Автор: Добролюбов А.И.
Теги: общее машиностроение технология машиностроения машиноведение физика машиностроение механика
ISBN: 5-02-014590-4
Год: 1991
Текст
ПРОБЛЕМЫ НАУКИ
И ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА
А. И. ДОБРОЛЮБОВ
СКОЛЬЖЕНИЕ
КАЧЕНИЕ
ВОЛНА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 9 1
ББК 34.41
Д56
УДК 621.0Ь(023)-
Добролюбов А. И. Скольжение, качение, волна.— М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 176 с.— ISBN 5-02-014590-4.
В теоретическом и прикладном аспектах рассматриваются важ-
ные виды относительного движения физических тел — скольжение,
качение и волновое (волнообразное) движение. Сделан сравнитель-
ный геометро-кинематический анализ этих движений деформируе-
мых твердых тел, показано «генетическое родство» качения и волно-
образного движения и то, что они являются, по существу, приме-
рами бегущих процессов механического типа. Показано, что ис-
пользование кинематических свойств бегущей волны деформации,
биомеханических аналогий позволяет создать ряд новых волновых
приборов и механизмов, используемых в областях машинострое-
ния, приборостроения, робототехники.
Для инженеров-конструкторов и научных работников в обла-
стях машиностроения, приборостроения, теоретической механики,
биомеханики, а также для студентов вузов.
Ил. 81. Библиогр. 10 назв.
Рецензент доктор технических паук Ф. М. Диментберг
Научно-популярное нздадро^ Гу ; ‘
..<1 ' .1 Л V; TruJ&jK .да-е-ГЯ-Д'’. Д
ДОБРОЛЮБОВ Анатолий Иданрщу , ____д
СКОЛЬЖЕНИЕ, КАЧЕЦИЕЛ ВОЛНА _ / ' “' _ ' |
Серия «Проблемы науки и технического прогресса»
Заведующий редакцией Л. А. Русаков
Редакторы А. Г. Мордвинцев, Н. В. Самойлова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор II. III. Аксельрод
Корректоры С. А. Бутусова, II. Б. Румянцева
ИБ №41231
Сдано в набор 09. 08. 90. Подписано к печати 27.00.91. Формат 84 X 108/32.
Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная по « я. Пенам высокая Усд пен
л. 9,24. Уел. кр.-отт. 9,49. Уч.-плд. л.9 ."А. Tnp'UU 3.11)0 эка. .Заказ № 3.'7 .
Цена 2 р.
Издательско-производственное и книготорговое объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25
2702000000—083 „
И ----------------58-91 © «Наука». Физматлит, 1991
053(02)-!)!
ISBN 5-02-014590-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................... 5
Введение.......................................... 7
Глава 1. Скольжение — простейший вид контактирования
твердых тел...................................... 11
§ 1.1. Область контакта как множество .... 11
§ 1.2. Кинематика скольжения тел....... 15
Глава 2. Качение деформируемых твердых тел .... 18
§ 2.1. Теоретико-множественная модель качения 18
§ 2.2. Живые примеры качения........... 23
§ 2.3. Сравнительный теоретико-множественный
анализ скольжения и качения............ 33
Глава 3. Деформируемое тело и гибкая нить.............. 38
§ 3.1. Гибкая нить как одномерная модель дефор-
мируемого тела............................... 38
§ 3.2. Виды качения гибких нитей........ 40
§ 3.3. Гибкая нить как механизм......... 43
§ 3.4. Качение растяжимых нитей по жесткой
опоре............................. 48
§ 3.5. Самопередвижение деформируемых тел . 52
§ 3.G. Скорость самопередвижения........ 55
Глава 4. Волна как «движущийся ящик»..................... 60
§ 4.1. Волну заключаем в «ящик»................ 60
§ 4.2 Ящик — редуктор......................... 62
§ 4.3. Ящик — преобразователь движения ... 65
§ 4.4. Ящик транспортирует массу эстафетным
способом....................................... 66
§ 4.5. Количество движения, содержащееся в
ящике.......................................... 67
Глава 5. Волна линейной плотности........................ 69
§ 5.1. О сложности траекторий частиц волны 69
§ 5.2. Попытки обойтись без знания движений
частиц......................................... 70
§ 5.3. Расход и линейная плотность тела ... 73
§ 5.4. Деформация и линейная плотность тела 77
§ 5.5. Волна линейной плотности — универсаль-
ная модель бегущей волны деформации 80
§ 5.6. Когда бегущая волна не переносит массу 84
§ 5.7. Когда бегущая волна переносит массу на-
встречу своему движению........................ 87
3
Глава 6. Колесо и волна как виды качения................. 93
§ 6.1. «Генетическое родство» колеса и волны . , 93
§ 6.2. Сравнение скоростей качения колеса и
волны ........................................ 96
§ 6.3. Волновое движение как сумма двух
простых....................................... 99
Глава 7. Волна на криволинейной опоре................... 102
§ 7.1. Качение замкнутой нити по цилиндриче-
ской опорной поверхности..................... 102
§ 7.2. Разнообразие траекторий качения .... 109
Глава 8. Бегущая волна и препятствие.................... 115
§ 8.1. Препятствие на пути бегущей волны при-
водит к образованию избытка массы перед
препятствием................................. 115
§ 8.2. Волна на нити, закрепленной на концах,—
волновой шаговый механизм.................... 118
Г л а в а 9. Бегущая волна — звено механизмов и машин . . 122
§ 9.1. Волновые механизмы, использующие по-
перечную бегущую волну....................... 123
9.1.1. Волновые механизмы непрерывного дей-
ствия (123). 9.1.2. Волновые шаговые механиз-
мы (126).
§ 9.2. Волновые механизмы, использующие про-
дольную бегущую волну........................ 145
9.2.1, Бегущая волна продольной деформации
пак преобразующее звено механизмов (145).
9.2.2. Механизмы, основанные на прокатке уп-
ругого тела (150). 9.2.3. Волновые транспортно-
тяговые устройства (162).
Список литературы....................................... 172
Предметный указатель .................................. 173
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга относится к областям теоретической механики
и теории механизмов и машин и освещает нетрадиционные
разделы этих наук, связанные с взаимодействием дефор-
мируемых элементов (звеньев), а также с построением,
анализом и кинематическим расчетом механизмов на гиб-
ких и упругих элементах. Главное внимание уделяется
так называемым бегущим процессам механического ти-
па — скольжения, качения и волнового движения де-
формируемых тел, показано «генетическое родство» этих
процессов. Приведены биологические примеры исполь-
зования бегущих волн деформации на протяженных де-
формируемых телах (способ передвижения садовой гусени-
цы, дождевого червя, змеи) и показано, что использова-
ние кинематических свойств бегущей волны деформации
и использование биомеханических аналогий позволяет
создать ряд новых волповых приборов и механизмов,
используемых в машиностроении, приборостроении, ро-
бототехнике. Даются кинематические схемы новых (при-
знанных изобретениями) механизмов, макетов и лабора-
торных моделей, моделирующих описываемые процессы.
В силу кинематического сходства описываемые процессы
сведены к единой модели и приведены соотношения для
их кинематического расчета.
Главы 1—8 посвящены в основном теоретическим во-
просам, изложение которых сопровождается многочис-
ленными практическими примерами. Используются такие
нетрадиционные способы анализа кинематики деформи-
руемых тел, как теоретико-множественный анализ,
использование биомеханических аналогий, приведение
движения продолговатых деформируемых тел к движе-
нию гибкой нити, используется модель движущегося
«черного ящика», подробно исследуется способность бе-
гущей волны переносить массу деформируемого тела
и др. Глава 9 посвящена описанию новых волновых ме-
ханизмов, устройств и демонстрационных приборов, боль-
шая часть которых признана изобретениями. Галерея
новых волновых механизмов и устройств представлена
в упорядоченном виде: впачале описаны механизмы, ис-
пользующие поперечную волну в качестве движителя,
затем механизмы, основанные на использовании про-
дольной волны, а также изложен принцип волновых ко-
лесно-шаговых устройств и приведены примеры его тех-
нической реализации.
ВВЕДЕНИЕ
Скольжение и качение твердых тел — хорошо извест-
ные явления, весьма распространенные и доступные для
наблюдения каждому. Можно без преувеличения сказать,
что все технические устройства, от детской игрушки до
новейших машин и аппаратов современной техники, со-
держат в себе скользящие или катящиеся относительно
друг друга детали и звенья. Скольжение и качение при-
сущи всем кинематическим парам (соединениям звеньев
машин), и характер протекания этих процессов, их ха-
рактеристики и параметры определяют функциональные
особенности, надежность и долговечность машин и при-
боров.
Скольжение твердых тел — простое по своей кинема-
тике движение, при котором поверхность одного тела
движется относительно поверхности другого, не теряя
с ним контакта. Качение твердых тел — гораздо более
сложный в кинематическом отношении процесс движе-
ния. Даже простейший вид качения — качение жесткого
колеса по жесткой опорной плоскости — уже содержит
в себе нетривиальные и неизвестные неспециалисту яв-
ления: точки обода колеса описывают сложные траекто-
рии (циклоиды), отнюдь не напоминающие по своей фор-
ме пи форму колеса, тпг ого опору; нижняя точка колеса
в любой момент времени находится в покое, а верхняя —
движется с удвоенной скоростью по сравнению со ско-
ростью центра колеса.
Еще более сложным в кинематическом отношении яв-
ляется процесс качения деформируемых тел относитель-
но друг друга или качение деформируемых тел относи-
тельно жестких. Здесь, кроме геометрических факторов,
определяющих качение твердых тел, играют роль харак-
тер и величина деформации тел в области контакта и вне
его, что значительно усложняет эти движения. Посколь-
ку все физические тела являются в той или иной степени
7
деформируемыми, учет величин деформации необходим
при анализе качения практически любых тел, но особенно
сложным становится анализ качения в случае, когда тела
подвергаются значительной по величине деформации.
Здесь деформация выступает в роли не сопутствующего
фактора, вносящего погрешность в качение твердого
тела, а в роли основного кинематического фактора ка-
чения. Именно такое качение деформируемых тел будет
главным предметом нашего внимания. Примерами каче-
ппя деформируемых тел является движение по опорной
Рис. 0.1. Качение деформируемых тел: а —деформируемого ко-
леса; б— тракторной гусеницы; в— приводного ремня; г —по-
перечной волны на гибкой нити
поверхности деформируемого колеса (рис. 0.1, а), замкну-
той некруглой гибкой лепты (типа тракторной гусеницы,
рис. 0.1, б), движение гибкого приводного ремня, охва-
тывающего шкивы (рис. 0.1, е), движение изогнутого
участка продолговатого тела, лежащего на опорной по-
верхности (рис. 0.1, г). Последний пример движения, ко-
торый, как будет показано, является иллюстрацией спо-
соба передвижения садовой гусеницы, можно скорее на-
звать волновым движением, нежели качением. И это
не случайно: как будет показано, качение и волновое
движение деформируемых тел кинематически весьма схо-
жи и поэтому часто могут быть сведены к единой модели.
Главная схожесть «колесного» и «волнового» качений —
неподвижность точек, контактирующих с опорой. У ка-
тящегося колеса таких точек немного (теоретически у
жесткого колеса, катящегося по жесткой опоре,—одна
неподвижная точка контакта), у «катящейся волны»
(рис. 0.1, г) неподвижным может быть участок сколь угод-
но большой длины.
Если контуры изображенных на рис. 0.1 катящихся
деформируемых тел, кроме деформации изгиба, подвер-
жены продольной (тангенциальной) деформации растя-
жения или сжатия, кинематика качения этих тел зна-
чптел ьпо усложнится.
Природа словно позаботилась о том, чтобы дать нам
наглядные примеры двух главных видов волнового дви-
8
жения деформируемых тел, контактирующих с жесткой
опорной поверхностью *). Такими примерами являются
способ передвижения садовой гусеницы, по телу которой
бежит поперечная волна деформации, и способ передви-
жения дождевого червя — здесь по телу движется про-
дольная волна деформации. Оба этих «живых примера»
мы используем при построении моделей «волнового ка-
чения» деформируемых тел. Их анализ позволил по-
заимствовать биомеханическую идею этих видов движе-
ния и создать ряд новых механизмов и технических уст-
ройств, многие из которых описаны на страницах этой
книги.
Движущаяся волна деформации относится по своей
природе к сложным пространственно-временным явле-
ниям, называемым иногда бегущими процессами. Бегущий
процесс характеризуется тем, что некая неизменная ло-
кальная ситуация («картина») перемещается вдоль за-
данного направления. Стационарная бегущая волна де-
формации характеризуется неизменностью локальной кар-
тины деформации (формы волны), перемещающейся вдоль
некоторого направления. Такие волны, как и бегущие
процессы вообще, удобно изучать путем разложения их
на две компоненты — относительную (относительно под-
вижной 7С-системы координат, движущейся вместе с вол-
ной) и переносную (движение К'-системы относительно
неподвижной /^-системы). Этот прием будет нами исполь-
зоваться при анализе волнового движения и качения де-
формируемых тел и гибких нитей.
Бегущая волна деформации на гибких и упругих те-
лах обладает многими замечательными кинематическими
свойствами, позволяющими использовать ее как звено
различных механизмов. К таким свойствам относятся
редуцирующее действие (частицы тела движутся медлен-
нее бегущей по нему волны), преобразующее действие
(волна движется непрерывно, а частицы тела совершают
шаговые движения), свойство массопереноса в прямом
либо обратном направлениях, свойство волнового само-
*) Рассматриваемые здесь волновые движения деформируемых
тел, учитывая их макромасгитабность, сравнительную медленность
(квазпстатпчность) и кинематический способ задания (задаются
геометрическая форма волны и скорость ее перемещения), вернее
было бы назвать не волнами, а волнообразными движениями (тер-
мин предложен Ф. М. Диментбергом). Однако, не отступая от тра-
диционной терминологии, мы будем использовать также термины
«волна», «волновое движение», «бегущая волна деформации».
9
передвижения деформируемых тел по опорной поверх-
ности. Эти качества волны с успехом можно использовать
для создания различных волновых механизмов и уст-
ройств, которые в силу упомянутых свойств бегущих волн
коренным образом отличаются по принципу действия от
традиционных механизмов на жестких звеньях и требуют
для своего изучения новых теоретических подходов.
Для сравнительного анализа трех изучаемых явле-
ний — скольжения, качения и волнообразного движе-
ния — в книге используются различные инструменты
анализа — теоретико-множественная модель области кон-
такта, изображение бегущей волны в виде модели «дви-
жущегося ящика», понятия волны линейной плотности,
мгновенного расхода деформируемого тела через непод-
вижное сечение, описываются демонстрационные при-
боры, поясняющие явление «эстафетной» передачи массы
движущейся волной. Все эти средства, а также нагляд-
ные изображения изучаемых волн и волновых устройств
служат целям возможно более простого изложения физи-
ческой сущности сложных механических явлений, како-
выми являются качение и волновое движение деформи-
руемых тел, и пояснению работы описываемых волновых
устройств.
Главная трудность анализа волнообразного движения
деформируемых тел — сложность траекторий и законов
движения частиц тела, подверженного волновому дви-
жению. Поэтому тенденцией инженерного анализа волн
и волновых механизмов является стремление находить
главные характеристики волнового движения без вычис-
ления траекторий и законов движения отдельных частиц
тела.
В книге показано, что большое число задач о качении
и волновом движении деформируемых тел может быть ре-
шено при помощи модели в виде гибкой растяжимой или
нерастяжимой нити, подверженной волновым движениям.
По этой причине значительная часть материала посвяще-
на анализу различных волновых движений деформиру-
емых нитей, и теоретическая направленность книги мо-
жет быть определена как механика волнового движения
деформируемой нити. Главной практической направлен-
ностью книги является описание способов использования
волн деформации для создания технических устройств
волнового типа, перспективных для использования в ма-
шиностроении, приборостроении, робототехнике.
Глава 1
СКОЛЬЖЕНИЕ — ПРОСТЕЙШИЙ ВИД
КОНТАКТИРОВАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 1.1. Область контакта как множество
Контактирование между собой твердых тел — простое
на первый взгляд механическое явление, знакомое каж-
дому из обыденной жизни. Два контактирующих тела А
и В соприкасаются частями своих поверхностей, совме-
щающихся друг с другом и образующих единую для обоих
тел поверхность соприкосновения С. Площадь поверх-
ности соприкосновения может быть велика или мала,
в пределе (теоретически) может быть лишь одна точка
соприкосновения, например точка контакта абсолютно
твердых шара и плоскости. Точкой контакта с, двух тел
А и В называется их общая точка, т. е. точка, принадле-
жащая одновременно телам А и В. Таким образом, точка
контакта с, по своей природе является двойной, образо-
« АВ
ванной слиянием двух точек ci и ci, принадлежащих те-
лам А и В соответственно. Поверхность соприкосновения
С (поверхность контакта) тел А л В является совокуп-
ностью («геометрическим местом») точек с, контакта
и в указанном смысле также является двойной, образо-
ванной слиянием двух поверхностей — СА (поверхности
контакта, принадлежащей телу А) и равной ей по пло-
щади поверхности контакта Св (принадлежащей телу В).
Заметим, что поверхности СА и СБ физических тел А л В,
слившиеся в одну контактную поверхность С, при этом
деформированы, т. е. форма и площадь поверхности С
контакта отличаются от формы и площади каждой из со-
прикасающихся поверхностей СА и Св, находящихся
в свободном (до момента контакта) состоянии. Степени
11
деформации поверхностей СА и Св при этом могут отли'
чаться друг от друга.
Здесь и в дальнейшем мы исходим из классического
представления о физическом теле как о множестве мате-
риальных точек (частиц), образующих в своей совокуп-
ности некоторую геометрическую фигуру [1 ]. Благодаря
такому подходу, принятому в механике сплошной среды,
и привлечению постулата непрерывности материн физи-
ческое тело в механике рассматривается как геометриче-
ское тело, характеризующееся, кроме геометрических
размеров и формы, содержащейся в ней массой, что обыч-
но задается плотностью тела. Всякое тело имеет внутрен-
ние и граничные (поверхностные) точки, причем послед-
ние образуют граничные поверхности (границы) тела.
Контактирующие твердые тела соприкасаются своими
границами.
Определение физического тела и его поверхностей как
совокупностей (множеств) элементарных частиц (точек)
делает плодотворным использование концепций и опре-
делений математической теории множеств [2]. Исполь-
зование теоретико-множественных положений оказывает-
ся плодотворным при кинематическом анализе движений
деформируемых (изменяемых) тел, волновых движений
жидкостей п газов, сыпучих сред, при анализе массо-
переноса деформируемых тел и т. и.
Контактирование двух тел Л и В с позиций теории
множеств может быть интерпретировано следующим об-
разом. Физическое тело А можно рассматривать как мно-
жество точек (частиц) аг- этого тела — элементов множест-
ва А, что записывается как at е А и читается: при-
надлежит А. Будем, как правило, обозначать строчными
буквами элементы множеств, прописными — сами мно-
жества. Запись bi е В означает принадлежность эле-
мента (точки) bt множеству (телу) В. Также будем при-
менять обозначения {at} — А, {бг} = В, {сг} = Сит. д.;
запись {щ}, i 1, 2, ..., означает совокупность точек
составляющих единое множество А-
Здесь полезно вспомнить определение: множество —
это совокупность различимых между собой объектов,
мыслимая как единое целое [‘3 ]. В пашем случае мно-
жество — это физическое тело, различимые объекты —
это материальные точкп (частицы), составляющие тело.
Даже в случае однородного тела его точки в любой мо-
мент времени отличаются друг от друга своими коорди-
12
натами (х, у, z) в пространстве. Обозначим sA точку по-
верхности SA тела A, a sf — точку поверхности SB тела
В. Тогда {sf j = SA — это поверхность тела A, {sf J = SB —
поверхность тела В. Все сказанное соответствует
представлению о поверхности как геометрическом месте
точек.
Контактирующие между собой тела имеют общую по-
верхность (площадку) контакта. На языке теории мно-
жеств это означает, что множества SA п SB имеют общее
подмножество С, и записывается так: С = SA П SB, где
С = {с,} — множество точек ct поверхности контакта
тел А и В. Множество С называют пересечением множеств
SA и SB. Очевидно, что множество С составляет часть
множества SA и часть множества SB (является подмно-
жеством этих множеств, что записывается так: С cz SA,
С сг 8В)‘, точно так же множество SA граничных (поверх-
ностных) точек тела А составляет подмножество всех
точек этого тела (>S'A с А). Очевидно также, что SB с В,
С с: А, С с В.
Мощностью множества называют количество его эле-
ментов. Если множество счетно и конечно, т. е. состоит
из конечного числа элементов, которые возможно сосчи-
тать, такое определение мощности не вызывает неясностей.
Например, мощность множества учеников в классе или
жителей в городе — это соответственно число учеников
в классе и число жителей в городе. Такие множества
можно сравнивать между собой по величине (объему),
сравнивая их мощности. Если множества состоят из бес-
конечного числа физически однородных элементов (на-
пример в случае, когда физическое тело рассматривается
как множество, состоящее из бесконечно большого числа
составляющих его элементов — материальных точек-час-
тиц), их мощности бесконечны и сравнивать величины
(объемы) множеств путем сравнения их мощностей нель-
зя. Со строгих позиций теории множеств земной шар
и камешек, который мы держим на ладони, являются бес-
конечными множествами, состоящими из бесконечно боль-
шого числа бесконечно малых элементов (материальных
точек), и заключить, какое из этих множеств больше,
сравнивая их мощности, невозможно. Однако этот пара-
докс существует, как это часто случается в математике,
лишь «по ту сторону предельного перехода», в нашем
случае — перехода к бесконечно малым размерам мате-
13
риальных частиц. Если же материальные частицы, сла-
гающие земной шар и камешек, будем считать не «беско-
нечно малыми», а «достаточно малыми» («конечно малы-
ми»), упомянутый парадокс исчезает, множества стано-
вятся конечными и их вполне можно сравнивать по ве-
личинам их мощностей, которые теперь представляют со-
бой обычные натуральные числа. Например, если мы бу-
дем считать элементами наших множеств (земной шар
и камешек) достаточно малую массу, например одни
грамм, то земной шар будет представлять множество, со-
стоящее из 5,95 Х1027 таких элементов (граммов), а каме-
шек, например, из 102 элементов. Теперь объемы этих
множеств можно сравнивать сравнением их мощностей.
Для практических задач о физических телах такой прием
сведения бесконечных множеств к конечным вполне при-
емлем.
Рассматривая физические тела как множества частиц,
мы будем «дробить тело на малые элементы» не только
по массе, но и по протяженности, т. е. геометрически.
Физическое тело конечного объема V всегда можно пред-
ставить как конечное множество, т. е. совокупность час-
тиц весьма малого объема 6Ег, например равного 1 мм3
или 1 мкм3, и записать: SV; е V (6V принадлежит мно-
жеству V). Поверхность S физического тела тоже можно
рассматривать как множество, состоящее из большого,
но конечного числа весьма малых элементарных площа-
док е S. Сечение поверхности физического тела
плоскостью всегда представляет собой замкнутую линию
(контур) Z, которую можно рассматривать как множест-
во, состоящее из малых элементарных длин 8Lt е L.
В силу сказанного, рассматривая два контактирую-
щих между собой тела А и В, будем считать, что поверх-
ность их контакта — это конечное множество, элементы
которого представляют собой весьма малые, но конечные
площадки dSt. Контакт двух тел А и В, рассматриваемый
в некотором сечении, всегда представляется контактом
двух линий — контуров этих тел. Общая часть (область
контакта) этих линий — это также линия, представляю-
щая собой конечное множество — пересечение С двух
множеств La и LB, являющихся соответственно конту-
рами сечонпй этих тел А и В, т. о. С — LA f] LB. Мы
в дальнейшем будем иметь дело с конечными множества-
ми частиц-масс, частиц-объемов, частиц-площадок и час-
тиц-длин. Если не оговорено особо, вместо «конечное
множество» будем говорить просто «множество».
14
§ 1.2. Кинематика скольжения тел
Рассмотрим рис. 1.1, где изображены контактирую-
щие между собой твердые тела А и В. Пусть тело В зна-
чительно больших, чем А, размеров (опо может быть и бес-
конечно большим) и на рисунке изображена лишь его
часть. На рисунке приведены сечения этих тел плос-
костью чертежа, и контуры тел изображены в виде замк-
нутых линий LA и Lb (изображена лишь часть контура
LB), а область контакта этих тел изображена общей
[Рис. 1.1. К теоретико-множественной модели скольжения тел
частью С обоих контуров. Линии контуров здесь разбиты
на «элементы длины» (для наглядности эти элементы изо-
бражены достаточно большими) и обозначены соответст-
венно аг, а2, а3, ..., а3о и Ьг, Ь2, Ь3,... Из рисунка видно, что
в область (линию) контакта С здесь вошли элементы alt
а2, ..., а10 тела А и элементы Ьп, Ь12, ..., 62О тела В. Эти
элементы попарно ((at, bu), (а2, &12), (а3, 613) и т. д.) сли-
лись воедино, образовав одно множество — пересечение
С из десяти элементов, входящее как в множество ЬА
элементов контура тела А, так и в множество LB элемен-
тов контура тела В, т. е. С = ЬА П LB. Мощность Nc
этого множества равна десяти, т. е. Nc — 10.
Все сказанное относилось к контактированию двух
неподвижных твердых тел. Рассмотрим теперь скольже-
ние тела А по поверхности тела В и взаимодействие кон-
тактирующих элементов обоих тел во время скольжения.
Очевидно, что в области контакта в любой момент времени
находится одно и то же множество элементов СА = {ап
а2, ..., а10} тела А, но различные элементы Св = {&г,
bi+i, ..., й;+10}тела В, причем мощности, т. е. количества
элементов тел А и В, находящихся в контакте, постоян-
15
иы: Nc -- 10. Множество СА контактирующих точек
тела А фиксировано, оно состоит в каждый момент вре-
мени из одних и тех же десяти элементов (частиц поверх-
ности тела Л). Множество Св контактирующих точек
тела В, напротив, «переменно по составу» слагающих его
частиц, но также постоянно по количеству этих частиц
(число частиц также равно десяти). Можно сказать, что
,-,в
множество С находится в «динамическом равновесии»:
в течение любого промежутка времени часть элементов
покидает множество Св и столько же других элементов
входит в него. Это — постоянно обновляемое (переменное)
по составу, но постоянное по объему множество.
Поясним сказанное при помощи рис. 1.1. Если тело
А скользит вправо по поверхности тела В, то в следую-
щий после изображенного па рисунке момент времени
в области контакта будут по-прежнему находиться час-
тицы щ, а2, ..., а10 тела А, но совокупность частиц тела
В, находящихся в области контакта, станет другой. Если
в начальный момент, изображенный на рисунке, это
множество состояло из элементов бп, Ь12, ..., Ь20, то в сле-
дующий момент времени оно будет состоять из элементов
&13, ^1з, • ••> Ь21. За рассматриваемое время частица Ьп
покинула область контакта, частица Ь21 вошла в нее.
Такие «частично обновляемые» множества будут часто
встречаться в дальнейшем при рассмотрении нами дви-
жений различных тел. Покажем, что даже обычное дви-
жение любого физического тела в пространстве может
быть приведено к модели частично обновляемых мно-
жеств. Если пространство рассматривать как фиксирован-
ную неподвижную среду, состоящую из фиксированных
элементарных объемных частиц 6У, то любое физическое
тело А, находящееся в этом пространстве, можно рассмат-
ривать как множество частиц 8УА тела А, совмещающих-
ся в любой момент времени с равным ему количеством
таких же, по фиксированных частиц 8У пространства.
Если за некоторый промежуток времени AZ тело пере-
местилось (рис. 1.2) из положеппя 1 в положение 2 (как
изображено на рисунке; тело при этом может деформи-
роваться, сохраняя свой объем), то, рассуждая с теоре-
тико-множественных позиций, можно сказать, что мно-
жество частиц тела сохранилось неизменным, а множест-
во частиц пространства, «оккупированного» телом, из-
менилось: сюда вошли новые частицы области, помечен-
ной на рис. 1.2 значками (+), и покинули это множество
16
частицы области, помеченной значками (—). Область
пространства, не отмеченная значками, по-прежнему за-
нята телом (говорят, что она инвариантна по отношению
к положениям 1 и 2 тела). Такой абстрактный теоретико-
множественный подход к анализу движения тел во мно-
гих случаях, как будет показано в дальнейшем, помогает
Г'пс. 1.2. Теоретико-множественная мо-
дель движения тела как процесс «за-
хвата» (+) и «освобождения» (—) об-
ластей неподвижного пространства
лучше понять общие и частные закономерности движения
и деформирования твердых тел и жидкостей, найти коли-
чественные показатели движения и массоперепоса.
Возвратимся к схеме скольжения двух тел (рис. 1.1).
Можно привести огромное число примеров взаимодейст-
вия тел путем скольжения — сани на снегу, лыжи, конь-
ки, движение суппорта станка в направляющих, подшип-
ники скольжения, движения поршня в цилиндре, тормоз-
ные колодки транспортных средств, движение «юзом»
заторможенных колес автомобиля или поезда. Приведен-
ные примеры относятся к «чистому скольжению», когда
все элементы контактных поверхностей скользят относи-
тельно друг друга с некоторыми (в общем случае нерав-
ными) скоростями. Желая еще привести примеры сколь-
жения тел, читатель, может быть, отнесет сюда примеры
из живого мира — движение сухопутной змеи, дождевого
червя, садовой гусеницы. На первый взгляд эти примеры
правомерны, так как упомянутые существа, по распрост-
раненному мнению, скользят во время движения по опо-
ре. Однако это не так. Забегая вперед, скажем, что змея,
дождевой червь, гусеница не скользят по опоре, а катятся
по ней. После такого утверждения, которое читателю
может показаться не вполне обоснованным, перейдем
к анализу другого важного вида контактирования под-
вижных тел — качения.
Глава 2
КАЧЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 2.1. Теоретико-множественная модель качения
Скольжение как физическое явление, сопровождающее
функционирование механических устройств, обладает це-
лым рядом недостатков. Прежде всего оно характери-
зуется большими потерями мощности, требуемой для под-
держания движения звеньев машин, интенсивным изно-
сом трущихся поверхностей, большими силами сопротив-
ления движению. Для уменьшения влияния этих явлений
во многих механических устройствах в область контакта
тел подают жидкую либо газообразную смазку (часто
под давлением), применяют специальные антифрикцион-
ные материалы.
Можно сказать, что качение является способом дви-
жения контактирующих тел, где задача уменьшения по-
терь на трение решается «кинематическим путем», т. е.
обеспечивается самим механизмом качения. Понятие и
слово «качение» тесно связаны с понятием и словом «ко-
лесо». Действительно, движение колеса — это простей-
ший и вместе с тем важнейший пример качения твердого
тела по опорной поверхности. Кроме колеса, можно при-
вести другие примеры качения твердых тел — качение
замкнутых некруглых контуров (рис. 2.1, б), качение
квадрата, прямоугольника или «колеса без обода»
(рис. 2.1, в—д). В принципе, любое тело конечных размеров
может катиться.
Качение круглого колеса стоит особняком среди ка-
чений других твердых тел благодаря своим уникальным
кинематическим свойствам. Эта уникальность выражает-
ся прежде всего в том, что центр колеса во время каче-
ния движется строго параллельно опорной плоскости,
в результате чего невращающаяся опорная ось, помещен-
18
ная в отверстие в центре колеса, совершает строго прямо-
линейное движение параллельно опорной плоскости. Это
позволяет создать наиболее широко используемый сегод-
ня в технике колесный способ передвижения различных
Рис. 2.1. Различные случаи качения жестких тел: а — качение
колеса; б — выпуклого тела неправильной формы; в — квадрата;
г — прямоугольника; д — колеса без обода
устройств (рис. 2.2). Колесо можно назвать механи-
ческим преобразователем равномерного вращательного
движения в равномерное линейное. Очевидно, что каче-
ние некруглых тел (рис. 2.1, б—д') не обладает упомяну-
тым ценным свойством колеса — здесь на катящихся те-
лах не существует ни одной точки, движущейся прямо-
линейно, чем и объясняется неудобство использования
такого качения в транспортных средствах.
В чем сходство движений тел, представленных на
рис. 2.1? Прежде всего — в наличии неподвижной точки
Рве. 2.2. Колесо как транспортное средство
опоры в каждом из движущихся тел. В недеформируемом
колесе, катящемся по недеформируемой опоре, или в ка-
19
тящемся жестком замкнутом выпуклом контуре сущест-
вует в каждый момент времени одна мгновенно непод-
вижная точка — это точка контакта этих тел с опорной
плоскостью (рис. 2.1, а, б). Также одна, но «длительно
неподвижная» точка существует и па схемах качения
на рис. 2.1, в—д. (Заметим, что поскольку контактирую-
щие тела изображены в виде линий (контуров), выпуклые
плоские тела на рисунках контактируют друг с другом
в точках, хотя па самом деле их области контакта пред-
ставляют собой линии, перпендикулярные плоскости
чертежа.)
Обобщая, можно сказать, что схемы движения твер-
дых тел, изображенных на рис. 2.1, характеризуются на-
личием в любой момент движения неподвижных точек.
Здесь в каждый момент времени движутся все точки тела,
кроме одной, причем неподвижная точка является точкой
контакта тела с опорой и служит точкой опоры тела.
Точки опоры неподвижны — это главный признак каче-
ния, отличающий его от скольжения.
Руководствуясь сформулированным признаком каче-
ния (наличие в движущемся теле неподвижных точек),
к примерам качения деформируемых тел следует отнести
движение тракторной гусеницы, т. е. замкнутой овальной
гибкой ленты, контактирующей одной своей стороной
с опорной плоскостью (рис. 0.1, б), качение по жесткой
опоре нагруженного автомобильного колеса (рис. 0.1, а),
движение волнообразного участка на продолговатом гиб-
ком теле, лежащем на опорной поверхности (рис. 0.1, г).
Во всех этих случаях поверхность (линия) контакта дви-
жущихся тел содержит неподвижные точки, в то время
как точки этих тел, расположенные вне контакта с опо-
рой, движутся. Эти движущиеся тела содержат одновре-
менно неподвижные и подвижные точки и поэтому, со-
гласно сформулированному выше признаку, их движение
является качением.
Попытаемся сформулировать признак качения тел
с теоретико-множественных позиций, подобно тому как
мы это сделали для неподвижного контакта и скольжения
тел. У катящегося по жесткой опорной поверхности тела
существует одна (рис. 2.3, а) либо много (рис. 2.3, б, в)
неподвижных точек контакта. Обозначим множество
неподвижных точек (частиц), составляющих поверх-
ность контакта катящихся тел, через С. Это множество
С — {ci}, как и в случае неподвижного контакта двух
тел, состоит из двойных точек контакта щ c%),
20
A
полученных совмещением поверхностных точек катя^
щегося тела А и точек опорного тела В. Совмещенные
точки неподвижны относительно друг друга, а скользя-
щих точек (т. е. контактирующих, но движущихся отно-
сительно друг друга) здесь нет. Поэтому контакт качения
скорее напоминает неподвижный контакт, чем контакт
Рис. 2.3. К теоретико-множественной модели качения: а — жесткое
колесо; б — тракторная гусеница; в — деформируемое колесо
скольжения. В теоретико-множественном смысле корен-
ное отличие контакта качения от неподвижного и от кон-
такта скольжения заключается в том, что множество
с = {<М = {(сЛ с®)) пар контактирующих точек в слу-
чае неподвижного контакта фиксировано, т. е. (cf) =
= const, [с®} = const, в случае контакта скольжения
тела А по опоре В \cf | = const, {cf| ф const, а в случае
качения [с/1 ¥= const, (cf) const. Другими словами,
в случае скольжения множество точек контакта сколь-
зящего тела постоянно, но множество точек контакта опо-
ры переменно (обновляемо), а в случае качения тел пере-
менны (обновляемы) оба множества точек контакта —
катящегося тела и опоры.
Отметим еще одну особенность качения. Наш признак
качения (наличие хотя бы одной неподвижной точки на
движущемся теле) имеет одно исключение: случай, когда
неподвижная точка единственна и фиксирована в прост-
ранстве. В этом случае мы имеем дело с вращением тела
вокруг этой неподвижной точки, а не с качением. На
рис. 2.4, а изображено вращающееся вокруг неподвижной
опорной точки с тело (диск) Л. Если точка опоры полу-
чает хотя бы небольшое перемещение — она станет уже
«мгновенно неподвижной», а не «постоянно неподвижной»,
и вращение становится качением. На рис. 2.4, 6 диск А
21
имеет перемещающуюся опорную точку с, поэтому он ка-
тится, а не вращается.
Понятие мгновенно неподвижной точки (линии, пло-
щади) относится к числу важнейших понятий теоретиче-
ской механики и теории механизмов и машин. Это поня-
тие кажется парадоксальным, точно так же, как кажется
Рис. 2.4. Вращение (а)
п качение (б) круглого
диска
парадоксальным утверждение, что при качении колеса
неподвижная точка опоры перемещается. В последнем
утверждении на первый взгляд содеряштся противоречие.
Действительно, если точка контакта неподвижна в каж-
дый момент времени, то разве может опа перемещаться
из одного положения в другое?
Разрешение этого противоречия заключается в сле-
дующем. Действительно, если бы мгновенно неподвижная
точка с была физически одной и той же точкой тела, го-
ворить о ее перемещении было бы неверно. Но точка кон-
такта качения является переменной (обновляемой) точ-
кой: в каждый следующий момент времени происходит
замена одной физической точки с, выполняющей роль
опорной, другой точкой. Переходя к теоретико-множест-
венным концепциям, можно сказать, что в случае качения
абсолютно твердых тел (рис. 2.1, а, б', 2.3, а) множество С
точек контакта состоит из одного элемента с. Но по-преж-
нему в соответствии с общим правилом качения это мно-
жество является обновляемым, поэтому в каждый сле-
дующий момент времени в нем происходит замена одного
(и единственного) элемента множества — другим.
При помощи теоретико-множественного подхода по-
пытаемся пояснить еще один вид контактирования под-
вижных тел — шагание — и покажем его кинематиче-
скую схожесть с качением. Шагание, в отличие от сколь-
жения и качения,— это процесс дискретного во времени
контактирования тел. Здесь множество точек опоры ша-
гающего тела состоит из некоторого небольшого числа
подмножеств, каждое из которых входит в контакт с опо-
рой и выходит из пего в дискретные моменты времени
в определенной последовательности. С этих позиций
качение тел, изображенных на рис. 2.1, в—д, является
22
шаганием. Можно заметить, что пауке неизвестны слу-
чаи, когда подобное шагание с вращением тела, как и ка-
чение путем вращения, использовалось бы какими-либо
живыми организмами как способ передвижения. Причи-
на, по-видимому, в том, что эти виды движения связаны
с вращением («кувырканием») тела вокруг своей оси, что
неприемлемо для ориентированного движения живого
организма. Шагание при помощи ног и качение незамкну-
тых продолговатых тел (рис. 0.1, г) не требует вращения
движущихся тел и, по-видимому, поэтому получило ши-
рокое распространение в живой природе. Использование
этих способов в технике, напротив, гораздо скромнее,
чем использование «качения с вращением»— колеса.
§ 2.2. Живые примеры качения
В качестве примеров использования механизма каче-
ния в живой природе обратимся к движению уже упо-
минавшихся живых существ — садовой гусеницы и дож-
девого червя. Предварительно заметим, что способ пере-
движения этих существ с позиций теоретической механики
отнюдь не является тривиальным. Анализ этого биомеха-
нического способа движения позволил обнаружить целый
ряд оригинальных и полезных его особенностей и сделать
ряд интересных выводов, простирающихся далеко за рам-
ки биомеханики. Об этом будет сказано несколько позже,
а пока рассмотрим схему движения обыкновенной садо-
вой гусеницы и покажем, что этот способ передвижения
удовлетворяет вышеупомянутому главному признаку
качения.
Будем рассматривать идеализированную механиче-
скую модель способа движения садовой гусеницы. Реаль-
ные гусеницы различных видов часто имеют на своей ниж-
ней опорной поверхности коготки, присоски и другие
приспособления, также участвующие в механизме движе-
ния или служащие для удержания тела на наклонных
и вертикальных поверхностях и т. п., но нас не будут ин-
тересовать подобные биологические особенности строения
тела живой гусеницы, как не имеющие отношения к рас-
сматриваемой нами механической модели движения. Эту
модель можно представить в виде гладкого весомого про-
долговатого тела 2, способного к деформированию (из-
гибу) и лежащего на жесткой опорной плоскости 3
(рис. 2.5). Как передвигается такая идеализированная
гусеница? Способ ее передвижения можно кратко описать
23
так. На одном (левом на рис. 2.5) конце тела 1 силой мус-
кулатуры гусеницы образуется небольшой изогнутый
выпуклый участок («волна») 2, который затем (также си-
лой мускулатуры) перемещается к другому (правому)
концу тела, где, дойдя до края, исчезает. В результате
такого пробега волны по телу гусеницы ее тело целиком
Рис. 2.5. Схема передвижения деформируемого тела при помощи
бегущей поперечной волны деформации (модель «садовтл гусенпца»)
оказывается перемещенным относительно опоры па не-
которое небольшое расстояние Л.г в направлении движе-
ния волны. При повторном пробеге волны в том же на-
правлении тело гусеницы снова перемещается в том же
направлении и т. д. На рис. 2.5 изображены последова-
тельные положения 0—IV движущейся гусеницы.
При более подробном анализе этого вида движения
можно установить, что каждая конкретная точка тела
движется лишь тогда, когда она находится «на волне»
(на изогнутом участке) и неподвижна все остальное вре-
мя. Попав в волну, точка а отрывается от опоры, описы-
вает некую плоскую траекторию и затем опускается на
опору в точке аг, удаленной от а0 на расстояние Дж. Если
длина волны составляет небольшую часть всей длины гу-
сеницы (а так оно и есть у реальной гусеницы и па на-
шей модели), каждая точка а тела гусеницы «больше от-
дыхает, чем движется». Это обстоятельство имеет немало-
важное значение для живой гусеницы, которая, будучи
существом маломощным, но массивным, «умудряется пере-
носить себя по частям». Итак, на теле ползущей гусеницы
одновременно существуют движущиеся и неподвижные
24
точки, и поэтому способ ее передвижения может быть на-
зван, согласно нашему признаку, качением.
Качение одних участков движущегося тела в общем
случае не исключает наличия скольжения других его
участков. Посмотрим, существуют ли участки скольже-
ния у нашей модели ползущей гусеницы (рис. 2.5) и от-
метим некоторые другие свойства этого «гусеничного»
механизма. Для удобства рассмотрения закономерностей
движения тела гусеницы ее тело удобно представить в виде
тонкой весомой нити (ленты) 1, лежащей на опоре 2
(рис. 2.6). Такая пить имеет ту же длину и линейную (по-
гонную) плотность р; (кг/м), что и рассматриваемое про-
долговатое тело.
При движении с некоторой скоростью v изогнутого
участка гибкой тяжелой нити, лежащей на опорной по-
верхности (рис. 2.6), точки нити, как было пояснено, со-
вершают «дискретно-волновое» шаговое движение по опор-
ной поверхности. Кинематический анализ такого «гусе-
ничного» движения обнаруживает весьма интересные п
Рис. 2.6. К кинематическому анализу бегущей поперечной волн г
на гибкой нити
нетривиальные его механические свойства. Перечислим
главные из них.
— При равномерном движении выпуклого участка
(волны) от одного конца тела 1 к другому каждая точка
(сечение) х тела описывает некоторую плоскую траекто-
рию 3 с заостренной вершиной (назовем ее волпоидой)
и совершает шаговое перемещение па небольшой шаг А.г
в направлении движения волны. Таким образом, этот
«гусеничный» механизм выступает в роли преобразовате-
ля равномерного движения в шаговое. Как будет показа-
но, это свойство механизма, заимствованное у живой при-
роды, позволило создать ряд новых шаговых механизмов
и технических устройств.
— Точки (сечения) тела, расположенные в данный мо-
мент времени на волне, движутся, а точки, расположен-
ные вне волны (вне участка I, рис. 2.6), неподвижны. Тело
движется как бы по частям, что позволяет обходиться
25
малой мощностью, необходимой для такого движения.
Каждый инженер-конструктор может лишь восторгаться
экономичностью и простотой этого транспортного меха-
низма садовой гусеницы, изобретенного природой.
— Тело 1, в отличие, например, от колеса, большей
своей частью лежит на опорной поверхности, что обеспе-
чивает низкое удельное давление на опору.
— Кинематический анализ рассматриваемого меха-
низма, как будет показано в дальнейшем, приводит к вы-
воду, что мгновенная скорость точек тела, находящихся
в волне, выражается формулами
vx = v (1 — cos ах), (2.1)
vy = v sin ах, (2.2)
где vx — горизонтальная компонента скорости произ-
вольной точки х нити, Vy — ее вертикальная компонента,
ах — угол наклона нити в рассматриваемой точке х.
Из этих формул следует, что обе компоненты скорости то-
чек нити максимальны на участках максимального на-
клона нити и равны нулю на горизонтальных участках
(в том числе на вершине), где ах = 0.
— Рассматриваемый способ передвижения продол-
говатого деформируемого тела по опорной поверхности
характеризуется полным отсутствием скольжения тела
относительно опоры. Действительно, здесь движущиеся
точки тела отрываются от опоры и движутся «по воздуху».
Посмотрим, нет ли скольжения на границах волны в точ-
ках / и Ъ тела. Величина абсолютной скорости каждой
точки нити согласно (2.1), (2.2) равна
v — }/"vx + Vy = и ]/"(! — cos ссД2 + sin2 х — 2v sin (аж/2).
(2-3)
Направление этой скорости характеризуется углом на-
клона вектора скорости v к осп х. Из рис. 2.6 видно, что
откуда следует, что при ах -> 0 р , -+ 90°. Значит, ско-
рости точек инти, расположенных в ближайшей окрест-
ности точек переднего / и заднего Ъ фронтов волны, на-
правлены вертикально, что свидетельствует об отсутствии
скольжения нити по опоре. Механизм передвижения гу-
сеницы полностью лишен скольжении! А ведь на первый
20
взгляд может показаться, что гусеница скользит, «воло-
чит» свое тело по опорной поверхности. Снова инженер-
конструктор может позавидовать такой простоте решения
сложной задачи.
— Из (2.1) следует, что мгновенная горизонтальная
скорость vx произвольной точки гусеницы всегда меньше
скорости и движения волны, движущейся по ее телу:
отношение (коэффициент редукции)
vx
кг = = 1 — cos ах (2.5)
v
всегда меньше единицы. При «высокой бегущей волне»
(рис. 2.7, а) па теле гусеницы мгновенные скорости vx
v
Рис. 2.7. Высокая (а) н низкая (5) поперечные волны
точек тела могут быть относительно велики, но всегда
остаются меньшими величины v скорости волны. При
«низкой волне» (рис. 2.7, 6) скорости их весьма малы.
Это означает, что редуцирующее действие «низкой волны»
гораздо выше редуцирующего действия «высокой». Ис-
пользование редуцирующего свойства рассматриваемого
гусеничного механизма позволило создать ряд новых вол-
новых механизмов-редукторов, используемых в технике.
— Средняя скорость vx движения гусеницы по опор-
ной поверхности, конечно, значительно меньше макси-
мальной мгновенной скорости ее отдельных точек. Сред-
няя скорость тела гусеницы выражается формулой [4]
где L и L — длины вдоль оси х тела гусеницы в спрям-
ленном и изогнутом состояниях соответственно. Из (2.6)
следует, что скорость перемещения гусеницы при прочих
равных условиях (при равной по размерам волне и оди-
наковой скорости ее движения) зависит от длины ее тела
L-. чем длиннее гусеница, тем меньше ее средняя скорость.
— Из анализа упомянутых свойств механизма гусени-
цы следует, что этот механизм позволяет перемещать
«сколь угодно большую массу при сколь угодно малых
27
затратах мощности». Поясним это па простом примера.
Пусть тело нашей «гусеницы» представляет собой слой
деформируемого тела 1 массой, например, 10 т, лежащий
на опорной поверхности 2. Может ли человек без по-
сторонней помощи передвинуть это тело на расстояние,
например, 100 м? На первый взгляд ответ на этот вопрос
должен быть отрицательным: человек ио может даже
сдвинуть с места тело 10 т (рис. 2.8, а). Однако если чело-
век догадается использовать способ передвижения садо-
вой гусеницы и, образовав каким-либо способом волну 3
Рис. 2.8. Человек ие может сдвинуть с места тяжелый гибкий слой,
лежащий на опоре (а), но он может его передвинуть волновым
способом (б)
па одном конце тела (что посильно для одного человека),
будет перемещать ее к другому концу (что также для него
посильно), то за время перемещения волны пз конца в
конец тела человек без посторонней помощи передвинет
тело Ют па некоторое небольшое расстояние Ах
(рис. 2.8, б). Повторяя прогон волны в том же направ-
лении, человек передвинет описанным «дискретно-волно-
вым» способом на нужное расстояние груз 10 т.
— Тяговые способности механизма гусейццьт. Можно
подумать, что гусеница способна передвигаться по опоре
сама по себе, но не способна, например, тащить за собой
груз. Это мнение можно опровергнуть простым мыслен-
ным или реальным экспериментом (рис. 2.9). Если к кои-
v
2
Рис. 2.9, Тяговое свойство бегущей поперечной волны
цу гибкого тела 1 прикрепить пружину (динамометр) 5,
другим своим концом прикрепленную к буксируемому
грузу 4, то можно убедиться, что периодические пробеги
28
волны в одном и том же направлении по телу 1 приведут
к растяжению пружины о, указывая на существование
тягового усилия, развиваемого такой ползущей гусени-
цей. Гусеница будет ползти и буксировать за собой
груз 4. Максимальное тяговое усилие FT, которое спо-
собна развивать гусеница весом Р, равно Рг — P-к, где
к — коэффициент сцепления тела гусеницы с опорной по-
верхностью. При большем, чем У',, сопротивлении движе-
нию груза 4 гусеница начнет пробуксовывать: при оче-
редном образовании волны все тело 1 гусеницы будет про-
скальзывать па опоре 2 по направлению к грузу. Эти вы-
воды подтверждены экспериментально па механической
модели гусеничного механизма.
Описанные свойства механизма ползущей гусеницы
нами будут использоваться на протяжении всей книги,
а пока еще раз обратим внимание на то, что движение
гибкого продолговатого весомого тела способом садовой
гусеницы следует отнести к качению, поскольку здесь
налицо главный признак качения — наличие в любой
момент движения неподвижных точек, контактирующих
с опорой.
Рассмотрим еще один «живой пример» качения — спо-
соб передвижения дождевого червя. Дождевой червь,
так же как и садовая гусеница, передвигается по жесткой
опорной поверхности путем периодического деформирова-
ния своего тела, однако характер деформационных дви-
жений тела дождевого червя принципиально отличается
от деформационных движений гусеницы. Если тело пол-
зущей гусеницы подвержено изгибной деформации (по-
перечная волна), то тело дождевого червя подвержено
продольному растяжению (продольная волна).
На рис. 2.10 изображена схема движения дождевого
червя как продолговатого весомого деформируемого те-
ла 1, лежащего на жесткой опоре 3. Способ передвижения
дождевого червя можно кратко описать следующим обра-
зом. На одном (правом на рис. 2.10) конце тела 1 образует-
ся небольшой растянутый (удлиненный) участок 2 (про-
дольная волна удлинения), который затем перемещается
к другому (левому) концу тела, где, дойдя до края тела,
исчезает, т. е. удлиненный участок вновь приобретает
свою первоначальную нормальную длину. В результате
такого пробега участка удлинения (волны) по телу червя
тело оказывается перемещенным относительно опоры на
некоторое небольшое расстояние в направлении, про-
тивоположном направлению движения волны, т. е. впра-
29
во. При повторных пробегах волны в одном и том же на-
правлении червь передвигается по опоре. Анализ этого
вида движения позволяет установить, что каждая конк-
ретная точка (сечение) а0 тела движется лишь тогда,
когда она находится на деформированном (удлиненном)
участке тела, т. е. в волне, и неподвижна все остальное
Рис. 2.10. Схема передвижения деформируемого тела при помощи
бегущей продольной волны деформации (модель «дождевой червь»)
время. За время нахождения в волне удлинения точка а
перемещается в положение аг, удаленное от а0 на расстоя-
ние Здесь, так же как у движущейся гусеницы, каж-
дая произвольная точка а тела «больше отдыхает, чем
движется», т. е. червь, так же как и гусеница, «переносит
себя по частям». Значит, на теле ползущего дождевого
червя, так же как и па теле гусеницы, одновременно су-
ществуют движущиеся и неподвижные точки (сечения),
и поэтому этот способ передвижения также может быть
назван качением.
Снова зададимся вопросом: существуют ли участки
скольжения иа теле ползущего червя? Из рис. 2.10 вид-
но, что па участках удлинения (где происходит движение
точек тела) тело червя сужается (это сужение иа рисунке
изображено в несколько утрированном виде). Такое су-
жение сечения согласно закону Пуассона всегда обра-
зуется при растяжении тела, и это сужение играет важ-
ную роль в механизме передвижения червя: движущиеся
точки червя благодаря этому сужению несколько при-
поднимаются над опорной плоскостью, что устраняет или
значительно ослабляет силу трения движущихся частей
тела. Если считать, что сила трения об опору па участ-
30
ках сужения тела червя равна нулю, то механизм пере-
движения дождевого червя, так же как и механизм пере-
движения гусеницы, лишен скольжения относительно
опорной поверхности.
Как будет показано, кинематический анализ механиз-
ма движения тела дождевого червя дает выражение для
мгновенной скорости произвольного сечения х его тела
= —ve.x, (2.7)
где v — скорость движения участка удлинения (волны)
тела; &х — относительная продольная деформация в рас-
сматриваемом сечении х.
Средняя скорость vx червя относительно опорной по-
верхности подсчитывается, как и средняя скорость дви-
жения гусеницы, по формуле (2.6), гдеLzL — длины те-
ла червя в недеформированном и деформированном со-
стояниях. Заметим, что для тела червя L < L и поэтому
скорость vx, вычисленная по формуле (2.6), дает для
дождевого червя отрицательное значение. Это означает,
что направление скорости vx червя и скорости w движения
волны удлинения по его телу противоположны. У гусе-
ницы, как было показано, направления этих скоростей
одинаковы.
Для удобства рассмотрения механизма движения дож-
девого червя его тело, так же как и тело гусеницы, удоб-
но представить в виде тонкой весомой нити, лежащей на
опорной поверхности и сцепленной с ней силами трения.
Используем теоретико-множественный подход для описа-
ния области контакта тела гусеницы или дождевого червя
с опорной поверхностью. На рис. 2.11, а, б изображены
идеализированные схемы контакта этих существ с опор-
ной поверхностью. Здесь деформируемые продолговатые
тела изображены в виде тонких весомых нитей Л, контак-
тирующих с жесткой опорной плоскостью В. Тело гусе-
ницы изображено в виде изогнутой в вертикальной пло-
скости нерастяжимой нити (рис. 2.11, а), тело дождевого
червя — в виде прямолинейной растяжимой нити, рас-
тянутой на участке I (рис. 2.11, б). Участок растяжения
(сужения), конечно, невозможно изобразить на нити,
поэтому обозначением растянутого участка будет слу-
жить, кроме буквенного обозначения (?) его длины, более
редкое расположение поперечных штрихов на нити
(рис. 2.11, б). Элементарными частицами, вступающими в
31
контакт, здесь являются элементы 6^ длины гибкой ни-
ти А и элементы 6ZB длины опорной линии В (поверхность
жесткой опоры в плоскости чертежа представляется не-
деформируемой прямой линией).
Кроме схем, моделирующих способ движения садовой
гусеницы и дождевого червя (рис. 2.11, а, б), на рис. 2.11
Рис. 2.11. Различные виды бегущих воли деформации на гибкой
нити: а — поперечная волна на нерастяжпмой нити (модель «садо-
вая гусеница»); б — продольная волна на растяжимой нити (модель
«дождевой червь»); в — поперечная волна, сопровождаемая растя-
жением нити на участке волны; г — поперечная волна, сопровож-
даемая сокращением нити на участке волны; 3 — продольная
волна сокращения
изображены модификации этих схем, которые нам по-
требуются в дальнейшем при анализе различных случаев
волнового движения. На рис. 2.11, в изображена нить,
одновременно изогнутая н растянутая на участке волны
/, па рис. 2.11, г — пить, изогнутая и сокращенная,
на рпс. 2.11, д — прямолинейная нить, сокращенная на
участке I (продольная волна сокращения). Эти схемы, как
будет показано, представляют собой модели взаимодейст-
вия деформируемых нитей, контактирующих с жесткой
опорой и способных, так же как н нити, изображающие
гусеницу и дождевого червя, передвигаться по опоре.
Очевидно, что областью (множеством) контакта тел
(нитей) А и В во всех изображенных на рис. 2.11 случаях
являются отрезки линий длиной С = L — I. Линия кон-
такта С — это множество слившихся точек (элементов)
32
линий A ii В или множество иар С = {(a,, bk)}, /, к =
= 1, 2, 3, контактирующих и неподвижных относи-
тельно друг друга точек обеих линий. На рис. 2.11 ири
помощи поперечных штрихов условно показано, что точ-
ки линий на участке I не контактируют между собой и
подвижны относительно друг друга, а на остальных участ-
ках длиной L — I точки линий сцеплены друг с другом и
в запм и о и ено движим.
§ 2.3. Сравнительный теоретико-множественный
анализ скольжения и качения
Кратко подытожим сказанное о видах контактного
взаимодействия твердых тел — неподвижном контакти-
ровании, скольжении и качении. Во всех трех случаях
область С контакта представляет собой поверхность (в се-
чении — линию), общую для обоих тел в рассматривае-
мый момент (или период) времени. Поверхность контакта
тел А и В может быть представлена в виде совокупности
(множества) «двойных точек» (иар) С == {g} = {(cf, св) ],
составляющих эту поверхность, где cf — точка, ири-
надлежащая телу Л, ck — контактирующая с ней в рас-
сматриваемый момент времени точка тела В. Множества
СА = |cf) и Св = !q} точек контакта каждого тела рав-
номощны, т. е. содержат равное число элементарных пло-
щадок контакта одинакового размера. Это — общие
свойства неподвижного контактирования, скольжения и
качения с теоретико-множественных позиций. Разли-
чия же этих явлений состоят в следующем.
При неподвижном контакте двух тел А и В (рис. 1.1)
множества точек контакта каждого тела фиксированы в
пространстве и во времени. Это означает, что множество
)сЛ точек контакта тела А в любой момент времени со-
стоит из одних и тех же точек этого тела (из одних и
тех же элементов множества). То же относится и к мно-
жеству {с^} точек контакта тела В. Упомянутые свойства
множеств записаны в виде равенств {а} = const, | cfJ =
= const, (с^] = const. При контакте скольжения двух
тел А и В (рис. 1.1) (случай, когда меньшее ио размерам
тело А движется относительно большего тела В) мно-
жество точек контакта тела А фиксировано ([c/J = const),
а множество точек контакта опорного тела В представ-
ляет собой изменяющееся (непрерывно обновляемое) мио-
2 Л. И. Добролюбов
33
жество: это множество в любой момент времени состоит
из постоянного количества элементов, по этп элементы
(точки контакта тела В) непрерывно обновляются, заме-
няются новыми точками тела В. Такое постоянное по
мощности, но переменное по составу элементов множество
характеризуется неравенством Св = (с^) =/= const. При
контакте скольжения каждая точка пары (сД cf) контак-
тирующих точек движется с некоторой скоростью отно-
сительно другой точки пары. Контакт качения тел А и В
характеризуется изменяемостью (обиовляемостыо) рав-
номощных множеств {с/} и (cf) контактирующих точек
обоих тел, т. е. const, {cf} const, /, к = 1, 2,
3, ... При этом во время качения каждая точка
контактирующей пары точек (с)1, cf) неподвижна отно-
сительно другой точки пары.
Описанные процессы изменения (обновления) «контак-
тирующих множеств» могут быть непрерывными либо
дискретными во времени. Качение выпуклых тел по опор-
ной плоскости, как и скольжение одного тела по другому,
характеризуется непрерывностью процесса обновления
множеств контактирующих точек обоих тел. При качении
выпуклого тела по опорной плоскости (рис. 2.3) два «по-
тока» точек с)4 и св контакта обоих тел, сливаясь, входят
в точке / в общую область С контакта и такие же два по-
тока, раздваиваясь, покидают область С контакта в точ-
ке Ъ. Точки / и b назовем соответственно передним и зад-
ним фронтом области С. При качении колеса (рис. 2.3, а)
/ и b сливаются в одну точку. Равенство «входящего» и
«исходящего» непрерывных потоков элементов множества
области контакта качения и обеспечивает его равномощ-
ность в любой момент качения. Скорость обновления эле-
ментов «контактного множества» С зависит от протяжен-
ности контакта, т. е. от объема множества и от интенсив-
ности входного и выходного потоков элементов.
Об особенностях процесса обновления множеств и его
разновидностях следует сказать несколько подробнее,
так как закономерности этого процесса нами будут
использоваться в дальнейшем прп анализе волнового дви-
жения. Сущность этого процесса может быть пояснена на
элементарном уровне. Пусть, например, вереница одина-
ковых шариков движется в канале (трубке) (рис. 2.12, а).
Рассмотрим некоторый участок (отсек) I трубки. Очевид-
но, что в каждый момент времени па участке I нахо-
дится некоторое постоянное количество шариков (па
34
рис. 2.12, а ~ десять шариков; моменты времени, когда
в отсеке I находится нецелое число шариков, не рассмат-
риваем). Очевидно, что в каждый последующий момент
времени множество из десяти шариков будет частично
обновленным: если в начальный момент времени в отсе-
ке I были, например, шарики с номерами 10, 11, ..., 19
Рис. 2.12. К анализу процесса обновления множеств: а, б, в —
детерминированные процессы обновления множеств шариков, со-
держащихся на участке Z; г — вероятностная модель обновления;
д — обновление жидкости в резервуаре
(случай, изображенный на рис. 2.12, я), то в следующий
момент здесь будут шарики 11, 12, ..., 20, в следующий —
12, 13, ..., 21 и т. д. Если время продвижения шарика па
расстояние, равное его диаметру, равно, например, одной
секунде, то время Та полного обновления шариков в отсе-
ке, т. е. время, в течение которого в отсеке все Шарики
сменятся, равно 10 с. Если представить себе, что канал
с шариками на участке I изогнут каким-либо образом
(рис. 2.12, б, в), то в области (отсеке) I в любой момент
времени будет содержаться большее число шариков, чем
на прямолинейном участке канала той же длины I. Если
скорость входа шариков в отсек I и выхода из отсека бу-
дет прежней, то время обновления То шариков в отсеке
станет большим, численно равным (в секундах) числу ша-
риков в отсеке.
Рпс. 2.12, а, б, в иллюстрируют детерминированный
процесс обновления множеств, когда элементы множества
составляют жесткую последовательность и входят в об-
ласть I и выбывают из нее в строго определенной после-
довательности. Однако легко себе представить недетер-
минированный (вероятностный) процесс обновления рас-
сматриваемого множества шариков в отсеке I. Если шари-
ки в области I расположены случайным образом
2* 35
(рис. 2.12, г), а их выход и вход в рассматриваемую об-
ласть I по-прежнему осуществляются с одинаковыми ско-
ростями (например, один шарик в секунду), то время
полного обновления шариков в обаасти I точно найти
нельзя: ио прошествии сколь угодно большого времени в
области I может сохраниться один паи большее число
«старых» шариков. Здесь можно найти лишь среднее вре-
мя обновления ша рпков в области I — оно в этом случае
будет равно, как и в детерминированных моделях об -
новлепия, количеству шариков в области I. Это обстоя-
тел ьство облегчает задачу нахождения времени обновле-
ния множеств при «обезличенном» подходе к множествам,
когда нас интересует лишь общее количество шариков,
а не индивидуальные шарики (например, в случае, когда
шарики не пронумерованы). Заметим, что вероятностный
процесс обновления, аналогичный процессу , лчображен -
ному па рис. 2.12, г, имеет место в сосуде, заполненном
водой, из которого вытекает и в который втекает равное
количество жидкости в единицу времени (рис. 2.12, д).
Время «обновления по массе» воды в сосуде в данном слу-
чае подсчитывается по формуле То = Q!q, где Q — масса
воды (кг) в сосуде, q — расход (кг/с) во входном и выход-
ном каналах. Конечно, нет никакой гарантии, что •за
время 7'0 все частицы воды уйдут из сосуда, однако верно ,
что за время 7’0 сосуд покинет количество води, равное
Q, и за это время столько же воды войдет в сосуд. Заме-
тим, что в примерах с шариками рассматриваемые нами
обновляемые множества конечны, а в примере с водой —
бесконечны.
Модели скольжения и качения замкнутых тел мы пред-
ставили в виде непрерывно обновляемых множеств точек
контакта (рис. 1.1, 2.3). Качение разомкнутых тел (нитей)
(рис. 2.11) также можно представить в виде модели пере-
менных (обновляемых) множеств точек контакта. Напри-
мер, множество [ivf] точек тела (гусеницы) (рис 2 11, а)
не контактирующих с опорой в данный момент времени,
является детерминировапно обновляемым множеством по -
стояпной мощности (это есть множество частиц, состав-
ляющих спрямленную длину I криволинейной части нити
(волны) па рис. 2.11, а). Также постоянно ио мощности
непрерывно обновляемое множество {zrf) частиц тела
(опоры) В, находящихся на участке Z волны («иод вол -
ной»). То же относится и к множеству частиц [cf) нити,
контактирующих с опорой В (это множество есть мно-
36
жество частиц, составляющих вневолновую часть (L — I)
нити А). Заметим, что множество [} частиц опоры В*
находящихся на участке I волны, меньше (по числу час-
тиц равной длины), чем множество {trj1} частиц криволиней-
ной нити I. Это обстоятельство определяет многие кине-
матические особенности волнового движения.
При движении продольной волны по деформируемому
телу (нити) длиной L, лежащему на жесткой опорной по-
верхности (рис. 2.11, б, д'), участки нити L также являют-
ся непрерывно обновляемыми множествами контактирую-
щих (нить на участке L — I) и неконтактирующих (нить
на участке I) точек. Заметим, что прямые нити А и В
на участке (Л — I) контакта состоят из одинакового числа
частиц (малых отрезков длины которых в недеформи-
рованпом состоянии одинаковы), а на участке I нити А и
В состоят из различного числа частиц. Здесь следует учи-
тывать то обстоятельство, что элементы 6Z длины тела А
па участке I деформированы (удлинены, рис. 2.11, б,
или сокращены, рис. 2.11, д), а элементы 6Z тела В на-
ходятся в нормальном (недеформированном) состоянии.
Если равные деления (рис. 2.11) наносились па нити в их
недеформированном состоянии, ясно, что число делений
на участке Z растянутой нити А будет меньшим числа де-
лений на том же участке Z недеформпрованной опорной
нити В, а число делений на участке I сжатой нити —
большим.
При движении вдоль нити А растянутого или сжатого
участков Z деления на нити А будут перемещаться отно-
сительно неподвижных делений на нити В. Вне участка
I деления обеих нитей будут взаимно неподвижны. Этот
случай подвижного контактирования двух прямолинейных
нитей может быть назван чистым качением лишь в слу-
чае отсутствия фрикционного взаимодействия нитей на
участке волны Z (случай, имеющий место в идеализиро-
ванной схеме движения дождевого червя, рис. 2.10). В слу-
чае наличия трения на участке Z между нитями А и В это
будет случай сочетания качения и скольжения двух тел.
В теоретико-множественной интерпретации шагание
тела связано с дискретным (скачкообразным) изменением
(обновлением) множеств контактирующих точек. Разно-
видности дискретных процессов изменения этих множеств
во времени представляют различные виды шаганий —
ходьба, бег, прыжки и т. и. Эти виды дискретного движе-
ния нами рассматриваться не будут.
Глава 3
ДЕФОРМИРУЕМОЕ ТЕЛО И ГИБКАЯ НИТЬ
§ 3.1. Гибкая нить как одномерная модель
деформируемого тела
Внешняя граничная поверхность любого твердого фи-
зического тела представляет собой замкнутую поверх-
ность, а сечение этой поверхности плоскостью — замкну-
тую плоскую линию, или контур тела. Поэтому схемы
контактного взаимодействия реальных физических тел
при решении ряда задач о движении физических тел мо-
гут быть заменены схемами контактного взаимодействия
гонких деформируемых или жесткий линий (нитей).
Во многих случаях такое представление способствует
упрощению постановок задач и методов их решения. На-
блюдая и анализируя поведение того плп иного контура
физического тела, найдя траектории, скорости и ускоре-
ния точек этого контура, можно во многих случаях найти
все или некоторые кинематические характеристики движе-
ния всего тела. Этот прием в какой-то мере аналогичен
приему, используемому в теории механизмов и машин,
когда по найденным параметрам движения отдельных то-
чек звеньев механизма строится картина движения ме-
ханизма в целом [5].
Конечно, при замене модели контактирования реаль-
ных физических тел моделью контактирования их конту-
ров (нитей) последние должны отражать физико-механи-
ческие свойства тел. Очевидно, что абсолютно твердые те-
ла должны па «контурных схемах» контактирования пред-
ставляться в виде контактирующих между собой жестких
(недеформируемых) замкнутых контуров, совпадающих по
форме с контурами этих тел. Деформируемые тела долж-
ны представляться в виде деформируемых замкнутых ли-
ний, способных изгибаться, растягиваться или сокра-
38
щаться. Заметим, что такая замена картины взаимодейст-
вия тел картиной взаимодействия их контуров давно при-
меняется в инженерной практике. Так, например, каче-
ние жесткого колеса по жесткой плоской опоре представ-
ляют в виде качения жесткой окружности по прямой не-
деформируемой линии, зубчатые колеса представляют в
виде схемы контактирующих между собой в одной точке
начальных окружностей, приводной ремень, охватываю-
щий шкивы, изображают в виде гибкой нити, совпадаю-
щей с нейтральной осью ремня, и т. д. При изображении
схем контактного взаимодействия с опорой различных тел
(колеса, гусеницы, дождевого червя и т. п.) мы также
изображали эти тела и опорные поверхности в виде тон-
ких недеформируемых или деформируемых контакти-
рующих между собой нитей (рис. 2.3, 2.5—2.7, 2.11 и др.).
В дальнейшем будет показано, что представление дефор-
мируемого тела в виде весомой деформируемой нити зна-
чительно облегчает решение задачи о волновом массо-
переиосе деформируемых тел.
Из сказанного можно заключить, что изучение законо-
мерностей контактного взаимодействия недеформируемых
и деформируемых нитей различных конфигураций пред-
ставляет собой важную задачу, имеющую прямое отноше-
ние к анализу контактирования физических тел. Тонкая
гибкая нить является в какой-то степени универсальным
объектом, при помощи которого можно описать многие
свойства и поведение абсолютно твердых и деформируе-
мых тел, кинематические закономерности их контактных
взаимодействий. В силу сказанного, изучение закономер-
ностей контактного взаимодействия тонких нитей пред-
ставляет собой важную самостоятельную научную
задачу.
Термин и понятие «гибкая пить» в механике обычно
означает одномерное тело (линию), обладающую массой
(линейной плотностью pt в каждой точке х) [61. Считает-
ся, что площадь поперечного сечения нити пренебрежимо
мала. Такая нить может лишь изгибаться (перастяжимая
пить), либо также удлиняться и сокращаться (растяжи-
мая нить). Мы будем по установившейся традиции поль-
зоваться термином «гибкая нить» и для растяжимой,
и для нерастяжимой нити. Когда речь идет об абсолютно
жестких недеформируемых нитях, мы будем говорить
«жесткая нить».
Гибкая нить, безусловно, является абстракцией, ана-
логичной широко используемой в механике другой абст-
39
ракции — материальной точке, обладающей массой, но
имеющей нулевые размеры. Подобные абстрактные идеа-
лизированные объекты являются удобным инструментом
кинематического и динамического анализа движения тел.
Подобно тому как понятия точки, используемые в геомет-
рии и механике, имеют разный смысл (геометрическая
точка и материальная точка), понятие гибкой нити также
будем использовать в одних случаях в чисто геометри-
ческом смысле (как невесомую нить, линию), в других —
как механический объект (одномерное физическое тело,
обладающее массой). Нить как геометрическое поня-
тие — это, например, контур сечения физического тела
или линия поверхности жидкости. Нить как физическое
тело — это, например идеализированное представление в
виде нити таких тел, как приводной ремень, трос, цепь
или использованные нами выше механические модели са-
довой гусеницы или дождевого червя. Как будет показа-
но, моделью весомой нити может быть представлено любое
тело путем его проектирования на некоторую ось или
линию.
В силу сказанного, следует различать два используе-
мых нами в дальнейшем понятия гибкой нити: невесомая
деформируемая нить-контур физического тела; одномер-
ное деформируемое физическое тело, обладающее массой.
В последнем случае мы будем применять термины «весо-
мая нить» или «тяжелая нить».
§ 3.2. Виды качения гибких нитей
Число интересующих пас видов контактирования ни-
тей невелико. Это — неподвижный контакт двух нитей
вдоль их длины, скольжение одной нити относительно
другой, качение гибкой нити по прямой либо кривой жест-
кой нити, волновое движение нитей. Во всех рассматри-
ваемых памп случаях нити контактируют друг с другом
вдоль своей длины (такое контактирование легче пред-
ставить как контактирование гибких топких полосок или
лент). Будем рассматривать плоские нити, т. е. прямые
либо изогнутые в одной (как правило, вертикальной)
плоскости. Рассмотрим более подробно некоторые част-
ные случаи контактирования нитей с прямолинейной
жесткой опорой.
Неподвижный контакт- Две нити (безразлично, де-
формируемые они или жесткие) контактируют на некото-
рой длине С. Все элементы длины этих нитей па участке
40
С попарно сцеплены и неподвижны относительно друг
друга (рис. 1.1).
Однородное скольжение. Две инти контактируют на
участке С и движутся (скользят) относительно друг друга
с одинаковой скоростью во всех точках контакта (рис. 1.1,
случай, когда тело А скользит по поверхности тела В).
Неоднородное скольжение. Как и в предыдущем случае,
нити контактируют и скользят относительно друг друга,
по в различных точках контакта относительные скорости
контактирующих точек могут быть различными. Очевид-
но, что такое скольжение может быть в случае, если хо-
тя бы одна из контактирующих нитей — растяжимая
(рис. 2.11, б, д).
Качение изогнутой жесткой замкнутой нити. Нить
контактирует с опорной поверхностью в одной точке, ко-
торая является неподвижной в любой момент времени.
Примером является качение жесткого контура по жест-
кой опорной поверхности (рис. 2.1, а, б', 2.3, а).
Качение изогнутой гибкой нерастяжимой нити. Гиб-
кая нить может быть замкнутой (рис. 2.3) либо разомкну-
той (рис. 2.6; 2.11, а). Область (линия) контакта С здесь
неподвижна, по постоянно обновляется: на одном ее кон-
це точки линии покидают область неподвижного контак-
та, па другом — входят в нее. Точки, находящиеся вне
линии контакта, движутся относительно опоры, описы-
вая некоторые плоские траектории.
Качение прямолинейной растяжимой нити. Здесь па
нити существуют неподвижные и подвижные относитель-
но опоры участки. На подвижных участках (Z) нить полу-
чает деформацию удлинения ех > 0 (рис. 2.11, б; этот
случай представляет собой идеализированную модель дви-
жения дождевого червя, рис. 2.10) либо сокращения
ех < 0 (рис. 2.11, д).
Качение изогнутой и продольно деформируемой ра-
зомкнутой нити. Это наиболее общий случай качения
(рис. 2.11, в, s'), внешне напоминающий качение нерастя-
жимой разомкнутой нити (рис. 2.11, а). Здесь также участ-
ки контакта нити с опорой неподвижны, а пить на под-
вижных участках (Z), не контактирующих с опорой, кро-
ме изгиба, может быть подвергнута деформации растяже-
ния (рис. 2.11, в) либо сжатия (рис. 2.11, г).
Стремясь к уменьшению числа рассматриваемых схем
качения, мы можем свести вышеперечисленные случаи
качения деформируемых нитей по жесткой плоской опоре
к трем видам, изображенным па рис, 3.1, На рис, 3.1, а
41
представлен общий случай качения замкнутой деформи-
руемой (т. е. гибкой и растяжимой) пптп, па рис. 3.1, б —
качение волнообразно изогнутой разомкнутой нити (кото-
рая также может быть растяжимой либо нерастяжимой),
на рис. 3.1, в — качение прямолинейной деформируемой
нити. Для всех изображенных па рис. 3.1 способов дви-
жения пптп соблюдается сформулированный нами признак
V
Рис. 3.1. Три вида качения деформируемой нити по жесткой опор-
ной поверхности: а — качение замкнутого контура; б — качение
поперечной волны; в — качение продольной волны
качения: в области С контакта пить неподвижна, па ос-
тальных участках подвижна.
Законы движения точек нитей на движущихся (т. е.
неконтактирующих с опорой в данный момент времени)
участках во всех изображенных на рис. 3.1 случаях раз-
личны. Произвольный элемент 81 пити замкнутого конту-
ра (рис. 3.1, а) описывает некоторую плоскую траекто-
рию и совершает при этом вращательное движение в
одном направлении (па рис. 3.1, а — по часовой стрелке)
при качении контура в неизменном направлении (па
рис. 3.1 качение происходит в направлении, указанном
стрелкой). Элемент 81 па рис. 3.1, б, кроме горизонталь-
ного и вертикального движений, совершает возвратпо-
вращателыюе движение. На схеме качения рис. 3.1, в
элементы 81 подвижного участка движутся прямолинейно.
Изображенным па рис. 3.1 общим случаям качения
нитей соответствуют упоминаемые выше примеры движе-
ния реальных тел — деформируемого колеса, гусеницы и
дождевого червя (рис. 3.2). Поскольку контактирующие
с опорой контуры этих тел представляют собой деформи-
руемые нити, к движению этих нитей относится все ска-
занное о нитях, изображенных на рис. 3.1. Элемент 81
внешнего коптура-пити колеса (рис. 3.2, а) описывает
плоскую траекторию (циклоиду) и, кроме того, совершает
вращательное движение с угловой скоростью вращения
колеса. Элемент 81 опорной липин гусеницы (рис. 3.2, б)
также описывает плоскую траекторию (волпоиду) и со-
42
вершает возвратпо-вращателытые (качательные) движе-
ния. Элемент 6Z опорной линии дождевого червя
(рис. 3.2, в) в силу сужения тела червя на участке I дви-
жения также описывает траекторию, несколько выпуклую
Т77777717777Х7777777У
I
Рис. 3.2. Реальные примеры трех видов качения деформируемых
тел, изображенных на рис. 3.1: а — деформируемое колесо; б —
садовая гусеница; в — дождевой червь
относительно опоры (что, как указывалось, имеет важ-
ное значение для снижения силы сопротивления движе-
нию). Поэтому, строго говоря, схема механизма движения
червя несколько отличается от схемы (рис. 3.1, в) качения
прямолинейной растяжимой нити.
§ 3.3. Гибкая нить как механизм
Совокупность контактирующих между собой подвиж-
ных деформируемых тел, как и совокупность контакти-
рующих между собой подвижных жестких тел, обладает
признаками механизма, преобразующего одни механи-
ческие движения в другие [5]. При этом области контак-
та (граничные поверхности, линии, точки) контактирую-
щих деформируемых тел играют роль, аналогичную ро-
ли кинематических пар в механизмах с жесткими звенья-
ми, хотя знания движения контактирующих граничных
поверхностей деформируемого тела, как правило, недо-
статочно для описания полной картины движения кон-
тактирующих тел. Стремясь к использованию класси-
ческих методов теории механизмов и машин при анализе
механизмов на деформируемых элементах, иногда дефор-
мируемое тело, например гибкую нить, рассматривают
как совокупность бесконечно большого числа малых эле-
ментов — элементарных жестких звеньев. Такой меха-
низм состоит из бесконечно большого числа звеньев и
обладает бесконечно большим числом степеней свободы.
Однако в некоторых случаях целесообразно иначе под-
ходить к анализу движения взаимодействующих деформи-
руемых и разнородных (деформируемых и жестких) тел.
Каждое из деформируемых или жестких тел взаимодейст-
43
вующей совокупности тел можно интерпретировать как
звено механизма, а движение и (или) деформацию тела
рассматривать как движение соответствующего звена.
В совокупности взаимодействующих деформируемых и пе-
деформируемых звеньев (тел) этого механизма существует
хотя бы одно ведущее звено, т. е. звено, закон движения
(или деформации) которого задан и является независимым.
Движение остальных (ведомых) тел определяется законом
движения ведущих. Число ведущих тел такого механиз-
ма может рассматриваться как число его степеней свобо-
ды. С таких позиций, например, ремеппая передача, со-
держащая два шкива и охватывающий их гибкий ремень
(рис. 0.1, е), представляет собой механизм с одной сте-
пенью свободы, хотя этот механизм содержит деформируе-
мое тело (гибкий ремень), имеющее, строго говоря, бес-
конечное число степеней свободы. В силу того что харак-
тер деформации этого тела строго определен (запрограм-
мирован), это тело может рассматриваться как «жесткое»
(в смысле «жесткости» закона движения частиц) звено.
С этих же позиций механизмы типа «ползущая гусеница»
либо «дождевой червь» в случае, когда скорость движения
и характер деформации бегущей по телу волны жестко
определены, относятся к «двухзвенным» (деформируемая
нить и жесткая опора) механизмам с одной степенью
свободы.
Известно, что при кинематическом анализе механизмов
не рассматривают источники энергии, силы и крутящие
моменты, приводящие в движение звенья механизма,
а изучают лишь геометрию движения звеньев, траекто-
рии, скорости и ускорения их точек [5]. При изучении
кинематики механизмов на деформируемых элементах де-
ло обстоит точно так же: изучая, например, кинематику
движения садовой гусеницы (рис. 2.5; 2.6), мы можем не
интересоваться тем, образуется ли выпуклый участок
(волна) на теле гусеницы внутренними силами (как это
имеет место в теле живой гусеницы) или, скажем, движе-
нием какого-либо тела-генератора, например круглого
катка, между телом гусеницы и опорной поверхностью
(рис. 3.3, я), движением магнита над магппточувствитель-
ной гибкой полоской (рис. 3.3, б), движением жесткой
волнообразно изогнутой проволоки внутри гирлянды ша-
риков (рис. 3.3, в), движением волнообразно изогнутой
трубки, сквозь которую проходит гибкий шнур
(рпс. 3.3, г), движением выпуклой волны па опорной по-
верхности, образуемой вертикально смещаемыми стер-
44
женьками (рис. 3.3, <?), или каким-то другим способом.
Во всех этих случаях при совпадении: формы волны де-
формации на теле и скорости ее движения кинематика
движения будет одинаковой, траектории, скорости и
ускорение частиц будут идентичны и все эти случаи мо-
гут быть отнесены к качению: здесь движутся лишь час-
тицы, находящиеся на изогнутом участке (в волне),
а остальные частицы неподвижны.
Рис. 3.3. Различные способы образования поперечной бегущей
волны на гибком теле: а — движением катка, изгибающего тело;
б — движением магнита над магнито чувствительным телом; в —
протягиванием жесткой изогнутой проволоки внутри гирлянды
шариков; г — протягиванием гибкой нити сквозь жесткую изогну-
тую трубку; д — вертикальными смещениями стерженьков, изги-
бающих гибкое тело
Анализ условий самопередвижения деформируемого
тела по опорной поверхности тесно связан с кинемати-
ческим анализом деформационных движений контакти-
рующих поверхностей тела, а также с анализом сил сцеп-
ления тела с опорой. Если, например, известно, что де-
формируемое тело 7, лежащее на жесткой опоре 2
(рис. 3.4, а — в), под действием внутренних сил получило
некоторую деформацию, например, удлинилось на вели-
чину Аж, то этой информации еще не достаточно для того,
чтобы определить, как это тело переместилось относи-
тельно опорной поверхности. Характер этого перемещения
определяется еще и соотношением сил сцепления различ-
ных частей тела с опорой. Если, например, силы сопро-
тивления па правом конце тела больше сил сопротивления
па левом конце (например, тело прижато к опоре на пра-
вом конце силой F), то левый конец тела переместится,
45
а правый останется неподвижным и центр тяжести тела
переместится влево (рнс. 3.4, а). Если сила сопротивле-
ния на левом конце больше, чем на правом,— тело и его
центр тяжести переместятся вправо (рис. 3.4, б). Если
сцепление больше в середине, деформация тела приведет
к перемещению па опоре его концов, а центр тяжести те-
ла останется неподвижным (рис. 3.4, в). Законы сухого
Рис. 3.4. Закономерности скольжении тел по опорной поверхности.
Удлинившееся тело в зависимости от положения принимающей
силы F может сместиться: а — влево; б — вправо; в — и обе сто-
роны; г — возвратно-поступательное движение поршня в цилиндре
вызовет возвратно-поступательное движение одного тела при не-
подвижности другого; д — при сближении опор 2 и 3 тело 1 сколь-
зит относительно одной опоры и неподвижно относительно другой;
е — «чешуя» на опорной поверхности приведет к направленному
движению обоих тел
трепия также говорят о том, что если два тела 1 и 2 ле-
жат иа опорной поверхности 3 и связаны между собой
каким-либо механизмом для осуществления периодическо-
го их сближения и удаления (таким механизмом может
быть, например, гидроцилиндр 4 с поршнем 5 (рис. 3.4, г)),
то при удалении тел 1 и 2 по опоре будет двигаться тело,
менее сцепленное с опорой (меньшее тело, если условия
трения обоих тел одинаковы), а тело, сила сцепления с
опорой которого больше, будет оставаться неподвижным.
Этот вывод основан па предположении о существовании
некоторой пороговой силы Fu сцепления между телами
и опорой, до превышения которой тело неподвижно,
а при небольшом превышении этой силы тело движется.
Причем, как показывает опыт, сила сцепления движуще-
гося тела с опорой уменьшается в силу того, что коэффи-
циент трепия покоя несколько больше коэффициента тре-
ния движения.
Важно отметить, что эти свойства сухого трения обес-
печивают движение лишь одного пз двух сближаемых
4G
или удаляемых под действием внутренних сил тел
(рис. 3.4, г). Здесь не может быть ситуации, когда под
действием внутренней силы (силы гидроцилпндра на
рис. 3.4, г), приложенной к телам 1 и 2, оба тела полу-
чат разнонаправленные (а тем более однонаправленные)
движения. Здесь одно тело будет двигаться, а другое
находиться в покое. Это правило подтверждается извест-
ным элементарным опытом, изображенным па рис. 3.4, д.
Если брусок 1 положить па две опоры 2 и 3 и затем мед-
ленно сближать эти опоры, то можно заметить, что бру-
сок будет скользить то по одной опоре, то по другой,
а периодов одновременного скольжения бруска по обеим
опорам не будет.
Эти эксперименты с деформируемыми телами, взаимо-
действующими с жесткой опорной поверхностью, имеют
прямое отношение к механизмам передвижения сухопут-
ных живых существ, передвигающихся без помощи ног
(гусеница, дождевой червь, змея, улитка, безногая яще-
рица), и к функционированию многих технических и са-
мопередвигающихся устройств. Достаточно сказать, что
если в схемах рис. 3.4, а, б деформируемым телам при-
дать периодическое удлинение — сокращение и синхрон-
но с этими деформациями изменять силу сцепления тела
па его концах (например, прикладывать прижимающую
силу F то к правому, то к левому концу тела), то тело 1
«поползет» по опоре 2, Направление этого движения бу-
дет зависеть от того, в какие моменты прикладывается и
снимается сила F. Если каким-либо способом управлять
силой сцепления с опорой тел 1 и 2 на схеме механизма,
изображенного на рис. 3.4, г, то этот механизм может быть
превращен в транспортное самопередвигающееся устрой-
ство.
Такое управление силой сцепления можно выпол-
нить весьма простым приемом, заимствованным у спосо-
ба передвижения сухопутной змеи [7 ]. Если нижпие
опорные поверхности тел 1 и 2 снабдить наклонной че-
шуей 6 (рис. 3.4, е), обеспечивающей асимметрию сил
сцепления с опорой, то при возвратно-поступательном
движении поршня 5 все устройство получит шаговое дви-
жение в сторону, определяемую направлением наклона
чешуи.
В некоторых технических устройствах асимметрию
сцепления можно создавать при помощи колес, снабжен-
ных муфтами обгона, о чем будет рассказано в даль-
нейшем.
47
§ 3.4. Качение растяжимых нитей
по жесткой опоре
Рассмотренные памп схемы (рис. 2.1 — 2.11 п др.) отно-
сятся к качению тел по жесткой опорной поверхности, ко-
торое, в силу того что кинематические схемы качения
можно представить в виде контактирующих тонких ни-
тей, можно рассматривать как взаимодействие деформи-
руемой (катящейся) и жесткой (опорной) нитей.
Рассмотрим более подробно механизм качения дефор-
мируемой нити по не деформируемой опоре. Главной за-
кономерностью качения, как мы отмечали, является по-
следовательное совмещение некоторых участков контакти-
рующих нитей, причем на участке контакта элементы обе-
их нитей взаимно фиксированы, а вне контакта нити в
Рис. 3.5. Качение как процесс «бегущего совмещения длин»; а —
качение иерастяжпмой нити; б — качение с деформацией растяже-
ния нити в области контакта; « — качение с деформацией сжатия
нити в области контакта
общем случае могут двигаться независимо друг от друга.
Если пить А катится по опорной жесткой прямой В
в направлении, указанном стрелкой при v (рис. 3.5, а)
(такое качение может быть обеспечено, например, движе-
нием тела 7, прижимающего нити друг к другу), то на
переднем фронте / контактной области С точки (элементы
длины 6ZJ нитей совмещаются (входят в контакт), а
на заднем фронте Ъ разъединяются (выходят из контакта).
Качение, таким образом, можно представить как процесс
«бегущего совмещения длин» контактирующих нитей. Ес-
ли пить А перастяжпма, то равные элементы 81;, на кото-
рые мы разбили обе инти, имеют неизменную длину и
число таких элементов обеих нитей в области С контакта
будет одинаковым в любой момент времени (рис. 3.5, а).
При таком качении перастяжимых нитей меж'Ду собой
контактируют равные отрезки нитей и взаимное положе-
ние их сохраняется неизменным. Эта неизменность поло-
жений нитей выражается в том, что любая пара точек
(a,, bj) (рис. 3.5, а), одна из которых (а;) принадлежит
48
одной нити, а другая (bj) — другой, находятся на неиз-
менном расстоянии от некоторой произвольной точки с
контакта нитей, т. е. aLc + cbs = const. При этом рас-
стояния aLc, cbj должны измеряться вдоль нитей (криво-
линейные или дуговые координаты точек нити). Это оз-
начает, что качение таких нитей не сопровождается их
смещением относительно друг друга.
Рассмотрим следующую модель качения растяжимой
нити по жесткой прямой. Входя в область С контакта,
нить А получает деформацию растяжения или сжатия
(т. е. удлиняется либо сокращается), а выходя из области
контакта, вновь возвращается в нормальное (недеформи-
рованное) состояние. В этом случае на участке С кон-
такта деформируемой нити А и недеформируемой В число
элементов 6Z нити А будет отличаться от числа элементов
нити В и упомянутое расстояние atbj между точками,
принадлежащими разным нитям, не будет постоянным во
времени. Рассмотрим вначале случай, когда растяжимая
пить А, катящаяся ио жесткой опоре В, растягивается,
входя в область контакта С, и затем вновь приходит в
нормальное (перастянутое) состояние, как только выхо-
дит из контакта (рис. 3.5, б). Нетрудно видеть, что такое
качение вызовет движенце инти А относительно В в на-
правлении движения области контакта С. Скорость va
этого движения значительно меньше скорости v обла-
сти С. Величину этой скорости мы найдем несколько
позже.
Если растяжимая пить А, входя в контакт с нерастя-
жимой нитью В, сокращается, а выходя из контакта,
вновь приходит в нормальное недеформировапное состо-
яние, нить А также получает медленное движение отно-
сительно нити В (рис. 3.5, в), по, в отличие от случая
удлинения нити в области С контакта, в направлении, про-
тивоположном направлению движения области С.
В качестве реального примера движения тела в со-
ответствии с описанной моделью «качения с деформаци-
ей» можно привести прокатку упругого тела, лежащего
па жесткой опоре, движущимся роликом (штампом)
(рис. 3.6). Здесь упругое тело 1 лежит па опоре 2 и при-
жимается к ней движущимся телом 3. На рис. 3.6, а
движущимся телом является ролик 3, который прижат
значительной силой к деформируемому телу 1, например
резиновой полоске, и катится по ней. Под действием при-
жимающей силы резиновая полоска, которую можно рас-
сматривать как растяжимую пить, на участке С кон-
49
такта деформируется как в поперечном, так и в продоль-
ном (в соответствии с законом Пуассона) направлениях.
Именно продольная (вдоль оси х) деформация в области
контакта катящегося ролика с полоской и создает бегу-
щую волну деформации, соответствующую схеме рис. 3.5, б.
Особенность деформации полоски в области С ее кон-
такта с роликом состоит в том, что здесь продольная
Рис. 3.6. Примеры прокатки упругого тела: а — прокатка упругой
полосы прижимным роликом; б — прокатка скользящим штампом;
в — ирокатка полоски бумаги шариковой ручкой
деформация не однородна: опа максимальна в середине
области С и минимальна на ее краях. Кроме того, величи-
на этой деформации зависит от силы трения между коле-
сом и полоской и полоской и опорой, однако, несмотря
на сложность картины деформации в области С, здесь
налицо движущаяся волна деформации удлинения (ех >
> 0) и поэтому, в соответствии с описанными закономер-
ностями, полоска 1 получит движенце в направлении ка-
чения ролика. Схему прокатки упругого тела можно из-
менить, прижав упругий слой тяжелым телом («утюгом»)
и предвигая тело (рис. 3.6, б). Слой получает медленное
движение вперед. И, наконец, здесь возможен совсем
простой опыт, осуществить который читатель может за
письменным столом (рис. 3.6, в). Если по полоске бума-
ги 7, лежащей на жестком основании, провести сильно
прижатым карандашом (лучше — шариковой ручкой),
можно заметить, что полоска бумаги получит медленное
движение в направлении движения карандаша. На пер-
вый взгляд может показаться, что карандаш силами тре-
ния увлекает бумагу. Однако это не так: здесь решающую
роль, как и в схеме рис. 3.6, а, играет упругость бумаги
и ее продольная (по закону Пуассона) деформация в на-
правлении, перпендикулярном прижимающей силе.
Приведенные нами примеры качения далеко не ис-
черпывают всех случаев качения твердых и деформируе-
мых тел. Количество примеров качения значительно воз-
50
растает, если вспомнить, что возможно качение не только
жестких или деформируемых тел относительно жесткой
опоры (наши примеры до сих пор в основном относились
к этим случаям), но и качение деформируемых тел относи-
тельно деформируемой опоры, т. е. качение деформируе-
мых тел относительно друг друга. Кинематика качения
в этом случае значительно усложняется, однако основной
Рис. 3.7. Качение нитей относительно друг друга: а — точки кон-
такта неподвижны; б — точки контакта движутся
признак качения здесь остается в силе: в области кон-
такта С контактирующие частицы обоих деформируемых
тел остаются неподвижными относительно друг друга (при
этом сама область контакта в общем случае может дви-
гаться каким-то образом).
Примеры качения относительно друг друга двух де-
формируемых разомкнутых нитей изображены на рис. 3.7.
Здесь гибкие нити 1 и 2 (они могут быть нерастяжимыми
или растяжимыми) входят в отверстие жесткого тела 3
(фильеры), которое движется относительно нитей 1 и 2
(рис. 3.7, а), либо нити 1 и 2 движутся относительно не-
подвижного тела 3 (рис. 3.7, б). В обоих случаях нити 7
и 2, входя в отверстие тела 5, входят в контакт между со-
бой и на некотором участке С контакта взаимно непод-
вижны, а тело 3 скользит относительно нитей. Выходя
из отверстия, нити расцепляются и каждая нить может
двигаться по своей траектории. Очевидно, что эти случаи
качения являются «обращениями» друг друга. В первом
случае (рис. 3.7, а) система координат (наблюдатель)
связана с неподвижными точками области С контакта,
во втором случае (рис. 3.7, б) — с неподвижным телом 3.
В первом случае точки области С контакта «временно не-
подвижны», во втором — движутся.
Важно заметить, что если нити 1 и 2 нерастяжимы,
существует взаимная однозначность контактируемых друг
с другом точек нитей и нити не перемещаются относитель-
но друг друга. В этом случае две произвольные точки
51
а' и a”, принадлежащие разным нитям, расположены друг
от друга па неизменном расстоянии, измеряемом вдоль
длины каждой из нитей: длина кривой аса” во время
движения нитей остается неизменной. Если нити растя-
жимы и подвергаются растяжению — сжатию в области
контакта С, то относительные положения нитей изменя-
ются, т. е. нити, ироходя через область контакта, смеща-
ются относительно друг друга.
§ 3.5. Самопередвижение деформируемых тел
Примером взаимодействия растяжимых нитей является
контактирование криволинейных упругих полос изме-
няющейся во времени кривизны (рис. 3.8). Известно, что
Рис. 3.8. По время изгиба контактирующих упругих полос, иоли'ш-
ны и направления смещении точек зависят от сил сцепления по-
верхностей
вследствие изгиба упругой (например, стальной) полосы
ее наружные волокна растягиваются, а внутренние сжима-
ются. Значит, если до изгиба полос 1 и 2 (рис. 3.8, а)
точки сц и с2 тела 1 были сцеплены соответственно с точка-
ми с1 и с2 тела 2, то после изгиба (рис. 3.8, б, в) линия
ctc2 тела 1 станет короче, а линия cxc2 тела 2 длиннее
t / п ft
и точки е2 и ci> е2 не могут одновременно иахо-
диться в контакте. В каком направлении сместятся точки
относительно друг друга при изгибе полос 1 и 2, зависит
от соотношения сил сцепления на участках контакта
(аналогично изображенному на рис. 3.4, а—в). Если сила
сцепления полос в области точки больше силы сцепле-
ния в области с2, произойдет смещение точек с2 и с2
(рис. 3.8, б); если сила сцепления больше в области точки
с2 — сместятся точки Cj и с( (рис. 3.8, в).
Сказанное позволяет .лучше понять принцип действия
демонстрационного прибора, изображенного на рис. 3.9.
Кольцо (цилиндр) 1 из упругого материала (резина, поли-
уретан и т. п.) закреплено на торцах и изнутри расинра-
52
ется четырьмя вращающимися роликами 3 и 4, располо-
женными иа концах крестовины 5. вращающейся на цент-
ральной оси О. Под действием распорных роликов кольцо
деформируется и принимает овальную форму. С цилинд-
ром 1 контактирует плотно (без зазора) охватывающее его
гпбкое кольцо 2. Прп вращении крестовины 5 пары роли-
ков 3 и 4 обеспечивают упругую деформацию контакти-
рующих цилиндра 1 и кольца 2, которые, сохраняя свою
Рис. 3.9. Прибор для демонстрации механизма дискретно-волнового
движения коитактируемых упругих цилиндров
овальную форму неизменной, непрерывно изгибаются. По-
верхность (на рисунке — линия) С контакта упругих тел
представляет собой овальную замкнутую кривую (кон-
тур), полученную совмещением двух контактирующих
друг с другом замкнутых растяжимых контуров-нитей
С, и С2, являющихся соответственно наружным контуром
внутреннего кольца (цилиндра) 1 и внутренним контуром
наружного кольца 2. Контуры Сх и С2 являются гибкими
растяжимыми нитями.
При вращении крестовины 5 контактирующие поверх-
ности С] и С2 колец 1 и 2 вследствие получаемых ими раз-
личных деформаций растяжения — сжатия будут сколь-
зить относительно друг друга, однако из-зв симметрии
сил сопротивления скольжению направленного относи-
тельного смещения колец наблюдаться не будет — коль-
ца будут испытывать лишь возвратные (колебательные)
движения скольжения. Положение изменится, если мы
53
создадим асимметрию сил сопротивления скольжению ко-
лец. Если, например, с осью вращения крестовины 5
связать вращающийся прижимной ролик 6, прижимаю-
щий в одной точке друг к другу кольца 1 и 2 и увеличи-
вающий их силу сцепления в этой точке, то картина дви-
жения колец изменится и наружное кольцо 2 получит
направленное смещение (вращение) относительно внутрен-
него кольца 1. Если прижимной ролик 6 прижимает коль-
ца 1 и 2 в точке большой оси овала (положение ролика 6,
Рис. 3.10. Контактирование замкнутых упругих слоев: а — сколь-
жение отсутствует в области минимальной кривизны; б — скольже-
ния нет в области максимальной кривизны; в — скольжение от-
сутствует во всей области контакта; г — разновидность эксперимен-
та, изображенного на схеме а
изображенное сплошной линией на рис. 3.9, б), то кольцо
2 ири вращении крестовины 5 получит медленное враще-
ние в сторону, противоположную направлению враще-
ния крестовины. Если прижимной ролик расположить в
точке малой оси овала (положение 6, изображенное на
рис. 3.9, б штриховой линией), то кольцо 2 получит вра-
щение в направлении вращения крестовины.
Описанный эксперимент можно несколько видоизме-
нить (рис. 3.10). Если двум замкнутым контактирующим
друг с другом полоскам 1 и 2 из упругого материала при-
дать овальную форму и прокатывать их между двумя
прижимными роликами 3 и 4, обеспечивая неизменность
положения их овальной формы (т. е. большая и малая
оси овала должны быть неподвижны во время прокатки),
то можно заметить, что при прижиме полосок прокатным
роликом в точке малой оси овала (рис. 3.10, а) верхняя
полоска 2 будет опережать нижнюю, а при прижиме поло-
сок в точке большой оси овала (рис. 3.10, б) верхняя по-
лоска будет отставать от нижней. Заметим, что если форма
колец будет круглой (рис. 3.10, в), то кольца не будут
испытывать пзгибпой деформации, контактирующие по-
верхности (нити) не будут деформироваться и смещения
54
колец относительно друг друга не будет — контакт кон-
туров-нитей станет неподвижным. Существо эксперимен-
та, изображенного на рис. 3.10, я, не изменится, если
его осуществить по схеме, изображенной на рис. 3.10, а,
где тело 3, находящееся внутри гибких колец 1 и 2, сколь-
зит по опоре, прижимая нижнюю сторону колец друг
к ДРУГУ и к опорной поверхности.
Результаты описанных памп экспериментов (рис. 3.9,
3.10) можно объяснить с позиций изложенных выше за-
кономерностей контактирования растяжимых нитей
(рис. 3.5). В точке контакта прижимных роликов с дефор-
мируемыми полосками образуются неподвижные области
контакта двух поверхностей (в сечении — нитей). Имен-
но в этой области находится контакт качения, и здесь
точки контактирующих тел неподвижны относительно
ДРУГ ДРУга, а на остальных участках контакта имеет место
скольжение. Если область неподвижного контакта обра-
зуется в окрестности большой оси овала деформируемых
колец (рис. 3.9, а\ 3.10, б), то имеет место случай, когда
наружная из контактирующих нитей сокращена в обла-
сти контакта, а внутренняя — растянута, т. е. случай
качения нитей, изображенный на схеме рис. 3.5, в, когда
сокращающаяся при вхождении в область контакта нить
движется в сторону, противоположную направлению дви-
жения области контакта С. Если область неподвижного
контакта образуется в окрестности малой оси овала
(рис. 3.9, б, 3.10, а, г), то имеет место случай, когда на-
ружная пить контакта растянута (относительно своей
нормальной круглой формы), а внутренняя опорная —
сокращена, т. е. имеет место качение нитей, изображенное
на схеме рис. 3.5, б, когда удлиняющаяся при вхождении
в область контакта нить движется в сторону движения
области контакта С,
§ 3.6. Скорость самопередвижения
Найдем величину тангенциальной скорости движения,
произвольной точки гибкой нити для наиболее общего
случая — деформируемой нити А, катящейся по жесткой
опорной плоскости В и деформирующейся при вхождении
в область контакта С (рис. 3.5, б, в). В этих случаях, как
отмечалось, нить перемещается («ползет») относительно
опоры.
Очевидно, что скорость произвольной точки а, на-
ходящейся вне области С, зависит от скорости v движе-
55
ния области контакта (фазовая скорость качения) и от
степени деформации нити А в этой области. Рассмотрим
случай, когда величина с относительной продольной де-
формации нити в области С контакта постоянна, т. е.
деформация однородна па протяжении всей длины С кон-
такта. Свяжем подвижную К '-систему координат с дви-
жущейся областью С контакта (с движущимся телом 1
на рис. 3.5, а). Относительно А'-системы нити А и В
движутся в направлении, обратном скорости и области
контакта: нерастяжимая нить В движется со ско-
ростью — v, растяжимая нить А на участке С также дви-
жется со скоростью — к (в области контакта нити А
и В неподвижны относительно друг друга), а на осталь-
ных (педеформированных) участках — с искомой ско-
ростью v В силу стационарности движения нити А в
А'-системе нить, заключенная между двумя ее сосед-
ними делениями (напомним, что на нитях в их неде-
формированном состоянии нанесены деления на равных
расстояниях друг от друга), проходит через некоторое
неподвижное сечение за одно и то же время. Если рас-
стояние между делениями на недеформированной нити
равно б^о, то на участке С контакта это расстояние рав-
но бж = б^о(1 + е), где е = (8х — б^о)/б^о — относитель-
ная деформация нити иа участке С. Время прохождения
нити, заключенной между ее соседними делениями, че-
рез неподвижное сечение на участке С равно
tc = = дхо (1 + е)/щ па остальных участках t0 = 6х0/иа,
va — относительная скорость нити А на свободных
(внеконтактных) участках. В силу того что tc = to, име-
ем: (1 -ф- е)/у = 1/па; va = ц/(1 -ф е). Абсолютная скорость
va иа участках вне контакта, т. е. скорость относительно
неподвижной системы координат,
V„ = V — v'a = V — - V = V —у—. (3.1)
1 1 -|- e 1 + e v '
Это есть скорость движения нити, совершающей «каче-
ние с деформацией» относительно жесткой опорной по-
верхности. Из (3.1) следует, что при е>0 (деформация
растяжения нити в области контакта, рис. 3.5, б) ско-
рость внеконтактных (свободных) участков нити совпа-
дает по направлению с направлением качения; при
е < 0 (деформация сжатия, рис. 3.5, в) скорость нити
направлена в сторону, противоположную направлению
56
качения. При е = 0 (нерастяжимая нить, рис. 3.5, а)
va = О, т. е. нити не смещаются относительно друг друга.
Полученные выводы подтверждаются экспериментально.
Описанные нами движения деформируемого тела, ле-
жащего на жесткой опоре, кинематические схемы кото-
рых приведены на рис. 3.5, а реальные примеры — на
рис. 3.6, являются сложными нестационарными движе-
ниями (нестационарными потоками деформируемого те-
ла), характеризующимися изменчивостью во времени
скоростей точек тела. Действительно, различные точки
(сечения) упругих тел 7, прокатываемых движущимся
«штампом» 3 (рис. 3.6), движутся вдоль опорной поверх-
ности с различными величинами скоростей: от нуля (в
области контакта с опорой) до некоторого иоложительно-
го значения щ, подсчитываемого по формуле (3.1). Здесь
в каждый момент времени одни точки деформируемого
тела движутся, другие — неподвижны. Как мы говорили,
это является признаком качения.
Очевидно, что если некоторая точка (с) сплошного
деформируемого тела неподвижна, а другая точка (а)
этого тела движется с некоторой скоростью z?fi, то в силу
непрерывности физического тела какие-то ого точки, на-
ходящиеся в промежутке между точками а и с, должны
испытывать ускорение. В наших примерах прокатки уп-
ругих тел (рис. 3.6) такими точками деформируемого тела,
испытывающими ускорения (замедления), являются точ-
ки, лежащие в области переднего (/) и заднего (Ь) фронтов
области С контакта. В этих переходных (от иокоя к дви-
жению и обратно) областях деформируемых тел отдельные
точки (сечения) в каждый момент времени испытывают
различные деформации и вследствие этого движутся с
различными скоростями. Найдем величины этих скоро-
стей.
Рассмотрим более подробно деформированную область
упругого протяженного тела 7, лежащего на жесткой
опорной плоскости 2 и прокатываемого катящимся при-
жимным роликом 3 (рис. 3.11, а). Под действием прижим-
ного ролика упругое тело 7 получит поперечную (по от-
ношению к оси х) деформацию еп, максимальную в центре
области С и убывающую ио направлению к точкам перед-
него (/) и заднего (Ь) фронтов, где опа равна нулю, и
соответствующую ей продольную деформацию = —р.еп,
где ц — коэффициент Пуассона. График (эпюра) продоль-
ной деформации имеет вид, изображенный на рис. 3.11, в.
Деформируемое тело, как мы условились, будем изоб-
57
ражать в виде деформируемой прямой нити 7 (рис. 3.11, б),
более редкое расположение делений на которой указы-
вает на наличие деформации удлинения в области С.
Обозначим через ех продольную деформацию в про-
извольном сечении х области контакта С тела с опорой.
При х ~ 0 ех = ешах, при |л:| > С/2, т. е. вне области
Рис. 3.11. Деформированная область прокатываемого упругого
тела: а — схема деформации; б — модель в виде растяжимой нити;
в — эпюра продольной деформации; г — график горизонтальной
скорости
контакта С, ех = 0. Свяжем подвижную /{"-систему ко-
ординат с движущейся областью С контакта, т. е. при-
мем, что Х'-система движется вдоль оси х со скоростью
и центра ролика 3. Теперь относительно /{"-системы рас-
ход qx нити неизменен во времени. Это, в свою очередь,
означает, что длина нити, заключенная между двумя
ее штрихами, проходит через точку х за одно и то же
время. Очевидно, что скорость точки с нити, расположен-
ной в центре области С в /{"-системе, равна v (скорости
движения If'-системы), поскольку эта точка находилась
в покое в неподвижной /f-сцстеме. Скорость точки х
в /{"-системе обозначим vx. Длина элемента нити в точке х
равна б.х = бас0(1 + еж), в точке с дхс = бх0(1 + етах).
Элементы 8х и блс проходят неподвижное сечение за одно
58
и то же время, т. е. 6a:/i4 = Sxjv. Подставл яя значения б.г
и &гс, получим (1 + еж)/Рх = (1 + Бщах),^, откуда щ =
= Р(1 4- еж)/(1 + сП1ах). Абсолютная (в К-сцстеме) ско-
рость точки х равна
1 + ех
1 А етах
Vx
__~ етах Ё.
'max
(3-2)
= v — V
Из (3.2) следует, что в центре области С, где бд. = етах,
скорость тела 1 равна нулю, далее с удалением от центра,
где еж < Етах, скорость тела 1 возрастает и вне области С,
где бж = 0, vx = PEmax/(l + ешах), что совпадает с выра-
жением (3.1), полученным для однородной деформации в
области С контакта. График скорости vx, подсчитанной
по (3.2), изображен на рис. 3.11, г.
Важно отметить, что согласно (3.2) величина скоро-
сти тела во внекоитактной области (в точках |а:| > С/2)
не зависит от закона распределения деформации в области
контакта, а зависит лишь от максимального его значения
8гаах в неподвижной точке, что значительно упрощает
кинематические расчеты этого вида движения и меха-
низмов, использующих описанный принцип прокатки уп-
ругого тела. Некоторые из этих механизмов будут опи-
саны в гл. 9.
Глава 4
ВОЛНА КАК «ДВИЖУЩИЙСЯ ЯЩИК»
§ 4.1. Волну заключаем в «ящик»
К рассмотренным схемам взаимодействия деформируе-
мых нитей сводятся многие важные случаи контактиро-
вания физических тел и волнового движения. Об этом
будет более подробно рассказано далее, а сейчас мы по-
пытаемся дать другую интерпретацию описанных бегу-
щих процессов (волн) деформации тел и построим совер-
шенно иную модель бегущей волны — модель волны как
«движущегося ящика». Эта модель позволит лучше попять
некоторые важные, ио «замаскированные» свойства бегу-
щей волны деформации, в частности свойство волны пере-
носить массу «эстафетным» способом.
Снова рассмотрим схемы качения растяжимых нитей
по жесткой опорной поверхности (рис. 3.5). Каждая пз
изображенных здесь нитей А входит в область С контакта
в некоторой точке / (точка переднего фронта, или точка
входа в область С) и выходит из этой области в точке b
(точка заднего фронта, или точка выхода). Если область
С представить как некий движущийся прямоугольный
контейнер («ящик»), куда входит и откуда выходит дефор-
мируемая нить, схемы, изображенные на рис. 3.5 могут
быть представлены в виде, показанном на рис. 4.1, а, б.
Здесь «ящик» движется со скоростью v вдоль неподвиж-
ной нити А (для простоты пить вне япщка изображаем
прямой). Нить, входя в ящик, может растягиваться
(рис. 4.1, а) или сжиматься (рис. 4.1, б) и во время на-
хождения в япщке остается в этом деформированном со-
стоянии, а при выходе из ящика снова возвращается в,
свое педоформироваипое (нейтральное) состояние. Такая
модель прохождения нити сквозь движущийся, деформи-
рующий нить ящик имитирует ее прохождение через дви-
жущуюся область С контакта (рис. 3.5, б, в).
60
В построенной модели нить может деформироваться
в ящике не только путем растяжения или сжатия, но
и любым другим способом, например, изгибаясь каким-
либо образом или изгибаясь и растягиваясь (сжимаясь)
одновременно (рис. 4.1, в, г). Важно, чтобы соблюдалось
правило: нить внутри движущегося ящика находится в
Рис. 4.1. Бегущую вдоль нити волну деформации заключаем в
«ящик»: а — пить в ящике растянута; б ~ сокращена; в, г —
изогнута
деформированном состоянии, а вне его — в недеформи-
рованном, неподвижном состоянии. Такая модель, как
будет показано, отражает бегущие процессы локальной
деформации и к пей могут быть сведены многие виды бе-
гущих воли. Такая модель является средством разделения
сложных явлений, какими являются бегущие процессы,
па более простые компоненты: относительную, т. е. рас-
сматриваемую в подвижной //'-системе координат, при-
вязанной к ящику, и переносную, обусловленную движе-
нием самого ящика. Такое разделение часто бывает по-
лезным как на концептуальной, так и расчетной стадиях
анализа бегущих процессов.
Рассматривая заключенные в ящик бегущие волны
па гибкой нити (рис. 4.1), легко прийти к выводу, что могут
быть два случая поведения нити в ящике: а) нить сохра-
няет свою форму в движущемся ящике; б) форма нити
изменяется во времени. Первую волну обычно называют
стационарной, вторую — нестационарной. Однако так оп-
ределенную стационарность вернее было бы назвать гео-
метрической (стационарностью по форме). Мы в дальней-
шем будем пользоваться стационарностью волны в ином
смысле — стационарностью по массе. Ее также легко по-
яснить при помощи нашей модели «волны в ящике».
Очевидно, что во всех изображенных на рис. 4.1 случаях,;
внутри ящика находится некоторый избыток длины ни-
ти AZ = 1 — I, где I — длина нити (в недеформированном
состоянии), находящейся в ящике, I — длина ящика. Ес-
ли нить обладает массой (линейной плотностью рг, кг/м),
61
то избыток длин AZ может также рассматриваться как
избыток массы Am = p;AZ. Заметим также, что может быть
случай, когда величина AZ является отрицательной и
избыток длины, или массы, в ящике становится «недо-
статком» длины, или массы (рис. 4.1, а). Итак, движу-
щийся ящик содержит избыток или недостаток массы Ат.
Назовем эту величину массосодержанпем волны. Стацио-
нарными по массе волнами будем называть волны, для
которых Am = const. Такое определение стационарности
волны удобно ири решении ряда задач анализа волновых
движений.
§ 4.2. Ящик — редуктор
Рассмотрим движущийся со скоростью v ящик С, со-
держащий прямолинейную деформированную (растяну-
тую или сжатую) весомую нить А (рис. 4.1, а, б). Будем
считать, что вне ящика нить неподвижна, и найдем ско-
рость va движения произвольной точки нити внутри ящи-
ка. Свяжем подвижную ./^'-систему с ящиком, тогда дви-
жение нити относительно ящика будет стационарным и
через каждое сечение в единицу времени проходит равная
масса инти. Это означает, что время прохождения через
неподвижное сечение подеформированпого 6Z0 и деформи-
рованного 6Z = 6ZO(1 -|- ег) участков нити одинаково, т. е .
6Z(l/r = fiZ0 (1 ex)/va, va = v (1 ex), где va — относитель-
ная скорость элемента 6Z нити, находящейся в ящике.
Абсолютная скорость (в неподвижной А-системе)
Va = V — v’a = V — V (1 Ех) = — V£x. (4.1)
Если нить внутри ящика растянута (рис. 4.1, а, ег > 0),
то va и v имеют противоположные знаки, т. е. скорости
va и и направлены противоположно; если нить в ящике
сокращена (рис. 4.1, б, еж <; 0), то скорости и ящика и
va нити совпадают ио направлению. Из (4.1) следует, что
величина va при малых деформациях нити значительно
меньше величины и. Таким образом, нага движущийся
ящик играет роль своеобразного редуктора.
Рассмотрим движущийся ящик, содержащий изогну-
тую нерастяжимую нить (рис. 4.1, в). Скорость нити в
этом случае найдем, исходя из следующих соображений.
Снова свяжем подвижную К'-систему координат с дви-
жущимся ящиком С (рис. 4.2), т. е. будем считать ящик
неподвижным. Тогда очевидно, что нить, в силу ее пе-
62
растяжимости, будет входить в ящик, выходить из него
и двигаться внутри ящика со скоростью v движения ящи-
ка, но в противоположном направлении (влево на
рис. 4.2). Нерастяжимая нить относительно движущейся
системы координат, связанной с ящиком, будет представ-
лять собой равноскоростную кривую, вектор скорости
рис. 4.2. Скорость произвольной точки а нити равна сумме ее
скорости относительно ящика и скорости самого ящика
каждой точки которой постоянен по величине \v' | = v —
= const и направлен по касательной к кривой (такое со-
стояние движения гибкой нити, как отмечалось, назы-
вают кажущимся покоем). Если теперь ящику снова при-
дать его прежнюю скорость и (направленную вправо на
рис. 4.2), то движение нити, находящейся в ящике, можно
рассматривать как сложное, состоящее из двух простых —
относительного (относительно ящика) и переносного (вме-
сте с ящиком). Нить па участке вне ящика остановится, а
внутри ящика вектор относительной скорости и' произ-
вольной точки а нити геометрически сложится с горизон-
тальным вектором v переносной скорости ящика. Суммар-
ная (абсолютная) скорость точки а нити как сумма отно-
сительной (относительно ящика) и переносной (скорости
ящика) скоростей равна основанию равнобедренного тре-
угольника, две другие стороны которого равны пип
соответственно. Поэтому в силу того, что |п| = |к'|,
va = jZ и2 + и'2 — 2vv' cos<7.x = v 02 (1 — cosax) = 2n sin-y,
(4.2)
где ax — угол наклона нити в рассматриваемой точке.
Из рис. 4.2 следует, что горизонтальная vx и вертикаль-
63
ная Vy компоненты этой скорости равны соответственно
180° — а ~ ах ах
vx — va cos----з---= 2v sin -5- sin =
Ci Ci
= 2v sin2 = v (1 — cos <zx), (4.3)
180° — ax ~ ax a, ~
= va sin---------— — 2 v sin cos = — v sin ax. (4.4)
Из этих формул следует, что скорости vx и vy про-
извольной точки изогнутого участка перастяжпмой нити
определяются лишь скоростью и движения этого участка
и углом аж наклона нити. На участках нити, где угол ее
наклона к оси х равен пулю (это горизонтальные участки
нити и точки максимумов и минимумов), горизонтальная
и вертикальная составляющие скорости равны пулю. Ско-
рости максимальны па участках максимального наклона
нити. Из рис. 4.2 следует, что суммарная скорость про-
извольной точки нити всегда направлена по биссектрисе
угла, образованного касательной к нити в рассматривае-
мой точке и осью х.
Пользуясь описанными приемами разложения слож-
ного движения нити на относительное и переносное, не-
трудно найти выражения для скоростей точек нити для
более общего случая, когда пить подвержена одновремен-
но изгибу и растяжению — сжатию (рис. 4.1, г). Однако
чтобы не затемнять физическую сторону излагаемых яв-
лений, мы не будем рассматривать этот случай сложного
движения, являющегося суммой рассмотренных нами про-
стых.
Посмотрим теперь па пашу модель «деформированная
нить в движущемся ящике» (рис. 4.1,4.2) с более общих по-
зиций. Кинематическая сущность этой модели заключает-
ся в том, что нить внутри движущегося ящика деформи-
рована некоторым заданным образом, а вне ящика находит-
ся в покое в недеформированном состоянии. В каждый мо-
мент времени в ящике содержится некоторый постоянный
по длине, по непрерывно обновляемый отрезок I = const
нити, находящейся в деформированном сотоянии. Дефор-
мация нити внутри ящика может быть различной — это
может быть растяжение, сжатие прямолинейной нити,
изгиб нити либо изгиб, сочетающийся с, растяжелием или
сжатием. Чтобы показать, что мы рассматриваем общий
случай деформации нити в ящике, а не какой-либо ее
конкретный вид, можно изображать пашу модель в виде
64
«черного движущегося ящика» сквозь стенки которого
не видна находящаяся в нем нить (рис. 4.3). Нам известно
только, что нить в ящике находится в некотором деформи-
Рис. 4.3. Движущийся «черный ящик»; характер деформации нити
внутри ящика может быть неизвестен
ровапном состоянии и характер этой деформации внутри
ящика остается неизменным в любой момент времени
(стационарность движущейся картины деформации нити).
§ 4.3. Ящик — преобразователь движения
Опишем некоторые свойства полученной нами модели
бегущего участка (волны) деформации нити. Как мы уже
говорили, в нашем ящике длиной I находится отрезок
нити, длина I которой в общем случае не равна I (здесь
I — спрямленная длина нити в недеформированном со-
стоянии), и поэтому в движущемся ящике в любой момент
времени находится избыток (или недостаток) нити, рав-
ный Ai = I — I. Нить вне ящика неподвижна относитель-
но неподвижной /с-системы координат. Внутри ящика
нить подвижна и ее скорость определяется формулами
(4.1) — (4.4). Точки нити внутри ящика движутся в об-
щем случае по сложным траекториям, которые могут быть
как плоскими, так и пространственными кривыми.
Рассмотрим поведение некоторой конкретной точки
(сечения) а0 деформируемой нити, вдоль которой движется
ящик С (рис. 4.3). Очевидно, что до того момента, когда
ящик своей передней стенкой / коснется точки аа, эта
точка находится в покое. Далее, войдя в ящик, точка а0
приходит в движение и описывает некоторую траекторию,
зависящую от вида деформации нити в ящике, и после
выхода из ящика снова переходит в состояние покоя в не-
котором положении аг. Заметим, что точка ах может в
зависимости от вида деформации нити в ящике лежать как
правее, так и левее точки а0 (рис. 4.3), т. с. точка «в ре-
зультате своего пребывания в черном ящике» совершает
3 А. И. Добролюбов
65
шаг на расстояние Ах = xL — х0, где х, и х0 — абсциссы
точек аА и д0. Величина шага равна избытку длины At =
= L — I нити, находящемуся в ящике. Таким образом,
движущийся вдоль нити ящик является своего рода пре-
образователем непрерывного движения (движение ящика)
в шаговое (движение частиц нити). Это свойство бегущей
волны деформации, как будет показано, используется при
создании волновых шаговых механизмов.
§ 4.4. Ящик транспортирует массу
эстафетным способом
На пашу модель движущегося ящика можно посмот-
реть еще и с другой точки зрения. В каждый момент вре-
мени внутри ящика находится избыток AZ длины нити,
поэтому можно сказать, что движущийся со скоростью
v ящик переносит (транспортирует) этот избыток со ско-
ростью своего движения. Правда этот избыток, являясь
постоянным по длине, является переменным (обновляе-
мым) по составу частиц (точек) нити: за каждый промежу-
ток времени At некоторый отрезок нити входит в ящик и
такой же отрезок покидает его, и в ящике, таким образом,
сохраняется «динамическое равновесие» (постоянство) дли-
ны нити. Однако движущийся ящик, переместившись
вдоль нити па расстояние L, переносит описанным «эста-
фетным» способом реальный отрезок At нити на расстоя-
ние L, при этом каждая точка нити также переместится
па шаг AZ. При изменении направления движения ящика
движение избытка нити изменится на противоположное.
Если пить обладает массой (а значит, и линейной
плотностью рг), то наш движущийся ящик в любой момент
времени содержит избыток массы Am = рг At и транспор-
тирует («эстафетным способом») эту массу со скоростью
своего движения. Справедливость утверждения, содержа-
щегося в последней фразе, может показаться сомнитель-
ной. Ящик движется со скоростью и, в нем в любой мо-
мент времени находится нить длиной Z, обладающая мас-
сой т = pil. На первый взгляд кажется, что движущийся
ящик должен переносить всю содержащуюся в нем массу
т, но это неверно: ящик переносит лишь массу, содержа-
щуюся в разности AZ = I — I длин деформированной и
педеформированной нитей, т. е. массу Am = рtAt, кото-
рая меньше массы т, содержащейся в ящике. В этом
проявляется один из парадоксов волнового движения и
66
существо «эстафетного» способа движения материи, свой-
ственного бегущим волнам. Здесь со скоростью ящика
не движется ни одна точка нити, заключенной в ящике,
точки нити в ящике совершают движения по сложным
траекториям, а точки вне ящика находятся в покое.
Однако с позиций массопереноса в итоге все происходит
так, как будто избыток нити AZ (и массы Am — p;AZ)
движется со скоростью ящика и эта масса (постоянная по
величине, но обновляемая по составу слагающих ее ча-
стиц) переносится вместе с ящиком. Все здесь происходит
так, как если бы физическое тело массой Ат двигалось
со скоростью ящика. По этой причине величи-
ну Ат назовем транспортируемой массой ящика. Вели-
чину Ат мы будем также называть массосодержанием
волны.
§ 4.5. Количество движения,
содержащееся в ящике
Величину массопереноса, осуществляемого рассмотрен-
ным движущимся ящиком, можно также найти при помо-
щи оценки величины количества движения (импульса)
весомой нити, содержащейся в ящике.
Найдем величину импульса нити, заключенной в дви-
жущемся ящике. Рассмотрим вначале нерастяжимую
нить, изогнутую в ящике по заданной кривой у = Q(x)
(рис. 4.2). Горизонтальная составляющая скорости про-
извольной точки (частицы 6Z) нити, находящейся в ящи-
ке, согласно (4.3) равна vx = u(i — cosax). Следова-
тельно, горизонтальная составляющая импульса частицы
равна
6РХ = ni&ivx = pifilvx = (1 — jn) = Pi» (SJ — б^)- 0'5)
\ О" J
Горизонтальный импульс всей нити, находившейся в ящи-
ке, равен
7 7
Рх = j dPx = Piv(dl — dx) = р(у(Z — I) = p(i?AZ = Amy,
о о
(4.6)
что и доказывает: импульс нити в движущемся ящике
равен произведению транспортируемой массы ящика па
его скорость.
3*
67
Докажем это же для продольно деформируемой нити
(рис. 4.1, а, б). Здесь согласно (4.1) их = — ve.x, поэтому
~ 61 — б/ ~
8РХ = m6ivx = p£6Z0 (— i?ex) = pi6Zov —--= up; (<5Z0 — 6Z),
(4.7)
I
Px = j vPi — 81) = yp;AZ = Amy. (4.8)
о
Эти соотношения говорят о том, что при решении задач о
массопереносе рассматриваемый движущийся ящик мож-
но интерпретировать как движущуюся емкость (контей-
нер), транспортирующий постоянную по величине массу
Am.
В заключение отметим, что с позиций теории множеств
«стационарный ящик» (внутри которого в любой момент
времени находится постоянная длила нити I) представля-
ет собой описанное нами ранее «переменное множество
постоянной мощности». Число частиц нити в таком ящике
постоянно, хотя частицы этого множества постоянно об-
новляются: за некоторый промежуток времени некоторое
число элементов покидает множество и столько же входит
в него. В отличие от этого, «нестационарный ящик» (внут-
ри которого длина нити не постоянна по длине) не обла-
дает свойством динамического равновесия: здесь числа
частиц, покинувших ящик в течение времени AZ и во-
шедших в него в течение этого времени, могут быть раз-
личными. Такой ящик моделирует нестационарные волны
(волны изменяющегося во времени профиля), которые
мы рассматривать не будем.
Глава 5
ВОЛНА ЛИНЕЙНОЙ ПЛОТНОСТИ
§ 5.1. О сложности траекторий частиц волны
Рассмотренные до сих пор движения деформируемых
тел отличаются сложностью траекторий движения частиц
(точек). Точки катящихся замкнутых и разомкнутых не-
растяжимых нитей описывают сложные кривые (циклои-
ды, волноиды), как правило, геометрически не сходные
с формами самих нитей. Сложность движения точек ка-
тящихся нерастяжимых нитей выражается не только в
сложности геометрической стороны движения (сложности
траекторий), но и в сложности временных зависимостей —
точки совершают разновременные шаговые перемещения,
чередующиеся с периодами покоя. Качение гибких про-
дольно деформируемых (растяжимых) нитей характери-
зуется еще более сложными движениями как по форме
траекторий частиц, так и по характеру зависимостей от
времени. Но ведь нить — это простейшее одномерное де-
формируемое тело, законы движения которого значитель-
но проще законов движения двух- и трехмерных дефор-
мируемых тел. Все это обусловливает значительные труд-
ности математического анализа движения деформируемых
тел и нахождение количественных характеристик этого
движения.
Картина движения деформируемого твердого тела, как
правило, намного сложнее картины движения абсолютно
твердого тела. Как известно, абсолютно твердое тело ха-
рактеризуется тем, что и в движении, и в покое расстоя-
ния между любыми точками тела сохраняются неизменны-
ми. Поэтому для установления картины движения абсо-
лютно твердого тела достаточно найти движение трех
его точек, не лежащих на одной прямой, после чего кар-
тину движения всего тела можно построить чисто геомет-
69
рическим путем. Деформируемое твердое тело, напротив,
характеризуется тем, что расстояния между его точками
(частицами) могут изменяться, поэтому для характери-
стики движения деформируемого тела в общем случае
нужно найти методами механики движение всех его точек.
Количество видов движения абсолютно твердого тела не-
велико: это — поступательное, вращательное и произ-
вольное пространственное движение, являющееся суммой
поступательного и вращательного. Количество видов дви-
жения деформируемых тел бесконечно велико. Поэтому
даже решение сравнительно простых кинематических, ди-
намических и энергетических задач здесь, как правило,
характеризуется значительной сложностью.
Само понятие «движение деформируемого тела» требу-
ет разъяснения. Деформируемое тело может «двигаться
целиком» по законам движения абсолютно твердого тела,
когда расстояния между частицами тела не изменяются
во времени, может двигаться «по частям», когда одни
точки тела движутся, а другие находятся в покое. В пос-
леднем случае можно сказать, что тело одновременно п
движется, и покоится. Именно такая физическая ситуа-
ция характеризует описанный нами способ движения са-
довой гусеницы, дождевого червя (рис. 2.5, 2.10), пере-
носящих свое тело «по частям». Шагание живых существ
и технических устройств также относится к движениям,
когда в каждый момент времени существует некоторое
число неподвижных точек опоры. Движение таких изме-
няемых физических тел, как жидкости, газы, сыпучие
тела и т. п., еще более сложны как в геометрическом,
так и временном смыслах, и описание их движений «по
точкам», как это делается при описании движения абсо-
лютно твердых тел, представляет собой еще более слож-
ную задачу.
§ 5.2. Попытки обойтись без знания
движений частиц
Чтобы избежать трудностей математического описания
движений отдельных частиц (точек) деформируемых тел,
вводят интегральные («обезличенные») меры движения,
не требующие знания движений отдельных, точек тел.
Целесообразность введения таких показателей движения
тел основана па том, что в большом числе практических
и теоретических задач, связанных с движением деформи-
руемых и жестких тел, пе требуются знания траекторий
70
и скоростей отдельных точек движущихся тел, а требу-
ются лишь общие осредпенные (итоговые) показатели дви-
жения. Типичной задачей, где «осредпенные» показатели
движения множества каких-то объектов важнее «инди-
видуальных», является транспортная задача, связанная
с перемещением грузов, пассажиров, потоков жидко-
стей и т. п.
Для оценки интенсивности движения и массоперепоса
потоков жидкостей, газов, сыпучих тел вводится специ-
альная мера движения — расход qx. Расход qx (кг/с) —
это масса тела, переносимая в заданном направлении х
в единицу времени. Это —«обезличенный» показатель дви-
жения. Он ничего не говорит о том, каким образом дви-
жутся отдельные точки тела (среды), а говорит лишь о
том, сколько точек (частиц) тела проходит через некото-
рое неподвижное сечение х за единицу времени. Расход —
очень важная и удобная осреднеппая мера движения
сплошного физического тела. Можно, например, говорить
о расходе воды в данном сечении трубы, канала, русла
реки, не принимая в расчет разницу в скоростях движе-
ния воды в различных точках этого сечения. Можно также
говорить о мгновенном расходе в сечении х канала в дан-
ный момент времени t и о расходе в этом сечении за неко-
торый конечный промежуток времени At. Последняя ве-
личина является «дважды осредпепной величиной»— по
сечению и по времени. Знание мгновенного расхода как
функции времени позволяет найти массу тела, пересек-
шую данное сечение в течение любого промежутка време-
ни At
Qx=\qxdt, (5.1)
At
другими словами, найти массоперепос в сечении х за
время At. Найти расход дх, не зная истинных скоростей
движения точек деформируемого тела,— важная задача
механики деформируемого твердого тела и механики
сплошной среды.
Понятие расхода применимо не только к жидкостям,
газам, сыпучим телам, но и к любому, в том числе аб-
солютно твердому телу. Например, стальной стержень
переменного сечения (рис. 5.1), движущийся вдоль своей
оси х со скоростью v = const, обладает переменным рас-
ходом в неподвижном сечении х
qx == 4$xv pxv =/= const, (5.2)
71
о
Рис. 5.1. Объемный расход в любом
сечении движущегося тела равен
произведению площади поперечного
сечения и скорости
где у — плотность материала стержня, Sx — площадь по-
перечного сечения х, рх = у6\ — линейная плотность
(кг/м) стержня в сечении х.
Мы будем в дальнейшем использовать понятие расхода
для анализа движений (в том числе волновых) гибких
нитей, поэтому на понятии «расход в сечении х нити»
остановимся более под-
робно. Если некоторый
отрезок AZ однородной
(рг ---const) нити 1 дви -
жется со скоростью v=
=const вдоль собствен-
ной оси (рис. 5.2, а), то
очевидно, что расход по
массе такой нити в лю-
бом ее неподвижном по-
перечном сечении х бу-
дет постоянной во времени величиной, равной qx = рщ =
= const. Заметим, что расход будет тем же для любого
наклонного к отрезку AZ неподвижного сечения (сечения
х', х" и т. д.), т. е. угол наклона сечения нити на рас-
ход не влияет. Такая пить представляет собой стацио-
нарный в пространстве и во времени поток массы. Здесь
расходы и скорости во всех точках (сечениях) нити не-
изменны во времени.
Если отрезок нити движется не вдоль своей оси, то
картина расходов и скоростей изменяется. Пусть отрезок
AZ нити (рис. 5.2, б), наклоненный к оси х под углом ах,
движется со скоростью v вдоль оси х. Очевидно, что за
Рис. 5.2. К нахождению расхода по массе в сечениях нити: а —
расходы в наклонных сечениях нити, движущейся вдоль своей
оси, одинаковы; б — в общем случае движения нити расходы зави-
сят от угла наклона сечения; в — сечения нити
время 61 через сечение х пройдет длина нити, равная
6Z = <5.r/cos ах. Значит, расход через сечение х, перпепди-
72
кулярное оси х, равен
.. ты pfil 8Х ptvx
qx = hm -j— = lim = р2 lim . (5.3)
1 6t 1 ot cos ax cos ax '
Этот расход в сечении, перпендикулярном оси х, будем
также называть расходом в направлении оси х.
§ 5.3. Расход и линейная плотность тела
Величину pz/cos в формуле (5.3) можно рассматри-
вать как линейную плотность рх нити в направлении
оси х
рж = (5.4)
‘ л cos ах ' '
Для реальной нити величина рх имеет смысл плотности,
соответствующей наклонному сечению 8Х, площадь ко-
торого всегда больше площади Sxr и перпендикулярного
нити сечения (рис. 5.2, в). В силу (5.4), формула для рас-
хода qx в направлении х может быть представлена в виде
Чх = Рх»х- (5.5)
Это наиболее общая формула, которая дает мгновенный
расход в сечении х любого физического тела, линейная
плотность которого в направлении оси х равна рж, а ско-
рость в том же направлении равна vx.
Мы в дальнейшем не будем говорить о площади сече-
ния Sx весомой нити (считая ее равной пулю), а будем
использовать линейную плотность рж как независимый
параметр нити, характеризующий ее массосодержание.
Формулу (5.4) можно представить в виде выражения,
связывающего линейную (вдоль оси х) плотность рж нити
с уравнением у = £1(х), описывающим форму нити в сис-
теме координат (х, у):
Рх = Pz/cos ах = р2/ У1 + tg2 ах = р2/|/1 + у'2, (5.6)
где у' — производная по х функции у = Q(x), описываю-
щей форму нити.
Рассмотрим расход qx нити в неподвижном сечении х,
обусловленный двумя причинами: а) движением нити
при неподвижности ее формы, т. е. движением способом
кажущегося покоя; б) движением нити как жесткого тела.
Поясним сказанное на примере поперечной волны на не-
растяжимой нити. Мы показали, что такая волна на нити
73
может быть представлена как сумма двух движений: от-
носительного движения со скоростью v = —v способом
кажущегося покоя, когда форма нити остается неподвиж-
ной в пространстве (примером такого движения могут
служить протягивание гибкой нити сквозь жесткую вол-
нообразно изогнутую трубку), и переносного поступатель-
ного движения нити со скоростью v" = v как абсолютно
твердого тела (перенос трубки, содержащей нить). Для
Рис. 5.3. Расход (г) в сечении х поперечной волны равен сумме
относительного (б) п переносного (в) расходов
нити, изображенной на рис. 5.3, а, относительное движе-
ние — это движение нити вдоль своей собственной линии
изгиба со скоростью —V, т. е. в сторону, противополож-
ную направлению оси х. В этом относительном движении
нить представляет собой равноскоростпую нерастяжимую
кривую, скорость в каждой точке которой касательпа
к кривой. Расход qx в каждом сечении х такой нити в от-
носительном движении постоянен и равен в соответствии
с (5.5) qx = —рщ = const. График относительного рас-
хода qx представлен па рис. 5.3, б. Расход переносного
движения пити в соответствии с (5.4), (5.5) равен qx =
= рщ/cos «х 5^ const. График функции qx изображен
на рис. 5.2, в. Очевидно, что суммарный волновой расход
qx в сечении х равен сумме относительного и переносного
расходов qx = qx | qx. Из того, что |к'| - v" = v сле-
дует
qx = qx + qx = -pzv + —— = ptv —— - 1 . (5.7)
LUS (Ад. \ CUS 1А^ I
График этого волнового расхода изображен на рис. 5.3, г.
74
Из графика видно, что расход, генерируемый бегущей
поперечной волной на гибкой однородной нити, носит
импульсный характер и равен нулю па горизонтальных
участках нити и в точках экстремумов.
Найдем расход qx продольной волны иа растяжимой
нити. Для этого, так же как и в случае поперечной вол-
ны, представим продольную волну деформации как сумму
двух движений — относительного и переносного. Отно-
сительное движение нити — это движущаяся со скоростью
v' = —v нить, имеющая деформированный участок I,
который сохраняет неизменным свое положение на оси х.
Расход в каждом (недеформированном и деформирован-
ном) сечении такой нити равен q' = —piV. Переносное
движение — это прямолинейное движение нити как абсо-
лютно твердого тела со скоростью v" = v вдоль оси х.
Расход такого тела в волновом сечении qx = pxv" =pxv.
Таким образом, расход в сечении продольной волны
дх = q' + q" = — рл> + р^ = ^(р« — рО, (5.8)
где рг — собственная линейная плотность нити па не-
деформированпых (впеволновых) участках, рх — линей-
ная плотность нити в сечении х волны. Если деформация
участка I (волны) па нити представляет собой растяжение,
то рл. < Рг (растянутая нить обладает меньшей линейной
плотностью по^сравнению с педеформированной) и вели-
чина qx согласно (5.8) будет отрицательной, что означает
Рис. 5.4. Расход (г) в сечении х продольной волны равен сумме
относительного (б) и переносного (в) расходов
наличие расхода, направленного противоположно направ-
лению движения волны I.
На рис. 5.4 изображен именно такой случай. Здесь
волна растяжения движется в положительном направле-
нии осн х, что вызывает появление отрицательного рас-
хода qx в волновых сечениях. График волнового расхода
75
дх здесь, как и на рис. 5.3, построен суммированием эпюр
д' и д". Заметим, что эта схема служит моделью способа
передвижения дождевого червя (рис. 2.10).
Рис. 5.5. Гибкие нерастяжимые нити различной формы у -- й(ж)
и графики линейной плотности рх их проекций на ось х
Линейная плотность рх тела вдоль оси х может быть
интерпретирована как линейная плотность проекции тела
на ось х. Если любое физическое тело А, рассматриваемое
как геометрическая фигура, спроектировать на ось х, то
Рис. 5.6. Плотности про-
екции продольно дефор-
мируемых нитей: а —
пить сжата на участке
Z; б — пить растянута
на участке I
каждый отсек /1 тела (т. е. слой тела, заключенный
между двумя секущими плоскостями, перпендикулярны-
76
ми оси х и отстоящими друг от друга на расстояние
8х спроектируете я на отрезок длиной 8х оси х. Если
массу, содержащуюся в каждом отсеке тела, поста-
вить в соответствие соответствующему отрезку 8х проек-
ции тела на ось х, мы получим линейную модель (весо-
мую линию переменной плотности), соответствующую
телу А. Линейная плотность рж = рх(ж) такой линии —
проекции тела А, очевидно, будет функцией х. Для гиб-
ких однородных нитей величина рж подсчитывается по
формулам (5.4), (5.6). На рис. 5.5 изображены примеры
различных по форме гибких нерастяжимых нитей 1, фор-
ма которых описывается уравнениями у = £}(х), и соот-
ветствующие им графики линейной (вдоль оси х) плот-
ности рж их проекций. Примеры функций рж растяжимых
прямолинейных нитей даны на рис. 5.6.
§ 5.4. Деформация и линейная плотность тела
Рассматриваемые нами деформируемые нити являются
однородными, и их собственная линейная плотность,
т. е. линейная плотность в недеформированном состоянии,
постоянна (р/ = const). Однако линейные плотности рж
нитей в деформированных состояниях (изогнутом, рас-
тянутом, сжатом), как следует из предыдущего, непо-
стоянны. Мы ввели «линейную плотность тела вдоль оси
х», которая равносильна «линейной плотности проекции
тела на ось х». По отношению к изогнутой однородной
нити это означает преобразование криволинейной одно-
родной нити с плотностью pi = const в прямолинейную
неоднородную нить с плотностью рж #= const. Это пре-
образование можно также интерпретировать как замену
изогнутой продольно педеформируемой нити прямоли-
нейной продольно деформируемой. Из сказанного сле-
дует, что деформацию изгиба нерастяжимой нити можно
интерпретировать как ее сокращение вдоль оси х и уве-
личение плотности ее проекции на ось х. Можно сказать,
что, изгибаясь, нить сокращает свой размер вдоль оси х,
что может быть истолковано как ее продольная деформа-
ция. Величина этой продольной деформации в некотором
ее сечении х для нерастяжимой пити однозначно опреде-
ляется углом наклона ах нити в этом сечении.
Из рассмотрепия рис. 5.7 следует, что при проек-
тировании па ось х изогнутой однородной нити 7 элемент
длины нити 81 проектируется па элемент 8х =- 81 cos ах.
Значит, относительная деформация нити вдоль оси х
77
равна
б.г б/ б-г л . ...
ex = —— 1 = cos ax — 1. (5.9)
Таким образом, изгиб нерастяжимой нити 1 можно рас-
сматривать как продольную деформацию растяжимой
Рис. 5.7. Проекция изогнутой нерастяжимой нити (а) может быть
представлена как продольно растяжимая нить (б); в — график
линейной плотности обеих нитей
прямолинейной нити 2, представляющей собой проекцию
изогнутой нити иа ось х (рис. 5.7, 6).
Найдем связь между продольной деформацией растя-
жимой прямолинейной нити (безразлично, реальной рас-
тяжимой прямолинейной нити или нити-проекции, полу-
ченной проектированием тела на ось х) и линейной плот-
ностью рх этой нити.
Пусть элемент 6z0 весомой нити в недеформированном
состоянии имеет линейную плотность р0, что означает
Ро = где тбХ() — масса элемента ба;0- После де-
формации длина элемента станет равной 8х #= 8х0, а мас-
са элемента, очевидно, останется равной пг^. Это зна-
чит, что относительная деформация ех в сечении х равна
6л —
~~ й.г, ~ бг0
(5.10)
а линейная плотность рх = тьх°/8х. Из (5.10) находим
что 8х0/8х = 1/(1 + еж), поэтому
. П1(,х» робжо ро
1 -ф е.
(5.11)
Ро _ 1 = Рр-Р*
Р.Х Рж
(5-12)
78
Выражения (5.11) и (5.12) свидетельствуют о том, что из-
менения длины тела (т. е. его деформация) вдоль оси х
однозначно связаны с изменением его линейной (вдоль
той же оси х) плотности. Если нет деформации (еж = 0),
то нет и изменения линейной плотности (рж = р0). Эти
выражения являются универсальными и годятся для
физических тел независимо от их формы и физической
природы. Применим их, например, к изогнутой перастя-
жимой нити. Согласно (5.9) для нити еж = cos аж — 1,
следовательно,
т. е. линейная (вдоль оси ж) плотность изогнутой нити
всегда больше собственной линейной плотности рг нити.
График рж для изогнутой нерастяжимой нити изо-
бражен на рис. 5.7. Можно видеть, что поперечная волна
на гибкой нити здесь превратилась в две «волны» на гра-
фике рж. Графики рж = рж(а?) дают наглядное представле-
ние о линейной плотности тела (или его проекции на ось ж)
как функции х (см. рис. 5.5, 5.6).
График функции рж = рж(ж) линейной плотности не-
которого физического тела обладает весьма важным
свойством: площадь, ограниченная этим графиком и
осью ж, равна массе тела [8]. Это свойство функции
рж следует из ее определения. Из этого определения
также следует, что площадь, заключенная между двумя
координатами хг и ж2, равна массе Дш тела, заключен-
ного в отсеке между двумя поперечными сечениями xt
и х2 тела, т. е.
ж2
Дш = J рж dx. (5-14)
Проектирование массы тела на ось х не изменило рас-
пределения массы тела вдоль оси х.
Сказанное можно проиллюстрировать па таком прос-
том примере. Рассмотрим весомую пить 1 (безразлично,
растяжимую или нет), закрепленную на концах А и В
(рис. 5.8). Очевидно, что такую нить можно деформиро-
вать бесконечно большим числом способов, придавая ей
различные формы. Каждое из положений нити характе-
ризуется своей функцией рж = рж(х) линейной плот-
ности. Значит, таких функций, как и положений нити, мо-
79
жет быть бесконечное множество, однако все они таковы,
в
что J pxdx = т = const, где т — масса инти. На рис. 5.8
А
изображены два положения нити и соответствующие им
Рис. 5.8. Деформируемая нить, закрепленная на концах: а —
различные положения нити; б — соответствующие им функции
линейной плотности
функции рж. Площади под обеими кривыми 1 и 2 на гра-
фиках рж должны быть одинаковыми. Все сказанное спра-
ведливо для однородных, неоднородных, растяжимых
и нерастяжимых нитей и всех видов их деформации.
§ 5.5. Волна линейной плотности —
универсальная модель бегущей волны деформации
Теперь рассмотрим поведение функции рж = рж(ж)
линейной плотности в случаях, когда тело, проектирова-
нием которого на ось х получена функция рж, движется.
Пусть деформируемыми телами, проектируемыми на ось х
(физическими прообразами функции рж), будут деформи-
мируемые весомые нити. Первое, что можно сказать о
проектировании па ось х движущихся нитей, это то, что
линейные плотности рж их проекций будут изменяться
во времени, или другими словами, функция рх станет
функцией двух переменных — координаты х и вре-
мени t —
Рх 0* (о.1о)
Сказанное можно проиллюстрировать при помощи
рис. 5.8. Если весомая пить, закрепленная на концах,
непрерывно движется произвольным образом (совершает
волновые, колебательные и другие движения), то соот-
ветствующая ей функция также будет непрерывно из-
меняться и линия эпюры рх этой функции, так же как и
сама нить, будет совершать некоторое непрерывное дви-
80
жение (вовсе, может быть, не схожее с движением нити),
однако такое, что площадь над кривой рж в каждый момент
времени будет оставаться постоянной.
Зададимся вопросом: всегда ли движущееся тело-
прообраз (в нашем случае — движущаяся нить) порождает
изменяющуюся во времени функцию рж? Ответ должен
быть: не всегда. Примером, подтверждающим справедли-
вость такого ответа, является движение однородной не-
растяжимой гибкой нити способом кажущегося покоя,
когда нить «движется вдоль самой себя». График рж такой
нити будет неподвижным. Значит, проектирование тела
па ось х обладает неким «избирательным» свойством:
одни компоненты движения массы отображаются в по-
ведении функции рж, другие не отображаются.
Теперь вспомним, что волновое движение гибкой нити
мы представили в виде двух компонент движения — ка-
жущегося покоя и поступательного движения нити как
абсолютно твердого тела. Значит, при проектировании
на ось х бегущей волны па гибкой нити мы получим функ-
цию рж, совпадающую с той, которую мы получили бы
проектированием на ось х поступательно движущейся
абсолютно жесткой нити, геометрическая форма которой
совпадает с формой бегущей волны на нити. Значит, гра-
фик рж бегущей волны на гибкой нити совпадает с графи-
ком рж поступательно движущейся вдоль оси х абсолют-
но жесткой нити той же формы. График рж сложного вол-
нового движения деформируемого тела совпал с графиком
простого (иеволнового) движения абсолютно твердого тела
неизменной формы! Использование этого обстоятельства
позволяет строить эпюру волнообразно движущегося
тела чисто геометрическим способом, т. е. лишь на основе
внешнего вида волны и скорости ее движения, не инте-
ресуясь характером движения и траекториями частиц
при волновом движении. Последнее особенно ценно по-
тому, что характер движения частиц тела, совершающего
волновое движение, является наиболее сложной и
малоизученной стороной волнового движения деформи-
руемых тел.
Эпюра рж = рх(х, t) движущегося физического тела
обладает свойствами эпюры рж = рж(:г) неподвижного
тела: площадь под кривой рж = рж(;г, t) в каждый момент
времени численно равна массе тела, площадь в каком-
либо интервале (ж1( х2) равна массе тела, содержащейся
в данный момент времени в отсеке, образованном попе-
речными сечениями xL и х2.
81
Изменяющаяся во времени эпюра рх = рх (ж, t) об-
ладает еще одним важным свойством: скорость измене-
ния площади эпюры, расположенной по одну сторону
от произвольного сечения х, численно равна расходу
дх (кг/с) по массе тела в этом сечении. Значит, для на-
хождения расхода в сечении х необходимо взять произ-
водную по времени от площади Sx эпюры рж, расположен-
ной по одну сторону (например, справа) от х. Значит,
Рис. '5.9. Области пространства, «заметаемые» движущейся волной:
•а — область, заметаемая передним фронтом волны; 6 — к расчету
величины заметаемого объема
задачу о расходе qx по массе в произвольном сечении х
тела мы свели к геометрической задаче, связанной с пло-
щадью эпюры рх.
Найдем скорость изменения площади Sx для эпюры
рж бегущей волны постоянной формы. Эпюра такой волны
представляет собой выпуклость или впадину, движущие-
ся вдоль горизонтальной верхней границы плоской фи-
гуры, все остальные границы которой неподвижны
(рис. 5.9, а). Из рисунка видно, что приращение 65 пло-
щади эпюры рх за время 6/ продвижения волны на рас-
стояние 8х равно площади, «заметаемой» линией перед-
него фронта волны за это время.
Эта заметенная площадь (заштрихована на рисунке)
равна 65 = 8х-Ьс*). Значит, скорость заметания, или
расход в сечении х,
65 8х-Ъс 8x-hx ~ ~
9х = gj- = -gp = = Vhx = V (рх — р„), (5.16)
где hx — be — рх — р0 — высота волны эпюры линейной
плотности в сечении х, рх — линейная плотность тела
*) В справедливости этого выражения можно убедиться, рас-
сматривая рис. 5.9, б. Здесь заметаемая кривой площадь представ-
лена в впде горизонтальных полосок длиной б.т и высотой 6/г. Вся
площадь, заметаемая кривой, расположенной справа от сечения
Ьс, равна 65 = Збгг-бЛ = SiSS/i = bx-bc.
82
в том же сечении, р0 — линейная плотность во впевол-
новом сечении.
Заметим, что мы вывели эту формулу применительно
к «волне» на эпюре рж, а не применительно к какой-либо
конкретной волне на деформируемом физическом теле.
Значит, эта формула справедлива для любой волны, про-
ектирование которой на ось х дает волну линейной плот-
ности. Но проектировать на ось можно любые тела
абсолютно твердые, деформируемые, жидкие, газообраз-
ные, сыпучие [9]. Поэтому бегущие волны на этих телах
также могут быть путем проектирования па ось х пред-
ставлены в виде волн линейной плотности и для них так-
же справедлива формула (5.16). Нас по-прежнему будет
интересовать прежде всего применение этой формулы
для волн на гибких нитях.
Эпюра линейной плотности рх продольной волны на
гибкой нити по своему содержанию ничем не отличается
от эпюры рж поперечной волны. Площадь эпюры здесь
также равна массе нити, площадь в промежутке Ах =
= хг — х2 — массе отсека нити той же длины, расход
qx — скорости изменения площади Sx. Отличием эпюры
рх продольной волны на растяжимой нити от эпюры рх
поперечной волны па нерастяжимой нити является то,
что величина рх в волновой части эпюры растяжимой"
нити может быть как больше величины собственной плот-
ности ре нити (волна сокращения), так и меньше ее (вол-
на удлинения, см. рис. 5.6), в то время как для волны
па гибкой перастяжимой нити всегда рж р0.
Знание расхода qx в любом сечении волны деформации
позволяет найти массосодержание Qx волны, т. е. ту мас-
су, которую переносит волна через неподвижное сечение
х за время Т своего движения по сечению х (т. е. за время
пребывания сечения х в волне)
— j qx dt —
Т
— р0) dx = AS,
(5-17)
где AS — площадь гребня на эпюре рж. Отсюда может
быть сделан вывод, что бегущая волна переносит массу,
численно равную массе, содержащейся в гребне волны
линейной плотности. Эта величина может быть найдена
чисто геометрическим путем по заданной функции рх.
В случае рж < р0 (впадина на эпюре рж) величина Qx
отрицательна, что свидетельствует о переносе массы в на-
правлении, противоположном движению волны.
83
Из предыдущего также может быть получена формула
Qx = РоА/, (5.18)
где Al = I — 10 — продольная деформация тела на участ-
ке волны.
Зная волновой расход qx в произвольном сечении вол-
ны, нетрудно найти среднюю мгновенную скорость их
в волновом сечении нити
Величина vx — это средняя мгновенная скорость в се-
чении х тела. В случае тонкой нити, когда величиной ее
сечения пренебрегаем, эта скорость будет скоростью точ-
ки (сечения) х нити.
При помощи формул (5.16), (5.19) можно найти гори-
зонтальные скорости и расходы в любом сечении нити,
подверженной волновому движению любого вида. Най-
дем, например, скорость сечений поперечной волны пе-
растяжимой нити (модель «садовая гусеница»). Согласно
(5.4) для нити рх = pz/cos ах, поэтому vx = v ——— =
-/Pz/cosa^-pA ~
= v I—^Г/cosa 1=у(1— cosaj, что совпадает с вы-
ражением (4.3) для их, полученным другим способом.
Найдем скорость по формуле (5.19) для сечения х про-
дольной волны на продольно деформируемой нити (мо-
дель «дождевой червь»). Для растянутой нити согласно
(5.И) рх = р0/(1 + еД, поэтому
vx = v
Рх-Рр
Рх
~ Рр/(1 + Ч ~ Ро
Ро/0 + М
— иех.
(5.20)
что совпадает с (4.1).
§ 5.6. Когда бегущая волна не переносит массу
Можно с уверенностью сказать, что вокруг нас гораз-
до больше волн, не переносящих массу, чем переносящих
ее. Волны, возникающие на поверхности воды от брошен-
ного камня и сходные с ними по форме, но неизмеримо
большие по размерам морские волны, бегущие гребни
и впадины которых можно наблюдать на море или на ки-
ноэкране, не переносят воду в одном направлении, а
лишь создают возвратные движения частиц воды по замк-
84
нутым траекториям — окружностям либо эллипсам.
Звуковые волны в воздухе, воде, либо в любых твердых
телах и сходные с ними сейсмические волны также не
переносят массу. Бегущие синусоидальные поперечные
волны на упругой струне либо па резиновом шнуре, опи-
сываемые известным уравнением
у = А cos (со£ — tj;) (5-21)
(где I — время, х — координата точки; А, <о, к — по-
стоянные) и сходные по форме с описанными нами волна-
ми на гибкой нити, также не переносят массу, а лишь при-
водят ее в колебательное движение.
В чем здесь дело? Чем отличается бегущая волна на
струне, описываемая классическим уравнением (5.21)
и не переносящая массу, от описанных нами волн на гиб-
кой нити, переносящих массу? Ответ на этот вопрос мо-
жет быть найден с позиций изложенной выше теории
волн линейной плотности и при помощи использования
введенного нами понятия «массосодержание волны». Мы
определили массосодержание Ат бегущей волны деформа-
ции (и соответствующей ей волны линейной плотности
pj как избыток (4-Ат) или недостаток (— Ат) массы на
деформированном участке длиной I по сравнению с мас-
сой, содержащейся на недеформироваппом участке дли-
ной I. При Ат > 0 волну можно назвать волной избытка,
при Ат <0 — волной недостатка. Массосодержание
4-Дт волны избытка — это та масса, которую волна «за-
хватила» при своем образовании и которую опа затем пере-
носит эстафетным образом (постоянно обновляя, но со-
храняя ее количество) со скоростью v своего движения.
Массосодержание —Ат волны недостатка — это масса,
которая была удалена при образовании волны и которую
она переносит (также эстафетным образом) со скоростью v
своего движения, ио в противоположном направлении.
Если массосодержание бегущей волны равно нулю (Ат =
= 0), то волна массу не переносит.
Мы показали, что массосодержание поперечной вол-
ны на гибкой нерастяжимой нити всегда положительно
(Ат > 0), поэтому волны здесь переносят массу вперед,
т. е. по ходу своего движения. Покажем, что массосодер-
жание упомянутой «классической» бегущей поперечной
волны на упругой струне, описываемое уравнением (5.21),
равно нулю и поэтому эта волна не переносит массу.
В соответствии с определением поперечная волна па упру-
гой струне образуется путем вертикального смещения
85
частиц струны. При этом струна, образуя поперечную
волну на участке Z, удлиняется за счет упругого растяже-
ния, и каждый элемент 8х струны (см. рис. 5.10), пере-
ходя в наклонное положение, получает длину 6Z =
= б.'г/соа си, где ах — угол наклона к оси х, сохраняя
ту же массу 6m = р/бж. Поэтому линейная плотность
Рис. 5.10. Бегущая волна на упругой струне
вдоль оси х струны на участке волны равна рх = бт/бх =
= р;, т. е. равна собственной линейной плотности педе-
формированной струны. Значит, массосодержание такой
волны Am = (рх — pi) dx = 0, следовательно, опа не
i
переносит массу.
Можно сказать, что волна I па упругой струне
(рис. 5.10, а) при своем образовании не захватывает массу
с соседних участков, как это делает волна па перастяжи-
мой нити, а образуется лишь из той массы, которая есть
на участке Z. Эпюра линейной плотности такой волны
представляет собой горизонтальную прямую (рис. 5.10, б).
Другими словами, здесь отсутствует волна линейной
плотности.
Рассмотренный нами признак того, что бегущая вол-
на деформации не переносит массу — неизменность эпю-
ры линейной плотности рж, т. е. отсутствие волн линейной
плотности,— не единственный. Другим признаком яв-
ляется симметричность волн линейной плотности. К та-
кому заключению можно прийти, используя сделанные
нами ранее выводы о том, что выпуклая бегущая волна
переносит массу в направлении своего движения, а во-
гнутая —'в противоположном. Симметричные волны де-
формации физического тела можно рассматривать как
последовательность (череду) выпуклых и вогнутых бегу-
щих полуволн (гребней и впадин), причем объемы греб-
86
ней равны объемам впадин. Таким волнам на теле соот-
ветствуют симметричные волны линейной плотности.
Каждая частица среды, несущей симметричные волны,
получает, кроме вертикальных движений, возвратные
(колебательные) перемещения в направлении движения
волны (вдоль оси х), траектории движения частиц здесь
являются замкнутыми кривыми, а направленная вдоль
оси х компонента скорости отсутствует. О симметричных
бегущих волнах можно сказать так: то, что гребень вол-
ны переносит вперед, то впадина возвращает назад. При-
мерами бегущих симметричных волн деформации являют-
ся обычные волны на поверхности жидкости, возникшие
от брошенного камня, морские ветровые волны (накат),
звуковые волны.
Симметричные волны линейной плотности на не-
растяжимой гибкой нити существовать не могут, посколь-
ку и гребень, и впадина на нерастяжимой гибкой нити
содержат в себе избыток массы (Ат > 0). Другими сло-
вами, симметричные волны на гибкой нити соответст-
вуют несимметричным волнам линейной плотности и поэ-
тому они переносят массу.
§ 5.7. Когда бегущая волна переносит массу
навстречу своему движению
Проведенный выше анализ бегущей волны деформации
показывает, что при отрицательном массосодержании
волны (Ат < 0) или, что то же самое, в случае волны
пониженной линейной плотности (рж <; р0) знаки величин
скоростей v волны и vx движения частиц тела противо-
положны (5.19), что указывает на противоположность на-
правлений движения волны и тела, несущего эту волну..
Другими словами, волна, двигаясь в некотором направ-
лении, переносит массу в противоположном. Такой вы-
вод может показаться парадоксальным, поэтому поясним
его при помощи простых примеров и лабораторного ма-
кета.
Примером волпы пониженной линейной плотности,
переносящей массу тела в сторону, противоположную
движению волпы, является тело ползущего дождевого
червя (рис. 2.10). Червь движется вправо, а волна (сужен-
ный участок на теле червя) движется влево, о чем сви-
детельствуют наблюдения, а также различие знаков ве-
личин скоростей v и vx в выражении их = р(1 — p0/px)
при рх < р0.
87
Более детальный анализ кинематики этого вида дви-
жения можно провести при помощи простой лаборатор-
ной модели (рис. 5.11). Здесь па спице 3 находится вере-
ница подвижных костяшек 1 (подобно костяшкам па кон-
торских счетах). Если костяшки расположены на спице
равномерно, она может с некоторой идеализацией рас-
сматриваться как продольно деформируемый стержень
17 -е—оеоо—е—е—&—е—е—е- П о -о о о о о о—е—е-
Ш-q—е—ооое—е—-е—е—е—е- -^ e--o о-о о о о о о
Ш-е—е—е—еооо—е—е—е—е- Д7 о о о о-о о о о о-
-е—е—е—е—ееее—е—е—е- F о о о - о -о-о о о о
27-е—е—е—е—е—еооо—е—е- Е7-е- о о о о о-о о о
^Ш-е—е—е—е—е—е—ооое—о- И7 о -о о о-о о е е—е-
EZZ7 -е—е—о о—е—е—е—оооо е-ооооооо------е-
Рис. 5.11. Модель продольной волны в виде костяшек на спице:
а — волна повышенной линейной плотности; б — волна понижен-
ной линейной плотности
постоянной линейной плотности р0 = const, продольная
деформация которого осуществляется перемещением кос-
тяшек. Несовершенство такой модели деформируемого
стержня заключается в том, что здесь деформация стерж-
ня моделируется смещением небольшого числа его макро-
частей (костяшек) относительно друг друга, в то время
как в реальном стержне деформация заключается в сме-
щениях относительно друг друга огромного числа микро-
частей (молекул, атомов). Однако для иллюстрации вол-
нового деформационного движения такая модель вполне
подходит.
Образуем волну линейной плотности на этой модели
и будем перемещать ее, например, слева направо. На
рис. 5.11, а образована волна 2 повышенной плотности
(волна сокращения) путем более плотного расположения
четырех костяшек на спице. Очевидно, что для переме-
щения волны необходимо последовательно перемещать
костяшки таким образом, чтобы четверка плотно распо-
88
ложепиых костяшек передвигалась по спице слева на-
право, а остальные костяшки оставались в покое. Эту
процедуру можно осуществить лишь одним способом —
последовательным перемещением на некоторый шаг не-
которого числа (на рис. 5.11, а — трех) последовательно
расположенных костяшек, причем на каждом шаге в это
перемещение вовлекается па переднем фронте волны одна
новая (до этого неподвижная) костяшка, а на заднем
фронте костяшка, покидающая волну, переходит в не-
подвижное состояние. На рис. 5.11, а изображены поло-
жения I—VIII волны в последовательные моменты вре-
мени ее движения. Такая модель, несмотря на ее просто-
ту, поясняет главные особенности процесса движения
волны. Главной особенностью этого движения является
цепной процесс малых смещений соседних частиц (в на-
шей модели — костяшек) тела, по которому бежит волна.
Волна движется непрерывно, а частицы тела — импульс-
ным (шаговым) образом, причем за один пробег волны
каждая частица совершает один шаг в одном направле-
нии на некоторую постоянную величину. Все частицы
движутся разновременно, т. е. старт и остановка всех
частиц происходят в различные моменты времени. Дру-
гой особенностью описанной бегущей волны линейной
плотности является то, что она, двигаясь по телу вдоль
некоторого направления со скоростью к, переносит в этом
направлении с той же скоростью массу тела, постоянную
по величине, но переменную по составу составляющих ее
частиц. Переносимая волной масса, как это нетрудно по-
нять при помощи модели рис. 5.11, а, равна избытку Ат
массы, расположенному па волне длиной I, относительно
массы, находящейся на этой же длине I тела в его
нейтральном (недеформировапном) состоянии. В каждый
момент времени переносимая волной масса постоянна
по величине (Am = const), ио в процессе движения вол-
ны непрерывно обновляется ее состав, т. е. множество
частиц (костяшек), составляющих волну, является пере-
менным.
Таким образом энергия, переносимая непрерывно
движущейся волной, и количество движения, которым
обладает волна, постоянны (горизонтальные составляю-
щих этих величин равны Дтн2/2 и Ату соответственно),
но каждая частица тела, по которому бежит волна, со-
вершает шаговое движение. Движущаяся волна выступает
также в роли механического преобразователя непрерыв-
89
кого движения в дискретное. Использование этого свойст-
ва бегущей волпы позволило создать ряд новых шаговых
механизмов.
Описываемая модель наглядно демонстрирует еще одно
упоминавшееся нами свойство бегущей волны деформа-
ции — редуцирующее действие: частицы среды, несущей
волны, перемещаются медленнее самих волн. Редуцирую-
щее действие волновых движений легко наблюдать на теле
ползущих садовой гусеницы либо дождевого червя: вол-
пы деформации по телу движутся быстрее самих существ.
Возрастающая вследствие редуцирования скорости сила
тяги способствует высокой проходимости гусеницы и по-
добных существ в различных условиях. На нашей мо-
дели рис. 5.11, а редуцирующее действие волпы прояв-
ляется в том, что передвижение участка (волны) плотно
расположенных костяшек может быть быстрым, в то вре-
мя как сами костяшки в среднем перемещаются медленно.
Редуцирующее действие волнового движения упругих
тел используется при создании волновых редукторов.
На рис. 5.11, б представлена волна удлинения (раз-
режения). Здесь на участке волны 2 частицы (костяшки)
расположены реже, чем на остальной (недеформирован-
пой в данный момент) части тела. При движении такой
волны слева направо частицы тела, как это можно уста-
новить при помощи рисунка, будут последовательно пере-
мещаться в обратном направлении, т. е. волна удлинения
(рис. 5.11, б), в отличие от волны сокращения (рис. 5.11,а),
при своем движении переносит массу в направлении,
противоположном направлению движения волны. Такую
волну можно рассматривать как движение недостатка
массы —Ат («отрицательной массы») в направлении дви-
жения волны или движение избытка массы -ф-Дт в про-
тивоположном направлении.
Все сказанное объясняет наблюдаемые закономерности
движения гусеницы и дождевого червя: бегущая по телу
гусеницы волна является волной сокращения (волной
повышенной линейной плотности), и поэтому она движет-
ся по ходу движения, а по телу дождевого червя движет-
ся волна удлинения (волна пониженной линейной плот
ности), поэтому ее направление движения противопо-
ложно направлению движения самого червя.
Характерной чертой описанных волновых движений
па теле, способном к деформациям, является то, что час-
тицы тела, по которому движется волна, совершают шаго-
вые разновременные движения па некоторый постоянный
90
горизонтальный шаг Ах, а тело в целом за один пробег
волны от одного его конца до другого также перемещает-
ся на шаг Ах. Такое движение тела может рассматриваться
как непрерывное (так как в любой момент времени па теле
имеются движущиеся участки), пли как дискретное (в лю-
бой момент времени существуют неподвижные участки).
Такое движение деформируемого тела можно назвать
дискретно-волновым движением (ДВД). Благодаря тому,
что на движущемся теле есть неподвижные участки зна-
чительной длины, снижается мощность, необходимая для
передвижения тела. Это играет решающую роль в обес-
печении движения упомянутых живых существ: они пере-
носят себя как бы «по частям».
Как ранее было указано, поперечная волна на гибкой
нерастяжимой нити всегда обладает положительным мас-
сосодержанием (Ат > 0), так как и выпуклые, и вогну-
тые участки на такой нити содержат больше массы, чем
прямые участки нити той же длины, и поэтому, согласно
изложенному, поперечная волна всегда переносит массу
в попутном направлении.
Поперечные волны могут существовать и на растяжи-
мых нитях. Примером является бегущая волна на упру-
гой струне, описываемая классическим уравнением (5.21).
Мы показали, что массосодержание такой волны равно
нулю [Ат = 0) и поэтому она не переносит массу. Одна-
ко можно представить поперечную волну на гибкой рас-
тяжимой нити, когда Ат < 0, т. е. когда масса, содер-
жащаяся на участке I поперечной волны нити, меньше
массы на том же участке нити в ее недеформировапном
состоянии. Эта волна, согласно формуле (5.19), должна
переносить массу нити в сторону, противоположную на-
правлению своего движения. Такую волну можно осу-
ществить, например, в виде растяжимой нити 1 (тонкого
резинового шнура, пружинки), к которой прикреплены
на равных расстояниях друг от друга грузики (например,
шарики) 2 (рис. 5.12). Если между такой утяжеленной
растяжимой нитью и опорной поверхностью 3 поместить
волнообразное тело 4 (генератор волны), приподнятые
участки нити растянутся, что выразится в увеличении
расстояния между грузиками. Если медленно переме-
щать генератор по опорной поверхности, то участок нити,
лежащей на опоре, будет представлять собой поперечную
бегущую волну деформации. Проследим траекторию час-
тиц (грузиков 2) такой волны и выясним направление
их перемещения по опоре 3. На рис. 5.12, б изображено
91
два положения волны. Грузики здесь пронумерованы,
что позволяет определить их шаг перемещения,
Из рис. 5.12, б видно, что при перемещении волны из ле-
вого положения в правое грузики перемещаются по опо-
ре в обратном направлении, т. е. справа налево: грузик 11
займет положение 11', грузик 12 — положение 12' и т. д.
Рис. 5.12. Пример бегущей поперечной волны, переносящей массу
в обратном направлении: а — волна па растяжимой нити с грузика-
ми; б — два положения полны
Величина Дж обратного смещения грузиков здесь равна
четырем шагам между грузиками в недеформированном
состоянии нити.
Рассмотренная поперечная волна па растяжимой нити
является волной недостатка массы, в то время как совпа-
дающая с ней по форме поперечная волна па нерастяжи-
мой нити является волной избытка. Из рис. 5.12, б видно,
что на участке I волны па четыре грузика меньше, чем
па таком же участке I недеформированной нити, т. е. не-
достаток массы здесь равен четырем условным единицам
(Дтп = —4).
Диализ кинематики описанных волн, обладающих по-
ложительным либо отрицательным массосодержапием,
имеет важное значение при решении задач о волновом
массоперепосе твердых, жидких и газообразных тел [91.
Глава 6
КОЛЕСО И ВОЛНА КАК ВИДЫ КАЧЕНИЯ
§ 6.1. «Генетическое родство» колеса и волны
Приведенные нами примеры качения гибких нитей
можно разделить па два больших класса — качепие замк-
нутых и разомкнутых нитей. Примерами качения замкну-
той (бесконечной) нерастяжимой гибкой нити могут быть
случаи, изображенные на рис. 6.1, а, б. Остальные при-
меры, изображенные на рис. 6.1,— качение разомкнутых
нитей. Схема, изображенная на рис. 6.1, а (колесо), яв-
ляется исключением в том смысле, что представленная
здесь катящаяся нить-окружность может быть абсолютно
жесткой. В остальных случаях качения, изображенных
па рис. 6.1, б—и, для осуществления процесса качения
нить должна быть деформируемой.
Рассмотрим сходства, различия и особенности вариан-
тов качения, представленных на рис. 6.1. Прежде всего
попытаемся ответить на вопрос: что есть скорость качения
изображенных на рис. 6.1 тел? Этот вопрос не является
тривиальным. Скоростью катящегося колеса мы обычно
называем скорость и0 движения его центра О. Заметим,
что скорость отдельных точек обода колеса отнюдь не рав-
на v0: в одних точках обода скорость по величине больше
г0, в других — меньше. Также различны скорости точек
обода колеса и по направлению: они направлены под раз-
ными углами к горизонту. Значит, скорость качения ко-
леса —непростое понятие, смысл которого всем хорошо
ясен скорее в силу практического знакомства е колесом,
чем вследствие знаний кинематики его точек. На примере
колеса уже видно, что понятие движения физического
тела как целого может весьма сложным образом соотно-
ситься с понятием движения его отдельных точек. Когда
мы говорим «колесо движется по прямой», мы понимаем
93
под этим качение колеса по прямолинейной опоре, при
котором мгновенно неподвижная точка опоры с колеса
и его центр движутся по прямой, а остальные точки колеса
движутся по сложным криволинейным траекториям (точ-
ки обода колеса движутся по циклоидам — см. рис. 2.1,
а), геометрически несхожим с формой колеса либо опоры.
Рис. 6.1. Качение гибких нитей по опорной поверхности и траекто-
рии их точек: а, б — замкнутые пити; в — и — разомкнутые нити
С аналогичным обстоятельством — несовпадением види-
мой формы катящейся нити и траекторий движения точек
пити — мы сталкиваемся при анализе качения нитей раз-
личной формы (рис. 6.1). Движение одиночного выпук-
лого участка на гибкой нити (рис. 2.6, 6.1, в) сопровож-
дается движением точек этой пити по плоским островер-
шинным кривым («волпоидам»), движение других форм
нитей также сопровождается движением их точек по весь-
ма сложным траекториям, формы которых часто трудно
представить и тем более трудно найти их аналитическое
описание. Заметим, однако, что построить графически
эти траектории катящихся нитей всегда возможно: для
этого достаточно начертить совокупность (план) положе-
94
нпй катящейся нити, отметить положения некоторой ее
фиксированной точки и соединить эти положения кривой.
На рис. 6.1 построены (изображены штрихами) траек-
тории точек некоторых катящихся нитей различной
формы.
Скоростью качения нитей, изображенных на рис. 6.1,
назовем скорость движения той геометрической фигуры
(контура), которую образует катящаяся нить. Такое опре-
деление однозначно, поскольку движущиеся (катящиеся)
контуры па рис. 6.1 сохраняют неизменной во время дви-
жения свою форму (стационарные волны). Эту скорость
движения обычно называют фазовой. Она не равна ско
рости движения физических частиц катящихся нитей.
Фазовая скорость равнялась бы скорости движения тени
от нити при проектировании катящейся нити на плоский
экран.
Читатель, по-впдимому, согласится, что изображен-
ные на рис. 6.1, в—и схемы движения разомкнутых нитей
различной формы скорее следует назвать волновыми
(вернее — волнообразными; см. примечание на с. 9)
движениями нитей, нежели их качением. В то же время
движение волнообразных гибких нитей, опирающихся
на жесткую опорную поверхность, удовлетворяет сфор-
мулированному нами признаку качения — наличие в лю-
бой момент времени неподвижных точек опоры. Приве-
денные схемы иллюстрируют «генетическое родство» ка-
чения и волнового движения. «Мостом» между колесом
и волной, пожалуй, можно назвать «волну-колесо», изо-
браженную на рис. 6.1, и. Здесь разомкнутая нить свер-
нута на одном своем участке в кольцо. При движении та-
кой волны-колеса точки нити получают шаговое движение
(т. е. как точки волны), в то же время траектории точек
здесь представляют циклоиды (как траектории точек ка-
тящегося колеса).
Примером «преобразования колеса в волну» мо-
жет служить схема на рис. 6.2. Здесь волны на нити
(рис. 6.2,6) сформированы путем горизонтального сдвига на
величину 2R верхних полуокружностей В контуров ряда
колес (рис. 6.2, а) относительно нижних А и придания
гибкости контуру. Отметим некоторые особенности таких
волн, построенных из полуокружностей.
1 . Кинематика точек нижних полуволн ничем не от-
личается от кинематики точек нижних полуокружностей
катящихся колес того же радиуса. Как известно, точки
окружности обода катящегося колеса описывают циклон-
95
ды. Катящаяся окружность в этом случае называется
образующей окружностью.
2 . Кинематика точек верхних полуволн ничем не от-
личается от кинематики точек верхних полуокружностей
колес, катящихся в ту же сторону по гипотетической верх-
ней плоскости (на рис. 6.2, б верхняя опорная плоскость
изображена штрихами).
Справедливость этих утверждений следует из формул
(4.3), (4.4) для скорости произвольной точки волны на
Рис. 6.2. Образование волны нз полуокружностей
гибкой нити и из соображений симметрии. Эти же урав-
нения свидетельствуют о том, что на вершинах как и во
впадинах волн скорости точек нити равны нулю.
Таким образом, волна, в отличие от колеса, катится
одновременно по двум опорным плоскостям — нижней
и верхней. Это обстоятельство используется в некоторых
технических устройствах, работа которых связана с вол-
новой деформацией гибких тел.
§ 6.2. Сравнение скорости качения колеса и волны
Особенности качения волн, образованных из полу-
окружностей, позволяют найти уравнение траектории
движения произвольной точки волны, опираясь на сходст-
во движений волны и колеса. Это уравнение в парамет-
рической форме получено путем «сопряжения» уравнений
соответствующих частей циклоид алА0а2 и а2В0а3, от-
стоящих друг от друга па величину As = 27? (л/2 — 1)
и образованных нижними А и верхними 7? катящимися
полуокружностями волпы (рис. 6.3, а, б):
Xff = 7?(ср — sin ср), —л/2 ср зт/2; (6-1)
.'/ф = 7?(ср sin <р)— 27?, л/2 <р 'С Зл/2;
г/Ф = 7?(1 — cos ср), —л/2 С/ ср Зл/2, (6.2)
96
где ^ф, г/ф — абсцисса и ордината некоторой точки траек-
тории в рассматриваемый момент времени; <р — угол ка-
чения (в радианах), т. е. угол, на который в рассматри-
ваемый момент времени повернулась образующая окруж-
ность относительно своего начального положении
Рис. 6.3. К анализу качения волны, составленной из полуокруж-
ностей: а. — качение по верхней опорной плоскости; 6 — качение
по нижней плоскости; в — образование волноиды
(рис. 6.3, б). Величина ср может рассматриваться как не-
зависимая обобщенная координата волнового механизма
с одной степенью свободы.
Уравнения (6.1), (6.2) относятся к начальной (нуле-
вой) ветви траектории. Траектория 3 точки катящейся
волны, построенная по этим уравнениям, изображена на
рис. 6.3, в жирной линией. По аналогии с траекторией
точки обода катящегося колеса — циклоидной — она
названа волноидой. Уравнения последующих ветвей вол-
ноиды выражаются аналогичными формулами. Эти вет-
ви волноиды на рис. 6.3, в изображены тонкими линиями.
Горизонтальный шаг Дх точек гибкой нити, совершаю-
щей волновое движение, равен разности длины I нити,
образующей контур волны, и ее проекции I на опору,,
т. е. Да: = I — I. Из рис. 6.3 следует, что для рассматри-
4 д ц. д«бр«тв«в 97
ваемой волны I = 2л/?, I = 4/?, Az = 2л/? — 4/? =
= 27?(л — 2) = 2,28 R.
Продифференцировав по времени выражения (6.1) и
(6.2), можно найти составляющие скоростей и ускорений
точек волны. Скорости и ускорения точек волны, образо-
ванной из катящихся по опорной плоскости полуокруж-
ностей радиусом R, не отличаются от скоростей и ускоре-
ний точек катящегося колеса того же радиуса.
Найдем среднюю скорость движения катящейся гиб-
кой нити, сформированной из полуокружностей радиу-
сом 7?, и сравним ее со скоростью качения колеса того же
радиуса. Как известно из предыдущих расчетов, гори-
зонтальное перемещение Az точки за время поворота
образующего колеса на угол ср = 2л равно Az —
= 2R(n — 2). Так как за это время точка колеса прохо-
дит горизонтальный путь 2л/?, то коэффициент редукции
средней горизонтальной скорости волны по отношению к
скорости колеса равен 2л/?/(2/?(л — 2)) - л/(л — 2) =
= 2,75, т. е. рассматриваемая волна движется при про-
чих равных условиях в 2,75 раза медленнее, чем колесо.
Рассмотренные закономерности качения волны, сфор-
мированной из полуокружностей, сохраняются в качест-
венном смысле и для волн другого профиля, хотя анали-
тические описания кинематики их движений могут зна-
чительно усложниться (это зависит от вида функции
у = Q(z), описывающей профиль волны). Они служат
также основой для кинематического анализа качения
разобщенных волн, т. е. таких, у которых изогнутые
участки гибкой нити чередуются с прямолинейными, при-
чем последние контактируют на всем своем протяжении
с плоской опорной поверхностью. Отличие такого «ди-
скретно-волнового» качения (рис. 2.5, 2.6, 2.7, 3.1, б;
3.3, а, б и др.) от «непрерывно-волнового», где волны сле-
дуют непрерывно друг за другом (рис. 6.1, е; 6.2; 6.3, в),
состоит в том, что, во-первых, в случае дискретно-волно-
вого движения существуют протяженные области кон-
такта, в которых удельное давление нити на опорную по-
верхность гораздо ниже, а, во-вторых, средняя скорость
дискретно-волнового движения нити значительно ниже
скорости непрерывно-волнового, причем она зависит от
расстояния между соседними волнами.
Для подсчета средней скорости движения волнообраз-
ной нити, катящейся по жесткой опорной поверхности,
справедлива формула (2.6). В случае наличия на нити
нескольких волн, движущихся с одной и той же фазовой
98
скоростьюл в формуле (2.6) по-прежнему L — спрямлен-
ная длина нити, L — проекция изогнутой нити на ось х.
Отсюда может быть сделан вывод, что при прочих равных
условиях средняя скорость нити возрастает при увели-
чении числа волн.
Катящаяся по жесткой опорной поверхности гибкая
нить может рассматриваться как специфический плоский
механизм с одной степенью свободы, «кинематическая схе-
ма» которого описывается уравнением у — Q(x) формы
нити, а траектории точек нити представляют собой волно-
иды. Функционирование этого механизма является идеа-
лизированной моделью многих явлений и процессов,
используемых в технике и существующих в живой и не-
живой природе. Известны, например, транспортные сред-
ства, передвигающиеся за счет волнообразного движения
опорных гибких лент (движителей), шаговые редукторы и
электродвигатели, принцип работы которых основан на
использовании шагового движения гибкой связи (много-
звенной цепи, зубчатого ремня, магниточувствительного
гибкого элемента, троса и т. д.), сцепленной с опорной по-
верхностью (некоторые из этих устройств будут описаны
ниже). Поперечные волны на гибких элементах в этих
устройствах могут образовываться и перемещаться меха-
ническим способом (например, изгибанием ремня или це-
пи вращающимся роликом), электромагнитным (формиро-
ванием и движением волны на гибком магниточувстви-
тельном элементе под действием электромагнитных сил),
гидравлическим, пневматическим и т. д.
§ 6.3. Волновое движение как сумма двух простых
Для дальнейшей иллюстрации сходства колеса и вол-
ны покажем, что качение колеса (нити-окружности) и
волновое движение изогнутой гибкой нити могут быть
представлены в виде суммы двух компонент движения —
движения нити способом кажущегося покоя и поступа-
тельным движением абсолютно жесткой нити, совпадаю-
щей по форме соответственно с окружностью или волной.
Кажущимся покоем нити мы назвали такое ее движе-
ние, когда частицы нити движутся вдоль касательной в
каждой ее точке. Примерами состояний кажущегося по-
коя нити могут быть вращения нити-окружности относи-
тельно центра (рис. 6.4, а), движение гибкой нити в жест-
кой изогнутой трубке (рис. 6.4, в). Если обеим этим ни-
тям, находящимся в состоянии кажущегося покоя и дви-
4* 99
ищущимся с тангенциальной скоростью v', придать еще
переносное прямолинейное поступательное движение в
направлении оси х со скоростью — v', нити начнут ка-
титься по некоторой опорной прямой х, касательной к
нитям и параллельной направлению переносной ско-
рости. Это иллюстрируют рис. 6.4, б, г. Поэтому можно
Рис. 6.4. Качение колеса и волновое движение представляют собой
сумму двух простых движений —«кажущегося покоя» и переносно-
го поступательного: а, в — кажущийся покой; б, г — результирую-
щие движения
сказать, что каждая точка катящейся нити участвует в
двух движениях — относительном со скоростью и', на-
правленной по касательной к нити (кажущийся покой),
и переносном со скоростью v" — | — п'|, по абсолютной
величине равной v'. Скорости v' и и" складываются по
правилу сложения векторов и дают результирующую ско-
рость как геометрическую сумму v = v' + v" скоростей
точек катящейся нити. Эта скорость различна по величи-
не и направлению в разных точках нити. Она показана
стрелками на рис. 6.4, б, г для различных точек пити. За-
метим, что в верхней точке колеса (рис. 6.4, б) она равна
2п", в нижней — нулю. В точках максимумов и миниму-
мов разомкнутой нити (рис. 6.4, г) скорость также равна
нулю. Горизонтальные и вертикальные составляющие этих
скоростей подсчитываются по формулам (4.3), (4.4). Фа-
зовая скорость полученных нами волн равна скорости v"
переносного движения. Заметим, что в силу сказанного
фазовая скорость катящегося колеса равна скорости его
центра, а не вершины *). Результирующие траектории
*) Необходимо различать два смысла, которые]можно вклады-
вать в понятие «скорость вершины колеса». Вершина колеса как
точка максимума его контура движется со скоростью центра коле-
са (это — фазовая скорость колеса), но вершина колеса, как его
физическая точка, движется с удвоенной скоростью центра колеса.
Фазовая скорость катящихся по опорной поверхности нерастяжи-
100
произвольной точки а нитей изображены на рис. 6.4, б, г
штриховыми линиями.
Использованная нами закономерность: волновое дви-
жение как и качение являются суммой двух движений —
кажущегося покоя и переносного движения нити как
жесткого тела — является одним из важнейших теорети-
ческих положений анализа этих видов движения и исполь-
зование его существенно облегчает нахождение характе-
ристик, позволяет лучше понять различные теорети-
ческие аспекты волнового движения. Суммирование двух
движений по описанному правилу иллюстрирует тот факт,
что сумма двух стационарных непрерывных движений
(когда вектор скорости в неподвижном пространстве по-
стоянен) дает результирующее нестационарное дискрет-
ное движение, каковым является волновое.
мых нитей имеет тот же смысл, что и для колеса,— это скорость
точки максимума. Скорость физической точки вершины волны
равна нулю. В обоих случаях — колеса и волны — можно сказать,
что фазовая скорость — это скорость тени (следа), полученной
проектированием на экран движущегося колеса пли волны.
Глава'] 7
ВОЛНА НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОПОРЕ
§ 7.1. Качение замкнутой нити
по цилиндрической опорной поверхности
До сих пор мы рассматривали движение деформируе-
мого тела, модель которого сводится к качению волно-
образно изогнутой гибкой нити, контактирующей с пло-
ской опорой. Если качение гибкой нити происходит по
неплоской, например цилиндрической, опоре, траекто-
рии точек нити и значения их мгновенных скоростей ста-
новятся отличными от траекторий и скоростей в случае
плоской опоры. Для волновых передач, используемых в
механизмах и машинах, характерно качение поперечных
волн по цилиндрическим опорным поверхностям. Поэто-
му рассмотрим более подробно кинематику качения по-
перечной волны по выпуклой и вогнутой цилиндрическим
поверхностям.
Итак, имеем поперечную волну, бегущую на гибкой
нити 7, охватывающей цилиндр 3 радиусом R (рис. 7.1, а).
Воспользовавшись описанным выше приемом представле-
ния движения волны в виде двух составляющих — пере-
носной и относительной, найдем скорости точек нити. Бу-
дем рассматривать пространство 2, ограниченное контуром
волны, как жесткое тело-генератор, вращающееся с за-
данной угловой скоростью со вокруг центра О и создаю-
щее волну на гибкой нити 1. В относительном (относи-
тельно тела 2) движении нить представляет собой рав-
носкоростную кривую, скорости всех точек которой
равны друг другу по модулю и направлены по каса-
тельной к ней (линия нити и траектории ее точек совпа-
дают). Величина этой скорости равна
v'a = со/?. (7.1)
102
Переносное движение точки в этом случае представляет
собой вращательное движение с угловой скоростью и,
»
поэтому переносная скорость va точки а, находящейся
Рис. 7.1. Качение поперечной волны по цилиндрической опоре:
а, 6 — качение по наружной и внутренней поверхностям соответ-
ственно; в — контур волны — прямая линия
на волне на расстоянии R + ha от центра цилиндра,
равна
v”a = со (R + ha) (7.2)
и направлена перпендикулярно радиусу-вектору Ra =
= R + ha точки а. Как видно из рисунка, модуль va
абсолютной скорости точки а вычисляется по формуле
va = v'a + v’a — 2v'av'a COS <Z, (7.3)
где a — угол наклона контура волны в точке а к поверх-
ности опорного цилиндра. Из уравнения (7.3) следует, что
в отличие от волны, опирающейся на плоскую поверх-
ность (см. формулу 4.3), скорость va точки нити на вер-
шине волны (где а = 180°, ha = ha) не равна нулю. Эта
скорость направлена перпендикулярно радиусу-вектору
103
вершины волны и равна
v0 = )/(<d7?)2 + [со (R + Ао)]2 — 2<о/?(о (R + hg) = ahg. (7.4)
Из того же уравнения также следует, что в случае пло-
ской опоры, когда ha <С R, то иа = va = и, иа =
— + v2 — 2v cos а = 2v sin (а/2), что соответствует
выражению (2.3) для волны, опирающейся на плоскость.
Таким образом, уравнение (2.3) является частным слу-
чаем уравнения (7.4).
В волновых передачах непрерывного вращения ско-
рость вершины волны гибкого колеса передается жесткому
ведомому колесу. Из предыдущего анализа следует, что
в случае перемещения волны по плоской опоре передача
движения ведомому звену, сцепленному с вершиной вол-
ны, невозможна, так как скорость в последней, согласно
выражению (2.3), равна нулю (линейная волновая переда-
ча по такой схеме неосуществима). Ниже будет показана
возможность получения шагового движения ведомого зве-
на, связанного с фиксированной точкой гибкой связи,
подверженной волновому движению, и создания на осно-
ве такой схемы волновых шаговых механизмов как ли-
нейного, так и вращательного типов.
Рассмотрим качение волны на гибкой нити, опираю-
щейся на вогнутую цилиндрическую поверхность радиу-
сом R (рис. 7.1, б). Рассуждая таким же образом, как и
в случае выпуклой опоры, находим, что скорость точки
а волны в относительном движении равна va =—uR,
а в переносном va = <о (R — ha). Абсолютная скорость
иа равна геометрической сумме величин va и va. На вер-
шине волны, катящейся по вогнутой опорной поверх-
ности, абсолютная скорость равна алгебраической сумме
скоростей va и иа, т. е.
Va = v'a + Va = — ti)R + (0 (R — ha) = — <o/io, (7.5)
где hg — амплитуда волны. Скорость точки нити в вер-
шине волны в этом случае направлена в сторону, проти-
воположную ее движению. Заметим, что в случае, когда
I > I (где I — длина гибкой нити, образующей волиу,
а I — ее проекция на опорную поверхность), каждая точ-
ка нити, волнообразно катящейся по вогнутой поверх-
ности, перемещается вперед, т. е. по ходу движения вол-
ны, несмотря на то, что скорость в ее вершине направле-
104
на назад. Отсюда следует, что тангенциальная состав-
ляющая vax скорости точки а нити при своем перемеще-
нии от точки опоры до вершины меняет в некоторых точ-
ках свое направление на противоположное. Определим
эти точки.
Из рис. 7.1, а, б следует, что тангенциальная vax и
радиальная vaV составляющие скорости va точки а
равны
Vax = v'a — cos a, пэд = i^sina, (7.6)
где а — угол наклона нити в точке а к опорной поверх-
ности.
Из выражений (7.6) следует, что в случае плоской
опоры, когда va = va—v, Vax'^-ft, т. е. горизонтальная,
скорость точек волны положительна (совпадает с направ-
лением ее движения) либо равна нулю (в вершине). Если
опора выпуклая, то иа = со (Л + ha) > va = соЯ и vax >►
> 0, т. е. тангенциальная скорость точек волны всегда
направлена по ходу ее движения. В случае вогнутой опо-
ры, когда иа = со (В — ha), va = aR, тангенциальная
составляющая скорости vax = va — va cos а может иметь
как положительное, так и отрицательное значение. Если
(7? — ha) В cos а (что имеет место в окрестности вер-
шины волны, где величина cos а близка к единице), она
будет отрицательна, а в точках волны, где ha =
= R(i — cos а), равна нулю.
Заметим, что в случае вогнутой опорной поверхности
возможна волна на гибкой нити, когда I I, т. е. длина
контура волны меньше ее проекции на опору. На
рис. 7.1, в изображен один из таких случаев. Здесь кон-
тур движущейся волны представляет собой прямую ли-
нию длиной I, причем I < I. Перемещение такой волны в
некотором направлении вызывает движение точек гиб-
кой нити на участке I в противоположную сторону.
Важным вопросом, также относящимся к механике*
гибкой нити, является кинематический анализ движения
гибкого замкнутого выпуклого контура, катящегося по
цилиндрической опорной поверхности. Этот вид движе-
ния гибкого контура является основой наиболее рас-
пространенных волновых передач непрерывного и шаго-
вого типов. Рассмотрим более подробно общий случай
такого качения.
На рис. 7.2, а изображен образованный гибкой не-
растяжимой нитью замкнутый плоский контур, пред став-
105
ляющий собой некоторую симметричную относительно
центра О некруглую фигуру, например эллипс. Допус-
тим, направление скорости движения каждой точки нити
совпадает с направлением касательной к ней в этой точ-
ке (состояние кажущегося покоя). Очевидно, что в силу
ерастяжимости нити вектор скорости любой ее точки а
Рис. 7.2. Различные случаи качения гибкого контура-эллипса:
а — общий случай; б, в — качение по описанной и вписанной не-
подвижным окружностям соответственно; а — псевдокачепие, по
воображаемой неподвижной Окружности
постоянен по величине: va = v' = const. Движущаяся
нить в этом случае представляет собой равноскоростную
.кривую и ее контур неподвижен в пространстве, а траек-
тория каждой точки нити совпадает с линией контура.
Пусть скорость и' направлена относительно центра О
контура против часовой стрелки. Придадим этому кон-
туру, находящемуся в состоянии кажущегося покоя, вра-
щение по часовой стрелке вокруг центра О с некоторой
угловой скоростью <в. Нить при этом получит сложное
волновое движение, равное сумме двух движений; пере-
106
носного, вызванного вращением контура, и относительно-
го вдоль линии последнего. Угловая скорость движения
волн (т. е. вращения полуосей эллипса или его вершин
и впадин) равна ю. Скорость va переносного движения
некоторой точки а контура, удаленной на расстояние Ва
от центра О, равна v"a = и>Ва и перпендикулярна Ва.
Скорость относительного движения точки а равна va =
= и'. Суммарная скорость va точки а есть геометрическая
сумма скоростей иа и va. Из рис. 7.2, а следует, что
Va = v’a + v’a — 2vav"a cos ao =
= j/"v'2 +(®^a)2 — 2v'aBacosaa, (7.7)
где aa — угол наклона контура нити в точке а к векто-
ру va (угол между касательными к контуру и окружности
радиусом В в точке их пересечения).
Найдем тангенциальную иах и радиальную vay состав-
ляющие скорости иа произвольной точки а нити, совер-
шающей волновое движение. Из рис. 7.2, а следует, что
Vox = v’a — v’a COS аа = o)Ba — v' cos aa, vay = v' sin aa. (7.8)
За время t = L/v' цикла относительного перемещения sa
произвольной точки а по замкнутому контуру длиной
sa = L она совершит переносное перемещение sa по дуге
радиусом Ва, соответствующей углу <р = a>t = u>Llv'.
Длина дуги переноса составит sa = q>Ba = a>LBa/v', по-
этому окружной шаг Аха точки а, измеренный по дуге
радиусом В, есть полусумма переносного и относитель-
ного перемещений точки за цикл:
= -2лв') (7.9)
Путем анализа выражений (7.7)—(7.9) выясним харак-
тер движения точек гибкого контура при различных соот-
ношениях величин г/ и со. Вначале рассмотрим случай,
когда на контуре имеются точки, скорости которых равны
нулю. Из уравнения (7.7) следует, что это может быть,
если но = va, cos аа = 1, т. е. лишь в экстремальных
точках пересечения полуосей эллипса с контуром (в вер-
шинах А и А' или впадинах В и В' поперечных волн на
гибкой пити, где cos ao = 1). Угловая скорость оД обес-
печивающая равенство нулю скоростей экстремальных
107
точек, равна = v'!Re, где Re — радиус-вектор экстре-
мальных точек.
Отсюда следует, что угловая переносная скорость <ад,(
соответствующая нулевой скорости точек нити в верши-
нах А и Л', составит оД = к77?тах, а угловая скорость-
сов, соответствующая нулевой скорости точек в вершинах
В и В', равна юд = n77?min, где 7?тах и 7?min — большая
и малая полуоси эллипса.
Нулевая скорость в вершинах А и А' гибкого контура-
эллипса соответствует случаю его качения без проскаль-
зывания по внутренней поверхности неподвижного ци-
линдра радиусом 7?тах (рис. 7.2, б), а нулевая скорость
в вершинах В и В' — по наружной поверхности непод-
вижного цилиндра радиусом Rmm (рис. 7.2, в). В обоих
случаях в точках контакта гибкого контура-эллипса с
опорными цилиндрами скорость равна нулю, и эти точки
являются мгновенно неподвижными (они не могут быть
подобно точкам касания катящегося колеса названы
мгновенными центрами скоростей катящегося гибкого
контура, так как понятие «мгновенный центр скоростей»
имеет смысл лишь для твердых тел). Формулы (7.7)—
(7.9) позволяют вычислить для случаев, изображенных
на рис. 7.2, б и в, кинематические характеристики движе-
ния произвольной точки гибкого контура при подстанов-
ке в них значений cos а = 1 и а = или ® = (£>°в соот-
ветственно. В частности, из выражений (7.8) следует, что
окружная скорость точек нити на схеме, показанной на
рис. 7.2,6, направлена1 против скорости ю вращения
контура, а на схеме, изображенной на рис. 7.2, в, их на-
правления совпадают. В обоих случаях движение гиб-
ких нитей можно рассматривать как волновое, где по-
перечные волны деформации движутся (вращаются вокруг
центра О) с одинаково направленными угловыми скоро-
стями, равными по величине сод и йд соответственно.
Рассмотрим теперь случай, когда скорость <о пере-
носного вращения контура определяется соотношением
^7/?тах <Z и < u'/Rmin. Согласно уравнению (7.7), в
этом случае на контуре не существует точек, для кото-
рых иа = 0, однако, согласно выражениям (7.8), здесь
существуют точки, для которых vax — 0. Это будут точ-
ки а, для которых выполняется условие
® = (v' cos aa)IRa. (7.10)
108
Данное условие в каждый момент времени соблюдается
.для точек эллипса, определяемых радиусом-вектором
R° = (у1 cos ао)/<в. (7.11)
Это означает, что в четырех точках су, . . ., я4 пересечения
эллипса с окружностью радиусом R° (на рис. 7.2, г она
обозначена штрихпунктирной линией) тангенциальная
мгновенная скорость vax равна нулю. Поскольку радиаль-
ные компоненты vау скорости в точках ах, . . ., а4 не рав-
ны нулю, такое движение нити не может быть названо ка-
чением в строгом смысле этого слова, точки су, . . ., at
не могут быть названы мгновенно неподвижными, а ок-
ружность 7?® — опорной окружностью качения. Назовем
такое движение гибкого контура псевдокачением, а ок-
ружность радиусом Ra — окружностью псевдокачения.
Очевидно, что 7?тах > 7?“ > 7?min.
Для точек а нити, лежащих вне этой окружности,
vax > для точек, лежащих внутри, иах < 0. Это озна-
чает, что точки нити вне окружности Ra движутся по хо-
ду вращения контура (т. е. по ходу движения волн), а точ-
ки внутри окружности — против движения волн. Следо-
вательно, в точках я4, ..., я4 происходит реверсирование
окружного движения точек гибкой нити. Формулы (7.7)
и (7.8) при подстановке в них со = t/cos aJRa позво-
ляют вычислить величины скоростей произвольной точки
гибкого контура при любых значениях R°a. Формула (7.9)
позволяет найти окружные шаги точек, измеряемые по
окружности качения. В частности, для схемы, показан-
ной на рис. 7.2, б, подставляя в уравнение (7.9) R =
= 7?maX1 СО = ПОЛуЧИМ A.Z0 = Ы2 — лДтах <
< 0; аналогично для схемы, изображенной на рис. 7.2, в,
Аа:0 = L/2 — n7?min > 0; для схемы, показанной на
рис. 7.2, г, в указанную формулу необходимо подставить
R°a и св = v' cos aa/Ra, что дает Дж0 = Z,coscc0/2— nR°;
здесь в зависимости от величины R% шаг может быть как
отрицательным, так и положительным.
§ 7.2. Разнообразие траекторий качения
Описанная концепция анализа бегущих волн позво-
ляет рассмотреть движение каждой точки а нити как сум-
му двух независимых движений — относительного вдоль
109
контура-эллипса со скоростью va = v' = const и пере-
носного по дугам окружностей с центром О со скоростью
va = &Ra. Это позволяет упростить нахождение ско-
ростей и траекторий точек гибкой нити при различных
соотношениях величин и’ и со.
На рис. 7.3 изображены фрагменты траекторий точек
гибкого контура (эллипса) I при одном и том же значении
Рис. 7.3, Фрагменты траекторий гибкого контура-эллипса' при
качении по окружностям различного диаметра
тангенциальной скорости v' = L и различных величинах
угловой скорости о). Графическое построение’тра екторий
произвольной точки а гибкого контура заключается в
сложении двух последовательных перемещений точки а:
линейного относительного s вдоль контура и соответст-
вующего ему углового переносного s" по дуге, проведен-
ной из центра О контура. При построении удобно пере-
мещения s’ откладывать в виде равных линейных шагов
(точки 0, 7, 2, 3, 35 на контуре I делят его длину L
на 36 равных частей), тогда переносные перемещения бу-
дут соответствовать равным угловым шагам Дер точек
контура.
Для всех изображенных на рисунке фрагментов траек-
торий А, В, С, D, Е величины v' одинаковы, а со различ-
но
ны, причем фрагменты расположены на контуре I в по-
рядке возрастания и, т. е. < а>с < йв < йв,
что позволяет увидеть закономерности изменения траек,
торий в зависимости от величины й. Каждая точка кон-
тура I совершает в окружном направлении шаговое пере-
мещение, величина которого определяется соотношением
(7.9). Каждая точка траекторий А, В, С, D, Е находится
путем последовательного передвижения некоторой исход-
ной точки вдоль контура на определенное число равных
линейных шагов As' = LI3Q и последующего ее перемеще-
ния на то же число угловых шагов, каждый из которых
равен А<р = й£/(36у'). Так, например, при построении
траектории А от точки 5 откладывают вдоль контура один
линейный шаг 5—6, равный As' = Л/36, и далее, отложив
по дуге 6 — ап угол А<р = Z/(367?max), находят точку а~
траектории А. Для получения следующей точки этой
траектории следует отложить два линейных шага 2As'
на контуре I и затем угол 2Аср по дуге 7 — п7, что дает
точку а,, и т. д.
Кривая А представляет собой часть траектории любой
точки (на рис. 7.3 точки 5) гибкого контура в случае,
когда й = сод = к77?тах. Этот случай соответствует ка-
чению гибкого контура по реальной опорной поверх-
ности — внутренней поверхности неподвижного цилиндра
радиусом 7?тах (см. рис. 7.2, б). Здесь в точках траекто-
рии (рис. 7.3), касающихся окружности радиусом 7?шах,
скорости vax = vay = 0, т. е. эти точки являются мгно-
венно неподвижными точками катящегося контура-эллип-
са. Их перемещение происходит в сторону, противополож-
ную направлению вращения контура, т. е. навстречу
движению волн.
Кривая Е является траекторией точек в другом край-
нем случае движения: когда й = йд = v'что так-
же соответствует качению гибкого контура по реальной
опорной поверхности — наружной поверхности непод-
вижного вписанного цилиндра радиусом В°Е = 7?min
(см. рис. 7.2, в). Здесь точки а траектории (рис. 7.3), ле-
жащие на окружности 7?min, являются мгновенно не-
подвижными (vax — vav = 0). Движение происходит в
направлении, совпадающем с направлением перемещения
волн на контуре.
Кривые В, С, D представляют собой траектории точек
гибкого контура I, когда скорость й переносного движе-
111
ния определяется соотношением ад < со <; В этих
случаях на контуре не существует точек, для которых
= vay = 0, т. е. мгновенно неподвижных, поэтому
его движение является псевдокачением (в указанном вы-
ше смысле) по воображаемой неподвижной цилиндри-
ческой поверхности радиусом 7?с или (на рис. 7.3
обозначены штрихпунктиром). В точках пересечения гиб-
кого контура I с окружностями этих радиусов vax = 0,;
vay 0 и окружная скорость изменяет свой знак на про-
тивоположный. В точках вершин и впадин контура
vax 0, Vay =7^ 0.
Траектория С, в отличие от всех других траекторий,
является замкнутой кривой. В этом случае произвольная
точка гибкого контура I в процессе волнообразного дви-
жения не получает направленных окружных перемеще-
ний, а совершает лишь колебательные движения вокруг
некоторого среднего положения. Здесь Az = 0, поэтому
из уравнения (7.9) следует со = 2nv'/L = 2лн7(2л/?ь) =
= v'!Rl. Радиус окружности псевдокачения
R-c = 7?bcosac,
(7.12)
а поперечные волны деформации на гибком контуре I
движутся со скоростью ыс = v'IRl, где RB = L/2n —
радиус окружности, длина которой равна длине кон-
тура L.
Кривая В изображает траекторию произвольной точ-
ки а гибкого контура I в случае его качения по вообра-
жаемой окружности радиусом R°B, причем 7?max > R°b >
Z>Rc- Окружной итоговый шаг перемещения, измеряе-
мый по окружности радиусом RB, получим, подставив в
выражение (7.9) со = v' cos clb/Rb и L = 2nRL:
Дж0 = л (Rl cos ав — RB) < 0.
Этот случай соответствует скорости idb переносного вра-
щения: СОд < СОд < (£>с.
Кривая D есть траектория произвольной точки а кон-
тура I в случае 7?mfn <_ R’c- Направление окруж-
ной скорости этой точки в процессе качения контура так-
же изменяется на противоположное, однако общее ее
перемещение осуществляется в сторону движения по-
перечных волн на гибком контуре. Точки пересечения
траектории с окружностью радиусом RB являются точ-
112
ками изменения направления окружных перемещений.
Суммарный окружной шаг Л.г0 = л (Rl cos aD — R°D) > 0.
Приведенные на рис. 7.3 фрагменты траекторий точек
гибкого волнообразного контура являются, по существу,
разновидностями «волноид» (кривых, описываемых точ-
ками катящейся волны на гибкой нити) для случая ка-
чения волны по криволинейной опоре. По аналогии с тер-
минами «эпициклоида» и «гипоциклоида», означающими
Рис. 7.4. К нахождению
плотности проекции инти
на криволинейную опорную
поверхность
траектории точек окружности при качении ее по наруж-
ной и внутренней цилиндрическим опорам, кривую А,
изображенную на рис. 7.3, можно назвать «гиноволно-
идой», а кривую Е — «эпиволноидой».
Описанные закономерности движения точек гибкого
контура, катящегося по цилиндрической поверхности, мо-
гут быть объяснены с использованием введенного нами
ранее понятия волны линейной плотности. Линейная
плотность нити, катящейся по криволинейной поверх-
ности, определяется так же, как и для нити, катящейся по
прямой: это плотность проекции нити на опорную по-
верхность. На рис. 7.4 изображена замкнутая весомая
пить 1 овальной формы, касающаяся двух окружностей —
описанной 2 радиусом R и вписанной 3 радиусом г. Эле-
мент нити 6Z =~ тк, заключенный в угловом секторе Зф.
при проектировании на описанную окружность 2 даст
величину плотности проекции рд = pikm/cd. При
проектировании на вписанную окружность 3 этот же
элемент даст величину плотности проекции рй = pikmlab.
Из рис. 7.4 видно, что cd >ab, следовательно, линейная
плотность ря проекции нити на окружность большего
5 А. И. Добролюбов ИЗ
радиуса меньше плотности рг проекции той же нити па
окружность меньшего радиуса.
В силу сказанного качение без скольжения контура 1
по описанной окружности 2 может рассматриваться как
движение волн пониженной линейной плотности, которое,
как было указано, переносит саму нить в сторону, про-
тивоположную движению волн. Другими словами, если
овальный контур 1 вращается, например, по часовой
стрелке, сама нить получит медленное движение в про-
тивоположном направлении (случай, изображенный па
рис. 7.2, б), траектории точек нити будут иметь вид,
изображенный па рис. 7.3, А. Качение без скольжения
контура 1 по вписанной окружности 3 может рассматри-
ваться как движение волн повышенной линейной плот-
ности, которые переносят нить в том же направлении (слу-
чай, изображенный на рис. 7.2, в). Траектории точек ни-
ти будут иметь вид, изображенный па рис. 7.3, Е. Про-
ектирование нити на другие окружности даст промежуточ-
ные величины линейной плотности и движение нити,
характеризующееся траекториями точек, изображенными
на рис. 7.3, В, С, D.
Приведенный анализ движения точек гибкого замк-
нутого коптура может служить основой геометро-кинема-
тических расчетов волновых передач, использующих в ка-
честве основного преобразующего звена бегущую попереч-
ную волну на гибких телах. Примеры таких расчетов бу-
дут даны ниже.
Глава 8
БЕГУЩАЯ ВОЛНА И ПРЕПЯТСТВИЕ
§ 8.1. Препятствие на пути бегущей волны
приводит к образованию избытка массы
перед препятствием
Из предыдущего известно, что если на протяженном те-
ле, лежащем на жесткой опорной поверхности, движется
деформированный тем или иным образом участок (бегу-
щая волна деформации), то это приводит к перемещению
тела относительно опорной поверхности. Направление,
скорость и характер перемещения тела зависят от харак-
теристик бегущей волны — вида деформации (поперечная,
продольная, растяжение, сжатие), скорости движения
волпы, ее формы, амплитуды, от геометрической формы
опорной поверхности. Мы убедились в том, что описан-
ный перенос массы тела движущейся волной происходит
непростым «эстафетно-последовательным» способом, когда
бегущая волна переносит со скоростью своего движения
постоянную по величине, но переменную по составу по-
стоянно обновляемую массу, численно равную избытку
Дтп массы, содержащемуся в волне. При этом частицы
деформируемого тела совершают однонаправленные шаго-
вые перемещения, и в итоге каждого пробега волны не-
которое количество массы тела перемещается с началь-
ного (стартового) края тела, откуда волна начинала свой
бег, на конечный (финишный) край тела. В результате
тело «ползет» по опоре, напоминая движение садовой гу-
сеницы (в случае поперечной волпы на теле) либо дожде-
вого червя (в случае продольной волны удлинения). Бе-
гущая волна, таким образом, выступает в роли транс-
портного средства, перемещающего деформируемое тело
по опорной поверхности.
5*
115
Важным для приложений и Интересным с теорети-
ческих .позиций механики является процесс взаимодейст-
вия бегущей волны деформации с жестким препятствием.
Рассмотрим случай поперечной волны, движущейся по
топкому деформируемому слою 7, лежащему на плоской
опорной поверхности 2 (рис. 8.1). Такую волну можно
Рис. 8.1. Бегущая поперечная волна и препятствие; а — препят-
ствия отсутствуют; б, в — препятствие на финише волны; г —
препятствие на обоих концах волны
представить себе, например, как массивную «ковровую
дорожку» 7, иа одном (левом на рис. 8.1, а) конце которой
образуется поперечная складка («волна»), которая затем
перемещается к другому концу. Этот процесс образова-
ния, движения и исчезновения волны па ковровой дорож-
ке приводит к смещению на опоре всей дорожки на не-
большую величину Дж. При периодическом пробеге волн
из конца в конец дорожки в одном и том же направлении
она будет «ползти» по опоре, напоминая движение гу-
сеницы.
Теперь несколько усложним описанный эксперимент.
Зафиксируем неподвижно правый конец А дорожки 7
(рис. 8.1, б). Если теперь по-прежнему осуществить про-
цесс движения складок-волн в том же направлении (слева
направо), можно заметить, что перед препятствием А на
дорожке будет накапливаться избыток материала, обра-
зующий складки 3, в то время как левый конец дорожки
будет по-прежнему двигаться вправо (рис. 8.1, в). Если
зафиксировать и левый конец дорожки в точке В
(рис. 8.1, г), то проведение того же эксперимента с движе-
нием волн по дорожке слева направо убедит в том, что
па участке непосредственно после левого препятствия В
116
на ковровой дорожке образуется область 4 растяжения,
а перед препятствием А появятся напряжения сжатия и
складки 3 (величина напряжений и складок в этом слу-
чае зависит от длины дорожки, ее упругости, веса и силы
сцепления с опорой).
Описанный результат этих несложных экспериментов
следует из описанного нами ранее свойства бегущей вол-
ны на гибкой нити, заключающегося в том, что волна
переносит частицы нити в направлении своего движения.
Избыток AZ = I — I длипы ковровой дорожки (где I —
спрямленная длина складки на дорожке, а I — проекция
I па ось х) здесь переносится с ее начального края па ко-
нечный, что и создает избыток длины (и массы) па фини-
ше волны и ее недостаток на старте. Волна деформации
переносит массу деформируемого тела — вот главная
причина результатов описанных экспериментов с ковро-
вой дорожкой.
Аналогичная модель взаимодействия бегущей волны и
жесткого препятствия может быть построена и для про-
дольной волны. Закономерности массопереноса, накопле-
ния массы и образования ее дефицита на другом здесь
также будут иметь место. Особенности взаимодействия с
препятствием продольной волны заключается в том, что
продольная волна сокращения содержит положительный
избыток массы + Ат и, перенося его со старта на финиш,
Рис. 8.2. Бегущая продольная волна и препятствие: а — препят-
ствие отсутствует; б, в,— препятствие на старте волны; г — препят-
ствие на обоих концах водны
создает избыток массы на финише и недостаток па стар-
те, т. е. действует так же, как и поперечная волна
(рис. 8.1), а продольная волна удлинения содержит «не-
117
достаток массы — Ат», и поэтому, перенося этот недоста-
ток со старта на финиш, волна тем самым переносит избы-
ток массы в обратном направлении, т. е. с финиша на
старт. Механизм переноса массы продольной волной
удлинения изображен па рис. 8.2. Здесь направление
массоперепоса противоположно по отношению к массо-
переносу на рис. 8.1.
Модели волнового механизма, изображенные па
рис. 8.1 и 8.2, являются весьма общими. Они отражают
общие черты взаимодействия бегущей волны с жестким
препятствием и встречаются в том пли ином (иногда не-
сколько измененном) виде во многих явлениях природы
и технических устройствах [9 J.
§ 8.2. Волна на нити, закрепленной на концах,—
волновой шаговый механизм
Рассмотрим модель взаимодействия с жестким пре-
пятствием волны на нерастяжимой гибкой пити. На
рис. 8.3 изображена поперечная волна I па гибкой пити 1,
закрепленной на концах 2 и 3. Переносит ли такая волна
массу (длину) нити? Безусловно, переносит, поскольку в
такой волне содержится избыток массы Am = pi^l ~
— pi(l — I) >0, где I — спрямленная длина криволиней-
ной части нити, т. е. волны. При перемещении такой
волны па расстояние х опа переносит на это расстояние
массу Ат. К выводу о том, что подобная волна переносит
массу, можно прийти и из чисто геометрических соображе-
ний: когда волна находится в левом крайнем положении
(рис. 8.3, а), центр тяжести С\ нити 2 расположен левее
Рис. 8.3. При перемощении поперечной волны на нерастяжимой
нити из левого положения (а) в правое (б) центр тяжести нити
перемещается иа небольшую величину в том же направлении
па величину Джс своего положения С2, соответствующего
крайнему правому положению волны (рис. 8.3, б). Заме-
тим, что имеет место соотношение Ат-а: = МА.гс, где
М — масса всей нити.
118
Рассмотрим кинематику подобного волнового движе-
ния нерастяжимой нити, закрепленной на концах, в слу-
чае, когда волна на нити периодически образуется на
одном (например, левом) конце и движется к другому
(правому) (рис. 8.4). При этом волны непрерывно сме-
няют друг друга: разрушение волны на правом конце
Рис. 8.4. К анализу кинематики точек поперечной волны на нс-
растяжимой нпти, закрепленной на концах
нити сопровождается возникновением новой волны на
левом конце, и поэтому нить постоянно находится в на-
тянутом состоянии. Исходным состоянием нити будем
считать состояние, когда волна образована па левом кон-
це нити и начинает свое движение вправо. Рассмотрим
траекторию движения некоторой произвольной точки а
нити в течение цикла образования, движения и разруше-
ния волны. На рис. 8.4 изображены последовательные
положения 0 — VI нити во время этого цикла движений.
В исходном положении (0) рассматриваемая точка на-
ходится в положении я0. Далее волна движется вправо с
некоторой скоростью по рассматриваемая точка остает-
ся неподвижной в положении сг0 до тех пор, пока волна
не коснется ее своим передним фронтом /. Далее точка,
оказавшись па волне, приходит в движение по плоской
11!)
траектории (волпоиде) и находится в мом епт, изоб ражен-
ный на рис. 8.4, I. в некотором текущем положении а.
Когда волна проходит точку а (положение II), последняя
оказывается в положении аг, где находится в покое до
того момента (положение III), когда волна, дойдя до
препятствия 3, начинает уменьшаться в размерах (раз-
рушаться), и одновременно начнет формироваться новая
волна на левом конце нити (положение IV, V). Во время
разрушения волпы на правом конце нити и рождения
новой волны на левом конце точка а вновь придет в дви-
жение по направлению к своему исходному положению
ап, которого опа достигнет в мометт окончания формиро-
вания новой волны, и вся нить снова примет свое исход -
ное положение VI (0).
Таким образом, каждая точка инти при описанном дви-
жении волпы совершает замкнутый цикл движений по
сложной траектории, включающей в себя волноиду 4
(изображена пунктиром па рис. 8.4, II) и прямолинейный
отрезок Ах. Движение точки во время ее нахождения на
волне является «действительно волновым»: здесь точка а
описывает волноиду п совершает шаг вправо вдоль оси х
на небольшую величину Ах. Затем при формировании
следующей волпы на левом конце нити и разрушении
предыдущей волпы па правом конце точка а совершает
прямолинейное движение в обратном направлении на
тот же шаг Ах. Последнее движение точки нити уже не
является волновым, оно является следствием движения
нити, необходимого для компенсации необходимой дли-
ны для формирования повой волны. Это движение, в от-
личие от волнового, может быть названо компенсацион-
ным. Таким образом, рассмотренный цикл движения про-
извольной точки нити состоит из волнового движения,
переносящего точку а по криволинейной траектории
вперед вдоль оси х на шаг Да:, и компенсационного пря-
молинейного цвиятепия, перемещающего точку пт тот же
шаг в обратном направлении.
Волна переносит массу пити вперед, а компенсацион-
ные движения возвращают ее в первоначальное положе-
ние — вот в чем существо описанного волнового движе-
ния нити, закрепленной па концах. К этой же схеме дви-
жения гибкой инти сводится движение воипообратоо
изгибаемой гибкой ленты, полосы, троса, веревки и т. п.,
закрепленных на одном конце п подверженных бегущим
волнообразным движениям. Перенос массы бегущей по
гибкой нити волной доказывает такой эксперимент. Если
120
взять в руку один конец длинной массивной веревки,
лежащей на земле, и придать веревке волнообразные дви-
жения, образовав таким образом на ней бегущие волны
(рис. 8.5, а), можно заметить, что веревка начинает тя-
нуть человека вперед в направлении движения волн.
Действие такого рода «движителя» легко объяснить с по-
зиций изложенного волнового движения гибкой нити:
7^77^^77777777Т1^7777777^77777Ш77777^777777777
Рис. 8.5. а — бегущая волна на массивной гибкой связи обладает
силой тяги; б — волна тянет тележку
каждая убегающая от человека волна уносит с собой дли-
ну AZ веревки (и соответствующую ей массу), а каждая
вновь образующаяся возле человека волна подтягивает
всю веревку на величину AZ в обратном направлении. Си-
ла трения подтягиваемой к человеку веревки создает си-
лу тяги, тянущую человека вперед (если бы человек,
изображенный на рис. 8.5, а, встал на тележку, верев-
ка бы потащила тележку вперед, рис. 8.5, б).
У читателя может возникнуть вопрос: согласно про-
читанному выходит, что волнообразные движения полот-
нища флага на ветру также переносят массу полотнища
по направлению от древка флага, поскольку на полотни-
ще по направлению от древка бегут поперечные волны?
На этот вопрос следует ответить утвердительно: каждая
бегущая волна действительно переносит массу полотни-
ща флага по направлению от древка, но каждая вновь
образующаяся возле древка волна возвращает полотнище
на ту же величину обратно.
Описанная кинематика нерастяжимой нити, закреплен-
ной на концах и совершающей волновое движение, ис-
пользуется при создании волновых шаговых механизмов.
Глава 9
БЕГУЩАЯ ВОЛНА — ЗВЕНО МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
В этой главе покажем, каким образом описанные
свойства бегущих воли на протяженных деформируемых
телах могут быть использованы в различных инженерных
устройствах — волновых механизмах-редукторах, шаго-
вых механизмах, волновых электродвигателях, тран-
спортных устройствах и т. п. Такое важнейшее свойство
бегущих волн, как редуцирующее действие (волна дви-
жется по телу гораздо быстрее, чем движется само тело),
используется при создании редукторов (замедлителей ско-
рости движения звеньев механизмов), являющихся не-
отъемлемой частью любой машины. Свойство непрерывно
бегущей волны дискретно (шагами) переносить частицы
деформируемого тела используется при создании шаговых
механизмов, преобразующих непрерывные движения ве-
дущих звеньев механизмов в шаговые движения ведомых.
Такие механизмы-преобразователи также широко исполь-
зуются практически во всех областях машиностроения и
приборостроения — вращение поворотных столов стан-
ков, прессов, привод транспортеров и конвейеров, рабо-
чих органов сельхозмашин, полиграфических и текстиль-
ных машин, привод движения киноленты, устройств вво-
да-вывода ЭВМ и др. И, наконец, в технических прило-
жениях бегущей волны могут быть «прямые заимствова-
ния» способов использования волны живыми существами
(садовая гусеница, дождевой червь, змея, улитка и др.)
как транспортного средства. Идея волнового способа
передвижения по опорной поверхности в технике может
быть использована либо в своем «натуральном» виде,
т. е. путем создания бегущей волны на гибком продолго-
ватом опорном теле (такие экспериментальные транспорт-
ные средства уже создаются), либо в «гибридном» виде,
когда идея бегущей волны сочетается с идеей опорного
колеса. Такое дополнение «гениального изобретения нри-
122
роды» (волны) «гениальным изобретением человека» (ко-
леса) может оказаться в технике наиболее перспективным.
Мы расскажем о некоторых колесно-шагающих устройст-
вах, сочетающих в себе принципы волнового и колесного
движений.
Будем стремиться к тому, чтобы представить «парад
волновых механизмов» в упорядоченном виде: вначале
волновые механизмы и устройства, использующие по-
перечную бегущую волну в качестве движителя, затем
механизмы, где движителем является продольная волна,
и далее — некоторые примеры волновых колесно-шаго-
вых устройств. Как правило, мы будем приводить кине-
матические схемы механизмов, давать необходимые их
пояснения и в некоторых случаях приводить необходи-
мые кинематические оценки параметров механизмов, ис-
пользующие приведенные в предыдущих главах кинема-
тические соотношения для бегущих волн. Более подроб-
ные данные о волновых механизмах можно найти
в [4], [101.
§ 9.1. Волновые механизмы, использующие
поперечную бегущую волну
9.1.1. Волновые механизмы непрерывного действия.
Принцип действия волнового механизма непрерывного
вращения поясним при помощи рис. 9.1. Здесь гибкая
нерастяжимая связь 1 (гладкий ремень, цепь, зубчатый
ремень и т. и.) *) охватывает своей внутренней поверх-
ностью цилиндры 3 и 4 и сцеплена с ними силой трения
или зубцами. Цилиндр 4 (обкатной ролик) свободно вра-
щается на конце ведущего звена (водила) 5, вращаю-
щегося вокруг оси О. Наружная поверхность связи 1
сцеплена (также силой трения либо зубцами) с внутрен-
ней поверхностью цилиндра 2, концентричного цилинд-
ру з.
Если цилиндр 3 неподвижен (связан с корпусом ме-
ханизма), а цилиндр 2 подвижный, то вращение водила,
например, в сторону вращения часовой стрелки, вызывает
*) Строго говоря, термин «гибкая связь» является некорректным
с позиций теоретической механики, где под связями понимаются
условия, которым должны удовлетворять движения материальных
точек. Однако в курсах «Теория механизмов и машин», «Детали
машин» термин «гибкая связь» употребляется также для обозначе-
ния гибкого ремня, цепи, троса, т. е. деформируемых протяженных
элементов п звеньев механизмов.
123
качение волны по наружной неподвижной цилиндриче-
ской поверхности цилиндра 3. Окружная скорость vA вер-
шины А гребня волны, подсчитываемая по формуле (7.4),
передается подвижному цилиндру 2, который получает
медленное вращение н том же направлении с угловой
Рис. 9.1. Принцип действия
волнового редуктора непре-
рывного вращения
Рис. 9.2. Волновой редук-
тор с симметричным гене-
ратором волн
скоростью о).> = ул/7?2. Это — волновой редуктор попут-
ного вращения.
Если цилиндр 2 неподвижен, а цилиндр 3 подвижный,
то вращение водила 5 но часовой стрелке вызовет каче-
ние связи 1 по неподвижной внутренней поверхности
цилиндра 2, вершина А волны будет мгновенно неподвиж-
ной точкой, а связь 1 получит окружную скорость vA.
Подвижное ведомое звено 3 получит медленное вращение
против часовой стрелки с угловой скоростью <в3 = vA/R3.
Это — волновой редуктор встречного вращения.
На рис. 9.2 дана схема волнового редуктора, кинема-
тические характеристики которого не отличаются от со-
ответствующих характеристик механизма, изображенного
па рис. 9.1. Однако в силу симметричного исполнения
генератора, состоящего из двух обкатных роликов, этот
волновой редуктор обладает лучшими динамическими ха-
рактеристиками.
Волновая передача, использующая в качестве дефор-
мируемого элемента упругий тонкостенный цилиндр, изоб-
ражена на рис. 9.3. Здесь гибкое кольцо 1 является торцо-
вой оконечностью гибкого тонкостенного цилиндра 2, иг-
рающего роль гибкой муфты. Другой торец цилиндра
может быть неподвижно связан с корпусом 6 (случай,
124
изображенный на рис. 9.3, б) либо с ведомым звеном ме-
ханизма. Генератор волн представляет собой вращающе-
еся водило 4 с установленными на его концах обкатными
роликами 3, распирающими упругое кольцо 1 и создаю-
щими на нем бегущие поперечные волны, которые своими
Рис. 9.3. Волновой редуктор, использующий в качестве гибкого
элемента упругий цилиндр
вершинами сцеплены (силами трения или зубцами) с внут-
ренней поверхностью жесткого подвижного цилиндра 5.
При вращении водила 4 бегущая поперечная волна дефор-
мации кольца 1 сообщает цилиндру 5 медленное враще-
ние в направлении вращения генератора.
Воспользуемся полученными выше соотношениями для
нахождения кинематических характеристик этого меха-
низма. В данном случае, соответствующем случаю С на
рис. 7.3, бегущие волны на гибком деформированном
кольце 1 следует рассматривать как катящиеся без сколь-
жения по неподвижной воображаемой окружности радиу-
сом R°c — Rl^osuc, где RL~- Ы2л. Здесь RL— радиус ок-
ружности, длина которой равна спрямленной длине L
кольца 1 (на рис. 9.3, а изображена пунктиром); со =
= у' cosaa/Rc — v'/RL. Подставляя v' = (aRl, Ra —Rma* и
cos aa = 1 в (7.8), получаем окружную скорость в точках
А и А' контакта гибкого кольца с ведомым цилиндром
vA = ®(^тах — Rl) = ® ^л- Угловая скорость ведомого
цилиндра 5, внутренний радиус которого равен R, будет
со = vA/R = ($hA/R = со (Д — Rz)/Rt Передаточное отно-
шение механизма i = со/со = R/(R —RL). Окружная
скорость в точках В и В' гибкого кольца в соответствии
с уравнениями (7.8) равна vB = —whB и направлена в сто-
рону, противоположную направлению вращения водила.
125
Скорости произвольных точек гибкого кольца 1 опреде-
ляются соотношениями (7.7), (7.8) при подстановке в
НИХ й) — v' iRL.
9.1.2. Волновые шаговые механизмы. Для пояснения
принципов создания волновых шаговых механизмов рас-
смотрим схему рис. 9.4. Здесь к некоторой точке а волно-
образной гибкой связи 7, лежащей па жестком основа-
нии 2, прикреплена нить 3, другим своим концом при-
крепленная к ведомому звену (тележке 4}. Если связь
Рис. 9.4. Принцип создания линейного (а, б) и кругового (в, г)
шагового движений на основе бегущей поперечной волны; я, в —
прямые схемы; б, г — обратные схемы
подвержена поперечно-волновому движению описанного
выше типа, т. е. поперечные волны перемещаются по гиб-
кой связи в одном направлении, то в моменты нахождения
точки а на подъеме пли спаде волны тележка 4 совершает
по опорной поверхности неравномерное движение в на-
правлении движения волны и находится в покое, когда
точка а лежит на иедеформироваипых (неизогнутых) уча-
стках гибкой связи или на вершине волны. Таким обра-
зом, шаг ведомого звена 4 здесь состоит из двух горизоп-
атльных движений, разделенных кратковременной (мгно-
венной) остановкой.
126
Закон движения ведомого звепа, т. е. тележки 4, зави-
сит от формы волны у = Q(x) на гибкой связи и скорости
ее движения. Скорость ведомого звена в некоторый мо-
мент времени равна (если пренебречь карательными дви-
жениями буксирной нити 3) горизонтальной составляю-
щей скорости точки а связи. Она находится по формуле
(4.3).
Очевидно, что линейный шаг ведомого звена за один
пробег волны равен Дж = I — Z, где I = bAf — длина
спрямленного участка изогнутой связи, измеренной вдоль
ее нейтральной оси, а I = bf — проекция волны на опор-
ную плоскость.
Описанная схема преобразования непрерывного дви-
жения поперечной волны в шаговое перемещение связан-
ного с ней ведомого звепа может быть названа прямой^
или схемой попутного движения ведомого звена. Шаговое
перемещение может также осуществляться по обратной
схеме преобразования (рис. 9.4, б). В этом случае волно-
образная связь 1 опирается на подвижную опору 2, а
некоторая точка а связи нитью 3 прикреплена к корпусу
4. Для уменьшения трения опора 2 расположена на телах
качения 5. При создании на гибкой связи 1 волнового
движения подвижная опора 2 (ведомое звено) получит
шаговое перемещение в направлении, противоположном
направлению движения волны на гибкой связи 1. Ведомое
звено 2 будет двигаться лишь в моменты нахождения точ-
ки а па волне. Такая схема преобразования непрерывного
перемещения волны в шаговое ведомого звена может быть
названа схемой встречного движения. Линейный шаг Ах
ведомого звена за один пробег волны, как и в предыдущем
случае, равен Ах = I — I.
Очевидно, что в случае применения круговой (цилинд-
рической) опоры гибкой связи также возможны схемы
подобные описанным. На рис. 9.4, в гибкая бесконечная
связь 1 охватывает неподвижный цилиндр 2 радиусом
.й, длина наружной окружности которого меньше длины
гибкой связи. Избыток связи образует па поверхности
цилиндра поперечную волну постоянной формы (меха-
низм образования и движения этой волны па схеме пе
показан). Гибкая нить 3 прикреплена одним своим кон-
цом с к связи 1, а другим d — к подвижному ведомому
звену (цилиндру) 4. Если волна на гибкой связи соверша-
ет движение (качение) по поверхности неподвижного опор-
ного цилиндра 2, то ведомый цилиндр 4 будет совершать
127
шаговое (прерывистое) вращательное перемещение в на-
правлении движения волны, когда точка касания тяговой
нити 3 с гибкой связью находится на участке bAf волны,
и будет покоиться в моменты, когда эта точка расположена
вне волны, т. е. на недеформированной (цилиндрической)
части bBf связи 1. Линейный шаг ведомого цилиндра,
измеренный по наружной поверхности цилиндра 2, равен
разности длин гибкой связи 1 и наружной окружности
цилиндра 2, т. е. как и в случае линейной схемы (рис. 9.4,
а). Угловой шаг ведомого цилиндра
0m = Ax/R = (Г- l)/R, (9.1)
В обратной схеме получения кругового шагового дви-
жения (рис. 9.4, г) цилиндр 5, охватываемый волнообраз-
ной гибкой связью 1, подвижен и является ведомым зве-
ном. Гибкая нить 3 здесь прикреплена одним концом
к гибкой связи 7, а другим — к корпусу 4. Если волна
на гибкой связи движется (катится) ио поверхности ци-
линдра 2, последний будет совершать шаговое вращатель-
ное перемещение в направлении, обратном направлению
движения волны. Угловой шаг ведомого цилиндра, как
и для схемы, изображенной на рис. 9.4, в, определяется
соотношением (9.1).
Во всех случаях длины реальных гибких связей и их
участков измеряются вдоль продольных нейтральных
осей этих связей. В случае зубчатого (синхронного) испол-
нения волновых механизмов зубья гибкой связи распо-
ложены с шагом tz на своей опорной поверхности, а
жесткие опорные поверхности, контактирующие с гибкой
связью, содержат зубья того же шага. Для нормального
зацепления зубчатой связи с опорной поверхностью число
зубьев на волнообразной гибкой связи длиной I (рис. 9.4)
должно на целое число отличаться от числа зубьев на про-
екции 1 волны на опору. Это накладывает определенные
ограничения на значения кинематических параметров зуб-
чатых механизмов па гибких связях, в частности для схем,
показанных на рис. 9.4, на величину линейного или угло-
вого шага. Для линейных механизмов (рис. 9.4, а, б) в
этом случае
Ах - (ZT- Z;)«z = AZ-/z, (9.2)
где Z-p Z;—число зубьев, содержащихся на длине I
контура волны и ее проекции I; A.Z = 1, 2^ 3, ... — раз-
128
ница чисел зубьев3 расположенных на длинах I и Z; tz —
шаг зубьев.
Угловой шаг для круговых зубчатых механизмов
(рис. 9.4, в, г)
й Дж _ 7— I _ А2'42 _ (ZL~ zr) lz /q ox
Л — ]> — J{ — R ,
где ZL и ZR — число зубьев на бесконечной гибкой связи
и опорном цилиндре радиусом Л.
Описываемые ниже волновые шаговые механизмы ис-
пользуют как прямые, так и обратные схемы в их линей-
ном и круговом вариантах. На рис. 9.5, а, б изображены
Рис. 9.5. Волновой шаговый механизм: а —'попутного вращения;
б — встречного вращения
волновые шаговые механизмы (редукторы) попутного и
встречного вращения.
Механизм попутного вращения (рис. 9.5, а) работает
по прямой схеме (рис. 9.4, в) преобразования волнового
движения гибкой связи в шаговое перемещение ведомого
цилиндра. Неподвижный 1 и подвижный обкатной 2 ци-
линдры охватываются бесконечной гибкой связью 3. в
качестве которой может быть цепь, зубчатый или гладкий
ремень. В случае наличия зубьев на гибкой связи цилинд-
ры 1 и 2 выполняются в виде зубчатых звездочек. Ось
вращения О2 подвижного цилиндра расположена па внеш-
нем конце водила 4, вращающегося вокруг оси Ох. К гиб-
кой связи 3 и ведомому цилиндру 5 прикреплены две тяги
6 и 7, представляющие собой отрезки гибкой ленты, тро-
са и т. и., причем каждая тяга одним своим концом сое-
динена в точке 8 с бесконечной связью Зг а другим —
12
в точке 9 прикреплена к ведомому звену 5. При равно-
мерном вращении водила 4 в направлении, указанном
стрелкой А, ведомый цилиндр 5, увлекаемый тягой 6,
совершает прерывистое шаговое вращение в том же на-
правлении. При реверсировании водила реверсируется
также шаговое движение ведомого звена, при этом рабо-
чее усилие передается тягой 7. Угловой шаг в радианах
ведомого цилиндра 5 такого механизма определяется по
формуле
0 = (L3 - (9.4)
где L3 — длина бесконечной гибкой связи 3; — радиус
опорного цилиндра 1. Угол поворота водила, соответ-
ствующий времени одного цикла (движения и останова
ведомого звена) механизма, равен
<рс = Ls/Ri > 2л, (9.5)
а угол его движения, т. е. поворота за время перемещения
ведомого цилиндра 5, составляет
фт = (Д) — i'lWi, (9-6)
где L± — длина обхвата гибкой связью 3 цилиндра 1.
Волновой шаговый механизм встречного движения ра-
ботает ио обратной схеме (рис. 9.4, г) преобразования
равномерного вращения в шаговое, обеспечивая один
шаг ведомого звена за один оборот веду!цего вала. На
рис. 9.5, б представлена его кинематическая схема. Два
подвижных цилиндра 1 и 2, оси вращения которых обоз-
начены соответственно CR и О2, охватываются бесконечной
гибкой связью 3. Цилиндры могут быть гладкими либо
иметь зубья на боковых поверхностях. В соответствии с
этим гибкая связь может быть гладкой (бесконечный ре-
мень) либо иметь зубья (цепь, зубчатый ремень). Ось вра-
щения О2 цилиндра 2 расположена на конце водила 4,
вращающегося независимо от цилиндра 1 вокруг оси О±.
К гибкой связи 3 прикреплены две гибкие тяги 5 ц 6,
причем каждая одним концом соединена в точке 7 с бес-
конечной связью 5, а другим — с корпусом 8 механизма.
Механизм работает следующим образом. При равно-
мерном вращении водила 4 в направлении, указанном
стрелкой А, ведомый цилиндр 1 совершает прерывистое
(шаговое) вращение в противоположном направлении,
обозначенном стрелкой В. При изменении направления
вращения водила реверсируется также шаговое движе-
ние звенаг при этом усилие передается тягой 6.
130
Величина углового шага вт, на который повернется
ведомый цилиндр 1 за один оборот водила 4, в случае
гладкой связи и гладких цилиндров при отсутствии сколь-
жения равна
0т = (Л3 - 2^)/^, (9.7)
где L3 — длина бесконечной гибкой связи 5; В} — ра-
диус цилиндра 1.
При зубчатом исполнении механизма угловой шаг ве-
домой звездочки 1 определяется по формуле
0т = 2л (Z3 - ZJ/Zj, (9.8)
где Zj — число зубьев звездочки Z; Z3 — число зубьев
на бесконечной зубчатой цепи 3.
Описанные выше механизмы характеризуются нали-
чием замкнутой (бесконечной) гибкой связи, на которой
генерируется бегущая поперечная волна, а движение ве-
домому звену передается при помощи специальной гибкой
тяги, прикрепленной к связи. Бесконечная связь, обка-
тываемая роликом-генератором, обеспечивает безудар-
ность и плавность их работы. Недостатком механизмов,
выполненных по такой схеме, является наличие специ-
альной гибкой тяги, прикрепленной к бесконечной связи,
а также невозможность изменения высоты волны (и, сле-
довательно, величины шага ведомого звена), сравнительно
высокая стоимость изготовления бесконечных гибких свя-
зей. В связи с этим в ряде случаев большой интерес пред-
ставляет возможность использования в волновых меха-
низмах разомкнутых гибких связей. Рассмотрим несколь-
ко таких схем.
На рис. 9.6 гибкая разомкнутая связь 1, сцепленная
силами трения или зубьями с цилиндром 2, подвержена
поперечным бегущим волнам, генерируемым обкатным ро-
ликом 3, расположенным на внешнем конце водила 4.
На схеме, показанной на рис. 9.6, а, цилиндр 2 неподви-
жен, а подвижный ведомый цилиндр 5, связанный с гиб-
кой связью 7, совершает шаговое вращение в направле-
нии движения водила 4. На схеме, изображенной на
рис. 9.6, б, подвижный ведомый цилиндр 2 осуществляет
шаговое вращение в противоположном направлении.
В обоих случаях необходима компенсационная пружи-
на 6.
Угловой шаг ведомого цилиндра для обеих схем оп-
ределяется соотношением Qm — (bAf — bf)/R = (I — l)/R.
Коэффициенты редукции и другие кинематические пара-
131
метры механизмов, созданных на основе рассматривае-
мых схем, совпадают с показателями механизмов (см.
рис. 9.4, в, г) па бесконечных связях. Недостатком подоб-
ных механизмов с разомкнутой гибкой связью является
нестабильность работы в случае зубчатого исполнения.
А
Рис. 9.6. Схемы волновых шаговых механизмов с использованием
разомкнутой гибкой связи: а — попутного вращения; б — встреч-
ного вращения
Обкатной ролик (звездочка) 3 (рис. 9.6) в этом случае
имеет зубья, сцепляющиеся с зубьями гибкой связи. Во
время прохождения промежутка между ветвями зубчатой
связи звездочка выходит из зацепления с нею и при
дальнейшем движении должна снова войти в зецепление.
Ввиду свободного вращения звездочки в этом промежутке
попадание зубьев обкатной звездочки во впадины гибкой
связи является случайным, что приводит к рывкам ведомо-
го звена, шуму и вибрации механизма.
Для устранения этого недостатка необходимо синхро-
низировать вращение обкатной звездочки. Это может быть
достигнуто, например, введением специальной бесконеч-
ной синхронизирующей цепи 7, постоянно сцепленной со
звездочками 2, 3 и обеспечивающей тем самым их син-
хронизацию (рис. 9.7, а). Недостаток такого механизма —
невозможность изменения шага ведомого звена регули-
рованием высоты гребня волны (бесконечная связь 7 не
позволяет изменять межцентровое расстояние между ося-
ми обкатного и центрального цилиндров).
К недостаткам механизмов, выполненных по схемам,
изображенным на рис. 9.6, 9.7, а, относится также то
обстоятельство, что они не являются реверсивными в точ-
ном значении этого слова, так как при обратном направ-
132
лении вращения полезное усилие может передаваться
только усилием пружины 6“, которое может быть недо-
статочным для передачи требуемого крутящего момента.
Указанных недостатков лишен механизм (рис. 9.7, б),
в котором две разомкнутые зубчатые гибкие связи 1 и 2
Рис. 9.7. Волновые зубчатые шаговые механизмы: а — со специаль-
ной синхронизирующей цепью; б — реверсивный
(цепи, зубчатые ремни) находятся в зацеплении со звез-
дочками 3 и 4, причем обкатная звездочка 4 установлена
на оси, расположенной на внешнем конце водила 5, а
ось вращения водила совпадает с осью ведомой звездочки
3. Ведущие ветви обеих связей 1 и 2 концами прикрепле-
ны к корпусу 6 механизма и расположены под углом 180е
133
друг к другу, а ведомые ветви этих цепей соединены с
пружинами 7 и 8. Звездочки 3 и 4 выполняются широкими
для возможности размещения на них двух бесшумных
цепей или зубчатых ремней. Они могут быть изготовлены
также в виде пары отдельных звездочек, насаженных па
общие оси для обеспечения возможности применения одно-
рядных роликовых цепей.
Механизм работает следующим образом. При равно-
мерном вращении водила 5 в направлении, указанном
стрелкой А, ведомая звездочка 3 будет совершать шаговое
вращательное движение в направлении, указанном стрел-
кой 77. При этом зубчатая связь 2 будет передавать по-
лезную нагрузку, а связь 7, будучи в зацеплении с обкат-
ной звездочкой, обеспечивает попадание ее зубьев во впа-
дины зубчатой связи 2. При изменении направления вра-
щения водила 5 связи 1 и 2 меняются ролями: связь 1
будет передавать полезное усилие, а связь 2 обеспечивать
правильное зацепление обкатной звездочки с зубчатой
связью 7. При этом ведомая звездочка будет вращаться
в обратном направлении.
Характерная особенность приведенных выше механиз-
мов с разомкнутыми гибкими связями — наличие ком-
пенсационных пружин, периодически деформирующихся
при каждом шаге ведомого звена. Величина деформации
этих пружин равна окружному шагу последнего. Наличие
компенсационных пружин в некоторых условиях эксплу-
атации механизмов может рассматриваться как отри-
цательный фактор, так как в случае высоких скоростей
приводит к повышенным вибрациям, вызывает дополни-
тельные напряжения в гибких связях и тем самым снижа-
ет работоспособность механизмов.
Устранение отрицательного влияния компенсационных
пружин может быть достигнуто расположением концов
гибкой связи под углом друг к другу, составляющим
около 180°. В этом случае при вращении водила с роли-
ком-генератором почти не происходит колебаний длины
гибкой связи, охватывающей опорный и обкатный цилинд-
ры, что приводит к возможности устранения компенса-
ционной пружины или уменьшению ее деформации в не-
сколько раз.
Типичным механизмом, использующим этот принцип
компенсации, является фрикционный шаговый механизм,
кинематическое изображение которого в трех проекциях
показано на рис. 9.8. Особенность механизма — фрик-
ционное взаимодействие гибкой связи, совершающей вол-
134
новое движение, с ведомым звеном. Он способен переда-
вать значительные крутящие моменты благодаря тому,
что угол обхвата гибкой связью ведомого цилиндра здесь
может быть больше 360е. Он является реверсивным, обла-
дает плавными динамическими характеристиками и не
требует деталей высокой точности изготовления. Гибкая
Рис. 9.8. Волновой фрикционный шаговый механизм
конечная связь 1 (трос, пить, узкий ремень) спирале-
образно обхватывает один или большее число раз ведо-
мый 2 и обкатной 3 цилиндры. Цилиндр 2 подвижен от-
носительно оси О. Цилиндр 3 вращается на оси О', рас-
положенной на внешнем конце водила 4. Само водило
связано с ведущим валом и подвижно относительно оси О.
Оконечные участки гибкой связи расположены Друг к
другу под углом <р0, близким к 180°, и закреплены непод-
вижно в точках 5 и 6. При вращении водила в направле-
нии, указанном на рисунке, оконечный участок связи,
прикрепленный к корпусу в точке 5, является ведущей
ветвью передачи, а другой оконечный участок — ведомой
ветвью.
Механизм работает следующим образом. При враще-
нии с равномерной скоростью водила 4 в направлении,
указанном стрелкой А, ведомый цилиндр 2 совершает
шаговое движение в противоположном направлении (по
стрелке В), причем за один оборот водила он выполняет
135
один цикл, состоящий из вращения и останова. Движение
ведомого цилиндра происходит во время перемещения во-
дила из положения О± в положение О2, останов соответ-
ствует его перемещению далее в положение Ох. Линейный
шаг ведомого цилиндра 2, измеренный по его наружной
поверхности, при отсутствии на ней скольжения связи
равен Аз: -= КлСКг ~ К\К21 гДе ~~ длина гибкой
связи на участке КХСК^ т. е. спрямленная длина контура
волны па гибкой связи; К1К% - длина дуги КУК2, т. е .
проекции линии К,СК2 (контура волны) па цилиндриче-
скую поверхность ведомого звена 2. Шаг механизма мож-
но плавно изменять путем, например, изменения длины
водила 4.
Во время работы описанного механизма имеют место
некоторые незначительные колебания натяжения гибкой
связи, так как ее теоретическая длина в разных его поло-
жениях различна. Компенсация колебаний длины гибкой
связи может происходить за счет ее упругого растяжения.
Для обеспечения постоянства натяжения связи ее ведо-
мую ветвь можно соединить с корпусом через специальное
упругое звено, например, пружину с небольшим ходом.
Гибкая связь, многократно охватывающая цилиндры,
сцеплена силами трения с ведомым цилиндром, поэтому
механизм не обеспечивает синхронности вращения веду-
щего и ведомого звеньев, хотя благодаря большому углу
обхвата скольжение здесь может быть сведено к мини-
муму.
На рис. 9.9 — 9.11 показаны схемы шаговых механиз-
мов на разомкнутой гибкой связи, допускающие как фрик-
ционное (асинхронное), так и зубчатое (синхронное) ис-
полнение. Благодаря горизонтальному расположению
оконечных участков связей они не содержат специальных
компенсирующих пружин.
Волновой шаговый механизм, в котором в качестве
гибкой связи использован зубчатый ремень с наклонными
зубьями (рис. 9.9), содержит водило 1 с обкатной звездоч-
кой 2 на конце, установленное на ведущем валу (на схеме
не показан), звездочку 3, насаженную на ведомый вал
(не показан), и гибкую связь 4 (зубчатый ремень), снаб-
женную зубьями и спиралеобразно охватывающую ведо-
мую и ведущую звездочки. Зубья на гибкой связи накло-
нены к поперечной ее оси под углом 0, равным углу подъ-
ема спирали связи. При вращении водила по часовой
стрелке звездочка 3, установленная иа ведомом валу,
136
осуществляет шаговое вращение в направлении против
часовой стрелки, причем за один оборот водила она вы-
полняет шаг и один останов. Механизм реверспвен.
На рис. 9.10 изображена схема волнового зубчатого
(синхронного) механизма, гибкая связь которого имеет
5
Рис. 9.9. Волновой зубчатый шаговый механизм с наклонным рас-
положением зубьев
прямые зубья и, в отличие от предыдущего механизма,
лежит в одной плоскости. Механизм содержит водило 1
с обкатной звездочкой 2 на конце, установленное на ве-
дущем валу, ведомую звездочку 5, насаженную на ведо-
мый вал, и зубчатую гибкую связь 4 (зубчатый ремень),
охватывающую ведомую и ведущую звездочки. Продоль-
ная ось симметрии гибкой связи расположена в одной
плоскости, а скрещивающиеся концы 5 и 6 связи разделе-
ны па продольные полоски 7 (конец 5 связи) и 8 (конец
6 связи) и размещены так, что эти полоски перемежаются
между собой: между двумя соседними полосками 7 нахо-
дятся полоска 8 и наоборот. Оба конца гибкой связи
закреплены на корпусе 9. J3 случае применения зубчатых
ремней, выполненных из полимерных материалов и со-
держащих продольные армирующие стальные нити (стру-
ны), перемешивающиеся полоски гибкой связи могут пред -
ставлять собой отдельные армирующие нити. Оконечные
участки гибкой связи, разделенные па полоски, могут не
содержать зубьев, т. е. быть гладкими, что упрощает
изготовление связи.
Скрещивание гибкой связи и обеспечение ее располо-
жения в одной плоскости может быть достигнуто и другим
137
способом, показанным на рис. 9.10, б. Здесь оконечные
участки 5 и 6 гибкой связи имеют соответственно прорезь
и сужение, расположенные вдоль ее продольной оси.
При продевании одного конца, содержащего сужение,
Рис. 9.10. Волновой шаговый механизм с зубчатой гибкой связью:
а — схема механизма в трех проекциях; б — способ перекрещива-
ния гибкой связи
сквозь прорезь другого связь образует замкнутую пло-
скую петлю, что позволяет обхватить ею ведущий и ведо-
мый цилиндры.
Во всех описанных выше волновых механизмах бегу-
щая поперечная волна на гибкой связи образуется и пе-
редвигается специальным обкатным роликом-генерато-
ром, вращающимся иа внешнем конце водила и располо-
женным над цилиндрической опорной поверхностью ве-
домого цилиндра. В силу того, что в такой схеме обкатной
ролик находится под гибкой связью, высота волны па
ней пе может быть меньше величины диаметра ролика-
генератора, что ограничивает значение минимального ша-
га ведомого звена механизма. Кроме того, уменьшение
138
диаметра ролика-генератора Повышает частоту его вра-
щения, что приводит при высокой частоте вращения
ведущего звена к чрезвычайно высокой частоте враще-
ния ролика и тем самым к снижению долговечности ме-
ханизма, увеличению вибрации и шума.
На рис. 9.11 показана схема механизма, лишенного
указанного недостатка.. Здесь ведомый цилиндр 2 состоит
Рис. 9.11. Волновой шаговый механизм с малыми шагами ведомого
звена
из двух частей равного диаметра, между которыми рас-
положен обкатной ролик-генератор. Его центр смещен
относительно оси О ведомого цилиндра. При этом ролик-
генератор является составным: он содержит внутренний
цилиндр 3, неподвижно насаженный на ведущий вал 7,
и внешнее подвижное кольцо 7, свободно скользящее
иа внутреннем цилиндре 3. Гибкая связь 5, охватываю-
щая ведомый и обкатной цилиндры, может быть гладкой
или зубчатой и в соответствии с этим цилиндры 2 и 4
должны быть гладкими либо зубчатыми. В первом случае
механизм будет фрикционным, во втором — зубчатым.
При такой схеме высота поперечной волны на гибкой
связи может быть весьма малой, что обеспечит малые
величины шагов ведомого звена 2, а диаметр цилиндра-
139
генератора 4 — достаточно большим, что при прочих рав-
ных условиях снижает частоту его вращения, повышает
долговечность и уменьшает вибрации. Необходимое пере-
сечение гибкой связи в этой схеме может осуществляться
разделением оконечных участков па полоски (рпс. 9.10, а)
ветви сквозь окно в другой
(рис. 9.10, б). Кинематичес-
кие параметры механизмов,
построенных по схемам, изо-
браженным на рис. 9.7 —
9.11, определяются соотно-
шениями (9.1)—(9.8).
На рис. 9.12 изображен
волновой шаговый механизм,
сочетающий в себе положи-
тельные качества механизмов
с замкнутой бесконечной
связью (бесшумность и плав-
ность работы) с положитель-
ными качествами механизмов
па разомкнутой гибкой свя-
либо продеванием одной
Рис. 9.12. Волновой шаговый
механизм, содержащий замк-
нутую и разомкнутую гибкие
связи
зи с горизонтальным расположением ветвей (отсутствие
компенсационных пружин). Здесь бесконечная гибкая
зубчатая связь (ремень или цепь) 1 охватывает две
звездочки 2 и 3 и находится с ними в постоянном
зацеплении. Связь 1, в свою очередь, охвачена разомк-
нутой гладкой связью 5, скрепленной в одной точ-
ке а с бесконечной связью 1. Концы связи 5, так же
как и в механизмах, изображенных на рпс. 9.8—9.11,
расположены относительно друг друга иод углом, близ-
ким к 180°, и закреплены в корпусе. При вращении води-
ла 4 по часовой стрелке ведомый цилиндр 2 получает ша-
говое вращение в противоположном направлении. Меха-
низм является синхронным. Величина углового шага ве-
домого звена определяется соотношением (9.1).
Па рис. 9.13 изображены схемы шаговых механизмов,
которые, в отличие от ранее описанных, обеспечивают не
один, а два шага ведомого звена за время одного оборота
ведущего. Гибкая связь 1 охватывает ведомый цилиндр 2,
а ось вращения обкатного ролика 3 прикреплена к внеш-
нему концу ведущего водила 4. Ведомый цилиндр и во-
дило вращаются вокруг оси О11 а обкатной ролик —
вокруг осп ()2. Подвижное жесткое звено 5 связано через
пружину 6 с корпусом: 7. Механизм работает следующим
образом. При равномерном вращении водила 4 в направле-
но
шт, показанном стрёлкой А, ведомый цилиндр 2 совер-
шает шаговое движение в направлении, показанном стрел-
кой В, причем за один оборот водила ведомый цилиндр
совершает последовательно два цикла, каждый из кото-
рых состоит из поворота и останова ведомого звена.
Механизм реверсивный: при изменении направления враще-
ния водила ведомый цилиндр 2 также изменяет направле-
ние своего вращения. Схемы, показанные на рис. 9.13,
Рис. 9.13. Волновой шаговый механизм с двумя остановами ведо-
мого цилиндра: а, б, в — различные конструктивные исполнения
отличаются между собой соотношениями углов движе-
ния и останова, временными диаграммами первого и вто-
рого циклов ведомых звеньев. Эти характеристики изме-
няются в широких пределах и определяются геометриче-
скими размерами звеньев механизма.
Использование гибких связей, подверженных волно-
вой деформации и сцепленных с опорной цилиндрической
поверхностью, позволяет получить, кроме описанных вы-
ше, еще целый ряд механизмов, разнообразных по своим
функциональным особенностям, структуре, временным и
силовым характеристикам.
Создание волны (выпуклого участка) па гибкой связи
и ее движение (качение) по опорной поверхности может
быть в зависимости от конструкции устройства осуще-
ствлено различными средствами — механическими, пнев-
матическими, гидравлическими, электрическими и др.
На рис. 9.14 изображены схемы некоторых механиз-
мов, позволяющие осуществлять шаговое движение гиб-
кой связи, сцепленной силами трения с неподвижной
цилиндрической поверхностью. На рис. 9.14, а—е вы-
пуклый участок (волна) па гибкой связи 1, сцепленной
141
с неподвижным опорным цилиндром 2, образуется об-
катным цилиндром 3, свободно вращающимся на оси,
укрепленной на внешнем конце ведущего звена (водила) 4,
в свою очередь вращающегося вокруг центральной оси
неподвижного цилиндра 2. При непрерывном вращении
водила в направлении, показанном стрелкой А, гибкая
Рис. 9.14. Схемы волновых механизмов: а — с шаговой перемоткой
гибкой связи; б — с шаговым движением бесконечной гибкой свя-
зи; в — с повышенным тяговым усилием; г — обеспечение малых
шагов гибкой связи; д — с повышенной силой сцепления гибкой
связи с опорным цилиндром; е — с многократной обвивкой цилинд-
ров гибкой связью; ж — с кулачковым генератором волн; a
с гидравлическим генератором волн
связь и сцепленные с ней ведомые цилиндры получают
шаговое движение в направлениях, указанных стрел-
кой В.
142
Механизм, схема которого показана на рис. 9.14, а,
осуществляет шаговую перемотку гибкой лепты конечной
длины с бобины 5 иа бобину 6 (механизмы вращения бобии
в этом случае должны, как и в других известных пере-
моточных устройствах такого рода, обеспечивать натяже-
ние перематываемой лепты). Рис. 9.14, б иллюстрирует
схему механизма преобразования непрерывного враща-
тельного движения в шаговое прямолинейное перемеще-
ние бесконечной связи (ремня, цепи) 1 и шаговое враща-
тельное движение ведомого цилиндра 7. Детали 8—11
образуют механизм компенсации удлинения связи.
Механизм с гибкой перекрещивающейся связью не-
значительной ширины (трос, канат, узкая лента)
(рис. 9.14, в) обеспечивает повышенное сцепление связи 1
с неподвижным цилиндром 2 и более высокое предельное
тяговое усилие.
На рис. 9.14, г построена схема механизма, обеспечи-
вающего шаговое движение широкой гибкой ленты 1.
Опорный цилиндр 2 здесь состоит из двух частей, между
которыми расположен обкатпой цилиндр 5, который об-
разует волну па ленте 7, соприкасаясь с ее средней ча-
стью. Такой механизм способен обеспечить движение лен-
ты небольшими (начиная от близких к нулю) шагами.
Ролик 12 на рис. 9.14, а, д, служит для увеличения
угла обхвата лептой неподвижного цилиндра 2 и тем
самым для повышения предельного тягового усилия.
На рис. 9.14, е показана схема механизма, где гибкая
связь 1 (трос, канат, узкая лента) с целью увеличения
угла обхвата и повышения предельного тягового усилия
несколькими витками охватывает неподвижный 2 и об-
катной 3 цилиндры.
Механизм, схема которого изображена на рис. 9.14,
ж, работает следующим образом: волна на гибкой свя-
зи 1 образуется и перемещается кулачком 13 и толкателя-
ми 14, скользящими во втулках 13, расположенных в не-
подвижном цилиндре 2. Связь 1 получает шаговое движе-
ние с периодом вращения кулачка 13.
На рис. 9.14, з показана схема с гидравлическим спо-
собом образования волны па гибкой связи. Здесь гидрав-
лические поршни 16, радиально установленные внутри
неподвижного цилиндра 2, могут последовательно пере-
мещаться под действием давления жидкости, поступаю-
щей из капала а распределителя 17 вращающегося типа.
Канал Ъ распределителя постоянно соединен со сливной
полостью гидросистемы. При вращении распределителя 17
143
в направлении, показанном стрелкой А, поршни 16 по-
следовательно получают радиальные движения и тем са-
мым обеспечивают создание и перемещение выпуклого
участка на гибкой связи 1. Связь получает шаговое дви-
жение в направлении, указанном стрелкой В, с периодом
вращения распределителя 17.
Реализованный в описанных механизмах способ отли-
чается от известных способов шагового передвижения
гибкой связи путем периодических вращений и остановов
цилиндра, охватываемого связью, тем, что позволяет со-
здать шаговое перемещение при непрерывном движении
ведущего звена. При этом обеспечивается широкий диа-
пазон параметров передаточных отношений, шагов, со-
отношений времени движения, останова и др. Описанные
механизмы обладают значительным редуцирующим дей-
ствием и тяговым усилием, при прочих равных условиях
в несколько раз превышающим тяговые усилия известных
шаговых механизмов, обеспечивают плавность перемеще-
ния ведомого звена при переходе от движения к остано-
вам и обратно и не требуют изготовления деталей с высо-
кой точностью.
Изображенные па рис. 9.14 схемы механизмов выпол-
нены по прямой схеме (см. рис. 9.4, в), в которой опорная
поверхность неподвижна, а гибкая связь перемещается.
Очевидно, что эти механизмы могут быть «обращены», т. е.
приведены, к обратной схеме (см. рис. 9.4, а), в которой
опорная поверхность является подвижной, а гибкая связь
одним своим концом прикреплена к корпусу. Например,
если на рис. 9.14, а цилиндр 5 зафиксировать, а цилиндр 2
сделать подвижным, механизм превратится в преобразую-
щий равномерное вращение ведущего звена (водила 4)
в шаговое движение ведомого (цилиндра 2). При этом
направления вращения ведущего и ведомого звеньев ста-
нут противоположными. Окружной шаг гибких связей
рассматриваемых механизмов равен Ах = I — I.
Примером волнового шагового механизма, в котором
бегущая поперечная волна на гибкой связи генерируется
электрическим способом, может быть линейный шаговый
двигатель (ЛШД), схема которого изображена на рис. 9.15.
Двигатель является, по существу, электромеханической
реализацией схемы получения шагового движения, пока-
занной на рис. 9.4, б. Гибкая магниточувствительная
связь 1 находится между верхней 2 (имеющей выемку
для размещения движущейся волны) и нижней 5 частями
статора. Бегун 4, представляющий собой плоский тонкий
144
стержень, также расположен между верхней и нижней
частями статора и сцеплен одной своей поверхностью
(верхней па рис. 9.15) с гибкой связью 1, а другой (ниж-
ней) опирается на опорные ролики 5, 6 и 7. Ряд обмоток
Cl — С19, расположенный вдоль рабочей поверхности
Рис. 9.15. Схема волнового
линейного шагового электродвигателя
верхней части статора, служит для образования вынук-
лого участка («волны») на гибкой связи, а ряд обмоток
Д1 — Д19, приходящийся на нижнюю часть статора, обес-
печивает прижатие прямолинейной части гибкой связи 1
к верхней поверхности бегуна 4.
Линейный шаговый волновой электродвигатель рабо-
тает следующим образом. При помощи бегущего магнит-
ного поля, создаваемого обмотками статора, гибкое звено
1 образует на некотором своем участке волну, перемещаю-
щуюся вдоль бегуна 4. При этом катушками нижнего
статора обеспечивается прижатие прямолинейного уча-
стка гибкого звена к бегуну. Движение волны в направле-
нии, показанном стрелкой А, сопровождается перемеще-
нием бегуна на один шаг по направлению стрелки В
во время формирования очередной волны. Таким образом,
за каждый пробег волны от одного конца гибкого звена
к другому бегун при отсутствии его скольжения относи-
тельно гибкого тела передвигается на шаг, равный Ах —
= I — I, где I и I — спрямленная длина волнообразного
участка и ее проекция па горизонтальную ось.
§ 9.2. Волновые механизмы, использующие
продольную бегущую волну
9.2.1. Бегущая волна продольной деформации как пре-
образующее звено механизмов. Ранее было показано,
что если по деформируемому телу, лежащему па опоре,
движется с некоторой скоростью участок (волна) локаль-
6 А. И, Добролюбов 145
ной продольной деформации, то точки тела, находящиеся
в данный момент времени на этом участке, получают
перемещение. Отсюда следует, что деформируемое тело,
подверженное бегущей продольно-волновой деформации,
может рассматриваться как движитель, способный пере-
мещаться по опорной поверхности и сообщать движение
ведомым звеньям. Нами было показано, что бегущие по-
перечная и продольная волны деформации в задачах о
перемещениях деформируемых тел могут рассматриваться
с единых позиций как носители продольной деформации
вдоль направления движения, поэтому деформируемое те-
ло, подверженное бегущим продольным волнам деформа-
ции, способно выполнять функции движителя, аналогич-
ные функциям движителя в виде бегущей поперечной
волны на гибкой связи. Отличие заключается в том, что
бегущая поперечная волна, кроме продольных составляю-
щих перемещения и скорости, имеет существенные по-
перечные составляющие этих величин, а продольная вол-
на их не имеет. Способность бегущих поперечных и про-
дольных волн выполнять функции двигательного меха-
низма наглядно демонстрируется тем, что эти волны из-
вестны как средства передвижения таких живых существ,
как садовая гусеница (см. рис. 2.5) и дождевой червь
(см. рис. 2.10).
Волновые механизмы, работающие на основе использо-
вания поперечной бегущей волны па гибкой связи, сцеп-
ленной с опорой, могут выполнять те же функции, что
и механизмы, использующие продольную волну. Разли-
чия здесь будут заключаться лишь в характере кинемати-
ческих и динамических зависимостей, величинах пара-
метров, силовых характеристиках, величинах к. п. д.,
в возможностях технической реализации. Если предста-
вить себе поперечную и продольную бегущие волпы, у
которых эпюры продольных деформаций вж или линейной
плотности рж (см. рис. 5.7) одинаковы, и проанализиро-
вать горизонтальные движения их точек, то можно прий-
ти к выводу, что эти волны вызовут одинаковые гори-
зонтальные перемещения деформируемых тел, т. е. функ-
ции этих волн как движителей совпадут.
Функции деформируемых тел, подверженных действию
поперечных или продольных бегущих волн, аналогичны
и в схемах создания шаговых перемещений. Прямая и
обратная схемы получения шаговых движений ведомого
звена на основе поперечных волн (см. рис. 9.4, а, б) воз-
можны и на основе продольных волн: для этого в них
146
необходимо лишь заменить гибкое тело («гусеницу»), по
которому пробегают поперечные волны, продольно-де-
формируемым телом («червяком»), подверженным дей-
ствию бегущих продольных волн. Ведомое зьено в обоих
случаях сохранит шаговый характер перемещения. Все
это говорит о том, что на основе использования бегущей
продольной волны деформации возможно создание техни-
ческих устройств, аналогичных устройствам, работающим
на основе поперечной волны,— редукторов, шаговых
механизмов, электродвигателей, транспортно-тяговых
устройств и т. п. Эти устройства, будучи функционально
схожими, в то же время существенно отличаются как по
параметрам движения, так и по конструктивным особен-
ностям.
Прежде всего различными являются технически осу-
ществимые способы создания бегущих поперечных и про-
дольных волн на деформируемых телах (движителях),
используемых в волновых механизмах. Если поперечная
волна на гибком элементе в волновых передачах обычно
создается обкатными роликами-генераторами, кулачками,
магнитными силами, то образование бегущей продольной
волны является, по-видимому, более сложной технической
задачей. В качестве источника волновой деформации здесь
могут использоваться такие явления, как тепловое расши-
рение тел, пьезоэлектрический эффект, силы земного
притяжения, механические воздействия и др.
Для демонстрации дискретно-волнового перемещения
по опорной поверхности упругого тела, подверженного
движущейся продольной локальной деформации, т. е.
Рис. 9.16. Эксперимент, демон-
стрирующий дискретно-волно-
вое движение деформируемого
обода, напрессованного на
жесткий диск
продольной волны, проведем следующий эксперимент. Ис-
пользуем установку, включающую медный тонкий бан-
дажД, напрессованный на керамический диск 2, вращаю-
щийся на оси 3 (рис. 9.16). Нижнюю часть диска и банда-
жа погрузим в бак с водой 4, а небольшой участок верхней
6* 147
части бандажа нагреваем горелкой 5. При вращении диска
в направлении, указанном стрелкой А, па бандаже под
действием тепла горелки и охлаждения водой возникнет
бегущая волна температурной тангенциальной деформа-
ции удлинения (еж > 0), и напрессованный на диск бандаж
получит медленное окружное смещение («поползет») по
поверхности диска в направлении его вращения, т. е.
противоположно направлению скорости движения волны
температурной деформации на бандаже, что согласуется
с выражением (4.1) при ех >0. В проведенном эксперимен-
те медный топкий бапдаж, напрессованный на диск диа-
метром 125 мм, за 25 оборотов последнего при вращении
со скоростью 2 об/мин сместился па диске в окружном на-
правлении па величину 3,5 мм.
Дискретно-волновое движение гибкого тела, подвер-
женного действию бегущих волн деформации, возникаю-
щих под действием сил земного притяжения, можно про-
демонстрировать с помощью прибора (рис. 9.17), содержа-
щего гибкий деформируемый бесконечный элемент 1 (леп-
та, ремень, гибкая оболочка), охватывающий без зазора
Рпс. 9.17. Прибор для демонстрации дискретно-волнового движе-
ния деформируемого слоя под действием бегущих гравитационных
волн
цилиндр 2. К элементу 1 с наружной стороны прикрепле-
ны грузики 5. Цилипдр 2 закреплен неподвижно на веду-
щем валу 4, который получает медленное вращение от
внешнего источника (па рис. 9.17 не показан). Вал 4
смонтирован в стойке 5. Прибор работает следующим
образом. При неподвижном цилиндре 2 под действием
148
грузиков 3 гибкий элемент 1 получает продольную (тан-
генциальную) деформацию относительно поверхности ци-
линдра, т. е. деформацию растяжения (еж >0). Вслед-
ствие кривизны опоры и наличия сил трения она распре-
делена неравномерно по длине гибкого элемента 1. Для ус-
ловий сухого трения величина деформации ех элемента 7
достигнет максимума в верхних точках его контакта с
опорным цилиндром. В этих же точках сила давления
(а значит, и сила сцепления гибкого элемента 1 с опорной
поверхностью) также будет максимальной. При медлен-
ном вращении цилиндра 2 картина деформации гибкого
элемента 1 относительно неподвижной системы координат
сохраняется неизменной, что равносильно движению уча-
стков тангенциальной деформации элемента относительно
опорной поверхности цилиндра в сторону, противополож-
ную его вращению. Верхние точки гибкого элемента в
силу максимальности их сил сцепления с поверхностью
цилиндра в каждый момент времени неподвижны, поэтому
движение участков деформации элемента 1 можно пред-
ставить в виде модели «качение с деформацией» растяжи-
мой нити (см. рис. 3.5, 3.11), что согласно изложенному
выше вызывает сдвиг точек гибкого элемента относитель-
но опорной поверхности в направлении, совпадающем с
направлением движения участка (волны) деформации и
противоположном направлению вращения цилиндра 2.
Следует отметить, что при достаточно больших грузи-
ках 3 или при наличии зазора между поверхностью ци-
линдра 2 и гибким элементом 7 на последнем образуется
выпуклость (поперечная волна), максимум (гребень) кото-
рой находится в нижней точке цилиндра. В этом случае
при вращении цилиндра 2 на гибком элементе 7 образу-
ется поперечная волна, бегущая в направлении, противо-
положном его вращению, а точка максимального сцепле-
ния гибкого элемента с опорой по-прежнему находится
в верхней точке цилиндра. Данное явление описывается
моделью бегущей поперечной волны, которая согласно
вышеизложенному переносит деформируемое тело в на-
правлении ее распространения, т. е. противоположно вра-
щению цилиндра 2. Этот факт подтверждается экспери-
ментально.
Описанный прибор является, по существу, редуктором
с большим передаточным отношением. Он может быть
использован также для демонстрации геофизического яв-
ления смещения земной коры под действием внешних
гравитационных сил [9].
149
9.2.2. Механизмы, основанные на прокатке упругого
тела. Наибольшими конструктивными возможностями, по-
видимому, обладает способ создания бегущей волны про-
дольной деформации путем прокатки (раскатки) упругого
тела, лежащего на жестком основании. Схема, поясняю-
щая это явление (см. рис. 3.6), включает ролик (штамп),
прижимаю!ций упругое тело к жесткой опорной поверх-
ности и создающий на нем поперечную деформацию еп,
которая, согласно закону Пуассона, порождает продоль-
ную деформацию ех. Эта деформация без учета сил трения
между упругим телом и сжимающими его поверхностями
равна еЛ. = цс,,, где ц — коэффициент Пуассона (р <;
<0,5). При движении (качении) прижимного ролика по
упругому телу волна продольной деформации &х движется
по нему со скоростью движения ролика. Особенностью
этой бегущей волны деформации является тот факт, что
ее вершина в каждый момент времени неподвижна, а
остальная часть тела (вне волны) равномерно движется
со скоростью, определяемой формулой (3.1).
Рассмотренная схема может быть названа прямой.
На рис. 9.18 показана обратная схема, состоящая из уп-
ругого тела 7, прокатываемого роликом 2 и закрепленного
Рис. 9.18. Обратная схема прокатки упругого тела
своими концами в корпусе. Тело 7 опирается па подвиж-
ную опору 5, которая для уменьшения сил трения опи-
рается на основание 4 через тела качения 5. При движе-
нии прижимного ролика 2 (ведущее звено) в направлении,
указанном стрелкой к, подвижная опора (ведомое звено)
перемещается в противоположном направлении со ско-
ростью, определяемой формулой (3.1). Изменение направ-
ления движения прижимного ролика меняет направление
перемещения ведомого звена на противоположное. Зна-
чительный редуцирующий эффект, возможность измене-
ния кинематических и силовых параметров путем подбора
150
соответствующих физико-механических характеристик и
размеров используемого упругого тела, изменения гео-
метрической формы и количества прижимных тел каче-
ния, возможность плавного регулирования передаточного
отношения путем изменения силы прижима тел качения
к упругому телу, отсутствие зазоров при реверсировании
Рис. 9.19. Схемы редукторов, использующих прокатку упругого
тела: а — торцовое исполнение; б — цилиндрическое
и трогании с места, возможность работы до жесткого упо-
ра ведомого звена и другие особенности этого способа пре-
образования движения делают его перспективным для
создания различных редуцирующих механизмов с боль-
шим передаточным отношением. Недостатком его явля-
ется асинхронность движения ведомого звена, невысокий
к. п. д., зависимость кинематических характеристик и ра-
ботоспособности от свойств используемого упругого тела.
Рассмотрим схемы редукторов, использующих описан-
ную схему прокатки упругого тела. Механизм, изображен-
ный на рис. 9.19, а, включает диск 7, выполненный из
упругого материала, который неподвижно крепится к
ведомому цилиндру (шестерне) 2. К торцу диска прижи-
маются тела качения 5, размещенные на дорожках каче-
ния ведущего диска 4, связанного с ведущим валом 5.
Диск 4 посредством пружины 6 прижимает тела качения
к упругому диску 7, а упругий диск 7 — к неподвижному
диску 7, связанному с корпусом 8. Гайка 9 позволяет
изменять силу сжатия пружины 6. Ведомый цилиндр 2
подвижно сопряжен со ступицей неподвижного диска 7.
151
Механизм работает следующим образом. При враще-
нии ведущего вала 5 тела качения 3 катятся по упругому
диску 7, одновременно деформируя его и прижимая к
неподвижному диску 7. При этом ведомое звено-шестер-
ня 2 получает вращение в том же направлении, со ско-
ростью, значительно меньшей скорости вращения ведуще-
го вала. Коэффициент редуцирования скорости зависит
от упругих свойств диска 7, силы прижима тел качения
к упругому диску и определяется формулой (3.1).
Если етах — максимальная продольная деформация
упругого тела в точке контакта с телами качения, о;j —
угловая скорость ведущего вала 5, то угловая скорость
ведомого звена 2 равна
®2 = 0,5oj1emax/( 1 emax) ~ 0,5tt>iSmax. (9.9)
Здесь коэффициент 0,5 учитывает, что угловая скорость
перемещения тел качения 3 в два раза меньше угловой
скорости вращения ведущего диска 4. Ввиду трудности
оценки точного значения Етах для различных упругих
тел (с учетом сил трения в точке контакта тела с жесткой
опорой) передаточное отношение механизма, работающего
на принципе прокатки упругого тела, должно уточняться
эмпирически. Изготовленный по схеме, показанной па
рис. 9.19, <?, образец механизма при использовании упру-
гого диска из резины обладал передаточным отношением
Wj/ojj в диапазоне регулирования 5 4- 30; в случае при-
менения упругого диска толщиной 1,5 мм из стали 65Г,
закаленной до твердости IIRC 48, и тел качения (шари-
ков) диаметром 11,2 мм передаточное отношение находи-
лось в пределах 500 4- 10000.
Схема, изображенная па рис. 9.19, б, включает упру-
гое тело 7, выполненное в виде цилиндра, прикрепленное
к ведомому цилиндру 2. К поверхности цилиндра 7 прижа-
ты тела качения 3, опирающиеся па дорожки качения,
образованные полудисками 4 и 5, связанными с ведущим
валом 6 и сжимаемыми пружиной 7. Упругий цилиндр 7
опирается на поверхность неподвижного цилиндра 8, свя-
занного с корпусом 9. Сила пружины может регулиро-
ваться гайкой 10.
Рассматриваемый механизм работает следующим обра-
зом. При вращении ведущего вала 6 с некоторой ско-
ростью тела качения 3 катятся по упругому цилиндру 7,
одновременно прижимая его к поверхности неподвижного
цилиндра 8. Вследствие сжатия телами качения стенок
упругого цилиндра 7 и перемевщпия точек сжатия этот
152
цилиндр начинает вращаться в направлении движения
ведущего вала и вызывает вращение ведомого цилиндра 2
с редуцированной скоростью, которая зависит от упругих
свойств цилиндра 1 и степени его деформации телами
качения. Скорость приблизительно определяется форму-
лой (9.9).
Описанный механизм может быть выполнен также в
вариантах, отличных от показанных на рис. 9.19, па-
пример, с телами качения в виде роликов, с обкаткой уп-
ругого тела (рис. 9.19, б) по наружной поверхности ци-
линдра и прижимом его к неподвижному внутреннему
цилиндру, с гидравлическим либо пневматическим прижи-
мом тел качения и т. д. Он является универсальным и
может быть применим в машинах и приборах в тех слу-
чаях, когда требуется обеспечить значительный переда-
ваемый крутящий момент и высокое передаточное отноше-
ние (до нескольких тысяч), причем последний показатель
может плавно регулироваться вращением гайки, деформи-
рующей пружину, либо другим способом изменения силы
прижима тел качения к упругому элементу. Повышение
предельного передаваемого крутящего момента может осу-
ществляться увеличением числа тел качения. Передаточ-
ное отношение механизма и передаваемый им крутящий
момент зависят от свойств применяемого упругого эле-
мента. Этот элемент может быть выполнен в зависимости
от назначения и требуемых характеристик из различных
упругих материалов — как неметаллических (резина, по-
лимеры), так и металлических (сталь, латунь и др.).
Механизм прост в изготовлении и не требует деталей
высокой точности изготовления. Он бесшумен и лишен
люфта или свободного хода при трогании с места и при
реверсировании.
На рис. 9.20 изображена схема двухскоростного вернь-
ерного устройства (механизма настройки радиоаппарату-
ры), работающего по принципу прокатки упругого тела
и обеспечивающего быстрое и медленное вращение рабо-
чего органа настройки. Упругое кольцо 1 одной своей
стороной (левой па рис. 9.20) прижато к торцу ручки
грубой настройки 2, а другой — к телам качения 3 гене-
ратора деформации, размещенным па дорожках качения
в торце ручки точной настройки 4. Упругое кольцо 1
неподвижно соединено с ведомым валом 5 устройства
посредством двух прижимных шайб 6 и гайки 7. Ручка
грубой настройки 2 опирается па кольцо 8, неподвижно
прикрепленное к стенке 9. Фрикционная шайба 10 служит
153
для обеспечения стабильного момента трения на ручке 2.
Тарельчатая пружина 11 через гайку 12, упорный под-
шипник 13 и ручку точной настройки 4 передает усилие,
прижимающее тела качения 3
волнового типа
к упругому кольцу 1.
Величина усилия мо-
жет регулироваться гай-
кой 14.
Механизм работает
следующим образом.
При вращении ручки
2 грубой настройки ве-
домый выходной вал 5
получит прямое, т. е.
нередуцированное, быст-
рое вращение через
упругое кольцо 1, при-
жатое к торцу ручки 2
и связанное с валом 5.
При повороте ручки 4
точной настройки тела
качения 3 катятся по
торцовой поверхности
упругого кольца 1, опи-
цо 1 деформируется в точках
рающегося на торец
ручки 2. Упругое коль-
контакта с телами ка-
чения и получает вращение в направлении движения
ручки точной настройки, только со значительно мень-
шей по величине скоростью. Это вращение передает-
ся ведомому валу 5. Коэффициент уменьшения скоро-
сти зависит от упругих свойств кольца 1 и силы прижима
его к торцу ручки 2 телами качения 3 и определяется
выражением (9.9). Гайкой 12 можно плавно регулировать
скорость вращения вала 5. Упругое кольцо 1 может быть
выполнено как из неметаллических материалов (резина,
полимеры), так и из металлических (сталь, латунь и др.).
Схема редуцирующего механизма, работающего по
принципу обратной схемы (см. рис. 9.18) прокатки упру-
гого тела, показана на рис. 9.21. Механизм пригоден
для передачи вращения в герметичное пространство, т. е.
между ведомым и ведущим звеньями здесь может суще-
ствовать сплошная непроницаемая стейка. Мембрана 1,
выполненная из упругого материала, неподвижно и гер-
метично прикреплена к неподвижной стенке 2, отделяющей
герметичную зону (слева от стенки 2) от зоны привода
154
Рис. 9.21. Схема волнового механиз-
ма для передачи вращения в герме-
тичное пространство
(справа от стенки 2). К торцу мембраны прижаты тела каче-
ния 3, размещенные на дорожках качения ведущего дис-
ка 4, связанного с ведущим валом 5. Этот диск посред-
ством тел качения 3 и пружины 6 прижимает упругий
диск 1 к торцу ведомого 7, связанного с ведомым валом 8.
Гайка 9, помещенная в резьбе фланца 10, прикрепленного
к стенке 2, позволяет из-
менять силу сжатия пру-
жины 6. Упорные подшип-
ники 11 и 12 служат для
восприятия осевых сил,
сжимающих мембрану 1.
Работа механизма осу-
ществляется следующим
образом. При вращении
ведущего вала 5 тела ка-
чения 3 катятся по упру-
гой мембране 1, одновре-
менно деформируя ее си-
лами сжатия и прижимая
к торцу ведомого диска 7.
При этом ведомый диск
7 и вал 8 получают вра-
щение в направлении,про-
тивоположном движению
ведущего вала 5, со ско-
ростью, значительно мень-
шей скорости последнего.
Коэффициент уменьшения
скорости зависит от уп-
ругих свойств мембраны
и от силы прижима тел ка-
чения к упругому диску.
Таким образом, вращением гайки 9 можно плавно ре-
гулировать величину передаточного отношения механиз-
ма, определяемую соотношением (9.9).
Описанный механизм может быть применен в машинах
и приборах в тех случаях, когда требуется плавно регу-
лируемая передача вращения через герметичную стенку
(в вакуумное пространство, в пространство с агрессивной
средой и т. д.). Повышение предельного передаваемого
крутящего момента осуществляется увеличением числа
тел качения. Упругая мембрана в зависимости от назначе-
ния, области применения механизма и требуемых переда-
точных отношений может быть выполнена из различных
155
упругих материалов — как неметаллических (резина, по-
лимеры), так и металлических (сталь, латунь и др.).
Механизм не требует деталей высокой точности изготовле-
ния, бесшумен в работе и лишен люфта при трогании с
места и при реверсировании.
Кинематическая схема механизма двухскоростного пре-
дельного резьбоверта, работающего по принципу прокат-
ки упругого тела, в котором одновременно используется
как прямая (см. рис. 3.6), так и обратная (см. рис. 9.18)
схемы преобразования, изображена на рис. 9.22. Дви-
гатель 1 соединен валом 2 с ведущим диском 4. На диске 4
Рис. 9.22. Двухскоростной предельный резьбоверт волнового типа
имеется дорожка качения, па которой располагаются тела
качения (ролики) 5, контактирующие также с упругим
телом (диском) 6, выполненным из упругого материала
(резина, полимеры). Диск 6 неподвижно закреплен па
ведомом звене (диске) 7 и свободно опирается па подвиж-
ное опорное звено (диск) 8. Ведомый диск 7 жестко свя-
зан с ведомым валом (шпинделем) 10 резьбоверта, а под-
вижный опорный диск 8 через муфту обгона 14 соединен
с корпусом 9. Пружина 12 обеспечивает прижим тел ка-
чения 5 к упругому диску 6', гайкой 11 регулируется сила
пружины 12\ подшипники 3 и 13 воспринимают осевые
усилия.
Механизм работает следующим образом. В начале за-
винчивания резьбы, когда крутящий момент невелик,
шпинделю 10 передается быстрое вращение напрямую
от двигацеля 1, при этом ролики 5 остаются неподвижны-
ми относительно диска 6, а диск 6 — относительно под-
вижного диска 8. Ведущий 4, упругий 6 и опорный 8
диски в этом случае вращаются как одно целое с одина-
ковой скоростью. Муфта обгона 14 по препятствует вра-
щению подвижного диска 8.
156
Как только крутящий момент завинчивания резьбы
возрастает, ролики 5 начинают катиться по упругому
диску 6, вызывая его медленное вращение в направлении
вращения ведущего диска 4. Это медленное вращение
передается шпинделю 10 резьбоверта. Опорный диск 8
теперь будет неподвижным, так как реактивный крутя-
щий момент, действующий на диск 8 со стороны упругого
диска 6, направлен в сторону, противоположную направ-
лению вращения ведущего диска 4, а обгонная муфта 14
предотвращает вращение диска 8 в этом направлении.
Как только крутящий момент на завинчиваемой резьбе
достигает заданной требуемой предельной величины, уп-
ругий диск 6, а с ним шпиндель 10 резьбоверта останавли-
ваются, а ролики 4 продолжают катиться по упругому
диску 6, не вызывая его вращения. Величина предельного
момента иа шпинделе резьбоверта определяется упругими
свойствами диска 6, силой прижима тел качения 5 к диску
6, а также количеством тел качений. Настройка резьбо-
верта на требуемую величину предельного момента осу-
ществляется гайкой 11.
Описанный механизм, кроме торцевого (рис. 9.22),
может иметь радиальное исполнение. Тогда упругое тело
и его опора выполнены в виде концентрических цилинд-
ров, контактирующих между собой боковыми поверхно-
стями, а обкатка упругого цилиндра телами качения
совершается по его наружной либо внутренней поверхно-
сти. Тела качения в механизме могут иметь форму роликов
или шариков. В случае, когда требуется высокое пере-
даточное отношение (свыше 1000), упругий диск может
быть выполнен из закаленной стали, латуни и других
упругих металлов.
Описанный механизм резьбоверта обладает следую-
щими особенностями: простота кинематической схемы,
обусловленная отсутствием зубчатых пар; обеспечение
предельности крутящего момента па шпинделе как при
медленном, так и при быстром его вращении; автомати-
ческое переключение с большой скорости вращения на
малую; бесшумность работы; компактность конструкции.
Универсальность механизма позволяет применять его
в различных областях машиностроения и приборострое-
ния, в частности в гайковертах, виптовертах, шпилько-
вертах, исполнительных звеньях роботов, используемых
для сборки резьбовых соединений.
На рис. 9.23 изображена схема механизма охвата
робота, работа которого также основана на принципе
157
прокатки упругого тела. Подвижные исполнительные губ-
ки 2 схвата приводятся в движение винтом 3, связанным
с подвижной гайкой 4, установленной в корпусе 5. К тор-
цу подвижной гайки 4 одной своей стороной прижат за-
крепленный в корпусе 5 упругий элемент в виде диска 6,
с другой стороны которого расположены прижатые к нему
тела качения (шарики
Рис. 9.23. Схема волнового
схвата робота
или ролики) 7, размещенные на
дорожках качения кольца 1,
связанного при помощи шайбы
8 с ведущим валом 9, соеди-
ненным в свою очередь с валом
мотора 11. Пружина 10 слу-
жит для создания усилия при-
жима тел качения 7 к упруго-
му элементу 6.
Схват работает следующим
образом. При вращении мото-
ра 11 его движение через вал 9
и шайбу 8 передается кольцу 1,
и тела качения 7 начинают ка-
титься по упругому элементу 6,
к которому они прижаты пру-
жиной 10. На упругом элемен-
те 6 образуется бегущая волна
продольной деформации, вслед-
ствие чего подвижная гайка 4
получает вращение в направ-
лении, противоположном вра-
щепию ведущего вала 9 со ско-
ростью, значительно меньшей
скорости последнего. Коэффи-
циент уменьшения скорости зависит от упругих свойств
элемента 6 и силы прижима к нему тел качения 7. Под-
вижная гайка при своем вращении обеспечивает поступа-
тельное движение винта 3, который вызывает перемещение
захватных губок 2 схвата. После захвата детали движение
губок 2, винта 3 и вращение гайки 4 прекращаются, одна-
ко качение тел 7 по упругому диску 6 может продол-
жаться, при этом усилие захвата на губках остается по-
стоянным. Мотор 11 после захвата детали может оста-
ваться включенным либо выключенным, так как это не
изменит усилия зажима детали.
Для разжима (освобождения) детали
включить вращение электродвигателя 11 в
необходимо
противопо-
ложную сторону.
158
Упругий элемент в зависимости от требуемых величин
усилия захвата и передаточного отношения может быть
выполнен из различных упругих материалов — как не-
металлических (резина, полимеры), так и металлических
(сталь, латунь и др.). Повышение усилия захвата осуще-
ствляется увеличением числа тел качения. Механизм не
Рис. 9.24. Схема волнового механизма для получения малых линей-
ных перемещений
требует высокой точности изготовления, обеспечивает ре-
гулируемое усилие зажима и способен захватывать детали
различных размеров.
Схема использования механизма прокатки упругого
тела для получения малых линейных перемещений
(рис. 9.24) включает подвижные ролики 2, которые при-
жимают упругое тело 7, охватывающее неподвижный
стержень 3. Если ролики (ведущее звено) катить в на-
правлении, указанном стрелкой А, упругое тело 1 полу-
чит медленное перемещение в том же направлении, бла-
годаря чему оно может осуществлять движение ведомого
звена 4. Механизм может быть использован в случаях,
когда требуются медленные небольшие перемещения при
значительных усилиях, например в механизмах попереч-
ной подачи шлифовальных станков.
Все рассмотренные механизмы работают па основе ис-
пользования непрерывно движущейся волны (очага) де-
формации на гибких или упругих телах. Здесь воздейст-
вие, осуществляющее деформацию тела на некотором его
участке, непрерывно движется по телу, вызывая движения
точек самого тела на участке деформации или вне его.
Этим самым осуществляется преобразование непрерыв-
ного перемещения волны деформации в движение тела и
связанных с ним ведомых звеньев.
Непрерывность движения волны (очага) деформации
на теле не является обязательным условием преобразова-
ния движения волны в перемещение деформируемого тела.
Участок деформации, создаваемый на теле, может пере-
двигаться по любому закону, в том числе и дискретным
159
(шаговым) образом. Характер перемещения очага дефор-
мации определяет характер движения деформируемо-
го тела.
Допустим, что упругое тело 1 (рис. 9.25, а), лежа-
щее на жесткой опорной поверхности 2, прижимается к
этой поверхности силами трех пуансонов 3—5, располо-
женных ио одной прямой. Если пуансон 5, оставляя при-
жатыми пуансоны 4 и 5, перенести вдоль той же прямой
Ряс. 9.25. Схемы получения малых перемещений ведомого звена
путем дискретного перемещения очага доформщия на упругом теле
в позицию 6 (обозначена штрихами), а затем, оставляя
прижатыми пуансоны в позициях 5 и 6, переместить
пуаисои 4 в том же направлении в позицию 7 и т. д.,
организовав таким образом «безотрывное шагание» пуан-
сонов по упругому телу, последнее будет дискретно пере-
мещаться в направлении их сдвига. Для передвижения
тела необходимо, чтобы соблюдались следующие условия:
во-первых, чтобы шагание было «безотрывным», т. е. в
каждый момент времени хотя бы один пуансон прижимал
упругое тело 1 к опоре 2, и, во-вторых, чтобы шаг пере-
мещения пуансонов был меньше радиуса зоны деформа-
ции упругого тела, возникшей (по закону Пуассона) в
нем в направлении, поперечном к действующим силам.
160
Это объясняется тем, что в случае, когда точка приложе-
ния очередной перемещенной силы располагается внутри
зоны деформации тела, происходит фиксация точек тела,
прижатых данной силой, в результате они не получают
обратного упругого смещения при снятии остальных сил
и оказываются сдвинутыми в направлении перемещения
силы.
Рассмотрим (рис. 9.25, б) движение упругого тела 1,
подверженного действию пуансонов 3—9, положение ко-
торых зафиксировано направляющей деталью 10. Осу-
ществляя при помощи пуансонов последовательное при-
ложение нормальных сил к упругому телу, удовлетворяю-
щее указанным выше условиям, можно осуществлять
перемещение упругого тела 1 по опорной поверхности 2
в одном из двух направлений вдоль линии расположения
пуансонов. Изменяя силу прижима пуансонов и порядок
их действия, можно изменять величину перемещения тела.
На рис. 9.25, в изображена схема механизма подачи
шлифовального станка, работа которого осуществляется
по описанному способу. Здесь упругое тело (брус) 1,
лежащее на опоре 2, находится под воздействием пуансо-
нов 3—10, установленных в направляющей плате 11.
Тело 1 связано со шлифовальным суппортом 12, несущим
шлифовальный круг 13, обрабатывающий деталь 14.
Быстрые подводы-отводы шлифовального круга к детали
осуществляются гидроцилиндром 15 при отведенных в
верхнее положение пуансонах 3—10.
Если упругий брус 1 прижимать пуансонами 3—10,
например, в такой последовательности: (5), (5, 4), (4, 5),
(5, 6), ..., (9, 10), (10, 3), (3, 4) ит. д., то суппорт 12 шли-
фовального станка получит перемещение к обрабатывае-
мой детали. (Здесь запись, например, (4, 5) означает, что
в данный момент времени брус 1 прижат к опорной по-
верхности только пуансонами 4 и 5, а остальные па него
ие действуют). Могут быть применены и другие последо-
вательности работы пуансонов, например: (3, 4, 5), (4, 5,
6), (5, 6, 7), (6, 7, 8) и т. д. Скорость и характер перемеще-
ния упругого тела по описанному способу и его тяговая
способность зависят от упругих свойств тела, силы при-
жима его к опоре, расстояния между точками приложе-
ния сил, коэффициента трения между контактирующими
поверхностями упругого тела и опоры.
Описанный способ получения малых перемещений мо-
жет быть реализован и другими средствами, например
гидравлическим, электрическим, магнитным воздейст-
161
впем на упругое тело, которое может представлять собой
замкнутую оболочку, круг, брус переменного сечения
и т. и. Форма и геометрические размеры упругого тела
также влияют на характер движения ведомого звена.
Способ движущейся деформации (прокатки) упругих
тел позволяет создать линейные и угловые механизмы для
осуществления малых перемещений — редукторы с вы-
соким коэффициентом редукции (до нескольких десятков
и выше). Применение упругих тел (металлы, упругие по-
лимеры) в качестве элемента редукции способствует сни-
жению стоимости этих механизмов. Дискретный (шаго-
вый) характер позволяет осуществить строго определен-
ную подачу ведомых звеньев.
Невозможность получения точных значений физико-
механических и геометрических параметров применяе-
мых упругих тел и изменение этих параметров в процессе
эксплуатации механизмов не позволяют в ряде случаев
получить стабильные кинематические характеристики упо-
мянутых механизмов и обеспечить синхронность их дви-
жения, что снижает точность предварительных кинема-
тических расчетов. Однако наряду с этими недостатками
такие механизмы обладают и рядом преимуществ, глав-
ными из которых являются простота конструкции, зна-
чительное редуцирующее действие, отсутствие зазоров и
люфтов при трогании с места и реверсировании, легкость
бесступенчатой регулировки передаточного отношения,
возможность работы до жесткого упора. Эти преимущества
в ряде случаев играют решающую роль (как, например,
в описанных выше механизмах верньерных устройств,
предельных резьбовертах, схватах роботов и др.), и по-
этому их использование в ряде машин и приборов оправ-
дано. Следует отметить перспективность использования
подобных механизмов в связи с появлением новых метал-
лических, полимерных и металлополимерных материа-
лов, обладающих высокими и стабильными параметрами
упругости и износостойкости. Актуальными задачами
являются конструктивные совершенствования описанных
механизмов и их испытания в условиях длительной
эксплуатации.
9.2.3. Волновые транспортно-тяговые устройства. Как
было показано, кинематическая сущность волнового пере-
мещения деформируемых тел по опорной поверхности со-
стоит в создании на теле (движителе) движущихся в
одном направлении участков (волн) продольного сокраще-
ния или удлинения, чередующихся с неподвижными не-
162
деформированными участками, неподвижно сцепленными
в данный момент с опорной поверхностью. Эти движущие-
ся по деформируемому телу волны в живых существах
или в технических устройствах могут создаваться различ-
ными средствами — силой мышц живого существа, меха-
ническими, электромагнитными, гидравлическими гене-
раторами волн деформации в технических устройствах.
Во всех случаях назначением генераторов волн деформа-
ции является создание движущихся (непрерывно или
дискретно) участков сокращения или удлинения дефор-
мируемого тела относительно опорной поверхности.
На основе использования бегущей волны на деформи-
руемом теле могут быть созданы, кроме описанных выше
механизмов-редукторов, различные транспортно-тяговые
устройства, где вместо опорных колес используются вол-
нообразно деформируемые тела (движители). Известны,
например, транспортные устройства, где движителем
является волнообразно деформируемая пневматическая
опора.
Идея волнового способа перемещения деформируемых
тел по опорной поверхности может быть использована для
перемещения многозвенных устройств с жесткими звенья-
ми, контактирующими с опорной поверхностью, если
расстояния между звеньями могут периодически изме-
няться при помощи тех или иных механизмов возвратно-
поступательного действия, например гидроцилипдров,
винтовых, кривошипно-шатунных, кулачковых и т. п.
механизмов. В этом случае роль локальной продольной
деформации сокращения-удлинения участков перемещаю-
щегося тела играют возвратно-поступательные движения
звеньев устройства, а движение вдоль тела участков
удлинения или сокращения («бегущая волна») обеспечи-
вается последовательным действием механизмов возврат-
но-поступательного движения. На основе этого способа
передвижения могут быть созданы многозвенные транс-
портно-тяговые устройства, где звенья соединены в ли-
нию, образуя, таким образом, продолговатое тело
(«поезд»), причем соседние звенья поезда должны иметь
возможность смещаться (аналогично смещениям точек де-
формируемого тела) относительно друг друга на неболь-
шую величину. Можно сказать, что в таких устройствах
использована идея волнового передвижения деформируе-
мого тела по опорной поверхности, хотя эти устройства
не имеют деформируемых звеньев. Такие устройства в
определенных условиях эксплуатации обладают положи-
163
тельными технико-экономическими показателями вследст-
вие простоты конструкции, повышенной проходимости и
силы тяги.
На рис. 9.26, а изображена схема такого устройства,
состоящего из четырех звеньев 1—4, связанных между
собой гидроцилиндрами Ct — С3, поршни которых спо-
собны совершать возвратно-поступательные движения.
S) х ?
I, , 4 .
в) А
Ж///Ж7/Ж///Жж///
Рис. 9.26. Принцип дви-
жения многозвенных
«волновых» транспорт-
ных устройств: а —
устройство из четырех
звеньев, связанных гид-
роцилипдрами; б —
«дискретный вариант»
способа передвижения
дождевого червя; в —
к анализу движения
двухзвенного устрой-
ства; г — схема само-
ходного шасси
При определенной последовательности работы гидро-
цилиндров звенья и поезд в целом получают однонаправ-
ленное движение по опорной поверхности. Так, если по-
дать давление в левую на схеме иолость цилиндра Ci;
звено 1 переместится вправо, а остальные звепья будут
находиться в покое. Если далее подать давление в левую
иолость цилиндра С\ и в правую иолость С,, звено 2
переместится вправо, а остальные звенья будут оставать-
ся неподвижными. Далее давление следует подать в ле-
вую полость цилиндра С3 и в правую С2 (перемещается
вправо звено 3) и затем — в правую полость С3 (пере-
мещается вправо звено 4). За время одного описанного
цикла работы цилиндров весь поезд, состоящий из четы-
рех звеньев, переместится по опорной поверхности на
величину хода поршня цилиндров.
Отметим, что описанный способ передвижения много-
звенного устройства является по существу «дискретным
вариантом» способа передвижения дождевого червя. Если
представить себе, что продолговатое деформируемое тело,
лежащее па опоре, состоит из отдельных участков
(рис. 9.26, б), способных сокращаться независимо друг
164
от друга, то последовательное сокращение участков та-
кого тела (когда после сокращения i-ro участка сокра-
щается (i + 1)-й, а i-й приходит в недеформированное
состояние) приведет к перемещению тела относительно
опорной поверхности.
Заметим, что движение поезда (рис. 9.26, а) обеспечи-
вается независимо от величины силы сцепления звеньев
с опорой. Здесь не действуют такие факторы, как недо-
статочность сцепления звеньев с опорой, пробуксовка на
рыхлом или скользском грунте и т. п., так как в устройст-
ве, работающем по такой схеме, сила сопротивления дви-
жению одного звена при одинаковых дорожных условиях
для всех звеньев в любой момент времени меньше силы
сцепления нескольких (на рис. 9.26, а — трех) непод-
вижных звеньев. Единственным условием движения та-
кого поезда является достаточность силы, развиваемой
тяговыми гидроцилиндрами. Опора на грунт звеньев мо-
жет быть колесной, гусеничной либо бесколеспой (сани,
лыжи, поддоны и т. п.).
Существенной кинематической и силовой характери-
стикой подобного способа движения является число N
звеньев, составляющих поезд, и число п одновременно
перемещаемых звеньев. В случае поезда из одинаковых
звеньев, обладающих равным сопротивлением перемеще-
нию, должно соблюдаться условие
п < N/2, (9.10)
которое вытекает из условия перемещения подвижных
звеньев,
FN-n > Fn, (9.И)
где FN-n — сила сцепления с опорной поверхностью не-
подвижных (7V — п) звеньев поезда; Fn — сила сопро-
тивления движению подвижных звеньев.
Если v — скорость движения подвижных звеньев, то
очевидно, что средняя скорость v движения поезда опре-
делится соотношением
v = vn/N,
(9.12)
которое аналогично выражению (2.6) для определения
средней скорости перемещения деформируемого тела, под-
верженного действию бегущих волн деформации. Из
(9,12) и (9.10) следует, что г> < 0,5 р. Заметим, что мощ-
ность привода описанного устройства может быть пе-
165
большой, ввиду того, что здесь, как и в случае перемеще-
ния гусеницы или дождевого червя, происходит «движение
по частям» перемещаемой массы.
Из (9.10) следует, что минимальное число одинаковых
звеньев поезда, передвигающегося по описанному спо-
собу, равно трем.
Выясним дополнительные условия, при которых воз-
можно направленное перемещение подобной системы,
состоящей из двух тел (рис. 9.26, в), связанных между
собой при помощи механизма возвратно-поступательного
действия (например, гидроцилиндра). .Путем элементар-
ных рассуждений можно прийти к заключению, что для
осуществления направленного движения двух тел А и В
в рассматриваемых условиях (рис. 9.26, в) необходимо
осуществить следующую периодически повторяемую про-
цедуру: изменять в некоторые моменты времени направ-
ление сил, действующих между телами А и В, и в эти же
моменты времени изменять соотношение сил сцепления
тел А и В с опорной поверхностью. Например, если сила
сцепления FA тела А больше силы FB сцепления тела В
(Fa > FB), а поршень гидроцилиндра обеспечивает уда-
ление друг от друга тел А л В (случай, изображенный
на рис. 9.26, в), то тело В будет скользить по опорной по-
верхности в направлении от неподвижного тела А, т. е.
вправо. Если далее направление движения поршня из-
менить на противоположное и одновременно изменить
на противоположное соотношение между силами сцепле-
ния с опорой тел А и В (FA < FB), то тело В станет не-
подвижным, тело А — подвижным и начнет перемещать-
ся вправо. Периодически повторяя описанную процедуру,
мы приходим к шаговому направленному движению обоих
тел по опорной поверхности, когда подвижное тело в каж-
дый момент времени движется, опираясь на неподвижное.
Приведенные закономерности могут послужить основой
ряда конструктивных исполнений двухзвениых транспорт-
но-тяговых устройств повышенной силы тяги. Характер-
ной чертой таких устройств является шаговый характер
движения звеньев.
Из вышеизложенного следует, что для обеспечения
движения тела по описанному способу необходимо обес-
печить асимметрию сил сцепления участков тела (звеньев)
с опорой: сила сопротивления движению звена в одну сто-
рону должна быть больше (пли меньше) силы сопротив-
ления движению звена в противоположную сторону. Это
может быть достигнуто, например, путем использования
166
наклонной чешуи на опорной поверхности звеньев (см.
рис. 3.4, е) (способ, используемый в механизмах движения
многих сухопутных змей [7 ]). Более конструктивным
способом управления силой сцепления звеньев с опорной
поверхностью является использование колесной опоры
звеньев с возможностью односторонней фиксации (стопо-
рения) колес (рис. 9.26, г). Зафиксированные колеса обес-
печивают силу сопротивления смещению, в несколько раз
большую силы сопротивления качению расфиксирован-
ных колес- Снабдив опорные колеса звеньев, например,
муфтами обгона, храповыми механизмами либо другими
управляемыми механизмами односторонней фиксации ко-
лес, можно превратить двухзвенное устройство, звенья
которого связаны механизмами возвратно-поступатель-
ного движения, в простое самоходное колесно-шагающее
устройство. При этом оба звена могут быть не одинаковы
ми по размерам и весу.
Вместо гидроцилиндра может применяться любой дру-
гой механизм возвратно-поступательного действия —
винтовой, тросовый, шатунный и т. п. На основании схе-
мы рис. 9.26, г, по-видимому, можно создать низкоско-
ростные самоходные шасси, обладающие высокой манев-
ренностью и грузоподъемностью, предназначенные, на-
пример, для транспортных и погрузочно-разгрузочных
работ в условиях ограниченного пространства либо пло-
хого дорожного покрытия. На основании этой же схемы,
по-видимому, целесообразно создание автоматических
устройств типа «планетоход», транспортных систем ро-
ботов, внутрицехового транспорта и т. п.
Рассмотрим возможность создания на основе описан-
ного колесно-шагового способа передвижения некоторых
малогабаритных сельскохозяйственных орудий и орудий,
предназначенных для строительно-дорожных и земляных
работ.
На рис. 9.27 схематически изображены колесно-ша-
гающие силовые устройства ручного управления — мало-
габаритный «пешеходный» бульдозерный агрегат и само-
ходный плуг (мипитрактор).
Бульдозерный агрегат (рис. 9.27, а) включает в себя
опорные колеса 1, оснащенные механизмом односторон-
ней фиксации (на рис. не показан). Оси 2 колес служат
опорой для шасси 3, на котором смонтированы двигатель 4
с гидронасосной и распределительной установкой и гид-
равлический рабочий цилиндр 5 с поршнем 6 и штоком 7-
Шток 7 прикреплен к отвалу 8. Управляющая штанга 9
167
заканчивается рукоятками 10 и пультом управле-
ния 11.
Бульдозер работает следующим образом. При движе-
нии вперед механизм фиксации опорных колес включен
так, что колеса 1 могут свободно вращаться в прямом на-
правлении и не могут в обратном. При подаче давления
жидкости в левую полость цилиндра 5 рабочий поршень 6,
Рис. 9.27. Колесно-шагающие малогабаритные устройства ручного
управления: а — бульдозерный агрегат; б, is, г — минитрактор
шток 7 и отвал 8 перемещаются вперед на один шаг и со-
вершают полезную работу. При этом опорные )'колеса 1
неподвижны и служат точками опоры перемещающегося
рабочего органа (отвала). После переключения реверсив-
ного гидравлического золотника (что может произойти
по команде от путевого выключателя или оператора)
давление подается в правую полость цилиндра 5, рабочий
поршень 6 и шток 7 реверсируют и левая часть (шасси)
агрегата, опирающаяся иа подвижные колеса 1, пере-
мещается (катится) вперед по направлению к отвалу 8.
Далее поршень и шток снова реверсируют и отвал 8
снова совершает рабочий ход вперед при неподвижных
опорных колесах 1 и т. д. Таким образом, отвал, как и
опорная часть бульдозерного агрегата, шагами переме-
щается вперед. Для движения назад механизм фиксации
колес включается таким образом, что опорные колеса мо-
гут свободно вращаться в обратном направлении и не мо-
гут вращаться в прямом. В этом случае при подаче дав-
168
ления попеременно в левую и правую полости цилиндра 5
агрегат будет перемещаться назад.
«Ручной» бульдозер описанного типа может найти
применение для выполнения работ небольшого объема
при строительстве и ремонте дорог, в сельском хозяйстве,
в садово-огородном деле, на складах сыпучих материалов,
для расчистки улиц и тротуаров от снега и льда и т. п.
Форма и размеры отвала, а также конструкция и размеры
колес (металлические со шпорами, гладкие, пневмати-
ческие, обрезиненные п т. п.) могут изменяться в зависи-
мости от назначения агрегата.
Рис. 9.27, б—г иллюстрирует возможность исполь-
зования описанного колесно-шагового способа передви-
жения для осуществления пахотных работ. Плуг 12 уста-
навливается вместо отвала 8 и связан с ползуном 13,
который под действием штока 7 перемещается по направ-
ляющим штангам 14, прикрепленным к шасси. Работа
полученного таким образом «пешеходного трактора» про-
текает аналогично работе описанного бульдозерного агре-
гата. Для повышения усилия на плуге рабочий цилиндр
может быть установлен наклонно (рис. 9.27, б) под не-
которым углом а к горизонтальной поверхности и иметь
возможность совершать качателыюе движение вокруг
оси 15. В этом случае при рабочем ходе плуга вперед по-
вышается сила давления колес на грунт, а, значит, и сила
сцепления с грунтом, и при ходе шасси вперед повышает-
ся сила давления плуга на грунт и уменьшается сила дав-
ления колес.
Описанные колесно-шагающие устройства могут иметь
различные исполнения отдельных узлов. Гидравлический
механизм возвратно-поступательного движения может
быть заменен винтовым либо тросовым механизмом. Меха-
низм фиксации колес может быть храповым, гидравличе-
ским, роликовым. Для увеличения силы сцепления с
грунтом зафиксированных колес в качестве фиксирую-
щего механизма может использоваться скользящий упор,
клин 16 (рис. 9.27, в) или подкатной ролик 17 (рис. 9.27, г).
Заметим, что в последних случаях опорные колеса могут
быть гладкими, т. е. лишенными протекторов, шипов и
т. п. Вместо плуга или отвала с шаСси устройства могут
агрегатироваться другие сельскохозяйственные орудия.
Отметим характерные особенности описанных колесно-
шагающих агрегатов. Главной особенностью здесь являет-
ся шаговый характер перемещения, обусловленный са-
мим принципом действия. Шаговый характер движения
169
рабочего органа (отвала, плуга и др.) в большинстве слу-
чаев не ухудшает возможности проведения землеройных
и других работ, однако в некоторых случаях доставляет
существенные технико-экономические преимущества.
Первым преимуществом является простота конструк-
ции, обусловленная наличием опорных колес, лишенных
привода их вращения. Вследствие этого отпадает необ-
ходимость в таких традиционных узлах, как трансмиссия
и коробка скоростей.
Вторым преимуществом является снижение требуемой
мощности двигателя, так как здесь происходит пере-
мещение устройства «но частям»: рабочий ход (переме-
щение отвала, плуга) разделен во времени с транспорт-
ным ходом, т. е. перемещением шасси. Заметим, что это
свойство — перемещение «по частям» — присуще описы-
ваемому устройству вследствие его «генетического родст-
ва» с биомеханическим дискретно-волновым способом
передвижения дождевого червя, которому также свойст-
венно перемещение тела «по частям».
Третьим преимуществом является повышенное усилие
на рабочем органе, обусловленное неподвижностью колес
во время рабочего хода, а также возможность в случае не-
обходимости обеспечить повышенное усилие на рабочем
органе путем создания опоры корпуса на грунт при со-
вершении рабочего хода. Опора на грунт может быть со-
здана анкером (шпорой), зацепом, упором в твердое вклю-
чение и т. п. Такой возможности работы «от упора» ли-
шены обычные колесные либо гусеничные устройства не-
прерывного действия.
Четвертым преимуществом колесно-шагающих уст-
ройств описанного типа является сочетание здесь колес-
ной опоры и неколесного привода. Привод таких уст-
ройств нельзя назвать колесным, где, как известно, тяго-
вое усилие рабочего органа определяется величиной кру-
тящего момента на ведущих колесах и диаметром этих
колес. Последнее обстоятельство не допускает исполь-
зование колес большого диаметра в транспортно-тяговых
устройствах колесного привода малой мощности. В опи-
сываемых колесно-шагающих устройствах, напротив, по-
вышение диаметра колес не связано с уменьшением рабо-
чего усилия и, более того, уменьшает усилие, необходи-
мое для «транспортного хода», т. е. перемещения (качения)
шасси. Возможность применения опорных колес боль-
шого диаметра является важным преимуществом описан-
ных малогабаритных устройств, особенно при их ис-
170
пользовании на пахотных и других сельскохозяйствен-
ных работах (уменьшение давления иа грунт, проходи-
мость, обеспечение дорожного просвета и др.).
На базе приведенной схемы колесно-шаговых устройств
могут быть созданы такие устройства, как землеройные
машины для работы в карьерах, шахтах, при строительст-
ве метро и т. п. Высокие рабочие усилия, способность ра-
боты «от упора», легкость реверсирования и простота при-
вода в ряде случаев обеспечивают таким устройствам тех-
нико-экономические преимущества по сравнению с су-
ществующими устройствами колесного либо гусеничного
привода.
Актуальной задачей проектирования и использования
описанных транспортно-тяговых устройств, как и всех
других описанных в настоящей главе шаговых механиз-
мов, является разработка инженерных методов их дина-
мического анализа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого те-
ла.— М.: Наука, 1988.— 712 с.
2. Жермен П. Курс механики сплошных сред.— М.: Высшая
школа, 1983.— 400 с.
3. Столл Р. Множества. Логика. Акспоматическпе теории.—
М.; Просвещение, 1968.— 230 с.
4. Добролюбов А. И. Механизмы на гибких и упругих
элементах.— Минск: Наука и техника, 1984.— 118 с.
5. Фролов К. В., II о и о в С. А., Мусатов А. К. и др.
Теория механизмов и машин.— М.: Высшая школа, 1987. —
496 с.
6. М е р к и н Д. Р. Введение в механику гибкой нити.— М.:
Наука, 1980.— 240 с.
7. Добролюбов А. И. О механике движения сухопутной
змеи И Биофизика.— 1983.— № 2.— С. 330—335.
8. Зельдович Я. Б., М ы ш к и с А. Д. Элементы приклад-
ной математики.— М.: Наука, 1967.— 646 с.
9. Добролюбов А. И. Бегущие волны деформации. — Минск:
Наука и техника, 1987.— 144 с. (English translation in Appli-
ed Mechanics Review, New-York, 1991, № 5)
10. И в а и о в M. H. Волновые зубчатые передачи,— М.: Высшая
школа, 1981.— 184 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно твердое тело И, 69
Биомеханика 5, 122
— передвижения гусеницы, дожде-
вого червя 24, 30
Верньерное устройство 154
Волна деформации бегущая 5, 9
— :— — и препятствие 115
-------как движущийся «ящик»
10, 60
-------как звено механизмов и
машин 122
-------как преобразователь не-
прерывного движения в шаговое
9, 24, 65, 90, 122, 126
— -----как редуктор 9, 28, 62, 122
• как сумма двух движений
74,-----------------------------75, 99
----— как транспортер массы 9,
66
-------линейной плотности 69, 80,
88, 114
-------, массоперенос 81, 87
-------, массосодержание 62, 91
---- — на криволинейной опоре
102, 123
-------па прямолинейной опоре
8, 24, 32
------- на упругой струне 86
-------поперечная 9, 24, 45, 123
------- продольная 30, 32
------- стационарная по массе 62,
68
-------, тяговые свойства 28, 121
Волноида 25, 94
Вращение 22
«Генетическое родство» колеса и
волны 93, 96
Гусеница 9, 24
—, способ передвижения 24, 25, 26
Движение абсолютное 9, 56, 61
— волнообразное 9
— деформируемого тела 17, 70
— гусеницы 9, 24, 27, 70
— дискретно-волновое 25, 28, 91,
147
— дождевого червя 9, 30, 70
— нити на жесткой опоре 25. 32
— относительное 9, 56, 61
Движение переносное 9, 56, 61
— стационарное 101
— типа «кажущийся покой» 100
«Движущийся ящик» как модель
бегущей волны 10, 60
---- как редуктор 62
---- как транспортер массы 66
Деформация как кинематический
фактор 8
— поперечная 24, 25
— продольная 29, 30, 41, 78
Качение волны 8, 25, 27, 32
—, главный признак 8, 20
— деформируемого тела 1, 8, 18,
40, 43
— живых существ 17, 23, 30, 43
— колеса 9, 22
•---деформируемого 8, 21
— нерастяжимой нити 8, 41, 51
— растяжимой нити 32, 41, 42, 48
— твердого тела 7, 18, 19
Кинематика волнового движения
24, 25, 103
— качения 20, 40, 96, 103
— скольжения 15, 46
Колесо 19, 43
Колесно-шагающие механизмы 163
(Количество движения волны 67, 89
Контакт двух тел И, 14, 46
— деформируемых тел И, 46, 48
Контактная область как множе-
ство И, 21
Массоперенос волны 81, 87
Массосодержание волны 62, 92
Механизмы волновые непрерывного
движения 104, 123, 150
----шагового движения 118, 126
Множества 12
— обновляемые 16, 22, 34
Модель волны в виде черного ящи-
ка 10, 60, 65
---- дискретная 88
— «дождевой червь» 30, 32, 43
— «садовая гусеница» 24, 32, 43
Нить гибкая 25, 38
—, закрепленная на концах 80, 118,
119
— массивная (тяжелая) 24, 39
— нерастяжимая 25, 39, 41
— растяжимая 30, 39, 41
173
Плотность тела линейная 39, 72,
ИЗ
Препятствие иа пути волны 115,
116, 117
Прокатка упругого тела 49, 50, 58,
150
Процесс бегущий 5, 9
Пуассона закон 57
Расход гибкой нити 72
— жидкости 71
— и линейная плотность 73, 82
— как мера массопереноса 71, 82
— поперечной волны 74
— продольной волны 75
— твердого тела 72
Редуктор волновой 124—126
— гравитационного действия 148
Самопередвижение деформируемых
тел 9, 24, 25, 30, 32, 46, 52
—, скорость 55, 59
Скольжение 7, 11, 17, 41
— неоднородное 41, 46
— однородное 41
—, теоретико-множественный ана-
лиз И, 15
Скорость абсолютная 9, 56, 63, 100
— волны средняя 27, 84
— относительная 9, 56, 63, 100
— переносная 9, 56, 63, 100
— фазовая 100
— частиц волны 26, 64, 96, 100
Схват работа 158
Тело абсолютно твердое 11, 69
— жидкое 70
Тело как множество частиц 12. 14,
69
— упругое 49, 50, 58, 150
— физическое И, 69
Теоретико-множественный анализ
скольжения 15
----волнового движения 33, 68
----качения 18, 20, 21, 33
Траектории точек волны 25, 94, НО
Транспортпо-тяговые устройства
волновые 162
----колесно-шагающие 164
Форма волны 25, 27, 76
----на гибкой нити 25, 94. 96
Циклоида 7, 97
«Черный ящик» как модель волны
6, 65
Число степеней свободы 43
Шагание 22, 70, 160
Шаговые волновые механизмы 126,
160
-------, использующие поперечную
волну 123
----—, — продольную волну 145
---- электродвигатели 145
Электродвигатель волновой шаго-
вый 145
Эпюра линейной плотности 76, 78,
80
— продольной деформации 58
— скорости точек волны 58
Эстафетный массоперенос 10. 66
SLIDING, ROLLING AND WAVING MOTIONS
OF RIGID BODIES (BIOMECHANICAL
AND ENGINEERING APPLICATIONS)
by
A. I. DOBROLYUBOV
1. AUTHOR
Anatoly I. DOBROLYUBOV, D. Sc. (Engng), Head of a labora-
tory at the Institute of Engineering Cybernetics, Academy of Sciences
of the Byelorussian SSR, has been carrying out extensive research,
the results of which are incorporated in his eight monographs and
more than 150 scientific articles and inventions in applied mechanics,
mechanical engineering, theory of mechanisms and machines, bio-
mechanics and geomechanics.
Prof. A. I. Dobrolyubov is distinguished by his nonstandard
approach to engineering developments which is reflected in his in-
ventions based on biomechanical principles of animal motion and
natural processes.
2. SYNOPSIS
The book describes new «wave» mechanisms and devices, namely,
rotary and linear wave mechanisms, continuous-to-discrete motion
converters, reductors of continuous and stepping (discrete) motion,
stepping undulatory electric motors, wave motion-based trucks.
A prominent common feature of the devices described in the book
is that they all contain a deformable member (link) subjected to
travelling waves of deformation. The theoretical chapters give a
kinematic analysis of travelling waves of deformation, running
along an oblong deformable body (a flexible filament). The author
shows, in a clear and concise form, that such travelling waves have
some remarkable kinematic properties, because of which they can
be used as converting and reducing members of mechanisms and
machines. It is proved that in terms of the theory of mechanisms
and machines, a travelling longitudinal or transverse wave of defor-
mation moving along an oblong deformable body lying on a rigid
support, exhibits all the properties of rolling, i. e. just like a rolling
wheel, at any time some of its points are immovable and coupled
with the support. This «genetic relatedness» between a travelling
wave and a wheel is of great theoretical importance and proves that
travelling waves over a flexible filament are a particular case of
rolling. This approach allowed the author to suggest reasonably
that the locomotion of some animals such as caterpillars, earthworms,
terrestrial snakes is, in terms of theoretical mechanics, rolling but
not sliding.
In the subsequent chapters there is a description of a long series
of new wave mechanisms and devices employing the biomechanical
wave principle of locomotion used by the above mentioned animals
and its various modifications. The mechanisms and devices described
in the book are technologically very attractive as they promise use-
ful applications in engineering industry, instrument engineering,
robotics and in farm mechanics.
The presentation of material and the style of the hook can be
called engineering rather than mathematical. The book is illustrated
by 80 figures, which show mechanical diagrams of the wave mecha-
nisms and devices, schematic designs and engineering solutions.
3. CONTENTS LIST
Introduction
Chapter 1. Sliding as a Simplest Type of Contact between Solids
Chapter 2. Rolling of Deformable Bodies
Chapter 3. A Deformable Body and a Flexible Filament
Chapter 4. A Wave as a «Moving Box»
Chapter 5. A Wave of Linear Density
Chapter 6. A Wheel and a Wave as Forms of Rolling
Chapter 7. A Wave over a Curvilinear Support
Chapter 8. A Travelling Wave and Obstacles
Chapter 9. A Travelling Wave as a Member of Mechanisms and
Machines
List of References