая дисперсией амплитуды огибающей, опред^
/	7С\	1
лить дисперсию X(t) в момент	где
оо
(«1 = Д-f (о>) со da), a = 0,01 сек.”1, р = 0,70 сек.Л
о
37.15.	Определить корреляционную функцию связи
' нормальных стационарных случайных функций X(t) и
если
X (0 = А (0 cos Ф (0, У (О = А (0 sin Ф (0,
Кх(t)=Ку (т) = <зхе~л 111 (cos fit	у sin р | т .
ГЛАВА VIII
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 38. Цепи Маркова
Основные формулы
Последовательность испытаний, в каждом из которых
может произойти лишь одно событие из полной группы
несовместных событий Qb Q2> •••> Qm, образует цепь Маркова,
если вероятность Ptj(k) того, что при Л-м испытании наступит
событие Qj при условии, что при (k—1)-м испытании
наступило событие Q/, не зависит от того, какие события
происходили при предыдущих испытаниях. События
Q-2, • • •, Qm называются состояниями цепи Маркова или со-
сгояниями рассматриваемой системы, а Л-е испытание можно
рассматривать как изменение состояния в момент tk.
В каждом столбце матрицы — \\Pij (k) || имеется
хотя бы один отличный от нуля элемент, причем вероятности
перехода Pij(k) (/, /=1, 2, т} при любом k удовле-
творяют соотношению
т
^Pij{k)=\	(/=1, 2, ..., от).
7 = 1
Цепь Маркова конечная, если число состояний ограни-
чено; неприводимая, когда каждое состояние достижимо из
любого другого состояния; периодическая с периодом х, если
возвращение в любое состояние может происходить только
через число шагов, кратное х^>1.
Цепь Маркова называется однородной, если вероятности
перехода Pij(k) не зависят от k> т. е. PijQ^=Pij
(z> /= 1, 2, ..., от).	z
11 Б, Г, Володин и др.
322
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
Строка p(ri)=\pi (д); р^(п)\ рт(п)\ абсолютных вероят-
ностей того, что при /z-м испытании система перейдет
соответственно в состояния Qb Q-2, Qm, определяется
формулой
p(fl)=p(Q)d^^ ...
а для однородной цепи
p(n)=p(Q)3^>
где
При любых п, но относительно небольших т, для гы чи-
сления &п можно использовать формулу Лагранжа — Силь-
вестра, которая при простых характеристических числах Хь
Х2, •••, (корнях уравнения | )£ — <§Г°| = 0, где S — еди-
ничная матрица), имеет вид
^п== V - x.g) (g5 - (ff - b+1g)
(^k	^1) ••• Q'k ^k-1)	^Л+1) ••• ftk
k = l
В общем случае при вычислении удобно использо-
вать возможность приведения матрицы & к нормальней
форме eF = HJH \ где J—диагональная или квазидиаго-
нальная матрица, которая зависит только от характеристи-
ческих чисел матрицы еА При простых характеристических
числах J = || bikXk ||, где 8/^ = 0 при i 7^ /?, a Zkk=\. Эле-
менты матриц Н и И1 являются решениями алгебраических
уравнений, которые в матричной форме имеют вид &Н— HJ,
= НН'1 = %. Тогда &п==НГН~\ где при
простых характеристических числах /* = || 8/А,Х£ ||.
Элементы pty матрицы определяются также по фор-
муле Перрона
где г — число различных характеристических чисел, — и>
/ '
кратности [	= а (X)—алгебраическое дополне
V =1	/
ние для элемента Хоу-- — p}i в определителе | Хс —	[
 §38]
ЦЕПИ МАРКОВА
323
Матрица 55oo = ||pW|| предельных вероятностей перехода и
строка р(оо)=р(0)<55эо предельных абсолютных вероят-
ностей могут быть получены из соответствующих выражений
непосредственным переходом к пределу при п—>оо. Пре-
делы существуют только в том случае, если I1	1 при
s = 2, 3, ..., г (для матриц вероятностей перехода всегда
| i К причем одно характеристическое число- равно
единице). При этом
сГ1
где Vi — кратность характеристического числа Х1= 1.
Если конечная цепь Маркова неприводимая и неперио-
дическая, то в матрице все т строк одинаковые, а эле-
менты строки /?(оо) совпадают с соответствующими элемен-
тами любой строки, т. е.
/’y(oo)=^7)=pj00)	(4 ;=Ч 2, т\
В этом случае вероятности р^ могут быть определены из
решения алгебраической системы
У]Pi/Р^ —	(7=1, 2,	т), причем = 1.
j=i
Когда число состояний /я = оо, цепь Маркова неприво-
димая и непериодическая, а система линейных уравнений
XiiiPij — iij (7=1, 2, ...) имеет ненулевое решение, для
i=\
которого 2 I lli I <С °°> вероятности р^ (р^	0, / = 1, 2,.. 0
находятся как решение системы J]ptfp^ = р^ (J— 1, 2,...),
i = l
где
Если можно выделить группу состояний системы так,
чтобы был невозможен переход из любого состояния' этой
11*
324
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
группы в любое из оставшихся состояний системы, то эту
группу можно рассматривать как самостоятельную цепь Мар-
кова. Группа может состоять из одного состояния Qk; при
этом /^=1, a Qk — состояние поглощения.
В общем случае из состояний Qb Q%, ..., Qm можно
выделить независимые друг от друга группы Q, С.2> Ch
состояний, называемых существенными; оставшиеся состояния
образуют группу И несущественных состояний. При соот-
ветствующей нумерации состояний матрица приводится
к виду
7?! О ... О О ||
О Я2 ... О О I
О О ... Rh О
и! и*... иh W
где Ri, #2, • Rh—матрицы вероятностей перехода групп
состояний Ci, С2, ..., Сл; W—квадратная матрица, соот-
ветствующая несущественным состояниям группы Н. Через О
обозначены нулевые матрицы различных порядков. Элементы
в общем случае прямоугольной матрицы Uk (k = 1, 2, ..., h)
являются вероятностями перехода из несущественных состоя-
ний в Л-ю группу существенных состояний Ck.
Если все характеристические числа матриц Rb R^ ..Rh>
кроме точно равных единице, по модулю меньше единицы, то
R?	О	...О	О
О	R™ ... О	О
О О ...R* О
(/(оо) (/(оо. _ (/(со) Q
12	п
где .U^ — прямоугольная матрица с тем же числом строк
и столбцов, что и Uk (£=1, 2, ..., h).
Для существенных состояний и Qy из &-й группы Ck
предельные вероятности перехода р^=р^ и находятся
как решение алгебраических уравнений
S p{?}psj=р'Т’ S рТ- =1 -
ck	ck
$ 38]	ЦЕПИ МАРКОВА	325
где суммирование ведется только по номерам состояний из
группы Ck.
Предельная вероятность pffl перехода из несущественного
состояния Qi в существенное состояние Qj из Ck равна
= а№р№, где ар) — вероятность перехода из несущест-
венного состояния Qi в группу существенных состояний
Ск. Вероятности ар) являются решением алгебраической
системы
н	ck
где в первом слагаемом суммирование ведется по номерам
несущественных состояний. Количество уравнений этой си-
стемы равно числу несущественных состояний. При ограни-
ченном числе таких состояний алгебраическая система всегда
имеет единственное решение.
Предельная вероятность перехода из несущественного
состояния Qi в любое состояние из группы С, являющейся
объединением нескольких- групп существенных состояний,
находится как решение системы уравнений
н	с
Пусть Ху (/=1, 2, h) — число характеристических
чисел (с учетом их кратности) матрицы Rj, не равных точно
единице, но по модулю равных единице. Наименьшее общее
крашое этих чисел является периодом х цепи Маркова. Если
цепь неприводимая, то все состояния периодической цепи
можно разбить на группы Go, Gb ..., Gx_i так, что переход
из состояния, входящего в Gr, за один шаг всегда приводит
к состоянию, входящему в Gr+1 (GX = GO). В цепи Маркова
с матрицей е?х каждую группу Gr можно рассматривать как
самостоятельную цепь. Существуют пределы при r = 0, 1, ...
..., х — 1:
Г если Qy из Gv, а Qk из Gv+n
lim = <
n-^оэ	(0 в противном случае;
при этом вероятности р^ °°> определяются, как /?(у) при х=1,
чеРез элементы матрицы
с26
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ VIII
В общем случае существуют матрица (^5х)°° и матрицы
= &г(^5х)со (r = 0, 1, .х—1). Матрица =
средних предельных вероятностей перехода определяется
формулой
= 1 (S -1-	. 4-	') (^)'Л
Строка р средних предельных абсолютных вероятностей
равна р=р($)&\ Если в матрице е? h — 1, то средние
предельные абсолютные вероятности pj (/=1, 2, т)
т
однозначно определяются равенствами: /5c7d=/J, V/)z = 1.
/--1
Случайная величина 7\-у— число испытаний, затрачиваемых
для перехода впервые в достижимое из состояние Qy.
Математическое ожидание числа испытаний, затрачиваемых
для возвращения впервые в периодическое с периодом хй
состояние Qy, определяется формулой
1 j
Если состояние Qz непериодическое, то
Для одной группы существенных состояний параметры С*у
связаны равенствами
т
у,7=14-	(i, j=l, 2,т),
V = 1
из которых однозначно определяются ?Zy = М [Тг-у].	1
Случайная величина 7\- — число испытаний, необходи-
мых для перехода из несущественного состояния Qz впервые
в общую группу существенных состояний, f. =
Параметры являются решением алгебраической системы!
л-=1+2л-Л.	i
//	i
Количество уравнений этой системы совпадает с числс^
несущественных состояний.
§ 381
ЦЕПИ МАРКОВА
327
решение типовых примеров
Пример 38.1. Из таблицы случайных чисел, содержа-
щей все целые .числа от 1 до т включительно, выбираются
числа наудачу. Система находится в состоянии Qy, если наи-
большее из выбранных чисел равно у	2,..., т).
Найти вероятности р$ (/, Л=1, 2, ..., т) того, что после
выбора из этой таблицы п случайных чисел наибольшее число
будет равно /?, если раньше им было число I.
Решение. В таблице случайных чисел любое число
or 1 до т равновозможно, поэтому переход из состояния Qi
(наибольшее выбранное число равно единице) в любое со-
стояние Qy равновероятен. Тогда р1у = ^ (/= 1, 2, ..., т).
Из состояния Q.> в Qj переход невозможен, поэтому
= 0. В состоянии Qs можно остаться в двух случаях,
когда очередное выбираемое число равно 1 или 2, поэтому
2	1
= Рзу = ~ (j=3> 4,..., т). В общем случае по-
лучаем
А< —при *>/: Рч = 7п ПРИ
(z, j — 1, 2, ..., in).
Матрица вероятностей перехода записывается в виде
е7> =		ILL	1_ L т	т	т'"	т	т 0	2	-...	-1	1 т	т	т	т о	о	-...	-	- т	т	tn о о о • • •	L т т ООО... 0	1
Характеристическое уравнение
т
328
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
имеет простые корни =	(Л=1, 2,..., т\ Для опре-
деления вероятностей являющихся ’ элементами ма-
трицы eF1, воспользуемся формулой Перрона. Алгебраические
дополнения	элементов ^определителя |ХЖ — сле-
дующие:
при />Л ЛА,(Х) = 0; Л^)=='-~5
т
Подставляя эти выражения в
формулу Перрона, получаем
р$=
при i^>k,
при l — k,
при l<^k.
Аналогично решаются задачи 38.3—38.10, 38.30*, 38.36*
и 38.37*.
Пример 38.2. Автомат для продажи билетов может
работать при получении монет достоинством в 5 коп. и 10 коп.
В первом случае автомат выдает билет, если приемник,
вмещающий т пятикопеечных монет, не заполнен, и выклю-
чается в противном случае. При получении десятикопеечной
монеты автомат выдает билет и 5 коп. сдачи, если в прием-
нике имеется хотя бы одна пятикопеечная монета. В против-
ном случае автомат также выключается. Известно, что монеты
по 5 коп. и по 10 коп. в автомат поступают с вероятностями
р и q — 1 — р. Определить вероятности p\k (I, k — 0, 1,..., tn)
того, что после п требований билета в автомате будет k
пятикопеечных монет, если их начальный запас в автомате
был равен I.
Решение. Пусть состояние Qj означает, что в прием-
нике автомата имеется j пятикопеечных монет (/ = 0, 1, ...
..., т). При 1^/^т—1 возможен переход из Q,- в Qy+1
5 38J
ЦЕПИ МАРКОВА
329
с вероятностью р и в Qj_i с вероятностью q. При достиже-
нии состояний Qo или Qffl, которые являются состояниями
поглощения, автомат отключается. Поэтому р00==1, ртт=\,
Pj,j^=p, Pjt1_x = q {j—1, 2,..., ОТ—1).
Матрица вероятностей перехода имеет вид
1	0	0	0	...	О	О	О
q	0	р	0	...	О	О	О
О	q	0	р	...	О	О	О
О	0	0	0	..	q	0	р
О	0	0	0	...	О	0	1
где W—квадратная матрица порядка т — 1, a U и V —
столбцы порядка от—1;
О р 0 ... О О
q 0 р ... О 0.
О q 0 ... О О
О 0 0 ... О р
О 0 0 q О
Я
О
О
О
О
О
О
О
о
р
причем матрица W соответствует несущественным состояниям
Ql, Q'2, • • • > Qm-1.
Искомые вероятности являются элементами матрицы
&п =
1
ип
О
о о
ir1 У„
О 1
поэтому р$ = 1, ^=1, Р$ — О (г = 1, 2, ..., от),
Р^.=о (/ = 0, 1,..., от— 1).
Чтобы определить элементы матрицы IF1, составим харак-
теристическое уравнение Дт_1 = |Х^>—U7| = 0. Для опре-
делителей такого вида справедливо следующее рекуррентное
.соотношение:
Д* =	—pq^k-i = з..........' от — 1),
330
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
•причем До= 1, Aj = к. Тогда
- C^pql™ -3 + С^_3 {pqY -... = 0.
Последний член получившегося уравнения равен
т— 1	т — 1	т — 2	т — 2
(—1) 2 (pq) 2 при нечетном т и (—1) 2 ^(pq) 2 X при
четном т.
Если произвести подстановку X = Vpq (и. -j- то урав-
\ Iх J
нение —0 можно записать в виде
т— 1
Д~
i —
Отсюда следует, что рк — е т (& = 1, 2,..., т—1). По-
этому характеристические числа будут \k — 2 ]//>#cos^
(7г = 1, 2, ..., ///—I).
Матрица W может быть приведена к виду W=HJH\
где J = | 2 ]^pq cos ~~^||, a’H==\\hjk[ — пока неизвестная
матрица.
Матричное равенство	эквивалентно следующим
уравнениям:
М-2, k = ^1, qhm-*, k — ^m-l,
qhk phy+1( k = hjt k\k
(J = 2, 3,..., /77 — 2; Л=1, 2,..., ///—I).
С точностью до общего множителя решением этой системы
являются элементы /г.7г = (~У sin —. (/г,у = 1, 2,../7/—1).
»	\р j	т к
Поэтому матрица Н= j sin-^-||.,	;
Обратную матрицу Н~х можно записать в виде^
//-1 = 11^-» || = |С*	Из Условия
2
находим Ck — -	(£=1,	2,..., т—1). Используй
§38]
ЦЕПИ МАРКОВА
331
равенство Wn — HJnH \ получаем
pik
[- 1) _
1 - , .	.4	1	. , ,ч m — 1
2n+i 2^ + ^ — 0 2(/i~a + z) V 7* • (/я • Jkn
—------p	q	У cos -sin — sin ~—
m r	7	m m m
(Z, £=1, 2,..., hi — 1).
Для определения элементов p{$ (/=1, 2,..., in—1)
столбца Un воспользуемся формулой Перрона. Характери-
сп’ческим многочленом матрицы будет |	— ^| =
т — 1
= (а —- I)2 jj (X — ХЛ). Для алгебраических дополнений Д07(?0
k = 1
элементов определителя — еТ51 получаются следующие
выражения:
т — j — 1
Лсу (X) = (X — 1) | | (х — 2 V^q cos
 k=i
(j=1, 2,..., m — 2),
ло,от.1е)=?'и-1е-1).
1 огда
.	-%y(i)	, %' х;до?лр
Pj	m - 1	~"T	m — 1	>
П (1 - X/J *=1 (XA -1)2 П *
*=1	v=l
где звездочка означает, что из произведения нужно выбросить
множитель при k = v.
Вероятности р^ (у=1, 2,..., т—1) вычисляемся
аналогично. Для их определения можно также воспользоваться
равенствами
т — 1
Р‘£ = Х— h (7=1, 2,..., /и-1).
7г = О
Аналогично решаются задачи 38.11—38.14.
Пример 38.3. Препарат облучается потоком радиоак-
тивных частиц через равные интервалы времени AZ. Вероят-
ность того, что за время облучения препарат поглотит
332
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
г радиоактивных частиц, определяется формулой —
Каждая радиоактивная частица, содержащаяся в препарате^
за время между двумя последовательными облучениями может
распасться с вероятностью q. Определить предельные вероят-
ности числа частиц в препарате.
Решение. Пусть состояние Q, означает, что после оче-
редного облучения препарат будет содержать I радиоактив-
ных частиц (Z = 0, 1,...). За один цикл переход из сОстоя-
ния ‘ Qi в Qk произойдет в том случае, если I— v частиц
(v = 0, 1,..., I) распадутся, a k — v будут поглощены
препаратом. Вероятности перехода
*•(*)	' k-
= 2 e'a {l'k=°-ь • • *
где jp=l — q, а суммирование производится до Z, если
l^k, и до Л, если k<^i.
В препарате возможно нахождение любого числа частиц,
т. е. все состояния системы достижимые. Поэтому цепь Мар-
кова неприводимая. Так как вероятности рц отличны от нуля,
то цепь непериодическая.
-Рассмотрим систему линейных уравнений
У UiPiJ = u/ ' (/ = 0> !>•••)•
/ — О
Положим
со
G(*) = s Ujz’-
Умножив обе части системы на z7, просуммировав по j от Q
до оо и применив получаемое при этом равенством—1 раз^
получим	1
Q (г) = еа О [1 + (z — 1) /?] =
= (г-D (i+p+p2+...+p'1~1)
Отсюда находим
а ,	а сг> [“У
О(г) = е? G(l) = e 9G(1)
§ 38]
ЦЕПИ МАРКОВА
333
Из сравнения двух выражений для О(г) получаем
(-Y
uj = e	(J = Q, 1,...).
ОО
Поэтому 2 I UJ I = I 0(0 I- Произвольную постоянную G(l)
можно взять отличной от нуля и бесконечности, следовательно,
алгебраическая система имеет ненулевое решение, причем ряд
03
У! | Uj [сходится. Поэтому pW могут быть найдены из
7== °	оо
системы PijP^ =рТ} (/ = &> 1,...). Система для р^
i=0
аналогична решенной выше системе для tip следовательно,
--
р(^=е ?G(1)^- (J = 0, 1,...).
ОО	*
Так как p(f°} — 1, то G(l)=l, поэтому искомые вероят-
'	7 = 0
ПОСТИ
-
? (/ = 0, 1)> )ф
Аналогично решаются задачи 38.19—38.22.
Пример 38.4. Число X дефектных изделий в^каждой
независимой выборке объема Af из бесконечно большой пар-
тии случайно, P(X=k)=pk (& = 0, 1,..., N). Если при
очередной выборке получено г дефектных изделий, то счи-
тается, что по условиям приема партия изменила свое преды-
дущее состояние Qv на Qv+r_i, причем партия бракуется,
если v -р г—где т заданное положитёльное число,
и принимается, когда v -р г — 1=0. Когда v ~Р г — 1 О,
испытания продолжаются. Определить вероятности того, что
партия будет принята, если начальное состояние партии по
условиям, приема Qj (/=1, 2,..., т—1).
Решение. Возможны т -р 1 состояний партии Qf(Z =
= 0, 1,..., гп). При достижении состояния Qo партия
334
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VT
принимается, а при достижении Qm— бракуется. Так как эт
два состояния являются состояниями поглощения, то р^=х
Когда	И	p^^i—pj (j — 0, 1, .
т — i
m — i), pim=l — У, pj (7=1, 2,..., m— 1).
j-=u
Матрица вероятностей перехода
1	0	0	0	...	О О О
Ро	Pi	Pl	Рз	. . •	Рт-л Pm-l Р1, т
о	Рь	Pl	Р1	• . •	Рт-з Рт-ъ Р1, т
О	0	Pq	Pi	...	рт_1 рт_3 p3t т
о	о	0	0	...	Pl Pi pm^t т
о	о	0	0	...	Pq Pl' рт-Л.т
О	О	О	О	...	О О 1
Искомые вероятности ау- (/=1, 2,..., т—1) являютс
вероятностями перехода из несущественных состояний Q
Qi,..., Qm_i в существенное состояние Qo и определяют
с помощью алгебраической системы
т— 1
«j— У Pj^-^Pjo (J=1, 2,т—1),
V =~ 1
которую можно записать в виде
т — 1
(Р1-- 1) а1 y*j Pk^k — — А)*
/? = 2
т — 1
Р»*г-1 + (Pl — 1) «г + У Pk-r-,1 Ч = О
/? = г+1
(г = 2, 3, ..., т— 1).
Определитель этой системы находится с помощью
куррентной формулы
^m-r^^^Pl	1) ^т-г-1	2 ( PjPt 1 ^m-r-j
J-2
(r=l, 2, ..., m— 1),
ЦЕПИ МАРКОВА
335
где	Искомые вероятности определяются равенствами
=	(/-=1, 2, .... ОТ-1).
Аналогично решаются задачи 38.23 — 38.25.
Пример 38.5. Автомашина используется для перевозки
грузов между 2m пунктами, которые расположены на коль-
цевой трассе. Грузы перевозятся из каждого пункта только
в следующий с вероятностью р или в предыдущий с вероят-
ностью £= 1—р. Определить вероятности р$ (j, k —
= 1, 2, ..., 2m) того, что после п перевозок автомашина
из у-го пункта перейдет в Л-й. Найти эти вероятности при
п->оо и вычислить средние предельные вероятности пере-
хода.
Реше и и е. Пусть нахождение автомашины в /-м
пункте — состояние Qj (У=1, 2, ...» 2m). Вероятности
перехода:
Р}. At =/’	(/=1,2,..., 2т — 1),
Pj.j-i—Ч U = 2> 3, ..., 2т),
Pim.t—P, =
Матрица вероятностей перехода порядка 2т
О р	0	0	...	О	0	q
q 0	р	0	...	О	О	О
О q	0	р	...	О	О	О
О 0	0	0	...	О	р	О
О 0	0	0	...	q	0	р
р 0	0	0	...	О	q	О
Введем матрицу /7=||ЛуЛ|| = ||е^“1) (Л~1)|| порядка 2т,
в которой Б = е711^т. Непосредственным перемножением по-
лучаем, что Н\\(ргк~г q^~^k~^)Zjk\\, поэтому харак-
теристическими числами матрицы будут Xk=pzk~l-~
+	(Л=1, 2, ..., 2 m).
Наибольшие по абсолютной/ величине характеристичес-
Кие числа Х1= 1 и Х/7?+1=—1 простые, поэтому цепь
336
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
периодическая с периодом х = 2. Обратная'
И1 = II л<-1) || = А || е-	||.	
И II 2т11	11
Из равенства	где J1 —1| X*8yft ||, находим
2т
i 2	s(’-1)
V=1
что можно записать в виде
т
i i1+(-	2 fr*”1+qs~ {^')]п е(”,) (/~ft)
v=l
(7, k=l, 2,	2/n).
В сумме все слагаемые, кроме первого, по модулю меньц
единицы, поэтому при п->оо
Отсюда следует, что
..	, если /4~«— четное число,
n-»oG 7 I 0, если / +А —нечетное число;
если j -j- k — нечетное число,
если / 4“ k — четное число.

Последние равенства можно записать, не используя выраж<
ние для р$9 так как цепь неприводимая, а переход за одг
шаг из группы Со состояний с нечетными номерами всег;
приводит к группе Сг состояний с четными номерами и н<
оборот.
Средние предельные вероятности перехода
Pjk=i Л™ +^+I))= i k = ь 2................2/га)
Аналогично решаются задачи 38.26, 38.27.
Пример 38.6. При обсуждении основных положена
кинетической теории материи Эренфестом была предложен
следующая модель: т молекул, распределенных в дву
резервуарах, случайно по одной перемещаются из свое(
резервуара в другой. Найти средние предельные абсолютна
вероятности числа молекул в первом резервуаре.
§ 38].
ЦЕПИ МАРКОВА
337
Решение. Пусть состояние Qi заключается в том, что
в первом резервуаре I молекул (Z = 0, 1, zn). Тогда
Pi.i-i=-^, pti м=1 — ~ (7 = 0, 1, те). Матрица
вероятностей перехода записывается в виде
01	0	0	... 0 0
- 0 1 — 1	о	... 0 0
т	т
00	О	О	... О 1
т
00	0	0	... 1	о
Из любого состояния Qi возвращение в Qz возможно
лишь за число шагов, кратное двум. Поэтому в данном слу-
чае цепь Маркова периодическая с периодом х = 2. Цепь
неприводимая, так как каждое состояние достижимо из лю-
бого другого состояния.
Строка р средних предельных абсолютных вероятностей
определяется из условия р$>=ру т. е.
1 -	- Л k— 1\ -	. /г 4- 1 -
~Р\ — Ро, (1-----— Pk-\ Н-----— Pk+x — Pk>
Hi	\	t/V J	ill
- _ J_ -
Pm — m Pm-x
(k=ly 2, ..., m — 1).
m
Отсюда находим pk=p^Ckm. Используя равенство Pk = 1>
m
получаем 1=УСкт = '2т-, поэтому искомые вероятности
. Рь = ^скт (k = 0, 1, ..., те).
Аналогично решаются задачи 38.28, 38.29.
Пример 38.7. Независимые испытания прЬводятся до
тех пор, пока не будет получена серия из т последователь-
ных появлений события АУ вероятность появления которого
при каждом испытании равна р. Определить математическое
338
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ VIII
ожидание числа Tk испытаний, которые нужно произвести
для получения требуемой серии из т появлений события А,
если уже имеется серия из k последовательных появлений
этого события (Л = 0, 1, tn—1). Рассчитать ik = М [Т^]
(k = 0, 1, 2) при /72 = 3, р = 0,5.
Решение. Пусть состояние Qy означает, что при по-
следних 7+ 1-исиытаниях сначала событие А не произошло,
а затем была серия из j последовательных появлений этого
события (У = 0, 1, ..., //г—1); состояние Qtn— событие А
произошло подряд т раз, При одном испытании из состоя-
ния Qy (7 = 0, 1, ..., т— 1) возможен переход только в Qy+1,
когда при очередном испытании происходит событие А, или
в Qo, если событие А не происходит. Соответствующие вероят-
ности перехода р^ j,A=p, pj ^ — q=\—p	1, ...
..., m—1). Так как pm,m=\, то матрица перехода (порядка
пг -J- 1) имеет вид
q р 0 ... 0 0
q 0 р ... 0 0
q 0 0 ... 0 0
q 0 0 ... О р
О 0 0 ... О 1
Состояния Qo,. Qi, Qm-i несущественные, a Qm — суще-
ственное состояние поглощения. Математическое ожидание
числа испытаний Т к, которые необходимо произвести для
перехода впервые из несущественного состояния Qk в Qm,
является решением алгебраических уравнений
т— 1
(^ = 0, 1,	и-1),
7=0
которые переписываются в виде
= 1 eih ы (/г = 0, 1, ..., т — 2),
Решение этих уравнений
1 _______пт -	_	1_nk
1й = -—/* = /0 —-—%-	(k=\, 2, т— 1).
qpm 1	др*

ЦЕПИ МАРКОВА
339
Если z/z = 3, р = 0,5, то
4=14,	4=12,	4 = 8.
Аналогично решаются задачи 38.31* — 38.35*.
Задачи
38.1.	Показать, что для однородной цепи Маркова вероят-
ности перехода pW связаны равенством
т
= У PhP(fj (j, j=l, 2,	т).
v=l
38.2.	Заданы строка начальных вероятностей p(fi) —
= [х; Р; 7] и матрицы вероятностей перехода для моментов
времени 4, 4? 4-
	*1 х2 х3		х2*а3 X]		x3 a! a2
	х3 xt х2	,	2 —	ai х2 a3	,	& 3 —	x2 a3 ai
	х2 х3 xj		a3 aj x2		xj a2 a3
Определить строку абсолютных вероятностей /?(3).
38.3.	По условиям соревнований спортсмен прекращает
борьбу при потере двух очков, что может быть при одном
проигрыше или при двух ничьих. При каждой встрече
спортсмен, не имеющий ничьих, выигрывает с вероятностью а,
делает ничью с вероятностью р й проигрывает с вероятностью
1—а—р. Если ничейный исход был, то вероятность
выигрыша в каждой встрече равна у. Определить вероятность
потери различного числа очков за п встреч для спортсмена,
результат предыдущей встречи для которого известен.
38.4.	При повышении напряжения в сети электрического
тока с вероятностью а выходит из строя блокирующее
устройство прибора, а с вероятностью р прекращается работа
эюго прибора. Если блокирующее устройство вышло из
строя, то последующее повышение напряжения приводит
к прекращению работы прибора с ’вероятностью 7. Опреде-
лить вероятности исправной работы схемы, выхода из строя
только блокирующего устройства и прекращения работы
прибора после повышения напряжения п раз, если начальное
состояние прибора известно.
38.5.	В соревнованиях от каждой команды выступают по
три спортсмена, которые встречаются только со спортсме-
340
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ Vllfl
нами из других команд. По условиям состязаний ничьих
не может быть, а проигравший один раз выбывает из со-
ревнований. Пусть а, р и у — вероятности того, что в оче-
редном туре соответственно из одного, двух и трех остав-
шихся членов команды никто не проиграет; pi и 71 — вероят-
ности того, что в очередном туре соответственно из двух и
из трех оставшихся спортсменов проиграет один, а 72— ве-,
роятность проигрыша в очередном туре двух из трех уча-
стников. Определить вероятности р$ (/, k = 0, 1, 2, 3) того,
что после п очередных туров в дальнейших соревнованиях
от команды будут участвовать k спортсменов, если до этих
туров в соревнованиях участвовали I членов команды..
38.6.	Автоматическое устройство может работать, если
из общего числа N однотипных элементов вышло из строя
не больше т— 1 элементов, которые могут выходить из строя
только во время цикла работы устройства. Известны ве-
роятности pik перехода системы за один цикл из состояния Q,
в состояние Qki где в качестве номера состояния взято число
вышедших из строя элементов, так что при k
(/, Л = 0, 1,
перехода pty
дится замена
мулами:
I Pik = 0
.m), pmm=l. Доказать, что вероятности
за п циклов, в течение которых не произво-
неисправных элементов, определяются фор-
P(kk~Pk (А = 0, 1, да),
при i^> fePik= 0 (i, k = Q, 1, да), а при k'^>l
pty =
* lk
d4~l
— О I d^s-'
a-Ps)^ DkiW
k
р
DkiQ^ =
где г—число различных вероятностей pk—pkk (& = 0, 1
..., т\ vs— кратность характеристического числа X—ps,
Pi, Ш	Pi, i+2	Pi, i+3	• • Pi, k-i	Pik
Pi+1 —	Pi+1, i+2	Pi+1, i+3 •	. . Pi+it k-1	pi+1, k
0	Pi+i—b	Pi+%, i+3 •	• • Pi+%, k-1	Pi^2, k
0	0	0	• • Pk-Ч, k-1	Pk-2, k
0	0	0.	• • Pk-l — x	Pk-l, k
j
J
I

5 38}	-ЦЕПИ МАРКОВА
Если рь—Р (Л = 0, 1, ..., т—Л) {р ф 1), то при k^>i,
k^tn	k_
1	-П Dmi(l) _
Pi‘n = (m-i-1)1 L^T mi k JJ/x-p ‘Г (1	~~
=1-2<
J=i
38.7*	. Доказать, что при верхней треугольной матрице
перехода с различными диагональными элементами для
любого п:
pW = Q при Z^>6,
^=Pkk	(^ = 1- 2...т),
а при k^>l для вероятностей справедлива следующая
рекуррентная формула:
(k	k-\	>
5=i-|-l	s=i
38.8.	Из урны, содержащей N шаров белого и черного
цвета, одновременно извлекают т шаров, вместо которых в
урну кладут т черных шаров. Всего белых шаров в урне
было z. Определить вероятности (/, 6 = 0, 1, ...» tri)
того, что после п извлечений в урне останется k белых шаров.
Рассчитать эти вероятности при 7V=6, /п = 3.
38.9.	При данной серии выстрелов каждый стрелок группы
с равной вероятностью получает любое количество очков
от TV —1 до N tn. Определить вероятность того, что
среди следующих п стрелков из этой группы хотя бы один
стрелок получит N-\-k очков, если наибольшее число оч-
ков, полученных предыдущими стрелками, равно N-\-l
i—it 2, .... т).
38.10.	На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ
через интервал I между центрами расположены вертикально
одинаковые цилиндры с радиусом основания г. Перпендику-
лярно этой линии бросаются шары радиуса R, причем пере-
сечение линии движения шара с прямой АВ равновозможно
342
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
в любой части участка длины L, на котором стоят т цилинд-
ров. Расстояние между центрами цилиндров Z^>2 (r-\-Ry
каждое столкновение шара с цилиндром приводит к умень-
шению* числа цилиндров на один. Определить вероятности
р$ (/, & = 0, 1, ..., т) того, что после очередных п бросков
останется k цилиндров, если до этого их было i.
38.11.	В обласш D, разделенной на т равновеликих
частей, последовательно ставятся точки, положение каждой
из которых равновозможно в любом месте области D, Опре-
делить вероятности р(!£ (/, /г=1, 2, ..., /л) того, что после
постановки новой серии из п точек число частей области О,
в которых имеется хотя бы одна точка, увеличится с i до /г.
38.12.	В моменты t2, f3, ... судно может изменять
направление движения, выбирая один из т курсов:	• • •
..., Вероятность р^ того, что в момент tr судно изме-
нит курс Qi на Qj, равна Pij — am_i+j+b причем^а^/, — a.k ф 0
т
(Л=1, 2,'..., т), У}а^=1. Определить вероятность
/?=1
того, что при <Z^n-i направление движения судна
будет Qk, если начальное направление было Qj (J, k=\,
2, ..., т). Найти эту вероятность при п — схэ.
38.13.	Рассмотреть следующую схему процесса диффузии
при наличии центральной силы. Частица может находиться
только на отрезке АВ в точках с координатами	-j-7гЛ
(Л = 0, 1, ...,	 где xm — xRi перемещаясь скачками
в соседнюю точку, причем по направлению к точке А из Xj
с вероятностью jjm? а по направлению к точке В — с ве-
роятностью 1—Определить вероятности р$ (/, k =
— 0, 1, ..., т) того, что после п скачков частица будет
в точке xk, если вначале она была в точке xit
38.14.	Условия задачи такие же, как в примере 38.2, по
автомат не выключается. В тех случаях, когда в приемнике
нет -пятикопеечных монет, а поступает монета достоинством
в 10 коп., или имеется гп пятикопеечных монет и поступает
пятикопеечная монета, автомат возвращает последнюю посту-
пившую монету, не выдавая билет. Определить вероятности
(б k = 0, 1, т) того, что после п требований билета
в приемн-ике будет k монет по 5 коп., если вначале их там
было /.
$ 331
- ЦЕПИ МАРКОВА
343
38.15.	Два стрелка Аи В поочередно стреляют по ми-
шени, причем после каждого попадания стреляет Д, а после
каждого промаха стреляет В. Право первого выстрела стрелкам
предоставляется на тех же условиях по результату предва-
рительного выстрела, который производит наудачу выбранный
стрелок. Определить вероятность попадания в мишень п-м
выстрелом, если вероятности попадания в мишень при каж-
дом выстреле для этих стрелков равны соответственно а и р.
38.16.	Дана матрица ^ = ||^Zy|| вероятностей перехода;
которая неприводима, непериодическая и дважды стохасти-
ческая, т. е. суммы элементов каждого столбца и каждой
ci роки равны единице. Определить предельные вероят-
ности рИ С/=Ь 2, •••> ^)-
38.17.	т белых и т черных шаров перемешаны и по-
j овну распределены между двумя урнами. Из каждой урны
наудачу извлекается один шар и перекладывается в другую
}рну. Найти вероятности р^ (I, /г = 0, 1, т) того,
что после бесконечного числа таких обменов в первой урне
окажется k белых шаров, если вначале там было I белых
шаров.
38.18.	Отрезок АВ разделен на т равных интервалов.
Частица может находиться только в серединах интервалов,
перемещаясь скачками на величину интервала по направлению
к точке В с вероятностью р, а по направлению к точке А —
с вероятностью q=l—р. В крайних точках отрезка АВ
имеются отражающие экраны, которые при достижении
частицей точки А или В возвращают ее в исходное поло-
жение. Определить предельные абсолютные вероятности
(k—1, 2, ..., т) нахождения частицы в каждОхМ
интервале.
38.19.	Даны следующие вероятности перехода для цепи
Маркова* с бесконечным числОхМ состояний:
Ри— Грр Pi>^ — T+1	О’=1> 2> •••)•
Определить предельные вероятности р(^ (/=1, 2, ...У
38.20.	Вероятности перехода для цепи Маркова с беско-
нечным числом состояний определяются равенствами Pi\ = q,
^i,^i=p—l—q (Z=l, 2, ...). Определить предельные
вероятности pW (/=1,2, ...).
344
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
38.21.	Цепь Маркова с бесконечным числом состояний
имеет следующие вероятности перехода:
1	1	1	i-- 1	/ • п	о ч
Рп— 2’,	Рп — у,	^/i = y,	Pi,i+i — —р-	G —	3,	...).
. Определить предельные вероятности pffl (I, Л=1, 2, ...).
38.22.	Случайное блуждание частицы происходит на поло-
жительной части оси Ох, Частица, перемещаясь на один шаг А
вправо с вероятностью а, влево с вероятностью р или оста-
ваясь на месте, может находиться только в точках с коорди-
натами Xj= j А(у = 1, 2,..Из точки с координатой хх = А
частица перемещается вправо с вероятностью а или остается
на месте с вероятностью 1—а. Определить предельные
вероятности перехода (Л=1, 2, ...).
38.23.	Матрица вероятностей перехода задана в виде
^=\\R 6
I и W ’
где R— матрица, соответствующая неприводимой неперио-
дической группе С существенных состояний Qb Q2, ..., Q5,
а квадратная матрица W соответствует несущественным со-
стояниям Qs+b Qs+2, Qm. Определить предельные вероят-
ности ay(y = s-pL $4“2, ..., т) того, что система перей-
дет в состояние из группы С.
38.24.	Матрица вероятностей перехода задана в виде
О . О
Ri О
Ui W
где R — матрица, соответствующая непериодической группе С
существенных состояний Qb Q2, ..., Qs, а квадратная мат-
рица W соответствует несущественным состояниям Qr+b
Qr+2, • • • > Qm- Определить вероятности ay- (j = г 1, г 2, •. •
..., т) того, что система перейдет в состояние, принадле-
жащее группе С, если все элементы матрицы W равны а,
а сумма элементов любой строки матрицы U равна р.
38.25.	Два игрока А и В продолжают игру до полнога
разорения одного из них. Вероятности выигрыша каждой
партии для этих игроков равны соответственно р и
в каждой партии выигрыш одного (проигрыц|
§ 38}
ЦЕПИ МАРКОВА
345
другого) равен одному рублю, а общий капитал этих игроков
составляет т рублей. Определить вероятности разорения
игроков, если до игры А имел j рублей (/= 1, 2,..., т— 1).
38.26.	Даны вероятности перехода pjt у+1 =1 (/ =
==1, 2, ..., т— 1), рт1=1. Определить вероятности пере-
хода р$ и средние' предельные вероятности перехода р&
(/, k= 1, 2,	т).
38.27.	Матрица вероятностей перехода
а р y 8
0 0 10
0 0 0 1
0 10 0
где а 1. Определить вероятности перехода р$ и средние
предельные вероятности перехода pjk (/, Л=1, 2, 3? 4).
38.28.	Даны элементы "матрицы вероятностей перехода
Pj.j^=P	(J=l, 2, •••> 2/n — 1), Ръп, 1
Pj,j-i = Q=i—P	(/ = 2, 3, ..., 2т), p1>im = q.
Не определяя характеристических чисел матрицу найти
предельные вероятности перехода и средние предельные абсо-
лютные вероятности.
38.29.	Частица перемещается по прямой под влиянием
случайных толчков и может находиться в точках с коорди-
наими Xj==xx-\-j^ (/ = 0, L . •	т). В крайних точках А
и В (хв=Рхт) находятся отражающие экраны. Каждый тол-
чок перемещает частицу вправо с вероятностью р и влево
с вероятностью q=l —р. Если частица находится у экрана,
то любой толчок переводит ее внутрь промежутка между
экранами на одно деление. Определить средние предельные
абсолютные вероятности нахождения частицы в каждой точке
деления отрезка АВ.
38.30.	* Минное заграждение последовательно и независимо
один от другого преодолевают п кораблей, для гибели каж-
дого из которых достаточно срабатывания одной мины. Веро-
ятность любому кораблю благополучно преодолеть минное
заграждение, если оно состоит из т— s мин, равна ps
($ = 0, 1, т—1). . Определить вероятность Pk(n)
того, что на этом заграждении погибнет k из п кораблей
346	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. VIII]
(& = 0, 1,	т). Рассчитать вероятности Pk(n) (k = 0, 1, 2)
при л=10, т = 2, если /?о = О,9О, /?1=:0,95.
38.31.	* Для обеспечения надежной работы прибора, отклю-
чение которого происходит при выходе из строя всех парал-
лельно включенных элементов, поставлено т таких элемен-
тов. В течение одного цикла работы прибора с вероятностью
Pm-s, j выходит из строя j из s исправных элементов
s
(у = 0, 1, ...» s); yiPm.s j=l ($=1, 2, т\ После
/«о
окончания каждого цикла один из неисправных элементов
заменяется на исправный. Определи!ь предельные веро-
ятное! и перехода р^> (/, у = 0, 1, ..., т—1), если со-
стояние Qz означает наличие в приборе I неисправных
элементов перед началОлМ очередного цикла. Найти матема-
тическое ожидание числа Та циклов, необходимых для воз-
вращения впервые в состояние Qt- (z = 0, 1, ..., т—1);
Рассчитать эти характеристики при /тг = 3, если вс§
элементы выходят из строя независимо один от другого^
а вероятность выхода из строя каждого элемента за один
цикл ^ = 0,5.	-
38.32.	* Два стрелка поочередно стреляют по мишени дб
первого попадания. Вероятность попадания при каждо>|
выстреле для первого стрелка для второго — р±. Опреде-^
лить вероятности Р\ и Р^ попадания в мишень первым и
вторым стрелками. Найти математическое ожидание числа 7|
выстрелов до попадания в мишень.	J
38.33.	* -Определить математическое ожидание числа
испытаний/ которые нужно провести для перехода впер|
вые из состояния в Q] (/, у=1, 2) для цепи Маркова!
двумя возможными состояниями Qj и Q2.	|
38.34.	* Случайная точка может находиться только в верн
шинах треугольника Bj (у=1, 2, 3). Известны вероятност!
перехода ptJ из В/ в Bj (/, у=1, 2, 3; I ф у), Pjj = \
(/=1, 2, 3). Определить математическое ожидание числ
шагов необходимых для перехода случайной точки впер
вые из вершины Bt в Bj (/, у=1, 2, 3).
38.35.	* Используя условие примера 38.2, определить мз
тематическое ожидание числа монет 7}, при поступленй
которых в приемник автомат выключается, если в приемник^
было I пятикопеечных монет (Z = 1, 2, ..., т—1).
39]
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
347
38.36.	* Определить вероятность того, что в резуль-
ате п последовательных перемножений случайных чисел Хк
2,	...» п) получится число, оканчивающееся цифрей
(/ = 0, 1,	9), если P(X/c = s) = 0,l (s = 0, 1,	9).
38.37.	* Определить вероятность Pj(n) того, что число
'С=Х} 1?2 ' “ У'г оканчивается цифрой j (/= О, 1, ..., 9),
сл;’_ последняя цифра* zY0 числа X и Yk — случайные одно-
начиые числа, Р QY0 = s)== Р (Ул, — s)= 0,1 (s = 0, 1, ..., 9;
?= 1, 2, ..., д).
* 39. Марковские процессы с дискретным'числом
ЩСТОЯНИЙ
Зековпые форму л ы
Неведение системы, возможными состояниями которой
ш’вь'тся Qo, Qi, Qi, •••, Q/?i, может быть описано случай-
ней (пункцией X(t), принимающей значение k, если в момент
времени t система находилась в состоянии Qk. Если переход
*исгемы из одного состояния в другое возможен в любой
момент времени /, а вероятности Pik (/, т) перехода системы
зз состояния Qi в момент времени t в состояние Qk в мо-
мент времени т	не зависят от поведения системы до
лсмента времени /, то X (/) является марковским случайным
процессом с дискретным числом состояний. (Число состоя-
ний может быть конечным пли бесконечным.)
Для вероятностей перехода т) справедливо ссот-
юшение
Г?1
Pik О	Pij (А Ч Pjk (s, Т) t < $ < Т.
J —0
процесс называется однородным, если
Pik(t, <)=pik^-t\
3 этом случае для марковского процесса
т
/ = 0
$48
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIU
Марковский процесс называется регулярным, если:
а) для каждого состояния Qk существует предел
д/->оаг
б) для каждой пары состояний Qz- и Qk имеется непре
рывная по t временная плотность вероятности переход;
pik (t), определяемая равенством
1 V Pik(t,t + M)
где предел существует равномерно'по t, а при фиксирован
ном k — равномерно по /.
Для регулярных марковских процессов вероятности
Pik(t> т) определяются двумя системами дифференциальны?
уравнений:
дРцЛ*, 
ck&Pik(t, 0 +
(1-я система)
dPih (/, т). _
dt
= Ci (0 Pik (t> t) — Ci (0 У PJk (t, 0PiJ- (0	(2-я система
(z, /, Л = 0, 1, 2, ..., m)
при начальных условиях
Pik& =
где
( 1, если i = k,
^lk \ 0, если i^k.
Для однородного марковского процесса (t) и
не зависят от времени, а РцМ> х) = Рцг(у — 0 и chvicmw
> 39] ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИИ 549
шфференциальных уравнений приобретают вид
= — ckPik (0 + 2 cjPi»pij (О	С1 -я система),
lP‘dkt{t}- = — CiPik (О + Ci ^PijPjk (О	(2-я система)
(i9 j, k = O, 1, 2, .m)
три начальных условиях
Л*(0) = ^.
Зероятности Pk(f) нахождения системы в состоянии Qk
з момент времени t определяются системой уравнений
(0Pk (0 + 2 ciW pJ W
(/, Л = о, 1, 2, m)
лри соответствующих начальных условиях для Pj(t). Если
4ачальное состояние Qx- задано, то начальными условиями
5удут
Pfc(0 = 8ife при < = 0-
Для однородных марковских процессов последняя система
уравнений принимает вид
=- ckpk (0 + 2 4PikPj (О ч
(/, k = 09 1, 2, т)
>1 начальные условия будут
= при t = 0.
Если для однородного марковского процесса существует
гакой промежуток времени ^^>0, что	Для всех '
350
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
I и k, то процесс называется транзитивным и для него сущ
ствует не зависящий от номера исходного состояния пред<
lim Pik (0 = lira Pk (/) =pk.
t-+X>	/->CO
Предельные вероятности- pk в этом случае находятся i
системы алгебраических уравнений
= ^cjPjkPj (А * = 0» i> 2> •••> т).
Уравнения для вероятностей Pik(t, т) и Pi(t) могут бы'
получены или путем применения общих формул, приведе
пых выше, или путем нахождения изменения вероятное^
различных состояний системы за малый интервал времени i
и перехода к пределу при Д£->0.
Примером процесса Маркова является простейший пот^
событий, обладающий следующими свойствами:
стационарностью — при любом Д^^>0 и целОхМ
вероятность того, что за промежуток (t,	произойду
k событий, одна и та же для всех ^^0;	J
отсутствием последействия — вероятность наступления I
событий за промежуток (б f-j-Д^) не зависит от чис|
наступлений событий до момента б
ординарностью —
lim-
Д/->0
(М)
О,
где — вероятность наступления не менее двух собы
за промежуток времени Дб
Решение типовых примеров
Пример 39.1. Система может находиться в одном
состояний Qo, Qb Q2, ..., переходя за время М в сост
ние с номером, на единицу большим, с вероятное!
X ht -j- о (Д0. Найти вероятности Pik (/) перехода сист§
из состояния Qi в состояние Q/Д^^б) за время t.
; § 39] ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ 351
Решение. По условию процесс марковский. Кроме того,
он регулярный, так как
q = lim 4т- R ° (Ad = ^ = const,
Д/->0
1 V X AZ -U о Ш) ..
^,f + i(0 = -bm----------------=1,
ост.- тьные pik = 0.
Следовательно, применимы уравнения для регулярного
однородного марковского процесса

dPik (t)__
~~dt

(A^i + i)
при начальных условиях Р//г(0) = о/л. Умножая обе части
полученных уравнений на uk и суммируя по k от I до оо,
получим
^ДЛ)=Х(гг-1)О(/, и),
где G(t, и) = ^Р;к(1)11к.
k=i
Решение последнего уравнения имеет вид
Jn G (t, it) = Х(и — 1) t -j- In G (0, zz).
Так как по определению
0(0, и) = 2 Pik(Q) ик = и‘,
k — i
TO
ос	оо
G(/,	—	= V п771 = е~^ \
т\	(k — iy.
т = 0	k — i
.Сравнивая последнее выражение с определением Q(t, zz),
Получим
₽.‘И= ;,’'Лг ”•
352
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ч
Исходная система дифференциальных уравнений для
.может быть получена и иначе: вероятность Pik(t-\- М) равн^
сумме вероятности Pik (0 [ 1 — Ы — о (AZ)] того, что пере
ход из состояния Qi в состояние Qk (k /) произошел $
время t, и вероятности Pit k-i (0 Ы 4* o(AZ)] того, что это:
переход совершен в интервале времени (t, tт. е.
Pik (t + AZ) = Pik (0 [ 1 - к AZ - о (А0] +
+Pi, k-i (0 Р* м + 0 (АО}
Перенося Pik(t) в левую часть равенства, деля обе часц
равенства на AZ и переходя к пределу при AZ->0, получи»
искомое уравнение. Так же выводится уравнение и при k = i
Аналогично решается задача 39.6.
Пример 39.2. Система массового обслуживания состош
из большого (практически бесконечного) числа однотипны)
приборов, каждый из которых может одновременно обслу
живать только одно требование, затрачивая на обслуживанш
случайное время, распределенное по показательному (экспо
ненциальному) закону, т. е. имеющее плотность вероятносп
ре~^. В систему поступает простейший поток требований с па
раметром к. Определить:
а)	вероятность Pn{t) того, что в момент t в систем!
ровно п приборов будут заняты обслуживанием {п^т}
если в начальный момент все приборы были свободны; j
б)	предельные вероятности рп — \\тРп{1)\	!
t -> ОО	!
в)	математическое ожидание числа занятых приборб
в момент t.	1
Решение. Так как поток требований простейший
а время обслуживания подчиняется показательному закон
распределения, то за промежуток времени (Z, t ~|- AZ) систем
может претерпеть более одного изменения только с верр|
ятностями высшего порядка малости относительно AZ. |
Поэтому, учитывая только однократные изменения cd
стояния системы за промежуток времени AZ, получим:
Рп, л+1 (*> Z 4» AZ) = k AZ (1 — лр. AZ) 4- о (AZ) = к AZ + о (AZ),
рп, (Z, 14- AZ) = (1 — к AZ) яр. AZ 4- о (AZ) = n^AZ 4« о (AZ),
Pn.n(t, * + A0 = (l-Wl-/^) + o(M =
— 1 — (X -|- яр.) о (Д1
§39]
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ числом состоянии
353
Система регулярна, так как
V 1 — Рп.пУ, * + ДО ' I
сп = lim------1 Д —"—~ = X + да = const,
д^о д*	1 г
„	+ ‘ 1 Пт Рл,п+1(Л +	X
«лдЛо	l + nn'
Р -1 = 1 lim	* + А<> = ”<*
Рп,п Спи^о М	\ +
а) Подставляем найденные значения cw рп> п+1 и рп> n-i
в систему дифференциальных уравнений для Рл(0:
= - (X +	Рп (t) +	(0 + (л + 1) ИРл+1 (О,
если п 1, и
(0+^(0.
Если считать, что в начальный момент £ = 0 все приборы
были свободны, то начальные условия будут
Ря(0) = 8п0.
Полученную систему решаем с помощью производящей
функции
G(t, и)= ^Рп®ип.
п=0
Умножая обе части дифференциальных уравнений системы
на ип и суммируя их, получим после простых преобразований
Начальные условия: G(0, и)=1.
Полученное линейное неоднородное дифференциальное
уравнение в частных производных заменяем эквивалентным
однородным *)
dt 11ди *	*9 ° dG °
с начальным условием: V=Q—1 при t — Q. * 12
x) H. M. Гюнтер, Интегрирование уравнений первого иорядка
в частных производных, ГТТИ, 1934.
12 Б. Г. Володин и др.
354
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Для решения последнего необходимо решить снача!
систему обыкновенных дифференциальных уравнений 1
dt__ da _______ dQ
Т ji(l — «)-	Х(1 — и) G’
которая имеет независимые решения
t — Vln(1— и) = с1>
г*
— w— 1пС=с2.
р*
Используя начальные условия f = 0, w = zz0, G = O0f находи^
частные решения системы
w0= 1 —(1 — и)е~^9
Go = О ехр Р- (1 — и) (1 — е^)}.
Правые части являются главными решениями однородно^
дифференциального уравнения в частных производных.
основе второго составляем решение задачи Коши для^одно
родного дифференциального уравнения в частных производньЙ
V= О exp (1 — и) (1 —	— 1.	|
Решением задачи Коши для исходного уравнения являет^
функция G, при которой V—0; отсюда
G = ехр 1 — и) (1 —	•
Вероятности Pn(t) связаны с производящей функцией G(f,
равенством
1 d*G(t,u)\
п! дип |й=0,
которое дает
р- w=я - *">}' “Р {- F <> -	
т. е. закон Пуассона с параметром
а=А(1_^).
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
355
б) Предельные вероятности рп получаются предельным
переходом из найденных вероятностей Pn(fy.
Рп = Пт Рп (0 = 1 е н,
/ —► оо	т \Н/
т. е. рп подчинены закону Пуассона с параметром а= —.
(Тот же результат можно получить, решая систему алгебраи-
ческих уравнений, получаемую из системы дифференциальных
уравнений для Pn(t) после замены в ней Pn(t) на рп,
нулями.)
в) Математическое ожидание числа занятых приборов
00
Ж(0= 2 nP„(t)
п = 0
____dG (t, и)
ди
U-1
Используя найденное выше выражение для Q(tt и), находим
Аналогично решаются задачи 39.17—39.19.
Пример 39.3. Система массового обслуживания состоит
из пг приборов, каждый из которых может обслуживать одно-
временно только одно требование, затрачивая на обслужи-
вание случайное время, распределенное по показательному
закону с параметром р.. В систему поступает простейший
поток требований с параметром X. Обслуживание требования
начинается сразу после его поступления, если в этот мо-
мент имеется хотя бы один свободный прибор; в противном
случае требование получает отказ и не возвращается в
систему. Определить предельную вероятность отказа в обслу-
живании.
Решение. Обозначая состояние системы, при котором
* приборов заняты обслуживанием, имеем	для
конечного промежутка времени. Следовательно, применима
теорема Маркова, утверждающая, что существуют предельные
вероятности
/>„=lim Pn(t),
12*
356
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
которые определяются по формуле
СпРп — Сп-1Рп-1, пРп—1 “Р Gi+lP/H-l, пРп+1*
Аналогично предыдущему примеру имеем
Сп=х + «Р-> Рп, п+1 =
ст == Рт, т+1 ==
а остальные вероятности pjk = 0. Подставляя эти значения р$
в уравнения для рп, получим	;
(X -j- пр)рп = lpn-i + (п + 1) ^л+1 (0 < п т — 1; /м =
тррт = ^Рт-л-	|
Подстановкой гп = Урп_\— пурп система приводится к вид^
^i = 0, zn — гл+1 = 0 (0<zz<m), гт = 0,
откуда £л = 0 для всех и, а это значит, что
X	1 [Х\П
Рп = -Рп-1 ИЛИ Рп = -[[-) Ро.
Система достоверно находится в одном из состояний
(д = 0, 1, 2,	т)9 поэтому
т
5 Рп— Ъ
л = 0
отсюда вероятность р0 иметь все приборы свободными
1
= -----------•
2	1 / М*
п\ \|л/
п = 0
j 39]
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
857
Вероятность отказа требованию в обслуживании
1 f\\m
---(формула Эрланга).
Аналогично решаются задачи
39.8, 39.10, 39.11, 39.14.
Задачи
39.1.	Частицы, вылетающие из радиоактивного вещества в
процессе его распада, образуют простейший поток с пара-
метром X. Каждая частица независимо от другой с вероят-
ностью р регистрируется счетчиком. Определить вероятность
того, что за время t будет зарегистрировано п частиц.
39.2.	По двум линиям связи в один пункт поступает два
независимых простейших потока телеграмм. Найти вероят-
ность того, что за время t в пункт приема придет п теле-
грамм, если параметры составляющих потоков равны Xt и Х2.
39.3.	Электронная эмиссия с катода электронной лампы
представляет собой простейший поток электронов с пара-
метром X. Времена полета для различных электронов — не-
зависимые случайные величины, имеющие одну и ту же функ-
цию распределения F(x). Определить вероятность того, что
спустя время /, после включения, между электродами лампы
будет ровно п электронов, и предельную вероятность того же
события.
39.4.	Для простейшего потока событий определить коэф-
фициент корреляции между числами появлений событий в ин-
тервалах (0, t) и (0, /4-т).
39.5.	Для случайного момента времени Тп появления п-го
события в простейшем потоке с параметром X определить
Функцию распределения Гл(0, плотность вероятности fn(t) и
начальные моменты ли*.
39.6.	Найти вероятности перехода системы из состояния
Qi в состояние Qk за время t в однородном марковском
процессе, если при однократном изменении состояния она
может перейти только из состояния Qn в состояние Qn+i,
а вероятность изменения состояния системы в промежутке
;времени	равна ХМ-|-о(Д0.
358
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
39.7.	Клиенты, обращающиеся в мастерскую бытового
обслуживания, образуют простейший поток с парамет!
ром X.	'
Каждый клиент обслуживается одним мастером в течение
случайного времени, подчиняющегося показательному закону
с параметром р.. В случае отсутствия свободных мастеров
клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить,
сколько необходимо иметь мастеров, чтобы вероятность
отказа клиенту в обслуживании не превосходила 0,015,
если р = X.
39.8.	Один рабочий обслуживает т автоматических стан-
ков, которые при нормальной работе не требуют его вмеша-
тельства. Остановки каждого станка вследствие неполадок
образуют независимый простейший поток с параметром X.
Для устранения неполадки рабочий тратит случайное время,
распределенное по показательному закону с параметром р.
Найти предельные вероятности того, что k станков не рабо:
тают (ремонтируются или ожидают ремонта), и математическое
ожидание числа станков в очереди на ремонт.
39.9.	Решить задачу 39.8 при условии, что число обслу-
живающих рабочих равно r(r<^zrc).	
39.10.	В электронно-вычислительной машине могут быть
применены либо элементы Л, либо В, Отказы этих элементов
образуют простейший поток с параметрами Хл = 0,1 ед./час
и ХБ = 0,01 ед./час. Суммарная стоимость всех элементов А
равна а, суммарная стоимость элементов В равна b(b^>a)^
Неисправность элемента вызывает простой машины на слуз
чайное время ремонта, подчиняющееся показательному закону
распределения со средним временем, равным двум часам;
Стоимость каждого часа простоя машины равна с, Найт^
математическое ожидание экономии от применения более на]
дежных элементов за 1000 часов работы машины.	|
39.11.	В систему обслуживания, состоящую из п одно!
типных аппаратов, поступает простейший поток требовании
с параметром X. Обслуживание требования начинается немел]
ленно, если имеется хотя бы один свободный аппарат, и она
требует работы только одного аппарата, который тратит на
обслуживание случайное время, подчиняющееся показатель]
ному закону распределения с параметром р (рп X). Еслй
в момент поступления требования нет ни одного свободного
аппарата, то требование становится в очередь.
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
359
Определить предельные значения:
а)	вероятности pk того, что в системе обслуживания на-
ходится ровно k требований (обслуживаемых и находящихся
в очереди),
б)	вероятности р* того, что все аппараты заняты обслу-
живанием;
в)	функций распределения г (г) и математического ожида-
ния t времени ожидания начала обслуживания;
г)	математического ожидания т* числа требований, ожи-
дающих начала обслуживания, пц числа требований, нахо-
дящихся в системе обслуживания, т* числа свободных от
обслуживания аппаратов.
39.12.	Поток поступления неисправной аппаратуры в ма-
стерскую гарантийного ремонта является простейшим с пара-
метром Х=10 ед./час. Продолжительность ремонта одной
единицы является случайной величиной, имеющей показатель-
ный закон распределения с параметром ji = 5 ед./час. Опре-
делить среднее время, проходящее от момента поступления
неисправной аппаратуры до начала ремонта, если в мастерской
четверо рабочих, каждый из которых одновременно ре-
монтирует только один прибор.
39.13. Сколько позиций должен иметь испытательный
стенд для того, чтобы в среднем не более 1% изделий ожи-
дало начала испытаний дольше 2/3 смены, если продолжи-
тельность испытаний — показательно распределенная случай-
ная величина, имеющая среднее значение 0,2 смены, а посту-
пающие на испытания приборы образуют простейший поток
со средним числом поступлений 10 единиц в смену?
39.14.	Система обслуживания состоит из п аппаратов,
каждый из которых обслуживает одновременно лишь одно
требование. Время обслуживания является показательно рас-
пределенной случайной величиной с параметром р.. В систему
поступает простейший поток требований с параметром
Обслуживание требования начинается немедленно, если
есть хотя бы один свободный аппарат. Если все аппараты
заняты, а число требований в очереди на обслуживание менее
т> то требование становится в очередь; если же в очереди
т требований, то вновь поступившее требование получает отказ.
Определить предельные значения:
а)	вероятности р^ того, что в системе обслуживания на-
ходится ровно k требований;
360
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Vlir
б)	вероятности того, что поступившее требование получит
отказ;
в)	вероятности того, что все обслуживающие аппараты
будут заняты;
г)	функции распределения F(t) времени ожидания начала
обслуживания;
д)	математического ожидания тх числа требований, ожи-
дающих начала обслуживания, zzz2 числа требований, нахо-
дящихся в системе обслуживания, /тг3 числа свободных от
обслуживания аппаратов.
39.15.	Парикмахерская имеет трех мастеров, каждый из
которых в среднем на обслуживание одного клиента тратит
10 мин. Клиенты образуют простейший поток со средним
числом поступлений 12 человек в час. Клиенты становятся
в очередь, если к моменту их прихода в очереди ученее трех
человек, в противном случае они покидают парикмахерскую.
> Определить вероятность /?0 отсутствия клиентов в парик-
махерской; вероятность р того, что клиент покинет парик-
махерскую необслуженным; вероятность р* того, что все
мастера будут заняты работой; среднее число т\ клиентов;
в очереди; среднее число клиентов гп% в парикмахерской;
вообще.
39.16.	Электрическая линия обслуживает т однотипных]
машин, каждая из которых независимо от других може^
нуждаться в электроэнергии. Вероятность того, что в про^
межутке времени (t, машина прекратит использование
электроэнергии, равна рь А/ о (AZ), а вероятность того, что
машине потребуется энергия в том же промежутке времени,
равна ХА£-|-о(А£). Определить предельную вероятность того,
что к линии будет подключено п машин.
39.17.	Ливень космических частиц вызван попаданием в
начальный момент времени в атмосферу одной частицы. Опре-
делить вероятность того, что спустя время t будет п частив
если каждая частица в промежутке времени (/,	с ве^
роятностью ХД£-]-о(Д0 моя?ет вызвать возникновение новоЧ
частицы, имеющей практически ту же самую вероятности
размножения.
39.18.	Ливень космических частиц вызван попаданием
в начальный момент времени в атмосферу одной частицы;
Определить вероятность того, что в момент времени t буде1
п частиц, если каждая частица в промежутке времени (t,
§ 39]
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
361
с вероятностью X AZ —о (Д^) может вызвать возникновение
новой частицы и с вероятностью |iAZ-j-o(A/) может ис-
чезнуть.
39.19.	В неоднородном процессе чистого размножения
(размножение без гибели) п частиц в момент t могут пре-
вратиться либо в л-4-1 частицу в промежутке (t,	с
вероятностью Хл (t) М -f- о (Af), где
X (4\__1 + ап
либо оставаться в неизменном количестве. Определить ве-
роятность того, что в момент t будет ровно п частиц, если
Р„(О)=8„о = { °
при
при
п = 0,
1.
39.20*	. В пункте химической чистки работают две прием-
щицы. В среднем за 40-часовую рабочую неделю в приемный
пункт обращается 480 клиентов, дожидающихся обслужива-
ния. Среднее время обслуживания клиента 5 мин. Считая
поток клиентов простейшим, а время обслуживания показа-
тельным, найти: а) вероятность полного простоя пункта;
б) вероятность наличия очереди.
39.21*	. Клиенты, обращающиеся в пункт приема белья,
образуют простейший поток с интенсивностью Х=35 чел./час.,
причем каждый клиент дожидается обслуживания. Среднее
время приемки белья от одного клиента 3 мин.
Найти вероятность того, что при двух приемщицах время-
ожидания в очереди начала обслуживания будет менее
10 мин;
39.22*	. В травматологическом пункте работают два врача.
С какой наибольшей интенсивностью могут поступать больные,
чтобы среднее число ожидающих в очереди не превосходило
трех, если на оказание помощи больному в среднем затрачи-
вается 9 мин?
39.23*	. В мастерскую срочного ремонта обуви, имеющую
двух мастеров, обращаются в среднем 18 клиентов в час,
а среднее время обслуживания одного клиента 5 мин. Какова
вероятность для клиента завершить починку обуви не. более
чем за полчаса?
39.24*	. На коммутатор, имеющий три внешние линии
связи, поступает в среднем в час 60 требований на связь.
362	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. VIlS
Средняя продолжительность переговоров 3 мин. Определит^
а) вероятность отказа абоненту, б) среднее число занятых линиЦ
39.25*	. Сколько необходимо иметь мест на станции о&
служивания автомобилей, чтобы с вероятностью не меньшей O,jj
автомашина, нуждающаяся в ремонте, обеспечивалась местом
для ремонта, если поток заявок можно считать простейшим,
а время обслуживания подчиняющимся показательному закону?
Среднее время ремонта — одни сутки. В течение суток на
станцию поступают в среднем пять автомашин.
39.26*	. В ремонтную мастерскую, имеющую трех рабочих;
поступает в среднем 4 заказа в час. Среднее время выполне-
ния заказа 0,5 чйса. Определить: а) среднее число заказов,
ожидающих начала исполнения и б) среднее время пролежи-
вания заказа в ожидании начала исполнения.
39.27*	. Покупатели гастрономического отдела образуют
простейший поток с интенсивностью 150 человек в час. Один
продавец в среднем обслуживает 30 покупателей в час. Опре-
делить наименьшее число продавцов, при котором среднее
число покупателей, ожидающих обслуживания, не превосходит
трех, и определить при этом вероятность того, что в очереди
будет более трех покупателей?
39.28*	. В инструментальной кладовой инструмент выдает
один кладовщик, получающий 50 коп. в час. За 8-часовоЁ
рабочий день в кладовую обращается в среднем 152 рабочих
Среднее время выдачи инструмента 3 мин. Простой рабочегс
в течение часа оценивается в 1 руб. убытка. Найти число
кладовщиков, при котором суммарные потери предприяти?
от простоя рабочих и содержания кладовщиков были бы наи-
меньшими.
§ 40. Непрерывные марковские процессы
Основные формулы
Непрерывный случайный процесс U(t) называется марков-
ским, если функция распределения F (ип\иь ..., ип-х) орди-
наты процесса U(t) в,момент 1т вычисленная при условии
что значения ординат процесса иь и*..., ип^ в моменты
времени tb ..., tn-i заданы (^i<^2<С...<^n-iQ, за-
висит только от значения последней ординаты, т. е.
F (ип | иь ...» пл-1) = F (и„ | u„-i).
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
363
Условная плотность вероятности /(ил | является функ-
цией	т> У) четырех переменных, где для краткости
обозначено:
U(t) = X, U(x)=Y,
функция f(t, х\ т, у) удовлетворяет системе уравнений Кол-
могорова х)
а & *)	+ У b = ° О’е уравнение),
—	= ° (2'е Уравнение),
где
a(t, x) = lim—. М {[У—Х]|Х=х},
b(t, x) = lim—,М{[У—^]2|Х=х}.
т — tZ ~ 1 '
Функция /(£, х; т, у) обладает общими свойствами плотности
вероятности:
fit, Х-, t, ^)SsO, J f(t, x; t, y)dy = 1
— 00
и удовлетворяет начальному условию
f(t, х; т, у) = 8 (у — х) при т = t.
Если область изменения ординат случайной функции огра-
ничена:
(/(/)<₽,
то кроме указанных выше условий должны быть выполнены
еще граничные условия для функции
о (т> У) = а (т, y)f— у	[b (т, y)f],
которую можно рассматривать как «поток вероятности»:
0(т, а) = О(т, (3) == 0 для любого т.
Второе уравнение Колмогорова иногда называют уравнением
Фоккера—Планка или Фоккера—Планка—Колмогорова, поскольку
До его строгого вывода А. Н. Колмогоровым оно встречалось ранее
в работах физиков.
364
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Совокупность п случайных функций	Un(t) Я
ляется марковским процессом, если плотность вероятности!
(функция распределения) для ординат Уь У* ..., Уп эти
функций в момент времени т, вычисленная при условии, чя
в момент времени t ординаты случайных функций имея
значения Хь .., Хп, не зависит от значений ординат сл|
чайных функций Ui(f),..., Un(t) для моментов времени, прё|
шествующих t В этом случае функция f удовлетворяет с|
стеме многомерных уравнений Колмогорова
Й + %а^1,хьх.........+
п _
+ т 2 bjl^ Хь x^d^Ki~° ^’е уравнение!
/, z=i	1
П
п
“Т 2 д^ду^1^’Уь •••’ уп)/1 = 0 (2-е уравнений
где коэффициенты aj и bj определяются равенствами
dj(t, хь .... х„) =
= lim	М [( Y, - Х7) | X, = xi,..., Хп = х„|
bji(t, xi...,xn) =
= lim -Ц, М [(Yj - Xj) (Yt - Xi) | Xt = xt.X„=xj
а начальными условиями будут
f (t, Xi,..x„; t, yt.yn) =
= 8(j>! — Xi)8(j2 — Xi)...8(yn — xn) при T=|
Если дано дифференциальное уравнение для компоней
марковского процесса	Un(t)t то для опр|
деления коэффициентов ау и bjt (a и b — в линейном случа|
нужно вычислить приращения ординат случайных функцщ
С/у(т)—t/y(O за малый интервал (tt т) времени (т —
найти условные математические ожидания этих приращени]
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	365
их произведений, разделить результаты на (т — t) и перейти
# пределу при
Всякому многомерному уравнению Колмогорова соответст-
вует система дифференциальных уравнений для компонент
процесса
= Ш Ub ..., ип)+ 2 Ul> ...»
m = l
1=1, 2, ..., и,
где (О — взаимно независимые случайные функции с неза-
висимыми ординатами («белый шум»), корреляционные функ-
ции которых (т) = 8 (т), а функции <pz и gtm однозначно
определяются системой уравнений [55]
yjj	gij = gji,
J=1
.	1 V V	dSlm №=1, 2,
j = 1 m = 1
Для решения уравнений Колмогорова могут быть исполь-
зованы общие методы теории дифференциальных уравнений
в частных производных параболического типа (см., напри-
мер, [30]). Когда а/ и bim являются линейными функциями
ординат решение может быть получено, если от плот-
ности вероятности /(£,	т, уь • ••^Уп) перейти
к характеристической функции
E(zlt z„)==
= J ... j exp {i4-... + X
Xf(t, хь ..., х„; т, уь ...,
для которой имеет место линейное дифференциальное урав-
нение в частных производных первого порядка, решаемое
общими методами (см., например, Гюнтер Н. М., Интегриро-
вание уравнений первого порядка в частных производных,
В том случае, когда коэффициенты ab bim не зависят от t,
имеет смысл задача нахождения стационарных решений урав-
нений Колмогорова. Для отыскания стационарного решения
366
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
второго уравнения Колмогорова нужно положить = Q
и искать решение полученного уравнения в виде функции
только уъУъ ..., уп- В частном случае одномерного мар-
ковского процесса решение получается в квадратурах.
Любой стационарный нормальный процесс, обладающий
дробно-рациональной спектральной плотностью, можно рас-
сматривать как компоненту многомерного марковского
процесса.
Вероятность W(T) того, что ордината одномерного мар-
ковского процесса в течение времени Т = т — t после мо-
- мента времени f, для которого задана плотность вероятности
ординат случайной функции f§(x\ ни разу не выйдет за
пределы интервала (а, р), определяется равенством
₽
W(T) =	(т, у) dy, т = t J- Т,
а
где-плотность вероятности w(t, у) является решением вто-
рого уравнения Колмогорова при условиях:
-У)=/о(У)	при t = t,
a) = w(t, р) = 0 при
В частном случае, когда начальное значение ординаты слу-
чайного процесса задано, /0(у) = В(_у — х).
Плотность вероятности f(T) времени пребывания случай-
ной функции в интервале (а, р) определяется равенством
=	T = x-t.
а
Среднее время пребывания Т случайной функции в интервале
со
(а, Р) связано с w(t, у) соотношением Т = W(T)dT. При’
о
а ф оо, р = оо последние формулы дают: вероятность 1Г(Г)
пребывания случайной функции выше заданного уровня а,
плотность вероятности /(Г) времени выброса и среднее
время выброса Т.
Среднее число выбросов за уровень а в единицу времени
для одномерного марковского процесса равно бесконечности,
однако среднее число выбросов в единицу времени п(т0) для
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
367
выбросов, длительность которых больше т0^>0, конечно и
^для стационарного процесса определяется формулой
со
y)dy,
а
где /(а) — плотность вероятности для ординаты процесса,
взятая при аргументе а, у)— решение второго уравне-
ния Колмогорова для случайного процесса при условиях:
т < t, v (т, _у) = 0; т t, v (т, а) = В (т — /),
что эквивалентно решению уравнения для преобразования
^(р, у) Лапласа — Карсона. Для стационарного процесса
pv, v = p при j/ = a, т> = 0 при j/ = oo.
— (^) — av
Изображение п(те) равно
я(р)=-7/(«)^Ео+/<»>“»
Решение типовых примеров
Пример 40.1. Составить уравнения Колмогорова для
многомерного марковского процесса, компоненты которого
Un(t) удовлетворяют системе дифферен- ’
циальных уравнений
^Ж==ф/(<) иь .... ft) + ^y(0, ; = 1, 2, ...» п,
где фу — заданные непрерывные функции, cj — заданные по-
стоянные, a 5y(f) — независимые случайные функции, обладаю-
щие свойством «белого шума», т. е.
|у(0 = 0, КЕу(г) = 8(г).
Решение. Для составления уравнений Колмогорова
достаточно определить коэффициенты ay и Ьр этих урав-
нений.
Обозначая ординату случайной функции Uj(t) в момент
времени t через Хр а ординату ее в момент времени т
через Yр после интегрирования исходных уравнений получим
Уу - Xj = $ ФУ ft, ft ft), ..., Un ft)] dt, + с J $ 5У ft) dtu
t	t
368
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VI
Считая разность т — t малей, с точностью до величин второ!
порядка малости, в первом интеграле фу можно вынес
из-под знака интеграла, положив = Ui = Xy =
..., Un = Х„> что дает
Yj-— Xlt Х„)(т-0 + cj$5(*i)dtb
t
т. e.
Yj^- Xf '	P
= •••> +
t
Полагая случайные величины Ху ..., Xn равными Ху ,
, хП) находя математическое ожидание обеих частей, г
следнего равенства и переходя к пределу при т —> f, получ
aj(t, хь .... xn) = tyj(t, хь ...,хп).
Перемножив выражения для (Yj — XJ) и (Уг — Xi) и нахо
математическое ожидание полученного произведения, получ
M^Yj-XjHYt-X^Xr............х„] =
= хь хп) хь Х„)(т — 02 +
Ч- cjci $ $	— 6) dtt =
t t
= Xi, X„)fy(t, Xb x„)(t — f)24-CyCZ(T-
что после деления на (т — t) и перехода к пределу де
Ь jl (t> Ху • • • , Х^) —— СjCy
Пример 40.2. Дано первое уравнение Колмогор'
для условной плотности вероятности f(t, Ху т, уу
нормального марковского процесса:
к+V' й=°-
Определить систему дифференциальных уравнений, кото;
удовлетворяют компоненты процесса Ui(t) и
Решение. В соответствии с принятыми обозначен»
для коэффициентов уравнений Колмогорова имеем
аг = х* а2 = — k*Xi — 2hx^ bn =	= 0, b^ =
§ 40]
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
369
Искомая система дифференциальных уравнений имеет вид
2
^ = Ш иь t/2)+	иь	1=1, 2,
m = 1
где £т(0—«белый шум» с нулевым математическим ожида-
нием и К. =3(т). В соответствии с общей формулой, при-
веденной во вводной части параграфа, имеем
£11 4“ £12 = 0, gllgn + £12£22 = 0>
£12'+£22 = <’’> Ъ = а1-
Следовательно,
£11 =£12 = 0. £22 = 0. Ф1=Х2, <р2 = — k^Xi — 2hxit
а искомая
Исключая
уравнение
система уравнений
—аг~ — и^
= - R (0 + 2h Ut (0] + (0.
из второго уравнения U%(t), получим для Ui(t)
второго порядка
®+2Л^ч-^==‘Ц0.
Пример 40.3. Нормальный стационарный процесс U(/)
имеет спектральную плотность
рт (х) = М” + М"1 +
Q„(x) = -v'’ + aIx'’-1 + ...4-а„,
a a.j и ру — известные постоянные. Рассматривая U(t) как
компоненту многомерного марковского процесса, определить
коэффициенты уравнений Колмогорова .для этого процесса.
Решение. Стационарная нормальная случайная функция
с дробно-рациональной спектральной плотностью является
решением линейного дифференциального уравнения, содержа-
щего в правой части «белый шум». В данном случае урав-
нение имеет вид
S+-.S^+...+^=?.S+P.^+... 1-ы.
370
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Перейдем от уравнения л-го порядка, содержащего в право]
части производные от функции £(/), к системе уравнен^
первого порядка, не содержащих в правых частях равенств
производных от B(f). Обозначив U(f) = Ur (t), введем новы|
переменные, определяемые равенствами:	'
и,= иь 1Л=йъ ..., ип_т=йп_т_19
Un-m+1 === Uп-т	Сп-т%> Un-m+Ч == ^п-т+1 Сп-т+&
yUn — U п-1 — сп-&
где Ci — пока произвольные постоянные. Выписанные равен
ства дают систему п—1 уравнений первого порядка. Дл*
получения последнего (n-го) уравнения в исходном дифферей
циальном уравнении n-го порядка необходимо все производи
ные от U выразить через Uj и их первые производные
Выполнив эти преобразования, получим
<чип+• • • 4- «Л +	+
4~ (^n-m+l 4“ alfn-m) -j- (сп-пг+2 4~ alfn-/n+l 4"
4" a26’n-m)	4- . . . 4“ (сп-1 4“ а1Сл-2 4- a2^n-3 “Ь • • • “Ь
4" ат-1сп-т) ? 4“ (alcn-l 4" а2^тг_2 4- • • • 4" атсп~т) 5 =
=	4- • • • 4-	4- М
Определяя коэффициенты Сутак, чтобы из уравнения исчез^
производные от £(£), получим рекуррентные соотношенШ|
z~i	1
Ci = ^i+m-n— У az_yCy, l=n — zn, ..., и— 1,
j=zn—m
что для последнего уравнения системы дает
»-1
^+a1t4 + ... + «nt/i = ^>	C» = ₽m- 5	^}Cj.
j=n — m
Так как компоненты я-мерного процесса удовлетворяй
системе уравнений первого порядка, в правых частях которы
стоит «белый шум», то процесс является я-мерным маркой
ским процессом. Определение коэффициентов уравненй
Колмогорова производится так же, как в примере 40.1. t
Пример 40.4. Условная плотность вероятное^
f(t9 хь х2; т, уь у%) двумерного случайного процесс
§40j	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ '	371
{/,(0, С^(0 удовлетворяет уравнению
% - а < w - a.	~4	гт+^) -
-4а(а1Л+Л')=0’
где а и р — постоянные.
Определить систему дифференциальных уравнений, кото-
рой удовлетворяют функции U\(t) и
Решение. Заданное уравнение является вторым уравне-
нием Колмогорова, следовательно, процесс является двумерным
марковским процессом.
Коэффициенты уравнения имеют значения
«! = — ₽№ а2 = — ayb bn = ^Vl -]-yl,
b^—ayi-j-yf, &i2=o.
Искомая система уравнений имеет вид
=Ф1 (4 Ub Ut) 4- Ч, Ui, Щ Im Ч),
т — 1
иь £4)+ 2	U1’
т — 1
где ^1(0 и $2(0 — некоррелированные случайные функции
типа «белого шума» (К, (т) = 3(т)). Согласно общей теории,
для определения gtm имеем систему алгебраических уравнений
gii ~г £12 = ? V1 +№ £21 “Т £22 =а /К 1 + Уу
gllgtfi ^12^22 = 0-
Отсюда находим
= £ц = j/p +.У2, £22 = ]/
Ф1 = — pj2, <?2 = — aj/1.
Следовательно, искомая система имеет вид
(о,
+ at/, = pa/npTf (f).
372
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Пример 40.5. Определить асимметрию Sk и эксцесс Ех^
ординаты случайной функции Z(t), определяемой равенством!
если С(0 — нормальная случайная функция, С = 0, Кс(т)=-
==о^“а1'с1, а переходный процесс предполагается закончив-’
шимся (ср. с задачей 35.29).
Решение. Так как спектральная плотность
о / \	а°2	1
О, ((D) —---„—I-5
v 7 тс со3 а3
является дробно-рациональной функцией частоты, то С(0
удовлетворяет уравнению
где $ (0 — «белый шум» с нулевым математическим ожида-
нием и корреляционной функцией, равной 8(т). Поэтому,
введя в рассмотрение двумерный случайный процесс с ком-
понентами Ui (t) = Z(t), (0 = £ (0, Для условной плотности
вероятности /(/, хь	т, уь j2) этого процесса получим
второе уравнение Колмогорова в следующем виде:
%+[О-i - *’Л) Л - « у, М -	«.
Для установившегося режима f(t,xb х2; т, уъ У*)=/(уъУд
и уравнение Колмогорова примет вид
[« - ад Л - « £ Ы) - »»’ % = 0.
По условию задачи необходимо определить начальные мо-
менты mt ординаты функции Yi (т) до четвертого вклю-
чительно. Искомые моменты связаны с двумерной плотностью
вероятности /(Уъ .Уз} соотношением
mt=\ y\f(yi, y^dyidy^—T^dy*
— ОО —00	—00
где обозначено
$ y'lflyi, y^dyi.
— 00
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
373
умножив обе части уравнения Колмогорова na_yj, интегрируя
полученный результат по yi в бесконечных пределах и учи-
тывая, что
( у1. £ [Cvl —	.Уз)] dyi =
j 1ОУ1
СР"
=У1(у1— &У1)/(У1, J'2)|“ot —
— I $ У1 ’01 — k^yt)f(yi, y^dyx — k^iiy^— /у^СуД
— 00
получим рекуррентное соотношение между Xz(y2) и
«°8 7^+ а	W “ k4/'i = “
Умножая обе части последнего равенства последовательно
на L yl> У % и у|, интегрируя по частям и отбрасывая обраща-
ющиеся в нуль внеинтегральные члены, получим ряд равенств
оо
mi = ¥ S СУаИ_Уа>'
— 00
_ 1
отж—,ft2 (£7 4-2а)
' оо
I § (Уа) dyt + 2ao2OTz
— 00
^Z+2
__________7+1___________
k2 (#7-|-4а) [(/+l)fc2+ 2а]
оо
. I СУ«) dy* +
_ —оо
. 2а<? (6fes + 7й2/+ 4а)
“Г" i _|_ j	wz+i ’ >
. _	(/4-1) (/ + 2)
z+з — fe2 (fe2/ 4- 6а) (ft2Z 4. ki 4.4а) (Z 4- 2) 4- 2а] A
X J У^-i-i (yi) dy^
2а2а[(13й2 4- 7fe2Z 4- 4a)(ft2Z -f- 6a) 4- 15A2(fc2Z 4- fe2 4-2a)(Z4-2)]znz+8
(Z4-i)(Z4-2)
60a4a2	I
I 4.1	j •
374
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Положив в этих равенствах 7=1, получим возможность вц|
разить четыре начальных момента через /оСУз). Вследствйц
нормальности функции У2(т) = Цт)	i
1	-21
ХоО) = \ /(Уь y^dyi=f(yii=-T7=-e 2°3.
J	а V /тс
— оо
Следовательно, все интегралы, входящие в предыдущие ра-
венства, вычисляются, и мы получим ответ, совпадающий
с ответом задачи 35.29, решенной более сложным образом.
Пример 40.6. Определить условную плотность вероят-.
ности f(t,xb ...,хп; т, уь ..., уп) многомерного мар-
ковского процесса, если во втором уравнении Колмогорова
п	ТС
k = \	k,j=l
коэффициенты bjk = const, коэффициенты at — линейный
функции у/,
п
az = az + S	Z’ /=1’ 2’ •••>
J=1
а область изменения y}- есть (—oo, oo).
Решение. В соответствии с условием задачи решение^
уравнения должно быть найдено при начальном условии
п
/= [|	— xi) при t==i
Z=1	j
и при условии, что функция /(обращается в нуль при |j/z| ->ос|
СО	ОО	I
а § • • • J fdyi • • • d-Уп = 1 Для любого т.
— ОО	— 00
Переходим от плотности вероятности / системы случай^
ных величин У2, ..., Yn к характеристической функции^
00	ОО	/ п	ч	j
E(zb z2,	z„)=	... exph ztyXfdyi ... dyn. j
— co	—oo	( Z = 1	J	J
Для этого	умножаем	обе	части второго уравнения	Колмого-^
{П	ч	з
Z 2 ziyi\ и интегрируем по и, уъ
z = i	J	?
в бесконечных пределах.
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
375
! Если учесть при этом, что
00	?	( Yi ] д
С ... \ ехрл 2i zjyj\d^^d^ ••• аУ" =
п
.. dyn =
= — izfliE — zi^ “и >
п
dyi
exph 2 гтУт-Лу1 ... dyn = — ZjZtE,
т = \
то уравнение для E примет вид
'	== 2 Vm g" 2l
l,m = l	\ m — \	m,i = \	/
Положив E = exp {— V}, для V получим уравнение
n	n	n
2 а^Я=-г‘2^-+4 2 zJziby
j,i=i	;=i	;,z=i
которое, в соответствии с начальными условиями для /,
нужно интегрировать при условии
п
t = t, У = / 2 ZjXj.
J=1
Из общей теории известно, что закон распределения для
рассматриваемого процесса является нормальным. Поэтому
ищем решение для V в виде полинома второй степени от г,,
т. е. в виде
п	п
v=4 2 kjiZj'zi ~12
= 1	;=1
где kji и уj — вещественные функции от т. Для определения
этих функций подставляем последнее выражение в диффе-
ренциальное уравнение для V и приравниваем коэффициенты
376
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
при одинаковых степенях zt в левой и правой частях ypaj
нения. В результате получим
2а^=а/’
(j, 1=\, 2, п\
2 ajm^ml = bji
т= 1
Система уравнений для определения не зависит от k
и должна быть решена при начальных условиях: т=>
yj = Xj. Система уравнений для kjt не зависит от yj и должн
быть решена при начальных условиях: т = /, &у7 = 0. Из обще
теории линейных дифференциальных уравнений следует, чт
yj и kji являются линейными комбинациями экспоненциальны
функций вида где X — корни соответствующего харак
теристического уравнения (при наличии кратных корней коэ(|
фициентами у экспонент могут быть полиномы от х). Общи
формулы могут быть получены методами матричного исче
сления.
Пример 40.7. Найти условную плотность вероятност
/(6 х\ х, j/) для процесса, определяемого уравнением
если а и р— постоянные.
Решение. Применяем метод Фурье, т. е. ищем сначал
две функции ф(х) и /(.У), произведение которых удовлетв^
ряет данному уравнению независимо от вида начальных услс
вий. Подстановка в уравнение дает
ф dx	2у]*]^ 2 dy*
Так как левая часты равенства не зависит от у, а правая н
зависит от х, то обе части равенства равны постоянно!
Обозначив эту постоянную через —X, получим
Й+4=о.
Г(р;,_£\х1-|_ХХ = 0.
2 dy* 1	2у/л] 1
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
377
Первое уравнение, имеет очевидное решение
Второе уравнение имеет решение, стремящееся к нулю на
бесконечности, только при дискретных значениях X = 2а$,
я = 0, 1, ... В этом случае уравнение для /(.У) имеет ре-
шение
л! а2 е	^2о2у,
dn _
где Ln (х) = ех (е Ххп) — ортогональные полиномы Ла-
герра, а — Так как найденные функции ф(т) и /(у)
зависят от целого числа п, то решение f исходного диффе-
ренциального уравнения можно искать в виде линейной ком-
бинации произведений этих функций, т. е. в виде
ОО	у2
f(t, х; г, у)=
п — 0
те коэффициенты сп должны быть определены так, чтобы
три 't — t функция /(/, х; т, у) обратилась в S(_y— х), т. е.
ОО	у2
п = 0
1ля определения постоянных сп достаточно умножить послед-
т ! v2 \
iee равенство на Ln I ] и проинтегрировать по у в пре-
хелах (0, оо). Пользуясь ортогональностью полиномов Лагер-
)а и свойствами S-функции, получим
у2 ОО
/«, х; 2	(Й)
я==0
378
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Пример 40.8. Найти вероятность W(y) того, что орда
ната процесса (7(f), определяемого уравнением -|-а(7==Цй
где (со) = с2 = const, 1 = 0, к моменту т ни разу не npJ
взойдет уровень у = 0, если при f = 0 U(t) = — р; Р^>Ц
Решение. Плотность вероятности w(t, у) того, чт|
в момент времени ордината случайного процесса, ни раз|
не превзойдя нулевой уровень, будет находиться в интервал!
(у, У-\-йу), определяется вторым уравнением Колмогорову
dw	д , ч	с2 d2w	~
дх	дук^ '	2 ду2
которое в данном случае нужно решать для у 0 при усло-
виях: . (т, у) = В (у -j- р) при т = 0; w (т, 0) = 0 при любом $
Искомая вероятность
о	4
W(x) = $ w(x,y)dy.
— 00	 $
Для упрощения коэффициентов уравнения введем безразмер*
ные переменные
]/а
Т1 = ат, Ji = — У>
после чего уравнение примет вид
1 d2w । д , ч dw р.
1/--
(*ь .У1) = в (У1 + Р1) ПРИ т1 = 0>
w(xh 0) = 0 при *4	0, где р1 = ^р.
Решая уравнение методом Фурье, положим ^(ть >i)=^
= Ф(xi)XСУ1)> что Для Функций и /(.Pi) дает уравнений
±-£L = —	^X_|_2J1^- + 2(X24-1)X = O. ’
ф d?!	dyf 1	1 dyt 1 v I / л
Первое уравнение имеет очевидное решение ф (*ч) =
второе уравнение имеет конечные на бесконечности решения
только при Х2 = л (n = 0, 1, 2, ...), когда

НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
379
Нп СУ1) = (—1)"	(е — полином Эрмита.
Следовательно, решение можно искать в виде
w = e->’* У, апе~п^ Нп (у^).
л = 0
Так как при j>i = 0 w должно обращаться в нуль при любом ть
то ряд может содержать только полиномы Нп(у^ с нечет-
ными индексами (0) = О,	при любом целом
^^0). Следовательно, решение должно иметь вид
00
W = е~^ У a2i+ie~	Hs/t+1 (yj).
fe = O
Для определения коэффициентов а2^+1 необходимо удовле-
творить начальному условию, т. е. условию
*	^k+i^4k+i	& СУ1 4~ ?i)>
Этому условию эквивалентно условие для области. измене-
ния yi от —оо~до 4~°°:
со
е J1	2frH (Jl) = ~~ в (У1 4~ p) ^-Ъ(У1 ₽1).
Умножая обе части последнего равенства на Ны+1(У1)> инте-
грируя no^i от —оо до + °о и учитывая, что
f ё~х2Нп (х) Нт (х) dx — 2пп! Кit 8тя
— 00	''
(Влл=1, 8тл = 0 при пфт\ получим
22ft+1 (2k + 1)! С
Таким образом,
00	Л”
w = — У е- <2U1> Ti   ' Га--------— (РО (уг\
22* (2^4-l)!/7i с	2й+1^и
А = 0
380
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Возвращаясь к переменным у и т, будем иметь
я>(ъу)=-------X
С У 7С
со	а	/	\	/ л— \
\Z	(2^+1) та с2^2	1	Z-7 (Г	(гау\
Х 2ie е 2™ (2k + 1)1	) H*k+i /
А=0
Подставляя полученный ряд в формулу для И7(т) и учитй
вая, что
0	9
— 00
= У1 Hik+l СП) dyt = (-l)fe+1 (-В-
4	— 00
получим
оо
п/г-л  1	р- (2^+1) та	( 0^ zj
W(> — у~ £е	(2Л + 1) k\ \ с Г
/г = 0
Задачи
40.1*	. Найти коэффициенты уравнений Колмогорова
двумерного марковского процесса, если его компоненты Ui
определяются системой уравнений
= sin to i/2 -|“	{Ui + Us}2 Si (0>
= cos (о Ur -j- ^2^”(£Z1 ” Ui}2 £2 (О,
где Sy (/) — независимые случайные функции, обладающие св<3
ствами «белого шума»:
£у = 0, Ке/(т) = 5(т),	/=1, 2.
40.2.	Дана система дифференциальных уравнений
и,.....Un, Z),	/= 1, 2,..., п,
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
381
где ф; — заданные непрерывные функции своих аргументов,
а/(/) — нормальный стационарный случайный процесс, имею-
щий спектральную плотность
Добавить к многомерному процессу (0, ..., Un(t) необхо-
димое количество компонент таким образом, чтобы получен-
ный процесс был марковским. Составить для него уравнения
Колмогорова.
40.3.	Дано, что U(t) — стационарный нормальный процесс,
спектральная плотность которого
(ш) =	+ а2 + ₽2)2 — 4₽2w2] ’
где с, а и — постоянные.
Показать, что U(f) можно рассматривать как компоненту
многомерного марковского процесса, определить число изме-
рений процесса и коэффициенты уравнений Колмогорова для
этого процесса.
40.4.	Определить коэффициенты уравнений Колмогорова
для многомерного марковского процесса, заданного системой
уравнений
и,....t/„)+Zy(O,
где
(0=о, М [Zj (0 zt (t+т)]=фл(0 8 (t),
, j, /=1, 5,п,
а сру и фу7 — заданные непрерывные функции своих аргументов,
40.5. Случайные функции удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений
UJt .... U„ Z),
где сру — заданные непрерывные функции своих аргументов,
a Z(f) — стационарная нормальная случайная функция с дробно-
рациональной плотностью:
5 — 0	9 Гой — । I2 п \ т
z~°,	) —TqTW’	’
382
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
где полиномы
Pm	+ ... +
Qzi(x) = xn + aiX,I~1+ ... +an
имеют корни только в верхней полуплоскости.
Показать, что	Ur(t) можно рассматривать
компоненты многомерного марковского процесса, определив
число измерений этого процесса и найти для него коэфф^
циенты уравнений Колмогорова.
40.6.	Показать, что если для многомерного марковской
процесса справедливо уравнение Колмогорова	>
п Г ( п \ Т	J
+ 2 ду] 2 ^тУту ~~	;
7=1	7 L\ ‘ т=1	/ J	.
п	?
j, т = 1
где ay, bjm (у, z/г = 1, 2, ..., ri)— постоянные, то сл^
чайный процесс удовлетворяет системе дифференциальны!
уравнений	=
п
=	/=1,2,..., л, J
т — 1
где		’
^ = ay, Kv(?)==bjft(t),	=
40.7.	Вывести систему дифференциальных уравнений дл|
компонент двумерного марковского процесса
если условная плотность вероятности /(/, xlf х2; т, yh
удовлетворяет уравнению	,
[Л г 2 0У1 +'Р У* д-Уз] и’L^y? 2 ^Уз1 ’ 'j
|1 = const, х = const, а'ср (у) — заданная функция.
40.8.	Определить закон распределения ординаты случа^
ной функции U(t) для установившегося режима, если "
U I at2 dU ।	, г j\_«- г»
$ 40]	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	383
где а — постоянная, ср (U) — заданная функция, обеспечивающая
существование установившегося режима,
= KJt) = g98(t).
решить задачу в частном случае <р((/) = р9(/3.
40.9.	Определить стационарный закон распределения орди-
наты случайной функции U(t), если
^ = ?(17)+ф(0ЦО,
где ср ((7) и ф( (7) —заданные функции, а £(0— «белый шум»
с нулевым математическим ожиданием и Л^(т) = 8(т).
40.10.	На вход диодного детектора, являющегося после-
довательным соединением нелинейного элемента с вольт-ам-
перной характеристикой F(V) и параллельной цепочки RC,
поступает случайный сигнал С(0. Определить стационарный
закон распределения напряжения U(t) на цепочке RC, если
уравнение детектора имеет вид
где R и С — постоянные, а С(0— нормальная стационарная
функция, для которой
И I
£(0 = 0, Кс(т) = Л КС .
Решить задачу для частного случая, когда
40.11.	Определить закон распределения ординаты случай-
ной функции U(t) для момента времени т^>0, если
— х2
/о(х) = ^е 2а\ U(t) = X при t = 0 (х=>0).
40.12.	Уравнение, определяющее напряжение (7(0 экспо-
ненциального детектора, на вход которого поступает нормаль-'
ный случайный процесс С(0> обладающий малым временем
384
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
корреляции, имеет вид
dU . 1
dt "I" RC
U=^ear—aU,
Li
где /?, С, a, z’o — постоянные детектора, С = 0,
Кс(т) = Лг*,х|.
Представляя приближенно
^<0 = М [е^] + 5 (О
и считая 5(0 дельта-коррелированным процессом:
где
^(0^8(0,
°!= $
— 00
определить стационарный закон распределения для od
наты U(t).	1
40.13.	Случайный процесс U(t) удовлетворяет уравцен
где <?(U) — заданная функция, 5(0— «белый шум» с нуле|
математическим ожиданием и К^(т) = 8(т), а при задай
виде функции y>(U) возможен установившийся режим. 0|
делить плотность вероятности f(y) для установившей
режима.	.:
40.14.	Случайная функция U(t) удовлетворяет уравна
^=а(0+₽(0^+ 7(06(0
при начальных условиях т = /, U(t) = x.
Найти закон распределения ординат случайной фунгё!
для момента времени если а (О, Р(0 и 7 (0— зада»
функции времени, 5(0— «белый шум» с нулевым матен1|
ческим ожиданием и К^(т) = 8(т).
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	385
40.15.	Отклонение руля высоты самолета, сообщаемое
автопилотом для ликвидации воздействия пульсаций ветра,
характеризуемых случайной функцией е(0, приближенно опи-
сывается дифференциальным уравнением
где То и ?’о — постоянные.
Определить условную плотность вероятности f(t, х; т, у)
ординаты случайной функции Д(0, если математическое ожида-
ние §(0 = 0 и приближенно можно считать, что Ks (т) = OgB (т),
а Д = х при т = Л
40.16.	На вход динамической системы второго порядка
поступает случайное возмущение Ц0:
А>й>0.
Определить условный закон распределения ординаты слу-
чайного процесса U(t) в момент времени т^О, если U (0) = х,
£7(0) = 0, С(0) = 0, Кс(0 = с98(0; с, /г, k — заданные по-
стоянные.
40.17.	Уравнение, определяющее работу звена системы
автоматического регулирования, имеет вид
Tt—~ asgn
где а, с — постоянные,
1(0 = 0,	(0 = 8(0.
Составить уравнение Колмогорова для определения условной
плотности вероятности /(/, х\ т, у).
40.18.	Движущаяся заряженная частица находится под
действием трех сил, направленных параллельно вектору ско-
рости частицы £7(0: силы, создаваемой электрическим полем
напряженностью 5(0; ускоряющей силы, создаваемой полем,
напряженность которого может быть принята обратно про-
порциональной скорости частицы, и силы трения, пропорцио-
нальной скорости частицы. Уравнение движения частицы
имеет вид
13 Б. Г. Володин и др.
386
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Определить плотность вероятности f(t, х; т, у) для вели4
чины скорости частицы U(t), если а, р и у — постоянные/
£(0 = 0, К\(т) = 8(т); масса частицы равна пь.	;
40.19.	На вход радиоприемника поступает случайная
помеха U(0, которая воспринимается только в том случае,1
если абсолютная величина сигнала больше порога чувстви-
тельности приемника uQ. Определить вероятность W(T) того,
что в течение времени Т не будет принято ни одного лож-
ного сигнала, если U(t) — нормальный случайный процесс
с нулевым математическим ожиданием и корреляционной
функцией
где Uq, а и а — постоянные, а (7(0 = 0 при t = 0.
40.20.	На вход радиоприемника поступает случайная,
помеха (7(/), которая воспринимается только в том случае,:
если величина сигнала больше порога чувствительности прием-
ника Uq. Определить вероятность W(T) того, что в течение
времени Т не будет принято ни одного ложного сигнала, если:
U(0— нормальный случайный процесс с нулевым математи-:
ческим ожиданием и корреляционной функцией
Kw(T) = oVaixl,	>
где щ, а и a — постоянные, а (7(0=0 при f = 0.
40.21*	. Координаты U*(t) случайной точки на пло-
скости определяются равенствами	
^(0 = ^(0;	(0=^(0,	j
где $i(f) и $2 (0 — независимые случайные функции типа белого]
шума, $! = $2 = 0,	(т) = К^2 (т) = В (т). Определить вероят-
ность W(T) того, что за время Т случайная точка не выйдет*
за пределы круга радиуса г0, если центр круга совпадает!
с начальным положением точки.	- f
40.22*	. Определить вероятность того, что нормальная^
случайная функция (7(0, имеющая нулевое математическое;
ожидание и корреляционную функцию
за время Т ни разу не превысит значения если (7(0) = 0/
ГЛАВА IX,
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 41. Определение моментов случайных величин
по результатам опытов
Основныеформулы
Приближенные значения моментов случайных величин,
получаемые при обработке результатов опытов, называются
оценками (подходящими значениями) этих величин и обозна-
чаются далее теми же буквами, что и оцениваемые числовые
характеристики случайных величин, но с волнистой чертой
сверху (например, М[Х]=х, D[X], kxy> и т. д.). Набор
значений (xit х2, хп) случайной величины X, получен-
ных в результате п опытов, называется выборкой объема п.
Предполагается, что опыты произведены в одинаковых усло-
виях и независимо. При неограниченном возрастании объема
выборки п оценка должна сходиться по вероятности к оце-
ниваемому параметру. Оценка называется несмещенной, если
при любом объеме выборки ее математическое ожидание со-
впадает с искомым параметром. Несмещенной оценкой мате-
матического ожидания является среднее арифметическое
п	п
'	J=1
где с—произвольное число, вводимое для удобства расче-
гов («ложный нуль»).
13*
388
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
При неизвестном значении математического ожидания не|
смещенной оценкой дисперсии будет	1
J=1
п
7 = 1
Если исследуемая случайная величина распределена нор-
мально, то несмещенная оценка среднего квадратического
отклонения определяется формулой
Значения коэффициента kn приведены в таблице 23.
Таблица
п	k п	п	кп	п	z k' п
3	1,1284	10	1,0280	30	1,0087
4	1,0853	12	1,0230	35	1,0072
5 ,	1,0640	15	1,0181	40	1,0064 1
6	1,0506	20	1,0134	45	1,0056
7	1,0423	25	1,0104	50	1,0051
При известном математическом ожидании несмещенная
оценка дисперсии1) -	|
11	t
•/==1	J
*) Если исследуемая величина нормальна, то несмещенная оценка.?
для среднего квадратического отклонения определяется по формул^
Z" п
/=1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 389
Г
* Если Хъ уь	хю уп— значения случайных величин
- Y и У> полученные в результате п независимых опытов,
произведенных в одинаковых условиях, то несмещенная
оценка корреляционного момента случайных величин:
при неизвестных математических ожиданиях X и У
п
2 <xj—*) (У/—Л
при известных математических ожиданиях
п
- 2 —(yj~y^-
J=1
Оценка коэффициента корреляции находится по формуле
; ____k*y
1 ху — ~ ~ •
При большом объеме выборки элементы выборки объеди-
няют в группы (разряды), представляя результаты опыта в
виде группированного вариационного ряда (табл. 24).
Таблица 24
№ разряда /	1	2	...	1
Границы разряда ^/-1 Xj Среднее значение для разряда xj Численность разряда trij Частота разряда ГП/ - р? = — 7 п	хо — Xi X? Pl	Xi — x2 X* m2 Pt	...	Xl-i — ~Xi Xf mi pf
390
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Оценки математического ожидания, дисперсии и момем
более высокого порядка в этом случае приближенно опре|
ляются формулами:
244>
7 = 1
/=1
7 = 1
или более точными формулами (с учетом поправок щ|
парда):
«1 [А] 2 x*Pj>
7=1
[*] ^2
7=1
^зи-^2 (4)з4—2
J=4	7 = 1
Щ [X] 2 (4)М - f 2	+2^ -
7=1	7=1
7 = 1
7 = 1
[*] ~ 2 (Х* -	(Xl - X)ip^ + Л ’
7=1	'	7=1
где h — длина интервала разряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 391
решение типовых, примеров
Пример 41.1. Для определения точности измеритель-
ного прибора, систематическая ошибка которого практически
равна нулю, было произведено пять независимых измерений,
результаты которых представлены в таблице 25.
Таблица 25
№ измерения	1	2	3	4	5
Xj, м	2781	2836	2807	2763	2858
Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок изме-
рительного прибора, если: значение измеряемой величины
а) известно и равно 2800 м\ б) неизвестно.
Решение. Значение измеряемой величины равно X. По-
этому в случае а) несмещенная оценка дисперсии опреде-
ляется по формуле
2 (-*7-*)S = 4r= 1287,8 м\
7=1
Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее
оценка
•^ = “2 -*7 = 2809 м.
Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии
п
=	2	=	1508,5 м\
Аналогично решаются задачи 41.1—41.4, 41.13—41.16.
Пример 41.2. Для определения оценки среднего ква-
дратического отклонения ошибок измерительного прибора,
систематические ошибки которого практически равны нулю,
392
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
было произведено пять независимых опытов, результат!
которых приведены в таблице 26.
Таблица 2(Й
№ опыта	1	2	3	4	in
лу, м	92	101	103	98	• So  j
При обработке результатов измерений использовались двф
формулы, позволяющие определить несмещенные оценки
=	г2(л7 —•*)*•
г 7=1
-------п	п
~а*=у
7=1	7=1
Найти и а2 и определить дисперсии этих оценок, считая,\
что ошибки прибора подчиняются нормальному закону.
Таблица 27?
xi	92	101	103	98	96
|xy —	6	3	5	0	2
(Xj — xy	36	9	25	0	4
Решение. Заполнив таблицу 27 и суммируя по ей
строкам, получим:
At = JJxy = 490,
7
= У] | Xj — ^| = 16,
7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
393
А = £ (•*7 — *)*= 74,
/
х = — = 98 л/,
п	f
=kn =^о64	=4-57 м>
а* = 1/~к-, ТС—гтА = 4,48 м.
Г 2п (п — 1) л ’	ч
Полученные таким образом оценки и а2 являются
случайными величинами, математическое ожидание которых
М [aJ = M [а2] = а. Для нахождения дисперсии si имеем
= А*М {D [X]} — а2 = № — а2 =	— 1) а2.
Для дисперсии случайной величины о2 имеем
D[o2] = M[(^)2] — {МЫ}'2.
п
Обозначим Zi = xi —	^ак как zt — линейная
7=1
функция нормальйых случайных величин, то она также имеет
нормальное распределение, параметры которого
Г п
М[г,] = М хг —xi
L	/=1
394
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
Поэтому
М[(^] =
п	п — 1 п
2“1
i = l J = « + l
1
(п
21^/1) =^М S4+2S 2 Ыклк
Li = i	i = ij = f4-i	J
= A2 {nD [27] -\-n{n — 1) M [| Zi I j Zj\
где (/ Ф I)
М[|^||2у|] =
_ 1
~2w* yv^r5
^ + sf-2rV3
После перехода к полярной системе координат им<
М[Ы|2У|]=	I
2тс оо	/?2 (1 -• г sin 2у)
YT^ S ।sin ? 11 cos ? I e 2^('-'-2) dRd<?--
z	0 0
= [К 1 — r8 r arcsin
Окончательно получим
D [<з4] = M [(a2)8] — a8=	-j- Уti (n — 2) — n -j- arcsin
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 395
Отношения дисперсий случайных величин ai и при раз-
личных п показаны в таблице 28. .
Таблица 28
п	5	10	20	50
D [а2] d[5J	1,053	1,096	1,150	1,170
Из решения примера следует, что оценка а по формуле
Л/ ?
= I/ 1^1——----------- имеет меньшую дисперсию, чем
п
результат, полученный по формуле а2 = Л У!\Xj— л|, т. е.
оценка ai является более эффективной.
Аналогично решаются задачи 41.7, 41.12, 41.20.
Пример 41.3. Из текущей продукции прецизионного .
токарного автомата был произведен выбор 200 валиков.
Результаты измерений отклонений диаметров валиков от но-
минала даны в' таблице 29.
Определить оценки математического ожидания, дисперсии,
асимметрии и эксцесса отклонений диаметров валиков от
номинала.
Решение. Для упрощения промежуточных расчетов
введем случайную величину
4-С
где в качестве «ложного нуля» примем С=2,5 мк, а ширина
Разряда h = 5 мк.
Определим оценки первых четырех моментов случайной
величины с учетом поправок Шеппарда.
Таблица 29	§
____, .	о
/№ разряда ।	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Границы разрядов, мк	От —20 до —15	От —15 до —10	От —10 до —5	От —5 до 0	От 0 до +5	От +5 до +10	От +10 до +15	От +15 до +20	От +20 до +'25	От +25 до • +30
Среднее значение разряда, МК (xj)	—17,5	—12,5	—7,5	—2,5	+2,5	+7,5	+ 12,<5	+ 17,5	+22,5	+27,5
Числен- ность разряда	7	11	15	24	49	41	26	17	7	3
Ч астота разряда	0,035	0,055	0,075	0,120	0,245	0,205	0,130	0,085	0,035 Z*	0,015
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 41] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 397
Расчеты сводим в таблицу 30.
Таблица 30
№
раз-
ряда
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,035
0,055
0,075
0,120
0,245
0,205
0,130
0,085
0,035
0,015
—12,5
— 7,5
— 2,5
+ 2,5
-- 7,5
-12,5
—17,5
—22,5
—27,5
—2
—1
0
1
2
3
4
5
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
—64
—27
— 8
— 1
О
1
8
27
64
125
256
81
16
1
О
1
16
81
256
625
—0,140
—0,165
—0,150
—0,120
О
0,205
0,260
0,255
0,140
0,075
0,560
0,495
0,300
0,120
О
0,205
0,520
0,765
0,560
0,375
—2,240
—1,485
—0,600
—0,120
О
0,205
1,040
2,295
2,240
1,875
8,960
4,455
1,200
0,120
О
0,205
2,080
6,885
8,960
9,375
В D Е
Л = 0,36; * D = 3,21;
В = 3,90; Е = 42,24.
Учитывая поправки Шеппарда, получим:
x^hA 4“С=4,30 мк,
D [X] я» Л2 (В — А3 —	= 92,25 мк3, сх = /D [X],
[X]	h3 (D — ЗАВ 2 А3) = — 113,75 мк\
[X]	ft4 [В — A [4D — у) + В [бА3 —	— ЗА4 + ^о] =
= 24215,62 мк\
=	= — 0.128,
X
Ех ГАТ ~ **4 М___3___24215,62__□______л ч g
x[XJ^	3 — 8510,06
Для тех же величин без учета поправок Шеппарда имеем
398 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. $
(см. примеры 43.2 и 43.4):
х	4,30 мк,	jl4 [X]	25 375,00 мк1,
§к [X]	— 0,125,	Ex [X]	— 0,145.
D [X]	94,26 jw2,
Аналогично решаются задачи 41.5, 41.8, 41.18, 41.19
Задачи
41.1.	При 12 независимых измерениях одним и тем же
прибором базы длиной 232,38 м получены следующие ре-
зультаты: 232,50; 232,48; 232,15; 232,53; 232,45; 232,30.
232,48; 232,05; 232,45; 232,60; 232,47; 232,30 м. Пред-
полагая, что ошибки измерений имеют нормальное распре-
деление и не содержат систематической ошибки, определить
несмещенную оценку среднего квадратического отклонение
ошибок измерительного прибора.
41.2.	Даны результаты 8 независимых измерений одной
и той же величины прибором, не имеющим систематический
ошибок: 369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 м. Опре-
делить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений,
если: а) длина измеряемой базы известна: х = 375 б) длина
измеряемой базы неизвестна.	J
41.3.	При обработке данных 15 испытаний спортивного
самолета были получены следующие значения его максимал^
ной скорости: 422,2; 418,7; 425,6; 420,3; 425,8; 423, Й
431,5; 428,2; 438,3; 434,0; 411,3;. 417,2; 413,5; 44Ц
420,0 м)сек. Определить несмещенные оценки математичек
ского ожидания и среднего квадратического отклонения макси.^
мальной скорости самолета, полагая, что максимальная ско|
рость самолета имеет нормальное,распределение.	]
41.4.	При обработке данных 6 испытаний спортивного
катера были получены следующие значения его максимально!
скорости: 27, 38, 30, 37, 35, 31 м)сек. Определить несм^
щепные оценки математического ожидания и срединног|
отклонения максимальной скорости катера, полагая, что макси^
мальная скорость катера имеет нормальное распределений
41.5.	Чувствительность телевизора к видеопрограмме хара$|
теризуется группированной выборкой, приведенной в таблй
це 31.	1
§ 41] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 399
Таблица 31
X*, МКВ		мкв	mi	Ху, МКВ	т1
200	10	350	20	550	3
225	1	375	10	600	19
250	26	400	29	625	3
275	8	425	5	J550	1
300	23	450	26	700	6
325	9	500	24	800	4
Определить оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения для чувствительности телевизора
к видеопрограмме.	z
41.6.	Для определения частоты события А производится
п независимых опытов, в каждом из которых Р (А) одна и
та же. Определить, при каком значении Р (А) дисперсия ча-
стоты будет максимальной.
41.7.	Произведено п независимых измерений одной и
той же неизвестной постоянной величины. Ошибки измерения
подчиняются нормальному закону с математическим ожида-
нием, равным нулю. Для определения оценки дисперсии по
результатам опыта были использованы две формулы:

п
~2   V (•'/ ~ •*)*
2	Л п— 1 •
Определить дисперсии случайных величин и
41.8.	Полученные в результате опыта значения случайной
величины X разбиты на группы. Среднее значение х* для
каждой группы и число элементов в группе nij даны
в таблице 32.
Таблица 32
4		* xi	mi	4	mi
44	7	47	48	50	1
45	18	48	33	52	1
46	120	49	5		
Определить оценки для асимметрии и эксцесса.
400 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ.
41.9.	Выборка из генеральной совокупности хь х* ..., хп
подвергается обработке по разностям с целью определения
оценки дирперсии. Для обработки результатов опыта при-'
меняется формула
п — 1
= * S 0*7+1 — xjf.
7=1
Каким должно быть Л, чтобы Ъх являлась несмещенной
оценкой <з£?
41.10.	Пусть х2, ..., хп — результаты независимых
измерений неизвестной постоянной величины. Ошибки изме-
рений подчиняются одному и тому же закону нормального
распределения. Среднее квадратическое отклонение ошибок
измерений определяется по формуле
5 = k 21 хj — х |,
7=i
где
' i
7=1
Определить значение Л, при котором S является несме-:
щен ной оценкой о.	-
41.11.	Даны результаты независимых измерений Х\^.
, хп известной постоянной величины Я. Ошибки изме-
рений подчиняются одному и тому же закону нормального^
распределения с нулевым математическим ожиданием. Обра-j
ботка наблюдений для определения оценки среднего квадрати-<
ческого отклонения ошибок измерений ведется по формуле
п	-2
а — k 2 | Xj — X |.
7=1
Каким должно быть Л, чтобы были несмещенными оценки:
а) среднего квадратического отклонения ошибок; б) дисперсии^
ошибок?
41.12.	' Произведено п независимых неравноточных изме-
рений Xi, х2, ..., хп одной и той же неизвестной постоянной•*
41] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 401
величины. Оценка измеряемой величины определяется по
формуле
S Aixi
f—L=l_____.
Ai
7=1
Какими должны быть Ду, чтобы дисперсия х была мини-
мальной, если среднее квадратическое отклонение ошибки
у-го измерения равно оу?
41.13.	Произведено п независимых опытов над системой
двух случайных величин, имеющей нормальное распределение;
в опытах определяются значения этих величин (xk) yk) (k= 1,
2, ..., ri). Определить несмещенные оценки математических
ожиданий и срединных отклонений этих величин.
41.14.	Решить задачу 41.13 для случая, когда результаты
независимых испытаний даны в таблице 33.
Таблица 33
№ опыта (Л)	xk- м	У к- м	№ опыта (Л)	хк'м	У к’ м
1	55	77	9	41 .	31
2	43	46	10	36	60
3	63	34	11	56	48
4	57	61	12	72	78
5	44	84	13	48	62
6	26 -	54	14	16	49
7	59	53	. 15	49	31
8	72	21	16	36	64
41.15.	Для условий задачи 41.13 определить оценки
парахметров единичного эллипса рассеивания, если до про-
ведения опытов направление главных осей рассеивания не-
известно.
41.16.	Решить задачу 41.15 для случая, когда резуль-
таты 16 независимых испытаний даны в таблице 34.
402
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
Таблица 34
№ опыта	Отклонения, м		№ опыта	Отклонения, м		
	Х1	л-		xi	yj	
1	+2	+59	9	+1		h 7
2	4-з	+88	10	—2		-57
3	+2	+32	11	—1 /		-42
4	—2	—24	12	+2		-23
5	4-2	+72	13	+4		-103
6	0	+34	14	0		-65
_ 7	4-2	—12	15	+1		-16
8	4-3	+50	16	+1		-28
41.17.	Выборка из нормальной генеральной совокупности
Xi, х2, . ..,хл подвергается обработке с целью определени|
оценки среднего квадратического отклонения по формуле
1 / S (Xj-xy
п
где ^=42^-
J=1	j
Определить, каким должно быть k, чтобы а являлась не|
смещенной оценкой среднего квадратического отклонения
41.18.	Из таблицы случайных чисел взято 150 двузнач|
ных чисел (00 принималось за 100). Эти числа были разбить!
по десяткам на интервалы (табл. 35).
Таблица 3||
1—10	11—20	21—30	31—40	41—50	51—60	61—70	71—80	81—90	91—100
16	15	19	13	14	19	14	11	13	16
Построить гистограмму и график накопленной частоты^
Определить оценки математического ожидания и дисперсии^
41.19.	С помощью таблицы случайных однозначных чи-J
сел образовано 250 сумм по 5 чисел. По разрядам числа
распределены так, как указано в таблице 36 (если число!
§ 42] ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ 403
попадает на границу разрядов, то в смежных разрядах при-
бавляется по УД Построить гистограмму и определить оценки
математического ожидания и дисперсии.
Таблица 36
0—3	3—6	6—9	9—12	12—15	15—18	18—21	21—24
0	0,5	1,5	10	17,5	28,5	39	41
24—27	27—30	30—33	33—36	36—39	39—42	42—45	
45	30,5	27	7,5	1	1	0	
41.20.	Произведено п независимых измерений одной й
той же неизвестной постоянной величины. Систематические
ошибки измерения равны нулю, а случайные ошибки распре-
делены нормально. Для определения оценок дисперсии оши-
бок измерения были использованы две формулы:
2 (Xj — яу	п-1
°*= 1	= 2(п—1) 2 ^+1 ~’
Являются ли и несмещенными опенками для дис-
персии? Какая из этих формул позволяет определять оценку
дисперсии с большей точностью?
§ 42.	Доверительные вероятности
и доверительные интервалы
Основные формулы
Доверительным интервалом называется интервал, который
с заданной доверительной вероятностью а накрывает оцени-
ваемый параметр 9.
Для симметричного доверительного интервала его ширина
2s определяется условием
Р{|9 — 0|^е} = а,	/
404 .
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
у
где 0 — оценка параметра 9, а вероятность Р {| 9 — 0 | е|
определяется законом распределения оценки 0.
Если (xit х2, .хп)— выборка из нормальной генерал^
ной совокупности, то доверительная вероятность а спредер
ляется формулами:
а)	для математического ожидания при известном <з
а = Р{^-х|^е}==ф(Ц^);
при неизвестном о
/а
а = § Sn(t)dt,
-t
а
где
о/А \2 \	г
Sn(t)= х 7 х -— -^-гх----закон распределения Стью-,
Утс(п— 1)Г^—2—j	дента,	5
t е 	е У п	ч
j
Значения 4 даны в таблице [16Т], входами в которую
являются число степеней свободы k = n—1 и доверитель^
ная вероятность а.
б)	для среднего квадратического отклонения
Vk
_ _ x~q
а = Р{|а-0|^е} = р{^<Х<Д}= $ Pk&)M
Уь
> + <?
_х2
где P* *(x)=-y=T2---> k — n— I,1) q — —.
п
*) Если D [X] =* -i- (xj ^)2> то == п •
П 7=1
§ 42]
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
405
Vk
1-^
Значения интеграла § Pk (/) fy приведены в таблице [20Т].
Vk
i-W
Доверительный интервал для о, (71Э, вероятности
выхода о за правую и левую границы которого одинаковы и
1 — а	1
равны —определяется формулой
р и. < а = р и тд = р м
V3 J	{G J	t
п — Г
1!
= P{z’^} = ^.
Для определения 71 и 72 по заданной доверительной вероят-
ности а и числу степеней свободы k = n—:1 можно исполь-
зовать таблицу [19Т] или таблицу [18Т].
При экспоненциальном законе распределения случайной -
величины доверительный интервал для математического ожи-
дания (ург, у2-£) определяется выражением
=р{х!»й} = Ц^- = «.
Значения х! и определяются из таблицы [18Т] для
вероятностей,- соответственно равных 8 и 1 — 8, и числа сте-
пеней свободы Л = 2п.
При достаточно большом объеме выборки (п^> 15) гра-
ницы доверительного интервала для х приближенно рассчи-
тываются по формулам
4 S х> 4 S х)
7=1	7=1
(|^4п — 1 + е0)2’	(|<4/г — 1 — е0)2’
где е0 — решение уравнения а = Ф(с0).
406
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Если из одной и той же генеральной совокупности произ<
ведено М выборок каждая объемом п и событие, вероятность
появления которого согласуется с законом распределения
Пуассона, происходило в каждой из этих выборок
раз (/=1, 2,	N), а оценка математического ожидания

(параметра а) определена формулой а = }—^—, то при
границы доверительного интервала определяются из соотно^
шения
Р {2Na > X?} = Р {2Na < Х®_8} = Ц-? = &
т. е. для нижней и верхней границ они соответственно равны
2/V ’ 2ЛГ’
где и при заданном 8 выбираются из таблицы [18Т],
N
причем — для числа степеней свободы А = 2	а
7.1 — для /г = 2 [ 2 mj + 1 j
_ ~ . V=1	/’
Для 5 = 0 нижняя граница равна нулю, а верхняя равна
72
_ 2^, где находится с помощью таблицы [18Т] для k = 2
и вероятности Р {22V5^>X|S} = 28.
При достаточно большом k (практически более 30) гра^
ницы доверительного интервала приближенно определяют^
формулами:	<
нижняя
верхняя
где е0 — решение уравнения а = Ф(е0).
§ 42] ' ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
4)7
Если при п независимых опытах некоторое событие, веро- .
ятность появления которого в каждом опыте равна р, имело
место ровно т раз (0 <2 m <2 п), то границы рь довери-
тельного интервала для вероятности появления этого собы-
тия р определяются решениями уравнений
п	>
У=/п
*	т
2 эд(1-^=ц^,
7=0
Эти уравнения приближенно решаются с помощью неполной
^-функции. В таблице [ЗОТ] для различных т и п и двух
значений вероятности а, равных 0,95 и 0,99, приведены ве-
личины Pi и р2«
Когда п достаточно велико, то приближенно
Л==р —®> Р1—р + ^
где р = -—9 as является решением уравнения

а = Ф
Более точное приближение дают формулы
одна из которых дает интервал с занижением, другая— с завы-
шением того же порядка; е0 — решение уравнения а = Ф(е0).
Если т = 0, то р{ = 0, а р^ = 1 —	1 — а;
п >----
если т — п, то /?2=1, a Pi—y 1—а.
408 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ.
Доверительный интервал для коэффициента корреляции,
оценка которого получена из нормальной выборки объема п,
приближенно вычисляется через вспомогательную случайную
1	14-г
величину Z=y 1пр^-^, границы (гн, гв) доверительного
интервала для которой определяются формулами
2Н = Д —£оЯг, 2'в = Д + еоаг,
где сг = —1==, е0 — решение уравнения а = Ф(е0), Д=з
У п — 3
1	1 I г
=	— Д2, Ai = -х- In —- ~ (значение этой величины опреде-
2	1 — г
ляется из таблицы [31Т]), Д2 = 2 (п—Т) *
По найденным значениям гн и гв из таблицы [31Т] или
по формуле г ===== th определяют границы доверительного
интервала для г. В случае больших л(п^>50) и малых
г (г 0,5) границы гн, гв доверительного интервала для г
приближенно определяются формулами
„	н 1
1 в )
где е0 —решение уравнения а = Ф(е0)>
1 -г2
=—7=~ .
r Vn
Решение типовых примеров
Пример 42.1. Среднее значение расстояния до ориен-
тира, полученное по четырем независимым измерениям, равнб’
2250 м. Срединная ошибка измерительного прибора Е = 40 а
систематическая ошибка отсутствует. Найти с надежность^
95% доверительный интервал для измеряемой величины.
Решение. Вероятность накрыть истинное значение из-
меряемой величины х интервалом (х — е, х-[~£) со случай-
ными концами при известном Е определяется формулой
Р{|х —= р £*</2 = ф(^),
§ 42] ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ 409
где £'1 = -—=—срединное отклонение случайной величины
V п
7=1
Решая уравнение Ф j = 0,95, из таблицы [ИТ] на-
ходим
2,91,
2,91	2,91-40 _QO
е = т7=г^=—о— = 58,2 м
2
Отсюда искомые границы доверительного интервала будут:
верхняя 2250 м-^-58,2 м — 2308,2 ж,
нижняя 2250 м—58,2 м =2191,8 м.
Аналогично решаются задачи 42.1, 42.6, 42.13.
Пример 42.2. Средняя квадратическая ошибка высото-
мера <з= 15 м. Сколько надо иметь таких приборов на само-
лете, чтобы с надежностью 0,99 ошибка средней высоты 55
была больше — 30 м, если ошибки высотомеров нормальны,
а систематические ошибки отсутствуют?
Решение. Условия задачи могут быть записаны так;
Р {— 30	5с — х<^ оо} = 0,99.
Случайная величина
п
Z=5c— х = — 2	— %
П / = 1
является линейной функцией нормально распределенных слу-
чайных величин, а поэтому также имеет нормальное распре-^
деление, параметры которого
410
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
Тогда
Решая уравнение
=![+<)]=«
из таблицы [8Т] находим 5^-^ = 2,33, -
Отсюда следует, что число высотомеров на самолете
должно быть не менее двух.
Аналогично решаются задачи 42.7, 42.11.
Пример 42.3. На контрольных испытаниях 16 освети*
тельных ламп были определены оценки математического ожи-
дания и среднего квадратического отклонения их срока службы,
которые оказались равными х = 3000 час. и 3 = 20 час. Счи-
тая, что срок службы каждой лампы является /нормальнрй
случайной величиной, определить:
а)	доверительный интервал для математического ожидания
и среднего квадратического отклонения при доверительной
вероятности 0,9;	:
б)	с какой вероятностью можно утверждать, что абсолют-
ное значение ошибки определения х не превзойдет 10 час.,-
а ошибка в определении о будет меньше 2 час.?	;
Решение, а) При определении границ доверительного
интервала для математического ожидания воспользуемся урав-
нением
а= Sn(t)dt.
В таблице [16Т] по k = n—1 и а = 0,9 находим 4 =
1
1,753, откуда s = 	= 8,765 часа ^8,8 часа»
§42] ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ 411
Поэтому искомые границы доверительного интервала для
Л будут:
верхняя 3000 4-8,8 = 3008,8 часа,
нижняя 3000 — 8,8 = 2991,2 часа.
При определении границ доверительного интервала для а
воспользуемся таблицей [19Т]. Входами в эту таблицу являются
величина k — n—1 и доверительная вероятность а. Для
k = 15 и а = 0,9 имеем
11 = 0,775, 72=1,437.
Таким образом, при доверительной вероятности 0,9 совме-
стимые с данными наблюдения значения а лежат в пределах
от 0,7755=15,50 часа до 1,4375 = 28,74 часа.
б) Вероятность неравенства —10 час.<^^— х<^Ю час.
определяется распределением Стьюдента
а = Р {|х — л|<^г}= § Sn(t)dt.
тл х Г1Л-Г1	zVn Ю/16 о
Из таблицы [16Т] по 4= ~-- =—57т— = 2ичислусте-
а
пеней свободы k = n—1 = 15 находим а = 0,93;
/-распределение позволяет определить вероятность не-
равенства— 2 часа5— а<^2 часа;
Vk
1 -ч
a=P{|S —с|<е}= Р*(хИХ-
Vk
14-9
По <? = 4- = Д = 0,1 и числу степеней свободы k =
= п—1 = 15 из таблицы [20Т] определяем вероятность
а = 0,41.
Аналогично решаются задачи 42.2—42.5, 42.8—42.10.
Пример 42.4. Случайная величина Т подчиняется экспо-
ненциальному закону распределения, имеющему плотность
__ £
яероятности =	.
412
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
Оценка параметра t определяется по формуле
п ;
1 V 4 D	2	1
— — ? ty. Выразить через t границы доверительного ин*
7=1 _ ~
тервала для t, удовлетворяющие условию P{vi£^>£}=s
= Р{^<СО=—у—, Для доверительной вероятности
= 0,9 при п, равном 3, 5, 10, 20, 30, 40.	«
Решение. В соответствии с условиями примера имеей
Р{^>0 = Р{у^<0 = 1=^=8.	'
1-3
Тождественное преобразование неравенств в этом выра-j
жении дает	*
р(?^->Х?1 = Р	Л = 8.
t t J Iе	J	;
Случайная величина U = ^j- имеет ^-распределение с 2/i
степенями свободы, а при п^> 15 случайная величина Z=
= ]/'2[/ имеет распределение, близкое к нормальному,"
с z = ]^4n— 1 и <^=1. Поэтому в первом случае (пр$
л<^15) имеем	4
2п	2п	1
= Ъ = —2--------.	1
Хб	Xi-5	j
Определив из таблицы [18Т] и (для числа сте*
пеней свободы 2п и вероятностей В и4—В), рассчитываем
и (см. табл. 37).
Таблица 37
п	3	5	10
Хб	12,60	18,30	31,40
Х1—д	1,63	3,94	10,90
V1	0,48	0,55	0,64
V2	3,68	2,54	1,83
$ 421
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
413
Во втором случае (д^>15) в соответствии с формулами,
приведенными в начале этого параграфа, имеем (см. табл. 38)
__ 4гг	_______4гг____
(К4^=Л + е0)2’ V2“(j/3^1-e0)Sr'
Величина е0 определяется из таблицы [8Т] для вероятности
а = 0,9.
Таблица 38
п	20	30	40
	1,65	1,65	1,65
V1	0,72	0,76	0,79
v2	1,53	1,40	1,33
На рис. 35 показан график, характеризующий измене-
ние Vi и в зависимости от п для доверительной вероят-
ности а = 0,9.
Пример 42.5. В результате 50 независимых испытаний
/ трех типов приборов (Д, В и Q в течение определенного
промежутка времени фиксировалось число отказов (см. табл. 39).
Найти границы доверительных интервалов для математиче-
ского ожидания числа отказов каждого типа приборов за
414 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ.
выбранный промежуток времени при доверительной вероят^
ности а = 0,9, если число отказов для каждого типа прибой
ров за выбранный промежуток времени подчиняется закону
распределения Пуассона.
Таблица 39
Число отказов	Число наблюдений, в которых такое число отказов имело место		
	для типа А	для типа В	для типа С
0 1 2 3 4	38 12 0 .0 0	4 16 20 6 4	50 0 0 0 0
Решение. При определении границ доверительного
интервала для приборов типа А воспользуемся распределе-
нием Из таблицы [18Т] для числа степеней свободы Л =
= 24 и вероятности —— = 0,95 определяем ^_5=13,8, а
для Л = 26
Верхняя
вала для а
а'2 —2W
j _ д
и вероятности В = ——=0,05 находим Х|=38,9.
и нижняя «1 границы доверительного интер-
приборов типа А соответственно равны
33,9 _q ooq п ___— 8 ___13,8__р. .j qq
= Тбо-°’389’ а1==^лГ=Тоб = 0’138-
При определении границ доверительного интервала для мате-
матического ожидания числа отказов приборов типа В нужно
также воспользоваться распределением /2, но с числом степе-
ней свободы Л=180 и Л=182. Таблица [18Т] содержит
данные только до Л = 30. Поэтому, учитывая, что при числе
степеней свободы более 30 распределение /2 практически
совпадает с нормальным, имеем
_ 1 _ V
_(У4.90- 1-1,64)’
4.V	—	200	~ 1,5°’
(j/4.90- 1 + 1,64)’
200	~
§ 42]
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
415
N
Для приборов типа С ^у==0 и поэтому нижняя граница
/=1
доверительного интервала достоверно равна нулю. Из таб-
лицы [18Т] для k = 2 и вероятности 1—а = 0,1 опреде-
ляем = 4,6 и рассчитываем значение верхней границы:
= °’046,
Пример 42.6. В процессе независимых испытаний 30 об-
разцов изделия у 10 из них наблюдался отказ. Определить
границы доверительного интервала для вероятности отказа
при доверительной вероятности 0,95, если число отказов имеет
биномиальное распределение. Сравнить результаты точного
и приближенного решений.
Решение. Точное решение может быть получено непо-
средственно из таблицы [ЗОТ]. Для х=10 и п — х = 20
при 95%-ной доверительной вероятности имеем р1 = 0,173,
р.2 = 0,528.
При больших пр (1 — р) уравнения для определения гра-
ниц доверительного интервала р приближенно могут быть
определены с помощью нормального распределения:
2 c^(i—р^п-х
* = 0
(*-ъ)8
£ е	dz
2
Отсюда
1
с2 У2л
416 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ?
4%,	ffv	А
где р = — = — у а величина е0 определяется из таблицы
для вероятности а = 0,95,
Р1^ЗЗЖ 10 — 0,5 4-1,92— 1,96 -j/9^ + 0,96] =
= °>18^
~ Щ4 [10 + °’5 + 1>92 + 1>96 V+ °’96] = '
= 0,529,
Приближение того-же порядка дает формула	s
arcsin Y P*
arcsin Vpi
g0
2/n ’
воспользовавшись которой, получим
p% 0,526,	0,166.
л?
Еще с более грубым приближением можно найти pi и
считая, что частота р распределена приближенно нормальней
с математическим ожиданием р и дисперсией Т— ,
у п *
В этом случае
Рз 1	~ .
/ р ± 8,
Р1 )
где е — решение уравнения а = Ф —у-г.	.
. \ УРО —Р) /
• Пользуясь таблицей [8Т] для а = 0,95, имеем
£	= 1,96, е=1,9б1/'-аЛп-=0>169>
FP(l-P)	.	' 9’30	з
откуда рх ^0,333 — 0,169=0,164, Pi^ 0,3334-0,169=0,50^
Пример 42.7. Для изучения механических свойств сталй|
произведено 30 независимых опытов, по результатам котррцЖ
определены оценки коэффициентов корреляции r13 = 0,8fe
и г13 = 0,40, характеризующих связь предела выносливостй|
металла соответственно с пределом прочности на разрыв
пределом текучести. Определить границы доверительны^
интервалов для г12 и при доверительной вероятности.0,95|
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
417
Решение. При большом объеме выборки п и малых
значениях коэффициента корреляции г его оценка г имеет
распределение, близкое к нормальному, с математическим
ожиданием М [г] = г и средним квадратическим отклонением
I f3
................- - ~ ~ имеем:
Принимая г^г,
а-
Г12	0,88,
!.^ = 0,041,
/зо
Г1з 0,40,
1 - 0,40s п 1
а~	— = 0,153.
'is /30
Из таблицы [8Т] для доверительной вероятности а = 0,95
находим е0=1,96 (е0 — решение уравнения а = Ф(е0)) и
доверительны^ интервалы:
для Г12 (0,80; 0,96),
для г13 (0,10; 0,70).
Полученные доверительные интервалы можно уточнить,
1	1 4- г
если перейти к новой случайной величине Z=-^\n	~, рас-
пределение которой хорошо согласуется с нормальным даже
при малом п.
При этом М [Z] =4^44^4-2^4^^ 1 In 1±^ +
~^2(/г— 1) И °г	'
Пользуясь таблицей [31Т], определяем доверительный
интервал для м [Z]:
Так как функция <р (г) = Д In выражается через 2
формулой ?(г) = г— 2(^-1.	2(n- 1) » т0 Довери-
тельный интервал для <р (г)
/1 In 1±£_	_______!»___
\2Ш1- г 2(n —1)	/ЯЗГЗ’
1 in 1±£ _ __L_ _|_	е° \
2 1- г 2(я-1)П-}4^з/-
14 Б. Г. Володин и др.
418
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Пользуясь таблицей [31Т], находим доверительный интервал
для ср (гi2) (1,00; 1,75); для ср (г13) (0,05; 0,80). Учитывая,
r = th [ср (г)], по таблице [31Т] находим доверительный интетй
вал: для г12 (0,76; 0,94), для (0,05; 0,66).	”
Задачи
' 42.1. Постоянная величина измерена 25 раз с помощь^
прибора, систематическая ошибка которого равна нулк^
а случайные ошибки измерения распределены нормально
средним квадратическим отклонением а =10 м. Определит^
границы доверительного интервала для значения измеряемой
величины при доверительной вероятности 0,99, если х = 100
42.2.	Результаты измерений, не содержащие систематик
ческих ошибок, записаны в виде группированной выборку
(табл. 40). Ошибки измерений согласуются с нормальны^
распределением. Определить оценку измеряемой величины й
границы доверительного интервала при доверительной ве-
роятности 0,95.
Таблица 40
j	X*, м	TTlj	J	х*, м	mJ 1
1	114	2	4	117	v4 1
2	115	5	5	118	3 1
3	116	8			
42.3.	/Произведено 40 измерений базы постоянной длины^
По результатам опыта получены оценки измеряемой величины1
и среднего квадратического отклонения: х—10 400 м и|
ох = 85 м. Ошибки измерения подчиняются закону нормаль^
ного распределения. Найти вероятности того, что довери^
тельные интервалы со случайными границами (0,999х; 1,001Д
и (0,95о; 1,055) соответственно накроют неизвестные пара;-
метры х и	I
42.4.	Результаты 11 измерений постоянной величины данц
в таблице 41. Ошибки измерений распределены по нормаль^
ному закону, систематические ошибки отсутствуют.
Определить: а) оценки измеряемой величины и среднего
квадратического отклонения; б) вероятность того, что абсо-
лютное значение ошибки в определении истинного значения
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
419
измеряемой величины меньше 2% от х; в) вероятность того,
абсолютное значение ошибки определения среднего
квадратического отклонения меньше 1% от 5.
Таблица 41
-	 № измерения	лу, м	№ измерения	Лу, М	№ измерения	Ay, М
	 1	9,9	5	6,0 I	9	11,6
2	12,5	6	10,9	10	9,8
3	10,3	7	ю,з	11	14,0
4	9,2	8	Н,8		
42.5.	На основании 100 опытов было определено, что
в среднем для производства детали требуется ?=5,5 сек.,
а at= 1,7 сек. Сделав допущение, что время для производства
детали есть нормальная случайная.величина, определить гра-
ницы, в которых лежат истинные значения для t и
с доверительной вероятностью 85% и 90% соответственно.
42.6.	Определение скорости снаряда было проведено на
5 испытаниях, в результате которых вычислена оценка
5 = 870,3 м!сек. Найти 95%-ый доверительный интервал,
если известно, что рассеивание скорости подчинено нормаль-
ному закону со срединным отклонением £^ = 2,1 м)сек.
42.7.	Глубина моря измеряется прибором, систематическая
ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распре-
делены нормально со срединным отклонением f=20 м.
Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы
определить глубину с ошибкой не более 15 м при довери-
тельной вероятности 90%?
42.8.	Найти при доверительной вероятности 0,9 довери-
тельные границы для расстояния до ориентира X и для сре-
динного отклонения Е, если при 10 независимых измерениях
были получены значения расстояния, приведенные в таб-
лице 42, а ошибки измерения имеют нормальное распределе-
ние с математическим ожиданием, равным 0.
Таблица 42
— № опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Лу, м	25 025	24 970	24 780	25315	24 907	24 646	24 717	25354	24 912	25 374
14*
420 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
42.9.	Произведено 5 независимых равноточных измерен»
для определения заряда электрона. Опыты дали следующд
результаты (в абсолютных электростатических единицах):
4,781 • 1(Г10,	4,792-10"10,
4,795-10-10,	4,779- 1О“10.
4,769-10'10,
Определить оценку величины заряда электрона и найти^
доверительные границы при доверительной вероятности 99%
считая, что ошибки нормальны и измерения не имеют систем
матических ошибок.
42.10.	По 15 независимым равноточным измерениям"
были рассчитаны оценки математического ожидания и сред-3
него квадратического отклонения максимальной скорост^
самолета Ъ= 424,7 м/сек и а ^ = 8,7 м/сек.	;
Определить: а) доверительные границы для математичек
ского ожидания и среднего квадратического отклонения прий
доверительной вероятности 0,9; б) вероятности, с которым^
можно утверждать, что абсолютное значение ошибки в опре!
делении v и не превзойдет 2 м/сек. (Считать выборку!
нормальной.)	|
42.11.	В качестве оценки расстояния до навигационног(|
знака принимают среднее арифметическое результатов неза|
висимых измерений расстояния п дальномерами. Измерения^
не содержат систематической ошибки, а случайные ошибки?
распределены нормально со средним квадратическим отклонен
нием б=10 м. Сколько надо иметь дальномеров, чтобй
абсолютная величина ошибки при определении дальности д<|
навигационного знака с вероятностью 0,9 не превышала 15
42.12.	Известно, что измерительный прибор не имеет
систематических ошибок, а случайные ошибки каждого из|
мерения подчиняются одному и тому же закону нормальной^
распределения. Сколько надо произвести измерений дд$|
определения оценки среднего квадратического отклонений
прибора, чтобы с доверительной вероятностью 70% абсо^
лютное значение ошибки в определении этой величины было
более 20% от 5?	|
42.13.	Систематические ошибки измерительного прибор^
практически равны нулю, а случайные распределены нор^
мально со срединным отклонением о = 20 м. Необходимо,^
чтобы абсолютное значение разности между оценкой измё^|
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
421
ряемой величины и истинным ее значением не превосходило
Ю м. Определить, с какой вероятностью будет выполнено
это условие, если число наблюдений 3, 5, 10, 25 (построить
график).
42.14.	Оценка измеряемой величины определяется по
формуле
*=4 2 xj-
7=1
Результаты отдельных измерений не содержат систематиче-
ской ошибки и подчинены одному и тому же закону нор-
мального распределения. Определить границы доверительного
интервала с доверительной вероятностью 0,9 для значения
измеряемой величины при следующих условиях: а) а = 20 м>
л = 3, 5, 10, 25; б) а =20 м, л = 3, 5, 10, 25.
42.15.	При испытании 10 однотипных приборов зареги-
стрирован момент выхода каждого прибора из строя. Резуль-
таты наблюдений даны в таблице 43.
Таблица 43
№ прибора	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
час.	200	350	600	450	400	400	500	350	450	550
Определить оценку математического ожидания t времени
безотказной работы прибора и доверительный интервал
для t при доверительной вероятности 0,9, если случайная
величина Т имеет экспоненциальное распределение.
42.16.	Случайно отобранная партия из 8 приборов была
подвергнута испытаниям на срок безотказной работы. Коли-
чество часов, проработанных каждым прибором до выхода
его из строя, оказалось равным 100, 170, 400, 250, 520,
680, 1500, 1200. Определить 80%-ый доверительный ин-
тервал для средней продолжительности работы прибора,
если время безотказной работы прибора имеет экспоненци-
альный закон распределения.
42.17.	Плотность вероятности для времени Т между после-
довательными отказами радиоэлектронной аппаратуры задана
422
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
формулой
где t — математическое ожидание случайной величины р
(называемое в теории надежности «наработкой на отказ»).
При определении оценки параметра i наблюдалось 25 от-
казов, а общая продолжительность безотказной работы с на*
чала испытаний до последнего отказа оказалась равной
25
2 tj= 1600 час.
/=1
Определить границы доверительного интервала для пара*
метра f, полученного по результатам этого опыта, при дове-
рительной вероятности а = 0,8.
42.18.	Для определения токсической дозы яд был введен
30 мышам, 8 из которых погибли. Определить границы до-
верительного интервала для вероятности того, что данная
доза окажется смертельной, при доверительной вероят-
ности 0,95, предполагая, что число смертельных исходов
в данном опыте подчиняется биномиальному закону распре-
деления.	'
42.19.	Произведено 100 независимых опытов, в резуль*
тате которых событие А наблюдалось 40 раз. Определить
границы доверительного интервала для вероятности появле-
ния этого события в одном опыте при доверительной веро-5
ятности 0,95 и 0,99, если число появлений события А имеет*
биномиальное распределение.	i
42.20.	При испытаниях каждого из 10 приборов не на^
блюдалось ни одного отказа. Определить границы доверий
тельного интервала для вероятности отказа при доверитель-*
ной вероятности 0,8; 0,9 и 0,99, если число отказов имеет,
биномиальное распределение.
42.21.	Стрелок А при 10 выстрелах попал в цель 5 раз/
а стрелок В после 100 выстрелов по той же цели имел
50 попаданий. Определить границы доверительных интервалов
для вероятности попадания в цель каждым стрелком одниМ:
выстрелом при доверительной вероятности 0,99, если число
попаданий в цель имеет биномиальное распределение.
42.22.	За время испытаний, равное Т час., в шестй
однотипных приборах было отмечено 12 отказов. Найти гра*
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИНТЕРВАЛЫ
423
Рины доверительного интервала для математического ожидания
числа отказов за Т час. работы такого прибора при до-
верительной вероятности 0,9, если число отказов для про-
веряемых приборов имеет закон распределения Пуассона.
42.23.	Число частиц, зафиксированное счетчиком в опыте
резерфорда, Чедвика и Эллиса за каждый из 2608 интер-
валов по 7,5 сек., дано в таблице 44. Считая, что число
частиц, зафиксированное счетчиком, согласуется с законом
распределения Пуассона, определить границы доверительного
интервала для параметра этого закона, соответствующие
интервалу времени 7,5 сек. и доверительной вероятно-
сти 0,9999.
Таблица 44
Число частиц, ДОСТИГШИХ счетчика	Число наблюдений, в которых такое число имело место	Число частиц, достигших счетчика	Число наблюдений, в которых такое число имело место
0	57	6	273
1	203	7	139
2	383	8	45
3	525	9	27
4	532	10	16
5	408		
42.24.	При исследовании содержания повилики в семенах
клевера было установлено, что выборка весом 100 г не со-
держит семян повилики. Найти 99°/0-ый доверительный
интервал для среднего числа семян повилики в выборке
весом 100 г, если число семян повилики, содержащихся в се-
менах клевера, имеет распределение Пуассона.
42.25.	По результатам 190 испытаний образцов железа
«армко» были определены оценки коэффициентов корреляции
Г12 = 0,55, г13 = О,ЗО, г14 = 0,37, характеризующих зависи-
мость коэрцитивной силы соответственно от балла зерна,
содержания углерода и содержания серы. Определить гра-
ницы доверительных интервалов для определенных из этого
опыта коэффициентов корреляции при доверительной вероят-
ности 0,99 и 0,95, если можно считать, что рассматриваемые
случайные величины имеют нормальное распределение.
42.26.	В результате опыта получены 25 пар значений для
системы случайных величин (X, У), имеющей нормальное
424
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
распределение. По опытным данным рассчитаны оценки
параметров этой системы: х=10,5; у =7^; 0^ = 2,0;
^=10,0;	= 0,62. Определить границы доверительных
интервалов для параметров системы случайных величин (X, Y)
при доверительной вероятности 0,9.
§ 43. Критерии согласия
Критерии согласия позволяют оценить вероятность того,
что полученная выборка не противоречит сделанному пред-
положению о виде закона распределения рассматриваемой
случайной величины. Для этого выбирается некоторая вели-
чина х, являющаяся мерой расхождения статистического и
теоретического законов распределения, и определяется такое
ее значение ха, чтобы Р (х	ха) = а, где а — достаточно
малая величина (уровень значимости), значение которой уста-
навливается в соответствии с существом задачи. Если значе-
ние меры расхождения х^, полученное на опыте, больше ха,
то отклонение от теоретического закона распределения счи-
тается значимым и предположение о виде закона распреде-?
ления должно быть отвергнуто (вероятность отвергнуть пра-
вильное предположение о виде закона распределения в этом
случае не больше а). Если значение х^^хл, то отклонение
считается не значимым, т. е. данные опыта не противо-
речат сделанному предположению о виде закона распреде-
ления.
Проверку гипотезы о характере распределения с помощью1
критерия согласия можно вести и в другой последователь-^
ности: по значению х7 определить вероятность = Р (х хД
Если полученное значение а^<^а, то отклонения значимые;!
если ад^а, то отклонения не значимые. Значения ад, весьма^
близкие к 1 (очень хорошее согласие), могут указывать на1
недоброкачественность выборки (например, из первоначальной^
выборки без основания выброшены элементы, дающие больл
шие отклонения от среднего).	J
В различных критериях согласия в качестве меры рас-^
хождения статистического и теоретического законов распред
деления принимаются различные величины.
В критерии, согласия К. Пирсона (критерий /2) за мерЯ
расхождения принимается величина х > опытное значение
§ 43]	*
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
425
которой определяется формулой
i
™ Ш npi ’
i = 1
где I — число разрядов, на которые разбиты все опытные
значения величины X, п— объем выборки, гщ— численность
z-ro разряда, p-t— вероятность попадания случайной вели-
чины X в /-й интервал, вычисленная для теоретического
закона распределения.
При п—> оо закон распределения независимо от вида
закона распределения случайной величины X стремится
к закону ^-распределения с k = l—г—1 степенями сво-
боды, где г — число параметров теоретического закона рас-
пределения, вычисляемых по данной выборке.
Значения вероятностей Р (/2 в зависимости от и
k приведены в таблице [17Т].
Для применения критерия Пирсона в общем случае не-
обходимо, чтобы объем выборки п и численности разрядов /пг-
были достаточно велики (практически считается достаточным,
чтобы было 50-г-60,	5-4-8).
Критерий согласия Колмогорова применим в том случае,
когда параметры теоретического закона распределения опре-
деляются не по данным исследуемой выборки. За меру
расхождения статистического и теоретического законов распре-
деления принимается наибольшее значение D абсолютной ве-
личины разности статистической и теоретической функций
распределения. Опытное значение Dq величины D определяет-
ся формулой
Dq = max \F(x) — F (х) |,
где F—статистическая, a F — теоретическая функции рас-
пределения.
При п—>оо закон распределения величины Х = ]/ nD
независимо от вида закона распределения случайной вели-
чины X стремится к закону распределения Колмогорова.
Значения вероятностей a.q — Р (D Dq) = Р (kq) =1 — К (Х^)
приведены в таблице [25Т]. В табл. X приложения приве-
дены также критические значения Ха в зависимости от уровня
значимости а, составленные на основании табл. [25Т].
:3
426 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ *[ГЛ, IX
Если опытное значение \q=\f	то гипотеза
о согласии теоретического закона распределения с данными
выборки опровергается.
Для применимости критерия Колмогорова п должно быть
достаточно велико, практически должно быть п^40—50.
Для проверки гипотезы о принадлежности двух выборок
объемов Hi и одной генеральной совокупности использу-
ется критерий Смирнова — Колмогорова. При этом вычисляется
Ди; = max | Fi (х) — F2 (х) |
и	1 —лГ п'п* п
где Fi(x) и F%(x)— статистические функции распределения
для первой и второй выборок; если ^^>Ха, то гипотеза
опровергается.*
Вид теоретического закона распределения выбирается или
на основании данных о механизме образования случайной
величины, или путем качественного анализа вида гистограммы
распределения. Если вид закона распределения не удается
установить из общих соображений, то применяется его ап-
проксимация таким законом распределения, соответствующее
число первых моментов которого равно их оценкам, полу-
ченным из рассматриваемой выборки. В качестве аппрокси-
мирующих выражений могут быть использованы или кривые
Пирсона [27], учитывающие четыре первых момента, или
бесконечный ряд Эджворта [27], в котором при сравнительно
небольшом отклонении статистического закона распределе-
ния от нормального можно удержать только первые члены,
образующие A-ряд Шарлье
Sk	F х
F (z) = 0,5 4- 0,5Ф (г) -	(г) + -g-cp3 (г),
где срзС?), ?зСг) — производные второго и третьего порядка
от нормальной плотности вероятности <р(г):
<p2(z)=(z«—l)T(z); <р3(г) = — (г3 — Зг) ср (г); z = ^^,
Sk = -^ — оценка асимметрии, Ёх =	— 3 — оценка эк-
сцесса, о2, р.3,	— оценки второго, третьего и четвертого
центральных моментов соответственно.
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
427
Значения функций Ф(г), <р2(г), ?з(^) приведены в таб-
лицах [8Т], [ЮТ].
Критерий х2 позволяет также проверить гипотезу о не-
зависимости двух случайных величин X и У. В этом случае
величина определяется формулой
_ У V >п,7)а
Л/А mt/
где hij— число случаев, когда одновременно наблюдались
значения Х==х^ Y=yj (для непрерывных X и У I и j —
номера соответствующих разрядов);
/?/0— общее число случаев, когда наблюдалось значение
X = Xi, h^j — общее число случаев, когда наблюдалось зна-
чение Y=yy, I и т— числа значений, которые принимали
величины X и У, п — объем выборки.
Число- степеней свободы k, необходимое для вычисления
вероятности Р (Х2^Х?)> вычисляется по формуле
k = (l— l)(m — 1).
Решение типовых примеров
Пример 43.1. Радиоактивное вещество наблюдалось
в течение 2608 равных интервалов времени (по 7,5 сек.
каждый). Для каждого из этих интервалов регистрировалось
число частиц, попавших в счетчик. В таблице 45 приведены
числа mi интервалов времени, в течение которых в счетчик
попало ровно I частиц.
Таблица 45
i	т1	i	т.
0	57	6	273
1	203	7	139
2	383	8	45
3	525	9	27
4	532	10	16
5	408		
		Итого:	п = 2 mi — 2608
428
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Проверить, используя критерий /2, гипотезу о согласи?
наблюденных данных с законом распределения Пуассона
Р(/,
Уровень значимости а принять равным 0,05.
Решение. На основании наблюденных данных вычи-
сляем оценку а параметра а закона распределения Пуассона
по формуле
оо
где п = J] = 2608, 5 = 3,870.
/=о
Вычисляем теоретические вероятности рх- попадания в
счетчик I частиц при наличии закона Пуассона, используя
таблицу [6Т] для функции Р(/, а) = рь В результате ин-
терполирования по а между а = 3 и а = 4 получим значе-
ния pi и прь приведенные в таблице 46.
Таблица 46
i	Pi		mi ~~ nPi	(m. — zip J 2	(mz - zip .)2	|
					/ip.
0	0,021	54,8	2,2	4,84	0,088
1	0,081	211,2	— 8,2	67,24	0,318
2	0,156	406,8	—23,8	566,44	1,392
3	0,201	524,2	0,8	0,64	0,001
4	0,195	508,6	23,4	547,56	1,007
5	0,151	393,2	14,2	201,64	0,512
6	0,097	253,0	20,0	400,00	1,581
х 7	0,054	140,8	— 1,8	3,24	0,023
8	0,026	67,8	—22,8	519,84	7,667
9	0,011	28,7	— 1,7	2,89	0,101
10	0,007	18,3	— 2,3	5,29	0,289
	1,000				= 13,049
Вычисляем значение выполняя вычисления в табл. 46
ю
х?=2-^^-=13,05.
i = 0	1
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
429
Так как число степеней свободы k = l—г—1, где об-
щее число интервалов /== 11, а число параметров, опреде-
ленных на основании наблюденных данных, г=1 (пара-
метр а), то
Л=11 —1 — 1 = 9.
По таблице [17Т], входя в нее с величинами Л = 9 и
^=13,05, находим вероятность P(x2^/J) того, что вели-
чина х2 превзойдет значение х|* Получаем
а9 = Р(Х2=^) = 0,166.
Так как а^^>а = 0,05, то отклонения от закона Пуассона
не значимы.
Аналогично решаются задачи 43.1 — 43.5.
Пример 43.2. Произведен выбор 200 деталей из те-
кущей продукции прецизионного токарного автомата. Про-
веряемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк.
В таблице 47 приведены отклонения xt от номинального
размера, разбитые на разряды, численности разрядов и
их частоты р*.
Таблица 47
№ раз- ряда i	Границы интервала xi ~ xi+l			№ раз- ряда i	Границы интервала xi Х1+1	m.	pt
1	—20 4	15	7	0,035	6	5 4-10	41	0,205
2	—15 4	Ю	11	0,055	7	104-15	26	0,130
3	—Юч	5	15	0,075	8	154-20	17	0,085
4	-5-Ь	0	24	0,120	9	20 4-25	7	0,035
5	04-	5	49	0,245	10	254-30	3	0,015
Оценить с помощью критерия х2 гипотезу о согласии
выборочного распределения с законом нормального распре-
деления при уровне значимости а = 0,05.
Решение. Определяем значения х* середин интервалов
и находим оценки математического ожидания и дисперсии
по формулам:
ю
х = 2 xtpt = 4,30 мк, Ъ- = т% — х* = 94,20 мк*,
i=l
10
тг =	х**р* = 112,75 мк*,	о = 9,71 мк.
j=i
430 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Вычисления сводим в таблицу 48.
Таблица 48
i	4	zi	4ф(ч)	Pi		(m.-np.)2
						
1	—17,5	— оо	—0,5000	0,0239	4,78	1,04
2	—12,5	—1,99	—0,4761	0,0469	9,38	0,28
3	— 7,5	—1,47	—0,4292	0,0977	19,54	1,05
4	— 2,5	—0,96	—0,3315	0,1615	32,30	2,13
5	2,5	—0,44	—0,1700	0,1979	39,58	2,24
6	7,5	0,07	0,0279	0,1945	38,90	0,11
7	12,5	0,59	0,2224	0,1419	28,38	0,20
8	17,5	1,10	0,3643	0,0831	16,62	0,01
9	22,5	1,62	0,4474	0,0526	10,52	0,03
10	27,5	2,13	0,4834			
11	—	оо	0,5000	—	200	Х| = 7,0Э
Вычисляем теоретические вероятности попадания от-
клонений в интервалы	по формуле
pi = у ф (27+1) — у ф
где Zi — левая граница Z-ro интервала относительно х в еди-
ницах 3:
Zi—Xl^x
При этом наименьшее	= —2,50 заменяем на —оо,
а наибольшее = 2,65— на -j*"00-
Значения функции Лапласа Ф (г) находим из таблицы [8Т].
Интервал /==10, ввиду его малочисленности, объединяем
с интервалом Z = 9. Результаты вычислений приведены
в таблице 48.
Находим значение
9
= У	—7,09,
/ = 1
Число степеней свободы
k = l— г— 1 — 9 — 2 — 1 = 6,
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
431
так как из-за малочисленности последних двух разрядов 9-й
и 10-й разряды объединены.
Из таблицы [17Т] по входным величинам и k находим
а^ = Р (Х2^х?) = 0,313. Гипотеза о нормальности отклоне-
ний от номинального размера не противоречит наблюдениям.
Аналогично решаются задачи 43.6, 43.7, 43.9, 43.11,
43.13 — 43.21, 43.24, 43.25.
Пример 43.3. Результаты измерения 1000 деталей пред-
ставлены в виде группированной выборки в таблице 49.
Таблица 49
i	* Xi	mi	I	4	
1	98,0	21	6	100,5	201
2	98,5	47	7	101,0	142
3	99,0	87	8	101,5	97
4	99,5	158	9	102,0	41
5	100,0	181	10	102,5	25
Проверить, пользуясь критерием согласия Колмогорова,
согласие полученных наблюдений с “Предположением, что ве-
личина X подчиняется закону нормального распределения
с математическим ожиданием % = 100,25 мм и средним квад-
ратическим отклонением а = 1 мм, при уровне значимо-
сти а = 0,05.
Решение. Теоретическая функция распределения F (х)
определяется формулой
F (х) = у + у ф (х — •*)•
Статистическая функция распределения F(x) может быть вы-
числена по формуле
Г-Л-1
_i = l
>(*£) =
1
1000
Составив для каждого значениях* разности F(x*)—F(x*)
и выбрав из них наибольшую по абсолютному значению, в со-,
ответствии с таблицей 50 находим 7)^ = 0,0089.
432
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ •
Таблица
i	xf-x	Ф (х*— х)	М)	?(*?)	
1	—2,25	—0,4877	0,0123	0,0105	0,0018
2	—1,75	—0,4599	0,0401	0,0445	0,0044
3	—1,25	—0,3944	0,1056	0,1115	0,0059
4	—0,75	—0,2734	02266	0,2340	0,0074
5	—0,25	—0,0987	0,4013	0,4035	0,0022
6	0,25	0,0987	0,5987	0,5945	0,0042
7	0,75	0,2734	0,7734	0,7660	0,0074
8	1,25	0,3944	0,8944	0,8855	0,0089
9	1,75	0,4599	0,9599	0,9545	0,0054
10	2,25	0,4877	0,9877	0,9875	0,0002
Определив
Хд = Уп Dg = /1000 • 0,0089 = 0,281,
находим из табл. X по а = 0,10 значение Ха= 1,224. Видимл
что	Следовательно, отклонения незначимы и можно
считать, что гипотеза о согласии наблюденных данных с за*
коном нормального распределения, имеющим параметры х =
= 100,25, а = 1, не опровергается; так как Р(0,281) = 1 —
—10-6, то возникает сомнение в доброкачественности вьи
борки.
Аналогично решаются задачи 43.8, 43.10, 43.12, 43.22,'
43.23.	j
Пример 43.4. По данным примера 43.2 требуется no*j
добрать закон распределения, пользуясь Л-рядом Шарлье, i|
проверить, используя критерий /9, улучшится ли согласие,
наблюденных данных с полученным законом распределения
по сравнению с нормальным законом распределения.
Из примера 43.2 берем оценки математического ожида-
ния х и среднего квадратического отклонения а
.£ = 4,30 мк, а = 9,71 мк.
Кроме того, используя данные таблиц 47 и 48, вычисляем
оценки третьего /з и четвертого |л4 центральных моментов
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
433
случайной величины X
ю
= У (х* — х)3 р* == — 113,86 мк3,
10
р-4 = 2 (Xi ~ Х/Р* = 25 375 лис\
i=l
Вычисления выполнены в таблице 51.
Таблица 51
i	4	x*i-x	со 1	(х* — £)4	(xt-x)3pf	(**-*)*р?
1	—17,5	—21,8	—10 360	225 853	—362,6	7904,9
2	—12,5	—16,8	—4 742	79 659	—260,8	4381,2
3	—7,5	—11,8	—1 643	19 388	—123,2	1454,1
4	—2,5	—6,8	—314	2 138	—37,7	256,6
5	2,5	—1,8	- 5	10	—1,5	2,4
6	7,5	3,2	33	105	6,8	21,5
7	12,5	8,2	551	4 125	71,6	587,7
8	17,5	13,2	2 300	30 360	195,5	2580,6
9	22,5	18,2	6 029	109 720	211,0	3840,2
10	27,5	23,2	12 487	289 702	187,3	4345,5
				Итого:	—113,86	25375
Далее вычисляем оценки асимметрии Sk и эксцесса Ёх
по формулам
§£ = •^ = —0,1247,
а8
Ёх == Ь. — 3 = — 0,1455.
а4
Используя функцию распределения для A-ряда Шарлье
F (г) = 0,5 + 0,5Ф (г) -	(г) + § <р3 (4
где
х—х
<3
434
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
получим
F (г) = 0,5 + 0,5Ф (г) + 0,0208ср2 (г) — 0,0061ср3 (4
Вычисляем значения F(Zf), используя для нахождения зна-
чений Ф(г), <рв(г), ТзС?) таблицы [8Т], [ЮТ]; здесь
соответствует левой границе l-го интервала. Значения Zj и
дальнейшие вычисления F(zf-) приведены в таблице 52.
Таблица 52
1		zi+*i+l		0,5Ф (2.)-гО,5Ф (zi+1)				
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10		— 00 4- —1,99 -1,99 4-—1,47 —1,47 4 0,96 —0,96 4 0,44 —0,44 4- 0,07 0,07 4- 0,59 0,59 4-1,10 1,104-1,62 1,62 4-2,13 2,13 4-oo		—0,5 4	0,4761 —0,4761 4	0,4292 —0,4292 4	0,3315 —0,3315 4-—0,1700 —0,1700 4- 0,0279 0,0279 4-0,2224 0,2224 4- 0,3643 0,3643 4- 0,4474 0,4474 4- 0,4834 0,4834 4- 0,5000		0 4-0,1630 0,16304-0,1572 0,1572 4	0,0197 -0,0197 4-—0,2920 —0,2920 4	0,3960 —0,39604	0,2185 -0,2185 4-0,0458 0,0458 4-0,1745 0,1745 4- 0,1460 0,1460 4-0		
i					Pl	npt	m.—np.	
								nPl
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 4- 0,1062 0,1062 -=	0,1670 —0,1670 4- —0,5021 —0,5021 4	0,4472 —0,4472 4- 0,0834 0,0834 4- 0,5245 0,5245 4- 0,4290 0,4290 4- 0,0654 0,0654 4- —0,1351 —0,1351 4- 0		0 4-0,0267 0,0267 4- 0,0751 0,0751 4-0,1712 0,1712 4-0,3266- 0,3266 4- 0,5192 0,5192 4-0,7147 0,7147 4-0,8627 0,8627 4- 0,9506 0,9506 4- 0,9872 0,9872 4- 1,0000		0,0267 0,0484 0,0961 0,1554 0,1926 0,1955 0,1480 0,0879 0,0366 0,0128	5,34 9,68 19,22 28,08 38,52 39,10 29,60 17,58 7,32 2,56	—1,66 —1,32 4,22 4,08 10,48 —1,90 3,60 0,58 —0,12	0,516 0,180 0,926 0,593 2,852 0,092 0,438 0,019 0,001 ^=5,615
Теоретические вероятности р; на основании закона рас-
пределения, определяемого Л-рядом Шарлье, вычисляются по
формуле
й=Г(г,+1) —F(2t).
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
435
Используя найденные значения и имея в виду, что п —
ю
/^i = 200, вычисляем (см. табл. 52)
i=i
10
х|= ^(ст,'~ял)2 = 5,615.
1=1
Число степеней свободы k = l — г — 1=4, так как число
разрядов Z = 9 (последние два интервала вследствие их мало-
численности объединяем в один); число параметров, определен-
ных на основании наблюденных данных, r = 4(x, 3, Sk, Ёх).
Из таблицы [17Т], входя в нее с величинами k = 4 и y?q = 5,615,
находим а^ = Р (х2^х|)== 0,208.
Гипотеза о согласии опытных данных с законом распре-
деления F(z), определяемым A-рядом Шарлье, не опровер-
гается. Однако нет оснований утверждать, что согласование
лучше, чем с законом нормального распределения, упомяну-
тым в условии задачи.
Таблица 53
№ детали	Размер х		№ детали	Размер х		№ детали	Размер х	
	I Группа	И группа		I группа	п группа		I группа	II группа
1	72,58	72,50	21	72,50	72,35	41	72,30	72,31
2	72,35	72,35	22	72,69	72,16	42	72,28	72,46
3	72,33	72,69	23	72,54	72,51	43	72,51	7?,36
4	72,54	72,60	24	72,48	72,50	44	72,37	72,39
5	72,24	72,54	25	72,36	72,50	45	72,14	72,30
6	72,42	72,42	26	72,50	72,48	46	72,42	72,30
7	.72,58	72,68	27	72,43	72,53	47	72,36	72,38
8	72,47	72,54	28	72,46	72,25	48	72,28	72,55
9	72,54	72,55	29	72,56	72,48	49	72,20	72,36
10	72,24	72,33	30	72,48	72,36	50	72,48	72,24
И	72,38	72,56	31	72,43	72,53	51	72,66	72,23
12	72,70	72,36	32	72,56	72,23	52	72,64	72,16
13	72,47	72,36	33	72,34	72,55	53	72,73	72,17
14	72,49	72,15	34	72,38	72,51	54	72,43	72,37
15	72,28	72,48	35	72,56	72,25	55	72,28	72,38
16	72,47	72,46	36	72,32	72,11	56	72,64	72,46
17	71,95	72,36	37	72,41	72,44	57	72,72	72,12
18	72,18	72,38	38	72,14	72,51	58	72,35	72,28
19	72,66	72,40	39	72,29	72,55	59	72,60	72,23
20	72,35	72,38	40	72,31	72,24	60	72,46	72,38
436
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Аналогичным образом решаются задачи 43.26, 43.27
Пример 43.5. Имеются две группы деталей одной
образца, полученных с двух станков, по 60 штук в каждой
Данные об измерении характерного размера х деталей пр$
ведёны в таблице 53.	•
Проверить, используя критерий Смирнова — КолмогорЬв^
при уровне значимости а = 0,10, гипотезу о том, что обе вы
борки принадлежат одной генеральной совокупности, т. е. чт<
оба станка дают одинаковое распределение размера х детали
Решение. Располагаем детали в группах по возрастаю
щей величине размера х и вычисляем статистические фун^
ции распределения F\(x) и F2(x) для каждой групп!
(см. табл. 54).	"
Таблица &
xi	Число значений X х^				
	I группа	II группа			
71,95	1	0	0,0167	0	0,0167
72,11	1	1	0,0167	0,0167	0,0000
72,12	Р	2	0,0167	0,0333	0,0167
72,14	3	2	0,0500	0,0333	0,0167
72,53	43	*50	0,7167	0,8333	0,1167
72,54	46	52	0,7667	0,8667	0,1000
72,55	46	56	0,7667	0,9333	0,1667
72,56	49	57	0,8167	0,9500	0,1333
72,58	51	57	0,8500	0,9500	0,1000
72,60	52	58'	0,8667	0,9667	0,1000
72,69	57	60	0,9500	1,0000	0,0500
72,70^	58	60	0,9667	1,0000	0,0333
72,72	59	60	0,9833	1,0000	0,0167
72,73	- 60	60	1,0000	1,0000	0,0000
Находим наибольшее по абсолютной величине
ние Dni, п2 разности Fi(x) — F2(x):
Определив
Dni, Л2 = 0,1667 (см. табл. 54).
П1Пй
ni + n2

n2f
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
437
где б нашем случае n1 = zz2 = 60, получим 1^ = 0,9130. Поль-
зуясь таблицей X приложения, по а = 0,10 находим ка = 1,224.
Видим, что	следовательно, гипотеза о том, что обе
выборки принадлежат одной генеральной совокупности, не
опровергается. Аналогично решается задача 43.29.
Пример 43.6. Измерено п = 600 деталей, причем для
каждой из них проверялись размеры X и У. Результаты
Таблица 55
	Занижен- ные: 7 = 1	В пределах допусков: / = 2	Завышен- ные: 7 = 3	hi0
Заниженные: i = 1 . .• .	6	48	8	62
В пределах допусков: / = 2		52	402	36	490
Завышенные: i = 3 . . .	6	38	4	48
Ч	64	488	48	600
измерений приведены в таблице 55, где через htj обозна-
чено число деталей, имеющих размеры X и У, попадающие
в z-ю и у-ю группы, соответ-
ственно.
Таблица 56
	1	2	3
1	6,61	50,43	4,96
2	52,26	308,57	39,20
3	5,12	39,06	3,86
Проверить, используя кри-
терий /2, являются ли незави-
симыми отклонения разме-
ров X и У детали от допусти-
мых, при уровне значимости
а = 0,05.
Решение. Находим оцен-
ки mij математических ожида-
ний чисел наблюдений, при которых X = xif У=у^ исходя
из гипотезы о независимости размеров X и У детали:
ntij
hiohoj
п *
Значения приведены в таблице 56.
438 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. nf
Вычисляем по формуле
2 _ V V ^hiJ ~~miJ^
2d ту
i = l /=1
Вычисления выполнены в таблице 57, где даны значения
Таблица 57
>< '		2	3	2 j
1	0,0563	0,1171	1,8632	2,0366
2	0,0013	0,0295	0,2612	0,2920
3	0,1513	0,0316	0,0077	0,1906
?	0,2089	0,1782	2,1321	2 = Х* =2,5192
Получаем ^ = 2,519. Определяем число степеней сво-
боды по формуле
k = (l— V)(m— 1),
где I — число групп по размеру X; т— число групп по раз-
меру У; 7=3, //2 = 3, Л = 4. Используя таблицу [17Т] при
k = 4 и = 2,519, находим а7 = Р (х2^х^) = 0,672.
Значение ад велико; следовательно, гипотеза о независи-
мости отклонений размеров детали по признакам X и Y от
допустимых не опровергается.
Аналогично решается задача 43.28.
Задачи
43.1.	В таблице 58 приведены числа mi участков равной
площади (0,25 км*) южной части Лондона, на каждый из
которых приходилось по I попаданий самолетов-снарядов
во время второй мировой войны. Проверить с помощью кри-
терия %2 согласие опытных данных с законом распределения
Пуассона
приняв за уровень значимости а = 0,05.
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
439
Таблица 58
1	0	1	2	3	4	5	Итого
tni	229	1211	93	35	7	1	П = 2 mi = 676
43.2.	Через равные промежутки времени в тонком слое
раствора золота регистрировалось число частиц золота, попа-
давших в поле зрения микроскопа. Результаты наблюдений
приведены в таблице 59.
Таблица 59
Число частиц i	0	1	2	3	4	5	6	7	Итого
mi	112	168	130	68	32	5	1	1	2 mi = 517
Проверить, используя критерий /2, согласие с законом
распределения Пуассона, приняв за уровень значимости
а = 0,05.
43.3.	По каждой из 100 мишеней произведено из спор-
тивного пистолета по 10 независимых выстрелов, причем
фиксировались только попадания и промахи. Результаты
стрельб приведены в таблице 60.
Таблица 60
Число попаданий i	mi	Число попаданий i	m.	Число попаданий t	т.
0	0	4	22	8	4
1	2	5	26	9	2
2	4	6	18	10	0
3	10	7	12		
Проверить, используя критерий /2, подчиняются ли резуль-
таты стрельбы биномиальному закону распределения. Уровень
значимости принять равным 0,10.
440
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ГЛ. IX
43.4.	Семь монет подбрасывались одновременно 1536драз,
причем каждый раз отмечалось число X выпавших гербов.
В таблице 61 приведены числа случаев, когда число
выпавших гербов было равно X/.
Таблица 61
Xi	0	1	2	3	4	5	6	7
ГЩ	12	78	270	456	386	252	69	13

Пользуясь критерием £2, проверить согласие гипотезы
о наличии биномиального закона распределения с опытными
данными. Учесть, что вероятность выпадения герба при бро-
сании каждой из монет равна 0,5. Уровень значимости при-
нять равным 0,05.
43.5.	Для контрольных испытаний продукции ста одно-
типных станков, выпустивших за смену каждый партию
в 40 изделий 1-м и 2-м сортом, отобрано по 10 изделий
от каждой партии и для каждой выборки подсчитано имею-
щееся в ней число Xi изделий 2-го сорта.
Результаты испытаний приведены в таблице 62.
Таблица 62
Xi	0	1	2	3	4	5	6 и более
rtii	1	10	27	36	25*	1	0
Через nii обозначено число выборок, имеющих xz издел^
2-го сорта. Количество изделий, выпускаемых 2-м сортом,
за длительный срок работы предприятия составляет ЗО^о
(^ = 0,30).	1
Проверить, используя критерий согласие результата?
испытаний с гипергеометрическим и биномиальным закона^
распределения, приняв уровень значимости равным 0,10.
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
441
Для величины X, распределенной по гипергеометрическому
закону, вероятность равна
z	—i
P(X=i) — L N~L,
где N—число изделий партии, L — число изделий 2-го
сорта в партии, п — объем выборки..
Для биномиального закона распределения
P(X=Z)=(?>'(1 -Рг‘.
43.6.	В таблице 63 приведены отклонения диаметров вали-
ков, обработанных на станке, от заданного размера.
Таблица 63
Границы интервала, мк	0-4-5	54-10	10-ь 15	15-ь20	20 -4-25
Численность разряда т.	15	75	100	50	10
Частота pf		0,06	0,30	0,40	0,20	0,04
Проверить, используя критерий /2, гипотезу о согласии
наблюдений с законом нормального распределения, приняв
уровень значимости равным 0,05.
43.7.	Образовано 250 чисел х, каждое из которых пред-
ставляет собой сумму цифр пяти случайных однозначных
чисел. Полученные суммы разбиты на 15 интервалов в соот-
ветствии с таблицей 64.
Таблица 64
Границы интервала	т.	Границы интервала		Границы интервала	
04-3	о	15 4-18	28,5	304-33	27,0
3-ьб	0,5	18 4-21	39,0	33 4-36	7,5
64-9	1,5	214-24	41,0	36 4-39	1,0
9-4- 12	ю,о	24 4-27	45,0	39 4-42	1,0
12-4-15	17,5	27 4-30	30,5	42 4-45	0
442 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX л
Суммы, кратные трем, условно отнесены к обоим гра-
ничащим интервалам, к каждому из которых отнесена поло-
вина числа этих сумм. Установить, используя критерий у2,
согласуется ли приведенное статистическое распределение
с законом нормального распределения, за параметры кото-
рого приняты оценки математического ожидания и дисперсии,
определенные по наблюденным данным, при уровне значи-
мости а = 0,05.
43.8.	Решить предыдущую задачу, применяя критерий
Колмогорова, считая (вследствие малости ширины интервала
в таблице 64) возможным значения всех элементов выборки,
попавших в один интервал, принять равными значениям, со-
ответствующим серединам интервалов. Для установления
гипотетического закона нормального распределения учесть,
что отдельные цифры в пятизначном случайном числе могут
принимать любые значения от 0 до 9 с равной вероят-
ностью р = 0,1. Принять уровень значимости а = 0,10.
43.9.	Цифры 0, 1, 2, ..., 9 среди 800 первых десятичных
знаков числа тс появлялись 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91
раз соответственно. Проверить с помощью критерия у2 гипо-
тезу о согласии этих данных с законом равномерного распре-
деления при уровне значимости а = 0,10.
43.10.	Решить предыдущую задачу, предполагая допу-
стимым использование критерия Колмогорова и считая, что
вероятность появления любой цифры на месте любого деся-
тичного знака равна 0,10.
4	43.11. Из таблицы случайных чисел выбрано 150 дву-
значных чисел (в совокупность двузначных чисел включается
и 00). Результаты выборки приведены в таблице 65.
Таблица 65
Границы интервала	Численность разряда mi	Частота Pi	Границы интервала	Численность разряда mi	Частота Pt
0-4-9	16	0,107	50 4-59	19	0,127
104- 19	15	0,100	60 4-69	14	0,093
204-29	19	0,127	704-79	И	0,073
30 4-39	13	0,087	80 4-89	13	0,087
40 4-49	14	0,093	904-99	16	0,107
§ 431
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
443
Проверить, используя критерий у?, гипотезу о согласии
наблюдений с законом равномерного распределения при уровне
значимости а = 0,05.
43.12.	Решить предыдущую задачу, применяя критерий
Колмогорова, считая (вследствие малости ширины интервала
в таблице 65) возможным значения всех элементов выборки,
попавших в один интервал, принять равными значению, соот-
ветствующему середине интервала, при уровне значимости
а = 0,10.
43.13.	Отсчет по шкале измерительного прибора оцени-
вается приблизительно в долях деления шкалы. В таблице 66
приведено 200 результатов отсчета последней цифры между
соседними делениями шкалы. Установить, используя крите-
рий х2, согласуются ли наблюдения с законом равномерного
распределения, при котором вероятность появления любой
цифры pi = 0,10 при уровне значимости а = 0,05.
Таблица 66
Цифра i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
mi	35	16	15	17	17	19	11	16	30	24
43.14.	Результаты наблюдения за среднесуточной тем-
пературой воздуха в течение 320 суток приведены в таблице 67,
Таблица 67
хг> -с	т.	ХЛ’ ’с	т1
—40-4—30	5	104-20	81
—304—20	11	204-30	36
—204—10	25	304-40	20
т-104-0	42	404-50	8
0-5-10	88	504-60	4
Проверить с помощью критерия /2, с каким из двух
законов распределения — нормальным или Симпсона (законом
444 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
треугольника) — лучше согласуются данные наблюдений^гпри
уровне значимости а = 0,03.
43.15.	В таблице 68 приведены наблюденные на опыте
строки устранения отказов электронной аппаратуры в часах
с точностью до 1 минуты.
Таблица 68
Номер интервала i	Границы интервала	Числен- ность разряда mi	Номер интервала	Границы интервала УГгУ^Х	Числен- ность раз- ряда т.
1	1/604- 3/60	2	8	1,84-3,2	10
2	3/604- 6/60	5	9	3,24-5,6	7
8	6/604-10/60	7	10	5,64-10	4
4	10/604-18/60	11	11	104-18	2
5	18/604-35/60	15	12	184-30	1
6	35/604-1,0	21	13	более 30	0
7	1,04-1,8	15			
Проверить, используя критерий согласие наблюденных
данных с законом логарифмически нормального распределе-
ния, при котором x = \gy подчиняется закону нормального
распределения, приняв за уровень значимости а = 0,05.
43.16.	По данным каталога Воронцова-Вельяминова рас-
пределение расстояний до планетарных тумацростей пред-
ставлено в таблице 69, где jq— расстояние (в килопар-
секах) до туманности, а — число случаев (численность
разряда).
Таблица 69^
Х1	т1	1		х.	mi	xi	
04-0,5	9	3,04-3,5	12	6,04-6,5	3	9,04- 9,5	2
0,54-1,0	И	3,54-4,0	7	6,54-7,0	2	9,54-10,0	0
ьэг-г-. ОСЛО СЛ^О сл	8 12	СЛ4»> О СП о сл сл СИ осп	10 8	7,04-7,5 7,54-8,0 8,04-8,5.	1 0	10.04-10,5	0
	13		5		0		
2,54-3,0	16	5,54-6,0	0	8,54-9,0	0	fl S ll	S119
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
445
Проверить, используя критерий /2, гипотезу о согласии
наблюденных данных с законом распределения, функция рас-
пределения Г(|х|) которого имеет вид
г(|х|)=4[ф(!^=^)+ф
где X и а — математическое ожидание и среднее квадрати-
ческое отклонение случайной величины X, подчиненной закону
нормального распределения, которые связаны с математи-
ческим ожиданием М [ | X f] и начальным моментом второго
порядка /п2 абсолютной величины | X | формулами:
° = ]/Г кр5 ’ x = v]/r гр •
Здесь величина v представляет собой корень уравнения
 2}?Г) + 0,5.Фр] _ М [ | JVH
.	Ут, '
где ср (у) и Ф(у) определяются из таблиц [9Т], [8Т]. Уровень
значимости принять равным 0,05.
43.17.	В таблице 70 приведены результаты измерения
некоторой величины X.
Таблица 70
Границы интервала xi	т.	Границы иктервала xi	т1	Границы интервала xi	mi
754-77	2	854-87	32	954-97	8
774-79	4	874-89	24	974-99	3
794-81	12	894-91	23	994-101	1
81-5-83	24	91-^-93	22		
83-4-85	25	934-95	20	13	
				72 — V ПЦ = 200	
				i=l	
Проверить, используя критерий /2, согласие опытных
данных с законом нормального распределения и с компози-
цией* законов нормального и равномерного распределений,
параметры которых следует определить на основании резуль-
татов измерений. Принять уровень значимости а = 0,05.
446
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Учесть, что для случайной величины X=Y + Z, где* у
подчиняется закону нормального распределения с математи-
ческим ожиданием, равным нулю, и с дисперсией
a Z—закону равномерного распределения в интервале [а, £],
плотность вероятности ф(х) выражается формулой
ф (д) =	Г ф _ ф 1
‘ v 7	2 (Р—а) [_ \ a J \ ° J]
Для определения оценок параметров а, а, р, входящих
в формулу для ф (х), необходимо на основании опытных
данных определить оценки математического ожидания х и
центральных моментов второго и четвертого порядков |а2и£4,
после чего оценки величин а, а, р определяются из урав-
нений:
л/g	~	1 /~ 5 ~ о 5 ~
а3=1л2— |/	— -
(Ё-S)8 __ у Г 5 ~2_ 5~
12 V 2	6 ^4’
43.18.	С помощью контрольного прибора было измерено
расстояние г (в микронах) центра тяжести детали от оси ее
наружной цилиндрической поверхности для 602 деталей.
Результаты измерений представлены в таблице 71.
Таблица 71
Границы . интервала	т1	Границы интервала	т1
04-16	40	804-96	45
164-32	129	964-112	19
324-48	140	1124-128	8
484-64	126	1284-144	3
644-80	91	1444-160	1
Проверить, используя критерий /2, согласуются ли наблю-
денные данные с законом распределения Рэлея	;
1 - —
f(r) = -tre *в2,
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
447
оценку параметра а которого определить по оценке г мате- ;
магического ожидания, используя формулу
Принять уровень значимости равным 0,05.
43.19.	В таблице 72 даны результаты 228 измерений
чувствительности X телевизора (в микровольтах).
Таблица 72
xk	mk	xk	mk	xk	, mk
200	1	450	33	650	19
250	2	500	34	700	13
300	11	550	31	750	8
350 400	20 28	600	25	800	3
Проверить, используя критерий с каким законом лучше
согласуются результаты измерения: с законом нормального
распределения или са смещенным законом распределения
Максвелла, плотность вероятности которого определяется
формулой
причем математическое ожидание М [X] величины X связано
с а формулой М[Х] = х0+ 1,596а. За значение х0 для
простоты принять наименьшее наблюденное значение вели-
чины X.
43.20.	Испытания 200 ламп на продолжительность ра-
боты Т (в часах) дали результаты, приведенные в таб-
лице 73.
Проверить, используя критерий согласие опытных
данных с экспоненциальным законом распределения, для
которого плотность вероятности выражается формулой
Уровень значимости принять равным 0,05.
448
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Таблица 7$
Номер разряда i	Границу разряда	Числен- ность разряда т.	Номер разряда i	Границы разряда	Числен- ность разряда т.
1	04- 300	53	7	18004-2100	9
2	3004- 600	41	8	21004-2400	7
3	6004- 900	30	9	24004-2700	5
4	9004-1200	22	10	27004-3000	/ 3
5	12004-1500	16	И	30004-3300	2
6	15004-1800	12	12	более 3300	. 0
Учесть, что параметр к экспоненциального закона рас-
пределения связан с математическим ожиданием случайной
величины Т формулой
х_. 1
М [Т] •
43.21.	Произведено испытание партии в 1000 электрон-
ных ламп на срок службы. В таблице 74 приведены интер-
валы сроков работы ламп до выхода из строя (ff, tl+i) и
соответствующие численности разрядов znf-; величины даны
в часах.
Таблица 74
Номер ин- тервала i	1	2		3		4		5	
Границы интервала ti -г- *7+1	04-100	1004-200		2004-300		3004-400		4004-500	
Численность разряда mt	78	149		174		165		139	
Номер ин- тервала i	6	7	8		9		10		11
Граница интервала	5004-600 (	5004-700	7004-800		8004-900		9004-1000		Более 1000
Численность разряда mt	107	п	50		32		27		2
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
449
Проверить с помощью критерия у2 гипотезу о согласии
результатов испытаний с законом распределения Вейбулла.
Функция распределения F(t) для этого закона выражается
формулой
F(t)=1 —е U ' ,
где
&„=rp-4-
т \т ' J'
Г (х) — гамма-функция.
Оценки параметров t и т вычислить на основании опыт- -
пых данных. Учесть, что параметр т связан со средним
квадратическим отклонением а формулой
где
0 = ^,
= — — коэффициент вариации.
В таблице [32Т] приведены значения Ьт и vm в зависи-
мости от tn, Зная vm, можно из этой таблицы найти т и Ьт.
Приводим выдержку из этой таб-
лицы (табл. 75)
Таблица 75
т	т	vm
1,7 1,8	0,892 0,889	0,605 0,575
Принять уровень значимости а = 0,05.
43.22.	Положение точки М на плоскости определяется
прямоугольными координатами Хи У. На опыте измеряется
угол <р, составленный радиусом-вектором точки М с осью у
(рис. 36). Результаты 1000 измерений величины ср, разбитые
15 Б. Г. Володин и др.
450
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
на интервалы в 15 град, и числа значений <р, попавшй;
в Z-й интервал, приведены , в таблице 76.	-
Таблица 76
<Рр град		град	т1	<Рр град	т.
—82,5	155	—22,5	49	37,5	67
—67,5	118	— 7,5	48	52,5	66
—52,5	73	7,5	48	67,5	111
—37,5	59	22,5	53	82,5	153
Если величины X и У независимы, нормальны, имею
нулевые математические ожидания и дисперсии, равные со
ответственно о2 и то величина = tg ср должна под
чиниться закону распределения Коши (закону арктангенса
^(2) ~ л (Z2 + 4) •
Считая, что ошибки измерения <р отсутствуют, проверит!
используя критерий согласия Колмогорова при уровне зна
чимости а ==0,05, справедливость сделанных предположен^
о случайных величинах X и У.	J
43.23.	Для проверки точности хода специальных маятн|
ковых часов в наудачу выбранные моменты времени фиксй
ровались углы отклонения оси маятника от вертикал!
Амплитуда колебаний поддерживалась постоянной и равно!
а =15°.
Таблица 77
Результаты измерений а.., в град	т—число появлений значения а^	Результаты измерений ар в град	т.—число появлений значения а.
—13,5	188	1,5	14
—10,5	88	4,5	76
— 7,5	64	7,5	81
— 4,5	86	10,5	100
— 1,5	62	13,5	181
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
451
Результаты 1000 таких измерений, разбитые на интер-
валы в 3°, приведены в таблице 77.
Проверить с помощью критерия согласия Колмогорова
гипотезу о согласии наблюдений с законом распределения
арксинуса при уровне значимости а = 0,05.
43.24.	Для проверки стабильности работы станка через
каждый час производится проба, состоящая в том, что из-
меряются 20 случайно отобранных деталей и по результатам
измерений в каждой Z-й выборке вычисляется несмещенная
оценка дисперсии а/. Значения по 47 таким выборкам '
приведены в таблице 78.
Таблица 78
i	О?	i		i	af	i	
1	0,1225	1 13	0,1444	25	0,1681	37	0,1089
2	0,1444	14	0,1600	26	0,1369	38	0,1089
3	0,1296	15	0,1521	27	0,1681	39	0,0784
4	0,1024	16	0,1444	28	0,0676	40	0,1369
5	0,1369	17	0,1024	29	0,1024	41	0,0729
6	0,0961	18	0,0961	30	0,1369	42	0,1089
7	0,1296	19	0,1156	31	0,0576	43	0,0784
8	0,1156	20	0,1024	32	0,1024	44	0,5121
9	0,1764	21	0,1521	33	0,0841	45	0,1600
10	0,0900	22	0,1024	34	0,1521	46	0,1681
11	0,1225	23	0,1600	35	0,0676	47	0,1089
12	0,1156	24	0,1296	36	0,1225		
Проверить, используя критерий при уровне значимости
а = 0,05 гипотезу об однородности ряда дисперсий, или,
иными словами, предположение об отсутствии разладки станка
в смысле изменения рассеивания по измеряемому размеру
детали. Учесть то обстоятельство, что в случае справедли-
вости этой гипотезы величина
приближенно удовлетворяет закону распределения с Я/—1
степенями свободы, причем S2 представляет собой несме-
щенную оценку дисперсии а2 генеральной совокупности и
15*
452 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ'
вычисляется по формуле
где tii = п = 20—число элементов в каждой выборке, т — 47—
т
число выборок, N= лх- = 940 — общее число элементов
/ = 1
во всех выборках.
43.25.	Имеется т — 40 выборок деталей, произведенных
в одинаковых условиях, по я = 20 штук в каждой, причем
для каждой /-й группы известны оценки математического
ожидания х^ наудачу взятое (например, первое в каждой
выборке) значение х из Z-й выборки Хц и несмещенная
оценка дисперсии о? размера детали х. Значения величин
xb	для указанных 40 выборок приведены в таб-
лице 79.
Таблица 79
i	*0	*i		i		Xi	3
1	148	132	24	21	114	112	39
2	182	152	38	22	112	108	32
3	195	145	40	23	49	97-	52
4	81	134	32	24	116	106	36
5	149	124	37	25	138	124	36
6	143	144	31	26	120	149	37
7	133	142	31	27	120	129	41
8	132	143	34	28	104	120	26
9	111	109	42	29	121	105	26
10	156	121	30	30	99	110	32
11	103	93	35	31	123	105	37
12	61	118	45	32	109	123	24
13	149	116 ’	38	33	100	116	32
14	209	123	40	34	115	123	29
15	124	106	39	35	108	109	27
16	52	181	46	36	125	138	35
17	147	102	32	37	170	126	33
18	145	124	31	38	132	132	33
19	128	125	34	39	114	131	28
20	98	119	32	40	155	115	37
§43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
453
Проверить, применяя критерий Колмогорова при уровне
значимости а = 0,10, гипотезу о-нормальном распределении
размера детали х
Учесть, что в этом случае (при п ф 4) величины
где
подчиняются закону распределения Стьюдента с числом сте-
пеней свободы k = n—2 = 18, где Х/у —наудачу взятое
значение из Z-й выборки (в нашем' случае Хц).
43.26.	В таблице 80 приведена группированная выборка
значений случайной величины X объема и = 300.
Таблица 80
Границы интер- вала	т.	Границы ин- тервала	mi	Границы интер- вала	т.
504-60 ~	1	1004-П0	56	1404-150	19
604-70	2	1104-120	6L	1504-160	16
704-80	9	1204-130	49	1604-170	4
804-90 904-100	23 33	1304-140	25	1704-180	2
Проверить, используя критерий /2 при уровне значимости
а = 0,05, согласие опытных данных с законом нормального
распределения, оценки параметров которого подобрать на
основании опытных данных. Сгладить опытные данные с по-
мощью закона распределения, который определяется А-рядом
Шарлье, и проверить с помощью критерия, у2 согласие опыт-
ных данных с полученным законом распределения.
43.27.	Измерения скорости света с, произведенные Май-
кельсоном, Пизом и Пирсоном, дали результаты, приведен-
ные в таблице 81. Для сокращения записи в таблице приведе-
ны значения (q — 299 000) км[сек.
454
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Таблица 1
Границы интервала	т.	Границы интервала		Границы интервала	т.	Границы интервала	
7354-740	3	7554-760	17	7754-780	40	7954-800	5 '
740-J-745	7	7604-765	23	7804-785	17	8004-805	2
7454-750	4	7654-770	29	7854-790	16	8054-810	3
7504-755	8	7704-775	45	7904-795	10	8104-815	4
Получены следующие оценки математического ожидаю
с и среднего квадратического отклонения 3, вычисленные!
опытным данным:
с = 299 733,85 км[сек, 3=14,7 км[сек.
Сгладить наблюдения с помощью закона распределени
который определяется A-рядом Шарлье, и проверить, ц
пользуя критерий X2, согласие опытных данных с получе]
ным законом распределения при уровне значимости а = 0,0;
43.28.	Произведено измерение изделий в двух парти?
по 100 деталей в каждой. Числа hy деталей с нормальным
заниженными и завышенными размерами приведены
таблице 82.
Таблица $
№ партий изделий i	Размер деталей j			
	Результаты измерений j			
	1 (занижен- ный размер)	2 (нормаль- ный размер)	3 (завышен- ный размер)	^/0
1	25	50	25	100 .
2	52	41	7	100
^о/	77	91	32	200
Проверить с помощью критерия /2, являются ли незав^
симыми номер партии изделий и характер размеров про»
ряемых деталей при уровне значимости а = 0,05.
§ 44]	' СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
455
43.29*. Из продукции двух станков извлечены две выборки
по 50 изделий; результаты измерения одного из размеров
изделия (в мм) приведены в табл. 83.
Таблица 83
№ п/п	Ст.1	Ст.2	№ п/п	Ст.1	Ст.2	№ п/п	Ст.1	Ст.2
1	51,58	51,50	18	51,18	51,39	35	51,56	51,55
2	35	35	19	66	46	36	56	10
3	33	69	20	35	42	37	42	44
4	54	60	21	50	39	38	29	19
5	24	54	22	50	16	39	31	24
6	42	42	23	54	51	40	30	31
7	47	54	24	48	50	41	12	51
8	54*	55	25	36	50	42	28	46
9	24	33	26	50	48	43	51	39
10	36	56	<27	42	53	44	39	39
11	58	68	28	56	25	45	15	30
12	70	39	29	56	48	46	42	30
13	47	42	30	48	36	47	36	42
14	50	15	31	42	53	48	28	55
15	26	48	32	56	23	49	30	44
16	47	46	33	34	55	50	48	24
17	Об	42	34	36	51			
Проверить, используя критерий Смирнова — Колмогорова,
гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той
же генеральной совокупности, т. е. что распределение раз-
мера изделия одинаково для обоих станков, при уровне зна-
чимости а =0,20.
§ 44. Обработка результатов наблюдений
по способу наименьших квадратов
Основные формулы
Способ наименьших квадратов применяется для нахожде-
ния оценок параметров функциональной зависимости между
переменными, значения которых определяются из опыта. Вид
искомой функциональной зависимости предполагается из-
вестным.
Если на опыте получено	паР значений (xb j\),
где xi — значения аргумента, а — значения функции, то
456 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. ТХ
параметры аппроксимирующей функции Q(x) выбирают так,
чтобы обратилась в минимум сумма
z=0
Если в качестве аппроксимирующей функции взят много-
член, т. е.
Q(x) = Qm(x) = а04~ aiX + •.• + атхт (tn^ri),
то оценки его коэффициентов ak определяются из системы
m-J-l нормальных уравнений
т
2 sk±jaj = ska<> 4~ sA+lal 4“... 4“	= Т'й
j = 0
(k=0, 1, 2, ... , m),
где
sfc = 2 x* (k — Q, 1, 2,	2m),
z	i=0
(/=0, 1, 2, .... m).
i = 0
Если значения Xi известны без ошибок, а значения yt
независимы и равноточны, то оценка дисперсии о2 величины
yi определяется формулой
1	П о ‘
Smin, *S*inin =
где Smin — значение 5, вычисленное в предположении, что
коэффициенты полинома Q (х) = Qm (х) заменены их оцен-
ками, найденными из системы нормальных уравнений.
При нормальном законе распределения величин изло-
женный метод является наилучшим способом нахождения
аппроксимирующей функции Q(x).
Р'.
§ 441	СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	? 457
Оценки Cak дисперсий коэффициентов ak и корреляцион-
ных моментов \а а определяются формулами
Л J
°ak = Mb, к&, kak. aj = Mk,j 3®,
где Mk, j=-^t Д = det ||dkj|| — определитель системы нор-
альных уравнений	порядка,
dkj— sk+j (/’,£ = О, 1, 2, ... , т\
>kj — алгебраическое дополнение элемента dkj в определи-
еле А.
При решении системы нормальных уравнений методом
; сключения величины Mk, j можно также получить, если при
ешении системы нормальных уравнений величины vt не за-
’ енять их числовыми значениями. Полученные для ak линей-
ые зависимости от в качестве коэффициентов у Vj будут
. одержать искомые коэффициенты Mk, j.
В частном случае линейной зависимости (гп = 1) имеем:
У =
~ ___Mo — SjVj	_ — S^p + Ml
° Mo~ ’	1 Mo — «1	’
~2 __ S2 min ~2 __________ so ^min
°a° SgSo _ s2 n __ j >	SaSo __ sa n _ p
~	_________^min
kao,	s2so _ S2 n — 1 •
В случае неравноточных измерений, когда величины yt
имеют различные дисперсии af, все предыдущие формулы
остаются в силе, если величины S, sk, заменить соответ-
ственно на
п
S' = Yi Pi оi — ао — aixi —	— атх
i = 0
(А = 0, 1, 2, .... 2/я),
i=0
п
-Vi — У, p\yix\ G= 0, 1, 2, .... zra),
х = 0
458 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ(
где «веса» р2. величин yi равны
Л2 — произвольный коэффициент пропорциональности.
Если «веса» р2 заданы, то оценки дисперсий отдельных
измерений yt вычисляются по формуле
*2	min
0; ——  —	..
(п-т)Р2*
Если при каждом значении получено п* равноточных
результатов у^ со средним арифметическим значением уь
то «вес» измерения yt пропорционален Можно принять
р1 = щ. При этом все формулы остаются без изменений, за
исключением формулы для of; в этом случае
~2 ^min	~2 *^min 1
О -I "	. О» '	!	” •	' .
п — т 1	п — т гц'
где о2— оценка дисперсии отдельного измерения, of— оценка
дисперсии величин у^
Доверительные интервалы для коэффициентов ak при
заданной доверительной вероятности а имеют вид
«л —	< ak < ak + уЗаб,
где 7 определяется из таблицы [16Т] для закона распреде-
ления Стьюдента по входным величинам а и числу степеней
свободы k = n — т.
В случае равноточных измерений доверительный интервал
для среднего квадратического отклонения о при доверитель-
ной вероятности а определяется неравенствами
•fro	-[2S,
71 и определяются из таблицы [19Т] для закона
где
/^-распределения по входным величинам а и числу степеней
свободы k. Можно для той же цели использовать таблицу
[18Т]; при этом
- т
•1
п — т
§ 44J	СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	459
где Xi й Ха определяются равенствами
P(xs<xD=-^, Р(х2^х1)=-Цг-
при числе степеней свободы k = n— tn.
Доверительные границы, образующие полосу, которая
с заданной доверительной вероятностью а содержит график
неизвестной истинной зависимости у = Q (х), определяют-
ся неравенствами
Qm (*/) — Гу	(Xi) < Qm (Xt) 4- -fiy (Xi),
где S|(xf)— оценка дисперсии величины у, определяемой
зависимостью у = Qm(x) (она зависит от случайных величин —
оценок коэффициентов ak).
В общем случае вычисление a~v(x) сложно, так как тре-
бует знания всех корреляционных моментов kak, ai. В случае
линейной зависимости (tn = 1) aj. (х) = -|- о^х2 2Лао> а^х.
Значение 7 определяется из таблицы [16Т] для закона
распределения Стьюдента по входным величинам а и числу
степеней свободы k = n — т.
При равноотстоящих значениях аргумента x-t вычисление
аппроксимирующего многочлена можно упростить, используя
представление его в виде
Q»(X)= ^bhpk_n(x’),
k=Q
где Pk, п(х)— ортогональные полиномы Чебышева:
k
2	;; 	,
j=0
У= *0.» h = Xn^X(i '
h ’	п *
Ъ = c^^yiP^^xi), Sk^^Pl^x'i).
Оценки дисперсий коэффициентов bk находятся по формуле
1
п — т Sk ’	\ т- j
460
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Значения полиномов Чебышева, умноженные на Pk п
для Л=1ч-5, д = 5-г-20, х' = 0, 1, ..., и, приведен^
в таблице [29Т].	1
Если коэффициенты bk вычислены с помощью таблицы?
[29Т], то при вычислении полиномов Pkt п(хг) в формул^
для Qm(x) необходимо также учитывать коэффициент Pkt п(0),
выбирая ординаты этих полиномов из тех же таблиц или";
умножая значение полинома, вычисленное по приведенной
выше формуле, на Pkt „(0).
В ряде случаев аппроксимирующая функция, не являю-
щаяся многочленом, может быть сведена к нему заме-?
ной переменных. Примеры такой замены приведены в4
таблице 84.
Таблица 84
№ п,'п	Исходная функция	К какому виду приводится	Замена переменных
1	у^Ае"*	z^ao-j-atX	z = In у\ я0= In Л; at~ k
2	у--=Вхь	z = а0 -f- atu	z — \gy\ H = lgx
3	. «1 1 У==ао~1г~	у = а„ + а1и	1 и =	 X
4	। ai У=а„ + -	У = <2<> + atu	1 ц = — xb
	(х—а)*		> , л ]ge z—\gy;a0—lgA , 2jJ ;
5	у=Ае 2’2	2 = а0 +	
		4- aLx + а2х-	«1	c2 . a2 — 2^a
6	У = во + -у- +	У = a,jatu+-	1 u = — X
	+ ^ + ’ • •	+ а2и2 4- • • •	
7	У — а» + aiXb +	у = а0 4- atu 4-	и ~xb
	4-о2хзй+ • • •	4"	4- • • •	
8	у = аох~т 4-	2 = 00 4-^0	Z = yxm’t u = xm+n
				 -—
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
461
' Если у есть функция нескольких аргументов zki то для
получения линейной аппроксимирующей функции
у = (Хой) + а1^1 4“ • • • 4~ ат^т
по значениям yt и zki в n-J-l опытах требуется найти реше-
ния системы нормальных уравнений
4“	4“ • • • 4“ Skm^m — Pfc (Л = 0, 1, 2, ГП),
где
п	I
Skj — ^ZkiZjt (А,/ = 0, 1, 2, ту,
<=о
=	(k = 0, 1, 2.......ту
i=0
Если значения zkt известны без ошибок, а измерения j\-
равноточны, то оценки дисперсий коэффициентов ak опре-
деляются формулой
°*k = Mk, ka\
где
 ^min	•
п — т ’
a Nkt k есть отношение алгебраического дополнения соответ-
ствующего диагонального элемента определителя системы
нормальных уравнений к самому определителю. При решении
системы без помощи определителей величины Nkt k найдутся
как решения этой системы, если в ней р* заменить единицей,
а остальные pz— нулями.
Роль величин zk могут играть любые линейно независимые
функции Д(х) некоторого аргумента х Например, если
Функция у, заданная в интервале (0, 2к), аппроксимируется
тригонометрическим многочленом
т
y — Lj-^ V(XACOS^x4-^sin^X)>
462 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ.
то при равноотстоящих значениях аргумента Xi оценки коэф
фициентов и определяются формулами Бесселя:
П—1	7Z—1
^о=-^2-Р/; ^ = — '^iyiCoskxl;
i*=0	i=0
n —1
(ХА = —2^81пАх/	{k=\, 2, ..., tn),
i — Q
Для применимости формул Бесселя необходимо, чтобь
значения уг подчинялись закону нормального распределение
с одинаковой дисперсией а2.
При сложной функциональной зависимости и достаточно
малой области изменения аргументов zk вычисления упро-
щаются, если разложить функцию у в ряд по степеням откло<
нений аргументов от их приближенного значения (например
от их среднего).
Если ошибки имеются и в величинах Xt и в величинах yt
причем величины xt и у/ подчиняются законам нормального
распределения, то в случае линейной зависимости
у — а^х
оценка есть корень квадратного уравнения
[s?_(„+l)Ss]i_[r2_(„+l)rg]
й? -I--------------—f—г---------aj---= О,
«Л — (« + О
а оценка 20 находится по формуле
~ ____rt —
„ l 1
где al, aj,— дисперсии отдельных значений Xi и yi,
п	п	п
Sk = ^-x-> rk='^lyf (k = l, 2), v1 = '^lxlyi: .
t —0	i = 0	i = 0
Из двух корней квадратного уравнения выбираем оди^
исходя из конкретных условий задачи.
§ 44J
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
463
Решение типовых примеров
Пример 44.1. При исследовании влияния температуры t
на суточный ход хронометра о> получены результаты, при-
веденные в таблице 85.
Таблица 85
ti, ’C	5,0	9,6	16,0	19,6	24,4	29,8	34,4
сек	2,60	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25
Считая справедливой зависимость
(!) = &Q —|— CLj (t  15) —J— (Zg (t  15)2,
где w — расчетные значения величины о>, определить оценки
коэффициентов и оценки средних квадратических откло-
нений: 3— отдельного измерения и Ъак — величин уста-
новить доверительные интервалы для коэффициентов ak и
для среднего квадратического отклонения о, характеризую-
щего точность отдельного измерения, при доверительной
вероятности а = 0,90.
Решение. Составляем нормальйые уравнения для нахо-
ждения оценок коэффициентов ak и Mk, k- Для уменьшения
значений коэффициентов нормальных уравнений вводим пе-
ременную
и ищем аппроксимирующую функцию
у = «о а\х 4~ До-
определяем коэффициенты нормальных уравнений sk и
выполняя вычисления в таблице 86.
Получаем:
So =7; s1 = 2,254; s2=3,712; $3= 3,056; s4 = 4,122;
т’о=1О,28; ^=1,215; ^ = 5,017.
464
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Таблица 8j
i	4	xi	*1		4	cd;		
0	1	—0,667	0,4449	—0,2967	0,1979	2,60	—1,7342	1,1567-
1	1	—0,360	0,1296	—0,0467	0,0168	2,01	—0,7236	0,2605
2	1	0,067	0,0045	0,0003	0,0000	1,34	0,0898	0,0060
3	1	0,307	0,0942	0,0289	0,0089	1,08	0,3316	0,1017
4	1	0,627	0,3931	0,2465	0,1546	0,94	. 0,5894	0,3695
5	1	0,987	0,9742	0,9615	0,9490	1,06	1,0462	1,0327
6	1	1,293	1,6718	2,1617	2,7949	1,25	1,6162	2,0898
		$i=	s2=	$3=	S4=	T/0=	2>i=	V -1=
	So=7	=2,254	=3,7123	=3,0555	₽=4,1221	=10,28	=1,2154	=5,0169
-Система нормальных уравнений принимает вид
7й; 4- 2,254а; + 3,7122; =
2,2542; + 3,7122; 4- 3,0562; = vlf
3,7122; 4- 3,0562; 4- 4,1222; = u2.
Решая эту систему уравнений методом исключения неиз-
вестных и не подставляя числовых значений vk, получим:
2; = 0,2869-по 4- 0,0986^ — 0,3314и2,
2; = 0,0986-По 4- 0,7248^ — 0,6260^,
2; = —0,3314^0 —0,6260^4-1,0051^.
Подставляя значения найдем:
2; = 1,404; 2; = — 1,246; 2; = 0,8741.
Величины k являются коэффициентами при щ в k-ъ
из полученных равенств для ak, т. е.
жо, 0 = 0,2869; Mt, 1 = 0,7^48;	2= 1,0051.
Вычисляем значение Smin> необходимое для нахождение
оценок дисперсии отдельного измерения и дисперсий коэф1
фициентов ak) сводя вычисления в таблицу 86а.
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
465
Таблица 86а
i	a'o + alxi 		-	Ч	
0	2,2352	0,3889	2,624	—0,024	0,000576
1	1,8527	0,1133	1,966	0,044	0,001936
2	1,3207	0,0039	1,325	0,015	0,000225
3	1,0217	0,0823	1,104	—0,024	0,000576
4 ,	0,6230	0,3436	0,967	—0,027	0,000729
5	0,1745	0,8515	1,026	0,034	0,001156
6	—0,2067	1,4613	1,255	—0,005 ,	0,000025
		*		о °min"	= 0,005223
Получаем Smin = 0,005223. Далее находим:
32 = -^^- = 0,001306; 3 = 0,0361.4;
5*, =yWo,oS2 = 0,0003746; 3^ = 0,0009464; 5*. = 0,001312;
За- = 0,01936; За. = 0,03076; 5а. = 0,03623.
Возвращаясь к аргументу t, получим
со = (t — 15) + й2 (t — 1 б)2,	.
где
ao = a;=l,4O4; at = -^- = — 0,08306;
ю
Й2='-^ = 0,003885,
153
и соответствующие оценки средних квадратических откло-
нений а'-
ak
а ,
% = Sa; = 0,01936; 5О, =-^ = 0,001.291;
5 .
Saa_ = -Д= 0,0001610.
10
466
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Находим доверительные интервалы для коэффициентов ak
при доверительной вероятности а = 0,90. Используя, таблицу
[16Т], по входным величинам а и числу степеней свободы
k = n — т = 4 находим
7 = 2,132.
Доверительные интервалы для ak:
ak — r>ak < ак < ak -f- ^ak,
принимают вид
1,363 < a0 <1,446,
— 0,08581 < ах < — 0,08031,
0,003542 < а2 < 0,004228.
Находим доверительный интервал для среднего квадрати-
ческого отклонения а, характеризующего точность отдельного
измерения:
Т15 < ° < 12^,
где_ значения и у2 определяются по таблице [19Т] при
6 = 4, а = 0,90. Имеем: = 0,649; у2 = 2,37, что дает
0,02345 < а < 0,08565.
Аналогично решаются задачи 44.1—44.3, 44.5, 44.9,-
44.10, и 44.13.
Пример 44.2. Равноточные измерения некоторой вели-:,
чины _у, отвечающие ряду значений аргумента х, привели к
результатам, помещенным-?
в таблице 87.
Подобрать многочлен^
5-й степени, приближенной
представляющий зависи-J
мость у от х в интервал^
значений х [0; 2,7], ис-|
пользуя ортогональные^
полиномы Чебышева; оце^
нить точность отдельного’
измерения, характеризуем
мого средним квадрати^
Таблица 87
X	У	х	У
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2	1,300 1,245 1,095 0,855 0,514	1,5 1,8 2,1 2,4 2,7	0,037 —0,600 —1,295 —1,767 —1,914
веским отклонением а, и найти оценки средних квадрати-g
ческих отклонений коэффициентов Ьк при полиномах Чебы*|
шева РА,„(х).
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	46Т
Решение. Переходим к аргументу z = -^, чтобы
сделать шаг аргумента равным единице. По формулам, при-
веденным во введении к данному параграфу, вычисляем
величины Sk, ck, bk (k = 0, 1, .б). Табличные значение
полиномов Чебышева берем из таблицы [29Т]. Вычисления
выполнены в таблице 88.
Таблица 88
Z	Р(),9 (<?)	Pi,9 (г)	Л>.9 (Л	Рз,9 (г)	^4,9 (<?)	Рм (г)
0	1	9	6	42	18	6
1	1	7	2	—14	—22	—14
2	1	5	—1	—35	—17	1
3	1	3		з	—31	3	11
4	1	1		4	—12	18	6
5	1	—1		4	12	18	— 6
6	1	з	—3	31	3	—11
7	1		5	—1	35	—17	— 1
8	1	—7	2	14	—22	14
9	1	—9	6	—42	18	— 6
	s0 = 10	S1 = 330	= 132	s3 = 8580	St = 2860	55 = 780
Вычисления на арифмометре с накоплением результата ч
дают:
So=10.	5i = 330,	52=132,
53 = 8580,	54 = 2860,	53 = 780,
с0 = — 0,530,	ci = 66,802,	с2 = —7,497,
с3 = — 14,659,	с4= 14,515,	с8 = — 1,627.
Для оценок коэффициентов bk имеем:
Ь» = - 0,530,	bi = 0,20243, b* = — 0,05680,
&3 = — 0,00486, 64 = 0,00508, Ьъ = — 0,00209.
Напомним, что если при вычислениях используются таблич-
ные значения полиномов Чебышева, то формула для искомого
многочлена 5-й степени имеет вид
У = b0P0,Q (z)	^1^1,9 (?) + bj\9 (z) -ф-
4~ ^3^3,9 (г) “Ь Ь^Р&,9	4~ Ь$Ръл (z).
468 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [
Если же для вычисления полиномов Чебышева используются*
аналитические формулы, то найденные коэффициенты bk сле^
дует заменить коэффициентами bk = bkPkt п (0), где Pk, п (0) —
табличное значение Pk,n(z) при г = 0.	а
Вычисляем оценку о2:	"А
z = o
причем для нахождения значений j/t- используем табличные^
значения полиномов Чебышева из таблицы 88. Вычисление
Smin выполнено в таблице 89.
Таблица 89
xi	zi	УЧ		Ч	2 ei
0,0	0	1,300	1,310	—0,010	0,000100
0,3	1	1,245	1,236	0,009	0,000081
0,6	2	1,095	1,098	—0,003	0,000009
0,9	3	0,855	0,868	—0,013	0,000169
1,2	4	0,514	0,514	0,000	0,000000
1,5	5	0,037	’ 0,017	0,020	0,000400
1,8	6	—0,600	—0,602	0,002	0,000004
2,1	7	—1,295	—1,263	—0,032	0,001024
2,4	8	—1,767	—1,793	0,026	0,000676
2,7	9	—1,914	—1,908	—0,006	0,000036
Smi =0,002499
Получаем: Smin = 0,002499, 5 = ]/	= 0,02503.
Далее по формуле
~ а-
. '	Cbk=VK
находим:
5^ = 0,007917; 5й1 = 0,001378; ” а*2 = 0,002179;.
abi = 0,0002702; 5^ = 0,0004680; 5^ = 0,0008947.
Аналогично решаются задачи 44.4, 44.6, 44.12.
§ 44J
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
469
Пример 44.3. Показания барометра-анероида А и ртут-
ного барометра В при различной температуре t приведены
в таблице 90.
Таблица 90
i	Л сс	А, мм	В, мм	i	t, °C	А, мм	В, мм
0	10,0	749,0	744,4	5	3,8	757,5	754,0
1	6,2	746,1	741,3	6	17,1	752,4	747,8
2	6,3	756,6	752,7	7	22,2	752,5	748,6
3	5,3	758,9	754,7	8	20,8	752,2	747,7
4	4,8	.751,7	747,9	9	-21,0	759,5	755,6
Считая, что зависимость величины В от t и А имеет вид
В = А —|— ад —j—	—j— oig (760 — А),
определить оценки коэффициентов построить доверитель-
ные интервалы для коэффициентов а* и для среднего квадра-
тического отклонения а ошибок измерения В при довери-
тельной вероятности а = 0,90.
Решение. Обозначим для удобства Zq=1, Zi = t, z$ =
= 760 — А, у = В— А Тогда искомая зависимость примет
вид у — аого 4“ а2г2-
Исходные данные при этих обозначениях представлены
в таблице 91.
Таблица 91
i	*0	Z1	г2	У	ao+ai^i	а2^2	У	Iе» 1	4 .
0	1	10,0	11,0	—4,6	—3,725	—0,739	—4,46	0,14	0,0196
1	1	6,2	13,9	—4,8	—3,686	—0,934	—4,62	0,18	0,0324
2	1	6,3	3,4	—3,9	—3,687	—0,228	—3,92	0,02	0,0004
3	1	5,3	1,1	—4,2	—3,676	—0,074	—3,75	0,45	0,2025
4	1	4,8	8,3	—3,8	—3,671	—0,558	—4,23	0,43	0,1849
5	1	3,8	2,5	—3,5	—3,661	—0,168	—3,83	0,33	0,1089
6	1	17,1	7,6	—4,6	—3,799	—0,511	—4,31	0,29	0,0841
7	1	22,2	7,5	—3,9	—3,852	—0,504	—4,36	0,46	0,2116
8	1	20,8	7,8	—4,5	—3,838	—0,524	—4,36	0,14	0,0196
9	1	21,0	0,5	—3,9	—3,840	—0,034	—3,87	0,03	0,0009
								^min=	= 0,8649
470
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Определяем значения $ау = ^ и — S У&ы
i = 0	'	i = 0
(k, у = 0, 1, 2):
$оо — 1 0;	$о1== $ю — 117,5; $02 = $20 = 63,6; $ц = 1902,6;
$12 = ^1 = 741,97; $22 = 577,22;	0О=—41,7;
₽i = 494,87; р2 = — 276,75.
Составляем систему нормальных уравнений, причем вме-
сто их числовые значения пока не подставляем:
1Оа0 117,5oti —|— 63,6о&2	= £о,
117,5а0-|- 1902,59а!-J-741,9702 = ₽ь
63,6а0-|- 741,9701-]-577,2202 = ?2.
Решая эту систему уравнений методом исключения, полу-
чаем:
а0=	0,6076£о — 0,02289£i — 0,03754£2,
в! = — О,О2289ро + 0,001916?i + 0,0000591 £2,
as = — О,О3754£о + 0,0000591 £t + 0,005792^.
Подставляя в эти выражения числовые значения £*, най-
дем а*; коэффициенты при в выражении для aft предста-
вляют собой значения Nki к:
а0 = — 3,621;	О1 = —0,01041;	аа = —0,06719;
№>о=О,6О76; M,i= 0,001916; W2,2 =	0,005792.
Далее находим: Smin = 0,8649 (см. табл. 91);
52 = 0,12356;	3 = 0,3515;
5;0 = 0,07508; 8ао = 0,272;
5^ = 0,0002368;	5Я1 = 0,0154;
5^ = 0,0007156;	За2 = 0,0268.
Строим доверительные интервалы для коэффициентов aft'
и для среднего квадратического отклонения о, характеризую-
щего точность отдельного измерения, используя распределений
§ 441
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
471
Стьюдента (для аЛ — таблица [16Т]) и ^-распределение (для
о — таблица [19Т]).
Число степеней свободы k = n — т = 1, доверительная
вероятность а = 0,90.
Находим: 7=1,895, 71 = 0,705, 72 = 1,797,
Доверительные интервалы для аЛ:
а* — <%<«* + !%>
принимают вид:
— 4,141 <а0<—3,101,
— 0,0396 <ац<	0,0188,
— 0,1180<а2<	0,0164,
а для среднего квадратического отклонения а
иЛи
715<а<72а
0,2478 < а <0,6316.
Пример 44.4. В таблице 92 приведены значения xb yi
и «веса» pl, характеризующие точность измерения у4 при
данном значении х^.
Таблица 92
i	xi	У1	₽!	i	xi	У1	р*
0	1,5	6,20	0,5	5	—0,5	4,55	1,0
1	1Д	3,45	1,0	6	—1,0	8,85	1,0
2	0,7	2,00	1,о	7	—1,5	15,70	0,5
3 4	0,3 —0,1	1,80 2,40	1,0 1,0	8	—2,0	24,40	0,25
Считая, что зависимость у от х представляется много-
членом второй степени вида
у = д0 < ахх 4- (цх\
найти оценки дисперсий отдельных измерений и дисперсий
коэффициентов аЛ(Л = 0, 1, 2). Построить доверительные
границы для неизвестной истинной,зависимости у= Q(x) при
доверительной вероятности а = 0,90.
472
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Решение. Вычисляем величины s'k и v'k для системы!
нормальных уравнений с учетом «веса» каждого измерения,
выполняя вычисления в таблице 93.
Таблица 93
i	Pi	xi	Xi	xi	X*	У1	>'ixi	
0	0,50	1,5	2,25	3,375	5,0625	6,20	9,300	13,950
1	1,00	1,1	1,21	1,331	1,4641	3,45	3,795	4,174
2	1,00	0,7	0,49	0,343	0,2401	2,00	1,400	0,980
3	1,00	0,3	0,09	0,027	0,0081	1,80	0,540	0,162
4	1,00	—0,1	0,01	—0,001	0,0001	2,40	—0,240	0,024
5	1,00	—0,5	0,25	—0,125	0,0625	4,55	—2,275	1,138
6	1,00	—1,0	1,00	—1,000	1,0000	8,85	—8,850	8,850
7	0,50	—1,5	2,25	—3,375	5,0625	15,70	—23,550	35,325
8	0,25	—2,0	4,00	—8,000	1,6,0000	24,40	—48,800	97,600
Получаем:
So—7,250; s^ = 0;	$2 = 6,300;
s' = — 1,425; si = 11,837/
^ = 40,100; 7?; = —24,955;	^ = 64,366.
Составляем систему нормальных уравнений:
7,25Оао	+6,300^2 =	40,100/
6,300^— 1,425^ = — 24,955, -
6,ЗООяо — 1,425ах	11,837 а* =	64,366. ,
Находим числовые значения определителя системы А и
алгебраических дополнений АЛу- элементов dkj — s'k+j этого*
определителя:	?
Д = 275,87; Д00 = 72,54; Дп = 46,12; А22 = 45,68;	;
ДдХ = А10 = — 8,98; Доз= Д20	— 39,69; ДХз ——- А21 —— 1 0,33$
Вычисляем оценки коэффициентов ak:
% ___________________
аь —---------д---------»
получаем
20 = 2,096; йх = —3,068; й2 = 3,955.
§44)
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
473
Находим Smin> выполняя вычисления в таблице 94:
8
•Sfflin = S Pi [>< — 50 — 5ixi —ад2]2 = 0,2208. ,
i = 0
Таблица 94
i	У1	aQ + aixi	~ 2 a2xj		£. 1	A
0	6,20	—2,5044	8,8945	6,390 -	—0,190	0,0361
1	3,45	—1,2775	4,7833	3,506	—0,056	0,0031
2	2,00	—0,0507	1,9370	1,886	0,114	0,0130
3	1,80	1,1762	0,3558	1,532	0,268	0,0718
4	2,40	2,4030	0,0395	2,442	—0,042	0,0018
5	4,55	3,6298	0,9883	4,618	—0,068	0,0046
6	8,85	5,1634	3,9531	9,116	—0,266	0,0708
7	15,70	6,6970	8,8945	15,592	0,108	0,0117
8	24,40	8,2305	15,8124	24,043	0,357	0,1274
					Q °min	= 0,2208
Вычисляем оценки дисперсий отдельных измерений Э/ по
формуле
~2 ^min 1
О; =--------Г ;
п — mpf*
получаем:
с02 = 3? = 0,0368 •	= 0,0736;
S? = 3| = З2 = а‘1 = 3* = 52 = 0,0368;
1	4	О	41	О	Q	7	'
51=0,1472. .
Оценки дисперсий величин ak и их корреляционных
моментов находятся по формулам
*2 __ ^min ^kk ~	_•_ ^min
°ak n — m Д * ^akf ?j n — m Д *
Имеем:
5*0 = 0,009336;	= 0,005936;	c^2 = 0,005879:
7,	= —0,001156; £ n = — 0,005108; £ n =0,001329.
474 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Вычисляем оценку дисперсии 5J(x) величины^ по формуле
oj (х) = S* 0 4- О ^Х2 + О*2Х4 + 2Ла0, а1Х + 2^0, «2Х2 + 2^, «2Х3
ИЛИ
о^(х)= 10‘8 (933,6—231,2х—428,Ох2 + 265,8х3+ 587,9х4).
Значения oj(xx) для всех X/ вычислены в таблице 95.
Таблица 95
i	xi	933,6—231,2xf	-428,Ox?	“и4 <4 £ CM	587,9x/	4*	>r		У — $y(xi)	£ .+
0 1 2 3 4 5 6 7 8	1,5 1,1 0,7 0,3 —0,1 -0,5 -1,0 —1,5 —2,0	586,8 679,3 771,8 864,2 956,7 1049,2 1164,8 1280,4 1396,0	—963,0 -517,9 —209,7 -38,5 -4,3 —107,0 —428,0 —963,0 — 1712,0	897,1 353,8 91,2 7,8 0,3 33,2 265,8 897,1 2126,4	2976,2 860,7 141,2 4,8 0,1 36,7 587,9 2976,2 .9406,4	0,03497 0,01375 0,00794 0,00838 0,00953 0,01012 0,01590 0,04197 0,11217	0,187 0,117 0,083 0,092 0,098 0,101 0,126 0,205 0,335	6,390 3,506 1,886 1,532 2,442 4,618 9,116 15,592 24,043	6,023 3,279 1,715 1,353 2,252 4,422 8,871 15,194 23,392	6,753 3,733 2,057 1,711 2,632 4,814 9,361 15,990 24,694
Строим доверительные границы для неизвестной истинной
зависимости j/=Q(x):
У1 — Vy (*/) < У <yt + Гу (•*/)>
где т определяется из таблицы [16Т] по входным величинам
а = 0,90 и числу степеней свободы k = n — т = 6:
7= 1,943.
Доверительные границы для у вычислены в таблице 95.
Аналогично решаются задачи 44.7, 44.8, 44.11.
Пример 44.5. Электрическое сопротивление молибдена р
в зависимости от температуры Т °К характеризуется дан*
ными таблицы 96.
Считая справедливой линейную зависимость вида
р = ао + Т>
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
475
определить коэффициенты а0 и по способу наименьших
квадратов. Ошибки, измерения р и Т характеризуются соот-
ветственно средними квадратическими отклонениями °р =
= 0,8 мком-см и аг=15°. Найти наибольшее отклонение
расчетной величины р от опытной.
Таблица 96
т, °к	Р. МКОМ-см	Г, °К	р» МКОМ-см
2289	61,97	1489	37,72
2132	57,32	1286	32,09
1988	52,70	1178	28,94
1830	47,92		
Решение. Вычисляем величины sk) Гь (k—\, 2),
выполняя вычисления в таблице 97.
Таблица 97
i	Ti	7f-l(Ta	Pi	p?		Pi	ei
0	2289	52 395	61,97	' 3840,3	14185	61,82	0,15
1	2132	45 454	57,32	3285,6	12 221	57,15	0,17
2	1988	39 521	52,70	2777,3	10 477	52,86	—0,16
3	1830	33 489	47,92	2296,3	8 769	48,15	—0,23
4	1489	22 171	37,72	1422,8	5617	38,00	—0,28
5	1286	16 538	32,09	1029,8	4 127	31,95	0,14
6	1178	13 877	28,94	837,5	3 409	28,73	0,21
	Sj=	s2=		r2=	<4=		
	=12 192	=22 344 • 103	=318,66	=15 490	=58 805-10		
Получаем:
$1== 12 192; s2 = 22 344.103;
П= 318,66;	л2= 15 490;
^ = 58 805-10.
476
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Составляем квадратное уравнение для отыскания коэф-
фициента ар
-	[si-(«+l)s2]^-[r?-(n+l)r2]
a* -I-------------г-н--------------at — 4- = О,
1 1	Strt — (П 4-1) Vi	ay
которое после подстановки числовых значений принимает вид
af + 0,0657083! — 0,0028444 = 0.
Решая это уравнение, находим два значения аг:
аи — 0,029786; а12 = — 0,095494.
Очевидно, что корень а12 не годится, так как он отри-
цателен, а из данных таблицы 97 легко заключить, что при
возрастании Т величина р возрастает. Следовательно,
2! = 0,029786.
Определяем коэффициент а0 по формуле
й0 = Г1~рр = — 6,356.
и п 4-1
Вычисляем в таблице 97 значения ер
ez = Pi— P/r
где р/ — расчетные значения величины
р = — 6,356 + 0,029786 7.
На основании данных таблицы 97 находим, что [ е |тах = 0,28.
Аналогично решается задача 44.15.
Задачи
44.1.	Результаты равноточных измерений глубины h про-
никновения тела в преграду при различных значениях его
удельной энергии Е (энергии, приходящейся на единицу пло-
щади соударения) приведены в таблице 98.
Подобрать линейную зависимость вида
/г = a0 +
§ 44J
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
477
определить оценки дисперсий коэффициентов ak и оценку о2
дисперсии, характеризующей точность отдельного измерения.
Таблица 98
i	Ei	hi	i	Ei		i		Ai
0	41	4	5	139	20	9	241	30
1	50	8	6	154	19	10	250	31
2	81	10	7	180	23	11	269	36
3 4	104 120	14 16	8	208	26	12	301	37
44.2.	Решить предыдущую задачу, перенеся для упроще-
ния вычислений начало отсчета аргумента Е в точку, равную
среднему' арифметическому значению величин Еь и начало
отсчета величины h в точку, близкую к математическому ожи-
данию /г.
44.3.	Высота h падения тела за время t определяется
формулой
h === CIq —CL\t —CL^t\
где aQ — путь, пройденный телом к моменту начала отсчета
времени, аг — скорость тела в момент начала отсчета вре-
мени, а% — половина ускорения силы тяжести g.
Определить оценки коэффициентов аь а% и оценить
точность определения ускорения силы тяжести указанным
методом на основании серии равноточных измерений, резуль-
таты которых приведены в таблице 99.
Таблица 99
сек.	ft, CM	t, сек.	ft, CM	/, сек.	ft, CM	/, сек.	ft, CM	t, сек.	ft, CM
1	11,86	4	26,69	7	51,13	10	85,44	13	129,54
30		30		30		30		30	
2	15,67	5	33,71	8	61,49	11	99,08	14	146,48
30		30		30		30		30	
3	20,60	6	41,93	9	72,90	12	113,77		
30		30 ।		30		30		1	
478 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
I
44.4.	Решить предыдущую задачу, используя ортогоналв|
ные полиномы Чебышева.
44.5.	Равноточные измерения некоторой величины у цере|
равные интервалы аргумента х дали результаты, приведен!
ные в таблице 100.
Таблица ЮЙ
X	>-3	—2	—1	0	1	2	3
У	—0,71	-г0,01	0,51	0,82	0,88	0,81	0,49
Считая, что у достаточно точно аппроксимируется много^
членом второй степени
у = Uq *-]— а^х —|— а%х\
определить оценки коэффициентов ak, дисперсии отдельного
измерения о2 и дисперсий коэффициентов ak.	|
44.6.	Величина износа резца у, определяемая его толщи!
ной (в миллиметрах), в зависимости от времени работы |
(в часах) представлена в таблице 101.
Таблица 101
t	У	5	У	t	У
0	30,0		27,5	12	26,1
1	29,1	7	27,2	13 ~	25,7
2	28,4	8	27,0	14	25,3
3	28,1	9	26,8	15	24,8
4 5	28,0 27,7	10 11	26,5 26,3	16	24,0
Подобрать с помощью ортогональных полиномов Чебыд
шева зависимость у от t в виде многочленов первой и третьей
степеней. Считая справедливой полученную зависимость, оце|
нить в обоих случаях величину дисперсии отдельного изме|
рения и построить доверительные интервалы для среднего
квадратического отклонения а при доверительной верояЙ
ности а = 0,90.	/
§ 441
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
479
44.7.	Величины сжатия jq стального бруса под действием
нагрузки уь а также значения дисперсий а|, характеризую-
щих точность измерения уь приведены в таблице 102.
Таблица 102
i	0	1	2	3	4
Xi, мк	5	10	20	40	60
Уь кГ	51,33	78,00	144,3	263,6	375,2
°!	82,3	25,0	' 49,3	51,3	46,7
Найти линейную зависимость
y = aQ-[-alx, ~
отвечающую закону Гука; построить доверительные интер-
валы для коэффициентов ak(k = 0, 1), а также доверитель-
ные границы для неизвестного истинного значения нагрузки
при х от 5 мк rq 60 мк при доверительной вероятности
а = 0,90.
«Веса» измерений, отвечающих каждому значению сжа-
тия хь принять обратно пропорциональными величинам of.
44.8.	В таблице 103 приведены средние значения yh отве-
чающие значениям аргумента xit а также числа щ измерений
величины у при x = xz.
Построить аппроксимирующий многочлен второй степени
и определить оценки средних квадратических отклонений aak
коэффициентов ak.
Таблица 103
i	X.		Л	i	xi	yi	ni
0	1	0,10	21	3	4	0,32	И
1	2	0,19	8	4	5	0,39	И
2	3	0,24	13	5	6	0,48	10
480 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ.
44.9.	Себестоимость у (в рублях) одного экземпляра
книги в зависимости от тиража х (тысячи экземпляров)
характеризуется данными, собранными издательством в тече-
ние ряда лет (табл. 104). Подобрать коэффициенты для гипер-
болической зависимости вида
У — ао + —
и построить доверительные интервалы для коэффициентов ak
(k = 0, 1), а также для величины у при различных значе-
ниях Xi при доверительной вероятности а = 0,90.
Таблица 104
X	У	X	У	X	У
1	10,15	10	2,11	100	1,21
2	5,52	20	1,62	200	1,15
3	4,08	30	1,41		
5	2,85	50	1,30		
44.10,	Конденсатор заряжен до напряжения отвечаю-
щего моменту начала отсчета времени, после чего он раз-
ряжается через некоторое сопротивление. Напряжение U
измеряется с округлением до 5 б в различные моменты вре-
мени. Результаты измерений приведены в таблице 105.
Таблица 105
i	t. сек.	и., в	1 4	сек.	и., в	i	/<» сек.	и., в
0	0	100	4	4	30	8	8	10
1	1	75	5	5	20	9	9	5
2	2	55	6	6	15	10	10	5
3	3	40	7	7	10			
Известно, что зависимость U от t имеет вид
U= U,e-at.
Выбрать коэффициенты и а, составить доверительные
интервалы для (/0 и а при доверительной вероятности а = 0,90.
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
481
44.11.	В результате продувок в аэродинамической трубе
для модели самолета были получены данные (табл. 106)
о зависимости угла отклонения руля высоты обеспечи-
вающего прямолинейный горизонтальный полет, от скорости
воздушного потока v:
&в = ао+^.
Найти оценки коэффициентов а0 и fli и их средних квадра-
тических отклонений.
Таблица 106
i	гь, м!<;ек.		ni	i	м!сек	BI	ni
0	80	—3°44'	8	5	140	—0°38'	6
1	90	—2°58'	12	6	160	—G°07'	9
2	100	—2° 16г	11	7	180	0°10' '	12
3	ПО	—1°39'	9	8	200	G°35'	10
4	120	—1°21'	14				
Через ni в таблице обозначены числа измерений при дан-
ном значении скорости
44.12.	Результаты измерения размера х партии' деталей
разбиты на интервалы, и для "них вычислены, частоты р*>
которые приведены в таблице 107.
Таблица 107
Границы интервала	pi	Границы интервала	Pi	Границы интервала	pi
ооооо СО QO О —ч ООООО Ю со г- оо о	0,00333 0,00667 0,03000 0,07667 0,11000	100 4- НО 110-^-120 120 4-130 1304-140	0,18667 0,20333 0,16333 0,08333	140 4-150 150 4-160 160 4-170 170 4-180	0,06333 0,05333 0,01333 0,00667
Считая, что значения pf относятся к серединам интер-
валов xi9 подобрать по способу наименьших квадратов пара-
метры для зависимости
р=рйе 2’6 ,
16 Б. Г. Володин и др.	—
482 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ' [ГЛ. IX
аппроксимирующей опытное распределение, применив орто-
гональные полиномы Чебышева. Проверить, выполняется ли
равенство
10
Рй ySta'
44.13.	В таблице 108 приведены измеренные значения
некоторой величины у в ' зависимости от времени t (сутки).
Считая, что
у = a sin (wf — ср), где
о) = 360
град.
сутки*
определить оценки параметров а
отклонение измеренной величины
функции у.
и ср. Найти наибольшее
у от аппроксимирующей
Таблица 108
t	У	t	У	t,	У
0,00	—25	0,35	26	0,70	—16
0,05	—26	0,40	32	0,75	3
0,10		4	0,45	40	0,80	—21
0,15	7	0,50	32	0,85	—22
0,20	6	0,55	21	0,90	—29
0,25 0,30	13 30	0,60 0,65	11 ’	0,95	—32
Указание. Предварительно выбрать приближенное зна-
чение <р' и представить у в виде
у = a sin 6 -(- b cos 9,
где	9 = со/ — ср',
ь = — a(f — ?').
44.14.	В результате опыта получены следующие значения
функции y—f(x), имеющей период (табл. 109).
Найти представление этой функции многочленом
у = а0 -(- cos х -J- bx sin x -(- a2 cos 2x -j- b* sin 2x
и наибольшее отклонение измеренной величины у от аппрок-
симирующей функции у.	л
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 483
Таблица 109
град	Л’	х., град	У1	град		град	
0	0,82	90	2,39	180	3,33	270	—1,98
15	1,31	105	2,12	195	2,89	285	—2,30
30	1,84	120	2,38	210	2,01	300	—2,22
45	2,33	135	2,98	225	0,92	315	—1,57
60	2,21	150	3,44	240	—0,24	330	—1,03
75	2,24	165	3,51.	255	—1,23	345	—0,01
44.15.	В таблице ПО приведены уровни х и у воды
в реке в пунктах А и В соответственно (пункт В на 50 км
ниже по течению пункта Л), замеренные в 12.00 в первые
15 дней апреля.
Таблица ПО
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Xi, м Уьм	12,1 10,5	11,2 9,3	9,8 8,3	10,4 9,6	9,2 8,6	8,5 7,1	8,8 6,9	7,4 5,8	6,6 5,2	7,0 5,0	6,4 5,1	6,0 4,6	6,5 5,0	5,8 4,4	5,4 3,9
Считая справедливой зависимость
у = а0 +
определить оценки коэффициентов й0 и и наибольшее
отклонение У[ от расчетных значений уь если известно, что
ошибки измерения величин х и у характеризуются средним
квадратическим отклонением <зх = <зу = 0,5 м.
§ 45. Статистические методы контроля качества
Статистический контроль позволяет установить качество
продукции путем испытания части изделий: с гарантируемыми
вероятностями а забраковать хорошую партию («риск по-
ставщика») и р принять негодную партию («риск потребителя»).
Партия считается хорошей, если параметр, характери-
зующий качество партии, не превосходит некоторого граничного
16*
^Ш^'Л/^: МЕТ6ЙЬ! ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ.
значения, и негодной, если этот параметр имеет значение не;
ниже некоторого другого граничного значения. Параметром,
характеризующим качество партии, может быть или число I
дефектных изделий в партии (границы /0 и 4 ^>4), или среднее
значение Е или X параметра в партии (границы Во и Bi^>B0
или Хо и Хх^>Х0), или (при контроле однородности продукции)
дисперсия параметра в партии (границы og и	в том
случае, когда качество партии улучшается с ростом значения
параметра, соответствующие неравенства должны быть заме-
нены на противоположные.	'
По методу контроля различают метод однократной вы-
борки, метод двукратной выборки и метод последовательного
анализа. Определение объема выборки и признаков для
приемки или браковки продукции по заданным величинам
аир называется составлением плана контроля.
При однократной выборке определяются объем
выборки До и приемочное число у; если в выборке значение
контролируемого параметра у, то партия принимается;
если оно^>у— бракуется.
Если контролируется число (доля) дефектных изделий
в выборке объема л0, общее число дефектных изделий в пар-
тии L, а объем партии N, то
VI rmrn.Q — т
а=Р(ж>Ч1=/0)=1-2^^^>
т = О
где значения С™ могут быть взяты из таблицы [1Т] или
вычислены с помощью таблицы [2Т].
При По^О,Ш возможен приближенный переход к бино-
миальному закону распределения
а= 1— S С^(1 —р0)а<>-т=1 —P(pQ, по, V),
т = 0
р = S СХ (1 -Pl)n“~т = Р(рь По, у),
т — 0
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА "	485
где ро = ^, р! = ^, а значения Р(р, п, d) могут быть взяты
из таблицы [4Т] или вычислены с помощью таблиц [2Т]
и [ЗТ].
Если, кроме того, /70<^О,1,/21<^О,1, то, положив —
ai = ntf>i (переходя к закону распределения Пуассона), получим
ОО
а = 2 Й’е’ао==1_р^2^х|о),
т = v 4- 1
оо	,
?=!- 2 Йе“а1 = р(х4^х|1)>
т = v 4-1
оо
2ат
^е“ даны в таблице (7Т],
т = v 4-1
а вероятности Р(х2^>х|) могут быть получены из таб-
лицы [17Т] при числе степеней свободы £ = 2(у-|-1).
Если 50 «о O,1N, type 4, то можно пользоваться
еще более удобными приближенными формулами:
1______L ф f v ~ ”qPq + 0,5 \
2	2	\ tiQpQ (1 —Pq) /
J______1_Ф ( fippi — м — 0,5
2	2	\ УлоР1(1 —Pi) / ’
где Ф(г)— функция Лапласа (см. таблицу [8Т]).
Если контролируется среднее значение х = — xi па-
i = 1
раметра в выборке, а значение параметра одного изделия Xt
подчиняется нормальному закону распределения с известной
дисперсией а9, то
о —-L____1 <т./£|-Л
с ’ Р— 2	2 а •
J	\у~по'
При в формулах для а и р знак минус перед вто-
рым членом заменяется на плюс; партия принимается при
и бракуется при
а — -____- Ф
а 2	2
486 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Если контролируемый параметр имеет плотность вероят-
ности	•
ТО
а=1 —Р(Х4^х|о),
Р=Р(х2^х|1),
где x9q = 2«0X0v, x|j = 2/ZoXjv, а вероятность P (у/ 5s yj) onpe-
деляется по таблице [17T] при Л = 2и0 степенях свободы.
Если «о^>15, то приближенно
Р(у2>у2)—2______1 Ф^?~2/г<А
Г(х—х?)—2 2
Если контролируется однородность продукции, а пара-
метр, характеризующий качество изделия, нормален, то
в=Ь-Р(’Мй|’о)>	₽ = Р (S ?1в11 аД
По "
где ^0 = -у-, ^i = -y-, <з2 = —	(х*— х^> если матема-'
°	° i => 1
тическое ожидание х параметра известно, или
. Если в первой выборке кон-
если х неизвестно, а вероятности	вычисляются
по таблице [22Т] при k = nQ степенях свободы, если х изве-
стно, и при k = nQ—1, если х неизвестно.
При двукратной выборке определяются объемы
первой П\ и второй и2 выборок и приемочные числа vb v2, v3’
обычно Vi <Z------ V3 V2
тролируемый параметр vb то партия принимается; если
контролируемый параметр ^>v2, то партия бракуется; в осталь-
ных случаях берется вторая выборка. Если определенное по
выборке объема	значение контролируемого пара-
метра =Cv3, то партия принимается, в противном случае—^
бракуется.	.
§45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
487
Если контролируется число дефектных изделий в вы-
борке, то
uc_1
mi = 0
^2

v3 —
— mi /
GzQG7V-/o I !__
ТП2 =0
/°Л2 — m^
u/0 —
G2V-/ii
mi = *i + 1
GW
yc^z?/
Z-f W
— mi
uli G /V-Zi
/0/11
°ДГ
mi = vi-f-1 “
GZi — N — G — /И Ч- ”*1
/on2
— ni
Так же, как при однократной выборке, при наличии опре-
деленных соотношений между числами пь /г2, N, 1\ воз-
можен приближенный переход от гипергеометрического закона
распределения к биномиальному, нормальному или закону рас-
пределения Пуассона.
Если контролируется среднее значение х параметра в вы-
борке, то при нормальном законе распределения параметра
одного изделия с заданной дисперсией а2 в частном случае,
когда «1 = п2 = л, V! = v3=v, v2 = oo, будет
а = 1 — pi — 0,5 (р2 —pl), р =р3 4- 0,5 (р4 — р1)9
где
Pi = 0,5 -|- 0,5Ф
р2 = 0,5-|-0,5Ф
\V2h
р3 = 0,5 + 0,5Ф
Pi == 0,5	0,5Ф
\
При знаки неравенств в условиях приемки и браковки
заменяются на противоположные, а в формулах для рь р^
Ръ, р^ знак плюс перед вторым членом — на минус.
48S< МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Если контролируется х, а плотность вероятности пар$
метра X для одного изделия показательная: f (х) = \е~^
= п, Vi = v3 = v, v2 = оо, то
а = 1 — pi — 0,5 (р^ — pf), р =ръ + 0,5 (/?4 — р^
где
Л = 1 — Р(Х2^Х?в)> №=1 — Р(х2>х?о)>
л = 1 — Р (х2 >/ЛА 1 — Р(х2>х?1)-
X,0 = 2zA0v, x?i = 2/Aiv, а вероятности Р(х2^Х?) вычи-
сляются по таблице [17Т] при числе степеней свободы k = 2#
(для pi и р3) и k = 4n (для р% и pi).	’
Если контролируется однородность продукции при норЗ
мальном законе распределения контролируемого параметра,
7?! =	= лг, v1 = v3 = V, V2 = OO, то
а= 1 — Pi — 0,5(^2— pl), $=Pi-[-0,5(Pi — pl),	'
где ръ Ръ Рз> Pi определяются из таблицы [22Т] по q и k,
причем q = q$ для рх и р* q — qi для рз и р4; при извести
ном х k = n для pi и рз, k = <2n для р2 и ръ при неизвест-
ном х k = n—1 для pi и p3f k = 2(n—1) для р% и р^
При последовательном анализе А. Вальда
для переменного объема выборки п и случайного значения
контролируемого параметра в выборке вычисляется коэффи-
циент правдоподобия 7 и контроль продолжается до тех пор,
пока 7 не выйдет за пределы интервала (В, А), где В =
| _ о
A — g ; если ^^В, то партия принимается, если 7^А^
то партия бракуется; при В<^<^ А испытания продолжаются.
Если контролируется число т дефектных изделий в вы*
борке, то
При	пригодна формула, справедливая для бино^
миального закона распределения:
pm (1 — р уг-т
где
/о	А
^ = 77’	=
§ 451
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
489
13 этом случае партия принимается, если т hx -j- партия
бракуется, если т /г2 + nh£ испытания продолжаются, если
У/i + л/2з <	</г2-|-и/г3, где
hi —
1g В
’g^- + >g
Ро
1 —Ро
1 -Pl
Igl^
1 —Pl
ht=----. t
’g? + ’Snzy
ig^-4-ig
Po
1 ~Po
1 —Pl
hs
На рис. 37, соответствующем этому случаю, полоса //
дает область значений пит, при которых испытания про-
должаются, I — область приемки партии, III—область бра-
ковки партии.
Если 0,17V,	то т(я, ni) =
где - а0 =
— прь ai = пр\. В остальном
контроля и графиче-
ский метод останутся
без изменения, но в
данном случае
h1 = ^-9
lg^
Po
h —
"2-----—,
lg—
Po
_ 0,4343 (A-A)
/г3	-------------
1g--
А
a™e~ai
а™е~а°*
условия последовательного
Если можно принять биномиальный закон распределения, то
математические ожидания объема выборки определяются
формулами	1
M[n|p.J= <L->'8« + -Y ,
л'^-О-лПв—£
МН,,,]= |1'еД + ,'-вУ_„ 
"С-11 -"'еггй
490 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ.
Наибольшее значение математического ожидания объема вы-
борки имеет место при числе дефектных изделий в партии
l = Nh3.
М[«]шах = А ’ ГДе =	Р1==^-
Ро 1 Pl
Если контролируется среднее значение х параметра в вы-
борке, а значение параметра одного изделия — нормальная
случайная величина с известной дисперсией а2, то
л
7 = 7 (п, х) = ехр: —	~ (xt — ?о)2]
Партия принимается, если пх hi -j- h3n; партия бракуется,
если nx^h%-]-h3n; испытания продолжаются, если
hi nh3<^nx<^h%-]- nh3i где
//j = 2,303 j—]g В; Ла= 2,303 j^-lg А; /г3 = Ц^.,
5о	51	50	-
Метод контроля и в данном случае можно представить гра-
фически аналогично рис. 37, если по оси ординат вместо т
откладывать пх. При	будет hi 0, й2<^0 и знаки
неравенств в условиях приемки и браковки меняются на про-
тивоположные.
Математические ожидания числа испытаний определяются
формулами:
м [п I %] =	t
5о
М[л|Ы=^(\Л
51 Л3
M[n]max = -^.
Если параметр отдельного изделия имеет плотность вероят-
ности f(x) — ^e~^x, то
*[(П, Х) =	(Al —A0)«jf
§ 45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
491
Партия принимается, если пх hi -|- nh3, бракуется, если
nx^hb-\~nh& испытания продолжаются, если hi -}- ий3
>лх^>/г2 + ^з, где
hi = — 2,303	й2 = —2,303 тДД-
Ai — л0	*	лх — л.
Л3 = 2,303 ^--4-
Л1 л(
Графическое представление метода контроля отличается от
изображенного на рис. 37 только тем, что в данном случае
J — область браковки, III — область приемки. Математиче-
ские ожидания числа испытаний вычисляются по формулам
11 ~8 + •'<= 8 ,
Igil- 0,4343 ii-Zi.
ig Ji - 0,4343 ; 7 '
л0	лх
M[n]max = -^.
Если контролируется однородность продукции (закон нор-
мального распределения), то
___ п I а2__а2
Y = 7(n, а) = — 6 2
Партия принимается (при известном х), если n32^7zi -|- nh3;
бракуется, если по2 h% -f- nh& испытания продолжаются,
если hi -j- nh3 < лЭ2 й2 + nh39 где
-	_ 4,6061g В	4,606 lg А . _2>303Ig4
hl~ 1__Г’ 2— ±_1'’ йз—"ь_1 ’
а2 а2	а2 а2
При графическом представлении на рисунке, аналогичном
рис. 37, по оси ординат<откладываются по2.
492 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
/
При неизвестном х в формулах п заменяется на (п — 1)
Математические ожидания числа испытаний
м [ПI Со] = +	. М [иI с] =
ао -	"з
к а г 1	’ // i^2
М [fl]щах =	‘
При контроле общего числа дефектов изде-
лий выборки, если число дефектов одного изделия подчи-
няется закону Пуассона с параметром а, применимы все при-
веденные выше формулы для закона Пуассона при замене
т на пх, и — на и _ а0 и — на па§ и паь
Xj0 —на 2ш?0,	— на 2/гаь
где п — объем выборки.
При п^50,	возможен переход к нормальному
закону
Для определения вероятности того, чтс
число испытаний п<^пя при последовательном анализе
в случае, когда или р<^а, применимо распределение
А. Вальда (табл. [26Т]).
т <л) =	(yg)=УСу V	-4 -2) dy, -
где у — отношение числа испытаний п к математическом)
ожиданию п при некотором значении контролируемого пара-
метра партии (Z,	X), уё=у\^ параметр с распреде-
ления А. Вальда определяется формулами:
а)	для биномиального закона распределения доли дефект-
ных изделий

/
P = N’
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 493
б)	для нормального закона распределения параметра из-
делия
в)	для показательного закона распределения параметра
изделия	х	.	.
где
' 2,303 11g В |, если выбранное значение
параметра <^/г3, а<^р;
2,303 1g Л, если выбранное значение
параметра ^>/г3, Р «Сп-
особ ый случай контроля по числу дефект-
ных изделий возникает при испытании на надежность
в течение времени 7, при котором обычно считается спра-
ведливым показательный закон распределения времени без-
отказной работы. В этом случае вероятность р выхода из-
делия из строя за время t определяется формулой р = 1 — e~kt.
Все формулы для контроля доли дефектных изделий при
биномиальном законе остаются справедливыми, если произ-
вести замену р0 на 1—pi на 1—е~х^. Если \t <^0,1,
возможен переход к закону распределения Пуассона с заме-
ной в соответствующих формулах а0 на /Ао^, на пМ,
на 2zA(/, на 2/А7.
Последовательный анализ отличается в , данном случае
тем, что при фиксированном числе По испытываемых изделий
случайным является время t испытаний. Партия принимается,
если + бракуется, если	испытания
продолжаются, если ti 4- /л^3 t	где
ti = — 2,303  ngB < ;
«о (Xj, — Хо)
fa = —2,303
Ло
*3~ 2,303 ««(Х.-Х,)’
а т — число отказов за время t. При графическом представ-
лении по оси абсцисс откладывается т9 а по оси ординат t.
494
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
Математические ожидания времени испытания Т npij
W<^0,l определяются по формулам:
м ИIЧ = м [п I Ро], м [Г IX,] = £ Щп | Р1],
М [7"]max = ~ М [и]шах ,
по
где tH— произвольное число, значение которого выбирают
вблизи от t, исходя из/удобства расчетов, a pQ = kofH, pr = н.
Для определения вероятности того, что время испытания
Т<^tg в случае, когда а<^р или р<^а, применимо распре-
деление А. Вальда, в котором нужно положить =
и определить параметр с по формуле для биномиального
закона распределения при выбранном выше значении fH.
Решение типовых примеров
Пример 45.1. Партия в N= 40 изделий считается перво-
сортной, если в ней число изделий, имеющих дефекты, не
превышает /0 = 8 штук. Если число изделий, имеющих де-
фекты, больше /1 = 20 штук, то партия возвращается на
исправление. Требуется:
а)	вычислить а и р при однократной выборке объема
riQ= 10, если приемочное число v = 3;
б)	найти аир при двукратной выборке, для которой
/z1 = = 5, vi = 0, v2 = 2, v3=3;
 в) сравнить эффективность планов контроля методами
однократной и двукратной выборок по среднему числу про-
веряемых изделий в 100 однотипных партиях;
г) при аир, полученных в п. а), построить план после-
довательного контроля, определить nmiQ для партий с L = 0
и L=N.
Решение, а) Вычисляем а и р по формулам
1л я»	3
1_ V С™С'*	V cnrw-m
1 Zi Сй ’ Р Сй Zi 2°2<|
т==0	- т = 0
Используя таблицы [1Т] для С™, находим
а = 0,089, ^ = 0,136.
§ 45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
495
б)	Вычисляем а и 0 по формулам
2
1	1 V	— т I
а=1—	7. С8С32	-f-
°40 "о
2	mi /	3-—mi т2	\ -I
। у С8 С32	/ i __ у g8-tt7iG274-777i \
\ Го	I
mi = l L	\	7722 = 0	/J
_С^0  у р1^о~тх
х~»5 I	fy'a
тх = 1[	°40
3 — 7771
2
7712 = 0
Г>7П2	/^5—7712
G20 — m1G 154-7771
получаем
а = 0,105, 0 = 0,134.
в)	Вероятность того, что партия первого сорта при методе
двукратной выборки после первой выборки объемом в 5
изделий~будет принята, равна
Р (/И1	V,) = Р (ОТ1 = 0)— 0,306.
С40
Математическое ожидание числа партий, принимаемых
после первой выборки из общего числа в 100 партий,
100-0,306 = 30,6 партии;
для остальных 69,4 партии потребуется вторая выборка; сред-
ний расход изделий при методе двукратной выборки составит
30,6 • 5	69,4 • 10 = 847 .изделий.
При методе однократной выборки расход изделий равен
100-10=1000 изделий.
При сравнении эффективности методов контроля мы пре-
небрегли разницей между значениями а и 0, полученными
по методам однократной и двукратной выборок.
г)	При а = 0,089 и 0 = 0,136 план последовательного
анализа получается следующий:
В= -4^ = 0,149, 1g В = — 0,826,
Д=-Ь^>=9,71, 1g А = 0,987.
а	°
496
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ |
Для определения nmin в случае, когда все изделия в riaj
тии хорошие, вычисляем последовательные значения 1g 7 (л; 1
по формулам
O) = lg(N—/1)! + lg(N-/o+l)! —
-ig(N-4)!-ig^-4+i)
igi(«+1; o)=ig t(«; o) —ig(N—/0—«)!-{-ig(N—
Имеем:
1g 7(1; 0) = 0,7959;
1g 7 (2; 0) = 0,5833; 1g 7 (3; 0) = 0,3614;
lg 7 (4; 0) = 0,1295; 1g7(5; 0) = —0,1136;
1g 7(6; 0) = — 0,3688; lg7(7; 0) = — 0,6377;
lgT(8; 0) = — 0,9217.
Так как неравенство 1g 7(n; 0)<^ 1g В выполняется только
начиная с п = 8, то nmin = 8.
Для партии, состоящей из дефектных изделий, п = пц
Находим 1g 7(1; 1) = 0,3979.	:
Для последующих п пользуемся формулой
ig I (« + 1; w + О = lg I («: w) 4- 1g (4 — т) — 1g (4 — т):>
Получаем lgf(2; 2) = 0,8316; lgf(3; 3)= 1,3087^>lgА =±
= 0,987; следовательно, в этом случае nmin = 3.
Аналогично решается задача 45.1.
Пример 45.2. Большая партия ламп (М> 10 000) про*
ходит контроль на годность. Если доля дефектных ламй
jpр0 = 0,02, то партия считается хорошей, при
= 0,10 — негодной. Используя законы распределения бино-?
миальный и Пуассона (проверив их применимость):
а)	вычислить аир при однократной выборке (одиночной
контроле), если n0 = 47, v = 2;
б)	вычислить аир при двукратной выборке (двойном
контроле), приняв ^ = ^ = 25, ^ = 0, v3 = 2, v3 = 2;
в)	сравнить эффективность одиночного и двойного кон-:
троля по числу испытываемых изделий, приходящихся ня
100 партий;	'	,
§ 45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
497
г)	составить план последовательного контроля, начертить
график, определить #mjn для партий с /?=0, р=\.
Вычислить математическое ожидание числа испытаний при
последовательном контроле.
Решение, а) При биномиальном законе распределения
2	2
а=1— У, C™0,02m0,9847-m, р= У C£0,10m0,90«-m.
m = 0	т—0
Используя таблицу [4Т] для биномиальной функции распре-
деления и интерполируя между л = 40 и л =50,. получим
а = 0,0686, р = 0,1350.
При законе распределения Пуассона, вычислив aQ =
= #0/70 = 0,94, aj = #qPi = 4,7, получим
2°° O,94zn^-0’94 Q / V 4,7m^"4’7
—,	₽=i-2—г•
г т = 3	т=3
Используя таблицу [7Т] суммарных вероятностей для
закона распределения Пуассона, находим (интерполируя по а)
а = 0,0698, р = 0,159.
б)	При биномиальном законе распределения, используя
таблицы [1Т] и [4Т], находим
а=1—	С^0,02^0,9825-т1-4-
mi=0
C™i0,02mi0,9825-mi
2 — mi
1 — У №0,02m20,9825-m2
25	1	>
/»2 = 0
= 0,0704,
p = C050,l°0,925 +
2 j-
+ У, ' C™i0,lm'0,925
mi=l
,2—mi	,
-mi( У C“s0,lm20,925-m3
\m2 = 0	,
0,1450.
При законе распределения Пуассона, используя таблицы
Г6Т] и [7Т] и вычислив a0i = 0,5, аоа = 0,5, ап = 2,5,
498
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ
я1а=2,5, имеем
2	0,5mi е 0,5 .
7И1 =3
2г	л г /	00
у 0^21 у	= 0,0715,
‘ Zd mJ I ш mJ	9
mi = \ L	\т2 = 3 — тгц,	/_
со
р=1- 2
mi =
2,5СТ1е~2’5
mJ
оо
2
m2 = 3—-mi
2,5m2e~2>5
mJ
= 0,1935.
Существенное различие между значениями р, вычислен-
ными при использовании законов распределения биномиаль-
ного и Пуассона, объясняется большой величиной /^ = 0,10.
в)	Вероятность принятия хорошей партии (р 0,02) после
первой выборки при двойном контроле (сравниваем резуль-
таты для биномиального закона распределения)
Р (//Zi < Vi) = Р (//Zi = 0) = С*>50;02° * 0,9825 = 0,6035.
Среднее число хороших партий, принимаемых после пер-*
вой выборки, из общего числа в 100 партий составит
100-0,6035 = 60,35 партии;
для остальных 39,65 партии потребуется вторая выборка;
средний расход ламп при двойном контроле 100 партий
будет равен
60,35-25 4-39,64-50 = 3491 лампе;
в случае плохой партии вероятность забраковать ее после
первой выборки при двойном контроле
2
P(z«i>v2)=P(OTi>2)=1 — У, C£‘0,lmi0,925-mi== 0,4629.
mi=0
Среднее число партий, бракуемых после первой выборки,
из общего числа в 100 партий составит
100-0,4629 = 46,29;
§45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
499
для остальных 53,71 партии потребуется г вторая выборка;
средний расход ламп при двойном контроле 100 партий
будет равен
46,29 • 25 + 53,71 • 50 = 3843;
при одиночном контроле будет израсходовано во всех случаях
100 • 50 = 5000 ламп.
г)	При а = 0,0686, р = 0,1350 для последовательного
контроля получаем, используя биномиальный закон рас-
пределения:
5 = 0,1450, 1g В=— 0,8388, А = 1,261, 1g А = 1,1007.
Далее, йх= —1,140, /г2= 1,496, /г3 = 0,0503 (рис. 38).
Находим nmin для хорошей партии при /? = 0:
0 = hi ^min^3> ^min	=== q 9593 === ^2,7; ^min == 23 ЛЯМ-
пам; для негодной партии при р=1:
^min === h% ИцнгЛз,
Л2 ___ 1,496 __1	9
"minSs !_Лз — 0,9497— 1,0; Пт'п~ Д
Определяем средние числа испытаний при различных р:
М [и | 0,02] = 31,7; М [п 10,10] = 22,9; М [n]mM = 35,7.
Аналогично решаются задачи 45.2—45.5, 45.7, 45.8, 45.10.

5&Г МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. DC
Пример 45.3. Большая партия сопротивлений, для кото*
рых время безотказной работы подчиняется экспоненциаль-*
ному закону распределения, испытывается на надежность.
Если интенсивность отказов Х^ Хо = 2 • 10“6 час.-1, то пар-
тия считается хорошей; если X Xt = 1 • 10-5 час.— не-
годной. Считая, что Х/о<^ 0,1, где tQ — фиксированное время
испытания каждого элемента в выборке из п0 штук, опреде-
лить при а = 0,005, р = 0,08 и0 для метода однократной
выборки при различных найти v при условии, что
/0= 1000 часов, а также составить план последовательного
контроля при м = Ио для f0 = 1000 часов. Вычислить £min
для хорошей и плохой партий, а также М[Т|Х], P(£<yiOOO),
P(f<500).	. t
Решение. Определение объема выборки По и приемоч-
ного числа v производим с учетом того, что Х^0<^0,1, что
позволяет использовать закон распределения Пуассона и далее
перейти от закона Пуассона к /^распределению. Вычисляем
отношение Хо/Х1 = О,2. Далее из таблицы [18Т] находим зна-
чения по входным величинам Р(х2^/^о)=1—а = 0,995
и k X|i — по входным величинам Р (X2	х^) = р = 0,08 и k.
Методом подбора устанавливаем, что
при k= 15
z|o = 4,48, Х|1 = 23,22, ^ = 0,1930;
при k — 16
Х|о=5,10, Х0 = 24,48, ^ = 0,2041.
,	X2
Интерполируя по величине ~^ = 0,2,
= 15,63, х£о = 4,87, /|1 = 23,99. Вычисляем
= 6,815; принимаем v = 6, 2п0Х0£0 = 4,87,
=2dSoo2='1'218-10''-
находим: k—
k 1
v= 2 -1-
откуда П(/о —
дает
/°о oooof = 10 000 часов (так как Xt = 0,00001).
Беря различные значения /0<С Ю 000, получим соответствую-
щее значения приведенные в таблице 111.
§ 45] Статистические методы контроля качества 501
Таблица 111
t0, час.	100	500	1000	2500	5000
"о	12180	2436	1218	487	244
Вычисляем В, A, tb t* t3 для метода последовательного
анализа: В = 0,08041; In В=^~ 2,5211; А = 184; In А = 5,2161.
Примем п0=1218, тогда
/1== 258,7 часа; t% — —535,3 часа; t3 = 165,2 часа (рис. 39).
Минимальное время испытаний при /п = 0 для хорошей пар-
тии Zmin = 258,7 часа; для плохой партии fmin=—535,3-|-
-4—165,2/гг 2> 0; т = 3,24	4; при т = 4 Anin =125,5 часа.
Если при t<^ 125,5 часа 4,
то партия бракуется.
Для вычисления среднего
времени испытаний при п =
= и0 =1218 принимаем tn —
= fo=lOOO час. Тогда
Ро = Мн = 0,002;
pi =	= 0,010;
' Х%. = -Ц_ = 0,00497.
Далее находим
М [п | л] = 505;
М [п |Г1] = 572;
М [n]max = 1001,
после чего вычисляем
М [Г|Хо] = 415 час.;
М[Т|Х1]==470 час.;
М[Т]тах=821 час.
Найдем вероятность того, что
рованном числе элементов п =
время испытаний при фикси-
:#о.= 1218 меньше 1000 час.
502 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ' [ГЛ. IX*
и 500 час. Для этого при £н=1000 час. вычисляем значение
параметра с распределения Вальда и значение j/ = M~^”---j =
= ЩТрУ ПРИ Условии> что А» = Vo = 0,002; /?i = X1/0 =
= 0,01. Получим, принимая р=р$, так как а<^р, <7 = 2,37,
у =	= 2,406. Получаем (см. табл. [26Т])
Р (Г < 1000) = Р (n < 1218) =	(у) = 0,9 599.
При y = 0,5 имеем
у= 1,203, Р(Т< 500) = 0,725.
Аналогично решается задача 45.9.
Пример 45.4. Качество дисков, изготовленных на плоско-
шлифовальном станке, определяется числом пятен на них.
Если среднее число пятен на десяти дисках не более 1, то
диски считаются доброкачественными, если более 5 — негод-
ными. Взята выборка в 40 дисков из большой партии
(А^>1000). Требуется, предполагая, что число пятен на диске
подчиняется закону распределения Пуассона,
а) определить аи^ при v = 9;
б) по этим аир построить план последовательного кон-
троля, вычислить птш для хорошей и плохой партий, значе-
ния М [п | а];
в) проверить конкретную выборку, для которой данные
приведены в таблице 112, по методам одиночного и после-
довательного контроля.
Таблица 112
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
1
1
1
1
1
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
1
1
2
2
2
2
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
4
4
4
4
4
4
4
4
33
34'
35
36
37
38
39
40
4
4
5
5
6
6
7
7
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 503
Решение, а) Используя закон распределения Пуассойа,
имеем ао = О,1; at = 0,5; na0 = 4; nai = 20. Используя
таблицу [7Т] для суммарных вероятностей чисел хп появле-
ния пятен на дисках в рассматриваемой выборке, находим
0,00813, р = 1
20*пе~20
хп!
= 0,00500.
б) При а =0,0081; £ = 0,0050 получаем для характери-
стик последовательного контроля (рис. 40):
В = 0,005041; 1g В = — 2,298; А = 132,8; 1g А = 2,089,
/2)=-^-=—3,29; й2 =
1g?
«о
0>4343 (а1 — а0) 
^-==2,99;
lgr
“о
: 0,248.
1g?
«о
Вычисляем лт’п*
при агп = О nmin^l3,2; nmin== 14;
при Хп = И flmin	Timin === 19.
Средние значения чисел испытаний при последовательном
контроле
М [п | Яо] — 21,8; М [п | J = 11,8; М [n]max = 39,5.
504
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
в) В выборке при п0 = 40 оказалось хп — 7<S = 9;|
следовательно, партия принимается. Применяя метод после-|
довательного контроля (см. рис. 40), получаем, что при и = 30 «
точка с координатами (и, т) оказывается ниже нижней пря<
мой, т. е. партия должна быть принята. Действительно, ч
при п = 29, хп = 4, hi 4- = 3,90; хп hi 4~ tnh3,
при и = 30, хп = 4, /Zi-р zw/z3 = 4,15; xn<^hi-\- mh3.
Аналогично решается задача 45.11. •
Пример 45.5. О качестве одного типа штамповок гори-
зонтально-ковочной машины судят по рассеиванию их вы-
сот X, о которых известно, что они подчиняются закону
нормального распределения с математическим ожиданием
л: = 32 мм (номинальный размер). Если среднее квадратиче-
ское отклонение а^а0 = 0,18 мм, то партия считается хо-
рошей; если а^а1 = 0,30 мм — негодной. Найти а и J3 для
метода однократной выборки при п0 — 39 и v = 0,22 мм.
По найденным а и р составить план контроля по методу по-
следовательного анализа. Вычислить nmin для хорошей и не-
годной- партий, М [п | а].
Решение. Вычисляем а и (3 по формулам
а = 1 — Р (а ?о°о)> ₽ = Р (о tf^)
при k = По =39, #0= — =1,221, qi= — =0,733. Интер-
ао	а1
полируя по таблице [22Т] для закона ^-распределения, на-
ходим
а = 0,0303; р = 0,0064.
Находим значения В, A, hi, h%, h3 для метода последо-
вательного анализа:
В = 0,006601; 1пВ=— 5,021; А = 30,10; 1пА = 3,405;
hi=— 0,528; /z2 = 0,345; /г3 = 0,0518.
Находим nmin- Для худшей из хороших партий а2 =
= <3J = 0,0324; 7Zmin°o ===	4~ ^min^3> ^min 27,2; flmin = 28.
Для лучшей из негодных партий а2 = а2 = 0,0900;
= ^2 4“ #min^3j ^min 9,3; flmin = 19.
§ 45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
505
Вычисляем средние числа испытаний М [п | а] при различ-
ных а:
М [л |а0] = 25,9; М [п | aj = 8,8; М [л]тах = 34,0.
Аналогично решается задача 45.12.
Пример 45.6. Наибольшее давление X в камере поро-
хового ракетного двигателя распределено нормально со сред-
ним квадратическим отклонением a =10 кг) см*. Двигатель
считается хорошим, если А^|о=1ОО кг/см^ если Х^^ =
= 105 кг!см\ то’ двигатель возвращается на завод для регу-
лировки. Установлены значения a = 0,10 и {3 = 0,01. Соста-
вить планы одиночного (ло, v) и последовательного контроля,
вычислить вероятности Р(«<«») и Л<^Л0^ ТОГО, что
при последовательном контроле среднее число испытаний
л 1
будет меньше лои уЛ0 соответственно.
Решение. Для вычисления объема выборки л0 и прие-
мочного числа v при одиночном контроле используем формулы
Подставляя значения а и {3 и
функции Лапласа, находим
1,2816,
пользуясь таблицей [8Т] для
105 — «9
10
]/л^ = 2,3264,
откуда л0 = 52, v= 101,8 kzJcm*.
Для последовательного контроля находим: В = 0,0111;
In В = — 4,500; А = 9,9; In А = 2,293; hx = — 90; /г2 = 45,86;
Л3= 102,5.
Определяем nmin. Для худшей из хороших партий при
х = ^= 100
лтш. 100 = — 90 + лтщ • 102,5; лт1п = 36;
для лучшей из плохих партий при х = ^=105
Лщ1п • 105 = 45,86 —J- лт1П • 102,5; Лпип=^13,3; Лпнп — 19«
Средние числа наблюдений М [л | равны:
М [л | %] = 30,6; М[л|?1]=17,8; М [л]гаах = 41,3.
I 506, I МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Для определения вероятности Р(п<Д52), учитывая, что|
при х = £1=105, вычисляем:	*
К = 1пА = 2,293; с= 1,146;
->’“ = мАп = 4’031: Л=4л = 2.О16. '
Из таблицы [26Т] для закона распределения Вальда на->
ходим
Р (л < 52) = 0,982, Р (л < 26) = 0,891.
Аналогично решается задача 45.13.
Пр и мер 45.7. Средняя продолжительность работы одного
типа электронных ламп составляет для хорошей партии
^>>^0= 1282 часа, для негодной £^^ = 708 часов. Известно,
что время Т безотказной работы подчиняется экспоненциаль-
ному закону распределения с плотностью вероятности
х где параметр X — интенсивность отказов — есть величина,
обратная средней продолжительности работы лампы в часах.
Определить при а = 0,001 и р = 0,01 объем щ одно-
кратной выборки и приемочное число у, составить план по-
следовательного контроля, найти nmin, М [п | X], Р (п <Д/г0),
Р
Решение. Предполагая, что лг0Д> 15 (так как аир
малы), используем замену закона х2"РаспРеДеления, которому
2Хп0
подчиняется величина нормальным, т. е. полагаем
X
Р(Х2^ХЛ) = О.5-О,5Ф(^Э'
так как число степеней свободы k = <2n. Получаем уравнения
0,5 — 0,5Ф Д° Д) = 1 — а,
\ 2/п0 )
0,5 — 0,5$	= р,
W пв 1
§ 451 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА -07
откуда находим с помощью таблицы [8Т|
7 2   2п	7 2  2п
-g0—— = — 3,090, -gl—=- = 2,324
2 Vп	2/п
или, ~ учитывая, что ^|0 = 2Х0и0^ ^i = 2Xin0v, Хо=-- —
1 0
= 0,00078,	= —- = 0,001413,
ч
0,000780 — v = — 3,090 -^=,
W
0,001413 — 7 = 2,324	-
РЧ
решая эту систему уравнений, получим
v = 0,001141r По ^99,03; яо=1ОО.
Так как л0>15, то использование нормального закона
распределения допустимо.
Для последовательного контроля находим:
72 = 0,01001; In В = —4,604; А = 990; In А = 6,898; <
/?i = 7273; /г2=— 1090.10; /г3 = 938,0;
Х*= 1 = 0,001066.
Определяем nmin. Для худшей из хороших партий t = tQ =
= 1282 час., nmin^21,l; nmin = 22; для лучшей из плохих
партий F—^ = 708 час., nmin 47,4; nmin = 48.
Находим средние числа испытаний при различных X:
М [п | М = 20,7; М [п | X] = 46,6; М [и]шах = 90,0.
Учитывая, что а р, определяем К = | In В| = 4,604,
а затем параметр с распределения Вальда; с = 1,525; далее
находим _уо1= т^у = 4,82; j/02 = 2,41.
Из таблицы Д26Т] по входным величинам .УохСУоз) и с
имеем
р= Р (п < 100) >0,99 (но р< 0,999), Р (и < 50) = 0,939.
Аналогично решается задача 45.14.
508
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Задачи
45.1.	Отливки поступают в механический цех партиямй
по 100 штук и проходят контроль на качество литья. Если
в партии количество бракованных отливок £^Z0 = 4, т<|
партия считается^хорошей; если L h = 28, то партия должн^
быть забракована. Найти а и р для контроля по метода^
однократной выборки при я0 = 22, ^ = 2 и двукратной вы^
борки при П\ = п^—\Ь, vi = 0, v2 = 3, v3 = 3, сравнить их;
эффективность по среднему числу испытаний; составить план
контроля по методу последовательного анализа, вычислить
минимальное число испытаний для хорошей и негодной пар-
тий при последовательном контроле, взяв аир, получен*
ные по методу однократной выборки.
45.2.	Шарики для подшипников изготовляются большими
партиями, причем партия считается хорошей, если число бра-
кованных шариков не превышает 1,5%, негодной, если оно
больше 5%. Составить и сравнить эффективность планов оди-
ночного контроля при объеме выборки п0 = 41О и приемоч-
ном числе v=10 и двойного контроля при Л1 = п2 = 220,
vj = 2, v2 = 7, v3=ll.
Составить план последовательного контроля, взяв аир,
- полученные для плана одиночного контроля; сравнить эффек-
тивность всех трех методов по среднему числу испытаний,
вычислить nmin для хорошей и плохой партий при последо-
вательном контроле.
45.3.	Большая партия штампованных изделий считается
хорошей, если доля дефектных изделий р =Сро = О,1О, не-
годной, если р^р1 = 0,20. Найти аир при контроле по
методу однократной выборки, взяв о^ъем выборки п0 = ЗОО
и приемочное число v = 45. По найденным аир составить
план контроля по методу последовательного анализа, вычи-
слить 7Zmin для хорошей и плохой партий, найти М[л|р],
Р(п<л0) и Р(п<|по).
Указание. Перейти к закону нормального распреде-
ления.
45.4.	Для большой партии изделий составить план одиноч-
ного контроля (я0, гарантирующий:. а) риск поставщика в
1% и риск потребителя в 2%, если партия считается 'хорошей,
когда доля дефектных изделий р^^о = О,1О, и негодной,
§ 451
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
509
когда р = 0,20 (воспользоваться нормальным законом
распределения); б) а = 0,20, £ = 0,10 при тех же р<>
и рх применительно к закону распределения Пуассона. Со-
ставить соответствующие планы последовательного контроля,
найти математические ожидания числа испытаний.
45.5.	При а = 0,05 и (3 = 0,10 построить планы одиноч-
ного и последовательного контроля для проверки качества
больших партий заклепок. Заклепки считаются дефектными,
если их диаметр Х^> 13,575 мм. Партия считается хорошей,
если доля дефектных заклепок =С/?0 = 0,03, негодной, если
^^^ = 0,08. Вычислить применительно к закону распре-
деления Пуассона объем и0 однократной выборки и контроль-
ный норматив v. При тех же а и"Р составить план последо-
вательного контроля, вычислить nmin для хорошей и негодной
партий, найти среднее число испытаний	при после-
довательном контроле.
45.6.	Заклепки, диаметр которых 13,575 мм, счи-
таются дефектными. Должно отвергаться не более 5% партий
с долей брака р ^/?о = О,ОЗ и приниматься не более 10%
партий с долей брака р^р\ = 0,08. Предполагая, что слу-
чайная величина X подчиняется закону нормального распре-
деления, для которого оценки математического ожидания х
и дисперсии а2 определяются по данным выборки, найти общие
формулы для объема п0 однократной выборки при контроле
по величине и для величины г0 таких, чтобы выполнялись
условия
Р (x-4-azo>/|^=/’o) = a,
Р (х -f- a z0 > 11 р =pi) - 1 —
Вычислить я0 и Zq для условий задачи.
Учесть, что величина
U=X-\- QZq
распределена приближенно нормально с параметрами
' M[«] = x + az0> D [п] = а2 (1 +	, (
где k = n—1. Сравнить с результатом задачи 45.5.
45.7.	Составить, используя законы распределения* бино-
миальный и Пуассона, план двойного контроля при = пъ = 30,
510
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
\»i = 3, v2 = 5, v3 = 8, если партия считается хорошей пт
доле дефектных изделий /?^^о = О,1О и негодной пр|
р^^!=.0,20. По найденным применительно к биномиал^
ному закону распределения аир составить планы одино^
ного и последовательного контроля, сравнить все три метода
по среднему числу испытаний. Для последовательного кон-
троля найти nmin в случаях хорошей и плохой партий, вычН
слить математическое ожидание числа испытаний М [n|p'J
45.8.	Составить планы контроля по методам однократной
выборки и последовательного анализа для больших партий
радиоламп, если партия с долей дефектных ламп />гС/>0 = 0,05
считается хорошей, а при p^pi—Ofil— негодной. Риск
поставщика а = 0,0001, риск потребителя р = 0,01. Для
плана последовательного контроля определить nrain для хо?
рошей и плохой партий, найти среднее число испытаний М [л \р]
и вероятности Р (га sg М [п | ро]), Р(га==с2М [га|/>0]).
45.9.	Продолжительность работы Т (в часах) трансформа-
торов подчиняется экспоненциальному закону распределения
с интенсивностью отказов X. Считая, что М0<0,1, составить
планы контроля по методам однократной выборки и после-
довательного анализа при а = 0,10, {3 = 0,10. При одиночном
контроле найти приемочное число v и объем выборки nQ для
срока испытания каждого трансформатора fo = 5OO, 1000,
2000, 5000 часов, заменив распределение Пуассона /^-рзс-
пределением. При последовательном контроле взять фикси-:
рованный объем выборки п0, соответствующий f0= 1000 часор,
найти среднее время испытания каждого трансформатора
М [Г|Х]. Учесть, что партия трансформаторов считается хоро-
шей, если интенсивность отказов Х^Х0=1О-6 час.-1, и не-
годной при X Хх = 2 • 10“5 час-1.
45.10.	Большая партия электрических сопротивлений под-
вергается контролю при а = 0,005, {3 = 0,08, причем партия
считается хорошей при доле дефектных изделий р ^ро = О,О2,
негодной при /7^^i = 0,10. Применяя х2_РаспРеДеление в ка-
честве замены закона распределения Пуассона, найти объемно
и приемочное число v для метода однократной выборки,
составить план последовательного контроля, определить nmitt
для хорошей и плохой партий, вычислить математическое
ожидание числа испытываемых элементов и вероятности
Р(«<«о), P(ra<j«o).
§45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 511
45.11.	Склады семенного картофеля перед посадкой про-
веряются на отсутствие очагов гниения. Картофель при-
знается годным для посадки, если на каждых 10 плодах обна-
руживается не более одного пятна, негодным, если пятен
более пяти.
Считая, что число пятен подчиняется закону распределения
Пуассона, вычислить а и р при контроле по методу двукрат-
ной выборки при zzi = 40, /22 = 20, vj = 4, v2=12, v3=14.
По найденным а и р построить планы одиночного и после-
довательного контроля. Сравнить эффективность всех трех
методов по среднему расходу картофеля на производство
испытаний для 100 отсеков.
45Л2. В партии резисторов, случайные значения сопро-
тивлений подчиняются закону нормального распределения
с известным средним значением в 200 ом, характеристикой
качества является среднее квадратическое отклонение о,
причем партия считается хорошей, если а^ао=1О ом,
негодной, если o^oi = 20 ом, Составить планы конт-
роля по методам однократной выборки при п0=16,
v= 12,92 и двукратной выборки при n1 = n2=13, Vi =
= v3 = 12, v2 = оо. По найденным аир (для одиночного кон-
троля) составить план последовательного контроля. Сравнить
эффективность всех трех методов контроля по среднему
числу испытаний. Вычислить /zmjn для худшей из хороших
и для лучшей из плохих партий.
45.13.	Партии капронового волокна испытываются на
прочность. Характеристика прочности X, измеряемая в г/денье
(удельная прочность волокна), подчиняется закону нормального
распределения со средним квадратическим отклонением а =
= 0,8 гуденье, причем партия считается хорошей, если
Х^Хо = 5,4 г/денье, негодной, если X^Xi = 4,9 г^енье.
Составить план контроля прочности волокна по методу од-
нократной выборки при /2о= 100 и v = 5,l. По найденным
аир составить план контроля по методу последовательного
анализа, вычислить средний расход волокна на испытания и
вероятности Р (п л0), Р	nQ j.
45.14.	Известно, что если интенсивность отказов К
Х0 = 0,01, то партия гироскопов считается надежной; если
k^Xi = 0,02, то партия ненадежна и должна быть забрако-
вана. Считая, что время Т безотказной работы подчинено
512 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ.
экспоненциальному закону распределения, и принимая а==^
= [3 = 0,001, составить планы одиночного («о, и последовав
тельного контроля по уровню параметра X. Найти средне!
число испытываемых гироскопов М [п | X] для случая последов
вательного контроля.	«
45.15.	Контролируется большая партия конденсаторов,
причем партия считается хорошей, если доля ненадежных
конденсаторов р= 0,01; при/?^pi = 0,06 партия считается
негодной. Составить план одиночного контроля (n0, v) доли нена-
дежных изделий, который должен обеспечить а = 0,05, [3 = 0,05.
Для установления надежности каждый испытываемый кон-
денсатор из рассматриваемой выборки подвергается многократ-,
ному последовательному контролю при а' — 0,0001, р' ===== 0,0001, <
причем конденсатор считается надежным, если интенсивность
отказов Х^Х0 = 0,0000012, и ненадежным при Х:>=Х1 =
= 0,0000020 час-1 (п— число испытаний конденсатора, по-
зволяющих установить его надежность при заданных а' и [3').
Предполагается, что время безотказной работы конденсатора
подчиняется экспоненциальному закону распределения.
45.16.	Составить планы одиночного и последовательного
контроля сложных электронных приборов, надежность кото-
рых оценивается по среднему времени Т безотказной работы.
При То =100 час. прибор считается хорошим, при Т
*^7*1 = 50 час. — негодным. Необходимо гарантировать а =
= [3 = 0,10. Учесть, что при фиксированном времени испы-
таний tu прибор принимается, если ~= и бракуется,
если Т v, где ш — число отказов за время t, a v — при-
емочное число при одиночном контроле (л0=1; в случае
отказа прибор ремонтируется и испытание продолжается);
в этом случае величина у приближенно подчиняется закону
распределения Пуассона. При последовательном контроле
величина t зависит от хода испытания.
а) Определить время испытаний ta и контрольный нор-
матив v при одиночном контроле.
. б) Для плана последовательного контроля условие про-
должения испытаний 1пВ<Чпт(^, w)<^ln А привести к виду
+	+ Для th получить предварительно
общие формулы.
§ 46] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 513
в) В случае последовательного контроля определить ми-
нимальное время испытания fmin для худшей из хороших и
для лучшей из негодных партий.
§ 46. Определение вероятностных характеристик
случайных функций по опытным данным
Основные формулы
Методы определения математического ожидания, корреля-
ционной функции и законов распределения ординат случайной
функции при обработке серии реализаций не отличаются от
методов определения соответствующих вероятностных харак-
теристик системы случайных величин. При обработке реали-
заций стационарных случайных функций обычно допустимо
вместо усреднения по реализациям пользоваться усреднением
по времени, т. е. находить вероятностные характеристики
по одной или нескольким достаточно длительным реализациям
(выполнение этого условия носит название эргодичности).
В этом случае оценки (подходящие значения) математического
ожидания и корреляционной функции определяются формулами
т
x = y x(t) dt,
6
Г-т
§ k(0 — x][x(/-f-t) — x]dt,
где T — полное время записи реализации.
Вместо последней формулы иногда используют практи-
чески эквивалентную ей формулу
Т—~
'	( x(t)x{t-\-x)dt — (х)9.
*0
В том случае, когда математическое ожидание х известно
точно,
7—т
^(’)=7"Ц-	[х(0 — Х][х(<4-т) — x]dt^
о
Г—т
х (0 х + *0 & — (•*)’
17 Б. Г. Володин и др.
514 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ.
Оценка спектральной плотности может быть найдена nyj
тем преобразования Фурье, аппроксимирующего выражений
для корреляционной функции или по формуле
т
=	(т) К(т)
—т
где Kj/t) — оценка корреляционной функции, а для выбора
«весовой функции» /г(т) в литературе имеется ряд рекомен-
даций (подробнее см. [51], где имеются ссылки на первоис-
точники).
Когда х и Кх(?) определяются по значениям ординат
реализации случайной функции в дискретные моменты времени
tj=jk, соответствующие формулы приобретают вид
т
 *=¥ТТ 2
/=0
или
т—I
Кх W=2 х х ~
/=0
где т = /Д, Т=т&.
Для нормальных случайных функций дисперсии х и Кх(у)
могут быть выражены через Кх(у). При практических рас-
четах вместо неизвестной корреляционной функции Кх(ъ)
в формулы для D [х] и D[Kx(t)] подставляют Кх(у).
При определении значения корреляционной функции по
результатам обработки нескольких реализаций различной дли-
тельности за оценку ординаты Кх(у) следует взять сумму
ординат, полученных при обработке отдельных реализаций,
с весами, обратно пропорциональными дисперсиям этих ординат.
Решение типовых примеров
Пример 46.1. Ординаты стационарной случайной функ-
ции определяются путем фотографирования шкалы измери-
тельного прибора через равные промежутки времени Д. Опре-
делить наибольшее допустимое значение Д. пои котооом
§46] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
увеличение дисперсии Кх(0) по сравнению с дисперсией,
получаемой при обработке непрерывного графика реализации
случайной функции, будет не больше чем на В%, если при-
ближенное значение Кх(х) = ае~а Iт I, полное время записи
Известно, что Jc = O, а функцию X (t) можно счи-
тать нормальной.
Решение. Так как х = 0, то при использовании не-
прерывной записи значение Кх(0) определяется по формуле
т
Kj(0) = ~ ( x\t)dt.
о
Для нахождения дисперсии Ki(0) имеем
D [К, (0)] = М [К* (0)] - {М [Kt (О)]}2 =
= И К*х (4 - dti dti -i а2 (Т -1) е~2"т dx. '
0 0	о
Отбрасывая после интегрирования величины, содержащие
малый (по условию) множитель получим
D[K1(0)]=-^5-(2aT-l).
При дискретном определении ординат случайной функции
значение /Сг(0) равно
m
7=о
Определяя дисперсию К2(0), получим
D[K2(0)] =
m m
=my- {22 м [X'2 (/Д) (M)i -+1)2 Ki (0)}=
/=0 1=0
m m
y=0 Z=0
17
516 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ uvi.
где при вычислении математического ожидания использовано ^
свойство моментов системы нормальных случайных величин. <
Подставляя выражение для Кх(у) и пренебрегая слагае-
мыми, имеющими множитель е—аТ, получим
п г if тм — 2а3 KI + w) (1 “
D[К2(0)] —-----(1” 2)3.(w + ir--,
где г = £~2аЛ.
Граничное значение Д найдется из уравнения
lim P-ffi <°>1 = 1 0,015,
г-.» D [Kt (0)]	1
т. е. из уравнения
аД,(1+г) = 1 4-0,018.
1—2	1
При аД 1:
Задачи
_ 46.1. Доказать, что условие
Иш Кх (т) = 0
т-»-со
является достаточным условием для того, чтобы функция X (I)
была эргодичной (по отношению к х).
46.2.	Проверить, можно ли в качестве оценки спектраль-
ной плотности взять выражение
т
о
<$»(“>) — 2лГ
е1Ых (0 dt
если X(t) — нормальная стационарная случайная функция
(х = 0), \К (т) | dx < оо.
о
46.3.	Для определения оценки корреляционной функции
стационарного нормального случайного процесса X(t)(x = 0)
§461 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
517
используется коррелятор, работающий по формуле
7—т
x(i)x(t-]-t)dt.
О
Вывести формулу для D[/G(T)L
46.4.	Определить математические ожидания и дисперсии
оценок корреляционных функций, определяемых по одной
из формул
Т-х
К1С0 =	§ x(t)x(t^z)dt— (х)3,
*0	'
Т-х
Iх““ Iх +т) — *1
о
Т-х
где х —	§ x(t)dt, если X(t)— нормальная случай-
о
пая функция.
46.5.	Корреляционная функция стационарного случайного
процесса X(t) имеет вид
Найти дисперсию оценки математического ожидания, опре-
деляемой по формуле
т
х = y \ x(t) dt.
о
46.6.	Оценка спектральной плотности Sv(<o) найдена путем
обращения по Фурье оценки корреляционной функции. Опреде- ,
лить D[SX(«>)] как функцию о, если
т
Кх($ = ± х (t) х (tх) dt, Х = 0,
процесс нормальный (выразить через Кх(у)).
46.7.	Корреляционная функция Кх(т) определяемая из
опыта, используется для нахождения дисперсии стационарного
решения дифференциального уравнения
У(04-2У(0=Х(0.
Ы8 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ . [ГЛ. IX,
Определить, во сколько раз изменится если вместо
выражения
Кх (т) = ae-°.2l I ’ I (cos 0,75т + 0,28 sin 0,751 т |),
достаточно точно аппроксимирующего КДт), принять выра-
жение
К'х (т) = ае~а* Iт 1 cos Pit,
где at и р! подобраны таким образом, чтобы положение пер-
вого нуля и ордината первого минимума выражения Кх СО
совпали с соответствующими величинами для Кх(у).
46.8.	Оценка Кх(г) используется для нахождения D [ Y(/)],
где
Г(0==^о.
Определить, во сколько раз изменится если вместо
выражения
Кх (т) =	1т 1 (cos 0,7т -|- у sin 0,7 | т |), f
достаточно точно аппроксимирующего выражение Кх(т),
принять
Кх (т) = o£d?-a2x2 cos рт,
где аир подобраны так, что положение первого нуля и
значение первого минимума у функций Кх(у) и Кх(у) совпа-
дают.
46.9.	Корреляционная функция угла крена корабля при-
ближенно может быть представлена в виде
К0 (т) = ае~а 1т I ^cos рт у sin р | т |) ,
где a = 36 град*, a = 0,05 сек.-1, р = 0,75 сек.-1.
Определить D[Kq(t)] при т = 0 и т = 3 сек., если 0(f)—
нормальная функция, а К9(т) получена в результате обра-
ботки записи качки за время Т=20 мин.
46.10.	Ордината оценки корреляционной функции при
т = 0 равна 100 см*, а при т = тх = 4,19 сек. достигает
§ 46] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК	;
наибольшего отрицательного значения, равного —41,5 оА
По этим данным подобрать аналитическое выражение для
К(х):
а)	в виде К(т) = oV-a Iт I ^cos sin р | т ;
б)	в виде К (т) = сЛ?~а 1х I cos рт.
Определить, насколько отличается для этих двух случаев
значение первого нуля функции К(т).
46.11.	Определить D[Kq(t)] при т = 0; 2,09; 4,18 и
16,72 сек., если
7—т
K'e(T) = 7J—	+
о
Ка (т) = ае~а 1х I cos рт,
где а = 25 грар\ а = 0,12 сек.-1, р = 0,75 сек.-1, Q (t) —
нормальная случайная функция, 6 = 0. Для определения К$ (т)
использована запись реализации 0 (/) длиной 10 м, причем
1 см графика по оси времени соответствует 1 сек.
46.12.	График реализации случайной функции Х(0, на-
несенный на бумажную ленту проводящим электрический ток
составом, протаскивается с постоянной скоростью под двумя
контактами, смещенными один относительно другого по на-
правлению оси времени на расстояние, соответствующее т сек.
Контакты соединены с релейной схемой таким образом, что
реле включает секундомер в том случае, когда ординаты
реализации в точках, где находятся контакты, имеют оди-
наковые знаки, и выключает в противоположном случае.
Показать, что если х = 0, аХ(0 — нормальная стационарная
функция, то оценка ее нормированной корреляционной функ-
ции может быть определена по формуле
k (т) = cos те (1 —	,
где ti — суммарный отсчет секундомера, t—общее время
движения ленты.
46.13.	В условиях предыдущей задачи определить D[&(5)],
если для определения Л (5) использован график реализации
620 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX 'S
случайной функции, соответствующий времени записи Т—
= 10 мин.,
k (т) — е~~ а Iх I, а = 0,2 сек.”1
46.14.	В результате обработки трех реализаций одной и
той же стационарной случайной функции X (t) длительностью
7\, Та и 7з получено три графика оценок корреляционной
функции. Предполагая процесс нормальным, вывести фор-
мулу для получения ординат оценки корреляционной функ-
ции Кх(у) с учетом всего опытного материала, исходя из
требования минимальной дисперсии оценки, если для каж-
дой реализации оценка корреляционной функции опреде-
лялась по формуле
Гу
= ± \ x(t)x(t-j-z)di, /=1,2,3 (х = 0).
j ь’
46.15.	Определить дисперсию оценки корреляционной функ-
ции нормального случайного процесса с нулевым матема-
тическим ожиданием, если для нахождения Кх(ъ) взяты
ординаты реализации случайной функции через равные
интервалы Д, длительность записи?—/пД, а в окончатель-
ной формуле допустимо Кх(ъ) заменить на Кх(у).
46.16.	Ординаты случайной функции определяются путем
фотографирования шкалы прибора через равные промежутки
времени Д=1 сек. Определить, во сколько раз изменится
ЩК(0)] сравнительно с дисперсией, полученной при обра-
ботке непрерывного графика реализации, если
К (т) = ае”°’5 I
(х дано в секундах), процесс нормальный, время наблюдения
?=5 мин.
46.17.	Для приближенного определения ординат реализации
стационарной случайной функции X (/), имеющей нулевое
математическое ожидание и заданную корреляционную
функцию Кх(ъ), используется формула
ш
X(t)= 2	+ ^sin ^-) а/,
§ 46] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 521
где Ар Bj — взаимно несвязанные случайные величины с еди-
ничными дисперсиями и нулевыми математическими ожида-
ниями, Т—заданное число. Определить постоянные ay так,
чтобы
т
е = [Кх (т) — Кх (т)]2 dx = min,
где Кх(х)— корреляционная функция, соответствующая на-
писанному выше приближенному выражению дляХ(0. Опре-
делить величину s при оптимальных значениях постоянных,.
46.18.	При измерении слабого тока зеркальным гальвано-
метром для уменьшения влияния случайного дрожания рамки
гальванометра произведена запись показаний прибора дли-
тельностью 7=10 сек. и значение J средней ординаты этой
записи принято за искомое значение силы тока. Определить
среднюю квадратическую ошибку результата, если дрожание
рамки характеризуется корреляционной функцией силы то-
ка J(t):
К(т) = аг“а>т I,
где
а=10“16Д2, а=10-1 сек.-1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.	Соотношения между случайными событиями
1.1.	По определению А + А = А, АА = Д. 1.2. Событие А —
частный случай события В. 1.3. В = Ав, С = А5.
1.4.	а) Достоверное событие U; б) невозможное событие И
1.5.	а) Взята хотя бы одна книга; б) взято хотя бы по одному
тому из всех трех сочинений; в) взята одна книга из первого сочи-
нения или три из второго или одна из первого и три из второго;
г) взято по два тома из первого и второго сочинений; д) взят
хотя бы один том из третьего сочинения и, кроме того, взяты один
том из первого сочинения и три из второго или один из второго
и три из первого.
1.6.	Выбранное число оканчивается цифрой 5.
1.7.	А — все изделия доброкачественные; В — бракованных изде-
лий одно или нет ни одного.
1.8.	Учитывая свойства событий (В-\-В — В, ВВ=В, B-\-B=U,
BU—B, BB=V, B+V=B), получаем А = ВС.
1.9.	а) А — попадание в область Зл, А — вне SA. Тогда А 4~ В = Uf
т. е. должно быть А = V, В = 47; б) АВ—попадание в область SABt
общую для 5Л и SB; А — вне 5Л. Тогда АВ — V, т. е. должно быть
Д —47, B—V\ в) АВ—попадание в общую область SAB; А-\-В —
в SAB = 5Л_|_В только при 5Л = SB, т. е. должно быть А = В*
1.10.	Х — В. 1.11. Воспользоваться равенствами А — АВ АВ,
В = АВ-\-АВ. 1.12. Эквивалентность показывается переходом
к противоположным событиям. Равенства доказываются переходом
от п к п-|-1. 1.13. Нет, так как А-\-В — АВ. 1.14. Восполь-
зоваться равенством А-}-В —АВ. 1.15. С — ничейный исход.
1.16. С = A (Bi + В2),_ С =zA+B_lB2. J.17. D = А + В2 + Bs +
4~ BA С2), D = А 4~ BiB^B^Bi -j- CiC2.
1.18.	С = (Д1 4- Аг) (ад + BiBz 4- ад)-
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
523
§ 2.	Непосредственный подсчет вероятностей
2.1.	/? = — . 2.2.	2.3./? = 0,25, так как первая карта может
П	1	23
быть любой масти. 2.4. —	0,00013. 2.5. 7Т7К.
65	’	240
2.6.	Очередность извлечения при таких условиях не имеет зна-
2
чения, поэтому /? = —.
2.7.	Можно считать, что для контроля детали берутся из общей
л— k
партии; р = —:------.
п + т — k
2.8. Можно рассматривать только однозначные числа, а) 0,2;
б) 0,4; в) 0,04.
2.9. a) N=a-]-\0b. Условию удовлетворяют только случаи,
когда а—четное и а-\-Ь делится на 9; р = б) У = а 10Z? + 100с.
1о
Это число должно делиться на 4 и на 9, т. е. а -|- b -|- с делится
на 9; а + 2Ь — на 4 (т = 22); р ==	.
10.9-8.7_ 560	480	40	30	1
9999	1111 ’’	1111’ В) 1111’ Г) 1111’ Ю 1111*
1	/°2	₽;	₽:	о 7
та—=в 2|2-	г) =	и •2-13- °'3- 2,,•а) 4 •6) s; > а	
(jS Qk S	Qk
= - "km   2.16. ^ = -1 (fe=l, 2, 3, 4, 5), Pl= 0,0556,
l'n+m	Цо
pa = 0,0025, рг = 0,85 • IO"4,	‘	-----
— 1
2.17. a)  2n —= П
cn2n
=	2.19./> = ^#
г->я	Г
ья + *	ь52
2.20. л = С|в = 7140. Благоприятствующие комбинации:
1) (7, 7, 7); 2) (9, 9, 3), (9, 6, 6); 3) (2, 8, И), (2, 9, 10), (3, 7, 11),
(3, 8, 10), (4, 6, 11), (4, 7, 10), (4, 8, 9), (6, 7, 8), поэтому m = 4-j-
+ 2.4-С| + 4’.8 = 564; /> = 0,079.
2.21. а)/>=1-С^=»7^	+	= 1
2.11.
2.10*. а)
8 • 7!. 3!
2.15. р
. 2.16. рл = ^- (fe=l, 2, 3, 4, 5), />,=0,0556,
= 0,2 • 10”’.
Pt = 0,2 • 10"5, р„
рЧрп — 2	1
ф 2 g2g2/i-2  П — 1
----------О-----Г. 2Л8‘ Р =
л'Л 2л — 1
= 0,0029.
С?о
0,75; б) р—-------------
'-'10
24*
2-22. р = ±
2 4л при
k=n — m
р = 1	при т^п.
0 099 ч	170-6-10	П1-„	230-10 _
2.23. а) />Осн — looooo — °’ °2’ Рлоа ~ 100000 °’023’
(170-6 + 230). 10 _
в)р— 100000	— °’ "•
524
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
k
2-2S--	J=
л!
==—„—,—j---------б) при различных nlt ..., nm число ВОЗМОЖ-
ЕН П^.П^Х ... П-щХ ’
ных перестановок между этими числами равно /л!;
,	п\т\
р т. ра 1ПпП]\п2\,,, пт\'
§ 3.	Геометрические вероятности
3.1.	P=.\-L, 3.2. р = Ая«0,316. 3.3. р = 1 -1^^0,134.
3.4.	Построение: АВ — отрезок длиной 2Л, С — центр диска,
AD и BE — касательные к диску, расположенные по одну сто-
рону от прямой АС. Треугольники ADC, ВЕС совпадают при
повороте на угол у — LDCE, поэтому £АСВ = ч> ^ = Ztg-~;
P = -L„clg‘.
з.5.,=1-(1-^(,_а£±Ау
\ а / \ b j
3.6.	а) 0,0185; б) Р^16?^25” =0,076. 3.7. а) 0,16; б) 0,6.
14
3.8.	/> = -£ . 3.9. k (2 — k).
3.10.	x = AL, y = AM. Возможные значения: 0^(х; у)^1.
Благоприятствующие значения: | у — х | ^х, р = 0,75.
3.11.	Два отрезка х, у. Возможные значения: O^Cx-p^^Z.
V	I ।	_ I 1
Благоприятствующие значения: х^у, У , х + У^ t?\ Р = 4.
3.12.	Две дуги х, у. Возможные значения: 0 (х-J-.У)	2л/?.
Благоприятствующие значения: х^л/?, y^nR, х-)-_у^=л/?; р =	.
3.13.	Отрезки х, у, z. Возможные значения: 0^(х; у; z)^l.
Благоприятствующие значения: x-^-y^z, x-\-z^yt y-j-z^x;
р=1/2.
3.14.	АМ = х, MN=y. Возможные значения: O^x+y/^Z.
Благоприятствующие значения: х^л, у^а, x-j-y^l — а. При
II	3fl\2	1	1 о Л «V
у	р = (1 — yl ; при ysgasg/ /> = 1 — 3(1— — I .
3.15.	х — произвольный момент времени, 0^х^12 мин. Мо-
менты прихода автобуса линии А: х = 0; 4; 8; моменты прихода
автобуса линии В: у, .У+ 6, где 0^у^4. а) Благоприятствующие
значения: при 0<j^^2 y<Z.x^4, Q-\-y^x^V2:, при yz>2
- -
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
у<х<8 или ^4-6<х< 12; /? = у. б) Ьлаюприятст^уяО^»?
значения: 2^х^4, 6^х^8, 10^х^12, 4+
при у <2 0<х^у, а при у >2 у — 2^х^у; Р = у.
3.16.	х, у — время прибытия пароходов. Возможные значения:
О х 24; 0 у 24. Благоприятствующие значения: х^у х 4- 1,
у х у 4“ 2; р = 0,121.
I
3.17.	р = 1 _hе
3.18.	х — расстояние от берега до первого судна, у — до вто-
рого. Возможные значения: 0^(х; y)^L. Благоприятствующая
область | х —у | d 1 4“ получается при переходе к отно-
сительному движению (первое судно стоит, второе — движется со
скоростью v = v2 — vj;
пр» L^d	+
при L sg d 1 -f- p=l.
/19\2
3.19.	a) p=l—	=0,0975; 6) xt y, z— координаты точек
излома. Возможные значения: 0^(х; у\ z)^200. Благоприятствую-
щие значения: |х — у/|^10, |х — z |	10, |^~2 |	10; /? =
3.20.	P = ^Il^>=sln.A.
Г	2тс тс/З	\	f	2тс к/3	\
3.21.	р = < R2 cos ф dy dty > : < 2R2 cos ф dy cfrjA = 0,21.
(	0 ic/6	J	(	0 0	J
3.22.	х —расстояние от середины иглы до ближайшей линии,
<р — угол между линией и иглой. Возможные значения: 0^х^
.	I .	21
благоприятствующие значения: х sm ф; /? = —.
3.23.	Возможные значения: |а|^п, \Ь\^т. а) Благоприят-
п
ствующие значения: Ь^а2. При т^п2 р = “ 4~ 2~^ a2 da =
о
т
—-^4“^“. При т^п2 р = 1—Vb db = 1 —	. Корни
2 1 6/п r	r 2nm, j	3n r
о
n2
будут положительными, если a^0, b^0. При m p = ту-;
526
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
‘.5
_ й 1 У т .. ..	'	J
при т^п2 Р = -£ — ^ёгГ* 6) К°РНИ уравнения будут вещественны^
если Z»24-a8^0. Область благоприятствующих значений коэф-'
1	3/«
1 ( 8/	71 *8
фициентов:	Ь2^ — а\ При л3 т2 р =	1 а 2
т
При п?^т2 р = 4- — -н—
г	2 2пт J
о
3.24. Пусть А и В — положения движущейся точки и центра
круга, и и v — их векторы скоростей, г — расстояние АВ. Из точки
Рис. 41.
В проводим окружность ра-
диуса R. Считаем 0 > 0, если
вектор v лежит левее линии
АВ, —Из точки А
проводим касательные к ок-
ружности радиуса R. Точка А
попадет в круг, если вектор
относительной скорости попа-
дет в получившийся сектор
с углом при вершине 2е,	=
п
= arcsin—. Из точки А про-
водим вектор —V. Пусть точ-
ка О — конец этого вектора.
Из точки О проводим окруж-
ность, радиус которой по ве-
личине совпадает со скоростью
точки А. Точка А попадет в
круг только в том случае, если
вектор и — v лежит в секторе.
Пусть «>v. Тогда искомая вероятность будет (рис. 41) р =
Для определения а положим В == £ОСА, x=£OCD, у= Z.ODC,
7 = LADO. Тогда а=2е-|-5—7. Используя равенства
sin 7 _ sin (0 — е) _ sin &_sin (0 4“ e)
----—	—- и  --------—•--------.
V	U	V	и ’
получаем
If	Г v	”1 Г v	”П
р =	|2е 4- arcsin	sin (0 + е) j — arcsin	sin (0 — е) J j.
Данная формула справедлива при любом 0. При v > и задача
решается аналогично, но при этом нужно рассматривать несколько
случаев: 1) |0|^е + у; р = 0. 2) у 4- е | 0 | е: а) при
и v sin (| 0 | — е) будет р = 0; б) при я sin (| 01 — е) и
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ '*
v sin (I рI + е) имеем р = A- arccos sin (| р f —
в) при и > v sin (| р | 4- е) будет
1 ( г v	1	Г v	~П
р = — < arccos — sin (| р | — е) — arccos — sin (| р | + е) В.
3) |р|^е: а) при u^v sin (е — | р|)_ будет р=1; б) при vsin(e—|р|)^
1	Г v	"1
=< и sin (е + | р |) имеем р = 1------arccos — sin (е — j р I) I;
л	L U	J
в) при и > v sin (е 4- | р |) будет
р = 1 —~ {arccos	sin (е — | р |)] 4" arccos sin (е 4“ I ? I )Jj •
§ 4.	Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
4.1.	/>=1-0,3-0,2 = 0,94. 4.2. р = 1 — Ц (1 -/>ft). 4.3. /> =
*=|
= (1 — 0,2)3 = 0,512. 4.4. 0,251. 4.5. р = 1 — (1—0,3) (1 — 0,2s) = 0,328.,
4.6. р = 1.4.7.1 — 0,5я	0,9; и>4. 4.8.1 —(1 — />)* = 0,5; р=а0,159.
/ Sa \4	729
4-9-^U)=25^=0’029-
4.10.	p = [l ——	“5s)	— 7s)	— ТпО
«и 0,608*). 4.11. Из несовместности событий следует Р(Д]В)=0 и
Р (В | Л) = 0, т. е. события зависимы. 4.12. />,/>2. 4.13. р = 0,7 • 0,913 =
= 0,197. 4.14. р = 0,7s (1 —0,6s) = 0,314. 4.15. 0,75. 4.16. pt = 0,9 • 0,8 X
X 0,7 л 0,9 «а 0,45; />2 = 0,7s • 0,8 = 0,39. 4.17. а) 0,1 = (ptpa)n, т. е.
=	Р = х~ О —?1Рз)’(1 —PsPi)8- 4.18. Следует из ра-
венства Р (А) Р (В | А) = Р (В) Р (Л | В). 4.19. р = 2	.
лпп 121	1	1	,	1	.	9. 8 7	J
•20./>— в • 5 • 4 • 3 * 2 • 1 — geo* -2,-а)Р —1	ю’9’8	=
= 0,3; б) />=1-А . |.4=о,6. 4.22./> = 1-
' г 543	г п \ (п — т — к)\
доч т _1	39 997 1 39 000!	,	/39\3_A,.7„.
4.23.	а)р— 1	40 000138 997!"“	\40/ “ °’073,
(40 000 —	(39 999 — N) (39 998 — N)	f 40 000 — ДГ\з
40 000 • 39 999 • 39 998	\ 40 000 j ’
8252.
2) Решение см. в книге А. М. Я г л о м и И. М. Я г л о м, Неэле-
мёнтарные задачи в элементарном изложении, Гостехиздат, 1954,
стр. 314 — 315, задача 90.
• 528
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.24*	. р = — . (n-1)	_	(п-~1)!
п п	п	пт~1 (п — т)Г
4.25.	Р(Л)=Р(В)=Р(С) = у, Р(Д |В) = Р(В|Д) = Р(С| Д) =
= Р (А | С) = Р (В | С) = Р (С | В) — , т. е. события попарно неза-
висимы; Р (Д | ВС) — Р (В | АС) = Р (С | АВ) = 1, т. е. события не
являются независимыми в совокупности. 4.26. Нет (см., например,
п 1
задачу 4.25). 4.27. р =	.
4.28.			п	_ <я~	1) (п-1)	1	2 (и!)8
	Г —	2п	’ (2п-	• 1) ' (2й-	2)(2п —3)'”2	(2л) 1’
4.29.	р =	C^QCIQCl			1=?!5!10!= 0,081.
			>	^12	Г’З	Г’З '-'Э	'-'в	151
4.30.	о —			1	•^т-(я-1)_ 2ял! ml
	р	^п-[-т £/i4-/n — 2			С^т_п+2 (п + т)1‘
4.31.	р =		1		1_	(л — k) I
		п	(л— 1)	[п — (k	- 1)]	л! •
4.32.	п =		3	5*	99 __	-А9’	0.08
	г	2 ‘	4’6'	100	2100 (50!)2	
4.33.	р =	1 -	— 1 ^п-\-т _ /^т	__п—771 ~н у п -J- 1	
л ол п — 2/д + 1
4.34. /? =------ГТ—•
п + 1
9Г*П
4.35. р = 1 -
спп+т п + т'
§ 5. Теорема сложения вероятностей
5.1.	0,03. 5.2. 0,55. 5.3. pk = pkj. 5.4. 2	. 5.5. И.
5.6.	р = 1 - А- (С% + CfoCl + Q0Q + CbCf +
17	+QoC!Q + C5oC?)^O,4.
5.7.	P (AB) = P (Д) - P (AB), P (B | Д) = 1 - P (fg) •
5.8.	P (В) = P (AB) 4- P (AB) = [P (A) + P (/))] P (В | Л) = P (B | A).
5.9.	Р(В) = Р(Д)4-Р(ВД)Э=Р(Д). 5.10. 0,323. 5.11. 0,5.
5.12.	npqm *. 5.13. а) */8; 6) 5/e.
5.14.	A — первый билет имеет равные суммы; В — второй,
а) Р(Л4-Я)=2Р(Д)=0,1105; б) Р (Д ±В) = 2Р (Д) — Р2 (Л) = 0,1075.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Й9
5.15.	Из P(A4-B)egl следует Р (В) — P(AB)sgP(A) или
P(A|B)Ssl
Р (А) _ а + b - 1
Р(В) Ь
5.16.	Из Z = X+Y следует: Z^X+\Y\, Z^X-\Y\,
P(ZsSll)SsP(X==£10 и I Г|==£1) = Р(Х==£10) + Р( |	—
— P(XsS10 или | У |sgl) =з0,9 4-0,95— 1 =0,85, Р (Z Ss 9) > 0,05,
Р (Z 9)	0,95. 5.17. 0,44 и 0,35. 5.18. p (2—p). 5.19. pB = 0,l +
4- 0,9 • 0,8 • 0,3 = 0,316; pc = 0,9 (0,2 4- 0,8 • 0,7 • 0,4) = 0,3816. 5.20. p =
= - j—пт + (’-=”V7”~L* • 5.21.	pc=«0,2.
n (n— 1)	\ njn n? (n— 1)	25	c
5.22. G (m + n) = G (tn) + [1 — G (tn)] G(n\m); G (n | m) =
~G(n-{-m)— G(tn)
~	1 — G(m)
-OQ 1,1.1, 2 1 , 1 . 1
Л 5.23.	— y +	+	---3» Pa — rja + 2* +-----у •
П	1	2	1
Другое решение: Pi+p2 = l, A = t. e.	= —.
1.	1	4
5.24.	/>14-p24-p3 = l, Pi — ^Pt, Рг=2-Р2, т. e. />i=y,
2	1	12
Pi = ^,p3 =y. 5.25.p4-7=l, q = -^P‘, /> =-3-. 5.26./>! 4-Ps = 1,
tn______.	________ n-\- m
P1 n-^-m	P-~Pi п-\-2тл
5.27. pi — вероятность попадания первым стрелком; р2 — вто-
рым; Pi +р2 = 1, 0,2ра = 0,8 • 0,3^/, р =pi — 0,455. 5.28. Восполь-
зоваться условием задачи 1.12. 5.29. Подсчитывая количество оди-
наковых членов, получаем
I п \
Pl 5 A J = CAP (At) - СпР (AjA2) + САР ( АхА8А8) - ...
...+(-1)«-р(да4
\fe = l
п	п
5.30.	Используя равенство JJ Дй= Ak из задачи 1.12 и
Л=1	Л=1
общую формулу для вероятности суммы событий, получаем
( п \	( п _____ п — 1 п___________
n^Ui- 2 р(лЭ-2 2 P(AUy> +
л=1 /	(*=1	* = 1/=*4-1
п — 2 п— 1 п	____ / п _________________’
+ 2 2 2 р(^а})-... + (-1)’-‘р .
£=1 /=£-{-1 i = /+l	\fe = l
530
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5	  S
Но согласно задаче 1.12 JJ	2 Ль поэтому при любом
А=1	Л=1
__\	Is \
П А» =i-p S Дм. Учитывая еще равенство 1 — Сп +
fe = l	/	\* = 1	/
Уп	—1)л = 0, приходим к указанной в условии задачи
формуле.
5.31.	Воспользоваться равенством
/__ п	\	/ п	\	In
•р(л П^)=р П лЗ-р П л*
\	k = \	/	\й = 1	/	\Л = 0
и формулой из условия задачи 5.30.
5.32.
(- О*-1
k\ *
5.33.	Вероятность, что т человек из п займут свои места, есть
„т («—Ш)1	1 т>
Сп-----j--= —г. Вероятность того, что оставшиеся п—т чело-
п п\ т\
п—т
2(— 1)*
• < ;
Л=0
п — т
V (-1)*
р~~ ml Zj л! •
л=о
5.34.	Событие Aj—в j-й вагон не войдет ни один пассажир,
/	1\k	f O\k	f Q \k
P = 0 -	’ P (AiAi} = (‘ - тг) > p ^A‘A^ = I1 - n)
и т. д. Используя формулу из ответа к задаче 5.29, получаем
... + (_l)n-icr^l_ZL=±y.
5.35.	Первый игрок выигрывает в следующих п случаях: 1) из т
партий не проиграет ни одной; 2) из т партий проиграет одну, но
(яг-|-1)”ю партию выиграет; 3) из т-\-\ партий проиграет две, но
(т-|-2)-ю партию выиграет; ... ; п) из т-^-п — Ъ партий проиграет
п— 1, а затем —1)-ю выиграет.
Р (1 + Cxmq + C2m+192 + - + Сп-+\_#пЛ
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
631 *
5.36.	Ставка делится пропорционально отношению— вероят-
на
ностей выигрыша для первого и второго игроков,
Pi = 2т +у Ст + ^Ст+1 + ••• + 2п=1 Cm+n-i) >
Pi = 2й ('	~2	+ 2s + ••• + ^п=Г Ст+л-2) •
5.37.	Событие А — первый сказал правду; В — четвертый сказал
правду; р = Р (Д | В) =	. Пусть pk — вероятность
1 \ti)
того, что (с учетом двойных искажений) Л-й лгун передал правиль-
ж	1	5	13	41 о/л.
ную информацию; pt = у, pt = -g-, рг =	, р^ —	, Р (Д) = ри
Р(В|Л)=Р„ Р1$)=Р1,Р = ^.
5.38.	Заменяем выпуклый контур многоугольником с п сторо-
нами. События: А — будет пересечение многоугольника, Д/у — пересе-
п — 1	п	п —1	п
чение по i-й и у-й сторонам; А = 2 2 Ау, р’ — 2 2 Pi
i = l J=i± 1	1 = 17=14-1
n	tl
где рц = P (Ду); p' = у pf, pl = Рм—Pkk — вероятность
k=\	i=l
пересечения параллельных линий Л-й стороной длины lk. Из решения
п
задачи Бюффона 3.22 pg ==-?—; р'==-^	Так как эта вероят-
л = 1
s
ность не зависит от числа и величин сторон, то Р~~[^*
5.39*	. р = — У clmcs~ L = 1----У clmcs~ гт.
г Os	^т^п — т	^,s	^т^п-т*
* 1=0
5.40*	. Событие Ak — затопление k-ro отсека (k = 1, 2,	, п).
(п	\ п	[ k	\
П Ak = 2 (-1)*’*с»р 2 aj =
fe=i	/ A=i	v=i	/
k=A
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 6.	Формула полной вероятности
11 1 . 1 2 _ 13	_ 3 4 . 1 2 _ 7
6’. Р— 12’ Ц + 12'ц — 132-	6’2’ Р— 4 ’ 9 + 4 ' 9	18'
6.3.	Нх — среди извлеченных шаров нет белых; Hs — один бе-
лый; Н3 — оба белых;
__’ 1 /	т2 \
Р~~2	4-rn, + „з + ZZ1J '
6.4.	Hji — из j-й урны извлекается белый шар; Н12—из /-й
/71	k
урны извлекается черный шар; Р (/7И) = —	, Р (Hi2)
Р1Н \ т (ст+1) I fe_________________________И
г (т + к) (m + k+ 1) 'r (m + k)	1)
=	Считаем Р(Л//1) = ^, Р (Я/,)
Тогда Р(///+1>1) = -^т. Поэтому Р =
т + к ’
т
т + k 1
k
т 4- к ‘
6.5.	0,7. 6.6. 2/9. 6.7. 0,225.
6.8*	. Событие As—переход случайной точки из в не
более чем 3aws шагов, А — когда-либо. Гипотезы Нг и Н2— за
первый шаг переход из Вг в В3 и В3. Р (А3) =/7j (q2 4~АРз) 4“
-- Qi (Рз 4" <h<h) = 1 —PM Р (Л) =Р1 (^2 +Р*Рз + pi<h<h) + Qi (Рз +
+ Мз +р*РзЯз) = 1 —/Мз (РА + <МзУ, р И) = PiP (А | /Л) +
+ <7iP(A|tf2), Р(А|//2)=Рз4-^зРМ|/71) = 1, Р(А|/Л) = <724-
4-Р2[Рз + ^зР(А|//1)] = 1, Р(А) = 1.
6.9.	0,332.
6.10.	Событие А — получение контакта. Гипотеза Н^— на й-й
полосе возможен контакт (Л=1, 2). Пусть х — положение центра
отверстия, у—точка приложения контакта. Р (Hi) = Р (15 ^х
-с 45) = 0,3, Р (Н2) = Р (60 х 95) = 0,35. Контакт возможен на
первой полосе, если: при 25^х^35 |л — у|^5; при 15^х^25
20 tc у ^х 4- 5; при 35^х^45х — 5^ у^ 45. Поэтому Р (А | /71)=
= ~ . Аналогично Р (А I НА = Дт • р == 0,045.
15	\ । »/	14» г-
6.11.	Событие А — поступление s вызовов за промежуток 2/.
Гипотеза Hk(k — 0, 1, ...) — за первый промежуток времени по-
ступило k вызовов, Р (Hk) = Pt(k). Вероятность поступления s—к
вызовов за второй промежуток будет
P(A\Hk)=^Pt (з~Л),
P./(S)= S Pt(k)Pt(s-k).
А = 0
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
533
6.12.	Гипотеза Hk — имеется k бракованных лампочек, Р(/7Л)?=
=	(£ = 0, 1, ..., 5). Событие А — все 100 лампочек исправные,
РМ|^) = ^|^-=«0,9* (fc = 0, 1.5);
^юоо
5
р= 4 2р(л|
Л = 0
6.13.	Гипотеза Hk — в урне было k белых шаров (k = 0, 1, ...
... , и); событие А — из урны будет извлечен белый шар, Р (Н^ =
1 D / Л I W \	"1“ 1	“Ь
= —Г~Г , Р И ^k) =-----ГТ; Р = Т—тт •
и 4-1	и 4-1	2 («4-1)
6.14.	Гипотеза Hk (/г = 0, 1, 2, 3) — для первой игры взято k но-
вых мячей. Событие А — для второй игры взято три новых мяча,
Z'>/?Z'»3 — k	Z"»3
C/qC/c	- С/n t,
РШ= , Р(Л|//*)=-^; p = 0,089.
6.15.	P = -i4^-(9Ci + 8CICJ + 7Q)=0,58.
filB _25 24 , /25 _5 , _5	24 _ 190
p~ 30 ‘ 29 + ^30 ’ 29'30 ’ 29/ ’ 28 203'
6.17.	P (Д) = P (AB) + P(AB) = P(В) P (A | В) + P (В) P (A J B).
Равенство возможно только при А = V, где V — невозможное со-
бытие.
6.18.	По формуле из примера 6.2 следует, что т 13, р«^0,67.
6.19.	В первый район 8 вертолетов; р^0,74.
§ 7.	Вычисление вероятностей гипотез после испытания
(формула Байеса)
7 1 ст —	0,1-5/6	_ 5	. Г. .
р 0,9-1/2+ 0,1-5/6 32- ’ р + йл («г + '+Г
7.3.	Гипотезы /^ — изделие. стандартное, Н2 — нестандартное.
Событие А — изделие признается пригодным; Р (//J = 0,96, Р (//2) =
= 0,04, Р (А 1/70 = 0,98, Р (А |/73) = 0,05, Р (А) = 0,9428; р =
= Р (Hi | А) = 0,998.
7.4.	Гипотезы /7Л(/г = 0, 1, ... , 5) — имеется k бракованных
изделий. Событие А — извлекается бракованное изделие, Р (//А)=|,
П/Л I ил k D(U I л\ Р Р (A I Hk) тт х
Р (А | Нк) = у , Р (Hk | А) =--^5^-------2—. Наиболее вероят-
на гипотеза /7б, т. е. пять бракованных изделий.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
7.5.	Р (Я.1 А) = §4j8 = 0,214 (см. задачу 6.12)
7.6.	Событие А — выигрыш игрока Z); гипотеза	2) —
противником был игрок В или С; Р (//*) = 1/2; Р(Л | НА = 0,6 • 0,34
+ (1 - 0,18).0,7-0,5; Р (А | Hs) = 0,2.0,3+( 1—0,06)0,4.0,7; Р(/71|Л)=
= 0,59; Р(//21 Д) = 0,41.
7.7.	Из второй группы. 7.8. Событие Д —попали двое; 77* —
промахнулся /?-й стрелок;
р = Р(Я8|Д)=1.
3
7.9.	Событие Л — вепрь убит одной пулей, Р(Д) = 2 Р (W*
Гипотеза Hk — попал только Л-й стрелок (k = 1, 2, 3); Р (НА = 0,048,
Р (tfs) = 0,128, Р (Ц3) = 0,288, Р (Ht | А) = 0,103, Р (Н2 | А) = 0,277,
Р (/73 > А) = 0,620.
7.10.	В четвертую часть.
nk
711'р = 14-2*4-... + п» •
7.12.	События: Ai — первый близнец — мальчик; Д2 — второй —
тоже мальчик. Гипотезы: Hi — оба мальчика; Н2— мальчик и
девочка;
Р(Д1) = а+-^ [!-(« +*)];
7.13.	События Ak и £-м родился мальчик и £-й роди-
лась девочка (£= 1, 2); Р (Д^) 4~ Р + 2Р (ДХВ2) = 1,
Р (AiА2 + BiB2) = 4Р (AiB2). Поэтому Р (Л,Д2) + Р (BiB2) = у,
Р (Д,В2) = 1, Р (ДМ,) = 0,51 - 1/6; р = Р (Л, | Xj) =	.
7.14.	5/11. 7.15. Одно появление.
7.16.	Гипотезы: /^ — второй студент учится третий год;
Н2 — второй год. Событие А — второй студент учится больше пер-
вого. P(^)=44,	Р(/7а)=-^_,	р(А\Н1)=^^,
P (A ] H2) = -ЗГГ,	P И) == /fj ^"П8	Пз) + Л2Пз1>
1+1
^р№1Д)= т-
п2 п3
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
535
7.17.	1/4 и 2/11.
7.18.	Гипотезы (£ = 0, 1, ... , 8) — из 8 деталей k штук
исправных. Событие А — из взятых четырех деталей три исправ-
ные: P(Hft)'. = l, P(Wy| Д) = 0(/ = 0, 1, 2, 8), Р(ЯЙ|А) =
= —(fe = 3, 4, 5, 6, 7), Р(Д) = 4; р = Р(^М)-4 +
С| 1	3
+ Р(/4|А).у = п.
7.19*	. Событие А — выход прибора из строя. Гипотезы: HQ —
исправны оба блока, Нх — отказал первый блок, Н2 — второй, Н3—
отказали оба блока; Р(Д)=1 — р^; Р (Ht\ А) =	»
»	* —Р1Р2
Р(/4|А)=	Р(Я<|Л)=(^~Л)<1~Л).
1 —Р1Г2	1 —PlPi
§ 8. Вычисление вероятностей появления события
при повторных независимых испытаниях
8.1. а) 0,94 0,656; б) 0,94 + 4 - 0,1- 0,93	0,948; в) 1 — 6.0,12 X
X 0,92 =» 0,951. 8.2. a) Qo^-O=^;	б)1,-А>(1+СЫ-С?0 +
+ CL + 1) =^.8.3; а)р = СЗо0-0,013-0,99107^4е'2^0-18; б>
«а 0,09. 8.4. 0,17. 8.5. 0,64. 8.6. а) 0,163; б) 0,353. 8.7. /> = 1 — (0,8* +
+ 4 • 0,83 • 0,2 4- 5 • 0,82 • 0,2s + 2 • 0,8 • 0,2л) 0,7s • 0,6 = 0,718. 8.8. 1Г„==
= у c”pVmh-f'i--n=i-(i-zy.
лшЛ п	L \ w	/
т=0
8.9.	р = 1 — (0,74 + 4 • 0,73 - 0,3 - 0,4) = 0,595.
8.10.	Гипотезы: Нг — вероятность попадания при одном выстреле
равна 1/2; Н2 — она равна 2/3. Событие А — произошло 116
попаданий. Р (Ht | А) 2Р (Н21 Д), т. е. вероятнее первая ги-
потеза.
8.11.	См. таблицу 113.
Таблица 113
р	0,01	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
^10; 1	0,0956	0,4013	0,6513	0,8926	0,9718	0,9940	0,9990	0,9999
536
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
8.12. 0,2.
таблицу 114.'
8.13. 0,73.	8.14. /?я;1 =» 1 - е-0’02” (п > 10). См.
Таблица 114
/ л	1	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
^:1	? 0,02	0,18	0,33	0,45	0,55	0,63	0.70	0,75	0,80	0,84	0,86
8.15. р = 1 — 6,95i0 = 0,4.	8.16. р=\ — 0,95 = 0,41. 8.17. р =
3
==Р?о +	(р8 +р8) + Зр1Ор5“ = 0,0935. 8.18. а) р = 2 к pi k=
k = 0 .
= 0,321; 6) 0,243. 8.19. 0,488.
8.20. Событие A — изготовлено два хороших изделия. Гипотеза
Нь — изготовил &-й рабочий (&=1, 2, 3); р= Р (Н^ | А) X
k = \
X Р (Л I Hk) =« 0,22. 8.21. а) р = -—г- = 0,794; б) ф - 4/>3 +1 =
= 0; р = 0,614. 8.22. Р .=// + C\p'q + C|/>V + Ctfq* (р* + 2p-q)=
= 0,723; Рп = 0,277.
8.23. р = С" k. 8.24. 0,784. 8.25. По 200 вт (R, = 0,394;
к	к	ч о> 1
Р10;'2 = 0,117). 8.26. 0,64. 8.27. 0,2816. 8.28. Рт = nCkmz)ipkqm^ ПРП
2k I	2/? 1
m^k; Рт = 0 при т < k. 8.29. р = 2 Рт = яр* 2
m — k	m — k
8.30. Должно быть 0,1 0,8«р+^-+	«Ss25.
8.31. Должно быть 0,99 • 510 = 410-|-С1049 4- ... + С?,410-п; и = 5.
8.32. Р4.0 = 0,3024, Р4.( = 0,4404, Р4.2 = 0,2144, Р4.3 = 0,0404,
Р4.4 = 0,0024. 8.33. 0,2б’. 8.34. 0,159. 8.35. 95/144. 8.36. я = 29.
8.37. п =5 10. 8.38. я=5 16. 8.39.8. 8.40.8. 8.41. и = 4; р = 0,251.
8.42. р+ = 3, р._= 1; р = 32/81. 8.43. 24 или 25.
т п
8.44*. Р=1-Д?- 2	СЖ“5-
/=1$=1
8.45*. Событие А — гибель.корабля. Гипотеза Hk — в корабль
попало k торпед (/г = 0, 1, ... , и); Р (Hk) = Cknpkqn'k\ Р (А | HQ) =
= Р(Л|Н,) = 0; Р(4|«,) = 1-я пр» С»';	Р(.Ч“
= 2 ФТ'З-гЦ.
й=2	, \	;
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
537
§ 9.	Полиномиальное распределение. Рекуррентные формулы
Производящие функции
9.1.	Р = Р5. 2, 2, 1 +	5; 3, 2, 0 ~ 50/243.
9.2.	р = Р3. 4> 1, 1 + Р3; 2, 1, о + ^3; 1, 2, 0 == °>245’
О! 1	Q! 1
9.3.	а) р =	= 0,085; 6) р = 6	= 0,385.
9.4.	р = -^г 0,15е0,22® • 0,13 = 0,13 • 10"4.
О’ о!
9.5.	р= 1 — 2 (о,О6644 + 2. 0,25614 + 4 • 0,0664 • 0,2561’ + 6 X
X 0,0664s • 0,2561s + 4 • 0,2561 • 0,0664’^ = 0,983.
М. а), =2^ = 0,00344; 6) = J.	± = 0J38.
__ lllmminni
а)	р'~ (/ + « + п/1 + '”1 + П1 ’
1)1	lllmm'nni
’ (Z + от + n)ll + mi+ni^
Pk = Pk-i • у + (1 — Pk-i) 4 = 0,5; p = 0,5. 9.9. Пусть pk — вероят-
ность ничейного исхода, когда сыграно 2/г результативных партий;
1 / 1 \Л“1 1 1
/^+1=уР/; (fe = 0, 1, ...),р0=1> Рп-1 = \-2 j I P = yP»-i=2»-
9.10.	Число я должно быть нечетным, п^З. Пусть /^ — вероят-
ность того, что после 2^ + 1 партий игра не закончилась; р0=1,
71 — 3
1 _ 1 '
4 Р1=1— 4 4 J
9.7.
б)	р = 6р1;
В) п=:-У1Т.^Т^
; Р
l+d-
9.8. р —рп,
Pk
£ = 1, 2, ..., -
9.11. Пусть рк — вероятность разорения 1-го игрока, когда
у него k рублей. По формуле полной вероятности Pk=PPk+i~\~QPk-v
Кроме того, р + ^=1, р0 = 1, pn+m = 0. Поэтому^ (pk —pk_i) ==
=Р (Pk+1 —Pk)- )) Р = Я- Тогда рк = 1 - fee, с =	, т. е. р( =
=	=	2)Р^?- Тогда pft-pft_i = (^fe(pi-l).
Суммируя эти равенства от 1 до п и от 1 до п -f- от, получаем 1 —
1 - (1\п	1 - Ш',+т
— Рп = () -Pl)---, J —Рп+т = (1 —Pl)-------^4-----• По-
. 1--3-	1--^-
р	р ,
1 - (£-\т 1 -
9Т0МУ Pl1 = 1 = •
U/	\р)
' * w
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
9.12. Р — Рт\ Рт — 0 при т <Zn\ Рп — 2П--1 »
при
n<Zm^2n — 1. В общем случае Рт определяется из рекуррентной
формулы Рт = ^г Рт-l + ^Рт-а + •• +^гРи-п+ь которая по-
лучается по формуле полной вероятности. При этом гипотеза
Hk — первый противник победителя выиграл k партий;
/ 1 \n — k	1
Рт-к = Р(Нь){^	, P(A\Hk) = ^ (fe = l, 2.п-1).
9.13. Pk — вероятность того, что придется играть ровно k пар-
1	ч
тий. При k = 1, 2, 3, 4, 5 Pk = О, PQ = 2р6 = , Р7 = 2Cip6q=^,
ю
193
__	256’
л = 1
б) если п нечетное,то Рп = 0,когда п^11. При четном пРп = ^рп	,
2 __1
гдеPk — вероятность того, что после 2k партий противники имеют рав-
ное число
_ 63
2*+з
р — ICWd1 — — Р — — Р  —
г» — ^тР ч — 2’ >	— 2s ’ ^10 — 2*
1	63	1
очков; p6 = CfO2io = y8, Pk+i=^Pk> т. е. pk =
(fe = 5, 6, ...), Рп=-^
22
п — 1	/ п
2
k = Q	\/=А4-1
9.14. /?(«) = 2
= (<7+р«)"
j-^ц > где G(u)
п ( k 1
9.15. 7?i (п) — как в задаче 9.14; /?2(п) = 2	2Р»= i
k = 0	'j—0	>
__ G (и) — un+l
1 — и
9.16.	Искомая вероятность равна свободному члену в произво-
дящей функции	।
ом== ' (д + 2+1Г = <1+.“1-;р„‘с;„.
' 7 4Л \ 'и / 4пип * г 4Л
9.17.	Искомая вероятность равна сумме коэффициентов при и
в степени не меньше т в функции
^7 ч / 1	* 1 1	1 3 , 1 г 1 V (1 + «)4Л
v \16	4	1 8 1 4и 1 16а2/	(4п)2л ’
4п
У ск
Р 42л	С4л*
k =2п 4- гп
При п = т = 3 р = 0,073.
8
9.18.	Искомая вероятность /> = 2	Р20; 4-м. ft, мГ&Ж
л=о
8
— 2 201 У ....... У-»»______
52» Z (44-Л)!*! (16—2й)!	,ш*-
£ = 0
9.19.	а) Искомые вероятности связаны равенствами: рч + Рпр = Ь
рч=рпр4-Др, где Др — свободный член в производящей функции,
ч	П , 1	,	1\24 0+п)48
(j (и) - I -j- U -р 4-1-FT I == -TgA—24— »
\ '	^4	।	4tt	।	2 /	424а24 ’
~ 424 ^48
< рч = 0,5577, рпр = 0,4423.
б) За 19 партий чемпион должен набрать 11 или 11 ~ очков, а пре-
тендент 11^- или 12; G (и) =	; pit> = 4» (cls + Q?-|-+
+ cyl + су 4')«» 0,103.
9.20.	а) Искомая вероятность Рт находится с помощью произ-
водящей функции G(u) = -^-(u + us+ ... + и«)п =	.
Используя равенство	= 1 + С* ~ 1 и + Iй* + •••, полу-
чаем Pm = -4r(C«-1i-C»C™-7 + C«Cm-1i3- •••)> п₽ичем ₽яд
т
обрывается, когда т — 6k < л; б)	Pk* Используя
k = п
равенство 1+С£~1+ ••• +C*Zi=C", получаем Rm =
= ^(С«-С^_б + С2Л_12- ...). При п = 10, zn = 20 Р30 =
= (с"о - с1«с?2> = °>0014>	= 6^ <с*“ - е!0^12)=°-0029-
9.21.	Искомая вероятность равна коэффициенту при и21
в функции
1	1 /1 — ц10\®
О(«)=т^(1 + «+	+«’)’ = joe (-14^) =
= -r4(1~CJU“> + c‘“80_ .••)(1+Q« + ^u2+...);
Р = 14 (C5e - CJCf, + CiQ) = 0,04.
140
. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
9.22.	a) pN равна коэффициенту при uN в функции
ип
G(u) = ?-
V / тп
1  ит\п.
л   1 / Г>П — 1	z~»l z"»/l — 1	| /^2	— 1
Pn~ ~^n VGy-l ~	-zn-1 “t"G/iGW-2m-l “
...),
причем ряд обрывается, когда N—ms<Zn'f
N
6)	P = 1 +PN— S Pk =
k — tl
= 1+^-^(с^-с^_т + с^_2т- ...)
(ср. с 9.20).
M21 f 1   м4\ 3	1
9.23.	a) Gt(U)=^(±-^ , р = -^-(С|— 3) =0,1875;
и21	1
б)	Gs (v) = ^- (1 + ?)», р =-2^9= 0,2461; в) G(u) = G1(«) X
Х °2 (i) = i ^- а)^(1+Ц)18 , Р = з|г (СЬ + ЗСЬ) = 0,1585.
9.24.	Гипотеза Hk — равное число гербов стало после k броса-
ний обеих монет (& = 1, 2, ..., п); событие А — после п бросаний
будет равное число гербов, но оно могло быть и раньше. Р (Д) =
= 2 Р (Hk) Р (А | Нк), /» = Р (Я„), Р (А) = Р (А | /7„), Р (А | Hk) =
k = \
п
= 4^=АС2п~Лк- Поэтому С2„ = 2 4* C2^-2k Р (wfe)- Задаваясь раз-
k = \
оо
личными и, можно найти р = Р (Нп). Пусть R(u) = S 4hP(Hk),
/г = 1
Q (и) = 2 uJPp гДе Рп-} = Р (Л | Hj). Объединяя члены при ип,
7=6	оо	п	со
получаем: Q (и) R (и) = J] ип J] pn_kP (Hk) = J] ипРп (А) =
п = 1 k = 1	п = 1
оо ’	1
= Q(u)-l; Q(«)=	(т) -§ТГ = (1-а) 2; *(«) = !-
k =0 к
1Л5---- V ..k	(2Й--2)!	_	(2п-2)1
г1' °—	“ 2^lk\(k— 1)! ‘ Р~22п-1 (п — 1)! nl ’
А = 1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	' f
9.25.	Пусть р — число голосов, поданных за определенного кан- 4
дидата. Вероятность этого Р^ = €fyFqn ~ и’. Вероятность того, что
р-
за кандидата подано не более р голосов, равна «ц, = 2 Ps* Вероят-
5 = 0
ность того, что из k кандидатов / — 1 человек получат не менее р
голосов, k — Z — 1 человек — не более р голосов каждый, а двое —
по (X голосов, будет_ р, (^ _ f _ 1}1 (1 + Р» -
А>== 2(/-1)! (й-Z-1)! 2	1 +Р|х —“n)Z ’’
р. = 0
9.26.	Вероятность выигрыша одного очка для подающей команды
2	/ 1 \2 [ 9 \13+Л	/ 1 \< f о \п+*
Рав™ з- а) РА = СЦз) (-3-)	+ С^С’„ (2_) (^-)	+
, 2 з MV72V + *	к-_2гк-1(1ук-г [2\^
~ГС*- 1С15	^3j	+ ••• +СА-1С15	^3j	+
+ С‘5	(4)15~* или Pk =	5(4* - 'С'5 + 4* - 2С> _ ,С?5 +
+ 4*-3с1_1С?54- ... +4С*_1С?5-,+С?5); Qk = (1) X
X (4* + 4*-’С^С}4 + 46-2С^4+ ... 4-4C^-1Ct4-‘+Cf4)(A=0,
1,	13). Числа Pk и Qk приведены в таблице 115.
Таблица 115
k	- 0	1	2	3	4	5	6
Pk	0,00228	0,00571	0,01047	0,01623	0,02260	0,02915	0,03546
Qk	0,00114	0,00342	0,00695	0,01159	0,01709	0,02312	0,02929
k	7	8	9	10	11	12	13
Pk	0,04118	0,04604	0,04986	0,05254	0,05407	0,05450	0,05392
Qk	0,03524	0,04064	0,04525	0,04890	0,05148	0,05299	0,05345
542
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
13	13
б)	Pj= 2 Р* = 0,47401, QI= 2 Qk = 0,42056; в) пусть а* —
Л = 0	Л=0
вероятность набрать 14+ & очков из 28-|-2fc для первой (подаю-
щей) команды, выиграв последний мяч, — аналогичная вероят^
(] \ 2 Г 2 \2в
у У +
/ 1 \ 4 / 9 \ 24	/ 1 \ 88 / ? \ 2	! 1 \ 28
+ с}8с?4Щ (т) + -+с}зС1Цу] (т)+Щ = °-05198-
a*+i + ^+i=-|~(a*+fe). “ft+i—₽*+! =------§~(“ft — 0ft)> т- е-
,(“ft+₽ft) = p(«o + ₽o).	=	Pk = ^^ +
! (~D* йч	„ _“о + ₽о	(-1)*	ву	„	0,10543
+ д/г+i (ао — Ро),	Qk — ~з^+1	дЛ+1~ (ао	Ро)>	Pk — 3fe+i
(—1)* 0,00148	0,10543 , (—1)* 0,00148	. n V
—'—gs+i—. яь= 3fe+i +—9E+1—; r)P1I=2Jp* =
k=0
= 0,05257, Qn = 2 7* = 0,05286; д) P = P, + P„ = 0,52658, Q =
k=0
= Qj 4-0,47342.
9.27*	. Вероятность получения серии из т появлений события А
только при &-м испытании р^\ вероятность того, что при пер-
вых k испытаниях такой серии не будет аЛ; аЛ —aft_1= — pk
(Z? = 1, 2, ...).
R(u)= S
k=0
Q(u)= J] Pkuk = 1 - (1 - u) P (a).
fe = 0
При k^m справедливы равенства
m
“ft = 9 S PS-1“ft-s>
s= 1
с помощью которых находится
п(ц)_	1~(Р«Г
/VW —(1 _ u + qpmum+i) •
(p«)m(l-p£Z) .	__ 1 dn <7(W)J
— 1 _u + qpmum+i> Pn — n\ dttn |« = 0*
Если m = 2, n = 5, to p^ —p'q* (1 +p).
Глава II
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 10.	Ряд, многоугольник и функция распределения
дискретной случайной величины
10.1.	См. таблицу 116.
Т а б л и ц а ч 116
0
1
0,7
0,3
0,7

при х О,
при 0<х^1,
при х>1.
10.2.	См. таблицу 117.
Таблица 117
10.3. См. таблицу 118.
Таблица 118
xi	1	2	3	4	5
Pi	о,1	0,09	0,081	0,0729	0,6561
544
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
10.4.	a) P(X=m) = ^w 1p = i; в) один опыт.
10.5.	— случайное число бросков для баскетболиста, начав-
шего броски; Ха— то же для второго баскетболиста; Р (Л\ = т) =
= (0,6 • 0,4)^ (0,4 + 0,62); Р (Ха = 0) = 0,4; Р (Ха = т) = 0,6 (0,4 X
X 0,б)"1’1 (0,6 + 0,42), т 1.
10.6.	См. таблицу 119.
Таблица 119
xi	—3	3	8	9	14	15	19	20	25	30
Pi	0,008	0,036	0,060	0,054	0,180	0,027	0,150	0,135	0,225	0,125
10.7.	Р (X = т) = qm~* р =	Для всех так как мини-
мальное случайное число включений равно четырем и будет иметь
место тогда, когда первый же включенный прибор сработает.
( qn~1
10.8.	a) P(X=zn) = < n m ,
( pqn~m~*
при т = 0,
при 0 <г т п — 1;
б)Р(Х = т) = {^?;
для \^т^п — 1,
для т = п.
10.9.	Р (X = т) = C™pmqn~m для всех 0 т п.
10.10.	Р (Х—т) — 1—2 • 0,25т для всех я/^1.
10.11*	. Р (Х=/г) = (1 — —— для всех 1.
\ (О / со
10.12.	Р (X = т) — е~пР для всех zn^O. 10.13. См. таб-
v ' т\
лицу 120.
Таблица 120
*i	0	1 4	2 3	3 2	4	OO
Pi	1 32	5 32	10 32	10 32	5 32	1 32
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
545
10.14*	. См. таблицу 121.
Таблица 121
Xi	0	- 1	2	3	4	5 '	6	7	8	9	10	11	12	13
Ю>Р1	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	63	69	73	75
Xi	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Wpi	75	73	69	63	55	45	36	28	21	15	10	6	3	1
§ 11.	Функция распределения и плотность вероятности
непрерывной случайной величины
ц 1	) —J Ь если х принадлежит [0, 1];
1 0, если х не принадлежит [0, 1].
J	х
11.2.	/(х) = -4=-е~^. 1U2% 11.4. а)/> = — !,б)/(х) =
У 2к	J е
=	11.5. а) .а; б) 0	1,18а; в)/(х) = J Г
_*т 1
11.6.	a) f(x) = — хт~1е *о(х2»0); б) хр = { —xoln (1 -/>)}“;
Хо
/	1 \ 1	1	/2
ч т — 1	1	Р —¥
в)	. и.7. а) 10-5; б) F(x)=p= J е 2 dt, где ZB ==
= _lgx IgXo. 11.8. а) с = 4-; b = —; б> f(x)=	;
а	'	2 ’ л ’	' J v ' л(х2 4- а2) ’
в) P(<x<X<p) = -arctg‘*^~a). 11.9. e = -i=.
л а2 с$	у к
11.10	. a) f(x)=4- + 4arctgx; б) Р(1*1< 0 = 4-
= 1. 11.|2., = |.
11.13. Ввести случайную величину X—промежуток времени,
в течение которого лампа теряет работоспособность. Составить
дифференциальное уравнение для F (х) = Р (X < х) — функции рас-
пределения случайной величины X. Решение этого уравнения при
х = / имеет вид F(/) = l— e~kl.
18 Б. г. Володин и др.
546
ОТВЕДЫ И РЕШЕНИЯ
11.14	. а) (6L2 - 8£z 4- 3z2); б) 1 -
СО
11.15	. /(х) —	8 (х — О-
i= 1
§ 12.	Числовые характеристики дискретных
случайных величин
12.1.	Х=р. 12.2. ха==1,8;	= 1,7; хв = 2,0; наименьшее сред-
нее число взвешиваний будет при системе б). 12.3. М[Х]=2:
D [X] = 1,1.
12.4.	Для доказательства достаточно вычислить М [X] =
Т^Г^|И = 1 ’ ГДе G (“) = (?!+/>1“) (02+Л“)(?з+Л>«)-
12.5.	Составляем производящую функцию G (и) = (о 4- ри)п;
М [X] = G' (1) = пр.
п
2 V	7	7
12.6.	— > т^. 12.7. Для первого уу, для второго — уу монет,
4 == 1
т. е. игра проигрышная для второго игрока.
12.8.	Ввести в рассмотрение величины a, Ь, с — математические
ожидания выигрыша игроков А, В, С соответственно при условии,
что игрок А выиграл у В» Для этих величин справедливы равен-
т , b а . с
ства а =	, с==-2’’	К0Т0Рые составляют систему
уравнений для нахождения неизвестных я, b и с. Решая систему,
получим e = ym, b = —mt с = -^т. Во втором случае для
*•	5	5	2
игроков Л, В и С соответственно получим mt -уу mt у ш.
со
12.9.	М [Л] = р +	+ j?) + (у + 2») + • • • = 2 2^ —
т = 2
ч V m - 3	24 _ 1 1 . м	- 3 J- ч * 6 * д_ 9 Д. -
— d Xi 2^“ 2"“49 “ 98 ’ М	2Г + ‘2Г + ••• -
т = 1
_ 3 VI т + 1 _ 3	1	___ 48
~ 4 Zi Ьт 4 (	1 \8 — 49 *
m=0	g j
оо
12.10. м [*]=/> 2 *(1-/»)*"* =|.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
547
оо
12.11.	М [X] =р m(l-A’)'n-1=4+-i-^-=:3+ — = 8.
m=4
12.12,	М(Х]=|;0[Х1-У!^.Р««=2
m=k
oo
’in	k
суммируется с помощью формулы S = -^ qm = •	_^4+r~ >
m—Q
где q = 1 —p-
12.13.	a) M [m] = <o, где <o = j—б) M [m] = co + 1. Сум-
мирование ряда производится по формулам
V те~ат =   V е~°-т =------(.———.
da	da \1 —е а]
т — \	т=0
11И-м 1X1 =g,+J(l-/>>'=4'55' «е '="Л '”=
=Л=0,22.
п
12.15.	М [X] =412.16. М[л] = п4-т
Л = 1
12.17.	Исследовать на максимум дисперсию как функцию вероят-
ности появления события.
12.18.	р.3 — пр (1 — р) (1 — 2/?) обращается в нуль при р —О,
р = 0,5 и р = 1.
12.19.	Рассмотреть дисперсию как функцию вероятности по-
явления события.
12.20.	В обоих случаях математическое ожидание числа черных
шаров во второй урне равно 5, а белых —в первом случае 4 -|- ^То,
во втором случае 4-|-е“5.
12.21.	Два рубля. 12.22. При	\
д2 _ 1
12.23.	М [X] =——а. При отыскании вероятностей =
о 72
= Р (X=-ka) того, что случайная длина перехода равна ka, вос-
пользоваться формулой полных вероятностей, приняв в качестве
гипотезы А[ то, что рабочий в данный момент стоит*у г-го станка.
12.24.	q = 0,9; а = ; Р (Х==£ 10) = 1 - 91(| «= 0,651.
12.25.	М [X] = . 12.26*. М [X] = 2 In 2 - 1. 12.27. у = 1;
>==6,5 руб. 12.28. М[Х] = ^: D[X]=^y^-.
18*
548
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1220 У _M + Mt	f 1	1 V
12l2e- Xk ~ -N+N, N + ~N+ Nt~ V-~N+ M :
lim Xh — N. Составить конечноразностное уравнение для
k -> оо
математического ожидания числа белых шаров находящихся
в первой урне после k опытов:
„ЛГ+М, / 1 , 1 \
л Л+1 Xk— Ni \Nl NJXk'
12Л0. p = CX(l)*(b=Jp; ,_Л;	=
12.31.	X = |; D[X]^ +1, где q = \-p.
ОС	oo	co
12.32.	M [X] = 2nP» = 2 2sn~s [(n -1)1 Is = 2 22«2”J)s =
n=1	n=1	n=0
OO	1
= oo, так как ряд
n = o
х\п(2п)\ Z1 ч-”2
"4/ (йГр=	расходится при х= 1.
§ 13.	Числовые характеристики непрерывных
случайных величин
/» Кз
13.1.	М|Х]=а; D[X] = ~-; Е = а^-. 13.2. М[X] = 0;
D(X]=1.
а9
13.4. DlX] = y;
те
Р(д>й) = е 4;
9
М [V] =-;
h /л
==т + 1.	13.8.
13.3. М[Х]=—£=;	D[X] ==-/’---L
р У п	р8 \ 2 п
Е = -р^.	13.5. Р(а<а) = 1-е 4 ;
^<*1=^4 i9	136
Р (а > 3)	0,456	/я ’
=	13.7. M[X] = D(X] =
fl \ 2 7С I
М[Х] = ^-х(); D[X] = -|-x?.	13.9. М[Х]=0;
11 —	— ра+1 Г (а -|- 1) ’
= В*(аЧ-1).	13.11. л = Г(а + &) •
р	°- 'л г (а) Г (Ь)’
1312 А
-(а + Ь)* (« + *+!)•	• • Л
М[Х] = (а + 1)₽; D[X] =
1	(?	V''-
D [X] =^3-2 (п>2). Для вычисления интеграла I (1 4. х»у 2
воспользоваться подстановкой х=^/"р—приводящей к бета-
функции, а последнюю выразить через гамма-функцию.
.	К2г(4)
1злз-л=^	DW =
2 2 Г(—2~)	- Г\2/
= п—1— Ха. 13.14. Воспользоваться соотношением/(х)=^С^ ==
 d [1 -f(x)]	dx
dx ‘
13.15.	М[Г] = у. Обратить внимание на то, что р (t) является
функцией распределения случайного времени поисков (Г), необхо-
димого для обнаружения судна.
13.16.	т (t) = пце-Р*. Учесть, что вероятность распада любого
фиксированного атома за промежуток времени (t, равна рМ,
и составить дифференциальное уравнение для т (t).
13.17.	Гп = —Воспользоваться решением задачи 13.16.
= 1,247, т. е. научных работников, имеющих
возраст меньше среднего (среди научных работников), больше, чем
имеющих возраст больше среднего. Средний возраст среди научных
работников 7 = 41,25 года.
ют	(2v — 1)(2м —3) ... 5-3- 1	п ,
13.19.	m8v =	при nSs2v+l,
13.18.
.. п + ‘
m2v+l=0. При вычислении интегралов вида \ x2v II ------)	2 dx

произвести замену переменных х
приводящую к бета-
функции, а последнюю выразить через гамма-функцики
_ Д »»- г + Ц ,ЗЛ1МИ=« °1*1=
— н + у-
k
13.22.	(лй=	т}, где т/==М[Х4
/=°
13.23.	mk= J] С^х"-^, где	= М [(А'- х/).
7 = о
550
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
' § 14. Закон Пуассона
З4
14.1. р = 1 - е-°'1	0,095.	14.2. р = ~ е~а 0,17.
44.3. р == 1 — е-1	0,63.	14.4. р = е'**	0,61.
14.5. 1) 0,95958;	2) 0,95963.	14.6. 0,9.	14.7. 0,143.
500	2
' 14.8.р = 1 У _>	1-1 У + =«0,08.	14.9.0,4.
е т\ е^т\	1
т—3	т—&
14.10.	Sk=+.	14.11. a)	б) 1—е’Ч
Л!
14.12.	М [X] = D [X] = “туг • Составить дифференциальное
уравнение для среднего числа частиц в момент времени t. Прирав-
нять среднее число частиц половине первоначального. Полученное в
результате этого уравнение дает возможность найти вероятность
распада данной частицы; умножая ее на число частиц, получим М [X].
14.13.	а) /> = ^-^-««=1,02-IO"10; б) р = 1 — е~п — пе~п «а
р& 0,673, где n = ^of<,S=» 0,475.
4лгаЛ
14.14.	Представить Рп (klt k2t ... , kmt km+i) в виде
Рп (ku k2i ... , kmj km+i) =
m	m
где s= 2 fy. Так как 2 и 5 конечны, то
i = l	i=l
§ 15. Закон нормального распределения
15.1.	р = 0,053. 15.2./?ниже = 0,18; /внутри == 0,48; рВыше ==:: 0,34.
15.3.	а) 1372 л2; б) 0,4105. 15.4*.	7. 15.5. £\=2p j/Еу^0,1&Еу.
15.6.	См. таблицу 122.
Таблица 122
X	-65	-55	-45	-35	-25	-15	-5	+5	+15	+25	+35
10»F (л:)	35	350	2150	8865	25 000	50 000	75 000	91 135	97 850	99 650	99 965
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
551
15.7.	з^58 лс. Получающееся трансцендентное уравнение проще
всего решить графически. 15.8. Et =а 15.9. 1) 0,1587; 0,0228;
0,00135; 2)0,3173; 0,0455; 0,0027. 15.10*. р ^0,091. 15.11. р = 0,25.
15.12.	а) 0,5196; 6)0,1281. 15.13. М [X] = 3 изделия. 15.14. Не
менее 30 мк. 15.15. ~ 8,6 км. 15.16. а) 1,85 мм\ б) 1,08 мм.
ф Iх ~ х\ _ ф
15.17.	a) Fa(x)= —2т——- для х>£;
1
\ а /
, fx —	, /а — XV
Ф ------ — ф--------
\ G /	\ (j J
б) =	га — Х\ ДЛЯ a<x<b‘
ф ------ — ф -------1
\ ° 1	\ а /
§ 16. Характеристические функции
16.1. Е (и) = q -\-peittt где # = 1 —р. 16.2. Е (и) = JJ (qk^Pkeiu\
fe = i
где Pk + Qk = 1 • 16.3. Е (и) = (q + pS“)n; М [X] = пр\ D [X] = npq.
16.4. £(«)=! + а(1^?и); M[X] = a;D[Xl = a(14-e). 16.5.£(а)=
= exp {a (e‘“ — 1)}; M [X] = D [A] = a. 16.6. 5(u) = exp (faje—
I	piub__\iua
16.7. E(u)~-.----г-; mk = k\ 16.8. £(ц) = ^——~;	mk =
v '	1 — tu ’ R	v iti (b — a) 9	R
bk + i^.ak+i
“ (^+l)(^~fl) ’
16.9. E (u) = 1 + iv Yk W (v), где v = -^- и W (») =
— г>2
1
e
— табличная функция, называемая интег-
ралом вероятности от комплексного аргумента [58]. Представить
характеристическую функцию в виде Е (и) = — iH' (v)t где //(v) =
оо
=\ е 2 dz. Интегрированием по частям функции H'(v) получить
уравнение Н' (v) + vH (v) = it из которого следует, что H(v) =

552
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
16.10. Е (и)
ГХ; Wfe M* + l)-a + *-l)
а*
16.11.	Е (u)~^^eiaucos?d<? = J0(au). Перейти к полярным
координатам и воспользоваться одним из интегральных представ-
лений функции Бесселя [70].
16.12.	Е (и) = exp {icu — а | и |}. Путем замены переменных при-
оо
а С eixu
водится к виду Е(и)—е1Си-~ \ — dx. Входящий в формулу
интеграл вычисляется с помощью " теории вычетов, для чего
необходимо рассмотреть интеграл по замкнутому контуру
а £ е'га п
— (J д2 dz. При положительных и интегрирование осущест-
вляется по замкнутой диаметром полуокружности в верхней полу-
плоскости, при отрицательных и — по такому же контуру в ниж-
ней полуплоскости.
Г	/I2	1
16.13.	а) Еу (и) = exp Uu (b + аХ)-я2а2>;
б)Ех(и) = е 2 .
16.14.	Hft=a‘*(2*-l)!l; (чл+1 = 0:
16.15.	/(у) = я (д8^|_Л.») (закон Коши).
. f е~х при	( 0 при х>0,
1 0 при х с 0, J I ех при х 0.
Решать с помощью теории вычетов, рассматривая в отдель-
ности случаи положительных и отрицательных значений х.
16.17. Р (Х= k)==2~k, где Л=1, 2, 3, ... Разложить характе-
ристическую функцию в ряд по степеням у**" и воспользоваться
аналитическим представлением дельта-функции, приведенным во
введении к § И,
§ 17. Вычисление полной вероятности и условной плотности
вероятности после опыта для гипотез, являющихся
возможными значениями непрерывных случайных величин
b f	о \
17.1. р = 7-7д-й“\ (iHtg-Ty-— lntg-ту-). 17.2. Обозначая диа-
И02—®1) \	2 ь 2 /
Г,	,	D(2l-D)
метр круга D и интервал между точками I, получим р—-------- —
= 0,4375.	17.3.	/> = 0,15.	17.4. ' /> =±-LГ1 — Ф /
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
553
е /-р’-гг	-рг-(--£Г)г 1 , х Га4/х\1
^0,67. 17.5. В обоих случаях один и тот же результат =ра =0,4.
— I
0° p"tw *	1
17.7.	F(») = «	J /(x)dxl dy. 17.8.
—00	Д у	J
00
<==0,712.	17.9.	p{ = —£i—, где r/= ft (x)_ fp (x — x0) dx.
. “°0
17.10. f(a | m0) = -2fgr°X1 e-4
\ma + O’
Глава III
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 18. Законы распределения и числовые характеристики
систем случайных величин
( 1
18.1.	/(х, у) = < (b—a)(d-c)
I О
F{x, y) = Fl(x')Fi(y), где
при a^x^b9 c^y^d,
вне прямоугольника;
Г 1 , при х Ь,
Ft(x) = j ь^-а ПрИ a^x^b’ Р»(У)==
(	0 при х^а;
1 при y^d,
при c^y/^d,
при у^с.
18.2.	а) А — 20; б) F(x, у) — Ц- arctg 4 + arcts4+^ •
\ 7U	£ j \Т\/	О
18.3.	/ (x, yt z) = аЬсе~{ах+ьУ*сг}. 18.4. Треугольник с координатами
/ 1 , abc л 3	/л 1 i а^с Л л 1 т а^с\
вершин: — In--т—, 0, 0 ;	0, —In—т—, 0 ;	О, 0, — In—7— .
F	/о ’	/\А b /о ’ J \ с
18.5.	a) F(i,/) = P(X</, У< '	—	...	.	.. х.
чения F(i,/) см. в таблице 123.
б)	1 -Р(Х^6, У:
М[ У] = 0,504; |]^|| =
1на-
1 —0,887 = 0,113; в) М [X] = 1,947;
2,610 0,561 I
0,561 0,548 |
18.6.	F(xx, ха, ..., хл) =
У — с
d — c
О
554 I
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таблица 123
Л-1	0	1	2	3	4	5	6
0	0,202	0,376	0,489	0,551	0,600	0,623	0,627
1	0,202	0,475	0,652	0,754	0,834	, 0,877	0,887
2	0,202	0.475	0,683	ОЗЮ	0,908	0,964	0,982
3	0^02	0,475	0,683	0,811	0,911	0,971	1,000
П	П Xi
=ip,(x,)=n $Л<ы«Е,.	I».!. 8=^;;”;,.,,.
1 = 1	1=1 — 00
18.8.	Р — f (н, vf w):[f(u, v, w) + f (u, w, v) +/(v, a, w) -f-
+ / (z>, w, u)+/(w, a, v) 4~f (w,	«)]• 18.9. P = F(a1, b3) —
-F(aM + F(a2, bt) — F(a2, bs) + F(zz3, d4) — F(aSl b2) + F(aif d2) —
— F (a4, *4) + F (аъ, b6) - F (a5, bt). 18.10. P = a~* - a~* - a'* + a'12-
18.11.
-y-r-	при 0=c7?s^+,
Aab
P2
— 23+ sin 23)	при b^P^a,
pi	______
(rc — 2a — 23 + sin 2a + sin 23) при a P a2 + b\
I 1	при J?^jAz2+&2.
При этом a=arccos-^-t fi = arccos 4r. 18.12. a) c=^ —;
P'	P	r.P3
За2 Л 2a \ 1O 1Q 4
6^ F —-^зД1 ~. 18’13* «) rxy —
n
m
при
при
n
m
6) -2*-=s|-~|. 18.14. Рассмотреть математические ожидания ква-
дратов выражений (X — ^) + ^(K—у)и<зу(Х—Х)—<JX(F—$)•
18.15. Воспользоваться соотношением ^ху = М[ХУ] — ху.
1 —0,5	0,5
18.16.	|| rt71|= —0,5	1 —0,5
0,5 —0,5	1
18.17.	а) М [XI = а+ 7 = 0,5; б) М [ Г] = а + 3 = 0,45,
D [X] = (а + 7) (3 + 8) = 0,25; D [ Г] = (а + 3) (7 + Ь) = 0,2475;
kxv = М [XK] - М [X] М [Г] = а — (а + 7) (а +3) =0,175.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
555
18.18.	М[Х] = М[И = О; ||fey|( =
18.19. f(x,y) =
^совхаяу, М[Х] = М[У] = 4-1; ИМ= \ о •
ls.20., = 2L[i-/i-^. + AmcOB^]. iM1. р = ^х
X [2 (а + Ъ) — /]. Указание. Воспользоваться формулой
Р (Д + В) = Р (Д) + Р (В) — Р (ДВ), где событие А — пересечение
иглой стороны а, событие В — пересечение стороны Ь.
§	19. Закон нормального распределения на плоскости
и в пространстве. Многомерное нормальное распределение
19.1.
2 Г (*-26)» (х-26)(.у+12) , (v+Wl
19.2.	/(x,j) = —[— г з L 196 +	182	+ 1бэ |.
182к /3
и о,132 —0,026 II
19.3.	а) е = 1,39; «> III = | _ода)	одю|1 .)3„ = 0,1в2.
,м-2)=й/г=<1'№“- ,м-* *>=х
v --230 (W36v«+26 19.6. а) ^71 =	г2—44xy-}“36xz—38уг)	1 ’ /шаХ-2я/ 2—1	0	0	0	...	0 —12—100 ... 0 0—1	2—1	0	...	0 0	0—1	2—1	...	0 0	0	0	—1	2	...	0	= = 0,00595. 230л »
	0	0	0	0	0 ... 1	
			
б) /(X!	Х„)=	—		f = 1 п		, где х0 = 0.
	10	|« о о	
19.7. 0	|| =	0 10 0 2 2 0 10 0		f
	0	2 0 10	
556
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
f(x v х „а- 1 е~ (*?+^+^+4)+4 (x‘"‘+v*^
/(Xi, Л. хъ Л) —-З84^ге
19.8.	Р(Л)=1-е 2.	19.9. Р (ft) = Ф (Л) е р'*’.
V те
р*₽*
-f*4r f f^dyi\
19.10.	Р(А>) = е е \ /0(—g----1 е~{ dt, где /0(х)—функ-
ция Бесселя мнимого аргумента. 19.11. a) Р(Х<У)=~;
б) Р(Х<0, У>0) = 1. 19.12. р=1|$	4
X [ф	= °-0335- 19лз- а) Р«ру =1 - г’р1
= 0,2035; б) Ркв = р
X ф^-Е^-^ 0,1411.
( -?•
19.15. P=-^-V
/ тЛтс \12
=0’2030; в> рпРям
( -₽2
19.14. Р = 0,5^1 —е
₽? Rl\
£r_fр’	.
= Ф
£*)
IV 0,1те \
\ 2 )
X
X
' 19.16. A=4dk; ^=Еху 1+-^-; ₽ = Егр/1+-^Е
19.17.	Р— Ф 4 (j) <Ф Ф , так как а>Ех, ^>Ег.
19.18.	Рвып = 1-9з—392 (1-9) - Зд[(/>в+Рз)2 + 2/>гр4]-р^=0,379,
Ротл=Р! + 3^(Рз+Р4)+Зр1р8 = 0,007, где рг — 0,196, р3 — 0,198,
р4 = 0,148, />s = 0,055,	9 = 0,403.	19.19. Р =-^-[ ф (Л) ]2-
19.20.	Р = Ф (А1) _ e~f' Гф (-^-УГ.
\Е 1 EV™ L \ 2Е /J
I - » —
19.21.	а) Р = 0,5 И—г ₽ ^’Дф (---——+ Ф (--------^1
L \(т + п)в) \(т + п) в 11
!	, я2\
б)Р = ^(1-Г’ «).
19.22.	Р = 0,ф(-')- >Е	+ И
L \«/	У h2E2 4- R2a2	\ Еа j J
19.23.	25 (хх — 10)2	36 (Х1 _ Ю) (х2 — 10) + 36 (х2 - 10)2	7484>б.
19.24.	16 (хх — 2)2 + 5x1 + 16 (х8 + 2)2 + 8 (хх - 2) (х3 + 2) = 805,1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
557
п	.	*
19.25.	2	— *‘_1)2 = ”lfe’[5----Задача не имеет
i — 1
решений при п>12.
§	20. Законы распределения подсистем непрерывных
случайных величин и условные законы распределения
20.1.
/ (х, у, Z)
-----__J__-------- При а^х^а^Ь^у^Ь*
(а2 — aj) (Z>2 — b£) (с2 >—С1)	сх sg z с2.
0‘	вне параллелепипеда;

Ъ^У^Ь*
О	вне
прямоугольника;
При С1 Z с2,
/(*) =
вне интервала,
независимы.
Случайные величины X,
У, Z
21//?2__х2
20.2. При	|>|<Я fx(x)=	/у(У) =
2 у У?»-уг
~~ kR*
Fy (,У)=4"[агС
так как f(x, у)=£/х(х)/у(у).
_ . ,	1	• х . х 1Г,	ха I . 1
Р* я [агс sln р + R J/	pt J + 2 »
V V i /" v2 1	1
sin-^5-+-75-1/ 1----^3- + -к-; X и У зависимы,
20.3. f{y\x) =
2 /Л2 - х8
при I X | < Л,
Ь (у) — дельта-функция.
Ь (у) при I х I = /?,
20.4. ||Л17|| =
X и Y не коррёлированы.
(1
—г внутри квадрата,
а2
О вне квадрата. Внутри
a}/2~ — 21x1 t х а/2 —2|у|	.
6) /ж^) = — д2 —L,/yW=---------------- =' В)
квадрата:
1	1	а2
^W = D«=TT.
558
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
£™ = 0; д) случайные величины X и У зависимы, но не коррели-
у	3f/?2___z2}
рованы. 20.6. Л(*)=—*-4^3—~	при l*l<# f(x> У I *) =
—'	п₽и И<Я- 20.7. й = 4; Д (х) = 2хг-** (х=э0);
/у(У) = Ъе~У‘ CrSsO); f(x\y)=fx(x);	f(y\x)=fy(y);
М[Х] = М[У]=У^-,	D[X]=D[/] = 1 J-;	kxy = 0.
20.8. M[X] = f M[X|jr]/,,(>)rfy D [X] = f D[X|_y]/>(.wrfy4-
+ J {X-M lX\y]}afy(y)dy- 20-9. Так как M [X] = 5, М[Г]=—2,
—OO
ax = ®, e> = 2a, г = — 0,8, то: a) M [X |_y] = 5—	(y + 2) = 4,2 —'
— 0,4^, M [У| x] = — 2— 0,8-2 (x— 5) = 6— l,6x, cXiy — 0,6a,
(x —5)2	(.V 4-2)2
, n	v 1	2<j2	. z 4	1	8a2
в ж = 1,2а, 6) fx(x) = —=e	,f (y)= e
G У ZTC	ZG У ZTC
_ (x4-O,4_y —4,2)2
B) f(x\y)=	1 e °'72’2	,	f(y\x) =
0,6g у 2tc
( v4-l,6x-6)2
-1	2,88a2
=-------
1,2g /2tc
r-_(e r-_(
20.10.	A(X) = Ду уe ' ic} ;fy(y) = Ay^e ' ia) .
Для независимости X и У необходимо, чтобы было
_____ ь2 (х^ _ Ьху у2 \
yac4\cb~i~a)1^	1. Л
-—— е	4	' = 1. Это условие выполняется при д = 0.
nA
При этом Д=^^. 20.11. & =3; ^xv = —A; /(xlj)==
ТС	ТС 1 J	lo 1
= 2 е-(2х+1,5^. f(y । х} = 3 е~+ЗЛ2.
у тс	У Тс
_ (х-125)2
20.12.	а) Д (х) == —L= е	3200 ; б) fy (у)
40 у '2 тс
(х- 149)2
>	: г) ™|25>=2iKS
20.13.	М [X | .у 1 = 0,8у + 149; М [ Y | х] = 0,45х — 86,25.
20.U.	f(r)•"2^; Г = М (Я) = -^=.
а*у2п	у 2тс
(^4-30)2
1	1800 .
	7=е	>
30 /2тс
(^4-75)2
1------------1152
е	.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
559
onus s	г 4 (<й+*s) Гг’ / 1	1 \1
20.15.	fr (Г) = ^е	— ^Jj> ГДе Jo(x)~
функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента; Д (<р) ==
[Л , /cos2 <р . sin2 ф\1-1	т
2каЬ\—---------£ё-Ч .
V я2 Z>2 J J
r2 /COS2 Ср sin2 <p \
20J6./(,,,) = r
/(?|r) =
20.17. a) fir,
cos2 fl sin2 <p , sin2 fl'
b2
0
3
ft „) =	exp Г- ~ fcos88cos»?
’	(2л)3/з e£c 4 2 k «2
//- r2 sin fl Г r2 /sin2 fl
; 6) f(r, =	 exp — v
У 2к abc L 2. \ c
r* cos2 fl / 1	1 \1
4 v? ~ p;J’
„ sin fl /cos2 fl cos2 <p . cos2 fl sin2 <p
f ?)4^ \	1 P
2r2 { cos2 fl cos2 <p j cos2 fl sin2 <p
/2^ k
r2 [ cos2 fl COS2 <p
2Д ?	1	¥
r*	/1	1
— COS2 fl COS 2<p [ —2 — -Vo
4	T \a2	b2)\
Гг2 cos2 A / 1	1 \1
’[ 4 U1	Z>2/]
В) /(r|fl, л)
X exp
exp
e2 1 F
cos2 fl sin2 ? , sin2 fl\
c2 /
з
sin2 fl \ 2
""ё2 j
2018 / (x x)- 1 /^<6X>-2V«+5^
20.18. fXi, Xi (xt, xt) -
1 ^+>1
Ar У1 (xi> У1)=207e	20 •
/(? I r, &) =
5	96 [xl (-^22)21
20.19.	/(x2, Л|0; 10)=^-e 961	; M[Xf|0;10]=0;
М[П|0; 10] = 2;	D[Xs|0; 10] = D [ Ks 10; 10] = 9,6.
20.20*	. Нормальный закон распределения с математическим
л—1
ожиданием х = Хл4--д	ixj—Xj)ksnAjs и дисперсией а3х — <ггхп—
J.s^l
560
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
я—1	z
— -д 2 kjnksnAjS'T№ Д—определитель, составленный из элементов
Л s=i
корреляционной матрицы подсистемы случайных величин (Хи Х2, ...
...» Хл_2> ^л-i)» a Aj$ — алгебраические дополнения этого опре-
делителя.
Глава IV
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 21. Числовые характеристики функций случайных величин
21.1. —. 21.2. к 4.	21.3. М [Gl = 4,1 Г, D[G]=0,08rs.
ТС	2
I h f Z2 \	40
21.4.	M[?] = arctgy —21.5. см. 21.6. М[Г] = 1.
д2
21.7.	1,15 м. 21.8.	21.9. (n-2)pq* (при «=s3). 21.10. М [Л] =
= DU?] = ^(1-4L 21.11.	21.12. А 21.13. Х<Ь.
2р ’	р2 \	4 ]	1отс	2тс
JL	Г Z п\т1
21.14.	УЛ. 21.15. п 1- 1— <)	.	21.16. п [1 -(1 -р)т]*.
*=1	' n/J
21.17.	1=Г[1-Г»(1<’>]; S = *r[l -2е-<^-‘ l^e-ati-e *1)].
т
21.18.	n [1 - (1 -	(« ~ *)[* “ 0 -7Г=ГйПР« <*>>
Л=0
где Р™ (k) — вероятность того, что после первой серии циклов
будут повреждены хотя бы один раз ровно k блоков;
•	k
/=0
21.19.	a) mp4- 2 {(т-2*)/> + И1-(1-/>)’]}₽?(*)+
*=о
+ Р™ (5) [3 - (1 - р)! - 2 (1 - р)’] + 2Р^ (6) [1 - (1 -р)‘1 4-
+ Рп (7) [1 - (1 - Р)81. где (k) = Скарк (1 -р)л~* для п =
= т = 8;	6) 2тр для п>2т. 21.20. In+
'	•	ПЛ	/7	1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
581
1п	21.2L ‘2lni±vS£+
+ “^?!/гг+»,+-|‘4.	21-22. 2 и	2р»<1-р,.>.
°	Л=1	k=\
I Is
21.23.	0,316 г. 21.24. -•	21.25. NJ [Z] = 5а; D [Z] = 100а» +
о Lo
Е	Е% /1 г\
+ 225*’ - 150а*.	21.26. М[Г] = —£=•:	0[Г] = -^ ±---------L).
р У TZ	Р
21.27. М[Г] = е~х(|~cosft’cos(Xsin*); D[F] =	4. e--»(l-cos2&» *
X cos(X sin2*)]—у8. 21.28. a) 26,7 ж’; б) 22,0 ж8; в) 10 ж8.
21.29.	М [Z] = 2а	/7; D [Z] = а8 (з -1) + £ (4 - к).
21.30.	M[Z]=5(/3 -1); D[Z] = 7600. 21.31. rxv = ,	------,
v И (2n- 1)1!
если n нечетное; r^==0, если n — четное. 21.32. M[Z]^=0;
2л f 1	4\	/	P2\
D[Z] = 2A8a8. 21.33. - a8 (4- —4). 21.34. r = a(l+4 ;
11	к ’	\ 2	к2 J	X ’ 2 J ’
a2e2 f ei\
D [/?] = ~2~ U — ~2 } (r^e e эксцентриситет).
12a2
21.35*. a) D[KX]=	=ag; 6) D [ VJ = «5 (1 - D,
ll 6 \ It ' 1J
0	1; в) D [ZJ — a§ |j 4~ 2r ^1 —	, при n>2—
el;r> O[ly =.;{> + л(д,_1)2(е_„_1).[_3(„_1>.<-..1.«1 +
+ 6 (n8 — 1) e-" ,n+” — 3 (n + I)8 e~" ,n+1> — n (пг — 1) e~iax 4-
4- 3 (n8 — 1) (n — 1) e-3ax — 3 (л8 — 2n8 — и — 2) e~8«x4- («’ —. 1) X
X (n —3) e”ax|}.
21.36*. D„[XC]
_2a8 (2/1— 1)
n(«4-i)
2 Г «4-1 „
(2/i — 1) (n—l)L«(rt—1)
0+
X Sn/(2«4-l-30(2//4-l-3/)4-9«! S Гу(2(-Л-1)(2У-«- 1)4-
n
+2ri/ (2n+1 ~30 (2y ~ n~ Ч} •
oo
21.37*. 2 = M[Z]= J xfx(x)[\ -Fy(x)}dx +
— oo
562
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
оо	со
+ 5 yfy (У) [1 - Fx Су)] dy, D [Z] = j х’Д (X) [1 - Fy (х)] dx
+ $ fyW-FM-*-
21.38*. D[&] = aJ
0,45a3.
§ 22. Законы распределения функций случайных величин
22.1.
22.2./у(у)=Д(еУ)еУ.
22.3.
22.4.
Л(*) =
1 ________.
—.........е 2аст2 при z > 0,
а у 2naz
0	при	z	0.
22.5.
/у(з0 =
при у^О,
при у < 0.
/у(У) =
X	1	2
---- при -н- у — arctg е,
п пу	г 2	и	ь
О V	1	2	.
0 при у < -к- или у > — arctg е.
Z	77
22.6.
/00 =
----при 0 < v а\
3av8
0 при или »>а8.
22.7. Д(х) =
22.8.
г ЛЛ —J 1/^ ~ J при	(закон распределения
у \У) — \ 71 г а jt	синуса).
I 0 при | у 1 а
арк-
г ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
22.9.	а) /У(у)~—=-----------j; 6) если' о>0, то ’
fy(y> = -		при	УЭ=0.
	я (а+у)Уу		
если а < 0, то	1	0	при	^<0;
	[ —~	при	З’^О,
	1 *(в+.у)Ку		
	1	0	при	у > 0;
О при |j|>y;
г) Л=Г(ПК?) (-“О’<с°)
1^1
оуЛ
22.10.	Для нечетного п fv(y) =—-4-т—-; для четного п
у кп(а*+у21п)
fy (у) —
2ауп
пп^ + у^)
0
при у > 0,
при у^О.
22.11.	a) fy (у) = | у | е~уг (— со <>» < оо);
б) f (v\—f № i при _уЭ=0,
22.12.
fy (У) =
Г (fe 4- 1,5)
/к г (ft 4-1)
COS**+1 у
при
0	при
. .	ТС
I I	ТС
Ы> 2-.
уз	(У~УР
22.13.	a) fy(у) =	б) fy(у) = -±~е	2а> .
у ЛИ	Gy у
22.14.	J
,	) Г 1 при
(О при ,у<0или.у>1.
_ _£i
22.16.	Д (2) = —1= е 2Ч где а> = ^ + «).
564
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
оо	О
22.17.	а) Л(г)= С -^/(х, dx— С у/(х, ~}dx; б)Л(2)==]
«л»	\	«л» у	«л»	\ л у
О	—оо	j
1	1	/ z \
«= тг е~1 г !; в) /г (г) =---Ко --------), где /С, — функция Макдо-'
Z	^хау	\ахау /
1	_ £2	1	___________
нальда; г) /г (г) = -= е 2; д) /г (г) =-----------=- - е°х°г° г2) х
У 2те	™зх<зу у 1 — г2
оо	о
22.18.	a) fz (z) = J yf (zy, у) dy — J yf(zy, y) dy, б) Д (z) =
0	—oo
те
— (1 -l-z2)8’ B) ^(«)— r
ления Стьюдента); r) Д (z) =	, при r = 0
(l-J-z2)	2 (закон распреде-
(закон распределения Коши).
22.19.	a) fr (г) = г ( ,_2—
J У г — х2
[/(х, У г’ -Xs) 4-
2л
+/(х, — }^г2 — х2)] dx = г J / (г cos<р, г sin <р) dtp;
о
| 2rp8 -Р2
б)Д(г) = { Е2 6
О
2г
а2
при г < 0;
в) fr (г) =
при
О при
г) fr(r}~~2 е 2ст2	» гДе /0 (я) — бесселева функция
нулевого порядка от мнимого аргумента;
Г	л_2 2	Г г2 (а* — а2 )]
д> /'('•) = — * х у 1» —Аз2 - ' .	22.20. и =
Gxav	- L	J
= (X — Я) cosa (У —>) sin а; К = — (X — х) sin а -|- (У — у) cos а;
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	5Й5
22.21.	/„(a) =
0
Zp(P> = { “ 2"ln|pl
l о
tg 2а = 2 ;-2 _ < ':	с« = cos а + °у sin’ а + r°x°y Sin 2а; а« =
х у
= sin* а + aj COS* а — Гахау sin 2а (а^ + ’} = о„ + а»),
при I а I 2,
при | а | > 2;	;
при |₽|^1,
при I р I > 1.
/•2(1 — rXJsin2?)
22.22.	/(г, y)=-~lZi-----е 20-гУ . При гху = 0
2’'У1 ~гху
Ф равномерно распределена в йнтервале (0, 2те), а случайная вели-
чина /? подчиняется закону Рэлея.
22.23.	f(s Ю — плотность вероятности закона нормального рас-
£2
пределения с параметрами М [S | tj = s0 + vQt + а у; D [5 | tf] <==
= D [So] + f*D [У»] + D [а] + 2tks^ + t*ks°a + t‘kVaa.
n	л
9fn\l
2[-2]
22.24.	fv (y) = } yn~‘e *>* .
rO"
ция случайной величины Z;., если
Характеристическая функ-
Z = у, равна Ezj (t) =з
= (1 —2^’) 2. Тогда характеристическая функция случайной вели-
п
чины U= 2^} будет Еи {t) = (1 — 2ti) • 2 , а плотность вероят-
/=1
оо	п	п . и
1	(*	"o’	1	"о Iq
ности /(6/) = ^- \е^(1-г2^) 2 dt^=------------------и е 2.
J	'	г \ П
—оо	г [ д । 2 2
Если случайные величины Xj имеют одну и ту же дисперсию
а Ху = 0, то случайная величина Г=-|- j/ * ^ОЭТОМУ
fy (У) =fu [ф (у)] I У (у) I. где ф (у).
22.25.
f(r, ...........т„_,)	- ГП'1 Cos” 3 ?* C0S"~8 ?» • • • cos <tn->
Г3
2а2
е
(2я)2 о»
566
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
22.26.
/ л	я	\
fy (л, л,....^Л) =А 5 °*Л'............. S в«Л') Iд I • А = I аиI •
V=i	/=i	/
2тс
22.27.	f (г,	= г2 cos & J f (г cos S cos ф, r cos $ sin <p, r sin ft) d<?.
о
\1 fx,- W -A'
22.28-	. /,«=
п
fxAz} тгтг
22.29*. f(u) =
22.30*. a) F(y) =
0,
И1+О -
1	, 3->l
(дискретная случайная величина);
ka < у,
б) F(y) =
— kacy^ ka,
y^ — ka
(случайная величина смешанного типа);
в) F(y) =
£ -
2
£ ’
2
1,
I I ф !у 4~
\-]^(y-kx~ka
\ kQX
о,
у > k (b — а),
0 <y^k(b — а),
— k(b — а) су 0,
у С — k (b — а)
(случайная величина смешанного типа).
22.31*. Р = 4	2х, ха+уа)\у\ахау.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
567
§ 23. Характеристические функции систем и функции
случайных величин
23.1. Воспользоваться тем, что для независимых случай-
п
ных величин /(хь х2........х„) = Д/*(хА). 23.2. £г(и) =
k=i
23.3. Ey(u') = etuc П Е (аки).
*
мг=М[И = Ь3.5 ... (2г-1)а^.
23.6. Еу (и) = (1	lu)-*; тг —
Еу (и) = (аи), где J9 (х) =
..Vй’ “..и)-

23.4. Еу (и) = (1 — 2zua2) «; i
piu<a + b) piub
23.5. Ev (и) =  -------:----—
tua
м [rq = (— ir г! 23.7.
2л
= J- \ eix cos — функция
о
со z
порядка; fv (у) = \ Jo (аи) cos иу du — 
23.8.
Ех, у (и» “s) = exp h (XlZj +Jta2) — 4- (a2u8 -|- 2a,
Бесселя первого рода нулевого
1
/1—1
um ~	2
m — i	m—i
n(2/i2+l)„l
6 J"
23.9.	Ех х х и*> ••• > ип) —
12 П
[П	g Л
al 5
m = i
23.10.	Еу(и) = exp pzz —
23.11.	М [(Xf - а8) (XI - о2)] = 2Д22-
23.12.	a) M[X2X|Xf] = 8*13ft13fe23 + 2a2(*22-|-fe|3 + fe23)-|-a«;
б) М [(X? - а2) (XI - а2) (Х38 - а2)] = 8*12fe13fe25.
23.13.	М[Х1Х2Х3]=0.
23.14.	М [ХЛХЛ] = *12fe34 + *I3fe24 +
23.15.	Для доказательства воспользоваться разложением харак-
теристической функции
п п
Ext. Xs, ..., Хп (ui> и*..“л) — ехр — у 2 femZ«m“Z
в бесконечный ряд по степеням ult и2, .ип.
23.16.	Для доказательства воспользоваться свойством характе-
ристической функции Е п (u) = E(ult ...» ип)1а = = и где
Е xi	1 *” п
£ (нь ип) — характеристическая функция системы, и формулой
568
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
для характеристической функции системы нормальных случайный
величин.
23.17.
Е (ult иа) = (p,eiUlSl +	(а/ (“*+“2) 51 + Яге' (“*+“2) S1)N1 х|
X (Рзе1^+“^ +ы^+»*5*)К1(р^ +^г“252)ЛГ‘|
= 251<52Х^2Рз^Й 4“ Л^зРз^з).	I
j
§ 24. Композиция законов распределения	]
24.1.	
/,(«)=•	0 z -— 2a 2b — z (b-aY 0
24.2. Д (z) = 0	при
*+5> +* + »-*. при
4ab	г
i	"Р”
при z 2а,
при 2a^z^a-]-bt
при a + b z 2b,
при z 2Ь.
z^X-^У + ^ + Ь,
я 4* У 4~	х “И у + a 4~
х 4~ у 4-	%х 4~ У 4“
g-+———Zi_£ при х 4-.у — а — г J 4“^ 4“ Л ~
О	при z^X-\-y — a — b.
При я = 2 = 0 /,,(£) = ( | а 4- £4-г |4-|а4-£ —z| — |а — Z»4-z| —
— \a — b — z\).
24.3. Д(г)
1 \~lz — a~ x\ ^/z — b — x\l
— ------- ф l------) — ф ------ I
2(*-<0L \ J k Jr
1 e 2 di.
24.4.
0
(z — За)2 *
2 (b — a)8
fz(?} —
(Z _ 3a)2 - 3 [z - (b 4- 2a)]2
2 (b - a)8
(3b - z)2
2 (b - a)8
0
при	г^За,
при	За z 2а 4- bt
при	2a 4- b z a 4- 2^,
при	a 4- 2b z 3£,
при	z^3b.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
569
24.5.	Композиция закона нормального распределения с зако-
ном равной вероятности имеет плотность вероятности (z) =
1Гд/2-2х + /\	^/2 —2Х —Z\1	w
4/ I \ Е ] Ф \ ~Ё / ‘ уРавняв математиче-
ское ожидание и дисперсию для fz(z) и для плотности вероятно-
стей закона нормального распределения fz(z), получим: /'(z) =
1	9«2	/^F2 Z2
’ где 2=2* ’*= V ^+-з • Если х=°>
то относительная ошибка такой замены в точке z = 0 равна
до/о=^1/	100% (табл. 124).
Tz \и/
Таблица 124
/	E	2E	3£	4£
А’/о	—0,30	—3,02	—9,70	—17,10
24.6.	/г(г) = 1—^5, где с — а-\-Ь, 1 = (для
решения использовать характеристические функции случайных ве-
2 z
личин X и У). 24.7. Д (*) = 4	.
7	J z 4 ’ тс2 sh z
z /	_ _£\
е 3 \1 — е 6/ при z^O,
0	при z < 0.
(Х?Ц 4-^22) Г2	2
24.9.	/г (г) = ~ е *	!„	+ 4й|, ], где
; kn —
Ik k
11	12
^21	^22
= 2р И + al + (Ч - sin4 a]; ftas = ± [ft4 + bf + (al - bl) sin* а];
^12 = 4p^ — b*) 2a = ^21*
24.12.	MU]=1 +— — 2;D [X] = — (1— 1) + -f— - 1);
Pi Р»	Pi \Pi 1 Pi\Pi J
Fn (x) =	tt1 -P^P^ t1 -0 -PiH -U -pjpi и -О
Pi —Pl
24.13.	Требуемый запас прочности 0,341$P
570
ОТЙЕТЫ И РЕШЕНИЯ
L
мм- ” р = Гс $ [‘ -*(-тгШ‘ + *44^)]
6)₽4д5-<^ф(^)+Аф(4)-^[И^_
. 24.16. /Дг)
о
1 Г А / X . -- Хо \~
24.15.	р/% >ХВ) = - 14-Ф ^4=J=|
1 л в) 2[_ т +
= /Г'Hi *~Ч 24J7- ^(г) = —Ц-[в(1-&)(1-а")-*(1-в)х
yffk - 1 fl	cz — и
X (1 -£л)]. 24.18. См. таблицу 125.
Таблица 125
Zi	0	1	2	3	4
	1	11	1	1	1
P(Z = zi)	6	24	4	24	12
Г2л)т
24.19.	Р (Z = т) =  -j- е~*а. 24.20. Случайная величина Y
имеет биномиальное распределение. 24.21’. Fz (n) = Р (Z < п) =
п	_
/1 C3V2 п 1	(1+«г2)*
= 1	(» = 1, 2,...). 24.22*. f (х) = (1+"е) е ~Т~ .
2* Г
§ 25. Линеаризация функций случайных величин
25.1.	Eq^ 9100 кал.	(
25.2.	D [Q]
^РатГРт 2®р®/Гр/	2<тта/Гт/‘1’
16ml Wp) \т/ \Z / pm pl ini J
25.5.	Е 66,66 м\ Еу 38,60 м. 25.6. Е^ % 0,52 м/сек. 25.7. Для
принятых условий функция Vi =—Vcostf не может быть линеа-
ризована. 25.8. <зх 5^24,37 м\ а у 14,95 м\ <*2=^ 25.9. ах = а у 8,66 м\
а, «10 м. 25.10. a„«-4L ао. 25.11. Eh = 43 м. 25.12. az=10'«.
25.13.	Eh^ 12,98 м.
25.14.	Срединное отклонение ошибок определения дальности
по формуле с использованием данный радиолокационной станции
22,85 м.
25.15.	y«?(X)+-l?'(x)D[X]; D [ Г]«[?'(*)F D [X] +
1	ab [ а2 \
+ у [< (*)12D2 [X].	25.16. М[$]^у sin ?;
a2b2 Г	a4 /	\	5
D [Л> ]	-j- <j2 cos2 7 + yl 1 — 3 cos2 7 j + a* cos2 7
/-g2
Ь 1/ sin2 a -|- £2 COS2 a
25.17	. Ex =-----^—======-------
V d2 - b2 Sin2 a
25.18	. а) При удержании двух первых членов разложения в ряд-
Тейлора функции К= v будем иметь J «а — 0,2; D 0,16; б) при
zl
удержании трех первых членов разложения в ряд Тейлора функ-
ции F=X будем иметь уя&—1,00; D [F]1,44.
ZV
25.19	. а) По точным формулам v = (Зо® ?*2); D[V] =
s= ГА ое _|_ I2r2a4 -j- 3r4<i2l; б) по формулам метода линеаризации
о L	J
О
25.20	. а) При измерении высоты конуса D [V] 4ъ*дм*; б) при
измерении длины образующей D [ V]	3,57к2 дм9.
4n2L т/“"4	Ej
25.21	. 19,9 мг. 25.22.	|/ — ^Е2 + 2Е$) +	=
= 4,58 см1сек\ 25.23. D [Z]«.
1	УО (1 + Л)
X = arc sin — sin a
\ 3
572
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 26.	Композиция двумерных и трехмерных нормальных
законов распределения с использованием понятия
векториальных отклонений
26.1.	Нормальный закон распределения с главными полуосями-
единичного эллипса а = 48,4 м, Z>=12,4 лс, наклоненными к век-
ториальному отклонению ct под углами а=19°40' и 109’40'.
26.2.	При 7 = 0 — вырожденный нормальный закон (векториаль-
ное отклонение) -|- с:
распределения
50 м\ при 7 = 90° — нормальный закон
с главными полуосями единичного эллипса а = сх =
= 30 м, b = с2 = 40 м, совпадающими с
направлениями векториальных отклонений.
26.3. Главные полуоси а =1,2 м,
£> = 1,1 м наклонены к оси абсцисс под
углами 33° и 123°.
26.4. Главные полуоси а = £>=100 м,
т. е. суммарное рассеивание круговое.
• 26.5. а = 30,8 м, Ь== 26,0 м, а = 18’15'.
26.6. а) а = £> = 25 j/~5 м; б) а== 68,9 м,
£> = 38,8 м, а = 15°.
26.7.	Из системы уравнений для опре-
деления сопряженных полудиаметров тип:
т2 4- п2 = а2 4- £>2; тп =	, находим т=
= 20 м, п=15.миР=ф(—Ф f=
\ т J \ п j
= 0,566.	_
26.8.	| т ]=73,2 м, | п |=68,1 м, е=74’2Г.
26.9.	а) /(х, у) = 1,17 • 10"5 ехр {—7,06.10"2 (0,295х2 — 0,670ху +
+ 1,31у2)}; б) а =126,5 м, £> = 53,8 м, а =12’10'.
26.10.	а = 880 м, £ = 257 м, а = 39’12'.
26.11.	Закон распределения определяется двумя векториальными
БЕ^ sin р2
ошибками (рис. 42):	^ = 661 =—• 2тб—i о. Г" > «2±=СС2 =
sm (Pi -f- р2^
БЕь sin Pt
=	а1 = *-₽2, a2 = ?n вследствие чего
sm2(Pi + p2)
k“ = 2pa sin4 (^+M (sin2 COsS + Sin2 COS8
Б2Е2
feaa = 2Pasin4(^^+M(siП>^ + SiП,^'
Рис. 42.
= 2p*sin4k + KT(Sin’ C°S Pl " Sta’C°S
sin2 sin 2pt — sin2 p2 sin 2p2
g a sin2 pi cos 2^ -j- sin2 p2 cos 2p2
26.12.	a = 18,0 km,	km, a = 85’36'.
I
573
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
26.13.	К векториальным ошибкам ак и прибавляется
х **	КЕ* sin2 р2 4- El cos2
векториальная ошибка а9: as =----------*—~
sm (Pt 4- Ра)
а3 = р0, что дает в точке С единичный эллипс ошибок с главными
полуосями я = 41,2 лс, #=19,7 м, образующими с направлением
базы углы 74°20' и 164’20'.
26.14.	Ь\ = 2,1 м1сек, £^ = 0,042 рад.
26.15.	а= 156 л/, # = 139 м\ главная полуось направлена вдоль
курса судна.
26.16.	а = 64,0 м, Ь = с = 78,1 м\ полуось а направлена вдоль
курса судна.
еще
при
(*-45)2	(^—15)2 U 4-75)2
26.17. / (х, у, z) =------60	32	72
v	120 (2к)8^
26.18. Уравнение единичного суммарного эллипсоида
(х —30)2 , у* , г2 ,
1125	64
26.19.
2100
7421
—2568
—7597
—2568 —7597
8406 „
2322
26.20. р = —1,47 -107;
= —622;	= — 3484;
= zt 0,6179; cos (а, у)
^ = —8,9*108;
а — 89,3; b
+ 0,3528; cos (я, z)
2322 .
9672 II
<? = 65’45'; м1=4106;
57,0; с =19,3; cos (а, х) =
+ 0,7025.
26.21. Если выбрать (рис. 43) за ось Ох направление ВЛГ2,
а за ось Оу — перпендикулярное направление, то с помощью метода
D.Ed
линеаризации находим три векториальные ошибки: =-----------
Vdi-h^'
574
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
DJEn	_______
at=a;	а* = 0;	=	a3 = 90е.
Отсюда находим:
. _ £Ь /О? COS’a DI \
А“ ~ 2Р3 \ DI — //* * DI — На / ’
E*d Df sin a COS a
Л,3 = _2Р" D?-H‘ ’
Eh Г DI sin2 a El
26.22.	Векториальные ошибки a2 и a3 остаются по величине
и направлению такими же, как и в предыдущей задаче. Величина
векториальной ошибки at из-за ошибки в дальности DL и ее напра-
вление 04= LK^K^B” определяются по формулам (рис. 44):
at — ЛГ2/<2 = Es X.COS е, sin ax = sin a,
где
2£)l sin e tg e cos a
УDI — DI Sin2 e
D\ sin2 e tg2 e
£)|-D?sin2e *
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава V
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
§ 27.	Энтропия случайных событий и величин
27.1. Так как Я» —Я, = 1,41g 2--------------±----0,21g3 =
= — 0,073 дес. ед. < 0, то для первой урны исход опыта более опре-
деленный. 27.7. р =	.
Г*	Г Т	.	7t	I •»	I . /1	1
27.3. Я. =------7^- 1g --7=---( 1 ----—' 1g I 1-----— I =
3 /3	3 /3	\	3 /3	\ з /з_/
ЛОП, u	з/з, з/з	/,	з/И, Л	з/зД
= 0,297 дес. ед., Н2 =---А— 1g —л---1----~— 1g 1--------$— =
4п & 471	\	471 / & \ 4тс /
= 0,295 дес. ед., т. е. неопределенность практически одинакова.
27.4, а) Н = — cos8 ~ loga cos8 — sin8 ~ loga sin8 ; б) п = 4.
27.5. Так как Р (Х = k) =р (1 — р)*"1, то Н[Х] =
= —0—Р) l°ga О—/О,. q уменьшением р от 1 гдо 0
энтропия монотонно возрастает от 0 до со.
27.6. a) H[X]^-n[p\^ap + (\-p)\oga(\-p)]^
-2 ^pm(\ -p)n-m\ogaC^ б) Н [X] = 1,5loga2.
nt=l
27.7.	a) logo (d — с); б) log0 [оЛ /2ад]; в) logo .
27.8.	Я [X] = log0 (0,5/Г). 27.9. Я [X | у] = Ну [X] =
= logo Gx /2w (1 - г2)), Я [ Y | x] = Hx [ И = logo (»> /2w (1 - Г2))
где <3X и Sy — средние квадратические отклонения, г — коэффициент
корреляции между X и У.
27.10.	Я [Хь X,.Хя] =
«>	« j	~2[k\ljaijxixJ	j
= S Ч жтг l} \^laiiXiXi^e+
—ОО —ОО	L f» j
+ !ogo /(^)n | A | j dxt... dxn = logo У (2^е)я | Л |,
где I k ] — определитель корреляционной матрицы.
27.11.	Нх[У] = Н[У]-Н[Х] + Ну[Х].
27.12.	Закон равномерного распределения:
{-т—J— при
Ь—а
О при х < а, х > Ъ.
576
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
27.13.	Закон экспоненциального распределения:
/(*) =
М[Х] ехр[
о
X 1
M[X]J
при х О,
при х < 0.
х*
27.14.	f(x) = —2=re 2m*.
V 2*mt
27.15.	Нормальный закон:
f(xu хг,хп) —
- изд-in “р [-w2-м<»-м।
27.16.	Ри = -^-,	=	27.17. 1о& 1050 и 1о&,30.
27.18.	H[Ylt Ya.... У„]-/7[Х1( Xt, X„] =
oo oo
= $  § <x*’ Xt'  ’Xn) loge 11 Idxl  dxn> 'где
—oo	—oo
? ^&x}— определитель Остроградского — Якоби для преобразова-
ния "от (Уь Г2> ...» Yn) к (Xlt Xit Хп). 27.19. а) Логарифм
абсолютного значения определителя | akj |; б) 1,85 дес. ед.
§ 28.	Количество информации
28.1.	а) 5 дв. ед.; б) 5 дв» ед., в) 3 дв. ед.
" 28.2. Для числа монет, удовлетворяющего неравенству
З*-1 < A =C*3fe, надо k взвешиваний. При /г —5 можно найти фаль-
шийую монету, если общее число монет не больше 243.
28.3.	I = 500 (— 0,51 log2 0,51 — 0,31 lqg2 0,31 — 0,12 log2 0,12 —
— 0,06 log2 0,06) = 815 дв. ед.
28.4.	Первый опыт дает количество информации lt=.HQ —	—
= log2 N [fc log2 k + (W — k) log2 (N — £)], a второй опыт
/> = - Ha [k logs k + (V- k) log8 (N-k)} —L [Z log, I +
+ (k — I) loga (k — /) + Г loga Г + (N— k — Г) 10ga (N — k — r)].
28.5.	Минимальное число проверок равно трем, например, в по-
следовательностях № 6, Xs 5 и № 3. У к аз ани е. Определить коли-
чество информации, которое дает каждая проверка, и выбрать в ка-
честве первой проверки одну из тех, которым соответствует наи-
большее количество информации. Аналогично выбирать номера
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
577
последующих проверок, пока энтропия системы не станет павиой
нулю. Для расчета количества информации воспользоваться ответом
/предыдущей задаче.
£P(+)log2P (А,)
Vpmw----------’ где Р(aj) = ₽ Иг)> если
2j р (ар Ъ
28.6.	=
символу алфавита Л/ соответствует символ кода aj. Для кода № 1
I '1,782	. п хг о 7	1,782
= ~5 85	= 0,304 дв’ ед‘ /ед*	вр’ Д’™	кода № 2	~Т~=	~~6~30	а
= 0,283 дв. ед./ед. вр.
28.7.	Для наиболее эффективного кода символам алфавита, рас-
положенным в порядке убывания их вероятностей, должны соот-
ветствовать символы кода, занимающие т-е же порядковые номера
при их расположении в порядке возрастания длительностей, т. е.
символам Лп Л4, Л3 и А2 должны соответствовать символы кода г/,
с, Ъ и а. Эффективность такого кода равна
1	А ОП1
------= ’Vir = 0,391 дв. ед./ед. вр.
^min 4>55
и _1 , 0,81og20,8 + 0,1 log20,l 4-0,1 log20,l
"max“ +	l°g33
28.9.	а) См. таблицу 126.
Таблица 126
Буква		А /	В
Вероятности 		0,8	0,2
Кодовые обозначения	1	0
б) См. таблицу 127.
Таблица 127
Буквенные сочета- ния 		АА	АВ	ВА	ВВ
Вероятности ....	0,64	0,16	0,16	0,04
Кодовые обозначе- ния 		1	01	001	000
19 Б. Г. Володин и др.
578
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
- в) См. таблицу 128.
Таблица 121
Буквенные сочетания	ААА	ААВ	АВА	ВАА	АВВ	ВАВ	ВВА	ввв\ 	J
Вероятно- сти ....	0,512	0,128	0,128	0,128	0,032	0,032	0,032	0,008 J
Кодовые обозначе- ния . . .	1	ОН	010	001	00011	00010	00001	00000
- О 722
Экономности кодов соответственно равны: а) —д— = 0,722^
28.10.	а) P(l) = 0,8,	Р(О) = О,р,	la = 1 — 0,722 = 0,278?
б)	РЛ) = -гЦ- = 0,615,	Р(0) = 0,385,	/б= 1 -0,962 = 0,038;
1,00
1 1 59
в)	Р (1) =-7ГПИ = °’528’ Р (°) = °’472’ ZB = 1 ~ °’9977 =0,0023. -
28.11.	1) См. таблицы 129 и 130.
Таблица 129
Буквы		А	В	с
Вероятности	  .	0,7	0,2	0,1
Кодовые обозначения . . .	1	01	00
Таблица 130
Двухбуквенные сочетания . .	АА	АВ	ВА	АС	СА	ВВ	ВС	св	сс
Вероятности . .	0,49	0,14	0,14	0,07	0,07	0,04	0,02 i	0,02	0,01
Кодовые обо- значения . .	1	ОН	010	ООН	0010	0001	00001	000001	000000
2) Экономности кодов соответственно равны 0,890 и 0,993.
3) Избыточности кодов соответственно равны 0,109 и 0,0007.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
579
28.12. См. таблицу 131.
Таблица 131
Буквы	Кодовые обозна- чения	Буквы	Кодовые обозна- чения	Буквы	Кодовые обозна-. чения	Буквы	Кодовые обозна- чения
		111	р	01011	я	001001	X	0000100
О	ПО	в	01010	ы	001000	ж	0000011
е, ё	1011	л	01001	3	000111	ю	0000010
а	1010	к	01000	ь, ъ	000110	ш	00000011
и	1001	м	00111	б	000101	ц	00000010
т	1000	Д	00101	г	000100	щ	00000001
н	0111	[п	001101	ч	000011	3	000000001
с	оно	У	001100	й	0000101	ф	000000000
28.13.	Воспользоваться тем, что кодовое обозначение буквы Aj
будет состоять из kj символов.
28.14.	При отсутствии помех количество информации равно
энтропии входной схемы сообщений: / = — Р (/Ч) log2 Р —
— Р (Л2) log2 Р (Д2) = 1 дв. ед. При наличии помех I = 0,919 дв. ед.;
оно уменьшается на величину средней условной энтропии, равной
— P(aj) [Р(А | oJlogjP^ | «1) + Р(Д2 I «i) logs Р (Л2 | aj] —
— Р («з) [Р (А | «2) logs Р (Ai I Os) + Р (As | о2) log2 Р (А I аа)], где
Р (А,) Р (at | Aj)
P<W = Р (*.-), '
28.15.	При отсутствии помех I =	= log2 т\ при наличии помех
I = Hi — Н2 = log2«+/>logs p+q logs тЧ_х •
28.16.	/ = 1<%т + 22Р(а')Р^/| о,) logs Р (Лу | а,), где
i J
J	J
Глава VI
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 29. Закон больших чисел
29.1.	а) Р(|Х-Х|^4Е)^ 0,1375; б) Р (| X-X | За)
29.2.	Доказывается так же, как неравенство Чебышева. В ходе
доказательства использовать очевидное неравенство \f(x)dx^
19*
580
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
J ~J	dx> где & множество всех х, удовлетворяющий
2
Z3 + In J
условию X >------.	1
29.3.	С помощью рассуждений, аналогичных доказательству
неравенства Чебышева, получается цепь неравенств Р(Х^е)^
eg * f еах<1Р(еах)^е-аеМ[еаХ].	1
J	1
еах>еаг	j
29.4.	Воспользоваться неравенством Чебышева, учтя при"
этом, что =	1, а М [X2*] = (т + 1) (т + 2) и, следо-;
вательно, Р (0 < X < 2 (т -|- 1)) = Р ( | X — х | < т-\- 1) > 1 —’
DW
^(ш + 1)3’
29.5.	Обозначая Хп случайное число появлений события А в ре-
250
зультате п опытов, имеем Р (| Хп — 500 | < 100) > 1-== 0,975.
Следовательно, сказанное в задаче справедливо.
29.6.	Случайные величины Xk взаимно независимы и имеют оди-
наковые математические ожидания je^ = 0 и дисперсии D [Л*] = 1,
что свидетельствует о выполнении условий теоремы Чебышева.
29.7.	При	так как в этом случае
lim D
rz->oo
№ = 0.
29.8. lim D
n ->co
lim In (n!) =
n->00 n
= lim -L-in 1пЛ+ 2e"n/2j= lim —L J	1Пл-л4-
n->OO n	n->00 n ( \ Z /
-4-10)^27:1 = lim - n — = 0, что доказывает применимость закона
J zi->oo n
больших чисел.
29.9.	a) He выполняются, так как lim D
,	n -> co
4 /дп i)
s- lim v	-a—^ = oo; б) выполняются, так как lim D
n-*CQ ОГГ	n-^OO
Xk =
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
581
= lim —=0; в) не выполняются, так
/г-*со П
lim
п —►со
п(п+ 1)
2п2
1
2 ’
/ п \
как Jim DJ— V хД>
п->00 Л Zj *(.
( £=1 J
29.10. Применим, так как при ^/<0
справедливо неравенство
где с — верхняя граница
D для всех & = 1, 2,
{п
1 У Xftl=o.
Д = 1 J .
п. Из неравенства следует
п
29.11. Для доказательства достаточно оценить D I ~ .Xk
'	L
п
п —1	\
2 r*,* + l°*aA + tk ГДе
k=l	А = 1	)
 М ЦХц-^Хь) (Xk+l — ^+1)] . Заменяя
[п 1
— Ад I <
л=1 J
1
и2
aft = D[X*], a rk)k+i =
все <j£ их наибольшим
Зп — 2 , g
/>2, откуда следует
л2
п
lim D — У Xk =0.
l-со п
L *=i J
29.12. Применим, так как выполнены
п
Л==1
условия теоремы Хинчина.
29.13. Рассмотрим D[Zn] = D
п п
п п
2 2
< ~	2 I rtf I, гДе — среднее квадратическое отклонение слу-
i-l /=1
чайной величины X/. Так как г/у-* 0 при | i — j | —>оо, то по любому
е > 0 можно указать такое ДГ, что для всех | /— j | > N справед-
ливо неравенство | И/1 < е. Это значит, что в матрице || гу ||, насчи-
тывающей п2 элементов, не более Nn элементов превосходит е (их
мы заменим единицей), остальные же меньше е. Из сказанного сле-
дует неравенство
п п
1 V V Nn
п2	ГЧ п2
*•==1 ;=1
]--1-(Яг —№) г =
582
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
= е + — (1 — е), указывающее на то, что lim D [zn] = 0; это и до-
п	л-»оо
называет теорему.
29.14. Закон больших чисел неприменим, так как ряд
ОО '	S
6 v (____I)*-1
? -—------, определяющий М [XJ, не является абсолютно
fe=i
сходящимся.
§ 30.	Теоремы Муавра — Лапласа и Ляпунова
30.1.	Р ^0,2 =С-^<0,4^ =0,98. 30.2. Р (70 от < 86) = 0,944.
30.3. а) Р (от =г 20) = 0,55; б) Р (от < 28) = 0,98;
в) Р (14^от < 26) = 0,9.
30.4.	В предельном равенстве теоремы Муавра — Лапласа поло-
жить Z> =—а — е	а затем воспользоваться интегральными
представлениями функций Ф (х) и Ф (х).
30.5.	Ввиду того, что вероятность события неизвестна, дис-
персию числа появлений события следует принять максимальной,
т. е. положить pq = 0,25. При этом допущении1.- а) п ^250 000;
б) п =16 600.
30.6*	. ~ 305. 30.7. п 65. 30.8. р = 0,956. 30.9. 67.
1
30.10.	J = ^x2dx можно рассматривать как начальный момент
второго порядка случайной величины, равномерно распределенной
в интервале [0, 1]; тогда его статистическим аналогом, определяе-
п
мым методом Монте-Карло, будет величина Jn = —	где
*	л=1
Xk~ случайные числа из интервала [0, 1]. С помощью теоремы
Ляпунова находим Р (| Jlooo — J | < 0,01) = 0,71.
п
30.11.	п 1,55 • 10е. Положить Jn = sin где %k ~ СЛУ-
/г = 1
'	f ГС \
чайные числа из интервала (0,
30.12.	1) Так как разность Р (С) — Рп (С) =  Р (д/j X
X [1 — Р (В | Д)], то с точки зрения закона больших чисел
оба метода приводят к правильным результатам; 2) в первом
случае потребуется более 9750 опытов, во втором случае — 4500 опы-
тов.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
51^
30.13.	1) 3100; 2) 1170. 30.14. Во всех трех случаях предельная
я2	ц2
характеристическая функция равная 2. 30.15. lim Еу (и)=е 2.
л —*• оо п
Глава VII
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 31.	Общие свойства корреляционных функций и законов
распределения случайных функций
31.1.	Обозначая закон распределения второго порядка для слу-
чайной функции X(t) через f(xu х2 t9), по определению Kx(tu М
OGOO
имеем Кк t2) =	(хх — xj (х2 — Х2) f(xu х21 tlf t2) dxi dx2.
— 00 — 00
Применение неравенства Буняковского дает
§ (-^1	Х1)2/(Х1) х21	t2) dxi dx2 X
— 00—00
X j j	I ^2) dx^ dx2 =	(/1)(J"'Ar(/2) j
— 00 — 00
что эквивалентно первому неравенству. Для доказательства вто-
рого неравенства достаточно рассмотреть очевидное соотношение
м { I [Xtfi) - х (^)] ± [X(t2) - х О |2} ^0.	'
31.2.	Доказывается аналогично предыдущему.
31.3.	Следует из определения корреляционной функции.
п
31.4.	Так как X(t) = У] Д/ + с, где с — неслучайная постоянная,
/=1
а п — число скачков за время t, то D [Х(0] = М [па2] = Va2.
31.5.	Корреляционная функция Кх(у) равна вероятности того,
что за время т произойдет четное число перемен знака, за вычетом
вероятности нечетного числа перемен знака, т. е.
L (2л)! * L (2/2 4-1)1* -е •
n — Q	п=0
31.6.	Так как М \X(t) X(t + т)] отлично от 0 только в том
случае, когда оба конца интервала т попадают в один единичный
интервал, вероятность чего равна 0 при |т|>1 и (1 — |х|) при
|т|^1, то при |т|^1	= — |т|)М[Х2] = (1 — |т|)х
584
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
С s
Г(Х + 1)
о
е~х dx = (X -[- 2) (X + 1)(1 — |*|). Следовательно,
( (к + 2)(Х+1)(1-|г|),
Ajf W 1	л
14^1,
М>1.
31.7. Обозначая
кона распределения
01 = 0 (Zj), 02 = 0	4- *), для условного за-
08 имеем /(92|91=5°)=, где
/(61, 02) —* нормальный, закон распределения системы случайных
величин с корреляционной матрицей
tfe(O) ЛГе(*)||
ЛШ АГе(О)|Г
Подставляя данные из условия задачи, получим
ОО	* 1
р = ( /(б21 0Х = 5°) db2 = 4 [1 - Ф (2,68)] = 0,0037.
15	2
31.8.	Обозначая углы крена в моменты t и ^4-т через 0t и 02
соответственно, а их закон распределения через /(0П 62)> для услов-
ного закона распределения угла крена в момент втроого измерения
%
J /(в» в2) м,
получим /(021 — 0о^^1^°о) =	------------ • Искомая
И
-6-00
вероятность
Р =
_______1
2^211 а0Ф
- -1
2ofi
е 6
0Q ^2
Op - м2 у
аеУ"! — ^2/.
d\.

Ф
• 31.9. Обозначая Xt = 0 (t\ Х2 = 0 (О, Х3 = 0 (t + *о), для кор-
реляционной матрицы системы Хъ X2i Х3 получим
II ш-
/Сб(О) о /<е(т0)
о _ Ле(О) — АГ0(то)
ЛГб(^о)	АГо(О)
ОТВЕТЫ И РЕЙЙЙЙ?
что после подстановки чисел дает
II kn || =
36	О
О 36(0,25*4- 1,57*)
36г -о,5 о
585
Зб£—0,51!
0 Г
36
Определяя по закону распределения f(xit х2, х3) условный закон
распределения
/?(х3|х1 = 2, х2>0)
00
$/(*1, х2, xs) dx^
о______________________
00 00
§ §/(Х1,Х2, Х3)^2^*3
— оо О
для искомой вероятности получим
10
Р = ( /(х3 |Xi = 2, х2> 0) dx3 = 0,958.
-10
31.10	. y(t) = a(t)X(t) + b(ty, Ky(t1,ts) = a'»(ti)a(ts)Kx(t',ti).
31.11	. f(x)dx =	fa(a)fy(f)) dadf);
x^acosti^xdx
f(x) =
1
a 2л
X2
2a2
31.12	. Вероятность того, что интервал Т будет заключен между т
и т + dt, равна вероятности того, что в интервале (0, т) будет п
точек, а в интервале (т, T-f-^т)-—одна точка. Так как по условию
(Хт)71
эти события независимы, то Р(т^	+ di) = - е~ХхХ dx,
+ ixn —
т. е./(т)=-----j—е~^.
v п\
___и-
31.13	. flu) = ---!—= е 498
15,8/ 2я
§ 32.	Линейные операции над случайными функциями
32.1.	Так как не имеет разрыва при т = 0, то
- £кх(1) = аа*е-“'" (1— а|г|).
32.2.	Ку (х) = а (а2 + р2) е ~а 1 х 1 cos sin 01 т| j,
D[r(O]=,^(O) = a(a2 + 02).
586
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
32.3.	Пользуясь определением корреляционной функции
зи, получим	R^ (т) = М { [X* (Z) — х*] —
= М {[X* (0 - Х*][Х а + г) - X]} = кх (г).
32.4.	Так как любая произвольная /Сх(т) непрерывна в нуле,
X(t) дифференцируема любое число раз.	j
d2	d*	-
32.5.	Два раза, так как Кх (т) | т=о и ^/СА.(т)|т=о суп^
d*	3
ствуют,	теРпит разрыв в нуле. 32.6. Существует тольЙ
первая производная, так как -^2Кх(ъ) существует при т = 1
d3	1
a d^^xW терпит разрыв в ^той точке.	1
32.7.	Rix (г) = asa2 (Т - Го) ё~ “ 1 т - 6 '•	32.8. D [ Г(<)] = в|
D[Z(Z)] — aV. 32.9. Ку (т) = 2aVa2e- a2 & (1 — 2а2т2).
32.10.	Закон распределения f(v) нормальный с дисперсией
с2 = а(а2 + ₽2) и v = 0, Р = 0,3085.	*
32.11.	г(0 = ^(0+У(0; А) = ^(А, А)+Ху(А, А)-Н
+ *ху (А» А) + Ryxttu А)*
32.12.	x(t) = 2 X/(i); Kx(tlt <t) =
j= 1	n
= S KXj (tlt ш- 2 s
d2	d*
32.13.	Ку (г) = Kx (T) + Kx (t) + Kx It).	(
32.14.	Kz (t) = ^-xe ' T ’ +a 111 +	+
2ot2	1
+	(a2T2 _ a | x | _ 1) + __ (aM _ 5a |t| + 3) | J,
ti t2
32.15.	Так как Ky(tu t2)= J (t'2 — dt^ dt'^ то, полагая
о о	1
==	t2 = tt переходя к новым переменным интегрирования и выполняя
t
рдно интегрирование, получим D [/(/)] = Л^(/, t) —	— т)/<л(т)^»
о
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
32.16.	Решая задачу аналогично предыдущей, после преобразе^
/а
вания двойного интеграла получим Кх (t„ t2) = J (t2 — т) (т) dx
о
ti
+ ( (^1 — т) Ку ~ J (*2 — *1 — Т) Ку (?) dx.
О	х о
/а
32.17.	Rxy (tlt tt) = $ Кх (tt, 5) rf?. 32.18.	D [ У(20)] = 1360 см3.
о
32.19.	> (t) = a0X (t) + a, + *»'$* x + c:
0
Ку (4,	— a$Kx (ч, M -г йоЛ1 --------------1-----g^----J “Г
d*Kx(t„t2)
dt, dt2
t*
+ $e
0
e-w2
~Х^/СИЛ> Q +«Л
C D - (Zi’ df _[_
dt2
J L о
i t21,
+ 6* J p -x <z; + V Kx (f, r) dr df3.
о 0
dKx(t„t2) d2Kx(t„t2)
—dt,— +ad ~— +
d^Kx(^t2) dsKx(^t2)
+ bc dt, dt2 + M dt, dt\ ’
32.21.	Так как дисперсия D [0 (£)] мала, то sin 6 «а 6,D [ДУ(Z)] ==
2р-2а *”
-2gs 5(^-т)/<в(г)Л = ^
о
становки числовых величин дает ад^=1,86 м1сек.
32.22.	Используя определение корреляционной функции как ма-
тематического ожидания произведения отклонений ординат случай-
ной функции и формулы для моментов нормальных случайных ве-
личин, получим Кх (т) == a2K^lv* СО + Ь2Къ (у) + 2с2Ло (т) ~~ 2aZ>Ae (х)«
32.23.	Кт W = ЖК* (т) + 2Ь2К^ (т) - с2 Kt W /Сф(т).
32.24.	Ку (т) = е “ “2х2 [ 1 + 2a2 (1 - 2a2?2)].
32.25.	/?ЛУ(?)= — 4 а«3е (1 + а | ? | - а2?2).
32.26.	Ку (tlt t2) = a* (ZJ а (/2) Кх (т) + b* (ZJ b (tt)	+
+ [а* (^) b (t2) + Ь* (tt) а (/,)] d^(x) .
tz
dt
о
32.20. Ryz (tt, ts) — ac
t----(1 — e at) |> что после под-
588
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
32.27.	Не существует. 32.28. а) Стационарна; б) не стациоиарн^
32.29.	При t > Т	*
q2	2	2	11
= + Н+ "z+ 2 coWJ’
= 1 час.~ 1,5
32.30.	D [a ft)] == a.t; D [0 (<)]
км.
2 С	1
— (cosXt42) - &2 arcsin (т) 4- &2
«1 =
и
cos Хт
Я
(cos Хт -|- 2) /г2 arcsin (?) -[- &2 £2535
arcsin k*Q (z) dvt
arcsin (?)
/4 CO и (T) — нормированные корреляционные функции Ч* (/)
и 0 (/); X = Ypq.
t t
32.31.	D [Z (О] = И exp (t* + Ts) +
0 0
6Z4
+ -4 I3? fti) + 3? (Ts) — <P <x2 — ’i)} Kx (T2 — ti.) dtl dz.,
где
T
<{> (t) = 2 J (t — Tl) (Tl) dxl-
0
§ 33.	Задачи о выбросах
33.1.	та=10к[1 _ Ф (1)] е 2 =16,45 сек. 33.2.	D[V(/)] =
^0,25 см*)сек2.
33.3.	Число выбросов снизу вверх за уровень а = 25° равно числу
выбросов сверху вниз за уровень = —25°; следовательно
1 _______
искомое число выбросов	2Ь =11,9 раза,
33.4.'2L °»9 1-Ф
1,5 е
1 fwo
у п вверх
2л
= 0,91 сек. 33.5. Начиная с t —
А,'-' L	\	/ J	а
33.6.	Задача сводится к определению числа выбросов случайно?
-I / Wn	Т / wn
функции X(t) за уровни |/ —° вверх и — |/ (вниз)
Wq
Ответ: 1- Yа2 4 р2 е 2ka*
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
33.7.	Так как радиус кривизны R равен	то
I (0 г ’J 7
тельный элемент будет доходить до упора, когда Т (t) выйдет за
v
пределы полосы ± -5-, что дает в единицу времени
+ еХр{-2^}сек-
33.8.	При Л>54,5лг. 33.9. Q = exp S——
( те )
33.10.	Обозначив плотность вероятности системы нормальных
величин Д (0, ^(0 и X(t) через f(x, хи х2), для искомой плот-
ности вероятности получим
оо
J x2f (аг, 0, х2) dx2
/«=W------------------------— •
§ J Х2/(Х^Х2)(1Х2(1Х
t— оо —оо
Учитывая, что корреляционная матрица системы имеет вид
^(0)	о
 II Ы= 0 -клщ
Кх (0)	о
после интегрирования получим
—— (
кх (0)
о
IV
Кх (0)
У 20/J)‘
33.11.	f(x) = е- ' 2а2 Ь/2 е +
/2к За	I
+ а У 2 [ '*"Ф \2аК2/]|-
33.12.	Искомое число равно числу выбросов (в обе стороны)
X(Z) за нулевой уровень; следовательно,
т Д[Х|П (Q]
"	D\X(t)] я
33.13*	. Разбив интервал Т на п равных интервалов и обозначая
число выбросов на интервале j через М-, для общего числа
500
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
п	•	Я	J
выбросов Na имеем Na = У] Nj. Так как М |W*] = S М[2ЗД
7 = 1	/,Z=1	,1
то при п—*со
Т Т оо оо
М [М] — И И	f (°’ °’ Vi' Vs I tl' dVi dV* dil dt* + M
00 0 0
T
D W»1= 2^ $	/2 ЛззЛ14 ~ Л’*
- Д„ arctg —=Лз4	1 (T - г) Л + Na (1 - Na),
V Ai3A33 — А|4J
где Д — определитель, а	Aji — алгебраическое дополнение матрицы
а2	/<(т)	0	Д-(т)
	а3 — Л-(т)	0
0 	-ЛГ(г) -Л"(0) -ЛГ(т) ’
	0	-К(х) —^(0)
33.14*	. Представив площадь S в виде
1?
S=-2$[X«)-a]{l +sgn[X(0-e]}«
и заменив sgn(X— а) разрывным интегралом, после нахождения
математического ожидания и деления на среднее число выбросов,
имеющих место за время Г, получим
a(sxn Г f a XT 2<А
%	а<» L	XsXJ J
или, учитывая, что в данном случае a^ = a2aj>
«2
что после подстановки значений а дает: 0,863 — * 0,394 — - 0,216 —.
а	а ’ а
33.15*	. Необходимые моменты спектральной плотности имеют
значения; /n00 = as; m^0 = 4a2; znoa = 9a2; znu=O. По формулам,
ОТВЕТЫ И РИЙвЙЯЯ
приведенным в начале параграфа, имеем
7 = - е~ Е = 0,757.
ТС	\ О /
33.16*	. Находя необходимые моменты спектральной плотности
S имеем •
т2 2 = 36а2; т4 0 = 48а2; т0 4 = 243а2.
Корни Х1} Х2, Х3 (см. сводку формул) имеют значения:
= 72а2; Х2 = — 36а2; Х3 = — 36а2.
Следовательно, /г2 = 0. Учитывая решение предыдущего примера,
1	7з
= (т2 0т02 — i) 2 = 6а2. Подстановка в общую формулу дает
Птах = 2^ /36 |Уз Е (0) - □_ Д7 (0)J = 0,55,
т. е. в среднем 0,55 максимумов на единицу площади.
§ 34. Спектральное разложение стационарных
случайных функций
34.1. K(z)=2a^-^-.	34.2. /<(т)=2с’(2cos®0t-
оо
34.3. Обозначив J (а,	= i £~"а Iт I —= _ в<*—
4	2ти J	тс (to2 4" а2) *
— 00
/ . to \ 2
. 3J 2а а’ одд ег X °2 |П2 \
имеем s (to) = J — а	, 34.4. 5 («) =	„
'	да к (со2 а2)2	4 2тс I to /
\ 2 /
_ о аа2 ад2 -J- а2 + ?8
34.5, «$ (to)     -—5—j--5—j—QgTg---7q9—2 ==
v ' тс (co2 -j- а + ₽ ) — 4^2to2
___аа2 «о2 4- а2 4“ ?2	____a®2 to2 4~ a2 4“
“ T (co2 — a2 — ₽2)2 4- 4a2to2 ~ V (co2a2 — p2)2-j-4a2^2 9
346 o^_2°2	»(«2 + ₽2)
’ * 6 W — л (ш« + a3 + ₽3)3 — 403<o3 “
_2a2	. a(a3 + ₽2)	2a3	’	a (a3 + p2)
“ 7t (®2 — a2 — p2)3-|-4a2a>3 — Jt (w2 + a2 — ₽2)2 + 4“T ’
34.7. Решая задачу аналогично 34.3, получим S (ш) = — 44г4* •
592
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2#а<о3
34.8.	34.9. Две производные, таЙ
п
как 8Х (<о) с ростом (о убывает, как . 34.10. S (<о) = —	«
34.11. dS (a>) = ——s-2^-———- де (а* + 0») -
d<& к [(<о2 — а2 — g2)2 4а р ]
— (а2 4^^2	со2).2}. Следовательно, при со = 0 всегда будет экстре-
мум. Если при (о = 0 выражение в'фигурных скобках отрицательно^
то знак производной в этой точке меняется с плюса на минус;
в этой точке будет максимум, и других максимумов не может быть.
Таким образом, условием отсутствия максимумов, кроме нулевой
точки, будет а2 > З?2. При а2 = 3?2 S (со) = — -о——, т. е. <$ (со)
тс (о 4~ 4р
тоже имеет только один максимум в начале координат. Таким
образом, если а2^3р2, то имеется один максимум в начале; если
а2 < Зр2, то в начале будет минимум и появятся два максимума
в точках (о = ±2 со2, <0g = у/ а2 4- p2|Z2	_ |<а2 _[_ рз.
2 2
34.12.	Так как 8-х («) =	-де/’ т0 Dl*Wl =
= J
— ОС
0)2
34.13.	Так как	(ш) = —— е~^.	a R- (г) =
2а у тс
ОО	0)2
е 4а =-------
e,mxSx(W)da>, то Sxi(0)) =
J	2а у тс
34.14.	Так как /Сд (т) = ае~* Iх I [£2 (1 4- а | т |) 4- а2/г2 (1 — а | т |)],
то преобразование Фурье дает
SaW = 7(^T^(^+^2).
34.15.	Rxy (г) = кх (г + ТО) = f eiw (t +т»'	(а>) dw, Sxy («) =
%	—00
= ?<«oSA.(w).
34.16.	Sxv (ш) = (!«>)* е‘^о [$и (Ш) + Sva (<о)1.
34.17.	Так как Кг (г) = К’х (®) К'у (т) =	(а? + 0?) (а’ + 0f) X
X е~ (а‘+“г) 1 т 1 ^sin 0jT — sta 0! 111 ^cos02t — cos0a | x | j, to
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
обращение по Фурье дает
Sz (й) -- ®
a COS у' + (а> — ₽') Sin t' а COS 7’ + (<о -|- р') sjn у .
(ш_р’)8_|_а*	((й_|_ру + а8 +-
. acosy*4-(“— Р’) sin « cosy* 4* (" + ₽') sin у'
+	(о> — р')2 4- а2	(а>4-р')24-а2
где а=ах4-а2> P'.= Pi+ft!> Р* = & — ₽г, у' = yj 4- у2, у* = ft — у2,
tav =- tg-г =- а = —
&и Й12	4я cos’у! coss y2 ‘
34.18.	Так как Kz (г) = Кх (?) Ку (г) 4- Xs Ку (т) 4- УК* (г), то
„ , . _	(°Ч +аг) । Х-ал 
z '<1>' я [о>2 4~ (ai 4" “г)2] я (ш2 4" аз) я (<о2 4- af) ‘
34.19.	Так как /<д (т) — К,^ (г) Кц (х), то преобразование Фурье
дает
е ( т— ах°2 f a cos у' — (ю — р') sin у'
д 4я COS У, COS у2 I (<о — Р')2 4- а2
а cos у'— (ю-|-р’) sin у’ , а cos у'—(<о — p*)siny*
(o> + p')24-«s	+	(<o-p*)24-«a
а cos у' — (<о 4- Р') sin у* 1
~	(м+р-)2 + а2 Р
где а=а14-а2, Р'= Рх 4" Ps. Р'= Рх — Ps> ?'= У1 + Ъ Г = Тх ~ Ъ
а,	а2
tgyx^^, tgl2=S.
ОО
34.20.	Применяя общую формулу Sy (со) =2 (со—coj2 х
— 00
X Sx (со — (oj со|8х (cot) 6/cot и результаты задачи 34.17, получим
о _ f 1	,	4(as + ₽2) I +„,_а
к cos2 Y I со24-4а2 + (со2 + 4а2 — 4?2)2 + 16а2₽2 J ’ \2 7 ~	‘
ол о / х 4аа / а / X2 \
34.21.	Sy (со) -	 I g j - а —|— g । 5 I •
у v 7С \со2 4а2 1 со2-)-а2/
/	_	<о2	о)2 V
34.22.	Sy (<л) == «>2 («2а е 4“2 4- 2дх2 е~2**]•
ОО
34.23.	<$д (со) == S<p {со) -}- COS4 q	((О — соА) «Sg (cOj) da>l >
— 00
i Г F	?
+ g-sin22^ \ Sq (со — coj s9 (coj 6/cOi 4- \ S<p(co — coj^cojdcoj t
где S(p (co) = 51 (co), «Sq (co) = 5g (co), Зф (co) == 4$3 (co); Sy (co) =
594
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ZajCLj
2 I о2
а/ + °/
; + ^)а-4₽Х’
быть вычислены в конечном
окончательного результата в
прибегнуть к численным методам интегрирования.
34.24.	Так как Ку (т) = 2К2Х (т) + 4л2ЛГЛ. (т),
—4а* а	д. 4 х2	°*а
тс со2 4~ 4а2 ‘ тс (со2 4“-
2/а
34.25.	Sj (а>) = 1 ( /Q (т) e_'mx dt, где К/ (г) =
-21 а
• + В (а0 +	I т I 4- а2т2 + а31 т |3 + а4т4);
л "2Г	П п2Га272Я 22
Л =	В = -^; а=-;
1Г16я(/г2 —1)	.1	4..	,	2(n2—1)
а<> ~ а2 [ ЗТ П J ’ J1 — “а*~ 1)( ва —	&
г? — 1 /4тс \ п2 — 1
J== 1, 2, 3, а все интегралы могут5
виде, однако ввиду громоздкости;
данном случае предпочтительней
то
имеет один максимум при ю=0.
§ 35. Вычисление вероятностных характеристик
случайных функций на выходе динамических систем
35.1.	У (t) — стационарная функция; следовательно, <SV (со) =2
с2
= -g, что после обратного преобразования Фурье дает
тсс2
К,(Т)=2-П1Ч.
35.2. Так как Y(t) стационарна, то, находя математические ожи-
дания обеих частей уравнения, получаем у = — X. Для спектраль-
ai
ной плотности имеем
Sy (<*>)
__	+ Ь\ „	_ схд b^2 + bl
— а^2 4- a'j — тс (а2со24-а2)(ш24-а2)’
что после интегрирования в бесконечных пределах дает D [У (/)] =
__ о! Д1#о« 4~ aobj
““ «0^1 а1 + аоа
nWLS. (со) 4-АА$0 (со)!
35.3.	5и(М)=р ;JC_ny + 4AW- V- V“) =
2'giai(<4 + ff)	2a8aa(ai + P!)
— я [(ш2 - й - М)а + 4<Хх<о2]19 V ' Я [(ш2 - й - а|)2 + 4а|ш2]'
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
595
35.4.	Так как по^условию задачи а (t) можно считать стационар-
ной, то 5а(<о) = -5~--5 Sa(co), где Su(u) получена в задаче 353.,
Интегрируя Sa (со) в бесконечных пределах с помощью вычетов,
получим о2 = 2,13 • 40“б рад2, оа == 1,46.10~3 рад.
2а2а (а2 Ч- В2)
35.5.	Sv (со) = - г/- -2-2	О2\2 I /1'2 21 > где обозначено: a = h,
У х ’	п [(со2 — а2 — р2)2	4а2со2] ’	*
У	,	TZC2
= V k2 — h2,	= Применение обратного преобразования
Фурье к Sy (<о) дает (т) = о2е“а |т 1 ^cos рт + у sin р | т .
2<з2а(а2 + р2)
35.6.	So (а>) = я _ а2 _ pS). 4eS<esj ;
#0 (т) = а1е~л'т 1 ^cos 0т у sin 0 I т|),
где а| = ^, “ = 4т- ₽ = ^/4ZO-rs.
q= 7 г. / \ ______________________________
W~ 7t(a>a+ 1)« (а>а-j-4) (a>s 4-9) ’
35.8.	Не может, так как корни характеристического уравнения
имеют положительные вещественные части и, следовательно, си-
стема, описываемая уравнением, неустойчива.
35.9.	Так как Сс (Z) стационарна, то Stc (<о) =	1а ’
Q ГГ (Ml —______________________ga (а2 Н~ Р2) шо____________________ у
L с { л ~ К₽1 - Р)2 + («1 - а)2] [(₽! + Р)2 +.(«1 - «)2] X х
X [(Pt - Р)2 + («1 + а)2] [(₽! + ₽)2 + («! + а)2]
v ( (— Pi + Р2 + «2 + «Р2 + 4 (а2^ - 2а2И 4- а4 - 2а2а2 + а2^2) ,
Xl	«i(«f + Pi)
(__ рз ^2 4- а2 + аз)2 4- 4 (а2₽2 __ 2а2р2 4- а4 — 2а2а2 4- а2₽2) )
+	_______ «(«2 + Р2)	Г
а, = Л, pi = /cog - Л2.
35.10.	Обозначив co0 = n, a = 3«10“4g2, получим D [е (£)] =
= D [Сс (0], где D [Сс (Z)] указана в ответе к задаче 35.9. Подставляя
числовые данные, получим D [е (£)] = 0,06513; ае = 0,255.
35.11.	Формула является следствием общей формулы данной
во введении.
35.12. Положив со0 = k, получим D[0(£)] = D[£c (£)], где D[Cc(f)]
дана в ответе к задаче 35.9.
35.13. § (M)=:—,
Ух 7	(k2 — со2) — 2ZUC0 ’
/?	*~~~ Z?2 ptCOT _(^)
t<yx^) — й J е (у_^_2Ми>а,л>
— СО
596
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
35.14.	Независимые частные интегралы однородного урЦ
нения е~*,	e~7t, весовая функция р (t) =	(е~* — е~^
7	1 12225
е '	“2 X
,тИ«=’« ’+"
ат —
4а2

35.15.	D[Y(tl-Z(t)] = D[Z(t)]+ ( ( Р*(т,)р(т2) X
о-о-
ОО
X Кх (т2—ч) ^Ч	—2Re	р* (т) Кх2 (т) dt, где знак минус в ниж«
о—
. них пределах интегрирования обозначает, что точка 0 включена в
область интегрирования.
а* Г 2а -к а	‘
35.16.	D [ У (Z)] = - -- х.  ? И2 + о- 2-; , -ч (1 ~ 2а/) .
_ L v J а (а + а) L * 2а2 (а + а) v 7 J
35.17.	а = const, значение которой можно принять равным нулю,
выбрав соответствующим образом начало отсчета; D[a(/)] =
a?P2 / w ? Z'-tP* С
35.18.	Заменяя X(t) спектральным разложением, получим спек-
оо
тральное разложение для Yx (/) =
— 00
।—(“+“о)+(а—Л)7л-(д-1Шл^ ( —(<о0—<л)—(а—h)i
+	+	2<о0 .
g-at-Yi^t ।
где о>0 = /й2—Л2. Отсюда следует /<У| (ilt ft) = \	X
X	<л0)2+(а—
+ [(« + <o0)2 4- (а — Л)2]е‘ш«('2+ [ш2 — (а>at + hif]eiwt>(tl++
+ [о>2 — (<о 4- al — hi)9]е~ ''ш<^‘+/2>] 4- * - е~ («+М'i - мг [(ш _ М(1 4-
Z(O0
4- ai — hi) е-^3 4- (—<о - <о„ 4- ai — hi) е1ш°‘2] 4- А- е~	х
X [(<о — % — + hi) + (—to — <о0 — ai + hi) e“I<0°Z1]} с?со, что
после подстановки выражения и интегрирования с помощью
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
597
вычетов дает окончательный результат в конечном виде
„ lt м_0» e J	— Afta — ATj[e (“+в>'2 + Л4,а-ДГ,]
A>1 < *’ s> ~ x I a [(a2 + fea — 2ha + a2)2 — 4a2 (ft — a)3] h
, pP к7-0~гт + Mt (I? - t) - a№-*-°’'2 - M2
Ф	27M(?2-? + «3) + 2<’М (3 +	.
h, sin₽6	hf /	h — a \
Mj = e hti—5—, Nj = e ht) cosfiyH-=— sin ), у = 1, 2;
Г	\	P	/
7 = 1 ft —а I, p = a>,
__. an 4-0i+4+2«a)(....	........
35.19.	Ky(tlt У =	|[Ф01-а)4-Ф(а)]Х
4 c — 4-(i —a)2
Х[Ф02 + а)+Ф01 + а)]-_\ e 2
У2я 6’
Ф(5 + а)#к
/	aW\
35.20.	J = +e 2 J; Ky(ft, tt) =
°l-fr8/2K	c
— e.i	\	e	y.
2/a24-2a2	J
X
{ф
'(а2 4-2a2) — 2a2q
/а2 + 2a3 J
t
35.21.	J (f) = y0 + у J x (£) 5 rf5= 1 + £ (Л - 1); Ky(tlt <a)=
= i И K‘(i' di = <S {₽ W -? W -+
to to
* [(? + ?' + a4) •-'' + + .4 < + I) «-']}. < > < •
n	t
35.22.	у (t) = 1 V Ajkyk {t) ef + C p (tt г) x (5) Ky (fu ti)
k, j=\	S
n	ti
k, j, I, m—\	0 0
X Kx (£, iq) di\, где yL , yn (t) — независимые частные инте-
598
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
гралы соответствующего однородного уравнения,
	л(0)	Л (0)	..	• №(0) .
д =	X(0)	X(0)	..	•Л(0)
		(0)	•Лп-1) (°)
a Aji — алгебраические дополнения этого определителя.
t	t
35.23. Так как решение системы дает У2(^) =—
-X (tt) dtt + 2{ Г2 (0) - Yt (0)1 e-> + [2 Yt (0) - У. (0)1 е~*‘„
a Kx (г) = 2e~"', to D [K, (<)] = 4 [| + (1 - 2t) er* + t - ^)x
X e~4 + e-«'J + (2e~< - e~^ D [K2 (0)] + (2e~st — 2е~^ D [Г, (0)] -f-
+ 2 (2e~‘ - e-») (2<r* - 2e~t) kyi (0)> y* (0); D [ Yt (0,5)] = 0,624.
35.24. D [ Yt «)] = -f e-*t +	~ y) +
+ (т‘,-2'+т)'”'+(у‘’-4<+ж): °[1-,(01
_^(3^_6Z+14)^ + (2Z=-4<4-l)e-« + (-|-ia-^f + g).
35.25. D [ Yt (0,5)] = 0,04078;
35.26. Так как Y (t) и Z (t)
парными, то
D [У2 (0,5)] = 0,00150.
по условию можно считать стацио-
Sy (w) =
a2a<ijco2
itb2 (co2 + a2) f co2 + A.
что после интегрирования дает
aa2
$z (“) =---------------рГ »
а2ас2
°11'<'>1=Ч5»ТТЙ D1ZW1 =
ab + 1 ’
35.27. Нормальный закон с параметрами у = 0, ау = 0,78.
и4
35.28. Sx(u>) = ^
S
'	со
(025. (о>)+ \ “1^* (<*1) *$ср (<° ““ ^i)	+
— оо
+ ?х
ОО
2	<о| (со — coj2 (со — coj (coj) rfcOi +
— 00
°?
4- 3 $ (<0 — <£>У	(<0 — <>>1)	(«h) du>l 4-
— OO
oo
4“	(to --- to£) ((01) d<Al
— oo
oo	*1
4-4 $ (to — toj (о|5ф ((0 — to£) (tox) +'
— oo	/	J
+ p:
00
“45ф (<*>)+§	— °
— 00
i)4 $<p	— wi) $6 (wi) 4“
4" 4 (to ---------- toj)2 S(p (to -- COj) toJ^Q (tox) d<&! 4"
— OO
CO	ll
4-4 J (to — toj3 (0^ ((0 — toj) Sd (toj d(ai >;J
— oo '	JJ
Sv (») = S0)2 rse <“) + ₽>Ч (“Л1 s*y <“> = 5 РхР^Ч (“)•
S |_ 4C	J	&
35.29.	Для нахождения асимметрии и эксцесса нужно опреде-
лить моменты Y (t) до четвертого включительно. При вычислении
этих моментов необходимо определить математические ожидания:
м [X2 (^) X2 О, М [X2 (^) X2 (t2) X2 О и М [X2 (М X2 (t2) X
X X2 (t3) X2 (^4)], для определения которых нужно взять производ-
ные соответствующих порядков от характеристической функции,
системы нормальных случайных величин. Например,
di
r	2
exp — у 2 knuiui
I L j,i=i JJ «1=а2=о
где II kji || — корреляционная матрица системы случайных величин
Xft), X(tt), X(t3), Xft).
M [№ ft) X2 (Z2)] = 2XJ ft - Ц + Xi (0);
M [X2 ft) X2 X2 ft)] = Ki (0) + 2X2 ft -t,) Kx (0) +
+ 2^ ft - Kx (0) + 2Ki (ts -Ц Kx (0) +
+ 8Xx ft - Kx (tt - tt) Kx (t3 -18);
M [X2 ft) X2 ft) X2 (t3) X2 ft)] = Ki (0) + 2Ki (0) [X2 ft - ti) +
+	- h) +	~ *i) +	(^з -	+ Ki ft -1.) +
+ Ki (t3 - ^)] + 4 \Ki ft - Ki {t, -13) +
.	+ Ki ft - Ki (tt -+ Ki ft - Ki ft - ^)] +
+ ZKX (0) [Kx {t3 - tt) Kx (t, - ta) Kx (t, -13) +
+ Kx (it -Kx (t3 - tt) Kx (tt -ts)+.
+ Kx (4 - tt) Kx - tt) Kx («4 -	+
+ Kx (t3 - tK) Kx (t3 -13) Kx (t3 - ^)] +
+ 16 [Kx (G -13) Kx (h - ts) Kx (t3 -1,) Kx (t3 - tt) +
+ Kx (t3 - Л) Kx (tL - tt) Kx (t3 -13) Kx (t, - <4) +
+ Kx ft -13) Kx ft -- Kx (t, -13) Kx {t, - Q].
600
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя полученные выражения в общие формулы для
ментов решения дифференциального уравнения, получим
Sk= 2 /W+iM; вхдзГ^1+^; + 2-- 11.
k + ar 1	" L (& +«)	+ 2a) J
35.30.	При т^О будем иметь
Ryz (г) = 2я <МгС)8 v
<о2
X e-h^ 2б)2(^1 +^2)C0S(Q2t — м —-	— (hj + Л2)2] sintOgT j
[(ю2 — (oj2 4- (лх 4- й2)2.
при т<;0 будет
R	X
“1
v Лг 2®! (ht 4- й2) cos 4- [(®| — u>l) -|- (hi 4- й»)8] sin «jt
[(«2 - ®J8 4- (hi + Л2)8] к®. 4- “1)2 + (hi 4- Й2)8]
= ykl-h'i, 0>2 = Yk‘i-hi.
Cb2 + a'i) /27
35.31*	. D [Г(0]=-^-4—-------X
t-2aa
t
хА
2?(2oaC-o8t-a) w
-ое(2/-г)-й1
«в /2
- ехР (°«Т - Й)2 w
dr, где w (z) — табулирован-
ная функция (см. В. Н. Фаддеева и Н. М. Терентьев,
Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргу-
мента, Гостехиздат, 1954.). § *
_	_	 t
35.32*. a (0 4- /₽ (0 = (Xi 4- **2)^ exp {— atx - dtv\
ti
a2 = 2( (^-^^(t)^.
§ 36. Оптимальные динамические системы
36.1. Определяя Кх (т) как корреляционную функцию суммы
связанных случайных функций и применяя к полученному равенству
обратное преобразование Фурье, получим Sx (со) = Su (со) 4- 3* (со)
' + Sav (со) + $*„ (со). 36.2. Sxz (со) = ZCO (СО) + Sva (СО)].
36.3. 2>(no) =	D [е (0] = 0.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
id*

I2 е~1(ЛХ___
36.4. L (1ч>) — в, ^2	р2)2 ь2 (а)2	а2)2
[<» - '»> (ЙЙ9’	<•>+« ч- .«№
+<"+"> (»+%+!)';
где
36.5.
т =
v2 — р.
п
_ a2₽s 4- />2а2
|Х~ й2 + Й2 ’
LG.) = a- (* + ?)(<>-'?). где
L( ’ с2 (а + d) (<о — id) ’ д
a24-Z»2
c = )/a2 + ft2, d = у |/ а2₽2 + />2а2.
36.6.
D[e(Z)]=	| N (1<о) |2 SB (<о)	-
— ОО
- $ |4(MI2[suH + s^“) + S„,H + S^W]rfu.
— 00
36.7.
__ /а2 ( m-{-in	<о 4- т — in
2шс2 \[т + i (п 4- nj)]2 — mj ' (<о — mi — int) (w 4- mt—int)
— m-\-in	«— tn — in	1
[m •— i (n-\- nJ]2 — m'i (<o — mi — in^ (<o 4- mt — ini)) ’
где
ot = J/Vf-H‘4-₽2,	n = //₽4 + 74-₽2,	>
Im
DM0]=<
gj» Г| Д I2
2m2c2 L n
где
л	m 4- in
A «—	1
[m2 — tn'l — (n -|- «i)a] 4- 2Zm (a + ni) ’
36.8.	L (io>) — e"“T. 36.9. L (iw) —	[<<ot 4- (1 4- x)].
602
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
36.10. L (no) = £cos ffc — — j-j sin {fcj 4“
+ 1 [(2₽ — a) sin — a cos PtJ
D [® (T)l =	{("" ^ja^' * — «"S₽T [«OS ₽X ~ (1 ~ y) Sin ₽x]2 ~
- е~Ф [c°S M- (1 - sin
чзбл1-£<г“)=Я^е_ат^’ где e2=e2+*2-
= ^-(«2p2+*2»2).
36.12.
L ™	{(“2 + P’)^’ - [4^(“ - M (“ - '?)},
где
1	1 aS	aa;
°8 = - (4 + P»SX *2 = ^-^ + “^), c2=^.
36.13.	L (1<л) = e-aT ^cos at -f- sin at -|- i — sin at^ ,
36.14.	L (im) = e'aX<> k"/₽T° IP “ 1 ~ (“-Р-Й
+ Л» [₽ + i(a - 7)] (<o + ₽ - /a)}; D [e (<)] - p’ + «|(«2 + P2)] -
Г 1	f A2 \1	2afl
— 2asn?2Tt |^— | Л |3 — Im ;--jJ, где аа = — a (as + 02) n%
А = ^е“(а-адт,> (₽ + ia — if), 7=^.
36.15.	Искомая величина характеризуется средней квадратич^!
ской ошибкой оптимальной динамической системы, равной соотвеД
ственно 1,67; 0,738; 0,0627 м/сек. ае = 2аг> "|/"+ «2f
36.16.	D [е (£)] = 4a-аМ, где d =--------------j--,	7 = ai|
4 + 47 + 72 + ±73
что дает для ае значения 1,62; 0,829; 0,0846 м/сек.	*
36.17.	D [. W1 = .S (• + П - 5g + 2-^ + p. + (gfc). *
Х1?,-< + ..) g, ™ »- = g=;	=
*1= Cl = “ (ao + «x) (aB + IW + (ao-a)2l J
‘ ' • WK
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
г	— а —1'3
*" 23 (3 +	+ f«i) (3 + *а + /31) (₽ + £а — /ат») а 4"	>
k2 Г1	k2\* ———————
'И^а2-32 + у + у (а2-32 + у) ~(«2 + ₽2)2-^Ч;
в f + _ |Л[«- _ f-+_ („ + fc _ s-«..
mis. A(M = g+“2!(_L+ 1
4 7	4а3 (а -j- 1со * (а ^)2	*<*>	(о2
Ч«>Г Г.-«г (? + 1Т 7	\ h + ^T Х2Т[ (со — га)8
~"е	[_ (а -(- 1а> ' (а 4~ iv>)2/ iu> ®3jJ 4а3
X [За? -7 + 2а1, - X, - «<о (? + Х4) ] - l?±^V-g-<°>r х
X {«'“Г 1“ Ф + 7Т) + 7] + 2а (X, + Х2Г) + х2 + и [<р + 7Г) g-“r +
+ (\ + V)lh где Х2 = 44(Н|:~/-- - у X» = - 0,015202 сек.-1,
4 Га2[л3 — а? + 74-~s~ Фа _ р)1
Х2 =--i = — 0,0112 сек.-1, н = 1,
_1 № + а27’а + 4а:Г4-4
|Л2 = ТО, р=(1 4-ат0)с "о, 7 = аг"»; D [е (Z)] = аЦ 1 4-Хл 4-
+	~	(2«₽ - 27 + aKt - Х2) -1 (7 4- Х2)] = 0,4525.
36.19.	Общая формула для L (1(о) та же, что и в предыдущей
0	1 л	2	-»тп.	2 -атп.
z ..	;	р-2 = L 3 — —а v °> 7 = —ае °>
А1 = 4,58- IO-3;	Х3= —2,54. IO"1; D [е (()] = а2 р -|- ХЛ —
- А (2а? — 27 + аХ, _ Х3) -1 (Т + Xt)l = 0,0110 сек.~2.
1(0
36.20.	I (т) = S (т); D [е (f)J =5= 0.
36.21.	Для первой системы L (leo) = [(w2 -|- а2 — З2)2 + 4а232] X
v /21' I2 I "Г *	I ^3 Z	__ — 1(0 т Г ^1 ~1~ ^2 Т  Х2
(ico (о2 . 2(Q — (о) ' 2 (Q-j-^) L	(о2 ‘
+Йй) <'"+ЙЕЙ -’‘"S “ “ <’+m х
X [2а (X! + Х4) - Х3 — X3Q - i (X, + Х4) со] - «-‘“Г [<о2 - (а2	?2) +
2!аш] [2а (Х4 “[" Xg?44“ Х3 sin QT 4~ X4 cos SIT') 4~ X2 4“ X3Q cos SIT* —
—X42 sin 27'4-la> (Xj 4“ Х2Г4-X3 sin 2Г4-X4 cos 2Г)], где постоян-
ные Xn X2, X3 и X4 определяются системой:
Xi 4- ЮХ2 4- 0,1244Xa 4- 0,9903X4 = 0,000578,
Xj 4- 13,4034Xs 4- 0,1728X, 4- 0.9620X,	~
Xt— 0,8752X2 4- 0,1657X3	------
X4 4-10,1831X2 4- 0,1236X3 4- 0>89X.
4 = 0,
0,9837Хл =0,
-------.4 = 0,000584,
604
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
которая имеет решение: Х4 =— 0,0018;'Х2 =0,000011; Х3 =— О,ой
Х4 = 0,0036. Дисперсия для оптимальной системы первого тш
D [е (Z)] = 0,135 • 104 Для второй системы вид L(iu>) сохраняеЦ
тем же, но Х1 = )ч2 = 0, а Х3 и Х4 определяются из системы
Х3 + 5,937Х4 = 0,
Х3 + 8,ООЗХ4 = 0,0047,
что дает =— 0,0136; Х4 = 0,0023. Дисперсия для этой систем
D [е (/)] = 0,266 • 10~4.
36.22. а = D [е (Z)] = 0 ~ е“2ат°) 4.
* 36.23. а = е ат fcos	fk -|- ~	sin рт?); Ь	= ~	е ат sin ₽т;
\ i Р J 2 Р
=	^1 — е-2ат (1 + 2 у sin !3т cos ,3т + 2 ~ sin2 j .
36.24	. a =  °" - e-^o; D [e (/)] = »» (1-----
D h (0] =«
е-2ат0
а2 -U R2
36.25	. a =-----е“ат° sin ₽t0 = — 0,09721 сек."1;
b = e ат° ^cos pr0 — у sin {koj = 0,9736; c = 0; D [e (Z)]
= 0,404 грad2lсек2.
36.26	. a = e“aT°(cos +4- sin = 0,99; b = 7e-a'° sin 3t0 =s?
\	P /	’ P
= 0,20 сек.; c = 0.
§ 37.	Метод огибающих
37.1.	Ka fr) = ’1 [2Е (И 1 - <72) - <72К (V~T^q») —	, где q3=>
ОО
= 1 — й2 (т) — г2 (г); k (т) = e~atт!; г (?) =	( —rzpaV’	=
()
= — [«га* Ei (ат) — еат Еь(— ат)];	Ei ,(х) — обозначение интеграль-
х
С еи
ной показательной функции: Ei (х) = \ — da.	37.2. Так как
— 00
Sx (а) = а2 22” Sfr- , ТО 0>1=|г>	“2=а. Р (4>	0) =
Х 4 Х 7С (<О“ -j” а )
= 2-[1 Д-—\ =0,818; Р(Ф ^0) = ~-fl — —=0,182, они не за-
2 \ ~ п ]	’	2 \ к J
висят от а.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
605
“ 37-3-р<ф>°)=4[1+г/а2+₽а(т+агс,^2^г-)];
pp^O) = l[l-l^ + ₽a(j + arctg^
а
37.4. Р = 0,5 и не зависит от -д-.
37.5. / (|) =
37.6.	Фаза рас-
пределена равномерно в интервале [0, 2л].
+-^)Т+
37.7.	/(ф) =
+ («2+in
37.8.	'/(а, й) =
	 а___________
aaJ/2^ ]/l-p
exp
37.9.	Так как k (т) = е-« И I (1 + а | т |), k (2) = 0,982,
00 . _
(* 2as	1
г (2) = 2 \ гс (<о2 +'а^)~2 sin2(od<o = ~[l,2e-0,2Ei(0,2)—0,8Ei(—0,2)]=
= 0,122, то
। ч 48,08а	(	24,04«1	г
f (aa1	«1 = ®х)= —Ч—	exp J------тз—- — 23,2	/0	[47,56	).
°х	{ °х	\	с*/
37.10.	Так как Д2 = <о» - <о2 = (а2 + ₽2)	+
А2 а2\21	Д
+ arctg  n o " ) = 0,0089, — = 0,0135 <1, то пригодна прибли-
2ар / J	<о2
х/ч	4,457т. Ю"3
женная формула	------------д—.
Л (Л-0,693) 4-8,9.10-»] ,г
37.11.
____________0,041 я______
г2 Г —0,647? 4-0,0814
37.12.	Искомое среднее число выбросов равно вероятности
произойти выбросу в единицу времени р = 2	е~2 =
= 0,083а сек."1.
606
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
37.13.	0,0424а сек."* 37.14. /(?21 ?i) = ^- j
+ (1 -^у/'г [у + arcsin х j j-, где q*=l- k* (г) — r*
~ — (у 4-arctg	=4,53 сек.; /г (г) =—0,95;
ОО
Г (г) = 2 Л [(<оа -|- а2 —"р2)2 4- 4аа{12] Sin “Т rfT’ Х =	1	COS(s>2-7);'
7 = 179°;	D[X(; + ?)]«=M[Xa]M [cos2 Ф] - {М [Д] М [cos Ф1}«-
2тс	-	2тс
М [cos ф] = § / (<f>2 I <Р1) COS (р2^?2» М [cos2 Ф] = f (<р2 | cpj COS2o2cfya.
*0	0
37.15.	RXy (т) = 2а^ Sx (<о) sin аги eta =
о
9 °2
___2а (а2	₽2) Gx С	sin <от
“ к J (со2 — р2 + а2)2 4- 4а2^2 d(* •
0
Глава VIII
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 38.	Цепи Маркова
38.1.	Следует из равенства е?а+₽ =	38.2. р (3) =р (0) /?,
где R — ffi2^3 ~ II rij ll> Г1 “ tai = Г22 == Г33 “ а1 + а2 + а3 "Ь
4"^а1а2аз; Г2 = Г12 “ Г31 == Г23 =	(а1а2 4~ а2а3 + а1аз)» Г3 = ^'13 =
= tai = tas = 3 (а£а2 4- а-а3 4~ а2а2); р (3) = [гха 4-	4- r2V W 4“ч
+	4- tai; rsa 4- r2? 4- tai]- •	;
38.3.	Состояния: Qt — все встречи выиграны, Q2 — имеется один
ничейный исход, Q3 — спортсмен выбыл, из соревнований. По фор-
муле Перрона p(/j)=p(«)=p(«)==0, p(f==l,	=	Р^} = 1п»
Р^ = 1 - 1л, Р[”> = 1 -Р^ — Pty,

ап —
а -I
При I 7^ «,
П^ап 1 при 7 = а.
38.4.	Состояния: Qt — прибор исправен, Q2 — вышло из строя
блокирующее устройство, Q3 — прибор не работает; р(л) =р(л) =
=/’(») = 0. Ptf = (1 - « - РЛ Р® = (1 - 7)n, Р® = 1, Зр(? =‘1 -
ОЗ	11	л	t 44	оо
- (1—1)п> р^ = 1 -р'">
p[f=
_[(1 _а-Р)«_(1-7)«] при а + ₽^7,
па (1 — l)71-1	При а 4~ ₽ = 7-
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
38.5. Состояние Qj (J = 0, 1, 2, 3) — в соревнованиях участ-
вуют j членов команды. При i<k Р^— 0	^ = ^,^,2, 3),р^ — \
Р(п) = а» р(«) = Р» рШ = 7nt Р(„) = 1 _ р(л) = ₽1/ (й1	₽)’
р<$ = 1 — р$ ~р(£}’ Р& = T1Z (₽. Т)>	= V («, 7) + ftYi? («, ft 7),
(р1_fyn
/>(,«’= 1 ~рп ~р(£} ~р{$’ где ^(a’	= a — b' f(a’ e) = nin~2
п \ f (а> 7)—/(ft 7)	/	\ пап-1 ап—уп
о (а, В, v)==<AJ....L/ < \Г._L	ф(а, а, 7) =--------------Ц
, \ > г» I/	а — р »	т \ >м а — у (а — .^2 j
^(а, а, а) =-^-П (п — 1) ап~2.
38.6. Воспользоваться формулой Перрона при характеристиче-
т
ских числах X^=p^(Zj = O, 1,..., т). | \(§ — о?5 | = JJ (X —-pv).
।	__ <Я5 I	V О
При i > k Aki (X) = 0, Akk (х) =	• ПРИ k > 1 Aki (х) =
| Х<^ — ^ | Dki (X)
k
v—i
Когда характеристическое число Х=р имеет кратность /и, а
характеристическое число Х=1 простое, | \<§ — | = (X — р)т (X—1);
.	I Хё° —	. ,чч I Xd? —	|
mW— } j > Akk W— р (fi — 0, !>•••> т О»
При i>k Aki(\) = 0, Ami (X) =	• ПРИ k>i,
hr+m	A ш_ l^-^IO«(X)
kzptn	Aki (X)
38.7*	. См. задачу 38.6. Рекуррентная формула следует из срав-
нения двух выражений для вероятности р^^ в соотношении
k	k
,pik+l) = S p‘sp{sk = S p(i?psb-
S=i	s=i
38.8.	Состояние Qj — в урне /белых шаров. При J>i Рц — fy
при i^j Ру — -~. Характеристические числа Хо = 1,
\k =z -	(&=1, 2,..., т) простые. Транспонированная ма-
трица оР’ — верхняя треугольная; вероятности р$ определяются
с помощью формул из условия задачи 38.7. При ^=6, /л = 3
р^=р^=р^^р^=р^=р^=^	^)=1-	^)==i>
^’=i> ^)=i. ^,==1-i. рй)=х1--2^г+^-
608
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
 .	i
,.	„ /1	1\	,,.3.3	1	1
~2 \2Н	5я)’	Р"о 1	2Я~^5Я	20я’	рз'?’=3<
= 3	~' 5я + 20я) ’ Рй’ = 3 (б" — 20я) ’
38.9.	Состояние Qj — наибольшее число выбитых очков равна
N+J',Pii = ^, Pij = 0 при !>/; Ра — — при i<Zj (см. пример 38.1);
ри} = (^)"; р® =0 при z > k> р* ==(^)П- {~^г}П при 1 < *•
38.10. Состояние Qj — на участке длины L осталось j цилинд-
ров (j = 0, 1,..., т). Вероятность столкновения шара с цилиндров
равна /а, где а = -^~2----; P/,/_i==ja,	Р//=1—/а, Р/г=О
при i^j и z T^y — l (f, j = 0, 1,..., т). Характеристические числа
ХЛ=1 — ka (& —0, 1,..., т), Pik=® при i<k. При i^k
Aki (X) = az-A ~	1	-----. По формуле Перрона при
Д (X — 1 + vx)
»=k
р®=«*-к
>" (X — Ху)
П (х-1 +™>
v—k
i	i—k
=s i *	= c? 2 < - >• c-_. 11 - (6+<> >1-.
j=k	v=0
38.11.	Состояние Qy(/=1, 2,..., m) — поставленные точки
находятся в j частях области D; Pjj- — , Pj,j+i = l—^<
'	Hl	fil
Характеристические числа Xr =(г = 1, 2,..., m). Из ffiH — HJ
cr~\
следует hrk =	— а из — JH~l и — $
Cm—1
следует	=	p^ =0 при
k-i
i>k, а при i^k p$ = Ck~2i (-1	Crk_i (ДР) roe
r=0
решение — см. задачу 38.10).
2тс£
38.12.	Положить e = ^w. Тогда H= || hjk || = I! e(/— 1)	!>,
609
___	- ^.V*
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
т	т
=2 м(г-,) (* --=1. 2> • • •.	= 4- 2х? ‘(г_,)
г=1	,	Г=]
P(J°} = ^U, k=\,2.......т).
38.13.	Состояние Qi — частица находится в точке х^р^^ = — э
т
phi+i = \—l- (Z = 0, l,...,m). Матричное равенство H~Y^~
= II ^ij^i II эквивалентно уравнениям (1 — £2) R'. (6) =
о, 1..... /л), где/?,(€) =2 eMr1’=
Л=0
= zn (X/ — е>/?# (5)
= С/ (1 — 8) 2	O+S)2 .Так как Ri (6) — многочлен, то
2Z
характеристические числа Xz == 1 — — (i = 0, 1,..., т). Из НН~1—(о
т	т	т
следует g’’ =	Ы*=2 ЛуЛ/ (£)’ Полагая С = KR ’ С> = 2
k=0	/=о
для определения элементов htj = матриц Н—Н~1 получим
выражения	%
т	т	т
2 М' = 2 ^7'V=2 2 (1	(1+£)«-* (i = 0, 1,..., т),
/=0	j^O
Л,7=2 ” 2 (“О* CJm~st	(Cf = 0, s > v)
s = 0
Л = 0	1,1 J
38.14	. Состояние Qj — в приемнике автомата j монет по 5 коп.;
Роо = ^ Ртт^р, Ppj+i=P, Pj,j_i = q (7 = 0, 1,..., m). Харак-
cos—(k = 1, 2,т).
т + 1
теристические числа: Хо=1, Х^ = 2]/р^
J
& — Н\\ bikKk II /7-1,тде Л/о=1 (j=0,1,..., т), hjk— МЧ X
/+1
. (/4-1)^ f q\ 2 . jkn л , i n ч
X sin u ' -.-С--—	sin-4— (/ =0, 1,..., m; k = 1, 2,..., m),
m+1	\p J m +1 v > >	> >	» n
k
h^ = C^k(k = 0, 1, ... , m), h^ = Cj [(f)- Sin
20 Б. Г. Володин и др.
610
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
/г—1
/ \ 2 Ъ ‘ 1
— ( —)	sin —(/	= 1, 2,...,	т; k = 0,	1,...,
\qj /п+lj	v	f	>	>	>
m). Постоян-

ные Cj определяются из условия H — Со =-
2 Г	_? h	’	1
^ = ^7i[l-2/Mcos^j (й=1, 2....... т),	^) =
=2АМ') (' k = 0, 1,..., т).
М
38.15.	Состояние Qt — попадание в мишень, Q2 — промах; ри=а,
Psi — & Р1 (°) = У (« + ₽), Ра (0) = 1 — у (а + 0), [Р1 (л); Ра («)] =
= [А (0); Pi (0)] • ffin. Характеристические числа:	= 1, Х2 == а—р.
По формуле Лагранжа — Сильвестра при Х2 1	= -j-!——- х
1 — а 4" р
х - (а - ₽) С? - (а - ₽)" (0s - «?)], а (л) =	(23+
2(1 — a -f- р)
_|_ (J __ a — р) (а — ₽)п+1]. ЕСЛИ Х2 = 1, ТО $>п = &, Р1(п) = ~.
38.16.	Из2 P(f°} = 1. £ PifP^ =P{j°} <j = ’’ 2.m> сле-
i	А=1
дует, что = — (j == 1, 2,..., т).
38.17.	Состояние Q,- — в первой урне j белых шаров;
_2j(m-j)	.	,.n
Pjj— ma > PpJ+i--------fffa > Pb i-i — v — °> l, ••,11).
Цепь неприводимая и непериодическая, р^ =р^\ Из системы
P^^P^xPk-uk+P^Pkk+P^iPk^k (й = 0,	полу-
т
чается р^ =(Ckm)^\	= У (Ckmf = Cfm, Р^=Р^ =
(fk \2	Р° k=0
=	Ь--, т).
2т
38.18.	Состояние Qj — частица находится в середине /-го интер- •
вала деления отрезка; Рц==9, Ртт=Р> Pj,jvL—P, Phi-i — Q
(/=1, 2,..., т). Цепь неприводимая и непериодическая. Вероят-
ности р^ находятся из системы
qp^
рА+рр^=р^\
PP{k^i + «pI+’i =Р^ (Л = 2, 3.т - 1).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
611
т
Тогда р£°> = (-£-)* ’р',”’, У/>^'=1. При р = 7 p<°°> = _L
а при p^q p(“’ = ------ qm	' (A = l, 2, ..., m). Вероят-
~ \ V/
ности p^ можно также получить из р$ при п —> со (см. за-
дачу 38.14).
38.19.	Цепь неприводимая и непериодическая. Из системы
со
2 ЩРц = »/(] =
1=1
1,2,...) следует, что п;- = и{
оо
Пр Так как V
0 +
1, то ненулевое решение
существует. При этом
2 l“/l = l“il 2 7Г==1“>Ке- '><00, т. <?.
/=1	Л=1
цепь эргодическая, pj?0’ = -1-p<°°>, -L- = e - 1, p^’ = J
p\ ’
(/ = 1, 2, ...).
38.20. Цепь неприводимая и непериодическая,
оо	оо
5 uiPH — ui <J = 2> • • •) следует. что «1 = Я 2
i=i	i=i
Из системы
uit Uj = Utpi l.
При этом 1м/1 = 1м11	1 =	< оо; П0ЭТ0МУ
ческая; р^ — р^ р^ = q, т. е. р^°} = qpJ
38.21.	Цепь неприводимая и непериодическая,
оо
щр^ = Uj (J = 1, 2, ...) следует, что Uj
цепь эргоди-
(/ = 1, 2,
Из системы
ТсГЛГ e = 2’3, ">
«1
Ряд 2 l«/l = l“il 1 + 2 2(7- 1)
расходится, т. e. цепь не
эргодическая. Это нуль-регулярная цепь, для которой р^ = 0
(i, /г = 1, 2, ...).
38.22.	Состояние Qj — частица находится в точке с координа-
той /А (/ = 1, 2, ...); рп = 1-а, рлу+1=а, ру+1>у = р, р/у =
— 1 — а —р (у = 1, 2, ...). Цепь неприводимая и непериодическая.
20*
612
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из системы П/ргу== П/следует, что uk
Mi {k = 1, 2,
со
При j < 1 ряд
л=1
ская; /4°°’ =	'
X (1 - (k = 1, 2,
| Uh | = —1-^-1— < оо, поэтому цепь эргодвд!
1
-JL ,т.е.рГ = (тТ
...). Когда	цепь Маркова нуль-рег|
лярная; р^ = 0 (jt £ = 1, 2, ...).	'•
38.23.	Так как 1^ = 0, то «/= 2	= 1 (/= 5 + J
s + 2, ..., т).
т
38.24. Из системы ау ==а
получается а/.= г—1—у
S “. + ₽(/ = '• +1> г + 2,
V=r-H
- (J = Г 4- 1, г 4-2, ..., т).
tr
38.25.	Состояние Q/— у игрока А имеется j рублей (j =J
= 0, 1, .... и); р00 = 1, Ртт = Ь Pj,j^i=P. P],j-l = q U=§
= 1, 2	т — 1). Вероятности aj=p^ разорения игрока А
определяются из системы	'
“i = “2P + ?. am-i = qam-i> ai—qai-i+PV+i
(j— 2, 3,	, т — 2).
Положив aj = a — b	%—j7,	находим: при P^q а/~
1-(£)тУ
=----- / п\'т ' а п₽и Р — Я а/=1 “4" (7 ==1’ 2’ •••’ m - Ч.
1 — I — I	ni
\q)
Вероятности разорения игрока В aj (В) = 1 — «у (А). Другое ре-
шение задачи получается из выражения для при п~>оо (см.
пример 38.2).
2izi
38.26.	И = || h/k || = II е(/-1) {к~ ° || , где е = е~^. Тогда &>Н =
==#[|\fe^||, гДе =	1 (£=L 2, ..., т). Так как |	| = 1, то
т
период *= т.	||	||	1
V=1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
613
т. е- Pjk = ь если n+J — k делится на т, и р$ = 0 в противном
случае (у, k=\, 2,..., ш). p$n+r} = 1, если r+J — k делится
на /л, и	= 0 в противном случае (r = 0, 1, т — 1).
ч т — \
«‘=4-,'” 2«"+',=т<л*=1.2.
г — О
38.27.	^ = |“П ^||;	|Х^_^| = (Х — а)(А* - 1), А, = 1,
II О |
2кг
Х2 = а, Х8 = е, Х4 = е2, где е = е 3 . Период х = 3. При /, k =
= 2, 3, 4 р<$ = 1, если п 4*7 — k делится на 3, и р^ = 0 в против-
ном случае. По формуле Перрона
„(я) _ ап (а2р 4- «8 + у) е"-‘ (fc2 4~ 8е 4~ у)
112 ~ 3	1 —а8	(а —е)(1—е)2
e2»-i (ре« 4- 8е2	7)
3(а — е2)	’
(л) _ 1 _ °” («a-r + «m) , е"'1 (Т*3+ ?* + ») _
Аз ~ 3	1 - а8	(а — е) (1 — е)2
е2п-1 (7е< + рИ.Н)
3 (а — е2)
> _	_ а” (а25 + а74-р)	e»-‘(8e2 + 7S4-p) _
Pli — 3	1 — а8 "Г (а — е) (1 — е)2
£8Л-1(8И+7£3 + р) _	(п)	(л)
3 (а - е2) -i	“ P1S	Р13’
i А” И*"’+4"+"+'>8"+!1  
А1 = 0(/ = 1. 2, з, 4), да, = 4~ (4 = 2. 3, 4; /=1, 2, 3, 4).
38.28.	Цепь неприводимая и периодическая с периодом х = 2.
Первая группа — состояния с нечетными номерами, вторая — с чет-
ными. Тогда lim	= р^\ a lim = 0, если j чет-
n-*oo J	п-*<х> J
ное число, и lim	a lim р(Дп + 1) ==р(л2оо), если — не-
четное число. Средние предельные абсолютные вероятности =
== 1, 2, ..., 2/п) определяются с помощью равенства
^ = д42о°)=хД = ^-(й=1, 2, .... 2т).
38.29.	Состояние Qj — частица находится в точке Ху (/ = О,
1,..., m); Poi = l. = Pf,i^i=P< Pj,i-^—4(j = *> 2. •••
614
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
т—1). Цепь неприводимая и периодическая с периодом
<7Р1=Ро, Ро + ЦРъ ~Р1-> РРт-2~\~ Рт~ Рт-ъ РРт-\~Рт> PPk~i-\-
1
+ ?A+i=P*(*= 1> 2........ т-1).	При р^др0=^----------
2 ! _IP\mI
\q)
х_р_	1_£
^ = 7(7)	h =	\-1Р\т (Й=1’ 2’
{qj 1	1 [gl
.... т-1). При р = 9 Д=^т = 2^, рк=- (й= 1,2,..., т—1),.
38.30*	. Состояние Qs — минное заграждение состоит из т — §
мин (s = 0, 1, ..., т)\
Pss=Ps(s = 0, 1,..., т - 1), рт,т = \,
Ps, «+1 = 1 - Ps = 4s (8 = 0, 1.т - 1).
Для определения вероятностей Pk(n)=pfy воспользоваться фор-
мулой Перрона или условием задачи 38.6. Р0(п)=^
Р*(«)—I JJ 9sj 2 (р~ра)(pj—pt).  (pj—pj-i)(Pi—Pj+i)-•  <J>j~Pk)
\s = 0	/ / = 0
(k = 1, 2, ..., m).
При /2—10, m = 2:
- pQ = 0,910	0,349,	^0,500,
Pi-po
P2=l -Po -Pt^ 0,151.
38.31*	. Pqq — Po, 0 + Po, P Po/ — Po,/+i (/ — L 2, ..., tn 1); рц —
= Pifj_i+l (j=zi— 1, Z, ..., //г — 1; t = l, 2, ..., m— 1). Цепь непри-
водимая и непериодическая. Вероятности р^ = р^ (Z, у = 0, 1, ...
..., т — 1) являются решением уравнений:
(Ро, о + Po, i) + ^i, оР^ =р(°0);
С/=1, 2, .... т-2);
5 = 0
т — 1
2 Ps.m-sP^^P^-l,
5=0
т — 1
2 р/”’-1-
/ = 0
0 = 0,1...т-1).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
615
При т = 3 вероятность Р^,, = 0'^-1. Система алгебраи-
ческих уравнений:
4 рГ + 4 рГ} = р^}; 4 р'^ + 4	+ 4	= Р(.м);
+4 р{"’ + 4	=р™ •	+р(?}+р^}=1 •
О	4	Z
Р(^ = ^, Р^Ц’ Р^ = Г7'-
1 -22	1 -*2	t -22
*00   4 , *11    8 > *22   5 •
38.32*	. Состояние QL — попаданий нет, Q2 — попал первый
стрелок, (?3 - второй. рц = pJa=p1, р13 = q,pa, ра = рм = 1.
QL — несущественное состояние, Q2 и Q3 — существенные состояния
поглощения. Рх=р(ор), P2=p(s^)f
Pl =PllPl + ^12, P% =P11P2 + P13> *=1+Ph*,
Pi =-7—~, P2=  ?1Z>2 - = 1 — Pt, t = ; 1----.
1 — 9i9a	1 — 9i9s	. 1 — 9i9s
38,33*	. К or да Pa == P22 ~=' , *11 ~~ *22 — 1 • При рц ;—- 1, 0<^2/^22<^ ?
состояние Qi существенное, Q2 — несущественное; fn = l, ?2i =
= F2= 1 -|-p22^2, T- e« *21 ~	. При p22 = 1, 0 c ptl < 1: f22= 1, £13 =
P21
== — в остальных случаях Qt и Q2 — существенные состояния,
Р12*	2
tij= 1 + S Р/Л/ (G J== 1, 2X т. e.
V = 1
^12=-—,	^21 = —,	*11= 1+^,	*22 = 1+^.
P12	P21	P21	P13
38.34*	. ?0 = 1 + 2 Pi.4 (h /=1,2, 3).
V = 1
7 =	1 ~bP13 I 1 ~\~P12	___ 1 4~P23
12	1	P13P31’	13	P12P21 ’	21	1	Р23Р32 ’
7 ___ 1 Л~р21 -f _____ 1 +P32	7	1 H~p31
23	1 ---Р12Р21 1	81	1 -p23p32 1	32	1 —Р13р31 1
~t - А ~t - Д ~t - А —
1-^23^32’	™~\-Р1зРз1>
Д = 2	Н-Р1зРзЗ — Рззрзз*
616
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
38.35	*. Параметры ff = M[7^] являются решением уравнений
т — 1
tt = 1 4- 2 PiJ^ V = 2» т “ Т' е*
fl = 1 4-/^2, ^m-i ~ I + ^т-2,
~tl = 1 4" Q^i-i 4~ P^i+i (г == 2, 3, ... , Ш 2).
При p^q ,
,= '
‘	ч-р
+ Г1 _ (£f4 _ (т _ f) f! _ М (£Г-/-* ]
(я- р)1	\Ч/ v \	Я1\я1 J
(i = 2, 3, ..., т— 1).
Если p — q, то ti = i (т — Z) (Z = 1, 2, ..., т — 1).
9
38.36	*. pj (п) = 0, 1	(7=°, 1,-..,9), где pSj — вероят-
5=0
ность того, что в результате одного умножения s на случайное
число получится число, последняя цифра которого равна /. Характе-
ристические числа: Хх = 1, Х2 = 0,8, Х3=0,5, Х4 = 0,4, Х5 = ХЙ = ...
...=хи=о.
Не равные нулю вероятности перехода:
pin) = 1, р$ = 1 - 0,8я - 0,5я + 0,4я (k = 1, 3, 7, 9);
/>'")=!-0,8я (fe = 2, 4,6, 8); /$=0,5", р<"> = 1-0,5";
р<$ = 10,4я (ft, j = 1, 3, 7, 9); р$ = 0,5я - 0,4я (k = 1, 3, 7, 9);
/4/=-у (О,8” — 0,4я) (*=1,3, 7, 9; /=2,4,6, 8);
р^ = 1о,8я (fe,/ = 2,4, 6, 8).
р0 (n) = 1 - 0,8я+* - 0,5л+1 + 0,4я+1,
Pi (л) =Рз (п) =Pi (п) —р, (п) = -|-0,4я+1,
Рз (п) = рь (п) =рь(п)=р3 (п) =	(0,8я+1 — 0,4я+1),
р6 (п) = 0,5я+‘ - 0,4я+*.
Решение можно упростить, так как в матрице перехода имеюта
одинаковые строки.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
617
9
38.37	*. ру (и) = 0,1 2	(/ = 0, 1,..., 9), где р5;—вероят-
5 = 0
ность того, что при возведении числа s в случайную степень
получится число, оканчивающееся на j. Характеристические числа:
Xj = Х2 = 1, Xg = Х4 = 0,9, Xg = Xg = Х7 = Х8 = 0,5, Х9 = Х1о = 0,1.
Не равные нулю вероятности перехода: р(«)=р(п) = 1;
р$ = 1 - 0,9" (k = 2, 4, 5, 6, 8); р$ =4 - 0,5";
р$ = 1 - 0,5" - 0,2 • п ; 0,5""1 (k = 3, 7);
р(") == 0,5 (0,5" + 0,1") (k = 2, 3, 7, 8);
4"’= 0,5" (ft = 4, 9); ^> = 0,9я (Л =5, 6); -
pin) = р(п) = pin) = pin) — 0,5 (0,5" — 0,1");
28	37	78	82
pin) = р(п) = pin) = л(д) = 0,2п0,5"-1;
pOj) = pin) = 0,9" — 0,5" — 0,2/z0,5"-1; pin) = 0,9" — 0,5".
= 0, 1,
pt (я) = 0,9 - 0,5 • 0,9я - 0,3 • 0,5я - 0,04га0,5я-х,
Ps («) =Рз (п) = р7 (га) —р3 (л) = 0,1 • 0,5я.
Pi (га) = (га) = 0,1 • 0,5я + 0,04п0,5п-\
ръ (я) = 0,1 -0,9я,
(я) = 0,4 • 0,9я - 0,3 • 0,5я - 0,04га0,5я-1.
§ 39.	Марковские процессы с дискретным числом состояний
39.1.	P„(0 = e~XpZ^y^.
" '	п\
39.2.	Рп (t) =	е~(Xl + Xs)z.
t
39.3.	Pn (t) = +*)]П e~A w , где Л (t) = X [1 - F (x)J dx-
0
pn = lim Pn (t) = -—+ e u где t = \ [1 — F (x)] dx — математи-
t -> 00	n\	1	J
0
ческое ожидание времени полета электрона.
618
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
39.5. Fn(0 =
п — I
1 — V	если t О,
k\
k=o
О, если £<0;
X	е~и, если t О
(п —1)!	’
О, если t < 0;
w _7Z(7z4-1)...(« + /2- 1)
’ k — ----------P----------’
39.6.	Решая первую систему уравнений	= — ХР/Л (t)
+ XPz->ft_1(^) при начальных условиях Pik (0) = §ik методом индуй
ции от Pit k+i (t) к Pik (£), получим:
/1^ ;п g~x/> если
(£—01’
О, если i > k.
1
ш\
39.7.	При Х = р. неравенство рт —-—	0,015 дает т = 4
Pik (0 =
39.8.	Система уравнений для предельных вероятностей
/иХро =
[(т — п)Х + р.]рд = (ш -«+ 1)Хрл-1 + р.рл+1,
VPm ~ ^Рт-и
т\ !\\п
имеет решения: рп — -,-----г. — р0, где /?Р определяется из уело
(//I	Ц)\ \ р. /
т
вия 2 рл=1. Математическое ожидание числа автоматов в оче-
п — о
Т	"4“ Р* /1	\
реди Lq = m------(1 — р0).
39.9.	Система уравнений для предельных вероятностей рп\
[(т — п) X 4- гщ]рп = (т — п + 1) Хр^ + (п + 1)
для 1 п < г,
[(т — n)\ + rii.]pn==(m-- п + ЦЬрп^ + Wrt+1
для г п т — 1,
Wm = ^Рт-ъ	J
имеет решения:
~Г7------Г. — Ро, если
_ п\ (т — п)! \ р. /	1
Рп ” т\ (\ \п
п^г -г-;-----------й — Ро> если «>г;
\гп Гг\ (т — и)! \р. ]	*
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
математическое ожидание числа автоматов в очереди на ремойЙ
т
г __ т\ VI п — г fl \п
Q~~pQr\ гп~г (т — и)! \ р.) *
п=г
39.10.	Вероятность того, что электронно-вычислительная машина
работает, равна предельной вероятности отсутствия в системе тре-
бований на обслуживание р0 = с“ где р.— среднее число ремон-
тов в час. Математическое ожидание экономии от применения более
надежных элементов за 1000 часов работы
S = L« + 1000с\1 - е
и /]	1000с \1 - е
= 161с - (Ь - с).
39.11.	a)z Система уравнений для предельных вероятностей
Apo = РА,
(x + ^)Pfe==^-i + (^+ O^+i (1 ^£<п),
(X + пр.) pk = lpk_t + np.pft+1 (k n)
имеет решения:
Pk =
Po при
">при*^я>
где po — вероятность того, что все аппараты будут свободны от
обслуживания, определяемая из условия
OG
2 Рй=1, — Равна р0=
£ = 0
-1
. при условии, что Х<пр.;
ос	оо
k = п	k — n
X Pk (Г> t)t где РЛ (Г> t) — вероятность того, что ожидание в оче-
реди продлится более t при условии, что в системе k требований:
k — п
РЛ(Г>^)=	e~^nt. Подставляя это значение, получим
/=о
оо k — fl
Pk	учитывая, что =	» и
Л = 0 у = 0
620
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
меняя порядок суммирования, получим в результате
1 - F (t) =pne~^nt
V (W
n?Pn
Щк— X
Pn 1
а так как = 1--------
р* пр
то F(0 = 1 —	(для ^0);7=£
ОО	00	оо
= - §	=	г) т1=^(к-п)рк=рп
О	k = п	k=0
kpk = щ
ПРп
_ X
пр.
п — 1
+Р|> 2 (л—pi
Л = 1
п — 1	п—1
2.	..	V п — k ! X \ft
(n-k)Pk=P<> 2 ~feT\7) •
k=0	k — 0
39.12.	Применить формулы задачи 39.11; £ = m часа,
11 о
39.13.	Подобрать п так, чтобы р*е~ <0,01; п = 4 (см. за-
дачу 39.11).
39.14.	а) Система уравнений для предельных вероятностей
Хр0 = рР1,
(X -j- kp) pk = ^pk-^i + (^ + О PPfe+i
(X 4- пр.) pk = Xpft-1 4- nypk+t
Ipi-L = Щ>рЬ
(1 ^k<n\
(n k I — 1),
где Z = тг-f- имеет решения
Po
n\nk~n
если
если
e- (n|x~X) t
Рл==
!—\k
\^1 '
1 < k n,
n < k < /,
где Pq — вероятность отсутствия
требований в системе:
_ Ро м у -
п\п1п \ р) f
б) вероятность отказа pi
в) вероятность занятости
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
п + т
V"!	\п[к)	pQ [ х
всех аппаратов />*= > Рь=Рп----------х-’ гдеЛ>=й!<й
k = n
81	32	„	52	264	1550	_ „
39.15.	р0 — б65; р — б65; р — 133-; mt —	; та —	~ 2,33.
39.16.	Система уравнений для предельных вероятностей
т^Ро = w>i.
[(от - п) X + щ>.]рп = (от - п 4- 1) lpn_t + (п + 1) w>„ + i,
mWm— Ьрт-i
имеет решения
39.17.	Система уравнений для вероятностей	=
= — п\Рп (t) 4- (п— 1) (t)f при начальных условиях Рп (0) = &Л1
имеет решение Рп (t) — е~и (1 —
39.18.	Система уравнений
_ п (X + (л) Рп (Z) + (п - 1) lPn_t (0 +
+ (и + 1) ^Рп+1 Ю (Л 1) .
при начальных условиях Рп(0) = Ъп1 решается с помощью произ-
оо
водящей функции G(tf и) =	иП> Для которой получается
п= 0
622
'ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
дифференциальное уравнение —— Р*) (« — О —
с начальным условием (7(0, и) = и. Оно имеет решение (7((, и)
__ (ix + «[l (X -|- р.) Ч гпр
1 - иХх ’ ГДе
' J __ I
— ’ если Х
х =
t
"r~i—г, если Х = ц,
1 +
из которого следует, что Ро (/) == рх, Рп (t) = (1 — Хх) (1 — р.х) (Хх)л~Х*
(n^1).	j
39.19.	Система уравнений
^^. = _X0(Z)P0(Z),
= -Кг (t) Pn(t) + X„_t (i) P„_t (t) (« > 1)
1 '
при начальном условии Pn(O)=Srto имеет решения:Р0(/) = (1 -f-at) at

39.20*. .)	=
1
— (Po+pl+p^=-Q.
р MW-i..
2р. — X \ р. / J 3*
б) Р^3=1-
39.21*	. F = 0,645; применить формулу
2р. —.А
, 1
при I = -g- часа.
39.22*. X = 10,7 больных за час. Решить уравнение
р2Х .
относительно —.
39.23*	. о 0,94. р = \ pe-nd 1----------е-(«р- - л) (т~ I dt =
J I лр- — X	)
= 1 -е~^т
Т — время,
Г = 30 минутам.
__ _______п^Рп________ О1*1 — л)
(^-Х)[(и-1)рь-Х] Г	j
которым располагает клиент. По условию
, где
задачи
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Щ>Рп
(пц —X)2 •
39.24*	. а) = 0,346; б) 1,96 линий. 39.25*. Не менее 8 мест.
39.26*	. а) = 0,888 заказа; б) t — 13,3 минуты. Применить фор-
мулы:
X Л X
— рп — 1------
пр \ пр
39.27*	. Минимально необходимое число продавцов п = 6. Веро-
ятность того, что в очереди будет более трех человек р = 0,28.
Величину п искать как решение системы неравенств п>>— и
X Л ХГ2 _
Рп—(1------^3; величину р — по формуле
39.28*	. Суммарные потери предприятия за рабочий день при
одном, двух и трех кладовщиках соответственно равны 15,6 руб.,
17,8 руб., 19,9 руб. Отсюда оптимальное число кладовщиков —
два. Суммарные потери оценивать по формуле: 8XJF-]-----)	0,5zz,
где п — число кладовщиков, t =
бывания рабочего в очереди.
пррп
(пр — X)2
среднее
время
пре-
§ 40.	Непрерывные марковские процессы
40.1*	. «j = sin сох2 — CjCg (xL + х2) exp {— 2 (хх -|- х2)2};
а2 = cos <0%! + ctc2 (xY — х2) exp {— 2 (xt — x2)2};
bn = cfexp {—2(x1+xa)2}; bl2 = 0; Z>22=c2exp {—2(xx—x2)2}.
40.2*	.aj = tyj(tyxu..., xn\ j = 1, 2, ..., n\ an+1 = xn+2;
an+2 — -^п+з» ап+з = a3 Xn+l За2хп+2 Захл+3;
^/г+з,п+з = с2> остальные fyz = 0.
40.3*	. U(t) = Ui (/) — компонента двумерного марковского про-
цесса, для которого ах = х2; а2 = — (а2 -|- ₽2) хг — 2ах2; Ьп = с2;
Ь12 = — 2ас2; Ь22 = 4а2с2.
40.4*	. aj = (/,	, хп); bjt =	(/); у, / = 1, 2, ..., п.
40.5*	. Марковский процесс имеет г-\-п измерений;
а7 = <РУ(г, хъ ..., хг+1), / = 1, 2, ..., г;
#r+Z •*7Ч-/+1> /=1, 2, ..., п 1,
п
аг+п^ 2 Сг+/г+1_уХу; br+pir+q = Cr±pCr+q\
7=1
о, q = п — т, ..., п,
'	/г-1
остальные bjt = 0; здесь сг+Л = ^k+m_n - J] Ч-jCj+r-
j=n — m
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
40.7.	(J, = 1 Us + 1 К264 5, (ty, U^A (UJ + -^ (t), где
Г	Г	г	г
Si (0 и 62 (0 — взаимно независимые случайные функции, облада-
ющие свойством «белого шума».
40.8.	/(Л, Л)= сехр
с определяется из условий
-~^F J 'PO'lM’) —’
Х1
нормировки. При
,	(	в2₽2 . as J ,	2а2 /t f _	.
2?^},	J е ’l <4
Г —00
а 9
где
? (и) = ₽2П3
л (
и
, из условия
ехр
' у
9 С ?(ч)
J Ф* (i)
. 1 dyt
р (Л)
где с определяется
ОО
J f(y)dy=l.
— 00
40.10.	Обозначив Ux = С (0, U2=^Ui—^U^ для 02 получаем
уравнение, не зависящее от 67х. Уравнение Колмогорова для U2
будет =0, его стацио-
X/ \	1	<> Л
парное решение: f(y2) = с ехр —
V2	1
\ F(t]) fifyz , где с оп-
ределяется из условия нормировки. Искомая плотность вероятно-
сти f(y) есть композиция f(y2) и нормального закона распределе-
ния с нулевым математическим ожиданием. В упомянутом частном
случае
/(Л) = С1 ехр{— ^2
Rk ।
£5У% 0 + sgn ,
где
с, = —  2 Г 1 + ----;/(и) = С1 /—Г1 - Ф (—£=Yle- ^+
а/2я(1 +/1 4-йЛ)	12/2 [	\°/2/J
1	г /	„	\1	(‘ +fcj?) а21
+	1 + Ф |-- I е 2oS <2+*Л) 1.
У 2 + kR [	о/2+fe/?/]	J
ау2
40.11. /(г, у)= - . У е~2(«о8+^8)-
40.12. Уравнение Колмогорова для /7=ехр{—aV} имеет вид
df 1 д I, ,	. m ^-1 , 1 laiA2 2d*f п
^RC-d-y^^-01^6 J+ JVC J	Ста«ионаР-
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
625
ное решение: / (у) = N~l exp J---------------„ Г у2 fin у — -1) —
I (ai^R) L \	2/
— 2al<)R.e~a*'5i У|, где 4==-?-еа2’2 [Е;(— Л4)—21пао —0,57721...]
(ср. [44], стр. 243).
40.13.
f (у) = с ехр
2 Г z ч	I
~ V" Г (7})	j ’
где с'
df д
40Я4. Уравнение Колмогорова:	4”	{[а (т) + 3 (т) У1/ }—
1 д2
— ~2~ду2	~ 0* уравнение для характеристической функ-
Лр	. dF -у2
ции Е (т, z):	---iza (?) Е — z$ (т)	z2E = 0, Е (т, z) =»
OX	OZ Z
р Сч) dxt
X а (т2)	, <зу = ехр
J t
40.15. Уравнение
/=
2 П ду2
.2 2 Г	2(Т —/)q
’-St1-' Ч-
72 ('s) d^-
Колмогорова:
_G-J)2 Т
1	20*
---7= е	’
ау >/2л
-	x-t
у = хе	т°
40.16. Обозначив (t)-= U (t)t £72 (^) = (/j (0, для коэффициен-
тов уравнения Колмогорова получим: а1=х2; а2 = —2hx2 -rj^x^
£п = 0; £i2 = 0; • b22 = c2; f (г, ) = „1^ exp( — I •
ai у 2ic 1.	 2o;	)
rue yt = xe A(t ° [cos “o (T —	~ sin“e <T _ 41 °* = 4^r X
X |(1 —	е-2Л'С1') + Д; e-2Atl (Лсоз^от, — <o0 sin2о>0Т1)};
l\ ®0-	/	“5	J
= У k* — Л2.

21 Б. Г. Володин и др.
626
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ап д/ д	с2 d2f п
40.17.		а	(/ sgn у)------= 0.
дт ду v s 2 ду2
40.18.	f(t, х; т, у) =
1	._ ОО	ov2
_ ( Йф + г 2£1 V ,-2лрг - тг ”1 х
“\аа/ a Zl в Г (« + 2ц+ 1) Х
П = 0	NS
1 / 1 \	*
где р, =	— — j, a 1$ (х) — обобщенные полиномы Лагерра|
Р	°5	-Л2-Т1	~
40.19.	W(T) = \ w («Г, ь) dy^ w(4t yj^ J X
,	-Р	'	/=1
— -Т 5'1	'
Хе Da (^t) су, где Da (х) — четное решение уравнения Вебе-
ра1) (функция параболического цилиндра):	~~ .У=Ф
X; = aj — 0,5; aj — корень уравнения Da (₽) = 0, тх = ат;
У 2а	]Л2а	У а 1	С 2
c; = V-jv;^.(O); Nj=\D2aj(y)dy.
v	и	и i V j	j	J
P	00	_X2T
40.20.	W(T)= J w(aT, y^dyc, w(ylt У1)=^е 7 1 X
— OO	J=1
12	a (	1
— ТУ!	1	— ~4	/1	1	\
Xe V(yi)cf, где Va(x)=y^2	|2
X D^^sinx ^ + уа^+24Г^— ya^£)a’(x)cosx^+y«j|;
Da} (x) и D(a (x) — соответственно четное и нечетное решения
уравнения Вебера1):	х‘ — а^у — 0; а, — корень уравне-
о	У 2а	Л У2а
ния Va.(р) = 0; \j-aj — 0,5; т1 = аг; У1~——у, ₽=—— и0;
1Л 1	с -г^1
cj= с л7Ч(0):	И
J) J. С. Р. Miller, Tables of Weber Parabolic Cylinder
Functions, London, 1955.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
627
40^1*. Составить уравнение Колмогорова для двумерного мар-
ковского процесса (t),	(0 и перейти к полярным координатам.
ОО	Г 00
^(Г) = 2 «>елр{—	1 — § Jo(x)dx , где J0(x) —
/=1	°	L	J
функции Бесселя 1-го рода, ру — корни уравнения Jo (р.) = О,
й/— «/?((*/)’
40.22*. Подобрать два решения уравнения Колмогорова для
неограниченной области, удовлетворяющих различным начальным
условиям, алгебраическая сумма которых дает нуль на указанной
границе.
/	$е~*т	\
Глава IX
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 41. Определение моментов случайных величин
по результатам опытов
41.1	.16,08 м» 41.2. а) 814,87 б) 921,84 м2. 41.3. Ъ = 424,73 м^сек*,
^ = £,84 м1сек. 41.4. J = 33 м1секг, Ev = 3ftl я1сек.
41.5 х = 404,85 мкв; aL = 133 мкв. 41.6. При Р (Д) = 0,5 £)тят =	.
41.7.	D Н] = 2(”п71) D8[X]; D [<J|] = ^73 D8 [X]. 41.8. §£ = 0,85;
ёх = 2,70; с учетом поправок Шеппарда §к = 0,94, ёх = 3,12.
41.9.	k = -о/ --.-т-.	41.10. k = ~\[о . Т' ..
•	2(п— _1)	г 2п(д—1)
41.11. .) t =	4) 4=	1	-.41.12.	..
2V

628
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
41.14. X = 48,31 м; .у =53,31 Ёх = 10,42 jw; ^ = 12,
4i.i5. ^=^2Хк’ 2Ук'
k=\	'	Л=1
£(; = Р /2 V cos3 а 4- ~kxy Sin 2а + aj, sjns а;
£rj = РУ^2 sin2 а — kxy sin 2а -|- "у cos3 а, -
где ^=^2 (х*-*)8;	2	**>
А? = 1	/г=1
п
— п_1 2 (xk — X) (yk — у), а угол а определяется
fe = i
2k
уравнения tg 2а = ~ »< . 41.16. х = 1,125 м; у— 40 м; £«=23,14
сх ~ Qy
р (п ц _______
Ёх= 1,18 м; kxy=26,47 м2. 41.17. k = 	j/"у. Предвар^
Г Р )
тельно доказать, что плотность вероятности случайной величий!
2 л л
а определяется формулой fn (а) = —----гт- (^1 (а)л 2о*;|
г Iп 11
Ч 2 ;
41.18	. См. таблицу 132.
Т а б л и^ц а 13Й
$
'J	1-10	11-20	21—30	31-40	41—50	51—60	61-70	71-80	&1— 90	91-J00;
Pj	0,1 ОТ	0,100	0,127	0,087	0,093	0,127	0,093	0,073	0,087	0,107-’
Л(х)	0,107	0,207	0,334	0.421	0,514	0,641	0,734	0,807	0,894	1,0 ..
х = 48,96; D [X] = 831,04; с учетом поправки Шеппарда Ь[Х]===-
= 824,29.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	. 629
.у
41.19	. См. таблицу 133.
Таблица 133
h	0—3	3—6	6—9	9—12	12—15	15—18	18—21	21—24
Pi	0,000	0,002	0,006	0,040	0,070	0,114	0,156	0,164
0	24—27 z	27—30	30—33	33—36	36—39	39—42	42—45
Pj	0,180	0,122	0,108	0,030	0,004	0,004	0,000
х — 22,85; D |Х] = 40,08; с учетом поправки Шеппарда D [Х]=
= 39,33.
41.20	. и Gj являются несмещенными оценками дисперсии
(mRJ = mR]=’8); оГ»Н=Л; DR1= тйгйт- е-
при любом п > 2 D [а|] < D [а|] (см. табл. 134).
Таблица 134
n	3	5	7	10	15	oo
	0,80	0,73	0,71	0,69	0,68	0,67
§ 42.	Доверительные вероятности и доверительные интервалы
42.1.	(94,9 м, 105,1 м). 42.2. х = 116^ м; (115,53 л; 116,57 м).
42.3.	0,55; 0,34. 42.4. а) Я =10,57 м, ах = 2,05 м; б) 0,27; в) 0,035.
42.5. (5,249 сек., 5,751 сек.); (1,525 сек., 1,928 сек.). 42.6. (867,6 м/сек9
873,0 м/сек). 42.7. Не менее 11 измерений. 42.8. .(24 846 jw, 25 154 jw);
(130,7 лг, 294,9 м). 42.9. (4,761 • 10"10; 4,805 • 10'10); х = 4,783 • 10~10.
42.10. а) (420,75 м/сек, 428,65 м/сек); (6,69 м/сек, 12,70 м/сек);
б) 0,61; 0,76. 42.11. Не менее двух дальномеров. 42.12. Не менее
15 измерений. 42.13. 0,61; 0,74; 0,89; 0,99. 42.14, См. таблицу 135.
630
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таблица 135
п	з‘	5	10	25
а = 20 м	X ± 18,98 м	х ± 14,71 м	X ± 10,40 м	х ± 6,58 м
о = 20 м	X ± 33,72 м	х ± 19,05 м	Х± 11,59 м	х ± 6,84 м
42.15.	t = 425 час.; (270,70 часа, 779,82 часа). 42.16. (410,21 часа,
1036,56 часа). 42.17. (50,75 часа, 85,14 часа). 42.18. (0,123; 0,459).
42.19. (0,303; 0,503); (0,276; 0,534). 42.20. (0,000; 0,149); (0,000; 0,206);
(0,000; 0,369). 42.21. Для стрелка А (0,128; 0,872), для стрелка В
(0,369; 0,631). 42.22. (1,15; 3,24). 42.23. (3,721; 4,020). 42.24. (0; 4,6).
42.25.	При а = 0,99	при а = 0,95
для	г12	(0,42;	0,68),	для	г12	(0,45;	0,65),
для	г13	(0,13;	0,47),	для	г13	(0,17;	0,43),
для	г14	(0,21;	0,53);	для	г14	(0,25;	0,49).
42.26.	9,82 <х< 11,18; 1,624 < а* < 2,632; 70,58 <у < 77,42;
8,12 < av < 13,16; 0,35 < rxv < 0,79.
-У	'
§ 43.	Критерии согласия
43.1.	а = 0,9288; t* = 0,997; k = 3; Р (х2 х?) = 0,802. Отклоне-
ние не значимо, гипотеза о согласии наблюдений с законом рас-
пределения Пуассона не опровергается.
43.2.	в = 1,54;. х^ = 7,326; fe = 4; Р(х2Э=х*) = 0,122. Отклоне-
ние не значимо.
43.3.	^ = 5; р = 0,5; х| = 3,156; Л = 9; Р (х2	X?) = 0,944.
Гипотеза о том, что при каждой из стрельб- имелась постоянная
вероятность попадания одним выстрелом, не опровергается.
43.4.	х| = Ю,32; fe = 7; Р (х2 ^Х^) — 0,176. Отклонения не
значимы.
43.5.	х|гип = 3,05; х2?6ин=7,13; й = 3; Р (х23^гип) = 0,385;
Р (Х2 X? бин) == 0,029. Гипотеза о согласии наблюдений с гипер-
геометрическим законом распределения не опровергается; отклоне-
ние статистического закона распределения от биномиального зна-
чимо, и гипотезу о согласии с биномиальным законом распределе-
ния следует отвергнуть.
43.6.	je= 11,8 жк; 0=4,691 жк; й=2; х* = 1,16; Р (х2Э=Х^)=0,568.
Гипотеза о согласии наблюдений с законом нормального распреде-
ления не опровергается.
631
43.7.	£ = 22,85; g = 6,394; k = 6; y^ = 5,939; P (x2 x2) = 0 436
Гипотеза о согласии статистического распределения с законом ноо-
мального распределения не опровергается, так как отклонения не
значимы.
43.8. M[Z] = 4.5; D [Z] = 8,25, где Z — случайная цифоа
М[Х] = 22,5; D [X] = 41,23; а = 6,423; 7)^ = 0,0405; Х9 = 0,6403;
Ха = 1,358; Х^^Ха. Гипотеза о согласии статистического распреде-
ления с законом нормального распределения не опровергается.
4ЗД Х| = 5,012; k = 9; Р (X2 ^Х^}= 0,831. Отклонения не зна-
чимы; гипотеза о том, что первые 800 десятичных знаков в числе те
подчиняются закону равномерного распределения, не опровергается.
43.10	.7)^ = 0,0138; Х7 = 0,3903; Ха= 1,224; Х^<Ха. Гипотеза
о согласии распределения первых 800 десятичных знаков числа те
с законом равномерного распределения не опровергается.
43.11.	у- = 4; ь = 9; р	= 0,91. Гипотеза о согласии
наблюдений с законом равномерного распределения не опровер-
гается.
43.12. Dq = 0,041; Х? = 0,5021; Ха= 1,358; Х^<Ха. Гипотеза
о согласии наблюдений с законом равномерного распределения не
опровергается, так как отклонения не значимы.
43.13. Хд == 24,9; k = 9; Р (х2	) = 0,0034. Отклонения зна-
чимы; гипотезу о согласии опытных данных с законом равномер-
ного распределения следует отвергнуть. Результаты отсчетов содер-
жат систематическую ошибку.
43.14.	^ = 8,75; 3=16,85; у2н= 11,86; йн = 5; Р (у2 у|н) =
= 0,0398; для параметра & закона распределения Симпсона полу-
чается оценка ?= Уб а = 41,28; Х*с= 17,06; £с = 5; Р(х2^Х*) =
= 0^00402. Гипотеза о согласии наблюдений с законом распределе-
ния Симпсона опровергается, а гипотезу о согласии наблюдений
с законом нормального распределения можно считать неопровер-
гнутой.
43.15.	х = lg j; £ = —0,1312; aj = 0,3412; Ъх = 0,5841; п = 9;
^ = 6; Р (х2 Хд) = 0,890. Гипотеза о согласии опытных данных
с законом логарифмически нормального распределения не опро-
вергается (отклонения не значимы).	______
43.16.	Я = 2,864; m2 = 11,469; М [X] = v3; 3 = j/”, где
v — корень уравнения	Т (у) = 0,4229; Т (у) = ?	=
= —т=; при v = l,2 Т (v) = 0,4200; при \=1,3 Г (v) = 0,4241;
2 у т2
1,271; М [X] = 2,662; а = 2,094;	= 5,304; k = 9; Р х*) =*
= 0,894. Гипотеза о том, что X есть абсолютное значение нор-
мально распределенной величины, не опровергается.
632
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
t
43Л7. х = 87,46; а = 2,471; а = 80,02; ₽= 94,90; х2н > 500;
' р (х2 Х^н) °- Плотность вероятности (х) для компози-
ции законов нормального и равномерного распределений имеет вид
~ тр- /х) —	* Гф !х	80,02\	ф [94,90	х\1.	2  
W “2.14,88 I \ 2,471	\ 2,471 )\>	~2’949’
&ф = 6; Р (х2 Х^ф) = 0,814. Гипотеза о согласии опытных данных
с законом нормального распределения опровергается. Гипотеза
о согласии опытных данных с композицией законов нормального
и равномерного распределений не опровергается.
43.18.	г = 50,13; a = ? j/"2 = 40)0; у2 =2,73; /г=6; Р (х2^)=
= 0,839. Гипотеза о согласии наблюдений с законом распределения
Рэлея не опровергается.
43.19.	х = 508,6; а = 123,7;	= 2,95;	= 7; Р (х2 >х«„) =
= 0,888. Параметр а для закона распределения Максвелла опре-
деляется из формулы а =	= 193,4; х^м == Ь383;	= 7;
Р(х2 ^|м) = 0,986. Наблюдения лучше согласуются с законом
распределения Максвелла, чем с законом нормального распределения.
43.20.	t = 871,5 часа; Л =0,001148; /г=8; х2 = 4,495; Р(х2^Х?) =
= 0,808. Гипотеза о согласии наблюдений с экспоненциальным за-
коном распределения нё опровергается (отклонения не значимы).
43.21.	t— 394,5 часа, а =228,1 часа; Ът~ 0,5782; т = 1,789;
Ьт = 0,8893; х^ — 13,44; k = 7; Р (х2 ^Х^) = 0,0629. Гипотеза о со-
гласии наблюдений с законом распределения Вейбулла не опро-
вергается.
>	Z
43.22.	Функция распределения арктангенса F(z) — f(z)dz=
— оо
1	1 Z
= 4 + — arctg4; Dg = 0,0195; Х„ = 0,6166; X. = 1,358; X- < Х„. Ги-
потеза о согласии статистического распределения величин z с законом
распределения Коши и, следовательно, величин Y с законом нор-
мального распределения нё опровергаются.
43.23.	Функция распределения арксинуса F (z) =	+ — arcsin ;
2)^ = 0,0290; Х7 = 0,917; Ха= 1,358; Х^<Ха. Гипотеза о том, что
маятник совершает гармонические колебания, нё" опровергается.
43.24.	;2 = 0,1211; /г = 2; х£ == 1,629; Р (х2 х?) == °>59- Отклоне-
ния не значимы; гипотеза о согласии наблюденных значений' qi
с законов х2"РаспРеДеления с числом степеней свободы k' = 19 и,
следовательно, гипотеза об однородности ряда дисперсий не опро-
вергаются. Указание. Значения q-t следует расположить в по-
рядке возрастания и разбить на интервалы с тем, чтобы в каждый
попало не менее пяти значений q^
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
633
~	9
43.25.	= Dq = 0,126; \qj= 0,797; Ха = 1,224; Х7<Ха.
Гипотеза о согласии наблюденных значений с законом распре-
деления Стьюдента и, следовательно, гипотеза о согласии наблю-
денных значений xt с законом нормального распределения не опро-
вергаются.
43.26.	х = 115,3; ^ = 21,43;	10,20; £н = 7; Р(Х2^Х|Н) =
= 0,178; jl3=2046; р.4 = 6137.102;'Sk = 0,2079; lx = — 0,0912. Функ-
ция распределения для Л-ряда Шарлье: F (z) = 0,5 + 0,5Ф (z)—
-0,03465^ (2)-0,0038^(2), где 2 = * ~	= 8,304;
#ш = 5; Р (х2	Х^ш)~ 0’140. Гипотезы о согласии наблюдений с за-
конами нормального распределения и распределения, определяемого,
Л-рядом Шарлье, не опровергаются, причем ^последний не улучшает
согласия наблюдений с теоретическим законом распределения.
43.27.	£3= — 221,12; н = 1560- 10»;	= — 0,06961; Вх = 0,3406.
Функция распределения для Д-ряда Шарлье F (z) = 0,5 -f- 0,5Ф (г) +
4- 0,01160?2 (г) + 0,01417?3 (г), где 2 = С-~2Щ73’85 ;	-17,25;
Л = 6; Р (у2	= 0,0085. Отклонения значимы. Гипотеза о согла-
сии наблюдений с законом распределения, определяемым Л-рядом
Шарлье, опровергается.
43.28.	= 20,48; k = 2; Р (х2 xj) = 0,001. Отклонения зна-
чимы. Гипотеза о независимости характера размеров от номера
партии опровергается. Следует признать, что для второй партии
характерно систематическое занижение размеров.
43.29*	. Dny п2 = 0,18; Хд = 0,90; Ха= 1,224; А^<Ха; гипотеза
о принадлежности обеих выборок одной и той же генеральной
совокупности не опровергается.
§ 44.	Обработка результатов наблюдений по способу
наименьших квадратов
44.1.	h = 0,609 + 0,1242Е;	Мо, 0 = 0,3896; А4Ъ х = 0,00001156;
а2 = 1,464; аа0 = 0,5704;	= 0,0000169.
44.2.	Л = 0,679 + 0,124Е; а2 = 1,450;	= 0,5639; 2^ =0,00001672.
-Совпадение с результатами задачи 44.1 вполне удовлетворительное.
Точность результата в задаче 44.2 выше, чем в задаче 44.1, так как при
решении задачи 44.1 производилось большое количество вычислитель-
ных операций, в том числе вычитание близких по величине чисел.
44.3.	Л = 9,14 + 65,89/+489,28/2; а2=0,001245;	= 1,177 см1сек2.
44.4.	*=65,021 +5,176Р1>13 (х) • 13 +1,087Р2,13 (х). 13, где -х=30/—I,
или Л = 9,133 + 65,895/+ 489,28/2;	= 1,167 см!сек2. 44.5. у =
= 0,8057 + 0,2004х - 0,1018х2; а2 = 0,0002758; аао = 0,00009192; 3^ =
= 0,000009848;	= 0,000003283.	/
634
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
44.6.	у = 26,97 + 0,3012Р1>1в (/) = 29,38 — 0,3012^; у = 26,97 -J-
+ 0,3012Р1>1в (0—0,000916Ра>1в (04-0,01718Р31в (Z) = 29,82-0,7133^4-
4- 0,06782г2— 0,002864г* где Pki 1в — табличные значения полино-
мов Чебышева. Для линейной зависимости а = 0,3048; при а = 0,90
имеем 0,2362 < а < 0,4380. Для зависимости третьей степени
а = 0,1212; при q = 0,90 имеем 0,0924 <. о < 0,1800.
44.7.	j> = 21,07-f-5,954л:; Sao=3,O9; аа1=0,0949; %ао; Л1=—0,2324.
Доверительные интервалы для ak при а = 0,90: 13,8 < aQ < 28,4;
5,74 < at <z 6,17; с2 = 9,576 — 0,4649л: 4- 0,008992л:2. Доверительные
границы для y = Q(x) при а = 0,90 приведены в табл. 136.
Таблица 136
I	0	1	2	3	4
Vi — V°y (Xi)	44,2	74,6	134,8	252,7	368,7
~yi + (Xi)	56,3	86,4	145,3	265,6	388,0
44.8.	j? = 0,035484-0,06574л:4-0,00130л;2; аа =0,0147; aai = 0,0106;
oL =0,00156.	°
8 Q734
44.9.	у = 1,11884-^-—; а =0,2316; S =0,6157; при а =0,95
’	1 х ’ а°	а1
имеем: 1,065 < а0 < 1,172; 8,831 < я. < 9,115; ~kn п——0,0854.До-
v	9	9	*"	9	l*()9	9
верительные границы для y = Q(x) при а = 0,95 даны в таб-
лице 137.
Таблица 137
Xi	1	2	3	5	10	20	30	50	100	200
yi—yoy(Xi)	10,03	5,55	4,06	2,87	1,97	1,52	1,37	1,25	1,16	1,11
yi+Wy&i)	10,27	5,66	4,16	2,96	2,06	1,62	1,47	1,35	1,26	1,22
.-.(Л) =0,05364- И +
У v ’	х 1 х2
44.10.	U— 100,8e-».3127Z; 89,97 < UQ < 112,9; 0,2935 < а < 0,3319,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ’
34905
44.11.	&в = 204',9--2^Р;ал =4',36; са =504.
»	>	> «о » ai
(х — 117,25)2
44.12.	pt=0,W2e 2-462-91 ; I е I = 0,04633; р;=—В-=
)/72itG
7=0,1854. 44.13. <р' = 62° подобрано по формуле ,у= я'sin (<оГ—<р'),
Где а' =	+ 1-У°>45|~Н.Уо,о51
= 33; у = 30,75 sin (a>t — 59°59.');
3
I у — у |max = 18°,4.	44.14. у = 1,088 — 1,252 cos х + 2,080 sin х +
+ 0,962 cos 2х + 0,466 sin 2х; [ s |тах = 0,24 при х = 120°. 44.15. у =
= -3,924+1,306х; |е|тах= 1,41.
§ 45.	Статистические методы контроля качества
45.1.	Для однократной выборки а = 0,0323; 0 = 0,0190; для дву-
кратной выборки а = 0,0067; 0 = 0,0100. Средний расход изделий
для 100 партий при .двукратной выборке 48,36 • 15 + 51,64 • 30 =*
= 2275 изделий. Расход для 100 партий при однократной выборке
составляет 2200 изделий. Расход изделий почти одинаков, но при
двукратной выборке значительно меньше вероятности ошибок а и 0.
4 = 30,38; 5 = 0,01963; 1g А = 1,4825; lg5= —1,7069. Для хорошей
партии при р = 0 nmin=13; lg7(12;0) =—1,6288: lg7(13;0) =
= — 1,7771. Для негодной партии при р = 1 «min = 2; 1g 7(1; 1) =
= 0,8451; 1g 7 (2; 2) = 1,9590.
45.2.	Для однократной выборки а = 0,049; 0 = 0,009; для дву-
кратной выборки а = 0,046; 0 = 0,008. А = 19,8; 5 = 0,01053;
Л, = — 3,758; Л2 = 2,424; Л3 = 0,02915; М [п |р0] = 244,2; М [п | pj =
= 113,6; М [n]max = 321,9. Для 100 партий при двукратной выборке
средний расход изделий 35,1 • 220 + 64,9 • 440 = 36 278 изделий; при
однократной выборке средний расход 41 000 изделий. После после-
довательном анализе на 100 хороших партий средний расход —
не более 24 420 изделий.
z 45.3. Применим нормальный закон распределения: а = 0,0023;
0 = 0,0307. 4 = 415,9; 5 = 0,03077;	= — 4,295; Л2 = 7,439; Л3 =
= 0,1452. Для хорошей партии при р = 0 nmin = 30; для негодной
партии при р=1 nmin = 9; М [п | 0,10] = 94,52; М [п| 0,20] = 128,9;
М [n]max = 257,4; с = 2,153; Р (п < 300) = 0,9842; Р (п < 150) = 0,8488.
45.4.	а) По = 285; \ = 39 (применим нормальный закон распре-
деления); 4 = 98; 5 = 0,0202; ht = — 4,814; Л2 = 5,656; Л3 = 0,1452;
М [и|р0] = Ю2,1; М [n|Pi] = 101,0; М [n]max = 219,4; б) и0 = 65; v = 8;
4 = 8; 5 = 0,2222;	= — 1,861; Л2 = 2,565; Л3 = 0,1452; М [п | р0] =
= 21,6; М [п | а] = 38,6; М [n]max = 38,6.	х
45.5.	Применить переход от закона распределения Пуассона
к х2"РаспРеДелению: ^ = 9; и0 = 180; 4=18; 5 = 0,1053; Лх=±=
= — 2,178; Л2 = 2,796; Л3 = 0,05123; М [п|р0] = 90,86; М [п |рх] = 79,82;
М [n]max = 125,2. Для хорошей партии при р = 0 nmin = 43; для
негодной партии при р = 1 nmin = 3,
636
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
gl-agl—Pl Н~ Zl—VZl—Po	__ Л . Zl_\ [ ^1—а 4~ ^1— Р V
^l-a + ^i-P * °	\	2/ Vl-Po zi-pJ
где zp — квантили нормального распределения: F (zp) = 0,5 «р
+ 0,5Ф (zp) =р\ z^i = 1,881; z0,92 = 1,405; z^ = 1,645; го,90 =
= 1,282; z0 — 1,613; л0 = 87. Объем однократной выборки при кон-
троле по величине при тех же а, р, /?0, pt значительно меньше,
45.6. z.
чем при контроле доли дефектных изделий.
45.7.	При использовании биномиального закона распределения
(с переходом к закону нормального распределения) а = 0,1403;
р = 0,1776; л0 = 49; ^ = 6; Д = 5,864; £ = 0,2065; Лх = —1,945;
Ла = 2,182; Л3 = 0,1452; М [л|р0] = 30,3; М [и|Р1] = 26,4; М [л]тах =
= 34,2. Средний расход изделий при двукратной выборке на 100
партий составляет 64,34 • 30 -f- 35,66 • 60 = 4070 изделий. При одно-
кратной выборке на 100 партий расход изделий 4900 шт.; при
последовательном анализе средний расход на 100 хороших партий —
не более 3030 изделий. При использовании закона распределения
Пуассона а = 0,1505; р = 0,2176; л0 = 49; » = 6 (переход к ^-распре-
делению).
45.8.	Применить нормальный закон распределения: п0 = 286;
\=15; Д = 9900; £=0,01; ^ = 3,529; Л2 = 7,052; Л3 = 0,04005;
М [л 10,02] = 176,0; М [п 10,07] = 231,9; М [л]тах = 647,1; с = 3,608;
Р (п < М [п 10,02]) = 0,5993; Р (л < 2М [л 10,02]) = 0,9476; Р (п < л0)=
= 0,8860.
45.9. При п0 = 925 ^ = 12. При t0 = 1000 час. Д = — 2,197;
£ = 2,197; ^ = 237,6; Л, = — 237,6; Z3 = 74,99; М [Т | 10~5] = 613,2;
;М [Г|2. 10~5] = 482,9; М [Г]тах = 750,6.
/0, час.	500	1000	2000	5000
«0	1849	925	463	185
45.10.	Для метода однократной выборки применить переход от
закона распределения Пуассона к X2 = распределению: v = 6;
п0 =122; Д=184; £ = —0,08041; ^=— 1,487; Л2 = 3,077; Л3 =
= 0,0503. Для хорошей партии при /? = 0 nmin = 30; для негодной
партии при р=1	М [л 10,02] = 48,3; М [п10,10] = 54,6;
М [nlmax = 95,9; с = 5,286; Р (п < п0) = 0,982; Р	"<>)“
= 0,714.
45.11.	Для двукратной выборки а = 0,001486; р = 0,0009152; для
однократной выборки л0 = 62; v = 13 (переход к закону нормального
распределения); А = 671,0; £ = 0,0009166;	= — 4,446; Л2 = 4,043;
Л, = 0,2485; М [л К] = 29,2; М [п | оД = 16,0;' М [л]тах = 70,7. На
100 отсеков при двукратной выборке средний расход картофеля ра-
звей 62,88 • 40 + 37,12 • 60 = 4743 шт. На 100 отсеков при однократной
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 4	637
выборке расход картофеля 6200 шт.; при последовательном анализе
средний расход на 100 хороших партий — не более 2920 шт.
45.12.	Для двукратной выборки а = 0,0896; ₽ = 0,0233; для одно-
кратной выборки п0=15;	\ = 12,45;	4=10,90; 5 = 0,02560;
Л1 ==: — 977,7; Л2 = 637,2; Л3 = 184,9; М [п | а0] = 9,81; М \п | gJ = 2,78;
М [n]max = 10. При двукратной выборке средний расход изделий
на 100 хороших партий 85,66 • 13 4- 14,44 • 26 = 1488; при однократной
выборке расход изделий 1500 шт.; при последовательном анализе
средний расход — не более 981 изделия.
45.13.	При однократной выборке а = 0,0000884; ₽ = 0,00621;
.5 = 0,00621; 4=1124.10; ^ = 6,506; Л2 = —11,94; Л3 = 5,15;
М [и|60] = 26,02; M[n |6i] =47,32; М [n]max = 121,4; с = 2,542;
Р (п 300) > 0,99 « 0,999); Р (и 150) = 0,9182.
45.14.	и0 = 86; v = 66,7 часа; 4 = 999; В = 0,001001; ht = 690,8;
Л2 = — 690,8; Л3 = 69,33; к* = 0,01442; М [п | Хо] = 22,48; М \п | XJ =
= 35,67; M[n]max = 99,31.
45.15.	Для одиночного контроля доли ненадежных конденсато-
ров n0 = 246, v = 5. Для последовательного контроля надежности
конденсаторов 4 = 9999; В = 0,0001;	= 1152 • 104; Л2 = —1J52«104;
Л3 = 6384.102, X* = 0,000001566.
45.16.	£и = 952,6 часа; v = 72,8 часа; 1п4 = 2,197; 1п5=—2,197;
, 1п4Г0Л Отт	л 1п57о?\	9Ю7 nnfT +
h —	= 219,7 часа; = tW =—219,7 часа; f8 =
Л — * о	Л —
ТоЛШр
= -------=-9 = 69,3 часа. Для худшей из хороших партий
71	70
(7=7о = 1ОО) tfmin = 715,7 часа; для лучшей из плохих партий
(7= Л = 50) rmin = 569,2 часа.
§ 46.	Определение вероятностных характеристик
случайных функций по опытным данным
т
46.1.	Нужно доказать, что если х = у ^х (£)<#, то М [£] = х,
о
lim D [£] = 0.	46.2. Нет, так как ' lim М [<$х («)] = SX (<*),
Т-»со	Тоо
но D (<о)] = Sx (<о) и, следовательно, не стремится к нулю при
7 —т
росте 7.	46.3. Г)[кх (т)]=	(7 — т — тх) [/С2 (тх)+
о
+ Сч + т) Кх Сч — т)]
638
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Г-т
46.4.	=	J (Г-г-гО/Г^)^;
О
Т-т
М[К1(г)1 = /С(г)-771-5 С
\* Т) J
о
2 С
D [*1W== (-f=^)5 \ (Г-*-^[№(*1) +
О
+ /<(Т1 + т)/Г(т1 - Т)]Л1 + (Т±__
, . , . ,	L О
2
*1) ЛГ (^1)
4
(Г-ту
'2 — *1 — т) ^2 ^8 ;
ООО
Т-т
D[^«l=(7Xp J (Г-т-г1)[№(г1) + 2<(т1 + г)/С(т1-г) +
Q
+ К (т) К (X + TJ + К (г)	- т)] d4 -
Т— т Т — т Т — т
-(ТзВчр $ $ $ К(^-^)^(^-^) +
О Q Q
+ к (^2 - h + т) к - *1 - t)] dtt dta dts +
П-т	>2
(T - T - Tj [K (Tt + т) + К(Ъ - г)] dxi I +
4
(Г-т)<
^2
Tj К(ч) dll >
. О
(Г-*)4 {
\-e~aT'
“Г .
т
Г-т
-.2
(Г_г_т1)ЛГ(т + т1)Л11 .
2aW
46.5.	DH=^1
' т ', т
46.6.	□[£(<->)]= ^ J (T-oK [^(« + ’))+
2^
+ ^(< —i))]sin(r—i))wrfi)+
е (t — z) dx . dt.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
639
46.7.	ау уменьшится на 2»/0. 46.8. гу уменьшится на 3»/0.
46.9.	D [Кь (0)] = 22 град\ D [К^ (3)] = 2,8 град'. 46.10. Значение
первого нуля функции К (у) равно: а) 2,20 сек.; б) 2,30 сек.
46.11.	D \& (г)] =	+ е’2а12х cos 2f* +
+1 sin 2₽г +1 cos 2?г + aC0S2^~^in ; D[Кь (0)]=5,82 град\
D [Kq (2,09)] = 5,35 град*', D [7С0 (4,18)] = 4,80 град*', D [ЛГ0 (16,72)] =
= 2,92 град*, а соответствующие средние квадратические отклоне-
ния равны 2,41; 2,32; 2,19 и 1,71 град^.
46.12.	При росте t отношение tjt сходится по вероятности к
вероятности Р совпадения знаков ординаг случайных функций X (t)
и Х(^-|-т), связанной для нормального процесса с нормированной
корреляционной функцией k (т) соотношением k (т) = cos тс (1 — Р),
которое может быть доказано путем интегрирования двумерного
нормального закона распределения ординат случайной функции
в соответствующих пределах.
46.13.	Обоз,.,., z(4 = l[1+[*£>*£±ij], Р-„.
роятность совпадения знаков X(t) и Х(^4~т), имеем z=P;
kx (т) = cos тс (1 — z) cos л (1 — z) + п (z — 2) sin тс (1 — z). Следо-
вательно, t) [k (0] tc2D [z] sin2 тс (1 — Р) = тс2 [1 — k*x (т)] D [z];
т	/
-	2 С
0И=75 J
о
( оо со оо оо оо оо 00	0-000	0 0 со оо 'I
ИИ+И М + М И + М И х
1 0 0 0 0	0 0 —оо —оо —оо — оо —оо —со —оо —оо о 0 )
Xf(xlt х2, x3, х^ dXi dx2 dxs dx4 — z2, где f (xlt x2, x3, x4) — закон
распределения системы нормальных величин Х(^), Х(^4“0>
Х(^+т).
46.14.	Кх (т) =	(т) + g2K2 (т) + g3K8 (0, где приближенно
1	Tf
о Г
gj=-,----f-----г (/=1,2,3);	=	\ (Tj-z-)Kj^dz.
G1 a2 03
При Ту, значительно превосходящих время затухания Кх СО, ПРИ“
оо
”2 f b\	С ~
ближенно можно считать аЯ = —- а —— , где а==\/С(т)^т,
’
Ъ = J тЛ' СО dtt а за значение /<(О можно принять подходящее
о
значение, полученное по любой из реализаций.
640
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
т — I — 1
46.15.	D [Кх (г)] =	У [/% (sА) + Кх (зА + /Д) X
yjfl L) шал
5 = 1
X Кх (зД - /Д)] (И - / - S) 4- \к*х (0)+Ki (М)].
46.16.	На 9®/о.
Т	т
46.17.	а0=у Кх(х)й-е, aj^^^Kx^cos^—dx, J>0;
о	о
т	m
' Допт =	W л ~ Tai - у	аК
О '	/ = 1
46.18.	Так как
7=7 то °[7] = ^[1-^0-«_аГ>] =
5= 9® = (0,86 • 10'8)8 Д3.
а, = 0,86- 10~«А
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ
Таблица I
“Закон распределения Пуассона Р (т, %) =-j—
X т	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
0	0,904837	0,818731	0,740818 >	0,670320	0,606531	0,548812
1	090484	163746	222245	268128	303265	329287
2	004524	016375	033337	053626	075816	098786
3	000151	001092	003334	007150	612636	019757
4	000004	000055	000250	000715	’ 001580	002964
5		000002	000015	000057	000158	000356
6			000001	000004	000013	000036
7					000001	000003
X. х						-
т	0,7	0,8	0,9	1,0	2	3
0	0,496585	0,449329	0,406570	0,367879	0,135335	0,049787
1	347610	359463	365913	367879	270671	149361
2	121663	143785	164661	183940	270671	224042
3	028388	038343	049398	061313	180447	224042
4	004968	007669	011115	015328	090224	168031
5	000696	001227	002001	0Q3066	036089	100819
6	000081	000164	000300	000511	' 012030	050409
7	000008	000019	000039	000073	003437	021604
8	000001	000002	0000Q4	000009	000859	008102
9				000001	000191	002701
10	--				000038	000810
642
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл, }
к т	0,7	0,8	0,9	1,0	2	3
11					0,000007	0,000221
12					000001	000055
13						000013
14						000003
15						000001
X. к т	4	5	6	7	8	9
0	0,018316	0,006738	0,002479	0,000912	0,000335	0,000123
1	073263	033690	014873	006383	002684	001111
2	146525	084224	044618	022341	010735	004998
3	195367	140374	089235	052129	028626	014994
4	195367	175467	133853	091226	057252	033737
5	156293	175467	160623	127717	091604	Q60727
6	104196	146223	160623	149003	122138	091090
7	059540	104445	137677	149003	139587	117116
8	029770	065278	103258	130377	139587	131756
9	013231	036266	068838	101405	124077	131756
10	005292	018138	041303	070983	099262	118580
11	001925	008242	022529	045171	072190	097020
12	000642	003434	011264	026350	048127	072765
13	000197	001321	005199	014188	029616	050376
14	000056	000472	002228	007094	016924	032384
15	000015	000157	000891	003311	009026	019431
16	000004	000049	000334	001448	004513	010930
17	000001	000014	000118	000596	002124	005786
18		000004	000039	000232	000944	002893
19		000001	000012	000085	000397	001370
20			000004	000030	000159	000617
21			000001	000010	000061	000264
22				000003	000022	000108
23				000001	000008	000042
24					000003	000016
25			-		000001	000006
26						000002
27						000001
ТАБЛИЦЫ
t Суммарные вероятности для распределения Пуассон^-
оо
v= т
т	0,1	0,2	0,3	ОД	0,5	0,6	0,7
0	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000
1	0,09516	0,18127	0,25918	0,32968	0,39347	0,45119	0,50341
2	00468	01752	03694	06155	09020	12190	15580
3	00016	00115	00360	00793	01439	02312	03414
4	0	00006	00027	00078	00175	00336	00575
5 6 7		0	00002	00006	00017 00001	00039 00004	00079 00009 00001
\х т х.	0,8	0,9	1,0 „	2,0	4,0	6,0	8,0
0	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000	1^00000	1,00000	1,00000
1	0,55067	0,59343	0,63212	0,86466	0,98168	0,99752	0,99966
2	19121	22752	26424	59399	90842	98265	99698
3	04742	06286	08030	32332	76190	93803	98625
4	00908	01346	01899	14288	56653	84880	95762
5	00141	00234	00366	05265	37116	71494	90037
6	00018	00034	00059	01656	21487	55432	80876
7	00002	00004	00008	00453	11067	39370	68663
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24		00001	00002	00110 00024 00005 00001	05113 02136 00813 00284 00092 00027 0000? 00002 00001	25602 15276 08392 04262 02009 00883 00363 , 00140 00051 00017 00006 00002. 00001	54704 40745 28338 18411 11192 06380 03418 01726 00823 00372 00159 00065 00025 00009 00003 00001
644
ТАБЛИЦЫ
Таблица III
г х2
2 С ””2
Функция Лапласа Ф (г) =	\ е dx.
г	^2л J
О
Z	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	* 0,7	0,8	0,9
0,	0	797	1585	2358	3108	3829	4515	5161	5763	6319
1,	6827	7287	7699	8064	£385	8664	8904	9109	9231	9426
2,	9545	9643	9722	9786	9836	9876	9907	9931	9949	9963
3,	9973	9981	9986	9990	9993	9995	9997	9998	9999	9999
В таблице приведены значения Ф (z) • 1О4. В первом столбце
указаны целые, а в верхней строке — десятые доли аргумента z.
Приведем также некоторые значения z, отвечающие круглым
значениям функции Ф(г).
Ф (-г)	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999
Z	1,2816	1,6449	1,9600	2,5758	3,2905
Таблица IV
' Приведенная функция Лапласа
Z	S
Ф (г) =	( e~p*x2dx = Ф (гр /2).
У л J
о
z	0,0	0,1	о,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,	0	538	1073	1603	2127	2641	3143	3632	4105	4562
1,	5000	5419	5817	6194	6550	6883	7195	7485	7753	8000
2,	8227	8433	8622	8792	8945	9082	9205	9314	9410	9495
3,	9570	9635	9691	9740	9782	9818	9848	9874	9896	9915
4,	9930	9943	9954	9963	9970	9976	9981	9985	9988	9990
5,	9992	9994	9995	9996	9997	9998	9998	9999	9999	9999
В таблице приведены значения Ф (z) • 104. В первом столбце
указаны целые, а в верхней строке — десятые доли аргумента z.
ТАбЛИЦЙ"
Ж.
Таблица V
Плотность вероятности для закона нормального распределения
2*
Ф (г) — —L- е 2 .	’ '
/2 л	__________ ______________•
Z	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,	3989	3970	3910	3814	3683	3521	3332	3123	2897	2661
1,	2420	2179	1942	1714	1497	1295	1109	940	790	656
2,	540	440	355	283	224	175	136	104	79	60
3,	44	33	24	17	12	9	6	4	3	2
В таблице приведены значения ф (г) • 10*. В первом столбце ука-
заны це^ые, а в верхней строке — десятые доли аргумента г.
Таблица VI
Закон распределения Стьюдента
t
— со
	1	2	3	4	6	8	10	12	14	16	18	со
0,0	500	500	500	500	500	500	500	500	500	500	500	500,00
о,1	532	535	537	537	538	539	539	539	539	539	539	539,83
0,2	563	570	573	574	576	577	577	578	578	578	578	579,26
0,3	593	604	608	610	613	614	615	615	616	616	616	617,91
0,4	621	636	642	645	648	650	651	652	652	653	653	655,42
0,5	648	667	674	678	683	685	686	687	688	688	688;	691,46
0,6	672	695	705	710	715	717	719	720	721	722	722	725,75
0,7	694	722	733	739	745	748	750	751	752	753	754	758,04
0,8	715	746	759	766	773	777	779	780	781	782	783	788,14
0,9	733	768	783	790	799	803	805	807	808	809	810	815,94
1,0	750	789	804	813	822	827	830	832	833	834	835	841,34
1,2	779	823	842	852	862	868	871	873	875	876	877	884,93
L4	803	852	872	883	894	900	904	907	908	910	911	919,24
1,6	822	875	896	908	920	926	930	932	934	,935	936	945,20
1,8	839	893	915	927	939	945	949	951	953	955	956	964,07
2,0	852	908	930	942	954	960	963	966	967	969	970	977,25
2,4	874	931	952	963	973	978	981	983	985	986	986	991,80
2,8	891	946	966	976	984	988	991	992	993	' 994	994	997,44
3,2	904	957	975	984	991	993	995	996	997	997	997	999,31
3,6	914	965	982	989	993	996	998	998	999	999	999	999,84
4,0	922	971	986	992	996	998	999	999	999	999	999	999,97
В таблице приведены значения Р (/; k) • 103.
646
ТАБЛИЦЫ
Таблица VII
Закон распределения %2!

X. k	2	4	6	8	10	12	15	20	25
1	6065	9098	9856	9982	9998	10 000	10 000	10 000	10 000
2	3679	7358	9197	9810	9963	9 994	10 000	10 000	10 000
3	2231	5578	8088	9344	9814	9 955	9 996	10 000	10 000
4	1353	4060	6767	8571	9474	9 834	9 977	10 000	10 000
5	821	2873	5438	7576	8912	9 580	9 921	9 997	10 000
/ 6	498	1992	4232	6472	8153	9 161	9 798	9 989	10000
7	302	1359	3208	5366	7254	8 576	9 576	9 967	9 998
8	183	916	2381	4335	6288	7 851	9 238	9919	9 995
9	111	611	1736	3423	5321	7 029	8 775	9 829	9 986
10	67	404	1246	2650	4405	6 160	8 197	9 682	9 966
12	25	174	620	1512	2851	4 457	6 790	9 161	9 866
14	9	73	296	818	1730	3 007	5 255	8 305	9617
16	3	30	138	424	996	1912	3 821	7 166	9 148
18	1	12	62	212	550	1 157	2 627	5 874	8 424
20	0	5	28	103	292	671	1719	4 579	7 468
25		1	3	16	54	148	499	2014	4624
30		0	0	2	9	28	119	698	2 243
В таблице приведены значения Р (%2	х?) * Ю4
ТАБЛИЦЫ
Значения у для доверительного интервала ,—	'TW
величина t имеет распределение Стьюдента, нижняя ух й верхняя
Уъ границы доверительного интервала для среднего квадратического
отклонения а: Yi# < а С у^в в зависимости от доверительной ве-
роятности а и числа степеней свободы k
Y				Yi				y8 			
\ а	0,90	0,95	0,99	0,90	0,95	0,99	0,90	0,95	0,99
1	6,31	12,71	63,7	0,510	0,446	0,356	15,9	31,9	159
2	2,92	4,30	9,92	0,578	0,521	0,434	4,40	6,28	14,1
3	2,35	3,18	5,84	0,620	0,566	0,483	2,92	3,73	6,47
4	2,13	2,77	4,60	0,649	0,599	0,519	2,37	2,87	4,39
5	2,02	2,57	4,03	0,672	0,624	0,546	2,09	2,45	3,48
6	1,943	2,45	3,71	0,690	0,644	0,569	1,916	2,20	2,98
7	1,895	2,36	3,50	0,705	0,661	0,588	1,797	2,04	2,66
8	1,860	2,31	3,36	0,718	0,675	0,604	1,711	1,916	2,44
9	1,833	2,26	3,25	0,729	0,688	0,618	1,645	1,826	2,28
10	1,812	2,23	3,17	0,739	0,699	0,630	1,593	1,755	2,15
11	1,796	2,20	3,11	0,748	0,708	0,641	1,550	1,698	2,06
12	1,782	2,18	3,06	0,755	0,717	0,651	1,515"	1,651	1,976
13	1,771	2,16	3,01	0,762	0,725	0,660	1,485	1,611	1,910
14	1,761	2,14	2,98	0,769	0,732	0,669	1,460	1,577	1,854
15	1,753	2,13	2,95	0,775	0,739	0,676	1,437	1,548	1,806
16	1,746	2,12	2,92	0,780	0,745	0,683	1,418	1,522	1,764
17	1,740	2,11	2,90	0,785-	' 0,750	0,690	1,400	1,499	1,727
18	1,734	2,10	2,88	0,790	0,756	0,696	1,385	1,479	1,695
19	1,729	2,09	2,86	0,794	0,760	0,702	1,370	"1,460	1,666
20	1,725	2,08	2,84	0,798	0,765	0,707	1,358	1,444	1,640
22	1,717	2,07	2,82	0,805	0,773	0,717	1,335	1,416	1,595
24	1,711	2,06	2,80	0,812	0,781	0,726	1,316	1,391	1,558
26	1,706	2,06	2,78	0,818	0,788	0,734	1,300	1,371	1,526
28	1,701	2,05	2,76	0,823	0,794	0,741	1,286	1,352	1,499
30	1,697	2,04	2,75	0,828	0,799	0,748	1,274	1,337	1,475
40	1,684	2,02	2,70	0,847	0,821	0,774	f,228	1,279	1,390
60	1,671	2,00	2,66	0,871	0,849	0,808	1,179	1,217	1,299
120	1,658	1,98	2,62	0,925	0,912	0,887	1,106	1,110	1,150
оо	1,645	1,96	2,58	—	—			t	—
648
ТАБЛИЦЫ
Таблица IX
Вероятности того, что относительная ошибка в среднем
квадратическом отклонении не превзойдет данной величины q:
Таблица X
Критические значения Ха для распределения Колмогорова
а	0,50	0,40	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
	0,828	0,895	0,974	1,073	1,224	1,358	1,52.0	1,627	1,950
ТАБЛИЦЫ
649
Таблица XI
Ортогональные полиномы Чебышева Pk. п (х.)	*
п	\ *	1	2	3	4	5
	0	5	5	5	1	1
	1	3	—1	—7	—3	— 5
5	2	1		4		4	' 2	10
(6 точек)	3	—1	—4	4	2	—10
	4	—3	—1	7		з	5
	5 -	—5	5	—5 '	1	— 1
Sk		70	84	180	28	‘252
	0	7	7	7	7	7
	1	5	1		—13	—23
	2	3		з	—7	— 3	17
7	3	1		5	—3	9	15
(8 точек)	4	—1	—5	3	9	—15
	5	з	-3	7	— 3	—17
	6	—5	1	5	—13	23
	7	—V	7	—7	7	— 7
		168	168	264 ‘	616	2184
	0	9	6	- 42	18	6
	1	7	2	—14	—22	—14
	2	5	—1	—35	—17	1
	3	3		з	—31	3	11
. У	4	1		—12	18	6
(10 то-	5	— ]	—4	—12	18'	— 6
чек)	6		з	—3	31	3	—11
	7	—5	- —1	35	—17	— 1
	8	—7	2	14	—22	14
	9	—9	6	z —42	18	— 6
Sk		330	132	8580	2860	780
650
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл, XI
п	X. k	1	2	3	4	5
	0	11	55	33	33	33
	1	9	25	— 3	—27		57
	2	7	1	—21	—33	—21
	3	5	—17	—25	—13	' 29 '
	4	3	—29	—19	12	44
11	5	1	—35	— 7	28	20
(12 то- чек)	6	— 1		35	7	28	—20
	7	— 3	—29	19	12	—44
	8	— 5 .	—17	25	—13	—29
	9	— 7	1	21	—33	21
*	10	— 9	25	3	—27	57
	11	—11	55	—33	33	—33
		572	12012	5148	8008	15912
	0	6	22	И	99	22
	1	5	11	0	—66	—33
	2	4	2	— 6	—96 *	—18
	3	3	— 5	— 8	—54	11
	4	2	—10	— 7	11	26
12	5	1	—13	— 4	64	20
(13 то-	6	0	—14	0	84	0
чек)	7	—1	—13	4	64	—20
	8	—2	—10	7	11	—26
	9		3	— 5	8	—54	—11
	10		4	2	6	—96	18
	11	—5	11	0	—66	33
	12	—6	22	—11	99	—22
		182	2002	572	68068	6188
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. XI
--------/____________
	X. k						/
п	xi\	1	2	3	4	б
						
	0	13	13	143	143	143
	1	11	7	И	— 77	—187
	2	9	2	— 66	—132	—132
	3	7	— 2	— 98	— 92	28
	4	5	— 5	— 95	— 13	139
	5	3	— 7	— 67	63	145
1о	6	1	— 8	— 24	108	60
(14 ТО-	7	— 1	— 8	24	108	— 60
чек)	8	— 3	— 7	67	63	—145
	9	— 5	— 5	95	— 13	—139
	10	— 7	— 2	98	— 92	— 28
	И	— 9	2	66	—132	132
	12	—11	7	— 11	— 77	187
	13	—13	13	—143	143	—143
Sk		910	728	97240	136136	235144
	0	v 8	40	28	52	104
	1	7	25	7	—13	— 91
	2	6	12	— 7	—39	—104
	3	5	1	—15	—39	— 39
	4	4	— 8	—18	—24	36
	5	3	—15	—17	— 3	83
	6	2	—20	—13	17	88
16	7	1	—23	— 7	31	55
(17 то-	8	0	—24	0	36	0
чек)	9	—1	—23	7	31	— 55
	10	—2	—20	13	17	— 88
	11	—3	—15	17	— 3	— 83
	12		4	8	18	—24	— 36
	13	—5	1	15	—39	39
	14	- 6	12	7	—39	104
	15	—7	25	— 7	—13	91
	16	—8	40 z	—28	52	—104
sk		408	7752	3876	16756	100776
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ТАБЛИЦЫ С ССЫЛКАМИ
НА ЛИТЕРАТУРУ
1Т. Биномиальные коэффициенты С™: [7], [14], [43], [61].
2Т. Факториалы или логарифмы факториалов: [3], [6], [7], [81,
[14] [29], [52], [56].-
ЗТ. Степени некоторых десятичных дробей: [29].
4Т. Биномиальная функция распределения: [18], [29].
5Т. Гамма-функция Г (х) или логарифм гамма-функции: [6],
П], [8], [43], [52], [64], [70].
6Т. Вероятности Р (т, а) для закона распределения Пуассона:
[И, [6], [12], [14], [17], [27], [65], [66], [71], табл. I приложения.
7Т. Суммарные вероятности P(k^m) для закона распределе-
ния Пуассона: [1], [6], [7], [17], [27], [65], [71], табл. II приложения.
8Т. Функция Лапласа Ф (г): [1], [2], [5], [8], [14], [16], [19], [26],
[27], [28], [31], [32], [44], [46], [49], [56], [64], табл. III приложения.
В некоторых книгах приведены таблицы уФ (г): [17], [23], [26],
[27], [29], [53].
9Т. Плотность вероятности нормального закона распределения
при аргументе, выраженном в средних квадратических отклонениях:
[1], [2], [6], [7], [12], [14], [17], [23], [26], [27], [28], [29], [38], [46],
[56], [62], [64], [65], [66], [67], [71], табл. V приложения.
10Т. Производные от плотности вероятности нормального
закона распределения: [14], [64].
11Т. Приведенная функция Лапласа Ф (г): [1], [12], [14], [21],
[56], табл. IV приложения.
12Т. Плотность вероятности нормального закона распределения
при аргументе, выраженном в срединных отклонениях: [1], [14], [56].
13Т. Функция р (z) = Ф (z) — 2гФ' (г): [14], [56].
14Т. Функция распределения Стьюдента: [14], [17], [27], [67],
[71], табл. VI приложения.
15Т. Вероятность Р( Т\ для закона распределения Стью-
дента: [7], [64].
16Т. Значения 7, отвечающие доверительной вероятности
а = Р(| Г|<7) для закона распределения Стьюдента: [2], [7], [11],
[12], [14], [26], [27], [28], [29], [31], [35], [36], [46], [56], [62], [64],
табл. VIII приложения.
17Т. Вероятности Р(у2^уД) Для закона х2“РаспРеДеления: ПК
[11], [14], [17], [27], [28], [35], [44], [46], [55], [62], [71], табл. VII
приложения.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТАБЛИЦЫ
18Т. Значения для закона х2-РаспРедЗления: [6],
[18], [27], [28], [29], [31], [35], [44], [46], [53], [57], [62], [64]Г 1W,
[67], [71], табл. VI приложения.
19Т. Границы доверительного интервала для среднего квадра-
тического отклонения а для закона' ^-распределения: [14], [27], [36],
табл. VI приложения.
Функция распределения Рэлея: [64].
V k	у k \
20Т. Вероятность Р Н X	Для закона ^-распре-
деления: [14], [26], [56], табл. IX приложения.
21Т. Плотность вероятности для ^-распределения: [64].
22Т. Вероятности Р (у.^<1 УТг) для Х_распределения: [64].
23Т. .	- р-
24Т. функция р (х) = 1 - е-Р2*2: [14]/ [56].
25Т. Функция ЛГ(М для закона распределения Колмогорова:
[2], [14], [17], [18], [26], [27], [44], [71].
Критические значения Ха, отвечающие уровню значимости а;
[7], [46], [65], табл. X приложения.
26Т. Значения р-квантилей функции распределения Вальда: [4].
27Т. Таблицы случайных чисел: [26], [29], [44], [64], [71].
28Т. Функция т] (р) = — р log2p: [12], [14], [68].
29Т. Ортогональные полиномы Чебышева: [7], [14], [43]*
табл. XI приложения.
ЗОТ. Двусторонние доверительные интервалы для оценки вероят-
ностей: [7], [27], [65].
31Т. Значения 2 = Т	[27].
2	1 — г L J
32Т. Соотношения между параметрами закона распределения
Вейбулла: [64].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Абезгауз Г. Г., Тронь А. П., Копенкин Ю. Н.,
К о р о в и н а И. А., Справочник по вероятностным расчетам,
Военное издательство МО СССР, 1966.
2.	Арлей Н. и Бух К., Введение в теорию вероятностей и
математическую статистику, ИЛ, 1951.
3.	Барлоу П., Таблицы квадратов, кубов, квадратных корней,
кубических корней и обратных величин, «Мир», 1965.
4.	Башаринов А. Е. иФлейшманБ. С., Методы стати-
стического последовательного анализа и их приложения, 1962.
5.	Б е р н ш т е й н С. Н., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1946.
6.	Б о е в Г. П., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1956.
7.	Б о л ь ш е в А. Н. и С м и р н о в Н. В., Таблицы математи-
ческой статистики, «Наука», 1965.
8.	Бронштейн И. Н.? С е м е н д я е в К. А., Справочник по
математике, «Наука», 1965.
9.	Бунимович В. И., Флуктуационные процессы в радио-
приемных устройствах, «Советское радио», *1951.
10.	Вальд А., Последовательный анализ, Физматгиз, 1960.
11.	В а н-д е р-В а р д е н Б. Л., Математическая статистика,1960. _
12.	Вентце ль Е. С., Теория вероятностей, «Наука», 1969.
13.	Вентцель Е. С. и Овчаров Л. А., Теория вероят-
ностей, «Наука», 1969.
14.	Володин Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я., К о -
маров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б., Руко-
водство для инженеров по решению задач теории вероятностей,
Судпромгиз, 1962.
15.	Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, «Наука», 1968.
16.	Г ливен к о В. И., Курс теории вероятностей, 1939.
17.	Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, «Наука», 1969.
18.	Г н е д е н к о Б. В., Беляев Ю. К., С о л о в ь е в А. Д.,
Математические методы в теории надежности, «Наука», 1965.
19.	Гнеденко Б. В. и ХинчинА. Я. Элементарное введе-
ние в теорию вероятностей, «Наука», 1964.
20.	Г олдман С., Теория информации, ИЛ, 1957.
21.	Гончаров В. Л., Теория вероятностей, Оборонгиз, 1939.
22.	Г р а д ш т е й н И. С. и Р ы ж и к И. М., ^Таблицы интегра-
лов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
23.	Г утер Р. С. и О в ч и н с к и й Б. В., Элементы числен-
ного анализа и математической обработки результатов опыта,
Физматгиз, 1962.
24.	Г ю н т е р Н. М. и Кузьмин Р. О., Сборник задач по выс-
шей математике, ч. III, Гостехиздат, 1951.
ЛИТЕРАТУРА
655
25.	Д е в е нпор т В. Б. и Р у т В. Л., Введение в теорию слу-
чайных сигналов и шумов, ИЛ, 1960.
26.	Длин А. М., Математическая статистика в технике, «Со-
ветская наука», 1958.
27.	Дунин-Барковский И. В. и С м и р н о в Н. В., Тео-
рия вероятностей и математическая статистика в технике (общая
часть), Гостехиздат, 1955.
28.	К о р н Г. и К о р н Т., Справочник по математике для на-
учных работников и инженеров, «Наука», 1968.
29.	Коуден Д., Статистические методы контроля качества,
Физматгиз, 1961.
30.	Кошляков Н. С., Г л и н е р Э. Б., С м и р н о в М. М.,
Основные дифференциальные уравнения математической физики,
Физматгиз, 1962.
31.	Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, 1948.
32.	Крамер Г. иЛидбеттер М., Стационарные случай-
ные процессы, «Мир», 1969.
33.	Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях,
Гостехиздат, 1954.
34.	Л е в и н Б. Р., Теория случайных процессов и ее применение
в радиотехнике, «Советское радио», 1957. ,
35.	Л е в и н Б. Р., Теоретические основы статистической радио-
техники, «Советское радио» кн. 1(1966); кн: 2(1968).
36.	Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы
теории обработки наблюдений, Физматгиз, 1962.
37.	Л о н г е-X и г г и н с М. С., Статистический анализ случай-
ной движущейся поверхности, Сб. «Ветровые волны», ИЛ,
38.	Л у к о м с к и й Я. И., Теория корреляции и ее применение
к анализу производства, Госстатиздат, 1961.
39.	Л э ни н г Д. X. и Б э т,т и н Р. Г., Случайные процессы
в задачах автоматического регулирования, ИЛ, 1958.
40.	М е с я ц е в П. П., Применение теории вероятностей и ма-
тематической статистики при конструировании и производстве
радиоаппаратуры, Воениздат, 1958.
41.	М е ш а л к и н Л. Д., Сборник задач по теории вероятностей,
изд. МГУ, 1963.
42.	Мидлтон Д., Введение статистическую теорию связи,
«Советское радио», т. 1 (1961); т. 2(1962).
43v Милн В. Э., Численный анализ, ИЛ, 1951. ,
44.	Налимов В. В., Применение математической статистики
при анализе вещества, Физматгиз, 1960.
45.	П у г а ч е в В. С., Теория случайных функций и ее приме-
нение к задачам автоматического управления, Физматгиз, 1960.
46.	П у с т ы л ь н и к Е. И., Статистические методы анализа
и обработки наблюдений, «Наука», 1968.
47.	Р о м а н о в с к и й В. И., Дискретные цепи Маркова, 1949.
48.	Романовский В. И., Математическая статистика,
ГОНТИ, 1938.
49.	Румшиский Л. 3., Элементы теории вероятностей, 1966.
50.	С а р ы м с а к о в Т. А., Основы теории процессов Мар-
кова, Гостехиздат, 1954.
656	ЛИТЕРАТУРА
51.	С в ешников А. А., Прикладные методы теории случай-
ных функций, «Наука», 1968.
52.	С е г а л Б. И. и Семендяев К. А., Пятизначные ма-
тематические таблицы, Физматгиз, 1962.
53.	Смирнов Н. В. и Д у н и н-Б а р к о'в с к и й И. В., Курс
теории вероятностей и математической статистики, «Наука», 1969.
54.	Солодовников В. В., Введение в статистическую
динамику систем автоматического управления, Гостехиздат, 1952.
55.	С т р а т о н о в и ч Р. Л., Избранные вопросы теории флук-
туаций в радиотехнике, «Советское радио», 1961.
56.	У н к о в с к и й В. А., Теория вероятностей, Военмориздат,
57.	Уорсинг А. и Геффнер Д., Методы обработки экс-
периментальных данных, ИЛ, 1953. '
58.	Фаддеева В. Н. и Терентьев Н. М., Таблицы зна-
чений интеграла вероятностей от комплексного аргумента,' 1954.
59.	Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее при-
ложения, «Мир», т. 1 (1964); т. 2 (1967).
60.	Хальд А., Математическая статистика с техническими
приложениями, ИЛ., 1956.
61.	Хин чин А. Я., Работы по математической теории массо-
вого обслуживания, Физматгиз, 1963.
62.	Худсон Д., Статистика для физиков, «Мир», 1967.
63.	Ш е р с т о б и т о в В. В. и Динер И. Я., Сборник задач
по стрельбе зенитной артиллерии, Воениздат, 1948.
64.	Шор Я. Б., Статистические методы анализа и контроля
качества и надежности, «Советское радио», 1962.
65.	Ш о р Я. Б. и Кузьмин Ф. И., Таблицы для анализа
и контроля надежности, «Советское радио», 1968.
66.	Щ и г о л е в Б. М., Математическая обработка наблюдений,
Физматгиз, 1962.
67.	Ю л Дж. Э. и Кендалл М. Дж., Теория статистики,
Гостехиздат, 1960.
68.	Я г л о м А. М. и Я г л о м И. М., Вероятность и инфор-
мация, Физматгиз, 1960.
69.	Я г л о м А. М. и Я г л о м И. М., Неэлементарные задачи
в элементарном изложении, Гостехиздат, 1954.
70.	Я н к е Е. и Э м д е Ф., Таблицы функций с формулами
и кривыми, Гостехиздат, 1948.
71.	Янко Я., Математико-статистические таблицы, 1961.
72.	Bachelier L., Calcul des probabilites, Paris, 1942.
73.	Bertrand I., Calcul des probabilites, Paris, 1897.
74.	Borel E., Elements de la theorie des probabilites, Paris, 1924.
75.	C z u b e r E., Wahrscheinfichkeitsrechnung und ihre Anwen-
dung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung, Leip-
zig und Berlin, 1910.
,76	. Sa at у T. L., Resume of useful formulas in guening theory,
Operations Research, № 2, 1957.
77.	Takacs L., Stochastic processes, Problems and solutions,
New York, 1962.
Цена 1 р.