Дж. МИЛНОР, Д. ХЬЮЗМОЛЛЕР
СИММЕТРИЧЕСКИЕ
БИЛИНЕЙНЫЕ
ФОРМЫ
Перевод с английского А.И. НЕМЫТОВА
Под редакцией А.В. МИХАЛЕВА
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986

ББК 22.14
М60
УДК 515.14 Springer-Verlag
J. Milnor, O. Husemoller
Symmetric bilinear foims
Berlin Heidelberg New York
1973
Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные
формы: Пер. с англ ./Под ред. А.В. Михалева. -М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 176 с.
Посвящена теории симметрических билинейных форм. В ней
удачно сочетаются черты учебника и монографии. Изложение мате-
материала построено таким образом, что получился интересный сплав
классических результатов с результатами последних десятилетий.
Для математиков различных специальностей, особенно алгебра-
алгебраистов, геометров и топологов. Доступна студентам старших курсов
университетов.
Ил. 13. Библиогр. 85 назв.
Джон Милнор, Дэйл Хьюзмоллер
БИЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
Редактор ТА. Панъкова
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технический редактор С.В.Геворкян
Корректор Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве
иа наборио-печатающих автоматах
HEN» 12309
Сдано в набор 20.01.86. Подписано к печати 14.04.86
Формат 84 X 108 1/32. Бумага офсетиаи N* 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усл.печл. 9,24
Усл.кр.-отт. 9,45. Уч.-издл. 9,61. Тираж 6400 экз.
Тип. зак.. 24 Цена 95 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25
© by Springer-Verlag Berlin
Heidelberg 1973
© Перевод на русский язык..
Издательство "Наука".
1 702030000-091 Главная редакция фиэико-
М 17-86 математической литературы
053 @2)-86 1986

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ВВЕДЕНИЕ 6
Глава 1. Основные понятия 7
§1. Билинейные формы и внутренние произведения 7
§2. Билинейные формы на свободном модуле 9
§3. Ортогональные суммы 11
§4. Теорема Витта 14
§5. Тензорные произведения и внешние степени 17
§6. Расщепляемые пространства с внутренним произведением 20
§7. Кольцо Витта. 22
Глава 2. Пространства с симметрическим внутренним произведе-
произведением над кольцом Z : . 24
§1. Теорема Минковского о выпуклом теле .* 24
§2. Пространства с внутренним произведением над кольцом Z, ранг
которых не превосходит 4 .... 28
§3. Теорема Хассе-Минковского и теорема Меиера 30
§4. Неопределенные пространства над кольцом Z . 33
§5. Пространства типа II 35
§6. Задача классификации для положительно определенных: прост*
ранств 38
§7. Упаковка одинаковых шаров в пространстве R 41
§8. Суммы двух и четырех квадратов S2
§9. Теорема Зигеля 55
Глава 3. Пространства с внутренним произведением над полем .... 72
§1. Анизотропные пространства с внутренним произведением 72
§ 2. Упорядоченные поля 76
§3. Простые идеалы кольца Витта 83
§ 4. Мультипликативные пространства с внутренним произведением. 91
§ S. Степени фундаментального идеала 96
Глава 4. Дискретные нормирования и дедекиндовы области 104
§ 1. Гомоморфизм Э„: W(f) -> W(?) , 104
§2. Вычисление группы W(Q) 108
§3. Дедекиндовы области 111
§4. Числовые поля • 116
3

Глава 5. Некоторые примеры 123
§ 1. Гомологическая теория многообразий 123
§2. Кольца гладких вещественнозначных функций. ........... 129
§3. Дискриминант расширения поля 131
Приложение 1. Квадратичные формы . .'. 134
Приложение 2е Эрмитовы формы 139
Приложение 3. Теорема Хассе-Минковского 145
Приложение 4. Гауссовы суммы, сигнатура по модулю 8 и квадра-
квадратичная взаимность ' 15 3
Приложение 5. Решетка Лича и другие решетки в размерности 24 ... 162
ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА . . . . '. 168
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 169
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 174
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 176

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга известных математиков Дж. Милнора и Д. Хьюзмоллера,
хорошо знакомых советскому читателю по переводам их трудов,
посвящена теории симметрических билинейных форм над комму-
коммутативными кольцами. Книга успешно выдержала два издания.
Ее отличительная особенность — удачное сочетание черт учебника
и монографии. Авторам удалось построить изложение материала
таким образом, что получился чрезвычайно интересный сплав
классических результатов с результатами последних десятилетий.
Книга написана в характерном для авторов четком и ясном стиле.
Она будет интересна широкому кругу советских читателей.
А. Михалев

ВВЕДЕНИЕ
Теория квадратичных форм и тесно связанная с ней теория
симметрических билинейных форм имеют длинную и богатую
историю, озаренную работами Лежандра, Гаусса, Минковского и
Хассе (см. [23] и [10, с. 524]). Наше изложение будет сосредо-
сосредоточено на относительно недавних результатах, начатых и вдохнов-
вдохновленных работой Витта "Теория квадратичных форм над произволь-
произвольными полями" A937). В наибольшей степени нас будут интересо-
интересовать работы Пфистера и Кнебуша. Однако будет изложен и более
традиционный материал, в частности, в гл. 2. Основой книги
послужили лекции Милнора в Институте перспективных исследова-
исследований (Institute for Advanced Study) ив колледже г.Хейверфорда
в рамках лекционной программы Филлипса в 1970 г., а также
лекции в Принстонском университете в 1966 г. Нам хотелось бы
выразить благодарность Дж. Каннингхэму, М. Кнебушу, М. Кнезе-
ру, А. Розенбергу, В. Шарлау и Ж.-П. Серру за полезные предложе-
предложения и замечания.
Предполагаемая подготовка читателя. Жела-
Желательно знакомство с основами алгебры, включая, например, поня-
понятие тензорного произведения модулей над коммутативным коль-
кольцом. Для чтения некоторых параграфов оно должно быть чуть
более глубоким.
Логические связи между различными главами могут быть
грубо описаны приведенной ниже диаграммой. Имеются также пять
приложений, в значительной степени замкнутых в себе и посвящен-
посвященных отдельным вопросам.
1. Произвольные комму-
коммутативные кольца
2. Кольцо целых
- чисел
3 Поля
Т
5. Различные примеры
Л.
4. Дедекиндовы области

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В этой главе будет определено понятие пространства с внутрен-
внутренним произведением над коммутативным кольцом R и описаны
основные конструкции, не зависящие от специфики кольца R.
В частности, вводится кольцо Витта W(R), которое будет играть
центральную роль в последующих главах. Кольцо W(R) является,
грубо говоря, набором всех симметрических пространств с внут-
внутренним произведением X над кольцом R по модулю набора
"расщепляющихся" пространств с внутренним произведением.
Про пространство с внутренним произведением X говорят, что оно
расщепляется, если X = Х\ +Хг, где подмодули Хх и Хг двойствен-
двойственно спарены внутренним произведением и Xi • Xi = 0.
§ 1. Билинейные формы и внутренние произведения
Пусть R - коммутативное кольцо с 1 и X - левый R-модуль.
1.1. Определение. Билинейной формой на модуле X назы-
называется функция 0 (х, у),
0:
/7-линейная как функция от х при фиксированном у и как функция
от у при фиксированном х. Билинейная форма 0 называется внут-
внутренним произведением на модуле X, если выполнено следующее
сильное условие невырожденности: для каждого /2-линейного
отображения
существует и только один элемент х0 G X, для которого гомомор-
гомоморфизм
из X в R совпадает с отображением <i, и существует и только один
элемент у о € X, для которого гомоморфизм

совпадает с отображением >р. (Другими словами, каждый из двух
гомоморфизмов
Хо ->-0(*о, ). У а »&(,Уо)
из модуля X в двойственный модуль WomR{X,R) является изо-
изоморфизмом.)
Для внутреннего произведения обычно будет использоваться
следующее обозначение: 0 (х, у) = х • у.
Если 0 является билинейной формой или внутренним произве-
произведением на модуле X, то пара (X, C) называется модулем с билиней-
билинейной формой или модулем с внутренним произведением над коль-
кольцом R. Два модуля с билинейными формами называются изоморф-
изоморфными, если существует изоморфизм R-модулей /: X -*Х', для
которого 0'(/(х), f{y)) - 0(x, у) при любых х, у G X.
В тех случаях, когда можно не опасаться двусмысленности, для
модуля с билинейной формой (X, 0) будем использовать сокращен-
сокращенную запись X.
Нас будут интересовать в первую очередь конечно порожденные
проективные') Л-модули.
1.2. Определение. Если R -модуль X конечно порожден и
проективен, то модуль с внутренним произведеним (X, 0) будет
называться пространством с внутренним произведением.
Нас будут особенно интересовать симметрические внутренние
произведения.
1.3. Определение. Билинейная форма или внутреннее
произведение 0 называется симметрическим, если для любых
элементов х ну
Аналогично, оно называется кососимметрическим, если для любых
элементов х ъу
и симплектическим (или знакопеременным), если для каждого
элемента х
Из равенства0(х, у) + 0О>, х) = 0(х + у, х + у) - 0(х, х) -$(у, у)
следует, что каждое симплектическое внутреннее произведение
является кососимметрическим. Над кольцом R, в котором 2 -
*' Модуль Р называется проективным, если существует такой модуль Q,
что прямая сумма Р« Q является свободным модулем (т.е. изоморфна
прямой сумме экземпляров Л-модуля R) .
8

обратимый элемент, верно и обратное, поскольку над ним из
равенства Д (х, х) = - Д (х, х) следует, что /3 (х, х) = 0.,
Элементы х и у модуля с билинейной формой & называются
ортогональными, если /3 (х, у) = 0. При использовании понятия
ортогональности всегда будем предполагать, что форма /3 является
либо симметрической, либо кососимметрической. Таким образом,
из равенства /3 (х, у) = 0 следует, что /3 О, х) = 0 (см. [4, с. 152]).
Отметим, что если X является модулем с внутренним произве-
произведением, то элемент х ортогонален каждому элементу у е X тогда
и только тогда, когда х = 0. В том случае, когда R - поле, верно
и обратное утверждение: если (X, C) является пространством с
билинейной формой, в котором лишь нулевой вектор ортогонален
каждому вектору у G X, то 0 является внутренним произведением
§ 2. Билинейные формы на свободном модуле
Если X является свободным конечно порожденным /{-модулем
с базисом е\ е„, то число п называется рангом или размерно-
размерностью модуля X и обозначается гк^). Поскольку кольцо R
коммутативно, то ранг определен однозначно.
Если модуль X имеет базис е\,..., еп, то любой билинейной
форме 0 на модуле X сопоставляется матрица В = (|3,у ) размером
пХп, где
Эта матрица однозначно определяет билннейную форму, посколь-
поскольку из х = S ?,• е, и у = 2 rjy. e;- следует, что
2.1. Определение. Для матрицы 5 = (/31у) с элементами
из R символом
обозначим свободное пространство с билинейной формой (X, C)
над R с базисом е\,. .., е„, в котором |3(е,-, ef) = /Зу.
2.2. Лемма. Введенная билинейная форма является внутрен-
внутренним произведением тогда и только тогда, когда матрица Г обрати-
обратима (т.е. имеет двустороннюю обратную матрицу).
Утверждение непосредственно вытекает из того, что гомомор-
гомоморфизм х •-»¦ /3 (х, ) из модуля X в двойственный ему модуль
HomR(X,R), снабженный двойственным базисом ef,...,e*,
задается соответствием е,- •¦* 2 р.еТ. ?
9

Отметим, что пространство с билинейной формой (В ) является:
симметрическим' тогда и только тогда, когда В = В*; кососиммет-
рическим тогда и только.тогда, когда В* = - В; симплектическим
тогда и только тогда, когда В' = - В и на диагонали матрицы В стоят
нули. (Здесь В1 обозначает, как обычно, транспонированную к
матрице В матрицу.)
Рассмотрим теперь замену базиса.
2.3. Лемм а. Пространства с билинейными формами (.В) и
(-В1) изоморфны тогда и только тогда, когда
В'=АВА*
для некоторой обратимой матрицы А размером л,Х л.
Если е\,..., е'п - новый базис,-то
для некоторой обратимой матрицы (ty*) • Отсюда следует, что
*(«;,«))-So» foe,,,
где суммирование ведется поККи, 1</<п. D
Следующий частный случай представляет особый интерес.
2.4. Пример. Пусть и — произвольный элемент группы R'
обратимых элементов кольца Л. Тогда через <м > обозначим
пространство с симметрическим внутренним произведением, имею-
имеющее один базисный элемент е\, такой, что е^ е± =и. Отметим,что
тогда и только тогда, когда и' = а2мдля некоторого элемента
aGR'.
Полезным инвариантом свободного пространства с внутренним
произведением является его определитель. Пусть R'2 обозначает
подгруппу группы R', состоящую из всех квадратов обратимых
элементов кольца/?.
2.5. Определение. Определителем свободного пространст-
пространства с внутренним произведением X называется элемент факторгруп-
факторгруппы/?'//?, порожденный элементом det(fi), где В - любая матри-
матрица, такая, что < В > а X.
В более общей ситуации, если X — свободный модуль с билиней-
билинейной формой, то det (X) является элементом факторполугруппы
Л/R , порожденным элементом det (В), где В - любая матрица,
такая, что < В > = X. Из леммы 23 следует, что определитель опреде-
определен корректно.
В заключение параграфа приведем одну классическую конструк-
конструкцию'. Пусть в свободном пространстве X с внутренним произведе-
произведением задан базис еь ... ,е„. Тогда дуальный, или двойственный,
10

базис ef,..., е* пространства X определяется соотношениями:
е(-е* = 0 при гФк;
еГе# =1.
2.6. Лемма. Каждому базису свободного пространства с внут-
внутренним произведением соответствует, и притом единственный,
дуальный базис.
Так как матрица @//) = (в/ - е/) обратима, то через (у//) обозна-
обозначим обратную к ней матрицу. Тогда элементы
образуют требуемый дуальный базис. D
§ 3. Ортогональные суммы
Пусть Xlt .,., Х„ - модули с билинейными формами 0lt ,.., /3„
соответственно. Ортогональная сумма Ху ® ... ® Х„ определяется
как прямая сумма модулей Xt с билинейной формой /3, для
которой
0(х1<в...<вхп,у1 ®...<
где xityt € Jff, и суммирование ведется по 1 << <л.
Очевидно, что ортогональная сумма Ху ® ... ®Хп является моду-
модулем (или пространством) с внутренним произведением тогда и
только тогда, когда каждое слагаемое Xt является модулем (или
пространством) с внутренним произведением. Отметим, что если
модули Xt свободны и конечно порождены, то
в ... в Х„) = П det (ЛГ,%
Следующая лемма чрезвычайно важна, хотя и легко доказы-
доказывается. Пусть X — модуль с билинейной формой 0, а М — подмо-
подмодуль в X. Будем предполагать, что билинейная форма & либо сим-
симметрическая, либо кососимметрическая, так что из &(х,у) =0 сле-
следует, что в (у, х) = 0.
3.1. Л ем м а (об ортогональном разложении). Если ограниче-
ограничение билинейной формы 0 на произведение М ХМ является внутрен-
внутренним произведением на М, то модуль с билинейной формой X изо-
изоморфен ортогональной сумме М^М1,
Здесь через М1 обозначено ортогональное дополнение подмоду-
подмодуля М, состоящее из всех элементов х & X, таких, что $(х, М) = 0.
И

Доказательство. Если т € М П М1, то /3 (т, т') = О
для любого m' S Л/ и, следовательно, т = 0. Таким образом, для
доказательства утверждения 3.1 достаточно показать, что каждый
элемент х G X может быть записан в виде суммы т + у, где
m еЛ/ид^ел/1.
Пусть х ? ДГ. Рассмотрим на модуле Л/ линейную форму
/п' •-»• /3 (х, /п'), По определению внутреннего произведения сущест-
существует ровно один элемент т е М, такой, что
0(т, m') = 0(x,m')
для любого элемента w'. Тогда х - т € Л/х и поэтому
х-т + (х-т).
Этим завершается доказательство леммы. ?
3.2, Теорема. Дусгь X - модуль с симметрической или косо-
симметрической билинейной формой 0, xlt ..., xk € Хи kX k-мат-
рица ((t(Xi,Xf)) обратима. Тогда элементы xlt ..., xk линейно
независимы и
X а М®М1,
где М — свободный модуль, порожденный элементами Xj.
Доказательство. Поскольку любое нетривиальное соот-
соотношение PiXl + ... + PkXk - 0 противоречило бы гипотезе об обрати-
обратимости матрицы @ (х(, х,-)), теорема легко выводится иэ предыду-
предыдущей леммы. ?
Эта теорема имеет многочисленные приложения. Приведем неко-
некоторые из них.
3.3. Следствие. Если X - конечно порожденный модуль
с симметрической билинейной формой, то
X =s <Mt > ® ...
где щ, ..,, ик - обратимые элементы, а значение $(х, х) необрати-
необратимо для любого xGN,,
Если X содержит некоторый элемент xlt такой, что элемент
0 (*ь *i) = "i обратим, то по теореме 3.2
где подмодуль
Rxx з* <м, >
свободен. Теперь применим то же построение к модулю (RxxI и
продолжим далее по индукции.
После конечного числа шагов эта процедура должна окончиться.
Предположим, что модуль X порожден и элементами. Если бы по-
12

строение продолжалось более чем п шагов, го мы могли бы по-
построить гомоморфизм свободного модуля ранга л на свободный
модуль ранга и + 1. Поскольку кольцо R коммутативно, то это не-
невозможно. Этим завершается доказательство. D
Если R — поле, то отсюда следует, что 0 (х, х) = О для любого
х е N и, таким образом, модуль JV симплектический. В действитель-
действительности, если характеристика поля R не равна 2, то ограничение фор-
формы 0mNXN, будучи одновременно симметрической и симплекти-
ческой формой, должно в действительности быть нулевой формой.
В случае внутреннего произведения это означает, что модуль N сам
должен быть нулевым.
В качестве более общего случая рассмотрим локальное кольцо
(т.е. кольцо с единственным максимальным идеалом),
3.4. С л е д с т в и е. Если R - локальное кольцо, в котором 2 —
обратимый элемент, то каждое пространство с симметрическим
внутренним произведением над R обладает 'ортогональным
базисом.
Это означает, что модуль X обладает базисом et, ..., ek , таким,
что et • е/ =0 для любых i Ф]. Другими словами, '
X =s <Ul > е...
для подходящих обратимых элементов щ,..., ик,
Доказательство следствия 3.4. Рассмотрим под-
подмодуль N в следствии 3.3, Как ортогональное слагаемое простран-
пространства с внутренним произведением подмодуль N сам должен быть
пространством с внутренним произведением. Предположим, что
модуль N ненулевой. Поскольку каждый конечно порожденный
проективный модуль над локальным кольцом свободен ( [71] или
[59]), мы можем выбрать базис ех, ..., е„ модуля N, где и > 1.
Пусть е f,..., е„ - дуальный базис. Тогда вычисление
показывает, что элемент 2 принадлежит идеалу необратимых эле-
элементов, что противоречит нашему предположению. Таким образом,
N= 0, что завершает доказательство. ?
Рассмотрим, наконец, следующий пример. Пусть X — простран-
пространство с симплектическим внутренним произведением. Иоцсимплек-
тическим базисом пространства X мы будем понимать такой базис
elt ..., е„, что ассоциированная матрица (et • е/) внутреннего
произведения имеет вид /
V-/ О
3.5. Следствие. Если R является либо дедекиндовой об-
областью (см. определение на с. 111), либо локальным кольцом,
13

то каждое пространство с симплектическим внутренним произведе-
произведением над R свободно и обладает симплектическим базисом.
Таким образом, ранг такого пространства всегда четный, а опре-
определитель всегда равен единице в Л /R *2. (В более общем случае
определитель в R/R'2 любого свободного пространства с симплек-
симплектическим внутренним произведением имеет канонический квадрат-
квадратный корень в R/R], называемый "пфаффианом" (см. [11, с.409]).)
Доказательство следствия 3.5, Сначала мы
должны построить в пространстве X элементы ху ч х2 > такие, что
xt -х2 = 1. Если R - локальное кольцо, то проективный модуль X
обязательно свободен, так что, выбирая базис е\,..., е„ и дуальный
базис еf, ..., е*, мы получим подходящую пару векторов еt ие\,
В случае дедекиндова кольца классическая теорема Штейница ')
утверждает, что проективный модуль X является прямой суммой
свободного модуля с базисом eit .... е„ и идеала в С R. Если
и > 1, то мы опять можем выбрать элемент е\ , такой, что
et • ef * 1. Если же и = 0, то Хз* й и ясно, что симплектическая
форма 0: аХо -¦ R должна быть нулевой.Следовательно, случай
X э< О Ф 0 не может встретиться.
Таким образом, если X Ф 0, то существуют элементы xt и х2,
такие, что jct • х2 = 1. Очевидно, что 2 X 2-матрица
^ = (_1 о)
обратима, и по теореме 3.2 эти два элемента порождают свободное
ортогональное слагаемое. Теперь доказательство легко завершается
по индукции. ?
Пример пространства с симплектическим внутренним произведе-
произведением, не имеющего симплектического базиса, будет построен
в § 2 гл. 5.
§ 4. Теорема Витта
Пусть X — модуль с симметрической билинейной формой над
кольцом R. Предположим, что дано разложение в ортогональную
сумму Х = М ®N.
4.1. Определение. Отражением модуля X относительно
пары (М, N) называется линейное преобразование г: X -*Х, кото-
которое оставляет подмодуль М поэлементно неподвижным, а каждый
элемент подмодуля N переводит в противоположный.
') См., например, 159, с. 21-24J.
14

Таким образом, преобразование г отображает каждую сумму
х = т + л в модуле X в г (х) = т - п. Очевидно, что преобразова-
преобразование г является инволюцией:
и что оно сохраняет билинейную форму, т.е.
для любых х и у. Если элемент 2 обратим в кольце R, то легко
показать и обратное, т.е. что любая сохраняющая билинейную фор-
форму линейная инволнЗция на модуле X является отражением.
4.2. Лемма. Предположим,-что R - локальное кольцо, в ко-
котором элемент 2обратим. Если хи у являются элементами модуля
с симметрической билинейной формой X, такими, что элемент
обратим в R, то существует отражение модуля X, переводящее
элемент х в элемент у.
Доказательство. Представим х в виде суммы двух
взаимно ортогональных векторов и = (х + у)/2 и и = (х — у) 12.
Тогда
Поскольку кольцо R локально, по крайней мере один из элементов
0(и, и) и 0(v, v) кольца должен быть обратим. Если обратим эле-
элемент 0(и, и), то X = (Ru) ® (RuI и отражение относительно па-
пары ((Яu), (RuI) переводит элемент и + v - х в элемент
и - v = у. Аналогично, если обратим элемент /5(i>, w), то отражение
относительно пары ((RvI, (Rv)) переводит элемент х в эле-
элемент у. Это -завершает доказательство леммы. D
4.2. Следствие. Пусть кольцо R удовлетворяет условиям
леммы. Если X - пространство с внутренним произведением ран-
ранга п над кольцом R, то любой автоморфизм f пространства X мо-
может быть представлен в виде композиции п отражений.
Доказательство проведем по индукции. Из .следст-
.следствия 3.4 следует, что существует ортогональный базис еь .,., е„
модуля X. Выберем отражение rt, переводящее элемент f{ex)
в элемент е х. Тогда отображзние rj оставляет элемент ех на
месте и, следовательно, переводит в себя подпространство (RexI
ранга-л - 1. Следовательно, ограничение на (Re\)L отображе-
отображения г if является композицией отражений г2 ... г„. Полагая
r{ (e t) = e i при i > 1, мы продолжаем каждое отражение г{ на мо-
модуль X и получаем разложение / = г t ... г„, что и требовалось. ?
15

Более важным для наших приложений результатом, вытекаю-,
щим из леммы 4.2, является следующая теорема. (Мы продол-
продолжаем считать, что R — локальное кольцо, в котором элемент 2
обратим.)
4.4, Теорема Вина. Пусть X, Y, Z. -. пространства с
внутренним произведением над R. Тогда если X ® Y з*'Х® Z,to
Y a Z.
Доказательство. Поскольку, в силу следствия 3.4, про-
пространство X является прямой суммой пространств ранга 1, то тео-
теорему достаточно доказать в случае, когда X - свободный модуль
ранга 1. Пусть е - базисный элемент модуля X и пусть
- произвольный изоморфизм. Чтобы избежать недоразумений,
через Од-, Оу и Oz обозначим нулевые элементы пространств
X, Y и Z соответственно. Тогда пара элементов f(e ® Оу) и
е ® Oz в пространстве X® Z удовлетворяет условиям леммы 4.2
и, следовательно, существует отражение г пространства X ® Z,
переводящее элемент /(е®0у) в элемент е®0^. Теперь
изоморфизм
г/:
переводит элемент е « Оу в элемент е « 0г и, следовательно, пере-
переводит его ортогональное дополнение Ox ® Y в Од-"® Z. Этим завер-
завершается доказательство теоремы. D
Отметим, что теорема Витта заведомо неверна в том случае,
когда элемент 2 необратим в кольце R. Для доказательства этого
рассмотрим изоморфизм
где через Я обозначена гиперболическая плоскость - свободный
модуль ранга 2 с внутренним произведением, заданным матрицей
J. Действительно, если е1, е2, е3 - ортогональные векто-.
ры, такие, что et -еу = е2-е2 = — 1 и еъ-е3 = 1, то векторы
ei+e2+e3, et +e3, ег+е3
образуют новый базис с матрицей внутреннего произведения
'-\ О О
О 0 1
О 1 О

Но если элемент 2 необратим, то
<-1>е<1> ф Н,
поскольку каждый элемент Л € Я, очевидно, удовлетворяет
условию
А • Л = 0 mod 2R
(см. также обсуждение в § 1 гл. 5).
Интересно отметить, что теорема Витта остается справедливой
для квадратичных форм над полем характеристики 2 (см. при-
приложение 1).
§ 5. Тензорные произведения и внешние степени
Пусть Х\, ..., Х„ — модули над кольцом R с билинейными фор-
формами 0i, ..., fin соответственно. Тогда тензорное произведение
Хх ® ... ® Хп над кольцом R может быть превращено в модуль с би-
билинейной формой следующим образом.
5.1. Лемма. Существует единственная билинейная форма /3
на модуле Хх ®... ®Хп, удовлетворяющая равенству
п
0(х1®...®хп,у1®...®уп)= П p((x(,yt)
i= I
для всех элементов х( и у{ из модулей Xf, где 1 < i < л.
Доказательство. Заметим, что 2 «-линейная функция
(¦*i,..., Xn.A'i Уп ) >¦ |!(*ьЛ) - Ихп.Уп) из модуля
Xi X ... X Х„ X Ху X ... X Х„ в кольцо R поднимается до ассоцииро-
ассоциированного линейного отображения
*>... ®ЛГ„ -* R.
Рассматривая композицию с канонической билинейной функцией
-+ Хх ® ... ®Х„ ®Xi «... ®Х„,
получаем требуемую билинейную ферму 0. D
5.2. 3 амечание. Если каждый модуль X/ является симмет-
симметрическим, то, очевидно, и тензорное произведение является сим-
симметрическим. В более общем случае, если каждый модуль Xt яв-
является е^-симметрическим, где -симметрический" означает "сим-
"симметрический", а "-1-симметрический" означает "кососимметриче-
ский"., то тензорное произведение Ху ® ... ® Х„ является
(ei — еи)-симметрическим. Аналогично, если модуль Xt симмет-
симметрический, а модуль Хг симплектический, то произведение
^i ® Х2 будет симплектическим.
2. Дж. Милнор 17

Теперь предположим, что каждый сомножитель Xt является
пространством с внутренним произведением.
5.3. Лемма. Если Xlt ...,Х„ - пространства с внутренним
произведением над кольцом R, то Хх ® ... ® Хп - пространство
с внутренним произведением над кольцом R.
Доказательство. Поскольку каждый модуль Х{ являет-
является прямым слагаемым в свободном конечно порожденном Я-моду-
Я-модуле, то легко выводится, что тензорное произведение Хх ® ... ® Х„
является прямым слагаемым в свободном конечно порожденном
/{-модуле.
Через X* обозначим модуль Нот (X.R), дуальный к моду-
модулю X, Каждому внутреннему произведению /Зг сопоставим
ассоциированный изоморфизм
pt. Xf -*¦ Xf,
где Pt(x)(y) - 0i(x,y). Ассоциированный с билинейной фор-
формой (J гомоморфизм
0: Хх®
может быть выражен как композиция
где т? - гомоморфизм из модуля X* ® ... ® ХЩ в модуль (Хх 9 ,..
... »Х„)*, отображающий каждый образующий А ® :.&fn в гомо-
гомоморфизм xt 9 .., 9 хп **f(xi) ... f(xn). Но каждый модуль Х{
конечно порожден и проективен. Поэтому легко проверяется,
что 1? — изоморфизм. Это завершает доказательство.
В этой лемме предположение о проективности модулей Х( яв-
является существенным. В качестве контрпримера в непроективном
случае можно рассмотреть модули порядка 3 над кольцом Z/9Z.
Отметим, что для любых элементов и и и из группы R'
и для любого модуля X
<1>®ЛГ sX
Если X и У - свободные модули, то
ik(X9Y) = гк(ДГ)гк(Г).
Тензорное произведение будет играть важную роль в последую-
последующих разделах. В частности, оно используется при построении опера-
операции умножения в кольце Витта (§7). Далее приводится основан-
18

ная на тензорном произведении конструкция замены колец, кото-
которая также будет играть существенную роль.
5.4.3 а м е н а колец. Пусть/: R -+R' — кольцевой гомомор-
гомоморфизм. Тогда любое пространство с внутренним произведением X над
кольцом R порождает пространство с внутренним произведением.
над кольцом R', где внутреннее произведение на модуле
определяется формулой
Например, если X - свободный Л-модуль с базисом еи ..,, е„ и
матрицей внутреннего произведения. (е< •?/), то модуль /„ (X)
свободен над кольцом R* и имеет матрицу внутреннего произведе-
произведения (/(ег • е/ )). Соответствие X *+f# (X) сохраняет ортогональ-
ортогональные суммы и тензорные произведения.
Завершая настоящий параграф, кратко опишем три близких
конструкции, которые, однако, не будут играть заметной роли
в нашем изложении.
5.5, Ранг проективного м о д у л я. Аналогичная кон-
конструкция используется при определении ранга конечно порожден-
порожденного проективного модуля Р над кольцом R (см., например,
[71, с. 136}). Через Spec (Л) обозначим снабженное топологией
Зарисского множество простых идеалов кольца R, а через
Z рес^ ' - группу непрерывных целочисленных функций на про-
пространстве Spec (R). Тогда по определению.
rank (/>)(= zspec(/i)
является функцией, сопоставляющей каждому простому идеалу р
размерность векторного пространства F ® rP, где F — факторпо-
ле R/ р. В том случае, когда модуль Р свободен, это совпадает
с нашим предыдущим определением.
5.6, Внешние степени. Бели X - модуль с билинейной
формой над кольцом Я, то его внешняя степень Л кХ над коль-
цом R обладает единственной билинейной формой 0, удовлетво-
удовлетворяющей равенству
k*i Л ... Ахк, Ух Л... Л ук) = det
(см, [11, с. 348]), Если модуль X симметричен, то модуль
/\кХ е*-симметричен. Если X — пространство с внутренним произ-
произведением, то АкХ - также является пространством с внутренним
произведением.
19

5.7. Определитель. Пусть X - пространство с билинейной
формой над кольцом R, заданной на .таком проективном модуле,
ранг которого равен и по какдому простому идеалу. Тогда прост-
пространство с билинейной формой АпХ ранга 1 называется "определи-
"определителем" пространства X (см,1 [24]). В эту схему входит и наша,
предыдущая конструкция определителя, поскольку, если X — сво-
свободный модуль с базисом et, ..., еп, го АпХ — свободный модуль
с базисом е = е t Л ... Л е„ и, следовательно,
Л"* эг<</0>,
где элемент
d0 =ke,e) = det@(e/,e/))
корректно определен с точностью до умножения иа квадрат обрати-
обратимого элемента.
В § 3 гл. 5 будет приведена иллюстрация "определителя"
пространства.
§ 6. Расщепляемые пространства
с внутренним произведением
6.1. Определение. Пространство с симметрическим внут-
внутренним произведением S над кольцом R называется расщеп-
расщепляемым, если существует подмодуль NC S, являющийся прямым
слагаемым в S и совпадающий со своим ортогональным дополне-
дополнением N1.
Этим понятием мы обязаны Кнебушу, использовавшему термин
"метаболическое" вместо "расщепляемое".
Отметим эквивалентную форму этого определения. Пространст-
Пространство S расщепляемо, если оно является прямой суммой двух подмо-
подмодулей М и N, которые дуально спарены над кольцом R с помощью
внутреннего произведения,
М-1—* HomR(N,R),
N^1-* HomR(M,R),
причем подмодуль ./V ортогонален самому себе, т.е. N>N= 0. (Еще
одной переформулировкой была бы такая:
пространство S расщепляемо, если оно содержит ортогональ-
ортогональное самому себе прямое слагаемое N, ранг которого в смысле
п. 5.5 равен — rank(S).)
20

Приведем два примера. Гиперболическая плоскость с матрицей
/О 1 \
I I, очевидно, расщепляема. Кроме того, для любого обрати-
обратимого элемента и ортогональная сумма
расщепляема, поскольку если еи ег - ортогональный базис, в ко-
(и 0\
тором внутреннее произведение имеет матрицу I I, то эле-
мент в\ + ег порождает требуемое прямое слагаемое N, для кото-
которого N= Nx ,
6.2. Лемма. Пусть S и S' - расщепляемые пространства
с внутренним произведением и пусть X - (Х,$) — произвольное
пространство с внутренним произведением. Тогда расщепляемы
ортогональная сумма S ® S' и тензорное произведение S ® X.
Кроме того, расщепляема ортогональная сумма
(*,0)в (X, -0).
Легко приводятся доказательства первых двух утверждений.
Для доказательства третьего утверждения рассмотрим расщеп-
расщепляемое пространство с внутренним произведением < 1 > ® < — 1 > и
заметим, что тензорное произведение
также расщепляемо.
В отдельных случаях удается получить более точное описание
расщепляемых пространств.
6.3. Лемма. Пусть над кольцом R каждый конечно порож-
порожденный проективный модуль свободен. Тогда пространство с внут-
внутренним произведением над R расщепляемо в том и только в том
случае, когда оно обладает таким базисом, в котором матрица
° ')¦
1 А )
внутреннего произведения имеет вид I ). Если элемент 2
\ I A I
обратим в R, то любое расщепляемое пространство с внут-
внутренним произведением в подходящем базисе будет иметь
матрицу
м и /
21

Таким образом, если выполнены все предположения лем-
леммы 6,3, то каждое расщепляемое пространство изоморфно ортого-
ортогональной сумме гиперболических плоскостей. В частности, это имеет
место, если R — поле характеристики, отличной от 2.
Доказательство леммы 6.3. Если N - прямое сла-
слагаемое в X, то выберем в подмодуле N базис е i,..., е„ и расширим
его до базиса еь .... е* модуля X. Пусть ef,..., е* - дуальный ба-
зис. Ясно, что элементы е„+1,..., е? образуют баэис ортогонально-
ортогонального дополнения N1
Предположим, что N - N*-, Тогда, подставляя элементы
«i> ¦••> 6я вместо элементов е*+1 е*, мы увидим, что элементы
# #
е1 еп> ei > •••> еп
образуют базис модуля X. (В частности, ранг к модуля X должен
равняться 2 п.) В этом новом базисе матрица внутреннего произве-
(УЛ
дения X примет вид I 1, где А - некоторая симметриче-
\ / А }
екая матрица. Обратное утверждение очевидно.
Предположим теперь, что элемент 2 обратим в кольце R. Поло-
Положим В - — — А. Непосредственное вычисление показывает, что
("Г ')(' °У-(° 'У
\ В 1)\ I А>\ В I/ V / о /
Этим завершается доказательство леммы. П
§ 7. Кольцо Внтта
Следуя Кнебушу, на множестве всех пространств с внутренним
произведением «ад кольцом R введем следующее отношение эк-
эквивалентности (см. также [78]).
7.1. Определение. Пространства с симметрическим внут-
внутренним произведением X и X' над кольцом R принадлежат одному
классу Витта, что записывается X ~Х', если существуют расщепляе-
расщепляемые пространства с внутренним произведением S и S', такие, что
пространство X® S изоморфно пространству X' ® 5'.
Очевидно, что это отношение является отношением эквивалент-
эквивалентности. Кроме того:
7.2. Лемма. ЕслиХ~Х' и Y~Y', to X®Y~X'® Y'uX®
22

Доказательство. Эти утверждения легко следуют из
леммы 6.2. П
Вспоминая теперь, что (X, /3) ® (X, - /3) ~0 и < 1 > «Jfajf, полу-
получаем следующее утверждение.
7.3. Теорема. Множество W{R) всех классов Витта прост-
пространств с симметрическим внутренним произведением над коль-
кольцом R образует коммутативное кольцо с 1, если использовать
ортогональную сумму в качестве операции сложения и тензорное
произведение в качестве операции умножения.
Следуя Кнебушу, назовем W(R) кольцом Витта кольца/2. Ис-
Используя результат п. S.4, видим, что любой кольцевой гомомор-
гомоморфизм R -*R' индуцирует кольцевой гомоморфизм W (R ) -»• W (R *).
Строение кольца W(R) будет исследовано в следующих главах.
7.4. Лемма. Если R -локальное кольцо, в котором элемент 2
обратим, то пространства с симметрическими внутренними произ-
произведениями над R изоморфны тогда и только тогда, когда они при-
принадлежат одному и тому же классу Витта и имеют один и тот
же ранг.
Доказательвт во. Это легко следует из теоремы 4.4 и
леммы 6.3. D

Глава 2
ПРОСТРАНСТВА С СИММЕТРИЧЕСКИМ ВНУТРЕННИМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ НАД КОЛЬЦОМ Z
В этой главе будет обсуждена задача классификации пространств
с внутренним произведением над кольцом Z целых чисел. Все
внешние произведения будут симметрическими. Наше изложение
основано на классической теореме Минковского о точках решетки
в выпуклом симметричном подмножестве пространства R". В пер-
первую очередь эта теорема используется для классификации прост-
пространств с внутренним произведением ранга < 4 над кольцом Z.
С использованием теоремы Хассе — Минковского (доказательство
которой мы не приводим) показывается, что неопределенные
пространства с внутренним произведением над кольцом Z пол-
полностью определяются своими рангом, типом и сигнатурой (прост-
(пространство называется пространством типа I или типа II в зависимости
от того, содержит пространство или нет вектор с нечетной нормой).
Из этого следует, что кольцо Витта W(Z) изоморфно кольцу Z.
С другой стороны, задача классификации положительно опреде-
определенных пространств с внутренним произведением черезвычайно
сложна. После обсуждения этой задачи и связанной с ней задачи
о плотной упаковке шаров в евклидовом пространстве мы приве-
приведем классические результаты о суммах двух или четырех квадра-
квадратов в кольце Z. Главу завершит краткое изложение работы Зигеля
о положительно определенных билинейных формах над кольцом Z.
§ 1. Теорема Мииковского о выпуклом теле
Пусть R" — пространство строк х = (хи ..., хп) из и действи-
действительных чисел, наделенное стандартной мерой Лебега dx^ ... dxn.
1.1. Определение. Решеткой в пространстве R" называет-
называется аддитивная подгруппа L С R", которая аддитивно порождается
некоторым базисом Ьь ..., Ьп действительного векторного прост-
пространства R".
Выбрав в решетке L некоторый базис Ь,, .. ¦, Ьп, мы можем
образовать фундаментальную область Р, состоящую из всех элемен-
элементов %ib 1 + .. . + ?„Ь„, таких, что 0 <\, < 1. Очевидно, что каждая
24

точка пространства R" конгруэнтна по модулю решетки L ровно
одной точке области Р. Объем (т.е. мера Лебега)
...dxn
р
может быть отождествлен с объемом тора Rn/L. Этот объем, ко-
конечно, равен абсолютной величине определителя матрицы со стро-
строками Ь\, ..., Ъп (см., например, [7]). Мы запишем это кратко
в виде
Решетка называется унимодулярной, если объем тора Rn/L равен 1.
1.2. При меры. Очевидно, что Z" является решеткой в R",
для которой vol(R"/Zn) = 1. Если L и L' — такие решетки, что
L Э L', то очевидно, что индекс \L/L' \ конечен и
vol(Rn/L') = vol(R"/Z,) | L/L' |.
Если рассматривать R" как евклидово пространство с внутрен-
внутренним произведением х• у = Zxtyt, то объем I det(fti, ¦.., bn)| мо-
мо/
жет быть также записан в виде \/det (bt • bf)' - Vdet(Z,)'. Отметим,
что любое пространство с внутренним произведением X над коль-
кольцом Z канонически вкладывается в качестве решетки в действи-
действительное пространство с внутренним произведением R ® X. Если
пространство ^положительно определено (т.е. если х- х > 0 при
х Ф 0), то пространство R ®Х изоморфно евклидову пространству
R", а пространство X соответствует унимодулярной решетке в
пространстве R"
Напомним, что подмножество К 9: R" является выпуклым, если
из х, х1 G К следует, что \х + A - \)х' G К для всех действитель-
действительных чисел X, таких, что 0 < X < 1. Подмножество К называется
симметричным относительно 0, если из х ? К следует, что — х G К.
1.3. Теорема Минковского. Пусть К - симметричное
относительно 0 выпуклое подмножество в пространстве R". Если
объем (мера Лебега) множества К превосходит объем фундамен-
фундаментальной области решетки L более, чем в 2" раз, то множество К
содержит ненулевую точку решетки.
Доказательство. Подмножество К', состоящее из всех
элементов вида — х, х G К, очевидно, удовлетворяет неравенству
Следовательно, каноническое отображение К' -*¦ R"/L, которое
локально является вложением, сохраняющим объем, не может
25

быть взаимно однозначным. Поэтому в К'должны существовать
1 1
две различные точки, скажем — х и —у, с одним и тем же об-
образом в Rn/L, т.е.
1 1
Но точка т- (дс - у) является серединой отрезка, соединяющего
точки х и у множества К, и, следовательно, сама принадлежит мно-
множеству К. Этим завершается доказательство теоремы. D
Пример. Пусть D(r ) обозначает замкнутый диск радиусом г
в евклидовом пространстве R". Тогда объем диска D(r) равен
сояг", где числа
4 я2
coi=2, со2. = я, со3=>—я> W4 = — >••
могут быть вычислены по индукции с помощыо формулы
о о
Отсюда следует, что со„ = я"'2/ (и/2)! для четных значений п. Ис-
Используя гамма-функцию, получаем, что о>„ = 7ГИ'2/Г j 1 + — пЛ для
любых значений л. Применяя теорему Минковского к диску D(r),
приходим к следующему утверждению.
1.4. Следствие. Если тп> Bп/со„) vol(R"/?), го диск D(r)
содержит ненулевую точку решетки.
Доказательство. Если число г " строго больше Bп/ш^) X
X vol(Rn/X,), то утверждение непосредственно вытекает из теоре-
теоремы 1.3. Если же имеет место равенство, то заметим, что для любого
е > 0 диск D(r + б) содержит ненулевую точку решетки. Однако
компактное множество D(r + e) может содержать только конечное
число ненулевых точек решетки. Следовательно, ближайшая к на-
началу координат точка должна лежать в D(r).
Полагая г0 равным корню л-й степени из B"/con)vol(R"/L),
получаем следующее
1.5. Следствие. Любая решетка L CR" содержит такую
точку (хи • ,-. *п), что
0<х? + .. . + х2 <rl =4(co-1vol(R7z,)J/".
В частности, любая унимодулярная решетка в пространстве R"
26

содержит такую точку, что
0<*?+ ...+** <4/(сояJ/п.
По формуле Стирлинга эта верхняя оценка 4/ (о>„ ) 21" при л -»• °°
асимптотически стремится к 2п/пе (см. § 7). В следующей табли-
таблице приводятся значения 4/ (со„J1п, округленные да сотых.
п
4/(и>„J/и
1
1
2 1 3 4
1,27 1,54 1,80
5
2,06
6
2,31
п
4/(u,nJ/"
7
2,57
8
2,82
9
3,07
10
3,32
11
3,56
Отметим, в частности, что 4/ (со„) 2'" < 2 при л < 4.
Замечание. В более общем случае для любого положитель-
положительного целого числа п имеет место следующая оценка:
4/(сопJ/" < 1 + - п.
4
Для п < 12 это можно проверить по таблице, а для л > 12 можно
A \"/2 »
1 + — л I со„/2пи
п =2и - 2, имеем
где выражение
-('¦-У
8 \ w/
монотонно возрастает при и > 2 и
больше 1 при и = 7. По индукции Л;, > <4„_2 > 1 при п> 12. D
Некоторые нетривиальные примеры будут приведены в § 6.
Более точная верхняя граница чисел
min (х\ + ... +Х2,)
х ex.
х # о
будет описана в § 7.
Имеет место важный качественный результат, вытекающий из
утверждения 1.5.
27

1.6. Л е м м а (Эйзенштейн, Эрмит). Над кольцом Z для каждо-
каждого целого числа п существует лишь конечное число классов изо-
изоморфных положительно определенных пространств с внутренним
произведением ранга п.
Действительно, если даны положительные целые числа п и d,
то существует лишь конечное число различных положительно опре-
определенных пространств с билинейной формой над Z, имеющих
ранг п и определитель d (см. п. 7.4). Доказательство этого факта
можно провести индукцией по л по следующей схеме. Очевидно,
что любое такое пространство может быть изометрично вложено
в качестве решетки L в пространство R" с евклидовым внутренним
произведением. Объем фундаментальной области решетки L будет
равен \fd\ "Используя следствие 1.5, получаем, что в любой такой
решетке L содержится вектор х, для которого
О < х ¦ х < с(п, d) = 44/d/u2n'.
Пусть L о - подрешетка в L, состоящая из всех таких у € L, что
ху = 0 (mod xx).
Тогда ее.индекс не превосходит х- х и она разлагается в ортого-
ортогональную сумму подгруппы, порожденной элементом х и ее ортого-
ортогонального дополнения. В силу индуктивного предположения для
подрешетки L существует, с точностью до изоморфизма, лишь ко-
конечное число возможностей. ?
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для неопре-
неопределенных билинейных форм.
§ 2. Пространства с внутренним произведением над
кольцом Z, ранг которых ие превосходит 4
2.1. Лемма. Если L - пространство с внутренним произведением
ранга п над кольцом Z, то оно содержит вектор хФО, для которого
В частности, если п <4, то пространство L содержит вектор хФО,
такой, что | х • х | < 2.
Доказательство. Отметим, что пространство L нзомет-
рично вкладывается в качестве решетки в действительное прост-
пространство с внутренним произведением R ® L. Если пространство L
положительно определено, т". мы можем отождествить R®/, си-мер-
си-мерным евклидовым пространством и непосредственно применить
следствие 1.5. В любом случае, можно выбрать такой ортогональ-
ортогональный базис ех, .... е„ в R ® L, что е,- • е,- = ± 1. Используя этот базис
для отождествления пространства R®L с декартовым пространст-
28

вом R" и для введения элемента объема dxx ... dxn, отметим, что
объем тора (R ® L)/L равен 1. Если bi,..., Ьп — базис решетки L,
то из матричного равенства
/ &i \ / ±1 \
)
следует, что определитель det(bt-bf), равный ±1, совпадает с
2
Следовательно, в силу следствия 1.5, существует элемент решет-
решетки x=Xiet + .. . + хпеп Ф0,тя которого
Отсюда, очевидно, следует, что
|х-х| = !±*?±...±х2|«4/(сопJ/и.
Поскольку 4/ (со„) 2'" < 2 при п < 4, то этим самым доказательство
леммы завершено. D
2.2. Теорема. Любое пространство с внутренним произведе-
произведением над кольцом Z, ранг которого не превосходит 4, либо облада-
обладает ортогональным базисом и, следовательно, изоморфно сумме
экземпляров пространств < 1 > и < -1 >, либо является "гипербо-
"гиперболическим" пространством с матрицей внутреннего произведения
вида
Доказательство проведем индукцией. Утверждение за-
заведомо верно в случае ранга 1. Предположим теперь, что ранг равен
и > 1. Если существует вектор х в пространстве X, для которого
х ¦ х = ± 1, то очевидно, что
Если подпространство X' имеет ортогональный базис, *о мы завер-
завершили доказательство. Если же X' — гиперболическое подпростран-
подпространство, порожденное элементами у п z, для которых у- у = z ¦ z =0,
у • z = 1, то векторы х+у, х*гях+у*г образуют требуемый
ортогональный базис.
С другой стороны, предположим, что мы смогли найти вектор
Х\ Ф 0, для которого Xi- xi = 0. Без потери общности можно счи-
считать, что Х\ - неделимый вектор и, таким образом, х{ является
элементом базиса хи ..., хп в пространстве X. Пустьу\,..., уп —
дуальный базис. Тогда порожденное векторами х{ iiyi подпрост-
/0 1\
ранство имеет матрицу внутреннего произведения вида I I.
\ 1 а I
Имеются две возможности.
29

Случай 1. Если число а = yt ¦ yt четно, то подпространство,
порожденное элементами Х\ и ух, гиперболическое с базисом из
1
элементов xt и у\ ах\, которые ортогональны самим себе.
Относительно нового базиса внутреннее произведение имеет мат-
/0 1\
рицу I I. Таким образом, пространство X изоморфно орто-
ортогональной сумме
0
1
<('
Применение индуктивного предположения завершает доказа-
доказательство.
Случай 2. Если число а = 2к + 1 нечетно, то векторы
х'=ух -кх\, у'=уу -(Л
взаимно ортогональны и имеют матрицу внутреннего произведе-
/1 0\
ния I I. Таким образом, опять можем отщепить ортогональ-
ортогональное слагаемое и продолжить доказательство по индукции.
Так как в силу леммы 2.1 всегда существует вектор х € X,
для которого либо х • х = ± 1, либо х • х = 0, то этим завершается
доказательство теоремы. D
2.3. Замечание. Теорема 2.2 в действительности верна для
значений ранга 5, 6 и 7. Как мы увидим в § 6, она неверна, если
ранг больше или равен 8.
§ 3. Теорема Хассе—Минковского и теорема Мейера
Этот параграф посвящен основной теореме алгебраической тео-
теории чисел, которую мы не будем доказывать. Пусть дано простран-
пространство с внутренним произведением X над полем рациональных чи-
чисел Q и нам надо найти ненулевой вектор х, такой, что х ¦ х = 0.
Выбирая ортогональный базис, для которого
X^<at> ® ...® (ап),
мы видим, что задача эквивалентна нахождению нетривиального
решения уравнения
«1*?+... + «„# = 0.
3.1.Теорема (Хассе — Минковского). Уравнение ах \ \ + ...
• •+ ап%\ = 0 с ненулевыми рациональными коэффициентами
30

имеет нетривиальное рациональное решение тогда и только тогда,
когда:
1) оно имеет нетривиальное действительное решение',
2) для, каждого простого числа р оно имеет нетривиальное реше-
решение в поле р-адических чисел Qp.
Доказательства приведены,например,в [9], [61] и [66]. Набро-
Набросок доказательства дается в приложении 3.
3.2. Следствие (теорема Мейера). Неопределенное простран-
пространство с внутренним произведением ранга п > 5 над полем Q всегда
содержит вектор хФО, для которого х • х = 0.
(Здесь термин "неопределенное" означает, что норма х • х прини-
принимает как положительные, так и отрицательные значения. Ограниче-
Ограничение п > 5 существенно. Например, уравнение ?? +11 +?з — 7|| =
= 0 не имеет нетривиальных рациональных решений. Это можно
легко проверить, если избавиться от знаменателей, а затем привести
уравнение по модулю 8).
Для вывода следствия из теоремы нам требуется только пока-
показать, что уравнение
«ill +...+Д5$5=0
имеет нетривиальное р-адическое решение. Мы воспользуемся
следующими леммами, на которые будем также ссыпаться и впо-
впоследствии.
3.3. Лемма. Если F - конечное поле, то для любых элементов
а, Ь, с &F'уравнение
а$2 +bq2 -с
имеет решение в F.
Доказательство будет основываться на принципе Дирих-
Дирихле. Пусть q — число элементов поля F. Можно считать что число q
нечетное, поскольку в противном случае уравнение а%} = с уже
имеет решение.
Отметим, что поскольку переменная ? пробегает элементы по-
поля F, то а%2 принимает — (д + 1) различных значений. Аналогично,
выражение с - Ъц1 принимает — (<? + 1) различных значений. По-
Поскольку
отсюда следует, что по крайней мере одно из значений выражения
а%2 должно равняться одному из значений выражения с - Ъг\г.
Следовательно, ajf2 + brf = с, что и требовалось доказать. ?

3.4. Л е м м а. Пусть р - нечетное простое число, и, v,w - обра-
обратимые элементы кольца целых р-адических чисел Ър. Тогда
уравнение и%г + щ2 + wf2 = 0 имеет нетривиальное решение
Доказательство. Поскольку р нечетно, то любое число,
сравнимое с 1 по модулю р, является квадратом р-адического чис-
числа. Действительно, пусть через Uk обозначена подгруппа груп-
группы Ър, состоящая из всех обратимых элементов, конгруэнтных 1
по модулю pkZp. Тогда факторгруппа Ui/Uk является конечной
абелевой группой нечетного порядка pk~l. Таким образом, ясно,
что любой элемент группы U\ имеет единственный квадратный
корень по модулю подгруппы Uk. Предел этих квадратных корней
по модулю подгрупп Uk при к -*¦ °° дает квадратный корень в под-
подгруппе Ui.
Теперь для данных обратимых чисел и, и, w по лемме 3.3 можно
найти р-адические целые числа % и rj, для которых
м?2+ит?2=-и> (modp),
или, другими словами,
- (и$J + vn2 )/w = 1 (mod p).
Полагая
получаем, что м^2 +vt?2 +wf2 =0, что и требовалось в утвержде-
утверждении леммы. D
Доказательство ел е д ств и я 3.2. Если даны числа
аи ..., as e Qp, то можно считать, что каждое число at является
либо целым обратимым р-адическим числом, либо целым обрати-
обратимым р-адическим числом, умноженным на р. Если по крайней
мере три числа а/ обратимы, то доказательство завершается с
помощью леммы 3.4. В противном случае, по крайней мере три
числа а,- равны целым обратимым р-адическим числам, умножен-
умноженным на р. Из леммы 3.4 опять следует существование р-адическо-
кого решения.
При р = 2 доказательство аналогично, но необходимо исполь-
использовать сравнение по модулю 8, так как сравнимость с 1 по модулю 8
обеспечивает существование квадратного корня. После перестанов-
перестановки коэффициентов и домножения на константу можно считать, что:
п\ = 1; а2 иа3 - обратимые р-адические числа; а4 иа5 делятся по
крайней мере на 2. Затем нетрудно проверить, что уравнение
«a*2+«9*i+«4*4+«s*ss-l (mod 8)
имеет решение, и провести те же рассуждения, что и выше. D
32

§ 4. Неопределенные пространства над кольцом Z
4.1. Л е м м а. Каждое неопределенное пространство с внутрен-
внутренним произведением над кольцом Z содержит такой ненулевой век-
вектор х, что х • х = 0.
Доказательство. Если ранг пространства больше или ра-
равен 5, то утверждение следует из теоремы Мейера C.5). Если же
ранг не превосходит 4, то оно следует из теоремы 2.2. D
Замечание. Проведенные рассуждения, конечно, опираются
на теорему Хассе — Минковского, которая не доказывалась. Дру-
Другое, замкнутое в себе доказательство будет дано в гл. 4.
4.2. Определение. Пространство с внутренним произведе-
произведением над кольцом Z имеет тип I, если оно содержит вектор х, для
которого х- х нечетно, и имеет тип II, если оно не содержит такого
вектора.
Очевидно, что пространство X имеет тип II в том и только в том
случае, если квадратичная функция q(x) = х • х/2 принимает зна-
значения в кольце Z. Таким образом, пространствами с внутренним
произведением типа II являются в точности те, которые получаются
из квадратичных пространств с внутренним произведением над
кольцом Z (см. приложение 1).
4.3. Теорема. Каждое неопределенное пространство с внут-
внутренним, произведением типа I над кольцом Z обладает ортогональ-
ортогональным базисом и, следовательно, изоморфно ортогональной сумме
экземпляров пространств < 1 > и < - 1 >.
(Отсюда следует, что такое пространство однозначно определяет-
определяется своими рангом и сигнатурой. Это утверждение стоит сравнить с
последующим обсуждением.)
Доказательство теоремы 4.3 проведем по индук-
индукции. Утверждение уже доказано для малых значений ранга. Выбе-
Выберем такой вектор Xi Ф 0, что х\ • хх = 0. Без потери общности мож-
можно считать, что элемент х\ неделим и, следовательно, является
частью базисах\,..., хппространстваX. Пустьji,... ,уп- дуаль-
дуальный базис. Тогда xt -yx = 1.
По предположению, существует вектор у, норма у • у которого
нечетная. Следовательно, один из базисных векторов ук должен
иметь нечетную норму. Выберем подпространство Хо С X следую-
следующим образом. Если норма у\ • yi нечетная, то в качестве подпрост-
подпространства Хо возьмем подпространство, порожденное векторами Xi
и у\. Если же норма д'] • у1ш четная, то в качестве подпространства
Хо возьмем подпространство, порожденное векторами xt
где к выбрано так, что
(У1 +Ук)=Ук Ук = 1 (mod 2).
3. Дж. Мипнор 33

Тогда пространство Хо имеет матрицу внутреннего произведения
вида
1 нечетное ,
Как и в случае 2 доказательства теоремы 2.2, мы видим, что
Очевидно, что пространство X разлагается в ортогональную прямую
сумму >
Выберем ± 1 так, чтобы пространство <± 1 > ® Хо было неопреде-
неопределенным. Тогда по индуктивному предположению пространство
< ± 1 > ®Х0 обладает ортогональным базисом. Следовательно, тако-
таково же и пространство X, что завершает доказательство теоре-
теоремы. D
Сигнатура пространства с внутренним произведением X над
кольцом Z определяется следующим образом. Выберем ортого-
ортогональный базис Ьх Ъп для рационального пространства с внут-
внутренним произведением Q®X. Тогда сигнатура
является разностью между числом базисных элементов Ь{, дня ко-
которых Ь{ ¦ bt > 0, и числом базисных элементов 6/, для которых
bj • 6/ < 0. В силу теоремы Якоби - Сильвестра об инерции сигна-
сигнатура является инвариантом (см. п. 2.5 гл. 3). Отметим, что
Теперь кольцо Витта W(Z) может быть вычислено следующим
образом.
4.4. Следствие. Кольцо Щ2) канонически изоморфно
кольцу Z.
В действительности, мы покажем, что соответствие X >-* а{Х)
дает кольцевой изоморфизм W(Z) -*• Z. (Сравните как с п. 2.6
гл. 3, так и с § 2 гл. 4.)
Если S - расщепляемое пространство с внутренним произведе-
произведением над кольцом Z, то сигнатура a(S) равна нулю. В силу п. 6.3
гл. 1 рациональное пространство с внутренним произведением
Q ® S изоморфно сумме копий пространства < 1 > « < - 1), следо-
следовательно,
Отсюда легко выводится, что соответствие Х>-*о(Х) задает адди-
аддитивный гомоморфизм из кольца W(Z) в кольцо Z.
34

Этот гомоморфизм сюръективен, поскольку а( < 1 >) = 1. Он име-
имеет нулевое ядро, поскольку если а\Х) = 0, то, в силу теоремы 4.3,
сумма ДГ ф < 1 > е < — 1 > изоморфна сумме экземпляров пространст-
пространства < 1 > ® (- 1 > и, следовательно,
Х~Х<ь(,1 > ® <-1>~0.
Таким образом, два пространства с внутренним произведением над
кольцом Z имеют одну и ту же сигнатуру тогда и только тогда,
когда они принадлежат одному классу Витта. Поскольку из равен-
равенства а( < 1 >) = 1 следует, что биекция W(Z) •*¦ Z является кольце-
кольцевым изоморфизмом, то этим завершается доказательство. D
§ 5. Пространства типа П
Сначала докажем следующее утверждение.
5.1.Теорема. Сигнатура пространства с внутренним произве-
произведением типа П делится на &.
В § 6 будет описан пример пространства, имеющего сигнатуру,
равную 8.
Для доказательства теоремы 5.1, рассмотрим сначала произволь-
произвольное пространство с внутренним произведением над кольцом Z.
Элемент и € X назовем характеристическим, если
и • х = х • х (mod 2)
для любого элемента х.
5.2. Л е мм а (ван дер Блий). Любое пространство с внутренним
произведением X над кольцом Z содержит характеристический
элемент. Более того, если и € X - характеристический элемент, то
ии = а(Х) (mod 8).
Доказательство. Образуем индуцированное пространст-
пространство с внутренним произведением X» ?2 =Х/2Х над полем из двух
элементов. Через х обозначим образ элемента х в пространстве
Х/2Х. Тогда ясно, что внутреннее произведение х ¦ у на простран-
пространстве X индуцирует Fj -значное внутреннее произведение
x-J = (класс элемента х ¦ у по модулю 2)
на пространстве Х/2Х.
Функция х •">*• Зсиз пространства Х/2Х в поле F2 является
F2 -линейной, следовательно» существует единственный элемент
п G X/2X, удовлетворяющий уравнению м • ~х = ~х • ~х для любого
элемента Зс. Выбирая любой прообраз и € X элемента ы, мы полу-
получаем требуемый характеристический элемент.
3» • 35

Заметим далее, что класс числа и • и по модулю 8 является
инвариантом пространства X, поскольку если и' — другой характе-
характеристический элемент, то и' = и + 2дс и, следовательно,
и'- и' = м- и + 4(и- х + *• х)=и- и (mod 8).
Ясно, что инвариант и • и аддитивен относительно прямых сумм.
Отметим, что и ¦ и = 1 (mod 8) для пространства с внутренним
произведением < 1), и что и ¦ и = — 1 (mod 8) для пространства
(- 1 >. Таким образом, мы видим, что' для ортогональной 'суммы
р экземпляров пространства A) и q экземпляров пространства
< — 1 > значение и • и сравнимо с сигнатурой а = р - qua модулю 8.
Для любого пространства с внутренним произведением X орто-
ортогональная суммаX®{\)®{ — \)является неопределенным прост-
пространством типа I и, следовательно, изоморфна сумме экземпляров
пространств < 1 > и < - 1). Поскольку ассоциированный с прост-
пространством X ®{\)®{- \) инвариант и ¦ и (mod 8) есть класс выче-
вычетов а(Х ® < 1 > ® < - 1 >) = а(Х) (mod 8), а ассоциированный с прост-
пространством < 1 > ® < — 1 > инвариант равен нулю, то этим завершается
доказательство леммы. D
Доказательство теоремы 5.1. ЕслиX — пространст-
пространство типа II, то можно выбрать и = 0. Следовательно,
что завершает доказательство теоремы. D
Замечание 1. Инвариант и ¦ и по модулю 8 определен также
для пространств с внутренним произведением над кольцом 2-ади-
ческих чисел Z2. Он порождает гомоморфизм из кольца Витта
W(Z2) в кольцо Z/8Z. Очевидно,что диаграмма
W(Z)
является коммутативной диаграммой кольцевых гомоморфизмов.
Замечание 2. Отличная от приведенной и весьма интригую-
интригующая формула для сигнатуры по модулю 8 была недавно дана
Дж. Милгрэмом в связи с одной задачей в топологии. Пусть V —
любое пространство с внутренним произведением сигнатуры а над
рациональными числами и пусть L — решетка в V, настолько
малая, что / • / €¦ 2Z для любого / € L. Если через L* CV обозначить
"двойственную решетку", состоящую из всех элементов и € К, для
которых v ¦ L С Z, и если i>i,..., vd —' полный набор представите-
36

лей смежных классов решетки L* по модулю решетки L, то
Милгрэм доказал, что
d
ехрB 7иа/8) -. 2 exp (iti v,- ¦
i=i
Дальнейшие подробности можно найти в приложении 4. Пусть,
например, решетка L унимодулярна. Тогда L = L* и d= 1, так что
правая часть равенства равна 1 и отсюда опять же следует, что
а = 0 (mod 8). Это рассуждение близко к исходному доказательст-
доказательству в [8].
В заключение параграфа докажем следующее.
5.3.Теорема. Если два неопределенных пространства с внут-
внутренним произведением над кольцом Z имеют одни и те же ранг,
тип и сигнатуру, то они изоморфны.
Для типа I это было доказано в § 4, так что нам осталось рассмот-
рассмотреть только тип П.
Доказательство (следует Серру [66]). Сначала рассмот-
рассмотрим следующую конструкцию. Если дано пространство с внутрен-
внутренним произведением X типа I, то можно образовать подмножество
Хо, состоящее из всех элементов х, для которых х ¦ х = 0 (mod 2).
Очевидно, это подрешетка индекса 2 в решетке X. Нам хотелось бы
построить пространство с внутренним произведением типа II,
которое также содержало бы множество Хо в качестве подрешетки
индекса 2. Если такое пространство существует, то оно, очевидно,
должно содержаться в "дуальной решетке",
*„* CQ <SX,
состоящей из всех векторов х* векторного пространства Q ®Х,
которые для любого векторах ? Хо удовлетворяют условию
x*-xez.
(Можно сравнить с § 3 гл. 4.) Поскольку X* содержит Хо в каче-
качестве подрешетки индекса 4, то существует не более трех различных
решеток, строго содержащих решетку Хо и строго содержащихся
в решетке X*. Одной из них является сама решетка X. Мы будем
интересоваться двумя другими.
В качестве примера давайте применим эту конструкцию к
пространству с внутренним произведением W = <l>®<-l>c ортр-
гональным базисом еь е2. Проверка показывает, что решетка Wo
имеет базис ех + ег,е\ - е2 и что И^о* имеет двойственный базис
— (ех -е2), —(el+e2). В этом случае имеются три решетки,
2 2
лежащие между Й^ и Wo#. Одной из них является решетка W, а две
37

другие решетки, очевидно, изоморфны гиперболической плоско-
плоскости Я.
Теперь рассмотрим сумму y®W=y®<l)®<-l>, где Y -
произвольное пространство с внутренним произведением типа П.
Тогда подпространство (Y ® ИОо векторов четной нормы равно
Y ® Wo и, следовательно, (У ® W)* = У е W*- Ясно, что существуют
три решетки, лежащие между (У® И^о и (F® W)*. Одной из них
является решетка У ® W, а каждая из двух других изоморфна Y ® Я.
Пусть ж - другое пространство с внутренним произведением
типа II, имеющее те же ранг, сигнатуру, что и пространство Y.
Тогда, в силу теоремы 4.3,
Г®И/=гУ'® W.
Применяя в обе стороны описанную выше конструкцию, получаем,
Но простые рассуждения показывают, что любое неопределенное
пространство с внутренним произведением типа II изоморфно
ортогональной, сумме У® Я для некоторого пространства У
(см. § 2 и 4). Это завершает доказательство. D
§ 6.Задача классификации для положительно
определенных пространств
Сначала опишем некоторые примеры положительно определен-
определенных пространств с внутренним произведением над кольцом Z.
Пусть через R4m обозначено евклидово пространство с ортогональ-
ортогональным базисом ej,... ,e4nj. j
6.1. Л е м м а. Векторы ef + е;- и — (et + ... + e+m) порождают
решетку Г4т С R4m, являющуюся пространством с внутренним
произведением над кольцом Z.
Доказательство. Пусть L0 - подрешетка индекса 2,
порожденная векторами et +ej. Очевидно, что решетка Lo может
рассматриваться также как подрешетка индекса 2 в порожденной
векторами ег,... ,еЛт решетке._ Следовательно, фундаменталь-
фундаментальная область решетки Г4т имеет объем 1. Проверка показы-
показывает, что внутреннее произведение любых двух элементов ре-
решетки Г4т является целым числом, что завершает доказа-
доказательство. П
(Решетка Г4|П может быть явно описана как множество всех
таких линейных комбинаций i-i^i +... + ?4те4т> что 2?; €Z,
Si = %г = ¦ ¦ ¦а ?4m (mod Z) и {, + ... + Um = 0(mod 2Z).)
6.2. Лемма. Построенное пространство с внутренним произве-
произведением Г4т имеет тип I при нечетном m и тип II при четном т.
38

Доказательство. Поскольку каждый из векторов е{ +е,-
имеет норму 2, то из этого легко следует утверждение леммы. D
Решетки Г8, Г> 6, Г24. • • • дают примеры положительно опреде-
определенных пространств с внутренним произведением типа II с сигнату-
сигнатурами 8,16,24,...
Предпримем теперь попытку продвинуться в исследовании стро-
строения множества всех положительно определенных пространств с
внутренним произведением над кольцом Z.
6.3. Определение. Пространство с внутренним произведе-
произведением X называется неразложимым, если оно не разлагается в орто-
ортогональную сумму двух нетривиальных подпространств.
6.4. Теорема (Эйхлер). Каждое положительно определенное
пространство с внутренним произведением над кольцом Z одно-
однозначно разлагается в ортогональную сумму неразложимых прост-
пространств.
Доказательство (см. [36]). Вектор х Ф 0 из пространст-
пространства X назовем минимальным, если он не может быть выражен в виде
суммы у + z двух векторов у и z строго меньшей длины (т.е. та-
таких векторов, что у ¦ у <х -хиг z <х-х). Очевидно, что после
конечного числа шагов процедура представления вектора в виде
суммы более коротких векторов должна завершиться. Следова-
Следовательно, пространство X порождается множеством своих минималь-
минимальных векторов. Отметим, что если пространство X разлагается в
ортогональную сумму Хг ®Х2, то каждый минимальный вектор
пространства X должен принадлежать либо подпространству Xt,
либо подпространству Х2.
•* Скажем, что минимальные вектора х и х эквивалентны, если
существует конечная последовательность х = х0, хх,... ,хк =х' ми-
минимальных векторов, для которых */_i -xt ФО при ККк.
Тогда каждый класс эквивалентности порождает подпространство
в пространстве X. Ясно, что пространство X является ортогональ-
ортогональной прямой суммой построенных подпространств. Отметим, что
это разложение определено однозначно, чем завершено доказа-
доказательство теоремы. D
Заметим, что описанное выше построение легко выполнить
практически. Приведем пример, подробное рассмотрение которого
предоставляется читателю.
6.5. Предложение. При тп>2 пространство Г4т неразло-
неразложимо. Минимальными векторами в пространстве Г4т являются
все вектора вида ± е* ± е;- или— (±ег ± .. .±еЛп>) и только они.
Конечно, пространство Г4 не является неразложимым, посколь-
поскольку, в силу теоремы 2.2, каждое положительно определенное прост-
39

ранство ранга 4 над кольцом Z должно быть изоморфно прост-
пространству <1 > ® < 1 > 9 < 1 > ф < 1 >.
Замечание 1. Кнезер нашел все неразложимые пространст-
пространства, ранг которых не превосходит 16. Он показал, что кроме описан-
описанных пространств существует по одному дополнительному непри-
неприводимому пространству (типа I) в каждой из размерностей 14, 15,
16. Однако едва.ли можно надеяться продвинуться далеко вперед
в вычислениях, поскольку с увеличением ранга число различных
пространств очень быстро растет. Например, при рассмотрении
только положительно определенных пространств типа II получается
следующая таблица. (Сравните с обсуждением, следующим за
теоремой 9.7, и с заключительным замечанием в приложении 5, а
также с 166,с.93].)
Размерность
16
24
32
40
Число различных 1 2 24
пространств
Замечание 2. Два неизоморфных пространства Г8 « Г8 и
Г]в в размерности 16 обладают следующими замечательными
свойствами. Для каждого положительного целого числа к число
решений уравнения х-х = 2к при *еГ8«Г8 в точности равно
числу решений того же уравнения прилег^. (См. [17], [66].)
В любом случае число решений равно 480 2 d1.
d\ к
Замечание 3. Впервые открытая А.Н. Коркиным и Е.И. Зо-
Золотаревым в 1873 г. *) решетка Г8 встречается также при изучении
исключительной группы Ли Еь. Эта решетка более симметрична,
чем высшие решетки Г4т, в следующем смысле, Все минимальные
векторы решетки Г8 имеют одну и ту же длину и, в действитель-
действительности, группа автоморфизмов решетки Г8 транзнтивно перестав-
переставляет 240 минимальных векторов. Факторгруппа группы, состо-
состоящей из сохраняющих ориентацию автоморфизмов, по ее центру
является простой группой порядка 174 182 400= 212 -3s • 52 -7
(см. [12, с. 221,265]).
Замечание 4. Эта решетка в размерности 8 имеет чрезвы-
чрезвычайно интересный аналог, открытый в 1967 г. Джоном Личем. Ре-
Решетка Лича является положительно определенным пространством
с внутренним произведением типа II с тем свойством, что х х> 4
при любом хФО (см. приложение 5). Группа автоморфизмов ре-
')Ее существование было неконструктивно доказано Смитом в 1867г.
40

шеткиХ, транзитивно переставляет 196560 минимальных векторов,
а факторгруппа этой группы автоморфизмов по ее центру является
простой группой порядка 4 157 776 806 543 360 000 =221 • З9 < 54 •
•72 -11 ¦ 13-23 ([38-40]).
Неизвестно, существуют ли такие симметричные решетки в бо-
более высоких размерностях. Было бы естественным искать следую-
следующую решетку в размерности 48, поскольку теория модулярных
форм ([66, с. 168—175]) указывает на то, что пространство с внут-
внутренним произведением типа II, для которого х • х > 6 при любом
хФО, должно иметь размерность не менее 48. (Интересно отметить,
что8 = 32 - 1,.24 = 52 - 1, 48 = 72 -1.) '
§ 7.Упаковка одинаковых шаров
в пространстве R"
Унимодулярная решетка Г8 обладает тем свойством, чтохх> 2
для любого ненулевого элемента х решетки Г8, в то время как
.решетка Лича обладает тем свойством, что х • х > 4 для любого
ненулевого элемента. Пример унимодулярной решетки, для кото-
которой х ¦ дс> 2" при любом элементе хФО, дает и-кратное тензорное
произведение Г8 ® ... ® Г8 (см. п. 9.6). Эти примеры приводят к
следующему вопросу. Если фиксирована размерность п, то ка-
каково наибольшее .возможное значение для минимума ненуле-
ненулевых норм
¦min (х ¦ х)
еМ{о}
по унимодулярной решетке L в пространстве R"?
Другой эквивалентной переформулировкой является следую-
следующая: каково максимальное возможное значение для отношения
ii(L) = ( min x-x
хеЩо)
где L теперь пробегает множество всех решеток пространства R"?
Это действительно эквивалентный вариант, поскольку любая ре-
решетка максимального ранга в пространстве R" может быть преоб-
преобразована в_унимодулярную решетку преобразованием подобия
х**х/ tydet L, не изменяющим отношения ii(L).
Следующее утверждение хорошо известно (см. [74, с. 29-31]).
7.1. Л е м м а. Для каждой размерности п существует решетка
Ln, максимизирующая отношение \i{L) =( min x ¦ х)/\/det L.
ei\{o)
*ei.\{o)
Кроме того, если выбрать базис в решетке Ьп,то матрица внутрен-
внутреннего произведения в нем (возможно, домноженная на действитель-
действительное число) является матрицей рациональных чисел.
41

Следовательно, максимальное отношение v(Ln) является кор-
корнем п-тл степени нз рационального числа. Доказательство леммы 7.1
будет дано в конце этого параграфа.
Максимальное значение функции ц{Ь) при л<5 было опреде-
определено А.Н. Коркиным и Е.И. Золотаревым, а при п <8 - Блихфельд-
том. Эти максимальные значения при 1 <л<8 равны 1,>/4/31,
у/Т, \f?, \/%, V64/3 и .2 соответственно. Округленные до трех
десятичных знаков, эти величины имеют следующие значения
(сравните с рис. 3 на с. 49.)
¦
1
1
2
1,155
3
1,260
4
1,414
п
5
1,516
6
1,665
7
1,811
8
2
При и = 2 максимальное значение ц (L 2) = у/Щ достигается на ре-
решетке, изображенной на рис. 1, с матрицей внутреннего произведе-
/2 1\
кия I I. Мы будем называть ее правильной шестиугольной
решеткой, поскольку связанный с ней "многогранник Вороного",
состоящий из двух точек пространства R2, которые отстоят от на-
начала координат не дальше, чем от любой другой точки решетки, яв-
является правильным, шестиугольником.
PUc. 1. Правильная шестиугольная ре-
решетка и ассоциированная с ней упа-
упаковка в пространстве R9
При п - 3, 4, 5 максимальное.значение функцииn{L) достигает-
достигается на решетке, построенной следующим образом. Пусть Z" —
решетка, порожденная ортонормированным базисом <?i е„ в
42

пространстве R", и пусть Ln — подрешетка индекса 2, порожден-
ная элементами et + в/. В случае п = 3 она известна как кубическая
гранецентрированная решетка,- поскольку она получается из "ку-
"кубической" решетки с базисом 2е t, 2е2, 2е3 добавлением централь-
центральных точек граней всех кубов. (Сравните как с рис. 2, так и с [19].)
Матрицей внутреннего произведения относительно базиса ег +е2,
е! + ез, е2 + е3 является матрица
2 1 1
1 2 1
1 1 2
Эта решетка встречается в природе как конфигурация атомов в
кристаллах (например) золота, серебра, алюминия.
Рис. 2. Кубическая гранецентрированная
решетка в пространстве R3
J
t )
(
*
f 1
f
J
/
1
1
f
7
7
I
j
7
t
*
f
Ассоциированный с гешеткой L3 многогранник является ром-
ромбическим додекаэдром, т.е. телом, ограниченным двенадцатью ром-
ромбами.
При п = 6,7,8 функция ii{L) достигает максимума на решетке
Ln, построенной следующим образом. Пусть Lb — зто решетка
Г 8 из § 6, L 7 —ортогональное дополнение к минимальному векто-
вектору в решетке Fg, L6 — ортогональное дополнение к правильной
шестиугольной решетке в Fs
Эти три решетки можно отождествить с решетками, порожден-
порожденными системами корней исключительных групп Ли Е6, Еп и ?8.
(Подобным образом решетки L2, L3, Z-4 и Ls порождены си-
системами корней Аг, А3, ?>4> Ds. Сравните это с материалом на
с. 166-167.)
При и>8 точное значение n(Ln) = max ti(L) неизвестно. Од-
iCR"
нако оно может быть вычислено с точностью до множителя 4 сле-
следующим образом. Напомним, что шп = я"'2/ГA +и/2) — объем
.единичного диска в R".
7.2. Теорема Минковского. Для любой размерности п
справедливо неравенство
43

Действительно, верхняя оценка n(L) <4<д>„ ''"является точной
переформулировкой следствия 1.5. Используя формулу Стерлинга
ГA +х)~ххе~ху/2пх при дс-*¦«>, видим, что1)
4ton~2'" ~2и/яе прил-><».
Роджерсом бьща получена более сильная верхняя оценка вида
Ее мы обсудим несколько позже в этом параграфе (сравните с
рис. 3).
Нижняя оценка
(или чуть более сильная оценка n(Ln)> B{!(n)/tonJ/'1) была
получена Минковским в 1905 г. С этим неравенством часто связы-
связывается имя Главки, поскольку им доказано сформулированное
Минковским обобщение этого неравенства. Более сильные нера-
неравенства этого вида были даны Шмидтом, Роджерсом и другими,
но все они имеют то же самое асимптотическое поведение при п -*¦
->¦<». (Сравните с [64].) Вариант с самодвойственными решетками
будет доказан в п. 9.5.
Доказательство, неравенства ii(Ln) > B/со„J'" > иГпг1".,
Пусть / (х) = / (? 1,..., ? „) > 0—непрерывная действительная функ-
ция с компактным носителем.Интеграл /... //(? i ,...,?„) d% \ ...
оо — оо
...???„ будем кратко записывать в виде ff(x)dx. Сначала до-
докажем следующее утверждение. Предположим, далее, что п > 2.
7.3. Лемма. Дяя любого действительного числа /3>/ f(x)dx
существует унимодулярная решетка L С R", для которой сумма
Ъ f (x) меньше /3.
хеь\{о]
До казательство. Пусть еь ..., е„ — стандартный орто-
нормйрованный базис пространства R". Пусть е > 0 - фиксирован-
фиксированное достаточно малое число, которое будет выбрано позже. Опреде-
Определим число X > 0 из уравнения е Х"~1 = 1. Для данных веществен-
вещественных параметров Т\,..., т„_ j рассмотрим унимодулярную решетку
L = L (ti ,. .., т„_ i), порожденную базисом
Xei,..1,XeII_i,TiXei +... + т„_1 \en_i +ее„.
Таким образом, типичным элементом решетки является л-ка
1) Или, более точно, и„2'" = л/2 ire + In (ти)/2 пе + о A).
44

где коэффициенты /t in_i и/ принимают независимые значе-
значения из кольца Z. Ясно, что если к любому из параметров г„ доба-
добавим целое число, то решетка L (т%,..., т„_ i) не изменится.
При фиксированном е для каждого набора параметровть... ,т„_1
(по модулю 1), рассмотрим сумму
A) 2 /(*) =
= 2'/(Х Oi +/.т,) X (in_
где второе суммирование ведется по всем л-кам i'i,..., in_i, /
целых чисел, не равных одновременно нулю. Поскольку функция
/ имеет компактный носитель, можно выбрать е таким малым, что
при (it,.-.., in-1) "^ @, ¦._.., 0). Если параметр е выбран таким
образом, то члены с / = 0 не вносят вклада в сумму, так что мы
можем переписать сумму A) в виде
A*) 2 S,(Tu...,Tn_l),
где слагаемое
2 /(X 0"i +/ti X A„_ i +/т„_ i), /с)
равно нулю при больших I/ I. Затем рассмотрим среднее
B)./.'../ 2 Sj(rl,...,Tn_l)dTi ...drn_! =
о о I* о
1 1
= 2 f...fSJ(jl,...irn_i)dTl...dTn-i
i * о о о
при изменении параметров Tt, . . . , г„_ i от 0 до 1. Если / > 0, то
подстановка т?„ =/rv преобразует последний интеграл в
jl-"f...i 2 /(X (ii+4i),....
О О 'i •••'n-i
Проверка показывает, что мы интегрируем ровно j"~l раз по
каждому единичному кубу .в R"~l, так что наше выражение в точ-
точности равно
во во
/-. - //(Хт?,, • •. ,X»b,_i./e)*li • ¦ ¦ <*17„_,.
_ ов — ов
45

Аналогичным образом формула доказывается при / < 0. Если
положить
= 7-••
— оо — оо
то последнее выражение равно
Следовательно, среднее B) равна
C) 2 eg(fe).
Но g (i?) — непрерывная функция с компактным носителем. Поэто-
Поэтому при е -*0 сумма C) сходится к интегралу Римана
Если выбрать сумму Римана C) меньше 0, то отсюда следует, что
среднее B) также меньше 0. Следовательно, найдутся значения
параметров тг, . . . , Tn_!, такие, что сумма A) = (Г) меньше 0.
Этим завершается доказательство леммы 7.3. D
Для доказательства теоремы 7.2 мы специальным образом под-
подберем функцию /. Пусть г < s - положительные действительные
числа, которые меньше B/cjn)''". Выберем функцию / так, что
1 при х
= О при x
и всюду 0 </ (х) < 1. Тогда очевидно, что
ff(x)dx<unsn<2.
Следовательно, по лемме 7.2 существует унимодулярная решетка
L CR", для которой
D) 2 /(х)<2.
Эта решетка L ие может содержать такого вектора х0, что
0<х0 ¦ хо< г2
(поскольку если бы такой вектор х0 существовал, то сумма D)
содержала бы члены f(x0) +/(-х0) > 2, что невозможно) .
Следовательно,
М (I) = min х • х > г2.
хеь\ {о}
Поскольку г2 может быть любым числом, меньшим B/со„J/'1, то
46

этим доказано, что
H(Ln)= sup n(L)>BlunJ'n,
ZCR" •
чем и завершается доказательство теоремы 7.2. D
Однако и после этих замечаний многие вопросы остались без от-
ответа. Стремится ли отношение ц (L „) /п к пределу при л -*°°? Если -
да, то каков этот предел? Возрастает ли последовательность ju(I i),
ц (L j),... монотонно? Каковы точные значения ц(Ь9),ц(Ь ю),°. • •?
С задачей о вычислении значения дA) тесно связана следую-
следующая классическая задача. Какова максимальная возможная плот-
плотность объединения непересекающихся шаров фиксированного
радиуса в евклидовом пространстве R"?
Такое объединение Р непересекающихся шаров одинакового
радиуса будет кратко называться упаковкой в пространстве R".
Про упаковку Р говорят, что она имеет плотность р, если отношение
vol(?nC)/vol(C),
где через С обозначен большой куб, равномерно стремится к пре-
пределу р, когда ребро куба стремится к бесконечности.
Любая решетка L С R" приводит к упаковке в простран-
пространстве R" следующим образом. Определим радиус г из уравнения
BrJ - min х • х.
XSL\ {0}
Если расположить центры шаров с радиусами г в каждой точке ре-
решетки, то множества внутренних точек шаров, очевидно, не будут
пересекаться. Плотность этой упаковки задается формулой
р = w
Следовательно,
Отметим, что оценка Минковского \п. 1.5) в точности совпадает с
неравенством р < 1.
Туэ доказал, что максимальная возможная плотность упаковки
в пространстве R2 равна плотности р=я/ л/ГТ, связанной с правиль-
правильной шестиугольной решеткой, изображенной на рис. 1. При и = 3
кубическая гранецентрированная решетка дает упаковку с плот-
плотностью Jr/\/l8! Что касается произвольной упаковки в простран-
пространстве R3, то, согласно Роджерсу, "большинство математиков верит,
а все физики зиают, что ее плотность не может превосходить я/Vie ".
Однако это никем не было доказано. В действительности, задача
остается нерешенной для всех и > 3. Примечательно, что Лич и
Слоун недавно описали примеры нерешеточных упаковок в размер-
47

ыостях 10, 11, 13., имеющие большую плотность, чем для упаковок,
связанных с любой из известных в этих размерностях решетках.
Роджерсом была доказана прекрасная верхняя оценка для плот-
плотности любой упаковки в пространстве R", основывающаяся на
более ранней работе Блихфельдта. Пусть Д„ — равносторонний
л-симплекс в евклидовом пространстве с ребрами длины 2. Пусть
подмножество В состоит из всех точек симплекса Д„, отстоящих
от какой-нибудь из его вершин не более чем на 1,
Роджерс доказал, что для любой упаковки в пространстве R",
обладающей плотностью р, выполняется неравенство
р<ап.
(В таблице приведены некоторые примеры с округлением десятич-
Размерность
2
3
8
24
Решетка
правильная
шестиугольная
кубическая
гранецентри-
рованная
г.
решетка
Лича
Плотность
ассоциированной
упаковки
0,9069 =ir/vT7
0,7405
0,2537
0,0019
Верхняя
оценка оп
0,9069 =ir/VTT
0,7796
0,2568
0,0025
ных дробей до ближайших десятитысячных.) Следовательно, для
любой решетки L
ц (L) = 4 (р/о>„J'" < 4 (о„/ипJ'".
Это представляет существенное улучшение верхней оценки
4A/со„J/п из § 1, что становится очевидным, если использовать
асимптотическую формулу Роджерса
а„ ~и/е\/г2ят при п -*¦«».
Числовые значения при и < 24 изображены на рис. 3, Все исполь-
использованные в этом графике данные взяты из работ [46] и [47].
Отметим, что при и = 8 верхняя оценка Роджерса 4(ag/wB)*/4 *»
«* 2,006 так близка к ц (Z,8) = 2, что две точки на графике кажут-
кажутся совпадающими.
Для того чтобы завершить этот параграф, нам осталось дока-
доказать лемму 7.1. Доказательство будет основываться на следующем
утверждении.
48

ф
•
¦ ¦
, :
•
. . • •
• •
» * *
. • • •
¦ i i ¦
:¦¦¦¦
¦ • • *
i 1 I i
•
Ф •
. 1
9 • •
•
л
¦ i i i . i i i ш
0 4 8 12 16 20- 24
Рис. 3. Средний ряд точек дает наибольшее возможное значение д(?) =
= min(x ¦ х)/ УЗёТТдля решетки L в каждой из размерностей л < 8 и наи-
наибольшее известное значение — в каждой из размерностей я в диапазоне от 9
до 24. Верхний ряд точек дает верхнюю оценку Роджерса 4(оп/ы„J/", а
нижний ряд - грубую оценку Минковского B/oJnJ'n
7.4. Лемма. Существует такая константа с„ > О, что любая
решетка в пространстве R" обладает базисом bit . . . , Ъп, для ко-
которого
min xxf'1
L\ {0}
при любых i,j.
В действительности мы покажем, что константа с„ может быть
определена индуктивно по формуле
E) сп=[~
где с, = 1.
Чтобы начать доказательство леммы 7.4, выберем в решетке/,
вектор Ь„ Ф 0, для которого
F) Ь„- Ь„= min х ¦ х.
X6i\ {0}
Тогда, в силу следствия 1.5 или теоремы 7.2,
G) /,„•/,„<4<V2/n(detLI/'1.
Деля л-ю степень неравенства G) на (п-1)-ю степень равенства
F), получаем неравенство
(8) ЪпЪп<D" со„-2)detЩ min xx)"'1,
L\{0)
где коэффициенты 4" ш?, очевидно, удовлетворяют неравенству
4"со-2<с„.
Этим завершается доказательство при п = 1. Предположим те-
теперь, что и > 2. Пусть через I' обозначен образ решетки L при орто-
4. Дж. Милнор 49

тональном проектировании из пространства R" на гиперплоскость
(Ь„I. Тогда любой вектор х'е L' может быть выражен в виде
разности
х' = х-\Ь„,
где х е Z,, и мы можем выбрать вектор х так, чтобы | Х| < 1/2.
Если х* Ф О, то
4
и, следовательно,
,,33
х -х > —/>„• bn- — min х ¦ х.
4 4t\ {о}
Теперь, используя формулы
, . 3
min х • х > — min x • х
L'\{o} 4 t\{o}
и
det(L') = det (?)/*>„•/>„,
получаем по индукции, что решетка!,'обладает базисом b\, . . .
... ,Ь'п_1,щ1я которого
(9) Ъ\-Ъ\<
<с„_! det (!')/( min x'x')"-2 <
L\ {0}
<( —I cn_rdet(I)/( ,
\ 3 / L\{0}
Полагая b\ = bt - \tbn, где |\/1 < 1, мы получим требуемые элементы
b\,..., bn_ i, удовлетворяющие, в силу формул E), (8), (9), не-
неравенству
Ь) bt<b't-b'i + bn-bn<cn det I/( min x ¦ x)n~l
L\{0)
Очевидно, что векторы b\,..., Ь„ образуют базис решетки L, Тре-
Требуемая верхняя оценка для выражения \bt -b/\ при i Ф] следует те-
теперь из неравенства Шварца, чем завершается доказательство
леммы 7.4. D
Доказательство леммы 7.1. Пусть множество К сос-
состоит из всех действительных симметрических матриц^ = (atj) разме-
размером п Х-и, которые для любого набора (?i,..., ?„) из п целых чи-
чисел, не равных одновременно нулю, удовлетворяют неравенству
A0) 2а
50

Очевидно, множество К можно представлять себе как замкнутое
выпуклое подмножество в действительном п (л + 1)/2-мерном про-
пространстве.
Отметим, что каждая матрица из множества К положительно
определена. Действительно, из следствия 1.5 или теоремы 7.2 сле-
следует, что любая положительно определенная матрица/! из множест-
множества К удовлетворяет неравенству
/4
Отсюда легко выводится, что подмножество множества К, сос-
состоящее из положительно определенных матриц, не только открыто,
но также и замкнуто. Следовательно, это подмножество совпадает
с множеством К.
Мы докажем, что функция определителя А >-*¦ det (<4) из мно-
множества К в поле R действительно достигает минимального значения
в некоторой точке А 0 е К. Пусть Ко — компактное подмножество
в К, состоящее из всех матриц А = (аф множества К, элементы
ац которых удовлетворяют неравенству
\av\<cn.
Из леммы 7.4 следует, что для любой матрицы А € К, такой, что
det (А) < 1, существует обратимая целочисленная матрица Р ?
G GL(n, Z), такая, что PAP* G Ко. Очевидно, что
detiPAP*) = detG4).
Но функция определителя, ограниченная на компактное множество
Ко, достигает минимума. Следовательно, можно выбрать матрицу
Ао ? Ко, такую, что det(<40) < det (Л) для всех матриц A G Ко,.
и, следовательно, для всех матриц A G К.
Если Ln является решеткой с матрицей внутреннего произве-
произведения А о, то отсюда, очевидно, следует, что
равно max (i(L).
lcr"
Теперь мы должны доказать, что элементы матрицы Ао явля-
являются рациональными числами. В более общем случае назовем,
следуя А.Н. Коркину и Е.И. Золотареву, матрицу Ао G К экстре-
экстремальной, если функция det: К -+R имеет в Ао локальный минимум.
Отметим, что экстремальная матрица Ао не может лежать внутри
отрезка матриц
целиком принадлежащего множеству К, где ВФО. (На языке теории
выпуклых множеств экстремальная матрица обязательно является
"экстремальной точкой" выпуклого множества К.) Действительно,
4* 51

выбирая такую вещественную матрицу Р, что PAqP* - /, и полагая
РВР* =С= {сif), простыми вычислениями показываем,что
= det(/
где опущены члены с ?3 и более старшими степенями. Поскольку
С Ф 0, то легко показать, что существуют как угодно малые значе-
значения ?, для которых det (А $) < det (Ао).
Если Л о — экстремальная матрица, то пусть ±Z(i),..., ±г(Лп —
полный список всех л-к целых чисел (рассматриваемых как матри-
матрицы* размера 1 X л), удовлетворяющих матричному уравнению
A1) '
Мы будем рассматривать уравнение A1) как систему из N линей-
линейных уравнений относительно п(п + 1)/2 элементов матрицы Ао.
Утверждается, что матрица Ао является единственным решением
этой системы. В противном случае, если решение не единственно,
то существовало бы однопараметрическое семейство симметри-
симметрических матриц А% = А о + %В, удовлетворяющих уравнению A1).
Мы докажем, что A$GK при достаточно малом ?. Если г-ненуле-
г-ненулевая л-ка целых чисел, то либо гА0 г * = 1 и, следовательно, z A$ z* =
= 1, либо zAozT> с для некоторой константы с > 1 .Выбирая в пос-
последнем случае такую константу, что для любого х ё R"
I хВх*\ <e~lxAoxt,
получаем, что
zA%z t > zAoz *-€*\Ц\ zAozr> 1
при I И < A - c-')e . Таким образом, ylt € К при | % I < A -
— с~1)е, что противоречит предположению об экстремальности
матрицы Л а-
Поскольку единственное решение системы линейных рациональ-
рациональных уравнений всегда рационально, то этим доказано, что элемен-
элементы матрицы А 0 рациональны, чем завершено доказательство лем-
леммы 7.1. ?
§ 8. Суммы двух и четырех квадратов
В этом параграфе теорема Минковского о выпуклом теле' будет
использована для доказательства двух теорем. Первая из них была
сформулирована Ферма в семнадцатом столетии и доказана Эйле-
Эйлером в восемнадцатом.
52

8.1. Т е о р е м а. Если р - простое число вида 4к.+ 1, то урав-
уравнение а1 + Ь2 =р имеет решение a, b e Z.
В терминах кольца Z [/] целых гауссовых чисел эта теорема
утверждает, чю любое такое простое число разлагается в произве-
произведение (а + Ы) (а - bi).
Доказательство. Пусть р — любое нечетное простое число.
Отметим сначала, что сравнение и1 = —1 (modp) имеет решение
и € Z тогда и только тогда, когда р = 1 (mod 4). Действительно,
группа (Z IpZ)' взаимно простых классов вычетов по модулю р
является циклической группой порядка р — 1. Образом элемента
-1 в группе" (Z/pZ)" является единственный элемент порядка 2.
Очевидно, что» элемент порядка 4 существует в этой группе тогда
и только тогда, когда 4 делит р - 1, т.е. тогда и только тогда,
когда р = 1 (mod 4).
Предположим теперь, что число р сравнимо с 1 по модулю 4, и
выберем некоторое целое число и, удовлетворяющее сравнению
и2 = -1 (modp). Зафиксировав число и, определим L С Z ® Z
как решетку в пространстве R2, состоящую из всех пар (а, Ь)
целых чисел, для которых
b=ua (modp).
Тогда решетка L является подгруппой индекса р в группе Z2.
Следовательно, объем фундаментальной области решетки L равен
р. В силу следствия 1.5 существует точка х Ф 0 решетки L, для
которой
х-* х < Ар/тт.
Полагая х = (а, Ь), получаем, что
0<а2 +Ь2<Лр/п<2р.
Но по модулю р имеем
а2 +Ь2 =д2 +(«аJ =A +и2)а2 =0.
Следовательно, а2 + Ъ2 должно в точности равняться р. Этим завер-
завершается доказательство. D
8.2. Следствие. Подмножество группы Q", состоящее из
всех ненулевых рациональных чисел, которые можно выразить в
виде суммы двух квадратов, является свободной мультиплика-
мультипликативной абелевой группой с базисом 2, Зг, 5, 72, И2, 13, 17, ...
(Сравните с п. 4.4 гл. 3.)
Доказательство. Сначала рассмотрим над полем Q какое-
нибудь уравнение вида а2 + /З2 = 7 Ф 0. После домножения на
квадрат достаточно большого числа можно предполагать, что
а, /3, у е Z. Мы должны показать, что любое нечетное простое
число р, которое входит делителем в 7 в нечетной степени, должно
53

иметь вид 4Аг + 1. Пусть p2i — наибольшая степень р, делящая одно-
одновременно а2 и /З2. Тогда, очевидно,
(а/рО2 s -03Ipif ФО (modp).
Следовательно, —1 является квадратом по модулю р и из первого
замечания в доказательстве теоремы 8.1 следует, что р = 1 (mod 4).
Таким образом, если у = а2 + /З2, то у должен принадлежать муль-
мультипликативной группе, порожденной числами 2, 32,'5, 72, ...
Обратно, используя тождество
(а2 + Ь2) (с2 + d2) = (ac-bdJ + (ad * beJ,
легко получаем, что любой элемент мультипликативной группы
является суммой квадратов. D
Упражнение для читателя: доказать, что целое число является
суммой двух квадратов рациональных чисел тогда и только тогда,
когда оно является суммой двух квадратов целых чисел.
Вторая теорема была сформулирована Баше де Мезирьяком в
семнадцатом столетии, а доказана Лагранжем в восемнадцатом.
8.3. Теорема. Любое положительное целое число является
суммой четырех квадратов.
Из этой теоремы сразу следует, что любое положительное рацио-
рациональное число является суммой квадратов четырех рациональных
чисел. (Это можно рассматривать как частный случай теоремы
Мейера, соответствующий пространствам с внутренним произведе-
произведением вида < 1> ф< 1 > ®< 1> ®< 1> ®< -г >.)
Доказательство теоремы -8.3. Пусть р -любое нечет-
нечетное простое число. Из леммы 3.3 мы видим, что сравнение
ы2 +о2 + 1 =? (modp)
имеет решение и, v e Z. (Принцип Дирихле показывает, что одно
из (р + 1)/2 различных значений члена и2 по модулю р должно
совпадать с одним из (р + 1)/2-различных значений члена —1 - v2.)
Зафиксировав и и v, определим Z,CZ©Z®Z®Z как решетку,
состоящую из всех четверок (a, b,c,d), для которых
c = ua+vb, d = ub -va (mod p).
Тогда L — подгруппа индекса р2 в группе Z4 и, следовательно,
объем фундаментальной области решетки L равен р2. Поэтому,
в силу утверждения 1.5, существует точка х Ф 0 решетки L, для
которой
Полагая х - (a,b,c,d), получаем, что
0<д2 +b2 +c2
54

Но, сравнивая по модулю р, имеем
аг + Ь2 +c2+d2 =
2а1 + b2 +(ua + vbJ +(ub - vaJ =
=<1 + и2 + v2)a2 +A + и2 + v2)b2 =
= 0 (modp).
Следовательно, сумма а2 + Ь2 + с2 + d2 должна в точности рав-
равняться р.
Для распространения этого результата на произвольное произ-
произведение простых чисел заметим, что сумма а2 + Ь2 + с2 + d2 явля-
является нормой кватерниона а + Ы + cj + dk. Поскольку функция
нормы из кватернионов в действительные числа мультипликатив-
мультипликативна, то отсюда следует, что любое произведение (а2 + Ъ2 + с2 +
+ d2) (А2 + В2 + С2 + D2) сумм четырех квадратов может само
быть выражено в виде суммы
(аА -ЬВ-сС- dDJ + (aB + bA+cD - dCJ +
+ (aC-bD + cA +dBJ + (aD + ЬС - cB + dAJ
четырех квадратов. Очевидно, что этим завершается доказатель-
доказательство. ?
Характеристику сумм трех квадратов можно найти, например,
в [66, с. 78].
§9. Теорема Зигеля
В этом параграфе будет описана принадлежащая К.Л. Зигелю
основная формула для положительно "определенных билинейных
форм над кольцом Z. Никакого доказательства формулы дано
не будет, но будут подробно описаны некоторые интересные
приложения. За доказательствами читатель отсылается к работам
[25,15,52].
Одна из классических задач теории чисел состоит в том, чтобы
дать удовлетворительную формулу для числа решений квадрат-
квадратного уравнения с несколькими целыми переменными. Например,
сколько и-к Х|, ..., х„ € Z удовлетворяет уравнению х\ + ...
... + xjj = к при данном положительном целом числе к1 В 1881 г.
Парижская академия объявила, что ее большая премия будет
присуждена автору лучшей работы на тему "Теория разложения
целых чисел в сумму пяти квадратов". Двумя годами позже фран-
французская печать была возмущена тем, что половина1) премии была
') Другим лауреатом премии был Г.Дж. Смит из Оксфорда, который
в действительности опубликовал решение поставленной задачи многими го-
годами раньше.
55

присуждена немецкому студенту, еще не достигшему двадцати
лет, который из-за недостатка времени даже не следовал правилам
и не представил свою рукопись на французском языке. Тем не
менее французская академия была непоколебима. В своей работе,
удостоенной премии, Герман Минковский заложил фундамент
современной теории квадратичных форм над целыми и рациональ-
рациональными числами.
В этом параграфе пойдет речь о формуле Зигеля для "среднего"
числа решений квадратного уравнения. Для ее формулировки
понадобится несколько определений.
Пусть X и Y — топологические пространства:, каждое из которых
снабжено мерой на ff-кольце, порожденном открытыми множест-
множествами. Мера множества U будет обозначаться vol ([/). Для любого
непрерывного отображения /: X -*¦? плотность решений уравнения
/ (*) = У о может быть измерена следующим образом. Рассмотрим
малые окрестности U точки у0 и образуем предел
lim vol / "'(CO/vol (?/).
Если этот предел существует, то он будет называться плотнос-
плотностью для f~l в точке у о и обозначаться Df~l (y0). Если эта
плотность непрерывна к*к функция от у0, то очевидно, что для
любого измеримого множества С/С Y
f Dfl(y)dy = vol Г1 (?0-
и
(Это топологическая версия теоремы Радона—Никодима.)
Пример 1. Пусть/ : R" -*R - квадратичная функция f(xx,...
..., х„) = ж} + . .. + х*. Используя обычную меру Лебега в прост-
пространствах R" и R, мы видим, что при у > 0 интеграл
о
равен объему шара радиусом \^! Следовательно, плотность/У'
равна производной
dy
Например,
ЯГ100 =
= тг,
= 2тг^7,
= я2у,
56
2
если л
если л
еслип
если л =
= 2,
= 3,
= 4,

и так далее, при условии, что у > 0. Очевидно, что Df (у) = 0 при
у < 0. Функция Df'1 непрерывна в 0 при и > 3 и разрывна при
п = 1,2.
Пример 2. Через Zp обозначим кольцо р-адических целых
чисел. Это кольцо имеет каноническую меру Хаара, в которой
объем каждого из р* различных классов вычетов по модулю р* ра-
равен р~*. Тогда я-кратное декартово произведение Zp X .. ."X Zp
имеет соответствующую меру Хаара. Определяя функцию fp:
Zp X ... X Zp -*Zp по формуле/p (xly . . . ' хп) = х\ + . . . + х2п,
мы опять можем образовать плотность Df'1: Zp -* R.
Пусть и — любое обратимое р-адическое число. Тогда преобра-
преобразование (*i, ..., хп) •-» (их1, ..., их„) непрерывно и сохраняет
объем. Поскольку
,..., ихп) = u2fp(xi,..., х„),
то плотность Df'1 (и2у) равняется плотности Df~1(y). В част-
частности, для любого элемента у Ф 0 из кольца Zp функция Df'1
постоянна в окрестности точки у.
Далее для функции /)/р'дается точная формула. Для упроще-
упрощения рассуждении мы рассмотрим только случаи четного п, скажем
п = Ъп. Напомним, что любой элемент у Ф 0 из кольца Zp может
быть однозначно записан в виде произведения pvu, где v - неот-
неотрицательное целое число, а и - обратимое р-адическое число.
9.1. Л е м м а. Пусть fp:ZpX... X Zp->- Zp - функция от 2m
р-адических переменных, для которой fp(x^ *2m) = x2 + . ..
(-1 \m
— I , так
что е равно +1 или — 1 в соответствии с тем, рт = 1 или рт =
= — 1 (mod 4). Если р нечетно, то ассоциированная функция плот-
плотности Df'^ipVu) равна
A - ег/р) A + ег + еV + ... + eV).
При р = 2и четном mона равна
1 +(_i)m/2(r + r2 +...+Г"-1 -rv),
тогда как при нечетном m она равна 1 + rt+1 или 1 — rv+l в зави-
зависимости от того, m = и или m = —u (mod 4).
Доказательство будет дано в конце этого параграфа. При нечет-
нечетном п формула несколько сложнее.
Отметим, что при т->°о плотность Dff1 (у) стремится к 1. Бо-
Более того, заметим, что при т > 2 плотность Df'1 (у) равномерно
стремится к 1 при р-+°°.
57

Для единообразия записи будем использовать обозначение Z»
для поля действительных чисел R. Тогда имеем каноническое вло-
вложение Z -*2рпри р = 2,3,5,7, .... ,<*>.
Определение (Гаусс, Минковский). Пространства с били-
билинейными формами X и Y над целыми числами принадлежат одному
и тому же роду, если для любого р = 2, 3, .... <» индуцированное
пространство с билинейной формой X ® Z р над кольцом Zp изо-
изоморфно пространству Y ® Zp.
Если пространства X и Y имеют один и тот же род, то нетрудно
проверить, что они также имеют один и тот же определитель. Следо-
Следовательно, используя лемму 1.6, мы видим, что каждый род содер-
содержит лишь конечное число различных, с точностью до изоморфизма,
пространств.
Пример 3. Пространства с билинейными формами < 5 > © < 11 >
и < 1 > ® < 55 > положительно определены, и нетрудно показать, что
для любого простого числа р вложение Z -* Ър переводит их в изо-
изоморфные пространства. Следовательно, эти два пространства при-
принадлежат одному и тому же роду. Они не изоморфны, поскольку
уравнение 5х2 + 1 \уг - 1 не имеет целочисленных решений.
Аналогично, пространства с внутренним произведением < 1 > ® Г8
и A > ©,..»< 1 >, имеющие ранг 9, принадлежат одному роду, но
не изоморфны.
Теперь мы готовы привести одну из формулировок теоремы
Зигеля. Пусть X - пространство с положительно определенной би-
билинейной формой ранга и > 2 над кольцом Z.
Определение. Пусть для каждого целого «гасла к через
гх(к) обозначено число различных элементов х G X, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению х • х = к.
Для любого простого числа р Мы можем образовать индуциро-
индуцированное пространство X ® Zp над кольцом Zp. Пусть через
обозначена квадратичная функция./р(?) = ? • ?.
9.2. Теорема Зигеля (предварительный вариант). Если
род пространства X содержит только один класс изоморфных
форм, то для любого целого числа кФО
гх(к)=е П Dfp\k),
р-2,3 "
где коэффициент е полагается равным 1/2 или 1 в соответствии
с тем, что и = 2 или п>2.
За доказательством, которое не является легким, мы отошлем
к работе B5, с. 326-366]. Эта теорема остается верной и в неопре-
58

деленном случае, но она не столь интересна, поскольку обе стороны
равенства обычно бесконечны.
Произведение в правой части абсолютно сходится при л > 4.
В случаях п = 2, 3 необходимо позаботиться о перемножении мно-
множителей в обычном порядке.
Пример 4. Пространство с внутренним произведением
< 1 > ® < 1 > ® ... ® < 1 > ранга 8 удовлетворяет предположениям теоре-
теоремы 9.2. Пусть через vp = vp(k) обозначен показатель наибольшей
степени числа р, делящий число к. Тогда по теореме 9.2
Df-1 (к) = A-р4)A +р-3+р ~6 +... + p~3vr )
при нечетном р и
1 +2-6 + ...+2~3(и*)-2~3°»
при р = 2. (Если v2 = 0, то эта формула читается как Df^1 (к) =1.)
Кроме того, из примера 1
Перемножая выражения при р - 2, 3,..., °°; получаем не зависящее
от к бесконечное произведение
С = \ тг4A - 3-4)A - 5)A - 7) ...,
умноженное на конечное произведение
к3 П A +р~3 +р'6 +...±p~3Vp),
р I*
явно зависящее от к. Вычисляя произведение в последнем выраже-
выражении, получаем
к3 2 ± d~* = 2 ± d3,
d\к d \k
где знак слагаемого d3 оказывается равным (-l)d+fc
Поскольку С - константа, то, вычисляя гх(к) при к = 1, видим,
что С = 16. С. другой стороны, можно записать в терминах дзета-
функции Римана
' C^l^il-l-*)-1 П A_р-«)=1и-ЦгD)-1.
р конечное
Подставляя известное равенство
ГD) = тг4/90
(см., например, [66, с. 145]), опять получаем С = 16. Таким обра-
образом, выведено следующее утверждение.
59

Формула Якоб и. Для любого положительного целого
числа к число представлений числа к в виде суммы восьми квадра-
квадратов равно 16 2 (-l)d+*d3.
d \k
Оставляем читателю в качестве упражнений соответствующие
формулы для двух, четырех или шести квадратов.
Теперь рассмотрим произвольный род G положительно опреде-
определенных пространств с билинейными формами. Пусть род G содер-
содержит g различных классов изоморфных форм, где g— nonoKHTenv
ное целое число, Xi, .„, Xg — представители этих различных клас-
классов. Следуя Эйзенштейну, присвоим веса различным классам изо-
изоморфных форм в зависимости от нехватки в них симметрии. Точ-
Точнее, пусть |О (Xj) | обозначает порядок ортогональной группы, со-
состоящей из всех автоморфизмов пространства Xt. Определяя
wl = \O(Xi)\-1 I I \О(Х,)Г\
/ = 1
получаем положительные рациональные числа wlt..., wf, для кото-
которых и»! + ... + wg = 1.
Пусть, как и выше, fp:Xi®Zp-*Zp- квадратичные функции,
для которых /р(х) =х-х,
9.3. Теорема Зигеля (второй вариант). Для любого це-
целого числа к Ф 0 взвешенное среднее wtrx (к) + ... + wgrx {к)
равняется е П Dfpl {к), где е равно 1/2 или 1 в зави-
р = 2, 3 «•
симости от того, равен ранг 2 или больше 2.
Предположим, например, что Xt - пространство с внутренним
произведением < 1 > ® ... ® < 1 > ранга п. Тогда род G состоит из всех
положительно определенных пространств с внутренним произведе-
произведением типа I и ранга п. Мы обозначим этот род символом /п.
Если число п велико, то вклад конечных простых чисел в произ-
произведение HDfp1 (к) мал. Преобладает сомножитель
DCik) no
Далее приводится весьма грубая оценка.
9.4. Лемма. Если fp(xls...,хп) = Ъх\,где п> S,to произве-
произведение плотностей Dfp (к) по всем конечным простым числам
лежит между 5/6 и 6/5.
Доказательство будет дано позже.
Следовательно, среднее w,rx (k) +... + wgrx {к) лежит между
60

Конвей и Дж.Томпсон отметили (не опубликовано), что теорема
Зигеля может быть использована для доказательства аналога теоре-
теоремы Минковского—Главки G.2) для пространств с внутренним
произведением (т.е, самодвойственных решеток) над кольвдм Z.
Пусть для .каждого и > 0 через к(п) обозначено ближайшее
/ 5 , V7"
к 1гш„ I целое число. Ясно, что эта целочисленная функция
к(п) асимптотически ведет себя, как w~2'" ~ п/2пе при и-+<».
9.5. Теорема (Конвей, Томпсон) .Для любой размерности п
существует положительно определенное пространство с внутренним
произведением X типа I и ранга п,для которого
min х-х > к(п).
х едг \ {о}
Доказательства. Пусть к - к{п). Можно считать, что
и > 8, поскольку к < 1 для меньших значений п. Следовательно,
применима лемма 9.4. Бели Xlt ..., Xg — различные простран-
пространства с внутренним произведением рода 1„, то, суммируя по
/ = 1, 2,... ,к -•¦ 1 и используя неравенство
Г < / tmdt,
справедливое при тп> 1, мы видим, что взвешенное среднее
g
2 wiirx,(}) +гхР) + - +гх((к~ О)
меньше
Но число * = к (и) было выбрано таким образом, что
И )
Следовательно, зта верхняя оценка меньше или равна -г- шп -гсой1=2.
Поскольку взвешенное среднее меньше 2, то должно существовать
некоторое пространство с внутренним произведением X - Xit для
которого
rx(l) + rx{2) + ...+rx(k-l)<2.
Каждое слагаемое rx(j) является четным неотрицательным це-
«I

лым числом, поэтому неравенство имеет'место только в том слу-
случае, если
'•дгО) - гхB) = ... -гИ*-1)-0.
Следовательно,
min х-х > к - к(п),
что завершает доказательство. П
Приведем некоторые числовые значения. Вычисления показы-
показывают, что fcB0) = 2, *C7) = 3, АгE4) =4, fcG1) = 5. Отсюда, на-
например, следует, что при всех и > 37 род /п содержит простран-
пространство X, для которого min х • х > 3.
{}
Для пространств типа II могут быть приведены аналогичные
рассуждения (см., [66, с. 173]). В этом случае при и = 0 (mod 8)
существует пространство X типа II, для которого min х-х
'M
больше или равен, чем ближайшее к I — «~ I четное целое чис-
число. Например, если п= &т > 48, то существует пространство ран-
ранга и и типа II, для которого min jc ¦ jc > 4,
х\ {о}
Интересное приложение теоремы 9.5 было отмечено Стейнбер-
гом (не опубликовано). Для любой решетки L в пространстве R"
положим
m(L) - v min х-х.
хеХ\{0)
Если L С R" и V С R* - решетки, то можно образовать тензорное
произведение
L»L' С R"®R* э R"*.
Ясно, что
отA®1') < m(L)m(L'),
и было бы заманчиво предположить, что имеет место равенство.
9.6. Теорема (Стейнберг). Если в качестве решетки V взя-
взята решетка Г8 из § 6, го для любой решетки LCR" справедливо
равенство
С другой стороны, для любой размерности п > 292 существуют
«2

самодвойственные решетки L и V в пространстве R", для
которых
Для доказательства первого утверждения заметим, что решет-
решетка ? ® Г 8 может быть описана как множество всех элементов
в! + ... + и8вег в пространстве R" ® R8, для которых
щ е -zL, «1 = и2 = - = «в (mod L } нщ +... + щ ? 21, Предпо-
Предположим, что дс = 2 щ e«i является ненулевым элементом в .решет-
.решетке/- ®r8.EcnH«! иь е21,то
х-х = Ъщ.щ > mBL) = 4m(L).
Если один нз элементов щ принадлежит решетке L, но не принад-
принадлежит подрешетке 2L, то некоторый другой элемент, скажем и,-,
должен также принадлежать решетке L, но не принадлежать под-
подрешетке 2L. Следовательно, и/ # 0, «у Ф 0 и
je ¦ х > щ ¦ щ + U) • it) > 2m (Z-).
Наконец, если некоторый элемент щ не принадлежит решетке L,
то щ Ф 0 для всех / и, следовательно,
(Й-
хх > 8ml ^I I = 2m(I).
Таким образом, m(L ® Г8) > 2m(Z-), откуда сразу следует, что
имеет место равенство.
Рассмотрим в качестве примера тензорное произведение к
экземпляров решетки Г8. По индукции легко получаем, что
т(Га ®,..®Г8) = 2*.
Для доказательства второго утверждения пусть L будет некото-
некоторой решеткой в пространстве R" и пусть через I* обозначена двой-
двойственная решетка, состоящая из всех элементов х € R", для кото-
которых X'L С Z. Тензорное произведение L ®L* канонически изо-
изоморфно группе Нош (/-,/-), пбэтому решетка L ® L* содержит
выделенный элемент е, соответствующий тождественному отобра-
отображению в L.
В терминах базиса bx,...,bn и дуального базиса bf,.., b*
имеем
е = *i ® г>* +...+г>„ ® г>*.
Несложное вычисление показывает, что е ¦ е = и. Следовательно,
m(L®L#) < п.
63

Применим теперь теорему 9.5. Для любой размерности сущест-
существует пространство с внутренним произведением (т.е. самодвойст-
самодвойственная решетка) L = L*, для которой
m(I) > к(п) ~ и/2тге.
Для больших чисел и это, очевидно, больше \fn. Действительно,
если и > BтгеJ = 291,708 ..., то вычисления показывают, что
к(п) > sfn. Таким образом, выбирая решетку L, для которой
m(L) = m(L*) > у/~п,
получаем, что
m(L)m (/,*) > п > m(L ®I#),
чем и завершается доказательство. D
Теперь опишем еще более общий вариант формулы Зигеля.
Вместо того чтобы решать одно уравнение хх = к, предположим,
что мы пытаемся решить систему из t (г + 1)/2 однородных урав-
уравнений вида
где К = (К ^) - фиксированная симметрическая t X /-матрица
целых чисел, а х,, ..., xt - неизвестные элементы из пространст-
пространства X, Мы предполагаем, что 1 <f < и. Пусть через гх{К) обозначе-
обозначено число решений. Другими словами, rx(k) является числом эле-
элементов в прообразе /-1 {К), где
/: X X ... X X -+
-> (аддитивная группа симметрических t X Г-матриц)
является квадратичной функцией f(xt, ...,х„) - (х{ > дг;). Как и
выше, тензорно домножим все на кольцо Zp и образуем соответ-
соответствующую р-адическую функцию fp,
9.7. Теорема Зигеля (последнийвариант). Взвешенное
среднее
где пространства Хх, ,.., Xg представляют различные классы рода
пространства Х = Xlt равно
(е„_,_,/е„_,) П en_tDf;\K),
Р = 2, 3 «•
где коэффициент et равен 1/2 при i = Ом равен 1 при i Ф 0.
М

Очевидно, что эта теорема сводится к предыдущей в слу-
случае п > t - 1.
Рассмотрим другой крайний случай а = t > 1. Выберем
базис Ь1г ...,Ьп в пространстве Хх и предположим, что Кх является
матрицей {bt -bj). Тогда гх (Кг), очевидно, является числом
| О(Х{) | автоморфизмов пространства Х1г тогда как гх (К{)=0
при i > 1. Но по определению
w1=\O(Xl)\~i j'L\O{Xi)\-i
I
Следовательно, взвешенное среднее равно выражению
/= 1
зависящему только от рода G, Обратная величина
M(G) = S \0{X,)\~l
называется обычно массой, ассоциированной с родом G, Та-
Таким образом, для вычисления массы, ассоциированной с ро-
родом G положительно определенного пространства над коль-
кольцом Z, мы имеем более или менее эффективную формулу:
M(G) = П
P = 2 ¦
Отметим основное неравенство g > 2M(G),adeg является чис-
числом различных классов изоморфных форм в роде G, Это очевидно,
ю1
Рис. 4. Масса M(Jn) рода /„,
изображенная в логарифмичес-
логарифмическом масштабе как функция от
ранга п
> Дж. Милнор
о-»
Г1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
»
•
•
•
•
•
•
•
п
10
20
30
65

поскольку каждая группа автоморфизмов О(Х) содержит по
крайней мере два различных элемента (а именно: 1 и —1).
В качестве примера рассмотрим род 1„, состоящий из всех поло-
положительно определенных пространств с внутренним произведением
типа I и ранга п. Тогда функция МAп) изображена на рис. 4
в быстро сгущающемся логарифмическом масштабе. Для малых
значений ранга и масса МAп) очень близка к нулю. Например,
если и <8, то масса МA„) в точности обратна числу и! • 2" авто-
автоморфизмов и-кратной суммы < 1 > ® ... ® < 1); Но для больших зна-
значений ранга п масса МAп) является очень большим числом. Так,
вычисления показывают, что
2Л/(/27)= 0,3048
2Л/(/,8)= 208,06...,
2МAг9)= 297 184,9...,
2МAЗО) = 904 093 985,9. . .
Следовательно, существует по крайней мере 209 различных классов
в роде /28> 297 185 — в роде /29 и т.д. При п -*¦ °° число
М{1п) имеет асимптотику
С(п/2пе у/7)
где константа С равна приблизительно 0,705, а 2тге \[~е =
= 28, 159 ...
Подробности вычисления массы МAп) довольно утомительны.
Упомянем лишь о том, что множители -?Df~l (/), соответствую-
соответствующие конечным простым числам, достаточно близки к 1 и вносят
очень небольшой вклад в окончательный результат.
Поведение функции п*+М{п) целиком обусловлено единствен-
единственным множителем ¦rDf~i(I). Этот множитель может быть
вычислен по формуле
П/--1/- г \ _ 1 2 3 и
D'~ "'"I Wl "г  е03 -~2 W|l-
Дальнейшие подробности будут опущены.
Аналогичные вычисления могут быть выполнены для про-
пространств типа II (см. [66, с. 93]).
Завершая этот параграф, докажем леммы 9.1 и 9.4.
Через Nn(a) обозначим число решений сравнения
х\ +...+** = a (modp),
66

где р - фиксированное нечетное простое число. В работе Зигеля
[25, с. 344] эти числа вычислялись непосредственно с помощью
остроумного соображения о гауссовых суммах. Мы используем
другой метод.
Пусть (а/р) — символ Лежандра, равный +1 или -1 в зависимо-
зависимости от того, является ли число а квадратом по модулю р или нет.
Обычное определение будет удобно расширить соглашением о том,
что (д/р) = 0 при а = O(modp). При таком соглашении число
/Vj (а) решений сравнения
хг = a (mpdp)
равно в точности 1 + (а/р).
Для вычисления числа N2 (а) используем тождество
*>(«)- 2 ^(х)Щ(у).
х + у = a (mod p)
Подстановка 1 + (х/р) вместо Л/j (х) дает
Но ясно, что сумма символов {х/р) по всем классам х вычетов
по модулю р равна нулю. Следовательно,
N2(a) = р+0 + 0+
х+у=а
Предположим сначала, что а = 0. Тогда каждое слагаемое
. 2 ( — ).
х+у=а\ Р '
а, что а = 0.
(ху\ (-хг\ /_1\ ,
I — I = I —— I равно либо I — I при хФ 0 (modр), либо нулю
при х = 0 (modp). Следовательно,
A) ЛГ2@)=р + (р-1
С другой стороны, если а взаимно просто с р, то сумма
X + у = С
не зависит от а, поскольку если х + у = а, то для любого взаимно
простого с р числа и имеем их + иу= иа и
):№
67

Таким образом,
JV2(l)=JV2B) = ...=7V
Но очевидно, что сумма
равна р2-, т.е. общему числу пар (xlfx2) по модулю р. Следова-
Следовательно, для любого взаимно простого с р числа и
Л^(«)=ЛГ2A)^(р2-ЛГ2@))/(р- 1).
Подставляя равенство A), получаем
B) ЛГ2(и)=р-(^У
Удобно ввести сокращение s - I —— I p и записать обе фор-
. мулы следующим образом:
N2(u)=p(l-s),
Теперь, используя тождество
х + у - а
н индукцию по т, покажем, что для любого положительного це-
целого числа т
C) ^2m(«)=p2'"-I(l-S'")
и
D) N2m(Q)=N2m(u)+p2msm.
В более общем случае, пусть через Nn(a modp*) обозначено
число п-к х,, ..., хп из вычетов по модулю рк, удовлетворяющих
сравнению
E) x\+...+xl=a (modpfc).
Эти числа могут быть вычислены следующим образом. Предполо-
Предположим, что а = pvu, где v < к ни взаимно просты с р.
Случай 1. Если v = 0, т.е. а = и является обратимым р-ади-
ческим числом, то число Nn(u mod pk) равно
68

поскольку каждое решение сравнения
Ц + ... + Ь„ =и (modp)
поднимается в точности до рС"-1)^-*) решений по модулю рк.
Чтобы увидеть зто, отметим, что компоненты ? / не могут все де-
делиться на р. Бели, скажем, fi = 0 (mod p), то легко выводится, что
для любых выбранных вычетов xlt..., х„ по модулю рк, таких, что
*2=Ь, -,х„ = ^„ (modp),
вычет х, по модулю рк определяется однозначно.
Случай 2. Даже при v > \ сравнение
все еще может иметь решения, для которых не все ?; делят-
делятся на р. Общее число таких решений равно Nn{0) — 1. Повто-
Повторяя рассуждения случая 1, получаем, что число решений урав-
уравнения E), в которых не все компоненты xt делятся на р,
равно р<"-*Нк~l J (Nn @) - 1).
Случай 3. Бели v > 2, то уравнение E) может иметь реше-
решения, для которых все компоненты х{ делятся на р. Общее число
таких решений равно
pnNn(p»-2u (тойрк-2)),
поскольку каждое решение сравнения
€? +-..+€Д =Pv~2u (modpk-2)
поднимается в точности до р" решений уравнения E), удовлетво-
удовлетворяющих условиям
Комбинируя случаи 1, 2, 3 с явными формулами C) и D) для
N2m (") и N2m @) индукцией по v получаем теперь следующий ре-
результат.
9.8. Лемма. Если 0 < и < к, то число N2m(p"« m°d pk )
решений сравнения
x\+...+x\m =pvu (modp*)
равно
69

Доказательство леммы 9.1 для нечетных р.
Пусть D/p: Zp -* R - плотность, ассоциированная с отображе-
отображением fp{xl х2т) = х\ + ••• +х1т- Сравнивая определение плот-
плотности Df~l с леммой 9.8, легко выводим, что
Проверка показывает, что это выражение равно выражению, ис-
используемому в формулировке леммы 9.1.
В случае р = 2 доказательство аналогично. Отметим сначала, что
число решений Nn(a mod 8) сравнения х\ + ... +х2„ = a (mod 8)
равно сумме числа
cos
и поправочного члена
"fB*-и))
4).
Действительно, легко видеть, что число решений сравнения, для ко-
которых нечетны ровно t чисел из хх,..., х„, равно:
1 при 0 < Г < и и t = a (mod 4);
/
22" при t=n=a (mod 8);
О при t ^ a (mod 4) или t=n$a (mod 8).
С)
Сумма биномиальных коэффициентов I ) по всем t = a (mod 4)
может быть вычислена через биномиальные разложения для выра-
выражений A ± 1)" и A + /)". Отсюда легко выводится приведенное
выражение для Nn(a mod 8).
Точно так же, как и в случае нечетного числа р, теперь для боль-
больших к можно вычислить число
и, следовательно, можно вычислить плотность 2-адических реше-
решений. Подробности оставлены читателю. D
Доказательство леммы 9.4. Будет удобно подчерк-
подчеркнуть, используя симвоч б„ = бп> р, зависимость от п функции плот-
плотности Dfp1: Zp -*R, связанной с суммой п квадратов. Мы должны
найти верхнюю и нижнюю оценки для произведения П6„ р(к).
70

Сначала рассмотрим случай и = 8, когда
+P
при нечетных р. Очевидно, функция б8 достигает минимума 1 -р
при v - 0 и стремится к максимуму
6
при и -»¦ °° (или при р"и -*¦ 0). Аналогично, при р = 2 функция
58>2Bим) = 1 + 8 + 8~2 + ... + 81-" - 8"
достигает минимума 7/8 при и = 1 и стремится к максимуму 8/7
при v -*¦ °°. Следовательно, произведение
п ав.„(*),
р конечно
где переменная к принимает значения в кольце Z, достигает
минимума
| П A -р-4 )'—i D)-'= 0,862...
р нечетно
при * = 2и максимума
| П (l-p-4)/(l-p) =
р нечетно
}f(= 1.184....
при А: = 0. Поскольку эти оценки лежат между 5/6 и 6/5, то этим за-
завершается доказательство леммы 9.4 в случае и= 8.
Но любая верхняя или нижняя оценка для 58р автоматически
является верхней или нижней оценкой для 5П> р при любом п > 8.
Действительно, деля обе части тождества
ЛГ,„+„(дтос1р*) =
2 ^(xmodp^^C^modp*)
x + y=e (mod pk)
на p(m + "-•!)* и переходя к пределу при А: -»¦«>, мы получаем
формулу свертки:
Таким образом, если Ьь(х) < с при любом х, то отсюда сразу сле-
следует, что для любого а
5m + 8(a) < fbm(x)cdx = с.
Этим завершается доказательство леммы. D
71

Глава 3
ПРОСТРАНСТВА
С ВНУТРЕННИМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ НАД ПОЛЕМ
В этой главе будет описан ряд наиболее ярких результатов из
теории колец Витта W(F) над произвольным полем F. Наиболее
тщательно будут проводиться доказательства,справедливые также и
в характеристике 2. Классическая теория для числовых полей,
описанная, например, в [61], в значительной степени остается вне
нашего рассмотрения.
§ 1. Анизотропные пространства
с внутренним произведением
Пространство с внутренним произведением X является анизотроп
ным, если из х • х = 0 следует х = 0. В этом параграфе будет показа-
показано, что каждый элемент кольца Витта W(F) представляется анизо-
анизотропным пространством с внутренним произведением, определяе-
определяемым однозначно с точностью до изоморфизма. Сначала отметим
следующее утверждение.
1.1. Лемма. Любое пространство с внутренним произведе-
произведением X над полем F изоморфно ортогональной сумме S © А, где
пространство S расщепляемо, а пространство А анизотропно.
Доказательство. Если пространство X само анизотропно,
то можно просто положить S = 0. В противном случае существует
вектор х Ф 0, такой, что х ¦ х = 0, и можно выбрать вектор у, для
которого х -у = 1. Тогда векторы х и у порождают подпростран-
/ 0 1\
ство Si СХ с матрицей внутреннего произведения I I. Ясно,
что подпространство Si расщепляемо и
X^Si ®Si.
Применяя эту же конструкцию к пространству Si и проводя ин-
индукцию, легко завершить доказательство. ?
Выбирая такое разложение X = S © А, мы хотим показать, что
анизотропное слагаемое определено однозначно с точностью до
изоморфизма. Если характеристика поля F не равна 2, то эта легко
72

доказывается с помощью теоремы 4.4 и леммы 6.3 гл. 1. Приведем
другие соображения, работающие также и в случае характеристики 2.
Определим индекс изотропии i(X) пространства с внутренним
произведением X как максимальную размерность самоортогональ-
самоортогональных подпространств NCX, т.е. таких подпространств, что NN = 0.
1.2. Лемма. Для любого пространства с внутренним произ-
произведением X индекс изотропии удовлетворяет неравенству
где в первом случае равенство имеет место тогда и только тогда,
когда пространство X анизотропно, а во втором - когда простран-
пространство X расщепляемо.
Доказательство. Если N ¦ N =0,то NCN*- и, следова-
следовательно,
гк(Л0 < rk(Nl) = гк(;П - гк(Л0,
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда N = N1.
Дальнейшие рассуждения очевидны. D
Нам понадобится следующая оценка сверху.
1.3. Основная лемма. Если пространство А анизотропно,
а X — произвольное пространство с внутренним произведением, то
Доказательство основывается на следующей интерпретации ин
декса / (X ®А). Назовем линейное отображение
f:X-*Y
антиизометрией, если f(x) f(x') = -х ¦ х' для любых элементов
х и х' из пространства X.
1.4. Лемма. Если пространства X и А такие, как описано
выше, то Самоортогональное подпространство N СХ ® А ранга п
существует тогда и только тогда, когда существуют подпростран-
подпространство М СХ ранга п и антиизометрия /: М -*А.
Доказательство. Если дана такая антиизометрия /, то
через N С X ® А обозначим график отображения /, состоящий из
всех пар (х, a),raexGM и/(х) =д. Для любых двух пар (x,f(x))
и (*',/(*')) из графика имеем
(х, /(х)) • (*', f(x')) = х ¦ х' +/(х) •/(*') = 0.
Таким образом, ./V — самоортогональное подпространство ранга
п, что и требовалось показать.
Обратно, если дано подпространство N СХ ® А, для которого
N ¦ N = 0, то отметим, что подпространство ./Vпересекается с анизо-
анизотропным подпространством 0 © А только по нулевому вектору.
Если каждая из пар (х, а) и (х, а') принадлежит подпространству
W, то отсюда следует, что а =а'. Таким образом, подпространство
73

N может быть отождествлено с графиком линейного отображения
/: М -*А некоторого подпространства М СX. Поскольку подмодуль
N самоортогонален, то отображение / является антиизометрией. ?
Доказательство леммы 1.3 проводится индукцией
по рангу пространства А" ®А. Можем предполагать, что А Ф 0, по-
поскольку при А = 0 неравенство следует из леммы 1.2.
Для данной антиизометрии /: М -*А, гпеМСХ, надо найти верх-
верхнюю оценку для ранга подпространства М. Через Мо обозначим яд-
ядро отображения /, а через Мх обозначим дополняющее его прямое
слагаемое, т.е.
Тогда подпространство Mt вкладывается в подпространство А и,
таким образом, подпространство Мх анизотропно. Следовательно,
ограничение внутреннего произведения на подпространство М\ яв-
является внутренним произведением и
Применяя предположение индукции, заключаем, что
Но Мо ¦ М = 0, так что Мо является самоортогональным подпрост-
подпространством в пространстве Mi и
Складывая эти два неравенства и добавляя к обеим частям
rk (Л/j) —7 (Mi ), получаем
i(X) + ik(M)<rk(X).
Следовательно, по лемме 1.4
что завершает доказательство. D
В качестве примера рассмотрим случай, когда пространство
X = S расщепляемо. Тогда неравенство i(S ® A) <rk(S) —i(S) =
= i (S) влечет равенство / (S ®A) = i (S).
1.5. Следствие. Предположим, что ортогональная сумма
S ® А расщепляема, где пространство S расщепляемо, а простран-
пространство А анизотропно. Тогда А - 0.
Подставляя t(S ® А) = —rk(S ®А) в неравенство /(S ® А) +
+ i(S) <rkE),получаем,что— rk(S®^) <rk(S) -i(S)=— rkE),
и поэтому rk (A ) < 0.
74

1.6. Следствие, Пространство с внутренним произведе-
произведением X представляет нулевой элемент в кольце Витта тогда и толь-
только тогда, когда пространство X расщепляемо.
Действительно, если пространство X принадлежит классу Витта
пространства 0, то существуют расщепляемые пространства S' и
5", такие, что
В силу леммы 1.1
и поэтому пространство А © S © S' расщепляемо. Следовательно
А = 0 и пространство Xрасщепляемо.
1.7. Теорема. Каждый элемент кольца Витта W(F) пред
ставляется единственным, с точностью до изоморфизма, анизотроп-
анизотропным пространством с внутренним произведением.
Доказательство. Если два анизотропных пространства
с внутренним произведением А к А' принадлежат одному и тому
же классу Витта, А ~ А1, то мы должны доказать, что А = А .
Рассмотрим пространство с внутренним произведением/?' =<—1) ®
®А'. Тогда пространство/!' ®В' расщепляемо, так что из следствия
1.6 следует, что пространство А ® В1'~Л' ' ® В'расщепляемо. Поэ-
Поэтому, согласно лемме 1.4, существуют подпространство М С А и
антиизометрия
f-.M^B',
такие, что
гк (М) -1(А®В') = —±(А®В').
Но подпространство М анизотропно, поэтому отображение /име-
/имеет тривиальное ядро и
гк (М)< тк(А), гк (М) < гк (В1).
Отсюда вытекает, что гк (М) = гк (А) = гк (В1). Следовательно,
M = A,af является антиизометрией из пространства А на простран-
пространство В1. Таким образом, пространство А антиизометрично прост-
пространству fi' и, следовательно, изоморфно пространству А1, что завер-
завершает доказательство. П
Таким образом, кольцо Витта W (F) может быть отождествле-
отождествлено с множеством классов изоморфных анизотропных пространств
с внутренним произведением над полем F. Для полного заверше-
завершения картины необходим еще один фрагмент.
75

1.8. Определение. Пусть для каждого элемента w кольца
Витта W (F) через || w || обозначается ранг единственного анизот-
анизотропного представителя элемента w.
Иначе говоря, -выбирая произвольного представителя X класса
Витта w, мы можем положить
Очевидно, что
причем равенство выполняется только при w = 0. Отметим также
неравенства
||w±w'|Kllw||+||w'|l,
llww'lKllwll || w' II
и
11111 = 1.
§ 2. Упорядоченные поля
В основном этот параграф является обзором результатов об упо-
упорядоченных полях. В нем изучается "полная сигнатура" а (ЛГ) про-
пространства с внутренним произведением над полем F. Это некото-
некоторый П-набор целых чисел, где $2 является множеством всех упоря-
упорядочений поля F.
2.1. Определение. Упорядочением поля F называется под-
подмножество PCF', замкнутое относительно сложения и умноже-
умножения и удовлетворяющее равенству
Элементы подмножества Р называются положительными (или стро-
строго положительными). Если ?-i)GP, то используется обозначе-
обозначение ? > %
Отметим, что подмножества Р и —Р обязательно не пересекаются,
поскольку если бы элемент ? и элемент - ? принадлежали подмно-
подмножеству Р, то сумма ? + (-?) должна была бы принадлежать под-
подмножеству Р. Но это противоречит предположению о том, что
PCF .
В упорядоченном поле каждый ненулевой квадрат положителен.
Действительно, если i-ФО, то либо %^-Р, либо— ?6Л и в лю-
любом случае отсюда следует, что ?2 = (-?) 2 6Р.
Характеристика упорядоченного поля всегда равна 0. Действи-
Действительно, поскольку 1 = I2 Е Р, то любая сумма 1 + 1 + ... + 1 при-
принадлежит подмножеству Р. Следовательно, никакая из таких сумм
не может равняться 0 в поле F.
76

2.2. Теорема Артина — Шрейера. Поле F обладает упо-
упорядочением тогда и только тогда, когда -1 не является суммой
квадрате в поле F.
Поле, в котором —1 не является суммой квадратов, называет-
называется "формально вещественным" полем, а иногда просто "вещест-
"вещественным полем.
Доказательство. Если поле F обладает упорядочением
Р, то 1 € Р. Следовательно, -1 ? /* и — 1 не может быть суммой
квадратов.
Обратно, пусть F — поле, в котором -1 не является суммой
квадратов. Под частичным упорядочением поля F мы будем подра-
подразумевать любое подмножество множества F', замкнутое относи-
относительно сложения и умножения. Одно частичное упорядочение Ро
может быть построено следующим образом. Пусть Ро — множество
всех сумм ненулевых квадратов в поле F. Тогда подмножест-
подмножество Ро, очевидно, замкнуто относительно сложения и умножения,
а если бы 0 принадлежал подмножеству Ро, то из уравнения
о«Й+ ... + #
с ?i Ф 0 следовало бы
что противоречит нашему предположению.
По лемме Цорна частичное упорядочение Ро содержится в неко-
некотором максимальном (относительно включения) частичном упоря-
упорядочении Р поля F,
Мы докажем, что если % Ф0,то либо % е Р, либо -1-е Р. Этим
будет показано, что Р является упорядочением поля F. Рассмотрим
подмножество
поля F, аддитивно порожденное подмножествами Р и \Р. Если
подмножество Q содержит 0, то, полагая 0 = я' + ?я,где элементы
я и я' из подмножества Р, мы получим
-5 = я'/тг = я'я(я-1Jе/>.
(Каждый ненулевой квадрат принадлежит подмножеству Р, по-
поскольку РЭ Ро) С другой стороны, если подмножество Q не содер-
содержит 0, то оно, очевидно, является частичным упорядочением поля F.
Но подмножество Q содержит максимальное частичное упорядо-
упорядочение Р. Поэтому Q = Р и, следовательно, ? S Р. Это показывает,
что Р является упорядочением поля F, чем и завершается доказа-
доказательство. ?
Читателю предлагается несколько отклониться от основной ли-
линии изложения.
77

2.3. Упражнение. Пусть F — поле характеристики, отлич-
отличной от 2. Используя аналогичные методы, докажите, что элемент
поля % Ф 0 может быть представлен в виде .суммы квадратов в том
и только в том случае, если ? € Р для любого упорядочения Р по-
поля F. (Такой элемент ?. называется "вполне положительным".)
В частности, если поле F вообще не имеет упорядочений, то любой
элемент поля F является суммой квадратов.
Классический случай может быть описан следующим образом
2.4. Пример. Если F - алгебраическое расширение поля ра-
рациональных чисел Q, то любое упорядочение поля F индуцируется
вложением <р: F -> R. Если расширение F имеет конечную степень п
над полем Q, то поле F имеет не более п различных упорядочений.
С другой стороны, для полей бесконечной степени над Q, таких
как Q ( sfH, у/31, у/Р, ...), может существовать бесконечное число
различных упорядочений.
Доказательство утверждения 2.4. Поле рациональных
чисел имеет только одно упорядочение, поскольку любое положи-
положительное число пг/п может быть представлено как wn-к ратная сумма
квадратов и + . . . + и. Таким образом, любое упорядочение
поля F индуцирует обычное упорядочение на подполе QCF. Отме-
Отметим, что ни один элемент ? поля F не может для всех элементов
q e Q удовлетворять условию ? > q. Если бы такой элемент ? су-
существовал, то, проводя индукцию, легко показать, что при любом
п > 1 и любых коэффициентах <7i, -. •, Яп G Q
(Шаг индукции состоит в дрмножении неравенства на элемент
\ и учете того, что % > 1 — qn+l.) Следовательно, элемент ? не мог
бы быть алгебраическим, что противоречит нашему предполо-
предположению.
Таким образом, любой элемент ? поля F задает дедекиндово
сечение в поле Q. Если положить
то ясно, что функция 0 аддитивна и что i/> (?)?) = у (?) </> (т?), по
крайней мере когда % > 0 и т} > 0. Но тождества у (-?) = -у (?) и
Ф A) =1 также очевидны. Следовательно, отображение у. F ->R яв-
является кольцевым гомоморфизмом. Его ядро равно нулю, по-
поскольку F — поле.
Если расширение F конечно над полем Q и имеет степень л, то
F - Q (?) для некоторого элемента ?, а неприводимое уравнение
для элемента % над полем Q может иметь не более чем л веществен-
вещественных корней. Этим завершается доказательство утверждения 2.4. ?
78

Теперь давайте посмотрим на пространства с внутренним произ-
произведением над полем F, на которых заданы некоторые упорядоче-
упорядочения (сравните со с. 34).
Определение. Пространство с внутренним произведением
X над полем F называется положительно определенным, если
х х е Р для любого ненулевого вектора х нз пространства X, и
отрицательно определенным, если х-х € -Р для любого ненуле-
ненулевого вектора х из пространства X.
2.5. Теорема инерции (Якоби, Сильвестр). Любое прост-
пространство с внутренним произведением X изоморфно ортогональной
сумме X* * У, где подпространство X* положительно определе-
определено, а подпространство Х~ отрицательно определено. Ранги под-
подпространств X* и Х~ являются инвариантами при изоморфизмах
пространства X.
Это значит, что зти ранги не зависят от конкретного выбора
подпространств X* и Х~.
Доказательство. Выбрав ортогональный базис et ег
в пространстве X, возьмем в качестве подпространства X* под-
подпространство, порожденное теми из векторов et, для которых
б; ¦ б/ > 0, а в качестве подпространства Х^ — подпространство,
порожденное теми из векторов е{, для которых е{ ¦ et < 0. Тогда,
очевидно, что Х = Х*®Х~, где подпространство X* положи-
положительно определено, а подпространство Х~ отрицательно опреде-
определено.
Пусть теперь Y — произвольное положительно определенное под-
подпространство пространства X. Тогда Y П Х~ = 0 и, значит,
гк(У) < гк(Х) - гк(ЛГ) = rk(JT).
Следовательно, гк (X* ) может быть охарактеризован как макси-
максимальная возможная размерность положительно определенного
подпространства пространства X. Это показывает, что он является
инвариантом относительно изоморфизмов, и завершает доказа-
доказательство. ?
Определение. Разность гк (X* ) — гк (X") называется сиг-
сигнатурой пространства с внутренним произведением X относительно
упорядочения Р. Для этой сигнатуры мы будем использовать обоз-
обозначение
ор{Х) 6Z.
Очевидно, что сигнатура ар (X) также является инвариантом про-
пространства Xотносительно изоморфизмов.
Отметим, что в случае пространства с внутренним произведе-
произведением < а > ранга 1 сигнатура ар < а > является в точности тем, что
обычно называется знаком элемента поля а в упорядочении Р, т.е.
79

сигнатура а^ а > равна +1 или -1 в соответствии с тем, положите-
положителен или отрицателен элемент а.
2.6. Лемма. Сигнатура ар (X) зависит только от класса Витта
пространства X. Кроме того,
и
аР(\)= 1.
Таким образом, сигнатура ар задает корректно определенный
гомоморфизм из кольца Витта W(F) в кольцо целых чисел Z. .
Доказательство леммы 2.6. Если S — расщепляемое
пространство с внутренним произведением, то из леммы 6.3 гл. 1
следует, что пространство S изоморфно ортогональной сумме эк-
экземпляров пространства < 1 > ® < -1 >. Следовательно, сигнатура
°р О?) равна нулю. (Или, более прямо, если подпространство./VС S
самоортогонально, то использовавшиеся в доказательстве теоре-
теоремы 2.5 рассуждения показывают также, что rk (TV) < rk (S*) и
1
rk (N) < rk (S~). Поэтому если rk (N) = — rk E), то отсюда сле-
следует, что rk (N) = rk (S+ ) = rk (S"), а сигнатура равна нулю.)
Представляя теперь пространства X и Y в виде суммы прост-
пространств ранга 1 и используя очевидное тождество
аР((а1 > ® .
мы сводим оставшуюся часть доказательства к простым вычисле-
вычислениям. D
2.7. Следствие. Предположим, что F - упорядоченное поле,
в котором каждый положительный элемент-квадрат. Тогда отоб-
отображение ор: W(F) -+Z является изоморфизмом.
Например, кольцо Витта поля действительных чисел R изоморф-
изоморфно кольцу Z. Доказательство непосредственно следует из теоре-
теоремы 2.5 и леммы 2.6.
Замечание. В стандартных учебниках по алгебре показы-
показывается, что имеется взаимно однозначное соответствие между упо-
упорядочениями поля F и классами изоморфных "вещественных за-
замыканий" поля F. Вещественное замыкание Fp, связанное с неко-
некоторым упорядочением Р, может быть охарактеризовано как мак-
максимальное согласованно упорядоченное алгебраическое расширение
поля F. Любой положительный элемент поля Fp является квадра-
квадратом, и, следовательно, кольцо Витта W(FP) изоморфно кольцу Z.
Легко выводится, что гомоморфизм сигнатуры ар: W(F) ->Z мо-
80

жет быть отождествлен с естественным кольцевым гомоморфиз-
гомоморфизмом W(F) -+W(FP).
Рассмотрим теперь множество ?2 = ?2 (F), состоящее из всех
возможных упорядочений данного поля F. На множестве ?2 введем
топологию следующим образом.
Определение. Для каждого элемента ^€f пусть U% С ?2 -
множество всех упорядочений Р, для которых ? € Р. Тогда множе-
множества {/{ порождают требуемую топологию. (Другими словами,
подмножество пространства ?2 открыто тогда и только тогда, ког-
когда оно является объединением конечных пересечений множеств Щ.)
2.8. Лемма. Топологическое пространство ?2 компактно и
вполне несвязно. Дая любого пространства с внутренним произве-
произведением X над полем F функция
из пространства ?2 в кольцо Z непрерывна.
Определение. Эта функция Р *+ аР(X) будет называться
полной сигнатурой а (X) пространства с внутренним произведе-
произведением X.
Доказательство леммы 2.8. Сначала рассмотрим
пространство с внутренним произведением < ? > ранга 1. Тогда про-
прообразом +1 для функции полной сигнатуры
Р **
является открытое множество U^ С ?2, а прообразом —1 - допол-
дополнительное открытое множество U_ j. Таким образом, функция пол-
полной сигнатуры пространства < ? > непрерывна, откуда легко выво-
выводится непрерывность функции полной сигнатуры, ассоциированной
с любым пространством с внутренним произведением Хэ (?j > ф...
...®<{г>.
Поскольку пространство ?2 при любом if €E F' является объеди-
объединением непересекающихся открытых множеств Щ и ?/_ ?, то легко
проверить, что пространство ?2 хаусдорфово и вполне несвязно.
Для доказательства компактности мы введем пространство 2 ,
состоящее из всех подмножеств пространства F. На нем введем
топологию декартова произведения. Для этого отождествим каж-
каждое подмножество пространства F с его характеристической функ-
функцией F -*¦ { 0, 1} и, следовательно, отождествим пространство 2F
с декартовым произведением экземпляров пространства { 0, 1 } по
одному экземпляру на каждый элемент пространства F. Это произ-
произведение компактно по теореме А.Н. Тихонова.
Любое упорядочение пространства F может рассматриваться как
элемент пространства 2F , поэтому пространство ?2 вложено как
подмножество в пространство 2F. Очевидно, что построенная нами
6- Дж. Милнор 81

на пространстве J2 топология является в точности топологией огра-
ограничения, которую пространство J2 получает как подмножество
пространства 2* . В действительности пространство J2 является
замкнутым подмножеством пространства 2 , поскольку если под-
подмножество Q С F не является упорядочением, то в пространстве
2F легко построить окрестность множества Q, не содержащую ни
одного упорядочения. Это доказывает, что пространство ?2 ком-
компактно, и завершает доказательство леммы 2.8. П
2.9. Определение. Через Zn обозначим кольцо, состоящее
из всех непрерывных функций из пространства J2 в кольцо Z.
Очевидно, что для любого пространства с внутренним произведе-
произведением X над полем F функция полной сигнатуры о(Х) является
элементом этого кольца Zn. Поскольку функция а аддитивна и
мультипликативна, а значение а (X) зависит только от класса Вит-
та пространства X, мы получим корректно определенный кольцевой
гомоморфизм
a: W{F) -» Zn.
(Конечно, если множество ?2 пусто, то Zn - нулевое кольцо и
эта конструкция не особенно интересна.)
Замечание. Если пространство Г2 содержит более одного
элемента, то гомоморфизм о не является эпиморфизмом. Дейст-
Действительно, для любого пространства с внутренним произведением
X и любого упорядочения Р выполняется сравнение
ар(Х) = гк(ЛГ) (mod 2).
Следовательно, в зависимости от того, четен ранг пространства X
или нет, полная сигнатура
а(Х) GZn
должна быть конгруэнтна либо 0, либо 1.
Для того чтобы определить точный образ отображения а: W(F) -*¦
-*¦ Zn, необходимо знать, в какой степени возможно задать знаки
элемента в различных упорядочениях поля F.
2.10. Пример. Если F - алгебраическое расширение поля
рациональных чисел и задано произвольное подмножество U С О,,
открытое и замкнутое одновременно, то в поле существует элемент
а, удовлетворяющий условию
аЕР о PEU.
Таким образом, сигнатура а (< 1 > + < а >) 6Zn является удвоенной
характеристической функцией подмножества U. Добавляя такие
характеристические функции, мы видим, что любой элемент идеала
2Zn принадлежит образу отображения а. (Соответствующее ут-
утверждение для произвольного поля уже не имеет места.)
82

Доказательство утверждения 2.10. В начале пред-
предположим, что поле F имеет конечную степень над полем Q. Тогда
существует лишь конечное число вложений
и ясно, что достаточно построить элементы alt.. ., ат поля F, та-
такие, что значения <?, (а;) положительны при i Ф j п отрицательны
при / =/,. Тогда подходящие произведения элементов а,- будут иметь
произвольные заранее.заданные знаки.
Выберем в поле элемент %, такой, что F = Q (?). Затем выберем
такое рациональное число е > 0, что при i Ф]
2е<
и такие рациональные числа q i,..., qm, что
lft@-«/Ke.
Тогда разности
будут обладать требуемым свойством.
Теперь предположим, что поле F имеет бесконечную степень над
полем Q. Открыто-замкнутое множество Uc Q, может быть покры-
покрыто конечным числом базовых открытых множеств U^ Ci .. .П U$k,
не пересекающихся с дополнением множества U. Собирая в поле
все элементы ?i,..., %к, потребовавшиеся для всех базовых от-
открытых множеств, мы порождаем ими некоторое подполе Fo С F,
которое конечно над полем Q. Ясно, что данное множество U С
с S2 (F) равно прообразу подходящего подмножества Uo С О, (Fo)
относительне морфизма ограничения
Выбирая элемент а Е Fn, положительный в упорядочениях из
подмножества Uo и отрицательный в упорядочениях из дополнения
к подмножеству Uo, мы завершаем доказательство. ?
Дальнейшую информацию по этому вопросу можно найти в [30].
§ 3. Простые идеалы кольца Витта
В этом параграфе будет изучено строение кольца Витта над
произвольным полем F. Результаты принадлежат Пфистеру, а уп-
упрощенные доказательства - Лоренцу л Лейхту.
3.1. Лемма. Кольцо Витта W{F) аддитивно порождено эле-
элементами < а >, где а пробегает группу F'.
Доказательство непосредственно следует из § 3 гл. 1. ?
6* 83

3.2. Лемма. Если р - произвольный простои идеал кольца
W(F), то для любого элемента а. €Е F' либо
<а> = <1> (mod Р),
либо
<а> = <-1> (mod Р).
Следовательно, факторкольцо W(F)/p изоморфно либо кольцу
Z, либо иолю Fp = Z/pZ при некотором простом р.
Доказательство. Поскольку элемент < а% ) в кольце
равен 1, то имеем
в кольце W(F). Следовательно, элемент (а) конгруэнтен либо
< 1 >, либо <-1>по модулю любого простого идеала 9- Отсюда
следует, что однозначно определяемый кольцевой гомоморфизм
Z -+ W(F) -
:юръективен. Этим завершается доказательство, поскольку ядро
должно быть простым идеалом в кольце Z. D
Сначала рассмотрим случай р = 2.
3.3. Лемма. Для любого поля F в кольце W(F) существует
ровно один идеал I, для которого W{F) /I= F2.
Таким образом, идеал / = I(F) является ядром единственного
кольцевого гомоморфизма W{F) -*¦ F2. Будем называть идеал /
фундаментальным идеалом кольца Витта.
Доказательство леммы 3.3. Если W(F)/l2z F2, то
<1> = <-1> (mod/)
и, следовательно,
< а > = < 1 > (mod Г)
для любого элемента а. Поэтому идеал / состоит в точности из всех
сумм < ai >+...+< ar >, для которых ранг г четен.
Обратно, поскольку любое расщепляемое пространство с внут-
внутренним произведением имеет четный ранг, то соответствие
X м- rk(JT) (mod 2)
порождает гомоморфизм W(F) -»¦ F2, ядро которого является
требуемым фундаментальным идеалом/.
3.4. Замечание. Кольцо Витта W{F) изоморфно полю F2
тогда и только тогда, когда каждый элемент группы F' является
квадратом.
Примерами являются алгебраически замкнутые поля и совер-
совершенные поля в характеристике 2.
84

Доказательство. Если W(F) s F2, то для любого элемен-
элемента а Е F' анизотропное пространство с внутренним произведением
< а > принадлежит тому же классу Витта, что и пространство A >, и,
значит изоморфно пространству < 1 >. Следовательно, элемент а —
квадрат. Поскольку обратное очевидно, то этим завершается до-
доказательство. ?
Теперь давайте рассмотрим остальные простые идеалы.
3.5. Основная лемма. Если Р С W(F) -любой простой
идеал.для которого
W(F)I 9 #F2,
то множество Р С F', состоящее из всех элементов а Ф 0 поля F,
для которых
(а) =A> (mod Р ),
образует упорядочение поля F. Связанный с ним гомоморфизм
сигнатуры
ар: W(F) -* Ъ
для любого элемента w из кольца Витта удовлетворяет сравнению
w = Op (w) < 1 > (mod p ).
Следовательно, данный простой идеал Р является либо ядром
отображения ар, либо ядром композиции
W(F) ?-+ Ъ - Fp
в зависимости от того, изоморфно ли факторкольцо W(F) / Р коль-
кольцу Z или полю Fp.
Доказательство леммы 3.5. Ясно, что множество Р
замкнуто относительно умножения и что
Р U (-/>) = F .
Поэтому достаточно доказать, что множество Р замкнуто относи-
относительно сложения. Если а, (}Е Р па + (} = уФО, то очевидно, что для
некоторого S
<а> ® (.0) s
Переходя к факторкольцу кольца Витта по идеалу V, получаем,
что
<1> + <1> = <7> + <6> (mod P),
где < у) = < ± 1 > и < 5> = < ± 1 >. Но из предположения, что W(F)/ Р ф.
^ F2, следует, что сумма < 1 > + < 1 > не сравнима по модулю идеа-
идеала р ни с суммой < -1 > + < 1 >. ни с суммой < -1 > + < -1 > .
85

Следовательно,
<7> = <1> (mod Р)
и, значит, у = а + 0 G Р. Случай а, 0€.Риа + 0 = О встретиться не
может, поскольку тогда пространство с внутренним произведе-
произведением < а > ® < 0 > было бы расщепляемым, откуда
<1> + <1> = <а> + <0> =0,
что противоречит предположению. Таким образом, Р является упо-
упорядочением поля F.
Теперь для любого элемента а из группы F' сравнение
<<*> = ор(<а>)<1> (mod Р.)
следует из определения упорядочения Р. Ясно, что отсюда выте-
вытекает
w = Op (w) < 1 > (mod Р)
для любого элемента w = < аг ) + ... + < ar) из кольца Витта. Этим
завершается доказательство. ?
Замечание. Отсюда легко выводится, что топологическое
пространство Spec (W(F)), состоящее из всех простых идеалов
кольца W(F) с топологией Зарисского, гомеоморфно фактор-
пространству, получающемуся из декартова произведения ?2 X
X Spec (Z) стягиванием в точку замкнутого подмножества ?1X B).
Каждой паре (Р, Ч ) в пространстве J2 X Spec (Z) соответствует,
конечно, ядро отображения (a^mod Ц ): W(F) -»-Z/<|.
Одним из непосредственных следствий леммы 3.S является сле-
следующая
3.6. Теорема. Если — 1 является суммой квадратов в поле F,
то W(F) является локальным кольцом, содержащим единственный
простой идеал I. Любой элемент идеала I нильпотентен, а порядок
любого элемента аддитивной группы W(F) является степенью
числа 2.
Прежде чем привести доказательство, изложим некоторые эле-
"ментарные факты из теории колец.
3.7. Лемм л.Дпя любого коммутативного кольца R пересече-
пересечение всех простых идеалов кольца R в точности равно идеалу 91,
состоящему из всех нильпотентных элементов кольца R.
Действительно, если ?" = 0, то, конечно, элемент % принадле-
принадлежит каждому простому идеалу в кольце/?. Обратно, предположим,
что элемент % не нильпотентен. Рассмотрим все идеалы в с /?,
обладающие тем свойством, что никакая степень элемента ? не
лежит в идеале 0. Множество таких идеалов ие пусто, поскольку
нулевой идеал обладает этим свойством. По лемме Цорна в этом
86

множестве существует максимальный (относительно включения)
идеал о. Тогда й - простой идеал. 'Действительно, если а ? а
и 0 Ф о , то идеалы о + К а и а+/?0 строго больше идеа-
идеала о. Следовательно, при некоторых тип
Поэтому
Но никакая степень элемента ? не лежит в идеале о, так что этим
доказано, что afi ? с . Таким образом, идеал а простой. Следо-
Следовательно, данный элемент ^ 9 не лежит в пересечении всех прос-
простых идеалов. Этим завершается доказательство леммы 3.7. ?
Доказательство теоремы 3.6. Поскольку поле F
не может быть упорядочено, кольцо Витта W(F) не может иметь
никаких простых идеалов р , кроме фундаментального идеала /.
Следовательно, идеал 9} нильпотеитных элементов, являющийся
пересечением: всех простых идеалов, равен /.
В частности, поскольку < 1 > + < 1 > € /, некоторая степень
(<1>+<1>)" =2л<1>равна нулю W{F). (Здесь через 2"<1>
обозначена сумма 2" экземпляров пространства < 1 >.) Следователь-
Следовательно, для любого элемента w в кольце Витта 2"и> = 0. Этим завер-
завершается доказательство. D
Замечание. Это доказательство явно использует лемму Цор-
на. Более конструктивное рассуждение будет приведено в § 4.6.
Рассмотрим теперь поле, в котором —1 не является суммой
квадратов. Через 91 обозначим идеал, состоящий из всех ниль-
потентных элементов кольца Витта.
3.8. Теорема. Если —1 не является суммой квадратов в поле
F, то нильрадикал 91 в точности равен ядру гомоморфизма пол-
полной сигнатуры
о: W(F) -* Zn
(см. п. 2.8). Элемент w из кольца Витта обратим тогда и только
тогда, когда его образ обратим в кольце Zn.
Доказательство. Если a (w) = "О, то, конечно, элемент w
принадлежит фундаментальному идеалу /, состоящему из классов
Витта четного ранга. Но из леммы 3.5 следует, что элемент w при-
принадлежит также каждому другому простому идеалу. Следователь-
Следовательно, wE Э1. Обратно, еслиw? 5Я,то элемент ст(н>) нильпотентен
и, значит, a (w) = 0.
Теперь предположим, что элемент a (w) обратим. Тогда a (w) 2 = 1,
откуда w2 = 1 (mod 5П ) и, следовательно, элемент w обратим.
Этим завершается доказательство. ?
87

3.9. Следствие. Кольцо Витта W(F) изоморфно кольцу Z
тогда и только тогда, когда F является упорядоченным полем, в
котором каждый положительный элемент -¦ квадрат.
Действительно, если W(F) = Z, то поле F может быть упорядо-
упорядочено и для любого элемента а > 0 анизотропное пространство с
внутренним произведением < а > принадлежит тому же классу Вит-
Витта, что и пространство < 1 >, и, значит, изоморфно пространству
< 1 >. Следовательно, элемент а — квадрат. Вместе со следствием 2.7
это завершает доказательство. D
3.10. Теорема. Для любого поля F периодическая подгруп-
подгруппа кольца W(F) в точности совпадает с ядром гомоморфизма
полной сигнатуры
a: W(F) -> Zn.
Порядок каждого периодического элемента является степенью
числа 2.
Замечание. Если поле F имеет только одно упорядочение,
то зто можно совсем просто доказать следующим образом. Ясно,
что ядро гомоморфизма a: W(F) -*¦ Z аддитивно порождается
элементами вида < 1 > - < а >, где а > 0. Но
и, следовательно,
Поскольку известно, что элемент < 1 > - <о> нильпотентеи, то отсю-
отсюда следует, что его порядок является степенью числа 2.
В общем случае доказательство будет основываться на следую-
следующем. Пусть К — любое расширение поля F. Напомним из п. 5.4 гл. 1,
что любое пространство с внутренним произведением X ранга г над
полем F порождает пространство с внутренним произведением
К&р X ранга г над полем F. Ясно, что это соответствие индуци-
индуцирует кольцевой гомоморфизм
Для квадратичных расширений ядро этого гомоморфизма вычис-
вычисляется следующим образом (предполагаем, что поле F имеет харак-
характеристику, отличную от 2):
3.11. Лемма. Дпя любого элемента aGF' ядро естествен-
естественного гомоморфизма W(F) -*¦ W(F (Va)) равно главному идеалу
[( 1 > - (a> )W(F). Каждый элемент w ядра удовлетворяет равенст-
равенству w = — < а > w.
Доказательство. Ясно, что элемент а отображается в
квадрат в поле F(y/a), и следовательно, идеал (< 1> - <a))W(F)
отображается в нуль. Но если анизотропное пространство с внут-

ренним произведением X Ф 0 над полем F представляет класс
Витта из ядра, то, конечно, в пространстве F(\/a) »p X существует
вектор z Ф О, для которого z • z = 0. Полагая z = х + ч/сТу, где эле-
элементы хи> лежат в пространстве X, из уравнения z • z = 0 полу-
получаем, что
> =0, дсд>=0.
Поскольку пространство X анизотропно, то по крайней мере один
из элементов х • х и у- у поля F не нулевой и, значит, оба они не
нулевые. Полагая у- у =t?i и дс • дс = - ать, мы видим, что прост-
пространство X разлагается в ортогональную сумму
где пространство X' также анизотропно и также представляет со-
собой элемент ядра. Теперь легко показать по индукции, что для под-
подходящих элементов т»х,..., щ
Отсюда следует, что
Xsi(-a)«X,
чем и завершается доказательство. D
Доказательство теоремы ЗЛО. Предположим, что
некоторый нильпотентный элемент w кольца W(F) для всех и удов-
удовлетворяет неравенству 2"w Ф 0. Рассмотрим такие алгебраические
расширения полей К Э F, что для всех и образ w' = i»(w) в кольце
W(K) удовлетворяет неравенству 2"w' Ф 0. Отметим, что любое
объединение вложенных полей, обладающих этим свойством,
будет опят* обладать этим свойством. Следовательно, по лемме
Цорна существует максимальное расщирение поля К с этим свойст-
свойством. Если элемент а е К ие является-квадратом, то поле К (у/а)
строго содержит поле К. Следовательно, образ элемента 2"w' в
кольце W(K(y/3)) равен нулю для больших п. Из леммы 3.1 следу-
следует теперь, что при больших и
Поскольку группа W(K) не 2-периодична, то из теоремы 3.6
следует, что поле К может быть упорядочено. Поскольку кольцо
W(?) обладает нильпотентными элементами, то из утверждения 3.9
вытекает, что не каждый положительный элемент в поле К являет-
ся квадратом. Следовательно, факторгруппа К /К содержит не
меньше четырех различных элементов. Пусть 1, а, /} и а/} - элемен-
элементы группы К\ различные по модулю подгруппы К . Тогда для
89

больших и
2nw=<-a>2nw' = <-a)(-pJ"w' =
= <а><0>, <-а0>2ли>'.
Это доказывает, что 2nw' = — 2"w' или 2n+1w' = 0, что противоре-
противоречит нашему предположению. Этим завершается доказательство. D
3.12. С л е д с т в и е. Пусть для каждого упорядочения Р через
FP обозначено связанное с ним вещественное замыкание поля F.
Тогда ядро естественного гомоморфизма
W(F)-*nw(FP)
р
равно периодической подгруппе кольца W(F).
Доказательство проводится непосредственно.
Завершая этот параграф, мы наметим другое описание периоди-
периодической подгруппы кольца W(F), принадлежащее Шарлау [81 ], [82].
Пусть F - поле характеристики, отличной от 2.
Определение. Поле F называется пифагоровым, если под-
подмножество F2 замкнуто относительно сложения (другими слова-
словами, если любая сумма квадратов является* квадратом в поле F).
Для любого поля F характеристики, отличной от 2, с алгебраи-
алгебраическим замыканием F существует единственное наименьшее пи-
пифагорово расширение ^Пиф C-F • Действительно, расширение ^пиф
является объединением'всех итерированных квадратичных расши-
расширений вида
FC ... СКСК(у/а2 +02<)
в поле F. Назовем это единственное поле FnH$ пифагоровым за-
замыканием поля F.
Кольцо .Витта ^(^Пиф) пифагорова по'ля может быть описано
следующим образом. Если — 1 является суммой квадратов в поле
^пиф> то любой элемент поля ^ПИф является квадратом и, следо-
следовательно, .W(FnH(t>) = Z/2Z. (Сравните с упражнением 2.3 и заме-
замечанием 3.4.) С другой стороны, если - 1 не является суммой квад-
квадратов, то кольцо W(FnH(j)) не имеет кручения. Действительно, для
элемента w Ф 0 в кольце W(Fnif(j,) выберем анизотропного пред-
представителя A s < <*! > ф ... ф < а„> элемента w. Тогда для любого
k > 0 А:-кратная сумма А ® . t. ® А также анизотропна. Если бы
к п
уравнение ? I a^J = 0 имело нетривиальное решение, то,
/ = i i = i '
полагая 2S-•• = 1??, можно было бы вывести, что уравнение
= 0 также имеет нетривиальное решение, что невозможно.
90

3.13. Утверждение. Если FnM$ - пифагорово замыкание
поля F, то точна последовательность
О -> Tors IWF) -> W(F) t
Здесь через Tors IW(F) обозначена периодическая подгруппа
фундаментального идеала / С W(F), рассматриваемого как адди-
аддитивная группа.
Доказательство утверждения 3.13. Сначала рас-
рассмотрим квадратичное расширение вида
КСК(у/а2+рг).
В силу леммы 3.11 ядро ассоциированного с ним гомоморфизма
равно идеалу (< 1 > — < а2 + /?2 >) W(K). Используя изоморфизм
<1 > ® <1> э< <а2 +02> ® <а2 +j32>,
мы видим, что любой элемент этого идеала имеет порядок 2. Для
итерированного расширения F С... СК СК(\/а2 +02/) степени 2"
над полем F по индукции доказывается, что ядро ассоциированно-
ассоциированного с ним гомоморфизма колец Витта имеет показатель 2". Перехо-
Переходя к прямому пределу (индуктивному пределу) по всем таким
итерированным расширениям, получаем, что ядро гомоморфизма
является 2-примарной периодической группой. Но группа i
без кручения, так что это ядро должно в точности совпадать с пе-
периодической подгруппой кольца W{F).
Между прочим, это рассуждение дает более простое доказатель-
доказательство того, что кольцо Витта над полем не содержит кручения не-
нечетного порядка.
Отметим, что для любого поля (даже характеристики 2) под-
подгруппа TorslW(F) в точности равна нильрадикалу кольца W(F).
§ 4. Мультипликативные пространства с
внутренним произведением
Результаты этого . Параграфа принадлежат Пфистеру (сравните
с [81] и [48]). Однако для удобства изложения мы несколько мо-
модифицируем определения Пфистера.
Если элемент х принадлежит пространству с внутренним произ-
произведением X, то будет удобно называть значение х ¦ х нормой эле-
элемента х. Таким образом, элемент а из поля является нормой в
пространстве X, если а = х • х для некоторого элемента хЕ X.
91

4.1.Определение. Пространство с внутренним произведе-
произведением X называется мультипликативным, если для любого элемен-
элемента а из поля, являющегося нормой в пространстве X,
(Это определение не является общепринятым.)
Одним из важных свойств мультипликативных пространств
является следующее.
4.2. Лемма. Если пространство X мультипликативно, то
множество всех элементов а Ф О поля, являющихся нормами в
пространстве X, образует подгруппу в группе F'.
До каэательство. Если а = х-хФ0иР=у-уФ0, то рас-
рассмотрим изоморфизм
Полагая Дх) = е ® г, где е ¦ е = /3, получим, что
xx=/(x)/(x)=/?zz.
Следовательно, частное аЦЗ = z • z также является нормой в прост-
пространстве X, что завершает доказательство. D
В качестве примера рассмотрим пространство с внутренним
произведением < 1 >, которое, конечно, мультипликативно, а его
группа ненулевых норм равна подгруппе F' .
4.3. Теорема. Любое тензорное произведение форм
(<1> ф <оц>) ® ... ® (<1> ® <а„>)
мультипликативно. Кроме того, любое такое тензорное произведе-
произведение либо анизотропно, либо расщепляемо.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай п = 1. Если
элемент /3 Ф О является нормой в пространстве < 1 > ® < а>, то ясно,
что для некоторого элемента у
Сравнивая определители, мы видим, что (у) = </?а>, откуда, как
и требовалось,
Поскольку любое пространство ранга 2 либо анизотропно, либо
расщепляемо, то этим рассмотрен случай п = 1.
Далее продолжим доказательство по индукции. Предположив,
что пространство X мультипликативно, покажем, что мультипли-
мультипликативно пространство
Здесь для упрощения записи опущены знаки тензорного произве-
92

дения. Пусть элемент 0Ф О является нормой в пространстве
X ® < а )Х. Тогда элемент 0, очевидно, имеет вид
0 = хх+ау-у = ^ + at},
где элементы | и т? - нормы в пространстве X. Если ? = 0, то т? ^ О,
откуда (г))Х^Х и <aTj>(* ® <а>*) г <а>Л'Ф<а>2Л'^ *®<a>*,
что и требовалось показать. Случай т? = 0 рассматривается анало-
аналогично. Предположим теперь, что оба элемента | и т?не равны нулю.
Тогда X = < | )Х s < г?/| )Х, откуда следует, что
Но уже установлено, что пространство с внутренним произведением
мультипликативно. Поскольку элемент 1 + ат?/| является ненуле-
ненулевой нормой в этом пространстве, то видим, что множитель
< 1 + ai?/| > можно сократить и оставить
что и требовалось показать.
Нужно доказать, что пространство X ® {а)Х либо анизотропно,
либо расщепляемо, предполагая по индукции, что само пространст-
пространство X либо анизотропно, либо расщепляемо. Если пространство
X ® (а)Х не анизотропно, то в пространстве X существуют векто-
векторы х и у, не равные нулю одновременно и такие, что
хх + ау ¦ у = | + ai? = 0.
Если \ = 1? = 0, то пространство X должно быть расщепляемым, от-
откуда, конечно, следует расщепляемость пространства X ® <а>А\
В противном случае, элемент \\г\ = — а является ненулевой нормой
в пространстве X. Следовательно, X а <— а)Х, откуда опять же
следует, что пространство X ® (а)Х расщепляемо. Этим завершает-
завершается доказательство. D
Особенно интересным частным случаем теоремы 4.3 является
случай, когда ai = ... = ап = 1. Тензорное произведение
«1>»<.1>)в...в«1>в<1»
является в этой ситуации 2"-кратной суммой экземпляров прост-
пространства < 1 >. Запишем это кратко как 2"< 1 >.
4.4. Следствие. Для любого поля F и любого п > 0 подмнр-
жество, состоящее из всех элементов % Ф 0 поля, которые могут
быть выражены в виде суммы 2" квадратов, является мультипли-
мультипликативной группой.
93

Это следует из леммы 4.2 и теоремы 4.3, поскольку элемент
поля является нормой в пространстве 2"< 1) тогда и только тогда,
когда он является-суммой 2" квадратов.
Например, для поля Q рациональных чисел из возможности пред-
представить числа 5 = 12 + 22 и 13 = 22 + З2 в виде суммы двух квадра-
квадратов следует, что число 65 (= 42 + 72) также можно представить в
таком виде (сравните с § 8 гл. 2). Напротив, оба числа 3 = I2 + I2 +
+ 12и5=02 + 12+22 можно представить в виде суммы трех квад-
квадратов, а их произведение уже нельзя. Если бы 15 равнялось
а2 + /З2 + у2, то, освобождаясь от знаменателей и переходя к выче-
вычетам по модулю 8, получили бы, что
-<*2=«2 +Ь2 +с2 (mod8),
где по крайней мере одно из целых чисел а, Ъ, с, d нечетно, что,
как легко видеть, невозможно.
Имеется важное приложение теоремы 4.3.
Определение. Если — 1 является суммой квадратов в
поле F, то уровнем поля F называется наименьшее целое число s,
такое, что - 1 является суммой s квадратов. Если - 1 не является
суммой квадратов, то полагаем s = °°.
4.5. Т е о р е м а. Для любого поля F порядок элемента < 1 > в
аддитивной группе кольца W(F) равен в точности 2s. Уровень s
всегда равен либо °°, либо степени числа 2.
Замечание. В классическом случае числового поля уровень
всегда равен °°, 1, 2 или 4. Примеры дают поля Q, Q(V^T),
Q (V—2) и Q(\Z^f) соответственно. Поскольку порядок элемента
< 1) сравнительно легко вычисляется, эта теорема предоставляет ¦
прекрасное средство для вычисления уровня s.
Доказательство теоремы 4.5. Если s = °°, то утверж-
утверждение очевидно. Поэтому можно предполагать, что s < °°. Отметим
сначала, что х-кратная ортогональная сумма <1)®...®<1>=х<1,)
анизотропна. Если бы уравнение
!? + ...+ Ь2 = 0
имело решение, скажем, с |i Ф 0, то из этого следовало бы, что
Но это противоречит определению уровня s. Аналогичные рассуж-
рассуждения показывают, что ( х + 1)-кратная ортогональная сумма
(х + 1) < 1 > не анизотропна.
Теперь определим целое число п > 0 из неравенства 2" < s <
< 2"+1. Заведомо известно, что ортогональная сумма 2"< 1> ани-
анизотропна, а сумма 2"+1< 1) - нет. Давайте применим теорему 4.3.
94

Поскольку пространство 2"+1< 1 > может быть представлено в виде
тензорного произведения
и не анизотропно, то отсюда следует, чтс пространство 2"+1< 1 > рас-
расщепляемо. Из соотношений
2"<l>f 0, 2"+1<1>~0
теперь, очевидно, вытекает, что порядок элемента < 1 > в кольце
Витта равен в точности 2"+1.
Нужно доказать, что s = 2". Добавляя 2" экземпляров прост-
пространства < — 1 > к обеим сторонам соотношения 2"+1< 1 > ~ 0, вы-
выводим, что
2"<1>~2"<-1>.
Но эти пространства анизотсхшны, и из теоремы 1.7 следует, что
2"<1>э=2"<-1>.
Следовательно, — 1 является суммой 2" квадратов, откуда s <2" и,
значит, s = 2". Этим завершается доказательство. D
4.6. Замечание. Теперь можно дать более конструктивное
доказательство того факта, что любой элемент фундаментального
идеала / С W{F) нильпотентен, если s = 2" < °° (сравните с теоре-
теоремой 3.6). Действительно, для любого элемента w из кольца Витта
положим
w= <ai) + . r
Тогда
w2s<ai>2 +... + <ar>2 =/Ч1> (mod2W(F)).
Если ранг г четен, то отсюда вытекает, что
w2 =0 (mod 2W(F))
и, следовательно,
w2(n+1> = 0 (mod 2"+1 W(F)).
Поскольку умножение на 2"+1 = 2s аннулирует любой элемент
кольца Витта, то это доказывает, что w2^"+1) = 0. ?
Завершим параграф следующей задачей для читателя. (В ней
^-линейная биекция /: X -*¦ X называется преобразованием подо-
подобия, если в поле существует элемент X ф 0, такой, что для лю-
любых хтлу
95

Упражнение. Предположим, что 1 является нормой в прост-
пространстве X. Докажите, что группа преобразований подобия прост-
пространства X действует транзитивно на множестве-Л"\{0) тогда и толь-
только тогда, когда пространство X мультипликативно и анизотропно.
§ 5. Степени фундаментального идеала
В этом параграфе будет изучаться цепочка идеалов / Э I2 Э
Э I3 Э ... в кольце Витта W(F), где / - фундаментальный идеал,
состоящий из всех классов Витта четного ранга. Основная теорема
об этих идеалах была недавно доказана Арасоном и Пфистером.
Приведем ее здесь без доказательства.
5.1.Теорема. Если w€/n и \мФ0, то \\w\\>2n.
(Здесь через |М| обозначен ранг анизотропного представителя
класса Витта w.) Отсюда сразу следует, что пересечение идеалов /"
равно нулю.
Каждый фактормодуль /"//n+1, очевидно, является векторным
пространством над полем
Следующее наблюдение принадлежит Пфистеру.
5.2. Тео рема, Факторгруппа I/I2 канонически изоморфна
факторгруппе F'/F' .
Доказательство основывается на использовании определителя,
введенного в § 2 гл. 1. Напомним, что для любого пространства
с внутренним произведением X определитель det(X) является
корректно определенным элементом в группе F JF . Однако нуж-
нужно быть осторожными, поскольку определитель расщепляемого
пространства с внутренним произведением не обязательно три-
тривиален. Чтобы исправить это, проведем следующую модифика-
модификацию.
Определение. Для любого пространства с внутренним
произведением X дискриминант
d(X)GF'/F'2
определяется как элемент (- l)r^r~l^l2det(X).
Давайте вычислим дискриминант ортогональной суммы X ® Y.
Полагая r = rk(X),s = rk(Y) и /(г) = г(г - 1) /2, легко проверим тож-
тождество
7(г+ *)=/(/•)+/(*) +га.
Отсюда следует, что
96

В частности, если либо пространство X, либо пространство У имеет
четный ранг, то d(X • Y) = d{X) ¦ d(Y).
5.3. Л е м м а. Дискриминант d(X) зависит только от класса
Buna пространства X.
Если S — расщепляемое пространство ранга 2л, то, согласно
лемме 6.3 из гл. 1, матрица внутреннего произведения пространст-
/
р
/0 /\
/0 /\
ва S в подходящем базисе имеет вид I I . Следовательно,
откуда вытекает, что d(S) единичный элемент в группе F'/F' .
Далее доказательство леммы 5.3 не вызывает трудностей. D
Доказательство теоре м,ы 5.2. Очевидно, что соот-
соответствие w *-*¦ d(w) задает гомоморфизм из аддитивной группы
идеала / в группу F'lF' Этот гомоморфизм сюръективен, по-
поскольку
и аннулирует идеал /2, поскольку идеал /а аддитивно порожден
произведениями вида
каждое из которых имеет тривиальный дискриминант. Пусть те-
теперь w = <aj> + ...'+ <a2r > — произвольный элемент идеала /.
Используя сравнения
<-l> (mod/2)
= < 1 > (mod/2),
получаем, проводя индукцию по г, что элемент w сравним по моду-
модулю I2 с выражением вида <|> + <-1>. Если
является единичным элементом группы F /F ,то<|>+< — 1>=0
и, следовательно, w G I2. Таким образом, последовательность
О -+¦ I2 -*¦ I -+F'/F' -* 0 точна. Этим завершается доказательство. ?
На следующем шаге естественно рассмотреть фактормо-
дуль /2//3.
5.4. Определение. Символом на поле F со значениями в
группе Z ' называется бимулыипликативная функция
<р: F'XF^-Z',
удовлетворяющая тождеству ip(a, 1 — a) = 1 для всех элемен-
элементов а Ф 0,1.
7. Дж. Милнор 97

Слово "бимультипликативная" означает, что функция ip(a, (?)
мультипликативна и как функция от а при фиксированном /3,
и как функция от /3 при фиксированном а. В частности, у(а, 1) = 1.
Замечание. Прототипом для такого объекта является "сим-
"символ Гильберта". Для локального поля F характеристики, отличной
от 2, Гильберт показал, что существует ровно один нетривиальный
символ на поле F со значениями в группе Z". В более позднее вре-
время символы со значениями в произвольной коммутативной группе
возникли при анализе Стейнбергом центральных расширений
классических групп. (Сравните с [59].)
5.5. Лемма. Если задан некоторый фиксированный символ <р
на поле F со значениями в группе Ъ', то образ <?(а, /3) зависит
только от класса Витт'а пространства с внутренним произведе-
произведением < а > ® < /3 >.
Доказательство. Поскольку группа Z имеет показа-
показатель 2, то образ <р(а, 0) не изменится, если умножить а или 0 на
квадрат. Используя тождество
легко получаем, что
, -а)= 1.
Поэтому образ ip(a, 0) тривиален, если пространство с внутрен-
внутренним произведением < a > ® < 0 > расщепляемо.
Предположим, что пространства с внутренним произведением
<а>®<0>~<7>®<5> не расщепляемы. Тогда эти пространства
изоморфны и, значит, уравнение
7 = a!2+/?T?2
имеет решение. Отметим соотношение
с@ = у8 (modF'2).
Если 1? = 0, то^а = 7, 0 = 6 (modF' ),откуда, конечно,
, 5). Если | = 0, то аналогичные рассуждения показывают, что
*>G,6) = *>@,а).
Но соотношение симметрии
легко установить, если раскрыть тождество (?(a/3,-a/3) = 1. На-
Наконец, предположим, что |=#=0 и т?^0. Тогда
а?2 /Т+ 0т?2 /Т=1
и, следовательно,
98

Преобразуя выражение, получаем
что завершает доказательство, поскольку сфу = б (modF' ). П
5.6. Л е м м а. Предположим, что два пространства с внутренним
произведением
(он >® ... ®<а„> и <0, >® .. .®<0„ >
имеют один и тот же ранг и класс Витта. Тогда можно перейти
от последовательности ах,..., а„ к последовательности 0i,...
...,&„, изменяя одновременно ровно по два коэффициента и
сохраняя на каждом шаге класс Витта.
Доказательство этой классической леммы будет отложено до
конца § 5.
Теперь для любого пространства с внутренним произведением X,
обладающего ортогональным базисом,
определим инвариант Хассе Н^ {X) € Z как произведение
П ip(af,Oij). Если пространство X не обладает ортогональным
• </
базисом, то оно должно быть симплектическим пространством над
полем F характеристики 2. Для него положим Н^ (X) = 1.
5.7. Теорема. Инвариант Хассе HV(XJ не зависит от выбора
ортогонального разложения. Если два пространства X и X' имеют
одни и те же ранг и класс Витта, то Н^ (X) = Н^ (X1). Тождество
Н^Х® У) =Hip(X)Hr(Y)v(detX, det У)
выполняется для любых пространств Хи Y.
Доказательство, использующее леммы 5.5 и 5.6, проводится
непосредственно и предоставляется читателю. D
Пусть 5 — расщепляемое пространство с внутренним произведе-
произведением ранга п=2ш. Тогда пространство S имеет тот же ранг и
класс Витта, что и m-кратная сумма m (< 1 )«< - 1 >). Легко выво-
выводится, что
Этот инвариант ие всегда равен 1, но если и = 2т = 0 (mod 8), то,
конечно, Я^E) = 1.
Определение. Для любого класса Витта w из фундамен-
фундаментального идеала I инвариант Хассе - Витта h^w) определяется сле-
следующим образом. Выберем пространство с внутренним произве-
7* 99

дениемХ, представляющее класс Витта w, таким образом, что
rk(JT) = O (mod 8),
и положим \ (w) равным инварианту Хассе Н^,{Х).
Эта функция корректно определена, поскольку если Х~Х' и
rk(jr) = rk(A"J=(j(mod8), то X«>S~X'®S', где rkE) = rk(S") =
= 0 (mod 8) и, следовательно,
Н^Х) = Н^Х ф S) = Я„(ЛГ' ф S') = Н^Х'У
5.8. Т е о р е м а* Для любого символа у ограничение функции
Хассе - Витта h^ на идеал I3 дает корректно определенный го-
гомоморфизм
Элемент w из идеала I3 аннулируется любым из этих гомомор-
гомоморфизмов hy тогда и только тогда, когда wEI3.
(Сравните с {67].) В действительности в доказательстве будет
показано, что группа всех символов ip на поле F со значениями
в Z' канонически изоморфна группе Hom(/2//3, Z ).
Доказательство тео ре мы 5.8. Тождество '
h^w + W') = hlfi(W)h(W')v(d(w),d(w')),
очевидно, выполняется для любых элементов w и w' фундаменталь-
фундаментального идеала/. Если wGI2,"?od(w) = 1,откуда
Следующим шагом вычислим инвариант Хассе — Витта от про-
произведения w((} >. Полагая w = <at > + ... + < am ), где m = 0(mod 8),
имеем
Для любого элемента w' el, полагая w' = < 0i > + ... + < C„ >, где
n = 0 (mod 4), получаем, что
В частности, если w e / и w' e /2, то Av (wiv') = 1. Следовательно,
каждая функция Л„ аннулирует идеал I3 и индуцирует гомо-
100

морфизм
V /2//.3^z\
Обратно, если дан произвольный гомоморфизму: /2//3 ->Z',to
обозначим через у символ
*(а,0) = *(«в>-<1 »(<?>-< 1»).
Используя сравнение
-<1> (mod/2),
видим, что функция <i бимультипликативна. Бели а + 0 = 1, то изо-
изоморфизм
влечет ^(а, /3) = 1. Поскольку ассоциированный гомоморфизм
совпадает с гомоморфизмом g на каждом образующем (<а> -
- < 1 >)(<0 > - < 1 >) идеала I2, то отсюда следует, что А^, =g. Если
элемент w G /2 аннулируется любой функцией А^,, то он аннули-
аннулируется любым гомоморфизмом из группы /2//3 в группу Z' и,
следовательно, we/3. ?
5.9. Классические примеры. Если F - конечное поле,
то элементарные рассуждения, принадлежащие Стейнбергу, показы-
показывают, что любой символ на поле F тривиален и, следовательно,
идеал I2 С W(F) нулевой. (Сравните с леммой 1.5 гл. 4.)
Если F — конечное расширение поля р-адических чисел, то су-
существует в точности один нетривиальный символ на поле F со
значениями в группе Z'. Следовательно, группа /2//3 циклическая
порядка 2. В действительности ранг, определитель и инвариант
Хассе образуют полную систему инвариантов пространства с вну-
внутренним произведением над полем F. (См. [61, с. 170].) Легко
выводится, что идеал I2 - циклическая труппа порядка 2 и
что/3=0.
Теперь предположим, что F — конечное расширение поля рацио-
рациональных чисел. В этом случае полный инвариант для пространства
с внутренним произведением над полем F дается рангом, опреде-
определителем, полной сигнатурой вместе с инвариантами Хассе, связан-
связанными со всеми различными локальными пополнениями поля
F ([61, с. 189]). Для элемента w идеала /3 С W(F) легко выводит-
выводится, что сигнатура o(w) дает полный инвариант. В действительности
гомоморфизм а биективно отображает идеал /3 на идеал 8Zn
В частности, во вполне мнимом случае отсюда следует, что
/3=0.
101

Отметим, что "длина" цепочки идеалов / Э/а Э/3Э ... в случае
числового поля равна либо 2, либо °° в соответствии с тем, являет-
является ли -1 суммой квадратов или нет. Однако вычисление "длины"
в этом случае — это совершенно другой вопрос.
Пусть F — поле характеристики 2. Тогда гомоморфизм \ *+ \ 2
отображает поле F изоморфно на подполе F г. Степень поля F над
подполем F2 является числом вида 2', где i принимает значения
О, 1, 2,..., °°. Отметим, что поле F совершенно тогда и только тог-
тогда, когда i = 0. Если Е — конечное расширение степени и поля F,
то поле Е2 имеет степень и над подполем F1 и, следовательно,
поле Е имеет степень 2' над подполем Е1. Другими словами, ме-
мера i несовершенности поля является инвариантом относительно
конечных расширений поля F. Она также является инвариантом
относительно сепарабельных расширений. Однако мера i возрастает
на 1 при простом трансцендентном расширении. (Другую характе-
ризацию меры i см. в [24, с. 154].)
5.10. Теорема. Если поле F характеристики 2 имеет степень
2' над подполем F2, то идеал I" С W{F) равен нулю при n>iu не
равен нулю при и < i.
Например, если поле F конечно, то i = 0 и поэтому фундамен-
тал ьный идеал / = /1 нулевой.
До казательство. Идеал I" аддитивно порождается произ-
произведениями вида
По теореме 4.3 Пфистера каждое такое произведение либо ани-
анизотропно, либо расщепляемо. Но если и > i, то 2" произведений
a7i а/2 ... в/ , где набор { /1, ..., fk } пробегает все подмножест-
подмножества множества {1, .. ., и}, не могут быть линейно независимыми
над полем F2. Следовательно, пространство X, будучи ортогональ-
ортогональной суммой пространств < а,^ ... a/fc >, не может быть анизотроп-
анизотропным. Следовательно, X ~ 0, откуда вытекает, что I" = 0.
Обратно, если и < i, то можем построить по индукции элементы
(*i, . .., а„ поля F, такие, что элемент а/ + 1 не принадлежит под-
полю F2(ai О/). Отсюда следует, что 2™ произведений
ад .. .Л; линейно независимы над полем F2. Значит, описанное
выше пространство с внутренним произведением X анизотропно
и, следовательно, I" Ф 0. Этим завершается доказательство. (Срав-
(Сравните с [58].) ?
Завершая §5, докажем лемму 5.6. Предположим,что
< «1 > ® ... ® < а„ > ~ < 0i > ®...' ® < 0„ >.
102

Проводя индукцию по и, надо показать, что можно так изменять
парами коэффициенты а/, чтобы, сохраняя класс Витта, пре-
преобразовать одну последовательность в другую. Конечно, любая
перестановка коэффициентов а,- может быть получена как компо-
композиция перестановок, затрагивающих только два элемента. Начиная
индукцию, отметим, что утверждение, безусловно, верно при и = 2.
Предположим сначала, что два пространства анизотропны и, зна-
значит, изоморфны. Тогда уравнение
имеет решение. Пусть к — число индексов /, для которых %t Ф 0.
Доказательство будет основываться на дополнительной индукции
ю числу А;.
Если к = 1, скажем, 01 = (*i % \, то < ai > = < 01 >, следовательно,
< ct2 > ® ... ® < а„> ~ < 02) ® ... ® < /3„ > и заключение получается
индукцией по и. Если А; > 2, то пусть %\ Ф 0 и ?2 # 0. Можно пред-
предположить, что элемент поля
ненулевой. Следовательно, <ai> ®<a2> & (у) ®<5> для некото-
некоторого элемента. 5. Подставляя элементы у и 5 вместо элементов at
и с*2, выводим заключение индукцией по к.
Предположим теперь, что эти два пространства не анизотропны.
Тогда уравнение
имеет нетривиальное решение. Пусть к> 2 будет числом коэффи-
коэффициентов |/ Ф 0, Докажем индукцией по А:, что данную последова-
последовательность можно преобразовать в последовательность, в которой
< (*i > ® < (*2 > ~" 0, заменяя только по два коэффициента at одновре-
одновременно. Если А; = 2, то зто ясно. Если А: > 2, то, скажем,
#-0,
гдеа^? + а2|2 =у Ф 0 и, значит, < a! > ©<a2> s <7> ®<5>.Как
и ранее, можем'подставить элементы у и 8 вместо элементов а]
и а2. Следовательно, индукцией по к, можем преобразовать после-
последовательность c*i, ..., а„ в последовательность, в которой
< ai > ® < (*2 > ~0. Аналогично, можем преобразовать последователь-
последовательность 0i, ..., 0„ в последовательность, в которой <jSi > ® < jS2 > ~0.
Тогда
<а3>Ф...Ф<ап>~<03>Ф.--Ф<0п>,
и требуемое утверждение получается индукцией по и. Этим завер-
завершается доказательство. D
103

Глава 4
ДИСКРЕТНЫЕ НОРМИРОВАНИЯ И
ДЕДЕКИНДОВЫ ОБЛАСТИ
В § 1 этой главы определяются два гомоморфизма из кольца
Витта поля, связанные с полями дискретного нормирования, в коль-
кольцо Вигта его поля вычетов. В § 2 один из них используется для
вычисления кольца Витта H'(Q) поля рациональных чисел Q и для
получения нового доказательства утверждения о том, что H/(Z) э*
sZ.B §3 аналогичная конструкция применяется к произвольной
дедекиндовой области D с полем частных F для построения точной
последовательности
О -» W(D) -*• W(F) -*• W(D/ ® W(D/ 9),
где прямая сумма взята по всем максимальным идеалам 9 облас-
области D. В § 4 эта последовательность применяется в частном случае
кольца целых величин числового поля,
§ 1. Гомоморфизм Э„: W(JF) -* V\F)
Напомним, что дискретным нормированием и поля F назы-
называется гомоморфизм из группы F' в аддитивную группу Z, удов-
удовлетворяющий неравенству
v(a + 0) > min (u(«), u(
при а, 0, а + 0 Ф 0. Удобно положить и@) = +<». Ассоциированное
кольцо нормирования О состоит из всех элементов a S F, для ко-
которых и(а)>0. Это кольцо имеет единственный максимальный
идеал ф , состоящий из всех элементов а, для которых и(а) > 0.
Факторкольцо F- D/ф называется полем вычетов. Образ любо-
любого элемента м€ О' будет обозначаться как UGF', _
Построим аддитивный гомоморфизм Э„: W(F) ¦-*¦ W(F), кор-
корректно определенный с точностью до домножения на обратимые
элементы вида (п) в W(F). Для того чтобы определить гомомор-
гомоморфизм Э„, удобно задать группу W(F) образующими и соотно-
соотношениями.
1.1. Лемма (Витт). Аддитивная группа W(F) порождается
элементами <а>, а ? F', удовлетворяющими следующим соот-
104

ношениям:
1) <а> = <«|2> при
2) <a> + <-a> = 0,
3) <a> + <j3> = <a + 0> + <a0(a + 0)> при
любое соотношение между образующими является их следствием.
Доказательство. Ясно, что эти три соотношения выпол-
выполняются в группе W(F), а то, что любое соотношение между обра-
образующими выводится из них, легко следует из леммы 5.6 гл. 3.
Выберем теперь простой элемент я ? О, т.е. такой элемент я,
что u(ir)= 1 и, таким образом, я О = V . Тогда любой элемент
группы F' может быть однозначно записан в виде произведения
п'и, где« е О"
1.2. Л е м м а (Спрингер, Кнебуш). При фиксированных эле-
элементе it и целом теле к, равном 0 или 1, существует ровно один
аддитивный гомоморфизм
фк:
отображающий каждый образующий (я'и) либо в (и), либо в .0
в зависимости от того, выполняется сравнение i = k (mod 2) или
^d)
Доказательство. В силу леммы 1.1 нам надо лишь про-
проверить, что каждое определяющее соотношение группы W(F) ото-
отображается в соотношение, справедливое в группе ЩР). Удобно по-
положить символ et равным 1 или 0 в зависимости от того, i = k
или / ^ A; (mod 2). Если
ЯАЫ1 +я'ы2 =Я^Ыз,
то нужно доказать, что в группе W(F )
После деления на подходящую степень элемента я (и перемены,
если необходимо, ролей отображений ф° и ф1) можем предполо-
предположить, что два из трех чисел h, i и / равны 0, а третье больше или
равно 0.
Случай 1. Если h = / =/ = 0, то «i + п~г = м3 и требуемое со-
соотношение, конечно, выполняется.
Случай 2. Если h > i =j = 0, то п2 =Щ, значит, <u"i > =
= <«! п2 «з > и соотношение выполняется. Случай /> 0 полностью
аналогичен.
Случай 3. Если O = h=i<j, to й~г =Щ, значит
и опять же требуемое соотношение выполняется. Этим завершается
доказательство. ?
105

Определение. Построенные гомоморфизмы ф° и ф1
из группы W(F) в группу ^(F) называются гомоморфизмами,
ассоциированными с нормированием v. Нас, в первую очередь,
интересует гомоморфизм ф1; для него будем использовать также и
обозначение
д„: W(F)
Отметим, что гомоморфизм ф° корректно определен, тогда как
гомоморфизм ф1 = д„ зависит от выбора элемента я.
Пусть D С F — ассоциированное с нормированием v кольцо
нормирования, и пусть W( D ) -* W(F) — естественный кольцевой
гомоморфизм. ,
1.3. Л е м м а. Композиция отображений W{ D) -> W(F) —* W(F)
равна нулю.
В действительности, в |3 увидим, что последовательность
W( о ) -> ^(F) -> ^(F) -* 0 точна.
Доказательство леммы 1.3. Поскольку кольцо С
локально, любое пространство с внутренним произведением над
кольцом С может быть легко представлено в виде суммы прост-
пространств с внутренним произведением ранга 1 с матрицами внутрен-
внутреннего произведения вида (и) и пространств с внутренним произве-
произведением ранга 2 с матрицами внутреннего произведения вида
с;)
где <* = 0.(тоаФ). В первом случае соответствующий элемент
<и> в кольце W(F), конечно, удовлетворяет равенству i//1 <м > = 0.
Во втором случае при аФО соответствующий элемент в кольце
W(F) может быть записан как сумма <а> + <а(а|3 - 1)>, где оф - 1 =
= —1 (modV). Очевидно, что гомоморфизм ф1 аннулирует лю-
любую такую сумму. Наконец, при а = 0 данное слагаемое расщеп-
расщепляется и, следовательно, соответствует нулевому элементу в коль-
кольце Витта. Таким образом, каждое ортогональное слагаемое отобра-
отображается в нуль в кольце W(F), откуда следует наше утвержде-
утверждение. ? _
1.4. Л е м м а. Каждый из гомоморфизмов фк: W(F) -*¦ W(F)
отображает идеал /"(F) на идеал I"~x (F) при п > 1.
Доказательство. Проверка показывает, что сумма
ф°+Ф1 является кольцевым гомоморфизмом, отображающим
идеал /(F) на идеал /(F) и, следовательно, отображающим идеал
r"(F) на идеал /"(F). Таким образом, для любого элемента wn ?
G/"(F) имеем
Проводя индукцию, предположим, что i//°(wn) = 0 (mod/"~1(F)).
106

Тогда для любого элемента w ?I(F) имеем
*п) + Ф1 (») Ф1 (wn) =
= 0(mod/"(F)),
поскольку ясно, что разность ф°(ы) — ^'(w) принадлежит идеалу
I(F). Этим завершается индукция и доказательство леммы, по-
поскольку каждый образующий (<Т> - <«i >) . . . (<1 > — <м„_1>)
идеала I"~1(F) является образом при отображении ф° или ф1
образующего
идеала I"(F). П
Нас будет особенно интересовать поле вычетов F в том случае,
когда оно конечно. Через Fq обозначим поле из q элементов.
1.5. Лемма. Для любого конечного поля Fq идеал I(Fq) либо
равен нулю, либо является циклической группой порядка 2 в зави-
зависимости от того, четное q или нечетное. Аддитивная группа W(Fq)
является либо циклической группой порядка 2, либо циклической
группой порядка 4, либо нециклической группой порядка 4 в зави-
зависимости от того, является ли число q четным, q = 3 (mod 4) или
q = 1 (mod 4).
Доказательство. Для заданных элементов а, /3 G F,, со-
согласно лемме 33 из гл. 2, уравнение
имеет решение. Следовательно,
откуда вытекает, что идеал /2(F4) равен нулю. Используя теоре-
теорему 5.2 гл. 3, получаем, что
где группа F, - циклическая порядка </-1. Следовательно,
идеал I(Fq) имеет порядок 2 или 1 в зависимости от того, четно
число q — 1 или нечетно.
Если q = 3 (mod 4), то -1 не является квадратом в поле Fq
(сравните с теоремой 8.1 гл. 2). Следовательно, < -1 > Ф < 1 >, отку-
откуда <1>ф<1>т60, и тогда легко выводится, что W(Fq) = Z/4Z.
С другой стороны, если q = 3 (mod 4), то < -1 > s* < 1 >, откуда по-
получаем, что W(Fq) -алгебранад Z/2Z.Этим завершается доказа-
доказательство. ?
107

§ 2. Вычисление группы W(Q)
В этом параграфе будет полностью описано аддитивное строение
кольца Витта W(Q). Будет также дано другое доказательство то-
того факта, что W(Z) э* Z (не использующее теоремы Хассе—Мин-
ковского).
Отметим, что р-адическое нормирование поля Q для каждого
простого числа р порождает гомоморфизм
1
р
Ясно, что при любом фиксированном элементе и> € W(Q) имеем
3p(w) = 0 для почти всех р. Следовательно, можем объединить эти
гомоморфизмы Эр в один гомоморфизм 9: ^(Q) -»• ®W(Fp).
Через / обозначим единственный кольцевой гомоморфизм из
кольца Z в кольцо W(Q).
2.1. Теорема. Последовательность
O-*Z-t H>(Q) *-+ ®W(Fp)-* О
точна и расщепляется.
Здесь прямая сумма взята по всем простым числам р. (Таким
образом, для того чтобы описать наиболее классическое из колец
Витта W{Q) нам надо рассмотреть пространства с внутренним
произведением над конечными полями, включая поле F2, которое
исключено из классической теории.) Строение колец W(FP) см. в
лемме 1.5.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть для каждого
целого числа к > 1 через L* обозначено подкольцо кольца W(Q),
порожденное элементами < 1 >, < 2>,..., <Л>. Тогда ясно, что
и их объединение равно W(Q). Кольцо L\, очевидно, изоморфно
кольцу Z. Отметим, что если А: не является простым числом, то
Lk=Lk_i.
С этого момента будем игнорировать кольцевую структуру и ду-
думать о подкольце Lk как об аддитивной группе.
2.2. Лемма. Для каждого простого числа р аддитивный го-
гомоморфизм Ър: W(Q) -*¦ W(FP) индуцирует изоморфизм
LpILp-x ¦* W(FP).
Доказательство. Ясно, что гомоморфизм Ър аннули-
аннулирует подгруппу Lp_i и отображает группу Lp на группу W(FP).
Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение.
23. Лемма. Если числа и, и п удовлетворяют соотношениям
0<\п,\<р, 0<|и|<р и
«1 .. .nr = n (modp),
108

то
(pni . ..nr)=<pn) (modlp_1).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай г = 2.
Тогда
П\П2=п +кр,
где
Если А: = 0, то все доказано. В противном случае, помножая тензор-
но изоморфизм
<и>©<А:р> a <«1«2>®<«i«2nA;p>
на элемент <р >, получаем
<ри> ф <*> a (pnin2)®(n1n2nk)
и, следовательно, (рп) = (рп\П2 >(modJLp_i). Для любых чисел
Из, •. •, иг, которые меньше по абсолютной величине, чем число р,
отсюда следует, что
<рии3 .. . пг) = (рпхп2п3 .. .nr) (modlp_1).
Непосредственная индукция завершает доказательство лем
мы 2.3. П
Доказательство леммы 2.2. Для каждого образующе-
образующего (п) группы W(fp) можем выбрать представитель л, для кото-
которого \п\<р„ и поднять образующий <п> до образующего (рп)
группы Lp/Lp_l.Проверим, что эти поднятые элементы удовлет-
удовлетворяют всем определяющим соотношениям группы W(Fp). (Срав-
(Сравните с леммой 1.1.) Таким образом, если
n' = nm2 (modp),
где п',п,тп меньше по абсолютной величине, чем число р, то из
леммы 2.3 следует, что
Ясно,что <ри> + <р(-и)> = 0, и если Пу +п2=п, где можно пред-
предполагать, что —р < «1 < 0 < и2 < р, то
(prii >ф(рп2) — (рп)®(рпп1 и2>.
Таким образом, эти элементы (рп) удовлетворяют по модулю
подгруппы Lp^i всем определяющим соотношениям груп-
группы Щ?р). Это завершает доказательство, поскольку из'леммы 2.3
следует, что элементы (рп > порождают группу Lp по модулю
подгруппы Lp_i.D
109

Доказательство теоремы 2.1. Проводя индукцию
по к, покажем, что гомоморфизм
L* - ®
р<к'
сюрьективен и его ядро равно L\ = Z. Это утверждение, конечно,
верно при к = 1. Предположим, что оно верно для А; — 1. Можно
предполагать, что число к простое. По лемме 2.2 для данного
элемента в прямой сумме существует элемент w из подгруппы Lk,
образ которого имеет нужную к-ю координату. Вычитая образ
элемента w, сюръективность получаем по индукции.
Аналогично, если элемент wGLk отображается в нуль, то
из леммы 2.2 следует, что wSZ,fc_b и по индукции получаем,
что wGLi^Z.
Теперь, переходя к прямому пределу при к -*°°, видим, что
требуемая последовательность
0-*Z-> W(Q)-> ®W(FP)-*O
точна. Используя гомоморфизм сигнатуры W(Q) -* Z, получаем, что
она расщепляется. В действительности, расщепление единственно,
поскольку все группы W(Fp) периодические. Этим завершается
доказательство теоремы 2.1. ?
Как одно из следствий теоремы 2.1 мы получаем слабую форму
теоремы Хассе-Минковского.
2.4. Следствие. Если элемент w в кольце Витта W(Q) для
любого простого р отображается в нуль в кольце Витта W(Qp) по-
поля р-адических чисел и, кроме того, отображается в нуль в кольце
W(R), то w= 0.
Доказательство.' Это следует из того, что гомоморфизм
Эр: W(Q) -* W(Fp) может быть пропущен через группу W(Qp). ?
2.5. С л е д с т в и е. Пусть I - фундаментальный идеал кольца
W(Q). Тогда идеал I3 является свободной аддитивной группой,
порожденной элементом 8 < 1 >.
Доказательство. Если wG/3(Q), то, в силу лемм 1.4 и
1.5, Эр(w) 6/2(Fp) = 0. Следовательно, элемент w является крат-
кратным элемента < 1 >. В действительности, элемент w должен быть
кратным элемента 8<1>, поскольку гомоморфизм сигнатуры
отображает идеал /"(Q) в идеал 2" Z. ?
Теперь рассмотрим другое доказательство леммы 4.1 из гл. 2.
2.6. Следствие. Пусть X — произвольное пространство с
внутренним произведением над кольцом Z. Тогда индуцированное
пространство с внутренним произведением Q ®Х над полем Q изо-
изоморфно ортогональной сумме экземпляров пространств <1>и <—1 >.
Доказательство. Через Z(p) С Q обозначим кольцо
нормирования, ассоциированное р-адическим нормированием по-
110

ля Q. Поскольку естественный гомоморфизм W(Z) -*¦ W(Q) про-
пропускается через W'(Z(P)), из леммы 1.3 следует, что композиция
W(Z) -+ W(Q) - ®W(Fp)
равна нулю. Следовательно, образ кольца W(Z) в кольце W(Q) со-
состоит в точности из всех положительных и отрицательных кратных
элемента < 1 >. Вместе с леммой 7.4 гл. 1 это завершает доказатель-
доказательство. ?
В частности, если пространство X неопределенное, отсюда сле-
следует существование в пространстве Q ® X ненулевого вектора у,
дня которого у -у = 0. После домножения на подходящее положи-
положительное целое число т это дает в решетке X ненулевой вектор
х = ту, для которого х ¦ х = 0. Таким образом, мы вновь доказали
лемму 4.1 гл. 2.
2.7. С л е д с т в и е. Кольцо Витта Щ1) изоморфно кольцу Z.
Доказательство. Если пространство X является предста-
представителем элемента ядра естественного гомоморфизма W(Z) -*¦ W(Q),
то, конечно, пространство X содержит вектор х Ф 0, для которого
х •х = 0. Продолжая доказательство, как в теореме 2.2 гл. 2, мож-
можно разложить пространство X в ортогональную сумму Хо ® ^о.
где пространство Хо имеет матрицу внутреннего произведения
По индукции получаем, что пространство Xрасщепляемо.
(? :¦)•
(Сравните дальше с п. 3.3 ) Следовательно, кольцо W(Z) отобра-
отображается изоморфно на кольцо Z С W(Q). О
Объединяя теорему 2.1 со следствием 2.7, видим, что последо-
последовательность
0 -* ЩТ) -* W(Q) -* ® W(Z/pZ) -»• 0
точна. В этом виде последовательность допускает значительное
обобщение, которое будет обсуждаться в следующем параграфе.
§ 3. Дедекиндовы области
Пусть D — дедекиндова область, т.е. коммутативное кольцо без
делителей 0, в котором любой ненулевой идеал может быть од-
однозначно представлен в виде произведения максимальных идеа-
идеалов. Поле частных области D будет обозначаться через FDD.
Каждый максимальный идеал 9 СО порождает 9 -одическое норми-
нормирование поля F с полем вычетов D/9 и, следовательно, ему
сопоставляется гомоморфизм
Будем называть такие максимальные идеалы простыми точками.
Пусть X — пространство с внутренним произведением над полем F
111

Если дан конечный набор элементов х1г..,, хк, включающий
базис- пространства X над полем F, то можно образовать ?>-под-
модуль
L = ?>*! + ... + Dxk С X,
порожденный элементами Хи ..., хк.
Определение. Любой такой конечно порожденный ?>-под-
модуль, содержащий базис пространства X, называется решеткой
(или D-решеткой) в пространстве X,
Для решетки L С X дуальная (или двойственная) решетка
L* СХ определяется как множество всех элементов х € X, таких,
что х- /еОдля всех элементов/ GL.
Отметим, что решетка L* является в действительности ^-моду-
^-модулем, канонически изоморфным модулю HomD(L, D), поскольку
любое ?>-линейное отображение однозначно продолжается до F-ли-
F-линейного отображения X -*¦ F, которое должно иметь вид х >-*х- х0
для некоторого единственного- элемента х0 € L*. Используя
теорему о том, что каждый конечно порожденный модуль без
кручения над кольцом D проекгивен1), видим, что модуль L и,
следовательно, модуль L*, конечно порождены и проективны.
Очевидно, что модуль L* содержит базис пространства X над F,
3.1. Т е о р е'м а. Пространство с внутренним произведением X
над полем F содержит самодвойственную решетку L = L* тогда
и только тогда, когда для любого максимального идеала > кольца
D класс Витта пространства X принадлежит ядру гомоморфизма
Эр : W(F)-* W(PIV).
Очевидно, что решетка L самодвойственна тогда и только тогда,
когда ограничение данного внутреннего произведения с простран-
пространства X на решетку L превращает решетку L в пространство с
внутренним произведением над кольцом D.
Доказательство теоремы 3.1, Предположим, что
в кольце D существует только один максимальный идеал Р , т.е.
кольцо D является кольцом нормирования, ассоциированным с
jj-адическим нормированием поля F. Пусть X — пространство с
внутренним произведением над полем F. Предположим, что
Если класс Вигга пространства X принадлежит ядру гомомор-
гомоморфизма Э - , то пространство с внутренним произведением
над полем D/ р расщепляемо. Следовательно, это пространство с
'' См., например, [26] или [59]
112

внутренним произведением в подходящем базисе имеет матрицу
/О / \
внутреннего произведения вида I (.Поднимаясь в локальное
кольцо D, легко получаем, что пространство с внутренним произ-
произведением («1 > © ... ® <«т > над кольцом D имеет в подходящем
,А1\
\1 В}'
базисе матрицу внутреннего произведения вида I I, где каж-
кажу/5 /
дый элемент матрицы А принадлежит идеалу р. Следовательно,
это же самое утверждение применимо к пространству с внутренним
произведением <«! > ®... ® < ит > над полем F. Тенэорно домно-
жая на пространство < я >, получаем, что пространство с внутренним
произведением < я Mi > ®... ® < я мт > имеет матрицу внутреннего
произведения
/irA я/\
\я/ пВТ
После деления первых /я/2 базисных векторов на я эта матрица
внутреннего произведения заменяется на
пВ )'
Очевидно, что элементы этой матрицы лежат в кольце D, а опреде-
определитель обратим в кольце D. Значит, этот модифицированный
базис порождает требуемую самодвойственную решетку в про-
пространстве <я«1>®...®<ямт>. Образуя прямую сумму с очевид-
очевидной самодвойственной решеткой в пространстве (мш + 1)®...
... ® < м„ >, получаем требуемую самодвойственную решетку в
пространстве X.
Теперь предположим, что дедекиндова область ?> обладает более
чем одним, максимальным идеалом р . Для каждого такого идеала
9 пусть Dp CF — ассоциированное кольцо нормирования. Выбрав
базис еи ..., еп пространства X, отметим, что каждое внутреннее
произведение е,-е;- принадлежит кольцу ?>« для почти всех (всех,
за исключением конечного числа) простых точек р . Аналогично,
определитель det (et • е/ ) обратим в кольце ?>„ для почти всех
простых точек. Таким образом, существует конечное множество 5
простых точек, таких, что D- -решетка
самодвойственна при всех 9^5.
Теперь предположим, что Э« (X) ~ 0 при всех Р . Тогда для
каждой простой точки Р G S можем, в силу приведенных выше
соображений, выбрать самодвойственную /)«-решетку. Нам Пона-
Понадобится следующее утверждение.
8. Дж. Милнор 113

3.2. Лемма. Пусть X - векторное пространство над полем F
с базисом eit...,en и для каждой простой точки Р задана D -ре-
-решетка Lp в пространстве X, при этом
Lp = ?>p<?i+- .. + Dpen
для почти всех Р. Тогда существует ровно одна такая D-решетка
L=C\LV,
что порожденная решеткой L Dp-решетка, равна решетке L»
для любой простой точки Р,
Это утверждение доказано, например, в [61, § 81:14].
Объединяя лемму 3.2 с приведенным выше рассуждением,
построим такую D-решетку L, что индуцированные Dp-решетки
DpL самодвойственны для каждого максимального идеала 9 .
Таким образом, если х, у G L, то х-у € Dp для каждого J> и,
следовательно, х-у € D, Это доказывает, что L CL*. Обратно,
если х G L*, то х- DpL CDp для каждой простой точки Р и, сле-
следовательно,
хе n(p9L)#;= nDpL = L.
Таким образом, решетка L самодвойственная.
Обратно, если пространство X содержит самодвойственную
решетку, то из леммы 1.3 легко выводится, что образ простран-
пространства X в кольце W(p/p) равен нулю при любом Р. Этим заверша-
завершается доказательство. D
3.3. Следствие. Для любой дедекиндовой области D точна
последовательность
О -* W(D) -* W(F) -us W(D/))
(здесь сумма берется по всем ненулевым простым идеалам).
Доказательство. Если пространство с внутренним произ-
произведением L над кольцом D соответствует расщепляемому про-
пространству с внутренним произведением над полем F, го надо
доказать, что пространство L само расщепляемо, Будем считать,
что пространство L является самодвойственной решеткой в про-
пространстве с внутренним произведением X = F ®?>^- Пусть NCX -
пространство половинной размерности, для которого N- N = О,
т.е. N = NL. Тогда пересечение N (~\ L, очевидно, является само-
самоортогональным подпространством в пространстве L. Это пере-
пересечение является прямым слагаемым в решетке L, поскольку
фактормодуль
Ll(Nr\L) CX/N
конечно порожден и не имеет кручения, а следовательно, проек-
114

тивен. Оно равно (N Л LI, поскольку если элемент х G L орто-
ортогонален TV Л L, то он ортогонален и всему подпространству N и,
следовательно, принадлежит подмодулю NL C\L= NC\ L.
Таким образом, пространство L расщепляемо, и последова-
последовательность 0 -*¦ W(D) -*¦ W(F)' точна. Оставшаяся часть доказатель-
доказательства проводится непосредственно с использованием теоремы 3.1. D
Замечание. В отличие от ситуации в § 2 не утверждается, что
гомоморфизм 9: W(F}-* ® W(D/ р ) обязательно сюръективен.
3.4. П р и м е р. Если F - конечное расширение поля рациональ-
рациональных чисел, то коядро гомоморфизма 3 может быть вычислено
следующим образом. Пусть через '8 обозначена группа классов
идеалов дедекиндовой области D С F. Тогда существует одно-
однозначно определяемый гомоморфизм
переводящий каждый образующий (и) кольца W(D/D) в класс
идеала fi по модулю (&2. Теперь нетрудно проверить, что точна
последовательность
W(F) ^9W(Dlt>) -+%l%2 -*0.
(Использование приведенной ниже леммы 4.4 вместе с предшест-
предшествующими ей рассуждениями показывает, что любой элемент из
©/(?)/>) поднимается в I2(F). После этого достаточно только
проверить, что коядро гомоморфизма из /(F)//2 (F) a F'/F'2 в
®W(DI))//(?)/!>) э Z/2Z, индуцированного гомоморфизмом Э,
изоморфно группе #/$2.)
3.5. Пример. Пусть D = К[х, у]1(х2 + у2 - 1) - кольцо,
состоящее из всех полиномиальных функций на окружности.
Тогда каждая точка (costf, sin в) единичной окружности задает
идеал Ре, состоящий из многочленов f(x, у), равных нулю в
точке (cosв, sin0). Ясно, что факторкольцо Ь/,Рв является
полем вещественных чисел и, следовательно, W(D/9e) a Z. Ас-
Ассоциированный гомоморфизм
si Ъ
корректно определен с точностью до знака, Ясно, что гомомор-
гомоморфизм Эво переводит каждый образующий </> кольца W(F) либо
в ± 1, либо в 0 в зависимости от того, изменяет или нет функция
/(cos0, sin0) свой знак при переходе переменной в через во.
Выбор знака для гомоморфизма Эе эквивалентен выбору ло-
локальной ориентации окружности. Согласованно выбирая ориен-
ориентации, мы получаем соотношение
115

при любом / € F'. Теперь нетрудно проверить, что коядро ото-
отображения
Э: W(F) -* <sW(D/P)
является бесконечной циклической группой.
§ 4. Числовые поля
Пусть F — конечное расширение поля рациональных чисел и
D — кольцо всех алгебраических целых чисел в поле F. (См., на-
например, [44, с. 20]..) Поскольку строение кольца W(F) прозрачно
(сравните с п, 5.9 гл. 3), можно использовать точную последо-
последовательность из следствия 3.3 для описания кольца W{p).
Сначала приведем некоторые обозначения.
Пусть d — число диадических простых идеалов в кольце D (т.е.
число таких простых идеалов р , что факторкольцо D/$ имеет ха-
характеристику 2). Пусть г — число вложений поля F в поле вещест-
вещественных чисел и с — число пар сопряженных вложений поля F в
качестве плотного подмножества в поле комплексных чисел. Та-
Таким образом, г + 2 с равно степени поля F над полем Q.
Два ненулевых идеала а и Ь в кольце D называются строго
эквивалентными, если а = т Ь для некоторого элемента поля т,
являющегося вполне положительным, (т.е. положительным при
любом вложении поля F в поле R). Пусть % — группа всех клас-
классов строго эквивалентных ненулевых идеалов. Это — конечное
расширение обычной группы классов идеалов, которую мы обо-
обозначаем %.
4.1. Теорема1^. Радикал 01, состоящий из всех нильпо-
тентных элементов кольца Витта W(D), является конечной груп-
группой, порядок которой равен числу 2е 1, умноженному на число
элементов в группе %, порядок которых не превосходит 2.
Ясно, что элемент в кольце W(D) нильпотентен тогда и только
тогда, когда нильпотентен его образ в кольце W(F). Сравнивая
с п. 3.6 и п. 3.8 гл. 3, получаем, что последовательность
0 -»• 9?д -* W(D) -*¦ F2 -* 0
точна в том случае, когда F — вполне мнимое поле (г = 0). В про-
противном случае точна последовательность
0-»- 91D-+W(D) S-Z".
') Мы благодарны Кнебушу, указавшему на ошибку в первоначальной
формулировке этого результата.
116

Ниже увидим (см. следствие 4.5), что образ o(W(D)) всегда явля-
является подгруппой конечного индекса в кольце Zn.
4.2. Следствие. Если F — вполне мнимое поле, то кольцо
W(F) конечно и его порядок равен числу 2c+d, умноженному на
число элементов порядка 2 в группе классов идеалов.
Приведем некоторые примеры. Для мнимого квадратичного
поля Q(\r^2) или Q(V^J) имеем W(D) s Z/4Z, тогда как для
поля Q(V— 7) кольцо W(D) изоморфно кольцу Z/8Z. Для поля
Q(V^I) это нециклическая группа порядка 4 с базисом < 1 > и
(i >. Наконец, для поля Q(V-5) кольцо W(D) является суммой
кольца Z/4Z и подгруппы порядка 2, соответствующей не явля-
являющемуся свободным пространству с внутренним произведением
над кольцом!). (См. приведенную ниже таблицу.)
4.3. Следствие, Радикал 31 D равен нулю тогда и только
тогда, когда кольцо D вполне вещественно, имеет только одну
диадическую простую точку, имеет нечетное число классов и со-
содержит обратимые элементы, имеющие произвольно заданные
наборы знаков. Если эти условия выполнены, то аддитивная груп-
группа кольца W(F) свободна и имеет базис < 1 >, {их >,... ,{иг_х),
где элемент и, отрицателен в j-м упорядочении поля F и поло-
положителен в оставшихся г - 1 упорядочениях.
Этим условиям удовлетворяют, например; поля Q, QC\/2),
Q(V5) и Q(y/T3). (Сравните как с приводимой ниже таблицей,
так и с таблицами в [9].)
Доказательства следствий 4.2 и 4.3 достаточно просты. ?
Таблица описывает аддитивную структуру кольца W(D) для
квадратичного nonnQ(>/n). Циклическая группа порядка m обо-
обозначается кратко числом т.
л =
2
3
5
6
7
10
11
13
14
15
W(D) а
Z eZ
?j ® ?t & 2,
Z eZ
Z iZ<2
Z»Z»2
Z tZ «2
Z iZ 92
Z«Z
Z « Z e 2
Z «Z e 2»2
n =
-1
-2
-3
-5
-6
-7
-10
-11
-13
-14
-15
2
4
4
4
4
8
4
4
4
4
8
«2
«2
«2
«2
«2
e 2 « 2
«2
Эти результаты легко проверяются, если использовать [9,
с 481—485] вместе с доказательством теоремы 4.1.
117

Доказательство теоремы 4.1. Будем считать кольцо
W(D) подкольцом кольца W(F). Следовательно, можно рассмот-
рассмотреть пересечение радикала 9?D с идеалом /2 (F). В качестве перво-
первого шага доказательства покажем, что зто пересечение 31 d(M2 (F)
является элементарной 2-группой порядка 2d~l.
Пусть через Fp обозначено р-адическое пополнение поля F.
Классическая теория, описанная, например, в [61], показывает,
что пространство с внутренним произведением над полем Fp од-
однозначно определяется своими рангом, определителем и инвариан-
инвариантом Хассе. Если ранг больше или равен 3, то определитель в FilFJ2
и инвариант Хассе в Z' могут быть заданы произвольно. Отсюда
легко выводится, что идеал /*(Fj,) циклический порядка 2,
а гомоморфизм Хассе—Витта.
биективен. (Сравните с пп. 5.4-5.9 гл. 3.)
Теперь вспомним, что гомоморфизм Эр : /2(Fp) -*I(Djp)
из § 1 сюръективен. Если простой идеал р не диадический, то
в силу леммы 1.5 группа /(?>/ Р) состоит из двух элементов, от-
откуда следует, что гомоморфизм
V /2(Fp )-*/(?>/»)
также биективен-. После отождествления группы I(D/P) с группой
Z' получаем, что для любого простого недиадического идеала
р гомоморфизм
Эр: /(F)->/(/>/»)- Z
может быть отождествлен с 9-м инвариантом Хассе—Витта.
Классическая теория дает следующее описание идеала /2(F).
4.4. Лемма. Элемент w идеала I2 (F) однозначно опреде-
определяется своими инвариантами Хассе—Витта hp (w) G Z' для раз-
различных простых идеалов Р и значениями своей сигнатуры a (w)G
€ 4 Z на различных упорядочениях поля F. Эти инварианты удов-
удовлетворяют лишь соотношениям h* (w) =1 для почти всех р и
Пйв(» =П(-1)ая(^)/4.
Р ? р
Доказательство. Это утверждение выводится из клас-
классического описания пространств с внутренним произведением
над полем F (сравните с [61, § 72]) и рассуждений § 5 гл. 3. ?
Рассмотрим теперь вопрос о том, какие элементы w из идеала
/2(F) принадлежат подкольцу w(D), Необходимым и достаточ-
достаточным является условие, что элемент 9 р (к) должен равняться
нулю для всех простых идеалов 9 . Мы видели, что если простой
идеал 9 не диадический, то элемент dp (w) может быть отождест-
отождествлен с 9 -м инвариантом Хассе-Витта. Если же идеал 9 диади-
118

ческий, то 9j>/2(F) = 0. Очевидно, это доказывает следующее
утверждение.
4.5. Следствие. Элемент w из пересечения W(D) П I2 (F)
однозначно задается, своими инвариантами Хассе для d диади-
ческих простых точек и своими сигнатурами aP(w) € 4Z относи-
относительно г упорядочений поля F. Эти инварианты подчиняются
лишь соотношению Пйр (w) = П(-1)°* W4
В частности, образ*o(W(D) П I2 (F)) в точности равен идеалу
4Zn, поскольку всегда существует- по крайней мере одна диади-
ческая простая точка. Следовательно, a(W(D)) является под-
кольцом конечного индексов кольце Zn.
Отсюда следует, что группа W(D) П I2 (F) является прямой
суммой свободной абелевой группы ранга г и элементарной
2-группы порядка 2d~l. Рассматривая ограничение на ядро ото-
отображения а, получаем, что подгруппа Я D П I2 (F) является эле-
элементарной 2-группой порядка 2а~Л.
Далее, нам нужно изучить факторгруппу Hiol^D •"> I2(F)-
Ясно, что она вкладывается в факторгруппу
I(F)/I2(F) s F'/F'2
и, следовательно, является элементарной 2-группой. Ее образ в
группе F' /F'2 может быть явно описан следующим образом.
Пусть через F+ CF' обозначена подгруппа индекса 2Г , состоящая
из вполне положительных элементов, а через /\,'ет обозначена
подгруппа, состоящая из таких элементов а, й -адическая норма
которых четна для всех простых идеалов Р . Другими словами,
подгруппа /%ет состоит из всех элементов а, для которых дробный
идеал Da равен квадрату а 2 некоторого дробного идеала а .
4.6. Лемма. Факторгруппа tnDl<RD DI2(F) канонически
изоморфна факторгруппе (F± <^F'MeT)/F'2.
Доказательство. Нужно решить, какие элементы а груп-
группы F' по модулю подгруппы F'2 могут встречаться в качестве
дискриминанта пространств с внутренним произведением над
кольцом D с сигнатурой нуль. Если элемент а вполне положите-
положителен и
Da = о2
для некоторого дробного идеала а , то можем превратить дроб-
дробный идеал а в пространство с внутренним произведением, вве-
введя внутреннее произведение
х¦У = ху/а
при х, у € О . Очевидно, пространство о положительно определено
в любом упорядочении Р поля F. Следовательно, пространство
119

с внутренним произведением
над кольцом D представляет элемент кольца W(D) CW(F) с сигна-
сигнатурой нуль и дискриминантом &F'2.
Обратно, если дано пространство с внутренним произведением X
над кольцом D, имеющее четный ранг и нулевую сигнатуру, то
можно считать (добавляя, если необходимо, гиперболическую
плоскость) что ранг п делится на 4. Внешняя степень Л"Я" имеет
ранг 1 н положительно определена в любом упорядочении. Поэтому
легко проверяется, что Л" X изоморфно идеалу а с внутренним
произведением
х-у = ху/а,
где элемент а вполне положителен, порождает идеал о 2 и d(X) =
= aF'2.
Рассмотрим теперь вложения
n*
Предположим сначала, что г > 1. Обходя диаграмму сверху и учи-
учитывая, что подгруппа F+ в группе F' имеет индекс 2Г, легко
выводим, что подгруппа F'1 имеет индекс 2Г~1 в F'2. Ранее
заметили, что индекс подгруппы F'2 в группе F+ П F'4et равен
порядку группы 8» D/ Э»д n I2 (F).
Обходя диаграмму снизу, по .теореме Дирихле об обратимых
элементах получаем, что факторгруппа
имеет порядок 2Г +с~' (все еще в предположении о том, что г>\).
Утверждаем, что факторгруппа
канонически изоморфна подгруппе элементов порядка 2 в груп-
группе % \ Действительно, каждый элемент а из подгруппы /"+ л F4eT
определяет единственный дробный идел а,
представляющий элемент второго порядка в группе *6, а этот
120

идеал в представляет единичный элемент группы % тогда и толь-
только тогда, когда элемент а является произведением обратимого
элемента и квадрата вполне положительного элемента поля.
Сравнивая теперь обходы сверху и снизу диаграммы, получаем
равенство
при г > 1 *' . Если г = О, то можно провести аналогичные рассуж-
рассуждения, но потребуется заменить числа 2Г~1 и 2г+е~| на числа 1
и 2е соответственно. Таким образом, в любом случае
Домножая это равенство на I tRD П /2(F)| = 2d~', получаем
требуемую формулу. ?
В завершение приведем еще одно следствие теоремы 4.1. Пусть
D — кольцо целых чисел произвольного числового поля F.
4.7. Следствие. Аддитивная группа W(D) циклично тогда
и только тогда, когда поле F является одним из следующих полей:
Q, Q(V— 2) или Q(V~P), где р - простое число вида 4к + 3.
Доказательство. Если W(D) — бесконечная цикли-
циклическая группа, то из следствия 4,3 легко выводится, что F - Q.
Таким образом, можно считать, что группа W(D) конечна и, следо-
следовательно, поле F вполне мнимо. Напомним, что из доказатель-
доказательства теоремы 4,1 нам известно, что факторгруппа
является элементарной 2-группой, порядок которой равен числу
элементов второго порядка в группе классов идеалов, умножен-
умноженному на 2е. Если группа W{D) циклична, то, очевидно, фактор-
факторгруппа должна быть циклической и, следовательно, число с должно
равняться 1, а число классов кольца D должно быть нечетным.
Таким образом, поле F является мнимым квадратичным полем.
Точная формула для числа классов мнимого квадратичного поля
Q(V^-«) приводится, например, в [9, гл. V, § 4,1 ]. Из этой форму-
формулы видно, что число классов нечетно тогда и только тогда, когда
не содержащее квадратов целое число п равно 1, 2 или простому
числу вида 4к + 3. Случаи и = 1, 2 легко разбираются, поэтому
предположим, что и > 3.
Если п — простое число вида 8к + 3, то существует только одна
диадическая простая точка (а именно: 9 = 2D), поэтому из след-
следствия 4.2 следует, что группа W(D) имеет порядок 4. Но эле-
1) Здесь I ЛГ | - число элементов множества X.
121

мент — 1 не является квадратом в поле F. Поэтому элемент < 1 > €
е W{D) имеет порядок не меньше 4. Это доказывает, что W{D) —
циклическая группа порядка 4.
С другой стороны, если и — простое число вида 8А: + 7, то 2
разлагается в кольце D и, следовательно, порядок группы W{D)
равен 8. Используя инвариант Хассе'-Витта, связанный с одной
из двух диадических простых точек, видим, что
< 1 > е A > е < 1 > е < 1 > f О,
поэтому элемент < 1) имеет порядок не меньше 8. Это показывает,
что W(D) — циклическая группа порядка 8, чем завершается дока-
доказательство. ?

Г/шва 5
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
В этой заключительной главе мы кратко опишем некоторые
примеры билинейных форм, естественно возникающих в тополо-
топологии, дифференциальной геометрии и в теории чисел. Три параг-
параграфа этой главы совершенно независимы друг от друга.
§ 1. Гомологическая теория многообразий
Нам будет удобно пользоваться старомодной терминологией
и называть замкнутым компактное многообразие без края.
Пусть М = М2п - замкнутое многообразие размерности 2л,
и пусть F2 - поле из двух элементов. Если х тлу - классы гомо-
гомологии в Н„(М; F2), то определен их индекс пересечения
х • у = у ¦ х е F2.
Теорема о двойственности Пуанкаре показывает (см., например,
[67]), что группа Н„(М; ?2) является пространством с внутрен-
внутренним произведением над полем F2, где в качестве внутреннего
произведения используется индекс пересечения.
Рассмотрим теперь частный случай поверхности, т.е. предполо-
предположим, что и = 1. Если многообразие М связно, то любой класс
Рис.5
гомологии х е Нх (М; F2) может быть представлен простой зам-
замкнутой кривой у СМ. Отметим, что индекс пересечения х ¦ х равен
нулю тогда и только тогда, когда ориентируема некоторая малая
123

окрестность N кривой у. Действительно, если окрестность jVориен-
jVориентируема, то можно гладкой гомотопиеи деформировать кривую у
в кривую у'С N, непересекающуюся с кривой у (рис. 5). Если же
кривая у ие обладает ориентируемой окрестностью, то у нее есть
окрестность, являющаяся листом Мёбиуса. В этом случае, проде-
формировав кривую у в кривую у'.трансверсально пересекающую
кривую у, получим нечетное число точек пересечений. Этим дока-
доказано следующее утверждение.
1.1. Лемма. Поверхность. М ориентируема тогда и только
тогда, когда х ¦ х = 0 для каждого х?Н1(М; F 2).
Рис. 6. Тор и бутылка Клейна
Поскольку замкнутая связная поверхность полностью опре-
определяется своей ориентируемостью или неориентируемостью и своим
первым числом Бетти (см., например, [53]), получается такое
утверждение.
1.2. С л е д с т в и е. Замкнутые связные поверхности Ми М'
гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны пространст-
пространства с внутренними произведениями Н1(М; F2) и Hi\m'\ F2).
Приведем некоторые примеры. Для тора Т пространство
Hi (T; F2) является гиперболической плоскостью с базисом elt e2 и
/О 1\
матрицей внутреннего произведения! I (рис. 6). Для проектив-
проективной плоскости Р. имеется единственный базисный вектор е, для
которого е • е = 1. Поэтому
Наконец, для бутылки Клейна К имеется базис сх, е2 с матрицей
/О 1 \
внутреннего произведения I I. Иначе, используя ортогональ-
ортогональный базис ei + е2, е2, видим, что
Это разложение, конечно, соответствует геометрическому соот-
соотношению
где знак # обозначает операцию связной суммы: в каждом сла-
124

гаемом вырезается маленькое отверстие и края склеиваются
между собой- Аналогично, соотношению A> ® A > ®A> ^ A > ®
(гиперболическая плоскость) из § 4 гл. 1 соответствует геометри-
геометрическое соотношение
1.3. Л е м м а. Каждое пространство с внутренним произведе-
произведением над полем F2 изоморфно пространству #i (M; F2) для
некоторой замкнутой связной поверхности М.
Действительно, в силу п. 3.3 гл. 1 данное пространство с внутрен-
внутренним произведением изоморфно пространству
A>® ... фA>®5,
где пространство S симплектично. В силу п. 3.5 гл. 1 любое сим-
плектическое пространство с внутренним произведением над полем
F2 изоморфно ортогональной сумме гиперболических плоскостей.
Таким образом, наше пространство с внутренним произведением
может быть реализовано как пространство Ht (M; F2), где повер-
поверхность М является подходящей связной суммой Р # ... # Р #
#г#... #т.и
Эти результаты остаются справедливыми, если вместо поля
F2 взйть любое совершенное поле характеристики 2.
Понятие расщепляемного пространства с внутренним произ-
произведением тесно связано с теорией кобордизмов.
1.4. Утверждение. Поверхность М является краем ком-
компактного трехмерного многообразия тогда и только тогда, когда
пространство с внутренним произведением Hi (M; F 2) расщепляемо.
В самом деле, если замкнутое многообразие М2п является
краем компактного многообразия P2n+i, то, согласно теореме
Тома, ядро N гомоморфизма вложения края
n2)n( z)
удовлетворяет условиям N ¦ N = 0 и гк (ЛО = — гкЯ„(Л/2"; F2)
2
(сравните с [79, § 8]). Следовательно, W = N1 и, значит, простран-
пространство с внутренним произведением Н„(М2п; F2) расщепляемо.
В случае поверхности легко выводится и обратное утверждение,
поскольку тор и бутылка Клейна, очевидно, являются краями
некоторых многообразий.. (Ясно, что пространство с внутренним
произведением над полем F2 расщепляемо тогда и только тогда,
когда оно имеет четный ранг.)
3 амечание. Для некоторых целей лучше работать с большим
пространством с внутренним произведением, содержащим все груп-
группы гомологии Я,- (Л/; F2). Если х е Ht {M; F2) и у G H/(M; F2),
то индекс пересечения определен при i * j = dimA/. Если положить
125

х-.у = 0при i+/# dimA/, то прямая сумма
f;F2).
превращается в пространство с внутренним произведением над
полем F2. Ясно, что это пространство с внутренним произведением
расщепляемо при нечетной размерности многообразия М и является
ортогональной суммой пространства Н„(М; F2) и расщепляемого
пространства с внутренним произведением в том случае,'когда
размерность М равна 2п. Тензорное произведение
канонически изоморфно пространству с внутренним произведе-
произведением Н„(МXМ'; F2).
Пусть теперь М2п — замкнутое ориентируемое многообразие
и F — произвольное поле коэффициентов. Тогда пространство
Н„(М2п; F) является пространством с внутренним произведением
над полем F, где в качестве внутреннего произведения использу-
используется индекс пересечения. Это пространство с внутренним произ-
произведением симметрично или кососимметрично в зависимости от
того, четно или нечетно число п. Если многообразие М2п является
краем ориентируемого 2л + 1-мерного многообразия, то пространст-
пространство с внутренним произведением Н„ {М2п; F) расщепляемо.
Аналогичным образом можно работать с целыми коэффициен-
коэффициентами. Заметим, что< Z-модуль Н„(М2п; Z)/(периодическая часть)
является пространством с внутренним произведением над коль-
кольцом Z. Особенно интересен случай односвязного четырехмерного
многообразия.
1.5. Т е о р е м а. Пусть Ми М' - замкнутые ориентируемые
односвязные четырехмерные многообразия. Сохраняющая ориен-
ориентацию гомотопическая эквивалентность М -*М' существует тогда и
только тогда, когда симметрическое пространство с внутренним
произведением Н2(М; Z) изоморфно пространству Н2(М'; Z).
Замечание. Неизвестно, каждое ли пространство с внутрен-
внутренним произведением над кольцом Z может быть реализовано как
пространство Н2 (М; Z) для подходящего замкнутого односвяз-
односвязного четырехмерного многообразия М. В гл. 2 мы описали поло-
положительно определенное пространство Г8. над кольцом Z, имеющее
ранг 8 и удовлетворяющее условию
для каждого х 6 Г8. Было бы чрезвычайно интересно выяснить,
существует ли изоморфизм Г8 ^ Н2 {М; Z) для некоторого много-
многообразия М. Если такое многообразие М существует, то по теореме
Рохлина оно не может быть задано какой-либо кусочно-линейной
структурой (сравните с [55]).
126

Haipi частные примеры поверхностей имеют довольно точные
аналоги среди четырехмерных многообразий. Например, если через
Р обозначить комплексную проективную плоскость, то
Если через Р обозначить то же самое многообразие с обратной
ориентацией, то
Аналогом тора являетвя произведение Т = S2 X S2, имеющее в
подходящем базисе et, e2 матрицу внутреннего произведения
Отметим, что индекс самопересечения (et +e2) • (ei +e2)
@1V
\1 0J
диагонального класса гомологии ех + е2 равен 2. Аналогом бу-
бутылки Клейна является тотальное пространство нетривиального
52-расслоения К над сферой S2. Геометрическими рассуждениями
можно показать, что
К~Р#Р
и что
К#Рз*Т#Р,
хотя ясно, что пространство с внутренним произведением Н2 (К;
Z) не изоморфно пространству Н2 (Г; Z). (Сравните с § 4 гл. 1.)
Доказательство теоремы 1.5.ПустьЕ — внутрен-
внутренность четырехмерного диска, вложенного в многообразие М.
Используя точную гомологическую последовательность пары
(М, М\Е) с коэффициентами в кольце Z вместе с двойственностью
Пуанкаре, легко получаем, что
Hi(M\E)^H,(pt) при i Ф2.
Группа
является свободной абелевой группой ранга г . Изоморфизм двой-
двойственности Пуанкаре
Н2(М)=± Я2(М)? Нош(Я2(М);Z)
показывает, что индекс пересечения задает внутреннее произведе-
произведение на пространстве Н2 (М).
Поскольку iti (М\Е) = 0, то по теореме Гуревича
тг2 (М\Е)~ Н2 (М\Е)* Нг(М).
Следовательно, существует отображение
из r-кратного букета двумерных сфер, индуцирующее изомор-
127

физм групп гомологии
Поскольку пространство М\Е является абсолютным окре(стно-
стным ретрактом, оно имеет гомотопический тип СИ^-ком^лек-
са. Следовательно, по теореме Уайтхеда отображение / является
гомотопической эквивалентностью (см. [67, с. 507-523] ). ,
Но пространство М получается из М\Е приклеиванием четырех-
четырехмерной клетки ([67, с. 191]). Следовательно, пространство М
имеет гомотопический тип пространства, получающегося из г -крат-
-кратного букета S2 V • • • VS2 приклеиванием четырехмерной клетки
по некоторому отображению
g:S3^S2V. . .VS2.
Обозначим через (S2V ... VS2) UE* пространство, получающееся
я
в результате такой склейки. Гомотопический тип пространства
М полностью определяется гомотопическим классом отображения
g в группе тгз (S2V .. .VS2).
Для вычисления группы тг3 (S2 V .. .V52) поместим S2 =Pi (С)
в бесконечномерное комплексное проективное пространство
Р^ (С) и воспользуемся вложением
52V.. .VS2 С S2 X ... X 52 СР^ (С) X .... X /»_ (С).
Обозначим г -кратный букет через В, л г -кратное произведение
проективных пространств - через К. Вложение В С К индуцирует
изоморфизм
Я4 (К) а< Я4 (К, В) а я4(АГ, В) a ffs(S).
Действительно, первый из этих изоморфизмов получается из точ-
точной гомологической последовательности пары (К, В), второй -
из относительной теоремы Гуревича, и третий - из точной гомо-
гомотопической последовательности пары.
Ясно, что группа Я4 (К) является свободным Z-модулем. Двой-
Двойственный модуль
имеет базис, состоящий из произведений ищ, где / < / , а элементы
«j,..., иг образуют базис группы когомологий
Н2(К) а Н2(В) а Я2 {М \ Е) а Я2 (М)
([67, с. 341]). Продолжим вложение В -»• К до отображения
BUE* ->К.
g
Поднимая произведения к/м, SH*(K) в Я4 (В U?-4) аЯ4(М),
128

а затем вычисляя класс ориентации [М] € Я4 (М) = Z, получаем
симметрическую матрицу целых чисел utUj [Щ, полностью описы-
описывающую пространство с внутренним произведением Н2 (М) ?
г #2 (Л/). Но очевидно, что зти числа описывают также гомото-
гомотопический класс отображения приклеивания клетки в группе
тгз (в) = я4 (/С, В) а Я4 (АГ). Этим завершается доказательство. П
§ 2. Кольца гладких вещественнозначных функций
Слово гладкий будет означать к раз непрерывно дифференци-
дифференцируемый, где к — фиксированное число, О <А: <°°.
Для данного гладкого паракомпактного многообразия М обоз-
обозначим R(M) кольцо всех гладких вещественнозначных функций
на многообразии М. Тогда конечнопорожденный проективный
модуль над кольцом R (At) может быть отождествлен с модулем
Г(?), состоящим из всех гладких сечений некоторого веществен-
вещественного расслоения ? над М (см. [70]). Проективный модуль Г(?)
свободен тогда и только тогда, когда ? является тривиальным век-
векторным расслоением.
Внутренним произведением на модуле Г (?) (принимающим зна-
значения в кольце R(Af)) называется гладкая функция, ставящая
в соответствие каждой точке х многообразия М вещественнознач-
ное внутреннее произведение на слое расслоения ? в точке х.
Сначала рассмотрим симплектический случай. Векторные рас-
расслоения с симплектическим внутренним произведением естествен-
естественно возникают в теории гамильтоновых дифференциальных урав-
уравнений (см., например, [51]). Такие расслоения классифицируются
отображениями базы М в классифицирующее пространство BSpBn,
R), имеющее тот же гомотопический тип, что и пространство
BU(n) (см., [69, § 19.8, 41.15]). Здесь через SpBn,R) обозначена
группа изометрий 2я-мерного вещественного симплектического
пространства с внутренним произведением. Таким образом, сущест-
существует взаимно однозначное соответствие между симплектинескими
пространствами с внутренним произведением ранга 2л над кольцом
R (М) и комплексными п-мерными векторными расслоениями над
многообразием М ([69, § 41]). Симплектическое пространство с
внутренним произведением обладает симплектическим базисом
тогда и только тогда, когда соответствующее комплексное вектор-
векторное расслоение тривиально.
Одним из наиболее прозрачных примеров является ориенти-
ориентированное двумерное векторное расслоение. В этом случае Л2? —
тривиальное линейное расслоение и поэтому модуль Г (?) обладает
единственным симплектическим внутренним произведением. Если
расслоение % не тривиально (например, если ? — касательное рас-
9. Дж. Милнор 129

слоение двумерной сферы), то модуль Г(?), конечно, не может
обладать симплектическим базисом.
Рассмотрим теперь симметрический случай. Векторные расслое-
расслоения с симметрическим внутренним произведением естественно воз-
возникают в римановой геометрии и общей теории относительности.
Следующее утверждение принадлежит Г. Люстигу (см. как [69],
так и 118]).
Теорема. Кольцо Витта W(R Ш)) классов симметрических
пространств с внутренним произведением над R (М) канонически
изоморфно.кольцу КОШ) виртуальных вещественных векторных
расслоений над многообразием М.
Приведем Набросок доказательства. Пусть % — ве-
вещественное векторное расслоение над многообразием М с симмет-
симметрическим внутренним произведением. Прежде всего, покажем,
что расслоение | изоморфно ортогональной сумме ?+ ®?~, где
на каждом слое расслоения %* внутреннее произведение положи-
положительно определено, а на каждом слое расслоения ?~ — отрицательно
определено. Для каждого слоя %х расслоения % через Р(|х) обозна:
чим множество, состоящее из всех положительно определенных
подпространств максимального ранга в пространстве %х. Тогда
Р (%х) имеет естественную топологию и в действительности являет-
является топологической клеткой. Чтобы доказать это, выберем отмечен-
отмеченную точку т?2 е Р (|л) • Ясно, что вещественное пространство с внут-
внутренним произведением ?х разлагается в прямую сумму
Sx Vx
x
Произвольный элемент rjx&P (%x) может быть реализован как
график линейного отображения /€Hom (nS.T??1 ), принадлежа-
принадлежащего открытому выпуклому множеству, определенному нера-
неравенством
\f(v)-f(v)\<vv
при всех v e Vx > v Ф 0.
Очевидно, что клетки Р{$х) образуют слои нового расслоения
над многообразием М. Это новое расслоение обладает сечением
(см. [79, с. 51]). Получающиеся в результате пространства %х об-
образуют слои требуемого подрасслоения ?* С?, для которого % =
- ?+ е ?+ х = ?+ е |", что и требовалось доказать. ?
Векторные расслоения |+ и |~ определены однозначно (с точ-
точностью до изоморфизма). Действительно, если расслоение % раз-
разлагается еще в одну прямую сумму if ® if, то rf П %' = 0 и, сле-
130

довательно, композиция отображений
является изоморфизмом векторных расслоений.
Нетрудно показать, что пространство с внутренним произведе-
произведением Г (?+ ® ?~) расщепляется тогда и только тогда, когда вектор-
векторные расслоения {* и |~ изоморфны. Дальнейшие подробности
оставляются читателю.
§ 3. Дискриминант расширения поля
Пусть FCF' — конечное расширение поля рациональных чи-
чисел. Тогда кольцо R, состоящее из всех целых алгебраических
чисел поля F, является дедекиндовой областью ([44, с. 20]), так
же как и кольцо R', состоящее из всех целых алгебраических
чисел поля F'. Забывая о кольцевой структуре, будем рассмат-
рассматривать большее кольцо R' как модуль над кольцом R. Этот R-мо-
R-модуль конечно порожден и не имеет кручения ([44, с. 6]). Следо-
Следовательно, по классической теореме Штейница, модуль R' проекти-
вен, поскольку он /2-линейно изоморфен прямой сумме вида
R © ... ® R © а , где й — ненулевой идеал в кольце R (см., на-
например, [59, с. 21 ]). Очевидно, что число слагаемых п (включая а )
равно степени поля F' над полем F.
Модуль R' обладает канонической Л-значной симметрической
билинейной формой
Таким образом, пара (/?',/?) является пространством с билиней-
билинейной формой над кольцом Л.
Как и в п. 5.7 гл. 1, рассмотрим и-ю внешнюю степень Л^Л'.
Эта внешняя степень, будучи изоморфной как R-модуль идеалу й ,
является проективным модулем ранга 1. На нем имеется канони-
каноническая симметрическая билинейная форма fa, заданная равенством
0(х, Л ... Л хП)У1 Л ... Л у„) = det (Р(х,,у,)).
"Дискриминант" расширенияR'D R обычно определяется как
некоторый идеал Ъ в R ([44, с. 65]). Например, Ь может быть
описан как идеал, порожденный образом функции
Определяя дискриминант модуля/? 'над кольцом R как класс изо-
изоморфных объектов, содержащий пространство с билинейной фор-
формой {ARR',P) над кольцом R, получаем несколько более чувст-
чувствительный инвариант (см. [75]).
9* 131

Например, предположим, что модуль R' оказался свободным
над кольцом R с базисом е,,..., е„. Тогда модульЛ^Л 'свободен
над кольцом R и имеет единственный базисный элемент е = е х Л...
... Л е„. Полагая
do=$(e, e) = det(trace(e/e/))e/?,
получаем, что пространство (Л^Л', 0) изоморфно свободному
пространству с билинейной формой < d0 > = < d0 )R. Этот элемент
d0 корректно определен с точностью до умножения на квадрат
обратимого элемента. Очевидно, что идеал дискриминанта Ь ,
Л
порожденный образом функции /J, равен главному идеалу d0R.
Даже если модуль R'не свободен над кольцом R, поле F',
очевидно, свободно над полем F. При работе над полем F соответ-
соответствующая внешняя лстепень Лр-F' снабжается соответствующей
билинейной формой 0. Очевидно, что
p
для некоторого элемента поля d?^0, причем элемент d корректно
определен с точностью до умножения на подгруппу F'2. Следую-
Следующий результат принадлежит Артину [3] и Фрёлиху [70].
3.1. Лемма. Если dub определены, как описано выше, то
существует ровно один дробный идеал О в Поле F, удовлетврряю-
щий уравнению
A) Ь = du2.
Внешняя степень Л? R' R-линейно изоморфна идеалу й. Следо-
Следовательно, кольцо R' свободно над кольцом R тогда и только тогда,
когда идеал а главный.
В действительности будет показано, что пространство с билиней-
билинейной формой (A^R',0) изоморфно пространству (о.0d), где
B) №№,«») s <*«i«2
для всех а, ,д2 Е о . Мы уже отмечали, что модуль /?' /7-линейно
изоморфен сумме R ® ... ® R ® О i для некоторого идеала a i
и, следовательно, Л?/?' ^ tti. Очевидно, что любая Л-значная
билинейная форма на идеале й, равна для некоторого элемента
dt € o"i2 форме fid, определенной формулой B). Таким образом,
C)(Л ?/?',?)-( <!,,&,),
откуда следует, что Ъ = dt 0 \. Тензорно домножая изоморфизм
"C) на поле F, видим, что dt = df2 для некоторого /е F'. Опре-
Определяя теперь а =/а 1,получаем,что Ь = d аг к
(O,,fe.)s(o,&)-
Этим завершается доказательство. D
132

3.2. Пример. Предположим, что R=Z\ V -5] - кольцо
целых чисел поля Q(V^5) и что R' - кольцо целых чисел в
квадратичном расширении Q(V—5, у/2). Тогда дискрими-
дискриминант (Дд R', /J) этого расширения изоморфен пространству ( Р ,
02), где через 9 обозначен простой идеал 2R + A +V^?)/?,
для которого P2 = 2R, и $г{ах,аг~) =2ахаг при аи аг е р .
Щеал р не является главным, поэтому кольцо А' не является
свободным R-модулем.
Доказательство. Кольцо R'может быть описано явно,
если отметить, что элементы 1, V—5', s/T, (VT+V—Ю)/2 обра-
образуют базис кольца Л' над Z. Это может быть установлено, напри-
например, вложением поля F' = Q (V^J, у/~2) в круговое поле Q (е 2 "' /*°)
и использованием того факта, что кольцо R' является пересе-
пересечением поля F' и кольца Z[e2"''40] круговых целых чисел
([44, с. 75]). Подробности вычислений оставляются читателю.
Идеал Ь = ЬЛ./Л теперь может быть вычислен непосредственно.
Другой способ заключается в том, что сначала вычисляются два
дискриминанта
а затем используется тождество (где число п является степенью
поля F' над полем F)
которое следует из [44, с. 60, 66]. В любом случае, находим, что
идеал Ь^.,^ равен р4=4Л.
Выбирая базис elt е2 в расширении F' = F(\/1) поля F и про-
проводя несложные вычисления, получаем, что
det(trace(e,e/))=2 (modF).
Таким образом, в лемме 3.1 можно выбрать d = 2. Теперь из урав-
уравнения Ь = 2 а2 выводим, что о = р . Это завершает доказа-
доказательство. ?
Аналогичный пример описан в [50].

Приложение 1
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Теория симметрических билинейных форм тесно связана с тео-
теорией квадратичных форм. В действительности, над кольцом, в ко-
котором 2 — обратимый элемент, зти две теории неразличимы. По-
Поэтому, хотя мы и сосредоточили основное внимание на билинейных
формах, представляется целесообразным дать краткое описание
квадратичных форм. Пусть X — it-модуль. Как всегда, мы предпо-
предполагаем, что кольцо R коммутативно и имеет 1.
Определение. Квадратичной формой на модуле X называет-
называется такая функция q : X-*-R, что для всех а € R
а функция (х 1 у) на XX X, определенная равенством
билинейна над кольцом Л.
Например, если C — билинейная форма (не обязательно симмет-
симметрическая) , то очевидно, что функция
является квадратичной формой с ассоциированной симметрической
билинейной формой
Если X — проективный модуль, то любая квадратичная форма на
нем может быть получена таким путем из (несимметрической)
билинейной формы. Две билинейные формы /} и /}' порождают
одну и ту же квадратичную форму тогда и только тогда, когда
разность 0 — /3' симплектична.
Отметим тождество (х I x) = 2q(x). Таким образом, ассоци-
ассоциированная с квадратичной формой симметрическая билинейная
форма (х | у) должна для всех х удовлетворять сравнению
(х\х) = 0 (mod 2R).
Если элемент 2 не является делителем нуля в кольце R, то любая
удовлетворяющая этому сравнению симметрическая билинейная
134

форма ассоциирована с единственной квадратичной формой
<7(*) = У (х\х).
В частности, если 2 - обратимый элемент, то каждая симметричес-
симметрическая билинейная форма получается из однозначно определенной
квадратичной формы — (х I х).
Определение. Пусть №,i7i)i.¦.., (Xn,qn) - модули с
квадратичными формами над произвольным коммутативным коль-
кольцом R. Ортогональная сумма Хх ® ... ® Х„ определяется как пря-
прямая сумма модулей Xt с квадратичной формой, определенной
равенством
q(xx • ...•xll)«
где суммирование ведется по 1 </. *ъп.
Ассоциированная билинейная форма (л I у) на модуле Х^Х^...
... ® Х„ является ортогональной суммой ассоциированных били-
билинейных форм на модулях X,. Следовательно, форма (х I у) яв-
является внутренним произведением тогда и только тогда, ког-
когда каждая форма (х\у); является внутренним произведе-
произведением.
Определение. Назовем пару (X,q) квадратичным прост-
пространством с внутренним произведением, если модуль X конечно
порожден и проективен, а ассоциированная с квадратичной фор-
формой q билинейная форма (х I у) является внутренним произве-
произведением на пространстве -Y(cm. п. 1.1 гл. 1).
В § 4 пгг 1 видели, что в случае характеристики, равной 2, тео-
теорема Витта о сокращении неверна для пространств с внутренним
произведением. Интересно отметить, что аналог зтой теоремы для
квадратичных пространств- с внутренним произведением верен
при любой характеристике поля. Это означает, что если
№, Ь ) ® (ЯГ, q) as (X2, q2 ) ® (ЯГ, q),
где (Xi,qi), (X2,.q2) и (X,q) - квадратичные пространства с
внутренним произведением над полем, то (AT,,qt) s (X2,q7).
Это доказано, например, в [85J или [11].
Следующее важное замечание было сделано Фрё'лихом [76]
и независимо Сахом [65]. Если Х^ - симметрический модуль
с билинейной формой, а Х2 - модуль с квадратичной формой,
то тензорное произведение Хх ® Хг является модулем с квадра-
квадратичной формой. Действительно, если заданы симметрическая
билинейная форма ft на модуле Xt и квадратичная форма q2 на
модуле Х2, то существует, и притом единственная, квадратичная
135

форма q на модуле Хх ® Х2, удовлетворяющая равенствам
(х, ®х2 \ух «'У2) = Р(х1,у1)(х2 \у2)
(каждое из этих равенств необходимо для определения формы q).
Отметим изоморфизм
Если Xi и Х2 являются модулями с квадратичными формами,
то, используя ассоциированную билинейную форму (xi\y{) в
качестве формы /J,, получаем, что Хх ® Х2 также является моду-
модулем с квадратичной формой. Квадратичная форма q на модуле
ЛГ, ®Х2 определяется равенствами
Множитель 2 несколько неожидан, но он необходим. Этот множи-
множитель ошибочно опущен в [11].
Алгебра Витта WQ(R) квадратичных пространств с внутрен-
внутренним произведением над кольцом R теперь может быть определена
следующим образом. (Сравните с [6], [65].) Квадратичное прост-
пространство с внутренним произведением (X, q) называется расщеп-
расщепляемым тогда и только тогда, когда модуль X содержит прямое
слагаемое Л^, для которого N=Nl nq(N) - 0, Квадратичные прост-
пространства с внутренним произведением {Xx,q{) и {X2,q2) принад-
принадлежат одному и тому же классу Витта, если
где пространства- (St,q'i) расщепляемые. Классы Витта квадратич-
квадратичных пространств с внутренним произведением над кольцом R
образуют требуемую алгебру WQ(R). Ясно, что WQ(R) является
коммутативной ассоциативной алгеброй над кольцом Витта W{R).
В общем случае эта алгебра не обладает единицей. Имеется кано-
каноническое пополнение
a:WQ(R)->W(R),
а произведение двух произвольных элементов wt и w2 в алгебре
WQ(R) определяется равенством wi w2 = a{wl)w2. Если элемент
2 обратим в кольце R, то отображение а, конечно, является изо-
изоморфизмом.
В случае поля F легко проверяется, что любое квадратичное
пространство с внутренним произведением над полем F является
136

ортогональной суммой расщепляемого квадратичного пространства
с внутренним произведением и анизотропного квадратичного
пространства с внутренним произведением (т.е. такого, что q(x) Ф
Ф 0 при хФО). Кроме того, любые два расщепляемых пространст-
пространства одного и того же ранга изоморфны. Применяя теперь теорему
Витта, получаем, что любой класс Витта в алгебре WQ{F) облада-
обладает ровно одним, с точностью до изоморфизма, анизотропным пред-
представителем.
Предположим, в частности, что F является полем характерис-
характеристики 2. Тогда билинейная форма (х I у), ассоциированная с квад-
квадратичной формой, обязательно симплектична:
(х \x) = 2q(x) = 0.
Следовательно, гомоморфизм пополнения
тождественно равен нулю. Действительно, если (Х,р) — квадратич-
квадратичное пространство с внутренним произведением, то оно обладает
симплектическим базисом (п. 3.5 гл. 1) и, следовательно, пред-
представляет нулевой элемент в кольце Витта W (F).
Важный инвариант квадратичного пространства с внутренним
произведением в случае характеристики 2 был определен Арфом.
Через
jP: F-+F
обозначим аддитивный гомоморфизм, для которого j°(?) = ? 2 +{.
Выбрав симплектический базис*,,... ,хп,ух,... ,у„ в пространст-
пространстве X, Арф показал, что класс вычетов
q(x1)q(yi) +. . . + q(xn)q{yn)
по модулю подгруппы f> является инвариантом пространства
(X, q). Этот инвариант Арфа зависит лишь от класса Витта про-
пространства (X,q) и', следовательно, порождает аддитивный эпимор-
эпиморфизм
Ядро гомоморфизма А было вычислено Сахом следующим об-
образом. Пусть / С W(F) - фундаментальный идеал. Тогда
kerA=IWQ(F).
Получающийся в результате аддитивный изоморфизм
WQ(F)/I-WQ(F)*FUPF,
возможно, следовало бы считать аналогом изоморфизма Пфистера
Щ1 ^F'IF'2
(сравните с п. 5.2 гл. 3).
137

Рассмотрим теперь простой пример, поясняющий роль инвариан-
инварианта Арфа. Пусть (X, q) - квадратичное пространство с внутренним
произведением ранга 2. Продолжаем считать, что характеристика
поля F равна 2. Любому базису х,у, для которого (х I у)= 1, со-
сопоставим класс вычетов
q(x)q{y) (mod fi(F)).
Это инвариант пространства (X, q). Действительно, при элементар-
элементарном изменении базиса х = х + ау имеем q (х ) = 'q (х) + а + a2 q (у)
и, следовательно,
q(x)q(y) = q(x)q(y)+ f>@tq(y)).
Из этой формулы видно, что квадратичная форма q представляет О
тогда и только тогда, когда q(x)q(y) = 0 (mod jp (F) ). В самом
деле, если q(x)q(y) = 0 и q(у) Ф0, то можно выбрать элемент а
таким образом, что q(x)q(y) = 0. В действительности, можно
выбрать симплектический базис х,у~, для которого q(x) =
= Я (.У ) = °. полагая у" = fix + у и подбирая подходящее 0.
Если поле F совершенно, то смежный класс q (x) q (у) (mod jP(F) )
всегда является полным инвариантом квадратичного пространства
с внутренним произведением.
Доказательство. Можно считать, что q(х) Ф0. Выбирая
произвольного представителя Ао =q(x) q(y)+ p (а) инварианта
Арфа, получаем, что симплектический базис
х =x]y/q(x"j, у -ах +yy/q(x)'
удовлетворяет равенствам
q(x)=l, q(y) = b0.
Таким образом, До определяет класс изоморфности формы
(X,q). О
В частности, если F — конечное поле характеристики 2, то отсю-
отсюда следует, что имеется ровно два квадратичных пространства с
внутренним произведением ранга 2 над полем F. Рассматривая
у
аддитивную точную последовательность 0-+F2 -+F ->F, видим,
что коядро F/ P (F). имеет порядок 2.

Приложение 2
ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
Пусть R — ассоциативное, не обязательно коммутативное коль-
кольцо с \.Инволюцией в кольце/? (или, более, точно, "инволютивным
антиавтоморфизмом") называется аддитивный гомоморфизм а -* aJ
из кольца R в себя, удовлетворяющий условиям
(а/?O = /}V
для всех а и C. Отметим, что 1J = 1.
Примеры. Если кольцо R коммутативно, то тождественное
отображение кольца R является инволюцией. Для любой мульти-
мультипликативной группы П целочисленное групповое кольцо Z П обла-
обладает канонической инволюцией, отображающей каждый элемент
группы а в а (см. [18J или [73, § 5]). Кольцо п X и-матриц над
коммутативным' кольцом имеет каноническую инволюцию, отоб-
отображающую каждую матрицу в транспонированную к ней.
ПустьR — некоторое кольцо, ъХ— левыйR-модуль.
Определение. Эрмитовой формой на модуле X называется
функция
V.XXX-+R,
R-линейная по первой переменной и удовлетворяющая условию
Отсюда вытекает, что функция у (х,у) билинейна над Z и
Если отображение
У "¦ Ч>( ,У)
из Л' в Нот (Л*, R) биективно, то функция </> называется эрмитовым
внутренним произведением, а пара (X, ^) — эрмитовым модулем
с внутренним произведением.
Так же, как и для симметрических или квадратичных прост-
пространств с внутренним произведением, можно определить понятие
139

расщепляемого эрмитова пространства с внутренним произведе-
произведением. Работая по модулю этих расщепляемых пространств, полу-
получим группу Витта W(R,J) эрмитовых пространств с внутренним
произведением над кольцом R. В коммутативном случае группа
W{R,J) имеет естественную кольцевую структуру. Если/ - тож-
тождественная инволюция, то кольцо совпадает с обычным кольцом
Витта W(R).
Если X - свободный R-модуль с базисом et,..., е„, то очевид-
очевидно, что любая эрмитова форма </» на пространстве X полностью
характеризуется матрицей (?>(«/>«*)) с единственным ограни-
ограничением
Форма <i является эрмитовым внутренним произведением тогда и
только тогда, когда матрица (<р («/,«/)) обратима.
Предположим теперь, что кольцо R коммутативно. Тогда мно-
множество неподвижных точек
образует подкольцо кольца R. Определитель матрицы (v> («/>*/))>
очевидно, является элементом подкольца Ro- Если перейти к
новому базису е\,..., е'„ в модуле X, то определитель умножит-
умножится на некоторый элемент из образа гомоморфизма
norm: R' -*¦ R'Q ,
где norm (а) =аау.
Определение. Смежный класс (мультипликативный)
элемента det(^(e/,e^)) по подгруппе norm (Л') называется опре-
определителем эрмитова пространства X. Этот определитель является
удивительно мощным инвариантом (см. приводимые ниже приме-
примеры 2 и 3).
В коммутативном случае каждой эрмитовой Аорме над кольцом
R сопоставляется квадратичная форма
над кольцом Ro- В частности, функция Q принимает значения в
кольце Л о и ассоциированная с ней форма
= Q[x+y)-Q{x)-Q(y) =
билинейна над кольцом R 0.
Предположим теперь, что F — поле с нетривиальной инволюцией.
Из теории Галуа следует, что поле F является квадратичным расши-
расширением Галуа поля Fo неподвижных элементов.
140

Теорема Джекобсона. Два эрмитовых пространства с
внутренним произведением над полем F изоморфны тогда и только
тогда, когда соответствующие им квадратичные пространства изо-
изоморфны над полем Fo.
Другими словами, пространство X изоморфно пространству Y
как эрмитово пространство над полем F в том случае, если сущест-
существует Fo-линейное отображение из X в Y, сохраняющее квадратич-
квадратичную функцию Q(x)=\p(x,x). Таким образом, классификация
эрмитовых пространств с внутренним произведением над полем F
сводится к классификации квадратичных пространств с внутрен-
внутренним произведением над полем Fo.
Доказательство проведем индукцией по рангу. Отметим
сначала, что поле F содержит такой элемент Оо, что Оо + а/ Ф 0.
В случае поля характеристики 2 в качестве элемента Оо можно
взять любой элемент из дополнения к подкольцу Fo; в случае
характеристики, отличной от 2, можно-положить а<, = 1.
Далее, отметим, что для любого эрмитова пространства с внут-
внутренним произведением X над полем F ассоциированная билинейная
форма
является внутренним произведением над полем Fo. Действительно,
если дан элемент хФ 0, то, конечно, можно выбрать такой элемент
х' , что <р (х, х') Ф 0. После домножения элемента х' на подходя-
подходящий элемент поля, можно считать, что ip(x,x') =а0 и, следова-
следовательно,
Предположим теперь, что эрмитовы пространства с внутренним
произведением 1и У изоморфны как Fo -квадратичные пространст-
пространства. Поскольку ассоциированная билинейная форма (х | х ) не
равна тождественно нулю,, конечно, можно выбрать вектор х €= X1 и
соответствующий ему вектор у €= Y, для которых Q (х) = Q (у) Ф 0.
Поскольку у(х, х)-Ф 0, то так же, как и в § 3 гл. 1, выводим,
что эрмитово пространство X изоморфно ортогональной сумме
(Fx) ® (FxI. Аналогично, пространство Yизморфио (Fy) ® (FyI.
Но очевидно, что (Fx) as (Fy).
Перейдем теперь к соответствующим квадратичным пространст-
пространствам над полем Fo и применим теорему Витта о сокращении (см.
§ 4 гл. 1 и приложение 1). Получим, что пространство (FxI
изоморфно как квадратичное пространство пространству (FyI.
Используя индуктивное предположение, получаем, что (FxI s
1 как эрмитовы пространства и, следовательно, X = Y. О
141

Следствие. Для полей F О Fo, рассмотренных выше, после-
последовательность W(F0)-модулей
О ¦* W(F, J) ¦* WQ(F0) •* WQ(F)
точна.
Доказательство. Если задан ненулевой элемент в группе
W(F,J), то, очевидно, среди представляющих его эрмитовых прост-
пространств можно выбрать анизотропное пространство X:
у(х, х)Ф0 при х Ф 0.
Тогда соответствующее ему квадратичное пространство также ани-
анизотропно и, следовательно, представляет ненулевой элемент в
WQ(F0). Таким образом, естественный гомоморфизм W(F, J) ->
-* WQ(Fo) инъективен.
Рассмотрим затем композицию W{F, J) -+WQ(FQ) -*WQ(F).
Выберем базис {1, а } в пространстве F над полемFo. Сначала рас-
рассмотрим эрмитово пространство X размерности 1 над полем F.
Оно имеет базисный вектор е^, такой, что ip(ei, ei) G Fq. Следова-
Следовательно, пространство X двумерно, над полем Fo, имеет базис
{еиег), где ег =аеи и
Q(e2 ) = aa'Qib ), (в, | в,) = (а + a7) fl(e,).
(Было бы удобно выбрать элемент а таким, что а + aJ = 1 в случае
характеристики 2 или а + aJ = 0 в противном случае, но это не обя-
обязательно.)
Перейдем теперь к индуцированному квадратичному проаранст-
ву F»Fi>X размерности 2 над полем F. Рассмотрим в этом прост-
пространстве ненулевой вектор а ® ел — 1 ® ег. Очевидно, что
= (а2
Следовательно, индуцированное квадратичное пространство рас-
расщепляемо. Поскольку ясно, что любое эрмитово пространство с
внутренним произведением является ортогональной суммой одно-
одномерных пространств, то этим доказано, что композиция отобра-
отображений W(F, J) -* WQ(F0) ¦+ WQ(F) равна нулю.
Обратно, пусть Y — квадратичное пространство над полем Fo,
отображающееся в нулевой элемент группы WQ(F). Исключив
расщепляемое ортогональное слагаемое, можно считать, что прост-
пространство Y анизотропно. Поскольку пространство F«^o У расщеп-
расщепляемо, оно, конечно, содержит такой вектора Ф 0, что Q(y) =0.
Полагая
142

где У\,Уг G Y, получаем, что
Подставляя
а2 = а(а + а7) - аа7
и вспоминая, что элементы 1 и а линейно независимы над полем Fo,
получаем, что
где Q(yi) э6 0, поскольку пространство У анизотропно. Это дока-
доказывает, что подпространство пространства Y, порожденное элемен-
элементами }>! и уг, изоморфно квадратичному пространству, соответ-
соответствующему эрмитову пространству над полем F, порожденному
вектором .уь для которого <p(yi, yi) = GCVi), причем вектор ay!
соответствует вектору у г.
Представим теперь пространство Y в виде ортогональной суммы
(Foyi ® Foyi) ® (^о.У1 ф РоУгI ¦ Второе слагаемое имеет меньший
ранг, так же анизотропно и так же представляет элемент из ядра.
Индукция по рангу завершает доказательство. D
Разберем более подробно ряд примеров (см. [56]). В каждом
из них мы предполагаем, что инволюция J отлична от тож-
тождественной.
Пример 1. Если F — конечное поле, то эрмитово пространст-
пространство с внутренним произведением расщепляемо тогда и только тог-
тогда, когда оно имеет четный ранг. Ранг является полным инвариан-
инвариантом, и W(F, J) а Z/2Z.
Отметим, что это описание не зависит от того, равна ли харак-
характеристика 2 или нет. Доказательство оставляется читателю.
Пример 2. Если F — локальное поле или поле функций от од-
одной переменной над конечным полем, то ранг и определитель эр-
эрмитова пространства с внутренним произведением образуют пол-
полную систему инвариантов. Ядро гомоморфизма W(F, J) -*¦ Z/2Z,
индуцированного рангом, является идеалом, который аддитивно
изоморфен группе Fj/norm Fo* и квадрат которого равен 0.
Случай характеристики 2 в этом примере опять ничем не отли-
отличается от остальных случаев. Доказательство можно наметить
следующим образом. Достаточно заметить, что для любого прост-
пространства X, ранг которого над полем F не меньше 2, его ранг над
полем Fo не меньше 4, и, следовательно квадратичное уравнение
Q(ei) = 1 имеет в нем решение. (В глобальном случае использует-
используется теорема Хассе - Минковского; сравните с § 3 гл. 2. Случай
характеристики 2 см. в [5].) Следовательно, пространство А"изо-
143

морфно ортогональной сумме (Fe{) ® (FeiI. Продолжая по ин-
индукции, находим ортогональный базис е1( ..., е„, для которого
<P(et> ei) = Q(el) = 1 ПРИ ' < л- Следовательно, определитель
<?(е„, е„) однозначно определяет строение пространства ЛГ.
Пример 3. Если F - поле С комплексных чисел с комплекс-
комплексным сопряжением в качестве инволюции, то очевидно, что ранг и
сигнатура квадратичного пространства образуют полную систему
инвариантов. Следовательно, W(C, сопряжение) ss Z.
Пример 4. Если F - алгебраическое расширение поля рацио-
рациональных чисел, то любое сохраняющее сопряжение вложение ш: F -*¦
->С порождает гомоморфизм сигнатуры
ш*: W(F,J)-*¦ W(C,сопряжение) sZ.
Ранг, определитель и этот набор сигнатур образуют полную систему
инвариантов эрмитова пространства с внутренним произведением
над полем F. За подробностями читатель отсылается к [43].
Завершая параграф, отметим, что теорема Джекобсона примени-
применима также и в некоторых некоммутативных ситуациях. Однако для
того, чтобы утверждение имело смысл, нужно предположить, что
множество Ro неподвижных точек инволюции / является лодколь-
цом, содержащимся в центре кольца R. Именно так обстоит дело
в том случае, когда R является алгеброй кватернионов с бази-
базисом 1,/,/ и $ = - /* над кольцом Ro, где элементы / 2 и / 2 лежат в
Ro- Кольцо Ro здесь должно было бы быть полем, характеристика
которого отлична от 2. Инволюция определяется равенствами
iJ = —«, jJ = — / . Отметим, что норма %%J элемента | = а + 0/ +
+ 7/ + «V равна а2 -02/2 -72/2 +«2/2 А Если %%J Ф0 при \Ф О,
или, другими словами, если ассоциированное пространство с внут-
внутренним произведением
над кольцом Ro анизотропно, то очевидно, что R — тело. В этом
случае, применимы рассуждения теоремы Джекобсона. Имеется
каноническое вложение
и два эрмитовых пространства с внутренним произведением изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие им квадра-
квадратичные пространства изоморфны над полем Ло.
Джекобсон также заметил, что "определитель" эрмитова прост-
пространства может быть определен и в неабелевом случае как элемент
факторгруппы RolnormiR "). Определение основано на работе Му-
Мура (см. [20]).
144

Приложение 3
ТЕОРЕМА ХАССЕ - МИНКОВСКОГО
Теорема Хассе — Минковского является одним из красивейших
результатов в алгебраической теории чисел. Приводимое ниже до-
доказательство предполагает некоторое знакомство с теорией полей
классов (например, по [44] или [1]). В случае поля рациональных
чисел можно дать более элементарное доказательство (см. [66] или
[9]). Полное и замкнутое в себе доказательство общего случая
содержится в [61].
Сначала дадим некоторые определения. Пусть X — пространство
с внутренним произведением над полем F. Тогда говорят, что прост-
пространство X представляет элемент а поля, если существует ненулевой
вектор х GX, для которого х ¦ х = а.
Далее, мы предполагаем, что характеристика поля F не равна 2.
Лемма 1. Если пространство X над. полем F представляет О,
то оно представляет любой элемент поля F.
Действительно, если пространство X представляет 0, то оно до-
допускает выделение прямым слагаемым гиперболической плоскости
(§ 6 гл. 1), которая, очевидно, представляет все элементы поля. D
Следствие. Пространство X представляет элемент а Ф О
тогда и только тогда, когда ортогональная сумма X ® < — а > пред-
представляет 0.
(Другими словами, неоднородное уравнение от п переменных мо-
может быть представлено как однородное уравнение от п + 1 пере-
переменной.) Доказательство очевидно. D
Предположим теперь, что F - глобальное поле. Это означает,
что поле F является либо конечным расширением поля рациональ-
рациональных чисел, либо конечно порожденным расширением конечного
поля, степенырансцедентности которого равна 1.
Мы продолжаем, предполагать, что характеристика поля F не
равна 2.
Пусть для любого (нетривиального) нормирования v поля F
через Fu обозначается пополнение, а через Xv = Fv ® X — индуци-
индуцированное пространство с внутренним произведением над полем Fv.
Пусть а — некоторый фиксированный элемент поля F.
Ю. Дж. Мил нор US

Теорема Хассе -Минковского. Пространство с
внутренним произведением X представляет элемент а тогда и толь-
только тогда, когда для каждого (нетривиального) нормирования и по-
поля F пространство Х„ представляет элемент а.
Отметим, что здесь должны учитываться как архимедовы, так
и неархимедовы нормирования.
Доказательство этой теоремы будет удобно разбить на две части,
соответствующие случаям нулевого и ненулевого элемента а.
Утверждение А„. Пусть a S F'. Пространство X ранга п
над полем F представляет элемент а тогда и только тогда, когда
пространство Xv представляет элемент а для каждого нормиро-
нормирования V.
В силу следствия леммы 1 это утверждение полностью эквива-
эквивалентно следующему высказыванию.
Утверждение /ij,. Пространство Y ранга л + 1 над полем F
представляет 0 тогда и только тогда, когда для каждого нормиро-
нормирования v пополнение Yv представляет 0.
Отметим сдвиг размерности с и на и + 1 в утверждении А'„.
Для доказательства справедливости этих двух утверждений
будем переходить от одной формы утверждения к другой, доказы-
доказывая сначала А2, а затем показывая, что
при п > 4. Доказательство утверждения A t будет дано позже,
поскольку оно совершенно не зависит от остальных рассужде-
рассуждений.
Доказательство утверждения Л2. Предположим,
что Xsi(ui >®<и2>. Попытаемся решить уравнение
=а
при а Ф 0. Полагая u = -ui/u1 и & = a/ui, это можно записать
в виде
A) ?2-wr?2=0.
Пусть через К обозначено расширение F(\fu) = F(V- «2/^1 )¦
Уравнение A) обладает решением ?, ц ? F тогда и только тогда,
когда элемент 0 принадлежит образу гомоморфизма нормы
При КФ F это ясно, поскольку погт(? + i]\fu) = ?2 - rj2u. При
К = F это верно потому, что и2 6 - U\F' . Поэтому пространство
с внутренним произведением А' расщепляется и уравнение A)
всегда имеет решение.
Теперь напомним следующее утверждение.
146

Теорема Хассе о норме. Пусть К -циклическое рас-
расширение Галуа глобального поля F. Элемент а е F' принадлежит
образу гомоморфизма norm = norm*//?: К' -*F' тогда и только
тогда, когда для любого нормирования w поля К элемент а при-
принадлежит образу гомоморфизма
norm: К„ -»¦
Эта теорема доказывается, например, в [44, с. 195] и в [1,с. 282].
Если уравнение A) имеет решение в Fu для каждого номирова-
ния v, то элемент /3 является нормой элемента из K'w для каждого
нормирования w. Следовательно, в силу теоремы Хассе о норме,
элемент /3 является нормой элемента поля К. Этим завершается
доказательство утверждения /12.
Для доказательства утверждения Аъ понадобится следующее
утверждение.
Лемма 2. Пусть X - пространство с внутренним произведе-
произведением ранга 3 и определителем d над полем К, характеристика ко-
которого отлична от 2. Любому элементу а из поля сопоставим рас-
расширение К = F(y/— ad). Тогда для представления элемента а
пространством X необходимо и достаточно, чтобы индуцирован-
индуцированное пространство с внутренним произведением K«FX над полем К
представляло 0.
Док азательство. Если пространство X представляет эле-
элемент а, то X Э? <а> ® @ ) ® <7> Для некоторых элементов 0, у,
таких, что
Мы видим, что в расширении К = F(\f-od) =F(V-/3t) элемент у
равен элементу -/3, умноженному на квадрат. Следовательно,
пространство .К®(</3> ® (у)) расщепляемо и, значит, пространст-
пространство К ® X представляет 0.
Обратно, предположим, что пространство К ® X представляет 0.
Можно предположить, что поле К является собственным расшире-
расширением поля F, поскольку если К = F, то пространство X само пред-
представляет 0, и, следовательно, оно представляет элемент а. Таким
образом, существуют два вектора х, у ? X, не равные нулю одно-
одновременно и для которых
(х + V- ad'y) ¦ {х + \J- ad'y) = 0.
Другими словами,
х ¦ х - ady -у = 0, х¦ у = 0.
Можно предполагать, что внутреннее произведение х • х = ady ¦ у
не равно 0, поскольку в противном случае пространство X пред-
10* 147

ставляло бы 0. Следовательно, ортогональные векторы х тлу обра-
образуют часть ортогонального базиса х, у, г, для которого
de(xx)(y.y)(zz)F-2.
Подставляя х • х = ady • у, видим, что г ¦ z равно элементу а, умно-
умноженному на элемент из группы F' . Это доказывает лемму 2. D
Доказательство импликации Л'2 =*А3. Зафикси-
Зафиксируем пространство X ранга 3 и элемент а^ОизполяF.Положим,
как и в лемме, К = F(V- Oid). Для каждого нормирования w
поля К очевидно, что
где и = w\F. Таким образом, если для любого нормирования и
пространство Xv представляет элемент а, го пространство (К ® Х)„
представляет 0 для любого номирования w. Используя уже дока-;
занное утверждение А\, получаем, что пространство К ® X пред»
ставляет 0. Следовательно, пространство X представляет элемент af
Доказательство импликации А3 ^А '„ при и > 4.*
Пусть X — пространство ранга п + 1 > 5. Тогда X изоморфно сумме!1 -
Y ® Z, где пространство Z = («i > ® <м2 > ® <«э > имеет ранг 3,
а ранг пространства Y а (и[ > ® ... ® <aj,_2 > больше или равен 2.
Через Т = T\ui, и2. и3) обозначим конечное множество, состоя-
состоящее из всех (классов эквивалентности) нормирований и, для кото-
которых выполнено одно из следующих утверждений:
1) нормирование и архимедово или диадическое;
2) I Mi \иФ 1, или \иЦ„Ф 1, или |и31,,# 1.
Как и в п. 3.4 гл. 2, видим, что при и€ Г пополненное простран-
пространство Zv обязательно представляет 0.
Предположим теперь, что пространство Xv представляет 0. Тог-
Тогда, конечно, можно выбрать векторы yv 6 Yv и zv e Zv, не равные
одновременно нулю и такие, что уи • уи + zv ¦ zv = 0. В действитель-
действительности эти векторы можно выбрать таким образом, что
Действительно, если при нашем первом выборе векторы yv и z»
дают yv -yv = zv -zv = 0, то либо пространство У представляет Р
(и в этом случае можно выбрать произвольный элемент z'u, ддА
которого z'v -z'v Ф0,я применить лемму 1), либо пространство Z
представляет 0 (и в этом случае годится любой элемент y'v,
которого y'vy'v*0).
148

Нам также придется использовать следующее утверждение.
Слабая теорема об аппроксимации. Если дано
конечное число неэквивалентных нормирований Vi vt поля F,
то образ диагонального вложения
XFVf
всюду плотен.
Доказательство теоремы содержится, например, в [45, с. 324].
Рассмотрим теперь (л - 2)-мерное векторное пространство У
над полем F и множество Т ={ v\, ..., vt) . Применяя теорему об
аппроксимации к каждой из п - 2 координат, видим, что образ
диагонального вложения Y -> YVi X ... X Yv плотен. В частности,
можно выбрать элемент у ? Y, который настолько близок к эле-
элементу yv в каждом нормировании и € Г, что отношение
(У 'УI(Уи Уи) является квадратом в FJ.
Применим к пространству Z утверждение Аъ. Для каждого нор-
нормирования и€Г пополнение Zv представляет элемент -yv ¦ yv и,
следовательно, представляет элемент -у ¦ у. В силу утвержде-
утверждения А3 получаем, что пространство Z само представляет элемент
~у у и, следовательно, пространство X = Y ® Z представляет 0.
Этим завершается доказательство утверждений Ап и А'п при и > 2.
Для окончания доказательства теоремы Хассе - Минковского
нужно доказать утверждение A i. Для данного пространства X =
= (и > и данного элемента а Ф 0 поля F необходимо решить урав-
уравнение
Положив а/и = /3, его можно переписать в виде ?2 = |3. Таким об-
образом, нужно доказать следующее утверждение.
Теорема о квадратах. Если элемент Q & F' для любого
нормирования v является квадратом в поле Fv, то элемент /3 явля-
является квадратом в поле F.
Эта теорема легко вьгаодится из основных неравенств глобаль-
глобальной теории полей классов. Напомним, что группой иделей Ар на-
называется группа обратимых элементов кольца Ар СП/7,,, состоя-
V
щего из всех элементов (av) декартова произведения, удовлетво-
удовлетворяющих условию |el)li)< 1 для почти всех нормирований и. (При
образовании этого декартова произведения, конечно, выбрано
ровно по одному нормированию v в каждом нетривиальном классе
эквивалентных нормирований.) Факторгруппа A'F/F' называется
группой классов иделей Ср. Для любого конечного расширения
К DF локальные гомоморфизмы нормы К„ -* F^.\p порождают
149

глобальные гомоморфизмы нормы А'к -*¦ А'р и Ск^Ср. Если К
циклическое расширение степени т поля F, то неравенства из тео-
теории полей классов утверждают, что индекс подгруппы погтК\рСкС
СС> равен т. (см., [44, с. 192] или [1, с. 275].)
Доказательство теоремы о квадратах. Пусть
?6F". Положим К = F(V3). Если для любого нормирования и
элемент /3 является квадратом в поле Fv, то Kw = Fw \F для лю-
любого нормирования w поля К. Поэтому гомоморфизм нормы
Ак ~*A'f сюръективеи. Следовательно, сюръективен гомоморфизм
нормы Ск-*Ср, а степень т должна равняться 1. Таким обра-
образом, y/$&F, что завершает доказательство теоремы о квадратах
и теоремы Хассе - Минковского. ?
Рассмотрим теперь более общую ситуацию. Пусть X и Y -
пространства с 'внутренним произведением над полем F, причем
rk(X)>rk(Y).
Определение. Пространство X представляет пространство
Y, если X^Y^Z для некоторого пространства Z.
Если ранг пространства Y равен 1, скажем К = (ы >, то очевидно,
что пространство X представляет пространство Y тогда и только
тогда, когда пространство X представляет элемент и.
Следствие 1. Пусть F - глобальное поле. Если для любого
нормирования v пополнение Xv представляет Yv, то пространст-
пространство X представляет пространство Y.
Доказательство. Это, конечно, верно в том случае, когда
ранг пространства Y равен 1. Если ранг пространства Y больше 1,
то, полагая К = У®<и>, можем по индукции считать, что прост-
пространство X представляет пространство Y', скажем
B) X^Y'bZ'.
По нашему предположению, для каждого нормирования v сущест-
существует пространство Z(v) над полем Fv, для которого
Сравнивая этот изоморфизм с пополнением изоморфизма B) и
применяя теорему Витта о сокращении, получаем
Таким образом, для любого нормирования и пространство Z'v
представляет элемент и. По теореме Хассе — Минковского из этого
следует, что пространство Z' представляет элементы, скажем
150

Вместе с изоморфизмом B) это завершает доказательство след-
следствия. D
Следствие 2. Пространства X и Y над полем F изоморфны
тогда и только тогда, когда для любого нормирования v прост-
пространство Xv изоморфно пространству Yv. В частности, пространст-
пространство X расщепляемо тогда и только тогда, когда для любого норми-
нормирования v расщепляемо пространство Xv.
Доказательство. Используя лемму 6.3 гл. 1, видим, что
наше утверждение является частным случаем следствия 1 при
Далее приводится еще одна формулировка теоремы Хассе -
Минковского.
Следствие 3. Рассмотрим квадратичное уравнение 2а</?/ ?,- +
+ -0* ?* +у = 0отп переменных с коэффициентами из глобального
поля F. Если для любого нормирования v это уравнение имеет
решение в поле Fv, то оно имеет решение и в поле F.
Отметим, что соответствующее утверждение для уравнений бо-
более высокой степени или для систем квадратичных уравнений уже
было бы неверным. Приведем простейший пример. Уравнение шес-
шестой степени
имеет решение в поле Qv при любом нормировании и, но оно не
имеет рациональных решений. Аналогично, рассмотрим систему
квадратичных уравнений
Г2=172
Для любого решения (?, 7), f) необходимо иметьf = ± 17, следова-
следовательно, 7) = 1, 17, - 17, - 33 и ?2 + т? = 0. Опять же, для каждого
нормирования v существует решение над полем Qv, но нет решений
над полем Q.
Доказательство следствия 3. Запишем данное урав-
уравнение в виде
C) а(х,х)
где а - симметрическая билинейная форма на векторном прост-
пространстве X = F", а 0 является элементом дуального векторного
пространства НошСХ F). Пусть N - ядро линейного отображения
х •-> q(.v, ) из X в Hom(X F). Подсчитывая размерности, видим,
что точна последовательность
0->N-*X~* Honi(*. F) -* Hom(JV. F) -> 0.
151

Если отображение 0 € Hom(Ar, F) имеет ненулевое ограничение
в пространстве Нот (N,F), то легко выбрать элемент xG N, удов-
удовлетворяющий требуемому уравнению:
C') О
Предположим теперь, что элемент /3 имеет нулевой образ в прост-
пространстве Нот (Л', F). Тогда элемент 0 поднимается до элемента из
пространства /V, скажем
при некотором х 6 X. Подстановка х = у - х0 приводит теперь
уравнение C) к виду
D) а(у,у) = у',
где у' = 0Оо) - <*(х0, х0) - у. Если JV = 0 (т.е.Л' является прост-
пространством с внутренним произведением), то можно применить к
уравнению D) теорему Хассе - Минковского и получить решение.
Если N Ф 0, то нужно просто выбрать дополнительное прямое сла-
слагаемое
Тогда ограничение формы а на подпространство .V является внут-
внутренним произведением. Поэтому применима теорема Хассе - Мин-
Минковского, и уравнение D) имеет решение у ? X' СХ. Этим завер-
завершается доказательство следствия 3. D

Приложение 4
ГАУССОВЫ СУММЫ, СИГНАТУРА ПО МОДУЛЮ 8
И КВАДРАТИЧНАЯ ВЗАИМНОСТЬ
Пусть L - свободный 2:модуль ранга п, снабженный Z-значной
симметрической билинейной формой х-у с ненулевым определите-
определителем. Через а обозначим сигнатуру этой формы, а через d - абсо-
абсолютное значение ее определителя. Представление выражения
ехрBяг'а/8) в виде конечной экспоненциальной суммы было дано
Браун в 1940 г. (Точнее, она показала, что
Bя)"/2\?ГехрBтпа/8) = Б expB*i* • х/а),
^L/L
где а = Sd3. Из этого вытекает, что значение a(mod 8) определяет-
определяется а" числами д: • Jr(mod а).) Обсудим близкую формулу, недавно
полученную Милгрэмом (сравните с обсуждением в § 5 гл. 2).
Как и во второй главе, скажем, что пространство L имеет тип II,
если для любого х & L выполняется сравнение
A) x-x
Пусть L* обозначает двойственную решетку, состоящую из всех
элементов и е Q® L, для которых и ¦ L CZ. Тогда факторгруппа
L*[L является конечной абелевой группой порядка</. Если решет-
решетка L имеет тип II, то, полагая
1
|р(и) = — ии (mod Z),
получаем хорошо известную квадратичную функцию у. I=/L->Q/Z.
Теорема (Милгрзм). Если решетка L имеет тип II, то гауссо-
гауссова сумма
определена и равна \^техрBя/а/8).
Исходное доказательство этой формулы содержало довольно
тонкие рассуждения, использующие формулу суммирования Пуас-
Пуассона. Приводимое ниже доказательство, предложенное Кнебушем,
несколько проще.
153

В фиксированном рациональном пространстве с внутренним
произведением рассмотрим решетки L типа II. Обозначим d-крат-
d-кратную сумму Б ехр B7П(р(и)) = ? ехр(яш • и) кратко симво-
лом G(L).
Лемма 1. Если L i С L - подрешетка индекса к, то
Доказательство. Очевидно, что L ( CL CL * CLi , где
индекс каждой решетки в следующей за ней равен k,d(L) или к
соответственно. Пусть xlt .... xkd^L ) - полное множество пред-
представителей смежных классов решетки L, по подрешетке L. Тогда
гауссова сумма G(L}) может быть записана в виде
G(L,)= Б 2 expB7nV(*,+«)).
х/ U6L/L,
Если подставим
\р(х,- + и) = \p{Xj) + X/ • и (mod Z),
то получим, что
G(L,)= ? ехр B тг/>(*,)) S ехрBя/(ху -и)).
Xj »? i/L,
Но для каждого фиксированного элемента X/ А'-кратная сумма
B) S expBff/(X/-M))
может бьпь вычислена следующим образом. Если Xj S L ~ , то эта
сумма, очевидно, равна 1 + ... + 1 = к. Если же х,- $. Ln, то соот-
соответствие
«•->ехрB7г/(л:/ и))
определяет нетривиальный гомоморфизм из L/L, в С , так что
стандартными рассуждениями [44, с. 82] можно показать, что
сумма B) равна нулю. Следовательно, сумма G(L() равна
x/?i /L
как н утверждалось в формулировке леммы. D
Очевидно, что d (L,) = к 2d(L). Поэтому из леммы 1 следует, что
В действительности число G(L)/y/d(L)' совершенно не зависит от
решетки L, а зависит лишь от объемлющего рационального прост-
пространства с внутренним произведением. Это очевидно, поскольку
любые две решетки L и L', порождающие одно н то же рациональ-
154

ное пространство, должны содержать общую подрешетку L C\L',
имеющую конечный индекс в каждой из них.
В связи с вычислением инварианта G(L) /\/d (L)' для пространст-
пространства с внутренним произведением Q ® L напомним, что любое рацио-
рациональное пространство с внутренним произведением изоморфно
ортогональной сумме одномерных пространств и, следовательно,
содержит решетку типа II, расщепляемую в ортогональную сумму
одномерных решеток. Отметим, что инвариант G(L)l\/d(L) муль-
мультипликативен относительно ортогональных сумм. Легко проверяет-
проверяется тождество
и аналогично ему тождество
d(L{ ®L2)
Таким образом, для вычисления инварианта G(L)l\Jd(L)' для лю-
любого рационального пространства с внутренним произведением до-
достаточно вычислить его для одномерного пространства с внутрен-
внутренним произведением.
Следующее элементарное наблюдение потребуется нам для вы-
вычислений в одномерном случае. д
Лемма 2. Для любой константы с> 0 интеграл fexp(cnis2)ds
о
стремится при А -*°° к корректно определенному конечному
пределу.
Для доказательства сходимости мнимой части этого интеграла
проведем замену и = cs2 и проинтегрируем между последователь-
последовательными целыми значениями переменной и, отметив, что получается
знакопеременный ряд, в котором абсолютные величины членов
монотонно стремятся к нулю. Сходимость вещественной части до-
доказывается аналогично с использованием полуцелых значений. ?
Рассмотрим теперь одномерную решетку типа II, скажем L =
= < 2т). Предположим для определенности, что т > 0. Очевидно,
что факторгруппа LpJL — циклическая группа порядка 2т и что
сумма G(L) равна 2т-кратной сумме
2т - I
Б ехр(тг#2/2т).
к=0
Для вычисления этой суммы, следуя Дирихле и Ландау, введем ас-
ассоциированную с ней периодическую функцию /: R -» С с пе-
периодом 1, такую, что
2 т - i
/@= 2 exp(ni(k+tJl2m)
к =0
155

при 0 < t < 1. Таким образом, значение /@) =/A) равно гауссо-
гауссовой суммеG(Л) (сравните с [44, с. 88]).
Поскольку функция / непрерывная и кусочно гладкая, то ее
разложение в ряд Фурье всюду сходится к функции /. (См., напри-
например, книгу Титчмарша [42] или первый том Куранта и Гильбер-
Гильберта [72] ').) Запишем ряд Фурье в виде
оо
/(/)= 2 а„ ехр(-27пиГ),
где
i
a,i = ff(x)exp{2rtint)dt.
о
Отметим, в частности, что гауссова сумма G(L) = /@) рав-
равна Б а„.
— оо
Для вычисления коэффициента а„ сначала используем определе-
определение функции /(/) и получим, что
1т-1 1 / {{k+tf \\
а„= 2 /ехр|2я|(- — + nt))dt.
к = о о ¦ V V 4я? //
Далее, выделим полный квадрат так, чтобы выполнялось сравнение
+ nt = (k +1 +2mnJ/4m (mod Z),
4т
а затем сделаем подстановку s = к + t + 2mn. Это дает
1т - I к + 1 +2тп
а„ = 2 /
* = О к + 2тп
2ш(и + 1 )
/ exp(nis212m)ds.
Imn
Теперь, суммируя по п, получаем формулу
оо
2д„= / exp(rris2/2m)ds,
1) Кроме того, этот факт содержится почти в любом университетском
учебнике по математическому анализу. - Примеч. пер,
156

где несобственный интеграл корректно определен в силу леммы 2.
В действительности, подставляя и = s/ V 2 т, получаем, что сум-
сумма G(L) -G{{2m > ) равна
оо
у/2т' / exp(niu2)du.
Таким образом, частное
/ ехр(тгш2)</ы
не зависит от т. Дня вычисления этого интеграла найдем гауссову
сумму в случае т = 1:
G«2m))lV2m = (I +i)/y/T= expB*i/8).
Аналогичным образом, частное G({—2m > )/ у/2т' равно ком-
комплексно сопряженному значению ехр(—2я{'/8). Таким образом,
показано, что для каждой одномерной решётки L инвариант
G(L )/ \/d(L ) равен ехрBя/а/8). Отсюда немедленно выводит-
выводится соответствующая формула для ортогональных сумм одномер-
одномерных решеток и, следовательно, формула для произвольной решет-
решетки, Этим завершается доказательство теоремы Милгрзма. D
Теорема Браун может быть восстановлена из формулы Милгрэ-
ма следующим образом. Пусть L — произвольная решетка в рацио-
рациональном пространстве с внутренним произведением, удовлетворяю-
удовлетворяющая лишь предположению о том, что х«у € Z при x,yGL. Как и
ранее, пусть d > 0 (здесь d — абсолютное значение определителя
формы) и п = rk (L ).
Следствие. Если число q является кратным числа Id, то
2 ехр(я1л> x/q) =
х 6 LI qL
Очевидно, что приведенная в начале этого приложения формула,
непосредственно следует из этой формулы при q = а/2.
Доказательство следствия. На решетке L* рас-
рассмотрим новое пространство с внутренним произведением qx-y.
Отметим, что решетка L * вместе с этим новым внутренним произ-
произведением имеет тип II, а двойственная к ней решетка равна q~iL ,
Применяя теорему Милгрзма, получаем, что
2 exp(iriqu- и) = V q"/d'exp Bя/а/8).
157

Теперь подставим и = q~lx и домножим обе части равенства на d.
Поскольку решетка qL содержит решетку qL в качестве под-
подгруппы индекса d, левая часть примет вид
d 2 exp {nix- x/q) =
х е L/q L *
= 2 exp(ffix- x/q).
xGL/qL
Этим завершается доказательство, d
Кнебуш отметил тесную связь формулы Милгрэма с принадлежа-
принадлежащим Вейлю [14] вариантом квадратичного закона взаимности. Для
такой же, как и выше, решетки L через (L /L)p обозначим
р-примарную компоненту конечной абелевой группы L #/L , Тогда
группа L*/L разлагается в прямую сумму различных компонент
(L /L )„ и, следовательно, гауссова сумма G (L ) может быть соот-
ветственно представлена в виде произведения Y\G((L /L)p), где
почти рее (т.е. все, за исключением, быть может, конечного числа)
сомножители равны 1. Аналогичным образом порядок d группы
L /L разлагается в произведение его р-примарных компонент dp.
Лемма 3. Частное yp(L) = G((L#/L)P)/ \fd^зависит
лишь от р-адического пополнения Qp ® L пространства с внутрен-
внутренним произведением Q ® L. Соответствие Qp « L •-*¦ yp(L) задает
гомоморфизм из конечной аддитивной группы W(Qp) в мульти-
мультипликативную группу корней из единицы в С'.
Будем говорить, что ур является характером группы Вит-
TaW(Qp).
Доказательство первого утверждения полностью аналогично до-
доказательству леммы 1. Просто вместо кольца Z и поля Q исполь-
используются кольцо целых р-адических чисел Ър н поле р-адических
чисел Qp. Для доказательства второго утверждения предположим,
что пополнение Qp ® L является расщепляемым пространством
с внутренним произведением. Тогда это пополнение имеет в под-
подходящем базисе матрицу внутреннего произведения
этот базис порождает самодвойственную Zp-решетку. Но из сущест-
существования самодвойственной решетки следует, что 7РA) = 1. По-
Поскольку функция ур, очевидно, мультипликативна относительно
ортогональных сумм, то это завершает доказательство леммы. ?
Определим уж (I) как корень из единицы ехр(-2яга/8). Оче-
Очевидно, он зависит только от вещественного пополнения R ® L
пространства с внутренним произведением Q ® L .
158

Теорема взаимности В е й л я. Для любой решетки L
произведение П yp(Q9L) равно 1.
Р< -
Доказательство непосредственно следует из теоремы
Милгрэма. D
Посмотрим, что означает эта формула взаимности в случае ран-
ранга 1. Предположим, что решетка L порождена одним вектором /j
и, для определенности, что ¦/ х • / j = 4m, где m — нечетное число.
Запишем это кратко: L = < 4 w >.
Лемма 4, Характер у2Dт) равен ехр Bя»и/8).
Действительно, L /L — циклическая группа порядка | Лт \, по-
порожденная элементом /i/4w. Следовательно, 2-примарная компо-
компонента (.L*/LJ - циклическая группа порядка 4, порожденная
элементом /i/4, где ^(/j/4) = m/8 (modZ). Отсюда легко вы-
выводится, что
4
72Dт>= 2 ехрBтг//2т/8)/ч/Т=
/= 1
= expBffim/8). П
Предположим теперь, что т — нечетное простое число р.
Лемма 5. Характер ур(Лр) равен ехрBя/A - р)/8).
Доказательство получается. из леммы 4 решением уравнения
взаимности
72<4р>7Р<4р>7оо<4р> = 1. U
В более общем случае предположим, что m = pu, где и взаимно
просто ср.
Л-емма 6. Характер урDрм> равен (м/рOр< 4р>..
Приведенный здесь символ Лежандра (и/р) равен либо +1, ли-
либо —1 в зависимости от того, является ли число и квадратичным
вычетом по модулю р или нет.
Доказательство леммы 6. Действуя, как и выше, по-
получаем, что р-примарная .компонента (L*JL)P порождена векто-
вектором I\/р, для которого <рA х/р) = 2и/р (mod Z). Следовательно,
р
урDри)= 2 ехрBя!Bи/2/Р))-
/«1
Если (и/р) = +1, то очевидно, что выражение м/2 пробегает все
квадратичные вычеты по модулю р, принимая дважды каждое
ненулевое значение и принимая значение нуль по модулю р один
раз. С другой стороны, если (и/р) = -1, то выражение и/2 прини-
159

мает дважды значение каждого невычета, опять же принимая нуле
вое значение.один раз. Поскольку сумма ехр Bяг Bк/р)) по всем
классам вычетов к по модулю р равна 0, то из этого легко выво-
выводится требуемое заключение. (Сравните с [44, с. 85].) D
Пусть теперь р и q - различные нечетные простые числа. Приме-
Применяя формулу взаимности
к решетке L = {4pq > , получаем равенство
'^ V^expBffi(|»-l)(fl-l)/8) = 1.
Это и есть классический квадратичный закон взаимности.
Заключительное замечание. Над произвольным
числовым полем имеется аналог формулы взаимности Вейля, кото-
который может быть выведен из рациональной формулы взаимности
(см, [84], [34]). Он имеет вид
где X является пространством с внутренним произведением над
числовым) полем F, a v пробегает все нормирования поля F. Функ-
Функция yv определяется следующим образом.
Случай 1. Если v - комплексное архимедово нормирова-
нормирование, то 7u(*) = !•
Случай 2. Если v - вещественное архимедово нормирова-
нормирование, то
где av(X) - ассоциированная с ним сигнатура.
Случай 3. Если и - р -адическое нормирование, то у яв-
является простым идеалом в кольце целых чисел D и тогда у„ {X)
определяется как отношение
G((L#/L)9Iy/\(L#/L)9 Г.
Здесь L может быть любой D-решеткой в пространстве X, удовлет-
1 #
воряющей условию у / • / € D при / € L, а через L обозначена
двойственная решетка относительно б-эначного внутреннего
произведения
х,у ' > tnceF/Qx-y.
160

Гауссова сумма G ( (L */L ) в ) определяется как сумма выражений
exp (я/trace («•«)) повеем м€ (L /L)...
Теперь закон взаимности П 7 и (А') = 1 легко выводится из фор-
V
мулы Милгрзма, примененной к внутреннему произведению
trace (х-у) на пространстве L .
Один частный случай этого закона взаимности представляет
особый иитерес. Предположим, что пространство
представляет элемент из идеала I2 (F ) в кольце Витта. Тогда легко
проверяется, что yv (X ) = ± 1. В случае Fv ф С Вейль и Шарлау
показали, что yv(X) = -1 для выбранных подходящим образом а
и 0. Соответствие.
«,0' > 7„(«а>-<1>)(<0>-<1>)) = ±1
в действительности является "символом Гильберта", связанным с
нормированием V. Равенство П?^((<<*) -<1>)(</?> -<1>)) = 1 яв-
является формой Гильберта квадратичного закона взаимности. (Срав-
(Сравните как с [61], так и с пп. 5.4-5.9 гл. 3 и с п.4.4 гл. 4.)
11. Дж. Мипнор

Приложение 5
РЕШЕТКА ЛИЧА И ДРУГИЕ РЕШЕТКИ В РАЗМЕРНОСТИ 24
Построим теперь самодвойственную унимодулярную решетку
L С R24, для которой х ¦ х > 4 при любом ненулевом х € L (срав-
(сравните с § 6, 7 гл. 2).
Построение начинается со следующего комбинаторного утверж-
утверждения. Пусть через F|4 обозначено векторное пространство строк
длиной 24 над полем вычетов по модулю 2.
Лемма. Существует двенадцатимерное подпространство
S С F24 со следующим свойством. Для каждого ненулевого векто-
вектора s = (s1( ..., s24) S S число равных единице компонент не мень-
меньше & и делится на Л. Кроме того, подпространство S содержит век-
вектор A,..., 1), состоящий из 24 единиц.
Доказательство. Следуя Личу, зададим пространство S
как пространство строк явно указанной матрицы размера
12 X 24. Через А обозначим симметрическую матрицу разме-
размером 11X11 над полем F2, первая строка которой равна
111 Oil 010 00,
а остальные строки получаются циклической перестановкой эле-
элементов влево. Таким образом, каждая строка матрицы А содержит
шесть единиц. Аккуратная проверка показывает, что:
A) каждая пара различных строк матрицы А имеет ровно три
общих единицы (т.е. в одних и тех же столбцах).
Через В обозначим симметрическую матрицу
0
1
1
1
1 1 ...
А
1
размером 12 X 12, получающуюся из матрицы А добавлением пер-
первой строки 011 111 111 111и соответствующе-
162

го первого столбца. Используя A), легко проверяем следующее
утверждение.
B) Матрица В удовлетворяет равенству В2 = В Вf = /. Следова-
Следовательно, матрица В невырожденная и любые два ее столбца ортого-
ортогональны относительно внутреннего произведения г-г' =Zrtr'i,
Блочная матрица
I
в
является теперь требуемой 12 X 24-матрицей ранга 12. Очевидно,
что сумма всех строк матрицы С равна строке A,1,.,., 1),
Отметим, что:
C) число единиц в каждой строке равно либо &,либо 12. Кроме
того, любые две различные строки матрицы С ортогональны.
Для числа единиц в строке s = (st s2a) будет удобно
использовать обозначение || s ||. Как следствие C) получаем сле-
следующее утверждение.
D) Если строка s является линейной комбинацией строк матри-
матрицы С, то || s || = 0 (mod 4).
Это доказывается индукцией по числу входящих строк. Если
строка s' получается из строки s добавлением строки г, то оче-
очевидно, что
1|/|Г= II 5 || + || г || - 2л,
где через п обозначено число общих единиц в строках s и г. Но, в
силу C), строки s и г .ортогональны и, таким образом, число п
четно. Предполагая по индукции, что число || s || делится на 4, полу-
чаем, что число || s ' ||' также делится на 4.
E) Если строка s является ненулевой линейной комбинацией
строк матрицы С, то ||s|| > 8.
Доказательство. В силу D) достаточно доказать, что
||s|| > 5, Предположим, что строка s является суммой k различ-
различных строк матрицы С. Случай k = 1 уже рассмотрен в C), Если
к = 2, то из A) легко выводится, что II х || = 8. Если к = 3 и s яв-
является суммой первой строки матрицы С и двух других строк, то
опять из A) выводится, что || s || = 8. Если строка s является сум-
суммой трех строк матрицы С, не включающей первой строки, то
очевидно, что первые тринадцать элементов строки s содержат
ровно четыре единицы. Если бы все одиннадцать оставшихся
элементов были нулями, то это означало бы, что сумма трех соот-
соответствующих строк матрицы А равна нулю. Следовательно, сумма
остальных восьми строк матрицы также равнялась бы нулю. Тогда
и сумма соответствующих восьми строк матрицы В равнялась бы
нулю, что противоречит B). Следовательно, || s II > 5.
11* КЗ

Наконец, если к > 4, то первые двенадцать элементов строки s
содержат не менее четырех единиц, а оставшиеся элементы содер-
содержат, в силу B), не менее одной единицы. Поэтому опять получаем,
что 1М| > S. Это доказывает утверждение E) и завершает доказа-
доказательство леммы. П
Замечание 1. Матрица С была построена весьма специяпь-
ным способом. Следующее описание пространства строк S пред-
представляется немного более мотивированным. Рассмотрим поле
Fjo48 из 211 элементов. Утверждаем, что пространство S может
быть отождествлено с совокупностью всех "соотношений" между
корнями 23-й степени из единицы в поле F2048. Через со обозна-
обозначим корень 23-й степени из единицы, удовлетворяющий неприводи-
неприводимому уравнению
1 + со + ws + со* + со7 + со9 + со1' =0
над полем F2, а через у> обозначим автоморфизм Фробениуса
а^а2. Тогда список
^Ч"). ^"(со-1) /(со). 1, *'(«), V2(w) /'(со;
содержит ровно один раз каждый корень 23-й степени из 1. Тогда
пространство S является множеством всех строк (st, ..., s2a)
с элементами из F2, имеющих нулевую сумму и удовлетворяющих
линейному соотношению
= 0.
Подробности опускаются.
Замечание 2. Имеется интересная простая группа, связан-
связанная с матрицей С. Группа Матье М2а может быть определена как
группа всех перестановок столбцов матрицы С, которые преобра-
преобразуют каждую строку матрицы С в линейную комбинацию ее
строк. Эта группа действует 5-транзитивно и имеет порядок
24-23-22-21-20-48. Хотя она была описана Матье в 1861 г., ее су-
существование было впервые достоверно установлено Виттом
в 1938 г.
Теперь мы готовы построить решетку Лича. Через L 0 обозначим
решетку в пространстве R24 с ортогональным базисом bl 2>2 4>
для которого bt-bi = -g-, а через L обозначим подрешет-
ку решетки Lo, состоящую из всех линейных комбинаций
f I Z>! + ... + Г24*24 с целыми коэффициентами, для которых: либо
164

F) все числа tlt ..., г24 четные, tt + ... + f24 = 0 (mod8),
а строка — (fj, .... f24), взлгая ио модулю 2, принадлежит вектор-
векторному пространству S из леммы; либо
G) все числа tu ..., Г24 нечетные, tt + ... + f24 = 4 (mod8),
д строка -т (*,, ..., f24), взятая по модулю 2, принадлежит прост-
пространству S.
Простые рассуждения показывают, что множество L замкнуто
относительно сложения и образует подрешетку индекса 236 в ре-
решетке Lo. Следовательно,
detL = 436 deti0 = 1.
Покажем, что норма -т (t\ + ... + /24) элемента решетки L
о
всегда является четным целым числом. Другими словами,
t\ +... + ri4 = 0 (mod 16).
Если коэффициент tt четный, то число // сравнимо с 0 или с 4 по
модулю 16 в зависимости от тою, сравним ли коэффициент г,- с О
или с 2 по модулю 4. Но из леммы следует, что число коэффициен-
коэффициентов tf, сравнимых с 2 по модулю 4, делится на 4. Бели коэффи-
коэффициент t{ нечетный, то число t\ сравнимо с 1 или с 9 по модулю 16
в зависимости от того, сравним ли коэффициент t,- с ±1 или
с ± 3 по модулю 8. Таким образом,
2 г? = а, +9а3 +9а5 +a7(mod 16),
где через а,- обозначено число коэффициентов Г/, сравнимых по
модулю 8 с числом /, Отметим, что
«1 + а3 + а* + а7 = 24 = 0 (mod 8),
ах * За3 +¦ 5а5 + 7а7 = 4 (mod 8),
<*i + а5 =0 (mod 4),
где последние два Сравнения следуют из A) и из леммы. Скла-
Складывая первые два сравнения и добавляя удвоенное третье,
получаем, что
4а3 + 4а$ = 4 (mod 8).
Таким образом, число а3 + «s нечетное и, следовательно,
(a3+a5)s 0(-nodl6).
165

Поэтому для любых х, у € L
х-У * \({х +у) ¦ (х *у) -х ¦ х - у ¦ у) € Z.
Итак, решетка L самодвойственная.
Отметим,- что ни один из элементов х €Е L не может удовлетво-
удовлетворять условию Х'Х = 2. Действительно, если t\ + ... + t\^ = 16, то,
конечно, коэффициенты it не могут быть одновременно нечетны-
нечетными. Но единственными представлениями числа 16 в виде суммы
четных квадратов являются
16 = 42 = 22 + 22 + 22 + 22,
и обе зти возможности исключаются F) и леммой. Следовательно,
х • х > 4 для каждого х Ф 0.
Дальнейшую информацию о решетке Лича читатель может най-
найти в [39].
Заключительное замечание. Полная классифика-
классификация решеток типа II в пространстве R24 была дана в [60]. Там бы-
было показано, что существует ровно 24 таких решетки L с точно-
точностью до изоморфизма. Полным инвариантом решетки L является
конечное подмножество R(L), состоящее из всех векторов х?L,
норма х • х которых равна 2. Очевидно, что для любого х0 GR B.)
отражение
у ' > У - (хо-у)хо
относительно гиперплоскости, перпендикулярной вектору х0, ото-
отображает решетку L в себя, а значит, отображает и множест-
множество R (L ) в'себя. Следовательно, множество R {L ) является "систе-
"системой корней" (см. [12]) в некотором евклидовом пространстве.
Отметим, что угол между двумя векторами из множества R{L)
может быть равен 0°, 60°, 90°, 120° или 180°.
Используя теорему о классификации систем корней, видим, что
множество R{L) является дизъюнктным объединением взаимно
перпендикулярных систем корней, каждая из которых может быть
описана "диаграммой Дынкина" одного из следующих трех типов.
В каждом случае, любая вершина диаграммы представляет базис-
базисный вектор с нормой х • х = 2 в m-мерной решетке, а внутреннее
произведение таких двух векторов равно либо — 1, либо 0 в зависи-
зависимости от того, соединены зти вершины отрезком или нет. Ассо-
Ассоциированная система корней состоит из всех векторов с нормой 2
из решетки L , порожденной зтими базисными векторами.
Тип Am(m > 1).В этом случае диаграмма состоит из m вер-
вершин, соединеных m - 1 отрезком следующим образом:
166

В терминах вспомогательных ортонормированных векторов
е 1, ..., е т+1 /'-я вершина этой диаграммы может быть отождествле-
отождествлена с вектором разности et — ei+i. Таким образом, решетка L мо-
может быть отождествлена с решетко'1, состоящей из всех строк це-
целых чисел длины т +1, имеющих нулевую сумму. Определитель ре-
решетки L равен т ¦+ 1.
Тип Dm (т > 4). В этом случае т вершин соединены следую-
следующим образом:
В терминах ортогональных векторов зти вершины можно отождест-
отождествить с векторами et — eJ+i нет_1 + ет. Решетка L может быть
отождествлена с решеткой, состоящей из всех строк целых чисел
длины т, имеющих четную сумму. Ее определитель равен 4.
Тип Ет (т - 6, 7, 8). В этих трех исключительных случаях т
вершин соединены следующим образом:
Определитель решетки L равен 9 — т. (Сравните с обсуждением
в § 7 гл. 2.)
Нимейер дал явный список 24 различных систем корней, полу-
получающихся -из унимодулярных решеток типа II в пространстве R24.
В общем случае система корней R A) порождает подрешетку L
конечного индекса в решетке L. Единственным исключением из
этого правила является решетка Лича, для которой L = 0. В общем
случае определитель решетки L больше 1 и, следовательно, она яв-
является собственной подрешеткой решетки L. Опять же- имеется
ровно одно исключение, а именно решетка L = L = Г8 ® Г8 ® Г8 с
системой- корней R (L ), равной Е& и ?"8 и Ея. Отметим, что под-
решетка L может быть (и, как правило, является) разложимой
цаже тогда, когда унимодулярная решетка L неразложима.

ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА
Адриен Мари Лежандр
Карл Фридрих Гаусс
Джеймс Джозеф Сильвестр
Шарль Эрмит
Фердинанд Готхольд
Макс Эйзенштейн
Леопольд Кронекер
Генри Джон Стефан Смит
Александр Николаевич Коркин
Арнольд Мейер
Егор Иванович Золотарев
Герман Минковский
Карл Людвиг Зигель
ХельмутОСассе
Эрнст Витт
Альбрехт Пфистер
1752 - 1833
1777 - 1855
1814- 1897
1822 - 1901
1823 - 1852
1823 - 1891
1826- 1883
1837 - 1908
1844 - 1896
1847 - 1878
1864- 1909
1896 - 1981
родился в 1898 г.
родился в 1911 г.
родился в 1934 г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебраическая теория чисел/Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. - М.:
Мир, 1969.
2. Арасон, Пфистер (Aiason J.K., Pfister A.)
Beweis des Krullschen Durchschnittsatzes fur den Wittring. — Invent. Math.,
1971, v. 12, p. 173-176.
3. Артин (Artin E.)
Algebraic numbers and algebraic functions. - Princeton University, New
York University, 1950-1951.
4. Артин (Artin E.)
Геометрическая алгебра. - M.: Наука, 1969.
5. Арф (AitС.)
Untersuchungen iiber quadratische Formen in Кбгрегп der Characteristic 2. -
J. reine angew. Math., 1941, Bd 183, S. 148-167; см. также: 1954,
Bdl93,S. 121-125.
6. Басе (Bass H.)
Lectures on topics in algebraic АГ-theory. - Bombay: Tata Institute, 1967.
7. Биркгоф, МвклеЦн (Birkhoff G., MacLane S.)
A survey of modern algebra. - New York: MacMillan, 1941.
8. век дер Блий (Blij F. van der)
An invariant of quadratic forms mod 8. - Indag. Math., 1959, v. 21, p. 291—
293.
9. Боревич З.И., Шафаревич И.Р.
Теория чисел. - М.: Наука, 1972.
10. Браун (Braun H.)
Geschlechter quadratischer Formen. -J. reine angew. Math., 1940, Bd 182,
S. 32-49.
П.Бурбаки (Bourb.kiN.)
Алгебра (модули, кольца, формы). - М.: Наука, 1966.
12. Бурбаки (Bourbaki N.)
Группы и алгебры Ли (Группы Кокстера и системы Титса. Группы,
порожденные отражениями. Системы корней), - М.: Мир, 1972.
13. ван дер Варден (Waerden B.L. van der)
Die Reduktionstheorie der positiven quadratischen Formen. - Acta Math.,
1956, v. 96, p. 265-309.
14. Вейль (Weil A.)
Sur certainsgroupes d'operateurs unitaires. - Acta Math. 1964, v. Ill, p. 143-
211.
15. Яейль (Weil A.)
Sur la formule de Siegel dans la theorie des groupes classiques. - Acta Math.,
1965, v.H3,p. 1-87.
16»

16.5«7T(WittE.)
Theorie der quadiatischen Foimen in beliebigen Koipern. - J. reine
angew.Math., 1937, Bd 176, S. 31-44.
17. Butt (Witt E.)
Eine Identitat zwischen Modutfotmen zweiten Grades. - Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg, 1941, Bd 14, S. 323-337.
18. Гелъфанд ИМ., Мищенко А.С.
Квадратичные формы над коммутативными групповыми кольцами
и А"-теория. - Функ. анализ и его прилож., 1969, т, 3, вып. 4, с. 28-33.
19. Гильберт, Кон-Фоссен (Hilbert D., Cohn-Vossen S.)
Наглядная геометрия. - М.: Наука, 1981.
20. Дайсон (Dyson F.J.)
Quaternion determinants. - Helv. Phys. Acta, 1972, v.45, p. 289-302.
21. Джейер, Гардер, Кнебуш, Шараау (Geyer W.-D., Harder G., Knebusch M.,
Scharlau W.)
Ein Residuensatz fiii symmetrische Bilineaiformen. - Invent. Math., 1970,
v. 11, p. 319-328.
22. Джекобсон (Jacobson N.)
A note on hermitian forms. - Bull. Amer. Math. Soc, 1940, v. 46, p. 264-268.
23. Диксон (Dickson L,E.)
History of the theory of numbers, 2 and 3. - New Yoik: G.E. Stechart and
Co., 1934.
24. Зарисский, Самюэль (Zariski О., Samuel P.)
Коммутативная алгебра, Т. I. - M.: ИЛ, 1963.
25. Зигелъ (SiegelC.L.)
Gesammelte Abhandlungen, I. -Berlin; Heidelberg: Springer-Veilag, 1966,
S. 326-405.
26. Картон, Эйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
Гомологическая алгебра. - M.: ИЛ, 1960. - 510 с.
27. Кнебуш (Knebusch M.)
Grothendieck und Wittringe von nichtausgearteten symmetiichen Bilinearfor-
men. - Sitzungsber. Heidelb. Akad. Wiss. Math.-naturw. Kl., 1969/70,3
Abh.
28. Кнебуш (Knebusch M.)
Runde Formen uber semilokalen Ringen. - Math. Ann., 1971, Bd 193,
S. 21-34.
29. Кнебуш (Knebusch M.)
Ein Satz Uber die Werte von quadratische Formen uber Korpen. - Invent.
Math., 1971, v.l 2, p. 300-303.
30. Кнебуш, Розенберг, Уэр (Knebusch M., Rosenberg A., Ware R.)
Structure of Witt rings, quotients of abelian group rings, and oderings of
fields. - Bull. Amer. Math. Soc, 1971, v. 77, p. 205-209.
31. Кнебуш. Розенберг, Уэр (Knebusch M., Rosenberg A., Ware R.)
Structure of Witt rings and quotients of Abelian group rings. - Amer. J. Math.,
1972, v. 44, p. 119-155.
32. Кнебуш, Розенберг, Уэр (Knebusch M., Rosenberg A., Ware R.)
Grothendieck and Witt rings of hermitian forms over Dedekind rings. - Paci-
Pacific J. Math., 1972, v. 43, № 3, p. '657-673.
33.Кнебуш, Розенберг, Уэр (Knebusch M., Rosenberg A., Ware R.)
Signatures on semilocal rings. - Bull. Amer. Math. Soc, 1972, v. 78, p. 62-64.
34. Кнебуш, Шарлау (Knebusch M., Scharlau W.)
Uber das Verhalten der Witt-Gruppe bei Korpererweiterungen.- Math. Ann.,
1971, Bd 193, S. 189-196.
170

35. Кнебуш, Шарлау (Knebusch M., Scljarlau W.)
Quadiatische Foimen und quadiatische Reziprozitatsgesetze iiber algebiaischen
Zahlkorpern. - Math. Zs., 1971,Bd'121,S. 346-368.
36. Кнезер (Kneser M.)
Zui Theorie del Kiistallgitter. - Math. Ann., 1954, Bd 127, S. 105-106.
37. Кнезер (Kneser M.)
Klassenzahlen definite! quadiatischei Foimen. - Arch. Math., 1957, Bd 8,
S. 241-250.
38. Конвей (Conway J.H.)
A group of order 8, 315, 553, 613, 086, 720, 000. - Bull. London Math.
Soc, 1969, v. 1, p. 79-88.
39. Конвей (Conway J.H.)
A characterization of Leech's lattice. - Invent. Math., 1969, v. 7, p. 137-142.
40. Конвей (Conway J.H.)
Groups, lattices, and quadratic forms. - Computers in Algebra and Number
Theory, AMS, SIAM-AMS Proceedings, 1971, v. 4, p. 13.'-139.
41. Коркин А.Н., Золотарев Е.И.
Sur les formes quadratiques positives. - Math. Ann., 1877, Bd 11, S. 242-292.
42.Курвнт, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
Методы математической физики, Т. I. - М.: Гостехиздат, 1951.
4 3. Лйндгер (Landherr W.)
Aquivalenz Hermitescher Foimen iibei einen beliebigen algebiaischen Zahlkoi-
per. - Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1935, Bd 11, S. 245-248.
44. Ленг (Lang S.)
Algebraic number theory. - Addison-Wesley, 1970.
45. Ленг (Lang S.)
Алгебра. - M.: Мир, 1968.
46. Лич (Leech J.)
Notes on sphere packings. - Can. J. Math., 1967, v. 19, p. 251-267.
47. Лин, Слоун (Leech J., Sloane NJ.A.)
New sphere packings in dimensions 9-15. - Bull. Amer. Math. Soc, 1970,
v. 76, p. 1006-1010.
48. Лоренц (Lorenz F.)
Quadiatische Fdimen iiber Кбгрегп. - Beilin; Heidelbeig; New Yoik: Springer-
Verlag, 1970. - (Lecture Notes in Mathematics, Bd 130).
49. Лоренц, Лейхт (Lorenz F., Leicht J.)
Die Primideale des Wittschen Ringes. -. Invent. Math., 1970, v. 10, p. 82-88.
50. Маккензи, Шейнеман (MacKenzie R., Scheuneman J.)
A number field without a relative integral basis. - Amer. Math. Monthly,
1971, v. 78, p. 882.
51. Маклейн (MacLane S.)
Hamiltonian mechanics and geometiy. - Amei. Math. Monthly, 1970, v. 77,
p. 570-585.
52. JWizpc(MaisJ.G.M.)
The Siegel formula for orthogonal groups. - A.M.S. Proc. of Symposia Pure
Math., 1966, v. 9, p. 133-142.
53. Масси, Столлингс (Massey W., Stallings J.)
Алгебраическая топология. Введение. - M.: Мир, 1977.
54. Мейер (Meyei A.)
Uber die Auflosung der ax2 + by2 +cz2 +dua + ev3 = 0 in ganzen Zahlen. -
Vieiteljahrs, Natuifoisch, Gesells, Ziiiich, 1884, Bd 29, S. 220-222.
55. Милнор (MilnoiJ.)
On simply connected 4-manifolds. - In: Symposium Inteinacional Topolo-
gia Algebiaica. - Mexico, 1958.
171

56. Милнор (Milnot J.)
On isometiies of inner product spaces. - Invent. Math., 1%9, v. 8, p. 83-97.
57. Милнор (Munoi.J.)
¦Algebraic АГ-theory and quadratic forms. - Invent. Math., 1970, v. 9, p. 318-
344. (Русский перевод: Милнор Дж. Алгебраическая АГ-теория и квадра-
квадратичные формы. - Математика, 1971, т. 15, с. 3-27.)
SS. Милнор (MilnorJ.)
Symmetric inner products in characteristic 2. - In: Prospects in Mathematics. -
Princeton: University Press, 1971. - (Annals Study, y. 70).
59. Милнор (MflnorJ.)
Введение в алгебраическую ЛГ-теорию. - М.: Мир, 1974.
60: Нимейер (Niemeier H.-V.)
Definite quadratische Formen der Diskriminante 1 und Dimension 24. -
J. Number Theory, 1973, v. 5, № 2, p. 142-178.
61. О Мира (O'Meara O.T.)
Introduction to quadratic forms. - Berlin; .ieidelberg; New York: Springer-
Verlag, 1963.
62. Пфистер (Pfister A.)
Quadratishe Formen in beliebigen Korpern. - Invent. Math., 1966, v. 1,
p. 116-132.
63. Роджерс (Rogers C.A.)
The packing of equal spheres.-Proc. London Math. Soc, 1958, v. 8, p. 609-620.
64. Роджерс (Rogers C.A.)
Packing and covering. - Cambridge: University Press, 1964.
65. Cax (Sah Chin-Han)
Simmetric bilinear forms and quadratic forms. - J. Algebra, 1972, v. 20,
p. 144-160.
66. Cepp (Serre J.-P.)
Курс арифметики. - M.: Мир, 1972.
67. Спеньер (Spanier E.)
Алгебраическая топология. - М.: Мир, 1971.
68. Спрингер (Springer T.A.)
Quadratic forms over fields with a discrete valuation 1. - Indag. Math., 1955,
v. 17, p. 352-362.
€9. Стинрод (Steenrod N.)
Топология косых произведений. - M.: ИЛ, 1953.
70. Суон (Swan R.)
Vector bundles and projective modules. - Trans. Amer. Math. Soc, 1962,
v. 105, p. 264-277.
71. Суон (SwanR.)
Algebraic AT-theory. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1968. -
(Lecture Notes in Mathematics, v. 76).
72. Титчшрш (Titchmaish E.C.)
Теория функций. - M.: Наука, 1980.
73. Уолл (Wall C.T.C.)
Surgery on compact manifolds. - Academic Press, 1970.
74. Уотсон (Watson G.L.)
Integral quadratic forms. - Cambridge: University Press, 1960.
75. Фрёяих (Frblich A.)
Discriminants of algebraic number fields. - Math. Zs., 1960, Bd 74, S. 18-28.
(см. также: Ideals in an extension fields ..., S. 29-38.)
76. Фрёлих (Frolich A.)
Hermitian and quadratic forms over rings with involution. - Quart. J. Math.
Oxford, 1969, v. 20, p. 297-317.
172

77 Фрелих (FrSlichA.)
On the АГ-theory of unimodulai forms over lings of algebraic integers. - Quart.
J. Math. Oxford, 1971, v. 22, №87, p. 401-423.
78. Фрелих, Мак-Ивет (Frblich A., McEvett)
Forms over rings with involution. - J. Algebra, 1969, v. 12, p. 79-104.
79. Хирцебрух (Hirzebruch F.)
Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.
50. Шарлау (Scharlau W.)
Quadratic forms. - Kingston, Canada: Queen's University, 1969. - (Queen's
papers on pure and applied math , v. 22).
51. Шарлау (Scharlau W.)
Zur Pfisterschen Theorie der quadratischen Formen. - Invent. Math., 1969,
v. 6, p. 327-328.
82. Шарлау (Scharlau W.)
Induction theorems and structure of the Witt group. - Invent. Math. 1970,
v. 11, p. 37-44.
S3. Шарлау (Scharlau W.)
Hermitesche Formen iiber lokalen Korpern. - Math. Ann., 1970, Bd 186,
S. 201-208:
84. Шарлау (Scharlau W.)
Quadratic reciprocity laws. - J. Number Theory, 1972, v. 4, p. 78-97.
Ы.Шевалле (ChevaUy С.)
The algebraic theory of spinors. - New York: Columbia University Press,
1954.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра кватернионов 144
Анизотропное пространство 72, 137
Арасои (Arason J.K.) 96
Ap<t>(ArfC.I37
Асимптотические оценки '27, 44,
48,66
Баше де Меэирьяк (Bachet de Meziri-
асM4
Билинейная форма 7
ван дер Блий (Blij ' F. van dei) 35
Блихфельд (Blichfeldt H.F.) 42, 48
Браун (Biaun A.) 153, 157
Бутылка Клейна 124
Веяль Андре (Weil A.) 158
(формально) вещественные поля,
вещественное замыкание' 76, 90
Витт (Witt E.) 16,4*0,104, 164
Внешняя степень 19,131
Внутреннее произведение 7
Вполне вещественное поле 117
- мнимое поле 116
- положительный элемент 78,116
Выпуклое множество 25
Гауссовы суммы 51,127
Гиперболическая плоскость 16, 21,
125
Главка (Hlawka E.) 44, 61
Глобальное поле 145
Группа и дел ей 149
- классов идеалов 115,116
- Матье 164
Дедекиндовы области 14, 111, 114
Джекобсои (Jacobson N.) 141,144
Диаграмма Дынкина 166
Диадический простой идеал 116
Дирихле (Dirichlet P.G.L.) 120, 155
Дискретное нормирование 104
174
Дискриминант класса Витта 96
- расширения поля 131
Дуальная (двойственная) решетка
36-37,63,112,153
Дуальный (двойственный) базис
10-11
Зигель (Siegel C.L.) 58-64
Золотарев Е.И. 40,42,51
Инвариант Хассе Я 99
г Хассе-ВиттаА 99
Инволюция 139
Индекс изотропии 73
- пересечения 123
Квадратичная взаимность 159-161
- форма 134
Квадратичное пространство с внут-
внутренним произведением 135
Класс Витта 22
Киебуш (Knebush M.) 23, 105, 116,
153,158
Кнеэер (Kneser M.) 40
Кольцо Витта 23,136,140
от отдельных полей 101, 107,
108
--OTZ34.111
- нормирования 104
- целых чисел числового поля 116,
131
Z 24,111
р-адических чисел Zp 32, 36, 57
Конвей (Conway J.H.) 41, 61
Конечное поле ?q 31, 101, 107, 143
Конечные простые группы 40, 164
КоркинА.Н.40,42,51
Кососимметрическая билинейная
форма 8
Кубическая гранецентрированная ре-
решетка 43,48

Лагранж (Lagrange J.L.) 54
Лейхт (Leicht J,) 83
Лич (Lepch I.) 40,48,162
Локальное кольцо 13-16, 23, 86,
106
Лоренц (Loienz F.) 83
Люстиг (Lusting G.) 130
Масса (рода) 65
Мейер (Meyer A.) 31
Милгрэм (Milgram J.) 36,153
Минимальный вектор 39
Минковский (Minkowski H.) 25, 30,
43,56
Многогранник Вороного 42
Модуль с билинейной формой 8
Мультипликативное пространство с
внутренним произведением 92
Неопределенная билинейная форма
31
Неразложимая решетка 39
Нилыютентные элементы, нильради-
нильрадикал 86,87,95,116
Нимейер (Nimeiei H.-V.) 166
Норма (в различных смыслах) 33,.
91,140,146
Нормирование 104
Объем 25,47,56
Определитель 10, 20, 25, 140, 144
Ориентация 115,123,126
Ортогональные суммы, дополнение,
базис 11-13
Ортогональные элементы 9
Отражение 14,116
Периодическая подгруппа кольца
Витта 86, 88, 90
Пифагорово поле 90
Плотность упаковки 47
- Df "' решений 56
Поле вычетов 104
- рациональных чисел Q 30, 108
-р-адических чисел Qp 31, 101, ПО
Положительно определенное про-
пространство 25,38,79
Правильная шестиугольная решетка
42,48
Представление (элемента простран-
пространством, пространства пространством)
145,150
Преобразование подобия 41,95
Принцип Дирихле 31
Проективная плоскость 124, 127
Проективный модуль 8
Пространство с 'билинейной фор-
мойв
ПфаффиаиН
Пфистер (Pfistei A.) 83, 91,96
Радикал 86,87,116
Ранг 9,19
Расщепляемое пространство с внут-
внутренним произведением 20
Решетка 24,112
Род симметрических билинейных
форм 58
Роджерс (Rogers C.A.) 44,48
Ряды Фурье 156
Самодвойственная решетка 61, 112
Свертка 71
Сигнатура а 34-37, 79-82, 88, 153
Сильвестр (Sylvester' JJ.) 34, 79
Символ 97
-Гильберта 98,161
-Лежандра57,67,159
Симметрическая билинейная фор-
форма 8
Симплектическая билинейная фор-
форма 8,13,129
Симплектический базис 13, 129
Системы корней 43,166
Слабая теорема об аппроксимации
149
Смит (Smith H.J.S.>40,55
Спрингер (Springer T.A.) 105
Стейнберг (Steinberg R.) 62, 98, 101
Суммы квадратов 52, 55, 60, 93
Тензорное произведение 17, 62, 92,
135
Теорема Артина-Шрейера 77
- о квадратах 149
-обинерции 34, 79
- Радоиа-Никодима 56
- Хассе-Минковского 30, 110,146
- Хассе о норме 147
Тип I, тип 1124,33-37
Томпсои (Thompson J.) 61
Top 25,124
Туэ (Thye A.) 47
Унимодулярная решетка 25
Упаковка в евклидовом простран-
пространстве 47
Упорядочение поля 76,85
175

Уровень s поля 94
Ферма (Feimat P. de) 52
Формально вещественные поля 76
Формула Стерлинга 44
Фундаментальная область 24
Фундаментальный идеал / 84
Характеристика два 72, 102, 123,
137
Целые гауссовы числа S3, 117
Циклические группы Витта 34, 84,
88,107,121
Числовое голе 78, 82, 1'1, 116,
131,144
Шарлау (Schatlau W.) 90,161
Штейниц (Steinitz E.) 14,131
Эйзенштейн (Eisenstein G.) 28,60
Эйлер 52
Эйхлер (Eichler M.) 39
Экстремальная матрица или решет-
ка41,51
Эрмит (Hermit С.) 28
Эрмитова форма 199
Якоби (Jacobi C.G.J.) 34,60, 79
Ef, En, Et (системы корней) 40,
43, 167
/ (фундаментальный идеал) 84
1„ (род формы л< 1 >) 60,66
Q,Qp30,31
Z,Zp,Z« 24,57,58
z" 81-82
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
(В), (и) (пространство с внутренним произведением, заданное матрицей)
9,10
В\ (транспонированная матрица) 10
Мх (ортогональное дополнение) 11
R' (группа обратимых элементов кольца) 10
Г, (решетка) 38
wn (объем) 26
О
О