Автор: Белолипецкий С.Н. Еркович О.С. Казаковцева В.А. Цвецинская Т.С.
Теги: физика задачи по физике
ISBN: 5-9221-0175-7
Год: 2005
Текст
УДК 53@75i
Б43
ББК 22.3
Белолипецкий С. Н.,Еркович О. С.,Казаковцева В. А.,
Цвецинская Т. С. Задачник по физике: Учеб. пособие. Для
подгот. отд. вузов / Под ред. О. С. Еркович. — М.: ФИЗМАТЛИТ. —
2005. - 368 с. - ISBN 5-9221-0175-7.
Сборник содержит свыше 1400 задач по физике из числа предлагав-
предлагавшихся в физико-математическом лицее при Московском государственном
техническом университете им. Н. Э. Баумана. В сборник введены разделы,
недостаточно глубоко или вообще не изучаемые в школе, но важные для
успешного освоения курса и дальнейшего обучения в вузах инженерного и
физического профиля. Задачи снабжены ответами.
Для учащихся и преподавателей средних школ, слушателей подготови-
подготовительных отделений вузов, а также лиц, занимающихся самообразованием.
Табл. 4. Ил. 363.
ISBN 5-9221-0175-7 © ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие рекомендации по решению задач .................. 6
Предисловие .................................. 7
Глава 1. Механика ........................... 9
1.1. Векторы и скаляры ......................... 9
1.2. Кинематика равномерного движения ............... 11
1.3. Равнопеременное прямолинейное движение ........... 13
1.4. Баллистическое движение ...................... 23
1.5. Движение точки по окружности. Вращательное движение твер-
твердого тела ............................... 26
1.6. Динамика прямолинейного движения материальной точки . . 30
1.7. Динамика движения материальной точки по окружности ... 40
1.8. Импульс материальной точки и системы материальных точек.
Движение тел переменной массы ................. 43
1.9. Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения энергии .... 46
1.10. Вращение твердого тела вокруг оси. Закон сохранения момен-
момента импульса. Условия равновесия твердого тела ........ 56
1.11. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера ......... 61
1.12. Основы механики жидкостей и газов ............... 63
Глава 2. Молекулмрная физика и термодинамика ...... 68
2.1. Основные положения молекулярно-кинетической теории .... 68
2.2. Графики изопроцессов в идеальном газе ............. 70
2.3. Газовые законы ............................ 73
2.4. Идеальный газ. Закон Дальтона .................. 74
2.5. Уравнение состояния идеального газа ............... 76
2.6. Внутренняя энергия идеального газа. Работа идеального газа . 79
2.7. I начало термодинамики. Теплоемкость .............. 81
2.8. Закон сохранения энергии в тепловых процессах. Адиабатный
процесс ................................. 84
2.9. Термодинамические циклы. КПД циклов ............. 88
2.10. Уравнение теплового баланса ................... 90
2.11. Пары. Кипение ........................... 92
2.12. Влажность .............................. 94
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.13. Деформации твердых тел. Тепловое расширение ........ 96
2.14. Поверхностные явления ...................... 99
Глава 3. Элемтричеетво и магнетизм ............... 102
3.1. Закон Кулона ............................. 102
3.2. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции
полей .................................. 104
3.3. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема
Гаусса-Остроградского ....................... 106
3.4. Работа сил электростатического поля. Потенциал ........ 108
3.5. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле ..... 113
3.6. Электрическая емкость проводника. Конденсаторы ....... 116
3.7. Соединения конденсаторов ..................... 119
3.8. Сила тока. Сопротивление. Закон Ома для однородного участ-
участка цепи ................................. 123
3.9. Закон Ома для неоднородного участка и полной цепи. Правила
Кирхгофа ............................... 128
3.10. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях 133
3.11. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока ....... 135
3.12. Электрический ток в различных средах ............. 139
3.13. Магнитное поле. Магнитная индукция .............. 142
3.14. Сила Лоренца. Сила Ампера. Сила взаимодействия двух про-
проводников ............................... 145
3.15. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в электриче-
электрическом и магнитном полях ...................... 148
3.16. Магнитный поток. Закон электромагнитной индукции .... 151
3.17. Индуктивность. ЭДС самоиндукции ............... 155
Глава 4. Колебания и волны ..................... 158
4.1. Кинематика гармонических колебаний .............. 158
4.2. Динамика колебательного движения ...............161
4.3. Сложение гармонических колебаний ................ 174
4.4. Затухающие и вынужденные колебания ............. 178
4.5. Механические волны ......................... 182
4.6. Переменный ток ........................... 188
4.7. Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепи пе™
ременного тока ............................ 192
4.8. Трансформаторы ........................... 199
4.9. Электрические машины постоянного тока ............ 202
4.10. Колебательный контур ....................... 206
4.11. Электромагнитные волны ..................... 212
Глава 5. Оптика ............................. 215
5.1. Отражение света. Плоское зеркало ................ 215
5.2. Сферические зеркала ........................ 218
5.3. Преломление света .......................... 225
5.4. Тонкие линзы ............................. 229
5.5. Оптические системы и приборы .................. 237
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.6. Фотометрия .............................. 244
5.7. Интерференция света ........................ 247
5.8. Дифракция света ........................... 251
5.9. Дисперсия света. Поляризация света ............... 253
Глава 6. Специальная теория относительности. Атомная и
ядернам физика ........................ 256
6.1. Основы специальной теории относительности .......... 256
6.2. Квантовые свойства света ...................... 259
6.3. Модель атома Резерфорда-Бора .................. 263
6.4. Строение атомного ядра. Радиоактивность. Ядерные реакции 265
Ответы
К главе 1 .................................. 271
К главе 2 .................................. 288
К главе 3 .................................. 300
К главе 4 .................................. 317
К главе 5 .................................. 335
К главе 6 .................................. 351
Заключение .................................. 357
Приложения .................................. 359
Общие рекомендации по решению задач
1. Приступая к решению задачи, хорошо вникните в ее смысл
и постановку вопроса. Установите, все ли данные, необходимые
для решения задачи, приведены. Недостающие данные можно
найти в любой таблице физических констант (например, если
указан материал, из которого изготовлено плавающее в воде те-
тело, то предполагается, что плотность тела можно определить,
обратившись к справочнику). Если позволяет характер задачи,
обязательно сделайте схематический рисунок, поясняющий ее
сущность, — это во многих случаях облегчает решение.
2. Каждую задачу решайте, как правило, в общем виде (т.е.
в буквенных обозначениях), так чтобы искомая величина была
выражена через заданные величины. Ответ, полученный в об™
щем виде, позволяет судить в значительной степени о правиль-
правильности самого решения.
3. Получив решение в общем виде, проверьте, правильную
ли оно имеет размерность. Неверная размерность — явный при-
признак ошибочности решения. Если возможно, исследуйте поведе-
поведение решения в предельных частных случаях. Например, какой
бы вид ни имело выражение для силы гравитационного взаимо-
взаимодействия между двумя протяженными телами, с увеличением
расстояния между телами оно должно непременно переходить в
закон взаимодействия точечных масс. В противном случае мож-
можно утверждать, что решение неверно.
4. Приступая к вычислениям, помните, что числовые зна-
значения физических величин всегда являются приближенными.
Поэтому при расчетах руководствуйтесь правилами действий с
приближенными числами.
5. Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность.
Такая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность
полученного результата. Так, например, скорость тела не может
оказаться больше скорости света в вакууме, плотность газа при
нормальных условиях превысить плотность чугуна и т.д.
Предисловие
Настоящий сборник содержит более 1400 задач по всем раз-
разделам курса элементарной физики. В нем представлены зада™
чи разной степени сложности, поэтому он может быть исполь™
зован в качестве учебного пособия в физико-математических
школах, в лицеях, гимназиях, на подготовительных отделени-
ях высших учебных заведений и курсах, а также для само™
стоятельной подготовки абитуриентов. Задачи, включенные в
данный сборник, использовались в учебном процессе физико-
математического лицея № 1580 при МГТУ им. Н. Э. Баумана в
течение последних десяти лет.
Сборник состоит из шести разделов: «Механика», «Моле™
кулярная физика и термодинамика», «Электричество и магне™
тизм», «Колебания и волны», «Оптика» и «Специальная теория
относительности. Атомная и ядерная физика». Внутри разделов
задачи располагаются по темам. В начале каждой темы пред™
лагается сводка основных определений, законов и формул. Все
задачи снабжены ответами и имеют разный уровень сложно-
сложности (он указан в индексе при номере задачи). Задачи первого
уровня сложности — простые, как правило, «одноходовые» за-
задачи, для решения которых достаточно знания основных зако-
законов и соответствующих им аналитических формул. Для реше-
решения задач второго уровня сложности помимо знания основных
законов требуется также умение математически описать рас™
сматриваемое физическое явление, составить и решить уравне™
ние или систему уравнений. Уверенное решение задач второго
уровня означает, что читатель неплохо владеет материалом со™
ответствующего раздела физики общеобразовательной средней
школы и может переходить к следующему разделу без ущерба
для понимания. Однако если цель нашего читателя — подгото-
подготовиться и успешно поступить в технический вуз или университет
инженерно-физической направленности, то следует научиться
решать более сложные задачи, которые в данном сборнике поме-
помечены как задачи третьего уровня, т.е. задачи, требующие глубо™
ПРЕДИСЛОВИЕ
кого понимания физических явлений, их творческого ©смысле™
ния и твердого владения соответствующим математическим ап-
аппаратом. При этом предполагается, что учащийся уверенно в л а™
деет математическим аппаратом, предусмотренным школьной
программой, и не боится применять разделы курса математики,
освоенные в 10-11 классах, к решению задач, например, механи™
ки, которую в школе «проходят» в 9 классе. Задачи четвертого
уровня — это так называемые олимпиадные или нестандартные
задачи, которые, конечно же, стоит попробовать решить, но не
надо отчаиваться, если они не получаются с первого раза.
В сборник включены как оригинальные задачи, составлен-
составленные авторами, так и задачи, предлагавшиеся в других сбор™
никах, как правило, с некоторыми изменениями и в авторской
редакции. В сборнике присутствуют разделы и темы, которые
редко можно встретить в подобных пособиях. Это, в частности,
такие темы, как «Динамика вращательного движения твердого
тела. Момент инерции. Закон сохранения момента импульса»,
«Применение законов Кеплера», «Электрические машины по-
постоянного тока», «Фотометрия», «Специальная теория относи-
относительности», практически все темы из раздела «Волновая опти-
оптика». Вместе с тем задачи на указанные темы в последнее время
все чаще стали предлагаться на вступительных экзаменах, те-
тестах и олимпиадах в различных вузах.
В заключение, авторы хотели бы выразить свою благодар-
благодарность всем преподавателям и сотрудникам кафедр «Основы фи™
зики» и «Физика» МГТУ им. Н. Э. Баумана за многочисленные
полезные замечания и конструктивные предложения, высказан-
высказанные в процессе работы над данным сборником. Особенно хоте™
лось бы выразить свою признательность первому руководителю
физико-математической школы при МГТУ им. Н. Э. Баумана
В. В. Кузнецову , который вдохновил нас на создание этого сбор-
сборника.
ГЛАВА 1
МЕХАНИКА
1.1. Векторы и сжалмры
Скалярами (скалярными величинами) называются величи-
величины, характеризуемые только численным значением; векторами
(векторными величинами) — величины, характеризуемые не
только численным значением, но и направлением в простран-
пространстве.
Длина (модуль) вектора а обозначается как |а| = а. Единич-
Единичным называется вектор, длина которого равна единице; нуле™
вым — длина которого равна нулю; направление нулевого век™
тора считается неопределенным. Два вектора считают равными,
если их модули равны и направления совпадают.
Если 1, j, k — единичные векторы, направленные вдоль осей
Oxj Ог/, Oz прямоугольной декартовой системы координат (в их
положительном направлении), то любой вектор а может быть
представлен в виде
а = axl + ayj + azk,
где числа aXjayj az называют декартовыми координатами векто-
вектора а; единичные векторы 1, j, к называют ортами координатных
осей Ож, Оу1 Oz.
Любой вектор однозначно определен своими декартовыми
координатами. Если а = ах\ + ayj + azk, то для вектора а мо™
жет быть использовано обозначение а = {aXjayjaz}. Операции
над векторными величинами удобно производить с использова-
использованием декартовых координат. В частности, если а = {aXjayjaz}
и b = {bxjbyjbzjj а а и /3 — скалярные величины, то
аа = {сшж? сшу, aaz} ,
а + b = {ах + ЬХ1 ау + Ьу, az + bz} ;
в общем случае
аа + /ЗЬ = {аах + f3bXJ aay + /3byj aaz + f3bz} .
10
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
Скалярное произведение векторов а ={аж, %, az} и b ={bXj by, bz}
равно
a • b = (a, b) = |a| • |b| cos tp = axbx + ayby + azbZJ
где у? — угол между направлениями векторов а и Ь;
а| =
1.11. Как направлены два вектора, модули которых одина™
ковы и равны а, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а;
г) ал/2; д) а^З?
1.21. Если а =
ориентации векторов
ai +
1.31.
= ai ^ «2
?
+ а2, то что можно сказать о взаимной
иа2, если: а) а = а\+п2; б) а2 = а\ |
в)
1 Вектор а = 31 — 4j. Какова должна быть скалярная
величина с, чтобы |са| = 7,5 ?
1.41. Векторы ах и а2 имеют прямоугольные декартовы ко™
ординаты {6,0,2} и {1,4,3} соответственно. Найдите вектор аз
такой, что: а) ах + Щ + ^з = 0; б) ах — »2 + аз = 0.
1.51. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток,
12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту
36 м. Чему равны пройденный им путь s и перемещение L ?
1.61. Угол а между двумя векторами а и b равен 60°. Опре-
Определите длину вектора с = а + b и угол /3 между векторами а
и с. Величины векторов равны а = 3,0иЬ = 2,0.
1.71. Для векторов аиЬ, определенных в предыдущей за™
даче, найдите длину вектора d = a-bn угол 7 между and.
1.82. Найдите проекцию вектора а = 4, 0i + 7, 0j на прямую,
направление которой составляет
угол а = 30° с осью Ох. Вектор а
и прямая лежат в плоскости хОу.
1.92. Известно, что d = а +
+Ь+с. Векторы die заданы гра-
графически, известны также прямые
MN и M\N\, вдоль которых на™
правлены векторы а и b (см. ри-
рисунок) . Найдите построением век™
К задаче 1.9 торы аиЬ.
1.102. На координатной плоскости хОу графически заданы
векторы а и b (см. рисунок). Найдите длины векторов сх = а+Ь
и С2 = а — Ь.
1.112. Вектор а составляет угол а = 30° с прямой АВ, а =
= 3, 0. Под каким углом /3 к прямой АВ нужно направить век™
1.2
КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
11
тор b (b = л/3), чтобы вектор с = а + b был параллелен АВ1
Найдите длину вектора с.
1.121. Заданы три вектора: а = 31 + 2] — k; b = 2i — j + к;
с = 1 + 3]. Найдите а) а + b; б) а^Ь; в) (а, Ь); г) (a, c)b — (a, b)c.
1.132. Угол между векторами а и b равен а = 60°, а = 2, 0,
b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b — а/2.
1.142. Докажите, что векторы а и b перпендикулярны, если
а = {2,1,-5} иЬ = {5,-5,1}.
1.152. Найдите угол а между векторами аи Ь, если а =
= {1,2,3}, Ь = {3?2?1}„
О
К задаче 1.10
К задаче 1.16
1.1 б2. Вектор а составляет с осью Ох угол а = 30°, проек™
ция этого вектора на ось Оу равна ау = 2,0. Вектор b перпен-
перпендикулярен вектору а и Ъ = 3, 0 (см. рисунок). Вектор с = а + Ь.
Найдите: а) проекции вектора b на оси Ох и Оу; б) величину с
и угол /3 между вектором с и осью Ох; в) (а, Ь); г) (а, с).
1.2. Кинематика равномерного движения
Материальной точкой называют тело, форма и размеры ко-
которого несущественны в условиях данной задачи. Положение
материальной точки определяется по отношению к какому-либо
произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета, с
которым связана система отсчета — совокупность системы ко™
ординат и часов, связанных с телом отсчета. Положение точки
может быть охарактеризовано радиус-вектором г, проведенным
из начала системы координат в данную точку. Линию, описы™
ваемую материальной точкой в пространстве, называют траек-
траекторией этой точки; расстояние, пройденное точкой вдоль тра-
траектории, — длиной пути (путем) точки. Длина пути — неотри™
дательная скалярная величина.
12 МЕХАНИКА ГЛ. 1
Вектор перемещения (перемещение) материальной точки за
промежуток времени от t до t + At — это приращение радиус-
вектора точки за рассматриваемый промежуток времени:
Аг = r(t + At) -r(t).
Вектор средней скорости точки (средняя скорость по перемеще-
перемещению) равен
_ Аг
где Аг — приращение радиус-вектора; проекции скорости на ко-
координатные оси
_ Ах _ Ay _ Az
At y At At
Среднепутевая скорость равна
- ^1
V~p ~ At'
где As — путь, пройд : за время At; среднепутевая ско-
скорость — скалярная величина.
При движении с постоянной скоростью
r(t) = r0 + vt;
x(t) = х® + vxt,
y(t) = 2/o H~ Vyt,
z(t) = Zq + Vzt.
1.172. Товарный поезд движется со скоростью v\ = 36 км/ч.
Спустя время т = 30 мин с той же станции в том же направле-
направлении вышел экспресс со скоростью V2 = 72 км/ч. Через какое
время t после выхода товарного поезда и на каком расстоянии
s от станции экспресс нагонит товарный поезд? Задачу решить
аналитически и графически.
1.182. Из пункта А выехал велосипедист со скоростью v\ =
= 25 км/ч. Спустя время to = 6 мин из пункта Л, находящегося
на расстоянии L = 10 км от пункта Д навстречу велосипеди-
велосипедисту вышел пешеход. За время t^ = 50 с пешеход прошел такой
же путь, какой велосипедист проехал за t\ = 10 с. На каком
расстоянии s от пункта А встретятся пешеход и велосипедист?
1.192. Камень, брошенный в горизонтальном направлении
и прошедший расстояние s = 40 м, попадает в большой колокол.
Удар о колокол был услышан человеком, бросившим камень, че-
через время t = 3, 9 с. Какова скорость камня t;, если скорость
звука и = 330 м/с? Действие силы тяжести не рассматривать.
1.2 КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ 13
1.202. На тележке установлена труба, которая может по™
ворачиваться в вертикальной плоскости (см. рисунок). Тележ-
Тележка движется по горизонтальной поверхности со скоростью и =
= 2 м/с. Под каким углом а к горизонту следует установить
трубу, чтобы капли дождя, падаю-
падающие отвесно со скоростью v = 6 м/с,
двигались в трубе параллельно ее
стенкам, не задевая их? Скорость
капель считать постоянной.
1.212. Капли дождя на окнах О О
неподвижного трамвая оставляют У^/У/Л^/У/л^/У////Й^
полосы, наклоненные под углом а =
= 30° к вертикали. При движении К задаче 1.20
трамвая со скоростью и = 18 км/ч
полосы от дождя вертикальны. Найдите скорость капель дождя
v в безветренную погоду и скорость ветра vB.
1.222. По неподвижному эскалатору метро пассажир под-
поднимается за время t\ = 120 с, а по движущемуся (при той же
скорости движения относительно ступенек) — за t^ = 30 с. Опре™
делите время подъема t$ пассажира, неподвижно стоящего на
движущемся эскалаторе.
1.232. Самолет летит из пункта А в пункт В и обратно
со скоростью v = 300 км/ч относительно воздуха. Расстояние
между пунктами А ж В равно s = 900 км. Сколько времени t за™
тратит самолет на весь полет, если вдоль линии АВ непрерывно
дует ветер со скоростью и = 60 км/ч?
1.243. Колонна автомашин длиной L = 2 км движется со
скоростью vi = 36 км/ч. Из начала колонны выезжает мото™
циклист, который, достигнув ее конца, возвращается обратно.
Скорость мотоциклиста постоянна и равна V2 = 54 км/ч. Сколь-
Сколько времени t будет в пути и какой путь s пройдет мотоциклист,
пока он снова нагонит начало колонны?
1.252. Мимо пристани вниз по реке проходит плот. В этот
момент в этом же направлении в поселок отправляется мотор-
моторная лодка. За время t = 45 мин лодка дошла до поселка, на-
находящегося на расстоянии s\ = 15 км от пристани, и, повернув
обратно, встретила плот на расстоянии 52 = 9 км от поселка. Ка-
Каковы скорость и течения реки и скорость v лодки относительно
воды?
1.262. Лодка движется под углом а к течению реки (см.
рисунок). Ее скорость относительно воды равна г;, скорость те-
течения равна и. Найдите скорость vq лодки относительно берега
реки и угол /3, который составляет вектор vq с направлением
течения.
14
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
1.272. Лодочник, переправляясь через реку ширины h из
пункта А в пункт В (см. рисунок), все время направляет лодку
под углом а к берегу. Найдите скорость лодки v относительно
воды, если скорость течения реки равна ti, а лодку снесло ниже
пункта В на расстояние L.
К задаче 1.26
К задаче 1.27
1.283. Из пункта Д расположенного на берегу реки, необхо-
необходимо попасть в пункт ?», двигаясь по прямой АВ (см. рисунок).
Ширина реки АС = Ь = 1 км, ВС = а = 2 км, скорость лодки
относительно воды v = 5 км/ч, а скорость течения реки и =
= 2 км/ч. За какое время t может быть пройден отрезок АВ1
1.293. Воздушный шар поднимается в потоке воздуха, пере-
перемещающемся относительно земной поверхности в горизонталь-
горизонтальном направлении. Пилот на шаре определил, что скорость вет™
ра относительно шара t/ = 6 м/с, скорость удаления шара от
земли vB = 5 м/с и скорость его горизонтального перемещения
уг = б м/с. Определите скорость ветра v относительно Земли.
К задаче 1.28
К задаче 1.30
1.303. Вертикальная гладкая плита движется горизонталь-
горизонтально со скоростью и (см. рисунок). Летящий в горизонтальной
плоскости со скоростью vq шарик соударяется с плитой. На-
Направление полета шарика составляет угол а с перпендикуляром
к плите. Найдите скорость v шарика сразу после соударения с
1.2 КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ 15
плитой, считая, что массивная плита не изменила своей скоро™
сти в результате соударения с шариком (соударение абсолютно
упругое). Силой тяжести пренебречь.
1.312. Автобус выходит из пункта А и проходит расстоя-
расстояние s = 40 км до пункта В со средней скоростью v\ = 40 км/ч
и останавливается там на время t = 20 мин. Затем он возвра-
возвращается в пункт А, проходя расстояние s со средней скоростью
V2 = 60 км/ч. Найдите среднюю vcp и среднепутевую г;сп скоро™
сти за все время движения автобуса.
1.322. Собака убежала от своего хозяина на расстояние s =
= 100 м за t = 8, 4 с, а затем за треть этого времени пробежала
половину пути обратно. Вычислите ее среднюю vcp и среднепу™
тевую vcn скорости.
1.332. Первую треть времени точка движется со скоростью
vi, вторую треть — со скоростью г?2, последнюю — со скоростью
vs. Найдите среднюю скорость точки за все время движения.
1.342. Первую треть пути точка движется со скоростью г>1,
вторую треть — со скоростью г?2, последнюю — со скоростью vs-
Найдите среднюю скорость точки за все время движения.
1.352. В квалификационных заездах автогонщик перед со-
соревнованиями должен на протяжении четырех кругов показать
среднепутевую скорость v = 200 км/ч. Из-за сбоев в двигателе
среднепутевая скорость автомобиля на первых двух кругах ока™
залась равной v\ = YIQ км/ч. С какой среднепутевой скоростью
V2 гонщик должен пройти два последних круга?
1.362. Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время
в п = 3 раза меньшее, чем на обратный путь. Определите, с
какими скоростями относительно берега двигался катер, если его
средняя скорость на всем пути составила vcp = 3 км/ч.
1.371. Оцените среднюю и среднепутевую скорость кончика
минутной стрелки часов за 15, 30 и 45 минут.
1.382. Тело совершает в плоскости хОу два последователь™
пых, одинаковых по длине перемещения со скоростями v\ =
= 20 м/с под углом а± = 60° к направлению оси Ох и V2 =
= 40 м/с под углом «2 — 120° к тому же направлению. Найдите
среднюю скорость движения vcp.
1.393. Два тела движутся с постоянными скоростями по вза-
взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого тела v\ =
= 30 м/с, скорость второго V2 = 20 м/с. В тот момент, когда
расстояние между телами наименьшее, первое тело находится
на расстоянии s\ = 500 м от точки пересечения прямых. На ка-
каком расстоянии 52 от точки пересечения прямых находится в
этот момент второе тело?
16
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
1.403. На наклонную плоскость, составляющую с горизон™
том угол о, опирается стержень, который может перемещаться
только по вертикали благодаря направляющему устройству АВ
(см. рисунок). С какой скоростью v поднимается стержень, если
наклонная плоскость движется влево в горизонтальном направ-
направлении со скоростью и?
К задаче 1.40
К задаче 1.41
1.413. Стержень длиной L шарнирно соединен с муфтами
А и I?, которые перемещаются по двум взаимно перпендику-
перпендикулярным рейкам (см. рисунок). Муфта А движется вдоль оси Ох
с постоянной скоростью v. Приняв за начало отсчета времени
момент, когда муфта А находилась в точке О, определите зави-
симость от времени координаты y(t) и скорости vy(t) муфты В.
1.423. Человек, стоящий на крутом берегу озера, тянет за
веревку находящуюся на воде лодку. Скорость, с которой чело-
человек выбирает веревку, постоянна и равна v. Какую скорость и
будет иметь лодка в момент, когда угол между веревкой и по-
поверхностью воды равен а?
1.433. Из двух портов i и В, расстояние между которыми
равно L, одновременно выходят два катера, один из которых
плывет со скоростью v\, а вто™
рой — со скоростью V2- На-
Направление движения первого
катера составляет угол a, a
второго — угол /3 с линией
АВ (см. рисунок). Каким бу™
дет наименьшее расстояние s
между катерами?
л лп 1.444. Первую половину
К задаче 1.43 r / J
времени автомооиль двигался
со скоростью г?1, а вторую — следующим образом: половину
оставшегося расстояния он ехал со скоростью г?2, а вторую по-
1.3 РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 17
ловину оставшегося расстояния со скороствю, равной средней
скорости движения на двух предыдущих участках. Определите
среднюю скорость vcp автомобиля за все время его движения.
Автомобиль движется прямолинейно в одном направлении.
1.454. Первую половину пути автомобиль двигался со скоро™
стью vi , а вторую половину пути — следующим образом: поло-
половину времени, оставшегося на прохождение этой половины пути,
он ехал со скоростью V2 , а конечный отрезок всего пути с такой
скоростью, что она оказалась равной средней скорости движе-
движения на первых двух участках. Чему равна средняя скорость vcp
автомобиля на всем пути? Автомобиль движется прямолинейно
в одном направлении.
1.3. Равнопеременное прямолинейное движение
Средним ускорением точки в интервале времени от t до At
называют вектор аср, равный отношению приращения Av век-
вектора скорости точки за этот промежуток времени к его продол-
продолжительности At:
_ v(t + At) - v(t) _ Av
acp " At " Д*'
При движении вдоль оси Ох с постоянным ускорением а за™
висимости проекции скорости vx на ось Ох ж координаты х от
времени имеют вид
vx(t) = vq + at, x(t) = xq + vot + -at2.
1.461. Тело движется вдоль оси Ох. Зависимость его коор-
координаты от времени имеет вид х = At + Bt2, где А = 4 м/с, В =
= —0, 05 м/с2. Определите: а) зависимость скорости и ускорения
от времени; б) момент времени to, когда скорость тела станет
равной нулю; в) путь s, пройденный телом за время t\ = 1 мин.
1.471. Две точки движутся вдоль оси Ох. Заданы зависи-
зависимости их координат от времени: x\{t) = А\ + B\t + Cit2, где
Ах = 20 м, Вх = 2 м/с, Сх = -4 м/с2; x2(t) = А2 + B2t + C2t2,
где А2 = 2 м, 1?2 = 2 м/с, С2 = 0, 5 м/с2. Определите момент
tB и координату жв встречи точек. В какой момент времени t
скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны значения
скорости v и ускорений ах и «2 точек в этот момент?
1.482. На рисунке представлен график зависимости скоро™
сти тела от времени. Начальная координата тела х@) = 0. По-
Постройте графики зависимости ускорения и координаты тела, а
также пройденного им пути от времени. Тело движется вдоль
оси Ох.
18
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
1.492. На рисунке представлен график зависимости скоро™
сти тела от времени. Начальная координата тела х@) = 0. По-
Постройте графики зависимости ускорения и координаты тела, а
также пройденного им пути от времени. Определите среднюю и
среднепутевую скорости за первые 2,0 и 5,0 с движения. Тело
движется вдоль оси Ох.
t,c
К задаче 1.48
К задаче 1.49
1.502. По графику ax(t) (см. рисунок) постройте графики
vx(t), x(t) и s(?), если начальные условия следующие: а) х@) =
= 0, ^@) = 0; б) ж@) = хо, vx@) = 0; в) х@) = 0, vx@) = v0 > 0;
г) x(Q) = Q,vx(Q) = -v0 <0.
ах, м/с2
-2
1 l
t, с
К задаче 1.50
К задаче 1.51
1.512. По графику ax(t) (см. рисунок) постройте графики
vx(t), x(t) и s(?), если начальные условия следующие: v@) =
= 3 м/с, ж@) = 1 м.
1.522. По известной зависимости x(i) (см. рисунок, где О А,
ВС^ CD, EF — дуги парабол, АВ и DE — прямолинейные участ™
ки) постройте графики s(t), vx(t), ax(t).
1.3
РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
19
1.532. По известной зависимости x(t) (см рисунок, где ОД
ВС, DE, FG — дуги парабол, АВ, CD, EF и GH — прямоли-
прямолинейные участки) постройте графики s(t), vx(t), ax{t). Найдите
с помощью этих графиков момент времени to, B который мгно-
венная скорость v{t®) равна средней скорости за время to-
С D
О
О
К задаче 1.52
F
К задаче 1.53
1.542. Кабина лифта поднимается в течение первых 4 с рав-
равноускоренно, достигая скорости 4 м/с. С этой скоростью кабина
движется равномерно в течение следующих 8 с, а последние 3 с
перед полной остановкой она движется равнозамедленно. Опре-
Определите перемещение h кабины лифта. Постройте графики зави-
зависимостей от времени перемещения, скорости и ускорения лифта.
1.553. По графику ax(t) (см. рисунок) постройте график
vx(t)j считая v@) = 0.
К задаче 1.55
К задаче 1.56
1.563. По графику ax(t) (см. рисунок) постройте график
vx(t)j считая v@) = 0.
1.573. График зависимости скорости тела от времени имеет
вид полуокружности (см. рисунок). Максимальная скорость те-
0
20 МЕХАНИКА ГЛ. 1
л а равна vq, время движения tg. Определите путь, пройденный
телом.
1.582. Автобус движется в течение 20 с по прямой до оста™
новки, проходя при этом расстояние 310 м. Его начальная ско-
скорость 15 м/с. Докажите, что
ускорение автобуса при этом из™
меняется по направлению.
1.592. Автомобиль начинает
движение без начальной скоро™
сти и проходит первый километр
с ускорением ai, а второй — с
„ ускорением а^. При этом на пер™
fo t вом километре его скорость воз-
возрастает на 10 м/с, а на втором —
1Z 1 с- на 5 м/с. На каком участке его
К задаче 1.57 ' r o J
ускорение больше:
1.602. Тело, двигаясь равноускоренно в положительном на-
направлении оси Ох, проходит два одинаковых отрезка пути по
s = 15 м каждый соответственно в течение t± = 2 с ш t2 = 1 с.
Определите ускорение и скорость тела в начале первого отрезка
пути, считая, что проекция начальной скорости тела на ось Ох
положительна.
1.612. Тело, двигаясь равноускоренно, за первые 5 с своего
движения прошло путь L\ = 100 м, а за первые 10 с — L2 =
= 300 м. Определите начальную скорость тела.
1.622. Начав двигаться равноускоренно из состояния покоя,
тело приобрело скорость v = 14 м/с, пройдя некоторый путь.
Чему равна скорость тела в момент, когда оно прошло половину
этого пути?
1.632. Рядом с поездом на одной линии с передними буфера-
буферами электровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал
двигаться с ускорением а = 0,1 м/с2, человек начал идти в том
же направлении со скоростью v = 1, 5 м/с. Через какое время t
поезд догонит человека? Какую скорость v\ будет иметь поезд
в этот момент? Какое расстояние s к этому моменту пройдет
человек?
1.643. В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на
платформу, мимо него за время t\ прошел предпоследний вагон
поезда. Последний вагон прошел мимо пассажира за время #2-
На сколько времени пассажир опоздал к отходу поезда? Поезд
движется равноускоренно, длина вагонов одинакова.
1.652. Два автомобиля выходят из одного пункта в одном
направлении. Второй автомобиль выходит на т = 20 с позже
первого. Оба движутся равноускоренно с одинаковым ускорени-
ускорением а = 0, 4 м/с2. Через какое время t после начала движения
1.3 РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 21
первого автомобиля расстояние между ними окажется равным
s = 240 м? Начальная скорость обоих автомобилей равна нулю.
1.662. Конькобежец проходит путь s = 450 м с постоянной
скоростью и, а затем тормозит до остановки с постоянным уско-
ускорением а = 0, 5 м/с2. При некотором значении v общее время
движения конькобежца будет минимальным. Чему равно время
^мин •
1.673. Тело начинает движение из точки А и движется сна-
сначала равноускоренно в течение времени to, затем с тем же по
величине ускорением равнозамедленно. Через какое время t от
начала движения тело вернется в точку А? Начальная скорость
тела равна нулю.
1.682. Тело падает с высоты h = 100 м без начальной скоро-
скорости. За какое время t\ тело проходит первый метр своего пути
и за какое время At — последний? Какой путь s\ тело прохо-
проходит за первую секунду своего падения и какой путь As — за
последнюю? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.692. Свободно падающее тело за первую и последнюю се™
кунды своего падения прошло в общей сложности половину все-
всего пути. С какой высоты h падало тело? За какое время Т оно
прошло весь путь? Начальная скорость тела равна нулю. Со™
противление воздуха не учитывать.
1.703. Тело свободно падает с высоты h = 270 м. Разбейте
этот путь на три участка /ii, /&2, h% так, чтобы на прохождение
каждого из них требовалось одно и то же время. Определите
hi, /i2? ^з- Начальная скорость тела равна нулю. Сопротивление
воздуха не учитывать.
1.712. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоро-
скоростью v® = 30 м/с. Какой путь прошло тело за время т = 4 с?
Каковы его средняя vcp и среднепутевая vCII скорости за это вре™
мя? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.722. Тело падает с высоты h = 45 м. Найдите среднюю
скорость г;ср его движения на второй половине пути. Начальная
скорость тела равна нулю. Сопротивление воздуха не учиты-
учитывать.
1.732. Покажите, что для тела, брошенного вертикально
вверх с поверхности земли и падающего на нее же: а) конеч-
конечная скорость по величине равна начальной скорости и б) время
спуска равно времени подъема. Сопротивление воздуха не учи™
тывать.
1.742. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на
землю через t = 3 с. Какова начальная скорость vq тела? На
какую высоту h оно поднялось? Сопротивление воздуха не учи™
тывать.
22 МЕХАНИКА ГЛ. 1
1.752. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель из™
меряет промежуток времени to между моментами, когда тело
проходит точку I?, находящуюся на высоте h. Найдите началь™
ную скорость тела г?о, а также общее время движения тела Т.
Сопротивление воздуха не учитывать.
1.762. Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с
ускорением а. Через время г от начала его движения из него
выпал предмет. Через какое время Т этот предмет упадет на
Землю? Какова его скорость v в момент падения? Начальная
скорость аэростата равна нулю. Сопротивление воздуха не учи™
тывать.
1.772. Человек, сбросивший камень с обрыва, услышал звук
его падения через время t = 6 с. Найдите высоту h обрыва.
Скорость звука и = 340 м/с. Начальная скорость камня равна
нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.783. Глубину колодца хотят измерить с относительной по-
погрешностью 5%, бросая камень и измеряя время т, через кото™
рое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений т необхо-
димо учитывать время распространения звука? Скорость звука
в воздухе и = 340 м/с.
1.792. С высокой башни друг за другом бросают два тела с
одинаковыми по величине скоростями vq. Первое тело бросают
вертикально вверх; спустя время т бросают второе — вертикаль-
вертикально вниз. Определите скорость и относительного движения тел и
расстояние s между ними в момент времени t > т. Сопротивле-
Сопротивления воздуха не учитывать.
1.802. С крыши капают капли воды. Промежуток времени
между отрывами капель т = 0,1 с. На каком расстоянии Ау
друг от друга будут находиться через время t = 1 с после нача™
ла падения первой капли следующие три? Начальная скорость
капель равна нулю. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.812. Тело свободно падает с высоты h = Юме нулевой
начальной скоростью. В тот же момент другое тело бросают с
высоты Н = 20 м вертикально вниз. Оба тела упали на землю
одновременно. Определите начальную скорость vq второго тела.
Сопротивление воздуха не учитывать.
1.822. Тело брошено из точки А вертикально вверх с на™
чальной скоростью vq. Когда оно достигло высшей точки траек-
траектории, из той же точки А с той же скоростью vq было брошено
второе тело. На каком расстоянии h от точки А они встретятся?
Сопротивление воздуха не учитывать.
1.832. Точка 1 движется согласно уравнениям
1.4 БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 23
а точка 2 — согласно уравнениям
Встретятся ли эти точки?
1.4. Баллистическое движение
При движении тела, брошенного под углом а к горизонту,
зависимость радиус-вектора г тела от времени имеет вид
r(t) = ro + vot+igt2.
Систему координат обычно выбирают так, что ось Ох направ-
направлена горизонтально в направлении броска (чтобы угол а лежал
в пределах от ^тг/2 до +тг/2), а ось Оу — по вертикали вверх.
Тогда
vx (t) = vq cos a; vy = vq cos a — gt;
x(t) = (v0 cos a)t + x0; y(t) = —g*2 + (vo sina)t + y0-
Направление координатных осей может быть и иным, но тогда
может измениться и вид выражений для координат и проекций
скорости на координатные оси.
Во всех задачах этого раздела сопротивление воздуха ечита-
ется пренебрежимо малым, ускорение свободного падения g =
= 9,8 м/с2.
1.841. Камень, брошенный горизонтально с отвесного обры™
ва высотой h = 10 м, упал на расстоянии s = 14 м от основания
обрыва. Получите уравнение траектории камня у(х) и опреде-
определите из него начальную скорость камня v®.
1.851. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направ-
направлении со скоростью ^0 = 20 м/с, упало на землю на расстоянии
s от основания башни, в два раза большем, чем высота баш™
ни h. Найдите высоту башни.
1.862. Пистолетная пуля пробила два вертикально закреп-
закрепленных листа бумаги, расстояние между которыми L = 30 м.
Пробоина во втором листе оказалась на h = 10 см ниже, чем в
первом. Определите скорость v пули в момент пробивания пер™
вого листа, считая, что в этот момент пуля двигалась горизон™
тально.
1.872. Камень, брошенный с крыши дома горизонтально с
начальной скоростью vq = 15 м/с, упал на землю под углом
/3 = 60° к горизонту. Какова высота h дома?
1.882. Тело брошено горизонтально. Через время t = 5 с пос-
после броска направления полной скорости v и полного ускорения
24 МЕХАНИКА ГЛ. 1
а составили угол /3 = 45°. Найдите величину v скорости тела в
этот момент.
1.893. По гладкому горизонтальному столу движется, быст-
ро вращаясь, волчок, имеющий форму конуса (см. рисунок).
При какой скорости v поступательного движения волчок, со-
соскочив со стола, не ударится о его край?
Ось волчка все время остается верти-
вертикальной. Высота оси конуса равна /г, ра-
радиус основания конуса г.
1.903. С обрыва в горизонтальном
направлении бросают камень со скоро™
стью vq = 20 м/с. Определите коорди-
координаты точки, в которой радиус кривизны
траектории в 8 раз больше, чем в ее верх-
верхней точке. Камень бросают из начала ко™
К задаче 1.89 ординат в направлении оси Ож, ось О у
направлена вертикально вниз.
1.912. Тело брошено с отвесного обрыва высотой h с началь-
начальной СКОРОСТЬЮ Vq ПОД уГЛОМ Of К ГОрИЗОНТу.
а) На каком расстоянии s от основания обрыва тело упадет
на землю?
б) В течение какого времени Т оно будет находиться в воз™
духе?
в) Чему равна скорость тела v спустя время т после начала
движения и какой угол /3 составляет она с горизонтом?
1.923. Два человека играют в мяч, бросая его друг другу.
Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если
от одного игрока к другому он летит t = 2 с?
1.933. Начальная скорость тела, бросаемого под некоторым
углом к горизонту, равна vq; максимально возможная дальность
его полета — 5макс. Под каким углом а к горизонту с той же на™
чальной скоростью должно быть брошено тело, чтобы дальность
его полета была равна s (s < sMaKC)?
1.942. Под каким углом а к горизонту должна быть на-
направлена струя воды, чтобы дальность ее полета была макси™
мальной?
1.952. Под каким углом а к горизонту нужно направить
струю воды, чтобы высота ее подъема была равна дальности?
1.9б2. Под каким углом а к горизонту надо бросить тело,
чтобы максимальная высота его подъема равнялась дальности
полета, если попутный ветер сообщает телу постоянное горизон™
тальное ускорение а?
1.973. Из миномета, находящегося в точке А, ведут обстрел
объекта, расположенного на склоне горы (см. рисунок). Угол
наклона горы к горизонту равен /?, стрельба производится под
1.4
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
25
углом а к горизонту. На каком расстоянии L = АВ будут падать
мины, если их начальная скорость равна v®? При каком угле а =
од дальность стрельбы вдоль склона
будет максимальной?
1.982. Камень, брошенный под
углом а = 30° к горизонту, дваж™
ды побывал на одной высоте h спустя
время ti = 3cnt2 = 5c после на™ —
чала движения. Найдите начальную
скорость камня v® и высоту h.
К задаче 1.97
1.992. В момент выстрела яблоко начинает падать с ветки
дерева с нулевой начальной скоростью. Поразит ли его пуля,
если ружье при выстреле было направлено прямо на яблоко?
1.1002. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем садов™
ника, бьют сразу две струи с одинаковой начальной скоростью
г?о, направленные под углами а и /3 к горизонту. Струи распо-
расположены в одной вертикальной плоскости. На каком расстоянии
L по горизонтали от отверстия шланга струи пересекутся?
1.1012. Из одной точки одновре-
одновременно выброшены два тела с одина-
ковыми по модулю скоростями vi и
V2 (|^11 = |^21 = щ) под углами а\
и «2 к горизонту (см. рисунок). Че-
Чему равна скорость и относительного
движения тел? Как зависит от вре-
времени расстояние s между телами?
Траектории обоих тел принадлежат
одной вертикальной плоскости.
1.1023. Мальчик в состоянии сообщить мячу начальную ско-
скорость vq = 20 м/с. Какова максимальная дальность полета мяча
^макс в спортивном зале, высота которого h = 5 м?
1.1033. Шарик бросают под углом а = 30° к горизонту с
начальной скоростью v® = 14 м/с. На расстоянии s = 11 м от
точки бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку.
На каком расстоянии L от стенки шарик упадет на землю?
1.1043. Начальная скорость брошенного камня v® = 10 м/с.
Спустя t = 0, 5 с скорость камня становится равной v = 7 м/с.
На какую максимальную высоту Н над начальным уровнем под-
поднимется камень?
1.1053. С высоты h на наклонную плоскость, образующую
с горизонтом угол а, свободно падает мяч и упруго отскакива-
отскакивает от нее. Через какое время t после удара мяч снова упадет
на наклонную плоскость? Найдите расстояние от места первого
удара до второго, от второго до третьего и т.д.
СС1
К задаче 1.101
26
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
1.1063. Пикирующий самолет сбрасывает бомбу с высоты h
и поражает цель, удаляющуюся по земле со скоростью V2- На ка-
каком расстоянии s по горизонтали от цели была сброшена бомба,
если в этот момент времени скорость самолета v\ была направ™
лена под углом а к горизонту?
1.1073. Тело бросают с высоты h = 4 м вверх под углом
а = 45° к горизонту так, что к поверхности земли оно подлетает
под углом /3 = 60°. Какое расстояние по горизонтали пролетит
тело?
1.1083. Необходимо с земли перебросить мяч через верти™
кальную стенку высоты /г, находящуюся на расстоянии s от ые-
ста броска. При какой наименьшей начальной скорости vq это
возможно? Под каким углом а к горизонту должна быть в этом
случае направлена начальная скорость мяча?
1.10Э3. Орудие стреляет из-под укрытия, наклоненного к
горизонту под углом /3, находясь на расстоянии L от основа-
основания укрытия. Ствол орудия закреплен под углом а к горизонту,
причем а > /3 (см. рисунок). С какой максимальной скоростью
'Умакс может вылететь снаряд, не задев укрытия? Сопротивление
ем воздуха пренебречь. Траектория снаряда лежит в плоскости
чертежа.
К задаче 1.109
К задаче 1.110
1.1104. При какой минимальной начальной скорости г?мин
мальчик может перебросить камень через дом с покатой крышей
(см. рисунок), если ближайшая к мальчику стена имеет высоту
И, задняя стена — высоту /i, а ширина дома равна L?
1.5. Движение точки по окружности. Вращательное
движение твердого тела
Средние угловые скорость ш и ускорение е точки при движе™
нии по окружности определены выражениями
Да;
1.5 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ 27
при движении по окружности с постоянной угловой скоростью
(ш = const)
cp(t) = щ + ujt;
при движении по окружности с постоянным угловым ускорени-
ускорением (е =const)
uj(t) = ujq + et; (p(t) = щ + ujgt + -et2.
Линейная скорость v точки при движении по окружности
радиуса R с угловой скоростью ш равна
v = шК.
Ускорение точки в проекциях на касательную и нормаль к
траектории при движении точки по окружности радиуса R рав-
равно
^ 2
ат = ей, ап = — = ш R.
К
1.1 II1. Определите вид траектории материальной точки,
которая начинает движение с некоторой начальной скоростью
и имеет постоянное по величине ускорение, направление кото-
которого: а) постоянно; б) все время составляет угол 90° с вектором
скорости точки, причем вектор ускорения лежит в одной и той
же плоскости.
1.1121. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки
больше угловой скорости суточного вращения Земли?
1.1131. При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты
искусственного спутника Земли период его обращения увеличи-
увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется при этом скорость
движения спутника по орбите?
1.1141. Точка движется по окружности с постоянной ско-
скоростью v = 0, 5 м/с. Вектор скорости изменяет направление на
А(р = 30° за время At = 2 с. Каково нормальное ускорение
точки ап1
1.1151. Каково ускорение точек земного экватора, обуслов-
обусловленное суточным вращением Земли? Во сколько раз п должна
была бы увеличиться угловая скорость Земли, чтобы это уско-
ускорение стало равным д? Радиус Земли R^ = 6400 км.
1.11 б2. С какой скоростью v и в какое время суток должен
лететь самолет на широте Санкт-Петербурга ((р = 60°), чтобы
летчик видел Солнце все время на юге?
1.1172. Сплошной диск катится без скольжения по горизон-
горизонтальному участку дороги с постоянной скоростью v (см. рису-
рисунок).
28 МЕХАНИКА ГЛ. 1
а) Докажите, что линейная скорость вращения относитель-
относительно центра О любой точки диска, лежащей на его ободе, равна
скорости поступательного движения диска v.
б) Определите величину и направление скоростей точек А,
В, С и D, лежащих на ободе диска, относительно неподвижного
наблюдателя в тот момент, когда
эти точки занимают показанное на
рисунке положение.
в) Какие точки диска имеют от™
носительно неподвижного наблюда™
теля ту же по абсолютной величине
скорость, что и центр диска?
1.1182. Найдите нормальное
ускорение точек колеса автомоби-
автомобиля, соприкасающихся с дорогой, ее™
т, л лл*7 ли автомобиль движется со скоро-
К задаче 1.117 ^~ ,
стью v = 11 км/ч, а его колеса де-
делают п = 8 оборотов в секунду.
1.1192. Диск радиусом R = 10 см, начал вращение из
состояния покоя с постоянным угловым ускорением е = 0, 50
рад/с2. Каковы тангенциальное ат, нормальное ап и полное а
ускорения точек на окружности диска в момент времени t = 2, 0
с после начала вращения?
1.1201. Вал начинает вращение из состояния покоя и в пер-
первые t = 10 с совершает N = 50 оборотов. Считая вращение ва-
вала равноускоренным, определите угловое ускорение е и угловую
скорость ш к концу десятой секунды вращения.
1.1212. Барабан начинает вращаться с постоянным угловым
ускорением е вокруг своей оси. По какому закону меняется с
течением времени угол (р между векторами скорости и полного
ускорения произвольной точки барабана? Каким будет значение
сро этого угла к моменту, когда барабан сделает один полный
оборот?
1.1221. Колесо имеет начальную частоту вращения щ =
= 5,0 с. После торможения частота вращения колеса умень-
уменьшилась за время t = 1, 0 мин до значения v = 3, 0 с. Найдите
угловое ускорение колеса е и число оборотов JV, сделанных им
за время торможения t, считая е = const.
1.1231. Лопасти вентилятора вращаются с частотой щ =
= 15 с. После выключения вентилятор, вращаясь равноза-
медленно, сделал до остановки N = 75 оборотов. Какое время t
прошло с момента выключения вентилятора до его полной оста-
остановки?
1.5
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ
29
1.1242. Плоский обруч движется так, что в некоторый мо™
мент времени скорости концов диаметра АВ лежат в плоскости
обруча и перпендикулярны этому диаметру (см. рисунок). Око™
рость точки А равна va, а скорость точки В равна vb- Опреде™
лите скорости концов диаметра CD, перпендикулярного АВ, в
этот же момент времени, считая, что эти скорости также лежат
в плоскости обруча.
В
К задаче 1.124
К задаче 1.125
1.1253. Палочка АВ длины L движется в плоскости черте™
жа (см. рисунок) так, что в данный момент времени скорость
ее конца А направлена под углом а, а скорость конца В — под
углом /3 к палочке. Значение скорости конца А равно v. Опре™
делите скорость vb конца В.
1.1262. Тело брошено с отвесного обрыва высотой h с на™
чальной скоростью vq под углом а к горизонту. Определите ве-
личины нормального ап и тангенциального ат ускорения спустя
время At после начала движения. Найдите радиус кривизны R
траектории в ее высшей точке.
1.1272. Стержень длиной 2L движется в горизонтальной
плоскости таким образом, что в некоторый момент времени ско-
скорость одного конца стержня рав-
равна vi и направлена под углом а к
стержню, скорость второго конца
V2- Определите угловую скорость
ш вращения стержня относительно
его центра.
1.1283. Катушка с намотанной
на нее нитью лежит на горизон-
горизонтальной поверхности стола и ка-
катится по ней без скольжения под
действием нити (см. рисунок). О
какой скоростью v будет переме™
К задаче 1.128
щаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном
направлении со скоростью и? Радиус внутренней части катуш-
30
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
ки г, внешней — R. Каковы будут скорость va и ускорение па
точки А!
1.1294. Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов,
длины сторон которых относятся как 1:2:3 (см. рисунок). Вер-
Вершина А% перемещается в горизонтальном направлении со ско-
скоростью vq. Определите скорости вершин А\, A<i, В\ и ?»2 в тот
момент, когда все углы ромбов прямые.
К задаче 1.129
К задаче 1.130
1.1304. Концы А ж В стержня АВ скользят по сторонам
прямого угла (см. рисунок). Как зависит от угла а ускорение
середины стержня (точки С), если конец В движется с постоя-
постоянной скоростью v? Длина стержня равна L.
1.6. Динамика прямолинейного движения
Основное уравнение динамики материальной точки (второй
закон Ньютона) для тела постоянной массы т в инерциальных
системах отсчета имеет вид
ma = F,
где F — равнодействующая приложенных к телу сил.
1.1311. При каких условиях тело (материальная точка) дви™
жется с постоянным ускорением? При каких — прямолинейно?
1.1321. Лежащая на столе книга давит на стол с силой Р.
Стол действует на нее с такой же по величине и противополож-
противоположной по направлению силой Р;. Можно ли найти равнодействую™
щую этих сил? К какому объекту она приложена?
1.1331. Под действием постоянной силы F = 3,0 Н тело
движется прямолинейно так, что его координата зависит от вре-
времени по закону x(t) = C\t2 + C^t, где С\ = 15 м/с2, С^ = 2 м/с.
Найдите массу тела т.
1.6
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
31
1.1341. График зависимости от времени действующей на
тело вдоль оси Ох силы F представлен на рисунке. Постройте
графики зависимостей от времени координаты x(t) и проекции
на нее скорости vx(t). Начальные условия: vx@) = 0, х@) = 0.
1.1351. Во время автомобильной катастрофы машина, дви-
двигавшаяся со скоростью v = 54 км/ч, налетела на бетонную сте-
ну. При этом передняя часть машины смялась так, что ее длина
уменьшилась на L\ = 0,5 м. Какая постоянная сила F должна
действовать на пассажира со стороны ремня безопасности, что™
бы он не разбил головой ветровое стекло? Расстояние от головы
пассажира до ветрового стекла 1/2 = 0,5 м. Масса пассажира
т = 60 кг.
F-
О
t, с
\в
\с
К задаче 1.134
К задаче 1.136
1.1362. На одно из оснований однородного прямого цилин-
цилиндра действует постоянная сила F, перпендикулярная основанию
(см. рисунок). Какая сила Fb действует на противоположное
основание цилиндра? Какая сила Fq действует на сечение ци-
цилиндра С, находящееся на расстоянии х от основания А? Длина
цилиндра L. Сопротивлением внешней среды при движении ци-
цилиндра пренебречь.
1.1372. На однородный стержень длины L действуют си-
силы Fa и Ре? приложенные к его концам и направленные вдоль
стержня в противоположные
стороны (см. рисунок). С ка-
какой силой F растянут стер-
стержень в сечении, находящемся т -
на расстоянии х от его кон-
конца Л?
1.1382. Тело, брошенное
вертикально вверх с началь-
начальной скоростью vq = 30 м/с, К задаче 1Л37
достигает высшей точки подъема через время t = 2,5 с. Масса
тела т = 40 г. Найдите среднюю силу Fc сопротивления возду-
воздуха, действующую на тело во время движения.
32 МЕХАНИКА ГЛ. 1
1.1392. Тело массой т = 0, 5 кг начинает падать с высоты
h = 39, 2 м и в последнюю секунду проходит 36 % всего пути.
Определите силу Fc сопротивления воздуха, считая ее постоян-
постоянной. Начальная скорость тела равна нулю.
1.1402. Воздушный шар массы М опускается с постоянной
скоростью. Какой массы т балласт нужно сбросить, чтобы шар
поднимался с той же скоростью? Подъемная сила воздушного
шара Q известна. Силу сопротивления воздуха считать одина-
одинаковой при подъеме и при спуске.
1.1412. Аэростат, имеющий вместе с балластом массу т,
опускается вниз с постоянным ускорением а. Какую массу Am
балласта нужно сбросить с аэростата, чтобы он двигался с та-
таким же по величине ускорением, направленным вверх? Силой
сопротивления воздуха пренебречь.
1.1422. Скорость лифта при подъ-
еме изменяется в соответствии с графи™
ком, представленным на рисунке. Мае-
са кабины лифта с пассажирами т =
= 1500 кг. Найдите силу Т натяжения
каната, удерживающего кабину лифта
в начале, середине и конце подъема.
1.1432. Лифты Останкинской теле-
визионной башни, работающие до вы™
соты h = 337 м, имеют скорость рав-
К задаче 1.142 номерного движения v0 = 7 м/с и осу-
осуществляют весь подъем за время t =
= 60 с. Считая ускорение постоянным по величине и одинако-
одинаковым во время разгона и торможения лифта, определите силу
давления N груза массой m = 100 кг на пол лифта в начале,
середине и в конце подъема.
1.1442. Проволока выдерживает груз массы тМакс = 450 кг.
С каким максимальным ускорением амакс можно поднимать груз
массы m = 400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она
не оборвалась?
1.1452. Веревка выдерживает груз массы mi = 110 кг при
подъеме его с некоторым ускорением, направленным по верти-
вертикали, и груз массы wi2 = 690 кг при опускании его с таким же
по величине ускорением. Какова максимальная масса m груза,
который можно поднимать на этой веревке, перемещая его с по-
постоянной скоростью?
1.1462. Груз закреплен на тележке четырьмя натянутыми
нитями (см. рисунок). Силы натяжения горизонтальных нитей
равны соответственно Т\ и Г2, а вертикальных — Тз и Г4. С
каким ускорением а тележка движется по горизонтали?
1.6
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
33
1.147 3. На горизонтальной поверхности стоит штатив мае™
сы М = 1 кг, на котором укреплен невесомый блок. На концах
невесомой нераетяжимой нити, пе™
рекинутой через блок, подвешены
грузы, массы которых mi = 0, 2 кг и
тп2 = 0, 8 кг соответственно (см. ри™
сунок). Пренебрегая трением, най-
найдите ускорение а грузов, силу натя™
жения Т нити и силу iV, с которой
основание штатива давит на поверх-
поверхность.
1.1482. Два груза, массы га
каждый, связаны невесомой нерас-
У/////////////////////,
К задаче 1.146
тяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок (см. ри™
сунок). На один из грузов кладут перегрузок массы гао- С каким
ускорением а движутся грузы? Какова сила натяжения Г нити
при движении грузов? С какой силой N перегрузок гад давит
на груз га? Какую силу давления F испытывает ось блока во
время движения грузов? Массой блока пренебречь. Трение от™
сутствует.
У/////////////////. У/////////////////.
К задаче 1.147
К задаче 1.148
К задаче 1.149
1.1492. Определите ускорение а грузов и силу натяжения Т
нитей в системе, изображенной на рисунке. Массы грузов тп\ =
= 1,0 кг, га 2 = 2, 0 кг, газ = 3, 0 кг. Массами нитей и блоков, а
также трением пренебречь. Нити нерастяжимы.
1.1502. Два тела с массами т\ = 10 кг и тп2 = 20 кг лежат
на гладкой поверхности стола. Тела соединены шнуром массы
m = 1,0 кг. Какую минимальную силу 1^мин надо приложить к
телу массы rai, чтобы шнур разорвался? Известно, что прикреп-
прикрепленный к неподвижной стенке шнур разрывается при действии
силы Fo = 500 Н.
1.1513. Через неподвижный невесомый блок перекинута од™
нородная веревка массы то, к концам которой прикреплены
2 С.Н. Белолипецкий и др.
34
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
грузы массами т\ и Ш2, причем mi > ТП2- Веревка скользит
без трения по блоку. Найдите ускорение веревки в момент, ко-
когда она расположена симметрично по обе стороны от блока, а
также силы натяжения веревки Г в точках Д В и С (см. рису™
нок). Радиус блока считать пренебрежимо малым по сравнению
с длиной веревки.
1.1523. Конструкция механической системы показана на ри-
рисунке. К свободному концу нити прикреплен груз массы m =
= 60 кг, к подвижному блоку — груз массы М = 90 кг. В началь-
начальный момент времени грузы удерживались в состоянии покоя на
одной высоте, а затем были освобождены. Определите время ?,
в течение которого расстояние между грузами по вертикали ста™
нет равным s = 2, 0 м, а также показания F динамометра при
движении грузов. Массами всех элементов конструкции, кроме
грузов, пренебречь. Трение отсутствует. Нити нерастяжимы.
1.1533. К потолку лифта, поднимающегося с ускорением
а = 1,2 м/с2, прикреплен динамометр, к которому подвешен
блок. Через блок перекинута нераетяжимая нить, к концам ко-
которой прикреплены грузы с массами mi = 200 г и т2 = 300 г.
Пренебрегая массой блока и трением, определите показания ди-
динамометра F.
У////////Л
М
К задаче 1.151
К задаче 1.152 К задаче 1.154
1.1543. Конструкция механической системы показана на ри-
рисунке. В результате начального толчка груз массы mi начал дви-
двигаться вверх и на расстоянии h = 0, 49 м от точки наивысшего
подъема побывал дважды через интервал времени т = 2,0 с.
Определите отношение масс грузов mi/m2- Массами всех эле™
ментов конструкции, кроме грузов, пренебречь. Трение отсут-
отсутствует. Нити нерастяжимы.
1.1553. Конструкция механической системы показана на ри™
сунке. Массы грузов mi, Ш2, т% известны. Определите ускоре™
ния а грузов и силу натяжения Т нити, связывающей грузы m\
1.6
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
35
и газ- Нити и блоки невесомы, нити нераетяжимы, трение от™
сутствует.
1.1563. Конструкция механической системы показана на ри-
рисунке. Массы грузов rai, 7712, т$ известны. Определите ускоре-
ускорения а грузов и натяжения Т нитей. Нити и блоки невесомы, нити
нерастяжимы, трение отсутствует.
У/////////////////А У///////////. У//////////л
К задаче 1.155
К задаче 1.156 К задаче 1.157
1.1573. Показанная на рисунке система подвешена на дина-
динамометре. Какой должна быть масса груза М, чтобы показания
динамометра составляли Amg ? Нити
и блоки невесомы, нити нерастяжи-
нерастяжимы, трение отсутствует.
1.1584. Определите ускорения
грузов щ (г = 8) и натяжения нитей
Ti в системе, показанной на рисунке.
Массы грузов гп{ известны. Нити и
блоки невесомы, нити нерастяжимы,
трение отсутствует.
1.1591. К телу массы га = 4, 0 кг,
лежащему на горизонтальной шерохо-
шероховатой плоскости, приложена сила F
(F < rag), направленная под углом а
к горизонту (см. рисунок). Коэффи™
циент трения между телом и плоско-
плоскостью /i = 0, 2. Найдите ускорение тела
К задаче 1.158
а и силу трения FTpj если: a) F = 1, О Н, а = 30°; б) F = 19, 6 Н,
а = 30°. При каком наименьшем значении силы FMHH движение
тела будет равномерным?
36
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
К задаче 1.159
1.1602. Магнит массы т = 50 г прилип к железной вер™
тикальной стенке. Чтобы магнит равномерно скользил вниз, к
нему необходимо приложить направленную
^/^ вертикально вниз силу F\ = 2 Н. Какую ми™
нимальную силу i^ надо приложить к маг-
магниту, чтобы он равномерно скользил вверх?
1.1612. По доске, наклоненной к гори-
горизонту под углом /3, тело скользит равномер-
равномерно. За какое время t тело соскользнет с вы-
высоты h по той же доске, наклоненной под углом а к горизонту?
1.1622. Тело массы га = 20 кг тянут с силой F = 120 Н по го™
ризонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом
а\ = 60° к горизонту, то тело движется равномерно. С каким
ускорением а будет двигаться тело, если ту же силу приложить
под углом d2 = 30° к горизонту?
1.1632. На тело массы га, вначале покоившееся на горизон-
горизонтальной плоскости, в течение времени т действует горизонталь™
ная сила F. Какое расстояние L пройдет тело за время движе-
движения? Коэффициент трения тела о плоскость /л.
1.1642. Ледяная горка составляет с горизонтом угол а =
= 10°. По ней пускают вверх камень, который, поднявшись на
некоторую высоту, соскальзывает по тому же пути вниз. Каков
коэффициент трения /х, если время спуска в п = 2 раза больше
времени подъема?
1.1654. Брусок равномерно тащат за нить вверх по наклон-
наклонной плоскости (см. рисунок). Плоскость составляет с горизонтом
угол а = 25°. Угол /3 между нитью и плоскостью может изме™
пяться. Если угол /3 = /?о = 60°, то сила натяжения нити имеет
наименьшую величину -FMHH = 30 Н. Найдите массу га бруска.
м
У//.
У///////,
L
т
У/у,
У/,
F
Ш/У/.
К задаче 1.165
К задаче 1.166
1.1663. Брусок массы М лежит на горизонтальной плоско-
плоскости. На бруске лежит тело массы га (см. рисунок). Коэффици-
Коэффициенты трения между телом и бруском, а также между бруском и
плоскостью, одинаковы и равны /i. К бруску приложена сила F,
действующая в горизонтальном направлении.
1.6
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
37
а) При каком значении F\ силы F эта система начнет дви™
гаться?
б) При каком значении Fi силы F тело начнет скользить по
бруску?
в) Сила F такова, что тело скользит по бруску. Через ка™
кое время t тело упадет с бруска, если длина бруска равна Ы
Размерами тела пренебречь.
1.1672. Три груза с массами т = 1,0 кг связаны нитями
и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы
F = 10 Н, направленной под углом а = 30° к горизонту (см.
рисунок). Определите ускорение а системы и силы натяжения
Т нитей, если коэффициент трения между телами и плоскостью
// = 0,1.
У///////////////////////////
К задаче 1.167
У////////////////////////,
К задаче 1.168
1.1682. На горизонтальном столе лежат два бруска, свя-
связанные нитью (см. рисунок). Нить расположена в вертикальной
плоскости, проходящей через центры брусков, и образует с го™
ризонтом угол а. К первому бруску массы т\ приложена сила
F, линия действия которой горизонтальна и проходит через его
центр. Определите зависимость силы натяжения нити Т от си™
лы F при движении брусков, если ко™
эффициент трения брусков о стол ра-
равен /i, масса второго бруска Ш2, угол
а в процессе движения не изменяется.
1.1693. Бруски А и В с массами
mi и wi2 соответственно находятся на
горизонтальном столе (см. рисунок). К
бруску В приложена сила F, направ-
направленная под углом а к горизонту. Най™
В <S---
У///////////////////Л
К задаче 1.169
дите ускорения движения па и а в брусков, если коэффициенты
трения бруска А о стол и между брусками равны соответствен™
но /ii и /Х2- Известно, что бруски дви-
движутся один относительно другого.
1.1703. На гладкой горизонталь™
ной поверхности лежит клин с уг-
углом а = 15° при основании, упира™
ясь торцом в неподвижную вертикаль™
ную стенку. По верхней грани клина К задаче 1.170
38
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
соскальзывает без трения тело массы т = 0, 20 кг (см. рису™
нок). Найдите силу нормального давления N клина на стенку.
1.1712. Тело массы т соскальзывает с наклонной плоско-
плоскости с ускорением а. Каким будет ускорение а' тела, если его
прижать с силой N еще одной плоскостью, параллельной на-
наклонной? Коэффициенты трения скольжения между телом и
плоскостью одинаковы и равны /л.
1.1724. На гладкой горизонтальной поверхности находит™
ся призма массы М с углом а
при вершине, а на ней брусок
массы т (см. рисунок). Коэф-
Коэффициент трения между призмой
и бруском равен /i, /л > tga. В
момент t = 0 на призму начала
действовать горизонтальная си-
сила, зависящая от времени по за-
закону F(t) = /?t, где /3 — поло™
жительная постоянная. Найдите момент времени t = to, когда
брусок начнет скользить по призме.
1.1734. Какую постоянную горизонтальную силу нужно
приложить к тележке массы М = 1,0 кг (см. рисунок), что™
бы грузы с массами mi = 0, 40 кг и rri2 = 0, 20 кг относительно
нее не двигались? Трением пренебречь.
м
У////////////////////////А
К задаче 1.172
К задаче 1.173
К задаче 1.174
1.1743. На наклонной плоскости, составляющей с горизон™
том угол а = 30°, находится груз массы ТП2 = 2, 0 кг (см. рису-
рисунок). К грузу привязан легкий шнур, перекинутый через блок,
укрепленный на наклонной плоскости. К другому концу шнура
подвешен груз массы га\ = 20 кг. Предоставленная самой себе,
система приходит в движение. Определите ускорение грузов а
и силу давления F на ось блока. Коэффициент трения между
грузом и плоскостью равен /л = 0,1. Массу блока не учитывать.
1.1753. В системе, показанной на рисунке, массы брусков
одинаковы, коэффициенты трения между брусками и между
1.6
ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
39
бруском и столом ji = 0, 30. Если за динамометр, подвешенный
к свисающему концу нити, потянуть с силой F\, то бруски нач-
начнут двигаться ускоренно и за время t = 0, 50 с пройдут путь
s = 0, 50 м. Показание второго динамометра при этом равно
F2 = 40 Н. Определите показания F\ первого динамометра.
К задаче 1.175
К задаче 1.176
1.1763. Груз массы mi находится на столе, который дви-
движется горизонтально с ускорением а (см. рисунок). К грузу при™
креплена нить, перекинутая через блок. К другому концу нити
подвешен второй груз массы тгь2- Найдите силу натяжения Т
нити, если коэффициент трения груза массы mi о стол равен /х.
1.1773. Стержень массы ni2 опирается на клин массы т\
(см. рисунок). Благодаря ограничителям, стержень может дви™
гаться только вдоль оси Оу, клин — вдоль оси Ох. Найдите
ускорения клина а\ и стержня «2? а также реакцию N клина.
Трением пренебречь.
/И 2
D
О
К задаче 1.177
К задаче 1.178
1.1783. Найдите ускорения а\ призмы массы mi и п2 куба
массы ГП2 в системе, показанной на рисунке. Трение отсутствует.
1.1794. Клин высоты h с углом наклона а стоит на глад™
кой горизонтальной плоскости (см. рисунок). Масса клина mi.
С вершины клина начинает соскальзывать без трения малень-
40
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
кий брусок массы Ш2. Найдите ускорение а клина и время t
соскальзывания бруска.
1.1804. Найдите ускорения грузов 2т, т и М в системе,
показанной на рисунке. Трением пренебречь. Рассмотрите три
случая: а) сила F направлена горизонтально; б) сила F состав™
ляет угол а с горизонтом; в) сила F направлена вертикально
вверх.
У/////////////////////////, У///////////////////////////.
К задаче 1.179
К задаче 1.180
1.1814. На горизонтальную шероховатую ленту транспорте-
транспортера шириной L, движущуюся со скоростью у, «въезжает» шайба
с такой же по модулю скоростью
v, направленной перпендикуляр-
перпендикулярно краю ленты. Шайба «съез-
«съезжает» с ленты с некоторой ско-
скоростью, направленной под углом
а = 45° к другому краю ленты
(см. рисунок). Найдите коэффи-
коэффициент трения шайбы о ленту.
1.1824. На концах невесомой
нерастяжимой нити, перекинутой
через неподвижный блок, висят
неподвижно на одной высоте два груза одинаковой массы. На
один из грузов садится муха. Грузы начинают двигаться, и ког-
когда расстояние между ними по вертикали становится равным h =
= 1,0 см, муха перелетает на второй груз. Через какое время t
после начала движения грузы снова окажутся на одной высоте?
Масса мухи в п = 2000 раз меньше массы груза. Считайте, что
муха очень быстро перелетает с груза на груз, не изменяя при
этом скорости грузов; нить скользит по блоку без трения.
К задаче 1.181
1.7. Динамика движения материальной точки по
окружности
Основное уравнение динамики материальной точки (второй
закон Ньютона) ma = F, где F — равнодействующая прило-
1.7 ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ 41
женных к телу сил, в проекциях на касательную и нормаль к
траектории точки имеет вид
v2
тат = FTJ га— = Fn.
К
1.1831. На горизонтально вращающейся платформе на рас-
расстоянии R = 0, 50 м от оси вращения лежит груз. При какой
частоте вращения v платформы груз начнет скользить? Коэф-
Коэффициент трения между грузом и платформой равен /л = 0, 050.
1.1842. На краю вращающейся платформы радиуса R =
= 1,0 м лежит груз. В какой момент времени т после нача-
начала вращения платформы груз начнет скользить, если вращение
платформы равноускоренное и в момент времени tq = 120 с она
имеет угловую скорость ш = 1,4 рад/с? Коэффициент трения
между грузом и платформой /л = 0, 050.
1.1851. Каков должен быть минимальный коэффициент
трения дмин между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы ав-
автомобиль мог пройти без проскальзывания закругление радиуса
R = 100 м на скорости v = 50 км/ч?
1.1861. Самолет выполняет петлю Нестерова («мертвую
петлю»), имеющую радиус R = 255 м. Какую минимальную
скорость v должен иметь самолет в верхней точке петли, чтобы
летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут к креслу?
1.1871. С какой минимальной угловой скоростью ш нуж™
но вращать ведро в вертикальной плоскости, чтобы из него не
выливалась вода? Расстояние от оси вращения до поверхности
воды L.
1.1881. Барабан сушильной машины, имеющей диаметр
D = 1,96 м, вращается с угловой скоростью ш = 20 рад/с. Во
сколько раз сила F, прижимающая ткань к стенке, больше дей-
действующей на эту ткань силы тяжести rag?
1.1892. Невесомый стержень равномерно вращается в гори-
горизонтальной плоскости с частотой и. На расстояниях Li и I2 от
оси вращения закреплены грузы с массами тп\ и тп2- Какая то-
ризонтальная сила F действует на ось вращения, находящуюся
между грузами?
1.1902. Автомобиль массы га = 1000 кг движется со ско-
скоростью v = 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус
кривизны R = 50 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в
его верхней точке? С какой минимальной скоростью t;MHH должен
двигаться автомобиль по мосту, чтобы в верхней точке моста он
перестал оказывать на него давление?
1.1912. Автомобиль массы m движется со скоростью v по
выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R. С какой силой
42 МЕХАНИКА ГЛ. 1
F давит автомобиль на мост в точке, направление на которую
из центра кривизны моста составляет с вертикалью угол а?
1.1922. Через реку ширины d = 100 м переброшен выпук-
выпуклый мост в форме дуги окружности. Верхняя точка моста подни-
поднимается над берегом на высоту h = 10 м. Мост может выдержать
максимальную силу давления F = 44,1 кН. При какой скоро-
скорости автомобиль массы т = 5000 кг может проехать через такой
мост?
1.1932. На вертикальной оси укреплена горизонтальная
штанга, по которой могут без трения перемещаться два груза
с массами mi и га2, связанные нитью длины L. Система вра-
вращается с угловой скоростью ш. На каких расстояниях Li и 1/2
от оси вращения находятся грузы, будучи в положении равно™
весия? Какова при этом сила натяжения Т нити?
1.1942. Камень, подвешенный к потолку на веревке, дви-
движется в горизонтальной плоскости по окружности, отстоящей
от потолка на h = 1, 25 м. Найдите период т обращения камня.
1.1952. Шарик массы т, подвешенный на нити, имеющей
длину L, описывает окружность в горизонтальной плоскости.
Какова должна быть сила Т натяжения нити, чтобы радиус
окружности, по которой движется шарик, мог достигнуть зна™
чения -Ь(
о
1.1963. Шарик, подвешенный на нити длины L, описыва-
описывает окружность в горизонтальной плоскости. Нить составляет с
вертикалью угол а. Найдите период т обращения шарика, если
маятник находится в лифте, движущемся с постоянным ускоре-
ускорением а < g*, направленным вниз.
1.1972. Шарик массы т, подвешенный на шнуре, описывает
окружность в горизонтальной плоскости с частотой и. Шнур
составляет с вертикалью угол а. Найдите длину нерастянутого
шнура Lo, если известно, что для растяжения его до длины L
требуется приложить к нему силу F.
1.1982. На одном из концов пружины закреплено колечко.
Оно надето на гвоздь, вбитый в стол. На другом конце пру™
жины закреплен небольшой груз, который, скользя без трения
по горизонтальному столу, движется по окружности. Линейная
скорость груза v постоянна. Найдите радиус окружности, опи-
описываемой грузом, если известно, что длина недеформированной
пружины Lq и что длина пружины возрастает в п = 2 раза,
если упомянутый груз подвесить на ней. Массой пружины пре™
небречь.
1.1992. Велосипедист при повороте по закруглению радиу™
са R наклоняется к центру закругления так, что угол между
1.8
ИМПУЛЬС. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
43
плоскостью велосипеда и поверхностью земли равен а. Найдите
скорость v велосипедиста.
1.2003. По сторонам прямого угла скользит жесткая палоч™
ка АВ длины 2L, посередине которой закреплена бусинка массы
т (см. рисунок). Скорость точки В постоянна и равна v (точка
В удаляется от вершины прямого угла). Определите, с какой
силой N действует бусинка на палочку в тот момент, когда она
составляет угол а = 45° с вертикалью.
1.2013. Вокруг вертикальной оси с постоянной угловой ско-
скоростью ш вращается невесомый горизонтальный жесткий стер™
жень, по которому без трения могут двигаться два шарика од-
одной и той же массы т. Шарики соединены между собой невесо™
К задаче 1.200
К задаче 1.201
мой пружиной жесткости fc, длина которой в недеформирован-
ном состоянии равна Lq. Ближайший к вертикальной оси шарик
соединен с ней такой же пружиной (см. рисунок). Определите
длину L каждой из пружин, если шарики движутся по окру ж™
ностям.
1.8. Импульс материальной точки и системы
материальных точек. Движение тел переменной
массы
Импульс р материальной точки определен как
р = rnv;
импульс системы материальных точек с массами т^ и скоростя-
скоростями v^ равен
Р =
приращение импульса системы за время At равно
Ар = p(t + At) - p(t) = FBHeniAt,
где FBHein — векторная сумма всех внешних сил, приложенных
к телам системы (закон изменения импульса системы).
44 МЕХАНИКА ГЛ. 1
Механическую систему называют замкнутой, если ни одно из
входящих в нее тел не взаимодействует с внешними телами (т.е.
телами, не входящими в состав исследуемой механической си™
стемы). Импульс замкнутой системы не изменяется с течением
времени (закон сохранения импульса).
Радиус-вектор центра масс системы материальных точек
с массами т^ и радиус-векторами соответственно г^ определен
выражением
rniri + m2r2 + m3r3 + ...
11 = .
mi + m2 + тз + ...
Скорость центра масс системы материальных точек равна
_ mi vi + m2v2 + m3v3 + ...
mi + m2 + шз + ...
Уравнение движения центра масс системы материальных то™
чек имеет вид
(mi + m2 + m3 + ... )А = FBHeni.
1.2021. Какова средняя сила давления F на плечо при
стрельбе из автомата, если масса пули т = 10 г, а скорость
пули при вылете из ствола v = 300 м/с? Автомат производит
п = 50 выстрелов в секунду.
1.2031. Падающий вертикально шарик массы т = 0,2 кг
ударился об пол со скоростью v = 5 м/с и подпрыгнул на высоту
h = 0, 46 м. Найдите изменение импульса шарика Ар при ударе.
1.2041. Из орудия массы М = 3000 кг, не имеющего проти™
вооткатного устройства (ствол жестко скреплен с лафетом) вы-
вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы т = 15 кг
со скоростью v = 650 м/с. Какую скорость и получит орудие
при отдаче?
1.2051. Снаряд массы т = 20 кг, летевший горизонталь-
горизонтально со скоростью v = 50 м/с, попадает в платформу с песком и
застревает в песке. С какой скоростью и начнет двигаться плат-
платформа, если ее масса М = 10000 кг?
1.2061. Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной поверх™
ности, стреляет под углом а = 30° к горизонту. Масса снаряда
т = 20 кг, его начальная скорость v = 200 м/с. Какую скорость
и приобретает пушка при выстреле, если ее масса М = 500 кг?
1.2071. Снаряд массы т = 50 кг, летящий со скоростью v =
= 800 м/с под углом а = 30° к вертикали, попадает в платформу
с песком и застревает в нем. Найдите скорость и платформы
после попадания снаряда, если ее масса М = 16 т.
1.2082. Два человека с массами mi = 70 кг и т2 = 80 кг
стоят на роликовых коньках друг против друга. Первый бросает
второму груз массы т = 10 кг со скоростью, горизонтальная
1.8 ИМПУЛЬС. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 45
составляющая которой равна v = 5 м/с относительно земли.
Найдите скорость v\ первого человека после броска и скорость
V2 второго после того, как он поймает груз. Трением пренебречь.
1.2092. Тело массы М = 990 г лежит на горизонтальной
поверхности. В него попадает пуля массы т = 10 г и застрева-
застревает в нем. Скорость пули составляет v = 700 м/с и направлена
горизонтально. Какой путь s пройдет тело до остановки, если
коэффициент трения между телом и поверхностью /х = 0, 050?
1.2102. Три лодки массы М каждая движутся по инерции
друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней лод-
лодки в крайние одновременно перебрасывают два груза массы т
каждый со скоростью и относительно средней лодки. Какие ско-
рости vi, V2j v% будут иметь лодки после перебрасывания грузов?
Трением пренебречь.
1.2II2. Человек массы т = 60 кг переходит с носа на корму
лодки. На какое расстояние s переместится лодка длины L =
= 3 м, если ее масса М = 120 кг, и первоначально лодка с чело™
веком покоилась относительно воды? Трением пренебречь.
1.2123. Лягушка массы mi сидит на конце доски массы wi2
и длины L. Доска находится на поверхности пруда. Лягушка со-
совершает прыжок вдоль доски так, что ее начальная скорость vq
(относительно воды) составляет с горизонтом угол а и оказы-
оказывается на другом конце доски. Определите vq. Сопротивлением
воды пренебречь.
1.2133. Снаряд летит по параболе и разрывается в верхней
точке траектории на два одинаковых осколка. Первый осколок
падает вертикально вниз, второй — на расстоянии s по гори-
горизонтали от места разрыва. Найдите скорость снаряда v перед
разрывом, если известно, что разрыв произошел на высоте h и
время падения первого осколка равно т. Трением пренебречь.
1.2143. Космонавт находится на некотором расстоянии от
космического корабля, имея с собой два одинаковых одноза-
однозарядных пистолета. Космонавт может стрелять одновременно из
двух пистолетов или использовать их по очереди. Как должен
он поступить, чтобы быстрее вернуться на корабль?
1.2153. Тележка с песком движется по горизонтальным
гладким рельсам под действием постоянной силы F, совпадаю-
совпадающей по направлению с ее скоростью. При этом песок высыпается
через отверстие в дне с постоянной скоростью /л (кг/с). Найдите
ускорение тележки в момент времени ?, если в момент времени
t = 0 тележка имела массу т® и ее скорость была равна нулю.
1.21 б4. Один конец каната удерживают на высоте h от зем-
земли. Второй его конец касается земли. В момент времени t = 0
канат отпускают (без толчка). Он начинает свободно падать на
землю. Получите аналитическую зависимость силы F, с кото-
46 МЕХАНИКА ГЛ. 1
рой канат будет давить на землю, от времени. Масса единицы
длины каната равна р.
1.2174. Платформа массы гад в момент времени t = 0 на-
начинает двигаться по горизонтальным гладким рельсам под дей-
действием постоянной силы тяги F, направленной горизонтально.
Из неподвижного бункера в момент времени t = 0 сверху на
нее начинает высыпаться песок. Скорость погрузки постоянна
и равна /1 (кг/с). Получите зависимость от времени скорости v
и ускорения а платформы в процессе погрузки. Начальная ско-
скорость платформы равна нулю.
1.2184. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпус-
выпуская непрерывную струю газа со скоростью и, постоянной отно™
сительно ракеты. Найдите скорость v ракеты в момент, когда
ее масса равна га, если в начальный момент времени она имела
массу гад и ее скорость была равна нулю.
1.9. Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения
энергии
Работа постоянной силы F на перемещении Аг, происходя-
происходящем на прямолинейном участке траектории, равна
А = F • Аг.
Средняя мощность Ncp равна отношению работы АА к про™
межутку времени At, в течение которого эта работа совершает™
ся:
мгновенная мощность N(t) равна
N(t) = F(t).v(t).
Кинетическая энергия материальной точки определена вы™
ражением
К = ^2
приращение кинетической энергии тела —
-"¦кон -"-ыач — ¦?*-•>
где А — работа всех сил, действующих на тело.
Потенциальная энергия тела массы т в гравитационном поле
Земли при движении вблизи ее поверхности
U = mgh^
где h — высота, отсчитываемая от произвольно выбранного на™
чального уровня.
1.9 РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ 47
Приращение потенциальной энергии частицы в поле
где Ап — работа сил данного поля.
Полная механическая энергия точечного тела равна
Е = К + 17,
где U — потенциальная энергия тела.
Полная механическая энергия системы материальных точек
с массами т^, скоростями v^ и радиус-векторами Г{ равна
Е = y^mivl + -m2vl + -
, г2) + F(rb г3) + У(гь г4) + ... + V(vi, r3) + ...);
приращение механической энергии системы тел во внешнем по-
поле :
-^кон -^нач ^^ ^внеш ~г ^-вн.неконс. >
где ^4вн.неконс. — работа всех внутренних неконсервативных сил,
1внеш — работа результирующей всех внешних сил.
Приращение полной механической энергии частицы в поле
равно
-р it» л
где Аст — работа результирующей всех сторонних сил, т.е. сил,
не принадлежащих к силам данного поля.
1.2191. Сила F = 0, 50 Н действует на тело массы m = 10 кг
в течение времени т = 2,0 с. Найдите конечную кинетическую
энергию К тела, если начальная скорость тела была равна нулю.
Трение отсутствует.
1.2201. Поезд массы га = 1500 т движется со скоростью
v = 57, 6 км/ч и при торможении останавливается, пройдя путь
s = 200 м. Какова сила торможения F? Как должна измениться
эта сила, чтобы тормозной путь уменьшился в два раза?
1.2212. Какую работу А совершил мальчик, стоящий на
гладком льду, сообщив санкам скорость v = 4 м/с относительно
льда, если масса санок m = 4 кг, а масса мальчика М = 20 кг?
Трение отсутствует.
1.2223. Пуля массы m летит со скоростью vq и пробива-
пробивает тяжелую доску толщины d, движущуюся навстречу пуле со
скоростью и. С какой скоростью v вылетит пуля из доски? Счи-
Считать силу сопротивления F движению пули в доске постоянной.
Скорость доски заметно не изменяется.
48 МЕХАНИКА ГЛ. 1
1.2232. Два автомобиля с одинаковыми массами одновре-
одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Во сколь-
сколько раз п мощность первого автомобиля больше мощности вто™
рога, если за одно и то же время первый автомобиль достигает
вдвое большей скорости, чем второй?
1.2242. Автомобиль массы m = 1 т трогается с места и, дви-
двигаясь равноускоренно, проходит путь s = 20 м за время т = 2 с.
Какую мощность W должен развить мотор этого автомобиля?
1.2253. Какой максимальный уклон а может преодолеть
тепловоз, развивающий мощность W = 370 кВт, перемещая со™
став массы га = 2000 т со скоростью v = 7, 2 км/ч? Считать угол
наклона а полотна железной дороги к горизонту малым, а силу
сопротивления движению равной /irag, где /х = 0, 002.
1.2263. Транспортер поднимает массу m = 200 кг песка на
автомашину за время т = 1 с. Длина ленты транспортера L =
= 3 м, угол ее наклона к горизонту а = 30°. КПД транспортера
г) = 0, 85. Найдите мощность W, развиваемую его электродвига™
телем.
1.2273. Вверх по наклонной плоскости равномерно со ско-
ростью v поднимают тело мас-
массы га, причем сила направле™
на вдоль наклонной плоскости
(см. рисунок). При каком угле
наклона а затрачиваемая мощ-
мощность W будет максимальной, и
К задаче 1.227 каково значение максимальной
мощности? Коэффициент тре-
трения между телом и наклонной плоскостью /л = 1.
1.2281. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью
vq. Используя закон сохранения энергии, найдите скорость тела
v на высоте h над горизонтом.
1.2291. Камень массы га = 5, 0 кг упал (без начальной ско-
скорости) с некоторой высоты. Найдите кинетическую энергию К
камня в средней точке его траектории, если он падал в течение
времени т = 2, 0 с.
1.2301. Пуля, вылетевшая из винтовки вертикально вверх
со скоростью ^о = ЮОО м/с, упала на землю со скоростью v =
= 50 м/с. Какая работа А была совершена силой сопротивления
воздуха, если масса пули га = 10 г?
1.2311. Тело брошено вертикально вверх со скоростью vq =
= 49 м/с. На какой высоте h его кинетическая энергия К будет
равна потенциальной энергии U?
1.2321. К телу массы га = 4, 0 кг приложена направленная
вверх сила F = 49 Н. Найдите кинетическую энергию К тела в
1.9 РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ 49
момент, когда оно окажется на высоте h = 10 м над землей. В
начальный момент тело покоилось на поверхности земли.
1.2332. Пуля массы т = 20 г, выпущенная под углом а
к горизонту, в верхней точке траектории имеет кинетическую
энергию К = 88, 2 Дж. Найдите угол а, если начальная скорость
пули v = 600 м/с.
1.2342. Конькобежец, разогнавшись до скорости v, въезжа™
ет на ледяную горку. На какую высоту h от начального уровня
он поднимется, если горка составляет угол а с горизонтом? Ко-
Коэффициент трения между горкой и коньками равен /i.
1.2353. Санки съезжают с горы, имеющей высоту h и угол
наклона к горизонту а и движутся дальше по горизонтальному
участку. Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен /i.
Найдите расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по го™
ризонтальному участку, до полной остановки. Длиной полозьев
санок по сравнению с размерами траектории пренебречь.
1.23б4. Санки, движущиеся по горизонтальному льду со
скоростью v = 6, 0 м/с, въезжают на асфальт. Длина полозьев
санок L = 2,0 м, коэффициент трения полозьев об асфальт /л =
= 1. Какой путь s пройдут санки до полной остановки?
1.2371. Свинцовый шар массы т = 500 г, движущийся со
скоростью v = 10 м/с, сталкивается с неподвижным шаром из
воска, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара дви-
движутся вместе. Найдите кинетическую энергию шаров К после
столкновения.
1.2383. Пластмассовый шар массы М лежит на подставке с
отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально
летящая пуля массы т и пробивает его насквозь. При этом шар
подскакивает на высоту Н. На какую высоту h над подставкой
поднимется пробившая шар пуля, если перед попаданием в шар
она имела скорость v®!
1.2392. Четыре одинаковых тела массы т = 20 г каждое
расположены на одной прямой на некотором расстоянии друг
от друга. С крайним телом соударяется такое же тело, имеющее
скорость v = 10 м/с и движущееся вдоль прямой, на которой
расположены тела. Найдите кинетическую энергию системы К
после всех соударений, считая их абсолютно неупругими.
1.2402. Происходит центральное соударение двух абсолютно
упругих шаров, имеющих массы mi и wi2 и скорости v± и t^
соответственно. Найдите скорости шаров после соударения.
1.2413. На гладком горизонтальном столе расположены
вдоль одной прямой шарики, массы которых составляют m, M и
2М. Шарик массы т налетает на шарик массы М и происходит
абсолютно упругий центральный удар. Каким должно быть от-
50 МЕХАНИКА ГЛ. 1
ношение масс шаров га/М, чтобы в системе произошло в общей
сложности два столкновения?
1.2422. Пять одинаковых шаров, центры которых лежат на
одной прямой, находятся на небольшом расстоянии друг от дру-
друга. С крайним шаром соударяется такой же шар, имеющий ско™
рость v = 10 м/с и движущийся вдоль прямой, соединяющей
центры шаров. Найдите скорость последнего шара после всех
соударений, считая их абсолютно упругими.
1.2433. Замкнутая система состоит из двух одинаковых ча-
частиц, которые движутся со скоростями vi и V2 так, что угол меж-
между направлениями их движений равен в. После упругого столк™
новения скорости частиц оказались равными щ и щ. Найдите
угол 6f между направлениями разлета частиц после столкнове-
столкновения.
1.2443. Частица массы га, движущаяся со скоростью v, на-
налетает на покоящуюся частицу массы га/2 и после упругого со-
соударения отскакивает от нее под углом а = 30° к направлению
своего движения. С какой скоростью
U2 начнет двигаться вторая частица?
1.2453. Под каким углом а раз-
разлетаются после абсолютно упругого
соударения два одинаковых абсолют™
но гладких шара, если до соударения
К задаче 1.245 один из них покоился, а другой ле-
летел со скоростью v® , направленной
под углом /3 ф 0 к прямой, соединяющей их центры в момент
соударения (см. рисунок)?
1.2464. Три тела с массами rai, Ш2, газ могут скользить без
трения вдоль горизонтальной пря™
мой, причем тело 2 находится тг
между телами 1 и 3 (см. рисунок).
Известно, что т\ ^> га-2, т$ ^> гп2.
Определите максимальные ско-
скорости vi и V2 двух крайних тел, ее™ JZ л ^Аа
r I z г-, у ±- 5 j? задаче 1.246
ли в начальный момент они поко-
покоились, а среднее тело имело скорость v. Удары считайте абсо-
абсолютно упругими.
1.2474. Два абсолютно упругих шара летят навстречу друг
другу. Кинетическая энергия первого шара в к2 раз больше вто-
второго [к = 4/3). При каком отношении i^/^i скоростей до удара
шары после удара будут двигаться в ту же сторону, что и первый
шар до удара, если масса первого шара больше массы второго?
1.2484. Тяжелая частица массы М сталкивается с покоя™
щейся легкой частицей массы га. На какой максимальный угол
может отклониться тяжелая частица при ударе?
1.9
РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ
51
об
т2
задаче 1.249
1.2493. Два абсолютно упругих шарика одинакового ради™
уса с массами rai = 100 г и га 2 = 300 г подвешены к потолку
на одинаковых нитях длины Ь = 50 см каждая таким образом,
что в положении равновесия шарики
висят, касаясь друг друга, на верти- У//////////////////
кальных нитях (см. рисунок). Первый
шарик отклоняют от положения равно-
равновесия на угол а = тг/2 и отпускают. На
какую высоту поднимется второй ша-
шарик после соударения?
1.2503. Докажите, что упругий не-
весомый шарик, брошенный в угол ком™
паты, вылетит из него по направлению,
параллельному тому, по которому он
был брошен.
1.2512. Шарик массы га, подвешенный на нити, отклоняют
от положения равновесия на угол а = тг/2 и отпускают. Какова
максимальная сила Тмакс натяжения нити?
1.2522. Шарик массы га подвешен на нити, выдерживаю-
выдерживающей силу натяжения Tq = 2mg. На какой угол а® от вертикали
ну депо отклонить шарик, чтобы он оборвал нить, проходя поло-
положение равновесия?
1.2533. Математический маятник отклонили на угол а =
= тг/2 от вертикали и отпустили. В тот момент, когда маят-
ник проходит положение равновесия, точка его подвеса начина-
начинает двигаться вверх с ускорением а. На какой максимальный угол
/Змакс отклонится маятник от вертикали?
1.2542. Какую минимальную скорость г?мин должен иметь
шарик математического маятника, проходя через положение
устойчивого равновесия, чтобы он мог вращаться по окруж-
окружности в вертикальной плоскости? Задачу рассмотрите для двух
случаев: а) маятник подвешен на невесо-
невесомой нерастяжимой нити длины L; б) маят-
маятник подвешен на невесомой недеформиру-
емой штанге длины L.
1.2553. Два шара — стальной массы га
и свинцовый массы га/4 — подвешены в од-
одной точке на нитях длины L каждая (см.
рисунок). Свинцовый шар отклоняют так,
что нить образует угол а с вертикалью, и
отпускают. После соударения шар отклоня-
отклоняется на угол /3. Удар центральный. Опреде-
Определите энергию АЕ7 перешедшую в тепло.
У////////////Л
т/4
К задаче 1.255
1.2563. Два соприкасающихся шарика подвешены рядом на
параллельных нитях равной длины (см. рисунок). Первый ма-
52
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
/ а
ятник отклонили на угол а от вертикали и отпустили. После
соударения шаров первый останавливается, а второй отклоня-
отклоняется на угол /3. На какой угол 7 отклонит™
У///////////////, ся первый шар после второго соударения?
Считайте, что при каждом соударении в
тепло переходит одна и та же доля потен™
циальной энергии деформации шаров.
1.2574. На теннисный мяч с высоты
h = 1 м падает кирпич и подскакивает на
высоту h\ « h = 1 м. На какую высоту /г 2
подскочит мяч?
1.2583. На горизонтальной плоско™
сти стоят два связанных нитью одинако-
одинаковых бруска, между которыми расположе™
сю
К задаче 1.256
на сжатая пружина, не скрепленная с брусками (см. рисунок).
Нить пережигают, и бруски расталкиваются в разные стороны
так, что расстояние между ними возрастает на величину AL,
после чего бруски останавливают™
ся. Найдите потенциальную энер™
гию сжатой пружины, если масса
каждого бруска равна т, а коэф™
фициент трения между брусками
и плоскостью равен /i.
AA/VWV
К задаче 1.258
1.2593. Клин массы М находится на идеально гладкой го™
ризонтальной плоскости. На клине лежит брусок массы т, ко-
который под действием силы тяжести может скользить по клину
без трения. Наклонная плос™
кость клина имеет плав-
плавный переход к горизонталь™
ной плоскости (см. рисунок).
В начальный момент система
покоилась. Найдите скорость
V клина в тот момент, когда
К задаче 1.259 брусок с высоты h соскольз-
соскользнет на плоскость.
1.2603. На пути небольшого тела, скользящего по гладкому
горизонтальному столу, находится незакрепленная «горка» вы-
высотой h = 2, 0 м. Угол наклона горки плавно изменяется от нуля
в нижней части горки до не-
некоторого максимального зна-
значения в средней части подъ-
подъема, и уменьшается до нуля
в его верхней части (см. ри-
рисунок) . При какой минималь™
ной скорости г;мин тело мо-
м
h
К задаче 1.260
1.9
РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ
53
Q
V///////////////////////////A
жет преодолеть «горку»? Отношение масс «горки» и тела п =
= М/т = 5. Считайте, что тело движется, не отрываясь от
«горки». Трение отсутствует.
1.2612. Навстречу платформе с песком, движущейся гори-
горизонтально со скоростью v, по гладкому наклонному желобу со-
соскальзывает без начальной
скорости тело массы га и за-
застревает в песке (см. рису-
рисунок). Желоб длины L обра-
образует с горизонтом угол а.
Найдите скорость и плат-
платформы после попадания в
нее тела, если масса плат-
формы равна М.
1.2622. Ракета, имеющая
вместе с зарядом массу М = к задаче 1.261
= 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты h =
= 150 м. Масса заряда т = 50 г. Найдите скорость v истечения
газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгно-
мгновенно.
1.2633. Из пушки вертикально вверх произведен выстрел.
Начальная скорость снаряда равна г^о- В точке максимального
подъема снаряд разрывается на две одинаковые части. Первая
из них со скоростью 2^о падает на землю вблизи точки выстрела.
Через какое время т после выстрела упадет на землю вторая
часть? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.2644. К потолку прикреплена пружина жесткости fc, к
которой подвешено тело массы га, в начальный момент времени
неподвижно лежащее на горизонтальной под-
подставке (см. рисунок). Подставку начинают
опускать вниз с ускорением а. Через какое
время т тело оторвется от подставки? Ка-
Каким будет максимальное растяжение пружи-
пружины жмакс? В начальный момент времени пру-
пружина не деформирована.
1.2653. На вертикальной оси укреплена
горизонтальная штанга, по которой могут сво-
бодно перемещаться два груза с массами rai и
?В2, связанные нитью длины L. Система вра-
вращается с угловой скоростью ш. На каких расстояниях г\ и г 2 от
оси вращения будут находиться грузы в состоянии равновесия?
Чему равны при этом натяжение нити Т и кинетическая энергия
К грузов? Будет ли положение равновесия устойчивым?
1.26б4. На концах и в середине невесомого стержня длины L
расположены одинаковые шарики (см. рисунок). Стержень ста-
К задаче 1.264
54
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
вят вертикально и отпускают. Считая, что трение между плос-
костью и нижним шариком отсутствует, найдите скорость верх-
верхнего шарика v в момент удара о горизонтальную плоскость. Как
изменится ответ, если нижний шарик шарнирно закрепить?
1.2674. Гантелька, представляющая собой два одинако-
одинаковых шарика, соединенных невесомой недеформируемой штангой
длины L, стоит в углу, образованном гладкими плоскостями (см.
рисунок). Нижний шарик гантельки смещают горизонтально на
очень малое расстояние, в результате чего гантелька приходит
в движение. Найдите скорость v нижнего шарика в тот момент,
когда верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости.
1/2
1/2
О-
2т
о1-
К задаче 1.266
К задаче 1.267
К задаче 1.268
1.2683. На гладком горизонтальном столе лежат стальные
шарики массы га и 2га, связанные натянутой нитью длины L.
Еще один шарик массы т налетает на шарик массы т со скоро™
стью i;0, направленной перпендикулярно нити (на рисунке пред-
представлен вид системы сверху). Найдите максимальное натяжение
нити Тмакс и ускорение а шарика массы 2га.
1.2693. На гладкий горизонтальный стол вертикально по-
поставили гантельку, состоящую из невесомого стержня с двумя
одинаковыми маленькими шариками на концах. Верхнему ша-
шарику ударом сообщают скорость v в горизонтальном направле-
направлении. При какой минимальной длине гантельки Ьшшш нижний ша-
шарик сразу оторвется от стола?
1.2703. Небольшое тело скользит с вершины гладкой сферы
вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверх-
поверхности сферы? Радиус сферы равен R.
1.2713. Тележка массы т совершает мертвую петлю, ска-
скатываясь с минимально необходимой для этого высоты (см. ри-
рисунок). С какой силой F тележка давит на рельсы в точке А,
радиус-вектор которой составляет угол а с вертикалью? Трени-
Трением пренебречь.
1.10
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ
55
1.2723. Спуск с горы представляет собой дугу окружности
АВ радиуса R = Юме плавным выездом на горизонтальную
поверхность ВС (см. рисунок). Поверхность горы гладкая, а го™
ризонтальная поверхность шероховатая с коэффициентом тре™
ния /х = 0,15. На каком расстоянии s от конца гладкого участка
горы остановятся съехавшие с нее санки, если в точке А их пол™
ное ускорение равно по модулю ускорению свободного падения
g? Радиус дуги, проведенный в точку Д образует с вертикалью
угол а = 60°.
К задаче 1.271
С
//V////////////
К задаче 1.272
1.2733. Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ
и дуги окружности ВС радиусом R = 1 м. Тело, имеющее на го-
горизонтальном участке начальную скорость vq = 10 м/с, сколь™
зит без трения по желобу. Определите модуль и направление
ускорения тела в точке G, если радиус окружности, проведен-
проведенный в точку G, составляет угол а = 45° с вертикалью (см. ри~
сунок).
К задаче 1.273
К задаче 1.274
1.2744. На гладкой горизонтальной поверхности около стен-
стенки стоит симметричный брусок массы М с углублением полу™
цилиндрической формы радиуса R (см. рисунок). Из точки А
без трения соскальзывает маленькая шайба массы т. Опреде-
Определите максимальную скорость бруска г>макс при его последующем
движении. Начальная скорость шайбы равна нулю.
56 МЕХАНИКА ГЛ. 1
1.10. Вращение твердого тела вокруг оси. Закон
сохранения момента импульса. Условия
равновесия твердого тела
Момент инерции материальной точки массы т относи-
относительно оси равен
I = md2,
где d — расстояние до оси вращения; момент инерции системы
материальных точек относительно оси равен
I = m\d\ + m2G?2 + ш^\ + ...
Момент импульса материальной точки массы т с радиус-
вектором г при движении в плоскости относительно оси О О1',
проходящей перпендикулярно плоскости движения, определен
как
L = г х mv; L = mvr sin a;
а — угол между векторами г и v.
Момент силы, приложенной к материальной точке с радиус-
вектором г при движении в плоскости относительно оси О О1',
равен
М = г х F; М = rF sin/3,
где /3 — угол между векторами г и F.
Приращение момента импульса системы за малое время dt
равно
dlj = L(t + dt) - L(t) = MBHem(*)rf*.
Основное уравнение динамики вращательного движения
твердого тела с закрепленной осью имеет вид
1е = ЕМ,
где I — момент инерции тела относительно этой оси, е — уг-
угловое ускорение тела, ЕЖ — алгебраическая сумма проекций
моментов действующих на тело сил на ось вращения.
Условия равновесия твердого тела имеют вид
SF = 0; ЕМ = 0.
Здесь EF — равнодействующая всех приложенных к телу внеш-
внешних сил, ЕМ — векторная сумма моментов этих сил относитель-
относительно любой оси вращения.
1.2751. Четыре однородных шара с массами т\ = 1 кг, Ш2 =
= 5 кг, тз = 7 кг, 1П4 — 3 кг укреплены на невесомом стержне
так, что их центры находятся на равных расстояниях d = 0, 2 м
друг от друга (см. рисунок). На каком расстоянии х от центра
третьего шара находится центр масс всей системы?
1.10
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ
57
К задаче 1.275
1.2761. Две стороны проволочной рамки в форме равно™
стороннего треугольника сделаны из алюминиевой проволоки,
а третья — из медной. Прово™
локи имеют одинаковые сече™ т{ т2 тъ т4
ния. Сторона треугольника L =
= 1 м. Плотности алюминия и
меди равны р\ = 2, 7-103 кг/м3 и
р2 = 8, 9-103 кг/м3 соответствен-
соответственно. Найдите расстояние х от центра масс системы до середины
медной проволоки.
1.2771. На каком расстоянии х от дна находится центр масс
цилиндрического стакана, имеющего высоту h = 12 см и диа™
метр d = 8 см, если толщина его дна в
два раза больше толщины стенок?
1.2782. Однородная пластина име-
имеет форму полукруга радиуса г, соеди™
ненного с прямоугольником длины 2г и
ширины h (см. рисунок). Найдите от-
отношение /i/r, если центр масс всей си™
стемы совпадает с геометрическим цен-
центром полукруга (точкой С). Расстояние
от центра масс полукруга С\ до его гео-
геометрического центра С равно 4г/Cтг).
1.2792. Однородный полушар мае™
сы TTii, имеющий радиус г, выпуклой
стороной лежит на горизонтальной плоскости. На край полу™
шара положен небольшой груз массы rri2. Под каким углом а к
горизонту наклонится ограничивающий полушар круг? Рассто™
яние от центра масс полушара до
его геометрического центра равно
Зг/8.
1.2802. В однородном тонком
диске радиуса R вырезано отвер-
отверстие радиуса г < Л/2, центр кото™
рого находится на расстоянии R/2
от центра диска (см. рисунок). На
каком расстоянии х от центра диска
находится центр масс этой системы?
1.2811. Четыре одинаковых те- к задаче 1.280
ла массы т каждое расположены на
плоскости в вершинах квадрата со стороной L. Чему равен мо™
мент инерции I этой системы относительно оси, проходящей че-
через одно из тел этой системы перпендикулярно плоскости?
1.2821. Вычислите момент инерции I колеса велосипеда
диаметром d = 67 см. Масса обода колеса с покрышками со™
К задаче 1.278
58
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
ставляет т = 1,3 кг. Почему при расчете можно пренебречь
массой ступицы колеса?
1.2831. К веревке, намотанной вокруг колеса массы т =
= 4 кг и радиуса Rq = 33 см приложена сила F = 15 Н. Момент
сил трения в ступице колеса Мтр = 1,1 Н-м. С каким угло-
угловым ускорением е вращается колесо, если считать массу колеса
сосредоточенной в узком кольце радиуса R = 30 см? Веревка
невесома и нерастяжима.
1.2842. К веревке, намотанной вокруг колеса (см. преды-
предыдущую задачу), прикрепили груз массы тп\ = 1,53 кг (вместо
того, чтобы на нее действовать постоянной силой F = 15 Н); ко-
колесо насажено на закрепленную горизонтальную ось. Найдите
угловое ускорение е колеса, линейное ускорение а груза, а так™
же угловую скорость ш колеса и линейную скорость v груза в
момент времени t = 3, 0 с, если колесо начинает двигаться из
состояния покоя в момент времени to = 0.
1.2852. Шарик массы т, закрепленный на конце нити, дви-
движется по окружности на гладкой поверхности стола (см. рису-
рисунок). Другой конец нити пропущен сквозь отверстие в столе.
Первоначально шарик вращается с линейной скоростью v\ =
= 2,4 м/с по окружности радиуса R\ = 0, 80 м. Затем нить
начинает очень медленно протягиваться сквозь отверстие так,
что радиус окружности уменьшается до значения R^ = 0, 48 м.
Определите величину скорости шарика V2 в этот момент.
1.2861. Два человека с равными по величине силами F тя-
нут за концы каната в противоположные стороны. Затем один
конец каната привязывают к неподвижной опоре, а за другой
его конец те же два человека с теми же по модулю силами F
начинают тянуть вместе. Какую силу натяжения Т испытывает
канат в обоих случаях?
К задаче 1.285
К задаче 1.287
1.2872. С какой минимальной силой FMIIH, направленной го-
горизонтально, нужно прижать плоский брусок массы m = 5, 0 кг
1.10 ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ 59
к стене (см. рисунок), чтобы он не соскользнул вниз? Коэффи-
циент трения между бруском и стеной /л = 0,1.
1.2884. Имеется подвеска, состоящая из стержней, соеди-
соединенных шарнирно (см. рисунок). Стержни AD, ВС, DE, СН
сплошные. Между точками О ж М натянута нить. Определите
силу Т натяжения нити ОМ, если масса всей системы равна га.
1.2892. На столе лежит линейка массы га так, что 1/3 ее дли-
длины свешивается со стола. Какую силу ^РМин нужно приложить,
чтобы сдвинуть линейку вдоль ее длинной стороны? Коэффи-
Коэффициент трения между столом и линейкой равен /л.
1.2901. Фонарь массы га = 20 кг подвешен на двух одинако-
одинаковых тросах, образующих угол а = 120° (см. рисунок). Найдите
силу Т натяжения тросов.
1.2912. При взвешивании на неравноплечих рычажных ве-
весах масса тела (по сумме масс уравновешивающих гирь) на од-
одной чаше весов оказалась равной rai = 2, 2 кг, а на другой —
ГП2 = 3, 8 кг. Найдите истинную массу тела га.
У//////////////////////Л
~~^^ m
М
К задаче 1.290 К задаче 1.292
1.2922. Однородный стержень с прикрепленным на одном
из его концов грузом массы га = 1,2 кг находится в равновесии
в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоя™
нии 1/5 длины стержня от груза (см. рисунок). Найдите массу
стержня М.
1.2932. На двух вертикально расположенных пружинах,
в недеформированном состоянии имеющих одинаковую дли-
длину, горизонтально подвешен невесомый стержень (см. рисунок).
Жесткости пружин к\ = 0, 02 Н/м и &2 = 0, 03 Н/м, расстояние
между ними d = 1 м. На каком расстоянии х от первой пружины
нужно подвесить груз, чтобы стержень остался в горизонталь™
ном положении?
1.2942. К стене прислонена лестница массы га под углом
а к вертикали (см. рисунок). Центр масс лестницы находится
на расстоянии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую горизон-
горизонтальную силу F надо приложить к середине лестницы, чтобы ее
верхний конец не оказывал давления на стену?
1.2952. Под каким минимальным углом а к горизонту мо™
жет стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной сте-
60
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
не, если ее центр масс находится в середине? Коэффициент тре™
ния между лестницей и полом равен /i.
V//////////////////////////.
k-y
К задаче 1.293
У///////////////////.
К задаче 1.294
1.29б2. Однородная балка лежит на платформе так, что
один ее конец на 1/4 длины свешивается с платформы. К све™
шивающемуся концу прикладывают силу, направленную верти-
вертикально вниз. Когда эта сила становится равной F = 2000 Н,
противоположный конец балки начинает подниматься. Найдите
массу т балки.
1.2972. Два человека несут трубу массы т = 80 кг и длины
L = 5 м. Первый человек поддерживает трубу на расстоянии
а = 1 м от ее конца, а второй держит противоположный конец
трубы. Найдите силу давления трубы N, испытываемую каж-
каждым человеком.
1.2983. Две одинаковые тон™
кие дощечки с закругленными
краями поставлены на стол и
опираются друг на друга (см. ри™
сунок). Каждая дощечка образу™
ет с вертикалью угол а. Каким
должен быть коэффициент тре™
ния /л между дощечками и сто-
столом, чтобы дощечки не падали?
У////////////////////////А
К задаче 1.298
1.2993. Две параллельные и противоположно направленные
силы F\ = 10Ни^2 = 25Н приложены в точках Ал В стержня,
расположенных на расстоянии d = 1,5 м друг от друга. Найдите
силу F, уравновешивающую силы F\ и i7^, и точку С ее прило-
приложения. Другие силы на стержень не действуют.
1.3002. Три человека несут однородную металлическую
плиту, имеющую форму равнобедренного треугольника с осно-
основанием а = 0, б м и высотой h = 1,25 м. Толщина плиты d =
= 4 см, плотность материала плиты р = 3, б • 103 кг/м3. Какую
1.11 ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 61
силу давления N испытывает каждый носильщик, если все они
держат плиту за вершины треугольника?
1.3013. С наклонной плоскости одновременно начинают со™
скальзывать брусок и скатываться без проскальзывания обруч.
Определите, при каком коэффициенте трения /л между бруском
и плоскостью оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга.
Угол наклона плоскости к горизонту равен а.
1.11. Закон всемирного тмготеним. Законы Кеплера
Закон всемирного тяготения: между всякими двумя мате-
материальными точками действуют силы взаимного притяжения,
прямо пропорциональные их массам и обратно пропорциональ-
пропорциональные квадрату расстояния между ними, направленные вдоль пря-
прямой, соединяющей точки:
nmim2
Эти силы называют силами тяготения^ или гравитационными
силами.
I закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся
по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых нахо-
находится Солнце.
II закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус-
вектор планеты, проведенный из фокуса орбиты, в котором на-
находится Солнце, прочерчивает равные площади:
AS г2 А<р L
а = —— = :— = = const,
At 2 At 2m
где L — момент импульса планеты относительно Солнца, т —
масса планеты.
III закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет во™
круг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:
Во всех задачах данного раздела считайте радиус Земли рав-
равным 1?з = 6400 км, гравитационную постоянную G = 6, 67 х
х КГ11 Н-м2/кг2.
1.3021. Найдите силу притяжения между Землей и Луной,
если масса Земли mi = 6,0- 1024 кг, масса Луны п%2 = 7, 3 х
х 1022 кг, среднее расстояние между их центрами г = 3, 8 • 108 м.
1.3031. Ракета поднялась на высоту h = 990 км. На ка™
кую величину Amg уменьшилась сила тяжести, действующая
62 МЕХАНИКА ГЛ. 1
на ракету на этой высоте, по сравнению с силой тяжести mg0,
действующей на нее у поверхности Земли?
1.3041. Радиус Луны Дд примерно в 3,7 раза меньше ради-
радиуса Земли 1?з- Масса Луны гпл в 81 раз меньше массы Земли
rrts- Найдите ускорение свободного падения gR у поверхности
Луны.
1.3052. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд,
находящихся на расстоянии г = 5,0- 1011 м друг от друга. Най-
Найдите период т обращения звезд вокруг общего центра масс, если
масса каждой звезды т = 1,5- 1034 кг.
1.3061. Вычислите первую космическую скорость v у по™
верхности Луны, если радиус Луны Дд = 1760 км, а ускорение
свободного падения у поверхности Луны в п = 6 раз меньше
ускорения свободного падения у поверхности Земли.
1.3072. Спутник движется вокруг некоторой планеты по
круговой орбите радиуса г = 4, 7-Ю9 м со скоростью v = 10 км/с.
Какова средняя плотность р планеты, если ее радиус R = 1, 5 х
х 108 м?
1.3082. Искусственный спутник Земли движется по круго-
круговой орбите на расстоянии h от ее поверхности. Найдите период
т обращения спутника, если радиус Земли Дз ^> h.
1.3093. В свинцовом шаре ра-
радиуса R сделана сферическая по™
лость радиуса i?/2, поверхность ко™
21 торой касается шара. Масса сплош-
сплошного шара равна М. С какой си™
лой свинцовый шар будет притяги™
вать маленький шарик массы т, на-
г, -, опц ходящийся на расстоянии d от цен™
тра свинцового шара на продолже-
продолжении прямой, соединяющей центр свинцового шара с центром
полости (см. рисунок)?
1.3102. Рассчитайте радиус R геостационарной орбиты. Ка-
Какова скорость v движения спутника по этой орбите?
1.3II2. Найдите среднюю плотность р планеты, если на ее
экваторе показание динамометра, к которому подвешено тело,
на 10 % меньше, чем на полюсе, а продол лейте льность суток на
планете составляет т = б ч.
1.3122. Какую работу А нужно совершить, чтобы выве-
вывести спутник массы т = 500 кг на круговую орбиту, проходя-
проходящую вблизи поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пре-
пренебречь.
1.3133. С полюса Земли запускают ракету с начальной ско™
ростью г?о, направленной по касательной к поверхности Земли,
1.12 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 63
причем vq больше первой космической скорости, но меньше вто-
второй. Найдите максимальное расстояние гмакс, на которое уда-
удалится ракета от центра Земли.
1.3143. Космический корабль вращается вокруг Луны по
круговой орбите радиуса R = 3,4- 106 м. С какой скоростью
v нужно выбросить из корабля вымпел по касательной к тра-
траектории корабля, чтобы он упал на противоположной стороне
Луны? Через какое время t вымпел упадет на Луну? Ускорение
свободного падения gn на поверхности
Луны в 6 раз меньше, чем на Земле. Ра- ^" "~^х
диус Луны Rji = 1,7- 106 м.
1.3153. Спутник вращается по кру-
круговой орбите радиуса R. В результате
кратковременного действия тормозного
устройства скорость спутника уменьши-
уменьшилась так, что он начинает двигаться по эл-
эллиптической орбите, касающейся поверх-
поверхности Земли (см. рисунок). Точка посад-
посадки спутника и точка, где спутник осуще- R задаче L315
ствил торможение, лежат на большой по-
полуоси эллипса. Через какое время т после торможения спутник
приземлится? Трением о воздух пренебречь.
1.12. Основы механики жидкостей и газов
Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково по
всем направлениям, причем давление, созданное в одной из то-
точек жидкости, одинаково передается по всему объему, занятому
покоящейся жидкостью (закон Паскаля).
Давление столба несжимаемой жидкости высотой h и плот-
плотностью р равно
Р = Рё^-
Закон Архимеда: выталкивающая сила, действующая на те-
тело, погруженное в жидкость, равна
^А = pKiorpg,
где р — плотность жидкости, Кюгр — объем погруженной в
жидкость части тела; точкой приложения Fa можно считать
геометрический центр погруженной части тела.
Уравнение непрерывности для потока жидкости (газа) вдоль
любой трубки тока:
pvS = const.
Уравнение Бернулли: в стационарном потоке идеальной не-
несжимаемой жидкости вдоль любой линии тока в отсутствие тре-
64
МЕХАНИКА
ГЛ. 1
ния
- pv
pgh + р = const,
где v — скорость, р — давление жидкости в данном сечении, h —
высота, на которой расположено данное сечение трубки тока,
отсчитываемая от произвольно выбранного начального уровня.
Во всех задачах этого раздела плотность воды ро = 1,0 х
х 103 кг/м3, плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3, нормальное
атмосферное давление ро = 1, 013 • 1Q5 Па = 760 мм рт. ст.
1.31 б1. В цилиндрическое ведро диаметра D = 25 см налита
вода, занимающая объем V = 12 л. Каково давление воды р на
стенку ведра на высоте h = 10 см от дна?
1.3172. В открытый сверху цилиндрический сосуд налиты
равные по массе количества воды и ртути. Общая высота столба
жидкостей в сосуде равна Н = 143 см. Най-
Найдите давление р на дно сосуда.
1.3183. До какой высоты h нужно налить
жидкость в цилиндрическое ведро радиуса Л,
чтобы сила F, с которой жидкость давит на
боковую поверхность сосуда, была равна силе
давления на дно?
1.3192. Пробирку длины L = 1 м довер-
доверху наполняют водой и опускают открытым
концом в стакан с водой. При этом почти вся
пробирка находится над водой (см. рисунок).
Найдите давление р воды на дно пробирки.
1.32О2. В открытую с обоих концов U-
К задаче 1.319
образную трубку наливают ртуть. Затем в одно из колен труб-
трубки наливают масло, а в другое — воду. Границы раздела ртути
с маслом и водой находятся на одном уровне. Найдите высо™
ту столба воды /iq, если высота столба масла h = 20 см, а его
плотность р = 0, 9 • 103 кг/м3.
1.3212. В два открытых сверху цилиндрических сообщаю-
сообщающихся сосуда наливают ртуть. Сечение одного из них в два раза
больше другого. Широкий сосуд наливают водой до края. На
какую высоту h поднимется при этом уровень ртути в другом
сосуде? Первоначально уровень ртути был на расстоянии L от
верхнего края широкого сосуда.
1.3223. В U-образную трубку с сечением S налита ртуть.
Затем в одно из колен трубки налили воду, занимающую объем
V и опустили железный шарик массы га. На какую высоту h
поднялся уровень ртути в другом колене? Оба колена трубки
открыты.
1.12
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
65
1.3232. Малый поршень гидравлического пресса за один ход
опускается на высоту h = 0, 2 м, а большой поршень поднима-
поднимается на высоту Н = 0,01 м. С какой силой F действует пресс
на зажатое в нем тело, если на малый поршень действует сила
/ = 500 Н?
1.3242. При подъеме груза, имеющего массу т = 2000 кг,
с помощью гидравлического пресса была затрачена работа А =
= 40 Дж. При этом малый поршень сделал п = 10 ходов, пе-
перемещаясь за один ход на высоту h = 10 см. Во сколько раз
площадь S большого поршня больше площади s маленького?
1.3252. Льдина равномерной толщины плавает, выступая
над уровнем воды на высоту h = 2 см. Найдите массу льдины,
если площадь ее основания S = 200 см2. Плотность льда р =
= 0,9- 103 кг/м3.
1.32б2. Полый шар, изготовленный из материала с плотно-
плотностью pi, плавает на поверхности жидкости, имеющей плотность
р2- Радиусы шара и полости равны Кжг соответственно. Какова
должна быть плотность вещества р, которым нужно заполнить
полость шара, чтобы он плавал внутри жидкости?
1.3272. Бревно, имеющее длину L = 3, 5 м и диаметр D =
= 30 см, плавает в воде. Какова масса т человека, который
может стоять на бревне, не замочив ноги? Плотность дерева р =
= 0,7- 103 кг/м3.
1.3282. Найдите плотность р однородного тела, действую-
действующего на неподвижную опору в воздухе с силой Рв = 2,8 Н, ав
воде — с силой Pq = 1,69 Н. Силой Архимеда в воздухе прене™
бречь.
1.3292. Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена
за верхний конец. Нижний конец палочки погружен в воду (см.
рисунок). При равновесии под водой находится к = 1/5 часть
длины палочки. Найдите плотность вещества палочки.
К задаче 1.329
К задаче 1.330
1.3302. К концу однородной палочки, имеющей массу т =
= 4, 0 г, подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса г =
3 С.Н. Белолипецкий и др.
66 МЕХАНИКА ГЛ. 1
= 0, 50 см. Палочку кладут на край стакана с водой, добиваясь
равновесия при погружении в воду половины шарика (см. рису-
рисунок). В каком отношении L2/L1 делится палочка точкой опоры?
Плотность алюминия р = 2, 7 • 103 кг/м3.
1.3312. Слиток сплава золота и серебра в воздухе растяги-
растягивает пружину динамометра с силой Р=14,7Н, ав воде — с
силой на АР = 1,274 Н меньшей. Найдите массы золота т\ и
серебра Ш2 в сплаве, считая, что при сплавлении их первона-
первоначальный объем не изменился. Плотности золота и серебра р\ =
= 19, 3 • 103 кг/м3 и р2 = 10, 5 • 103 кг/м3 соответственно.
1.3322. В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости
с различными плотностями. На границе раздела жидкостей ила™
вает однородный куб, погруженный целиком в жидкость. Плот-
Плотность материала куба р больше плотность р\ верхней жидкости,
но меньше плотности р2 нижней. Какая часть к объема куба
находится в верхней жидкости?
1.3332. В сосуде имеются две несмешивающиеся жидкости
с плотностями р\ и р2. Толщины слоев этих жидкостей соответ-
соответственно равны d\ и с?2- С поверхности жидкости в сосуд опуска™
ют маленькое обтекаемое тело, которое достигает дна как раз в
тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова
плотность р материала, из которого изготовлено тело? Началь-
Начальная скорость тела равна нулю.
1.3342. Плавающий куб погружен в ртуть на ко = 1/4 своего
объема. Какая часть к объема куба будет погружена в ртуть, ес-
если поверх нее налить слой воды, полностью закрывающий куб?
1.3353. Какую работу А нужно совершить при медленном
подъеме из воды кубического каменного блока, имеющего объем
V = 0, 50 м3? Плотность камня р = 2,5 • 103 кг/м3. Начальная
высота столба воды над верхней горизонтальной гранью куба
равна h = 1, 0 м. В конечном состоянии нижняя горизонтальная
грань куба касается поверхности воды.
1.33б2. С какой высоты h должно падать тело, имеющее
плотность р = 0, 40 • 103 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду
на глубину Н = б, 0 см? Сопротивлением воды и воздуха прене-
пренебречь. Размеры тела считать пренебрежимо малыми.
1.3372. Сосуд с водой движется поступательно вдоль гори™
зонтальной прямой с ускорением а. Под каким углом а к гори-
горизонту будет располагаться поверхность воды?
1.3383. Цилиндрический сосуд с водой вращается с постоя-
постоянной угловой скоростью ш вокруг своей оси. Какова форма по-
поверхности воды в сосуде? Исследуйте зависимость уровня воды
h от расстояния г от оси вращения.
1.12 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 67
1.3393. Цилиндрический сосуд с водой вращается с постоя™
иной угловой скоростью ш вокруг своей оси. В него бросают
шарик, который плавает на поверхности воды. В каком месте
поверхности будет находиться шарик?
1.3402. Вентилятор гонит струю воздуха сквозь отверстие
в стене. Во сколько раз надо увеличить мощность вентилятора,
чтобы ежесекундно перегоняемое им количество воздуха увели-
увеличилось в два раза?
1.3412. В бак равномерно поступает вода со скоростью Vt =
= 2 л/с. В дне бака имеется отверстие площади S = 2 см2. На
каком уровне h будет держаться вода в баке?
1.3422. Какова примерно скорость катера v1 если при его
движении вода поднимается вдоль его носовой части на высоту
Ым?
1.3433. На гладкой горизонтальной поверхности стоит ци-
цилиндрический сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна име-
имеется отверстие площади So- Какую силу F нужно приложить
к сосуду в горизонтальном направлении, чтобы удержать его в
равновесии? Площадь поперечного сечения сосуда рана S, вы™
сота столба жидкости h.
1.3443. На поршень шприца площади S действует сила F. С
какой скоростью v должна вытекать в горизонтальном направ™
лении струя из отверстия иглы площади 5? Плотность жидкости
равна р. Трением пренебречь.
1.3453. В цилиндрическом стакане с водой плавает брусок
высоты L и сечения Si. При помощи тонкой спицы брусок мед™
ленно опускают на дно стакана. Какая работа А при этом со™
вершается? Сечение стакана S2 = 2Si, начальная высота воды в
стакане равна L, плотность материала бруска р = 0, 5рд.
1.3463. Какова должна быть минимальная мощность W на™
coca, поднимающего воду по трубе сечения s на высоту hi Насос
за одну секунду перекачивает объем воды Vf.
ГЛАВА 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Основные положения молекулмрно-кинетической
теории
Молекулярная физика основывается на молекулярно-кине-
тической теории строения вещества^ согласно которой все
тела состоят из мельчайших частиц — атомов, молекул или
ионов, — находящихся в непрерывном хаотическом движении,
которое называют тепловым движением.
Основное уравнение кинетической теории газов:
где р — давление газа, V — его объем, WK — суммарная кине™
тическая энергия поступательного движения молекул газа, на-
находящегося в сосуде, или
р= -n(wK),
где п — концентрация молекул (число молекул в единице объе-
объема), (гок) — средняя кинетическая энергия поступательного дви™
жения молекулы газа.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекулы идеального газа
W Q
I \ К «J ? ГП
К) = -^ = -2кт,
где N — число молекул газа, находящихся в сосуде, к — постоя-
постоянная Больцмана, Т — термодинамическая (абсолютная) темпе-
температура газа.
Для идеального газа
р = пкТ;
2.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 69
средняя квадратичная скорость поступательного движения мо™
лекулы идеального газа равна
v =
где то — масса одной молекулы.
Числом степеней свободы тела называют наименьшее чис-
ло координат (число независимых координат), которые нужно
задать для того, чтобы полностью определить положение те-
тела в пространстве. Закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы в
среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная
-кТ. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа,
имеющей г степеней свободы, равна
(Як> = %-кТ.
Моль — единица количества вещества, равная количеству
вещества системы, в которой содержится число структурных
элементов (атомов, молекул, ионов, электронов и др. частиц
или специфицированных групп частиц), равное числу атомов
в углероде™ 12 массой 0,012 кг (число Авогадро 7\Гд). Моляр-
Молярной массой /i вещества называют физическую величину, равную
массе одного моля данного вещества.
Количество вещества может быть определено по формуле
m N
2.11. Какое число N молекул содержится в объеме V =
= 1,0 см3 воды? Какова масса m одной молекулы воды? Каков
приблизительно ее диаметр dl
2.21. Сколько молекул содержится в V = 1,0 мм3 газа при
температуре t = 27 °С и давлении р = 1, 0 • 101 мм рт.ст.?
2.32. В озеро средней глубины h = 10 м и площади S =
= 10 км2 бросили кристаллик поваренной соли NaCl массой m =
= 0,01 г. Какое число N ионов хлора оказалось бы в наперстке
воды объемом V = 2,0 см3, взятом из озера, если считать, что
соль, растворившись, равномерно распределилась в воде?
2.41. За время т = 10 сут испарилось m = 100 г воды.
Сколько в среднем вылетало молекул воды с поверхности за 1 с?
2.52. После того, как в комнате протопили печь, темпера-
температура поднялась с 15 до 27°С. На сколько процентов изменилось
число молекул в этой комнате?
70 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.б1. Кристаллы поваренной соли, имеющие кубическую ре™
шетку, состоят из чередующихся атомов Na и 01. Определите
расстояние между их центрами, если молярная масса поварен™
ной соли /1 = 59, 52 г/моль, а плотность р = 2, 2 • 103 кг/м3.
2.72. В закрытом баллоне находится и молей кислорода и
азот массой т. Считая известными молярные массы ji\ и ji2
кислорода и азота, определите среднюю молярную массу /л смеси
газов.
2.81. Под каким давлением находится в баллоне водород,
если емкость баллона V = 10 л, а суммарная кинетическая
энергия поступательного движения молекул водорода WK =
= 7, 5 кДж?
2.91. Под каким давлением находится газ, если средняя
квадратичная скорость его молекул равна v = 580 м/с, а плот-
плотность р = 9, 0 • 10~4 г/см3?
2.101. Газ, находящийся в баллоне объема V = 10 л, создает
давление р = 1, 0 МПа. Определите массу т газа в баллоне, если
средняя квадратичная скорость молекул газа равна v = 600 м/с.
2.II1. В закрытом сосуде находится идеальный газ. Как
изменится его давление, если среднеквадратичная скорость его
молекул увеличится на г] = 20 % ?
2.121. Найдите отношение средних квадратичных скоростей
молекул гелия и азота при одинаковых температурах.
2.131. Закрытый сосуд заполнен водой при температуре t =
= 27°С. Каким стало бы давление р внутри сосуда, если бы
взаимодействие между молекулами воды внезапно исчезло?
2.141. Найдите среднюю энергию (К) атома аргона, если
v = 2,0 кмоль этого газа в баллоне объема V = 10 л создают
давление р = 1, 0 МПа.
2.2. Графики изопроцессов в идеальном газе
Изопроцессами называют термодинамические процессы,
происходящие в системе с постоянной массой при каком-либо
одном постоянном параметре состояния.
Изотермический процесс происходит при постоянной темпе™
ратуре (Г = const). В идеальном газе при этом выполняется
соотношение (закон Бойля^Мариотта)
pV = const.
Изохорический (изохорный) процесс происходит при постоя™
ином объеме (V = const). В идеальном газе при этом выполня-
выполняется соотношение (закон Шарля)
Р ,
— = const.
2.2
ГРАФИКИ ИЗОПРОЦЕССОВ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ
71
Изобарный (изобарический) процесс происходит при постоя™
ином давлении (р = const). В идеальном газе при этом выпол-
выполняется соотношение (закон Гей-Люееака)
— = const.
Уравнением состояния (термическим уравнением состоя-
состояния) системы называют функциональную зависимость рав-
равновесного давления р в системе от объема и температуры.
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева^
Клапейрона) имеет вид
PV = ^
где R =
постоянная.
= 8,31
моль *К
(в СИ) — универсальная газовая
2.151. Постройте в координатах V, Г графики изохорно-
го, изобарного и изотермического процессов, протекающих в
идеальном газе при условии постоянства его массы га. При каких
условиях все три графика проходят через одну и ту же точку
А? Молярная масса газа равна /л.
2.162. На рисунке изображен в координатах У, Т график
процесса, происходящего в идеальном газе при постоянном дав™
лении и постоянном объеме. Как при этом изменилась масса
газа?
2.172. На рисунке в координатах р, V представлены графи™
ки изотермических процессов для газов одинаковой массы.
а) Что можно сказать о соотношениях термодинамических
параметров газов, если обе изотермы соответствуют газам оди™
паковой химической природы?
б) Если оба изотермических процесса проходят при одной и
той же температуре, чем отличаются эти газы?
V
О
2Тп
О
О
К задаче 2.16
К задаче 2.17
К задаче 2.18
2.182. Как изменялась температура идеального газа в про™
цессе, график которого представлен на рисунке?
72
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ГЛ. 2
2.192. При нагревании некоторого газа получен график за™
висимости давления от температуры в виде прямой, продолже-
продолжение которой пересекает ось Ор выше начала координат (см. ри™
сунок). Как изменяется объем газа в процессе нагревания?
2.202. На рисунке представлен график некоторого процесса
в идеальном газе. Укажите точки, в которых масса газа имеет
наибольшее и наименьшее значения, если процесс происходит
при фиксированном объеме.
О
Т О
О
К задаче 2.19
К задаче 2.20
К задаче 2.21
2.211. На рисунке представлен график некоторого процесса
в идеальном газе в координатах р, V. Изобразите графики этого
процесса в координатах р, Т и VjT.
2.221. На рисунке представлен график некоторого процесса
в идеальном газе в координатах р, Т. Изобразите графики этого
процесса в координатах р, V и У, Т.
2.232. Объем идеального газа при нагревании изменяется
по закону V = аТ1/2, где а — постоянная величина. Какой вид
будет иметь график этого процесса в координатах р, VI
Pi~
О
О
1 в
A
С
D
К задаче 2.22
К задаче 2.24
К задаче 2.25
2.242. На рисунке представлен график некоторого процесса
в идеальном газе в координатах р, Т. Участки В С и AD соответ-
соответствуют изобарным процессам при значениях давления р2 и р\ со-
соответственно, участки АВ и CD — изотермы, соответствующие
температурам соответственно Т\ и Г2. Найдите максимальный
и минимальный объемы газа, если его количество v = 1 моль.
2.3 ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ 73
2.252. Один моль идеального газа участвует в процессе, гра™
фик которого в координатах р, V представлен на рисунке. Про-
Продолжения отрезков 1—2 и 3—4 проходят через начало координат,
а кривые 1~4 и 2-3 являются изотермами. Изобразите этот про™
цесс в координатах V, Т и найдите объем V3, если известны объ-
объемы V\ И V~2 = V4.
2.3. Газовые законы
Во всех задачах настоящего раздела считайте газ идеальным.
2.261. Кислород массы m = 10 г находится под давлением
р = 3, 0 • 105 Па, занимая объем V = 10 л. Найдите температуру
газа Т.
2.271. Каков объем V одного моля идеального газа при дав™
лении р = 1, 0 • 105 Па и температуре t = 27°С?
2.281. Определите изменение Am массы гелия, находяще™
гося в баллоне объема V = 0, 25 м3 под давлением р\ = 1,0 МПа
при температуре t\ = 20 °С, если после ухода части газа из бал-
баллона давление стало равным р2 = 0,1 МПа, а температура упала
до^2 = 10°С.
2.291. Определите плотность р водорода при температуре
t = 15 °О и давлении р = 98 кПа.
2.301. Плотность некоторого газа при температуре t = 10 °С
и давлении р = 2, 0 • 105 Па составляет р = 0, 34 кг/м3. Опреде-
Определите молярную массу /i этого газа.
2.311. Газ массы m = 12,0 г занимает объем V = 6 л при
температуре t\ = 180 °С. При какой температуре Т2 плотность
этого газа будет составлять р = 6,0 кг/м3, если давление газа
постоянно?
2.321. Какая масса воздуха Am выйдет из комнаты объема
V = 50 м3 при повышении температуры от Т\ = 250 до Г2 =
= 300 К при нормальном атмосферном давлении ро = 0,1 МПа?
Молярная масса воздуха /i = 29 г/моль.
2.332. Какое число п качаний должен сделать поршневой
насос, чтобы в баллоне объема V = 30 л увеличить давление
воздуха от атмосферного ро = 0,1 МПа до р = 0, 2 МПа? Пло-
Площадь поршня насоса S = 15 см2, ход поршня L = 30 см. Утечкой
газа пренебречь. Температуру воздуха считать постоянной.
2.342. Какое число п качаний должен сделать поршневой
насос, чтобы в сосуде объема Vq уменьшить давление от ро до
р? Объем рабочей камеры насоса равен V.
2.352. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов
горизонтальной трубки длины L = 1,0м находится столбик рту-
74 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
ти длины h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, стол™
бик ртути сместится на х = 10 см. До какого давления р была
откачана трубка? Плотность ртути р — 1, 36 • 104 кг/м3.
2.3б2. Открытую стеклянную трубку длины L = 1,0 м, дер-
держа вертикально, наполовину погружают в ртуть. Затем трубку
герметично закрывают сверху и вынимают. Какова длина L\
столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление
Н = 750 мм рт. ст.
2.372. Объем пузырька воздуха по мере его подъема со дна
озера на поверхность увеличивается в п раз. Какова глубина
озера? Изменением температуры с глубиной пренебречь. Атмо-
Атмосферное давление ро-
2.382. В вертикально расположенном цилиндре постоянного
сечения под невесомым подвижным поршнем находится воздух.
На поршень ставят гирю массы т = 10 кг. На какое расстояние
х сместится поршень, если температура воздуха в цилиндре под™
держивается постоянной? Атмосферное давление р® = 0,1 МПа,
площадь поршня S = 100 см2. Вначале поршень находился на
высоте h = 100 см от дна цилиндра.
2.3Э2. Сосуд разделен подвижным теплонепроницаемым
поршнем на две части, имеющие объемы: левая — У/3 и пра-
правая — 2F/3 и содержащие газ с температурой Т (см. рисунок).
До какой температуры Т2 нужно нагреть газ в левой части со™
суда, чтобы соотношение объемов сменилось на обратное? Тем-
Температура правой части сосуда поддерживается постоянной.
т,
к
задаче
2.
39
r,\v
Т J-F
2.402. До какой температуры Т2 следует нагреть газ изобар™
но, чтобы его плотность уменьшилась в два раза по сравнению
с его плотностью при температуре t = 0°C?
2.4. Идеальный газ. Закон Дальтона
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме пар™
циальных давлений компонентов смеси:
Р=Р1+Р2+РЗ + "•
2.412. Внутри нетеплопроводного цилиндра, расположенно-
расположенного горизонтально, имеется тонкий нетеплопроводный подвиж-
2.4 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. ЗАКОН ДАЛЬТОНА 75
ный поршень. На каких расстояниях L\ и L^ от оснований ци™
линдра расположен поршень, если с одной стороны от поршня
в цилиндре находится кислород при температуре t\ = 127°0, а
с другой — водород при температуре #2 = 27 °С? Массы обоих
газов одинаковы. Общая длина цилиндра L = 65 см.
2.422. Два сосуда, содержащие одинаковые массы одного
и того же газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде
давление газа р\ = 4, О кПа, а во втором — р2 = 6, 0 кПа. Ка™
кое давление р установится в системе после открывания крана?
Температура газа постоянна.
2.432. Два сосуда соединены трубкой с краном. В первом
сосуде находится масса mi = 2,0 кг газа под давлением р\ =
= 4, 0 • 105 Па, а во втором — гп2 = 3, 0 кг того же газа под
давлением р2 — 9, 0 • 105 Па. Какое давление р установится в
системе после открывания крана? Температура газа постоянна.
2.442. Для приготовления газовой смеси с общим давлени-
давлением р = 5, 0 гПа к сосуду объема V = 10 л подсоединили баллон
объема V\ = 1,0 л, в котором находился гелий под давлением
р\ = 40 гПа, и баллон с неоном под давлением р2 = Ш гПа. Пай™
дите объем V-2 баллона с неоном. Температуры газов одинаковы
и постоянны.
2.452. Два одинаковых сосуда соединены трубкой, объемом
которой можно пренебречь. Система наполнена газом под дав™
лением ро- Во сколько п раз нужно изменить температуру газа
в одном из сосудов, чтобы давление во всей системе стало рав-
равным pi?
2.462. Определите плотность р смеси, содержащей mi = 4 г
водорода и гп2 = 32 г кислорода при температуре t = 7°C и
общем давлении р = 1,0- 105 Па.
2.472. В сосуде находится смесь трех газов с массами mi,
Ш2, тз и с известными молярными массами /ii, /^2, /^з- Опре-
Определите плотность р смеси, если ее давление р и температура Т
известны.
2.482. Сосуд объема 2V = 200 см3 разделен на две равные
части полупроницаемой неподвижной перегородкой. В первую
половину сосуда введена смесь mi = 2 мг водорода и 7П2 = 4 мг
гелия, во второй половине — вакуум. Через перегородку может
диффундировать только гелий. Во время процесса поддержива-
поддерживается температура Т = 300 К. Какие давления pi и р2 установятся
в обеих частях сосуда?
2.4Э2. Сосуд объема V = 2 дм3 разделен на две равные
части полупроницаемой неподвижной перегородкой. В первую
половину сосуда введена смесь тв = 2 г водорода и та = 20 г
аргона, во второй половине — вакуум. Через перегородку может
диффундировать только водород. Во время процесса поддержи-
76 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
вается температура t = 20°С. Какое давление р установится в
первой части сосуда? Молярная масса аргона /ia = 40 г/моль,
водорода — /iB = 2 г/моль.
2.502. Одинаковые массы водорода и гелия поместили в со™
суд объема У\, который отделен от откачанного до состояния ва-
вакуума сосуда объема V~2 полунепроницаемой перегородкой, про™
пускающей только молекулы водорода. После установления рав-
равновесия давление в первом сосуде упало в два раза. Температура
постоянна. Определите отношение V2/V1.
2.512. Сосуд заполнен смесью водорода и гелия и отделен от
равного ему по объему откачанного сосуда неподвижной полу™
проницаемой перегородкой, пропускающей только атомы гелия.
После установления равновесия давление в первом сосуде упало
на г/ = 10 % . Температура постоянна. Определите отношение
массы тг гелия к массе тв водорода.
2.522. Закрытый сосуд разделен на две одинаковые по объе-
объему части твердой неподвижной полупроницаемой перегородкой.
В первую половину сосуда введена смесь аргона и водорода при
давлении р = 1,5 • 105 Па, во второй половине — вакуум. Че-
Через перегородку может диффундировать только водород. После
окончания процесса диффузии давление в первой половине со-
сосуда оказалось равным р' = 1,0-105 Па. Во время процесса тем™
пература системы оставалась постоянной. Определите отноше-
отношение масс аргона и водорода в смеси, которая была первоначаль™
но введена в первую половину сосуда. Молярная масса аргона
/j,a = 40 г/моль, водорода — /лв = 2 г/моль.
2.532. Две сферы с объемами V\ = 100 см3 и V2 = 200 см3
соединены короткой трубкой, в которой имеется пористая не™
регородка. С ее помощью можно добиться в сосудах равенства
давления, но не температуры. Сначала система находится при
температуре То = 300 К и содержит кислород под давлением
Pq = 1?0 • 105 Па. Затем малую сферу помещают в сосуд со
льдом при температуре t\ = 0°О, а большую — в сосуд с паром
при температуре ?2 = 100 °О. Какое давление р установится в
системе? Тепловым расширением сфер пренебречь.
2.5. Уравнение состояния идеального газа
2.542. Баллон, содержащий т\ = 1,0 кг азота, при испыта-
испытании взорвался при температуре t\ = 350 °С. Какую массу водо-
водорода ГП2 можно хранить в этом баллоне при температуре t^ =
= 20 °С, имея п™кратный [п = 5) запас прочности?
2.552. Когда из сосуда выпустили некоторое количество га-
газа, давление в нем упало на 40%, а абсолютная температура
уменьшилась на 20%. Какую часть газа выпустили?
2.5
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
77
2.561. Какое давление газа установилось в цилиндре дви™
гателя внутреннего сгорания, если к концу такта сжатия тем-
температура повысилась с 47°С до 367°С, а объем уменьшился с
У\ — 1)8 до V2 = 0,3 л? Первоначальное давление равно р\ =
= 1,0- 105 Па.
2.572. Некоторая масса газа занимает объем V\ при давле™
нии р\ и температуре Т\. Затем газ нагревают при постоянном
объеме до температуры Г2 = 2Ti; после этого происходит рас-
расширение газа при постоянном давлении до объема V2 = 4Vi. Из
получившегося состояния газ возвращают в начальное таким об-
образом, что в ходе этого процесса pVn = const. Определите пока-
показатель политропы п.
2.583. Вертикально расположенный цилиндр, закрытый с
обоих сторон, разделен тяжелым теплонепроницаемым поршнем
на две части, в которых находится одинаковое количество воз™
духа. При Т\ = 400 К давление в нижней части р2 в два раза
больше давления р\ в верхней. До какой температуры Г2 на-
надо нагреть воздух в нижней части цилиндра, чтобы объемы его
верхней и нижней частей стали одинаковыми?
2.593. В вертикальном закрытом цилиндре имеется пор-
поршень, который может перемещаться без трения (см. рисунок).
По обе стороны от поршня находятся одинаковые массы одного
и того же газа. При температуре Го, одинаковой во всем цилин-
цилиндре, объем верхней части в п раз
больше объема нижней. Каким будет
отношение объемов rt! = V^/V^ верх-
верхней и нижней частей цилиндра, ее™
ли повысить температуру газа в обе-
обеих частях до значения Т\!
2.603. В цилиндре находится
газ при температуре Го, отделенный
от атмосферы невесомым поршнем.
Поршень удерживается упругой пру-
пружиной (см. рисунок). До какой тем™
пературы Т\ нужно нагреть газ, что-
чтобы его объем увеличился в п = 1,5 К задаче 2.59 К задаче 2.60
раза? Если газ полностью откачать
из-под поршня, поршень будет находиться в равновесии у дна
цилиндра. Атмосферное давление равно ро-
2.613. В вертикально расположенном цилиндре находится
газ массы га. Газ отделен от атмосферы поршнем, соединенным
с дном цилиндра пружиной жесткости к (см. рисунок к зада-
задаче 2.60). При температуре Т\ поршень расположен на расстоя-
расстоянии h от дна цилиндра. До какой температуры Г2 надо нагреть
78 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
газ, чтобы поршень поднялся до высоты HI Молярная масса
газа равна /i.
2.623. В цилиндре под поршнем площади S = 100 см2 на™
ходится т = 28 г азота при температуре Т\ = 273 К. Цилиндр
нагревается до температуры Т2 = 373 К. На какую высоту Ah
поднимется поршень массы М = 100 кг? Атмосферное давление
р0 = 1,0- 105 Па.
2.633. Посередине горизонтальной трубы, открытой с обоих
концов, находится поршень площади 5 = 1,5 дм2 и массы га =
= 0, 79 кг, герметично прилегая к гладким стенкам трубы. Трубу
закрывают с концов и устанавливают вертикально. На сколь™
ко AT надо нагреть воздух под поршнем, чтобы вернуть его в
прежнее положение? Атмосферное давление ро — 150 • 105 Па,
температура атмосферного воздуха Т® = 273 К, поршень и труба
теплонепроницаемы.
2.643. Резервуар объема V\ = 50 л соединили с резервуаром
объема 1/2 = 15 л с помощью короткой трубки, в которой имеется
специальный клапан давления, позволяющий газу просачивать-
просачиваться из большого резервуара в малый, если давление в большом
резервуаре превышает давление в малом на Ар = 88 мм рт. ст.
Сначала при Т® = 290 К большой резервуар содержит газ при
нормальном атмосферном давлении, а меньший — откачан до
состояния вакуума. Каким будет давление р2 в малом резерву-
резервуаре, если всю систему нагреть до t\ = 162 °С?
2.653. Воздух находится в открытом сверху вертикальном
цилиндрическом сосуде сечения S = 20 см2 под поршнем массы
га = 20 кг. После того как сосуд стали двигать вверх с ускорени-
ускорением а = 5, 0 м/с2, высота столба воздуха между поршнем и дном
уменьшилась на г) = 20 % . Считая температуру постоянной,
определите по этим данным атмосферное давление р®. Трением
между поршнем и стенками сосуда пренебречь.
2.6б3. В открытой с обоих концов горизонтальной трубке с
площадью поперечного сечения s = 10 см2 на расстоянии L =
= 10 см от одного из ее концов находится поршень. С этого
же конца вставляют и начинают вдвигать в трубку другой пор™
шень. При каком расстоянии h между поршнями первый пор-
поршень сдвинется с места? Сила трения скольжения между порш-
поршнем и стенками трубки равна F = 100 Н, атмосферное давление
ро = 1,0 • 105 Па. Температуру считать постоянной, толщиной
поршней пренебречь.
2.674. Тонкостенный стакан массы М = 50 г ставят вверх
дном на поверхность воды и медленно опускают его вглубь так,
что он все время сохраняет вертикальное положение. На какой
минимальной глубине h должно оказаться дно стакана, чтобы
2.6 ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ. РАБОТА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 79
он не всплыл? Высота стакана Н = 10 см, площадь его дна
S = 20 см . Давлением водяного пара в стакане пренебречь.
Атмосферное давление ро = 1,0 • 105 Па. Процесс считайте изо-
изотермическим. Плотность воды принять равной р®.
2.684. Герметически закрытый бак высоты Н до самого вер™
ха заполнен водой. На его дне находятся два одинаковых пу™
зырька воздуха. Давление на дно бака при этом равно рд. Каким
станет давление р на дно, если один пузырек всплывет? Процесс
считайте изотермическим. Плотность воды принять равной ро-
2.6. Внутренняя энергия идеального газа. Работа
идеального газа
Внутренняя энергия идеального газа определена выражением
где N — число молекул газа; Су — теплоемкость одного моля
идеального газа при постоянном объеме.
Работа расширения газа при постоянном давлении равна
АА = pAV,
где А У" — приращение объема системы.
Первое начало (первый закон) термодинамики: количество
теплоты AQ, сообщаемое системе, расходуется на изменение
внутренней энергии системы АС/ и на совершение системой ра-
работы А А:
AQ = AU + АА.
2.691. Газ, имевший объем V\ = 10 л и давление р = 2,0 х
х 105 Па, расширился изобарно до объема Vi = 28 л. Какова
работа А, совершенная газом?
2.702. Кислород массы т = 10 г находится под давлением
р = 3,0 • 105 Па при температуре t = 10 °С. После изобарно-
изобарного нагревания газ занял объем V2 = 10 л. Найдите изменение
внутренней энергии газа AU и совершенную им работу А.
2.712. Гелий массы т = 2, 8 г нагревают: а) при постоянном
давлении; б) при постоянном объеме. Подведенное к газу коли™
чество теплоты в обоих случаях равно AQ = 600 Дж. Найдите
изменение температуры газа AT в обоих случаях.
2.722. Для нагревания т = 1 кг неизвестного газа на AT =
= 1 К при постоянном давлении требуется количество теплоты
AQp = 912 Дж, а при постоянном объеме — AQV = 649 Дж.
Определите молярную массу ц этого газа.
80 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.732. В сосуде объема V = 10 л находится гелий под давле-
нием р\ = 1, 0-105 Па. Стенки сосуда могут выдержать внутрен-
внутреннее давление р2 — 1? 0 • 106 Па. Какое максимальное количество
теплоты AQ можно сообщить газу в этом сосуде?
2.742. На рисунке представлен график процесса, происхо-
происходящего в идеальном газе. Состояние 1 характеризуется объемом
Vq и давлением 2ро, состояние 2 —
объемом 2Vq и давлением р$. Най-
Найдите количество теплоты AQ, ко™
торое было сообщено газу.
2.751. Определите давление р
идеального одноатомного газа, за™
нимающего объем V = 2,0 л, ес-
если его внутренняя энергия U =
= 300 Дж.
2.762. Идеальный одноатом-
К задаче 2.74 ный газ массы т нагревают при
постоянном давлении так, что
значение средней квадратичной скорости молекул изменяется
от vi до V2- Определите количество теплоты AQ, сообщенное
газу.
2.772. Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве v
моль, нагревают при постоянном давлении. Какое количество
теплоты AQ следует сообщить газу, чтобы средняя квадратич-
квадратичная скорость его молекул увеличилась в п раз? Начальная тем™
пература газа равна Tq.
2.782. При сжатии идеального двухатомного газа по полит™
ройному закону, когда pVn = const, где п — известный пока™
затель политропы, объем газа уменьшился в г раз. Определите
изменение АС/ внутренней энергии газа в этом процессе, если до
сжатия газ занимал объем V\ при давлении р\.
2.7Э2. Одноатомный газ массы т, имеющий начальную тем-
температуру Го, участвует в политропном процессе, для которого
выполняется условие pVn = const, где п — известный показа™
те ль политропы. В ходе этого процесса давление газа выросло
в к раз. Определите изменение АС/ внутренней энергии газа в
этом процессе. Молярная масса газа равна /л.
2.802. Масса т идеального газа, находящегося при темпе™
ратуре Го, охлаждается изохорно так, что давление падает в
п раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В ко-
конечном состоянии его температура достигает первоначального
значения. Определите совершенную газом работу А. Молярная
масса газа равна /л.
2.812. В цилиндре с площадью основания S = 100 см2 нахо-
находится воздух при температуре Г = 290 К. На высоте Я = 0,6м
2.7
I НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
81
Н
от основания цилиндра расположен легкий поршень, на кото™
ром лежит груз массы т = 100 кг (см. рисунок). Какую работу
совершит газ при расширении, если его нагреть
на AT = 50 К? Атмосферное давление рд =
1,0- 105 Па.
2.822. Некоторое количество газа занимает
объем V\ = 0,01 м3 при давлении р\ = 1, 0 • 105 Па
и температуре Т\ = = 300 К. Сначала газ нагре-
нагревают без изменения объема до температуры Г2 =
= 320 К, а затем — при постоянном давлении до
температуры Тз = 350 К. Найдите совершенную
газом работу А.
2.832. В цилиндре под поршнем находится S
газ. Поршень соединен с дном цилиндра пружи-
пружиной. При нагревании газа его объем изменяется к задаче 2.81
от V\ до F2, а давление — от р\ до р2- Прене-
Пренебрегая трением и массой поршня, определите совершенную при
этом работу А.
2.842. В изотермическом процессе газ совершает работу
А А = 1000 Дж. Чему будет равно изменение внутренней энер-
гии газа At/, если ему сообщить количество теплоты вдвое боль-
большее, чем в первом случае, а процесс проводить при постоянном
объеме?
2.7. I начало термодинамики. Теплоемкость
Теплоемкостью С тела называют физическую величину,
численно равную отношению количества теплоты AQ, сообща-
сообщаемого телу, к изменению AT температуры тела в рассматрива-
рассматриваемом термодинамическом процессе:
Молярной теплоемкостью называют теплоемкость одного
моля вещества:
С ^
и AT"
т
v = —.
Удельной теплоемкостью называют теплоемкость единицы
массы вещества.
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном
объеме равна
Су = l-R,
где г — число степеней свободы молекулы.
82 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном
давлении равна
2.852. Удельные теплоемкости некоторого газа при постоя-
постоянном объеме и постоянном давлении равны соответственно cv =
= 3,14 • 103 ДжДкг-К) и ср = 5,23 • 103 Дж/(кг-К). Найдите
молярную массу газа /i.
2.862. При нагревании в постоянном объеме кислород имеет
удельную теплоемкость cv = 657 Дж/(кг-К). Какова удельная
теплоемкость кислорода при постоянном давлении ср?
2.872. В герметичном сосуде объема V = 5, б дм3 содержит-
содержится воздух под давлением pi = 1,0 • 105 Па. Какое давление р2
установится в сосуде, если воздуху сообщить количество тепло-
теплоты Q = 1430 Дж? Молярная теплоемкость воздуха при постоя™
ином объеме Су = 21 Дж/(моль-К).
2.883. В процессе расширения азота его объем увеличился
на 2 % , а давление уменьшилось на 1 % . Какая часть г) теплоты,
полученной азотом, была превращена в работу? Параметры газа
изменяются монотонно.
2.8Э2. Идеальный газ, взятый в количестве v = 1 моль,
первоначально находившийся при нормальных условиях (ро =
= 1,013 • 105 Па, Tq = 273 К), переводят в состояние с вдвое
большими объемом и давлением, последовательно осуществляя
изобарный и изохорный про-
процессы. Какое количество теп™
лоты AQ подведено к газу?
Молярная теплоемкость газа
при постоянном объеме Су =
i i = 21 ДжДмоль-К).
j j 2.9О3. Идеальный газ, взя™
Р>
У у тыи в количестве v молей,
участвует в некотором процес™
К задаче 2 90 се' гРаФик которого изображен
на рисунке, и проходит после-
последовательно состояния 1, 2, 8. Найдите поглощенное газом в этом
процессе количество теплоты AQ, если известны объемы V\ и V2
и давления р\ и р2- Внутренняя энергия одного моля газа опре-
определена соотношением U^ = СТ.
2.913. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем на™
ходится кислород массы т = 2, 0 кг. Для повышения темпера™
туры кислорода на AT = 5 К ему было сообщено количество
2.7
I НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
83
теплоты Q = 9160 Дж. Найдите удельную теплоемкость кисло™
рода Ср, работу Д совершаемую им при расширении, и увели-
увеличение его внутренней энергии AU. Молярная масса кислорода
/i = 32 г/моль.
2.Э22. Азот нагревали при постоянном давлении. Зная, что
масса азота т = 280 г, сообщенное ему количество теплоты Q =
= 600 Дж, а удельная теплоемкость азота при постоянном объеме
Су = 745 Дж/(кг-К), найдите изменение его температуры AT.
2.932. Какое количество теплоты Q необходимо для нагре-
нагревания на АГ = 16 К кислорода массы т = 7, 0 г, находящегося
в цилиндре под поршнем, на котором лежит груз, если тепло-
теплоемкость одного моля кислорода при постоянном объеме Су =
= 21 Дж/(моль-К)?
2.943. В длинном цилиндрическом сосуде, стоящем верти-
вертикально, на высоте h от дна висит на нити поршень массы га, от™
деляющий содержащийся в цилиндре газ от атмосферы. Внутри
сосуда находится нагревательный элемент. Под поршнем нахо-
находится v = 1 моль газа, давление которого в начальный момент
времени равно внешнему атмосферному давлению ро, а темпе-
температура равна Го. Какое количество теплоты Q нужно подвести к
газу, чтобы поршень поднялся до высоты 2 Ш
Внутренняя энергия одного моля газа опреде-
определена соотношением U^ = СТ. Трением прене™
бречь. Стенки сосуда и поршень не теплопро-
теплопроводны.
2.953. В вертикальном цилиндрическом
сосуде, площадь сечения которого равна 5,
под поршнем массы т находится газ, раз-
разделенный закрепленной перегородкой на два
одинаковых объема (см. рисунок). Давление
газа в нижней части сосуда равно р, внеш-
внешнее давление ро, температура газа в обеих ча-
частях сосуда равна Т. На какое расстояние х
сместится поршень, если убрать перегородку?
Высота каждой части сосуда h. Внутренняя энергия одного мо™
ля газа равна U^ = СТ. Стенки сосуда и поршень не проводят
^^^_^^^_^^^_^^_ тепло, трением пренебречь.
2.9б3. Теплоизолированный сосуд
разделен на две части нетеплопровод-
нетеплопроводным поршнем, который может переме-
перемещаться в сосуде без трения (см. ри-
рисунок) . В левой части сосуда находится
v = 1 моль идеального одноатомного
газа, в правой — вакуум. Поршень соединен с правой стенкой
сосуда пружиной, длина которой в свободном состоянии равна
Ро
Т
р.т
m
h
h
К задаче 2.95
К задаче 2.S
84
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ГЛ. 2
длине сосуда. Определите теплоемкость системы С. Теплоемко™
стью сосуда, пружины и поршня пренебречь.
2.973. Поршень удерживается в середине неподвижного
теплоизолированного закрытого цилиндрического сосуда дли-
длины 21/, имеющего площадь сечения S. Левую половину сосуда
занимает газ, температура и давление которого равны Т\ и pi,
в правой половине — вакуум. Поршень соединен с правым тор-
торцом сосуда пружиной жесткости к (см. рисунок). Найдите уста™
новившуюся температуру газа Г2 после того, как поршень от-
отпустили. Длина недеформированной пружины равна 2L. Внут-
Внутренняя энергия одного моля газа U^ = СТ. Трением, а также
теплоемкостью цилиндра, поршня и пружины пренебречь.
2.Э82. Над газом совершают два процесса, нагревая его из
одного и того же начального состояния до одной и той же тем-
температуры. На р, V-диаграмме процессы изображаются прямыми
линиями 0-1 и 0^2 (см. рисунок). Определите, в каком процес-
процессе газу сообщается большее количество теплоты, и на сколько
AQ больше. Значения объемов Fq, V\, V2 и давлений ро, pi и Р2
известны.
p.
L
L
Рг—-/-Ь
К задаче 2.97
V2
К задаче 2.98
2.993. Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве
v = 1 моль, переводится из начального состояния с температу-
температурой То = 300 К в состояние, в котором его температура увели-
увеличивается в п\ = 3 раза, а объем уменьшается в П2 = 2 раза.
Определите подведенное к газу количество теплоты AQ? если
из всех путей перевода газа из начального состояния в конеч-
конечное, при котором давление газа не падает ниже начального, был
выбран путь, когда над газом совершается минимальная работа.
2.8. Закон сохранения энергии в тепловых процессах.
Адиабатный процесс
Адиабатным (адиабатическим) называют процесс, происхо-
происходящий в отсутствие теплообмена с внешней средой:
2.8 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССАХ 85
Для равновесного адиабатного процесса в идеальном газе сира™
ведливо уравнение Пуассона
pV1 = const,
где 7 = Ср/Су — коэффициент Пуассона (показатель адиаба-
адиабаты).
2.1002. Воздух в комнате объема V = 90 м3 нагревается
на АТ\ = 10°С. Какой объем VB горячей воды должен пройти
при этом через радиаторы водяного отопления? Вода охлаж™
дается на ДТ2 = 20 °С. Потери тепла составляют rj = 50%.
Удельная теплоемкость воздуха с\ = 1,0 • 103 Дж/(кг-К), плот-
плотность воздуха р — 1, 29 кг/м3, удельная теплоемкость воды С2 =
= 4,187кДж/(кг-К).
2.1012. Два куска льда одинаковой массы т = 200 г при
температуре Т = 273 К в вакууме трут друг о друга с помощью
двигателя, развивающего мощность N = 10 Вт. Определите, че™
рез какое время т они растают. Удельная теплота плавления
льда А = 3, 35 • 105 Дж/кг.
2.1022. Какую массу m должны иметь железные вагонные
тормоза, чтобы при полной остановке вагона, идущего со скоро™
стью v = 36 км/ч, они нагревались бы не более чем на AT =
= 100 К? Масса вагона М = 10 т. Теплоемкость железа сж =
= 460 Дж/(кг-К).
2.ЮЗ2. Рабочий, забивая гвоздь массы m = 50 г в стен-
стенку, ударяет п = 20 раз молотком, масса которого М = 0, 5 кг.
Импульс молотка непосредственно перед ударом р = 6,0 Н-с.
На сколько AT градусов нагреется гвоздь, если все выделивше-
выделившееся при ударах количество теплоты пошло на его нагревание?
Теплоемкость железа сж = 460 Дж/кг-К.
2.1042. При адиабатном расширении m = 1,0 кг азота газ
совершает работу А = 300 Дж. На сколько АС/ уменьшается
его внутренняя энергия и на сколько АГ понижается темпе-
температура? Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме
cv = 745 Дж/кг • К.
2.1052. Некоторое количество идеального газа с двухатом-
двухатомными жесткими молекулами перешло адиабатно из состояния,
характеризуемого параметрами Т\ = 350 К, р\ = 1,0 • 105 Па,
V\ = 50 дм3 в состояние с температурой Т2 = 300 К. Какую
работу А при этом совершает газ?
2.1063. Некоторое количество идеального одноатомного газа
сжимают адиабатно до тех пор, пока давление газа р\ не превы-
превысит начальное ро в ^ = Ю раз. Затем газ расширяется изотерми™
чески до тех пор, пока его объем не достигнет первоначального
86 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
значения. Определите отношение Р2/Р0 конечного и начального
давлений газа.
2.1072. Идеальный двухатомный газ, находившийся перво™
начально при температуре То = 300 К, подвергается адиабатно-
адиабатному сжатию, в результате которого: а) объем газа уменьшается в
п = 10 раз; б) давление газа возрастает в п = 10 раз по сравне-
сравнению с первоначальным. Определите температуру газа Т в конце
процесса.
2.1082. Идеальный одноатомный газ, занимающий при дав-
давлении pi объем Vi, начинает адиабатно расширяться до объема
1/2- Найдите работу А^4, совершенную газом в этом процессе,
если уравнение адиабаты может быть записано в виде pV1 =
= const, где 7 — известный показатель адиабаты.
2.1092. При адиабатном сжатии v моль одноатомного га-
газа была совершена работа ДА Найдите отношение п средних
квадратических скоростей молекул этого газа в конце и начале
процесса, если начальная температура газа равна Т®.
2.НО2. Изменение состояния и = 1 моля одноатомного
идеального газа происходит по закону pVn = const. Найдите
изменение A U внутренней энергии газа при увеличении объема
в к = 2 раза для случаев: а) п = 0; б) п = 1; в) п = 2. Начальная
температура газа Т = 300 К.
2.1112. Один моль идеального одноатомного газа раеширя™
ется по закону рУ3 = const. При этом его начальное состояние
характеризуется значениями объема V\ и давления р\. В конеч™
ном состоянии объем газа равен У~2 • Определите изменение внут-
внутренней энергии газа AU.
2.1123. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом
сосуде, закрытом поршнем массы Ж, находится газ. Газ нагре-
нагревают, при этом поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает
скорость v. Найдите количество теплоты AQ, сообщенное газу.
Внутренняя энергия одного моля газа равна U = сТ. Тепло™
емкостью сосуда и поршня пренебречь. Внешнее давление на
поршень считайте равным нулю.
2.ИЗ3. Поршень массы М, замыкающий объем V® с од-
одноатомным газом при давлении р® и температуре Tq, толчком
______^ приобретает скорость и (см. рису™
•' - -ц •' ^ "- •" "• •'! нок). Оцените температуру Т и объ-
" р0, Vo,To"" ' | ем газа V ПРИ максимальном ежа™
• • • • • ¦ ¦ • ¦ • 1 тии. Система теплоизолирована. Теп-
лоемкостями поршня и сосуда прене™
К задаче 2.113 бречь
2.1143. Закрытый сосуд содержит некоторое количество
разреженного инертного газа — ксенона — при температуре Т® =
= 100 К. Сосуд движется поступательно со скоростью v = 5 м/с.
2.9
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ. КПД ЦИКЛОВ
87
Какая температура Т установится в сосуде, если его резко оста™
новить? Молярная масса ксенона /л = 131 г/моль.
2.1153. Некоторая масса газа занимает объем V\ при дав-
давлении р\ и температуре ?\, затем газ при постоянном объеме
нагревают до температуры Т^ = 2Т\. После этого происходит
расширение газа при постоянном давлении до объема ?2 = 4V\.
Затем газ возвращают в началвное состояние таким образом,
что во время этого процесса pVn = const (политропный про™
цесс). Определите показатель политропы п.
2.1163. В горизонтально расположенной трубе могут без
трения двигаться два поршня массами rai и га2, между которы-
которыми содержится идеальный газ в количестве v молей, имеющий
температуру Т. Поршням толчком сообщают скорости v\ и ^,
направленные вдоль оси трубы навстречу друг другу (см. рису-
рисунок). Найдите максимальную температуру газа Тмакс, если его
масса га «С rai, га <С тп2. Число степеней свободы молекулы га™
за равно г. Система теплоизолирована и находится в вакууме.
Теплоемкостью трубы и поршней пренебречь.
m 7
-
-vwwv
К задаче 2.116
К задаче 2.117
2.1173. В расположенном горизонтально цилиндре слева от
закрепленного поршня находится и = 1 моль идеального газа.
В правой части цилиндра вакуум. Пружина вначале не дефор-
деформирована (см. рисунок). Цилиндр теплоизолирован. Когда пор™
шень освободили, объем, занимаемый газом, увеличился вдвое.
Во сколько раз изменятся температура Т ж давление р газа? Теп™
лоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь. Моле™
кула газа обладает г степенями свободы.
2.1183. Горизонтально расположенный сосуд закрыт лег™
ким подвижным поршнем и содержит по v = 1 моль гелия и
кислорода. Внешнее давление
равно нулю. Поршень удержива™
ется пружиной, длина которой
в недеформированном состоя-
состоянии пренебрежимо мала (см. ри-
рисунок). Какое количество теп™
лоты AQ нужно сообщить газу,
чтобы увеличить его температуру на AT = 1 К? Теплоемкостью
сосуда, пружины и поршня пренебречь.
-AAA/VVV
К задаче 2.118
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.9. Термодинамические циклы. КПД циклов
КПД тепловой машины равен
А
где Quarp — количество теплоты, полученное от нагревателя за
один цикл, А — работа, совершенная за один цикл.
КПД прямого цикла Карно
77 =
J- ыагр J- хол
-^ыагр
2.1191. В идеальной тепловой машине за счет каждого ки-
лоджоуля энергии, получаемой от нагревателя, совершается ра-
работа А = 300 Дж. Определите КПД rj машины и температуру
Тн нагревателя, если температура холодильника Тх = 280 К.
2.1201. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от
нагревателя количество теплоты Qm = 300 кДж. Температуры
нагревателя и холодильника равны соответственно Тн = 450 К
и Гх = 280 К. Определите работу А, совершаемую рабочим ве™
ществом за цикл.
2.1211. Двигатель внутреннего сгорания имеет КПД rj =
= 28% при температуре горения топлива t\ = 927°С и при
температуре отходящих газов #2 — 447°О. На какую величи-
величину Ат] КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех
же температурах нагревателя и холодильника, превышает КПД
данного двигателя?
2.1221. Рабочее тело тепловой машины, работающей по
идеальному циклу Карно, в каждом цикле получает от нагрева™
теля AQ = 8,4 кДж и к = 80% из них передает холодильнику.
Определите КПД г) цикла и работу А, совершаемую машиной в
каждом цикле.
2.1231. В каком случае КПД цикла Карно возрастет боль™
ше: при увеличении температуры нагревателя на AT или при
уменьшении температуры холодильника на такую же величину?
2.1242. Водород совершает цикл Карно. Найдите КПД цик™
л а 77 5 если при адиабатном расширении: а) объем газа увеличи-
увеличивается в п = 2 раза; б) давление увеличивается вп = 2 раза.
2.1253. Найдите КПД 77 цикла, состоящего из двух изохор
и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа
изменяется в п = 10 раз. Рабочим веществом является азот.
2.1263. Один моль идеального газа находится в цилиндре
под поршнем при температуре Т\. Газ при постоянном давлении
нагревают до температуры Г2, затем при постоянном объеме на-
2.9
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ. КПД ЦИКЛОВ
89
гревают до температуры Гз. Далее газ охлаждают при постоян™
ном давлении, и его объем падает при этом до первоначального
значения. Затем газ при постоянном объеме возвращают в на™
чальное состояние. Какую работу совершил газ за цикл?
2.1273. График циклического процесса, происходящего с
идеальным одноатомным газом, изображен на рисунке. Опре-
Определите работу Д совершенную газом в этом процессе, если ко-
количество газа и = 3 моль, Ti = 400 К, Г2 = 800 К, Г4 = 1200 К.
i
i
\
\
\
\
х^
3
4
О
о
К задаче 2.127
К задаче 2.128
2.1283. График циклического процесса, происходящего с
идеальным газом, изображен на рисунке. Температуры газа в
точках 1 и 3 равны Т\ и Гз соответственно. Определите работу
А, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 ж 4
лежат на одной изотерме. Количество газа равно v = 1 моль.
2.1292. На р, V-диаграмме (см. рисунок) изображены гра-
графики двух циклических процессов, которые проводят с одно™
атомным газом: 1-2-3-1 и 1-3-4-1. У какого из циклов КПД
больше и во сколько раз?
Pi
2Ро
Ро
О
2
1
/
v, з
К задаче 2.129
Pi
3 Зр0
2Ро
4 Ро
Vq V О
1
}
К
6 J
5
3
4
Ъ Щ зг0 v
задаче 2.130
2.1302. Определите отношение щ/щ коэффициентов по™
лезного действия двух циклических процессов, проведенных с
90 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
идеальным одноатомным газом: 1-2-3-^-1 (первый процесс) и
5-6-1-^-5 (второй процесс). Графики процессов представлены
на рисунке.
2.1313. Один моль идеального газа, внутренняя энергия ко-
которого Ujj, = -RT, сначала нагревают, затем охлаждают так, что
замкнутый цикл 1-2-3-1 на р, У™диаграмме состоит из отрезков
прямых 1-2 и 3-1, параллельных осям Ор ш OV соответственно,
и изотермы 2-3. Найдите количество теплоты, отданное газом в
процессе охлаждения. Давление и объем газа в состоянии 1 рав™
ны pi и V\ соответственно, давление газа в состоянии 2 равно р2-
2.1322. Один моль идеального газа совершает замкнутый
цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. При изобар-
изобарном расширении объем увеличивается в два раза, при этом тем™
пература становится равной #2 = 800 °О. В конце изохорного
процесса температура составляет t% = 700 °С. Определите КПД
цикла, если молярные теплоемкости газа при постоянном дав™
лении и постоянном объеме равны Ср = 29 Дж/(моль-К), Cv =
= 21 ДжДмоль-К) соответственно.
2.1334. Тепловой двигатель мощности N работает по циклу,
состоящему из двух изохор и двух адиабат; минимальный объ™
ем идеального газа равен Ух, максимальный — V<i- Определите
расход М топлива с удельной теплотой сгорания q за время At
работы двигателя, если уравнение адиабаты для данного газа
может быть записано в виде ТУ1^1 = const, где 7 — известный
показатель адиабаты газа.
2.1344. Тепловой двигатель мощности N работает по цик-
циклу, состоящему из двух изобар и двух адиабат; максимальное и
минимальное давления газа в пределах цикла отличаются в п
раз. Определите расход М топлива с удельной теплотой сгора-
сгорания q за время At работы двигателя, если уравнение адиабаты
для данного газа может быть записано в виде Тр^1^1 = const,
где 7 — известный показатель адиабаты газа.
2.10. Уравнение теплового баланса
Во всех задачах этого раздела принимайте удельную тепло™
емкость воды равной св = 4,2 кДж/(кг-К), удельную теплоем-
теплоемкость льда сл = 2,1 кДж/(кг-К), удельную теплоту плавления
льда А = 0, 33 МДж/кг, удельную теплоту парообразования во™
ды г = 2, 3 МДж/кг.
2.1352. В сосуд, содержащий воду массы mi = 2 кг при тем™
пературе t\ = 5°О, положили кусок льда массы wi2 = 5 кг при
температуре t<i = ^40 °С. Найдите температуру и объем смеси
2.10 УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА 91
после установления равновесия. Плотность льда рл = 0, 916 х
х 103 кг/м3.
2.1362. В калориметр, где находятся тл = 100 г льда при
температуре t\ = 0°О, впускают водяной пар при температуре
#2 = 100°С. Какая масса воды т окажется в калориметре не-
непосредственно после того, как весь лед растает? Теплоемкость
калориметра считайте пренебрежимо малой.
2.1372. В калориметр, теплоемкость которого С =
= 209,4 Дж/К, содержащий т\ = 500 г воды при температуре
Т\ = 293 К, опускают rri2 = 100 г льда при температуре Г2 =
= 253 К. Определите установившуюся температуру Г.
2.1382. В калориметр, содержащий т\ = 250 г воды при
температуре t\ = 15 °С, бросили ГП2 = 20 г мокрого снега. Тем-
Температура в калориметре понизилась на At = 5°С. Какая масса
воды тв содержалась в снеге? Теплоемкость калориметра счи™
тайте пренебрежимо малой.
2.13Э2. В медный сосуд, нагретый до температуры t\ =
= 350 °С, положили mi = 600 г льда при температуре ?2 = — Ю °С.
В результате часть льда растаяла, масса оставшегося льда в со-
сосуде оказалась равной wi2 = 550 г. Найдите массу т сосуда, если
удельная теплоемкость меди равна с = 420 Дж/(кг-К).
2.1402. Некоторое количество воды медленно переохлажда-
переохлаждают, доведя температуру до t± = —10 °С. После этого вода быстро
замерзает (без дальнейшего отвода теплоты). Температура при
этом повышается до to = 0°С. Какая часть воды в конце этого
процесса обращается в лед?
2.1412. В колбе находится вода при t = 0°С. Выкачивая из
колбы воздух вместе с содержащимися в нем парами воды, воду
в колбе замораживают. Какая часть воды А при этом испаряет™
ся? Удельная теплота парообразования воды при t = 0°C равна
г = 2, 5 МДж/кг. Почему с повышением температуры удельная
теплота парообразования уменьшается?
2.1422. В кастрюлю налили холодной воды (температура
tB = 10°С) и поставили на плиту. Через время т\ = 10 мин вода
закипела. Через какое время т она полностью испарится?
2.1432. В ведре находится смесь воды со льдом массы М =
= 10 кг. Ведро внесли в комнату. Лед растаял за т\ = 50 мин,
а еще за Т2 = 10 мин вода в ведре нагрелась на At = 2°С.
Определите, какая масса льда m находилась в ведре, когда его
внесли в комнату. Теплоемкостью ведра пренебречь.
2.1442. В калориметре находится лед. Определите теплоем-
теплоемкость калориметра, если для нагревания его вместе с содержи-
содержимым от Т\ = 270 К до Г2 = 272 К требуется количество теплоты
Qi = 2,1 кДж, а от Т2 = 272 К до Т3 = 274 К — Q2 = 69, 7 кДж.
92 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.1452. Какую массу Ма аммиака, взятого при температуре
кипения ^2 — ^33,4° О, надо испарить и нагреть до Iq = 0°С
в холодильной машине, чтобы за счет поглощенного количества
теплоты получить т = 40 кг льда из воды, взятой при тем™
пературе t\ = 10 °С? Удельная теплота парообразования амми-
аммиака га = 1,37 МДж/кг, удельная теплоемкость аммиака са =
= 2,1 кДж/(кг-К).
2.11. Пары. Кипение
Во всех задачах этого раздела считайте атмосферное давле-
давление равным ро = 1? 013 • 105 Па.
Для определения давления насыщенных водяных паров
пользуйтесь таблицей, приведенной в следующем разделе.
2.1462. В закрытом сосуде находятся воздух и капля во-
воды массы т = 0,5 г. Объем сосуда V = 25 л, давление в нем
pi = 1,0 • 104 Па, температура Т = 300 К. Каким станет дав-
давление р в сосуде, когда капля испарится? Температура остается
неизменной.
2.1472. В откачанном герметически закрытом сосуде объема
V = 10 л находится открытая колбочка, содержащая m = 10
г воды. Сосуд прогревают при температуре t = 100 °С. Какая
масса воды Am испарится?
2.1482. В объеме V\ = 20 л содержатся насыщенные пары
воды при температуре t = 100 °С. Какую работу А А надо совер-
совершить, чтобы изотермическим сжатием уменьшить объем паров
до V2 = 10 л? Объемом воды, образовавшейся при конденсации,
пренебречь.
2.1492. Под колоколом насоса находится стакан, содержа-
содержащий воду массы m = 200 г. Насос откачивает воздух из™под
колокола со скоростью и = 50 л/мин. Через сколько времени
вся вода испарится, если установившаяся под колоколом темпе-
температура равна Т = 280 К?
2.1502. В запаянной трубке объема V = 0,40 л находится
водяной пар под давлением р = 8, 5 • 103 Па при температуре
Т = 423 К. Какое количество росы выпадет на стенках трубки
при охлаждении ее до температуры Т1 = 295 К?
2.1513. Сосуд объема V = 20 дм3 разделен тонкой подвиж™
ной перегородкой на две части. В левую часть помещена вода
(VB = 1 моль), в правую — азот (i/a = 0,5 моль). Температура
поддерживается равной Т = 373 К. Определите объем правой
части сосуда Vu.
2.1523. Сосуд объема V = 120 дм3 разделен тонкой по™
движной перегородкой на две части. В левую помещена вода
2.11 ПАРЫ. КИПЕНИЕ 93
(уъ = 2 моль), в правую — азот (Va = 1 моль). Температура под™
держивается равной Т = 373 К. Определите объем правой части
сосуда Vn.
2.1532. Под поршнем цилиндра объема V = 10 дм3 нахо-
находится га = 1,9 г газообразного аммиака. Цилиндр помещен в
термостат при температуре t = ^57 °С. Какая масса аммиака
Am сконденсируется при сжатии газа поршнем до объема V/2?
Давление насыщенного пара аммиака при t = ^57° О составля-
составляет р = 26, 7 кПа. Молярная масса газообразного аммиака /л =
= 17 г/моль.
2.1542. Под невесомым поршнем в цилиндре находится га =
= 1,0 кг воды при температуре t\ = 0°С. В воду опускают ку-
сок железа массы гпд = 1,0 кг, нагретый до температуры ti =
= 1100 °С. На какую высоту h поднимется поршень? Удельная
теплоемкость железа с = 0, 5 кДж/(кг-К). Площадь поршня S =
= 1000 см2. Теплоемкостью цилиндра и потерями тепла прене-
пренебречь.
2.1552. В цилиндре находятся га = 18 г воды при темпера™
туре t = 0 °С; поршень сечения S = 100 см2 и массы М = 100 кг
отделяет воду от атмосферы. Цилиндр нагревается до темпера™
туры t = 200 °С. На какую высоту h поднимется поршень?
2.1562. В вертикально расположенном цилиндре под неве™
сомым поршнем сечения S = 100 см2 находится га = 18 г на™
сыщенного водяного пара. В цилиндр впрыскивают М = 18 г
воды при температуре t = 0°С. На какую высоту Ah опустится
поршень?
2.1573. В вертикально расположенном цилиндре под порш-
поршнем массы М = 10 кг находится некоторое количество воздуха,
воды и водяного пара при температуре t = 100°С. В положе-
положении равновесия поршень находится на расстоянии h = 20 см от
дна цилиндра. Когда цилиндр расположили горизонтально, пор™
шень занял новое положение равновесия, сместившись на Ah =
= 3, 0 см от первоначального положения. Какая масса воды Am
была на дне сосуда? Площадь поршня S = 400 см2.
2.1583. В откачанный сосуд объема V = 1,0 дм3 ввели во-
водород до давления р\ = 266 гПа при температуре t = 20 °С. В
другой такой же сосуд ввели кислород до давления р2 = 133 гПа
при той же температуре. Оба сосуда соединили, и, после завер™
шения переходных процессов, гремучую смесь подожгли элек-
электрическим разрядом. Определите массу Am воды, сконденсиро-
сконденсировавшейся на стенках сосуда после его охлаждения до первона™
чальной температуры.
2.1593. Запаянный сосуд заполнен смесью водорода и кис-
кислорода при температуре Т\ = 300 К и давлении ро = 15 0 • 105 Па.
94 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
Парциальные давления компонентов смеси одинаковы. В сосуде
происходит взрыв. Определите давление р внутри сосуда после то-
того, как температура продуктов реакции станет равной Г2 = 373 К.
2.1603. Запаянный сосуд заполнен смесью водорода и кис-
кислорода при температуре Т\ = 300 К и давлении р0 = 1,0 МПа.
Парциальные давления компонентов смеси одинаковы. В сосуде
происходит взрыв. Определите давление р внутри сосуда после то-
того, как температура продуктов реакции станет равной Т2 = 373 К.
2.12. Влажность
Абсолютной влажностью называют давление р (плотность р)
водяного пара в атмосфере. Относительной влажностью называ-
называют отношение давления (плотности) водяного пара в атмосфере
к давлению (плотности) насыщенного водяного пара при данной
температуре:
/ = — • Ю0% = -?- • 100%.
Рн.п Рн.п
Нормальное атмосферное давление считайте равным ро =
= 760,0 мм рт.ст.= 1,013 • 105 Па; 1 мм рт. ст. = 133,3 Па.
Для определения давления насыщенных водяных паров
пользуйтесь приведенной ниже таблицей.
2.1612. Температура воздуха в комнате t\ = 20°С. Относи™
тельная влажность составляет / = 60 % . При какой температу-
ре #2 воздуха за окном начнут запотевать оконные стекла?
2.1622. Относительная влажность воздуха в помещении
объема V = 50 м3 при температуре t = 20 °О равна Д = 0,6.
Найдите изменение Am массы воды, содержащейся в воздухе
комнаты, если значение относительной влажности станет рав-
равным /2 = 0, 8.
2.1632. Температура воздуха t\ = 20°С, точка росы t^ =
= 8°О. Найдите абсолютную и относительную влажность воз-
воздуха р и /.
2.1642. Объем У\ = 1,0 м3 воздуха с относительной влаж-
влажностью /i = 20% смешали с объемом V~2 = 2,0 м3 воздуха с
относительной влажностью /2 = 30 % . Обе порции воздуха взя-
взяты при одинаковых температурах. Смесь занимает объем V =
= 3,0 м3. Определите ее влажность /, если температура смеси
не изменилась.
2.1652. В комнате объема V = 150 м3 температура поддер-
поддерживается равной Т\ = 293 К. Влажность воздуха такова, что
точка росы Т2 = 283 К. Определите относительную влажность
воздуха / и массу тп водяных паров, содержащихся в комнате.
2.12
ВЛАЖНОСТЬ
95
Таблица
Давление насыщенных водяных паров
при различных температурах
t,°c
-10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рн.п, ММ
рт. ст.
1,95
3,01
3,28
3,57
3,88
4,22
4,6
4,9
5,3
5,7
6,1
6,6
7,0
7,5
8,0
t,°C
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Рн.п, ММ
рт. ст.
8,6
9,2
9,8
10,5
11,2
12,0
12,8
13,6
14,5
15,5
16,5
17,5
18,7
19,8
21,1
t,°C
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
100
120
160
200
Рн.п, ММ
рт. ст.
22,4
23,8
25,2
26,7
28,4
30,0
31,8
55,3
92,5
149,4
355,1
760,0
1 489,0
4 636,0
11 661
2.16б2. В сосуд объема V = 10,0 дм3, наполненный сухим
воздухом при давлении ро — 1,0-105 Па и температуре to = 0 °С,
вводят т = 3, 0 г воды. Сосуд нагревают до температуры t =
= 100 °С. Каково давление р влажного воздуха в сосуде при этой
температуре?
2.1672. В комнате объема V = 50 м3 относительная в лаж:™
ность /i = 40 % . Если испарить т = 60 г воды, то относитель-
относительная влажность станет равной /2 = 50 % . Какой при этом станет
абсолютная влажность р!
2.1682. При понижении температуры воздуха в замкнутом
сосуде объема V = 1,0 м3 от t\ = 25°С до #2 = 11 °С сконден-
сконденсировалось т = 8, 4 г воды. Какова относительная влажность
воздуха /?
2.1692. В помещение нужно подать V = 2,0 • 104 м3 воз™
духа при температуре t\ = 18 °С и относительной влажности
Д = 50% , забирая его с улицы при температуре ?2 = 10 °С
и относительной влажности /2 = 60% . Какую массу воды т
нужно дополнительно испарить в подаваемый воздух?
96 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.1702. В цилиндре объема V\ = 10 дм3 под поршнем на™
ходится влажный воздух при температуре t = 20° С и давлении
р\ = 13,3 кПа. Относительная влажность воздуха / = 70%.
Каково будет давление р2 в цилиндре, если объем при той же
температуре уменьшить в п = 10 раз?
2.1712. В сосуде находится воздух, температура которого
Т\ = 283 К и относительная влажность / = 60 % . На сколько
изменятся относительная влажность воздуха и его давление, ее™
ли воздух нагреть до Г2 = 373 К и в п = 3 раза уменьшить его
объем? Начальное давление воздуха р\ = 3, 85 • 104 Па.
2.1722. В сосуде объема V = 10 дм3 находятся воздух и
m = 3, 5 г воды. При температуре to = 7°С, когда давление
насыщенного пара воды пренебрежимо мало, давление в сосу-
сосуде равно атмосферному (р® — 1,013 • 105 Па). Сосуд закрыт
клапаном площади S = 1 мм2, который удерживается пружи-
пружиной с силой F = 0,1 Н. Сосуд медленно нагревают. При какой
температуре Т откроется клапан, если известно, что к моменту
открытия клапана вся вода превращается в пар?
2.13. Деформации твердых тел. Тепловое расширение
Закон Гука: напряжение упруго деформированного тела пря-
прямо пропорционально его относительной деформации. Для де™
формации продольного растяжения (сжатия)
а = Ее,
F AL
где а = — — механическое напряжение; е = — — относительное
S Lq
удлинение; Е — модуль Юнга; F — проекция силы на направле-
направление, вдоль которого происходит растяжение; S — площадь по™
перечного сечения тела.
Потенциальная энергия сжатой (растянутой) пружины рав-
равна
U = ifc(ALJ,
где к — коэффициент упругости.
Увеличение линейного размера твердого тела при нагрева-
нагревании равно
AL =
где а — коэффициент линейного расширения.
Увеличение объема тела при нагревании равно
AV = /3F0AT,
где /3 — коэффициент объемного расширения] для твердых тел
2.13 ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ 97
2.1731. Каким должен быть диаметр d стержня крюка подъ-
емного крана, чтобы при подъеме с постоянной скоростью груза
весом Р = 25 кН возникающее напряжение не превышало а =
= 6, (МО7 Па?
2.1741. Каково напряжение а^ возникающее у основания
кирпичной стены высотой h = 20 м? Плотность кирпича р =
= 1,8-103 кг/м3.
2.1752. Два стержня одинакового материала и сечения име-
имеют различную длину [L^ < ^i). Определите, одинаково ли их
относительное удлинение е под действием одинаковых сил. К ка-
кому из стержней нужно приложить большую силу для получе-
получения одинакового абсолютного удлинения AL? Массой стержней
пренебречь.
2.1762. Как отличаются относительные удлинения двух
проволок из одного и того же материала при одинаковых на-
нагрузках, если длина и диаметр первой из них в два раза больше,
чем у второй? Как отличаются их абсолютные удлинения? Мас-
Массой проволок пренебречь.
2.1772. Какой запас прочности п = сгпред/(т имеет стальной
стержень сечением s = 3, 0 см2, к которому подвешен груз массы
т = 7, 5 т, если разрушающая нагрузка для данной марки стали
при растяжении равна апред = 6, 0 • 108 Па? Массу стержня не
учитывать.
2.1782. Какая пружина — стальная или медная — при упру-
упругой деформации под действием одинаковой деформирующей си-
силы приобретает большую потенциальную энергию? Внешне пру-
пружины абсолютно одинаковы. Массой пружин пренебречь. Мо-
Модуль упругости меди меньше, чем у стали: Ем < Ес.
2.1792. Какое количество теплоты Q израсходовано на на-
нагревание медного шара от to = 0°С, если его объем увеличился
на AV = 10 см3? Теплоемкость меди с = 3,8 • 102 Дж/(кг-К),
плотность меди при to = 0 °С равна р = 8, 9 • 103 кг/м3, коэффи-
коэффициент линейного расширения меди а = 1,7-10~5К~1.
2.1802. Стальной брус сечения S заделан между кирпич-
кирпичными стенками при температуре Tq. При какой температуре Т
сила, действующая на каждую стенку, не будет превышать F?
Модуль Юнга стали равен Е, коэффициент линейного расшире-
расширения стали а. Тепловое расширение кирпича не учитывать.
2.1812. Концы железного стержня, предварительно нагре-
нагретого до температуры Т\, прочно закреплены. Какое механиче-
механическое напряжение а возникает в стержне при его охлаждении до
температуры Г2? Модуль Юнга для железа равен Е, коэффици-
коэффициент теплового расширения а.
4 С.Н. Белолипецкий и др.
98 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.1822. Латунный стержень длины Lq = 1,5 м жестко
закреплен между двумя упорами. Температура стержня То =
= 273 К. С какой силой F он будет действовать на упоры, если
ему сообщили количество теплоты Q = 4,19 • 105 Дж? Удель-
Удельная теплоемкость латуни с = 380 Дж/кг-К, модуль Юнга Е =
= 1,1- 1011 Па, плотность (при Го = 273 К) р = 8, 5 • 103 кг/м3,
коэффициент линейного расширения а = 1,9-10~5К~1.
2.1832. Две линейки — одна медная, другая железная —
положены одна на другую так, что они совпадают только одним
концом. Определите длины L\ и L2 линеек при t = 0°С, зная,
что разность их длин при любой температуре составляет AL =
= 10 см. Коэффициент теплового расширения меди а± = 17 х
х 10^6 К^1, железа — а2 = 12 • 10^6 К^1.
2.1842. Толщина биметалллической пластинки, составлен-
составленной из одинаковых полосок стали и цинка, равна d = 0,1 см.
Определите радиус кривизны R пластинки при повышении тем™
пературы на At = 11 °С. Коэффициент линейного расширения
цинка аг = 25 • 10~6 К, стали а2 = 12 • 10~6 К™1.
2.1852. Между двумя стенками помещен стержень сечения
Sj состоящий из двух частей, имеющих коэффициенты линейно-
линейного расширения а± и а2 и модули Юнга Е\ и Е2 соответственно.
При температуре Т\ длины частей стержня одинаковы и равны
L/2, а торцы стержня лишь касаются стенок. С какой силой F
стержень будет давить на стенки, если его нагреть до темпера-
температуры Т21 Деформацией стенок пренебречь. На какое расстояние
AL сместится место стыка частей стержня?
2.1862. Нефть заполняет железную цистерну высоты Н =
= 6, 0 м и при температуре Tq = 273 К не доходит до краев
цистерны на h = 0, 20 м. При какой максимальной температу-
температуре Т может храниться нефть, чтобы она не переливалась через
край цистерны? Коэффициент линейного расширения железа
а = 1, 2 • 10^5 К^1, коэффициент объемного расширения нефти
/3 = 1,0«10^3 К^1.
2.1872. В колбе находятся вода массы тп\ = 0, 5 кг и ртуть
массы тп2 = 1 кг. Когда системе сообщили количество теплоты
Q = 90 кДж, из колбы вылилась вода массы Am = 3, 5 г. Най-
Найдите коэффициент объемного расширения ртути f32, если удель-
удельные теплоемкости воды и ртути равны с\ = 4,2 кДж/(кг-К) и
с2 = 140 Дж/(кг-К), плотности р\ = 1, 0 • 103 кг/м3 и р2 = 13, 6 х
х 103 кг/м3 соответственно, коэффициент объемного расшире-
расширения воды /?i = 1,5 • 10~4 К. Тепловым расширением колбы
пренебречь.
2.1882. Масса стеклянного тонкостенного сосуда m = 53 г.
Тот же сосуд, наполненный ртутью, при t = 0°C имеет массу
2.14 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 99
т\ = 1384 г. Когда этот сосуд нагрели до температуры #2 =
= 40 °С, часть ртути вытекла и масса сосуда с ртутью стала
равной wi2 = 1376 г. Каков коэффициент объемного расширения
стекла /Зст? Коэффициент объемного расширения ртути /Зрт =
= 1?8*1(Г4 К^1.
2.1893. Тонкий медный обруч вращается с угловой ско-
скоростью ш® вокруг оси, проходящей через его центр масс пер-
перпендикулярно плоскости обруча. Чему будет равна угловая ско-
скорость обруча, если его температура повысится на АГ? Коэффи-
Коэффициент линейного расширения меди равен а. Объясните, почему
нельзя считать неизменной кинетическую энергию обруча.
2.1903. Медный цилиндрический стержень длины Lq подве-
подвешен за один конец к потолку. Определите удлинение AL стерж™
ня под действием его собственного веса, если плотность р и мо-
модуль Юнга Е для меди считать известными.
2.1913. Медный брусок длины Lq и площади поперечно-
поперечного сечения S лежит на гладком столе. Если брусок тянуть за
один из концов с силой F, равномерно распределенной по сече™
нию торца, то его длина увеличится на AL. Определите из этих
условий модуль Юнга Е для меди.
2.14. Поверхностные мвленмм
Приращение свободной энергии поверхностного слоя жидко-
жидкости при увеличении ее поверхности равно
AU = a AS,
где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости (во™
обще говоря, зависящий от температуры), AS — приращение
площади поверхностного слоя.
Добавочное (капиллярное) давление в жидкости под произ-
произвольной искривленной поверхностью определено формулой Ла-
Лапласа
где R\ и Л2 — радиусы кривизны поверхности (для сферической
поверхности R\ = R2 = i2, для цилиндрической R± = I?, R2 =
= 00).
Во всех задачах этого раздела принимайте коэффициент по-
поверхностного натяжения чистой воды равным ств = 0, 073 Н/м,
плотность чистой воды рв = 1,0- 103 кг/м3.
2.1922. Мыльная вода вытекает из капилляра по каплям. В
момент отрыва диаметр шейки капли равен d = 1,0 мм. Мас-
Масса капли m = 0, 0129 г. Найдите коэффициент поверхностного
натяжения а.
100 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ГЛ. 2
2.1932. Найдите разность уровней жидкости в двух капил™
лярных трубках, опущенных в жидкость. Плотность жидкости
р = 0,80 г/см3, коэффициент поверхностного натяжения а =
= 22-Ю" Н/м, внутренние диаметры трубок равны d\ = 0, 04 см
и с?2 = 0,1 см.
2.1942. В двух капиллярных трубках разного диаметра, опу-
опущенных в воду, установилась разность уровней AhB = 2,6 см.
При опускании этих же трубок в спирт разность уровней ста-
стала равной Ahc = 1 см. Определите коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения спирта стс, если плотность спирта равна рс =
= 790 кг/м3.
2.1952. Определите разность уровней жидкости Ah в двух
опущенных в жидкость вертикальных капиллярах с радиусами
7*1 и f2, если известны плотность жидкости р, коэффициент ее
поверхностного натяжения а и краевой угол смачивания в, 0 ^
^в ^ 180 °С.
2.1963. Стеклянный стержень диаметра d\ вставили в стек™
лянную трубку диаметра внутреннего канала б?2 так? что оси
стержня и трубки совпадают. Затем полученный капилляр вер-
вертикально опустили в жидкость. Определите высоту h подъема
жидкости в капилляре, если известны плотность жидкости р,
коэффициент ее поверхностного натяжения а и краевой угол
смачивания 0, 0 ^ в ^ 180 °О; d2 - d\ < d\.
2.1973. Капиллярная трубка представляет собой конус, об-
образующая которого составляет с осью конуса малый угол а.
Радиусы большего и меньшего отверстий капиллярной трубки
равны R и г соответственно. В первом случае трубка касается
воды большим, во второй раз — меньшим отверстием. На какие
высоты Huh поднимется вода в капилляре? Вода полностью
смачивает поверхность капилляра. Ось трубки вертикальна.
2.1983. Вертикальную капиллярную трубку внутреннего ра-
радиуса г опускают нижним концом в жидкость с коэффициентом
поверхностного натяжения а и плотностью р. Жидкость полно-
полностью смачивает поверхность капилляра. Какое количество теп™
лоты Q выделится при подъеме жидкости?
2.1993. На какую высоту h поднимется вода между па™
раллельными пластинками, находящимися на расстоянии L =
= 0, 20 мм друг от друга?
2.2002. Конец стеклянной трубки радиуса г = 0, 050 см опу-
опущен в воду на глубину h = 2, 0 см. Какое давление р дополни-
дополнительно к атмосферному необходимо создать, чтобы выдуть пу-
пузырек воздуха через нижний конец трубки?
2.2012. Под каким давлением р находится воздух внутри
мыльного пузырька диаметра d = 4, 0 мм? Атмосферное давле-
2.14
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
101
ние ро = I? 013-105 Па, коэффициент поверхностного натяжения
мыльного раствора а = 0, 04 Н/м. Чему равно добавочное дав-
давление Ар?
2.2023. Капля ртути массы то = 1,0 г находится между
двумя параллельными стеклянными пластинками. Какую силу
F надо приложить к верхней пластинке в направлении норма-
нормали к ее поверхности, чтобы капля ртути приняла форму диска
радиуса г = 5,0 см? Считать, что ртуть совершенно не сма-
смачивает стекло. Коэффициент поверхностного натяжения ртути
а = 0, 47 Н/м, плотность ртути р = 13, 6 • 103 кг/м3.
2.2033. Капля воды массы т = 0,1 г находится между дву-
двумя параллельными стеклянными пластинками, находящимися
на расстоянии d = 1,0 мкм друг от друга. Мокрое пятно име™
ет круглую форму. Какую силу F надо приложить к верхней
пластинке в направлении нормали к ее поверхности, чтобы ото™
рвать пластинки одну от другой? Считать, что вода полностью
смачивает стекло.
2.2043. Оцените, сколько воды можно унести в реше-
решете. Ячейка решета представляет собой квадратик площади
5 = 1x1 мм2, площадь решета S = 0,1 м2. Решето водой не
смачивается.
2.2053. В одну большую каплю слились п = 8 капель ртути
диаметром dg = 1 мм каждая. Какое количество теплоты AQ
при этом выделится? Коэффициент поверхностного натяжения
ртути а = 0,47 Н/м.
2.2062. Какую работу А против сил поверхностного натяже-
ния нужно совершить, чтобы в п раз увеличить объем мыльно-
мыльного пузыря радиуса г? Коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения мыльной воды равен а.
2.2072. Капиллярную трубку опустили в со-
сосуд с водой, а затем на поверхность воды нали-
налили масла (см. рисунок). Какова толщина h слоя
масла, если известно, что его уровень совпадает
с уровнем воды в трубке? Плотность масла рав-
равна рш = 0,90 г/см3. Радиус трубки г = 1,0 мм.
Вода полностью смачивает трубку.
2.2083. Петлю из резинового шнура длины
Lq и поперечного сечения S положили на плен™
ку жидкости. Пленку прокололи внутри петли,
в результате чего она растянулась в окружность
радиуса R. Полагая, что при малых растяжени-
растяжениях для резины справедлив закон Гука и модуль
К задаче 2.207
Юнга (модуль упругости) для резины равен Е, определите ко-
коэффициент поверхностного натяжения а жидкости.
ГЛАВА 3
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
3.1. Закон Кулона
Сила электростатического взаимодействия точечных заря-
зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произве-
произведению qiq2 этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату
расстояния г между зарядами и направлена вдоль соединяющей
их прямой (закон Кулона):
'v r2 '
Между разноименными зарядами действуют силы притяже-
притяжения, между одноименными — силы отталкивания.
В СИ коэффициент пропорциональности в законе Кулона
к =
8 ЦЦ Щ
Кл
3.11. Найдите силу F, с которой взаимодействуют два то™
чечных заряда величины q = 1,0 Кл каждый, находящиеся на
расстоянии г = 1, 0 км друг от друга.
3.21. Предполагая, что электрон в атоме водорода движется
по круговой орбите радиуса го = 0, 53 • 10~10 м, определите силу
взаимодействия F между протоном и электроном, скорость v
движения электрона по орбите и время Г, в течение которого
электрон совершает один оборот вокруг протона.
З.З1. Во сколько раз сила ,РЭЛ электростатического отталки-
отталкивания двух электронов превышает силу Frp их гравитационного
притяжения?
3.41. Два шарика, имеющие одинаковые массы т = 0,1 г
и одинаковые отрицательные заряды, в состоянии невесомости
находятся в равновесии на любом расстоянии друг от друга, за-
заметно превосходящем их размеры. Определите число N избы™
точных электронов на каждом шарике. Определите отношение
массы Am избыточных электронов к массе т шарика.
3.1 ЗАКОН КУЛОНА 103
3.52. Два точечных заряда q и 4д находятся на расстоянии
L друг от друга. Какой заряд Q и на каком расстоянии х от
первого заряда нужно поместить, чтобы вся система находилась
в равновесии? Является ли такое равновесие устойчивым?
3.62. Четыре одинаковых заряда q размещены в вершинах
квадрата. Какой заряд Q следует поместить в центр квадрата,
чтобы система находилась в равновесии?
3.72. Три положительных заряда gi, q<i и дз расположены
на одной прямой, причем заряд q^ связан одинаковыми нитями
длины L с зарядами q\ и q%. Определите силы натяжения Т
нитей.
3.82. Четыре заряда q,Q,q,Q связаны пятью нитями дли™
ны L, как показано на рисунке. Определите натяжение Т нити,
связывающей заряды Q, считая, что Q > q.
З.Э2. Два одинаковых заряженных шарика массы m каж-
каждый, подвенхенных в одной точке на нитях длины L, разошлись
так, что угол между нитями стал прямым (см. рисунок). Опре-
Определите заряд q шариков.
К задаче 3.8 К задаче 3.9
3.102. На нити подвешен шарик массы m = 9, 8 г, которому
сообщили заряд q = 1 мкКл. Когда к нему поднесли снизу заря-
заряженный таким же зарядом шарик, сила натяжения нити умень-
уменьшилась вп = 4 раза. Определите расстояние г между центрами
шариков.
3.112. Два заряженных шарика соединены нитью длины
L = 10 см. Отношение масс шариков mi/rri2 = 2, заряды одина-
одинаковы по величине \q\ = 10~7 Кл, но противоположны по знаку.
Какую внешнюю силу F надо приложить к шарику массы mi,
чтобы в процессе движения нить была натянута?
3.123. По тонкому проволочному кольцу радиуса R рав-
равномерно распределен электрический заряд q. В центре кольца
расположен одноименный с q точечный заряд Q, причем Q^> q.
Определите силу Т натяжения проволоки, из которой изготов™
лено кольцо.
104 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
3.134. Внутри гладкой сферы диаметра d находится ма-
маленький заряженный шарик массы т. Какой величины заряд
Q нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы ша-
шарик удерживался в ее верхней точке? Заряд шарика q.
3.2. Напряженность электрического полм. Принцип
суперпозиции полей
Вектор напряженности электрического поля, являющийся
его силовой характеристикой, равен отношению силы F, дей-
действующей со стороны электрического поля на точечный проб™
ный заряд д, помещенный в рассматриваемую точку поля, к ве-
величине q этого заряда:
Е=*
Q
Напряженность электростатического поля, создаваемого в
вакууме точечным зарядом д, равна
где г — радиус-вектор, соединяющий заряд q с точкой, где опре™
деляется напряженность поля.
Принцип суперпозиции электрических полей (принцип не-
независимости действия электрических полей): напряженность
электрического поля, созданного несколькими источниками,
равна геометрической сумме напряженностей полей, созданных
каждым из источников в отдельности.
3.141. Два одинаковых по величине заряда находятся на
некотором расстоянии друг от друга. В каком случае напряжен-
напряженность поля в точке, расположенной на половине расстояния меж™
ду ними, больше: когда заряды одноименные или разноименные?
3.151. Изобразите картину силовых линий электрического
поля, созданного двумя точечными зарядами: a) +q и +д; б) +q
и ~Ч\ в) +Q и +2^5 г) +Q и ^2g (q > 0).
3.161. Расстояние между точечными зарядами q и nq (n =
= 9) составляет L = 8 см. На каком расстоянии х от первого
заряда находится точка, в которой напряженность поля равна
нулю?
3.171. В трех вершинах квадрата со стороной а = 40 см на-
находятся одинаковые положительные заряды q = 5 нКл каждый.
Найдите напряженность поля Е в четвертой вершине квадрата.
3.181. В вершинах квадрата ABCD^ сторона которого равна
а, находятся заряды qA = q, qs = —q, qc = ^2g, qD = 2q.
Найдите напряж:енность поля Е в центре квадрата.
3.3 ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 105
3.191. В вершинах равностороннего треугольника ABC со
стороной а находятся заряды q^ = g, qs = ^2g, qc = ^2g.
Найдите напряженность поля Е в центре О треугольника.
3.201. Найдите напряженность электрического поля Е в
точке, находящейся посередине между точечными зарядами
q1 = 8 нКл и ^2 — ^6 нКл. Расстояние между зарядами рав-
но г = 10 см.
3.212. Напряженность электрического поля, созданного то-
точечным зарядом д, в точках А ш В равна соответственно Еа =
= 36 В/м и Ев = 9 В/м. Определите напряженность электри-
электрического поля в точке О, лежащей посередине между точками А
и В (см. рисунок).
3.222. Напряженность электрического поля, созданного то-
точечным зарядом д, в точках А и В равна соответственно Еа =
= 0,2 кВ/м и Ев — 0,1 кВ/м. Определите напряженность элек-
электрического поля в точке С (см. рисунок).
К задаче 3.21
К задаче 3.22
3.232. В однородном электрическом поле с вектором на-
напряженности Е, направленным вертикально вниз, равномерно
вращается шарик массы т с положительным зарядом д, подве-
подвешенный на нити длины L. Угол отклонения нити от вертикали
равен а. Определите силу натяжения нити Т и кинетическую
энергию К шарика.
3.242. По кольцу радиуса R равномерно распределен за-
заряд Q. Определите напряженность электрического поля в цен-
центре кольца, а также в точке, находящейся на расстоянии h от
центра кольца на прямой, проходящей через центр кольца и пер-
перпендикулярной к его плоскости.
3.253. Имеются два точечных заряженных тела с зарядами
—q и +Q и массами m ж М соответственно. На каком расстоя-
расстоянии d друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы
во внешнем однородном электрическом поле с напряженностью
Е, направленной вдоль прямой, проходящей через заряды, они
ускорялись как одно целое (т.е. не изменяя взаимного располо-
расположения)?
106 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
3.3. Поток вектора напряженности электрического
поля. Теорема Гаусса—Остроградского
Поток вектора напряженности ДФ^ однородного электриче-
электрического поля сквозь плоский участок поверхности, выделенной в
поле, определен соотношением
ДФ^ = Е • AS = EAScosip = EnAS = EAS±.
Здесь Е — вектор напряженности электрического поля в точ™
ках площадки AS; <р — угол, который составляет вектор Е с
единичным вектором п; нормальным к площадке AS; En =
= Е cos ip — проекция вектора Е на направление n, AS± =
= AS cos <р — площадь проекции площадки AS на плоскость,
перпендикулярную вектору Е.
Теорема Гаусса-Остроградского: поток вектора напряженно-
напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную
замкнутую поверхность, проведенную в поле, пропорционален
алгебраической сумме ХдВНутр электрических зарядов, заклк>
ченных внутри этой поверхности:
= ^ /С
при вычислении Ф^; векторы нормали к поверхности считаются
направленными наружу (так называемая внешняя нормаль).
3.2б1. Напряженность однородного электрического поля
равна Е. Чему равен поток вектора напряженности электриче-
электрического поля Ф^ через квадрат со стороной L, плоскость которого
расположена под углом а = 30° к направлению электрического
поля?
3.272. Определите зависимость модуля напряженности
электрического поля Е, создаваемого заряженной сферой ра™
диуса I?, от расстояния г до ее центра. Полный заряд Q сферы
равномерно распределен по ее поверхности.
3.282. Определите зависимость модуля напряженности
электрического поля Е, создаваемого бесконечно длинной пря-
прямой нитью, равномерно заряженной по длине, от расстояния г
до нити. Заряд единицы длины нити равен р.
3.292. Определите зависимость напряженности электриче-
электрического поля Е, создаваемого бесконечной заряженной плоско™
стью, от расстояния х до плоскости. Поверхностная плотность
заряда плоскости равна а.
3.302. Определите напряженность Е электрического поля,
созданного равномерно заряженным шаром радиуса Д, на рас™
стоянии г от его центра, если объемная плотность заряда равна
р; изобразите график зависимости Е(г).
3.3 ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 107
3.312. Определите напряженность Е электрического поля,
созданного равномерно заряженным бесконечно длинным ци-
линдром радиуса Д, на расстоянии г от оси цилиндра. Объемная
плотность заряда внутри цилиндра равна р. Изобразите график
зависимости Е(г).
3.322. Определите напряженность Е электрического поля,
созданного равномерно заряженной бесконечной пластиной тол-
толщины hj на расстоянии х от средней плоскости пластины. Объ-
Объемная плотность заряда внутри пластины равна р. Изобразите
график зависимости Е(х).
З.ЗЗ3. При значении напряженности электрического поля
Е$ = 3 • 106 В/м воздух перестает быть надежным изолятором и
в нем происходит искровой разряд. Каким должен быть радиус
шара R, чтобы на нем мог удержаться заряд Q = 1 К л?
3.343. Две пересекающиеся под углом а бесконечные плос™
кости делят пространство на четыре области (см. рисунок).
Определите модуль напряженности электрического поля Е в
областях 1 и 5, если плоскости разноименно заряжены с оди-
одинаковой по модулю поверхностной плотностью (\<J\\ =
+ р
1
h
h
К задаче 3.34
К задаче 3.35
3.353. Две бесконечные пластины толщины h заряжены рав™
номерно по объему и сложены вместе (см. рисунок). Объемная
плотность заряда первой пластины равна р, второй —р. Найди™
те максимальное значение напряженности электрического по™
3.363. В равномерно заряженной бесконечной пластине вы™
резали сферическую полость так, как показано на рисунке. Тол-
Толщина пластины /г, объемная плотность заряда р. Определите
модуль напряженности электрического поля Е в точках i и В,
а также исследуйте зависимость Е вдоль прямой О А от расстоя-
расстояния х до точки О.
3.374. В равномерно заряженном шаре радиуса R вырезали
сферическую полость радиуса г, центр О\ которой находится
на расстоянии L от центра шара О (см. рисунок). Объемная
108
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
плотность заряда равна р. Найдите зависимость напряженности
электрического поля Е вдоль прямой ОО\ от расстояния х до
центра шара О. Докажите, что электрическое поле в полости
однородно.
К задаче 3.36
К задаче 3.37
3.383. Две плоские вертикальные пластины площади S каж-
каждая находятся на расстоянии d друг от друга, малом по сравне™
нию с их размерами. Заряд одной из пластин равен +д, заряд
другой +3д. Определите силу F взаимодействия между пласти™
нами.
З.ЗЭ3. Вертикальная непроводящая пластина больших раз™
меров равномерно заряжена с поверхностной плотностью а =
= 3, 0 • 10"~6 Кл/м. На прикрепленной к пластине нити подвешен
маленький шарик массы т = 2 г, несущий заряд q того же зна-
знака, что и заряд пластины. Определите величину заряда q, если
нить подвеса образует с вертикалью угол а = 45°.
3.4. Работа сил электростатического полм. Потенциал
Работа А А, совершаемая кулоновскими силами при переме™
щении Аг точечного заряда q в однородном электростатическом
поле, равна
АА = F • Аг = qE • Аг.
Работа АЛ, совершаемая силами электростатического взаи-
взаимодействия при перемещении точечного заряда q в электроста-
электростатическом поле, равна уменьшению потенциальной энергии вза-
взаимодействия W этого заряда с полем:
АА = -AW = WHa4 - WKOH.
Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q\ и ^2? на™
ходящихся в вакууме на расстоянии г один от другого, равна
1
W = к
в СИ к =
3.4 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 109
Энергия взаимодействия в вакууме системы N точечных за™
рядов равна
N N N N-1
1
^11 ^тп п 1 ^тп
п=1 т=1 п=2 т=1
тфп т<п
Потенциалом электростатического поля называют физи-
физическую величину (fj равную отношению потенциалвной энергии
W взаимодействия пробного точечного электрического заряда,
помещенного в рассматриваемую точку, с электростатическим
полем, к величине q этого заряда:
W
ч> = — •
Q
Потенциал электростатического поля, созданного в вакууме
точечным зарядом д, на расстоянии г от него равен
; ^
= fc-; в
СИ к=
; в СИ к.
Г 47T?q
При наложении электрических полей их потенциалы скла™
двшаются алгебраически.
Работа АЛ, совершаемая силами электростатического взаи-
взаимодействия при перемещении точечного заряда q в электроста-
электростатическом поле, равна
А А = -AW = -qA(p =
3.401. Два одинаковых точечных заряда величины q =
= 10^6 Кл казсдый находятся на расстоянии г\ = 50 см друг
от друга. Какую работу А надо совершитв, чтобы сблизить их
до расстояния г2 = 5 см?
3.411. Точечные заряды +g, ^2g, +3g расположены в вер-
вершинах правильного треугольника со стороной а. Какова потен™
циальная энергия W этой системы?
3.421. Два одноименных точечных заряда q± = 20 нКл и
q2 = 5 нКл находятся на расстоянии г = 0,5 см друг от друга.
Какую работу А должны совершить силы электростатического
взаимодействия при увеличении расстояния между зарядами в
п = 5 раз?
3.431. Неподвижный точечный заряд Q создает в некоторой
точке А электрическое поле напряженности Еа, а в точке В —
электрическое поле напряженности Ев- Определите работу А,
необходимую для перемещения заряда q из точки А в точку В.
3.442. Два разноименных точечных заряда, одинаковых по
абсолютной величине, находятся на расстоянии L = 30 см друг
110 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
от друга. В точках, находящихся на таком же расстоянии от обо™
их зарядов, напряженность электрического поля Е = 100 В/м.
Определите потенциал поля ip в точке, расположенной между
зарядами на расстоянии L/3 от положительного заряда.
3.452. По кольцу радиуса R равномерно распределен заряд
Q. Определите потенциал электрического поля (р в центре коль-
кольца, а также в точке, находящейся на расстоянии h от центра
кольца по перпендикуляру к его плоскости.
3.462. Два параллельных тонких кольца радиуса R каждое
имеют общую ось. Расстояние между их центрами d. Определи-
Определите работу Д совершаемую силами электростатического взаимо-
действия при перемещении заряда q из центра первого кольца в
центр второго, если по первому кольцу равномерно распределен
заряд gi, а по второму — заряд д2-
3.472. Множество зарядов трех значений q\ = 10~9 Кл, #2 —
= — 2gi, q% = 3^i распределены по окружности так, что все оди-
одинаковые заряды рассредоточены равномерно через равный уг-
ловой интервал. Определите напряженность и потенциал в цен-
центре окружности, если работа по удалению пробного заряда q =
= 0, Olgi из центра окружности на бесконечно большое расстоя-
расстояние от нее равна А = 10^9 Дж. Изменение кинетической энергии
пробного заряда пренебрежимо мало.
3.483. Три концентрические сферы радиусов 1?, 2R и 31?
имеют заряды +g, +2д и ^Зд соответственно. Определите по™
тенциалы (р сфер. Постройте график зависимости потенциала
(р(г) от расстояния г до центра сфер.
3.4Э3. Две концентрические сферы радиусов R и 21? заря-
заряжены равномерно по поверхности зарядами q\ = 0,1 мкКл и
qi = 0, 2 мкКл соответственно. В точке, находящейся на оди-
одинаковом расстоянии от обеих сфер, потенциал электрического
поля (р = 3 кВ. Определите величину 1?.
3.504. Две большие тонкие параллельные пластины равно-
равномерно заряжены с поверхностной плотностью а и —За соответ-
соответственно. Расстояние между пластинами d. Определите напря-
напряженность поля Е\ между пластинами и Е2 вне пластин, а также
разность потенциалов А(р = (pi — (fi2 между пластинами. По-
Постройте график изменения напряженности и потенциала элек-
электрического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
3.513. Электрический диполь из двух жестко связанных то-
точечных зарядов +q и — д, расположенных на расстоянии d друг
от друга, находится в положении устойчивого равновесия в од-
однородном электрическом поле, напряженность которого равна
Е. Какую работу А нужно совершить, чтобы повернуть диполь
на угол а = 180°?
3.4 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 111
3.522. Шар радиуса г, имеющий плотность pi, помещен в
жидкий диэлектрик с плотностью р2- Определите заряд шара
Qj если в однородном электрическом поле, направленном верти™
кально вверх, шар оказался взвешенным в жидкости. Электри™
ческое поле создается двумя параллельными пластинами, рас-
расстояние между которыми d, а разность потенциалов А(р.
3.532. Электрон движется по направлению силовых линий
однородного электрического поля, напряженность которого Е =
= 120 В/м. Какое расстояние х он пролетит до полной останов™
ки, если начальная скорость электрона v = 106 м/с? В течение
какого времени т он будет двигаться до полной остановки?
3.543. В пространство, где одновременно действуют гори-
горизонтальное и вертикальное электрические поля с напряженно-
напряженностью Ех = 400 В/м и Еу = 300 В/м соответственно, вдоль на-
направления силовой линии результирующего электрического по-
поля влетает электрон, скорость которого на отрезке пути L =
= 2,7 мм уменьшается в п = 2 раза, не изменяя направления.
Определите скорость электрона v в конце пути.
3.551. Шарик массы т, несущий заряд д, перемещается из
точки 1, потенциал которой равен cpJ в точку JJ, потенциал кото™
рой равен нулю. Определите скорость v\ шарика в точке 1, если
в точке 2 она стала равной V2-
3.562. Три электрона, первоначально покоившиеся в верши-
вершинах равностороннего треугольника со стороной г, движутся под
действием сил электростатического отталкивания. Какова будет
их скорость Vj когда расстояние между ними станет бесконечно
большим?
3.573. Два протона и два позитрона, первоначально покоив™
шиеся в вершинах квадрата ABCD, разлетаются под действи™
ем сил электростатического отталкивания. Отношение их масс
М/т = 2000, а заряды одинаковы. Найдите отношение скоро™
стей V/v протонов и позитронов, когда расстояние между ними
станет бесконечно большим, считая что первоначально протоны
находились в вершинах А и G, а позитроны — в вершинах В
и D.
3.583. Найдите минимальную кинетическую энергию а-
частиц, способных издалека сблизиться с первоначально поко™
ившимся ядром азота до расстояния гд = 5, 0 • 10~15м. Относи-
Относительные массы атомов гелия Але = 4, азота А^ = 14 (а-частицы
представляют собой двукратно ионизованные атомы гелия).
3.593. Два электрона находятся на бесконечно большом рас-
расстоянии друг от друга, причем один из них покоится, а другой
движется со скоростью v по направлению к первому. Определи™
те наименьшее расстояние го, на которое они сблизятся.
112
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.603. По тонкому кольцу массы М и радиуса R равно™
мерно распределен заряд +Q. С какой скоростью v точечная
частица массы га и заряда —q, первоначально покоившаяся на
бесконечно большом расстоянии от кольца, пролетит через его
центр, если кольцо: а) закреплено? б) свободно? Частица дви-
движется по перпендикуляру к плоскости кольца, проходящему че-
рез его центр.
3.613. По тонкому кольцу массы М и радиуса R равномерно
распределен заряд Q. Какую минимальную скорость v должна
иметь точечная частица массы га и одноименного заряда q на
бесконечно большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь че-
рез его центр, если кольцо: а) закреплено? б) свободно? Частица
движется по перпендикуляру к плоскости кольца, проходящему
через его центр.
3.623. Четыре точечных положительных заряда Q раепо-
ложены в вершинах жестко закрепленной квадратной рамки со
стороной а. Частица массы га, имеющая положительный заряд
д, движется вдоль оси, перпендикулярной плоскости рамки и
проходящей через центр квадрата О. На расстоянии, многократ-
многократно превышающем а, скорость частицы равна vq. Определите ско-
рость v частицы при подлете к рамке на расстоянии z от цен-
центра О. Какую минимальную скорость vMHH должна иметь части-
частица на бесконечно большом расстоянии от рамки, чтобы проле-
пролететь сквозь нее?
3.633. Шарик массы га = 2 г, имеющий положительный
заряд д, начинает скользить без начальной скорости из точки А
по гладкой сферической поверхности ра-
радиуса R = 10 см. Ниже сферической по-
поверхности, точно под ее центром, рас-
расположен точечный отрицательный заряд
—Q (см. рисунок). Потенциальная энер-
энергия взаимодействия зарядов в началь-
начальный момент времени равна Wa ^ -2 х
х 10~3 Дж. Определите потенциальную
энергию Wb взаимодействия зарядов,
когда заряд q находится в точке В, если
в этом случае результирующая сил ре-
реакции со стороны сферической поверх-
поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенных к шарику,
F = 0,1 Н. Радиус шарика г <С R.
3.643. В однородное горизонтальное электростатическое по-
поле напряженности Е = 103 В/м помещена система, состоящая
из двух одинаковых, противоположно заряженных шариков, со-
соединенных тонким изолирующим стержнем длины L = 0,1 м.
Система может только вращаться в горизонтальной плоскости
К задаче 3.63
3.5 ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ 113
вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня.
Масса и модуль заряда каждого шарика соответственно равны
га=5гид=1 мкКл. Система кратковременным воздействие
ем выводится из состояния устойчивого равновесия и приводит-
приводится во вращательное движение с начальной угловой скоростью
ш® = 2с^1. Определите максимальный угол поворота скМакс этой
системы. Массой стержня пренебречь. Шарики рассматривают-
рассматриваются как материальные точки.
3.653. По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол
а с горизонтом, с высоты h соскальзывает небольшое тело мае™
сы га, имеющее отрицательный
заряд —q. В точке пересече™
ния вертикали, проведенной че-
рез начальное положение тела,
с основанием, закреплен заряд
+q (см. рисунок). Определите
скорость v, с которой тело до-
достигнет основания наклонной
плоскости. Начальная скорость к за аче 3 б5
тела равна нулю.
3.6б3. В однородном электрическом поле напряженности Е,
направление силовых линий которого совпадает с направлени-
направлением силы тяжести, на нити длины L вокруг вертикальной оси
вращается шарик массы га, имеющий положительный заряд q.
Определите работу Д которую нужно произвести для разгона
шарика из состояния покоя до угловой скорости ш.
3.673. Два небольших одинаково заряженных тела удержи-
удерживаются на изолирующей горизонтальной гладкой поверхности
на расстоянии г = 10 см друг от друга. Сначала отпускают одно
из них, а затем, когда расстояние между телами увеличится в
п = 3 раза, и другое. Определите скорости тел, когда они разле-
разлетятся на большое расстояние. Заряд каждого тела q = 1СР6 Кл,
масса га = 1 г.
3.5. Проводники и диэлектрики в электростатическом
поле
В случае изотропного однородного диэлектрика проницаемо-
проницаемостью 6 , заполняющего все пространство между эквипотенциаль-
эквипотенциальными поверхностями,
где Eg — напряженность поля, созданного теми же источниками
в отсутствие диэлектрика.
114 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
3.683. Две одинаковые металлические пластины небольшой
толщины сблизили на расстояние, значительно меньшее их ли-
линейных размеров, расположив их параллельно друг другу. Од™
ной из пластин сообщили заряд д, другой — заряд Зд. Определи™
те заряд на четырех поверхностях пластин. Изобразите картину
силовых линий электрического поля, созданного пластинами.
3.6Э3. Металлический заряженный шар радиуса R\ окружен
концентрической проводящей сферической оболочкой, внутрен-
внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно i?2 и R%.
Заряд шара равен Q, оболочка не заряжена. Получите выраже-
ния для зависимостей напряженности электрического поля Е и
потенциала (р от расстояния г до центра шара и постройте гра™
фики Е(г) и (р(г).
3.703. Сфера радиуса г, которой сообщен заряд д, окру™
жена концентрической тонкостенной проводящей сферической
оболочкой радиуса R, заряд которой равен Q. Определите по™
тенциалы сфер (рвшутр и ^внеш.
3.713. Металлический шар радиуса i?i, заряженный до по-
потенциала ср, окружают тонкой сферической проводящей оболоч-
оболочкой радиуса i?2- Определите потенциал шара (р± после того, как
он будет соединен проводником с оболочкой. Первоначальный
заряд оболочки равен нулю, центры оболочки и шара совпада™
ют.
3.722. Проводящие сферы радиусов i?i = 15 мм и i?2 =
= 45 мм, находящиеся одна от другой на расстоянии, много-
многократно превышающем их размеры, заряжены до потенциалов
(pi = 90 В и (f2 = 20 В соответственно. Определите потенциал ср
сфер после того, как они будут соединены тонкой проволочкой.
Какой заряд див каком направлении протечет по проволоке?
3.733. Металлический шар радиуса i?i, заряженный до по™
тенциала (р, окружают концентрической сферической проводя-
проводящей оболочкой радиуса i?2- Чему станет равен потенциал шара
tp\ если заземлить оболочку?
3.742. N одинаковых капелек ртути заряжены до одного
и того же потенциала щ. Каков будет потенциал (р большой
капли, образовавшейся в результате слияния этих капелек?
3.753. Два проводящих шара радиуса I?, несущих заряд q
каждый, находятся на расстоянии г один от другого (г ^> R).
Шары поочередно на некоторое время заземляют. Определите
потенциалы ip\ и 9925 а также заряды q\ и д2 шаров, заземленных
первым и вторым соответственно, в конце процесса.
3.763. На расстоянии г от центра незаряженного металличе-
металлического шара находится точечный заряд д. Определите потенциал
шара (р.
3.5 ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ 115
3.772. Небольшой шарик висит над горизонтальной прово-
дящей плоскостью на вертикальной изолирующей упругой нити
жесткости к. После того как шарик зарядили, он сместился на
расстояние ж, и расстояние между шариком и плоскостью стало
равным L. Определите заряд q шарика.
3.782. Точечный заряд q = 100 мкКл находится на расстоя-
расстоянии L = 1, 5 см от проводящей плоскости. Какую работу А нуж-
нужно совершить против сил электростатического взаимодействия,
чтобы медленно удалить этот заряд на бесконечно большое рас-
расстояние от плоскости?
3.7Э2. Два точечных заряда, q и —q, расположены на рас-
расстоянии L друг от друга и на одинаковом расстоянии L/2 от
проводящей плоскости с одной стороны от нее.
Определите модуль F силы, действующей на
каждый заряд.
3.802. Найдите натяжение Т нити, соеди-
соединяющей одинаковые шарики радиуса г и массы
m каждый, в центре которых находятся оди-
одинаковые заряды Q. Один из шариков плавает
на поверхности жидкости с плотностью р и ди-
диэлектрической проницаемостью е, второй ша-
шарик висит на нити внутри жидкости (см. рису-
\ т» v r К задаче 3.80
нок). Расстояние между центрами шариков L.
3.811. Два точечных заряда, находясь в воздухе на рас-
расстоянии го — 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой
силой F. На каком расстоянии г друг от друга нужно поместить
эти заряды в масле с диэлектрической проницаемостью е = 5,
чтобы они взаимодействовали с той же силой?
3.822. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях оди-
одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плот-
плотность материала шариков р, чтобы угол расхождения нитей в
воздухе и керосине был одинаков? Массы шариков равны. Ди-
Диэлектрическая проницаемость керосина е = 2, плотность керо-
керосина ро = 800 кг/м3.
3.832. Две металлические пластины, имеющие заряды q\ и
cj2? расположены параллельно одна другой на расстоянии d. Про-
Пространство между пластинами заполнено диэлектриком с прони-
проницаемостью е. Площадь пластин S. Определите разность потен-
потенциалов Аср между пластинами.
3.843. Металлический заряженный шар радиуса R\ поме-
помещен в центре диэлектрической сферической оболочки, внутрен-
внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно i?2 и Лз,
а относительная диэлектрическая проницаемость е. Заряд шара
равен д, оболочка не заряжена. Получите выражения для зави-
116 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
симости напряженности поля Е и потенциала (р от расстояния
г до центра шара и постройте графики Е(г) и <р(г).
3.6. Электрическая емкость проводника. Конденсаторы
Емкостью уединенного проводника называют физическую
величину, определенную соотношением
где q — заряд проводника, а (р — его потенциал.
Емкость шара радиуса Л, находящегося в вакууме, равна
С = AttsqR (в СИ).
Энергия электрического поля, созданного уединенным про™
водником, равна
W=\q<p=\C4? = \?.
Емкостью конденсатора называют физическую величину,
определенную отношением
°=\ь\-
где q — заряд одного из проводников, образующих конденсатор,
a U — разность потенциалов между ними (проводники, обра-
образующие конденсатор, несут одинаковые по величине, но проти-
противоположные по знаку заряды).
Емкость плоского конденсатора равна
(в СИ),
и
где S — площадь каждой пластины конденсатора, a d — рас-
расстояние между ними.
Энергия конденсатора (энергия поля конденсатора) равна
Объемная плотность энергии электрического поля в линей™
ной изотропной среде с относительной диэлектрической прони-
проницаемостью е равна
w = ^
3.851. Два одинаковых проводящих шарика с зарядами
+qi и —q2 вследствие притяжения соприкоснулись и вновь разо-
разошлись на расстояние г. Определите заряды q[ и q'2 шариков пос-
после соприкосновения и силу взаимодействия F между ними.
3.6 ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКА 117
3.861. Определите радиус R шара, емкость которого в ва™
кууме составляет С = 1, О Ф.
3.872. Определите емкость С проводящего шара радиуса
R\ = 10, 0 см, окруженного плотно прилегающим к нему концен™
трическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью
е = б, 0 и наружным радиусом Л2 = 20, 0 см.
3.882. Проводник емкости С\ заряжен до потенциала c^i, a
проводник емкости С2 — до потенциала (f2- Проводники удале-
удалены на очень большое расстояние друг от друга. Каким станет
потенциал <р этих проводников, если соединить их тонкой про™
волочкой?
3.8Э2. Проводник емкости С\ = 1,0 • 10~5 мкФ заряжен
до потенциала (р\ = 6000 В, а проводник емкости С2 = 2,0 х
х 10~5 мкФ — до потенциала (f2 = 12000 В. Расстояние между
проводниками велико по сравнению с их размерами. Какое ко™
личество теплоты AQ выделится при соединении этих провод™
ников тонкой проволокой?
З.ЭО2. Два одинаковых шара удалены на очень большое рас™
стояние друг от друга. Поле первого шара обладает энергией
W\ = 1,6 мДж, а поле второго — энергией W2 = 3,6 мДж.
Какое количество теплоты AQ выделится при соединении этих
шаров тонкой проволочкой?
3.912. Радиус проводящей сферической оболочки, равно-
равномерно заряженной зарядом д, увеличился от R\ до i?2- Опреде™
лите работу ДД совершенную при этом электрическими сила™
ми.
3.923. Две одинаковые капли ртути радиуса R покоятся на
большом расстоянии друг от друга. Капли заряжены различны-
различными по знаку и модулю зарядами +q± и —q2. Под действием сил
электростатического взаимодействия капли начинают двигать-
двигаться одна навстречу другой. Происходит центральный удар, в ре-
результате которого капли сливаются в одну. Определите выделив™
шуюся при ударе теплоту AQ, если коэффициент поверхностно™
го натяжения ртути равен а.
З.ЭЗ3. Какую работу АА необходимо совершить, чтобы за™
ряженную зарядом q каплю ртути радиуса R разбить на N оди-
одинаковых мелких капель и развести их на расстояние, многократ™
но превышающее их размеры? Коэффициент поверхностного на-
натяжения ртути равен а.
3.943. Пространство между обкладками плоского конденса-
конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими ело™
ями с толщинами d\ и с?2 и с проницаемостями е\ и 82 соответ-
соответственно. Площадь каждой обкладки равна S. Определите ем™
кость С конденсатора.
118 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
3.953. Определите емкость С сферического конденсатора,
радиусы обкладок которого равны R\ и i?2 [R\ < i?2), если про-
пространство между обкладками заполнено однородным диэлектри™
ком проницаемости е.
3.963. Два одинаковых металлических шарика радиуса г на-
находятся в однородном диэлектрике проницаемости е. Расстояние
между центрами шариков R^>r. Определите емкость С этой сж-
стемы, рассматривая шарики как обкладки конденсатора.
3.973. В плоский воздушный конденсатор емкости Со, рас™
стояние между обкладками которого равно d, вводят металличе™
скую пластину толщины Ь параллельно обкладкам. Определите
емкость С конденсатора с пластиной. Пластина имеет такую же
форму и размеры, как и обкладки конденсатора.
3.983. В плоский воздушный конденсатор емкости Со, рас-
расстояние между обкладками которого равно d, вводят диэлектри-
диэлектрическую пластину толщины Ъ и проницаемости е параллельно
обкладкам. Определите емкость С конденсатора с пластиной.
Пластина имеет такую же форму и размеры, как и обкладки
конденсатора.
3.992. Плоский конденсатор, между обкладками которого
находится пластинка из диэлектрика проницаемости ?, присо-
присоединен к аккумулятору. Заряд конденсатора равен до- Какой
заряд Aq пройдет через аккумулятор при удалении пластинки?
3.1002. Плоский воздушный конденсатор заряжен до раз™
ности потенциалов U = 1000 В. О какой силой F притягиваются
одна к другой его пластины? Площадь пластин S = 100 см2,
расстояние между ними d = 1 мм.
3.1013. В пространство между обкладками плоского воз-
воздушного конденсатора, на котором поддерживается постоянная
разность потенциалов, вводят диэлектрическую пластину про™
^_^_ ницаемости е = 3,0. Во сколько раз п
изменится сила электростатического вза™
^^ имодействия F между обкладками кон-
конденсатора? Толщина пластины составляет
половину расстояния между обкладками
конденсатора.
3.1023. Две металлические пластины
площадью S = 10 см2 каждая укрепле-
укреплены параллельно одна другой на расстоя-
расстоянии L = 1,0 см: одна на изолированной
К задаче 3 102 подставке, другая на заземленной пружи-
пружине жесткости к = 0, 25 Н/м (см. рисунок).
Изолированной пластине сообщили заряд q = 3, 0 нКл. Опреде™
лите разность потенциалов U между пластинами.
3.7 СОЕДИНЕНИЯ КОНДЕНСАТОРОВ 119
3.1033. Уменьшится или увеличится энергия W конденса-
конденсатора, если вынуть диэлектрик из заряженного конденсатора: а)
отключенного от источника; б) подключенного к источнику? От™
вет обосновать, объяснив, за счет чего изменяется энергия кон™
денсатора в обоих случаях.
3.7. Соединения конденсаторов
При параллельном соединении конденсаторов емкость С це-
цепи равна сумме емкостей входящих в нее конденсаторов:
С = d + С2 + ... + С„,
q = qi + q2 + ¦ ¦ ¦ + qn,
При последовательном соединении конденсаторов емкость С
цепи равна
Я. = Чг = 42 = •• • = Чп,
и = и1 + и2 + ... + ип.
В том случае, когда в цепь соединяют предварительно за™
ряженные конденсаторы, применение приведенных выше фор™
мул должно быть хорошо обдуманным (как, например, в зада™
че 3.114).
Не всегда соединение конденсаторов возможно заменить
последовательным или параллельным соединением батарей, в
свою очередь составленных из последовательно или параллель™
но подключенных конденсаторов. В этих случаях следует ис-
использовать закон сохранения электрического заряда^ учитывая,
что заряд изолированного проводника остается неизменным.
Кроме того, следует учесть, что при обходе любого замкнутого
контура в электростатическом поле алгебраическая сумма изме-
изменений потенциала на всех участках контура равна нулю.
3.1041. В схеме установлен конденсатор емкости С\ =
= 3,0 мкФ. Необходимо увеличить емкость до значения С =
= 4, 8 мкФ. Какую емкость С2 должен иметь дополнительный
конденсатор и каким образом он должен быть подключен?
3.1051. Емкость одного из участков электронной схемы
необходимо уменьшить от первоначального значения С\ =
= 3600 пФ до С2 = 1000 пФ. Какую емкость С нужно под™
ключить к схеме, чтобы добиться же лаемого результата, ничего
не удаляя из схемы? Каким образом должен быть подключен
дополнительный конденсатор?
120
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.1 Об3. Три проводящие пластины площади S каждая со™
единены между собой (см. рисунок). Среднюю пластину можно
перемещать вверх и вниз, изменяя расстояния d\ и d>2 и изменяя
тем самым емкость системы. Определите зависимость емкости
С, подключенной между точками а и Ь, от d\ и cfo? а также ее
наименьшее Смин и наибольшее Смакс возможные значения. Раз™
меры пластины многократно превышают d\ и^.
1 1/ ////////
////771
\d\
id_2_
a
b
t—kLZ^jLZZZ Z IZ Z.Z 7771 3
4IZZZ
К задаче 3.106
123-
К задаче 3.107
3.1073. Четыре одинаковые металлические пластины пло™
щади S каждая расположены в воздухе на одинаковых расстоя-
расстояниях d друг от друга. Пластина 1 соединена проводником к пла™
стиной 3 (см. рисунок). Определите емкость С между точками
подключения а и Ь, считая расстояние d между пластинами ма-
малым по сравнению с их размерами.
3.1082. При подаче на схему (см. рисунок) напряжения U
заряд конденсатора С$ оказался равным нулю. Емкости конден™
саторов С\ = Об = С, С2 = 2G, Сз = ЗС. Определите емкость
конденсатора С±.
К задаче 3.108
К задаче 3.109
3.1092. Определите емкость Собщ батареи, составленной из
одинаковых конденсаторов емкости С каждый (см. рисунок).
ЗЛЮ2. Определите емкость Совщ батареи, составленной из
одинаковых конденсаторов емкости С каждый, если ее измерять
между точками: а) а и Ь; б) а и с; в) а и d (см. рисунок).
3.1 II2. Определите заряды и разность потенциалов на каж™
дом из конденсаторов в схеме (см. рисунок), а также разность
3.7
СОЕДИНЕНИЯ КОНДЕНСАТОРОВ
121
потенциалов между точками а и Ь. Параметры схемы приведены
на рисунке.
К задаче 3.110
К задаче 3.111
3.1122. Определите разности потенциалов между обкладка-
обкладками конденсаторов, а также между точками Ь и е в схеме, приве-
приведенной на рисунке.
К задаче 3.112
К задаче 3.113
3.1132. В схеме, приведенной на рисунке, известны емкости
Съ ^2, Сз ш ЭДС ?. Кроме того, известен заряд q\ конденсатора
С\. Определите ЭДС ?х.
3.1143. Трем одинаковвш изолированным конденсаторам i,
2 ш 8 сообщили заряды gi, q2 и дз? после чего их соединили (см.
рисунок) замыканием ключей К. Определите заряды g^_, qf2 и
^3? которые будут иметь конденсаторы после их соединения и
завершения переходных процессов.
3.1152. Определите заряды конденсаторов gi, g2, дз в цепи,
параметры которой указаны на схеме (см. рисунок).
122
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.1162. Определите заряды конденсаторов в цепи, парамет™
ры которой указаны на схеме (см. рисунок).
К задаче 3.114
К задаче 3.115
3.1173. Определите заряды конденсаторов #ь #2> #з? #4 в
цепи, параметры которой указаны на схеме (см. рисунок), если
С\ = С2 = С$ = С^ = С.
К задаче 3.116
К задаче 3.117
3.1183. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, про-
проницаемость е которого зависит от напряжения U на конденсато-
конденсаторе по закону ? = aU, где а = 1/F5). Па-
Параллельно этому нели™ нейному конден™
сатору, который первоначально не заря-
заряжен, подключают такой же конденсатор,
но без диэлектрика, который заряжен до
напряжения U® = 156 В. Определите на-
напряжение U, которое установится между
обкладками конденсаторов после завер-
завершения переходных процессов.
3.1193. Какой заряд q протечет че-
через гальванометр после замыкания клю-
ключа К в схеме, изображенной на рисунке?
ЭДО батареи равна ?, С\ = С2 = С.
К задаче 3.119
3.1203. Какой заряд q протечет через гальванометр после
замыкания ключа К в схеме, изображенной на рисунке? ЭДО
каждой батареи равна ?, емкости конденсаторов С\ и С2 из™
вестны.
3.8
СИЛА ТОКА. СОПРОТИВЛЕНИЕ. ЗАКОН ОМА
123
3.1213. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием
между обкладками d = 3, 0 см зарядили от источника постоян-
постоянного напряжения 17 = 200 В и отключили от него. Затем парал™
лельно пластинам конденсато-
ра ввели металлическую пла-
пластину толщины do = 1,0 см.
Определите работу Д совер-
совершенную силами поля при вве-
дении пластины в конденса-
конденсатор, и изменение энергии AW
конденсатора в этом процессе.
Площади каждой из обкладок
и металлической пластины оди-
одинаковы и равны S = 60 см2.
К задаче 3.120
3.1223. Рассмотрите задачу 3.121, считая, что конденсатор
не отключают от источника напряжения. Определите измене™
ние энергии AW конденсатора при внесении пластины. Какую
работу А совершает при этом источник напряжения?
3.8. Сила тока. Сопротивление. Закон Ома для
однородного участка цепи
Закон Ома для однородного участка цепи: сила тока I в про-
проводнике, находящемся в электростатическом поле, пропорцио-
пропорциональна напряжению U между концами проводника:
коэффициент R называют сопротивлением проводника.
Сопротивление R участка цепи, состоящего из последова-
последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений
i?l, i?2, -R3? • • • этих проводников:
R = R1 + R2 + R3 + . . . ;
сила тока во всех участках цепи одинакова:
Д = /2 = /з = • • •;
разность потенциалов 17 между концами цепи равна сумме раз-
разностей потенциалов между концами входящих в цепь проводни-
проводников:
U = U г + U 2 + U3 + ...
Электропроводность R^1 участка цепи, состоящего из парал-
параллельно соединенных проводников, равна сумме электропровод-
ностей этих проводников:
1 1 1 1
124 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
сила тока I в цепи равна сумме сил токов в каждом проводнике:
I = h + h + h +...;
разность потенциалов U между концами цепи равна разности
потенциалов между концами каждого из входящих в цепь про-
проводников:
Сопротивление R линейного однородного проводника про™
порционально его длине L и обратно пропорционально площади
его поперечного сечения S:
где р — удельное сопротивление проводника, а — его удельная
электрическая проводимость. Коэффициенты пропорциональ-
пропорциональности ржа зависят от вещества проводника и его термодинами-
термодинамического состояния.
При решении задач этого раздела следует считать сопротив-
сопротивление подводящих проводов пренебрежимо малым, если его ве™
личина не указана в условии.
3.1231. По проводу течет ток силы I = 10 А. Найдите массу
электронов, проходящих через поперечное сечение этого провода
за время t = 1 ч.
3.1241. Сила тока в проводнике за четыре равных проме™
жутка времени по t = 10 с сначала равномерно возрастает от 0
до Ji = 10 мА, потом равномерно уменьшается до I2 = 5 мА,
затем сохраняет постоянное значение, и, наконец, равномерно
уменьшается до нуля. Какой заряд q прошел по проводнику за
время Т = 40 с?
3.1252. Пластины плоского конденсатора имеют форму
квадратов со стороной а = 21 см. Расстояние между пласти-
пластинами составляет d = 2 мм. Конденсатор присоединен к полюсам
источника постоянного напряжения 17 = 750 В. В пространство
между пластинами с постоянной скоростью v = 8 см/с вдвига™
ют стеклянную пластинку толщины d = 2 мм. Какой силы ток
I пойдет при этом по цепи? Диэлектрическая проницаемость
стекла е = 7.
3.1261. Моток медной проволоки имеет массу m = 300 г
и электрическое сопротивление R = 57 Ом. Определите длину
проволоки L и площадь ее поперечного сечения S. Плотность
меди D = 8900 кг/м3, ее удельное сопротивление р = 1,7 х
х 10~8 Ом-м.
3.1272. Электрическая цепь состоит из трех последователь-
последовательно соединенных кусков провода одинаковой длины, изготовлен-
изготовленных из одного и того же материала, но имеющих разные сечения:
3.8 СИЛА ТОКА. СОПРОТИВЛЕНИЕ. ЗАКОН ОМА 125
Si = 1 мм2, i$2 = 2 мм2, Ss = 3 мм2. Напряжение на концах цепи
U = 11 В. Найдите напряжение на каждом куске провода.
3.1282. На катушку намотан круглый стальной провод диа-
диаметром d = 1,2 мм. Масса провода га = 0,2 кг. На катушку
подается напряжение 17 = 53,8 В. Определите силу тока, иду™
щего по проводу, если он нагрелся до температуры Т = 393 К.
Удельное сопротивление стали при Т\ = 293 К равно pi = 1, 2 х
х 1СП7 Ом-м, температурный коэффициент сопротивления стали
а = 6, 0 • 1(Г3 К. Плотность стали D = 7, 8 • 103 кг/м3.
3.1291. Цепь, имеющая сопротивление Я = 100 Ом, питает™
ся от источника постоянного напряжения. Амперметр с сопро™
тивлением Яд = 1 Ом, включенный в цепь, показал силу тока
I = 5 А. Какова была сила тока в цепи Iq до включения ампер™
метра?
3.1301. В сеть с напряжением 17 = 24 В подключили два по-
последовательно соединенных резистора. При этом сила тока стала
равной 1\ = 0,6 А. Когда резисторы подключили параллельно,
суммарная сила тока стала равной /2 = 3,2 А. Определите со-
сопротивление резисторов.
3.1311. На сколько равных частей нужно разрезать про™
водник, имеющий сопротивление Я = 36 Ом, чтобы полное со-
сопротивление его частей, соединенных параллельно, составляло
Ro = 1 Ом?
3.1322. Из куска проволоки, имеющей сопротивление R® =
= 32 Ом, изготовлено кольцо. К двум точкам этого кольца при™
соединены подводящие ток провода, а) В каком отношении де-
делят точки присоединения длину окружности кольца, если об™
щее сопротивление получившейся цепи Я = 6 Ом? б) Какова
максимально возможная величина общего сопротивления 1?Макс
между двумя точками проволочного кольца?
3.1331. Определите полное сопротивление R показанной на
рисунке цепи, если R\ = Л2 = ^5 = R% = 3 Ом, Я$ = 20 Ом,
i?4 = 24 Ом. Чему равна сила тока, идущего через каждый ре™
зистор, если к цепи приложено напряжение U = 36 В?
2R
Rl 1 R2
R
R6
4\
К задаче 3.133 К задаче 3.134
126
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.1341. При замкнутом ключе К (см. рисунок) сила тока,
текущего через амперметр, равна 1\ = 0,45 А. Какой силы ток
/2 будет течь через амперметр при разомкнутом ключе? Напря-
Напряжение на клеммах постоянно.
3.1352. Определите сопротивление R между точками А ш D
каждой из показанных на рисунке трех цепей. Сопротивления
резисторов одинаковы и равны г. Сопротивлением соединяющих
проводов можно пренебречь.
А ,
'—1 1—*—i i—'
В
——1 1^^
D
В
с
D
А
LJ
С
I 1 4 1 )—
В
1 1
—1 h^-
D
К задаче 3.135
3.1362. Определите сопротивление R между точками А ш В
показанной на рисунке цепи, если сопротивление каждого звена
равно г.
D
F
D
F
К задаче 3.136
К задаче 3.137
3.1373. Каждый из отрезков двух проволочных конструк-
конструкций (см. рисунок) имеет одинаковое сопротивление г. Ток, про-
протекающий по отрезку DF\ равен г. Определите разность потен™
циалов U между узлами i и В, сопротивление R между этими
узлами и полный ток I от А к В.
3.8
СИЛА ТОКА. СОПРОТИВЛЕНИЕ. ЗАКОН ОМА
127
3.1383. Найдите полное сопротивление R между точками А
и В бесконечной цепи (см. рисунок), состоящей из одинаковых
резисторов сопротивлением г каждый.
А
о—
2г
Аг\
В
К задаче 3.138
К задаче 3.139
3.13Э3. Определите полное сопротивление R между точками
А ж В бесконечной цепи, параметры которой указаны на ри-
сунке.
3.1402. Имеется прибор с ценой деления го = 10 мкА. Шка-
Шкала прибора имеет п = 100 делений. Внутреннее сопротивление
прибора г = 50 Ом. Как из этого прибора сделать: а) вольтметр
с пределом измерения напряжения Uq = 200 В? б) миллиампер-
миллиамперметр с пределом измерения силы тока Jq = 800 мА?
3.1413. Присоединение к вольтметру некоторого добавоч-
добавочного сопротивления увеличивает предел измерения напряжения
в п раз. Другое добавочное сопротивле-
сопротивление увеличивает предел измерения в т
раз. Во сколько раз к увеличится пре-
предельно измеримое вольтметром напря-
напряжение, если включить последовательно с
вольтметром эти два сопротивления, со-
соединенные между собой параллельно?
3.1423. В схеме (см. рисунок) вольт-
вольтметр показывает напряжение U\ = 20 В.
Напряжение на входе цепи Uq = 100 В.
Найдите отношение тока, идущего через
вольтметр, к току, идущему через пра-
К задаче 3.142
вую часть потенциометра, если отношение сопротивлений, на
которые движок делит потенциометр п = 2/3, причем боль-
большее сопротивление име-
имеет часть потенциометра,
расположенная справа от
движка.
3.1433. Цепь (см. ри-
рисунок) собрана из одина-
одинаковых резисторов и одина-
одинаковых вольтметров. Показа-
К задаче 3.143
128 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
ния первого и третьего вольтметров Ui = 10B, 17з = 8В соот™
ветственно. Найдите показания U2 второго вольтметра.
3.9. Закон Ома для неоднородного участка и полной
цепи. Правила Кирхгофа
Обобщенный закон Ома для произвольного участка цепи:
произведение силы тока I на сопротивление R участка цепи рав-
равно алгебраической сумме падения потенциала (pi — (f2 на этом
участке и ЭДС ? всех источников электрической энергии, вклю-
включенных на данном участке цепи:
Закон Ома для замкнутой цепи: сила тока I в замкнутой це-
цепи, состоящей из источника тока с ЭДС ? и внутренним сопро™
тивлением г и нагрузки с сопротивлением I?, равна отношению
величины ЭДС к сумме внутреннего сопротивления источника
и сопротивления нагрузки:
р
I =
R + r
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая
сумма сил токов, сходящихся в узле (точке соединения несколь-
нескольких линейных проводников), равна нулю:
h + h + h + ... + In = 0;
при этом положительными считаются токи, подходящие к узлу,
отрицательными — токи, отходящие от узла; иными словами,
сумма сил токов, втекающих в узел, равна сумме сил токов, вы-
вытекающих из него:
вход \ / выход
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом
замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной
электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил
токов 1т на сопротивления Rm соответствующих участков этого
контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре:
п п
771=1 771=1
здесь п — число отдельных участков, на которые контур разби™
вается узлами; положительными считаются токи, направления
3.9
ЗАКОН ОМА. ПРАВИЛА КИРХГОФА
129
которых совпадают с выбранным (произвольно) направлением
обхода контура; ЭДС источников электрической энергии счи-
считаются положительными, если они создают токи, направления
которых совпадают с направлением обхода контура.
В задачах этого раздела внутренним сопротивлением источ-
источника тока, сопротивлением соединительных проводов, а также
амперметров следует пренебречь, если эти величины не указаны
в условии.
3.1441. Амперметр с сопротивлением R\ = 2 Ом, подклю-
подключенный к источнику тока, показывает ток 1\ = 5 А. Вольтметр
с сопротивлением i?2 = 150 Ом, подключенный к такому же ис-
источнику тока, показывает напряжение U2 = 12 В. Найдите ток
короткого замыкания /к.3 источника.
3.1451. Источник тока питает п = 100 ламп, рассчитанных
на напряжение U\ = 220 В и соединенных параллельно. Оопро™
тивление каждой лампы R\ = 1,2 кОм, сопротивление подводя™
щих проводов i?2 = 4 Ом, внутреннее сопротивление источника
г = 0, 8 Ом. Найдите напряжение U на зажимах источника и его
3.1462. Найдите силу тока I2, идущего через резистор с
сопротивлением i?2 в схеме, параметры которой приведены на
рисунке.
К задаче 3.146
К задаче 3.147
3.1472. Какой ток /д будет идти через амперметр в схеме,
изображенной на рисунке? ЭДО источника равна ?. Рассмотри™
те два случая:
а) R1= R4 = R; R2 = R3 = 2R;
б) R\ = х?2 = Rs :=::: R\ R4 ^^ 2jR.
3.1482. Какой ток Iа течет через амперметр в схеме, по-
показанной на рисунке? ЭДО источника <? = 7, 5 В, i?i = 15 Ом,
R2 = R3 = R4 = 10 Ом.
3.1492. При замкнутом ключе К вольтметр V\ показывает
напряжение 0, 8?, где ? — ЭДО источника (см. рисунок). Что
5 С.Н. Белолипецкий и др.
130
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
покажут вольтметры V\ и V2 при разомкнутом ключе, если их
сопротивления одинаковы?
К задаче 3.148
К задаче 3.149
3.1502. В мосте Уитстона (см. рисунок) сопротивления под-
подбирают таким образом, что чувствительный гальванометр пока™
зывает нуль.
а) Считая сопротивления i?i, i?2 и г известными, определите
величину сопротивления гх.
б) Если поменять местами батарею и гальванометр, то снова
получится мостовая схема. Сохранится ли баланс в новой схеме?
с
К задаче 3.150
К задаче 3.151
3.1512. Имеется цепь, содержащая N = 1000 одинаковых ис-
источников тока с ЭДС ? и внутренним сопротивлением г каждый
(см. рисунок). Между точками А ж В
(на дуге АС В) находится т источников
тока.
а) Найдите разность потенциалов
между точками А ш В.
б) Какой будет эта разность потен-
потенциалов, если элементы будут обращены
¦?
К задаче 3.152
друг к другу одноименными полюсами:
3.1523. Два источника тока соеди™
нены, как показано на рисунке.
3.9
ЗАКОН ОМА. ПРАВИЛА КИРХГОФА
131
тока с ЭДС ? =
= 0,8 Ом каждый
а) Определите разность потенциалов между точками А ж В.
б) Какой станет эта разность потенциалов, если изменить по-
полярность включения второго источника?
3.1533. Три одинаковых источника
= 1,6 В и внутренним сопротивлением г
включены в электрическую цепь
по схеме, изображенной на ри-
сунке. Миллиамперметр показы-
показывает ток I = 100 мА. Оопротив™
ления резисторов R\ = 10 Ом и
Л2 = 15 Ом, сопротивление ре-
резистора R неизвестно. Какое на™
пряжение U показывает вольт-
вольтметр? Сопротивление вольтмет-
вольтметра считать очень большим.
3.1542. Батарея из п = 4
одинаковых источников тока с
внутренним сопротивлением г =
= 2 Ом каждый, соединенных в ^ задаче 3 153
первом случае последовательно,
во втором — параллельно, замыкается на резистор с сопротивле-
сопротивлением R = 10 Ом. Найдите отношение напряжений на резисторе
U1/U2 в первом и во втором случаях.
h
&
h
,L,|J L,|J mL,|J
I 'h
-«HHI 'b
'—11—11—11
К задаче 3.155
3.1553. Из N = 400 одинаковых источников тока составле-
составлена батарея так, что образовано п соединенных последовательно
групп, в каждой из которых содержится т источников, соеди-
соединенных параллельно (см. рисунок а). Внутреннее сопротивление
каждого источника г = 1 Ом. При каких значениях пито сила
тока через резистор с сопротивлением R = 100 Ом, подклю-
подключенный к батарее, будет наибольшей? Изменится ли ответ, если
132
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
источники тока соединить в батарею, как показано на рисун™
ке б (т параллельно соединенных ветвей, в каждой из которых
содержится п последовательно соединенных источников)?
3.15б3. Источниками электрического тока в системе элек-
электрического оборудования автомобиля являются генератор Г по-
постоянного тока и соединенный с ним параллельно аккумулятор
А (см. рисунок). ЭДО аккумулятора Е\ = 12 В, его внутреннее
сопротивление г\ = 0,15 Ом.
ЭДО генератора ?2 = 14 В,
его внутреннее сопротивление
г2 = 0,05 Ом. Найдите за™
висимость силы тока 7д, про-
протекающего через аккумуля-
аккумулятор, от силы тока 1Н, потреб™
ляемого нагрузкой — пере-
переменным сопротивлением. На™
К задаче 3.156 рисуйте график зависимости
1а{1щ)- Определите с помощью
графика, при каких значениях силы тока нагрузки /н аккуму™
лятор будет заряжаться, а при каких — разряжаться.
3.1573. В конце зарядки аккумулятора сила тока 1\ = 3 А,
а разность потенциалов на клеммах U\ = 8, 85 В. В начале раз-
разрядки того же аккумулятора сила тока I2 = 4 А, а разность
потенциалов U2 = 8, 5 В. Определите силу тока короткого замы-
замыкания 1К>3 этого аккумулятора.
3.1583. Найдите силу тока I через нагрузку i?, подключен-
подключенную к параллельно соединенным источникам тока с ЭДО ?\ и
?2 и внутренними сопротивлениями т\ и г2 соответственно (см.
рисунок).
I I
К задаче 3.158
К задаче 3.159
К задаче 3.160
3.1593. В схеме на рисунке внутренние сопротивления ис-
источников пренебрежимо малы. Определите силу тока 1\ через
резистор сопротивления 31?, силу тока I2 через источник тока
зло
КОНДЕНСАТОРЫ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
133
с ЭДС 4? и разность потенциалов Uab между точками А ж В
схемы.
3.1602. Найдите силу тока 1\ через сопротивление R\ участ-
участка цепи (см. рисунок), если R\ =
= 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом
и потенциалы точек 1, 2 и 3 равны
соответственно tp\ = 10 В, (f2 — 6 В,
3.1613. В схеме, изображенной
на рисунке, определите сопротивле-
сопротивление Rab цепи между точками Аш В.
К задаче 3.161
3.10. Конденсаторы и нелинейные элементы в
электрических цепмх
3.1622. Найдите напряжения U\ и 172 на конденсаторах С\
и С2 в схеме, представленной на рисунке, если известно, что при
замыкании резистора с сопротивлением R накоротко сила тока
через источник тока возрастает в п = 3 раза. ЭДС источника
тока равна ?.
3.1632. Определите заряд q конденсатора С в схеме, пред-
представленной на рисунке. Внутренним сопротивлением источника
тока пренебречь.
С\ С 2
К задаче 3.162
К задаче 3.163
3.1642. Найдите заряды q\ и cj2 на конденсаторах С\ и С2
в схеме, показанной на рисунке. Внутренними сопротивлениями
источников тока пренебречь.
3.1652. Какой заряд q протечет через сопротивление i?2 пос-
после размыкания ключа К (см. рисунок), если R± = R2 = R3 =
= R4 = R = 20 Ом, ? = 100 В, г = 10 Ом, С = 10 мкФ.
3.1662. Какой заряд q пройдет через ключ К (см. рисунок),
если его замкнуть?
134
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.1672. Определите заряд д, протекающий через ключ К
при его замыкании (см. рисунок). Внутренним сопротивлением
источника тока пренебречь.
с,
с2
К
К задаче 3.164
К задаче 3.165
3.1683. Резистор с сопротивлением R и нелинейное сопро™
тивление, вольтамперная характеристика которого имеет вид
К задаче 3.166
К задаче 3.167
U = ал/1, где а — постоянная, соединены последовательно и
подключены к источнику напряжения Ug. Найдите силу тока I
в цепи. Внутренним сопротивлением источ-
источника пренебречь.
3.1693. Схема (см. рисунок) состоит
из двух одинаковых резисторов с сопро-
сопротивлениями R и двух одинаковых нелиней™
ных элементов, вольтамперная характери-
характеристика которых имеет вид U = а/2, где а —
некоторая известная постоянная. При ка-
какой ЭДС ? источника ток через гальвано-
гальванометр равен нулю? Сопротивлением источни-
источника пренебречь.
К задаче 3.169
3.11
РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА
135
3.1703. На рисунке приведена зависимость силы тока через
автомобильную лампочку от напряжения на ней. Лампочку и
резистор с сопротивлением R = 2 Ом подключают к источнику
тока с ЭДС ? = 15 В и внутренним сопротивлением г = 3 Ом.
Какими будут напряжение U на лампочке и сила тока I через
нее, если лампочка и резистор соединены: а) последовательно;
б) параллельно?
О 2 4 6 8 10 12 U, В
15 /,А
К задаче 3.170
К задаче 3.171
3.1713. На рисунке приведен график зависимости напряже™
ния на разрядном промежутке дугового разряда от силы тока.
Дугу подключают к источнику постоянного напряжения после-
последовательно с резистором. При каком максимальном сопротив-
сопротивлении R резистора дуга может гореть при ЭДС источника ? =
= 85 В? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
3.1723. Нелинейный двухполюсный элемент имеет квадра-
квадратичную вольтамперную характеристику: ток через этот элемент
пропорционален квадрату приложенного к нему напряжения.
Два таких двухполюсника соединены параллельно. Последова-
Последовательно с ними включен еще один такой же элемент. На получен™
ную цепь подано напряжение U. Определите напряжение U{ на
каждом из элементов.
3.11. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
Закон Даюоушя--Ленца: в проводнике с постоянным током за
интервал времени At выделяется количество теплоты А<5, про™
порциональное квадрату силы тока J, сопротивлению проводни-
проводника R и длительности интервала At:
AQ = I2RAt,
136 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
Мощность Р тока, текущего в проводнике на участке 1-2,
пропорциональна силе тока I и напряжению U\2 между его кон-
концами:
Р = U12I = (pi - (f2 + ?n)L
3.1732. Источник тока с ЭДС ? и внутренним сопротивлени-
сопротивлением г замкнут на реостат. Как зависит от силы тока I в цепи мощ-
мощность Ршст , выделяемая источником; мощность Рвн, выделяемая
во внешней цепи, и коэффициент полезного действия rj источни-
источника тока? Постройте графики зависимостей РшстA), РвнA), v{I)-
При какой силе тока I = Iq мощность, выделяемая во внешней
цепи, будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая мощность
¦ макс •
3.1742. Источник тока с ЭДС ? и внутренним сопротив-
сопротивлением г замкнут на реостат. Как зависит от сопротивления R
реостата мощность Рвн, выделяемая во внешней цепи; мощность
Рист, выделяемая источником тока; мощность РВнутр? выделяю-
выделяющаяся внутри источника, и коэффициент полезного действия г)
источника? Постройте графики зависимостей PBH(R), Pmct(R)j
РвнуТрA?) и fj(R). При каком сопротивлении R = R® реостата во
внешней цепи выделяется максимальная мощность? Чему равен
при этом КПД 7](Rq) = 770?
3.1752. Плитка при номинальном напряжении Щ = 220 В
имеет мощность Pq = 800 Вт. При включении плитки в сеть
напряжение на розетке изменяется с U\ = 200 В до С/2 = 180 В.
Определите сопротивление Rnp подводящих проводов.
3.1762. Разность потенциалов в сети зарядной станции U =
= 20 В. Внутреннее сопротивление аккумулятора, поставленно-
поставленного на зарядку, г = 0, 8 Ом. В начальный момент времени его
остаточная ЭДС ? = 12 В. Какая мощность Pi расходуется
станцией на зарядку аккумулятора при этих условиях? Какая
мощность ?2 при этом тратится на нагревание аккумулятора?
3.1772. Имеются два резистора с сопротивлениями R\ =
= 2 Ом и i?2 = 4, 5 Ом. Их подключают к источнику тока снача-
сначала параллельно, а затем последовательно. При каком значении
внутреннего сопротивления г источника тока в обоих случаях
во внешней цепи выделяется одинаковая мощность?
3.1782. При поочередном подключении к источнику тока
двух электрических нагревателей с сопротивлениями R\ = 3 Ом
и i?2 = 48 Ом в них выделяется одинаковая мощность Р =
= 1,2 кВт. Определите силу тока /к.3 при коротком замыкании
источника.
3.1792. При подключении к источнику тока с ЭДС ? =
= 15 В и сопротивлением R = 15 Ом КПД источника г\ = 75 %.
3.11
РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА
137
Какую максимальную мощность Рмакс во внешней цепи может
выделять данный источник?
3.1803. Когда во внешней цепи выделяется мощность Pi =
= 18 Вт, КПД источника тока щ = 64 % . При изменении внеш™
него сопротивления КПД источника щ = 36%. Какая мощность
-Рвнут выделяется при этом внутри источника тока?
3.1813. Три одинаковых
элемента с ЭДС ? и резисто-
резисторы с сопротивлением R каждый
включены в цепь, изображенную
на рисунке. Найдите мощность
Р, выделяющуюся на всех со-
сопротивлениях схемы. Внутрен™
ними сопротивлениями элемен-
элементов пренебречь.
3.1823. Напряжение в сети
без нагрузки U = 120 В. При
включении в сеть плитки номи™
К задаче 3.181
нальной мощности Рном — 300 Вт фактически выделяющаяся
мощность равна Р = 250 Вт. Какая мощность будет выделяться
в двух таких плитках, одновременно включенных параллельно
в эту сеть? Плитки рассчитаны на напряжение 11ШОМ = 120 В.
Изменения сопротивления плиток при их нагревании не учиты-
учитывать.
3.1832. Нагреватель самовара состоит из двух элементов.
При подключении к сети первого элемента вода в самоваре за-
закипает через t\ = 15 мин, при подключении только второго эле™
мента — через t<i = 20 мин. Через какое время вода в самоваре
закипит, если элементы подключить к сети: а) последовательно;
б) параллельно.
3.1842. Электроплитка имеет три секции с одинаковыми
сопротивлениями. При параллельном их соединении вода в чай-
чайнике закипает через t = 6 мин. Через какое время закипит вода
той же массы и той же начальной температуры при соединении
секций, показанном на рисунке.
К задаче 3.184
3.1852. Конденсатор емкости Ci, имеющий заряд gi, соеди-
соединяют противоположно заряженными обкладками через резистор
138
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
с конденсатором емкости С2, имеющим заряд cj2- Какое количе™
ство теплоты Q выделяется на резисторе?
3.1863. Какое количество теплоты Q выделится на резисто-
резисторе сопротивления R после замыкания ключа К (см. рисунок)?
Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
3.1873. Конденсатор емкости G, заряженный до напряже-
напряжения ?J подключается через резистор с большим сопротивлением
к батарее с ЭДС Ъ? (см. рисунок). Определите количество теп-
теплоты Q, которое выделяется в цепи при зарядке конденсатора
до напряжения Ъ?.
К задаче 3.186
К задаче 3.187 К задаче 3.188
3.1883. Между обкладками плоского конденсатора распо™
ложена диэлектрическая пластинка (е = 3), заполняющая весь
объем конденсатора. Конденсатор через резистор подключен к
батарее с ЭДС ? = 100 В (см. рисунок). Пластину быстро уда-
удаляют так, что заряд на конденсаторе не успевает измениться.
Какая энергия Q выделится после этого в цепи в виде теплоты?
Емкость незаполненного конденсатора Со = 100 мкФ.
3.1893. Определить сопротивление R подводящих проводов
от источника U = 120 В, если при коротком замыкании предо-
предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения 5 = 1 мм2
и длины L = 2 см плавятся за время т = 0, 03 с. Начальная тем™
пература предохранителя Г = 300 К, температура плавления
свинца Тпл = 600 К, плотность свинца D = 11,3 х 103 кг/м3,
удельное сопротивление свинца р = 2,1 • 10 Ом-м, удельная
теплоемкость свинца с = 0,13 кДж/(кг-К), удельная теплота
плавления А = 25 кДж/кг.
3.1903. Под каким напряжением U нужно передавать элек-
электроэнергию на расстояние L = 5 км, чтобы при плотности тока
j = 0, 25 А/мм2 в медных проводах двухпроводной линии элек-
электропередачи потери в линии составляли г) = 1 % от передаваемой
мощности? Удельное сопротивление меди р = 1,7- 10™8 Ом-м.
3.12 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ 139
3.1913. От источника тока необходимо передать потребите-
потребителю мощность Р® = 4 кВт. Сопротивление подводящих проводов
R = 0,4 Ом. Какое напряжение 17 должно быть на зажимах ис-
источника, чтобы потери мощности в проводах составляли г) = 4 %
от потребляемой мощности?
3.1923. Трамвай массы т = 22,5 т идет сначала по го™
ризонтальному участку, а затем в гору с уклоном к = 0, 03. В
первом случае ток в двигателе 1\ = 60 А, а во втором /2 = 118 А.
Найдите скорости v\ и V2 трамвая, если коэффициент трения в
обоих случаях /л = 0,01, напряжение в линии U = 500 В, КПД
двигателя и передачи г) = 75 % .
3.12. Электрический ток в различных средах
Плотность тока j в металле равна заряду всех электронов,
проходящих за единицу времени через единицу площади попе™
речного сечения проводника:
где по — концентрация электронов проводимости, е — абсолют™
ная величина заряда электрона, v — средняя скорость дрейфа
электронов под действием внешнего электрического поля.
Закон Ома для плотности тока (закон Ома в дифференци-
дифференциальной форме): плотность тока проводимости пропорциональна
напряженности Е электрического поля в проводнике и совпада™
ет с ней по направлению:
Е
Первый закон Фарадея (первый закон электролиза): масса М
вещества, выделившегося на электроде, прямо пропорциональна
электрическому заряду Q, прошедшему через электролит:
М = kQ;
коэффициент пропорциональности к называют электрохимиче™
ским эквивалентом вещества.
Второй закон Фарадея (второй закон электролиза): электро-
электрохимический эквивалент данного вещества пропорционален его
химическому эквиваленту кх:
где F = cNa — постоянная Фарадея. Химическим эквивалентом
вещества называют отношение молярной массы данного веще-
140 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
ства /i к его валентности Z:
к -^
х~ z-
Объединенный закон Фарадея (объединенный закон электро-
электролиза):
Значения молярных масс /i веществ и валентностей Z ионов
во всех задачах данного раздела следует определять по Перио™
дической таблице элементов Менделеева.
3.1934. Катушка радиуса г = 25 см, содержащая L = 500 м
тонкого медного провода, вращается с угловой скоростью ш =
= 300 рад/с вокруг своей оси. Через скользящие контакты ка-
катушка подключена к баллистическому гальванометру. Общее со™
противление всей цепи R = 21 Ом. Найдите удельный заряд
е/те носителей тока в меди, если при резком затормаживании
катушки через гальванометр проходит заряд q = 10 нКл.
3.1943. Сплошной металлический цилиндр радиуса R вра-
вращается с постоянной угловой скоростью ш. Найдите зависимость
напряженности поля Е от расстояния г от оси цилиндра и раз-
разность потенциалов U между поверхностью цилиндра и его осью.
3.1953. Определите среднюю скорость v упорядоченного
движения электронов в медном проводе при плотности постоян-
постоянного тока j = 6 А/мм2, если считать, что на каждый атом меди
приходится один свободный электрон. Какое количество тепло™
ты q выделится при этом в единице объема провода в единицу
времени? Молярная масса меди /i = 63, 5 • 10~3 кг/моль, плот-
плотность меди D = 8, 9 • 103 кг/м3, удельное сопротивление меди
р= 1,7-Ю"8 Ом-м.
3.19б2. Найдите суммарный импульс электронов в прямом
проводе длины L = 1000 м, по которому течет ток I = 70 А.
3.1972. По прямому медному проводу длины L = 1000 м и
сечения s = 1 мм2 течет ток I = 4, 5 А. Считая, что на каждый
атом меди приходится один свободный электрон, найдите время
t, за которое электрон переместится от одного конца провода до
другого, а также сумму сил ^эл, действующих на все свободные
электроны в данном проводе со стороны электрического поля.
Плотность меди D = 8,9 • 103 кг/м3, удельное сопротивление
р= 1,68- 10^8 Ом-м„
3.1982. Какую длину L имеет вольфрамовая нить накала
лампочки, рассчитанной на напряжение 17 = 220 В и мощность
Р = 200 Вт? Температура накаленной нити Т = 2700 К, диаметр
3.12 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ 141
нити d = 0,03 мм. Удельное сопротивление вольфрама р® =
= 5,5 • 1СП8 Ом-м при температуре Т® = 293 К. Считайте, что
удельное сопротивление вольфрама прямо пропорционально аб-
абсолютной температуре.
3.1991. В каком процессе через раствор проходит больший
электрический заряд q: при выделении v\ = 1 моль никеля из
раствора NiSO4 или при выделении i/2 = 1 моль железа из рас™
твора FeCb?
3.2001. При пропускании через электролит тока силы I =
= 1,5Аза^ = 5 мин на катоде выделилось m = 137 мг некото-
некоторого металла. Что это за металл?
3.2012. При электролизе раствора азотнокислого серебра в
течение t = 1 час выделилось m = 9, 4 г серебра. Определите
ЭДС поляризации Е^ если напряжение на зажимах ванны U =
= 4, 2 В, а сопротивление раствора R = 1, 5 Ом.
3.2022. Для серебрения N = 12 ложек, каждая из кото-
которых имеет поверхность площади S = 50 см2, через раствор соли
серебра пропускают ток силой I = 1,8 А. О какой средней ско-
скоростью v увеличивается толщина серебряного покрытия ложки?
Плотность серебра р = 10, 5 • 103 кг/м3.
3.2033. Какая масса m меди выделилась в течение времени
t = 10 с на катоде при электролизе O11SO4, если в течение пер-
первых t/2 = 5,0 с значение тока равномерно возрастало от 0 до
1\ = 3, 0 А, а в течение последующих t/2 = 5, 0 с равномерно
уменьшалось до значения /2 = 1,0 А?
3.2042. При электролизе раствора серной кислоты H2SO4
расходуется мощность N = 37 Вт. Найдите сопротивление R
электролита, если за время т = 50 мин выделяется масса водо™
рода m = 0, 3 г.
3.2052. Какую массу m расплавленной окиси алюминия
AI2O3 разлагает ток силы I = 3, 0 А в течение времени t = 1, 0 ч?
3.2062. Определите массу М кислорода, выделившегося при
прохождении заряда q = 16 К л через водный раствор серной
кислоты. Масса одного атома кислорода то = 2,6 • 10™26 кг.
3.2073. Под каким напряжением U следует проводить элек-
электролиз воды на установке с КПД г\ = 80 % , чтобы при затратах
электроэнергии не свыше W = 965 кДж выделившийся кисло™
род смог заполнить объем V = 1 л под давлением р = 200 кПа
при температуре Т = 300 К?
3.2082. При электролизе воды через нее пропускают ток
силы I = 59 А. Какой объем V гремучего газа (при нормальных
условиях) получился за время t = 1 мин?
142
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.20Э3. Потенциал ионизации атомов неона ср = 21, 5 В. Ка™
кой наименьшей скоростью v должен обладать электрон, чтобы
он мог ионизовать неподвижный атом неона? При какой абсо™
лютной температуре Г средняя кинетическая энергия движения
атомов неона станет равной энергии, необходимой для иониза-
+100В
2R
К задаче 3.212
ции этих атомов?
3.2103. При каком напряжении U зажи-
зажигается неоновая лампа, если энергия иониза-
ионизации атома неона W = 21,5 эВ, а средняя
длина свободного пробега электронов в газе
Л = 1,0 мм? Расстояние между электродами
лампы d = 1, 0 см.
3.2113. Напряжение между анодом и ка-
катодом вакуумного диода равно U, сила анод-
анодного тока равна I. Найдите среднее давление
рср электронов на анод площади S.
3.2123. Определите ток I, текущий через
идеальный диод D в цепи, изображенной на
рисунке, считая сопротивление R = 1, 0 кОм.
3.13. Магнитное поле. Магнитная индукция
Заряд д, движущийся со скоростью v, создает на расстоянии
г от себя магнитное поле с индукцией
4тг ^L ' J°
Магнитная индукция АВ поля в вакууме малого элемента
проводника длины AL, по которому идет постоянный электри-
электрический ток силы I, удовлетворяет закону Био--С1 авара-Лапласа:
ДВ= ?U?
направление вектора АВ можно найти по правилу Максвелла
(правилу буравчика, правилу правого винта): если ввинчивать
буравчик с правой резьбой по направлению тока в элементе про-
проводника, то направление движения рукоятки буравчика укажет
направление вектора АВ магнитной индукции.
В центре кругового витка радиуса R с током силой I модуль
вектора магнитной индукции определяется выражением
3.13
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
143
Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого бес™
конечно длинным прямым проводником с током силой I на рас-
расстоянии г от проводника, равен
В =
2тг г
Отрезок прямолинейного проводника с
током силой I создает в точке, расположен-
расположенной симметрично по отношению к провод-
проводнику на расстоянии г о от его середины (см.
рисунок), магнитное поле с индукцией
В = ^— — cos (р.
2тг го
III
III
III
111
К введению
3.2132. По двум длинным прямолинейным проводникам, на™
ходящимся на расстоянии г = 5 см друг от друга в воздухе,
текут токи силы I = 10 А каждый. Определите магнитную ин-
индукцию В поля, создаваемого токами в точке А, находящейся
посередине между проводниками, для случаев: а) проводники
параллельны, токи текут в одном направлении; б) проводни-
проводники параллельны, токи текут в противоположных направлениях;
в) проводники скрещиваются таким образом, что токи текут во
взаимно перпендикулярных направлениях, а точка А находится
на общем перпендикуляре к проводникам.
3.2142. Постоянный ток /, текущий по тонкому длинному
прямому проводу, создает в вакууме магнитное поле, индукция
которого равна Bq на расстоя-
расстоянии а от оси провода. На этом
же расстоянии а от первого
провода располагают второй,
параллельный первому, по ко™
торому протекает ток силы 21.
Направления токов противо-
противоположны. Определите индук™
цию В магнитного поля в точ-
точках 1, 2 и 5, принадлежащих плоскости, перпендикулярной про-
проводникам (см. рисунок).
3.2152. Два параллельных бесконечно длинных провода, по
которым текут токи силы I = 60 А в одном направлении, рас-
пол ожены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определите
магнитную индукцию В в точке, находящейся на расстоянии
7*1 = 5 см от одного и на расстоянии г2 = 12 см от другого
проводника.
—-Iq 2-^ Л
a \ / a
\ /
a \ /a
К задаче 3.214
144 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
3.2162. По тонкому проводящему кольцу радиуса R = 10 см
течет ток силы I = 80 А. Определите магнитную индукцию В в
точке, равноудаленной от всех точек кольца на г = 20 см.
3.2172. По тонкому проводящему коль-
кольцу радиуса R = 10 см течет ток. Определите
силу I этого тока, если индукция магнитно-
магнитного поля в точке А, лежащей на перпендикуля-
перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его
центр, равна В = 1,0 мкТл, а угол /3 = 10°
(см. рисунок).
3.2182. Два одинаковых круговых витка
провода расположены во взаимно перпендику™
лярных плоскостях и имеют общий центр О.
К задаче 3.217 Если по виткам течет одинаковой силы ток,
индукция магнитного поля в точке О рав-
равна Во- Определите индукцию магнитного поля В в этой точке,
если ток прежней силы течет лишь по одному витку.
3.21Э2. По контуру, имеющему вид равностороннего тре-
треугольника со стороной а = 30 см, течет ток силы I = 0, 3 А.
Определите магнитную индукцию В в центре треугольника.
3.2202. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоуголь™
ника со сторонами а = 30 см и Ъ = 40 см, течет ток силы I =
= 60 А. Определите магнитную индукцию В в точке пересече-
пересечения диагоналей прямоугольника.
3.2212. По проводнику, изогнутому в виде квадрата со сто™
роной а = 10 см, течет ток силы I = 5 А. Определите магнитную
индукцию В поля в точке, находящейся на расстоянии а от всех
вершин квадрата.
3.2222. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не из-
изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во
сколько раз изменилась индукция I? магнитного поля в центре
контура?
3.2232. Планетарная модель атома предполагает, что элек-
электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра
по окружности радиусом г = 0, 53 • 10~10 м. Рассматривая дви-
движение электрона по орбите как круговой ток, определите индук-
индукцию В магнитного поля в центре орбиты.
3.2242. Маленький шарик с зарядом q = 5, 0 • 10^7 Кл, под™
вешенный на невесомой нерастяжимой нити длины L = 1,0 м,
движется равномерно по окружности в горизонтальной плоско™
сти так, что нить все время образует с вертикалью угол а = 60°.
Определите магнитную индукцию В в центре окружности, рас-
рассматривая движение шарика как круговой ток.
3.14 СИЛА ЛОРЕНЦА. СИЛА АМПЕРА 145
3.14. Сила Лоренца. Сила Ампера. Сила
взаимодействия двух проводников
На частицу с электрическим зарядом д, движущуюся в маг-
магнитном поле со скоростью v, направленной произвольным обра™
зом по отношению к вектору магнитной индукции В, действует
сила Лоренца^ равная
F = g[v,B] (в СИ);
модуль силы Лоренца равен
F = qvB sin a,
где а — угол между векторами v и В.
На проводник с электрическим током, находящийся в маг™
нитном поле, действует сила, называемая силой Ампера, равная
геометрической сумме сил Лоренца, которые действуют на дви-
движущиеся в проводнике носители тока. Сила Ампера, действую™
щая на прямолинейный участок проводника длины AL с током
J, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В,
равна
AFA = J[ALB] (в СИ);
направление вектора AL совпадает с направлением тока в про-
проводнике. Модуль силы Ампера равен
AFA = I ALB sin a,
где а — угол между векторами AL и В. Направление силы Ам-
пера может быть определено также по правилу левой руки: если
расположить левую руку так, чтобы силовые линии входили в
ладонь, а направление средних пальцев совпадало с направлени-
направлением тока, то направление отогнутого в сторону большого пальца
совпадает с направлением силы, действующей на проводник.
Если по двум прямолинейным проводникам бесконечной дли-
длины и пренебрежимо малых поперечных размеров, расположен™
ным на расстоянии г один от другого, протекают постоянные
токи с силами 1\ и I2, то на участок любого проводника длины
AL действует сила Ампера, модуль которой равен
^I1I1AL (вСИ)
2тг ^
вектор силы F^4 лежит в той же плоскости, что и оба проводни-
проводника, и перпендикулярен их направлениям. Проводники с токами
одинаковых направлений притягиваются, а с токами противопо-
противоположных направлений — отталкиваются.
Во всех задачах настоящего раздела проводники с током сле-
следует считать прямолинейными, если их форма не оговорена в
условии.
146
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
3.2251. Определите направление силы Ампера, действую™
щей на проводник с током в магнитном поле, для случаев, по-
показанных на рисунке.
© ©
10 В
I©
а б
К задаче 3.225
3.2261. На рисунке указано направление силы Ампера, дей™
ствующей на проводник с током. Определите направление век-
вектора индукции магнитного поля В, считая, что векторы I и В
взаимно перпендикулярны.
I
О
К задаче 3.226
3.2271. Проводник, изготовленный из материала плотности
р и имеющий площадь поперечного сечения s, подвешен на двух
невесомых нерастяжимых нитях в однородном магнитном поле
индукции В. При какой силе тока I в проводнике нити не будут
испытывать натяжения, если вектор магнитной индукции поля
перпендикулярен плоскости подвеса проводника?
3.2282. На горизонтальных рельсах, расстояние между ко™
торыми L = 40 см, лежит стержень, составляющий с рельсами
угол а = 90°. Определите силу тока J, который надо пропустить
по стержню, чтобы он пришел в движение, считая, что рельсы
и стержень находятся в вертикальном однородном магнитном
поле индукции В = 50 мТл. Масса стержня т = 0, 5 кг, коэф™
фициент трения стержня о рельсы /л = 0, 01.
3.2292. Стержень лежит перпендикулярно рельсам, рас™
стояние между которыми L = 50 см. Рельсы составляют угол
а = 30° с горизонтом. Какой должна быть индукция В магнит™
ного поля, перпендикулярного плоскости рельсов, чтобы стер™
жень начал двигаться, если по нему пропустить ток силы I =
3.14 СИЛА ЛОРЕНЦА. СИЛА АМПЕРА 147
= 40 А? Коэффициент трения стержня о рельсы /л = 0, 6, масса
стержня т = 1,0 кг.
3.2302. Проводник длины L и массы т подвешен на тон-
тонких проволочках. При пропускании через него тока силы I он
сместился в однородном вертикальном магнитном поле так, что
проволочки образовали угол а с вертикалью. Определите ин-
индукцию В магнитного поля.
3.2312. Проводник длины L = 30 см с током силы I =
= 20 А находится в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,40 Тл. Вектор магнитной индукции составляет с провод™
ником угол а = 30°. Определите работу А, которая была совер-
совершена внешней силой при перемещении проводника на расстоя-
расстояние х = 25 см в направлении, перпендикулярном магнитному
полю.
3.2323. По жесткому проволочному кольцу диаметра d =
= 10 см и сечения S = 5,0 мм2 течет ток силы I = 5,0 А.
Плоскость кольца перпендикулярна магнитному полю, индук-
индукция которого В = 1 Тл. Определите механическое напряжение
сг, возникающее в проволоке.
3.2333. Проводник массы т = 0, 20 кг и длины L = 0, 60 м
лежит на горизонтальных рельсах, расположенных в горизон-
горизонтальном магнитном поле с индукцией В = 0,10 Тл, причем рель-
рельсы параллельны направлению вектора В. Для того чтобы сдви-
сдвинуть проводник в направлении, противоположном направлению
вектора В, необходимо приложить силу F\ = 0, 50 Н при усло-
условии, что по проводнику течет ток силы I = 20 А. Какую силу
i*2 нужно приложить к проводнику, чтобы привести его в дви-
движение, если направление тока изменится? Сила тока остается
неизменной.
3.2342. Квадратная проволочная рамка расположена в од-
одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее сто-
стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинако-
одинаковые токи силы X = 1,0 кА. Определите силу F, действующую
на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится
от него на расстоянии, равном ее длине.
3.2353. По двум одинаковым плоским квадратным конту-
контурам со стороной а = 20 см текут токи силы I = 10 А. Определите
силу F взаимодействия контуров, если плоскости контуров па-
параллельны, а расстояние между соответствующими сторонами
контуров составляет d = 2, 0 мм.
3.23б2. Квадратная рамка с током I = 0, 90 А расположена
в одной плоскости с длинным прямым проводником, по кото-
которому течет ток силы Jq = 5,0 А. Проходящая через середины
противоположных сторон ось рамки параллельна проводнику и
находится от него на расстоянии, в г) = 1,5 раза превышаю-
148 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
щем длину стороны рамки. Определите силу F, действующую
на рамку, если сторона рамки а = 8, 0 см.
3.2373. Жесткое тонкое проводящее кольцо массы М =
= 2,0 г и радиуса R = 4, 0 см лежит на горизонтальной не-
непроводящей поверхности и находится в однородном магнитном
поле, линии индукции которого также горизонтальны. Магнит-
Магнитная индукция поля В = 0, 50 Тл. Какой ток I нужно пропустить
по кольцу, чтобы оно начало подниматься?
3.2383. Проводящий стержень подвешен горизонтально на
двух легких проводах в магнитном поле, индукция которого на™
правлена вертикально вниз и по модулю равна В = 1,0 Тл.
Длина стержня L = 0, 20 м, масса т = 10 г, длина проводов
L\ = 0,10 м. Провода сверху замыкают заряженным до напря-
жения U = 100 В конденсатором емкости С = 100 мкФ. Опреде-
Определите максимальный угол аМакс отклонения стержня от положе-
положения равновесия после разрядки конденсатора, считая, что раз™
ряд происходит за очень короткое время.
3.15. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц
в электрическом и магнитном полмх
Если движущаяся частица с электрическим зарядом q нахо-
находится в суперпозиции магнитного поля с индукцией В и элек-
электрического поля с напряженностью Е, то на частицу действует
результирующая сила
F = gE + g[v,B] ( в СИ),
которую также называют силой Лоренца или обобщенной силой
Лоренца.
3.2391. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов
U = 2, 0 • 104 В, влетает в однородное магнитное поле с индукци-
индукцией В = 0,10 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Определите радиус кривизны траектории Л, угловую скорость
ш вращения (циклотронную частоту), нормальное ап и танген™
циальное аТ ускорения протона в магнитном поле.
3.2401. Два электрона с кинетическими энергиями К\ и Кч
движутся в однородном магнитном поле, силовые линии которо™
го перпендикулярны к векторам их скоростей. Определите отно-
отношения периодов Т\/Тч их движения по круговым траекториям
и радиусов кривизны R1/R2 этих траекторий.
3.2411. Два иона, имеющие одинаковые заряды и одина-
одинаковые кинетические энергии, но различные массы, движутся в
3.15 СИЛА ЛОРЕНЦА 149
однородном магнитном поле по окружностям радиусов R\ =
= 3, 0 см и Л2 = 1,5 см. Определите отношение масс т\/гп2
этих ионов.
3.2421. Протон и а-частица влетают в однородное магнит-
магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Определите отно-
отношение радиусов Rp/Ra окружностей, по которым движутся эти
частицы, а также отношение их угловых скоростей u)pfouaj если
протон и а-частица имеют одинаковые: а) скорости; б) кинети-
кинетические энергии.
3.2431. В однородное магнитное поле индукции В под уг-
углом а к силовым линиям влетает частица массы т и заряда д,
имеющая скорость v. Определите радиус R и шаг L спирали, по
которой движется частица.
3.2442. Электрон влетает в однородное магнитное поле. В
точке А он имеет скорость v, которая составляет угол а с на-
направлением силовых линий магнитного
поля. Какова должна быть индукция В
поля, чтобы электрон оказался в точке
С (см. рисунок)? Расстояние L между —
точками А и С известно.
3.2451. Электрон движется в од- ~~
нородном магнитном поле по винтовой
линии радиуса R = 40 мм и шагом L = ~~
= 200 мм. Индукция магнитного поля
В = 5, 0 • 10~3 Тл. Определите скорость к задаче 3.244
v электрона.
3.2461. Протон влетает в однородное магнитное поле с ин-
индукцией В = 0,40 Тл под углом а = 30° к направлению сило-
силовых линий и движется по винтовой линии радиуса R = 0, 50 см.
Определите кинетическую энергию К протона.
3.2472. Электрон влетает в слой однородного магнитного
поля толщины L. Скорость электрона равна v и перпендику-
перпендикулярна как к силовым линиям магнитного поля, так и к парал-
параллельным плоскостям, ограничивающим поле. Под каким углом
а электрон вылетит из магнитного поля? Магнитная индукция
поля равна В. Силовые линии поля параллельны границам поля.
3.2482. В слой однородного магнитного поля толщины h =
= 0,10 м по нормали к параллельным плоскостям, ограничиваю-
ограничивающим поле, и к силовым линиям поля влетает а-частица. Опре-
Определите скорость v частицы, если после прохождения поля она
отклонилась на угол ср = 30° от первоначального направления
движения. Индукция поля В = 0,10 Тл. Силовые линии поля
параллельны границам поля.
150 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ГЛ. 3
3.24Э2. Протон влетает в область магнитного поля под уг™
лом а = 60° к плоскости, ограничивающей полупространство,
занятое полем, и по нормали к силовым линиям поля. Время
движения протона в области поля т = 0,5-1СР5 с. Какова индук-
индукция В этого поля? Силовые линии поля параллельны границам
поля.
3.2502. Электрон движется по окружности радиуса R =
= 10 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 1, 0 Тл.
Параллельно магнитному полю в некоторый момент времени
включается однородное электрическое поле напряженности Е =
= 100 В/м. За какой промежуток времени т кинетическая энер-
энергия электрона увеличится в два раза?
3.2512. Отрицательно заряженная частица влетает в об™
ласть однородного магнитного поля с индукцией В = 1,0 мТл,
где движется по дуге окружности радиуса R = 0, 20 м. Затем ча-
частица попадает в однородное электрическое поле, где пролетает
вдоль направления силовой линии участок с разностью потен-
потенциалов U = 1,0 кВ. При этом скорость частицы изменяется в
п = 3 раза. Определите конечную скорость v частицы.
3.2522. Однородные магнитное и электрическое поля на-
направлены взаимно перпендикулярно. Напряженность электри-
электрического поля Е = 0, 50 кВ/м, индукция магнитного поля В =
= 1,0 мТл. Определите, с какой скоростью v и в каком направ-
направлении должен лететь электрон, чтобы двигаться прямолинейно.
3.2532. Заряженная частица массы тис зарядом д, пройдя
разность потенциалов Uq, влетает в плоский конденсатор, заря-
заряженный до разности потенциалов U, параллельно его пласти-
пластинам. Расстояние между пластинами конденсатора d. Конденса-
Конденсатор находится в однородном магнитном поле. Какова должна
быть индукция В магнитного поля, чтобы скорость частицы во
время ее движения в конденсаторе не изменилась?
3.2543. В однородном магнитном поле с индукцией В с по™
стоянной скоростью v: составляющей угол а с вектором магнит-
магнитной индукции, движется металлический шарик радиуса г. Ука-
Укажите точки шарика, разность потенциалов Aip между которыми
максимальна, и определите величину А^Макс этой разности по™
тенциалов.
3.2553. В однородном магнитном поле, вектор магнитной
индукции которого направлен вверх, движется по окружности
подвешенный на нерастяжимой нити длины L заряженный ша-
шарик массы тис зарядом q. Определите радиус г окружности,
по которой движется шарик, если нить все время натянута, пе-
период обращения шарика равен Г, а индукция магнитного поля
равна В.
3.16 ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 151
3.16. Магнитный поток. Закон электромагнитной
индукции
Потоком вектора В магнитной индукции (магнитным пото-
потоком) сквозь малую поверхность площади AS называют физиче™
скую величину
АФВ = В AS = BnAS = В AS cos a,
где AS = и AS, n — единичный вектор нормали к площадке AS,
Вп — проекция вектора В на направление нормали п, а- угол
между векторами В и п. Малая площадка AS выбирается так,
чтобы ее можно было считать плоской, а магнитное поле в ее
пределах — однородным.
При вычислении магнитного потока Фд через произвольную
поверхность S ее необходимо разбить на малые площадки ASi,
удовлетворяющие перечисленным выше условиям, определить
магнитные потоки АФвг через эти площадки и вычислить Ф^е
как алгебраическую сумму ДФ^; при вычислении этой суммы
векторы п^ нормалей к площадкам ASi нужно направлять в од™
ну и ту же сторону по отношению к поверхности S.
Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-
Максвелла): ЭДС ?шш электромагнитной индукции в контуре
пропорциональна и противоположна по знаку скорости измене-
изменения магнитного потока Фв сквозь поверхность, натянутую на
этот контур:
НФ
?инд = -^ (В СИ).
Индукционный ток имеет такое направление, что приращение
созданного им магнитного потока через площадь, ограниченную
контуром, и приращение потока магнитной индукции внешнего
поля противоположны по знаку (правило Ленца).
Разность потенциалов AcpJ возникающая между концами
проводника длины L, движущегося со скоростью v в однород-
однородном магнитном поле с индукцией В равна
А<р = BLv sin a,
где а — угол между направлениями векторов v и В.
3.2562. В замкнутую накоротко катушку один раз быстро, а
другой раз медленно вдвигают постоянный магнит. Одинаковый
ли заряд переносится при этом индукционным током? Ответ
обосновать.
3.2572. Постоянный магнит, имеющий форму полосы, рав-
равномерно проходит сквозь замкнутую накоротко катушку. Изоб-
Изобразите примерный график зависимости индукционного тока,
возникающего в катушке, от положения магнита. Рассмотрите
152
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
случай, когда длина полосового магнита а меньше длины ка-
тушки L.
3.2581. Скорость летящего горизонтально самолета v =
= 900 км/ч. Определите разность потенциалов С/, возникающую
между концами крыльев этого самолета, если вертикальная со™
ставляющая индукции магнитного поля Земли равна В = 0, 5 х
х 10 Тл, а размах крыльев самолета L = 12,5 м.
3.2592. Проводник длины L = 20 см перемещают в одно-
однородном магнитном поле с индукцией В = 0,10 Тл так, что его
ось составляет угол а = 30° с направлением поля. Как нуж-
но двигать проводник, чтобы разность потенциалов между его
концами возрастала равномерно на АС/ =
= 1,0 В за At = 1 с?
3.2602. В магнитном поле, индукция
которого равна ?», с постоянной частотой v
вращается стержень длины L. Ось враще-
ния проходит через конец стержня и парал™
лельна линиям индукции магнитного поля
(см. рисунок). Определите разность потен™
циалов Aifj возникающую между концами
стержня.
3.2611. В однородном магнитном поле с индукцией В с по™
стоянной частотой v вращается рамка площади S. Ось вращения
лежит в плоскости рамки и перпендикулярна к линиям индук-
ции (см. рисунок). Определите максималь-
ную ЭДО индукции ?макс? возникающую в
рамке.
3.2621. Катушка диаметра d, состоя™
щая из N витков, находится в магнитном
поле, вектор индукции которого паралле-
параллелен оси катушки. Определите среднее зна-
значение ЭДС индукции ?ср, возникающей в
катушке за промежуток времени At, в те-
течение которого магнитная индукция уве-
увеличивается от В\ до #2-
в
<
i '
i
i—m
L
К задаче 3.260
В
К задаче 3.261
3.2632. В однородном магнитном поле с индукцией В =
= 0,10 Тл расположен плоский проволочный виток так, что его
плоскость перпендикулярна линиям индукции. Виток замкнут
на гальванометр. При повороте витка через гальванометр про-
протекает заряд д = Э,5-10~3 Кл. На какой угол а будет при этом
повернут виток? Площадь витка S = 1000 см2, сопротивление
витка R = 2,0 Ом.
3.2642. В однородном магнитном поле с индукцией В =
= 0,10 Тл находится виток площади S = 10 см2, расположенный
3.16
ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
153
перпендикулярно линиям индукции. Сопротивление витка R =
= 2,0 Ом. Какой заряд q пройдет по витку при выключении
поля?
3.2652. Тонкий изолированный медный провод согнут в ви-
виде квадрата. Концы провода замкнуты. Квадрат помещен в од™
нородное магнитное поле с индукцией В = 0,10 Тл так, что
его плоскость перпендикулярна линиям индукции поля. Опре-
Определите заряд QJ который протечет по проводнику, если провод™
ник превратить (потянув за расположенные на одной диагонали
вершины квадрата) в сложенный вдвое прямолинейный отрезок.
Масса провода т = 1, 0 г, плотность меди D = 8, 9 • 103 кг/м3, а
ее удельное сопротивление р = 1, 68 • 10™8 Ом-м.
3.26б3. В однородном магнитном поле с ин-
индукцией В = 1,0 • 10™2 Тл расположены верти-
вертикально на расстоянии L = 50 см друг от дру™
га два металлических прута, замкнутых сверху
проводником. Плоскость, в которой расположе-
расположены прутья, перпендикулярна к направлению ин-
индукции магнитного поля. По прутьям без трения
и нарушения контакта скользит вниз с постоян-
постоянной скоростью v = 1,0 м/с перемычка aft мас-
массы га = 1,0 г (см. рисунок). Определите сопро-
сопротивление R перемычки aft, считая сопротивление
а
L
0В
¦1
ъ
К задаче 3.266
прочих элементов конструкции пренебрежимо малым.
3.2673. По двум металлическим параллельным рейкам, рас-
расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым конден-
конденсатором емкости С, может без тре-
трения двигаться проводник массы т и
длины L. Система находится в од-
однородном магнитном поле, вектор
магнитной индукции которого на-
направлен вертикально вверх (см. ри-
рисунок). К середине проводника пер-
перпендикулярно ему и параллельно
рейкам приложена сила F. Опреде-
К задаче 3.267
лите ускорение а проводника, если сопротивление всех элемен-
элементов системы равно нулю. В какие виды энергии переходит работа
А силы F? Индукция магнитного поля равна В. В начальный
момент скорость проводника равна нулю.
3.2683. Горизонтальная плоскость прямоугольной проволоч-
проволочной рамки abed (см. рисунок) перпендикулярна к силовым ли-
линиям однородного магнитного поля с индукцией I? = 1,0 мТл.
Сторона рамки 5с, имеющая длину L = 1, 0 см, может скользить
без нарушения контакта с постоянной скоростью v = 10 см/с по
сторонам am и dn. Между точками а ш d включена лампочка со-
154
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
противлением R = 5, 0 Ом. Какую силу F нужно приложить к
стороне be для осуществления такого движения? Сопротивление
всех элементов системы, кроме
лампочки, считать пренебрежимо
малым. Трение отсутствует.
3.2694. По горизонтальным
параллельным рельсам, расстоя-
расстояние между которыми равно d, мо-
может скользить без трения пере™
мычка массы га. Рельсы соедине-
соединены резистором сопротивления R
и помещены в однородное магнит™
ное поле, вектор магнитной индук-
а
Г в
1
L
> т
V
К задаче 3.268
ции которого направлен вертикально (см. рисунок). Перемычке
толчком сообщают скорость vq. Определите путь s, пройденный
перемычкой до остановки. Индукция магнитного поля равна В.
Сопротивление всех элементов системы, кроме резистора, счи™
тайте пренебрежимо малым. Как изменится ответ, если вектор
В будет направлен вертикально вниз?
К задаче 3.269
К задаче 3.270
3.2703. Две параллельные шины, подключенные к аккуму-
аккумулятору с ЭДС ?q и внутренним сопротивлением г, находятся в
однородном магнитном поле с индукцией В. Шины замкнуты
проводником длины L и сопротивления i?, который перемеща-
перемещается по шинам со скоростью v перпендикулярно полю (см. рису-
рисунок). Пренебрегая сопротивлением шин и трением, определите
напряжение U на зажимах источника, мощность РтеПл тепловых
потерь в проводнике, а также механическую мощность РМех5 под-
подводимую к проводнику.
3.2714. В магнитном поле с большой высоты падает коль-
кольцо, имеющее диаметр D и сопротивление R. Плоскость кольца
сохраняет горизонтальное положение. Определите установившу-
установившуюся скорость v падения кольца, если проекция вектора магнит-
магнитной индукции на направленную вертикально вверх ось Oz из-
изменяется с высотой z по закону Bz = BqA + az). Масса кольца
равна га.
3.17
ИНДУКТИВНОСТЬ. ЭДС САМОИНДУКЦИИ
155
3.2723. На горизонтальных проводящих стержнях лежит
металлическая перемычка массы га. Коэффициент трения меж-
между стержнями и перемычкой равен
/i. Стержни замкнуты на резистор
сопротивлением R. Система нахо-
находится в магнитном поле, индукция
которого направлена вертикально
вверх, а ее модуль зависит от вре-
времени по закону В = At. Определи-
Определите, в какой момент времени to пере-
перемычка начнет двигаться по стерж-
стержням. Расстояние между стержнями
L, расстояние между перемычкой
\R
0
в
h
К задаче 3.272
и резистором h (см. рисунок). Сопротивление всех элементов
системы, кроме резистора, считайте пренебрежимо малым.
3.17. Индуктивность. ЭДС самоиндукции
Магнитный поток Фв через площадь, ограниченную конту-
контуром с током, пропорционален силе тока I в проводнике:
Фя = Ы,
где L — индуктивность проводника.
В частности, индуктивность соленоида
L = fjLQfjLn2lS,
где п — число витков на единицу длины соленоида, I — его дли™
на, S — площадь поперечного сечения.
ЭДС самоиндукции ?caMj возникающая в проводящем конту-
контуре с не зависящей от времени индуктивностью L при изменении
силы тока в нем, равна
? --Ld-
at
Энергия магнитного поля проводника индуктивности L, сила
тока в котором равна I
3.2731. Через соленоид, индуктивность которого равна L =
= 0,40 мГн, а площадь поперечного сечения S = 10 см2, прохо-
проходит ток силы I = 0, 50 А. Какова индукция магнитного поля В
внутри соленоида, если он содержит N = 100 витков?
3.2741. В катушке без сердечника за время At = 10 мс ток
возрос от Ji = 1, 0 А до /2 = 2, 0 А, при этом в катушке возникла
156
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ГЛ. 3
ЭДС самоиндукции ? = 20 В. Определите поток магнитной ин-
дукции Ф в конце процесса нарастания тока и изменение энергии
AW магнитного поля катушки.
3.2752. Энергия магнитного поля в катушке уменьшилась
за счет изменения тока в ней в п = 4 раза в течение At = 0, 20 с.
Индуктивность катушки L = 0,16 Гн, первоначальный ток в ка-
катушке Jq = 8,0 А. Определите ЭДС самоиндукции ? в катушке,
считая, что сила тока зависит от времени линейно.
3.2763. В электрическую цепь последовательно включены
батарея с ЭДО ? = 12 В, реостат и катушка индуктивности
L = 1,0 Гн. При сопротивлении реостата Rq = 10 Ом в це-
цепи протекает некоторый постоянный ток. Затем сопротивление
реостата изменяют таким образом, чтобы ток в цепи равномер-
равномерно уменьшался со скоростью AI/At = 0,20 А/с. Определите
полное сопротивление R(t) цепи через т = 2,0 с после начала
изменения тока. Внутреннее сопротивление батареи и проводов
катушки пренебрежимо мало.
3.2773. Катушка 1 индуктивности Li, состоящая из N вит-
витков площади S каждый, находится в однородном магнитном по™
ле. Вектор индукции поля В направлен вдоль оси катушки. Вне
поля расположена катушка 2 индуктивности L2, соединенная с
первой (см. рисунок). Определите силу тока J, возникающего в
катушках после выключения поля. Сопротивление соединитель-
соединительных проводников и проводов катушек пренебрежимо мало.
3.2783. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный
момент времени ключ К разомкнут, конденсатор не заряжен.
Определите максимальное значение силы тока /Макс после за-
замыкания ключа. Индуктивность катушки L, емкость конденса-
конденсатора С и ЭДС ? известны. Сопротивление проводов катушки и
внутреннее сопротивление источника пренебрежимо малы.
i
с
(i
в
L К
I
I
К задаче 3.277
К задаче 3.278
К
К задаче 3.279
3.2793. Источник постоянного тока через ключ замкнут на
соединенные параллельно катушку индуктивности L = 0, 80 Гн
и резистор сопротивления R = 25 Ом (см. рисунок). Сразу после
размыкания ключа в резисторе выделяется тепловая мощность
Р = 100 Вт. Какое количество теплоты Q выделится в резисторе
3.17 ИНДУКТИВНОСТЬ. ЭДС САМОИНДУКЦИИ 157
к моменту прекращения тока в цепи? Сопротивление катушки
пренебрежимо мало.
3.2803. Катушка индуктивности L = 2,0 мкГн и сопротив-
сопротивления Rq = 1,0 Ом подключена к источнику постоянного тока
с ЭДС ? = 3, 0 В. Параллельно катушке включен резистор с
сопротивлением R = 2, 0 Ом (см. рисунок к задаче 3.279). Ключ
К первоначально замкнут. После того, как в катушке устанав™
ливается постоянный ток, источник тока отключают, размыкая
ключ. Определите количество теплоты Q, выделившееся в си™
стеме после размыкания ключа. Сопротивление источника тока
и соединительных проводов пренебрежимо мало.
3.2813. Параллельно соединенные катушку индуктивности
L и резистор сопротивления R присоединили через ключ к ис™
точнику с ЭДС ? и внутренним сопротивлением г (см. рисунок
к задаче 3.279). В начальный момент ключ К разомкнут и тока
в цепи нет. Какой заряд q пройдет через резистор после замы™
кания ключа? Сопротивление катушки пренебрежимо мало.
3.2823. Катушки Its 2с индуктивностями соответственно L\
и L2 подключены параллельно через ключи К\ и К2 к источни-
источнику тока с ЭДС ? и внутренним сопро-
сопротивлением г (см. рисунок). В началь™
ный момент времени оба ключа разо™
мкнуты. После того, как ключ К\ за™
мкнули и ток через катушку 1 достиг
некоторого значения /q, был замкнут
ключ К.2- Определите установившиеся
токи через катушки Its. 2 после замыка™
ния ключа if2- Сопротивление катушек т_
г * г j К задаче 3.282
пренебрежимо мало.
3.2833. Ток в замкнутом накоротко сверхпроводящем со™
леноиде медленно изменяется вследствие несовершенства кон-
контакта. Создаваемое этим током магнитное поле уменьшается на
г] = 2 % за At = 1 час. Определите сопротивление контакта Л,
если индуктивность соленоида L = 1, 0 Гн.
3.2843. Сверхпроводящее кольцо радиуса г и индуктивности
L помещено в однородное магнитное поле, индукция которого
возрастает от нуля до Д> Плоскость кольца перпендикулярна к
линиям индукции магнитного поля. Определите силу индукци™
онного тока J, возникающего в кольце.
ГЛАВА 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4.1. Кинематика гармонических колебаний
Колебаниями называют процессы (движения или изменения
состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.
Систему, совершающую колебания, называют колебательной
системой. Свободными (собственными) колебаниями называют
колебания, которые происходят в отсутствие переменных внеш-
них воздействий на колебательную систему и возникают вслед-
вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от со™
стояния ее устойчивого равновесия. Вынужденными колебания-
колебаниями называют колебания, возникшие в какой-либо системе под
влиянием переменного внешнего воздействия.
Колебания называют периодическими, если значения всех
физических величин, характеризующих колебательную систему
и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные
промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удо-
удовлетворяющий этому условию, называют периодом колебаний.
За период колебаний Т система совершает одно полное колеба-
колебание. Частотой периодических колебаний называют величину
v = —, равную числу полных колебаний, совершающихся в еди™
ницу времени. Циклической (круговой, в электротехнике — уг-
угловой) частотой периодических колебаний называют величину
ш = 2тп/ = —, равную числу полных колебаний, совершающихся
за 2тг единиц времени.
При периодических колебаниях зависимость колеблющейся
величины s от времени t удовлетворяет условию s(t + T) = s(t).
Периодические колебания величины s называют гармониче-
гармоническими колебаниями^ если
s(t) = Асов (out + сро) или s(t) = Asm(u)t +(pi), D.1.1)
где ш = шу = — = const — циклическая частота гармонических
колебаний, А — максимальное отклонение колеблющейся вели-
4.1 КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 159
чины от положения равновесия, называемое амплитудой коле-
колебаний , <ро и (pi = <ро ~~ — — постоянные величины. Значение s
в произвольный момент времени t определяется значением фа-
фазы колебаний Ф(?) = out + (fg (соответственно #i(t) = out + <pi).
Величины <ро л <pi представляют собой начальные фазы колеба-
колебаний, т.е. значения Ф(?) и *&i(t) в момент начала отсчета времени
4 = 0.
Первая и вторая производные по времени от гармонически
колеблющейся величины s(t) также совершают гармонические
колебания той же циклической частоты:
ds(t) d г , , Ч1 . . , ч
—— = — [A cos [cot + lpq)\ = — Аш sin (ut + (po) =
CLT/ (Ль
= Аш cos (ujt + (po + —j , D.1.2)
d2s(t) 9 2
= — Аш cos (cj? + (po) = Ла; cos (a;t + (p® + тг)
2
В настоящем разделе рассматриваются кинематические ве-
величины, характеризующие механические колебания материаль-
материальной точки.
4.11. Материальная точка совершает колебания вдоль оси
Ож по закону x(t) = 6ttcos l—t+ j J, где t измеряется в секун™
дах, ж — в метрах. Определите амплитуду А, циклическую ча-
частоту и, частоту v1 период Т и начальную фазу (р® колебаний.
4.21. Материальная точка движется вдоль оси Ох по зако-
закону x(t) = 47rsin (—?+ — ), где t измеряется в секундах, х — в
метрах. Определите максимальное значение проекции скорости
точки vx\ значение проекции скорости точки vx в момент време-
времени t = 0; максимальное значение проекции ускорения точки ах;
значение проекции ускорения точки ах в момент времени t = 0.
4.31. Материальная точка движ:ется вдоль оси Ох. Зави™
симость координаты точки от времени описывается одним из
уравнений:
а) x(t) = acosa;t + bsinout;
б) x(t) = a sin2 out;
в) x{t) = atmnuut]
r) x(t) = 3 + 2(cos 2) sin Lot - -
д) x(t) = a 8'rn^ out.
160 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
Какие из перечисленных зависимостей x(t) соответству-
соответствуют гармоническим колебаниям? Для случаев, соответствую-
соответствующим гармоническим колебаниям, укажите положение равнове™
сия точки жо, амплитуду колебания Д циклическую частоту шд
и начальную фазу щ колебания, а также запишите зависимость
координаты от времени в виде x(t) = xq + A cos (oot + 9^0)-
4.41. Материальная точка совершает колебания вдоль оси
Ох по закону x(t) = A cos out. Определите: а) зависимость от
времени проекции скорости vx(t); б) разность фаз Acpi между
скоростью и координатой; в) зависимость от времени проекции
ускорения ax(t); г) разность фаз A(f2 между ускорением и коор™
динатой; д) разность фаз А(р% между скоростью и ускорением.
Изобразите один под другим графики функций x(t),vx(t),ax(t).
4.52. Материальная точка совершает гармонические коле™
бания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0, 60 с и ампли-
амплитудой А = 10 см. Определите среднюю скорость г;ср, с которой
она проходит путь, равный половине амплитуды, начиная дви™
жение: а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.
4.б2. В момент времени t = 0 материальная точка начинает
двигаться вдоль оси Ох из начала координат. Скорость точки
зависит от времени по закону: vx{t) = 35cos7rt [см/с] (здесь t —
в секундах). Определите путь s, пройденный частицей, и ее ко™
ординату х спустя время т = 2, 8 с после начала движения.
4.71. Материальная точка совершает гармонические коле™
бания вдоль оси Ох с циклической частотой ш и амплитудой А.
Получите зависимости проекций скорости vx и ускорения ах от
смещения х. Представьте эти зависимости графически. Начало
координат совпадает с положением равновесия частицы.
4.82. Точечная частица совершает гармонические колебания
вдоль оси Ох с циклической частотой ш = 4, 0 с. Спустя какое
минимальное время At после прохождения положения равнове-
равновесия х = 0 частица будет иметь смещение х = 0, 25 м и скорость
vx = 1,0 м/с? Начало координат совпадает с положением рав-
равновесия частицы.
4.Э2. Точечная частица совершает гармонические колебания
вдоль оси Ох с циклической частотой ш = 4, 0 с^1. В некоторый
момент времени частица имеет координату х\ = 25 см и ско™
рость vxi = 1,0 м/с. Определите координату Х2 и скорость vX2
частицы спустя At = 2,4 с. Начало координат совпадает с по™
ложением равновесия частицы.
4.102. Точечная частица совершает гармонические колеба-
колебания вдоль оси Ох. В некоторый момент времени частица имеет
координату х\ = 3, 0 см, скорость vx\ = 8, 0 см/с и ускорение
ах\ = —12 м/с2. Определите амплитуду А, циклическую часто-
4.2 ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 161
ту а; и период Т колебаний. Начало координат совпадает с по™
ложением равновесия частицы.
4.II2. Точечная частица совершает гармонические колеба-
колебания вдоль оси Ох так, что начало координат совпадает с поло™
жением равновесия частицы. При значениях координаты х\ ж
Х2 значения проекции скорости частицы на ось Ох равны со-
соответственно vi и V2- Определите амплитуду А и циклическую
частоту ш колебаний.
4.122. Математический маятник длины L колеблется с угло-
вой амплитудой аш. Угол отклонения нити от положения равно-
равновесия в начальный момент времени равен од. Получите зависи-
зависимости от времени угла отклонения нити маятника от положения
равновесия а(?), угловой скорости uj(t) и углового ускорения e(t)
маятника.
4.132. Циклическая частота колебаний математического ма-
маятника ш в п = 10 раз больше максимальной угловой скорости
шш нити маятника. Определите: а) угловую амплитуду аш ко-
колебаний маятника; б) максимальные значения тангенциального
ускорения (ат)макс и нормального ускорения (ап)Макс шарика ма-
маятника.
4.143. Математический маятник длины L колеблется с уг-
угловой амплитудой аш. Угол отклонения нити от положения рав-
равновесия в начальный момент времени равен а®. Получите зави-
зависимости от времени нормального ап и тангенциального ат уско-
ускорений шарика. Являются ли эти зависимости гармоническими?
Если да, то укажите соответствующие циклические частоты ш®п
и шОт.
4.153. Точечная частица совершает гармонические колеба-
колебания вдоль оси Ох так, что начало координат совпадает с поло-
положением равновесия частицы. Известно, что в момент времени
to координата и скорость тела равны х® и v® соответственно.
Циклическая частота колебаний равна ш. Докажите, что зави™
симость координаты тела от времени можно представить в виде
x(t) = х® cos [uj(t — to)] + — sin [uj(t — to)].
UJ
4.2. Динамика колебательного движения
Если материальная точка совершает прямолинейные гармо-
гармонические колебания вдоль оси координат Ох около положения
равновесия, принятого за начало координат, то зависимость ко-
координаты х точки от времени t имеет вид (см. формулу D.1.1)),
где s = х:
x(i) = Асон (ujt
6 С.Н. Белолипецкий и др.
162 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
Проекции скорости v и ускорения а точки на ось Ох равны
vx = ~^о sin М + (ро), ах = -ао cos (ut + <ро),
где v® = Аы — амплитуда скорости, ао = Аш2 = vquj — ампли-
амплитуда ускорения. Сила F, действующая на материальную точку,
равна
F = тщ Fx = ^тш ж,
где т — масса материальной точки. Следовательно, сила F
пропорциональна смещению материальной точки из положения
равновесия и направлена в противоположную сторону:
F = тш
где i — орт оси Ох.
Такая зависимость силы от смещения характерна для упру™
гой силы. Поэтому силы иной физической природы, удовлетво-
удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупругими.
Аналогичное соотношение можно получить для малых коле™
баний маятника с закрепленной горизонтальной осью вращения,
не проходящей через центр масс маятника (осью качания):
М = ^Juj2a,
где М — результирующий момент сил, приложенных к маятни-
маятнику, J — его момент инерции, а — угол, характеризующий откло™
нение маятника от положения равновесия. М и J вычисляются
относительно оси качания маятника.
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей
прямолинейные гармонические колебания по закону x(t) =
= A cos (ut + (fo)j равна
WK = -mv2 = -hivq sin2(ut + <po) = -ты2A2 sln2(ci;t + y?o),
2 2 Л
- cos But + 2ip0)].
ИЛИ
Кинетическая энергия материальной точки совершает rap™
монические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой
-тоо2А2 около среднего значения, равного -ты2А2.
Потенциальная энергия материальной точки, гармонически
колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна
х
Wn = — I Fxdx = -тш2х2 = -ты2A2 cos2(a;t +
и 2 2
0
ИЛИ
Wn = -mo;2^2[l+cos Bujt+2(p0)} = i
4.2 ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 163
Потенциальная энергия материальной точки совершает гар™
монические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой
-тш2А2 около среднего значения, равного -ты2А2. Колебания
4 4
потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом
по фазе на тг, так что полная механическая энергия материаль-
материальной точки при гармонических колебаниях не изменяется:
W = WK + Wn = ^тш2А2 = const.
Дифференциальное уравнение колебаний может быть полу-
получено путем вычисления производной по времени от последнего
равенства.
Во всех задачах настоящего раздела считайте, что трение
отсутствует, массы пружин пренебрежимо малы, а колеблющи™
еся тела представляют собой материальные точки, если иное не
указано в условиях задачи.
4.161. Материальная точка массы т движется таким обра-
образом, что проекция ее радиус-вектора на ось Ох гармонически
зависит от времени: x{t) = ^4cos(o;ot + (fo). Найдите зависи-
зависимость от координаты х проекции на ось Ох равнодействующей
всех приложенных к телу сил Fx(x). Определите коэффициент
пропорциональности к между Fx(x) и смещением х при гармо™
нических колебаниях тела (коэффициент квазиупругой силы).
4.171. Частица массы т движется вдоль оси Ох под дей-
действием силы Fx(x) = —к(х — жо), где к и хд — некоторые из™
вестные постоянные, причем к > 0. Что можно сказать о виде
зависимости x{t)l Какие кинематические величины, характери-
зующие движение частицы, могут быть определены в условиях
данной задачи? Какие величины должны быть дополнительно
заданы в условии задачи для определения функции x{t)l
4.181. Определите вид зависимости x{t) в условиях преды-
предыдущей задачи, считая, что дополнительно указаны значения ко-
координаты х@) и скорости х@) частицы в момент времени t = 0.
4.191. Грузик массы т = 200 г, прикрепленный к горизон-
горизонтальной пружине жесткости к = 20 Н/м, покоится на гладкой
горизонтальной плоскости. Второй конец пружины закреплен.
Грузику толчком сообщили горизонтальную скорость ^о = 0, 98
м/с, направленную вдоль оси пружины. Определите закон дви™
жения грузика ж(?), считая, что направление начальной скоро-
скорости совпадает с положительным направлением оси Ох.
4.202. Грузик массы т = 200 г подвешен на вертикаль-
вертикальной пружине жесткости к = 20 Н/м. Его удерживают таким
образом, что пружина остается недеформированной. В момент
времени t = 0 груз освобождают, не сообщая ему начальной
164
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
скорости. Определите закон движения грузика ж(?), считая, что
ось Ох направлена вертикально вниз, а значение координаты
х = 0 соответствует положению нижнего конца недеформиро™
ванной пружины. Сравните полученный результат с результа-
результатом задачи 4.19.
4.212. Определите период малых продольных колебаний те-
тела массы т в системах, показанных на рисунке, если жесткости
пружинок равны к\ и &2-
ллд/wv
к2
JWVWWVW\r
д^\дт^у\лл/у^
К задаче 4.21
4.223. Грузик массы га, находящийся на горизонтальной
гладкой поверхности между двумя вертикальными стенками, со™
единен с ними горизонталь-
к { ^^_^_^ к 2 т ными пружинками жестко-
жесткости к\ и кч (см. рисунок).
Определите закон движе-
движения груза. Зависит ли от-
ответ от того, деформированы
К задаче 4.22 пружины в положении рав-
равновесия системы или нет?
4.232. Определите период Т малых вертикальных коле-
колебаний тела массы m в системе, показанной на рисунке, если
жесткости пружинок равны ^и^,а трение пренебрежимо мало.
¦к,
К задаче 4.23
К задаче 4.24
К задаче 4.25
4.242. Вертикально ориентированная пробирка с дробью на
дне плавает в воде (см. рисунок). Определите период Т малых
4.2 ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 165
колебаний пробирки, если ее вывели из положения равновесия
легким толчком в вертикальном направлении. Площадь попе-
поперечного сечения пробирки S, ее масса вместе с дробью га, плот™
ность воды р.
4.252. Определите период Т малых колебаний ртути массы
га = 200 г, налитой в U-образную трубку сечения S = 0, 50 см2
(см. рисунок). Плотность ртути р = 13, 6 • 103 кг/м3.
4.262. Покажите, что при малых колебаниях математиче™
ского маятника длины L равнодействующая приложенных к
грузику сил представляет собой квазиупругую силу. Определи™
те коэффициент квазиупругой силы к и циклическую частоту
колебаний ш®. Масса грузика равна га.
4.272. Определите, на какую часть от первоначальной дли™
ны должна быть укорочена нить математического маятника,
чтобы при подъеме на высоту h = 10 км над поверхностью Зем-
Земли период его колебаний не изменился.
4.282. Определите период Т малых колебаний математиче-
математического маятника длины L = 20 см, если он находится в жидкости
с плотностью в п = 3 раза меньшей плотности материала шари™
ка. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.
4.2Э2. Небольшой металлический шарик массы га подвешен
на нити длины L над бесконечной непроводящей горизонталь-
горизонтальной плоскостью, равномерно заряженной с плотностью а. Опре™
делите период Т малых колебаний маятника, если заряд шарика
равен —q (заряды шарика и плоскости противоположны по зна™
ку)-
4.303. Определите период Т малых колебаний математи™
ческого маятника длины L, точка подвеса которого закрепле-
закреплена в кабине лифта, движущегося с постоянным ускорением а:
а) вверх; б) вниз.
4.313. Определите период Т малых колебаний и положение
равновесия математического маятника длины L, находящегося
в вагоне, движущемся с постоянным горизонтальным ускорени-
ускорением а.
4.323. Точка подвеса математического маятника длины L
движется относительно поверхности Земли с постоянным уско™
рением а. Определите период Т колебаний и угол «сь который
составляет нить подвеса в положении равновесия маятника с
вектором ускорения свободного падения g. Вычислите эти зна™
чения при условии, что угол между векторами а и g составляет
/3 = 120°, L = 21 cm, a = g/2.
4.333. Лифтер высотного здания, будучи человеком пунк-
пунктуальным, повесил на стену лифта точные маятниковые часы,
чтобы знать, когда заканчивается рабочий день. Время движе™
166 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
ния лифта с ускорением, направленным вверх и направленным
вниз, одинаково (по неподвижным часам), величина ускорения
в обоих случаях также одинакова. Как вы думаете, закончит ли
лифтер работу вовремя, переработает или недоработает? Ответ
обоснуйте аналитически.
4.344. Представим себе шахту, пронизывающую Землю на-
насквозь по ее оси вращения. Рассмотрев движение тела, упавшего
в шахту, определите: а) время т, которое потребуется телу, что-
чтобы достигнуть ее противоположного конца; б) скорость v тела в
центре Земли. Землю считайте однородным шаром.
4.353. Невесомая штанга длины L одним концом закрепле-
закреплена в идеальном шарнире, а другим прикреплена к вертикаль-
вертикально расположенной пружине с жесткостью к (см. рисунок) так,
что способна совершать колебания в вертикальной плоскости.
На расстоянии х от шарнира на штанге закреплен груз массы
т. Определите период Т малых колебаний этой системы.
К задаче 4.35 К задаче 4.36
4.363. Однородную доску положили на два одинаковых ци-
линдрических катка, вращающихся навстречу друг другу, как
показано на рисунке. Расстояние между осями катков L = 20 см,
коэффициент трения между доской и катками /л = 0,18. По-
Покажите, что доска будет совершать гармонические колебания.
Определите их период Т.
4.371. Тело массы m совершает малые продольные колеба-
колебания с амплитудой А в системе, показанной на рисунке. Жест-
Жесткость пружины равна к, трение от-
отсутствует. Получите зависимости
от времени кинетической WK(t) и
потенциальной Wn(t) энергий си-
системы, если в начальный момент
времени t = 0 система находится в
К задаче 4.37 положении равновесия. Определи™
те: а) являются ли эти зависимости
гармоническими; б) с каким сдвигом по фазе А(р изменяются
WK(t) и Wn(t); в) как связаны периоды Тк и Тп колебаний WK(i)
и Wn(t) с периодом Т собственных колебаний маятника; г) вид
зависимости от времени полной механической энергии маятника
E(t) = WK(t) + Wu(t); д) максимальные, минимальные и средние
по времени значения WK(t) и ШпA); е) каким значениям смеще-
М
4.2 ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 167
ния от положения равновесия они соответствуют; ж) амплитуды
WKo и WnO колебаний WK(t) и Wn(t). Постройте один под другим
графики зависимости от времени WK(^M Wn(t) и E(t).
4.381. Пружинный маятник, описанный в предыдущей за-
задаче, вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое
время At (в долях периода Т) кинетическая энергия колеблюще-
колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии деформированной
пружины?
4.391. На горизонтальной пружине укреплено тело массы
М = 10 кг, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело
попадает и застревает в нем
пуля массы т = 10 г, ле-
летящая со скоростью v =
= 500 м/с, направленной
вдоль оси пружины (см. ри-
рисунок) . Амплитуда возник™ к задаче 4 39
ших при этом колебаний
А = 0,1 м. Определите период Г возникших колебаний.
4.402. Тело массы т подвешено к нижнему концу неве-
невесомой вертикальной пружины жесткости к. Считая, что ось
Ох направлена вниз, а начало отсчета совпадает с положени-
положением нижнего конца недеформированной пружины: а) определи™
те вид зависимости от х потенциальной Wn(x) и полной меха-
механической И/мех(ж,ж)энергий системы, считая, что Wn@) = 0;
б) определите общий вид зависимости x(t); в) определите вид
преобразования координат х —> х' 1 удовлетворяющего условию
WMe^(xf, xf) = -т(х'J + -k{xfJ] г) запишите уравнение движе™
А А
ния в координатах, определенных в пункте в).
4.412. Математический маятник длины L и массы т откло-
отклонили от положения равновесия и отпустили. Получите зависи-
зависимости его потенциальной Wni кинетической WK и полной меха-
механической WMex энергий от угла а отклонения нити от положе™
ния равновесия. Вычислив производную по времени выражения
для WMex(tt) c учетом закона сохранения полной механической
энергии данной системы, получите дифференциальное уравне™
ние для a(t). Как выглядит решение этого уравнения в случае
малых а, для которых sin а ^ а!
4.422. Частица массы т движется вдоль оси Ох. При этом
ее полная механическая энергия описывается выражением:
&ж;
б) WMex(x,x) = ^тх2 + ^кх2 + Ъх]
в) WMe^(x,x) = -mi2 + -кх4,
168
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
где к и Ь — некоторые постоянные, к > 0. В каких случаях
частица совершает гармонические колебания? Определите для
этих случаев циклическую частоту колебаний ш®.
4.432. Небольшой шарик совершает малые колебания в вер™
тикальной плоскости, двигаясь без трения по внутренней по-
поверхности сферической чаши. Определите период Т колебаний
шарика, если внутренний радиус чаши равен I?, а радиус шари-
ка г < R.
4.443. Обруч массы m и радиуса г может кататься без про™
скальзывания по внутренней поверхности цилиндрического же-
желоба, радиус которого равен R (см. рисунок). Определите пери™
од колебаний обруча, считая угол (р малым и г < R. Плоскость
обруча перпендикулярна оси цилиндра.
4.453. Два математических маятника длины L каждый свя-
связаны невесомой пружиной так, как показано на рисунке. Жест™
кость пружины равна к. При равновесии маятники занимают
вертикальное положение, пружина недеформирована. Опреде-
Определите частоту ш малых колебаний системы в случаях, когда ма-
маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в одну
сторону (колебания в фазе) и в разные стороны (колебания в
противофазе). Масса шарика маятника равна га.
У//
К задаче 4.44
К задаче 4.45
К задаче 4.46
4.463. Определите циклическую частоту ш колебаний пока-
показанной на рисунке системы, совершающей малые колебания в
плоскости рисунка. Стержень и пружины неве™
сомы, масса грузика га, длина стержня L, жест-
жесткости пружин равны fci и 1^2- На рисунке пока-
показано положение равновесия.
4.473. Определите период Т малых колеба-
колебаний маятника, представляющего собой легкий
жесткий стержень, на котором закреплены то-
точечные массы rai и тп2 на расстояниях соот™
ветственно L\ и Li от точки подвеса (см. ри-
рисунок). Колебания происходят в вертикальной
плоскости.
К задаче 4.47
4.2
ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
169
К задаче 4.48
4.483. Метроном представляет собой легкий жесткий стер™
жень с закрепленной горизонтальной осью, относительно кото-
которой он может вращаться без трения. На
его нижнем конце на расстоянии L от оси
вращения закреплен шарик массы М. Вы-
Выше оси, на расстоянии ж, которое мож-
но изменять, подбирая нужную частоту
колебаний метронома, находится грузик
массы га. Считая массы точечными, опре-
определите зависимость частоты v колебаний
метронома от х. Стержень колеблется в
вертикальной плоскости.
4.4Э3. Пружина жесткости к одним
концом присоединена к оси колеса массы
га, которое способно катиться без проскальзывания, а другим
прикреплена к стене (см. рисунок). Определите циклическую
частоту малых колебаний этой системы, если масса колеса рав-
равномерно распределена по его ободу.
4.503. Груз массы га посредством нерастяжимой нити, пере-
перекинутой через блок, связан с верхним концом вертикальной пру-
пружины, нижний конец которой закреплен (см. рисунок). Опреде-
лите период Т малых колебаний этой системы, если массы нити
и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины fc, нить
по блоку не скользит, а блок представляет собой тонкостенный
цилиндр массы М. Трение в оси блока отсутствует.
У////////А
М
К задаче 4.49
К задаче 4.50
К задаче 4.51
4.513. Горизонтальный желоб слева от линии его основания
выгнут по цилиндрической поверхности радиуса г, а справа — по
цилиндрической поверхности радиуса R (см. рисунок). Опреде-
Определите период Т малых колебаний небольшого тела в этом желобе.
Трением пренебречь.
4.523. Определите период Г малых колебаний системы,
изображенной на рисунке, если в начальный момент времени
170
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
грузу толчком сообщают скорость г?о, причем расстояния между
свободными концами пружин и стенками равны L. Жесткости
пружин одинаковы и равны fc, масса груза т.
| L | к к | L г
f ^Ч/VWW m -ЛАЛЛЛ/V I-
1
К задаче 4.52
К задаче 4.53
4.533. Шарик массы т совершает гармонические колебания
с амплитудой А на пружине жесткости к. На расстоянии А/2 от
положения равновесия установили массивную
\ стальную плиту, от которой шарик абсолютно
упруго отскакивает (см. рисунок). Определите пе-
период Т колебаний системы. Будут ли они гармони™
ческими?
4.543. Шарик подвешен на нити длины L к
стенке, составляющей угол а с вертикалью. Затем
нить с шариком отклонили на угол /3 > а и отпу-
отпустили (см. рисунок). Считая столкновения шарика
со стенкой абсолютно упругими, а углы а и /3 — ма-
малыми, определите период Т колебаний маятника.
4.553. Чашка пружинных весов массы mi co-
тг л КЛ вершает гармонические колебания с амплитудой А.
IV задаче 4.04 u ,г
В некоторый момент времени на нее положили (без
начальной скорости) груз массы га2. В результате колебания
прекратились. Определите первоначальный период Т колебаний
чашки.
4.563. Точку подвеса математического маятника длины L
мгновенно приводят в движение в горизонтальном направлении
с постоянной скоростью v, затем, после того как она переме-
переместилась на расстояние S, мгновенно останавливают. При каком
значении скорости v колебания маятника, возникшие с началом
движения, прекращаются сразу же после остановки? Перед на-
началом движения маятник покоился. Колебания маятника счи-
считать малыми.
4.573. Определите амплитуду А колебаний чашки, подве-
подвешенной на пружине после падения на нее с высоты h = 1 м
груза массы m = 0,1 кг. Масса чашки М = 0, 5 кг, коэффици-
коэффициент упругости пружины к = 4, 9 Н/м. Удар груза о дно чашки
считать абсолютно неупругим. Первоначально чашка весов по-
покоилась.
4.2
ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
171
4.583. Горизонтальная подставка совершает в вертикальном
направлении гармонические колебания с амплитудой А. Какой
должна быть циклическая частота из этих
колебаний, чтобы лежащий на подставке
предмет не отделялся от нее?
4.5Э3. На горизонтальных рельсах
находится груз массы М. К нему при-
прикреплен математический маятник массы
т (см. рисунок). Груз может двигаться
только вдоль рельсов. Определите отно™
шение периодов Г1/Г2 малых колебаний
К задаче 4.59
маятника в параллельной и перпендикулярной рельсам верти-
вертикальных плоскостях.
4.603. Тело массы т скреплено пружиной жесткости к с
бруском массы М (см. рисунок). Пружину сжимают, удерживая
тела в неподвижном состоянии, а затем освобождают. Определи™
те периоды Т\ и Т2 колебаний тела и бруска. Трение отсутствует.
м
т2
К задаче 4.60
У//////////////////////
К задаче 4.61
4.614. Два кубика с массами т\ и wi2 находятся на гори-
горизонтальной плоскости и прижаты к упорам с помощью пружины
жесткости к (см. рисунок). Как будет зависеть
от времени деформация пружины А, если убрать
правый упор? Начальная деформация пружи-
пружины AL.
4.624. К маятнику АВ с шариком массы М
подвешен маятник ВС с шариком массы т (см.
рисунок). Точка А совершает колебания в гори-
горизонтальном направлении с периодом Т. Опреде™
лите длину L нити ВС, если известно, что нить
АВ все время остается вертикальной.
4.632. Длинный железнодорожный состав,
двигаясь по инерции, въезжает на горку с углом
наклона а. Когда состав полностью остановился,
на горке находилась половина его длины. Сколь™
ко времени At прошло от начала подъема до остановки? Какова
начальная скорость vq состава, если его длина L? Трением пре™
небречь.
К задаче 4.62
172 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.642. Гладкую однородную веревку длины L удерживают
в вертикальном колене изогнутой трубы так, что нижний конец
ее касается горизонтальной части трубы (см. ри-
сунок). Веревку отпускают. Через какое время
At она полностью окажется в горизонтальном
положении? Как изменится это время, если вна-
вначале половина длины веревки уже находилась в
горизонтальном колене?
4.653. Тонкий однородный брусок длины L
СКОЛЬЗИТ ПО ГЛаДКОЙ ПЛОСКОСТИ СО СКОРОСТЬЮ 1H,
направленной вдоль бруска. Брусок наезжает на
обширный шероховатый участок плоскости (см.
К задаче 4.64 рисунок). Через какое время At брусок остано-
вится, если коэффициент трения между бруском
и шероховатой частью плоскости равен /х?
4.663. Одна из обкладок незаряженного плоского конден-
сатора площади S подвешена на пружине, а вторая обкладка
закреплена неподвижно (см. ри™
сунок). Расстояние между пла-
стинами в начальный момент
времени равно L®. Конденсатор __
на короткое время подключили
к батарее, и он зарядился до К задаче 4.65
напряжения U. Какой должна
быть жесткость к пружины, чтобы не происходило касание пла-
пластин в результате их взаимного притяжения после зарядки?
4.673. Положительный заряд Q равномерно распределен по
тонкому проволочному кольцу радиуса R. В центре кольца нахо-
находится точечная частица с зарядом -ди массы т. Частице толч-
толчком сообщается начальная скорость v® вдоль оси кольца. Опре-
Определите характер движения заряда в зависимости от начальной
скорости, рассмотрев отдельно случай малых v®. Кольцо непо-
неподвижно.
4.683. Штатив массы М стоит на гладком столе. К шта-
штативу на легкой нити длины L подвешен шарик массы т (см.
рисунок). Нить отклоняют на малый угол а от вертикали и от-
отпускают. Изобразите график зависимости скорости и штатива
от времени. Столкновения шарика с основанием штатива абсо-
абсолютно упругие.
4.6Э4. Тяжелая теле дека движется со скоростью v® по го-
горизонтальной плоскости и въезжает на наклонную плоскость,
составляющую небольшой угол а с горизонтом. Переход меж-
между плоскостями плавный. На тележке установлен математиче-
математический маятник с длиной нити L. Какова будет угловая ампли-
амплитуда ^макс колебаний маятника, когда тележка будет двигаться
4.3
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
173
вверх по наклонной плоскости? При движении по горизонталь-
горизонтальной плоскости нить маятника сохраняла вертикальное положе-
положение.
У///////////////,
м
У/////,
К задаче 4.66 К задаче 4.68
К задаче 4.70
4.703. Проводник массы т и длины I подвешен к диэлек-
трику с помощью двух одинаковых пружин общей жесткости к
(см. рисунок). Однородное магнитное поле с индукцией В на™
правлено перпендикулярно плоскости рисунка. К верхним кон-
концам пружин присоединен конденсатор емкости С. Пренебрегая
сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью про-
проводников, определите период Т колебаний си-
системы в вертикальной плоскости.
4.714. Жидкость в открытой трубе, под-
подключенной к воздушному колпаку поршнево-
поршневого насоса, выведена из положения равнове-
сия. Пренебрегая сопротивлением, определи-
определите циклическую частоту ujq собственных ко™
лебаний жидкости, если при равновесном по™
ложении длина заполненной водой части тру-
трубы равна L, разность уровней воды в трубе и
воздушном колпаке /г, объем воздуха в кол-
колпаке равен Vq. Считайте площадь поперечно-
поперечного сечения колпака значительно большей, чем
К задаче 4.71
площадь s поперечного сечения трубы. На рисунке показано по-
положение равновесия.
4.724. Квадратная недеформируемая сверхпроводящая рам-
рамка со стороной а расположена горизонтально и находится в неод-
неоднородном магнитном поле, индукция которого определена зако-
законом Вх = —ах^ Ву = 0, Bz = az+B®^ где сгиВо~~ некоторые
постоянные. Масса рамки т, индуктивность L. В начальный мо-
момент времени t = 0 центр рамки совпадает с началом координат,
а стороны параллельны осям Ох и Оу. Рамку отпускают. Как
она будет двигаться и где окажется спустя время t после начала
движения? Ось Oz направлена вертикально вверх.
174 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.3. Сложение гармонических колебаний
Под сложением колебаний понимают нахождение закона ре-
результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта си™
стема одновременно участвует в двух колебательных процессах.
Различают два предельных случая — сложение колебаний оди™
накового направления и сложение взаимно перпендикулярных
колебаний. Первый случай реализуется и при наложении коле-
колебаний скалярных физических характеристик колебательной си™
стемы (давления, температуры, электрического заряда, тока и
Т.Д.)-
Слоэюение двух одинаково направленных гармонических ко-
колебаний Si(t) = A\ COS (uJit + (pi) И 52 (t) = A2 COS (uJ2t + (p2) МОЖНО
произвести, используя метод векторных диаграмм^ состоящий
в представлении гармонических коле™
баний в виде векторов на плоскости.
Для этого из начала координат О на
плоскости проводят векторы Ai и А2,
модули которых равны амплитудам
А\ и А2 рассматриваемых колебаний
(см. рисунок). Эти векторы составля-
составляют с осью координат Ох углы соответ-
соответственно #1 = UJit + (fi И #2 = UJt +
+(f2j равные фазам колебаний s± и S2 в
данный момент времени t. С течением
К введению времени углы Ф\ и #2 увеличиваются
так, что векторы Ai и А2 равномерно
вращаются вокруг точки О с угловыми скоростями, равными
циклическим частотам колебаний ш\ и Ш2- Соответственно про™
екции векторов Ai и А2 на горизонтальную ось Ох совершают
гармонические колебания по законам
А1х = si(t) = Ax cos (ujit +
= S2(t) = А2 COS (dJ2t +
Результирующим колебаниям s(t) = si(t) + S2(t) соответству-
соответствует вектор A(t) = Ai(t) + A2(t), проекция которого на горизон-
горизонтальную ось Ох равна s(t):
s(t) = A(t)cos$(t).
По теореме косинусов
A(t) = Х/А2г + А22 + 2АгА2 соз[Ф2(*) -
А\ sin #i (t) + А2 sin Ф2 (t)
А\ cos #i (t) + т42 cos Ф2 (t) *
4.3
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
175
Два гармонических колебания s\ и 52 называют когерентны-
ми, если разность их фаз не зависит от времени: #2^) — ^i(^) =
= const. Очевидно, что в этом случае циклические частоты ко™
лебаний s± и 52 должны быть одинаковы: ш\ = Ш2 = ш, a ()
() = 992 — ^i- Результирующее колебание
S2 = A cos (о;* +
s =
где
cos
Ai Sin Ш1 + ^2 Sin (Z?2
tg(Z?o = .
A\ cos y?i + A2 cos (^2
Метод векторных диаграмм наиболее эффективен для опи™
сания когерентных колебаний.
При сложении взаимно перпендикулярных гармонических
колебаний в плоскости ху, происходящим по законам x(t) =
= А\ cos (out + (fi) и y(t) = A2co®{oot + (^2), уравнение траек-
траектории результирующего движения можно найти, исключив из
выражений для х ж у параметр t.
4.731. Точечная частица одновременно участвует в двух ко-
колебательных движениях, которым соответствуют смещения ri
и Г2 соответственно. Определите результирующее смещение ча-
частицы.
4.741. Точечная частица одновременно участвует в двух гар-
гармонических колебательных движениях, происходящих вдоль оси
Ож, графики которых представлены на рисунке. Для каждого
из случаев получите уравнение результирующего колебания, по™
стройте его график и определите разность фаз слагаемых коле-
колебаний.
х, см
х, см
X, СМ
К задаче 4.74
4.751. Под воздействием одной волны материальная точ™
ка совершает колебаний в вертикальном направлении по закону
176 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
yi(t) = AicoB(ouit + (fi)j A\ = 3 см, uji = 5 рад/с, под воз™
действием другой — по закону y2(t) = А2 cos (a^t + (^2M ^2 =
= 4 см, cd2 = 5 рад/с. Определите частоту о; и амплитуду А
колебаний этой точки под воздействием обеих волн, если <pi —
- ^2 = тг/2.
4.761. Запишите уравнение колебаний материальной точки,
участвующей одновременно в двух колебательных движениях,
происходящих вдоль одной прямой и описываемых уравнения-
уравнениями: х\ (?) = 4 sin 2тг (t + - ) [см] и ж 2 (t) = 3 sin f 2irt + ^ ) [см].
4.771. Материальная точка участвует одновременно в двух
колебательных движениях, происходящих вдоль одной прямой
и описываемых уравнениями: х\{?) = ^4icoso;(t + т\) и X2(t) =
= A2coscj(t+T2), где Ai = 1,0 см, А2 = 2,0 см, п = - с, т2 = - с,
ш = тг [с^1]. Определите начальные фазы <^i и у?2 составляющих
колебаний, амплитуду А и начальную фазу ipo результирующего
колебания. Запишите уравнение результирующего колебания.
4.781. Материальная точка участвует одновременно в двух
колебательных движениях, происходящих вдоль одной пря-
прямой и описываемых уравнениями: x\(t) = Asinuot и X2(t) =
= 0,5^4sm3a;t. Постройте (качественно) график результирую-
результирующего смещения. Будет ли соответствующее колебание гармони™
ческим?
4.791. Используя метод векторных диаграмм, определите
амплитуду А и фазу (р® результирующего колебания, возникаю-
возникающего при сложении трех гармонических колебаний, описывае-
описываемых уравнениями: x\(t) = sinwt, X2(t) = 2sin (wt+ — 1, x$(t) =
= 2,5 sin (ujt+тг) и происходящих вдоль одной прямой. Запишите
его уравнение.
4.801. Используя метод векторных диаграмм, определите
амплитуду А и фазу <ро результирующего колебания, возни-
возникающего при сложении трех гармонических колебаний, описы-
описываемых уравнениями: х\{?) = 2sina;t, X2(t) = 3sina;t, xs(t) =
= 2 sin f out + — 1 и происходящих вдоль одной прямой. Запишите
его уравнение.
4.811. Два гармонических колебания с одинаковыми перио-
периодами То = 1, 2 с и амплитудами А\ = 5, 0 см и А2 = 2, 0 см про-
происходят вдоль одной прямой. Каков период Т результирующего
колебания? При каких наименьших разностях фаз Aip состав-
составляющих колебаний амплитуда результирующего колебания при-
принимает наибольшее ^4Макс и наименьшее ^4Мин значения? Опре-
Определите АмдьКС и Амшш.
4.3 СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 177
4.822. Получите уравнение траектории материальной точ™
ки, которая участвует в двух взаимно перпендикулярных коле-
колебаниях, заданных уравнениями x(t) = 2sni7rBt + 1) и y(t) =
= 2 sin f 2irt + - ) • Укажите направление движения.
4.832. Материальная точка участвует одновременно в двух
колебательных движениях, происходящих вдоль взаимно пер™
пендикулярных прямых и описываемых уравнениями: x(t) =
и y(t) = A2C0S—?, где А\ = 1, 0 см и Аъ = 2, 0 см,
ш = ж [с^1]. Получите уравнение траектории точки и постройте
ее, указав направление движения.
4.842. Материальная точка участвует одновременно в двух
колебательных движениях, происходящих вдоль взаимно пер-
перпендикулярных прямых и описываемых уравнениями: x(t) =
= А\ cos ut и y(t) = ^sincjt, где А\ = 2, 0 см и А2 = 1, 0 см.
Получите уравнение траектории точки и постройте ее, указав
направление движения.
4.852. Движение точки на плоскости задано уравнениями:
x(t) = А\ cos cut и y(t) = А2 sin и;(?+т), где А\ = 10 см, ^2 = 5 см,
ш = 2 с, г = — с. Получите уравнение траектории точки и по™
8
стройте ее, указав направление движения. Определите скорость
v точки в момент времени t\ = 0, 5 с.
4.862. Движение точки на плоскости задано уравнениями:
x(t) = А\ cos out и y(t) = ^^42cos2a;t, где А\ = 2,0 см, А^ =
= 1,0 см. Получите уравнение траектории точки и постройте
ее.
4.872. Движение точки на плоскости задано уравнениями:
а) x(t) = Asinujt^ y(t) = ^4cos2a;t;
б) x(t) = Acosout^ y(t) = Acos2out;
в) x(t) = 74cos2a;t, y(t) = Ai cos out;
y(t) =
д) x(t) = A cos o;t, y(t) = A2 sin lu)t+ —
V 4
e) x(t) = A cos a;t, y(t) = A cos f 2ujt + -
\ -<
где A = 2,0 см, Ai =3,0 см, ^2 = 1,0 см. Получите уравнение
траектории точки и постройте ее.
4.883. Когда шарик математического маятника в момент
времени t = 0 проходил положение равновесия, двигаясь со ско-
скоростью v в направлении оси Ох, ему сообщили такую же сю>
рость в направлении оси Оу. Получите закон движения маятни-
маятника x(t) и y(t), а также уравнение траектории шарика у(ж), если
178 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
амплитуда первоначальных колебаний шарика Ад. Рассмотрите
случай, когда шарику сообщили ту же скорость в направлении,
противоположном оси Оу. Плоскость хОу горизонтальна.
4.8Э3. В момент времени t = О, когда шарик математиче-
математического маятника, колеблющегося в вертикальной плоскости xOz,
имел максимальное смещение х@) = +А^ ему сообщили ско-
скорость в направлении оси Оу, при этом амплитуда колебаний,
возникших вдоль оси Оу, равна амплитуде А первоначальных
колебаний вдоль оси Ох. Получите за-
закон движения маятника x(t) и y(t), а
также уравнение траектории шарика
у (ж), указав направление движения.
Плоскость ху горизонтальна. Рассмот™
рите случай х@) = —А.
4.903. Маленький шарик подве-
подвешен на легкой пружине. Длина и
жесткость пружины подобраны так,
что частота вертикальных колебаний
шарика в два раза больше частоты
ш горизонтальных колебаний матема-
математического маятника. Покоившемуся в
положении равновесия шарику в мо-
момент времени t = 0 сообщили неболь™
К задаче 4.90 шую начальную скорость v® (см. рису-
рисунок). Получите закон движения маят-
маятника x(t) и y(t), а также уравнение траектории шарика у (ж). Как
выглядит эта траектория? Как она изменяется в зависимости от
угла а?
4.4. Затухающие и вынужденные колебания
Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды
колебаний, обусловленное постепенной потерей энергии колеба-
колебательной системой.
Если параметры колебательной системы не изменяются в хо™
де процесса (т.е. система является линейной), то дифференци-
дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
d2s ^ds 9
где j3 = const > 0 — коэффициент затухания, awo — цикли-
циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же си-
системы. Свободные колебания материальной точки массы т в
вязкой среде могут быть описаны дифференциальным уравне-
4.4 ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 179
нием
d2x dx
mH?2 " ^Г ~di " Ж?
где г — коэффициент сопротивления, к — коэффициент квази™
упругой силы.
Если /3 < 6t?o, то затухающие колебания происходят по закону
s(t) = А§е~^1 cos (cot + (^оM
где со = ^/cJq — /З2 — циклическая частота (условная цикличе-
циклическая частота) затухающих колебаний^ а постоянные А® и у?о
определены начальными условиями.
Величину Т = — = называют периодом (условным
периодом), а величину Л(?) = Д)е~^ — амплитудой затухаю-
затухающих колебаний (А® — начальная амплитуда).
Промежуток времени т = —, в течение которого амплитуда
затухающих колебаний уменьшается в е раз, называют време-
временем релаксации.
Логарифмическим декрементом затухания называют без-
безразмерную величину А, определенную выражением
А = 1п
A(t + T)'
Логарифмический декремент затухания удовлетворяет соот-
соотношениям А = /ЗТ = —, где N — число колебаний, в течение
которых амплитуда уменьшается в е раз.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ма-
материальной точки, происходящих вдоль оси Ох под действием
внешней вынуждающей (возмущающей) силы F(t), имеет вид
d2x dx
kF{t)
Если вынуждающая сила гармонически зависит от времени,
т.е. Fx(t) = Fq cosOt, то решение уравнения вынужденных коле™
баний имеет вид
x(t) = Аое~Р* cos (cot + (fo) + A cos (Ш — а),
где постоянные А® и (р® определены начальными условиями, А =
Fq /m r
— — амплитуда вынужденных колебании,
V(wg - О2J + B/30)
, 2/30
Шп — О2
180 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
Уравнение установившихся вынужденных колебаний имеет
вид
x(t) = Асоб(Ш - а).
Амплитуда смещения в случае установившихся вынужден™
ных колебаний достигает максимума при циклической частоте
колебаний ftpe3 = л/^q — 2/32 = л/ш2 — /З2 (резонансная часто-
частота). Максимальная (резонансная) амплитуда равна
4.911. Амплитуда затухающих колебаний маятника за вре-
мя t\ = 5 мин уменьшилась в п\ = 2 раза. За какое время #2
амплитуда уменьшится в в 2 = 8 раз?
4.921. За время т = 8 мин амплитуда затухающих колеба-
колебаний маятника уменьшилась в п = 3 раза. Определите коэффи™
циент затухания /3.
4.931. Амплитуда колебаний маятника длины L = 1,0 м
за время т = 10 мин уменьшилась в п = 2 раза. Определите
логарифмический декремент затухания А.
4.941. Логарифмический декремент затухания маятника ра-
равен А = 3, 0 • 10^3. Определите число N полных колебаний, ко-
которые должен совершить маятник, чтобы амплитуда его коле-
колебаний уменьшилась в п = 2 раза.
4.951. Гиря массы т = 500 г подвешена на пружине жест-
жесткости к = 20 Н/м и совершает колебания в вязкой среде. Лога-
Логарифмический декремент затухания А = 4, 0 • 10^3. Определите
число N полных колебаний, которые должна совершить гиря,
чтобы амплитуда ее колебаний уменьшилась в п = 2 раза. За
какое время т произойдет это уменьшение?
4.961. Определите период Т затухающих колебаний систе-
системы, если период собственных колебаний Tq = 1,0 с, а логариф-
логарифмический декремент затухания равен А = 0, 628.
4.972. Тело массы m = 5,0 г совершает затухающие коле-
колебания. За время т = 50 с оно теряет г) = 60 % своей энергии.
Определите коэффициент сопротивления г.
4.982. Определите число N полных колебаний системы, в
течение которых энергия системы уменьшилась в п = 2 раза.
Логарифмический декремент затухания А = 0,01.
4.992. Тело массы m = 1,0 кг находится в вязкой среде с
коэффициентом сопротивления г = 0, 05 кг/с. О помощью двух
одинаковых пружин жесткости к = 50 Н/м каждая оно удержи-
удерживается в положении равновесия (см. рисунок). Тело вывели из
4.4 ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 181
положения равновесия и отпустили. Определите коэффициент
затухания /3; частоту колебаний и; логарифмический декремент
затухания А; число N
колебаний, по истечении у,
к
которых амплитуда ко™ ^
лебаний уменьшается в ;
е раз. В положении рав- '
новесия пружины не де™ 7
формированы.
л-t пл1 тэ К задаче 4.99
4.100 . Вагон массы
тв = 80 т имеет п = 4 рессоры жесткости fc = 500 кН/м каждая.
При какой скорости v вагон начнет сильно раскачиваться под
действием толчков на стыках рельсов, если длина рельса L =
= 12,8 м?
4.1011. Какой длины L маятник будет наиболее сильно рас-
раскачиваться в вагоне при скорости поезда v = 72 км/ч? Длина
рельсов b = 12, 5 м.
4.1021. Через ручей переброшена длинная упругая доска.
Когда человек стоит на ней неподвижно, она прогибается на
Ah = 0,10 м. Если же он идет со скоростью v = 3, б км/ч,
то доска раскачивается так сильно, что человек падает в воду.
Какова длина L его шага?
4.ЮЗ2. Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерно™
вой склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со скла-
склада с той же скоростью, но с другой стороны. О одной стороны
склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой. Как по со-
состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а с
какой выезд? Ответ обосновать.
4.1041. Система совершает затухающие колебания с часто-
частотой v = 1000 Гц. Определите частоту щ собственных колебаний
системы, если резонансная частота z/pe3 = 998 Гц.
4.1051. Определите, на какую величину Аи резонансная ча™
стота отличается от собственной частоты щ = 1,0 кГц колеба-
колебательной системы, характеризующейся коэффициентом затуха-
затухания C = 400 с^1.
4.1061. Период собственных колебаний пружинного маятни-
маятника равен Го = 0, 55 с. В вязкой среде тот же маятник колеблется
с периодом Т = 0, 56 с. Определите резонансную частоту ирез
колебаний.
4.1071. Груз массы m = 100 г, подвешенный на пружи-
пружине жесткости к = 10 Н/м, совершает вынужденные колебания в
вязкой среде с коэффициентом сопротивления г = 2, 0-10 кг/с.
Определите коэффициент затухания /3 и резонансную амплиту-
амплитуду Арез. Амплитудное значение вынуждающей силы Fq = 10 мН.
182 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.1081. Тело совершает вынужденные колебания в среде с
коэффициентом сопротивления г = 1СР3 кг/с. Считая затухание
малым, определите амплитудное значение Fq вынуждающей си-
силы, если резонансная амплитуда Арез = 0,5 см и частота соб-
ственных колебаний щ = 10 Гц.
4.1092. Амплитуды смещения вынужденных гармонических
колебаний при частотах ы\ = 400 с^1 и Ы2 = 600 с^1 равны
между собой. Определите резонансную частоту а;рез.
4.НО1. К пружине жесткости к = 10 Н/м подвесили гру-
грузик массы т = 10 г и погрузили всю систему в вязкую среду
с коэффициентом сопротивления г = 0,10 кг/с. Определите ча-
стоту щ собственных колебаний системы; резонансную частоту
|/рез; резонансную амплитуду Арез при амплитудном значении
вынуждающей силы Fq = 20 мН; отношение Q резонансной ам-
амплитуды к статическому смещению под воздействием постоян-
постоянной силы Fq.
4.5. Механические волны
Уравнение плоской гармонической волны^ распространяю-
распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направ-
направления оси Oxj имеет вид
[/ Х\ 1
ш (t i+^o — A sin (out — kx + (fo).
\ v / J
Уравнение сферической гармонической волны, распростра-
распространяющейся в непоглощающей среде из начала координат, имеет
вид
s(r, t) = — cos (u)t — kr + oiq).
r
Здесь s(r, t) — смещение частиц среды; А = const — амплиту-
амплитуда колебаний, называемая амплитудой плоской волны; А(г) =
= — — амплитуда сферической волны; Aq — физическая вели™
чина, численно равная амплитуде сферической волны на еди-
единичном расстоянии от ее центра; «о — начальная фаза колеба™
ний в центре волны, ш — циклическая (круговая) частота волны;
Т = 2тт/ш — период колебаний; ^о — начальная фаза колебаний
в координатной плоскости х = 0, v — скорость распространения
гармонических колебаний в среде (фазовая скорость); к = — —
волновое число. Величину Ф(ж,?) = ut — kx + ip® (соответственно
Ф(г, ?) = u)t — кг + qiq) называют фазой гармонической волны.
4.5 МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 183
Расстояние А = vT = —, на которое распространяется гар™
моническая волна за время, равное периоду колебаний, называ-
называют длиной волны. Длина волны равна расстоянию между двумя
ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний
равна 2тг.
При наложении двух когерентных бегущих плоских волн ви-
вида si(xjt) = A cos (out — kx) и S2(xjt) = ^4cos(o;t + kx + <po)i
где (po — разность фаз волн в точках х = 0, образуется плоская
стоячая волна, описываемая уравнением
s(x,t) = si(x,t) + s2(x,t) = 2Аcos (kx+ —) cos (ut+ —) .
\ Za / \ Z* /
Амплитуда стоячей волны равна
АСТ = 2A cos [kx H
Точки, в которых АСТ = 0, называют узлами стоячей волны,
а точки, в которых амплитуда АСТ максимальна, — пучностя-
пучностями стоячей волны. Расстояния между двумя соседними узлами
и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны по-
половине длины волны Л бегущих волн. Эту величину называют
длиной стоячей волны: Лст = Л/2.
Если источник звуковых волн удаляется от приемника со
скоростью vi (относительно среды), направленной вдоль соеди™
няющей их прямой, а приемник движется по направлению к
источнику со скоростью V2 (относительно среды), то частота
и регистрируемых приемником звуковых колебаний равна v =
= щ -, где щ — частота колебаний источника: и — скорость
U + Vi
распространения звука в среде (эффект Доплера).
Фазовая скорость продольных волн в твердом теле равна v =
—, где Е — модуль Юнга; р — плотность вещества.
Р
Фазовая скорость продольных волн (звука) в идеальном газе
/тр fyRB Cp г-
равна v = а/— = \ Л , где j = —^ — показатель адиабаты
у Р у I1 ^v
(Ср и Cv — молярные теплоемкости газа при постоянном давле™
нии и постоянном объеме), р — давление, р — плотность, /л —
молярная масса газа, в — его абсолютная (термодинамическая)
температура, R — универсальная газовая постоянная.
В задачах настоящего раздела скорость звука в воздухе счи™
тайте равной и = 340 м/с, если условиями задачи не предусмот™
рено иное.
184
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
4.1111. На рисунке изображен профиль длинного резиж>
вого шнура, по которому распространяется волна, и указаны
направления скоростей двух
ее точек. Изобразите один под
другим профили шнура через
четверть, половину и три чет™
верти периода колебаний то™
чек шнура. В каком направле™
~х нии распространяется волна?
4.1121. В каком направле-
направлении распространяется волна,
если частица В имеет направ-
направление скорости, показанное на
К задаче 4.111 рисунке? Какая это волна?
4.ИЗ1. На рисунке изображен профиль волны и указано
направление ее распространения. Куда направлена скорость ча™
стицы ?», колеблющейся в волне?
К задаче 4.112
4.1141. На рисунке изображен профиль волны и указаны на-
направления скоростей двух ее точек. Укажите направление рас-
распространения волны. Какая это волна?
4.1151. Поперечная волна распространяется вдоль упругого
шнура со скоростью и = 15 м/с. Период колебаний точек шнура
Т = 1, 2 с, амплитуда А = 2, 0 м. Определите длину волны А; фа™
зу (р колебаний, смещение s, скорость v и ускорение а точки, на-
находящейся на расстоянии L = 45 м от источника волн в момент
t = 4, 0 с; разность фаз А(р колебаний в точках, находящихся
от источника волн на расстояниях L\ = 20 м и L2 = 30 м. Фаза
4.5
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
185
колебаний в точке, где расположен источник, в момент времени
t = 0 равна нулю. Колебания происходят по закону косинуса.
К задаче 4.113
4.1161. Период колебания вибратора Т = 0,01 с, скорость
распространения волн и = 340 м/с, амплитуда колебания всех
К задаче 4.114
точек А = 1,0 см. Определите разность фаз А(р колебаний в
двух точках, лежащих на одном луче, если расстояние от вибра™
тора до первой точки Lq = б, 8 м, а между точками ALi = 3, 4 м;
Ai/2 = 1,7 м; АЬз = 0, 85 м. Определите смещение s этих точек
в момент времени, когда смещение вибратора равно нулю.
186 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.1171. Точечный вибратор излучает сферическую волну.
Определите разность фаз Aip колебаний в точках, находящихся
на расстояниях L\ = 8, 0 м и L^ = 10 м от вибратора. Длина
волны А = 4, 0 м.
4.1181. Плоская поперечная волна задана уравнением
s(x, t) = 3, 0 • 1СП4 cos C14t — х) (здесь s и х даны в метрах, t —
в секундах). Определите частоту z/, фазовую скорость и и дли™
ну А волны; скорость v и ускорение а частиц среды, определите
максимальные значения этих величин t;MaKC и амакс.
4.1192. Волна от катера, проходящего по озеру, дошла до
берега через т = 1,0 мин, причем расстояние между соседними
гребнями оказалось равным AL = 1,5 м, а время между дву-
двумя последовательными ударами о берег AT = 2,0 с. На каком
расстоянии L от берега проходил катер?
4.1201. Во сколько раз п изменится длина звуковой волны
при переходе из воздуха в воду? Скорость звука в воздухе щ =
= 340 м/с, в воде — u<i = 1,4 км/с.
4.1211. На расстоянии s = 1068 м от наблюдателя ударяют
молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, прило-
приложив ухо к рельсу, услышал звук на At = 3, 0 с раньше, чем он
дошел до него по воздуху. Определите скорость звука щ в стали,
если скорость звука в воздухе u<i = 340 м/с.
4.1222. Звук выстрела и вертикально выпущенная пуля од™
повременно достигают высоты h = 680 м. Какова начальная
скорость v® пули, если скорость звука в воздухе и = 340 м/с?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
4.1232. Самолет летит горизонтально со сверхзвуковой ско-
скоростью v. Наблюдатель услышал звук самолета через время т
после того, как увидел самолет над головой. На какой высоте h
летит самолет?
4.1242. Наблюдатель заметил приближающийся к нему со
скоростью v = 500 м/с реактивный самолет на расстоянии s =
= 6 км. На каком расстоянии S будет находиться самолет от
наблюдателя, когда он услышит звук его двигателей?
4.1253. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал
частоты v = 50 Гц, распространяющийся со скоростью щ =
= 340 м/с; при этом на расстоянии от А до В укладывалось це-
целое число волн. Когда температура воздуха стала на АГ = 20 К
выше, чем в первом случае, опыт повторили. При этом число
длин волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, умень-
уменьшилось на п = 2. Определите расстояние L между пунктами А
и ?», если при повышении температуры воздуха на АТ\ = 1 К
скорость звука увеличивается на Ащ = 0, 5 м/с.
4.6 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 187
4.1261. В воде распространяется звуковая волна с частотой
колебаний и = 725 Гц. Скорость звука в воде ив = 1450 м/с.
Определите, на каком расстоянии Ах друг от друга находятся
точки, совершающие колебания: а) в противоположных фазах;
б) в одинаковых фазах; в) с разностью фаз А(р = тг/4.
4.1271. Открытая с двух сторон труба имеет первую резо-
резонансную частоту v = 400 Гц. На какой наиболее низкой частоте
v\ будет резонировать эта труба, если закрыть один из ее кон™
цов? Считайте, что открытые концы трубы являются пучностя-
пучностями, а закрытые — узлами смещения.
4.1281. Труба длины L = 1 м заполнена воздухом при нор™
мальном атмосферном давлении. Один раз труба была открыта
с одного конца, другой раз — с обоих концов, в третий раз —
закрыта с обоих концов. При каких минимальных частотах в
трубе будут возникать стоячие волны в этих трех случаях? От-
Открытые концы трубы являются пучностями, закрытые — узлами
смещения.
4.1291. На шнуре длины L = 2,0 м, один конец которого
прикреплен к стене, а другой колеблется с частотой и = 5, 0 Гц,
образовалась стоячая волна. При этом на длине шнура возника-
возникает п = 3 узла (считая узел на закрепленном конце). Определите
скорость v распространения волн вдоль шнура.
4.1303. Автомобиль, движущийся со скоростью и =
= 120 км/ч, издает звуковой сигнал длительностью т® = 5,0 с.
Какой длительности т сигнал услышит стоящий на шоссе чело-
человек, если автомобиль: а) приближается к нему? б) удаляется от
него?
4.1313. Динамик излучает сферическую звуковую волну с
частотой щ = 1,0 кГц. Какую частоту v зафиксирует наблю-
наблюдатель, движущийся к динамику со скоростью и = 60 км/ч?
Скорость звука в воздухе v = 340 м/с.
4.1323. Какую частоту г/ звуковых колебаний зафиксирую
ет неподвижный наблюдатель, находящийся на расстоянии L
от прямолинейного шоссе, по которому движется со скоростью
и автомобиль, испускающий звуковой сигнал с частотой i/q, в
момент, когда расстояние между автомобилем и наблюдателем
равно R? Автомобиль приближается к наблюдателю. Скорость
звука в воздухе равна v.
4.1333. Гидролокатор подводной лодки, всплывающей вер-
вертикально, излучает короткие ультразвуковые импульсы дли-
длительностью tq. Определите скорость и подъема лодки, если дли-
длительность сигналов, зарегистрированных приемником гидроло-
гидролокатора после отражения от горизонтального дна, равна т. Ско-
Скорость распространения ультразвуковых колебаний в воде рав-
равна V.
188
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
4.6. Переменный ток
Переменным называют такой электрический ток, сила или
напряжение которого (или то и другое вместе) изменяются с
течением времени.
Для переменного синусоидального тока мгновенные значе-
значения силы тока I(t) и напряжения U(t) на участке цепи описы-
ваются выражениями
U(t) = С/о sin (ut + (p2),
где Iq ш Uq — максимальные (амплитудные) значения силы то-
тока и напряжения, ш — циклическая (круговая, угловая) частота
тока, (fi и ср2 — начальные фазы колебаний силы тока и напря-
жения.
Эффективным (действующим) значеним силы периодиче-
ского тока (соответственно ЭДС, напряжения и т.д.) называют
среднее квадратичное значение тока за период Т его изменения:
\
это значение силы такого постоянного тока, который за проме-
промежуток времени, равный одному периоду колебаний переменного
тока, вызовет в активном (омическом) сопротивлении выделение
такого же количества теплоты, как и рассматриваемый перемен-
переменный ток.
Для синусоидального тока
эф л/2' эф л/2'
4.1341. Прямоугольная рамка пло™
щади S вращается в горизонтально на-
направленном однородном магнитном по-
поле (см. рисунок) с частотой и. Магнит-
Магнитная индукция поля постоянна и рав-
равна В. Найдите зависимость от време-
времени магнитного потока Ф(?) через рам-
рамку и ЭДС индукции ?(t)j возникающей
в рамке, если в момент времени t = О
плоскость рамки: а) расположена гори-
горизонтально; б) составляет с горизонтальной плоскостью угол ^о-
Ось OOf вращения рамки горизонтальна и направлена по нор-
нормали к линиям магнитной индукции.
К задаче 4.134
4.6 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 189
4.1351. В рамке, содержащей N = 100 витков проволоки и
равномерно вращающейся в однородном магнитном поле, маг-
магнитный поток изменяется по закону Ф(?) = 2,0 • 10^3 cos C14t)
(все используемые величины измеряются в единицах СИ). Опре-
Определите зависимость от времени возникающей в рамке ЭДС ин-
дукции ?(?), эффективное ?эф и максимальное ?q значения ЭДС
индукции, а также значение ЭДС индукции в момент времени
ti = 5,0 мс. Как будет выглядеть зависимость ЭДС индукции
?f(t) от времени, если угловая скорость вращения рамки возрас-
возрастет в п = 2 раза?
4.1361. Рамка, содержащая N = 200 витков, вращается в
однородном магнитном поле с индукцией В = 15 мТл. Ось вра-
вращения проходит через плоскость рамки и перпендикулярна к
линиям магнитной индукции. Определите ЭДС индукции ?(т),
возникающую в рамке спустя т = 0,01 с после прохождения
рамкой положения равновесия. Площадь рамки S = 300 см2.
Амплитудное значение ЭДС индукции ?q = 7, 2 В.
4.1371. Напряжение на концах участка цепи, по которому
течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону
ut+—j. В момент времени т = —, где Т — пе-
период колебаний, мгновенное значение напряжения U(r) = 10 В.
Определите амплитудное значение напряжения Оо, частоту v и
циклическую частоту ш колебаний, если период колебаний равен
Т = 0,01 с. Постройте график зависимости U(t).
4.1381. По цепи протекает переменный ток частоты v =
= 2,0-106 Гц. Определите, спустя какое минимальное время At
после момента, когда сила тока в цепи была равна нулю, она
станет равной I = 25 мА. Амплитудное значение силы тока в
цепи равно Jq = 100 мА.
4.1391. Обмотка ротора генератора переменного тока пред™
ставляет собой прямоугольную рамку со сторонами L\ = 4, 0
см и L2 = 8, 0 см, состоящую из N = 20 витков медного про-
провода диаметра d = 0, 50 мм. Рамка вращается с частотой v =
= 50 Гц в однородном магнитном поле с индукцией В = 0, 5 Тл.
Ось вращения проходит через середины противоположных сто-
сторон рамки и перпендикулярна к линиям магнитной индукции.
Определите среднюю тепловую мощность Р, выделяющуюся в
подключенном к генератору сопротивлении R = 1,0 Ом. Удель-
Удельное сопротивление меди р = 1,7- 10™8 Ом-м.
4.1401. Напряжение зажигания неоновой лампы U3 = 80 В,
напряжение гашения Ur = 70 В. Вольтметр показывает, что в
цепи переменного тока напряжение равно U = 60 В. Будет ли
лампа гореть в этой цепи? Ответ обосновать.
190
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
4.1412. Неоновая лампа с напряжением зажигания U3 =
= 156 В включена в сеть переменного тока, эффективное значе-
значение напряжения которого Пэф = 220 В, частота v = 50 Гц. Опре™
делите частоту п вспы-
вспышек лампы. В тече-
течение какой части периода
лампа горит? Напряже-
Напряжение гашения лампы счи-
считайте равным напряже-
напряжению зажигания.
4.1422. Вследствие
неполного выпрямления
диодом синусоидального
К задаче 4.142 тока зависимость от вре-
времени силы тока, текуще™
го через диод, имеет вид, показанный на рисунке. Определите
действующее значение 1эф силы тока в цепи. Между момента-
моментами времени, в которые значение силы тока становится равным
нулю, эта зависимость является синусоидальной.
т т 2Т зт
г
0
Т-х Т
2Т
t
-Iс
Зт 5т 7т
Ч V
13т
9т 11т
т 1т 4т 5т 6т 7т 9т t
К задаче 4.143
4.1432. Зависимость силы тока в цепи от времени I(t) пред™
ставлена на рисунке. В случаях а ж б функция I(t) является
4.6
ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
191
периодической с периодом Г; в случаях в и г на графике показа™
ны два полных периода функции I(t). Определите эффективные
значения силы тока Тэф для всех случаев.
4.1443. Определите эффективное значение 17эф напряжения
генератора, вырабатывающего периодические импульсы «пило-
«пилообразной» формы. На рисунке дан график зависимости U(t);
период импульсов — Г, их длительность — т, амплитуда — Uq.
При t Е (пТ;пТ + т), где п — целое число, зависимость U(t)
определяется выражением U(t) =
(
0
' (
% т
21
2Г+т
В
К задаче 4.144
4.1453. Кольцо радиуса R = 6,0 см, изготовленное из мед-
медной проволоки диаметра d = 0, 50 мм, помещено в однородное
магнитное поле, силовые
линии которого перпенди-
перпендикулярны к плоскости коль™
ца. На рисунке показана
зависимость индукции маг™
нитного поля В от времени;
Во = 10 мТл; т = 0, 50 мс;
частота колебаний магнит™
ного поля v = 1,0 кГц. По™
стройте график зависимо-
зависимости силы тока J, протекаю™
щего по кольцу, от времени.
Определите амплитудное То К задаче 4.145
и эффективное Тэф значения силы тока в кольце, а также теп™
ловую мощность Р, которую надо отводить от кольца для под™
держания его температуры неизменной. Удельное сопротивле™
ние меди р = 1,7- 10^8 Ом-м. Индуктивность кольца пренебре-
пренебрежимо мала.
4.1462. Электрический паяльник мощностью Р = 50 Вт
рассчитан на включение в сеть переменного тока с напряжени™
ем U = 127 В. Какая мощность Р1 будет выделяться в паяльни™
192
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
ке, если его включить в сеть переменного тока с напряжением
U1 = 220 В последовательно с идеальным диодом? Сопротив-
Сопротивление идеального диода при прямом направлении тока считать
равным нулю, при обратном — бесконечно большим. Сопротив™
ление паяльника постоянно.
4.1473. Амперметр, измеряющий эффективное значение
протекающего через него тока, включен в цепь, изображенную
на рисунке, к концам которой приложено синусоидальное на™
пряжение. При замыкании ключа К амперметр показывает си™
лу тока /а = 1,0 А. Определите показания амперметра ГА при
разомкнутом ключе. Диод считать идеальным.
D 21
К задаче 4.147
К задаче 4.148
4.1483. Определите тепловую мощность Р, выделяемую на
резисторе R± = 10 кОм в цепи, изображенной на рисунке. На
клеммы 1 ж 2 подано переменное напряжение U = 127 В, со-
сопротивления резисторов Л2 = Rs = 5,0 кОм. Диоды D считать
идеальными.
4.7. Активное сопротивление, индуктивность и
емкость в цепях переменного тока
Активное сопротивление, катушка индуктивности и конден™
сатор различным образом ведут себя в цепях переменного тока.
В табл. 4.1 представлены выражения для силы тока в участках
цепи, содержащих один из перечисленных элементов, при уело™
вии, что на участок подано синусоидальное напряжение U(t) =
= Uq sin (out + <^o)-
При последовательном соединении элементов больший инте™
рее представляет зависимость напряжения на элементе от силы
тока в цепи. В табл. 4.2 представлены выражения для напря-
напряжения на элементе, при условии, что сила тока через соответ™
ствующий участок цепи равна I(t) = Ism (uit + (fg).
4.7
СОПРОТИВЛЕНИЕ, ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ
193
Вид элемента
Активное сопротивление R
Катушка индуктивности L
с нулевым активным со-
сопротивлением
Конденсатор емкостью С
Вид элемента
Активное сопротивление R
Катушка индуктивности L
с нулевым активным со-
сопротивлением
Конденсатор емкостью С
Iro sin (и,
Ilo sin Ujt + ip
Ico sin I cjt + ^
Сила тока
t + (fo), где
э^|), где
?o + ^-j5 где
Напряж:ение
Uro sin (ujt + (po), где
Ulo sin (ujt + (f
Uco sin f out +
o + Tj-J, где
7Г\
^o--J, где
Iro
Ilo =
^co
Uho
Ulo
з Uc
Таблица 4.1
Uo
Д
ljL
= UoojC
Таблица 4.2
-№
э = IqXc
Здесь Xl = ujL — индуктивное сопротивление катушки,
= —p; — емкостное сопротивление конденсатора.
Если на участок цепи, содержащий соединенные последова-
последовательно резистор, конденсатор и катушку индуктивности (по-
(последовательный контур), подано внешнее напряжение U(t) =
= C/q sincjt, то установившаяся сила тока в этой цепи равна
= /о sin (о;*
где Iq = Uq/Z — амплитуда тока, Z = \/R2 + (Xl
полное сопротивление цепи (импеданс), R — активное сопро-
сопротивление цепи, X = Х^ — Xc — реактивное сопротивление
цепи; разность фаз А(р удовлетворяет соотношениям tgA(p =
Y d v
= —, cos A(p = —, sin Aip = —. Если в последовательном контуре
R Z Z
= Xc-, то А(р = 0, импеданс Z имеет минимальное возмож™
ное значение Л, а амплитуда силы тока достигает наибольшего
возможного значения при данном значении амплитуды внеш-
внешнего напряжения Uq. Это явление называют последовательным
электрическим резонансом (резонансом напряжений).
7 С.Н. Белолипецкий и др.
194 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
Параллельное соединение конденсатора, катушки индуктив-
индуктивности, резистора и источника переменного тока называют парал-
параллельным контуром. Если в параллельном контуре Xl = Xq, то
А(р = 0, а амплитуда силы тока достигает наименьшего воз™
можного значения при данном значении амплитуды внешнего
напряжения Uq. Это явление называют параллельным электри-
электрическим резонансом (резонансом токов).
Мгновенная мощность тока в цепи
P(t) = UqIq sin (out — A(p) smut.
Среднее за период значение мгновенной мощности называют
активной мощностью Р тока в электрической цепи:
т
11 /?
Р = j, fP(t) dt = -UoIo cos Aip = иэф1эф cos A^ = -^и^ф = /э2фЛ.
Множитель cos Aip называют коэффициентом мощности.
В соответствии с традицией при указании значений силы то-
тока, напряжения, ЭДС и т.п. в цепях переменного тока следует
считать, что речь идет о эффективных значениях этих величин,
если в условиях задачи не сказано иное.
4.1491. На участке цепи с активным сопротивлением R =
= 4,0 Ом сила тока изменяется по закону I(t) = 6, 4sinC14t)
(все используемые величины измеряются в единицах СИ). Опре-
Определите зависимость от времени напряжения U на этом участке,
а также эффективное значение силы тока 1эфф, среднюю ак-
активную мощность Р, выделяющуюся на этом участке. На какое
напряжение имакс должна быть рассчитана изоляция проводов?
Наличием емкости и индуктивности участка можно пренебречь.
4.1501. Сила тока в катушке с индуктивностью L = 0, 50 Гн
изменяется по закону I(t) = 0,10 sin F28t) (все используемые ве-
величины измеряются в единицах СИ). Определите зависимость
от времени напряжения U на катушке, рассеиваемую ею сред-
среднюю мощность и индуктивное сопротивление Х^. Активное со-
сопротивление катушки пренебрежимо мало.
4.1511. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону
U(t) = 220 sin |314t ) (все используемые величины измеря-
ются в единицах СИ). Определите зависимости от времени силы
тока I на этом участке цепи и заряда q(t) конденсатора. Найдите
среднюю мощность Р, выделяющуюся на конденсаторе, а также
его емкостное сопротивление Хс- Емкость конденсатора равна
С = 20 мкФ. Активное сопротивление конденсатора считайте
бесконечно большим.
4.7
СОПРОТИВЛЕНИЕ, ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ
195
4.1521. Напряжение и сила тока в катушке изменяются по
законам U(t) = 60 sin C14* + 0, 25) и I(i) = 15sinC14t) соот-
соответственно (все используемые величины измеряются в едини™
цах СИ). Определите разность фаз А(р между напряжением и
током, полное сопротивление Z катушки, коэффициент мощно-
мощности cos Д<?>, активное сопротивление R и индуктивное сопротив™
ление Х^ , а также индуктивность L катушки. Какая средняя
мощность Р рассеивается катушкой?
4.1532. При включении катушки индуктивности в цепь по™
стоянного тока с напряжением 17 = 12 В сила тока в ней состави-
составила /i = 4, 0 А. При включении той же катушки в цепь перемен™
ного тока с частотой и = 50 Гц и напряжением 17 = 12 В сила
тока в ней оказалась равной 1^ = 2,4 А. Определите индуктив-
индуктивность L катушки. Какая средняя мощность Р будет выделяться
в цепи переменного тока с частотой v = 50 Гц и напряжением
U = 12 В, если последовательно с катушкой включить конден-
конденсатор емкости С = 394 мкФ?
4.1542. В цепи переменного тока (см. рисунок) показания
вольтметров Vi и V2 составляют U\ = 12ВиС/2 = 9,0В соответ-
соответственно. Определите показания Us вольтметра V3. Вольтметры
считайте идеальными.
К задаче 4.154
К задаче 4.155
4.1552. В цепи переменного тока, изображенной на рисунке,
показание вольтметра V3 составляет Us = 34 В. Каковы показа™
ния остальных приборов? Частота переменного тока и = 50 Гц,
сопротивление R = 8, 0 Ом, индуктивность L = 48 мГн. Опре™
делите сдвиг фаз А(р между током и напряжением. Активное
сопротивление катушки пренебрежимо мало. Приборы считай™
те идеальными.
4.1561. Определите полное сопротивление Z и разность фаз
А(р между напряжением и током при различных способах соеди-
соединения резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Рас-
Рассмотрите случаи, когда: а) резистор и конденсатор включены
196
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
последовательно; б) резистор и конденсатор включены парал™
лельно; в) резистор и катушка включены последовательно; г) ре-
резистор и катушка включены параллельно; д) резистор, катушка
и конденсатор включены последовательно. Сопротивление ре™
зистора Д, емкость конденсатора С, индуктивность катушки L.
Циклическая частота приложенного напряжения равна ш. Ак™
тивное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
4.1572. Обмотка катушки состоит из N = 500 витков медно-
медного провода площадью поперечного сечения а = 1,0 мм2. Длина
катушки Ъ = 50 см, ее диаметр D = 5,0 см. Удельное сопротив-
сопротивление меди р = 1, 7-10^8 Ом-м. При какой частоте v переменного
тока полное сопротивление этой катушки окажется в п = 2 раза
больше ее активного сопротивления?
4.1582. Последовательно с электроплиткой в сеть перемен™
ного тока частоты и = 50 Гц включили катушку индуктивности.
При этом мощность плитки упала в п = 2 раза. Определите ин-
индуктивность L катушки, если активное сопротивление плитки
R = 50 Ом. Активное сопротивление катушки пренебрежимо
мало.
4.1592. Два конденсатора с емкостями С\ = 0,20 мкФ и
С2 = 0,10 мкФ включены последовательно в цепь переменного
тока напряжением U = 220 В и частотой v = 50 Гц. Определите
эффективные значения силы тока I в цепи и напряжений U\ и
U2 на каждом из конденсаторов.
4.1602. Резистор и катушка индуктивности соединены па™
раллельно и включены в цепь переменного тока с напряжением
17 = 127 В и частотой z/ = 50 Гц. Известно, что мощность, рассе™
иваемая в этой цепи, составляет Р = 404 Вт, а сдвиг фаз между
напряжением и током А(р = 60°. Определите активное сопро-
сопротивление R резистора и индуктивность L катушки. Активное
сопротивление катушки пренебрежимо мало.
К задаче 4.161
4.1611. Определите силу тока I в неразветвленной части
цепи (см. рисунок), если 1\ =4,0 А, /2 = 3,0 А. Активное со™
противление катушки пренебрежимо мало.
4.7
СОПРОТИВЛЕНИЕ, ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ
197
4.1623. В сеть переменного тока частоты v = 50 Гц вклк>
чены последовательно лампочка, конденсатор емкости С =
= 20 мкФ и катушка индуктивности. Индуктивность катушки
без сердечника равна L\ = 50 мГн; при полностью введенном
сердечнике она составляет L^ = 1,5 Гн. Как изменяется накал
лампы по мере введения сердечника в катушку? Какая часть xq
объема катушки будет занята сердечником в момент, когда на™
кал лампы будет максимальным? Сердечник вводят в катушку
очень медленно.
4.1633. Конденсатор неизвестной емкости, катушка индук-
индуктивности и резистор подключены последовательно к источни-
источнику переменного напряжения U(t) = Uq cos ut. Индуктивность
катушки равна L, сопротивление резистора R. Определите ам-
амплитудное значение напряжения Uco между обкладками кон-
конденсатора, если сила тока в цепи зависит от времени по закону
I(t) = *? cos ut.
R
4.1643. В цепи, изображенной на рисунке, L = 0,10 Гн,
С = 10 мкФ. Циклическая частота внешнего напряжения, пода-
подаваемого на клеммы 1иВ, равна ш = 1,0-103 рад/с. Определите
силу тока, протекающего через резистор R.
г———
1
R
, 1
1 |
О О
А В
К задаче 4.
L
1
с 1
164
о X °
[
о о
А В
К задаче 4.165
1
R
4.1653. К источнику переменного напряжения подключены
последовательно резистор сопротивления R = 10 Ом и некото™
рое неизвестное соединение элементов X (см. рисунок). Ампли-
Амплитудные значения тока в цепи нагрузки и напряжения на неиз-
неизвестном соединении равны Iq = 12 А и Uq = 120 В соответствен™
но. Определите амплитуду ЭДО ?® источника, подключенного
к клеммам 1иВ, ток I в цепи опережает по фазе напряжение
U на неизвестном соединении на А(^) = 60°. Внутреннее сопро-
сопротивление источника считайте равным нулю. Какова может быть
простейшая схема неизвестного соединения XI
4.1663. Определите показание U вольтметра в цепи пере-
переменного тока, показанной на рисунке, если показание ампермет-
амперметра I = 2,4 A, L = 159 мГн, С = 106 мкФ, R = 56 Ом. Частота
198
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
тока в сети v = 50 Гц. Активное сопротивление катушки прене™
брежимо мало. Приборы считайте идеальными.
С:
К задаче 4.166
К задаче 4.167
4.1673. Определите силу тока I в цепи, показанной на ри-
рисунке, считая известными значения С, i?i, i?2- На цепь подано
переменное напряжение U с циклической частотой ш.
4.1683. Цепь, показанная на ри-
рисунке, подключена к источнику внеш-
внешнего напряжения U(t) = Uq sin cut.
Найдите зависимость от времени силы
тока /, установившегося в этой цепи.
Индуктивности катушек одинаковы и
равны L каждая, емкость конденсато-
конденсатора С. Активное сопротивление кату™
шек пренебрежимо мало.
4.1694. Определите зависимость
от времени сил токов J, установившихся в различных элементах
цепей, показанных на рисунке. На клеммы 1—2, 3—^ 7-8 подано
К задаче 4.168
С
К задаче 4.169
переменное напряжение ?i(t) = ?q sincdt, на клеммы 5-6 — пере-
переменное напряжение ?2(i) = <?o coscj! Определите среднюю мощ-
мощность Р, выделяющуюся в цепях, если ?q = 200 В, R = 100 Ом,
С = 100 мкФ, L = 1, 0 Гн, частота тока v = 50 Гц. Внутренние
4.8 ТРАНСФОРМАТОРЫ 199
сопротивления источников пере-
переменного напряжения и активное
сопротивление катушки пренебре™
жимо малы.
4.1704. Цепь, показанная на
рисунке, подключена к сети пере™
менного тока с напряжением Uq =
= 220 В. Определите напряжение
Uab между точками А и В цепи. к задаче 4Л70
4.8. Трансформаторы
Трансформатор представляет собой устройство для преобра™
зования переменного тока заданного напряжения в переменный
ток другого напряжения. Трансформатор может быть описан
моделью двух контуров, гальванически изолированных друг от
друга. Один из контуров, подключаемый к источнику перемен-
переменного тока, называют первичной обмоткой, второй контур, к ко™
торому подключается нагрузка — вторичной обмоткой транс™
форматора.
Если можно пренебречь потерями энергии в сердечнике и
активным сопротивлением первичной обмотки, то в режиме хо-
холостого хода (при разомкнутой вторичной обмотке)
U2 ?2 N2'
где 17ц2), ?iB)> ^1B) ~~ соответственно напряжение на зажимах,
ЭДС индукции, число витков в первичной (вторичной) обмотке.
Величину —^ = к называют коэффициентом трансформации;
если к < 1, то трансформатор называют повышающим^ если
к > 1 — понижающим.
Если потери энергии в сердечнике и активные сопротивле-
сопротивления обмоток пренебрежимо малы, то при замыкании вторичной
обмотки через нагрузку
1\Е\ = /2^2? — = ^,
h
где 1\ и /2 — силы токов в первичной и вторичной обмотках.
В общем случае КПД трансформатора
где Р2 — мощность, потребляемая в цепи вторичной обмотки,
Pi — мощность, отбираемая из сети первичной обмоткой транс™
форматора.
200 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.1711. Трансформатор понижает напряжение с U\ = 220 В
до U2 = 42 В. В какой из обмоток провод должен быть толще?
Можно ли подключить трансформатор к сети постоянного тока
с напряжением U = 100 В? Можно ли включить в сеть пере™
менного тока с напряжением U\ = 220 В первичную катушку
трансформатора, снятую с сердечника? Ответы обосновать.
4.1722. Почему для реостата замыкание одного^двух вит™
ков не опасно, но трансформатор может выйти из строя, если
хотя бы один виток обмотки будет замкнут накоротко? Ответ
обосновать.
4.1732. Через замкнутый кольцевой сердечник трансфор-
трансформатора, понижающего напряжение с U\ = 220 В до U<i = 42 В,
пропущен провод, концы которого присоединены к вольтметру.
Вольтметр показывает напряжение 17 = 0, 50 В. Определите чис-
число N витков в обмотках трансформатора.
4.1742. Когда на первичную обмотку трансформатора бы™
л о подано напряжение U\ = 220 В, напряжение на вторичной
обмотке в режиме холостого хода составило О2 = 130 В. Опре-
Определите число витков N2 во вторичной обмотке трансформатора,
если число витков в первичной обмотке N\ = 400, а в сердечнике
трансформатора рассеивается г) = 3, 8 % магнитного потока.
4.1752. Понижающий трансформатор с коэффициентом
трансформации к = 5, 0 включен в сеть напряжения U\ = 220 В.
Определите КПД rj трансформатора, если напряжение во вто-
вторичной обмотке 172 = 42 В, а потери энергии в первичной об-
обмотке трансформатора пренебрежимо малы.
4.1762. Первичная обмотка трансформатора включена в
сеть переменного тока с напряжением U\ = 220 В, разность по™
тенциалов на зажимах вторичной обмотки Ui = 20 В, ее сопро-
сопротивление i?2 = 1,0 Ом. Сила тока во вторичной обмотке I2 =
= 2,0 А. Определите коэффициент трансформации к и КПД
7] трансформатора. Рассеяние магнитного потока в ярме транс-
трансформатора и потери энергии в его первичной обмотке пренебре-
пренебрежимо малы.
4.1772. От вторичной обмотки трансформатора сопротивле™
ния R = 0,10 Ом питаются п = 1000 параллельно включенных
электроламп мощности Р = 100 Вт каждая, рассчитанных на
напряжение U = 220 В. Определите КПД rj трансформатора,
пренебрегая рассеянием магнитного потока в ярме трансформа-
трансформатора и потерями энергии в его первичной обмотке.
4.1782. Первичная обмотка трансформатора, включенного
в сеть напряжения U\ = 380 В, имеет iVi = 2400 витков. Какое
число N2 витков должна иметь вторичная обмотка этого транс-
трансформатора, чтобы при напряжении 172 = 11 В на ее зажимах
4.8
ТРАНСФОРМАТОРЫ
201
передавать во внешнюю цепь мощность Р = 22 Вт? Оопротив-
ление вторичной обмотки i?2 = 0, 20 Ом. Рассеяние магнитного
потока в ярме трансформатора и потери энергии в его первич-
ной обмотке пренебрежимо малы.
4.1792. Генератор переменного тока с действующим значе-
значением ЭДС ? = 220 В и внутренним сопротивлением г = 10 Ом
подключен через трансформатор к нагрузочному сопротивле-
сопротивлению R = 1,0 Ом. Определите, при каком коэффициенте транс-
трансформации к в нагрузке будет выделяться наибольшая мощность
^макс5 найдите также значение РМакс- Рассеяние магнитного по™
тока в ярме трансформатора и потери энергии в его первичной
обмотке пренебрежимо малы.
4.1803. Сила тока холостого хода в первичной обмотке по™
нижающего трансформатора, питаемой от сети переменного то-
тока частоты v = 50 Гц и напряжения U\ = 220 В, равна 1\ =
= 0, 20 А. Активное сопротивление первичной обмотки R\ =
= 100 Ом. Определите индуктивность L первичной обмотки и
напряжение U<i на зажимах вторичной обмотки, если коэффи-
коэффициент трансформации к = 10.
4.1812. На железный сердечник намотаны две катушки (см.
рисунок). Магнитный поток, создаваемый каждой катушкой, не
выходит из сердечника и делится поровну в разветвлениях. При
включении катушки 1 в цепь переменного тока напряжения
U\ = 40 В напряжение на катушке 2 равно U2 = 10 В. Какое
напряжение U[ возникнет на разомкнутых зажимах катушки 1,
если на катушку 2 подать переменный ток с напряжением U^ =
= 10 В? Потери энергии пренебрежимо малы.
К задаче 4.181
К задаче 4.182
4.1823. Первичная обмотка трансформатора содержит N
витков, вторичная — один виток. Трансформатор подключен к
источнику переменного тока с ЭДС ?. К замкнутому витку вто™
ричной обмотки подключен гальванометр с внутренним сопро-
сопротивлением г так, что точки подключения гальванометра делят
виток на участки с сопротивлениями R\ и Л2 (см. рисунок).
Определите силу тока I через гальванометр. Потери энергии в
202
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
первичной обмотке и рассеяние магнитного потока в сердечнике
пренебрежимо малы.
4.1834. Два одинаковых идеалвных трансформатора с ко-
коэффициентами трансформации к = 1/3 соединены последова-
последовательно разными обмотками (см. рисунок) и подключены к ис-
источнику переменного тока напряжения U = 100 В. Определите
напряжение UaBi возникающее между клеммами А ш В. Длины
и сечения катушек одинаковы.
>U
1
о
-17
о
j
|
X
X
X
2
—\
1
Ah
В<\
J
j—'
К задаче 4.183
4.1844. На тороидальный сердечник из феррита с магнит-
магнитной проницаемостью /i = 2000 намотаны две катушки: первич-
первичная и вторичная, содержащие соответственно N\ = 2000 и N2 =
= 4000 витков. Когда на первичную катушку подается напря-
напряжение U\ = 100 В, напряжение на разомкнутой вторичной об-
обмотке составляет ^ = 199 В. Какое напряжение Щ возникает
на разомкнутой вторичной катушке, если воспользоваться сер-
сердечником таких же размеров, но изготовленным из феррита с
// = 20? Рассеяние магнитного потока и потери энергии в сер-
сердечнике пренебрежимо малы.
4.9. Электрические машины постоянного тока
Электрическими машинами постоянного тока называ-
называют электродвигатели (электромоторы) и электрогенераторы
(динамо-машины) постоянного тока.
Электродвигатель преобразует энергию электромагнитного
поля в механическую. Основными элементами электродвигате-
электродвигателя являются индуктор — источник электромагнитного поля и
якорь (ротор) — вращающаяся часть электродвигателя, пред-
представляющая собой совокупность рамок с током, которые называ-
называют обмотками. Если индуктор представляет собой постоянный
4.9 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 203
магнит или электромагнит, обмотка которого питается незави™
симо от обмотки якоря, то такой электродвигатель называют
электродвигателем постоянного тока с независимым возбуэю-
дением.
Закон Ома для цепи якоря электродвигателя с независимым
возбуждением имеет вид
U-Si = IR,
где U — напряжение источника тока, Е% — ЭДС индукции, воз™
никающая в обмотке якоря при его вращении в магнитном поле
индуктора, I — сила тока в цепи, R — общее сопротивление об-
обмотки якоря и подводящих проводов.
Закон сохранения энергии для цепи якоря электродвигателя
171 = I2R + Р,
где Р = Е{1 — полезная мощность.
Электрогенератор преобразует механическую энергию в
электромагнитную. Его устройство аналогично устройству элек-
электродвигателя .
Закон Ома для генератора
Si = IR,
где Е{ — ЭДС индукции, возникающая в обмотке якоря; I — ток
в обмотке якоря; R — сопротивление цепи якоря.
Закон сохранения энергии для идеального электродвигателя
(потери энергии на трение пренебрежимо малы) имеет вид
где Рм — механическая мощность, расходуемая на вращение яко-
якоря.
Закон обратимости электрических машин. Если одна и та
же электрическая машина работает в первом случае как элек-
электрогенератор, во втором — как электродвигатель, то
где и) — угловая скорость вращения якоря электрической маши™
ны.
4.1852. Электродвигатель с независимым возбуждением
подключен к источнику постоянного тока напряжения U. Со™
противление обмотки якоря и подводящих проводов равно R.
Изобразите графики зависимостей ЭДС индукции ?, возникаю™
щей в обмотке якоря, силы тока I в цепи и полезной мощности Р
от угловой скорости ш вращения якоря. Определите максималь-
максимальную полезную мощность РМакс- Какому значению силы тока /q
в цепи соответствует эта мощность?
204 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.1862. Электродвигатель питается от батареи с ЭДС ? =
= 12 В. Какую мощность Р развивает двигатель при протекании
по его обмотке тока I = 2,0 А, если при полной остановке якоря
по цепи течет ток Jo = 3, 0 А?
4.1872. Электродвигатель присоединили к источнику тока
напряжения U = 500 В. При силе тока в цепи 1\ = 10 А он
развивает мощность Р\ = 4,0 кВт. Определите мощность Р2,
развиваемую двигателем, если вследствие изменения нагрузки
сила тока в цепи стала равной /2 = 20 А.
4.1882. В момент включения электродвигателя в сеть по™
стоянного тока сила тока в цепи составляет I® = 15 А, а в про™
цессе работы электродвигателя в установившемся режиме она
снижается до значения I = 9, 0 А. Определите КПД г) электро™
двигателя.
4.1893. Электродвигатель включен в сеть постоянного тока.
При частоте вращения якоря /i = 1000 об/мин ток в цепи якоря
равен 1\ = 10 А, а при частоте /2 = 900 об/мин он равен 1^ =
= 15 А. Определите частоту вращения /з двигателя на холостом
ходу (без нагрузки).
4.1904. Вал электродвигателя постоянного тока, включен™
ного вхолостую в сеть с напряжением 17 = 24 В, вращается с ча-
частотой /i = 10 об/с при полном сопротивлении цепи R = 20 Ом
и силе тока в цепи 1\ = 0, 20 А. Какой ток /2 течет через обмотку
якоря электродвигателя, когда с его помощью поднимают груз
массы т = 1, 0 кг на легком тросике, который наматывается на
шкив диаметра D = 20 мм? О какой частотой /2 вращается при
этом вал электродвигателя? Момент сил трения в оси не зависит
от скорости вращения вала.
4.1914. Вал электродвигателя постоянного тока, включен™
ного без нагрузки в сеть постоянного тока, вращается с частотой
Д = 1000 об/мин, с нагрузкой — с частотой /2 = 700 об/мин. О
какой частотой /з будет вращаться вал двигателя, если момент
сил, создаваемый нагрузкой, увеличить на г) = 20 % ? Трение в
оси двигателя пренебрежимо мало.
4.1924. Лебедка приводится в движение электродвигателем
с независимым возбуждением. Электродвигатель питается от ба-
батареи с ЭДО ? = 300 В. Вез груза конец троса лебедки подни™
мается со скоростью v\ = 4, 0 м/с, с грузом массы т = 10 кг —
со скоростью V2 = 1,0 м/с. Определите, с какой скоростью v®
должен двигаться груз и какова должна быть его масса mg? что™
бы лебедка развивала максимальную мощность. Массой троса и
трением в оси двигателя пренебречь.
4.1934. Сопротивление обмотки якоря электродвигателя
равно i?i, а обмотки индуктора i?2- Если обмотки якоря и ин™
дуктора соединены последовательно и подключены к одному ис-
4.9 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 205
точнику тока, то такой электродвигатель называют двигателем
с последовательным возбуждением (сериесным двигателем). Ес-
Если же обмотки соединены параллельно, то электродвигатель на™
зывают двигателем с параллельным возбуждением (шунтовым
двигателем). В каком случае максимальная полезная мощность
Р больше? Каковы коэффициенты полезного действия г/, соот™
ветствующие максимальным значениям мощности в обоих слу-
случаях? Напряжение питания двигателя равно U.
4.1943. Вал электродвигателя постоянного тока, на клеммы
которого подано напряжение U\ = 120 В, вращается с частотой
/i = 15 об/с при силе тока в цепи якоря 1\ = 1, 0 А. Какую ЭДС
?г разовьет та же электрическая машина, работая в качестве
генератора при частоте вращения вала /2 = 30 об/с? Каким
будет напряжение [/ на сопротивлении нагрузки R = 65 Ом,
подключенном к клеммам этого генератора? Какую мощность
Р развивает при этом генератор? Сопротивление обмотки якоря
г = 5,0 Ом.
4.1953. Угловая скорость вращения якоря генератора с по™
стоянным магнитом увеличилась на ?)ш = 10%. На сколько щ
процентов увеличится при этом полезная мощность генератора г
4.1963. Какую ЭДО ? развивает генератор постоянного то™
ка, если при сопротивлении цепи R\ = 300 Ом на вращение
ротора затрачивается мощность Р\ = 50 Вт, а потери на трение
составляют а = 4 % от затраченной мощности? Какую мощность
р2 Для поддержания той же частоты вращения якоря необходи-
мо затрачивать при сопротивлении цепи i?2 = 60 Ом?
4.1974. Груз массы т подвешен на невесомой нити, намо™
танной на ось якоря генератора с независимым возбуждением,
замкнутой на резистор сопротивления R. Нить сматывается с
оси так, что груз опускается с постоянной скоростью v\. О ка™
кой скоростью V2 будет подниматься вверх тот же груз, если
генератор включить как электродвигатель в цепь постоянного
тока с напряжением U и тем же сопротивлением цепи R? Со™
противлением обмотки якоря генератора пренебречь.
4.1984. Электродвигатель постоянного тока с независимым
возбуждением (с постоянным магнитом) поднимает груз со ско-
скоростью vi при помощи невесомой нити, наматывающейся на ось
двигателя. В отсутствие груза невесомая нить поднимается со
скоростью vq. О какой скоростью V2 будет опускаться тот же
груз, если обмотка якоря будет замкнута накоротко? Трением в
подшипниках пренебречь.
4.1994. Имеется генератор с независимым возбуждением,
на якоре которого имеются две одинаковые обмотки с сопро-
сопротивлением г каждая; каждая из обмоток соединена с одним из
двух одинаковых коллекторов. Одну из обмоток подключили к
206 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
источнику с напряжением U; другую замкнули на резистор со™
противления R. Как зависят ЭДС индукции в обмотках и сила
тока в каждой из обмоток от сопротивления R?
4.10. Колебательный контур
Частным случаем электрической цепи, в которой могут про™
исходить свободные электрические колебания, является коле-
колебательный контур (см. рисунок), состоящий из конденсатора
электроемкости С и соединенной с ним последовательно катуш™
ки индуктивности L, активное сопротивление R контура в об™
щем случае отлично от нуля.
Закон Ома для участка цепи
1—L—2 имеет вид
+q
с
или
где q и tpi - (р2 = -^ — заряд кон™
введению денсатора и разность потенциалов его
обкладок в рассматриваемый произвольный момент времени ?,
R — электрическое сопротивление колебательного контура, т.е.
участка цепи l—L—2, ?i = ^L— — ЭДС самоиндукции в катуш-
¦\т т dq
ке. Учитывая, что из закона сохранения заряда следует 1 = —--,
at
получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q:
d2q Rdq 1 _
d*2 + lit + Wq^
Свободные колебания в колебательном контуре являются
гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0:
d2q 1
+q 0
Циклическая частота ш и период Т этих колебаний удовле™
творяют формуле Томсона:
Т = 2ттл/ЬС.
VLC
Заряд q конденсатора и сила тока I в контуре изменяются
по законам
q(t) = qosin(ut + <po)]
I(t) = Iq cos (out + (f®) = Iq sin (out + (fo + тг/2),
4.10 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 207
где до — амплитуда заряда конденсатора, Iq = uqo = р— —
амплитуда силы тока, щ — начальная фаза колебаний заряда
конденсатора.
Разность потенциалов обкладок конденсатора также изме-
изменятся по гармоническому закону:
U(t) = (ft - tp2 = — = С/о sin (ujt + (po),
где С/о = Щ — амплитуда разности потенциалов.
Отношение — = \ — называют волновым сопротивлением
колебательного контура.
При свободных гармонических колебаниях в колебательном
контуре происходит периодическое преобразование энергии W3JI
электрического поля конденсатора в энергию WM магнитного по™
ля катушки:
WM{t) =
2 2
= —?- [1 + cos Ba;t + 2<p0)] = ^ [1 + cos
a2 1
W = WUt) + WM(t) = ^ = 2LJo = const°
Скорость электромагнитных волн, излучаемых колебатель™
ным контуром, в вакууме (и в воздухе) считайте равной
с = 1 = 2,9979380 • 108 « 3,0 • 108м/с.
4.2001. В колебательный контур входят катушка перемен-
переменной индуктивности, изменяющейся в пределах от L\ = 0, 50 до
L2 = 10 мкГн и конденсатор, емкость которого может изме-
изменяться в пределах от С\ = 10 до С2 = 500 пФ. Какой диапазон
частот v можно охватить настройкой этого контура? Активное
сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.2011. Емкость переменного конденсатора изменяется в
пределах от С\ = 56 до С2 = 667 пФ. В каких пределах долж-
должна изменяться индуктивность L контура, чтобы его можно бы™
ло настроить на прием электромагнитных волн в диапазоне от
208
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
Ai = 40 до \2 = 2600 м? Активное сопротивление контура пре-
небрежимо мало.
4.2021. Колебательный контур состоит из катушки индук-
индуктивности L = 20 мкГн и конденсатора емкости С = 80 нФ.
Величина емкости может отклоняться от указанного значения
на г] = 2, 0 % . В каких пределах может изменяться длина вол-
волны А, на которую резонирует контур? Активное сопротивление
контура пренебрежимо мало.
4.2031. Определите период Т колебаний контура, в состав
которого входят катушка (без сердечника) длины Ъ = 50 см и
площади сечения а = 3, 0 см2, имеющая N = 1000 витков, и воз™
душный конденсатор, состоящий из двух пластин площади S =
= 75 см2 каждая. Расстояние между пластинами конденсатора
равно d = 5,0 мм. Активное сопротивление контура пренебре-
пренебрежимо мало.
4.2041. В состав колебательного контура, излучающего вол™
ну длины А = 10 м, входят воздушный конденсатор и катушка
индуктивности L = 1,0 мкГн. Определите расстояние d между
пластинами конденсатора, если их площадь S = 100 см2. Актив-
Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.2051. Ток в колебательном контуре зависит от времени по
закону I(t) = JosincJot, где I® = 9,0 мА, ш® = 4, 5 • 104 с. Ем-
Емкость конденсатора С = 0, 50 мкФ. Определите индуктивность
L контура и напряжение U на конденсаторе в момент времени
t = 0. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.2062. В колебательном контуре (см. рисунок) индуктив-
индуктивность катушки L = 2,5 мГн, а емкости конденсаторов С\ =
= 2,0 мкФ и С2 = 3,0 мкФ. Конденсаторы зарядили до на-
напряжения U = 180 В и замкнули ключ К. Определите период
Т собственных колебаний и амплитудное значение тока I® через
катушку. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
К задаче 4.206
К задаче 4.207
4.2072. Конденсатор емкости С\ зарядили до напряжения
j а затем подключили, замкнув ключ К (см. рисунок) к коле-
4.10
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
209
бательному контуру, состоящему из катушки индуктивности L и
конденсатора емкости С2. Определите зависимости от времени
зарядов qi и д2 на обоих конденсаторах.
4.2083. Электрическая цепь (см. рисунок), в состав кото™
рой входят два конденсатора емкости С каждый и катушка с
индуктивностью L, имеет пренебрежимо малое активное еопро-
тивление. Конденсатор 1 зарядили до напряжения U® и затем (в
момент времени t = 0) замкнули ключ К. Определите зависимо-
зависимости от времени t напряжений U\ и U2 на обоих конденсаторах.
С
С-
D'
С-
К задаче 4.208
К задаче 4.209
4.20Э3. Колебательный контур, в который включен идеаль™
ный диод D, через ключ К на время т подключают к батарее
с ЭДО ?j а затем отключают (см. рисунок). Получите завиеи-
мость напряжения U на конденсаторе от времени после размы™
кания ключа. Сопротивления источника и катушки пренебре-
пренебрежимо малы. Индуктивность катушки L и емкость конденсатора
С известны.
4.2103. Конденсатор емкости С = 50 пФ сначала подклю-
подключили к источнику тока с ЭДС ? = 3, 0 В, а затем к катушке
индуктивности L = 5,1 мкГн. Определите частоту колебаний,
возникших в контуре, максимальное /Макс и эффективное /эф
значения силы тока в контуре, а также зависимость I(t) силы
тока в катушке. Каким будет максимальный магнитный поток
Фмако пронизывающий катушку? Активное сопротивление кон-
контура пренебрежимо мало.
4.2113. Колебательный контур состоит из катушки индук-
индуктивности L и конденсатора емкости С. Активное сопротивление
контура пренебрежимо мало. Катушка находится в постоянном
магнитном поле, так что суммарный магнитный поток, прони-
пронизывающий все витки катушки, равен Ф. В момент t = 0 поле
выключили. Считая время выключения поля очень малым по
сравнению с периодом собственных колебаний контура, найдите
зависимость от времени силы тока I в катушке.
210 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
4.2122. Колебательный контур состоит из катушки индук™
тивности L и конденсатора емкости С. Активное сопротивление
контура пренебрежимо мало. Найдите связь между силой тока
I в катушке и напряжением 17 на конденсаторе, если амплитуда
напряжения на конденсаторе равна Uq.
4.2132. Колебательный контур состоит из катушки индук-
индуктивности L = 1,6 мГн и конденсатора емкости С = 0,040 мкФ.
Максимальное напряжение на обкладках конденсатора U® =
= 200 В. Определите максимальную силу тока Iq в контуре.
Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.2142. Колебательный контур состоит из дросселя индук-
индуктивности L = 0, 20 Гн и конденсатора емкости С = 10 мкФ. В
момент, когда напряжение на конденсаторе равно U = 1,0 В, ток
в катушке равен I = 10 мА. Определите максимальное значение
^макс силы тока в катушке. Каков будет заряд q\ конденсатора
в момент, когда сила тока в катушке будет равна 1\ = 5,0 мА?
Определите значение силы тока /2 в катушке в момент, когда
энергия контура окажется поровну распределенной между элек-
электрическим и магнитным полями.
4.2152. Заряженный конденсатор емкости С замкнули на
катушку индуктивности L. Через какое время г после подключе-
подключения энергия электрического поля конденсатора впервые станет
равной энергии магнитного поля в катушке? Активное сопро-
сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.21 б4. В колебательном контуре, состоящем из плоского
конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым
активным сопротивлением, происходят колебания с энергией W.
Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота
колебаний увеличилась в п раз. Определите работу А, север™
шенную в этом процессе.
4.2173. Колебательный контур через ключ К подключен к
источнику ЭДО с некоторым внутренним сопротивлением г (см.
рисунок). Первоначально ключ К замкнут. После установления
стационарного режима ключ размыкают и в контуре возника-
возникают колебания с периодом Т. При этом амплитуда напряжения
на конденсаторе в п раз больше ЭДС батареи. Определите ин-
индуктивность L катушки и емкость С конденсатора. Активное
сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.2183. Конденсатор емкости С, заряженный до разности
потенциалов С/о, замыканием ключа К подключают к двум па-
параллельно соединенным катушкам с индуктивностями L± ш L2
(см. рисунок). Некоторое время спустя конденсатор полностью
перезарядится (напряжение на нем поменяет знак). Какие заря-
заряды qi и #2 протекут через катушки за это время? Сопротивления
катушек и подводящих проводов пренебрежимо малы.
4.10
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
211
4.21Э3. Заряженный конденсатор емкости С замыканием
ключа К подключают к двум параллельно соединенным катуш-
К
¦ С
L
2
К задаче 4.217
К задаче 4.218
кам с индуктивностями L\ и L2 (см. рисунок к задаче 4.218).
Максимальный ток, протекающий через катушку Li, равен 1±.
Определите первоначальный заряд q® на конденсаторе. Сопро-
Сопротивления катушек и подводящих проводов пренебрежимо малы.
4.2203. Катушки 1 и 2, имеющие одинаковую индуктив-
индуктивность L, подключены через ключи К± и Ж2 K конденсатору ем-
емкости С (см. рисунок). В начальный момент времени оба ключа
разомкнуты, а конденсатор заря-
заряжен до разности потенциалов Ug.
Сначала замкнули ключ К\ и,
когда напряжение на конденсато-
конденсаторе стало равным нулю, замкнули
ключ К.2- Определите максималь-
максимальное напряжение ?7макс на конденса-
торе после замыкания ключа К2-
Сопротивлениями катушек прене™
бречь.
4.2213. Катушки 1 и 2, имею-
имеющие индуктивности L\ и L2 со-
соответственно, подключены через
ключи К\ и Ж~2 к конденсатору емкости С (см. рисунок к зада-
задаче 4.220). В начальный момент времени оба ключа разомкнуты,
а конденсатор заряжен до разности потенциалов С/о. Сначала
замкнули ключ К\ и, когда напряжение на конденсаторе стало
равным нулю, замкнули ключ К.2- Определите максимальный
h макс и минимальный 1\ мин токи, протекающие через катушку
1 после замыкания ключа Ж~2-
4.2223. Колебательный контур, в состав которого входят
конденсатор емкости С и катушка индуктивности L и актив-
активным сопротивлением RJ через ключ К подключен к батарее с
ЭДС ? (см. рисунок). Спустя некоторое время после замыка-
К задаче 4.220
212
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ГЛ. 4
К задаче 4.222
ния ключа К установился стационарный режим (токи во всех
элементах цепи стали постоянными). Какое количество теплоты
Q выделится в катушке после то™
го, как ключ К будет разомкнут?
Внутреннее сопротивление бата-
батареи и сопротивление подводящих
проводов пренебрежимо малы.
4.2233. Конденсатор емкости
С, заряженный до напряжения
С/о, разряжается на катушку ин-
индуктивности L и активнвш сопро™
тивлением R. Какое количество
теплоты Q выделится в катушке
к тому моменту, когда сила тока
в ней достигнет наибольшего зна-
значения 1Макс?
4.224 . Колебательный контур содержит конденсатор ем-
емкости С = 1,2 нФ и катушку индуктивности L = 6, 0 мкГн и
активным сопротивлением R = 0, 50 Ом. Какую среднюю мощ-
мощность Р нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем
незатухающие гармонические колебания с амплитудой напряже-
напряжения на конденсаторе Uq = 10 В?
4.2253. Колебательный контур, настроенный на длину вол™
ны А = 300 м, имеет индуктивность L = 0, 20 Гн и активное
сопротивление R = 2,0 Ом. На сколько rj процентов уменьша-
уменьшается энергия этого контура за время одного колебания? На про™
тяжении одного колебания ток в контуре можно считать сину-
синусоидальным.
4.11. Электромагнитные волны
Электромагнитными волнами называют возмущения элек-
электромагнитного поля (т.е. переменное электромагнитное поле),
распространяющиеся в пространстве. В настоящем разделе рас-
рассматриваются гармонические электромагнитные волны.
Фазовая скорость электромагнитных волн в среде с отно™
сительной диэлектрической проницаемостью е и относительной
магнитной проницаемостью /л равна
1 с
v =
где с = ——= = 2, 9979380- 108м/с — скорость электромагнитных
волн в вакууме.
Электромагнитные волны являются поперечными: взаимно
перпендикулярные векторы напряженности электрического и
4.11 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 213
магнитного полей Е и Н лежат в плоскости, перпендикулярной
к направлению распространения волны. Модули Е и Н связаны
соотношением ^/ее®Е = ^ДцлдН.
Объемная плотность энергии w электромагнитного поля в
линейной изотропной среде
w = \eeqE2 + ^^0Н2= 660E2= fifi0H2= ^eeofifioEH = ^ЕН.
А А С
Вектор плотности потока энергии электромагнитной вол™
ны S называют вектором Умова^Пойнтинга (вектором Пойн-
тинга). Скорость переноса энергии бегущей монохроматической
волной равна фазовой скорости v этой волны, поэтому
S = wv = [EH].
Давление р электромагнитных волн на плоское препятствие
равно
р = (w)(l + R) cos2 а,
где (w) — среднее значение объемной плотности энергии све-
световой волны, R — коэффициент отражения света от рассмат-
риваемой поверхности, равный отношению средних объемных
плотностей энергии отраженной и падающей световых волн; а
— угол падения электромагнитной волны на поверхность (угол
между вектором S и нормалью к поверхности).
4.2261. Определите длину волны А, излучаемую в воздухе
передатчиком, работающим на частоте v = 60 МГц.
4.2271. Какое число п электромагнитных колебаний, соот-
соответствующих длине волны Ai = 375 м, осуществляется в течение
одного периода звуковых колебаний, происходящих с частотой
V2 = 500 Гц перед микрофоном передающей станции?
4.2281. Электромагнитная волна частоты v = 3, 0 МГц пере-
переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической про-
проницаемостью е = 4, 0. Определите приращение А А ее длины вол-
волны.
4.2291. Перед генератором электромагнитных волн поме-
поместили металлический лист, получив стоячую волну. Определите
частоту v генератора, если расстояние между пучностями L =
= 15 см.
4.2303. Плоская электромагнитная волна, напряжен-
напряженность электрического поля в которой описывается уравнением
Ez(x,t) = 200cosBtt • 108t + 4, 55ж) (все используемые величи-
величины приведены в единицах СИ), полностью поглощается поверх-
поверхностью тела, расположенной перпендикулярно оси абсцисс. Ка-
Какова диэлектрическая проницаемость е среды, в которой распро-
распространяется волна (среда немагнитная)? Какое среднее давление
р она оказывает на тело? Определите среднюю за период ко-
214 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛ. 4
лебания плотность потока электромагнитной энергии S в этой
волне.
4.2312. В вакууме распространяется плоская электромаг™
нитная волна, частота которой и = 100 МГц и амплитуда элек™
трической составляющей Eq = 50 мВ/м. Определите среднее за
период колебания значение плотности потока энергии S.
4.2322. Почему увеличение дальности радиосвязи с косми-
космическими кораблями в п = 2 раза требует увеличения мощно™
сти передатчика в 4 раза, а увеличение дальности радиолока-
радиолокации в п = 2 раза требует увеличения мощности передатчика в
16 раз? Размеры излучателя радиоволн и объекта локации малы
по сравнению с расстоянием между ними, поглощение энергии
средой пренебрежимо мало.
4.2332. На каком предельном расстоянии Ьмакс может быть
обнаружена цель на поверхности моря корабельным радиолока™
тором, расположенным на высоте h = 8, 0 м над уровнем моря?
Определите минимальный промежуток времени Д?мин между
соседними импульсами у этого локатора. Как изменится AtMHH
при подъеме антенны локатора на большую высоту?
4.2343. Радиолокатор работает на волне А = 15 см и дает
п = 4000 импульсов в секунду. Длительность каждого импульса
т = 2, 0 мкс. Определите число N колебаний в каждом импульсе
и наибольшую глубину Ьшажс разведки локатора.
4.2352. Длина воздушной линии передачи равна L = 300 км.
Частота передаваемого напряжения и = 50 Гц. Определите фа-
фазовый сдвиг А(р напряжения в начале и в конце этой линии.
ГЛАВА 5
ОПТИКА
5.1. Отражение света. Плоское зеркало
Закон отражения света: луч, падающий на границу раздела
сред, нормаль, восстановленная к границе раздела сред в точке
падения луча, и отраженный луч лежат в одной плоскости; угол
отражения луча равен углу падения.
Угол падения и угол отражения отсчитываются от нормали,
восстановленной к границе раздела сред в точке падения луча.
5.12. Источник света диаметра D = 20 см расположен на
расстоянии L = 2, 0 м от экрана. На каком наименьшем расстоя-
расстоянии х от экрана нужно поместить мячик диаметра d = 8, 0 см,
чтобы он не отбрасывал тени на экран, а давал только полутень?
Прямая, проходящая через центры источника света и мячика,
перпендикулярна плоскости экрана.
5.22. Вертикальный шест высоты h = 1,0 м, поставленный
недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длины L\ =
= 80 см. Если расстояние между фонарным столбом и шестом
увеличить на s = 1, 5 м, то длина тени возрастет до L2 = 1,3 м.
На какой высоте Н находится фонарь? Размерами фонаря мож-
можно пренебречь.
5.32. Постройте изображение Sf точечного источника света
S в плоском зеркале (см. рисунок). Укажите область видимости
изображения.
'А
У/////// '/////////
К задаче 5.3 К задаче 5.4
5.42. Постройте изображение А1 В1 предмета АВ в плоском
зеркале (см. рисунок). Укажите области, из которых можно ви™
деть все изображение и часть его.
216
ОПТИКА
ГЛ. 5
5.52. На рисунке показаны области частичной (штрихов™
ка) и полной (двойная штриховка) видимости в плоском зеркале
некоторого предмета, имеющего фор™
му прямолинейного отрезка. Опреде™
лите местоположение предмета АВ.
5.б2. Определите, в каких точках
комнаты находящийся в ней человек
видит в зеркале изображение экрана
телевизора АВ (см. рисунок).
5.72. Известно, что луч АС после
К задаче 5.5 отражения от плоского зеркала про-
проходит через точку В (см. рисунок). Определите построением по™
ложение точки С.
' В
К задаче 5.6
К задаче 5.7
5.83. Два плоских зеркала образуют двугранный угол а.
Между ними (в биссектральной плоскости двугранного угла)
расположен точечный источник света. Определите число N
изображений источника в зеркалах и постройте их для случаев
Чпп°
а = 90°; 120°; 60°; 45°; 30°; а = —, где п — натуральное число.
п
5.Э2. Как следует расположить два плоских зеркала, чтобы
при любом угле падения луч, падающий на зеркало, и луч, отра™
зившийся последовательно от обоих зеркал, были параллельны?
5.103. Как следует расположить три плоских зеркала, чтобы
все они пересекались, и чтобы при любом угле падения луч,
падающий на зеркало, и луч, последовательно отразившийся от
всех трех зеркал, были параллельны?
5.II1. Человек разглядывает свое изображение в плоском
зеркале. На какое расстояние х следует переместить зеркало в
направлении нормали к нему, чтобы изображение при этом сме™
стилось на s = 1 м?
5.122. Мальчик ростом Н = 1,60 м стоит перед плоским
вертикальным прямоугольным зеркалом на расстоянии s = 1 м
от него. Какова должна быть минимальная высота Ьшшш зерка-
зеркала, чтобы мальчик мог видеть себя с головы до ног? На каком
расстоянии h от пола должен при этом находиться нижний край
5.1
ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА. ПЛОСКОЕ ЗЕРКАЛО
217
зеркала? Глаза мальчика находятся на высоте Hi = 150 см от
пола. Поясните ответ задачи.
5.131. Плоское зеркало поворачивают на угол а = 35°. На
какой угол /3 повернется при этом отраженный от зеркала луч?
5.141. Высота Солнца над горизонтом составляет а = 38°.
Под каким углом C к горизонту следует расположить плоское
зеркало, чтобы осветить солнечными лучами дно вертикального
колодца?
5.152. Плоское зеркало движется со скоростью v = 1, 5 см/с,
направленной по нормали к плоскости зеркала. С какой по мо™
дулю и направлению скоростью и должен двигаться точечный
источник, чтобы его отражение в зеркале оставалось неподвиж™
ным?
5.162. Плоское зеркало О А вращается с угловой скоростью
ш вокруг оси О (см. рисунок). С какой скоростью v движется
отражение S1 точки 5, если расстояние OS = L.
5.172. Плоское зеркало движется со скоростью v = 2, 0 см/с,
а точечный источник света S — со скоростью и = 3, 0 см/с (см.
рисунок). С какой скоростью w движется отражение Sf точки S1
Определите угол а между направлениями скоростей источника
и его отражения.
S
К задаче 5.16
К задаче 5.17
К задаче 5.20
5.182. Отражающая поверхность зеркала составляет с плос-
плоскостью горизонтального стола угол а = 135°. По направлению к
зеркалу катится шар со скоростью v = 2 м/с. О какой скоростью
и л в каком направлении движется изображение шара?
5.191. У окна с двойными рамами стоит цветок. В окон-
оконных стеклах видны два его отражения. Определите расстояние
х между двумя изображениями цветка, если расстояние между
оконными рамами L = 10 см.
218 ОПТИКА ГЛ. 5
5.202. На какой высоте h находится аэростат Д если с башни
высотой Н он виден под углом а над горизонтом, а его отраже-
отражение в озере видно под углом /3 под горизонтом (см. рисунок)?
5.212. Два плоских зеркала расположены под углом друг
к другу. Между ними помещен точечный источник света. Изоб-
Изображение источника в первом зеркале находится на расстоянии
а\ = 3 см от зеркала; изображение источника во втором зер-
зеркале — на расстоянии п2 = 4 см от зеркала. Расстояние между
изображениями источника L = 10 см. Определите угол (р между
зеркалами.
5.222. Два небольших плоских зеркала расположены на оди-
паковых расстояниях одно от другого и от точечного источни-
источника света. Определите угол ср между зеркалами, если луч после
двух отражений: а)возвращается непосредственно к источнику;
б)возвращается к источнику по пройденному пути, т.е. испыты-
испытывает еще одно отражение.
5.232. Два плоских зеркала составляют двугранный угол
(р = 120°. В плоскости, делящей угол пополам, расположен то™
чечный источник света S. Расстояние между первыми мнимыми
изображениями источника равно Н. Каким станет расстояние
Н1 между источниками, если двугранный угол уменьшить в два
раза?
5.242. Точечный источник света расположен на расстоянии
d = 12 см от линии пересечения двух плоских зеркал, образую-
образующих двугранный угол ср = 30°. Определите расстояние а между
двумя первыми изображениями источника в этих зеркалах.
5.2. Сферическое зеркало
Центр сферы, часть поверхности которой — зеркало, называ-
называют центром кривизны С (оптическим центром) зеркала; ради-
KI введению
ус R этой сферы называют радиусом зеркала; на рисунке пока-
показаны вогнутое (а) и выпуклое (б')сферические зеркала. Верши-
Вершину шарового сегмента О называют полюсом зеркала. Прямую,
соединяющую центр кривизны с полюсом О зеркала, называют
5.2 СФЕРИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО 219
главной оптической осью зеркала. Другие прямые, проходящие
через центр кривизны, называют побочными осями.
Если параллельные лучи падают на зеркало вдоль его глав™
ной оптической оси, то после отражения от зеркала сами лучи
(в случае вогнутого зеркала) или их продолжения (в случае вы-
выпуклого зеркала) пересекутся в главном фокусе зеркала F. Рас™
стояние от полюса зеркала до его главного фокуса называют
фокусным расстоянием зеркала и обозначают буквой F. Фокус-
Фокусное расстояние выпуклого зеркала удобно считать отрицатель-
отрицательным. Заметим, что в точку F фокусируются только те лучи,
которые проходят достаточно близко от оси, — так называемые
параксиальные лучи. Для них \F\ = R/2.
Формула сферического зеркала:
где d — расстояние от точечного источника света до зеркала,
/ — расстояние от зеркала до изображения точечного источ-
источника. Отрицательные значения d или / соответствуют мнимым
источникам или мнимым изображениям.
Линейное увеличение к предмета, определяемое отношени-
отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении,
перпендикулярном главной оптической оси зеркала) определено
формулой
к =
d
где d — расстояние от предмета до зеркала, / — расстояние от
зеркала до изображения предмета.
В задачах настоящего раздела рассматриваются только лу-
чи, составляющие с главной оптической осью зеркала малые уг-
углы (предполагается, что зеркало представляет собой малый сег-
мент сферы).
5.252. На сферическое зеркало падает луч. Построением
найдите дальнейший ход луча. Построение выполните для во™
гнутого и выпуклого сферических зеркал (см. рисунок).
5.262. Отрезок равномерно движется вдоль главной оптиче-
ской оси вогнутого зеркала (см. рисунок) от полюса О в беско-
бесконечность, оставаясь перпендикулярным к ней. Постройте изоб-
изображение предмета, когда он находится перед фокусом (в точке
А\), в фокусе (в точке F), между фокусом и оптическим цен-
центром зеркала (в точке А2), в оптическом центре (в точке G), за
оптическим центром (в точке А$). Определите отношение про-
промежутка времени тх, в течение которого изображение предмета
220
ОПТИКА
ГЛ. 5
будет мнимым, к промежутку времени Т2, в течение которого
изображение будет действительным и увеличенным.
С
С
К задаче 5.25
5.271. Постройте изображение предмета АВ в выпуклом
зеркале (см. рисунок). Предмет представляет собой отрезок,
перпендикулярный к главной оптической оси зеркала.
..LL.-L1
Аъ С А2 F Аг
О
С
I
К задаче 5.26
К задаче 5.27
5.282. На рисунке показан ход луча, отразившегося от сфе™
рического зеркала. Построением определите положение фокуса
зеркала. Рассмотрите отражение луча от вогнутого и выпуклого
сферических зеркал. На рисунке показана главная оптическая
ось зеркала.
К задаче 5.28
5.291. Светящаяся точка S находится на главной оптиче™
ской оси сферического зеркала, фокус F, оптический центр С и
5.2
СФЕРИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО
221
полюс О которого показаны на рисунке. Постройте изображение
S1 точки S. Какое оно — действительное или мнимое?
О
#
-• #-
F S
С
О
F
О S F
С
\
¦-о *¦— .^о^-
с s с
F
\
з+s—
О S
I
К задаче 5.29
5.302. На рисунке показано положение главной оптической
оси сферического зеркала, точечного источника света S и его
изображения S'. Построением найдите положение оптического
центра С и полюса О зеркала. Определите, является зеркало
выпуклым или вогнутым.
К задаче 5.30
5.312. На рисунке показан ход двух лучей — А А1 и В В1\
отраженных от сферического зеркала. Определите построением
положение зеркала, его фокуса, оптического центра и главной
оптической оси. Определите, является сферическое зеркало вы™
пуклым или вогнутым.
5.322. На рисунке показана главная оптическая ось зерка™
ла ОО1 и ход А'В1 луча АВ после отражения от зеркала. По-
222
ОПТИКА
ГЛ. 5
строением определите положение оптического центра, полюса и
фокуса зеркала. Какое это зеркало?
О
К задаче 5.31
К задаче 5.32
К задаче 5.33
5.332. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли рисунок с
оптической схемой. От времени чернила выцвели, и на бума-
бумаге остались видны только предмет АВ
и его изображение А1 В1 в сферическом
зеркале (см. рисунок). Восстановите по™
строением положение зеркала, его глав™
ной оптической оси, оптического цен-
центра и фокуса.
5.342. Постройте изображение
предмета, имеющего вид прямоуголь-
прямоугольника, в сферическом зеркале (см. рисунок).
5.352. Два одинаковых вогнутых сферических зеркала по™
вернуты отражающими поверхностями друг к другу и располо-
расположены так, что их главные оптические оси совпадают, а расстоя-
расстояние между зеркалами значительно превышает их радиус кри-
кривизны. Если в фокусе одного из них поместить кусочек бумаги,
а в фокусе другого — лампочку, то при зажигании лампочки
бумага загорится. Объясните это явление.
5.362. На каком расстоянии d от зеркала следует располо™
жить предмет, чтобы получить его действительное изображение
в к = 0, 5 натуральной величины в вогнутом сферическом зер-
зеркале, радиус кривизны которого R = 0, 40 м?
5.371. Определите фокусное расстояние F зеркала, если то-
точечный источник света и его изображение лежат на главной оп™
тической оси вогнутого зеркала на расстояниях соответственно
а\ = 16 см и п2 = 100 см от фокуса зеркала.
5.381. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так,
что их продолжения пересекаются на оси зеркала на расстоянии
а\ = 30 см от его полюса. После отражения от зеркала лучи
5.2
СФЕРИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО
223
расходятся так, что их продолжения пересекаются в точке, уда™
ленной от зеркала на «2 = 60 см. Определите радиус кривизны
R зеркала.
\
F О
\
I
С
F О
I
С
F
/у
$
О
К задаче 5.34
5.391. На вогнутое зеркало падает сходящийся пучок лучей
так, что точка пересечения лучей оказывается за зеркалом на
расстоянии а = 20 см от его полюса. После отражения от зеркала
1 т
лучи пересеклись в точке, находящейся на расстоянии -г от
о
полюса (F — фокусное расстояние зеркала). Определите радиус
кривизны R зеркала.
5.401. Вогнутое зеркало дает увеличенное в к = 4 раза пере™
вернутое изображение предмета. Определите фокусное расстоя-
расстояние зеркала F, если расстояние между предметом и его изобра™
жением равно L = 90 см.
5.412. Предмет (отрезок) расположен перед вогнутым сфе-
сферическим зеркалом перпендикулярно к его главной оптической
оси. Отношение линейных размеров изображения и предмета
равно к\ = 1,5. После того, как предмет отодвинули от зеркала
еще на L = 16 см, отношение размеров изображения и предмета
стало равным к2 = 0, 5. Определите радиус кривизны R зеркала.
5.422. Точечный источник света находится на главной оп-
оптической оси сферического зеркала. Расстояние между источни-
источником и оптическим центром зеркала равно а, а между источником
и его изображением Ъ. Определите радиус кривизны R зерка-
224 ОПТИКА ГЛ. 5
ла. Рассмотрите случаи, когда зеркало является: а) вогнутым;
б) выпуклым.
5.432. На расстоянии а = 8, 0 см от выпуклого зеркала поме™
щепа тонкая плоская стеклянная пластинка. За пластинкой на
расстоянии Ъ = 12 см от нее находится точечный источник света.
Изображение, сформированное лучами, отраженными от перед™
ней поверхности пластинки, совпадает с изображением, сформи-
сформированным лучами, отраженными от зеркала. Определите радиус
кривизны R зеркала.
5.442. Пучок параллелвных лучей проходит сквозь круглое
отверстие в листе бумаги. На расстоянии а = 45 см от листа
расположен экран, плоскость которого параллельна плоскости
листа. На экране прошедшие сквозь отверстие лучи образуют
светлый круг диаметром d = б, 0 см. Когда экран заменили вы™
пуклым зеркалом, то на листе бумаги появился светлый круг
диаметром D = 33 см. Определите радиус кривизны R зеркала.
5.452. Тонкий карандаш длины L = 6,0 см расположен
вдоль главной оптической оси выпуклого зеркала. Изображе-
Изображение его ближайшего к зеркалу конца находится на расстоянии
/i = 20 см от зеркала, дальнего — на расстоянии /2 = 24 см.
Определите фокусное расстояние F зеркала.
5.462. Линейный размер изображения лица в плоском зерка-
зеркале равен L. Если это зеркало заменить вогнутым сферическим,
то изображение оказывается в п раз большим, чем в первом
случае. Какова величина h изображения лица, которое может
увидеть человек, если вогнутое сферическое зеркало заменить
выпуклым с тем же радиусом кривизны? Расстояние между че-
человеком и зеркалом во всех трех случаях одинаково.
5.472. На главной оптической оси вогнутого сферического
зеркала радиуса R = 50 см помещен точечный источник света
S на расстоянии а\ = 30 см от зеркала. На каком расстоянии
п2 от источника следует поставить плоское зеркало, чтобы лу-
лучи, отраженные сначала вогнутым, а затем плоским зеркалом,
вернулись в точку S1
5.482. На главной оптической оси вогнутого сферического
зеркала с фокусным расстоянием F на расстоянии -F от его по-
о
люса расположен перпендикулярно оси небольшой предмет АВ
высоты Н <С F. Зеркало разрезали на две половинки и раздви-
нули в вертикальной плоскости на расстояние Н (см. рисунок).
Определите расстояние s между крайними точками изображе-
изображения.
5.4Э2. Выпуклое и вогнутое зеркала с одинаковыми радиу-
радиусами кривизны R = 20 см находятся на расстоянии одно от дру™
гого, равном удвоенному радиусу кривизны зеркала. На каком
5.3
ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
225
расстоянии d от полюса выпуклого зеркала на главной оптиче-
ской оси следует поместить точечный источник света 5, чтобы
К задаче 5.48
исходящие из него световые лучи после отражения от выпукло-
выпуклого, а затем вогнутого зеркала снова попадали в точку S1
5.502. На вогнутое сфериче-
сферическое зеркало радиуса R падает
широкий световой пучок, крайние
лучи которого соответствуют до-
достаточно большим углам падения.
Один из крайних лучей, идущий
параллельно главной оптической
оси, падает на зеркало под углом а
и после отражения от зеркала пере-
пересекает главную оптическую ось не
в фокусе, а на некотором расстоя-
расстоянии от него (см. рисунок). Расстоя-
К задаче 5.50
ние FA называют продольной сферической аберрацией, а рас™
стояние FH — поперечной сферической аберрацией. Определите
величины FA и FH.
5.513. Какую форму должна иметь поверхность зеркала,
способного собирать широкий параллельный пучок световых лу-
лучей в одну точку? Как должен быть направлен пучок по отно-
шению к этой поверхности?
5.3. Преломление света
Отношение скорости распространения света в вакууме с к
скорости распространения света в среде v называют абсолют-
абсолютным показателем преломления (показателем преломления) п
данной среды:
с
п = —.
V
Закон преломления света: луч, падающий на границу разде-
раздела сред с абсолютными показателями преломления п\ ИП2, нор-
8 С.Н. Белолипецкий и др.
226 ОПТИКА ГЛ. 5
маль, восстановленная к границе раздела сред в точке падения
луча, и преломленный луч лежат в одной плоскости; отноше-
отношение синусов углов падения а и преломления /3 равно обратному
отношению абсолютных показателей преломления сред:
sin а Г7О
sin/3 rii'
Величину пол = — называют относителвным показателем
преломления второй среды по отношению к первой.
Угол падения и угол преломления отсчитываются от норма-
нормали, восстановленной к границе раздела сред в точке падения
луча.
В задачах настоящего раздела считайте показатель прелом-
преломления стекла равным пс = 1,6; показатель преломления воды
пв = 1,3, показатель преломления воздуха — равным единице.
5.521. Определите скорость света v в некоторой жидкости,
если при падении луча на поверхность жидкости из воздуха под
углом а = 45° угол преломления равен /3 = 30°.
5.531. Луч света падает на границу раздела двух сред под
углом а = 30°. Показатель преломления первой среды п\ = 2, 4.
Определите показатель преломления П2 второй среды, если из™
вестно, что отраженный и преломленный лучи перпендикуляр-
перпендикулярны друг другу (угол падения луча на границу раздела сред в
этом случае называют углом Брюстера; степень поляризации
отраженного света при этом максимальна).
5.541. Два взаимно перпендикулярных луча падают из воз-
воздуха на поверхность жидкости. Каков показатель преломления
жидкости п, если угол преломления для одного луча равен f3\ =
= 36°, для другого — /32 = 20°?
5.551. Под каким углом а должен падать луч на поверхность
стекла, чтобы угол преломления был в к = 2 раза меньше угла
падения?
5.561. Определите угол падения а луча на поверхность во-
воды, если известно, что он больше угла преломления на в = 10°.
5.571. Определите угол преломления /3 луча при переходе
из воздуха в этиловый спирт (п = 1, 36), если угол между отра-
отраженным и преломленным лучами равен (р = 120°.
5.582. Овая вбита в дно реки и возвышается над водой на
/^i = 1,0 м. Глубина реки h^ = 2,0 м. Определите длину тени
сваи L на поверхности воды и на дне реки, если высота Солнца
над горизонтом а = 30°.
5.532. Опишите, что увидит ныряльщик из-под воды сквозь
идеально гладкую поверхность озера.
5.3 ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА 227
5.601. Луч света направлен так, что испытывает полное от™
ражение на границе воды и воздуха. Сможет ли он выйти в воз-
воздух, если на поверхность воды налить подсолнечное масло, по™
казатель преломления которого больше, чем у воды? Масло с
водой не смешивается.
5.612. Могут ли солнечные лучи испытать полное внутрен-
внутреннее отражение внутри дождевой капли? Каплю считать шаром.
5.621. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предель™
ный угол полного внутреннего отражения в этом случае равен
апр = 42°23;. Определите скорость v распространения света в
скипидаре.
5.632. На дне водоема, имеющего глубину Н = 3, 0 м, на™
ходится точечный источник света. Какой минимальный радиус
гмин должен иметь непрозрачный круг, плавающий на поверх-
поверхности воды, чтобы с вертолета нельзя было обнаружить этот
источник света? Центр круга находится точно над источником.
5.642. Прозрачный кубик лежит на монете. Монета освеща-
освещается рассеянным светом. При каком значении показателя пре-
преломления п материала кубика монета не будет видна через его
боковую поверхность?
5.652. В ясный солнечный день стоящий на дне озера водо™
лаз видит в водном «зеркале» у себя над головой отражение всех
участков дна, находящихся от него на расстоянии s ^ sq = 10 м.
Рост водолаза h = 1,7 м. Определите глубину Н озера.
5.662. Луч падает под углом а = 60° на стеклянную пласти-
пластину толщины d = 2,0 см с параллельными гранями. Под каким
углом /3 луч, пройдя сквозь пластину, выйдет из нее? Каково
смещение h луча при выходе из пластины? Каково будет смеще-
смещение h!, если луч под таким же углом а падает на эту же стек™
лянную пластину, погруженную в воду?
5.672. Показатель преломления жидкости постепенно уве-
увеличивается от значения п\ у поверхности до пч у дна сосуда.
Луч падает на поверхность жидкости из воздуха под углом а.
Определите угол /3 падения луча на дно сосуда.
5.682. Нижняя поверхность плоскопараллельной стеклян™
ной пластинки посеребрена. На пластинку сверху падает луч
света под углом а = 60°, в результате чего от нее отражаются
два луча, идущих на расстоянии а = 20 мм один от другого.
Определите толщину d пластинки.
5.6Э2. На горизонтальном дне бассейна, имеющего глубину
h = 2, 0 м, лежит плоское зеркало. Луч света, преломившись на
поверхности воды, отражается от зеркала и выходит в воздух.
Расстояние от точки вхождения луча в воду до точки выхода
отраженного луча из воды равно L = 1,5 м. Определите угол
падения луча а.
228
ОПТИКА
ГЛ. 5
5.702. Предмет находится на расстоянии L = 15 см от стек™
лянной плоскопараллельной пластинки. Наблюдатель рассмат-
рассматривает предмет сквозь пластинку, причем луч зрения нормален
к ней. Определите расстояние х от изображения предмета до
ближайшей к наблюдателю грани, если толщина пластинки d =
= 4,8 см.
5.712. Над водой на высоте h\ = 1,0 м поместили горизон-
горизонтальное плоское зеркало. На какой высоте h над водой увидит
свое отражение рыба, находящаяся на глубине h2 = 0, 50 м?
5.722. На дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское
зеркало. Человек, наклонившийся над сосудом, видит изобра-
изображение своего глаза в зеркале на расстоянии наилучшего зрения
d = 25 см, когда расстояние от глаза до поверхности воды h =
= 5 см. Определите глубину Н сосуда.
5.733. Сечение стеклянной прямой призмы имеет форму
равнобедренного треугольника. Одна из равных граней призмы
посеребрена. Луч света падает на вторую равную грань приз-
призмы перпендикулярно к ее поверхности и после двух отражений
выходит через третью грань призмы перпендикулярно к ней.
Найдите углы призмы. Призма находится в воздухе.
5.743. Луч света выходит из призмы под тем же углом, под
которым входит в нее, причем отклоняется от первоначального
направления распространения на угол в = 15°. Преломляющий
угол призмы равен <р = 45°. Найдите показатель преломления п
материала призмы. Призма находится в воздухе.
5.752. Луч света падает из воздуха на боковую грань прямой
призмы, преломляющий угол которой (р = 60°. Угол падения
луча а = 30°. Определите угол S отклонения луча от первона-
первоначального направления после прохождения луча через призму.
Показатель преломления материала призмы п = 1,5.
5.762. Луч света падает на боковую грань стеклянной приз-
призмы под прямым углом. Определите угол 8 отклонения луча от
первоначального направ™
ления, если преломляю-
преломляющий угол призмы равен:
1) щ = 30°; 2) (f2 = 60°.
5.773. Для обраще-
обращения изображения часто
используют призму До-
ве (см. рисунок), пред-
представляющую собой усе-
усеченную прямую прямо-
В
К задаче 5.77
угольную равнобедренную призму. Определите минимальную
длину а ребра АВ, при которой пучок света, целиком заполняю™
щий боковую грань призмы, полностью пройдет через призму.
5.4 ТОНКИЕ ЛИНЗЫ 229
Высота трапеции ADCB равна h = 2,1 см. Показатель прелом™
ления материала призмы п = 1, 41.
5.784. Прямая призма изготовлена из материала с показа™
телем преломления п. В основании призмы лежит равнобедрен™
ный прямоугольный треугольник ABC. Одна из равных боко-
вых граней (ABB\Ai) — матовая, две другие — гладкие. Призма
стоит на газете, соприкасаясь с ней большей из боковых граней
(ACC\Ai). Какую часть г] площади газетного текста, закрытого
призмой, может видеть наблюдатель, смотрящий через гладкую
грань ВССгВг?
5.7Э4. Свет падает под углом а на торцевую поверхность
конического суживающегося световода с углом раствора конуса
9?<С1. Показатель преломления материала световода п, диаметр
входного торца D. Найдите длину L, на которую луч проникает
внутрь световода, если его боковая поверхность: а) зеркальная;
б) прозрачная. Поглощением света в световоде пренебречь.
5.804. Благодаря преломлению и отражению солнечных лу-
чей в каплях дождя или тумана возникает радуга. Определите
угол 6 отклонения светового луча, падающего на сферическую
каплю воды, в результате двух преломлений и одного отраже-
отражения на поверхности капли. Угол падения луча из воздуха на
поверхность капли равен а.
5.814. Человек смотрит на рыбку, находящуюся в диамет-
диаметрально противоположной от него точке сферического аквариума
радиуса R. На какое расстояние х смещено при этом изображе-
изображение рыбки относительно самой рыбки? Показатель преломления
воды принять равным п = 4/3.
5.4. Тонкие линзы
Будем рассматривать только тонкие линзы, толщина кото-
которых мала по сравнению с радиусами кривизны R\ и Л2 ограни-
ограничивающих линзу сферических поверхностей. Полюсы этих сфе-
сферических поверхностей можно считать совпадающими в одной
точке, которую называют оптическим центром линзы. Пря-
Прямую, проходящую через оптический центр и центры кривизны
сферических поверхностей, называют главной оптической осью
линзы. Остальные прямые, проходящие через центр линзы, на-
называют побочными оптическими осями линзы. Лучи, проходя-
проходящие через оптический центр линзы, не меняют направления рас-
распространения при прохождении через линзу.
Точка F, в которой пересекаются после преломления лучи,
падающие на линзу пучком, параллельным главной оптической
оси (или продолжения этих лучей), называется фокусом лин-
линзы, а плоскость, проходящая через фокус и перпендикулярная
230 ОПТИКА ГЛ. 5
главной оптической оси, — фокальной плоскостью. Расстояние
между оптическим центром и фокусом называется фокусным
расстоянием линзы; обозначают его буквой F; фокусное рас™
стояние рассеивающей линзы удобно считать отрицательным.
Величина D, обратная фокусному расстоянию, — оптическая
сила линзы:
где п — показатель преломления материала линзы по отноше™
нию к среде, в которой линза находится; R\ и i?2 — радиусы
кривизны ограничивающих линзу поверхностей (для вогнутых
поверхностей радиусы кривизны принято считать отрицатель-
отрицательными, для выпуклых — положительными).
Формула тонкой линзы:
1 1 1
где d — расстояние от предмета до линзы, / — расстояние от лин-
зы до изображения предмета. Отрицательные значения d или /
соответствуют мнимым источникам или мнимым изображени-
изображениям.
Линейное увеличение к предмета, определяемое отношени-
отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении,
перпендикулярном главной оптической оси линзы) определено
формулой
к =
d
где d — расстояние от предмета до линзы, / — расстояние от
линзы до изображения предмета.
5.821. На одном чертеже постройте изображение предмета,
расположенного на расстоянии d от линзы с фокусным расстоя-
расстоянием F, для случаев: 1) 2\F\ < d < ею; 2) d = 2|F|; 3) \F\ <
< d < 2\F\; 4) d = \F\; 5) d < \F\. Рассмотрите собирающую
и рассеивающую линзы. Предмет представляет собой стрелку с
началом на главной оптической оси линзы.
5.831. На собирающую (рассеивающую) линзу падает па™
раллельный пучок лучей, образующих некоторый угол с глав-
главной оптической осью линзы. Постройте ход преломленных лу-
лучей, считая положение фокуса известным.
5.841. Светящаяся точка лежит на главной оптической оси
линзы. Постройте изображение точки в собирающей и рассей™
вающей линзах для случаев: 1) 0 < d < \F\; 2) \F\ < d < 2\F .
5.4
ТОНКИЕ ЛИНЗЫ
231
5.852. По известному ходу луча АВ через собирающую лип-
зу постройте ход луча CD (см. рисунок). Положение фокусов не
задано.
К задаче 5.85
D
К задаче 5.86
5.862. По известному ходу луча АВ через рассеивающую
линзу постройте ход луча CD (см. рисунок). Положение фоку-
фокусов не задано.
5.872. На рисунке показана главная оптическая ось линзы
MN7 а также ход падающего на линзу луча до и после прелом-
преломления линзой. Построением определите положение линзы и ее
фокусов. Какая это линза — собирающая или рассеивающая?
М / X N
М \
М N
~N
К задаче 5.87
5.882. На рисунке изображен луч АВ, прошедший через
линзу. Построением определите ход этого луча до линзы, если
известно положение главной оптической оси MN линзы и ее
фокусов.
5.8Э2. На рисунке показаны главная оптическая ось лин-
линзы MN\ положение источника света S и его изображения S1.
Построением определите положение линзы, ее фокусов и тип
линзы.
232
ОПТИКА
ГЛ. 5
5.901. Постройте изображение предмета в собирающей (а) и
рассеивающей (б) линзах, если предмет больше линзы, заклю-
М ¦-
F
М ¦-
F
• N
F
К задаче 5.88
ченной в оправу (см. рисунок). Положения линзы, ее главной
оптической оси MN и фокусов известны.
М-
S'
N
N
м
N M N
К задаче 5.89
5.911. Постройте изображение отрезка АВ в собирающей
линзе (см. рисунок а) и в случае, когда отрезок АВ проходит
через фокус линзы (б).
5.Э22. На рисунке представлен предмет АВ и его изображе-
изображение в линзе А1 В1. Построением определите положение линзы и
ее фокусов.
5.931. Определите фокусное расстояние F и оптическую
силу D стеклянной двояковыпуклой линзы: а) в воздухе (пока™
затель преломления п = 1); б) в воде (показатель преломления
п = 1,3), если радиусы кривизны ее поверхностей равны R\ =
= 150 мм и i?2 = ЮО мм. Показатель преломления стекла равен
5.4
ТОНКИЕ ЛИНЗЫ
233
5.941. На каком расстоянии d от собирающей линзы, фокус™
ное расстояние которой равно F = 60 см, надо поместить пред-
F
М .--L.-.
В
F
^._. N
О
М--
F
В
F
О
0
а
ш
б
К задаче 5.90
мет, чтобы его действительное изображение получилось умень™
шенным в к = 2 раза?
F
2F
К задаче 5.91
5.951. Предмет находится на расстоянии d = 5 см от соби-
рающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. На каком
расстоянии L от предмета находится его изображение?
5.961. Определите опти-
оптическую силу D рассеиваю- В*
щей линзы, если известно,
что предмет расположен пе-
перед ней на расстоянии d =
= 2,4 м, а мнимое изображе™ / g
ние находится на расстоянии
X = 1, 6 М ОТ ЛИНЗЫ.
К задаче 5.92
5.971. На каком расстоянии / от собирающей линзы с фо™
кусным расстоянием F = 20 см получится изображение пред-
234 ОПТИКА ГЛ. 5
мета, если сам предмет находится от линзы на расстоянии d =
= 15 см?
5.981. Предмет расположен на расстоянии d = 15 см от
рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = 30 см. На
каком расстоянии / от линзы получается изображение данного
предмета?
5.991. При помощи собирающей линзы с фокусным рас-
расстоянием F = 6 см получают мнимое изображение предмета на
расстоянии х = 18 см от линзы. На каком расстоянии d от линзы
помещен предмет?
5.1001. Точка S находится на главной оптической оси рас-
рассеивающей линзы. Фокусное расстояние линзв! F = ^40 см, а
расстояние от линзы до мнимого изображения точки х = 30 см.
На каком расстоянии d от линзы расположена точка?
5.1011. Каково фокусное расстояние F собирающей линзы,
дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней
на расстоянии d = 40 см? Расстояние от линзы до изображения
х = 1, 2 м.
5.1021. Определите фокусное расстояние F рассеивающей
линзы, если предмет находится от линзы на расстоянии d =
= 15 см, а его изображение — на расстоянии х = 6 см от линзы.
5.ЮЗ1. Изображение предмета, помещенного на расстоянии
d = 40 см от собирающей линзы, получилось увеличенным в к =
= 1,5 раза. Каково фокусное расстояние F линзы?
5.1041. На каком расстоянии d от рассеивающей линзы с
оптической силой D = ^4 дптр надо поместить предмет, чтобы
его мнимое изображение оказалось в к = 5 раз меньше самого
предмета?
5.1051. Найдите фокусное расстояние F и оптическую сж-
лу D линзы, если известно, что изображение предмета, распо-
расположенного на расстоянии d = 30 см от линзы, получается по
другую сторону линзы на таком же расстоянии от нее.
5.1 Об1. Когда предмет поместили на расстоянии d = 20 см
от собирающей линзы, на экране получилось изображение пред-
предмета в натуральную величину. Каково фокусное расстояние F
линзы?
5.1072. Высота здания на фотографическом поляроидном
снимке h = 7 см. Определите реальную высоту здания Н, если
известно, что фокусное расстояние объектива F = 20 см, а аи™
парат при съемке был расположен на расстоянии а = 80 м от
здания.
5.1082. О какого наименьшего расстояния х нужно фото™
графировать здание длиной L = 72 м и высотой Н = 25 м,
5.4 ТОНКИЕ ЛИНЗЫ 235
чтобы весь фасад здания поместился на кадре пленки размером
а х b = 24 х 36 мм2? Фокусное расстояние объектива F = 10 см.
5.1092. Расстояние между лампочкой, находящейся на глав™
ной оптической оси собирающей линзы, и ее изображением со-
составляет 1/ = 53 см. Расстояние от лампочки до линзы d = 30 см.
Определите фокусное расстояние F ж оптическую силу D линзы.
5.НО1. Предмет находится на расстоянии d = 12,5 см от:
1) собирающей линзы с оптической силой D = 10 дптр; 2) рас™
свивающей линзы с оптической силой D = —10 дптр. На каком
расстоянии / от линзы и с каким поперечным увеличением к
получится изображение?
5.1111. На каком расстоянии d надо поместить предмет от
собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см, чтобы
изображение было в к = 3 раза больше самого предмета?
5.1122. На каком расстоянии do надо поместить предмет
от собирающей линзы с фокусным расстоянием F, чтобы рас-
расстояние от предмета до его действительного изображения было
наименьшим?
5.ИЗ2. На собирающую (а) и рассеивающую (б) линзы па-
падает сходящийся конусом пучок световых лучей. После прелом-
преломления в линзе лучи пересекаются в точке S на главной оптиче-
оптической оси. Точка S удалена от линзы на расстояние b = 15 см.
Если линзу убрать, точка схождения лучей переместится на а =
= 50 мм. Определите фокусное расстояние F линзы.
5.1142. Расстояние от освещенного предмета до экрана L =
= 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изоб-
изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние
между которыми составляет s = 20 см. Определите фокусное
расстояние F линзы.
5.1152. Линза, помещенная между предметом и экраном,
может перемещаться вдоль главной оптической оси. Она дает
два отчетливых изображения предмета на экране: одно — высо-
высоты hi = 10 мм, другое — высоты /i2 — 90 мм. Определите высоту
h предмета, если расстояние между предметом и экраном не из-
изменяется.
5.1162. Точечный источник света S и его изображение S1
находятся на расстояниях соответственно а = 8 см и b = 5 см от
главной оптической оси рассеивающей линзы. Расстояние меж™
ду основаниями перпендикуляров, опущенных из этих точек на
главную оптическую ось, равно с = 9 см. Определите оптиче-
оптическую силу D линзы.
5.1172. Предмет находится на расстоянии L = 90 см от экра-
экрана. Между предметом и экраном помещают линзу, причем при
одном положении линзы на экране получают увеличенное изоб-
236 ОПТИКА ГЛ. 5
ражение предмета, при другом — уменьшенное. Каково фокус™
ное расстояние F линзы, если линейные размеры первого изоб-
изображения в к = 4 раза больше, чем второго?
5.1182. Источник света и экран находятся друг от друга на
расстоянии а. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоя™
нием F дает действительное изображение на экране при двух
ее положениях. Определите расстояние L между двумя этими
положениями линзы.
5.1192. Предмет в виде отрезка длины h расположен вдоль
оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F.
Середина отрезка расположена на расстоянии а от линзы, ко-
которая дает действительное изображение всех точек предмета.
Определите продольное увеличение к предмета.
5.1202. Точечный источник света S находится на главной
оптической оси собирающей линзы. Расстояние от источника до
его изображения равно L, расстояние от источника до ближай-
ближайшего фокуса линзы а. Определите фокусное расстояние линзы
F и расстояние d от источника S до линзы.
5.1212. На экране с помощью тонкой собирающей линзы
получено изображение предмета с увеличением к\ = 2. Предмет
передвинули на а = 1 см. Для того чтобы получить резкое изоб-
изображение, пришлось передвинуть экран. При этом увеличение
оказалось равным &2 = 4. На какое расстояние х передвинули
экран?
5.1222. Осветитель, предназначенный для получения на-
направленных световых пучков, состоит из точечного источника
света и линзы диаметра D = 6 см с фокусным расстоянием F =
= 15 см. На каком расстоянии d от линзы должен быть располо-
расположен источник, чтобы лучи, прошедшие через линзу, образовали
на экране световое пятно диаметра h = 4 см? Расстояние от
линзы до экрана равно L = 100 см.
5.1232. Если точечный источник света поместить на рас-
расстоянии d\ от рассеивающей линзы диаметра Z?q? вставленной в
оправу, то на экране, находящемся на расстоянии L за линзой,
получится световое пятно диаметра D\. Каков будет диаметр
D2 пятна на экране, если источник поместить в фокусе линзы?
5.1242. На экране, расположенном на расстоянии L = 60 см
от собирающей линзы, получено изображение точечного источ-
источника, расположенного на главной оптической оси линзы. На ка-
какое расстояние Н сместится изображение на экране, если при
неподвижном источнике переместить линзу в плоскости, пер-
перпендикулярной главной оптической оси, на h = 2 см? Фокусное
расстояние линзы равно F = 20 см.
5.1252. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы F =
= 5 см. Точечный источник света находится на оси линзы на
5.5 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ 237
расстоянии d = 6 см от нее. Линзу разрезали по диаметру на две
равные части, которые раздвинули на расстояние h = 1 см сим-
симметрично относительно главной оптической оси. Найдите рас™
стояние s между двумя изображениями точки.
5.1262. Воздушная полость в стекле с показателем прелом™
ления п имеет форму плосковыпуклой линзы. Определите фо-
фокусное расстояние F этой линзы, если известно, что фокусное
расстояние линзы из стекла, которая совпадает по форме с по™
лостью, в воздухе равно Fq.
5.1272. Оптическая сила тонкой линзы в воздухе равна Do, a
в жидкости с неизвестным показателем преломления оптическая
сила этой же линзы равна D\. Определите показатель преломле-
преломления п жидкости, если показатель преломления стекла равен щ.
5.1282. Если линзу опустить в воду (показатель преломле-
преломления воды п\ = 1,33), то ее фокусное расстояние будет равным
F\ = 1 м. Если линзу опустить в сероуглерод (показатель пре-
преломления сероуглерода П2 = 1,6), то ее фокусное расстояние
возрастет до F2 = 10 м. Определите фокусное расстояние F®
линзы в воздухе.
5.1292. В куске стекла с показателем преломления п имеет-
имеется воздушная полость в виде двояковыпуклой линзы (а) и дво-
двояковогнутой линзы (б) с радиусами кривизны ограничивающих
ее поверхностей R. На оптической оси этой линзы внутри куска
стекла на расстоянии d от линзы находится песчинка. На каком
расстоянии / от линзы получается изображение песчинки?
5.1303. Какую выдержку т нужно делать при фотографиро-
фотографировании спортсмена в момент его погружения в воду при прыжке
с вышки высотой Н = 8 м, если допустимая размытость изобра-
изображения на негативе не должна превышать Ah = 0, 4 мм? Фотоап™
парат установлен на расстоянии х = 10 м от места погружения.
Фокусное расстояние объектива F = 10 см.
5.1313. При аэрофотосъемках используется фотоаппарат,
объектив которого имеет фокусное расстояние F = 8 см. Раз-
Разрешающая способность пленки А = 10~2 мм. На какой высоте
Н должен лететь самолет, чтобы на фотографии можно было
различить листья деревьев размером L = 5 см? При какой ско-
скорости v самолета изображение не будет размытым, если время
экспозиции т = 1 мс?
5.5. Оптические системы и приборы
Оптическая сила системы, состоящей из двух тонких сложен-
сложенных вплотную линз с оптическими силами D± ш D2 равна
238 ОПТИКА ГЛ. 5
Угловое увеличение оптического прибора, вооружающего
глаз, равно
L (р
где L и Lq - линейные размеры изображения на сетчатке во-
вооруженного и невооруженного глаза; <р и (р$ — углы зрения, под
которыми глаз видит предмет через прибор и без него.
Увеличение телескопа
г —
где Fo^ и ^ок — фокусные расстояния объектива и окуляра.
5.1322. Плосковыпуклая линза с фокуенвш расстоянием
F\ = 10 см погружена плоской поверхностью в воду так, что
сферическая поверхность линзы находится в воздухе. Перпенди-
Перпендикулярно к поверхности воды падают параллельные лучи света.
На каком расстоянии F<i от плоской поверхности линзы фокуси-
фокусируются световые лучи? Показатель преломления воды п— 1, 33.
5.1332. Фотограф с лодки снимает морскую звезду, лежа-
лежащую на дне (глубина Н = 2 м) прямо под ним. Во сколько раз
изображение на пленке будет меньше предмета, если фокусное
расстояние объектива F\ = 10 см, а расстояние от объектива
до поверхности воды L = 50 см? Показатель преломления воды
п = 1,33.
5.1342. Плоскую поверхность плосковыпуклой линзы, фо-
фокусное расстояние которой равно Fq, посеребрили. Определите
фокусное расстояние F получившейся системы, свет на которую
падает со стороны стекла.
5.1352. Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 40 см
наполнено водой (показатель преломления воды п = 4/3). Опре-
Определите фокусное расстояние F этой системы и ее оптическую
силу D.
5.13б2. Если у плосковыпуклой линзы посеребрить плоскую
поверхность, ее оптическая сила станет равной D\ = 4 дптр,
а если посеребрить сферическую поверхность, оптическая сила
увеличивается до Z?2 = 9 дптр. Каков показатель преломления
п стекла линзы?
5.1372. Выпукло-вогнутая линза имеет радиусы кривизны
R\ = R и i?2 = 3i? соответственно. Когда вогнутую поверх-
поверхность посеребрили, оптическая сила линзы стала равной нулю.
Определите показатель преломления п стекла, из которого из-
изготовлена линза.
5.5
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ
239
5.1382. Плоская поверхность плосковыпуклой линзы с фо™
кусным расстоянием F посеребрена. На расстоянии d от линзы
со стороны выпуклой поверхности расположен точечный источ™
ник света. На каком расстоянии / от
линзы расположено изображение ис-
источника?
5.13Э2. Из плоскопараллельной
стеклянной пластинки изготовлены -
три линзы (см. рисунок). Фокусное
расстояние линз 1 и 2, сложенных
вместе, равно F1, фокусное расстоя-
расстояние сложенных вместе линз 2 ж 3
равно F1'. Определите фокусное рас-
расстояние F каждой линзы.
К задаче 5.139
5.1402. Свеча находится на расстоянии d = 15 см перед
собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 30 см. Плос-
Плоское зеркало расположено на расстоянии Ь = 15 см за линзой.
На каком расстоянии а от линзы находится изображение свечи,
создаваемое системой?
5.1412. Источник света расположен на двойном фокусном
расстоянии от собирающей линзы. За линзой перпендикулярно
главной оптической оси помещено плоское зеркало. На каком
расстоянии а от линзы нужно поместить зеркало, чтобы лучи,
отраженные от зеркала, после вторичного прохождения через
линзу стали параллельными?
5.1422. За тонкой собирающей линзой перпендикулярно ее
главной оптической оси расположено плоское зеркало. На линзу
под углом а на расстоянии h от главной оптической оси падает
узкий луч света. Преломившись в линзе и отразившись от зерка™
ла, он выходит из линзы параллельно первоначальному направ-
направлению, но смещенным на расстояние L (см. рисунок). Опреде-
Определите фокусное расстояние F линзы.
F 2F
¦ — ¦•-¦-#¦—• —
S
К задаче 5.142
К задаче 5.143
240
ОПТИКА
ГЛ. 5
5.1433. Два плоских зеркала образуют двугранный угол,
равный тг/2. В угол вставлена собирающая линза с фокусным
расстоянием F так, что ее главная оптическая ось составляет
угол тг/4 с каждым зеркалом (см. рисунок). Радиус линзы г =
= F. На главной оптической оси линзы на расстоянии d = -F
от нее расположен источник света S. На каком расстоянии / от
линзы расположено изображение источника света, находящееся
на главной оптической оси?
5.1443. На каких расстояниях / от линзы находятся изобра™
жения точечного источника, создаваемые системой, состоящей
из собирающей линзы с фокусным расстоянием F и коническо-
конического зеркала с углом тг/2 при вершине (см. рисунок)? Ось конуса
совпадает с осью линзы. Расстояние между вершиной конуса и
линзой равно 2F. Расстояние между источником и линзой d =
К задаче 5.144
К задаче 5.145
5.1452. Оптическая система состоит из собирающей линзы
с фокусным расстоянием F и вогнутого зеркала радиуса Д, рас-
расположенных на расстоянии Ъ друг от друга так, что их главные
оптические оси совпадают (см. рисунок). На главной оптической
оси линзы находится точечный источник света S. На каком рас-
расстоянии d от линзы должен находиться источник 5, чтобы его
изображение совпало с ним самим?
5.1462. Параллельный пучок света падает на собирающую
линзу, а затем на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием
F2 = 24 см. Расстояние между линзой и зеркалом Ь = 32 см.
Каким должно быть фокусное расстояние F\ линзы, чтобы свет,
отразившись от зеркала, собрался в точке, удаленной от зеркала
на расстояние / = б см?
5.1472. Точечный источник света находится на расстоянии
d = 10 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F =
5.5
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ
241
К задаче 5.147
12 см на ее главной оптической оси. Лучи, преломившись в лин™
зе, падают на выпуклое зеркало, расположенное на расстоянии
Ъ = 3 см за линзой (см. ри™
сунок). Отраженные от зер™
кала лучи, вновь пройдя че-
через линзу, идут пучком, па™ S
раллельным главной опти-
оптической оси. Определите ра™
диус кривизны R зеркала.
5.1482. Оптическая си™
стема состоит из собираю-
собирающей линзы с фокусным рас™
стоянием F и зеркального
шарика радиуса Л, центр
которого находится на оптической оси линзы на расстоянии Ь
от нее (см. рисунок). На каком расстоянии d от линзы нахо™
дится точечный источник 5,
4 _ расположенный на оптиче-
оптической оси системы, если изоб™
ражение источника совпа-
совпадает с самим источником?
5.1492. Рассеивающая
линза и вогнутое зеркало
расположены так, что пучок
лучей, параллельных глав™
ной оптической оси, пройдя
линзу, отразившись от зер-
зеркала и еще раз пройдя линзу, остается параллельным той же
оси. Фокусные расстояния линзы и зеркала равны F\ = 12 см и
F2 = 36 см соответственно. Где и какое получится изображение,
если источник поместить в оптическом центре зеркала?
5.1502. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
F\ = 20 см и F<i = 40 см расположены на расстоянии 6= 1,5 м
одна от другой. Предмет высотой Щ = 2 см находится на рас™
стоянии di = 25 см от первой линзы. На каком расстоянии /2
от второй линзы получится изображение предмета и какова его
высота Н?
5.1512. Оптическая система состоит из двух собирающих
линз с фокусными расстояниями F\ = 20 см и F<i = 10 см. Рас-
Расстояние между линзами Ъ = 30 см. Предмет находится на рас-
расстоянии d\ = 30 см от первой линзы на оптической оси системы.
На каком расстоянии /2 от второй линзы получится изображе-
изображение предмета?
5.1523. Две одинаковые собирающие линзы с фокусным рас™
стоянием F каждая расположены так, что их главные оптиче-
К задаче 5.148
242
ОПТИКА
ГЛ. 5
- - -Ж j
h
ские оси образуют угол а, и главная оптическая ось второй лин-
зы проходит через оптический центр первой (см. рисунок). В
фокусе первой линзы раепо-
ложен точечный источник
света S. Расстояние между
центрами линз 2F. Найдите
расстояние между источни-
источником S и его изображением
Sf в данной системе.
5.1533. Две собираю-
собирающие линзы с одинаковы-
одинаковыми фокусными расстояния-
к задаче ьлы ми р смещень1 относитель-
но друг друга на расстояние F (см. рисунок). Оптическая ось
первой линзы параллельна оптической оси второй линзы и на-
находится на расстоянии h от нее. Точечный источник света S
расположен на расстоянии 2F от
первой линзы на ее главной оп-
оптической оси. Найдите расстоя-
расстояние между источником S и его
изображением S1.
5.1542. На каком расстоя-
расстоянии Ь нужно расположить соби-
собирающую и рассеивающую линзы
с фокусными расстояниями F\ =
= 10 см и ^2 = ^6 см, что-
чтобы параллельный пучок лучей,
пройдя сквозь них, остался па-
параллельным?
5.1552. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными
расстояниями F\ = 30 см и F2 = —10 см расположены на рас-
расстоянии Ь = 20 см одна от другой. На собирающую линзу па-
падает параллельный пучок лучей диаметра D\ = 12 мм. Каков
диаметр Z>2 пучка на расстоянии а = 20 см за рассеивающей
линзой?
5.1562. Параллельный пучок света падает на систему из
трех тонких линз с общей оптической осью. Фокусные расстоя-
расстояния линз соответственно равны F\ = 10 см, J7^ = ^20 см и F% =
= 9 см. Расстояние между первой и второй линзами а\ = 15 см,
между второй и третьей п2 = 5 см. Определите положение точки
схождения пучка по выходе из системы линз.
5.1572. Расстояние наилучшего зрения дальнозоркого чело-
человека d\ = 67 см. Определите оптическую силу D очков, позво-
позволяющих этому человеку читать книгу на расстоянии наилучше-
наилучшего зрения нормального глаза do = 25 см.
2F
F
К задаче 5.153
5.5 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ 243
5.1582. Пределы аккомодации у близорукого человека d\ =
= 10 см и d2 = 25 см. В пределах каких расстояний L человек
может четко видеть предметы, если он наденет очки с оптиче-
ской силой D = —4 дптр?
5.1592. На какую величину AD изменится оптическая сила
хрусталика глаза за счет его аккомодации при переводе взгля-
взгляда со звезды на книгу, находящуюся на расстоянии наилучшего
зрения do = 25 см?
5.1603. Два человека — дальнозоркий и близорукий, на-
надев свои очки, видят так же, как человек с нормальным зре-
зрением. Однажды они поменялись очками. Надев очки близору-
близорукого, дальнозоркий обнаружил, что он может отчетливо видеть
только бесконечно удаленные предметы. На каком наименьшем
расстоянии а сможет читать мелкий шрифт близорукий в очках
дальнозоркого?
5.1612. Лупа, представляющая собой двояковыпуклую лин-
линзу, изготовлена из стекла с показателем преломления п = 1,6.
Радиусы кривизны поверхностей линзы одинаковы и равны R =
= 12 см. Определите угловое увеличение 7 лупы.
5.1622. Лупа дает угловое увеличение 7о = 2. Вплотную
к ней приложили собирающую линзу с оптической силой D\ =
= 20 дптр. Какое угловое увеличение 7 будет давать такая со-
составная лупа?
5.1633. Предмет рассматривают в лупу, расположив его в
фокальной плоскости лупы. При этом предмет выглядит увели-
увеличенным в к раз. Какое максимальное увеличение к1 может дать
эта лупа?
5.1642. Фотографируя кратер Луны, фотопластинку распо-
располагают в фокальной плоскости объектива телескопа с фокусным
расстоянием F = 4,5 м. Определите диаметр D кратера, если
диаметр его изображения Dq = 0, 72 мм. Расстояние до поверх-
поверхности Луны L = 3, 8 • 105 км.
5.1652. Телескоп состоит из двух собирающих линз (зри-
(зрительная труба Кеплера) — объектива с фокусным расстоянием
F\ = 4, 5 м и окуляра с фокусным расстоянием F^ = 45 мм.
Настроив телескоп на бесконечность, фотографируют Солнце
с помощью фотокамеры с фокусным расстоянием F$ = 30 см.
Каков диаметр D изображения Солнца на фотопластинке, если
угловой диаметр Солнца равен ср = 30;?
5.1663. Наблюдатель с нормальным зрением рассматривает
Луну в телескоп, объектив и окуляр которого имеют фокусные
расстояния FO6 = 2 м и FOK = 5 см. На какое расстояние AL
нужно раздвинуть трубу, чтобы получить изображение Луны
на экране на расстоянии /2 = 25 см от окуляра? Каков будет
244 ОПТИКА ГЛ. 5
при этом диаметр D изображения Луны, если невооруженным
глазом ее видно под углом а = 30;?
5.1673. Объективом театрального бинокля (труба Галилея)
служит собирающая линза с фокусным расстоянием F\ = 8 см, а
окуляром — рассеивающая линза с фокусным расстоянием 1^ =
= ^4 см. Определите расстояние а между объективом и окуля-
окуляром, если изображение рассматривается с расстояния наилуч-
наилучшего зрения нормального глаза dg = 25 см.
Указание: постройте изображение бесконечно удаленного
предмета.
5.1683. Фокусные расстояния объектива и окуляра в трубе
Галилея F\ = 45 см и F2 = ^5 см. При замене линз в трубе на две
собирающие получилась труба Кеплера с тем же увеличением,
что и труба Галилея. Найдите фокусные расстояния F% и F± этих
линз.
5.1693. Увеличение микроскопа к = 600. Определите опти-
оптическую силу DO6 объектива, если фокусное расстояние окуляра
,РОК = 4 см, а длина тубуса Ь = 24 см.
5.1702. Фокусное расстояние объектива микроскопа Fo^ =
= 0, 5 см. Расстояние между окуляром и объективом микроскопа
равно L = 16 см. Увеличение микроскопа к = 200. Найдите
увеличение окуляра кОК.
Указание: воспользуйтесь формулой к = кОКко^.
5.1712. В микроскопе фокусное расстояние объектива F\ =
= 5,4 мм, а окуляра — F2 = 2 см. Предмет находится на рас-
расстоянии d\ = 5, 6 мм от объектива. Определите увеличение мик-
микроскопа к для нормального глаза и длину тубуса L (расстояние
между объективом и окуляром).
5.1722. Стальной шарик свободно падает с высоты h = 0, 8 м
на собирающую линзу и разбивает ее. В начальный момент рас-
расстояние от шарика до линзы равнялось расстоянию от линзы до
действительного изображения шарика. В течение какого проме™
жутка времени т существовало изображение шарика?
5.1732. Линзу с оптической силой D = 8 дптр перемеща™
ют с постоянной скоростью от источника света к экрану, нахо-
находящемуся на расстоянии L = 2, 4 м от источника. В процессе
перемещения на экране два раза с интервалом времени т = 5 с
возникли резкие изображения источника. С какой скоростью v
перемещается линза?
5.6. Фотометрия
Световым потоком называют поток излучения (т.е. энер™
гию, переносимую через данную площадку за единицу времени),
5.6 ФОТОМЕТРИЯ 245
оцениваемый по зрительному ощущению:
dW
Ф = .
dt
Сила света источника равна отношению светового потока,
излучаемого в данном направлении, к телесному углу, в котором
он распространяется:
с!Ф
" du°
Освещенность — это отношение светового потока, падающе-
го на поверхность, к ее площади:
Освещенность поверхности, создаваемая источником силой
света I в точке, удаленной от него на расстояние г, выражается
формулой
/cos a
Е = ,
г2
где а — угол падения лучей на поверхность.
5.1742. Точечный изотропный источник создает полный све-
световой поток Фо = 200 лм. Какова сила света I этого источника?
Какой световой поток Ф падает на лист бумаги площади S =
= 1 дм2, расположенный на расстоянии R = 2 м от источника
так, что лучи света падают на него под углом а = 45°? Опреде-
Определите освещенность Е этого листа бумаги.
5.1752. Человеческий глаз воспринимает в темноте световой
поток, равный Фд = 10~13 лм, поверхность зрачка глаза в тем-
темноте s = 0, 4 см2. Определите, с какого наибольшего расстояния
L можно заметить свет карманного фонаря, сила света которого
/ = 5- 10 кд.
5.1762. На какой высоте Н над чертежной доской следует
повесить лампу мощности Р = 200 Вт, чтобы получить осве-
освещенность доски под лампой Е = 50 лк? Светоотдача лампы
L = 12 лм/Вт. Наклон доски к горизонту а = 30°.
5.1772. Для печатания фотоснимка требуется время экспо-
экспозиции t\ = 1 с при силе света лампы 1\ = 100 кд. Какова должна
быть экспозиция #2 при замене этой лампы на лампу с силой све-
света /2 = 60 кд? В обоих случаях фотоснимок должен получить
одинаковую световую энергию.
5.1782. Определите силу света I лампы уличного освеще-
освещения, необходимую для того, чтобы освещенность на земле посе-
посередине между двумя фонарями была равна Е = 0, 2 лк. Лампы
246 ОПТИКА ГЛ. 5
подвешены на высоте h = 10 м, расстояние между столбами
L = 40 м.
5.1792. Два точечных источника, силы света которых 1± =
= 80 кд и /2 = 125 кд, находятся на расстоянии L = 3,6 м
один от другого. На каком расстоянии х от первого источника
на прямой, соединяющей источники, надо поместить небольшой
плоский экран, чтобы его освещенность была одинаковой с обеих
сторон?
5.1802. Точечный источник света помещен на некотором
расстоянии L от экрана и дает в центре экрана освещенность
Е = 1 лк. Какова будет освещенность центра экрана Е\, если по
другую сторону от источника на том
же расстоянии L поместить плоское
идеально отражающее зеркало?
5.1812. Точечный источник све-
света S освещает поверхность АВ (см.
рисунок). Во сколько раз п увели™
чится освещенность поверхности в
точке О, если сбоку от источника
света на расстоянии SD = SC поме™
К задаче 5.181 стить плоское зеркало, отражающее
луч SD в точку С?
5.1822. Точечный источник света находится на расстоянии
d = 20 см от вогнутого сферического зеркала радиуса R = 50 см.
Найдите освещенность Е\ в центре экрана, расположенного пер-
перпендикулярно главной оптической оси зеркала на расстоянии
L\ = 80 см от полюса, если при удалении экрана на L<i = 100 см
освещенность в его центре равна Е2 = 300 лк.
5.1833. В главном фокусе вогнутого зеркала с радиусом кри-
кривизны й = 2м находится точечный источник света. На расстоя-
расстоянии L = 10 м от источника помещен экран, перпендикулярный
главной оптической оси зеркала. Во сколько раз освещенность
Ei в центре светового пятна на экране превышает освещенность
Е$ в том же месте экрана в отсутствие зеркала?
5.1843. На высоте h > 1 м от поверхности стола находится
точечный источник света силы I = 25 кд. Какова будет осве-
освещенность Е в точке, расположенной под источником, если на
пути лучей помещена горизонтальная линза оптической силы
D = 1 дптр так, что источник находится в ее фокусе?
5.1853. На расстоянии L = 1 м от экрана находится матовая
лампочка. С помощью линзы, перемещая последнюю, дважды
получают на экране четкое изображение лампочки. Освещенно-
Освещенности изображений при этом отличаются в п = 9 раз. Определите
фокусное расстояние F линзы.
5.7
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
247
5.18б4. Точечный источник света S находится на расстоя™
нии L = 1 м от экрана. В экране напротив источника сделано
отверстие диаметром d = 1 см,
в которое проходит свет. Между
источником и экраном помещают
прозрачный цилиндр, показатель
преломления которого равен п = ^
= 1,5, длина L = 1 м, а диаметр ^1
равен диаметру отверстия (см. ри-
рисунок). Во сколько раз изменится
световой поток Ф через отверстие?
5.1874. Оптическая система
состоит из двух собирающих линз с
одинаковыми фокусными расстоя-
К задаче 5.186
ниями F, закрепленных на концах трубки длиной 2F. Посере-
Посередине трубки помещена диафрагма. Трубка освещается пучком
света, параллельным главной оптической оси этой системы. По-
После того как перед первой линзой поместили матовое стекло,
освещенность пятна на выходе системы уменьшилась в п = 10
раз. Во сколько nf раз уменьшится освещенность, если толщина
матового стекла увеличится в два раза?
5.7. Интерференция света
Оптическая длина пути, проходимого лучом света в одно™
родной среде с показателем преломления п, равна
L = 71S,
где s — геометрическая длина пути.
Оптическая разность хода двух световых лучей
А = L2 -Li.
Интенсивность света^ созданная двумя когерентными ис™
точниками колебаний, равна
= h+I2-
где 1\ и 12 — интенсивности света, созданные каждым из ис™
точников в отсутствие другого. Если А = ±2т—^ где т =
= 0,1,2,3,..., то интенсивность I оказывается максимальной
(интерференционный максимум); если А = ±Bт+ 1) —, то ин~
тенсивность I — минимальна (интерференционный минимум).
Расстояние между интерференционными полосами на экра-
248 ОПТИКА ГЛ. 5
не, полученными от двух когерентных источников света, равно
Ах = —,
а
где L — расстояние от источников до экрана, d — расстояние
между источниками (rf<I).
При отражении световой волны от оптически более плотной
среды (с большим показателем преломления) фаза волны скач-
скачком изменяется на ж [ это можно учесть изменением оптической
длины пути на —
Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете при
условии, что среда между линзой и пластинкой является опти™
чески менее плотной, чем материалы линзы и пластинки, опре-
определены формулой
= 0,1,2,...),
а радиусы светлых — формулой
гк = у Bк + 1)Д^ (А; = 0,1,2,...),
где R — радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся
с плоскопараллельной пластинкой; А — длина световой волны
в среде между линзой и пластинкой, к — порядковый номер
кольца.
5.1882. Расстояние между двумя когерентными источни-
источниками света (щелями) с длиной волны Л = 0, 5 мкм равно d =
= 0,1 мм. Расстояние между интерференционными максиму-
максимумами в средней части интерференционной картины равно Ах =
= 1 см. Определите расстояние L от источников до экрана, плос-
плоскость которого параллельна плоскости щелей.
5.1892. На экране наблюдается интерференционная картина
в результате наложения лучей от двух когерентных источников
с длиной волны Л = 500 нм. На пути одного из лучей перпен™
дикулярно ему поместили стеклянную пластинку толщины d =
= 5,0 мкм с показателем преломления п = 1,6. Определите,
на какое число т полос сместится при этом интерференционная
картина.
5.1902. На зеркала Френеля, тупой угол между которыми
составляет тг — а, а = 10°, падает свет от щели, находящейся
на расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал. Длина
волны источника А = 600 нм. Отраженный от зеркал свет да™
ет интерференционную картину на экране, расположенном на
5.7
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
249
расстоянии L = 270 см от линии пересечения зеркал. Опреде-
лите расстояние Ах между интерференционными полосами на
экране.
5.1912. Собирающую линзу диаметра D = 5 см с фокусным
расстоянием F = 50 см разрезали по диаметру пополам и поло™
винки раздвинули на расстояние d = 5 мм. Точечный источник
света S расположен на расстоянии а = 1 м от линзы. На каком
расстоянии L от линзы можно наблюдать интерференционную
картину?
5.1924. В изображенной на рисунке интерференционной схе-
схеме с бипризмой Френеля расстояние от светящейся щели S до
бипризмы а = 0,3 м, расстояние от бипризмы до экрана Ь =
= 0,7 м. Показатель преломления бипризмы п = 1,50. Считая
длину волны источника Aq = 500 нм, определите, при каком зна-
значении преломляющего угла бипризмы в ширина интерференци-
интерференционных полос, наблюдаемых на экране, будет равна Ах = 0,4 мм.
Какое максимальное число полос N можно наблюдать на экране
в этом случае?
К задаче 5.192
К задаче 5.193
5.1933. Из тонкой линзы оптической силы Ф = 2 дптр была
вырезана по диаметру полоска ширины h = 1 мм. Затем обра-
образовавшиеся части линзы были составлены вместе. В фокальной
плоскости образовавшейся билинзы параллельно разрезу поме-
поместили источник S в виде светящейся щели, испускающей моно-
монохроматический свет с длиной волны А = 500 нм (см. рисунок). За
билинзой на расстоянии Ъ = 1 м от нее помещен экран Э. Опре-
Определите ширину интерференционных полос Дж, а также макси-
максимальное число N полос, которое можно наблюдать в этом слу-
случае.
5.1943. Точечный источник света S расположен в фокусе
линзы, за которой находится бипризма с углом а = 0,01 рад
и высоты D = б см (см. рисунок). На каком расстоянии L от
бипризмы можно наблюдать наибольшее число интерференци-
250
ОПТИКА
ГЛ. 5
D
онных полос? Каково это число N1 Какова ширина Ах полос в
этом случае? Коэффициент преломления стекла бипризмы п =
= 1,5, длина волны све™
та А = 50 мкм.
5.1951. Тонкая
пленка с показателем
преломления п = 1,5
освещена светом с дли-
длиной волны А = 600 нм.
При какой минимальной
толщине пленки dmmM
К задаче 5.194 резко возрастает интен™
сивность отраженного
света, если пленка расположена на материале с показателем
преломления п1 > 1,5? Свет падает на пленку нормально к
поверхности.
5.1961. На стеклянную пластинку {п\ = 1,5) нанесена про-
прозрачная пленка (п2 = 1,4). На пленку нормально к поверхности
падает монохроматический свет с длиной волны А = 600 нм.
Какова должна быть минимальная толщина пленки с?Мин? если
в результате интерференции отраженные лучи имеют наимень™
шую интенсивность?
5.1971. Определите толщину h масляной пленки (п\ = 1, 5)
на поверхности воды (п2 = 1,33), если при наблюдении под уг™
лом а = 60° к нормали в спектре отраженного света видна зна-
значительно усиленная желтая линия с длиной волны А = 0, 6 мкм.
5.1981. Определите минимальную толщину ймин пленки с
показателем преломления п = 1,33, при которой интенсивность
отраженного света с длиной волны Ai = 0, 64 мкм максимальна,
а света с длиной волны А2 = 0,4 мкм — минимальна. Свет падает
на пленку нормально.
5.1991. На стеклянный клин (п = 1, 5) с преломляющим уг™
лом а = 40;/ нормально падает монохроматический свет с дли-
длиной волны А = 600 нм. Определите расстояние Аж между двумя
соседними минимумами в интерференционной картине.
5.2001. В тонкой клинообразной пленке в отраженном све-
свете при нормальном падении лучей с длиной волны А = 450 нм
наблюдаются темные интерференционные полосы, расстояние
между которыми Ь = 1,5 мм. Определите угол в между гра-
гранями пластинки, если ее показатель преломления п = 1,5.
5.2011. Между двумя плоскопараллельными стеклянны™
ми пластинками заключен очень тонкий воздушный клин. На
пластинки нормально падает монохроматический свет (А =
= 0, 5 мкм). Определите угол а между пластинками, если в от-
5.8 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 251
раженном свете на отрезке AL = 1 см укладывается AN = 20
интерференционных полос.
5.2022. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы
соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство меж-
между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели
преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответ-
ственно п\ = 1,50, П2 = 1,63 и пз = 1,70. Радиус кривизны
сферической поверхности линзы R = 100 см. Определите ра-
диус Г5 пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с
Л = 0, 5 мкм.
5.2032. Плосковыпуклая стеклянная линза выпуклой по-
поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус
кривизны выпуклой поверхности линзы равен Д, длина волны
света — Л. Определите ширину А г кольца Ньютона в зависимо-
зависимости от его радиуса г в области, где Аг <С г.
5.2042. Плосковыпуклая стеклянная линза с радиусом кри-
кривизны R = 40 см соприкасается выпуклой стороной со стеклян-
стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некото-
некоторого кольца г = 2, 5 мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу
осторожно отодвинули от пластинки на h = 5,0 мкм. Каким
стал радиус г1 этого кольца?
5.2052. На вершине сферической поверхности плосковыпук-
плосковыпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский уча-
участок радиуса г о = 3,0 мм, которым она соприкасается со стек-
стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности
линзы R = 150 см. Определите радиус г§ шестого светлого коль-
кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной волны А =
= 655 нм.
5.8. Дифракция света
При нормальном падении света на дифракционную решетку
положение главных максимумов определено углами у?д., удовле-
удовлетворяющими условию
dsiiKfk = ztfcA, к = 0,1, 2,...,
где d — постоянная (период) решетки, равная расстоянию между
серединами двух соседних щелей, к — порядок максимума.
5.2062. Вычислите радиусы г^ внешних границ зон Френе™
ля для сферической волновой поверхности радиуса а для точки
В, находящейся на расстоянии а + b от точечного источника S
монохроматических волн длины А, учитывая, что а ^> А, Ь ^> А.
Докажите, что площади зон Френеля одинаковы.
5.2072. Перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса
г = 1,0 мм на расстоянии а = 1,0 м от нее поместили точечный
252 ОПТИКА ГЛ. 5
источник монохроматического света (Л = 500 им). Определите
расстояние Ь от диафрагмы до точки наблюдения, для которой
число зон Френеля в отверстии п = 4.
5.2082. Вычислите радиусы г& зон Френеля плоской свето-
вой волны для точки ?», находящейся на расстоянии b ^> Л от
фронта волны (здесь Л — длина световой волны).
5.2092. Радиус четвертой зоны Френеля для плоского вол™
нового фронта г4 = 3 мм. Определите радиус двенадцатой зоны
Френеля г 12 из той же точки наблюдения.
5.2102. Плоская световая волна (Л = 600 нм) падает на шир-
ширму с круглой диафрагмой. На расстоянии Ъ = 2 м за диафрагмой
расположен экран. При каком диаметре D отверстия диафраг-
диафрагмы освещенность экрана в точке В, лежащей на оси светового
пучка, будет максимальна?
5.2112. Плоская монохроматическая световая волна с интен™
сивностью I® падает нормально на непрозрачный экран с круг-
круглым отверстием. Определите интенсивность света I в точке, для
которой отверстие равно: а) первой зоне Френеля; б) внутренней
половине первой зоны; в) первой зоне Френеля в начале, а затем
половине отверстия (по диаметру; вторую половину закрыли).
5.2122. Найдите углы ср, определяющие положение миниму-
минимумов при фраунгоферовой дифракции, если плоская волна длины
Л падает на щель ширины а по направлению, составляющему
угол а с нормалью к плоскости щели.
5.2132. Плоская световая волна падает нормально на узкую
щель ширины а. Определите, под какими углами (р к норма-
нормали к плоскости решетки наблюдаются минимумы освещенности.
Определите максимальный порядок дифракционного минимума
^макс? наблюдаемый в этом случае. Длина волны света равна Л.
5.2142. Покажите, что если период дифракционной решетки
d соизмерим с шириной щели а, так что d = па, то в дифракци-
дифракционном спектре исчезают все максимумы, порядки которых крат-
кратны п.
5.2151. Дифракционная решетка содержит AN =100 штри-
штрихов на AL = 1 мм длины. Определите длину волны Л монохро-
монохроматического света, падающего на решетку нормально, если угол
между двумя спектрами первого порядка равен а = 8°.
5.21 б1. Какой наибольший порядок fcMaKC спектра, соответ-
соответствующий желтой линии натрия (Л = 590 нм) можно наблю-
наблюдать при помощи дифракционной решетки, имеющей AN = 500
штрихов на AL = 1 мм, если свет падает на решетку нормально?
5.2171. Определите число AN штрихов на AL = 1 мм дли™
ны решетки, если зеленая линия ртути с длиной волны Л =
= 546,1 нм в спектре первого порядка наблюдается под углом
5.9 ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА 253
а\ = 19,8°. Определите наибольший порядок спектра fcMaKC, ко™
торый может быть получен с помощью этой решетки. Каков
период решетки d? Свет падает на решетку нормально.
5.2182. Спектры порядков к\ = 2 и ^2 = 3 в видимой обла-
области от дифракционной решетки частично перекрываются. Ка-
Какой длине волны А2 в спектре третьего порядка соответствует
линия Ai = 700 нм в спектре второго порядка?
5.2191. На дифракционную решетку падает нормально пу-
пучок света. Определите постоянную d дифракционной решетки,
если известно, что в направлении, составляющем угол а = 45° к
оси пучка, максимумы двух линий с длинами волн Ai = 440 нм
и А2 = 660 нм совпали.
5.2202. На дифракционную решетку с периодом d =
= 2 мкм падает нормально свет, пропущенный через свето-
светофильтр. Фильтр пропускает волны длины от Амин = 500 нм до
^макс = 600 нм. Будут ли спектры различных порядков накла™
дываться один на другой?
5.2212. На каком расстоянии Ъ одна от другой будут на-
находиться на экране две линии спектра ртути с длинами волн
Ai = 577 нм и А2 = 579,1 нм в спектре первого порядка, полу-
полученном при помощи дифракционной решетки с периодом d =
= 4 мкм? Фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на
экран, F = 60 см. Лучи падают на решетку нормально.
S.2222. Период дифракционной решетки d = 4 мкм. Ди-
Дифракционная картина наблюдается с помощью линзы с фокус™
ным расстоянием F = 40 см. Определите длину волны А падаю-
падающего нормально на решетку света, если первый максимум на
экране находится на расстоянии х = 5 см от центрального.
5.9. Дисперсия света. Поляризация света
Закон Малюса: интенсивность света, прошедшего через
идеальные поляризатор и анализатор, пропорциональна квад-
квадрату косинуса угла (р между их главными плоскостями:
I = Jo cos2 ср,
где /о — интенсивность поляризованного света, падающего на
анализатор.
5.2231. Пучок света с длиной волны в вакууме Aq = 600 нм
падает перпендикулярно на стеклянную пластинку толщины
d = 0,2 мм с показателем преломления п = 1,5. Определите
длину А, частоту и и скорость v этих волн в пластинке. Какое
число N длин волн укладывается на толщине пластинки?
S.2242. Волны красного света в воде имеют показатель пре™
ломления п\ = 1,329, а фиолетового — П2 = 1,344. На какое
254 ОПТИКА ГЛ. 5
время At и на какое расстояние AL фронт красного света one™
режает фронт фиолетового, если расстояние от источника до
приемника L = 300 км?
5.2251. Луч белого света падает на поверхность воды под уг-
углом а = 60°. Определите угол А/3 между направлениями край™
них красных (п\ = 1,329) и крайних фиолетовых (п2 = 1,344)
лучей в воде.
S.2262. Пучок белого света от источника (щели) S падает
перпендикулярно на одну из граней призмы с преломляющим
углом а = 30°. Параллельно второй грани призмы на расстоя-
расстоянии L = 5 м от нее располо-
расположен экран Э (см. рисунок). Оцени™
те ширину AL изображения щели
на экране, если призма изготовлена
_ из оптического стекла, показатель
преломления которого для световых
волн оптического диапазона колеб™
лется в пределах от пмин = 1,628
ДО ^макс — 1,661 (флинтовое стек™
К задаче 5.226 до марки ТФ1). Ширина щели L® =
= 1,0 мм.
S.2272. Точечный источник белого света находится на глав™
ной оптической оси двояковыпуклой линзы на расстоянии d =
= 1, 5 м от нее. Линза ограничена сферическими поверхностями,
радиусы кривизны которых одинаковы и равны R = 1,0 м. Оце™
ните размер Ах изображения источника, если линза изготовле-
изготовлена из оптического стекла, показатель преломления которого для
световых волн оптического диапазона колеблется в пределах от
пмин = 1,609 до пмакс = 1,630 (кроновое стекло марки ТК20).
S.2282. Анализатор в к = 2 раза ослабляет интенсивность
падающего на него поляризованного света. Определите угол а
между главными плоскостями поляризатора и анализатора. По™
терями света на отражение пренебречь.
5.22Э2. Луч естественного света последовательно проходит
через поляризатор и анализатор, угол между главными плос™
костями которых а = 60°. Какая доля г) начального светового
потока выйдет из анализатора?
5.2302. Определите долю г) начального естественного свето™
вого потока, прошедшего через два поляризатора, главные плос-
плоскости которых составляют между собой угол а = 45°, если в
каждом из них теряется щ = 10 % падающего света.
5.2312. Естественный свет интенсивности Jq падает на
вход устройства, состоящего из двух скрещенных поляризаторов
(главные плоскости составлят собой угол ад = 90°). Определите
5.9 ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА 255
интенсивность I света, прошедшего через систему, если: а) меж™
ду поляризаторами поместить третий поляризатор, ось которого
составляет с осью первого угол а; б) на вход системы из трех
поляризаторов падает линейно поляризованный свет интенсив-
интенсивностью Jq с направлением поляризации, составляющим угол а
с осью первого поляризатора; в) на вход системы, описанной в
п. а), падает свет, поляризованный по кругу.
5.2322. Поляризатор освещен параллельным пучком есте-
естественного света, падающим перпендикулярно к его поверхности.
Освещенность поляризатора Eq = 84 лк. Определите освещен™
ность Е экрана, расположенного за анализатором, если плоско-
плоскости поляризации поляризатора и анализатора будут сдвинуты
на а = 60° и каждый из элементов поглотит rj = 4 % проходя™
щего через него светового потока. Плоскость экрана перпенди-
перпендикулярна к направлению распространения света.
ГЛАВА 6
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
ОСНОВЫ АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
6.1. Основы специальной теории относительности
Преобразования Лоренца
, х — vt , , ft — vx/c2
Х = U о /о' У =У> Z = Z^ l =
/-, 9/9 /-1 9/9
у 1 — vz/cz у 1 — гг/cr
где г? — скорость системы отсчета К1 относительно системы К ^
с — скорость света.
Квадрат интервала s\2 между событиями 1 is 2 — величина,
определенная соотношением
«12 = С^12 " (АГ12J,
где t\2 = t2 — t\ — промежуток времени между событиями 1
и 2, (Ari2J = [х\ — Х2J + (уг ^ У2J + (zi ^ z2J — расстоя-
расстояния между точками 1 и 2, в которых произошли эти события.
Квадрат интервала между событиями, является инвариантом
преобразований Лоренца, т. е. имеет одно и то же значение во
всех инерциальных системах отсчета.
Релятивистские масса и импульс равны
т0
где mo — масса покоя.
Полная энергия тела равна
2
Е = тс =
где Eq = mo с2 — энергия покоя.
Кинетическая энергия движущегося тела равна
к = Е - Ео = т0с2
6.1 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 257
6.12. Получите обратные преобразования Лоренца
x + vt , ,
х= п ^Т^ У = У> z = z, t =
у/1 — V1 /С1 у/1 — V1 /С1
6.22. Скорость движения Земли вокруг Солнца v = 30 км/с.
Определите сокращение AD диаметра Земли в направлении
движения в системе координат, связанной с Солнцем; средний
диаметр Земли Dq = 12800 км.
6.32. Реактивный самолет летит со скоростью v = 1000 м/с.
Найдите отставание Ат часов, находящихся в самолете, от часов
на Земле, если время полета т = 10 часов.
6.42. Определите относительное приращение длины стерж-
стержня -—, если ему сообщили скорость v в направлении, образую™
щем с осью покоившегося стержня угол а.
6.52. Найдите собственную длину стержня Lq? если в систе-
системе отсчета, по отношению к которой он движется со скоростью
v, его длина равна L, а угол между ним и направлением движе-
ния составляет а.
6.б2. Длина стороны равностороннего треугольника равна
Lq. Определите периметр р этого треугольника в системе отсче™
та, движущейся относительно него с постоянной скоростью v
вдоль одной из его медиан.
6.72. Каков возраст космонавта Т по часам Земли, если он
в возрасте Т\ = 30 лет отправился в полет на расстояние L = 20
световых лет и прибыл в точку назначения в возрасте Г2 = 35
лет по своим часам?
6.82. За промежуток времени At = 1 с, отсчитанный по ча-
часам системы К, частица, двигаясь равномерно и прямолинейно,
переместилась из начала координат системы К в точку с ко™
ординатами х = у = z = 1,5 • 108 м. Определите промежуток
собственного времени частицы Ato, в течение которого произо-
произошло это перемещение.
6.Э2. Собственное время жизни нестабильной элементарной
частицы равно Afg- Считая движение частицы равномерным и
прямолинейным, определите путь L, который она пройдет до
распада в системе отсчета, в которой время жизни частицы рав-
равно At.
6.102. Собственное время жизни нестабильной элементар-
элементарной частицы, называемой мюоном, равно Ato = 2,2 мкс. Опре-
Определите время жизни At мюона в системе отсчета, в которой он
проходит до распада путь L = 30 км. Найдите скорость v мюона,
считая его движение прямолинейным и равномерным.
9 С.Н. Белолипецкий и др.
258 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГЛ. 6
6.II2. Стержень пролетает е постоянной скоростью мимо
метки, неподвижной в системе отсчета К, в течение времени At.
В системе отсчета, связанной со стержнем (.К7), метка движет™
ся вдоль него в течение времени Atf. Определите собственную
длину стержня Lq.
6.122. Два стержня одинаковой собственной длины Lq дви-
движутся навстречу один другому параллельно общей горизонталь-
горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, про™
межуток времени между моментами совпадения левых и правых
концов стержней оказался равным At. Определите скорость v
относительного движения стержней.
6.132. Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите ре-
релятивистский закон сложения скоростей.
6.142. Используя результат предыдущей задачи, покажите,
что релятивистский закон сложения скоростей никогда не при™
водит к значениям скоростей, превышающим скорость света.
6.152. Две ракеты удаляются от Земли в противополож-
противоположных направлениях со скоростями v = 0, 8 с относительно Земли.
Определите скорость и относительного движения ракет.
6.162. Ракета, удаляющаяся от Земли со скоростью v, испу™
стила пучок фотонов в направлении Земли со скоростью с отно-
относительно ракеты. Определите скорость и фотонов относительно
Земли.
6.172. Две ракеты удаляются от Земли во взаимно перпен-
перпендикулярных направлениях со скоростями v = 0, 8 с относитель-
относительно Земли. Определите скорость и относительного движения ра™
кет.
6.182. Ракета движется относительно неподвижного наблю-
наблюдателя со скоростью v = 0, 99 с. Какое время At пройдет по
часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся
вместе с ракетой, прошло время Atg = 1 год? Во сколько раз
изменятся линейные размеры тел L в ракете (в направлении ее
движения) для неподвижного наблюдателя по сравнению с соб-
собственными линейными размерами Lq? Во сколько раз изменится
для этого наблюдателя плотность вещества р в ракете по срав-
сравнению с собственной плотностью ро?
6.192. Масса тела, движущегося с некоторой постоянной
скоростью, возросла на г) = 20 % по сравнению с массой покоя.
Во сколько раз при этом изменилась его длина L по сравнению
с собственной длиной Lq?
6.202. Определите скорость v релятивистского электрона,
импульс которого равен р = 1, 59 • 10~22 кг-м/с.
6.212. Покажите, что для релятивистской частицы величи-
величина Е2 — р2с2 есть инвариант, т.е. имеет одно и то же значение
6.2 КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА 259
во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение этого
инварианта?
6.222. Электрон обладает кинетической энергией Т =
= 2 МэВ. Определите его импульс р, считая энергию покоя элек-
электрона равной Е® = 0, 51 МэВ.
6.232. При какой скорости v погрешность Ар при вычисле™
нии импульса по ньютоновской формуле р = mv не превышает
V = 1 % ?
6.242. Энергия покоя частицы равна Е®. Определите пол-
полную энергию частицы Е в системе отсчета, импульс частицы в
которой равен р.
6.252. Импульс тела с массой покоя т® равен р = т®с.
Определите кинетическую энергию Т тела.
6.2б2. При какой скорости частицы v ее кинетическая энер-
энергия равна энергии покоя?
6.272. Определите скорость v электрона, разогнанного из
состояния покоя электрическим полем с разностью потенциалов
U = 106 В.
6.282. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов
и приобрел кинетическую энергию Т = 0, 76 МэВ. Определите
скорость v электрона.
6.2Э2. Определите отношение массы m движущегося элек-
электрона к его массе покоя то? если электрон, пройдя ускоряющую
разность потенциалов, приобрел кинетическую энергию Т =
= 0,76 МэВ.
6.303. Релятивистская частица с кинетической энергией Т\
и массой покоя т® налетает на такую же покоящуюся частицу.
Определите кинетическую энергию Т и массу покоя М состав™
ной частицы, образовавшейся в результате взаимодействия.
6.313. Неподвижная частица массы М® распадается на две
одинаковые частицы, масса покоя которых m® = 0,4Mq. Найди™
те скорость v, с которой движутся эти частицы.
6.323. Релятивистская частица распадается на два одинако-
одинаковых «осколка», каждый из которых имеет массу покоя тп®. Один
из осколков неподвижен, а другой движется со скоростью v =
= 0, 8 с. Какую скорость и и массу покоя М® имела частица до
распада.
6.2. Квантовые свойства света
Энергия фотона равна
Е = /и/,
где h — постоянная Планка, v — частота света.
260 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГЛ. 6
Релятивистские масса и импульс фотона равны
Е hu hu
с2 с2 с
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
где А — работа выхода электрона, га — масса электрона,
его максимально возможная скорость.
Давление света, падающего нормально на поверхность с ко™
эффициентом отражения р, равно
где Е — энергетическая освещенность поверхности, измеряемая
световой энергией, падающей на единицу площади поверхности
за единицу времени.
При комптоновском рассеянии рентгеновского излучения на
свободных электронах изменение длины волны излучения равно
АА= — (l-cos0),
WlgC
где 0 — угол рассеяния, гао — масса покоя электрона. Величи™
НУ ^с = называют комптоновской длиной волны частицы
то с
массы гао-
Энергия и импульс фотона. Давление света
6.331. Определите энергию ?7, импульс р и массу т фотона
рентгеновского излучения с длиной волны А = 100 пм. Сравните
массу этого фотона с массой покоя электрона.
6.341. При какой температуре Т средняя кинетическая энер-
энергия теплового движения молекул одноатомного газа равна энер-
энергии фотонов рентгеновского излучения с длиной волны А = 0,1
им?
6.351. Во сколько раз энергия Е\ фотона, соответствующего
7™излучению частоты v = 3 • 1021 Гц превышает энергию Е^ фо-
фотона рентгеновского излучения с длиной волны А = 2х10~10м?
6.361. Найдите абсолютный показатель преломления п сре-
среды, в которой свет с энергией фотона Е = 4, 4 • 10~19 Дж имеет
длину волны А = 3 • 10^7 м.
6.371. Определите предельный угол полного внутреннего
отражения ад для среды, в которой свет с энергией фотона Е =
= 4,4 • 10~19 Дж имеет длину волны А = 3 • 10^7 м.
6.2 КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА 261
6.381. Определите длину волны Л излучения, кванты кото™
рого имеют ту же энергию, что и электрон, пролетевший уско-
ускоряющую разность потенциалов U = 106 В.
6.391. С какой скоростью v должен двигаться электрон, что-
чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона с дли-
длиной волны Л = 520 нм?
6.403. Точечный изотропный источник испускает свет с дли-
длиной волны Л. Световая мощность источника Р. Определите рас-
расстояние г от источника до точки, где средняя концентрация фо-
фотонов равна п.
6.413. Мощность точечного источника монохроматического
света с длиной волны Л = 500 нм составляет Р® = 10 Вт. На
каком максимальном расстоянии R этот источник будет замечен
человеком, если глаз реагирует на световой поток, соответст-
соответствующий п = 60 фотонам в секунду? Диаметр зрачка do = 0, 5 см.
6.423. Лазер излучил короткий световой импульс продол™
жительностью т = 0,13 мкс с энергией Е = 10 Дж. Опреде-
Определите среднее давление р, созданное таким импульсом, если его
сфокусировать в пятно диаметром d = 10 мкм на поверхность,
перпендикулярную пучку, с коэффициентом отражения р = 0, 5.
6.433. Короткий импульс света с энергией Е = 7, 5 Дж в
виде узкого почти параллельного пучка падает на зеркальную
пластинку с коэффициентом отражения р = 0, 60. Угол падения
в = 30°. Определите переданный пластинке импульс р.
6.443. Плоская световая волна интенсивностью I =
= 0, 20 Вт/см2 падает на плоскую зеркальную поверхность с ко™
эффициентом отражения р = 0,8. Угол падения в = 45°. Опре-
Определите значение светового давления р, оказываемого светом на
эту поверхность.
6.453. Солнечный свет падает на плоское зеркало площа-
площадью S = 1 м2 под углом а = 60°. Определите силу F светового
давления на зеркало, считая, что зеркало полностью отража-
отражает весь падающий на него свет (р = 1). Известно, что средняя
мощность солнечного излучения, приходящаяся на 1 м2 земной
поверхности, равна Р = 1,4 • 103 Вт/м2.
Фотоэффект
6.461. Красной границе фотоэффекта для некоторого ме-
металла соответствует длина волны А = 0, 275 мкм. Определите
работу выхода А электрона из этого металла.
6.471. Какова наименьшая частота света i/, при которой еще
возможен фотоэффект, если работа выхода электронов из метал-
металла равна ^4 = 3,3- 10~19 Дж?
262 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГЛ. 6
6.481. Какой кинетической энергией К обладают электро™
ны, вырываемые с поверхности цезия при облучении ее светом
частоты v = 1015 Гц? Красная граница фотоэффекта для цезия
равна щ = 5 • 1014 Гц.
6.491. На сколько изменится длина волны А красной грани-
границы фотоэффекта, если цинковый катод фотоэлемента заменить
на литиевый? Работа выхода электрона из цинка равна А\ =
= 3, 74 эВ, а из лития — А^ = 2,4 эВ.
6.501. Какой частоты и свет следует направить на поверх-
поверхность платины, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов
была равна v = 3000 км/с? Работа выхода электронов из плати-
платины А = 10~18 Дж.
6.511. Какова должна быть длина волны А ультрафиолете™
вого излучения, падающего на поверхность цинка, чтобы макси-
максимальная скорость вылетающих фотоэлектронов составляла v =
= 1000 км/с? Работа выхода электронов из цинка А = 6,4 х
х 10^19 Дж.
6.521. Найдите скорость v фотоэлектронов, вылетающих из
цинка, при его освещении ультрафиолетовым излучением с дли-
длиной волны А = 300 нм, если работа выхода электрона из цинка
равна А = 6, 4 • 10~19 Дж.
6.531. Изолированная металлическая пластинка освещается
светом с длиной волны А = 450 нм. Работа выхода электронов из
металла А = 2 эВ. До какого потенциала ср зарядится пластинка
при непрерывном действии излучения?
6.541. Плоский алюминиевый электрод освещен ультрафио-
ультрафиолетовым излучением с длиной волны А = 83 нм. На какое макси-
максимальное расстояние L от поверхности электрода может удалить™
ся фотоэлектрон, если вне электрода имеется задерживающее
электрическое поле с напряженностью Е = 7, 5 В/м? Красная
граница фотоэффекта для алюминия соответствует длине вол™
ны Ао = 332 нм.
6.553. Излучение аргонового лазера с длиной волны А =
= 500 нм сфокусировано на плоском фотокатоде в пятно диа-
диаметром d = 0,1 мм. Работа выхода фотокатода А = 2 эВ. На
плоский анод, расположенный на расстоянии L = 30 мм от ка™
тода, подано ускоряющее напряжение U = 4 кВ. Определите
диаметр D пятна фотоэлектронов на аноде. Анод расположен
параллельно поверхности катода.
6.561. Катод фотоэлемента освещен монохроматическим
светом с длиной волны А. При отрицательном потенциале на
аноде U\ = —1,0 В ток в цепи прекращается. При изменении
длины волны в п = 1,5 раза для прекращения тока потребо-
6.3 МОДЕЛЬ АТОМА РЕЗЕРФОРДА-БОРА 263
валось подать на анод отрицательный потенциал !72 = -3,5 В.
Определите работу выхода А материала катода.
Комптоновское рассеяние
6.571. Гамма-излучение с длиной волны Aq = 2, 7 им испы-
испытывает комптоновское рассеяние. Во сколько раз длина волны А
излучения, рассеянного под углом а = 180° к первоначальному
направлению, больше длины волны падающего излучения?
6.581. Рентгеновское излучение с длиной волны Aq =
= 56,3 пм рассеивается плиткой графита. Определите длину
волны А лучей, рассеянных под углом а = 120° к первоначаль-
первоначальному направлению пучка.
6.591. Фотон рентгеновских лучей с длиной волны Ад =
= 24 пм при соударении со свободным электроном передал ему
г) = 9 % своей энергии. Определите длину волны А рассеянного
рентгеновского излучения. Под каким углом а рассеялся фотон?
6.603. Изменение длины волны рентгеновского излучения
при комптоновском рассеянии АА = 2,4 пм. Определите угол
рассеяния а и энергию АЕ, переданную при этом электронам
отдачи, если длина волны рентгеновского излучения до взаимо-
взаимодействия Aq = 10 пм.
6.613. Фотон с энергией Е$ = 0,75 МэВ рассеялся на сво-
свободном электроне под углом <р = 60°. Определите энергию Е
рассеянного фотона, кинетическую энергию К и импульс р элек-
электрона отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения
пренебречь.
6.3. Модель атома Резерфорда—Бора
Первый постулат Бора: электроны могут двигаться в атоме
только по определенным орбитам, находясь на которых они не
излучают энергии. Эти орбиты определены условием
h ?,
mvnrn = п— = па,
2тг
где гп — радиус п~ш орбиты, mvnrn — момент импульса электро-
электрона на этой орбите, п=1,2,3,... — главное квантовое число.
Второй постулат Бора: при переходе электрона с одной ор-
орбиты на другую атом излучает или поглощает один фотон с
энергией
где Wk и W{ — энергии электрона на соответствующих орбитах
(в соответствующих стационарных состояниях).
264 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГЛ. 6
6.621. Пользуясь представлениями модели Резерфорда-
Бора, выведите формулу для скорости движения электрона по
орбите в атоме водорода. Вычислите эту скорость для двух пер™
вых электронных орбит.
6.631. Пользуясь представлениями модели Резерфорда-
Бора, выведите формулу для радиусов допустимых электрон-
электронных орбит в атоме водорода. Вычислите эти радиусы для двух
первых электронных орбит.
6.641. Атом водорода переведен из основного состояния в
возбужденное, характеризуемое главным квантовым числом п =
= 2. Определите энергию W возбуждения атома.
6.651. Какую работу А необходимо совершить, чтобы уда-
удалить электрон с орбиты атома водорода с главным квантовым
числом п = 2 за пределы притяжения его ядром?
6.661. При переходе электрона в атоме водорода с одной
орбиты на другую излучаются фотоны, соответствующие длине
волны А = 0,652 мкм (красная линия водородного спектра).
Какую энергию W теряет при этом атом водорода?
6.671. Радиус первой орбиты в атоме водорода г\ = 5,3 х
х 1СР11 м. Определите напряженность Е электрического поля
ядра на этом расстоянии и кинетическую энергию К электрона
на этой орбите.
6.681. Определите, возможна ли ионизация невозбужденно-
невозбужденного атома водорода внешним электрическим полем с напряжен™
ностью Е = 108 В/м.
6.691. Какие спектральные линии появятся при возбужде-
возбуждении атомарного водорода электронами с энергией W = 12,1 эВ?
6.703. Определите число N спектральных линий, присут-
присутствующих в спектре атомарного водорода, атомы которого при
возбуждении перешли из основного состояния на n-й энергети-
энергетический уровень.
6.711. Во сколько раз увеличится радиус орбиты г элек-
электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии с
радиусом орбиты гт, при возбуждении его квантом с энергией
АЕ = 12,09 эВ?
6.721. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант
света с длиной волны А = 121, 5 нм. Определите радиус орбиты
возбужденного атома водорода. Радиус орбиты атома водорода,
находящегося в основном состоянии, г\ = 0, 53 • 1СП10 м.
6.733. Минимальная энергия электрона, необходимая для
ионизации атома водорода, равна Wo- Определите минимальные
начальные энергии W\ и W2 ионов водорода и гелия, необходи-
необходимые для ионизации атома водорода. Считайте, что ионизация
6.4 СТРОЕНИЕ АТОМНОГО ЯДРА. РАДИОАКТИВНОСТЬ 265
происходит в результате абсолютно неупругого удара; тц2) —
массы ионов; т — масса атома водорода; те — масса электрона.
6.4. Строение атомного мдра. Радиоактивность.
Ядерные реакции
Энергия связи ядрщ т.е. энергия, которую необходимо затра-
затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны без
сообщения им кинетической энергии, равна
АЕ = Am-с2,
где
Am = Zmp + (A — Z)mn — m
— дефект массы ядра, представляющий собой разность между
суммой масс покоя частиц, составляющих ядро, и массой покоя
ядра; здесь Z — зарядовое число (атомный номер элемента), А
— массовое число (суммарное число нуклонов в ядре), гар, mn,
т — массы протона, нейтрона и ядра соответственно.
Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)
Q = (Ет
где Sm и Em/ — суммы масс покоя частиц соответственно до и
после реакции.
Закон радиоактивного распада: число радиоактивных ядер
—dN7 распадающихся за промежуток времени (t,t + dt), про-
пропорционально этому промежутку dt и числу ядер N(t), еще не
распавшихся к моменту t, равен
-dN = \N(t)dt,
где А — постоянная радиоактивного распада. Интегрируя по-
последнее соотношение, закон радиоактивного распада можно за-
записать в форме
N(t) = Ще^х\
где Nq — число радиоактивных ядер в момент t = 0.
Период полураспада Т, т.е. промежуток времени, за который
распадается половина начального числа ядер, и постоянная рас™
пада Л связаны соотношением
ТА = In 2.
Активность препарата измеряется числом ядер, распадаю™
щихся в единицу времени:
dN ^пr
а = = XN.
dt
Во всех задачах настоящего раздела считайте массу протона
nip = 1,00728 а.е.м., массу нейтрона тп = 1,00866 а.е.м.
266 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГЛ. 6
6.741. Определите число N нейтронов в ядре урана 2||U.
6.751. Вычислите дефект массы Am ядра кислорода ^О.
Масса ядра кислорода т = 16, 99913 а.е.м.
6.761. Вычислите энергию связи АЕ между нуклонами в
ядре гелия |Не. Масса ядра гелия т = 4, 00260 а.е.м.
6.771. Вычислите энергию связи АЕ между нуклонами в
ядре лития |LL Масса ядра лития т = 6, 01513 а.е.м.
6.781. Вычислите энергию связи го, приходящуюся на один
нуклон в ядре: а) дейтерия; б) алюминия f|AJ; в) урана 2f|U.
Массы ядра дейтерия т\ = 2, 01410 а.е.м., ядра алюминия гп2 =
= 26,98146 а.е.м., ядра урана т% = 238,03 а.е.м.
6.791. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в
п = 4 раза за At = 8 дней. Определите период полураспада Т
этого элемента.
6.801. Образец содержит Nq = 106 радиоактивных атомов с
периодом полураспада Т. Определите число N радиоактивных
атомов в образце спустя время At = Т/2.
6.811. Образец радиоактивного радона 2||Rn содержит
Щ = 1010 радиоактивных атомов с периодом полураспада Т =
= 3, 825 сут. Какое число атомов AN распадается за At = 1 сут?
6.821. За какое время At произойдет распад полония ^Р0
массы Am = 2 мг, если в начальный момент его масса равна
то = 0, 2 г? Период полураспада полония Т = 138 сут.
6.833. Радиоактивный препарат, имеющий активность а =
= 3,7 • 109 с, помещен в калориметр теплоемкостью С =
= 4,19 Дж/К. Определите повышение температуры AT в кал о™
риметре за At = 1 час, если известно, что данное радиоактивное
вещество испускает а-частицы с энергией Wa = 5,3 МэВ.
6.843. В калориметр с теплоемкостью С помещен образец
радиоактивного кобальта с молярной массой ц. Масса образца
т. При распаде одного ядра кобальта выделяется энергия W.
Спустя время т температура калориметра повысилась на At.
Определите период Т полураспада кобальта, считая, что тепло™
емкость образца кобальта пренебрежимо мала по сравнению с
теплоемкостью калориметра.
6.853. В микрокалориметр с теплоемкостью С = 100 Дж/К
помещен образец изотопа кремния массы tuq = 1 мг (молярная
масса /ш = 31 • 10^3 кг/моль). При распаде одного ядра выделя-
выделяется энергия W = 4,4 • 10~19 Дж. Период полураспада кремния
Т = 2 ч 36 мин. Определите повышение температуры At кал о™
риметра спустя т = 52 мин после начала опыта.
6.861. В какое ядро превращается ядро тория 2|oTh в ре™
зультате /3~-распада? Напишите уравнение реакции.
6.4 СТРОЕНИЕ АТОМНОГО ЯДРА. РАДИОАКТИВНОСТЬ 267
6.871. Ядро радиоактивного изотопа 2||Ra испытывает а-
распад. Запишите уравнение ядерной реакции.
6.881. Ядро радиоактивного изотопа 2\^Ро испытывает а-
распад. Запишите уравнение ядерной реакции.
6.891. Ядро радиоактивного изотопа ||Р испытывает /3+-
распад. Запишите уравнение ядерной реакции.
6.901. Ядро тория 2|дТЬ превратилось в ядро 2||Ra. Какую
частицу выбросило ядро тория? Запишите уравнение реакции.
6.911. Радиоактивный изотоп кремния 2|SI распадается,
превращаясь в изотоп алюминия ||А1. Какие частицы при этом
образуются? Запишите уравнение реакции.
6.921. В какой элемент превращается уран 2f|U после трех
а™ и двух /3-раепадов?
6.931. В какой элемент превращается радий 2||Ra после пя-
пяти о- и четырех /3-распадов?
6.941. Изотоп тория 2|дТЬ в результате серии радиоактив-
радиоактивных распадов превращается в стабильный изотоп свинца 2||РЬ.
Сколько а- и /3-распадов при этом происходит?
6.951. Радиоактивный изотоп нептуния 2Ц^р (родоначаль-
(родоначальник искусственно полученного радиоактивного семейства непту-
нептуния) в результате серии радиоактивных распадов превращается
в стабильный изотоп висмута 2g|Bi- Сколько а- и /3-распадов при
этом происходит?
6.961. Ядро радиоактивного элемента, подвергнувшись ря-
ду превращений, испустило одну а- и две /3-частицы и превра-
тилось в ядро урана 2ЦU. Определите исходный радиоактивный
элемент.
6.971. В Периодической системе элементов последовательно
расположены три элемента. Условно назовем их а, Ь и с. Радио™
активный изотоп элемента а превращается в элемент Ь, а тот,
в свою очередь, — в элемент с. Последний превращается в изо-
изотоп исходного элемента а. Какими процессами обусловлены эти
переходы? Запишите уравнения соответствующих реакций.
6.981. Радон 2ЦВл — это а-радиоактивный газ. Какую долю
г\ полной энергии, освобождаемой при распаде радона, уносит а-
частица? Считайте, что до распада ядро радона покоится.
6.991. При бомбардировке нейтронами ядер азота X|N ис-
испускается протон. В ядро какого элемента превращается ядро
азота? Запишите уравнение реакции.
6.1001. При бомбардировке «-частицами ядер азота X|N ис-
испускается протон. В ядро какого элемента превращается ядро
азота? Запишите уравнение реакции.
268 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГЛ. 6
6.1011. При бомбардировке нейтронами ядер алюминия ^А1
испускается а-частица. В ядро какого элемента превращается
ядро алюминия? Запишите уравнение реакции.
6.1021. При взаимодействии атома дейтерия с ядром берил-
бериллия !Be испускается нейтрон. Запишите уравнение реакции.
6.ЮЗ1. Допишите уравнения реакций: а) ^В + Jn —>>••• + |Li;
б) • • • + |Не -»¦ Х|С + }Н; в) \\К + > %Са + \Я.
6.1043. В ядерной реакции |Li + }Н —>> |Ве + }п протоны
налетают на покоящиеся ядра лития. Если энергия налетающих
протонов равна Е = 1, 9 МэВ, то нейтроны, образующиеся в ре-
реакции, неподвижны. На какую величину АЕ можно уменьшить
энергию налетающих протонов, чтобы реакция вообще могла ид-
идти?
6.1051. Известны энергии связи Е\, 1?2, Е% и Ед ядер в реак-
реакции А\ + А2 —> А^ + Ад. Определите энергию Q, выделяющуюся
в этой реакции.
6.1061. Термоядерная реакция |Н + |Не —> |Не + }Н идет с
выделением энергии Q± = 18,4 МэВ. Какая энергия Q2 выделя-
выделяется в реакции |Не + |Не —> |Не + 2}Н, если дефект масс ядра
|Не на Am = 0, 006 а.е.м. больше, чем у ядра f H?
6.1071. Определите энергию Q, выделяющуюся при ядер™
ной реакции |Li + }Н —)> |Не + |Не. Масса ядра лития ты =
= 7,01823 а.е.м., масса ядра гелия тне = 4,00260 а.е.м.
6.1081. Какое количество теплоты Q выделяется при обра-
образовании т = 1, 0 г ^Не из дейтерия? Какая масса М каменного
угля с теплотворной способностью q = 30 кДж/кг при слсига™
нии обеспечивает то же количество теплоты? Масса ядра гелия
= 4, 00260 а.е.м., масса ядра дейтерия тв = 2, 01410 а.е.м.
ОТВЕТЫ
Глава 1. Механика
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика
Глава 3. Электричество и магнетизм
Глава 4. Колебания и волны
Глава 5. Оптика
Глава 6. Специальная теория относительности. Атом-
Атомная и ядернам физика
1.2. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 271
К ГЛАВЕ 1
1.1. Векторы и скаляры
1.1. Угол а между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°;
Д) 60°.
1.2. a) ai||a2; б) ai±&2; в) а2 — нулевой вектор.
1.3. с = ±1,5.
1.4. а) а3 = {-7;-4;-5}; б) а3 = {-5; 4; 1}.
1.5. s = 103 м, L = 47,4 м.
1.6. с^4,4; /3^23,4°.
1.7. d^2,6; 7-41°.
1.8. а\ = аж cos а + % sin а « 7, 0.
1.10. ci ^5,8; с2«7,1.
1.11. ^ = 300°; с = 3,5.
1.12. aMi + j; б) 1 + 3j - 2k; в) 3; г) 15i - 18j + 9k.
1.13. с =2,6; d= 1,7.
1.15. а = 44,4°.
1.16. а) Ья-= -1,5; Ьу = 2,6; б)с = 55О; /3^67°; в) 0; г) 16,0.
1.2. Кинематика равномерного движения точки
1.17. t = = 1 ч; s = = 36 км.
1.18. s = = 8, 75 км.
tl + *2
11 S
1.19. v= = 10, 6 м/с.
ut — s
1.20. tga=-=3; a = 71°35/.
1.21. v = 8, 66 м/с; vB = 5 м/с.
1.22. i3 = j^ = 40 с
tl — Г2
1.23. t= 92St; 9 =6,25 ч.
v2 — и2
2Lv2 2Lv1
1.24. t = -« « = 8 мин, s = -5 ^ = 7, 2 км.
V2 "~ ^1 V V
272
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
1 ок Sl ~ S2 л ! SI+S2 лг ,
1.25. и = — = 4 км/ч; v = — = 16 км/ч.
1.26. vo = \Jv2 + и2 + 2uv cos a; sin/3 =
л/v2 + и2 + 2uv cos a
1.27. и =
1.28. t =
hu
L sin а + h cos а
1.29. v = vr + ^v'2 - v2 = 9, 3 м/с.
1.30. v = уVq + 4voiicos« + Аи2.
1.81. vcp = 0, vcn =
s(vi
= 40 км/ч.
1.82. vcp = — = 4, 5 м/с в направлении от хозяина; vCJJ = —- = 13, 4 м/с.
8t 8t
1.88. vCp =
1.84. vcp =
1.35. v2 =
1.86. vi =
V!
= 243 км/ч.
—- = 6 км/ч; V2 =
—- = 2 км/ч.
6 км/ч; V2 т
2 2n
1.87. Если длина минутной стрелки R = 1 см, то -уСр i = vcp 3 ~ 1, 6 х
X 10~5 М/С, VCp 2 = 1, 1 • Ю^5 М/С, Vcn 1 = Vcn 2 = Vcn 3 « 1, 7 • 10^5 м/с.
1.88. vcp = 23 м/с; vcp направлена по нормали к оси Ох.
1.89. s2 = ^~ = 750 м.
V2
1.40. г; = utga.
1.41. у
1.42. и
1.48. s
1.44. v
1.45. v
(t) \/L2 — v2t2, vy(t)
V
cos a
L\v2 sin/3 — v\ sin a
\/v\ + v\ + 2viv2 cos (a
vi + л/vtiv! +8v2)
СР 4
у v2(v2 + 8vi) — v2
\/L2 - v2t2
1.8. Кинематика равнопеременного движения
1.46. a)v = A + 2Bt; а = 2B; б) t0 = 40 с; в) s = 100 м.
1.47. tB = 2 с; жв = 8 м; t = 0; v = 2 м/с; ai = -8 м/с2; a2 = 1 м/с2
1.3. КИНЕМАТИКА РАВНОПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 273
1.49. vcp 2 = 0,5 м/с; г;ср.пут 2 = 1,3 м/с; vcp 5 = -0,9 м/с;
^ср.пут 5 = 1,7 м/с.
1.53. Из начала координат проведите прямые — касательные к графику
x(t). Точки касания соответствуют моментам времени to для различных
значений средней скорости.
1.54. h = 46 м.
1.57. х = —
4
1.59.
= 5 • 10~2 м/с2; a2 = 6, 25 • 10~2 м/с2; a2
1.60. a=
1.61. vo =
1.62. t/ =
tlt2(tl + t2)
4Li - L2
2t
' ' u tMh + h)
= 10 м/с; здесь t = 5 с.
=2,5 м/с.
10 м/с.
1.68.
1.64.
1.65.
1.66.
1.67.
1.68.
1.69.
1.70.
1.71.
t = — = 30 c; vi = 2v = 3, 0 м/с; s = = 45 м.
a a
t =
t\ + 2tit2 ~~ tj
t = — + - = 40 с
ат 2
tMHH = 2J- =60 с
t= B
ti = 0,45 c; At = 0,023 c; si=4,9m; As = 40 m.
h = Sg(AtJ = 78,4; Г = 4At = 4 с
/ii = 30 m; /i2 = 90 м; h3 = 150 м.
s = — - vqt + ^^ = 50 m; vcp = v0 - — = 10 м/с
2 2
= s- = 14, 7 м/с; /i = ^— = 11 м.
- 1 = 150 м.
1.76.
1.77. h =
274 ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
1.78. г «0,05-«1,85 с.
о
2
1.79. и = 2v0 — gr; s = Bv0 — gr)t — vqt -\ —.
z
1.80. A2/n = 2/n-2/n+i=grt-Bn-l)^; Aj/i = 0,93 м; At/2=0,83 м;
Аг/з = 0, 74 м.
Н -h , ,
1.81. vq = \/2gh « 7 м/с.
1.82. h = —.
1.88. Встретятся (при t = 1,0 с).
1.4. Баллистическое движение
1.84. у(х) = h тг1 vq = sw— = 9,8 м/с.
2
1.85. /i= — = 20,4 м.
1.86. и = Ьд/4- =210 м/с.
у 2д
^ 34,4 м/с.
1.88. v = gt^/2^ 69,3 м/с.
1.89. О
^oV3 3-Uq
1.90. ж = = 71 м; у = = 61 м (считая начало координат
g 2g
располож:енным в точке вылета).
vq cos a(vo sin a + уг/п sin2 a + 2gh)
1.91. a)s= ^ ;
г;о sin a + J^ sin2 a + 2gh
6) T = ^ ;
g
в) v = i/vi — 2v®gTEina + g2r2;
V
|vosma — g
Vq COS OL
2
1.92. /iMaKC = ^-=4,9m.
о
1.98. «i = -arcsin^. a2 = --ai.
2 vg 2
1.94. a= T-
4
• »7 о • с* — ai Lj l ti 'dt rN_< i и
1.5. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ 275
/1 а\
1.96. а = arcctg [ .
V4 gj
2vl sin (a - C) cos а тг /3
1.97. 1/ = — ; ао = у + 7Г-
g cos2 /3 4 2
1.98. vo = g^1 +t2^ = 78,4 м/с; h = -gt^ = 73, 5 м.
2 sin a 2
1.99. Да.
1.100. L= 2tJ°
1.101. и = 2-Уо cos ; s(t) = 2votcos .
2J2gh{v% - 2gh)
1.102. Ьмакс = —? « 35 м.
g
2
1.103. L= ^-sin2a-s^6,3 м.
1-Ю4. Я = ^::^)=3,Ом.
1.105. t = 2л —; si = 8/isina; si : s2 : S3 = 1 : 2 : 3.
v\ sin2a + 2gh -
1
I + 2
1.110. «иин = Jg (^(Я - ЛJ + L2 + Я + ft).
1.5. Кинематика движения точки по окружности. Вращательное
движение твердого тела
1.111. а) Парабола, б) Окружность.
1.112. В два раза.
1.113. Уменьшается в два раза.
1.114. ап = v^ = 0,13 м/с2.
1.115. а=^ = 3,4-ID м/с2; n=
1.116. Самолет должен вылететь в полдень и лететь противоположно
вращению Земли со скоростью v = cos (p = 840 км/ч.
276 ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
1.117. б) va = 2v, точка А движется направо по горизонтали (см.
рис. 1.117); 1)в = vd = vу/2, точка В движется вертикально вниз, точка D —
вертикально вверх, vc = 0; в) точки, находящиеся на расстоянии радиуса
диска от точки С.
1.118. ап = 2wnv = 103 м/с2.
1.119. ат = eR = 5,0 • 10~2 м/с2; an = e2Rt2 = 0,1 м/с2; а =
= eRy/1 + e2t4 = 0,11 м/с2.
1.120. е = =6,3 рад/с2; ш = —— = 63 рад/с.
т т
1.121. <р(?) = arctg(e?2), ip0 = arctg Dтг) = 85,5°.
o =0|21 рад/с2. N = a±j^t = 2^
1.123. t= — = 10 с.
1.127. ш = (при условии vi sin о: >
1 1ОЯ Д 9 R u2R
1.128. v = u— , vA = 2u— , аА = т^
9 "
2
1.129. VAl = 7T5 ^A2 = —, VB1 = 1O , VB2 =
о I 12
1.130. ac = ^
1.6. Динамика прямолинейного движения материальной точки
1.132. Р + Р; = 0; к системе «стол + книга».
1.133. т = —г = 0,1 кг.
2Gi
1.134. Указание: график ускорения a(t) имеет такой же вид, как гра-
график F(t).
1.135. F= mV" =6,75кН.
2{L\ + L2)
1.136. FB =0; Fc = ^^F.
Lj
i X _. X
1.137. F = .
1.138. Fc = m (Jj - g) = 88 мН.
1.6. ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 277
1.139. Fc = m
т
ЛЬт
= 3, 3 Н; г = 1 с.
1.140. m = 2 (М- — ).
1.141.
1.142. Ti = 17,4kH, Т2 = 14,7кН, Т3 = 12,0Н.
1.143. Nt = m | g
vot — h
= 1, 04 кН; N2 = mg = 0, 98 кН; N3 =
mi + m2
= 190 кг.
1.144. амакс = g ( ^^ - 1) = 1, 2 м/с2.
1.145. mMa]
1.146. a = ,
1.147. a =
'= (m
T4-T3
Ш1 + ГП2
+ ТП2
mi + Ш2
1.148. а = ^
2m + mo
= a
; T =
2m + mo
2m + mo
4m(m + mo)
2m + mo
m,i
mi + mi +
= 16,3 H;
Гз=
mi +
i i rcn
1.150.
+
=9,8H.
m2 + m
1.151. а =
-го = 740 H.
Bmi
mi
miBm2+m0)
g; Та =
mo)
g; 1С =
g; а ,
mo 2(mi
m2Bmi+m0)
g
mo)
)
g;
+ m2 + mo mi + m^ + mo
2sDm + M) _ oo ^ Ip_ 9mMg
3Bm-M)g
c>
= 1L4
1.153. F=4mim2(g+a)=5,3H.
+
1.154.
7712
mi + m2
gT2 ^
278
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
а2 =
Т=-
1.155. аг =
\mim2 —
а2 =
1.156. аг =
\mirri2 —
т1т2
П аз =
ТП2ГП3
1.157. М= -т.
о
1.158. <ц =g
1-
l»E —
,...,8; 1\ = Г2 = Г3 = Г4 =
1.159. а) а = 0, FTp = F cos a = 0, 87 H; б) а = — (cos a+/i sin a)—fig =
771
= 2,8 м/с2, FTp = fi(mg - Fsina) = 5,9 H; в) FMMH = fmg = 7, 7 H,
a = arctg // = 11,3°.
1.160. F2 = Fi + 2mg = 2, 98 H.
1 ^^^^^^^
l + /i2
1.161. t= —
sin ay g A — ctg а • tg /3) *
1.162. a=^
m
mg —
0,77 м/с2.
1.163. L =
, если F > ^mg; L = 0, если F <
1.164. M =
1.165. m =
1.166. a) Fi =
= 3,0 кг.
; 6) F2 = 2fi(m ¦
в) t =
2LM
F-2fj,(m +
1.6. ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 279
1.167. а =
2
-fj,g = 2,1 м/с ;
ii =
o,U5 И; ±2 =
o, 1 H.
1.168. T=
(mi + Ш2) (cos а + \i sin а)
mi
F.
Ffcos а + /i2 sin a)
1.170. N= -mg sin2a = 0,49 H.
i 1*1 / 2llN 2llN I ^
1.171. a = a , если a > ; a = и, если а
m m
1.172. t0 =
(m + M)g (/л-tg a)
1.173. F=
1.174. a=
2mim2
mi
2.
2mim2 , . v /7Г a\
,r = g A + sin a-\- и cos a) cos ( — — — ) = 49 H.
rai+ra2 V4 2/
1.175. Fi =
2s + figt2
1.176. T =
a; i = ¦
7712
ГП1ГП2
mi + 7722
a + g ПРИ V a + g
- а) при
Ш1
+ g2 > — J/g -
ТП2
1.177. ai = -
«2 = —g
tg a + mi ctg a
Ш2 tg a + mi ctg a
1.178. ai = -g
mi
wi2 sin a + mi cos2 a
mitga
mi + m,2
mi
tg a
_ m,2sinacosa J2h{mi + m2 sin a)
' mi + Ш2 sin a'
(mi + m2)g sin a
F F
1.180. a) a2m = flm = t^, ам = 0; 6) a^m = am = -—,
3m 3m
F
T7(
F
F
T7-
280
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
1.181. fi =
1.182. t =
1.7. Динамика движения материальной точки по окружности
1.183. v > -L/Щ & 0,16 с.
Z7T V it
1.184. т = ^ ,. .
ш У \ R
1.185. /i= — «0,2.
Rg
1.186. v = Vg^R « 180 км/ч.
1.187. w = Л™.
то
1.188.
= 40.
1.189. F= BwuJ\L1m1 - L2m2\.
2
1.190. F = mg - ^^ = 7, 8 кН; г;мин =
1.191. F = mg cos a —
80 км/ч.
R
1.192. vMHH =
1.193. Li =
ГП2
+ m2
8mh
Ц L2 =
0> 6 KM/4.
mi + m2
-L; T =
mi + m2
1.194. т = 2^^-^2,25 с
1.195. T =
BтшJ (mg" — F cos a)
1.198. Д = i <j Lo + Jig + %^Lo(n -
1.8. ИМПУЛЬС СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 281
1.200. N = m[g -
1.201. Li =
W2/
к2 к(к~тш2)
т2о;4 + к2 — Зтш2к т?шА + к2 — Зтш2к
1.8. Импульс материальной точки и системы материальных
точек
1.202. F = mnv = 150 Н.
1.203. Ар = m(v + y/2gh) «1,6 кг-м/с.
тт?
1.204. u = v = ^3,25 м/с.
1.205. г/ = г; «0,1м/с.
1,25 м/с.
7TIV TflV
1.208. vt = -^ « -0,71 м/с; г>2 = ^0,55 м/с.
mi ггг + ГП2
2 2
1.209. s = 7 тх = 50 м.
2fig (т + МJ
. _.._ Mv + га (г; + и) Мг; + га(г; — г/)
1.210. vi = -^т- ^; u2=v; v3 = -^ -.
m+M m+M
777
1.211. s= L = 1,0m.
m + M
1.212. vo=
1 + mi/m2) sinBa)
4/1
1.214. Выстрелить из первого пистолета, выбросить его и выстрелить
из второго.
1.215. a(t) = .
mo — fJ't
3 12h
1.216. F(t) = ^Pg2t2 при 0 ^ i < г, где t = J —; F(t) = pgh =
— «Р5т2 ПРИ t > T-
Ft F
1.217. v(t) = 7 7 -; aft) = 7 ; —.
rao(l + fit/mo) rao(l + fit/moJ
1.218. v = -uk^.
?7l
1.9. Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения энергии
(FtJ
1.219. К=Кп ' = О, Q5 Дж.
2т
2
772 7J
1.220. F = = 960 кН; увеличиться в два раза.
AS
282
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
1.221. А=
1.222. v = J(v0 + иJ - — - и.
V тп
1.223. п = 4.
1.224. W = —— = 200 кВт.
1.225. а = -^— - /1 « 0, 0007 рад.
mgi;
1.227. а = ^;
1.228. t; = ^v
1.229. Ж = ^
= 480 Дж.
1.230. A = —mvo + -гаи2 = ^4,99 кДж.
1.231. h= ^- =61,25 м.
4g
1.232. iif = /i(F-mg) = 98 Дж.
/ 2K
1.233. a = /
1.234. h =
1.235. s = /i, если /i < tga; если fi > tga, санки останутся
на месте.
1.236.
1.237.
1.238.
1.239.
1.240.
1.241.
s =
к
к-
Ui ¦¦
V2 I
' 2/ig
m2
2(mH
(mv0 -
= mv2/:
(mi -
hM) ^
- mV^
2m2g
10 = 0,z
- m2)i;i
mi + ?
84 м.
17,9 Дж
>Дж.
+ 2m2V2
П2
_
rai+ra2
1.242. После ряда последовательных столкновений все шары будут по-
покоиться, кроме последнего шара, который будет иметь скорость v = 10 м/с.
1.9. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ
283
1.243. 0' =
1.244. и2 =
U1U2
2v
V*'
1.245. а=-.
1.246. vi = v
1.247. — > -
1.248.
ГП2ГП2
V2 = V
2
«макс = arcsln
1.249. Л =
1.251.
1.252.
1.253.
1.254.
1.255.
1.256.
1.257.
1.258.
1.259.
1.260.
(mi + w2J
Тмакс = 3mg.
ао > 60°.
/Змакс = arccos
а)
/my
\м)
= 12,5 см.
а + j
; б) t;MMH =
АЕ= -mgL Csln2- - 5 sin2 - + 2 sin - sin -
8 у 2 2 2 2
/i2 = -^ ^0,25 м.
4
V = m
2gh
M)M°
MHH = W2g/i ~\m = yi2gh(l + 1/n) « 6, 9 м/с
1.261.
1.262.
1.263.
1.264.
1.265.
raira;
u-
V =
T =
T =
J
— m\/2gL sin a cos a
Д/f
217 м/с.
Г2 = L~
mi + rri2
-; T =
mi + ГП2
из Ц К =
2(mi
284 ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
/12
1.266. гл = v2 = yY
1.267. v= \\\g
1.268. ^акс = ^—5 а=—.
v2
1.269. Ьмин = —.
1.270. h=§.
о
1.271. F =
ту
1.272. s= — B™ cos а) = 50 м.
2[i
v \
1.273. ас = \1 ( ^т — 2g(l ™cosa) I +g2sin2a = 95 м/с2; ускорение
2
составляет с радиус-вектором, проведенным из центра окружности в точ-
ку С, угол р = arctg 2 , , « 4 .
V ™ 2g-E(l ™ cos a)
1.274. tw
m + M
1.10. Вращение твердого тела вокруг оси. Закон сохранения
момента
1.275. Центр масс системы находится между вторым и третьим шаром
2
2mi + m2 - т4 , _ _
на расстоянии ж = а = 5, 0 см от третьего шара.
т + т + ш + ш
1.279. а = arctg m
3mi
1.280. x =
1.281. 1 =
1.282. 1= -md2 =0,15 кг-м2.
4
1.283. ?=^До-Мтр =10;7рад/с2^
1.11. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 285
1.284. е = mig^R2 МтР = Ю, 7 рад/с2; а = Ros = 3, 53 м/с2; ш =
= et = 32,1 рад/с; v = еШ0 = 10, 6 м/с.
1.285. V2 = ^i^T" = ^ м/с-
1.286. Ti = F; T2 = 2F.
1.287.
1.288.
1.289.
1.290.
F
J- мин
т =
/1
\rng.
= fimg.
mg
2cos|
490
: 196
H.
H.
1.291. m = ^/mim2 ~ 2, 9 кг.
1.292. M = 2m/3 = 0,8 кг.
^2 =0,бм.
1.294.
1.295.
1.296.
1.297.
1.298.
F =
О^мин
m =
Nl-
Kl + K2
4
-mgtga.
= arctg^-
F
— « 200 кг.
g"
" 2(L - a) ~
|tga.
=490 H; iV2 = mf/rL ^ = 294 H.
2(L — a)
1.299. F = F2 - Fi = 15 H; x = AC = — =—- = 2, 5 м, кроме случая,
-Г 2 — -ri
когда силы направлены вдоль стержня; тогда точка приложения силы F
может быть любой.
1.300. JVi = N2 = N3 = ahdpg/6 « 176,4 Н.
1.301. /i = -tga.
1.11. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера
1.302. F = 2,0-1020 H.
1.303. A(mg) = 0,25mg0.
1.304. gjI=g^f = 1,65 м/с2,
газйд
1.305. т = \ —— = 1, 57 • 10ь с.
286
ОТВЕТЫ К ГЛ. 1
1.306. v =
1.307. р =
1.308. т = 27г
1.309. ^ =
п
2
r
' 1,7 км/с.
j0,5-103 кг/м3.
R2
з _ 42400 км. ^ = 27Гд/г
3,03-103 кг/м3.
О, Шт2
1.312. А = mgR/2 = 16 ГДж.
км/с. Здесь Т = 24 ч.
l.olo. Гмакс — <г% ту 2
%0Яз — v0
1.314. Вымпел нужно выбросить назад со скоростью v =
1 1
200 м/с; t = |
1.12. Основы механики жидкостей и газов
1.316. р = ро + pog I -уг^ - h J « 102, 5 кПа.
2ppogiT
-ро
1.317. р = ^
1.318. Л = Д.
1.319. р = р0 -
1.320. /г0 = — = 18 см.
Ро
1.321. h =
1.322. /i =
= 127,4 кПа.
Па.
3p ^ po
m
1.323. F = ^ =
1.324. - =
s A
1.12. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
287
Ро ^ Р
1.826. р= (р2 -pi) f — J
1.827. m= -7
4
1.328. p = po™
кг.
.3 „„/,,3
-До
:2,5-103 кг/м3.
1.329. р = 2рок [1- - ) =0,36-103 кг/м3.
V 2 /
1.330.
= 1 ¦
Згп
(pip2AP - P0P2P)
gpo(pi - P2)
-Pi)
= 1,204 кг.
1.882.
1.888.
1.884.
1.885.
1.886.
* =
P
Л. =
P2 -
P2 ~
p\d\
d\
kipp.
Ррт
(p-
Po -
' P
Pi"
+ P2«^2
+ d2 '
г — Рв
™Pb
Ря q
=0,19.
iBp - po)F4/3g = 88 кДж.
1.887. a = arctg I — I.
1.888. Параболоид вращения; h(r) = /10 +
1.889. На оси вращения.
1.840. В 8 раз.
1.841. h= ^W=5,0m.
1.842. и;
1.343. F =
1.844. v =
1.845. A=^(po-
2F
Если s <C S,
1.846. W = poVt [gh+^ ).
F2
288
ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
К ГЛАВЕ 2
2.1. Основные положения молекулярно-кинетической теории
2.1. JV=
у.
ш=-^-=3,0-10-26кг;
NA
d =
pNA
2.2. N =
= 3,1 • Ю0 м.
RT
2.3. iV=^
210
I Sh
2.4. i?t = ^^i=3,85.1
/i т
2.5. Уменьшилось на 4%.
2 Ww
2.8. p=- —?- =5,0- 105 Па.
2.9. p= -pv2 «1, 01 -105 Па.
о
2.10. m= ^^ =83,3 r.
2.11. Увеличится в 1,44 раза.
2.12. !21
2.13. p= ?-1
2.14. (K) =
ZpV
2vNA
;l,38-108 Па.
= l,25-10~24 Дж.
V\
О
2.2. Графики изопроцессов в идеальном газе
Рис. 2.15а
2.15. 1 — изотерма; Т =const; 2 — изоба™
pa; p =const; 3 — изохора; V =const. В точке
pAVA mR
=
Л выполняется соотношение
Та
2.16. Уменьшилась в два раза.
2.17. а) ^ = fji, Ti < Т2; б) ^ =
= ——, следовательно, молярные массы различ-
2/1
ны: /i2 < fii.
2.2. ГРАФИКИ ИЗОПРОЦЕССОВ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ
289
2.18. Тг > Ti; вначале нагревание, затем охлаждение (рис. 2.18а).
2.19. Рассмотрим на рис. 2.19а изохоры 11' и 22'. Изохора 22' имеет
меньший угол наклона к оси абсцисс, следовательно, V2 > V\ — газ расши-
расширяется.
О
1
/
1
1
/
/
^, -—
У
у
У
у.
"У
2
в/
V О
о
Рис. 2.18а
Рис. 2.19а
Рис. 2.20а
2.20. Построим изохоры АВ и А'В'. По условию объем газа постоянен,
следовательно, плотность и соответственно, масса, больше там, где больше
угол наклона изохоры к оси ОТ (рис. 2.20а).
2.21.
О Т
Рис. 2.21а
2.22.
О
Рис. 2.216
О
Рис. 2.22а
10 С.Н. Белолипецкий и др.
О Т
Рис. 2.226
290
ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
2.23.
О V
Рис. 2.23а
2.24. 1/макс = 1/4 =
2.25. F3 = ^-.
5 Кмин = ^2 =
Pi P2
Рис. 2.25а
2.3. Газовые законы
2.26. Г= ^^ = 1156 К.
2.27. V = ^^ =2459-10^3 м3.
,28.
2.29. р = ^ = 82 • 10 кг/м3.
HI
2.30. /1=
2.31. Г2 = ^ = 151 К.
2.32.
R \Тг Т2
а_ 1 )=ц,вкг.
2.4. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. ЗАКОН ДАЛЬТОНА
291
2.33. п= ^ (—-1 ) -67.
2.34. n=
4ж(Ь - h)
;5,6-104 Па.
Т2) = 0,25 м.
2.37. Н =
ро(п - 1)
2.38. х = ™g =8,9 см.
2.39. Т2 = 4Г.
2.40. Т2 = 2Ti = 546 К.
2.4. Идеальный газ. Закон Дальтона
2.41. Li = L
L/2 = L — L\ =
2.42. p =
2.43. p =
2.44. F2 =
2.45. n =
2.46. p =
2.47. n =
(mi/Ml + ТП2/ ^2 ¦
2.48. pi = ( —- H I = 37, 5 кПа; p2 = — = 12, 5 кПа.
RT
1 + T2/H
L
1 + T\fl2/
2jPijP2
(mi + w2
^TliP2 + T,
P2 ¦
Ti 1
To 2p0
./TiM2
4,8 кГ
)PlP2
П2Р1
n
-Pi'
^0,05 m;
= 0,6 m.
Га
ri -:
Пз)р°'51К
2.49. p =
F2
2.50. ^ =
м
=2,4 МПа.
= 3.
2.51.
mr
mB 1/2 - r/ Mb
10*
292
ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
2.52.
2(р- р1)
=10.
2.5. "Уравнение состояния идеального газа
2.54.
2.55.
2.56.
2.57.
2.58.
2.59.
2.60.
2.62.
2.63.
т
J92 =
=0,25.
= 12 * Ю5 Па-
_ 1
П^ ~2'
Т2 = ^Тг = 700 К.
4
Го п2 - 1
ri = - (b+ V62 + 4), где Ъ = —
А л. \ ТЬ
= п2Т0 = ^То = 2, 25Т0.
-h)H H
— + ^?
ПН ПН
2^ г
hR
/х р0Я +
АГ= ^^ = 1,4 К.
Ьр
= 0,41м.
2.65. ро = 1,0-105 Па.
2.66. /i = 5,0 см.
ofirh PoS n Po + Mg/S
2Ы h = ti = oU, о м.
Pog
2.68. p = -
2.6. Внутренняя энергия идеального газа
2.69. A = p(V2 -Vi) = 3,6 кДж.
2.70. AU = - ( pF2 - ^ДГ ) = 5,665 кДж; А = pF2 - — ДТ
2 V М / А*
= 2,266 кДж.
2.7. I НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ 293
2Л2' » = апШ1п = 31> 6 " 10~ * кг
AQP - AQV
2.73. AQ = -V(p2 - pi) = 13, 5 кДж.
A
2.74. Q = §poFo.
2.75. p = ™ ^ = 1,0-Ю5 Па.
2.76. AQ= %~^m{vl -v*), i = 3.
2.77. AQ = ^^(n2 - 1)uRTOj i = 3.
A
2.78. AU= -piVi^ - 1), г = 5.
A
2.79. AC/ = ДГо [к n - 1 ) г = 3.
2 /i V
П /2
2.81. A = (po + ^) ^^^ = 206 Дж.
2.82. A = ^^(Тз - T2) = 100 Дж.
2.83. А= i(pi+p2)(^2-Vi).
А
2.84. At/ = nAA = 2,0 кДж.
2.7. I начало термодинамики. Теплоемкость
D
2.85. /i = = 4 r/моль; газ — гелий.
Ср — Су
ту
2.86. ср = cv H « 916 Дж/кг-К.
2.87. p2=pi + ^г =2,0- 105 Па.
2'88" ^^ г /AF Ар AF Ap\ AV ^U °"
2 \1^Г + кГ + Ть" ^Г J + Ж
2.89. AQ = z/CCi + Д)Т0 = 19, 5 кДж.
2.90. AQ = i(pi +p2)(F2 - Fi) + z/^pi(F2 - Fi).
2.91. cp = -О— = 916 Дж/кг-К; А = ™RAT « 2,59 кДж; АС/ =
тпА1 [1
3 - А = 6, 57 кДж.
2.92. АГ=^ ^ Г^^2К
m(cv
294
ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
тп
2.93. Q = — (CV + Д)АГ = 102 Дж.
[1
2Г\
2.94. Q = mgh 1 + —- + uT0(G + Д).
V н у
2.95. % =
С
+
mg
= 16,6 Дж/К.
+ 2CPlS
2.96. С=
2.98. Q2>Qi;
2.99. AQ = i/ Г( ^ + l ) f J- - l ] + i (m - — )] RT0 = 6,23 кДж.
2.8.
2.100.
2.101.
2.102.
2.108.
2.104.
2.105.
2.106.
2.107.
Ср
7^ =
2.108.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах.
Адиабатный процесс
т = ^ = 1, 34 • 104 с «3, 72 ч.
Mv2
m= ~— = 10, 9 кг.
Zcci\ 1
2
^^=31 К.
^
АТ=
2тМсс
AU = -А = ^300 Дж; АГ = —^ = 0,40 К.
суттг
l -щ\ =1,8кДж; г = 5.
^=^-^ = 2,51; 7=^ = i±^, г = 3.
а) Т = Топ7^1 = 754 К; б) Т = ГопG^1)/7 = 579 К. Здесь
2.110.
а) 3735 Дж;
бH;
в)- 1867,5 Дж.
2.9. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ
295
2.111.
2.113. Т = То
2poVoJJ
T = ^v2+T0 = 100,05 К.
iR
i + 2
2.114.
2.115. ri= -1/2.
2.116. Тмакс = 7^д7т7+Ш2) + ^
ТТ> 1 <п« 1
2.117.
2.118.
2.9. Термодинамические циклы. КПД цижлов
А т„ т„
2.119. Г7 = — = 0,3; Тн =
2.120. A = QH:
T2 1 P2 1
_ = _г,_ = _
2.121.
2.122.
2.123.
2.124.
2.125.
2.126.
2.127.
2.128.
2.129.
2.130.
2.131.
^ Гх = ИЗ Дж.
Агу = 12%.
77 = 20%; А = 1,67Дж.
Во втором случае.
а) г} = 1-п1™7 = 0,25; б) ?] = 1 ~~ n{1~l)h = 0,18; 7 = -•
ry = l^n1™7 = 0,60.
гр = 20
А =
)
23/21 = 1,095.
27/23 = 1,17.
2.133. М =
2.134. М =
296 ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
2.10. Уравнение теплового баланса
2.135. t = 0°С; V = ^^ + Ш2+Шл = 7,54 дм3, где тл =
рв рл
-[т2Сл(и - t2) - micB(ti - t0)], t0 = 0°C.
A
2.136. m = m.
T = (C + crm)?1! + m2[cBT0 - Сд(Г0 - T2) - A]
С + cB(mi + m?)
2.138. mB = m2- ^-[rrnAt - m2(ti - At)] «6,8 r.
A
2.139. m=>»i^ot2) + (m1m2)A =
c(ti - to)
2.140.
mB A
2.141. A= ^^ «0,116.
A + r
2.142. r = , Г1Г ч = 60 мин.
ciU - tB)
2Л43. m=^*^ = 1,24 кг.
Ar
2.144. С = ^ ^—д- ^ = 630 Дж/К; здесь At = 2 °C.
2.145. M=^±i^M = 10, 7 k,
2.11. Пары. Кипение
2.146. p = pi + ^^ «1,3- Ю4 Па.
2.147.
2.148. AA
2.149. r =
РР
2.150. mB =
2.151. Кр =
Po
2.12. ВЛАЖНОСТЬ 297
2.152. I4P = V
2.153.
2.154. h = И)Ф2 - tK) - тсв(^ - гг)]К(и + 273)
2.155. h= — -, — г- = 1,9м.
{1 (poS + Mg)
2ЛБв.
2.157. Ат=>? (P0Ah - ™§±) = 5,9 • 1<Г4 кг.
ill \ Ь /
2.158. Am = ^-(pi - 2рн.п.) = 1,6 • 10~4 к
о ПП
2.159. р = 7ро 77Г = 0, 93 • 105 Па.
4 Тг
2.160. Р = 7Ро ^ + Рн.п. = 4,1 • 105 Па.
4 ii
2.12. Влажность
2.161. Т2 = 285 К.
2.162. Am = (/2 - Л)Рн-п-^?У// = 0,172 кг.
ш
2.163. р = Рш'пп^2^7,8 • 10~3 кг/м3; /=Рн'п-^2| • 100 % = 46%.
iiil pH.n.(il)
2.164. /= ^1Г1^2|/2 . юо% = 27%.
2.165. /=Рн-п'^2| • 100% = 54,4%; mn = P^t^Kt = i?4l кг.
2.166. р = ^ро + ^^ = 1, 88 • 105 Па.
2.167. р = -А- ^ = 6, 0 • Ю-3 кг/м3.
/2/1 V
2.168. /=
2.169. т = ^—(/^^(Ti) - /2рн.п.(Т2)) = 44,25 кг.
2.170. pa = n(pi - /рн.п.СО) +Рн.п.(Т) = 1,19 • 105 Па.
298 ОТВЕТЫ К ГЛ. 2
2.171. Д/ = (n^-ffig;2 - l) h = -57%; Др = (тЛ - l) Pl =
= l,137-105 Па.
F
2.172. T=^
2.13. Деформация твердых тел. Тепловое расширение
2.173. d=2,3 см.
2.174. (г = 3,6- 105 Па.
2.175. Одинаково. Ко второму стержню нужно приложить большую
силу.
2.176. У первой проволоки относительное удлинение в 4 раза, а абсо-
абсолютное в 2 раза меньше, чем у второй.
2.177. п = 2,45.
II F1
2.178. Потенциальная энергия медной пружины больше: —^ = —^- > 1.
Uc Еш
2.179. Q = cAVpo = 663 кДж.
2.180. Т = Го •
aES
2.181. а = аЕ(Т1 -Г2).
2.182. F = ^^ = 1,8- 105 П.
2.183. Ь1= a2AL =0,24м; Ь2 = QlAb =0,34м.
«1 — СК2 QJ1 — «2
2.184. Д~77--^-тт^=3,5м.
2(ai - a2)AT
2.185. F= /lI?2 (ai+
? (aiEi -a2E2)
AL=2 E1 + E2
2Л86- т = г°
2.187. ft = P2 ^ [Arnold +m2c2) - (mi - Am)ftQ]»1, 7- 1СГ4 K^1
2.188. /3CT = -L (Ш2тA + /ЗртАГ) - ll = 2,86 x 10 K.
AT (mi — m J
2.190.
2E
2.14. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 299
2.14. Поверхностные явления
2.192. а = Щ- = 4, 05 • 10™2 Н/м.
тта
2.193. A/i = — ( 4— 4- I = 3,9 • 10~2 м.
pg \di d2j
2.194. GС = (тв — =0,02Н/м.
2.195. A/i = hi — /12 =
2.196. h= 4аСО8в
2.197. Я= [l-Wl — );
2tga \ V PgR2 J
8а sin a
2.198. Q =
Pg
2.199. h= ^- ^7,3 см.
2.200. p = pBg/i + — = 488 Па.
r
2.201. p = po + -j = Ю1380 Па; Ар = -^ = 80 Па.
2e202. F=
2.203. F=
^14,6kH.
pa2
2.204. m = ^^ = 3 кг.
2.205. АО = (jTrncIn ^^ - 1 = -0, 59 • 10^5 Дж.
2.206. A = 87таг2(п2/3 - 1).
2.207. h= B(J ч =0,146 м.
rg(pB -pM)
2.208. (j= -r"" Lo)
300 ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
К ГЛАВЕ 3
3.1. Закон Кулона
3.1. F = -j^— %- = 9,0 • 103 Н.
47Г?о Г2
3«2» F = ^Г i « 8,2 • ИГ8 Н; v = *_ = 2,2 х 106 м/с;
3.4. iV= ^^4тг?оС = 5,4-10": =^ = —V^e0G = 4,9 х 10
4 1
3.5. Q = --q; х = -L; нет.
3.6. Q = _Q+ -^
4тге0Ь2 VQ 3V3/
H.
3.13. Q
g
Указание. Воспользуйтесь условием устойчивости равновесия.
3.2. Напряженность электрического поля. Принцип
суперпозиции полей
3.14. Когда заряды разноименные.
3.16. х = L _ =2,0- 10^2 м.
3.17. Е = g f i + л/г) = 537 В/м.
4тгеа2 \2 /
3.18. Е = -; вектор Е сонаправлен с вектором An.
2жеоа2
9о —т>
3.19. Е = -; вектор Е сонаправлен с вектором Аи.
4тгеа
3.3. ТЕОРЕМА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО
301
3.20. Е =
3.21. Ее =
3.22. Ес = .
3.23. Т=-
= 5,04-104 В/м.
^ = 16 В/м.
= 0,3 кВ/м.
1
= -img
2
;
cos a
3.24. В центре кольца Е = 0; на расстоянии h от него E(h) =
1 Q/i
3.25. d =
qM)'
3.3. Поток вектора напряженности электрического полм. Теорема
Гаусса^Остроградского
3.26. ФЕ = EL2 cos (- -се\ = -EL2.
3.27. Е = 0 при г < R; Е = и_ ^2 при г > R.
3.28. ,Б =
2тг?о^
3.29. Поле однородно: .Е = ^^ =const.
3.30. ,Б = — при г ^ Д; Я =
рД3
при г ^ R.
при г ^ R.
3.31. ,Б = — при г ^ R; Е =
2
_. рж h ^ oh h
3.32. ?7 = ^— при ж ^ -; I? = -^— при ж ^ -.
2 2 2
а . а _ с а
= — sm —; .Е/2 = — cos —.
2 2
3.35. xl/макс :=: •
3.36.
ph3
= |5-; Ев = |^; Е(х) = № нри
бео Зео Зео
h
^ 2'
302
ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.37. В любой точке внутри полости напряженность электрического
поля направлена вдоль прямой OOi, и Е . Вне полости
г3 I
— при 0 < х < L — г;
оьо |_ \и — X)z J
Е = { -^- |х - ^ Г чо | при L + г < х < R;
при х > R.
Зе0 [х2 (L-xJ
3.38. F =
3.39. q =
3.4. Работа сил электростатического полм. Потенциал
3.40. А =
3.41. W =
3.42. А =
3.43. A = i
— - — 1 и 0,16 Дж.
1 ) « 1,4- 10~4 Дж.
3.44. ^ = -LE = 45 В.
3.45. В центре кольца <р = —; на расстоянии h от кольца (f(h) =
4тг?:о И
4тг
3
3
3
^о у
.46.
.47.
.48.
А
Е
Pi
4тге0
= о,у? = — =
Я.
(р(г) = <
4-
4-
4-
,0
U
= 100
^2 =
\
В.
!
1
/ДМ
!
ЗЕ
)
)¦
при г з
при 2Д
при г J
>,R
3.4. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
303
3.50. Ei = —; Е2 = —;
so ?0
= ; направив ось Ох перпендику-
so
лярно пластинам в сторону отрицательно заряженной пластины и выбрав
начало координат посередине между пластинами, имеем
Е(х) =
г а
—
so
2G
so
a
so
при
при
при
X
X
<
d
2
>
a
;
2
< X
d
принимая ip{0) = 0, имеем
Ф) =
3.51. А = 2qEd.
2а
so
- 2x) при ж ^ -«
2
при - -
-—B»-3d) при ж ^ -.
= 2,4- 10"" м: т = —- = 47 не.
4,0-105 м/с.
3.55. vi =
3.56. vi = V2 = ^з =
-;
=; скорости электронов направлены вдоль
о
медиан треугольника (от ценра).
3.57. — =
v
i 0,01.
Указание. Зная, что М/гп = 2000, можно считать, что в тот момент,
когда взаимодействие между позитронами и позитронами и протонами ста-
станет пренебрежимо малым, положение протонов можно считать еще не из-
изменившимся по сравнению с первоначальным. Вносимая при этом ошибка
составит доли процента.
3.58. К = -±- Ане/1+ ^N • Z^Zn&2 = 8,32 • Ю-13 Дж. Здесь ZHe и
4тгео -Д-N Го
i^N — относительные заряды ядер гелия и азота.
3.59. го = г.
304
ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.60. a) v =
3.61. a) v =
2тг€0Кт
; б) „ =
m 2тг e0Rm
3.62. v =
\
3.63. WB = ^ Cmg - F)R + Wa = -4, 0 • 10^3 Дж.
3.64. «макс = arccos ( 1 - , 1 I = 60 °.
3.65. v =
3.66. А = ir
2
з.б7.
(mg
м/с.
3.5. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле
3.68. Заряды поверхностей пластин равны 2д, ^д5 д, 2q.
, ч I -i при El < г < Е2 и Д3 < г;
3.69. Е(г) = I 4ттео г2 Р 2 3,
[о при 0<г<Й1иЛ2<г< Ез-
<р(г) =
1 1
3.70.
3.71. <рх =<р-^.
Я1 + 1X2
при г ^ Д3;
при Д2 ^ г ^ R3;
при i?i ^ г ^ Дг;
при г ^. Ri.
= 38 в'
= 0,12 нКл.
3.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКА
305
3.73.
3.74.
3.75.
3.76.
3.77.
3.78.
3.79.
3.80.
3.81.
3.82.
3.83.
R2
(f =
R (R
Qi= --Q, 42= [-
(f = ¦
q = 4
A =
F =
T = :
r
1 q
^1
R
R
r
= 0,15 Дж.
8же0Ь2
, Q2
- ^r3pg.
r = -j= ^8,9 см.
p = t^tPo = 1600 кг/м3.
Atp =
g- 1
l
2eoeS
@
3.84. E(r) =
q
<p(r) =
T^ +
l |
при г < R\;
при i?i < r < R2]
при i?2 < v < R3;
при r > R3.
\
при r
при !?¦
1 g-1
при Д
при г
=0.
3.6. Электрическая емкость проводника. Конденсаторы
1,
3.85. й = й = >-»);
3.86. Д =
4тге0
= 9 • 109 м.
306 ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.87. С= 47Г?оеД1р =1,9пФ.
= 1,2 • 10- Дж.
3.90. AQ = i (Wi + W2 - 2^ЖЖ) = 0,2 мДж.
D ТУ
±Vl — -fti
3.96. С рз 2ттеоег.
Указание. Можно считать, что при R^> r заряды распределены по по-
поверхности шариков равномерно.
.У7. G = Go •
3.98. С = Со ^—г.
3.99. Ag= ?—
e
3.100. F=
3.101. n=! =
3.102. U = -?- [ L ^— ) = 2, 70 kB.
3.103. а) Энергия конденсатора увеличится, б) Энергия конденсатора
уменьшится.
3.7. Соединеним конденсаторов
3.104. С2 = 1,8 мкФ; параллельно конденсатору С\.
3.105. С = 1400 пФ; последовательно с конденсатором С\.
о me n
3.106. 6 =
5;
«2
3.7. СОЕДИНЕНИЯ КОНДЕНСАТОРОВ
307
3.108. С4 = 6G.
3.109.
3.110. а) Собщ = jtC; б) Собщ = т,С; в) О0бщ = -С. Схемы эквива™
лентных соединений представлены на рисунках.
Рис. 3.110а
О2 + О
SC(Ci - G2)
3.112. Lpa- (fb=
^1 + 1^2 Т~ tv3
о II II о г» г» ^2 <^1 i ^2 i vv3 r
tS.lltS. Ьх = ^ТТ" ~~ 'З'1 777; 5 если правая оокладка конден-
сатора Ci заряжена положительно; в противном случае 8Х = ^ут" +
Oi + G2 + 03
13
3.114. q[ = -
д = Bд ? g
g =
3.115.
i |C2?i
-; g2 =
C2|Ci?2
3.116. gi = Ci^i; g2 = C2(?i + 82)\ дз =
3.117. gi = jOC^ +2^ + ^)
- Sx - S2
g3 = \
3?3);
S3).
308
ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.118. 17 = -!-
3.119. q = CS.
3.120. g =
3.121. Л=
4а?/о - l) = 27,7 В.
/
3.122.
— do)
3.8. Сила тока. Сопротивление. Закон Ома длм однородного
участка цепи
3.123. т =
= 2 • 100 кг.
3.124. q= (/i +2I2)t = 0,2 Кл.
3.125.
3.126.
3.127.
3.128.
=,/^ = 340m; 5 = ,/^J = 1,0 • ИГ7 м2.
у Dp у DR
16mpi[l + a(T^T0)]
3.129. Io = -7 = 5,05 A.
R
47Г
¦17, C/i = 6 B, I72 = 3 B, [/3 = 2B.
= 14, 6 А, где To = 273 K.
Ri = 30 Ом, R2 = 10 Ом.
3.131. n = л/R/Rq = 6.
3.132. а) Точки подключения делят кольцо в отношении
Ro/ \ V ло,
3.133. Д = 18 Ом, 7i = 76 = 2 А, 73 = 1, 2 А, 72 = /4 = 75 = 0,8 А.
3.134. I2 = -7i =0,4 А.
1 3
3.135. а)Д=-г; б) Д = -г; в) Д = г.
о 5
3.136. Д = 5Г.
3.137. а)С7 = 5гг; Д = -г; 7 = 6г; б) 17 = 6ir; Д = ^r; I = -г.
О ( 2t
3.138. Д =
3.9. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПОЛНОЙ ЦЕПИ 309
3.139. R=^.
3.140. а) Необходимо включить вместе с прибором добавочное сопро-
сопротивление Ro = г « 200 кОм. б) Необходимо зашунтировать прибор
пго
сопротивлением К = г ~ oz, 5 мим.
1 — ш0
3.141. к=
га + п — 2
О -I ДО Д ----1 Х
' * /2 n(U0-Ui)
3.143. 172 =
3.9. Закон Ома для неоднородного участка и полной цепи.
Правила Кирхгофа
«ш f hU(R2-Ri) 9Qah
3.145. U = U1[1 + п^ ] = 293 В; 8 = U1[l + п^^~ ) = 303 В.
3.146. /2 = „ 8 п .
3.147. a) IA = A; б) 7л = |_.
3.148. Ja = 0,75 A.
3.149. Ui = U2 = -?.
у
3.150. a) rx = г-=r-; б) сохранится.
ill
3.151. a) U = 0; 6) 17 = 0, если га — четные; U = ?, если га
нечетные.
3.152. a)t7=|gira"gari1; б) t/ = gl>"a
Г + Г
; б) t/
Г1 + Г2 7*1 + Г2
/ Д / f
3.155. а) тг = \ N— = 200, га = \ N— = 2; б) не изменится.
3.156. 1а = — ; аккумулятор заряж:ается при /н < 40 А,
7*1 + Г2 Г1 + Г2
разряж:ается при /н > 40 А.
„-„ f I1U2+I2U1 17ДД
3.157. 1к.з. = —гт 77 = 174 А.
(Л — U2
310 ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.158. 1=
Rr\ + Rr2
F 4f
3.159. /i = -; I2 = —; IAB = 28.
ЗЛО. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических
цепях
ЗЛ62- Ul В В
3.163. q= -CS.
ЗЛ64- ^ = кМтж^-?^ ^жтж
с
с.
3.167. q= ^
о
3.169. ? = —.
а
3.170. a) C7 «8 В, /«1,4 А; б) U « 4,8 В, I « 1 А.
3.171. R^4,6 Ом.
3.172. и1 = 172 = —У-1=;
1 + ^2
1 + V2
3.11. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
3.173. Рист = 81, Рт=81~12Г, Г7 = 1-у, J0 = |™, Рмакс^
р —
rJ' внутр " (Л + rJ'
3.175. Япр = тт „ = о, 7 Ом.
U 2-ГО
3.176. Р, = U(UV = 200 ВТ; Р2 = ^^ = 80 Вт.
3.12. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ 311
3.177. г = л/
3.178. /К., =
3.179. Р^
3.180. Рвнут = Pi 'ч, П^ , = 32 Вт.
»ЯA-'
3.181. Р=
3.182. Pi =
8?2
= 420 Вт-
3.183. ?Посл = ?i + ?2 = 35 мин; ?Пар = = 8, 6 мин.
h + ti
3.184. ta = 9t = 54 мин; t6 = 2t = 12 мин; tB = 4, Ы = 27 мин.
3.185. Q =
3.186. Q= -CS2.
6
3.187. Q = 8C82.
3.188. Q= h8^1JCo8 = 2 Дж.
A
3.190. [7=
3.191. 17= A + ?]).
= 208B.
3.192. гл = ^^ = 10, 2 м/с; v2 =
fimg
mg{fjL-\-k)
= 5 м/с.
3.12. Электрический ток в различных средах
3.193. — = ^ = 1,8 • 10" Кл/кг.
те qR
3.194. Я=
3.195. v =
eDN a
2е
= 0, 44 мм/с, g = pj2 = 0,1 Дж/м3-с.
3.196. р = — IL = 4, 0 • 10^7 кг-м/с.
е
3.197. t =
=3,0- 106 с; ^эл = — рЫ =1,0- 106 Н.
11
312 ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.199. gi = q2.
3.200. Никель.
3.201. ? = U-
fit
3.203. т=
3.205. m = = 1,9 г; здесь /i — молярная масса AI2O3.
2FZ
3.206. М=
3.209. 1; = л/— = 2700 км/с; Г = ^ = 1, 7 • 105 К.
V m Ък
Wd
3.210. 17= = 215 В.
Ле
3.212. 1 = 4 мА.
3.13. Магнитное поле. Магнитная индукцим
3.213. а) В = 0; б) Б=— - = 160 мкТл; в) В = — ->/2 = 113 мкТл.
7Г Г 2?Г Г
3.214. Bi =0; В2 = -Во; В3 = уДВ0.
А
3.215. В=
27ГПГ2
3.216. Б= ^Д2 =62,8 мкТл.
2т
3.217. I = 2Ш? = 305 А.
/хо sin /3
3.218. Б=^.
3.219. Б= ^^ = 1,8 мкТл.
2тга
3.14. СИЛА ЛОРЕНЦА 313
3.220. В = ^Щ±Е = 200 мкТл.
3.221. В = -^— = 13, 3 мкТл.
Зтга
12,5 мкТл.
3.14. Сила Лоренца. Сила Ампера. Сила взаимодействия двух
проводников
3.227. 1=^-.
3.228. /= ^f- =2,5 А.
jDJL/
3.229. В =
0
3.230. *=yftgf.
3.231. А = IBLxsina = 0,30 Дж.
3.232. а = ^г = 500 кПа.
3.233. F2 =F!me± [^ = 2, 08 Н; 0,12 Н.
mg =p ^^Ь
3.234. F = ^^ =0,1 Н.
4тг
3.235. F=
^=8,0mH.
тга
3.236. F= /2^°/fV =0,45мкН.
тгD?7 1)
3.237. г ^ —^= =0,31 А.
3.238. амакс = 2arcsin (
3.15. Сила Лоренца. Движение зармженных частиц в
электрическом и магнитном полях
3.239. Д = J^^™ = 20,4 м; о; = — = 9,56 • 106 рад/с; ап
у дВ2 т
/
m v m
314 ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.240. ? = 1;
J- 2
3.241. ^
3.242. а) ^ =
1;
2
*ълч ту mvsina 27imvcosa
3.243. Н= —; Ь= .
qB qB
TflV
3.244. В = 2-кк—г- cos а, где к — произвольное целое число.
eL
3.245. v=—\R2+(-^-) =4,5-107м/с.
т у 2тг/
3.246. К=±( — У = 1,2-10-1вД?к.
2т \smaj
3.247. а = arccos при L < —=-; а = 180 ° при L ^ ^-^ •
mv eB еВ
3.248. г; = qBk =1,0- 106 м/с.
rasing
3.249. Вг = 2Gr"Q)W = 8,4 мТл; В2 = ^ = 4, 2 мТл.
ет ет
D О
3.250. т = ^^ = 1,0 мс.
тр
3.252. v= — =5,0-105 м/с.
В
3.253. В= ^
3.254. Аймаке = 2rBvsIna.
3.255. г =
, 2ff .._) .
4тг2т± 2-KqBT J
3.16. Магнитный поток. Закон электромагнитной индукции
3.256. Одинаковый.
3.257. С учетом неоднородности магнитного поля «ступеньки» на гра-
графике 1(х) окажутся слегка скругленными (х — расстояние, пройденное пе-
передним концом магнита после входа в катушку).
3.258. U = BLv = 0,15 В.
3.17. ИНДУКТИВНОСТЬ. ЭДС САМОИНДУКЦИИ
315
3.259. Проводник следует двигать с постоянным ускорением а =
AU/At
= 100 м/с так, чтобы вектор скорости был направлен по нор-
BL sin a
мали к проводнику и к силовым линиям магнитного поля.
3.260. А(р = ttvBL .
3.261. ?Макс = 27TVBS. Il,
3.262. ^CD = -B2~BlN^-.
3.263. a = arccos ( 1™ ^
V
ТУ Q
3.264. q = — = 50 мкКл.
3.265. Q =
3.266. R =
3.267. a = ¦
25 с
16p,D '
B2L2v =
mg
5 • 10 3 Ом.
; A = FAx =
Рис. 3.257
3.268. F =
3.269. s =
3.270. U =
BLv
R
H.
B2d?
. He изменится.
BLvr
3.271. v =
3.272. t0 =
16mgR
5 Ртепл = (So - BLvf
fimgR
R
rJ
Рмех = (So -
3.17. Индуктивность. ЭДС самоиндукции
3.273. В = ?- = 2, 0 • 10~3 Тл.
3.274. Ф=
12 — J-l
=0,4 Вб;
3.275. ^=T^(lT-7=) = 3,2B; 9,6 B.
At v^
J2)At = 0, 3 Дж.
3.276.
= 15 Ом.
316 ОТВЕТЫ К ГЛ. 3
3.277. 1=
L2
I С1
3.278. /макс = ?у -у-
LP
3.279. Q= —- = 1,6Дж.
ZK
3-280- Q= ,т,Е^Ьт, >. =б,о«нг6 Дж.
3.281. д= —- =2,5-10^6 Кл.
Rr
т ? + т т г
J-J2— i -Is 1-10 1-J
3.282. /i = г ; /2 = -
3.283. Д = гу-^- =5,6- 10 Ом.
3.284. / =
4.1. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
317
К ГЛАВЕ 4
4.1. Кинематика гармонических колебаний
4.1. А = 6жм; ш=-с1; и=-Тц; Г = 6с;
о О
= — рад.
4
4.2. vxmaKC = 2тг2 «19, 7 м/с; vx @) = тг2 «9, 9 м/с; ажмакс = тг3 «31, 0 м/с2;
аж@) = -^тг3 « -26, 8 м/с2.
4.3. а) ж(?) = \/а2 + Ь2 cos (u;t — сро), жо = 0, А = ^а2 + Ь2, cjq = cj,
а' 2 2 ' 2' 2'
у?о = тг; в) не гармоническое колебание; г) x(i) = жо + Acos(a;t + </?o),
хо = 3, А = 2 cos 2, а;о = cj, (fo = ; д) не гармоническое колебание.
о
4.4. a) vx (t) = — Auj sin o;t = Аш cos f wt + — J; 6) Ay?i = —; в) ах (t) =
1 cos (wt + тг); г) A^?2 = тг; д)
Атг
тг
~~2'
4.5. a) vcp =
Tarcsin(l/2)
4.6. s =
5 6, 6 - Ю^2 М.
4.7. -
= 1,0 м/с; б) vcp =
т Г
Tarccos(l/2)
= 0,50 м/с.
; х(т)
= 1; ах(х) = -
Рис. 4.7
4.8. Если частица проходит положение равновесия, двигаясь в поло-
положительном направлении оси Ох, то At = — arctg — = 0, 2 с; если частица
uj vx
проходит положение равновесия, двигаясь в отрицательном направлении
оси
: Ох, то At = — arctg | — + тг ) = 1, 0 с.
ш [ \vx )\
318
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
4.9. х2 = A cos (ujAt + (fo) = —0,29 м; vX2 = —Ajsin (ujAt
,8 м/с; здесь А = 4/ж? + ( -^-) , ср0 = — arctg —^-.
V V cj / с^ж.
4.10. A = a x( - -^^- = 0,05 m; uj = J-— = 2,0 с; Г =
4.12. a(i) =aMcos( Jft + ^o ); w(t) = aMJf cos j Jf t + y?0 + ^ );
e(t) = аму cos j W-t + (p0 + тг J, где </?0 = arccos —.
L \ у jL у ам
4.13. a) aM = — = - = 0,10 рад; б) (aT)M = -g = 0,981 м/с2;
a; n n
K)m = ^g =9,8ЬГ2 м/с2.
4.14. an(t) = -«Mg[l - cos Bwt + 2y?0)], aT(t) = aMg- cos (ш? + y?0 - тг),
где (fo = arccos —, ш = л/—; обе зависимости гармонические, шоп = 2ш,
4.2. Динамика колебательного движения
4.16. Fx(x) = —wiujqx; к =
4.17. В общем случае x(t) = жо + ^4 cos (ujoi + у?о), где шо = л/к/т. Для
определения значений Аи^о необходимо дополнительно указать начальные
условия (например, ж (to) и ж (to), где to — некоторый известный момент
времени).
4.18. x(t) =
), где
1/2
к/т, А =
= — arcsin
4.19. x(t) = —sin wot = 0, 098 sin 10t [м], где ujq = Wk/m = 10 с , a
Wo
ж = 0 соответствует положению равновесия грузика.
4.20. x(i) = — - — coscd0t = 0,098A -cos 10t) [м], где ш0 = J— =
к к V т
m(fci
4.2. ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
319
4.22. Происходят гармонические колебания с частотой шо =
Частота колебаний системы не зависит от величины деформации пружин в
положении равновесия.
4.31. Т = 2тг
; в положении равновесия нить подвеса от™
+ а)
клонена от вертикали на угол «о = arctg —, составляя угол h«o с на™
g 2
правлением ускорения а.
4.32. Т = 2тг4
= 1 с; «о = — arcsin
а
Jg-a|
4.33. Переработает.
4.34. а) т = яу — ~ 42 мин; б) г; = \/gR% ~ 7, 9 км/с.
V о
4.35. Г = 2tt^J^
sin/З = -3
4.36. Г =
4.37. a) WK(t) = -
= ™fcA2 sin2 ujot = ™-fcA2(l — cos2a;ot), где ujq =
= Тп = -Г; г) E(t) = -JfcA2 =const; д) \
2 2
WK мин = Wn мин = 0; WK cP = Wn cP = jkA
cos2a;ot), Wn(t) =
—; 6) Ay? = тг; в) Тк =
771
макс = Wu макс =
= М^кмакс При
320 ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
х = 0; WK(x) = WKmhH при х = ±А; Wn(x) = Wn макс при х = ±А;
Wu(x) = Wn мин при х = 0; средние по времени значения WK(t) Wn(?)
А 1
достигаются при х = i^^5 ж) W^o = Wno = — кА2.
2п — 1
4.38. At = Г, где п — натуральное число.
4.39. Т = 2^М + ^А = 1,26с.
mv
4.40. a) Wu(x) = -кх2 — mgx; Шшеж(%) = —тх2 -\—кх2 — mgx;
ins I к
б) x(t) = —-- + A cos (cjot + (fo), где шо = л / ^, а постоянные Аи^о опреде-
к V ^^
лены начальными условиями; в) х = х —; г) х' (t) = A cos (oooi + у?о)«
4.41. Wu(a) = mgL(l - cos a); WK(a) = -mb2d2; WMex(a) =
= —mL2a2 + mgL(l — cos a); a=™-psino;; a(t) = ao cos (c^ot + (^o), где
cjo = 4/t, а постоянные «о и ^о определены начальными условиями.
V
4.42. а) Нет, так как дифференциальное уравнение движения имеет вид
к
х = Н х. б) Да, так как дифференциальное уравнение движения может
быть преобразовано к виду —^(x + xq) = ™^(ж + жо), где хо = —; решение
tt6 777/ /С
имеет вид x(t) = Acos(uJot + сро) — хо, где ujq = 4/-—, постоянные А и
V га
у?о определены начальными условиями, в) Нет, так как дифференциальное
уравнение движения имеет вид х = х .
га
4.43. Т =
4.46. ш = ,/^ + ^ + ^.
4.49.
4.2. ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
321
4.50. Г = 2тг
4.51. T = nlJ-
4.52. г=^
4.54. T = 24/^
4.55. Г = 2тг
Q Q I rr
4.56. v = —— = 4/¦—-, где n — натуральное число.
nT 2жп V L
4.57. А =
0,33 м.
4.60.
4.61. Сначала придет в движение груз 2 (груз 1 остается непо-
неподвижным). Деформация пружины зависит от времени по закону Д(?) =
= /\Lcos(u)it + тг), где t ^ —, шг = \ , 1\ = — (знак «+» со™
4 у т2 Ш1
гр
ответствует растя^сению пруж:ины). В момент t = —, когда деформа-
деформация пружины равна нулю, придет в движение груз 1. Центр масс си-
системы будет двигаться вправо с постоянной скоростью V = ,
тг + 7П2
а деформация пружины будет зависеть от времени по закону A(t) =
Т\ тг] Тл
= ALJ — cos \uj2(t —) - - , где t ^ —, ш2 =
4 А \ 4
к(тп\
4.63. At=-X
2 V g sin a '
4.64. At = -^\1 — '•> не изменится.
11 C.H. Белолипецкий и др.
322
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
(•'¦
4.65. At = —л — при vq ^ y/lIgL\ At = —
2 V /ig fig
4.66
4.67
ца; при
l - figLj при vo >
e0SU2
к >
При v0 >
arccos
fig
частица выйдет из поля притяжения коль-
кольчастица будет совершать колебания вдоль оси
qQ
кольца с амплитудой А = R
qQ
— 1. В случае малых
колебания будут гармоническими с циклической часто™
ТОЙ (л)о
; смещение частицы из положения равновесия x(t) =
, направление оси Ох совпадает с направлением начальной ско-
lweomR
рости частицы, А « 2vqRa ——.
V qQ
— 4.68. u(t) = ишажс sin (ouot + птг),
где (п - 1)т < t < (п + l)r, t >
> 0,
(m + M)g
ML '
pL 1
ъг, ж/гх sin a, т = -T =
M(m + М) 4
Рис. 4.68
»i , , жЧ —, п — целые числа. По™
2 у (m + M)g
еле каждого столкновения с шариком
направление скорости штатива изменя-
изменяется на противоположное.
4.69.
4.70. T = 2тг
4.71.
ug sin4 (a/2)
4.72. z(t) = zo(-l
, где zo = - -
wgb
/Lm
4.3. Сложение гармонических колебаний
4.73. г = п+г2.
4.74. а) xi(t) = 2sin7rt [см],
6) x\{t) = 2sinGri — тг) [см], Ж2
) = 4sin7rt [см], xpe3(t) = 6sin7rt [см];
= 4sin7rt [см], жрез(t) = 2 sinrrt [см];
4.3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
323
02 — (fi=7r; в) xi(t) =3sln fwt + — J [см], хъ{Ь) = 4sin7rt [см], xpe3(t) =
Q \
= 5 sin ( nt + arctg — J [см]; if2 — (fi = —.
X, CM
2- y
0
б
Рис. 4.74
4.75. cj = 5 рад/с, ^4 = ^/A^ + A% = 5 см.
4.76. жрез(*) = 6,8cosB7rt) + 0,30 [см].
4.77. ipi = — рад; ip2 = — рад; А = 2, 65 см; ^0 = 0,394тг рад;
о 2
= 2, 65 cos[7r(t + 0, 394)] [см].
4.78. Нет.
4.79. А = у/А\ + (А3 - АгJ = 2,5; а = 0, 295тг; ^о = тг^а = 0, 705тг;
x(t) = 2,5 sin (о;* + 0, 705тг).
4.80. А = 5,4; <р = 0,38 рад; x(t) = 2, 5 sin (wt + 0, 38).
4.81. Г = Го = 1, 2 с; Амакс = 7, 0 • Ю^2 м при А^ = 0; Ашшш = 3, 0 х
х 10 м при Аср = тг.
4.82. ж2 + |/2 = 4; против часовой стрелки.
4.83. (X) Ifi + JL
1 см,
2 см; точка начинает
движение от точки А к точке В (рис 4.83).
у, см
Рис. 4.83
х2 у2
4.84. 1 = 1, х и у — в сантиметрах (рис. 4.84); движение проис-
происходит против часовой стрелки.
11*
324
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
4.85.
2А2 2.Л.1 л/2
^у2
хУ + 2ж2 = у!2 (рис. 4.85); движение происходит
по часовой стрелке; w(?i) = 17,3 м/с.
J/, СМ
10
X, СМ
-5
Рис. 4.85
х2
Рис. 4.S
4.86. у = 1 —, |ж| ^ 2, |г/| ^ 1, ж и г/ — в сантиметрах (рис. 4.86).
А
х2
4.87. а) у = А - 2 — , |ж| ^ А, \у\ ^ А;
У1
у, см
2 х,см -2
3-
2 х,см -9
-3-
у, см
2 х,см
, см
-2
у, см
х,см
-1
д
Рис. 4.87
в
у,см
I Х,СМ
t/= 2— -А, \х\^А,
в) аг = А|2^] -1|,
А;
4.4. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
325
(¦ ? \ 2 / у \2
— 1 + I — 1 =1; против часовой стрелки;
. A.~j_ / V А. /
е) у2 =4ж2
4.88. a) x(t) =
, y{i) =
V
, где uj = —;
4
= ж,
А®1 \у\
о
о; колебания происходят вдоль отрезка прямой с амплитудой
А = Aq^2; б) x(t) = Aq sin cut, y(t) = Aq sin (ut + тг), где ш = —; у(ж) =
= —ж, |ж| ^ у!о, |у| ^ ^4.0; колебания происходят вдоль отрезка прямой с
амплитудой А = Аоу2.
4.89. x(t) = ylslncjt, |/(t) = Asincut; I — ] + f — ] =1, двихсение
V A. / \ A. /
происходит против часовой стрелки; б) x(t) = A cos (cut+ тгM y(t) =
f X \2 ( у \ 2
( — 1 + ( — ] = 1, двиткение происходит по ча™
V -г1 / V А. /
совой стрелке.
4.90. x(t)=Asmcjt, i/(t) = Bsm2a;?, где
2ш
В
A
х 1-4
-V
vo cos a /
A, |у| ^J i?. Траектория вырождается в
отрезок, вытянутый вдоль оси Оу, при cos a =
= 0, и в отрезок, вытянутый вдоль оси Ох, при
sin a = 0.
-А
А х
-В
Рис. 4.90
4.4. Затухающие и вынужденные колебания
4.91. t2 = Mi = 15 мин.
4.92. р= — =2,З.МГ3с^.
4.93. А=
4.94. N = \\\пп\ =231.
А
А
4.95. N= hr
А
4.96. Т =
=173; г = 2?rW^ • ^ lnnl = 172 с.
У к А
2тг
= 1,005 с.
4.97. г = In A - rj) = 9,16 • 10^5 кг/с.
4.98. N = — Inn = 35.
2л
326
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
4.99. /3= — = 2,5-1(Г2; v =
2т
= - =0,0157; N = I = 64.
4.100. v= — J — = 10, 2 м/с.
2тг V т
2k
=1'59Гц; л =
4.101. L = g
= 9,7 см.
/Ж
4.102. L = 2ttvJ = 0,63 м.
V g
4.103. Co стороны въезда выбоины расположены реже.
4.104. щ =
4.105. Аи =
/з2
= 4, 05 Гц.
= 1,75 -
4.107. Р= — =0,1 с;
2ш
« / г у
т \2т/
: = 5, 0 СМ.
4.108. Fo = 2жщгАрез = 0,314 мН.
= 509,9
1 /A* 1 / r \2
= 5,03 Гц; Vpe3 = —J—--( — \ =4,91 Гц;
2ж у m 2 \m/
= 6,4-10~J м;
т \2rnJ
Ik ( r \2
4 / I
= 3,24.
т \2т/
4.5. Механические волны
4.111. Волна распространяется в положительном направлении оси Ох.
4.112. а) В отрицательном направлении оси Ох; б), в) и г) в положи-
положительном направлении оси Ох; во всех случаях волна является поперечной.
4.113. а) вверх; б) вниз; в) вниз; г) вверх.
4.114. а) В отрицательном направлении оси Ох; б) в положительном
направлении оси Ох; в) и г) волна стоячая; во всех случаях волна является
поперечной.
4.115. А = иТ = 18 м; <p(x,t) = — (t- - ) = 5,24 рад; s(x,t) =
t \ и J
=1,0 м; v(x, t) =
a(x,t) = - ( ^V Acos [^ (t - ±)] = 27,4 м/с2;
= 3,49 рад.
-^)j=9,0 м/с;
4.5. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
327
4.116.
2тг
А(Рз = - рад; Si = A sin I -^ I t -
z i i \ и
s3 = A = 1,0- Ю^2 м.
4.117. A99 = —AL = 7г рад.
4.118.
= — = 50 Гц; и =
2тг
= у = 3,14 м/с; А =
^ = 6,28 м;
v(x,t) = -9,4 • 10^2sinC14t - ж);
а(ж,?) = ^30cosC14t — ж); имакс =
= 9,4 х 10^2 м/с; амакс = 30 м/с2.
4.119. L=^AL = 45m.
AT
4.120. n = — = 4,1.
4.121. ш = —SU2 л = 7, 56 км/с.
At
4.122. vo = и + — = 349, 8 м/с.
2 г/
4.
4.
4.
123. Л
124. ?
125. 1
> - s-
u
nuo
- {u/vY
= 8,8 км.
( AT\
\ ^-L 1 /
AT
Ul ATi
= 450 м.
4.126. Аж = А(^^^; а) Ажх =
2ttz/
= 1,0 м; б) Аж2 = 2,0 м; в) Аж3 =
= 0,25 м.
4.127. i/i = ^ = 200 Гц.
4.128. иг = ^г = 85 Гц; i/2 =
4.129. v =
= 8,0 м/с.
In- 1
4.130. a) n = f 1 - -) то = 4, 5 c;
6) T2 =
— ) то = 5, 5 c.
, i = 1,2,3; A^i = 2тг рад; Д<р2 = тг рад;
, г = 0,1, 2, 3; sq = si = S2 =0,
t=t0
VW:
О
О
- J7
f=*o+T
Рис. 4.111
328
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
4.131. и = (l - -) 2/Q = 1,049 кГц.
: 2/0-
v - гц/1 - I —
4.132. i/ =
4.133. u=^^v.
Г + To
4.6. Переменный ток
4.134. a) #(t) = BSsin Biri/t); S(t) = -2wuBScos {2mjt); 6)
4.135. S(t) = 62,8sinC14i); 8эф = 44,5 В; So = 62,8 В; S(ti) =
= 62,8 В; S'(t) = 125, 6 sin F28*).
4.136.
=5,2B.
ex -i ^Jnr
4.137. Uo = —j=U(t) = 11,6 B; i/ = — = 100 Гц; cj = — = 628 c.
v3 T T
4.138. At= ^arcsln ( ^- ) =2,0-10"8 с
7T2uBNL1L2d2
4.139. Р =
R + 25 Вт.
4.140. Да, так как амплитудное значение напряжения ?/макс = U\f2 =
= 85 В> U3 = 80 В.
4.141. п = 2и = 100 Гц; —^ = - arccos f ^V) = °?67' гДе At ~
время горения лампы в течение одного периода колебаний, Т — период
колебаний напряжения.
4.142. /эф = —Jo.
4.143. а-/эф = W^;/o; б-19ф = J?=Io; в-1эф = ^; г - 1эф =
h
0
h
2т
Зт
4т
4.144. и9ф
4.145. /o=
2
= const = —
=6,3 Вт.
Рис. 4.145а
1 /П'"
4.146. р; = - { — ) Р = 75 Вт.
4.7. СОПРОТИВЛЕНИЕ, ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ 329
4.147. ГА = Ц= =0,71 А.
V2
4.7. Ажтивное сопротивление, индуктивность и емжость в цепях
переменного тока
4.149. U(t) = 25, 6 sin C14)t; /эф = 4, 5 А; Р = 82 Вт; С/макс = 25, 6 В.
4.150. U(t) = 31,4cosF28t) [В]; Р = 0; Хь = 314 Ом.
4.151. I(t) = 1,38sin (ЗШ) [A], q(t) = -4,4-10^3 cos (ЗШ) [Кл]; Р =
= 0; Хс = 159 Ом.
4.152. А<р = 0,25 рад; Z = 4,0Om; cosA(/? = 0,97; Л = 3,90 Ом;
Хь = 0, 99 Ом; L = 3, 0 мГц; Р = 436 Вт.
4.154. С/3 =
4.155. 7а =
Л / Д \
; Atp = - arctg ( —г ;
= 16 В;
G2
t/ = 146,7 В;
330 ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
и2 и2
4.160. R = — = 40 Ом; L= ctg A(p = 74 мГн.
JT ATTVP
4.161. а) I = у/12 + I2 = 5,0 А; б) I = sjl2 + If = 5,0 А; в) I =
= |/i -/2| = 1,0 А.
4.162. Накал лампы вначале усиливается, при L = Lq =
= 0, 51 Гн становится максимальным, затем уменьшается; ж о =
BжиJС
- 1 ) =0,317.
BтгиJСЬ1
4.163. ^
4.164. 1 = 0.
4.165. 80 = л/Щ + (IoRJ + 2U0I0RcosA(p = 208 В; последователь-
последовательное соединение конденсатора с емкостным сопротивлением Хс = 8,7 Ом и
резистора с сопротивлением R = 5,0 Ом.
4.166. 17 = Is/BwuLJ + R2(Att2u2LC - IJ = 149 В.
4.167. 1 = „<, ^Rl+R2J + ^RlR2U)Cy°
с с*2
4.169. a) IL(t) = 0; /д(*) = — sinojt; Р = -^ = 200 Вт; в)
ix 2jR
с с 2
= -? sinujt; Ic(t) = -?owC(smut + cosut); P = -^ = 200 Вт.
-R 2Д
4.170. Uab = Uo = 200 B.
4.8. Трансформаторы
4.171. Провод должен быть толще во вторичной обмотке; нельзя; нель-
нельзя.
4.172. При замыкании п витков обмотки реостата ток по нему не пой-
пойдет, и увеличение тока в остальных N — п витках реостата будет связано
N
с уменьшением его сопротивления в — раз; при замыкании витка оо™
N — п
мотки трансформатора в нем возникает большая ЭДС индукции и, следо-
следовательно, большая сила тока.
4.178. Nt = ^Y = 440; N2 = Щ- = 84.
4.174. N2 = U\TT Nt = 246.
(lrj)U
4.175. 77 = k^- • 100 % = 96 %.
4.176. к = — = 10, трансформатор понижающий; rj =
1) + 1
-100% = 91%.
4.9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 331
4.177. т] =
U2
U2 + nRP
4.178. N2 =
•100% = 83%.
1 = 72.
IT E2
4.179. к = J- = 3, 2; Рмакс = — = 1210 Вт.
4t/2
4.182. 1 =
4.183. a) UA
4.184. С/2 =
2kU
hRir)
= 60 В; б) Uab = 0.
Ui
= 19,8 В.
-1+1
4.9. Электрические машины постоянного тока
4.185.
-'макс
Ш0 Си
-^макс
Ш
Ш0 Ш
Здесь 1макс = —; Рмакс = 77^ соответствует /0 = —-. Частота ш0 опре»
И 4ii zix
делена условием ?(cjo) = U и зависит от электромотора.
=6,0 кВт.
4.186. p = ?I (l - у J =8,0 Вт.
4.187.
4.188. ту = ( 1 - — ) • 100% = 40%.
^ 2 ~ ^
4.189. /3 =
г = 1200 об/мин = 20 об/с.
4.191. /3 = A + г7)/2 - T7/i = 640 об/мин = 11 об/с.
332
ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
4.192. !H = -«1 = 2,
2
4.193. Рс макс =
1
U2
с; то = —( г =6,7 кг.
2(гл - v2)
ГТ ^ ini макс :=:: . jj j 7]с :=::: ™ ?
4.194. ^г = к(
/1
2
= 230 В; 172 = ^(
it + г
= 210 В;
4.196. ? = y/PxR^l-a) = 120 В; Р2 = Pi -^ = 250 Вт.
4.197. V2 =
4.198. V2 = vo —
4.199. ^инд1=?
4.10. Колебательный контур
4.200. 2/2 ^ ^ ^ z/i, где и2 = ^—^- = 2,25 МГц, г/г = ^=
= 71,2 МГц.
2тг\/L2C2
\2 \2
4.201. Ьг ^ L ^ L2, где Li = л . ^ =8,0 мкГн, L2 = 2
2,9 мкГн.
4.202. Ai ^ А ^ А2, где Ai = 2ttc^/LCA - rj) = 2,36 км, А2
ry) = 2,41 км.
4.203. т =
4.204. d =
Ьа
х[Щ = 628 не.
с у bd
А
= 3,1 мм.
4.205. L = -4^ = 1,0 мГн; 17@) = Uo = -^ = 0,40 В.
4.206. Т = 2
+ С2) = 0, 70 мс; Io =
4.207. gi(t) = ——™— Uo cos a;t, g2(t) = 7:^—ГТ
=8,0 А.
, где a; =
4.11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
333
4.208. Ui(t) = (l + cosujt)^, U2(t) = (l- coswt)^, где ш =
Z Z
8т f t
, sin f
4.209.
4.210. o; =
8t
л/LC
тс
при t > —\/LC.
Z
с; /Макс = ?\\% =9,4 • 10 A;
V Ь
LC
= 6,6 • 1(T3 A; I(t) = IMaKCsfnu;i; Фмакс =
: 48 • 1(T9 B6.
4.211. /(i) = fco
G
4.212.
4.213. Jo = U0X/T = 1,0 A.
JL/
= 1,6
4.214. /макс = X/P + ^U2 = 12 mA; qi =
^-C/2=8,7mA.
Кл; h = Ji
Y 2
4.215. т= -y/LC.
4.216. A= (n- 1)W.
2тг
4.218. gi = 2G17о
27ГПГ
= 2CU0-
4.219. go=
4.220. С/макс = ^=.
2
4.221. /i макс = I7oi/^г;
V Ь
4.222. Q = A_
4.223. Q = |C[/O2 - i(
4.224. Р=^М
T—¦——Uq\\
-Li + -L-2
4.225. 77 = — • 100 % = 1, 0 • 10
be
+
334 ОТВЕТЫ К ГЛ. 4
4.11. Электромагнитные волны
4.226. Л= - =5,0 м.
v
4.227. п = —^- = 1600.
Al2/2
/1 \ с
4.228. АЛ = [ — - 1 ) - = ^50 м.
4.229. и= ^г = 1,0-109 Гц.
4.280. е = 4,7; р = -его#о = 8,4 • 10~7 Па; S = -Е$А ^- =
2 2 у fifiQ
= 250 Вт/м2.
1 9 9
4.281. S = -socEl =3,3 мкВт/м .
2 ;
4.282. Плотность потока энергии точечного излучателя уменьюаает™
ся пропорционально квадрату расстояния от источника. Объект локации
также можно рассматривать как точечный источник отраженного сигна-
сигнала. Поэтому увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями
в п = 2 раза требует увеличения мощности передатчика в п2 = 4 раза,
а увеличение дальности радиолокации в п = 2 раза требует увеличения
мощности передатчика в Bп) =16 раз.
4.288. Ьмакс = \/2R3h « 10,1 км, где i?3 = 6400 км — радиус Земли;
AtMHH = — ^ 67 мкс; с увеличением h промежуток времени Д?мин
с
возрастает пропорционально л/h.
4.284. N = ^ = 4,0-103; Ьмакс = -с ( т J « 37, 5 км (при г < -
А 2 угг у V п
получим Ьмакс — J .
2тг17Ь
4.285. А<р = = 0,1тг рад.
5.1. ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА. ПЛОСКОЕ ЗЕРКАЛО
335
К ГЛАВЕ 5
5.1. Отражение света. Плоское зеркало
5.1. i = ^=0,
5.2. H =
l =4,0 м.
5.8. Область видимости изображения заштрихована (рис. 5.3).
5.4. Область полной видимости показана двойной штриховкой, область
частичной — однократной (рис. 5.4).
Рис. 5.3
Рис. 5.4
5.5. На рисунке показаны предмет АВ и его изображение А'В'
(рис. 5.5).
Рис. 5.5
5.6. Область частичной видимости экрана показана штриховкой, об™
ласть полной видимости — двойной штриховкой; AfBf — изображение экра-
экрана телевизора в зеркале (рис. 5.6).
5.7. А' — изображение точки А (рис. 5.7).
5.8. Nt = 3; N2 = 2; N3 = 5 N4 = 7; N5 = 11; N6 = п - 1.
5.9. Зеркала должны образовывать прямой двуграннй угол.
5.10. Зеркала должны быть взаимно перпендикулярны, имея одну об-
общую точку.
336
ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.11. ж=-=0,5м.
тт тт
5.12. Ьшшш = — = 0, 80 м; h = — = 0,75 м; результат не зависит от
величины s.
Рис. 5.6
5.13. /3 = 2а = 70°.
5.14. р=- +45°= 64°.
5.15. и = 2v = 3 см/с; скорость и совпадает по направлению со скоро-
скоростью зеркала.
5.16. v = 2шЬ.
5.17. w = \/Av2 + и2 = 5,0 см/с;
а = arctg — = 53°.
5.18. Изображение шара движет-
движется вертикально вверх со скоростью и =
= v = 2,0 м/с.
5.19. х = 2L = 0,2 м.
'///////////////А/////////
\ i
\ I
\ I
Рис. 5.7
5.20. Н=
in (р — а)
L2 - Аа\ -
5.21. ср = arccos
5.22. а) ^) = 60°; б) (^ = 30°.
5.23. Н1 =
Н
= Н.
5.24. а = 2dsirup = 12 см.
5.2. Сферическое зеркало
5.26. — = 1.
5.30. Отрезок SS\ перпендикулярен к главной оптической оси зеркала.
5.31. Зеркало является вогнутым.
5.32. Зеркало является вогнутым.
5.2. СФЕРИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО
337
5.35. Все лучи, отраженные от первого зеркала, соберутся в фокусе
второго зеркала, и бумага загорится.
С
Рис. 5.30
5.36.
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
5.41.
5.42.
5.43.
5.44.
5.45.
d=
F =
= 0,60 м.
= 0,40 м.
Е=^^=0,40м.
R = 8a = 1,6 м.
F =
R=
к2 -
к\ —
= 24 см.
а)Д=Уа); б)Л=2а^-Ь)
Ь±2а
Ъ2-а2 „
2а- Ь
R=
1
— а
=0,20 м.
/2)
Lf2)
= -1,2 м.
338 ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.46. h= _ .
5.47. a,2 = — zr^- = 0,60 м; плоское зеркало должно быть перпен-
2а\ — К
дикулярно к главной оптической оси сферического зеркала.
5.48. s = 7Н.
1 _1_ /3
5.49. d= Д = 0,27 м.
5.50. FA = 8Ш ^2^Д; ^Я =
cos a cos 2а
5.51. Поверхность должна представлять собой параболоид вращения,
ось которого параллельна световому пучку.
5.3. Преломление света
5.52. v= ^с = 2,Ь108 м/с.
sin a
5.58. П2 = п\ tga = 1,4.
5.54. п= . г =1,5.
V sin2 Рг + sin2 /32
5.55. а = 2 arccos — = 74°.
А
5.56. Q = arctg Пв8^в =39°.
nB cos 0 — 1
/о
5.57. /3 = arctg ^ V л = 25°.
2п + 1
5.58. L\ = /ii ctg а = 1, 7 м; L^ = /ii ctg а Н 7 = 3,4 м.
5.59. Ныряльщик увидит внешний мир в пределах конуса, образующие
которого составляют с вертикалью угол /3 = 49°. За пределами этого конуса
он увидит отражение дна озера.
5.60. Не сможет.
5.61. Не могут.
5.62. v = esinanp = 2,01 • 108 м/с.
тт
5.63. Гмин = , - = 3,6 М.
м.
^b - 1) = 5,0
5.66. /3 = а = 60°; h = dsina ( 1 - cosa = 1 = 1,1 см; h' =
у ^с - sin ay
= d sin a I ^^^^^^^= = 0, 74 см.
5.4. ТОНКИЕ ЛИНЗЫ
339
5.67.
5.68.
5.69.
п2
а\/п2 - sin2 a
а = ——;— = 3,1 см.
sin 2a
a = arcsin
= 28°.
5.70.
5.71.
5.72.
5.73.
х = L-\ = 18 см.
пс
h = 2nBhi + /12 = 3,1 м.
H = — = 10 см.
72°; 72°; 36°.
. 0 + ip
sin —-—
5.74. n =
= 1,3.
5.75. 8 = a — ip + arcsin (siny?y n2 — sin2 a — cos ip sin a) = 47°.
5.76. 8 = arcsin (nc sin <p) — (p; Si = 23°; fo = 60°.
5.77. a = 10 см.
5.78. При n < \/2 виден весь текст; при \/2 < п < ——-.—^^ видна часть
текста rj =
5.79.
5.80.
5.81.
5.82.
; при п > —
sin (тг/8)
sin (тг/8)
текста не видно совсем.
ч т D ( sina\ D ( sin a
a) L = — 1 — ^^ ; б) L = — 1 —
<р V п ) ч>\
г л sin а
о = 7г + 2а — 4 arcsin .
х = 2R—- = К
2-п
5.4. Тонкие линзы
Для собирающей линзы
Изображ:ение А' находится бесконечно далеко от линзы.
340
ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
Для рассеивающей линзы
1 2 3 4 5
Рис. 5.82
5.83. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б).
Рис. 5.83
5.84. Для собирающей линзы (а) и для рассеивающей линзы (б)
Рис. 5.84
5.4. ТОНКИЕ ЛИНЗЫ
341
5.85. Прямая А'В' параллельна АА\.
Рис. 5.85
5.86. Прямая А'В' параллельна АА\.
5.87.
Рис. 5.86
N
.._. N
F
Рис. 5.87
Здесь А\ — точка пересечения падающего (ААг) и преломленного (A±B)
лучей, О — оптический центр линзы, F — фокус линзы.
342
ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.88.
М f
Рис. 5i
Здесь А\А — падающий луч.
5.89.
s "-
м
F О
F
л# F
М •
S'
МТ~
о
F
— *^ -¦ • N
О F
Рис. 5.89
5.4. ТОНКИЕ ЛИНЗЫ
343
5.90.
\ \
А'
ВК-&
о
M-V-
Рис. 5.90
5.91. а — изображение действительное; б — изображение состоит из
двух частей — действительной и мнимой, уходящих в бесконечность.
Рис. 5.91
5.92. Оптический центр линзы О находится на пересечении прямых
А А' и В В', точка О' пересечения прямых АВ и А' В' принадлежит плоско-
плоскости линзы. Оптическая ось лин™
зы MN перпендикулярна плоско-
плоскости линзы.
Fa = 0,12 м; F6 = 0,39 м;
= 8,3 дптр; D6 = 2, 6 дптр.
5.94. d = (к + t)F = 1,8 м
Fd
5.95. L =
изображ:ение мнимое.
= 5 см;
Рис. 5.92
344
ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.96. D =
5.97. / =
5.98. / =
5.99. d =
z-d
xd
Fd
d-F
Fd
= -0, 2 дптр.
= -0,60 м.
= — 0,10 м; изображение мнимое.
xF
= 4, 5 см.
5.100. d =
5.101. F =
5.102. F =
5.103. F =
5.104. d= :
xF
x + F
xd
xd
x — d
= 1,2 м.
= 0,60 м.
= -0,10 м.
-d = 24 cm; F =
= 1,0 м.
k-1
d = 120 см.
5.105. F = - = 0,15 m; D = - = 6, 7 дптр.
2 a
5.106. F= - =0,10 м.
5.107. H = h (— - l\ = 27, 9 м.
5.108. x = f(- + 1) =200 м.
\ о
5.109. F =
T = 0,13 m; D= j/tL jn = 7, 68 дптр.
5.110. a) / =
d
Dd-1
= 0,5 м; к =
d(L - d)
= 4;
Dd-1
f =
d
Dd-1
=-0,055 m; k =
1
Dd-1
= 0,44.
к — 1 к + 1
5.111. d = —-—F = 0,08 m, если изображение мнимое; d = —=—F =
к к
= 0,16 м, если изображение действительное.
5.112. d0 = 2F.
5.113. a) F =
= 0,60 м; б) F = ^
a
r2_ J
5.114. F = = 24 см.
4L
5.115. h = \/hili2 = 30 мм.
5.116. D = -^а ' = _2, 5 дптр.
abc
= _0,30 м.
5.5. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИБОРЫ 345
5.117. F = L ^ =20 см.
( VfcJ
5.118. L = л/а2 - AaF.
AF2
5.120. F = ^aL±a; d=y/aL.
5.121. x = кгк2а = 8 см.
LF LF
5.122. di = 7 r^ = 15,8 cm; d2 = 7 ^r- = 20 см.
(i) ( i
5.123.
5.124. H = h^ =6 см.
5.125. s= -t^= =6 см.
5.126. F = -nF0.
6.127. n=
Do + ?)i (n0 - 1)"
5.128. i^ = ^ П1 ~ ^ = 36 см.
5'129'
B.1S0. T = Д^=?) = 3 ¦ ID c.
5.181. Я = F f 1 + ^ J = 400 m; v = A + ^ j — = 50 м/с.
5.5. Оптические системы и приборы
5.132. F2 =nFt = 13,3 см.
5.133. Изображение меньше предмета в к = — 1 = 19 раз.
5.134. F=^.
5.185. F = — = 0,15 м; D = — = 6, 7 дптр.
2п R
5.137. п= —— = 1,5.
346 ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.139. Fx = -F"; F2 = /^77; ^з = -F1.
5.141. а= ^F.
5.142. F=^
2tga
5.143. / = |.
5.144. Образуются три точечных действительных изображения на рас-
расстояниях /1 = 3jP, /2 = — jP и /2 = ~F от линзы, а также совокупность
F
действительных изображений в виде двух окружностей радиусом R = —,
А
расположенных симметрично относительно линзы на расстоянии /3 = 2F
от нее.
5.146. dl = 1-?,d2 = ?TW-l.
fFo
5.146. Ft=b+ J ^ =0,4 м.
-Г2 — /
5 147 B_2(F
5Л4Т- Д"
5.149. Получается мнимое изображение между зеркалом и линзой на
CF2 - Fx)f\
= —и, oz
F2[b{d1-F1)-F1dl]
CF2 - Fx)f\
расстоянии / = = —и, oz м от линзы.
5.150. /2 =
(о - F2)(di - Fi) -
F1F2H0
°32
5-1 ёр'л fi fi! T™l If* \ к Ч О i / О i \O
.152. oo = г у (sina + tga)z + (o + cos a) .
5.153. Я5; = -V49F2 + /i2.
2
5.154. 6 = F\ + F2 = 4 м; при F\ < |^| задача не имеет решения.
5.155. D2 = Di^- = 4 мм; пучок останется параллельным.
5.156. Пучок выйдет параллельно главной оптической оси.
5.157. D = ° =2,5 дптр.
dido
5.158. 0,17 < L < оо (м).
5.6. ФОТОМЕТРИЯ 347
5.159. AD = -i- = 4 дптр.
«о
5.160. а= у = 12,5 см.
5.161. 7=
2,б.
.Я
5.162. 7 = 7o + ^i*) = 7.
5.168. к = &+1; предмет нужно расположить ближе к лупе, так, чтобы
мнимое изображение предмета располагалось на расстоянии наилучшего
зрения от лупы.
5.164. D = D0^=61km.
к лак п ^1^3, ^1^3
5.165. D = —— tg (р « —-—if = 26 см.
5.166. AL = ; - ; « 2 см, где f2 = d0 = 25 см; Я =
/2 — -Ток J2 + -^ок
= (/2 - FOK)-—a « 7 см.
5.167. а = Fi + -F2do- = 3,1 см.
«0 + ^2
5.168. F3 = ^ + FJ Fi = 36 см; F4 = ^ + F^ F2 = 4 см.
ri — -Г2 -^1 — -JT2
5.169. DO6 = °к = 400 дптр, где do = 25 см — расстояние наилучшего
зрения.
к 1 »n i fcFO6 + <io o , ^с
5.170. /сок = —: —— « 8, где do = 25 см — расстояние наилучшего
L — .г об
зрения.
5.171. А; = ттт^ —^ « 370; L = — + = 16,8 см, где
do = 25 см — расстояние наилучшего зрения.
5.172. n = (л/2 — 1L/— = 0,1 с — время существования мнимого
V g
изобразсения шарика, Т2 = \ — = 0, 28 с — время существования действи-
V g
тельного.
5.17S. ,= ^^=0,43 м/с, F=l
5.6. Фотометрия
5.174. I = |° = 16 кд; Ф = Ф°5СрО!а = 2,8 • 10 лм; Е =
4тг 4тг1
Фо cos a
= 28лк
5.175. L = J— = 4, 5 • 103 м.
348 ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.176. Я=
5.177. t2 = ^t! = 1,7 с.
J-2
{h + {L/2ff
5.178. I = Е± = НО кд.
5.179. х= ^У11 ^L = 1,62 м.
5.180. Ег = ^Е= 1,1 лк.
5.181. n= V ~ »1,12.
5.182. #i = 615 лк.
5.184. ?7 = ID2 = 25 лк.
5.185. F=7—^_ЧОЬ = 0,19 м.
A +V^J
5.186. J^ = ^=8.104.
Фо d2
5.187. Освещенность уменьшится в п = п2 = 100 раз.
5.7. Интерференция света
5.188. L = ^ = 2m.
А
5.189. т = —— = 6 (в сторону перекрытой щели).
А
5.190. Ax=X{L + rC°Sa) = 48,2мкм.
2r sin a
5.193. Аж=^=0,25мм; iV = 7.
5.194. L = 3 м; iV = 6 • 102 полос; Аж = 50 мкм.
5.195. dMMH = — = 200 нм.
2п
5.196. dMHH = = 107 нм.
5.197. h=Bk-l)(9fe 1) 11R
)
4 у nf — sin2 а
5.8. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 349
5.198. h= Bfci1)Ai== 2k^ ==0,65; кг = 5, fc2 = 4.
4уп2 — sin2 а 4уп2 — sin2 a
5.199. Дж = Л « — = 1, 03 мм.
2ntga 2тга
5.200. 0«tg0« -^- = 10 рад.
2 on
5.201. a^tga^ ^--^ = 5,0-10 рад.
5.202. гк = К2к + г)Ш = lj3 мм, где jfc = 5.
V 2fl2
5.203. Аг^^.
5.204. г' = л/г2 - 2Rh = 1,5 мм.
5.205. rk = \jrl+ v 2 ; = 3, 8 мм, где к = 6.
5.8. Дифракция света
5.206. тк = Х[Щ.
V а + о
2
5.207. Ь=———- = 1,0м.
пла — г2
5.208. гк = у/кЬХ.
I—
5.209. Г12=Г4а —й5,2мм, т = 4, П2 = 12.
V ni
5.210. D = 0,20 см.
5.211. а) 7 « 470; б) 7 « 270; в) 7 « 70.
5.212. 99 = arcsln ( slna ± m— I, m = 0,1, 2,...
5.213. (pk = arcsln—; fcMaKC = — ; здесь и далее для целой части
a LAJ
числа используется обозначение [х].
5.215. Л = --— sin — = 0, 7 мкм.
5.216. fe-=[^]
5.217. AiV=AL\Sinai =620; feMaKC = [-J-1 = 2; d = -
X [sinaj si
= 1,61-10 м.
5.218. A2 = ^-Ai =466,7 нм.
K2
;
sinaij sin q;i
5.219. d=Mi = M^ = i?87MKM; kl=3
sin a sin a
350 ОТВЕТЫ К ГЛ. 5
5.220. Не будут, так как (к + 1)АМИн > к\шакс для всех к ^ ^макс =
L Лмакс J
5.221. b = Fl , Х2 , Al | = 0,325 мм.
/d? - A2 -v/d2 - А2 )
5.222. А = d ^^= =0,5 мкм.
- ж2
5.9. Дисперсим света. Поляризация света
5.223. Л = — = 400 нм; и = ^- = 5, 0 • 10м Гц; v = - = 2, 0 • 108 м/с;
ЛГ = ^ = 500.
А
5.224. Ai= (п2 -ni)- = 15 мкс; AL = [ 1 - — ) L = 3, 35 км.
5.225. А/9 = arcsin ^^ - arcsln ^^ = 05 55°= 33;.
5.226. AL =
= 3, 6 см.
5.227. Изображение представляет собой отрезок, лежащий на главной
оптической оси, длиной Ах = А/ = - =
2а(пМИн — 1) — Д 2д(пМакс — 1) — R
= 0,12 м.
5.228. a = arccos —= = 45°.
Vk
1 9 1
5.229. ту = -cos2 a = -.
2 8
5.230. Г7= ^(l-??oJcos2a = 052Q3.
5.231. a) I = -Jo sin2 2a; 6) I = Io cos4 a sin2 a; в) I = -Io sin2 2a.
8 8
5.232. ?7= -22
6.1. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 351
К ГЛАВЕ 6
6.1. Основы специальной теории относительности
6.2. AD = Do[l-\ll-—\ = 6,4 см.
6.8. Аг = т 1 - \ 1 - ^г = 1,8 • 1(Г7 с.
6.4. —
6.5. Lo =
6.6. p = i
6.7. Г =
v2 cos2 a
1 2-2 /2
1 — v sin а/с
- t;2/c2
/4-
- TiJ + (L/cJ = 50, 6 года.
/ Ж2 , 2 , 2
6.8. At0 = J(AtJ - , = 0,5 с.
6.9. L =
6.10. At =
: 0,99976 с.
6.11. Ln = с
• (Ь/сJ = 100 мкс; v =
y/1 + (cAto/Lf
6.12. v =
6.15. ti =
2L0
-bo/(cAt)J-
6.16. м = с.
6.17. u = v\/2- — =0,933 с
6.18. At =
At0
y/1 - v2/c2
= 7,1 года;
- ^r- = 0,14; — =
c2 po
= 50,2.
»•¦?=§¦
6.20. и = —==
(m0c)
= 0,5 с.
6.21.
6.22. р = -л/Т2 + 2Е0Г =1,3- 10~21 кг-м/с.
352
ОТВЕТЫ К ГЛ. 6
6.23. v^cjl-
0,14 c.
6.24. Е =
6.25. Т =
- 1).
6.26. v=^c.
6.27. v = cJl-
V
m0c2+eU
= 2,9-108 м/с.
6.28. „ =
= 2,75 • 108 м/с.
6.29. iH = l +
= 2, 5.
6.80. Г = (Ti + 2m0c2) -
M= -
6.31. u = 0,6c.
6.82. it =
1 + y/1 - v2/c2
2m0c2);
= 0, 5 c; Mo = w0
{/1 - v2/c2
6.2. Квантовые свойства света
6.88. E = h^ = 1,99 • 1(Г15 Дж; р = ^ = 6,63 • 1(Г24 кг-м/с; m =
A A
^=2,2.10^32кг.
Ac
6.84. T= ^ =9,6-107 K.
Зкл
6.86. n= -^ = 1,5.
XE
\ T*1
6.87. ao = arcsin —- = 46°.
he
6.88. A=
еи
he
= 8, 25-Ю™13 м; здесь mo — масса покоя электрона.
12hc
2hc
6.89. v = \ ^— =9,3-105 м/с.
V Aw
6.40. r =
АР
Annhc2
6.2. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
353
6.41.
6.42.
6.43.
6.44.
6.45.
6.46.
6.47.
6.48.
6.49.
6.50.
6.51.
6.52.
р = -4^A + р)— = 5 • 109 Па.
тта2 те
р= —
= 35 нН-с.
H.
р = -A + р) cos2 <9 = 6 • 10~6 Па.
ре
F= (l + p)cosa = 4,7-
A = h^ = 7,2-1(Г19 Дж.
л
i/= — =5, 0-10м Гц.
h
K = h(y- щ) = 3,3 • 10~19 Дж.
A2 - Ai = ^ ^ ^г = 186 нм-
i/ = \ [\mv2 +А) = 7, 61 • 1015 Гц.
he
= 182 нм.
— mv2 + A
= J^ (^-А) =253-105 м/с.
m \ A
6.53. (р =
6.55. D = ,
6.56. A = ¦
= 1, 3 мм.
п — 1
= 3,2 • Ю-19 Дж.
6.57. A =
Ао
тсХо
6.58. А = А0 + 2—sin2 - = 59,9 пм.
тс 2
6.59. А=
1-г/
а = arcsin
2A -
6.60. a =
=90o; АД =
Z\AJ
= 96°.
= 3,8 • 10~15 Дж.
12 С.Н. Белолипецкий и др.
354 ОТВЕТЫ К ГЛ. 6
6.61. Е= ^j=r^ = 6,9-10^12 Дж;
ZjC/Q • о а
тс2 2
К = Ео 2jf^ = 5,12 • 102 Дж; р = - л/К2 + 2тос2К = 1,7х
шс2 2
х Ю-20 Н-с.
6.3. Модель атома Резерфорда-Бора
6.62. vk = j ^-?, где А; = 1, 2,...; Z = 1; гл = 2,19 • 106 м/с;
v2 = 1,09-106 м/с.
6.63. г
= 212,4 пм.
6.64. W = /i I 1 - = 10, 2 эВ, где h = —-г- = 13, 6 эВ — потенциал
\ п2 J 2П2
ионизации атома водорода.
6.65. А = — = 3,42 эВ, где 1\ = = 13,6 эВ — потенциал иониза-
ионизации атома водорода.
6.63. rk = — ?° где к = 1,2,...; Z = 1; п = 53,1 пм;
Z 7гте2
he
6.66. W = -^ = 3,18 • 109 Дж= 2,0 эВ.
Л
1 е
,2
6.67. Я = о = 5,1 • 1011 В/м; i^ = = 2,17 • 10~18 Дж.
4тгео ^i ~
6.68. Невозмохсна, так как напряженность электрического поля на
расстоянии от ядра, равном радиусу первой электронной орбиты, Е\ =
= ^— -4 = 5,1 • 1011 В/м > 108 В/м.
4тге0 г-?
6.69. Атом перейдет в состояние с главным квантовым числом п =
——:- = 3, где Ei = — = —13,6 эВ — энергия основного состоя-
состояния атома водорода. Появятся три спектральные линии с длинами волн
Ai = 103 нм, А2 = 660 нм и Аз = 122 нм.
6.70. iV="("-1),
А
— ГЛ | Л ГЛ — ' ^ L — n»fc9 — '
Vi ill i + ZAU/ Ztl
основного состояния атома водорода.
F me4
6.72. г = ] ,хп =2,12- 100 м, где ^i = --тгт- = -13,6 эВ —
Ei + hc/X 2h2
энергия основного состояния атома водорода.
6.73. Wi = — ^Wo = 2W0; W2 = — —Wo = 5Wo-
me + m me + m
6.4. РАДИОАКТИВНОСТЬ. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ 355
6.4. Строение атома водорода. Радиоактивность.
Ядерные реакции
6.74. N = А - Z = 146.
6.75. Aw = Zmp + (А - Z)mn - т = 0,13705 а.е.м.
6.76. АЕ = (Zmp + (A- Z)mn - т)с2 = 4,37 • 1СГ12 Дж.
6.77. АЕ = (Zmp + (A- Z)mn - т)с2 = 4, 88 • 1(Г12 Дж.
6.78. ,= (H + (i~/)ffln-ffl)c2; ti,! = 1,375-Ю-13 Дж; w2 =
= 1, 297 • 10~12 Дж; w3 = 1,195 • 10~12 Дж.
6.79. Г = ^-At = 4 суток.
Inn
6.80. N = 2^At/TN0 = 0,707- 106.
6.81. AiV = No (l - 2^At/T) = 1,66 • 109.
6.82. At = ^ In m°A = 29 мин.
In 2 mo — Am
6.83. ДТ
6.84. T=
^ = 2
In 2
I mNAW
П mNAW -
6.86. 2|oTh -» 2|iPa + e^ + v (образуется ядро протактиния 2|iPa).
6.87. 2ff Ra -+ 28262Rn + ^He.
6.88. 2\%Vo -* 28°26Pb + fHe.
6.89. iP^?^Si + ?e++i/.
6.90. 2|§Th -^ 2I|Ra + |He (вылетает а-частица).
6.91. iJSi —>- i3Al + e+ + i/ (образуются позитрон и нейтрино).
6.92. 2g|Ra.
6.93. 2§|Pb.
6.94. 6 «-распадов и 4 /3™распада.
6.95. 8 «^распадов и 6 /З^распадов.
6.96. 2||U.
6.97. ia -)> z+ib+e"+i> (/3^-распад); z+^b ->> ^+ic+e^+i> (/3
с —^ А~^а-\- 2Не (а-распад).
А — 4
6.98. ?7 = —-— • 100 % = 98 %, А = 222 — массовое число 2|lRa.
А.
6.99. ^N + Jra-» X|N^ ^C + iH.
6.100. ^N + fHe^^F-^^O + lH.
12*
356 ОТВЕТЫ К ГЛ. 6
6.
6.
6.
101.
102.
103.
1)]
1 +
LfB
оп ->>
lH -^
28 д 1
13А1 ^
In.
Ia +
|He.
2) ^I
-^ Х|С + }Н; 3) ^К +
/ 4 \2
6.104. А?; = —2- ?^ = 39 кэВ, где Л> = 1, АВе = 7.
6.105. Q = (E3 + E4)~(E1+E2).
6.106. Q2 = Qi - Ашс2 = 12,8 МэВ.
6.107. Q = [(ты + тр) - 2шНе]с2 = 19 МэВ.
6.108. Q = BmD^mne)c2—NA = 5,74-108 кДж; М = — = 2 • 107 кг.
/iHe q
Заключение
Вы закончили работу над книгой. Мы надеемся, что она была
интересной и плодотворной.
Если наш сборник задач — не первый, который оказался на
Вашем столе, то Вы, должно быть, заметили, что многие задачи
выглядят уже знакомыми. Это действительно так. Многие зада™
чи встречаются в школьных и вузовских задачниках в течение
многих десятилетий (если не столетий). А откуда они пришли?
Все, без преувеличения, задачи, которые встречаются в учеб-
учебных пособиях, представляют собой элементы решений реальных
проблем физики и инженерной практики. Конечно, они изме-
изменились, стали более абстрактными, лишились технических по-
подробностей, иногда даже трудно понять, какая в какой ситуа-
ситуации впервые потребовалось исследовать ту или иную систему...
И все-таки попробуем.
«Определить вертикальные реакции опор, на которые сво-
свободно оперта у своих концов горизонтальная балка длиной L,
нагруженная равномерно по р кг на единицу длины. Вес балки
считать включенным в равномерно распределенную нагрузку.
Ответ: R\ = R2 = -pi кг.»
Это «Сборник задач по теоретической механике» И.В. Ме-
Мещерского, выпущенный в 1954 г. Государственным издатель-
издательством технико-теоретической литературы.
А задача теоретической механики превратилась в задачу
школьного курса физики о нагрузке, создаваемой однородной
балкой. Нет сборника школьных задач, где бы она не встреча-
встречалась.
Задачу 3.137 Вы найдете в «Сборнике задач по теории элек-
электрических цепей» (под ред. П.Н. Матханова и Л.В. Данилова),
изданном в 1980 г. издательством «Высшая школа».
Обсуждение задач 6.74—6.78 и им подобных можно встретить,
например, в книге В.В. Малярова «Основы теории атомного яд-
ядра», предназначенной для обучения специалистов по ядерной
358 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
физике. А в начале 20 века эти результаты еще не были из™
вестны...
Старые школьные задачники хранили еще память об исход™
ных проблемах. «Для накала нити одного из типов электронной
лампы требуется напряжение 3,8 В, причем идет ток 0,65 А.
Вследствие испарения материала нити диаметр ее уменьшился
на 10 %. Какое требуется напряжение, чтобы поддержать темпе-
температуру накала прежней? Какой идет при этом ток? Ответ: 4 В;
0,55 А» Это про что? «Сборник задач по физике» Д.И. Саха™
рова, 1958 год... Раздел «Работа и мощность тока». Попробуйте
решить эту задачу, отказавшись от описательных деталей!
Сегодня школьный, да и вузовский курс физики стал более
абстрактным. Повседневные задачи выглядят давно решенны-
решенными. И все™таки: почему нельзя заставить двигаться трамвай от
ста, или тысячи, или даже миллиона батареек, предназначен-
предназначенных для питания аудиоплейера? Почему не стоит включать в
одну бытовую розетку телевизор, пылесос, стиральную маши™
ну и компьютер одновременно? Почему пластиковые окна не
пропускают уличного шума? Откуда берется никому не нужная
воздушная пробка в батарее центрального отопления? Зачем в
тормозной системе автомобиля тормозная жидкость и почему
так опасна ее утечка?
Если Вы решили собранные здесь задачи и познакомились
с необходимыми для этого теоретическими сведениями — Вы
знаете, как ответить и на эти вопросы, и на многие другие.
Надеемся, что пушкинское «мы ленивы и нелюбопытны» ни™
когда не будет относиться к Вам.
Удачи!
Авторы
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Физические постоянные
Величина
"Ускорение свободного падения
Скорость света в вакууме
Гравитационная постоянная
Число Авогадро
Постоянная Больцмана
Универсальная газовая постоянная
Объем моля идеального газа при нор-
нормальных условиях (ро = 101325 Па,
То = 273, 15 К)
Заряд электрона
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Атомная единица массы
Диэлектрическая постоянная
Магнитная постоянная
Постоянная Планка
Обозначение
g
с
G
NA
К
R
е
те
trip
тп
?q
Mo
h
Приближенное
значение
9,81 м/с2
3,0(М08 м/с
6,67-Ю™11 Н.м2/кг2
6,02-Ю23 моль™1
1,38-10™23 Дж/К
R = 8, 31441 ДжДмоль-К)
22,4-Ю™3 м3
1,60-109 Кл
9,11-10~31 кг
1,6726-107кг
1,6750-10™27кг
1,6606-Ю™27 кг
8,85-10™12 Кл2/Н-м2
4тг • 10™7 Тл-м/А
6,6262-Ю™34 Дж-с
2. Мноясители для десятичных кратных и дольных
единиц (СМ)
Приставка
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
Обозначение
русское
Т
Г
м
к
г
да
Д
с
м
мк
н
п
ф
международное
Т
G
М
к
h
da
d
с
m
/i
n
P
F
Множитель
1012
109
106
103
102
101
10™1
10™2
10™3
10™6
10™9
10-12
ю-15
360
ПРИЛОЖЕНИЯ
3. Единицы и размерности физических величин в СМ
Величина
наименова-
наименование
Длина
Площадь
Объем
Плоский
угол
Телесный
угол
Время
размер-
размерность
L
L2
L3
—
—
Т
Единица
наименование
метр
° астрономи-
астрономическая едини-
единица длины
°световой год
° парсек
квадратный
метр
°гектар
кубический
метр
° литр
радиан
° градус
° минута
°секунда
стерадиан
секунда
° минута
°час
°сутки
обозна-
обозначение
м
а.е.
св. год
ПК
м2
га
м3
л
рад
°
. . .'
. . ."
ср
с
мин
ч
сут
связь с основными единицами
СИ
Основная единица
Метр представляет собой рас-
расстояние, проходимое в вакуу-
вакууме плоской электромагнитной
волной за 1/299 792 458 долю
секунды
1 а.е. = 1,49598 • 101Хм
1 св. год = 9,4605 • 1015 м
1 пк = 3,0857 • 1016 м
1 га = 104 м2
1 л = 10~3 м3
Дополнительная единица
Радиан равен углу между
двумя радиусами окружно-
окружности, длины дуги между кото-
которыми равна радиусу
1° = (тг/180) рад
1' = (тг/10800) рад
1" = (тг/64800) рад
Дополнительная единица
Стерадиан равен телесному
углу с вершиной в центре
сферы, вырезающему на по-
поверхности сферы площадь,
равную площади квадрата
со стороной, равной радиусу
сферы
Основная единица
Секунда равна 9 192 631 770
периодов излучения, соответ-
соответствующего переходу между
двумя сверхтонкими уровня-
уровнями основного состояния ато-
атома цезия-133
1 мин = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут = 86400 с
] Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены
полужирным шрифтом) и дополнительных единиц СИ. Внесистемные единицы, допу-
допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком.
3. ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИ 361
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Скорость
Ускорение
Угловая
скорость
Угловое
ускорение
Частота пе-
риодическо-
риодического процесса
Частота
вращен я
Масса
Плотность
Удельный
объем
Сила
Давление
Жесткость
Напряжение
(механичес-
(механическое)
Поверхност-
Поверхностное
натяжение
Импульс
Момент
силы
размер-
размерность
LT™2
т™2
т-1
т
м
L™3M
I/M™1
LMT™2
L^MT^2
мт~2
L^1M1^2
мт~2
LMT™1
L2MT~2
Единица
наименование
метр в
секунду
метр на
секунду в
квадрате
радиан в
секунду
радиан на
секунду в
квадрате
герц
секунда в
минус первой
степени
килограмм
°тонна
°атомная
единица
массы
килограмм на
кубический
метр
кубический
метр на
килограмм
ньютон
паскаль
ньютон на
метр
паскаль
ньютон на
метр
килограмм-
метр в
секунду
ньютон-метр
обозна-
обозначение
м/с
м/с
рад/с
рад/с2
Гц
1
с
кг
т
а.е.м.
кг/м3
м3/кг
Н
Па
Н/м
Па
Н/м
кг-м/с
Н-м
связь с основными единицами
СИ
1 рад/с = 1 с
1 рад/с2 = 1 с™2
1 Гц = 1 с
Основная единица
Килограмм равен массе меж-
международного прототипа кило-
килограмма
1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1, 6605655 • 1Q™27 кг
1 Н = 1 кг-м-с™2
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м^-кг-с™2
1 Н/м = 1 кг-с™2
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м^-кг-с
1 Н/м = 1 кг-с"
1 Н-м = 1 м2-кг-с™2
362
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Момент
импульса
Момент
инерции
Работа,
энергия
Мощность,
поток
энергии
Температу-
Температура (термо-
динамичес-
динамическая)
Температур-
Температурный коэффи-
коэффициент
Количество
вещества
Молярная
масса
Молярный
объем
Количество
теплоты
(теплота)
Удельная
теплота
Молярная
теплота
Теплоем-
Теплоемкость
размер-
размерность
i/mt™1
L2M
L2MT~2
L2MT-3
в
N
MN
L2MT
L2T™2
Ь2МГ2Г!
L2MT^2e-l
Единица
наименова-
наименование
килограмм-
метр в
квадрате в
секунду
килограмм-
метр в
квадрате
джоуль
ватт
кельвин
°градус
Цельсия
кельвин в
минус
первой
степени
моль
килограмм
на моль
кубический
метр на моль
джоуль
джоуль на
килограмм
джоуль на
моль
джоуль на
кельвин
обозна-
обозначение
кг-м /с
2
КГ-М
Дж
Вт
К
°с
моль
кг/мол
м3/ моль
Дж
Дж/к
Дж/ы л
Дж/К
связь с основными единицами
СИ
1 Дж = 1 Н-м = 1 м2-кг-с™2
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2-кг-с^3
Основная единица
Кельвин равен 1/273,16 ча-
части термодинамической тем-
температуры тройной точки во-
воды
t/°C = Т/К -273,15
Основная единица
Моль равен количеству ве-
вещества системы, содержа-
содержащей столько же структур-
структурных элементов, сколько со-
содержится атомов в углероде-
12 аса - 0,01* к х).
1 Дя = 1 Н- = 1 к 2 к -с™2
1 Дя /к = 1 2 с™"
1Д к/ ол =1 к -с~~- ол ~~
1 Дж/К = 1 °-^г-с^ • К~
) При применении моля структурные элементы должны быть специфицированны
и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или
специфицированными группами частиц.
3. ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИ 363
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Удельная
теплоем-
теплоемкость
Молярная
теплоем-
теплоемкость
Тепловой
поток
Плотность
теплового
потока
Концентра-
Концентрация (плот-
(плотность числа
единиц)
Сила элек-
электрического
тока
Плотность
электриче-
электрического тока
Количество
электри-
электричества (элек-
(электрический
заряд)
Поверхност-
Поверхностная плот-
плотность элек-
трическо-
трического заряда
Простран-
Пространственная
плотность
электриче-
электрического заряда
размер-
размерность
L2T™2eml
L2MT-2 x
L2MT™3
мт™3
I
L~2I
TI
L~2TI
L™3TI
Единица
наиме-
наименование
джоуль на
килограмм-
кельвин
джоуль на
моль-
кельвин
ватт
ватт на
квадрат-
квадратный
метр
метр в
минус
третьей
степени
ампер
i
квадрат-
квадратный
метр
кулон
кулон на
квадрат-
квадратный
метр
кулон на
кубиче-
кубический
метр
обозна-
обозначение
Дж
кг • К
Дж
моль • К
Вт
Вт/м2
м~3
А
А/м2
Кл
Кл/м2
Кл/м3
связь с основными единицами
СИ
1 Дж/(кг-К) - 1 м2-с™2 • К~г
1 Дж/(моль-К) =
= 1 м2-кг-с 2 • К 1-моль г
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2-кг-с™3
1 Вт/м2 = кг-с™3
Основная единица
Ампер равен силе неизме-
неизменяющегося тока, который
при прохождении по двум
параллельным проводни-
проводникам бесконечной длины и
ничтожно малой площади
кругового поперечного се-
сечения, расположенным в
вакууме на расстоянии 1
м ДРУГ от ДРУга? вызвал
бы на каждом участке про-
проводника длиной 1 м силу
взаимодействия, равную
2 • 1СГ7 Н
1 Кл = 1 с-А
1 Кл/м = 1 м~~ -с-А
1 Кл/м3 = 1 м™3-с-А
364
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Электриче-
Электрическое напря-
напряжение, элек-
электрический
потенциал,
разность
электриче-
электрических потен-
потенциалов,
электродви-
электродвижущая сила
Напряжен-
Напряженность элек-
трическо-
трического поля
Электриче-
Электрическое сопро-
сопротивление
Удельное
электриче-
электрическое сопро-
сопротивление
Электриче-
Электрическая прово-
проводимость
Удельная
электриче-
электрическая прово-
проводимость
Электриче-
Электрическая емкость
Электриче-
Электрическая постоя-
постоянная, абсо-
абсолютная ди-
электриче-
электрическая прони-
проницаемость
Магнитный
поток (поток
магнитной
индукции)
Магнитная
индукция
(плотность
магнитного
потока)
Индуктив-
Индуктивность
размерность
I^MT™3!™1
LMT™3!™1
L2MT™3I™2
L3MT-3j-2
L™2M™lrT3I2
L^M^T3!2
1Г2М™1гГ412
L™3M™1T4I2
IPMT™2!™1
MT!
L2MT~2I
Единица
наиме-
наименование
вольт
вольт на
метр
ом
ом-метр
сименс
сименс на
метр
фарад
фарад на
метр
вебер
тесла
генри
обозна-
обозначение
В
В/м
Ом
Ом-метр
См
См/м
Ф
Ф/м
Вб
Тл
Гн
связь с основными единицами
СИ
1 В = 1 Вт/А = 1 м2-кг-с™3 -А™1
1 В/м = 1 Вт/(А-м) =
= 1 м-кг-с^-А™1
1 Ом = 1 В/А = 1 м~-кг-е™3-А™2
1 Ом-метр = 1 м3-кг-с^3-А^2
1См=1Ом=1м~2-кг~1-с3.А2
1 См/м = 1 Ом"-м~~1 =
= 1 м^-кг^-с^А2
1 Ф = 1 Кл/В=1 м™2-кгт1-с4-А2
1 Ф/м = 1 м^-кг^-с^А2
1 Вб = 1 В-с = 1 Тл-м2 =
= 1 м2-кг-с"-А~~1
1 Тл = 1 В-с/м2 = 1 Вб/м2 =
= 1 кг-с^-А
1 Гн = 1 м2-кг-с~2-А™2
3. ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИ 365
Продолжение
Величина
наименова-
наименование
Магнитная
постоянная,
абсолютная
магнитная
проницае-
проницаемость
Напряжен-
Напряженность маг-
магнитного поля
Энергия
излучения
Мощность
излучения
(поток
излучения)
Интенсив-
Интенсивность излу-
излучения (плот-
(плотность потока
излучения)
Сила света
Световой
поток
Световая
энергия
Светимость
Освещен-
Освещенность
Яркость
Оптическая
сила
Энергетиче-
Энергетическая сила
света (сила
излучения)
размер-
размерность
LMT™2!™2
L2MT-2
L2MT™3
МТ~3
J
J
TJ
L~2J
L-2J
L~2J
L-1
L2MT~3
Единица
наиме-
наименование
генри на
метр
ампер на
метр
джоуль
ватт
ватт на
квадрат-
квадратный
метр
кандела
люмен
люмен-
секунда
люмен на
квадрат-
квадратный метр
люкс
кандела на
квадрат-
квадратный
метр
°диоптрия
ватт на
стерадиан
обозна-
обозначение
Гн/м
А/м
Дж
Вт
Вт/м2
лм
лм-с
лм/м
лк
кд/м2
дптр
Вт/ср
связь с основными единицами
СИ
1 Гн/м = 1 м-кг-с™2-А™2
1 Дж = 1 м2-кг-с^2
1 Вт = 1Дж/с = 1 м2-кг-с™3
1 Вт/м2 = 1 кг-е™3
Основная единица
Кандела равна силе света
в заданном направлении ис-
источника, испускающего мо-
монохроматическое излучение
частотой 540 • 10 Гц, энер-
энергетическая сила света кото-
которого в этом направлении со-
составляет 1/683 Вт/ср
1 лм = 1 кд-ср
1 лм-с = 1 с-кд-ср
1 лм/м = 1 м~~ -кд-ср
1 лк = 1 лм/м2 = 1 м^2-кд-ср
1 дптр = 1м
1 Вт/ср = 1 м2-кг-с"-ср
Учебное издание
БЕЛОЛИПЕЦКИЙ Сергей Николаевич
ЕРКОВИЧ Ольга Станиславовна
КАЗАКОВЦЕВА Вера Алексеевна
ЦВЕЦИНСКАЯ Татьяна Станиславовна
ЗАДАЧНИК ПО ФИЗИКЕ
Редактор Д. А. Миртова
Компьютерная верстка: О. Б. Широкова
Компьютерная графика: П. А. Широков
Оформление обложки: А. А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 14.12.04. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 25,2. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»
140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
ISBN 5-9221-0175-7
97859 2 1 175