Р. Н. Вадзинекий
ПРАВОЧНИТ^
по вероятностным f
распределениям Ж Ж
В
10
Санкт-Петербург
«Наука»
2001
scan by SEMENOV13
УДК 519.2
ББК 22.17
В 12
Вадзипскмй Р. Н. Справочник по вероятностным распределениям. —
СПб.: Наука. 2001. - 295 с., ил. 116.
ISBN 5-02-024919-Х
В Справочнике подробно описаны 13 дискретных и 35 непрерывных одно-
мерных вероятностных распределений, наиболее часто используемых на прак-
тике. Справочные материалы предваряются кратким обзором основных по-
нятий теории вероятностей, относящихся к одномерным вероятностным рас-
пределениям. В Приложениях приведены графики, помогающие выбрать тип
теоретического распределения, подходящего для сглаживания исследуемого
выборочного распределения. Коротко рассмотрены возможности использова-
ния статистических пакетов STATGRAPHICS и STATISTICA для выполнения
вычислений, связанных с основными вероятностными распределениями. Столь
подробные справочники такого рода в нашей стране до сих пор не издавались.
Справочник предназначен для широкого круга специалистов разных про-
филей, использующих в своей работе методы теории вероятностей и математи-
ческой статистики. Может быть использован преподавателями, аспирантами и
студентами высших учебных заведений.
Рецензенты:
д-р техн, наук И. А. Рябинин,
д-р эконом, наук А. М. Брехов
ТП 2000-1Ь№ 118
ISBN 5-02-024919-Х
© Р. Н. Вадзинский, 2001
© Издательство «Наука», 2001
Моим однокурсникам, выпускникам
Высшего военно-морского училища связи 1951 г.,
посвящается
ГЛАВА 1. СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайная величина — это такая переменная величина,
которая в зависимости от случайного исхода испытания прини-
мает какое-то одно из своих возможных значений, причем зара-
нее неизвестно, какое именно? В данном справочнике случай-
ные величины обозначаются большими буквами из конца ла-
тинского алфавита — чаще всего буквами X, У, Z. Если это
необходимо, обозначения случайных величин снабжаются циф-
ровыми индексами, например: Х1г Х2,..., Х„. Возможные
значения случайных величин обозначаются соответствующи-
ми малыми буквами латинского алфавита. Так, например, воз-
можное значение случайной величины X обозначается буквой х,
а возможное значение случайной величины У— буквой у.1 2
Числовое значение х, которое приняла случайная величина
X в каком-либо конкретном испытании, называется реализа-
цией этой случайной величины в данном испытании.
Множество значений, которые может принимать случайная
величина X, называется областью возможных значений
этой случайной величины.
Событие, состоящее в том, что случайная величина примет
какое-либо определенное значение или какое-либо значение
из заданного множества значений, является случайным. Такие
случайные события записываются в виде соответствующих ра-
венств или неравенств. Так, например, запись X = х обознача-
ет случайное событие, состоящее в том, что случайная величи-
на X примет значение х; запись У < у обозначает случайное со-
бытие, состоящее в том, что случайная величина У примет
значение, не превышающее некоторой фиксированной величи-
ны у, а запись c<Z<d обозначает случайное событие, состо-
ящее в том, что случайная величина Z примет какое-нибудь
значение из замкнутого интервала [с, d ].
Случайная величина называется дискретной, если она
может принимать только конечное или счетное множество воз-
1 Данное определение не является достаточно строгим. Строгое определе-
ние случайной величины см. в [1, т. 5, стб. 9].
2 В конце данной главы приведен указатель основных обозначений, исполь-
зованных в Справочнике.
3
можных значений. В гл. 2 Справочника рассматриваются толь-
ко такие дискретные случайные величины, которые могут при-
нимать лишь целые неотрицательные значения. Такие случай-
ные величины называются целочисленными. Целочисленные
случайные величины возникают при каких-либо подсчетах, на-
пример при подсчете числа дефектных изделий в контрольной
партии, при подсчете числа телеграмм, поступающих за сутки
на узел связи, и т. д.
Случайная величина называется непрерывной, если она мо-
жет принять любое значение из некоторого интервала (этот ин-
тервал может быть ограниченным или неограниченным).1 2 Непре-
рывная случайная величина имеет несчетное множество возмож-
ных значений, которые сплошь заполняют некоторый интервал
числовой оси или всю числовую ось. Непрерывные случайные
величины возникают при каких-либо измерениях: при измерении
отклонения контрольного параметра изделия массового производ-
ства от его номинального значения, при измерении расстояния от
центра цели до точки падения снаряда и т. д.
Самой полной (исчерпывающей) характеристикой случайной
величины является закон ее распределения. Законом рас-
пределения случайной величины называется любое соотноше-
ние, устанавливающее связь между возможными значениями
случайной величины и вероятностями, соответствующими этим
значениям. Наиболее употребительными разновидностями зако-
на распределения случайной величины являются: ряд распреде-
ления, плотность вероятности, функция распределения, функ-
ция риска, производящая функция и характеристическая функ-
ция. Ряд распределения и производящая функция используются
только для описания дискретных случайных величин, а плот-
ность вероятности и функция риска — для описания непрерыв-
ных случайных величин. Функция распределения и характери-
стическая функция могут быть использованы для описания как
дискретных, так и непрерывных случайных величин.
Рядом распределения дискретной случайной величины
X называется совокупность всех ее возможных значений хр
х2,..., х„ и вероятностей ру, рг,р„ появления каждого из
этих значений. Функция р(х}=Р{Х = х), устанавливающая
связь между возможными значениями х = 0, 1, 2,... целочис-
ленной случайной величины X и вероятностями появления
этих значений, называется функцией вероятности
(рис. 1.1, а).1
1 Строгое определение понятия «непрерывная случайная величина» криво-
дится на с. 5.
2 Наряду с символом р(х) для обозначения функции вероятности использу-
ется символ д(х). В случае, когда необходимо подчеркнуть, что целочисленная
случайная величина Xзависит от параметров! и ц для обозначения функции ве-
роятности используется символ р(х; К, р) или рх(jq X, р).
4
Рис. 1.1. Ряд распределения (а) и функция распределения (б) дискретной слу-
чайной величины.
Плотностью вероятности (функцией плотности)
непрерывной случайной величины X называется предел отно-
шения вероятности попадания этой случайной величины в ин-
тервал (х, х + Дх) к длине Дх этого интервала, стремящейся к
нулю:
z/ . .. Р(х < X < х + Дх)
f (х) = Iim — ------------ .
дх-»0	Дх
Случайные величины, для которых этот предел существует
(для которых существует плотность вероятности/(х)), называ-
ются абсолютно непрерывными. Именно такие случайные
величины рассматриваются в гл. 3. В дальнейшем, для кратко-
сти, вместо термина «абсолютно непрерывная случайная вели-
чина» используется термин «непрерывная случайная величина».
Функция распределения случайной величины X — это
такая функция F(x) действительной переменной х, значение
которой при каждом х равно вероятности выполнения неравен-
ства X < х, т. е.
F(x) = Р(X < х).
5
Функция распределения F(x) целочисленной случайной
величины Хс областью возможных значений {0, 1,..., л} связана
с функцией вероятности р(х) этой случайной величины соотно-
шением (рис. 1.1, <5):
Функция распределения F(x) непрерывной случайной вели-
чины X и плотность вероятности /(х) связаны между собой со-
отношениями (рис. 1.2):
F(x)= J/(t)A и f(x)=^-=F'(x).
-во
Равенство /(х) = F'(x) справедливо во всех точках непре-
рывности функции плотности /(х). Функция распределения
F(x) непрерывной случайной величины ^непрерывна при всех
х и дифференцируема всюду, за исключением конечного или
счетного числа точек.
Рис. 1.2. Плотность вероятности и функция распределения непрерывной
случайной величины.
6
Вероятность того, что случайная величина X попадет в ин-
тервал [fl, 6), равна приращению функции распределения F(x)
на этом интервале (рис. 1.3):
ь
Р(а < х < b) = F(b) - F(a) = j/(x)fl!x.
Рис. 1.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный
интервал.
Функция риска (интенсивность) непрерывной
случайной величины X — это функция, определяемая соотно-
шением
Х(х) =
/(х)
I-W
При любом х имеет место соотношение Х(х) £ /(х) (рис. 1.4).
В теории надежности под функцией риска Х(х) понимается
условная плотность вероятности отказа изделия в момент х при
условии, что это изделие не отказало до момента х. При такой
трактовке k(x)dx приближенно равно вероятности того, что из-
делие откажет в интервале времени (х,х + dx) при условии, что
оно не отказало до момента х:
Р(х < X < х + dx/X > х)» X(x)dx.
Рис. 1.4. Функция риска Х(х) и плотность вероятности f(x) непрерывной
случайной величины.
Производящей функцией целочисленной случай-
ной величины X называется такая функция действительной пе-
ременной t, которая представляет собой математическое ожи-
дание случайной величины tx:
Фх(/) = M(tx) = ^txp(x), |/|< 1.
х-0
Производящая функция <px(Z) случайной величины X од-
нозначно определяет распределение вероятностей этой случай-
ной величины:
Р(О) = фх(0), р(х)Л^!1	=ф<;)(0) (х = 1,2,...).
Если Xit Хг,...,Х„ — независимые целочисленные случай-
ные величины и Y = Xi + Хг + ... + Х„, то
ф>(0=Фх,(0фх1(0 - Фх.(0 =Пфх.(0,
т. е. производящая функция суммы независимых целочислен-
ных случайных величин равна произведению производящих
функций слагаемых. (Здесь ф (г) — производящая функция
случайной величины Хк, к = 1, Если случайные слагав -
8
мые X',... ,Х„ подчиняются одному и тому же закону распреде-
ления, т. е. если фХ1 (/) = <рХ1 (Г) =... = фХд (Г) = срж(Г), то

Пусть Zj A'j,... — последовательность независимых целочис-
ленных одинаково распределенных случайных величин с произ-
водящей функцией <px (Z), N— независимая от них целочислен-
ная случайная величина с производящей функцией фд (7), а слу-
чайная величина YN определяется равенствами
Yn = +Хг + ... + XN и Го =0.
Тогда производящая функция <рХх (0 случайной величины
Yn определяется соотношением
Ч»„ <0 “Фл(«Рж(0)>
т. е. производящая функция случайного числа случайных слага-
емых равна суперпозиции производящих функций фл(0 и
<М0-
Характеристической функцией случайной величины
X называется такая функция действительной переменной /, ко-
торая представляет собой математическое ожидание случайной
величины е*,х:
^е1,х р(х),	X—целочисленная;
x,(0=W') = <
(х) dx, X — непрерывная,
где i - V-T — мнимая единица; р(х) = Р(Х = х), х = 0, 1, 2,... —
функция вероятности целочисленной случайной величины X,
/(х) — плотность вероятности непрерывной случайной вели-
чины X.
Характеристическая функция %х (Г) случайной величины X
однозначно определяет распределение этой случайной величи-
ны:
р(х) = -?- Je-tex,(0A, х =0,1, 2,...; /(х) =-?- р'“Хх(')Л-
2л J	2л '
Характеристическая функция х,(0 целочисленной случай-
ной величины X связана с ее производящей функцией <рх (Г) ра-
венством Хх(О=Фх(г")-
9
Характеристическая функция суммы Y = Xt + Хг + ... + Х„
случайных величин	равна произведению характери-
стических функций слагаемых
х,(')вПх«»(0»
гДе Хх, (0 — характеристическая функция случайной величины
Хк (к =1, 2,..., л).
Если случайные величины Хк(к = 1,..., л) имеют одно и то
же распределение, т. е. если %,, (/) =X»(0, то
Х,(0 =[Хх(0]" •
В том случае если случайная величина YN представляет со-
бой сумму случайного числа N одинаково распределенных слу-
чайных слагаемых А',, Х2 ,..., то справедлива формула
Хгя(О=Ф#(х,(О).
Числовые характеристики случайной величины —
это числовые параметры, характеризующие отдельные свойства
распределения этой случайной величины. Наиболее важными
числовыми характеристиками являются характеристики поло-
жения, рассеяния, асимметрии и эксцесса.
Характеристика положения — это числовой пара-
метр, определяющий положение центра распределения случай-
ной величины, вокруг которого располагаются ее возможные
значения. Основными характеристиками положения являются
такие числовые характеристики, как математическое ожидание,
медиана и мода.
Математическое ожидание (среднее значение)
случайной величины X определяется соотношениями
M(X)sx=.	^xp(x),	X — целочисленная; x-0 CD jx/(x) dx, X — непрерывная. 1 —ЯО
Математическое ожидание случайной величины X существу-
ет, если сходится ряд ^хр(х) или абсолютно сходится интег-
рал jxf(x)dx, т. е. если £х/>(х) <да или f|х| f(x)dx < ».
-«s
10
В противном случае говорят, что случайная величина X не име-
ет математического ожидания.
Математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме математических ожиданий случайных слагаемых:
\*-1	)
Математическое ожидание произведения независимых слу-
чайных величин равно произведению математических ожида-
ний случайных сомножителей:
М-1	/	*-1
Медиана непрерывной случайной величины X — это та-
кое значение Ме(А') этой случайной величины, для которого
выполняется условие Р{Х < Me(Jf)} = Р{Х > Me(^)} =0.5. Ме-
диана является корнем уравнения F(Me(.¥)) =0.5 (рис. 1.5).
Для обозначения медианы используется также более простой
символ х05, т. е. Ме(АЭ  xos.
н
Мода случайной величины X — это такое значение Мо(Х)
этой случайной величины, при котором функция вероятности
(в дискретном случае) или плотность вероятности (в непрерыв-
ном случае) достигает максимума (рис. 1.6, а).1 Для обозначе-
ния моды используется также более простой символ х, т. е.
Мо(Аг) = х. Мода является наиболее типичным, наиболее часто
наблюдаемым при экспериментах значением случайной вели-
чины, т. е. значением, которое действительно является наибо-
лее «модным».
Рис. 1.6. Мода (а) и антимода (б) случайной величины.
Антимода непрерывной «антимодальной» случайной ве-
личины X — это такое значение х этой случайной величины,
при котором ее плотность вероятности f (х) достигает миниму-
ма (рис. 1.6, б).
У одновершинного, симметричного относительно прямой
х = а распределения, мода равна а и совпадает с медианой и
математическим ожиданием (если последнее существует):
Mo (X) = Me (X) = М(х) (рис. 1.7, а). У распределений с пра-
восторонней асимметрией Mo (X) < Me (X) < М(Х), а у распре-
делений с левосторонней асимметрией М(Х) < Ме(Х) < Мо(А")
(рис. 1.7, б).
1 Мода является естественной характеристикой центра распределения слу-
чайной величины лишь в случаях так называемых одновершинных (одномо-
дальных) распределений. Именно такие распределения рассматриваются в дан-
ном справочнике. Многовершинность (многомодальность) распределения
обычно свидетельствует о существенной неоднородности исследуемой сово-
купности статистических данных.
12
Рис. 1.7. Характеристики асимметрии распределения вероятностей случайной
величины. Соотношение между математическим ожиданием х, медианой xQ 5 и
модой х.
а — симметричные распределения; б — несимметричные распределения.
Эмпирическим путем установлено, что математическое ожи-
дание, медиана и мода одновершинного распределения с уме-
ренной правосторонней асимметрией связаны между собой со-
отношением X -X а 3(Х -Х05).
Характеристика рассеяния — это числовой параметр,
характеризующий степень рассеяния возможных значений слу-
чайной величины относительно центра ее распределения. К
числу характеристик рассеяния относятся: дисперсия, среднее
квадратическое (стандартное) отклонение, срединное (вероят-
ное) отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия случайной величины X — это математическое
ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее
среднего значения:
Д(Х) = ЛГ[(Х-х)2] =
£ (х - х)2 р(х), X —целочисленная;
jc-0
ао
J(x — х)2 /(х) dx, X — непрерывная.
Дисперсия случайной величины X характеризует рассеяние
этой_ случайной величины относительно ее среднего значе-
ния х.
Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин
равна сумме дисперсий случайных слагаемых:
/ п \
я
л
=£ад).
k-l
13
Среднее квадратическое (стандартное) отклоне-
ние случайной величины X — это положительное значение
квадратного корня из дисперсии этой случайной величины;
ст(ЛГ)=стх =ТЛС¥)-
Срединное (вероятное) отклонение непрерывной
случайной величины X, имеющей симметричное распре-
деление, — это число Е, удовлетворяющее условию
Р(|Х - х05|< Е) = Р(|X - х05|> Е) = 0.5 (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Срединное (вероятное) отклонение £ случайной величины X.
Коэффициент вариации случайной величины X — это
отношение среднего квадратического отклонения о ж этой слу-
чайной величины к ее среднему значению х:
v, = или v = — • 100 %.
X	X
Коэффициент вариации используется в качестве характе-
ристики рассеяния только неотрицательных случайных вели-
чин.
Квантиль порядка р (р-квантиль) непрерывной слу-
чайной величины X — это такое значение xf этой случайной
величины, для которого выполняется условие Р(Х < х₽) = р.
Квантиль хг является корнем уравнения F(xp) = р (рис. 1.9).
Квантиль хол порядка />=0.5 называется медианой,
х05 sMe(X). Квантили x0JJ и х0 75 называются соответственно
нижней и верхней квартилью, квантили x01,x0J,..., х0, —
децилями, а квантили хао1,хви ,...,	— процентилями
(первая процентиль, вторая процентиль и т. д.).
Разность х0 75 - х025 между верхней и нижней квартилями
называется интерквартильным расстоянием. Срединное
14
Рис. 1.9. Квантиль порядка р (р-квантиль) случайной величины X.
(вероятное) отклонение Е равно половине интерквартильного
расстояния: £ = (x07S-x0JJ)/2 (см. рис. 1.8).
В математической статистике наряду с понятием «квантиль»
широко используется понятие «критическое значение» (крити-
ческая точка) распределения.
Критическим значением порядка р {критическим
значением, соответствующим вероятности р) распре-
деления непрерывной случайной величины X называется
число х(р), удовлетворяющее условию Р{Х > x(fy) = р. Крити-
ческое значение (критическая точка) x(f) является корнем
уравнения £(х(?)) = 1 — р (рис. 1.10, а). Критические значения
(критические точки) и квантили одного и того же распреде-
ления связаны простыми соотношениями: x<f}-x^f и
х, (Рис- 1-10,6).
Во многих пособиях по математической статистике
порядок критической точки задается в процентах. При
этом вместо термина «критическая точка порядка р» ис-
пользуется термин «ЮОр-процентная точка». Например, кри-
тическую точку порядка р = 0.05 называют 5-процентной кри-
тической точкой.
Начальный момент s-го порядка (начальный
момент порядка з, s-й начальный момент) случай-
15
ной величины X — это математическое ожидание 5-й сте-
пени этой случайной величины:
*1 - р
Рис. 1.10. Критическое значение (критическая точка) порядка р распределения
вероятностей непрерывной случайной величины (д); соотношение между кван-
тилью х, и критической точкой x(f) (б).
Центральный момент s-го порядка (центральный
момент порядка s, s-й центральный момент) случайной
величины X— это математическое ожидание 5-й степени цент-
рированной случайной величины X = х-х:
ц,(Х)=М(Ха)=М[(Х-хУ] =
£(х - х)*р (х),	X — целочисленная;
х-0
J(x — х) ’ /(х) dx, X — непрерывная.
1б
Начальные и центральные моменты связаны между собой
соотношениями:
т2 = ц2 + т, = D* + хг;	ц, = т2 - т, = т2 - х2;
т3 =ц3 + Sgj/w, +т*;	ц, =т3 -Зт2т^ +2т,;
т4 =ц4 + 4р.3/л, +6ц2/П|1 + т3;	= т< - ^т3тк + (>тгт2 ~3т*;
т, =	5	М. =
к-й	кИ>
т9 = р0 = 1;	/и, s х; р, = 0.
Для целочисленной случайной величины X с производящей
функцией <рх(0 справедливы следующие соотношения:
Ж1(АГ)«М(Х).х=^^
at /-1
«ФИО;
rn2(X) = ф;'(1)+ф;(1); и,(X) в Д(Х) = ф" (1) + ф;(I) - [Ф;(1)]2;
т3(Х)=ф';( (1) + 3Ф7 (1)+ф'х(1);
т.(Х) =ф7(1) + 6ф;"+7ф'; (1)+ф;(1).
Если при некотором натуральном г величина М(| Х[') < «о,
то при всех натуральных s £ г имеют место следующие соотно-
шения:

= (-/)'х‘,,(0);
г-0
rf'x.W
Н,(Х) =(-0'-77-
= Н),х1,’(0);
Хх(') =	+o(tr);
X =	+0(Г),
где x.(0 =е'“*хя(О — характеристическая функция центриро-
ванной случайной величины X = X — х; o(t') — бесконечно ма-
лая при t -> 0 функция более высокого порядка малости, чем t'.
17
Коэффициент асимметрии (асимметрия) распреде-
ления случайной величины X
У распределения, симметричного относительно прямой
у = х05, коэффициент асимметрии Sk равен нулю. Он положи-
телен, если длинная часть («хвост») кривой распределения рас-
положена справа от центра распределения, и отрицателен, если
«хвост» кривой распределения лежит слева от его центра
(см. рис. 1.7).
Коэффициент эксцесса (эксцесс) распределения слу-
чайной величины X
Ех(Х)=-^аЩ--3.
[<г(Х)Г
Коэффициент эксцесса характеризует «островершинность»
распределения случайной величины. Эксцесс нормального рас-
пределения равен нулю. Положительный эксцесс обычно ука-
зывает на то, что рассматриваемое распределение имеет более
высокую и более острую вершину, чем соответствующее нор-
мальное распределение. Отрицательный эксцесс указывает, как
правило, на более низкую и более плоскую вершину, чем у со-
ответствующей нормальной кривой (рис. 1.11).*
Рис. 1.11. Характеристики островершинности (эксцесса) распределения веро-
ятностей случайной величины X.
1 Сравнение производится с нормальным распределением, имеющим такую
же дисперсию, как у рассматриваемого распределения.
18
1.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ
Фувкцив случайных величин. Пусть у = ф(х) — заданная де-
терминированная (неслучайная) функция. Если при каждом по-
вторении испытания, с которым связаны случайные величины
X и Y, реализации х и у этих случайных величин удовлетворя-
ют условию у = ф(х), то говорят, что случайная величина У яв-
ляется функцией случайной величины X. Символическая
запись функциональной зависимости случайной величины У от
случайной величины X имеет следующий вид: У = <р(Х).
Зная закон распределения случайной величины X (функцию
распределения Г(х) или плотность вероятности/(х)), можно
найти закон распределения случайной величины У (функцию
распределения G(y) или плотность вероятности g(y)). В том
случае, когда функция у =<р(х) дифференцируема и строго мо-
нотонна, справедливы следующие соотношения:
^'('и(у)), если у = <р(х) возрастает;
1 “ ^(ф(у)), если у - ф(х) убывает,
(7(у)=Р(У<у) =
и
5(у)=(7'(у) = /(у(у))|^г^
= /(v(y))|v’(y)|,
где х = у(у) — функция, обратная исходной функции у = ф(х)
(рис. 1.12). Границы а', Р' области возможных значений случай-
ной величины У определяются с помощью формул:
Гф(а), если у = ф(х) возрастает;
а’ = <
[ф(р), если у = <р(х) убывает,
и
]ф(Р), если у =ф(л) возрастает;
[ф(а), если у = ф(х) убывает.
Рис. 1.12. К определению закона распределения функции случайного
аргумента.
19
В том случае, если при каждом испытании реализация (х, у)
системы случайных величин (X, У) в данном испытании и реа-
лизация z случайной величины Z в этом же испытании связаны
между собой соотношением г=ф(х,у), то принято говорить,
что случайная величина Z является функцией случайных вели-
чин X и У. (Здесь z =ф(х,у) — заданная детерминированная
функция двух аргументов). Символическая запись функцио-
нальной зависимости случайной величины Z от случайных ве-
личин Хи У имеет вид: Z = ф(Х,У).
Если функция z = ф(х,у) определена во всех точках области
возможных значений системы случайных величин (%,У) и име-
ет в этой области непрерывные частные производные первого
порядка, то плотность вероятности случайной величины Z
определяется формулой
g(z)= J/(v(z,y),y)^^^
(1.1)

если функция z = ф(х, у) строго монотонна относительно х, или
формулой
£(*)=
J	dz
(1.1a)
dx,
если функция z = ф (x, у) строго монотонна относительно у.
Здесь х =ф(г,у) и у = y(z,x) — функции, обратные исходной
функции z = ф(х, у).
В важном для практики частном случае, когда случайная ве-
личина Z = X + У представляет собой сумму двух независимых
случайных величин X и У, плотность вероятности случайной
величины Z определяется соотношением
$U)= jAU-y)4(y)cfv = \fxMfy{z-x)dx. (1.2)
—ОО	^>0
(Эта формула является частным случаем формул (1.1) и (1.1а)
при z = ф(х,у) -х + у). Интеграл (1.2) называется сверткой
(композицией) функций плотности Д(х) и /Ду).
Параметры закона распределения. Формула, задающая закон
распределения случайной величины (функцию вероятности,
плотность вероятности и т. п.), обязательно содержит хотя бы
один параметр. Параметры закона распределения случай-
ной величины принято делить на три основных вида, имеющих
вполне определенный физический или геометрический смысл.
Это так называемые параметры положения, масштаба и формы:
параметр положения р — параметр, характеризующий
положение области возможных значений случайной величины
20
на числовой оси (обычно это абсцисса «центральной точки»
этой области или ее левая граница);
параметр масштаба к —параметр, определяющий мас-
штаб, в котором измеряется значение случайной величины;
параметр формы 0 — параметр, определяющий форму
графика функции плотности (форму кривой распределения) и
других функций, характеризующих распределение случайной
величины.
Если необходимо подчеркнуть, что распределение случай-
ной величины X зависит от параметров ц, X, 0, тогда для обо-
значения этой случайной величины используется символ
ДГ(|хД,е), а для обозначения ее функции распределения — сим-
вол Fx(x', ц,Х,0). В тех случаях, когда из контекста ясно, о какой
случайной величине идет речь, используется более простой
символ Г(х; ц,Х,0). Сходные символы применяются и для обо-
значения других функций — функции вероятности, функции
плотности и т. п. Так, например, функция риска (интенсив-
ность) непрерывной случайной величины Х(ц, X, 0) обозначает-
ся символом Хх(х;ц,Х,0) или символом Х(х;ц,Х,0).
Следует заметить, что в тех случаях, когда имеются прочно
установившиеся традиции обозначения параметров положе-
ния, масштаба и формы, вместо символов р., X, 0 могут быть ис-
пользованы и другие символы. Так, например, параметр мас-
штаба нормального распределения, как правило, обозначается
символом а.
Тип распределения. Распределение случайной величины
У = аХ + Ь, полученной путем линейного преобразования слу-
чайной величины X, отличается от распределения случайной ве-
личины X только параметрами положения и масштаба (здесь
а > 0 и b — постоянные). Параметр формы (если таковой суще-
ствует) в результате линейного преобразования не изменяется.
Линейная функция у = <р (х) = ах + Ь, преобразующая положе-
ние и масштаб распределения, строго монотонна и имеет об-
ратную функцию х = у (у) = (у — Ь)/а.
В теории вероятностей широко используется такое понятие,
как «тип распределения». Сущность этого понятия заключается
в следующем: распределения вероятностей случайных величин
X и Указываются однотипными, если существуют постоян-
ные а > 0 и Ь, такие что распределения случайных величин У и
аХ + b совпадают.
Пусть X (0, 1) обозначает случайную величину с параметром
положения ц равным нулю и параметром масштаба равным
единице, a Jf(p, X) — случайную величину того же самого типа с
параметром положения ц и параметром масштаба X. Тогда
справедливы следующие соотношения:
Х(щ X) ~ и + ХХ(0,1), J(0,1) ~
21
(запись Х~ /обозначает, что случайные величины X и /имеют
одно и то же распределение, т. е. имеют одинаковые функции
вероятности, функции распределения и т.п.);
F(x; ц, X) =Fl ^-^;0,1
Л \ Л J
х,(р,Х) = ц + Хх,(0,1).
Здесь хр (ц, X) — квантиль порядка р случайной величины X,
параметр положения которой равен ц, а параметр масштаба ра-
вен X.
1.3.	СИММЕТРИЧНЫЕ, СМЕЩЕННЫЕ И УСЕЧЕННЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. СМЕСИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Симметричные распределения. Распределение непрерывной
случайной величины Xназывается симметричным, если кри-
вая распределения /(х) этой случайной величины симметрична
относительно прямой х = х05, т. е. распределение симметрич-
но, если /(х05 —/) = f(xos +7) (рис. 1.13, а). У симметричных
распределений математическое ожидание (если оно существует)
совпадает с медианой и модой (антимодой):
Af(JT) = Me(X)=Mo(X)
(X = Xqj = х).
Функция распределения F(x) симметричного распределения
удовлетворяет условию F(x9S - /) = 1 - F(xos +1) (рис. 1.13, б).
В практических приложениях довольно часто встречаются
симметричные распределения, функция плотности /(х) кото-
рых является четной функцией (например, стандартное нор-
мальное распределение или распределение Стьюдента). Для та-
ких распределений справедливы соотношения:
/(-х) = /(х), F(-x) =1-F(x);	(1.3)
xi-p=~xf	О-4)
Таблицы всех распределений с четной функцией плотности
составляются только для положительных значений аргумента.
При определении значений функции распределения и функции
плотности таких распределений для отрицательных значений х
используются формулы (1.3).
Из формулы (1.4) следует, что для вычисления квантилей
распределений с четной функцией плотности во всем диапазо-
не изменений их порядка р (т. е. от 0 до 1) вполне достаточно
22
Рис. 1.13. Симметричное распределение.
иметь таблицу квантилей лишь для р £ 05. При р < 05 квантиль
определяется с помощью формулы xf = ~xl_f.
Рассмотрим случайную величину X, функция плотности ко-
торой является четной функцией, и случайную величину
Y = Хг. Для этих случайных величин справедливы следующие
соотношения:1
А(*) =|х|4(х2), Л(у)-4=А(77);
4у
Л(х)=|[1 + Л(х2)]> F/y)=2Fx(77)-l;
У, =Х(1*Г)/2-
Смещенные распределения. На практике довольно часто
приходится иметь дело со случайными величинами вида
1 Эти формулы используются в гл. 3 Справочника при установлении связи
между F-распределением Фишера—Снедекора и /-распределением Стыодента.
23
Y = с + X, представляющими собой сумму положительной по-
стоянной (константы) с и случайной величины X, у которой
левая граница области возможных значений а =0.'
Функции вероятности ру(у) и рх(х), функции распределе-
ния Ff(y) и Гж(х), плотности вероятности Д(у) и /Х(х) и, на-
конец, функции риска Ху(у) и Хх(х) случайных величин Y и X
связаны между собой следующими соотношениями:
р,(у) =рАу-с), Му) =Му-с),
Му) = Му-с)> = МУ~с)>
(У * с)-
Кривая распределения случайной величины Y = с + X пред-
ставляет собой кривую распределения исходной случайной ве-
личины X, zypsvoxfvjvi без деформации на с единиц «вправо»
(рис. 1.14). Поэтому распределение случайной величины /на-
зывается смещенным распределением, а постоянная с —
параметром сдвига, или смещением.
Рис. 1.14. Смещенное распределение.
1	Так, например, случайное время Y передачи телеграфного сообщения
складывается из времени с передачи служебной части (заголовка) сообщения,
одинакового для всех сообщений, передаваемых в данной линии связи, и слу-
чайного времени X передачи текста сообщения, которое зависит от случайно-
го числа символов (знаков) в этом сообщении.
24
Основные характеристики случайной величины Y — с + X.
производящая функция	<Р, W = /с<рж(/);
характеристическая функция х>(0 = */с/Хж(0;
математическое ожидание v = с + х-
медиана
мода
у - с + х;
Уоз =c + -«Oj;
у = С + X.
Начальные моменты случайных величин Y = с + X и Xсвяза-
ны между собой следующими соотношениями:
/я2(У) = т2 (X) + 2m, (Х)с + с2;
тг (У) = т 2 (X) + 3m2 (X )с + 3/м, (Х)с1 + с3;
эт4(У) -т4(Х) + 4т}(Х)с + 6тг(Х)с1 + 4mt(X)c3 +с4;
Центральные моменты случайной величины Y = с + X не
зависят от смещения с и совпадают с соответствующими
центральными моментами исходной случайной величины X:
И,(У)=ц,(А7
В частности,
Д(У)вц2(У)=М2(Х)еР(П
Замечания. I. Термины «смещенное распределение», «па-
раметр сдвига» («смещение») используются только в тех случа-
ях, когда формула, задающая закон распределения исходной
(несмещенной) неотрицательной случайной величины X, не
имеет параметра положения. Использование этих терминов
применительно к случайной величине X, имеющей параметр
положения, лишено какого-либо смысла.
2	. При определении оценок параметров смещенного распре-
деления методом моментов следует помнить о том, что началь-
ные моменты (в том числе математическое ожидание) случай-
ной величины У не совпадают с соответствующими начальны-
ми моментами исходной (несмещенной) случайной величи-
ны X)
1 При оценке параметров распределения методом моментов довольно час-
то допускают следующую ошибку: из справочника выписывают соотношение,
устанавливающее связь математического ожидания распределения рассматри-
ваемого типа с параметрами этого распределения, и приравнивают математи-
ческое ожидание выборочному среднему исследуемой смещенной случайной
величины, совершенно не учитывая при этом, что в справочниках приводятся
формулы, определяющие математическое ожидание несмещенной случайной
величины (т. е. вместо уравнения с + х(Х, 0) = у’ составляют и решают уравне-
ние х (Х,0) = у').
25
Усеченные распределения. При решении некоторых задач из
рассмотрения исключаются значения случайной величины X,
не принадлежащие интервалу (а, р).1 Распределение такой усе-
ченной случайной величины с областью возможных значений
(а, р) называется усеченным распределением. Плотность
вероятности усеченного распределения, соответствующего ис-
ходному распределению с функцией плотности /(х), определя-
ется формулой
/(х; а, р) =
О
/(х)
/(P)-F(a)
при х < а, х > р;
при а £ х £ р,
где F(x) — функция распределения исходного (неусеченного)
распределения (рис. 1.15, а). Усечение может быть как двусто-
ронним, так и односторонним. При усечении только слева
Р = да, при усечении только справа a = -<ю. Степень усечения ха-
рактеризуется вероятностью /’{XMCX £ (a, р)} = 1 -(F(P) - F(a)]
того, что исходная (неусеченная) случайная величина Хисх ока-
жется вне интервала (а, р). Усеченное распределение определя-
ется параметрами исходного распределения иточками усе-
чения а и р.
Функция распределения F(x; а, р) усеченного распределе-
ния связана с функцией распределения f (х) исходного распре-
деления соотношением (рис. 1.15, б)
Лх; а, р) =
О
F(x)-F(a)
F(P)-F(a)
1
при xia;
при а 5 х 5 Р;
при х > р.
Усеченное распределение представляет собой условное рас-
пределение исходной случайной величины X при условии, что
а < X < р:
F(x;a,p) = Р(X < х/а < X s р).
Функция вероятности усеченного дискретного (целочислен-
ного) распределения
р(х;а,р)
О
1 / ч
-Р(х)
Y
при х < а, х > Р;
при х = а, а + 1,.
Р.
1 Такая ситуация, например, имеет место при отбраковке втулок, диаметр
которых меньше а или больше 0 (диаметр которых не укладывается в поле до-
пуска [а, 0]).
26
где р(х) — функция вероятности исходного (неусеченного)
распределения; у - Р(а <	< Р) — вероятность того, что ис-
ходная (неусеченная) случайная величина попадет в интер-
вал (а, р].
Смеси распределений. Рассмотрим случайные величины Y и
Zc известными плотностями вероятности Л (у), /2(z) и функ-
циями распределения F^y), Ft(z). Пусть случайная величина Y
связана с некоторым комплексом условий «1», а случайная ве-
личина Z — с комплексом условий «2» (т. е. всякий раз, когда в
ходе испытания реализуется комплекс условий «1», реализуется
одно из возможных значений случайной величины Y, а при ре-
ализации комплекса условий «2» реализуется одно из возмож-
ных значений случайной величины Z). Предположим, что в
бесконечной последовательности независимых испытаний реа-
лизации комплекса условий «1» чередуются случайным образом
с реализациями комплекса условий «2». Причем вероятность
того, что при очередном испытании будет реализован комплекс
условий «1», равна яп а вероятность того, что будет реализован
комплекс условий *2», равна (я, + я5 = 1). Выполнив беско-
27
нечное число таких испытаний, получим смесь реализаций
случайных величин У и Z, в которой доля реализаций случай-
ной величины /равна п|(а доля реализаций случайной вели-
чины Z равна я2. Будем рассматривать полученную таким об-
разом смесь как генеральную совокупность значений новой
случайной величины X. Тогда плотность вероятности случайной
величины X (т. е. плотность вероятности смеси случайных вели-
чин Г и Z) определяется формулой
/(х) = я,/|(х) + л2/2(х).
На рис. 1.16 для примера приведен график функции плотно-
сти /(х) смеси двух нормальных распределений — распределе-
ния /,(х) с параметрами: х( =3.5, о, =1, л, =0.6 и распределе-
ния /2(х) с параметрами: х2 =5.5, а2 = 1.5, п2 =0.4.
Рис. 1.16. Смесь распределений.
/(х): хх = 3.5, Qj = 10, К) = 0.6; /2(х): х2 - 5.5,	= 15, яа = 0.4.
Функция распределения и характеристическая функция сме-
си двух распределений определяются соотношениями:
Г(х) = "Л(х) + л2Г2(х);
Хх(0 = ’г1х1(г) + гс2х2(/).
28
Основные числовые характеристики такой смеси:
математическое ожидание х =	+ n2z;
дисперсия	ст’ = П|/и2 (У) + n2m2 (Z) — х2.
В общем случае, когда генеральная совокупность значений
случайной величины X представляет собой смесь значений п
независимых случайных величин Х{, Х2,..., Х„:
f(.x) = ^nkfk(x), F(x) =£л*Л(*)> x,(O = E«*x*(O;
*=1	Л«!
л
*=£"***.
*-1
где л* — вероятность реализации комплекса условий «к», с ко-
торым связана случайная величина Хк («удельный вес» реализа-
ций случайной величины Хк в смеси; к = I, 2..л).
1.4.	ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
Для большинства распределений, рассмотренных в Спра-
вочнике, даны оценки параметров, полученные методом мо-
ментов (ММ) и методом максимального правдоподобия
(ММП). Для некоторых распределений приведены оценки,
основанные на использовании выборочных квантилей. Для
обозначения оценок, полученных методом моментов, исполь-
зуется сокращенная запись ОММ. Оценки максимального
правдоподобия обозначаются аббревиатурой ОМП;
Оценки параметров распределений обозначаются теми же
самыми символами, что и оцениваемые параметры, но с верх-
ним индексом в виде звездочки (*). Так, например, символ ц*
обозначает выборочную оценку параметра положения м, а сим-
вол X* — оценку параметра масштаба X.
Оценивание параметров распределений связано с использо-
ванием выборочных данных и выборочных (эмпирических)
числовых характеристик. В табл. 1 приведены условные обозна-
чения выборочных значений и выборочных числовых характе-
ристик, используемых в Справочнике. Здесь также соблюден
принцип, согласно которому выборочные числовые характери-
стики обозначаются теми же самыми символами, что и теоре-
тические числовые характеристики, однако в отличие от по-
следних выборочные числовые характеристики отмечены верх-
ним индексом в виде звездочки.
29
Таблица 1
Условное обозначение	Термин или определение	Описание и примечание
п	Объем выборки	Число элементов в выборке
хр х2,..., хя	Случайная (неупорядо- ченная) выборка объема п	Последовательность п незави- симых реализаций случайной ве- личины X
	/й элемент случайной вы- борки	/-я реализация случайной вели- чины X
Х(1Р	Х(я)	Упорядоченная выборка объема п (вариационный РЯД)	Выборка, элементы которой расположены в порядке их возра- стания (неубывания), т. е. X(i) Х(2) - — х(я)
*0)	/-Й элемент упорядочен- ной выборки (вариацион- ного ряда)	/-й по величине элемент выборки
х(|)	Минимальный элемент выборки	x(h = min xt ИКя
ХМ)	Максимальный элемент выборки	х,я, = max х.
*	Символ выборочной (эм- пирической) числовой ха- рактеристики	Ставится на место верхнего ин- декса справа от основного буквен- ного обозначения соответствую- щей числовой характеристики (со- ответствующего параметра). Ука- зывает на оценочный характер параметра, помеченного этим сим- волом
х’	Выборочное среднее слу- чайной величины Л	Выборочная оценка математиче- ского ожидания х случайной вели- чины X'. -• 1 * = ~ЪХ< п /-1
X*	Выборочное среднее гео- метрическое	Среднее геометрическое элемен- тов выборки х’=*/Х( х2	хя
5’	Выборочная дисперсия случайной величины X	Несмещенная выборочная оцен- ка дисперсии D* случайной вели- чины X: *.’= А £(*<-*)’ п 1J-1
	Выборочное среднее квадратическое (стандарт- ное) отклонение случайной величины X	Выборочная оценка среднего квадратического (стандартного) отклонения од случайной величи- ны^: 5Х =7^
30
Таблица 1 (продолжение)
Условное обозначение	Термин или определение	Описание и примечание
V*	Выборочный коэффици- ент вариации неотрицатель- ной случайной величины X	Выборочная оценка коэффици- ента вариации у, неотрицательной случайной величины X: v* = SJx*
Д’	Выборочная дисперсия случайной величины X	Смещенная выборочная опенка дисперсии случайной величины X. % =-
	Выборочная квантиль по- рядка р (выборочная ^кван- тиль) случайной величины X	Выборочная оценка /7-квантили х, непрерывной случайной вели- чины X: х’	где х(г) — г-й элемент упорядоченной выборки (г-я порядковая статистика); г - Lv + 0.5 j и [aJ — целая часть числа а. Более точный результат дает формула
		хр = Х(П +	-Х<л)Кл/’— г)» где г =[/¥4
Е'	Выборочное срединное (вероятное) отклонение случайной величины X	Выборочная оценка срединного (ве- роятного) отклонения Е непрерывной случайной величины X с симметрич- ной кривой распределения:
		Е* - (Х*<0.75) - Х*(0.15)) / 2
или	Выборочный начальный момент порядка 5 (j-й выбо- рочный начальный момент) случайной величины X	Выборочная оценка 5-го началь- ного момента т,(Х) случайной ве- личины X: " г-1
или Mi	Выборочный централь- ный момент порядка 5 (5-й выборочный центральный момент) случайной величи- ны X	Выборочная оценка 5-го централь- ного момента ц,(Х) случайной ве- личины X: -«у Л f.)
SkV) или Sk	Выборочный коэффици- ент асимметрии (выбороч- ная асимметрия) случайной величины X	Выборочная оценка коэффици- ента асимметрии Sk(2) случайной величины X: SkV)*Sk-=/3(X)/5j
Ех‘(Х) или Ех	Выборочный коэффици- ент эксцесса (выборочный эксцесс) случайной величи- ны X	Выборочная оценка коэффици- ента эксцесса Ex (X) случайной ве- личины X: Ех’СП-Ех =7^-3
31
1.S.	ГЕНЕРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Случайными (псевдослучайными) числами с задан-
ным законом распределения называются числа, последовате-
льность которых обладает статистическими свойствами, таки-
ми же как статистические свойства последовательности неза-
висимых реализаций случайной величины, подчиняющейся
этому закону распределения. В терминах математической
статистики последовательность случайных чисел с заданным
законом распределения представляет собой случайную вы-
борку из генеральной совокупности, распределенной по этому
закону.
При рассмотрении алгоритмов генерирования (формирова-
ния) случайных чисел с заданным законом распределения в
Справочнике используются приводимые ниже термины и
условные обозначения.
Последовательность г,, г2,..., г,,... независимых реализаций
случайной величины R, распределенной равномерно в интерва-
ле (0, 1), называется стандартной равномерной последо-
вательностью и обозначается символом {г,}. Символ г (или
rf ) обозначает одно из случайных чисел стандартной равномер-
ной последовательности. Запись г := rand; (или г, := rand;) озна-
чает обращение к датчику случайных чисел (ДСЧ) или к
стандартной подпрограмме для формирования псевдослучай-
ных чисел (СП ПСЧ), равномерно распределенных в интервале
(О, 1). На блок-схемах алгоритмов генерирования случайных
(псевдослучайных) чисел с заданным законом распределения
обращение к датчику случайных чисел (или к СП ПСЧ), равно-
мерно распределенных в интервале (0, 1), изображается в виде
оператора	______
г := rand;
Г
Последовательность случайных чисел и2,.ut,..., пред-
ставляющих собой независимые реализации стандартной нор-
мальной случайной величины U, называется стандартной
нормальной последовательностью и обозначается симво-
лом {uz} . Символ и (или «,) обозначает одно из случайных чи-
сел такой последовательности. Запись и := norm; (или и, := norm;)
означает обращение к стандартной подпрограмме для получе-
ния стандартных нормальных случайных (псевдослучайных) чи-
сел.
Большинство алгоритмов генерирования случайных чисел,
приведенных в Справочнике, реализует так называемый стан-
дартный способ имитационного моделирования дискретных
случайных величин. Сущность этого способа заключается в
следующем. В качестве очередной реализации целочислен-
ной случайной величины X с рядом распределения
32
pt = P(X =i), i=Q, 1, 2,..., берут целое число x, удовлетворя-
ющее условию
Ро + рх +...+А-, < г < рй + Pt + ... + рх,
где г — очередное случайное число стандартной равномерной
последовательности {г,}.
В большей части алгоритмов генерирования случайных чи-
сел с непрерывным законом распределения используется спо-
соб обратной функции (преобразование Н. В. Смирнова). При
использовании этого способа в качестве очередной реализации
случайной величины X с заданной функцией распределения
F(x) используется число хм являющееся корнем уравнения
х, = F~'(rt),
где х = F~'(r) — функция, обратная функции F(x).
В ряде алгоритмов генерирования случайных чисел с непре-
рывным законом распределения, приведенных в Справочнике,
использован способ исключения (способ Неймана) и различ-
ные модификации способа суперпозиции. Подробное описа-
ние различных способов генерирования случайных чисел с за-
данным законом распределения приведено в монографиях [14],
[37], [40], [43] и [47].
1.6.	ТАБЛИЦЫ, ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ
Таблицы
В пособии даны ссылки только на отечественные математи-
ческие таблицы.
Для характеристики точности таблиц используются обозна-
чения вида mD или mS, где т — натуральное число. Символ mD
означает, что значение табулированной функции дано с точно-
стью до т десятичных знаков после запятой, а символ mS сви-
детельствует о том, что табличные значения даны с т значащи-
ми цифрами.
Для обозначения пределов и шага изменения аргумента та-
булированной функции и ее параметров используется сокра-
щенная запись вида а(5)Ь. Такая запись относится ко всем вели-
чинам от а до Ь включительно с шагом измерения 5. Так, на-
пример, запись
х= 0(1)10, Х= 0.1 (0.2) 0.9; 5D
означает, что таблица содержит значения табулированной функ-
ции, соответствующие значениям аргументах =0, 1, 2,..., 9, 10
2 Р. Н. Вадзинский
33
и значениям параметра X =0.1, 0.3, ..., 0.7, 0.9; табличные зна-
чения приведены с точностью до пятого знака после запятой.
Техника вычислений
При описании техники вычислений основное внимание уде-
лено использованию таблиц распределений. При этом рассмат-
риваются только таблицы отечественных изданий. Для боль-
шинства дискретных распределений приведены рекуррентные
формулы для вычисления вероятностей
р(х)=Р(Х=х), х = 1, 2,...
Для некоторых наиболее важных распределений приведены
аналитические выражения и различные аппроксимирующие
формулы для вычисления значений функции распределения и
квантилей, которые можно использовать при расчетах на ЭВМ.
Более подробные сведения по этому вопросу приводятся в [42],
[44] и [45].
1.7. УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Условное обозначе- ние	Термин или описание	Описание и примечания
А(х), р<х-, Н. X) м, X) /(х), Л(х), /(х; н, х), Л(х; ц, х)	Функция вероятности целочисленной слу- чайной величины X Плотность вероятно- сти, или функция плот- ности, непрерывной случайной величины X	Функция, устанавливающая связь между возможными значениями х = 0, 1,... целочисленной случайной величи- ны X и вероятностями появления этих значений р(х) = Р{Х= х) Предел отношения вероятности попа- дания непрерывной случайной величи- ны X в интервал (х, х + Дх) к длине Дх этого интервала, стремящейся к нулю:
		г/ \ г	< X < х + Дх) /(х) = lim —		- Дх
Лх), Жх), Лх; и, X), Жх; д, X)	Функция распределе- ния случайной величи- ны X	Функция, значение которой при каж- дом х равно вероятности того, что слу- чайная величина X примет значение, меньшее г F(x) = P(X <х)
Х(х), Х,(х)	Функция риска (ин- тенсивность) непре- рывной случайной ве- личины X	Функция, определяемая равенством l-F(x)
34
Указатель обозначений (продолжение)
Условное обозначе- ние	Термин или описание	Описание и примечания
Фг(0 х.(0 ЩХ), т((Х) ms{X}, /Я, Me (X), XQ.S	Производящая функ- ция целочисленной слу- чайной величины X Характеристическая функция случайной ве- личины X Математическое ожи- дание (среднее значе- ние) случайной вели- чины X Начальный момент 5-го порядка (начальный момент порядка 5, 5-й начальный момент) слу- чайной величины X Центральный момент 5-го порядка (централь- ный момент порядка 5, или 5-й центральный мо- мент) случайной вели- чины X Медиана непрерывной случайной величины X	Функция действительной переменной t, представляющая собой математиче- ское ожидание случайной величины tx: ф.(0 =	|/| s 1 »«0 Функция действительной переменной t, представляющая собой математиче- ское ожидание случайной величины?"*: Хя(/)-Л/(е^) = £ епхр(х), X — дискретная; _ ( ж-0 X — непрерывная ^хр(х), X — дискретная; М(Х) = - j х/(х) dx, X — непрерывная Математическое ожидание случайной величины Xs: ms(X)=M{X*) = £ х*р(х), X — дискретная; - ‘ * jxJ/(jc)Jx, X — непрерывная Математическое ожидание случайной величины Х‘ = (X - х)': £ (х - хУр(х),	X — дискретная; — о J(x - x)J/(x) dx, X — непрерывная Такое значение х0 5 непрерывной слу- чайной величины X, для которого вы- полняется условие Р(Х <xoJ = /V>x0S)=0.5 Медиана х0 5 является корнем уравне- ния F(x05) =0.5
35
Указатель обозначений (продолжение)
Условное обозначе- ние	Термин или описание	Описание и примечания
Mo (X),	Мода случайной вели-	Такое значение х случайной величи-
X	чины X	ны X, при котором функция вероятно- сти р(х) (в дискретном случае) или плот- ность вероятности f(x) (в непрерывном случае) принимает свое максимальное значение
X	Антимода непрерыв- ной случайной величи- ны X	Такое значение х «антимодальной* случайной величины X, при котором плотность вероятности f(x) этой слу- чайной величины достигает своего ми- нимума
вт.	Дисперсия случайной	Математическое ожидание квадрата
А,	величины X (второй цен-	отклонения случайной величины X от
с?	тральный момент слу*	ее среднего значения х
	чайной величины X)	Z><X)= Л/[<Х - х)2]
O(J),	Среднее квадратиче-	Положительное значение квадратного
	скос (стандартное) от- клонение случайной ве- личины X	корня из дисперсии: а(Х)«Ох =4D(X)
V,	Коэффициент вариа- ции неотрицательной случайной величины X	Отношение стандартного отклонения сгх неотрицательной случайной величи- ны X к ее среднему значению х: v, = о,/х или =(а,/х) • 100 %
£	Срединное (вероят- ное) отклонение случай- ной величины X	Характеристика рассеяния непрерыв- ной случайной величины X с симмет- ричным распределением. Число £ удов- летворяет условию Р([Х-х05|<£) = =/>(|Х - хм| > £) =0.5
х,	Квантиль порядка р (р-квантилъ) непрерыв- ной случайной величи- ны X	Такое значение х, этой случайной ве- личины, для которого выполняется условие Р(Х < х,) = р. Квантиль х, яв- ляется корнем уравнения F(xf) = р
Sk(X),	Критическое значение (критическая точка) по- рядка р непрерывной случайной величины X Коэффициент асим-	Число х(#) удовлетворяющее условию Р(Х >х<я) = р. Критическая точка х(/) является корнем уравнения Г(х(?)) = = 1 -р. Для х, и xQ> справедливы соот- ношения	х, =х(1_я Sk(X) -
Sk	метрии (асимметрия) распределения случай- ной величины X	
36
Указатель обозначений (продолжение)
Условное обозначе- ние	Термин или описание	Описание и примечания
Ex(J), Ex Х-У	Коэффициент эксцес- са (эксцесс) распределе- ния случайной величи- ны X	(Z)>.wr	U>W1‘ Запись Х-Yозначает, что случайные величины X и У имеют одно и то же рас- пределение, т. е. имеют одинаковые функции вероятности, функции распре- деления, функции плотности и т. п.
	Специальные функции	
ч*(х; и) Ф(х; ц)	Функция вероятности распределения Пуассона Дополнение функции распределения Пуассона до единицы	V(x; и)=/и=х) = !^е-’, х! где X — случайная величина, распреде- ленная по закону Пуассона с парамет- ром р Ф(х;р) = ?(*;> х)=е'“ £
ч>(*)	Плотность вероятно- сти (функция плотно- сти) стандартного нор- мального распределения	Плотность вероятности нормального распределения с математическим ожи- данием р = 0 и стандартным отклонени- ем о =1
		q>(x) =	= ехр(—х2/2)/л/2п 72л
Ф(х)	Функция распределе- ния стандартного нор- мального распределения	Функция распределения нормально- го распределения с параметрами р = 0 и а = 1:
		Ф(х) = -7кг V2n Д
Фо(х)	Функция Лапласа	
Г(а)	Гамма-функция (эйле- ров интеграл второго рода)	Г(а) = J/*'1 e~'dt = к“ Jr""1 e~udt 0	0
Г(х,а)	Неполная гамма- функция	Г(х,а) = Jr"'‘e'A 0
Их, а)	Отношение неполной гамма-функции	.. ч Г(х, а) Г<»>
37
Указатель обозначений (продолжение)
Условное обозначе- ние	Термин или описание	Описание и примечания		
В(м)	Бета-функция (эйле- ров интеграл первого рода)	В(цр) = р‘-(1 в(ц	-<ГА^Г<У). T(w + v) v) = В (v, w)	
B,(u, V)	Неполная бета-функ- ция	B/U, V) = ] 0	[г-'а-гг'л	
С(ц V)	Отношение неполной бета-функции	4(4v) = b,(«,v)B(u,v); Д(ц*) =		
у(а)	Пси-функция (дигам- ма-функция)	у(а) = ?|1пГ(а)1 = Г(а). </а	Г(а) v(l) = -y= -0.577 215 66490		•••»
»(г)	Интеграл вероятности комплексного аргумента	где у — постоян	ная Эйлера l+ 2£je-' di 1 л; J	
AU)	Функция Бесселя пер- вого рода нулевого по- рядка	A(z) = - f cos (г sin O)</0 = = - [cos(г cos 0) </6		
Ш	Модифицированная функция Бесселя нуле- вого порядка (функция Бесселя первого рода нулевого порядка, мни- мого аргумента)	/.(z) =	1 Ь«с«0^е ni	
F (a, b; с; z)	Гипергеометрическая функция	Ffai;c;z) = . ab I a(a + l)b(b + 1) t1 = 1 +	+ 				— + c 1!	c(c + 0	2! t a(a + l)(a + 2)b(b + l)(6 + 2) /* , +	c(c + l)(c+2)	3! = Г(с) у Г(а + п)Г(Ь + п) Г. Г(о)Г(«£ Г(е + л) л!’ F(a, b\ с; z) = F(b, а; с; z)		
M(a,b;z)	Вырожденная гипер- геометрическая функ- ция первого рода (функ- ция Куммера)	1. \ 1 а Z а(а +1) Z3 и(а + 1)(а + 2)--(д + л -1)		r ! * * .
		Л(6+ !)(* +	2) ‘(b+n-l) n!	
38
Указатель обозначений (продолжение)
Условное обозначе- ние	Термин или описание	Описание и примечания
D,(z)	Функция параболиче- ского цилиндра	D,(Z) = -	Г<-^) д/	.<1 Г((1-/>)/2) (2’ 2’ 2 J
<;(а)	Дзета-функция Рима- на	*•1
ехр(х)	Экспоненциальная (показательная) функ- ция Специальные мат	ехр(х) = е* ематические знаки
LXJ	Целая часть числа х	Наибольшее целое число, не превос- ходящее X
W	Целое число, ближай- шее к X	(х) = [х + 0.5 J
Iх*	Сумма	ЁХ4 = Х. + ХЯ.! +•• +*. к “Я*
fu	Произведение	Пж‘ =ж»х..1 х.
*	Символ выборочной оценки числовой харак- теристики или парамет- ра	Ставится у правой верхней части сим- вола соответствующей числовой харак- теристики (соответствующего парамет- ра)
mD	Указатель точности значений табулирован- ной функции	Значения функции даны с точностью до т-го десятичного знака после запя- той
mS	Указатель точности значений табулирован- ной функции	Значения функции даны с т знача- щими цифрами
x -a(5)₽	Указатель пределов (а, р) и шага б изменения значений величины х	Запись х = а(5)р эквивалентна записи х = оца + ^а + 28>...,р
л!	Факториал	л!И 2 3 ... Л
л!!	Субфакториал	Г1 3 • 5 *... • (2i +1), л=2*+1; 1 2 • 4-6 8-...-2k, л=2к
с;	Число сочетаний из л элементов по т	С" =	= С'~“ * т !(л - т) 1
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНЫЕ (ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1. ДИСКРЕТНОЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Ряд распределения	/>(х) = —, х = а, а + 1,.... а + п - 1, п где а — параметр положения (левая гра- ница области возможных значений слу- чайной величины); п — параметр мас- штаба (число различных возможных значений случайной величины); а, п — целые, л > 2 (рис. 2.1) 0,	х < а;
Функция распределения	. к + 1 а + к<х<а+к + 1, , л 1	1 п к = 0,1,..., п - 2; 1,	х > а + п — 1
Производящая функция	/ч Гв(1 —*") <м')' »(1 - 0
Характеристическая функция	XxU л(1-е")
Математическое ожидание	л — 1 х - а + —-— 2
Мода	Нет
Дисперсия	х 12
Стандартное отклонение	7л2 ~ 1 °'	2J5
40
Коэффициент вариации	-	1	1л2 -1 Vx " (2а + л - 1) V 3
Асимметрия	Sk = 0
Эксцесс	Ех=-1.2--Д- л' — 1
Начальные моменты	2л2 + 3(2а - 1)л + 1	. п тг =			+ а (а - 1), О л’ + 2(2а — 1)л2 + (бе2 — 6а + 1)л л>3 =	4	+ + а(а2 — 15а + 05),
6л* + 15(2а - 1)л3 + 10(6а2 - ба + 1)л2 +
т* ~	30	“*
_ +зо*(2*!-:ь + 1)'1-1 + а1 , _
30
Центральные ц3 =0,
моменты
(л2 - 1)(3л2 — 7)
И< ~	240
Типичная интерпретация: X— число, выбранное на-
удачу из л целых чисел, принадлежащих интервалу [а, а + л -1].
Генерирование случайных чисел
х, = [wj + a.
41
2.2.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Ряд распределения
р(х) =	, х = 0, 1, 2,...,
х!
где параметр ц — математическое ожида-
ние (ц > 0)
Функция распределения	F(x)	= <	0,	х < 0; Л	к < х к + 1 е и	, [	^/!’ Л=0, 1, 2,..
Производящая функция	Фх(')	► = 1	рно-о _ ехр(ц(/ - 1))
Характеристическая функция		1 -1	ехр (р(е" - 1))
Математическое ожидание	X =|	1	
Мода	X - 1	LpJ, М - не целое; Ч, м — целое Н J	
Дисперсия	D, =	Ф	
Стандартное отклонение	«х =	л/Й	
Коэффициент вариации	vx =	1 VM	
Асимметрия	Sk =	1	
Эксцесс	Ex =		
Начальные моменты	= т3 =	: н + ц2; = ц + 3ц2 +ц3;	
т4 =ц + 7ц2 + 6ц’ + ц4
Центральные	Из =м;	щ = ц + Зц2;
моменты	И, =(«	1)РР,-2 + И а
42
0	123456789*
S| *2
Рис. 2.2. Функция вероятности распределения Пуассона.
Типичная интерпретация: X— число событий стацио-
нарного ординарного потока без последействия (пуассоновско-
го потока) в интервале фиксированной длины; ц — математи-
ческое ожидание числа событий (среднее число событий) в
рассматриваемом интервале (рис. 2.2).
Соотношения между распределениями
1.	Сумма s независимых пуассоновских случайных величин с
параметрами щ,..., ц, подчиняется закону Пуассона с па-
раметром ц = Ц| + + ... + р,. Справедливо и обратное утверж-
дение: если сумма независимых случайных величин распреде-
лена по закону Пуассона, то каждое слагаемое распределено по
этому же закону.
2.	Распределение Пуассона тесно связано с показательным
(экспоненциальным) распределением и распределением Эр-
ланга. Пусть Т|, Тг — моменты появления событий слу-
чайного потока, например потока сообщений, отказов и т. п.;
Х{ Х2 ,..., Xm — случайные промежутки времени между этими
событиями; Лф) — число событий случайного потока в фикси-
рованном интервале времени [0, Г] (рис. 2.3).
N(0
7*1	^2	- I Tm
Рис. 2.3. Пуассоновский поток случайных событий.
Крестиками обозначены события случайного потока.
43
Если случайные величины Х{,Хг ,...,Хт независимы и
каждая из них распределена по показательному закону с одним
и тем же параметром масштаба X, то случайное число N(t) со-
бытий потока в интервале фиксированной длины t подчиняется
закону Пуассона с параметром ц = X/, а случайная величина
Т„ = X, + Х-1 + ... + Xm имеет распределение Эрланга порядка
m с параметром масштаба X. При этом имеет место равенство
P{N(t) г и} = Р(Т„ < t).
3.	Для пуассоновской случайной величины А'(ц) и случайной
величины Z(2(l + Л)), имеющей х2 -распределение с v = 2(1 + к)
степенями свободы, справедливо соотношение
Р{Х(И)^Л} = Р{2(2(1 + Л))>2И}.
4.	Распределение Пуассона является предельным для бино-
миального, отрицательного биномиального и гипергеометриче-
ского распределений.
5.	При выборе между пуассоновской, биномиальной и отри-
цательной биномиальной моделями можно пользоваться следу-
ющими свойствами этих моделей:
биномиальная	— дисперсия меньше среднего
пуассоновская	— дисперсия равна среднему
отрицательная биномиальная — дисперсия больше среднего
Оценивание параметров
=х*=- £х, (ММ; ММП).
п Ml
Подробные рекомендации по определению оценок и дове-
рительных границ для параметра распределения Пуассона при-
ведены в [29].
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1 реализует стандартный способ имитационно-
го моделирования дискретных случайных величин. Алго-
ритм 2 основан на связи пуассоновского распределения с по-
казательным и эрланговским распределениями (см. рис. 2.3).
Таблицы
1.	[13, с. 395—423, табл. VI, VII]. Приведены значения функ-
ций у(х;ц) »«-* ^у =р(х) и Ф(х;р) =₽-’'£ = Р(Х > х)
для ц = 0.1(0.1)15; 16(2)30; 40(10)100; 4Р.
2.	[2, с. 298—306, табл. 5.3]. Даны значения вероятностей р(х)
для ц =0.1(0.1)15; 6ZX
44
Алгоритм 1	Алгоритм 2
Рис. 2.4. Блок-схемы алгоритмов генерирования пуассоновских случайных
чисел.
3.	[16, с. 89, 90, табл. 1.1.2.5]. Приведены значения вероятно-
стей р(х) для ц = 0.1(0.1)1.0; 1.5(0.5)5.0; 6(1)10; 6Р.
4.	[6, с. 259—261, табл. 9.3]. Даны значения вероятностей
Р(Х < х) для р = 0.001(0.005)0.100; 0.2(0.1)10; 1.2(0.2)2.0;
2.5(0.5)5.0; 6(1.0)10; 4Р.
5.	[3, с. 238—241, табл. 29а, 296]. Даны значения вероятно-
стей р(х) и Р(Х а х)для р = 0.1(0.1)3.0; 4(1)10; 5D.
Техника вычислений
Вероятности р(х) пуассоновского распределения можно вы-
числить с помощью рекуррентной формулы р(х) = р(х - 1) —,
х = 1, 2,..., где р(0) =	.	х
При вычислении вероятностей вида Р(т1 <, X £ т2) можно
использовать таблицы значений функций Р(Х < х) и Р(Х £ х),
приведенные в [13], [6] и [3].
При ц > 9 распределение Пуассона можно аппроксимиро-
вать нормальным распределением с математическим ожидани-
ем ц и дисперсией ц:
. ч 1
р(х) а—ф
Vh I
® Фа
О
х + 0.5 - ц
х -0.5
P(ml < X £ m2) а Фо
т2 + 0.5 -
[ аг)
тх - 0.5 - ц
0	7~
I Vn J
45
где <p(x) = -=-	— плотность вероятности стандартного
V2n	Iх,
нормального распределения; Ф0(х) = -= [е’,,/2г/г — функ-
ция Лапласа.	71 0
В системе символьной математики DERIVE имеются функ-
ции POISSON_DENSITY(k, t) = е ' — и POISSON_D1STRI-
к!
*
BUT1ON (k,t) » У в’' — (см. [41], утилиты PROBABIL.MTH).
2.3.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Ряд распределения
р(х) =рх(1-р)1’х, х = 0,1,
где р — параметр формы (0 < р < 1)
Го,
Функция
распределения
Производящая
функция
Характеристическая
функция
F(x) = И - р, 0 < х < 1;
<рх(Г) = q + pt, q =1-р
Хх(0 = 9 + Ре"
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
х =Р
Д, = pq
=4pq
О < р < 0.5;
0.5 < р < 1
Sk=^
•Jpq
_	1 Г
Ex =---6
pq
тг = тз = mt = Р
46
Центральные ц} = pq(q - р), ц4 = pq{\ - 3pq)
моменты
Типичная интерпретация: X — число успехов в оди-
ночном испытании Бернулли с вероятностью успеха р и вероят-
ностью неудачи q = 1 — />.*
Рис. 2.5. Функция вероятности распределения Бернулли.
Последовательность независимых испытаний Бернулли {схе-
ма Бернулли) лежит в основе таких целочисленных распределе-
ний, как биномиальное, геометрическое и отрицательное бино-
миальное. «Механизм» возникновения этих распределений
определяется тем способом, которым «обрывается» последова-
тельность испытаний Бернулли.
Биномиальное распределение имеет место в тех случаях,
когда последовательность испытаний Бернулли обрывается по-
сле проведения фиксированного числа л испытаний. При этом
под биномиальной случайной величиной X понимается число
успехов в серии из л испытаний Бернулли.
Геометрические распределения возникают при обрыве
серии испытаний сразу же после первого успеха. При этом рас-
сматриваются две случайные величины: случайная величина
X — число неудач, предшествовавших первому успеху, и слу-
чайная величина Y — число испытаний до первого успеха
(включая и сам успех).
Отрицательное биномиальное распределение имеет
место в тех случаях, когда последовательность испытаний об-
рывается сразу же после m-го успеха. При этом рассматривают-
ся две случайные величины: случайная величина Z— число не-
удач, предшествовавших /л-му успеху, и случайная величина
W — общее число испытаний до тп-го успеха (включая т-й
успех).
1 «Испытание Бернулли» — вероятностный эксперимент с двумя возмож-
ными исходами: «успех» и «неудача». Вероятность успеха в одиночном испы-
тании равна р и не меняется от испытания к испытанию (вероятность р успеха
часто называют параметром испытания Бернулли).
47
Генерирование случайных чисел
г := rand;
если г < р, то х: = 1;
иначе х: = 0.
2.4.	БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Ряд распределения
Функция
распределения
Р(х) = C*pxq"
п i 1 — целое,
[0,
/-0
1,
£(х) =
х = 0,1...л,
0 < р < 1, q -1~ р
х < 0;
к < х < к + 1,
к =0,1,...,л -1;
х > л
Производящая
функция
Фх(0 = (« + р6я
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Мода
Х,(0 =(9 + ре"У
х = пр
]_(л + 1)р],
(л + 1)/> - 1, |
(л + \)р, J
(л + 1)р — не целое;
(л + 1)р — целое
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
ст
= npq
npq
Sk = ^₽
Jnpq
_	1 - 6pq
Ex =----—
npq
48
Начальные
моменты
т2 = пр [(л - 1)р + 1],
лт, = лр[(л -1)0» - 2)р2 + 3(л — 1)р + 1],
л»4 = яр [(л - 1)(л - 2)(л - 3)pJ +
+ 6 (л - 1)(л - 2)р2 + 7(л - 1)р + 1],
= пр т,
q dm,
п dp

Центральные
моменты
gj = npq(q- р),
g4 = лде[1 + Зр$(л - 2)]
Типичная интерпретация: 1) X— число успехов в се-
рии из л независимых испытаний Бернулли с вероятностью
успеха р и вероятностью неудачи q = 1 - р в каждом испыта-
нии; 2) X — число меченых элементов в случайной выборке с
возвращением объема л, извлеченной из генеральной совокуп-
ности объема N, содержащей M=pN меченых элементов.
Рис. 2.6. Функция вероятности биномиального распределения.
Параметры распределения: а — л «4, р «0.18; б — л = 4, р = 0.82; «-л = 4,
р =0.5; г — л = 4, р =0.6.
49
Соотношения между распределениями
1.	Для биномиальных распределений с параметрами л, р и п,
1 — р справедливы соотношения:
р(х,п,р) =р(п-х; л, 1-р);	(1)
Р{Х(л; р) 5 х} = 1 - Р{Х(л; 1 - р) < л - х -1}.	(2)
2.	Сумма 5 независимых биномиальных случайных величин с
параметрами л,., p(i = 1, 2,подчиняется биномиальному
закону распределения с параметрами v, р, где
v = л( + л2 + ... + л,.
3.	Для биномиальной случайной величины Х(п,р) и случай-
ной величины У(2(х + I), 2(л -х)), имеющей ^-распределение
Фишера-Снедекора с числом степеней свободы v, =2(х + 1),
v2 = 2 (л - х), справедливо равенство
Р{Х(п, р) < х} = 1 - р|у(2(х + 1), 2(л - х)) <.	Л =
(	'	(1 + х)(1 - р))
= р]у(2(л — х), 2(х + !)) < <1 + х)<1~Р)1
I	Р(» ~ х) J
4.	При л -> «, р -> 0, так что пр = ц = const, биномиальное
распределение стремится к распределению Пуассона с парамет-
ром ц.
5.	Связь биномиального распределения с геометрическим и
отрицательным биномиальным распределениями рассмотрена
в п. 2.3.
6.	При выборе между биномиальной, отрицательной бино-
миальной и пуассоновской моделями можно руководствовать-
ся следующими свойствами этих моделей:
биномиальная	—	дисперсия	меньше среднего
пуассоновская	—	дисперсия	равна среднему
отрицательная биномиальная — дисперсия больше среднего
.Оценивание параметров
Метод максимального правдоподобия. Оценки
максимального правдоподобия параметров ли р определяются
путем решения системы уравнений
л’/>’ = х’;
п-к	п }
где vk — число элементов выборки х,, х2,..., хт, превышающих
Л; =тах(Х|, х2.....х„) — максимальный элемент выбор-
so
ки; х‘ — выборочное среднее. Если л*, полученное при реше-
нии системы (3), больше х^, то в качестве оценки параметра л
рекомендуется взять целое число, ближайшее к л’. Если же
л ’<	, то в качестве оценки п следует взять х^.
В том случае, когда параметр а известен, ОМП параметра р
определяется по формуле р' = x'jn.
Метод моментов:
. (Г)2
Л =	---г
x-Sl
• 1 я
Р = 1 -~Т •
х
При х '< Si оценка п’ становится отрицательной. Это указы-
вает на то, что в данном конкретном случае биномиальная мо-
дель неприменима (см. замечание 6 о выборе биномиальной,
пуассоновской и отрицательной биномиальной модели).
Подробные рекомендации по определению оценок и дове-
рительных границ для параметров биномиального распределе-
ния приведены в [34].
Генерирование случайных чисел
Алгоритм I
Алгоритм 2
Алгоритм 3
Рис. 2.7. Блок-схемы алгоритмов генерирования биномиальных случайных
чисел.
Алгоритм 1 реализует стандартный способ имитационно-
го моделирования дискретных случайных величин.
51
Алгоритм 2 имитирует серию из л испытаний Бернулли с
вероятностью успеха р.
Алгоритм 3 использует связь биномиального распределе-
ния с геометрическим распределением 2 (распределение Фар-
ри). Геометрические случайные числа суммируются до тех пор,
пока их сумма не превзойдет л. Число слагаемых минус едини-
ца и есть биномиальное случайное число. Иными словами, в
качестве очередного биномиального случайного числа исполь-
зуется число х = к - 1, где к — минимальное число, удовлетво-
ряющее условию £ у, > п. (Здесь у, — случайное число, при-
м
надлежащее последовательности случайных чисел с геометри-
ческим распределением 2). При малых р алгоритм 3 работает
быстрее алгоритма 1.
Таблицы
1.	[2, с. 284, 285, табл. 5.1]. Приведены значения вероятно-
стей р(х) для п = 5(5)30 и р = 0.01; 0.02(0.02)0.10(0.10)050; 5D.
2.	[6, с. 266—272, табл. 9.5]. Даны значения вероятностей
Р(Х < х) для п = 2(1)25 ир = 1/16(1/16)8/16; 4D.
При р > 0.5 для вычисления вероятностей р(х) и
Р(Х < х) следует использовать формулы (1) и (2).
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(х) связаны меж-
ду собой соотношением
р(х) = р{х - 1) -	—-, х = 1, 2,..., п, где р(0) = дя.
Я х
При вычислениях, связанных с биномиальным распределе-
нием, могут быть использованы соотношения:
Р(Х ^х) = ^СУ(1-у)"-' =
1-0
= ll_f (л - х, х + 1) = 1 - Ip (х + 1, л - х);
?(Пх) = £с>'(1 -РУ' =
Мх
= /, (х,л - х + 1) = 1 - Ц.р{п -х + 1,х);
р(х) = Р(Х = х) = If (х, п - х + 1) - If (х + 1, п - х) =
= Ц_р(п — х,х + 1) -/|.,(л-х + 1,х),
1 *
где IAu, v) = ——- Г /"‘‘(I - г)1”1 dt — отношение неполной бе-
В(ц, v) •
та-функции.
52
При npq > 9 биномиальное распределение можно аппрокси-
мировать нормальным распределением с математическим ожи-
данием пр и дисперсией npq:
р(х) «
х + 0.5 - пр'
х-0.5-
пр
(
P(mt s X £ тг) я Фо —
+ 0.5 - пр'
Jnpq ;
mt - 0.5 - пр
Jnpq
Р(Х <. т)

/
Максимальная абсолютная ошибка последнего приближен-
ного равенства меньше 0.140/у/npq.
В [20] нормальная аппроксимация допускается при менее
жестких условиях: npq >5 и 0.1 £ р < 0.9.
При р < 0.1 можно пользоваться пуассоновским приближе-
нием:
р(х)	= у(х;лр);
х!
Р(т{ <.Х^тг)«	e~"f - £	е"'" =
/*Л1|
= Ф(/и,; пр) — Ф(/и2 + 1; пр).
(О функциях у(х; ц) и Ф(х; ц) см. п. 2.2 «Распределение Пу-
ассона»).
В системе символьной математики DERIVE имеются функ-
ции
BINOMIAL_DENSITY (k, n, р) = C„V(1- р)я~*
и
BINOMIAL_DISTRIBUTION (к, п, р) =
= '£С‘р‘(1-р)я-,,к = 1, 2,..., л
(см. [41], утилиты PROBABIL.MTH).
2.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.5.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Ряд распределения р(х) = pq*, х = 0,1, 2.
где 0 < р < 1, q = 1 - р
53
		0,	х < 0;
Функция распределения	Г(х) = <	1 -g**1,	к < х <, к + 1 к =0,1, 2,...
Производящая функция	фДО -	р 1-qt	
Характеристическая функция	х,(0 =	Р 1 - qe*'	
Математическое ожидание	х = * р		
Мода
Дисперсия	D =3- 1 Р1
Стандартное отклонение	р
Коэффициент вариации	
Асимметрия	sk-Цх Jq
Эксцесс	Ex - — + 6 q
Начальные моменты	q(q + 1)	q(q* + 4g + 1) =	, m3 - - P	P q(q3 + 11g* a Hg + 1) *	P*
Центральные моменты	„ _ g(q +1)	_ q(q2 + 7g +1) Из -	3	H4 ~	« P	P
Типичная интерпретация: Х~ число неудачных ис-
пытаний Бернулли, предшествовавших первому успеху; р — ве-
роятность успеха; q = 1 - р — вероятность неудачи в одиночном
испытании.
Примечание. Геометрическое распределение 1 — единст-
венное целочисленное распределение, обладающее свойством
отсутствия последействия: при любых целых т, п г О
Р(Х нт п/Х im)- Р(Х £ л).
54
Рис. 2.8. Функция вероятности геометрического распределения 1.
В этом смысле геометрическое распределение 1 является ди-
скретным аналогом показательного (экспоненциального) рас-
пределения.
Соотношения между распределениями
Соотношения геометрического распределения 1 с биномиаль-
ным и отрицательным биномиальным распределениями рас-
сматриваются в п. 2.3.
Оценивание параметров
/ = (ММ; ММП)
X + 1
55
Генерирование случайных чисел
In г,
.Ind -р)
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(х) связаны
между собой соотношением
р(х) = p(x — \)q, х = 1, 2,...,
где р(0) = р.
2.5.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 2
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФАРРИ)
Ряд распределения
р{у) = У = 1, 2,...,
где 0 < р < 1, q = 1 - р
Функция
распределения
Производящая
функция
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
<₽,(/) «•	0, pt 1-qt	у * 1; к < у 5 к + 1, к =1, 2,...
х,(0 = 	Р _ -О	~	
- 1 У р У = 1	е -q	
		
		
Sk = —	Ч_	
	?	
Ex =— Ч	+ 6	
56
• Т	0 + 1	02 +	+ 1
Начальные т2 = ——, т2 = --------,
моменты	Р	Р
03 + II?2 + 110 + 1
т< ---------;-----
Р
тт	0(0+ 0	0(02 + ?0 +1)
Центральные ц3 =	Ц« = —---—-
моменты	Р	Р
Типичная интерпретация: У — число независимых
испытаний Бернулли до первого успеха (включая и первый
успех); р — вероятность успеха; q - 1 - р — вероятность неуда-
чи в одиночном испытании.
Рис. 2.9. Функция вероятности геометрического распределения 2.
57
Соотношения между распределениями
1. Случайная величина Х(р), имеющая геометрическое рас-
пределение 1, и случайная величина Y(p), имеющая геометри-
ческое распределение 2, связаны друг с другом равенством
Y(p) = Х(р) + I.
2. Соотношение между геометрическим распределением 2,
биномиальным и отрицательным биномиальным распределе-
ниями рассмотрены в п. 2.3.
Оценивание параметров
р = Jr (ММ; ММП).
У
Генерирование случайных чисел
In rt
In(l-f)
+ 1.
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(у) связаны
между собой соотношением
р(у) = Р(У -1)?> У =2,3,...,
где р(1) = р.
2.6. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
2.6.1. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Ряд распределения
Функция
распределения
Р(г) = C‘+m-iPV. z = 0,1,2..
где т S 1 — целое, 0 < р < 1, q = \- р
zss 0;
к < z £ к + 1,
к =0,1, 2,...
Производящая
. функция

58
Характеристическая %t(r) = —
функция	U _ 9е
..	- тЯ
Математическое	z =
ожидание	Р
Мода	Z = <	(w -1)? . Р . (m - 1)9 _	» 1	(w (m k »	-l)o —— — не целое; p -1)9 —“ — целое p
		(ffl - 1)9 . P			
Дисперсия Стандартное отклонение Коэффициент вариации Асимметрия Эксцесс Начальные моменты	= = Vz = Sk = Ex = тг = т3 =	mq 7>l Jinq p 1 Jmq 1 + g 4^9 p2 6 A mq m mq(mq + I) p2 тд[т2д2 + (3m + P*			1)9 + 1]
	т< --	тд[т2д2 + (Im + P	+ (6m2 P* 4)g +1] 4		+ 4m + l)g2 4- >
mq(q +• 1)
Центральные	Из =	3--
моменты	Р
mg(q2 + (3m + 4)д ♦ Ц
59
p(-’)l	p(z)
0-4 • (т - \)hn < р < I
0.3
б
0 < р < (т - I)(т
q{m - 1)/р-ие целое
Рис. 2.10. Функция вероятности отрицательного биномиального
распределения I.
Параметры распределения: а — т = 4, р = 0.8; б — т = 4, р = 0.55; в — т = 4,
/> = 0.5.
Типичная интерпретация: Z— число неудачных ис-
пытаний Бернулли, предшествовавших /и-му успеху; р — веро-
ятность успеха; q = 1 - р — вероятность неудачи в одиночном
испытании.
Соотношения между распределениями
1.	Отрицательное биномиальное распределение 1 описывает
распределение суммы т независимых случайных величин, каж-
дая из которых имеет геометрическое распределение 1. В этом
смысле отрицательное биномиальное распределение является
дискретным аналогом распределения Эрланга.
2.	При т = 1 отрицательное биномиальное распределение
совпадает с геометрическим распределением 1.
3.	Сумма s независимых случайных величин Z(mt, р), имею-
щих отрицательное биномиальное распределение I с парамет-
60
рами т1г р (J = 1,2,...,$), имеет отрицательное биномиальное
3
распределение 1 с параметрами т = mt и р, т. е.
2(т1гр) + Z(m2,p) + ... + Z(m,, р) ~ Z(m,p).
Справедливо и обратное утверждение: если сумма независи-
мых случайных величин имеет отрицательное биномиальное
распределение 1, то каждое слагаемое тоже имеет отрица-
тельное биномиальное распределение 1.
4.	Соотношения отрицательного биномиального распределе-
ния с биномиальным и геометрическим распределениями рас-
смотрены в п. 2.3. При выборе между отрицательной биномиаль-
ной, биномиальной и пуассоновской моделями можно руко-
водствоваться следующими свойствами этих моделей:
биномиальная	—	дисперсия меньше среднего
пуассоновская	—	дисперсия равна среднему
отрицательная биномиальная — дисперсия больше среднего
5.	Если случайные величины Xlt Х2>... независимы и имеют
логарифмическое распределение 1 с параметром р, а неза-
висимая от них случайная величина N распределена по за-
кону Пуассона с параметром ц, то случайная величина
X = Х| + Х2 +... + XN имеет отрицательное биномиальное
распределение с параметрами т = -p/lnp и р (при N = О, X = 0).
6.	Пусть случайная величина Z подчиняется закону Пуассо-
на со случайным параметром Л, который в свою очередь под-
чиняется закону Эрланга порядка v с параметром масштаба 8,
имеющему плотность вероятности /х(Х)=--------щ
X > 0, 8 > 0. Тогда случайная величина Z имеет отрицатель-
ное биномиальное распределение с параметрами т = v и
р=8/(1+8).
8. Отрицательное биномиальное распределение является
предельной формой распределения Пойа (см. п. 2.10.2).
9. При /л-><ю,0->Ои/п?-» ц отрицательное биномиальное
распределение аппроксимируется распределением Пуассона с
параметром ц.
Оценивание параметров
Метод моментов:
• _ (г')г	_ £1
S^-z"	S\'
61
Следует заметить, что при 5, < z ’ эти формулы дают совер-
шенно неприемлемые результаты: т’ < 0 и р' > 1. Эти резуль-
таты становятся понятными, если вспомнить, что отрицатель-
ная биномиальная модель применима только при Dt > z.
Метод максимального правдоподобия:
— по данным выборки определяют относительные частоты
(частости)
л = p\z = /), / = о, 1,2,..., f; = p\z > *) = £ Р;
1-к
и выборочное среднее z ’;
— решая относительно Р' уравнение
In(1 + Р') = f	,
*•' ^т + А-1
Р
находят оценку Р' параметра Р = (1 — р)/р;
— используя эту оценку, определяют оценки параметров тар:
т =Т1Р\ /=1/(1 +Г).
Комбинированный метод:
—	по выборочным данным определяют выборочное среднее
Z и оценку / вероятности д = P(Z = 0);
—	решая относительно Р уравнение
Р' Z
In (1 + Р') In /
находят оценку Р' параметра Р = (1 - р)/р\
—	используя эту оценку, определяют оценки параметров т и р:
т = //Г,/ =1/(1 + ^*)-
В том случае, когда параметр т известен, оценка параметра
р определяется по формуле
р' = т/(т + Г) (ММ).
Подробные рекомендации по определению оценок и дове-
рительных границ для параметров отрицательного биномиаль-
ного распределения приведены в [34].
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1 реализует стандартный способ имитационно-
го моделирования дискретных случайных величин. Алгоритм
2 использует связь отрицательного биномиального распределе-
ния с геометрическим распределением 2.
62
Алгоритм I	Алгоритм 2
Рис. 2.11. Блок-схемы алгоритмов генерирования случайных чисел, имеющих
отрицательное биномиальное распределение 1.
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей p(z) связаны друг
с другом соотношением
p(z)=p(z-l)m~l + zq,z = l, 2,...; р(0)=рт.
Z
При вычислениях, связанных с отрицательным биномиаль-
ным распределением, используются следующие соотношения:
p(z> z) = z,.,u«) = i-/,(*•*);
P(Z <-z)=I, (m,z + 1) = 1 -It-,(z + l,m);
P(Z = z) = If(m,z + l) -I„(m,z) =
Для вычисления вероятности P(Z <. z) можно использовать
аппроксимирующую формулу
P(Z < z) ® Ф(т),
где
9z + 8 9т -1
-------------------------а	г -.Vi
т = Z +1 т а = тд ,
3 ^а2/т - l/(z + 1)	+ -I
Ф(т) — функция распределения стандартного нормального рас-
пределения. Эта формула обеспечивает высокую точность.
63
2.6.2. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 2
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАСКАЛЯ)
Ряд распределения
p(w) =С^' pmq“'m,
w =т, т + 1, т + 2,...,
т £ 1 — целое, 0 < р < 1, q = 1- р
Функция F(w) - <
распределения
О,	w < /я;
„Vf"-1 л' m + K<w<m + K + l
к =0,1,2,...
Производящая
функция
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Р
	m -q	m - q
	. p .	,			 — не целое; p
W = < д, = = = Sk =	m ~q _ P m - q  P mg P1 y/mq p £ V m g + 1 7^7	1>	m - q 1 ’ 		 — целое p
Ex -	mq m	
m(q + m)		_ m[q2 +(3/и + 1) +m2|
2 ~	p1 ’	^3
64
m(q3 + (7m + 4)?J +
=---------------------►
P
+ (6m2 + 4m + V)q + m3]
Центральные
моменты
P
_ mq(q + 1)	_ mq[q2 + (3m + 4)q + 1]
= —-3 . Ш------------------
Р
Типичная интерпретация: 1. W — общее число испы-
таний Бернулли до т-го успеха (включая и т-й успех); р — ве-
роятность успеха; q = 1 - р — вероятность неудачи в одиночном
испытании. 2. W — время ожидания m-го успеха в схеме Бернул-
ли с вероятностью успеха р (при условии, что на реализацию
одиночного испытания затрачивается одна единица времени).
в
О < р < (т- I )/т
q(m - l)/w - целое
, lllllllll....
О 2	4	6 f 8	10 12 14 16»'
И'| н'2 IV
Рис.2.12. Функция вероятности отрицательного биномиального распределения 2.
Параметры распределения: а — т =4, />=0.8; б — т=4, />=0.55; в — т=4,
р =0.5.
Соотношения между распределениями
1.	Распределение Паскаля описывает распределение суммы
т независимых случайных величин, каждая из которых имеет
геометрическое распределение 2 (распределение Фарри).
3 Р- Н. Вадзинский
65
2.	При т - 1 распределение Паскаля совпадает с геометри-
ческим распределением 2.
3.	Случайная величина W(m, р), имеющая распределение
Паскаля с параметрами т, р, связана со случайной величиной
Z(m,p), имеющей отрицательное биномиальное распределе-
ние 1 с параметрами /я, р, очевидным соотношением ^(т, р) =
= Z(m, р) + т.
4.	Сумма j независимых случайных величин W(mt, р), имею-
щих распределение Паскаля с параметрами mt, р (/’ = 1, 2,..., s'),
имеет распределение Паскаля с параметрами т = т, и р.
<-1
5.	Соотношений между распределением Паскаля, биномиаль-
ным, геометрическим и отрицательным биномиальным распре-
делениями рассмотрены в п. 2.3.
6.	Для случайной величины W(m,p), имеющей распределе-
ние Паскаля с параметрами т, р, и случайной величины
Х(и, v), имеющей бета-распределение с параметрами и, v, спра-
ведливы следующие соотношения:
/>{ИЛ(я», р) > w} = P{X(w — т, т) < 1 — р} =
= 1 - Р{Х(/я, w — т) < р}.
Оценивание параметров
/я‘
(*')*
+ w ”
Р =	(ММ).
5, + w
В том случае, когда параметр т известен, оценка параметра
р определяется по формуле
р =	(ММ).
и»
Генерирование случайных чисел
W, = Zt +т,
где Z, — случайное число из последовательности случайных чи-
сел, имеющих отрицательное биномиальное распределение 1 с
параметрами /я, р.
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей p(w) распределе-
ния Паскаля связаны соотношением
УФ» _ |
p(w)=p(w-l)------, w = т 4-1, т + 2,..., где р(т) = р*.
w -т
66
При вычислениях, связанных с распределением Паскаля,
можно использовать следующие соотношения:
й и») = Ц_р (w -т,т) = 1 - w ~ т)>
P(W < w) = Ip (m,w -т + 1) = 1 - lt_p(w - т + 1,т);
P(W = w) = Ip (m,w - m + 1) - Ip (m, w -m) =
= ~ m>m) +
Для вычисления вероятности < w) можно использовать
аппроксимирующую формулу
P(W < w) « Ф(т),
где
9(w-/n) + 8 9т -1
-------------------а
х w - л» + 1 т
3	1	1i
V т w -т + 1
Ф(т) — функция распределения
распределения.
а= _____;
p(w — т + 1)J
стандартного нормального
2.7. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Сх С"-*
Ряд распределения р(х) = — х = а, а + 1,..., р,
С н
где N, М, п — целые неотрицательные
числа (М < N,n < N),
а = max(0, М + л - N), р = min (А/, л)
*(*>=ov
Функция
распределения
Производящая
функция
О,	х £ а;
1	а+*	г	г Ч
1 xnsm-t а+А<х^ач-ЛЧ'1>
1,	х > р
,А (N-Myn}
=	^(я) х
х Д л(А)Л/(*) tk _
X*“ (tf-А/-л+ £)<*> А!
= (N -M)^ F _M N -м - л + 1; О,
дг(л)	х j ,	>
где а(х) = а(а -1) (а - 2) ... (а - х + 1);
Г(а, Ь', с; 0 — гипергеометрическая функ-
ция с параметрами а, Ь, с
67
Характеристическая
функция
,rt (N - Л/)<я)
*
х У	п(к)Ма'	е"к
*-М-п + кУк> к\
У!- ул> F(-n, -M;N -М - л + 1; <?")
Математическое
ожидание
- Мп
* N
Мода
(М 1)(л + 1)
N + 2 J’
(М + 1)(л + I)
N + 2
(М + 1)(л + 1)
N + 2
(М + 1)(л + 1)
1„—- — не целое;
N + 2
(М + 1)(л + 1)
-——- — целое
N + 2
п	л пМ(N - M)(N - л)
Дисперсия	D, = *— —----------
„	1	- M)(N - л)
Стандартное ст = — J—*———у------------
отклонение " “ АГ -1
V жж	l<N ~M)(N -п)
Коэффициент vx = р—	<
вариации	V пМ(1У-1)
.	с. (N - 2M)(N - 2n)jN -1
Асимметрия Sk = —----------,	.
(^ - 2^nM(N - M)(N - л)
„	_	N2(N -1)
Эксцесс	Ex =------------'-----x
n(N -2)(N -3)(N -л)
'N(N +1)-6л(У-л)	6fl(JV-fl)(5tf-6) ,
X[ M(N-M) + N2(N
Начальные
моменты
иЛ/Г(л-1)(Л/-1) Л
m’ ’~N ~-1	+‘
пМ Г(л - 1)(л - 2){М - \){М - 2)	3(л - 1)(Л/ - 1)
N [	(ЛГ-1)(ЛГ-2)	+ ЛГ-1 +
68
т - пЛ/ Г(” - ОС” - 2)(” - 3)(М - 1)(Л/ - 2)(М - 3)
4 L (N -l)(N -2)(У-3)
6(л - 1)(л - 2)(М - 1)(Л/ - 2)	7(л - 1)(Л/ - I) ‘
(У - l)(tf - 2)	N - 1
Центральные моменты
_ nM(N - Л/)(;У - 2M)(N - л)(# - 2л)
Из	N\N - \){N - 2)
. (ЛГ - 2M){N - 2л)	.
N(N-2)
“• ' (N4N + °-6nN4N -"> +
+ 3M(N - M) [n(N “ n)(N + 6) - 2№] }
b < (Af +	•+• 2) < | f(n + I)
0.5 -
0.4 •
03 
0.2
0 f 1	2	3	4 x
x
Рис. 2.13. Функция вероятности гипергеометрического распределения.
Параметры распределения: а — N =23, п = 4, М = 4; б — N = 28, п = 4» М =24;
в — ^=28, л = 4. М =14; г —	=28 . л = 4, М = 17.
69
Типичная интерпретация: X — число меченых эле-
ментов в выборке без возвращения объема п, извлеченной из
генеральной совокупности объема N, содержащей М меченых
элементов.
Соотношения между распределениями
1. Гипергеометрическое распределение обладает определен-
ной симметрией относительно своих параметров. Приведенные
ниже тождества выражают эту симметрию:
р(х; ЛГ, л, М) ж />(х; ЛГ, Л/, л) = р(л - х; N, п,N - М) =
= р(М-x-,N,N-п>М) в
= p(N-п~М + x;N, N-n,N - М);	(1)
Р(Х < х; N, л, М) в Р(х; N, п, М) ж Р(х; N, М, л) =
sP(N-п-М + x‘,N, N-n,N-М) в
в1-Р(л-х-1;У, n,N -М) в
s}-P(M-x~l;N,	(2)
где Р(х; N, п, М) = 1, если л - х -1 или М - х -1 отрицательно.
В случае необходимости указанные тождества можно приме-
нять несколько раз. С помощью тождеств (1) и (2) функции
р(х; N, п, М) и Р(х; N, л, М) любого гипергеометрического
распределения можно выразить через соответствующие функ-
ции гипергеометрического распределения с параметрами, удов-
летворяющими условиям 0<х<А/<л< N/2.
2. При N -> оо и фиксированных л и р = М/N гипергео-
метрическое распределение стремится к биномиальному рас-
пределению с параметрами л, р (это означает, что если объем л
выборки мал по сравнению с объемом N генеральной совокуп-
ности, то выборка без возвращения мало отличается от выбор-
ки с возвращением).
Оценивание параметров
При известных N и л оценивается М\
М'=1х—\ (ММ),
\ п /
где (а) — целое число, ближайшее к числу а.
В качестве ОМП параметра М используется наибольшее це-
лое число, не превышающее х*(Лг + 1)/л. Если число
x‘(N + 1)/л — целое, то в качестве ОМП параметра М можно
использовать либо число x'(N + 1)/л -1, либо число
x\N + 1)/л.
70
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.14. Блок-схема алгоритма генерирования гипергеометрических
случайных чисел.
Алгоритм имитирует процесс формирования случайной вы-
борки без возвращения объема п из генеральной совокупности
объема N, содержащей М меченых элементов (рис. 2.14).
Таблицы
1. [13, с. 424—443, табл. VIII]. Даны значения вероятностей
р(х) и Р(Х £ х) для У = 2(2)24, п = К 1)^/2, М= 1(1)л,
х= 1(1)Л/; 4Д Для вычисления значений вероятностей р(х) и
Р(Х < х) при других возможных сочетаниях N,n, Мп х следует
пользоваться формулами приведения (1) и (2).
2. [6, с. 458—478, табл. 18.1]. Приводятся значения вероятно-
стей р(х) и Р(Х <. х) для N= 2(1)20, п = l(l)tf/2, М= 1(1)л,
х= 1(1)М; 6Д
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(х) гипергеомет-
рического распределения связаны соотношением
, .	,	.. (л	+ 1 - х)(Л/	+1 - х)	,	_	_
р(х) = р(х - 1)	—£---------А	х = а + 1,	а + 2.р,
x(N -М — п + х)
где
а = max (0, М + л - TV), р = min(Af, л),
71
/ns	(N-n)l n „ KT
/>(°)	'	..„у . если 0 > Л/ + h-jV;
Л0 =
p(M + n — M) = —---- *	, если 0 < M +n -N.
(M + n-N)lNl
Для вычисления вероятностей p(x) можно использовать следу-
ющие приближенные формулы:
— при Dx > 9
Р(х; N, п, М) = Р(Х £ х; N, п, М) * 0.5 + ф/Х + °'5-* 1
к ах 7
где х = nM/N и ст, = JnM(N - M)(N - я) /(N -1) /n;
— при п < QAN и М s 0.UV
р (х) = р {х\ N, п, М) ,
х!
где ц = nM/N\
— при л < 0.1?/
где р = M/N viq =1 - р\
P(x\N, п,М) » £С>"(1 - о)'’-",
Ж е0
где а = (2М - х)/( 2N - л + I).
Указанные выше аппроксимации действуют в различных об-
ластях изменения параметров гипергеометрического распреде-
ления и поэтому, как правило, не заменяют друг друга.
При всех N > 25, независимо от значений л и М, хорошие
результаты дает бета-аппроксимация
Р(х; N, л, М) ~ 1^(п'-х + с, х - с + 1),
где Ix(u, v) — отношение неполной бета-функции;
N(n + М - 1) - 2пМ,
~ N(N - 2)
,=	пМ(М -2)2(N -n)(N -М)
П ~ (N - 1)[(У - M)(N -п)+пМ - JV]^(n + М - 1) - 2лЛ<]:
л М(М - 1)(л -1)
С (N - 1)[(АГ - M)(N -п)+пМ - /У]'
72
В системе символьной математики DERIVE имеются функции
HYPERGEOMETRIC_DESITY(k, n, m, j) =
и
HYPERGEOMETRIC_DISTRIBUTION(k, n, mJ) =
к г11 г>п~{
у
Zj /пд >
где а = max (0, т + п - »(см. [41J, утилиты PROBABIL.MTH).
2.8. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Ряд распре-
деления
2.8.1. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 1
р(х) =	с*—
, 0 < X < N - М,
Сн
где N, М, т — целые неотрицательные
числа, удовлетворяющие условию т< М < N
= "у (т + к -	tk =
9x0	(N-m)w k\
М<я}
= F(m, - (N - M)-, - (N - m); 0,
где F(a, b‘,c;t) — гипергеометрическая функ-
ция
Характеристическая функция
= ^F<m’ ~(N -«);«")
N-М
----г
М + 1
Производящая
функция
(N -m)w
Математическое
ожидание
Мода

М -1J’
(Л'-Л' + ОттЦ"1
М — 1
№ - М + 1)
М — 1
(N - М + 1)	— не целое;
Ля - 1
> > (N - М + 1) ~ * — целое
М -1
73
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
Асимметрия
D + W ~М)(М-т + 1)
*	(Л/ + 1)2(Л/ + 2)
1 lm(N + l)(tf - М)(М - m + 1)
Gx М + И	М + 2
v = l(N + 1)(М - т+ 1)
х V т(М + 2)( jV - М)
Sk (2У +1 - М)(М + 1 - 2т)7м -к 2
(М + 3)ylm(N + 1)^ - М)(М + 1 - т)
Эксцесс Ех ___х
m(N + 1)(7V - М)(М + 3)(Af + 4)(Л/ + 1 - т)
х {6№[М3 - М2(5т -4) + М(5т2 - 16m +5) +
+ 11m2 -11m -2] - 62V[Л/4 -Л/З(5т-3) +
+ М2 (5т2 — 11т + 1) + М (6т2 + 5т — 3) —
-	11т2 + Пт - 2] + М* - М*(6т + 1) +
+ ЗМ3 (2т2 - 5) - М2 (6т2 - 42т + 23) -
-	2Af(18m2 - 12т + 5) + 12т (т - 1)}
Начальные моменты
т> = (лТОдаз) t"’0"’
х [Af(2m + 1) + 3{т - 1)] + М2т2 +
+ Л/(Зт2 - Зт -1) + 2т2 - Зт + 1
_______т(2У - М)_____х
т* (М + 1)(М + 2)(М + 3){М + 4) Х
х {т’[2И3 - Af2(3tf -6) + M[3N2 - 12tf + 11) -
-./V3 +6№-lLV +6]-6m2(W+l)x
х[л/2 -M(2N - 3) + № - 3N + 2]-m(N + 1) x
x [4M2 -Л((15Л + 2) + 1LV2 -5JV-6]-
-(N + 1) [M2 - M(6N + 5) + 6tf(/V + 1)] }
74
_ m(N + l)(tf - М)(М + 1 - т)
М-3 -	—	:	х
Центральные
моменты
X
(М + 1)3(ЛГ + 2)(М + 3)
(2tf +1 - М)(М + 1 - 2т),
л»(# + 1)(# - М)(М +1 - л»)
(М + I)4(М + 2){М + 3)(Л/ + 4) Х
х {^3 [Л/2 Оя + 2) - М(т2 + 4т - 4) +
+ 5т2 - 5т + 2] - ЗУ[ЛГ 2(т + 2) -
-	М2(т2 + 5т - 2) + М(6т2 - т - 2) -
-	5т2 + 5т - 2] + М4 - ЗМ2(Зт + 1) +
+ ЗМ2(Зт2 -2т -3) -М(3т2 + Зт + 5) +
+	6т(т - 1) }
Типичная интерпретация: А'—число немеченых эле-
ментов в выборке без возвращения, содержащей т меченых
элементов, извлеченной из генеральной совокупности объема
N, содержащей М меченых элементов.
Рис. 2.15. Функция вероятности отрицательного гипергеометрического
распределения 1.
Параметры распределения: а — W = 12, М =8, m = 2; б — N =6, М = 2, т = 2;
• — N =S, М = 4, т=2; г — N=10, М = 6, т = 3.
75
Соотношения между распределениями
1. Для случайной величины	имеющей отрицатель-
ное гипергеометрическое распределение с параметрами N, т,
М, и случайной величины Z(N,n,M), имеющей гипергеомет-
рическое распределение с параметрами N, п, М, справедливо
соотношение
P{X(N,m,M) <.п-т}= P{Z(N,=
= \-P{Z(N, п, М) £ т-I } =1- P(m-l;N,m, M). (1)
Это соотношение позволяет использовать таблицы гипергео-
метрического распределения (таблицы функции P(x\N, п,М))
для проведения расчетов, связанных с отрицательным гипергео-
метрическим распределением 1.
2. При N -> оо, М -> да, N — М -> да, так что M/N -> р и
(N - М )/N -> q(p + q = 1), отрицательное гипергеометриче-
ское распределение стремится к отрицательному биномиально-
му распределению с параметрами т, р.
Оценивание параметров
При известных Л'и т оценивается параметр М:
М‘ = mN~* (ММ).
т ~ х
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.16. Блок-схема алгоритма генерирования случайных чисел, имеющих
отрицательное гипергеометрическое распределение 1
76
Техника вычислений
1. Последовательные значения вероятностей р(х) связаны
между собой соотношением
р(х) = р(х -1)(ffl—1	+ * ~ Ч х = 1, 2,...»N - М,
x(N - т + 1 - х)
где />(0) = М \(N - т) !/[Л ! (М - т)!].
2. Для облегчения расчетов, связанных с отрицательным ги-
пергеометрическим распределением 1, можно использовать таб-
лицы гипергеометрического распределения (см. формулу (1)).
2.8.2. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Ряд распределения р(у) = Р(У = у) - r~*	,
С"
mZyzN — М+т,
где N, М, т — целые неотрицатель-
ные числа, удовлетворяющие условию
m<M*N
Производящая	<р,(/) = /" —— F(m,-(N - М); -(N
функция	ЛГ‘"’
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Л/1'"’
-(Л-m); е")
N + 1
у=тм71
Мода
		т -1 , Гм-Г1]	3	. N	т -1 М -1	— не целое;
У = •	а । । । । и“*>—* *""* + 1—»			N	т -1 М-\	— целое
Дисперсия
(N + 1)(N - М)(М - т + I)
(М + 1У(М + 2)
77
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
1 m(N + l)(N -М)(М-т + 1)
' ~ М + П	М+2
I (N -М)(М -m + Y)
\ т(М + 2)(Л + 1)
.	(27V +1 - М)(М + 1 - 2т) ^М + 2
Асимметрия Sk = —*--------
(М + 3)yjm(N + \)(N -М)(М + 1-т)
Эксцесс
Ех =	1
Х " m(N + 1)(Л - М)(М + 3)(М + 4)(Л/ + 1 -т) *
х{б№[Л/3 -Мг(5т-4) + М(5тг - 16m + 5) +
+ 11m2 -llm + 2]-6JV[Af4 -Л/З(5т-3) +
+ Л/2 (5m2 - 11m + 1) + Л/(6m2 + 5m - 3) - 11m2 + 11m - 2]
+ Л/3 -Af4(6m + 1) + 3J/3(2m2 -5)-3/2(6m2 -42m+ 23)
- 2Af(18m2 - 12m + 5) + 12(m -1) }
„	m(N +l)F(m + 1)(JV + 2) ,1
Начальные m2 = —rz——- -------------------1 ,
моменты	Лг +1 [	M + 2
m(N +1) f(m + l)(/V' + 2)
3 Л/ + 1 1	M + 2
F(m + 2)(JV + 3)	1	1
M + 3 J J
_m(N + 1) J(m + 1W + 2)
" M +1 t M + 2
.. Г(т + 2)(^ + 3)Г(т + 3)^+4)_Д । J j
[ M + 3 M + 4 J J
Центральные моменты
m(^ + l)(N - M)(2N + 1 - M)(M + 1 - m)(M + 1 - 2m)
(M + l)3(Af + 2)(M + 3)
78
ж ( [м т + _
(М + 1)*(Л/ + 2)(М + У1(М + 4)
-	М(т2 + 4/и - 4) + 5/п2 - 5т + 2] - 3N [Л/3 (т + 2) -
-	М2 (т2 + 5т - 2) + М(6т2 -т - 2) - 5т2 + 5т - 2] +
+ М* - ЗМу(3т + 1) + 3№(3/п2 - 2т - 3) -
-	М(3т2 + Зт + 5) + 6т(т -1)}
Типичная интерпретация: Y — объем выборки без
возвращения, содержащей т меченых элементов, извлеченной
из генеральной совокупности объема N, содержащей М мече-
ных элементов.
Рис. 2.17. Функция вероятности отрицательного гипергеометрического
распределения 2.
Параметры распределения: а — N = 12, М =8, т = 2; б — N = 6, М =2, m = 2;
в — N=S, М=4, т = 2; г — N = 10. М = 6, т = 3.
Соотношения между распределениями
I.	Случайная величина Y(M,m,M), имеющая отрицательное
гипергеометрическое распределение 2, связана со случайной
величиной X(N,m,M), имеющей отрицательное гипергеомет-
рическое распределение 1, очевидным соотношением
Y(N, т,М)=т + X(N,m, М).
79
2.	Для случайной величины Y(N,m,M), имеющей отрица-
тельное гипергеометрическое распределение 2 с параметрами
N, т, М, и случайной величины Z(N, п, М), имеющей гипергео-
метрическое распределение с параметрами N, п, М, справедли-
во соотношение
P{Y(N, т,М) <, л} = P{Z(N, п,М) > т} =
= l~P{Z(N, п,М) <т-1} =
= 1- Р(т-1; N,n,M).	(2)
Это соотношение позволяет использовать таблицы гипергео-
метрического распределения (таблицы функции Р(х; N, п, М))
для проведения расчетов, связанных с отрицательным гипер-
геометрическим распределением 2.
3.	При N -> <», М -> <», N - М -> со, так что M/N -> р и
(N - M)/N -> q(p + q = 1), отрицательное гипергеометрическое
распределение 2 стремится к отрицательному биномиальному
распределению 2 (распределение Паскаля) с параметрами т, р.
Оценивание параметров
При известных Nn т оценивается параметр М\
М* =	-1 (ММ).
У
Генерирование случайных чисел
у = т + х,
где х — случайное число, принадлежащее последовательности
случайных чисел, имеющих отрицательное гипергеометриче-
ское распределение 1 с параметрами N, т, М.
Техника вычислений
1. Последовательные значения вероятностей р(у) связаны
между собой соотношением
/ ч / п (У -1)(^ - М + т + 1-у)
ly.aW + l_yy У.
у = т + 1, т + 2,..., N -М + т,
где р(т) =M\(N - т) \/[N '(М~т)!].
2. Для облегчения расчетов, связанных с отрицательным ги-
пергеометрическим распределением 2, можно использовать таб-
лицы гипергеометрического распределения (см. формулу (2)).
80
2.9.	ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
2.9.1.	ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Ряд распределения
Р(х)
1
In д
х = 1,2,...,
где 0 < р < 1, q = 1 - р
		0,	X < 1,
Функция распределения		к п1 1 м ♦	к < х £ к +1, к =1, 2,...,
где с = -1/1п д
Производящая функция Характеристическая функция	Фх(0 =-cln(l-pO Хх(0 = -с!п(1-ре“) = L
Математическое ожидание	X = с — 9
Мода	х = 1
Дисперсия	ср(1 - ср) х	9г
Стандартное отклонение	^ср(1-ср) а-= ,
Коэффициент вариации	V cP
Асимметрия	gv _ 1 + р-3ср+ 2(ср)2 (l-cp)Jcp(l-cp)
Эксцесс Ex =	Ф *12<2>! ~-6М
	ср(1-ср)
„	ср	ср (1 + р)	ср(1 + 4р + р2)
Начальные т2 = -у, т3 =	 3-, т4 =-------------
моменты 9	?	9
81
тт	ср [1 + р - Зср + 2(ср)2]
Центральные ц3 =-------------з---------,
моменты	?
_ ср [1 + 4р + р2 - 4(1 + р)ср + 6(ср)2 - 3(ср)3 ]
1^4	4
я
Примечание. В некоторых источниках это распределение
называют фишеровским распределением по логарифмиче-
скому ряду.
Рис. 2.18. Функция вероятности логарифмического распределения 1.
Соотношения между распределениями
Логарифмическое распределение 1 с параметром р явля-
ется предельным для отрицательного биномиального распре-
деления 1 в следующем смысле: если случайная величина
82
Z(m,q) имеет отрицательное биномиальное распределение 1 с
параметрами т, q, то
lim P{Z(m, q) = Л/Z (т, q) > 0} = —-—,
»»-►«	к In q
к-Х,2,..., P=l-q.
Оценивание параметров
Оценивание параметра р методом моментов осуществляется
путем решения уравнения
(1 -/)1п(1 -/)
К такому же уравнению приводит и метод максимального
правдоподобия.
При решении уравнения (1) в качестве начального прибли-
жения можно использовать величину р* =1 -p'Jx', где
р{ — выборочная оценка вероятности р{ = Р(Х = 1).
При х*< 25 для оценки р можно использовать приближен-
ную формулу
Р - 1------Г,-		---------й-----
Приближенную оценку параметра р можно получить путем
обратной интерполяции данных, приведенных в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Таблица значений функции х = -р/[(1 - р) 1п(1 - р)]
р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0		1.0050	1.0102	1.0154	1.0207	1.0261	1.0316	1.0372	1.0429	1.0487
0.1	1.0546	1.0606	1.0667	1.0730	1.0794	1.0858	1.0925	1.0992	1.1061	1.1132
0.2	1.1204	1.1277	1.1352	1.1429	1.1507	1.1587	1.1669	1.1752	1.1838	1.1926
0.3	1.2016	1.2108	1.2202	1.2299	1.2398	1.2500	1.2604	1.2711	1.2821	1.2934
0.4	1.3051	1.3170	1.3294	1.3421	1.3551	1.3687	1.3825	1.3968	1.4116	1.4269
0.5	1.4427	I.459I	1.4760	1.4935	1.5117	1.5306	1.5503	1.5706	1.5919	1.6140
0.6	1.6370	1.6611	1.6862	1.7125	1.7401	1.7690	1.7994	1.8313	1.8650	1.9005
0.7	1.9380	1.9778	2.0200	2.0649	2.1128	2.1640	2.2189	2.2779	2.3416	2.4105
0.8	2.4853	2.5670	2.6566	2.7553	2.8648	2.9870	3.1244	3.2802	3.4587	3.6656
0.9	3.9087	4.1991	4.5531	4.9960	5.5686	6.3424	7.4560	। 9.2208	12.5255	21.4976
0.99	21.4976	23.3755	25.6818	28.5896	32.3821	37.5591	! 45.0968 |	57.2087	80.2947	144.6201
83
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.19. Блок-схема алгоритма генерирования случайных чисел, имеющих
логарифмическое распределение 1.
Алгоритм реализует стандартный способ имитационного мо-
делирования дискретных случайных величин.
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(х) логарифми-
ческого распределения 1 связаны соотношением
р(х) = p(x-Y)*—-p, х = 2, 3,...,
х
где р(1) = -p/ln q.
2.9.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Ряд распределения Математическое ожидание Мода	p(x)=logm	, х =1, 2,...,m —1, X где т > 3 — целое х = т -1 - logm(т -1)! х = 1
84
Дисперсия
Dx »2(m-l)loge(m-l)' -
- [logт (т - 1) !]2 - log Jn Л2*"1
Начальные
моменты
т2
= (/я -I)2 — logm П*2*'1
т3 =(/и-1)3 -logm П* >
\*=2	)
т4 =(т- I)4 - log J ЦЛ*4 <* 1)4
\*=2
Рис. 2.20. Функция вероятности логарифмического распределения 2.
Оценивание параметров
Оценивание параметра т методом моментов осуществляет-
ся путем решения уравнения
т-----—г In ((tn -1) f) = х’ + 1.
In m v 7
Приведенное уравнение дает приближенное решение, так
как не учитывает того, что т’ должно быть целым.
85
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.21. Блок-схема алгоритма генерирования случайных чисел, имеющих
логарифмическое распределение 2.
Техника вычислений
При вычислениях, связанных с логарифмическим распреде-
лением 2, могут быть использованы формулы перехода:
logm а = In a/ln т и logm а = 1g a/lg т.
2.10.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЙА
2.10.1.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЙА 1
Рвд распределения
=_________г(г + с)(г + 2с) ... [г + (л - 1)с]___.
(b + г)(Ь + г + с)(Ь + г + 2с) ...[£ + г + (л - 1)с] ’
, = b(b + c) ...\Ь + (х- 1)с]/*(/* + с) ... [г + (л — х — 1)с]
я (b + г)(Ь + г + с) .. .[b + г + (п-1) с]
х = 1,2,..., п-1,
(п} = b(b + c)(b + 2c) ...[/> + (л -1)с]
(b + г)(Ь + г + с)(Ь + г + 2с) ...[£ + г + (л -1) с]’
86
Математическое
ожидание
где л > О, b > 0, г > 0, с — целые числа. Па-
раметр с может быть отрицательным, одна-
ко он должен удовлетворять условию
b + г + с (л — 1) > О
nb nb
х = ----= —
b + г т
где т = b + г
Мода
-с)(л + 1) ,
т - 2с J ’
(1>-с)(л + 1) j
т - 2с
{b - с)(п + 1)
(Ь — с)(л + 1)
------—------ — не целое:
т - 2с
(b - с)(п + 1)
-----—------ — целое
т - 2с
т - 2с
Дисперсия
_ nbr(m + лс)
т2 (т + с)
Стандартное
отклонение
1 j nbr(m + лс)
т У т + с
Коэффициент
вариации
Асимметрия
г(т + пс)
nb(m + с)
ci / п и + 2лс I т + с
Sk = (г — Ь)------J-----------
т + 2с у nbr(m + лс)
V,
Д
Эксцесс
(т + с)
Ех =-----------v - ''----------х
nbr(m + 2c)(»i + Зс)(/л + лс)
х {(т + 2пс)(т + Злс)(/и2 — ЗЬг) +
+ т(п - l)[c»i2 + ЗЬг(т + лс)]} - 3
nb[n(b + с) + г]
2 т(т + с) ’
Начальные
моменты
nb {п2Ь2 + />[(3л — 1)г + Зл2с] + г2 + Зпгс + 2л2с2)
т3 = —----------------------------------------------
т(т + с)(т + 2с)
/л4 = —------ -- ----------— {л3£3+ Ь2[(6л2- 4л+1)г+6л3с] +
т(т + с)(т + 2с)\т + Зс) '
+ b [(7л — 4)г2 + (18л2 - 5л — 1)гс + 11л3с3] +
+ г3 + (7л - 1)г2с + (12л - 1)лгс2 + 6л3с3}
87
Для начальных моментов справедлива рекуррентная формула
= —-— £ [пЬС‘ -(Ь- пс)С'*' - сС'+2 ] /п,_,, 5=1, 2,...
т + sc L
Центральные = — п^г(т + пс)---------+ 2пс)(г - Ь),
моменты	т (т + с)(т + 2с)
________nrb(m + пс)______*
т4(т + с)(т + 2с)(т + Зс)
х {(да + 2пс)(т + Зпс)(т2 - ЗЬг) +
+ т(п - 1)[сда2 + ЗЬг(т + лс)] )
Типичная интерпретация. Имеется урна, в которой
находится т шаров: b — белых и г — черных. Наудачу выбира-
ется один шар, и после определения его цвета шар возвращается
в урну вместе с новыми с шарами того же цвета. Случайная ве-
личина X — число извлечений белого шара в серии из л извле-
чений. Рассматриваемая схема широко используется при моде-
лировании эпидемий инфекционных заболеваний.
в
Цл + 1)<(6-с)/(&+г-2с)<п/1(и+I)
1 /(« + 1) < (Ь - с)!(Ь + г - 2с) < п!(п 4- I)
(Ь - с)(п + 1)/(Л + г - 2с) - целое
{Ь - с\п + \)!(Ь + г - 2с) - нс целое
Рис. 2.22. Функция вероятности распределения Пойа 1.
Параметры распределения: а — л = 5, Ь = 3, г = 20, с = 1; б — п = 5, b = 140, г = 20,
с = 1; в — n=St b = 12, г = 20, с = 1; г — л = 5, b = 20, г = 20, с = L
88
Соотношения между распределениями
1.	При с = 0 распределение Пойа совпадает с биномиальным
распределением с параметрами п,р = b/(b + г).
2.	При с = — 1 распределение Пойа совпадает с гипергеомет-
рическим распределением с параметрами N = b + г, п, М = Ь.
3.	При b - г = с распределение Пойа совпадает с дискрет-
ным равномерным распределением с параметрами а = 0, п.
4.	Если b -> оо, г -> оо, так что р = b/(b + г) = const и
у = с/(Ь + г) -+ 0, то распределение Пойа стремится к биномиаль-
ному распределению с параметрами п, р.
5.	Если л —> оо, Ь/(Ь + г) -> 0, с/(Ь + г) -> 0, nb/(b + г) ->ц и
пс/(Ь + г) -► а ц, где а > 0 и ц > 0 — постоянные, то распределе-
ние Пойа стремится к отрицательному биномиальному распре-
делению с параметрами т = 1/а и р = 1/(1 + ац) (см. п. 2.6).
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.23. Блок-схема алгоритма формирования случайных чисел, имеющих
распределение Пойа 1.
Алгоритм реализует стандартный способ имитационного
моделирования дискретных случайных величин. Вероятность
ро=Р(У=О) вычисляется по формуле (1) (оператор (•)).
Функция а(х) вычисляется по формуле а(х) = (п — 1 — х) х
х [Z> + (х ~ 1) с] / {х [г + (л - х)с]} (оператор (♦♦)).
89
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(х) распределе-
ния Пойа 1 связаны соотношением
,.1|2.....„
х[г + (п~ х)с]
Вероятность р(0) вычисляется по формуле (1).Если п мало
по сравнению с т = b + г, то
р(х) я Схрх(1 ~р)п~х, х = 0, 1,.... л,
где р = b/(b + г).
2.10.2.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЙА 2
(ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА)
Ряд распределения
Р(0) =
1
(l-ap)Va’
= р^_ (1 + a)(l + 2a) ... [1 + (х - 1)а]
х!	(l + ap)<~v“>
х = 1, 2,..., где р > О, 0 < a < 1
Производящая
функция
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Мода
<рх(/) = [1 - ар(1 - Z)]"1/o
хЛО^-ара-е")]^
И(1 - а)
р(1 - а) — не целое;
р(1 - а) — целое
х
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Dx = ц(1 + ар)
ох = 7р(1 + ам)
1 + ар
И
1 + 2ар
Vp(1 + ар)
1
Эксцесс
р(1 + ац)
+ 6а
90
Начальные
моменты
Центральные
моменты
«2 = pl1 + (а + 1)р],
т3 = р[1 + 3(а + 1)ц + (2а2 + За + 1)ц2],
т* = р[1 + 7(а + 1)ц + 6(2а2 + За + 1)ц2 +
+ (6а3 + Па2 + 6а + 1)ц3]
Из = ц(1 + ац)(1 + 2 ар),
ц4 = ц(1 + <хр)[3|л (1 + ац)(1 + 2а) + 1]
Рассматриваемое распределение является предельной фор-
мой распределения Пойа 1 при п -> <ю, пЩЬ + г) -> ц и
пс/(Ь + г) -> а ц. О толковании на языке случайных процессов
см. [49].
О 12	3456789	10 II 12 х
Р(х)
0.2 -
0.1 -
L
о
ц > 1/(1 - а), ц(1 - а) - целое
а = 0.25, ц = 4
11
Рис. 2.24. Функция вероятности распределения Пойа 2.
—л—
12 13 х
91
Соотношения между распределениями
1.	Предельная форма распределения Пойа представляет со-
бой отрицательное биномиальное распределение 1 с параметра-
ми т = 1/а и р = 1/(1 + ац).
2.	При а = 1 предельная форма распределения Пойа совпадает
с геометрическим распределением 1 с параметром р = 1/(1 + ц).
3.	При а -> 0 рассматриваемое распределение стремится к
распределению Пуассона с параметром ц.
Оценивание параметров
|Х* = х‘, а =	(ММ).
(* )
Генерирование случайных чисел
Рис 2.25. Блок-схема алгоритма генерирования случайных чисел, имеющих
распределение Пойа 2.
Алгоритм реализует стандартный способ имитационного мо-
делирования дискретных случайных величин.
92
Техника вычислений
Последовательные значения вероятностей р(х) связаны со-
отношением
/\	/ i\ Н а (х -1) +1
р(х) =р(х-1) —£--------------, х = 1, 2,...,
1 + ар х
где р(0) = (1 + ац)-|/“.
2.11. ДЗЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ЗАКОН ЦИПФА—ЭСТОУПА)
Ряд распределения	р(х) -	х (р+1), х-1,2,..., р>0, £(р +1) 00 где <^(а) = к~а — дзета-функция Ри- мана	t=i 0,	х < 1;
Функция распределения	F(x) =	1 у .-<рн) к < х s к + 1, k(p + l)fr ’ *=1,2,...
Производящая функция	<рх(° “^(р+1) ljxp+i
Характеристическая функция	1	е‘,х Z’(')_«p + I)
Математическое ожидание	р>1 №+1)
Мода	X = 1
Дисперсия	D р>2 х	;2(р + 1)
Стандартное отклонение	^(р-1)^(Р + 1)-^(р)	. стт =			, р > 2 х	^(р + 1)
Коэффициент вариации	_ к(р-1)^(Р + 1) ;2(р)
93
Асимметрия
_ «р - 2) С2(р + 1) - С, (р)[3«р - IK (Р + 1) - «(р)]
кЭл —
[«p-1K(p + D-«(p)13/2
1
Эксцесс Ех = —---- х -	[«р-3)«(р + 1)-
[«р-1К(р + 1) -«(р)]2
-4«р - 2)£ (р) «(р + 1) -3^2(р -1) «(р + 1) +
+ 12;(р -1) «(р) (р + 1) -6«(р)], р > 4
_«р-1) п>2. т
-ц^Ту р>2’ т’
^«Р~3)
«р + 1)’
Центральные моменты
_ «р - 2)« (р + 1) - «р) [3 tfp - IK (р + 1) - 2^2 (р)]
Из---------------------------------------
Начальные т2
моменты
w4
т1
= ^>, Р > 3;
«Р + 1)
p>s
«р+1)
«(р +1)
^(р - 3) «(Р +1) - «Р) {4<;(р - 2) ;2(р +1) -
ш =-----------------------s------------------
«(p + d
-3^(р) [2£(р-1) <J(p + 1)-«(р)] }
«(р+о
Примечание. Дзета-распределение используется в эконо-
мике для описания числа страховых полисов, принадлежащих
одному лицу, и в лингвистических исследованиях для описания
распределения числа повторений одного и того же слова в до-
статочно длинном однородном тексте.
X	X
Рис. 2.26. Функция вероятности дзета-распределения.
94
Оценивание параметров
Оценивание параметра р методом моментов осуществляется
путем решения уравнения
;(р’) . --
;(р’+1)
Для приближенного решения этого уравнения может быть
использована табл. 2.2.
Оценка максимального правдоподобия р* параметра р явля-
ется корнем уравнения
_£(£±1) = 1^1п
«р- 11) л Й
Вполне приемлемую точность решения этого уравнения
можно получить с помощью табл. 2.3.
Таблица 2.2
Ор)	Р	«р)	р	Ор)	Р	«р)	Р	«р)	Р
«Р + 1)		Ор + 1)		«р + 1)		«р + 1)		;(р + 1)	
1.01	5.848	1.21	2.419	1.41	1.931	1.61	1.702	1.81	1.566
1.02	4.952	1.22	2.381	1.42	1.915	1.62	1.693	1.82	1.560
1.03	4.449	1.23	2.345	1.43	1.901	1.63	1.685	1.83	1.555
1.04	4.105	1.24	2.311	1.44	1.887	1.64	1.677	1.84	1.550
1.05	3.847	1.25	2.279	1.45	1.873	1.65	1.669	1.85	1.543
1.06	3.642	1.26	2.249	1.46	1.860	1.66	1.662	1.86	1.539
1.07	3.473	1.27	2.220	1.47	1.847	1.67	1.654	1.87	1.535
1.08	3.331	1.28	2.193	1.48	1.834	1.68	1.647	1.88	1.530
1.09	3.208	1.29	2.167	1.49	1.822	1.69	1.640	1.89	1.525
1.10	3.100	1.30	2.143	1.50	1.811	1.70	1.633	1.90	1.520
1.11	3.006	1.31	2.119	1.51	1.799	1.71	1.626	1.91	1.516
1.12	2.921	1.32	2.097	1.52	1.788	1.72	1.619	1.92	1.511
1.13	2.844	1.33	2.075	1.53	1.778	1.73	1.613	1.93	1.507
1.14	2.275	1.34	2.054	1.54	1.767	1.74	1.607	1.94	1.503
1.15	2.711	1.35	2.034	1.55	1.757	1.75	1.600	1.95	1.499
1.16	2.653	1.36	2.015	1.56	1.747	1.76	1.594	1.96	1.495
1.17	2.599	1.37	1.997	1.57	1.737	1.77	1.589	1.97	1.491
1.18	2.549	1.38	1.980	1.58	1.728	1.78	1.583	1.98	1.487
1.19	2.503	1.39	1.963	1.59	1.719	1.79	1.577	1.99	1.483
1.20	2.459	1.40	1.946	1.60	1.710	1.80	1.571	2.00	1.479
95
Таблица 2.3
р	_ С(р)		_ С(р) «р +1) 1	р	_ ;-(р) «р + d
	«р + 1)				
0.1	9.441	1.1	0.490	2.2	0.1340
0.2	4.458	1.2	0.425	2.4	0.1100
0.3	2.808	1.3	0.372	2.6	0.0914
0.4	1.990	1.4	0.327	2.8	0.0761
0.5	1.505	1.5	0.289	3.0	0.0637
0.6	1.186	1.6	0.256	3.2	0.0535
0.7	0.961	1.7	0.228	3.4	0.0451
0.8	0.796	1.8	0.204	3.6	0.0382
0.9	0.669	1.9	0.183	3.8	0.0324
1.0	0.570 1	I 2.0	0.164 1	1 4.0	0.0276
Примечание. При р > 4 величина р	.
;(р+1)	1 + 2р+1
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.27. Блок-схема алгоритма генерирования случайных чисел, имеющих
дзета-распределение.
Алгоритм реализует стандартный способ имитационного мо-
делирования дискретных случайных величин.
96
Таблицы
[14, с. 614, 615, табл. 23.3]. Приведены значения дзета-функ-
ции 4(л) для п = 2(1)42; 20Z).
Техника вычислений
При вычислении вероятностей р(х) можно использовать ре-
куррентную формулу
(х _1>₽+|
р(х)=р(х-1)----- , х = 2, 3...,
\ X J
где р(1) = 1/4 (р + 1).
2.12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОРЕЛЯ-ТАННЕРА
Ряд распределения	р(х) = г хх-г-1е'ажаж-г, (х-г)! X = г, г + 1,..., где г > 1 — целое, 0 < а < 1
Функция распределения
Лх)=<	0,	х < г, а' а1,	,ч< . к < х < к + 1, [	м Н	к=г,г + 1,...,
Производящая функция	<РХ (0 = rt'e" £	е~°* (г + к)“~'
Характеристическая функция	фДО =	е("-а)*(г + к)11-1 *-о к .
Математическое ожидание	Г Х "1-а
4 Р. Н. Вадзинский
97
Мода
При r= 1, г— 2, а также при аг < еа
мода распределения х = г.
При аг > мода находится в интервале
(ц - 1, ц), где ц — корень уравнения
ц-r Ц I
-—НЧ	= <*«
Дисперсия	D = -?г- 1	(1-а)3
Стандартное отклонение	- 1 1 аг 1 — а V1 — а
Коэффициент вариации	а ~ Vd-a)
Асимметрия	Sk = 112®. Jlz. 1 — а V аг
Эксцесс	_	6а2 + 8а + 1 ЕХ= аг(Г-а)
Начальные моменты	’ (1 - «) ’ 1)О]'
/Из = - j у [г2 - (2г2 - Зг - 1)а + (г - 1)(г - 2)а2],
т4 =—-—гГг3 — (Зг3 -6г2 -4г-1)а +
4	(l-a)7L
+ (Зг3-12г2 + 7г + 8)а2 - (г -1)(г - 2)(г -3)а3]
Центральные ц, =—аГ s- (1 + 2а),
моменты	(1-а)’
|х4 = аГ [1 + (Зг + 8)а - 3(г - 2)а2]
(1-а) L	J
Типичная интерпретация. На вход одноканальной
системы массового обслуживания с постоянным временем об-
98
служивания поступает стационарный пуассоновский поток зая-
вок. За время обслуживания одной заявки на вход системы по-
ступает в среднем а заявок (0 < а < 1). В общей упорядоченной
очереди находится г заявок, ожидающих начала обслуживания
(г > 1). Случайная величина X — число заявок, обслуженных
системой к моменту ликвидации очереди (иными словами, X—
число заявок, обслуженных за время «рассасывания» очереди, в
которой первоначально находилось г заявок). Рассматриваемое
распределение имеет место при любом сочетании интенсивно-
сти X входящего потока и времени обслуживания т, удовлетво-
ряющем условию 0 < 1т < 1 (а = 1т — приведенная интенсив-
ность входящего потока заявок, или среднее число заявок,
поступающих в систему за время т обслуживания одной заяв-
ки).
Xх) аг > еа, х> г
0 3 ' г = 7, а = 0.3
0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 х
Рис. 2.28. Функция вероятности распределения Бореля—Таннера.
99
Оценивание параметров
При использовании метода моментов сначала вычисляется
оценка параметра г:
г'. ^4П<): -1^ .
2«)2
Здесь х* — выборочное среднее; v* = Sjx’ — выборочный
коэффициент вариации.
После этого вычисляется оценка параметра а:
.•-1-4
X
При известном г оценка максимального правдоподобия па-
раметра а вычисляется по формуле
-1-4
X
Такой же результат дает и метод моментов.
Генерирование случайных чисел
Рис. 2.29. Блок-схема алгоритма генерирования случайных чисел, имеющих
распределение Бореля—Таннера.
100
Примечания: 1. На блок-схеме параметр г распределения
Бореля—Таннера обозначен символом р. 2. Функция а(х)
(оператор *) вычисляется по формуле
/ X х-р-2
ах ( X )
а(х) = е-'	.
X - р ^х - 1
Т аблицы
[6, с. 311—316, табл. 9.13]. Даны значения вероятности
Р(Х <, х) для г = 1(1) 5, а = 0.01(0.01)0.25; 5D.
Техника вычислений
При вычислении вероятностей р(х) можно воспользоваться
рекуррентной формулой
✓	\X-r-2
р(х) = р (х - l)ae~tt —Х— I Х - I , х = г + 1, г + 2,...,
х -r\x -IJ
где р(г) = е~аг.
ГЛАВА 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
А. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ВОЗМОЖНЫМИ
ЗНАЧЕНИЯМИ НА ВСЕЙ ЧИСЛОВОЙ ОСИ
3.1. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА-ЛАПЛАСА)
Плотность вероятности	1	<*-н) /(*)= ——е	= 1	( (х-р)2>| еХР	0 2	’	— 00 < X < 00, стл/2л	1, 2ст ) где р — параметр положения (матема- тическое ожидание); ст > 0 — параметр масштаба (стандартное отклонение)
Функция распределения	F(x) =О.5 + Фо| -—^|, гдеФ0(х) — ст ) функция Лапласа
Характеристическая функция	Хх(О=ехр^ц/- 2 )
Математическое ожидание	х =ц
Медиана	*0.5 = М
Мода	X =ц
Дисперсия	Д =ст2
Стандартное отклонение	стх =ст
Срединное отклонение	Е =р^2ст «0.6745ст
102
Асимметрия Sk = О
Эксцесс Ex = О
Начальные т1 = ст2 + р2;	т} = р(3ст2 +р2);
моменты	+ р2(6ст2 + р2); т, =р/и1_1+(5-1)ст2гя,_2
[О,	s — нечетное;
Центральные р3 =0; р4 = Зег ; р, = (
моменты	1ст (s I)”» s— четное,
где (5-1)!! = (s-l)(s -3)...5-31
Точками перегиба функции плотности f (х) являются точ-
ки х = р i ст.
Примечание. Нормальное распределение с математиче-
ским ожиданием р = 0 и стандартным отклонением ст = 1 назы-
вается стандартным нормальным распределением.
Основные характеристики этого распределения:
Плотность
вероятности
ф(х) = ~^=е *’/2
v2n
1
Т J
Функция
распределения
Характеристическая
функция
Срединное
отклонение
Моменты
Ф(х) = О.5 + Фо(х),
где Ф0(х) — функция Лапласа
Хх(0=е-'г/2 = exp^-yj
Е =	« 0.6745
тп2 = р2 =1; т3 = ц3 =0; т4 = р4 =3;
[0,	5 — нечетное;
[(5-1)!.’, s— четное,
Соотношения между распределениями
1.	Если случайная величина Х(р, ст) распределена по нормаль-
ному закону с математическим ожиданием ц и стандартным от-
клонением ст, а случайная величина Х(0,1) имеет стандартное
нормальное распределение, то
Х(р,ст)~ р + стХ(0,1) и Х(0,1) ~
а
я
2.	Линейная функция +Ь независимых случайных
1=1
величин Xt(i = 1, 2,..., л), распределенных по нормальному за-
кону с параметрами р,, ст,, подчиняется нормальному закону с
я
параметрами ц = +Ь и о2
/=1
103
Рис. 3.1. Плотность вероятности и функция риска нормального распределения.
3.	Сумма независимых нормальных случайных величин X,
О' = 1,2,...,л) подчиняется нормальному закону распределе-
ния. Справедливо и обратное утверждение: если сумма
Хх + Х2+...+Х„ подчиняется нормальному закону и случайные
величины X), Х2,...,Х„ — независимы, то каждая из этих слу-
чайных величин имеет нормальное распределение.
104
4.	Сумма п независимых, одинаково распределенных нор-
мальных случайных величин ХДц.о) имеет нормальное распре-
деление с математическим ожиданием лц и стандартным откло-
нением ст 7л, т. е.
о) ~ Х(пц, о4п).
5.	Если случайные величиныХ1,Хг,...,Хп — независимы и
каждая из них распределена по нормальному закону с
параметрами ц и а, то их среднее арифметическое
(X] + Х2 + ... + Хл )/п подчиняется нормальному закону распре-
деления с математическим ожиданием ц и стандартным откло-
нением <з/4п.
6.	Пусть Х2 — независимые нормальные случайные ве-
личины с нулевыми математическими ожиданиями, тогда слу-
чайная величина Х2 X2/^Xi + Х2 имеет нормальное распреде-
ление.
Если к тому же D(X{) =D(X2), то и случайная величина
(X* — Х2 )/(X* + Х2) подчиняется нормальному закону распре-
деления.
7.	Сумма квадратов п независимых стандартных нормаль-
ных случайных величин имеет %2-распределение с п степенями
свободы.
Оценивание параметров
ц‘=х', <y = J-2}(x<-х’)2 (ММП);
р’=х’, ст= М—£(х, —х*)2 (ММ).
Vп ~ 1 /-1
Генерирование случайных чисел
Здесь г, — стандартные равномерные случайные числа; х, —
стандартные нормальные случайные числа. При п = 12 эта фор-
мула принимает особенно простой вид
Xi =Zr/ -6-
105
С помощью формул
Xj =y/-21nri sin(2nrM),
хм =^-21пГ/ cos(2nr/+1)
из двух стандартных равномерных случайных чисел г,, гм можно
получить два стандартных нормальных случайных числа х,, хм.
Для получения нормальных случайных чисел yt с параметра-
ми jx, ст используется формула
У1 = р + стх,.,
где xt — стандартные нормальные случайные числа.
Т аблицы
1.	[2, с. 112—118, табл. 1.1]. Даны значения функции распре-
деления Ф(х) стандартного нормального распределения для х =
= 0.000 (0.001) 3.000; 65 и для х = 3.00 (0.01) 5.00; 55.
С. 119—135, табл. 1.2. Приведены значения плотности веро-
ятности <р(х) стандартного нормального распределения и ее
первых пяти производных для х = 0.000 (0.004) 3.00(0.02)
4.00(0.04) 5.0 (0.1) 6.0; 6D.
С. 136, 137, табл. 1.3. Даны значения квантилей порядка р
стандартного нормального распределения для р = 0.500(0.001)
0.9700(0.0001)0.9999; 6D.
С. 138, табл. 1.4. Приведены значения отношения Милса
1Д(х) для х =0.00 (0.01) 3.0 (0.01)10; 5Д.
2.	[13, с. 361—368, табл. II]. Даны значения плотности веро-
ятности <р (х) стандартного нормального распределения для х =
= 0.000 (0.001) 3.009; 4D.
С. 369—375, табл. III. Приведены значения функции Лапла-
са Ф0(х) для х = 0.000 (0.001) 3.009; 4D.
В конце табл. II и III даны сгруппированные значения х,
превосходящие 3.000, которым соответствуют одинаковые зна-
чения функций ф (х) и Фо (х); 4D.
3.	[3, с. 9, 10, табл. 1а]. Даны значения плотности вероятно-
сти ф(х) стандартного нормального распределения для х = 0.00
(0.01) 4.50 (0.1) 4.8; 5D.
С. 11, 12, табл. 16. Приведены значения функции распреде-
ления Ф(х) стандартного нормального распределения для х =
= 0.00 (0.01) 4.49; 5Д.
4.	[16, с. 91, табл. 1.1.2.6.1]. Приведены значения плотности
вероятности <р(х) стандартного нормального распределения для
х=0.00 (0.01) 4.99; 45.
С. 92, 93, табл. 1.1.2.6.2. Даны значения функции Лапласа
Фв(х) для х = 0.00(0.01)2.2; 4D и х = 2.2 (0.01)5.00; 1D.
106
Очень подробные таблицы функции распределения и плот-
ности вероятности стандартного нормального распределения
приведены в [10], [12] и [14].
Во всех таблицах значения плотности вероятности <р(х), фун-
кции распределения Ф(х) стандартного нормального распре-
деления и функции Лапласа Ф0(х) приводятся только для
положительных значений аргумента х. При отрицательных
значениях х следует пользоваться формулами <р(-х) =ср(х),
Ф(-х) = 1 -Ф(х) и Ф0(-х) = -Ф0(х).
Таблицы р-квантилей ир стандартного нормального распре-
деления составлены только для полуинтервала 05 < р < 1 (т. е. в
таблицах даны только положительные значения квантилей ир).
При 0 < р < 0.5 следует пользоваться формулой ир = ~и1_р.
Техника вычислений
Плотность вероятности /(х;ц,ст), функция распределения
F(x;p,ct) и функция риска Х(х;ц,ст) нормального распределения
с параметрами ц, ст связаны с плотностью вероятности <р(х),
функцией распределения Ф(х) и функцией риска X (х) стандарт-
ного нормального распределения соотношениями:
Г!	\	1 [Х-Ц
/(*; ц, ст) =-q> ---
ст I ст
F(x; р, ст) = Ф
„ /	.	1 , (X -ii'l
Х(х; ц, ст) = — X --------- .
ст ст )
Квантиль хр нормального распределения с параметрами ц, ст
вычисляется по формуле
х, =ц + стг^,
где ир — р-квантиль стандартного нормального распределения.
Для вычисления на ЭВМ значений функции распределения
Ф(х) стандартного нормального распределения можно исполь-
зовать формулу
Ф(х) = 1 -<?(х)(а^ + a2t2 + а3/3) + s(x),
где t = 1/( 1 + рх), р = 0.33267, а, = 0.4361836, а2 = -0.1201676,
а3 =0.9372980 , |е(х)| < 10 5.
Более точное приближение подобного типа обеспечивает
формула
Ф(х) = 1 -ц>(х)(Ь}1 + b2t2 + b3t3 + bAt* + b5ts) + e(x),
107
где
/ = 1/(1 + дх),
bt =0.319381530,
b3 =1.781477937,
b5 =1.330274429,
p = 0.2316419,
b2 = -0.356563782,
b4 =-1.821255978,
|e(x)| < 7.5 -10-’.
Удобны для использования приближенные формулы, не тре-
бующие вычисления плотности вероятности ф(х) стандартного
нормального распределения:
Ф(х) =1 -0.5(1 + с,х + с2х2 + с3х3 + с4х4)-4 +е (х),
где с, =0.196854, с2 =0.115194, с3 = 0.000344, с4 =0.019527,
|е(х)|<2.5 10-4;
( 6	.Г“
Ф(х) = 1-0.5 l-^^x'	+ в(х),
\ ы )
где
</,=0.0498673470, d2 =0.0211410061, </3 =0.0032776263,
</4 =0.0000380036, </5 =0.0000488906, </6 =0.0000053830,
|е (х)|< 1.5-10’7.
Для вычисления р-квантили ир стандартного нормального
распределения можно пользоваться приближенными формула-
ми:
. а0 +а,/	, .
и, = t----2---1—г + е(р),
1 + b3t + b2t2
Г=7-21п(1-р), а0 =2.30753, а, = 0.27061, bx = 0.99229,
b2 =0.04481, |е(/>)|< З-Ю’3;
и =t______+	+Е(Р),
' l + dtt + d2t2 + d3t3 VP)
r = 7-21n(l-p), c0 =2.515517, c, =0.802853, c2 =0.010328,
|e(p)|< 4.5-10"4, di =1.432788, d2 =0.189269, d3 =0.001308.
Интересно разложение для up вида
up = , £a,{-ln[l-4(/>-0.5)2]}'.
i
Первые четыре коэффициента этого разложения:
ах = л/2 = 1.57079633, аг = 0.37068870 Ю-1, а3 = 0.83209445 10"3,
а4 =-0.23232430 10‘3.
108
Использование первых четырех членов приведенного разло-
жения обеспечивает необходимую для практики точность при
0.03<р<0.97.
3.2. ДВУСТОРОННЕЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛАПЛАСА)
Плотность
вероятности
/(х) = iке и|, -оо < х < оо,
где ц — параметр положения (-оо<
< и < оо); X — параметр масштаба (X > 0)
Функция распределения	Л*) =	[0.5еМх"*,),	х<ц; Ц-О.бе-1’’-*», х>ц
Функция		' ХеМх-м) 	 Y* < 11 *
	Х(х)=^	-Ц’
риска		X,	х > ц
Характеристическая	Хх(О =	X2 Л 2 Л к
функция		X +Г
Математическое	X = ц	
ожидание		
Медиана	*0.5 = М	
Мода	* = Ц	
Дисперсия	X2	
Стандартное	ст_ = — •*	А	2
отклонение	X	
Срединное	„ In 2 Л =		
отклонение	Л	
Асимметрия	Sk = 0	
Эксцесс	Ех = 3	
Начальные моменты	2 т2 = —	+ (М2	6ц + Х2р3 _	, т3 = X2	X2
109
24 + 12(Хц)2 + (Хц)4
s — нечетное;
s — четное
Центральные
моменты
Из =0» Щ =гт>
Л
0, s — нечетное;
5!
—. s— четное
р-квантиль
Соотношения между распределениями
1. Распределение Лапласа с параметрами ц, X совпадает с
распределением случайной величины ц + Х, —Х2, где Х2 и Х2 —
независимые случайные величины, каждая из которых подчи-
няется показательному закону распределения с одним и тем же
параметром X.
2. Пусть /л(х) и хл(/)— плотность вероятности и характе-
ристическая функция случайной величины X, имеющей рас-
пределение Лапласа с параметрами ц = 0, X = 1; /к (у) и хк (0 —
плотность вероятности и характеристическая функция случай-
ной величины Y, распределенной по закону Коши с параметра-
ми ц = 0, X = 1. Тогда справедливы следующие соотношения:
Хл(О = */кО) и /л (х)=|хк 00-
Оценивание параметров
. V2
Х’=^ (ММ).
Генерирование случайных чисел
1. г,
X, =Ц + — Ш —.
* ГМ
110
Рис. 3.2. Плотность вероятности и функция риска двухстороннего
показательного распределения.
Ш
3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОШИ
Плотность	/(х)=-	X	> -оо < х < оо,
вероятности	я[л. +(х-ц)1		
	где ц — параметр положения (медиана);		
	X > 0 — параметр масштаба (срединное отклонение)		
Функция распределения Функция		1 * х-ц + — arctg—- я	X	2
	MAJ —	Г	X.	х Э "1	
риска	X	1	►—‘ 4- Н 1 т= 1		n-2arctgfX^^ j
Характеристическая функция Математическое ожидание Медиана Мода Срединное отклонение Моменты	хх(/) =ехр(1рГ-Х|/|) Нет *0.5 = Н х = ц Е =Х Нет f л(2р-1)		
р-квантиль	я р	Н + X tg		
Точками перегиба функции плотности /(х) являются точки х=ц ± х/ 7з.			
Соотношения между распределениями
1.	Отношение нормальной случайной величины X с пара-
метрами 0, Ст] к нормальной случайной величине Y с параметра-
ми 0, ст2 имеет распределение Коши с параметрами ц = 0 и
X =ст1/ст2.
2.	Сумма л независимых случайных величин, имеющих
распределение Коши с параметрами ц,, X, (/ =1,2,...,л), имеет
также распределение Коши с параметрами ц = щ + ц2 +...+ц„ и
Х=Х]+Х2+...+ Х,. Справедливо и обратное утверждение: если
сумма X] + Х2 + ... +Хп подчиняется закону Коши и случай-
112
Рис. 3.3. Плотность вероятности и функция риска распределения Коши.
из
ные величины Хх,Хг,...,Х п независимы, то каждая из этих
случайных величин имеет распределение Коши.
3.	Если случайные величины Хх,Х2,...,Х п независимы и
распределены по закону Коши с параметрами ц,, X, (/ = 1, 2,..., л),
л
то случайная величина X = ^a,Xz + b подчиняется закону Коши
/=1
п	п
с параметрами ц =	+ b и X = £ |д,|Х,.. Иными словами, ли-
нейная функция случайных величин, распределенных по закону
Коши, имеет распределение Коши.
4.	Случайная величина Y = \/Х, обратная случайной вели-
чине X, распределенной по закону Коши с параметрами ц, X,
также имеет распределение Коши с параметрами р' = ц/(р2 + Х2)
и Х'=Х/(|? +Х2).
5.	Пусть /к (у) и хк (0 — плотность вероятности и харак-
теристическая функция случайной величины X, имеющей рас-
пределение Коши с параметрами ц = 0, Х = 1; /л(х) и хл(0 —
плотность вероятности и характеристическая функция случай-
ной величины Y, имеющей распределение Лапласа с парамет-
рами ц = О, X = 1. Тогда справедливы следующие соотношения:
/к (х) = - Хл М и хк (0 = 2/л (О-
п
6.	Если случайные величины Х1,Х2,...,ХЯ независимы и
имеют одно и то же распределение Коши, то их среднее ариф-
метическое (X] + Х2 + ... + Х„ )/п имеет такое же распределе-
ние, как и каждая из случайных величин X, (/ = 1, 2,..., п). Та-
ким образом, с точки зрения оценивания параметра положе-
ния ц среднее арифметическое не более информативно, чем
любая из случайных величин X,, Хг,..., Хп.
7.	Если X и Y независимы и имеют одно и то же распреде-
ление Коши, то случайные величины X + X и X + Y имеют
одно и то же распределение Коши. Это утверждение справед-
ливо и для случайных величин: аХ + £У,(|а|+|6|)Х и (|а| + |£|)У.
8.	Распределение Коши с параметрами ц = О, X = 1 совпадает
с распределением Стьюдента с параметром v = 1.
9.	Случайная величинах = р+ Xtg0, где Ф— случайная ве-
личина, распределенная равномерно в интервале (— я/2, я/2),
имеет распределение Коши с параметрами ц, X (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Вероятностная схема, приводящая к распределению Коши.
114
Оценивание параметров
Оценки параметров ц, Л распределения Коши определяются
с помощью выборочных квантилей х*:
. = ^CtgC^J-X^CtgCnj?;)	-x'Pi
Ctg (яд) - Ctg (п/>2 )	’	Ctg (npl) - Ctg (я/>2 ) ’
где х‘. — выборочная квантиль порядка р,, i = 1, 2.
В «симметричном» случае, т. е. при д = р < 0.5 и рг = 1 -/>:
. х’ + pip . (xip - х') tg (пр)
М =-^—2-----------------------------------
2	2
При /> = 0.25 формулы (1) принимают особенно простой и
наглядный вид:
*	*0.25 + *0.75	»•	*0.75 -*0.25
“ -------j-------, X .-
где xj 25 и xj 75 — выборочные оценки первой и третьей кварти-
лей случайной величины X. В качестве этих оценок использу-
ются элементы упорядоченной выборки объема п с номерами
|_(л + 2)/4)_| и |_(3л + 2)/4_|.
(1)
Генерирование случайных чисел
X; = p + A.tg(2nr().
3.4.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ1
3.	4.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
Плотность
вероятности
/(х) = -expf-—-~е(х
X ( X	J
-00 < X < ОО,
где ц — параметр положения (мода); X —
параметр масштаба (X > 0)
Функция
распределения
Функция
F(x) = 1-ехр(-е^)!к)
Х(х) = Ириска
В некоторых руководствах рассматриваемое распределение называется
распределением экстремального значения типа 1, или распределением экстре-
мального значения Гумбеля,
115
Характеристическая функция Математическое ожидание	Хх(0 = г(1 + 1Х0^' (X|/|<1) х = р-Ху, где у — постоянная Эйлера (у «0.57722)
Медиана	х0 5 = ц + XlnIn 2 « р - 0.3665 X
Мода	х=ц
Дисперсия	D = ^Х1 2 «1.6449Х2 6
Стандартное отклонение	стх = -^=Х «1.2825Х Уб
Асимметрия	Sk = -1.1395
Эксцесс	Ex = 2.4
Центральные моменты	Из = -2£(3)Х3 « -2.4041 X3, 3 — 4 щ =—X4 «14.6114Х4, 4	20 где С,(х) — дзета-функция Римана
р-квантиль	х, = ц + Х1п(-1п(1 -/>))
Соотношения между распределениями
1. Пусть Xt,Х2,... — одинаково распределенные, независи-
мые случайные величины, распределение которых не ограниче-
но слева и имеет вид экспоненты. Тогда при л -> да распределе-
ние случайной величины X =	) сходится к распределе-
нию минимального значения.
2. Пусть Xt (a, b) (j = 1, 2,..., л) — л независимых случайных
величин, имеющих распределение минимального значения с
параметром положения а и параметром масштаба Ь. Тогда мини-
мальная из этих случайных величин тоже имеет распределение
минимального значения с параметрами ц = а — Мп л и X = Ь, т. е.
пйп^Дл, Ь)] ~ Х(а-Ыпп, Ь).
lilin
3. Если случайная величина Y имеет распределение Вейбул-
ла—Гнеденко с параметром масштаба а = 1 и параметром фор-
мы с, то случайная величина X = In Y имеет распределение ми-
нимального значения с параметрами ц = О, X = 1/с.
иб
Рис. 3.5. Плотность вероятности и функция риска распределения минимального
значения.
117
Оценивание параметров
ц' =х* + 0.45015,, 1* = 0.77975; (ММ).
Генерирование случайных чисел
	xt = p + Xlnl-lnrJ.
3.4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
Плотность вероятности	/(*)- ехрГ ц е (х и>/х\ А	A	J —оо < X < оо, где ц — параметр положения (мода) X — параметр масштаба (X > 0)
Функция распределения	F(x) - exp (-е л'*1 ,/х ) ( х -и') ехр—1
Функция риска	М*)=Г7—АздТ-ТГ Х[ехр(е'
Характеристическая функция	Х,(0 = Г(1-<Х/)*'**' (Х|/|<1)
Математическое ожидание	х = р + Ху, где у — постоянная Эйлера (у « 0.57722)
Медиана	х05 =ц-Х1п In 2 я ц +0.3665X
Мода	х = ц
Дисперсия	Л = Д-Х2 я1.6449 X2 6
Стандартное отклонение	ох =-^=Х «1.2825X Тб
Асимметрия	Sk = 1.1395
Эксцесс	Ех = 2.4
118
Центральные
моменты
ц3 = 2£(3)Х3 « 2.4041 Л3,
=	= 14.6114 V,
где С,(х) — дзета-функция Римана
^-квантиль
хр = p-Xln(-lnp)
«р+ 0.9624 Л.
Точками перегиба функции плотности /(х) являются точки
х =цТХ1п]
( 2
Рис. 3.6. Плотность вероятности и функция риска распределения
максимального значения.
119
Соотношения между распределениями
1.	Пусть , Хг,... — одинаково распределенные, независи-
мые случайные величины, распределение которых не ограниче-
но справа и имеет вид экспоненты. Тогда при п -> со распреде-
ление случайной величины X =тах(А'/) сходится к распреде-
1£л
лению максимального значения.
2.	Пусть Xt(a, b) (I = 1,2,...,л) — п независимых случайных
величин, имеющих распределение максимального значения с
параметром положения а и параметром масштаба Ь. Тогда мак-
симальная из этих случайных величин тоже имеет распределе-
ние максимального значения с параметрами ц = д + д1пл и
X = Ь, т. е.
max[Jf((a,d)] ~ Х(а + д!пл,А).
3.	Если случайная величина X имеет распределение макси-
мального значения с параметрами ц, X, то случайная величина
v (
1 = expl------ подчиняется показательному закону распреде-
ления с параметром масштаба X = 1.
4.	Если случайная величина X имеет распределение макси-
мального значения с параметром положения ц = 0 и парамет-
ром масштаба X, то случайная величина Y = X + X In р имеет
двойное показательное распределение с параметром положе-
ния р и параметром масштаба X = 1/Х.
Оценивание параметров
р- =х’-0.45015х, X* =0.7797S', (ММ).
Генерирование случайных чисел
х, = |х-Х1п(-1п/;).
3.5.	ДВОЙНОЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность
вероятности
/(х) =Хцехр(-Хц-|ле"и), -а><х<<»,
где ц — параметр положения (ц > 0);
X — параметр масштаба (X > 0)
Функция
F(x) = exp(-pe'u)
распределения
120
Функция риска	ехр(це )-1
Характеристическая функция	Хх(0 = и"/хг[1-^ \ Л* У
Математическое ожидание	х = — (In ц + у) -1 (In и + 0.5772), X	X где у — постоянная Эйлера
Медиана	xOjS =-(Inp-Inin 2) «i(lnp-0.3665) X	X
Мода	. In ц X =—- X
Дисперсия	n n1 1.6449 D-'6X>" V 
Стандартное отклонение	n 1.2825 G =	— «	
Асимметрия	Sk = 1.1395
Эксцесс	Ex = 2.4
Центральные моменты	2Щ ~ 2.4041	Зя4 14.6114 Из X3 ~ X3 ’ Щ ~ 20X4 ~ X4
р- квантиль	Inp-ln(-lnp) '	X
Соотношения между распределениями
1.	Если случайная величина X имеет двойное показательное
распределение с параметрами ц, X, то случайная величина
Y = X — (In р/Х) имеет распределение максимального значения
с параметром положения 0 и параметром масштаба 1/Х.
2.	Если случайная величина Y имеет распределение Вейбул-
ла—Гнеденко с параметром масштаба b и параметром формы с,
то случайная величина X =-1пК имеет двойное показательное
распределение с параметром положения ц = 1/Ьс и параметром
масштаба X = с.
121
Рис. 3.7. Плотность вероятности двойного показательного распределения.
122
Рис. 3.8. Функция риска двойного показательного распределения.
Оценивание параметров
. _ п 1.28255
ц’ =ехр
»0.56146 ехр (1.28255/у’) (ММ),
где у — постоянная Эйлера.
Генерирование случайных чисел
X,. = ^[1пц-1п(-1пг/)].
Л
Таблицы
[6, с. 307—309, табл. 9.12]. Даны значения квантилей «стан-
дартизированного» двойного показательного распределения
(двойное показательное распределение с параметрами ц = 1,
Л = 1) для р =0.0001 (0.0001) 0.0010 (0.0010) 0.0100 (0.0050) 0.100
(0.010) 0.90 (0.005) 0.990 (0.001) 0.9990 (0.0001) 0.9999; 0.99995;
0.99999; 0.999995; 0.999999; 0.9999995; 0.9999999; 0.99999995;
4Z>.
123
Квантиль ур порядка р двойного показательного распределе-
ния с параметрами ц, X вычисляется с помощью формулы
ур = (In ц + хр )/Х, где хр — р-квантиль «стандартизированного»
двойного показательного распределения.
3.6.	ЛОГИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность
вероятности
/(х) =
1
4Xch<^Y
V 2Х )
-со < х < 00,
где ц — параметр положения (-«о < ц < оо);
X — параметр масштаба (X > 0)
Функция
распределения
.	1	1
ад=--------г---_
,	(	х-ц]	2
1 + ехр----
I % }
Функция
риска
Х(х) =
X 1 + ехр
х-ц
X
х-ц
2Х
= 4 l + th
Характеристическая функция	x(O=-j^/p' sh(nX/)
Математическое ожидание	х =ц
Медиана	Хоз = И
Мода	Х = р
Дисперсия	п =	а 3.2899Х2 х 3
Стандартное отклонение	<т =-^«1.8138Х 7з
124
Срединное
отклонение
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Е = Х1пЗ» 1.0986 X
Sk = 0
Центральные
моменты
/ьквантиль
Ex = 1.2
W2=^y~ + M2> тз = н(Х2л2 + н2),
= 7^- + ц2 (2Х2 л2 + ц2)
Из =0, щ = ^~я 45.4576 X4,
_ ГО,	j— нечетное;
|(Хл),(21 -2)|2f,|, s— четное,
где Bs — числа Бернулли (Б6 =1/42;
Д =-1/30; Вю = 5/66)
х = р —Х1п-----
Р
Оценивание параметров
ц=Г, X* =^—«0.55135х (ММ),
л
Оценки максимального правдоподобия удовлетворяют сис-
теме уравнений
Л xz ехр(-х,/Х*)
X* +	1 + ехР(-(х< )А*) =
у ехрС-х./Х*)
1 + ехр(-(х, -ц’)/Х‘)
ехрС-х./Х*)
1 + ехр(-(х; -ц )/Х’)
Генерирование случайных чисел
X/ =р-Х In--
125
Рис. 3.9. Плотность вероятности и функция риска логистического
распределения.
Таблицы
[6, с. 254—256, табл. 9.1]. Приведены значения функции рас-
пределения G(t) и плотности вероятности gif') стандартного ло-
гистического распределения (логистическое распределение с
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией)
для I = 0.00 (0.01) 1.00 (0.05) 3.00; 4Z).
126
[6, с. 257, 258, табл. 9.2]. Даны значения ^-квантилей стан-
дартного логистического распределения для р = 0.5(0.01)0.900
(0.005)0.990(0.001)0.999(0.0001)0.9999; 4D и для р= 0.99995 +
*0.999999999; 5-9Я
Техника вычислений
Функция распределения F(x) и плотность вероятности f (х)
логистического распределения с параметрами X, ц связаны с
функцией распределения G(t) и плотностью вероятности g(f)
стандартного логистического распределения соотношениями
г/ » ^fx-цА г/ \	1 fx-p')
F(x)=G\----£ и f(x)=-g\--------.
\ а 7	а \ а 7
3.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАМПЕРНАУНА
Плотность вероятности	/(*)-	.	,	. > оо < X < «>, я сп а (х - ц) где р — параметр положения (матема- тическое ожидание); а — параметр масштаба (а > 0)
Функция распределения	F(x) = — arctg е“(х'м ) п
Характеристическая функция	ch[^ \2ау
Математическое ожидание	X =М
Медиана	•*•0.5 ~ И
Мода	Х=Ц
Дисперсия	я2 2.4674 1 4а2 ~ а2
Стандартное отклонение	я 1.5708 2а	а
Срединное отклонение	„ lntg(3n/8) 0.8814 L =	« а	а
127
Рис. 3.10. Плотность вероятности и функция риска распределения
Чампернауна.
128
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Центральные
моменты
Sk = О
Ex = 2
( П )	2
^2 = z- + н, rn3
12a J
/л4
Мз =0, М4
Ь =
0,
 ( п
(2а
^-квантиль
/ л2
х 21	1
+ 6р зг- +Ц
2
I +Ц3>
s — нечетное;
j — четное,
где Et — числа Эйлера (£6 = -61, Et = 1385,
£|0 = -50521)
1
= ц + - In tg^
а 2
a
Рис. 3.11. Плотность вероятности стандартного распределения Чампернауна (7)
и стандартного нормального распределения (2).
Параметры распределения Чампернауна: х=0, ох =1, а =л/2, ц =0.
5 Р. Н. Вадзинский
129
Оценивание параметров
И’ =х',
п 1.5708
“ ’ 25 * 5,
(ММ).
Генерирование случайных чисел
1 . . ПГ)
х, = p + -lntg —
а 2
3.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРЛЬЕ (РЯД ГРАМА-ШАРЛЬЕ ТИПА А)
Плотность
вероятности
Дх)=-
О
ф _пф<з)
I а J 6 I о
+ ^-ф<4>
24 Ф
1
= -<Р
О
(1)
где ц — параметр положения, математиче-
ское ожидание; а — параметр масштаба,
стандартное отклонение; у, — параметр
формы, асимметрия; у2 — параметр формы,
эксцесс; <р(х) — плотность вероятности
стандартного нормального распределения;
Ф(,)(х) — s-я производная плотности веро-
ятности ф(х) стандартного нормального
распределения (s = 3, 4)
Функция
распределения
3^
о
130
131
Характеристическая
функция
Х(/) =ехррц/-^->|Г1--ф-(ст/)’ +^-(а/)4
I 2 J 6	24
Математическое х = р
ожидание
Дисперсия
Стандартное
отклонение
А = о2
стх =ст
Асимметрия	Sk = У]
Эксцесс
Ех = у2
Центральные
моменты
Нз=У1<А Н4=(У2+3)ст4
И, =
±_—£ ,
Зул	V2/
Д=^ст' l+^-s(s-2)y2 г| L s — четное
Jrt L 24 J ( 2 )
5+1
24
5— нечетное;
Рис. 3.13. Функция риска распределения Шарлье.
1
2
132
Г2
Рис. 3.14. Области одновершинных кривых распределения Шарлье (J) и неот-
рицательных ординат функции плотности /(х) этого распределения (2).
Примечания: 1. Распределение Шарлье используется
для сглаживания эмпирических распределений с умеренными
асимметрией и эксцессом.
2. В некоторых случаях (при «неблагоприятном» сочетании
значений параметров YjH у2) формула (1) дает отрицательные
значения плотности вероятности /(х) на «хвостах» распределе-
ния. Это обусловлено тем, что данная формула содержит толь-
ко три первых члена разложения Грама—Шарлье, т. е. по суще-
ству является приближенной формулой. На рис. 3.14 приведена
область значений параметров у! и у2, при которых плотность ве-
роятности распределения Шарлье неотрицательна. На этом же
рисунке указана область значений параметров уи у2, при кото-
рых кривая распределения /(х) имеет только одну вершину
(одномодальна).
Б. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ВОЗМОЖНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ
НА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПОЛУОСИ
3.9. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность	/(х) = >.е , х > О,
вероятности
где X — параметр масштаба, интенсивность
случайной величины (% > 0)
133
Функция распределения	F(x) =1-6-^
Функция риска	Х(х) = Х
Характеристическая функция	х(/)=гЧ А» 11
Математическое ожидание	- 1 X = - X
Медиана	In 2 0.6931 х05 =	«	 X	X
Мода	х =0
Дисперсия	
Стандартное отклонение	1 °х X
Коэффициент вариации	*х =1
Асимметрия	Sk = 2
Эксцесс	Ex = 6
Начальные моменты	2	6	24	s! т, = -г-, т3 = —, т4 =	т. = — 2 X2	X3	X4 ' X’
Центральные моменты	2	9	'(-!)* Из - 3 » Ш - 4 ’ Н, - , А	А	А» j^=0	** *
р-квантиль	Х„ =-|1п(1-^) л
Примечание. Показательное распределение — единствен-
ное непрерывное распределение, обладающее свойством от-
сутствия последействия, т. е. для любых х0 > 0 и х > О вы-
полняется условие Р(Х -х0 < х/Х £ х0) = Р(Х < х). Свойство
отсутствия последействия часто называют марковским свой-
ством.
134
Рис. 3.15. Плотность вероятности и функция риска показательного
распределения.
Соотношения между распределениями
1.	Показательное распределение тесно связано с распреде-
лением Эрланга (см. п. 2.2 и 3.11).
2.	Показательное распределение является частным случаем
гамма-распределения и распределения Вейбулла—Гнеденко
(см. п. 3.10 и 3.12).
3.	Если случайная величина X = (Y/a)c подчиняется пока-
зательному распределению с параметром X = 1, то случайная ве-
личина Y имеет распределение Вейбулла—Гнеденко с парамет-
ром масштаба а и параметром формы с.
4.	Если случайная величина X =е~г имеет показательное
распределение с параметром X = 1/д, то случайная величина Y
имеет распределение максимального значения с параметром
положения равным нулю и параметром масштаба равным а.
135
Оценивание параметров
X’ = 1/х’ (ММП, ММ).
В случае смещенного показательного распределения, когда
/(у) = Хе'м’"<’, у > с:
с = min(y1,y2,...,y„), X* = -	. (ММП);
У -с
c'=y-S,,	Х’=1/5,	(ММ).
Генерирование случайных чисел
1.
X, =—In Л.
' X '
3.10. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
3.10.1. КЛАССИЧЕСКОЕ (ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ)
ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность вероятности Функция распределения Характеристическая функция Математическое ожидание Мода Дисперсия Стандартное отклонение	/(х) =	х° е х > 0, Г(а) где X — параметр масштаба (X > 0); а — параметр формы (а > 0) f(x) = r^) Р“'1е"л = /(Хх; а)> где 7(х;а) — отношение неполной гамма-функции х(')=(гМ* - а х = — X -	а ~1	.	1 х =	, а > 1 X =4 X2 л/а
136
Коэффициент
вариации
vx
1
а
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Центральные
моменты
Sk = -jL
V<x
-	6
Ex = —
а
а(а +1)	_ а(а + 1)(а + 2)
2 X2 ’	3 X3
а(а + 1)(а + 2)(а + 3)
/и4 =----------------------
X4
а(а + 1) ... (а + 5-1)
ТП. =--------------------
'	X'
За (а + 2)
j?
2а
Квантиль хр гамма-распределения вычисляется путем ре-
шения уравнения /(Хх?; а) = р, где р — заданный порядок
квантили (0 < р < 1).
Точками перегиба функции плотности /(х) являются точки
х = (а -1Т <а -1 )/Х (при условии, что х — действительное по-
ложительное число).
Соотношения между распределениями
1.	При а =1 гамма-распределение совпадает с показатель-
ным распределением с параметром масштаба X.
2.	Если случайная величина X имеет гамма-распределение с
параметром масштаба 1 и параметром формы а, то случайная
величина К=Х/Х имеет гамма-распределение с параметрами
X, а.
3.	При а = т, где т — целое положительное число, гам-
ма-распределение называется распределением Эрланга по-
рядка т (см. п. 3.11).
4.	Сумма любого конечного числа т независимых случай-
ных величин с одним и тем же параметром масштаба X и пара-
метрами формы а1( а2,.... аи имеет гамма-распределение с
параметром масштаба X и параметром формы а=а,+а2 +
+ ...+аи. Иными словами, гамма-распределение устойчиво
относительно операции композиции законов распределения.
137
Рис. 3.16. Плотность вероятности гамма-распределения.
5.	При а = л/2, где л £ 2 — целое и X = 1/2, гамма-распреде-
ление совпадает с х -распределением с л степенями свободы
(см. п. 3.31).
6.	В том случае, когда случайная величина X имеет гам-
ма-распределение с «полуцелым» параметром формы а = л/2 и
произвольным параметром масштаба X, случайная величина
У = 2 XX имеет х ^распределение Пирсона с л = 2а степенями
свободы. При этом справедливо соотношение Fx(x; л/2,Х) =
= F(2Xx;2a), где F(y; л) =Р {%2, < у} — функция распределе-
ния %2-распределения.
7.	Если независимые случайные величины X и У имеют
гамма-распределение с параметрами X = 1, а = и и X = 1, а = v
соответственно, то случайная величина Z = Х/(Х + У) имеет
138
Рис. 3.17. Функция риска гамма-распределения.
бета-распределение первого рода с параметрами формы и, v
(см. п. 3.26).
8.	В том случае, когда случайные величины X и /независи-
мы и имеют гамма-распределение с параметрами 1 = 1, а = и и
X = 1, а = v соответственно, случайная величина Z = Х/Y имеет
бета-распределение второго рода с параметрами формы и, v
(см. п. 3.19).
9.	Плотности распределения линейных функций аХ + Ь
случайной величины X, имеющей гамма-распределение, состав-
ляют специальный класс распределений — так называемый
«тип III» семейства кривых Пирсона.
Оценивание параметров
Метод моментов:
Метод максимального правдоподобия. Путем
решения уравнения 1па‘ - \|/(а*) =1пу определяется оценка
а* параметра формы а. После этого по формуле X'= а'Д’
определяется оценка X* параметра масштаба X. Здесь
, . Л[1пГ(а)] Г'(а)	.	,	. ч
\|/(а) =	= —— — пси-функция (дигамма-функция);
da Г(а)__________
у = 1п(х‘/х); х =^х, -х2 •,.. хя — среднее геометрическое эле-
ментов выборки. Функция \|/(а) табулирована (см., например,
[14, с. 91-94, табл. 6.1]).
139
Для определения оценки параметра формы а можно исполь-
зовать приближенные формулы
0.5000876 + 0.1648852? -0.0544274?2
. I	У	’ <У' ‘
8.898919 + 9.059950? + 0.9775373/	05772< <17
? (17.79728+11.968477?+ ?2) ’	-У- 
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1
/p=rand;
/2-=rand;
T3:=rand;
Рис. 3.18. Блок-схемы алгоритмов генерирования случайных чисел, имеющих
гамма-распределение.
Гамма-распределение с параметром масштаба X и парамет-
ром формы а (0 < а < 1).
Алгоритм 1
1.	г, := rand; г2:=rand; г,: = rand;
2.	5,:=^“; S2 := r2w'a);
3.	Если 5, + S2 < 1, то на 4, иначе — на 1;
4	х -
’ " Х(5,+52)’
Блок-схема алгоритма 1 приведена на рис. 3.18, слева.
140
Алгоритм 2
1.	b := е/(е + а);
2.	r|:=rand; r2:=rand;
3.	Если г, < Ь, то на 4, иначе — на 6;
4.	v:=(n/d)^ ;
5.	Если г2 < е ”, то на 8, иначе — на 2;
6.	v:=l-ln((l-r,)/(l-6));
7.	Если r2 < v“ *, то на 8, иначе — на 2;
8.	х:=уД.
Блок-схема алгоритма 2 приведена на рис. 3.18, справа.
Гамма-распределение с параметром масштаба X и парамет-
ром формы а > 1:
1. ( ч
х = у--1п(г, г2 >... гя),
Л
где у — случайное число, принадлежащее последовательности
случайных чисел {у,.}, имеющих гамма-распределение с пара-
метром масштаба X и параметром формы а = а — |_а J, т = [_а J.
(Здесь |_а J — целая часть числа а).
Таблицы
(7J. Даны значения функций Z(x,a), T(x,a) = Z(x;a)/x“,
1-Z(x,a) и R(y, f) = Z(x,a)-Ф(у); 7Д.
Техника вычислений
Все таблицы гамма-функции Г(а) ограничены значениями
аргумента а, принадлежащими интервалу (1 a £ 2). Значения
гамма-функции для a < 1 и a > 2 вычисляются с помощью фор-
мул Г (а) = Г (а + 1)/а и Г(а) = (а -1) Г (а -1), которые следуют
из функционального уравнения Эйлера Г (a +1) = а Г (а).
При вычислении функции распределения Fx(x;a,X) гам-
ма-распределения могут быть использованы таблицы [7], [9]
или стандартные подпрограммы (см., например, [46]).
При вычислении на ЭВМ могут быть использованы форму-
лы:
Г(х +1) = 1 + £ atx‘ + е (х) (0 < х < 1),
м
а, = -0.5748646, а2 = 0.9512363, а3 = -0.698588,
а4 = 0.4245549, а5 = -0.1010678, |е(х)|5 5 10'5;
Г(х + 1)=1 + £^х'+е(х) (0<х< 1),
/=1
141
bl = -0.577191652,	Ьг = 0.988205891,	b3 = -0.897056937,
/»4 = 0.918206857,	/>,=-0.756704078,	b6 = 0.482199394,
/>7 =-0.193527818,	bs = 0.035868343,	|e(x)| s 3 • 10'7;
, (Xx)‘
F(x;a,X)=^£(-l)'-^- (x>0);
Г(а) " (a + i)i!
F(x;a,X) =	e-^
аГ(а)
(Xx)'
1+м (a + l)(a + 2)...(a + 0
(x>0). (2)
При a > 1 ряд (2) сходится быстрее, чем ряд (1).
В системе символьной математики DERIVE имеются функ-
ции:
GAMMA(z) = r(z),
INCOMPLETE_GAMMA(z, w) = I(w, z) =	\e-‘tz~'dt,
INCOMPLETE_GAMMA_SERIES(z, w, m) =
m	m~n
= V---------*-----
^г(г + /п-л + 1)
(см. [44], утилиты PROBABIL.MTH). Функция INCOMPLE-
TE_GAMMA_SERIES(z, w, m) позволяет вычислить частичную
сумму т первых членов ряда (2).
3.10.2. СМЕЩЕННОЕ (ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ)
ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность
вероятности
Функция
распределения
Ay)=^LvO'-c)e",e'x°’'c) (У<с),
Г(а)
где X — параметр масштаба (X > 0);
a — параметр формы (а > 0); с — па-
раметр сдвига (смешение)
F(y)=/(X(y-c);a) (у>с),
где /(х;а) — отношение неполной
гамма-функции
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
a
= с + —
X
142
01 — 1
Мода	у = с + -— (а £ 1)
X
„	_	а
Дисперсия	Dy	= —
X
Стандартное	су	= —
отклонение
2
Асимметрия	Sk = —=
Va
Эксцесс	Ех = —
a
„	a2 + (2 с X +1) a + (с X)2
Начальные т2 =---------------------——,
моменты
а3 + 3(сХ + 1)а2 + [3(сХ)2 + ЗсХ +2]а+ (сХ)3
тз	X3	’
а4 + (4сХ + 6) а3 + [6 (с X)2 +12 с X + 11] а2 +
- — >
+ [4 (с X)3 + 6 (с X)2 + 8сХ + 6]а + (сХ)4
V
тт	2а За (а + 2)
Центральные ц3 = —, ц4 =——-
моменты	X3	X
Квантиль ур гамма-распределения вычисляется путем реше-
ния уравнения /(Х(у,-с); а) =/», где р — заданный порядок
квантили (0 < р < 1).
Точками перегиба функции плотности f (х) являются точки
у = с + (a -1 + Va -1 )/Х (при условии, что у — действительное
положительное число, превышающее с).
Соотношения между распределениями
1. Смещенное гамма-распределение с параметрами X, а, с
описывает распределение случайной величины Y = с + Х, где
X — случайная величина, имеющая гамма-распределение с па-
раметрами X, а; с — постоянная величина (смещение).
2. Сумма конечного числа л независимых случайных вели-
чин, имеющих смещенное гамма-распределение с параметрами
143
(/ = 1, 2,..., л), имеет смещенное гамма-распределение
с параметром масштаба X, параметром формы а =а2 + ... +а„ и
параметром сдвига с =сх +с2 + ...+с„, т.е. смещенное гам-
ма-распределение, так же как и классическое гамма-распреде-
ление, устойчиво относительно операции композиции законов
распределения.
Оценивание параметров
4	. 2S2y 2
(Из)2	(Sk-)2 ’	(Из)2	5,Sk-’
2(52)2	2Sy
с = у-----г— = У	(ММ).
Из	Sk
Оценки максимального правдоподобия являются решения-
ми системы уравнений:
Л /=1	А
1 - Lln(y, -с*) = у(д*)-1п X*,
п м
1 у 1 X-
»ыУг< а*-1‘
(3)
J[lnr(a)] Г'(а)	ж / ж
Здесь у(а) = — ---= —— — пси-функция (дигамма-функ-
da Г(а)
ция). Функция х]/(а) табулирована (см. (14, с. 91—94, табл. 6.1]).
Систему уравнений (3) можно использовать только при a > 1.
При а, близкой к единице, система дает довольно нестабильные
результаты (см. третье уравнение системы), поэтому ее реко-
мендуется использовать при a > 2.5.
Генерирование случайных чисел
У, =£ + */,
где X/ — случайное число, принадлежащее последовательности
{Xj} случайных чисел, имеющих гамма-распределение с пара-
метрами X, а; с — параметр сдвига (смещение).
144
3.11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА
3.11.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА m-ГО ПОРЯДКА
Плотность вероятности	/(х) =- * - х” 1е~и, х>0, (т-1)! где X — параметр масштаба (X > 0); т — параметр формы, порядок распределения, целое положитель- ное число (т £ 1)
Функция распределения	г/ \	1 -lx V1	-ix V"1 (^0* F(x)=l~e	i =е Е
Характеристическая функция	( у >"* х(0= — 
Математическое ожидание	- т х = — X
Мода	а т-1 Х~ X
Дисперсия	Dx X2
Стандартное отклонение	4т
Коэффициент вариации	1 V; =-г= v/л
Асимметрия	Sk = А у/т
Эксцесс	Ех = — т
Начальные моменты	т(т +1)	т(т + 1)(/л + 2) «2 -	Щ ~	хз т(т + 1)(/и + 2)(/и + 3) «4=	"	.4	_ /V т _m(m + l)...(m + s-l) ’	К
Центральные моменты	2т	Зт(т + 2) >Ч = ХЗ> Н4=-Х4-
145
Квантиль хр определяется как корень уравнения Ф (т; кхр) =
а> i
= р, где Ф(х; ц) = е-* У Функция Ф(х; ц) табулирована (см.
п. 2.2).
Соотношения между распределениями
1.	Распределение Эрланга порядка т описывает распреде-
ление случайной величиныX = Хх + Х2 + ... + X т, представля-
ющей собой сумму т независимых случайных величин, каждая
из которых распределена по показательному закону распределе-
ния с одним и тем же параметром X.
В большинстве пособий по теории вероятностей под поряд-
ком распределения Эрланга понимается число т независимых
показательно распределенных слагаемых, входящих в сумму
X = X, + Х2 + ... + Xт. Однако в некоторых пособиях порядком
распределения называют число, которое на единицу меньше
числа слагаемых в этой сумме (см., например, [39]).
2.	При т = 1 распределение Эрланга совпадает с показатель-
ным распределением.
3.	Распределение Эрланга порядка т является частным слу-
чаем гамма-распределения, параметром формы которого явля-
ется целое положительное число т (а = т). Все характеристики
распределения Эрланга порядка т определяются по тем же
формулам, что и соответствующие характеристики гамма-рас-
пределения (с заменой во всех формулах а на т).
4.	Распределение Эрланга тесно связано с распределением
Пуассона (см. п. 2.2).
5.	Распределение Эрланга порядка т +1 с параметром мас-
штаба Х = 1 иногда называют показательно-степенным
распределением с параметром формы т.
6.	Распределение Эрланга порядка т является непрерыв-
ным аналогом отрицательного биномиального распределе-
ния 1 с параметрами т, р, которое описывает распределение
суммы т независимых случайных величин, каждая из кото-
рых имеет геометрическое распределение 1 с одним и тем
же параметром р.
Оценивание параметров
(ММ),
где (д) — целое число, ближайшее к а.
146
Генерирование случайных чисел
1, /	X
Xi = -?1п(П Г2 •... Гт).
Л»
Таблицы
Могут быть использованы таблицы, применяемые при вы-
числениях, связанных с распределением Пуассона (см. п. 2.2) и
гамма-распределением (см. п. 3.10).
Техника вычислений
При выполнении вычислений, связанных с распределением
Эрланга, помимо таблиц неполной гамма-функции [7] могут
быть использованы таблицы функций (см. п. 2.2):
у(х;р) = е~* и Т(х; р) =
х!	Z
Функции у(х;ц) и ц) связаны с плотностью вероятно-
сти /(х) и функцией распределения F(x) закона Эрланга поряд-
ка т очевидными соотношениями:
/(х) = X\|/(m — 1; Ах) и F(x) = Ф(/я; Ах) (х > 0).
3.11.2. НОРМИРОВАННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА
т-ГО ПОРЯДКА
Плотность вероятности	/(г)=^^тгя-1е-Хлч, г>о, (/п-1)! где X — параметр масштаба (X > 0); т — параметр формы, порядок рас- пределения, целое положительное число (т > 1)
Функция распределения	Лг)=1-е'Хл,г£	= _е-Хтг^ (^Z)' i-m	? *
Характеристическая функция	хг(0 =1-^—1 z Vkz-it)
Математическое ожидание	- 1 z 1
147
Мода	* т-1 т-1 ~ Z кт	т Z
Дисперсия	д =-Ц- тк2
Коэффициент вариации	1 Vx =~7= Чт
Асимметрия	Sk = —L
Эксцесс	Ех =— т
Начальные моменты	т +1	(т + 1)(л1 + 2) т1 ~	,2 ’ т3 ~	г'з " тк	т к (т -ь 1)(т + 2)(т + 3) ’	*3*4	'	> т к (т + 1) ...(m + s-1) 7П. = /И1-1 к3
Центральные моменты	2	3(т + 2) т Л	тп К
Квантиль zp определяется как корень уравнения	) =
= р, где
Функция
Т (х; ц) табулирована
f-X 1-
(см. п. 2.2).
Соотношения между распределениями
1.	Нормированное распределение Эрланга порядка т опи-
сывает распределение среднего арифметического
z xl + x2 + ..,+xm
т
т независимых случайных величин, каждая из которых подчи-
няется показательному закону с одним и тем же параметром X.
2.	Случайная величина Z, имеющая нормированное распре-
деление Эрланга порядка т, связана со случайной величиной
X, распределенной по закону Эрланга /л-го порядка, соотноше-
нием Z -Х/т.
148
3.	Нормированное распределение Эрланга порядка т опи-
сывает распределение суммы Z = Zx + Z2 + ... + Z т независи-
мых случайных величин Zf, Z2...Zm, каждая из которых рас-
пределена по показательному закону с одним и тем же парамет-
ром Хт.
4.	Сумма независимых случайных величин, имеющих нор-
мированное распределение Эрланга порядкат1,т2,...,тп с од-
ним и тем же параметром масштаба X, имеет нормированное
распределение Эрланга порядка т =	+ т2 + ... + тп с тем же
самым параметром масштаба X.
5.	При т = 1 нормированное распределение Эрланга совпа-
дает с показательным распределением.
Примечание. При увеличении порядка т математиче-
ское ожидание z = 1/Х этого распределения остается неизмен-
ным, а его дисперсия £>,= 1/(тпХ2) стремится к нулю. Следова-
тельно, случайная величина Z, имеющая нормированное рас-
пределение Эрланга, «становится все менее и менее случайной»
и в конце концов вырождается в постоянную с = 1/Х. Это свой-
ство нормированного распределения Эрланга очень удобно в
практических приложениях. Оно позволяет, задаваясь различ-
ными значениями т, получать различную «степень случайно-
сти» случайной величины Z — от «сильной случайности» при
т = 1 до полного отсутствия случайности при т = ». При этом
порядок т нормированного распределения Эрланга можно
рассматривать как своеобразную «меру случайности» случай-
ной величины Z, используемой в качестве вероятностной моде-
ли какого-либо случайного параметра исследуемого объекта
(например, времени прохождения сообщения через систему
связи, времени безотказной работы технического устройства и
т. п.).
149
Оценивание параметров
т' =
(Г)2
Х' = jr (ММ),
Z
где (а) — целое число, ближайшее к а.
Генерирование случайных чисел
1 , , .
Х‘ ="^1П^ Г2 ••••'")•
Таблицы
Могут быть использованы таблицы, применяемые при вы-
числениях, связанных с распределением Пуассона (см. п. 2.2) и
гамма-распределением (см. п. 3.10).
Техника вычислений
При выполнении вычислений, связанных с нормированным
распределением Эрланга, помимо таблиц неполной гамма-
функции [7] могут быть использованы таблицы функций (см.
п. 2.2)
v(x;p)=e'p^ и Ф(х;ц)=е'цЁ^.
Функции у(х;р) и Ф(х;р) связаны с плотностью вероятно-
сти /(z) и функцией распределения F(x) нормированного рас-
пределения Эрланга от-го порядка очевидными соотношения-
ми:
/(z) =Хот\|/(от-1; Xotz) и F(z) = Ч* (от; Xotz) (z^O).
3.11.3. ОБОБЩЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Плотность	f (х) = (e'pI -) (х > 0),
вероятности
где X, р — параметры масштаба (X > 0, р. > 0).
Параметром формы данного распределения
может служить отношение к = р/Х
150
Функция распределения	(Хе^-ре^) X -ц х	7
Характеристическая функция	х(/)=		 *	(Х-/7)(р-/7)
Математическое ожидание	- 1	1 Х + р х= - + -=	~ X ц Хр,
Медиана	Медиана х05 является корнем уравне- ния Хе'**’ - ре"и =(Х-р)/2
Мода	- 1п(Х/р) Х-р
Дисперсия	D =х+±=^ ’ X2 р2 (Хр)2
Стандартное отклонение	7х2+р2 <J_ = Хц
Коэффициент вариации	Vx = "	(Vx < 1) X + ц
Асимметрия	Sk =	) (Sk>0) (Х2+р2)3/2	(	}
Эксцесс	-	6(Х4+р4)	пч Ех = 772	ТуТ	(Ех > °) (X2 +р2)
Начальные моменты	2(Х3-р3)	6(Х4-р4) (Х-р)(Хр)2	(Х-р)(Хр)3 _ 24(Х5-р5)	^(Х^-р-1) 'Мд 		Л • 'М- — (Х-р)(Хр)4	(Х-р)(Хр)*
Центральные моменты	2(Х3 -ьр3) Цз" (*и)3 ’ 3(ЗХ4 + 2х2р2+3р4) '	(Хр)4
Квантиль xf порядка р является решением уравнения
Xe'^-pe^ =(Х-р)(1-р).
151
Рис. 3.20. Плотность вероятности обобщенного распределения Эрланга
второго порядка.
Соотношения между распределениями
1. Обобщенное распределение Эрланга второго порядка
описывает распределение случайной величины X = X, + Хг,
представляющей собой сумму двух независимых случайных ве-
личин Х( и Х2, одна из которых распределена по показательно-
му закону с параметром X, а другая — по показательному закону
с параметром ц.
2. При к = ц/Х -> оо и х = (X + ц)/(Хц) = const обобщенное
распределение Эрланга второго порядка приближается к пока-
зательному распределению с параметром равным 1/х.
152
3. При к = 1 обобщенное распределение Эрланга второго
порядка совпадает с распределением Эрланга второго порядка
с параметром масштаба равным 2/х.
Оценивание параметров
. х* ±^252 -(х*)2
А —	----------, ц
52 iXyjlS2 -(х*)2
х-±7252~(х-)2
(х)2 -S2
(ММ).
Генерирование случайных чисел
1.	h
X,. =--lnr2M —lnr2;.
X	ц
3.12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА-ГНЕДЕНКО
3.12.1. КЛАССИЧЕСКОЕ (ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА-ГНЕДЕНКО
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ТИПА III)
Плотность
вероятности
Z Xе"1
г/ \ с \ х 1
/(«)=-- ехр
a\aJ
а
х > О,
где а — параметр масштаба (харак-
терное время жизни)', с — пара-
метр формы (а > 0, с > 0). Параметр а
обладает следующим свойством: при
любом с > 0 вероятность Р{Х < а] =
= 1-Z1 «0.6321
Функция
распределения
Функция риска
F(x) =1-ехр
Характеристическая
функция
153
Математическое
ожидание
X= йГ - + 1
1с
Медиана	х05 =a(ln2)Vc
Мода
х = а I-----
I с )
Дисперсия
Dx = a2[rf- + l
I с
Коэффициент
вариации
Стандартное
отклонение
/г(2/с + 1)
УГ2(1/с + 1)
Асимметрия
Эксцесс
rf- + 1]-3rf- + 1W- +11 + 2r3f— +1
Iе 7 \с J \с J 1е
rf- +11 -r2f- +11
Начальные
моменты
m4 =а4г(- + 11 ms =ат(- + 1
I С 7
154
Центральные
моменты
Нз
4-
+ 2Г3Г— +1
I С
^-квантиль
155
Соотношения между распределениями
1.	Распределение Вейбулла—Гнеденко с параметром масш-
таба а и параметром формы с = 1 совпадает с показательным
распределением с параметром X = 1/а.
2.	Распределение Вейбулла—Гнеденко с параметром масш-
таба а и параметром формы с = 2 совпадает с распределением
Рэлея с параметром масштаба а/41.
3.	Если случайная величина Xраспределена по закону Вей-
булла—Гнеденко с параметрами а, с, то случайная величина
Y = (Х/а)с подчиняется показательному закону распределения с
параметром X = 1.
4.	Если случайная величина X распределена по закону Вей-
булла—Гнеденко с параметрами а, с, то случайная величина
Y = cln(Jf/a) имеет распределение минимального значения, а
случайная величина K=-cln(X/e) — распределение макси-
мального значения с параметрами ц = 0 и X = 1.
5.	Распределение Вейбулла—Гнеденко хорошо аппрокси-
мируется логарифмически нормальным распределением, т. е.
F(x;a,c) = 1 -exp - -	«Ф ———- ,
I UJ I V а )
vjifi т = х/71 + v2, а = д/ In (1 + v2); х — математическое ожида-
ние; v — коэффициент вариации распределения Вейбулла—Гне-
денко [21, т. 1, стб. 614].
Оценивание параметров
Метод моментов. Решая относительно с уравнение
гГД+Д /г2ГД+11=i+«)2,
1с )/ кс )
(1)
где у' = Sjx' — выборочный коэффициент вариации, находят
оценку с параметра формы с.
По формуле
а = х ’ Г Г-Д +1
вычисляют оценку а параметра масштаба а. Для приближенно-
го решения уравнения (1) можно воспользоваться табл. 3.1.
156
Таблица 3.1
с	V,	*1	^2	Sk	с	с	vx		^2	Sk	с
0.20	15.834	120.000	1901.158	190.113	0.20	1.00	1.000	1.000	1.000	2.000	1.00
0.21	13.579	80.358	1091.206	144.237	0.21	1.20	0.837	0.941	0.787	1.521	1.20
0.22	11.807	56.331	665.080	112.319	0.22	1.40	0.724	0.911	0.660	1.198	1.40
0.23	10.393	41.058	426.712	89.464	0.23	1.60	0.640	0.897	0.574	0.962	1.60
0.24	9.248	30.942	286.141	72.686	0.24	1.80	0.575	0.889	0.511	0.779	1.80
0.25	8.307	24.000	199.359	60.092	0.25	2.00 I	1 0.523	0.886	0.463	0.631	2.00
0.26	7.524	19.067	143.600	50.450	0.26	2.20	0.480	0.886	0.425	0.509	2.20
0.27	6.865	15.514	106.495	42.938	0.27	2.40	0.444	0.886	0.393	0.405	2.40
0.28	6.304	12.853	81.029	36.991	0.28	2.60	0.413	0.888	0.367	0.316	2.60
0.29	5.824	10.829	63.064	32.216	0.29	2.80	0.387	0.890	0.344	0.237	2.80
0.30	5.408	9.261	50.078	28.334	0.30	3.00	0.363	0.893	0.325	0.168	3.00
0.32	4.727	7.035	33.255	22.481	0.32	3.50	0.316	0.900	0.285	0.026	3.50
0.34	4.195	5.575	23.391	18.358	0.34	4.00	0.281	0.906	0.254	0.087	4.00
0.36	3.771	4.571	17.240	15.351	0.36	4.50	0.252	0.913	0.230	0.179	4.50
0.38	3.426	3.853	13.203	13.093	0.38	5.00	0.229	0.918	0.210	0.253	5.00
0.40	3.141	3.323	10.438	11.353	0.40	5.50	0.210	0.923	0.194	0.318	5.50
0.42	2.901	2.921	8.475	9.983	0.42	6.00	0.194	0.928	0.180	0.375	6.00
0.44	2.697	2.609	7.037	8.883	0.44	6.50	0.180	0.932	0.168	0.419	6.50
0.46	2.522	2.362	5.956	7.986	0.46	7.00	0.168	0.935	0.157	0.466	7.00
0.48	2.370	2.163	5.125	7.243	0.48	7.50	0.158	0.939	0.148	-0.500	7.50
0.50	2.236	2.000	4.427	6.619	0.50	8.00	0.148	0.942	0.140	-0.534	8.00
0.55	1.965	1.702	3.345	5.431	0.55	9.00	0.133	0.947	0.126	-0.588	9.00
0.60	1.758	1.505	2.645	4.593	0.60	10.00	0.120	0.951	0.114	-0.640	10.00
0.65	1.595	1.366	2.179	3.974	0.65	11.00	0.110	0.995	0.105	-0.669	11.00
0.70	1.462	1.266	1.851	3.498	0.70	12.00	0.101	0.958	0.097	-0.700	12.00
0.75	1.353	1.191	1.611	3.121	0.75	13.00	0.094	0.961	0.090	-0.741	13.00
0.80	1.261	1.133	1.428	2.815	0.80	14.00	0.087	0.964	0.084	-0.764	14.00
0.85	1.182	1.088	1.285	2.560	0.85	16.00	0.077	0.986	0.074	-0.807	16.00
0.90	1.113	1.052	1.171	2.345	0.90	18.00	0.069	0.971	0.067	-0.836	18.00
0.95	1.053	1.023	1.078	2.160	0.95 |	120.00	0.062	0.974	0.060	—0.914	20.00
Оценивание параметров с помощью этой таблицы осуществ-
ляется следующим образом:
—	по выборочной оценке v’ коэффициента вариации vx
находят оценку с параметра формы с и значение коэффици-
ента = Г(1/с +1);
—	с помощью формулы а =х‘/кг определяют оценку а
параметра масштаба а.
Метод максимального правдоподобия. ОМП
параметров а и с определяются путем решения системы уравне-
ний:
п
/. п >*/'•
с’ =---------*------:----, а’= -Ух/'	.
Ml	Ml Ml
157
Х*+ХР>
(2)
В качестве начального приближения можно взять значение
оценки параметра формы с, полученное с помощью табл. 3.1.
Оценка параметров с помощью выборочных
квантилей:
(-1п(1-Л))* +(-1п(1-й))
Совместная асимптотическая эффективность оценок с и д’,
полученных с помощью квантилей, максимальна (и равна 0.64)
при использовании квантилей порядка рх = 0.24 и рг = 0.93. При
этом формулы (2) принимают следующий вид:
Q* =	2211	_ ____*0,24 + -Xq.93___
" 1п(х;,э/х;24) ’	' (0.2744)^ + (2.6593)	'
Оценки, основанные на распределении In У:
Г1 »
а =ехр — У1пх,
п ,

X
с’
с' =
п	\2‘
6 л£1П2Х, -
где у ~ 0.5772 — постоянная Эйлера.
Подробные рекомендации по определению оценок и дове-
рительных границ для параметров распределения Вейбул-
ла—Гнеденко приведены в [31].
Генерирование случайных чисел
х =a(-lnr)Vc.
Примечание. В литературе по теории надежности вместо
параметра масштаба а обычно используют параметр Х = д"с.
При этом основные характеристики распределения Вейбул-
ла—Гнеденко принимают следующий вид:
Плотность
вероятности
Функция
распределения
Функция риска
Характеристическая
функция
f (х) = \схс~' ехр (-Ххс), х > 0
F(x) = 1 - ехр (-Ххс)
1(х) =ХсхсЧ
х(0 = 1+ it Jexp(z/x-kx')dx =
Л Г(з/с +1)
% s!l‘/c
158
Математическое
ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Начальные
моменты
^-квантиль
с > 1
гГ- + 11 + г2р- + ?|
У \с )
Г 1
= 4ш(1-р)
Л,
3.12.2. СМЕЩЕННОЕ (ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА-ГНЕДЕНКО
Плотность
вероятности
f(y) =
ifeAf ехр
а )
У>Уо>
где а — параметр масштаба (а > 0); с — па-
раметр формы (с > 0); у о — параметр сдвига
{смещение)
Функция
распределения
F(y) = 1-ехр
У~Уо
а
Математическое
ожидание
у = уа +дг[- + 1
(с
Медиана
Мода
Дисперсия
Асимметрия
и эксцесс
У оз =Уо +a(ln2)v'
У =Уо +0 ---- ,
V с )
Те же, что и у двухпараметрического распре-
деления Вейбулла—Гнеденко
159
Начальные
моменты
Центральные
моменты
(2	\	fl	\
т2 = а2Г — чЛ +2j0aF - + 1 +jJ,
уС	)	Xе )
(ъ \	(ЭХ
т3 =а3Г - + 1 +3j0a2r|- + 1 +
+ 3_у*оГр- + 11 + л3,
\С J
т4 =a4rf— + 11 + 4y0fl3rf- + 11 +
\С /	\С 7
+ 6у„а2г(- +11 + 4у%аГ [1 +11 + у %
\с ) \с )
Те же, что и у двухпараметрического рас-
пределения Вейбулла—Гнеденко
/z-квантиль Ур = Уо + о [-In (1 - />)]Ve
Соотношения между распределениями
1. Смещенное распределение Вейбулла—Гнеденко с пара-
метрами а, с, у 0 описывает распределение случайной величины
Y = у0 + У, где X— случайная величина, имеющая распределе-
ние Вейбулла—Гнеденко с параметрами а, с; у0 — постоянная
величина (смещение).
2. Если случайная величина Y имеет смещенное распреде-
ление Вейбулла—Гнеденко с параметрами а, с, у0, то случай-
ная величина X =[(У - у0)/о]с подчиняется показательному
распределению с параметром масштаба 1=1.
Рис. 3.22. Функция риска распределения Вейбулла—Гнеденко.
160
Оценивание параметров
Метод моментов. Решая уравнение
< Q	Л	( 7	\ ( 1	Л	/1
Г —+ 1 -ЗГ 4 + 1 Г 4 + 1 +2Г3| 4 + 1
1,.с	)	у \с	)	\с
= Sk",
находят оценку с параметра формы с. Используя эту оценку,
определяют оценки параметров а и ув:
Для облегчения расчетов, связанных с оценкой параметров
а, си у 0, можно воспользоваться данными табл. 3.1. Оценива-
ние параметров с помощью этой таблицы осуществляется сле-
дующим образом:
—	по выборочной оценке Sk* коэффициента асимметрии
Sk находят оценку с' параметра формы с и значения коэффи-
циентов ki = Г (1 + 1/с) и к2 = 7г(2/с +1) — Г2 (1/с +1);
—	с помощью формулы a' = Sx/k2 определяют оценку а
параметра масштаба а;
—	по формуле у J = у’ - акх находят оценку у о смещения у0.
Метод максимального правдоподобия. ОМП пара-
метров а, с и у0 определяются путем решения системы уравне-
ний:
«Е(У;-Л)С’
С ---------------—---------------------
п±{у,-уйУ 1п(л-Х) -£о'/-Х)г£1п(у/-Х)
а = -ZU-X)
Я
С
________мУ-Уь
6 Р. Н. Вадзинский
(3)
161
Если оценка у'о, полученная при решении системы уравне-
ний (3), окажется больше у(1) = min(y1,...,y„), то полагают, что
у'о = у(1). При 0 < с < 1 первая порядковая статистика у(1) явля-
ется «сверхэффективной» оценкой параметра сдвига у0.
Следует заметить, что ОМП рекомендуется использовать
только при с > 2.
Оценки, основанные на квантилях. Оценки пара-
метров а, с и у0 могут быть получены путем решения системы
уравнений:
Уо + а’[-1п(1 -л)]17'’ = у"л,
Z + а’[-1п(1	= у’г,«.
У о + а’[-1п(1	=y'f).
Эта система дает следующее уравнение для оценки парамет-
ра с:
с. =	+ [-1п(1-л)]^'-[-1п(1-Л)]^
4’4 [-1п(1-Л)]1/г-[-1п(1-рэ)]*‘ ‘
При выполнении условия -ln(l-/?2) =
уравнение (4) принимает более простой вид
с' = 1 In111(1 Рз) /In У? У^
2|_ 1п(1-л)/ УР-УР,
Подробные рекомендации по определению оценок и дове-
рительных интервалов для параметров смещенного распределе-
ния Вейбулла—Гнеденко приведены в [31].
Генерирование случайных чисел
У = Уо + a(-lnr)Vc.
3.13. ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Плотность	/(х) = 2^2Хе"2?Хх + 2(1-р)2Хе-2<1-;’)Хх,
вероятности	х>0,	(1)
где X — параметр масштаба (X > 0); р — па-
раметр формы (0 < р < 0.5)
162
Функция
распределения
F(x) =1-ре 2Мх-(1 -р)е 2(1
Функция риска	Х(х) = 2А	р2 + (1~р)2е 2(1 2р)и р +(1 — p)e-2<l-2,)u
Характеристическая	Х(О = 21	Р2 ,	d-Р)2
функция		_ 2pl - it 2(1 - р)Х - it
Математическое	- 1 х = —	
ожидание	1	
Мода	\	х = 0	
Дисперсия	D = —	-—-—--1
	X2	2р(1-р)
Стандартное	1 1 °х=Г J	—й	1
отклонение	X у	2р(1 -р)
Коэффициент
вариации
Асимметрия
(1-2р)2
2р(1-р)
^ = 3-Пр(\-р) + ^р\1-рУ
д/2р(1-р)[1-2р(1-р)]3
Эксцесс	Ех_3[2-11р(1-р)+16р2(1-р)2-8р3(1-р)3] р(1-р)[1-2р(1-р)]2
Начальные моменты	т _	1	т _3[1-2р(1-р)] 2 2р(1-р)Х2 ’ 3	4р2(1-р)2!3 ’ т 3[1-3р(1-р)] 2р3(1-р)Ч4 5’ Г 1	11 ’ 2JV L/>	(I-Р)3-1.
163
тт	3-12р(1-р)+8р2(1-р)2
Центральные ц, =----------- ,—
моменты	^Р (1 ~ Р)
3[1-5р(1-р)+6р2(1-/>)2 -2р3(1 —/?)3]
2^3(1-р)3Х4
Квантиль хр порядка р является корнем уравнения
ре~2"Кх + (1 - р) е~2<1-<,)’-х = 1 — р.
Рис. 3.23. Плотность вероятности и функция риска гиперэкспоненциального
распределения второго порядка.
164
Соотношения между распределениями
1.	Пусть X, — случайная величина, распределенная по по-
казательному закону с параметром Х1 = 2^Х; Х2 — независимая
от X, случайная величина, распределенная по показательному
закону с параметром Х2 = 2(1 — р)Х; р — вероятность реализации
комплекса условий, с которым связана случайная величина X,;
(1 — р) — вероятность реализации комплекса условий, с кото-
рым связана случайная величина Х2. Тогда смесь этих случай-
ных величин имеет гиперэкспоненциальное распределение вто-
рого порядка с плотностью вероятности (1).
2.	Схеме, приводящей к гиперэкспоненциальному распре-
делению второго порядка, можно дать следующее формализо-
ванное описание. Пусть и /2 — дискретные случайные вели-
чины, каждая из которых может принимать значение 0 или 1,
причем P(I{ = 1) = р, P(I2 = 1) = 1 — р и РЩ +I2 = 1) = 1. Тогда
если Х| и Х2 — независимые случайные величины, имеющие
показательное распределение с параметрами Х|=2^Х и
Х2 = 2(1 — р)Х соответственно и не зависящие от 1\ nJ2, то слу-
чайная величина X =/1Х1 + /2Х2 имеет гиперэкспоненциаль-
ное распределение второго порядка с плотностью вероятности
(1).
3.	При р = 0.5 рассматриваемое распределение совпадает с
показательным распределением с параметром X.
Оценивание параметров
ЕЕНГ
V«)2 + 1,
Генерирование случайных чисел
1. г, : = rand; г, :=rand;
1 1
2. Если г. < р, то х =-----1пг2, иначе х = ---------— 1пг2.
1	1р\	2	2(1 -р)Х 2
3.14. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ Л-МЕРНОГО
СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
Плотность вероятности	/(х) =—	хл 'е x2/(ia2\ х>0, 2Л/2-алГ(и/2) где п — параметр формы, положительное целое число; а — параметр масштаба (а > 0)
165
Функция распределения	F(x) = Г f ~Vr	= l{ ^2л2 2)/ uJ (2а2 2/ где /(х,а) — отношение неполной гамма-функции
Характеристическая функция	%(/) = j;”," — -D (jat)e~(M)1/4, Л 2^-*г(л/2) " где Dp (z) — функция параболического цилиндра г( л + П
Математическое ожидание	- гг \ 2 J х = ау/2 - ч- -- = Гл (л — 1)!! = /К (л-2)!!’ П ЧСТН°е Д (л—цн	_ нечетное »л(л —2)!!
Мода	х = а\/п — 1
Дисперсия	Dx =па2 — х2
Стандартное отклонение	а, =7ла2 ~х2
Асимметрия	
Эксцесс	_ _ 2х2[2(2п- 1)а2 — Зх2]— 2л(л — 1)д4 Ex-	-	-jj,	- X
Начальные моменты	т2 =па2, т3 =(п + 1)а2х, т4 = л(л + 2)а4, т,-(^)-г^уг^
Центральные моменты	д3 =х[2х2 — (2л — 1)я2], g4 = х2[2(л — 2) а2 - Зх2] + л (л + 2)а4
166
Рис. 3.24. Плотность вероятности и функция риска распределения модуля
л-мерного случайного вектора.
Соотношения между распределениями
1.	Если Х{, Х2,..., Х„ — независимые случайные величины,
распределенные по нормальному закону с математическим
ожиданием 0 и стандартным отклонением а, то случайная ве-
личина X = ^Xf + Х2 + ...+ Х* имеет распределение модуля
«-мерного случайного вектора с параметром масштаба а. Ины-
ми словами, рассматриваемое распределение описывает рас-
пределение длины «-мерного случайного вектора, координаты
которого независимы и подчиняются нормальному распределе-
нию с параметрами 0 и а.
167
2.	При а = 1 распределение модуля «-мерного случайного
вектора совпадает с х-распределением Пирсона с п степенями
свободы (см. п. 3.32).
3.	Пусть Х(а,п) — случайная величина, имеющая распреде-
ление модуля «-мерного случайного вектора с параметром мас-
штаба a; Y («) — случайная величина, имеющая х-распределе-
ние Пирсона с « степенями свободы; Z(«) — случайная вели-
чина, имеющая х1 -распределение Пирсона с п степенями
свободы, тогда справедливы следующие утверждения:
Х(а,п)~ аГ(«)~ aJZM, Х(1,«)~Г(«)~ #(«)•
Оценивание параметров
При известном л оценивается параметр масштаба а:
а =	----х (ММ); а'=Лт; (ММП).
Т2Г((« + 1)/2)	V«
Генерирование случайных чисел
x=aJZu"
где и, — стандартные нормальные случайные числа (/ =1,2,...,
«).
Таблицы
[7]. Приведены значения функций 7(х,а), 1-7(х,а),
Т(х,а) = 7(х,а)/ха , R(y, t) = 1{х, а) -Ф(у); 7D.
3.15. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ
Плотность
вероятности
Функция
распределения
Функция риска
/(х) = ~е х > О,
а2
где а — параметр масштаба, мода
(а>0)
F(x) = l-e'xl/(2,,,)
Цх) = -^х
а2
168
Характеристическая функция	if 2/ 1 i где w(z) = е-1’ 1 + —= je^du — интеграл \ п о J вероятности комплексного аргумента 1—
Математическое ожидание	х =aJj «1.2533а
Медиана	х05 =аТ1п4 »1.1774а
Мода	х -а
Дисперсия	Dx = а2(2--1« 0.4292а2 V 2;
Стандартное отклонение	стх »aJ2~ «0.6551а V 2
Коэффициент вариации	vx = J--1 «0.5227 V п
Асимметрия	sk = -^(~;-3) «о.бзп (4-л)3/2
Эксцесс	Ех = 6я<4~^)~16 а0 2451 (4—л)2 1—
Начальные моменты	тг =2аг, т3 = 3J-^a3 «3.7599а3, т4 =8а4, тг = (eV2)'Г Г у +11 \	у
Центральные моменты	Из =а3(л-3)^| «0.1775а’, о__2 Н4 = а4 (8-^-) «0.5978а4 4
р-квантиль	хр =Оу1-2}п(\-р)
Соотношения между распределениями
1. Если Хг — независимые случайные величины, рас-
пределенные по нормальному закону с математическим ожида-
нием 0 и стандартным отклонением а, то случайная величина
+jt2 имеет распределение Рэлея с параметром масш-
169
Рис. 3.25. Плотность вероятности и функция риска распределения Рэлея.
таба а. Иными словами, распределение Рэлея описывает рас-
пределение длины двумерного случайного вектора, прямоуголь-
ные координаты которого независимы и подчиняются нормаль-
ному закону распределения с параметрами 0 и а.
2. Распределение Рэлея является частным случаем распре-
деления модуля л-мерного случайного вектора (см. п. 3.14).
3. Связь между распределением Рэлея х- и х2-распределе-
ниями Пирсона рассматривается в п. 3.31 и 3.32.
Оценивание параметров
а =Х ^ (ММ); °* =
V Л	v .Z у ЛЛ
(ММП).
170
Генерирование случайных чисел
xt = а ^-2 In г,.
3.16. ОБОБЩЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ-РАЙСА)
Плотность
вероятности
лг)=4e‘(?+*J)/(2‘,!)/of4y * *
о	)
где а — параметр масштаба (а > 0); А —
параметр формы (А > 0); /0 (z) — мо-
дифицированная функция Бесселя ну-
левого порядка
Функция
распределения
гдех = z2/(2a2) и0 = А2/(2а2)
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
Начальные
моменты
(l + O^^ + O/,^ e"e/2,
где /](г) — модифицированная функ-
ция Бесселя первого порядка
а2
z = —где £ — корень уравнения
Л	а2
А
Dz =2a2(l + 0)-F
m2 = 2а2 (1 + 0),
тг = За3
9
1 + 20 + -02
3
g-e/2
/я4 =4а4[(2 + 0)2 -2]
Соотношения между распределениями
1. Распределение Рэлея—Райса описывает длину Z двумер-
ного случайного вектора, прямоугольные координаты которого
являются независимыми нормальными случайными величина-
ми с одинаковыми дисперсиями, равными а2, и математиче-
171
Рис. 3.26. Плотность вероятности и функция риска распределения Рэлея—Райса.
Рис. 3.27. Вероятностная схема, приводящая к распределению Рэлея—Райса.
172
скими ожиданиями х и у, удовлетворяющими условию
jx2 + у2 = h (рис, 3.27).
2. При А -> О распределение Рэлея—Райса стремится к рас-
пределению Рэлея.
Оценивание параметров
На рис. 3.28 приведены графики функций к} =<pi(vz) и
к2 = Фг )> позволяющие по известным математическому ожи-
данию z и коэффициенту вариации vt = <зг /z случайной вели-
чины Z, распределенной по закону Рэлея—Райса, найти пара-
метры этого закона a = ktz и А = k2z.
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1
Z = ^(h + au2) + (au2)2,
где «j и «2 — стандартные нормальные случайные числа.
Алгоритм 2
1.	7^:= rand; r2:= rand;
2.	а := sin(2nr,); р := -21п г2;
3.	z '.= -^h2 + 2aha $ + а2р.
Т аблицы
1.	[1]. Приведены значения функции Q(u,v) = jрех
U
(pv)dp, дополняющей до единицы функцию распределения
случайной величины U, распределенной по закону Рэлея—Рай-
са с параметром масштаба а = 1 и параметром формы v.
2.	[13]. Даны значения так называемой функции кругового
накрытия

для г =0(0.1) 10 и А = 0(0.1)9.9; 4D.
173
Рис. 3.28. Графики для определения оценок параметров распределения Рэлея—Райса.
3.	[6]. Приведены значения функции
(rd D\ 1 г г ( х2 + у2 ,
Я —=т—-г	JJ ехр--------=
(.ст ст) 2лст2, 2J 2 2	(	2ст )
4	z	(x-Dy+y1 >г%	\	/
1 f f ( (х ~^)2 + у2 A j w
= JJ ехр --------------л \dxdy
2лсг 2 2 2	\ 2о j
для (rrf -£)/ст = -3.9(0.1)4.0 и D/ст = 0.0(0.1)6.0(0.5)10.0(1)20; 3D.
f Г D
Функция q —дополняет до единицы функцию кругово-
1 ст a J
го накрытия
ИХ-VA п
(.Ст ст) 2лст2 .	. 2
^~1^ =
1X5	)
(х-D')2 + у2А , ,
1--77  \dxdy.
2о }
1
2лст2
Техника вычислений
Функция распределения F(z',a,h) распределения Рэлея-
Райса с параметром масштаба а и параметром формы h связаны
(f*
с функциями Q(u,v), W\r,h) и q —соотношениями
(.ст ст)
F(z; а, й) =l-ef-, -) = w(-, -1 = 1-/-, -1.
(о а) \а а) (.в а)
Для вычисления на ЭВМ значений модифицированных функ-
ций Бесселя нулевого и первого порядка можно использовать
следующие разложения в степенной ряд:
/о(г) = 1 + ^ + (£Ж + иЖ + (£Ж
(I!)2	(2!)2	(З!)2	(4!)2
ла)=| и
z2/4 (z2/4)2 (z2/4)3
1!2!	2!3!	3!4!
3.17. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Плотность
вероятности
/(x)=_2^=e-’l/<2',), X >: 0,
а2^
а — параметр масштаба (а > 0)
175
Функция
распределения
Лх) = 2 Фо
e-xl/(2O’)
Характеристическая
функция
-1 Л I X ) X IX)
= 2 Фо - —Ф -
\aj а Ха).
Х(О = (1 -<Л2)и4-д) + iat
— интег
Математическое
ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
рал вероятности комплексного аргу
мента
х = 2а «1.5958а
Стандартное
отклонение
хм «1.5383а
х = а^2 ж 1.4142а
Dx	« 0.4535а2
п
ох =а. З- - «0.6734а
V л
Коэффициент,
вариации
V = J^-l «0.4220
* У 8
Асимметрия
Sk = 2V2(16 Srt) s0 4857
(3 л-8)3/2
Эксцесс
Начальные
моменты
c 160л -12я2 -384 Л1Л00
Ex =----------z---« 0.1082
(Зя-8)2
m2 =3а2, m3 =8^o3, m4 =15o4,
a'(j + l)!!,
s— нечетное;
s— четное
176
Центральные
моменты
р-квантиль
Из = а3(16-5л) -	«0.1483а3,
{nJ
4 15л2 +16 Л-192 л,,п, 4
М4 = а -------5-----» 0.6393а
п
хр =amf,
где тр — квантиль порядка р распределения
Максвелла с параметром масштаба а = 1; mf
определяется путем решения уравнения
Фо(»и,)-/и?<р(/и,) =р/2
Рис. 3.29. Плотность вероятности и функция риска распределения Максвелла.
177
Для приближенного решения этого уравнения можно ис-
пользовать табл. 3.2.
Таблица 3.2
тр	Р	тР	Р	тр	р	тр	Р
0.1	0.0003	1.1	0.2928 I	2.1	0.7795	3.1	0.9778
0.2	0.0021	1.2	0.3038	2.2	0.8161	3.2	0.9834
0,3	0.0070	1.3	0.3608	2.3	0.8484	3.3	0.9877
0.4	0.0162	1.4	0.4193 I	2.4	0.8761	3.4	0.9909
0.5	0.0309	1.5	0.4779	2.5	0.9001	3.5	0.9934
0.6	0.0516	1.6	0.5355	2.6	0.9200	3.6	0.9953
0.7	0.0789	1.7	0.5912	2.7	0.9368	3.7	0.9966
0.8	0.1128	1.8	0.6439	2.8	0.9506	3.8	0.9976
0.9	0.1529	1.9	0.6933	2.9	0.9614	3.9	0.9984
1.0	0.1987	1 2.0	0.7385 I	3.0	0.9707	1 4.0	0.9989
Соотношения между распределениями
1.	Если Xt, Хг, — независимые случайные величины,
распределенные по нормальному закону с математическим
ожиданием 0 и стандартным отклонением а, то случайная ве-
личина X = ^Х* +Х* +Х1 имеет распределение Максвелла с
параметром масштаба а. Иными словами, распределение Макс-
велла описывает распределение длины трехмерного случайного
вектора, прямоугольные координаты которого являются неза-
висимыми случайными величинами, распределенными по нор-
мальному закону с параметрами 0 и а.
2.	Распределение Максвелла является частным случаем рас-
пределения модуля л-мерного случайного вектора (см. п. 3.14).
3.	Связь между распределением Максвелла, %- и х2 -распре-
делениями Пирсона рассматривается в п. 3.31 и 3.32.
Оценивание параметров
а
=	«0.6267Г (ММ); а
(ММП).
Генерирование случайных чисел
=74-2 +4-1+4»
где ы3/_2, w3i_l, и3( — стандартные нормальные случайные числа.
178
Техника вычислений
Плотность вероятности /(х) и функция распределения F(x)
распределения Максвелла связаны с плотностью вероятности
<р(х) стандартного нормального распределения и функцией Лап-
ласа Фо (х) соотношениями
/(х)	и f(x) = 2M-']-^(Pf^ .
а J	L \а) а \а).
При вычислениях по этим формулам можно использовать таб-
лицы плотности вероятности <р(х) стандартного нормального
распределения и функции Лапласа Ф0(х) (см. п. 3.1).
3.18. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАКАГАМИ
Плотность вероятности	9 / у /(х) =	х > 0, Г(а)Ы где р — параметр масштаба, второй на- чальный момент (Р > 0); а — параметр формы
Функция распределения	F(x) = /^х2,
Характеристическая функция	Х(Г) =	D Lit EL-₽',/(8“), 2“'1Г(а) "2“( V2aJ где Dp (z) — функция параболического цилиндра
Математическое ожидание	- _г(°+0-5) Г (a) Va
Мода	х=,|р|1-— а £ 0.5 V 1 2а)
Дисперсия	=р-х2
Асимметрия	Sk = х[4ах2 -(4а-1)р] 2aDx3/2
Эксцесс	2х2[(4а-1)р-3ах2]-(2а-1)р3 ъх	-- -	" аР2
179
Начальные
моменты
о 1 + 2а Q -
тг = Р, т3 = —— рх,
2а
р2,
Г (а+ 5/2)
Г(а)
Центральные
моменты
Мз =х(2х2 --^у-^р!
< 2а J
Рис. 3.30. Плотность вероятности и функция риска распределения Накатами.
180
Квантиль хр порядка р является корнем уравнения
т(а 2
Соотношения между распределениями
1.	Приа=л/2 и р = па2 распределение Накатами совпада-
ет с распределением модуля «-мерного случайного вектора
(см. п. 3.14).
2.	При а = 1 и р = 2а2 распределение Накатами совпадает с
распределением Рэлея (см. п. 3.15).
3.	При а =3/2 и р =3а2 распределение Накатами совпадает
с распределением Максвелла (см. п. 3.17).
4.	Если случайная величина X подчиняется закону Наката-
ми с параметрами а, р, то случайная величина К = X2 имеет
гамма-распределение с параметром масштаба а/p и параметром
формы а.
Оценивание параметров
Оценка параметра масштаба р методом моментов определя-
ется по формуле
₽’ = «2 =- 1>2-
п 1=1
Оценка параметра формы а является корнем уравнения
I а*Г2(а’)	~	.
у Г2 (а+05)
Для приближенного решения этого уравнения может быть
использована табл. 3.3.
Генерирование случайных чисел
x = Jy,
где у — случайное число, принадлежащее последовательности
{у,} случайных чисел, имеющих гамма-распределение с пара-
метром масштаба а/p и параметром формы а (см. п. 3.10).
Таблицы
Могут быть использованы таблицы неполной гамма-функ-
ции [7] и [9] (см. п. 3.10).
181
Таблица 3.3
а	vx	а		а	Vx	а	vx
0.010	5.632	0.11	1.671	0.3	0.990	6	0.206
0.011	5.369	| 0.12	1.598	0.4	0.851	7	0.191
0.012	5.139	I 0.13	1.533	0.5	0.756	8	0.178
0.013	4.937	1 0.14	1.475	0.6	0.686	9	0.168
0.014	4.756	0.15	1.424	0.7	0.632	10	0.159
0.015	4.594	0.16	1.377	0.8	0.588	11	0.152
0.016	4.447	i 0.17	1.334	0.9	0.553	12	0.145
0.017	4.314	0.18	1.295	1.0	0.523	13	0.139
0.018	4.192	0.19	1.259	1.1	0.497	14	0.134
0.019	4.079	0.20	1.225	L2	0.475	15	0.130
0.020	3.975	0.2!	1.195	1.3	0.455	16	0.125
0.03	3.240	0.22	1.166	1.4	0.438	17	0.122
0.04	2.801	0.23	1.139	1.5	0.422	18	0.118
0.05	2.501	0.24	1.114	2.0	0.363	19	0.115
0.06	2.280	0.25	1.090	2.5	0.323	20	0.112
0.07	2.107	0.26	1.068	3.0	0.294	30	0.091
0.08	1.968	0.27	1.047	3.5	0.272		
0.09	1.853	0.28	1.027	4.0	0.254		
0.10	1.755 1	! 0.29	1.008 1	1 5.0	0.226 1		
3.19. БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВТОРОГО РОДА
Плотность
вероятности
1	х"’1
Дх) = —L_ _±---------=
B(u,v) (1 + х>“+’'
= .Ци.+У)	+ х)-(«") х > О,
Г(и)Г(у)
где и, v — параметры формы (и > 0, v > 0)
Функция
распределения
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
(u,v),
где Zx(«,v) — отношение неполной бета-
функции
D и(и + у-\)
х (v-l)2(v-2)
v> 2
182
Стандартное отклонение	1 и(и + V -1)	_ =	7 л“	~~> V> 2 v-lV v-2
Коэффициент вариации	lu + v-l	„ V>2
Асимметрия	Sk = -(2-+	, v>3
Эксцесс	Ex_ 6[(v-1)2(v-2) + u(5v-11)(m + v-1)] u(u + v - l)(v - 3)(v - 4) v > 4
Начальные моменты	(u + l)u	_ ~(v-l)(v-2)’ v> ’ _ (к + 2)(ц + 1)ц 3 (v - l)(v - 2)(v - 3) ’ _ (и + 3)(и + 2)(м + 1)и	4. 4 (v-l)(v-2)(v-3)(v-4) ’ (u + s -!)(« + s - 2) ... и m' (v-1)(v-2)...(v-5) ’ V>S
Центральные моменты	2«(« + v-l)(2w + v-l)	. u =	—l , v > 3; (v-l)3(v-2)(v-3)
3«(w + v - l)[«2(v + 5) + «(v + 5)(v-1) + 2(v - I)2]
(v-l)4(v-2)(v-3)(v-4)
v> 4
Квантиль xp порядка p является корнем уравнения
Л/(1«)(“> V)=P-
Соотношения между распределениями
1.	Случайная величина X, имеющая бета-распределение вто-
рого рода с параметрами и, у, и случайная величина У, имею-
щая бета-распределение первого рода с теми же параметрами,
связаны между собой соотношениями:
183
2.	Если и, v — натуральные числа, то случайную величину
X(u,v), имеющую бета-распределение второго рода с парамет-
рами и, v, можно представить в виде
*(«, v)=xL/xt,
где xL и xt — независимые случайные величины, имею-
щие х2-распределение с числом степеней свободы 2и и 2v соот-
ветственно.
3.	Если случайная величина X имеет бета-распределение
второго рода с параметрами и = 1 и v = а, то случайная ве-
личина Y = у0(1 + X) имеет распределение Парето с парамет-
рами у0, а.
Рис. 3.31. Плотность вероятности бета-распределения второго рода.
184
Рис. 3.32. Плотность вероятности бета-распределения второго рода.
а — м=1, х = 0; б — v - и - 2, х-1.
Рис. 3.33. функция риска бета-распределения второго рода.
185
Оценивание параметров
vx=—(oi~1) + 2i и*=х’«-1) (ММ).
Генерирование случайных чисел
х =
У
1-у’
где у — случайное число из последовательности {у,} случайных
чисел, имеющих бета-распределение первого рода с параметра-
ми и, v (см. п. 3.26).
Таблицы
При вычислении функции распределения F(x) могут быть
использованы таблицы отношения неполной бета-функции
Ix(u,v), приведенные в [8] и [2] (см. п. 3.26).
3.20. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ
(ЛОГНОРМАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность
вероятности
[ .«gjir J	[InWm)!1'
"xOVSeXPr 2o"
x £0,
где m — параметр масштаба (медиана); a — параметр
формы. Часто вместо т используется другой параметр
масштаба ц =1п/я — математическое ожидание случай-
ной величины In X. Параметры т и ц связаны соотноше-
ниями т = ехр р, |1 = In т. Параметр формы а представля-
ет собой стандартное отклонение случайной величины
1пХ(а>0).
Функция
распределения
2 I а )	( а
186
Математическое
ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Стандартное
отклонение
Коэффициент
вариации
х = те“1/2
х05 = т
х = те
Dx=m2ea\eal -1)=х2
_ч2
7П J
= теа' Jea -1 =х
Асимметрия	Sk=(ee’ +2)7ев’-1 >0
Эксцесс	Ех = е4а2+2е3л2+Зе2°2-6
Начальные моменты	т2 = т2е2“г, т3 =т3е9а1^2, т4 = т4е*“2, ms =т’е,1а^2
Центральные моменты	ц3 =/я3(е3<’2-Зе<’2 + 2) е31,2/2, щ = от4(е“2-4е3‘2 + 6е‘2-3)е2‘2
/^-квантиль	хр =т ехр(о«Д где ир — квантиль порядка р стандартного нормального распределения
Точками перегиба функции плотности /(х) являются точки
Соотношения между распределениями
1.	Если случайная величина X имеет логнормальное распре-
деление с параметрами т, а, то случайная величина Y = In X
подчиняется нормальному закону распределения с математиче-
ским ожиданием ц = Inm и стандартным отклонением ст = а.
187
2.	Пусть Х(т,а) ~ случайная величина, имеющая логнормаль-
ное распределение с параметрами т, а\ Y(y, а) — случайная ве-
личина, распределенная по нормальному закону с математиче-
ским ожиданием у и стандартным отклонением ст и ц = In т.
Тогда справедливы следующие соотношения:
Х(т,а) ~ ехр[К(ц,в)] ~ехр[ц + аУ(0,1)] - т ехр[аУ(0,1)];
lnX(w,a) ~ К(ц,а) ~ ц + аГ(0,1);
Р{Х(т, а) < х} = Р{ехр[К(ц, а)] < х} = Р{У(ц, а) < 1пх} =
Рис. 3.34. Плотность вероятности и функция риска логарифмически
нормального распределения.
188
3.	Произведение независимых случайных величин
имеющих логнормальное распределение с параметрами mt, ц
(i =1, 2,..., л), подчиняется логарифмически нормальному зако-
ну с параметрами т - ехр	In/л,
и
а,) ~ Х(т, а).
ы
4.	Имеет место аналог центральной предельной теоремы:
при соблюдении некоторых достаточно общих условий и л ->
-> оо распределение произведения л независимых положитель-
ных случайных величин стремится к логарифмически нормаль-
ному распределению.
Оценивание параметров
(ММ),
гдех’=^£ху и S2	-х’)2;
т = expf— Yinх1 , д’= j—Ц-У(1пх,-ln/л*)2 (ММ);
Им ) Уп~1ы
т =ехр| — Ylnx, 1 д’= /~У(1пх,-Inm’)2 (ММП).
Iя mi ) Iя <=i
Параметры т и а можно оценить и с помощью выборочных
квантилей:
т = ха5, а = 0.303978 In
*0.05
где xj 5 — выборочная медиана; xj.o5 и xj ,5 — выборочные кван-
тили порядка р = 0.05 и р = 0.95 соответственно.
Для повышения точности оценивания параметра а можно
использовать следующий прием: с помощью формул
а = 0.6079571п и а = 0.607957 In найти еще две оцен-
*0.05	*0.5
ки параметра масштаба див качестве окончательного варианта
оценки взять среднее арифметическое трех оценок.
189
Подробные рекомендации по определению оценок парамет-
ров логнормального распределения и доверительных интерва-
лов для параметров этого распределения приведены в [33].
Генерирование случайных чисел
х = ехр (In т + ай) = т ехр (ай),
где и — стандартное нормальное случайное число, или
х = техр а
( и
£г(-б
м-1
Техника вычислений
При вычислениях могут быть использованы таблицы плот-
ности вероятности <р(х) стандартного нормального распределе-
ния и таблицы функции Лапласа Фо (х). При этом искомые зна-
чения функции распределения F(x;m,a) и плотности вероятно-
сти /(х; т, а) логнормального распределения с параметрами т,
а определяются по формулам
г/ ч 1 - fbix -p'l
F(x’,m,a) = — + Ф0 ------11 и
2 I а )
,,	.	1 flnx-p.)
f(x,m,d) =— <р ------ ,
ах ( a J
где ц = lnw.
При малых а логнормальное распределение близко к нор-
мальному (см. рис. 3.34). Поэтому при а < 0.13 допустима
приближенная замена логнормального распределения с па-
раметрами т, а нормальным распределением с параметрами
х =т ехр(а2/2), а=та. Такой прием, например, используется
при нахождении композиции нормального и логнормального
распределений с малым значением параметра формы а.
При а < 0.13 р-квантиль логнормального распределения
х„ «ир + -(«2 -1) + ~(2ир -9и„),
2*	XX
где и р — квантиль порядка р стандартного нормального распре-
деления.
3.21.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРЕТО
Плотность
вероятности
/(х)=—Г—I ,х>ха,
Хо V х )
где х0 — параметр положения, левая
граница области возможных значений
(х0 >0); а — параметр формы (а > 0)
190
Функция распределения	F(x)=l-f—1 , х>х0 < х J
Функция риска	1(х) = —, X > х0 X
Математическое	а	. х =	-х0, а>1
ожидание	а -1
Медиана Мода Дисперсия	*0.5 = *0 * =*о П -	а	Y2 а > 7
	
	(а-1)2(а-2)
Стандартное	*0 1 О’	п °х = 1А ~> «>2 а-1Va - 2
отклонение	
Коэффициент вариации	1	а V = —— - - -7- а > 2
	7“(а — 2) ’
Асимметрия	с, 2(а +1) /а - 2	-
	а -3 V а
Эксцесс	6(а2 + а2 - 6а-2) Pv —		— гу Д
	1-А 		,	-vy	.4	5	'Л	“
	а(а - 3)(а - 4)
Начальные	а 2	п	а з т2 =	Xq, а > 2; т3 		xj, а > 3;
моменты	а-2	а-3
	а 4	л	a j	Л
	?п4 =	Xq, а > 4; ms =	Xq, а > s
	а — 3	а-5
Центральные	2а (а +1)	з	о  	—	2			 Y J	П S 1
	LL1	»	Лл , U Z 3 (а-1)3(а-2)(а-3)
моменты	
	За (За2 + а + 2)	4	. и. =	—					XJ, а > 4 (а-1)4(а-2)(а-3)(а-4)
р-квантиль	х = ——Х°
	
191
Соотношения между распределениями
1.	Если случайная величина Т имеет бета-распределе-
ние второго рода с параметрами «=1, v = a (т. е. если /(т) =
=а(1 + т)'(а+1), 0 < т < да), то случайная величина X = 1 + Т под-
чиняется закону Парето с параметром положения х0 = 1 и пара-
метром формы а.
2.	Распределение Парето с параметрами х0, а представляет
собой усечение на интервале (х0,да) распределения Парето с
параметром положения 1 и параметром формы а.
3.	Если случайная величина X имеет распределение Парето с
параметрами х0, а, то случайная величина Y = (X - х0 )/х0имеет
бета-распределение второго рода с параметрами и = 1, v = a.
Рис. 3.35. Плотность вероятности и функция риска распределения Парето.
192
4.	Преобразованием у = xjx распределение Парето с пара-
метрами х0, а сводится к бета-распределению первого рода с
параметрами и = a, v = 1 (см. п. 3.26).
5.	В системе кривых Пирсона распределение Парето при-
надлежит к распределениям типаУТиХ!.
Оценивание параметров
Метод моментов. В классическом виде применяется толь-
ко при а > 2. Оценка определяется по формулам
. , Г. (х*)1	. а*-1
а = 1 + 1 + -—j—, х0 = —х .
||	5,	а
При 1 < а < 2 используется следующая модификация этого
метода:
.	лх’-х(1)	. (а’/л-l) х(1)
“ = —рг; *о =------------;---—,
п [х - x(1)J	а п
где х(1) — минимальный элемент выборки (данная модифика-
ция может быть использована и при а > 2).
Метод максимального правдоподобия:
1
х0 =х(П, а =----,
________ °	(,) 1п(х/х0)
где х* = ^xtx2...x„ — среднее геометрическое элементов выбор-
ки.
Метод квантилей:
. _ In[(1 ~р,)/(1-рд)]	.
Ч*Ж)	,=	2
Метод наименьших квадратов:
-л£1пх/1п[1-Р’(х,)]+ £1пх,
а* = —--------------------------
£ 1п[1-Г(х()]
/=1
л	Г л V
«Z (to*,)2 ~
1
*0
п
= ехр< - Д-£1п[1-Р’(х,.)] + £1пх,
Л а /-1	1=1
где Р' (х) = Р'(Х х) — частость (относительная частота) собы-
тия (X < х), найденная по выборочным данным.
7 Р. Н. Вадзинский
193
При известном х0 оценивается параметр формы а:
а* =	--- (ММ), а* =---------------- (ММП).
X Хф	1	-	.
-5 1пх, —1пх0
п м
Генерирование случайных чисел
х =хогч/“.
3.22.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ НОРМАЛЬНОЙ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
(ОТРАЖЕННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)
Плотность
вероятности
/W = aV2^
( (х-т)2>[
ех₽ ~
I 2а J
( (х + т)2
+еХР—
х > О,
Функция
распределения
Характеристическая
функция
где т — параметр положения, математи-
ческое ожидание исходной нормальной
случайной величины; а — параметр мас-
штаба, стандартное отклонение исход-
ной нормальной случайной величины
(а>0)
с/ \	(Х~т'\ Л (х + т\
Г(х) - Фо ---- + Фв -----
\ а J \ а J
%(0 = Фо[ — + iat 1е"ж-Ф J — - iat ]е "т
V а I \ а )
Математическое
ожидание
+ cos (mt)
х = 2a
+ —Фо
а
= 2а[<р(А) + АФ0(А)],
где <р(х) — плотность вероятности стан-
дартного нормального распределения;
h=m/а
194
Медиана
Мода
Медиана х0 5 является корнем уравнения
Ф Г 1 + ф 5° s +.т
( а I \ а
2
О, а > т,
х = а2 у
—С,, а<т,
I т
где С, — корень уравнения <;cth£ = («/а)2
Дисперсия
Начальные
моменты
Центральные
моменты
Dx = а2+т2-х2 = о2(1+й2-4А2),
где к = <?(h) + йФ0(й)
= а2(1 + А2),
= 2а3[(2 + й2)ф(й)+ (3 + й2)Ф0(й)],
= а4(3 + 6А2+й4)
= 2а3[8й3-2йЧ-ф(й)],
= а4[3 + 6Л2 + й4 +16ф(й)Л-
-8(3 + й2)А2 - 48Л4],
где А = ф(й)+йФ0(й)
порядка р является корнем уравнения
(х„ -т\	(х. +т'\
Фор------ +Фо Р------ =А
I a I	I а I
т2
7И3
Из
Квантиль х
Соотношения между распределениями
Отраженное нормальное распределение с параметрами т, а
описывает распределение случайной величины X = |У|, где Y —
случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием т и стандартным отклонением а.
Оценивание параметров
Сначала путем решения уравнения
[Ф(Й,) + А,ФО(А‘)]2 (Г)2	(1)
1 + (Л*)2	4mj
определяется оценка й* отношения h=m/a. Затем по формулам
а' =л—и л»* =с*А*
V+(A )2
определяются оценки параметров т и а.
195
Рис. 3.36. Плотность вероятности и функция риска модуля нормальной
случайной величины.
196
Рис. 3.37. Вероятностная схема» приводящая к отраженному нормальному
распределению.
1 — отраженное нормальное распределение; 2 — исходное нормальное распреде-
ление с параметрами т» а\ 3 — «отраженная часть» исходного распределения.
Для приближенного решения уравнения (1) может быть ис-
пользована табл. 3.4.
Таблица 3.4
h	Ч/(Л)	Л	у(Л)	h	V(A)	h	V(A)
0	1/(270	1.3	0.1798	2.6	0.2183	3.9	0.2346
0.1	0.159158	1.4	0.1833	2.7	0.2202	4.0	0.2353
0.2	0.159195	1.5	0.1869	2.8	0.2220	4.5	0.2382
0.3	0.1593	1.6	0.1904	2.9	0.2236	5.0	0.2404
0.4	0.1597	1.7	0.1938	3.0	0.2251	5.5	0.2420
0.5	0.1604	1.8	0.1971	3.1	0.2265	6.0	0.2432
0.6	0.1615	1.9	0.2004	3.2	0.2278	6.5	0.2442
0.7	0.1630	2.0	0.2034	3.3	0.2290	7.0	0.2450
0.8	0.1650	2.1	0.2063	3.4	0.2301	7.5	0.2456
0.9	0.1674	2.2	0.2090	3.5	0.2311	8.0	0.2462
1.0	0.1701	2.3	0.2116	3.6	0.2321	8.5	0.2476
1.1	0.1732	2.4	0.2140	3.7	0.2330	со	1/4
1.2	0.1764	2.5	0.2162 1	1	3.8	0.2338		
В таблице у(Л) = [<р(Л) + ЛФ0(Л)]2/(1 + Л2).
Генерирование случайных чисел
х =|/л + аи| или х =
т + а
где и — случайное число стандартной нормальной последова-
тельности.
197
Таблицы
При вычислениях могут быть использованы таблицы стан-
дартного нормального распределения и таблицы функции Лап-
ласа (см. п. 3.1).
Техника вычислений
Плотность вероятности f(x) отраженного нормального рас-
пределения связана с плотностью вероятности ф(х) стандартно-
го нормального распределения соотношением
. 1Г (х-т\	fx + m'l
/(х)=- <р ---- + ф---- .
ац л ;	\ а /
Примечание. В приложениях довольно широко исполь-
зуется отраженное нормальное распределение с параметром
положения т = 0. Ниже приводятся основные характеристики
этого варианта рассматриваемого распределения.
Плотность вероятности	г/ \	2	( х2 2 fx4] aV2n t 2а) а \а) х > 0, где <р(х) — плотность вероятности стандартного нормального распреде- ления
Функция распределения Характеристическая функция	Г(х) = 2Ф0Г— х(г) = [1 - 2Ф0 (iaf)] ехр
Математическое ожидание Медиана	х=а^« 0.7979а х05 = аи0 75 ж 0.6745а, где и0 75 — верхняя квартиль стандарт- ного нормального распределения
Мода	х =0
Дисперсия	Dx = a2fl--K 0.3634а2
Стандартное отклонение	1 2 ах =	«0.6028а V п
198
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Центральные
моменты
р-квантиль
vx = 6-1 «0.7555
V2
Sk = (4-~^J «0.9953
(л-2)3*
Ех = 8(п~3^ «0.8692
(л-2)2
т2=а2,	= а3^-» 1.5958а3, т4 = 3а4
Мз	l «0.2180а3,
^л ) V л
ц4 = а4Гз---^ «0.5109а4
I л л J
Xf = аиа+г№>
где м(1+?)/2 — квантиль порядка (1 + р)/2
стандартного нормального распределения
Соотношения между распределениями
Случайная величина X, имеющая отраженное нормальное
распределение с параметрами т = 0, а, и случайная величина У,
имеющая х-распределение Пирсона с одной степенью свободы,
связаны между собой соотношениями X - аУ и У ~ Х/а.
Оценивание параметров
а* = х’ «1. 2533х (ММ), а = х t £х} (ММП).
Оценка максимального правдоподобия совпадает с оценкой,
получаемой путем приравнивания выборочного и теоретиче-
ского начальных моментов второго порядка.
Генерирование случайных чисел
х = |аы| или х =
/ 12
а
М-1
199
3.23.	УСЕЧЕННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(ОДНОСТОРОННЕЕ УСЕЧЕНИЕ)
3.23.1. УСЕЧЕНИЕ СЛЕВА
Плотность
вероятности
/(*)=-
1	( (х-т)2
-==ехр —-----г2-
I 2а2
Функция
распределения
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
где а — левая граница области воз-
можных значений случайной величи-
ны (левая точка усечения)', т —
параметр положения; а — параметр
а -лА
а )
Число 1 —у, равное вероятности того,
что исходная (неусеченная) случайная
величина окажется вне интервала
(а,<ю), называется степенью усечения
масштаба (а > 0) и у = -Фо
Лх)=-[ф0
у|_
х-т
а
х
Х(О = -
У
1 . Га -т
--Фо -----
2 а
хехр
а , .
х -т + — ф(«),
У
где ф(н) — плотность вероятности
стандартного нормального распреде-
ления; и = (а, — т) /а — стандарти-
зированная (центрированная, нор-
мированная) точка усечения
Медиана х05 является корнем уравне-
ния
. (х05 -ти> 1 1 . (а
ф’	„— =7 + Чф« ---------
а ) 4 2	\ а )
А [т, а < т
х =
[а, а > т
Dx ~а2 + (х-а)(т-х)
200
Асимметрия
Sk = ^-JE.
! (а-*)2
Эксцесс
Начальные
моменты
Ex = т Х- [m-4x + 3a- ——— (т-2х+а)
т2 = тх + а2 + (х - т) а,
т3 = тт2 + 2а2х + (х -т)а2,
т* -ттъ + 3а2т2 +(х -т)а3,
ms =mms_l + (s - l)a2ms_2 + (x-m)a,_1
Центральные	ц 3 = (m - x)Dx + (x - m)(a - x)2,
моменты	щ = (m - x) Нз + За2 Д + (x - m)(a - x)3,
n, = (m-x)p1_1 +(5-l)a2p,_2 +
+ (x -m)(a -x)'-1
Оценивание параметров
В том случае, когда точка усечения а известна, для нахожде-
ния оценок максимального правдоподобия параметров тиа
можно использовать следующие рекуррентные соотношения:
Здесь mt и а,. — i-e приближение оценок максимального
правдоподобия параметров тиа; <р(м) — плотность вероятно-
сти стандартного нормального распределения; Ф0(м) — функ-
ция Лапласа; х* и Dx — выборочные оценки математического
ожидания х и дисперсии Dx, найденные по реализациям усе-
ченной нормальной случайной величины.
В качестве «нулевых» (начальных) приближений т0 и а20
можно использовать выборочные оценки х’ и Д’. Однако, учи-
тывая эффект левостороннего усечения, т0 лучше взять не-
сколько меньше х’, а в качестве а^ — взять число, немного
превосходящее D*.
В том случае, когда точка усечения а неизвестна, а объем
выборки достаточно велик, в качестве а можно взять число не-
сколько меньшее наименьшего элемента выборки х(1).
201
Рис. 3.38. Плотность вероятности и функция риска усеченного нормального
распределения (усечение слева).
Генерирование случайных чисел
1.	и:=попп;
2.	у := т + aw,
3.	Если у < а, то на 1, иначе — на 4;
4.	х := у.
202
3.23.2.	УСЕЧЕНИЕ СПРАВА
Плотность
вероятности
,, ч 1	( (х-т)2} ^а
f(x)=---7= ехр - к X £ р,
уа72л к 2а )
где р — правая граница области
возможных значений случайной
величины (правая точка усече-
ния); т — параметр положения;
а — параметр масштаба (а > 0) и
1	. fP-»H ТТ 1
у = — + Фо --. Число 1 - у, равное
2	{а )
вероятности того, что исходная (неу-
сеченная) случайная величина ока-
жется вне интервала (-<», р), называ-
ется степенью усечения
Функция
распределения
+ Ф0
х-т
а
Характеристическая
функция
Х(О = - | + Фо
у|_2
X
(. a2t2
xexpl imt——
Математическое
ожидание
х = m-—q>(u),
Y
где <р(и) — плотность вероятности
стандартного нормального распреде-
ления; и = ($-т)/а — стандарти-
зированная (центрированная, нор-
мированная) точка усечения
Медиана
Мода
Дисперсия
Медиана х05 является корнем уравне-
ния
_ (xBS-m ] 1 1 _ (Р-т
фо --- =7+офоГ4“
I а ) 4 2 (а
т, р > т;
Р, р < т
Dx = а2-($-х)(т-х)
203
Асимметрия
Эксцесс
Sk=—-
(* -Р)2
А
с т-х Г	(Р-х)2.
Ех = ——— т - 4х + Зр - —- — (т - 2х + Р)
х L
Начальные	т2 = тх + а2 + (х-т)Р,
моменты	т3 =ттг + 2а2х +(х -т)Р2, ?я4 =тт3 + 3а2тг + (х-/л)р3, ms = тт,_х + ($ - \}а2т,_г + (х - т) р
Центральные
моменты
ц3=(т-х)Рж +(х-т)(Р-х)2,
ц4=(т-х)ц3 + За2Д + (х-/л)(р-х)3,
И^Оп-х)^,-! +(5-1)а2ц,_2 +(х -т)(р -х)*"1
Оценивание параметров
В том случае, когда точка усечения р известна, для нахожде-
ния оценок максимального правдоподобия параметров тиа
можно использовать следующие рекуррентные соотношения:

= А +(х'-тм)2 + а2
Ф0(ы,.)-0.5
Здесь т, и a, — i-e приближение оценок максимального
правдоподобия параметров т и а; ф(и) — плотность вероятно-
сти стандартного нормального распределения; Фо (и) — функция
Лапласа; х' и D’ — выборочные оценки математического ожи-
дания х и дисперсии Dx, найденные по реализациям усеченной
нормальной случайной величины.
В качестве «нулевых» (начальных) приближений тл и
можно использовать выборочные оценки х’ и Д’. Однако, учи-
тывая эффект правостороннего усечения, т0 лучше взять
несколько больше х’, а в качестве — взять число, немного
превосходящее 2)’.
В том случае, когда точка усечения р неизвестна, а объем вы-
борки достаточно велик, в качестве р можно взять число не-
сколько большее наибольшего элемента выборки х(я).
204
Рис. 3.39. Плотность вероятности и функция риска усеченного нормального
распределения (усечение справа).
Генерирование случайных чисел
1.	и :=попп;
2.	у := т + air,
3.	Если у > р, то на 1, иначе — на 4;
4.	х := у.
205
3.24. ОБРАТНОЕ ГАУССОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВАЛЬДА)
Плотность вероятности	г/ \	1 О*	с (X U /(*) = А _ з ехр	+	2	= Г си	с(х-и)2	л = J—^Ч-ехр \	, х>0, V 2лх3	2рх где ц — параметр положения (матема- тическое ожидание); с — параметр формы (с > 0)
Функция распределения	Г(х)=| + Ф0 |^-1Ш + 2	х 1	((X ,^1 [ей	2с + 7~фо - + 1 Ц— * 2	((ц	JV х J_
Математическое ожидание	X =ц
Мода	х = у- (V9 + 4с2 -3)
Дисперсия	Dx= — С
Стандартное отклонение	Vc
Коэффициент вариации	1 =-г VC
Асимметрия	Sk= >0
Эксцесс	15 Ex = — с
Начальные моменты	„2	цЗ т2 =— (1 -не), ту =^у-(3 + 3с + с2), с	с II4 т4 =^-т(15 + 15с + 6с2 +с3) с
Центральные моменты	Зр3	Зц4 z_ Из	Р4 =~—(5 + с) с1	с
206
Рис. 3.40. Плотность вероятности и функция риска обратного гауссовского
распределения.
Примечание. Обратное гауссовское распределение с па-
раметром положения м = 1 называется распределением Вальда.
Соотношения между распределениями
1.	Среднее арифметическое л независимых случайных вели-
чин, имеющих обратное гауссовское распределение с парамет-
рами ц, с, имеет обратное гауссовское распределение с парамет-
ром положения ц и параметром формы лс.
2.	Если случайная величина X имеет обратное гауссовское
распределение с параметрами ц, с, то случайная величина
207
Y = с(Х -ц)2/(цХ) имеет //-распределение с числом степеней
свободы v = 1.
3.	При с -> да и фиксированном ц обратное гауссовское рас-
пределение стремится к нормальному распределению с матема-
тическим ожиданием ц и стандартным отклонением 1,
4.	Если случайная величина X имеет обратное гауссовское
распределение с параметрами ц, с, то при ц -> оо и цс = const
распределение случайной величины Y = 1 /X стремится к гам-
ма-распределению с параметром масштаба А. = цс /2 и парамет-
ром формы а = 1 /2.
5.	Для случайной величины Х(ц, с), имеющей обратное гаус-
совское распределение с параметрами р,с, и случайной величи-
ны Х(1,с), имеющей распределение Вальда с параметром формы
с, справедливы следующие очевидные соотношения:
Х(ц, с) ~ цХ(1, с) и Х(1, с) ~Х(ц, с)/ц.
Оценивание параметров
Ц=х, с'=-4-т (ММ); /=**, с’=—7---—Г— (ММП).
(vJ	г* £1-1
ы х<)
Генерирование случайных чисел
Для генерирования случайных чисел могут быть использова-
ны метод исключения (метод Неймана) и метод кусочной ап-
проксимации плотности распределения (см. [37, с. 288—290,
294-296]).
Таблицы
[5]. Даны значения функции распределения и плотности ве-
роятности обратного гауссовского распределения с параметром
положения Ji = 1 и параметром формы с (распределение Вальда
с параметром с) для с = 0.01(0.01)0.1(0.1)4.0(0.2)5.0(0.5)10; 62).
Приведены значения моды х распределения Вальда и значе-
ния плотности вероятности этого распределения в точке х = х
для с = 0.0001(0.0001)0.01(0.01)1.0(0.1)6.0(1)54; 60(10)550;
800(100)5700; 60000(10000)550000; 62).
Техника вычислений
При вычислениях могут быть использованы таблицы рас-
пределения Вальда [5]. Функция распределения F(x;n,c), плот-
ность вероятности /(х;ц,с) и мода хг обратного гауссовского
208
распределения с параметрами ц, с связаны с функцией распре-
деления F(x; 1, с), плотностью вероятности /(х; 1, с) и модой
хв распределения Вальда соотношениями:
F(x; р, с) = Fl1, с /(х; ц, с) =-/[1, с хг =цхв.
кН	)	м	)
При больших х для вычисления функции распределения
Вальда /*(х; 1, с) можно использовать приближенную формулу
F(x; 1, с) »1-ехр^-|(х-2)}1пх.
В. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ВОЗМОЖНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ
НА ОГРАНИЧЕННОМ ИНТЕРВАЛЕ
3.25. РАВНОМЕРНОЕ (ПРЯМОУГОЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность вероятности	/(х)-	, а<х<₽, р —а где а, р — границы области возможных значений случайной величины. Левая граница а области возможных значе- ний случайной величины является па- раметром положения, а длина р-а области возможных значений — пара- метром масштаба
Функция распределения	F(x)=p^ р-а
Функция риска	Х(х)=-Ь- Р-х e^-eia‘
Характеристическая функция	К'»=/(₽-«)<
Математическое ожидание	_ а +В х =	- 2
Медиана	а +Р *0.5 =	2
Мода	Нет
Дисперсия	х 12
209
Стандартное отклонение	a -Р"а х 2-/3
Коэффициент вариации	v Р ~а V* ~ф + а)73
Срединное отклонение	г Р~а Е‘ 4
Асимметрия	Sk = O
Эксцесс	Ех = -1.2
Начальные моменты	_ р3-а3	_ р4-а4 т2“3(р-а)’ '”’’4(р-а)’ р5-а5	р^-а'*1 ОТ4"5(р-а)’	"(5 + 1)(р-а)
Центральные моменты	0,	s — нечетное; Р,= (P-а)' f четное [2J($ + 1)
^-квантиль	х„ =а + (Р~а)/>
1/ф~а) -
0 a
Рис. 3.41. Плотность вероятности и функция риска равномерного
распределения.
210
Соотношения между распределениями
1.	С помощью линейного преобразования R = (X — а) /
(р — а) распределение, равномерное в интервале [а, 0], сводится
к распределению, равномерному в интервале [0, 1].
2.	Если случайная величина X имеет непрерывную функцию
распределения Fx(x), то случайная величина R = Fx(X) имеет
равномерное распределение в интервале [0, 1]. Это обстоятель-
ство широко используется в имитационном (статистическом)
моделировании.
3.	Равномерное распределение является частным случаем
обобщенного бета-распределения (см. п. 3.26.1).
4.	Пусть Xt, Х2,..., Х„ — независимые случайные величины,
имеющие одну и ту же непрерывную функцию распределения.
Тогда распределение дробной части их суммы сходится к равно-
мерному на интервале [0, 1] распределению.
5.	С ростом числа п слагаемых распределение случайной ве-
быстро сходится к стандартному нор-
личины
мальному распределению. (Здесь А, — случайная величина,
равномерно распределенная на интервале [0, 1], i= 1, 2,.., п).
6.	Пусть случайные величины X и Y имеют абсолютно не-
прерывное совместное распределение. Тогда при t -> <ю распре-
деление дробной части случайной величины Xt + Y сходится к
равномерному на интервале [0, 1] распределению.
Оценивание параметров
а=х'-4з$х, р’=х*+Т35х (ММ),
а’=х(1),	р*=х(л) (ММП),
где х(|) — минимальный и х(я) — максимальный элементы вы-
борки.
Обе оценки максимального правдоподобия смещенные. Не-
смещенные оценки определяются по формулам
Л(")~Х(1) (Г - V , Х(") -Х(П
а - *(!>	i ’ р ~ Л(л) +	1	•
п-1	Л —1
Генерирование случайных чисел
х = а + (0 - а)г.
О генерировании случайных чисел г, равномерно распреде-
ленных на интервале [0, 1], см. [40], [43] и [14].
211
3.26. БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОГО РОДА
3.26.1. КЛАССИЧЕСКОЕ БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность	/(х) =	- Xй	1 =
вероятности	B(u,v)
=	х--1 (1 _ ху-<, о < х < 1,
Г(и)Г(у)
где и, v — параметры формы
(и>0,у>0);
1
В(и, v) = р"’1 (1 - Г)”'1 dt — бета-функция
(эйлеров интеграл первого рода)
Функция	F(x) = Ix (u, v),
распределения	1	_
отношение неполной бета-функции
Характеристическая
функция
хю=i+s,
(и+ v)(u+ v+ 1)...(и+ v + к-\) Л!
где М(а, b; z) — вырожденная гипер-
геометрическая функция Куммера
Математическое	и X =	
ожидание	U + V
Медиана	Медиана хв 5 является корнем уравне- ния /Хо 5 (и, у) =0.5
Мода	Л	м-1	и-1
	ус — __	_	~	 (м — 1) + (у -1) и + у — 2
	(м^ 1,У>1 или М>1,У^1)
Антимода (для {/-образного распределения)	v	1-U	1—U у — 	-	= _
	(1 - и) + (1 - у) 2 - и - у (и < 1, у < 1)
Дисперсия	D
	(и + у)2 (и + V + 1)
Стандартное отклонение	1	1 UV
	х U+VИм+У+1
212
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Центральные
моменты
V
]u(u + v + l)
Sk = I Ц + v + l
и + v + 2 у uv
Ех _ 6[(и-у)2(и + у + 1)-иу(и + у + 2)]
му(м + у + 2)(м + у + 3)
т - и<" + 1)
(и + v)(w + V +1)
т	и(и + Т)(и + 2)
3 (и + v)(u + v + 1)(и + v + 2) ’
т	и (и + 1)(и + 2)(и + 3)
4 (и + v)(u + v + 1)(п + v + 2)(w + v + 3) ’
*_о w + v + Л
2wv(v-w)
(и + у)3 (и + у + 1)(и + v + 2) ’
Зму [2(у -и)2 + uv (и+ v + 2)]
(и + у)4 (и + v + 1)(й + у + 2)(w + у + 3)
Квантиль хг порядка р вычисляется путем решения уравне-
ния I (u, v) = р.
Соотношения между распределениями
1.	При и = у = 1 бета-распределение совпадает с распределе-
нием, равномерным на интервале [0, 1].
2.	При и = у = 1/2 бета-равпределение совпадает с распреде-
лением арксинуса с параметром положения р = 1 /2 и парамет-
ром масштаба X = 1/2.
При м = 1-а и у<= а бета-распределение называется обоб-
щенным распределением арксинуса (см. п. 3.28).
3.	Бета-распределение соответствует распределению типа I в
системе кривых Пирсона.
4.	Если независимые случайные величины У и Z имеют гам-
ма-распределение с параметром масштаба X = 1 и параметрами
формы и и у соответственно, то случайная величина
213
X = Y /(Y + Z) имеет бета-распределение первого рода с пара-
метрами и, V.
5.	Если случайная величина X имеет бета-распределение
первого рода с параметрами и, v, то случайная величина
Z = X / (1 - X) имеет бета-распределение второго рода с пара-
метрами и, v, а случайная величина U = (1 - X) / X имеет бе-
та-распределение второго рода с параметрами v, и.
6.	Случайная величина F(m,n), распределенная по закону
Фишера—Снедекора с т, п степенями свободы, и случайная
величина X(>n/2, л/2), имеющая бета-распределение первого
рода с параметрами и = л» / 2, v =п/ 2, связаны между собой сле-
дующим образом:
пгр/ \	1	лгх 1	, (т п\
P{F(m,n) < х> =	—,— <--------> = /„/(..„J —.
v	( (2 2J n + mxj "“/("♦™^2’2j
Эта формула позволяет находить значения функции распре-
деления Фишера—Снедекора с помощью таблиц отношения
неполной бета-функции I(«,v) (см., например, [8]).
7.	Случайная величина Т(у), распределенная по закону
Стьюдента с v степенями свободы, и случайная величина
Х(у/2,1/2), имеющая бета-распределение первого рода с пара-
метрами и = v/2, v = 1/2, связаны между собой соотношениями:
Р(Г(у)<г} = 1-1р{х^,Л>
х I к х J
v 1 _! 1 / ГхГ|
v + r2J 2 ''/‘''♦'2\2’2/
Р{|Г(у)|<Л = 1-р1хГ-,->|>—Ц4 = 1-7 /<	•
J [ <2 2j v + r2J v/(v+<2)^2’2j
8.	Для биномиальной случайной величины Y(n,p) и случай-
ной величины Х(у,п — у + 1), имеющей p-распределение пер-
вого рода с параметрами и = у, v =п-у + 1, справедливо соот-
ношение
P{Y(n, р)> у}=Р{Х(у, п-у + 1)<р}, у=0,1,..., л.
9.	Для случайной величины Z(m, р), имеющей отрицатель-
ное биномиальное распределение 1 с параметрами т, р, и слу-
чайной величины Х(и, v), имеющей бета-распределение пер-
вого рода с параметрами и, v, справедливы соотношения
P{Z{m,p) > z} = P{X{z,m) < 1 -р} = l-P{X(m,z) < />}.
10.	Если и и v — натуральные числа, то случайную величи-
ну X(u,v), имеющую бета-распределение первого рода с пара-
метрами и, v, можно представить в виде отношения
vz ч Z(2m)
X (и, v) =-----——,
Z(2w) + Z(2v)
214
где Z(2w) и Z(2v) — независимые случайные величины, имею-
щие /^распределение с числом степеней свободы 2и и 2v соот-
ветственно.
11.	Бета-распределение появляется, например, как рас-
пределение порядковых статистик. Если Xt, Х2,..-, Х„ неза-
висимы и равномерно распределены на интервале [0, 1] и
Xw, Х(2),...,Х{11) — упорядоченные по возрастанию величины
Х{, Х2,...,Х„, то к-я порядковая статистика Х(к) имеет бета-
распределение первого рода с параметрами и = к и v = л - к +1.
Оценивание параметров
(ММ).
215
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1 (алгоритм Йонка):
l.	r,:=rand; r2:=rand;
2.	i’j :=r,I/w; S2:=r2,/V;
3.	Если 5, + S2 < 1, то на 4, иначе — на 1;
4,x:=51/(51+52).
Алгоритм 2(w>l,v>l):
1.	г, := rand; r2 := rand;
2.	^ :=г,; я :=г2Л;
3.	у := дг'(1-О’”*;
4.	Если т| s у, то на 5, иначе — на 1;
5.	x :=§.
216
Рис. 3.42 (продолжение).
Здесь к =
Г(ц + у)
Г(«)Г(у)
и А = max /(х) = —--------—-----
o<x<i	(w + v-2)“+v-2
Если параметры и и v — натуральные числа, то для гене-
рирования случайных чисел могут быть использованы фор-
мулы:
1п(П г2...ги)
1п . ГиГи+у...
или
2	2	2
х =	и? + »2 +-.+ «2,
u2{ +...+ U22u + U2lu+l +...+ W22(«+v)
где М|, и2— стандартные нормальные случайные числа.
217
/(*)
Рис. 3.42 (продолжение).
Таблицы
1. [8]. Приведены значения отношения неполной бета-функ-
ции Ix(u,v) для х = 0.01(0.01)1; и, v = 0.5(0.5)11(1)50; и > v; 75.
2. [2, с. 179—181, табл. 3.3а, 3.36]. Даны значения вспомога-
тельных функций, предназначенных для вычисления отноше-
ния неполной бета-функции /ж(и,г).
[2, с. 182—199, табл. 3.4]. Приведены значения ^-кванти-
лей бета-распределения для р = 0.5, 0.25, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01,
0.005, 0.0025, 0.001; v, = 2v = 1(1)10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
и v2 = 2и = 1(1)30, 40, 60, 120, оо; 55.
218
Рис. 3.43. Функция риска бета-распределения первого рода.
219
Техника вычислений
Бета-функция В(м,у) «симметрична» относительно своих
аргументов:
B(u, v) = B(v, и).
Она связана с гамма-функцией соотношением
В(«, v)
Г(и)Г(у)
Г(и + v)
Если и и у — натуральные числа, то
В(и, у) =
(и-1)!(у-1)!
(и + у-1)!
Таблицы отношения неполной бета-функции [8] составлены
для и > у. Для вычисления значений функции 1х(и, у) при и < v
используется тождество
1х(и, у) = 1-/,_х(у, и).
Из этого тождества следует, что р-квантиль х(р; и, у)
бета-распределения с параметрами и, у и (1 -р)-квантиль
х(1-р;у, и) бета-распределения с параметрами у, и связаны
между собой соотношением
х(р; и, у) + х(1 -р; у, и) = 1.
В связи с этим для вычисления квантилей бета-распределе-
ния во всем диапазоне (0, 1) изменений р достаточно иметь
таблицу квантилей только для р < 0.5.
Для облегчения расчетов, связанных с бета-распределением,
следует шире использовать стандартные программные средства
ЭВМ (см., например, [46], стандартная подпрограмма BDTR,
или [41], функция INCOMPLETE_BETA(x,z,w)).
Для вычисления значений функции распределения
F(x; и, у) = 1Х (и, у) удобно использовать разложение функции
1Х (и, у) в ряд Маклорена

Г(и + у) х“
Г(и)Г(у) V
1 + и£
»=1
(1-у)(2-у)..,(/-у) '
(м + /) • i!
(1)
При 0.5 < х < 1 для ускорения сходимости ряда (1) це-
лесообразно воспользоваться разложением функции
Ц_х(у,и) = \ -1х(и, у). Первые 10 членов разложения (1) обеспе-
чивают относительную погрешность |5|< 10 (равномерно по
и и у), а 14 членов разложения обеспечивают относительную
погрешность |8|< 10-5.
220
Если параметр формы у > 1, то с помощью рекуррентной
формулы
т .	. Г(и + у) х“(1-х)’-1 т ,	, п
Л(«. V) = г/\г/ \	-- +	+ v -
Г(и)Г(у) и
следует уменьшить значение параметра v так, чтобы оно стало
меньше единицы (при этом значение параметра и возрастет,
что также ускорит сходимость ряда (1)).
Для вычисления ^-квантили х(р; и, у) можно использовать
приближенную формулу
~	/П \ ’
u +vexp(2co)
где
(2u-l)(2v-l)
а I За 6/ и + v-l	’
к 7	2(д-у)
2(и -1)(2у-1)’	6	’
и1_р — квантиль порядка 1 - р стандартного нормального рас-
пределения, и приближенную формулу
, ч	2 • z{p\ 2и)
х(р, и, у) »-----------7--;-----------------------------гтг- ,
2	. _ . {2(M2-l) + («-l) z(p;2«)-[z(p;2u)]2}r
- + z(p;2u)	---------------------------------J-
t	о
где t =--------, zip’, 2u) — квантиль порядка p (100(1 - p)-npo-
2v + и -1
центная точка) x2 -распределения c v = 2и степенями свободы.
3.26.2. ОБОБЩЕННОЕ БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Плотность
вероятности
f(v) = 1 (У-аНСР-УГ1
B(u,v) (0-а)“+’’-1
(а < у < Р),
где и, у — параметры формы (и > 0, у > 0);
а, р — границы области возможных значе-
ний случайной величины (а < р)
Функция	F(y) = ly-Su, v)
распределения	р-«
221
Характер! функи х(/) =	<стическая (ИЯ ! | у.	и(и + \)...(и + к-1} (u + v)(u + v + l)...(u + v + k-l)		[/(Р-а)/]*' к\	е1а1 =
—	е1а'М(и,	u + v; /(р-а)/)		
Математическое ожидание Мода		_ av + Ви У = U + V п а(у-1)+Р(и-1) u + v —2 (« £ 1, У > 1 ИЛИ и > 1, V > 1)		
Антимода (для U-образного рас- пределения) Дисперсия		.	а(1-у)+р(1-и) 2-u-v (и < 1, V < 1) р	(Р-а)2 ну		
		у (И + У)2(и + У+1)		
Асимметрия		S1, _ 2(у - ц) lu + v + l и+ v + 2 V uv		
Эксцесс		Pv _6[(и-у)2(« + У + 1)-«у(и + У + 2)]		
		uv(u + v + 2)(« +v+ 3)		
Начальные моменты		г(«) = ХС;а*(Р-а)’-*’П j«0	е-к Г(и + к) =	
			T(u + v + k) u + i	. 	+ а и + v + i	
Центральные моменты
Г(и + s-к)
r(u + v + s- k)
= (р-а)’
*=0
U
U + V
-?£±^+(-1)
U + V + 1
Z(-i)*c;
Квантиль у порядка р вычисляется путем решения уравне-
222
Соотношения между распределениями
1. Обобщенное бета-распределение описывает распределе-
ние случайной величины Y = а + (Р -а)Х, представляющей со-
бой линейную функцию случайной величины X, которая имеет
классическое бета-распределение первого рода с параметрами
и, v (Р > а).
2. Если случайная величина Y имеет обобщенное бета-рас-
пределение с параметрами а, р, и, v, то случайная величина
X = (Y -а)/(р -а) имеет классическое бета-распределение
первого рода с параметрами и, v.
Оценивание параметров
Случай первый. Неизвестны все четыре параметра:
а, р, и, v.
а)	Используя выборочные оценки параметров р1 = (Sk)2 и
Р2 = Ех + 3, вычислить:
6(Р2-Р,-1)
Зр,-2р2+6
г1
4(г + 1)
б)	Найти корни квадратного уравнения z2 -rz + e = 0:
г - -Jr2 — 4е г + -7г2 — 4е
г.=-------2---, z2 =------------.
в)	Если Sk > 0, то и = Zi, v = , иначе — и = z2 > v = z{.
г)	Найти границы распределения:
а = у — J(u + v + l)—Д , р = у + J(u + v + 1)—Д.
V	v	V	и
Случай второй. Известна левая граница а распределения,
параметры р, и, v неизвестны.
а)_Используя выборочные оценки числовых характеристик
mj = у, тг, т}, вычислить:
mJ =ml -a, m2 = т2 -2am, +а2, т2 =т3 -Зат2 + 3a2mt -а3.
б)	Найти вспомогательные параметры
т2	т3
223
в)	Вычислить параметры формы
ц -	~^2) у _	2(Х1 -Х2)	_
1 — 2Х| + Х2 2Х2 "Х| +Х|Х2
г)	Найти правую границу распределения
D	r w +v
В = а + т{----.
и
При а = 0 процедура нахождения параметров р> и, v замет-
но упрощается:
1 = х От|/”2• и-
1 /и2 ’	2 т3 ’	1-21, + Х2’
2(Х,-Х2)	и + v
v =---—-----—----и\ р = т,-----.
2Х2-Х,+Х,Х2	и
Случай третий. Известна правая граница р распределе-
ния, параметры а, и, v неизвестны.
а)	Используя выборочные оценки числовых характеристик
mt = у, тг, т3, вычислить:
т{ =р-/и1, ти2 =р2— 2pm, + т2, т'3 = р3-Зр2т1 + Зр?л2-/и3.
б)	Найти вспомогательные параметры
(т[)г	, т[т2
- - и Х2 = 1 2 .
/и2	т3
в)	Вычислить параметры формы
Vl: 2(Х,-Х2) и 2(Х,-Х2) v
1-2Х| +Х2	2Х2 —Х, + Х|12
г)	Найти левую границу распределения
о , н +V
а =р -т!------------------------.
и
Случай четвертый. Известны границы а, р распределе-
ния, параметры и, v неизвестны.
Оценки параметров вычисляются по формулам
224
Примечание. Для упрощения записей в приведенных
выше формулах в символах, обозначающих выборочные число-
вые характеристики случайной величины Y, опущен верхний
индекс (*).
Генерирование случайных чисел
у = а + (₽ - а)х,
где х — реализация случайной величины X, имеющей классиче-
ское бета-распределение первого рода с параметрами и, v
(см. п. 3.26.1).
Техника вычислений
Фуйкция распределения Fy(y) и функция плотности fy(y)
обобщенного бета-распределения с параметрами а, р, и, v
связаны с функцией распределения Fx(x) и функцией плотно-
сти /Х(х) классического бета-распределения первого рода с па-
раметрами и, v соотношениями
W = Fxf£^1 =	(“’ v)>
\ р /
/,(?) =
1
р-а
3.27. ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
_	. 6(х-а)(р-х)
Плотность	/(х) = —----а £ х s р,
вероятности	(3-а)
где а, р — границы области возможных
значений случайной величины (а < р).
В данном случае а — параметр поло-
жения; (р - а) — параметр формы
_	. а2(3р-а)-6арх + 3(а+р)х2-2х3
Функция	F(x) =--—--------------у---—-------
распределения	(Р-а)
Характеристическая х(0 = 36е'“г £
функция	*-о * ’ (3 + ж)!
8 Р. Н. Вадзинский
225
Математическое ожидание	- а +В Х~ 2
Медиана	а +3 *0.5 =	2
Мода	
Дисперсия	D х 20
Стандартное отклонение	«.-Цг 275
Коэффициент вариации	_ р -а Vx ~(а+р)2>/5
Срединное отклонение	£ = (p-a)sin^ =0.1736 (р-а) 1о
Асимметрия	Sk=O
Эксцесс	Ех = --«-0.8571 7
Начальные моменты	За2 + 4ар + Зр2 /И, =	“	, 2	10 2а3 +3а2р + 3ар2 +2р3 ТП-, —	, 3	10 5а4 +8а3р + 9а2р2 +8ар3 +5р4 ТПл =			, 4	35 Ь (2 + к)(3 + к)
Центральные моменты	Мз =°> И4 =^7к(3-а)4
р- квантиль	хг = ~2~ + Ф - а)sln Bresin (2р -1)^
226
Рис. 3.44. Плотность вероятности и функция риска параболического
распределения.
Соотношения между распределениями
1. Параболическое распределение является частным случаем
обобщенного бета-распределения первого рода при и = 2 и
v = 2.
2. Если случайная величина Y имеет бета-распределение
первого рода с параметрами и = 2 и v = 2, то случайная вели-
чина X = а + (Р - а) У имеет параболическое распределение с
параметрами а, р.
Оценивание параметров
а* = х -J5SX; р* =х + 45SX (ММ).
227
Генерирование случайных чисел
Хт.
3.28. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АРКСИНУСА
Плотность	f(X\ = 		1		
вероятности Функция распределения Характеристическая функция Математическое ожидание Медиана	л-Д2 - (х- ц)2 (ц - X < х < ц + X), где ц — параметр положения, матема- тическое ожидание; X — параметр мас- штаба (X > 0) г-/ ч 1 1	. х-н F(x) = — + — arcsm		 2 л	X x(r)=e'“V0(Xr), где /0 (z) — функция Бесселя пер- вого рода нулевого порядка * =М *0.5 = И		
Антимода Дисперсия	и II >и cf		
Стандартное отклонение	а, = ^= « 0.7071Х 42		
Срединное отклонение Асимметрия Эксцесс Начальные моменты	£ = -^«0.7071Х 42 Sk=O Ех = -1.5 2 X2	( 2 f»2 =Ц + —, т3	Ц /я4 = ц2(ц2 +ЗХ2)+\4 О		+ кэ| со
Центральные ц3 =0, моменты	X II ОО I р	0, !. 	s—нечетное; s— четное
р-квантиль	хр = ц + X sin [л (р - 0.5)]
228
Рис. 3.45. Плотность вероятности и функция риска распределения арксинуса.
Соотношение между распределениями
1. Пусть случайная величина У распределена равномерно в
интервале (-л/2, л/2). Тогда при любом случайная величина
X = ц + Xsin(y + у0) распределена по закону арксинуса с пара-
метром положения ц и параметром мастштаба X.
2. Распределение арксинуса является частным случаем бе-
та-распределения первого рода (см. п. 3.26.1).
Оценивание параметров
ц* = х, X’ = 72 Sx (ММ).
Генерирование случайных чисел
х = ц + X sin [л(г - 0.5)].
Примечание. В [21] в качестве распределения арксинуса
приводится распределение с плотностью вероятности
/(х) = —-=L== , 0 < х < 1,	(2)
ЛУХ-Х2
которое является частным случаем распределения арксинуса с
плотностью (1) при ц = Х = 1/2. Там же рассматривается обоб-
щенное распределение арксинуса с плотностью вероятно-
сти
д(х) = 8тлах-О(1_х)О-1( 0<х<1)	(3)
п
229
где а — параметр формы (0 < а < 1). Это распределение пред-
ставляет собой не что иное, как бета-распределение перво-
го рода с параметрами и = 1- а и v = а (см. п. 3.26.1). Распреде-
ление (2) является частным случаем распределения (3) при
а =1/2.
3.29. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИМПСОНА
		4(х — а)	а +р а < х <	; < X <. р. запись плотности ве-
Плотность вероятности	/(х)=-	(Р-а)2 ’ 4(р~х)	
	Более к	|_(Р~а)2 ’ омпактная	
роятности имеет следующий вид:
/(х) =
2 L |а+Р~2х|
р-а Р-а
а < х < р.
Здесь а — параметр положения, левая
граница области возможных значений
случайной величины X; (Р-а) — пара-
метр масштаба, длина области возмож-
ных значений случайной величины
			2(х - а)2	а +В а < х < —— 2 5Lt£^x<p	
Функция распределения	F(x)	= <	гм -• 'б 1	1 б э ex 1 CN & ।		
			4(х-а)		 г*	у <	а+Р
Функция риска	Х(х)	= <	(Р-а)2-2(х 2	-а)2’ а+Р <	2 х <Р
			(Р-Х)’	2 "	
Характеристическая функция	х(0	= -	(р-а)2/2	£	
Математическое ожидание Медиана	х = Х0.5	а +р 2 _ а +р 2			
Мода	X =	а+Р 2			
230
Дисперсия	А=^^«0.0417(р-а)2
Стандартное отклонение	Ох=Ж“0’2041(₽"а)
Коэффициент вариации	vx = ~/~а - «0.4082-— л/6(а+Р)	а + р
Срединное отклонение	J5-1 £ = —7=-(р-а) »0.1464(Р-а) 2л/2
Асимметрия	Sk=O
Эксцесс	Вс = -0.6
Начальные моменты	т	1	Г„4 .04 («+Р)41 3(р-а)2[	8	] т	1	Г„ 5 . о5 (а +Р)5 3 5(р-а)2[	16 J т	1	Г-6 .Пб (а+Р)Я 4 15(р-а)2[ Р	32" ]’ а1+2 +рм2 _2^±₽1 л	1 2 ) т, = 4			4;— (s + l)(s + 2)(Р -а)2
Центральные моменты	__	_(р-а)4 ’‘’•°’	240 ' f0»	s— нечетное; » =7 (р —а)* 1—			 я — четное (2’- '(s + 1)(5 + 2) a + (P-a)Jf»
р-квантиль	X = ’ ух	X
231
Соотношения между распределениями
Если Х\ и Хг — независимые случайные величины, распре-
деленные равномерно на отрезке [а/2, 0/2], то случайная величи-
на X = Х{+Хг имеет распределение Симпсона на отрезке [а, 0].
Оценивание параметров
а* = х - Тб5ж, 0* = х* + л/65ж (ММ).
Генерирование случайных чисел
0 -а , ч
Xi = a + t^-(r2/_1 +rlf).
Примечания: 1. Сумма двух независимых случайных ве-
личин, распределенных равномерно на отрезке [0, 1], имеет
распределение Симпсона на отрезке [0, 2] с плотностью веро-
ятности
, . . Г х, 0 5 х < 1;
[2-х, 1 £ х < 2.
2. Сумма трех независимых случайных величин с равномер-
ным распределением на отрезке [0, 1] распределена на отрезке
[О, 3] с плотностью вероятности
	X2
	2 ’
/з(х)=<	х2-3(х-1)2
	2
	х2 - 3(х -1)2 + 3(х - 2)2
	2
О х £ 1;
1 <. х <, 2;
2 < х £ 3.
3. В общем случае сумма п независимых случайных вели-
чин, распределенных равномерно на отрезке [0, 1], распределе-
на на отрезке [0, л] с плотностью вероятности
0<х<л,
\П 1) ! 4=0
fO, г^О;
где z+ =	.
[Z, Z > 0.
В некоторых пособиях такое распределение называют рас-
пределением Симпсона порядка п.
232
Рис. 3.46. Плотность вероятности и функция риска распределения Симпсона.
3.30. УСЕЧЕННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(ДВУХСТОРОННЕЕ УСЕЧЕНИЕ)
Плотность
вероятности
,, ч 1	( (х-т)1	о
/(х) =--= exp -v -/• L а<х<р,
72л	2а2 )
где а, р — границы области возможных зна-
чений случайной величины (левая и пра-
вая точки усечения); т — параметр по-
ложения; а — параметр масштаба (а > 0) и
у =Ф0
р — т
а
9 Р. Н. ВадзинскиЙ
233
Функция
распределения
Число 1 — у, равное вероятности того, что
исходная (неусеченная) нормальная случай-
ная величина окажется вне интервала (а, р),
называется степенью усечения
/’(х) = Иф,
YL
( х — т ] . (а — т
’о Нт— Г фо ~—
V а ) V а
, а £ х < р
Характеристическая
функция
х(0 = - Ф
У[_
(. t a2t2
expl imt——
(fi-m . А . (а-т . ,
J-----iat -Фо-----iat
I a J {а
Математическое х = т + - [ф(ы,) — ф(и2)],
ожидание	Y
где <р(и) — плотность вероятности стандартно-
го нормального распределения; в, = (а -т)!а
и и2=(р-т)/а — стандартизированные
(центрированные, нормированные) точки
усечения
Медиана
Медиана х05 является корнем уравнения
. (а~т} . ($-т}
( а )	{ a J
1
I а ) 2
х0.5
Мода
а < т < Р;
Р < т
Дисперсия
а,
X =
к
Дх= аг 1 + - [«, <р(и|) - 1/2ф(д2)] -
Y
= а2 И + - [«!<?(«!) - и2<р(и2)] [ - (х - т)2
I Y	I
Начальные
моменты
т2 = т2 +а2 + — (2ткй +аку),
У
т3 =т2 — За2т + — [(2а2 +3т2)кй + ЗшиЛ, +а2к2],
У
т4 =т4 +6а2т2 +3а4 + — [4т(2а2 +т2)к0 +
У
+ Зс(а2 + З/и2)^ +4а2тк2 +дэ£3],
гдеЛ, =«1'ф(К1)_«2<р(«1)> i =0,1, 2,3
234
ж
0.6
Рис. 3.47. Плотность вероятности и функция риска усеченного нормального
распределения (двухстороннее усечение).
235
1	3	2
Центральные ц3 = а3 ~(к2 - ка) -к^ +-уЛ03
моменты	LY	V Y
Н4
= а4 3 +1(3*, + к3) - 1(*о + 2ЛЛ) + 4*»*. -4^о
L у	Y	Y Y
При симметричном относительно т расположении точек
усечения а и р, т. е. при т -а = р-т;
Y = 2Ф0(5), где 5 = (т - а)/а = (р - т)/а;
х = х05 = х = m; Dx = а2 (1 — Л);
т2 = т2 + а2(1 - к), т3 =т3 +3а2т(1 —к),
т< = т* - а452к + За2(а2 + 2т2)(1- к);
ц3 =0, ц4 =а4[3(1-£)-32£],
где к = 6ф(3)/Ф0(3).
Оценивание параметров
В том случае, когда точки усечения аир известны, для на-
хождения оценок максимального правдоподобия параметров т
и а можно использовать следующие рекуррентные соотноше-
ния:
тМ = Х +ai ,	<	- , - J
Фо(«2,)-Фо(«1/)
^7+1
= Dx+(x' ~тм)2 -а2
«2<Ф(“2<)~ «иф(«п)
Ф0(«2*)-ф0(«и)
Здесь т, и а, — /-е приближение оценок максимального
правдоподобия параметров тиа; ср («) — плотность вероятно-
сти стандартного нормального распределения; Ф0(к) — функ-
ция Лапласа; х’ и Dx — выборочные оценки математического
ожидания х и дисперсии Dx, найденные по реализациям усе-
ченной нормальной случайной величины.
В качестве «нулевых» (начальных) приближений т0 и
можно использовать выборочные оценки х* и Dx. Однако, учи-
тывая эффект усечения, а, следует взять несколько больше Dx,
а для получения т„ необходимо немного «подправить» х’ в сто-
рону большего усечения.
236
В том случае, когда точки усечения аир неизвестны, а объ-
ем выборки достаточно велик, в качестве а можно взять число
несколько меньшее наименьшего элемента выборки х(1)? а в ка-
честве р — число, несколько превышающее наибольший из эле-
ментов выборки х(л).
Генерирование случайных чисел
1.	u:=norm;
2.	у := т + аи\
3.	Если у < а, то на 1, иначе — на 4;
4.	Если у > р, то на 1, иначе — на 5;
5.	х := у.
Г. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
3.31.	Хг-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПИРСОНА
Плотность вероятности	/(х) =	хл/2-1 е ~х/2, х > 0, 2»д j где п — параметр формы, число сте- пеней свободы, положительное целое число rf-
Функция распределения	<2 2) где 7(х,а) = Г(х,а)/Г(а) — отноше- ние неполной гамма-функции
Характеристическая функция	x(0=(l-2fr)-"'2
Математическое ожидание Медиана	х = п x0J * п — 0.67
Мода	х = л - 2, л > 2
Дисперсия	А = 2л
Стандартное отклонение	а х =^2п
237
238
Коэффициент
вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
Центральные
моменты
„	12
Ех = —
п
т2 =п(п + 2), т3 = п(п + 2)(п + 4),
т4 = п(п + 2)(л + 4)(л + 6),
J—1
тг = п(п + 2)...[л + 2(j — 1)] = J~[(n + 2i)
*=о
щ = 8л, ц4=12л(л + 4)
Точками перегиба функции плотности /(х) являются точки
х = л — 2 + ^2(п — 2) (при условии, что х — действительное по-
ложительное число).
Соотношения между распределениями
1.	Если Z7,, U2, U„ — независимые стандартные нор-
мальные случайные величины, то случайная величина U2 +
U2 + ...+ U2 имеет х -распределение с л степенями свободы.
2.	х2~распределение с л степенями свободы совпадает с гам-
ма-распределением с параметром масштаба X = 1/2 и парамет-
ром формы а = л/2.
3.	Случайная величина У (л), имеющая % ^распределение с л
степенями свободы, и случайная величина У(1, л/2), имеющая
гамма-распределение с параметром масштаба X = 1 и парамет-
ром формы а = л/2, связаны соотношением Х{п) ~ 2У(1, л/2).
4.	Сумма независимых случайных величин Х\, Х2, ..., Хк,
имеющих % -распределение с л,, л2, ..., пк степенями свободы
соответственно, имеет х-распределение с п = пх + п2 +...+ пк
степенями свободы.
5.	Независимые случайные величины Х(п) и Х(т), имею-
щие х'Распределение с л и т степенями свободы соответст-
венно, связаны со случайной величиной F(n,m), имеющей
F-распределение Фишера—Снедекора слит степенями свобо-
ды, соотношением
Х(п) /Х(т) = тХ(п) _
л / т пХ(т)
239
6.	Случайная величина Х(л) имеет такое же распределение,
как и случайная величина nF(n,<n), т. е. Х(п) ~ nF(n,<n).
7.	Случайная величина Х{п), имеющая х-распределение с п
степенями свободы, связана со случайной величиной Т(л), име-
ющей распределение Стьюдента с п степенями свободы, и не-
зависимой от Т(л) стандартной нормальной случайной величи-
ной U следующим соотношением:
U nU
Т(п)/п Т(п)
~ Х(п).
8.	При четном п случайная величина Х(п) связана со слу-
чайной величиной У(х/2), распределенной по закону Пуассона
с параметром ц = х/2, соотношением

Этому соотношению эквивалентны соотношения:
п/ \ г Г п . X 1	.	~[Л,Х\
Р(Х-, «) = Л1 2’гГ1 ч2’2/
п > 2, целое;
Fy(k; р.) = Р(2ц; 2к), к = 1,2, ...
Здесь Р(х;л) = Р{Х(п) > х} — интеграл вероятностей х-рас-
пределения; Fy(k.',p) =Р{У(ц) < к} — функция распределения
<» j
Пуассона с параметром ц; Ф(х; и) = У (см. п. 2.2).
f I
/=х 1 •
9.	При п -> оо случайная величина [^Г(л) — л] //2л сходится к
стандартному нормальному распределению. Однако эта сходи-
мость довольно медленная. Гораздо быстрее сходится к стан-
дартному нормальному распределению случайная величина
/Й^(л)-/2лРТ-
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1
it	1
X +и£ + ... + ия,
где и, — стандартные нормальные случайные числа (f =1, 2,..., л).
240
Алгоритм 2
21n fl?;.
n — четное:
Лл-|)/2 Л
—2 In П rt + и2, n— нечетное.
При n = 1
x =u2.
Здесь г — стандартные равномерные, и — стандартные нор-
мальные случайные числа.
Таблицы
1.	[2, с. 140—159, табл. 2.1а]. Даны значения интеграла веро-
ятностей Р(х; л) = Р(Х > х) для л = 1(1)32(2)70; 5D.
[2, с. 166—170, табл. 2.26]. Приведены процентные точки
%2-распределения для л = 1(1)100 и Q =99.95, 99.9, 99.5, 99, 97.5,
95, 90(10)10, 5, 2.5, 1, 0.5, 0.1, 0.05 %.
2.	[13, с. 502—504, табл. XII]. Приведены значения функции
X2-распределения для л = 1(1)20 и х = 1(1)30; 4D.
[13, с. 505, табл. ХПа]. Даны значения квантилей х -рас-
пределения порядка р = (1 — у )/2 и р = (1 + у )/2 для к. = 1(1)30 и
у =0.99, 0.95 и 0.90; 35.
3.	[3, с. 36—39, табл. 6]. Приведены значения интеграла ве-
роятностей Р(х; л) для л =1(1)15, х =0.0(0.5)20(1)40.0 и
л = 16(1)30, х =3.0(1)10.0(0.5)20.0(1)40(2)64; 3D.
4.	[16, с. 94, 95, табл. 1.1.2.7]. Даны критические точки, со-
ответствующие вероятностям а = 0.99, 0.98, 0.95, 0.90(0.10)0.10,
0.05, 0.02, 0.01, 0.005, 0.002, 0.001, для л =1 (1) 30; 35.
Обширные таблицы функции х2-распределения приведены в
[7] и [9].
Техника вычислений
При л 30 достаточную для практики точность обеспечива-
ют приближенные формулы:
F(x;ri) = Р{Х(п) < х}
Р(х;л) = Р{Х(л) £ х}
241
где ир — квантиль порядка р стандартного нормального рас-
пределения.
При п > 100 можно пользоваться более простыми прибли-
женными формулами:
F(х; л) яД + Фо (V2x - 72л -1),
Р(х;л) яД - Фо (V2x — ->/2л — 1),
х, »|(л/2л-1 + 1/,)2.
При вычислениях на ЭВМ могут быть использованы форму-
лы:
Р(х; 1) = 2 [1 - Ф (7х)], Р(х;2) = е ~х/2
(«-П/2	^г-1
1-ф(л/х)+ф(л/х) £
, л — нечетное]
Р(х; л) =
("-D/2 xi
i+ У
Z (20!!
е
л — четное.
При больших х (при х > л) целесообразно использовать
асимптотическое разложение
е~х^
Р(х;п) =
В системе символьной математики DERIVE имеется функ-
ция CH_SQUARE (x,v) = / (см. [41], утилиты PROBA-
BIL.MTH).
3.32. ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПИРСОНА
Плотность
вероятности
f(x) =---- z -	1 expf-— x > 0,
л । I 2 J
242
где п — параметр формы, число сте-
пеней свободы, положительное це-
лое число
Функция
распределения
F(x) =
rf—
( 2 ’2J
X2 л^
Т’2/
Характеристическая
функция
где Z(x,a) = Г(х,а)/Г (а) — отношение
неполной гамма-функции
Х(0 = (” -^! Д-я07)е~Р/4,
2»/2-'г - I
где Dp(z) — функция параболического
цилиндра
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
х = 7л - 1
(л-1)!! Р?
п ~ Четное;
(п ~ 1) •• /2. л — нечетное
(и-2)!! Vn’
Dx =n~x2
Асимметрия	с. - 1 — 2л + 2х2 Sk = х			
Эксцесс	р _ 2х2(4л — 2 — Зх2) — 2л(л — 1) л
т2 = л, т} ={п +1)х,
Начальные
моменты
л»4=л(л + 2), ms = 21/2 Г
Центральные
моменты
=х(1 — 2л + 2х2),
ji4 =х2[2(л —2) —Зх2] + л(л + 2)
243
Рис. 3.49. Плотность вероятности х-распределения Пирсона.
Соотношения между распределениями
1. Если Uif U2, U„ — независимые стандартные нор-
мальные случайные величины, то случайная величина X =
= Ju* + U2 + ...+ U* 2 3 4 имеетх-распределение с п степенями сво-
боды.
2. х~РаспРеДеление является частным случаем распределе-
ния модуля л-мерного случайного вектора (см. п. 3.14).
3. Пусть Х(п) — случайная величина, имеющая х-распреде-
ление с л степенями свободы; Y (а, л) — случайная величина,
имеющая распределение модуля л-мерного случайного вектора
с параметром масштаба а\ Z (л) — случайная величина, имею-
щая х2-распределение с л степенями свободы. Тогда справед-
ливы следующие утверждения:
Х(п) ~ JZ(n) ~	~ -У (а, л).
а
4. Распределение случайной величины Х(п), имеющей
Х-распределение с л степенями свободы, совпадает с распреде-
„ -	lvfl л A	v( 1 л'}
лением случайной величины JY I —,— I, где YI —,— I — случай-
ная величина, имеющая гамма-распределение с параметром
масштаба X = 1/2 и параметром формы а = л/2.
Генерирование случайных чисел
Алгоритм 1
X — Ju* + U2 + ...+ U*,
где щ — стандартные нормальные случайные числа (z = 1,2,.... л).
244
Алгоритм 2
( л/2
-21п Пг/
л — четное;
(л-1)/2 Л
+ и2, л — нечетное.
х -
При л = 1
X = 4и2.
Здесь rt — стандартные равномерные, и — стандартные нор-
мальные случайные числа.
3.33. (-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЫОДЕНТА
Плотность
вероятности
лп=-М
х2^ 2
v )
Характеристическая
функция
где v — параметр формы, число степе-
ней свободы, положительное целое
число
лгГ|У| IVvJ
ГЫ
где Yn(z) — функция Бесселя второго
рода

Характеристики
положения
i = 0, v > 1;
j -t — О
Дисперсия
v> 2
А =——,
' v-2
Стандартное
отклонение
V
v- 2’
v > 2
Асимметрия
Sk = О, v>3
245
Эксцесс
„	6
Ех =----, v > 4
у— 4
Моменты	т} = ц3 = 0, v > 3,
3v2
m'^=(v-2)(v-4)- V>4’
Рис. 3.50. Плотность вероятности распределения Стьюдента.
Соотношения между распределениями
1.	При v = 1 распределение Стьюдента совпадает с распреде-
лением Коши с параметром положения ц = 0 и параметром мас-
штаба X = 1.
2.	Для случайных величин: Т(у), имеющей распределение
Стьюдента с v степенями свободы; Х(0, 1), распределенной по
стандартному нормальному закону; Z(v), имеющей х2-распре-
деление с v степенями свободы; F(l, v), распределенной по за-
кону Фишера—Снедекора с 1, v степенями свободы, — спра-
ведливы следующие, утверждения:
Z(v)/v Z(v)/v	jZ(v)/v
246
3.	Для случайной величины T(v), имеющей распределение
Стьюдента с v степенями свободы, и случайной величины
F(l,v), распределенной по закону Фишера—Снедекора с 1, v
степенями свободы, справедливо соотношение
P{r(v)</}=l[l-?{A(l,v)</2}].
4.	Для случайной величины T(v) и случайной величины
X(v/2,1/2), имеющей бета-распределение первого рода с пара-
метрами и = v/2 и v = 1/2, справедливо соотношение
P{T(v) < Л = 1-ipW-,^ < —Ц-| = 1 — — Z	,/-,-1.
1	>	2 [ ^2 2) v +t2 J 2 v/(v+'\2 2)
5.	При v -> оо распределение Стьюдента сходится к стандарт-
ному нормальному распределению.
Таблицы
1.	[2, с. 174—176, табл. 3.1]. Даны значения функции распре-
деления Стьюдента для v = 1(1) 20 и t = 0.0(0.1)4.0(0.2)8.0; 5D.
[2, с. 176]. Приведены верхние критические (процентные)
точки распределения Стьюдента для v =1(1)10 и 2=0.0005,
0.001, 0.01, 0.1 %.
[2, с. 178, табл. 3.2]. Приведены верхние критиче-
ские (процентные) точки распределения Стьюдента для
v = 1(1)30(2)50(5)70(10)100(20)120(30)150(50)300(100)500 и
Q = 40, 25, 10, 5, 1, 0.5, 0.25, 0.1, 0.05 %; 4D.
2.	[13, с. 506—508, табл. XIII]. Даны значения функции рас-
пределения Стьюдента для v = 1(1)19 и t =0.0(0.1)2.0(0.2)6.0; 3D.
[13, с. 508, табл. ХШа]. Приведены критические точки
распределения Стьюдента для v = 1(1)10 и Q =0.005, 0.025, 0.05;
3D.
3.	[16, с. 96, табл. 1.1.2.8]. Даны квантили порядка 1-а/2
для v = 1(1) 10(2) 30 и а = 0.0005, 0.001, 0.0015, 0.0025, 0.005,
0.01, 0.0125, 0.025, 0.05; 3D.
4.	[3, с. 60, 61, табл. 9]. Приведены значения функции рас-
пределения Стьюдента для v = 1(1)19 и t = 0.0(0.1)2.0(0.2)
6.0(1)8.0; 3D.
[3, с. 65, 66, табл. 10]. Даны квантили порядка р для
v = 1(1)30(2)50(5)70(10)100, 120, 150(50)300(100)500 и р = 0.8,
0.9, 0.95, 0.99, 0.995, 0.9975, 0.999; 3D.
5.	[6, с. 28—30, табл 2.1]. Приведены квантили порядка р
распределения Стьюдента для v = 1(1)100 (2)150, 200(100)1000 и
р =0.75, 0.90, 0.975, 0.99, 0.995; 4D.
Подробные таблицы плотности и функции распределения
Стьюдента приведены в [11].
247
Во всех таблицах значения плотности вероятности f (t; v) и
функции распределения F(t; v) приводятся только для положи-
тельных значений аргумента t. При отрицательных значени-
ях t следует пользоваться формулами f (-/; v) = f (/; v) и
F(—t;v) =1 —F(/;v).
Таблицы р-квантилей tf распределения Стьюдента составле-
ны только для интервала 0.5 < р < 1 (т. е. в таблицах даны толь-
ко положительные значения квантилей tp). При 0 < р < 0.5 надо
пользоваться формулой tp = -4Х.
Техника вычислений
При вычислениях на ЭВМ могут быть использованы форму-
лы
F(r;v) =
11,,
— + — arctg/,
2 п
0 + sin0
T_ t '
2 + 2^2 + /2 ’
1	1 • n
- + -sm0
2 2
2
COS0 + -COS3 0+...+
3
2-4.. .-(v —3)
+----------------cos
1-3-... (v-2)
v-2
1	1-3
l + -cos20 +--cos'* 0 + ...+
2	2-4
13-...(v-3)	v_2.
	'	- cos 1 0
24-. ..(v-2)
v = 1;
-, v > 1 — нечетное;
v = 2;
v > 2 — четное,
где F(t; v) — функция распределения Стьюдента c v степенями
свободы и 0 = arctg(//Vv).
При больших v справедлива приближенная формула
F(/; у)«| + Ф0(х),
( и / F
где Ф0(х) — функция Лапласа и x = f 1-— /,1 + —.
4vJ/ V 2v
При больших t и v £ 5
F(f,v) «1 -f— +	,
где
ax = 0.3183,	= 0.4991, a3 = 1.1094, o4 = 3.0941, a5 = 9.948;
^=0, b2 =0.0518, b3 =-0.0460, bA =-2.756, ^=-14.05.
248
Квантили порядка р распределения Стьюдента с числом сте-
пеней свободы v = 1, 2 и 4 определяются по формулам:
^tgHp-0.5)], v = l;	v = 2;
72p(l-p)
„ 4cos0	.
t,	- -j= — — v = 4,
JI — 4 cos2 0
где 0 = [n + arccos(2p -1)]/3.
В общем случае справедливо следующее асимптотическое
разложение

V
где иг — квантиль порядка р стандартного нормального распре-
деления;
х2+1	,	5х4+16х2+3
*(*)=—, ft(x) =--------
g> (х) =
Зх6 + 19х4 +17х2-15
384
gt(x) =
79х8 +776х4 +1482х4 -1920х2 -945
92160
При больших v справедлива приближенная формула
В [41, утилита PROBABIL.MTH, п. 15] имеется функция
STUDENT(t,v), позволяющая вычислять значение функции
J(/;v) = Р(|Т|< /) (в описании эта функция ошибочно названа
функцией распределение Стьюдента). Функция A(t;v) связана
с функцией распределения Стьюдента F(f, v) соотношением
F(/;v)=[l + H(r;v)]/2.
3.34. F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА — СНЕДЕКОРА
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИОННОГО ОТНОШЕНИЯ)
Плотность
вероятности
Лх) =
1	С и
- *- Jg] х(“/2)’*[1 + -х]
f и v RvJ	I v J
(X > 0),
249
Функция
распределения
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
Начальные
моменты
где и — параметр формы, число степе-
ней свободы числителя; v — параметр
формы, число степеней свободы зна-
менателя; и, v — целые положитель-
ные числа
с/ \ т \ и v I
F(x) =Ла_к, 5 >
где	— отношение неполной
бета-функции
=	-у;\
<2	2 и)
где М(а, b; z) — вырожденная гипергео-
метрическая функция Куммера
v ~
х =----, v > 2
V— 2
. v(u — 2)	0
х = 4---ЧТ’ и * 2
и(у + 2)
2у2(м + у - 2)
°х «(v-2)2(v-4)’ V>4
Sk = -2(.4vz2> ЦЕЕ, v>6
у —6	у«(и + у—2)
Ех = 12Ку - 2)2 (у - 4) + и(5у - 22) (и + v - 2)1. у > 8
и (и + v — 2)(v — 6)(v — 8)
vY и(и + 2)
и) (v—2)(v—4)’
у > 4;
(у') и(и + 2) (и + 4)	£
т, = — ------------—-----у >6;
<«J (у —2)(у —4)(у —6)
т = (-Y	+ 2)<“ + 4)(“ + 6) v > 8.
4	(v — 2)(v — 4)(v — 6)(v — 8)’
v¥ и(и + 2)(м + 6)...(« + 2^-2)
и) (v-2)(v-4)(v —6)...(у-2s)’
Центральные
моменты
<yY 8u(m + v— 2)(2w + v — 2)
(v-2)3(v —4)(v-6)
f vY 12u(u + v — 2)[u(v + 10)(u + v — 2) + 4(y— 2)2]
И4 “l«J (v—2)4(v —4)(v-6)(v—8)	’
250
и = 1
Рис. 3.51. Плотность вероятности распределения Фишера—Снедекора.
Соотношения между распределениями
1.	Квантильxp(u,v) порядка р /"-распределения с и, v сте-
пенями свободы и квантиль х,..(у,и) порядка 1 — р F-ргс-
пределения с v, и степенями свободы связаны соотношением
xp(u,v) = 1/х1_;> (у,и). Этому соотношению эквивалентно соот-
ношение F(x; и, v) = 1 - /(1/х; v, и).
Приведенные соотношения делают ненужным табулирова-
ние /-распределения для значений аргумента х < 1. При необ-
ходимости найти значение функции распределения для х < 1
следует перейти к значению аргумента равному 1/х и восполь-
зоваться последним из приведенных выше соотношений.
2.	Если х2 и х2 — независимые случайные величины, име-
ющие х2-распределение с и и v степенями свободы соответст-
венно, то случайная величина
у . х2/« _ ух2
2 /	2
Ху/v «Ху
имеет /"-распределение с и, v степенями свободы.
3.	Если случайная величина Х(п,<х>) имеет /-распределение
с параметрами и = п, v=oo, а случайная величина Z(n) имеет
X-распределение с п степенями свободы, то справедливы сле-
дующие соотношения:
Р{Х(п,<») < х] = P{Z(n) < лх}, хр(п,<») =±zp(n),
Х(п,х) ~-Z(n).
251
4.	Квантиль xp(l,v) порядка р f-распределения с парамет-
рами и = 1, v = v связана с квантилью /(1+,)/2(v) порядка (1 + р)/2
/-распределения Стьюдента с v степенями свободы соотноше-
нием
(1, л) = ['<!♦,>/i(v)F-
5.	Случайная величина Х(и, v), имеющая /"-распределение
с и, v степенями свободы, связана со случайной величиной
Y(и/2, v/2), имеющей бета-распределение первого рода с пара-
метрами и/2, v/2, соотношениями
/(x;u,v) =P{X(«,v) < х} =
-^-1 = 7
f л их
у + их ----
Г Т ИЛ J	v+ux
xp(u,v) = -
р и
Первое из этих соотношений используется для вычисления
значений функции распределения F(x; и, v) Фишера—Снеде-
кора с помощью таблиц неполной бета-функции.
6.	Если и + v — четное число, то /"-распределение с пара-
метрами и, v связано с биномиальным распределением с чис-
лом испытаний п = (и+ v — 2)/2 и вероятностью успеха р соот-
ношением
P\X(u,v)<
_vi—I=i- p/yf
u(l~p)\ ll 2	)	2 J
где Y (n, p) — случайная величина, распределенная по биноми-
альному закону с параметрами п, р.
7.	/"-распределение сводится к бета-распределению второго
рода (распределение VI — по классификации Пирсона).
8.	При возрастании и и v F -распределение приближается к
нормальному распределению.
9.	Если Xj, х2, ..., х„ — выборка объема т из нормальной
генеральной совокупности с параметрами х, ст, a , у2,..., у„ —
выборка объема п из нормальной генеральной совокупности с
параметрами у, о, то статистика
si
г =----------------= —Г-
-^Ъу,'уУ
Я 1 /-1
252
имеет /"-распределение Фишера—Снедекора с и = т — 1 и
v = п -1 степенями свободы. (Здесь х’ = — V х, и у* = — У.yt—
т 1=1	п 1-1
выборочные оценки математических ожиданий х и у соответст-
венно).
Таблицы
1.	[2, с. 200—215, табл. 3.5]. Даны Q — процентные точки
/"-распределения для 0 = 50, 25, 10, 5, 2.5, 1, 0.5, 0.1, 0.05%;
и =1(1)10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120,«; v =1(1)30, 40, 60, 120,
оо; 55.
2.	[16, с. 98—103, табл. 1.1.2.10]. Приведены квантили
/"-распределения порядка р=0.95 и 0.99 для и = 1(1)12, 14, 16,
20, 24, 30, 40, 50, 75, 100, 200, 500, оо; v = 1(1)30(2)50(5)70, 80,
100, 125, 150, 200, 400, 1000, оо; 35.
3.	[3, с. 72—80, табл. 11а, 116, Ив]. Даны критические зна-
чения /"-распределения, соответствующие вероятности 6 =0.05,
0.025, 0.01 для « = 1(1)10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, оо;
v = 1(1)30, 40, 60, 120, оо; 45.
4.	[6, с. 64—87, табл. 4.1]. Приведены квантили /"-распреде-
ления порядка р = 0.5, 0.75, 0.9, 0.95, 0.975, 0.99, 0.995 для
« = 1(1)15, 18, 20, 24, 30, 48, 60, 120, оо; v = 1(1)30, 40, 48, 60, 80,
120, оо; 55.
5.	[14, с. Т14—П1, табл. 26.9]. Даны Q — процентные точки
/"-распределения для 2=0.5, 0.25, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005,
0.001; « = 1(1)6, 8, 12, 20, 30, 60, <ю; v = 1(1)30, 40, 60, 120, оо;
3—55.
Техника вычислений
Для вычисления значений функции распределения F{x; и, у)
Фишера—Снедекора могут быть использованы следующие фор-
мулы:
• при и четном
/"(x;«,v) = 1-т,/2
• у,.	. у (у+ 2)..	.2
1 + ^(1~т)+ Л2 --/(1~т):1+...+
у(у + 2)...(у + «~4) _
2-4...(и-2)	v f
u + v — 2(l — r\ (и+ v — 2)(и +v — 4) (1 - т
— — -  ----- - - - —— - ---------------
2	( т )	2-4	[t
(и + v-2)(« + у-4)...(у + 2)р~ т У“~2>/2
2-4...(и-2) I т J
253
• при v четном
F(x;u,v) = (1- т)“/2
1 . «т .	+ 2)_2+ . u(u + 2)...(u + v-4) (у.2)/2
2	2-4	“	2-4...(у —2)
= (1_T)(«+v-w 1 +
у—2 "
« + У-2Г т А (и + у-2)...(и + 2)Г т V
2	U-tJ+’“+ 2-4... .(v-2) Ц-J
где т = v/(v + их);
• при и, у нечетных (и > 1, v > 1)
F(x;u, v) = — <0 + sin0 cos0 + - cos3 0 + ... +	——————cosv 2 О
я! 1	3	3-5-...(у —2)
sin 0 cos2 0 <
г-гГу-П
лГт
1 + ——sin20 + ...+
(v + l)(v + 3)-...- (v+ “-4)^-30
35-...(и-2)
где 6
В частности:
F(x; 1,1) = —arctgVx;
п
F(x; и, 1) = 2
F(x; 1, v) = 2Fc(Vx;v)-l;
Л*; и, 2) =
2 + их
F(x; 2, v) =1-
где Fc (/*; v) — функция распределения Стьюдента с v степенями
свободы.
При больших и, у функцию распределения Фишера—Снеде-
кора можно аппроксимировать функцией стандартного нор-
мального распределения
F(x;u,v) = Ф(г) +е(«,у) = | +Ф0(г) + е(«,у),
где
|е(и,у)|^ 5-10’4.
254
Для вычисления /(-квантили х (р; и, v) распределения Фи-
шера—Снедекора с и, v степенями свободы можно использовать
формулы:
х(р; 1,1) = tg2(y);

х(р; 1, v) =
х(р; 2, v)
где t(p; v) — квантиль порядка р распределения Стьюдента с v
степенями свободы.
При достаточно больших и, v могут быть использованы
приближенные формулы:
	(1-— 1 9«J	1 9vJ 1	1^- (4.5	-fl' и V	--Й 9vJ I	<	? и2 п J 4.5 wv	я 3	
х(р;и,у) я									
			О'	—У 9vJ	и2 _ _р 4.5v				
где ир — квантиль стандартного нормального распределения
порядка р-,
и *Ja + с	(	7 я
х(р; и, v) «ехр<2 —------+ i c--- + 7
а	{	За 6
2(и— l)(v— 1) , u — v	ир~^
где а = —---—-----b =------------, с = —-----:
u + v~ 2	(« —1)(г~ 1)	6
x(f,U,v) я
2 к(1 -р,У)Г~ (у - 2)z_(l -р; у) + 4 - + 2И + v- 2 - 41 - Л v)
v_____________6 (2а + у — 2)_______________________________
и	2z (1 ~ Р, у)
v_____________________2z(r>^)	___________
и	+u + 2v.2^z^u)’
6(и + 2у - 2)
где z (р; л) — квантиль порядка р х ^распределения с п степе-
нями свободы.
255
В системе символьной математики DERIVE имеется функ-
ция F_DISTRIBUTION(x,u,v), дополняющая функцию распре-
деления Дх; и, у) Фишера—Снедекора до единицы:
F_DISTRIBUTION(x; u, v ) = Р(Х(и, у) > х) = 1 - F(x; и, у)
(см. [41], утилиты PROBABIL.MTH).
3.35.	Z-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА
Плотность f (z) = —(у + е11) "(“+’’)/2, — оо < z < °°,
вероятности
U’2j
где и, v — параметры формы, степени
свободы, целые положительные числа
Функция	F(z)=//^,^|, где	г
распределения	к2 2 7	v + ue
Характеристическая
функция
Математическое
ожидание
Мода
Дисперсия
-= 1(1 _П
Z 2<v uj
z=0
1(1 П
— - + —
2<v и)
Соотношения между распределениями
1.	Если случайная величина X имеет F-распределение си, v
степенями свободы, то случайная величина Z = (lnZ)/2 имеет
Z-распределение с и, v степенями свободы.
2.	Функция распределения F(z; и, у) ^распределения с
и, v степенями свободы связана с функцией распределения
F(z; v, и) Z-распределения с v, и степенями свободы равенст-
вом F(z', и, у) = 1 - F(-z; у, и). Это соотношение позволяет табу-
лировать Z-распределение только для положительных значе-
ний z. Если необходимо найти значение функции распределе-
256
/(г)
0.8
Рис. 3.51. Плотность вероятности распределения Фишера—Снедекора.
257
ния для отрицательных z, надо поменять знак у z и исполь-
зовать приведенное выше соотношение.
3.	Если случайная величина Z имеет Z-распределение с па-
раметрами и, v, то случайная величина X = exp(2Z) имеет
/-распределение с теми же параметрами.
4.	При больших и, v случайная величина Z, имеющая
Z-распределение с параметрами и, v, распределена приближен-
_ 1(1 П п 1(1 П
но нормально с параметрами z - ------иЛ.
2(v и) 2Vv и)
Пр имечание. Z-распределение было введено в дисперси-
онный анализ Р. Фишером. По его замыслу оно должно было
стать основным распределением при проверке статистических
гипотез в дисперсионном анализе. Однако в современной мате-
матической статистике используют более простую статистику F
и связанное с этой статистикой /'-распределение Фише-
ра— Снедекора.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ГРАФИКИ ДЛЯ ВЫБОРА ТИПА СГЛАЖИВАЮЩЕГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Если величины d, = Sk2 и b2 = Ex — Sk2 + 2 рассматривать как
координаты точки плоскости ОЬф,, то различным типам рас-
пределений вероятностей случайных величин будут соответст-
вовать определенные области, линии и точки первого квадран-
та этой плоскости. При этом распределениям с двумя парамет-
рами формы будут соответствовать определенные области,
распределениям с одним параметром формы — линии, а рас-
пределениям, не имеющим параметра формы, — определенные
точки. На рис. П.1.1, П.1.2 показаны области, линии и точки
плоскости Oi>tl>2, соответствующие распределениям вероятно-
стей непрерывных случайных величин, рассмотренных в дан-
ном справочнике.
На рис. П. 1.1 показаны области, соответствующие U-, J- и
«колоколообразному» бета-распределениям первого рода. Ли-
ния, отделяющая область /-образного бета-распределения от
области «колоколообразного» бета-распределения, соответству-
ет так называемому степенному распределению. Это рас-
пределение является частным случаем бета-распределения с
параметрами: и * 1, целое и v = 1 (плотность вероятности этого
распределения f(x) = их“~1, 0 < х < 1).
На рис. П.1.3 гамма-распределению, имеющему один пара-
метр формы а, соответствует линия ®. Жирные точки на этой
линии соответствуют распределению Эрланга и нормированно-
му распределению Эрланга. Точка 13 соответствует распределе-
нию Эрланга первого порядка (показательное распределение),
точка с координатами (2, 3) — распределению Эрланга второго
порядка и т. д. Точка с координатами (0.4, 2.2) соответствует
распределению Эрланга порядка т = 10. Из графика следует, что
по мере увеличения порядка т распределения Эрланга точки,
соответствующие этому распределению, постепенно приближа-
ются к точке 5, соответствующей нормальному закону распре-
деления. Этот факт хорошо согласуется с центральной предель-
ной теоремой теории вероятностей, которая утверждает, что с
увеличением числа т независимых, одинаково распределенных
слагаемых закон распределения суммы сходится к нормально-
му распределению.
Графики, приведенные на рис. П.1.1—П.1.3, помогают вы-
брать распределение вероятностей, наилучшим образом под
ходящее для сглаживания эмпирической кривой распределе-
259
Рис. П.1.1. Графики для выбора типа сглаживающего распределения.
1 — распределение арксинуса; 2 — равномерное распределение; 3 — параболи-
ческое распределение; 4 — распределение Симпсона; 5 — нормальное распре-
деление; 6 — логистическое распределение; 7 — распределение Чампернауна;
8 — распределение Лапласа; 9 — распределение Максвелла; 10 — распределе-
ние Рэлея; 11 — отраженное нормальное распределение с параметром положе-
ния т=0; 12 — двойное показательное распределение, распределение экстре-
мального значения; 13 — показательное распределение.
ния. При выборе типа сглаживающего распределения вместо
неизвестных числовых характеристик 5, и Ь2 используются их
выборочные оценки Af =(Skf и b2 = Ех* - (Sk*)2 + 2. Точка с
найденными По данным наблюдения координатами Ь\, Ь2 нано-
сится на график. В качестве сглаживающего распределения вы-
бирается то распределение, в область которого попала точка
(^i, Ь2), или же распределение, «характеристическая» линия
(или точка) которого находится ближе всего к точке (/>,*, Ь2).
При подборе типа сглаживающего распределения вероятно-
стей по графикам, приведенным на рис. П.1.1—П.1.3, следует
учитывать, что выборочные оценки Ъ*г и Ь2 очень чувствитель-
ны к «экстремальным» элементам выборки и вследствие этого
подвержены весьма существенному разбросу. Поэтому рассмат-
риваемые графики следует использовать с осторожностью, осо-
бенно в тех случаях, когда число наблюдений не очень велико,
например меньше 200.
На рис. П.1.1—П.1.3 используются следующие условные
обозначения распределений:
260
Рис. П.1.2. Графики для выбора типа сглаживающего распределения.
© — отраженное нормальное распределение;© — распределение Рэлея—Рай-
са; @ — распределение модуля л-мерного случайного вектора; 5 — нормаль-
ное распределение; 9 — распределение Максвелла; 10 — распределение Рэлея;
11 — отраженное нормальное распределение с параметром положения т = 0.
Q) — распределение модуля нормальной случайной величи-
ны (отраженное нормальное распределение);
(	2) — обобщенное распределение Рэлея (распределение Рэ-
лея—Райса);
®	— распределение модуля л-мерного случайного вектора;
©	— распределение Накагами;
©	— распределение Вейбулла—Гнеденко;
©	— гамма-распределение;
®	— обобщенное распределение Эрланга второго порядка;
©— гиперэкспоненциальное распределение второго порядка;
(9)	— распределение Парето;
@ — обратное гауссовское распределение (распределение
Вальда);
(JJ) — логарифмически нормальное распределение;
1	— распределение арксинуса;
2	— равномерное распределение;
3	— параболическое распределение;
4	— распределение Симпсона;
5	— нормальное (гауссовское) распределение;
б	— логистическое распределение;
7	— распределение Чампернауна;
8	— двустороннее показательное распределение (распреде-
ление Лапласа);
9	— распределение Максвелла;
10	— распределение Рэлея;
11	— отраженное нормальное распределение с параметром
положения т = 0;
261
Рис. П.1.3. Графики для выбора типа сглаживающего распределения.
Распределения:
@ — Накагами;
® — Вейбулла—Гнеденко;
© — гамма-распределение;
обобщенное распределение
Эрланга второго порядка;
® — гиперэкспоненциальное
распределение второго
порядка;
® — Парето;
® — обратное гауссовское;
© — логарифмически нормальное;
5	— нормальное;
6	— логистическое;
7	— Чампернауна;
8	— Лапласа;
9	— Максвелла;
10	— Рэлея;
11	— отраженное нормальное
распределение с параметром
положения т =0;
12	— двойное показательное,
распределение экстремального
значения;
13	— показательное.
12 — двойное показательное распределение, распределение
экстремального значения;
13 — показательное (экспоненциальное) распределение.
Номера распределений, которым соответствуют «характери-
стические» линии, обведены кружками.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В СТАТИСТИЧЕСКИХ ПАКЕТАХ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ
ДЛЯ ПЭВМ
Подробную справочную информацию об основных вероят-
ностных распределениях можно найти в статистических паке-
тах прикладных программ, таких, например, как STADIA,
STATGRAPHICS, STATISTICA и SPSS. Эти пакеты содержат
подробные сведения о свойствах вероятностных распределений,
наиболее часто используемых на практике, успешно заменяя
тем самым громоздкие статистические таблицы. В табл. П.2.1
перечислены распределения, справочные данные о которых на-
ходятся в перечисленных выше пакетах.
Таблица П.2.1
Распределение	Название пакета			
	STADIA v.6.0	STATGRAPHICS v.7.0	STATISTICA v.5.0	SPSS v.8.0.2
Дискретное равномерное	—	+	—	—
Пуассона	+	+	+	+
Бернулли	—	+	—	4-
Биномиальное	4-	+	4-	4-
Геометрическое	+	+	+	4-
Отрицательное биномиальное	+	+	—	4-
Гипергеометрическое	+	—	—	4-
Нормальное	+	4-	+	+
Двухстороннее показательное (Лапласа)	—	—	+	+
Коши	—	—	+	4-
Экстремального значения	+	—	+	—
Логистическое	+	—	4-	4-
Показательное (экспоненци- альное)	+	4-	+	4-
Гамма-	—	+	4-	+
Эрланга	4-	4-	—	—
263
Таблица П.2.1 (продолжение)
Распределение	Название пакета			
	STADIA v.6.0	STATGRAPHICS v.7.0	STATISTICA v.5.0	SPSS v.8.0.2
Вейбулла—Гнеденко	—	+	4.	+
Рэлея	4-	—	4-	4-
Логарифмически нормальное	+	+	4-	4-
Парето	—	—	4-	+
Равномерное (прямоугольное)	—	+	—	4-
Бета-	—	4-	4-	4-
Нецентральное бета-	—	—	—	4-
Треугольное	—	4-	—	—
X2-Пирсона	—	4-	+	4-
Нецентральное х2	—	—	—	4-
/-Стьюдента	—	+	+	4-
Нецентральное /-	—	—	—	4-
F-Фишера	—	4-	4-	4-
Нецентральное F-	—	i	—	—	4-
Пакет STATGRAPHICS
Пакет обеспечивает возможность работы с шестью дискрет-
ными и двенадцатью непрерывными распределениями (см.
табл. П.2.1). Для того чтобы получить доступ к нужному рас-
пределению, необходимо:
•	В главном меню пакета выделить раздел Н. Distribution
functions (функции распределения).
•	Нажать клавишу (Enter).
На экране появится диалоговое меню этого раздела
(рис. П.2.1).
DISTRIBUTION FUNCTIONS
1.	Distribution Fitting
2.	Distribution Plotting
3.	Tail Area Probabilities
4.	Critical Values
5.	Random Number Generation
Рис. П.2.1. Меню процедур, используемых при работе с распределениями.
264
Процедуры этого меню имеют следующее назначение:
1. Distribution Fitting (проверка согласия). Эта процедура
позволяет с помощью критериев Пирсона и Колмогорова про-
верить согласие между выборочным распределением и выбран-
ным для его сглаживания гипотетическим распределением.
2. Distribution Plotting (графики распределения). С помо-
щью этой процедуры можно построить графики следующих
функций, характеризующих свойства выбранного распределе-
ния:
•	функции плотности (Density function);
•	функции распределения (Cumulative d. f.);
•	функции выживания (Survivor function) (эта функ-
ция дополняет функцию распределения до единицы; в
теории надежности она называется функцией надежно-
сти)',
•	логарифмической функции выживания (Log. survi-
vor function);
•	функции риска (Hazard function).
3.	Tail Area Probabilities (вероятности хвостов). Эта проце-
дура вычисляет значение функции распределения F(x) выбран-
ного закона распределения, соответствующее заданному значе-
нию х ее аргумента.
4.	Critical Values (критические значения). Данная процедура
по заданному порядку р-квантили вычисляет саму квантиль
выбранного распределения. Эта процедура является обратной
по отношению к процедуре Tail Area Probabilities.
5.	Random Number Generation (генерирование случайных
чисел). Эта процедура предназначена для генерирования по-
следовательности случайных (вернее, псевдослучайных) чисел,
которые можно рассматривать как независимые реализации
случайной величины, подчиняющейся выбранному закону рас-
пределения.
Рассмотрим несколько примеров, поясняющих порядок ис-
пользования перечисленных выше процедур.
Пример 1. Построить графики функции плотности нормаль-
ных распределений с параметрами: xi = 0, Ст] = 1; хг = 0, с2 = 2;
х3 = 2, о j =1.
Для того чтобы решить эту задачу, необходимо:
•	В главном меню пакета выделить раздел Н. Distribution
Functions (функции распределения).
•	Нажать клавишу (Enter).
•	В открывшемся диалоговом меню раздела Н. Distribution
Functions выделить процедуру 2. Distribution Plotting (гра-
фики распределения).
10 Р. Н. Вадзинский
265
•	Нажать клавишу (Enter).
На экране появится окно процедуры Distribution Plotting с
полем ввода Distribution number: (номер распределения), в ко-
тором, по умолчанию, записан номер 14 нормального распре-
деления (рис. П.2.2).
Distribution Plotting
Distributions available
(11	Bernoulli	(7)	Beta	(13)	Lognormal
(2)	Binomial	(8)	Chi-square	(14)	Normal
(3)	Discrete uniform	(9)	Erlang	(15)	Student's t
(4)	Geometric	(10)	Exponential	(16)	Triangular
(5)	Negative binomial	(ID	F	(17)	Uniform
(6)	Poisson	(12)	Gamma	(18)	Weibull
Distribution number:	14
Рис. П.2.2. Диалоговое окно процедуры Distribution Plotting.
•	В поле ввода Distribution number сохранить предлагаемый
пакетом номер 14 нормального распределения.
•	Нажать клавишу (F6).
В окне процедуры Distribution Plotting появятся поля ввода
Mean (среднее) и Standard deviation (стандартное отклонение),
предназначенные для ввода параметров нормального распреде-
ления (рис. П.2.3).
•	Заполнить поля ввода значениями параметров нормальных
распределений, приведенными в условиях примера (см.
рис. П.2.3). (Переход от одного поля ввода к другому осу-
ществляется с помощью клавишей управления курсором и
клавиши Tab).
•	Нажать клавишу (F6>.
Distribution Plotting
Distributions available
(1) Bernoulli	(7) Beta	(13) Lognormal
(2) Binomial	(B) Chi-square (14) Normal
(3) Discrete uniform	(9) Erlang	(15) Student’s t
(4) Geometric	(10) Exponential (16) Triangular
(5) Negative binomial	(11) F	(17) Uniform
(6) Poisson	(12) Gamma	(19) Weibull
Distribution number:	14
Mean	Standard deviation
0	1
0	2 '
2	1
Рис. П.2.3. Заполнение полей ввода процедуры Distribution Plotting.
266
В правой нижней части окна Distribution Plotting появится
диалоговое окно, позволяющее выбрать нужную форму описа-
ния распределения (рис. П.2.4).
Density function
Cumulative d.f.
Survivor function
Log. survivor function
Hazard function
Рис. IL2.4. Меню форм представления непрерывного распределения.
•	В открывшемся диалоговом окне выделить строку Density
function.
•	Нажать клавишу (Enter).
Откроется окно с полями для ввода параметров оформления
графиков (рис. П.2.5). Три верхних поля ввода: Top title (заго-
ловок трафика), X-Axis Title (наименование оси X), Y-Axis Title
(наименование оси У) — предназначены для оформления заго-
ловка графика и наименования осей координат. Поля X-axis lo-
wer limit (нижняя граница по оси X) и X-axis upper limit (верх-
няя граница по оси X) служат для задания границ интервала, на
котором будет построен график. В поле Resolution (разреше-
ние) задается число точек, по которым будет строиться график.
Чем больше число таких точек, тем точнее график, выводимый
на экран, и тем меньше скорость вывода графика. Поля Le-
gends (легенды) предназначены для указания соответствия
между типами линий графиков и параметрами кривых распре-
деления, выводимых на график. Эти данные выводятся в пра-
вом верхнем углу графика. В рассматриваемом случае каждой
линии графика соответствует свой набор параметров нормаль-
ного распределения — среднее (математическое ожидание) и
стандартное отклонения. В поля ввода Legends можно вводить
и символьные записи.
Distribution Plot Options
Top title:	Prob.	Density Fen.
(	2 lines)	Normal
X-Axis Title:	X
Y-Axis Title:	prob,	density
X-axis lower limit:	-10
X-axis upper limit:	10
Resolution:	50
Legends: 0 1
0 2
2 1
Р	ис. П.2.5. Заполнение полей ввода параметров графиков распределений.
267
Поля ввода заполнены самим пакетом на основании введен-
ных ранее исходных данных. При необходимости можно изме-
нить заполнение полей ввода.
•	Сохранить заполнение полей ввода окна Distribution Plot
Options, предлагаемое пакетом.
•	Нажать клавишу (F6).
На экране появятся три кривые нормальных распределений,
рассматриваемых в данном примере (рис. П.2.6). Вдоль правой
границы экрана располагается панель, используемая при моди-
фикации графиков. С помощью этой панели можно устанавли-
вать нужные атрибуты графика: цвет, изображение точек и ли-
ний, размер графика и т. д.
Примечания: 1. Число полей ввода параметров распре-
деления и их наименование зависят от выбранного распределе-
ния. Так, например, для того чтобы задать бета-распределение,
необходимо ввести два параметра формы этого распределе-
Рис. П.2.6. Графики функций плотности нормальных распределений с пара-
метрами: Xj - 0, cFj -1; х, = 0, аа = 2; х3 = 2, а3 = 1.
ния — Alpha и Beta, тогда как для задания треугольного распре-
деления надо ввести три параметра — Lower limit (нижняя гра-
ница распределения), Central point (мода) и Upper limit (верхняя
граница), и т. д.
2.	Содержание диалогового окна выбора формы представ-
ления распределения (см. рис. П.2.4) также зависит от выбран-
268
ного распределения. В нем перечисляются только те функции,
которые доступны для данного распределения.
3.	Процедура Distribution Plotting позволяет выводить на эк-
ран до пяти однотипных кривых одного и того же распределе-
ния. Несколько сложнее получить на одном графике разнотип-
ные кривые одного и того же распределения и даже однотипные
кривые различных распределений. Делается это с помощью
процедуры наложения одного графика на другой (см. раздел
С. Report Writer and Graphics Replay (составитель отчета и вос-
произведение графиков) главного меню, процедура Splitscre-
en/Overlay Plotting (разделение экрана/наложение графиков)).
Пример 2. Вычислить вероятности биномиального ряда рас-
пределения с параметрами п = 5 и р = 0.4.
Для решения поставленной задачи необходимо:
•	В главном меню пакета выделить раздел Н. Distribution
Functions (функции распределения).
•	Нажать клавишу (Enter).
•	В открывшемся диалоговом меню раздела Н. Distribution
Functions выделить процедуру 2. Distribution Plotting (гра-
фики распределения).
•	Нажать клавишу (Enter).
На экране появится окно процедуры Distribution Plotting с
полем ввода Distribution number: (номер распределения), в ко-
тором, по умолчанию, записан номер 14 нормального распре-
деления (см. рис. П.2.2).
•	В поле ввода Distribution number ввести номер 2 биномиаль-
ного распределения.
•	Нажать клавишу (F6).
В окне процедуры Distribution Plotting появятся поля ввода
Number of trials (число испытаний) и Event probability (вероят-
ность события), предназначенные для ввода параметров бино-
миального распределения.
•	В поле ввода Number of trials ввести число 5, а в поле вво-
да Event probability — число 0.4.
•	Нажать клавишу (F6).
В правой нижней части окна Distribution Plotting появится
диалоговое окно, позволяющее выбрать нужную форму описа-
ния распределения (рис. П.2.7).
•	В открывшемся диалоговом окне выделить строку Prob.
Mass function (функция вероятности).
•	Нажать клавишу (Enter).
Откроется окно с полями для ввода параметров оформления
графика.
269
Prob. Mass function
Cumulative d.f.
Survivor function
Log. survivor function
Рис. П.2.7. Меню форм представления дискретного распределения.
•	В случае необходимости ввести нужные изменения в пред-
лагаемые системой параметры оформления графика.
•	Нажать клавишу (F6).
На экране появится график биномиального ряда распреде-
ления с параметрами п = 5, р = 0.4 (рис. П.2.8).
Prob. Hass Fen.
Binomial
2	3
♦•Axes
-Transform
- T. i iiRs/Pts
-Fills
-Legends
-Text
-Layout
-Resize
Rota te
-Edit
Res tore
-Special
-Pr inter
-Plotter
-Slide
-Metafile
-He Ip
-Qu it
Рис. П.2.8. График биномиального ряда распределения с параметрами
л =5, />=0.4.
Для того чтобы получить конкретные числовые значения ве-
роятностей биномиального ряда распределения, необходимо:
•	Нажать на клавиатуре клавишу <S> (или щелкнуть левой
клавишей мыши по полю Special на панели модификации
графиков, расположенной у правой границы экрана).
•	Нажать на клавиатуре клавишу (I) (первая буква команды
Identify).
Курсор мыши, ранее имевший форму стрелки, примет фор-
му креста.
270
•	Подвести крест курсора к точке с координатами (0, р0),
где р0 = Р(Х = 0) — вероятность того, что случайная вели-
чина X, распределенная по биномиальному закону с пара-
метрами п = 5, р = 0.4, примет значение 0.
•	Щелкнуть левой клавишей мыши.
Точка изменит цвет, а в правой части экрана появится за-
пись: Row: 1, X: 0, Y: 0.07776. Это запись означает, что вероят-
ность р0 = Р(Х =0) =0.07776.
Повторяя рассмотренные действия с каждой точкой графи-
ка, получим значения остальных вероятностей рх, х = 1, 2,..., 5,
образующих ряд распределения случайной величины X, кото-
рая подчиняется биномиальному закону распределения с пара-
метрами п = 5, р = 0.4:
А	Л			А	А
		Pi	А		
0.07776	0.2592	0.3456	0.2304	0.0768	| 0.01024
Здесь рх - Р(Х =х) — вероятность того, что биномиальная
случайная величина X примет значение х.
Пример 3. Найти критические значения порядка 0.05, 0.025,
0.01 х2~РаспРеДеления с девятью степенями свободы.
Решение. Критические значения распределения порядка
0.05, 0.025, 0.01 есть не что ийое, как квантили порядка 0.95,
0.975, 0.99 того же распределения, т. е.
*(0.0S) s*0.»S>	*(0.02S) = *0.975 ’	*(0.01) 3 *0.99 •
Для того чтобы найти эти квантили, необходимо:
•	В главном меню пакета выделить раздел Н. Distribution
Functions (функции распределения).
•	Нажать клавишу (Enter).
•	В открывшемся диалоговом меню раздела Н. Distribution
Functions выделить процедуру 4. Critical Values (критиче-
ские значения).
•	Нажать клавишу (Enter).
Откроется окно процедуры Critical Values с полем ввода Dis-
tribution number: (номер распределения), в котором по умолча-
нию записан номер 14 нормального распределения.
•	В поле ввода Distribution number ввести номер 8 хи-квад-
рат-распределения.
• Нажать клавишу (F6).
271
В нижней части окна Critical Values появится поле ввода De-
grees of freedom (число степеней свободы).
•	Ввести в поле ввода Degrees of freedom заданное число 9
степеней свободы.
•	Нажать клавишу <F6>.
В нижней части окна Critical Values появятся четыре поля
ввода Area at or below (площадь в точке и левее). В активной ча-
сти этих полей по умолчанию записаны числа 0.5.
•	В первые три поля ввода Area at or below ввести нужные
значения порядка р квантилей (рис. П.2.9).
Critical Values
Distributions available
(1)	Bernoulli	(7)	Beta	(13)	Lognormal
(2)	Binomial	(8)	Chi-square	(14)	Normal
(3)	Discrete uniform	(9)	Erlang	(15)	Student’s t
(4)	Geometric	(10)	Exponential	(16)	Triangular
(5)	Negative binomial	(11)	F	(17)	Uniform
(6) Poisson Distribution number: Degrees of freedom: Area at or below Area at or below Area at or below Area at or below		(12) 8 9	Gamma 0.95 =	0.975 =	0.99 0.5	(18)	Weibull
Рис. П.2.9. Заполнение полей ввода процедуры «Critical Values».
•	Нажать клавишу (F6).
В нижней части окна Critical Values, слева от каждого из вве-
денных значений порядка р, появятся искомые значения кван-
тилей (критических значений):
•^о.95 “•'(0,05) = 16.9258;	-*0.975 3*(о.о25) = 19.0453;
•*0.99 =^(0.01) = 21.6676.
Примечания: 1. Процедура 4. Critical Values наряду с
процедурой 3.Tail Area Probabilities с успехом заменяет громозд-
кие таблицы математической статистики.
2. Во всех процедурах раздела Н. Distribution Functions ис-
пользуется аналогичный порядок выбора распределения и за-
полнения полей ввода, соответствующих выбранному распре-
делению.
272
Пример 4. Сформировать последовательность из десяти слу-
чайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;
1).
Для формирования требуемой последовательности необхо-
димо:
•	В главном меню пакета выделить раздел Н. Distribution
Functions (функции распределения).
•	Нажать клавишу (Enter).
•	В открывшемся диалоговом меню раздела Н. Distribution
Functions выделить процедуру 5. Random Number Generation
(генерирование случайных чисел).
•	Нажать клавишу (Enter).
На экране появится окно процедуры Random Number Gene-
ration с полем ввода Distribution number, в котором по умолча-
нию записан номер 14 нормального распределения (окно про-
цедуры Random Number Generation имеет такой же вид, как и
окно процедуры Distribution Plotting (см. рис. П.2.2)).
•	В поле ввода Distribution number ввести номер 17 равно-
мерного распределения.
•	Нажать клавишу (F6>.
В окне процедуры Random Number Generation появятся
поля ввода Lover limit (нижний предел), Upper limit (верхний
предел), Number of samples (объем выборки), предназначен-
ные для ввода параметров равномерного распределения и
числа членов формируемой последовательности. Эти поля
заполнены по умолчанию самим пакетом (Lover limit: О,
Upper limit: 1, Number of samples: 100). Под полями ввода на-
ходится поле Seed (ячейка), которое содержит исходное чис-
ло (исходную константу) равномерной случайной (точ-
нее, псевдослучайной) последовательности, с помощью кото-
рой формируются все остальные случайные числа этой
последовательности. Исходная константа должна быть целым
положительным числом, не превышающим по величине чис-
ла 2 147 483 646. Она устанавливается по умолчанию самой
системой и обновляется после каждого обращения к проце-
дуре генерирования случайных чисел. Процесс обновления
определяется текущим временем на системном таймере
ПЭВМ.
•	Оставить без изменения содержимое полей ввода Lover limit
и Upper limit.
•	В поле ввода Number of samples ввести число 10.
•	Нажать клавишу (F6).
273
На экране появится запрос Enter variables in which to save the
samples («Введите имя переменной, в которой сохранить выбор-
ку»). Под запросом находятся поля ввода File (файл) и Variable
(переменная). Пакет предлагает сохранить сформированную
последовательность в рабочей области (файле) WORKAREA в
переменной SAMPLES.
• Нажатием клавиши (F6) подтвердить согласие с предло-
жением системы по сохранению сформированной пакетом
случайной последовательности.
В результате последовательность случайных чисел, сформи-
рованная пакетом, записывается в рабочую область WORKA-
REA, в переменную с именем SAMPLES. На рис. П.2.10 приве-
дено содержимое рабочей области WORKAREA.
FILE:	WORKAREA
Row SAMPLES
1 .264862027
2 .787888543
3 .305657230
4 .942209051
5 .511257508
6 .945102616
7 .465175573
8 .778779021
9 .324196141
10 .232401697
Рис. П.2.10. Последовательность случайных чисел, равномерно
распределенных в интервале (0; 1).
Следует иметь в виду, что данные, записанные в рабочую об-
ласть WORKAREA, сохраняются только в течение текущего сеанса
работы с пакетом. При завершении сеанса эти данные безвозврат-
но теряются. В том случае, когда необходимо сохранить сформи-
рованную последовательность случайных чисел для использования
в последующих сеансах работы с пакетом, ее следует записать не в
рабочую область WORKAREA, а в какой-либо файл.
Примечание. При формировании заданной последова-
тельности случайных чисел использовалась исходная константа
1503238552. При следующей попытке сформировать последо-
вательность из десяти случайных чисел, равномерно распреде-
ленных в интервале (0; 1), система введет другую исходную
константу, отличную от константы, использованной в нашем
примере, и сформирует другой набор случайных чисел, отлича-
274
ющийся от приведенного на рис. П.2.10. Для того чтобы полу-
чить точно такую же последовательность, как в данном приме-
ре, необходимо при заполнении полей ввода окна Random
Number Generation ввести в ячейку Seed исходную константу
1503238552.
Пакет STATISTICA
Пакет обеспечивает возможность работы с тремя дискретны-
ми и пятнадцатью непрерывными распределениями. В
табл. П.2.2 приведены имена встроенных функций, с помощью
которых выполняются вычисления, связанные с этими распре-
делениями.
Таблица П.2.2
Дискретные распределения
Распределение	Функция вероятности	Функция распределения	
Пуассона Биномиальное Геометрическое	poisson (х, 1) binom (х, р, п) geom (х, р)	ipoisson (х, 1) ibinom (х, р, п) igeom (х, р)	
Непрерывные распределения
Распределение	Функция плотности	Функция распределения	Функция, обратная функции распреде- ления
Нормальное	normal (х, m, s)	inormal (х, т, s)	vnormal (х, т, s)
Лапласа	laplace (х, а, Ь)	ilaplace (х, а, Ь)	viaplace (х, а, Ь)
Коши	cauchy (х, h, q)	icauchy (х, h, q)	vcauchy (х, h, q)
Экстремально- го значения	extreme (х, а, b)	iextreme (х, а, b)	vextreme (х, а, b)
Логистическое	logis (х, а, Ь)	ilogis (х, а, Ь)	vlogis (х, а, Ь)
Показательное (экспоненци- альное)	expon (х, 1)	iexpon (х, 1)	vexpon (х, 1)
Гамма-	gamma (х, с)	igamma (х, с)	vgamma (х, с)
Вейбулла—Гне- денко	weibull (х, Ь, с, q)	iweibull (х, b, с, q)	vweibull (х, b, с, q)
Рэлея	rayleigh (х, b)	irayleigh (х, b)	vrayleigh (х, b)
Логнормальное	lognorm (х, т, s)	ilognorm (х, т, s)	vlognorm (х, т, s)
Парето	pareto (х, с)	ipareto (х, с)	vpareto (х, с)
Бета-	beta (х, п, w)	ibeta (х, n, w)	vbeta (х, n, w)
X2-Пирсона	сЫ2 (х, п)	ichi2 (х, п)	vchi2 (х, п)
/-Стьюдента	student (х, df)	istudent (х, df)	vstudent (х, df)
F-Фишера	F (х, п, w)	iF (х, n, w)	vF (х, n, w)
275
Для того чтобы запустить пакет STATISTICA, необходимо:
•	Нажать кнопку Start (пуск), расположенную в левой час-
ти панели задач системы Windows.
Откроется главное меню системы Windows.
•	Установить указатель мыши на пункте Programs (програм-
мы) этого меню.
На рабочем столе системы Windows появится подменю Pro-
grams (программы).
•	В подменю Programs (программы) установить указатель
мыши на папке STATISTICA.
•	В открывшемся перечне программ, находящихся в этой
папке, установить указатель мыши на программе STATIS-
TICA и нажатием левой клавиши мыши запустить эту про-
грамму.
После запуска программы STATISTICA на экране появится
переключатель модулей пакета STATISTICA (STATISTICA Mo-
dule Switcher) (рис. П.2.11). Этот переключатель позволяет бы-
стро выбрать нужный статистический модуль пакета. Пакет го-
тов к работе.
STATISTICA Module Switcher
Basic Statistics/Tables
а
ж
Nonpar ametrics/Distrib.
Oanova/manova
Nonlinear Estimation
k* Time Series/Forecasting
jp- Cluster Analysis
jgiii Data Management/MFM
Factor Analysis
‘Descriptive statistics,	Л
breakdown tables, :
Ггефепсу. tables,^..	*
cipsstabulations (with :
banners, multiple;' > л -
response tables), reports;
cofreUbdns, regressions; \
t*tests; differehces f I
* between Variances, r's,
proportions; probability
са1сйЦф; J :л /' '<
Also, Quick Basic;Stats
irar^avaiiableJiorrtall ’ & h
} toolbars; . • * * Л. >

г

Рис. П.2.11. Переключатель модулей пакета STATISTICA.
В пакете STATISTICA дискретные распределения реализу-
ются только с помощью встроенных функций, задающих функ-
276
цию вероятности и функцию распределения выбранного диск-
ретного закона распределения.
Непрерывные распределения могут быть реализованы как с
помощью встроенных функций, так и с помощью вероятност-
ного калькулятора (Probability calculator), который находится в
модуле Basic Statistics and Tables (основные статистики и таб-
лицы) (см. рис. П.2.11).
Для того чтобы получить доступ к модулю Basic Statistics and
Tables, необходимо:
•	В переключателе модулей STATISTICA Module Switcher
выделить строку Basic Statistics/Tables (основные статисти-
ки/таблицы) (см. рис. П.2.11).
•	Нажать кнопку Switch to (перейти в), расположенную в
нижней части переключателя модулей (или нажать одно-
временно клавиши (Alt) и (S)).
Откроется окно Basic Statistics and Tables (рис. П.2.12).

Basic Statistics and Tables
Descriptive statistics
Correlation matrices
(IXD t-test for independent samples
t-test for dependent samples
ЦЦ Breakdown & one-way AN OVA
Frequency tables
T ables and banners
Ю1 Other significance tests


..V ''
•".v t'Z-X
Probability calculator
ОК.
CASESU

Рис. П.2.12. Диалоговое окно модуля «Basic Statistics and Tables».
•	В открывшемся окне Basic Statistics and Tables выделить
строку Probability calculator (вероятностный калькулятор).
•	Нажать кнопку ОК в верхней части окна (или клавишу
(Enter) на клавиатуре).
Откроется диалоговое окно Probability Distribution calculator
(калькулятор вероятностных распределений) (рис. П.2.13).
В левой части этого окна расположен список распределе-
ний Distribution (распределение). Для того чтобы активизи-
ровать нужное распределение, необходимо установить курсор
277
Probability Distribution Calculator
ЙЕЗ
Distribution
Cauchy
Chi I
Exponential
Extreme value
F
Gamma
Laplace
Log-Noimal
Logistic
Pareto
Rayleigh
t (Student]
Weibull
Z (Normal)
Fixed Scaling
Г Inverse	Г* Print ё	Compute
Г Two-tailed	П Create Graph
П (1-Cumulative p)	£xit
Рис. П.2.13. Диалоговое окно вероятностного калькулятора
(начальное состояние).
мыши на название этого распределения и щелкнуть левой
клавишей мыши. При этом справа от списка распределений
появятся эскизы графиков функции плотности (Density Func-
tion) и функции распределения (Distribution Function), а над
графиком функции распределения откроются поля ввода ис-
ходных данных и параметров выбранного распределения. Чис-
ло полей ввода и их наименование зависят от выбранного
распределения. Например, при выборе бета-распределения
появляются два окна ввода параметров этого распределения
shape 1 (параметр формы 1) и shape! (параметр формы 2) (см.
рис. П.2.13), а при выборе показательного распределения —
одно окно lambda.
Под списком распределений находится флажок Fixed Scaling
(фиксированная шкала). В том случае, когда этот флажок уста-
новлен, все графики, следующие за первым, изображаются в
том же самом масштабе, что и первый график. Это позволяет
сразу же увидеть те изменения графика, которые обусловлены
изменениями параметров распределения. Однако при очень
больших изменениях параметров это может привести к выходу
нового графика «за экран». В таких случаях флажок следует
сбросить.
В верхней части окна, правее списка распределений, на-
ходятся флажки: Inverse (функция, обратная функции рас-
пределения), Two-tailed (двухстороннее), (1-Cumulative р)
(1—накопленная р), Print (печать) и Creat Graph (построить
график).
278
Табл. IL2.3 поясняет назначение и взаимную связь флажков
Inverse, Two-tailed и (1-Cumulative р).
Таблица П.2.3
Исходная величина	Активные флажки	Результат вычислений
Прямая задача		
	Нет	p = F(X <z)-F(z) — значение функции рас- пределения Дх), выбранного распределения, в точке х = z
Z	Two-tailed	р = Дх -z<X<x+z) — вероятность того, что рассматриваемая^ случайная величина X по- падет в интервал (х - z, х + z\ Здесь и далее х — среднее значение (математическое ожида- ние) рассматриваемой случайной величины X
	(1—Cumulative р)	р = Дх + z < X < оо) — вероятность того, что рассматриваемая случайная величина X попадет в интервал (х + z, °0)
	Two-tailed (1-Cumulative р)	р = 1 - Дх -z<X < х + z) — вероятность того, что рассматриваемая случайная величина X не попадет в интервал (х - z, х + z)
Р	( Inverse	Эбратная задача Квантиль хр порядка р. На графике функции плотности отмечена точка хр
	Inverse Two-tailed	Квантиль +	п0РВДка (1 + Д/2. На графике функции плотности отмечены точки: "Х(1 + /)/2 И *(1 + Г)Ц
	Inverse (1-Cumulative p)	Квантиль Xj „ порядка 1 -р. На графике функции плотности отмечена точка Xj_p
	Inverse Two-tailed (1—Cumulative p)	Квантиль	порядка 1 - р/Т.. На гра- фике функции плотности отмечены точки: -Х1-р/2 И
Примечания: 1. Флажок Two-tailed используется только при работе
с симметричными распределениями.
2. Всякий раз, когда в поле р вводится какое-нибудь число, автомати-
чески активизируется флажок Inverse (в связи с этим не совсем ясно, для
чего нужен этот флажок).
В центре окна, под флажками, расположены поля, предназначенные
для ввода исходных данных и выдачи результата вычислений (в случае нор-
мального распределения — это поля Z и р). Использование этих полей за-
висит от решаемой задачи. Так, например, при вычислении значения функ-
ции распределения F(x) в заданной точке х (т. е. при решении прямой за-
дачи) поле Z является полем ввода (в него вводится заданное значение х
аргумента), а поле р — полем выдачи результата вычислений (в него выво-
дится вычисленное пакетом значение функции распределения F(x) в за-
данной точке х). При вычислении квантили х? (т. е. при решении обрат-
ной задачи) полем ввода является поле р (в него вводится порядок р кван-
тили), а полем выдачи результата — поле Z (в него выводится квантиль хр).
279
В правом верхнем углу окна находится кнопка Compute (вы-
числить). С помощью этой кнопки подается команда на выпол-
нение вычислений. Процесс построения графиков запускается
нажатием кнопки Compute при включенном флажке Creat
Graph.
Рассмотрим примеры, поясняющие использование вероят-
ностного калькулятора.
Пример 5. Найти нижнюю и верхнюю пятипроцентные точки
/-распределения Стьюдента с десятью степенями свободы.
Для того чтобы решить эту задачу, необходимо:
•	В переключателе модулей STATISTICA Module Switcher
выделить модуль Basic Statistics/Tables.
•	Нажать кнопку Switch to.
•	В открывшемся окне Basic Statistics and Tables выделить
строку Probability calculator.
•	Нажать кнопку ОК (или клавишу (Enter)).
•	В открывшемся окне Probability Distribution calculator, в
списке распределений, установить курсор мыши на строке
t (Student) (/-распределение Стьюдента) и щелкнуть левой
клавишей мыши.
Справа от списка распределений появятся эскизы графиков
функции плотности (Density Function) и функции распределе-
ния (Distribution Function) /-распределения Стьюдента, а над
графиком функции распределения откроется поле df (degrees of
freedom) — число степеней свободы.
•	Установить флажки Inverse, Two-tailed.
•	В поле ввода р ввести число 0.9, а в поле df — число 10.
•	Нажать кнопку Compute.
В поле t, предназначенном для выдачи результата вычисле-
ний, появится число 1.812460. Это и есть верхняя пятипроцент-
ная точка /-распределения Стьюдента с десятью степенями сво-
боды, т. е. х“0 05) = 1.812460. В силу симметрии /-распределения
Стьюдента нижняя пятипроцентная точка этого распределения
=-1.812460.
Результат вычислений можно представить в графическом
виде. Для этого необходимо:
•	Включить флажок Creat Graph.
•	Нажать кнопку Compute.
На экране появятся график функции плотности /-распреде-
ления Стьюдента с десятью степенями свободы и график функ-
ции Р(-|х|<Х<|х|) =1-2(1-Fc(|x|)), где Гс(х) — функция
распределения /-распределения Стьюдента (рис. П.2.14).
280
Probability Distribution Function
p= 1 -2*( I -istudent(abs(x); 10))
Probability Density Function
y=student(x;10)
Рис. IL2.14. Кривые распределения Стьюдента с десятью степенями свободы.
Рассматриваемую задачу можно решить и по-другому.
•	Сразу же после активизации /-распределения Стьюдента,
не включая никаких флажков, ввести в поле ввода р число 0.95.
(При этом автоматически включится флажок Inverse. Так про-
исходит всякий раз, когда в поле р вводится какое-нибудь чис-
ло).
•	В поле df ввести чиало 10.
•	Нажать кнопку Compute.
В поле t выдачи результата вычислений появится число
1.812460.
Возможен и такой вариант решения:
•	Сразу же после активизации /-распределения Стьюдента
установить флажки Two-tailed и (1—Cumulative р).
•	В поле ввода р ввести число 0.1. (При этом автоматически
включится флажок Inverse).
•	В поле df ввести число 10.
•	Нажать кнопку Compute.
В поле t выдачи результата вычислений появится число
1.812460.
Пример 6. Вычислить вероятности биномиального ряда рас-
пределения с параметрами п = 5 и р = 0.4.
В вероятностном калькуляторе пакета STATISTICA v. 5.0 нет
дискретных распределений. Поэтому все вычисления, связан-
ные с этими распределениями, реализуются с помощью встро-
енных функций, задающих функцию вероятности и функцию
281
распределения выбранного дискретного закона распределения.
В частности, вычисления, связанные с биномиальным распре-
делением, выполняются с помощью встроенных функций
binom(x,p,n)=Cxpx(l — р)п х и
ibinom (х, р, n) =	(1 - р),
1-0
х =0,1,..., п.
Примечание. В англоязычной литературе по теории веро-
ятностей под функцией распределения понимается функция
F(x) = Р(Х £ х). В отечественной литературе функцией распре-
деления называется функция F(x) = Р(Х <х).
Решение задачи начинается с создания пустой электрон-
ной таблицы. Для создания этой таблицы необходимо следую-
щее.
•	В переключателе модулей STATISTICA Module Switcher
выделить модуль Basic Statistics/Tables (основные стати-
стики/таблицы).
•	Нажать кнопку Switch to (перейти в), расположенную в
нижней части переключателя модулей.
Откроется рабочее окно системы STATISTICA (рис. П.2.15).
fie £<ft~	* fctfixlow НФ
Advertising Effectiveness Study
вас
111»]
I^Data. ADSTUDYS1A 25v ' 50c
TEXT
VALUES
M. Btxnfa ••
STATISTICA: Basic Statistics and Tables
J. Owen t
H Morrcyr^
F.'~ East ...
|Qutpul.OFF " JSetOFF fWeightOFF J
Рис. П.2.15. Рабочее окно системы STATISTICA.
PEPSI
COKE
COKE
PEPSI
PEPSI
COKE
COKE
PEPSI
PEPSI
PEPSI
PEPSI
COKE
MALE
FEMALE
MALE
MALE
FEMALE
FEMALE
MALE
FEMALE
MALE
FEMALE
MALE




В рабочей области открывшегося окна находится электрон-
ная таблица, содержащая данные, которые использовались в
282
предыдущем сеансе работы с системой STATISTICA. При пер-
вом запуске системы автоматически открывается электронная
таблица, содержащая файл ADSTUDY.STA 25v * * 50с, который
входит в набор примеров, поставляемых с системой (именно
этот случай изображен на рис. П.2.15).
•	Подвести курсор мыши к пункту File (файл) и щелкнуть
левой клавишей мыши.
•	В меню, открывшемся после щелчка мыши, выбрать
команду New Data (новые данные).
Откроется окно New Data: Specify File Name (новые данные:
определить имя файла) (рис. П.2.16).
New Data: Specify File Name	___________HB
Filename:
inew-st
ntrwvtd
oilcloth sla
ohmpic. sta
opinion sta
patients sta
pike. sta
pistons ala
-..I	-
Qirectones:
d: Mn a ths of t\stat\examples
Pjj mathsoft
stat
examples
Cl s epath
P.l stbasic	**
| OK |
Cancel I
List Files of Type:	Primos: ,	>	,.
| Data Files [‘.sta)	| i~~j d: win95 dat
' ^orkbjdok RlestWl dAmathsoft\stat\examples\greph1. stg
Рис. П.2.16. Окно «Новые данные: Определить имя файла»
(начальное состояние).
• В поле ввода File Name (имя файла) открывшегося диало-
гового окна New Data: Speciify File Name ввести имя BIN-
DIST.STA. (Это имя представляет собой комбинацию из
начальных фрагментов двух слов: binomial (биномиальное)
и distribution (распределение). Можно было бы использо-
вать и какое-нибудь другое имя, например BD).
• Нажать кнопку ОК.
В рабочей области откроется пустая электронная таблица, в
заголовке которой записаны ее имя и размер: Bindist.sta
10v*10c (рис. П.2.17). Размер таблицы 10v*10c (10 столбцов-пе-
ременных* 10 строк-случаев) и имена переменных VARI, VAR2,
VAR10, которые предполагается хранить в таблице, предло-
жены системой по умолчанию.
• Дважды щелкнуть левой клавишей мыши по имени пере-
менной VAR1.
283
нгагз
'tgrtala- BINDI5T STA lOv ~ 10c
Рис. П.2.17. Пустая электронная таблица для биномиальных вероятностей.
Variable 1	____________________ИЕЗ
Откроется диалоговое окно Variable 1 с окнами ввода Name
(имя переменной), Column width (ширина столбца), Decimals
(число десятичных знаков после разделительной точки), Long
name (длинное имя) (рис. П.2.18).
• В поле Name ввести имя переменной ВЕРОЯТ.
• В поле Column width ввести число 6, а в поле Decimals —
число 5.
• В поле Long name ввести знак равенства и имя =Bi-
nom(v0-l,0.4,5) функции вероятности биномиального рас-
пределения с заданными параметрами р = 0.4 и п = 5 (см.
рис. П.2.18).
Name: jBE РОЯТjMP code:j-3333 §
У ---:	 s : :	... • •
r- Display Format —-—;-i—
У Column jstjdtl»:	7 Decimals: p Ц
,	-V*..... -,чЛ“. .“-iT'
........
Number
Date
Time
Scientific
Currency
Percentage
1000.000; >1000 000
1,000.000; -1,000.000
л: 1000.000; (1000.000)
S 1,000.000; (1,000.000)
Long name (label link, or formula with Function*
=binom(v0-1,0.4,5)
ок
Cancel
д-
t^Ali'Spec*;.^
Text Value*
-^alueiZStal^
’ Fdrmulasr «vJkv? ; comment
Г <£


9


Рис. П.2.18. Окно спецификации переменной «Variable Ь.
284
•	Нажать кнопку ОК.
На экране появится диалоговое окно с сообщением Expressi-
on ОК (выражение правильное) и запросом Recalculate the vari-
able now? («Пересчитать переменную?») (рис. П.2.19).
STATISTICA
Едо*&йм£р,1С ж 12222^- ''
Recalculated MariabSdw,?*z


Рис. П.2.19.
•	Нажать кнопку Yes.
Электронная таблица примет вид, изображенный на рис. П.2.20.
Из таблицы следует, что
/>0 =0.07776, />, = 0.25920, рг =034560, р3 =0.23040,
р4 =0.07680, р5 =0.01024.
(Сравните эти результаты с результатами решения приме-
ра 2).
Замечание. При решении примера 6вычисление биноми-
альных вероятностей осуществлялось с помощью встроенной
функции binom(x,p,n), где х = 0, 1, ..., 5, р = 0.4ии = 5. При
этом в качестве аргумента этой функции использовалось выра-
жение v0 — 1, где v0 — номер текущей строки электронной таб-
лицы. Таким образом, при заполнении первой строки таблицы
(т. е. при v0 = 1) аргумент х принимал значение 0 (х = v0 - 1 =
= 1 — 1=0), при заполнении второй строки (т. е. при v0 = 2),
Рис. П.2.20. Электронная таблица с биномиальными вероятностями
(р = 0.4, п =5).
285
аргумент х принимал значение 1 (х = vO - 1 = 2 — 1 = 1) и т. д.
В [35, с. 74, 79, 81, 82, 85—87, 90] в качестве «длинного имени»
использовалось «имя» binom(v0,0.4,5). В результате ни в одном
из примеров не вычислена вероятность р0 = Р(Х = 0).
Пример 7. Найти нижнюю и верхнюю однопроцентные точ-
ки хи-квадрат-распределения Пирсона с пятью степенями сво-
боды.
Для решения этой задачи необходимо:
•	В переключателе модулей STATISTICA Module Switcher
выделить модуль Basic Statistics/Tables.
•	Нажать кнопку Switch to.
•	В открывшемся окне Basic Statistics and Tables выделить
строку Probability calculator.
•	Нажать кнопку ОК (или клавишу (Enter)).
•	В открывшемся окне Probability Distribution calculator, в
списке распределений, установить курсор мыши на строке
Chi I (хи-квадрат-распределение) и щелкнуть левой клави-
шей мыши.
Справа от списка распределений появятся эскизы графиков
функции плотности (Density Function) и функции распределе-
ния (Distribution Function) хи-квадрат-распределения Пирсона,
а над графиком функции распределения откроется поле ввода
df (deegres of freedom — число степеней свободы).
•	В поле ввода р ввести число 0.01, а в поле df — число 5.
•	Нажать кнопку Compute.
В поле Chi I появится нижняя однопроцентная точка
х(ооп =0.554285 хи-квадрат-распределения с пятью степенями
свободы.
•	В поле ввода р ввести число 0.99.
•	Нажать кнопку Compute.
В поле Chi I появится верхняя однопроцентная точка
х“00п = 15.088091 хи-квадрат-распределения с пятью степенями
свободы. Таким образом, с точностью до третьего десятичного
знака =0.554, х"001) =15.088. На рис. П.2.21 приведены
графики функции плотности и функции распределения
хи-квадрат-распределения с пятью степенями свободы. На гра-
фике отмечена верхняя однопроцентная точка х"00|) = 15.088.
Пример 8. Сформировать последовательность из 12 случай-
ных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1).
Для формирования требуемой последовательности необхо-
димо:
286
Probability Density Function
Probability Distribution Function
Рис. П.2.21. Графики функции плотности и функции распределения
хи-квадрат распределения с пятью степенями свободы.
•	Создать пустую электронную таблицу и присвоить ей имя,
например Sample!.
•	На панели инструментов нажать кнопку Cases (случаи).
•	В открывшемся диалоговом окне выбрать команду Add...
(«Добавить»).
Откроется окно Add Cases («Добавить случаи (строки)»)
(рис. П.2.22).
Add Cases
Humber of' Са*е* to Adi |l	' [Ц;
". .Insert after Case: |T~ Щ
CancelL I''
Рис. П.2.22. Окно «Добавить строки в таблицу».
• В поле Number of Cases to Add (число добавляемых строк)
ввести число 2, а в поле Insert after Case («Вставить после
строки») — число 10.
• Нажать кнопку ОК.
В электронную таблицу SAMPLE1.STA добавятся две допол-
нительные строки.
• Дважды щелкнуть левой клавишей мыши по имени пере-
менной VAR1.
Откроется диалоговое окно Variable 1.
287
•	В поле Name ввести имя переменной R (первая буква сло-
ва «random» — случайный).
•	В поле Column width ввести число б, а в поле Decimals —
число 5.
•	В поле Long name ввести имя —Rnd(l) генератора стандар-
тных равномерных случайных чисел (случайных чисел,
распределенных равномерно в интервале (0, 1)).
•	Нажать кнопку ОК.
•	В открывшемся диалоговом окне STATISTICA нажать
кнопку Yes.
На экране отобразится электронная таблица SAMPLE1.STA,
в первом столбце которой записаны 12 случайных чисел стан-
дартной равномерной последовательности (рис. П.2.23).
^Data: SAMPLE1.STA 3... ВИЕЗ
Nuri_____________
2
VAR2
MI.01498I
3
VAR3
2_
3^
09140
36445
4
;5:
.14731
.16590
6 .98853
7 .44569
Я
.9
10
11
.11908
.00467
.00891
.37788
12 .53166
Рис. П.2.23. Последовательность случайных чисел, равномерно распределен-
ных в интервале (0; 1), сформированная пакетом.
Пример 9. Сформировать последовательность из 15 стандарт-
ных нормальных случайных чисел, т. е. нормальных случайных
чисел с математическим ожиданием 0 и стандартным отклоне-
нием 1.
Для формирования требуемой последовательности необхо-
димо:
•	Создать пустую электронную таблицу и присвоить ей имя
Sample.
•	На панели инструментов нажать кнопку Cases («случаи»).
•	В открывшемся диалоговом окне выбрать команду Add...
(«добавить»).
288
•	В открывшемся окне Add Cases, в поле Number of Cases to
Add ввести число 5, а в поле Insert after Case — число 10.
•	Нажать кнопку OK.
В электронную таблицу SAMPLE. STA добавятся пять до-
полнительных строк.
•	Дважды щелкнуть левой клавишей мыши по имени пере-
менной VAR1.
Откроется диалоговое окно Variable 1.
•	В поле Name ввести имя переменной Z.
•	В поле Column width ввести число 8, а в поле Decimals —
число 4.
•	В поле Long name ввести имя =Vnormal(Rnd(l),0,l) функ-
ции, формирующей последовательность стандартных нор-
мальных случайных чисел, т. е. случайных чисел, распре-
деленных по нормальному закону с параметрами 0 и 1.
•	Нажать кнопку ОК.
•	В открывшемся диалоговом окне STATISTICA нажать
кнопку Yes.
На экране отобразится электронная таблица SAMPLE. STA,
в первом столбце которой записаны 15 случайных чисел стан-
дартной нормальной последовательности (рис. П.2.24).
Рис. П.2.24. Последовательность стандартных нормальных случайных чисел,
сформированная пакетом.
ЛИТЕРАТУРА
Таблицы
1.	Барк Л. С. и др. Таблицы распределения Рэлея—Райса. М.: ВЦ АН СССР,
1964.
2.	Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.:
Наука, 1983.
3.	Ганин М. П. Таблицы для вероятностных и статистических расчетов. Л.:
ВМА, 1986.
4.	Келли Т. Л. Статистические таблицы. М.: ВЦ АН СССР, 1966.
5.	Крапивин В. В. Таблицы распределения Вальда. М.: Наука, 1965.
6.	Оуэн Д. Б. Сборник статистических таблиц. М.: ВЦ АН СССР, 1966.
7.	Пагурова В. Н. Таблицы неполной гамма-функции. М.: ВЦ АН СССР,
1963.
8.	Пирсон К Таблицы неполной бета-функции. М.: ВЦ АН СССР, 1974.
9.	Слуцкий Е. Е. Таблицы для вычисления неполной гамма-функции и
функции вероятностей х2- Л.: Изд-во АН СССР, 1950.
10.	Таблицы нормального интеграла, нормальной плотности и ее нормиро-
ванных производных / Под ред. Н. В. Смирнова. М.: Изд-во АН СССР,
1960.
11.	Таблицы функций распределения и плотностей распределения Стью-
дента / Под ред. Н. В. Смирнова. М.: Изд-во АН СССР, 1960.
12.	Таблицы вероятностных функций. Т. 2. М.: ВЦ АН СССР, 1959.
Справочники
13.	Абезгауз Г. Г. и др. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениз-
дат, 1970.
14.	Абрамовитц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с
формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука,
1979.
15.	Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и
первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.
16.	БронШтейн И. И., Семендяев К А. Справочник по математике для инже-
неров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980.
17.	Вадзинский Р. Н. Гамма- и бета-распределения. Л.: ВМА, 1989.
18.	Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математиче-
ской статистике. Киев: Наукова думка, 1978.
19.	Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики М.:
Финансы и статистика, 1982.
20.	Хастингс И., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределени-
ям. М.: Статистика, 1980.
21.	Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1977.
22.	Johnson N. L., Kotz S. Distributions in Statistics. Vol. 1. Discrete Distributi-
ons. Boston: Houghton Mufflin, 1969.
290
23.	Johnson N. L., Kotz S. Distributions in Statistics. Vol. 2. Continuous Univari-
ate Distributions. Boston: Houghton Mufilin, 1970.
24.	Johnson N, L., Kotz S Distributions in Statistics. Vol. 3. Continuous Univari-
ate Distributions. Boston: Houghton Mufflin, 1970.
Государственные стандарты
25.	ГОСТ 11.001—73. Прикладная статистика: Ряды предпочтительных чис-
ленных значений статистических характеристик. М.: Изд-во стандар-
тов, 1973.
26.	ГОСТ 11.002—73 (СТ СЭВ 545—77). Прикладная статистика: Правила
оценки анормальности результатов наблюдений. М.: Изд-во стандар-
тов, 1982.
27.	ГОСТ 11.003—73. Прикладная статистика: Равномерно распределенные
случайные числа. М.: Изд-во стандартов, 1973.
28.	ГОСТ 11.004—74 (СТ СЭВ 876—78). Прикладная статистика: Правила
определения оценок и доверительных границ для параметров нормаль-
ного распределения. М.: Изд-во стандартов, 1981.
29.	ГОСТ 11.005—74. Прикладная статистика: Правила определения оце-
нок и доверительных границ для параметров экспоненциального рас-
пределения и распределения Пуассона. М.: Изд-во стандартов, 1974.
30.	ГОСТ 11.006—74 (СТ СЭВ 1190—78). Прикладная статистика: Правила
проверки согласия опытного распределения с теоретическим. М.:
Изд-во стандартов, 1981.
31.	ГОСТ 11.007—74. Прикладная статистика: Правила определения оценок
и доверительных границ для параметров распределения Вейбулла. М.:
Изд-во стандартов, 1980.
32.	ГОСТ 11.008—75. Прикладная статистика: Правила построения и при-
менения вероятностных сеток. М.: Изд-во стандартов, 1976.
33.	ГОСТ 11.009—73. Прикладная статистика: Правила определения оце-
нок и доверительных границ для параметров логарифмически нормаль-
ного распределения. М.: Изд-во стандартов, 1980.
34.	ГОСТ 11.010—81. Прикладная статистика: Правила определения оце-
нок параметров и доверительных интервалов для биномиального и от-
рицательного биномиального распределения. М.: Изд-во стандартов,
1981.
Руководства общего характера
35.	Боровиков В, Л. Популярное введение в программу STATISTICA. М.:
Компьютер пресс, 1998.
36.	Боровиков В. Л., Боровиков И. IL STATISTICA. Статистический анализ и
обработка данных в среде Windows. М.: ФИЛИНЪ, 1997.
37.	Бусленко И. /7. и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-
Карло). М.: ГИФМЛ, 1962.
38.	Ганин М. Л., Свешников А. А. Теория вероятностей и ее применение для
решения задач ВМФ. Л.: ВМОЛА, 1968.
39.	Ганин М. Л. Решение прикладных задач теории вероятностей. Выл. 2.
Случайные величины. Л.: ВМОЛУА, 1973.
40.	Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных
чисел на электронных вычислительных машинах. М.: Наука, ГРФМЛ,
1969.
41.	Дьяконов В. Л. Справочник по системе символьной математики DERIVE.
М.: СК ПРЕСС, 1998.
291
42.	Иванов В. Р. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1986.
43.	Кнут Д, Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные
алгоритмы. М.: Мир, 1977.
44.	Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимация.
М.: Мир, 1980.
45.	Попов Б. А., Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ. Киев: Наукова
думка, 1984.
46.	Сборник научных программ на Фортране. Вып. 1. Статистика. М.: Ста-
тистика, 1974.
47.	Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, ГРФМЛ,
1973.
48.	Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Статистический анализ данных на компью-
тере. М.: ИНФРА-М, 1998.
49.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.:
Мир, 1984.
50.	Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.:
Мир, 1969.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА
1.1.	Основные понятия и определения......................... 3
1.2.	Соотношения между распределениями..................... 19
1.3.	Симметричные, смещенные и усеченные распределения. Сме-
си распределений.........................................  22
1.4.	Оценивание параметров................................. 29
1.5.	Генерирование случайных чисел......................... 32
1.6.	Таблицы, техника вычислений........................... 33
1.7.	Указатель обозначений................................. 34
Г лава 2
ДИСКРЕТНЫЕ (ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1.	Дискретное равномерное распределение......................... 40
2.2.	Распределение Пуассона....................................... 42
2.3.	Распределение Бернулли....................................... 46
2.4.	Биномиальное распределение................................... 48
2.5.	Геометрическое распределение................................. 53
2.5.1.	Геометрическое распределение 1......................... 53
2.5.2.	Геометрическое распределение 2 (распределение Фарри) .	56
2.6.	Отрицательное биномиальное распределение..................... 58
2.6.1.	Отрицательное биномиальное распределение 1............. 58
2.6.2.	Отрицательное биномиальное распределение 2 (распреде-
ление Паскаля)........................................... 64
2.7,	Гипергеометрическое распределение............................ 67
2.8.	Отрицательное гипергеометрическое распределение.............. 73
2.8.1.	Отрицательное гипергеометрическое распределение 1 . . .	73
2.8.2.	Отрицательное гипергеометрическое распределение 2 . . .	77
2.9.	Логарифмическое распределение................................ 81
2.9.1.	Логарифмическое распределение 1........................ 81
2.9.2.	Логарифмическое распределение 2........................ 84
2.10.	Распределение Пойа.......................................... 86
2.10.1.	Распределение Пойа 1.................................. 86
2.10.2.	Распределение Пойа 2 (предельная форма)............... 90
2.11.	Дзета-распределение (закон Ципфа—Эстоупа)................... 93
2.12.	Распределение Бореля—Таннера................................ 97
293
Глава 3
НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
А. Распределения с возможными значениями на всей числовой оси
3.1.	Нормальное распределение (распределение Гаусса—Лапласа) . . 102
3.2.	Двустороннее показательное распределение (распределение
Лапласа).....................................................109
3.3.	Распределение Коши......................................112
3.4.	Распределение экстремального значения...................115
3.4.1.	Распределение минимального значения...............115
3.4.2.	Распределение максимального значения..............118
3.5.	Двойное показательное распределение.....................120
3.6.	Логистическое распределение.............................124
3.7.	Распределение Чампернауна...............................127
3.8.	Распределение Шарлье (ряд Грама—Шарлье типа А)..........130
Б. Распределения с возможными значениями
на положительной полуоси
3.9.	Показательное (экспоненциальное) распределение...........133
3.10.	Гамма-распределение.....................................136
3.10.1.	Классическое (двухпараметрическое) гамма-распре-
деление .................................................136
3.10.2.	Смещенное (трехпараметрическое) гамма-распределе-
ние .....................................................142
3.11.	Распределение Эрланга...................................145
3.11.1.	Распределение Эрланга m-то порядка...............145
3.11.2.	Нормированное распределение Эрланга т-го порядка . 147
3.11.3.	Обобщенное распределение Эрланга второго порядка . 150
3.12.	Распределение Вейбулла—Гнеденко.........................153
3.12.1.	Классическое (двухпараметрическое) распределение
Вейбулла—Гнеденко (распределение минимального
значения типа III).......................................153
3.12.2.	Смещенное (трехпараметрическое) распределение Вей-
булла—Гнеденко ..........................................159
3.13.	Гиперэкспоненциальное распределение второго	порядка. ... 162
3.14.	Распределение модуля л-мерного случайного	вектора.......165
3.15.	Распределение Рэлея.....................................168
3.16.	Обобщенное распределение Рэлея (распределение Рэлея-
Райса) ........................................................171
3.17.	Распределение Максвелла.................................175
3.18.	Распределение Накагами..................................179
3.19.	Бета-распределение второго рода.........................182
3.20.	Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение . 186
3.21.	Распределение Парето....................................190
3.22.	Распределение модуля нормальной случайной величины (от-
раженное нормальное распределение).............................194
3.23.	Усеченное нормальное распределение (одностороннее усече-
ние) ..........................................................200
3.23.1.	Усечение слева...................................200
3.23.2.	Усечение справа..................................203
3.24.	Обратное гауссовское распределение (распределение Вальда). . 206
294
В. Распределения с возможными значениями
на ограниченном интервале
3,25.	Равномерное (прямоугольное) распределение................
3.26.	Бета-распределение первого рода..........................
3,26.1.	Классическое бета-распределение...................
3.26.2.	Обобщенное бета-распределение....................
3.27.	Параболическое распределение.............................
3.28.	Распределение арксинуса..................................
3.29.	Распределение Симпсона...................................
3.30.	Усеченное нормальное распределение (двухстороннее усече-
ние) .........................................................
209
212
212
221
225
228
230
233
Г. Распределения, используемые в математической статистике
3.31.	х2-Распределение Пирсона...............................237
3.32.	х-Распределение Пирсона................................242
3.33.	Г-Распределение Стьюдента..............................245
3.34.	F-распределение Фишера—Снедекора (распределение диспер-
сионного отношения)...........................................249
3.35.	Z-распределение Фишера.................................256
Приложение 1. Графики для выбора типа сглаживающего распре-
деления вероятностей.....................................259
Приложение 2. Вероятностные распределения в статистических
пакетах прикладных программ для ПЭВМ.....................263
Литература...................................................290
Научное издание
Ратмир Николаевич В АД ЗИН С КИЙ
СПРАВОЧНИК ПО ВЕРОЯТНОСТНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ
Редактор издательства Л. С. Тихомирова
Художник Л. А. Яценко
Технический редактор Е. Г. Коленова
Корректоры О. М. Бобылева, Н. И. Журавлева и Н. А. Тюрина
Компьютерная верстка И. Ю. Илюхиной
Лицензия ИД № 02980 от 06 октября 2000 г.
Сдано в набор 15.08.2000. Подписано к печати 14.03.2001.
Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура тайме.
Усл. печ. л. 18.5. Уч.-изд. л. 16.2. Тираж 1000 экз.
Тип. зак. № 3406. С 59
Санкт-Петербургская издательская фирма «Наука» РАН
199034, Санкт-Петербург, Менделеевская лин., 1
nauka@aspid.nw.ru
Санкт-Петербургская типография «Наука» РАН
199034, Санкт-Петербург, 9 лин., 12