Сборник задач по физике. Задачи МФТИ - Козел С.М. Рашба Э.И., Славатинский С.А.

Автор: Козел С.М. Рашба Э.И. Славатинский С.А.

Теги: физика математическая физика подготовка к экзаменам задачи по физике прикладная физика издательство наука главная редакция физико-математической литературы

Год: 1987

Похожие

Задачи по физике.

Задачи по физике

Задачи по общей физике

Текст

С. М. КОЗЕЛ
Э. И. РАШБА
С. А. СЛАВАТИНСКИИ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ФИЗИКЕ
ЗАДАЧИ МФТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ПЕРЕРАБОТАННОЕ II ДОПОЛНЕННОЕ
Допищсно Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
а качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учейных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 Я 7

ББК 22.3
К 59
УДК 53@75.8)
КОЗЕЛ С. М., РАШ6А Э. И., СЛАВАТИНСКИЙ С. Л. Сбор-
Сборник задач по физике: Учеб пособие —2-е изд., перераб. и доп.—
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лиг., 1987. —304 с., ил.
Включает свыше 800 задач повышенной трудности из числа
предлагавшихся на экзаменах по физике студентам Московского
физико-технического института. Это, как правило, задачи с глу-
глубоким физическим содержанием, приближенные к практике и
возникающие из эксперимента. Многие задачи имеют оценочный
характер и охватывают одновременно различные разделы физики.
Новое издание A-е изд. — 1978 г.) дополнено экзаменационным
материалом последнего десятилетия.
Для студентов физических специальностей вузов, а также
преподавателей физики высшей и средней школ.
Ил. 220
Рецензент
кафедра обшей физикв Московского инженерно-физического
института
., 1704010000—166 ,,. „. _ ,_,
К ,..,.-, .._ 115-8/ © Издательство «Наука».
Uoo(UJ)-o/ Главная редакция
физико математической литературы,
1978, 1У87, с изменениями

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
От авторов 9
Задачи Ответы
И решения
I. Меха ника . . . ...... 11 187
§ 1.1. Движение материальной точки 11 187
§ 1.2. Реактивное движение Грави-
Гравитация , 18 191
§ 1.3. Законы сохранения энергии,
импульса и момента импульса.
Неинерциальные системы от-
отсчета 23 195
§ 1.4. Движение твердого тела и
жидкости 29 197
II. Термодинамика и молеку-
молекулярная физика . . . . . . 39 200
§ 2.1. Газовые законы. Первое и вто-
второе начала термодинамики.
Термодинамические циклы . . 39 200
§ 2.2 Реальные газы. Теплотронод-
пооть. Вязкость 46 206
§ 2.3. Молекулярио-кииетнческая тео-
теория. Явления переноса ... 19 U09
§ 2 4 Флуктуации. Фазовые перехо-
лы. Поверхноо/nuie .гатя-к^ип» . i4 " 213
III. Электричество и магме-
т из и 55 2!S
§ 3,1. Элект;.ГАТй-,,. 59 216
| 3 2. Постоянный мектпцчесч!:!: jok 59 224
§ 3 3 Магнитное поле 72 223
§ 3.4. Электромагнитные нолч . , 34 236
§ 3.5 Кпаьнстапионарные токи. Коле-
Колебания п электрических непяч . 38 238
IV. Он гика ИЗ 242
§ 4 1. Геометрическая оппгкл и эле-
элементы фотометрии ..... 45 242
§ 4.2, Интерференция "^ 243
§ 4.3. Дифракция Элементы юлогра-
фни и фурье-оптмкн .... 124 245
3
1*

Задачи Отпеты
и решения
§ 4,4. Дифракционный предел разре-
разрешения оптических инструмен-
инструментов и спектральных приборов . 132 247
§ 4.5. Поляризация. Оптические яв-
явления в кристаллах 137 252
§ 4.6. Дисперсия и распространение
света . 143 " 254
V. Атомная ф и з я к а - . . , - 148 259
§ 5.1. Кванты света.' Фотоэффект.
Эффект Комптона 148 259
§ 5.2. Волны де Бройля. Волновые
функции 150 260
§ 5.3. Атомы и их излучение . . . 154 261
VI. Излучение 159 264
VII. Твердое тело 163 266
§ 7.1. Свойства кристаллических ре-
решеток. Фононы. Теплопровод-
Теплопроводность 163 ?66
§ 7.2. Электроны в металлах . . . 166 269
§ 7,3. Электроны в полупроводниках 171 275
VIH. Ядерная физика ..... 174 279
§ 8.1. Элементарные частицы , . . 174 279
§ 8.2. Структура ядрз и ядерные
реакции 178 281
Приложения 286
I, Фундаментальные физические кснстанты 286
II. Некоторые астрофизические постоянные 288
III. Некоторые внесистемные единицы 290
IV. Приставки и множители для образования десятичных
кратных к дольных е.чишш . 291
V. Единицы некоторых физических иелнчин в систем*
СИ и СГС и соотношения между ними . . , 292
VI. Таблица лептонов (спин /г/2) ... 294
VII. Таблица кваркон (спин ft/2) . . . 294
VIII. Таблица некоторых адршюв . . 265
IX. Таблица экзотических частиц ... . .... 296
X. Таблица свойств изотопов .... 297
XI. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева 300

ПРЕДИСЛОВИЕ
Сказки помогают детям познать мир взрослых, за-
задачи же служат аналогичной цели при знакомстве
студента с физикой. Действительно, у задач много
общего с фольклором. Так же как и сказки, задачи
дают студенту первое представление о мире физиче-
физическом, о методах его описания к путях познания. Эле-
Элементарные задачи описывают условный мир точечных
масс, невесомых нитей, идеальных газов и других
совершенных тел, подобный сказочному миру, насе-
населенному свирепыми змиями и прекрасными принцами,
путешествующими иа коврах-самолетах в поисках
жар-птиц. В таком мире силы добра и зла четко очер-
очерчены и нравственные проблемы отличаются ясностью
и однозначностью ответа. В задачах мы также можем
рассматривать условия малореальные, даже фанта-
фантастические; так же как сказки, такие задачи развивают
наше воображение. Более жизненные задачи посте-
постепенно приближают нас к слокной картине реального
научного поиска, где многие вопросы требуют значи-
значительного труда даже для их формулировки, и, нако-
наконец, более глубокое исследование часто приводит к
расширению наших представлений и дает возмож-
возможность по-новому осмыслить гроблему, поставленную
вначале. Так и с задачами з этом сборнике: часто
более углубленное рассмотрение потребует либо но-
новых расчетов, либо может послужить поводом к более
серьезным размышлениям.

У задач есть еще одно сходство с фольклором. Это
втрое о гом, кто автор первоначальной идеи гой или
иной задачи. На это редко можно дать точный ответ,
а в таких установившихся разделах, как механика,
особенно много «традиционных сюжетов», которые
каждое поколение аранжирует на свой лад. Большин-
Большинство представленных задач извлечено из архива ка-
кафедры физик» Московского физико-технического ин-
института. Составители задачника профессора С. М. Ко-
Козел, Э. И. Рашба и С. А. Славатинский проделали
большую работу, впервые систематически обработав
и отредактировав этот обширный материал: до сих
пор в литературу попадали лишь отдельные задачи.
При редактировании составителям удалось сохранить
тот живой и непосредственный подход к задачам, ко-
который, быть может, характерен для современного
стиля мышления работающих физиков-исследова-
физиков-исследователей.
Задачник МФТИ своей связью с физикой наших
дней передает то, что мы отождествляем с «системой
Физтеха». По этой системе активно работающие уче-
ученые принимают непосредственное участие в воспита-
воспитании и подготовке следующего поколения исследова-
исследователей и инженеров. Эта прямая связь особенно важна
в преподавании фундаментальных естественнонауч-
естественнонаучных дисциплин, из которых физика и математика яв-
являются главными. При этом сокращается разрыв
между специальной и общей подготовкой и исклю-
исключается то запаздывание в требованиях и подходе, ко-
которое возникает тогда, когда дело преподавания об-
общих курсов передается исключительно профессиональ-
профессиональным педагогам. Таким образом, этот задачник про-
продолжает традиции преподавания физики, которые
были заложены при основании МФТИ академиками
П. Л. Капицей и Л. Д. Ландау. Хорошо известны как
оригинальные задачи П. Л. Капицы, опубликованные
ь ряде изданий, так v, то место, которое задачи за-

нимают в курсе теоретической физики Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифпиша.
Уровень задач в известных пределах отвечает тем
требованиям, которые ставит перед студентами курс
общей физики МФТИ. В гораздо большей мере, чем
программы, задачи могут служить мерилом уропмя
требований, и их можно рассматривать кяк реальную,
в операционном смысле, меру этих требований. По-
Поэтому не случайно, что многие задачи вознями мл
основе заключительного экзамена, которым з?г.:.:;-
шается курс общей физики в МФТИ. Заключитель-
Заключительный экзамен принимается авторитетными комиссиями,
в которые входят физики всгх основных специаль-
специальных кафедр и базовых институтов МФТИ. Экзамен
состоит из письменного решенля задач и доклада ре-
реферата на избранную студентом тему. Задачи, пред-
предлагаемые на этом экзамене, часто построены так, что
охватызают сразу несколько разделов физики. При
решении задач студенты должны проявить знание об-
общей физики, т. е, умение идса тпзировать явления,
применение законов сохраиенчя, условий симметрии
и инвариантности, принципов подобия, выделение без-
безразмерных параметров, осмысливание результатов при
переходе к предельным условиям. Другое требование,
которое мы постоянно выдвигаем перед студентами,—
это необходимость доводить решение, до числа, дакать
числовой ответ. Прп этом важно, чтобы числа по толь-
только имели реальный смысл, по Сыли бы полезны и по-
помотали студенту пш.аплпй.атк ауА.чис- чайные в сиоеи"
памяти.
В еще большей мере, чем содержание курса, новые
задачи отражают время и обстоятельства их созда-
создания. Действительно, буквально каждый значительный
шаг в физике мы можем и, наверное, должны отра-
отражать в задачах, если хотим и преподавании поспеть
за быстротекущим развитием научной мысли. Неис-
Неисчерпаемым источником тем и вдохновения для задач
7

по общей физике могут служить два наиболее актив-
активных участка фундаментальных исследований: физика
космоса и астрофизика, с одной стороны, и физика
элементарных частиц —с другой. Многолетняя прак-
практика человечества в познании явлений природы учит,
что наиболее важные фундаментальные свойства ве-
вещества проявляются в предельных формах его суще-
существования. Именно экстремальные условия природы
дают исключительный простор творческому вообра-
воображению и служат ареной для оценок и выводов, осно-
основанных на прямом и часто очень поучительном при-
применении основных законов физики.
Можно надеяться, что многие задачи, приведен-
приведенные в настоящем сборнике, послужат основой для
подробного разбора на семинаре; другие будут ис-
использованы при самостоятельной работе студентог
над курсом общей физики.
В заключение хотелось бы призвать как препода
вателей, так еще в большей степени студентов к тому
чтобы искать и придумывать задачи самим. При со
временной, несколько прагматичной направленности
образования, вернее, способа обучения, решению гото-
готовых задач уделяется большое внимание. Но очень
важно, чтобы при необходимом приобретении навы-
навыков решения задач, в которых мы видим зародыши
научной работы, не происходило торможения вообра-
воображения и не подавлялась бы творческая интуиция.
Из всех проблем самая важная — это правильная
постановка задач — как при образовании ученого, так
и в его работе в будущем, но научить этому труднее
всего.
С. П. Капица

ОТ АВТОРОВ
В настоящий сборник включены задачи, предла-
предлагавшиеся в течение многих лет студентам Москов-
Московского физико-технического института на экзаменах
по физике. Инициатива издания сборника главным
образом принадлежитзаведующему кафедрой физики
С. П. Капице.
Составители отобрали и отредактировали для
сборника те задачи из обширного архива кафедры
физики МФТИ, которые казались наиболее интерес-
интересными с физической точки зрения.
При составлении сборника отдавалось предпочте-
предпочтение задачам, приближенным к практике, родившимся
под влиянием физического эксперимента. В таких за-
задачах рассматриваются не идеализированные схемы,
а реальные физические объекты. Многие задачи но-
носят оценочный характер; они должны способствовать
развитию у студентов ясности физического мышления
и ощущения масштабов физических величин и явле-
явлений. При решении большинства задач необходимо не
только формальное знание законов, но и достаточно
широкий физический кругозор.
При подготовке 2-го издания в сборник были вне-
внесены существенные изменения. Значительно расширен
круг задач. Исключены некоторые задачи, использо-
использованные в других изданиях. Хоти в сборнике по-преж-
по-прежнему довольно много задач повышенной трудности,
в него включены и более простые задачи, рассчитан-
рассчитанные на менее подготовленного читателя. В настоящем
издании сборник в большей степени ориентирован на
самостоятельную работу студентов. Именно поэтому
было признано целесообразным, как правило, не ука-
указывать хода решения задач и ограничиться только
приведением окончательных ответов и кратких пояс-

нений. Лишь некоторые, наиболее трудные задачи
снабжены полным решением, В сборнике преимуще-
преимущественно использована система единиц СИ, а та: же
гауссова система.
Большинство задач, включенных в сборник, явля-
являются оригинальными. В разные годы они были пред-
предложены преподавателями кафедры физики МФТИ.
В этом смысле сборник можно рассматривать г ак
колллективный труд всей кафедры, хотя ответствен-
ответственность за возможные недосмотри целиком ложится па
авторов. Сборник содержит некоторое число задач, не
претендующие на оригинальность, но имеющих обще-
общефизический интерес.
Значительное число задач, включенных в сборник,
было предложено Л, Л, Гольдиным, Б. Г. Ерозолим-
ским, С. П. Капицей, И, П. Крыловым, Г. Р. Локши-
ным, Л. А. Микаэляном, И, Ф. Щеголевым, Д. Б, Диа-
траптовым, А. П, Кирьяновым, Л. б. Луганским,
А. В. Францессоном и многими другими преподава-
преподавателями кафедры физики.
При работе над сборником были широко исполь-
использованы задачники по различным разделам физики,
изданные в МФТИ в 1976—1983 гг. Большой труп при
подготовке этих задачников был выполнен Л. П. Ба-
каниной, Н, С. Берюлевой, Д. А. Заикиным, А, В. Сте-
Степановым, М. А, Тулайковой, Н. И. Петеримовой.
Всем перечисленным лицам, а также тем, кто при-
прислал свои замечания к 1-му изданию сборника, аз-
торы выражают свою искреннюю благодарность.
Работа между авторами при подготовке настоя-
настоящего издания была распределена еле ivkslp.hm обра-
образом: разделы III и IV подготовлены С. М, Козелом,
разделы II, VI и VII — Э. И. Рашбой, а разделы I,
V и VIII — С. А. Славатинским.
Авторы с благодарностью приму> все замечания,
которые неизбежно возникнут у читателей, и советы
по улучшению сборника.

ЗАДАЧИ
1. МЕХАНИКА
§ 1.1 Движение материальной точки
1.1. Теннисный мяч падает на тяжелую ракетку
пид углом ф = 60° к нормали и упруго отскакивает.
Масса мяча пренебрежимо мала по сравнению с мас-
массой ракетки, С какой скоростью и должна двигаться
ракетка, чтобы мяч отскочил под прямым углом к
первоначальной траектории?
1.2. Автомобиль движется с постоянной скоростью
и=90 км/ч по замкнутой горизонтальной дороге,
имеющей форму эллипса с полуосями а = 500 и (> =
— 250 м. Найти максимальное атах и минимальное
От»! ускорения. Каков должен быть коэффициент тре-
трения k между полотном дороги и шинами автомобиля,
чтобы автомобиль при движении по эллипсу не за-
заносило?
1.3. Хоккейная шайба падает на лед с начальной
скоростью vts под углом а и продолжает скользить по
льду. Найти скорость скольжения как функцию вре-
времени v(t), если считать, что коэффициент трения к
ш.чйбы о лед не зависит от скорости и силы давления
шлйбы на лед,
1.4. Метатель посылает молот массой т = Ъ кг на
расстояние / = 70 м по траектории, обеспечивающей
максимальную дальность броска при дайной началь-
начальной скорости. Какая сила F действует на спортсмена
при ускорении молота? Разгон ведется по окруж-
окружности радиусом R — 2 м. Сопротивление воздуха не
учитывать.
1.5. Какой максимальной кинетической энергией
И'к та* может обладать махоиик объемом V = 1 мп,
если предел прочности материала ка разрыв гг„р =
= 1 • 109 Па. Всю массу махоника считать заключенной
И

в его ободе (тонком по сравнению с его радиусом),
Показать, что при неизменной прочности материала
маховика максимальная кинетическая энергия зависит
только от объема, но не от массы маховика.
1.6. Ядерные силы определяются взаимодействием
между нуклонами (прогонами и нейтронами), Потен-
Потенциальная энергия взаимодействия двух нуклонов на
расстоянии г с хорошей точностью может быть пред-
представлена формулой, предложенной японским физиком
Юкавой: U(r) = — (ro/r) №oexp(—r/r0), где V/Q =
= 50 МзВ, а го = 1,5-1(Н3 см. Найти выражение для
соответствующей силы F(r). На ка-
каком расстоянии п сила уменьшится
до 1 % от величины, которую она
имеет при г = г0?
1.7. Полый алюминиевый конус,
масса которого т = 5 г и угол при
вершине 2а = 60°, парит в верти-
вертикальной струе воды, вытекающей
со скоростью v =3,5 м/с через
патрубок диаметром d = 3 см
(рис. 1.1). Пренебрегая сопротив-
сопротивлением воздуха и считая сечение
струи у вершины конуса приблизи-
приблизительно постоянным, оценить высоту h, на которой бу-
будет парить конус. Плотность алюминия р = 2,8 г/см3,
1.8. Центр масс О автомобиля расположен на рав-
равном расстоянии от передних и задних колес на высоте
!г — 0,4 м над поверхностью
земли. Коэффициент трения
равен k = 0,8, расстояние меж-
между осями /=5/г. На какой угол
(х наклонится автомобиль при
резком торможении (рис. 1.2)?
Упругость всех пружин под-
•зески одинакова и такова, что
у неподвижного автомобиля на горизонтальной пло-
площадке их прогиб равен А == 10 см.
1.9. При торможении всеми четырьмя колесами
тормозной путь автомобиля равен L. Найти тормоз-
тормозные пути этого же автомобиля при торможении толь-
только передними (L;) и только задними (L2) колесами.
Коэффициент трения скольжения равен k = 0,8. Центр
масс автомобиля расположен на равном расстоянии
ит передних и задних колес на высоте h = lj\ над по-
Рис.
Рис 1.2
12

верхностью земли, I—расстояние между осями авто-
автомобиля.
1.10. Длинная однородная балка массой т и дли-
длиной I перевозится ка двух сапях (рис. 1.3). Сила тяги
приложена к балке и
направлена по горизон-
горизонтали на высоте h над
поверхностью земли.
Коэффициент трения
для передних саней ра-
равен ki, Для задних —
k-i- Какую силу тяги F
нужно приложить для Рис- I-3
равномерного переме-
перемещения этого груза по горизонтали? Массами саней
пренебречь.
1.11. Автомобиль «Жигули» массой т=1200 кг
способен на скорости v = 50 км/ч двигаться по дороге
с наибольшим уклоном к горизонту, равным а =16°.
При движении по ровной дороге с таким же покры-
покрытием и на той же скорости мощность, расходуемая
двигателем, равна Р= 14,7 кВт. Найти максимальную
мощность Ртах двигателя.
1.12. Руда насыпается из бункера в вагон, катя-
катящийся по рельсам без трения. Начальная скорость
вагона равна vo, длина — /, масса пустого вагона — т0,
вес загруженной руды — ти Подача руды из бункера
происходит таким образом, что руда ложится на пол
вагона слоем постоянной высоты. Найти время за-
загрузки t.
1.13. Футболист забивает гол с 11-метрового
штрафного удара (L) точно под перекладину. Какую
минимальную энергию Wmin и этом случае необходимо
было сообщить мячу? Под каким углом а должен был
вылететь мяч? Высота ворот равна /i = 2,5 м, масса
мяча т = 0,5 кг.
1.14. Атлет толкает ядро с разбега. Считая, что
скорость ядра относительно атлета равна скорости
разбега, найти угол а, под которым следует выпустить
ядро относительно земли, чтобы дальность полета
была максимальной. Рост самого атлета не учитывать.
1.15. Лазер излучает направленный световой поток
в виде короткого импульса. Какова скорость v отдачи
кристалла лазера, если его масса равна т = 100 г, а
излученная энергия W= Ю3 Дж?
13

1.16. Определить импульс р отдачи ядра 57Fe при
излучении -у-кванта с эиер1 пей №7 = 14,4 кэВ.
1.17. Математическому маятнику с гибкой нера-
нерастяжимой нитью длиной / сообщают в начальный мо-
момент горизонтальную скорость о0. Определить макси-
максимальную высоту /гт5Х подъема маятника, если
(bglI/2 > v0 > Bgl)I/2. По какой траектории будет
двигаться шарик маятника после того, как он достиг
максимальной высоты /?„,« на окружности? Опреде-
Определить максимальную высоту Ип,ь\, достигаемую шари-
шариком при этом движении.
1.18. Гимнаст падает с высоты Н = 12 м в упру-
упругую сетку. Во сколько раз максимальная сила Fma*,
действующая на гимнаста со стороны сетки, больше
его первоначального веса mg, если прогиб сетки под
действием первоначального веса гимнаста равен
Д= 1 м?
1.19. На баржу вдоль нее с берега забрасывается
груз массой т с горизонтальной составляющей ско-
скоростью v0 (рис. 1.4). Найти конечную скорость v бар-
баржи с грузом и расстояние /, пройденное грузом вдоль
поверхности баржи (относительно баржи), если масса
баржи М, а коэффициент трения между грузом и по-
поверхностью баржи равен k. Сопротивление "п.т.ы не
учитывать.
ц
Рис. 1 4 Рис. 1.5
1.20. Шар, летящий со скоростью v, ударяется в
другой, покоящийся шар, масса которого и три раза
больше массы налетающего шара (рис. 1.5). Найти
скорости v\ и i<2 шаров после удара, есл;; в момент
столкновения угол между линией, соединяющей цен-
центры шаров, и скоростью налетающего шара до удара
равен ф = 60°. Удар абсолютно упругий.
1.21. Альфа-частица с кинетической энергией WK =
= 4 М.эВ упруго рассеивается на первоначально по-
покоящемся протоне. Определить расстояние лтт между
14

этими частицами в момент максимального сближения.
Столкновение считать центральным.
1.22. Альфа-частица массой т, летящая со скоро-
скоростью vq, испытывает упруго*; столкновение с непо-
неподвижным ядром массой М и летит под углом 90° к
первоначальному направлению движения. При каком
соотношении масс а-частицы и ядра это возможно?
0>феделить скорости а-частицы v и ядра и после
столкновения, а также угол ср между направлением
скорости отлетевшего ядра и первоначальным направ-
направлением движения а-частицы.
1.23. Во сколько раз энергия отдачи ядра 226Ra
при os-распаде больше, чем при ^-распаде, если пол-
полная энергия, освобождаемая при cs-распаде, равна
ц/, =4,9 МэВ, а при -у-распаде — W2 = 0,2 МэВ?
1.24. Может ли произойти ионизация атома 133Cs
ударом атома ]6О с энергией UP = 4 эВ? Энергия иони-
ионизации атома I33Cs равна И?и== 3,9 эВ.
1.25. При каких энергиях Wit а-частиц возможно
их неуиругое рассеяние на ядрах 14N, если энергия
1-го возбужденного состояния этого ядра равна W ¦=¦
= 2,31 МэВ? Какова энергия W\ а-частицы, если
ядро MN переходит в это возбужденное состояние, а
сама а-частица останавливается?
1.26. Какова энергия W а-частицы, если при по-
попадании в ядро азота 14N происходит реакция 14N +
-f- "He = 17О + 'Н, сопровождающаяся поглощением
энергии Wi — 1 МэВ, а образовавшийся протон по-
покоится в лабораторной системе координат?
1.27. Ядра дейтерия с энергией U7D = 0,17 МзВ
движутся навстречу друг другу. При соударении про-
происходит реакция D + D = 3Не + п, при которой выде-
выделяется дополнительная энергия W. Определить UP,
если нейтрон уносит кинетическую энергию Wn =
= 2,7 МэВ.
1.28. Ядро дейтерия с энергией WD = 3,25 МэВ
сталкивается с таким же неподвижным ядром. При
соударении происходит реакция D -+- О-*-3Не + п, при
которой выделяется дополнительная энергия W. Опре-
Определить W, если в лабораторной системе отсчета ней-
нейтрон покоится.
1.29. Маленький шарик движется со скоростью v
в пространстве между неподвижной стенкой и мас-
массивным поршнем, находящимися на расстоянии / друг
от друга (рис. 1.6). Соударения шарика с поршнем и
15

стенкой происходят упруго. Найти адиабатический
инвариант движения, т. е. вид функции f(v, l), сохра-
сохраняющейся постоянной при медленном движении
поршня.
Рис 1.6
Рис. 1.7
1.30. Под действием веса прыгуна упругая доска
статически прогибается на А = 0,5 м (рис. 1.7). Пре-
Пренебрегая массой доски, найти период Т малых коле-
колебаний рассматриваемой системы около положения
равновесия.
1.31. Два груза массами ni\ и mi, находящиеся на
гладком горизонтальном столе, связаны пружиной
жесткостью -л. Найти период Т колебаний системы.
Массой пружины пренебречь.
1.32. Небольшая муфта массой m может скользить
без трения по горизонтальной штанге (рис. 1.8).
К муфте прикреплена пружина, вто-
второй конец которой закреплен в точ-
точке, отстоящей на расстояние / от
штанги, которое больше длины пру-
пружины в нерастянутом состоянии.
Имея длину I, пружина растянута
с силой F. Определить период 7 ма-
малых колебаний муфты. Массой пру-
пружины пренебречь.
1.33. Найти частоту <о малых ко-
колебаний шарика массой т, подве-
подвешенного на пружине с начальной длиной 10, если сила
растяжения пружины пропорциональна квадрату ра-
растяжения, т. е. F = k(l — /оJ- Массой пружины пре-
пренебречь.
1.34. Как изменится ход карманных часов, если их
положить на горизонтальный абсолютно гладкий
стол? Считать, что ось крутильного маятника прохо-
проходит через центр часов, а момент инерции &й часов в
500 раз больше, момента инерции & маятника.
Рис. 1.S
16

1.35. Система из двух шариков равных масс, сое-
соединенных невесомой пружиной, налетает с энергией
W<$ на стенку. Пружина все время остается перпенди-
перпендикулярной стенке, и в начальном состоянии ее колеба-
колебания не возбуждены. Удар шарика о стенку абсолютно
неупругий. Найти кинетическую энергию WK и энер-
энергию колебаний системы U7KOji после отскока. Полем
тяжести пренебречь.
1.36. На качелях, раскачивающихся с угловой
амплитудой (fa, сидит человек, Когда качели проходят
через положение равновесия, человек резко встает,
а в момент максимального отклонения качелей он
снова садится. На сколько изменится угловая ампли-
амплитуда Дф за период? Центр масс человека поднимается
и опускается на высоту /г, Длина веревок качглей
равна /. При расчетах считать, что l^Ph, массой ка-
качелей пренебречь.
1.37. Часы с маятником, будучи установленными
на столе, показывали верное время. Как изменится
ход часов, если их установись на свободно плаваю-
плавающем поплавке? Масса часов имеете с поплавком рав-
равна 103т, где т — масса маятника.
1.38. Система состоит из двух одинаковых грузов,
скрепленных пружиной жесткостью к. На одну из
масс действует гармоническая сила с амплитудой Аг>,
направленная вдоль пружины. Найти амплитуду А
установившихся колебаний системы, если частота вы-
вынуждающей силы вдвое превышает собственную ча-
частоту системы.
1.39. Горизонтальный диск массой т и радиусом 1{
подвешен в атмосфере некоторого га.ча на упругой
нити с модулем кручения / на расстоянии h {h <С /?)
от горизонтальной неподвижной поверхности. Найти
вязкость Ti газа по результатам измерения логарифми-
логарифмического декремента затухания б крутильных колеба-
колебаний. Движение газа между диском и неподвижной по-
поверхностью считать ламинарным; краевыми эффек-
эффектами и трением с другой стороны диска пренебречь.
1.40. Оценить время t соударения футбольного
мяча при слабом ударе о стенку,
1.41. Одним из абсолютных методов определения
энергии, излучаемой импульсными квантовыми гене-
генераторами, является измерение механического импуль-
импульса, возникающего при отражении или поглощении
света твердой-*нэ&ер*н©©?ыо,^Ддя.^атой 'цели можно
17

s— —
¦
использовать крутильный баллистический маятник.
Момент инерции маятника принять равным 2/ =
= 2-10~6 кг-м2, а расстояние от оси вращения до
отражающего зеркала L = 50 мм. Рассчитать период
колебаний Т такого маятника с чувствительностью
ti = 10 мм/(Дж-м). Вычислить диаметр d кварцевой
нити подвеса длиной /==0,1 м, позволяющей обеспе-
обеспечить такую чувствительность. Д^одуль сдвига кварца
равен G = 10" Па.
§ 1.2. Реактивное движение. Гравитация
1.42. Сосуд конической формы, наполненной водой,
первоначальная высота уровня которой равна ho, мо-
может перемещаться без трения вдоль горизонтальных
рельсов. Вблизи дна сосуда сбоку сделано маленькое
отверстие, закрытое проб-
Г~~ 7 кой. Если вынуть пробку, то
через отверстие будет выте-
вытекать струя воды (рис. 1.9).
^^~! Определить скорость v, ко-
" ~ ^з»-. торую приобретет сосуд,
после того как вся вода вы-
вытечет из него. Массой сосу-
сосуда по сравнению с массой
Рис. 1.9 воды, находящейся в нем,
пренебречь во все время ее
вытекания, (В конце истечения жидкости условие
малости массы сосуда по сравнению с массой жид-
жидкости выполняться не может.)
1.43. В игрушечную ракету наливается пода, зани-
занимающая малую часть внутренней полости ракеты.
В остальную часть полости ракеты накачивается воз-
воздух до давления р. Найти высоту h подъема ракеты,
считая, что масса воды m много меньше массы ракеты
/VI, время истечения воды много меньше времени по-
полета, сечение сопла ракеты много меньше сечения
полости.
1.44. По какому захопу должна меняться во вре-
времени масса М ракеты (вместе с топливом), чтобы она
во время работы оставалась неподвижной в поле тя-
тяжести Земли, если скорость газовой струи относи-
относительно ракеты постоянна и равна и = 2 км/с. Опре-
Определить время /i/2, через которое полная масса си-
системы уменьшится вдвое, а также время /, по истече-
18

нии которого ракета израсходует весь запас топлива.
Масса ракеты без топлива равна mi = 1000 кг, а
масса топлива 1Щ = 9000 кг.
1.45. На ракете установлены два лвигателя с раз-
различным топливом. Один дает газовую струю со ско-
скоростью «1 относительно ракеты, другой — со скоростью
и2. Сначала работает один двигатель, пока не израс-
израсходует весь запас топлива. 3;ггем включается другой,
пока также не будет израсходован весь запас его топ-
топлива. Что выгоднее: сначала включить двигатель с
большей скоростью газовой струи, а затем с меньшей
или поступить наоборот? Скорости щ и и2 считать
постоянными.
1.46. Ракета массой mj—10 кг стартует с вер-
вершины горы высотой h = 2 км и летит так, что газы
все время выбрасываются горизонтально. Пренебре-
Пренебрегая сопротивлением воздуха, иолсчитать кинетическую
эяертю WK ракеты во время удара о землю. Скорость
газов равна « = 300 м/с, расход топлива (i = 0,03m()
в секунду.
1.47. На сколько процентов уменьшилась масса ра-
ракеты, которая в течение времени /==10 мин подни-
поднималась с поверхности Земли вертикально вверх с по-
постоянной скоростью о = 5 км/с? Скорость истечения
газов относительно ракеты риЕна и — 2 км/с. Трением
о воздух пренебречь.
1.48. Поднимаясь вертикально вверх от поверх-
поверхности Земли с постоянной скоростью v = 5 км/с, ра-
ракета достигла высоты, равной диаметру Земли 2/?а-
На сколько процентов уменыиилэсь при этом масса
ракеты, если скорость истечения газов относительно
ракеты равна и = 2 км/с? Трением о воздух пре-
пренебречь.
1.49. Масса второй ступени двухступенчатой ра-
ракеты составляет от массы первой М2/М| — а = 0,1, a
отношение массы горючего ь полной массе ступени в
случаях одно- и двухступенчатой ракет равно /Иг/Л1 --
~ к =¦- 0,9. Скорость истечения газов в сравниваемых
ракетах одна и та же и равна и •= 2 км/с. На сколько
максимальная скорость, достижимая в свободном кос-
космическом пространстве с помощью двухступенчатой
ракеты, больше, чем в случае одноступенчатой ра-
ракет ы ?
1.50. Двухступенчатая ракета поднимается с по-
поверхности Земли вертикально вверх. Масса второй
19

стукни ракеты составляет от массы первой M2/Mi =
=-=ct = Q,l, а отношение массы горючего в обеих сту-
ступенях к полной массе ступени равно Мг/М = k = 0,9.
Найти минимальную скорость ит-ш выбрасываемых
газов, необходимую для достижения 2-й космической
скорости 02, рассмотрев для этого предельный случай
сколь угодно малой общей массы ракеты (М->-0).
Считать, что на всем протяжении пути разгона уско-
ускорение свободного падения и масса выбрасываемых в
единицу времени газов постоянны. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
1.51. В начальный момент ракета покоилась. За-
Затем под действием реактивной силы ракета начинает
двигаться, при этом скорость и истечения газов отно-
относительно ракеты постоянна. Найти скорость v ра-
ракеты, при которой кинетическая энергия, приобретен-
приобретенная ракетой, будет максимальной. Действием внеш-
внешних сил пренебречь.
1.52. Можно ли измерить гравитационную постоян-
постоянную G с относительной погрешностью 6 = 10%, под-
подкатывая свинцовый шар к пробному грузу, подвешен-
подвешенному к чашке пружинных аналитических весов с наи-
наибольшей относительной чувствительностью ц = 10~7
@,1 мг/кг)?
1.53. Двойная звезда имеет период Т-—3 года, а
расстояние между ее компонентами постоянно и равно
L = 2 a. e. Выразить
массу двойной звезды
М через массу Солнца
_^j Me.
} 1.54. На концах лег-
| кой спицы длиной 21 =
6= 10 см укреплены два
небольших шарика
м м (рис, 1.10). Спица под-
Рис 1.Ю вешена за середину на
неупругой нити и может
свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости.
Спица расположена между двумя неподвижными ша-
шарами массой М = 1 кг каждый, Расстояние между
центрами шаров равно 2L = 20 см. Найти период Т
малых колебаний спицы,
1.55. Один и тот же маятник помещен сначала на
башне, а затем в глубокой шахте. Высота башнн от-
относительно уровня моря равна h = 500 м, глубина
20
О

шахты # = 2 км. Найти относительное изменение пе-
периодов колебаний Д'Г/7 маятника. Считать Землю
однородным шаром радиусом R^ =6400 км. Влия-
Влиянием протяжения башни пренебречь.
1.56. Математический маятник расположен на по-
поверхности Земли над тоннелем метро (рис, 1.11). Тон-
Тоннель находится на глубине Н ¦—
= 15 м, его диаметр равен 2R =
= 10 м. Оценить относительное из-
изменение периодов колебаний 1\Т/Т
маятника, вызванное наличием тон-
тоннеля. Считать среднюю плотность
грунта равной р = 2 г/см3.
1.57. Считая Землю однородным
шаром радиусом /?з и плотностью
р = 5,5 г/см3, найти завис; мость Рис. 1.1
гравитационного давления от рас-
расстояния до центра Земли /?(/•). Оценить давление р@)
в центре Земли.
1.5S. Маленький шарик массой ш, имеющий на
бесконечности скорость vq, пролетает через большой
шар массой М и радиусом R, в котором вдоль диа-
диаметра просверлен канал в направлении движения
шарика. Принимая во внимание гравитационное взаи-
взаимодействие между шарами, определить их относи-
относительную скорость v— V {v — скорость маленького ша-
шарика, '/—большого) в момент, когда маленький ша-
шарик пролетает через центр большого шара, Считать
начальную скорость большого шара равной нулю.
1.59. Космонавт массой т = 70 кг связан со спут-
спутником массой М (т <?. М) шнуром длиной / = 63 м
при полете спутника по круговой орбите вблизи
Земли. Определить наибольшую силу натяжения F
шнура. При капом расположении космонавта, спут-
спутника и Земли осуществимо это натяжение?
1.60. Оиенить отношение массы планеты Марс к
массе Земли по параметрам эллиптической орбиты со-
советской автоматической станции «Марс-2», обращаю-
обращающейся вокруг этой планеты: максимальное удаление
от поверхности планеты в апоцентре равно а —
= 25000 км, минимальное удаление в перицентре
6 = 1380 км, Период обращения Марса равен 7м =
= 18 ч, диаметр 2/?м = 6800 <м,
1.61. В одном из фантастических проектов пред-
предлагалось использовать для движения поездов силу
21

земного тяготения, соединив пункты отправления и
назначения прямым подземным тоннелем, проходя-
проходящим через центр Земли, Найти время /, за которое
поезд (без двигателя) пройдет такой тоннель, Считать
плотность Земли постояыюй я пренебречь трением,
1.62. Со спутника, движущегося по круговой ор-
орбите со скоростью Vo, стреляют в направлении, со-
составляющем угол ф=120° к курсу. Найти скорость
v пули относительно спуткш.а, чтобы пуля ушла на
бесконечность.
!.63. Оценить период обращения Т близкого спут-
спутника нейтронной звезды (пульсара), плотность кото-
которой равна ядерной: о « 1017 кг/м3.
1.64. При посадке ракеты на Луну ее тормозной
двигатель включается на время t\ на высоте h над
Луной (h <С Rji, где У?л—радиус Луны), Скорость ис-
истечения газов относительно ракеты равна и, масса
ракеты без топлива равна т3, Определить минималь-
минимальную массу М топлива, необходимую для мягкой по-
посадки ракеты на Луну. Считать, что скорость vx <С vn
(vo — скорость ракеты на высоте /г, которую она при-
приобретает только за счет притяжения Луны, vx — ско-
скорость на бесконечности).
1.65. Определить, какую дополнительную скорость
Аи необходимо кратковременно сообщить спутнику
Земли, движущемуся по очень высокой круговой ор-
орбите, чтобы он смог достичь Марса, Орбиты Земли и
Марса считать круговыми, диаметр орбиты Земли ра-
равен 3-108 км, а диаметр орбиты Марса в 1,52 раза
больше, чем у Земли.
1.66. Спутник движется по круговой орбите на вы-
высоте h\—25() км от поверхности Земли, Для посадки
спутнику сообщается кратковременный импульс, на-
направленный против его скорости, после чего орбита
становится эллиптической с высотой перигея hi =
—- 100 км. Дальнейший спуск спутника происходит за
счет торможения в атмосфере. Найти изменение
скорости Ли спутника для такого изменения его ор-
б;:ты.
1.07. Спутник массой т=10 кг, поперечным се-
сечением S = 0,5 мг летит на высоте Н — 400 км, где
плотность атмосферы р « 1,6-10~" кг/м3. Найти силу
сопротивления f\-enp, испытываемую спутником. К'лк
изменятся скорость Аи и высота АН спутника за один
оборот?
22

1.68. Средняя относительная скорость двух звезд
типа Солнца в уездном скоплении равна и — 60 км/с,
а число звезд в кубическом спетовом годе N ~ 10.
Оценить среднее время tcp между столкновениями
этих двух звезд.
1.69. Космический аппарат •{.-.пущен с Земли со
скоростью o-i в направлении, перпендикулярном ли-
линии, соединяющей центр Земли с центром Солнца,
в сторону вращения Земли вокруг Солнпа. Опреде-
Определить скорость v, с которой он покинет Солнечную
систему.
1.70. Два спутника А и В следуют друг за другом
на расстоянии L —- 45 км по общей круговой орбите
вблизи Земли. Чтобы стыковаться, они должны сбли-
сблизиться и продолжить движение по общей орбите. Ка-
Какой простейшей последовательностью коротких вклю-
включений двигателя отстающего спутника В можно
осуществить этот маневр, если его двигатель ориенти-
ориентирован касательно к орбите и каждое включение может
изменить его скорость на величину Аи ^ 8 км/ч'^
1.71. Масса газового облика, состоящего из водо-
водорода, равна М = 2-1036 кг, ею температура 7 = 50 К.
Оненить максимальный радиус R облака, при кото-
котором оно буцет сжиматься под действием сил грави-
гравитации.
1.72. Сможет ли космонагл. подпрыгнув, покниуть
навсегда астероид, масса «.что? о го равна М =
= S,! • Ю16 кг и радиус R --= 111 км?
1.73. В момент виикления искусственного cuvi пика
Земли на круговую орбиту скорость спутника откло-
отклонилась от расчетной па \n,'v ~- 0.! при неиямг^чюм
н;1П;;арлен!!и, Напти отношеппр Ы/х — малой и 5o^i-
urofi полуосей реальной элЛ1-гти.чеек'. й орбитм.
§ 1.3. Законы сохракгняя }н;;-рг'?,й. импу.л!,са
¦> ЛК;р/П?НТ<! Sif.iRVJlbCa.
Неянсрииа '-и-ные системы от "-k-i a
1.74. Небольшое тело, привязанное к нитке, проде-
продетой через отверстие О в гладком горизонтальном сто-
столе, движется равномерно со скоростью v на расстоя-
расстоянии г от отверстия В некоторый момент нить начи-
начинают плавно протягивать че >ез отверстие, и за время
/ тело делает оборот, описав заштрихованную на
рис. 1.12 фигуру, Найти ее площадь S. Показать, что
23

Рис. 1.12
«ели нить протягивать медленно по сравнению с пе-
периодом обращения тела, то отношение H7/oj остается
постоянным (W — энер-
энергия тела, ш— угловая
скорость вращения).
1.75. Трамплин, ис-
используемый в цирке, пред-
представляет собой горизон-
горизонтальную доску, шарнирно
закрепленную в середине.
На один конец доски с до-
достаточно большой высоты
прыгает гимнаст массой
ту. Клоун массой т2, стоящий на другом конце доски,
при этом подбрасывается в воздух. Расстояние от
клоуна до шарнира равно h- Определить, на каком
расстоянии /, от шарнира должен прыгнуть гимнаст,
чтобы клоун был подброшен на максимальную вы-
высоту. Доску считать невесомой.
1.76. По внутренней поверхности конической во-
воронки, стоящей вертикально, скользит без трения не-
небольшое тело (рис. 1.13). В на-
начальный момент тело находится
на высоте И, направление его ско-
скорости v лежит в горизонтальной
плоскости. При своем дальней-
дальнейшем движении тело опускается до
высоты /г/2, а затем начинает
подниматься. Найти скорость те-
тела в верхней (иа) и нижней (он)
точках траектории.
1.77. Земля сталкивается с го-
головой кометы, состоящей из ме-
метеорного роя диаметром 50 000 км.
Относительная скорость Земли и кометы равна
2,8 км/с. Какая часть роя упадет на Землю?
!.78. По направлению к Земле из глубин космоса
движется метеоритное облако, скорость которого на
значительном удалении от Земли равна и = 5 км/с.
Поперечные размеры этого облака много больше диа-
диаметра Земли, глубина облака (по направлению дви-
движения) составляет h = 1000 км, средняя концентрация
л = 0,1 км~3, а центр облака движется в направлении
центра Земли. Найти общее число /V метеоритов, ко-
которые попадут на Землю.
у//////- //////////7////////
Рис. 1.13
24

1.79. Спутник массой М = 50 кг летит по круговой
орбите на небольшом расстоянии от поверхности
Земли. В спутник попадает и застревает в нем микро-
микрометеорит массой т = 0,1 г, который летел к центру
Земли со скоростью v — 80 км/с. Считая удар цен-
центральным, найти расстояние / между апогеем и пе-
перигеем новой орбиты спутника,
1.80. Спутник Земли состоит из двух масс т; и т2,
соединенных упругой конструкцией длиной *0 жест-
жесткостью х, Для перехода на новую орбиту включают
двигатель с постоянной силой тяги F, связанный с
массой Ш\, в результате чего возникают колебания
системы, В какой момент и как надо изменить силу
тяги, чтобы погасить возникшие колебания? Как изме-
изменится при этом расстояние Д/ между т{ и /я2?
1.81. Корабль вместе с ракетой-носителем подни-
поднимается вертикально вверх с постоянным ускорением и
за время ? = 4 с набирает скорость и —aui, где oi —
1-я космическая скорость, а a = 0,03. Какую пере-
перегрузку испытывает при старте космонавт в космиче-
космическом корабле на самом начальном участке полета?
Указание. Перегрузкой называется отношение
(Р — Ра)/Ро, где Ра—вес косглонавта на Земле, а
Р — «вес», который показали бы пружинные весы при
взвешивании космонавта в ракете.
1.82. По круговой окололунной орбите с радиусом,
равным утроенному радиусу Луны, движется старто-
стартовая «платформа» с космическим кораблем. Корабль
покидает «платформу» в направлении ее движения с
относительной скоростью, равной первоначальной ор-
орбитальной скорости «платформы», после чего «плат-
«платформа» падает на Луну. Определить угол а, под ко-
которым «платформа» врезается в лунную поверхность.
Масса «платформы» в дна раза больше массы ко-
корабля.
1.83. По круговой окололунной орбите с радиусом,
равным удвоенному радиусу Луны, движется орби-
орбитальная станция с космическим кораблем. Корабль
покидает станцию в направлении ее движения, «от-
«отталкиваясь» от станции с относительной скоростью,
равной половине начальной орбитальной скорости
станции. Найти отношение масс М/т корабля и стан-
станции, при котором станция не упадет на Луну.
1.84. Со спутника, движущегося вокруг Земли
по круговой орбите радиусом R, выстреливают в
25

направлении к центру Земли контейнер. Какую мини-
минимальную начальную скорость umin в направлении к
центру Земли нужно сообщить хонтейиеоу, чтобы он,
перейдя на эллиптическую орбиту, коснулся Земли?
Торможением в атмосфере пренебречь,
1,85. Спутник движется вокруг Земли но эллипти-
эллиптической орбите, в одром ъ.з фокусов которой находится
центр Земли. Пользуясь только законами сохранения
энергии и момента имгульса, выр.азить период обра-
обращения спутника У через энергию W, приходящуюся на
единицу его массы. Потен чкяльную энергию при бес-
бесконечном удалении спутника от Земли принять рав-
равной нулю, В предположении, что орбита спутника
близка к круговой, найти приближенное приращение
AT его периода, если яа спутник действует малая
тормозящая сила, направленная против скорости
(сила торможения, отнесенная к единице массы спут-
спутника, равна Ftp).
1.88. Показать, что период 7" спутника, обращаю-
обращающегося вокруг планеты (или любого другого тел? со
сферическим симметркчним распределением масс)
в непосредственной близости от ее поверхности, зави-
зависит только от средней ы-отностк планеты р.
i.P.?. Космический коупбль подходит к JIv;ie по па-
параболической траектории, почт:-'; касающейся поверх-
поверхности Луны. Чтобы перейти на стелящуюся круговую
орбиту, в момент наибольшего сближения включают
тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоро-
скоростью и = 4 км/с относительно копабля в начравле^.чи
его движения. Какую чэг.ть общей массы должно го-
ставить сожженное, ranio1:^? Олени.ть темгеоатурч Т
горения, если удельная теплоемкость выо'ргаыв^.чык
газов равна с,,— 2,2-103 Дж./(:•:."¦ К) .
1.88. Ракета стартуе-г с вершимы ¦ся.моП вис;ч;г-.Л
лушю» гоуу. Угпп мечту чаипг:к\еивс-у.. r.'i'jy^ b-.i •¦?-.
тающих газов и горизонтом позыел^'вчелтя. рав \\-rn
ф--=0,1 рад. Скорость струи сткоситель'ло раре-;..!
раина м = 4 км/с. Найти изменеггне массы ракеты л
зависимости от врекенк M(t) при. условии, что ракета
будет двигаться горизонтально. За какое, время / она
наберет 1-ю космическую скорость? Во сколько раз
за это время уменьшится масса ракеты? Какова будет
перегрузка космонавтов?
1.89. Около звезды '-«аосой М по круговой орбите
движется звезда-спутан1.; массой tr>. (,'л-С'И). В ie-
26

который момент времени центральная звезда вспыхи-
вспыхивает как сверхновая и выбрасывает массу qhl. Счи-
Считая, что эта масса выходит за орбиту спутника мгно-
мгновенно, описать возможные виды последующего дви-
движения спутника.
1.90. Ракета массой М —¦ 1С т движется вокруг
Земли по эллиптической орбите. Расстояние от ракеты
до центра Земли в апогее равно L; —11000 км, а в
перигее /-2 = 6600 км. В апогее ракета взрывается,
распадаясь на две части массами щ\ (этл часть ра-
ракеты переходит на круговую орбиту) и /п2 (эта часть
вертикально падает на Землю). Найти массы nil и т2.
Массой газов, образовавшихся при взрыве, пре-
пренебречь.
1.91. В условиях предыдущей задачи ракета взры-
взрывается в перигее, распадаясь на две части массами
т\ и tn-i. Масса ш\, двигаясь в первоначальном на-
направлении, переходит на яараболическую орбиту, а т2
меняет направление движения и начинает двигаться
по окружности. Найти массы щ\ и т2, Массой газов,
образовавшихся при взрыве, пренебречь.
1.92. Двойная звезда, одни из которых является
звездой типа Солнца, массой >л — 21033 г, а другая —
нейтронной звездой радиусом R = 14 км, вращается с
периодом Т = Ъ сут. Определить расстояние L между
компонентами звезды. Считать плотность вещества
нейтронной звезды равной плотности ядерной мате-
материи: р = Ю!7 кг/м3.
1.93. Оценить разность расстояний от центра Зем-
Земли до уровня моря на полюсе и на экваторе Земли,
связанную с вращением Земли.
с.94. Артиллерийский снаряд движется с горизон-
горизонтальной скоростью v = 900 и /с по настильной траек-
траектории (т. е. траектории, которую приближенно можно
считать горизонтальной прямой). Снаряд должен по-
поразить цель на расстоянии L — 18 км. Географиче-
Географическая широта места ф=60° с. ш. Определить боковое
отклонение / снаряда от цели, обусловленное вра-
шением Земли. Зависит ли это отклонение, от на-
направления стрельбы? Сопротивлением воздуха пре-
пренебречь.
1.95. В абсолютно гладкой трубке на двух одина-
одинаковых пружинах жесткостью у. закреплен шарик мас-
массой m (рис. 1.14). Шарик колеблется с амплитудой /0.
Трубку начинают медленно раскручивать с угловой
27

скоростью со относительчо оси, перпендикулярной
трубке и проходящей через положение равновесия ша-
шарика. Определить зависимость периода и амплитуды
колебаний от угловой
скорости вращения труб-
трубки: /"(со), /(со).
1.96. Велосипедист дви-
движется с постоянной ско-
скоростью v по радиусу го-
Рис. 1,14 ризонтального диска,
вращающегося с частотой
п оборотов в минуту. Определить угол наклона а ве-
велосипедиста и направление наклона,
1.97. Муфта массой т может скользить без трения
по горизонтальной штанге (рис. 1.15). К муфте с
обеих сторон прикреплены одинаковые невесомые
пружины жесткостью к.
Штанга вращается во-
вокруг вертикальной оси с
постоянной угловой ско-
скоростью ш. Муфту сдвига-
сдвигают от положения равно-
равновесия на величину /, а за-
затем отпускают. Опреде-
Определить, как будет двигаться
муфта.
1.98. По диаметру диска радиусом /? высверлен
канал, в котором в начальный момент времени вблизи
центра вращения помещен шарик. Угловая скорость
вращения диска равна ш. Найти скорость v, с которой
зылетнт помещенный внутрь канала шарик. Трением
пренебречь.
1.99. На широте ф — 60° в землю вертикально за-
зарыт рельс длиной /=10 м. Оценить разность потен-
потенциалов U, возникающую между концами рельса из-за
вращения Земли.
1.100. В центре неподвижной карусели находится
человек. Он переходит с постоянной скоростью к краю
карусели, двигаясь при этом с юга на север. Считая
карусель однородным диском, определить, при каком
соотношении масс человека и карусели т/М послед-
последняя приобретет угловую скорость, равную половине
угловой скорости суточного вращения Земли. Считать,
что карусель находится на широте ф = 60°, трением
в подшипниках карусели пренебречь.
28
-
ш
ul
Рис.
УУ/л
?А
л
1
'
1.15
X

§ 1.4 Движение твердого тела и жидкости
1.101. В одном из фантастических проектов пред-
предлагалось изменить скорость вращения Земли с по-
помощью снаряда, запущенного по касательной к эква-
экватору. Какова должна быть разность с — v скоростей
света и снаряда, чтобы остановить вращение Земли
вокруг собственной оси? Найти отношение кинетиче-
кинетической энергии снаряда и кинетической энергии враще-
вращения Земли. Массу покоя снаряда принять равной
m = 106 кг, радиус Земли R d = 6370 км, масса /Из =
= 6-1024 кг. Момент инерции Земли относительно оси
вращения с учетом неоднородности ее плотности с
большой точностью выражается формулой 3^з =
1.102. Определить максимальную линейную ско-
скорость v точки на поверхности электрона в классиче-
классической (и неверной) модели, предполагая, что масса
электрона те = 9,1 ¦ 10~28 г однородно заполняет сферу
радиусом /-о = е,'2/(т.ес2) = 2,8- Ю-13 см. Собственный
момент количества движения электрона (спин) равен
ft/2, где Тг — постоянная Планка.
1.103. На тяжелый барабан, вращающийся вокруг
горизонтальной оси, намотан легкий гибкий шнур. По
шнуру лезет вверх обезьяна массой т. Определить ее
ускорение а относительно шнура, если ее скорость
относительно земли постоянна. Момент инерции бара-
барабана равен 2/', его радиус R.
1.104. Шар скатывается по плоскости, наклонен-
наклоненной под углом а к горизонту. Определить, при каком
значении а начнется ка-
качение со скольжением,
если коэффициент трения
скольжения между катя-
катящимся шаром и плоско-
плоскостью равен k. Рассмотреть
два случая; 1) шар сплош-
сплошной, 2} шар полый.
1Л05, Катушка с ннт- ^^V1^ r _... . к>
кой находится на плоско- 7^7/777777////////////////777//'
сти с углом наклона, рав- Рис. 1.16
ным а (рис. 1,16). Свобод-
Свободный конец нитки прикреплен к стене так, что нитка па-
параллельна наклонной плоскости. Определить ускоре-
ускорение а, с которым катушка движется по наклонной
29

плоскости. Масса катушки равна т, мом?нт инерции
катушки относительно ее оси равен &, коэффициент
трения катушки с наклонной плоскостью я, радиусы
катушки R и г.
1.106. Определить ускорение а, с которым катушка
движется по наклонной плоскости, в условиях преды-
предыдущей задачи, если нитка
намотана на катушку
так, как показано на рис.
1.17.
1.107. Полый цилиндр
массой М, внутри которо-
которого находится сплошной
цилиндр радиусом г =
Vyyy77yyyyyyyy/77777777y77}y7Zy =0,6/? и массой т, ска-
Рис. 1.17 тывается без скольже-
скольжения с наклонной пло-
плоскости, образующей угол а с горизонтом. Внутрен-
Внутренний цилиндр катится по поверхности внешнего
также без скольжения. Начальные скорости обоих
цилиндров равны нулю. Определить ускорение а си-
системы.
1.108. Табуретку наклоняют так, что она опирается
о пол двумя ножками, и отпускают, после чего она
«встает» опять на все четыре ножки. Коэффициент
трения между табуреткой и полом равен k. Оценить
перемещение / табуретки по полу. Считать длину, ши-
ширину и высоту табуретки одинаковыми, а массу со-
сосредоточенной в сидении,
1Л09. С колеса движущегося автомобиля соскаки-
соскакивает декоративный колпак, который, попрыгав по до-
дороге, начинает катиться сразу без скольжения. При
какой скорости и0 автомобиля это возможно? Радиус
колеса равен R = 40 см, колпак можно рассматривать
как однородны:1! диск радиуса г --- 20 см, коэффициент
трения между колпаком и дорогой fe —0,2.
1.110. С автомобиля, движущегося со скоростью v,
соскочило колесо и покатилось но земле. Наблюдение
показало, что колесо описало по земле окружность
радиусом R. Определить угол наклона ср оси колеса
к горизонту. Всю массу колеса считать сосредоточен-
сосредоточенной на периферии. Известно, что R много больше ра-
радиуса колеса.
1.111. Заводской кран, масса которого вместе со
стрелкой равна М = 73 т, стоит на рельсах. Стрела

крана массой m = 20 т составляет с вертикалью угол
а = 6O'J и находится и плоскости, перпендикулярной
рельсам. Центр масс стрелы отстоит на расстояние
1 = 5 м от ее основания. Оставаясь в плоскости, пер-
перпендикулярной рельсам, стрела поворачивается на
угол 2а. Какую скорость v приобретет при этом кран?
Рельсы направлены по меридиану, географическая ши-
широта равна (г = 60", Трением качения и трением в осях
колес крана пренебречь.
1.112. Определить максимальное гироскопическое
давление быстроходной турбины, установленной на
корабле. Корабль подвержен килевой качке с ампли-
амплитудой ф = 9° и периодом 7 = 15 с вокруг оси, перпен-
перпендикулярной оси ротора. Ротор турбины массой т =
= 3500 кг и радиусом R — 0,(j м вращается с часто-
частотой п = 3000 об/мин, Расстояние между подшипни-
подшипниками равно I — 2 м.
1.113. По внутренней поверхности вертикальной ци-
цилиндрической стены едет мотоцикл. Чтобы обеспечить
возможность движения в строю горизонтальном поло-
положении, к мотоциклу приделан маховик с. моментом
инерции 3, вращающийся вокруг1 оси, которая верти-
вертикальна, когда мотоцикл стоит ни земле. Масса мото-
мотоцикла с ездоком равна т, a uetnp масс находится на
расстоянии / от поверхности стены
(радиус цилиндрической стены мно-
много больше размеров мотоцикла).
Каков должен быть коэффициент х
передачи вращения от колес к ма-
маховику, чтобы мотоцикл мот без
проскальзывания колес двигаться,
не теряя высоты? Радиус колес ра-
равен г, коэффициент трения между
колесами и стеной к.
1.114. Два одинаковых точечных
груза массой т вращаются вокруг
неподвижной жесткой оси на ипан-
ге с постоянной угловой скоро-
скоростью со (рис. 1.18). Ось и штанга —
невесомые. Найти момент импульса
if системы относительно точки О; зависит ли ?в от
выбора точки отсчета? Определить силу F, удержи-
удерживающую ось в подшипниках А: 1) из элементарных
соображений, 2) найдя сначала их момент Л =
Рис, ! 18
31

Рис. 1.19
1.115. Обруч радиусом R бросают вперед со ско-
скоростью v и сообщают ему одновременно угловую ско-
скорость со. Определить минимальную угловую скорость
comin, при которой обруч после движения с проскаль-
проскальзыванием покатится назад. Найти конечную скорость
vK, если со > cumin. Трением качения пренебречь.
1.116. По шарику массой т радиусом R, лежа-
лежащему на горизонтальном столе, наносится короткий
горизонтальный удар, сооб-
сообщающий ему импульс р (рис.
1.19). Высота удара над цен-
центром масс шарика равна kR
(k^.. 1). Найти энергию посту-
поступательного (Wn) и вращатель-
вращательного (WE) движения шарика.
При каком значении k шарик
покатится без скольжения?
1.117. Биллиардный шар катится без скольжения
по горизонтальному столу перпендикулярно верти-
вертикальной стене и ударяется об нее. Деформация шара
и стены во время удара упругая. Коэффициент трения
между шаром и стеной равен k. Пренебрегая дейст-
действием силы тяжести за время удара и трением качения,
определить, под каким углом а к горизонту шар отра-
отразится от стены. Исследо-
Исследовать зависимость резуль-
результата от коэффициента
трения k.
1.118. Упругий мяч
массой т = 0,2 кг уда-
ударяется со скоростью v =
=20 м/с в центр непо-
неподвижного гладкого кожу-
кожуха гироскопа, обладающе-
обладающего моментом импульса
^ = ^2 = 40 кг-м2/с и
имеющего одну непо-
неподвижную точку х = у =
= г = 0 (рис, 1.20). Ко-
Координаты точки удара ха = 0, zo = 0,2 м. Какое поло-
положение примет ось гироскопа после удара?
1.119. Раскрученный до частоты вращения п =
= 1000 об/мин стальной диск радиусом Ry = \Q см
опускается на первоначально покоившийся стальной
диск радиусом R2 = 20 см (рис. 1.21). Толщина дисков
А
т
О
Рис. 1.20
32

равна d\ = 1 см, d2 = 2 см. Какое количество теплоты
Q выделится во время проскальзывания дисков друг
относительно друга? Моментом инерции оси и тре-
трением в подшипниках пренебречь. Плотность стали
равна р = 7,8-103 кг/м3.
1.120. Тонкий однородный стержень длиной / =
= 0,3 м лежит на шероховатой поверхности с коэф-
коэффициентом трения fe = 0,l
(рис. 1.22). Один из его
концов нанизан на вер-
вертикальную ось 0, вокруг
которой он может вра-
Рис. 1.21
Рис. 1.22
щаться, причем трением в оси можно пренебречь.
В начальный момент с этим стержнем сталкивается
точно такой же стержень, который двигался поступа-
поступательно со скоростью v = 3 м/с. Удар абсолютно не-
неупругий. В момент удара стержни параллельны. Через
сколько оборотов п прекратится их вращение?
1.121. Тонкий стержень массой М и длиной / ле-
лежит на гладкой горизонтальной плоскости и может
свободно без трения вращаться вокруг неподвижной
вертикальной оси, проходящей через один из его кон-
концов. В начальный момент стержень покоится. В стер-
стержень ударяется шар массой т, движущийся со ско-
скоростью v перпендикулярно стержню. Удар абсолютно
упругий, точка удара находится на расстоянии х от
оси стержня. Найти угловую скорость вращения ю
стержня после удара. Соотношение между массами
М, т и расстоянием х такое, что после удара шар
остановился, а стержень получил максимально воз-
возможную угловую скорость вращения.
1.122. Шарик массой т подвешен на нерастяжи-
нерастяжимой нити длиной / и отклонен на малый угол из поло-
положения равновесия. К той же точке, что и нить, подве-
подвешен одним концом однородный стержень длиной
/i=C/2)/. Какова должна быть масса стержня т\,
чтобы в результате столкновения шарик остановился?
2 Сборник задач по физике
33

Рис 1.23
Удар абсолютно упругий. Каково будет движение
стержня после столкновения? Определить период ко-
колебаний шарика Т.
1.123. Вертикальная винтовая шпилька длиной /
гложет вращаться без трения вокруг своей оси. Шаг
резьбы равен А, момент инерции шпильки Э\, гайки
Эъ масса ганки т. Найти время /, за которое со
шпильки свинтится гайка, если она начинает дви-
двигаться из верхней точки шпильки без начальной ско-
скорости. Трением в резьбе пренебречь.
1.124. Стержень, расположенный горизонтально,
падает с высоты h и упруго ударяется одним концом
о край стола. Определить ско-
скорость v центра инерции стерж-
стержня непосредственно после
удара.
1.125. Шарик массой m вле-
влетает в спиральный лабиринт,
который может свободно дви-
двигаться в пространстве, и оста-
останавливается в его центре
(рис. 1.23). Начальная ско-
скорость шарика равна v, радиус
лабиринта R, его масса М, момент инерции .7. Найти
уголовую скорость и лабиринта после того, как ша-
шарик остановится. Размерами шарика пренебречь.
1.126. Стержень закреплен на потолке шарниром.
По его нижнему концу наносят короткий удар, им-
импульс которого равен р в горизонталь-
горизонтальном направлении. Определить импульс
силы реакции рх в подвесе.
1.127. Два одинаковых стержня со-
соединены шарниром и лежат на глад-
гладком горизонтальном столе (рис. 1.24).
По концу одного из стержней нано-
наносится удар в направлении, перпендику-
перпендикулярном оси стержней. Найти отношение
угловых скоростей (лу/щ и скоростей
v\/vi центров масс стержней после
удара.
1.128. С помощью очень короткой нити однородный
стержень длиной / привязан одним концом к потолку.
Стержень отводят на угол 45° от вертикали и сооб-
сообщают его нижнему концу скорость в направлении,
перпендикулярном вертикальной плоскости отклоне-
Уйар
Рис 1.24

ния стержня. Найти минимальную скорость wmin, ко-
которую нужно сообщить стержню, чтобы при дальней-
дальнейшем движении он смог коснуться потолка.
1.129. В районе Северного полюса на Землю па-
падает метеорит массой m = 1000 t со скоростью v =
= 20 км/с под углом <р = 45° к вертикали. Найти, на
какой угол а повернется земная ось в результате со-
соударения с метеоритом.
1.130. Два одинаковых шара катятся без скольже-
кия навстречу друг другу с одной и той же скоростью
vo = 14 м/с. Предполагая, что удар является упругим
и центральным и за время соударения шаров угловые
скорости не изменяются, вычислить скорость v каж-
каждого шара после столкновения, когда установится чи-
чистое качение. Трением качения пренебречь.
1.131. Пуля массой т, летящая горизонтально со
скоростью vq, попадает в покоящийся на горизонталь-
горизонтальном шероховатом столе деревянный шар массой М и
радиусом У? на расстоянии / ниже центра масс шара
и застревает в нем. Найти установившуюся скорость
v шара. Считать, что т < М.
1.132. Пуля массой т, летящая горизонтально со
скоростью vq, попадает в покоящийся на горизонталь-
горизонтальном шероховатом столе
металлический шар мас-
массой М и радиусом R на
расстоянии R/2 выше
центра масс шара и рико-
рикошетом отскакивает от не-
него вертикально вверх
(рис. 1.25). Спустя неко-
некоторое время движение
шара по столу переходит Рис. 1.26
в равномерное качение со
скоростью V]. Определить скорость v пули после
удара по шару.
ЫЗЗ. В лежащий на столе шар массой М и радиу-
радиусом R попадает пуля массой т, летящая со скоростью
v0 и вращающаяся вокруг своей оси с угловой скоро-
скоростью <о0. Радиус инерции пули равен г. Пуля застре-
застревает в центре шара. Найти энергию W, потерянную
при проникновении пули в шар. За время проникнове-
проникновения пули смещением шара пренебречь.
1.134. Однородный шар радиусом R, вращающийся
с угловой скоростью шо, положен на горизонтальную
2* 35

плоскость так, что ось его вращения наклонена под
углом ф к вертикали. Определить скорость v и угло-
угловую скорость а вращения шара, которые устанавли-
устанавливаются после того, как проскальзывание шара по пло-
плоскости прекратится. Трением качения пренебречь.
1.135. К середине однородного стержня массой т
и длиной /, верхний конец которого подвешен на шар-
шарнире, прикреплена горизонтальная пружина жестко-
жесткостью к. В положении равновесия пружина не деформи-
деформирована. Найти период Т малых колебаний стержня
в плоскости, проходящей через пружину и стержень.
1.136. В центре обруча массой /и, и радиусом R с
помощью легких спиц укреплен сплошной шар радиу-
радиусом R/2 и массой /и2 = 2/И| (рис. 1.26). Обруч висит
на гвозде А. Найти период Т его малых колебаний.
Рис. 1.26
Рис. 1.27
1.137. Маятник имеет вид обруча, висящего на лег-
легкой планке (рис. 1.27). Радиус обруча равен R, рас-
расстояние от центра обруча до точки подвеса маятника
2R. Найти период Т малых колеба-
колебаний маятника.
1.138. Обруч массой m и радиу-
радиусом R приварен к другому обручу
такой же массы и радиуса 2R
(рис. 1.28). Система стоит на гори-
горизонтальном столе. Определить пе-
период Т ее малых колебаний.
1.139. Ось дверцы шкафа шири-
шириной Ь образует с вертикалью угол
а. Считая дверцу однородной тон-
тонкой пластиной и пренебрегая трением, найти период
Т ее малых колебаний относительно положения рав-
равновесия.
1.140. На абсолютно гладкой винтовой шпильке с
шагом резьбы h и внутренним диаметром d находится
Рис. 1.28

Рис. 1.29
цилиндрическая гайка массой М с внешним диаметром
D (рис. 1.29). Гайка зажата с торцов двумя спираль-
спиральными пружинами жесткостью щ и х2. При вращении
гайки концы пружин свободно про-
проскальзывают по торцевым поверхно-
поверхностям гайки. Найти период Г колебаний
гайки.
1.141. Орбитальная станция, совер-
совершающая оборот вокруг планеты за пе-
период Го = 1,5 ч, состоит из двух одина-
одинаковых отсеков, соединенных тросом
длиной 100 м. Найти положение рав-
равновесия системы относительно продол-
продолжения радиуса планеты и период Г
колебаний вокруг этого положения.
1.142. Ворот представляет собой деревянный ци-
цилиндр с ручкой, изготовленной из металлического
прута с линейной плотностью р/ = 2 кг/м, радиус ко-
которого можно считать
пренебрежимо малым по
сравнению с радиусом во-
ворота (рис. 1.30). Опреде-
Определить период Г малых ко-
колебаний колодезного во-
ворота около положения
равновесия. Линейные
размеры ворота: /=1 м, Рис. 1.30
2г = 0,2 м, а = 0,3 м.
Плотность дерева принять равной р = 700 кг/м3. Тре-
Трением в подшипниках пренебречь.
1.143. Два одинаковых стальных бруска длиной
/ = 0,1 м (плотность р = 7,8-103 кг/м3, модуль Юнга
?ю = 2-10" Па) сталкиваются торцами. Рассматри-
Рассматривая упругие волны, оценить время t соударения бру-
брусков. При каких скоростях v брусков возникнут
неупругие явления, если предельное давление стали
р = 2-108 Па?
1.144. Найти упругую энергию W, запасенную в
шаре радиусом R, имеющем модуль объемного сжатия
К и подвергнутом всестороннему давлению р.
1.145. На абсолютно гладкой поверхности лежит
брусок длиной / квадратного сечения со стороной Ь,
изготовленный из однородного материала, модуль
Юнга Ею которого известен. Начиная с определен-
определенного момента на один из концов бруска начинает
37

Рис 1.31
действовать сила F, равномерно распределенная по
всему сечению бруска. Найти изменения длины Д/ и
объема AV бруска.
1.146. Однородный круглый резиновый жгут дли-
пой / и диаметром D помещен в стальную трубку с за-
закрытым концом того же диаметра (рис. 1.31). На ко-
конец жгута со стороны открытого конца трубки на-
начинает действовать сила
F, равномерно распреде-
распределенная по сечению жгута.
Определить, насколько
уменьшится при этом дли-
длина Д/ жгута? Упругие
константы резины считать
известными.
1.147. Определить максимальное давление р, кото-
которое может произвести вода при замерзании. Плот-
Плотность льда равна рл = 0,917 г/см3, модуль Юнга Ею =
= 2,8-1010 Па, коэффициент Пуас-
Пуассона ji = 0,3.
1.148. В цилиндрический сосуд
налита вода до высоты 1г. В дне со-
сосуда проделано круглое отверстие
радиусом г0 (рис. 1.32). Найти ра-
радиус струи воды, вытекающей из
отверстия, в зависимости от рас-
расстояния до дна сосуда, г (у).
1.149. Однородный тонкий упру-
упругий стержень вращается в горизон-
горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через один
из его концов, с постоянной угловой скоростью.
В некоторый момент времени стержень срывается с оси.
Во сколько раз изменится
при этом его относительное
удлинение (рассчитанное по
отношению к длине покоя-
покоящегося стержня)?
1.150. В цилиндрическом
сосуде с площадью основа-
основания S] налита вода до вы-
высоты h. Возле дна сосуда проделано небольшое отвер-
отверстие площадью 52. Определить время t вытекания
воды.
1.151. Цилиндрический сосуд высотой h погружен
в воду на глубину Ао (рис. 1.33). В дне сосуда пло-
Рис. 1.32
« s >
Si
Л
Рис. 1.33
38

щадыо S появилось маленькое отверстие площадью
5,. Определить время t, через которое сосуд утонет.
1.152. В бассейне испытывается модель корабля а
0,01 натуральной величины. Проектная скорость ко-
корабля равна v = 36 км/ч. Найти скорость и, с кото-
которой надо буксировать модель, чтобы картина грави-
гравитационных волн была подобна натуре.
1.153. Оценить методом размерностей фазовую
скорость волн на поверхности жидкости, пренебрегая
влиянием поверхностного натяжения и конечной глу-
глубины.
II. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 2.1. Газовые законы. Первое и второе
начала термодинамики.
Термодинамические циклы
2.1. Три сосуда объемами Vo, V,, V2, содержащие
идеальный газ, соединены тонкими трубками. Вна-
Вначале все три сосуда находятся при одной и той же
температуре То, давление в них равно р0. Затем сосуд
объемом Vo оставляют при температуре То, а сосуды
объемами Vi и V2 нагревают до температур Т} и Т2.
Найти давление р, установившееся в сосудах. Объ-
Объемом трубок пренебречь.
2.2. Температура между двумя оконными рамами
изменяется по линейному закону от Г, до Т2 > 7Y
Площадь окна равна S, расстояние между рамами /,
молярная масса воздуха ц. Определить массу m воз-
воздуха, заключенного между
рамами при атмосферном А
давлении р0. ра
2.3. Вычислить молярную
теплоемкость C(V) идеаль-
идеального газа, совершающего
процесс, показанный на Уо V
рис. 2.1. Его параметры р0 Рис 2 1
и Vo определены на ри-
рисунке. Значение параметра у = Cp/Cv считать извест-
известным. Какой максимальной температуры Гтах дости-
достигает газ в этом процессе? Указать политропические
процессы, графики которых на pV-диаграмме касают-
касаются прямой, представленной на рис. 2.1, в точках, со-
соответствующих C(V) = 0 и C'(V) = oo.
39

2.4. Молярная теплоемкость газа в некотором про-
процессе постоянна и равна С = A7/6) Я, а у = 7/5. Как
зависит давление газа р от его температуры Т в этом
процессе?
2.5. Для идеального газа с произвольным показа-
показателем адиабаты у найти уравнение процесса, при ко-
котором молярная теплоемкость С зависит от темпера-
температуры Т по закону С = |Р, где | = const.
2.6. Идеальный газ сжимается под поршнем в ци-
цилиндре так, что уходящая в окружающую среду теп-
теплота равна приращению внутренней энергии газа.
Определить работу А внешних сил, затраченную на
сжатие одного моля газа при изменении объема в два
раза. Чему равна теплоемкость С в этом процессе?
Начальная температура газа равна То, теплоемкость
при постоянном объеме — Су, показатель адиаба-
адиабаты — у.
2.7. Доказать, что для вещества с произвольным
уравнением состояния температурный коэффициент
объемного расширения р, температурный коэффициент
давления уа и изотермический коэффицент всесторон-
всестороннего сжатия хт связаны соотношением р = уах.т.
2.8. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой
неподвижной теплопроводящей перегородкой АВ на
ж две части (рис. 2.2). В од-
""""" н01-[ находится моль газооб-
газообразного водорода Н2, в дру-
другой — моль газообразного
„,„„„ гелия Не. Начальное со-
состояние системы равновес-
Рис. 2.2 ное, причем оба газа име-
имеют одинаковое давление и
одинаковую температуру Г0 = 293К. Затем поршень
CD адиабатически и квазистатически выдвигают, в ре-
результате чего объем гелия увеличивается в два раза.
Какова будет установившаяся температура Т обоих
газов после расширения?
2.9. Теплоизолированный сосуд закрыт подвижным
поршнем. Исходный объем под поршнем разделен не-
непроницаемой перегородкой на две равные части,
В одну часть помещен идеальный газ, а вторая отка-
откачана до высокого вакуума. Затем перегородка уби-
убирается, и газ заполняет весь объем сосуда. После
этого газ нагревают, заставляя его последовательно
совершать два процесса: 1—процесс при постоянном
40
А
В
Не

Рис. 2.3
давлении, в результате которого объем газа увеличи-
увеличивается в четыре раза, 2 —процесс при постоянном
объеме, в результате которого восстанавливается
исходное давление газа. В обоих процессах газу со-
сообщается одинаковое количество теплоты. Определить
показатель адиабаты газа у.
2.10. Положительную или отрицательную работу А
совершает идеальный газ при круговом процессе
1 — 2 — 3 — 1 (рис. 2.3)? Че-
Чему равна эта работа для т
граммов газа? Начальный и
конечный объем и темпера-
температура газа равны Vi, T\ и
V2, Т2.
2.11. Две органные трубы
одинаковой длины продува-
продувают: одну воздухом при ком-
комнатной температуре То, а
другую — гелием. Опреде-
Определить температуру Т гелия,
при которой тоны второй трубы будут на одну ок-
октаву выше (отношение частот равно двум) соответ-
соответствующих тонов первой трубы. Показатели адиабаты
воздуха и гелия, а также их молярные массы из-
известны.
2.12. Найти скорость v адиабатического истечения
струи идеального газа из сосуда через маленькое от-
отверстие в вакуум, если известны скорость s звука в
газе и показатель адиабаты у.
2.13. Вычислить, во сколько раз стартовая масса
одноступенчатой ракеты ш0 должна превышать ее ко-
конечную массу ш, чтобы ракета могла достичь первой
космической скорости v\. Принять, что истечение в ва-
вакуум продуктов горения в двигателе ракеты происхо-
происходит по идеальному адиабатическому процессу с пока-
показателем адиабаты у = 1,2. Средняя молярная масса
продуктов горения равна ц=30 г/моль, температура
горения Т = 3000 К. Влиянием силы тяжести и трения
о воздух на участке ускорения ракеты пренебречь.
2.14. Оценить давление р у самого «носа» ракеты,
если число Маха Ж = 5, а давление на высоте полета
ракеты р0 = 0,3 атм. Считать процесс сжатия газа
адиабатическим с показателем адиабаты у, а ско-
скорость газа относительно ракеты у ее «носа» равной
нулю.
41

2.15. Определить к. п. д. цикла К, проходящего по-
последовательно через состояния: 1) 2р, V; 2) 2р, 8V;
3) р, 4V; 4) р, 2V. Газ одноатомный, все участки
цикла политропические. (Под к. п. д. понимается от-
отношение полной работы за цикл к сумме теплот по
всем участкам цикла, где рабочее тело поглощает
тепло.)
2.16. Одноатомный идеальный газ, находящийся
при давлении рх и объеме V\, изобарически сжимается
до объема V2 = Vi/4, а затем по политропе перево-
переводится в состояние p3 = 8pi и Уз = Vi/8. После этою
происходит изобарическое расширение до объема
Vn = Vi/4. Далее газ по политропе возвращается в
первоначальное состояние. Найти к. п. д. цикла К.
2.17. При адиабатическом сжатии жидкости отно-
относительное изменение объема составляет AV/V=O,1 °/o,
а температура поднимается на ДТ = 1 К. Найти по
этим данным отношение CP/CV, если температурный
коэффициент объемного расширения жидкости р =
= 10~4 К. Чему равно приращение давления Др в
жидкости, если ее температурный коэффициент дав-
давления уд = Ю5 Па/К?
2.18. Во сколько раз изменится к. п. д. двигателя
внутреннего сгорания, если коэффициент сжатия п
увеличить с П[ = 5 до п2 = 10?
Указание. Реальный цикл двигателя заменить
идеальным замкнутым циклом, состоящим из двух
изохор и двух адиабат, а рабочее вещество считать
многоатомным идеальным газом.
р, ami
Политрапа
У
- -if-
1
1
1
1
Рис
Изотерма
г \ 4
| |
i ! I
2 3 4 VfJJ
, 2,4
2.19. Идеальный двухатомный газ совершает цикл,
изображенный на рис. 2.4. Найти полную работу А
за цикл и вычислить к. п. д. К.
2.20. Атмосфера Земли может рассматриваться как
гигантская тепловая «машина», в которой роль нагре-
нагревателя и холодильника играют экваториальная зона
42

и зоны полюсов, а источником энергии является сол-
солнечная радиация. Считая, что полный поток солнеч-
солнечной энергии, поступающей на Землю, равен /w =
= 1,7-1017 Вт, а к. п. д. К рассматриваемой «машины»
на порядок меньше максимально возможного, оценить
среднюю мощность Р, расходуемую на образование
ветров, в расчете на 1 м2 земной поверхности. Обсу-
Обсудить физические причины, вследствие которых
К < /(max.
2.21. Доказать, что для вещества с произвольным
уравнением состояния, описываемым однозначной
функцией Г = Т(р, V), две политропы не могут встре-
встречаться более чем в одном состоянии.
2.22. Изобразить на pV-диаграмме и проанализи-
проанализировать с помощью термодинамических тождеств цикл
Карно для тепловой машины, работающей на веще-
веществе, для которого во всей рабочей области
(dp/dT)v < 0. Указать расположение «горячек» и
«холодной» изотерм и установить знаки теплоты на
обеих изотермах.
2.23. Имеется N молей льда при температуре плав-
плавления Гпл и окружающая среда, находящаяся при
температуре Т > Тпл. Найти максимальную работу
Атах, которая может быть совершена в подобной си-
ситуации, считая, что вся система адиабатически изо-
изолирована и масса льда пренебрежимо мала в сравне-
сравнении с массой среды. Зависимостью молярной тепло-
теплоемкости воды Св от температуры пренебречь.
2.24. Какую максимальную работу ЛШах можно по-
получить от циклически действующей машины, нагрева-
нагревателем которой служит масса т\ = 1 кг воды при на-
начальной температуре Г, = 373 К, а холодильником —
nin — l кг льда при температуре Г2 = 273К, к мо-
моменту, когда весь лед растает? Чему будет равна тем-
температура воды Т в этот момент? Удельная теплота
плавления льда равна ^ ^ 335 кДж/кг, зависимостью
удельной теплоемкости воды от температуры пре-
пренебречь.
2.25. В объеме Vi = 3 л находится Ni = 0,5 моль
кислорода О2, а в объеме V2 = 2 л находится N?. =
= 0,5 моль азота N2 при температуре Г = 300 К-
Найти максимальную работу Атах, которая может
быть совершена при смешивании этих газов в суммар-
суммарном объеме Vi + V2 в изотермическом и адиабатиче-
адиабатическом процессах. Оба газа считать идеальными.
43

2.26. Найти приращение энтропии Д5 одноатом-
одноатомного идеального газа при политропическом сжатии
вдвое от первоначального объема, если в ходе всего
процесса приращение внутренней энергии равно по-
половине работы сжатия, совершенной над газом.
2.27. В двух сосудах находится по одному молю
идеального газа. Температура газа в обоих сосудах
одинакова, давление в первом сосуде ри а во вто-
втором— рй. Найти приращение энтропии Д5 системы
после соединения сосудов для случаев, когда газы
одинаковы и когда различны.
2.28. В замкнутой трубе объемом V находится
смесь двух идеальных газов по N молей каждого.
У краев трубы находятся
I—1| поршни (рис. 2.5), каждый
*~ с | Г из них «прозрачен» для од-
одного из газов. При переме-
РиС/ 25 щении поршней в сред-
среднюю точку газы полностью
разделяются. Найти работу А, совершаемую внеш-
внешними силами при изотермическом квазистатическом
перемещении поршней, и сравнить отношение А/Т
(где Т — термодинамическая температура) с прира-
приращением полной энтропии газов.
2.29. Адиабатически изолированный сосуд разде-
разделен перегородкой на две равные части, одна из кото-
которых пуста, а в другой находится 1 моль двухатомного
идеального газа при температуре Го. Перегородку
удаляют, и после того как газ равномерно заполняет
весь сосуд, этот газ квазистатически сжимают до на-
начального объема теплонепроницаемым поршнем. Чему
равны приращения энтропии Д5 и температуры ДГ
газа по сравнению с их первоначальными значениями?
2.30. Воздух, находящийся в замкнутом теплоизо-
теплоизолированном объеме V=100 м3, является нагревате-
нагревателем идеальной холодильной машины, потребляющей
мощность Р = 100 Вт. Начальная температура воз-
воздуха ГВОад = 300К, начальное давление р = \ атм,
температура холодильной камеры ГХ = 273К. Оце-
Оценить, какое время / должна проработать машина, что-
чтобы температура воздуха в этом объеме повысилась на
ДГ = 1 К.
2.31. Серебряная проволока диаметром d=l мм
адиабатически нагружается силой F=10 H при ком-
комнатной температуре Т = 300 К. Полагая, что удель-
44

ная теплоемкость серебра равна с = 234 Дж/(кг-К),
плотность р = 104 кг/м3, а температурный коэффи-
коэффициент линейного расширения а = 1,9 • 10~5 К, опре-
определить изменение температуры ДГ проволоки.
2.32. В расположенном вертикально теплоизолиро-
теплоизолированном цилиндре радиусом г имеется теплопроводя-
щий поршень массой т. Первоначально он закреплен
так, что делит цилиндр на две равные части. В каж-
каждой из этих частей содержится N молей одного и того
же идеального газа при давлении р и температуре Т.
Крепление поршня удаляется, и под действием силы
тяжести он опускается. Определить приращение эн-
энтропии AS системы к моменту установления равнове-
равновесия. Считать, что nr*p ~> mg.
2.33. Гелий, первоначально находившийся в сосуде
объемом V = 20 л при давлении р = \ атм, продиф-
фундировал наружу. Найти приращение энтропии AS
гелия и вычислить минимальную работу Ат\п, кото-
которую нужно затратить, чтобы собрать из атмосферы в
сосуд такое же количество гелия.
Указание. В обычном воздухе на 1 атом гелия
приходится 107 молекул других газов.
2.34. В ударной волне нагревание газа происходит
настолько быстро, что первоначально нагревание от
исходной температуры То до высокой температуры Т\
происходит лишь по внешним поступательным и вра-
вращательным степеням свободы. После этого постепенно
возбуждаются внутренние, т. е. колебательные, сте-
степени свободы; этот процесс называется «колебатель-
«колебательная релаксация». Найти отношение температур двух-
двухатомного газа после колебательной релаксации (Г2)
и до нее G\), а также изменение энтропии моля газа
при релаксации в условиях, когда kbT\ *Э> Йш и kBT0 ^
с< Йш, где со — круговая частота
внутримолекулярных колебаний,
/>б — постоянная Больцмана. Счи-
Считать, что релаксация происходит
при постоянном давлении и в
условиях тепловой изоляции.
2.35. Два цилиндра, заполнен-
заполненных одинаковым идеальным двух-
двухатомным газом, сообщаются с по-
помощью узкой трубки; оба они закрыты поршнями, ко-
которые поддерживают в газе постоянное давление р =
= 3 атм (рис. 2.6). Первоначально цилиндры разде-
45
p
г,
v,
р
h
Рис. 2.6

лены, причем значения объемов и температур равны
V! = 1 л, V2 = 2 л, Г, = 300 К, Та = 600 К. После со-
соединения цилиндров происходит выравнивание темпе-
температур. Найти конечную температуру Гк, совершаемую
работу А и приращение энтропии AS. Считать процесс
адиабатическим.
2.36. Давление насыщенного водяного пара при
Т = 290 К равно р = 0,02 атм. Пар первоначально за-
занимает объем 10 л. Затем он изотермически сжи-
сжимается, так что половина его конденсируется. Удель-
Удельная теплота парообразования при этой температуре
равна Л = 2460 кДж/кг. Най-
Найти приращение энтропии Д5
т
системы. Пар считать идеаль-
идеальным газом.
16 2.37. Найти к. п. д. цикла К,
изображенного на рис. 2.7. Все
процессы политропические,
5 — адиабата, Т — изотерма,
—*- Т2 = 2Т1. Уравнение состояния
является произвольным.
Рис' 2-7 2.38. Ртуть сжимают изо-
изотермически при температуре
Т = 300 К, повышая давление от 0 до р= 10 атм
Масса ртути т = 1 кг. Найти работу А, совершенную
над ртутью, и количество теплоты Q, полученное ею
Изотермический коэффициент всестороннего сжатия
ртути равен иг = 4-10-6 атм-1. Температурный коэф-
коэффициент объемного расширения р = 2-10-4 Кг1, плот-
плотность ртути р = 13,6 г/см3.
§ 2.2. Реальные газы. Теплопроводность. Вязкость
2.39. Моль гелия занимает объем У = 0,1 л и на-
находится при температуре Г = 0°С. Измерение вели-
величины Ср/Су — 1 в этих условиях показало, что она
превышает на 3 % свое значение для разреженного
газа. Найти постоянную а для гелия, используя ураи-
нение Ван-дер-Ваальса. Членами высшего порядка
(пропорциональными a2, ab, b2) пренебречь.
2.40. Атмосфера Венеры почти целиком состоит из
углекислого газа СО2. На поверхности планеты плот-
плотность газа р = 0,07 г/см3, его температура Т = 750 К.
Найти давление р газа. Газ считать вандерваальсов-
ским с критическими параметрами рКр = 73 атм,
46

VKP = 94 см3/моль. Провести сравнение с давлением
Рид идеального газа при тех же условиях.
2.41. Один моль газа Ван-дер-Ваальса расширяет-
расширяется по политропе (V—Ъ)Т = const. Определить при-
приращение энтропии Д5 газа, если его температура из-
изменилась от 7\ до Т2. Считать, что теплоемкость Cv
задана и не зависит от температуры.
2.42. Цикл состоит из двух изохор с объемами V\
и V2 и двух адиабат. Рабочим веществом является
газ Ван-дер-Ваальса, постоянная Ъ которого задана, а
теплоемкость Cv не зависит от температуры. Опреде-
Определить к. п. д. цикла К-
2.43. Один моль (N = 1 моль) азота сжат при тем-
температуре То = 273 К до объема, равного Vo=l л.
Критические параметры азота равны Гкр=126К,
укр = 0,12 л/моль. Найти приращение его энтропии
AS при расширении до атмосферного давления без
подвода теплоты и без совершения работы. Считать,
что в сжатом состоянии азот подчиняется уравнению
Ван-дер-Ваальса, а в расширенном ведет себя как
идеальный газ. Теплоемкость Cv задана и не зависит
от температуры.
2.44. В вертикальном цилиндре под массивным
поршнем площадью 5 находится 1 моль газа Ван-дер-
Ваальса, для которого постоянная Ь известна. Найти
частоту о) малых колебаний поршня около положения
равновесия, считая процесс сжатия и разрежения изо-
изотермическим, причем Г = 2Гкр. Равновесный объем
газа в условиях опыта принять равным критическому.
Внешним давлением пренебречь. ¦
2.45. Найти адиабатическую скорость s звука в
газе Ван-дер-Ваальса в критической точке. Постоян-
Постоянные а и b газа и его молярную массу (j, считать извест-
известными. Теплоемкость Cv задана и не зависит от темпе-
температуры.
2.46. В два стоящих рядом сосуда опущен U-образ-
ный медный стержень с поперечным сечением 5 =
= 1 см2. В каждый сосуд налита вода массой m =
= 900 г. Начальные температуры воды в сосудах
(^i)o = 65°C, (Г2H= 10,6°С. Находящаяся в воздухе
часть стержня имеет длину / = 24 см. Через какое
время t разность температур между сосудами сде-
сделается равной Т1 — Г2 = 20°С? Считать, что тепло-
теплообмен между сосудами осуществляется исключительно
через стержень и без потерь, а внутри каждого сосуда
47

температура быстро выравнивается. Теплопроводность
меди равна ?т = 3,9 Вт/(см-К), теплоемкостью стерж-
стержня пренебречь.
2.47. Жидкий гелий при температуре 7\ и давле-
давлении насыщенных паров течет по цилиндрической квар-
кварцевой трубке (внутренний радиус трубки г\, внеш-
внешний-— г2), наружная поверхность которой омывается
жидким азотом при температуре Т2. При таких низких
температурах теплопроводность кварца сильно зави-
зависит от температуры: йт = |Р, ? = const. На какую
максимальную длину / может быть рассчитан такой
трубопровод для подачи жидкого гелия с массовым
расходом на выходе mt (в г/с), если допустимые по-
потери жидкости на испарение составляют 50 %? Удель-
Удельная теплота парообразования равна Л.
2.48. Найти приращение энтропии Д5 132 г угле-
углекислого газа в процессе, в результате которого его
динамическая вязкость уменьшилась в два раза, а
число ударов молекул в расчете на 1 см2 стенки со-
сосуда за 1 с уменьшилось в четыре раза.
2.49. Найти приращение энтропии AS 64 г газооб-
газообразного кислорода в процессе, в результате которого
cfo теплопроводность возросла в два раза, а коэффи-
коэффициент диффузии остался неизменным.
2.50. В дне сосуда с жидким гелием образовалась
щель шириной do = №~4 см и длиной / = 5 см. Тол-
Толщина дна сосуда d —0,5 мм. Найти максимальную
скорость Vmax гелия в щели и массовый расход mt
жидкости в единицу времени, если высота столба ге-
гелия над дном сосуда равна h = 20 см. Плотность и
динамическая вязкость гелия равны р—0,15 г/см3,
г\ = 3,2• 10-5 П. Считать течение ламинарным.
2.51. Проволоку радиусом Г\ = \ мм протягивают
с постоянной скоростью Уо^ Ю см/с вдоль оси трубы
радиусом г2=1 см, которая заполнена жидкостью с
динамической вязкостью ц — Ю-2 П. Найти силу тре-
трения Ртр, приходящуюся на единицу длины проволоки,
и распределение скоростей v(r) жидкости вдоль ра-
радиуса трубы. Считать течение ламинарным.
2.52. Длинная вертикальная трубка длиной / и
радиусом го заполнена жидкостью, для которой кине-
кинематическая вязкость равна v. За какой промежуток
времени / вся жидкость вытечет из трубки под дей-
действием силы тяжести? Влиянием сил поверхностного
натяжения пренебречь. Процесс установления ско-
48

рости жидкости считать мгновенным, а течение ла-
ламинарным.
2.53. Вода вытекает из широкого открытого сосуда
через горизонтальный цилиндрический капилляр ра-
радиусом го= 1 мм и длиной /=10 см, расположенный
у дна сосуда. Какая мощность Р расходуется на вы-
выделение теплоты, если высота воды в сосуде Л —5 см.
Считать течение ламинарным, динамическую вязкость
г] fa Ю-2 П.
2.54. В плоской камере, доверху заполненной во-
водой, вращается горизонтальный диск радиусом г =
= 20 см (рис. 2.8). Какая
мощность Р необходима для <-р.
его вращения с частотой
I = 5 с-1, если диск нахо-
находится на расстояниях U =
i= 5 мм от верхней и U =
= 10 мм от нижней стенок
камеры? Эффектами, свя- Рис. 2.8
занными с радиальными по-
потоками воды и краевыми явлениями, пренебречь.
Считать течение ламинарным, динамическую вязкость
воды г] = Ю-2 П.
§ 2.3. Молекулярно-кинетическая теория.
Явления переноса
2.55. Давление молекулярного водорода при тем-
температуре Го = 350 К составляет ро= 1 Торр. Оценить,
каким будет давление р газа, если при постоянном
объеме нагреть его до температуры Г такой, что
АгБГ —300 эВ (&Б •—постоянная Больцмана). Энергия
ионизации атома водорода равна №„ = 13,6 эВ.
2.56. Мишень для получения термоядерной реак-
реакции представляет собой шарик радиусом го = 5О мкм
из замороженной смеси, содержащей равное число
атомов дейтерия и трития. Она подвергается кратко-
кратковременному (порядка 10~и с) всестороннему облуче-
облучению светом лазера. Поглощенная энергия составляет
№=102 Дж. Оценить температуру Г мишени и дав-
давление р в ней после вспышки лазера, считая, что ве-
вещество еще не успело разлететься, но температура
успела установиться. Плотность мишени равна р =
= 0,2 г/см3.
49

2.57. Написать выражение для давления dp, про-
производимого на стенку сосуда молекулами идеального
газа, скорости которых заключены между v и v-\-dv.
Считать распределение молекул по скоростям мак-
свелловским. Найти значение v0, для которого dp мак-
максимально при заданном dv. Концентрация молекул
равна п, температура газа Т, масса молекул т.
2.58. В условиях предыдущей задачи написать вы-
выражение для среднего числа ударов dN, производи-
производимого на единицу площади стенки сосуда в единицу
времени молекулами идеального газа, скорости кото-
которых заключены между v и v + dv. Найти значение vQ,
для которого dN максимально при заданном dv.
2.59. Вычислить полное число молекул N, прихо-
приходящееся на единицу площади стенки в единицу вре-
времени, а также их среднюю тепловую скорость v. Кон-
Концентрация молекул в сосуде равна п, их масса т, тем-
температура Т.
2.60. Через отверстие тонкостенного сосуда, содер-
содержащего газ при температуре Т, вылетают в вакуум
молекулы. При какой скорости vq полная кинетиче-
кинетическая энергия молекул, вылетающих через отверстие
в единицу времени в интервале скоростей v0, vQ-\-dv,
будет максимальной при заданном dv? Найти сред-
среднюю кинетическую энергию WK вылетающей мо-
молекулы.
2.61. Электроны, движущиеся в тонких пленках и
в тонких приповерхностных слоях кристаллов, мо-
могут рассматриваться как «двумерный» электронный
газ. Вычислить для них отношение наивероятнейшей
и среднеквадратичной скоростей Унв/(и2I/2. Считать
распределение молекул по скоростям максвеллов-
ским.
2.62. В условиях предыдущей задачи вычислить
Z ¦— частоту ударов электронов в расчете на единицу
длины периметра границы в единицу времени. Выра-
Выразить Z через поверхностную концентрацию электронов
п, их температуру Т и массу т.
2.63. В центре сферы радиусом г в момент времени
f = 0 создается No молекул газа, скорости которых
имеют максвелловское распределение с температурой
Т. Затем молекулы разлетаются без столкновений и
оседают на стенках сферы. Найти ]{t)-—плотность
потока молекул на сферу как функцию времени. Опре-
Определить момент времени to, когда поток максимален, и
СО

найти скорость Vo молекул, подлетающих к стенке в
этот момент. Масса молекул газа равна т.
2.64. Ракета с термостатированной кабиной, пред-
представляющей собой цилиндр высотой h, движется с
ускорением а вдоль оси цилиндра. Масса воздуха
внутри кабины равна М. Как изменятся температура
и энтропия воздуха в кабине после выключения дви-
двигателя? Воздух рассматривать как идеальный газ с
молярной массой ^. Считать, что [iah/(RTa) <C 1, где
70 — температура воздуха в кабине. Рассмотреть два
случая: 1) двигатель выключается медленно, так что
процессы идут квазистатически, и 2) двигатель вы-
выключается мгновенно, так что распределение концен-
концентрации газа в кабине не успевает измениться.
2.65. Как изменится энтропия моля идеального
газа, находящегося в термостатированном цилиндри-
цилиндрическом сосуде радиусом г, в результате быстрого
раскручивания сосуда до значения угловой скорости
(о < r-l(RT/nI'2, где [I — молярная масса газа.
2.66. Неподвижный тонкостенный сосуд объемом V
наполнен идеальным одноатомным газом и поддержи-
поддерживается при постоянной температуре Т. В стенке со-
сосуда имеется отверстие площади S, через которое мо-
молекулы газа вылетают в вакуум. Размеры отверстия
малы и в сравнении с размерами сосуда, и в сравне-
сравнении с длиной свободного пробега. Определить закон
изменения во времени потока тепла Jo(t), подводи-
подводимого к сосуду для поддержания в нем постоянной тем-
температуры. Начальная концентрация атомов равна п0,
масса атомов т,
2.67. Идеальный газ из атомов массой т нахо-
находится в неподвижном тонкостенном сосуде объемом V
с теплоизолированными стенками. В стенке сосуда
имеется отверстие площадью S, через которое моле-
молекулы вылетают в вакуум. Размеры отверстия малы и
в сравнении с размерами сосуда, и в сравнении с
длиной свободного пробега. Определить закон изме-
изменения во времени температуры газа T(t) в сосуде.
Считать начальную температуру газа TQ и все необхо-
необходимые параметры газа известными. Теплоемкостью
стенок сосуда пренебречь.
2.68. Пользуясь распределением Больцмана, найти
среднюю потенциальную энергию атомов О идеаль-
идеального газа при температуре Т в поле U(x) — Ах2,
А >0.
51

2.69. В замкнутом тонкостенном сосуде находится
разреженный идеальный газ под давлением р. В стен-
стенке сосуда сделано отверстие площадью 5, через кото-
которое происходит молекулярная эффузия газа. Опреде-
Определить реактивную силу F, испытываемую сосудом при
истечении газа через отверстие.
2.70. Оценить, при каком давлении р воздуха в нем
может распространяться звук с частотой v = 100 кГц
при температуре Т.
2.71. Оценить радиус г алюминиевой частицы, взве-
взвешенной в жидкости плотностью р0 = 1 г/см3 и дина-
динамической вязкостью ii=l П, для которой скорость вяз-
вязкого падения сравнивается со скоростью ее теплового
движения при комнатной температуре. Будут ли выпа-
выпадать в осадок такие частицы в алюминиевой краске?
2.72. При измерении вязкости методом Стокса
стальные шарики плотностью рст и радиусом гй сбра-
сбрасывают точно в центре сосуда в жидкость (плотность
рж, температура Т). Каково среднеквадратичное рас-
расстояние (ДгJ точек удара шариков о дно сосуда от
его центра, если высота столба жидкости равна Л?
При выводе считать h сколь угодно большим, но в
ответе привести критерии справедливости результата.
2.73. При наблюдении за каплей жидкости, несу-
несущей на себе элементарный заряд, было обнаружено,
что сила тяжести, действующая на каплю, уравнове-
уравновешивается электрическим полем напряженностью Е =
= 104 В/см. Наблюдение за каплей при включенном
поле показало, что ее среднеквадратичное броунов-
броуновское смещение за время ^=100 с составляет г =
= Ю-2 см. Оценить скорость v установившегося паде-
падения капли при выключенном поле. Капля находится
в камере, наполненной водородом, с давлением р =
= 1 атм и плотностью р = 0,09 г/л.
2.74. Зная, что средняя длина свободного пробега
однозарядного иона аргона-40 в тяжелом газе равна
/= 10~5 см, оценить среднюю дрейфовую скорость удр
движения иона в этом газе под действием однородного
электрического поля напряженностью ? = 300 В/см.
Считать температуру газа комнатной.
2.75. Первоначально вода при температуре Т =
= 300 К заполняла трубку длиной /= 10 см, запаян-
запаянную с одного конца, наполовину. Относительная влаж-
влажность воздуха 50%, а давление насыщенных паров
Риас ~ 27 мм рт. ст. Длина свободного пробега в си-
52

стеме воздух — пар составляет /пР « 10~s см. Оценить
время t испарения воды из трубки. Считать пар у по-
поверхности воды насыщенным, капиллярными явле-
явлениями пренебречь.
2.76. Сосуд через длинную трубку откачивается
идеальным (т. е. улавливающим все попадающие в
него молекулы) высоковакуумным насосом. Из-за те-
течей в стенках сосуда давление в нем не падает до
нуля, а после длительной откачки устанавливается на
уровне, при котором длина свободного пробега ln^d,
где d — диаметр трубки. Как изменится этот предель-
предельный вакуум, если диаметр трубки уменьшить вдвое?
2.77. Из большого объема откачивается воздух при
давлении р = 10~4 мм рт. ст. и комнатной температуре
через трубопровод длиной ! = 2 м и радиусом г =
= 10 см. Насос имеет производительность (т. е. объ-
объемный расход) V(P= 1 м3/с. При какой производи-
производительности Vt насоса будет обеспечена такая же ско-
скорость откачки сосуда, если насос присоединен непо-
непосредственно к откачиваемому объему?
2.78. Найти поток молекул жидкости /, испаряю-
испаряющихся с единицы площади поверхности в единицу
времени в вакуум при температуре Т, если известно
давление насыщенных паров р„ас при этой темпера-
температуре и коэффициент прилипания К. Последний равен
отношению числа молекул пара, прилипающих к по-
поверхности жидкости, к полному числу молекул пара,
ударяющихся за это время о поверхность жидкости.
2.79. Узкий цилиндрический сосуд, диаметр кото-
которого мал в сравнении с его высотой Л = 20 см, цели-
целиком заполнен водой при комнатной температуре. Со-
Сосуд обдувается сверху поперечным потоком сухого
воздуха, так что давление пара на верхнем конце
сосуда можно считать равным нулю. Учитывая диф-
диффузию пара в сосуде, найти промежуток времени t,
через который испарится вся вода. Плотность насы-
насыщенного пара равна рнас = 3-10-5 г/см3, а коэффи-
коэффициент диффузии молекул воды в воздухе D—0,Зсм2/с.
Считать, что давление пара непосредственно над по-
поверхностью жидкости равно рнас.
2.80. Две части сосуда разделены пористой пере-
перегородкой. В начальный момент первый сосуд напол-
наполняется гелием (^1 = 4), а второй — ксеноном (s&2 —
= 131) при нормальных условиях. Перегородка не
влияет на скорость диффузии, она лишь препятствует
53

перемешиванию газов при заполнении системы. Через
некоторое время концентрация Хе в Не на расстоянии
/= 1 см от перегородки стала равной 0,01 ат.%. На
каком расстоянии х от перегородки в этот момент кон-
концентрация Не в Хе также составит 0,01 ат.%? Срав-
Сравнить также частоту соударений Z, атомов гелия в ксе-
ксеноне с частотой соударений Z2 атомов ксенона в гелии.
2.81. По распространению радиоактивных газов
после ядерных взрывов известно, что благодаря тур-
турбулентности время перемешивания по всей земной
атмосфере составляет около одного года. Во сколько
раз быстрее происходит процесс турбулентного пере-
перемешивания в условиях атмосферы по сравнению с
молекулярной диффузией?
§ 2.4. Флуктуации. Фазовые переходы.
Поверхностное натяжение
2.82. Газообразный гелий вытекает в вакуум через
отверстие площадью 5 =0,1 мм2 из тонкостенного со-
сосуда, в котором давление и температура поддержи-
поддерживаются равными р=10-6 атм, Т = 273 К. В экспери-
эксперименте измеряется полное число N атомов, прошедших
через отверстие за интервал времени t-— 10~3 с. Оце-
Оцепить относительную среднеквадратичную флуктуацию
полного числа атомов, а также вероятность w того,
что при одном из измерений число вылетевших из со-
сосуда атомов будет равно нулю.
2.83. Найти относительную среднеквадратичную
флуктуацию потенциальной энергии внутримолекуляр-
внутримолекулярных колебаний: 1) двухатомной молекулы, 2) УУ-атом-
ной молекулы и 3) моля идеального газа, состоящего
из двухатомных молекул. Считать колебания гармо-
гармоническими.
2.84. Два одинаковых сообщающихся сосуда за-
заполнены газом при нормальных условиях. Каким дол-
должен быть объем V каждого сосуда, чтобы вероятность
состояния, при котором давление в сосудах изотерми-
изотермически изменится на Ю-7 %, была в е100 раз меньше,
чем вероятность исходного состояния?
2.85. Каким должен быть объем Vu выделенный в
большом сосуде с газообразным гелием, чтобы отно-
относительная среднеквадратичная флуктуация температу-
температуры в нем составляла 10~6? Гелий находится при нор-
нормальных условиях.
64

2.86. Пучок атомов гелия выводится из камеры с
давлением р—10~4 Торр и температурой 7 = 300 К
в высокий вакуум через систему из двух коаксиаль-
коаксиальных круглых отверстий радиусом г = 0,1 мм, разде-
разделенных расстоянием / = 1 см. Найти поток атомов /,
проходящих через 2-е отверстие в единицу времени, и
относительную среднеквадратичную флуктуацию чис-
числа частиц в импульсах продолжительностью tf—10~3 с.
2.87. Предел чувствительности пружинных весов
ограничивается тепловым движением механизма.
Найти ту малую массу т, которая может быть опре-
определена при однократном взвешивании на пружинных
весах, если жесткость пружины равна и, а темпера-
температура — Т.
2.88. В сосуде находится газ Ван-дер-Ваальса в
условиях, когда средний молярный объем равен кри-
критическому, а температура 7 превышает критическую
7кр. Найти изотермическую среднеквадратичную
флуктуацию объема (Д1/J небольшого элемента этого
газа, имеющего равновесный объем V.
2.89. В сосуде объемом 1 л при комнатной темпе-
температуре находится равное число N атомов двух различ-
различных газов. Оценить значение А/, при котором вероят-
вероятность для этих газов хоть один раз разделиться на
протяжении эпохи порядка возраста наблюдаемой
части Вселенной (около 1010 лет) сравнима с еди-
единицей.
2.90. Предполагая, что температура атмосферы по-
постоянна и равна 7а, температура кипения воды на
поверхности Земли равна 7о, определить температуру
Т кипения воды на высоте h от поверхности Земли.
Считать, что удельная теплота парообразования Л не
зависит от температуры.
2.91. При определении влажности по точке росы
было установлено, что конденсация водяного пара
наблюдается при охлаждении поверхности гигрометра
до температуры 10°С. Найти абсолютную влажность,
считая, что удельная теплота парообразования воды
не зависит от температуры, Л = 2260 кДж/кг. Пары
воды считать идеальным газом.
2.92. Найти приращение АЛ удельной теплоты па-
парообразования воды при повышении температуры от
323 до 373 К. Считать теплоемкость воды постоянной,
а водяной пар классическим идеальным газом,
55

2.93. На дне сосуда, заполненного воздухом, раз-
разлита вода. Сосуд закрыт поршнем, который выдви-
выдвигают настолько медленно, что пар все время остается
насыщенным. Температуру сосуда поддерживают по-
постоянной. Когда объем увеличивается в два раза, вода
исчезает. Определить давление pHac насыщенного па-
пара, полную массу тъ воды (в жидкой и газообразной
фазах) и массу воздуха тВОзд в камере, если известно,
что в начале процесса полное давление было /?[ =
= 3 атм, а в конце процесса р2 = 2 атм. Начальный
объем равен Vo = 22,4 л.
2.94. Насыщенный водяной пар, находящийся в ци-
цилиндре под поршнем при 100 °С, нагревают на 1 °С
и перемещают поршень так, что пар остается насы-
насыщенным, а конденсации не происходит. Найти относи-
относительное приращение объема пара, считая его идеаль-
идеальным газом. При 100°С удельная теплота парообразо-
парообразования воды равна Л = 2260 кДж/кг.
2.95. В Антарктиде под трехкилометровой толщей
льда обнаружены озера пресной воды. Определить
температуру Т воды в этих озерах, если удельная теп-
теплота плавления льда q = 336 кДж/кг, а отношение
плотности льда к плотности воды составляет 0,917.
2.96. Терморегулятор автомобильного двигателя
представляет собой цилиндрический сосуд с гофриро-
гофрированными стенками (сильфон),
наполненный этиловым спир-
спиртом и его паром (рис. 2.9). При
низкой температуре воды дав-
давление в сильфоне мало, он
Насос сжат и закрывает клапан,
ослабляя таким образом цир-
циркуляцию воды в системе ох-
охлаждения двигателя. При до-
достаточно высокой температуре
воды сильфон растягивается и
открывает клапан, вода начи-
начинает циркулировать сильнее,
охлаждается и т. д. Какова должна быть сила дав-
давления F пружины клапана, чтобы он открывался при
Т = 363 К? Диаметр сильфона d = 2 см, темпера-
температура кипения спирта при давлении р0= 1 атм равна
7 = 351К, удельная теплота парообразования спир-
спирта Луд = 850 Дж/г, его химическая формула
С,Н5ОН.
Рис. 2.9

2,97. Гейзеры могут рассматриваться как большие
подземные резервуары, наполненные грунтовой водой
и прогреваемые подземным теплом (рис. 2.10). Выход
из них на поверхность земли осуществляется через
Нагретые пласты
Рис. 2.10
узкий канал, который в «спокойный» период заполнен
водой. Считая, что «активный» период наступает,
когда закипает вода в подземном резервуаре, и что
во время извержения гейзера канал заполнен только
паром, который и выбрасывается наружу, оценить,
какую часть воды теряет резервуар гейзера во время
одного извержения. Глубина канала h = 90 м. Моляр-
Молярная теплота парообразования воды равна Л =
= 41 кДж/моль.
2.98. Гелий-3 CНе) при нормальном давлении
остается жидким вплоть до абсолютного нуля темпе-
температур. Минимальное давление, при котором он за-
затвердевает, рт1п = 28,9 атм. Энтропия жидкого ге-
лия-3 в расчете на моль в интересующей нас области
температур меняется по закону Sjk = RT/T0, a To =
= 0,22 К (см. задачу 7.61). Энтропия твердого гелия-3
в рассматриваемом диапазоне температур не зависит
от температуры и равна 5Тв = /?1п2 на моль (см. за-
задачу 7.16). Разность объемов жидкого и твердого ге-
гелия Д1/= Vm— Vte ~ 1,25 см3/моль. Найти темпера-
ТУРУ Tmin, соответствующую па кривой плавления дав-
давлению Pmin, температурную зависимость теплоты плав-
плавления q(T), а также давление затвердевания гелия-3
при 7 = 0.
2.99. Согласно одной из моделей, центральная
часть Земли (так называемое ядро) состоит из же-
железа. Внешняя часть ядра расплавлена, а внутренняя
часть радиусом RT « 1200 км твердая. Ядро остывает
57

со скоростью и та 10~7 К/год; различием температуры
в пределах ядра можно пренебречь. На сколько изме-
изменится радиус \RT твердой части ядра Земли за время
t= 109 лет? Считать, что удельная теплота плавления
железа при условиях, соответствующих поверхности
ядра, приближенно равна q « 125 Дж/г, температура
на поверхности ядра Т « 3700 К> а изменение плот-
плотности железа при затвердевании До = 0,3 г/см3. Из-за
того что Др <С р, можно пренебречь изменением рас-
распределения давления р(г) по мере затвердевания
Ядра.
2.100. В замкнутом сосуде находится вода в равно-
равновесии с насыщенным паром при температуре 100 °С.
Отношение масс пара и воды | = 0,1. Удельная тепло-
теплоемкость воды равна св = 4,2 Дж/(г-К)- Найти удель-
удельную теплоемкость сс такой системы. Пар считать
идеальным газом. Удельная теплота парообразования
воды равна Луд = 2260 Дж/г.
2.101. Найти удельную теплоемкость cv редкого
тумана (т. е. насыщенного пара с капельками воды,
полная масса которых много меньше массы пара) при
постоянном объеме и температуре 100°С. Молярная
теплота парообразования воды при 100 °С и постоян-
постоянном давлении равна Л = 41 кДж/моль.
2.102. В вакуумной камере на двух концах тонкой
трубки находятся два почти одинаковых по размеру
_„ масляных пузыря, напол-
наполненных воздухом (рис.
2.11). В начальный момент
трубка перекрыта краном
К- Что произойдет после
Рис. 2 11 открытия крана? Считая
процесс изотермическим,
вычислить полное приращение Д5 энтропии газа.
Начальные радиусы пузырей г0 = 5 см. Поверхност-
Поверхностное натяжение масла а = 30 дин/см. Температура
Т = 300 К.
2.103. Мыльный пузырь радиусом г при понижении
давления во внешней среде увеличил свой радиус
вдвое. Считая процесс изотермическим, найти полное
приращение энтропии пузыря, включая энтропию
мыльной пленки. Начальное давление равно р0, по-
поверхностное натяжение мыльной пленки ст, удельная
теплота образования каждой поверхности мыльной
пленки q. Считать, что 2ст/г <С р0.
58
_i'—i

2.104. Сосуд с водой нагревают при постоянном
давлении ро=1 атм. Найти, на сколько температура
вскипания воды будет выше Г=100°С, если в ней
содержатся песчинки с максимальным радиусом г =
= 10 мкм. Поверхностное натяжение равно а =
= 60 эрг/см2, молярная теплота парообразования во-
воды равна Л = 41 кДж/моль.
2.105. Капелька воды радиусом г = 10 мкм нахо-
находится в замкнутой полости в равновесии с паром. При
каком объеме V полости это равновесие будет устой-
устойчивым? Стенки полости считать несмачиваемыми,
других капель и центров конденсации нет. Система
изотермическая (Г = 293 К). Насыщенный пар счи-
считать идеальным газом, его давление ркгс= 17,5 Торр.
2.106. Пары воды, находящиеся в помещении, на-
начинают конденсироваться на гладкой поверхности при
охлаждении ее до 7\ = 10°С. Начиная с какой темпе-
температуры Т они начнут конденсироваться на пористой
поверхности с радиусом пор г = 10~5 см? Удельная те-
теплота парообразования воды равна Луд=2480 кДж/кг,
поверхностное натяжение а = 70 дин/см. Угол сма-
смачивания равен нулю.
111. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 3.1. Электростатика
3.1. Электрический квадруполь состоит из двух по-
положительных и двух отрицательных одинаковых по
модулю точечных зарядов q, расположенных в верши-
вершинах квадрата со стороной а, как указано на рис. 3.1.
Найти напряженность электриче-
электрического поля Е такого квадруполя
в точке А, находящейся на рас-
расстоянии |>а от его центра О,
если линия ОА параллельна од-
одной из сторон квадрата.
3.2. В модели атома Томсона Рис 3.1
предполагалось, что положи-
положительный заряд q распределен внутри шара радиусом
г = Ю-8 см. Как должна зависеть объемная плот-
плотность р положительного заряда от расстояния до
центра шара, чтобы электрон, помещенный внутри
шара, мог совершать гармонические колебания?
Найти частоту v колебаний электрона.
59
О»

3.3. Точечные заряды q{ и q2 находятся на расстоя-
расстоянии / друг от друга. Определить силы F, и F2, кото-
которые будут действовать на эти заряды после того, как
посредине между ними будет расположена бесконеч-
бесконечная металлическая пластина толщиной 1/2.
3.4. Две взаимно перпендикулярные проводящие
плоскости образуют двугранный угол. На биссектрисе
этого угла на расстоянии а от вершины помещен
электрический диполь с моментом р3. Ось диполя на-
направлена к вершине угла. Найти силу F, действую-
действующую на диполь.
3.5. Над листом металла перпендикулярно к нему
расположен равномерно заряженный тонкий стержень
длиной /= 1 см с зарядом q= 10~8 Кл. Нижняя точ-
точка стержня удалена от листа на h = 1 см. Найти по-
поверхностную плотность а индуцированного заряда в
точке, расположенной на листе непосредственно под
стержнем.
3.6. На высоте h = 1 см над плоскостью горизон-
горизонтально лежащего металлического листа расположен
равномерно заряженный диск радиусом г= 1 см с за-
зарядом q = 10~9 Кл. Плоскость диска параллельна пло-
плоскости листа. Найти поверхностную плотность а ин-
индуцированного заряда в точке, расположенной на
листе непосредственно под центром диска.
3.7. В плоском конденсаторе с напряженностью
поля Е = 103 В/м из отрицательно заряженной пла-
пластины в результате термоэмиссии вылетают электро-
электроны. Учитывая действие поля электрического изобра-
изображения, оценить, на каком расстоянии / от этой пласти-
пластины скорость электронов будет минимальной.
3.8. Точечный заряд q помещен на расстоянии л/2
от центра полой тонкостенной металлической изоли-
изолированной сферы радиусом г, на которой расположен
заряд —2<7. Определить поверхностную плотность за-
заряда на внутренней и внешней поверхностях сферы
в точках, наиболее удаленных от этого заряда. Как
изменится результат, если сферу заземлить?
3.9. Точечный заряд q помещен на расстоянии г/2
от центра полой тонкостенной металлической изоли-
изолированной сферы радиусом г, на которой расположен
заряд Q. Определить силу, действующую на заряд q,
а также поверхностную плотность заряда на внутрен-
внутренней и внешней поверхностях сферы в точках, ближай-
ближайших к этому заряду.
60

3.10. В поле точечного заряда q внесли проводя-
проводящую сферу радиусом г. Во сколько раз изменилась
при этом напряженность поля в точках А и В
(рис. 3.2), если расстояние
между центром сферы и заря-
дом /= Юг?
3.11. В однородное электри-
электрическое поле напряженностью
Ео вносится незаряженный про- Рис. 3.2
водящий шар. Указать на его
поверхности точки, в которых поле по модулю:
1) остается прежним, 2) удваивается.
3.12. Металлическая незаряженная сфера радиу-
радиусом г вносится в однородное электрическое поле на-
напряженностью EQ. Найти точки пространства, в кото-
которых поле стало равно: 1) 2Е0, 2) EQ/3.
3.13. Небольшой незаряженный металлический ша-
шарик может свободно перемещаться вдоль оси тонкого
однородно заряженного кольца радиусом г. Найти
равновесные положения шарика и рассмотреть их
устойчивость по отношению к осевым смещениям.
3.14. На внутренней поверхности одной из пластин
плоского заряженного конденсатора имеется полусфе-
полусферический бугорок. Вдали от бугорка напряженность
электрического поля в конденсаторе равна Ео. Ис-
Используя принцип суперпозиции полей, найти поле у
вершины и у основания бугорка. Будет ли происхо-
происходить разряд с бугорка радиусом 1 мкм, если Ей =
= 1 кВ/см, а напряженность, при которой наступает
пробой воздуха, равна 30 кВ/см?
3.15. Параллельно оси длинного металлического
цилиндра радиусом г на расстоянии / > г от его оси
расположена длинная тонкая проволочка. Вдали от
краев линейный заряд проволочки равен т, цилиндра
—т. Найти силу взаимодействия F между прово-
проволочкой и цилиндром, приходящуюся на единицу
длины.
3.16. Длинная медная проволока помещена в одно-
однородное электрическое поле напряженностью Ео, пер-
перпендикулярное оси проволоки. Найти распределение
поверхностного заряда о(8) на проволоке.
3.17. Найти модуль и направление силы взаимо-
взаимодействия F между двумя незаряженными проводя-
проводящими сферами радиусом г каждая, помещенными в
однородное электрическое поле напряженностью Еа,
61

направленное параллельно линии, соединяющей цен-
центры сфер. Расстояние между центрами сфер / > г.
3.18. Найти модуль и направление силы взаимо-
взаимодействия F между двумя незаряженными проводя-
проводящими сферами радиусом г каждая, находящимися в
однородном электрическом поле напряженностью Ео,
направленном перпендикулярно линии, соединяющей
центры сфер. Расстояние между центрами сфер / 3> г.
3.19. На расстоянии 1г от центра заземленной ме-
металлической сферы радиусом г расположен электри-
электрический диполь с моментом рэ, причем ось диполя ле-
лежит на прямой, проходящей через центр сферы. Счи-
Считая диполь точечным, определить, какой системе за-
зарядов-изображений эквивалентна сфера. Найти силу
взаимодействия F между диполем и сферой.
3.20. Два одинаковых по модулю точечных заряда
q и — q расположены на расстоянии 11 друг от друга.
Посредине между ними расположена незаряженная
проводящая сфера радиусом г. Считая / ^> г, опреде-
определить, какой системе зарядов-изображений эквива-
эквивалентна сфера. Найти относительное изменение силы
AF/F, действующей на каждый за-
заряд, обусловленное взаимодействи-
взаимодействием со сферой.
3.21. Найти напряженность элек-
электрического поля Е в шаровой по-
полости однородно заряженного шара
(рис. 3.3). Объемная плотность за-
заряда равна р. Расстояние между
центром полости и центром шара
равно /.
3.22. Найти распределение заряда о(9) по поверх-
поверхности сферы радиусом г, при котором поле внутри
нее однородно и его напряженность равна Е. Каково
при этом поле вне сферы?
3.23. Три электрона в состоянии покоя помещены
в вершинах правильного треугольника со стороной
а = 1 см. Они начинают двигаться под действием
взаимного отталкивания. Определить их предельную
скорость v.
3.24. Решить задачу 3.23 для релятивистских ско-
скоростей. При каких расстояниях а можно пользоваться
нерелятивистским приближением?
3.25. В результате импульсного разряда конденса-
конденсатора через разреженный газ — водород происходит на-
62

гревание газа до температуры Т. Оценить величину Т,
считая, что вся энергия разряда пошла на нагревание
газа. Указать возможные причины понижения темпе-
температуры. Провести численные оценки для L/ = 3104 В,
С = 1,8- 10~5 Ф, полагая, что до разряда водород на-
находился при комнатной температуре То = 293 К и за-
занимал объем V = 10~2 м3 при давлении р = 1,29 Па.
Оценить, на сколько нагрелись бы обкладки конден-
конденсатора, если бы вся энергия разряда пошла на их на-
нагревание. Удельная теплоемкость меди равна с=
= 4,2-102 Дж/(К-кг), масса обкладок ш=0,1 кг.
3.26. Считая, что масса электрона определяется из
соотношения W = тес2, где W — электростатическая
энергия электрона, найти радиус г электрона, приняв,
что заряд электрона распределен по всему его объему
с постоянной плотностью.
3.27. Вывести выражение для энергии малого ди-
диполя во внешнем электрическом поле напряженностью
Е Рассмотреть случаи жесткого диполя с электриче-
электрическим моментом рэ и упругого диполя с поляризуе-
поляризуемостью а (рэ = аг0Е).
3.28. Для инжекции в термоядерную установку ис-
используется цилиндрический пучок дейтронов с энер-
энергией W = 500 кэВ, имеющий диаметр D = l см. Ток
в пучке составляет / = 1 А и равномерно распределен
по его сечению. Найти напряженность Е электриче-
электрического поля на поверхности пучка и разность потен-
потенциалов U между поверхностью пучка и его центром.
3.29. Металлический шар радиусом ri = 100 см
несет заряд <7=10~G Кл. На расстоянии /=100 см
от его поверхности расположен незаряженный метал-
металлический шарик массой т = 10-3 г и радиусом г2 =
= 1 см, которому сообщают некоторую начальную
скорость в направлении от центра шара. Найти мини-
минимальную СКОРОСТЬ Umln, При КОТОрОЙ ШарИК МОЖвТ
удалиться на бесконечность.
3.30. Керн длиной / = 25 см потерял скорость, про-
пробив броню толщиной d = 5 см. Скорость снаряда в
момент соприкосновения с броней равна а0=1000 м/с.
Найти разность потенциалов U между головной и хво-
хвостовой частями стального керна бронебойного сна-
снаряда, возникающую вследствие его торможения в пре-
преграде.
3.31. Для измерения напряженности электриче-
электрического поля у поверхности Земли используют две
63

параллельные проводящие пластины, расположенные
горизонтально с небольшим зазором между ними
(рис. 3.4). Верхняя пластина заземлена и вращается
с частотой п= 1200 об/мин вокруг вертикальной оси,
проходящей через край
пластины, периодически
закрывая нижнюю пла-
пластину. При этом переза-
перезарядка нижней пластины
*,/,//,//sss,,/sss,s,ss,,,sss,/;/-ss/} вызывает падение напря-
Рис. 3.4 жения на сопротивлении
R= 107 Ом, соединяющем
нижнюю пластину с Землей. Найти среднее значение
падения напряжения О, если напряженность электри-
электрического поля у поверхности Земли ?=1,5 В/см. Счи-
Считать, что нижняя пластина успевает полностью пере-
перезарядиться за один цикл вращения. Площадь пла-
пластины S = 600 см2.
3.32. В центре диэлектрического шара радиусом г
с проницаемостью ei помещен точечный заряд q. Шар
окружен безграничным диэлектриком с проницаемо-
проницаемостью е2. Определить поверхностную плотность о поля-
поляризационных зарядов на границе раздела диэлек-
диэлектриков.
3.33. Проводящий шар помещен в однородную изо-
изотропную диэлектрическую среду с проницаемостью е.
Вне шара на расстоянии / от его центра находится
точечный заряд q. Определить потенциал ф шара от-
относительно бесконечности.
3.34. Диэлектрик с проницаемостью е заполняет
полупространство. На расстоянии / от плоской грани-
границы диэлектрика в вакууме находится точечный заряд
q. Найти распределение зарядов а(г) по поверхности
диэлектрика, полный заряд ^Полн и силу F, действую-
действующую на точечный заряд.
3.35. Конденсатор состоит из двух тонкостенных
коаксиальных металлических цилиндров, простран-
пространство между которыми заполнено жидким диэлектри-
диэлектриком с проницаемостью е = 2. На конденсатор подано
напряжение, которое медленно увеличивается. Опре-
Определить, что наступит раньше: механическое разруше-
разрушение внутренней обкладки или пробой диэлектрика.
Считать, что пробой диэлектрика наступает при на-
напряженности поля ?пР = 30 кВ/мм, предельное (раз-
(разрывное) механическое напряжение стенок цилиндров
64

Op = 500 Па. Радиус внутренней обкладки конденса-
конденсатора г = 3 см.
3.36. Пустотелый металлический шар, заряд кото-
которого q, а радиус г, плавает в жидкости с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью е так, что его центр находится
на уровне поверхности жидкости. Найти плотность
свободных зарядов на поверхности шара.
3.37. В плоский конденсатор, на пластинах кото-
которого распределен заряд с поверхностной плотностью
о, вставляется диэлектрик, заряженный положитель-
положительным пространственным зарядом так, что объемная
плотность заряда изменяется от нуля у одной пла-
пластины (положительной) до р0 у другой по закону
р = (о/d2)х, где d — расстояние между пластинами.
Найти распределение напряженности Е(х) в конден-
конденсаторе, если проницаемость диэлектрика е.
3.38. Внутри плоского конденсатора, обкладки
которого соединены между собой, помещена диэлек-
диэлектрическая пластина толщиной h с «замороженной» по-
ляризованностыо Р, направление которой перпендику-
перпендикулярно боковым граням пластины и обкладкам конден-
конденсатора. Определить напряженность электрического
поля и электрическое смещение внутри и вне пла-
пластины. Расстояние между обкладками конденсатора
равно d.
3.39. Имеется тонкий длинный диэлектрический
цилиндр длиной 2/ и радиусом г с «замороженной»
поляризованностью Р (рис. 3.5).
' Найти напряженность поля ЕА
в точке А. Во сколько раз это
поле сильнее поля в точке В}
Г>
¦ ~П
P
Рис. 3.5
Рис. 3.6
3.40. Длинный цилиндр изготовлен из диэлектри-
диэлектрика с «замороженной» поляризованностью, направлен-
направленной вдоль его оси (рис. 3.6). Напряженность поля в
точке А оказалась равной Ел = 300 В/см. Найти
3 Сборник задач по физике
Й5

напряженность поля Ес вблизи торца короткого ци-
цилиндра, сделанного из того же материала, если h =
= 2-10-2D.
3.41. В тонком круглом диске радиусом гх из ди-
диэлектрика создана однородная «замороженная» поля-
ризованность Р, так что ее направление параллельно
поверхности диска (рис. 3.7). Определить напряжен-
напряженность Е электрического поля в центре круглого отвер-
отверстия радиусом г2, вырезанного в таком диске. Тол-
Толщина диска h <C r2.
Рис. 3.7
3.42. Диэлектрический образец с «замороженной»
поляризованностью Р имеет форму полого цилиндра
с разрезом. На рис. ,3.8 показано сечение этого ци-
цилиндра и направление поляризованное™. Толщина
стенки цилиндра h < г (г — радиус цилиндра), ши-
ширина разреза а <С г. Найти напряженность электриче-
электрического поля ЕА и электрическое смещение DA в точке А.
3.43. В тонкой длинной рейке из диэлектрика ши-
шириной 2а создана однородная «замороженная» поля-
Рис. 3.9
ризованность Р, так что ее направление параллельно
поверхности рейки (рис. 3.9). Найти напряженность Е
электрического поля в центре круглого отверстия ра-
радиусом г, вырезанного в такой рейке. Считать тол-
толщину рейки h <C г.
66

3.44. Пластина пьезодиэлектрика толщиной 2d
вследствие неоднородной деформации поляризована
так, что поляризованность в ее середине равна Ро, на-
направлена вдоль оси х и изменяется по закону Р =
= Ро(\ —х2/d2), где х отсчитывается от средней пло-
плоскости пластины. Определить напряженность электри-
электрического поля внутри и вне пластины, а также разность
потенциалов U между ее боковыми поверхностями.
Краевыми эффектами пренебречь.
3.45. На сколько отличается от единицы диэлек-
диэлектрическая проницаемость е «идеального газа», состоя-
состоящего из большого числа проводящих шариков радиу-
радиусом г? Концентрация п шариков мала, так что пг^^Х.
3.46. Для газообразного аргона при нормальных
услозиях е—1 «6-Ю-4. Пользуясь этим, вычислить
смещение «центра масс» электронной оболочки атома
аргона относительно ядра в статическом электриче-
электрическом поле напряженностью Е = 300 В/см. Атомный
номер аргона Z = 18. Считать, что в отсутствие внеш-
внешнего поля электроны распределены вокруг ядра сфе-
сферически симметрично.
3.47. Идеальный газ, поляризуемость молекул ко-
которого а=4-10~3 м3, находится в большом сосуде при
температуре Т = 300 К. В сосуде находится плоский
заряженный конденсатор с напряженностью поля Е =
= 3106 В/м. Найти относительную разность концен-
концентраций молекул в конденсаторе и вне его.
3.48. В плоский конденсатор введена пластина из
оптического стекла (е = 9) так, что остался воздуш-
воздушный зазор а = 1 мм. Расстояние между обкладками
конденсатора равно d = 1 см. К конденсатору при-
приложена разность потенциалов U\ = 100 В. Найти раз-
разность потенциалов, если после отключения конденса-
конденсатора от источника тока стеклянная пластинка будет
убрана.
3.49. Пластина из сегнетоэлектрика (е = 200)
имеет толщину, равную зазору между обкладками
плоского конденсатора. Площадь обкладок конденса-
конденсатора 5i = 1 м2. Какова должна быть площадь 52
основания пластины для того, чтобы смещение сде-
сделалось в га = 40 раз больше, чем до введения пласти-
пластины? Конденсатор изолирован.
3.50. В подключенный к батарее плоский конденса-
конденсатор вставляются две пластины из сегнетоэлектрика
(е = 100) таким образом, что между ними остается
3* 67

небольшой зазор а (рис. 3.10). Найти зазор, при ко-
котором поле в нем будет в п = 50 раз больше, чем в
отсутствие сегнетоэлектрика. Расстояние между об-
обкладками конденсатора
равно d=--2 см.
3.51. Диэлектрический
диск радиусом г =10 см и
высотой h = 10 см с диэлек-
диэлектрической проницаемостью
е = 5 равномерно вращает -
ис' ' ся вокруг своей оси, делая
п = 100 об/с. Определить
объемную плотность заряда р внутри диска, возни-
возникающую из-за вращения, а также заряд q на его по-
поверхности.
3.52. Конденсатор, заполненный жидким диэлек-
диэлектриком с проницаемостью е, зарядили, затратив на
это энергию W\. Затем конденсатор отсоединили от
источника, слили из него диэлектрик и разрядили.
Определить энергию W2, которая выделилась при
разрядке.
3.53. К батарее с э. д. с. <% подключен последова-
последовательно с некоторым сопротивлением плоский конден-
конденсатор емкостью С. Пластины конденсатора быстро
сближают, так что расстояние между ними умень-
уменьшается в два раза. Предполагая, что за время пере-
перемещения пластин заряд конденсатора практически не
изменился, найти количество теплоты Q, выделяющее-
выделяющееся на сопротивлении к моменту окончания перезаряд-
перезарядки. Оценить порядок сопротивления R, при котором
условия задачи могут быть практически выполнены.
Считать время сближения At « 10~2 с, С = \0~10 Ф.
3.54. Плоский конденсатор с квадратными пласти-
пластинами (расстояние между пластинами d, площадь пла-
пластин S) заряжен до разности потенциалов U и отсое-
отсоединен от источника тока. После этого в конденсатор
вдвинута до половины широкая пластина из диэлек-
диэлектрика с проницаемостью е. Толщина пластины равна d.
Найти силу F, с которой пластина втягивается в кон-
конденсатор.
3.55. Оценить силу F, действующую на атом, нахо-
находящийся на расстоянии / ^= 20 нм от поверхности
острия металлической иглы с радиусом закругления
г= 10 нм. Считать потенциал на игле ср = 10 кВ, по-
поляризуемость а атома порядка его объема.

Рис. 3.1!
3.56. Электрический заряд q равномерно распреде-
распределен по тонкому кольцу радиусом г. Точечный диполь
массой т с дипольным моментом р-,
может перемещаться вдоль оси коль-
кольца, перпендикулярной его плоскости,
причем направление дипольного мо-
момента параллельно оси кольца
(рис. 3.11). В начальный момент
времени диполь находился в центре
кольца н имел нулевую скорость.
Определить: 1) максимальную ско-
скорость umax диполя при его движении вдоль оси коль-
кольца, 2) положение равновесия Хо диполя и период Т
его малых колебаний около этого
положения.
3.57. Одна из пластин конденса-
конденсатора жестко закреплена, а вторая,
имеющая массу т, связана с пру-
пружиной жесткостью х (рис. 3.12).
Расстояние между пластинами при
ненапряженной пружине равно do.
К конденсатору подключили бата-
батарею. В новом положении равнове- рис g |2
сия расстояние между пластинами
равно <2 = D/5)<20. Найти период Т малых колебаний
пластины.
§ 3.2. Постоянный электрический ток
3.58. Найти ток, проходящий через резистор сопро-
сопротивлением Ro в схеме, изображенной на рис 3.13, счи-
считая все параметры заданными.
2
-jj
Рис. 3.13
Рис. 3.14
3.59. В схеме, изображенной на рис. 3.14, заданы
сопротивления R^ и Ru. Определить сопротивление R,
при котором рассеиваемая на нем мощность будет
69

максимальной. Каково условие того, что ток, прохо-
проходящий через сопротивление R, будет равен нулю?
3.60. Электрическая цепь составлена из двух бата-
батарей с э. д. с. S\ и (S2 и четырех одинаковых резисторов
сопротивлением R каждый (рис. 3.15). Какая мощ-
мощность рассеивается на этих резисторах?
17
Рис 3.15
Рис 3.16
3.61. К большому металлическому листу толщиной
а приварены на расстоянии Ь друг от друга два ци-
цилиндрических проводника радиусом г0 (рис. 3.16).
Найти сопротивление R между проводниками, если
а < г0 < Ь. Считать, что удельная проводимость к^
проводников значительно больше удельной проводи-
проводимости % материала листа.
3.62. На поверхности двух одинаковых диэлектри-
диэлектрических конусов, соприкасающихся основаниями, на-
нанесен тонкий проводящий слой толщиной б с удельной
проводимостью X. К вершинам конусов припаяны ци-
цилиндрические электроды диаметром d. Определить со-
сопротивление R между вершинами, если 6<d. Раз-
Размеры конусов указаны на рис. 3.17.
Рис. 3.17
Рис. 3.18
3.63. К центрам противоположных торцов тонко-
тонкостенной цилиндрической банки диаметром D и высо-
высотой / припаяны провода диаметром d (рис. 3.18).
Определить сопротивление R банки, если она сделана
70

из фольги толщиной б <С d с удельной проводи-
проводимостью к.
3.64. Определить проводимость Л изоляции в сфе-
сферическом конденсаторе емкостью С с утечкой, запол-
заполненном диэлектриком. Удельная проводимость диэлек-
диэлектрика равна А,, диэлектрическая проницаемость е.
3.65. Пространство между двумя концентрически-
концентрическими сферами заполнено диэлектриком, проводимость
которого зависит только от расстояния до сфер. Найти
закон изменения удельной проводимости к(г), если
объемная плотность джоулевых потерь при прохожде-
прохождении тока была одинакова во всех точках.
3.66. Пространство между двумя коаксиальными
цилиндрами заполнено диэлектриком, обладающим
некоторой проводимостью. Найти закон изменения
удельной проводимости к(г), если при наличии неко-
некоторой разности потенциалов поле между цилиндрами
было везде одинаково.
3.67. Заземление концов телеграфной линии осу-
осуществлено посредством металлических шаров радиу-
радиусами г\ и п, очень глубоко зарытых в землю. Удель-
Удельная проводимость почвы вблизи них равна X] и А,2-
Найти сопротивление R земли между шарами. Счи-
Считать почву в окрестности каждого шара однородной
на расстояниях, больших по сравнению с радиусами
шаров.
3.68. Постоянная времени разряда плоского масля-
масляного конденсатора через некоторое сопротивление
равна ti. После того как масло конденсатора отсы-
отсырело, постоянная времени разряда через то же сопро-
сопротивление оказалась равной т2. Определить удельное
сопротивление р отсыревшего масла, если его диэлек-
диэлектрическая проницаемость е не изменилась.
3.69. Сферический конденсатор с радиусами сфер
г\ и г2 заполнен слабо проводящей средой. Емкость
конденсатора оказалась равной С, а разность потен-
потенциалов на конденсаторе после отключения его от ба-
батареи уменьшилась в два раза за время t. Определить
диэлектрическую проницаемость е среды и ее удель-
удельное сопротивление р.
3.70. В генераторе Ван-де-Граафа, схематически
изображенном на рис. 3.19, заряды переносятся ди-
диэлектрической лентой и заряжают высоковольтный
сферический электрод. Поверхностные заряды пере-
передаются ленте от источника вблизи нижнего шкива.
71

V////7/////////////////
Рис. 3.19
Найти максимальный потенциал и максимальный ток,
которые можно получить от такого генератора, если
радиус высоковольтного электрода г= 1,5 м, скорость
движения ленты и = 20 м/с, а ширина ленты / =
= 100 см. Лента и высоковольт-
высоковольтный электрод находятся в атмо-
атмосфере газа, в котором пробой
возникает при напряженности
электрического поля Еп9 =
= 30 кВ/см.
3.71. Когда напряжение на ке-
кенотроне равно 500 В, температу-
температура анода достигает 800 СС. Опре-
Определить температуру анода при
повышении анодного напряжения
до 1000 В в случаях, если: 1) при
500 В анодный ток уже дости-
достигает насыщения, 2) при 1000 В
еще не наступает насыщение.
Указание. Принять во внимание, что в отсут-
отсутствие насыщения анодный ток / ~ t/3/2.
3.72. Атомный электрический элемент представ-
представляет собой две концентрические проводящие сферы.
Внутренняя сфера сделана из радиоактивного мате-
материала, испускающего быстрые электроны. В простран-
пространстве между сферами скорость электронов п, следова-
следовательно, их ионизирующее действие можно считать
постоянными. Пролетев воздушный зазор, электроны
поглощаются на внешней сфере. В отключенной бата-
батарее устанавливается равновесие между потоком заря-
заряда, переносимым быстрыми электронами, и током про-
проводимости в ионизованном воздухе. Найти напряжен-
напряженность электрического поля Е в пространстве между
сферами, если э. д. с. элемента равно <g\ радиусы сфер
равны г\ и г2.
§ 3.3. Магнитное поле
3.73. По проводнику, имеющему форму эллипса,
течет постоянный ток /= 10 А. Большая и малая по-
полуоси эллипса равны а = 50 см, b = 30 см. Опреде-
Определить индукцию В магнитного поля в вакууме в фокусе
проводника.
Указание. Уравнение эллипса в полярной си-
системе координат: г = р/(\ -f- ecos ф), где р = Ь2/а —
параметр, а е < 1—эксцентриситет.
72

Рис. 3.20
3.74. По проводнику, имеющему форму гофриро-
гофрированной окружности, течет постоянный ток /=10 А
(рис. 3.20). Определить индукцию В магнитного поля
в вакууме в центре 0 провод-
проводника.
Указание. Уравнение этой
фигуры в полярной системе коор-
координат: \/г = \/а -\- b cos ту, где
а = 50 см, т — целое число, Ь —
постоянная.
3.75. Вдоль плазменного цилин-
цилиндра радиусом а с параболическим
распределением удельной проводи-
проводимости % = Л.оA — г2/а2) течет постоянный ток /. Найти
распределение индукции магнитного поля В (г) внутри
и вне цилиндра в зависимости от расстояния г от оси
цилиндра.
3.76. На тонкий латунный прут, свернутый в коль-
кольцо, намотано равномерно N = 104 витков провода. Во
сколько раз индукция Вх на оси прута больше, чем
В2 в центре кольца?
3.77. Над большим горизонтальным латунным ли-
листом помещена магнитная стрелка с магнитным мо-
моментом р„. Стрелка укреплена на вертикальной оси и
связана со спиральной пружиной, модуль кручения
которой равен /. Как изменится положение равнове-
равновесия стрелки, если по листу потечет ток с поверхност-
поверхностной плотностью /? Направление тока совпадает с на-
начальным равновесным положением стрелки. Рас-
Рассмотреть случай малых углов закручивания.
3.78. На расстоянии L=10 см от прямого провода,
по которому течет ток /j = 10 А, расположена ква-
квадратная рамка со стороной 1 =
= 1 см таким образом, что две ее
стороны параллельны проводу и
вся система лежит в одной плоско-
плоскости (рис. 3.21). По рамке течет
ток /2 = 1 А. Найти силу взаимо-
взаимодействия F между проводом и
рамкой.
3.79. При производстве полиэтиленовой пленки ши-
широкая полоса протягивается по роликам со скоростью
v = 15 м/с (рис. 3.22). В процессе обработки (глав-
(главным образом из-за трения) поверхность пленки при-
приобретает равномерно распределенный заряд. Найти
L
I
Рис. 3.21
73

максимальные значения поверхностной плотности за-
заряда Отах И ИНДУКЦИИ МЭГНИТНОГО ПОЛЯ Smax вбЛИЗИ
поверхности пленки, принимая во внимание, что при
напряженности электрического поля ?Пр = 20 кВ/см
в воздухе возникает элек-
электрический разряд.
3.80. При производ-
производстве полиэтиленовой
пленки широкая тонкая
Рис 322 полоса протягивается по
роликам со скоростью
о = 1 м/с (см. рис. 3.22). В процессе обработки
поверхность пленки приобретает равномерно распре-
распределенный заряд а=10~7 Кл/м2. Над пленкой на
расстоянии, малом по сравнению с шириной плен-
пленки, расположен прямой провод, по которому проте-
протекает ток /= 10 А. Направление тока совпадает с на-
направлением движения пленки. Найти силу F, дейст-
действующую на единицу длины пленки.
3.81. Вдоль эвакуированной длинной цилиндриче-
цилиндрической трубы радиусом R создан стационарный аксиаль-
аксиально симметричный поток электронов, ускоренных при
прохождении разности потенциалов U. Найти распре-
распределение концентрации электронов п(г), где г — рас-
расстояние до оси пучка, если результаты
измерения индукции магнитного поля В(г)
оказалось возможным описать выраже-
выражением В = B0(r/R)i при г < R (Во и
q>§ — постоянные). Найти распреде-
распределение напряженности электрического по-
поля Е(г), предполагая, что параметры
пучка не изменяются вдоль его оси.
3.82. По оси полого цилиндра натя-
натянута нить, на единицу длины которой
приходится заряд т = 1 ед. СГС. Ци-
Цилиндр вращается вокруг своей оси с уг-
угловой скорость ю=1000 рад/с (рис. 3.23).
Определить индукцию магнитного поля в
материале цилиндра вдали от его торцов, пренебрегая
пьезоэффектом и всеми эффектами, вызываемыми цен-
центробежной силой, а также магнитное поле в полости
цилиндра и во внешнем пространстве, если цилиндр:
1) металлический немагнитный, 2) диэлектрический
(8 = 3).
3.83. Тонкостенная длинная дюралевая трубка за-
74
1
1
1
1
,.4-
.' К
^ К
V.
Рис
1 1
1 1
1 1
1 1
-r-U
.-J-I ч
1 1
г
3.23

/
ряжается электрически и приводится в быстрое вра-
вращение вокруг продольной оси. Предел скорости вра-
вращения трубки ограничивает механическая прочность
дюрали (fmax = 5,9-108 Па). Какова будет конфигу-
конфигурация создавшегося магнитного поля? Найти наи-
наибольшее отношение объемных плотностей энергий маг-
магнитного поля (дам) внутри трубки и электрического
поля (шэ) на внешней поверхности труб-
трубки. Плотность дюраля р = 2,7-103 кг/м3.
3.84. Однородно заряженное непрово- ^- -^
дящее тонкое кольцо массой тис заря- Г ° j
дом q быстро вращается с углозой ско- -у(о
ростыо ю вокруг своей оси во внешнем /
однородном магнитном поле с индук- /
цией В (рис. 3.24). Найти угловую ско- /
рость прецессии Q. '*
3.85. Искусственный спутник Земли Рис 3.24
массой т = 103 кг выполнен в виде тон-
тонкостенного шара. Для сообщения ему угловой скоро-
скорости можно использовать магнитное поле Земли, ин-
индукция которого равна В = 0,5 Гс. Найти угловую
скорость со, которую приобретает спутник при быст-
быстрой разрядке аккумуляторов, имеющих заряд q =
= 5 Ач, через обмотку N = 20 витков, уложенную
на поверхности спутника вдоль окружности большого
круга. Считать магнитное поле Земли параллельным
плоскости обмотки.
3.86. Согласно современным данным, допустимое
из опытов различие зарядов электрона qe и протона
<7Р таково, что (qp— qe)/qp<. 10~21. He может ли это
различие объяснить существование наблюдаемого
магнитного поля Земли? Магнитное поле Земли равно
В«3 10~5 Тл. Считать, что для атомов, составляю-
составляющих Землю, отношение атомной массы к атомному
номеру S4-/Z = 2.
3.87. Для исключения потерь энергии на джоулево
тепло в линиях передачи постоянного тока предло-
предложено использовать коаксиальный кабель, внутренняя
жила и наружная оболочка которого выполнены из
сверхпроводника. Максимально допустимая индукция
магнитного поля на поверхности сверхпроводника
итак = 500 Гс, максимально допустимая напряжен-
напряженность электрического поля в изолирующей прослойке
кабеля ?щах = 30 кВ/см. При каком соотношении
диаметров d/D жилы и оболочки можно передать
75

Максимальную МОЩНОСТЬ Ртах? НаЙТИ МОЩНОСТЬ Ртах,
приняв диаметр наружной оболочки D = 20 см.
3.88. Тороидальный сердечник составлен из двух
половинок, сделанных из различных ферромагнитных
материалов с магнитными проницаемостями ^ и ц2
(рис. 3.25). Общая длина сердечников, включая два
зазора размером I каждый, равна L. По обмотке сер-
дечника, имеющей N витков, течет ток /. Определить
индукцию В магнитного поля в зазоре.
Рис. 3.25
,Ln
Рис. 3.26
3.89. По обмотке электромагнита, имеющего Л' вит-
витков, протекает ток /. Определить индукцию В магнит-
магнитного поля в зазоре, если все участки сердечника
имеют одинаковые сечения, а магнитная проницае-
проницаемость материала равна ц. Геометрические размеры
электромагнита указаны на рис. 3.26.
3.90. Требуется построить электромагнит, который
создает в зазоре магнитное поле с индукцией В =
= 104 Гс. Длина железного сердечника I = 140 см,
ширина воздушного зазора d = 1 см, диаметр сердеч-
сердечника D = 6 см. Какое наименьшее число витков N
должна иметь обмотка, если используется медный
провод площадью сечения S = 1 мм2, по которому
можно пропустить ток, не превышающий / = 3 А?
Определить напряжение U, которое нужно подавать
на обмотку для получения максимального ноля. Маг-
Магнитная проницаемость железа |Л = 1О3, удельное со-
сопротивление меди р = 1,7-10~8 Ом-м.
3.91. Некоторый ферромагнитный материал имеет
остаточную намагниченность Jr = 500 Э, а коэрцитив-
коэрцитивную силуНс=500Э, причем кривая размагничивания
J(H) представляет собой четверть окружности
(рис. 3.27). Из этого материала изготовлен постоян-
76

ный магнит, представляющий собой тор квадратного
сечения с поперечным зазором. Внутренний радиус
тора гх = 1,5 см, внешний — г 2 = 2,5 см, ширина за-
зазора 1 = 5 мм. Определить индукцию В магнитного
поля в зазоре. Рассеянием магнитного поля прене-
пренебречь.
3.92. Стальной шарик намагничивается до насыще-
насыщения во внешнем поле, после чего поле выключается.
Найти остаточную намагниченность шарика /г, если
В и Н связаны уравнением В = Во(\ + Н/Нс) и для
данного сорта стали Нс — 4-103 А/м, А
Вй = 1 Тл. Коэффициент размагничива-
размагничивания сферы р = 1/3.
<7,Гс
Jr.
н.э
И
Рис. 3.27
Рис. 3.28
Рис. 3.29
3.93. На рис. 3.28 изображена зависимость намаг-
намагниченности J от напряженности поля Н для некото-
некоторого магнитного материала. Из этого материала изго-
изготовили сердечник тонкой тороидальной катушки,
имеющей N витков. Длина катушки (периметр) равна
L. В сердечнике имеется узкий поперечный воздушный
зазор, равный I. Определить, при каком значении тока
/о в катушке наступит насыщение сердечника. Как
будет изменяться магнитная индукция В в зазоре сер-
сердечника при / > /0? Величины /0 и Но считать за-
заданными.
3.94. Какой ток / нужно пустить по длинному и
тонкому однослойному соленоиду с плотностью об-
обмотки п витков на единицу длины, чтобы индукция
всюду была равна индукции постоянного магнита тех
же размеров? Намагниченность / однородна и на-
направлена по оси.
3.95. Имеется тонкий длинный постоянный магнит
длиной 21 и радиусом г, намагниченность которого /
однородна и направлена по оси (рис. 3.29). Найтн
77

¦
.с
¦ k
в
+ 1
If
1,
Рис. 3.30
магнитную индукцию ВА в точке Л. Во сколько раз
она больше индукции Вс в точке С?
3.96. Длинный цилиндр изготовлен из материала
с «замороженной» однородной намагниченностью, на-
^ правленной по его оси. Ин-
Индукция в точке А оказа-
оказалась равной Вд = Ю3 Гс
(рис. 3.30). Найти индук-
индукцию Вс вблизи торца корот-
короткого цилиндра, изготовлен-
изготовленного из того же материала,
если /i = 5- Ю-2 D.
3.97. Бесконечная пло-
плоская пластина изготовлена
из однородно намагниченного ферромагнетика, при-
причем направление намагниченности / перпендикулярно
плоскости пластины. Найти поля В и Н внутри и вне
пластины.
3.98. Бесконечная плоская пластина изготовлена
из однородно намагниченного ферромагнетика, причем
направление намагниченности / параллельно пло-
плоскости пластины. Найти поля В и Н внутри и вне
пластины.
3.99. Стержень из магнитного материала (|л»1),
имеющий форму цилиндра радиусом г, помещен во
внешнее однородное магнитное поле Во, направленное
вдоль его оси (рис. 3.31). В бесконечно длинном ци-
i
i
1
Рис. 3.31
Рис. 3.32
линдре индукция В, как известно, была бы равна (лВ0-
Оценить, при какой минимальной длине 1тш индук-
индукция в центре цилиндра отличается от этого значения
не более чем на 1 %.
3.100. Круглый диск радиусом г из магнитного ма-
материала (ц ^> 1) помещен во внешнее однородное маг-
магнитное поле Во, направленное вдоль его оси
(рис. 3.32). В бесконечно тонком диске индукция, как
78

известно, была бы равна Во. Оценить, при какой мак-
максимальной толщине /тах индукция в центре диска от-
отличается от этого значения не более чем на 1 %.
3.101. Компас располагают над проводом, по ко-
которому течет постоянный ток, на расстоянии / = 0,1 м
от оси провода. Найти ток /, при котором стрелка
поднимается над своим шпеньком. Остаточная индук-
индукция стали стрелки равна индукции насыщения Вг =
= 2 Тл. Плотность стали р = 7,8-103 кг/м3.
3.102. Магнитный брусок сечением „S = 1 см2 и
длиной / = 10 см подносят к компасу на расстояние
L = 1 м. С какой стороны надо подносить магнит и
как его ориентировать, чтобы отклонение компаса
фтах было максимальным? Найти значение фтах, если
остаточная индукция материала бруска Вг=104 Гс,
горизонтальная составляющая земного поля В3 =
= 0,2 Гс.
3.103. Определить период малых колебаний сво-
свободно подвешенного за середину тонкого магнитного
бруска длиной / = 0,1 м в магнитном поле Земли
(Вэ =2-10-5 Тл). Плотность стали р = 7,8-103 кг/м3,
остаточная индукция Вт = \ Тл.
3.104. По двум вертикальным рейкам, соединен-
соединенным внизу резистором сопротивлением R = 2 Ом, а
вверху— батареей с э. д. с. <§ = 1 В и
внутренним сопротивлением г = 2 Ом,
скользит без трения проводник, дли-
длина которого I = 10 см, масса m =
= 10 г (рис. 3.33). Система находится °
в однородном магнитном поле, индук- о
ция которого равна В = W Гс, пер-
перпендикулярна плоскости рисунка и о
направлена к читателю. Найти уста-
установившуюся скорость v проводника о
в поле силы тяжести, пренебрегая
сопротивлением реек и проводника.
При каком соотношении между па- Рис 3.33
раметрами задачи установившаяся
скорость направлена вниз и при каком — вверх?
3.105. По двум вертикальным рейкам, соединен-
соединенным вверху и внизу резисторами сопротивлением
/? = 0,01 Ом, скользит без трения проводник, длина
которого /=100 см, масса /п=100 г, сопротивление
R = 0,01 Ом (рис. 3.34). Система находится в одно-
однородном магнитном поле, индукция которого равна
79
В,г
В
о о

В = 1000 Гс, перпендикулярна плоскости рисунка и
направлена к читателю. Найти максимальную ско-
о РОСТЬ Игаах ПрОВОДНИКЭ В ПОЛе СИЛЫ
тяжести, пренебрегая сопротивлением
реек.
© о о 3.106. Два диска радиусами г\ и г2
д вращаются с угловой скоростью со
в однородном магнитном поле с ин-
о /? о о дукцией В, перпендикулярной их пло-
плоскости. Центры дисков присоединены
к обкладкам конденсатора емкостью
° С\, ободы — через скользящие контак-
контакты к обкладкам конденсатора емко-
емкостью Сч (рис. 3.35). Найти разности
Рис. 3.34 потенциалов U\ и 11^ на конденса-
конденсаторах.
3.107. Короткозамкнутой проволочной рамке з
форме квадрата со стороной а, находящейся в маг-
магнитном поле, сообщена начальная скорость v0 в на-
направлении, перпендикулярном одной из сторон в пло-
плоскости рамки. Магнитная индукция В направлена пер-
перпендикулярно плоскости рамки, а ее значение линейно
изменяется в направлении начальной скорости так,
eg о
о С, ©
I
1
а
Рис. 3.35
Рис. 3.36
что dB/dx = К. Найти скорость v рамки через время
t после начала движения. Масса рамки равна т, со-
сопротивление R. Коэффициентом самоиндукции пре-
пренебречь.
3 108. Прямоугольная рамка со сторонами а и Ь
находится на расстоянии I от прямого провода с то-
током / (рис. 3.36). Какой импульс р получит рамка
при выключении тока, если активное сопротивление
рамки равно R, а реактивным можно пренебречь?
3.109. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего
провода радиусом г\ и внешней оболочки радиу-
80

сом г2. Найти индуктивность L кабеля на единицу
длины.
3.110. Квадратная рамка со стороной а, по кото-
которой течет ток /, находится на расстоянии Ъ от гра-
границы полуплоскости (рис. 3.37). Найти поток магнит-
магнитной индукции Ф, пронизывающий эту
полуплоскость. ¦%
3.111. Внутри длинной катушки-со- р
леноида длиной /, площадью сечения S J
и плотностью намотки п расположена %
небольшая катушка с площадью вит- 4,
ков Si и полным числом витков N, ин- -^
дуктивность которой равна Lo. Обе Рис. 3.37
катушки соединены последовательно,
Как изменяется индуктивность L такой системы в за-
зависимости от угла 6 между осями катушек?
3.112. Внутри длинной катушки-соленоида индук-
индуктивностью Lo расположен другой соленоид меньших
размеров, все линейные размеры которого в C раз
меньше линейных размеров большого соленоида (по-
(подобные катушки), Катушки соединены последователь-
последовательно, их оси совпадают, число витков обоих соленоидов
одинаково. Найти индуктивность L такой системы.
3.113. В длинном соленоиде с плотностью намотки
п вдали от его концов расположен намагниченный
стержень, имеющий магнитный момент рм, ориенти-
ориентированный вдоль оси соленоида. Размер стержня мал
по сравнению с диаметром обмотки соленоида. Найти
поток магнитной индукции Ф, пронизывающий соле-
соленоид.
3.114. Две небольшие одинаковые катушки распо-
расположены так, что их оси лежат на одной прямой
(рис. 3.38), Расстояние /
между катушками, равное
10 см, значительно превы-
превышает их линейные размеры,
Число витков каждой ка- Рис 3.38
тушки N = 100, площадь
витков S = 1 см2. Найти силу взаимодействия F ка-
катушек и коэффициент их взаимной индукции М при
3.115. Намагниченная пуля пролетает вдоль оси
тонкой (плоской) катушки, соединенной с баллисти-
баллистическим гальванометром через идеальный выпрямляю-
выпрямляющий элемент. Пуля намагничена вдоль своей оси, ее
81

Рис. 3.39
размеры малы по сравнению с диаметром катушки D.
Определить магнитный момент рм пули, если известно,
что гальванометр отклонился после пролета пули на
угол ф. Известны баллистическая постоянная гальва-
гальванометра й, число витков катушки N и сопротивление
цепи R.
3.A6. Прямолинейный магнит расположен на оси
круглого кольца радиусом а, состоящего из N витков
проволоки, концы которой соединены
с баллистическим гальванометром
(рис. 3.39). Расстояние между центра-
центрами кольца и магнита равно /. Разме-
Размеры магнита малы по сравнению с /
и радиусом кольца. Его ось перпенди-
перпендикулярна плоскости кольца. Опреде-
Определить магнитный момент рм магнита,
если при его быстром удалении от
кольца баллистический гальванометр
отклонился на угол ср. Баллистическая
постоянная равна Ь, сопротивление
цепи (включая сопротивление гальва-
гальванометра) R.
3.117. Электрический заряд q рав-
равномерно распределен по длине твер-
твердого непроводящего тонкого кругового кольца мас-
массой т. Кольцо может свободно вращаться вокруг сво-
своей оси. Вначале кольцо покоилось, а магнитное по-
поле было равно нулю. Затем было включено одно-
однородное магнитное поле B = B(t), перпендикуляр-
перпендикулярное плоскости кольца и произвольно меняющееся
во времени. Найти угловую скорость ш вращения
кольца.
3.118. Простейший генератор постоянного тока со-
состоит из прямоугольной рамки площадью S с числом
витков Л' и внутренним сопротивлением г, вращаю-
вращающейся с угловой скоростью а в однородном магнит-
магнитном поле с индукцией В. Определить средний вра-
вращающий момент сил Ж, приложенных к рамке, и
среднюю мощность Р, идущую на вращение генера-
генератора. Генератор работает на нагрузку сопротивле-
сопротивлением R.
3.119. Для измерения магнитной восприимчивости
длинных цилиндрических образцов применена уста-
установка, показанная на рис. 3.40. При быстром удале-
удалении образца, заполнявшего всю катушку, на ней воз-
82

\
Рис. 3.40
никает импульс напряжения, который измеряется с
помощью осциллографа. Определить магнитную вос-
восприимчивость х образца, если <?Г = 4,5 В, R = 10 Ом,
L=\ Гн, ?/ = 6,8 мВ.
Каким должно быть
время / удаления об-
образца, чтобы от него не
зависела амплитуда
импульса напряжения,
измеряемого осцилло-
осциллографом?
3.120. На каком
расстоянии / от Солн-
Солнца плотность энергии
солнечного света ста-
станет равной плотности энергии межзвездного магнит-
магнитного поля с индукцией В = 2-10~6 Гс?
3.121. Два одинаковых соленоида длиной /=50 см,
приставленных торцами друг к другу (рис. 3.41) при-
притягиваются с силой F=\ H, когда по их обмоткам
течет одинаковый ток / = 10 А. Найти -,.
коэффициент самоиндукции L каждого 1 3
из соленоидов. ^
3.122. Длинный сердечник из мате- /
риала с магнитной проницаемостью |i= 1
= 100 втягивается с силой F = 10 Н в т 1(
длинный соленоид, по которому течет
ток /= 10 А. Сердечник занимает все се-
сечение соленоида и вставлен на глубину,
значительно превышающую его диаметр. Найти ко-
коэффициент самоиндукции L соленоида (без сердеч-
сердечника), если его длина / = 50 см.
3.123. Вдоль оси цилиндрического жидкого про-
проводника радиусом а равномерно по сечению течет ток
/. Найти давление р(г), обусловленное взаимодейст-
взаимодействием тока с созданным им магнитным полем.
3.B4. Длинный цилиндрический стержень с маг-
магнитной проницаемостью (х и площадью поперечного
сечения S расположен вдоль оси соленоида так, что
один его конец находится внутри, а другой — вне со-
соленоида. Найти силу F, с которой втягивается стер-
стержень в соленоид с индукцией В.
3.125. Длинный соленоид, намотанный на тонко-
тонкостенный капилляр, погружен одним концом в пара-
парамагнитную жидкость с плотностью р и магнитной про-
Рис. 3.41
R3

ннцаемостью ц. Число витков на единицу длины со-
соленоида равно п. Определить изменение уровня жид-
жидкости Д/i в капилляре, если по соленоиду пропустить
ток /.
3.126. Вблизи длинного прямого провода, по кото-
которому протекает ток /] = 10 А, расположена квадрат-
квадратная рамка с протекающим по ней током /2=1 А
(рис. 3.42). Рамка и провод лежат
в одной плоскости; стороны рамки
равны а = 6,8 см, расстояние Ь =
= 4 см. Найти работу А, которую
нужно совершить, чтобы передви-
передвинуть прямой провод в положение,
Ь \ а ь_\ указанное штриховой линией.
3.127. В сердечнике электромаг-
Рпс. 3 42 нита имеется малый зазор I, в ко-
который помещена пластинка из того
же материала. Длина сердечника равна L, сечение
всюду одинаково и равно S, магнитная проницаемость
ц >¦ 1. Обмотка электромагнита имеет N витков, по
которым протекает ток /. Найти работу А, которую
нужно совершить, чтобы удалить пластину из зазора.
Рассеянием магнитного потока пренебречь.
3.128, Катушка, имеющая N витков, намотана на
железный торроидальный сердечник с магнитной про-
проницаемостью (х. Радиус тора R, радиус сечения сер-
сердечника г<^. Тор разрезан на две половины, раз-
раздвинутые так, что между ними образовался воздуш-
воздушный зазор шириной I (рис, 3.43), Определить силу
Рис. 3.43
Рис 3 44
притяжения F между половинами тора, если в об-
обмотке протекает ток /, Рассмотреть случай I = 0.
3.129. Как изменится подъемная сила электромаг-
электромагнита, изображенного на рис. 3.44, если его нижнюю

подкову изготовить из материала с магнитной прони-
проницаемостью ц2 ф |Х( верхней подковы?
3.130. Для определения магнитной восприимчи-
восприимчивости % диамагнитного материала измеряют с по-
помощью весов силу, выталкивающую маленький обра-
образец из зазора между полюсами электромагнита
(рис. 3.45). Пусть индукция магнит-
магнитного поля в зазоре изменяется в ра-
радиальном направлении по закону
В = Воехр(—аг2), где г—расстоя-
г—расстояние от оси симметрии (в см), Во —
поле на оси, равное 103 Гс, а — кон-
станта, равная 10~2 см~2. На каком
расстоянии г от оси нужно распо-
расположить диамагнитный образец, что-
чтобы выталкивающая сила была мак- ^
симальной, и чему равна эта мак-
максимальная сила для образца в виде Рис. 3.45
небольшого тонкого диска объемом
У = 0,1 см3? Магнитную восприимчивость материала
принять равной % = —1,4-10 (висмут). Диск ориен-
ориентирован перпендикулярно магнитному полю.
3.131. Из энергетических соображений оцените са-
самоиндукцию L круглой петли длиной I из тонкой про-
проволоки радиусом г.
3.132. По длинному плазменному цилиндру радиу-
радиусом г = 5 см течет ток / = 103 А, сосредоточенный в
поверхностном слое. Давление в плазме равно р =
= 10s Па. Определить магнитное давление рмаг на бо-
боковую поверхность плазменного цилиндра, возникаю-
возникающее под действием тока. Найти ток /, необходимый
для того, чтобы давления стали равными.
3.133. Сверхсильные магнитные поля получаются
взрывным сжатием отрезка проводящей трубы, в ко-
которой создано начальное магнитное поле с индукцией
Во. Определить индукцию В конечного магнитного
ноля и радиус трубы г, если при сжатии давление
магнитного поля уравновешивается давлением 1 млн.
атм от взрыва. Рассмотреть случай Ва = 5 Тл, началь-
начальный радиус трубы г0 = 0,05 м. Механическим и элек-
электрическим сопротивлениями пренебречь.
3.134. Длина цилиндрического однослойного соле-
соленоида много больше его радиуса г. Провод обмотки
соленоида имеет квадратное сечение со стороной а<Сг.
витки плотно прилегают друг к другу. При прохожде-
S5

нии тока через соленоид возникает сила, стремящаяся
разорвать обмотку. Определить предельный ток /, при
котором наступит разрыв проволоки обмотки в цен-
центральном сечении соленоида, если проволока выдер-
выдерживает нагрузку на растяжение, не превышающую F.
3.135. В пространстве между двумя плоскими па-
параллельными электродами зажигается электрический
разряд (так называемый линейный «z-пинч») и обра-
образуется сжимаемый силами магнитного давления плаз-
плазменный шнур радиуса г= 1 см с концентрацией элек-
электронов и ионов п = пе = п\ = 10!э см~3, ток разряда
/= 106 А. Оценить температуру Т плазмы.
3.136. Тонкое металлическое кольцо быстро вра-
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через
его диаметр и перпендикулярной однородному маг-
магнитному полю с индукцией В =100 Гс. Пренебрегая
трением в оси, найти, через какое время / угловая
скорость вращения уменьшается в е раз. Плотность
материала кольца р = 9 г/см3, удельная проводимость
Х = 5-105 Ом-1-см-1. Потери энергии за один оборот
считать малыми.
3.137. В скрещенных однородных полях Еу и Вг из
некоторой точки ха разлетаются электроны с одина-
одинаковыми скоростями у -С с, лежащими в плоскости ху.
Считая Еу <С Вг и пренебрегая взаимодействием элек-
электронов друг с другом, найти, на каком расстоянии I
и через какое время t они снова соберутся в одну
точку.
3.138. Смоделировать траекторию заряженной ча-
частицы в магнитном поле можно, натянув в зазоре маг-
магнита проволоку с током. С какой силой F надо натя-
натянуть проволоку с то-
током /= 1 А, чтобы
--~" имитировать траекто-
рию протона с энер-
--_ гией W= 1 МэВ?
3.139. Две щели S,
и 52 шириной й =
Рис 3.46 =0,1 см каждая, уста-
установленные в эвакуиро-
эвакуированном сосуде, выделяют «плоский» пучок электронов
с энергией № = 400 эВ (рис. 3.46). На каком рас-
расстоянии х от щели S2 ширина электронного пучка
удвоится из-за кулоновского расталкивания электро-
электронов, если ток, приходящийся на единицу длины щели
86

(за щелью S2), равен /=10~4 А/см? Считать щели
бесконечно длинными.
3.140. В омегатроне ион остаточного газа раскру-
раскручивается по спирали в скрещенных переменном элек-
электрическом (с амплитудой Е = 1 В/см) и постоянном
магнитном (В = 3-103 Гс) по-
полях (рис. 3.47). Найти частоту,
при которой ионы N^ будут
достигать коллектора К- При ~ '^
этой частоте радиус спирали j" вы-
выбудет возрастать до тех пор,
пока ион не достигнет коллек-
коллектора на радиусе г=1 см. Рис. 3.47
Если частоту немного изме-
изменить, то ион будет некоторое время раскручиваться,
а потом начнет скручиваться обратно к источнику.
Оценить, насколько надо изменить частоту, чтобы ток
на коллектор прекратился.
3.141. В ускорителе электронов—бетатроне роль
ускоряющего напряжения играет э. д. с. индукции,
возбуждаемая изменением магнитного потока, прони-
пронизывающего орбиту электронов. Электроны движутся
при этом по орбитам приблизительно постоянного ра-
радиуса. Принимая радиус орбиты электрона неизмен-
неизменным, определить необходимое для этого в данный мо-
момент времени соотношение между средним магнитным
полем B(t), пронизывающим орбиту электрона, и
магнитным полем B(t) на орбите электрона. Считать
магнитное поле параллельным оси симметрии вакуум-
вакуумной камеры бетатрона.
3.142. В цилиндрическом пропорциональном счет-
счетчике пучок частиц создает объемную ионизацию. Ра-
Радиус катода г\ = \ см, радиус анода г2 = 2-10-2 см,
разность потенциалов между анодом и катодом U —
= 2500 В, подвижность положительных ионов аргона
Р = 1L см2/(В-с). Оценить время / собирания ионов
в таком счетчике, наполненном аргоном при нормаль-
нормальном давлении.
3.143. В установке для разделения изотопов 235U
и 238U пучок однократно ионизованных ускоренных
ионов урана с энергией W = 5 кэВ попадает от источ-
источника через щель 5 в однородное магнитное поле,
перпендикулярное плоскости рис. 3.48. В магнитном
поле ионы разных масс движутся по различным
87

окружностям и, совершив полуоборот, попадают в
приемники. Конструкция последних такова, что рас-
расстояние между пучками ионов 23S(J и 238(J на выходе
должно быть не меньше / = 5 мм. Найти индукцию
В магнитного поля, удовле-
удовлетворяющего этому условию,
а также время /, необходи-
необходимое для полного разделения
М = 1 кг природного ура-
^ |-*—*-) на, если ионный ток, созда-
рнс. 3.48 ваемый источником, равен
/ = 5 мА.
3.144. Один из предложенных путей получения вы-
высоких температур, необходимых для осуществления
термоядерных реакций, использует так называемую
магнитную термоизоляцию. Уход быстрых частиц из
зоны высокой температуры предотвращается магнит-
магнитным полем. Оценить ток / в столбе газового разряда
радиусом г = 3 см, необходимый для того, чтобы элек-
электроны, обладающие средней скоростью хаотического
движения, соответствующей температуре Г=106 К,
не могли удаляться от поверхности столба на расстоя-
расстояние, большее чем / = 3-10~3 см.
3.145. Частица массой т с зарядом е движется по
равновесной круговой орбите радиусом г0 в горизон-
горизонтальной плоскости зазора
магнита (рис. 3.49), в кото-
котором магнитное поле спада-
спадает по радиусу по закону
B{) A/ A)
Центр орбиты совпадает с
осью симметрии zz. Опре-
Определить частоту оJ верти-
вертикальных колебаний части-
частицы на такой равновесной
орбите в случае малых отклонений от горизонтальной
ПЛОСКОСТИ.
3.146. В условиях задачи 3.145 определить частоту
сор радиальных колебаний частицы в случае малых от-
отклонений от равновесной орбиты.
3.147. Электрический диполь движется в однород-
однородном магнитном поле с индукцией В со скоростью v,
перпендикулярной В. Электрический момент диполя
рэ составляет малый угол ср с направлением [иВ\
(рис. 3.50). Найти круговую частоту со малых ко-
88

лебаний диполя, считая известным его момент инер-
инерции &.
3.148. Из ускорителя выводится пучок протонов
с энергией W = A МэВ, который затем проходит в ва-
вакууме расстояние I = 4 м, преж- .v
де чем попасть на мишень. Вслед- э
ствие кулоновского взаимодей-
ствия частиц размеры пучка уве-
личиваются. Оценить максималь-
ную плотность тока /max в пучке, ® ® ®
если допускается увеличение ра- % @ @
диуса пучка на 6 = 10 % по
сравнению с исходным. Считать Рис 350
распределение частиц в пучке
аксиально симметричным, их начальными попереч-
поперечными скоростями пренебречь.
3.149. В ускорителе прямого действия протоны
движутся в практически однородном электрическом
поле внутри вакуумной трубки. Посторонние магнит-
магнитные поля искривляют их траекторию, в результате
чего они могут попасть на стенку, не дойдя до конца
трубки. Допустимое отклонение протонов от соевой
линии в конце трубки равно Ъ = 1 см. Оценить допу-
допустимый уровень индукции В однородного внешнего
магнитного поля в таком ускорителе, если длина труб-
трубки 1 = 2 м, а протоны ускоряются до энергии W =
= 4 МэВ. Начальной скоростью протонов прене-
пренебречь.
3.150. Какое число неподвижных однозарядных по-
положительных ионов п.\ нужно поместить в единице
объема пространства, занимаемого параллельным од-
однородным пучком электронов кругового сечения, дви-
движущихся со скоростью v, чтобы радиус пучка при его
движении не изменялся? Концен-
Концентрация электронов в пучке равна
пе- Столкновениями электронов с
ионами пренебречь.
3.151. Длинная незаряженная
пластинка из немагнитного ме-
металла движется равномерно в од-
однородном магнитном поле В = 1800 Гс со скоростью
v = 6,28 см/с. Направления В и v взаимно перпенди-
перпендикулярны и лежат в плоскости пластинки (рис. 3.51).
Определить поверхностную плотность а электриче-
электрических зарядов на плоскостях пластинки, возникших
89

вследствие ее движения. Магнитным полем возникаю-
возникающих зарядов пренебречь.
3.152. В однородном магнитном поле перпендику-
перпендикулярно индукции В расположен замкнутый круглый
виток радиусом г, индуктивность которого L, а омиче-
омическое сопротивление R. Начиная с момента t = 0 поле
начинает убывать по линейному закону со скоростью
dB/dt = —а. Найти закон изменения потока магнит-
магнитной индукции Ф(/), пронизывающего контур витка.
3.153. Диэлектрическая жидкость проницаемостью
е протекает между пластинами плоского конденсатора
со скоростью у «С с. Перпендикулярно направлению
движения жидкости и параллельно пластинам кон-
конденсатора, расстояние между которыми равно d, при-
приложено однородное постоянное магнитное поле с ин-
индукцией В. Определить напряжение U между пласти-
пластинами конденсатора и поверхностную плотность а за-
зарядов диэлектрика.
3.154. В простейшей схеме магнитного гидродина-
гидродинамического генератора плоский конденсатор с пло-
площадью пластин S и расстоянием d между ними поме-
помещен в поток проводящей жидкости
_ с удельной проводимостью А,, дви-
В%%%%-1> \]я жущейся с постоянной скоростью v
параллельно пластинам. Конденса-
Конденсатор находится в магнитном поле с
Рис 3 52 индукцией В, направленной перпен-
перпендикулярно скорости жидкости
(рис. 3.52). Найти мощность Р, которая выделится
во внешней цепи, имеющей сопротивление R.
3.155. Металлический шарик массой т с зарядом
е подвешен на нити длиной / и вращается вокруг
вертикальной оси (конический маятник). Угол между
нитью и вертикалью равен а. Шарик подвешен между
полюсами электромагнита. Что произойдет при вклю-
включении однородного магнитного поля с индукцией В?
На какую величину и за счет чего изменится кинети-
кинетическая энергия AU7,< шарика? Что произойдет при вы-
выключении поля?
3.156. Рассматривая движение электрона в атоме
с классической точки зрения, показать, что его меха-
механический (??) и магнитный (рм) моменты связаны
соотношением рм = —{е12тсJ?.
3.157. Вспомнив теорию гироскопа и воспользовав-
воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать, что
90

во внешнем поле с индукцией В атом прецессирует с
частотой 01 = — (е/2тс)В.
3.158. Определить частоту ш поперечных колеба-
колебаний протонов, захваченных релятивистским электрон-
электронным пучком, имеющим сечение nR2 = 3,14-10~6 м2 и
ток / = 103 А.
3.159. Плазменный шнур удерживается с помощью
магнитного поля, параллельного оси шнура, вслед-
вследствие того, что поле не проникает внутрь плазмы. Оце-
Оценить индукцию В магнитного поля, необходимого для
удержания плазмы, если концентрация частиц плазмы
равна п = 1016 см~3, а ее температура Т = 108 К.
3.160. В замкнутой сверхпроводящей обмотке элек-
электромагнита возбужден ток /п. В стальном магкито-
проводе длиной / с магнитной проницаемостью \х
имеется небольшой зазор /0 такой, что рассеянием
магнитного поля в зазоре можно пренебречь. Как из-
изменится ток в обмотке, если путем деформации сер-
сердечника зазор уменьшить в два раза?
3.161. Во сколько раз изменится ток /0 в круговой
петле из сверхпроводника, если ее поместить внутрь
длинного сверхпроводящего соленоида, замкнутого
накоротко? Диаметры петли и соленоида ?
считать равными, а их оси — параллельны-
параллельными. В отсутствие круговой петли ток в со-
соленоиде был равен нулю. Индуктивность
петли равна L, соленоида — Lc, число вит-
витков соленоида ЛЛ
3.162. Кольцо из сверхпроводника оде- ( ")
вают на длинный однородно намагничен-
намагниченный стержень, индукция которого на полюсе,
в точке С, равна В (рис. 3.53). При этом
затрачивают работу А. Найти ток / в коль-
кольце, если площадь сечения магнита равна S.
3.163. Сверхпроводящий шар радиусом pliC 3.53
R помещен в однородное магнитное поле с
индукцией Во. Найти магнитное поле В вне шара и
распределение поверхностной плотности тока /F) на
шаре.
3.164. На сколько отличается от единицы магнит-
магнитная проницаемость ц идеального газа, состоящего из
большого числа сверхпроводящих шариков радиусом
г? Концентрация п шариков мала, так что иг3 <С 1.
3.165. Длинный короткозамкнутый соленоид сверх-
сверхпроводящего магнита выполнен из проволоки диаме-
91

тром с? = 0,2 мм, плотно намотанной в одни слой.
Диаметр соленоида D = 2 см. Известно, что сверхпро-
сверхпроводимость разрушается во внешнем магнитном поле,
равном ВКр = 15 кГс. Найти максимальный ток /тах,
который можно возбудить в сверхпроводящей обмот-
обмотке, если прочность проволоки на разрыв равна FP =
= 10 Н.
3.166. Какую работу Л надо совершить для того,
чтобы круговую петлю из сверхпроводника вставить
внутрь длинного сверхпроводящего соленоида, замк-
замкнутого накоротко? Диаметры петли и соленоида счи-
считать равными, а их оси — параллельными. В отсут-
отсутствие круговой петли ток в соленоиле был равен .нулю,
начальный ток в петле /0. Индуктивность петли равна
L, соленоида — Lc, число витков соленоида N.
3.167. Длинная сверхпроводящая проволока поме-
помещена в однородное магнитное поле с индукцией В,
перпендикулярное оси проволоки. Найти распределе-
распределение поверхностной плотности тока /@) на про-
проволоке.
3.168. Сверхпроводящий соленоид деформируют
так, что происходит адиабатическое сжатие магнит-
магнитного поля. Каким уравнением (аналогичным уравне-
уравнению адиабаты в теории газов) можно описать пове-
поведение магнитного давления при изменении площади
сечения соленоида?
3.169. Определить силу натяжения проволоки F в
сверхпроводящем кольце радиусом п из цилиндриче-
цилиндрической проволоки радиусом г2 (г2<Сп), по которому
течет ток /. Индуктивность кольца в гауссовой си-
системе равна Z. = 4я/-1 [ln(8ri/r2) — 2].
3.170. В короткозамкнутыи длинный сверхпроводя-
сверхпроводящий соленоид с начальным внутренним полем (вдали
от концов) В и площадью сечения Si вставляют длин-
длинный сверхпроводящий сердечник с площадью сечения
S'j. Найти (пренебрегая краевыми эффектами) маг-
магнитное давление рмаг на боковую поверхность сердеч-
сердечника.
3.171. Вдоль оси полого цилиндра из сверхпровод-
сверхпроводника с радиусами цилиндрических поверхностей г\ и
г2 расположен длинный проводник. Найти плотность
тока у на внутренней и наружной цилиндрических по-
поверхностях сверхпроводящего образца, если по про-
проводнику пропустить ток /, а также магнитное давле-
кие Рмаг на стенки цилиндра.
G2

3.172. Токи, текущие по поверхности сверхпрово-
сверхпроводящего тела, приводят к тому, что магнитное поле
внутри сверхпроводника всегда равно нулю. Однако
если вокруг тела магнитное поле слишком велико, то
сверхпроводимость разрушается и металл переходит
в нормальное состояние. Для свинца при температуре
2 К критическое поле равно Blip = 750 Гс. Оценить
максимальный радиус шарика rmax, который можно
подвесить на «магнитной подушке» при этой темпе-
температуре. Плотность свинца равна р=11,3 г/см3.
3.173. Тонкая тороидальная катушка, намотанная
на полый немагнитный каркас (рис. 3.54) радиусом гь
имеет N витков, по которым
протекает ток /. Найти ин-
индукцию So магнитного поля
в центре тора (точка 0).
Как изменится магнитное
поле в точке 0, если внутрь
катушки поместить неболь-
небольшой сверхпроводящий ша-
шарик радиусом г0 -С г?
3.174. Длинный тонкий
соленоид радиусом г0 под-
подключен к батарее, и по не- Рис 3.54
му течет постоянный ток /о.
Сердечником в соленоиде служит сплошной цилиндр
из сверхпроводника. Радиус сердечника ri=0,5r0.
Сердечник быстро выдергивают из соленоида. Найти
ток / в обмотке непосредственно после удаления сер-
сердечника.
3.175. Сверхпроводящий шарнк массой т и радиу-
радиусом г подлетает с некоторой скоростью к области, в
которой имеется постоянное магнитное поле с индук-
индукцией В. Найти максимальную скорость отах, при ко-
которой шарик отразится от поля.
3.176. Сверхпроводящий шарик массой т=10~3кг
и радиусом г = 0,02 м летит по направлению к соле-
соленоиду вдоль его оси. Индукция магнитного поля соле-
соленоида равна So ^ 0,1 Тл. Найти начальную скорость
vo шарика, при которой он может влететь в со-
соленоид.
3.177. Небольшой сверхпроводящий шарик может
свободно перемещаться вдоль оси тонкого кольца ра-
радиусом г, по которому течет ток. Найти расстояние /
между шариком и плоскостью кольца, при котором
93

сила, действующая на шарик, принимает максималь-
максимальное значение.
3.178. На расстоянии /=9 см над поверхностью
сверхпроводника «парит» в поле тяжести тонкий по-
постоянный магнит, длина которого мала по сравнению
с расстоянием /. Если магнит слегка вывести из рав-
равновесия, то он совершает малые колебания в верти-
вертикальной плоскости. Найти период Т колебаний, при
которых отсутствует вращательное движение диполя.
3.179. Над сверхпроводящей плоскостью располо-
расположен тонкий прямой проводник, по которому течет по-
постоянный ток. Полагая линейную плотность провод-
проводника р/ = 2-10-3 кг/м, найти, на какой высоте h над
плоскостью будет свободно висеть проводник, по ко-
которому течет ток / = 20 А.
3.180. Два параллельных цилиндрических провода
из сверхпроводника находятся в однородном постоян-
постоянном магнитном поле с индукцией В, направленной
вдоль проводов. Найти магнитное давление рмаг на
боковую поверхность проводников, а также силу /,
действующую на единицу длины каждого провода.
§ 3.4. Электромагнитные поля
3.181. Обкладками плоского воздушного конденса-
конденсатора являются два круглых диска, расположенных
на расстоянии d друг от друга. Внутри конденсатора
находится проволочная прямоугольная рамка, одна
сторона которой совпадает с осью
симметрии конденсатора. Сторо-
Сторона рамки, параллельная пласти-
^ нам конденсатора, равна 2а, пер-
LI пендикулярная — 26 (рис. 3.55).
' П К обкладкам конденсатора при-
—I ложено переменное напряжение
Рис 3.55 U=UoCoS(xyt. Найти ток / в
рамке в предположении, что ее
активное сопротивление R велико по сравнению с ин-
индуктивным.
3.182. В длинном воздушном соленоиде с радиусом
намотки гд= 1 см, содержащем п = Ю витков/см, те-
течет ток, нарастающий с постоянной скоростью
dl/dt =100 А/с. Какова будет форма линий напря-
напряженности соответствующего ему вихревого электри-
электрического поля напряженностью ?? 1) Найти напряжен-
94

?r
Рис. 3.5G
Рис. 3.57
ность Е на расстоянии 2г0 от оси соленоида. 2) Как
изменится напряженность Е и смещение D, если со-
соленоид погрузить в однородный немагнитный диэлек-
диэлектрик с проницаемостью е = 2?
3.183. Алюминиевое кольцо, сопротивление кото-
которого пренебрежимо мало, надето на сердечник элек-
электромагнита и лежит на подставке в верхней его части.
Магнитный поток, посылаемый сердеч-
сердечником через кольцо, нарастает от нуля
до конечного значения Ф = 10s Гс-см2.
Нарастание потока про-
происходит настолько быст-
быстро, что за время нараста-
нарастания кольцо практически
не успевает сместиться.
Найти высоту h, на кото-
которую подскочит от под-
подставки кольцо (рнс. 3.56),
если его масса равна
т = 100 г, а индуктив-
индуктивность L = 100 см.
3.184. Длинный сверхпроводящий соленоид радиу-
радиусом г =2 см укреплен в центре диска из изолятора,
который может свободно вращаться вокруг своей оси
(рис. 3.57). Соленоид замкнут накоротко, и в нем цир-
циркулирует ток, создающий в центре соленоида индук-
индукцию В = 104 Гс. На диск вне соленоида нанесены за-
заряды, суммарная величина которых составляет а =
= 4-10~6 Кл. Соленоид разогревается, и ток в нем
прекращается. Найти механи-
механический момент количества
движения 3?, который полу-
получает в результате этого вся
система.
3.185. Плоский воздушный
конденсатор помещен парал-
параллельно круглым горизонталь-
горизонтальным наконечникам электро-
электромагнита. Между обкладками
конденсатора в однородном электрическом поле на-
напряженностью Е на расстоянии г от оси полюсных
наконечников неподвижно висит масляная капля с
зарядом q (рис. 3.58). В обмотке был включен ток
и магнитное поле доведено до постоянного значения В.
Предполагая, что за время нарастания магнитного
95

поля смещение капли пренебрежимо мало, найти ско-
скорость v капли и траекторию ее движения после вклю-
включения магнитного поля.
3.186. Конденсатор, состоящий из двух одинаковых
дисков радиусом а, расположенных на расстоянии d
друг от друга, заполнен диэлектриком с проницае-
проницаемостью е и заряжен до напряжения U. Затем конден-
конденсатор начинает разряжаться через внешнее сопротив-
сопротивление R. Пренебрегая краевыми эффектами, найти
вектор Пойнтинга S(r, t) в конденсаторе как функцию
расстояния от оси и времени. Найти полную элек-
электромагнитную энергию W, вытекающую через бо-
боковую поверхность конденсатора за все время раз-
разряда.
3.187. Постоянный ток / течет по цепи, состоящей
кз резистора сопротивлением R, длинной катушки ра-
радиусом r<i с плотной намоткой (плотность витков п)
и соосного с катушкой пря-
прямого провода радиусом г\
(рис. 3.59), Пренебрегая
сопротивлением катушки и
Рис. 3.59 провода, найти аксиальную
(S2) и азимутальную (S<p)
составляющие вектора Пойнтинга внутри катушки
вдали от ее торцов. Найти полную электромагнитную
энергию W через сечение катушки.
3.188. Медный цилиндр радиусом г = \ см и высо-
высотой h = 10 см помещен в переменное однородное маг-
магнитное поле с индукцией В = BQcos(at, параллельное
оси цилиндра. Амплитуда поля равна Во = 100 Гс, ча-
частота / = 50 Гц. Определить среднюю тепловую мощ-
мощность Р, выделяющуюся в цилиндре из-за токов Фуко.
Удельная проводимость меди равна Х = 5,14Х
X Ю17 с-1.
3.189. В плоский конденсатор, состоящий из двух
круглых дисков площадью S, помещена квадратная
проволочная рамка со стороной а и сопротивлением
R (ее индуктивное сопротивление можно считать ма-
малым). Одна из сторон рамки совпадает с осью
конденсатора, а две другие направлены по ра-
радиусу диска. Конденсатор заряжается от источника
постоянной э. д.с. до заряда q, причем постоянная
времени равна т. Найти количество теплоты Q (джо-
улево тепло), выделяющееся в рамке при зарядке кон-
конденсатора.
06

3.190. Длинный соленоид (длина /, радиус г, число
витков N) подключается к источнику постоянной
э. д. с. $ через резистор сопротивлением R (сопротив-
(сопротивлением соленоида можно пренебречь). Найти электро-
электромагнитную энергию W, втекающую в соленоид за
время установления тока, и сравнить ее с магнитной
энергией соленоида LP/2.
3.191. Заряженный плоский воздушный конденса-
конденсатор с напряженностью электрического поля между
пластинами ? = 282 В/см помещен внутри соленоида,
поперечное сечение которого имеет форму прямоуголь-
прямоугольника со сторонами, параллельными и перпендикуляр-
перпендикулярными пластинам конденсатора. В цепи обмотки соле-
соленоида имеется батарея постоянного тока и ключ. Вся
система (вместе с батареей) помещена на горизон-
горизонтальных рельсах, параллельных пластинам конденса-
конденсатора, и может перемещаться по ним без трения. Вна-
Вначале цепь соленоида разомкнута. Затем ключ замы-
замыкается и в соленоиде создается постоянное магнитное
поле с индукцией В = 2000 Гс. Найти изменение ме-
механического импульса Ар системы после замыкания
ключа. Объем воздушного пространства между пла-
пластинами конденсатора равен V = 200 см3.
3.192. Провода системы Лехера находятся в ем-
емкостной связи с генератором синусоидальных колеба-
колебаний, который поддерживает между концами А и В пе-
переменное напряженке Uocosmt, где Uo и (о — постоян-
постоянные. Концы С и D закорочены (рис. 3.60). Длина
лехеровой системы АС =
= BD = I. Найти рас- г-
пределение напряжения ~ц casu>t
U(x,t) между проводами °
как функцию координа-
координаты л: и времени t, пред-
предполагая, что колебания
установились, а активное сопротивление всех проводов
равно нулю. Исследовать амплитуду А установив-
установившихся колебаний напряжения в пучностях в зависи-
зависимости от длины / лехеровой системы.
3.193. Мощный СВЧ-генератор через волновод пи-
питает нагрузку, посылая в волновод мощность Pq =
= 100 кВт. Часть этой мощности поглощается в на-
нагрузке (Рн = 75 кВт), а часть отражается. В резуль-
результате в волноводе возникает суперпозиция прямой и
отраженной волн, распространяющихся навстречу
4 Сборник задач по физике 97

друг другу. Найти коэффициент К стоячей волны з
волноводе, т. е. отношение максимальной напряжен-
напряженности поля (в пучности) к минимальной (в узле).
3.194. Мощный СВЧ-генератор через волновод пи-
питает передающую антенну. Генератор посылает в вол-
волновод мощность Ро = 100 кВт, которая частично
излучается антенной в окружающее пространство, а
частично отражается и поглощается в специальных
нагрузках обратной волны. Б результате в волноводе
возникает суперпозиция прямой и отраженной волн,
распространяющихся навстречу друг другу. НаЙТИ
мощность Р„зл, излучаемую антенной, если известно,
что коэффициент стоячей волны, т. е. отношение мак-
максимальной напряженности поля (в пучности) к ми-
минимальной (в узле), равен К = 2.
3.195. Отрезок коаксиального кабеля длиной / =
= 14 м подключен ко входу усилителя с очень высо-
высоким входным сопротивлением. Другой конец кабеля
замкнут накоротко. Межпроводное пространство ка-
кабеля заполнено диэлектриком (е = 2), характери-
характеризующимся малой удельной проводимостью X =
= Ю Ом-1-м-1 да 0,9-104 ед. СГС. Найти доброт-
добротность Q контура, эквивалентного отрезку данного ка-
кабеля, и минимальную резонансную частоту Vmim счи-
считая, что потери связаны только с проводимостью ди-
диэлектрика.
3.196. Торцы отрезка волновода сечением а~ХЬ =
= 10 X 22 мм и длиной /= 100 мм запаяны, и волно-
волновод заполнен диэлектрической средой (е = 2), обла-
обладающей слабой удельной проводимостью А, =
= 10~7 Ом~!-м-! «900 ед. СГС. Найти добротность
Q полученного СВЧ-резонатора для минимальной ре-
резонансной частоты Vmin, считая, что потери энергии
вызваны только проводимостью диэлектрика.
§ 3.5. Квазистационарные токи. Колебания
в электрических цепях
3.197. 1< заряженному до напряжения U конденса-
конденсатору емкостью С] подключается незаряженный кон-
конденсатор емкостью С2; сопротивление цепи равно R.
Найти зависимость тока в цепи от времени /(/). Ин-
Индуктивностью цепи пренебречь.
3.198. Конденсатор емкостью С несет заряд q. При
параллельном соединении этого конденсатора с неза-
незаряженным конденсатором той же емкости часть энер-
08

гии выделяется в соединительных проводах в виде
теплоты. Найти количество теплоты Q. выделенной в
проводах, прямым расчетом, не прибегая к закону
сохранения энергии. Индуктивностью проводов пре-
пренебречь.
3.199. В цепи, содержащей батарею с э. д. с. &, ре-
резистор сопротивлением R и конденсатор, из послед-
последнего быстро извлекают пластину с диэлектрической
проницаемостью е, которая заполняла весь объем кон-
конденсатора (рис. 3.61). При этом емкость конденсатора
скачкообразно меняется до
значения С. Найти зависи-
зависимость тока в цепи от вре- J-s C-L- «-L»_^-
мени /(/). I * Т
3.200. Конденсатор емко- I \—i 1
стью С заряжается от бата- рис 36i
реи с э. д. с. (? через нели-
нелинейное сопротивление, ток в котором связан с напря-
напряжением соотношением / = р?/3/2 (р — постоянная ве-
величина). Найтн зависимость тока в цепи от времени
I(t), если батарея включена при / = 0.
3.201. Сверхпроводящие катушки с самоиндукция-
самоиндукциями L\ и ?2 соединены параллельно и включены через
сопротивление R в цепь батареи с э. д. с. Ж и внутрен-
внутренним сопротивлением г (рис. 3.62). Найти токи в
1
т
Г
7
Рис.
—СГ.1 1
е.г
.1
'1
3.62
,/
1
1
Рис.
CU 1
R
К
3.63
катушках h и h и ток в общей цепи /. Взаимной ин-
индуктивностью катушек пренебречь.
3.202. При размыкании ключа /< в электрической
цепи, изображенной на рис. 3.63, возник дуговой раз-
разряд. Вольт-амперная характеристика дугового разря-
разряда имеет вид U = а-\- b/l, где а и Ъ — известные
постоянные величины. Определить ток / в цепи.
3.203. Длинный соленоид, длина которого равна /,
а площадь витков S, замыкается в некоторый мо-
момент времени последовательно с сопротивлением R
на источник постоянного напряжения с э. д. с. &".
В средней части соленоида находится небольшое
4* 09

короткозамкнутое кольцо, плоскость которого перпен»
дикулярна оси соленоида. Площадь кольца равна Si,
сопротивление — R\. Определить максимальное ради-
радиальное давление (/р)тах на кольцо, т. е. радиальную
силу, действующую на единицу длины кольца. Само-
Самоиндукцией кольца пренебречь.
3.204. Тороидальная катушка с радиусом тора г
и радиусом витка л (п <С г) замыкается в некоторый
момент последовательно с сопротивлением R на
источник постоянного тока с э. д. с. 8. Внутри ка-
катушки находится небольшое короткозамкнутое коль-
кольцо, площадь которого равна Si, а сопротивление — R\.
Плоскость кольца совпадает с плоскостью одного из
витков тора. Определить количество теплоты Q (джоу-
лево тепло), выделившееся в кольце за все время
установления тока в цепи тора. Самоиндукцией коль-
кольца пренебречь.
3.205. Два соленоида имеют одинаковые геометри-
геометрические размеры, но один из них изготовлен из про-
провода вдвое большей площади поперечного сечения и
вдвое меньшей длины, чем другой. Материал проводов
обоих соленоидов одинаков. В обмотке какого из со-
соленоидов будет выделяться большее количество теп-
теплоты, если магнитные поля в них одинаковы? У какого
из соленоидов меньше время установления магнит-
магнитного поля?
3.206. В схеме, изображенной на рис. 3.64, в не-
некоторый момент времени замыкают ключ К и конден-
конденсатор емкостью С, имеющий первоначальный заряд
т
Рис. 3.64 Рис. 3.65
q0, начинает разряжаться через катушку индуктив-
индуктивностью L. Когда ток заряда достигает максимального
значения, ключ К вновь размыкают. Найти заряд q,
который протечет через резистор сопротивлением R.
Сопротивление диода D в прямом направлении много
меньше R, в обратном — бесконечно велико.
3.207. В схеме, изображенной на рис. 3.65, ключ К
размыкают и в контуре возникают колебания. Какой
100

Рис. 3.66
должна быть емкость С конденсатора, чтобы напря-
напряжение на емкости не более чем в п = 100 раз превос-
превосходило напряжение батареи?
3.208. После размыкания ключа в схеме, изобра-
изображенной на рис. 3.66, в контуре возникают медленно
затухающие колебания, макси-
максимальная амплитуда напряже-
напряжения которых в п=100 раз пре-
превосходит напряжение батареи.
Найти собственную частоту
©о колебаний контура, если
уменьшение амплитуды коле-
колебаний в е раз происходит за
время t = 0,1 с.
3.209. С помощью осцилло-
осциллографа наблюдают свободные
затухающие колебания в колебательном контуре.
Найти соотношение между числом колебаний Ni
и Л^2, совершаемых за время, в течение которого
амплитуда затухает в е раз, если в два раза умень-
уменьшить индуктивность контура и в два раза увеличить
его емкость, сохранив неизменным активное сопро-
сопротивление.
3.210. Колебательный контур помещен в постоян-
постоянное магнитное поле, создающее в катушке магнитный
поток Фо. В момент времени t = 0 магнитное поле
выключается. Время выключения пренебрежимо мало
по сравнению с периодом собственных колебаний кон-
контура. Найти зависимость тока в контуре от времени
I(t) после выключения поля.
3.211. Конденсатор емкостью С = 0,1 мкФ, заря-
заряженный до напряжения <§ = 1 кВ, в момент времени
t = 0 замыкается иа катуш-
катушку индуктивностью L =
= 100 мГн и сопротивление,
равное критическому для
образовавшегося контура
(рис. 3.67). Определить вре-
время t, за которое ток достиг-
достигнет максимального значе-
значения, И НаЙТИ ЭТОТ ТОК /max-
3.212. Цепь, состоящая из последовательно соеди-
соединенных резистора сопротивлением R и катушки боль-
большой индуктивностью L, присоединена к источнику
постоянного тока, поддерживающего на зажимах
-Ф-8 ±с
Рис, 3.67
101

постоянное напряжение Uo (рис. 3.68). Для ограниче-
ограничения перенапряжений во время отключения источника
параллельно с цепью включен конденсатор емко-
емкостью С. Определить напряжение иа конденсаторе U(t)
после отключения источника.
Параметры удовлетворяют
условию L/C > /?2/4.
3.213. В колебательном кон-
контуре с малым затуханием од-
одновременно увеличивают ем-
Рнс. 3.68 кость конденсатора и самоин-
самоиндукцию катушки в одно и то
же число раз, равное п. Увеличение производится
и произвольный момент за время, малое по срав-
сравнению с периодом собственных колебаний контура.
Найти соотношение между амплитудами тока Л и /2
до и после изменения параметров контура.
3.214. Генератор с малым внутренним сопротивле-
сопротивлением посылает в контур с известными параметрами
L и С прямоугольный импульс
напряжения (рис. 3.69). Прене-
Пренебрегая затуханием, найти, при
какой длительности Т после пре-
прекращения импульса: 1) колеба-
колебания в контуре отсутствуют, 2) ам-
амплитуда колебаний напряжения
на емкости максимальна. Чему
равна максимальная амплитуда
колебаний напряжения?
3.2M. Кольцо из тонкой про-
проволоки, имеющее активное со-
сопротивление R = Ю-3 Ом, массу т=1 г и радиус
г = 1 см, подвешено на упругой нити и совер-
совершает малые крутильные колебания с частотой / =
= 1 Гц относительно вертикального диаметра. Если
поместить кольцо в магнитное поле, параллельное
плоскости кольца в положении равновесия, то возни-
возникает сильное затухание колебаний. Оценить магнит-
магнитную индукцию В поля, при которой движение кру-
крутильного маятника происходит в критическом режиме
(т. е. колебательный режим переходит в апериодиче-
апериодический). Самоиндукцией кольца и затуханием в отсут-
отсутствие магнитного поля пренебречь.
3.216. Резонансный контур L, С, R раскачивается
периодически следующими импульсами такими, что
102

каждый отдельный импульс создает на конденсаторе
дополнительное напряжение U. Промежутки времени
между последовательными импульсами в целое число
п раз больше периода собственных колебаний. Опре-
Определить амплитуду Uo установившихся колебаний. Счи-
Считать декремент затухания контура малым.
3.217. При пропускании кратковременного импуль-
импульса тока через баллистический гальванометр его рам-
рамка отклоняется на угол ср0. Спустя половину периода,
когда рамка гальванометра вернется в исходное по-
положение, через гальванометр пропускается такой же
импульс тока, но в противоположном направлении,
и т. д. Таким образом, всякий раз, когда рамка галь-
гальванометра проходит через положение равновесия, она
испытывает одинаковые толчки в направлении своего
движения. Найти максимальный угол отклонения
рамки при установившихся колебаниях. Период (за-
(затухающих) колебаний гальванометра ряоен Т, коэф-
коэффициент затухания у.
3.218. В вольтметре для измерения постоянного на-
напряжения ток поступает в катушку, которая может
вращаться во внешнем постоян-
постоянном магнитном поле. Определить
показания такого вольтметра,
если его включить через идеаль-
идеальный диод в розетку переменного
тока с напряжением 220 В (рис.
3.70).
3.219. В вольтметрах для из- Рис 3.70
мерення постоянного или пере-
переменного напряжения используется принцип взаимо-
взаимодействия двух катушек, из которых одна подвижная.
Катушки соединены последовательно, так что через
них проходит один и тот же ток. Какую величину
измеряет такой вольтметр? Вольтметр такого типа
для переменного тока включен через идеальный диод
в розетку с напряжением 220 В (рис. 3.70). Какое на-
напряжение покажет вольтметр?
3.220. Дан черный ящик с двумя внешними клем-
клеммами. Внутри него собрана схема из катушки индук-
индуктивностью L с малыми омическими потерями, конден-
конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
Известно, что если подать на клеммы постоянное на-
напряжение 1 В, то ток будет равен 10 мА. При пере-
переменном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен
103

1 мА. С ростом частоты ток падает и достигает
минимума на частоте 500 Гц, а затем постепенно воз-
возрастает до предельного значения 10 мА, Нарисовать
схему черного ящика и определить ее параметры.
3.221. Дан черный ящик с двумя внешними клем-
клеммами. Внутри него собрана схема из катушки индук-
индуктивностью L с малыми омическими потерями, кон-
конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
Известно, что если подать на клеммы постоянное на-
напряжение 1 В, то ток будет равен 1 мА. При перемен-
переменном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен
10 мА. С ростом частоты ток растет и достигает мак-
максимума на частоте 500 Гц. Нарисовать схему черного
ящика и определить ее параметры.
3.222. В цепь переменного тока с напряжением
& = 440 В и частотой / = 50 Гц включены последова-
последовательно нормально горящая лампочка накаливания и
конденсатор. Определить емкость С конденеатора,
если лампочка рассчитана на напряжение U = 220 В
и ток / = 1 А. Найти сдвиг фаз <р между током и
напряжением в цепи.
3.223. Удельное сопротивление некоторой жидкости
равно р = 10" Ом-см. При переходе от постоянного
тока к 50-периодному (при том же эффективном на-
напряжении) ток, текущий через конденсатор, заполнен-
заполненный этой жидкостью, возрастает вп = 7 раз. Опреде-
Определить диэлектрическую проницаемость е этой жидкости.
3.224. Длинный однослойный реостат из нихромо-
вой проволоки с удельным сопротивлением р =
= 1,Ы0* Ом-м намотан ви-
виток к витку с плотностью п =
= 10 витков/см на керамиче-
керамический стержень диаметром D=
= 5 см и включен в цепь пере-
переменного тока с частотой /=
= 50 Гц. Найти сдвиг фаз qp
между током и напряжением
на реостате. Толщиной изоля-
изоляции проволоки пренебречь.
3.225. В схеме, представленной на рис. 3.71,
емкость С конденсатора подобрана таким образом,
что при замыкании ключа К ток, показываемый ам-
амперметром, не изменяется. Определить индуктивность
L катушки, если известно, что / = 0,5 А, 0 = 380 В,
/ = 50 Гц.
104

3.226. Вблизи катушки колебательного контура с
параметрами Lu С и R расположена вторая катушка
индуктивностью Li. Коэффициент взаимной индукции
между катушками равен М. Найти резонансную ча-
частоту ©рез контура, если выводы второй катушки
замкнуть накоротко. Считать, что индуктивное сопро-
сопротивление второй катушки на частоте колебаний кон-
контура значительно больше ее активного сопротивления.
3.227. Две одинаковые катушки, намотанные на
общий каркас, соединены последовательно и включе-
включены в колебательный контур с емкостью С двумя спо-
способами, изображенными на рис. 3.72. Резонансные
Рис 3.72
частоты контуров оказались равными аи и а>2. Найти
индуктивность L каждой из катушек и коэффициент
их взаимной индукции М.
3.228. Две одинаковые катушки, намотанные на
общий каркас, соединены параллельно и включены в
колебательный контур с емкостью С двумя способами,
изображенными на рис. 3.73. Резонансные частоты
Рис. 3.73
контуров оказались равными оц и ш2. Найти индуктив-
индуктивность L каждой из катушек и коэффициент их взаим-
взаимной индукции М.
3.229. Входной контур радиоприемника имеет до-
добротность Q = 100 и настроен на частоту fQ = 1 МГц.
Во сколько раз напряжение частоты f0 на конденса-
конденсаторе больше напряжения частоты fr = 2fo (мешающая
станция) при условии, что амплитуды сигналов, воз-
возбуждаемых в контуре, одинаковы?
105

Рис. 3.74
3.230. При снятии резонансной кривой колебатель-
колебательного контура (рис. 3.74) с малым затуханием найдено,
что напряжение на конденсаторе максимально при
частоте fo = l,6 кГц; при частотах f <C fо это напря-
напряжение равно f/o ^= 1 В. Чему
равно выходное напряжение
Ui при частоте /i = 16 кГц?
3.231. При снятии резонанс-
резонансной кривой колебательного
контура, изображенного на
рис. 3.74, найдено, что макси-
максимальный ток /о = 0,1 А дости-
достигается при частоте генератора /0=1,6 кГц, ток при
частоте f\ = 16 кГц равен 1\ = 10~4 А. Входное на-
напряжение в обоих случаях равно V = 1 В. Найти по
этим данным приближенные значения параметров
контура R, L, С.
3.232. При измерении добротности резонансного
контура из параллельно включенных катушки индук-
индуктивностью L = 0,l Гн и сопротивлением г = 30 Ом и
конденсатора емкостью С = 3-103 пФ поступили сле-
следующим образом. Контур подключили к клеммам
осциллографа и, включая и выключая э. д. с. постоян-
постоянного тока, наблюдали затухающие колебания в кон-
контуре (рис. 3.75). Сравнить добротность Q контура при
разомкнутой цепи батареи в случаях, когда входное
сопротивление осциллографа равно # = 100 кОм и
когда оно очень велико.
Y
1
1
c. 3.75
Рис. 3.76
3.233. Индуктивный датчик является радиотехни-
радиотехническим устройством для регистрации небольших изме-
изменений индуктивности. Обычно такой датчик представ-
представляет собой электрический колебательный контур с
изменяющейся индуктивностью (рис. 3.76). Найти ми-
минимально измеряемое относительное изменение индук-
индуктивности AL/L, если контур настроен в резонанс.
100

Напряжение источника питания равно (/=100 В, ми-
минимально измеряемое изменение напряжения на со-
сопротивлении д?/=Ю мкВ, добротность контура Q =
3.234. Емкостный датчик — одно из наиболее чув-
чувствительных радиотехнических устройств, применяе-
применяемых для регистрации малых
механических смещений. Обыч-
Обычно емкостный датчик представ-
представляет собой электрический коле-
колебательный контур с воздушным
конденсатором, одна из пла-
пластин которого подвижна (рис.
3.77). Найти минимально изме-
измеряемое перемещение \d пла-
пластины конденсатора, если кон-
контур настроен в резонанс. Напряжение источника пи-
питания равно U = 100 В, минимально измеряемое из-
изменение напряжения на сопротивление AU = 10 мкВ,
добротность контура Q = 102 и зазор между пласти-
пластинами d = 1 мм.
3.235. При каком условии амплитуда тока в цепи,
изображенной на рис. 3.78, зависит только от ампли-
амплитуды приложенного напряжения U = Uocosayt, но не
от его частоты? Найти при этом условии разность
фаз ф между приложенным напряжением и напряже-
напряжением на концах ЯС-цепочки.
Рис. 3.77
cos cut
I
Рнс. 3.78
Рис. 3.79
3.236. На рис. 3.79 изображена электрическая схе-
схема, в которой /? = 6 Ом, L = 0,01 Гн. Круговая ча-
частота равна ш = 300 с-1. Определить, при какой
емкости С конденсатора ток находится в фазе с на-
напряжением.
107

3.237. С помощью схемы, изображенной на
рис. 3.80, требуется получить сдвиг фаз на угол л/2
между напряжением на входе U = i/ocoscoi и напря-
напряжением на выходе U\. Какому условию при этом
должны удовлетворять параметры схемы R п С, если
частота входного напряжения равна (о?
Рис. 3.80
Рис 3.81
3.238. При каком соотношении между параметрами
схемы, изображенной на рис. 3.81, напряжение на вы-
выходе ?/[ находится в фазе с напряжением на входе
U=Uocosat? Какова при этом амплитуда напряже-
напряжения Uoi на выходе?
3.239. В схеме, изображенной на рис. 3.82, наблю-
наблюдается сдвиг фаз на угол л/2 между входным напря-
напряжением U = f/ocos at и выходным напряжением U\.
При каком соотношении между параметрами схемы
это возможно? Какова при этом амплитуда напряже-
напряжения i/oi на выходе?
Рис 3.82
C U
Рис. 3.83
3.240. Параметры J? и С схемы, изображенной на
рис. 3.83, заданы. При какой частоте со выходное на-
напряжение U\ будет находиться в фазе с входным
напряжением W? Каким при этом будет отношение
амплитуд напряжений U\ и {У?
108

3.241. На вход фильтра подано напряжение U =
= U0cos(ot, где со=1/(/?С) (рис. 3.84). Определить
амплитуду напряжения на выходе Uoi-
±
и;
Рис. 3.84
3.242. При каком соотношении между параметрами
моста, изображенного на рис. 3.85, напряжение ?Л
на его выходе находится в фазе с входным напряже-
напряжением U = Uo cos cop Определить при этом амплитуду
напряжения на выходе Uo\.
Рис. 3.85
Рис. 3.86
U(t)
3.243. Мост переменного тока, изображенный на
рис. 3.86, сбалансирован. Определить соотношение
между постоянными времени плеч ab и cd. Является
ли найденное соотноше-
соотношение достаточным усло-
условием баланса моста?
3.244. Найти условия,
при которых мост пере-
переменного тока, изображен-
изображенный на рис. 3.87, будет
сбалансирован (т.е. U\ =
= 0) при подаче на его
вход периодического на-
напряжения U(t) любой
формы.
3.245. Два электрических колебательных контура с
известными параметрами связаны индуктивной связью.
В одном из контуров действует синусоидальная
Рис. 3.87
109

з. д. с. с круговой частотой со. Определить сдвиг фаз q>
между токами в контурах,
3.246. Найти условие, при котором в схеме рис. 3.88
ток, протекающий через некоторую нагрузку Z, не бу-
будет зависеть от этой нагрузки.
т т т
Рис. 3.
Рис 389
3.247. Найти входной импеданс Z бесконечной
цепи, показанной на рис. 3.89. При каких частотах со
цепь не будет потреблять мощность от источника?
3.248. В одной из схем радиочастотного лампового
генератора наличие электронной лампы с нелинейно»
характеристикой и цепи обратной связи эквивалентно
включению в колебательный контур двухполюсника,
комплексное сопротивление Z которого зависит от
амплитуды тока /о и на частоте со равно Z = а//0 +
+ ibiya, где а и b — известные константы (рис. 3.90).
При каких условиях возникнут автоколебания в такой
схеме? Каковы частота со и амплитуда А установив-
установившихся колебаний тока?
Рис. 3.90
Рис. 3.91
3.249. В схеме, изображенной на рис. 3.91, дей-
действует переменное напряжение U = Uq cos2 co^. Опре-
Определить токи / и /,, если известно, что параметры цепи
удовлетворяют соотношению со2 = 1/DLC).
3.250. Найти спектры следующих колебаний:
') /@ = ^ cos2coo^ (квадратичное преобразование мо-
монохроматического сигнала); 2) f(t)=A(l-\-tncosQt)y,
Xcoscoof (Q <C co0, m < 1) (амплитудная модуляция);
3) f(t) = A cos [aot+ m cos Qt] (Q < co0> m < 1) (фа-
(фазовая модуляция).
ПО

3.251. В приемниках радиоизлучения обычно осу-
осуществляется квадратичное преобразование принимае-
принимаемого сигнала с последующим усреднением за некото-
некоторое время Д*, подчиняющееся условию 2л/со0 < Д? <С
<< 2я/Й, где шо — радиочастота, Q — частота модуля-
модуляции (шо>Й). Что зарегистрирует такой приемник в
следующих случаях: 1) на вход подано амплитудно-
модулированное колебание (задача 3.250, п. 2); 2) на
вход подано колебание, модулированное по фазе (за-
(задача 3.250, п. 3); 3) на вход подано колебание, моду-
модулированное по фазе с отфильтрованной частотой ш0
(т. е. без несущей); 4) на вход подано колебание, мо-
модулированное по фазе, в кото-
котором фаза спектральной ком-
компоненты частоты шо изменена
на л/2 (т. е. фаза несущей из-
изменена на л/2)?
3.252. Колебательный кон-
контур (рис. 3.92) возбуждается
синусоидальным напряжением
U =ш= ий cos at, частота которо-
которого со отличается от собственной частоты шо, причем
расстройка Дш = шо — ш больше ширины резонансной
кривой (|Дш|>б). Можно ли «раскачать» колебания
в контуре периодическим замыканием и размыканием
Ht)
R
К
U
Рис. 3.92
А —
А—* ,
1 1
i i
S
A-
t J
Рис.
T\~~
\i
}9Я
T
A
i
T
'TV
n
\
1 V
t
-п--ГУ~ТГ'
д д л
/1/1/1
t
6
ключа /С? При какой частоте переключений Q ампли-«
туда колебаний в контуре будет максимальной?
3.253. Найти спектр следующих сигналов: 1) пе-
периодическая последовательность прямоугольных
111

импульсов (рис. 3.93я); 2) прямоугольный импульс
(рис. 3.93 6); 3) прямоугольный цуг (рис. 3.93в).
3.254. Найти спектральный состав выходного на-
напряжения U\ (т. е. амплитуды и фазы спектральных
компонент) в схеме, изображенной на рис. 3.94, если
обе емкости одновременно изменяются по закону
1/С = A + m cos Ш)/Со. Считать, что т ^ 1, со > й
и co#Co> 1.
Рис. 3.94
Рис. 3.95
3.255. Найти спектральный состав выходного на-
напряжения \]\ (т. е. амплитуды и фазы спектральных
компонент) в схеме, изображенной на рис. 3.95, если
обе индуктивности одновременно изменяются по за-
закону L = Lq(\-\-тcosШ). Считать, что т^ 1, ш^^
и (oLo < R.
3.256. На /?С-цепочку (рис. 3.96) подается синусои-
синусоидальное напряжение U = (Jo cos at. Параметры це-
цепочки подобраны так, что сдвиг фаз между U\
и U составляет 60°. Определить спектральный состав
и
\R
г
и
I
I
If,
Рис. 3.96
Рис. 3.97
выходного напряжения и фазовые сдвиги между спек-
спектральными компонентами для случая, когда расстоя-
расстояние между пластинами конденсатора (конденсатор
плоский) изменяется по закону d = do(l + а соэШ),
причем й<о и й< 1.
3.257. На #С-цепочку (рис. 3.97) подается сину-
синусоидальное напряжение U = Uo cos at. Параметры це-
112

почки подобраны так, что сдвиг фаз между U{ и U
составляет —45°. Определить спектральный состав вы-
выходного напряжения и фазовые сдвиги между спек-
спектральными компонентами для случая, когда расстоя-
расстояние между пластинами конденсатора (конденсатор
плоский) изменяется по закону d = do(l + а соэШ),
причем Q <С со, а <С 1.
3.258. Высокодобротный колебательный контур на-
находится под действием внешнего амплитудно-модули-
рованного сигнала, изменяющегося по закону U(t) =
= А A + т cos2 Ш) cos at. Резонансная частота кон-
контура может перестраиваться при помощи изменения
емкости. Считая коэффициент затухания контура у
заданным, определить амплитуду вынужденных коле-
колебаний в следующих случаях: 1) контур настроен на
несущую частоту со; 2) контур настроен на частоту
@ + 2Q.
3.259. Амплитудно-модулированное колебание
U(t) = A (I + tncosUt)cos(at подается на вход высо-
высокодобротного колебательного контура. При перестрой-
перестройке несущей частоты ш наблюдается несколько резо-
нансов. Указать резонансные частоты. Определить
глубину модуляции т, если известно, что ампли-
амплитуда вынужденных колебаний в контуре уменьши-
уменьшилась в п = 4 раза при перестройке частоты со от
значения ш0 до coo + Q (coo — собственная частота
колебаний).
3.260. Тороидальная катушка радиусом г, имею-
имеющая /V витков, равномерно намотана на ферритовый
сердечник площадью
сечения S (рис. 3.98).
Из-за насыщения диф-
дифференциальная маг-
магнитная проницаемость
материала сердечника
зависит от напряжен-
напряженности магнитного поля
но закону n=dB/dH=
#2 Катушка
охвачена проводником, '
замкнутым на конден-
конденсатор емкостью С. Определить спектральный состав
тока, протекающего через конденсатор, если в катуш-
катушке протекает переменный ток I = losinait. Гистерези-
Гистерезисом в магнетике пренебречь.
из

3.261. В схеме, изображенной на рис. 3.99, анод-
анодный ток /а при малых колебаниях в контуре линейно
зависит от напряжения на сетке Uc по закону /а =
= S?/C-Mo> где S и /0 —постоянные величины. Ка-
Катушка колебательного контура индуктивностью L и
катушка связи индуктив-
индуктивностью Z-св намотаны на
общий магнитный сердеч-
сердечник. Считая величины L,
Lcb, С я S заданными,
определить, при каком
максимальном активном
сопротивлении /?тах кон-
контура возможно возбужде-
возбуждение автоколебаний. 1<ако-
Рис. 3.99 ва будет эффективная
добротность Q контура,
если выбрать R = 2/?тах? Провести числовой расчет
для L = 4 • Ю-4 Гн, LCB = 4 • Ю-6 Гн, С = Ю-8 Ф, S =
= 2-Ю-3 А/В.
3.262. Индуктивность колебательного контура пе-
периодически изменяется во времени по закону, указан-
указанному на рис. 3.100. Определить, при какой емкости С
to
3ia
¦to}.
Рис. 3.100
колебательного контура возможен параметрический
резонанс. При каком максимальном активном сопро-
сопротивлении Ятах контура произойдет возбуждение па-
параметрических колебаний? Провести числовой расчет
для L0 = 4-10-4 Гн, Д? = 4-10-5 Гн, То=Ю-6 с.
3.263. С помощью высокочувствительной измери-
измерительной схемы, которая проводит усреднение за время
тя1 с, регистрируются малые изменения Д/ по-
постоянного тока, текущего через вакуумный диод
114

(рис. 3.101)', вызванные, например, изменением напря-
напряжения батареи. Оценить минимальное регистрируемое
на фоне дробового шума диода значение A/mm, если
средний ток диода / да
« Ю-3 А.
3.264. Сигнал от радио-
радиопередатчика, принятый на
расстоянии U = 1 км, равен
по мощности уровню соб-
собственных шумов приемника.
Считая, что шумы обус-
обусловлены только тепловыми
флуктуациями во входном
контуре радиоприемника, определить, с какого рас-
расстояния li можно было бы вести прием с тем же со-
соотношением уровней сигнала и шума, если охладить
входные цепи радиоприемника до температуры жид-
жидкого гелия 72 = 4 К.
ЦчИ
Рис. 3.101
IV. ОПТИКА
§ 4.1. Геометрическая оптика
и элементы фотометрии
4.1. На плоскопараллельную стеклянную пластин-
пластинку под углом ф падает узкий пучок света шириной
а (рис. 4.1), содержащий две спектральные компо-
компоненты. Показатели преломления стекла для этих длин
волн различны: щ и щ. Определить минимальную
^min
Рис. 4.1
Рис. 4.2
толщину Am in пластинки, при которой свет, пройдя
через пластинку, будет распространяться в виде двух
отдельных пучков, каждый из которых содержит
только одну спектральную компоненту.
4.2. Для обращения изображения часто исполь-
используют так называемую призму Дове (рис. 4.2), пред-
115

ставляющую собой усеченную прямоугольную равно-
равнобедренную призму. Определить длину / основания
призмы, если ее высота равна й = 2,11 см, а показа-
показатель преломления стекла п=1,41. Призма должна
оборачивать пучок света максимального сечения.
4.3. Перед торцом стеклянного цилиндрического
световода, показатель преломления которого равен п,
на его оси расположен точечный источник света.
Найти угловую апертуру а пучка света, проходящего
через световод.
4.4. В оптической системе, предназначенной для
задержки во времени короткого светового импульса,
используется многократное отражение света от двух
вогнутых сферических зер-<
кал 3\ (радиус кривизны
ri=10 м) и 3i (радиускри«
визны гч = 1 м), располо-
расположенных на расстоянии L=»
= 5,5 м друг от друга
(рис. 4.3). В центре зерка-
зеркала 3! имеется отверстие
рис 4з диаметром d = 2 мм. На
это зеркало на высоте h =*
= 15 см от оси системы падает короткий световой
импульс в виде тонкого луча, параллельного оси. Оце-
Оценить, через какой промежуток времени At этот луч
выйдет через отверстие.
4.5. При фотографировании на пленке из-за конеч-
конечной разрешающей способности получаются резко изо-
изображенными не только те предметы, на которые сфо-
сфокусирован объектив фотоаппарата, но также и пред-
предметы, находящиеся несколько ближе и несколько
дальше этого расстояния. Оказалось, что при наведе-
наведении объектива фотоаппарата на предмет, находя-
находящийся на расстоянии Lo=lO м, ближняя граница
глубины резкости расположена на расстоянии L\ =
= 7,8 м. Определить дальнюю границу L2.
4.6. Человек с нормальным зрением рассматривает
удаленный предмет с помощью зрительной трубы Га-
Галилея. В качестве объектива и окуляра используются
линзы с фокусными расстояниями F, = 40 см и F2 =»
= —2 см. При каких расстояниях L между объекти-
объективом и окуляром наблюдатель увидит четкое изображе-
изображение предмета, если глаз может аккомодироваться от
10 см до бесконечности?
lie

4.7. Спектрограф имеет объектив коллиматора диа-
диаметром D с фокусным расстоянием F\ и объектив ка-
камеры того же диаметра с фокусным расстоянием F2.
Источник с яркостью В резко отображается на вход-
входную щель спектрографа при помощи конденсора один
раз с увеличением (расстояние от конденсора до щели
равно L), другой раз с уменьшением. Каков должен
быть диаметр конденсора DK, чтобы в обоих его по-
положениях освещенность на фотопластинке была оди-
одинаковой? Чему равна освещенность Е в этом случае,
если пренебречь потерями на отражение и погло-
поглощение?
4.8. Тепловой фотоприемник (рис. 4.4) представ-
представляет собой полую камеру с площадью внутренней по-
поверхности S = 2 см2, имею-
имеющую небольшое отверстие пло-
площадью Si = 1 мм2. Внутрен-
Внутренняя поверхность камеры незна-
незначительную часть света погло-
поглощает (коэффициент поглоще-
поглощения ?„ = 0,01), а остальную
часть рассеивает. В этих уело- Рис. 4.4
виях внутри полости создается
равномерно распределенное по всем направлениям
излучение. Какая часть светового потока Ф/Фо
(где Фо — световой поток, попадающий на входное
отверстие камеры) выходит через отверстие об-
обратно?
4.9. Линза с относительным отверстием 1 : 3,5 со-
собирает солнечный свет на поверхности черного ша-
шарика, помещенного в вакууме. До какой температуры
Т может нагреться шарик, диаметр которого равен
диаметру изображения Солнца, если Солнце видно
с Земли под углом ас = 0,01 рад и солнечная постоян-
постоянная Ес известна?
§ 4.2. Интерференция
4.10. Спутник Земли, поднимаясь над горизонтом,
излучает радиоволны длиной Х = 10 см. Микроволно-
Микроволновый детектор расположен на берегу озера на высоте
h = 1 м над уровнем воды. Рассматривая поверхность
виды как идеальный проводник, определить, при ка-
каком угле а спутника над горизонтом детектор за-
зарегистрирует 1-й и 2-й максимумы интенсивности
117

сигнала. Рассмотреть случаи горизонтальной и вер-
вертикальной поляризации.
4.11. Радиоизлучение космического источника дли-
длины волны X, имеющего угловой размер \J5, принимается
горизонтальным вибратором, служащим антенной. Ви-
Вибратор расположен на отвесном берегу на высоте h
над уровнем моря. Рассматривая поверхность воды
как плоское зеркало, определить, как будет меняться
интенсивность принимаемого сигнала в зависимости
от угла а возвышения источника над горизонтом. При
каких значениях углового размера источника интен-
интенсивность принимаемого сигнала не будет зависеть от
а? Для простоты расчет провести для малых значе-
значений а и iji.
4.12. Радиоизлучение от точечного космического
источника, находящегося в плоскости экватора, при-
принимается с помощью двух одинаковых антенн, распо-
расположенных по направлению восток-запад на расстоя-
расстоянии L =200 м друг от друга. На входной контур при-
приемника подается сумма сигналов, приходящих от
обеих антенн по кабелям одинаковой длины. Как
меняется в результате вращения Земли амплиту-
амплитуда напряжения Uo на входном контуре приемника,
если принимаемая длина волны будет равна
i=U?
4.13. Тонкая симметричная двояковыпуклая линза
сложена с тонкой симметричной двояковогнутой лин-
линзой так, что в некоторой точке они соприкасаются.
Показатель преломления обеих линз равен п = 1,6.
Наблюдается интерференцион-
интерференционная картина в отраженном
свете на длине волны X =
= 0,6 мкм. Определить фокус-
фокусное расстояние У7системы линз,
если радиус 5-го светлого
кольца равен г = 2 мм.
4.14. Интерференционная
Рис 4.5 картина (кольца Ньютона) на-
наблюдается в проходящем све-
свете (рис. 4.5). Показатель преломления линзы и пла-
пластинки равен я =1,5. Найти отношение интенсивно-
стей ^max/^min света в максимуме и минимуме ин-
интерференционной картины. Можно ли увидеть кар-
картину глазом, если контрастная чувствительность гла«
за равна 0,05?
118

Рис. 4.6
4.15. Источник света S расположен на расстоянии
?.1=1 м от тонкой слюдяной пластинки толщиной
Л *= 0,1 мм с показателем преломления п = 1,4
(рис. 4.6). На таком же расстоянии от пластинки
расположен небольшой эк-
экран Э, ориентированный
перпендикулярно отражен-
отраженным лучам, на котором на-
наблюдаются интерференци-
интерференционные полосы. Угол i = 60°.
Найти порядок т интерфе-
интерференционной полосы в цен-
центре экрана и ширину А/ ин-
интерференционных полос. Оценить допустимый раз-
размер b и допустимую немонохроматичность АХ источ-
источника. Используется зеленый свет с длиной волны
X = 560 нм.
4.16. С помощью зрительной трубы, установленной
на бесконечность, наблюдают интерференционные по-
полосы в тонкой плоскопараллельной стеклянной пла-
пластинке толщиной ft = 0,2 мм с показателем прелом-
преломления и = 1,41; при этом угол наблюдения i может
изменяться от 0 до 90° (рис. 4.7). Найти максималь-
максимальный и минимальный порядок интерференционных по-
полос. Оценить допустимую немонохроматичность АХ
источника, при которой будут достаточно четко
наблюдаться все интерференционные полосы. Каков
допустимый размер источника света в этом интерфе-
интерференционном эксперименте? Используется зеленый свет
с длиной волны Х = 560 нм.
\з
ы-
Рис. 4.7
Рис. 4.8
4.17. От двух когерентных источников света Si и S2
получена система интерференционных полос на экране
Э, удаленном от источников на расстояние L = 2 м
(рис. 4.8). Во сколько раз изменится ширина интер-
интерференционных полос, если между источниками и эк-
экраном поместить собирающую линзу с фокусным
119

расстоянием F = 40 см так, чтобы источники 5i и 5г
оказались в фокальной плоскости линзы?
4.18. Интерференция света от двух малых отвер-
отверстий в непрозрачном экране наблюдается в точке Р
(рис. 4.9). Позади отверстий на пути лучей постав-
поставлены две одинаковые кюветы, наполненные воздухом
Рис. 4.9
при одинаковом начальном давлении. При изменении
давления в одной из кювет изменение интенсивности
света в точке Р имеет осциллирующий характер.
Определить разность давлений Ар газа в кюветах,
при которой амплитуда осцилляции становится рав-
равной нулю, если 1-й минимум интенсивности наступает
при разности давлений
Др, = Ю~3 мм рт. ст.
Спектр излучения точеч-
точечного источника S равно-
равномерен в полосе Дсо и име-
имеет относительную шири-
ширину Дсо/со = Ю-5.
4.19. Оценить неточ-
неточность, которую можно до-
допускать в установке уг-
углов наклона зеркал в ин-
интерферометре Майкельсо-
рис 4.Ю На (Рис- 4'10) для того'
чтобы можно было на-
наблюдать полосы равного наклона. Ширина зеркал
D = 5 см, длина волны света Х = 0,55 мкм.
4.20. Рассчитать, какую ширину Ъ может иметь
источник света в интерферометре Майкельсона, если
зеркала интерферометра расположены на неодинако-
неодинаковых расстояниях от делительной пластинки и разность
этих расстояний равна L = 2 см. Фокусное расстоя-
расстояние коллиматора равно F = 25 см. Немонохроматич-
120

ностью источника пренебречь, длина волны света
Х = 0,5 мкм. Наблюдаются линии равной толщины.
4.21. В интерферометре Рэлея плоская волна испы-
испытывает дифракцию на двух щелях. Дифракционная
картина наблюдается в фокальной плоскости линзы с
фокусным расстоянием F = 100 см (рис. 4.11). Одну
из щелей закрывают пло-
плоскопараллельной пла- _^_ I
стинкой диспергирующе* —*¦ '
го вещества толщиной
h = 0,01 мм с законом
дисперсии п(К)=А — ВК, —*~^1
где А и В — некоторые "~Т||1Л
постоянные. При этом бе- - >г 1<
лая (ахроматическая) по- Рис. 4.11
лоса смещается на рас-
расстояние 1 = 4 мм. Определить постоянную А, если
известно, что расстояние между щелями равноd=\ см.
4.22. Найти относительное смещение &1/I интер-
интерференционных полос, полученных с помощью пла-
пластинки Луммера — Герке, при изменении температуры
на 1СС? Толщина пластинки равна h — 2 см, пока-
показатель преломления п = 1,5, температурный коэффи-
коэффициент линейного расширения стекла а = 8,5-10-6 К~',
длина волны света Х = 500 нм. Зависимостью пока-
показателя преломления от температуры пренебречь.
4.23. Интерферометр Фабрн — Перо состоит нз
двух плоских зеркал с коэффициентом отражения (по
интенсивности) р = 99%, расположенных на расстоя-
расстоянии L = 10 см друг от друга. На интерферометр, ис-
используемый в качестве оптического резонатора, падает
плоская монохроматическая волна. Оценить ширину
Д/ резонансной кривой (в мегагерцах) и определить
частотный интервал Av между двумя соседними ре-
зонансами.
4.24. Свет от протяженного монохроматического
источника 5 падает на непрозрачный экран Э, в ко-
котором имеются два маленьких отверстия. Интерферен-
Интерференция света, прошедшего через отверстия, наблюдается
в точке Р (рис. 4.12). Источник света S и точка Р на-
ходятся на одинаковом расстоянии L от экрана. При
увеличении расстояния d между отверстиями измене-
изменение интенсивности в точке Р имеет осциллирующий
характер. Определить линейный размер Ь источника
света, если 1-й минимум интенсивности в точке Р
121

наблюдается при d = d\ = \ см, а амплитуда осцилля-
осцилляции становится равной нулю при d = d2 = 20 см
(условие d <С L выполняется всегда).
Рис. 4.12
4.25. Два пучка белого света, полученные от од-
одного точечного источника, сходятся на входной щели
оптического спектрального прибора. Разность хода
равна Д = 300 м. Оценить разрешающую способность
R спектрального прибора, который может обнаружить
интерференцию этих пучков.
4.26. Два пучка белого света от одного источника
приходят в точку наблюдения Р (рис. 4.13 я) с раз-
Рис. 4 13
ностью хода Д. С помощью спектроскопа высокой раз-
разрешающей способности исследуется распределение
энергии в спектре колебания, возникающего в точке Р
при наложении обоих пучков. Оказалось, что наблю-
наблюдаются чередующиеся максимумы и минимумы спек-
спектральной интенсивности 3 {v), причем частотный ин-
интервал между соседними максимумами Av = 10 МГц
(рис. 4.136). Определить разность хода Д.
122

4.27. Интерференционная картина, полученная при
интерференции двух пучков одинаковой интенсивности
при апертуре интерференции Q = 10~3 рад, изобра-
изображена на рис. 4.14. Оценить немонохроматичность
источника ДА, и его линейный размер Ь. Средняя дли-
длина волны равна А, = 500 им.
4.28. В двухлучевой интерференционной схеме с
равными интенсивностями интерферирующих лучей
используется источник белого света, размер которого
й = 0,025 см. Интерференционная картина, наблюдае-
наблюдаемая через светофильтр, изображена на рис. 4.15. Оце-
Э,услсд.
нить полосу пропускания фильтра ДА, и апертуру ин-
интерференции Q. Средняя длина волны равна А,=
= 500 нм.
4.29. Найти видность Т интерференционной кар-
картины в опыте Юнга при использовании протяженного
источника света; Размер источника света Ь, расстоя-
расстояние от источника до экрана со щелями /., расстояние
между щелями d. Средняя длина волны равна X —
= 500 нм.
4.30. Три плоские монохроматические волны с
амплитудами 1, а и а (а < 1) падают на плоскость
0----
if
Рис. 4.16
Рис. 4.17
г = 0 под углами 0, а и —а (рис. 4.16) так, что в
точке х = 0 колебания оказываются синфазными. При
смещении плоскости наблюдения в область г > 0 про-
происходят периодические изменения контраста интер-
123

ференционной картины. Объяснить явление. Найти
положения плоскости наблюдения, в которых кон-
контраст картины максимальный и минимальный. Чему
он равен?
4.31. Определить видность Т интерференционной
картины от двух точечных источников, спектр излуче-
излучения которых одинаков и изображен на рис. 4.17. Как
зависит видность Т от ширины спектра Л/?
§ 4.3. Дифракция. Элементы голографии
и фурье-оптики
4.32. Вдали от точечного источника S стоит беско-
бесконечный идеально отряжающий экран. Из экрана уда-
удален диск диаметром dx = 2r, У2/3~, где г, — радиус 1-й
зоны Френеля, и поставлен другой диаметром d2 —
= d}/y2. Найти интенсивность & отраженной волны
в точке S, если диск диаметром d2 стоит в плоскости
экрана.
4.33. В плоскопараллельной стеклянной пластинке
с показателем преломления п, на которую нормально
падает плоская волна, вырезано круглое отверстие
размером в одну зону Френеля для некоторой точки Р,
лежащей на оси системы. Определить, при какой тол-
толщине пластинки h интенсивность 2f колебаний в точ-
точке Р будет максимальной. Найти Утах, если в отсут-
отсутствие пластинки итенсив-
ность равна Эй. Длина
волны падающего света
равна X.
4.34. Между точечным
монохроматическим ис-
источником света и точкой
наблюдения перпендику-
перпендикулярно соединяющей их
линии помещен экран, со-
состоящий из секторов двух кругов (рис. 4.18). Радиус
одного из них равен радиусу 1-й зоны Френеля, дру-
другого—радиусу 2-й зоны Френеля. Определить интен-
интенсивность света в точке наблюдения, если в отсутствие
экрана она равна Уо.
4.35. Круглое отверстие радиусом г в непрозрач-
непрозрачном экране содержит для точки наблюдения три зоны
Френеля. К отверстию без нарушения осевой сим-
симметрии вплотную прижимают тонкую собирающую
124
Рис. 4.18

линзу. Найти фокусное расстояние F, при котором
интенсивность света в точке наблюдения остается
прежней. Опыт проводится в монохроматическом свете
с длиной волны X.
4.36. Источник света и точка наблюдения располо-
расположены на одинаковых расстояниях от круглого отвер-
отверстия в непрозрачном экране. Радиус отверстия равен
радиусу 1-й зоны Френеля. Интенсивность колебаний
в точке наблюдения равна 9ь. Найти интенсивность &
колебаний в точке наблюдения, если посередине
между источником и экраном расположить без нару-
нарушений осевой симметрии тонкую собирающую линзу,
такую, что источник при этом оказывается в ее фокусе.
4.37. Точечный источник света и точка наблюдения
Р расположены симметрично на расстоянии 2L на оси
круглого отверстия в непрозрачном экране. Отверстие
оставляет открытой одну зону Френеля для точки Р.
Во сколько раз изменится интенсивность света в
точке Р, если к отверстию без нарушения осевой сим-
симметрии приложить тонкую линзу с фокусным расстоя-
расстоянием F = L?
4.38. Точечный источник света с двумя монохрома-
монохроматическими линиями Х|=560 нм и Х2 = 280 нм оди-
одинаковой интенсивности, расположен на расстоянии
L = 1 м от экрана. Перед экраном на расстоянии
а = 0,2 м расположен прозрачный диск диаметром
D = 0,6 мм, вносящий фазовую задержку в п для
обеих компонент, причем источник света, центры ди-
диска и экрана лежат на об- /,
щей оси. Как отличаются "*¦ =fe
интенсивности света в цен- *t
тре экрана при наличии и
отсутствии диска?
4.39. Зонная пластинка,
вырезанная из стекла с по-
показателем преломления п,
представляет собой тело
вращения, сечение которого Рис. 4.19
показано на рис. 4.19. Пла-
Пластинка помещена в непрозрачную оправу. Радиусы
равны Г[ = 2, г2 = 4 и г3 = 6 мм. Толокна ступе-
ступенек h одинакова. Определить максимальное фокусное
расстояние Fmax пластинки для света с длиной волны
к = 500 нм. Указать, при какой толщине h интенсив-
интенсивность в фокусе будет наибольшей. Какой максимальный
125

выигрыш в интенсивности будет давать такая си-
система?
4.40. Линза с фокусным расстоянием F = 50 см и
диаметром D = 5 см освещается параллельным моно-
монохроматическим пучком света с длиной волны \ =
= 630 нм. Найти, во сколько раз интенсивность волны
2f в фокусе линзы превышает интенсивность волны
Уо, падающей на линзу. Оценить размер Ь пятна в
фокальной плоскости.
4.41. Зонная пластинка с радиусом 1-й зоны Фре-
Френеля п = 0,5 мм помещена перед отверстием в экране
диаметром D = 1 см. Пластинка освещается парал-
параллельным монохроматическим пучком света с длиной
волны "к = 500 нм и интенсивностью Уо. Определить
интенсивность У волны в фокусе пластинки. Оценить
размер Ь пятна в фокальной плоскости.
4.42. На щель шириной а нормально падает пло-
плоская волна с длиной волны X. Щель закрыта двумя
стеклянными пластинками шириной а/2 и толщиной
h с показателями преломления щ и и2 и коэффициен-
коэффициентами пропускания (по интенсивности) tt и %2. Найти
распределение интенсивности в дифракционной кар-
картине Фраунгофера. При каком условии в центре кар-
картины получится темная полоса?
4.43. Рассчитать и проанализировать дифракцион-
дифракционную картину при нормальном падении света на пи-
пилообразную решетку
(рис. 4.20), сделанную из
стекла с показателем пре-
преломления п. Число зубьев
решетки равно N, а Э- h.
Длина волны падающего
света равна К.
4.44. Параболическое
Рис 4.20 зеркало диаметром D =
= 1 м используется как
антенна для волн длиной А, = 3 см. Оценить наимень-
наименьшее расстояние Lm\n, на котором следует поместить
приемник для снятия диаграммы направленности.
4.45. В непрозрачной пластинке имеется отверстие
диаметром d = 1 мм. Оно освещается монохромати-
монохроматическим светом с длиной волны Л, ^ 500 нм от удален-
удаленного точечного источника. Найти расстояние /-max от
отверстия, на котором будет наблюдаться наибольшая
освещенность.
126

4.46. Дифракция Фраунгофера плоской волны на
щели наблюдается в фокальной плоскости линзы. Во
сколько раз изменится интенсивность в фокусе линзы,
если щель накрыть плоскопараллельной пластинкой,
амплитудный коэффициент пропускания которой
имеет вид т(х) = sin(jtx/a)? Ось х направлена пер-
перпендикулярно щели, точки х = 0 и х = а — коорди-
координаты краев щели.
4.47. В интерферометре Майкельсона источником
света служит круглая диафрагма S диаметром d =
= 0,05 мм, которая освещается параллельным пучком
монохроматического све-
света С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ Я= 4"'"»-
= 0,6 мкм. Длины плеч
интерферометра равны Д
АВ = 30, АС =10 см
(рис. 4.21). Интерферен- ~~^
ционная картина в виде
концентрических колец
наблюдается на экране Э,
помещенном в фокальной
плоскости линзы. Оце- Рис- 421
нить число т интерфе-
интерференционных колец, наблюдаемых в пределах главного
дифракционного максимума источника.
4.48. Оценить, с какого расстояния L можно уви-
увидеть раздельно свет от двух фар автомобиля.
4.49. Найти спектр плоских волн F(u) за синусо-
синусоидальной решеткой с амплитудным коэффициентом
пропускания т(х) = 1 + a cos Qx (a<l), освещаемой
нормально падающей плоской волной.
4.50. Найти спектр плоских волн за щелью шири-
шириной а, освещаемой нормально падающей плоской вол-
волной. Решить ту же задачу, если щель перекрыть ре-
решеткой с периодом d и размером прозрачных участков
Ь (a = Nd, где N — число штрихов решетки).
4.51. Два плоских когерентных монохроматических
пучка света с длиной волны Л,^500 вы и с амплиту-
амплитудами Ао и 2/40 падают под углами a = ±0,Q5 рад на
синусоидальную решетку с амплитудным коэффици-
коэффициентом пропускания т(х)= 1 +(l/2)cosQ*. В точке
х = 0 эти волны создают противофазные колеба-
колебания (рис. 4.22). Период решетки равен й= 10~3 см.
Определить пространственный спектр волны за ре*
шеткой.
127

4.52. Два плоских монохроматических когерентных
пучка света с длиной волны Л, ^ 600 нм и равными
амплитудами Ло падают под углом а = ±0,06 рад на
синусоидальную решетку с амплитудным коэффициен-
коэффициентом пропускания г(х) = 1 + (l/2)sin их (см. рис.4.22).
В точке х = 0 эти волны
создают синфазные колеба-
колебания. Период решетки равен
d=10~3 см. Определить
пространственный спектр
волн за решеткой.
4.53. Плоский монохро-
монохроматический пучок света ин-
интенсивностью &§ и длины
волны % дифрагирует на
двух последовательно рас-
расположенных синусоидаль-
синусоидальных решетках с амплитудным коэффициентом пропу-
пропускания %i{x) = т2(х) = A/2) A + cosQx) (рис. 4.23).
Определить, при каких расстояниях Дг между решет-
решетками интенсивность дифракционных максимумов 1-го
порядка максимальна и минимальна. Найти эти зна-
значения.
а:
Рис. 4.22
A
—
i
i Z
Рис. 4.23
Рис. 4.24
4.54. Плоский монохроматический пучок света дли-
длины волны X дифрагирует на двух последовательно рас-
расположенных синусоидальных решетках с амплитуд-
амплитудным коэффициентом пропускания ti(x) = та(х) =
= A/2) A + cosQx). При смещении одной из решеток
вдоль оси г со скоростью v (рис. 4.24) интенсивность
нулевого дифракционного максимума периодически
изменяется. Определить частоту о этих изменений, а
также отношение максимальной и минимальной ин-
тенсивностей.
4.55. Один из методов наблюдения фазовых (про-
(прозрачных) объектов состоит в следующем: в общей
128

фокальной плоскости линз Л\ и </72 на оптической оси
устанавливается прозрачная пластинка Пл, вносящая
фазовую задержку в я/2 (рис. 4.25). Найти распре-
распределение интенсивности Ь(х) в плоскости изображения
(в задней фокальной плоскости линзы Л2), если пред-
предмет—фазовая синусоидальная решетка с амплитуд-
амплитудным коэффициентом пропускания х(х) = exp(im cos Их),
Рис. 4 25
т<1 — расположен в передней фокальной плоскости
линзы Л\. Как изменится картина интенсивности, если
использовать пластинку с задержкой в Зя/2? Как
изменится контраст, если пластинка обладает коэф-
коэффициентом поглощения ?„?
4.56. Один из методов наблюдения фазовых (про-
(прозрачных) объектов состоит в том, что плоскость
наблюдения Р смещается на некоторое расстояние /
i
-¦г-
. ^
X
1
1
2F
2F
Я
Рис. 4.26
относительно плоскости Ро, сопряженной с объектом
(т. е. плоскости, в которой в соответствии с геометри-
геометрической оптикой располагается его изображение)
(рис. 4.26). При этом контрастность наблюдаемой кар-
картины периодически изменяется при изменении /. Найти
период d фазовой синусоидальной решетки, если в
схеме, представленной на рисунке, ее контрастное изо-
изображение в первый раз возникло при U = AL. При
5 Сборник задач по физике
129

каких других значениях I изображение будет кон-
контрастным?
4.57. Оптическая система состоит из двух одинако-
одинаковых линз с общей фокальной плоскостью; F — фокус-
фокусное расстояние линз. Амплитудная синусоидальная
решетка находится в передней фокальной плоскости
1-й линзы, а изображение рассматривается в задней
фокальной плоскости 2-й линзы. Как зависит харак-
характер изображения от соотношения между частотой ре-
решетки Q и диаметром линзы D?
4.58. При наблюдении фазовых (прозрачных)
структур методом темного поля в общей фокальной
плоскости линз Лх и Л2 (рис. 4.27) на оптической оси
Рис. 4.27
устанавливается проволока /7. Фазовая решетка соз-
создается в жидкости стоячей ультразвуковой волной
частоты / = 20 МГц. Найти расстояние Д/ между ин-
интерференционными полосами на экране Э, а также
максимально допустимое удаление Lmax экрана от
линзы Л2, при котором еще возможно наблюдение
интерференционной картины. Диаметр линзы Л2 ра-
равен D = 4 см, скорость звука в жидкости v = 1,5 км/с.
Решетка освещается нормально падающей плоской
волной (К = 0,5 мкм).
4.59. При наблюдении фазовых (прозрачных)
структур методом темного поля в общей фокальной
плоскости линз Л| и Л2 (см. рис. 4.27) на оптической
оси устанавливается проволока П. Оценить ее допу-
допустимый диаметр (dmax и dm\n) для наблюдения на
экране Э интерференционной картины от фазовой си-
синусоидальной решетки с периодом Л = 2 мм, освещае-
освещаемой нормально падаюшей плоской волной длины % =
= 0,5 мкм. Диаметр линзы Л2 равен D = 2 см, фокус-
фокусное расстояние F = 20 см.
130

4.60. При голографировании в лазерном излуче-
излучении плоского предмета А опорный пучок света созда-
создавался с помощью призмы Пр, находящейся в плоско-
плоскости предмета (рис. 4.28). Где расположены мнимое и
ур
А
.тс:;"
Рис. 4.28
действительное изображения предмета при просвечи-
просвечивании голограммы Г? Излучение лазера считать пло-
плоской монохроматической волной. Угол отклонения
луча призмой равен 6. Расстояние от предмета до го-
голограммы равно L.
4.61. Найти амплитудный коэффициент пропуска-
пропускания х(х) голограммы точечного источника света, если
в качестве опорной волны используется нормально
падающая на плоскость голограммы плоская волна.
Расстояние от источника до голограммы равно L. Счи-
Считать, что прозрачность голограммы пропорциональна
интенсивности света при записи. Найти положение
действительного и мнимого изображений при восста-
восстановлении изображения нормально падающей плоской
волной. Как изменится положение восстановленных
изображений, если при записи использовать наклон-
наклонный опорный пучок с углом наклона 6? Оценить ми-
минимальный размер ат\„ голограммы, при котором пол-
полностью используется разрешающая способность фото-
фотоэмульсии, равная п (линий на мм). Найти размер Ь
восстановленного изображения.
4.62. Голограмма записана на пластинке радиусом
г = 5 см. Она освещается монохроматическим светом
длины волны Я, = 0,5 мкм, а изображение получается
на расстоянии L = 1 м. Найти допустимую немоно-
немонохроматичность света АХ, при которой еще полностью
используется теоретическая разрешающая способность
голограммы.
4.63. Получена голограмма небольшого предмета,
расположенного па расстоянии L = 50 см от нее.
5* 131

Каким должен быть размер D фотопластинки, чтобы
записать на голограмме детали размером b ~0,01 мм?
Какая немонохроматичность света Д^ допустима при
записи голограммы? Длина волны света Я = 0,5 мкм.
§ 4.4. Дифракционный предел разрешения
оптических инструментов
и спектральных приборов
4.64. При аэрофотосъемке местности используется
объектив с фокусным расстоянием F = 10 см и диа-
диаметром й = 5 см. Съемка производится на фотоплен-
фотопленку, имеющую разрешающую способность R =
= 100 мм-1. Определить, какие детали местности мо-
могут быть разрешены на фотографиях, если съемка
производилась с высоты Л. ^= 10 км.
4.65. Объектив телескопа имеет фокусное расстоя-
расстояние Fi = 3 м и диаметр D = 15 см. Определить фо-
фокусное расстояние F2 окуляра, при котором полностью
используется разрешающая способность объектива,
если диаметр зрачка глаза d = 3 мм. Предполагая,
что в системе телескоп — глаз отсутствуют аберрации,
оценить, на каком расстоянии L с помощью такого
телескопа можно читать книгу с размером букв
Ь х 2 мм.
4.66. Космонавты прибыли на Луну. Чтобы сооб-
сообщить об этом на Землю, они растягивают на поверх-
поверхности Луны черный круглый тент. Каким должен быть
радиус г этого тента, чтобы его можно было заметить
с Земли в телескоп с объективом D = 5 м? Контраст-
Контрастная чувствительность приемника 0,01.
4.67. Блестящий металлический межпланетный ке-
рабль поперечного размера d =10 м опустился на
поверхность Луны в полнолуние. Оценить диаметр D
зеркала телескопа, в который можно с Земли увидеть
прибытие корабля, если контраст, надежно обнару-
обнаруживаемый глазом, принять равным k = 0,15! Считать
коэффициент отражения лунной поверхности равным
pi=0,l, а металла — р2=1; наблюдение ведется в
свете с длиной волны X = 0,6 мкм.
4.68. Оценить длительность т светового импульса
от одной грани 8-гранного вращающегося зеркала,
расположенного на расстоянии L = 200 м от точечного
источника света S. Световой импульс регистрируется
фотоумножителем с малой шириной входной щели,
132

расположенным вблизи источника (рис. 4.29). Ширина
грани зеркала равна а = 1 см. Считать длину волны
света равной X = 500 нм. Зеркало вращается с часто-
частотой f=16 Гц.
4.69. Угловая апертура
электронного микроскопа
равна QM = 1CH, а оптиче-
оптического— Qom ~ 1- Оценить
напряжение U, ускоряющее
электроны, при котором
разрешающая способность
этих приборов будет оди- Рис. 4.29
иакова.
4.70. Луч лазера фокусируется идеальной оптиче-
оптической системой с отношением F/D = l. Оценить мощ-
мощность Р лазера, при которой в электрическом поле в
фокусе системы электроны смогут приобретать энер-
энергию порядка энергии покоя шос2.
4.71. Ракета удаляется от Земли и перестает быть
видимой на фоне неба в телескоп с объективом диа-
диаметром D\ = 80 мм, когда она находится на расстоя-
расстоянии L] = 2-104 км от Земли. На каком расстоянии
Li от Земли удается заметить эту ракету в телескоп
с объективом диаметром D2 = 200 мм при той же
контрастной чувствительности глаза?
4.72. Излучение лазера непрерывного действия на
длине волны К = 0,63 мкм мощностью Р= 10 мВт на-
направляется на спутник с помощью телескопа, объек-
объектив которого имеет диаметр D = 30 см, Свет, отра-
отраженный спутником, улавливается другим таким же
телескопом и фокусируется на фотоприемник с поро-
пороговой чувствительностью PiioP = l0-14 Вт. Оценить
максимальное расстояние Lmax До спутника, на кото-
котором отраженный сигнал еще может быть обнаружен.
Поверхность спутника равномерно рассеивает падаю-
падающий свет с коэффициентом отражения р = 0,9. Диа-
Диаметр спутника d = 20 см.
4.73. Оценить расстояние L, с которого можно уви-
увидеть невооруженным глазом свет лазера, генерирую-
генерирующего в непрерывном режиме мощность Р = 10 Вт на
частоте v = 4-1015 Гц, если для формирования луча
используется параболическое зеркало диаметром
D = 50 см. Глаз видит источник в зеленой части
спектра, если в зрачок (диаметр зрачка й = Ъ мм)
попадает я = 60 квантов в секунду.
133

4.74. Свет далекого точечного источника 5 падает
на фотоприемник непосредственно и отразившись от
горизонтальной плоскости (рис. 4.30). При вертикаль-
вертикальном перемещении источника фотоприемник ФП реги-
регистрирует изменение интенсивности падающего на него
света. Оценить максимальный угол а возвышения
• /Z///7// /, V/// V////Y///77Ys '/////// Y////S
Рис 4.30
источника над горизонтом, при котором еще заметны
изменения фототока, если перед фотоприемником
установлен светофильтр СФ с полосой пропускания
А/ = 3-10п с~1. Входное отверстие фотоприемника
находится на высоте h = 1 см над отражающей пло-
плоскостью.
4.75. Параллельный пучок света падает на призму
с угловой дисперсией dy/dX = 103 см-|. Свет, про-
прошедший через призму, нормально падает на дифрак-
дифракционную решетку с периодом d. Размер решетки пре-
превышает поперечное сечение пучка лучей, выходящих
из призмы. При каком значении d разрешающая спо-
способность системы в спектре 2-го порядка будет в два
раза больше разрешающей способности одной приз-
призмы? Считать дифракционные углы малыми.
4.76. Определить разрешающую способность спек-
спектрометра инфракрасного диапазона, работающего по
следующему принципу. Излучение исследуемого ИК-
источника в диапазоне ^ик ~ 3 мкм смешивается в не-
нелинейном кристалле с излучением стабильного арго-
аргонового лазера. При этом возникает излучение на сум-
суммарной частоте, лежащей в оптическом диапазоне.
Последнее анализируется с помощью интерферометра
Фабри — Перо, зеркала которого отстоят друг от
друга на расстояние L — 1 см и имеют коэффициент
отражения р = 0,9.
4.77. Свет от газоразрядной трубки, диаметр кото-
которой D = 1cm, непосредственно падает на дифракцион-
дифракционную решетку, расположенную на расстоянии L =
134

= 100 см. Оценить, какой будет в этих условиях мак-
максимальная разрешающая способность /?max = V^-
4.78. Свет от газоразрядной трубки, диаметр кото-
которой D = 0,l см, непосредственно падает на дифрак-
дифракционную решетку, Оценить, на каком минимальном
расстоянии Lmin от трубки нужно расположить ре-
решетку, чтобы при этом можно было разрешить две
спектральные линии с расстоянием между ними S?v =
= 5 нм при ?v = 500 нм.
4.79. Свет от удаленного источника, угловой раз-
размер которого составляет г|э = ICh3 рад, непосредствен-
непосредственно падает на дифракционную решетку. Оценить, ка-
какую максимальную разрешающую способность Rm*x
можно получить в таких условиях.
4.80. Удаленный протяженный источник испускает
две узкие спектральные линии %[ = 500 нм и ^2 =
= 500,2 нм равной интенсивности. Свет от источника
непосредственно падает на дифракционную решетку.
Оценить угловой размер х[з источника, при котором
можно разрешить эти две линии.
4.81. Одним из условий стабильности дифракцион-
дифракционной картины, полученной с помощью дифракционной
решетки, является постоянство температуры. Оценить
максимально допустимое изменение температуры ДГ
решетки, при котором еще практически полностью
используется ее разрешающая способность, если фото-
фотографирование спектров ведется в 1-м порядке. Темпе-
Температурный коэффициент линейного расширения мате-
материала решетки а=10~5 К~\ полное число штрихов
W=105.
4.82. Импульсное излучение лазера с длительно-
длительностью импульсов т = 10-'2 с проходит через спектро-
спектрометр с дифракционной решеткой с максимальной
оптической разностью хода Д = 10 см. Найти измене-
изменение ширины полосы излучения Дсо2/Дсо[.
4.83. Наблюдается дифракция параллельного пуч-
пучка монохроматического излучения с частотой v =
= 1015 Гц, падающего нормально па дифракционную
решетку с числом штрихов yV = l,5-104. Во сколько
раз изменится угловая расходимость в 1-м порядке,
если падающее на решетку излучение промодулиро-
вать так, чтобы были сформированы короткие им-
импульсы длительностью т = 1СН2 с?
4.84. Электрон движется в вакууме со скоростью
v вблизи поверхности дифракционной решетки с
133

периодом d. Скорость электрона параллельна поверх-
поверхности решетки и перпендикулярна ее штрихам. Опре-
Определить длины волн, которые могут излучаться под
углом 6 к нормали решетки из-за взаимодействия
электрона с решеткой (эффект Смита — Парселла).
4.85. Дифракционная решетка с числом штрихов
W = 105 имеет заводской дефект: ее период на разных
участках не одинаков и изменяется в пределах 0,1 %.
Можно ли с помощью такой решетки обнаружить про-
простой эффект Зеемана в магнитном поле с индукцией
В = \ Тл на длине волны X = 600 нм? Найти мини-
минимальное расстояние между линиями, которое может
разрешить такая решетка.
4.86. Для дифракционной решетки с числом штри-
штрихов N = 500 штрих/мм предел разрешения в спектре
1-го порядка равен 6?i = 0,l нм при средней длине
волны к = 600 нм. Изображение спектра получается
с помощью линзы на экране. Определить минималь-
минимальный допустимый диаметр Dmm линзы, при котором
изображение спектра может быть разрешено.
4.87. В интерферометре Фабри — Перо с открытым
воздушным промежутком между зеркалами при тем-
температуре Ti = 293 К наблюдается одно из колец рав-
равного наклона, угловой размер которого ср[=0,01 рад.
При повышении температуры кольцо стягивается к
центру и исчезает. Найти температуру Т2, при которой
это произойдет, если для воздуха при Т\ = 293 К раз-
разность п — 1=0,00029, где п — показатель преломле-
преломления. (Для воздуха разность п—1 пропорциональна
его плотности.)
4.88. С помощью интерферометра Фабри — Перо
исследуется выделенный системой фильтров участок
спектра шириной A?v = 0,2 нм. Минимальная разность
длин волн соседних спектральных линий 6?^—0,001 нм.
Оценить максимальное значение коэффициента про-
пропускания т=1—р (где р — коэффициент отраже-
отражения зеркал), при котором разрешаются соседние
линии.
4.89. На резонатор Фабри — Перо с расстоянием
между зеркалами (базой) L = 0,5 см и разрешающей
способностью R = 106 падает ультракороткий световой
импульс длительностью т= 10-" сие длиной волны
% = 500 нм, Определить зависимость от времени сиг-
сигнала, который зарегистрирует фотоприемник, установ-
установленный за резонатором Фабри — Перо.
136

4.90. Для выделения одной моды из большого чис-
числа мод, генерируемых газовым лазером, предлагается
использовать модифицированный резонатор Фабри —
Перо, одно из зеркал которого заменено наклон-
наклонной отражательной дифракционной решеткой DP
(рис. 4.31). Внутри резонатора располагается наряду
ч
DP
АС
п
L
Рис. 4
ТС
31
Jt—
и
ч
ч
ч
с активной средой АС телескопическая система ТС,
предназначенная для расширения светового пучка, па-
падающего на решетку. Найти минимальный размер D,
до которого нужно расширить пучок, чтобы было
можно выделить одну моду. Длина резонатора равна
L = 15 см, длина волны генерации А, = 1,2 мкм, ре-
решетка имеет N=1600 штрих/мм. Используется ди-
дифракция в 1-м порядке.
§ 4.5. Поляризация. Оптические явления
в кристаллах
4.91. Плоская поляризованная по кругу монохро-
монохроматическая волна света длины К интенсивности «З^о
падает на диск, вырезанный из идеального поляроида,
показатель преломления которого равен п. Диск за-
закрывает для некоторой точки Р одну зону Френеля.
Какова должна быть толщина d диска, чтобы интен-
интенсивность света в точке Р была максимальной? Найти
ЭТу ИНТеНСИВНОСТЬ .Утах.
4.92. Круглое отверстие в непрозрачном экране со-
содержит для точки наблюдения Р одну зону Френеля.
Отверстие закрыто поляроидами так, что направления
колебаний в первой и второй половинах зон взаимно
перпендикулярны. Отверстие освещается светом, по-
поляризованным по кругу. Определить интенсивность
света & в точке Р, если в отсутствие экрана она
равна За. Как будет поляризован свет в точке
137

4.103. Расположив пластинку, вырезанную из ис-
исландского шпата, параллельно его оптической оси,
между скрещенными николямн, можно осуществить
монохроматор, позволяющий, например, задержать
одну из линий дублета натрия и пропустить другую.
Найти, какой должна быть при этом минимальная
толщина dm\n пластинки и как ее нужно ориентиро-
ориентировать. Показатели преломления исландского шпата для
линии Х\ = 589,0 мм раины пс\ = 1,48654 и по\ =
= 1,65840, для линии к2 = 589,6 им пе2 = 1,48652 и
4.104. Имеется горизонтальный параллельный пу-
пучок эллиптически поляризованною света. Обнаруже-
Обнаружено, что при прохождении пучка через пластинку в X/i
при определенной ее ориентации свет оказывается ли-
линейно поляризованным под углом а|=23° к верти-
вертикали. Если пластинку повернуть на угол 90°, то свет
снова оказывается линейно поляризованным под уг-
углом mi = 83° к вертикали. Найти отношение а/Ь по-
полуосей эллипса поляризации и угол ф наклона боль-
большой оси.
4.105. Параллельный пучок естественного света
интенсивностью 3f0 и длины волны X падает на си-
систему из двух скрещенных поляроидон /7, и П2 и
клипа К из кварца с малым преломляющим углом а.
Показатели преломления кварца равны пе и по. Опти-
Оптическая ось клина па-
параллельна его ребру и
составляет угол 45° с
разрешенными направ-
направлениями поляроидов
п э (рис. 4.35). Пройдя че-
2 рез систему, свет па-
Рис. 4.35 дает на белый экран Э.
Найти распределение
интенсивности света 3(х) на экране. Что увидит на-
наблюдатель на экране Э, если между ним и полярои-
поляроидом /72 расположить линзу так, чтобы экран оказался
в ее фокальной плоскости?
4.106. На систему, состоящую из чередующихся
N + 1 поляроидов и N пластинок кварца, вырезанных
параллельно оптической оси, падает плоская монохро-
монохроматическая волна длины X (рис. 4.36). Главные на-
направления всех поляроидов параллельны и состав-
составляют угол 45° с оптической осью пластинок. Волна
140

вдоль прямой, перпендикулярно падает пучок парал-
параллельных лучей, поляризованных по кругу (рис. 4.32).
Оси поляроидов взаимно перпендикулярны. Интенсив-
Интенсивность падающего света равна1 30. Определить интен-
интенсивность 3 света в точке Р, расположенной в плоско-
плоскости, перпендикулярной плоско- . . . ¦ , , ¦
стн экрана и проходящей че- 1111|1||
рез границу раздела между *
голяроидами. Как будет ноля- Ш
ризован свет в точке Р?
4.99. Плоская волна моно-
монохроматического света длины X,
поляризованною по кругу, со-
создает в точке Р интенсивность
Уа. На пути волны ставят
большую пластинку из идеального поляроида, как по-
показано на рис. 4.33, Показатель преломления веще-
вещества поляроида п. Найти толщину й пластинки, при
которой интенсивность света в точке Р будет макси-
максимальной. Чему равна Jmax?
Р
Рис. 4.32
Рис, 4.33
Рис. 4.34
4.100. Плоская волна монохроматического света,
поляризованного по кругу, создает в точке Р интен-
интенсивность SfQ. На пути волны ставят две большие пла-
пластинки в Х/4, как показано на рис. 4.34. Главные на-
направления пластинок ориентированы взаимно перпен-
перпендикулярно. Найти интенсивность Э в точке Р.
4.101. Один поляроид пропускает 30% света, если
на него падает естественный свет. После прохождения
света через два таких поляроида интенсивность па-
падает до 9% . Найти угол <р между осями поляроидов.
4.102. Определить, во сколько раз изменится ин-
интенсивность частично поляризованного света, рассма-
рассматриваемого через николь, при повороте николя на 60°
по отношению к положению, соответствующему мак-
максимальной интенсивности. Степень поляризации света
) ) 0
139

Интенсивность света равна «3Г' = ЗО Вт/см2. Какой вра-
вращающий момент JI испытывает пластинка? Зависит
ли Ж от распределения интенсивности в пучке? Как
изменится вращающий момент, если черную пла-
пластинку заменить на кристаллическую пластинку в
^./4? Какую надо взять кристаллическую пластинку,
чтобы вращающий момент Ж удвоился??
4.110. Эллиптически поляризованный параллель-
параллельный световой поток длины волны X = 600 нм и интен-
интенсивностью ,7 = 30 Вт/см2 падает перпендикулярно на
абсолютно черную пластинку. Площадь поперечного
сечения светового потока S = 10 см2. Отношение длин
главных полуосей эллипса поляризации в световом
пучке составляет а/Ь = 2. Найти вращающий момент
Ж, который испытывает пластинка при поглощении
света.
4.111. Поляризованный по правому кругу световой
поток длины волны А, ^ 500 нм, интенсивность кото-
которого составляет «3r' = I,4-I06 эрг/(с-см2) (такой ин-
интенсивностью обладает солнечное излучение на гра-
границе земной атмосферы), падает на двоякопрелом-
ляющую пластинку в Х/2. Как будет поляризован свет
после прохождения пластинки? Определить вращаю-
вращающий момент на единицу площади (Ж/S) такой пла-
пластинки.
4.112. На кварцевую пластинку в Х/4 перпендику-
перпендикулярно падает пучок линейно поляризованного света с
длиной волны X = 628 нм и мощностью Р = 3 Вт.
При каких условиях пластинка будет испытывать вра-
вращающий момент и каковы его значение и направ-
направление?
4.113. Некогерентная смесь естественного и линей-
линейно поляризованного света с длиной волны X = 500 нм
и интенсивностью t9r = l,4-I06 эрг/(с-см2) (такой ин-
интенсивностью обладает солнечное излучение на гра-
границе земной атмосферы) падает на двоякопрелом-
ляющую пластинку в Х/4. Определить вращающий
момент на единицу площади (Ж/S) такой пластинки,
если направление колебаний в линейно поляризован-
поляризованном свете составляет угол 45° с главными направле-
направлениями пластинки, Известно, что при анализе падаю-
падающего излучения с помощью поляризатора найдено
i/ma«/i/ min = 3,
4.114. Две одинаковые плоские густые решетки из
параллельных тонких идеально проводящих проволок
U2

поляризована вдоль главного направления поляроида.
Толщины пластинок равны d, 2d, ..., 2N-ld. Показа-
Показатели преломления кварца равны па и пе. Определить
амплитуду волны А на выходе из системы, если на
ъходе она рапна Л0- Отражением света на границах
И П„
щ
1
1
I
I
' 2
1
1
d A
1
I
d
1
I
Рис. 4.36
пластинок и поляроидов пренебречь. Является лн
такая система спектральным прибором?
4.107. На периодическую структуру, состоящую из
тонких параллельных диэлектрических пластин, па-
падает плоская монохрома-
монохроматическая волна (рис. 4.37).
Толщина пластин равна
do, расстояние между ни-
ними d, диэлектрическая
проницаемость пластин
8ь окружающей среды е.
Длина волны значитель-
значительно больше do и d. Пока- рис. 4 37
зать, что структура ана-
аналогична одноосному кристаллу, и определить показа*
тели преломления обыкновенного по и необыкновен*
ного пе лучей.
4.108. Предлагается следующая схема измерения
спина фотона. Пучок циркулярно поляризованного
света длины волны А, = 0,5 мкм падает на зачернен-
зачерненный диск, подвешенный на тонкой нити так, что он
может совершать крутильные колебания относительно
оси. При этом измеряется установившийся угол пово-
поворота диска массой т и радиусом л = 5 см. Найти пе-
период собственных колебаний диска Т, если при мощ-
мощности светового потока Р = 10 Вт угол поворота диска
составил а = 1'.
4.109. Абсолютно черная пластинка площадью
S = 10 см2 освещается монохроматическим светом
длины волны К = 600 нм, поляризованным по кругу.
141

полное число п свободных электронов на пути сигналов
(т. е. их число в цилиндре площадью 1 см2 и вы-
высотой, равной расстоянию источник — приемник), если
испущенные одновременно сигналы запаздывают отно-
относительно друг друга на время At = 10~5 с. Концентра-
Концентрация электронов хотя и не постоянна вдоль пути сиг-
сигналов, но показатель преломления везде весьма бли-
близок к единице. Определить также среднюю концентра-
концентрацию N свободных электронов па пути сигналов, если
их относительное запаздывание At/to = !0~15 (/о —
н;>емя распространения от источника до приемника).
4.119. Импульсное излучение пульсара СР 1919+21
на частоте vi =80 МГц достигает Земли на At = 7 с
позже, чем соответствующий импульс на частоте V2 =
= 2000 МГц. Оценить расстояние L до пульсара, если
принять среднюю концентрацию электронов в меж-
межзвездном пространстве равной Л/ « 0,05 см~3.
4.120. Измерение скорости ракеты при вертикаль-
вертикальном взлете проводится импульсным радиолокатором,
расположенным в точке старта. На экране локатора
по оси времени фиксируются моменты посылки двух
последовательных радиоимпульсов и их приема после
отражения от ракеты. Поскольку скорость распростра-
распространения радиоволн в ионосфере точно неизвестна, воз-
возникает погрешность в определении скорости ракеты.
Найти относительную погрешность в определении ско-
скорости (Av/v) ракеты, принимая максимальную кон-
концентрацию электронов в ионосфере равной N =
= 10е см-3, а рабочую частоту радиолокатора — v =
= 400 МГц.
4.121. С целью проверки теории относительности
предполагается с помощью радиоволн точно измерить
параметры орбиты спутника Земли. Однако из-за пре-
преломления радиоволн в ионосфере, где средняя концен-
концентрация электронов Л/=105 см, возникают ошибки
измерений. Оценить минимальную частоту Vmm, на
которой следует проводить такие наблюдения.
4.122. Определить число свободных электронов на
атом Ag, если пленка серебра прозрачна для ультра-
ультрафиолета, начиная с энергии W = 5 эВ. Для серебра
относительная атомная масса равна ^ = 108, плот-
плотность р = 10,5 г/сма.
4.123. Параллельный пучок рентгеновского излу-
излучения длины волны ?„ = 0,1 им падает на тонкую
144

расположены в параллельных плоскостях на расстоя-
расстоянии / = 1,5 см одна от другой так, что образующие
их проволоки взаимно перпендикулярны. Плоскость
поляризации волны А, = 8,5 см, падающей на систему
решеток под углом а = 45°, наклонена на угол 8 = 45°
к плоскости падения. Определить характер поляриза-
поляризации отраженной волны для случая, когда плоскость
падения параллельна направлению проволок 1-й ре-
решетки.
§ 4.6. Дисперсия и распространение света
4.115. Лазер на СО2 со средней длиной волны Х =
= 10,6 мкм излучает две близкие частоты Vi и v2. Из-
Излучение такого лазера смешивают в нелинейном кри-
кристалле с излучением лазера на Nd (Я3 = 1,06 мкм).
Анализ излучения на комбинационных частотах
(vi+v3 и v2 + v3) показал, что соответствующие им
длины волн отличаются на 6А, = 0,5 нм. Опреде-
Определить разность длин волн ДА, = ki—к2 излучения ла-
лазера.
4.116. Показатель преломления ионосферы для ра-
радиоволн с частотой v= 10 МГц равен п = 0,90. Найти
концентрацию N электронов в ионосфере, а также
фазовую v и групповую и скорости для этих ра-
радиоволн.
4.117. При изучении прохождения плоской электро-
электромагнитной волны частотой v = 8 МГц через плоские
однородные слои плазмы с концентрацией свободных
электронов А/ = Ю6 см~3 найдено, что энергетические
коэффициенты пропускания волн отличаются в 10 раз
для слоев плазмы, толщины которых отличаются в
два раза. Пренебрегая интенсивностью волн, отражен-
отраженных от задней границы каждого слоя, найти их тол-
толщины d\ и йъ
4.118. Для оценки интегральных и средних харак-
характеристик межзвездной плазмы можно использовать
экспериментальный факт, установленный сразу же
после открытия пульсаров. Оказалось, что из-за дис-
дисперсии плазмы импульсы радиоизлучения пульсаров
на более низких частотах всегда запаздывают по от-
отношению к импульсам более высоких частот. Рас-
Рассмотрите следующий идеализированный пример. Два
монохроматических сигнала с длинами волн "кх = 3 см
и Х2 = 5 см распространяются в плазме. Определить
143

которой в 1-м дифракционном порядке можно обнару-
обнаружить смещение частоты в свете, рассеянном под пря-
прямым углом. Скорость звука в воде равна у—1400 м/с,
показатель преломления п = 1,3. Считать, что в воде
есть звуковые волны всевозможных направлений.
4.129. Какое число штрихов N должна иметь ди-
дифракционная решетка, чтобы с ее помощью в спектре
испускания Солнца (во время полного солнечного
затмения) можно было обнаружить гравитационное
смещение спектральных линий во 2-м порядке? Дан-
Данные, необходимые для численных расчетов, можно
получить зная угловой диаметр Солнца (при наблю-
наблюдении с Земли) «с & 0,01 рад и скорость движения
Земли по орбите v3= 30 км/с.
4.130. Спектральные линии, излучаемые нагретым
газом, оказываются уширенными вследствие того, что
атомы газа движутся с разными скоростями относи-
относительно наблюдателя (эффект Доплера). Считая рас-
распределение скоростей атомов газа максвелловским,
оценить размеры L дифракционной решетки с перио-
периодом d= 1 мкм, которую надо использовать для изуче-
изучения формы спектральных линий, излучаемых неоном
20Ne при температуре Т = 1000 К.
4.131. Двойная звезда состоит из двух близких по
массе звезд, вращающихся относительно общего цен-
центра с периодом т. = 10 сут и отстоящих друг от друга
на расстояние L = 2-107 км. Определить, какое число
штрихов N дифракционной решетки необходимо для
того, чтобы при наблюдении видимого спектра водо-
водорода в излучении этих звезд можно было во 2-м по-
порядке заметить вращение системы. Можно ли, в прин-
принципе, таким способом заметить относительное враще-
вращение таких звезд, если период т. = 10 лет? Темпера-
Температура поверхности звезд Т = 6000 К.
4.132. Оценить порядок скорости и, с которой дол-
должен удаляться от Солнца космический корабль, что-
чтобы находящийся в нем космонавт, имея в распоря-
распоряжении спектрометр с дифракционной решеткой, мог
заметить движение корабля относительно Солнца при
наблюдении видимой части спектра солнечного водо-
водорода во 2-м порядке. Какое число штрихов N должна
иметь при этом дифракционная решетка? Температура
поверхности Солнца Т -— 6000 К.
4.133. В оптическом резонаторе, состоящем из че-
четырех плоских зеркал (рис. 4.39), световые волны
14G

двояковыпуклую линзу из бериллия (плотность бе-
бериллия р = 1,82 г/см3, порядковый номер Z — A, от-
относительная атомная масса <я? = 9) с поверхностями
одинакового радиуса кривизны г = 40 см. Диаметр
линзы считать равным d = 9 см. Найти угол расхож-
расхождения ф пучка после линзы.
4.124. Оценить мощность Р, при которой лазерный
луч диаметром d= 1 мм вызывает электрический про-
пробой газа. Свободный пробег электронов в газе при
условиях опыта равен /пр = 10~4 см, потенциал иони-
ионизации газа U = 10 В.
4.125. Зеркало в виде сильно вытянутого парабо-
параболоида вращения фокусирует мягкие рентгеновские
лучи благодаря полному внут-
внутреннему отражению при сколь-
скользящих углах падения а на да-
далекие от вершины части пара-
параболоида (рис. 4.38). Оценить
угол схождения лучей ф в фо-
фокусе параболоида для рентге-
рентгеновского излучения с энергией
2 кэВ, если зеркало изготов-
изготовлено из бериллия (плотность бериллия р=1,82 г/см3,
порядковый номер Z —4, относительная атомная
масса s& = 9).
4.126. Найти показатель преломления п газа и его
градиент по высоте на поверхности Венеры, атмо-
атмосфера которой состоит из углекислого газа СО2 с по-
поляризуемостью молекул а = 2,7-10~23 см3. Давление
на Венере р0 = 100 атм, температура Т = 500°С.
Найти радиус кривизны г светового луча, пушенного
горизонтально. К каким особенностям атмосферной
оптики планеты приводит найденное значение?
Указание. Радиус г кривизны горизонтального
луча определяется соотношением 1/r = (\/n)dn/dh.
4.127. Во сколько раз должна увеличиться плот-
плотность атмосферы Земли для того, чтобы в ней, как на
Венере, возникла круговая рефракция, при которой
луч света обойдет Землю? Показатель преломления
воздуха при атмосферном давлении равен я0 == 1,0003
(см. задачу 4.126).
4.128. Излучение рубинового лазера рассеивается
на звуковых колебаниях в воде. При рассеянии света
происходит доплеровское смещение частоты. Оценить
число штрихов N дифракционной решетки, с помощью
145

частоту v принимаемого на Земле сигнала. Оценить
разрешающую способность R регистрирующего спек-
спектрального прибора, необходимую для обнаружения
релятивистской поправки к смещению частоты.
V. АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 5.1. Кванты света. Фотоэффект.
Эффект Комптока
5.1. Оценить угол ф, на который отклоняется фо-
фотон вследствие гравитационного взаимодействия, про-
проходя у поверхности Солнца.
5.2. Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме на-
насыщения чувствительность к свету К = 0,12 А/Вт. Ка-
Какова относительная флуктуация а числа электронов,
выбиваемых при падении на фотоэлемент светового
потока мощностью Р = 1,3-10-" Вт? Время регистра^
ции равно t = 10~3 с.
5.3. Электромагнитная волна с круговой частотой
Q = 2-10lfi С промодулирована синусоидально по
амплитуде с круговой частотой ш = 2-10!5 с~!. Найти
энергию И? фотоэлектронов, выбиваемых этой волной
из атомов с энергией ионизации WK = 13,5 эВ.
5.4. Позитрон е+ с кинетической энергией WK ан-
аннигилирует на мишени, содержащей практически по-
покоящиеся электроны, в результате чего рождаются
два одинаковых -укванта. Под каким углом а разле-
разлетятся 7'Кванты?
5.5. Фотон рассеивается на покоящемся протоне.
Энергия рассеянного фотона равна кинетической
энергии протона отдачи, а угол разлета между рас-
рассеянным фотоном и протоном отдачи равен 90°. Оце-
Оценить энергию Wy падающего фотоня,
5.6. Фотон с энергией Wy = 2/п.еС2 при рассеянии
на покоящемся электроне теряет половину своей энер-
энергии (те — масса покоя электрона). Найти угол раз-
разлета а между рассеянным фотоном и электроном
отдачи.
5.7. Найти максимальный угол 9тах рассеяния
-р-квантов при комптон-эффекте на неподвижных элек-
электронах, вне которого рассеянный квант не может по-
породить электрон-позитронпую пару при последующем
взаимодействии с веществом. Рождение электрон-по-
148

могут распространяться во встречных направлениях
по периметру квадрата, сторона которого равна /.
Если такой резонатор привести во вращение с угловой
скоростью Q вокруг оси, перпендикулярной плоскости
рисунка, резонансные частоты v
для встречных волн оказываются
неодинаковыми. Объяснить явление
и определить разность Дл> этих
частот.
4.134. Вслед космическому ко-
кораблю, удаляющемуся от Земли со
скоростью v = 0,8 с, каждую се-
секунду посылают сигналы точного Рис 4.39
времени. Какое время между посту-
поступлением двух сигналов будет проходить по корабель-
корабельным часам?
4.135. С космического корабля, приближающегося
к Земле со скоростью v = 0,6 с, ведется прямая теле-
телевизионная передача, позволяющая видеть на экране
телевизора циферблат корабельных часов. Сколько
оборотов сделает на экране секундная стрелка за
1 минуту по земным часам?
4.136. После 16 оборотов вблизи Земли спутник
опустился обратно на космодром. На сколько разош-
разошлись часы на спутнике и на космодроме и с какой по-
погрешностью можно заметить этот эффект, если ста-
стабильность и воспроизводимость часов составляют 10~13
;(водородный мазер)? Влиянием кривизны траектории,
силы притяжения к Земле и ускорения во время взле-
взлета и посадки спутника на ход ча-
часов пренебречь.
4.137. Известно, что ускорение
космической ракеты тем больше,
чем выше скорость истечения
газа из ее сопла. С этой точки
зрения наилучшей является так
называемая фотонная ракета, ис-
испускающая из сопла поток фото-
фотонов. Найти скорость v, которую может приобрести
такая ракета при разгоне от нулевой скорости, если
половина ее массы превратится в фотоны. Считать
к. п. д. двигателя равным единице.
4.138. Из точки А (рис. 4.40) на спутник, летящий
со скоростью v, падает лазерный луч с частотой v0.
Отраженный луч регистрируется в точке В. Найти
147

наблюдения? Считать, что в поляроидах нет поглоще-
поглощения света разрешенной поляризации.
4.93. Определить интенсивность света 3 в точке Р
экрана, на который падает монохроматический свет
интенсивности &й, если на пути поставить диск из
оптически активного вещества, закрывающего пол-
полторы зоны Френеля и поворачивающего плоскость
поляризации на 90°. Отражением п поглощением света
пренебречь.
4.94. Параллельный пучок иеполяризованного мо-
монохроматического света падает на пластинку в Х./4.
Интенсивность света в некоторой точке Р за пластин-
пластинкой равна Эъ. Из пластинки вырезают диск, закры-
закрывающий одну зону Френеля для точки Р. Диск повер-
повернули вокруг луча на угол 90° и поставили на место.
Какой стала интенсивность Э в точке Р?
4.95. Параллельный пучок неполяризованного мо-
монохроматического света падает на пластинку в к/2.
Интенсивность света в некоторой точке наблюдения Р
за пластинкой равна 2f0. Из пластинки вырезают диск,
закрывающий полторы зоны Френеля для точки Р.
Диск повернули вокруг луча на угол л/2 и поставили
на место. Какой стала интенсивность Э в точке Р?
4.96. Из кристаллической пластинки %/2 вырезаны
лиски диаметром в одну и в две зоны Френеля для
точки Р. Диски вносят в пучок света вплотную друг
к другу, так что у них совпадают: 1) разноименные
главные направления, 2) одноименные главные на-
направления. При этом для света, поляризованного по
одному из главных направлений, ни амплитуда, ни
фаза колебаний не изменились. Во сколько раз изме-
изменится интенсивность света той же поляризации в слу-
случаях 1) и 2), если малый диск повернуть на 90°?
4.97. Показатель преломления кристаллического
кварца для длины волны А, = 589 нм равен п.а = 1,544
лля обыкновенного луча и пе = 1,553 для необыкно-
необыкновенного луча. На пластинку из кварца, вырезанную
параллельно оптической оси, нормально падает ли-
линейно поляризованный свет указанной длины волны,
занимающий спектральный интервал ДА, = 40 нм.
Найти толщину пластинки d и направление поляриза-
поляризации падающего света, если свет после пластинки ока-
оказался неиоляризованным.
4.98. На плоский экран, состоящий из двух поля-
роидных полуплоскостей, граничащих друг с другом
138

зитронной пары возможно, если энергия v-кванта пре-
превышает 2тес2 (шв— масса покоя электрона).
5.8. При грехфотоиной аннигиляции орто-позитро-
иия оказалось, что один из фотонов имеет энергию
Wi=(l/2)W0, а другой— W3 — B/3) Wo (В?о —энер-
—энергия покоя электрона). Найти углы й12, 0)з, б2з между
направлениями вылета фотонов. Считать, что орто-
позитроний вначале покоился; его энергия покоя рав-
равна удвоенной энергии покоя электрона. Возможна ли
двухфотонная аннигиляция орто-позитрония?
Указание: орто-позитроний представляет собой
атомную систему, состоящую из электрона и позитро-
позитрона, спины которых направлены в одну сторону.
5.9. Фотон (Х, = 0,4 нм) рассеивается на электроне
(масса покоя электрона те), движущемся навстречу
ему, и после рассеяния движется в обратном направ-
направлении (рассеяние на 180°). С какой скоростью v дол-
должен двигаться электрон, чтобы частота фотону при
рассеянии не изменилась?
5.10. Фотон от рубинового лазера ("К = 0,69-13 мкм)'
испытывает лобовое соударение с электроном, имею-
имеющим кинетическую энергию №« = 500 МэВ. Оценить
энергию Wy фотона, испускаемого в результате «об-
«обратного «комптон-эффекта» и движущегося вдоль
траектории электрона.
5.11. Определить энергию у-к.вантов, претерпевших
комптоиовское рассеяние назад F = 180°), если из-
известно, что вылетающий электрон ультрарелятивист-
ультрарелятивистский (We> ,-ЛеС2).
5.12. Определить длину волны % рентгеновского из-
излучения, для которого комптоиовское рассеяние на
электроне на угол 90° удваивает длину волны.
5.13. В результате комптоново.кого рассеяния фо-
фотона на покоящемся электроне последний получил им-
импульс отдачи р. Определить, под какими углами по
отношению к направлению падающего фотона мог
вылететь электрон с таким импульсом.
5.14. При прохождении у-кваптов через вещество
образуются две группы быстрых электронов: одна в
результате фотоэффекта, а другая — комптоновского
рассеяния. Каково должно бигь энергетическое раз-
разрешение регистрирующей аппаратуры, чтобы отличать
фотоэлектроны от комптоновских электронов с макси-
максимальной энергией? Энергия ^-квантов известна: WY =
— 5 МэВ.
149

5.E. Если допустить, что масса покоя фотона
mY ф О, то скорость электромагнитных волн в вакууме
будет зависеть от длины вол-н "к. До настоящего вре-
времени по данным локационных измерений среднего
расстояния между Луной и Землей (La =3,8-105 км)
такая зависимость не обнаружена. Измерения были
проведены при A,i = 20 см и в оптическом диапазоне,
точность измерений определялась в основном неров-
неровностью поверхности Луны 6/ = ±100 м. Исходя из
этих данных, оценить возможную верхнюю границу
значений массы покоя фотона /nY.
§ 5.2. Волны де Бройля. Волновые функции
5.16. Электроны с энергией U?K = 100 эВ падают
под углом ф = 30° к нормали на систему, состоящую
из двух параллельных сеток, между которыми создана
разность потенциалов 1/[ = 36 В (рис. 5.1). Найти от-
относительный показатель преломления п сред, распо-
расположенных по обе стороны от сеток. При какой раз-
разности потенциалов U2 произойдет полное отражение
электронов от второй сетки?
Рис. 5,1 Рис. 5.2
5.17. Пучок электронов падает перпендикулярно
па поликристаллическую пластинку П из хлористого
иагрия, постоянная решетки которого d = 56 им. В ре-
результате брэгговского рассеяния пучка на фотопла-
фотопластинке Ф, расположенной на расстоянии L = 25 см от
пластинки Я, возникают концентрические дифракцион-
дифракционные кольца (рис. 5.2). Определит!, энергию электро-
электронов, зная, что радиус первого кольца равен R =0,5 см.
5.18. Параллельный пучок моиоэнергетических
нейтронов, движущихся со скоростью v, падает на
плоскую поверхность кристалла под углом скольже-
скольжения ф0 и испытывает на ней брэгговское отражение
и-го порядка (рис. 5.3). Источник нейтронов А при-
150

ю г
= >
водят в движение с постоянной скоростью и в направ-
направлении нормали к отражающей плоскости. Под каким
углом ф к отражающей плоскости надо направить те-
теперь пучок нейтронов, чтобы наблюдалось брэггов-
ское отражение в прежнем по-
порядке /и?
5.19. Один из способов мо-
нохроматизации медленных
нейтронов состоит в следую-
щем: в цилиндрерадиусом Я=
= 10 см и длиной L = 1,0 м
делается винтовой паз цыри-
ной 6=1 см с поворотом на
угол ф = 30° (рис. 5.4). Цилиндр вращается с часто-
частотой п = 3000 об/мин. Определить длину волны X ней-
нейтронов, пропускаемых описанным монохроматором, и
оценить степень их монохроматичности АХ/Х. Пучок
нейтронов направлен вдоль оси цилиндра.
Рис. 5.3
Рис. 5 4
5.20. Нейтроны со скоростью Оо=:5'105 см/с па-
падают на брзгговский интерферометр, состоящий из
трех тонких монокристаллических пластинок, выре-
вырезанных перпендикулярно главным кристаллическим
плоскостям. На каждой
из пластинок волна де
Бройля разделяется на
прошелшую и отражен-
отраженную (рис. 5.5). Результат
интерференции фиксиру-
фиксируется счетчиком нейтро-
нейтронов С, скорость счета ко-
которого зависит от разно-
разности фаз в плечах интерферометра. В одном из плеч
с помощью электродов (не показанных на рисунке) па
участке длиной / = 1 см создается электрическое поле
с разностью потенциалов U = 300 В. Если бы у ней-
нейтрона был электрический заряд, то включение поля
Рис. 5.5
151

изменило бы скорость счета счетчика С. Найти, какой
предельный заряд q может быть обнаружен в таком
опыте, если напряженность поля параллельна пред-
предполагаемому направлению дипольного момента, а
чувствительность интерферометра к сдвигу фаз со-
составляет Аф =0,1 рад.
5.21. Коллимированный пучок электронен) с кине-
кинетической энергией Ц^'к == 1,65 кэВ пропускается через
резонатор лазера, который генерирует на длине волны
Х, = 0,63 мкм. При некоторых углах падения пучка
относительно оси лазера, близких к прямому, может
наблюдаться брэгговское рассеяние электронов на
электромагнитной волне (эффект Капицы—Дирака).
Найти возможные углы отклонения электронов.
5.22. Оценить минимальный диаметр d пятна, соз-
создаваемого на детекторе пучком атомов серебра, испу-
испускаемых печью с температурой Т = 1200°С, Расстоя-
Расстояние от выходной щели печи до детектора равно
L = 1 м.
5.23. В одномерной потенциальной яме шириной b
с бесконечными стенками находятся N электронов.
Определить полную энергию W и силу F давления
электронов на стенки ямы.
Е5:;аимодействнем электронов
— пренебречь.
5.24. Оценить нижнюю гра-
_ ницу кинетической энергии WK
нуклона в ядре, предполагая,
что радиус ядра гя«10~12 см.
5.25. Предполагая, что ядер-
ядерные силы обусловлены обме-
обменом между нуклонами кванта-
квантами ядерного поля — пионами,
оценить радиус Дг действия
ядерных сил, если известно,
что масса покоя пионов тп ~
« 100 МэВ, а их скорость
близка к скорости света.
5.20. Электрон движется со скоростью v в плоско-
плоскопараллельном слое вещества толщиной d с показате-
показателем преломления п перпендикулярно к ограничиваю-
ограничивающим плоскостям. Скорость электрона v > с/п, так что
наблюдается излучение Вавилова — Черенкова. Опре-
Определить угловую расходимость Дф излучения, обуслов-
обусловленную конечной толщиной слоя (рис. 5.6).
9
Рис, 5,6
152

Р»с. 5,7
5.27. Электрон притягивается к поверхности жид-
жидкого гелия электростатическими силами, потенциаль-
потенциальная энергия которых, как известно, равна Wn(x) =
= \е2(г—I )/4(e -f I )]х"', где х — кратчайшее рас-
расстояние от электрона до поверхности, в — заряд элек-
электрона, е = 1,057 — диэлек- \
грическая проницаемость ге-
гелия (рис. 5.7). В то же вре-
время медленный электрон не
может проникнуть внутрь
гелия из-за отталкивания
(так называемое отрица-
отрицательное сродство гелия к
электрону). Поэтому можно
считать, что на поверхности
(jc = 0) потенциальная энергия испытывает беско-
бесконечный скачок и электрон оказывается в потенци-
потенциальной яме (см. рис. 5.7). Пользуясь этой моделью и
соотношением неопределенности, оценить по порядку
величины среднее расстояние х электрона от поверх-
поверхности гелия в основном состоянии и энергию связи
WCB электрона вблизи поверхности гелия.
5.28. Волновая функция частицы массой т, совер-
совершающей одномерное движение в поле с потенциалом
Wn(x), есть $(х) = Ахех.р(—х/а) (х > 0), г|з(х) = О
(x^ZO). Оценить с помощью соотношения неопреде-
неопределенности среднюю кинетическую энергию WK частицы.
Найти Wn{x) при х > 0 и полную энергию W, если
известно, что Wn(x)-*~Q при х->со.
5.29. Найти энергию электрона, при которой он
беспрепятственно пройдет над прямоугольным барье-
барьером высотой Wo = 5 эВ
W1
oy/;7777Zd
Рис. 5.8
и шириной d=10-s см.
5.30. Электрон на-
находится в одномерной
потенциальной яме,
изображенной на
рис. 5.8, и имеет энер-
энергию W— 1,5 эВ. Ши-
Ширина ямы равна d =
= 3-10~3 см. Найти высоту потенциального барьера
Wn и его проницаемость D. За какое время t вероят-
вероятность найти частицу в яме уменьшится в два раза?
Отражением волновой функции на задней границе
потенциального барьера пренебречь.
153

5.31. Действие времяпролетного масс-спектрометра
основано на разделении ионов по врехмени пролета
ими определенного расстояния /. Но из-за разброса
начальных скоростей До даже одинаковые ионы долж-
должны приходить к приемнику с некоторым разбросом Д^
по времени. Для устранения этого недостатка исполь-
используется электростатический отражатель, на выходе ко-
которого указанный разброс компенсируется (рис. 5.9).
Источник
Рис. 5.9
Оценить напряженность Е поля отражателя, необхо-
необходимую для регистрации однозарядных ионов азота
N+, имевших на выходе из источника разброс началь-
начальных скоростей До Л2 10е см/с и прошедших путь с раз-
разбросом по времени Л/ « 100 не. Угол отражения в
отражателе считать малым.
§ 5.3. Атомы и их излучение
5.32. Длина волны линии На водородной серии
Бальмера равна Х = 0,656 мкм. Определить энергию
ионизации WK мезоатома водорода, находящегося в
основном состоянии.
5.33. Рассчитать энергию излучения AW, испускае-
испускаемого в атоме водорода при переходе отрицательного
|Г~-мезона с N- на М-оболочку. При расчете учесть, что
масса |г~-мезона приблизительно в 10 раз меньше
массы протона. Как велик радиус 1-й боровской ор-
орбиты в этом случае?
5.34. Положительно заряженный мюон, образовав-
образовавший вместе с электроном водородоподобный атом —
мюоний, распался на позитрон и нейтрино, быстро
разлетевшиеся в разные стороны. Какова средняя ки-
кинетическая энергия WK оставшегося после этого элек-
электрона, если в момент распада мезона мюоний нахо-
находился в состоянии 2S? Волновая функция основного
состояния электрона в атоме водорода равна г]1 =
= (8пг*)~1/2A-г/2гб) ехр (- г/2гв), где гБ- радиус
1-й боровской орбиты.
154

5.35. Задача об отыскании уровней энергии атома
решается обычно в предположении, что заряд ядра
точечный. На самом деле ядро имеет размер, а ра-
радиус ядра равен гя = 1,3-10-13 s?l/3 см, где si— атом-
атомная масса. Оценить знак и порядок величины относи-
относительной поправки к энергии AW/W мюона на К-обо-
лочке в мезоатоме неона (Z = 10, s4- = 20), связанной
с тем, что часть времени мезон находится внутри ядра,
т. е. в поле, отличном от кулоновского. Волновая
функция основного состояния электрона в атоме во-
водорода равна ^ = (яг|)~1/2ехр(—г/гБ), где гБ—радиус
1-й боровской орбиты.
5.36. При комптоновском рассеянии квантов па
атомных электронах явление осложняется тем, что
электроны в атомах не находятся в покое. Оценить
связанный с этим разброс в углах разлета электронов
отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассея-
рассеянии рентгеновских квантов (^ = 0,1 нм) строго назад.
5.37. Оценить минимальную ширину Lmin, которую
должна иметь дифракционная решетка, чтобы с ее по-
помощью можно было обнаружить естественную ширину
линии, испускаемой атомами с временем жизни воз-
возбужденного состояния т = 0,1 не. (Все условия поста-
постановки опыта предполагаются идеальными.)
5.38. Температуру газовых облаков в межзвездном
пространстве можно оценить по доплеровскому уши-
рению спектральных линий, ис- о 12 3 x,at
пускаемых атомами, входящими
в состав газа. Для этой цели
обычно используют водородную
линию с длиной волиы ~к =
= 21 см. Оценить температуру Т
газового водородного облака,
если испускаемая им водородная
линия имеет ширину Д/ = 5 кГц.
5.39. Моноэнергетический па-
параллельный пучок возбужденных
атомов движется вдоль оси ва-
вакуумной трубки со скоростью
v = 108 см/с. В стенках трубки сделаны окошки для
регистрации излучения атомов пучка в зависимости
от пути, пройденного пучком. Результаты этих изме-
измерений изображены на рис. 5.10 (по оси абсцисс от-
отложено расстояние х, пройденное пучком вдоль
Рис. 5.10
155

трубки, отсчитанное от 1-го окошка, а по оси орди-
ординат— натуральный логарифм отношения интенсив-
интенсивности света 21 к интенсивности 2/\, измеренной
детектором, стоящим в 1-м окошке. Определить
естественную ширину линии Д/, излучаемой атомами
пучка.
5.40. На рис. 5.11 изображено распределенке энер-
энергии в спектральной линии дважды ионизованного уг-
углерода 12С (эту спектральную линию можно наблю-
наблюдать в дуговом разряде в сильном магнитном поле).
У, произд. ед.
16
12
S
500
ооо
Рис. 5.11
яо
л,т
Уширение спектральной линии обусловлено движе-
движением излучающих атомов (эффект Доплера). Оценить
температуру Т излучающих атомов.
5.41. Оценить минимальные массу m и размер b
железной пылинки, при которых можно наблюдать
эффект Мёссбауэра с энергией перехода W = 14 кэВ
и вре1менем жизни т = 1 мс, если отдача пылинки
приведет к доплеровскому смещению, равному соб-
собственной ширине линии.
Указание. Эффект Мёссбауэра заключается в
том, что при достаточно низкой температуре отдачу
испытывает не отдельное излучившее ядро, а весь
кристалл (в данном случае — пылинка).
5.42. На какой высоте Н надо поместить поглоти-
поглотитель относительно источника для проверки красного
смещения, выведенного общей теорией относитель-
относительности? Используется эффект Мёссбауэра на изотопе
67Zn, время жизни возбужденного уровня с энергией
W = 93 кэВ равно т = 10 мкс. Считать, что для до-
достижения необходимой точности эффект смещения
должен в 10 раз превышать ширину линии резонанс-
резонансного поглощения.
156

5.43. На опыте измерены энергии перехода между
тремя последовательными уровнями энергии враща-
вращательной полосы двухатомной молекулы (рис. 5.12).
Найти квантовые числа / этих уров-
уровней и момент инерции / молекулы. ^
5.44. Определить напряжение U
на рентгеновской трубке с никеле-
никелевым антикатодом, если разность
длин волн между /(^-линией и ко-
коротковолновой границей сплошного р 5 .„
рентгеновского спектра равна Д>- =
= 84 пм.
5.45. Оценить размер b железной пылинки, при ко-
котором она будет выдуваться из Солнечной системы
световым давлением Солнца.
5.46. Одна из причин уширения спектральных ли-
линий атомов в газе связана со столкновениями, которые
ограничивают время жизни возбужденного состояния.
Оценить вклад этого механизма в относительную шири-
ширину линии перехода в неоне на длине волны ^=0,63 мкм,
используемой в Не—Ne-газовом лазере, в условиях, ко-
когда коэффициент диффузии атомов неона D= 100 см2/с.
Температуру газа принять равной 7 = 400 К.
5.47. В опытах Шалла (i968 г.) наблюдалось рас-
расщепление пучка нейтронов на два пучка при прелом-
преломлении на границе однородного магнитного поля.
Найти малый угол 0 между направлениями преломле-
преломления пучков. Однородное магнитное поле имеет индук-
индукцию В = 2,5 Тл, Нейтроны с дебройлевской длиной
волны Х = 0,5 нм падают под углом в 30° к достаточ-
достаточно резкой границе магнитного поля.
5.48. Пучок атомов натрия вылетает нз печи, тем-
температура которой 7 = 350 К. Пучок расщепляется в
поперечном неоднородном маг- i i
нитном поле с градиентом I J
dB/dx = 5Q Тл/м на пути /= 1 см. s[_ s[\ }
Детектор удален от магнита на
расстоянии L = 6,5 м. Найти рас-
расстояние s между пятнами на эк-
экране. Рис. 5.13
5.49. Пучок атомов лития в
основном состоянии с максимальной кинетической
энергией IFK = O,1 эВ проходит через магнит типа
Штерна — Герлаха длиной / = 6 см с градиентом
поля dB/dx = b Тл/см. Перед магнитом стоят две
157

одинаковые диафрагмы 5 па расстоянии L = 1 м
одна от другой (рис. 5.13). При каком максимальном
размере dmax диафрагм компоненты разделенного
пучка полностью разойдутся?
5.50. Определить верхний предел расстояния Z.max
между зеркалами интерферометра Фабри — Перо, что-
чтобы с его помощью можно было исследовать (без пере-
перекрытия спектров разных порядков) простой эффект
Зеемана в магнитном поле с индукцией В = I Тл.
5.51. Оценить, какую индукцию В магнитного поля
звезды типа Солнца (период вращения т. = Ю6 с, ра-
диус^=1010см, температура поверхности 7 = 6-103 К)
можно обнаружить в оптической области спектра (оа=
= Ю15 с-1) на основании измерения эффекта Зеемана.
5.52. Найти зеемановское расщепление Доз спек-
спектральной Линии 2D3/2-*-2Pu2- Указать число компонент
в расщепленной линии.
5.53. Цезий принадлежит к числу щелочных метал-
металлов. При Р — 5-переходе в атомарном цезии испуска-
испускается широкий дублет, состоящий из двух линий: к\ =
= 0,455 мкм и Х2 = 0,459 мкм. Найти расщепление тер-
термов этого дублета в магнитном поле. Какими форму-
формулами описывается в этом случае расщепление линий
в магнитном поле с индукцией В = 3 Тл: формулами
для нормального или аномального эффектов Зеемана?
5.54. В спектре лития две первые линии главной
серии принадлежат переходам 22Pi/2-+22Su2 и
22-Рз/2->2251/2. Длины волн этих линий равны Х{ =
= 0,670780 мкм и ^,2 = 0,670795 мкм. Оценить индук-
индукцию В магнитного поля, которое создает орбитальное
движение электрона в атоме лития в состоянии 2Р.
5.55. Оценить по порядку величины энергию рас-
расщепления Д№ головной линии серии Вальмера в
спектре водорода за счет взаимодействия магнитно-
магнитного момента электрона и магнитного момента ядра
(сверхтонкое расщепление спектральных линий).
Можно ли обнаружить это расщепление с помощью
спектрального прибора, если среднее время жизни
возбужденных атомов водорода порядка 10 не? Маг-
Магнитный момент протона равен |1Р = 2,8|1я.
5.56. Оценить длину волны X излучения межзвезд-
межзвездного атомарного водорода в радиодиапазоне. Меж-
Межзвездный водород находится в основном состоянии, и
его излучение обусловлено переориентацией спина
электрона. Магнитный момент протона равен цр = 2,8|л„.
158

5.57. Свободные атомы могут обладать магнитным
моментом, но не имеют дипольного электрического мо-
момента. Атомы, входящие в состав кристаллической ре-
решетки, при известных условиях могут иметь такой
момент. В этом случае возможен параэлектрический
резонанс, аналогичный парамагнитному. Найти ди-
польный момент рат атома, если известно, что резо-
резонансное поглощение электромагнитных волн с длиной
волны А, = 5 мм наблюдается при напряженности по-
постоянного электрического поля ?=2,5- Ю3 кВ/м. Оце-
Оценить размер / атомного диполя.
VI. ИЗЛУЧЕНИЕ
6.1. Рассматривая равновесное тепловое излучение
как идеальный газ фотонов, получить формулу р =
= Ризл/3, связывающую плотность энергии теплового
излучения ризл с давлением излучения р.
6.2. Используя тот факт, что плотность энергии
теплового излучения ризл не зависит от объема си-
системы, а также формулу р = ризЛ/3 (см. задачу 6.1),
найти с помощью законов термодинамики зависимость
ри,л и энтропии s единицы объема от температуры Т.
6.3. Пользуясь той же моделью, что и в задаче 6.1,
найти связь между энергетической светимостью Мэ
абсолютно черного тела и плотностью энергии тепло-
теплового излучения рИЗл.
6.4. При какой температуре Т давление теплового
излучения равно р = 1 атм?
6.5. При какой концентрации п молекул газа газо-
газокинетическое давление равно давлению теплового из-
излучения при той же температуре Т = 300 К?
6.6. Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон,
на высоте h расположен круглый диск радиусом R,
являющийся источником равновесного теплового из-
излучения с температурой То. Радиус диска R <C h, диск
расположен параллельно плоскости, Найти стационар-
стационарное распределение температуры Т = Т(г) на плоско-
плоскости, где г — расстояние от проекция центра диска.
Считать, что система находится в вакууме, фон теп-
теплового излучения отсутствует и теплопроводностью
вдоль плоскости можно пренебречь.
6.7. Найти то же, что и в задаче 6.6, считая излу-
излучателем сферу радиусом Rt центр которой находится
на расстоянии h от плоскости,
159

6.8. Найти отношение плотностей потоков энер-
энергии корпускулярного и электромагнитного излучения
Солнца в околоземном пространстве. Считать, что
корпускулярный поток представляет собой нейтраль-
нейтральную плазму из протонов и электронов с концентрацией
п = Ь см~3 частиц каждого сорта и скоростью потока
v = 300 км/с, а Солнце — источник равновесного теп-
теплового излучения с температурой Т = 6000 К. Выра-
Выразить результат через угловой диаметр ас Солнца, ви-
видимый с Земли.
6.9. Солнечная постоянная Ес означает мощность
излучения, падающего на единицу площади, помещен-
помещенной перпендикулярно солнечным лучам за пределами
земной атмосферы на расстоянии от Солнца, равном
среднему расстоянию между Землей и Солнцем Ьз =
= 1,5-103 км. Принимая ?с = 0,14 Вт/см2 и радиус
Солнца /?с = 6,9-105 км, определить радиационную
температуру Трая излучающей поверхности Солнца.
6.10. В настоящее время мощность всех промыш-
промышленных источников энергии на Земле составляет Р л;
» 1013 Вт, в то время как средняя мощность солнеч-
солнечной энергии, поступающей на Землю, Р ж 1017 Вт.
К какому перегреву ДГ поверхности Земли приводят
промышленные источники? Оценить максимальное
значение Ртзх, если предельный перегрев, допустимый
из экологических соображений, составляет 0,1 К-
6.11. Объектив диаметром d = 5 см фокусирует
солнечный свет на абсолютно черный шар диаметром
dm = 1 мм, обладающий высокой теплопроводностью
м и находящийся в высоком ва-
вакууме." Определить температу-
температуру Тш шара. Принять, что плот-
плотность потока солнечной энер-
энергии равна /ц7 = 0,14 Вт/см2,
температура стенок сосуда
Тс = 300 К- Потерями энергии
в объективе пренебречь.
6.12. В криогенной технике
для уменьшения теплопотерь,
связанных с тепловым излуче-
излучением, в вакуумный промежуток между более холод-
холодной (Тх) и более нагретой (ТТ) стенками вводят си-
систему тепловых экранов (рис. 6.1). Считая обе стен-
стенки, как и все экраны, бесконечно протяженными и
абсолютно черными, найти уменьшение радиацион-
г
• . • i
Рис. 6.1
160

ного теплообмена между стенками за счет введения
N экранов в стационарных условиях.
6.13. Используя формулы для энергии и энтропии
равновесного теплового излучения, показать, что сво-
свободная энергия излучения записывается в виде ЗГ =
= —^oVT*, где V — объем, Т — температура. Восполь-
Воспользовавшись законом Стефана — Больцмана, выразить
?0 через постоянную Стефана — Больцмана асв- Поль-
Пользуясь термодинамическими формулами, определить по
найденному ЗГ теплоемкость cv фотонного газа в ра-
расчете на единицу объема и давление излучения р.
Сравнить ее с теплоемкостью с\ единицы объема иде-
идеального одноатомного газа при одинаковых значениях
Р и Т.
6.14. Газообразный неон находится в замкнутом
сосуде с постоянным объемом в равновесии с тепло-
тепловым излучением. При каком давлении р неона его
теплоемкость и теплоемкость теплового излучения в
том же объеме при Т = 500 К сравняются?
6.15. Найти теплоемкость ср и уравнение адиабаты
фотонного газа, заключенного в сосуд с переменным
объемом.
6.16. Вселенная, возраст которой t\ « 1010 лет, за-
заполнена равновесным реликтовым излучением, тем-
температура которого в настоящее время равна Т\ та 3 К.
Начиная с эпохи, когда его температура составляла
Го « 3000 К и образовались нейтральные атомы, излу-
излучение слабо взаимодействовало с веществом, расши-
расширяясь вместе с Вселенной. Оценить ее возраст t
к моменту образования нейтральных атомов. Ско-
рость линейного расширения Вселенной считать по-
постоянной.
6.17. Тепловое излучение Солнца регистрируется
селективным приемником на длине волны Л, ^ 300 нм
с относительной шириной области чувствительности
ДХ,/А=Ю~3 за промежутки времени Д/ = 10-3 с.
Найти относительную среднеквадратичную флуктуа-
флуктуацию принимаемого сигнала. Солнце считать абсолют-
абсолютно черным телом с температурой Т = 6000 К и види-
видимым угловым диаметром ас. Площадь приемной пло-
площадки равна S = 1 мм2.
Указание. Так как энергия кванта Гка S> &БГ, то
среднее планковское число заполнения nffl< 1, и по-
поэтому к фотонам можно применять классическую (не
квантовую) статистику.
6 Сборник задач по физике 161

6.18. Напряжение в сети возросло на 5%. На
сколько увеличится освещенность, создаваемая ва-
вакуумной лампой накаливания с температурой нити
1500 К, на длине волны 500 нм? Нить считать абсо-
абсолютно черной.
6.19. Слой вещества поглощает практически все
фотоны солнечного спектра с энергией W Г2* 0,2 эВ и
полностью прозрачен для фотонов с меньшей энер-
энергией. Оценить, какую долю солнечной энергии про-
пропускает вещество. Считать спектр Солнца планков-
ским с температурой Т = 6500 К.
6.20. Слой вещества поглощает практически все
фотоны солнечного спектра с энергией W ^ 12 эВ и
полностью прозрачен для фотонов с меньшей энер-
энергией. Оценить, какую долю солнечной энергии погло-
поглощает вещество. Считать спектр Солнца планковским
с температурой Т = 6500 К.
6.21. Возбужденный атом с энергией возбуждения
W = 1 эВ находится в поле равновесного излучения
с температурой Т = 300 К. Найти отношение вероят-
вероятностей индуцированного и спонтанного излучений
атома. Найти аналогичное отношение для электрон-
электронного спина в магнитном поле с индукцией В =
= 103 Гс.
6.22. Определить диапазон частот излучения, при
котором вероятность спонтанного перехода более чем
в 100 раз превосходит вероятность индуцированного
перехода под влиянием равновесного излучения тем-
температуры Г = 293 К.
6.23. Система, состоящая из атомов, имеющих два
невырожденных уровня энергии W{ и W2 > Wu нахо-
находится в тепловом равновесии. Выразить коэффициент
поглощения kn(T) света этой системой на частоте
<»=(U?2 — Wi)/h через его значение k°a при Г = 0.
Рассмотреть два предельных случая: 1) йБГ^>йсо и
2) kBT < fto.
6.24. Оценить вероятность wcn спонтанного излуче-
излучения молекулы при переходе с возбужденного уровня
Wm на уровень Wn в случае, когда молекула поме-
помещена внутрь объемного резонатора, настроенного на
частоту a = (Wm — Wn)/h. Соответствующая вероят-
вероятность спонтанного излучения в свободном простран-
пространстве равна w°cn. Объем резонатора равен V, его до-
добротность— Q. Считать, что ширина Г молекулярных
162

уровней все время остается меньше ширины co/Q ли-
линии резонатора: Г < co/Q.
6.25. Резонатор лазера с кристаллом рубина имеет
одно зеркало с 100%-ным отражением, а другое —
с коэффициентом пропускания т = 0,1 на длине вол-
волны, отвечающей генерации лазера. Длина кристалла
/ = 12 см. Известно, что коэффициент поглощения
света в невозбужденном кристалле рубина в макси-
максимуме рабочей линии равен &п = 0,4 см-1. Найти, ка-
какую часть атомов хрома нужно привести в возбужден-
возбужденное состояние, чтобы лазер начал работать. Рассея-
Рассеянием света в кристалле пренебречь.
VII. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
§ 7.1. Свойства кристаллических решеток.
Фононы. Теплопроводность
7.1. Рассматривая атомы, из которых построены
кристаллические решетки, как твердые шары, найти
плотность упаковки (т. е. заполненную часть объема)
для простой, гранецентрированной и объемно-центри-
объемно-центрированной кубических решеток.
7.2. Рентгеновское излучение с частотой v =
= 1,1 - Ю18 с, падающее на кубический кристалл в
направлении [100], испытывает сильное брэгговское
рассеяние в направлении [122]. Считая, что кристалл
состоит из одной гранецентрированной решетки Бравэ
и наблюдаемое рассеяние связано с интерференцией
1-го порядка, найти наименьшее межатомное расстоя-
расстояние а в кристалле.
7.3. Оценить температурный коэффициент линей-
линейного расширения а кристалла, используя в качестве
модели двухатомную молекулу, в которой потенциаль-
потенциальная энергия взаимодействия составляющих ее атомов
имеет вид Wa{x) = v.x'z/2— xix3/3, где х—расстояние
между атомами. Ангармонический член "/,\Х3/3 ответ-
ответствен за тепловое расширение. Оценить величины к
и И] и а через фундаментальные физические констан-
константы. Считать, что движение ядер подчиняется законам
классической механики.
7.4. Замкнув цепочку из N одинаковых атомов в
кольцо, подсчитать число различных бегущих волн.
6* I аз

Рассмотреть случаи продольных и поперечных ко-
колебаний (смещения атомов вдоль цепи и перпенди-
перпендикулярно ей). Сравнить с числом степеней свободы
системы.
Указание. При N > 1 замыкание цепочки прак-
практически не влияет на спектр ее колебаний.
7.5. Рассмотреть одномерную цепочку, состоящую
из атомов массой т, среднее расстояние между кото-
которыми равно а. Атомы взаимодействуют с ближайши-
ближайшими соседями по закону х(хп+\ — v«J/2, где хп — коор-
координата п-го атома. Найти все продольные нормальные
колебания (фононы) и спектр их частот со (/г), k —
волновое число. Найти фазовую и групповую скорости
волн как функции волнового числа k. Построить гра-
графики полученных зависимостей. Указать область, от-
отвечающую звуковым волнам, и выразить скорость
звука s через тих.
7.6. В одномерной цепочке, построенной из одина-
одинаковых атомов, скорость звука равна s = 2-105 см/с,
а постоянная решетки а = 0,3 им. При какой частоте
колебаний со сдвиг фаз между двумя атомами, нахо-
находящимися на расстоянии 10а, составит я/2?
7.7. Найти закон дисперсии со(k) для продольных
фононов в бесконечной цепочке, содержащей в эле-
элементарной ячейке два атома массами т, и т2. Рас-
Расстояние между соседними атомами равно а, а жест-
жесткость связей между ними х. Построить график полу-
полученной зависимости. Проследить предельный переход
к одноатомной цепочке при mi/m2->l.
7.8. Найти поляризуемость а (со) (в расчете на одну
элементарную ячейку) для цепочки, содержащей в
ячейке два разноименных однозарядных иона. Осталь-
Остальные условия такие же, как и в задаче 7.7. Электри-
Электрический вектор возбуждающей электромагнитной волны
с частотой со ориентирован вдоль цепочки.
7.9. Пользуясь законами сохранения энергии и им-
импульса, рассмотреть в идеальном кристалле неупругое
рассеяние нейтронов с рождением фононов. Обсудить
возможность восстановления закона дисперсии фоно-
фононов со(#) по нейтронному рассеянию.
7.10. Используя аналогию между фотонами и длин-
длинноволновыми фононами, выразить низкотемператур-
низкотемпературную решеточную теплоемкость кристаллов через
скорость поперечного (st) и продольного ()
звука.
164

7.11. Найти температурную зависимость решеточ-
решеточной теплоемкости одномерных (С\) и двумерных (С2)
кристаллов в области низких температур,
7.12. В 4Не, который при атмосферном давлении
остается жидким при Т = 0, колебания в области низ-
низких температур целиком описываются продольными
акустическими фононами. Получить формулу для
низкотемпературной теплоемкости и вычислить ее для
гелия при 7 = 0,1 К, приняв для скорости звука зна-
значение s = 240 м/с.
7.13. В кристалле поваренной соли NaCl при тем-
температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема
Ci/=8,3-10-4 Дж/(см3-К). Оценить скорость звука s
в кристалле и его дебаевскую температуру То- Посто-
Постоянная решетки равна а = 0,3 нм.
7.14. Одинаковые массы свинца 207РЬ и кремния
28Si охлаждают с помощью жидкого гелия от темпе-
температуры Т\ = 20 до Г2 = 4,2К. Оценить отношение
масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения
свинца и кремния, если известно, что дебаевские
температуры равны: 7"р(РЬ) =95 К и ^(Si) = 645 К.
Теплоемкостью электронов пренебречь.
7.15. Кристаллы существуют благодаря тому, что
среднее межатомное расстояние в них а велико в
сравнении с амплитудой «нулевых колебаний» а0, т. е.
колебаний атомов с амплитудой, определяемой соот-
соотношением неопределенности Гайзенберга. Это нера-
неравенство выполняется вследствие существования «адиа-
«адиабатического параметра» (т/М)х/4 ~ Ю~' -С 1, где пг
и М — массы электрона и ядер; Пользуясь моделью
двухатомной молекулы, показать, что для колебатель-
колебательной частоты о) справедлива оценка Аю ~ (гп/М) 1/2И?ат,
где WaT ~ tneA/h2 ~ 10 эВ. Пояснить, почему эту
же оценку можно применять для дебаевской часто-
частоты в кристаллах. Показать также, что ао/а ~
~{т/М)Ч\
7.16. Ядро 3Не имеет спин / = 1/2. Найти моляр-
молярную энтропию 5 кристаллического 3Не при низкой
температуре Т. Считать, чтб температура Т <с То
{То — дебаевская температура), так что практически
все колебательные степени свободы «выморожены», но
ядерные спины остаются тем не менее полностью раз-
упорядоченными. При этих же предположениях найти
энтропию кристаллического аргона-37; спин ядра ар-
аргона равен / = 3/2.
165

§ 7.2. Электроны в металлах
7.17. Вычислить фермиевские энергию, импульс и
скорость при Г = 0 для металла с изотропным ква-
квадратичным законом дисперсии электронов с эффектив-
эффективной массой, равной 0,8 массы свободного электрона, и
концентрацией электрогюв 1023 см-3.
7.18. Для электронов с квадратичным законом дис-
дисперсии найти связь между средней энергией W и фер-
миевской энергией WF при температуре Г = 0.
7.19. Металлический Na кристаллизуется в куби-
кубической объемно-центрированной решетке с расстоя-
расстоянием между ближайшими атомами 0,37 нм. Найти
среднюю кинетическую энергию электронов, предпо-
предполагая, что их закон дисперсии является квадра-
квадратичным.
7.20. Найти фермиевский импульс pF в Na, если
максимальное отклонение от 180° для угла разлета
Y-квантов, возникающих при двухфотоннои аннигиля-
аннигиляции позитронов с электронами проводимости, равно
Ф=0,20°. Поверхность Ферми считать сферической, а
скорость позитронов перед аннигиляцией равной нулю.
7.21. Давление электронного газа является одним
из основных факторов, определяющих сжимаемость
металлов. Найти давление р и сжимаемость /С элек-
электронного газа для меди при температуре Т = 0, если
концентрация электронов равна л = 8,5-1022 см-3.
Эффективную массу m считать
*V/ равной массе свободного элек-
* трона.
7.22. При температуре Т ф 0
электроны в металле рассеива-
рассеиваются, испуская или поглощая фо-
ноны. Считая, что Т <§; То, оце-
оценить средний угол ф, на который
рассеиваются электроны.
Рис. 7.1 7.23. Свойства электронов в
монокристаллических образцах
металлов с большими длинами свободного пробега
электронов могут изучаться с помощью двух
микроконтактов, прижатых к поверхности металла
вдоль линии, перпендикулярной напряженности маг-
магнитного поля Н (рис. 7.1). Один из контактов яв-
является эмиттером электронов, а второй — зондом
(коллектором), регистрирующим приход электронов.
166

Определить максимальное значение Нтах, при котором
электроны доходят до коллектора. Концентрация
электронов равна я = 8,5-1022 см-3, а расстояние
между микроконтактами ^=1 мм. Воспользоваться
моделью свободных электронов с произвольной эффек-
эффективной массой.
7.24. Электронный спектр щелочных металлов хо-
хорошо описывается моделью свободных электронов с
концентрацией 1 электрон на атом. В магнитном поле
напряженностью Н траектории электронов являются
спиралями. Определить максимальный диаметр dma:<
спирали для электронов в калии при Я =100 Э.
Объем, приходящийся на атом, равен 1/=74 \0~21 мм3.
7.25. Получить закон преломления для электронов,
проходящих через границу двух металлов с концен-
концентрацией электронов «1= 1 • 1022 см-3 и п2= 8-1022 см-3.
Закон дисперсии, одинаковый в обоих металлах, изо-
изотропен. Найти угол полного внутреннего отражения
электронов.
7.26. Вычислить частоту обращения электрона а>с
(циклотронную частоту) в постоянном однородном
произвольно ориентированном магнитном поле напря-
напряженностью Н при квадратичном анизотропном законе
дисперсии W (р) = рЦBтх) + рЦBту) + pf/Bm2).
7.27. Найти фермиевскую скорость электронов vf
в металле с одним электроном на элементарную ячей-
ячейку и «одномерным» законом дисперсии W(kz) =
= W0cos(k2a) при и70 = 0,5эВ и a = 0,3 нм (k=p/h =
волновой вектор).
7.28. В металле, кристаллическая решетка кото-
которого обладает осью симметрии z не ниже 3-го поряд-
порядка, закон дисперсии электронов в простейшем случае
может быть представлен в виде W (р) = (р2 + pl)/Bm*).
Считать, что на элементарную ячейку приходится
один электрон проводимости, постоянная решетки
вдоль оси z равна a = 0,3 нм, объем элементарной
ячейки 1/= 0,85 а3, а эффективная масса т* = т& —
массе свободного электрона. Найти фермиевскую ско-
скорость электронов vF и определить частоту обращения
электронов «с в магнитном поле в зависимости от
угла ф между напряженностью магнитного поля Н и
осью г.
7.29. Электрон с законом дисперсии W =
= Wocos(kxa) движется в постоянном однородном
167

электрическом поле напряженностью Е, направлен-
направленном вдоль оси х. Решить уравнение движения и дать
физическую интерпретацию результата.
7.30. Простейший модельный закон дисперсии
электронов в металле с кубической симметрией имеет
вид W(p) = WQ[3 — cos(kxa) — cos(kyci) — cos(kza) |,
p = 1ik, где а — постоянная решетки. Металл нахо-
находится в постоянном однородном магнитном поле на-
напряженностью Н, направленном вдоль оси г. Рассма-
Рассматривается электрон, квазиимпульс которого в задан-
заданный момент времени направлен вдоль оси к и равен
р = 5лЙ/Fа). Найти скорость v и ускорение v в этот
момент.
Указание. Использовать уравнения движения
р = (е/с) [vH], v = dW/dp.
7.31. В металле, описанном в задаче 7.30, концен-
концентрация электронов такова, что фермиевский импульс
в направлении оси х равен pF = nh/Ba). Чему равна
энергия Ферми U?F? Чему равны фермиевские импуль-
импульсы в направлениях [110] и [111]? Найти скорости
электронов на уровне Ферми с импульсами, ориенти-
ориентированными в направлениях [100], [ПО] и [111].
7.32. Для типичных значений параметров металлов
оценить температуру 7"*, при которой электронная и
решеточная теплоемкости становятся равными.
7.33. Оценить решеточный и электронный вклады
в теплоемкость серебра при температурах 300 и 3 К.
Дебаевская температура равна TD = 220 К. Электрон-
Электронную теплоемкость считать по модели свободных элек-
электронов, концентрация которых равна п = 5,9- ] О22 см-3.'
7.34. В тонких металлических проволоках длины
свободного пробега электронов при низких темпера-
температурах обычно лимитируются диаметром проволоки.
Исходя из этого оценить эффективную удельную про-
проводимость <Ьф тонкой металлической проволоки с диа-
диаметром 0,1 мм, приняв для остальных необходимых
параметров значения, типичные для металлов.
7.35. Электронная теплопроводность kT тонких ме-
металлических проволок, как и их электрическая прово-
проводимость (задача 7.34), при низких температурах ли-
лимитируется диаметром проволоки. Оценить в этих
условиях (?т)эф для проволоки диаметром d = 0,1 мм
при температуре Т = 10 К, приняв для остальных па-
параметров значения, типичные для металлов.
168

7.36. В металле, помещенном в магнитное поле
напряженностью Н, полная энергия электрона вклю-
включает зеемановскую энергию ±цб#, где цв—магнетон
Бора. В условиях термодинамического равновесия
энергия Ферми №/> одинакова для электронов с раз-
различным направлением спина. Исходя из этого опре-
определить относительную разность фермиевских импуль-
импульсов 6p/pF = (p+ — P-)/Pf и относительную разность
концентраций 6п/п = (п+ — п-)/п (где п = п+ + п-)
для электронов с противоположным направлением
спина, а также удельный магнитный момент рм элек-
электронного газа (парамагнетизм Паули). Считать, что
Цб^ <С Wf. Вычислить парамагнитную восприимчи-
восприимчивость %Na для натрия, где « = 2,5-1022 см-3, а отно-
отношение эффективной массы к массе свободного элек-
электрона т*/т « 0,8.
7.37. Считая, что электроны в проводниках имеют
эффективную массу т и находятся в среде с ди-
диэлектрической проницаемостью е, а их концентра-
концентрация равна п, найти частоту их собственных длин-
длинноволновых продольных колебаний — плазменную
частоту ©р. «Трением» электронов о решетку прене-
пренебречь.
7.38. Найти энергию плазмона (кванта плазмен-
плазменных колебаний) в металле, в котором фермиевская
энергия равна Wp = 5,5 эВ. Эффективная масса равна
массе свободных электронов, диэлектрической воспри-
восприимчивостью атомных остовов пренебречь.
7.39. Найти частотную зависимость комплексной
диэлектрической проницаемости е(со) проводники.
Объяснить прозрачность металлов в ультрафиолето-
ультрафиолетовой области спектра. Считать, что электроны проводи-
мости описываются эффективной массой т и временем
свободного пробега т.
7.40. В отсутствие электрического тока внешнее
статическое электрическое поле проникает лишь в
тонкий приповерхностный слой металла. Определить
закон, по которому поле убывает в глубь металла,
считая, что полное падение потенциала <р <С WfA?. Oue-
нить глубину проникновения поля (длину экраниро-
экранирования Томаса — Ферми 1Тр) для обычного металла
(nu « 1023 см-3, WF « 5 эВ, диэлектрическая прони-
проницаемость е~1) и полуметалла типа Bi (no я*
»3-10i7 см-3, U?V« 2-10-2 эВ, в» 100). Темпера-
Температура равна Т = 0. (Диэлектрическая проницаемость е
169

определяется поляризуемостью внутренних электро-
электронов, не участвующих в электропроводности.)
7.41. Определить толщину скин-слоя б, т. е. глу-
глубину проникновения в металл с удельной проводи-
проводимостью а электромагнитного поля с частотой а. Счи-
Считать @Т-С1. Вычислить б для меди при комнатной
температуре (а«0,6-10б Ом-'-см-') на частоте v =
= 1010 Гц.
Указание. Пренебречь током смещения по срав-
сравнению с током проводимости.
7.42. Вычислить форму кривой циклотронного ре-
резонанса (т. е. зависимость проводимости от частоты)
для электронов с изотропной эффективной массой т.*
и временем свободного пробега т. Электромагнит-
Электромагнитная волна циркулярно поляризована в плоскости, пер-
перпендикулярной постоянному магнитному полю.
7.43. Считая электроны в металле свободными и
движущимися без «трения», вычислить глубину
Хд —лондоновскую длину, на которую проникает в
сверхпроводник низкочастотное электромагнитное
поле. Оценить ее величину для характерных пара-
параметров металлов.
7.44. Вычислить плотность тока j(T) термоэлектрон-
термоэлектронной эмиссии с поверхности металла (формула Ричард-
Ричардсона). Считать, что работа выхода А ^> k^T, A — раз-
разность между энергией электрона в вакууме и на
уровне Ферми металла. Эф-
Эффективная масса электро-
электронов в металле равна т*.
7.45. Термоэлектроны,
эмиттированные из метал-
металлического катода, движутся
в вакууме под действием
внешнего электрического
поля напряженностью Е и
Рис. 7.2 сил зеркального изображе-
изображения. Совместное действие
этих сил приводит к понижению работы выхода на
границе металл — вакуум. Найти зависимость работы
выхода (рис. 7.2) и плотности термоэмиссионного тока
от поля: А(Е) и j(T,E).
7.46. Рассмотреть движение электрона в кристал-
кристалле в скрещенных электрическом (Е) и магнитном (Я)
полях (E._L#). Эффективная масса электронов равна
т*, а время свободного пробега — т. Применить полу-
170

ченные результаты к вычислению удельной проводи-
проводимости как функции магнитного поля а(Н) в следую-
следующих случаях: ток течет через диск Корбино (в диске
Корбино электроды имеют форму концентрических
окружностей, а магнитное поле прикладывается пер-
перпендикулярно плоскости диска); ток течет по беско-
бесконечной пластине, причем Е и Н лежат в плоскости
пластины. Пояснить физическую причину возникнове-
возникновения магнитосопротивления (т. е. уменьшения а(Н) с
ростом Н) в диске Корбино и причину отсутствия
магнитосопротивления в пластине.
7.47. Найти закон растекания объемного заряда в
проводниках и характерное время этого процесса —
максвелловское время релаксации тм. Определить щ
для кристалла чистого германия при комнатной тем-
температуре (а = 0,014 Ом-'-см-!, е = 16). Считать, что
избыточная концентрация электронов, создающих
объемный заряд, мала по сравнению со средней кон-
концентрацией электронов проводимости.
§ 7.3. Электроны в полупроводниках
7.48. В полупроводниках, как и в металлах (см.
задачу 7.40), внешнее электрическое поле экрани-
экранируется электронами проводимости. Отличие состоит в
том, что в полупроводниках электронный газ обычно
является невырожденным, т. е. подчиняется распреде-
распределению Больцмана. Определить закон, по которому в
этих условиях поле убывает в глубь невырожденного
полупроводника, считая внешнее поле слабым. Оце-
Оценить глубину проникновения 1Вн (длину экранирова-
экранирования Дебая — Хюккеля) для полупроводника с диэлек-
диэлектрической проницаемостью в» 15 и концентрацией
электронов rt0 « 10й см-3 при температуре Т « 350 К.
7.49. Используя известные формулы для энергии
связи электрона в атоме водорода и боровского ра-
радиуса гб, получить аналогичные формулы для примес-
примесного центра большого радиуса в полупроводнике с
диэлектрической постоянной е и эффективной массой
электрона пг*. Оценить эти величины для донорных
центров в кристалле InSb, где пг* « 0,013ап, m — мас-
масса свободного электрона, а е « 16.
Указание. Считать радиус центра большим
если он значительно превышает постоянную ре«
шетки.
171

7.50- Найти энергию связи U?3K, радиус гэк и эф-
эффективную массу Мък экситона, т. е. водородоподоб-
ного образования, построенного из электрона и дырки.
Эффективные массы электрона и дырки равны щ_
и т*+, диэлектрическая проницаемость е.
7.51. Вывести формулу для концентрации электро-
электронов в зоне проводимости невырожденного полупровод-
полупроводника, в котором уровень Ферми расположен ниже дна
зоны проводимости на энергию Wf > 0. Эффективная
масса электронов равна т*, температура полупровод-
полупроводника Т.
7.52. Найти связь между концентрацией зонных
электронов л_ и зонных дырок п+ в невырожденном
полупроводнике при произвольном положении уровня
Ферми. Ширина запрещенной зоны Wa, температура
полупроводника Т.
7.53. Исследовать и схематически изобразить на
графике температурную зависимость концентрации
электронов П-(Т) и дырок п+(Т) в полупроводнике
с мелкими донорными уровнями. Энергия связи элек-
электрона на донорах Wa <C Wa, Wa— ширина запрещен-
запрещенной зоны.
7.54. В полупроводнике, содержащем мелкие до-
норные уровни, все они ионизированы, если темпера-
температура Т не слишком низкая. Найти концентрацию элек-
электронов П- и дырок п+, если известна концентрация П[
носителей в чистом полупроводнике (см. задачу 7.52). i
Концентрация доноров равна N.
7.55. Как изменится ток насыщения полупровод-)
никового диода при понижении температуры от 20 до,
0°С? За счет какого механизма возникает этот ток?;
Вследствие какого процесса и примерно при какой'
температуре Т* эффект выпрямления начнет исчезать?!
Диод изготовлен из материала с шириной запрещен-
запрещенной зоны Wa =0,7 эВ и эффективными массами элек-
электронов и дырок tn* = 0,3m, m — масса свободного
электрона. Концентрация примесей по обе стороны
перехода равна /гпр = 1015 см-3. Считать, что время
жизни неравновесных носителей тока от температуры
не зависит.
7.56. В полуметалле существует слабое перекры-
перекрытие зон, равное Wo = 0,04 эВ. В результате при Г = 0
в одной из них имеется небольшое число электронов
проводимости, в другой — такое же число дырок
(рис. 7.3). Найти концентрацию электронов и дырок
172

я и их энергии Ферми Wf и Wf~, если эффективные
массы равны: электронов — tnL = 0,05т и дырок —
_m^ = 0,03m, где т — масса свободного электрона.
7.57. Рассмотреть рассеяние медленного электрона
в полупроводнике с поглощением и испусканием длин-
длинноволнового акустического фонона, пользуясь зако-
законами сохранения энергии и импульса. Найти зависи-
зависимость угла (р между волновым вектором фонона q и
начальным импульсом электрона р от р и q. Показать,
Электроны
Рис. 7,3
что при v < s (v—скорость электрона, s — скорость
звука) электрон не может испустить фонон, а при
!i»s электроны рассеиваются почти упруго, т. е,
энергия при рассеянии меняется мало, Считать, что
энергия электрона W = р2/Bт), а энергия фонона
() ft
G) 7
7.58. В некоторых полупроводниках длина свобод-
свободного пробега электронов оказывается порядка меж-
межатомных расстояний. В такой ситуации движение
электронов можно рассматривать как случайные
«прыжки» между соседними узлами. Оценить при тем-
температуре Т « 300 К удельную проводимость а такого
полупроводника, если концентрация электронов п яз
« 1018 см~3, средняя частота прыжков v та 1013 с~',
а межатомное расстояние а « 0,3 им.
7.59. Дырки, создаваемые при освещении у поверх-
поверхности электронного полупроводника, диффундируют
в объем, имеющий температуру 7 = 300 К, где они ре-
комбинируют с электронами проводимости. Опреде-
Определить эффективную глубину проникновения /эф дырок,
если их время жизни равно т = 10~3 с, подвижность
ц = 2000 см2/(В-с).
7.60. Решить задачу 7.29 при наличии силы трения,
пропорциональной скорости: F = —kv. Исследовать
возможные режимы движения электрона и вычислить
удельную проводимость такого проводника. Выяснить
173

физический смысл результатов, получающихся в об-
области слабого и сильного электрических полей.
7.61. При не слишком высоких давлениях гелий
остается жидким вплоть до температуры Г = 0. Так
как изотоп 3Не имеет полуцелый спин (см. зада-
задачу 7.16), к нему применим принцип Паули, и атомы,
составляющие жидкий гелий-3, подчиняются стати-
статистике Ферми и в этом отношении ведут себя подобно
электронам в металле. Определить температурную за-
зависимость молярной теплоемкости С(Т) жидкого ге-
лия-3 при низких температурах и оценить числовое
значение коэффициента в этой зависимости, полностью
пренебрегая межатомным взаимодействием. Объем
моля жидкого гелия при нормальном давлении равен
V = 37 см3/ моль.
VIII. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 8.1. Элементарные частицы
8.1. Пользуясь кварковой моделью, определить, из
каких кварков состоят протон, нейтрон, Я-гиперон.
8.2. Построить кварковую схему положительно за-
заряженного пиона и положительно заряженного каона.
8.3. Построить кварковую схему нейтрального
каона.
8.4. Построить кварковую схему S0- и Л°-гиперона.
8.5. В результате аннигиляции кварков qu-\-qu
возможно образование пары мюонов (г+ + (г\ При
соударении каких заряженных мезонов с протонами
можно ожидать появления мюонных пар?
8.6. Какая частица обязана образоваться одновре-
одновременно с К°-мезоном при соударении я~-мезона с про-
протоном в двухчастичной реакции?
8.7. Возможны ли следующие схемы распада ча-
частиц и если нет, то по какой причине:
1) й"-*Л° + я"; 2) 3~-*п + я~;
3) п -> р + Ц" + V 4) п -> р + е~ + V
5)p^n+ + V- 6) Q-^S' + H"?
8.8. «Экспериментом века» недавно называли опы-
опыты по определению времени жизни протона. Теория
предсказывала, что протон распадается на пион и
174

лептоны со временем жизни т ~ Ю3' лет. Оценить,
какую массу т.ре вещества железа необходимо исполь-
использовать, чтобы за время эксперимента t = \ год заре-
зарегистрировать N = 10 распадов.
8.9. В Серпухове начато создание уникального
ускорительно-накопительного комплекса (УНК), вклю-
включающего кольцевой ускоритель протонов на энергию
U7 = 3-lO12 эВ и накопительное кольцо для осущест-
осуществления встречных пучков протонов, ускоренных до
такой же энергии. Найти, какие из самых тяжелых
ядер и антиядер могут образоваться в реакции р + р
при соударении протона с энергией lt?p = 3-1012 эВ
с неподвижным протоном и на встречных кольцах
УНК.
8.10. В 1983 г. были открыты бозоны W+ и W~.
В одном из первых обнаруженных распадов
W~ —>e~ + ve наблюдался след электрона с энергией
W = 58,5 ГэВ и углом вылета его относительно на-
направления движения распадной частицы 0 = 45°. Оце-
Оценить минимальное значение массы mw_ W~-6o3OHa.
8.11. В 1983 г. был открыт Z°-6o3oh. При анализе
его распада Z°->n+-j-^~ найдены два следа мюонов
с импульсами р = 85 ГэВ/с при угле разлета 6 = 70°.
Найти массу и скорость 20-бозона.
8.12. В 1984 г. была обнаружена новая |-частица
как продукт распада покоящейся Y-частицы в реакции
Y->! + ?. причем энергия у-кванта оказалась равной
№Y = 1072 МэВ. Найти массу и скорость ?-частицы,
если масса покоя Y-частицы равна тус2 = 9460 МэВ.
8.13. В 1974 г. была открыта новая элементарная
частица, названная чармонием, //ijj. В одном из опы-
опытов были зарегистрированы продукты ее распада «на
лету»: //i|)-»-e+ + e~. Найти массу и скорость чар-
мония, если энергии и электрона, и позитрона были
равны № = 3,1 ГэВ, а угол разлета между ними со-
составил 0 = 60°.
8.14. В 1976 г. были получены первые указания о
существовании заряженной «очарованной» ЛГ-части-
цы, распадающейся по схеме
Л<Г -> Л° + л~ + я+ + я~.
Найти кинетическую энергию WK, уносимую продук-
продуктами распада Л^-частицы в системе ее покоя.
175

8.15. Определить, выше какой минимальной энер-
энергии U^min встречных электрон-позитронных пучков,
имевших одинаковую энергию, могут рождаться «кра-
«красивые», т. е. В-частииы. Их масса равна твс2 =
= 5300 МэВ.
8.16. Определить пороговую энергию Ш;11ор рожде-
рождения пары 2-гиперонов при облучении протонами жид-
ководородной мишени.
8.17. Найти, чему равно наибольшее число пионов,
которое может быть образовано при столкновении
протона с энергией U?p = 5 ГэВ с покоящимся про-
протоном.
8.18. Оценить пробег протона до ядерного взаимо-
взаимодействия в жидководородной камере. Плотность водо-
водорода равна р = 0,07 г/см3.
8.19. Определить максимальную энергию Wmax
электрона при распаде покоящегося мюона.
8.20. Определить в лабораторной системе мини-
минимальную и максимальную энергии электрона, обра-
образованного при распаде мюона, имевшего энергию
10,5 ГэВ.
8.21. Определить время жизни т мюона, образо-
образовавшегося при распаде положительно заряженного
каона. До распада каон покоился.
8.22. Нейтральный пион распался на два укванта
с энергиями U7[ = 3,l и U72 = 2,0 ГэВ. Найти угол
разлета 0 между квантами.
8.23. Оценить, при какой энергии W ультрареляти-
ультрарелятивистского заряженного пиона его пробег до распада
равен пробегу до ядерного взаимодействия в воздухе
при плотности р = 10~5 г/см3.
8.24. D°-Me3OH распадается на лету на К+ и я~-ме-
зоны. Расстояние от точки его рождения до точки
распада равно L = 90 мкм. Импульсы каона и пиона
равны рк = 3,6 ГэВ/с и ря = 1,8 ГэВ/с и направлены
под углами 0К = 1О° и 0П=2О° к направлению им-
импульса О°-мезона. Определить массу, скорость и время
жизни С-мезона. Считать каон и пион ультрареляти-
ультрарелятивистскими.
8.25. При распаде «на лету» й~-гиперона
(Q~->A°+ K~) измерены импульсы частиц распада
Ра =5,7 ГэВ/с и рк=2,0 ГэВ/с и угол разлета
между ними 0 = 28,5°. Определить массу Я--гиперона.
8.26. За распадом остановившегося в ядерной фо-
фотоэмульсии К+-мезона по схеме К+->я++л;0 после-
176

довал распад я°-мезона по схеме я0 -> у -\- е+ + е~,
причем вершина пары е+ — е~ находилась на расстоя-
расстоянии L = 0,l мкм от места остановки К+-мезона. Оце-
Оценить собственное время жизни я°-мезона из этих
данных.
8.27. Какова средняя длина пути L до распада
Л-гиперона в воздухе, если его энергия Wл = 7 ГэВ?
8.28. Коллимированный монохроматический пучок-
заряженных Пионов, энергия которых И?л = 10 ГэВ,
вследствие распада постепенно превращается в пучки
мюонов и нейтрино. На каком расстоянии L от об-
области формирования пучка число образовавшихся
мюонов в 1,7 раз превышает число пионов?
8.29. Заряженный пион, имеющий энергию Wn =
= 420 МэВ, распадается на лету на мюон и нейтрино.
Определить энергию мюона ]Х/и в лабораторной си-
системе, если в системе покоя пиона мюон вылетел под
углом 90° к направлению полета пиона.
8.30. Оценить примесь мюонов в слабо коллими-
рованном пучке заряженных каонов на расстоянии
L = 10 м от места формирования пучка каонов. Каоны
в пучке имеют энергию W = Ъ ГэВ. Выходом мюонов
из пучка в процессе распада пренебречь.
8.31. Для получения пучков пионов на ускорите-
ускорителях на пути пучка ускоренных протонов ставится тон-
тонкая мишень. В мишени генерируются мезоны. Опре-
Определить число пионов Nn, образовавшихся в мишени
в секунду, если на расстоянии 1 = 5 м от мишени ре-
регистрируется число пионов, равное п = 5-102 с-1. Ре-
Регистрация осуществляется детектором, площадь кото-
которого равна 5 = 100 см2. Энергия пионов равна Wn =
= 500 МэВ. Считать, что из мишени пионы вылетают
изотропно, т. е. равновероятно под любыми углами.
8.32. В процессе рождения на внутренней мишени
мезонов с импульсом р = 2 ГэВ/с, число пионов пп
превышает число каонов «к в 100 раз. Найти отноше-
отношение их чисел Nn/Nn на расстоянии / = 50 м от ми-
мишени.
8.33. Определить пороговую энергию Wnop для ре-
реакции ve + р -> п + е+.
8.34. В некоторых опытах по измерению времени
жизни протона используются протоны, упакованные в
атомные ядра, например ядра атомов железа. Произ-
Производится поиск продуктов распада для одной из воз-
возможных мод, в частности р->е+ + я°. Оценить
177

характерный угол 0 между импульсами продуктов
распада с учетом фермиевского импульса протона в
ядре pp.
8.35. Найти угол 0 между импульсами ^-квантов —
продуктов распада нейтрального пиона, который сам
образовался при распаде покоящегося протона на пози-
позитрон и пион. Считать импульсы ^-квантов одинако-
одинаковыми.
8.36. В одном из экспериментов со встречными
пучками электронов используются два одинаковых
накопительных кольца, в которых пучки ультрареля-
ультрарелятивистских частиц движутся в проти-
противоположных направлениях, сталкива-
сталкиваясь друг с другом на длине взаимо-
взаимодействия / = 0,5 м (рис. 8.1). Система
счетчиков, окружающих область взаи-
взаимодействия, установлена так, что она
регистрирует одно из 10 событий (е =
= 0,1) взаимодействия частиц. Пло-
Площадь сечения циркулирующих пучков
в кольцах равна 5 = 5 мм2, эффек-
эффективное сечение взаимодействия двух
соударяющихся частиц а=10-5 б.
Найти циркулирующий ток /, который
нужно накопить в каждом кольце,
чтобы системой счетчиков наблю-
наблюдать число отсчетов не менее ~К= 10 с-'. Считать, что
плотность числа частиц вдоль орбиты постоянна.
8.37. Во сколько раз уменьшается пороговая ки-
кинетическая энергия протона при генерации пары про-
протон и антипротон, если в качестве мишени использо-
использовать не покоящийся протон жидкого водорода, а про-
протон, входящий в состав тяжелого ядра.
§ 8.2. Структура ядра и ядерные реакции
8.38. Исходя из формулы Вейцзеккера оценить по-
поверхностное натяжение ядерного вещества.
8.39. С помощью формулы Вейцзеккера найти за-
заряд Zo наиболее устойчивого ядра — изобары при за-
заданном нечетном значении зФ. Выяснить, каков харак-
характер активности у ядра 27Mg.
8.40. С помощью полуэмпирической формулы
Вейцзеккера найти минимальное значение параметра
Z2/j^, при котором становится энергетически возмож-
178

ным деление ядра с четным М- и Z на две одинаковые
части.
8.41. На рис. 8.2 изображен спектр низколежащих
возбужденных уровней ядра 234U, где И? — энергия
уровня, ,?? — момент им- „
пульса. Показать, что эти ' g
уровни соответствуют воз-
возбуждению вращения ядра
как целого относительно оси
симметрии ядра. Оценить
из этих данных момент ^з 4
инерции / ядра.
8.42. Предполагая, что 43 2
нуклоны внутри ядра дви- 0 О
жутся независимо в пара- Рис. 8.2
болической потенциальной
яме, определить число нуклонов п, которые могут рас-
располагаться на трех первых ядерных оболочках.
8.43. Полагая, что перед а-распадом в ядре обра-
образуется самостоятельная а-частица, оценить отношение
интенсивностей &\l&i двух групп а-частиц с кинети-
кинетическими энергиями U?i = 6,3 и И72 = 5,7 МэВ, испу-
испускаемых ядрами 220Rn. В обоих случаях частоту уда-
ударов о «стенку» потенциального барьера считать оди-
одинаковой.
8.44. Оценить период полураспада хщ четно-чет-
четно-четного радиоактивного ядра, испускающего а-частицы
с энергией 1 МэВ, если ядро 2goTh имеет период рас-
распада ti/2 = 1,4 -1010 лет и испускает а-частицы с энер-
энергией 4 МэВ, а для ядра^Ро период полураспада ра-
равен т,/2 = 3- Ю-7 с и Wa = 8,8 МэВ.
8.45. При радиоактивном распаде 60Со испускается
электрон, спин которого параллелен импульсу. Оце-
Оценить, на какой угол ф повернется диск, подвешенный
на нити, если образец кобальта нанесен на одну из
поверхностей диска. Толщина диска достаточна для
полного поглощения в нем электронов, вылетающих
в сторону диска. Активность препарата равна 0,3 ТБк
модуль кручения нити равен f= 10~" Н-см/рад.
8.46. Образец тефлона (полимера с химической
формулой (GF2)n, где п — целое число) намагничи-
намагничивается в магнитном поле с индукцией В = 2 Тл при
температуре Г = 0,05 К. Намагничивание обусловлено
расщеплением основного состояния ядра фтора '9F
179

в магнитном поле на два подуровня. При выключении
поля образец получает момент импульса .?? = 24,2Х
X Ю~6 г-см2/с (аналог эффекта Эйнштейна —
де Гааза в ферромагнетиках). Определить магнитный
момент ц ядра фтора,
8.47. Толстая мишень, содержащая п ядер/см3,
облучается а-частицами. Зависимость дифференциаль-
дифференциального выхода исследуемой реакции от энергии а-частиц
в интервале 1 — 10 МэВ оказалась квадратичной:
dr\/dW = c)X/2. Определить приближенно характер за-
зависимости эффективного сечения реакции от энергии
a(W). При этом в выражении для ионизационных
потерь энергии пренебречь логарифмическим и реля-
релятивистским членами, т. е. положить dW/dx = A/W,
где А = const.
8.48. Хорошо сколлимированный пучок 7"квантов
с энергией U7v = 250 МэВ падает на мишень, содер-
содержащую дейтерий. Вследствие фоторасщепления дей-
дейтерия вторичный пучок содержит нуклоны. Оценить
средний угол разлета ф нуклонов после реакции. Ра-
Радиус ядра дейтерия приблизительно равен п «
ж 2-10-13 см.
8.49. Один из перспективных методов получения
новых изотопов — синтез тяжелых ядер с их после-
последующим распадом. Найти пороговую скорость v ядер
урана, бомбардирующих урановую мишень, для ре-
реакции
238» т I 238т т 476V у v
92U T 92U —> 184-Л —>iAj.
8.50. Определить энергии И7П нейтрона и ядра W*
6Li, образующихся при фоторасщеплении ядра 7Li под
действием v-кванта с энергией U?Y = 15 МэВ, если
нейтрон вылетает «вперед», т. е. по направлению
пучка -у-квантов.
8.51. При какой кинетической энергии WK нале-
налетающего протона на покоящийся протон в реакции
Р + р-»- d + я+ некоторые из возникающих пионов по-
покоятся в лабораторной системе?
8.52. Найти среднее эффективное сечение а ре-
реакции а + 1зА1 -> р + uSi. Известно, что при облуче-
облучении толстой алюминиевой мишени а-частицами с энер-
энергией 8 МэВ выход протонов равен г) = 8-1(Н\ Длина
пробега а-частиц в воздухе равна /а = 7,0 см.
8.53. Оценить эффективное сечение о взаимодей-
взаимодействия ультрарелятивистского нейтрона с ядром урана.
180

8.54. В урановом реакторе мощностью Р = 1 МВт
образуется в среднем п = 6 антинейтрино на один акт
деления ядра урана. Энергия антинейтрино Wv =
= 1,5 МэВ. Реактор окружен биологической защитой
(бетон). Оценить поток антинейтрино /v за биологи-
биологической защитой на расстоянии L = 5 м и долю энер-
энергии г), уносимой антинейтрино из реактора.
8.55. Для получения термоядерной энергии много-
многообещающей является реакция соударения двух дейто-
нов. Реакция может происходить по двум каналам.
Определить продукты реакции в обоих случаях. В ка-
каком из них выделяется больше энергии и насколько?
8.56. Какая энергия W выделится в реакции d -f- t?
Какое количество теплоты Q будет получено при сго-
сгорании 1 кг такого топлива?
8.57. Согласно современным представлениям на
Солнце осуществляется звездный углеродный цикл,
в результате которого из четырех протонов образуется
а частица. Конечной реакцией этого цикла является
реакция р -f- I5N -*¦ 12С + 4Не. Оценить, какая доля
энергии т) от полной энергии цикла выделяется в ука-
указанной реакции.
8.58. Определить максимальную кинетическую
энергию нейтронов Ц7тах, возникающих в реакции
t 4- d —> n 4- гНе под действием трития t, который сам
получается при поглощении медленных нейтронов в
6Li согласно реакции n + 6Li -> t -f- ос.
8.59. Концентрация дейтерия в реакторе поддер-
поддерживается на постоянном уровне с помощью внешнего
источника дейтонов. Найти мощность Р, выделяемую
в 1 см3 плазмы, и полный поток частиц У от внешнего
источника, необходимый для стационарной работы ре-
реактора. Температура плазмы составляет 60 кэВ, кон-
концентрация дейтерия пй = 2,5-1013 см-3.
Указание. При такой температуре среднее зна-
значение произведения сечения реакции а на скорость
частиц равно oVdd = 2,5 ¦ 10~'7 см3 ¦ с
О
р
8.60. Оценить радиус R плазменного шара из дей-
дейтерия, при котором термоядерная реакция станет са-
самоподдерживающейся. Предполагается, что основные
потери энергии плазмы — потери на излучение через
поверхность. Концентрация дейтерия равна «j =
= 3,0-1020 см-3, температура Г=10кэВ, audd =
= КГ20 см3, с.
181

Указание. Плазму можно рассматривать как
черное тело, непрозрачное для излучения.
8.61. Оценить минимальное значение силы тока
Imin, который необходимо пропустить вдоль плазмен-
плазменного столба радиусом R = 5 см для удержания его
в равновесии. Концентрация плазмы равна п =
= 7-1015 см-3, температура Т = 3-107 К.
8.62. Оценить запас термоядерной энергии W в
1 м3 воды, если использовать 10 % дейтерия, содер-
содержащегося в воде, для осуществления реакции d -f- d.
Число атомов дейтерия в природной смеси изотопов
равно 0,015%!
8.63. Удельное содержание изотопа 14С, усвоен-
усвоенного деревом при его росте, затем уменьшается вслед-
вследствие р-распада. Определить возраст t деревянного
предмета, обнаруженного при раскопках, если
удельная активность МС этого предмета состав-
составляет 0,1 от удельной активности свежесрубленного
дерева.
8.64. Быстрые нейтроны, попав в воду, быстро за-
замедляются до тепловых скоростей v = 2 км/с и диф-
диффундируют в ней, пока не захватятся ядрами водо-
водорода (захватом кислородом можно пренебречь). Оце-
Оценить время жизни т нейтронов в воде. Сечение захвата
равно а = 0,3 б.
8.65. Определить, во сколько раз уменьшается ин-
интенсивность узкого пучка тепловых нейтронов после
прохождения пластинки Al толщиной d = 3 см. На
выходе из пластинки регистрируется пучок первона-
первоначальной ширины. Сечение рассеяния и поглощения
равно а = 2,5 б.
8.66. Два цилиндрических стержня с одинаковыми
диаметрами, один из графита, другой из висмута, сов-
совмещены основаниями. Через открытый торец графи-
графитового стержня вдоль оси стержня падает поток теп-
тепловых нейтронов. Полагая рассеяние нейтронов в гра-
графите и висмуте брэгговским, оценить, во сколько раз
средняя кинетическая энергия нейтронов WK, выхо-
выходящих из висмутового цилиндра через его боковую
поверхность, меньше энергии падающих нейтронов
Wo. Максимальное расстояние между кристалличе-
кристаллическими плоскостями для графита dc = 33,5 нм и для
висмута dBi = 40,5 нм. Длина стержней много больше
их диаметров, которые сравнимы со средним пробе-
пробегом нейтронов.
182

8.67. Определить отношение начальной кинетиче-
кинетической энергии частиц дейтериевой плазмы, нагретой до
Т = 109 К, к энергии, выделившейся после «выгора-
«выгорания» всего дейтерия в результате реакции термоядер-
термоядерного синтеза.
8.68. Оценить, какая доля протонов космического
излучения дойдет до поверхности Земли, не испытав
ядерного взаимодействия. Сечение ядерного взаимо-
взаимодействия протонов с веществом атмосферы прибли-
приближенно можно считать равным геометрическому сече-
сечению ядер азота.
8.69. Оценить пробег /N ультрарелятивистских ядер
азота до ядерного взаимодействия в жидководород-
ной камере.
8.70. Ядерные реакции, проходящие на Солнце,
можно изучать, измеряя поток нейтрино от Солнца.
Нейтрино с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт
(эти нейтрино образуются при распаде ядер 8В па
заключительной стадии превращения водорода в ге-
гелий) детектируются в реакции
Сечение такой реакции, усредненное по энергетиче-
энергетическому спектру рассматриваемых нейтрино, равно а =
= 1,4-10~42 см2. Считая, что в секунду Солнце испу-
испускает число нейтрино, равное iVv = 3-1033 с-', опреде-
определить, какова должна быть масса m четыреххлористого
углерода СС14 (естественной смеси изотопов), чтобы
в нем за время t=\ год произошло п = 100 актов
образования атомов ?аАг. В естественной смеси изо-
изотопов хлора содержится т) = 25 % (по весу) ядер 37С1.
8.71. Считая, что сечение взаимодействия нейтри-
нейтрино с нуклонами ovn (в см2) зависит от энергии W4
нейтрино (в ГэВ) как avp = AWv, где коэффициент
А = 10~35 см2/ГэВ, оценить энергию Wv нейтрино,
необходимую для его эффективного поглощения
Землей.
8.72. Оценить, насколько толща Земли ослабляет
поток нейтрино, приходящих с противоположной сто-
стороны земного шара. Усредненное по энергетическому
спектру сечение поглощения нейтрино на атомных
ядрах грунта равно а « 10~35 см2, средняя плотность
грунта р = 5,5 г/см3, эффективная атомная масса
^ = 50.
183

8.73. Определить кинетическую энергию WK про-
протона, если при движении в азоте он начинает испу-
испускать свечение Вавилова — Черепкова при давлении
р = 5,0 МПа и выше. Показатель преломления азота
при нормальном давлении равен п = 1,0003.
8.74. С какой относительной скоростью v надо
сближать кристаллический источник, содержащий воз-
возбужденные ядра |9Чг (энергия возбуждения W =
= 129 кэВ), с мишенью, содержащей свободные ядра
19Чг, чтобы наблюдать максимальное поглощение
¦у-квантов в мишени?
8.75. В цилиндрическом пропорциональном счет-
счетчике пучок частиц образует объемную ионизацию.
Оценить время t собирания ионов в таком счетчике,
наполненном при нормальном давлении. Радиус ка-
катода равен R = 1 см, радиус анода г = 2-10~2 см,
разность потенциалов между анодом и катодом U =
= 2500 В, подвижность положительных ионов аргона
ц = 1,4 см2/(В-с).
8.76. Для фокусировки протонов высоких энергий
можно использовать цилиндрическую токовую линзу,
представляющую собой аксиально-симметричный га-
газоразрядный промежуток (длина / = 0,5 м, однород-
однородная плотность тока / = 103 А/см2). Частицы входят
в линзу параллельно линиям тока, а после выхода из
нее фокусируются. Считая линзу тонкой, найти ее фо-
фокусное расстояние F. Энергию
протонов принять равной W9 =.
= 12 ГэВ.
8.77. Один из самых совре-
современных методов определения
времени жизни нейтронов по
отношению к р-распаду со-
состоит в измерении числа про-
протонов, образующихся при про-
Рис. 8.3 лете медленных нейтронов че-
через промежуток а фокусирую-
фокусирующей системы детектора протонов Д (рис. 8.3). НаЙ1и
число протонов Л/р, поступающих на детектор, если
длина промежутка, в котором протоны распадаются,
равна а = 20 см, поток медленных нейтронов ]„ -=
= 1013 см~2-с~', скорость нейтронов и = 2 км/с, эф-
эффективность сбора протонов 100 %.
8.78. Много лет тому назад в урановом месторож-
месторождении в Окло (Габон, Африка) «работал» природный
184

ядерный реактор на уране-235. Из массы М — 200 т
имевшегося там урана выделилась энергия W =
= 3,6- 105 ТДж. Оценить, какая часть массы урана-235
ДУИ/М была при этом израсходована, если его началь-
начальная концентрация составляла по = 3,5%. Время «ра-
«работы» реактора много меньше периода полураспада
урана. Энергию, выделяющуюся при делении ядра
урана-235, принять равной НРП = 200 МэВ.
8.79. Естественный уран состоит из 99,3 % изотопа
урана-238 и 0,7 % урана-235. При обогащении смеси
изотопов ураном-235 до 3 % возможна цепная реакция
деления. Какое время t тому назад такой природный
реактор мог «загореться»?
8.80. Под действием нейтронной компоненты кос-
космического излучения на поверхности Земли из ура-
урана-238 образуется плутоний-239. Считая, что поток
космических нейтронов равен /„ = 1 м-2-с-' и эффек-
эффективное сечение захвата нейтронов ядром урана равко
я = 3 б, определить отношение концентрации плуто-
ния-238 и урана-238 при временах t » xV2 от начала
облучения (xi/2 — период полураспада плутония).
8.81. Ядра кислорода 16О облучаются пучком про-
протонов с импульсом р = 10 ГэВ/с. Отбираются такие
события, когда в результате реакции
р + 16О -у |6О* + р
возбужденные ядра кислорода 1бО* с энергией воз-
возбуждения, равной W = 1 МэВ, вылетают в направле-
направлениях, практически пер-
перпендикулярных пучку, и
испускают монохромати-
монохроматические Y"KBaHTbI вдоль
ФЭЯ
Рис 84
Рис, 8.5
траектории ядер кислорода (рис. 8.4). Детектор
¦у-квантов регистрирует две линии, расстояние между
IS5

которыми All? = 200 кэВ. Оценить импульс ро> выле-
вылетевших ядер кислорода и малый угол а, на который
отклоняются протоны.
8.82. В реакторах, работающих на тепловых ней-
нейтронах, имеются очень медленные ультрахолодные
нейтроны (УХН). Особенностью УХН является то, что
при скоростях v < огр (обычно граничная скорость
t'rp л; 10 м/с) нейтроны упруго отражаются от стенок
при любых углах падения. Для вывода УХН из реак-
реактора используют полые трубы — нейтроноводы. На
рис. 8.5 изображен реактор Р, нейтроновод специаль-
специальной формы и на его конце—детектор нейтронов Д.
Полагая, что распределение нейтронов по скоростям в
реакторе максвелловское (при температуре Т ~
~ 400 К), найти, как зависит поток нейтронов, дохо-
доходящих до детектора, от высоты его поднятия h. Оце-
Оценить высоту /irp, на которой поток нейтронов исчезает.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I. МЕХАНИКА
§ 1.1 Движение материальной точки
1.1. Направим ось координат х нормально к поверхности ра-
ракетки, а ось у— параллельно поверхности (в плоскости падения)
(рис. 1). Пусть в системе, связанной с Землей, скорость мяча есть
V\(V{x = v\l2, v\y = 3l/2t>i/2), а скорость ракетки—и. Предпола-
Предполагается, что ракетка движется поступатель-
поступательно. Тогда в системе, связанной с ракеткой,
скорость мяча v' имеет составляющие
vlx — v\x ~ их> vly~vly~uy
После столкновения скорость мяча в дви-
движущейся системе
(условие зеркального отражения). Переходя снова к неподвиж-
неподвижной системе, запишем выражения для составляющих скорости v2
мяча после отражения от ракетки:
По условию задачи (v,v2) = 0, т. е.
Решение этого уравнения имеет вид
их= — vix, uu произвольно.
Следует, однако, подчеркнуть, что при ударе ракетки по мячу
условие зеркального отражения выполняется достаточно строго
только в случае нормального падения (в системе, связанной с ра-
ракеткой). Этот случай реализуется при иа = v\y. Поэтому оконча-
окончательный ответ следует записать в виде
187

1.2. атзх = v2/Rm\n = 5 м/с2, amln = o2/flmax = 0.62 м/с2,
где Я,п1п = Ь2/а = 125 м, #„,..,„ = а2/6 = Ю3 м.
* > vV(gRmin) = ОД
1.3. о (t) = о0 cos a — k (do sin i + gt).
1.4. F = mg///? » 1,7 kH.
1.6. F(r)' (ro/r) U^o [(!/')+(l/ro)]exp(ro/r); r,=6 фи.
1.7. Л = (l/2g) {d2— 4/H,.//|npod2(l — cos а)]2} яа 0.6 Л1
1.8. a = 4*ЛЛ//2 » 0,03 рад.
1.9. Ll=2L(l—kh/l)=l,6L, Li = 2L(\ + khll)*=2AL.
1.10. F = mgt (k, + k2)/{2 \l-h (fe, - *2)П-
1.11. Pmnx = P 4- m^ro sin a = 59,6 кВт.
1.12. /=(f/o0)(l 4-m,/2ma).
1.13. Wmlll = (mg/2) \h + (Z.2 + /i2I''] - 34 Дж.
tg a = vy/vx = h/L + (A2 + L2I/2/L = 1,25.
J.I4. a = 30°.
1.15. v fa Wl(mc) fa 3 • 1()~5 м/с
J.16. p x W/c fa 8 • 1O~21 кг • м/с.
'-17- лшах = (°o + gl)/@g)- По параболе.
"т« = ("?/2в) - С/2) [(^/3^0 - 2/3]3.
1-18. /гтах/(«й)= 1 +[i + С^/ЛI1/2 = 6
1.19. v = то„/(/И 4- >n). I = Mvj/[2kg (M + m)].
1.20. t)l=t.C1/2)/4, d2 = (l/4)o.
1.21 rmia = ZeyWKfa-l фи.
1.22. Из закона сохранения энергии и импульса следует
mvl/2 = mo-/2 4- /И«У2 4- Л1и„/2,
отоцггЛ^Иц, то = Ми^,
где u_j_ и Иц — поперечная и продольная составляющие скорости
я^ра. Отсюда вытекает, что Л) > т. Скорости после столкнове-
столкновения равны
о = о0 [(М — тI(М 4- т)]ш, и = (mvo/M) [2М/(М + m)j1/2,
tg <р = [(М - т)/(Л1 4-тIШ-
1.23. Согласно закону сохранения импульса в случае V"Pac"
пада имеем
то г = Wtlc
Здесь т = 226-1,66- Ю7 кг = 3,75-10~25 кг— масса ядра 2MRa,
№2 — энергия у-кванта, которая практически совпадает с полной
энергией, освобождаемой при ураспаде, с — скорость света в ва-
188

кууме. Отсюда для кинетической энергии №К2 ядра отдачи имеем
07к2 = Ц/2/Bтс2) = 0,095 эВ.
В случае а-распада законы сохранения импульса и энергии
запишутся в виде
(т - та) v{ = mava, (m - та) v~/2 + mavl/2 = W{,
где va и и, —скорости а-частицы и ядра отдачи, а та — масса
а-частицы. Отсюда, исключая va, для кинетической энергии УРК1
ядра отдачи получим
«7к1=('па/т)«7, = 87 кэВ.
Окончательно находим отношение кинетических энергий;
1.24. Максимальная энергия, которая может пойти на иони-
ионизацию, соответствует кинетической энергии, потерянной в абсо-
абсолютно неупругом лобовом соударении. Перейдя в систему центра
масс, получим эту потерянную кинетическую энергию:
Д^тах = ^Cs/('«Cs + ™о) = 3.56 эВ,
где mCs и т0 — массы атомов l33Cs и 16О. Энергия &Wmax < Wи
т. е. ионизация невозможна.
1.25. ttrK = f-^i^ ^Л«7>3 МэВ. №, = 3,23 МэВ.
V M )
1.26. W = ^^„оДт,^ — та) — 1,3 МэВ.
1.27. W = Wn (I + mn/mHe) — 2\VD = 3,3 МэВ.
1.28. W = A - mD//nJHe) U7D « 1,08 МэВ.
1.29. f(v, /) = d/= const.
1.30. Г = 2я(Д/?I/2=1,4 с.
1.31. Г = 2 т
1.32. r = 2
1.33. © = D/sg/mI/4.
1.34. ДГ/Г » — 2/1B3й) fa — 10", т. е. ход часов ускоряется.
1.35. WK = WJ4, WKon = й70/4.
1.36. Пусть скорость качелей при прохождении положения
равновесия равна vo и связана с начальной амплитудой <р0 соот-
соотношением v% « glfl (в предположении, что углы отклонения ка-
качелей от положения равновесия малы). Полная энергия качелей
в этот момент равна V^q = гт?й\2, где т — масса человека. После
того как человек резко встал, полная энергия равна
Wt = mv\J2 + mgh « mg (I — h) <p?/2 + mgh,
189

где ф1 — новая амплитуда. Изменение полной энергии произошло
за счет работы, произведенной человеком против центробежных
еил и сил тяжести: W{ — W{) « mgh + (mtig//) ft. Сравнивая это
выражение с разностью энергий Й7| и Wo, найденных ранее, по-
получаем
ФA+2А/О или ф[ — ф0 да Зф(,А/B/),
что представляет собой приращение угловой амплитуды за поло-
половину периода. Следовательно, за период искомое приращение уг-
угловой амплитуды равно
Дф
1.37. ДГ/Г т/[2т A + 103)| = — 5 • 10~4.
1.38. Л = .
1.39. Момент упругих сил Jty = —ftp, где ф — угол поворота
диска. Момент сил внутреннего трения в газе
R
r\v(r)r-2nr
Л
О
где о "(г) = фл—скорость точек диска на расстоянии г от центра.
Элементарное интегрирование дает
Лтр = — 2?ф, где к = яг1#4/DЛ).
Как видно, при возрастании А момент сил трения Лт? быстро
убывает. Это позволяет в первом приближении не учитывать тре-
трение на верхней поверхности диска.
Уравнение движения диска имеет вид
) = 0.
Здесь S/ = тЩ2 — момент инерции диска. Будем искать реше-
решение этого уравнения в виде
Ф = Фо ехр (— vO exp (± ia>t).
Тогда получим
у = kISf, о) =
где Т—период колебаний. Логарифмический декремент затухания
о = уТ
следовательно,
1.40. Для простоты оценок пренебрежем жесткостью покрыш-
покрышки и камеры и предположим, что деформацию мяча можно харак-
190

теризовать только одним параметром х (рис. 2), много меньшим
радиуса мяча R (слабый удар). Тогда с хорошим приближением
можно считать, что избыточное давление р в мяче в течение уда-
удара сохраняется постоянным. При этом сила, действующая на мяч
со стороны стенки, F = pS E — площадь
поверхности соприкосновения мяча и стен-
стенки), может быть представлена в виде
F = рял2 « 2npRx.
Поскольку сила F оказалась пропорцио-
пропорциональной деформации мяча х, уравнение дви-
движения мяча у стенки имеет вид уравнения
колебаний:
х + &2х = 0, а2 = 4кг/Тг = 2KpR/m, Рис. 2
где ш — масса мяча. Время столкновения t равно половине пе-
периода колебаний, т. е. / « Bnm/pRI/а. Беря для оценок m =
= 0,5 кг, р= 105 Па, R = 0,1 м, получим t « 2-10-2 с.
1.41. Угол ф поворота маятника удовлетворяет уравнению
Зф + /Ф = °. гДе f — я0О4/C2/) — модуль кручения нити. Со-
Согласно закону сохранения момента импульса начальные условия
имеют вид
ф@)=0, 9tp @) = 2WL/c,
где W — энергия, излученная' квантовым генератором. Решение
уравнения движения можно представить в виде
ф = ф0 sin COtf,
где фо = ф(О)/(», со = (f/2?)il2. Для чувствительности r\ = 2q>0/W
получим
т] = 4L/(a>c$).
Отсюда найдем период колебаний;
Т = 2я/ю = ксг\У/BЦ = 19 с.
Далее, поскольку Т = 2яC7/)|/2, имеем
d = 4(я^//2ОГ2I/4 = 22 мкм.
§ 1.2. Реактивное движение. Гравитация
1.42. ц =
1.43. А = (p/pg) (m/MJ, где р — плотность воды.
1.44. М = Шй ехр (— gt/u), где m.u = m{-\-m2.
< = 470с.
1.45. Выгоднее сначала включить двигатель с меньшей ско-
скоростью газовой струи.
191

1.46. WK = (m0 - ц<) (о2 + vl)/2 = 2,3 МДж, где t =
= Bu/gI/2 = 20c, ов = gt = 200 м/с, or = u In (mo/m) = 275 м/с.
1.47. Д/п/,71 = 1 - exp [—gR3t/u (R3 + o<)] = 86,5 %, где #3—
радиус Земли.
1.48. Дт/m = 1 - exp [- gR3/Buv)] = 95,7 %.
1.49. До = a In [A + a)/(l + a - k)\ = 3,4 км/с.
1.50. um|n==o2[ln(l +a)/(l +a-fe)(l — fe)] = 2,8 км/с.
1.51. |o|=2u.
1.52. Сила, действующая на пробный груз массон т со сторо-
стороны Земли, равна
F=[Gm Dя/3) PaRl]/R\ = Dя/3) Gp3R3m,
где G — гравитационная постоянная, рз—средняя плотность, а
Rs — радиус Земли. Изменение этой силы в связи с приближе-
приближением свинцового шара радиусом Re равно
AF = Dя/3) GpcRcm,
где рс = 11-103 кг/и3—плотность свинца. Для измерения грави-
гравитационной постоянной с заданной погрешностью б необходимо,
чтобы
AF/F>tj/6=10-6, или Rc>\Q~6R3p3/pc^3u:
масса свинцового шара должна быть больше 103 т.
1.53. Пусть nil и т2—массы компонент двойной звезды, 1\ и
h — соответственно расстояния от их центров до центра масс и
«1 и иг—их скорости. Тогда, предполагая для простоты, что дви-
движение происходит по круговым орбитам, для частоты обращения
о получим
со = о,//, = о2//2 = (о, + v2)/L,
где L = I, + /2, со = 2к/Т.
Из рассмотрения сил, действующих на компоненты звезды,
вытекает, что
Далее легко получить, что G (гп{ + /щ) = 4я L Т
Аналогично для системы Солнце — Земля (масса Земли М3
пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца Мс) получим
GMC = 4я2/,|Т^2, где Т3 — 1 год, а расстояние от Земли до
Солнца равно, по определению, Z-з = 1 а. е. Таким образом,
Л1 = т, + т2 = Мс (Г3/ГJ (L/L:if = (8/9)Мс.
192

1.54. Г = 2л [(L2 - 12K/2GML C/.2 + 12)]Ш = 93 мин.
1.55. ДГ/Г = (И — 2h)jDRs) та 8 ¦ К)".
1.56. Поскольку период колебаний маятника Г оо g-]'2, то
ДГ/Г = Ag/Bg), где Ag—поле тяготения, создагаемое грунтом,
вынутым из тоннеля. Считая тоннель достаточно длинным, не-
нетрудно найти Д§, используя теорему Гаусса. В результате имеем
Д.? = 2яОрАJ/#.
Численная оценка приводит к результату АТ/Т та 10~7.
1.57. р (г) = Bя/3) pV/ (Л^ — г2) р @) як 0,2 ТПа.
1.58. а — V = [vl 4- 30 (Af + m)//?]1/2.
1.59. Если космонавт и спутник летят по одной и той же
орбите, то сила натяжения шнура F = 0 Эта сила максимальна,
когда космонавт, спутник и центр Земли находятся на одной пря-
прямой (рис. 3). Период обраще- ~. ^
ния Т системы спутник—космо- f У, . I г ,
навт около Земли связан с ра- / \ м\ I _^
диусом R орбиты центра масс V I ^ I J/C Т
этой системы соотношением \^^ \У ' I
= GMjR2, рис з
где М . — масса Земли. Для удержания космонавта iuj ч;)оите
радиусом R + Д/? необходима дополнительная сила F, определяе-
определяемая из условия
4л" (R + hR)IT'i=\GM.iHR + AR)!] + F/m.
Отсюда с точностью до членоп порядка (ARIRO име?м
') 2 • 1(Г!Н
(здесь учтено, что массы спутника М и космонавта in много мень-
меньше М\, и так как М ~> ш, то Д# ~ /) Такая же сила натяже-
натяжения потребуется для удержания космонавта, расположенного ме-
между спутником v Землей. В заключение отметим, что гратшта-
ционная сила притяжения космонавта к спугничу на шесть поряд-
порядков меньше F.
1.Я0. МЛ11ЛЯ с* (LyjR ,K (Г:!/ГмJ » о.П
где Т j = 2я (/?.;;/ff)l/2, ?.,, = A/2) ARA + а + Ь).
1.61. t = k(R (/яI/2 = 42 мин.
1.62. v ¦-= <и„/2) П -Ь '2 соз A80° — ф)].
1.63. 7 = 1,2- П~ ! с
7 Сборник jjaj4 по физике 193

1.64. Уравнение движения ракеты в поле притяжения Луны
имеет вид
т (dv/dt) — mgn + (dm/dt) и.
Интегрирование его по времени / дает (?л — ускорение свобод-
свободного падения на поверхности Луны)
где tn(t\) масса ргкеты после работы двигателя в течение интер-
интервала времени t\. Таким обра.чом, искомый запас топлива равен
1.65. Да = »3 {[2^,-.д/(^а + ^-vi)] — 1} « 3 км/с, где о3 -
средняя скорость движения Земли по орбите.
1.66. До = (й, — А2) g1/2/DJ?!/2) да 47 м/с,
1.67. Fconp = Spv2 = 0,5 мН.
До = 2nN F j(mv) да 0,5 м/с (где а = 8 км/с — скорость
спутника),
ДЯ = — АпНлИЦртМг) я* 0,4 км.
1.68. Время между столкновениями одной и той же звезды
равно 7= lHnau) = u(ctiy/(8nNRcGMc)=2,2 ¦ 1021 с = 7 ¦ 1013 лет,
где Мс и Rc— масса и радиус Солнца, t\ = 1 год, с—скорость
света. В одном кубическом спетовом годе одно столкновение про-
происходит за время tcp = 2T/N = 1.4-10'3 лет.
1.69. v = { [о3 + («о - 4У'2]'' ~ 2с'аУП> гДе V3 ~ средняя
скорость движения Земли по орбите, и2—2-я космическая ско-
скорость.
1.70. При движении в гравитационном поле справедливы сле-
следующие соотношения;
72b~3 = const, 6«7= const,
где 7—период обращения, Ь — большая полуось орбиты, a W —
полная энергия. Отсюда имеем PU73 = const или для малых из-
изменений периода и скорости а получим
ДГ/Г = - 3 bW/BW) = Зпю До/BП7),
где m—масса спутника. Поэтому, учитывая, что IP — отрицатель-
отрицательная величина, для уменьшения периода обращения нужно умень-
уменьшить скорость спутника (Да < 0) Тогда он перейдет на эллипти-
эллиптическую орбиту с меньшим значением Ь и через п. оборотов опе-
опередит свое первоначальное положение на круговой орбите на рас-
расстояние
L = — nv ДГ = 3nmv27 Да/B№) = — ЪпТ Да
(здесь мы учли, что для круговых орбит W = —та2/2). Увели-
Увеличив затем скорость спутника на —До, можно снова перевести его
194

на исходную круговую орбиту, и относительная скорость спут-
спутников станет раиной нулю
Определив п и Ло при L = 45 км и Т = 1,5 ч При п = I
|До 1 > 8 км/ч; при п = 2 |Ди| = 5 км/ч Таким образом, nmin =
= 2, Для стыковки нужно сначала уменьшить скорость отстаю-
отстающего спутника В на 5 км/ч, а через два оборота вновь увеличить
ее до прежнего значения.
1.71. R < 2GM:n /C/гБГ) та 4 • 1022 см, где kB — постоянная
Болышаиа.
1.72. Не сможет, так как
v2 = BGMIR) = 11,5 м/с > опрыжка = Bg3h3I12 = 7 м/с
для Л3 = 2,5 м где g3 и ''ч — ускорение свободного падения
и высота прыжка на Земле.
1.73. Ь/а = I - 2 (Ди/цJ = 0,98.
§ 1.3. Законы сохранения энергии, импульса
и момента импульса.
Неинерциальные системы отсчета
1,74. S =
1.75 /1=/2(m2/mlI/2.
1.76. Oa = (gA/3), t>H
1.77. На Землю упадет весь рой.
1.78. N = nR\hn (l + 2gR3/v2) = 7,75 ¦ 10w.
1.79. / я* 2R3(mvlMvO6pJtt\ см. где аорб — орбитальная ско-
скорость спутника.
1.80. * = я [т^к (m, + m2)]1/2, f" = 2f.
Д/ = 2Fm2IW (mx + tn2)].
1.81. (Я _ Яо)/Яо = (a/0 (Я з/г)''2 = 6.
1.S2. tg a = а^/а,, = 2u\/(\,5vn) » 0,9.
1.83. ,Vf//H < 2A — a,/8a) «0,3, где ч0 — орбитальная скорость
станции, а о, = B/3)|/2о0.
1.84. ат 1/2
1.85. 71 ^/|||
ДГ/71 = - бя/чр/g-
1.86. r = [3n/(Gp)]1/2.
1.87. Масса корабля должна уменьшиться от Ма до Mi
М = Мп ехр [— (о2 — о,)/и] « 0,84 Л10.
Температура горения равна Г = и2/Bср) = 3600 К.
Г* 196

1.88. Уравнения для вертикальней и2 и горизонтальной v, со-
составляющих скорости ракеты имеют вид
М6г = — Ми sin ф — gjiM. Mvx = — Ми cos ф.
где М — масса ракеты в момент времени t. gjj— ускорение сво-
свободного падения на поверхности Луны. По условию vz = 0, по-
поэтому из первого уравнения имеем
М = — Mgn/(u sin Ф) = — MIT,
где через Т обозначена постоянная величина, имеющая размер-
размерность времени и равная Т = и sin ф/#л ~ 235 с. Отсюда находим
М=Моехр( — t/T).
Подставляя М и М во второе уравнение, имеем
Время t, необходимое для достижения 1-й космической ско-
скорости о, = (#л<?л)'/2= '-7 км''с' Равио
где /?л — радиус Луны.
Полученное выражение для t справедливо и при ф-»-0. Это
вытекает из условия иг = 0. При ф-»-0 расход массы бесконечно
растет и. следовательно, время разгона до 1-й космической скоро-
скорости стремится к нулю.
Относительное изменение массы ракеты за счет сожженного
горючего
[М @) - М (t)]jM @) = 1 - ехр (- t/T) х 0,35.
Перегрузка космонавтов равна
йэф = (йл + ^) ~ «»* ~ ^л/Ф = 1? м/с-
1.89. На круговой орбите радиусом R полная W, потенциаль-
потенциальная Ч7„ и кинетическая W, энергии связаны соотношениями
W = Wn/2 = - WK = - GmM/BR).
После взрыва полная энергия W, оказывается равной
W, = WK + Wn (I -<?) = - (GmMIR) @,5 - <?).
При <7 > 1/2 эта эиер!ич больше нуля и спутник покидает звезду
по гиперболической орбите. При q = 1/2 U7 = 0 и орбита спут-
спутника будет параболой. При q < 1/2 спутник будет двигаться по
эллиптической орбите, в одном из фокусов которой будет нахо-
находиться остаток центральной звезды, а большая полуось b может
быть определена из известного условия
2W,b = -GmM(l -q).
196

Принимая ro внимание выражение для W,, получим
Л = #A — q)l(\ — -hi)
1.9Э. ш, = М \2L2/(L, + Li)\=8M т
,П2 = М{\ -[2L2/(L, + L2)]1/!} = 1.34т.
1.91. ml = M{[2Li{Ll + L2)~'}""+ l}/B!'J - l) = 3.8 т.
mo=M{2!/'-[2I2(^ +^2)-'il/VBl/2+l)}= 1.2 т.
1.92. L = [Г20 (m + 4я/?:)р/3)/Dя-)]1/3 = 1.1 ¦ Ю7 км
1.93. R3-Rnx Юкм.
1.94. / =(od?2 sin qj/o = 23,6 м, где ш3 — угловая скорость
вращения Земли. Не зависит, если пренебречь влиянием центро-
центробежных сил.
1.95. Псо) = 2я/[со0A -m'V;2)]. ' («) = /a/(l - «-@72),
где (Og = 2x/m.
Указание. Пренебречь величинами, пропорциональными w (t).
1.98. a = arctg [я1о/A5,сг)].
I 97. При or < 2v.\in уравнение движения имеет вид
х = / cos сс0/,
где ©о = Bм/т — (о2I'2; при ш2 = 2к/;;г наступает равновесие;
при (о2 > 2м/hi
* = /ch [(ш2 — 2^/m)/l.
1.98. о = 2|/2шЛ'.
1.99. У г» me(//e)(o%R3 sin ф г» 5 • 103 В.
1.100. т/М= Bsin ф — 1)/2 = 0,35.
§ 1.4. Движение твердого тела и жидкости
1.101. с - а « т2Ле?,/B5'@з) = (9/2) {тс/М.^лш ,f с. =
= 1,56 ¦ Ю~|7 м/с. U7K C/Uf;, 3 = 2с/(@3/?3) = 1,3 ¦ 10й,
где ш3 — угловая скорость вращения Земля.
1.102. v » 5й/Dшег0) s; 4 ¦ 1012 м/с > с.
1.103. а = пщЦЧЗ.
1.104. 1) lga>G/2)fe, 2) lg a > E/2) k.
1.105. а = wgr [r sin a — (г + R) « cos ul/fS' ¦-[- mr2).
1.106. а = mgr [r sin a — k (R — ¦) cos a]/ / I rar2).
[.107. a = 2Й (Л1 + m) sin a/[( I/W + 3m)].
[,[08. / = 3 B — It)'2 li/(\&k), где h — высота, на которую бьи
поднят центр масс табуретки.
U09. va^3kR [2g/(R - г)\1'2 к Я,Ъ км/ч.
1.110. ф = arclg [2o*/(gR)}-
1.111. 0 = 4/жо^/ sin ф sin и/Л1 = 1,7 • 10~4 м/с.
197

1.112. /=тах
I.I 13. x^mlkr/ЗГ.
1.114. S? =2от [ша2 — а (<ваI; не запиеит.
1) | F | = та2аг sin a cos a/I.
2) F = m (шд) [ш (шя) — aco2l/(/(o). Здесь F относится
к верхнему креплению.
1.115. <omIn = co//?. ок = (со# — о)/2.
1.116. U7n = р2/B/п), Гв = 5р2?2/Dт). k = 2/5.
1.117. В задаче слгдует различать два случая: 1) tg a = 2fe
при /г < 1/7 (скольжение), 2) tga=2/7 при /г > 1/7 (чистое ка-
качение).
1.118. Ось наклоняется в плоскости гх в сторону х иа угол
относительно оси г, равный
ф= 2/,т.хг„/Уг « 0.04 рад.
1.П9. Q = n3pnQ (RiR2L d^djKRld, +/f^,) = 62 Дж.
1.120. и = 3o2/C2nftg0 » ' об
1.121. ш = 2mxv/{MI2 + Зтх2). где л: = /
1.122. т, = Зт(///,J= D/3) т. Г = 2я (//gI
1.123. t={Bl/g)[[ +^22/^2/т11'B/,-\-ЗГ2)
1.124. t>= (gh/2)i!'2.
1.125. © = тЛ1/?о/[(т + М) Sf].
1.126. р, = р/2.
1.127. (й,/(о2= —3, vjv2= — 5.
1.129. a « 5то sin ф/B/М3#зшз) = 1>27 ' 10~ '? РаД-
1.130. о = — Зчо/7 = — 6 м/с.
1.131. и = Eото0/7М) A - 1/R).
1.132. о = З^ - 14Мci,/E ¦ 3т).
1.133. и7 = A/2)[(тЛ)^)/(УИ + т)+5'тл2ш5/(^Ч-тг2)|, где
?У = B/5) MR2.
1.134. а = BсооЯ sin ф)/7, (о = (@2 + w2). где шг= Bши sin ф)/7,
Ша = @0 COS ф.
1.135. Г = 4я [3 (к/т + 2g//)]~1/2.
1.136. Г
1.137. Г
1.138. Г )
1.139. Г = 2я B6/Зя sin aI/2,
1.140. Г = Bя/й) {М [2Л2 + я2 (D2 + d2)]/[2 (x, + ^)]}1/2.
1.141. При устойчивом равновесии угол между тросом и про-
продолжением радиуса планеты равен 9t = 0, а период малых коле-
19S

баний вокруг него Т = 7УЗ'/5 « 0,9 ч; при 0 = я/2 равновесие
неустойчивое.
1.142. Г = 2я[(Зяг4р/ + 8р,а3)/(9#р,а2)]!/2 = 1,6 с
1.143. Скорость упругих волн vQ = (?ю/Р)''2 = 5 км/с. Для
оценки за время соударения / примем время прохождения волны
от одного торца стержня до другого и обратно, т. е. / « 2llv0 =
= 4-10~5 с. Неупругие явления возникнут тогда, когда в каких-
либо точках стержня давление достигнет р, т. е. потенциальная
энергия, отнесенная к единице объема, достигнет величины
р2Д2?ю). Такими точками являются точки на поверхности сопри-
соприкосновения стержней В этих точках в момент удара вся кинети-
кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию
(отнесенную к тому же объему), Таким образом,
0i,2/2 да Р2/B?Ю),
и, следовательно.
v да р (р?ю)-1/2 = pvo/E[Q = 5 м/с.
1.144. W = 2nR3p2/CK).
1.145. Дг = -/=7/Bй2?ю), ДУ=/ЧA-2ц)/B?ю), где ц-
коэффициент Пуассона.
1.146. дг = 4Я A - ц - 2[12)/[тсс12Ею A - [J.)].
1.147. Относительное изменение объема
где AF= m^pa — рл)/(рар1) (ра — плотность воды, m — масса).
Следовательно, &V/V = {рв — рл)/рв, а максимальное давление
равно
Р = Ею (Р. - РлИ3 С - 2^) Р.] = 2 ГПа-
1.148. r(t/) = r0 [Л/(/г Ч-
1.149. В четыре раза.
1.150. t = (
1.151. i = S()
1.152. Для гравитационных волн скорость а и расстояние L
связаны соотношением и= (gL/2n)il2. Поэтому волновые карти-
картины будут подобны, если все размеры изменить пропорционально
квадрату скорости движения. Следовательно, скорость модели
должна быть равной 3 6 км/ч — I м/с Отметим, что в данной за-
задаче безразмерными параметрами подобия язляккся отношения
и\ь — (gL){l2lv и Lll. [Де а — ско])ость корабля. / — его линейный
размер.
199

1.153. Фазовая скорость поверхностных волн может зависеть
от плотности жидкоеih p, ускорения свободного падения g и дли-
длины вол1!Ы X: v оо pngmkp. Сравнивая размерности левой и правой
частей этою уравнения, получим п = 0, т= 1/2, р= 1/2. Таким
образом, v = A(gXI'2, где А—некоторый числовой безразмер-
безразмерный множитель.
II. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 2.1. Газовые законы. Первое и второе
начала термодинамики.
Термодинамические циклы
2.1. р = (ро/Го) (Vo + V,+ V-2) (Va/T0 + VJTt + V2/T2)-{.
2.2. in = [\.ipaSl/R(T2— 7',) | In (Г2/Г|), где R— универсальная
газовая постоянная.
2.3. Используя первое начало термодинамики, уравнение Мен-
Менделеева— Клапейрона и уравнение процесса (рис 2.1), получаем
С (V) = R (у - I) [у - (у + 1) V/Vo\ [I - WlVa\~\
В точке C(V) =0 прямая па рис. 2 1 касается адиабаты, а в
точке C(V) = оо — изотермы.
2.4. рГ~2/3= const.
2.5. vr'/'V-b exp r_ g7-7B/?)] = const.
2.6. Согласно условию задачи dQ =—dil, где U—внутрен-
U—внутренняя энергия газа. Поэтому теплоемкость С = dQ/dT = —Cv. Ис-
Используя это соотношение, первое начало термодинамики и урав-
уравнение Менделеева — Клапейрона, находим уравнение процесса:
•/T(v-"/2 = const
и выражение для работы внешних сил, затрачиваемой на сжатие
газа от объема Vo до V:
При V=V(,/2 работа равна
2.7. При произвольном уравнении состояния р = p(V, T)
dp = (dp/oV)T dV + (dpldT)v dT.
В изобарическом процессе dp = 0, отношение дифференциалов
dVjdT равно частной прои тодном (дУ/дТ)? и полому
(dp/dVJ
200

Вводя обычным образом
dV \ _ ( др \ _ _ _1_ / дУ
получаем E = у v.~.
2.8. Г=Г0A/2I/4да246К.
2.9. v = 4/3.
2.10. А = (m/ц) RT, [(ТгР\ - 1) - !п (Т2/Т,)] > 0, где ц - мо-
молярная масса газа.
2.11. Г = Го (YBO3/i/YreJ (Игел/Ивозд) « 136 К-
2.12. Обычная формула для скорости адиабатической струи
при истечении в вакуум имеет вид и = BСрГ/ц)'/2, где Ц—мо-
Ц—молярная масса, Ср—молярная теплоемкость при постоянном дав-
давлении. Используя уравнение состояния р = pRT/p. и формулу для
скорости звука s2 = ур/р. получаем v = s[2/(y—l)]'/2.
2.13. Согласно формуле Циолковского mo/m = exp(vjvo), где
«о= BСрГ/(хI/2 — скорость истечения газов в системе ракеты
(см. задачу 2 12) Поэтому
malm = ехр {и, [ц (у - 1 )/ByRT)]11'} да 11,3.
2.14. p = /jo[l + Ж2 {у- l)/2f/<v-"« 160 атм.
2.15. А: = 2 C — 1п 2)/35 да 13 %.
2.16. А: = 50 %.
2.17. Легко видеть, что первое начало термодинамики можно
представить в виде
dQ = (Ср - Cv) (dT/dV)p dV + Су dT.
Действительно, при V = const правая часть превращается в CvdT,
а при р = const, когда dV = @V/c!T)PdT, в CpdT. Отсюда сле-
следует, что для адиабатического процесса
поэтому
CpjCv да 1 +р1/АГ/Л1/= 1,1.
Переходя в первой формуле от переменных V, Т к переменным
р, Т, с учетом тождества
(dT/dV)p (dv/dp)T (др/ат)у = - 1
получаем
dQ = CpdT- (Cp - Cv) (dTldp)v dp.
Отсюда приращение давления равно
Лр да (др/дТ)у (CpjCv) (Ср/Су - l)-i ЛГ да 1,1 ¦ 10" Па.
201

2.19. A =-- NRT (In 2 - 19/24) « - 40 Дж,
/<¦ = (In 2 — 19/24)/(ln 2 + 19/4) « 1,8 %, N — число молей
газа.
2.20. Принимая для разности температур между тропической
и полярной областями ДГ « 50 К, получаем по теореме Карно
/(max = ДГ/Г « 0,16, где Г —средняя температура на поверхно-
поверхности Земли. Отсюда Р = 0,lKmisJw/DnRl) яа 5 Вт/м2, где R3 —
радиус Земли.
2.21. Допустим противное. Изобразим участки политроп А и
В Между двумя соседними состояниями / и 2, в которых поли-
политропы встречаются, и составим из них замкнутый цикл, как
Р\
p
p
Рис 4
показано на рис. 4а. Тогда вычисляя интегралы по этому циклу с
учетом того, что на политропах dQ = CdT, получаем
dS = (С А-С в) In (уТ{). A=§dQ = {CA-CB){T2-Tl).
Здесь Т\ и Тг — температуры в точках / и 2, а Са и Св — тепло-
теплоемкости па политропах Лий. Персый из интегралов аннулирует-
аннулируется, так как энтропия является функцией состояния и поэтому ин-
интеграл от нее по замкнутому контуру равен нулю. Непосредст-
Непосредственно видно, что при этом автоматически аннулируется и второй
интеграл вне зависимости от того, за счет какого фактора обра-
обращается в пуль первый интеграл (Сл = Сн 'или Т\ = Г2). Но так
как работа А равна площади пи pV-диаграмме, ограниченной цик-
циклом, то это означает полнок совпадение кривых А и В.
Если функция Г(р, V) неоднозначна, то это доказательстпо
теряет силу, так как возможна ситуация, представленная на
рис. 46 Здесь в точке р', V обеим политропам отвечают различ-
различные температуры, а ® Р dV аннулируется за счет сокращения ин-
интегралов по двум заштрихованным областям. Что же касается ин-
интегралов по контурам, охв;1тыиаюш.им одну и.з заштрихованных
областей, то ф ^S н ф dA отличны от нуля, так как эти кон-
контуры не отвечают замкнутым циклам.
202

/a,
2.22. Прежде всего надо покачать, что адиабаты всегда идут
круче, чем изотермы. Вдоль адиабаты <iS = 0 и
CvdT + [(dU!dV)T + p]dV = Q,
где U — внутренняя энергия. Согласно известному термодинами-
термодинамическому т'ождесюу выражение п квадратной скобке равно
Г (др/дТ) \ . Подставляя полный дифференциал функции Т =
= T(V,p), учитывая, что выписанное равенство справедливо
вдоль адиабаты 5 = const, и воспользовавшись тождеством из
задачи 2.7, получаем
(dp/dV)s = (dp/dV)T - (TICV) (др/дТJ < (dp/dV)r
т. е. адиабата спускается круче изотермы при произвольном знаке
(dpidT)v. Поэтому в целом никл имеет обычный вид (рис. 5). На-
Направление обхода (по часовой стрел-
стрелке) диктуется исключительно знаком р,
работы А > 0. Из (др/дТ)у< 0 сле-
следует, что «горячая» изотерма Т[ рас-
расположена ниже «холодной» 7Y Вдоль
изотермы dS = (dq/dT)idV, и по-
Э|Ому при движении по нижней изо-
изотерме влево (dV < 0) приращение
теплоты равно dQi = T\dS > 0, т. е.
система получает теплоту. На верх-
верхней («холодной») изотерме система
теплоту отдает.
2.23. Элементарная совершаемая работа dA связана с элемен-
элементарным количеством теплоты dQ2, передаваемым холодильнику,
выражением dA = (Г1/Г2— О^Ог, следующим из теоремы Карно.
Здесь Г| и Ti — температуры нагревателя и холодильника. Теп-
Теплота С?2 состоит из двух вкладов. Первый связан с плавлением
льда, а второй—г, нагреванием воды, образовавшейся при плав-
плавлении льда, от температуры Гпл до Т. Вычисление работы, отве-
отвечающей этим обоим вкладам, дает
Лпах = qN (Т/Тал -\) + NCB[T In (Г/Гпл) - (Т - Тпл)\,
где q— молярная теплота плавления льда,
2.24. Максимальная работа совершается при изоэнтропиче-
ском процессе. Из равенства энтропии системы в начальном и ко-
конечном состояниях следует
cm, In
V
Рис. 5
где с—удельная теплоемкость воды; отсюда
Г=Г,ехр l-^m2/(cm,7'2)l
203

Далее, из первого начала термодинамики вытекает, что
¦Vax = с/л, (Т, — Т2) — qm2 ss 63 кДж.
2.25. Для обратимого изотермического процесса (Т = const)
из второго начала термодинамики следует, что dA = —dST, где
SF = U—TS — свободная энергия. Поэтому Лтах = —Ь?Г Так
как для идеального газа в изотермическом процессе U = const,
то Лтах = ГА5. Отсюда непосредственно вытекает, что макси-
максимальная работа, совершенная при изотермическом процессе, равна
4,™' = RT[Nl In [Vx + V.2)/Vl + JValn (V, + V2)/V2]*\,8 кДж.
Для обратимою адиабатического процесса (dQ = 0) из пер-
первого начала следует, что Лта* = —At/. Этот процесс является
изоэнтропическим, к условие S — const приводит к следующему
уравнению для определения конечной температуры Гк:
(Nfivi + NfV2) In (TJT) + а1ГАомХ/Т = 0.
Отсюда Г« « 225 К. Максимальная работа, совершенная при
адиабатическом процессе, раина
^m=ax°nSt -U(T)-U (Тк) = (Nfivi + N.fvi) (Т - Тк) =
= [(Т - Тк)/Т In (Г/Гк)] Л^0-' «
2.26. А5 = — (Я/2) In 2.
2.27. AS = Я In [(p, + р2J/Dр,р2I + 2R 1п 2. Если газы оди-
одинаковые, то второе слагаемое отсутствует,
2.28. Каждый из поршней совершает работу по изотермиче-
изотермическому сжатию того газа, для которого он непрозрачен, от объема
V до объема V\ = V/2; другой газ свободно проходит сквозь
поршень. Полная работа виршних сил в этом процессе равна
А = 2NRT In (V/Vt) = B In 2) NRT.
Непосредственное вычисление изменения полной энтропии
(как суммы изменения энтропии обоих газов) показывает, что
AS = —AIT в соответствии с общей теорией (см. задачу 2.25).
2.29. AS —Я In 2, Ar = Bv~' - \) То » 0,32Г0.
2.30. t = (CamapVIRTBomP)(\ - Гх/Гво,а)АГ » 75 с, где
Своэд — молярная теплоемкость воздуха.
2.31. Записывая
Г dS = dM-V dp = [Umidp)T - V] dp + (д?ё/дТ)р dT,
где 36-—-энтальпия, и воспользовавшись тем, что dS является
полным дифференциалом, получаем термодинамические тождество
(ал/дРI - v = - т (dv/dr)p.
204

Воспользовавшись им, для адиабатического процесса (dS = 0)
получаем
Для растяжения проволоки совершенно аналогично
(dT/dF)s = - aTI(cpS).
Здесь 5 = ncPlA— площадь поперечного сечения проволоки. Окон-
Окончательно находим
ДГ = - aTF/(cpS) й! -0,03 К.
2.32. AS яй (NR/4) [т#/(яг2р)]2.
2.33. Заключим сосуд объемом V/, содержащий Nt молей ге-
гелия, внутрь большого объема V2, содержащего N2 молей гелия
и N молей воздуха при той же температуре Т и полном давле-
давлении р (для простоты ие учитываем, что воздух сам является
смесью газов — результат от этого не зависит). Тогда энтропия
в исходном состоянии, когда гелий находится в сосуде, равна
S, = RN, 1п AЛ/ЛЛ) + RNi In AЛ/Л/3) + RN In (V2/N),
а в конечном состоянии, когда весь гелий продиффундировал на-
наружу, равна
S2 =• Я (ЛЛ + N2) In [(V, + Vi)l(N, + N2)\ + RN In [(V, + V2)/N\.
Изменение энтропии AS = Sj — S| нужно вычислить в пре-
пределе, когда N, N2, V2 -*¦ оо, причем VilN и V2IN2 сохраняют конеч-
конечные значения. Простое вычисление даег
&S = RN, In {NlV2lN2V,) = (pV.irl)\n(nlln2) & ПО Дж/К,
где п\ и «г—молярные концентрации гелия в сосуде и в окру-
окружающей атмосфере.
Минимальная изотермическая работа, необходимая для того,
чтобы снова собрать такое количество гелия, равна (ср. задачу
2.25):
| Лт,п | = Т AS = PV, In (/i,/n2) « 32 кДж.
2.34. Г2 = G/9) 7^j. Изменение энтропии AS аддитивно скла-
складывается из ASext и ASint, отвечающих внешним и внутренним
степеням свободы. В изобарическом процессе
т,
l =• $ Со (Г)
где Со(Т) —колебательная теплоемкость. Но теплоемкость гармо-
гармоническою осциллятора и квантовой области (т. е, при к^Т <Ц Нш)
экспоненциально мала, и поэтому основной вклад в интеграл [дает
203

область интегрирования Г15Й{о/АБ) в которой Со ~ Я. Следо-
Следовательно,
и поэтому с той же точностью
AS» Я In (feB7",/to).
Физически преобладание колебательного вклада в Л5 связано с
тем, что в ходе релаксации наибольшее относительное изменение
температуры происходит в колебательной подсистеме.
2.35. Тк = (Л + Г2)/2 = 450 К, А = 0,
+ Л/Л In [(V, + l/2J/DV,V2)] «0,8 Дж/К,
где N = pVJ(RTl).
2.36. Из вывода уравнения Клапейрона — К^аузиуса следует,
что Л/Г равно разности удельных энтропии пара и жидкости, По-
Поэтому
Л5 = - Лш/Г = - Лцр Д1//(#Г2) « -0,67 Дж/К,
где m — масса конденсирующегося газа, а А У — его объем.
2.37. К =• 1 - 1п 2.
2.38. Л = щитрг/Bр) яа 1,44 мДж, Q = — т$рТ/р да —4,33 Дж.
§ 2.2. Реальные газы. Теплопроводность. Вязкость
2.39. а яа 1,5 Ю ЯГУ « 3,6 мПа-м°/моль2, где R — универ-
универсальная газовая постоянная.
2.40. Используем уравнение соответственных, состояний для
газа Ван-дер-Ваальса:
и следующее из него соотношение ркр^кр = C/8) ЛГкр. Тогда
Зокр
где Ц — молярная масса, а р,.Р — плотность в критическом состоя-
состоянии; очевидно, что рКр = liV«p. Окончательно находим; р яа
яа 90 атм, рид ~ 100 атм.
2.41. Л5 = (Су - R) In (Г2 - Г,).
2.42. Л: = 1 - [(I/, - 6)/(У„ - 6)]Л/С1/.
2.43. Л5 = NCV In (Т1Тй) + NR In [V/(V0 - NVJ3)],
гд- 7" = Г ( - (9/8) (Д/Су) Гкр (A/VKp/VQ), V = NRTIp^. Оконча-
Окончательно получим
А5 = -25,5 Дж/К.
203

2.44. Используя уравнение газа Ван-дер-Ваальса, находим, что
р = 5ркР, а изотермический коэффициент всестороннего сжатия
и, = Fр„р)-'. Записывая уравнение колебаний поршня массой т,
получаем
Учитывая известное соотношение V = VKp = ЗЬ и условие равно-
равновесия поршня nig = 5рКр5, находим окончательно
2.45. Адиабатическая (лаплассооская) скорость звука опре-
определяется формулой s2 = (<5р/ф).5. Дифференцируя выражение для
давления газа Ван-дер-Влальса и подставляя в коэффициенты
критические значении параметров (Гкр = 8alB7bR), молярный
объем VKp = ЗЬ), убеждаемся, что коэффициент при dV аннули-
аннулируется и dp = (R/2b)dT. Обращение в нуль коэффициента при dV
означает, что (др/др)г = 0, т. е, в критической точке обращается
в нуль изотермическая (ньютоновская) скорость звука. Диффе-
Дифференцируя в критической точке энтропию и полагая затем dS = О
(адиабатический процесс), находим
CvdT + Da/27b!)dV = 0.
Поскольку плотность р = \i/V, где р — молярная масса, для
адиабатической скорости звука в гпзе получаем окончательно
2.48. / = [mc//BSfeT)] In {[(Г,)„ - GH1/(Г, - Т2)} » 3,2 ч,
где с — удельная теплоемкость воды.
2.47. / = [2т,Л/(я1)](Г«- rj)-1 In (i^r,).
2.48. AS = —15/? In 2 » —86.5 Дж/К.
2.49. Д5 = 8Л In 2 i« 46 Дж/К.
2.50. oma, = pg-ftd=/(8dji)»2,3 см/с,
mt = {2/3) d,/pomaxiw0,12 ,\tr/c.
2.51. Мысленно выделим в жидкости цилиндрический слой с
произвольными внутренним и наружным радиусами и осью, сов-
совпадающей с осью трубы. Так как движение жидкости в нем ста-
стационарно, а давления иа обоих торцах равны, то полные потоки
импульса через его внутреннюю и наружную поверхности также
равны. Поэтому поток импульса II (г) через цилиндрическую по-
поверхность радиусом г, взятый в расчете на единицу длины,
П = —2лгц dv/dr = const,
не зависит от г. Здесь v (r) — скорость потока жидкости. Инте-
Интегрируя это соотношение, находим
v + (П/2ят]) In r = const
207

и, используя граничные условия о(л,) = v0, v(r2) — О, получаем
окончательно
2.52. Выделим в жидкости цилиндр радиусом г, ось которого
совпадает с осью трубки. Условие стационарного движения жид-
жидкости внутри цилиндра—равенство потока импулься через боко-
боковую поверхность разности сил, действующих иа торцы:
—2nrx\ dv/dr = яг2р//,
где р — перепад давления между концами трубки, т] = vp — дина-
динамическая вязкость, a v(r) — скорость потока жидкости. Интегри-
Интегрируя это уравнение с граничным условием v(r0) — 0, получаем
Интегрируя pv(r) по сечению трубки, находим поток массы
(формула Пуазейля)
— dmldt = я
где h(l) —высота столба жидкости, а р = pgh — перепад давле-
давления. Интегрирование этого уравнения дает
m(t) = m0— fo
что. совместно с начальным условием т0 = яЛд/р, приводит
к / = 8v//(gr0).
2.53. Пусть узкий слой толщиной Аг между двумя плоско-
, стями заполнен жидкостью с ди-
* намической вязкостью т\, а сами
плоскости движутся в направле-
направлении оси х со скоростями vx и о*+
vx (рис. 6). Тогда силы вязко-
вязкого трения, действующие на эти
плоскости, соответственно будут
равны г]До*/Д2 и — г]До,/Д2 (в рас-
расчете на единицу площади). Пол-
Полная диссипнруемая мощность в слое определяется соотношением
— г] (Днх/Дг) vx + ц (До^/Дг) (vx + До*) =
= ц (Дих/ДгJ Дг & ц (dvx/dzJ Дг.
Поскольку разность давлений на концах капилляра р = pgh, то
распределение скоростей в нем (см. решение задачи 2.52)v(r) —
Выделяя ь жидкости тонкие иилинпрмчрские слои и применяя
полученною выше формулу для диссипации, получаем для полной
208

мощности, диссипируемой в капилляре:
о
2.54. Р = 2it3 (if1 + q{) itfV » 0,75 Вт.
§ 2.3. Молекулярно-кинетическая теория.
Явления переноса
2.55. р Я! 4 (Г/Го) Ро л» 5 МПа.
2.56. Г яй (<Л0 + stT) W/(&nf>rlR) л; 108 К,
p^W/Bnr[])ai 1014 Па,
где ^п и -5$г—атомные массы дейтерия и трития, # — универ-
универсальная газовая постоянная
2.57. dp = Dя/3) «я (т/2лйБГK'^ ехр ( — mvll2khT) v' dv,
о0 = 2(?БГ/т):)/2.
2.58. dN = яп (т/2яйБГK'2 ехр (- mv2/2knT) oJ do,
2.59. Л/= мб/4. б —(8*:в7"/я'п).
2.60. а0 = EА:БГ/лг) = (Зо'/ЗI'2 F,{ = 2ftБГ.
2.61. oHB/(o5)U2 = 2-1/'J.
2.62. Z = n(ftB772nmI/2.
2.63. / (/) = (Nt)rlt<) (т/2яйвГK/2 ехр (— тг211к
t0 = (л/2) (m/kBTf\ vQ = 2 (feBr/m).
2.64. При работающем двигателе прострапствеииое распреде-
распределение газа в кабине неоднородно из-за наличия сил инерции в
системе, связанной с ракетой. При выключении двигателя оно по-
постепенно переходит к однородному.
1) При квазистатическом переходе к однородному распреде-
распределению газ совершает работу против сил инерции. Работа, связан-
связанная с перемещением газа при бесконечно малом изменении уско-
ускорения Да, равна
ДЛ — — J^Fibxt^Y, пца bxi = Ма ДХ = ma (dX/da) Да,
; i
где суммирование по i распростраиеио на все элементарные объ-
объемы, mi — их массы, Axi— их перемещения, X(а) — координата
8 Сборник задач по физике 209

центра тяжести газа. При \iah/(RTt)) < 1 легко получить
„ Л / 1 |мА
Л~ 2 V1 6 Ж
В этом же приближении при вычислении dX/da можно прене-
пренебречь изменением температуры, которое вносит поправки высшего
порядка малости. Следовательно,
dX/da = — \ih2l(\1RTa).
Работа
О
А = М [ a (dX/da) da = M\nh2 a2j B4 RTa)
a
в условиях теплоизоляции (Q = 0) определяет изменение вну-
внутренней энергии:
где N — число молей. Окончательно находим
т -т - l
V
2? cv [щ;)
Так как процесс протекает обратимо, ти энтропия неизменна;
5, = S».
2) При мгиовеииом изменении ускорения газ за время вы-
выключения двигателя ие успевает переместиться и поэтому не со-
совершает работы против внешних сил. В результате Q = А = 0,
и поэтому энергия, а следовательно и температура, не изменяются.
Энтропия может быть вычислена согласно общей формуле
5 = R ? Nt In
где v(r) — молярный объем в точке г. Но проще воспользоваться
тем фактом, что начальные (исходные) состояния газа в обоих
случаях совпадают, а конечные состояния различаются темпера-
температурой на 7"о—7"i. Поэтому изменение энтропии
S2 - 50 - (NCy/t0) (То - Г,) = A/24) (MR/ii) (pah/RT^,
2.65. /±S = —(R/24)(iH?,2r2/2RTJ (см, решение задачи 2,64).
2.66. Из-за малости отверстия можно считать, что его сущест-
существование ие влияет на распределение атомов газа (по объему и по
скоростям) и что поток идет по типу молекулярной эффузии, По-
Поэтому поток частин равен / = Snu/4, где п— концентрация, а
С — средняя тепловая скорость. Средняя энергия, уносимая каж-
210

дым вылетающим атомом массой т
превышает среднюю тепловую энергию U?' = ЗйБТ/2 на *Бг/2.
Поэтому для того чтобы поддерживать постоянной температуру
газа, надо подводить поток тепла JQ = (kBT/2)J. Уменьшение
концентрации во времени определяется уравнением
d (nV)/dt = — / = — Snv/4,
откуда n(t) = па exp (— t/x), x = 41//(S6), следовательно,
'q @ = (*б778) -SSra() exp (- t/x).
2.67. Задача очень близка к предыдущей. Записывая законы
сохранения числа частиц и энергии:
d (nV)/dt = — J, d CkBTnV/2)/dt = —2kBTJ,
исключаем из них п и dn/dt. Тогда для T(t) получается уравне-
уравнение
dT/dt = — STtS (T)/A2V),
которое с начальным условием Г@) = 7"о дает
Т (t) = То [1 + E/61/) (kBT0/2nmtf2]-\
2.68. Tl = kBT/2.
2.69. F = pS/2.
2.70. p » (v/4nr2) (mkBT/2yI12 л; 10~5 атм,
где m —средняя масса молекулы воздуха, г —ее радиус, у =
= Cp/Cv.
2.71. Применяя формулу Стокса для силы сопротивления при
вязком движении, получаем
g(p — Ро) V Р
где р — плотность алюминия. В осадок выпадают частицы, для
которых средняя высота столба, оцененная по барометрической
формуле, А ~ k5T/(mg) ^Z.r (in—масса частиц за вычетом мас-
массы жидкости в том же объеме),
Ро)*]1/4~о>8<1О~4 см-
8* 211

Следовательно, в алюминиевой краске такие частипы выпадут в
осадок.
2.72. (ДлJ = 3?:Б77г/[ял;](рст — рж) g]. Критериями являются
условия
h » kBT/(m*g), (m*J a Fw0)-2,
где т* = Dя/3) (рст — рж) rfj, т| — динамическая вязкость.
2.73. о= pNAr2eE/((i\ipt) а* 7,2 • 10~2 см/с, где о. — элементар-
элементарный заряд, WA — постоянная Авогадро, \i — молярная масса.
2.74. оДр = ей/?/(т«2) « 15 м/с, где т —масса иона аргона,
V и (У2)!/2 — его средняя и среднеквадратичная тепловые скоро-
скорости.
2.75. Так как по условию задачи пар у поверхности воды яв-
является насыщенным, то темп испарения лимитируется скоростью
диффузии пара по трубке. Уравнение, определяющее баланс мас-
массы при испарении и диффузии, имеет вид
_ dh__ рнас О
dt 2р / - Л '
где h (t) — высота столба жидкости в трубке, р — плотность воды,
D — коэффициет диффузии молекул пара. Интегрируя его с на-
начальным условием Л@) = 1/2 и используя D « (l/3)ufnp, нахо-
находим для времени испарения:
/ = 9#7-р/2/Dб/пррнасц) » 160 сут,
где ц—молярная масса воды.
2.76. Так как /пр >• d, то при течении газа по трубке роль
длины пробега будет играть диаметр d и поэтому эффективный
коэффициент диффузии D^covd. Поток газа, протекающий по
трубе, равен
/ = — (nd2/4) Оэф (dn/dx) со d\
поэтому при уменьшении диаметра трубки вдвое концентрация
газа в сосуде возрастает в 23 = 8 раз.
2.77. При давлении р = 10-* мм рт. ст. длина свободного
пробега /пР ~ 1 м s> г, т. е. течение будет киудсеновским. В этих
условиях поток частиц равен
У= B/3) шЧ (и-и,)/Л
где п—концентрация в объеме, п\ — концентрация на выходе из
трубопровода, a v — средняя тепловая скорость. Этот поток свя-
связан с производительностью насоса, работающего на выходе из
трубопровода, соотношением У = щ]/^\ Производительность Vt,
которая обеспечивает протекание того же потока при откачке не-
212

посредственно из объема, удовлетворяет условию N = nVi. Ис-
Исключая из полученных трех уравнений п и п\, находим
з
2.78. J = vKpHac/DkBT), где v — средняя тепловая скорость.
2.79. / == Л2рв/BОрнас) « 257 сут, где ра — плотность воды.
2.80. х = (rf-t/st,I12 / да 5,7 см. Z, = Z2.
2.81. /диф ~ 10"/турб.
§ 2.4. Флуктуации. Фазовые переходы.
Поверхностное натяжение
2.82.-^ 4J-—=Л/
Л/
/2=2(—-— I
V pvSt )
N \ pvSt
w (N = 0) = ехр (—IV) « ехр (— 1012),
где 5 — средняя тепловая скорость.
2.83. Используя определение средних и распределение Больц-
мапа, получаем
1)
U
- 11/2
(U(l)-U)>exp(-U(l)/kBT)dt\
J
A) ехр (- U
где U (|) = х?72;
К~Киу\ш
U
для молекул с линейным и нелинейным расположением атомов;
[п *1 1/2 г* Q -| 1
CiV - 5) J " L 3 (ЛЛ — 1) J
2.84. Так как температура остается неизменной, то флуктуа-
флуктуация давления целиком связана с флуктуацией числа частиц. Вос-
Воспользуемся связью между вероятностью и энтропией. Энтропия на-
начального и конечного состояний равна
S0 = 2/?AMn(V7A/),
5 = R (N + ЛЛА) In ., ^' , + R (N — АЛ/) In ., V, .
213

где N — число молей газа в каждом из сосудов, a AJV =
= 1/Др/(#Г) — число молей, перешедших из одного сосуда в
другой при флуктуации, R—универсальная газовая постоянная.
При |ДЛ?| <§; N получаем
Д5 = - R (ДЛ07ЛГ, w/w0 = ехр {- nV (Др/рJ},
где л—равновесная концентрация молекул газа. Окончательно
находим
V = (kBT/p) (р/ДрJ In (wQ/w) « 4 см3.
2.85. Поместим объем V\ внутрь резервуара с объемом
также находящегося при нормальных условиях. Рассматри-
Рассматривая флуктуации температуры, считаем число молей в объеме 1Л
и вне его (Nt и Ni соответственно) фиксированными. Вначале бу-
будем считать резервуар полностью изолированным, так что Q =
= А = 0, тогда постоянство внутренней энергии выражается
формулой
Изменение энтропии, связанное с флуктуацией температуры,
Д5 = Nfv In (I + ДГ./Г) + Nfv In A + Д7уГ)
при №|<^ в области малых флуктуации приводится к
AS = -A/2)^^7-,/ГJ.
Таким образом, распределение вероятностей является гауссов-
скимг
w (ДГ,) со ехр {- A/2) JV, (Су/къ) (АГ,/ГJ}.
Но для гауссовского распределения tu(|)coexp(—?2/2Я,2) средне-
среднеквадратичная флуктуация произвольной величины | равна
I- ехр (- g
[ ехр (- |2/2Л2) dl
— оо
Поэтому применительно к нашей задаче (ДГ(J = 1
Так как еще pVi^NiRT, то окончательно находим
V{ = (R/Cv) (къТ/р) (Г/ДГJ « 2,5 • Ю-8 см3.
Размер резервуара 1Л> из последних формул выпадает. Отсюда
легко понять, что условие изолированности резервуара является

несущественным; процессы, протекающие на очень больших рас-
расстояниях, не могут влиять на местные флуктуации.
2.86. ; = (рй/4/гБГ)(лл7/2) «3 • 109 с,
2.87. m
2.88. Энергия, связанная с возникновением изотермической
флуктуации объема, определяется работой против квазиупругой
силы (dpldV)ThV. Поэтому энергия равна
а вероятность флуктуации в соответствии с распределением
Больцмана равна
w
т. е. распределение вероятностей является гауссовским. Средне-
Среднеквадратичная флуктуация (ср. задачу 2.85) равна
= *БГ| (dV/dp)r\.
Вычисляя (dpldV)i для газа Ван-дер-Ваальса и полагая за-
затем в производной молярный объем равным критическому, нахо-
находим
(Kvf/V2 = Db/ZNAV) T/(T - Гкр),
где Л/а — постоянная Авогадро. Видно, что флуктуации резко на-
нарастают при приближении к критической точке. Если Т я* Гкр, то
Л/aV я* 36iV, где N — число молекул газа в объеме V. Тогда
(Kvf/V2 « D/9ЛП Т/(Т - Гкр).
2.89. Длительности времени пребывания системы в однородном
и разделенном состояниях (/о и ?0 относятся как соответствую-
соответствующие вероятности, которые в свою очередь могут быть выражены
через разность энтропии этих состояний S, — 5( = 2Nk^ In 2:
t0 _ wa _ ¦So — S, _ 2N
Время <| разрушения разделенного состояния по порядку вели-
величины равно времени разлетаиия молекул: t\ ~ l/v ~ 10~4 с
(I ~ 10 см — размер сосуда) Время <0 имеет смысл времени ожи-
ожидания для образования разделенного состояния: ta ~ 1010 лет ~
~ Ю17 с- Отсюда находим
215

2.90. (To - Т)/Т3
где (Хвозд и Мп — молярные массы воздуха и водяного пара.
2.91. 11,6 г/м3.
2.92. ДЛ = 2,3 кДж/кг.
2.93. рнас = 1 атм, /нв = 26,3 г, /ивозд = 42,3 г.
2.94. -3,2 %•
2.95. Т = —2 "С.
2.96. В соответствии с известной формулой для температур-
температурной зависимости давления насыщенного пара запишем
где Л = ЛудЦ — молярная теплота испарения. Условие открыва-
открывания клапана: F = (яA2/4) (р(Т) — р0) яа 18 Н.
2.97. Давление в подземном резервуаре р = ро + pgh, где
Ро—атмосферное давление. Кипение наступит при р(Т) = р, где
давление насыщенных паров равно
Кипение прекратится, когда температура воды, понижающаяся за
счет кипения, сравняется с Го. Это произойдет после того, как вы-
выкипит масса воды
Дт » (ntC/A) (Т — То),
где С— молярная теплоемкость воды. Определяя из первого урав-
уравнения Т, затем из второго находим hm/m яа 0,14.
2.98. Согласно уравнению Клапейрона — Клаузиуса, вдоль
кривой плавления выполняются соотношения
dp/dT = qj(T AV). q = T(Sm-STB),
где Д1/ — изменение молярного объема при плавлении. Минимуму
давления dp/dT = 0 соответствует q = 0. Из данных по энтро-
энтропии обеих фаз следует, что соответствующая температура
rm]n = Го 1п 2^0,15 К.
Теплота плавления q = RT^/To — RT In 2 описывается параболой,
которая проходит через нуль при Tmin. При более низких темпе-
температурах q <C 0. Изменение знака теплоты плавления является
уникальным фактом и называется эффектом Померанчука. Отри-
Отрицательному q отвечает падающий участок на кривой р(Т). Под-
Подчеркнем, что для гелия-3 он возникает в условиях Д1/ > 0 (в ог-
Личие от обычной ситуации, когда он возникает вследствие Д1/<0,
как это имеет место для системы вода —лед).
216

Интегрирование уравнения Клапейрона — Клаузиуса дает
Р (Г) = рт1„ + (RT0/2AV) (T/TQ - In 2J.
Отсюда р@) яг 32,5 атм.
2.99. Уравнение механического равновесия, определяющее
распределение давления внутри ядра:
dp/dr = - pg (r) = -4nGp2r/3,
где G — гравитационная постоянная, a g(r)—ускорение свобод-
свободного падения. Согласно уравнению Клапейрона — Клаузиуса, для
кривой равновесия фаз можно записать
dp/dT = ql(T Д1/) = - p*q/(T Др),
где ДУ— изменение удельного объема при плавлении, Разделив
эти уравнения друг на друга (в точке г = Rr, где они справед-
справедливы одновременно), находим
= Dя/3) (Y Др/<?) RT.
Это уравнение связывает радиус R^ твердой части с температурой
Т. Учитывая также, что
dRT dRr/dt I dRT
~W= dT/dt ^~~u~dT~'
находим
Д#т = — C/4я) {qailG bpRT) & —35 км.
2.100. Внутренняя энергия системы
U = mnUn + тжиж,
где Un и 11Ж — удельные внутренние энергии пара и жидкости.
Дифференцируя U по Т с учетом сохранения полной массы тп +
4- тж = const, получаем
(тп + гаж) сс = (Un — иж) diria/dT + CRmn/n + свтж).
В первом члене Un — 1)ж = Луд — RT/p (Луд = Л/(х — удельная
теплота парообразования, т. е. разность энтальпий в расчете на
единицу массы), и в соответствии с уравнением Клапейрона —
Клаузиуса находим
Окончательно получим
да 104 Дж/(кг«К).
2,101. Ответ получается из решения предыдущей задачи пре-
предельным переходом |->-ос!
су = ЗЯ/р, + (И/ДИ (Л/ц — #Г/цJ да 7 • 104 Дж/(кг ¦ К)-
217

2.102. После открытия крана больший пузырь увеличится —
в него перейдет воздух из меньшего пузыря, который превратится
в пленку, закрывающую выход из трубки. Полное приращение эн-
энтропии газа равно
AS=A6jiln2)ar;;/C7").
2.103. Полное приращение энтропии складывается из прира-
приращения объемной и поверхностной энтропии. Приращение объем-
объемной энтропии
(AS)o6 = JV* In (V'/V) = Dя In 2) por3/T,
N — число молей газа, V и V — его конечный и начальный объ-
объем. В принятом приближении давление внутри пузыря равно ро.
Удельная поверхностная энтропия SyR = qT, где q — теплота изо-
изотермического образования единицы поверхности, что следует из
обычного определения dQ = TdS. Поэтому
(AS>noB = 2 ¦ 4lt t(r'J - r2l 4/T = Мяг24/Т-
Окончательно получим
AS= B4nr2/T) \q + A/6) por In 2].
2.104. ДГ = (RT2/A) In [I + 2а/(р„г)] « 3,5 К.
2.105. V< (RT^f [2лгУв/(орна(,)] « 8 см3,
рв — плотность воды, ц — ее молярная масса.
Указание. Имеется в виду устойчивость по отношению к
испарению капли с усилением пересыщения пара.
2.106. Т = Г, [1 + 2а/(фвЛуД)] да 10,16 "С, где рв — плотность
воды.
III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 3.1. Электростатика
3.2. р (г) = -t^V = const, v = ~ Д /-:—^—=2,5 • 1015 Гц,
¦ v ' 4яг3 2it V 4ne0r3me
где me — масса электрона. Найденное значение частоты v отно-
относится к оптическому диапазону.
0 2
qi q2
33^^ F
16я
218

3.6. а- ?—\l . h 1 =-2,6. 10-" Кл/см2.
3.7. На электроны, вылетевшие из отрицательно заряженной
пластины, действуют сила со стороны электрического поля в кон-
конденсаторе F\ = еЕ и сила электрического изображения F2 =
= —е2/Dяео'4х2). Полная сила, действующая па электроны, есть
е2
Из этого выражения следует, что электроны замедляются до тех
пор, пока х < Ve/U6jieo?) . Скорость электронов минимальна на
расстоянии от пластины, равном
(Отметим, что приведенное решение ие учитывает пространствен,
ного заряда, который может образоваться вблизи заряженной
пластины.)
3.8. На внутренней поверхности сферы ot = q/(l8nr2), на
внешней —о% = —qRAnr2). После заземления a[=ai, a2 = О
3.10. Для изолированной сферы
-S-) -3 Г = 2'9; ("F-1. -3 + -V-3.1.
Для заземленной сферы
3.11 Поле на поверхности шара Е = ЗЕ0—cos 6;
1) Е = Е0 при cos 9= 1/3;
2) ? = 2?п при cos 9 = 2/3.
3.12. 1) Е = 2Я0 в точках, лежащих па расстоянии / =
= ± -^2 г от центра шара по направлению поля;
2) Е = ?0/3 в точках окружности радиусом г, = -^3/2 г,
плоскость которой перпендикулярна ?о и проходит через целтр
шара.
3.13. На оси кольца на расстояниях / = ± r/V2" равновесие
устойчиво, в центре кольца — неустойчиво.
3.14. У вершины бугорка напряженность поля равна ?| =
= 3?0, У основания — ?2 = 0. Пробоя ие будет.
219

3.15. F :
2пваг A - г2//2) "
3.16. а (9) =-^i-cos 0.
24ло^
3.17. У7 = -р (притяжение).
0^
3.18. F = ji (отталкивание)
3.19. Изображение состоит из диполя /j, = рэ/8 и заряда <7] =
—рэ/Dг), расположенных па расстоянии г/2 от центра сферы.
f =
2Р2,
27яе0г4 '
3.20. При Or в центре сферы будет располагаться диполь-
изображение с моментом рэ = 2r3qlP.
3.21. Е = р//Cео)> где /—вектор, направленный от центра
шара к центру полости
3.22. сг(б) = Зео? cos 9 Вне сферы — поле диполя с электри-
электрическим момеитом рэ = —4лепг3Е.
3.23. о = г V2/(mea) == 2,2 ¦ 10 см/с, где е и те — заряд и
масса электрона.
3.24. v = c—т;—; „ .-, —. Нерелятпвнстское приолижа-
A + тсс2а/е2)
ине справедливо при а > е2/(/нес2) = 2.8 • 10~13 см.
3.28, r = 4-^Y=l,7.10-n см.
5 mee2
3.27. Для жесткого диполя U7 = —(рэ.?), для упругого ди-
поля W = — — (РъЕ) = 1—.
/ f
3.28. Я = — -^-^=17 ед. СГС=5,1 кВ/см,
3 ед. СГС = 1,3 кВ, где тр — масса
протона.
3.29. pmin- qH д/^ = 240 см/с.
(/ + r,J v m
220

2 .
3.30. U = -4-^--т « 14 мкВ.
3.31. U= EfRn =10~4 ед. СГС = 0,03В.
zn
8.32. а
4лг2 V е2 6i )'
п
3.33. ф =
3.34.
4ле0ег
1 8— 1 GL s — I
F=*-. '",, = Г2 ;—р -7т- притяжение).
4ле0 4/2 16пе0 е + 1 I2 v
8.35. Механическое напряжение перед пробоем а =,
-5?-г ж 240 Па; так как а < ар, произойдет пробой.
е)' а2 = еа'
(ст/4ео8) C + 2x2/d2), 0 < х < d,
8,37. Е(х)=-<— а/Dв0), х < 0,
I а/D80), х > d.
Г (ст/
I +
8.38. ?2«=--^l--?-J, Dt = D
Е =? + —= —
3.39. Е^ = Р/Bе0), fi^/йд = (Цг)\
3.40. ?„ = ?•• 2A/D = 12 В/см.
3.41. Е =
ha
3.42. ?„ = —
* ' Jt<v- V 4 а
8.44. Напряженность поля в пластине пьезодиэлектрика раина
Р
вне пластины Е2 = 0.
Разность потенциалов между боковыми гранями пластины
221

3.45. Проводящий шарик радиусом г приобретает во внеш-
внешнем однородном поле Е электрический дипольный момент
р9 = 4пеог3Е.
Здесь вследствие малости концентрации шариков пренебрегаем их
взаимодействием. Единица объема идеального газа, состоящего
из проводящих шариков, приобретает во внешнем поле электри-
электрический момент Р, равный
Р = reps = 4ле„гег3Е.
Теперь можно записать
D = ео? + Р = е0 A + 4лгег3) Е = еое?.
Отсюда следует
е = 1 + 4ппг3,
3.46. Дипольный момент рэ атома аргона во внешнем поле
напряженностью Е можно записать в виде
рэ = Zxe = е.оаЕ,
где х — смещение электронной оболочки, Z — число электронов
в атоме, а.— атомная поляризуемость:
<х= Zxe/(e,0E).
Диэлектрическая проницаемость е связана с атомноР поляризуе-
поляризуемостью а соотношением
е = 1 + геоа,
где по = 2,69'1025 м~3—концентрация атомов при нормальных
условиях (постоянная Лошмидта). Следовательно,
1Я 2.10~16 см.
Обратим внимание, что атомы имеют размер порядка Ю-8 см,
что значительно превышает их деформации в электрических по-
полях,
3.47. В электрическом поле молекулы газа приобретают дн-
польный момент р, = во<х? и энергию W = —рэ?/2 = —е0а?2/2.
В силовом поле молекулы имеют больцмановское распределение:
п = п0 ехр (— W/kfiT) = п0 exp (e0aE2/2kbT),
где По—концентрация молекул вне конденсатора, feB— постоян-
постоянная Больцмана, Подстановка числовых значений показывает, что
показатель экспоненты мал по сравнению с единицей. Поэтому
можно записать
Па Z Kg
Концентрация молекул (а следовательно, и давление) в кон-
конденсаторе выше, чем в остальной части сосуда. Физической при-
222

чиной увеличения давления в конденсаторе является втягивание
молекул, обладающих дипольным моментом, в область сильного
поля.
3.48. U = , , . 8t/' . . = 500 В.
1 + (е — 1) a/d
3.49. S2= e~? -^- = 200 см2.
е— 1 п
3.50. а = е~" — = 0,2 мм.
6 — 1 п
3.51. р = 2яеге2 (те/е) = 6 • 1(Г13 ед. СГС,
q = BлK er2hn2 (mje) = 2,35 • 10~8 ед. СГС
3 52. W2*=bW,.
3.53. Применим закон сохранения энергии к процессу пере-
перезарядки конденсатора после сближения пластин:
Q = А6 - ДГЭ.
Здесь Q — джоулево тепло, выделившееся на сопротивлении, Лд —
работа сторонних сил в батарее, ДИ^э — изменение электриче-
электрической энергии конденсатора. Обозначая через Д<7 изменение заряда
конденсатора в процессе перезарядки, можно записать
Д<7 = ДС<Г = BС — С) 8 = Сё, А6 = Д?^ = С^2.
При написании вырал(ения для AW, следует учесть, что по-
после сближения пластин емкость конденсатора стала равной 1С
и, следовательно, разность потенциалов при неизменном заряде —
равной &I1. После окончания процесса перезарядки разность по-
потенциалов вновь будет равна ё. Поэтому
Таким образом,
Для того чтобы за время h.t сближения пластин заряд кон-
конденсатора практически не изменился, необходимо выполнить ус-
условие
или Я » Д^/С = 10е Ом.
F + IJ 2nd
3.5S. /•« iLLI-^io-11 H = I0~6 дин.
Здесь г\ = г + I = 3- 10~а м — расстояние от атома до центра
кривизны острия; а я> а3, где а ж К)-10 и — размер атома
223

_
n- 3u/4nr2 / m
, 7= ^- Д/—
3.57. Г — 2л л/2/я/к-
§ 3.2. Постоянный электрический ток
3.59. R = RlR2/(Rl + R2)- IR = 0 при условии SX\S% = /?,//?2.
3.61. Поскольку Я[ ~3> Я, можно с хорошим приближением счи-
считать, что цилиндрические проводники по всей своей длине имеют
постоянные потенциалы, и для определения поля рассматривать
электростатическую задачу Пусть линейная плотность зарядов на
проводниках есть ±р. Применяя теорему Гаусса к одному из
стержней, найдем, что напряженность поля стержня на расстоя-
расстоянии г от его оси равна
? = ± р/Bле0г).
Разность потенциалов между стержнями получим путем ин-
интегрирования напряженности поля:
ь-п
п Р
2яе0 J \ г b — г ) яе0 г„ Л8о г0 '
Га
Полный ток / легко найти, если принять во внимание, что
вблизи каждого из стержней поле практически не зависит от за-
заряда другого стержня F 3> г0). Полагая, что плотность тока по-
постоянна по толщине листа, получим для полного тока, вытекаю-
вытекающего из цилиндрического проводника:
/ = 2пг0а) = 2лг0аЯ? = ———.
во
Следовательно,
R "»**-•
I пка га
3.62. R = -t-j-t^ -р~ 1п Ц-.
Я6 (D — d) d
224

3.64. Л = \/R = 4лХС/е. Результат справедлив для конденса-
конденсатора любой формы, заполненного однородной проводящей средой.
3.65. Я (г) ~ 1/г4.
3.66. Я (г) ~ 1/г.
3.68. р = 4лТ|Т2/[е(т| — т2)].
3.69. С Г2~Г' 4яГ|Гг '
4яе0 г,гг ' м C(r2-rt) In 2"
3.70. В стационарном режиме ток нагрузки равен току, пере-
переносимому лентой:
/ = а/и,
где а—поверхностная плотность заряда. Максимальное значение
тока определяется электрической прочностью газа:
СТшах «= 2е0Ь'пр. /max = ОЪах '° = 1гаЕпр1и « 10~3 А = 1 мА.
Максимальный потенциал сферы также определяется электриче-
электрической прочностью газа. Для сферического электрода
Ф = гЕ,
где Е — напряженность поля вблизи электрода. Поэтому
Фтах = '-?пр = 4,5.106 В.
3.71. В случае 1) при увеличении напряжения ток не изме-
изменится. Поэтому мощность, выделяемая на аноде, возрастает в дпа
раза. В стационарном состоянии эта мощность при достаточно
высокой температуре анода рассеивается главным образом в виде
излучения, и поэтому W<=<> Г4, где Т — термодинамическая темпе-
температура (мы будем пренебрегать при оценках теплоотдачей через
проводники и другие конструктивные элементы кенотрона). Та-
Таким образом, в этом случае температура (по абсолютной шкале)
возрастает в 21'4 яь 1,2 раза, т.е. достигнет значения около
1014 °С. В случае 2) ток увеличится в 23/а раза (закон «3/2»),
так что мощность возрастает в 2-23'2 раза и температура подни-
поднимется в Bs''2)|/4 = 25/8 раза, т. е. достигнет приблизительно
1400°С.
3.72. ?
§ 3.3. Магнитное поле
3.73. В = 2п1а/(сЬ2) = 0,33 Гс
3.74. В = 2я//(са) = 0,13 Гс.
3.75. В (г) = (цо/г/яа2) A - г2/2а2) при г < а,
В (г) = цо//Bяг) при г>а.
3.76. В,/й2 = Л//я«3.103.
225

3.77. ф = |
8.78. F = BIxI2/c2) (//LJ = 2.10~3 дин.
3.79. атах = 2ео?пр = 3,5-1О~5 Кл/м2,
smax = (Uo/2) <ТтахО = е0ц0?прО » 3,3 • 100 Тл =
¦ 3,3-1O~ 6 Гс.
3.80. f = цо/иа/2 = 6 • 10~13 Н/м.
^_(Г)=-^;В(Г)=С VwMtJ-Здесь 0=
: д/2е?//те —скорость электронов в пучке.
3.82. 1) В =—I5L = 6,7. 10"8 Гс в металле, В = 0 в воздухе;
2) В = -=^- -^ !i = 4,4 • 10" 8 Гс в диэлектрике, В= 0
С 8
в воздухе.
3.83. Растягивающее напряжение в стенках вращающейся
трубки может быть определено из условия равновесия упругих
сил н центробежных сил инерции. Оно оказывается равным f =
= pv2, где р — плотность материала трубки, v — скорость враще-
вращения. Предельная скорость вращения umax = Vfmax/P = 4,7 • 102 м/с.
При вращении трубки возникает ток переноса, поверхностная
плотность которого /' дается формулой j = av, где <*¦—поверх-
<*¦—поверхностная плотность заряда. По теореме Гаусса напряженность
электрического поля на поверхности равна ? = сг/бо, так что -для
плотности тока имеем / = 80?с, По конфигурации токов вращаю-
вращающаяся трубка напоминает соленоид, поэтому индукция магнитного
поля вне трубки равно нулю, а внутри трубки В = ц0/. Подстав-
Подставляя /' = SoEwmax и учитывая, что 8оЦо = с~2, получаем
„2
- ^= „л п /^ ^.** " И
3 84 Q=-2fL Обратите внимание, что угловая скорость чре-
2тс
цессии не зависит от скорости вращения кольца и от угла между
направлениями В и <о.
„ „ 3 nNBq _,
3.85. со =— — « 0,1 с '.
i m
3.86. Магнитный момент равномерно заряженного шара ра-
радиусом R, вращающегося с частотой со, равен
Я2
22в

где <7поЛн — полный заряд шара. Действительно, магнитный мо-
момент кольца с током / равен /S, где S — площадь кольца. Вводя
сферические координаты г, 6, ф, получим, что магнитный момент
кольца, имеющего координаты г, 9, равен
dpM = яршг4 sin3 9 dr dQ,
где р—объемная плотность заряда. Интегрируя по г от 0 до R
и по Q от 0 до я, придем к написанной выше формуле для ри.
Введем величину у = (qf—<?е)/<?р и запишем заряд одного
атома в виде Z(qf — qs) = y7.qv. Если Земля состоит из атомов
с атомным номером 7. и относительной атомной массой S4-, то от-
отношение ее полного заряда qnan» к массе М$ равно
<?полн
где та—масса нуклона. С помощью этого соотношения выраже-
выражение для магнитного момента Земли можно представить в виде
где р3 — средняя плотность Земли, (о3 — угловая скорость ее
вращения. Если бы Земля обладала таким магнитным моментом,
то индукцию магнитного поля на полюсе можно было бы опреде-
определить из выражения В = 2ц0рм/Dя^|). Отсюда
-»
10
Таким образом, высказанная в условии задачи гипотеза о проис-
происхождении магнитного поля Земли противоречит эксперименталь-
экспериментальным данным.
3.87. Ятах = j^ ВтаЕт„ = 1,4 • 10" эрг/с = 1.4 • 10» Вт
при D/d = Vei где е = 2,72,
О DO D
О.ОО, D T==i
3.89, Bjw-
3.90, /У=-7В-('- + <Л=3.10'. С/= -^-^=25 В
nINDp
3.91. В = 4лл(-^-1)[1 + (-^)]'/2 = 5,4 кГс. Здесь
(г,+г2)/2.
-4.92. 1Г = -— Bfc « 1,2 • Ю« А/м,
й A — Р)пс + рВа
227

3.93. /0 = — (LHa + tJ0).
^-(/ - /о)]
при
3.94. / = I In.
8.95. Вл—g-.
вл
ур
3.96. Вс = В„^- = 100 Гс.
3.97. Внутри пластины В = 0, ff = — 4л/. вне пластины
д = о.
3.98. Внутри пластины В = 4л/, Я = 0, вне пластины
д = 0.
3.99. /min » 14л
3.100. /тах«2.10-2г.
3.102. Фтах=^: -^-р- «0,1 рад « 6°.
3.103. T = 2л/
dJ04- °- В2/2 A+ г/Л) ¦
3.105. vmix= ^§ф- « 1,5 см/с.
I l-(V'i)' ,
3.107.
3.108. p
exp (-
262/2 In A+ a/b)
I + alb •
3.109. L_?,
3.111. Z. =
3.113. Ф =
ЗЛ15>
= 20 см.
228

Rbe
3Л,7.со = ^-
2mc
3,119. x = u!&= 1.5 - 10~3,
3,120. 1=-r \l — := 1.6 • 104 a, e., где Ес — солнечная
о V С
постоянная.
3.121. Z. = Щ?- = 107 см = 10" 2 Ги.
3.122. Z. =-i^~ = 10а см = Ю-3 Гн.
ЗЛ2И. ,@ =
3.124. f = -!Ц=1 SB2,
3.125, AA-^^r0
Pff
3.126. Работа, соиершаемяя магнитными силами при переме-
перемещении контура с током / в магнитном поле, выражается соотно-
соотношением
А = /АФ,
где ДФ—изменение магнитного потока. В нашем случае ДФ =»
= ДФ21 — изменение потока, пронизывающего контур прямого
тока. В силу теоремы взаимности ДФ21 = ДФ12, если Л = /2. По-
Поскольку ДФ12 = —2Ф12, задача сводится к определению магнит-
магнитного потока, пронизывающего рамку в поле прямого тока:
а+Ь
W Л / а
Знак мичус определяется выбором положительных напраплений
токов на рис. 3.42. Окончательно получим
-J-) =2,72- 1Э-7 ДЖ = 2,72 эрг.
3 128 P^
V 4 ./
dl .//-const [(/ц) 1
где. Wu—магнитная энергия катушки. Знак минус указывает, что
обе половинки тороидальной катушки притягиваются друг к другу.
229

При / = 0 получим
"—- Fl ~ 4
3.130. Сила, действующая на образец в неоднородном магнит-
магнитном поле, определяется выражением
dr
где р« — магнитный момент образца, рм = %BV. Эта сила прини-
принимает максимальное значение при г=1/Bд/а) = 5 см- Макси-
Максимальное значение силы Fmit есть
Fmix = уУВ^ д/° в~ я* 0,1 дин.
3.131. Z. = 2/ln(//r) при /»г.
3.132. Индукция магнитного поля внутри ннлиндра равна
В = 0; вне цилиндра вблизи поверхности В = Мо^/2яг. Давление,
которое испытывает плазменным цилиндр в магнитном поле,
В2 _ И°/2 ,
2цо 2.д2г2
Подставляя числовые значения, получим рмаг яй 6,4-104 Па. В на-
нашем случае рМаг < Р и, следовательно, плазменный цилиндр бу-
будет расширяться. Легко подсчитать, что условие р = рМаг будет
выполнено при токе / = 1,25-10R А.
3.133. При сжатии трубы магнитный поток сохраняется:
Увеличение магнитной индукции в трубе обусловлено появле-
появлением тока в ее стенках. Таким образом, труба ведет себя по-
подобно соленоиду. Давление магнитного поля определяется соот-
соотношением
Рмпг = В2/Bц0).
Подставляя числовые значения, получим
В = У2Иормаг = 5 • 102 Тл, г = гй V^o/S = 5 • 10~ 3 м = 0,5 см.
Ц0г
3.135. Т « -—=-г—5" = 6 • 106 К, где ftR — постоянная Боль-
4nc2nkBr2 ь
цмана.
3.136. t = 4с2р/(ЯВ3) « 7,2 с
230

3.137. / = 2лс2 -Try ——, ' = 2я-=- -~, где те и е — масса
и заряд электрона.
: 0,14 И. где тр и (/р — масса и за-
чр
ряд протона.
3.139. При v < с можно пренебречь магнитной составляю-
составляющей силы Лоренца, действующей на заряды в пучке, по сравне-
сравнению с электрической составляющей. Напряженность электрическо-
электрического поля на границе пучка равна
Р пв /
~ 2е0 ~~ 2еои '
где п — число электронов, приходящихся на единицу площади
плоского потока, v — скорость электронов. Время, за которое ши-
ширина пучка увеличится в два раза, есть
Здесь а—поперечное ускорение электронов под действием куло-
новских сил. Окончательно получим
/ 2117 \з
V. т. )
/ 2117 \з/4/ 4e0d /ne у ,_
I —г I «17 см,
V ) \ I )
3.140. Раскручивание будет происходить при условии, что
частота переменного электрического поля совпадает с частотой
вращения ионов Nt в магнитном поле (условие синхронизма):
170 кГц.
В этом выражении т = 28 • 1,67 • 10~27 кг — масса иона Nif.
Для оценки изменения частоты необходимо найти сначала
шаг спирали. Изменение скорости на соседних витках может быть
оценено из второго закона Ньютона
где Т—период обращения. Принимая во внимание, что г= (Т/2п) о,
получим
Дг = (Г/2л) Ди fu (Г2/4л) (eF/m).
Условие синхронизма будет нарушено, если Av/v0 ^3 Дг/r. Отсю-
Отсюда следует
Av ж Е/BгВ)!Ы 15 кГц.
3.141. В @ = ЩТ)/2.
8.142. t = -^ ' J 2У « 5 • 10" 4 с.
281

3.143. S< -Д/-3 «1,3-10-2Тл=130Гс,
где s&\ и s&2 — атомные массы изотопов урана, mp и q$ — масса
и заряд протона; время, необходимое для полного разделения
изотопов урана, равно
t = т J. = 8 • 107 с » 2,5 год.
3.144. Оценку легко выполнить для частиц, покидающих
столб газового разряда со среднеквадратичной скоростью о =
перпендикулярно поверхности стол-
столба. Магнитное поле вблизи поверхности столба есть
В = цо//Bяг).
В этом поле вылетевшая из столба частица будет двигаться по
окружности, радиус которой определяется выражением
теиг/1 = evB.
В итоге получим
: 2 • 10s А.
3.145. При отклонении частиц от горизонтальной плоскости
возникает возвращающая (квазиупругая) сила, зависящая от
компоненты магнитного поля S-. Поскольку в зазоре магнита
Boo Я и rot Я = 0, имеем
дВг/дг = дВг1дг,
откуда при малых z получим, что
В = дВг z = —
г~дг г0
Составляющая силы Лоренца F2 запишется в виде
Fz = evBr г= — ea>QnBzz = — Wtfimz,
где v — линейная скорость частицы на орбите, ш0 = еВг(г0)/т —
круговая (циклотронная) частота. Из уравнения вертикальных ко-
колебаний
mi = — пШдГП2
следует
сог = соо л/я = еВг (г0) л/я /т.
3.146. Равновесная орбита устойчива по отношению к малым
радиальным отклонениям частицы, если сила Лоренца изменяется
с изменением радиуса г медленнее, чем центробежная сила. При
232

малых отклонениях р = г — г0 можно записать
Вг (г) = Bz (го) + Щт- (г - го) = В2 (го) ~^-Bz (го) р.
иг го
Радиальная составляющая силы Лоренца имеет вид
F = evB2 (г) = ешВ2 (г) = ещ -^- В2 (г0) A - -^- р) =
При написании этого выражения использован закон сохранения мо-
момента импульса: Мог;- = сог2 где (оп = еВг(гаIт— круговая (цик-
(циклотронная) частота вращения частицы на равновесной ороите.
Запишем теперь выражение для центробежной силы
о р "\
1 ~ 3 77Г
Уравнение радиальных колебаний чястицы примет пид
rap = — ma>J5 B — п) р.
Видно, что колебательный режим (устойчивость стационарной ор-
орбиты) возможен при п < 2. В этом случае
3.147. wa=- pBvB/2f.
4e0Smn / 2117 \з/2
З.Н8. ymax » /2Р l^-^-J « 40 А/м2 = 4 мА/см2, где тр
и (?р — масса и заряд протона.
Зй /niT ,
3.149. В < —==- Д/ ^— я; 10~3 Тл = 10 Гс.
3.150. n.//ie = 1 — v2/c*.
3.151. or = -^-— = 3 ¦ 10~8 ед. СГС.
4л с
8.152. Ф (*) = ф@) — cmr2\ t -| I — exp j — -f-
3.153. U=-
ЗЛ54' P=[d/(XS) + Rr
3.155. При включении однородного магнитного поля частота
вращения шарика изменяется на величину Дм = ±Se/Bmc). Ки-
Кинетическая энергия шарика уменьшается на
233

если <а и В параллельны, и возрастает на ту же величину, если
w и В антипараллельны При включении и выключении поля В
возникает вихревое электрическое поле, тормозящее, (или уско-
ускоряющее) движение шарика.
3.158. Уравнение радиального движения протона в поле элек-
электронного пучка записывается в виде (если пренебречь действием
магнитного поля)
Здесь Е, — радиальняя составляющая электрического поля пучка,
определяемая из теоремы Гаусса: 2пггаЕ, = Q, где Q — еппг2 —
заряд на единицу длины трубки радиусом г (« — концентрация
электронов в пучке). Таким образом, Е, = пег/Bво). Принимая
во внимание, что / = envnR2, где для релятивистского пучка
а я с, выражение для Е, может быть записано в виде
ЕL
г
Уравнение движения протона принимает вид
qj
m.r,r + -ъ—Чи- г = °.
откуда для частоты собственных колебаний ш находим
/
= 3,9 • 10е Гц
3.159. Газодинамическое давление в плазме уравновешивается
магнитным давлением:
откуда
В = ^2y.QnkBT да 6 Тл = 6 • 10* Гс.
3,160. / = /0
3.162./ = -^.
3 163 " ^ ' ' ^3 ^ " 3 ^°г^ г • т-. - 3^о sin 9
j0 , ^
3,164. В магнитном поле В каждый шарик приобретает маг-
магнитный момент
ри = - —
234

Магнитный момент единицы объема (намагниченность) газа, со-
состоящего из сверхпроводящих шариков, есть
1=пр» 2rniR3H.
Отсюда следует, что магнитная восприимчивость х. определяемая
в СИ выражением / = %\^Н. равна
Л = ПГ .
Таким образом,
Идеальный газ из сверхпроводящих шариков обладает диамагнит-
диамагнитными свойствами. Условие «г3 •< 1 означает, что шарики нахо-
находятся далеко друг от друга и их взаимодействием можно прене-
пренебречь.
cdBK
3.165. /max = —7 « 240 А. Предельный ток определяет-
определяетл
ся разрушением сверхпроводимости
3.166. А — -^-
3.167. j (9) = ~- sin 9.
3.168. puarS* = const, где pvar — В2/Bц0) — магнитное дав-
давление на стенки соленоида.
3.169.
3.170.
3.171. /=//Bяг), рмаг =/2/BяЛ2), где г = г,, г2.
3-172" 'max~3SKp/(8W)=l.7 CM.
3.173. Без сверхпроводящею шарика индукиия равна Вь =
= 2п11(сг\) и перпендикулярна плоскости тора При вчесепии ша-
шарика появляется дополнительная составляющая в плоскости тора:
3.174. / = (l- r?/rg)/0- C/4) /0.
3.175. omax = гВ -y/rlBm).
3.176. На диполь, находящийся в магнитном поле, действует
сила
2лВг' ей.
235

= - \
J
Работа против этой силы
о о ва
2яг г
Fx dx = \
— оо О
равна начальной кинетической энергии шарика
от куда
Таким образом, при начальной скорости v3 ^ 20 м/с шарик вле-
влети г в соленоид,
3.177. При / = г/-у7 сила отталкивания максимальна.
3.178. Т = п -\/T[g = 0,3 с.
3.179. Внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю.
Из граничных условий следует, что иа его поверхности обращает-
обращается в нуль нормальная составляющая индукции магнитного поля.
Для определения магнитного поля, создаваемого плоскостью,
можно воспользоваться методом изображений — мысленно поме-
поместить под плоскостью па таком же расстоянии прямой ток, теку-
текущий в обратном направлении. Сила, действующая на единицу
длины тока со стороны изображения, есть f = IB, где В—маг-
В—магнитная индукция поля, создаваемого изображением. Эта сила
направлена вверх. Условие, при котором проводник будет сво-
свободно висеть иад плоскостью на высоте h, запишется в виде
f = ptq, или цо/2/DяД) = Plg.
Отсюда следует, что
Отметим, что решение может быть легко обобщено иа слу-
случай плоского витка любой формы, если только радиус кривизны
витка во всех точках существенно превышает к
3.180. рМаг = В7Bм.о). f =0,
§ 3.4. Электромагнитные поля
3.181. / = 2y2adR Ua соз at.
3.182. 1) Е = ^г п ~ <=¦¦ 10"" ед. СГС = 3 • 10~4 В/и.
2) -Е, =?, D, =-2D.
236

<D2
3.183. h = -z r = 50° cM-
3.184. S' = -^-r2B = 8-10~3 г-см2/с.
3.185. Капля движется по окружности радиусом г/2 с по-
постоянной скоростью v = (qr/2c)(B/E).
3.186. 5(r,0=^_^-exp(--i). где
3.187. 5,=
za'R CU2 га2и
2 га2и2
id ' " ~ 2 2rf
1 /2# _ /2fl«
2ji H In (r2/ri) ' * с In
«7 = [ S* ¦ Члг dr = PR.
ЗЛ88. P = Xnk ( Я^2 J = 1.1 • Ю5 эрг/с « 0,01 Вт.
3.189. Q =
8.190. «7 = 57^^=_
3.191. Др=— = 10-6г-см/с.
3.192. t/ (x, 1) = ?/
cos[(m + 1/2) n — kl\
A-
Uo
cos [(m+ 1/2) n — ft/] '
где k = со/с — волновое число, б определяется из условия kl-\-b=
= (m+ 1/2) я при m = 0, 1, 2, ... (узел напряжения па конце
линии).
3.193. К = A + р)/A - р) = 3. Здесь р2 = (/>„ - />н)//>0 - ко-
коэффициент отражения по мощности.
i5= 1,9 — коэффициент отражения по мощности.
3.195. Средняя энергия электрического поля эа период Т рав-
равна
т
о
потери за период
Т
аЕ2 dV.
237

Отсюда для добротности получим выражение
Л Шхр ~ 2Та'
Для минимальной резонансной частоты закороченного с од-
одного конца отрезка коаксиального кабеля имеем
к = 4/ д/ё" = 80 м, vmln= 1/7" = с/к = 3,75 МГц.
_, 8
2Гог
102.
3.196. Наинизшая резонансная частота отрезка прямоуголь-
прямоугольного волновода может быть найдена из дисперсионного соотно-
соотношения для Яю-моды. Имеем для пустого волновода
к = 1а = 2/
/1 (Я/2йJ
где X и Хо — длина волны в волноводе и в свободном простран-
пространстве. Отсюда с учетом диэлектрической проницаемости среды по-
получим
V = — = ¦=¦ = —![ )=-*— fts ;=- = 5 ГГц.
Т к0 Vе 2й д/е 2й д/е
Для добротности Q имеем (см. решение задачи 3.195)
§ 3.5. Квазистационарные токи. Колебания
в электрических цепях
3.197. /@=|еХ
3.198. Q = <?2/DС).
3-200. / (о «=.,. . , '^ ..;о/,ч13 •
3.202.
21?
IПах— c
3.204. Q=-^—г •
233

3.205. Q, =Q2,
3.207.
мкФ.
3.208. ш0 = 2n/t = 2 ¦ 103 с ' (да 320 Гц).
3.209. A/2 = (V,/2.
3.210. / (t) = (Фо/Ц cos (Oat, где co0 = 1/Vz.C.
3.211. t = ^LC = 10c, /max = — Л/Т =0.37A.
С у Li
Здесь е = 2,72,
3.212. ?/ @ = Ua exp (— 6/) [cos at + E/@ — 1/aRc) sin to/], где
6 = R/BL), a2 = \I(LC) - R2/(iL2).
3.213. I2=Un.
3.214. 1) Г, = л -2я д/?С. где л = 1, 2, 3 ....
2) Г2 = Bл + 1)
3.215. B=(clnr) ^2nfmR да 800 Гс.
?/ ПГ
3.216. ?/„ =
3.218.
V2 ?/9ф
100 В.
3.219. Вольтметр измеряет ?/эф = V ?/2 • При включении через
диод вольтметр покажет U = 1/эф/-\/2 » 155 В.
¦1Ь
3.220.
3.221.
Z.=3,2rH, C = 3,14X
X Ю~2 мкФ, #= 100 Ом
^ = 1 кОм, С =
32 мкФ, Z, = 3,14 мГи,
2)
R = 1 кОм,С=13мкФ.
L = 30 мГи.
3.222. С
= 8,4 мкФ. ф = 60°.
239

3.223. e = 21Л——L = 2,5. Здесь / = 50 Гц — частота пере-
пере2jife0p
менного тока.
3.224. ts ф = ¦
3.225. L =
3.226. @рез ¦
4n.fi
1.2 Гн.
1
г, где Z-зкв = L, — M2/L2 — эквивалент-
иая индуктивность контура с учетом влияния короткозамкнутои
катушки.
М = —
С
1
1
3.230. U,
f,K ?/0 = Ю мВ.
3.231. Я = -^ = 10 Ом, Z.=-
'о
и
= 0,1 Ги,
= 0,1 мкФ.
3.232.
3.233.
3.234. Л<*= —
3.235. L/R = RC
3.236. С
3.237.
3.238.
A +Z./Cr«)~1;«0,08.
4.5-10"°
¦ Ю~7 см.
+ @2Z.2) = 220 мкФ.
3.239. co2LC = 1. ?/„, = ?/0
2R^LC
L+CR2'
3.240. to = l/(RC). U„, = ?/0/3.
3.24J. Um = Uo Bm2 + 2т + 5)~1/2.
3.242. wi =
3.243. х = RC = RXC\. Достаточное условие баланса: R, = R,
3.244.
240

3-245- t"a
3.246. (O2Z.C = 1.
3.247. Z = д/-^- — ^-j~ • При
3.248. 2KOHT +2 = 0. .в2 = -— - -5-, А = -=-.
3.249. / =-^р cos 2<af, Л = 9ГРо-°РГ-
3.250. 1) f(t) = A cos2 (O0< = -j- + -? cos 2(o0<;
2) f (f) = ^4 A+m cos Q0 cos a>ot яа Л cos a>at +
¦ -^— cos (co0—^) < H—5- cos (a>0 + Q) <;
3) f (<) = Л cos [(O0< + m cos Ж] яа Л cos (Oo< +
3.251. 1) g @ ~ Л2 A + /n cos ШJ,
при m < 1 g @ ~ Л2 A + 1m cos Й/);
2) g (t) ~ Л2 = const;
3) g (t) ~ ('«ЛJ + (тА)г cos 2Ш;
4) §@~Л2A+2тсозЯ0.
3.252. Можно. Это электрический аналог опыта Мандельшта-
Мандельштама. Амплитуда колебаний в контуре максимальна прн Й = | «>о —
-со|.
3.253. 1) f
2я
оо
2) F(<o)= jj / «) ехр (- Ш) dt = Лт '''
ч\ р (,,\ _л! sin [((о — а>о) т/21 i л _i sin [(<o + <о0) т/2]
jr^M' пЧ [(со - со») т/2] ^л2 [(и - (Оо) т/2] Ф
3.254. U, = f/o cos (<at + -^ cos Ш+aY где a = -^-5< 1.
V (оС0« У (оС0/?
Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на
частотах (о, со — Q и (о+Йс амплитудами f/o, mUo/(i>CoR,
и фазами 0, я/2 и я/2 соответственно.
3.255. С/, = 0„ cos ((о< + 2'"^° cos Й^+a), где г=^
9 Сборник чадам по физике 241

Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на
частотах о, со — Q и w + Q с амплитудами Uo, moiLoUa/R,-
mmLUo/R и фазами 0, я/2 и л/2 соответственно.
3.256. Спектр выходного напряжения содержит три компо-
компоненты на частотах со, го — П и а> + п с амплитудами Ua/2,
•уЗ oU0/4 и д/3 (i(J0/4 соответственно. Боковые компоненты сдви-
сдвинуты по фазе на E/6)л относительно основной частоты.
3.257. Спектр выходного напряжения содержит компоненту ос-
основной частота о с амплитудой (JJ-y/2 и две боковые компо-
компоненты на частотах ы ± Q с амплитудами aU0/i, сдвинутые по фа-
фазе на я/4 относительно основном частоты.
3.258. ,Ml_J
3.259. Резонанс наступает на частотах а>0 и а>о ± О. т =
¦= 2/и = 0,5.
3.260. Спектр тока имеет две компоненты: на частоте со с аи-
плитудой A/с) 5Ссо2//о (ц( —\i.2HlJi) и на частоте Зсо с амплитудой
C/4с) SCafii.//;*, ""Де Яо = 2NI/(cr).
3.261. /?тах = 5л/П^/С = 8Ом.
При /? = 2/?тах= 16 0м, Q = "v"C" *2 ^бе3 обРаТН01'1
связи). При наличии обратной связи Qf = 25 (положительная
связь), Q*2 = 8 (отрицательная связь).
3.262. С = 4то2/(я%Н Ю-9 Ф. RmM = AZ-/4t0 = 10 Ом.
3.263. Д/т1п ю д/~ = 1.7 -Ю-" А.
3.264. /2= ti^/TJTa ж 8 км. Здесь 7\ — комнатная темпе-
температура.
IV. ОПТИКА
§ 4.1. Геометрическая оптика
и элементы фотометрии
4.1. Ащ!!! = a [sin ф cos q>(l/-\/«f — sin2 ff—l/ynl—siii' <p)\ ,
4.2. / = 10 см.
4.3. a = 2 arcsin л}п.%— 1 прн и <
a = Я прн я ^ V2.
М2

4.4. M « 1,1 -Ю 7 с.
4.5. L2 « 14 м.
4.6. 37,5 см < L < 38 см.
47 D -D±- Я- — ( ° V
4.7. DK-D F. L- 4 ^-p-j
4.8. Ф/Фо== 1/[1 + (S — S,)fcn/S,]= 1/3.
4.9. В линзу, а следовательно, и на шарик направляется мощ-
мощность излучения, равная EcnD2/i, где О — диаметр объектива.
Радиус шарика равен радиусу изображения Солнца acf/2, где
F— фокусное расстояние линзы. Шарик излучает мощность, рав-
равную Осб^4 ' 4яас-/7 /4 (^св — постоянная Стефана — Больцмана).
Установившуюся температуру Т можно найти из уравнения
баланса энергий
Отсюда
¦=v:
D
) 103 к-
§ 4.2. Интерференция
4.10. Для горизонтальной поляризации oti = X/Dh) = ]J20',
для вертикальной поляризации а^ = 0, <х2 = XjBh) = 2° 40'.
4.11. J = 2^
т 2яф(АД) Л J-
При ф = —/п (/п=1, 2, 3 ...) 21 = 221 а, где З^ — интенсив-
интенсивность принимаемого сигнала в отсутствие отражения
. .„ ,, . . 2я/. sin a ,
4.12. ?/0eol-}-cos г , где о=анг- угол отклонения ис-
источника над горизонтом, (О-. — угловая скорость вращения Земли.
При малых значениях а период изменения амплитуды напряже-
напряжения равен Т = KTa/BnL) = 1,15 мин.
4.13. .Р = гУ[10М<г — 1I = 1,1 м
4.14. З'та./З'тт = [(я2+ 1)/BяIа = 1,17. Интерференцион-
Интерференционная картина имеет достаточный контраст, так что ее можно уви-
увидеть глазом
4.15. т = АД «400 (где Д = 2А V»3 — sin2ер »2,2-10~2 см —
разность хода),
Д/ « Л/о» = 2,8 см (где о» = (h/L) tg \\i cos2 ф = 2 • 10~J — угол
схождения интерферирующих лучей на экране, ф — угол прелом-
преломления).
9* 243

Ь да Л/ = 2,8 см, ДЛ- « Я/от ^ 1.4 нм.
4.16. /птахж1000, тт1„ «720. ДЯ^0,5 им. Источник света
может иметь любые размеры.
4.17. Ширина полос уменьшится a L/F = b раз.
4.18. Др = -— Др1 = 200 мм рт. ст.
До
4.19. Д6<Я/О = 2".
4.20. Ь < F дД/Г«= 1.25 мм.
4.21.
4.23. А/« С(!~Р) =4,8 МГц, Av = -^- = 1500 МГц.
4.24 &=»2rfj/rf2 = 0,l см.
4.25. Излучение источника белого света занимает широкий
спектральный диапазон. Максимумы интенсивности при интерфе-
интерференции будут давать спектральные компоненты, для которых вы-
выполнено условие Д = тХ, минимумы — дпя которых выполнено
условие Д = (т + 1/2) X, где т — целое число.
Таким образом, в результате интерференции на вход спек-
спектрального прибора будет поступать излучение, спектр которого
имеет чередующиеся максимумы и минимумы. Расстояние между
соседними спектральными максимумами может быть найдено из
соотношения
(т + 1) лт+1 = тКт, т (Кт — ^m+i)
М = Хт — Кт+1 = К/т -= Я2/Д.
Спектральный прибор должен иметь разрешающую способ-
способность R, достаточную для обнаружения двух максимумов на рас-
расстоянии ДЯ:
15108
4.26. A = c/(Av) = 30 м.
4.27. ДА. « к/т « 40 нм, т « 12 — максимальный порядок
наблюдаемых интерференционных полос. При малых m видность
интерференционной картины
Г - (Утт - 5'т1п)/E'тах + З'тт) « 0,65.
Из соотношения Г = S'" "^/Qm" = о,65, где Птах « Х/Ь —
яУ/У
максимально допустимая апертура интерференции при заданном
размере источника, получаем
244 b « 0.5VQ = 2,5 • 10~2 см.

4.28. Решение аналогично решению задачи 4.27,
ДА, « К/т да 100 нм, Q = O,bK/i> = Ю~3 рад.
gm» ~ <Ут1п — sin (nbd/XL)
4 2Q
З'тах +
4.30. Утах » 4а при 2 = («Я/2) A—cos а), Гт,п = 0 при
z = (п 1/2 ± А./4) A — cos а) ~".
л п, *,* sin (n&f/c) А л
4.31. У=—-—!. t. . д—i где Д — разность хода.
§ 4.3. Дифракция. Элементы голографии
фурье-оптики
4.32. 3 = 0.
4.33. h = B2|" + ^ X. (т = 0, 1, 2). ^max = 93V
4.34. З' = 0 (а), 3 = ЗУ4 F).
4.35. Р = г'>/Bт\) (т=1. 2, 3, ...).
4.36. У = &У0.
4.37. Интенсивность света увеличится в два раза.
4.38. 3? 1 = 42f0, Sfi = 2fa, где Зй—интенсивность каждой из
спектральных компонент.
4.39. Fmax = r,/a. = 8,u. ft =.-?2L±iI Я. (,„ = 0, 1. 2 ...).
4.41. Фокусное расстояние пластинки F = r2Jk = 50 см. Пол-
Полное число зон Френеля от = D2/(AkF) = 100.
, , 2\F 2r^
m2 = Ю4. 6 « -g- = -^- = 5 • 10~J см.
4.42. 3 со ( j (т, + т2 + 2 -\JxiXi cos Дф), гле и =
ka sin 9 . . Г, а . i
^ 2 , Дф = k in (га,,— n2) + -к- sin 0 , /г = ?я'Л — волновое
число.
В центре получится темная полоса при условии kh(ni—п2) =
= Bт + 1) л (/п = 0, 1, 2, ..,).
Г sin (kNb sin 6/2) f [ sin (feA/2) f ._
4.43. ./ - Л [ sin (й/; Sin 6/2) J L (АД/2) J ' ГДе " ~
= 2яД, Д = [h (n — 1) — a sin 8]. Направления на главные макси-
максимумы определяются формулой a sin 6m = niK.
4.44. Lm-m > D2/(AK) да 10 м.
245

4.45. L = d2l[A Am + I) A,] (m = 0, 1, 2 ...);
при in = 0 Z.max = 0,5 M.
4.46. 2l/3'2 = nV-\.
4.47. m я* A,22J -Tj- « 70, где / = 20 см — ралпость длин
плеч интерферометра.
4.48. L « Id/X » !0 км. гль !я I м — р^'стояние между фа-
раки, d « 5 мм — диаметр зрачка глаза.
4.4Э. F (и) = 6 (и) + ^- S (и — Q) + 41 6 (" + й)- гДе б — Де-"ь-
та-фуш;ция, и = k sin G. Спектр состоит из трех плоских волн,
распространяющихся в направлениях k sin 6 = 0, ±Q с амплиту-
амплитудами I, a/2 и а/2 соответственно.
4.50. F, iu) a''L — , где u^=k sin 0, k — волновое число.
('in/2)
sin (bul'2) sin (Ndu/2)
l"(u)~
l"i(u)~ (hu/2) sin(du/2) '
4.51. Комплексная амплитуда волны за решеткой равна
л— л JU* i ^o p"Qx 0/, „-«ах /1о ~-Шх _ А-<
А = /10е + — е — 2Лое 2~ е f1
За решеткой распространяются пять плоских воли в направле-
направлениях ft sin 6= 0, ±Q и ±2Я. Здесь Q = Чп/й = 2л-103 см.
4.52. Комплексная амплитуда волны за решеткой раина
За решеткой распространяются четыре плоские волны в направ-
направлениях k sin 6 = ±П и ±2Q.
. .„ . 4nfe . 4it& / , 1 Л
4.53. Дгтаз, = -Qj- /n, Дгт,п = -^- ^/п + у J
(т= 1, 2, 3, ...).
•Углах =3V16, ^mfn = 0.
4.54. и = О2о/BЙ). З'тах/З'тт = 9.
4.55. З' (х) со 1—2т cos Qx (для пластинки я/2),
У (х) по 1 +2тсозйл (для пластинки Зя/2).
Для поглощающей пластинки контраст возрастет в l/ka раз.
4.56. d = ^WKT. [ = [l + 2bLm = (\ + 2m)&L (m=l, 2, 3 ...).
4.57. Изображение подобно предмету при условии 2it/D<?2<
< nD/{XF), или 2XF/D < d < D, где rf = 2n/Q — период решетки.
4.58. Д/ = о/B/) = 37,5 мкм, Z.max = Dv/B\f) = 3 м.
4.59. dmax «2^,F/A = 0,l мм, rfmIn « 2^F/?> = 0,01 мм.
246

4.60.
4.61. т (*) оо 1 + cos [kL + kX*/AL)].
Положение изображении при записи с нормально падающей
плоской волной.
5 - мнимое,
S - действитель-
действительное изображения
-^^
L
1
-—¦
--—=-
Положение изображений при записи с наклонной пол-юй:
Г
S'-twuMoe,
5 — действи-
действительное
изображения
Минимальный pa3N?ep голограммы атт « nXL. Размер вос-
восстановленного изображения равен Ь « 1/я.
4.62. M<2LX2/r2=*0,2 им.
4.63. D > XL/b = 2,5 см; ДЯ < Sb2/L = 1,6 нм.
§ 4.4. Дифракционный предел разрешения
оптических инструментов и спектральных приборов
4.64. /тщ « 1 м.
4.65. Разрешуюишя способность объектива полностью исполь-
используется при нормальном увеличении:
247

следовательно,
Угловое разрешение телескопа при визуальном наблюдении в
Yh раз выше, чем у невооруженного глаза. Минимальное расстоя-
расстояние, на котором с помощью телескопа можно читать книгу, опре-
определяется условием
JL> А
Отсюда вытекает, что
L S^-г- b «600 м.
А
4.66. Предельному разрешению 5-метрового телескопа соот-
соответствует площадь поверхности Луны 5Л « я (XL/DJ, где L «
« 4-Ю5 км — расстояние от Земли до Луны. Это означает, что
освещенность любой точки изображения Луны в фокальной пло-
плоскости объектива телескопа создается за счет излучения всех эле-
элементов поверхности Луны, лежащих в пределах площади 5Л.
Если часть этой площади будет закрыта черным (неотражающим)
тентом, то освещенность изображения точки прилунения в фокусе
телескопа изменится на величину, пропорциональную 5Л — S, где
5 — площадь круга. По условию EЛ — 5)у5л^0,99. Отсюда
0,01 О-
/ ho л
4.67. D я* л I —— -j— « 6,5 м, где ?л — среднее расстояние
от Земли до Луны.
4.69. U = 12f4 '"У?-"* в, 600 В.
A sin ОЭл
4.70. Диаметр пятна в фокусе системы равен
Ускорение электрона обусловлено электрическим полем напря-
напряженностью Е. Конечная скорость электрона найдется из условия
— ° = 9.таг2, откуда Р2= (о/сJ = 3/4. Таким образом,
VI — Р2
средняя скорость электрона близка к с/2. Поскольку ускорение
происходит в течение времени порядка Т/4, пройденный путь бу-
будет порядка (с/2) (Т/4) = )./8, т. е. меньше размера фокуса.
248

Оценим теперь ускоряющее поле Е:
Ас 4с2 ^ еЕ _, ^ Атас2
Т К ~ гпц ' ~ Яе
Мощность лазера Р есть
16enm2c5
Р « (ео?2) сА,2 = ^— as 10'° Вт.
4.71. В первом случае в объектив телескопа попадет излуче-
излучение мощностью
Эта мощность распределяется по площади Si дифракционного
пятна (^г»—о"'7!) и создает освец;енность. равную
Р Пл
F ~ ° '
~"/2 ,2р2 •
Освещенность фона в фокальной плоскости пропорциональна све-
светосиле объектива:
где а — некоторый коэффициент. Таким образом, контраст изо-
изображения
F 4- F0 Р n4F2 Р п2
1 ill I
При наблюдении в телескоп с объективом диаметром D2
Y2 = 2 0 2 = 1 Л ^4 •
Следовательно, Yi = Y2 при условии
L\ L\ D2
—т-=—-, откуда L2 = L, = 5-104км.
4.72. Угловая расходимость пучка света равна X/D. Поэтому
мощность излучения, рассеиваемого спутником,
4(IL/D)* 4
249

Так как спутник равномерно рассеивает оптическую мощность Р'
а телесный угол 2л, то принимаемая мощность будет равна
, я (DVi) __ Р' ( D у
2nL2 & \L J
Записывая теперь условие обнаружения рассеянного сигнала, по-
получим
( D у рР ( d\> ( D \*D
\ L. / о? V Л / ч L, /
» 70 км.
Р'
D 4 / pPd
'"9 \ Тр
4.73. Z-^-кт- Л/—7—» 5-107 км. Здесь Л=6,6. Ю-34 Дж-с—
2Я V tihv
постоянная Планка.
4.74. Изменения фототока заметны при условии 2/i sin a S^
^ c/Af. Отсюда sin a <0,05.
4.75. d = m (d(f/dX) ~f = 2 • 10~3 см.
4.76. Разрешающая способность /? ишерферометра Фабри — •
Перо может быть оценена из следующих соображений. Мини-
Минимальная разность хода между лучами, участвующими в обрззо-
вании интерференционной картины в интерферометре Фабри —
Перо, равна 1L Следовательно, порядок интерференции m =
= 2L/X. Эффективное число лучей на выходе интерферометра
есть N « 1/A—р). Проводя аналогию с дифракционной решет-
решеткой, запишем
„со 1L 1 mZ.
Асо "" ~ К A-р) ~" с (I — р)
Отсюда
Так как » = сои« + сол, где а„ = const — частота лазерного излу-
излучения, Шик — частота исследуемого источника в ПК-диапазоне,
можно записать Дсо = ДсоИк. Следовательно,
_ <Оик _ «>нк _ Мик п „ тик/- 2?tL 5
Кш ~ Д(оик ~ Дсо ~ со К~ с A-р) - /Ud-P) ~^'1U-
4.77. Радиус пространственной когерентности в плоскости ре-
решетки
XL
гког « -Д--
Эффективно работающее число щелей Л'зф « rKOr/d, где d—пе-
d—период решетки. Разрешающая способность решетки равна
R = Х/Ы = шЫаф, mmax » d/Я,.
2S0

Отсюда максимальная разрешающая способность равна
-vmax ~ x d D
4.78. Lmin^ D~ = IO см.
6Л
4.79. /?1пахя# 1 /-ф = 103.
4.80. ^ Xi~Xl =4-10-4рад.
Л,
4.81 Д71 < (Nina.) = 1 "С.
4.82. Дсо2/А<В| ж ст/Д = 3 • 10~3.
4.83. бф2/6ф, да JV/(vt} = 15.
4.84. Условие синхронизма: d(c/o — sin G) = trik (m = 1, 2,
3...).
4.85. Зеемановское расщепление Д^. = Х2еВ/Dлт^с) =
= 0,016 нм. Для бездефектной решетки &Х = X/(mN) =
= 0,006 нм < АХ. Для решетки с дефектом максимум 1-го по-
порядка размыт и имеет угловую полуширину
Дф Ad
где Ad/d = Ю-2 — относительное изменение периода решетки.
Принимая во внимание, что при малых дифракционных углах уг-
угловая дисперсия в 1-м порядке есть dq/dX = l/d, получим
6Х,деф « d —— = X = 0,3 нм > АХ.
Таким образом, зеемановское расщепление обнаружить нельзя,
4.86. DmIn»-l JL«1 см.
4.87. Условие максимума в интерферометре Фабрн — Перо с
воздушным промежутком имеет вид 2Ln cos ф = тХ, где ф —
угол наклона лучей, L—база интерферометра. Для выбранного
кольца т = const, поэтому при изменении температуры будем
иметь
«| COS ф| =fl2COS ф2, ИЛИ
Поскольку давление р = const, имеем
( ф
A,1 1 9
Постоянная А найдется по значению разности п— 1 при Т} =
= 293 К- Это дает А = 0,08497. Таким образом,
п\ 0 — Ф?/2) = п2 — 1 + ^/Г2 = 1.00024.
251

Отсюда
Г., = 354 К.
4.88. Дисперсионная область интерферометра Фабри — Перо
где m = 2L/X—порядок интерференции, L — база интерферомет-
интерферометра. Отсюда следует
Разрешающая способность интерферометра раина
_ X 2nL пХ
ЬХ Х(\ — р) ДЯ,A — р) ¦
Таким образом, максимальное значение коэффициента пропуска-
пропускания есть
ЬХ
х = 1 — р « я -дт- » 1,5 %.
4.89. Серия затухающих импульсов длительностью т =
= 10~" с, следующих через интервалы At = Il.jc = 3-10-" с.
Импульсы затухают но экспоненциальному закону со временем за-
затухания /=У?Л/с= 1.6-10-° с.
4.90. Условие автоколлимацпи (обратного отражения на ди-
дифракционной решетке) в 1-м порядке 2d sin ф = X, где d= 1/Af,
Ф — угол наклона решетки. Отсюда получаем
sin ф = XN/2, cos ф = Vl —(XNI2J.
Относительное расстояние между модами в интерферометре
Для выделения одной моды в 1-м порядке необходимо выполне-
выполнение условия
где Nt =DN/cos q>— число освещенных штрихов решетки. Отсюда
2L , [1 - (XN/2J]112 . .
§ 4.5. Поляризация. Оптические явления
в кристаллах
.4.91. rf = Bm+ 1) Л/[2(и —1)] (/и=1, 2, 3 ...).
4.92. J = 2J0. Свет поляризован линейно.
4.93. J = 3J0.
4.94. J = 5J0.
4.95. J = 5J0.
252

4.96. Интенсивность света возрастет в 25 раз A), интенсив-
ность вета возрастет в 9 раз B).
4.97. d > №1[&К(пв—по)] = 1 мм, падающий crpt должен
быть поляризован под углом 45° к оптической оси пластинки.
4.98. Зг = <Э'0/4. Свет поляризован по кругу.
4.99. d = mK/(n — \) (m = 1, 2, 3 ...).
^ma* = E/8) Уо-
4.100. J = (l/2) Jo.
4.101. ф = 45°.
4.102. &2/&s =0,5.
4.103. Оптическая ось пластинки должна быть ориентирована
под углом 45° к разрешенным направлениям поляроидов. Для од-
одной из линий дублета натрия пластинка должна быть пластинкой
в полволны К/2, а для другой — в целую длину волны >.. Мини-
Минимальная толщина пластинки dmin = 5,06 мм.
4.104. а/6 = Уз~, ф = 53°.
4.105. 3 =-^р [1 - cos kax (ne — ио)],
где k = 2лД— волновое число, координата х отсчитывается от
ребра клина.
При установке линзы будут наблюдаться два светлых пятна
на расстоянии L = а(пв — no)F, где F — фокусное расстояние
линзы.
sin B%/2)
4.106. Л=^-
2N
sin (ф/2)
где ф = BяД) d (ne — по). Такая система является интерферен-
интерференционно-поляризационным фильтром.
4.107. яо= Д/ J+rf ' rte =
Ось z является оптической осью.
л/
4.108. Г = 2ял А / ^F- = 5 мин.
4.109. Л = SfSKl{2nc) = 0,95-10-' дин-см. От распределе-
распределения интенсивности в пучке Jf не зависит.
Для пластинки в К/4 вращающий момент такой же, как и для
поглощающей пластинки. Вращающий момент удвоится, если
взять пластинку в К/2.
4.110. Л^Ж-^. = 0,76-10-6 дин. см.
4.111. Свет будет поляризован по левому кругу.
Ж/S = ЗХКпс) = 7,7 • 10"9 дин/см.
253

4.112. Максимальный вращающий момент возникает, когда
главные направления пластинки ориентированы под углом 4Г>° к
плоскости поляризации света.
Ж = РХ/с = 6,3-10-' дин-см.
4.113. Из условия ^nWS'rain = 3 следует, что линейно поля-
поляризованным свет переносит половину всей мощности.
JUS = &\/Dпс) = 1,9- Ю-9 дин/см.
4.114. Падающую волну можно представить как сумму двух
линейно поляризованных компонент одинаковой амплитуды. Ком-
Компонента, поляризованная в плоскости падения, отражается от 1-й
решетки; компонента, поляризованная перпендикулярно плоско-
плоскости падения, отражяется ог 2-й решетки. Фазовый сдвиг между
ними после отражения
Дф = BлД) • 21 sin a = я/2.
Таким образом, отраженная волна будет поляризована по кругу.
§ 4.6. Дисперсия и распространение света
4.115. ЛЯ = -^-6Я = 50 им.
4.116. Диэлектрическая проницаемость е плазмы определяет-
определяется выражением
е = п2 ¦¦= 1 5",
еотесо
где е и те — заряд и масса электрона, N — концентрация элек-
электронов. Отсюда
Найдем теперь фазовую скорость радиоволн:
о = с/п » 3,3- 10а м/с.
Для определения групповой скорости а нужно знать зависи-
зависимость v{\). Эта зависимость может быть легко установлена из
выражения для п2, если принять во внимание, что п = с/о, со =.
= 2лоД:
°=лА
Используя соотношение Рэлея
254

получим
u = —= c««2,7-108 м/с.
о
4.117. d, = с In 10/Dnv*) = 13,5 м, di=2dl = 27 м
Здесь /и = V' — Ne2l(nmey2).
4.118. «= 22ЯС 2 -^?-^4.10"
Я2 — А,| Г,-)
Ar = -i? f *L« 4- Ю-1 см~3. Здесь л„ =
2ят„с Д< v, — vf
4.119. L = ^5 ,, ' «7. 102° см «700 св. лег
Nel vjVg
4.120. До/о = Ne2/Bnmev2) = 2,5 • 10~4.
4.121. Поправки, обусловленные теорией относительности, со-
составляют (vieJ часть от измеряемых величин. Показатель пре-
преломления п = л/е, для плазмы отличен от единицы на величину
e2N
An = Vе —
2еотесо2 '
где е и те — заряд и масса электрона. Поскольку состояние ионо-
ионосферы (плотность электронов) меняется неконтролируемым обра-
образом, для надежного обнаружения эффектов, предсказываемых тео-
теорией относительности, ошибка измерения параметров орбиты на
должна превышать Д«. Таким образом,
С»\2. . e2N
Отсюда
Vm[n = ^-^ JS- л/-JL- «0,8-10" Гц.
2я 2яо V 2е0ше
4.122. Фотону с энергией W = 5 эВ соответствует длина вол-
волны Я= 3-10-6 см. Граница прозрачности определится из услопггя
Отсюда
_ е0те(о2 4я2е0сгте 2з м-з
/V = т = т-„—; й! 1U М .
«2 Ve2
Концентрация атомов в серебре
я = Ядр/^ » 6 • 1028 м~3.
25S

Здесь NA—постоянная Авогадро. Таким образом,
N/n яз 1/6.
Z(>NAeWd
4.123. ф = — - г-ж4,5'10~' рад; дифракционная рас-
ходимость Лф я* K/d « 10~9 рад < ф.
4.124. Электрический пробой наступит в том случае, когда
электрон в результате действия на него электрического ноля све-
световой волны приобретет энергию 10 эВ = i,610~18 Дж. Эта энер-
энергия значительно меньше энергии покоя электрона «ос2 я*
« 10~13 Дж, т.е. скорость электрона о при пробое много меньшее.
За один период колебания электрон смещается на расстояние
порядка v/v, где v — частота света. Это значительно меньше дли-
длины волны света Л « 5• 10~5 см и длины свободного пробега элек-
электрона /пр « Ю-4 СМ.
Таким образом, целесообразно рассмотреть действие световой
волны на свободный электрон:
тЯ = — еЕа cos mt,
где Еа—амплитуда световой волны. Интегрируя, получаем выра-
выражение для скорости электрона: о = —(eEa/ma)s\n mt. Макси-
Максимальная кинетическая энергия электрона равна
( _
2 VTH^J
Отсюда
El = 2f/meco2/e.
Плотность потока энергии лазерного луча равна
PIS = съаЁ\
где S = (n/4)d2, Е2 = ?д/2. Окончательно получаем
Вт.
4.125. Принимая во внимание, что при скользящих углах па-
падения ф ж 4а, получим из условия полного внутреннего отраже-
отражения
cos a = cos (ф/4) = и = 1 — ф2/32.
Показатель преломления есть
е0тесо2 280тесо2
Отсюда находим
Ф « Ду4 е2 ^ «5-10 2 рад ж 2,9 !
256

4.126. Показатель преломления гача определяется соотноше-
соотношением
п = VI + 4яа/У ,
где а—поляризуемость молекул газа (в гауссовой системе), а
N—их концентрация. Принимая во внимание, что
V
где Pol(k^T)—концентрация молекул при h = О, получим
яз I + 2nd ° f ! 'I j.
Радиус кривизны луча, пущенного горизонтально вблизи по-
поверхности планеты, есть
Г = -; ТГ" ** — 7Г^ ~ — Ю2 Км-
ап/ап 2я<хр(|ш?в
Так как г < 0, центр кривизны располагается при Л < 0. Таким
образом, горизонтальные и близкие к ним лучи не могут выйти
за пределы атмосферы Венеры (\г\ <гв).
В атмосфере Венеры возможна круговая рефракция, при ко-
которой луч света огибает планету на некоторой высоте.
4.127, Радиус кривизны горизонтального луча в атмосфере
Земли равен г = — 1/(«о— 1) (kBT/mg) « — 2,9' 104 км. Для кру-
круговой рефракции давление (и плотность) должно быть в 4,5 раза
больше,
4.128. Интерференционное отражение света происходит толь-
только от тех звуковых волн, для которых выполнено условие Брэг-
Брэгга—• Вульфа. Доплеровской сдвиг частоты рассеянного света оп-
определяется соотношением
где 6 — угол рассеяния.
Условие разрешения R = mN 5s v/Av. Отсюда при m = 1
получим
»1210'
4.129. N^i-^y—J «2,5.105,
257

4.130. Дифракционная решетка должна обладать разрешающей
способностью R J3 (cl'2)^Jт^къ'Г « Ю&, где mNe — масса атома
неона. При работе в 1-м порядке /. = Rd #3 10 см
4.131. При т = 10 cyi Л'^103. При т=10 лет расщепление
спектральных линий значительно меньше их ширины.
4.132. Для надежного обнаружения движения космического
корабля по доплеровскому сдвигу спектральных линий необхо-
необходимо, чтобы этот сдвиг был больше ширины спектральной линии,
обусловленной тепловым движением молекул на поверхности
Солнца (т е. чтобы линейная скорость корабля превосходила
среднеквадратичную скорость молекул водорода, равную при тем-
температуре Т — 6000 К о, « I01 м/с). Отсюда следует, что
v^.vT « Ю4 м/с
Минимальное число штрихов дифракционной решетки опре-
определяется соотношением
R mN^{a
При m = 2 получим Af#3l,5'IO4, Приведенная оценка не учиты-
учитывает доплеровскнй сдвиг, обусловленный вращением Солнца.
4.133. Эффект обусловлен изменением оптических длин путей
для встречных волн: Av = v
4.134. По формуле для релятивистского доплер-эффекта най-
найдем
где р = v/c = 0,8, Д^ = 1 с.
4.135. Решение аналогично решению задачи 4,134, Стрелка
совершит два оборота.
4.136. Д^ = 3 • 10~5 с, 6 (Д/)/Д* да 0,06 %.
4.137. о = C/5) с.
4.138. Перейдем в систему, в которой спутник покоится. Ча-
Частота приходящего на спутник сигнала равна
VI — и2/с
v, =-
I + (v/c) cos a I + p cos а '
Такую же частоту в системе, связанной со спутником, будет иметь
отраженный сигнал. Перейдя теперь снова к системе, связанной
с Землей, обнаружим в точке В сигнал с частотой
V0
1 -
1 — Р cos 9 ° A + р cos а) (I — р cos 9) '
258

Релятивистская попраака к частоте есть
pe/l
Отсюда следует, что разрешающая способность R спектрального
прибора должна быть
рел
V. АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 5.1. Кванты света. Фотоэффект.
Эффект Комптона
5.1. ф яа 20МсД/?сс2) & 50 мкрад, где Мс и Rc—масса и
радиус Солнца, G — гравитационная постоянная.
5.2. а = (Р/<//е)~ = 0,01, где е —заряд электрона.
5.3. W = А (со + S) — Wu =. 0,25 эВ.
5.4. а = arccos [Ц7К/(Ц7К + 2тес2)]'/2. где тое — масса покоя
электрона.
55. Wv = 2трс2 « 1,9 ГэВ, где тр — масса покоя проюна.
5.6. а = 90°.
5.7. emax = 60°.
5.8. е12 = 90°, е13 « 127°, в2|, = п - arct? C/4) « 143°.
5.9. v — c[l +('Пе?.с/АJГ=1,54-1010 см/с.
5.10. П^Л, « 411сЪ71/(ктУ) « 7,2 МэВ.
5.11. Wy » mec2/2 « 0,25 МэВ.
5.12. А. = 2,4 пм.
5.13. Обозначим начальную энергию фотона Аса, конечную —
Йсо', угол рассеяния фотона 9, кинетическую энергию электрона
№к, импульс р, угол вылета электрона ф. Запишем законы сохра-
сохранения энергии и импульса:
Асо = Асо' + Wk. sin 6 = р sin ф,
ftco ftco' n ,
= cos U + p cos ф;
С С
отсюда найдем
Асо' \2 / fico \2 , , 2Асо
р2с2 + Wl — 2pcWK cos ф
Лео' =
2 (рс cos ф — WK) '
259

если (рс cos ф — IFK) > 0. Окончательно получим
со5Ф > WK/(pc) - [l + ^c4/(pV)]'/2- m/Kpc).
5.14. 11^/11% = (l + 2В%/тес2)"' =0,05.
5.15. my < (A/cA,,) Dб;/?лI/2 да 10~44кг.
§ 5.2. Волны де Бройля. Волновые функции
5.16. п = [(WK + eU^/W^1'2 = 1,17. U2 = - 75 В, где в - за-
заряд электрона.
5.17. W = 150 (L/RJ сГ2 « 12 кэВ.
5.18. Условие отражения m-ro порядка в системе, связанной
с кристаллом, запишется в виде
2d sin Ф = ink = mli/(mnv),
где ft—постоянная Планка, тп — масса покоя нейтрона, у — ско-
скорость нейтронов относительно кристалла. В первом случае источ-
источник нейтронов неподвижен, а во втором — движется со скоростью
и. Поэтому
sin Фо/sin ф = | о + и | / | о |.
В дальнейшем будем полагать, что и < у. В атом случае имеем
приближенно
|в + о|/|о|«1+ («/у) sin ф0,
и, следовательно,
sin ф да [1 + («/о) sin ф0] sin ф0.
5.19. k = hq>l(m.nLn) = 0,6 нм. Ак/к = 6/(#ф) = 0,2.
5.20. «7 = Дф/ш0/(?/0 « 10~13е.
5.21. sin (ф/2) = mll/k BmeWKI/2 (m = 1, 2, 3 ...),
<Pmln = 0,l мрад.
5.22. rf = 2 {hL/BmkBTI/2} « 2 мкм, где т — атомная масса
ееребра.
5.23. Энергия электрона на n-и уровне равна
На каждом уровне находятся два электрона. Поэтому полная
энергия всех электронов равна
N12
W = Bn2h2/2m&b2) ? я2,
п = 1
в сила давления на стенки ямы
JV/2
260
дЬ &
n-i

5.24. WK > H2/Bmprl) « 0,2 МэВ.
5.25. Дг = hc/(mnc2) = 2 • 103 См.
5.26. Угол <р между направлением полета частиц и направле-
направлением излучения определяется из раненслва
cos ф = cl(iw).
Электрон, находясь в слое вешестпа толщиной d, имеет неопре-
неопределенность импульса Др яз hid н неопределенность скорости Да =
_«= hl(dmt), Связанная с этим неопределенность угла ф равна
Дф rj ch/(me dnv' sin ф).
5.27. хж4Н2(е.+ \)/[тее2{е — 1I = 7- 10-' смд
Ц7св«.-пее4(е —lJ/[32/i2(e + 1 J] = 7,5-10~4 эВ.
5.28. WK « h2/{8ma2), точное решение: WK = fi2/Bma2).
Wn (x) = — h'/ixma), W = - K1lBmd').
5.29. Wn = Wa + {K2h2/2med2)n' (n = 0, 1, 2 ...),
5.30. U7n = W/sm2[d {2meW)ll2/ti] = 1,64 эВ,
D = exp {- 2/Г1 [2me (\Vn - W)]U2 ¦ 9rf} = 3,5 • 10~5.
t = In 2/(nD) = 0,16 пс, где n — число ударов о стенку.
5.31. Е = 2mN+ До/(/ Д/) « 280 В/см.
§ 5.3. Атомы и их излучение
5.32. Ч7И = 2,6 кэВ.
тпре4A/32-1/42)
5.33. ДЧ7 = z-r, « 125 эВ,
где тПр = т^/ИрДту, + тр) — приведенная масса мезоатома.
V = (me/mn)rB = 2,8-10-" см.
5.34. Среднее значение потенциальной энергии электрона
в момент распада мюона найдем из соотношения
Средняя кинетическая энергия раина
WK=W- Vn = - й2/(8гБ) + e'/(ArR) = fi*/DrB) к 4 эВ.
5.35. Вероятность найти мюон па расстоянии г от центра
ядра равна
w (г) = (Аяг2Ыг\) ехр (- 2г/;Б) dr.
261

Поправка к энергии будет
— ехр ( ) dr
г гъ v гъ)
?[-(¦+^
Поскольку гя = 1,3 • Ю3^ да 3,5 • 10~13 см, гъ = ^/
« 2,5 • Ю2 см, то гБ > гя и
Так как W = 2Wn = 2Ze2/rri, где И?п — потенциальная энер-
энергия, то окончательно получим
AW/W да 2 (rjrbf да 4 • 10~2.
5.36. Для оценки положим, что начальный импульс ра элек-
электрона был направлен перпендикулярно линии полета фотона. Ве-
Величину ра найдем из условия
РдГоаП. A)
Продольный импульс pi электрона после соударения с фотоном
найдем из закона сохранения импульса:
ftco/f = hot'/с + pt, B)
а Аоо — из формулы Комптона:
ДЛ = Л2 — Я, =2яЛе A — cos(p), C)
где Ле — комптоновская длина волны электрона. Окончательно
получим
tge = po/p;«O,14, 9 да 10°.
5.37. Z,min = сх = 3 см.
5.38. Г » трХ2 (Д/J/(ЗйБ) « 44 К-
5.39. Д/«т-' = 10МГц, где т = — Д*/[оД !n
5.40. Г = (ДЛДJ Me2 D/?) = 7,8 • 105 К, где М - масса ато-
атома l2C, R — универсальная газовая постоянная.
5.41. щ = И72т/Bяс2А)да1,6-10~иг, Ь — (Зт/4яр)|/3л;0,У мкм,
5.42. Н = 10 Лс2/(ЯТ«7) да 400 м.
5.43. г=0, 1, 2, / = 6,3.10-39г.см2.
5.44. У = с/г/(еДЛ) = 15 к В.
5.45. Ь » 3?с/A6я0(;рреМс) « 0,4 мкм, где Lc — светимость
Солнца.
5.48. Д/yf = feB TX/(mNeDc) = 3,6 • Ю.
262

5.47. Расщепление пучка нейтронов в однородном магнитном
поле обусловлено переориентацией спиноп нейтроноа по полю и
против него. Изменение энергии нейтрона при пересечении границы
магнитного поля равно &WK = rfcjxB, где знак плюс соответствует
случаю, когда спин нейтрона параллелен полю, минус — когда
спин антипараллелен, а Ц — проекция магнитного момента на на-
направление поля, равная магнетону Бора ЦБ. Кинетическая энер-
энергия связана с длиной волны де Бройля X соотношением №к =
= 2n2liil(mrlX2). Показатель преломления ранен
Для углов преломления на границе можно записать
sin 60 °/sin cp = 1/п±.
Для малою угла расщепления 0 = ([+—ф_ окончательно имеем
6 л; (sin 60 °/ cos ф) (п+ — я_) = цВ tg 60 °/Ц7к =
= л/3~"^21'Я/Bя2/г2) яз 80 мкрад
(ф—средний угол преломления, 7. е. около 00°).
5.48. Атомы Na при заданной температуре находятся в ос-
основном 2Si/2 состоянии, Проекция магнитного момента атома на
направление поля
Ни = '"йИб = ^Б.
так как т=±1/2, я = 2 — фактор Ланде, цБ — магнетон Бора.
Сила, расщепляющая пучок атомов, летящих вдоль оси у,
/^ = =Ь ЦБ dB/dx
за время t = l/v сообщит атомам скорость
dE I
приводящую к смещению пучков на детекторе
, dB ЦЦ2 + Ц
Х ~ =*= ^В J ^1 •
Кинетическая энергия атомов равна
/Ш12/2=C/2)*Б7\
Окончательно находим расстояние между пятпямп на экране:
о - г, dB l С/2 + L)
5.ГH. Lmax = 2nm(,ci/(eB) = 1,1 см.
283

5.51. Зеемановское расщепление должно быть больше допле-
ровского ушмрения за счет теплового движения атомов (в ос-
основном водорода) и вращения звезды, т.е.
Дсо/со = 2|хБВ/(/ги()) > (Дсй/и)тепл + (Асй/и)в[1а|ц =
= VTenJc + Ивращ/с та О-гепл/с .
Окончательно получим
В > (Й(й/2цБе) BfeBr/mp) « 0,13 Тл.
5.52. Четыре компоненты с т, = +3/2; +1/2; —1/2; —3/2
для терма 2Оз/2 и две компоненты с т, = +1/2 и —1/2 для тер-
терма 2Ру2. В расщепленной линии шесть компонент, так как gi ф
ф g% Окончательно находим
Дш= {±13/15; ±11/15; ±1/15} еВЦ2тес).
5.53. Терм Рз/2 расщепится на четыре, a Si/2—на два под-
подуровня. В расщепленной линии Рци -*¦ S[/2 шесть компонент, а для
Л/а-*-Si/2—четыре компонента. Расщепление в магнитном поле
равно АЛ, та Д W№/Bnhc) та 0,03 нм. Эффект аномальный.
5.54. В ш = ——5 « 0,3 Тл.
2|XR 2Л2цБ
5.55. ДЦ7 х 10~8 эВ. Обнаружить это расщепление нельзя.
5.56. Изменение энергии при переориентации спина равно
Д\*7 « 2ц.рце/гБ ш 1 мкэВ.
Окончательно находим
Л = Ле/ДЦ7 та 1 м
5.57. Рат = 2я/ге/(Л?) « 4,3- 10~18 ед. СГСЕ,
' = Рат/е *** Ю НМ.
VI. ИЗЛУЧЕНИЕ
6.2. Так как свойства равнопесного излучения не зависят от
объема системы, то«7(^, Г) = Ур„зЛ(Г) и S(V, T) = Vs(T). Из
термодинамических тождеств
(aS/dVJj, = (dpldT)v, T (dS/dT)v =Cy = (dW/dT)y
в сочетании с уравнением состояния получаем
s = A/3) dpmJdT, ds/dT = T~ldpil3Jl/dT.
Решение этой системы уравнений дает
Риал СП = %Т\ S (Т) = D/3) ?Г3.
264

Так как интегральная плотность энергии излучения рНзл(^) свя"
зана с интегральной плотностью потока Oq^T4 соотношением
0СБГ4 = срнзл (Г)/4, аналогичным газокинетической формуле для
молекулярного потока, то сгСБ = е?/4. Здесь сгсв — постоянная
Стефана — Больцмана. Из вывода видно, что константа § не мо-
может быть найдена термодинамически, используя результаты ре-
решения задачи 6,1, мы выразили ее через экспериментально изме-
измеряемую постоянную сгСБ.
6.3. Мэ = срИЗл/4.
6.4. Г = (Зср/4аСБI/4«1,4-105К.
6.5. ге= 4аСБГ3/(ЗейБ) яа 1,8-107 см, где йБ — постоянная
Больцмана.
6.6. rV)=r0
6.7. rV)=r0W/
6-8- Ыкор/Ыэм = п К + "'«) ^7BаС^СБ^) « 6 ¦ Ю-8,
тр и те — массы протона и электрона.
6-9- ^д = (?c/<W/4 (Ч*сУ/2 « 5900 К.
6.10. ДГ = Г3 Р/DР) « 7 • 10~3К, где Г3 — средняя темпера-
температура поверхности Земли.
6.П. гш = гс(
6.12. Теплообмен падает в N + 1 раз.
6.13. |0=4аСБ/CС).
cv=\Q<JCBT3/c, р = 4аСБГ4/(Зс), ^ = 84-
6.14. р = 32аСБГ4/(Зс) « 1,26- 10~э дин/см2 « 1(Г° Торр.
6.15. ср=оо, IT3 = const.
6.16. < = <1Г1/Г0~ 10' лет.
6.17.
cSt ДА,
6.18. Приблизительно на 38 %•
6.19. E/я4) (Ч7/ЙБГK « 0,2 %.
6.20. A5/я4) («7/йБ7'K ехр (— W/kBT) яа 0,8 • 10~6.
6.21. шиид/шсп = «(«/)= {ехр (Ч7/^БГ) - 1}-', где Л - сред-
ние планковские числа заполнения для осцилляторов. Для атома
и
265

а для спина W <СйБГ и
wKRJwcn~kBT!W « кБТ/BрБВ) а* 2,2- 10».
6.22. со> (AigT*//!) In KVsw 1,8.10й с
6.23. fen (Г) = ^ th
2) ftn (Г) =•*„[' -2е
6.24. Спонтанное излучение возникает из-за возмущающего
влияния на молекулу нулевых колебаний электромагнитного поля.
Поэтому вероятность спонтанного излучения пропорциональна
произведению площади S пол спектральной кривой поглощения
молекулы (которая является мерой связи «внутримолекулярного
осциллятора» с электромагнитным полем) на среднюю спектраль-
спектральную плотность ро(о>) энергии нулевых колебаний электромагнит-
электромагнитною поля из частоте, отвечающей переходу в молекуле, и в той
точке пространства, где находится молекула В вакууме подсчет
числа нормальных осцилляторов па интервал частоты произво-
производится точно так же, как при выводе формулы Рэлея — Джинса,
П в итоге получаем
ш. „ ~ ASP,-, (ел) = AS (йа>3/2я:2с3),
где А—некоторая константа.
D резонаторе в актуальной области частот имеется одно
нормальное колебание с шириной порядка (o/Q. Поэтому если
ширина молекулярных уровнен Г < co/Q, спектральная плот-
плотность ра имеет порядок (/ш/2) (V'co/Q). Из-за изменения спон-
спонтанного времени жизни ширина уровней Г в резонаторе может
значительно отличаться от ширины в вакууме, однако существен-
существенно, что, как и для обычного осциллятора с затуханием, амплитуда
в резонансе и ширина меняются одновременно — так, что площадь
под кривом поглощения остяетея неизменной. Поэтому
ш,Г1 со AS (HQ/2V), wjw\n со nW(Va>3).
6.25. -?-22L = I Г, _ iHn=JLL1
Л'полн 2 L 2knl J
0,505.
VII. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
§ 7.1. Свойства кристаллических решеток.
Фононы. Теплопроводность
7.1. Простая — я/6, гранецентрированная — 2''2д/6, объемно-
центрированная — 31'2я/8.
7.2. Согласно условию задачи волновые векторы падающего
и рассеянною лучей равны k = k{\, 0, 0) и k' = (l/3)/e(l, 2. 2)
266

соответственно; здесь k = 2nv/c. Поэтому изменение волнового
вектора при рассеянии равно
к' — fe = B/3)fe(—1, 1, 1).
С другой стороны, при брэгговском рассеянии
к' — к = 2яЬ.
где b — целочисленный вектор обратной решетки. В кубической
гранецентрированной решетке базисные векторы прямой решетки
выбираются в виде Я[ = 2~"*оA, 1, 0) и аналогично а2 и а3;
здесь а — межатомное расстояние, При этом базисные векторы
обратной решетки построены по типу Ь, = 2-1/2а~'A, 1, 1). От-
Отсюда видно, что в интерференции 1-го порядка вектор Ь должен
быть просто отождествлен с одним из минимальных векторов bi
И поэтому
2я/Bа).
Окончательно находим, что
а = 3c/23/2v «2,9-1 (Г8 см
7.3. Уравнение колебаний ангармонического осциллятора с по-
потенциальной энергией W*(x) имеет вид
тх = — "лк — /и]х'г.
Коэффициенты в нем можно оценить, учитывая, что Wn(x) возни-
возникает вследствие взаимодействия электронных оболочек, имеющих
атомный порядок величины а, и само взаимодействие имеет атом-
атомный ПОрЯДОК И?аг. ПоЭТОМу
х со Гат/а2. х, «3 Way/al
Усредняя уравнение движения по периоду колебаний т @ <' ( <
¦< т), имеем по определению среднего и с учетом периодичности
движения
i = l[;*(T)-* @I=0
Поэтому ]с = х,л2/х. При слабом энгармонизме1 моч«!!о ¦>•'¦ г.зять
в гармоническом приближении: кх'г/'2 = k^i'j2. Почгому
где feB — постоянная Болышана.
Если принять War •— 10 эВ, то температурныГ] коэффиц
линейного расширения
bR/Wai ~ Ю-3 К.
Он не зависит от температуры во всей классическом области
Йсо (со лг (х/mI^2— круговая частота колебаний).
207

7.4. N продольных колебаний и IN поперечных.
7.5. a>(fe)=2(x/m)| sin (/га/2) |, s = а (х/т)т.
7.6. со = (я/20) (я/в) ж 1,05- 10ia с-'.
7.7. Решая уравнения собственных колебаний цепочки, полу-
получаем две ветви частот:
a?: (k)= l±(l —, ) . |/га|<я/2.
Здесь mnp = mlm2/(ml + m2) — приведенная масса. На нижней
ветви при | ka | -С 1 частота <в, со fe, и поэтому эта ветвь назы-
называется акустической. На верхней ветви и^ (k = 0) = 2x/mnp, она
называется оптической. Между ветвями существует щель, так
как я>2 (я/2а) > со, (я/2а). При т( = /га2 частоты равны:
и щель при fe = я/2а исчезает; период цепочки уменьшается
вдпое, и поэтому можно рассматривать одну ветвь
<в2 = (х/тпр)[1 -cos(fea)!
в удвоенной области волновых чисел \ka\ ^ я.
7.8. Решая уравнения вынужденных колебаний цепочки и вы-
вычисляя днпольный момент, находим поляризуемость:
а (и) = (е2/тпр) Bх/тпр — со2).
Поляризуемость расходится на частоте длинноволновых оптиче-
оптических колебаний ш= Bн/тпр).
7.9. Запишем законы сохранения энергии и импульса при рас-
сеямни нейтрона:
hW/Bm) = h2 (fe'J/Bm) ± Аса (q), k = к' ± q + 2я6;
здесь знак плюс отвечает за испускание, а минус — 9а поглощение
фонона. Во втором равенстве Ь — произвольный вектор обратной
решетки. Экспериментально измеряя k и ft', можно из первого ра-
равенства непосредственно получить а>(я), а из второго — q; при
этом вектор Ь определяется из того условия, что q принадлежит
первой бриллюэновской зоне. Это позволяет восстановить зави-
зависимость a>(q).
7.10. Теплоемкость единицы объема:
cv = Bя2/15) кБ {21 s] + l/sf) {kbT/hf.
7.11. С, со Г, С2 со Г2.
7.12. cv = Bn2/lb)kE(kET/hsym3Q эрг/(см3 • К).
7.13. s да {2n2kE/5cvI13 (kBT/h) « 5,3 • 10s см/с,
TD да Fя2I/3 (As/ftва) ж 520 К.
268

7.14. Используя результат решения задачи 7.10, можно полу-
чить приближенное выражение для удельной теплоемкости:
Суд со (ps) ¦ °°а (<As') ca \JLTD) ;
здесь а — постоянная решетки, з& — атомная масса. Отсюда выте-
вытекает отношение масс гелия, необходимых для охллждения свинца
и кремния:
mPb/mSi = Ирь/^Si) [TD (РЬ)/Гд (Si)]3 » 42.
7.15. У к аз а н и е. Воспользоваться аргументами, использо-
использованными в решении задачи 7.3.
7.16. S = R In B/ + 1), SHe = R In 2, SAr = 2/? In 2, где R —
универсальная газовая постоянная. Энтропия полностью упорядо-
упорядоченного состояния принята равной нулю.
§ 7.2. Электроны в металлах
7.17. rF«9,8 3B, pFto 1,5-10~19 г • см/с, vp » 2,1 . 10е см/с.
7.18. W = 3Wp/5.
7.19. tt7K« 1.93 эВ.
7.20. За время жизни позитрона в кристалле до его анниги-
аннигиляции с одним из электронов позитрон успевает ртстерять свою
исходную энергию Поэтому его скорость является тепловой н ею
можно пренебречь в сравнении со скоростями электронов порядка
фермиевской скорости. Следовательно, при написании закона со-
сохранения импульса достаточно учесть в начальном состоянии
только импульс электрона ре:
Ре = Pvi + Ру2>
где pVI, pv2— импульсы фотонов ("у-кваитов) Так как энергия,
выделяющаяся при аннигиляции электрон-позитронной пары, в
расчете на один у-квант равна тс2 as 0,5 МэВ (т — масса покоя
электрона), что намного превышает фермиевскую энергию элек-
электрона WpS?\Q эВ, то импульс каждого уквапта с высокой точ-
точностью равен тс. Так как тс 3> Р/>, то угол между разлетаю-
разлетающимися уквантами будет близок к я. Отклонение <р от этого угла
будет тем больше, чем больше импульс аннигилирующего элек-
электрона, а он максимален, когда импульс электрона равен pp. Из
закона сохранения импульса следует
рр = тар » 10~19 г • см/с.
,2\2'3 fc2..5/3/ о о irv5
7.21. р = A/5) (Зя2) ftV/3/m » 3,8 • 105 атм,
К~[ = d (In n)/dp = 3/Eр) = 1,5 ¦ 10~б атм.
269

7.22. ф ~ ЬБТ/(ярр) <С 1 рад, так как в типичном металле с
одним электроном на ячейку pF ~ h/a, а поэтому sPf ~ kbTD
Здес bpF — импульс Ферми, а—межатомное расстояние, s — ско-
скорость звука.
7.23. Нтях = (Zchled) (Зя^ге) « 179 Э.
7.24. dmax = Bc/i/eH) (Зя2/У)« 1 мм.
7.25. sin ф|/я1П фа = (re^i/rai) =2, (фа)по = 30°,
7.26. Решая уравнения движения
получаем
7.2S. vp = (А/и«е) Bяа/У! » 1.05 • 108 см/с,
шс == (еНlmoc) cos ф,
7,29. Из ря = й? следует
= (еЕ/Н) (I - t0).
отсюда с учетом x — vx и vx = dWldpx получаем
х ({) = хо + AХ\/еЕ) cos [eEa (t — to)/A].
Таким образом, элскт()Он осциллирует около равновесного поло-
положения хо с частотой ш = efiajh, и средний ток равен нулю. При-
Причина этого состоит н том, чго кинетическая энергия И^, cos(fe*a)
является ограниченной функцией &*¦ В результате движение элек-
электрона с потенциальной энергией ^(л:) =—еЕх ограничено конеч-
конечной областью (вследствие закона сохранения энергии),
7.30. vx => W0a/2h, uy = vz =- 0;
vy = — (еН/cft) (Wa'/llr), vx = iiz •= 0.
7.31. \Vp= Wn- Рр[\Щ = 2[1'2лй/{За! & l,48A/a,
pF [111' = ;3,IW Й/а) arccos B/3) « 1,46Й/а.
vp [100| «= i^na/A, 3
7.32, Используя формулу для электронной теплоемкости
cbn = iiik\TnlBWp) в расчете на единицу объема и формулу
для решеточной теплоемкости, вытекающую из решения зада-
задачи 7,10, получаем
270

Пользуясь оценкой для S, следующей из решения задачи 7.5, и
полагая Wp ~ U7at, получаем
*ВГ ~ (т/МK/%ат,
чго дает Т* ~ 10 К. Здесь m и М — электронная и атомная мас-
массы, WaT ~ ю эВ.
7.33. В расчете на один атом:
йРеш О К) « 6 • 1<Г V Среш C00 К)
c9J) C К) «2,3 • 10~4йБ, са!1 C00 К) » 2,3 • 10~2*Б.
7.34. стэф ~ 10э Ом • см.
7.35. (/гт)эф ~ (k%T/Wp) nvp d ~ 102 Вт/(см • К), где п — кон-
концентрация электронов.
7.36. Ър1рр = ЦБЯ/Ч7р, бге/ге = (Зя/2) (цБЯ/«7р),
W) (Зя2ге). XNa « 3,8 • Ю-7.
7.37, Согласно уравнениям Максвелла из условия Н = В = 0
следует
rot ? = 0. Ь + 4я/ = 0.
Из первого соотношения вытекает, чго электрическое поле такой
волны является продольным, т. е. в уравнении
Е (г, /) = Еа ехр {< (йг — «/)}
амплитуда Ел || й. Величины D и / связаны с Е материальными
уравнениями
D= eE j = aE,
где е — статическая диэлектрическая проницаемость, а сг — удель-
удельная проводимость. Для зонных электронов mv = еЕ, где о —
средняя скорость потока электронои во внешнем поле. Отсюда
;'о = envo = i (e*nlma) Eo;
подстановка в D + 4я/= 0 определяет частоту собственных про-
продольных колебаний электронов:
Ш = 4яе
Для металлов шр ~ 2 • 1016с""'.
7.38. hap « 9,2 эВ.
7.39. Чтобы ввести комплексную диэлектрическую проницае-
проницаемость е(ш), надо следующим образом переписать уравнение
271

Максвелла:
Тогда в соответствии с материальными уравнениями
8 (со) = е + I 4ясг/со,
8 — статическая диэлектрическая проницаемость (см. задачу 7,37).
Вводя в уравнение движения электрона «трение», описываемое
временем свободного пробега т,
mv = — (mix) v + еЕ,
получаем
сг (со)!
т A — г'сот) '
Исходя из экспериментальных значений статической электриче-
электрической проводимости металлов легко оценить, что в оптическом диа-
диапазоне частот сох » 1, и поэтому комплексная диэлектрическая
проницаемость
е (со) да 8 (l — сОр/со2),
При со < сол е(со) < 0, т.е. имеет место полное («металли-
(«металлическое») отражение. В ультрафиолетовой области при со > сол
(см. задачу 7.37) е(со) > 0 и пропускание резко возрастает.
7,40, Распределение потенциала внутри проводника описы-
описывается уравнением Пуассона
Дф = 4яе (ге — па)/в, A)
Wi
где е — диэлектрическая проницаемость, возникающая за счет
электронов заполненных зон (т, е,
всех электронов, за исключением
электронов проводимости), В со-
состоянии термодинамического рав-
равновесия уровень химического по-
потенциала ? электронов постоянен
**~Х во всем кристалле. Однако из-
за электрического поля дно зоны
проводимости, отвечающее про-
просто потенциальной энергии элек-
электрона, меняется от точки к точке
= VCp(x), Если изгиб зон мал в
г
Ано зоны
проводимости
Рис. 7
(рис. 7); в результате
сравнении с Wr, то
= (dn/dWF)t
Объединяя уравнения A) и B), получаем
Дф = (Ane2/e)/(dn/dWF) ф,
272
B)

Решая это уравнение, находим
X \
При квадратичном закоие дисперсии Wpoop'p, псарр, и поэтому
следовательно,
Для указанных значений параметров 1тг « 4-10~9 см для ме-
металлов и 1,5-10—в см для полуметаллов В первом случае полу-
полученное значение 1тг показывает, что внешнее поле практически
полностью экранируется уже на одной постоянной решетки и
внутрь металла не проникает.
7.41, При не слишком высоких частотах (шт. -С 1) удельная
проводимость сг вещественна, причем ток проводимости значи-
значительно превышает ток смещения (при ш^т/ш>1— ср, за-
задачу 7.39). Тогда комплексное волновое число равно
где б = е/Bясгш) — скииовая глубина проникновения (толщина
скии-слоя). Для меди б « 2-10~4 см.
7.42, сг (со) = сго/[1 + (со — сосJт2], сг0 = е2гет/т*, где сос —
циклотронная частота, п — концентрация электронов,
7.43, В L-верхпроводниках В л* Н и током смещения можно
пренебречь по сравнению с током сверхпроводящих электронов.
Поэтому уравнения Максвелла принимают вид
rot Я = —Я/с, A)
rot Н = Anj/c. B)
Уравнение движения электронов mil = еЕ в сочетании с / = etvo
дает
C)
Подставляя C) в A), получаем rot/ = —(е2п/тс)Н. Исключая
отсюда / с помощью B), находим уравнение для Я:
rot rot Н = — Я/Я д, Хл — (тс'/4яе2ге) ' = е/ш„.
Преобразуя левую часть с учетом div H = 0, получаем оконча-
окончательно
Для плоской поверхности металла последнее уравнение имеет ре-
решения Н ео ехр (± х/Хл), т. е. магнитное поле экспоненциально
Ю Сборник задач по физике 273

зятухает в глубь сперхпроводника. Поскольку частота внешнего
поля не входит в Я,_,|, результат в полной мере относится к по-
постоянному магнитному полю. Искомая глубина Хд ~ 10 —
10~6 см.
7.44. / (Г) = (em'klT2/2si2h3) exp (- A/kBT).
7.45 А (?) = А - e3/2?I/2, j (Т, Е) = / (Г) ехр (е3'2Е1'2/кБГ).
7.46. Уравнение движения электрона:
m'v = еЕ + (е/с) [даЯ] — (m'/тг) да,
Я||г, ?lfl.
Ищем только среднюю скорость дрейфа да, опуская вращение
вокруг направления Я, не дающее вклада в средний поток; для
этого полагаем да = 0. Тогда
Ех ~f* (йс^Еу Еу — №стЕх
где сг — e2nxlm* — удельная проводимость при Н = 0, ш.. =
= еН/(гп*с) — циклотронная частота.
При Еу = 0 продольная состлляющая плотности тока равна
' — а Е
Уменьшение тока в этом направлении с ростом Н определяет маг-
нитосопротивление. Составляющая плотности тока в перпендику-
перпендикулярном направлении равна
у 1 + (ш<;тJ
и является холловской Наблюдения в этих условиях произво-
производятся в диске Корбино.
В пластине ток вдоль нормали отсутствует (/„ = 0), поэтому
холловское поле Еу = шст?* и }% = сг?« Надо подчеркнуть пол-
полное отсутствие магнитосопротивления; причина состоит в том, что
ток течет не только под действием внешнего поля Ех, но и под
действием холловского поля Еу. В сильных полях (шст » 1) до-
доминирует второй вклад.
7.47. Растекание заряда описывается уравнением непрерывно-
непрерывности p+div/ = 0 и материальным уравнением / = аЕ. В хоро-
хороших проводниках изменение проводимости, связанное с избыточ-
избыточными носителями, образующими объемный заряд, ничтожно мало
по сравнению с равновесной проводимостью, поэтому а = const.
Используя соотношения D — еЕ, где е — диэлектрическая прони-
проницаемость, связанная с электронами заполненных зон, и div D =.
= 4яр, получаем окончательно
р + Dяст/е) р = 0.
274

Решение этого уравнения есть
р (г, t) = ро (г) ехр (— //тм),
где Хм = е/Dясг), а Ро(') — распределение заряда в начальной
момент t = 0. Из решения видно, что плотность р, не деформи-
деформируясь, экспоненциально падяет во времени, гак что в тех обла-
областях пространства, где заряд при /=0 отсутствует, постоянно
сохраняется нейтральность При этом ток, естественно, течет во
всем пространстве. Для германия тм ~ 10~10 с.
§ 7.3. Электроны в полупроводниках
7.48. В отличие от задачи 7.40, здесь равновесное распределе-
распределение электронов определяется формулой
где WB(r) = — еф(г), <р (г) — электростатический потенциал, а
п0— концентрация электронов вне области объемного заряда.
Слабость внешнего поля означает выполнение условия |еф| -С
<g.k§T. При этом уравнение Пуассона сводится к выражению
Дф = Dяе2я0/е/гБГ) ф.
Его решение имеет вид
Ф оо ехр (- x/lDH), где IDH = (еАБГ/4яв2«0).
При указанных значениях параметров /Dff«5-10~5 см.
7.49. Wcn = ,п*е4/Bе2Н2) = (т'/ет) R^ « 0,7 мэВ яа 8К, где
RM — постоянная Ридберга
г = Й2е/(т*е2) = (ет/т*) гБ « 65 нм.
7.50. W79K=AfnpeVB8^2), г9К=еЙ2/(ЛТпре2), М,к = т\ + /п*_
где Afnp = m+tn_l(m*+ + ml) — приведенная масса.
7.51. В объеме V в обычном г-пространстве и объеме V» в
пространстве волновых векторов содержится l/Vt/Bn)8 состояний.
Так как для невырожденных электронов числа заполнения равны
п (W) = ехр [— (W + WpykftT], то концентрация электронов в
зоне проводимости равна
= B/Аа) Bят*/гБГK/2 ехр (- Vp/kBT)^Q ехр (- ^^г.
Величина Q называется статистическим фактором зоны, h
10*
27S

7.52. я+я_=я?, n.f^=Q_Q+enp(-Wa/kbT), Q_ и Q+—
статистические факторы электронной и дырочной зон (см. за-
задачу 7.51), tii — концентрация носителей в полупроводнике без
примесей (собственном полупроводнике).
7.53. При не слишком нысоких температурах обмен электро-
электронами осуществляется только между донорами и электронной зо-
зоной. При этом условие электрической нейтральности имеет вид
Q_ ехр (?/feBr) + nR [ехр (- W? + ? ) + '] '-«д.
где пл—концентрация доноров; дли его получения достаточно за-
записать число электронов в зоне и на донорах. Здесь ? < 0 —
уровень химического потенциала (уровень Ферми). Таким обра-
образом, для ехр (?/&БГ) получается квадратное уравнение, которое
легко решается.
При низких температурах, таких, что я_ -С гед, имеем
а при более высоких — п- я: гед (область истощения примесей).
Концентрация дырок ге+ выражается через ге- с помощью соотно-
соотношения п+п_ = nf (см. задачу 7 52). При высоких температурах
доминирует возбуждение электронов из
заполненной зоны, и тогда
1пп_
^ Это имеет место при т(Т) 3> гед.
Схематически температурная зависи-
зависимость концентрации электронов ге_(Г) и
дырок ге+(Г) показана на рис. 8.
7.54. п_ « JV, я+ « «f/JV.
7.55. Ток насышения в полупроводниковом диоде с р — ге-пе-
реходом определяется в первую очередь равновесной концентра-
концентрацией неосновных носителей по обе стороны р — re-перехода. Кон-
Концентрация неосновных носителей зависит от температуры по за-
закону
"несен ~ехР(-И70/*БГ),
как это следует из задач 7.52 и 7.54. Поэтому изменение тока на-
насыщения определяется соотношением
/нас (Т - 6Г)//Нас (Г) « ехр (- WQtTlkbT») « 0,4.
Ток насыщения возникает за счет тепловой генерации неос-
неосновных носителей вблизи р — re-перехода, где из-за запирающегй
276

Напряжения, приложенного к переходу, концентрация носителей
меньше равновесной. Темп этой генерации, стремящейся восстано-
восстановить нарушенное равновесие, пропорционален равновесной кон-
концентрации неосновных носителей.
Выпрямление значительно падает с ростом температуры, ког-
когда концентрации основных носителей, существующих из-за при-
присутствия примесей, и неосновных носителей, возникающих вслед-
вследствие теплового возбуждения через запрещенную зону, сближают-
сближаются между собой. При п\(Т) ~ ге„р запорный слой заполняется но-
носителями и выпрямление исчезает. Это происходит при
т' ~ (^ A)ln {Q (П/*пр) « 400 К.
7.66. Фермиевские импульсы рр~ = pf = Bm WQ)l№, где
тпр = т+т_1(т+ + т_). Остальные величины вычисляются
через импульсы по стандартным формулам. В результате полу-
получаем ге = 9,3-1016 см", Wp =0,015 эВ, 1^ = 0,025 эВ.
7.57. Согласно условию задачи электрон является медленным,
т. е. ka, к'а -С 1, где к и к'— волновой вектор электрона до и
после рассеяния, а а— постоянная решетки. Аналогично для длин-
длинноволновых фононов также да -С 1. Поэтому закон сохранения
импульса можно записать в виде к = к' ± q (ср. решение за-
задачи 7.9 — из-за малости k, k' и q следует положить 6 = 0).
Угол ф между р и q определяется формулой
соз ф = s/v ± q/Bk),
где верхний знак отвечает испусканию, а нижний — поглощению
фонона.
7.58. Удельная проводимость сг выражается через подвиж-
подвижность |х соотношением сг = е|М. Подвижность в свою очередь свя-
связана с коэффициентом диффузии D соотношением Эйнштейна:
eD = feB7"|x. Оценивая D как D ~ a2v, получаем
7.59. /Эф~^Б^т/е)'/2«0,2 си.
7.60. В уравнении движения электрона
рх = hk'x = еЕ — kvx = е.Е + kaWa sin (kxa)
переменные разделяются, и оно непосредственно интегрируется в
элементарных функциях. Вид решения различен в занисимости от
значения параметра Г = kaW0/(eE).
1) Г > 1. Решение имеет вид
(Г") @ < ф < я/2).
277

При <->оо оно переходит в Т sin k,a = —1, что отвечает стацио-
стационарным значениям ft» и vx. Его можно непосредственно получить,
положив в исходном уравнении k, = 0, что дает в« = eE/k и про-
проводимость сг = еЩк. При Г > 1 справедливо неравенство fe<c«l,
т. е. электрон остается вблизи дна зоны; поэтому мож-
можно, как обычно (ср., например, задачу 7.46), положить k = mix,
и тогда сг принимает стандартную форму:
2) Г < 1. Решение имеет вид
tg (kxa/2) = A - Г2) t|j [(I - Г2)'/2 еЕа (t - /0)/BАI - Г.
Из этого выражении следует, что с ростом t волновое число k%
также неограниченно растет, причем на этот рост накладывают-
накладываются осцилляции. Тангенс справп обращается в бесконечность через
интервалы времени Д/= 2vft/[eEa(l—Гг)|/2]. За каждый такой
промежуток времени фаза аргумента тангенса, стоящего слева,
возрастает на я и, следовательно, k% возрастает на Ak, = 2я/а.
Интегрируя исходное уравнение движения за промежуток времени
At, находим
h Mix = еЕ М — k \ vx dt = eF. M — k Дх,
— k [ vx dt = <
где Ах — смещение электрона за время Д<. Отношение Дк/Д? яв-
является средней скоростью дрейфа, а средняя плотность тока равна
В сильных полях, когда Г< 1, получаем
/ « e2nT2E/Bk) eo k/E,
т. е. ток возникает только благодаря наличию силы «трения»; он
возрастает по мере уменьшения времени свободного пробоя.
7.61. Пользуясь формулами для вырожденного ферми-газа,
для молярной теплоемкости получаем
C(T)=n2RT/BWp),
где энергия Ферми
здесь т—масса атома, a JVa — постоянная Апогадро. Определяя
Го так, чтобы С = RT/To, находим Го ~ 1К.
278

VIII. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 8.1. Элементарные частицы
8.1. Протон состоит из кваркон и, a, d, нейтрон — и, d, d,
Q-гиперон — s, s, s.
8.2. я+ «-- и, 3., K+ «-» u, s.
8.3. К0 •*-> d, s.
8.4. 5° -*->¦ а, .ч, s, Л° *-* и, d s.
8.5. я", К~
8.6. Л-гиперон нли ?°-гиперон.
8.7. 1) Нет, так как AS = 2;
2) нет, так как AS = 2;
3) нет, так как (тп — тр) < т„;
4) нет, не сохраняется лептонный заряд;
5) нет, не сохраняется барионный заряд;
6) нет, не сохраняется лептонный заряд.
8.8. тРе = /Vtj^/(//Va) яа 103 т, где /Уд — постоянная Аво-
гадро, S& — атомная масса железа.
8.9. На неподвижной мишени j^ltlax = 38, на УНК — лю-
любые Jt.
8.10. (тс2) = 2W sin 0 = 84 ГэВ.
8.11. /п2ай2«90 ГэВ, р = 0,9.
8.12. т4с2= 8,3 ГэВ, р = W^(п^с1 — Wу) « 0,14.
8.13. Для нахождения массы чармония воспользуемся реля-
релятивистской инвариантностью квадрата четырехимпульса:
По условию задачи W, = W2=W и, следовательно, р, = р?= р,
a cos (p,p2) = cos 8= 1/2. Поскольку е+ и е~ ультрарелятивист-
ультрарелятивистские (о я* с), то W « рс и т//Ч)с2 = 3,1 ГэВ.
Скорость найдем из значений импульса чармония р^;ч =
= 2р cos 30° и массы: Р = 0,9.
8.14. U7K=mj-c2 —m.oc2 —3mn±c2 = 714 МэВ.
8.15. Wmln > 2твс2 = 10,6 ГэВ.
8.16. Ч7пор = 4т2с2 + 3трс2 = 7,7 ГэВ.
8.17. М = (Ц7ц м —2трс2)/(тяс2)=11, где П7ц м — энергия
в системе центра масс.
8.18. Л = 1/(рЛГАст) = 14 м.
8.19. И7,пах = (ш^с4 - 4m*c4)/Bm/) = 52 МэВ.
8.20. lPmin = 0,25 МэВ, Гтах = 10,5 ГэВ.
279

8.21. Найдем энергию мюона из законов сохранения энергии
и импульса:
Отсюда найдем искомое время жизни мюона:
т = W^Km^c2) = 5,4 мкс,
где т0 — собственное время жизни мюона.
8.22. tgB = mItoc:!/(ll71U72)I/i = 0,06.
8.23. W = mK^<AaQJ(cxQ9Nka)= 1,4 ТэВ.
8.24. %с* = (%+ + Wn_y - (рк+ + в_
8.25. «fl-'"
= 1,8 ГэВ, Р = 0.9, т=/./A=0,1 пс.
%. +!%-)'""("л +PK-)V=1,7 Г.В
8.26. т0 = L/o лг 2 • 10 с, где v — скорость я°-мезона нахо-
находится из законов сохранения энергии и импульса.
8.27. L = ст0й7ЛДтЛс2) = 45 см.
8.28. L = cxaWn/(mnc2) = 600 м.
8.29. 1^ = (В7я/шпс2)[Кс4-/^с4)]/B«/) = 330 МэВ.
8.30. N IN = 1 — exp (— Ljx .cy\ ~ 0,4, где \ =
w К \ К1 /
= Wl(m^).
8.31. Число пионов, достигших детектора.
где JVn — число всех генерированных пионов, Й = S/L2 — телес-
телесный угол, под которым виден детектор из точки генерации мезо-
мезонов, / — время пролета пионом пути L, т—время жизни пиона в
лабораторной системе, равное
т = r0Wa/(mnc2) « то A + «7к/т„с2),
где Ц7К — кинетическая энергия. Окончательно получим
Nn = (nL2IS) exp {Lm^/t^o (^ + ^Лс2)Ф\) « 1,4 • 10° с.
8.32. JV^JVk = (я„/як) exp [- / (LK - La)/(LKLa)] « 1800,
где LK = TK-p/mKc, /-я = тяр//геяс — пробеги каона и пиона до
распада.
8.33. Ц7пор=1,8 МэВ.
8.34. 0 ~ 180° - 120° (Pp/Prf) « 150°.
8.35. tg 0 = 4тяшрс7[(т2р + '4) с4] ~ 0,3.
8.36. Число взаимодействий в объеме dV за время dt
dr| = оиl2pip2 dV dt,
280

где «12= | «i — «21, плотности частиц Oi = P2 = n/c (n—поток,
с — скорость света). В нашем случае разность скоростей частиц
«12 = 2с, так как щ = —«2 и |сгj| = |ц2| же. Число отсчетов (с
учетом эффективности их регистрации е = 0,1)
К = е dr\/dt = Isan2 dV/c.
Учитывая, что dV = SI, найдем
/i = (/Cc/2e/aSI/2
и, окончательно, ток в кольце
/ = enS = (KSce2/2ela)l/2 «2A.
8.37. В 1,26 раза.
§ 8.2. Структура ядра и ядерные реакции
8.38. Энергия связи ядра, т. е. формула Вайцзекк^ра:
U = 14,0^! — 13,0^2М — 0,584Z2/.s?1/3 — малые члены.
Известно, что радиус ядра гя = rus?[n, где г0 « 1,25-10~1а см.
Поэтому
U (МэВ)
где S — поверхность ядра. Поверхностное натяжение равно
dU
dS
13,0
4пг,
МэВ/см2 » 10" Н/м.
8.39. 20 = (лг/2)A+7,5-10-3лг2/3)~. 27Mg испускает элек-
электроны.
8.40. Z2ls4- > 18.
8.4t. / = 0,44 • 104 г • см2.
8.42. п=»40.
8.43. S/JS/, оо ехр {(8та/ЛгI/2 [{W - ЧГ,) - (W - W2)i'i] }«
ж 2-Ю3, где W—высота потенциального барьера ядра радона:
W = 2е2/гя.
8.44. Зависимость периода полураспада от энергии (в МэВ)
определяется приближенным законом Гейгера—Нэттола
lgV« C + D/Wf.
Константы С vi D определим из условий задачи: D = 149 и С =
= —57. ИскомыЛ период полураспада равен ту; = 10м лет.
8.45. Момент импульса, получаемый диском d 1 секунду, ра-
равен суммарному моменту поглощенных частиц:
„_d? _ I Nh
м~ dt ~ 4 ~-
281

Коэффициент 1/4 возникает вследствие учета углов падения элек-
электронов на диск:
nfl л/?
4- = А- [ cos й dQ. = - 4" [ cos dd cos 9.
4 4я J 2 J
(I О
Угол поворота диска равен
(f = ЖЦ = Nh/(Sf) « 50 прад.
8.46. Пусть при намагничивании число спинов ядер фтора,
направленных по полю, равно Л/], против поля — Л/2, их разница
AN равна
AN = Л/, [1 - ехр (- 2цВ/1гБТ)] = JV, ¦ 2iiB/(kBT)^NniiB/kET < 1,
где ц—магнитный момен1 ядер фтора, kti — постоянная Больц-
мана, Л/о— число ядер фтора. При выключении поля половина из-
избытка ядер ДЛ//2 изменит ориентацию и образец получит момент
импульса
2 = A/2) AN (А/2) = \iBhNQ/(kbT), No = 2Nк,
где Л/А—постоянная Авогадро. Отсюда
и. = а? • 2kBT/(NxhB) = 1,3 • 103 Дж/Тл = 2,62ця,
где [хя — ядерный магнетон.
8.47. a{W) = AcW/n.
8.48. Поскольку энергия связи нуклона мала, для оценки
можно считать, что продольный импульс нуклонов рг оо W /с. По-
Поперечный импульс нуклонов в ядре обусловлен фермиевским дви-
движением нуклонов Ферми-импульс оценим из соотношения неоп-
неопределенности
Рр « Др ~ Щгй « 100 МэВ/с.
Оценку для угла рассеяния нуклонов получим из соотношения
Ф *" Pp/Pt х °-4 РаД-
8.49. v = Ze (mr)~]l2 « 3,5 ¦ Ю7 м/с, где Z, га, г — порядконый
номер, масса и радиус урана.
8.50. Wn =6 МэВ; №я = 1 МэВ.
8.51. WK = (M2d-2ml+2mpmn-m2n)c2/[2 (тр-тя)]=1,25 ГэВ,
8.52. Найдем сначала пробег а-частицы в алюминии /ai. Так
как потери энергии на ионизацию пропорциональны NZ, где N —
число атомов в 1 см3, Z — заряд ядра, то
282

Число ядерных реакций, происходящих в тонком слое dx, равно
dv = naNAla dx = np, a dx « /A1. Окончательно получим
в = 40 мб-
8.53. a « яг^ = 3,4 6.
8.54. У - = /i/7Dji?2Q) « Ю12 см-2 • с. т) = ntP"-/Q = 0,05,
где энергия, выделяемая при делении ядра урана, равна Q =
= 200 МэВ
8.55. В 1-м случае с вылетом протона (d + d->-1 + p) энер-
гоныделение па 0.7 МэВ больше, чем во 2-м случае с вылетом
нейтрона (d + d-»-3Не + п).
8.56 W = 17,6 МэВ Q = 3,4 • 10" кДж,
8.57. ti = 0.20
8.58. Wmm = 19 МэВ.
8.59. Р = (//2) Q = 57 Вт/см3, где Q = 3,65 МэВ — энергия,
выделяемая при реакции d + d.
J = E/4) /ijcradd « 2 • 1014 см~3 • c.
8.60. R = ZaCfT*IP « 3 • 108 км, где Р — мощность, выделяе-
выделяемая в 1 см3 плазмы (см. задачу 8.59), a^g— постоянная Сте-
Стефана — Больцмана.
8.61. lmin&BnnkET)l'2R = 0,7 мА.
8.62. W = 3 ¦ 10' кДж.
8.63. *= 1,9- 104 лет.
8.64. т= l/(nav) « 0,17 мс, где п — концентрация ядер ато-
атомов водорода.
8.65. 2Гй/Э = exp (dpJVAa/J#) = 2,1
8.66. WK/WU = (A2/l6mn) (de2 + di2) B^7-)-' = 34, где
T = 300 К.
8.67. W ,/?а = 2kET/W2 « 0,06, где ~W{ — средняя гаэокине-
тическая, №2 = 3,6 МэВ — средняя термодинамическая энергия.
8.68. Убыль протонов (в г/см2) вследствие взаимодействия в
слое азота толщиной dx равна
- fiW0 = N dx/l,
где /—средний свободный пробег до взаимодействия. Обозначим
ха толщину атмосферы Земли (*о ** Ю00 г/см2). Из решения ура-
уравнения получим (л = *о)
JV = ЛГ0 ехр (- хо/1).
Здесь l = sll(aNk), где о = яД2, Л — радиус ядра азота. От-
Отсюда окончательно находим
N (х = *0)/ЛГ0 (х = 0) = 7 • 10~6.
283

8.69. /N л* 0,3 м.
8.70. Число атомов ^Аг
и = JvotN
где<=1 год=3,2-107 с, JVC(—число атомов хлора,/v=JVv/DnR|)—
поток нейтрино, падающий в единицу времени на единицу пло-
площади поверхности Земли. Отсюда находим
Окончательно получим, что в эксперименте необходимо исполь-
использовать массу СС14, равную
560 т,
где |х — молярная масса СС14,
8.71. rv = (mp/2R3P3)-1038«23 ТэВ, где R3, p3 — радиус
и плотность Земли.
8.72. Ослабление потока нейтрино AN/NxiaNAp-2R3/^xi К)-4.
8.73. Свечение Вавилова — Черенкова начинается при скоро-
скорости частицы v = с/и. Соответствующая кинетическая энергия про-
протона равна
WK = m0c2 [(I - v2/c2)-]/2 - l] = moe2 [и/(и2 - lI/2-l] «4,8 ГэВ.
Показатель преломления п найдем из следующего соотно-
соотношения: пг = 1 + AnaN, где N—число атомов в единице объема,
а а—поляризуемость молекул азота. Поскольку при постоянной
температуре №° р, где р—давление, art2—1 »2(n—1), то
(rt— l)/(fto— 1) « Р/Ро,
где ро = 0,1 МПа.
8.74. v = WlBtnc) « 104 см/с.
8.75. t « A/2) Ra [In (R/r)} (fxf/) « 0,7 мс.
8.76. F = 12 м.
8.77. JVp = /n[l — exp (— a/xnv)) « 1,5-10 см-с"', где
Tn — время жизни нейтрона.
8.78. ДМ/М = Ws4-U • tnp/n0MWQ = 0,6, где ^ц = 235.
8.79. t-x, 1,7- 109 лет.
8.80. пРа/пи = 3,2-10-"'.
8.81. pQt — mo,c Д1Г/BГ) « 1 ГэВ, а « po,/p « 0,1 рад.
8.82. Для УХН mv*/2<?^kBT—энергии теплового движения,
и поэтому их спектр, т. е. распределение по скоростям, есть
dN (z>) oo [exp (— mv2/2kBT)] v* dv ~ v2 dv.
284

Спектр потока нейтронов будет
dl со v dN (о) cav3 dvaoW dW,
где W — энергия нейтронов. Максимальная энергия УХН:
№гр = marp/2. До детектора дойдут лишь те нейтроны, энергия
которых
Таким образом, скорость счета детектора равна суммарному по-
потоку:
/ = \ dl оо W — т^Л2.
mgh
Окончательно при / = О получим высоту, на которой поток ней-
нейтронов исчезает;
„2
= Vrp/{mS) « v%/Bg) « 5 м.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Скорость света в вакууме
с = 2,998 ¦ 108 м/с = 2,998 ¦ 101° см/с
Постоянная Планка
Й=й/2я=1,05 • 10~34 Дж • с=1.05 ¦ 10? эрг • с=6,58 • 10~22 МэВ • с
Постоянная Больцмана
кБ = 1,38 • КГ23 Дж/К = 1,38 ¦ КГ16 эрг/К = 8,62 • ИГ11 МэВ/К
Молярная газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(К ¦ моль) = 8,31 • 107 эрг/(К ¦ моль)
Объем моля идеального газа при нормальных условиях G"и =
= 273,15 К, Ра = 101325 Па)
Va = 22,4 • 10~3 м3/моль = 22,4 • 103 см3/моль
Элементарный заряд
е = 1,60 • 10~19 Кл = 4,80 . 10~10 ед. СГС
Масса покоя электрона
те = 9,11 • 10~31 кг = 9,11 -108 г
Отношение заряда электрона к его массе
e/me=l,76- 10й Кл/кг = 5,28- 10" ед. СГС
Масса покоя протона
щ = 1,67 • 10~27 кг = 1,67 • 10~24 г
Отношение заряда протона к его массе
= 0,959 • 108 Кл/кг = 2,87 • Ю14 ед. СГС
Гравитационная постоянная
G = 6,67 • 10"" Н ¦ м2/кг2 = 6,67 • 10~8 дин ¦ см2/г*
286

Постоянная Авогадро
NK = 6,025-1023 моль
Постоянная Лошмидта
п0 = 2,69 • 1026 м-3 = 2,69 • 1019 см
Постоянная Фарадея
F = 9,65 • 104 Кл/моль = 2,90 • 1014 ед. СГС
Постоянная Стефана—Болышана
ась = 5,67 . 10~8 Вт/(м2 • К4) = 5,67 . 10~5 эрг/(с. см* • К4)
Постоянная Вина
* = ^шахТ" = 0,29 • 10~2 м ¦ К = 0,29 см • К
Постоянная Рндберга
R^ = 1,0973732 • 107 м = 1,0973732 • 106 см
Постоянная электрическая
ео = 8,85.1О~12 Ф/м
Постоянная магнитная
цо= 1,26- 10~6 Гн/м
Постоянная тонкой структуры
а = e2j(hc) = 7,297 • 10~3 « 1/137
Радиус 1-й Соровской орбиты
гБ = 0,53 • 100 м = 0,53 • Ю"8 см
Классический радиус электрона
г, =«2/(тес2) = 2,82 • 105 м = 2.82 • 103
Магнетон Бора
см
еЩ2тес) = 9,27 • 104 Дж/Тл = 9,27 • 101 эрг/Гс
= 0,579-10" 14МэВ/Гс
Ядерный магнетон
ця = еЛ/Bтрс) — 5,05 • 10~27 Дж/Тл = 5,05 • 10 24 эрг/Гс =
= 3,15-1<Г18МэВ/Гс
Комптоновская длина волны электроиа
Ле = Н/(тес) = 3,86 • 10~13 м = 3,86 • 10~" см
287

Энергия покоя электрона
тес2 = 0,511 МэВ
Энергия покоя протона
ШрС* = 938 МэВ
Энергия, соответствующая 1 а. е. м.,
A а. е. м.)с* = 931,5 МэВ
Температура, соответствующая энергии 1 эВ,
Г, = 11 606 К
II. НЕКОТОРЫЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Масса Солнца
Мс = 1,99 • 103° кг = 1,99 • 1033 г
Энергия, испускаемая Солнцем в 1 секунду, или светимость
Lc = 3,86 • 102а Вт = 3,86 • 1033 эрг/с
Солнечная постоянная
Ес = 1,35- 103 Вт/м2 = 1,35 • 10е эрг/(с • см2)
Радиус Солнца
Rc = 6,96 • 105 км = 6,96 • 10а м
Угловой диаметр Солнца на среднем расстоянии от Земли
ас = 0,92-10~2 рад
Температура Солнца вблизи поверхности
Гс = 5,9.103 К
Масса Земли
М3 = 5,98 • 1024 кг = 6,98 • \0" г
Средняя плотность Земли
р3 = 5,52 • 103 кг/м3 = 5,52 г/см3
288

Радиус Земли (на экваторе)
Яз = 6,38 • 103 км = 6,38 • 10° м
Среднее расстояние от Земли до Солнца
L3 = 1 а. е. = 1,5 • 108 км = 1,5 • 10" м
Среднее расстояние от Земли до Луны
/,л = 4-105 км
Средняя температура поверхности Земли
Г3 = 300 К
Средняя скорость движения Земли по орбите
а3 = 30 км/с = 3 • 104 м/с
Угловая скорость вращения Земли
ш3 = 0,727 • 10~4 рад/с
Космические скорости A-я и 2-я) на поверхности Земли
о, = ^/GM3/R3 = 7,9 км/с = 7,9.103 м/с,
tJ = V2~a, = ll,2 км/с= 11,2- 103 м/с
Масса Венеры
М,л = 0,82М3 == 4,87 • НJ4 кг = 4,87 • 10" г
Среднее расстояние от Венеры до Солнца
LB=l,08-108 км= 1,08- 1011 м
Период обращения Венеры вокруг Солнца
Тв = 225 сут
Радиус Венеры
Яв = 0,99/?3 = 6,3 • 103 км = 6,3 • 10е м
Средняя плотность Венеры
рв = 4,7 • 103 кг/м3 = 4,7 г/см3
Ускорение свободного падения на поверхности Венеры
Ва = °.84^3 = 8.2 м/с2
Масса Марса
Мм = 0,1 Ш3 = 0,66 • 10^4 кг = о,66 • 10» г
2

Расстояние от Марса до Оолнпа
Ln = B,06 -г- 2,49) • 10» км
Расстояние от Марса до Земли
JLM3 = @,55 -г- 4,0) • 108 км
Средняя плотность Марса
ру = 4 ¦ Ю3 кг/мл = 4 г/см3
Ускорение свободного падения на поверхности Марса
йм = 0,37^з = 3,6 м/с2
Масса Луны
Мл = 7,4 • 10^ кг = 7,4 • 1СИ5 г
Диаметр Луны
Ол = 3,48 • 103 км = 3,48 • 10е м
Среднее расстояние между Луной и Землей
JLj, = 3,84 • 10° км = 3,84 • 10" м
Средняя плотность Луны
рл = 3,3 • 103 кг/мл = 3,3 г/см3
Ускорение свободного падения на поверхности Луны
5л =1.64 м/с2
ill. НЕКОТОРЫЕ ВНЕСИСТЕМНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Единица длины;
световой год
1 св. год = 9,5 • 10'5 м = 9,5 • 10" см,
парсек
1 пк = 3,Ы016 м = 3,Ь 1018 см,
астрономическая единица
1 а. е.= 1,5-10" м= 1,5-1013 см,
ангстрем
lA=100 м=10"асм,
290

ферми
105 м=10 |3 см
Единица площади:
барн
1 б = 108 м2 = 104 см2
Единица времени:
год
Оптическая сила:
диоптрия
1 год = 3,1б> 10' с
1 дптр = 1 м~1
Единица массы:
атомная единица массы
1 а. е. м. = 1,66 ¦ 10? кг = 1,66 • 10~24 г
Единица энергии:
электрон-вольт
1 эВ=1,6- 10
~19
эрг
IV. ПРИСТАВКИ И МНОЖИТЕЛИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ДЕСЯТИЧНЫХ КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
Наимено-
Наименование
тер а
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
Обозна-
Обозначение
Т
Г
м
к
г
Да
Д
Множи-
Множитель
101а
109
108
103
10а
10'
ю-1
Наимено-
Наименование
саяти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
Обозна-
Обозначение
С
м
мк
н
п
ф
а
Множи-
Множитель
10-2
ю-3
10-8
ш-9
Ю-12
Ю-15
Ю-18
291

V. ЕДИНИЦЫ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИСТЕМАХ СИ" И СГС
И СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ
Физическая
величина
Частота
Плотность
Скорость
Ускорение
Угловая скорость
Угловое ускорение
Сила
Работа, энергия, ко-
количество теплоты
Мощность
Система СИ
Единица
Наименование
герц
килограмм
на кубиче-
кубический метр
метр
в секунду
метр
на секунду
в квадрате
радиан
в секунду
радиан
на секунду
в квадрате
ньютон
джоуль
ватт
Обозна-
Обозначение
Гц
кг/кг'
м/с
м/с2
рад/с
рад/с2
Н
Дж
Вт
Размер-
Размерность
т-1
L~3M
LT-1
LT
T-i
J —2
LMT-2
L2MT
L2MT-5
Гауссова
Единица
Наименование
герц
грамм
на кубический
сантиметр
сантиметр
в секунду
сантиметр
на секунду
в квадрате
радиан
в секунду
радиан
на секунду
в квадрате
дина
эрг
эрг в секунду
система
Обозна-
Обозначение
Гц
г/см'
см/с
см/с2
рад/с
рад/с2
дин
эрг
эрг/с
(СГС)
Размер-
Размерность
т-1
L~3M
LT-1
LT-2
T-i
T-i.
LMT
L2MT~2
L2MT-a
1
1
1
1
1
1
Соотношение
между единицами
кг/м:
м/с =
м/с2
н =
Дж =
Вт =
1
— 103 г/см3
= 102 см/с
= 102 см/с2
1
1
10& дин
= 107 эрг
¦ 10' эрг/с

Количество электри-
электричества, электричес-
электрический заряд
Сила электрического
тока
Электрическое напря-
напряжение, разность по-
потенциалов, электро-
электродвижущая сила
Напряженность
электрического
поля
Электрическое
сопротивление
Индуктивность
Электрическая
емкость
Магнитный поток
Магнитная индукция
Напряженность
магнитного поля
Световой поток
Яркость
Освещенность
кулон
ампер
вольт
вольт
на метр
ом
генри
фарад
вебер
тесла
ампер
на метр
люмен
кандела на
квадратный
метр
люкс
Кл
А
В
В/м
Ом
Гн
Ф
Вб
Тл
А/м
лм
кд/м2
лк
TI
I
L2MT-3I-'
LMT-3I-'
L2MTI-2
L2MT-2j-2
L-2M-1T4I2
L2MT-2J-1
mt-2i->
L-'I
J
L-2J
L~2J
единица
заряда СГС
единица силы
тока СГС
единица
напряжения
СГС
единица
напряженности
СГС
единица
сопротивления
СГС
единица
индуктивности
ГГГ
сантиметр
максвелл
гаусс
эрстед
люмен
кандела на
квадратный
сантиметр
фот
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
см
Мкс
Гс
Э
лм
кд/см2
фот
L3>*M"*T-
L3/zM'/2x-2
[^'/гдл'/гт-!
L ''2м''2Т '
L-'T
L
L
L 3^2М*^2Т~^
l~i/2m'/2t~'
J
L~2J
L~2J
1 Кл =
= 3- 109 ед. СГС
1 А = 3-10вед. СГС
т> ггг
. о ^^ ед. ^_л vj
1 R/м pit ГГГ
1 D/M— 4 ед. V-.1 V-
1 r\.. I „„ ггг
9-10"
1 Г ' сп ггг
11 -9.10" Д
1 Ф=9- 10" см
1 Вб = 10е Мкс
1 Тл=Ю4 Гс
1 А/м = 4 ге- 10~3 Э
1
1 кд/м2=10~4 кд/см2
1 лк = 10~4 фот

VI. ТАБЛИЦА ЛЕПТОНОВ (спин
Название частицы
Электронное нейтрино
Мюонное нейтрино
Тау-нейтрино
Электрон
Позитрон
Мюон
Тау
Символ
частицы
Ve
vT
е~
V~
т-
анти-
частицы
ve
vT
е+
М.+
т+
Масса,
МэВ
0
0
0
0,51
0,51
105,7
105,7
1782
1782
Электри-
Электрический за-
заряд, ед.е~
0
0
0
—1
+1
—1
+1
—1
+1
Лептонный заряд
+ 1
0
0
+1
—1
0
0
0
0
^ 1 ч
0
+ 1
0
0
0
+ 1
—1
0
0
0
0
+ 1
0
0
0
0
+ 1
—1
Время жизнн,
с
ОС
оо
оо
оо
оо
2,1 • 10~6
2,2 • 10~6
3,5- Ю-12
3,5-Ю-12
Преобладающая
схема распада
—
—
—
—
e~vevn
e+vsv|t
fi~vuvT e~vevt
VII. ТАБЛИЦА КВАРКОВ (спин Л/2)
Название кварка
Верхний
Нижний
Странный
Очарованный
Красивый
Правдивый
Символ
и
d
S
С
ь
t
Масса, МэВ
336
338
540
1500
>2000
>2000
Электрический
заряд, ед.е~
+2/3
-1/3
-1/3
+ 2/3
-1/3
+ 2/3
Заряд
барионный В
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
странность S
0
0
+ 1
0
0
0
очарование С
j
0
0
+1
0
0
Примечания, 1. Первые пять кварков составляют всю совокупность известных а чроноз. шестой введен
метрик лептонных и кварковых пар. Кварковым i парами являются ud), (se) и bt).
'i. У антнкварков все приведенные в
таблице числа
красота b
0
0
0
0
+ 1
0
правда t
0
0
0
0
0
+1
из соображений сим-
характеризующие аромат, изменяют знак на противоположный.
3. Каждый из кваркос помимо квантовых чисел, составляющих аромат, имеет еще оино квантовое число — цвет: желтый, красный
нлн синий- Сумма этих цветов дает белый цвет-

VIII. ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ АДРОНОВ
Название частицы
Мезоны
Пион
Каон
заряженный
Каон
нейтральный
Эта
Фи
Барнояы
Протон
Нейтрон
Лямбда
Сигма-плюс
Сигма-минус
Сигма-нуль
Кси-минус
Кси-нуль
Омега-гиперон
Символ
Я*
ге°
к-}
К°\
К"}
ч
ф
р
п
Л
2+
2-
2°
Е-
5°
Q-
Масса.
МэВ
139,6
135,0
493,7
лГ\*7 *7
497,7
548,8
1019
938,3
939,6
1115,6
1189,4
1197,4
1198,5
1321,3
1314,9
1672
Спин,
ед. й
0
0
0
0
0
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
Электри-
Электрический
заряд.
ед-? —
±1
0
+ 1
— 1
0
0
0
0
+1
0
0
+ 1
—1
0
—1
0
—1
Зарял
барион-
ный В
0
0
л
0
0
0
0
0
+1
+ 1
+ 1
+ 1
+1
+ 1
+1
+1
+ 1
стран-
странность
S
0
0
+ 1
—1
+1
—1
0
0
0
0
— 1
— 1
— 1
— 1
—2
—2
—3
очаро-
очарование
С
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
красо-
красота b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
правда
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Время жизни.
2,6. 10-"
8- 10-"
1,23- 10-°
0,9-10-'°
5,8- 10-"
2,5- 10-'"
~ ю-'"
> 103' лет
94С
2,5- 10-'°
0,8- 10-1С
1,5- 10-'°
< ю-'4
1,6-10-'°
3,0- 10-'°
1,3- 10-'°
Преобла-
Преобладающа?
^хема
распада
YY, Ye+e-
(i+vu, M.-va
Я+Я"
Я+Я"
Я+Я"
Pe~ve
ря~- пя°
ря°: nit+
пя~
ay
Ая-
Ля"
ЛК-, B-jt°

IX. ТАБЛИЦА ЭКЗОТИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
Название частицы
Чармоний
Очарованные
частицы
Ипсилон
Красивые частицы
(В-частицы)
Символ
//ф
ф'
ф"
D"
D+
F+
*.+
Г
Г
Г*
в
в
в
в
Масса, МэВ
3098
3684
4100
1863
1868
2030
2226
9460
10 016
10 380
5300
»
Электри-
Электрический
заряд,
ея, е~
0
0
0
0
+1
+1
+1
0
0
0
—1
0
0
—1
Заряд
стран-
странность
S
0
0
0
0
0
+1
—1
0
0
с
0
0
+1
0
очарова-
очарование
С
0
0
0
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
0
0
0
0
0
0
—1
красота
Ь
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
Время жизни
(или ширина
резонанса)
69 кэВ
220 кэВ
150 МэВ
10-1!> с
Ю-13 с
10-1Э с
Ю-13 с
25 кэВ
50 кэВ
10* с
Ю-14 с
1С* с
10"'* с
Кварковый
состар
ее
ее
ее
ей
cd
cs
use
bb
bb
bb
Ьй
bd
bs
be

la
3?
ho
< E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X. ТАБЛИЦА
Изотоп
н
D
т
3He
<Не
eLi
'Li
'Be
"Be
9Be
•°Be
ioB
"B
"C
uC
13C
uC
uN
"N
uN
"O
ieo
"O
ISQ
I8F
19F
20p
aoNe
21 Ne
22Ne
"Na
23Na
24Na
J3Mg
24Mg
J5Mg
„
к
к
в
О
1/2
1
1/2
1/2
0
1
3/2
3/2
0
3/2
0
3
3/2
3/2
0
1/2
0
—
1
1/2
—
0
5/2
0
—
1/2
—
0
—
0
3
3/2
4
—
0
5/2
СВОЙСТВ
Избыток
массы ато-
атома,
а. е. м.
0,007825
0,014102
0,016049
0,016030
0,002604
0,015126
0,016005
0,016931
0,005308
0,012186
0,013535
0,012939
0,009305
0,011431
0
0,003354
0,003?42
0,005739
0,003074
0,000108
0,003072
—0,005085
—0,000867
—0,000840
0,000950
—0,001595
—0,000015
—0,007560
—0,006151
—0,008616
—0,005565
—0,010227
—0,009033
—0,005865
—0,014956
—0,014160
ИЗОТОПОВ
Атомы в
природной
смеси.
%
99,985
0,015
—
3.10
~ 100
7,52
92,48
—
—
100
—
20
80
—
98,89
1.П
—
—
99,63
0,37
—
99,76
0,037
0,204
—
100
—
90,92
0,26
8,82
—
100
—
—
78,60
10,11
е(
Л
С
и
л
а
к
2а
Р"
е+
Р+
Р+
р+
р+
р+
Период
полу-
полураспада
12,3 года
53 дня
Ю-18 с
2,5-10е
лет
20,4 мин
5570 лет
10 мин
2,1 мин
1,87 ч
12 с
2,6 года
15 ч
11 с
Энергии
а-, Р-
частиц,
МэВ
0,018
0,039
0,555
0,97
0,155
1,2
1,68
0,649
5,42
0,540
1,39
2,95
297

Продолжение
3
2 °-
Я at
о г
5S
12
13
14
15
16
17
18
19
24
25
27
29
30
35
38
Изотоп
JUMg
:'Mg
МА1
"А!
МА1
-8Si
MSi
3uSi
91Si
top
8lp
"P
32S
"S
34S
35C1
36C1
"Cl
3eAr
37Ar
MAr
4°Ar
39K
42K
61Cr
65Mn
58Co
"Co
e°Co
e3Cu
e5Cu
e5Zn
e2Br
"«Sr
n
D.
К
Я
s
с
и
0
1/2
5/2
3
0
1/2
0
—
—
1/2
—
0
3/2
0
3/2
3/2
2
3/2
0
3/2
—
0
3/2
2
7/2
5/2
2
7/?
4
3/2
3/2
5/2
6
0
Избыток
массы ато-
атома.
а. е, м.
—0,017409
—0,015655
—0,013100
—0,018465
—0,018092
—0,023073
—0,023509
—0,026239
—0,024651
—0,021680
—0,026237
—0,026092
—0,027926
—0,028540
—0,032136
—0,030966
—0,031146
—0,031688
—0,034104
—0,032452
—0,033228
—0,035679
—0,037616
—0,036286
—0,037583
—0,055214
—0,061946
—0,064246
—0,066811
—0,066194
—0,070406
—0,072214
—0,0707(.6
—0,083198
—0,09436
Атомы в
природной
смеси,
%
11,29
—
—
100
92,27
4,68
3,05
—
—
100
—
95,02
0,75
4,21
—
75,4
—
/4,6
0,34
—
—
99,60
93,08
—
—
100
—
100
—
69,1
30,9
—
—
82,56
л
а
и
л
а.
Р~
и+
Р"
р~
(Г. *
к
(Г
Р"
к
К, Р+
(Г
Л", Р+
(Г
Период
полу-
полураспада
9,5 мин
6,7 с
2,3 мин
2,65 ч
2,5 мин
14,3 дня
87 дней
3,1 • 105
лет
32 дня
265 лет
1,52 ч
28 дней
72 дня
5,2 года
245 дней
36 ч
Энергия
a-, P-
частиц,
МаВ
1.75;
1,59
3,20
2,86
1,47
3,24
1.71
0,167
0,714
0,565
3,55;
1,99
0,47
0,31
0,325
0,456
298

Продолжение
3
Я" tx
Атом
номе
38
39
47
53
79
81
82
83
84
86
88
90
92
94
Изотоп
89Sr
eoSr
90 Y
107 Ag
127J
I2B[
""Аи
'«Аи
204Т1
206 рЬ
207рЬ
208рЬ
209 В j
210Bi
ziop0
222Rh
232Ra
2Я2ТЬ
233Th
234 U
23Б1Т
238TJ
238ц
239JJ
23ври
"9Ри
Я
О.
*t
К
Спин
5/2
0
2
1/2
5/2
1
3/2
2
—
0
.1/2
0
9/2
4
—
—
0
0
—
0
7/2
0
0
—
—
1/2
Избыток
массы ато-
атома.
а. е. м.
—0,09257
—0,09223
—0,09282
—0,09303
—0,09565
—0,09418
—0,03345
—0,03176
—0,02611
—0,02554
—0,02410
—0,02336
—0,01958
—0,01589
—0,01713
0,01753
0,02536
0,03821
0,04143
0,04090
0,04393
0,04573
0,05076
0,05432
0,04952
0,05216
Атомы в
природной
смеси,
%
—
—
51,35
100
100
—
—
23,6
22,6
52,3
100
—
—
—
—
100
0,006
0,71
—
99,28
—
—
я
Расп
Р~
Р~
Р~
Р". к
р~
(Г
а
а
а
а
а
Р~
а
а
¦г
а
Р~
а
а
Период
полу-
полураспада
51 день
28 лет
64 ч
25 мин
2,7 дня
4,1 года
2,6- 106
лет
138 дней
3,8 дня
1620 лет
1,4- 10'°
лет
22 мии
2,5 • 105
лет
7,1 . 10»
лет
2,4. 107
лет
4,5- 109
лет
23,5 мин
89,6 лет
2,4. 104
лет
Энергия
а-. В-
частиц.
МэН
1,46
0,535
2,24
2,12;
1,67
0,96
4,97
5,3
5,49
4,777;
4,589
4,00.
3,98
1,23
4,76;
4,72
4,20—
4,58
4,45;
4,50
4,13;
4,18
1,21
5,50;
5,45
5,15-
5,10
299

1
2
3
4
5
6
7
I
[Н]
Li 3
6,941
литий
Na
22,9897
натрий
К 19
39,098
калий
29 Си
63,546
медь
Rb 37
85,468
рубидий
47 Ag
107,868
серебро
Cs и
132,9054
цезнй
79 Аи
193,9665
золото
Fr 87
B23)
Франции
II
Be
9,01218
бериллий
Mg
24,305
магний
Са 20
40,08
кальций
30 Zn
65,38
цинк
Sr 38
87,62
стронций
48 Cd
112,41
кадмий
137,33
барий
ft0 Hg
200,59
ртуть
Ra 68
226,0254
pa дай
К1. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ
III
В
10,81
бор
А1
26,98154
алюминий
Sc 21
44,9559
скандий
31 Ga
69,72
галлий
у 39
8S.9059
иттрий
49 In
114,82
индпй
La* 57
138,905
лантан
8. Т1
204,37
таллий
Ас" 89
B27)
актиний
IV
6 С
12.011
углерод
Si
28,085
кремнии
Ti 22
47,90
титан
( Т(-*
72,59
германий
Zr 40
91,22
цирконий
50 Sn
118,69
олово
Hf п
178,49
гафний
82 ри
207,2
свинег;
Ku 104
B61)
курчатовий
СИСТЕМА
V
7 N
14,0067
азот
15 р
30,97376
фосфор
V 23
50,9415
ванадий
33 As
74, 9216
мышьяк
Nb 41
92.9064
ииобпй
51 Sb
121.7
сурьма
Та 73
/ 80,947
тантал
83 gj
208,9804
висмут
105
* ЛАНТАНОИДЫ
Се 5S
140,12
церий
Рг
140,1017
празеодим
Nd ao
144.24
неодим 1
Pm ai
A45)
решений
Sm 62
150,4
самарий
Ей 63
151,96
европий
Gd e4
157,25
гадолиний
" АКТИНОИДЫ
Th so
232,0381
Ра 91
231,0359
иротакгиилй
U 92
233,029
уран
Np 93
23/,0482
]еп /уний
Ри 94
B44)
плутоний
Am95
B43)
америций
Cm В6
B47)
кюрий
300

ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
VI
О
15,999
кислород
16
32,06
S
сера
VII
н
1.0079
водород
18,998403
фтор
С1
35.453
хлор
VIII
Не
4,00260
гелий
10
20,179
Ne
неон
Аг
39,948
a pi он
Обозначение
элемента
Целое число в скобках—
массовое число наиболее
устойчивого радиоизотопа
Сг
хром
24
51,996
Мп
54,9380
марганец
Fe
55,847
Со
кобальт
27
58.9332
Ni
га
58,70
34
78,96
Se
35
79,904
бром
83,80
криптон
Мо
молибден
42
95,94
Тс
43
98,9062
технеций
Ru 44
101,07
рутений
Rh 45
102,9055
родни
Pd
палладий
46
106,4
52
127,60
Те
теллур
83
126,9045
иод
64 Хе
131,30
ксенон
W
вольфрам
74
183,85
Re 7б
186.207
реннй
Os
осмий
76
190,2
1г
иридий
77
192,2
Pt
78
195,09
84
B09)
Ро
полоннй
85
B10)
86 Rn
B22)
радон
ть
65
158,9254
тербий
162,50
диспрозий
Но "
164,9304
гольмий
Er 68
167,26
эрбий
Тт
168,9342
тулий
Yb
70
173,04
иттербий
Lu
174,967
лютеций
Вк
97
B47)
берклнй
Cf 9S
B51)
калифорний
Es
99
B54)
эйнштейний
Fmioo
B57)
фермий
Md
101
B58)
менделевий
LNoJ1
B55)
[нобелий]
[Lr]
103
B56)
[лоуренсий]
301

Станислав Миронович Козел
Эммануил Иосифович Рашба
Сергей Анатольевич Славатинский.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
задачи МФТИ
Редактор /Л А. Михалина
Художественный редактор Т. И. К°льченко
Технический редактор А. П. Колесникова
Корректоры Н. Ю. Рычагоеа, М. Л. Медведская,
О. М. Березина
И Б № 12940
Сдано в набор 11.03.87. Подписано к печати 12.08.87.
Формат 84ХЮ8/М, Бумага тип. № 2. Гарнитура лите-
литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 15,96. Уел,
кр.-отт. 16,17. Уч.-изд. л. 16,77. Тираж 93000 экз.
Зак,№ 215. Цена 75 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц. Ленинградской типографии
№ 2 головного предприятия ордена Трудового Крас-
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техни-
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29
в Ленинградской типографии № в ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединении
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии н книжной торгов-
торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко. 10.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Редакция литературы по обшей и прикладной фи-
физике готовит к изданию в 1988 году:
I. НАУЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Андреев А. В., Емельянов В. И., Ильинский Ю. А. Коопера-
тиииые явления в опгике: Сверхизлучение. Бистабильность. Фа-
Фазовые переходы.— (Соврем, пробл. физики). — № 99.
Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемто-
секундных лазерных импульсов.— (Соврем, пробл. физики).—
№ 100.
Беляков В. А. Дифракционная оптика периодических сред
сложной структуры. — № 103.
Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике: Пер. с англ./
Под ред. М. И. Каганова и Д. В. Ширкова. — (Б-ка теорет. фи-
физики).—№ 111.
Светосильные спектральные приборы/Вагин В. А., Гер-
шун М. А., Жижин Г. Н., Тарасов К. И.; Под ред. К. И. Тара-
Тарасова.— (Физика и техн. спектроск.). — № 113.
Сухорукое А. П. Нелинейные волновые взаимодействия в оп-
оптике.— We 115.
II. НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Басов Н. Г. О квантовой электронике: Статьи и выступле-
выступления. — (Наука. Мировоззрение. Жизнь). —№ 120.
Воронцов М. А., Корябин А. В., Шмальгаузен В. И. Управ-
Управляемые оптические системы.— (Пробл. науки и техн. прогресса).—
№ 121.
Гиваргизов Е. И. Искусственная эпитаксия — перспективная
технология элементной базы микроэлектроники. — (Пробл. иауки
и техн. прогресса). — № 122.
Звездин А. К., Котов В. А. Магнитооптика тонких пленок. —
(Пробл. науки и техн. прогресса). — № 124.

III. СПРАВОЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Аленицын А. Г., Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Краткий
физико-математический справочник. — № 125.
Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. —
3-е изд., перераб. — № 127.
IV. КНИГИ, РЕКОМЕНДОВАННЫЕ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Воронцов Ю. А. Теория и методы макроскопических изме-
измерений/Под ред. В. Б. Брагинского. — № 134.
Гольдин Л. Л., Новикова Г. И. Введение в квантовую фи-
физику. — № 135.
Задков В. Н., Пономарев Ю. В. Компьютер в эксперименте:
Архитектура и программные средства систем автоматизации. —
№ 136.
Карлов Н В. Лекции по квантовой электронике. — 2-е изд.,
испр. и лоп. — № 137.
Основы теории колебаний/Мигулни В. В., Медведев В И.,
Мустель Е. Р., Парыгин В. Н.; Под ред. В. В. Мигулина. —
2-е изд., перераб. — № 139.
Обращаем Ваше внимание на то, что тираж каждой выпу-
выпускаемой книги, пключенной в тематический план, определяется
книготорговой сетью и издательством на основе заказов инди-
индивидуальных покупателей и организаций. Срок для приема таких
заказов —60 дней со дня поступления тематического плана в
книготорговую сеть. Вы можете с уверенностью рассчитывать на
приобретение заинтересовавшей вас книги только в случае, если
своевременно оформите на нее предварительный заказ.
Не откладывайте оформление предварительного заказа!
Предварительные заказы принимаются магазинами «Академ-
«Академкниги» и «Союзкниги», распространяющими литературу данной
тематики. Там же вы можете ознакомиться с Аннотированным
тематическим планом выпуска Главной редакции физико-матема*
тической литературы издательства «Наука» на 1988 год.