Управленческий учет. Задачи и решения. Учебно-методическое пособие - Просветов Г.И.

Автор: Просветов Г.И.

Теги: учет бухгалтерский учет экономика менеджмент

ISBN: 5-93840-095-3

Год: 2006

Похожие

Финансовый менеджмент: задачи, решения

Практикум по экономике организации (предприятия)

Экономика и финансы предприятия

Управление инвестициями Т.2

Текст

Г.И.ПРОСВЕТОВ
ПРАВЛЕНЧЕСКИЙ
ЗАДАЧИ и РЕШЕНИЯ
Учебно-методическое
пособие
МОСКВА
2006
ББК 65.052я73
П82
Просветов Г. И.
П82 Управленческий учет: Задачи и решения: Учебно-
методическое пособие. — М.: Издательство РДЛ, 2006.
— 272 с.
ISBN 5-93840-095-3
В настоящем учебно-методическом пособии на простых при-
мерах раскрываются следующие разделы управленческого уче-
та: основные понятия, используемые при составлении финансо-
вой отчетности, оценка запасов товарно-материальных ценнос-
тей, амортизация, расчет задолженности на конец отчетного пе-
риода, анализ результатов деятельности предприятия, учет за-
трат, факторы производства и затраты, функциональная каль-
куляция себестоимости, анализ отклонений, основные понятия
финансовой математики, простые и сложные ставки ссудных
процентов, модели финансовых потоков, акции, облигации,
структура капитала, анализ каналов формирования прибыли,
дерево решений, правила принятия решений, использование
математического ожидания и стандартного отклонения для
оценки риска, основные понятия временных рядов, способы по-
строения прогнозов, метод скользящей средней и экспоненци-
альное сглаживание, контролируемый прогноз, управление за-
пасами, составление финансовой сметы, сметный контроль, ана-
лиз безубыточности, уценка, принятие краткосрочных реше-
ний, ценообразование, методы оценки инвестиций в условиях
определенности, влияние налогообложения на инвестиционные
решения, сравнение инвестиционных проектов с разными сро-
ками реализации, замена оборудования, инфляция и ее влия-
ние на инвестиционные проекты, лизинг, анализ инвестицион-
ных проектов, поддающиеся дроблению, дерево вероятностей
инвестиционного проекта, стоимость капитала, модель оценки
финансовых активов, анализ сбалансированности денежных по-
токов предприятия, обучаемость в производстве, трансфертное
ценообразование на предприятиях со сложной структурой, эла-
стичность экономических функций, проблема «производить или
покупать», маржинальном доход, экономическая добавленная
стоимость, многопродуктовая модель, затраты комплексных
производств, линейное программирование.
Пособие содержит программу курса, задачи для самостоя-
тельного решения с ответами и задачи для контрольной рабо-
ты. Издание рассчитано на преподавателей и студентов эконо-
мических специальностей высших учебных заведений.
ББК 65.052я73
ISBN 5-93840-095-3
© Г. И. Просветов, 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ
— Я удивлен тем, что вы управляете самоле-
том по одному-единственному прибору. Что из-
меряет этот прибор?
— Скорость полета. Во время рейса я дейст-
вительно работаю над скоростью полета.
— Хорошо. Конечно, скорость полета имеет
большое значение. Но как же насчет высоты. Не-
ужели вам не нужен высотомер?
— Над высотой я работал на протяжении по-
следних нескольких рейсов и добился достаточ-
но хороших результатов. Теперь я должен скон-
центрироваться на соответствующей скорости по-
лета.
— Как я заметил, у вас нет даже топливного
расходомера. Как вы без него обходитесь?
— Вы правы: топливо — это важно. Но я не
могу одновременно уделять внимание многим
факторам. Поэтому во время этого полета я скон-
центрирован на скорости. После того, как я до-
бьюсь превосходных показателей по скорости, а
также по высоте, в следующей серии полетов я
намерен полностью сосредоточиться на потребле-
нии топлива.
Р. Каплан, Д. Нортон
Управленческий учет — это идентификация экономически
значимой информации, ее измерение и передача менедже-
рам предприятия, что позволяет им вырабатывать обосно-
ванные суждения и принимать взвешенные решения. Пред-
лагаемое пособие знакомит читателя с важнейшими разде-
лами управленческого учета и призвано помочь тем, кто ос-
ваивает этот курс, особенно в системе заочного и вечернего
образования.
В первой главе говорится о сущности, целях и задачах
управленческого учета. Во второй главе напоминаются ос-
новные понятия, используемые при составлении финансовой
отчетности. Оценка запасов товарно-материальных ценнос-
тей — это тема третьей главы. Основные способы начисле-
ния износа оборудования рассмотрены в четвертой главе.
Расчет задолженности на конец отчетного периода рассмот-
3
рен в пятой главе. Анализ результатов деятельности пред-
приятия проводится в шестой главе.
В седьмой главе идет речь об учете затрат. Факторы про-
изводства и затраты — это тема восьмой главы. Функцио-
нальная калькуляция себестоимости рассматривается в де-
вятой главе. В десятой главе проводится анализ отклонений.
В одиннадцатой — четырнадцатой главах напоминаются
некоторые разделы финансовой математики (основные поня-
тия, простые и сложные ставки ссудных процентов, модели
финансовых потоков). Облигации и акции рассмотрены в
пятнадцатой и шестнадцатой главах.
Тема семнадцатой главы — структура капитала. В восем-
надцатой главе проводится анализ каналов формирования
прибыли. Проблеме риска посвящены девятнадцатая, двад-
цатая и двадцать первая главы (дерево решений, правила
принятия решений, использование математического ожида-
ния и стандартного отклонения для оценки риска).
В двадцать второй — двадцать четвертой главах изуча-
ются основные понятия временных рядов, способы построе-
ния прогнозов, метод скользящей средней и экспоненциаль-
ное сглаживание, контролируемый прогноз.
Управление запасами — это тема двадцать пятой главы.
В двадцать шестой главе рассматривается составление фи-
нансовой сметы. Вопросам сметного контроля посвящена
двадцать седьмая глава. Анализ безубыточности проводится
в двадцать восьмой главе. Об уценке идет речь в двадцать
девятой главе.
Тема тридцатой главы — принятие краткосрочных реше-
ний. О проблемах ценообразования идет речь в тридцать пер-
вой главе.
В тридцать второй главе анализируются методы оценки
инвестиций в условиях определенности. В тридцать третьей
главе показано влияние налогообложения на инвестицион-
ные решения. После изучения тридцать четвертой главы чи-
татель сможет сравнивать инвестиционные проекты с раз-
ными сроками реализации. Проблема замены оборудования
затрагивается в тридцать пятой главе. Инфляция и ее влия-
ние на инвестиционные проекты — это тема тридцать шес-
той и тридцать седьмой глав. Покупка или аренда оборудо-
вания? Ответ на этот вопрос читатель найдет в тридцать
восьмой главе.
В тридцать девятой главе анализируются инвестицион-
ные проекты, поддающиеся дроблению. Дерево вероятнос-
тей инвестиционного проекта — это тема сороковой главы.
4
Стоимость капитала — это тема сорок первой главы. В
сорок второй главе рассмотрена модель оценки финансовых
активов.
В сорок третьей главе анализируются денежные потоки
предприятия.
Тема сорок четвертой главы — обучаемость в производст-
ве. О трансфертном ценообразовании на предприятиях со
сложной структурой идет речь в сорок пятой главе. Элас-
тичности экономических функций посвящена сорок шестая
глава. В сорок седьмой главе анализируется проблема «про-
изводить или покупать».
В сорок восьмой главе идет речь о маржинальном доходе.
Об экономической добавленной стоимости читатель узнает
из сорок девятой главы. Многопродуктовая модель рассмот-
рена в пятидесятой главе.
Затраты комплексных производств изучаются в пятьде-
сят первой главе. Линейное программирование — это тема
пятьдесят второй главы.
Весь материал разбит на главы, а главы — на парагра-
фы. Каждый параграф — это отдельная тема. В начале па-
раграфа приводится необходимый минимум теоретических
сведений, затем подробно разбираются модельные примеры.
Показано, как с помощью встроенных функций и надстроек
«Пакет анализа», «Поиск решения» пакета Excel можно из-
бежать долгих и утомительных вычислений. После каждого
примера приводится задача для самостоятельного решения.
Ответы ко всем задачам помещены в конце книги. Также в
конце каждого книги приведены программа курса и задачи
для контрольной работы.
За основу пособия принят материал курсов, читаемых ав-
тором в Российской академии предпринимательства, Мос-
ковской финансово-юридической академии и Российском
университете инноваций. Всем студентам, прослушавшим
эти курсы, автор выражает благодарность за продуктивную
совместную работу.
Автор выражает искреннюю признательность В. М. Троя-
новскому за полезные замечания, способствовавшие улучше-
нию книги.
Автор
(лава 1
ЗАЧЕМ НУЖЕН
УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ?
Управленческий учет — это процесс определения, измере-
ния и сопоставления информации, позволяющий менедже-
рам предприятия с помощью этой информации принимать
компетентные решения и планировать деятельность пред-
приятия. Если учетная информация не способствует приня-
тию более компетентных решений, то ее сбор — это напрас-
ная трата времени и денег.
Менеджеры несут повседневную ответственность за руко-
водство предприятием. Их действия и решения влияют на
финансовую стабильность предприятия. Составление планов
на будущее и оперативное управление предприятием требуют
большого количества разнообразной учетной информации.
Менеджеры должны принимать решения относительно
распределения дефицитных экономических ресурсов пред-
приятия. Для обоснования своих решений менеджерам не-
обходимы данные управленческого учета.
Отчетность по управленческому учету нередко представ-
ляет собой целевые отчеты, разработанные либо с расчетом
на необходимость принятия конкретного решения, либо для
конкретного менеджера. В управленческих отчетах менед-
жерам часто представляется значительное количество по-
дробной информации, что способствует принятию конкрет-
ного оперативного решения.
Управленческие отчеты предназначены исключительно
для внутреннего пользования. Поэтому на них не распрост-
раняются требования внешних источников относительно
формы и содержания таких отчетов. Отчеты по данным уп-
равленческого учета предоставляются менеджерам так час-
то, как это им необходимо, и содержат данные как о про-
шлой, так и о будущей деятельности предприятия.
Управленческий учет черпает информацию из множества
источников и использует данные, имеющие различную сте-
пень надежности. Единственным реальным тестовым пока-
зателем, применяемым к определению ценности информа-
6
ции для менеджеров предприятия, является улучшение ка-
чества принимаемых ими решений.
Менеджеры несут ответственность за определение целей и
задач предприятия, а также за разработку долгосрочных пла-
нов и стратегий для достижения этих целей. Данные управ-
ленческого учета помогают в составлении таких прогнозов.
Установив определенный курс развития бизнеса, менед-
жеры должны знать, развиваются ли события в соответст-
вии с планом. С помощью управленческого учета можно
сравнить фактические результаты с запланированными и со-
поставить реальную картину с ожидаемой.
Принятие многих управленческих решений невозможно
без учета размеров затрат и выгод при следовании опреде-
ленному курсу. Управленческий учет позволяет сопоставить
затраты с выгодами.
За последние годы условия существования предприятий
стали еще более нестабильными. Возрастающая искушен-
ность покупателей, развитие мировой экономики, быстрые
изменения технологий, возросшая неустойчивость финансо-
вых рынков — вот далеко не полный перечень возможных
причин.
Под воздействием этих изменений роль менеджеров в биз-
несе стала более сложной и ответственной. Ради лидирующе-
го положения предприятия должны находить способы сни-
жения затрат. Это привело к созданию изощренных методов
измерения и контроля затрат. Все чаще и чаще преуспевают
те предприятия, которые способны создать и поддерживать
конкурентные преимущества над своими соперниками.
7
[лава 2
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ СОСТАВЛЕНИИ
ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
Каждый год предприятие составляет итоговую финансовую
отчетность — бухгалтерский баланс и счет прибылей и убыт-
ков. Важно уметь читать и понимать смысл этих отчетов.
§ 2.1. БУХГАЛТЕРСКИЙ БАЛАНС
Бухгалтерский баланс содержит информацию о финансовом
состоянии и результатах деятельности предприятия на опре-
деленный момент времени. Из бухгалтерского баланса мож-
но узнать, откуда поступили вложенные в данный бизнес
средства и куда они были размещены на момент составле-
ния баланса.
Бухгалтерский баланс отражает все операции, произво-
димые в ходе хозяйственной деятельности предприятия.
§ 2.2. АКТИВЫ
Активы — это все материальные ресурсы, имеющие денеж-
ную стоимость и находящиеся в распоряжении предприя-
тия. Активы подразделяются на материальные и нематери-
альные активы.
Материальные активы — это имущество предприятия
(например, здания, оборудование, машины, автомобили, за-
пасы сырья).
Под нематериальными активами понимается владение
каким-либо правом (например, патентом или правом на по-
лучение прибыли в будущем).
Все включенные в бухгалтерский баланс активы имеют
денежную оценку. Однако такие важные факторы, как уп-
равленческие способности персонала, хорошие производст-
8
венные отношения и моральное состояние нельзя включить
в бухгалтерский баланс.
Внеоборотные активы имеют достаточно высокую стои-
мость и длительный срок использования предприятием. Обо-
ротные активы — это денежная наличность и статьи ба-
ланса, которые можно быстро и легко перевести в наличные
средства. Примером оборотных активов являются запасы го-
товой продукции и дебиторская задолженность (задолжен-
ность клиентов перед предприятием).
§ 2.3. ПАССИВЫ
Пассивы — это финансовые обязательства предприятия. Они
возникают при использовании кредитов или ссуд. В зависи-
мости от срока погашения различают краткосрочные и дол-
госрочные обязательства. Краткосрочные обязательства —
это кредиторская задолженность, подлежащая погашению в
течение одного года (задолженность торговым кредиторам,
банковский овердрафт). Долгосрочные обязательства — это
кредиторская задолженность, подлежащая погашению более
чем через один год.
§ 2.4. СОБСТВЕННЫЙ КАПИТАЛ
Собственный капитал — это стоимость всего имущества
предприятия после уплаты всех долгов.
В основе бухгалтерского баланса лежит следующее урав-
нение бухгалтерского баланса:
собственный
капитал
суммарные
активы
суммарные
пассивы
внеоборотные активы + оборотные активы — краткосрочные обязательства - долгосрочные обязательства
Собственный капитал предприятия на конкретную дату
можно посчитать и иначе:
собственный
капитал
первоначальные инвестиции + нераспределенная прибыль
где нераспределенная прибыль — это прибыль, реинвестиро-
ванная в процессе хозяйственной деятельности.
9
§ 2.5. ОТЧЕТ О ДВИЖЕНИИ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ
Бухгалтерский баланс содержит информацию о финансовом
состоянии и результатах деятельности предприятия на опре-
деленный момент времени. А вот в отчете о движении де-
нежных средств отражены потоки денежных средств, то
есть фактические физические перемещения денежных
средств из одних рук в другие в виде поступлений и плате-
жей, имеющих место в процессе хозяйственной деятельнос-
ти предприятия. Поступления — это денежные средства,
полученные предприятием. Платежи — это денежные сред-
ства, отданные предприятием.
Отчет о движении денежных средств отражает измене-
ния в кассовой позиции за некоторый период времени. Сальдо
на начало периода — это размер денежной наличности пред-
приятия на начало периода. Сальдо на конец периода — это
размер денежной наличности предприятия на конец периода.
Расчет движения денежных средств производится по сле-
дующей формуле:
сальдо на
начало периода
4- поступления
платежи
сальдо на
конец периода
§ 2.6. СЧЕТ ПРИБЫЛЕЙ И УБЫТКОВ
Счет прибылей и убытков показывает доходы и расходы
предприятия от операций между двумя соседними датами
составления бухгалтерского баланса. Из него видны резуль-
таты работы предприятия за этот период: получило ли оно
прибыль или понесло убытки.
§ 2.7. РАСЧЕТ ПРИБЫЛИ
Объем продаж — это доход от продажи продукции. Себес-
тоимость проданной продукции показывает, во сколько обо-
шлось предприятию приобретение или изготовление това-
ров. Валовая прибыль вычисляется по следующей формуле:
валовая
прибыль
объем
продаж
себестоимость
проданной продукции
Под расходами будем понимать накладные расходы, по-
несенные в ходе осуществления продаж за определенный пе-
риод времени.
10
Чистая прибыль вычисляется по следующей формуле:
чистая
прибыль
расходы
валовая
прибыль
Пример 1. В апреле объем продаж составил 200000 руб.
Себестоимость проданной продукции равна 90000 руб., а
расходы (арендная плата, зарплата и т. д.) — 30000 руб.
Определим валовую прибыль и чистую прибыль.
Валовая прибыль = объем продаж — себестоимость про-
данной продукции = 200000 - 90000 = 110000 руб.
Чистая прибыль = валовая прибыль — расходы = 110000 —
- 30000 = 80000 руб.
Задача 1. В апреле объем продаж составил 250000 руб.
Себестоимость проданной продукции равна 110000 руб., а
расходы (арендная плата, зарплата и т. д.) — 40000 руб.
Определить валовую прибыль и чистую прибыль.
И
Глава 3
ОЦЕНКА ЗАПАСОВ
ТОВАРНО-МАТЕРИАЛЬНЫХ
ЦЕННОСТЕЙ
Для расчета себестоимости проданной продукции нужно
уметь оценивать запасы товарно-материальных ценностей.
Большинство запасов оценивается по себестоимости. Это не
лучшее решение проблемы. Предприятие может располагать
крупными запасами продукции одного типа, которая могла
быть закуплена в разные периоды и по разной цене. Поэто-
му практически невозможно установить себестоимость каж-
дой единицы запаса.
В настоящий момент существуют три основных метода
оценки запасов:
ФИФО (англ. First In First Out — FIFO);
ЛИФО (англ. Last In First Out — LIFO);
по средневзвешенной.
Рассмотрим основные методы оценки запасов товарно-ма-
териальных ценностей подробнее.
§ 3.1. МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ ФИФО
В этом методе оценки стоимости запасов предполагается, что
партия товара, первой поступившая в запасы, первой и реа-
лизуется.
Пример 2. Начальные запасы отсутствуют. В марте за-
куплены для реализации 500 единиц продукции по цене
10 руб. В апреле закуплены для реализации 300 единиц
продукции по цене 11 руб. В мае проданы 400 единиц про-
дукции по цене 20 руб. В июне проданы 200 единиц про-
дукции по цене 21 руб. В июле закуплены для реализации
150 единиц продукции по цене 11,5 руб. В августе прода-
ны 100 единиц продукции по цене 21,5 руб.
Определим стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ФИФО.
12
Заполним таблицу.
Месяц Закупка, руб. (по закупочным ценам) Продажа, руб. (по оценочной стоимости) Запасы после операции купли-продажи, руб. (по оценочной стоимости)
март 500x10 500x10
апрель 300x11 500x10
300x11
май 400x10 100x10
300x11
июнь 100x10 200x11
100x11
июль 150x11,5 200x11
150x11,5
август 100x11 100x11
150x11,5
Поясним, как заполняется таблица.
Во 2-м столбце указаны закупки соответствующего ме-
сяца. В 3-м столбце указаны продажи соответствующего
месяца. В 4-м столбце указан уровень запасов после опера-
ции купли-продажи соответствующего месяца.
После мартовских закупок на складе находятся 500 еди-
ниц продукции, а после апрельских — 500 единиц (мар-
товских) и 300 единиц (апрельских). В мае проданы 400
единиц продукции.
В методе оценки запасов ФИФО при продаже делается
предположение, что запасы, закупленные первыми, первы-
ми и реализуются. Поэтому считаем, что в мае были про-
даны 400 единиц (мартовских), а на складе остаются 100
единиц (мартовских) и 300 единиц (апрельских).
В июне проданы 200 единиц продукции: 100 единиц
(мартовских) и 100 единиц (апрельских). После этой про-
дажи на складе находятся 200 единиц (апрельских), а по-
сле июльских закупок — 200 единиц (апрельских) и 150
единиц (июльских).
В августе были проданы 100 единиц (апрельских). По-
этому после этого на складе находятся 100 единиц (апрель-
ских) и 150 единиц (июльских).
Оценка стоимости запасов на конец августа методом
оценки запасов ФИФО равна 100x11 + 150*11,5 = 2825 руб.
Задача 2. Начальные запасы отсутствуют. В марте за-
куплены для реализации 300 единиц продукции по цене
15 руб. В апреле закуплены для реализации 400 единиц
продукции по цене 16 руб. В мае проданы 500 единиц про-
дукции по цене 30 руб. В июне проданы 100 единиц про-
дукции по цене 31 руб. В июле закуплены для реализации
13
200 единиц продукции по цене 16,5 руб. В августе прода-
ны 50 единиц продукции по цене 31,5 руб.
Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ФИФО.
§ 3.2. МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ ЛИФО
В этом методе оценки стоимости запасов предполагается, что
партия товара, поступившая в запасы последней, реализует-
ся первой. Это предположение имеет место только на бумаге.
Пример 3. В примере 2 определим стоимость запасов на
конец периода методом оценки запасов ЛИФО.
Заполним таблицу.
Месяц Закупка, руб. (по закупочным ценам) Продажа, руб. (по оценочной стоимости) Запасы после операции купли-продажи, руб. (по оценочной стоимости)
март 500x10 500x10
апрель ЗООхЦ 500x10
ЗООхЦ
май ЗООхЦ 400x10
100x10
июнь 200x10 200x10
июль 150x11,5 200x10
150x11,5
август 100x11,5 200x10
50x11,5
Поясним, как заполняется таблица.
В методе оценки запасов ЛИФО при продаже делается
предположение, что запасы, закупленные последними, реа-
лизуются первыми. Поэтому считаем, что в мае были про-
даны 300 единиц (апрельских) и 100 единиц (мартовских),
а на складе остаются 400 единиц (мартовских).
В июне были проданы 200 единиц (мартовских). После
этой продажи на складе находятся 200 единиц (мартов-
ских), а после июльских закупок — 200 единиц (мартов-
ских) и 150 единиц (июльских).
В августе были проданы 100 единиц (июльских). Поэто-
му после этого на складе находятся 200 единиц (мартов-
ских) и 50 единиц (июльских).
Оценка стоимости запасов на конец августа методом
оценки запасов ЛИФО равна 200x10 4- 50x11,5 « 2575 руб.
Задача 3. В задаче 2 определить стоимость запасов на
конец периода методом оценки запасов ЛИФО.
14
§ 3.3. МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ
ПО СРЕДНЕВЗВЕШЕННОЙ
В этом методе оценки стоимости запасов для продукции, на-
ходящейся в запасе, вычисляется средняя стоимость. Метод
средневзвешенной часто применяется там, где имеются боль-
шие количества относительно мелких трудноразличимых
единиц продукции, каждая из которых имеет низкую стои-
мость и которые трудно идентифицировать с конкретной це-
ной (например, гвозди).
Пример 4. В примере 2 определим стоимость запасов на
конец периода методом оценки запасов по средневзвешен-
ной.
Заполним таблицу.
Месяц Закупка, руб. (по закупочным ценам) Продажа, руб. (по себестои- мости) Запасы после операции купли-продажи, руб. (по оценочной стоимости)
март 500x10 500x10
апрель 300x11 ЯППх 5ООХ10 + 300Х 11 - 800 « 800x10,38
май 400x10,38 400x10,38
июнь 200x10,38 200x10,38
июль 150x11,5 ОКЛ 200x10,38+150x11,5 ОЭ1)Х — 350 = 350x10,86
август 100x10,86 250x10,86
Поясним, как заполняется таблица.
После апрельских закупок на складе находятся 800 еди-
ниц продукции: 500 единиц (мартовских) и 300 единиц (ап-
рельских).
Определим их среднюю себестоимость. Для этого сум-
марную стоимость запасов 500x10 + 300x11 нужно разде-
лить на общее число единиц продукции в запасе (800 еди-
х 500x10 + 300x11
ниц), то есть----------------- ~ 10,38 руб. Поэтому оце-
800
ночная стоимость запасов после апрельских закупок равна
800x10,38 руб.
Из этих запасов в мае и июне продано 400 и 200 еди-
ниц продукции соответственно.
После июльских закупок на складе находятся 350 еди-
ниц продукции: 200 единиц по цене 10,38 руб. и 150 еди-
ниц по цене 11,5 руб.
Определим их среднюю себестоимость. Для этого сум-
марную стоимость запасов 200x10,38 + 150x11,5 нужно
15
разделить на общее число единиц продукции в запасе (350
единиц), то есть
200x10,38 + 150x11,5
350
= 10,86 руб. Поэто-
му оценочная стоимость запасов после июльских закупок
равна 350x10,86 руб.
После продажи в августе 100 единиц продукции на
складе остаются 250 единиц.
Оценка стоимости запасов на конец августа методом
оценки запасов по средневзвешенной равна 250x10,86 —
= 2715 руб.
Задача 4- В задаче 2 определить стоимость запасов на
конец периода методом оценки запасов по средневзвешен-
ной.
§ 3.4. ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ
ЗАПАСОВ НА РАСЧЕТ ПРИБЫЛИ
Валовая прибыль вычисляется по следующей формуле:
валовая _ объем продаж _ себестоимость
прибыль ~ (по ценам реализации) проданной продукции
где
себестоимость проданной продукции = запас на начало периода + закупки (по закупочной стоимости) - запас на конец периода (оценочная стоимость)
В период колебания цен все три метода оценки запасов
показывают различную стоимость запасов на конец периода.
Следовательно, величина валовой прибыли для каждого из
этих методов различна.
Пример 5. Определим валовую прибыль в примерах 2—4.
В каждом из примеров объем продаж равен 400x20 +
+ 200x21 + 100x21,5 = 14350 руб., запас на начало периода
равен 0, а закупки — 500x10 + 300x11 + 150x11,5 = 10025
руб. Заполним таблицу.
ФИФО, руб. ЛИФО, руб. Метод средне- взвешенной, руб.
Объем продаж 14350 14350 14350
Запас на начало марта 0 0 0
Закупки 10025 10025 10025
Запас на конец августа 2825 2575 2715
Себестоимость проданной продукции 7200 7450 7310
Валовая прибыль 7150 6900 7040
16
Поясним, как заполняется таблица. Запас на конец ав-
густа найден в примерах 2—4.
В каждом столбце из суммы чисел 2-й и 3-й строк (За-
пас на начало марта + Закупки) вычитаем число 4-й стро-
ки (Запас на конец августа) и результат пишем в 5-й стро-
ке (Себестоимость проданной продукции).
В каждом столбце из числа 1-й строки (Объем продаж)
вычитаем число 5-й строки (Себестоимость проданной про-
дукции) и результат пишем в 6-й строке (Валовая при-
быль).
Мы видим, что в условиях повышения цен значение ва-
ловой прибыли выше при применении метода оценки запа-
сов ФИФО.
Задача 5. Определить валовую прибыль в задачах 2-4.
17
Глава 4
АМОРТИЗАЦИЯ
При оценке внеоборотных активов возникают те же пробле-
мы, что и при оценке запасов. Как распределить стоимость
внеоборотного актива на весь период его эксплуатации?
Амортизация — это распределение первоначальной стои-
мости внеоборотного актива на период его эксплуатации спо-
собом, учитывающим остаточную стоимость этого актива.
Существуют два основных метода расчета амортизации:
О равномерное начисление износа;
О начисление износа с сокращающейся балансовой стои-
мости.
Рассмотрим основные методы расчета амортизации по-
дробнее.
§ 4.1. МЕТОД РАВНОМЕРНОГО НАЧИСЛЕНИЯ
ИЗНОСА
В методе равномерного начисления износа предполагается,
что предприятие получает от использования актива равно-
ценную пользу в течение всего периода эксплуатации. Рас-
чет ежегодно начисляемого износа производится по следую-
S — Р
щей формуле: ежегодное начисление на износ =-----, где
п
S — первоначальная стоимость актива, Р — остаточная сто-
имость актива, п — период эксплуатации актива.
Метод равномерного начисления износа очень популярен
из-за своей простоты. Расчеты по нему не требуют много вре-
мени и специальных знаний. Этот метод очень удобен для
активов, с которых предприятие регулярно получает доход
в виде хозяйственной деятельности (например, патентов и
лицензий).
Пример 6. Предприятие купило станок за S = 29000
руб., период эксплуатации которого п = 4 года. После это-
го станок можно будет продать на вторичном рынке за
18
Р = 5000 руб. (остаточная стоимость). Определим методом
равномерного начисления износа ежегодные начисления на
износ и балансовую стоимость станка на конец каждого года.
Ежегодное начисление на износ равно-----
п
29000 - 5000 ЛПЛП .
=--------------= 6000 руб.
4
Заполним таблицу.
Год Первоначальная стоимость, руб. Начисления на износ на счете прибылей и убытков, руб. Накопленная амортизация, руб. Балансовая стоимость на конец года, руб.
1 29000 6000 6000 23000
2 29000 6000 12000 17000
3 29000 6000 18000 11000
4 29000 6000 24000 5000
Поясним, как заполняется таблица.
Накопленная амортизация = (Ежегодное начисление на
износ)х(номер года) = 6000х(номер года).
Балансовая стоимость на конец года = Первоначальная
стоимость — Накопленная амортизация, то есть в каждой
строке из числа 2-го столбца вычитаем число 4-го столбца
и результат пишем в 5-й столбец.
Задача 6. Предприятие купило станок за S = 27000
руб., период эксплуатации которого п = 4 года. После это-
го станок можно будет продать на вторичном рынке за
Р = 7000 руб. (остаточная стоимость). Определить методом
равномерного начисления износа ежегодные начисления
на износ и балансовую стоимость станка на конец каждого
года.
§ 4.2. МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ИЗНОСА
С СОКРАЩАЮЩЕЙСЯ БАЛАНСОВОЙ СТОИМОСТИ
Для некоторых внеоборотных активов предприятие получа-
ет максимальную пользу в первые годы их эксплуатации
(например, от компьютера). Тогда при начислении аморти-
зации используется норма амортизации — величина, пока-
зывающая, какую долю от оставшейся балансовой стоимос-
ти актива нужно списать в очередной год.
Норма амортизации вычисляется по следующей формуле:
норма амортизации = 1 — Р/S, где S — первоначальная
стоимость актива, Р — остаточная стоимость актива (Р =/= 0),
п — период эксплуатации актива.
19
Метод начисления износа с сокращающейся балансовой
стоимости никогда полностью не сводит уровень остаточной
стоимости до нуля. Правда, когда величина балансовой сто-
имости актива становится очень незначительной по сравне-
нию с первоначальной стоимостью, она может быть списана
полностью в последний год.
Пример 7. В примере 6 определим методом начисления
износа с сокращающейся балансовой стоимости норму
амортизации, ежегодные начисления на износ и балансо-
вую стоимость станка на конец каждого года.
Норма амортизации = 1 - л] P/S = 1 -у/5000/29000 =
« 0,356, то есть ежегодные начисления на износ составля-
ют 35,6% от балансовой стоимости станка на конец преды-
дущего года.
Заполним таблицу.
Год Первоначальная стоимость, руб. Начисления на износ на счете прибылей и убытков, руб. Накопленная амортизация, руб. Балансовая стоимость на конец года, руб.
1 29000 10324 10324 18676
2 29000 6648,66 16972,66 12027,34
3 29000 4281,73 21254,39 7745,61
4 29000 2757,44 24011,83 4988,17
Поясним, как заполняется таблица.
Начисления на износ на счете прибылей и убытков для
1-го года равны 29000x0,356 = 10324 руб. Этот результат
запишем в 1-й строке 3-го столбца.
В дальнейшем каждое число 3-го столбца равно произ-
ведению числа из предыдущей строки последнего столбца
и нормы амортизации 0,356. Все результаты округляем до
двух цифр после запятой.
Каждое число 4-го столбца есть сумма числа из этой же
строки 3-го столбца и числа из предыдущей строки 4-го
столбца.
Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 4-го столбца и
результат пишем в последний столбец.
Мы видим, что из-за ошибок округления балансовая
стоимость на конец 4-го года 4988,17 руб. отличается от
остаточной стоимости Р = 5000 руб.
Задача 7. В задаче 6 определить методом начисления
износа с сокращающейся балансовой стоимости норму
амортизации, ежегодные начисления на износ и балансо-
вую стоимость станка на конец каждого года.
20
§ 4.3. МЕТОД СУММЫ ГОДИЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если остаточная стоимость Р = 0, то метод начисления из-
носа с сокращающейся балансовой стоимости использовать
нельзя. В этом случае для начисления ускоренной амортиза-
ции можно применить метод суммы годичных чисел — ме-
тод ускоренной амортизации со списанием суммы, равной
долям оставшихся лет в общей сумме лет.
Пример 8. Пусть в примере 6 остаточная стоимость
Р = 0. Определим методом суммы годичных чисел ежегод-
ные начисления на износ и балансовую стоимость станка
на конец каждого года.
Так как станок используется 4 года, то сумма годичных
чисел равна 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Поэтому в 1-й, 2-й, 3-й и
4-й годы сумма амортизационных отчислений равна 4/10,
3/10, 2/10 и 1/10 от первоначальной стоимости станка
(29000 руб.). Заполним таблицу.
Год Первоначальная стоимость, руб. Начисления на износ на счете прибылей и убытков, руб. Накопленная амортизация, руб. Балансовая стоимость на конец года, руб.
1 29000 11600 11600 17400
2 29000 8700 20300 8700
3 29000 5800 26100 2900
4 29000 2900 29000 0
Задача 8. Пусть в задаче 6 остаточная стоимость
Р = 0. Определить методом суммы годичных чисел ежегод-
ные начисления на износ и балансовую стоимость станка
на конец каждого года.
§ 4.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ НАЧИСЛЕНИЯ
АМОРТИЗАЦИИ
Два предприятия с одинаковым составом внеоборотных акти-
вов могут получить различные финансовые результаты из-за
использования разных методов начисления амортизации. Вы-
бор метода начисления амортизации влияет на показываемую
чистую прибыль предприятия на конец финансового года.
В методе уменьшающегося остатка (методе начисления
износа с сокращающейся балансовой стоимости, методе сум-
мы годичных чисел) на первые годы приходится большая
часть отчислений на износ, что увеличивает общие затраты
и сокращает чистую прибыль и обязательства по налогам. В
пользу метода уменьшающегося остатка обычно приводят
два аргумента:
21
1) затраты на содержание и ремонт объекта растут по ме-
ре увеличения его срока службы (то есть методом уменьша-
ющегося остатка получается более точный конечный финан-
совый результат);
2) многие внеоборотные активы теряют значительную
часть своей рыночной стоимости уже в первые годы эксплу-
атации.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовые функции, которые позволяют вычислить величину
амортизации.
Финансовая функция АМР (в Excel 2002 эта функция на-
зывается АПЛ) возвращает величину амортизации за один
период, начисляемую равномерным способом: fx -* финансо-
вые -* АМР -* ОК. Появляется диалоговое окно, которое
нужно заполнить. В графах стоимость и ликвидная_стои-
мость указываются первоначальная стоимость актива и лик-
видационная стоимость актива соответственно. В графе вре-
мя_амортизации нужно указать срок использования акти-
ва. ОК. Например, при первоначальной стоимости актива
3000 руб., ликвидационной стоимости 1000 руб. и сроке ис-
пользования актива 4 года величина ежегодной амортиза-
ции равна АМР (3000; 1000; 4) = 500 руб.
Финансовая функция ДОБ (в Excel 2002 эта функция на-
зывается ФУО) возвращает величину амортизации за один
период, начисляемую методом сокращающегося остатка:
fx “* финансовые -* ДОБ -> ОК. Появляется диалоговое ок-
но, которое нужно заполнить. В графе остаточная_стои-
мость указывается ликвидационная стоимость актива. В
графе время_эксплуатации нужно указать срок использо-
вания актива. В графе период указывается, амортизацион-
ные начисления за какой год интересуют исследователя. Не-
обязательный аргумент месяц показывает число месяцев в
1-м году (по умолчанию 1-й год =12 месяцев). ОК. Напри-
мер, амортизационные начисления за 3-й год методом со-
кращающегося остатка равны ДОБ (3000; 1000; 4; 3) ~
» 415,87 руб.
Финансовая функция АМГД (в Excel 2002 эта функция
называется АСЧ) возвращает величину амортизации для
указанного периода, начисляемую по методу суммы годич-
ных чисел: fx -* финансовые -* АМГД -* ОК. Появляется
диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе жизнь
нужно указать срок эксплуатации актива. ОК. Например,
амортизационные начисления за 3-й год по методу суммы
годичных чисел равны АМГД (3000; 1000; 4; 3) == 400 руб.
22
Глава 5
РАСЧЕТ ЗАДОЛЖЕННОСТИ
НА КОНЕЦ ОТЧЕТНОГО ПЕРИОДА
§ 5.1 РАСЧЕТ САЛЬДО ДЕБИТОРСКОЙ
ЗАДОЛЖЕННОСТИ НА КОНЕЦ ОТЧЕТНОГО ПЕРИОДА
Сальдо дебиторской задолженности на конец отчетного пе-
риода — это сумма, которую задолжали предприятию кли-
енты на конец отчетного периода. Оно вычисляется по сле-
дующей формуле:
сальдо дебиторской
задолженности на конец
отчетного периода
сальдо дебиторской
задолженности на нача-
ло отчетного периода
продажи
в кредит
поступле-
ния от де-
биторов
Пример 9. Сальдо дебиторской задолженности на нача-
ло финансового года было равно 20000 руб. В течение года
имели место следующие операции: продажи в кредит рав-
ны 50000 руб., а поступления от дебиторов — 45000 руб.
Определим сальдо дебиторской задолженности на конец фи-
нансового года.
Сальдо дебиторской задолженности на конец финансо-
вого года = сальдо дебиторской задолженности на начало
финансового года + продажи в кредит — поступления от де-
биторов = 20000 + 50000 — 45000 = 25000 руб.
Задача 9. Сальдо дебиторской задолженности на нача-
ло финансового года было равно 25000 руб. В течение года
имели место следующие операции: продажи в кредит рав-
ны 45000 руб., а поступления от дебиторов — 40000 руб.
Определить сальдо дебиторской задолженности на конец
финансового года.
§ 5.2. РАСЧЕТ САЛЬДО КРЕДИТОРСКОЙ
ЗАДОЛЖЕННОСТИ НА КОНЕЦ ОТЧЕТНОГО ПЕРИОДА
Сальдо кредиторской задолженности на конец отчетного
периода — это сумма, которую предприятие задолжало по-
23
ставщикам на конец отчетного периода. Оно вычисляется по
следующей формуле:
сальдо кредиторской
задолженности
на конец отчетного
периода
сальдо кредиторской
задолженности
на начало отчетного
периода
закупки
в кредит
выплаты по
кредиторской
задолженности
Пример 10. Сальдо кредиторской задолженности на на-
чало финансового года было равно 20000 руб. В течение го-
да имели место следующие операции: закупки в кредит
равны 55000 руб., а выплаты по кредиторской задолжен-
ности — 40000 руб. Определим сальдо кредиторской задол-
женности на конец финансового года.
Сальдо кредиторской задолженности на конец финансо-
вого года = сальдо кредиторской задолженности на начало
финансового года + закупки в кредит — выплаты по креди-
торской задолженности = 20000 + 55000 — 40000 = 35000
руб.
Задача 10. Сальдо кредиторской задолженности на на-
чало финансового года было равно 25000 руб. В течение го-
да имели место следующие операции: закупки в кредит
равны 35000 руб., а выплаты по кредиторской задолжен-
ности — 45000 руб. Определить сальдо кредиторской за-
долженности на конец финансового года.
24
Глава 6
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
§ 6.1. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДОКУМЕНТОВ
ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
Финансовая отчетность предприятия — это наиболее объ-
ективный источник информации о предприятии и эффектив-
ности его деятельности, который доступен менеджерам, ин-
весторам и конкурентам. Инвесторы на основании финансо-
вой отчетности делают вывод о целесообразности инвести-
ций в акции предприятия. Опубликованные финансовые от-
четы помогают конкурентам оценить относительную устой-
чивость предприятия в отрасли.
Внутри предприятия документы финансовой отчетности
используются для оценки сильных и слабых сторон финан-
совой деятельности предприятия, его готовности к использо-
ванию предоставляемых возможностей и противостоянию
грозящим рискам, проистекающим из внешней среды бизне-
са, а также соответствия достигнутых предприятием резуль-
татов ожиданиям его инвесторов. Необходимо сопоставить
результаты предприятия с результатами его ближайших
конкурентов и со среднеотраслевыми стандартами.
Анализ данных прошлых периодов — это первый шаг в
определении финансовой стратегии предприятия и установ-
лении четких задач на будущее. Такой анализ создает неко-
торый контроль над деятельностью предприятия в будущем.
§ 6.2. СУТЬ АНАЛИЗА ФИНАНСОВЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
Из всего вышесказанного следует, что необходим простой
инструмент, позволяющий сосредоточить внимание на са-
мых важных областях деятельности предприятия и сопоста-
25
вить результаты деятельности различных предприятий. Од-
ним из таких инструментов является анализ финансовых
коэффициентов, который использует вычисление финансо-
вых коэффициентов как отправную точку для интерпрета-
ции финансовой отчетности.
Коэффициент — это отношение одного показателя к дру-
гому. Анализ финансовых коэффициентов используется в
целях контроля за хозяйственной деятельностью предприя-
тия и для выявления сильных и слабых сторон предприя-
тия относительно конкурентов, а также при планировании
деятельности предприятия на будущее.
Расчет финансовых коэффициентов сосредоточен в основ-
ном на трех ключевых областях бизнеса:
прибыльность (управление процессом покупки и про-
дажи);
О использование ресурсов (управление активами);
О доходы инвесторов.
Как определить те возможности, которые обеспечивают
эффективность хозяйственной деятельности предприятия (то
есть наиболее высокую отдачу при минимально возможном
размере инвестиций и разумной степени риска)? Ответ на
это вопрос дают такие финансовые показатели, как эффек-
тивность использования ресурсов и рентабельность.
§ 6.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ
В этом разделе мы попытаемся дать ответ на следующий во-
прос: каков объем продаж на каждый вложенный инвесто-
ром рубль в рассматриваемом отчетном периоде?
§ 6.3.1. Коэффициент оборачиваемости активов
Коэффициент оборачиваемости активов вычисляется по
следующей формуле:
коэффициент
оборачиваемости
активов
объем продаж
суммарные
чистые активы »
где
суммарные
чистые активы
внеоборотные
активы
оборотные
активы
краткосрочные
обязательства
Коэффициент оборачиваемости активов показывает, ка-
кой объем продаж приходится на каждый вложенный инве-
стором рубль в рассматриваемом отчетном периоде.
26
Пример 11. На конец финансового года внеоборотные
активы предприятия равны 100000 руб., оборотные акти-
вы — 40000 руб., а краткосрочные обязательства — 30000
руб. В течение отчетного финансового года объем продаж
равен 300000 руб. Определим коэффициент оборачиваемос-
ти активов.
Суммарные чистые активы = внеоборотные активы +
+ оборотные активы — краткосрочные обязательства =
= 100000 + 40000 - 30000 = 110000 руб.
Тогда коэффициент оборачиваемости активов = (объем
продаж)/(суммарные чистые активы) = 300000/110000 ж
» 2,73, то есть на каждый вложенный инвестором рубль
приходится объем продаж 2,73 руб. в рассматриваемом от-
четном периоде.
Задача 11. На конец финансового года внеоборотные
активы предприятия равны 120000 руб., оборотные акти-
вы — 50000 руб., а краткосрочные обязательства — 60000
руб. В течение отчетного финансового года объем продаж
равен 350000 руб. Определить коэффициент оборачиваемо-
сти активов.
Коэффициент оборачиваемости активов у розничного тор-
говца всегда выше, чем у производителя, так как произво-
дителю необходимо осуществлять крупные инвестиции в ма-
шины и оборудование (то есть производство более капитало-
емкое). А розничный торговец продает товары, произведен-
ные кем-то другим.
На коэффициент оборачиваемости активов можно повли-
ять, изменив либо объем продаж (с помощью маркетинговой
деятельности), либо размер вложенного капитала (изменив
структуру краткосрочного капитала предприятия или за счет
изменения инвестиций во внеоборотные активы).
§ 6.3.2. Ликвидность
Ликвидность — это показатель способности предприятия
погашать краткосрочные обязательства за счет оборотных
активов. Предприятие считается ликвидным, если в его рас-
поряжении имеется достаточно оборотных активов для по-
крытия всех краткосрочных долговых обязательств.
Ликвидность анализируют с помощью двух финансовых
коэффициентов: коэффициента текущей ликвидности и ко-
эффициента срочной ликвидности.
Коэффициент текущей ликвидности вычисляется по
следующей формуле:
27
коэффициент
текущей
ликвидности
оборотные
активы
краткосрочные
обязательства
Коэффициент текущей ликвидности показывает соотно-
шение между стоимостью оборотных активов предприятия,
которые ликвидны в том смысле, что могут быть обращены
в наличные денежные средства в следующем финансовом го-
ду, и задолженностью, которая подлежит погашению в том
же финансовом году.
Оптимальный размер ликвидности определяется хозяйст-
венной деятельностью предприятия. У большинства промыш-
ленных предприятий коэффициент текущей ликвидности дер-
жится на относительно высоком уровне (порядка 1,25—1,85),
так как запасы в основном состоят из сырья, полуфабрикатов
и готовой продукции. Поэтому в случае необходимости их
трудно оперативно реализовать за полную стоимость.
Пример 12. На конец финансового года запасы пред-
приятия равны 30000 руб., дебиторская задолженность —
15000 руб., кассовая наличность — 5000 руб., а кратко-
срочные обязательства — 55000 руб. Определим коэффици-
ент текущей ликвидности.
Оборотные активы = запасы + дебиторская задолжен-
ность + кассовая наличность = 30000 + 15000 + 5000 =
= 50000 руб.
Тогда коэффициент текущей ликвидности = (оборотные
активы)/(краткосрочные обязательства) = 50000/55000 ~
* 0,91.
Мы видим, что предприятие является неликвидным,
так как в случае немедленного погашения всех краткосроч-
ных обязательств помимо реализации всех собственных
оборотных активов оно должно найти дополнительные де-
нежные средства из иных источников.
Для погашения каждого рубля краткосрочных обяза-
тельств предприятие сможет немедленно мобилизовать 0,91
руб. путем реализации запасов, истребования дебиторской
задолженности и использования кассовой наличности, а
1 — 0,91 = 0,09 руб. придется привлекать со стороны.
Задача 12. На конец финансового года запасы предпри-
ятия равны 35000 руб., дебиторская задолженность —
13000 руб., кассовая наличность — 4000 руб., а кратко-
срочные обязательства — 58000 руб. Определить коэффи-
циент текущей ликвидности.
Коэффициент срочной ликвидности вычисляется по сле-
дующей формуле:
28
коэффициент
срочной
ликвидности
оборотные
активы - запасы
краткосрочные
обязательства
Коэффициент срочной ликвидности показывает, какая
часть задолженности может быть погашена в короткий срок
за счет оборотных активов, если запасы не представляется
возможным перевести в наличные денежные средства. Для
промышленного предприятия такое предположение вполне
разумно.
Пример 13. Определим коэффициент срочной ликвид-
ности в примере 12.
Оборотные активы — запасы = дебиторская задолжен-
ность + кассовая наличность = 15000 + 5000 = 20000 руб.
Тогда коэффициент срочной ликвидности = (оборотные
активы - запасы)/(краткосрочные обязательства) =
20000/55000 « 0,36.
Мы видим, что в случае немедленного погашения всех
краткосрочных обязательств, если предприятие по каким-
то причинам не сможет реализовать свои запасы, ему при-
дется привлекать со стороны 1 — 0,36 = 0,64 руб. на каж-
дый рубль краткосрочных обязательств.
Задача 13. Определить коэффициент срочной ликвид-
ности в задаче 12.
§ 6.3.3. Влияние хозяйственных операций
на уровень ликвидности
С точки зрения возможных требований о немедленном пога-
шении задолженности кредиторам предприятию выгодно
иметь наличные денежные средства или активы, которые
можно перевести в наличные денежные средства. Низкий
же показатель ликвидности говорит о том, что только не-
большая часть ресурсов задействована в оборотном капитале
и предприятие использует коммерческий кредит в качестве
источника краткосрочного финансирования. Контролируя
запасы и дебиторскую задолженность, устанавливая довери-
тельные отношения с торговыми кредиторами, можно уп-
равлять оборотным капиталом предприятия.
Для оценки используют следующие показатели:
коэффициент оборачиваемости запасов;
период оборачиваемости дебиторской задолженности;
<0> период оборачиваемости кредиторской задолженности.
Оптимальный уровень этих показателей в значительной
степени зависит от специфики отрасли, в которой действует
29
предприятие, и от системы управления предприятием. Далее
рассмотрим перечисленные показатели подробнее.
Коэффициент оборачиваемости запасов вычисляется по
следующей формуле:
коэффициент
оборачиваемости
запасов
себестоимость
проданной
продукции
средний размер
запаса
Коэффициент оборачиваемости запасов показывает, како-
ва оборачиваемость запасов в течение финансового года. Чем
выше коэффициент оборачиваемости запасов, тем меньше
размер денежных средств, связанных в запасах.
Пример 14- На конец финансового года запасы пред-
приятия равны 30000 руб., а себестоимость проданной про-
дукции — 120000 руб. Определим коэффициент оборачива-
емости запасов.
Коэффициент оборачиваемости запасов = (себестои-
мость проданной продукции)/(средний размер запаса) =
120000/30000 = 4, то есть в течение финансового года обо-
рачиваемость запасов равна 4.
Задача 14. На конец финансового года запасы предпри-
ятия равны 35000 руб., а себестоимость проданной продук-
ции — 105000 руб. Определить коэффициент оборачивае-
мости запасов.
Период оборачиваемости дебиторской задолженности
вычисляется по следующей формуле:
период оборачиваемости дебиторской задолженности (в днях) = 365 х дебиторская задолженность объем продаж в кредит
Период оборачиваемости дебиторской задолженности по-
казывает, через сколько дней в среднем дебиторы погашают
свою задолженность предприятию.
Производитель часто вынужден предоставлять благопри-
ятные условия коммерческого кредита для поддержания
конкурентоспособности в борьбе за оптовых и розничных
торговцев.
Предприятие стремится свести к минимуму уровень де-
биторской задолженности, поощряя за раннее погашение за-
долженности и уведомляя о наступлении срока погашения
обязательств.
Пример 15. На конец финансового года дебиторская за-
долженность предприятия равна 30000 руб., а объем про-
даж в кредит — 150000 руб. Определим период оборачива-
емости дебиторской задолженности.
30
Период оборачиваемости дебиторской задолженности =
= 365х(дебиторская задолженность)/(объем продаж в кре-
дит) = 365x30000/150000 = 73 дня, то есть в прошедшем
финансовом году дебиторы погашали свою задолженность
предприятию в среднем через 73 дня.
Задача 15. На конец финансового года дебиторская за-
долженность предприятия равна 35000 руб., а объем про-
даж в кредит — 100000 руб. Определить период оборачива-
емости дебиторской задолженности.
Период оборачиваемости кредиторской задолженности
вычисляется по следующей формуле:
период оборачиваемости
кредиторской задолжен-
ности (в днях)
= 365 х
кредиторская
задолженность
объем закупок
в кредит
Период оборачиваемости кредиторской задолженности по-
казывает, через сколько дней в среднем предприятие опла-
чивало предъявленные счета кредиторов.
Пример 16. На конец финансового года кредиторская
задолженность предприятия равна 30000 руб., а объем за-
купок в кредит — 90000 руб. Определим период оборачи-
ваемости кредиторской задолженности.
Период оборачиваемости кредиторской задолженности =
= 365х(кредиторская задолженность)/(объем закупок в кре-
дит) = 365x30000/90000 « 122 дня, то есть в прошедшем
финансовом году предприятие оплачивало предъявленные
счета кредиторов в среднем через 122 дня после предъяв-
ления этих счетов.
Задача 16. На конец финансового года кредиторская
задолженность предприятия равна 35000 руб., а объем за-
купок в кредит — 140000 руб. Определить период оборачи-
ваемости кредиторской задолженности.
Три рассмотренных показателя (коэффициент оборачивае-
мости запасов, период оборачиваемости дебиторской задол-
женности и период оборачиваемости кредиторской задолжен-
ности) наиболее ценны для среднего звена руководства пред-
приятием при выработке целей и осуществлении контроля
управления. Однако их невозможно вычислить тем, кто не
работает на этом предприятии и не имеет доступа к инфор-
мации, так как такая информация нигде не публикуется.
Из-за колебания уровня запасов в течение года указанное
в балансе количество запасов можно рассматривать лишь
как приблизительную оценку реального среднего размера за-
пасов. В опубликованном счете прибылей и убытков не ука-
31
зывается доля продаж и закупок, осуществляемых в кредит.
Поэтому к любой оценке этих финансовых коэффициентов,
сделанной аналитиками, не работающими на изучаемом
предприятии, нужно подходить очень осторожно.
§ 6.4. РЕНТАБЕЛЬНОСТЬ
В этом параграфе мы постараемся найти ответ на вопрос о
том, насколько прибыльна каждая продажа.
Рентабельность предприятия — это отношение факти-
ческой прибыли к объему продаж. Используя счет прибы-
лей и убытков, вычисляют два показателя рентабельности
предприятия: чистую маржу и валовую маржу. Рассмотрим
их подробнее.
Чистая маржа вычисляется по следующей формуле:
чистая маржа | = чистая прибыль ; объем продаж j х 100%.
Чистая маржа показывает, какая доля объема продаж ос-
тается у предприятия в виде чистой прибыли после покры-
тия себестоимости проданной продукции и всех расходов
предприятия. Этот показатель может служить указателем
допустимого уровня рентабельности, при котором предприя-
тие еще не терпит убытки.
На чистую маржу можно влиять ценовой политикой пред-
приятия (валовая маржа и наценка) и контролем над затра-
тами.
Валовая маржа вычисляется по следующей формуле:
валовая маржа
валовая прибыль ; объем продаж j х 100% .
Наблюдается обратная зависимость между валовой мар-
жой и оборачиваемостью запасов: чем ниже оборачиваемость
запасов, тем выше валовая маржа; чем выше оборачивае-
мость запасов, тем ниже валовая маржа.
Производители должны обеспечивать себе более высокую
валовую маржу по сравнению с торговлей, так как их про-
дукт больше времени находится в производственном процес-
се. Валовая маржа определяется политикой ценообразования.
С валовой маржой не следует путать другой инструмент
ценообразования — наценку, которая вычисляется по следу-
ющей формуле:
наценка
валовая прибыль
себестоимость
проданной продукции
X 100%.
32
При установлений наценки следует исходить из желае-
мой стратегической позиции предприятия относительно кон-
курентов.
На одном конце рыночного спектра находятся предприя-
тия, обеспечивающие высокое качество и назначающие за-
ведомо высокие цены (то есть имеющие невысокий объем
продаж). На другом конце рыночного спектра — предприя-
тия, продающие большие объемы товара по низким ценам.
Пример 17. Определим в примере 1 чистую маржу, ва-
ловую маржу и наценку.
Чистая маржа = (чистая прибыль)/(объем продаж) х 100%
= 80000/200000x100% = 40%. Поэтому из каждого 1 руб.
объема продаж чистая прибыль после покрытия себестои-
мости проданной продукции и всех расходов предприятия
составляет 0,4 руб.
Валовая маржа = (валовая прибыль)/(объем продаж) х 100%
= 110000/200000x100% = 55%.
Наценка = (валовая прибыль)/(себестоимость проданной
продукциях 100% = 110000/90000x100% » 122%..
Задача 17. Определить в задаче 1 чистую маржу, валовую
маржу и наценку.
§ 6.5. ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
Детальный анализ финансовых коэффициентов применим
только для внутренних целей менеджмента. Инвесторам же
необходим простой показатель, отражающий в обобщенном
виде другие финансовые коэффициенты и дающий ответ на
вопрос о том, как действует данное предприятие по сравне-
нию с другими предприятиями данной отрасли. Под финан-
совыми результатами мы будем понимать прибыль, получен-
ную на каждый вложенный в предприятие рубль.
Основной показатель здесь — это коэффициент рента-
бельности чистых активов ROCE (англ. Return on^Capital
Employed), который вычисляется по следующей формуле:
ROCE I = ( I чистая прибыль I ; суммарные чистые активы I ) х 100% ,
где
суммарные
чистые активы
внеоборотные
активы
оборотные
активы
краткосрочные
обязательства
Величина ROCE показывает, какова чистая прибыль с
каждого рубля, вложенного инвесторами в предприятие.
33
Так как
ROCE — чистая прибыль
; I суммарные чистые активы
(объем , суммарные
продаж * чистые активы
чистая
прибыль
объем
продаж
_ коэффициент чистая
оборачиваемости активов х маржа ’
то коэффициент рентабельности чистых активов ROCE ис-
пытывает влияние эффективности использования ресурсов
(оценивается коэффициентом оборачиваемости активов) и
рентабельности (оценивается чистой маржой).
Пример 18. В примере 11 чистая прибыль равна 35000
руб. Определим коэффициент рентабельности чистых акти-
вов.
Коэффициент рентабельности чистых активов ROCE =
= (чистая прибыль)/(суммарные чистые активы)хЮ0% ==
= 35000/110000x100% » 32%, то есть чистая прибыль с
каждого рубля, вложенного инвесторами в предприятие,
равна 0,32 руб.
Задача 18. В задаче 11 чистая прибыль равна >40000
руб. Определить коэффициент рентабельности чистых ак-
тивов.
Невозможно оценить весь набор рассмотренных коэффи-
циентов как «плохой» или «хороший», пока не будут прове-
дены детальный анализ или сопоставление этих показателей
с предыдущими результатами предприятия и со стандарт-
ными показателями по отрасли в целом. Поэтому следует
проявлять осторожность в толковании финансовых показа-
телей и не делать поспешных выводов без полной информа-
ции о предприятии и отрасли в целом.
34
[лава 7
УЧЕТ ЗАТРАТ
Ресурсы предприятия ограничены. Поэтому нужен план их
эффективного использования. Этот план должен содержать
прогноз будущих объема продаж и себестоимости проданной
продукции. Основная цель — это контроль над затратами и
максимизация прибыли предприятия.
§ 7.1. ЦЕНТРЫ ЗАТРАТ
Затраты — это расходы, отнесенные на конкретный про-
дукт, работника или производственный процесс. Без знания
фактических затрат ведения хозяйственной деятельности не-
возможно принять правильные решения о деятельности
предприятия в будущем. Одна из целей предприятия — оку-
паемость затрат в долгосрочном плане.
Некоторые виды затрат можно легко отождествить с кон-
кретным продуктом или производственным процессом. Но
большая часть затрат менее специфична. Такие затраты на-
зываются накладными расходами. Для управления наклад-
ными расходами руководство предприятия связывает их с
центрами затрат.
Центры затрат — это подразделения или единицы обо-
рудования, в отношении которых затраты могут быть конкре-
тизированы для целей контроля и управления. Предприятие
— это своеобразная иерархия центров йатрат. Примеры цент-
ров затрат: филиал предприятия, производственная линия.
Некоторые затраты непосредственно связаны с центром
затрат и могут быть распределены на него. Другие виды за-
трат можно распределить сразу по нескольким центрам за-
трат. Это распределение должно быть пропорциональным по-
лученной выгоде от этих затрат (на основе объема продаж,
числа работников, занимаемой пдощади и т. д.). Например,
арендная плата за помещения супермаркета распределяется
между отделами пропорционально занимаемой площади.
35
§ 7.2. ЦЕНТРЫ ПРИБЫЛИ
Лишь некоторые подразделения предприятия непосредствен-
но приносят доходы. Это — центры прибыли. Центры при-
были — это одновременно и центры затрат, но не все цент-
ры затрат являются центрами прибыли. Все затраты долж-
ны покрываться центрами прибыли.
Счет прибылей и убытков предприятия следует разделить
по центрам прибыли. Будет получена дополнительная ин-
формация об относительном вкладе каждого центра прибы-
ли в общую прибыль предприятия. Это укажет на целесооб-
разность расширения или сокращения каких-то подразделе-
ний предприятия.
§ 7.3. НОРМАТИВНЫЕ И ФАКТИЧЕСКИЕ ЗАТРАТЫ
Большинство видов хозяйственной деятельности связано с
производством товаров, предназначенных для продажи по-
требителю. На каждой стадии производства продукт требует
определенных затрат и приобретает добавочную стоимость.
Именно затраты определяют цены, обеспечивающие при-
быль.
Для установления себестоимости продукта используется
система учета фактических затрат по заказам или по про-
цессам. При этом фактические затраты служат основой для
нормативных затрат, с которыми гораздо проще работать.
Использовать фактические затраты в качестве основы для
определения цены невозможно из-за того, что цены объяв-
ляются потребителю задолго до производства продукта. Но
всегда необходимо проводить сопоставление нормативных и
фактических затрат.
36
[лава 8
ФАКТОРЫ ПРОИЗВОДСТВА
И ЗАТРАТЫ
§ 8.1. ФАКТОРЫ ПРОИЗВОДСТВА
Очень важно понимать взаимосвязь между затратами и до-
стигаемыми объемами продаж и прибылью. Любой вводи-
мый ресурс, который используется для производства про-
дукции, называется фактором производства.
Пример 19. Земля, здания, оборудование, труд — это
примеры факторов производства.
Задача 19. Привести примеры факторов производства.
Различают постоянные и переменные факторы производ-
ства. Постоянные факторы производства своего изме-
нения требуют значительного периода времени. Переменные
факторы производства могут быстро изменяться в ответ на
изменение спроса.
Пример 20. Здания — это пример постоянного фактора
производства.
Задача 20. Привести примеры постоянных факторов
производства.
Пример 21. Количество часов, отработанных сотрудни-
. ками-почасовиками, — это пример переменного фактора
производства.
Задача 21. Привести примеры переменных факторов
производства.
§ 8.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАТРАТ
Каждый фактор производства сопряжен с определенными
затратами. Затраты, связанные с постоянными факторами
производства, изменяются только в долгосрочном плане и
не зависят от объема продаж. Затраты, не зависящие от объ-
ема продаж, называются постоянными затратами.
37
Пример 22. Затраты на отопление заводоуправления —
это постоянные затраты.
Задача 22. Привести примеры постоянных затрат.
Затраты на использование переменного фактора произ-
водства зависят от объема продаж. Это переменные затраты.
Пример 23. Затраты на тару для готовой продукции —
это переменные затраты.
Задача 23. Привести примеры переменных затрат.
Существуют затраты, которым присущи черты и посто-
янных, и переменных затрат. Это полу переменные затраты.
Пример 24. Стоимость использования телефона отно-
сится к категории переменных затрат, но фиксированная
плата попадает под определение постоянных затрат.
Задача 24. Привести примеры по л у переменных затрат.
Совокупные затраты — это сумма всех постоянных и
переменных затрат для данного достигнутого объема про-
даж.
Предприятие стремится минимизировать свои совокуп-
ные затраты. Использование переменных факторов произ-
водства придает любому бизнесу гибкость и способность опе-
ративно реагировать на изменение экономических условий и
рыночной конъюнктуры.
В краткосрочном периоде количество имеющихся в распо-
ряжении предприятия постоянных факторов производства ог-
раничено. Предприятие может производить продукцию толь-
ко в пределах этих ограничений. Дальнейший рост предприя-
тия может быть достигнут только за счет дополнительных ин-
вестиций капитала в постоянные факторы производства.
Средние затраты на единицу проданной продукции вы-
числяются по следующей формуле:
средние затраты на единицу __ совокупные , число проданных
проданной продукции затраты • единиц продукции
Пример 25. Совокупные затраты равны 100000 руб.,
число проданных единиц продукции — 5000. Определим
средние затраты на единицу проданной продукции.
Средние затраты на единицу проданной продукции =
= (совокупные затраты)/(число проданных единиц продук-
ции) = 100000/5000 = 20 руб./единицу.
Задача 25. Совокупные затраты равны 150000 руб.,
число проданных единиц продукции - 6000. Определить
средние затраты на единицу проданной продукции.
38
При открытии нового предприятия объем продаж снача-
ла низок, а средние затраты на единицу проданной продук-
ции относительно высоки. По мере развития и становления
предприятия объем продаж увеличивается. Совокупные за-
траты также увеличиваются. Но изначально постоянные за-
траты имеют большее значение, так как требуются здания,
оборудование и т. д.
Постоянные затраты с течением времени не меняются.
Поэтому средние затраты на единицу проданной продукции
сокращаются. Это эффект масштаба.
Еще одно преимущество эффекта масштаба — это специа-
лизация. На крупном предприятии существует разграниче-
ние функциональных обязанностей, что приводит к значи-
тельной экономии. Но эффект масштаба имеет и недостат-
ки. Чем крупнее предприятие, тем сложнее им управлять.
Рост бюрократического аппарата ведет к росту средних за-
трат на единицу проданной продукции. Это отрицательный
эффект масштаба. В этом случае нужно пересмотреть на-
бор используемых ресурсов.
39
Глава 9
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ КАЛЬКУЛЯЦИЯ
СЕБЕСТОИМОСТИ
Традиционные системы калькуляции себестоимости продук-
ции, в которых косвенные издержки считаются постоянны-
ми и не связанными с принимаемым решением (нерелевант-
ными) 9 все чаще подвергаются критике. Так как многие
предприятия реализуют на рынке широкий ассортимент про-
дукции, то косвенные издержки (то есть издержки, которые
невозможно отнести единственным способом к какой-то це-
левой затрате) перестают быть относительно небольшими.
Поэтому ошибки в результате неправильных решений на ос-
нове недостаточной информации стали более вероятными и
дорогостоящими.
Снижающиеся затраты на обработку информации приве-
ли к созданию функциональной системы калькуляции за-
трат — системы АВС (англ, activity-based costing systems).
§ 9.1. СРАВНЕНИЕ ТРАДИЦИОННОЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМ КАЛЬКУЛЯЦИИ
СЕБЕСТОИМОСТИ
В традиционной системе калькуляции себестоимости наклад-
ные расходы распределяются между производственными и
обслуживающими подразделениями, а затем затраты обслу-
живающих подразделений перераспределяются на производ-
ственные подразделения (так называемые центры затрат).
В функциональной системе калькуляции себестоимости
накладные расходы распределяются по основным видам дея-
тельности, а не по подразделениям. Виды деятельности —
это совокупность многих различных задач, для решения ко-
торых совершаются соответствующие действия.
Пример 29. Примеры видов деятельности: наладка обо-
рудования, закупка материалов, контроль качества продук-
ции.
Задача 29. Привести примеры видов деятельности.
40
В функциональной системе калькуляции себестоимости,
как правило, центров затрат значительно больше, чем в тра-
диционной системе. Также прослеживается тенденция выде-
лять отдельно факторы издержек для центров поддержки и
распределять затраты на вспомогательные виды деятельнос-
ти непосредственно на целевые затраты без этапа перерас-
пределения их на производственные центры.
В традиционной системе калькуляции затрат применяют-
ся только факторы издержек, зависящие от объема производ-
ства. В системе АВС используются факторы издержек как за-
висящие от объема производства, так и не зависящие от него.
Пример 27. Примеры факторов издержек, зависящих
от объема производства: часы работы оборудования, необ-
ходимые для выпуска продукции; часы труда, непосредст-
венно затрачиваемого для выпуска продукции.
Задача 27. Привести примеры факторов издержек, за-
висящих от объема производства.
Пример 28. Число наладок оборудования (то есть пере-
ходов с выпуска одного вида продукции на другой) — это
пример фактора издержек, не зависящего от объема произ-
водства.
Задача 28. Привести примеры факторов издержек, не
зависящих от объема производства.
Если значительная доля затрат предприятия не связана с
объемом выпускаемой продукции, то применение традици-
онной системы калькуляции затрат может привести к завы-
шению расходов по одним видам продукции и к занижению
по другим.
Пример 29. Предприятие производит продукты X и Y.
Продукт X выпускается в больших количествах крупными
партиями, но нерегулярно, потребляет 35% часов труда ос-
новных работников. Продукт Y выпускается в ограничен-
ных количествах маленькими партиями и потребляет 10%
часов труда основных работников. Объем продаж продук-
тов X и Y равен 700000 и 200000 руб. соответственно. Пря-
мые издержки продуктов X и Y равны 300000 и 50000 руб.
соответственно.
После подробного исследования стало ясно, что на каж-
дый продукт за отчетный период приходится по 20% от чис-
ла всех обработанных за это время партий продукции и что
накладные расходы, начисленные на центр издержек, ко-
леблются в долгосрочном плане в соответствии со спросом
на продукцию и выросли до 900000 руб. Определим объяв-
41
ленную прибыль производства продуктов X и У с помощью
традиционной и функциональной систем учета затрат.
Заполним таблицу с помощью традиционной системы
учета затрат.
Показатели (руб.) Продукт X Продукт Y
Объем продаж 700000 200000
Прямые издержки 300000 50000
Начисленные накладные расходы 315000 90000
Объявленная прибыль 85000 60000
Поясним, как заполняется таблица.
Традиционная система учета затрат в качестве базы рас-
пределения для начисления накладных расходов использу-
ет часы труда основных работников.
Для продукта X начисленные накладные расходы рав-
ны 0,35x900000 = 315000 руб.
Для продукта У начисленные накладные расходы рав-
ны 0,1x900000 = 90000 руб.
Объявленная прибыль = объем продаж - прямые из-
держки — начисленные накладные расходы.
Заполним таблицу с помощью функциональной систе-
мы учета затрат.
Показатели (руб.) Продукт X Продукт Y
Объем продаж 700000 200000
Прямые издержки 300000 50000
Начисленные накладные расходы 180000 180000
Объявленная прибыль 220000 (30000)
Поясним, как заполняется таблица.
Функциональная система учета затрат в качестве базы
распределения для начисления накладных расходов исполь-
зует долю обрабатываемых партий продукции как фактор
издержек. В функциональной системе учета затрат наклад-
ные расходы определяются не только выходом продукции.
Для продукта X начисленные накладные расходы рав-
ны 0,2x900000 = 180000 руб.
Для продукта У начисленные накладные расходы рав-
ны 0,2x900000 = 180000 руб.
Функциональная система учета затрат показывает, что
производство продукта У убыточно.
Задача 29. Предприятие производит продукты X и У.
Продукт X выпускается в больших количествах крупными
партиями, но нерегулярно, потребляет 40% часов труда ос-
новных работников. Продукт У выпускается в ограничен-
ных количествах маленькими партиями и потребляет 8%
часов труда основных работников. Объем продаж продук-
42
тов X и У равен 750000 и 250000 руб. соответственно. Пря-
мые издержки продуктов X и У равны 330000 и 60000 руб.
соответственно.
После подробного исследования стало ясно, что на каж-
дый продукт за отчетный период приходится по 25% от чис-
ла всех обработанных за это время партий продукции и что
накладные расходы, начисленные на центр издержек, ко-
леблются в долгосрочном плане в соответствии со спросом
на продукцию и выросли до 850000 руб. Определить объяв-
ленную прибыль производства продуктов X и У с помощью
традиционной и функциональной систем учета затрат.
§ 9.2. РАСЧЕТ СЕБЕСТОИМОСТИ С ПОМОЩЬЮ
ТРАДИЦИОННОЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМ
УЧЕТА ЗАТРАТ
Пример 30. Предприятие производит продукты X и У.
Показатели Продукт X Продукт Y
Объем продаж, ед. 3500 1500
Использование сырья, ед./ед. продукции 6 8
Затраты на основные материалы, руб./ед. продукции 24 21
Труд основных работников, ч/ед. продукции 2 3
Время работы оборудования, ч/ед. продукции 2 1
Затраты на труд основных работников, руб. 10 15
Число производственных циклов 4 6
Число доставок продукта 8 5
Число доставок материалов 20 30
Число производственных заказов 14 11
Накладные расходы на наладку равны 3500 руб., на обо-
рудование — 70000 руб., на получение материалов — 40000
руб., на упаковку — 26000 руб., на инженерное обеспече-
ние — 38000 руб. Определим себестоимость продукции, ис-
пользуя традиционную систему учета затрат и предпола-
гая, что все накладные расходы начисляются на основе вре-
мени работы основных работников.
Суммарные накладные расходы = расходы на наладку +
+ расходы на оборудование + расходы на получение мате-
риалов + расходы на упаковку + расходы на инженерное
обеспечение = 3500 + 70000 + 40000 + 26000 + 38000 =
= 177500 руб.
Суммарные часы труда основных работников = (объем
продаж продукта Х)х(труд основных работников на единицу
продукта X) + (объем продаж продукта ¥)х(труд основных
43
работников на единицу продукта У) = 3500x2 + 1500x3 =
= 11500 ч.
Тогда ставка накладных расходов по труду основных ра-
ботников — (суммарные накладные расходы)/(суммарные
часы труда основных работников) = 177500/11500 « 15,43
руб. на 1 ч труда основных работников.
Заполним таблицу себестоимости продукции.
Показатели (руб.) Единица продукта X Единица продукта Y
Основные производственные материалы 24 21
Затраты на труд основных работников 10 15
Накладные расходы 30,86 46,29
Суммарные затраты 64,86 82,29
Поясним, как заполняется таблица.
Накладные расходы = (труд основных работников) х
х (ставка накладных расходов по труду основных работни-
ков). Тогда для единицы продукта X накладные расходы =
= 2x15,43 = 30,86 руб., а для единицы продукта Y наклад-
ные расходы = 3x15,43 = 46,29 руб. В последней строке
указана сумма чисел соответствующего столбца.
Задача 30. Предприятие производит продукты X и У.
Показатели Продукт X Продукт Y
Объем продаж, ед. 3400 1600
Использование сырья, ед./ед. продукции 5 9
Затраты на основные материалы, руб./ед. продукции 23 22
Труд основных работников, ч/ед. продукции 3 4
Время работы оборудования, ч/ед. продукции 3 2
Затраты на труд основных работников, руб. 9 14
Число производственных циклов 5 7
Число доставок продукта 8 6
Число доставок материалов 25 30
Число производственных заказов 13 12
Накладные расходы на наладку равны 3600 руб., на обо-
рудование — 75000 руб., на получение материалов — 35000
руб., на упаковку — 27000 руб., на инженерное обеспече-
ние — 39000 руб. Определить себестоимость продукции,
используя традиционную систему учета затрат и предпола-
гая, что все накладные расходы начисляются на основе вре-
мени работы основных работников.
Пример 31. В примере 30 определим себестоимость про-
дукции, используя традиционную систему учета затрат и
предполагая, что накладные расходы подразделения при-
44
емки материала покрываются на основе ставки распределе-
ния накладных расходов на обработку получаемых матери-
алов, а оставшиеся накладные расходы покрываются на ос-
нове ставки времени работы оборудования.
Затраты на основные производственные материалы =
= (затраты на основные производственные материалы для
единицы продукта Х)х(объем продаж продукта X) + (за-
траты на основные производственные материалы для еди-
ницы продукта У)х(объем продаж продукта У) = 24x3500 +
+ 21x1500 = 115500 руб.
Тогда ставка Накладных расходов на получение матери-
алов = (накладные расходы на получение материалов)/(за-
траты на основные производственные материалы) =
= 40000/115500 * 0,3463.
Другие накладные расходы = суммарные накладные
расходы — накладные расходы на получение материалов =
= 177500 - 40000 == 137500 руб.
Суммарное время работы оборудования = (время работы
оборудования для производства единицы продукта Х)х (объ-
ем продаж продукта X) + (время работы оборудования для
производства единицы продукта У) х (объем продаж продук-
та У) = 2x3500 + 1x1500 = 8500 ч. Отсюда ставка наклад-
ных расходов на час работы оборудования = (другие на-
кладные расходы)/(суммарное время работы оборудования)
= 137500/8500 г 16,18 руб./час работы оборудования.
Заполним таблицу себестоимости продукции.
Показатели (руб.) Единица продукта X Единица продукта Y
Основные производственные материалы 24 21
Затраты на труд основных работников 10 15
Накладные расходы на получение материалов 8,31 7,27
Другие накладные расходы (на основе часов работы оборудования) 32,36 16,18
Суммарные затраты 74,67 59,45
Поясним, как заполняется таблица.
Каждое число 1-й строки умножаем на ставку накладных
расходов на получение материалов (0,3463), результат округ-
ляем до двух цифр после запятой и пишем в 3-й строке.
Другие накладные расходы (на основе часов работы обо-
рудования) = (ставка накладных расходов на час работы
оборудования)х(время работы оборудования). Для единицы
продукта X это 16,18x2 = 32,36 руб., а для единицы про-
дукта У это 16,18x1 = 16,18 руб.
В последней строке указана сумма чисел соответствую-
щего столбца.
45
Задача 31. В задаче 30 определить себестоимость про-
дукции, используя традиционную систему учета затрат и
предполагая, что накладные расходы подразделения при-
емки материала покрываются на основе ставки распределе-
ния накладных расходов на обработку получаемых матери-
алов, а оставшиеся накладные расходы покрываются на ос-
нове ставки времени работы оборудования.
Пример 32. В примерах 30, 31 определим производст-
венные затраты с помощью функциональной системы каль-
куляции себестоимости.
Число производственных циклов = число производст-
венных циклов продукта X + число производственных цик-
лов продукта У = 4 + 6=10. Тогда затраты на наладку =
= (расходы на наладку)/(число производственных циклов) =
= 3500/10 = 350 руб./цикл.
Число доставок материалов = число доставок материа-
лов для продукта X + число доставок материалов для про-
дукта Y = 20 4- 30 = 50. Отсюда расходы на одну доставку
материалов = (расходы на получение материалов)/(число до-
ставок материалов) = 40000/50 = 800 руб./доставку.
Число доставок продукта == число доставок продукта X +
+ число доставок продукта У=8 + 5 = 13. Поэтому расхо-
ды на упаковку одного заказа = (расходы на упаковку)/(чис-
ло доставок продукта) = 26000/13 = 2000 руб./доставку.
Число производственных заказов = число производст-
венных заказов для продукта X + число производственных
заказов для продукта У = 14 + 11 = 25. Тогда расходы на
выполнение производственного заказа =• (расходы на инже-
нерное обеспечение)/(число производственных заказов) =
38000/25 = 1520 руб./заказ.
Заполним таблицу себестоимости продукции.
Показатели (руб.) Единица продукта X Единица продукта Y
Основные производственные материалы 24 21
Затраты на труд основных работников 10 15
Накладные расходы по оборудованию 16,48 8,24
Расходы на наладку оборудования 0,4 1,4
Расходы на получение материалов 4,57 16
Расходы на упаковку 4,57 6,67
Расходы на инженерное обеспечение 6,08 11,15
Суммарные производственные расходы 66,10 79,46
Поясним, как заполняется таблица.
Ставка накладных расходов по оборудованию = (наклад-
ные расходы по оборудованию)/(суммарное время работы
оборудования) = 70000/8500 * 8,24 руб./ч.
46
Накладные расходы по оборудованию для единицы про-
дукта X = (время работы оборудования для продукта Х)х
х(ставка накладных расходов по оборудованию) = 2x8,24 =
= 16,48 руб.
Аналогично накладные расходы по оборудованию для
единицы продукта У == 1x8,24 = 8,24 руб.
Расходы на наладку оборудования для единицы продук-
та X = (расходы на одну наладку) х (число производствен-
ных циклов для продукта Х)/(объем продаж продукта X) =
= 350x4/3500 = 0,4 руб.
Аналогично расходы на наладку оборудования для еди-
ницы продукта У = (расходы на одну наладку) х(число про-
изводственных циклов для продукта У)/(объем продаж про-
дукта У) = 350x6/1500 = 1,4 руб.
Расходы на доставку материалов для единицы продукта X
= (расходы на одну доставку материалов) х (число доставок
материалов для продукта Х)/(объем продаж продукта X) =
= 800x20/3500 « 4,57 руб.
Аналогично расходы на доставку материалов для еди-
ницы продукта У = 800x30/1500 == 16 руб.
Расходы на упаковку единицы продукта X = (расходы
на упаковку одного заказа)х(число доставок продукта
Х)/(объем продаж продукта X} = 2000x8/3500 = 4,57 руб.
Аналогично расходы на упаковку единицы продукта У =
= 2000x5/1500 = 6,67 руб.
Расходы на инженерное обеспечение для единицы про-
дукта X = (расходы на выполнение производственного за-
каза) х(число производственных заказов для продукта
Х)/(объем продаж продукта X) = 1520x14/3500 = 6,08 руб.
Аналогично расходы на инженерное обеспечение для
единицы продукта У = 1520x11/1500 = 11,15 руб.
В последней строке указана сумма чисел соответствую-
щего столбца.
Задача 32. В задачах 30, 31 определить производствен-
ные затраты с помощью функциональной системы кальку-
ляции себестоимости.
47
Глава 10
АНАЛИЗ ОТКЛОНЕНИЙ
Отклонения, рассматриваемые в этой главе, используются
как в системе калькуляции себестоимости по нормативным
переменным издержкам, так и в системе калькуляции себе-
стоимости по нормативным издержкам с их полным опреде-
лением.
§ 10.1. ОТКЛОНЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛАМ
Затраты на материалы, используемые в производстве про-
дукта, зависят от цены материалов и от количества матери-
алов. Так как фактическое количество использованных ма-
териалов, скорее всего, отличается от нормативного, а фак-
тические цены — от нормативных цен, то фактические за-
траты будут отличаться от нормативных.
Отклонение по цене материала вычисляется по следую-
щей формуле:
отклонение по цене материала -( нормативная цена - фактическая цена Iх количество приобре- тенного материала
Пример 33. Нормативная и фактическая цены равны
соответственно 15 руб./кг и 16 руб./кг, а количество при-
обретенного материала — 100 кг. Определим отклонение
по цене материала.
Отклонение по цене материала = (нормативная цена —
— фактическая цена) х (количество приобретенного материа-
ла) = (15 - 16)хЮ0 = -100 руб.
Задача 33. Нормативная и фактическая цены равны со-
ответственно 14 руб./кг и 12 руб./кг, а количество приоб-
ретенного материала — 150 кг. Определить отклонение по
цене материала.
Фактические цены могут превышать нормативные из-за
изменений на рынке материалов. Положительное отклоне-
48
ние по цене материала может быть из-за закупок материала
более низкого качества, что в дальнейшем приведет к ухуд-
шению качества выпускаемой продукции или увеличению
отходов производства.
Отклонение по использованию материала вычисляется
по следующей формуле:
отклонение по
использованию
материала
нормативное количество
материала для фактичес-
кого выпуска продукции
фактическое
количество
материала
норматив-
ная цена
материала
х
Пример 34- Нормативное количество материала для
фактического выпуска продукции равно 100 кг. Фактичес-
ки же было использовано 110 кг. Нормативная цена мате-
риала равна 50 руб./кг. Определим отклонение по исполь-
зованию материала.
Отклонение по использованию материала = (норматив-
ное количество материала для фактического выпуска про-
дукции - фактическое количество материала) х (норматив-
ная цена материала) = (100 — 110)х50 = —500 руб.
Задача 34- Нормативное количество материала для
фактического выпуска продукции равно 50 кг. Фактичес-
ки же было использовано 40 кг. Нормативная цена мате-
риала равна 60 руб./кг. Определить отклонение по исполь-
зованию материала.
Причинами возникновения отклонения по использованию
материала могут быть небрежное отношение сотрудников с
материалом, закупка материала низкого качества, хищения
материала, изменение требований по контролю за качеством
или методов производства.
Общее отклонение по затратам на материал равно сум-
ме отклонения по цене материала и отклонения по исполь-
зованию материала. Общее отклонение по затратам на мате-
риал вычисляется по следующей формуле:
общее отклонение
по затратам
на материал
фактический
выпуск
продукции
нормативные
издержки на материал
на единицу продукции
фактические
затраты на
материал
Пример 35. Нормативные издержки на материал на
единицу продукции равны 100 руб./кг, а фактический вы-
пуск продукции составил 50 кг. Фактические затраты на
материал равны 4800 руб. Определим общее отклонение по
затратам на материал.
Общее отклонение по затратам на материал = (фактиче-
ский выпуск продукции) х (нормативные издержки на мате-
риал) - (фактические затраты на материал) = 50x100 —
- 4800 = 200 руб.
49
Задача 35. Нормативные издержки на материал на еди-
ницу продукции равны 50 руб./кг, а фактический выпуск
продукции составил 20 кг. Фактические затраты на мате-
риал равны 1100 руб. Определить общее отклонение по за-
тратам на материал.
§ 10. ОТКЛОНЕНИЕ ПО ТРУДОЗАТРАТАМ
Отклонение по ставке заработной платы вычисляется по
следующей формуле:
отклонение по
ставке заработной
платы
нормативная
ставка заработ-
ной платы
фактическая \
ставка зара- I
ботной платы /
фактически
отработанное
время
Пример Зв. Нормативная ставка заработной платы рав-
на 100 руб./ч, а фактически отработанное время составило
10 ч. Фактическая ставка заработной платы равна 105
руб./ч. Определим отклонение по ставке заработной платы.
Отклонение по ставке заработной платы = (норматив-
ная ставка заработной платы — фактическая ставка зара-
ботной платы) х (фактически отработанное время) =*= (100 —
- 105)хЮ « -50 руб.
Задача Зв. Нормативная ставка заработной платы рав-
на 90 руб./ч, а фактически отработанное время составило
20 ч. Фактическая ставка заработной платы равна 84
руб./ч. Определить отклонение по ставке заработной платы.
Отклонение по производительности труда
по следующей формуле:
вычисляется
отклонение по
производитель-
ности труда
нормативное рабочее
время для фактического
выпуска продукции
фактически
отработанное
время
)х
нормативная
ставка зара-
ботной платы
Пример 37. Нормативное рабочее время для фактичес-
кого выпуска продукции равно 100 ч, а фактически отра-
ботанное время составило 90 ч. Нормативная ставка зара-
ботной платы равна 80 руб./ч. Определим отклонение по
производительности труда.
Отклонение по производительности труда = (норматив-
ное рабочее время для фактического выпуска продукции —
— фактически отработанное время)х(нормативная ставка
заработной платы) = (100 — 90)х80 = 800 руб.
Задача 37. Нормативное рабочее время для фактичес-
кого выпуска продукции равно 80 ч, а фактически отрабо-
танное время составило 85 ч. Нормативная ставка заработ-
ной платы равна 90 руб./ч. Определить отклонение по про-
изводительности труда.
50
Причинами возникновения отклонения по производитель-
ности труда являются материалы низкого качества, слож-
ность работы , плохое техническое обслуживание оборудова-
ния, использование нового оборудования, изменение произ-
водственных процессов.
Общее отклонение по трудозатратам вычисляется по
следующей формуле:
общее
отклонение по
трудозатратам
фактический
выпуск
продукции
нормативные
трудозатраты на
единицу продукции
фактические
трудозатраты
Пример 38. Нормативные трудозатраты на единицу
продукции равны 10 руб./ед., а фактический выпуск про-
дукции составил 100 единиц. Фактические трудозатраты
равны 800 руб. Определим общее отклонение по трудозат-
ратам.
Общее отклонение по трудозатратам = (фактический вы-
пуск продукции) х(нормативные трудозатраты на единицу
продукции) — фактические трудозатраты = 100x10 - 800 =
= 200 руб.
Задача 38. Нормативные трудозатраты на единицу
продукции равны 15 руб./ед., а фактический выпуск про-
дукции составил 90 единиц. Фактические трудозатраты
равны 1400 руб. Определить общее отклонение по трудоза-
тратам.
§ 10.3. ПЕРЕМЕННЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
НАКЛАДНЫЕ РАСХОДЫ
Отклонение переменных накладных расходов по затратам
вычисляется по следующей формуле:
отклонение
переменных
накладных расходов
по затратам
сметные переменные
накладные расходы
на объем фактического
ввода ресурсов
фактические
переменные
производственные
накладные расходы
Пример 39. Предполагается, что переменные наклад-
ные расходы будут изменяться в зависимости от времени
труда основных работников. Ставка заработной платы ос-
новных работников равна 90 руб./ч, а труд основных ра-
ботников составил 1000 ч. Фактические переменные произ-
водственные накладные расходы равны 85000 руб. Опреде-
лим отклонение переменных накладных расходов по затра-
там.
Сметные переменные накладные расходы на объем фак-
тического ввода ресурсов = (ставка заработной платы основ-
ных работников) х (труд основных работников) = 90x1000 =
51
= 90000 руб. Тогда отклонение переменных накладных рас-
ходов по затратам = сметные переменные накладные рас-
ходы на объем фактического ввода ресурсов - фактические
переменные производственные накладные расходы =
= 90000 - 85000 = 5000 руб.
Задача 39- Предполагается, что переменные наклад-
ные расходы будут изменяться в зависимости от времени
труда основных работников. Ставка заработной платы ос-
новных работников равна 80 руб./ч, а труд основных ра-
ботников составил 900 ч. Фактические переменные произ-
водственные накладные расходы равны 75000 руб. Опре-
делить отклонение переменных накладных расходов по за-
тратам.
Величина отклонения переменных накладных расходов
по затратам зависит от эффективности использования таких
составляющих, как электричество, техническое обслужива-
ние, косвенные материальные затраты и т. д.
Отклонение переменных накладных расходов по эффек-
тивности вычисляется по следующей формуле:
отклонение
переменных
накладных расходов
по эффективности
нормативные
часы по
исходному
ресурсу
фактические
часы по
исходному
ресурсу
ставка
переменных
накладных
расходов
Пример 40- В примере 39 нормативные часы по труду
основных работников равны 950 ч. Определим отклонение
переменных накладных расходов по эффективности.
Отклонение переменных накладных расходов по эффек-
тивности = (нормативные часы по исходному ресурсу —
— фактические часы по исходному ресурсу) х(ставка пере-
менных накладных расходов) = (950 — 1000)х90 = -4500
руб.
Задача 40. В задаче 39 нормативные часы по труду ос-
новных работников равны 940 ч. Определить отклонение
переменных накладных расходов по эффективности.
Общее отклонение по переменным накладным расходам
вычисляется по следующей формуле:
общее отклонение
по переменным
накладным
расходам
фактический
объем
производства
нормативная ставка
переменных
накладных расходов
на единицу продукции
фактические
переменные
накладные
расходы
52
§ 10.4. ОТКЛОНЕНИЕ ПО ПОСТОЯННЫМ
НАКЛАДНЫМ РАСХОДАМ
Предполагается, что постоянные накладные расходы при из-
менениях уровня деятельности остаются неизменными, но
под влиянием других факторов (например, из-за повышения
цен) они могут меняться.
Отклонение по постоянным накладным расходам вы-
числяется по следующей формуле:
отклонение
по постоянным
накладным расходам
сметные
постоянные
накладные расходы
фактические
постоянные
накладные расходы
Пример 41. Сметные постоянные накладные расходы
равны 100000 руб., а фактические постоянные накладные
расходы — 90000 руб. Определим отклонение по постоян-
ным накладным расходам.
Отклонение по постоянным накладным расходам =
= сметные постоянные накладные расходы — фактические
постоянные накладные расходы = 100000 — 90000 = 10000
руб.
Задача 41. Сметные постоянные накладные расходы
равны 110000 руб., а фактические постоянные накладные
расходы — 115000 руб. Определить отклонение по посто-
янным накладным расходам.
§ 10.5. ОТКЛОНЕНИЯ ПО РЕАЛИЗАЦИИ ПРОДУКЦИИ
Общее отклонение по марже реализации — это разность
между фактической прибылью и сметной прибылью. Откло-
нения по реализации продукции возникают из-за изменения
цен реализации и объема продаж.
Отклонение по цене реализации вычисляется по следую-
щей формуле:
отклонения
по цене
реализации
фактическая маржа
вклада в прибыль
на единицу продукции
нормативная маржа \
вклада в прибыль на I
единицу продукции /
фактичес-
кий объем
продаж
Пример 42. Нормативная маржа вклада в прибыль на
единицу продукции равна 4 руб./ед., а фактический объем
продаж составил 3000 единиц. Фактическая маржа вклада
в прибыль на единицу продукции равна 6 руб./ед. Опреде-
лим отклонение по цене реализации.
Отклонение по цене реализации = (фактическая маржа
вклада в прибыль на единицу продукции — нормативная
53
маржа вклада в прибыль на единицу продукции) х(факти-
ческий объем продаж) = (6 - 4)х3000 = 6000 руб.
Задача 42. Нормативная маржа вклада в прибыль на
единицу продукции равна 5 руб./ед., а фактический объем
продаж составил 4000 единиц. Фактическая маржа вклада
в прибыль на единицу продукции равна 5,5 руб./ед. Опре-
делить отклонение по цене реализации.
Отклонение по объему продаж вычисляется по следую-
щей формуле:
отклонение
по объему
продаж
фактический
объем
продаж
сметный
объем
продаж
нормативная маржа
вклада в прибыль
на единицу продукции
х
Пример 43. Сметный объем продаж равен 3000 единиц,
а нормативная маржа вклада в прибыль на единицу про-
дукции — 4 руб./ед. Фактический объем продаж составил
2900 единиц. Определим отклонение по объему продаж.
Отклонение по объему продаж = (фактический объем
продаж — сметный объем продаж)х(нормативная маржа
вклада в прибыль на единицу продукции) = (2900 —
- 3000)х4 = —400 руб.
Задача 43. Сметный объем продаж равен 4000 единиц,
а нормативная маржа вклада в прибыль на единицу про-
дукции — 5 руб./ед. Фактический объем продаж составил
4200 единиц. Определить отклонение по объему продаж.
Существуют разные точки зрения о целесообразности раз-
биения общего отклонения по марже реализации на откло-
нение по цене реализации и на отклонение по объему про-
даж, так как эти составляющие взаимосвязаны и изменение
цены реализации, как правило, влияет на объем продаж.
При более высоких ценах реализации невозможно рассчи-
тывать на то, что удастся реализовать больше продукции,
чем заложено в смете.
54
Глава 11
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
В широком смысле финансовая математика — это любые фи-
нансовые вычисления для достижения какой-либо цели.
Коммерческие и финансовые вычисления сопровождают нас
постоянно. В каком банке хранить деньги? Какой вид вкла-
да лучше всего выбрать? Положить ли деньги в банк или за-
купить товары впрок? Обменять ли средства на иностран-
ную валюту или положить их в банк? Ехать ли за товарами
на оптовый рынок или покупать их в ближайшем магазине?
Подобные вопросы постоянно возникают перед людьми.
Поэтому задачи, формально относящиеся к области финан-
совой математики, приходится решать очень часто.
С развитием денежного обращения и используемого в рас-
четах математического аппарата совершенствовались и финан-
совые вычисления. Они стали необходимыми для успешного
проведения любой коммерческой деятельности. Вместе с со-
временными методами анализа и моделирования финансовых
ситуаций финансовые вычисления переросли в новое, все бо-
лее влиятельное направление организации и управления пред-
принимательской деятельности — финансовый менеджмент.
Но ядром финансового менеджмента остается финансовая
математика — вполне определенный круг финансовых вы-
числений. Речь идет, прежде всего, об аппарате и методах
расчетов, необходимых при финансовых операциях, когда
оговариваются значения трех параметров: стоимостные ха-
рактеристики (размеры платежей, кредитов, долговых обя-
зательств), временные данные (даты и сроки выплат, отсроч-
ки платежей, продолжительность льготных периодов), спе-
цифические элементы (процентные и учетные ставки). Все
эти параметры равноправны, игнорирование какого-либо од-
ного из них может привести к нежелательным финансовым
последствиям для одной из участвующих сторон.
Между различными видами параметров существуют
функциональные зависимости. Изучение этих зависимостей
и разработка на их основе методов решения финансовых за-
55
дач — важнейшее направление деятельности специалистов в
области финансов.
Финансовая математика имеет сугубо практическое зна-
чение. Она применяется в банковском и сберегательном де-
ле, страховании, в работе финансовых организаций, торго-
вых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валют-
ных бирж, во внешнеэкономической деятельности. Но не
следует полагать, что с помощью финансовой математики
решаются все проблемы финансово-банковской и инвестици-
онной практики.
Методы и понятия финансовой математики обязательно
используются в качестве исходных инструментов при созда-
нии более сложных методов количественного финансового
анализа. С рассмотрения основных понятий финансовой ма-
тематики мы и начнем.
Проценты — это доход от предоставления капитала в
долг. Будем обозначать проценты латинской буквой I. Про-
центная ставка — это величина, которая характеризует
интенсивность начисления процентов.
Исходную инвестированную сумму будем называть перво-
начальной суммой и обозначать латинской буквой Р. Нара-
щенная сумма S — это первоначальная сумма Р + процен-
ты Z: S = Р + Z. Коэффициент наращения k показывает, во
сколько раз выросла первоначальная сумма: k = S/P.
Период начисления — это промежуток времени, за кото-
рый начисляются проценты. Интервал начисления — это
минимальный промежуток времени, по прошествии которо-
го происходит начисление процентов. Например, первона-
чальная сумма может быть инвестирована на 2 года (период
начисления), а проценты на нее будут начисляться каждый
квартал (интервал начисления).
Различают два способа начисления процентов: декурсив-
ный и антисипативный. При декурсивном способе проценты
начисляются в конце каждого интервала начисления. Де-
курсивная процентная ставка называется ссудным процен-
том. При антисипативном (предварительном) способе про-
центы начисляются в начале каждого интервала начисле-
ния. Антисипативная процентная ставка называется учет-
ной ставкой.
В обоих способах начисления процентов процентные став-
ки могут быть либо простыми (в течение всего периода на-
числения применяются к первоначальной сумме), либо слож-
ными (в каждом интервале начисления применяются к те-
кущей наращенной сумме).
56
Глава 12
ПРОСТЫЕ СТАВКИ
ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В главах 12—14 мы рассмотрим те разделы финансовой ма-
тематики, знание которых необходимо при анализе хозяйст-
венной деятельности предприятия.*
Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сум-
ма, I — годовая процентная ставка (проценты простые). Так
как проценты простые, то в течение всего периода начисле-
ния они применяются к первоначальной сумме Р.
Предположим, что первоначальная сумма Р была поме-
щена в банк под i процентов годовых (проценты простые).
Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (первона-
чальная сумма) + iP (проценты) = Р(1 4- Z).
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тог-
да наращенная сумма после двух лет <8 = Р(1 + 0 (наращен-
ная сумма после одного года) + IP (проценты) = Р(1 4- 2Z).
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тог-
да наращенная сумма после трех лет <8 = Р(1 4- 20 (наращен-
ная сумма после двух лет) 4- IP (проценты) = Р(1 4- 3Z). И т. д.
Если п — период начисления процентов (в годах), то на-
ращенная сумма через п лет S = Р(1 4- nt).
Пример 44. Первоначальная сумма Р = 5000 руб. поме-
щена в банк на п = 2 года под I = 15% годовых (проценты
простые).
Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 4- 2i) =
= 5000х(1 4- 2x0,15) = 6500 руб.
Задача 44. Первоначальная сумма Р = 7000 руб. поме-
щена в банк на п = 0,5 года под I = 10% годовых (процен-
ты простые). Найти наращенную сумму.
* Для всех, интересующихся финансовой математикой, автор ре-
комендует свою книгу «Математика в экономике: Задачи и решения»
(М.: Издательство РДЛ, 2005).
57
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S,
простую годовую процентную ставку Z, можно определить
период начисления п (в годах): S = Р(1 4- ni) => 1 + ni = S/P
=> ni = S/P - 1 => n =
Пример 45- Первоначальная сумма P = 3000 руб., на-
ращенная сумма S = 4500 руб., i = 20% годовых (процен-
ты простые). Тогда период начисления
S — P 4500 - 3000
п =------=------------- = 2,5 года.
iP 0,2x3000
Задача 45. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., нара-
щенная сумма S = 7200 руб., i = 10% годовых (проценты
простые). Найти период начисления.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму 8, пе-
риод начисления п (в годах), можно определить простую го-
довую процентную ставку i: S = Р(1 4- ni) => 1 4- ni = S/P =>
ni = S/P - 1 =* i =
nP
Пример 46. Первоначальная сумма P = 2000 руб., на-
ращенная сумма S = 2200 руб., период начисления п = 0,5
года. Тогда простая процентная ставка
S - Р 2200 - 2000 п ( опо/ х
i =------ =------------ = о,2 (= 20% годовых).
пР 0,5x2000
Задача 46. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., нара-
щенная сумма S = 3300 руб., период начисления п = 0,5
года. Найти простую процентную ставку.
§ 12.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Математическим дисконтированием называется операция,
когда по наращенной сумме 8, периоду начисления п и про-
стой процентной ставке i нужно определить первоначальную
с
сумму Р: S = Р(1 4- ni) =*> Р =-.
1 + ni
Пример 47. Наращенная сумма S = 7000 руб., период
начисления п = 0,25 года (один квартал), простая процент-
ная ставка i = 12% годовых. Тогда первоначальная сумма
1 4- ni
7000
14-0,25x0,12
« 6796,12 руб.
Р =
8
Задача 47. Наращенная сумма S = 6000 руб., период
начисления п = 0,5 года, простая процентная ставка i = 15%
годовых. Найти первоначальную сумму.
58
§ 12.2. АНГЛИЙСКАЯ, НЕМЕЦКАЯ И ФРАНЦУЗСКАЯ
ПРАКТИКИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
В формуле S — Р(1 + ni) период начисления п измеряется в
годах. Это не всегда удобно, так как период начисления мо-
жет быть меньше года (например, с 18 марта 2004 года по
20 октября 2004 года). В этом случае полагают п = t/K, где
t — период начисления (в днях), К — продолжительность
года (в днях). Тогда S = Р(1 + it/K). Дата выдачи и дата по-
гашения ссуды всегда считаются за один день.
В немецкой практике начисления процентов один пол-
ный месяц равен 30 дням, продолжительность года К = 360
дней. Во французской практике период начисления процен-
тов равен фактическому сроку, продолжительность года
К =« 360 дней. В английской практике период начисления
процентов равен фактическому сроку, продолжительность
года К = 365 дней (невисокосный год) или 366 дней (висо-
косный год).
Пример 48. Первоначальная сумма Р = 3000 руб. поме-
щена в банк под i = 12% годовых (проценты простые) на
срок с 18 марта 2003 года по 20 октября 2003 года. Най-
дем наращенную сумму в каждой из практик начисления
процентов.
В немецкой практике начисления процентов продолжи-
тельность года К = 360 дней, t = 14 (март) 4- 6x30 (апрель,
май, июнь, июль, август, сентябрь) 4- 20 (октябрь) — 1 (день
открытия и день закрытия счета всегда считаются за один
день) = 213 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) = 3000х(1 +
+ 0,12x213/360) = 3213 руб.
Во французской практике продолжительность года
К = 360 дней, t = 14 (март) 4- 30 (апрель) 4- 31 (май) 4- 30
(июнь) 4-31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 20 (ок-
тябрь) — 1 (день открытия и день закрытия счета всегда
считаются за один день) = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) =
= 3000х(1 + 0,12x216/360) = 3216 руб.
В английской практике продолжительность года К =
365 дней, t = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) = 3000 х
х(1 + 0,12x216/365) « 3213,04 руб.
Задача 48. Первоначальная сумма Р = 2000 руб. поме-
щена в банк под i = 15% годовых (проценты простые) на
срок с 19 февраля 2003 года по 27 ноября 2003 года. Най-
ти наращенную сумму в каждой из практик начисления
процентов.
59
Глава 13
СЛОЖНЫЕ СТАВКИ
ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма,
i — годовая процентная ставка (проценты сложные). Так как
проценты сложные, то в конце каждого интервала начисле-
ния процентная ставка применяется к наращенной сумме на
начало этого интервала начисления.
Предположим, что первоначальная сумма Р была поме-
щена в банк под i процентов годовых (проценты сложные).
Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (сумма на
начало этого интервала начисления) 4- IP (проценты) =
= Р(1 + 0.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тог-
да наращенная сумма после двух лет S = Р(1 4- i) (наращен-
ная сумма после одного года) 4- гР(1 4- i) (проценты) =
= Р(1 + 0(1 + О = Р(1 + о2.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тог-
да наращенная сумма после трех лет S = Р(1 4- I)2 (наращен-
ная сумма после двух лет) 4- /Р(1 4- i)2 (проценты) =
= Р(1 4- i)2(l 4- 0 = Р(1 + О3. И т. д.
Если п — период начисления процентов (в годах), то на-
ращенная сумма через п лет S = Р(1 4- i)n.
Пример 49- Первоначальная сумма Р = 5000 руб. поме-
щена в банк на п = 2 года под i = 15% годовых (проценты
сложные).
Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 4- i)n =
= 5000(1 + 0,15)2 = 6612,5 руб.
Задача 49. Первоначальная сумма Р = 7000 руб. поме-
щена в банк на п = 3 года под i = 10% годовых (проценты
сложные). Найти наращенную сумму.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S,
сложную годовую процентную ставку /, можно определить
период начисления п (в годах):
S = Р(1 + i)n => (1 + i)n = S/P => 1п(1 + г)" = ln(S/P) =>
nln(l + i) = ln(S/P) => п = ln(S/P)/ln(l + i).
60
Пример 50. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., на-
ращенная сумма S = 4500 руб., i = 20% годовых (процен-
ты сложные).
Тогда период начисления п = 1п(8/Р)/1п(1 + /) =
= 1п(4500/3000)/1п(1 + 0,2) « 2,2 года.
Задача 50. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., нара-
щенная сумма 8 = 7200 руб., i = 10% годовых (проценты
сложные). Найти период начисления.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, пе-
риод начисления п (в годах), можно определить сложную го-
довую процентную ставку к
S = P(l + i)" => (l+i)n = -S/P=> 1 + i =^/s7p => i=y/sTP-l.
Пример 51. Первоначальная сумма Р = 2000 руб., нара-
щенная сумма 8 = 3500 руб., период начисления п = 3 года.
Тогда сложная процентная ставка i = yjs/P - 1 =
= •^3500/2000 - 1 = 0,205 (= 20,5% годовых).
Задача 51. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., нара-
щенная сумма 8 = 4000 руб., период начисления п = 2 го-
да. Найти сложную процентную ставку.
§ 13.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Математическим дисконтированием называется операция,
когда по наращенной сумме 8, периоду начисления п и слож-
ной процентной ставке i нужно определить первоначальную
сумму Р. Это делается следующим образом: S = Р(1 + 1)п =>
Р = 8/(1 4- i)n = 8(1 + i)~n.
Пример 52. Наращенная сумма 8 = 7000 руб., период
начисления п = 2 года, сложная процентная ставка i = 12%
годовых. Тогда первоначальная сумма Р = 8/(1 + i)n =
= 7000/(1 + 0,12)2 = 5580,36 руб.
Задача 52. Наращенная сумма 8 = 6000 руб., период
начисления п = 3 года, сложная процентная ставка i = 15%
годовых. Найти первоначальную сумму.
§ 13.2. СЛУЧАЙ, КОГДА ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ
Если период начисления п не является целым числом, то
формула 8 = Р(1 + i)n дает приблизительный (и весьма не-
точный) результат. Поэтому используют другой подход.
Определение. Целая часть [п] числа п — это наибольшее
целое число, не превосходящее п.
61
Пример 53. [1,6] = 1, [-2,5] = -3, [0,7] = 0, [5] = 5.
Задача 53. Чему равны целые части чисел -3,5 и 2,9?
Определение. Дробная часть {п} числа п — это разность
между числом п и его целой частью: {п} = п — [п]. Всегда
0 < {n} < 1.
Пример 54. {1,6} = 0,6; {-2,3} = 0,7; {0,7} = 0,7; {5} = 0.
Задача 54. Чему равны дробные части чисел —3,5 и 2,9?
Если период начисления п не является целым числом, то
п = [и] (целая часть) + {и} (дробная часть). Тогда наращен-
ная сумма S = Р(1 + 0^(1 + {n}i).
Пример 55. Первоначальная сумма Р = 6000 руб. поме-
щена в банк на п = 2,5 года под i = 20% годовых (процен-
ты сложные). Найдем наращенную сумму двумя способами.
S - Р(1 + if - 6000(1 + 0,2)2’8 - 9464,65 руб.
S = Р(1 + i)[n](l + {«}«) = 6000(1 + 0,2)2(1 + 0,5x0,2) =
= 9504 руб.
Задача 55. Первоначальная сумма Р = 8000 руб. поме-
щена в банк на п = 2,25 года под i = 15% годовых (процен-
ты сложные). Найти наращенную сумму двумя способами.
§ 13.3. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ.
НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
Начисление сложных процентов может происходить не-
сколько раз в году. В этом случае указывают номинальную
процентную ставку j, на основании которой рассчитывают
процентную ставку для каждого интервала начисления.
Если в году т интервалов начисления, то на каждом из
них процентная ставка равна j/m. Тогда наращенная сумма
S = Р(1 + j/m)nm. Аналогично вышесказанному из этой фор-
мулы можно выразить любую величину через остальные:
Р = S/(l + j/m)nm, п = j = m(n$j/p - 1).
тп1п(1 + ]/m)
Пример 55. Первоначальная сумма Р = 7000 руб., пе-
риод начисления п = 2 года, сложная процентная ставка
j = 12% годовых ежеквартально. Найдем наращенную сумму.
т = 4 (в году 4 квартала). Тогда наращенная сумма S =
= Р(1 + j/m)nm = 7000(1 + 0,12/4)2х4 « 8867,39 руб.
Задача 55. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., пери-
од начисления п = 3 года, сложная процентная ставка
j = 12% годовых ежемесячно. Найти наращенную сумму.
62
Глава 14
МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ
ПОТОКОВ
§ 14.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Аннуитет (финансовая рента) — это ряд последователь-
ных платежей через одинаковые промежутки времени.
Пример 57. Регулярные взносы в пенсионный фонд —
это пример аннуитета.
Задача 57. Привести пример аннуитета.
Rj — это величина отдельного платежа ренты. Срок рен-
ты t — это время от начала реализации ренты до момента
последнего платежа. Интервал ренты — это время между
двумя последовательными платежами. Если все платежи
равны между собой, то это постоянная рента, иначе — пе-
ременная рента.
Существуют ренты постнумерандо (все платежи осуще-
ствляются в конце интервалов ренты) и пренумерандо (все
платежи осуществляются в начале интервалов ренты). Ино-
гда ренты пренумерандо называют приведенными.
Для расчета наращения или дисконтирования платежей
используется сложная процентная ставка I.
Наращенная (будущая) сумма ренты S — это все пла-
тежи вместе с процентами на дату последней выплаты.
Современная (приведенная) стоимость ренты — это все
платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный
момент времени ренты с помощью операции математическо-
го дисконтирования (см. § 13.1).
Существуют ренты верные (выплата не ограничена ника-
кими условиями) и условные (выплата обусловлена наступ-
лением какого-то события). Страховые взносы — это пример
условной ренты. Срок реализации отложенных рент откла-
дывается на некоторое время.
Пусть р — число рентных платежей в году, а число т по-
казывает, сколько раз в году начисляются проценты. Рен-
ты, для которых р « т, называются простыми. Ренты, для
которых р + т, называются общими.
63
§ 14.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ
ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в конце каждого года по сложной процентной став-
ке i, п — срок ренты.
R R R ... R R R
о--—-о- О О.. О ...--—О ' о
О 1 2 3 ... п-2 п-1 п
Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму
7?(1 + О'1"1. Платеж в конце 2-го года даст наращенную сум-
му R(1 + i)n~2. Платеж в конце 3-го года даст наращенную
сумму R(1 4- /)л“3. И т. д.
Наращенная (будущая) сумма ренты S = Я(1 4- i)71”1 +
4- Я(1 4- г)л-2 4- В(1 4- i)n~3 4- ... 4- В(1 4- i) 4- R. Мы получили
сумму п первых членов геометрической прогрессии с b± = R
и знаменателем q = 1 4- i.
Тогда 3 -
q-1 (14-0-1 t
Пример 58. Вкладчик в течение п = 5 лет вносит в банк
R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по слож-
ной процентной ставке i = 15% годовых.
Тогда наращенная (будущая) сумма ренты:
s = Д (1 + 0п - 1 = 1000 (1 + 0Д5)5 - 1 Ж 6742 38 руб.
i 0,15
Задача 58. Вкладчик в течение п = 3 лет вносит в банк
R = 1200 руб. Проценты на вклад начисляются по слож-
ной процентной ставке I = 14% годовых. Найти наращен-
ную (будущую) сумму ренты.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию БС, которая возвращает наращенную (бу-
дущую) сумму ренты S на основе периодических постоян-
ных (равных по величине) платежей R и постоянной про-
центной ставки i.
fx -* финансовые -> БС -* ОК. Появляется диалоговое ок-
но, которое нужно заполнить. Ставка — это процентная
ставка за период (у нас это /). К пер — это общее число пла-
тежей по аннуитету. Плт — это выплата в каждый период
(у нас это R, берем со знаком «—»). Пс — это приведенная
стоимость А ренты (если не указана, то по умолчанию пола-
гается равной нулю). Тип равен 0 (для ренты постнумеран-
до) или 1 (для ренты пренумерандо). Если Тип не указан, то
по умолчанию полагается равным 0. ОК. В примере 58
S == БС(0,15; 5; -1000) » 6742,38 руб.
64
§ 14.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ
ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в начале каждого года по сложной процентной
ставке i, п — срок ренты.
R R R R ... R R
О о о ......О' О' р. . о
О 1 2 3 ... п-2 п-1 п
Платеж в начале 1-го года даст наращенную сумму
Я(1 + i)n. Платеж в начале 2-го года даст наращенную сум-
му В(1 + 0я”1. Платеж в начале 3-го года даст наращенную
сумму В(1 + 1)п~2. И т. д.
Наращенная (будущая) сумма ренты S = R(1 + i)n +
+ R(1 + iy-1 + R(1 + 4- ... + R(1 + 02 + R(1 + i). Мы по-
лучили сумму п первых членов геометрической прогрессии
с = В(1 + 0 и знаменателем q = 1 + I.
Тогда S = Я(1 + 0(1 Д0""1 = -Rd + ~
g-1 (1 + 0-1 i
Пример 59. Определим наращенную (будущую) сумму
в примере 58 для ренты пренумерандо.
S = Я(1 + 0(1+1)”..~1 = 1000(1 + 0,15/1 + 0,15)5~1 «
i 0,15
» 7753,74 руб.
Задача 59. Определить наращенную (будущую) сумму
в задаче 58 для ренты пренумерандо.
Замечание. При решении примера 59 можно воспользо-
ваться финансовой функцией БС мастера функций fx пакета
Excel. S == БС (0,15; 5; -1000; ; 1) « 7753,74 руб.
Из сравнения рент постнумерандо и пренумерандо ясно,
что все формулы для ренты пренумерандо получаются из
формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо R ве-
личины В(1 + 0. Поэтому в дальнейшем будем работать в
основном с рентой постнумерандо.
§ 14.4. НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ
ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в конце каждого года по сложной процентной став-
ке i, п — срок ренты. Определим современную стоимость
ренты, то есть используем операцию математического дис-
контирования (см. § 13.1).
65
R R R ... R R R
O—..О...О—II ..о..—о — "С .-О
О 1 2 3 ... п-2 п-1 п
Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость
я/(1 + i). Платеж в конце 2-го года даст современную стои-
мость В/(1 + г)2. Платеж в конце 3-го года даст современную
стоимость Я/(1 + О3. И т. д.
Современная стоимость ренты А = Я/(1 + 0 + Я/(1 + I)2
+ R/(l + 03 + ... + В/(1 4- /)л-1 + Я/(1 + Мы получили
сумму п первых членов геометрической прогрессии с
bi = Я/(1 + 0 и знаменателем q = 1/(1 + i).
Тогаа л - l/tl+„ 1-1/<1 + Р"
q~ 1 1 + f 1/(1 4-j) — 1 i
Это современная стоимость простой ренты постнумеран-
до. Подставив в эту формулу вместо R величину R(1 + i),
мы получим современную стоимость простой ренты пренуме-
рандо: А = Я(1 +
I
Пример 60. Определим современную стоимость простой
ренты из примера 58.
А - R iT-M11*)" = 10001~1/(1 + 0’15^- - 3352,16 руб.
i 0,15
Задача 60. Определить современную стоимость простой
ренты из задачи 58.
Пример 61. Определим современную стоимость простой
ренты из примера 59.
А - Я(1 + + = 1000(1 + 0,15)—1?/(()11>50’15)5
- 3854,98 руб.
Задача 61. Определить современную стоимость простой
ренты из задачи 59.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ПС, которая возвращает приведенную (к
текущему моменту) стоимость инвестиций А.
fx финансовые -* ПС -* ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. В графе Бс (необязатель-
ный аргумент) указывается требуемое значение будущей
стоимости или остатка средств после последней выплаты
(если не указано, то по умолчанию полагается равным ну-
лю). ОК.
В примере 60 ПС(0,15; 5; -1000) » 3352,16 руб. В приме-
ре 61 ПС(0,15; 5; -1000; ; 1) » 3854,98 руб.
66
§ 14.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО
ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная процентную ставку i, количество выплат п и наращен-
ную сумму S (или современную стоимость А) простой рен-
ты, можно определить величину отдельного платежа R.
Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая)
с _(1 + /)"-1 n D Si
сумма ренты S = R-----------. Отсюда R = —---------.
i (1 + 0 1
Пример 62. Определим размер ежегодных платежей в
конце года по сложной процентной ставке i = 12% годо-
вых для накопления через п = 3 года суммы S = 50000 руб.
D Si 50000x0,12
R =----------=----------2--- я 14817,45 руб.
(l + i)n-l (1 + 0,12)3 —1
Задача 62. Определить размер ежегодных платежей в
конце года по сложной процентной ставке i = 14% годо-
вых для накопления через п = 4 года суммы S = 70000 руб.
Для простой ренты пренумерандо наращенная (будущая)
Л + [\п _ 1
сумма ренты S = Я(1 + i)----------.
i
Si
Отсюда R =
(1 + i)((l+i)"-l)
Пример 63. Пусть в примере 62 платежи осуществля-
ются в начале года.
m о Si 50000x0,12
(1 + »)((1 + i)n -1) (1 + 0,12)((1 + 0,12)3 -1)
- 13229,87 руб.
Задача 63. Решить задачу 62 при условии, что плате-
жи осуществляются в начале года.
Для простой ренты постнумерандо современная стоимость
А Dl-l/(l + i)n n D Ai
А = R-------------—. Отсюда R =--------------.
i 1-1/(1+0л
Пример 64. Взят кредит на сумму А = 50000 руб. сро-
ком на п = 3 года под 14% годовых.
Тогда размер ежегодных погасительных платежей в кон-
D Ai 50000x0,14 *
це года R =----------=---------------» 21536,57 руб.
1-1/(1+ i)n 1 -1/(1 +0,14)3
Задача 64. Взят кредит на сумму А = 60000 руб. сро-
ком на п = 4 года под 15% годовых. Найти размер ежегод-
ных погасительных платежей в конце года.
67
Для простой ренты пренумерандо современная стоимость
1 _ 1/и + ;\п
А = R(1 4- О --- -- - - - . Отсюда R =
i
Ai
(1+i)(l-l/(l+i)n)‘
Пример 65. Пусть в примере 64 платежи осуществля-
ются в начале каждого года. Тогда
R Аг == 50000x0,14
(1 + i)(l -1/(1 + i)n) (1 + 0,14)(1 -1/(1 + 0,14)3)
= 18891,73 руб.
Задача 65. Решить задачу 64 при условии, что плате-
жи осуществляются в начале каждого года.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ПЛТ, которая возвращает сумму перио-
дического платежа для аннуитета на основе постоянства
сумм платежей и постоянства процентной ставки.
fx финансовые -* ПЛТ -* ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. ОК.
В примере 62 ПЛТ(0,12; 3; ; 50000) « -14817,45 руб. В
примере 63 ПЛТ(0,12; 3; ; 50000; 1) ~ —13229,87 руб. В при-
мере 64 ПЛТ(0,14; 3; 50000) ~ —21536,57 руб. В примере 65
ПЛТ(0,14; 3; 50000; ; 1) « -18891,73 руб.
§ 14.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа В, процентную ставку i
и наращенную сумму S (или современную стоимость А) про-
стой ренты, можно определить количество выплат п.
Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая)
(1 4- i)n — 1
сумма ренты S = В-----------. Отсюда (1 4- i)n — 1 = Si/R =>
i
(1 + i)n = 1 + Si/R => nln(l + i) = ln(l + Si/R) ^n =
ln(l 4- f)
Подставив в последнюю формулу вместо R выражение
R(1 4- 0, мы получим срок ренты пренумерандо?
п = 1п(1 +---—----)/1п(1 4- 0.
' В(1 4- 0 >
Пример 66. Размер ежегодных платежей R = 5000 руб.,
процентная ставка i = 12% годовых, наращенная сумма S
= 30000 руб. Определим сроки простых рент постнумеран-
до и пренумерандо.
Для ренты постнумерандо п = 1п(1 4- Si/B)/ln(l 4- i) =
= ln(l 4- 30000x0,12/5000)/ln(l 4- 0,12) « 4,8 лет.
68
Si
Для ренты пренумерандо п = 1п(1 4- ^)/1п(1 4- i) =
, Z1 30000x0,12 \/i /1 । л А А
= 1п(1 4-------------)/1п(1 + 0,12) « 4,4 лет.
5000(1 + 0,12)
Задача 66. Размер ежегодных платежей R = 8000 руб.,
процентная ставка i = 14% годовых, наращенная сумма
S = 40000 руб. Определить сроки простых рент постнуме-
рандо и пренумерандо.
Для простой ренты постнумерандо современная стоимость
1-1/(1 + 1)л ln(l - Ai/R)
А = К--------------. Отсюда п = — --------------.
i 1п(1 4- i)
Подставив в последнюю формулу вместо R выражение
7?(1 + 0, мы получим срок ренты пренумерандо:
п = - 1п(1 ----—----Vln(l 4- i).
' В(1 + 0'
Пример 67. Определим сроки погашения кредита А =
= 30000 руб. при ежегодных платежах R .== 9000 руб. и про-
центной ставке i = 15% годовых для рент постнумерандо и
пренумерандо.
Для ренты постнумерандо п = —ln(l — Ai/jR)/ln(l 4- i) =
= -ln(l - 30000x0,15/9000)/ln(l 4- 0,15) « 5 лет.
Для ренты пренумерандо п = —1п(1 — ———)/ln(l 4-i) =
R(14-i)
. zi 30000x0,15 ч/1 Z1 ± Л а
= -ln(l ---------------)/ln(l 4- 0,15) « 4,1 лет.
9000(1 + 0,15)
Задача 67. Определить сроки погашения кредита А =
45000 руб. при ежегодных платежах R = 12000 руб. и про-
центной ставке i = 11% годовых для рент постнумерандо и
пренумерандо.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит
финансовую функцию КПЕР, которая возвращает общее ко-
личество периодов выплаты п для аннуитета на основе пе-
риодических постоянных выплат и постоянной процентной
ставки.
fx финансовые -> КПЕР -> ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. ОК.
В примере 66 КПЕР(0,12; -5000; ; 30000) » 4,8 и КПЕР(0,12;
-5000; ; 30000; 1) = 4,4. В примере 67 КПЕР(0,15; -9000;
30000) « 5 и КПЕР(0,15; -9000; 30000; ; 1) « 4,1.
69
§ 14.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа Я, количество выплат п
и наращенную сумму S (или современную стоимость А) про-
стой ренты, можно попытаться найти процентную ставку.
Но получается нелинейное уравнение.
Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую
функцию СТАВКА, которая возвращает процентную ставку
по аннуитету за один период. Значение функции вычисляется
путем итерации и может давать нулевое значение или не-
сколько значений. Если последовательные результаты функ-
ции СТАВКА не сходятся с точностью 0,0000001 после 20 ите-
раций, то СТАВКА возвращает сообщение об ошибке #число!.
fx -» финансовые -* СТАВКА -> ОК, Появляется диало-
говое окно, которое нужно заполнить. В графе Предположе-
ние указывается предполагаемая величина процентной став-
ки (если значение не указано, то по умолчанию оно равно
10%). ОК.
Пример 68. Определим, под какую процентную ставку
нужно вносить каждый год R = 5000 руб., чтобы через
п = 5 лет накопить сумму S « 40000 руб.
Для ренты постнумерандо СТАВКА(5; -5000; ; 40000) =
= 24%.
Для ренты пренумерандо СТАВКА(5; —5000; ; 40000; 1) =
= 16%.
Задача 68. Определить, под какую процентную ставку
нужно вносить каждый год R == 6000 руб., чтобы через
п = 4 года накопить сумму S = 35000 руб.
§ 14.8. ПРОСТАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА
Бессрочная рента не ограничена никаким сроком, то есть
срок ренты и -> оо.
R R R R •••
0 1 2 3 4...
Современная стоимость простой бессрочной ренты
А = Нт(Я——— ) = R/i. Отсюда R = Ai.
л-*оо\ I /
Пример 69. Инвестирование суммы А - 40000 руб. под
i = 5% годовых обеспечивает выплаты R = Ai = 40000x0,05 =
= 2000 руб. в конце каждого года.
70
Задача 69. Сумму А = 50000 руб. инвестировали под
i = 4% годовых. Найти размер ежегодных выплат в конце
каждого года.
Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессроч-
ной ренты постнумерандо только платежом в момент време-
ни t = 0. Поэтому для простой бессрочной ренты пренуме-
рандо современная стоимость А = R + R/i.
71
(лава 15
ОБЛИГАЦИИ
§ 15.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Двумя основными формами корпоративного капитала явля-
ются кредит и обыкновенные акции. В этой главе мы рас-
смотрим оценку стоимости облигаций — основного типа дол-
госрочных кредитов.
Облигация — это долговое обязательство, выпускаемое
коммерческой компанией или государством, в соответствии
с которым эмитент (то есть заемщик, выпустивший облига-
цию) гарантирует кредитору выплату определенной суммы в
фиксированный момент времени в будущем и периодичес-
кую выплату назначенных процентов (по фиксированной
или плавающей процентной ставке).
Номинальная (нарицательная) стоимость облигации —
это величина денежной суммы, указанная на облигации, ко-
торую эмитент берет взаймы и обещает выплатить по исте-
чении определенного срока (срока погашения).
Дата погашения — это день, когда должна быть выпла-
чена номинальная стоимость облигации. Многие облигации
содержат условие, по которому эмитент имеет право выкупа
облигации до истечения срока погашения. Такие облигации
называются отзывными. Эмитент облигации обязан перио-
дически (обычно раз в год или полгода) выплачивать опре-
деленные проценты от номинальной стоимости облигации.
Купонная процентная ставка — это отношение суммы
выплачиваемых процентов к номинальной стоимости обли-
гации. Она определяет первоначальную рыночную стоимость
облигации: чем выше купонная процентная ставка, тем вы-
ше рыночная стоимость облигации. В момент выпуска обли-
гации купонная процентная ставка полагается равной ры-
ночной процентной ставке.
В течение месяца с момента выпуска облигации называ-
ются облигациями нового выпуска. Если облигация продает-
ся на вторичном рынке более месяца, то она называется об-
ращающейся облигацией.
72
§ 15.2. ОСНОВНОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ
ОБЛИГАЦИЙ
Облигацию можно рассматривать как простую ренту постну-
мерандо, состоящую из выплат купонных процентов и воз-
мещения номинальной стоимости облигации. Поэтому теку-
щая стоимость облигации равна современной стоимости этой
ренты.
Пусть i — текущая рыночная процентная ставка, k — ку-
понная процентная ставка, Р — номинальная стоимость об-
лигации, п — оставшийся срок до погашения облигации,
R = kP — купонный платеж, Ап — текущая рыночная стои-
мость облигации.
R R R R R R R+P
О О -О О 'О'— — I о о- —о
О 1 2 3 4 ... п-2 п-1 п
1 — 1/(1 + i)n
Тогда Ап = R------------ + Р/(1 + i)n. Мы воспользовались
i
формулой для современной стоимости простой ренты пост-
нумерандо.
Пример 70. Номинальная стоимость облигации
Р = 5000 руб., купонная процентная ставка k = 15%, ос-
тавшийся срок до погашения облигации п = 3 года, теку-
щая рыночная процентная ставка i = 12%. Определим те-
кущую рыночную стоимость облигации.
Величина купонных платежей равна R = kP = 0,15x5000
= 750 руб. Тогда текущая рыночная стоимость облигации
л, . + Р/(1 +i)-. 750 >-w+<w +
i 0,12
4- ^922— я 5360,27 руб., то есть в случае i < k текущая
(1+0.12)3
рыночная стоимость облигации выше номинальной стоимо-
сти облигации Р.
Задача 70. Определить текущую рыночную стоимость
облигации в примере 70, если текущая рыночная процент-
ная ставка i = 18%.
§ 15.3. НОРМА ПРИБЫЛИ ОБЛИГАЦИИ
Другой важнейшей характеристикой облигации является
норма прибыли. Норма прибыли вычисляется по следующей
формуле:
73
норма
прибыли
текущая доходность
за период
текущая доходность
за период
Здесь
доходность
за счет изменения
цены за период
доходность за счет изменения
цены за период
купонный , цена облигации
платеж * в начале периода >
цена облигации
в конце
периода
цена облигации
в начале
периода
цена облигации
в начале
периода
Отсюда
норма
прибыли
(купонный
платеж
цена облига-
ции в конце
периода
цена облига-
ции в начале
периода
цена облига-
ции в начале
периода
Пример 71. Облигация номинальной стоимостью
Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 10% бы-
ла куплена в начале года за 1200 руб. (то есть по цене вы-
ше номинальной стоимости). После получения купонного
платежа в конце года облигация была продана за 1175 руб.
Определим норму прибыли за год.
Величина купонных платежей равна R = kP = 0,1x1000 =
= 100 руб.
Тогда норма прибыли = (купонный платеж + цена об-
лигации в конце периода — цена облигации в начале пери-
ода)/(цена облигации в начале периода) = (100 + 1175 —
- 1200)/1200 = 0,0625 (= 6,25%).
Задача 71. Облигация номинальной стоимостью
Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 15% бы-
ла куплена в начале года за 700 руб. (то есть по цене ниже
номинальной стоимости). После получения купонного пла-
тежа в конце года облигация была продана за 750 руб. Оп-
ределить норму прибыли за год.
§ 15.4. ДОХОДНОСТЬ ОБЛИГАЦИИ ПРИ ПОГАШЕНИИ
В КОНЦЕ СРОКА
Очень часто инвестор решает задачу сравнения между собой
различных облигаций. Как определить процентную ставку
(доходность), в соответствии с которой облигация приносит
доход? Для этого нужно решить относительно I уравнение
ап = + p/(i+о».
i
Мы рассмотрим два приближенных метода решения это-
го нелинейного уравнения.
74
§ 15.4.1. Метод средних
Находим общую сумму выплат по облигации (все купонные
платежи и номинальная стоимость облигации):
общая
прибыль
общая сумма
выплат
цена покупки
облигации
Тогда
средняя прибыль _ общая
за один период прибыль
средняя стоимость _ / номинальная
облигации I стоимость облигации
число
периодов
цена покупки \ ,
облигации I *
Тогда доходность облигации вычисляется по следующей
формуле:
доходность _ средняя прибыль , средняя стоимость
облигации ж за один период * облигации
Пример 72. Облигация номинальной стоимостью
Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 10% и
сроком погашения п = 10 лет была куплена за 1200 руб.
Определим доходность облигации методом средних.
Величина купонных платежей равна R == kP = 0,1*1000 =
100 руб.
Тогда общая сумма выплат равна nR + Р = 10x100 +
+ 1000 = 2000 руб.
Отсюда общая прибыль = общая сумма выплат — цена
покупки облигации = 2000 - 1200 = 800 руб.
Поэтому средняя прибыль за один период = (общая при-
был ь)/(число периодов) = 800/10 = 80 руб.
Средняя стоимость облигации «= (номинальная стои-
мость облигации 4- цена покупки облигации)/2 = (1000 +
+ 1200J/2 = 1100 руб.
Тогда доходность облигации « (средняя прибыль за один
период)/(средняя стоимость облигации) равна 80/1100 =
» 0,073 (= 7,3%).
Задача 72. Облигация номинальной стоимостью
Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 15% и
сроком погашения п = 10 лет была куплена за 800 руб. Оп-
ределить доходность облигации методом средних.
§ 15.4.2. Метод интерполяции
Метод интерполяции позволяет получить более точное при-
ближенное значение доходности облигации, чем метод сред-
них. Используя метод средних, нужно найти два различных
75
близких значения текущей рыночной процентной ставки 1$
и ii таких, что текущая рыночная цена облигации Ап за-
ключена между An(ii) и An(io): An(ii) < Ап < Ап(г0), где зна-
чения Ап(1ц) и An(ii) вычисляются по следующей формуле:
1 — 1/(1 + i)n
An(i) = R---+ Р/(1 + г)п. Здесь Р — номинальная
1 -1/(1 4- 0,07)10
0Д)7
i
стоимость облигации, п — оставшийся срок до погашения
облигации, R — купонный платеж.
Тогда приближенное значение доходности облигации рав-
но: 1 х
AiGl) ” AtGo)
Пример 73. Определим доходность облигации методом
интерполяции в примере 72.
Методом средних получено значение доходности обли-
гации i = 0,073. Положим 1$ = 0,07 и ц = 0,08 и опреде-
лим текущую стоимость облигации при этих значениях ры-
ночной процентной ставки:
Апа0) = + p/d+/о)« = юо
‘о
+----1000 = 1210,71 руб.
(1 + 0,07)10
- д 1 ~ гА1 + и) + р/(1 + .1)Л = 100
+ 1000
(1 + О,О8)10
Так как Ап = 1200 руб., то условия An(ji) < Ап < An(io)
выполнены (1134,20 < 1200 < 1210,71).
Тогда приближенное значение доходности облигации
равно:
Ап - A„(i0) _ 0 П7 . 1200-1210,11
I ~ 1л -Г ----------lii — in) — U,U< 4- -----------х
An(ii) - An(iQy 1134,20 - 1210,71
x(0,08 - 0,07) « 0,071 (= 7,1%).
Задача 73. Определить доходность облигации методом
интерполяции в задаче 72.
1 —1/(14-О,О8)10
0,08
1134,20 руб.
§ 15.5. ДОХОДНОСТЬ ОТЗЫВНЫХ ОБЛИГАЦИЙ
Отзывные облигации содержат условие, по которому эми-
тент имеет право выкупа облигации до истечения срока по-
гашения. Инвестор должен учитывать это условие при вы-
числении доходности такой облигации.
76
Доходность отзывной облигации находим из следующего
1 — 1/(1 + i)N
уравнения: = R----------- + Т/(1 + i)N, где — теку-
i
щая рыночная стоимость облигации, N — оставшийся срок
до момента отзыва облигации, R — купонный платеж, Т —
цена отзыва облигации (сумма, выплачиваемая эмитентом в
случае досрочного погашения облигации).
Приближенное значение доходности отзывной облигации
можно определить методом средних или методом интерпо-
ляции.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовые функции ЦЕНА и ДОХОД, которые позволяют вы-
числить текущую рыночную стоимость облигации и доход-
ность облигации соответственно. Чтобы эти функции были
доступны, должна быть установлена надстройка Пакет ана-
лиза: выбрать Сервис -> Надстройки и поставить «галочку»
рядом с командой Пакет анализа.
Если команда Пакет анализа отсутствует, то нужно до-
установить Excel.
Финансовая функция ЦЕНА (PRICE) возвращает теку-
щую рыночную стоимость облигации номинальной стоимос-
тью 100 руб.: fx -* финансовые -* ЦЕНА ОК. Появляется
диалоговое окно, которое нужно заполнить. Дата_согл
(Settlement) — это дата, на которую определяется текущая
рыночная стоимость Ап облигации (в формате даты). Да-
та_вступл_в_силу (Maturity) — это дата погашения обли-
гации (в формате даты). Ставка (Rate) — это купонная про-
центная ставка k. Доход (Yld) — это текущая рыночная про-
центная ставка i. Погашение (Redemption) — это номиналь-
ная стоимость облигации (= 100 руб.). Частота (Frequency)
— это число купонных платежей в году. Базис (Basis) — это
практика начисления процентов, возможные значения:
0 или не указан (американская, 1 полный месяц = 30 дней,
1 год = 360 дней); 1 (английская); 2 (французская); 3 (срок
равен фактическому числу дней, 1 год = 365 дней); 4 (не-
мецкая). ОК.
В примере 70 будем считать, что «9.6.2004» и «9.6.2007»
— это дата, на которую определяется рыночная цена обли-
гации, и дата погашения облигации соответственно. Тогда
Ап = 50хДЕНА(«9.6.2004»; «9.6.2007»; 0,15; 0,12; 100; 1) «
« 5360,27 руб.
Финансовая функция ДОХОД (YIELD) возвращает доход-
ность облигации: fx -* финансовые ДОХОД -* ОК. Появ-
77
ляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Цена (Рг)
— это текущая рыночная стоимость облигации. ОК.
В примере 72 будем считать, что «9.6.2004» и «9.6.2014»
— это текущая дата и дата погашения облигации соответст-
венно. Тогда доходность облигации I = ДОХОД(«9.6.2004»;
«9.6.2014»; 0,1; 120; 100; 1) « 0,071346946.
78
Глава 16
АКЦИИ
Акционерным обществом признается общество, уставный
капитал которого разделен на определенное число акций.
Участники акционерного общества (акционеры) не отвечают
по его обязательствам и несут риск убытков, связанных с
деятельностью общества, в пределах стоимости принадлежа-
щих им акций.
Акции — это ценные бумаги, выпускаемые акционерным
обществом для финансирования своей деятельности и указы-
вающие на долю владельца в капитале данного акционерного
общества. Существует несколько видов акций, различающих-
ся по степени участия инвесторов в потенциальных рисках и
прибылях, связанных с деятельностью эмитента. Мы рассмо-
трим только привилегированные и обыкновенные акции.
§ 16.1. ПРИВИЛЕГИРОВАННЫЕ АКЦИИ
Привилегированные акции — это акции, держатели кото-
рых обладают преимуществом перед держателями обыкно-
венных акций при распределении дивидендов и (в случае
ликвидации акционерного общества) имущества акционер-
ного общества. Доля привилегированных акций в общем
объеме уставного капитала акционерного общества не долж-
на превышать 25%. Привилегированные акции обычно не
дают право голоса, но приносят фиксированные дивиденды,
чем схожи с облигациями.
Если выплаты дивидендов продолжаются бесконечно дол-
го, то доход от продажи такой акции представляет собой те-
кущее значение бессрочной ренты постнумерандо: А = D/kb
где А — курс привилегированной акции, D — дивиденды по
привилегированной акции, k — доходность. Отсюда k = D/A,
Пример 74, По обращающимся привилегированным ак-
циям выплачиваются ежегодные дивиденды Z) = 120 руб.
Цена этой акции равна А = 960 руб. Определим доходность
акции.
Доходность акции равна k = D/А = 120/960 = 0,125
(= 12,5%).
Задача 74. По обращающимся привилегированным ак-
циям выплачиваются ежегодные дивиденды D = 50 руб.
Цена этой акции равна А = 500 руб. Определить доходность
акции.
§ 16.2. ОБЫКНОВЕННЫЕ АКЦИИ
Обыкновенные акции — это акции, по которым размер ди-
виденда заранее не фиксируется и не гарантируется, а опре-
деляется общим собранием акционеров по итогам хозяйст-
венной деятельности акционерного общества за истекший
год. Они дают их владельцам право на участие в управле-
нии этим акционерным обществом по принципу «одна ак-
ция — один голос». Владелец обыкновенной акции имеет
право на получение ежегодно публикуемых материалов бух-
галтерской отчетности и годового отчета.
Обыкновенные акции акционерных обществ продаются
на открытых торгах на фондовых биржах. Курс акции мо-
жет колебаться в зависимости от результатов хозяйственной
деятельности акционерного общества и степени доверия, ко-
торое внушает будущее данного акционерного общества ин-
весторам. Инвестор полагает стоимость акции равной теку-
щему значению ожидаемого по этой акции потока платежей
(ожидаемые дивиденды и цена продажи акции).
Введем следующие обозначения: Dq — последний из уже
выплаченных дивидендов, Dt — ожидаемый в году t диви-
денд (с точки зрения акционера). У каждого акционера свое
значение Dt.
Пусть Pq — рыночная цена акции в настоящий момент,
Ро — теоретическая (внутренняя) цена акции в настоящий
момент (именно такая цена должна быть в настоящий мо-
мент с точки зрения инвестора). Оценка Pq основывается на
ожидаемом потоке платежей по акции и рисковости этого
потока.
Рыночная цена акции Pq одинакова для всех, а вот тео-
ретическая (внутренняя) цена акции Ро У каждого инвестора
своя (в зависимости от ожиданий).
Допускается существование некоторого^среднего» инвес-
тора, для которого эти цены равны: Pq = Pq (иначе равнове-
сие рынка будет нарушено и для его восстановления потре-
буется покупка или продажа акций).
80
Пусть Pt — ожидаемая цена акции в конце года £,
Pi — теоретическая (внутренняя) цена акции в конце 1-го
года и т. д.
Введем следующие обозначения: g — ожидаемый темп
роста дивидендов по прогнозам «среднего» инвестора, ks —
требуемый уровень дохода (норма прибыли) по акции с уче-
том уровня риска и других возможностей инвестирования,
ks — ожидаемая норма прибыли.
Инвестор купит акцию только при выполнении следую-
щего условия: ks < ks (ожидаемая норма прибыли не ниже
требуемого уровня дохода).
Реальную норму прибыли также будем обозначать через
ks. Она может быть даже отрицательной.
Ожидаемая дивидендная доходность в текущем году рав-
Di
на ——, а ожидаемая доходность за счет изменения цены ак-
Л)
Р1 ~ Pq ~
ции равна —±--—-. Сумма этих двух ожидаемых доходнос-
тей и определяет ожидаемую доходность по акции в текущем
, -01+Pi 1
"w= к‘’ лГ + -----------дТ’1’
Пример 75. Рыночная цена акции в настоящий момент
Pq = 100 руб. Ожидаемая цена акции в конце текущего го-
да равна Pi = 105 руб., а ожидаемый дивиденд в текущем
году Di = 10 руб. Определим ожидаемую дивидендную до-
ходность, ожидаемую доходность за счет изменения цены
акции и ожидаемую доходность по акции в текущем году.
Ожидаемая дивидендная доходность в текущем году
равна —== = 0,1 (= 10%).
Pq 100
Ожидаемая доходность за счет изменения цены акции
Pi-Pq 105-100
равна —----- =--------= 0,05 (= 5%).
Pq 100
Тогда ожидаемая доходность по акции в текущем году
ks = 10% + 5% = 15%.
Задача 75. Рыночная цена акции в настоящий момент
Pq = 110 руб. Ожидаемая цена акции в конце текущего го-
да равна Pi = 120 руб., а ожидаемый дивиденд в текущем
году Di = 5 руб. Определить ожидаемую дивидендную до-
ходность, ожидаемую доходность за счет изменения цены
акции и ожидаемую доходность по акции в текущем году.
81
§ 16.3. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ АКЦИЙ
Для инвестора теоретическая (внутренняя) цена акции Pq в
настоящий момент равна текущему значению дивидендов,
которые он надеется получить:
р = 4- = у В*
° i + ks (i + fcs)2 " <=1(1+ v’
Существует взаимосвязь между ростом дивидендов и кур-
сом акций. Чем устойчивее рост дивидендов, тем выше рей-
тинг акционерного общества у инвесторов и тем устойчивее
курс акций.
§ 16.4. АКЦИИ НУЛЕВОГО РОСТА
Считаем, что по прогнозу «среднего» инвестора дивиденды
по обыкновенным акциям останутся постоянными: => D 2 —
= ... = D, то есть Dt = D, где t = 1, 2, ... Такая акция назы-
вается акцией нулевого роста. Теоретическая (внутренняя)
цена акции нулевого роста представляет^собой текущее зна-
чение бессрочной ренты постнумерандо: Ро = D/ks.
Пример 76. Дивиденд, выплачиваемый ежегодно по ак-
ции нулевого роста, равен D = 400 руб. Ожидаемая норма
прибыли ks = 5%. Определим теоретическую (внутреннюю)
цену акции.
Теоретическая (внутренняя) цена акции нулевого роста
Pq = D/ks = 400/0,05 = 8000 руб.
Задача 76. Дивиденд, выплачиваемый ежегодно по ак-
ции нулевого роста, равен D = 300 руб. Ожидаемая норма
прибыли ks = 8%. Определить теоретическую (внутреннюю)
цену акции.
Так как у каждого инвестора свои прогнозы, то реальный
курс акции часто отличен от теоретического курса акции.
Зная курс акции нулевого роста в настоящий момент Ро и
последний из уже выплаченных дивидендов D, можно опре-
делить норму прибыли (доходность) этой акции по следую-
щей формуле: ks = D/Pq. Именно такую доходность ожидает
получить по акции нулевого роста инвестор.
Пример 77. Курс акции нулевого роста в настоящий мо-
мент Pq == 400 руб., а последний из уже выплаченных ди-
видендов D = 40 руб. Определим норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
Норма прибыли (доходность) акции нулевого роста рав-
на ks = D/Pq = 40/400 = 0,1 (= 10%).
82
Задача 77- Курс акции нулевого роста в настоящий мо-
мент Pq = 300 руб., а последний из уже выплаченных ди-
видендов D = 15 руб. Определить норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
§ 16.5. АКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РОСТА
Акции нормального (постоянного) роста — это акции, по
которым ожидается рост дивидендов с постоянным темпом
g, то есть ожидаемый в году t дивиденд Dt определяется по
следующей формуле сложных процентов: Dt = Z)0(l + g)*.
Пример 78. Последний из уже выплаченных дивиден-
дов по акциям нормального роста Dq = 400 руб., а ожидае-
мый темп роста дивидендов g = 10%. Определим дивиденд,
который акционер ожидает получить в текущем году.
Здесь t = 1. Тогда дивиденд D}, который акционер ожи-
дает получить в текущем году, равен D^ = Z>q(1 + &)1 =
= 400(1 + 0,1) = 440 руб.
Задача 78. Последний из уже выплаченных дивиден-
дов по акциям нормального роста Dq = 450 руб., а ожидае-
мый темп роста дивидендов g = 5%. Определить дивиденд,
который акционер ожидает получить в текущем году.
Теоретическая (внутренняя) цена акции нормального рос-
D
та равна Ро = У -----—-
t=i(l + V
« Рр(1 + gy_ ^/1 + gy
r-i (i+v °Si+v
Мы получили бесконечную сумму элементов геометричес-
скои прогрессии с = Dq--- и знаменателем q =
’ 1 + ^8
Если |q| < 1, то эта сумма равна Pq » — - -
1-g
l + ks
п + &
D°l + ks =
1-1+S-
l+ks
D0(l+g) Di _
= —-------« ——, где D1 — это дивиденд, который аКЦИ-
^8 & &
онер ожидает получить в текущем году.
Пример 78. Определим теоретическую (внутреннюю) це-
ну акции нормального роста из примера 78 при требуемом
уровне доходности ks = 12%.
Теоретическая (внутренняя) цена акции нормального
роста равна Pq = ~ q i = ^2000 руб.
83
Задача 79. Определить теоретическую (внутреннюю) це-
ну акции нормального роста из задачи 78 при требуемом
уровне доходности ks = 8%.
Если g > ks, то условие |g| < 1 не выполняется и теорети-
ческая (внутренняя) цена акции нормального роста в этом
случае есть бесконечно большая величина.
Определим из равенства Ро = " ожидаемую норму
ks-g
прибыли (доходность) акции нормального роста. Здесь Pq —
это рыночная цена акции в настоящий момент.
Получаем, что ks = D^/Pq 4- g, где D\/Pq — это дивиденд-
ная доходность и g — это доходность за счет изменения кур-
са акции (курс акции нормального роста растет с тем же по-
стоянным темпом роста g, что и дивиденды).
Пример 80. Рыночная цена акции нормального роста в
настоящий момент Pq = 1000 руб. Ожидается, что диви-
денд в текущем году будет равен = 50 руб., а темп рос-
та g = 7%. Определим ожидаемую норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
Ожидаемая норма прибыли (доходность) акции нор-
мального роста ks = D-JPq + g = 50/1000 + 0,07 = 0,12
(= 12%).
Задача 80. Рыночная цена акции нормального роста в
настоящий момент Ро = 500 руб. Ожидается, что дивиденд
в текущем году будет равен = 60 руб., а темп роста
g = 4%. Определить ожидаемую норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
§ 16.6. АКЦИИ ИЗБЫТОЧНОГО РОСТА
Очень часто начальный период деятельности предприятий
характеризуется ускоренным ростом, превышающим рост
экономики в целом. Такие предприятия называются пред-
приятиями избыточного роста, а их акции — акциями из-
быточного роста. Для предприятия избыточного роста ха-
рактерен избыточный рост дивидендов. После периода избы-
точного роста темпы роста предприятия (и дивидендов) ос-
таются постоянными.
Введем следующие обозначения: ks — требуемая норма
прибыли, N — период избыточного роста, gs — темп роста
доходов и дивидендов в течение периода избыточного роста,
gn — постоянный темп роста после периода избыточного рос-
та, Dq — последний из уже выплаченных дивидендов.
84
P2 D3 ••• Dtf Dn+i
О 1 2 3 ... N N+l ...
избыточный рост нормальный рост
Тогда теоретическая (внутренняя) цена акции избыточно-
го роста Pq равна текущему значению дивидендов:
Dn+1
р0 = + -^-2 + -^—3 +... + =
1 + Л8 (1 + А,)2 (1 + л8)3 (1 + *Z (1 + *Z
= До(1+g8) + Jp(l+g8)2 + Dp(l+gs)3 + + До(1+g8r +
i + ftg (1 + AS)2 (i + ft,)3 (1 + *Z
+ + досле несложных (но утомительных)
(*,-g„)(i+*y
выкладок получаем, что теоретическая (внутренняя) цена
акции избыточного роста равна:
Ро =
=, ----------;((4тт^)^ “ s»*1+*«)-<!+gs)(*s - g„)).
(gs-ks)(ks-gn)V i + ks ’ /
Пример 81. Период избыточного роста N = 5 лет, темп
роста доходов и дивидендов в течение периода избыточного
роста gs = 20%, постоянный темп роста после периода из-
быточного роста gn = 5%, последний из уже выплаченных
дивидендов Dq = 400 руб., требуемая норма прибыли
ks = 10%. Определим теоретическую (внутреннюю) цену
акции избыточного роста.
Теоретическая (внутренняя) цена акции избыточного
роста равна:
= Л» g+*e)-(l+g,)(*,-gB))
(gs ~ ks№s - W" 1 + V /
== ----400-------(ri+.O,? j5 x (0,2-0,05)(l + 0,l) -
(0,2-0,l)(0,l-0,05) V 1 + 0,1 '
- (1+ 0,2)(0,l — 0,05)j « 15594,67 руб.
Задача 81. Период избыточного роста N = 4 года, темп
роста доходов и дивидендов в течение периода избыточного
роста gs = 25%, постоянный темп роста после периода из-
быточного роста gn — 10%, последний из уже выплачен-
ных дивидендов Dq = 450 руб., требуемая норма прибыли
ks = 14%. Определить теоретическую (внутреннюю) цену
акции избыточного роста.
85
Глава 17
СТРУКТУРА КАПИТАЛА
Структура капитала предприятия — это сочетание раз-
личных источников долгосрочного финансирования, обеспе-
чивающих общий объем инвестиций для предприятия. Су-
ществуют два основных источника долгосрочного финанси-
рования предприятия:
1) инвестиции собственников предприятия (акции, нерас-
пределенная прибыль);
2) долгосрочная ссуда.
§ 17.1. ГИРИНГ (ЛЕВЕРИДЖ)
Гиринг (леверидж) показывает долю заемного капитала в
собственном капитале предприятия, то есть в какой степени
долгосрочный капитал предприятия основан на задолженно-
сти и в какой — на акционерном капитале. Он вычисляется
по следующей формуле:
где
гиринг
(леверидж)
используемый
капитал
используемый , акционерный
капитал • капитал
акционерный . долгосрочные
капитал ‘+* заемные средства
Приемлемый в данный момент гиринг (леверидж) опре-
деляется рентабельностью предприятия и отношением руко-
водства предприятия к рискам.
Пример 82. Предприятие выпустило акций на 250000
руб. и взяло долгосрочную банковскую ссуду на 150000 руб.
Определим гиринг (леверидж).
Используемый капитал = акционерный капитал + долго-
срочные заемные средства = 250000 + 150000 « 400000 руб.
Тогда гиринг (леверидж) = (используемый капитал)/(ак-
ционерный капитал) = 400000/250000 = 1,6, то есть общая
сумма средств, инвестированных в предприятие, в 1,6 раза
превышает средства, полученные за счет выпуска акций.
86
Задача 82. Предприятие выпустило акций на 200000
руб. и взяло долгосрочную банковскую ссуду на 100000 руб.
Определить гиринг (леверидж).
§ 17.2. ВЛИЯНИЕ ГИРИНГА (ЛЕВЕРИДЖА) НА ПРИБЫЛЬ
АКЦИОНЕРОВ
Два основных способа финансирования (акции и долгосроч-
ная ссуда) имеют свои преимущества и недостатки. В случае
выпуска акций все риски принимают на себя акционеры. Но
при выпуске большого числа акций прибыль на акцию ста-
новится очень низкой. Проблему можно решить, взяв ссуду.
Но за пользование ссудой платятся проценты. Любое допол-
нительное финансирование следует использовать для увели-
чения прибыли.
Предприятия предпочитают поддерживать низкий ги-
ринг (леверидж) во время экономического спада, когда воз-
растает риск снижения прибыли. Во время экономического
подъема гиринг (леверидж) предприятия находится на вы-
соком уровне.
На практике используется еще один финансовый показа-
тель — коэффициент рентабельности акционерного капи-
тала ROSF (англ. Return on Shareholders’ Funds). Он вы-
числяется по следующей формуле:
яп<5₽ — ( чистая
ROSF - при6ыль
процент | , акционерный
по ссуде ) • капитал
Пример 83. Чистая прибыль предприятия из примера
82 в истекшем году составила 60000 руб. За взятую ссуду
предприятие ежегодно платит 12%. Определим коэффици-
ент рентабельности акционерного капитала ROSF.
Процент по ссуде = 0,12x150000 = 18000 руб.
Тогда коэффициент рентабельности акционерного капи-
тала ROSF = (чистая прибыль — процент по ссуде)/(акцио-
нерный капитал) = (60000 - 18000)/250000 = 0,168.
Задача 83. Чистая прибыль предприятия из задачи 82
в истекшем году составила 70000 руб. За взятую ссуду
предприятие ежегодно платит 14%. Определить коэффици-
ент рентабельности акционерного капитала ROSF.
Преобразуем формулу для вычисления коэффициента
рентабельности акционерного капитала ROSF:
ROSF
чистая
прибыль
процент I , акционерный
по ссуде I • капитал
87
чистая
прибыль
процент
по ссуде
суммарные
чистые
активы
суммарные
чистые
активы
акционерный
капитал
Но
суммарные
чистые активы
привлеченный
суммарный капитал
используемый
капитал
Тогда коэффициент рентабельности
тала ROSF равен:
акционерного капи-
HOSF - ( чистая
ниъг - прибыль
процент
по ссуде
суммарные
чистые
активы
исполь-
зуемый
капитал
акцио-
нерный
капитал
= | ROCE 1 х | гиринг *[ ,
где ROCE — это коэффициент рентабельности чистых акти-
вов, вычисляемый по формуле:
ROCE = I чистая _ процент | . суммарные
( прибыль по ссуде ) • чистые активы
Получена следующая формула:
I ROSF | = | ROCE | х | гиринг | .
Зная любые два из трех коэффициентов (ROSF, ROCE и
гиринг), из этой формулы всегда можно найти третий коэф-
фициент.
Пример 84. Проверим выполнение равенства ROSF =
= ЯОСЕхгиринг в примерах 82 и 83.
Коэффициент рентабельности чистых активов ROCE =
= (чистая прибыль — процент по ссуде)/(суммарные чистые
активы) - (60000 - 18000)/(250000 4- 150000) = 0,105.
Тогда ЯОСЕхгиринг = 0,105x1,6 = 0,168 = ROSF.
Задача 84. Проверить выполнение равенства ROSF =
— ЯОСЕхгиринг в задачах 82 и 83.
88
Глава 18
АНАЛИЗ КАНАЛОВ
ФОРМИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ
Все финансовые коэффициенты тесно взаимосвязаны друг с
другом. При их анализе важно обнаружить эти связи и по-
казать, как различные количественные характеристики дея-
тельности предприятия связаны с общими результатами де-
ятельности предприятия (коэффициент рентабельности чис-
тых активов ROCE и коэффициент рентабельности акцио-
нерного капитала ROSF).
Бессмысленно рассматривать отдельный финансовый ко-
эффициент и пытаться сопоставить его с каким-то идеаль-
ным нормативом. Все коэффициенты должны рассматривать-
ся вместе с учетом взаимосвязей различных областей дея-
тельности предприятия. Для полноты картины следует про-
анализировать изучаемые показатели за несколько лет и
сравнить их с нормативами по отрасли. Здесь на помощь
приходит специальная модель — дерево прибыли, которое
имеет следующий вид:
89
Пример 85. Известны результаты работы предприятия
в 2003 и 2004 годах соответственно.
2003, руб. 2004, руб.
Объем продаж 200000 220000
Себестоимость проданной продукции 120000 130000
Расходы 20000 40000
Внеоборотные активы 100000 115000
Запасы 10000 15000
Дебиторская задолженность 2000 5000
Денежная наличность 20000 18000
Краткосрочная кредиторская задолженность 25000 27000
Долгосрочный заемный капитал 30000 26000
Считается, что вся прибыль предприятия была распре-
делена. Определим финансовые коэффициенты, построим
дерево прибыли и проанализируем результаты работы пред-
приятия.
Строим дерево прибыли.
Валовая прибыль = объем продаж — себестоимость про-
данной продукции. Тогда в 2003 году валовая прибыль =
= 200000 — 120000 « 80000 руб., а в 2004 году валовая
прибыль = 220000 — 130000 = 90000 руб.
90
Чистая прибыль = валовая прибыль — расходы. Отсюда
в 2003 году чистая прибыль = 80000 — 20000 = 60000 руб.,
а в 2004 году чистая прибыль = 90000 — 40000 = 50000
руб. Будем считать, что это чистая прибыль после уплаты
процентов по ссуде.
Так как вся прибыль была распределена, то акционер-
ный капитал = активы — пассивы. Поэтому в 2003 году ак-
ционерный капитал = (100000 + 10000 + 2000 + 20000) —
— (25000 + 30000) = 77000 руб., а в 2004 году акционер-
ный капитал = (115000 + 15000 + 5000 + 18000) - (27000 +
+ 26000) = 100000 руб.
Коэффициент рентабельности акционерного капитала
ROSF = (чистая прибыль - процент по ссуде)/(акционер-
ный капитал). Тогда в 2003 году ROSF == 60000/77000 «
« 0,779, а в 2004 году ROSF = 50000/100000 = 0,5.
Отметим эти значения на дереве прибыли. Мы видим,
что коэффициент рентабельности акционерного капитала
понизился с 0,779 до 0,5.
Суммарные чистые активы = внеоборотные активы +
+ оборотные активы — краткосрочная кредиторская задол-
женность. Отсюда в 2003 году суммарные чистые активы рав-
ны 100000 + (10000 + 2000 + 20000) - 25000 = 107000 руб.,
а в 2004 году суммарные чистые активы равны 115000 +
+ (15000 + 5000 + 18000) - 27000 = 126000 руб.
Коэффициент рентабельности чистых активов ROCE =
- (чистая прибыль — процент по ссуде)/(суммарные чистые
активы). Поэтому в 2003 году коэффициент рентабельнос-
ти чистых активов ROCE = 60000/107000 « 0,561, а в 2004
году коэффициент рентабельности чистых активов ROCE =
= 50000/126000 « 0,397.
Так как ROSF = ROCE*гиринг, то гиринг = ROSF/ROCE.
Тогда в 2003 году гиринг = 0,779/0,561 » 1,389, а в 2004
году гиринг = 0,5/0,397 = 1,259. Мы видим, что в 2004 го-
ду коэффициент рентабельности акционерного капитала
ROSF сократился из-за уменьшения коэффициента рента-
бельности чистых активов ROCE и гиринга (левериджа).
Чистая маржа = (чистая прибыль)/(объем продаж). От-
сюда в 2003 году чистая маржа = 60000/200000 = 0,3, а в
2004 году чистая маржа = 50000/220000 » 0,227.
Коэффициент оборачиваемости активов = (объем про-
даж)/(суммарные чистые активы). Поэтому в 2003 году ко-
эффициент оборачиваемости активов равен 200000/107000 «
* 1,869, а в 2004 году коэффициент оборачиваемости акти-
вов равен 220000/126000 = 1,746. Мы видим, что в 2004
году коэффициент рентабельности чистых активов ROCE
сократился из-за уменьшения чистой маржи и коэффици-
ента оборачиваемости активов.
91
Валовая маржа = (валовая прибыл ь)/(объем продаж).
Тогда в 2003 году валовая маржа равна 80000/200000 ==0,4,
а в 2004 году валовая маржа равна 90000/220000 ж 0,409.
Мы видим, что значение валовой маржи практически не
изменилось, а уменьшение чистой маржи в 2004 году про-
изошло из-за роста расходов.
Коэффициент текущей ликвидности = (оборотные акти-
вы)/(краткосрочная кредиторская задолженность). Отсюда
в 2003 году коэффициент текущей ликвидности равен
(10000 + 2000 + 20000)/25000 = 1,28, а в 2004 году коэф-
фициент текущей ликвидности равен (15000 + 5000 +
+ 18000)/27000 « 1,41.
Коэффициент срочной ликвидности = (оборотные акти-
вы — запасы)/(краткосрочная кредиторская задолжен-
ность). Поэтому в 2003 году коэффициент срочной лик-
видности равен (2000 + 20000)/25000 = 0,88, а в 2004 году
коэффициент срочной ликвидности равен (5000 +
+ 18000)/27000 = 0,85. Мы видим, что уменьшение коэф-
фициента оборачиваемости активов в 2004 году связано с
увеличением коэффициента текущей ликвидности.
Коэффициент оборачиваемости запасов = (себестоимость
проданной продукции)/(запасы). Тогда в 2003 году коэф-
фициент оборачиваемости запасов равен 120000/10000 =
= 12, а в 2004 году коэффициент оборачиваемости запасов
равен 130000/15000 « 8,67.
Данные о продажах и закупках в кредит не публикуют-
ся, поэтому вместо периодов оборачиваемости дебиторской и
кредиторской задолженностей укажем на дереве прибыли де-
биторскую и кредиторскую задолженности соответственно.
Задача 85. Известны результаты работы предприятия в
2003 и 2004 годах соответственно.
2003, руб. 2004, руб.
Объем продаж 205000 210000
Себестоимость проданной продукции 110000 120000
Расходы 25000 35000
Внеоборотные активы 105000 112000
Запасы 12000 17000
Дебиторская задолженность 3000 6000
Денежная наличность 19000 16000
Краткосрочная кредиторская задолженность 26000 28000
Долгосрочный заемный капитал 29000 27000
Считается, что вся прибыль предприятия была распре-
делена. Определить финансовые коэффициенты, построить
дерево прибыли и проанализировать результаты работы
предприятия.
92
Анализ финансовых коэффициентов можно использовать
и для определения задач предприятия на будущее, и для
оценки влияния потенциальных изменений в будущем на
деятельность предприятия, и для составления бизнес-плана
с учетом возможных сценариев развития. Он позволяет оце-
нить уязвимость предприятия по отношению к возможным
событиям в будущем.
Строить дерево прибыли лучше всего в виде электронной
таблицы (например, с помощью пакета Excel).
93
Глава 19
ДЕРЕВО РЕШЕНИЙ
Своевременная разработка и принятие правильного решения
— главные задачи работы управленческого персонала любой
организации. Непродуманное решение может дорого стоить
компании. На практике результат одного решения заставля-
ет нас принимать следующее решение и т. д. Когда нужно
принять несколько решений в условиях неопределенности,
когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или
исходов испытаний, то применяют схему, называемую дере-
вом решений.
Дерево решений — это графическое изображение процес-
са принятия решений, в котором отражены альтернативные
решения, альтернативные состояния среды, соответствую-
щие вероятности и выигрыши для любых комбинаций аль-
тернатив и состояний среды.
Рисуют деревья слева направо. Места, где принимаются
решения, обозначают квадратами □ , места появления ис-
ходов — кругами О , возможные решения — пунктир-
ными линиями--------, возможные исходы — сплошными
линиями---------.
Для каждой альтернативы мы считаем ожидаемую стои-
мостную оценку (EMV) — максимальную из сумм оценок
выигрышей, умноженных на вероятность реализации выиг-
рышей, для всех возможных вариантов.
Пример 86. Главному инженеру компании надо решить,
монтировать или нет новую производственную линию, ис-
пользующую новейшую технологию. Если новая линия бу-
дет работать безотказно, компания получит прибыль 200
млн. рублей. Если же она откажет, компания может поте-
рять 150 млн. рублей. По оценкам главного инженера, су-
ществует 60% шансов, что новая производственная линия
откажет. Можно создать экспериментальную установку, а
затем уже решать, монтировать или нет производственную
линию. Эксперимент обойдется в 10 млн. рублей. Главный
инженер считает, что существует 50% шансов, что экспе-
94
риментальная установка будет работать. Если эксперимен-
тальная установка будет работать, то 90% шансов за то,
что смонтированная производственная линия также будет
работать. Если же экспериментальная установка не будет
работать, то только 20% шансов за то, что производствен-
ная линия заработает. Следует ли строить эксперименталь-
ную установку? Следует ли монтировать производственную
линию? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучше-
го решения?
200
-150
о
200
-150
о
200
-150
о
В узле F возможны исходы «линия работает» с вероят-
ностью 0,4 (что приносит прибыль 200) и «линия не рабо-
тает» с вероятностью 0.6 (что приносит убыток -150) =>
оценка узла F: EMV(F) = 0,4x200 4- 0,6х(-150) = -10. Это
число мы пишем над узлом F.
EMV(G) = 0.
В узле 4 мы выбираем между решением «монтируем ли-
нию» (оценка этого решения EMV(F) = —10) и решением
«не монтируем линию» (оценка этого решения EMV(G) = 0):
EMV(4) = max {EMV(F), EMV(G)} = max {-10, 0} = 0 =
= EMV(G). Эту оценку мы пишем над узлом 4, а решением
«монтируем линию» отбрасываем и зачеркиваем.
Аналогично:
EMV(B) = 0,9x200 + 0,1 х(—150) = 180 - 15 = 165.
EMV(C) = 0.
EMV(2) = max {EMV(B), EMV(C)} = max {165, 0} = 165 ==
= EMV(B). Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное реше-
ние «не монтируем линию».
95
EMV(D) = 0,2x200 + 0,8x(-150) = 40 - 120 = -80.
EMV(E) = 0.
EMV(3) = max {EMV(Z>), EMV(E)} = max {-80, 0} = 0 =
= EMV(E). Поэтому в узле 3 отбрасываем возможное реше-
ние «монтируем линию».
EMV(A) = 0,5x165 + 0,5x0 - 10 = 72,5.
EMV(l) = max {EMV(A), EMV(4)} = max {72,5; 0} = 72,5 =
= EMV(A). Поэтому в узле 1 отбрасываем возможное реше-
ние «не строим установку».
Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения
равна 72,5 млн. рублей. Строим установку. Если установка
работает, то монтируем линию. Если установка не работа-
ет, то линию монтировать не надо.
Задача 86. Предприниматель провел анализ, связан-
ный с открытием магазина. Если он откроет большой ма-
газин, то при благоприятном состоянии рынка получит
прибыль 60 млн. рублей, при неблагоприятном — понесет
убытки 40 млн. рублей. Маленький магазин принесет ему
30 млн. рублей прибыли при благоприятном состоянии
рынка и 10 млн. рублей убытков при неблагоприятном.
Возможность благоприятного и неблагоприятного состоя-
ния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка,
которое может провести специалист, обойдется предпри-
нимателю в 5 млн. рублей. Специалист считает, что с ве-
роятностью 0,6 состояние рынка окажется благоприятным.
В то же время при положительном заключении состояние
рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью 0,9.
При отрицательном заключении с вероятностью 0,12 со-
стояние рынка может оказаться благоприятным. Исполь-
зуйте дерево решений для того, чтобы помочь предприни-
мателю принять решение. Следует ли заказать проведение
обследования состояния рынка? Следует ли открыть боль-
шой магазин? Какова ожидаемая стоимостная оценка наи-
лучшего решения?
Пример 87. Компания рассматривает вопрос о строи-
тельстве завода. Возможны три варианта действий.
А. Построить большой завод стоимостью = 700 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере R± = 280 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью = 0,8 и низкий
спрос (ежегодные убытки 7? 2 = 80 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 == 0,2.
Б. Построить маленький завод стоимостью М2 = 300 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере = 180 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью pi = 0,8 и низкий
96
спрос (ежегодные убытки Т2 = 55 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,2.
В. Отложить строительство завода на один год для сбора
дополнительной информации, которая может быть позитив-
ной или негативной с вероятностью Рз = 0,7 и р± - 0,3 со-
ответственно. В случае позитивной информации можно по-
строить заводы по указанным выше расценкам, а вероят-
ности большого и низкого спроса меняются на р$ = 0,9 и
Рб = 0,1 соответственно. Доходы на последующие четыре
года остаются прежними. В случае негативной информа-
ции компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны
дисконтироваться. Нарисовав дерево решений, определим
наиболее эффективную последовательность действий, осно-
вываясь на ожидаемых доходах.
Большой
Большой 340 __
завод ОЗ
[ I700" 0.2
/ Маленький
I спрос
t Большой
365/ „ спрос
«1 Маленький зьз
1 завод °.8
L-t-J Z3OO 0.2
» Маленький
280X5 = 1400
(-80)Х5 = -400
180X5 — 900
спрос
Позитивная
информация
Г~^~
223,2/
Отложить
на 1 год \
\ Негативная
\ информация
0,3
(-55)Х5 = -275
0 Отказ от
'"‘х строительства
F)-------—-------- 0
Большой
спрос
0/Э
0,1
Маленький
спрос
Большой
спрос
0,9
0,1
Маленький
спрос
280X4 = 1120
(—80)Х4 = -320
180X4 = 720
(-55)Х4 = -220
Ожидаемая стоимостная оценка узла А равна EMV(A) —
= 0,8x1400 + 0,2х(—400) - 700 = 340.
EMV(B) = 0,8x900 + 0,2х(—275) - 300 = 365.
EMV(D) = 0,9x1120 + 0,1х(—320) - 700 = 276.
EMV(E) « 0,9x720 + 0,1х(-220) - 300 = 326.
EMV(2) = max {EMV(P), EMV(E)} = max {276, 326} «
= 326 = EMV(E). Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное
решение «большой завод».
EMV(C) = 0,7x326 + 0,3x0 = 228,2.
EMV(l) = max {EMV(A), EMV(B), EMV(C) } = max {340;
365; 228,2} = 365 = EMV(B). Поэтому в узле 1 выбираем
97
решение «маленький завод». Исследование проводить не
нужно. Строим маленький завод. Ожидаемая стоимостная
оценка этого наилучшего решения равна 365 тысяч долла-
ров.
Задача 87. Компания рассматривает вопрос о строи-
тельстве завода. Возможны три варианта действий.
А. Построить большой завод стоимостью = 650 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере Ri = 300 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью == 0,7 и низкий
спрос (ежегодные убытки /?2 = 85 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,3.
Б. Построить маленький завод стоимостью М2 = 360 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере Т} = 120 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью р\ = 0,7 и низкий
спрос (ежегодные убытки Т2 = 60 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,3.
В. Отложить строительство завода на один год для сбо-
ра дополнительной информации, которая может быть по-
зитивной или негативной с вероятностью р$ = 0,9 и
Р4 = 0,1 соответственно. В случае позитивной информации
можно построить заводы по указанным выше расценкам, а
вероятности большого й низкого спроса меняются на
Р5 = 0,8 и pg = 0,2 соответственно. Доходы на последую-
щие четыре года остаются прежними. В случае негативной
информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны
дисконтироваться. Нарисовать дерево решений. Определить
наиболее эффективную последовательность действий, осно-
вываясь на ожидаемых доходах. Какова ожидаемая стои-
мостная оценка наилучшего решения?
98
Глава 20
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
§ 20.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ
§ 20.1.1. Максимаксное и максиминное решения
Максимаксное решение — это максимизация максимума
возможных доходов. Максиминное решение — это максими-
зация минимума возможных доходов.
Пример 88. Владелец небольшого магазина в начале
каждого дня закупает для реализации некий скоропортя-
щийся продукт по цене 50 рублей за единицу. Цена реали-
зации этого продукта — 60 рублей за единицу. Из наблю-
дений известно, что спрос на этот продукт за день может
быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не
продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 30 руб-
лей за единицу. Сколько единиц этого продукта должен за-
купать владелец каждый день?
Ниже приведена таблица возможных доходов за день.
Возможные исходы: спрос в день Возможные решения: число закупленных для реализации единиц
1 2 3 4
1 10 -10 -30 -50
2 10 20 0 -20
3 10 20 30 10
4 10 20 30 40
максимакс 10 20 30 40
максимин 10 -10 -30 -50
Поясним, как заполняется таблица.
В клетке (2,2) для реализации было закуплено 2 едини-
цы, спрос был 2 единицы. Поэтому возможный доход для
этой клетки: 60x2 (реализация двух единиц) — 50x2 (их
предварительная закупка) = 20.
В клетке (3,1) была закуплена для реализации 1 едини-
ца, спрос был 3 единицы. Поэтому возможный доход для
этой клетки: 60x1 (реализация только одной единицы, вла-
99
делец магазина неверно оценил спрос) - 50x1 (ее предва-
рительная закупка) = 10.
В клетке (3,4) было закуплено для реализации 4 едини-
цу, спрос был 3 единицы. Поэтому возможный доход для
этой клетки 60x3 (реализация трех единиц, на которые
был спрос) — 50x4 (предварительная закупка четырех еди-
ниц) + 30х(4 - 3) (реализация в конце дня непроданной
единицы) = 10. И т. д.
Каждая реализованная в течение дня единица приносит
доход 60 - 50 = 10, а каждая реализованная в конце дня
единица приносит доход 30 — 50 = —20 (то есть убыток).
Рассматриваемые способы принятия решения состоят в
следующем. В каждом столбце (то есть для каждого воз-
можного решения) находим максимальное число. Это чис-
ла 10, 20, 30, 40 соответственно. Запишем их в строке
«максимакс» и найдем среди них максимальное. Это 40,
что соответствует решению о закупке для реализации 4 еди-
ниц. Руководствуясь правилом максимакса, каждый раз
надо закупать для реализации 4 единицы. Это — подход
очень азартного человека.
В каждом столбце (то есть для каждого возможного ре-
шения) находим минимальное число. Это числа 10, -10,
—30, —50 соответственно. Запишем их в строке «максимин»
и найдем среди них максимальное. Это 10, что соответст-
вует решению о закупке для реализации 1 единицы. Руко-
водствуясь правилом максимина, каждый раз надо заку-
пать для реализации 1 единицу. Это — подход очень осто-
рожного человека.
§ 20.1.2. Минимаксное решение
Минимаксное решение — это минимизация максимума воз-
можных потерь, причем упущенная выгода также трактует-
ся как потери.
Пример 89. Вернемся к предыдущему примеру 88.
Таблица возможных потерь за день имеет следующий
вид:
Возможные исходы: спрос в день Возможные решения: число закупленных для реализации единиц
1 2 3 4
1 0 20 40 60
2 10 0 20 40
3 20 10 0 20
4 30 20 10 0
минимакс 30 20 40 60
100
Поясним, как заполняется таблица.
В клетке (2,2) было закуплено для реализации 2 едини-
цы, спрос был 2 единицы, то есть число закупленных для
реализации единиц равно спросу за день. Поэтому возмож-
ные потери для этой клетки равны нулю.
В клетке (3,1) закупленная для реализации единица
продана, но могли бы продать еще 3 — 1 = 2 единицы, за-
работав на их продаже 2х(60 — 50) = 20. Это и есть воз-
можные потери.
В клетке (3,4) одна закупленная единица не реализова-
на в течение дня. Она приносит убыток 1х(50 — 30) = 20.
Это и есть возможные потери.
В каждом столбце (то есть для каждого возможного ре-
шения) находим максимальное число. Это числа 30, 20, 40,
60 соответственно. Запишем их в строке «минимакс» и най-
дем среди них минимальное. Это 20, что соответствует ре-
шению о закупке для реализации 2 единиц. Руководствуясь
правилом максимакса, каждый раз надо закупать для реа-
лизации 2 единицы.
§ 20.1.3. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица — это компромиссный способ принятия
решений. Составляется таблица возможных доходов (см.
пример 88). Задаются числа а и Ь, называемые весами. Ус-
ловия на а и Ь:
а > 0, Ь > 0, а 4- b = 1.
Для каждого возможного решения определяются наи-
меньший и наибольший возможные доходы и вычисляется
целевая функция по правилу:
ах (наименьший доход) 4- Ьх (наибольший доход).
Выбираем решение, при котором целевая функция при-
нимает наибольшее значение.
Веса а и b выбирает сам исследователь. При а = 0, b = 1
получаем правило максимакса. При а = 1, b = 0 получаем
правило максимина.
Пример 90. Вернемся к примеру 88. Зададим а = 0,4 и
Ь = 0,6. а 4- b = 0,4 4- 0,6 = 1. Из таблицы возможных до-
ходов для каждого решения находим наименьший и наи-
больший возможные доходы (это числа в строках «макси-
макс» и «максимин»). Заполним таблицу.
Числа во 2-м и 3-м столбцах взяты из таблицы возмож-
ных доходов. Числа 3-го столбца умножаем на а « 0,4 и
101
Возможные решения Наибольший доход Наименьший доход а X (наимень- ший доход) = 0,4 X (наимень- ший доход) b X (наиболь- ший доход) = 0,6 X (наиболь- ший доход) Сумма
1 10 10 4 6 10
2 20 -10 —4 12 8
3 30 -30 -12 18 6
4 40 -50 -20 24 4
результат пишем в 4-м столбце. Числа 2-го столбца умно-
жаем на Ь = 0,6 и результат пишем в 5-м столбце. В 6-м
столбце находится сумма соответствующих элементов 4-го
и 5-го столбцов. Находим максимум в 6-м столбце (это 10).
Он соответствует возможному решению о закупке для реа-
лизации одной единицы. Очевидно, для других весов ре-
зультат будет, вообще говоря, иным.
Замечание. В методе Гурвица вместо таблицы возможных
доходов можно воспользоваться таблицей возможных потерь
(см. пример 89). В этом случае ищется минимум целевой
функции ах (наименьшие потери) 4- &х (наибольшие потери)
по всем возможным решениям.
§ 20.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ
§ 20.2.1. Правило максимальной вероятности
Пример 91. Модифицируем пример 88. Пусть известно,
что на практике спрос 1 наблюдался 15 раз, спрос 2 наблю-
дался 30 раз, спрос 3 наблюдался 30 раз, спрос 4 наблюдался
25 раз, то есть известна частота каждого возможного исхода.
Всего наблюдений было 15 + 30 + 30 + 25 = 100. По
формуле (частота исхода)/(сумма частот всех исходов) оп-
ределим относительную частоту (или вероятность) каждого
исхода. Это 15/100 = 0,15; 30/100 = 0,30; 30/100 = 0,30;
25/100 = 0,25 соответственно. Составим таблицу. Находим
исходы, вероятность которых максимальна. Это 2 и 3.
Возможные исходы 1 2 3 4 Сумма
Частота 15 30 30 25 100
Вероятность р 0,15 0,30 0,30 0,25 1
В таблице возможных доходов наибольший возможный
доход из этих двух решений у решения «закупать 3 едини-
цы» (30 против 20). Поэтому, руководствуясь правилом
максимальной вероятности, надо закупать для реализации
3 единицы.
102
§ 20.2.2. Максимизация ожидаемого дохода
Мы знаем вероятность каждого исхода и знаем таблицу воз-
можных доходов. По формуле
2 (доход при i-м исходе) х (вероятность i-ro исхода)
i
вычисляем для каждого решения математическое ожидание
дохода (грубо говоря, средний ожидаемый доход). И смот-
рим, для какого решения оно максимально.
Пример 92. Вернемся к примеру 91.
Возможное решение 1 Возможный ДОХОД X Вероятность Р ХХр
10 0,15 10x0,15 = 1,5
10 0,30 10x0,30 = 3
10 0,30 10x0,3 = 3
10 0,25 10x0,25 = 2,5
Сумма 1 10
Столбец «Возможный доход х» взят из таблицы возмож-
ных доходов (соответствует возможному решению 1). Стол-
бец «Вероятность р» — это строка «Вероятность р» из при-
мера 91. 3-й столбец — это результат поэлементного произ-
ведения 1-го и 2-го столбцов. Нас интересует сумма эле-
ментов 3-го столбца. Она равна 10.
Возможное решение 2 Возможный доход X Вероятность Р хХр
-10 0,15 -10x0,15 = -1,5
20 0,30 20x0,30 = 6
20 0,30 20x0,3 = 6
20 0,25 20x0,25 = 5
Сумма 1 15,5
Возможное решение 3 Возможный Доход X Вероятность Р хХр
-30 0,15 -30x0,15 = -4,5
0 0,30 0x0,30 - 0
30 0,30 30x0,3 = 9
30 0,25 30x0,25 = 7,5
Сумма 1 12
Возможное решение 4 Возможный ДОХОД X Вероятность Р хХр
-50 0,15 -50x0,15 = -7,5
-20 0,30 -20x0,30 = -6
10 0,30 10x0,3 == 3
40 0,25 40x0,25 = 10
Сумма 1 -0,5
103
Выбираем максимум среди итоговых чисел: max (10;
15,5; 12; —0,5) = 15,5. Поэтому надо закупать для реализа-
ции 2 единицы.
Замечание, Воспользовавшись формулой
2 (возможные потери при i-м исходе)х(вероятность i-го исхода),
i
аналогично можно минимизировать ожидаемые потери.
§ 20.2.3. Ожидаемая стоимость полной информации
На практике каждый предприниматель мечтает о том, что-
бы точно уравновесить спрос и предложение. В этом случае
нет потерь и потребители довольны. Этот идеальный сцена-
рий может стать более реальным, если точно известен уро-
вень спроса.
Один из способов определения будущего спроса — прове-
дение маркетингового исследования с целью получения ин-
формации о покупательских предпочтениях потребителей.
Подобные попытки, несомненно, увеличат затраты на веде-
ние бизнеса. Сколько именно средств предприниматель мо-
жет позволить себе потратить на получение информации об
ожидаемом уровне спроса?
Постараемся ответить на этот вопрос, воспользовавшись
результатами примеров 88, 91 и 92.
Из таблицы возможных доходов за день мы видим, что
если бы владелец магазина знал, что спрос на продукт бу-
дет равен 1 единице, то была бы закуплена для реализа-
ции 1 единица и возможный доход был бы равен 10 руб.
(максимальное число в 1-й строке находится в 1-м столбце
и равно 10).
Если заранее известно, что спрос составит 2 единицы,
то были бы закуплены для реализации 2 единицы и воз-
можный доход был бы равен 20 руб. (максимальное число
во 2-й строке находится во 2-м столбце и равно 20).
Если заранее известно, что спрос составит 3 единицы,
то были бы закуплены для реализации 3 единицы и воз-
можный доход был бы равен 30 руб. (максимальное число
в 3-й строке находится в 3-м столбце и равно 30).
Если заранее известно, что спрос составит 4 единицы,
то были бы закуплены для реализации 4 единицы и воз-
можный доход был бы равен 40 руб. (максимальное число
в 4-й строке находится в 4-м столбце и равно 40).
Так как известны вероятности различных значений спро-
са, то можно определить ожидаемый доход в условиях пол-
104
ной информации: 0,15x10 + 0,30x20 + 0,30x30 + 0,25x40 =
= 26,5 руб.
Лучшее, что мог сделать владелец магазина в условиях
отсутствия полной информации - это закупать для реали-
зации 2 единицы в день с целью максимизации ожидаемо-
го дохода. Тогда его ожидаемый доход равен 15,5 руб. Он
имеет возможность увеличить ежедневный доход до 26,5
руб., затратив дополнительную сумму денег (не свыше
26,5 — 15,5 = 11 руб./день) на маркетинговые исследова-
ния.
Разница между ожидаемым доходом в условиях опреде-
ленности и в условиях риска называется ожидаемой стои-
мостью полной информации. Это максимально возможный
размер средств, которые можно потратить на получение пол-
ной информации о рыночной конъюнктуре.
Задачи 88-92. Владелец небольшого магазина в начале
каждого рабочего дня закупает для реализации некий ско-
ропортящийся продукт по цене 30 рублей за единицу. Це-
на реализации этого продукта — 50 рублей за единицу. Из
наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день
может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за
день не продан, то в конце дня его всегда покупают по це-
не 20 рублей за единицу.
Возможные исходы 1 2 3 4
Частота 5 40 40 15
Пользуясь правилами максимакса, максимина, мини-
макса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и
максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько еди-
ниц этого продукта должен закупать владелец каждый
день. Чему равна ожидаемая стоимость полной информа-
ции?
105
Глава 21
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОЖИДАНИЯ И СТАНДАРТНОГО
ОТКЛОНЕНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ РИСКА
Сравниваются варианты инвестирования, для которых изве-
стны возможные значения прибыли Ху ..., хп, а также веро-
ятности pi, ..., рп получения данной прибыли соответствен-
но. Для каждого варианта вычисляются математическое
п
ожидание М(Х) = 'XPtxi (характеризует среднюю прибыль) и
i=l Г~п
стандартное отклонение о(Х) = \ lSpiX2 — (М(Х))2 (это оцен-
у i=l
ка риска проекта).
Пример 93- В таблице указаны вероятности получения
прибыли для двух вариантов инвестирования. Сравним эти
варианты.
Прибыль, млн. руб. —2 -1 0 1 2 3
Вариант 1 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3 0
Вариант 2 0,1 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2
Заполним таблицу.
Прибыль X Вариант 1 Вариант 2
Р р X X РХ х х = рх2 Р Р х х рх X X = рх2
—2 0,1 -0,2 0,4 0,1 -0,2 0,4
-1 0,1 -0,1 0,1 0,2 -0,2 0,2
0 0,3 0 0 0,1 0 0
1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
2 0,3 0,6 1,2 0,2 0,4 0,8
3 0 0 0 0,2 0,6 1,8
Сумма 1 0,5 1,9 1 0,8 3,4
Поясним, как заполняется таблица. Числа из 1-й, 2-й и
3-й строк исходной таблицы запишем в 1-м, 2-м и 5-м
столбцах новой таблицы соответственно. 3-й (6-й) столбец
равен произведению 1-го и 2-го (5-го) столбцов. Числа 3-го
(6-го) столбца умножаем на числа 1-го столбца и результат
пишем в 4-м (7-м) столбце. В последней строке указаны
суммы элементов соответствующих столбцов.
106
Для 1-го варианта математическое ожидание М(Х) и
стандартное отклонение о(Х) равны:
М(Х) = Yptxt = 0,5;
i=l_____________
о(Х) =Л ^PjXi2 - (М(Х))2 = л/1,9 - 0,52 • 1,28.
Vi=l
Для 2-го варианта математическое ожидание М(Х) и
стандартное отклонение а(Х) равны:
М(Х) = = 0,8;
j=i_____________
а(Х) =л /ZpiXi2 - (М(Х))2 = л|з,4 — 0,82 = 1,66.
V /=1
Мы видим, что во 2-м варианте средняя прибыль выше,
но и оценка риска во 2-м варианте больше. Инвестор,
склонный к риску, предпочтет 2-й вариант. Более осторож-
ный инвестор ограничится 1-м вариантом.
Задача 93. В таблице указаны вероятности получения
прибыли для двух вариантов инвестирования. Сравнить эти
варианты.
Прибыль, млн. руб. -2 -1 0 1 2 3
Вариант 1 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 0
Вариант 2 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1
107
[лава 22
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
В этой главе мы рассмотрим возможность использования
данных за прошлые периоды для прогнозирования.
Множество данных, где время является независимой пе-
ременной, называется временным рядом. Будут рассмотре-
ны аддитивные и мультипликативные модели.
Общее изменение со временем результативного признака
называется трендом. Мы рассмотрим модели линейного
тренда, то есть параметры тренда можно рассчитать с помо-
щью модели линейной регрессии.
Сезонная вариация — это повторение данных через не-
большой промежуток времени. Под «сезоном» можно пони-
мать и день, и неделю, и месяц, и квартал. Если же проме-
жуток времени будет длительным, то это — циклическая ва-
риация. Мы остановимся на изучении данных для неболь-
ших интервалов времени, поэтому циклическую вариацию
исключим из рассмотрения.
Сначала на основании прошлых данных определяется се-
зонная вариация. Исключив сезонную вариацию (проведя
так называемую десезонализацию данных), с помощью мо-
дели линейной регрессии находим уравнение тренда. По
уравнению тренда и прошлым данным вычисляем величины
ошибок. Это среднее абсолютное отклонение MAD =
и среднеквадратическая ошибка MSE = ^e2t/n, где е^ — это
разность фактического и прогнозного значений в момент вре-
мени t, п — число наблюдений.
§ 22.1. АНАЛИЗ АДДИТИВНОЙ МОДЕЛИ
Для аддитивной модели фактическое значение А == трендо-
вое значение Т + сезонная вариация S + ошибка Е.
Пример 94. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Объем продаж 4 6 4 5 10 8 7 9 12 14 15
108
На первом шаге нужно исключить влияние сезонной ва-
риации. Воспользуемся методом скользящей средней. За-
полним таблицу.
Номер квартала Объем продаж Скользящая средняя за 4 квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной вариации
1 4
2 6
3 4 4,75 5,5 —1,5
4 5 6,25 6,5 -1,5
5 10 6,75 7,125 2,875
6 8 7,5 8 0
7 7 8,5 8,75 -1,75
8 9 9 9,75 -0,75
9 12 10,5 11,5 0,5
10 14 12,5
11 15
1 год = 4 квартала. Поэтому найдем среднее значение
объема продаж за 4 последовательных квартала. Для этого
нужно сложить 4 последовательных числа из 2-го столбца,
эту сумму разделить на 4 (количество слагаемых) и резуль-
тат записать в 3-й столбец напротив третьего слагаемого.
(4 + 6 + 4 + 5)/4 = 4,75 (пишем напротив 4).
(6 + 4 + 5 + 10)/4 = 6,25 (пишем напротив 5). И т. д.
Полусумму двух соседних чисел из 3-го столбца запишем
в 4-й столбец напротив верхнего из них. Если при заполне-
нии 3-го столбца скользящая средняя вычислялась для не-
четного числа сезонов, то результат записывается напротив
среднего слагаемого и данные не надо центрировать (то есть
не надо заполнять 4-й столбец). 5-й столбец — это разность
2-го и 4-го столбцов (2-го и 3-го столбцов, если скользящая
средняя вычислялась для нечетного числа сезонов).
Заполним следующую таблицу. Оценки сезонной вариа-
ции запишем под соответствующим номером квартала в го-
ду. В каждом столбце вычисляем среднее = (сумма чисел в
столбце)/(количество чисел в столбце). Результат пишем в
строке «Среднее» (округления до одной цифры после запя-
той). Сумма чисел в строке «Среднее» равна -1.
Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы об-
щая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить
значения сезонной вариации в целом за год. Корректирую-
щий фактор вычисляется следующим образом: сумма оце-
нок сезонных вариаций (—1) делится на число кварталов в
году (4). Поэтому из каждого числа этой строки нужно вы-
честь —1/4 = -0,25. Так как у нас округления до одной ци-
фры после запятой, то из нечетных столбцов вычтем —0,3,
109
а из четных столбцов вычтем -0,2. В последней строке по-
лучены значения сезонной вариации для соответствующего
квартала года.
Номер квартала в году
1 2 3 4
-1,5 -1,5
2,875 0 -1,75 -0,75
0.5 Сумма
Среднее 1.7 0.0 -1.6 -1.1 -1
Скорректированная сезонная вариация 2,0 0,2 -1,3 -0,9 0,0
Исключим сезонную вариацию из фактических данных.
Проведем десезонализацию данных.
Номер квартала Объем продаж А Сезонная вариация S Десезонализированный объем продаж A-S=T+E
1 4 2 2
2 6 0,2 5,8
3 4 -1.3 5,3
4 5 -0.9 5,9
5 10 2 8
6 8 0,2 7,8
7 7 -1,3 8,3
8 9 -0,9 9,9
9 12 2 10
10 14 0,2 13,8
11 15 -1,3 16,3
Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 3-го столбца и
результат пишем в 4-м столбце.
Уравнение линии тренда Т = а 4- Ьх.
Найдем коэффициенты а и b по данным первого и по-
следнего столбцов.
Номер X У X2 ху
1 1 2 1 2
2 2 5,8 4 11,6
3 3 5,3 9 15,9
4 4 5,9 16 23,6
5 5 8 25 40
6 6 7,8 36 46,8
7 7 8,3 49 58,1
8 8 9,9 64 79,2
9 9 10 81 90
10 10 13,8 100 138
11 11 16,3 121 179,3
Сумма 66 93,1 506 684,5
110
п п п
n^xiVi - Yx^yt
b _ i-l-->°1 i-1
4x2-(W
i=l i=l
n n
Yl/i - ЬУх;
a = - 93,1 - ^вб = x 9
n
11x684,5 - 66x93,1 e х х
11x506 - 662
11
Замечание. Вместо вычислений коэффициентов а и b по
формулам можно воспользоваться статистическими функци-
ями ОТРЕЗОК (изв_знач_1/; извзначх) и НАКЛОН
(изв_знач_1/; изв_знач_х) мастера функций fx пакета Excel.
Здесь изв_знач_# и изв знач х — это ссылки на ячейки, со-
держащие значения переменных у и х соответственно.
Трендовое значение объема продаж = 1,9 + 1,1 х(номер
квартала).
Теперь займемся расчетом ошибок.
Из чисел 3-го столбца приводимой ниже таблицы вычи-
таем числа 4-го столбца и результат пишем в 5-м столбце.
Среднее абсолютное отклонение MAD = = 11,6/11 «
» 1,1, среднеквадратическая ошибка MSE = ^£е2/п =
= 16,58/11 «1,5. Мы видим, что ошибки достаточно вели-
ки. Это скажется на качестве прогноза.
Номер квартала Объем продаж А Десезонализированный объем продаж A-S=T+E Трендовое значение Ошибка 4
1 4 2 3 -1 1 1
2 6 5,8 4,1 1,7 1,7 2,89
3 4 5,3 5,2 0,1 0,1 0,01
4 5 5,9 6,3 -0,4 0,4 0,16
5 10 8 7,4 0,6 0,6 0,36
6 8 7,8 8,5 -0,7 0,7 0,49
7 7 8,3 9,6 -1,3 1,3 1,69
8 9 9,9 10,7 -0,8 0,8 0,64
9 12 10 11,8 -1,8 1,8 3,24
10 14 13,8 12,9 0,9 0,9 0,81
11 15 16,3 14 2,3 2,3 5,29
Сумма 11,6 16,58
Дадим прогноз объема продаж на следующие два квар-
тала.
Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым
данным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставля-
ем номера кварталов в формулу и учитываем сезонную ва-
риацию.
111
Прогноз объема продаж в 12-м квартале:
(1,9 + 1,1x12) + (-0,9) = 14,2 тыс. руб.
Прогноз объема продаж в 13-м квартале:
(1,9 + 1,1x13) + 2 = 18,2 тыс. руб.
Задача 94. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дать на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Объем продаж 4 5 5 6 9 9 8 10 11 13 16
§ 22.2. АНАЛИЗ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ МОДЕЛИ
В некоторых временных рядах значение сезонной вариации —
это определенная доля трендового значения, то есть сезонная
вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В
таких случаях используется мультипликативная модель.
Для мультипликативной модели фактическое значение А =
— трендовое значение Т х сезонная вариация S х ошибка Е.
Пример 95. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Объем продаж 63 74 79 120 67 79 88 130 69 82 90
Числа 2-го столбца приведенной далее таблицы делим
на числа 4-го столбца и результат (округляем до трех цифр
после запятой) запишем в 5-й столбец.
Номер квартала Объем продаж Скользящая средняя за 4 квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной вариации
1 63
2 74
3 79 84 84,5 0,935
4 120 85 85,625 1,401
5 67 86,25 87,375 0.767
6 79 88,5 89,75 0,880
7 88 91 91,25 0,964
8 130 91,5 91,875 1,415
9 69 92,25 92,5 0,746
10 82 92,75
11 90
112
Номер квартала в году
1 2 3 4
0,935 1,401
0,767 0,880 0,964 1,415
0.746 Сумма
Среднее 0.756 0.880 0.950 1.408 3.994
Скорректированная сезонная вариация 0,757 0,881 0,952 1,410 4,000
Значения сезонной вариации — это доли. Число сезо-
нов равно 4. Поэтому необходимо, чтобы сумма средних
была равна 4. У нас же получилось 3,994. Следовательно,
итоговые коэффициенты сезонности нужно умножить на
множитель 4/3,994. В последней строке указаны оконча-
тельные коэффициенты сезонности.
Как показывают полученные оценки, в 1-м, 2-м и 3-м
кварталах года объем продаж снижается соответственно на
24,3%, 11,9% и 4,8% от соответствующих трендовых зна-
чений. В 4-м квартале года объем продаж увеличивается
на 41% от соответствующего трендового значения.
Исключим сезонную вариацию из фактических данных.
Проведем десезонализацию данных. Числа 2-го столбца
таблицы делим на числа 3-го столбца, результат округляем
до одной цифры после запятой и пишем в 4-й столбец.
Номер квартала Объем продаж А Коэффициент сезонности S Десезонализированный объем продаж A/S = T*E
1 63 0,757 83,2
2 74 0,881 84,0
3 79 0,952 83,0
4 120 1,41 85,1
5 67 0,757 88,5
6 79 0,881 ’ 89,7
7 88 0,952 92,4
8 130 1,41 92,2
9 69 0,757 91,1
10 82 0,881 93,1
11 90 0,952 94,5
Уравнение линии тренда Т = а 4- Ьх.
Используя результаты § 22.1, найдем коэффициенты а
и Ъ по данным первого и последнего столбцов.
Трендовое значение объема продаж = 81,6 + 1,2х(номер
квартала).
Теперь займемся расчетом ошибок.
Среднее абсолютное отклонение MAD = Sletl/n =
11,2/11 = 1, среднеквадратическая ошибка MSE = в
= 17,1/11 « 1,6. Мы видим, что ошибки малы и составля-
113
Номер квар- тала Объем продаж А Коэффици- ент сезон- ности S Десезонализи- рованный объем продаж A/S = T*E Трендовое значение Ошибка Ы е\
1 63 0,757 83,2 82,8 0,4 0,4 0,16
2 74 0,881 84,0 84 0,0 0,0 0,00
3 79 0,952 83,0 85,2 -2,2 2,2 4,84
4 120 1,41 85,1 86,4 -1,3 1,3 1,69
5 67 0,757 88,5 87,6 0,9 0,9 0,81
6 79 0,881 89,7 88,8 0,9 0,9 0,81
7 88 0,952 92,4 90 2,4 2,4 5,76
8 130 1,41 92,2 91,2 1,0 1,0 1,00
9 69 0,757 91,1 92,4 -1,3 1,3 1,69
10 82 0,881 93,1 93,6 -0,5 0,5 0,25
11 90 0,952 94,5 94,8 -0,3 0,3 0,09
Сумма 11,2 17,10
ют порядка 1%. Это позволяет получить хорошие кратко-
срочные прогнозы.
Дадим прогноз объема продаж на следующие два кварта-
ла. Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым дан-
ным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставляем но-
мера кварталов в формулу и учитываем сезонную вариацию.
Прогноз объема продаж в 12-м квартале:
(81,6 + 1,2х12)х1,41 « 135,4 тыс. руб.
Прогноз объема продаж в 13-м квартале:
(81,6 + 1,2х13)х0,757 « 73,6 тыс. руб.
Задача 95- В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дать на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Объем продаж 64 75 81 110 66 77 91 120 68 78 92
Замечание. Excel позволяет быстро вычислить оценки ме-
тодом скользящей средней. Сервис Анализ данных -*
Скользящее среднее -* ОК. Появляется диалоговое окно, ко-
торое нужно заполнить. В графе Интервал вводится коли-
чество сезонов, для которых вычисляется скользящее сред-
нее (по умолчанию это 3). Если требуется график, на кото-
ром будут указаны прогнозные и фактические значения, то
нужно поставить «галочку» рядом со словосочетанием Вы-
вод графика. ОК. Появляется итоговая таблица, которая со-
держит исходные данные и оценки, полученные методом
скользящей средней. Если оценка находилась как среднее k
слагаемых, то в таблице оценок она находится напротив по-
следнего из этих k слагаемых.
114
Глава 23
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ
СГЛАЖИВАНИЕ
При анализе временных рядов использовался метод сколь-
зящей средней, где все данные (и поздние, и ранние) были
равноправны. Более правильным представляется способ, в
котором данным приписываются веса: более поздним дан-
ным придается больший вес, чем более ранним. Этот метод
обеспечивает быстрое получение прогноза на один период
вперед и автоматически корректирует любой прогноз в све-
те различий между фактическим и спрогнозированным ре-
зультатом.
§ 23.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО
СГЛАЖИВАНИЯ
Новый прогноз « ах (фактический результат в последний пе-
риод) + (1 — а)х(прогноз в последний период), то есть Ft+i =
= aAt + (1 — a)Ft. Константу сглаживания а исследователь
выбирает из отрезка [0, 1]. В условиях стабильности часто
a G [0,21 0,4].
Пример 96. Вернемся к примеру 94. Пусть а = 0,8. Тог-
да 1 — а = 1 — 0,8 = 0,2. Предположим, что на первый
квартал был дан прогноз 3. Дадим прогноз на 12-й квар-
тал.
Заполним таблицу.
Ft+i = aAt + (1 — a)Ft = 0,8Af 4- 0,2F^, то есть числа в
каждой строке умножаем соответственно на 0,8 и 0,2 и ре-
зультат пишем в следующей строке во втором столбце.
0,8x4 + 0,2x3 = 3,8.
0,8x6 + 0,2x3,8 » 5,6. И т. д.
Результат округляем до одной цифры после запятой.
115
At (фактически) Ft (прогноз)
4 3
6 3,8
4 5,6
5 4,3
10 4,9
8 9
7 8,2
9 7,2
12 8,6
14 11,3
15 13,5
14,7
Прогноз на 12-й квартал — 14,7 тыс. руб.
Задача 96. В задаче 94 дать прогноз объема продаж на
12-й квартал методом простого экспоненциального сглажи-
вания. а - 0,8. Fi = 3.
Замечание. Excel позволяет быстро провести простое экс-
поненциальное сглаживание. Сервис Анализ данных -*
Экспоненциальное сглаживание -* ОК. Появляется диалого-
вое окно, которое нужно заполнить. В графе Фактор зату-
хания указать значение 1 — а (по умолчанию 0,3). ОК.
§ 23.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ
С ПОПРАВКОЙ НА ТРЕНД
Даем прогноз методом простого экспоненциального сглажи-
вания, а затем корректируем его с учетом тренда по следую-
щей формуле:
прогноз с учетом тренда FITt = прогноз Ft 4- тренд Tt.
Тренд = (1 - b)Tf-i + b(Ft - Ft-i), где Tt и — сгла-
женный тренд в периоды t и t — 1 соответственно, Ъ — вы-
бранная константа сглаживания.
Начальное значение тренда может быть получено на ос-
нове предположения.
Пример 97. В примере 96 дадим прогноз объема про-
даж на 12-й квартал методом экспоненциального сглажи-
вания с поправкой на тренд. Возьмем Ь = 0,4, Т\ = 0.
Заполним таблицу. Из каждого числа 1-го столбца вы-
читаем предыдущее число 1-го столбца и результат запи-
шем во 2-й столбец. Каждое число 3-го столбца есть сумма
числа, умноженного на 1 — b == 1 — 0,4 =0,6, из предыду-
116
щей строки 3-го столбца и числа, умноженного на Ь = 0,4,
из этой же строки 2-го столбца. Результат округляем до од-
ной цифры после запятой.
Ft Tt FITt=Ft+Tt
3 — 0 3
3,8 0,8 0,3 4,1
5,6 1,8 0,9 6,5
4,3 -1,3 0,0 4,3
4,9 0,6 0,3 5,2
9 4,1 1,8 10,8
8,2 -0,8 0,8 9,0
7,2 -1 0,1 7,3
8,6 1,4 0,6 9,2
11,3 2,7 1,4 12,7
13,5 2,2 1,7 15,2
14,7 1,2 1,5 16,2
Прогноз на 12-й квартал — 16,2 тыс. руб.
Задача 97. В задаче 96 дать прогноз объема продаж на
• 12-й квартал методом экспоненциального сглаживания с
поправкой на тренд. Ь = 0,4, Т\ = 0.
117
Глава 24
КОНТРОЛИРУЕМЫЙ ПРОГНОЗ
Один из способов обеспечения точности прогнозов — исполь-
зование трекинг-сигнала, который вычисляется по следую-
щей формуле:
трекинг-сигнал = RSFE/MAD,
п п
где RSFE = ^et — итоговая сумма ошибок, MAD = S|eJ/n
t=i t—i
— среднее абсолютное отклонение, et — разность фактичес-
кого и прогнозного значений в момент времени t, п — число
наблюдений.
При положительном (отрицательном) трекинг-сигнале
фактические значения больше (меньше) прогнозных значе-
ний. У хорошего трекинг-сигнала итоговая сумма ошибок
RSFE мала, то есть для него положительные ошибки при-
близительно равны отрицательным ошибкам.
Вычисленные трекинг-сигналы следует сравнить с зара-
нее определенными верхней и нижней границами контроля.
Если трекинг-сигнал выходит за границы контроля, то ме-
тод прогнозирования требует корректировки (например, из-
менения константы сглаживания в модели экспоненциаль-
ного сглаживания).
Границы контроля выбирает сам исследователь. Обычно
это или ±4 (жесткий контроль), или ±8 (слабый контроль).
Пример 98. В примере 96 определим трекинг-сигналы
по результатам первых шести кварталов. Границы контро-
ля равны ±4. Нужно ли менять константу сглаживания?
Заполним таблицу.
Квар- тал At Ft <4 RSFE ы Суммарная ошибка MAD Трекинг- сигнал
1 4 3 1 1 1 1 1 1
2 6 3,8 2,2 3,2 2,2 3,2 1,6 2
3 4 5,6 -1,6 1,6 1,6 4,8 1,6 1
4 5 4,3 0,7 2,3 0,7 5,5 1,38 1,67
5 10 4,9 5,1 7,4 5,1 10,6 2,12 3,49
6 8 9 -1 6,4 1 11,6 1,93 3,32
118
Поясним, как заполняется таблица.
Значения первых трех столбцов взяты из примера 96.
4-й столбец — это разность 2-го и 3-го столбцов. 6-й стол-
бец — это абсолютные величины чисел 4-го столбца. Для
получения чисел данной строки 5-го (7-го) столбца прибав-
ляем к числу предыдущей строки 5-го (7-го) столбца число
данной строки 4-го (6-го) столбца. Каждое число 7-го (5-го)
столбца делим на соответствующее число 1-го (8-го) столб-
ца, результат округляем до двух цифр после запятой и пи-
шем в 8-м (9-м) столбце.
Так как все трекинг-сигналы (числа в последнем столб-
це) принадлежат интервалу (-4; 4), то константу сглажи-
вания менять не нужно.
Задача 98. В задаче 96 определить трекинг-сигналы по
результатам первых шести кварталов. Границы контроля
равны ±4. Нужно ли менять константу сглаживания?
119
Глава 25
УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ
§ 25.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Выбирается промежуток времени 1 год. Рассматривается мо-
дель одиночного склада. Считается, что на складе хранится
запас однотипных изделий (однономенклатурный запас).
Спрос на эти изделия может быть постоянным или случай-
ным. Пополняться склад может либо периодически (цикли-
ческая модель), либо при снижении запасов до некоторого
уровня (уровневая модель).
Объем заказа — это количество заказываемых изделий.
Уровень повторного заказа — количество изделий на скла-
де, при котором подается заказ на новые изделия. Время по-
ставки может быть либо мгновенным, либо фиксированным,
либо случайным. Штраф за дефицит — это убытки, свя-
занные с отсутствием запаса.
За хранение каждой единицы запаса берется определен-
ная плата Сд. D — годовой спрос на изделия. Стоимость
подачи заказа Со — это накладные расходы, связанные с ре-
ализацией заказа (затраты на подготовительно-заготовочные
операции, не зависят от объема заказа). Вся теория будет
строиться с целью минимизации суммарных издержек.
§ 25.2. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Предпосылки основной модели: 1) спрос равномерный и по-
стоянный; 2) время поставки постоянно; 3) отсутствие запа-
сов недопустимо; 4) каждый раз заказывается постоянное
количество — оптимальный размер заказа.
Издержки ТС = подача заказов + хранение =
= СоО + Сйд^ю.^
g 2
где q — оптимальный размер заказа; q/2 — средний объем
хранимого запаса.
120
Решением этой оптимизационной задачи будет значение:
А, В, С — точки подачи заказа.
Пример 99. Годовой спрос D = 1500 единиц, стоимость
подачи заказа Со = 150 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы = 45 рублей/год, время доставки 6 дней,
1 год = 300 рабочих дней. Найдем оптимальный размер за-
каза, издержки, уровень повторного заказа.
Оптимальный размер заказа:
2CqD
2x150x1500
45
Издержки: TC(q) = —+
q
45x100 /
--------= 4500 руб./год.
= 100 единиц.
Chq = 150x1500
2 100
+
За 300 рабочих дней реализуется 1500 единиц, за 6 дней
доставки — х единиц. 300/6 = 1500/х. Отсюда х =
1500x6/300 = 30 единиц. Каждый раз, когда на складе ос-
тается 30 единиц, подается заказ на 100 единиц.
Годовой спрос D = 1500 единиц, каждый раз заказыва-
ется q = 100 единиц. Поэтому всего за год будет подано
D/q = 1500/100 = 15 заказов. Говорят, что за год пройдет
15 циклов. Расстояние между циклами l/(D/q) = q/D =
= 100/1500 =1/15 лет = 300х(1/15) = 20 рабочих дней.
Задача 99. Годовой спрос D = 400 единиц, стоимость
подачи заказа Cq = 40 рублей/заказ, издержки хранения
121
одной единицы = 250 рублей/год, время доставки
6 дней, 1 год = 250 рабочих дней. Найти оптимальный раз-
мер заказа, издержки, уровень повторного заказа, число
циклов за год, расстояние между циклами.
§ 25.3. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ПАРТИИ
Технологический процесс может быть организован на основе
производства партии продукции: чередование процессов
производства и реализации произведенного:
Каким должен быть размер q партии продукции?
Обозначим через С8 стоимость организации производст-
венного цикла (фиксированные издержки производства).
Издержки ТС = стоимость организации технологического
CSD Chq
процесса 4- хранение = --- 4- —-— -* min, где q — эко-
номичный размер партии. _________
л I 2CSD
Решение этой задачи: q = \ --- .
N Ch
Пример 100. Годовой спрос D = 14800 единиц, стои-
мость организации производственного цикла Cs = 100 руб-
лей, издержки хранения одной единицы = 8 рублей/год.
Экономичный размер партии равен:
2CSD
Ch
2x100x14800
8
* 608 единиц.
9
То есть надо произвести 608 единиц, остановить произ-
водство, реализовать всю произведенную продукцию и
вновь запустить производство. И т. д.
CSD Chq
Издержки ТС равны: ТС(608) =----- 4-----=
9 2
100x14800 , 8x608 .осй , ,
= ---------- + -----« 4866 руб./год.
608 2
Число циклов за год D/q = 14800/608 « 24,3. Расстоя-
ние между циклами q/D ~ 0,04 лет * 15 дней.
122
Задача 100. Годовой спрос D = 8000 единиц, стоимость
организации производственного цикла Cs = 200 рублей, из-
держки хранения одной единицы = 15 рублей/год. Най-
ти экономичный размер партии, издержки, число циклов
за год, расстояние между циклами.
§ 25.4. СКИДКА НА КОЛИЧЕСТВО
Очень часто, если заказываемое количество товара больше
определенного числа, предоставляется скидка. В этом слу-
чае снижаются расходы на закупку, но увеличиваются за-
траты на хранение.
Общие издержки = закупка 4- издержки TC(q) = CD 4-
CqD C^q
4- +--------, где С — закупочная цена.
g 2
Необходимо выяснить, стоит ли воспользоваться скид-
кой.
Пример 101. Годовой спрос D = 1000 единиц, стоимость
подачи заказа Со = 40 рублей/заказ, закупочная цена С =
50 рублей/единицу, годовая стоимость хранения одной еди-
ницы составляет 25% ее цены. Можно получить скидку 3%
у поставщиков, если размер заказа будет не меньше 200
единиц (уровень, нарушающий цену). Стоит ли воспользо-
ваться скидкой?
Так как годовая стоимость хранения одной единицы
составляет 25% ее цены, то С^ = 0,25хС = 0,25x50 =
= 12,5 руб./единицу.
Найдем общие издержки в случае основной модели.
•I 2CqD * 12x40x1000 ол
q =Д -7Г- = Д-------------80 единиц.
м Сд V 1Z,O
CqD C},q
Общие издержки равны: ТС = CD 4- ------ 4- ---- =
q 2
xnszinnn _i_ 40x1000 , 12,5x80 * /
= 50x1000 4---------4- —*------= 51000 руб./год.
80 2
Если воспользоваться скидкой, то новая закупочная це-
на равна: С = 0,97x50 = 48,5 рублей/единицу.
Поэтому = 0,25хС = 0,25x48,5 = 12,125 рублей/еди-
ницу.
В этом случае оптимальный размер заказа равен:
2CqD
q
2x40x1000 О1
--------- « 81 единица.
12,125
Но скидка предоставляется, если объем заказа q > 200.
Поэтому положим q = 200.
123
Тогда общие издержки равны:
C(\D ChG 40x1000
ТС = CD + —+ —sH- = 48,5x1000 + ——— +
q 2 200
, 12,125x200 ,ПО1„ к - /
+ —’---------= 49912,5 руб./год.
2
Мы видим, что общие издержки уменьшились. Поэтому
следует воспользоваться скидкой, заказывая каждый раз
200 единиц.
Число циклов за год равно D/q = 1000/200 = 5, а ин-
тервал между циклами q/D = 200/1000 = 1/5 лет - 73 дня.
Задача 101. Годовой спрос D = 1200 единиц, стоимость
подачи заказа Cq = 50 рублей/заказ, закупочная цена С =
60 рублей/единицу, годовая стоимость хранения одной еди-
ницы составляет 35% ее цены. Можно получить скидку 5%
у поставщиков, если размер заказа будет не меньше 90 еди-
ниц. Стоит ли воспользоваться скидкой?
§ 25.5. МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА ПАРТИИ
ПРОДУКЦИИ
Ранее была рассмотрена модель экономичного размера пар-
тии (сначала товар производят, потом используют и т. д.).
Разрешим теперь использование товара по мере его произ-
водства.
Пусть Р — темп производства, D — темп использования.
Произведя q единиц продукции, производство прекращаем.
Так как мы начинаем использовать произведенную продук-
цию сразу же, не дожидаясь остановки производства, то в
момент этой остановки на складе будет не q единиц (как в
модели экономичного размера партии), а меньше.
Издержки ТС = стоимость организации технологического
CSD . Ch(P-D)q
процесса 4- хранение =----+------—-------* min, где q —
экономичный размер партии.
124
„ » J 2CSD 1 P
Решение этой задачи: q = \----- x \-----.
1 Ch \ P-D
Пример 102. Компания выпускает электрические но-
жи. Она в среднем может производить 150 ножей/день.
Спрос — 40 ножей/день. Годовые издержки хранения
Сд = 8 руб./нож. Стоимость организации производственно-
го цикла Cs = 100 рублей. Найдем экономичный размер
партии, издержки, число циклов за год, расстояние между
циклами.
Р = 150 ножей/день = 54750 ножей/год, D = 40 но-
жей/день = 14600 ножей/год (напомним, что вся теория
строится для временного интервала 1 год).
Экономичный размер партии равен:
12CSD Р |2хЮ0х14600 I 54750
а = д —-— х д ----=д ----------- хд -----------~
Ch 8 ^54750 — 14600
~ 705 единиц.
„ CSD Ch(P - D)q
Издержки равйы: ТС =----4- ---—-----=
100x14600
705
8х(54750-14600)х705 .1QQ по л ,
—------------------• 4138,92 руб./год.
2-54750
Таким образом, производим 705 ножей, останавливаем
производство. Ножи реализуются сразу, не дожидаясь ос-
тановки производства. Как только ножи закончатся, тут
же запускаем производственный процесс. Число циклов за
год равно D/q = 14600/705 « 20,7, а интервал между цик-
лами q/D = 705/14600 ~ 0,048 лет « 18 дней.
Задача 102. Темп производства Р = 160 единиц/день,
темп использования D = 30 единиц/день. Годовые издерж-
ки Хранения = 10 рублей/единицу. Стоимость организа-
ции производственного цикла Cs = 200 рублей. Найти эко-
номичный размер партии, издержки, число циклов за год,
расстояние между циклами.
§ 25.6. МОДЕЛЬ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА
В некоторых случаях издержки хранения являются очень
высокими. Поэтому имеет смысл допустить регулярные ин-
тервалы времени, когда товар на складе отсутствует.
Издержки ТС = подача заказов 4- хранение 4- штраф за
дефицит.
Возможны 2 подхода:
1) полученная новая продукция не идет на выполнение
заявок на товар во время его отсутствия;
125
2) часть полученной новой продукции идет на погашение
всех заявок, оставленных во время отсутствия запасов.
Рассмотрим эти случаи подробнее.
S — максимальный размер дефицита (максимально воз-
можное число единиц товара, которое могло бы быть реали-
зовано за время его отсутствия в каждом цикле). На графи-
ке периоды дефицита условно изображаются ниже оси вре-
мени. Cj) — годовая стоимость отсутствия единицы продук-
ции в запасе (потеря доверия клиентов, непроданная про-
дукция и т. д.).
Издержки ТС = подача заказов + хранение + штраф за
C0D Chq2 CbS2
дефицит = ——— + + — min, где q —
q + S 2(q + S) 2(q + S)
оптимальный размер заказа, S — максимальный размер де-
фицита. Решениями этой задачи будут величины:
J С6 I 2CoD J СЛ
4 N \сл + сь \ сь \ch + cb
Пример 103. Годовой спрос D = 500 единиц, стоимость
подачи заказов Со = 40 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы = 5 рублей/год, годовая стоимость от-
сутствия запасов = 100 рублей/единицу.
Сравним 2 модели: основную и с дефицитом (заявки не
выполняются).
Основная модель:
2СрР
Ch
2x40x500 оп
=Д ---------« 89 единиц.
5
CqD Chq 40x500 5x89 . .
ТС = —— + —— =-------------+----------447 руб./год.
q 2 89 2
126
Модель с дефицитом:
X л Cb = QQ д 100
О к/ \ ch^cb \ 5 + 100
« 87 единиц.
х Ch 2x40x500
Ch + Сь ' 100
5
5 + 100
единицы.
ТС = СрВ । CbS^ _
q + S 2(q + S) 2(q + S)
40x500 + 5x872 + 100x42
87 + 4 2x(87 + 4) 2x(87 + 4)
Таким образом, в модели с дефицитом годовые издерж-
ки меньше.
Задача 103. Годовой спрос D = 600 единиц, стоимость
подачи заказов = 50 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы Сь = 6 рублей/год, годовая стоимость от-
сутствия запасов Сь = 110 рублей/единицу. Сравнить 2 мо-
дели: основную и с дефицитом (заявки не выполняются).
§ 25.6.2. Случай выполнения заявок
В случае выполнения заявок максимальный уровень запасов
будет равен не q9 a (g — S).
Издержки ТС = подача заказов + хранение + штраф за
C0D Ch(q - S)2 CbS2
дефицит =-----+----------+ —-— mm, где q — опти-
q 2q 2q
мальный размер заказа, *S — максимальный размер дефици-
та. Решение задачи:
I 2CqD
Сь + Сь & . 2CqD I Ch~
Cj \ Сь NG* + Сь
Пример 104. Годовой спрос D = 3000 единиц, стоимость
подачи заказов Cq = 25 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы Сь = 120 рублей/год, годовая стоимость от-
127
сутствия запасов Q = 225 рублей/единицу. Модель с дефи-
цитом (заявки выполняются).
Найдем издержки.
Г2С0Я
А| Ch
Ch + Cb
Cb
2x25x3000
120
120 + 225
225
44 единицы. _________ _____________ __________
2С0Р I Ch [2x25x3000 y [ 120
Сь ^Сл + сь 225 ^120 + 225
15 единиц.
TC = C°D + C^~S>2 +
g 2q
25x3000 + 12Qx(44—15)2 +
44 2x44
CbS2 =
2q
225xl52 Qjnff /
n -------- 3427 руб./год.
2x44
Задача 104- Годовой спрос D = 2000 единиц, стоимость
подачи заказов Со = 20 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы Сь = 100 рублей/год, годовая стоимость от-
сутствия запасов Сь = 220 рублей/единицу. Модель с дефи-
цитом (заявки выполняются). Найти издержки.
§ 25.7. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ
УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Грубо говоря, основная модель — это заказ постоянного ко-
личества единиц в заранее определенные моменты времени,
то есть фиксированный заказ в фиксированное время. На
практике спрос часто не является постоянным, поэтому ос-
новная модель мало приспособлена для практических нужд.
Будем ее видоизменять, чтобы учесть непостоянство спроса.
Самое простое, что можно сделать, — отказаться от одного
из двух заявленных условий.
Случай 1. Фиксированный заказ в случайное время. Как
только на складе запасы понизятся до некоторого заданного
128
заранее уровня, подается заказ на фиксированное количест-
во единиц. Это — уровневая система повторного заказа.
Случай 2. Случайный заказ в фиксированное время. За-
ранее определяем, в какие моменты времени будут сделаны
заказы. Обычно они выбираются с определенной периодич-
ностью. При наступлении этих моментов подаются заказы,
объем которых равен разности между заранее выбранным
числом и количеством единиц на складе в тот момент вре-
мени. Это — циклическая система повторного заказа.
Рассмотрим эти модели подробнее.
§ 25.8. УРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО
ЗАКАЗА
§ 25.8.1. Достижение минимальной стоимости
Чтобы учесть непостоянство спроса, вводят резервный запас.
Издержки ТС = подача заказов 4- хранение основного за-
паса 4- хранение резервного запаса 4- штраф за дефицит.
Сначала считаем, что спрос постоянный. При помощи ос-
новной модели находим оптимальный размер заказа q.
Именно такое количество мы и будем заказывать каждый
раз. Когда заказывать? Оптимальный размер заказа q позво-
ляет вычислить первые два слагаемых в выражении для из-
держек. Как выбрать резервный запас? Чем больше (мень-
ше) резервный запас, тем меньше (больше) штраф за дефи-
цит и тем больше (меньше) стоимость хранения резервного
запаса. Методом проб и ошибок мы должны подобрать ре-
зервный запас, минимизирующий два последних слагаемых
в выражении для издержек.
Пример 105. Средний годовой спрос D = 150 единиц за
300 рабочих дней, стоимость подачи заказов Сд = 50 руб-
129
лей/заказ, издержки хранения одной единицы Ch = 12 руб-
лей/год, годовая стоимость отсутствия запасов Q = 20 руб-
лей/единицу. Время поставки 4 дня.
Спрос на товар в течение постав- ки, шт. 0 1 2 3 4 5 6 Сумма
Частота 2 8 13 10 7 5 5 50
За время поставки спрос 6 единиц наблюдался 5 раз,
спрос 5 единиц наблюдался 5 раз и т. д. Всего было 50 на-
блюдений. Минимизируем общую стоимость запасов.
Из основной модели оптимальный размер заказа равен:
л I 2CqD л 12x50x150
Q =д—— =д -------------«,35 единиц.
Сл 12
Таков объем заказа. Когда заказывать?
Издержки ТС = подача заказов + хранение основного
запаса + хранение резервного запаса + штраф за дефицит =
CqD ChQ
= ------ + ----- + Сдх(резервный запас) + С^х(математи-
ч 2
ческое ожидание числа единиц, составляющих годовую не-
ч 50x150 , 12x35 - о /
хватку запасов) = ——— + —-— + 12х(резервныи запас)
4- 20х(математическое ожидание) ® 424,29 + 12х(резерв-
ный запас) + 20х(математическое ожидание).
Надо подобрать резервный запас, минимизирующий два
последних слагаемых.
Число циклов за год D/q = 150/35 «4,3.
Средний спрос за день 150/300 == 0,5, время поставки 4
дня. Поэтому средний спрос в течение поставки 4*0,5 = 2
(если бы получилось дробное число, то его надо округлить
до ближайшего меньшего целого числа). Найдем вероят-
ность (относительную частоту) для каждого значения спро-
са за время поставки. Для этого частоту каждого значения
спроса разделим на 50 (общее число наблюдений).
Спрос на товар в течение постав- ки, шт. 0 1 2 3 4 5 6 Сумма
Частота 2 8 13 10 7 5 5 50
Вероятность 0,04 0,16 0,26 0,20 0,14 0,10 0,10 1
С помощью основной модели мы учитываем спрос 0, 1,
2 изделия за время поставки, так как средний спрос в те-
чение поставки равен 2. Чтобы учесть спрос 3, 4, 5, 6 (а
свыше 6 спрос за время поставки не наблюдался), необхо-
дим резервный запас (соответственно 1, 2, 3, 4). Мы нач-
130
нем с наибольшего значения резервного запаса 4. Вычис-
лим сумму двух последних слагаемых в выражении для из-
держек. После этого каждый раз мы будем понижать ре-
зервный запас на 1 и пересчитывать сумму двух последних
слагаемых в выражении для издержек. Сначала сумма бу-
дет понижаться, а затем возрастать. Смена убывания на
возрастание говорит о том, что резервный запас найден. Со-
ставим таблицу.
Ре- зерв- ный запас По- кры- тый спрос Математическое ожидание числа нехваток запасов в течение Стоимость, рублей/год
резервного запаса 12Х(резерв- ный запас) нехватки запасов 20Х(матожи- дание) общая
цикла года
4 6 0 0 12x4=48 0 484-0=48
3 5 1x0,1=0,1 4,3x0,1 = =0,43 12x3=36 20x0,43= =8,6 364-8,6= =44,6
2 4 2x0,14- 1x0,1=0,3 4,3x0,3= 1,29 12x2=24 20x1,29= =25,8 25,84-24= =49,8
Поясним, как заполняется таблица.
Второй столбец. Покрытый спрос = резервный запас +
4- 2 (средний спрос за время поставки).
Третий столбец. Если покрытый спрос равен 6, то не-
хватки запасов не возникает. Если покрытый спрос равен
5, то возникает нехватка в 1 единицу при спросе 6. Веро-
ятность спроса 6 равна 0,1 (см. предыдущую таблицу). По-
этому математическое ожидание нехватки 1x0,1 = 0,1. Ес-
ли покрытый спрос равен 4, то возникает нехватка 2 при
спросе 6 и 1 при спросе 5. Поэтому математическое ожида-
ние нехватки 1x0,1 4- 2x0,1 = 0,3. Это числа для одного
цикла.
Число циклов за год — 4,3. Поэтому числа третьего
столбца умножим на 4,3 и результаты запишем в четвертом
столбце. Числа четвертого столбца умножим на 20 и ре-
зультаты запишем в шестом столбце.
Числа первого столбца умножаем на 12 и результаты
пишем в пятом столбце. Седьмой столбец равен сумме пя-
того и шестого столбцов.
Итоговая сумма в седьмом столбце сначала понизилась
с 48 до 44,6, а затем начала повышаться. Поэтому целесо-
образно иметь резервный запас равный 3 (покрытый спрос
5) и нет необходимости исследовать резервный запас 1.
Издержки ТС = 424,29 4- 12х(резервный запас) 4-
4- 20х(математическое ожидание) = 424,29 4- 44,6 = 468,89
руб./год.
Таким образом, каждый раз, когда на складе остаются
5 единиц, надо заказывать 35 единиц.
131
Задача 105. Средний годовой спрос D = 140 единиц за
300 рабочих дней, стоимость подачи заказов Со = 45 руб-
лей/заказ, издержки хранения одной единицы = 15 руб-
лей/год, годовая стоимость отсутствия запасов С& = 18 руб-
лей/единицу. Время поставки 4 дня.
Спрос на товар в тече- ние поставки, шт. 0 1 2 3 4 5 6 Сум- ма
Частота 5 5 5 11 12 7 5 50
Сколько нужно заказывать и когда, если цель — мини-
мизировать общую стоимость запасов?
§ 25.8.2. Достижение минимального уровня
обслуживания
Задается вероятность нехватки запасов в течение цикла. Тог-
да минимальный уровень обслуживания = 1 - вероятность
нехватки запасов. По уровню обслуживания находим необ-
ходимый резервный запас.
Издержки ТС = подача заказов 4- хранение основного за-
CqD C^q
паса 4- хранение резервного запаса =--4- —-— 4- Сдх(ре-
7 2
зервный запас).
Пример 106. Вернемся к примеру 105.
Разрешается 1 нехватка запасов в 5 циклов. Тогда веро-
ятность нехватки запасов в течение цикла равна 1/5 = 0,2.
Минимальный уровень обслуживания равен: 1 — веро-
ятность нехватки запасов = 1 — 0,2 = 0,8.
q = 35 единиц, средний спрос в течение поставки = 2
(см. пример 105). Заполним таблицу.
Спрос Вероятность Кумулятивная вероятность
0 0,04 0,04
1 0,16 0,20
2 0,26 0,46
3 0,20 0,66
4 0,14 0,80
5 0,10 0,90
6 0,10 1,00
Порядок заполнения последнего столбца: двигаемся
сверху вниз и вычисляем значения по правилу:
I
132
Для получения числа данной строки 3-го столбца к чис-
лу предыдущей строки 3-го столбца прибавляем число
данной строки 2-го столбца: 0,04; 0,04 + 0,16 = 0,20; 0,20
+ 0,26 = 0,46 и т. д. Это — кумулятивная (накопленная)
вероятность. Для проверки: последнее число всегда равно
1. Смотрим, куда в последнем столбце попадает наш уро-
вень обслуживания 0,8. Он соответствует спросу 4, то есть
резервный запас = 4 — 2 = 2. Каждый раз, когда на складе
остаются 4 единицы, надо заказывать 35 единиц. Издерж-
ки ТС = 424,29 + 12х(резервный запас) = 424,29 + 12x2 =
= 448,29 рублей/год.
Задача 106. Решить задачу 105 при условии, что раз-
решается 1 нехватка запасов в 10 циклов.
Замечание. Методы, рассмотренные в примерах 105 и
106, можно применять и в случае, когда спрос подчиняется
какому-либо распределению (например, нормальному или
распределению Пуассона).
§ 25.9. ЦИКЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО
ЗАКАЗА
Пусть Т — интервал повторного заказа.
Со CfrDT , AI 2Cq
Издержки ТС = — + —---------» min. Т
После этого надо задать уровень запасов, который опре-
деляет размер подаваемого заказа. Например, если взять за
уровень 120 единиц, а на момент подачи заказа на складе
45 единиц, то надо заказывать 120 — 45 = 75 единиц.
Пример 107. Для данных примера 105 найдем интер-
вал повторного заказа.
2С0
Т =
2x50
------* 0,24 года = 0,24x300 = 72 дня,
12x150
то есть заказы надо подавать через 72 дня.
Задача 107. Для данных задачи 105 найти интервал
повторного заказа.
В циклической системе можно также использовать один
из двух критериев: достижение минимального уровня обслу-
живания и достижение минимальной стоимости.
133
§ 25.10. ДРУГИЕ ВОПРОСЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Целью построенной нами теории была минимизация издер-
жек. Можно было строить теорию с целью максимизации
прибыли. Мы считали, что склад был безграничным. Но,
скорее всего, надо вводить ограничение на площадь склада.
Запас у нас был однономенклатурным. В реальной жизни
запас всегда многономенклатурный. Для упрощения ситуа-
ции здесь можно воспользоваться эффектом Парето*. 20%
товаров контролируют 80% стоимости запасов.
Построенные модели — очень упрощенные. Если мы хо-
тим рассмотреть более сложные ситуации, то следует вос-
пользоваться имитационным моделированием.
134
(лава 26
СОСТАВЛЕНИЕ
ФИНАНСОВОЙ СМЕТЫ
После разделения предприятия на центры затрат и центры
прибыли следует перейти к планированию его деятельности.
Финансовая смета — это подробный план распределе-
ния физических ресурсов предприятия, выраженных в де-
нежной форме. С финансовой сметой сравниваются фактиче-
ские результаты деятельности предприятия. Финансовая
смета составляется на определенный период времени. В пре-
делах планового периода производится регулярный пере-
смотр и корректировка плана из-за возможных непредви-
денных событий.
§ 26.1. ВОЗМОЖНЫЕ ПОДХОДЫ К СОСТАВЛЕНИЮ
ФИНАНСОВОЙ СМЕТЫ
Процесс сметного планирования соответствует структуре
предприятия. Так как сметы составляются для всех центров
затрат и центров прибыли, то необходимо определить полно-
мочия и ответственность руководителей этих центров.
Существуют два противоположных подхода к составле-
нию сметы: снизу вверх и сверху вниз. При составлении сме-
ты снизу вверх руководство среднего звена предприятия оп-
ределяет сметы для своих индивидуальных участков. В даль-
нейшем эти сметы сводятся в общую финансовую смету. При
составлении сметы сверху вниз определяется общая финан-
совая смета и на основании ее разрабатываются финансовые
сметы для каждого подразделения предприятия. Понятно,
что наилучший результат достигается при параллельном ис-
пользовании обоих подходов.
Программно целевое управление — это составление такой
общей финансовой сметы, которая разбивается на подробные
планы действий для каждого подразделения предприятия.
135
§ 26.2. ОБЩАЯ ФИНАНСОВАЯ СМЕТА
Первый шаг на пути составления сметы — это точный про-
гноз объема продаж. На основании объема продаж составля-
ются подробные сметы продаж, закупок и запасов. С помо-
щью этих смет и данных прошлых лет планируются деби-
торская и кредиторская задолженности и расходы на меся-
цы вперед. Все это объединяется в общую финансовую сме-
ту, которая состоит из кассовой консолидированной сметы,
сметного отчета о прибылях и убытках и сметного баланса.
§ 26.2.1. Кассовая консолидированная смета
Кассовая консолидированная смета отражает всю будущую
деятельность предприятия в виде входящих и исходящих
потоков денежной наличности.
При подходе к составлению сметы сверху вниз за основу
берутся данные о затратах и выручке за прошлые годы с до-
бавлением определенного процента на инфляцию и рост. Это
приростной (дополнительный) подход к составлению сме-
ты. Он не позволяет определить те участки, где возможно
повышение производительности.
При составлении сметы с нуля руководство среднего зве-
на предприятия подает подробные заявки на ресурсы и пред-
лагает обоснование их будущего использования. При таком
подходе ресурсы используются эффективнее. Но составление
заявок на ресурсы занимает много времени.
Техника составления кассовой консолидированной сметы
аналогична технике составления отчета о движении денеж-
ных средств. Только при составлении отчета о движении де-
нежных средств используются фактические данные прошлых
периодов, а при составлении кассовой консолидированной
сметы исходят из прогноза деятельности предприятия в бу-
дущем. На основании нормативов, полученных по средним
показателям за прошлые годы или заимствованных из сопос-
тавимых отраслей бизнеса, прогнозируют будущие поступле-
ния и выплаты, а также балансы на начало и конец периода.
Пример 108. Малое предприятие «Ритм» решило за-
няться продажей сувенирной продукции. Первоначальный
собственный капитал 150000 руб. В банке была взята дол-
госрочная ссуда 100000 руб. В январе в банке открыт счет,
на который положены эти суммы. Расходы января: аренда
помещения 180000 руб., покупка оборудования 40000 руб.
Срок эксплуатации 10 лет, нулевая остаточная стоимость,
136
равномерное начисление износа. Зарплата сотрудников
20000 руб./месяц, расходы на рекламу 5000 руб./месяц.
Цена продажи равна 20 руб./шт. Считается, что в каждом
месяце половина клиентов будет платить наличными, а по-
ловина клиентов воспользуется одномесячным кредитом.
Предполагаемый объем продаж задается следующей таб-
лицей:
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Объем продаж, шт. 2500 2100 3000 3300 3800 3400
Предполагаемый график производства сувениров зада-
ется следующей таблицей:
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Объем производст- ва, шт. 3000 1800 3000 3600 4000 3700
Себестоимость равна 10 руб./шт., причем в основном
это расходы на закупку сырья у другого предприятия. При
оплате за сырье малое предприятие пользуется одномесяч-
ным кредитом. Составим кассовую консолидированную
смету на период с января по июнь.
Кассовая консолидированная смета
на период с января по июнь (руб.)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Баланс на начало месяца 0 30000 21000 29000 37000 47000
Инвестиции капи- тала 250000
Поступления на- личных денежных средств
Выручка от про- даж 25000 21000 30000 33000 38000 34000
Поступления от должников 0 25000 21000 30000 33000 38000
Выплаты наличными
Оплата кредитор- ской задолженности 0 30000 18000 30000 36000 40000
Зарплата 20000 20000 20000 20000 20000 20000
Реклама 5000 5000 5000 5000 5000 5000
Аренда 180000
Оборудование 40000
Баланс на конец месяца 30000 21000 29000 37000 47000 54000
137
Поясним, как заполняется таблица. Баланс на начало
января равен 0.
Инвестиции капитала в январе равны 150000 (первона-
чальный собственный капитал) 4- 100000 (долгосрочная ссу-
да) = 250000 руб.
В январе предполагается продать 2500 изделий, то есть
будущий объем продаж в январе равен 2500x20 = 50000
руб. Половина этой суммы (25000 руб.) будет получена в
январе наличными и пишется в январской графе «Выруч-
ка от продаж», а другая половина этой суммы (25000 руб.)
будет получена в феврале (одномесячный кредит покупате-
лям!) и пишется в февральской графе «Поступления от
должников».
В январе будет произведено 3000 изделий. Себестои-
мость этой продукции равна 3000x10 = 30000 руб. Так как
малое предприятие пользуется одномесячным кредитом, то
эта сумма пишется в февральской графе «Оплата кредитор-
ской задолженности».
Январский «Баланс на конец месяца» = Баланс на на-
чало месяца + Поступления - Выплаты = 0 + (250000 +
+ 25000 + 0) - (0 + 20000 + 5000 + 180000 + 40000) =
= 30000 руб. Эта сумма пишется в февральской графе «Ба-
ланс на начало месяца».
В феврале предполагается продать 2100 изделий, то есть
будущий объем продаж в феврале равен 2100x20 = 42000
руб. Половина этой суммы (21000 руб.) будет получена в
феврале наличными и пишется в февральской графе «Вы-
ручка от продаж», а другая половина этой суммы (21000
руб.) будет получена в марте (одномесячный кредит поку-
пателям!) и пишется в мартовской графе «Поступления от
должников».
В феврале будет произведено 1800 изделий. Себестои-
мость этой продукции равна 1800x10 = 18000 руб. Так как
малое предприятие пользуется одномесячным кредитом, то
эта сумма пишется в мартовской графе «Оплата кредитор-
ской задолженности».
Февральский «Баланс на конец месяца» = Баланс на на-
чало месяца + Поступления — Выплаты = 30000 + (21000 +'
+ 25000) - (30000 + 20000 + 5000) = 21000 руб. Эта сумма
пишется в мартовской графе «Баланс на начало месяца».
И т. д.
Задача 108. Малое предприятие «Ритм» решило за-
няться продажей сувенирной продукции. Первоначальный
собственный капитал 160000 руб. В банке была взята дол-
госрочная ссуда 110000 руб. В январе в банке открыт счет,
на который положены эти суммы. Расходы января: аренда
помещения 175000 руб., покупка оборудования 45000 руб.
138
Срок эксплуатации 10 лет, нулевая остаточная стоимость,
равномерное начисление износа. Зарплата сотрудников
22000 руб./месяц, расходы на рекламу 6000 руб./месяц.
Цена продажи равна 21 руб./шт. Считается, что в каждом
месяце половина клиентов будет платить наличными, а по-
ловина клиентов воспользуется одномесячным кредитом.
Предполагаемый объем продаж задается следующей таб-
лицей:
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Объем продаж, шт. 2600 2200 2900 3200 3900 3300
Предполагаемый график производства сувениров зада-
ется следующей таблицей:
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Объем производст- ва, шт. 2900 1900 2900 3500 4100 3600
Себестоимость равна 11 руб./шт., причем в основном
это расходы на закупку сырья у другого предприятия. При
оплате за сырье малое предприятие пользуется одномесяч-
ным кредитом. Составить кассовую консолидированную
смету на период с января по июнь.
§ 26.2.2. Смета текущих расходов
Прежде чем составлять сметный отчет о прибылях и убыт-
ках и сметный баланс, необходимо составить смету теку-
щих расходов, чтобы запланировать управление запасами,
дебиторской задолженностью и кредиторской задолженнос-
тью за период.
Пример 109. Составим смету текущих расходов в при-
мере 108.
Суммарная смета запасов за январь—июнь (руб.)
Запас на начало периода 0
4- Производство (по себестоимости) 191000
— Продажи (по себестоимости) 181000
= Запас на конец периода 10000
Поясним, как заполняется таблица.
Всего будет произведено 3000 4- 1800 4- 3000 4- 3600 +
4- 4000 4- 3700 = 19100 изделий. Их себестоимость равна
19100x10 = 191000 руб.
139
Всего будет продано 2500 4- 2100 4- 3000 4- 3300 4- 3800 4-
4- 3400 = 18100 изделий. Их себестоимость равна 18100x10 =
= 181000 руб. Тогда запас на конец периода равен 0 +
4- 191000 - 181000 = 10000 руб.
Суммарная смета дебиторской задолженности
за январь-июнь (руб.)
Дебиторская задолженность на начало периода 0
4- Продажа в кредит 181000
— Поступления от должников 147000
= Дебиторская задолженность на конец периода 34000
Поясним, как заполняется таблица.
Всего будет продано 18100 изделий. Поэтому объем про-
даж равен 18100x20 = 362000 руб. Отсюда продажа в кре-
дит равна 362000/2 = 181000 руб.
Из кассовой консолидированной сметы получаем, что
поступления от должников = 0 4- 25000 4- 21000 4- 30000 4-
+ 33000 + 38000 = 147000 руб.
Тогда дебиторская задолженность на конец периода
равна 0 4- 181000 - 147000 = 34000 руб.
Суммарная смета кредиторской задолженности
за январь-июнь (руб.)
Кредиторская задолженность на начало периода 0
4- Закупки в кредит 191000
— Оплата кредиторской задолженности 154000
= Кредиторская задолженность на конец периода 37000
Поясним, как заполняется таблица.
Себестоимость произведенной продукции равна 191000
руб. При этом малое предприятие воспользуется кредитом
при закупке сырья.
Из кассовой консолидированной сметы получаем, что
оплата кредиторской задолженности равна 0 4- 30000 4-
+ 18000 + 30000 + 36000 + 40000 = 154000 руб.
Тогда кредиторская задолженность на конец периода
равна 0 4- 191000 - 154000 = 37000 руб.
Задача 109- Составить смету текущих расходов в зада-
че 108.
§ 26.2.3. Сметный отчет о прибылях и убытках
Составив смету текущих расходов по запасам, дебиторской за-
долженности 'и кредиторской задолженности, можно свести
всю информацию в сметный отчет о прибылях и убытках.
140
Пример 110. Составим сметный отчет о прибылях и
убытках в примерах 108 и 109.
Сметный отчет о прибылях и убытках
за январь-июнь (руб.)
Объем продаж 362000
Себестоимость проданной продукции 181000
Валовая прибыль 181000
Расходы
Зарплата 120000
Реклама 30000
Амортизация 11000
161000
Чистая прибыль 20000
Изъятие капитала 0
Нераспределенная прибыль 20000
Поясним, как заполняется таблица.
Себестоимость проданной продукции берем из сметы за-
пасов.
Валовая прибыль = объем продаж — себестоимость про-
данной продукции.
Зарплата = 6x20000 = 120000 руб.
Реклама = 6x5000 = 30000 руб.
При равномерном начислении износа ежегодное начис-
ление на износ = (первоначальная стоимость — ликвидаци-
онная стоимость)/(период эксплуатации) = (180000 + 40000 -
— 0)/10 = 22000 руб. Так как у нас промежуток времени
полгода, то амортизация = 22000/2 = 11000 руб.
Чистая прибыль = валовая прибыль — расходы =
= 181000 - 161000 = 20000 руб.
Нераспределенная прибыль = чистая прибыль — изъя-
тие капитала.
Задача 110. Составить сметный отчет о прибылях и
убытках в задачах 108 и 109.
§ 26.2.4. Сметный баланс
Последний этап составления финансовой сметы — это со-
ставление сметного баланса.
Пример 111. Составим сметный баланс в примерах
108-110.
141
Сметный баланс на конец июня (руб.)
Себе- стоимость Начисления на износ Остаточная стоимость
Внеоборотные активы
Здания 180000 9000 171000
Оборудование 40000 2000 38000
209000
Оборотные активы
Запасы 10000
Дебиторская задолженность 34000
Касса и счет в банке 54000
98000
Краткосрочная кредиторская задолженность 37000
37000
Чистые оборотные активы 61000
Суммарные чистые активы 270000
Долгосрочная кредиторская за- долженность
Долгосрочная банковская ссуда яюшш
170000
Собственный капитал владельцев 150000
Нераспределенная прибыль 20000
170000
Поясним, как заполняется таблица.
Запасы — это запас на конец периода (из суммарной
сметы запасов).
Дебиторская задолженность — это дебиторская задол-
женность на конец периода (из суммарной сметы дебитор-
ской задолженности).
Краткосрочная кредиторская задолженность — это кре-
диторская на конец периода (из суммарной сметы креди-
торской задолженности).
Начисления на износ здания и оборудования 9000 руб.
и 2000 руб. соответственно.
Чистые оборотные активы = оборотные активы — крат-
косрочная кредиторская задолженность.
Суммарные чистые активы = внеоборотные активы +
+ чистые оборотные активы.
Нераспределенная прибыль берется из сметного отчета
о прибылях и убытках.
Задача 111. Составить сметный баланс в задачах 108—110.
142
[лава 27
СМЕТНЫЙ КОНТРОЛЬ
Как правило, сметы составляются на основе нормативов, по-
лученных из предположений о средних затратах и объемах
продаж.
Идеальные нормативы — это показатели, которые пред-
приятие может достигнуть при условии постоянной работы
с максимальной эффективностью, точного прогноза объема
продаж и полной рабочей недели каждого сотрудника. По-
нятно, что такие условия труднодостижимы. Поэтому руко-
водство предприятия должно установить для своих работни-
ков достижимые нормативы, основанные на показателях
прошлых лет и среднеотраслевых показателях.
Как только станут известны фактические показатели де-
ятельности предприятия за сметный период, нужно сопоста-
вить прогнозные и фактические показатели и провести ана-
лиз отклонений.
Отклонение — это различие между сметным и фактичес-
ким показателями. При неблагоприятном отклонении (со
знаком «минус») предприятие работало хуже, чем ожида-
лось. При благоприятном отклонении (со знаком «плюс»)
предприятие работало лучше, чем ожидалось.
Пример 112. В таблице приведены сметные и фактиче-
ские показатели работы предприятия за истекший год. Оп-
ределим отклонения.
Сметные показатели, руб. Фактические показатели, руб.
Объем продаж 300000 280000
Себестоимость проданной продукции 200000 190000
Расходы 50000 60000
Заполним таблицу.
Мы видим, что отклонения по объему продаж, валовой
прибыли, расходам и чистой прибыли неблагоприятные (от-
рицательные числа будем заключать в скобки), а отклоне-
ние по себестоимости проданной продукции благоприятное.
143
Сметные показатели, руб. Фактические показатели, руб. Отклонение, руб.
Объем продаж 300000 280000 (20000)
- Себестоимость проданной продукции 200000 190000 10000
= Валовая прибыль 100000 90000 (10000)
- Расходы 50000 60000 (10000)
= Чистая прибыль 50000 30000 (20000)
Задача 112. В таблице приведены сметные и фактичес-
кие показатели работы предприятия за истекший год. Оп-
ределить отклонения.
Сметные показатели, руб. Фактические показатели, руб.
Объем продаж 310000 320000
Себестоимость проданной продукции 190000 195000
Расходы 60000 55000
Очень часто при построении сметы основываются только
на одном уровне объема продаж. Это жесткая смета.
Так как очень трудно дать более или менее точный про-
гноз объема продаж, то при использовании жесткой сметы
возникают проблемы. Поэтому вместо жесткой сметы лучше
использовать гибкую смету, содержащую расчеты для не-
скольких уровней объема продаж.
Возможен еще один способ построения гибкой сметы, при
котором различные статьи затрат, прибыли и убытки выра-
жаются как доли объема продаж.
Пример 113. Определим процентные соотношения в
примере 112.
Сметные показатели, руб. Доля от объема продаж, % Фактические показатели, руб. Доля от объема продаж, % Отклонение, руб.
Объем продаж 300000 100 280000 100 (20000)
- Себестоимость проданной продукции 200000 66,7 190000 67,9 10000
= Валовая прибыль 100000 33,3 90000 32,1 (10000)
— Расходы 16,7 60000 21,4 (10000)
= Чистая прибыль 50000 16,7 30000 10,7 (20000)
144
Результаты округляем до одного знака после запятой.
Хотя отклонение по себестоимости проданной продукции
показано благоприятным, но в процентном отношении оно
оказалось выше запланированного уровня (67,9% против
66,7%).
Задача 113. Определить процентные соотношения в за-
даче 112.
Замечание. Гибкую смету лучше всего делать в виде эле-
ктронной таблицы (например, с помощью пакета Excel).
145
[лава 28
АНАЛИЗ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
При определении оптимального набора ресурсов следует про-
анализировать соотношение между затратами и прибылью.
Здесь на помощь приходит анализ безубыточности — сопо-
ставление совокупных затрат с выручкой от реализации для
ряда значений объема продаж.
§ 28.1. ОГРАНИЧЕНИЯ АНАЛИЗА БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
Анализ безубыточности — весьма полезный инструмент на
ранней стадии принятия решений, когда важно получить об-
щий взгляд на бизнес. Однако в основе такого анализа ле-
жит ряд допущений, которые могут и не выполняться в каж-
дом практическом случае:
1) все затраты могут быть идентифицированы и класси-
фицированы как постоянные или переменные;
2) все переменные затраты прямо пропорциональны объ-
ему продаж (то есть с ростом объема продаж переменные за-
траты увеличиваются);
3) номенклатура товара постоянна — брак и порча това-
ра не допускаются;
4) вся система находится в стабильном состоянии, то есть
анализ безубыточности не учитывает эффекта масштаба;
5) анализ безубыточности основывается на точных про-
гнозах затрат и доходов.
§ 28.2. ТОЧКА БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
Точка безубыточности — это такое значение объема про-
даж, при котором совокупные затраты равны совокупной
выручке, то есть предприятие не получает ни прибыли, ни
убытков.
146
Точка безубыточности вычисляется
ле:
по следующей форму-
точка
безубыточности
постоянные
затраты
удельная
прибыль
где
удельная _ цена реализации _ переменные затраты
прибыль единицы продукции на единицу продукции
Пример 114. Постоянные затраты равны 20000 руб.,
цена реализации единицы продукции — 50 руб., перемен-
ные затраты на единицу продукции — 30 руб. Определим
точку безубыточности.
Удельная прибыль = цена реализации единицы продук-
ции — переменные затраты на единицу продукции = 50 -
- 30 = 20 руб ./единицу.
Тогда точка безубыточности = (постоянные затра-
ты)/(удельная прибыль) = 20000/20 = 1000 единиц.
Действительно, при объеме продаж 1000 единиц сово-
купные затраты = постоянные затраты + переменные за-
траты = 20000 4- 30x1000 = 50000 руб., а совокупная вы-
ручка = 50x1000 — 50000 руб., то есть при объеме продаж
1000 единиц предприятие не получает ни прибыли, ни
убытков.
Задача 114. Постоянные затраты равны 40000 руб., це-
на реализации единицы продукции — 80 руб., переменные
затраты на единицу продукции — 55 руб. Определить точ-
ку безубыточности.
§ 28.3. ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИБЫЛИ
ИЛИ УБЫТКА
Если объем реализации продукции предприятия превосхо-
дит точку безубыточности, то предприятие получит прибыль.
Если объем реализации продукции предприятия ниже точ-
ки безубыточности, то предприятие получит убыток.
Возможное значение прибыли или убытка вычисляется
по следующей формуле:
прибыль/ _ / объем реализации
убыток I продукции
точка i удельная
безубыточности I х прибыль
Пример 115. Объем реализации продукции предприя-
тия из примера 114 равен 800 единиц. Определим возмож-
ное значение прибыли или убытка.
Прибыль-убыток = (объем реализации продукции — точка
безубыточности) х (удельная прибыль) = (800 — 1000)х20 =
= -4000 руб. < 0. Это возможное значение убытка.
147
Задача 115. Объем реализации продукции предприя-
тия из задачи 114 равен 2000 единиц. Определить возмож-
ное значение прибыли или убытка.
§ 28.4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ БИЗНЕСА
Между постоянными и переменными затратами существует
некоторое равновесие. Высокие первоначальные инвестиции
в оборудование приводят к высоким постоянным затратам,
неизбежным при любом достигнутом объеме продаж. В слу-
чае завышенного прогноза объема продаж это приводит к
потерям. Но чем выше доля постоянных затрат, тем ниже
переменные затраты на единицу продукции и больше эф-
фект масштаба.
Не существует какого-то одного правильного метода веде-
ния бизнеса. Анализ безубыточности позволяет оценить наи-
лучшую комбинацию затрат с учетом всех факторов.
§ 28.5. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Анализ безубыточности проводится на основе наиболее веро-
ятного сценария динамики затрат, доходов и объемов про-
даж. Анализ чувствительности позволяет учесть действие
всех факторов, которые могут повлиять на анализ безубы-
точности. Каждый раз рассматривается какое-то одно изме-
нение первоначального сценария и оценивается влияние это-
го изменения на точку безубыточности и прибыль. Анализ
чувствительности также называют анализом «А что, если..?»
Можно оценить возможные последствия в случае измене-
ния:
а) постоянных затрат;
б) цены реализации единицы продукции;
в) переменных затрат на единицу продукции;
г) объема реализации продукции.
ПримерИв. Как изменится ответ в примере 114, если:
а) постоянные затраты равны 25000 руб.;
б) цена реализации единицы продукции равна 40 руб.;
в) переменные затраты на единицу продукции равны 25
руб.?
а) Точка безубыточности = (постоянные затраты)/(удель-
ная прибыль) = 25000/20 = 1250 единиц.
б) Удельная прибыль = цена реализации единицы про-
дукции — переменные затраты на единицу продукции =
148
= 40 — 30 = 10 руб./единицу. Тогда точка безубыточности =
= (постоянные затраты)/(удельная прибыль) = 20000/10 =
= 2000 единиц.
в) Удельная прибыль = цена реализации единицы про-
дукции — переменные затраты на единицу продукции =
= 50 — 25 = 25 руб./единицу. Тогда точка безубыточности =
= (постоянные затраты)/(удельная прибыль) = 20000/25 =
= 800 единиц.
Задача 116. Как изменится ответ в задаче 114, если:
а) постоянные затраты равны 30000 руб.;
б) цена реализации единицы продукции равна 95 руб.;
в) переменные затраты на единицу продукции равны 60
руб.?
Замечание. Анализ чувствительности очень удобно про-
водить с помощью электронной таблицы (например, с помо-
щью пакета Excel).
§ 28.6. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ЦЕНЫ РЕАЛИЗАЦИИ
НА ОБЪЕМ ПРОДАЖ
Сейчас мы рассмотрим влияние изменений цены реализации
на объем продаж. Насколько должен вырасти объем продаж
после снижения цены, чтобы предприятие получило при-
быль? На какую величину может сократиться объем продаж
после увеличения цены, прежде чем предприятие начнет не-
сти убытки? Существуют специальные формулы, позволяю-
щие определить, насколько сильно влияние изменений це-
ны реализации на объем продаж.
Если изменение цены реализации на АР не создаст допол-
нительных постоянных и переменных затрат, то процент бе-
зубыточного изменения объема продаж вычисляется по сле-
дующей формуле: процент безубыточного изменения объема
продаж = —6JP/(CM + АР), где СМ — удельная прибыль.
Знак «—» говорит об обратной зависимости между ценой
реализации и объемом продаж. Снижение (рост) цены реа-
лизации приводит к увеличению (уменьшению) объема про-
даж, необходимого для достижения определенного уровня
прибыли. Чем больше изменение цены реализации, тем
больше требуемое изменение объема продаж.
Пример 117. Объем продаж равен 800 единиц, цена ре-
ализации единицы продукции — 50 руб., а переменные за-
траты на единицу продукции — 30 руб. Предполагаемое
снижение цены реализации на 5% не создаст дополнитель-
149
ных постоянных и переменных затрат. Определим процент
безубыточного изменения объема продаж.
Удельная прибыль СМ = цена реализации единицы про-
дукции — переменные затраты на единицу продукции =
= 50 - 30 = 20 руб./единицу.
Изменение цены реализации АР = -0,05x50 = —2,5
руб./единицу (знак «—» говорит о снижении цены реализа-
ции).
Тогда процент безубыточного изменения объема продаж
= -ЬР/(СМ + АР) == -(-2,5)/(20 4- (-2,5)) « 0,143 (= 14,3%).
Снижение цены будет прибыльным при росте объема про-
даж на 0,143x800 «114 единиц.
Задача 117. Объем продаж равен 1000 единиц, цена
реализации единицы продукции — 60 руб., а переменные
затраты на единицу продукции — 35 руб. Предполагаемое
повышение цены реализации на 10% не создаст дополни-
тельных постоянных и переменных затрат. Определить про-
цент безубыточного изменения объема продаж.
Очень часто цена реализации изменяется на АР вместе с
изменением переменных издержек на единицу продукции
на АС. Например, после усовершенствования продукта воз-
росли переменные издержки. Поэтому увеличили цену реа-
лизации.
Если изменения цены реализации и переменных издер-
жек не создают дополнительных постоянных затрат, то про-
цент безубыточного изменения объема продаж вычисляет-
ся по следующей формуле: процент безубыточного измене-
ния объема продаж = —(ДР — АС)/(СМ + АР — АС). При
АС = 0 мы получаем предыдущую формулу.
Пример 118. В примере 117 снижение цены реализа-
ции последовало за снижением переменных издержек на
единицу продукции на 5%. Определим процент безубыточ-
ного изменения объема продаж.
Изменение переменных издержек на единицу продук-
ции АС = —0,05x30 = —1,5 руб./единицу (знак «—» говорит
о снижении переменных издержек на единицу продукции).
Тогда процент безубыточного изменения объема продаж
= -(АР - АС)/(СЛГ 4- АР - АС) = -(-2,5 - (—1,5))/(20 4-
4- (-2,5) - (-1,5)) « 0,053 (= 5,3%).
Снижение цены будет прибыльным при росте объема
продаж на 0,053x800 « 42 единицы.
Задача 118. В задаче 117 повышение цены реализации
последовало за повышением переменных издержек на еди-
ницу продукции на 10%. Определить процент безубыточ-
ного изменения объема продаж.
150
Каждый раз перед изменением цены реализации следует
проанализировать влияние этого изменения на объем про-
даж. Достаточно верный прогноз позволяет покрыть затра-
ты и получить прибыль. Но практически невозможно регу-
лярно выдавать абсолютно точные прогнозы.
151
[лава 29
СКИДКА С ЦЕНЫ (УЦЕНКА)
Оптовым и розничным торговцам чрезвычайно важно разо-
браться в существе не только наценок, но и скидок. Про-
цент произведенной скидки с цены вычисляется по следую-
щей формуле:
процент
скидки
денежная сумма
скидки
суммарный \ 1 nf|0/
объем продаж ] х /о •
Пример 119. В марте закуплены для реализации 500
единиц продукции по цене 10 руб. В апреле-июле прода-
ны 300 единиц продукции по цене 20 руб. В начале авгус-
та непроданный товар был уценен до 15 руб. за единицу.
По этой цене проданы 100 единиц продукции. Определим
процент скидки.
Денежная сумма скидки равна 100х(20 — 15) = 500 руб.,
а суммарный объем продаж составил 300x20 + 100x15 =
= 7500 руб.
Тогда процент скидки = (денежная сумма скидки)/(сум-
марный объем продаж)хЮ0% = 500/7500x100% « 6,7%.
Задача 119. В марте закуплены для реализации 600
единиц продукции по цене 15 руб. В апреле—июле прода-
ны 450 единиц продукции по цене 25 руб. В начале авгус-
та непроданный товар был уценен до 15 руб. за единицу.
По этой цене проданы 50 единиц продукции. Определить
процент скидки.
152
Глава 30
ПРИНЯТИЕ КРАТКОСРОЧНЫХ
РЕШЕНИЙ
Для большинства предприятий получение прибыли — одна
из важнейших задач. Как выбрать ту последовательность
действий, которая приведет к получению максимальной при-
были? Между получением прибыли в краткосрочном плане
и процветанием предприятия в долгосрочном плане должен
быть баланс.
С точки зрения затрат целесообразно делать различие
между краткосрочными и долгосрочными решениями. В
краткосрочном периоде наиболее важна валовая прибыль, и
для принятия решений необходимо использовать методы
калькуляции себестоимости по дифференцированным затра-
там. В долгосрочном периоде должны быть покрыты все за-
траты предприятия.
В краткосрочном периоде изменяются только перемен-
ные затраты. Принятие краткосрочных решений направлено
на текущую «настройку» бизнеса. В краткосрочных решени-
ях не затрагиваются вопросы о базовых инвестициях и
структуре постоянных затрат. При принятии краткосрочно-
го решения нужно учитывать только те доходы, которые яв-
ляются прямым следствием данного решения, и сопостав-
лять их с теми затратами, которые также есть следствие дан-
ного решения.
Дифференцированные затраты — это затраты, связан-
ные с продажей дополнительных единиц продукции. Сюда
могут входить как переменные, так и постоянные затраты.
Затраты прошлого периода (то есть затраты, относящие-
ся к прошлому) являются необратимыми. Поэтому они не
должны влиять на принятие решений.
Альтернативные затраты — это потенциальные выго-
ды, упущенные в результате непринятия альтернативного
курса действий. При принятии краткосрочного решения их
следует учитывать. А вот косвенные затраты (затраты, со-
храняющие свою величину независимо от курса действий)
учитывать не следует.
153
Особо нужно сказать об учете амортизации. Начислять
амортизацию можно различными способами в зависимости
от целей предприятия. Увеличение амортизации приводит к
уменьшению налоговых обязательств. При назначении цен
или принятии других управленческих решений амортизаци-
онные отчисления должны основываться на прогнозах ре-
ального уменьшения текущей рыночной стоимости активов
в результате их использования.
154
[лава 31
ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
§ 31.1. ПРОБЛЕМЫ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
Какие цены устанавливать на свою продукцию? Если пред-
приятие установит слишком высокие цены, то клиенты об-
ратятся к конкурентам предприятия и само предприятие по-
терпит крах. Если предприятие установит слишком низкие
цены, то оно не сможет покрыть свои издержки.
В ситуации, когда множество различных поставщиков
предлагает один и тот же продукт, клиент выберет ту ком-
панию, у которой ниже цены. Но размер затрат ограничива-
ет свободу предприятия устанавливать слишком низкие це-
ны, так как предприятие должно быть прибыльным.
В краткосрочном плане объем продаж может значитель-
но увеличиваться за счет снижения цены. Предоставление
скидок также направлено на увеличение объема продаж за
счет снижения цены.
На другом полюсе рынка может существовать предложе-
ние продукта исключительного качества за очень высокую
цену, ориентированное на ограниченное число покупателей,
но в этом случае высока прибыль от каждой проданной еди-
ницы продукта.
Цена на продукт формируется с учетом его относительно-
го качества, предлагаемого выбора видов обслуживания,
предлагаемых условий оплаты, удобства местонахождения
магазина и т. д.
Ценовые решения напрямую связаны с общими стратеги-
ческими целями предприятия. Для продвижения нового про-
дукта на рынке есть два различных подхода: проникновение
на рынок и «снятие сливок».
При проникновении на рынок предприятие для быстрого
завоевания доли рынка устанавливает относительно невысо-
кие цены, чтобы стимулировать покупку.
Подход «снятие сливок» (то есть установление очень вы-
сокой цены) применяется, когда предприятие намерено по-
155
лучить максимальную прибыль с нового продукта, пока на
рынке мало конкурентов.
Но существует множество различных предприятий, кото-
рые устанавливают цены простым сопоставлением с ценами
ближайших конкурентов, не учитывая стратегические цели
предприятия и потребности клиентов, на которые предприя-
тие ориентируется.
§ 31.2. ВЛИЯНИЕ ЗАТРАТ НА ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
Себестоимость — основной долгосрочный ограничивающий
фактор при выработке общей ценовой политики предприя-
тия. В долгосрочном плане все затраты, связанные с ведени-
ем хозяйственной деятельности, должны покрываться.
При ценообразовании по принципу «затраты + прибыль»
к себестоимости продукта добавляется заранее установлен-
ная в процентном отношении надбавка, что гарантирует по-
крытие всех расходов и получение прибыли. Но этот подход
не обеспечивает учета позиционирования предприятия. Да и
в краткосрочном плане могут быть упущены потенциально
прибыльные возможности, что ухудшит положение предпри-
ятия в долгосрочной перспективе (например, при продаже
скоропортящихся продуктов со скидкой ценообразование по
принципу «затраты + прибыль» неприемлемо). Поэтому в
краткосрочном плане применяют ценообразование на основе
предельно высоких затрат.
Предельные затраты — это затраты предприятия в свя-
зи с продажей одной дополнительной единицы продукции.
До тех пор, пока установленные на продукт цены позволяют
покрыть предельные затраты и обеспечить некоторую при-
быль, бизнес будет устойчив.
В идеале необходимо сочетание обоих подходов: ценооб-
разование по принципу «затраты + прибыль» для долгосроч-
ной перспективы и ценообразование на основе предельно вы-
соких затрат для краткосрочных ценовых решений, направ-
ленных на настройку бизнеса.
§ 31.3. ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ПО СХЕМЕ
ДВОЙНОГО ТАРИФА
При ценообразовании по схеме двойного тарифа с потреби-
телей взимается фиксированная «входная» плата за доступ
156
к потреблению данного товара и одинаковая плата за каж-
дую потребленную единицу.
Пример 120. Администрация парка культуры и отдыха
очень часто использует ценообразование по схеме двойного
тарифа. С посетителей взимается фиксированная входная
плата, а за каждое посещение аттракционов посетитель
платит дополнительно.
Задача 120. Привести примеры ценообразования по
схеме двойного тарифа.
§ 31.4. ЦЕНОВАЯ ДИСКРИМИНАЦИЯ
§ 31.4.1. Условия осуществления и цели
ценовой дискриминации
Ценовая дискриминация — это продажа одинаковых благ
разным покупателям (или группам покупателей) по различ-
ным ценам при условии, что различия в ценах не вызваны
различиями издержек на производство и реализацию благ.
Ценовая дискриминация возможна только на рынках с не-
совершенной конкуренцией, при которой продавцы могут
дифференцировать цены на однородную продукцию.
Для проведения ценовой дискриминации необходимо вы-
полнение двух условий:
1) на рынке должна быть исключена возможность пере-
продажи благ;
2) фирма-продавец должна различать покупателей с раз-
ной готовностью платить.
Цель ценовой дискриминации — увеличение прибыли про-
давца за счет захвата потребительского избытка. Различают
ценовую дискриминацию первой, второй и третьей степени.
§ 31.4.2. Ценовая дискриминация первой степени
Ценовая дискриминация первой степени (или совершенная
ценовая дискриминация) имеет место, когда продавец для
каждого покупателя устанавливает особую цену в точном со-
ответствии с его готовностью платить.
При совершенной ценовой дискриминации снижение це-
ны для отдельного покупателя не оказывает влияния на це-
ны, установленные для других покупателей. Как правило,
фирма-продавец не располагает точной информацией о го-
157
товности платить у всех своих покупателей. Поэтому совер-
шенная ценовая дискриминация на практике встречается
очень редко. Наибольшее приближение к ней достигается в
тех случаях, когда число покупателей невелико и продавец
достаточно хорошо информирован об их доходах, вкусах и
предпочтениях. В жизни преобладает несовершенная цено-
вая дискриминация, когда разные цены устанавливаются не
для отдельных покупателей, а для групп покупателей.
§ 31.4.3. Ценовая дискриминация второй степени
При ценовой дискриминации второй степени цены одина-
ковы для всех покупателей, но различаются в зависимости
от назначаемых фирмой условий продажи. Этот вид ценовой
дискриминации используется тогда, когда сегменты рынка с
разной эластичностью спроса не изолированы друг от друга
и не существует объективных барьеров, препятствующих пе-
реходу покупателей с одного сегмента рынка на другой.
По видам барьеров, с помощью которых фирма разделяет
сегменты рынка, различают следующие разновидности це-
новой дискриминации второй степени:
1) по объему потребления (многочастный тариф);
2) по свойствам и условиям покупки товаров;
3) по времени продажи товаров.
Пример 121. Обычная практика западных электричес-
ких компаний, при которой тарифы за электроэнергию сни-
жаются с увеличением объема потребления, — это пример
ценовой дискриминации по объему потребления (так назы-
ваемый многочастный тариф). За каждый киловатт-час,
потребленный в пределах первой сотни киловатт-часов в
месяц, устанавливается самая высокая цена. За каждый
киловатт-час, потребленный в пределах второй сотни кило-
ватт-часов в месяц, — более низкая цена и т. д. Схема це-
нообразования типа «один пакетик — 6 рублей, два паке-
тика за 10 рублей» — это также пример ценовой дискри-
минации по объему потребления.
Задача 121. Привести примеры ценовой дискримина-
ции по объему потребления.
Пример 122. Большинство производителей крепких на-
питков продает одну и ту же водку под различными назва-
ниями, назначая при этом разные цены. Это пример ценовой
дискриминации по свойствам и условиям покупки товаров.
К этой же ценовой дискриминации относится получившая
158
широкое распространение система эмитирования различных
купонов с предоставлением скидки при покупке товаров.
Задача 122. Привести примеры ценовой дискримина-
ции по свойствам и условиям покупки товаров.
Пример 123. Обычная практика фирм, производящих
аудио- и видеотехнику, компьютеры и т. пм — это пример
ценовой дискриминации по времени продажи товаров. На
товары-новинки первоначально устанавливаются высокие
цены. Через некоторое время, достаточное для того, чтобы
самые нетерпеливые и не очень заботящиеся о цене поку-
патели (то есть группа покупателей с неэластичным спро-
сом) прибрели данный товар, цены на него снижаются. Еще
один пример ценовой дискриминации по времени продажи
товаров — это льготные тарифы на междугородные теле-
фонные разговоры в вечернее время, в выходные и празд-
ничные дни.
Задача 123. Привести примеры ценовой дискримина-
ции по времени продажи товаров.
Ценовая дискриминация второй степени оставляет потре-
бителю свободу выбора цены и соответствующих ей условий
покупки. Задача продавца состоит в создании таких сочета-
ний цен и условий продажи, которые побуждали бы покупате-
лей с низкой эластичностью спроса приобретать товары на «до-
рогом» сегменте рынка, оставляя «дешевые» сегменты рынка
для покупателей с более высокой эластичностью спроса.
§ 31.4.4. Ценовая дискриминация третьей степени
Ценовая дискриминация третьей степени имеет место, ког-
да для разных групп покупателей (сегментов рынка) уста-
навливаются разные цены. При этом существуют объектив-
ные, не зависящие от действия продавца барьеры, препятст-
вующие переходу покупателей с более «дорогих» сегментов
рынка на более «дешевые».
Пример 124. Установление разных цен на входные би-
леты в музей для различных категорий посетителей — это
пример ценовой дискриминации третьей степени. Разли-
чие в ценах на однородную продукцию в разных регионах
— это еще один пример ценовой дискриминации третьей
степени.
Задача 124. Привести примеры ценовой дискримина-
ции третьей степени.
159
Верно следующее правило максимизации прибыли при
проведении ценовой дискриминации третьей степени: пре-
дельная выручка, получаемая от продажи товаров на каж-
дом сегменте рынка, должна быть одинаковой и равной пре-
дельным издержкам производства данного товара.
На сегментах рынка с более высокой ценовой эластичнос-
тью спроса цены должны быть ниже, чем на сегментах рын-
ка с меньшей ценовой эластичностью спроса. На сегментах
рынка с одинаковой ценовой эластичностью спроса будут на-
блюдаться одинаковые цены, то есть ценовая дискримина-
ция третьей степени в этом случае невозможна.
160
Глава 32
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИЙ
В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Инвестиционные решения — это решения о текущих затра-
тах с целью получения доходов в будущем. Краткосрочные
решения принимаются на относительно короткий период
времени (например, от вложения денежных средств до полу-
чения прибыли от них пройдет один год). Долгосрочные ин-
вестиционные проекты рассчитаны на более длительный пе-
риод времени.
В этой главе мы проанализируем обоснованность долго-
срочных инвестиционных решений для предприятий, цели-
ком финансируемых за счет акционерного капитала (или вы-
пуск простых акций, или за счет нераспределенной прибы-
ли). Будем считать, что денежные потоки точно определены
и нет необходимости делать поправку на риск. Денежные
притоки или оттоки происходят в начале или конце каждого
периода. Хотя вычисления в этом случае не совсем точны,
но для большинства решений они достаточно приемлемы.
§ 32.1. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ИЗДЕРЖКИ
ПО ИНВЕСТИЦИЯМ
При выработке долгосрочных инвестиционных решений не-
обходимо знать, какую отдачу принесут инвестиции, и сопо-
ставить прибыль от инвестирования в различные проекты.
Тот, кто не любит рисковать, может вложить деньги в
безрисковые ценные бумаги (такими считаются особо надеж-
ные государственные ценные бумаги), которые будут прино-
сить постоянный доход. Доходность по инвестициям в такие
ценные бумаги представляет собой альтернативные издерж-
ки по инвестициям, так как инвестированные в особо на-
дежные государственные ценные бумаги средства не могут
быть инвестированы еще куда-то.
161
Альтернативные издержки по инвестициям также назы-
вают стоимостью капитала, минимально необходимой нор-
мой прибыли, ставкой дисконтирования и процентной
ставкой. Предприятие должно рассматривать только такие
инвестиционные проекты, прибыль от которых выше аль-
тернативных издержек по инвестициям.
При рассмотрении инвестиционных проектов мы должны
решить, будет ли инвестирование капитала более прибыль-
ным, чем простое помещение средств в безрисковые ценные
бумаги или в банк под проценты при данной банковской про-
центной ставке. Кроме того, необходимо выбрать тот инвести-
ционный проект, который принесет максимальную выгоду.
§ 32.2. МЕТОД ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ
В методе чистой приведенной стоимости учитывается вре-
менная стоимость денег.
Предположим, что нам известен будущий денежный по-
ток и его распределение по времени. Дисконтируем денеж-
ные потоки до их текущей стоимости (на нулевой момент
времени, то есть на начало реализации проекта), используя
минимально необходимую норму прибыли. Суммировав по-
лученные результаты, найдем чистую приведенную стои-
мость (NPV) проекта.
Если полученное значение положительно, то реализация
инвестиционного проекта более выгодна, чем помещение
средств в безрисковые ценные бумаги. Если полученное зна-
чение отрицательно, то реализация инвестиционного проек-
та менее выгодна, чем помещение средств в безрисковые цен-
ные бумаги. Нулевое значение чистой приведенной стоимос-
ти говорит о том, что предприятию безразлично, принять
проект или отвергнуть его.
При принятии решений по инвестициям при оценке по-
токов денежных средств в них не включается амортизация,
так как она не является расходом в форме наличных денеж-
ных средств. Затраты капитала на амортизируемые активы
учитываются как расход наличных денежных средств в на-
чале реализации инвестиционного проекта. Амортизацион-
ные отчисления — это просто метод бухгалтерского учета
для соответствующего распределения вложений в активы по
анализируемым отчетным периодам. Любое включение амор-
тизационных отчислений в потоки денежных средств приво-
дит к повторному счету.
162
Метод чистой приведенной стоимости особенно полезен,
когда необходимо выбрать один из нескольких возможных
инвестиционных проектов, имеющих различные размеры
требуемых инвестиций, различную продолжительность реа-
лизации, различные денежные доходы.
Мы определяем чистую приведенную стоимость каждого
инвестиционного проекта на основе альтернативных издер-
жек по инвестициям. Положительность чистой приведенной
стоимости говорит о прибыльности инвестиций. Затем выби-
раем, в рамках какого инвестиционного проекта положи-
тельная чистая приведенная стоимость наибольшая, так как
именно это при прочих равных условиях и является инди-
катором самого рентабельного проекта.
Пример 125. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта в 2 млн. руб. Оценка чистых денежных по-
ступлений приведена в таблице.
Год Проект А, млн. руб. Проект В, млн. руб.
1 0,9 0,8
2 1,6 1Д
3 0,6
Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%.
Определим чистую приведенную стоимость каждого проек-
та.
Чистая
°’9 4
1 + 0,12
Чистая
-М_4
1 + 0,12
приведенная
1,6 _
(1 + 0,12)2
приведенная
_ы________+
(1 + 0,12)2
стоимость проекта А равна:
2 « 0,08 млн. руб.
стоимость проекта В равна:
----—----г- - 2 « 0,02 млн. руб.
(1 + 0,12)3
Так как 0,08 > 0,02, то проект А предпочтительнее.
Положительная чистая приведенная стоимость инвести-
ций свидетельствует об увеличении рыночной стоимости
средств акционеров, которое должно произойти, когда на
фондовой бирже станет известно о принятии данного проек-
та. Она также показывает потенциальное увеличение теку-
щего потребления для владельцев обыкновенных акций, ко-
торое возможно благодаря реализации проекта после возвра-
щения использованных средств.
Задача 125. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта в 2,5 млн. руб. Оценка чистых денежных
поступлений приведена в таблице.
163
Год Проект А, млн. руб. Проект В, млн. руб.
1 1,2 0,9
2 1,8 1,3
3 — 0,8
Альтернативные издержки по инвестициям равны 11%.
Определить чистую приведенную стоимость каждого про-
екта. Какой проект предпочтительнее?
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ЧПС, которая возвращает величину чис-
той приведенной стоимости инвестиций, используя ставку дис-
контирования, а также стоимости будущих выплат (отрица-
тельные значения) и поступлений (положительные значения).
fx -* финансовые ЧПС ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. Ставка — это альтернатив-
ны издержки по инвестициям. Значения — это выплаты (со
знаком «—») и поступления (со знаком «+»). ОК.
В примере 125 для проекта А ЧПС(0,12; —2; 0,9; 1,6) «
» 0,07 млн. руб. (из-за ошибок округления этот результат
отличается от результата примера 125) и для проекта В
ЧПС(0,12; -2; 0,8; 1,1; 0,6) » 0,02 млн.руб.
§ 32.3. МЕТОД ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
В методе внутренней нормы доходности учитывается времен-
ная стоимость денег.
Внутренняя норма доходности (дисконтированная нор-
ма прибыли) IRR — это ставка дисконтирования, при кото-
рой чистая приведенная стоимость инвестиций равна нулю.
Значение внутренней нормы доходности можно найти при-
ближенно методом линейной интерполяции. Подбираем зна-
чение ставки дисконтирования Го, при которой чистая при-
веденная стоимость инвестиций NPV(r$) < 0. Подбираем зна-
чение ставки дисконтирования гх, при которой чистая при-
веденная стоимость инвестиций NPV(r{) > 0. Тогда внутрен-
няя норма доходности IRR » г$ —
(П - rQ)NPV(rQ)
NPVirt) - NPV(rQ) ’
Пример 12в. Определим внутреннюю норму доходности
инвестиционного проекта В из примера 425.
Чистая приведенная стоимость проекта В при ставке
дисконтирования г равна:
NPV(r) = + 1,1 +
1 + г (1 + г)2
0,6
(1 + г)3
- 2.
164
При Г1 = 0,12 чистая приведенная стоимость NPV(ri) =
= #РУ(0,12) * 0,02 млн. руб. > 0.
При го = 0,15 чистая приведенная стоимость ЛГРУ(го) =
= WPV(0,15) « -0,08 млн. руб. < 0.
Тогда внутренняя норма доходности IRR равна:
грр _ (П - roWPV(ro) _ (0,12 —0,15)(—0,08)
NPУ(Г1) - NPУ(г0) 0,02 - (-0,08)
= 0,126 (= 12,6%).
Задача 126. Определить внутреннюю норму доходности
инвестиционного проекта В из задачи 125.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ВСД, которая возвращает значение внут-
ренней нормы доходности для потока денежных средств.
Значение функции вычисляется путем итерации и может да-
вать нулевое значение или несколько значений. Если после-
довательные результаты функции ВСД не сходятся с точнос-
тью 0,0000001 после 20 итераций, то ВСД возвращает сооб-
щение об ошибке #число!.
fx финансовые -> ВСД -* ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. В графе Предположение
указывается предполагаемая величина процентной ставки
(если значение не указано, то по умолчанию оно равно 10%).
ОК. В примере 126 ВСД(-2; 0,8; 1,1; 0,6) » 13%.
Для определения целесообразности реализации инвести-
ционного проекта нужно сопоставить внутреннюю норму до-
ходности с альтернативными издержками по инвестициям,
или с принятой на данном предприятии минимальной нор-
мой прибыли на инвестиции.
§ 32.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ
ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ стоимости
И ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ доходности
Во многих ситуациях метод внутренней нормы доходности
склоняется к тому же решению, что и метод чистой приве-
денной стоимости. Но бывают ситуации, когда метод внутрен-
ней нормы доходности приводит к ошибочным решениям.
При анализе взаимоисключающих проектов (принятие
одного из них исключает принятие другого) рекомендуется
метод чистой приведенной стоимости.
В методе внутренней нормы доходности подразумевается,
что все поступления от инвестиционного проекта реинвестиру-
165
ются по собственно проектной норме доходности. Но это не
обязательно фактическая альтернативная стоимость капитала.
В методе внутренней нормы доходности результат пока-
зывается в виде процентной ставки, а не абсолютного денеж-
ного значения. Поэтому этот метод отдаст предпочтение ин-
вестированию 10 тыс. руб. под 100%, а не инвестированию
200 млн. руб. под 20%.
В нестандартных денежных потоках (выплаты и по-
ступления чередуются) возможно получение нескольких зна-
чений внутренней нормы доходности.
С учетом вышеперечисленного инвестиционные проекты
нужно оценивать на основе чистой приведенной стоимости.
§ 32.5. МЕТОД ОКУПАЕМОСТИ
Достоинство метода окупаемости — его простота. На прак-
тике этот метод применяется довольно часто, хотя при этом
не учитывается временная стоимость денег.
Нужно определить период окупаемости, который пока-
зывает, сколько времени понадобится для того, чтобы инве-
стиционный проект окупил первоначально инвестированную
сумму (то есть до превышения наличным доходом первона-
чальных инвестиций). Чем короче период окупаемости, тем
инвестиционный проект лучше.
Пример 127. Определим период окупаемости каждого
инвестиционного проекта в примере 125.
В проекте А для окупаемости первоначальных инвести-
ций в сумме 2 млн. руб. необходимо поступление 0,9 млн.
руб. в первый год и (2 — 0,9) = 1,1 млн. руб. (из 1,6 млн.
руб.) во второй год. Поэтому период окупаемости проекта
А равен 1 + 1,1/1,6 « 1,7 лет.
В проекте В для окупаемости первоначальных инвести-
ций в сумме 2 млн. руб. необходимо поступление 0,8 млн.
руб. в первый год, 1,1 млн. руб. во второй год и
2 - (0,8 4- 1,1) = 0,1 млн. руб. (из 0,6 млн. руб.) в третий
год. Поэтому период окупаемости проекта В равен 1 + 1 +
+ 0,1/0,6 * 2,2 лет.
Так как 1,7 < 2,2, то проект А предпочтительнее.
Задача 127. Определить период окупаемости каждого
инвестиционного проекта в задаче 125.
Недостатки метода окупаемости:
1) не учитываются потоки денежных средств после завер-
шения срока окупаемости;
166
2) не учитывается временная разница поступлений денеж-
ных средств (поэтому возможно одобрение инвестиционного
проекта с отрицательной чистой приведенной стоимостью).
Учитывая приведенные недостатки, применение метода
окупаемости не обязательно приведет к максимизации ры-
ночной цены обыкновенных акций.
Одна из модификаций метода окупаемости — дисконти-
рованный метод расчета периода окупаемости, когда все
потоки денежных средств дисконтированы до их приведен-
ной стоимости, а период окупаемости определяется на осно-
вании дисконтированных потоков.
Дисконтированный метод расчета периода окупаемости
также не учитывает все потоки денежных средств после за-
вершения срока окупаемости. Но из-за того, что в дисконти-
рованном методе расчета периода окупаемости полученная
величина периода окупаемости больше, чем в методе окупа-
емости, исключается меньшее количество денежных пото-
ков. Поэтому переход от метода окупаемости к дисконтиро-
ванному методу расчета периода окупаемости — это шаг в
правильном направлении.
На практике метод окупаемости очень часто использует-
ся для грубой оценки инвестиционных проектов.
§ 32.6. УЧЕТНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ОКУПАЕМОСТИ
ИНВЕСТИЦИЙ
В этом методе не учитывается временная стоимость денег.
Для расчетов используются данные о прибыли, а не о по-
ступлениях денежных средств.
Учетный коэффициент окупаемости инвестиций {при-
быль на инвестированный капитал, прибыль на используе-
мый капитал) вычисляется по следующей формуле:
учетный коэффициент _ среднегодовая . средняя стоимость
окупаемости инвестиций прибыль * инвестиций
где среднегодовая прибыль -( суммарные Доходы - первоначальные инвестиции ) : срок реализа- ции проекта
Средняя стоимость инвестиций зависит от метода начис-
ления износа. При равномерном начисления износа средняя
стоимость инвестиций вычисляется по следующей форму-
ле:
средняя стоимость __ ( первоначальные < остаточная | . п
инвестиций I инвестиции г стоимость I *
167
Пример 128. Пусть в примере 125 остаточная стоимость
каждого проекта равна нулю. Определим их учетные коэф-
фициенты окупаемости инвестиций.
Для проектов А и В средняя стоимость инвестиций =
= (первоначальные инвестиции 4- остаточная стоимость)/2 =
= (2 4- 0)/2 = 1 млн. руб.
Для проекта А среднегодовая прибыль = (суммарные до-
ходы — первоначальные инвестиции)/(срок реализации про-
екта) = (0,9 + 1,6 - 2)/2 = 0,25 млн. руб., а учетный коэф-
фициент окупаемости инвестиций = (среднегодовая при-
был ь)/(средняя стоимость инвестиций) = 0,25/1 = 0,25
(= 25%).
Для проекта В среднегодовая прибыль = (суммарные до-
ходы — первоначальные инвестиции)/(срок реализации про-
екта) = (0,8 4- 1,1 4- 0,6 — 2)/3 «0,17 млн. руб., а учетный
коэффициент окупаемости инвестиций = (среднегодовая
прибыль)/(средняя стоимость инвестиций) = 0,17/1 = 0,17
(= 17%).
Задача 128. Пусть в задаче 125 остаточная стоимость
каждого проекта равна нулю. Определить их учетные ко-
эффициенты окупаемости инвестиций.
Как и период окупаемости, учетный коэффициент окупа-
емости инвестиций имеет свои недостатки. Он использует
балансовую прибыль (а не денежные потоки) в качестве
оценки прибыльности проектов. Существует множество пу-
тей вычисления балансовой прибыли, что дает возможность
манипулировать учетным коэффициентом окупаемости ин-
вестиций. Несоответствия в вычислении прибыли приводят
к существенно различающимся значениям учетного коэффи-
циента окупаемости инвестиций.
Балансовая прибыль страдает от таких «искажений», как
затраты на амортизацию, прибыли или убытки от продажи
основных активов, которые не являются настоящими денеж-
ными потоками, и поэтому не оказывают влияния на благо-
состояние акционеров.
Применение средних величин искажает относящуюся к
делу информацию о сроках получения дохода.
Первоначальные инвестиции и остаточная стоимость ус-
реднены для отражения стоимости активов, связанных меж-
ду собой в течение всего срока реализации инвестиционного
проекта. Наблюдается парадокс остаточной стоимости:
чем больше остаточная стоимость, тем меньше учетный ко-
эффициент окупаемости инвестиций. Это может привести к
принятию неправильного решения.
168
Хотя применение учетного коэффициента окупаемости
инвестиций иногда приводит к принятию ошибочных инвес-
тиционных решений, на практике он очень часто использу-
ется для обоснования инвестиционных проектов. Возможно,
это связано с тем, что лица, принимающие решения, часто
предпочитают анализировать инвестиции через прибыль, так
как деятельность самих менеджеров часто оценивается имен-
но по этому критерию.
169
Глава 33
НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
И ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ
До сих пор при анализе инвестиций влияние налогов не учи-
тывалось. В каждой стране существуют свои правила налого-
обложения. Однако во многих странах существует тенденция
исходить из одинаковых принципов при предоставлении на-
логовых скидок, связанных с инвестиционными расходами.
§ 33.1. ВЛИЯНИЕ НАЛОГОВ НА ВЕЛИЧИНУ
ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
Пример 129. Для инвестиций в оборудование действует
скидка списания в размере 20% от оставшейся балансовой
стоимости оборудования. Ставка корпоративного налога
равна 30%. Предприятие рассматривает вопрос о покупке
оборудования за 2 млн. руб., которое, как ожидается, обес-
печит в течение четырех лет дополнительные чистые по-
ступления денежных средств в размере 900000 руб./год.
Ожидается, что в конце четвертого года это оборудование
будет продано по стоимости списания, которая пойдет на
уплату налога за предыдущий год. Отсрочка в уплате нало-
га равна одному году. Альтернативные издержки по инвес-
тициям равны 12%.
Определим чистую приведенную стоимость инвестици-
онного проекта.
Сначала определим годовые скидки списания. Запол-
ним таблицу.
На конец года Годовая скидка списания, тыс. руб. Стоимость после списания, тыс. руб.
0 0 2000
1 400 1600
2 320 1280
3 256 1024
4 204,8 819,2
Сумма 1180,8 -
170
Поясним, как заполняется таблица.
Первоначальные инвестиции 2000 тыс. руб. Каждое
число 3-го столбца умножаем на 0,2 (скидка списания) и
результат пишем во 2-м столбце следующей строки. Каж-
дое число 3-го столбца, начиная со 2-й клетки, есть раз-
ность числа из предыдущей строки 3-го столбца и числа из
2-го столбца. В последней строке указана сумма чисел 2-го
столбца.
Затем определим дополнительную налогооблагаемую
прибыль от проекта. Заполним таблицу.
Показатели, тыс. руб. Год1 Год 2 ГодЗ Год 4
Дополнительные чистые по- ступления 900 900 900 900
Годовая скидка списания 400 320 256 204,8
Дополнительная налогообла- гаемая прибыль 500 580 644 695,2
Корпоративный налог 30% 150 174 193,2 208,56
Поясним, как заполняется таблица.
Числа 2-й строки — это числа 2-го столбца предыдущей
таблицы. 3-я строка — это разность первых двух строк таб-
лицы. Каждое число 3-й строки умножаем на 0,3 (ставка
корпоративного налога) и результат пишем в 4-й строке.
При вычислении приростных денежных потоков в них
не должны включаться амортизационные отчисления. За-
полним таблицу.
Год Потоки денежных средств, тыс. руб. Налогообложение, тыс. руб. Чистый поток денежных средств, тыс. руб.
0 -2000 0 -2000
1 900 0 900
2 900 150 750
3 900 174 726
4 900
819,2 193,2 1526
5 0 208,56 -208,56
Поясним, как заполняется таблица.
Число 819,2 тыс. руб. во 2-м столбце — это продажа
оборудования по стоимости списания в конце 4-го года. Так
как отсрочка в уплате начисленных налогов равна одному
году, то числа из последней строки предыдущей таблицы
запишем в 3-м столбце со сдвигом на одну клетку вниз.
4-й столбец — это разность 2-го и 3-го столбцов.
Так как альтернативные издержки по инвестициям 12%,
то чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта
171
равна 900/1,12 + 750/1,122 + 726/1,123 + 1526/1,124 -
- 208,56/1,125 - 2000 = 769,68 тыс. руб.
Задача 129. Для инвестиций в оборудование действует
скидка списания в размере 30% от оставшейся балансовой
стоимости оборудования. Ставка корпоративного налога
равна 40%. Предприятие рассматривает вопрос о покупке
оборудования за 2,5 млн. руб., которое, как ожидается,
обеспечит в течение четырех лет дополнительные чистые
поступления денежных средств в размере 800000 руб./год.
Ожидается, что в конце четвертого года это оборудование
будет продано по стоимости списания, которая пойдет на
уплату налога за предыдущий год. Отсрочка в уплате нало-
га равна одному году. Альтернативные издержки по инвес-
тициям равны 11%. Определить чистую приведенную сто-
имость инвестиционного проекта.
§ 33.2. ПРИБЫЛИ ИЛИ УБЫТКИ ОТ ПРОДАЖИ
ИМУЩЕСТВА
Если инвестиционный проект предусматривает продажу при-
надлежащего предприятию имущества, то может проявить-
ся еще один налоговый эффект. Если цена продажи отлича-
ется от балансовой стоимости активов, то возникают прибы-
ли или убытки от продажи основных средств.
Доходы от продажи имущества увеличивают прибыль.
При этом возрастают налоговые обязательства и возникают
балансовые начисления. Потери от продажи имущества
уменьшают прибыль. При этом уменьшаются налоговые обя-
зательства и возникают балансовые скидки.
Поэтому при продаже существующих активов при анали-
зе денежных потоков нельзя упускать из виду и налоговый
эффект.
Пример 130. Предприятие хочет продать купленное
2 года назад за 800 тыс. руб. и рассчитанное на 5 лет экс-
плуатации оборудование, остаточная стоимость которого
будет равна 50 тыс. руб. Использовалось равномерное на-
числение износа. Ставка налога на прибыль равна 30%.
Определим балансовые начисления или балансовые скидки
в случае, если цена продажи равна:
а) 560 тыс. руб.;
б) 470 тыс. руб.
Ежегодные начисления на износ = (первоначальная сто-
имость — остаточная стоимость)/(срок эксплуатации) =
= (800 - 50)/5 = 150 тыс. руб.
172
Тогда накопленная за 2 года амортизация равна
150x2 = 300 тыс. руб. Отсюда на момент продажи балансо-
вая стоимость = первоначальная стоимость - накопленная
за 2 года амортизация = 800 - 300 = 500 тыс. руб.
Если цена продажи равна 560 тыс. руб., то доход от про-
дажи = 560 — 500 = 60 тыс. руб., а балансовые начисления
равны 0,3x60 = 18 тыс. руб.
Если цена продажи равна 470 тыс. руб., то потери от
продажи = 500 - 470 = 30 тыс. руб., а балансовые скидки
равны 0,3x30 = 9 тыс. руб.
Задача 130. Предприятие хочет продать купленное
3 года назад за 900 тыс. руб. и рассчитанное на 5 лет экс-
плуатации оборудование, остаточная стоимость которого
будет равна 100 тыс. руб. Использовалось равномерное на-
числение износа. Ставка налога на прибыль равна 40%.
Определить балансовые начисления или балансовые скид-
ки в случае, если цена продажи равна:
а) 350 тыс. руб.;
б) 300 тыс. руб.
§ 33.3. НАЛОГОВЫЕ ЛЬГОТЫ, НАПРАВЛЕННЫЕ
НА СТИМУЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ
Иногда, чтобы стимулировать инвестиции в определенные
отрасли, правительство предоставляет налоговые льготы.
В таких случаях начисление амортизации может быть уско-
рено или предприятие может быть освобождено от налогов в
год покупки основных средств. Эти льготы могут оказать
существенное влияние на жизнеспособность инвестиционно-
го проекта.
173
[лава 34
СРАВНЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ С РАЗНЫМИ СРОКАМИ
РЕАЛИЗАЦИИ
Если каждый из инвестиционных проектов по-своему хо-
рош, выбор между ними затруднителен. Сделать этот выбор
еще сложнее в случае, когда сроки реализации инвестици-
онных проектов разные. Краткосрочные инвестиционные
проекты могут требовать частой замены, но они освобожда-
ют средства для инвестиций в другом месте.
Одним из способов сравнения инвестиционных проектов
с разными сроками реализации является определение экви-
валентного годового денежного потока для каждого инвес-
тиционного проекта. Зная чистую приведенную стоимость
NPV, срок реализации п и альтернативные издержки по ин-
вестициям i инвестиционного проекта, определяют величи-
ну отдельного годового платежа простой ренты постнумеран-
NPV*i
1-1/(14-if
до R =
(см. § 14.5). Предпочтение отдается ин-
вестиционному проекту с большим эквивалентным годовым
денежным потоком.
Пример 131. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта: А (первоначальные затраты 1,5 млн. руб.)
и В (первоначальные затраты 1,7 млн. руб.). Оценка чис-
тых денежных поступлений дана в таблице.
Год Проект А, млн. руб. Проект В, млн. руб.
1 0,5 0,2
2 0,7 0,4
3 0,9 0,7
4 — 0,8
5 — 0,6
Альтернативные издержки по инвестициям i = 12%.
Сравним эти проекты, используя эквивалентные годовые
денежные потоки.
Чистая приведенная стоимость проекта А равна NPV(A) =
0,5 + 0,7 + 0,9
1 + 0,12 (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)3
1,5 « 0,15 млн. руб.
174
Это современная стоимость ренты постнумерандо. Тогда для
проекта А эквивалентный годовой денежный поток равен:
Л(А) -
NPV(A)*i
1-1/(1 +О"
0,15x0,12
1 -1/(1+0,12)3
= 0,06 млн. руб.
Чистая приведенная стоимость проекта В равна NPV(B) =
= °*2 + °»4 + °,7 + 0,8 +
1 + 0,12 (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)3 (1 + 0,12)4
0 6
+------------ — 1,7 = 0,14 млн. руб. Это современная стой-
(1 + 0,12)5
мость ренты постнумерандо. Тогда для проекта В эквива-
лентный годовой денежный поток равен:
NPV(B)*i 0,14x0,12 nn. Л
R(B) =-------—-----=----------------- = 0,04 млн. руб.
1- 1/(1 + /)" 1 — 1/(1 + 0,12)5
Так как 0,06 > 0,04, то проект А предпочтительнее.
Задача 131. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта: А (первоначальные затраты 1,6 млн. руб.)
и В (первоначальные затраты 1,8 млн. руб.). Оценка чис-
тых денежных поступлений дана в таблице.
Год Проект А, млн. руб. Проект В, млн. руб.
1 0,6 0,3
2 0,8 0,5
3 1,1 0,8
4 — 0,9
5 — 0,6
Альтернативные издержки по инвестициям i = 11%.
Сравнить эти проекты, используя эквивалентные годовые
денежные потоки.
175
Глава 35
ЗАМЕНА ОБОРУДОВАНИЯ
Особый класс инвестиционных решений — это решения
замене уже имеющихся активов.
Пример 132. Предприятие рассматривает вопрос о за-
мене оборудования. Анализ ситуации дал следующую ин-
формацию.
Показатели Старое оборудование Новое оборудование
Стоимость при покупке, руб. 500000 700000
Балансовая стоимость, руб. 400000 —
Оставшийся срок службы, лет 8 8
Производственные затраты, руб./год 375000 318000
Ожидается, что как для нового, так и для старого обо-
рудования через 8 лет остаточная стоимость будет равна
нулю. Сейчас старое оборудование можно продать за 350000
руб. Альтернативные издержки по инвестициям равны
i = 12%. Определим целесообразность замены оборудова-
ния.
Способ 1. Проведем анализ на основе сопоставле-
ния приведенной стоимости будущих выходящих потоков
наличных денежных средств. К таким потокам относятся
ежегодные производственные затраты. Первоначальные за-
траты на приобретение прежнего оборудования, балансовая
стоимость и величина износа за год не являются будущими
выходящими потоками наличных денежных средств. По-
этому они не должны включаться в анализ.
Воспользуемся формулой для нахождения современной
стоимости для простой ренты постнумерандо (см. § 14.4):
Л-В1~1/(1 + 0".
i
Тогда для старого оборудования приведенная стоимость
будущих выходящих потоков наличных денежных средств
1 — 1/Н+О 12Ъ8
равна: 375000---^^—^«375000x4,968=1863000 руб.
176
Для нового оборудования приведенная стоимость будущих
выходящих потоков наличных денежных средств равна:
318000x4,968 + 700000 (покупка нового оборудования) —
— 350000 (продажа старого оборудования) = 1929824 руб.
Так как 1863000 руб. < 1929824 руб., то следует оста-
вить старое оборудование.
Способ 2. Покупка нового оборудования позволя-
ет ежегодно экономить на затратах 375000 — 318000 =
= 57000 руб.
Тогда приведенная стоимость экономии на затратах рав-
на 57000x4,968 = 283176 руб. Сопоставим эту величину с
величиной новых инвестиционных затрат: 700000 (покуп-
ка нового оборудования) — 350000 (продажа старого обору-
дования) = 350000 руб.
Так как 283176 руб. < 350000 руб., то следует оставить
старое оборудование.
Задача 132. Предприятие рассматривает вопрос о заме-
не оборудования. Анализ ситуации дал следующую инфор-
мацию.
Показатели Старое оборудование Новое оборудование
Стоимость при покупке, руб. 600000 650000
Балансовая стоимость, руб. 420000 —
Оставшийся срок службы, лет 7 7
Производственные затраты, руб./год 350000 300000
Ожидается, что как для нового, так и для старого обо-
рудования через 7 лет остаточная стоимость будет равна
нулю. Сейчас старое оборудование можно продать за 410000
руб. Альтернативные издержки по инвестициям равны
i = 11%. Определить целесообразность замены оборудова-
ния.
177
Глава 36
ИНФЛЯЦИЯ
Инфляция характеризуется обесценением национальной ва-
люты (то есть снижением ее покупательной способности) и
общим повышением цен в стране.
§ 36.1. Уровень (темп) инфляции. Индекс инфляции
Пусть S — это сумма денег, для которой рассматривается
покупательная способность при отсутствии инфляции. Sa —
это сумма денег, покупательная способность которой с уче-
том инфляции равна покупательной способности суммы S
при отсутствии инфляции, то есть один и тот же набор това-
ров можно купить на суммы S (при отсутствии инфляции) и
Sa (с учетом инфляции). Понятно, что Sa > S.
Обозначим AS == Sa — S. Тогда величина a = AS/S =
= (Sa — S)/S называется уровнем (темпом) инфляции. Это
индекс прироста. Он показывает, на сколько процентов в
среднем выросли цены за рассматриваемый период.
AS = Sa - S => Sa = S + AS. Ho a = AS/S => AS = aS.
Тогда Sa = S + AS = S 4- aS = S(1 + a). Величину /и = 1 + a
называют индексом инфляции. Это индекс роста. Он пока-
зывает, во сколько раз в среднем выросли цены за рассмат-
риваемый период.
Пример 133. Каждый месяц цены растут на 1,5%. Ка-
ков ожидаемый уровень инфляции за год?
Распространен неправильный ответ 12x1,5% = 18%. Но
ведь цены растут на 1,5% каждый месяц от достигнутого
уровня, то есть рост идет по сложной процентной ставке.
Тогда годовой индекс инфляции /и°Д = (1 + 0,015)12 » 1,2,
то есть цены за год вырастут в 1,2 раза, или на 20%.
Задача 133. Каждый месяц цены растут на 2%. Каков
ожидаемый уровень инфляции за год?
Пример 134. Уровень инфляции в марте составил 2%,
в апреле — 1%, в мае — 3%.
178
Тогда индекс инфляции за рассматриваемый период
равен (1 + 0,02)(1 + 0,01)(1 + 0,03) » 1,061, то есть уро-
вень инфляции за рассматриваемый период составил 6,1%.
Задача Х34. Уровень инфляции в марте составил 3%,
в апреле — 5%, в мае — 3%. Каков уровень инфляции за
рассматриваемый период?
179
[лава 37
ОЦЕНКА ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ
СТОИМОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО
ПРОЕКТА В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
Инфляция влияет на стоимость денежных потоков, умень-
шая их покупательную способность. Ставка дисконтирова-
ния, включающая в себя инфляцию, называется номиналь-
ной ставкой. Реальная ставка дисконтирования — это
ставка дисконтирования, не учитывающая инфляцию. Ре-
альная ставка дисконтирования вычисляется по следующей
формуле:
реальная ставка
дисконтирования
номинальная
ставка
индекс
инфляции
- 1 .
Существуют два способа оценки чистой приведенной сто-
имости в условиях инфляции: по номинальной ставке и по
реальной ставке дисконтирования.
Пример 135. Предприятие рассматривает инвестицион-
ный проект. Первоначальные затраты равны 3 млн. руб.,
остаточная стоимость — 0, срок реализации проекта —
3 года.
Год Ожидаемая прибыль после уплаты налогов
1 1,4
2 1,5
3 1,7
Альтернативные издержки по инвестициям равны 15%,
ожидаемый годовой уровень инфляции — 7%. Определим
чистую приведенную стоимость инвестиционного проекта в
условиях инфляции.
Способ 1. Использование номинальной ставки и
номинальных денежных потоков.
Определим денежные потоки с учетом инфляции. За-
полним таблицу.
Год Индекс инфляции Денежные потоки с учетом инфляции
1 1,07 1,4x1,07 = 1,50
2 1,072 « 1,145 1,5x1,145 « 1,72
3 1,073 « 1,225 1,7x1,225 « 2,08
180
При заполнении третьего столбца ожидаемая прибыль
после уплаты налогов умножается на соответствующий ин-
декс инфляции.
Тогда чистая приведенная стоимость проекта равна
1,50/1,15 + 1.72/1Д52 + 2,08/1,153 - 3 » 0,973 млн. руб.
С п о с о б 2. Использование реальной ставки дискон-
тирования и реальных денежных потоков.
Реальная ставка дисконтирования = (14- номинальная
ставка)/(индекс инфляции) - 1 = (1 4- 0,15)/1,07 — 1 «
« 0,075.
Тогда чистая приведенная стоимость проекта равна
1,4/1,075 + 1,5/1,0752 + 1,7/1,0753 - 3 = 0,969 млн. руб.
Из-за ошибок округления полученные результаты не-
значительно различаются.
Задача 135. Предприятие рассматривает инвестицион-
ный проект. Первоначальные затраты равны 2,5 млн. руб.,
остаточная стоимость — 0, срок реализации проекта —
3 года.
Год Ожидаемая прибыль после уплаты налогов
1 1,3
2 1,4
3 1,8
Альтернативные издержки по инвестициям равны 14%,
ожидаемый годовой уровень инфляции — 6%. Определить
чистую приведенную стоимость инвестиционного проекта в
условиях инфляции.
181
Глава 38
ЛИЗИНГ
§ 38.1. ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ ЛИЗИНГА
Лизинг — это один из способов ускоренного обновления ос-
новных средств. Он позволяет предприятию получить в свое
распоряжение средства производства, не покупая их и не
становясь их собственником. Недостаток лизинга — это его
более высокая стоимость по сравнению с банковскими кре-
дитами, так как уплачиваемые лизинговые платежи пред-
приятия-лизингополучателя лизинговому учреждению по-
крывают амортизацию имущества, стоимость вложенных де-
нег и вознаграждение за обслуживание лизингополучателя.
Преимущества лизинга для арендатора:
1. Пользователь освобождается от необходимости инвес-
тирования крупной единовременной суммы, а временно вы-
свобожденные суммы денежных средств могут использовать-
ся на пополнение собственного оборотного капитала, что по-
вышает его финансовую устойчивость.
2. Деньги, заплаченные за аренду, учитываются как те-
кущие расходы, включаемые в себестоимость продукции, в
результате чего на данную сумму уменьшается налогообла-
гаемая прибыль.
3. Арендатор получает гарантийное обслуживание обору-
дования на весь срок аренды.
4. Появляется возможность быстрого наращивания про-
изводственной мощности, внедрения достижений научно-
технического прогресса, что способствует конкурентоспособ-
ности предприятия.
§ 38.2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛИЗИНГА И БАНКОВСКОГО
КРЕДИТОВАНИЯ ПОКУПКИ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
В качестве альтернативного финансового приема лизинг за-
меняет источники долгосрочного и среднесрочного финанси-
182
рования, поэтому преимущества и недостатки лизинга срав-
нивают с преимуществами и недостатками долгосрочных и
среднесрочных кредитов.
Пусть п — срок реализации проекта, Кн — ставка налога
на прибыль, Eq — предоплата, г — процентная ставка по
кредиту, Q — остаточная стоимость объекта, L, — периоди-
ческий лизинговый платеж, S, — периодический платеж по
погашению кредита, — проценты по кредиту в соответст-
вующем периоде, At — амортизационные начисления в соот-
ветствующем периоде, i = 1, 2, ..., п.
Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых пла-
п
тежей в случае лизинга равна L = Eq+ (1 — Kh)^Ll/(1 + г)1.
i=l
Если периодические лизинговые платежи постоянны
(Li = Lq = const), то мы получаем простую ренту постнуме-
рандо. Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых
-------------------------------------------------1/(1_। j*\n
лизинговых платежей равна L = Eq 4- (1 — Kh)Lq________- .
В случае покупки за счет кредита чистая приведенная сто-
п
имость посленалоговых платежей равна S = Eq + ^Si/(1 + г)1 4-
i=l
п п
+ (1 - K^Pi/CL + г)1 - KnZAi/a + ГУ - Q/(l + г)".
i=l i=l
Если периодические платежи по погашению кредита посто-
янны (Si = Sq = const), а амортизационные начисления равны
(Ai = Aq = const), то чистая приведенная стоимость послена-
логовых платежей в случае покупки за счет кредита равна
S = Ео + (So - ДГиАо)1~1/(1 + Г),> + (1 -
г i=i (1 + г)1 (1 4- г)п
Если L < S, то выгоднее лизинг. Если L > S, то выгоднее
покупка за счет кредита.
Пример 136. Предприятие рассматривает вопрос о при-
обретении оборудования. Первый вариант — лизинг за 600
тыс. руб. с рассрочкой платежа в течение четырех лет. Вто-
рой вариант — покупка на заводе-изготовителе за 480 тыс.
руб. Ставка налога на прибыль равна Кн = 40%. Предопла-
та Eq и остаточная стоимость оборудования Q равны нулю.
Можно получить кредит в банке под г = 12% годовых. Ис-
пользуется равномерное начисление износа. Сравним эти
варианты.
В случае лизинга ежегодный лизинговый платеж равен
Lq = 600/4 = 150 тыс. руб. Тогда чистая приведенная сто-
имость посленалоговых лизинговых платежей L равна
183
L = £0 + (l-.EH)Lo 1 1/(1+ Г) = 0 + (1 - 0,4)xl50x
r
1 -1/(1+0,12)4 „„„ „„
x --------------« 273,36 тыс. руб.
0,12
Определим график погашения кредита при покупке обо-
рудования. Заполним таблицу.
Показатели, тыс. руб. ГодО Год1 Год 2 ГодЗ Год 4
Возврат кредита So — 120 120 120 120
Остаток долга 480 360 240 120 0
Проценты по кредиту Р, — 57,6 43,2 28,8 14,4
Поясним, как заполняется таблица. Ежегодный возврат
кредита So = 480/4 = 120 тыс. руб. Каждое число 2-й стро-
ки, начиная со 2-го столбца, есть разность предыдущего
числа 2-й строки и числа из этого же столбца предыдущей
строки. Каждое число 2-й строки умножаем на 0,12 и ре-
зультат пишем в следующем столбце 3-й строки.
Ежегодные амортизационные начисления равны Aq =
= (первоначальная стоимость — остаточная стоимость)/4 =
= (480 - 0)/4 = 120 тыс. руб.
Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых
платежей в случае покупки за счет кредита равна:
S = £0 + (So - JCHA0)1~1/(1 + r)" + (1 - KH)tPi/a + r)‘ -
г i-1
- Q/(l + r)n = 0 + (120 - 0,4x120)?—(1 - 0,4)x
w 57,6 43,2 28,8 14,4 . n ’ OQQ ,
x(--— H--ч----+-----—) — 0 = 288 тыс. руб.
1,12 1,122 1,123 1,124
Так как 273,36 тыс. руб. < 288 тыс. руб., то выгоднее
лизинг.
Задача 136. Предприятие рассматривает вопрос о при-
обретении оборудования. Первый вариант — лизинг за 720
тыс. руб. с рассрочкой платежа в течение четырех лет. Вто-
рой вариант — покупка на заводе-изготовителе за 600 тыс.
руб. Ставка налога на прибыль равна Кн = 35%. Предопла-
та Ео и остаточная стоимость оборудования Q равны нулю.
Можно получить кредит в банке под г = 11% годовых. Ис-
пользуется равномерное начисление износа. Сравнить эти
варианты.
184
Глава 39
АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ, ПОДДАЮЩИХСЯ
ДРОБЛЕНИЮ
Рассматриваются инвестиционные проекты. Допускается,
что можно реализовать не только целиком каждый из ана-
лизируемых инвестиционных проектов, но и любую его
часть. При этом берется к рассмотрению соответствующая
доля инвестиций и денежных поступлений. Возникает во-
прос о максимизации отдачи на инвестированный капитал.
Последовательность возможных действий такова:
1) для каждого инвестиционного проекта вычисляется ин-
декс рентабельности по следующей формуле:
индекс
рентабельности
приведенная стоимость
денежных поступлений
приведенная стоимость
денежных оттоков
2) инвестиционные проекты, индекс рентабельности ко-
торых меньше единицы, следует отвергнуть;
3) инвестиционные проекты упорядочиваются по убыва-
нию индекса рентабельности;
4) те первые инвестиционные проекты, которые могут
быть профинансированы в полном объеме, реализуется.
5) очередной проект финансируется по остаточному прин-
ципу (лишь в той части, в которой он может быть профи-
нансирован).
Пример 137. Предприятие имеет возможность инвести-
ровать 2,5 млн. руб. Рассматриваются следующие инвести-
ционные проекты, поддающиеся дроблению (денежные по-
ступления со знаком «+», денежные оттоки со знаком «—»):
А (-2; 0,7; 0,8; 1,1), В (-1,9; 0,6; 0,9; 1,2) и С (-1,7; 0,5;
0,7; 1,9). Альтернативные издержки по инвестициям рав-
ны 12%. Определим оптимальный инвестиционный порт-
фель.
Найдем индекс рентабельности каждого инвестицион-
ного проекта.
Для инвестиционного проекта А индекс рентабельности -
- (приведенная стоимость денежных поступлений)/(приве-
денная стоимость денежных оттоков) = (0,7/1,12 +
+ 0,8/1,122 + 1,1/1,123)/2 • 1,023.
185
Для инвестиционного проекта В индекс рентабельности =
= (приведенная стоимость денежных поступлений)/(приве-
денная стоимость денежных оттоков) = (0,6/1,12 +
+ 0,9/1,122 + 1,2/1,123)/1,9 = 1,109.
Для инвестиционного проекта С индекс рентабельности =
= (приведенная стоимость денежных поступлений)/(приве-
денная стоимость денежных оттоков) = (0,5/1,12 +
0,7/1,122 + 1,9/1,123)/1,7 « 1,386.
Для всех инвестиционных проектов индекс рентабель-
ности больше единицы.
Ранжируем инвестиционные проекты по убыванию ин-
декса рентабельности: С (1,386), В (1,109) и А (1,023).
Так как предприятие имеет возможность инвестировать
только 2,5 млн. руб., то проект С будет профинансирован
полностью, а проект В — лишь частично на 2,5 (общая сум-
ма) — 1,7 (инвестиции в проект С) = 0,8 млн. руб.
Задача 137. Предприятие имеет возможность инвести-
ровать 3 млн. руб. Рассматриваются следующие инвести-
ционные проекты, поддающиеся дроблению (денежные по-
ступления со знаком «+», денежные оттоки со знаком «—»):
А (-1,9; 0,8; 0,9; 1,2), В (-2,1; 0,7; 1,1; 1,3) и С (-1,6; 0,5;
0,8; 1,4). Альтернативные издержки по инвестициям рав-
ны 11%. Определить оптимальный инвестиционный порт-
фель.
186
Глава 40
ДЕРЕВО ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
Очень часто на практике возникают задачи изучения веро-
ятностного распределения возможных чистых приведенных
стоимостей инвестиционного проекта. Мы рассмотрим про-
стой и наглядный подход к анализу таких распределений —
дерево вероятностей инвестиционного проекта.
Дерево вероятностей инвестиционного проекта рисуют
слева направо. Места появления исходов обозначают в виде
кругов, а каждый исход — сплошной линией (ветвью), иду-
щей от соответствующего круга. Под каждой ветвью указы-
вается вероятность соответствующего исхода, а над ветвью
— денежные поступления или оттоки. Сумма вероятностей
на ветвях, выходящих из одного круга, равна единице.
Оценка вероятностей результатов инвестиционного про-
екта — простой метод оценки рисков капиталовложений.
Этот метод требует, чтобы человек, принимающий инвести-
ционные решения, мог предвидеть множество возможных
результатов инвестиционного проекта и был в состоянии оце-
нить вероятность наступления каждого из возможных вари-
антов.
Зная альтернативные издержки по инвестициям, опреде-
лим для каждой возможной серии потоков денежных средств
чистую приведенную стоимость NPVt (i = 1, 2, ..., m). Здесь
т — общее число возможных серий потоков денежных
средств. Перемножив вероятности под ветвями, мы получим
— вероятность появления соответствующей серии пото-
ков денежных средств (i = 1, 2, ..., тп).
Тогда математическое ожидание вероятностного распре-
деления возможных чистых приведенных стоимостей инвес-
_________________________ т
тиционного проекта равно NPV = ^P^NPVi.
i=l
Дисперсия вероятностного распределения возможных чис-
тых приведенных стоимостей инвестиционного проекта равна
о2 = %Pi(NPVi - NPV)2 = ^Pi^NPVi2 - (NPV)2.
i-1 1=1
187
Стандартное отклонение вероятностного распределения
возможных чистых приведенных стоимостей инвестицион-
ного проекта равно о = л/ о2
Пример 138. Первоначальные инвестиции равны
2,5 млн. руб. Дерево вероятностей инвестиционного проек-
та имеет следующий вид (денежные суммы указаны в
млн. руб.).
0,3
Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%.
Определим математическое ожидание и стандартное откло-
нение вероятностного распределения возможных чистых
приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
Общее число возможных серий потоков денежных
средств равно т = 4. Определим для каждой возможной се-
рии потоков денежных средств чистую приведенную стои-
мость (1 = 1, 2, 3, 4).
NPVi - 1,5/1,12 + 1.1/1.122 - 2,5 » -0,28 млн. руб.
NPV2 = 1,5/1,12 + 1,7/1,122 - 2,5 » 0,19 млн. руб.
NPV3 = 1,9/1,12 + 2,1/1,122 - 2,5 « 0,87 млн. руб.
WPV4 = 1,9/1,12 + 2.4/1.122 - 2,5 » 1,11 млн. руб.
Заполним таблицу.
Серия NPVi Pi Pi*NPVi P^NPVi2 - = WPKjx(PixNPri)
1 -0,28 0,3x0,8 = 0,24 -0,0672 0,019
2 0,19 0,3x0,2 - 0,06 0,0114 0,002
3 0,87 0,7x0,4 = 0,28 0,2436 0,212
4 1,11 0,7x0,6 = 0,42 0,4662 0,517
Сумма - 1 0,654 0,75
Поясним, как заполняется таблица. В первых трех
столбцах указаны номер возможной серии потоков денеж-
ных средств, чистая приведенная стоимость возможной се-
рии и вероятность появления возможной серии соответст-
венно. 4-й столбец — это произведение 2-го и 3-го столбцов.
Числа 2-го столбца умножаем на числа 4-го столбца, ре-
зультат округляем до трех цифр после запятой и пишем в
5-м столбце. В последней строке указана сумма чисел соот-
ветствующего столбца.
Математическое ожидание вероятностного распределе-
ния возможных чистых приведенных стоимостей инвести-
188
____ т
ционного проекта равно NPV = ^P^NPVi = 0,654 млн. руб.
i=l
Дисперсия вероятностного распределения возможных
чистых приведенных стоимостей инвестиционного проекта
равна а2 = '^Pi=<NPVi2 - (NPV)2 = 0,75 - 0,6542 = 0,322
(млн. руб.)2.
Стандартное отклонение вероятностного распределения
возможных чистых приведенных стоимостей инвестицион-
ного проекта равно о = 0,322 » 0,567 млн. руб.
Задача 138. Первоначальные инвестиции равны 2,4 млн.
руб. Дерево вероятностей инвестиционного проекта имеет
следующий вид (денежные суммы указаны в млн. руб.).
Альтернативные издержки по инвестициям равны 11%.
Определить математическое ожидание и стандартное откло-
нение вероятностного распределения возможных чистых
приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
Слабым местом данного метода является его субъектив-
ность. Разные оценки возможных исходов и их вероятнос-
тей могут привести к совершенно разным результатам. Но в
отличие от методов оценки инвестиций в условиях опреде-
ленности, в которых рассматривается только один вариант
развития, данный метод дает гарантию, что вопросы риска
не были проигнорированы при принятии инвестиционного
решения.
189
Глава 41
СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА
Любой инвестор сталкивается с проблемой определения тре-
буемой нормы прибыли инвестиционного проекта. В этой
главе мы рассмотрим решение этой задачи через стоимость
привлечения средств для инвестиций.
Главные источники долгосрочного капитала — это заем-
ные средства (кредит), выпуск акций и облигаций. Кратко-
срочные источники (например, овердрафт) при финансиро-
вании капитальных вложений обычно не используются. Сто-
имость этих источников определяется выплачиваемыми по
акциям дивидендами, процентами за кредит и процентами,
уплачиваемыми по облигациям.
§ 41.1. СТОИМОСТЬ ОБЛИГАЦИЙ, ВЫПУЩЕННЫХ
ИНВЕСТОРОМ
Стоимость облигаций, выпущенных инвестором, приблизи-
тельно равна процентам, уплачиваемым по этим облигаци-
ям. Но при этом необходимо учитывать разницу между на-
рицательной стоимостью облигации и ценой ее реализации.
Полученная эмитентом при размещении облигационного зай-
ма сумма, как правило, ниже самого займа из-за расходов
по выпуску займа.
§ 41.2. СТОИМОСТЬ КРЕДИТА
Стоимость кредита является функцией от процентной став-
ки, ставки налога на прибыль и связанных с получением
кредита затрат. Проценты за кредит в отличие от дивиден-
дов включаются в себестоимость. Это противоналоговый эф-
фект кредита. Он вычисляется по следующей формуле:
стоимость кредита
после налогообложения
стоимость кредита ( _ ставка налога
до налогообложения х I •* на прибыль
190
Пример 139. Взят кредит под 12% годовых. Ставка на-
лога на прибыль равна 30%. Определим стоимость кредита
после налогообложения.
Стоимость кредита после налогообложения = (стоимость
кредита до налогообложения) х(1 — ставка налога на при-
быль) = 0,12х(1 — 0,3) = 0,084 (= 8,4% годовых).
Задача 139. Взят кредит под 11% годовых. Ставка на-
лога на прибыль равна 40%. Определить стоимость креди-
та после налогообложения.
Из-за противоналогового эффекта кредит обычно обходит-
ся дешевле, чем привлечение средств путем выпуска акций.
§ 41.3. СТОИМОСТЬ АКЦИОНЕРНОГО КАПИТАЛА
Для простоты будем считать, что предприятие имеет только
обыкновенные акции.
Стоимость акционерного капитала вычисляется по сле-
дующей формуле (см. § 16.5): стоимость акционерного капи-
тала = D^/Pq 4- g, где Pq — рыночная цена акции в настоя-
щий момент, Di — ожидаемый в текущем году дивиденд,
g — постоянный темп роста дивидендов.
Пример 140. Рыночная цена акции в настоящий мо-
мент Pq = 1000 руб. Ожидается, что дивиденд в текущем
году будет равен = 50 руб., а постоянный темп роста
дивидендов g = 7%. Определим стоимость акционерного
капитала.
Стоимость акционерного капитала = Di/Pq + g =
= 50/1000 + 0,07 = 0,12 (= 12%).
Задача 140. Рыночная цена акции в настоящий момент
Pq = 500 руб. Ожидается, что дивиденд в текущем году бу-
дет равен D\ = 60 руб., а постоянный темп роста дивиден-
дов g = 4%. Определить стоимость акционерного капитала.
§ 41.4. СРЕДНЕВЗВЕШЕННАЯ СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА
Определив по отдельности стоимость различных источников
капитала, мы располагаем всеми необходимыми данными
для оценки стоимости всего долгосрочного финансирования
предприятия как единого целого. Результат представляет со-
бой взвешенное значение стоимости капитала, отражающее
определяемый политикой предприятия состав различных ис-
точников капитала.
191
Средневзвешенная стоимость капитала WACC (англ.
Weighted average cost of capital) вычисляется по следующей
формуле:
wacc = J
стоимость i-ro источника капитала X доля i-ro источника капитала
Это основа для коэффициента дисконтирования, необхо-
димого для оценки инвестиционных проектов.
Пример 141. В таблице указаны стоимости (в % годо-
вых) и рыночные стоимости (в млн. руб.) источников капи-
тала предприятия.
Источник капитала Стоимость Рыночная стоимость
Кредит 10 0,5
Обыкновенные акции 16 1,9
Облигационный заем 8 0,6
Определим средневзвешенную стоимость капитала пред-
приятия.
Заполним таблицу.
Источник капитала Стоимость Рыночная стоимость Доля в рыночной стоимости
Кредит 10 0,5 0,167 1,67
Обыкновенные акции 16 1,9 0,633 10,128
Облигационный заем 8 0,6 0,2 1,6
Сумма — 3 1 13,398 = = WACC
Поясним, как заполняется таблица. В последней строке
указана сумма чисел соответствующего столбца. Каждое
число 3-го столбца делим на сумму чисел этого столбца, ре-
зультат округляем до трех цифр после запятой и пишем в
4-м столбце. 5-й столбец — это произведение 2-го и 4-го
столбцов.
Средневзвешенная стоимость капитала предприятия
WACC = 13,398% годовых.
Задача 141. В таблице указаны стоимости (в % годо-
вых) и рыночные стоимости (в млн. руб.) источников капи-
тала предприятия.
Источник капитала Стоимость Рыночная стоимость
Кредит 11 0,6
Обыкновенные акции 15 1,8
Облигационный заем 9 0,5
Определить средневзвешенную стоимость капитала
предприятия.
192
Применение средневзвешенной стоимости капитала при
установлении норматива рентабельности инвестиций допус-
тимо лишь для проектов, характеризующихся обычными
для предприятия рисками.
193
Глава 42
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
§ 42.1. ВЛОЖЕНИЕ КАПИТАЛА В РАЗЛИЧНЫЕ
ЦЕННЫЕ БУМАГИ
Инвестирование включает два рагл1г:лы;: вида риска: ры-
ночный и особый. Рыночный (систематический) риск воз-
никает из-за неопределенности всей экономики. Поэтому ак-
ционеры не могут его избежать. Особый (несистематичес-
кий) риск связан с определенным предприятием или проек-
том. Поэтому этот вид риска можно ликвидировать при ин-
вестировании нескольких различных проектов.
Инвестор может существенно уменьшить риск, если вме-
сто вложения всех средств в один вид акций распределит
свои средства между различными акциями (проведет дивер-
сификацию), то есть сформирует портфель акций. Портфель
«усредняет» рыночный риск акций и существенно уменьша-
ет особый риск акций.
Согласно современной портфельной теории, ни один ин-
вестор не нуждается в принятии особого риска: он может из-
бавиться от этого вида риска, разнообразив свой портфель и
владея акциями нескольких различных компаний. Рыноч-
ные доходы должны компенсировать только рыночный риск.
Теоретической основой различных методов, применяемых
в инвестиционной практике, служит модель оценки финан-
совых активов САРМ (англ. Capital Asset Pricing Model).
§ 42.2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ
ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
1. Инвесторы производят оценку инвестиционных порт-
фелей на основании ожидаемых доходностей и их стандарт-
ных отклонений за период владения.
2. Из двух портфелей предпочтение отдается тому, кото-
рый при прочих равных условиях дает наибольшую ожидае-
мую доходность.
194
3. Из двух портфелей предпочтение отдается тому, кото-
рый при прочих равных условиях имеет наименьшее стан-
дартное отклонение.
4. Частные активы бесконечно делимы. При желании ин-
вестор может купить часть акции.
5. Существует безрисковая процентная ставка, по кото-
рой инвестор может дать взаймы (то есть инвестировать) или
взять в долг денежные средства. Эта безрисковая процент-
ная ставка одинакова для всех инвесторов.
6. Для всех инвесторов период вложения одинаков.
7. Все инвесторы обладают одной и той же информацией
и одинаково оценивают перспективы ценных бумаг.
8. Рынки ценных бумаг являются совершенными рынка-
ми в том смысле, что в них нет факторов, препятствующих
инвестициям .(ограниченная делимость, налоги, операцион-
ные издержки, различие между ставками безрискового за-
имствования и кредитования).
§ 42.3. ТЕОРЕМА РАЗДЕЛЕНИЯ
Одним из важных свойств модели оценки финансовых акти-
вов является теорема разделения.
Теорема разделения. Оптимальная для инвестора комби-
нация рискованных активов не зависит от его предпочтений
относительно риска и доходов.
Это означает, что каждый инвестор распределит свои
средства среди рискованных ценных бумаг в одной и той же
относительной пропорции, увеличивая безрисковое заимст-
вование или кредитование с целью достижения предпочти-
тельной для него комбинации риска и дохода.
§ 42.4. РЫНОЧНЫЙ ПОРТФЕЛЬ
Все будет сбалансировано. Каждый инвестор захочет дер-
жать определенное положительное число рискованных цен-
ных бумаг каждого вида. Текущий рыночный курс каждой
бумаги будет находиться на уровне, уравновешивающем
спрос и предложение. Величина безрисковой ставки будет
такая, что общая сумма денежных средств, взятых в долг,
будет равна общей сумме денег, предоставленных взаймы.
В странах с развитой рыночной экономикой государствен-
ные ценные бумаги со сроком погашения, совпадающим со
сроком владения, удовлетворяют требованию безрисковости.
195
Такая ценная бумага погашается в конце периода владения,
и инвестор получает в этот момент количество денег, которое
уже известно при принятии решения. Процентная ставка по
таким ценным бумагам называется безрисковой ставкой.
Рыночный портфель — это состоящий из всех ценных
бумаг портфель, в котором доля каждой ценной бумаги со-
ответствует ее относительной рыночной стоимости. Относи-
тельная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее сово-
купной рыночной стоимости, деленной на сумму совокуп-
ных рыночных стоимостей всех бумаг.
Несмотря на широту своего применения, рыночный порт-
фель поразительно плохо определен. Теоретически состав его
выглядит просто: все активы взвешены в пропорции соглас-
но их рыночным стоимостям. Но реально определить истин-
ный рыночный портфель (или даже его приближение) пред-
ставляется невозможным как для частного лица, так и для
организации.
Трудности в определении структуры и стоимости истин-
ного рыночного портфеля привели к необходимости исполь-
зования его подобий. При операциях с обыкновенными ак-
циями большинство исследователей и практиков произволь-
но определяют рыночный портфель как достаточно предста-
вительный индекс (например, S&P 500).
Обычно инвесторы пренебрегают неопределенностью ры-
ночного портфеля и подразделяют рынок финансовых акти-
вов на различные классы (например, акции и облигации). За-
тем они более или менее произвольно определяют рыночный
портфель для каждого класса этих активов и составляют порт-
фели, которые вели бы себя аналогично характеристикам ры-
ночного портфеля соответствующего класса активов.
§ 42.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УРОВНЕМ РИСКА
ИНВЕСТИЦИЙ И ТРЕБУЕМОЙ НОРМОЙ ПРИБЫЛИ
Ключевая формула модели оценки финансовых активов име-
ет следующий вид:
= Rf + p(-R;n ~ Rf)>
где ke — стоимость собственного капитала компании; Rf —
доходность ценных бумаг с нулевым риском; Rm — средняя
доходность акций, входящих в рыночный портфель (индекс);
Р — показатель риска акций компании по отношению к порт-
фелю (индексу) ценных бумаг, присутствующих на рынке.
196
В качестве меры риска используется бета-коэффици-
ент р. Бета-коэффициент выражает «рыночную чувстви-
тельность» инвестиций, то есть на сколько изменяется до-
ходность на любые конкретные акции (дивиденды + доход с
капитала) по сравнению с изменениями рыночной ситуации.
Р = 1 означает, что изменения в доходности в точности
повторяют изменения рыночной ситуации.
Р < 1 характерны для проектов с низким уровнем риска,
чья доходность более стабильна, чем рынок.
Значения Р > 1 говорят, что доходы от таких проектов
подвержены очень сильному влиянию со стороны даже не-
значительных рыночных колебаний.
Хотя коэффициент Р и служит для измерения риска, на
практике трудно определить его точное значение для кон-
кретного инвестиционного проекта. Обычно значения Р оп-
ределяют, исходя из данных фондового рынка о доходности
компании, которая характеризуется ценой ее акций.
Показатель Rm — Rf характеризует «рыночную премию»,
то есть доходность, превышающую безрисковую норму при-
были, сложившуюся на рынке.
Пример 142. Доходность ценных бумаг с нулевым рис-
ком Rf = 6%, доходность акций рыночного индекса
Rm = 11%, коэффициент р = 1,2. Определим доходность
обыкновенных акций компании.
Доходность обыкновенных акций компании равна
ke = Rf + p(Rm - Rf) = 6 + 1,2х(Ц - 6) = 12%.
Задача 142. Доходность ценных бумаг с нулевым рис-
ком Rf = 5%, доходность акций рыночного индекса
Rm = 12%, коэффициент р = 0,8. Определить доходность
обыкновенных акций компании.
§ 42.6. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ
Доходность государственных ценных бумаг с нулевым рис-
ком фактически учитывает предполагаемый уровень инфля-
ции, так как ожидания, связанные с характерными для бу-
дущего инфляционными условиями, влияют на их рыночную
цену, а значит и на доходность. Модель САРМ содержит эле-
мент инфляционных ожиданий и учитывает его воздействие
на оценку будущего дохода. Несмотря на простоту модели
САРМ, при ее применении может возникнуть немало про-
блем. Часть из них была рассмотрена в этой главе. Поэтому
результаты расчетов следует использовать крайне осторожно.
197
Глава 43
АНАЛИЗ СБАЛАНСИРОВАННОСТИ
ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Хозяйственная деятельность любого предприятия неразрыв-
но связана с движением денежных средств. Каждая хозяйст-
венная операция вызывает либо поступление, либо расходо-
вание денежных средств. От полноты и своевременности обес-
печения процессов снабжения, производства и сбыта продук-
ции денежными ресурсами зависят результаты основной дея-
тельности предприятия, степень его финансовой устойчивос-
ти и платежеспособности, конкурентные преимущества, не-
обходимые для текущего и перспективного развития.
По направленности движения денежных средств разли-
чают приток денежных средств (положительный денежный
поток) и отток денежных средств (отрицательный денеж-
ный поток). Чистый денежный поток — это разность меж-
ду положительным и отрицательным денежными потоками
денежных средств в анализируемом периоде времени.
Управление денежными потоками требует постоянного
мониторинга равномерности и синхронности формирования
положительного и отрицательного денежных потоков. С этой
целью вычисляют среднеквадратическое отклонение, коэф-
фициент вариации и коэффициент корреляции.
Пусть п — число интервалов, х^у^) — значение положи-
тельного (отрицательного) денежного потока в i-м интервале
п п
(i — 1, ..., и), х = (У = Si/iA) — средняя величина по-
>1 i=l
ложительного (отрицательного) денежного потока за рассма-
п
триваемый промежуток времени, о* = “ ^)2/^ =
п п п /=1
- “ (X)2, ^2 = S(*/i - У)2In = Ъу21п ~ G/A
z=l i=l i=l
Тогда среднеквадратические отклонения Oj и 02 показы-
вают абсолютное отклонение индивидуальных значений де-
нежных потоков от х и у соответственно.
Коэффициенты вариации V\ = 0i/x и V2 =* с^/у характе-
ризуют относительную меру отклонения индивидуальных
198
значении положительного и отрицательного денежных пото-
ков от х и у соответственно. Коэффициент корреляции
ri^xtyi - 'txS.yi
г = .............!~!.4-1... показывает степень син-
J (d^-dx/Vd^-d^)2)
у х i=l /X i=i i=i '
хронизации денежных потоков за анализируемый период.
Чем ближе значение г к единице, тем меньше разрыв между
значениями положительного и отрицательного денежных по-
токов, то есть потоки синхронизированы по временным ин-
тервалам. В такой ситуации меньше риск возникновения де-
фицита денежных средств (если отрицательный денежный
поток превышает положительный) или избыточности де-
нежной массы (если положительный денежный поток пре-
вышает отрицательный). Дефицит денежных средств приво-
дит к неплатежеспособности, а при избыточной денежной
массе в условиях инфляции происходит ее обесценение.
Пример 143. На основании приведенных данных опре-
делим чистый денежный поток по каждому месяцу, сред-
неквадратические отклонения и коэффициенты вариации
по положительному и отрицательному денежным потокам,
а также коэффициент корреляции между положительным
и отрицательным денежными потоками.
Денежный поток, тыс. руб. Месяц
1 2 3 4 5 6
Положительный 10 11 11 12 13 14
Отрицательный 9 10 11 13 15 12
Заполним таблицу.
Месяц Х1 У1 Чистый денежный поток Xi2 у2
1 10 9 1 100 81 90
2 11 10 1 121 100 110
3 11 11 0 121 121 121
4 12 13 -1 144 169 156
5 13 15 -2 169 225 195
6 14 12 2 196 144 168
Сумма 71 70 851 840 840
Поясним, как заполняется таблица. Значения 2-го и 3-
го столбцов берутся из исходной таблицы. 4-й столбец есть
разность 2-го и 3-го столбцов. Каждое число 2-го (3-го)
столбца возводим в квадрат и результат пишем в 5-м (6-м)
199
столбце. 7-й столбец есть произведение 2-го и 3-го столб-
цов. В последней строке указана сумма чисел соответству-.
ющего столбца. Тогда:
п
х = = 71/6 « 11,83 тыс. руб.,
2=1
п
у = Sl/i/n = 70/6 « 11,67 тыс. руб.,
2=1
о2 = 5>i2/n “ (Х)2 = 851/6 - 11,832 « 1,88,
2=1
°2 = - (у)2 - 840/6 - 11,672 = 3,81.
2=1
Отсюда среднеквадратические отклонения по положитель-
ному и отрицательному денежным потокам равны соответ-
ственно 01 = *\|1,88 « 1,37 тыс. руб. и 02 = д/ 3,81 « 1,95
тыс. руб. Коэффициенты вариации по положительному и
отрицательному денежным потокам равны соответственно
Vl =0i/x= 1,37/11,83 «0,116 и У2 = о2/У = 1,95/11,67 «
« 0,167. Коэффициент корреляции между положительным
и отрицательным денежными потоками равен
п п п
n^Xtyt -
r = 1=1 j-1 >1 =
V ' 2=1 2=1 M 2=1 2=1 '
= 6x840 - 71 xft) = 0 J34
^(6x851 - 712)(6x840 - 702)
Задача 143. На основании приведенных данных опре-
делить чистый денежный поток по каждому месяцу, сред-
неквадратические отклонения и коэффициенты вариации
по положительному и отрицательному денежным потокам,
а также коэффициент корреляции между положительным
и отрицательным денежными потоками.
Денежный поток, тыс. руб. Месяц
1 2 3 4 5 в
Положительный 11 12 13 12 13 15
Отрицательный 10 11 11 13 12 14
Замечание. Для вычисления коэффициента корреляции
можно воспользоваться статистическими функциями ПИР-
СОН (массив 1; массив 2) или КОРРЕЛ (массив 1; массив 2)
мастера функций fx пакета Excel. Массив 1 и массив 2 —
это ссылки на ячейки, содержащие значения денежных по-
токов.
200
[лава 44
ОБУЧАЕМОСТЬ В ПРОИЗВОДСТВЕ
§ 44.1. КРИВЫЕ ОБУЧЕНИЯ
Предполагается, что организация или отдельный индивиду-
ум с каждым разом выполняет одни и те же задания лучше
и быстрее.
Yn = Y\nk, где У1 и У„ — время на производство первой
и n-й единиц продукции соответственно, k < 0. Со старта не-
которого производственного процесса идет активное накоп-
ление опыта, издержки сокращаются быстрыми темпами. С
течением времени процесс выходит на уровень максималь-
ных возможностей производства, издержки на производство
последних единиц продукции практически не снижаются.
§ 44.2. УРОВЕНЬ ОБУЧЕНИЯ
Оценка уровня обучения базируется на удвоении производи-
тельности. Если уровень обучения составляет L%, то:
1) время на производство второй единицы продукции со-
ставляет L% от времени изготовления первой единицы про-
дукции;
2) время на производство четвертой единицы продукции
составляет L% от времени изготовления второй единицы
продукции;
201
3) время на производство восьмой единицы продукции
составляет L% от времени изготовления четвертой единицы
продукции и т. д.
Найдем связь кривой обучения Yn = Y^n? с оценкой уров-
у2 Yi 2k k
ня обучения L (L — десятичная дробь): —« 2 . Но
У1 Vi
= L. Отсюда L = 2k, lg L = lg 2к, IgL = ftxlg2 и k =
Y1 teL lg2
Поэтому Yn = Yinlg2.
Пример 144. На изготовление первой единицы продук-
ции потребовалось У1 = 16 ч. Уровень обучения L — 80%.
Определим, сколько времени потребуется на изготовление
пятой единицы продукции. lg£ Ig0>8
Здесь п - 5. Тогда У5 = Y^'*2 - 16x5 lg2= 9,5 ч.
Задача 144. На изготовление первой единицы продук-
ции потребовалось У1 = 18 ч. Уровень обучения L = 85%.
Определить, сколько времени потребуется на изготовление
седьмой единицы продукции. »
§ 44.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАТРАТ НА ПРОИЗВОДСТВО
ПРОДУКЦИИ
Известны затраты Ym на производство m-й единицы продук-
ции, уровень обучения L. Нужно определить затраты на про-
изводство n-й единицы продукции.
Ym = Yimk. Отсюда Ух = Тогда Ул = Ухп* = (Ут/т*)и*
т
= Ym{n/m)k. Но k = Получаем Ул = Ym(n/m)le2.
1g 2
Пример 145. На изготовление пятой единицы продук-
ции потребовалось У5 = 14 ч. Уровень обучения L = 75%.
Определим, сколько времени потребуется на изготовление
восьмой единицы продукции.
lg La lg 1&
Здесь m = 5, n = 8. Тогда У8 = У5(8/5)’в2 = 14x1,6 lg2 *
« 11,5 ч.
Задача 145. На изготовление шестой единицы продук-
ции потребовалось Уб = 15 ч. Уровень обучения L = 70%.
Определить, сколько времени потребуется на изготовление
девятой единицы продукции.
202
§ 44.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРОВНЯ ОБУЧЕНИЯ
Если есть основания считать уровень обучения постоянной
величиной при данной технологии, то ее можно найти, зная
Y1 и Yn (время на производство первой и n-й единиц про-
дукции соответственно):
Ул = У1П*. Отсюда пк = У„/У! => Ign* = 1в(У„/У1) =>
fcxlgn = lg(y„/yi) =* k = lg(fi/Y1\
Ign
„ . Ub IgL lg(yn/yi) n T
Ho k = -—Получаем -—- = :--------------. Отсюда IgL =
lg2 * lg2 Ign
1 IV /V 41 9 igiyr.ngz Ig2
= g( n/ lg => 10lgL = 10 lg" => L = (Уп/У1)1вл.
Ign
Пример 146. На изготовление первой и третьей единиц
продукции потребовалось Yj = 50 мин и Y3 = 45 мин соот-
ветственно. Определим уровень обучения. Здесь п = 3.
Уровень обучения L = (У3/У1)1в3 = (45/50) lg3= 0,936
(= 93,6%).
Задача 146. На изготовление первой и четвертой еди-
ниц продукции потребовалось Yj = 55 мин и Y4 = 40 мин
соответственно. Определить уровень обучения.
203
Глава 45
ТРАНСФЕРТНОЕ ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
НА ПРЕДПРИЯТИЯХ
СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ
Трансферты — это операции, в ходе которых подразделе-
ния предприятия передают друг другу товары или оказыва-
ют услуги.
Установленные трансфертные цены являются расходами
для принимающего подразделения и поступлениями для по-
ставляющего подразделения. Поэтому трансфертная цена
влияет на рентабельность каждого подразделения, на реше-
ние подразделений по величине исходных ресурсов и по вы-
пуску продукции, то есть на общий размер прибыли всего
предприятия.
Промежуточная продукция (промежуточный продукт)
— это товары, переданные от поставляющего подразделения
к принимающему подразделению. Товары, реализуемые по-
лучающим подразделением внешним структурам, называют-
ся готовой продукцией (готовым продуктом).
Получающее подразделение проводит дополнительную об-
работку продукции и реализует ее как готовую продукцию
на внешнем рынке. Для получающего подразделения транс-
фертная цена промежуточной продукции выступает в виде
расходов. Для поставляющего подразделения трансфертная
цена — это доход. Поэтому трансфертные цены применяют-
ся для определения того, сколько поставляющему подразде-
лению следует выпустить промежуточной продукции и
сколько этой продукции должно приобретаться получающим
подразделением.
Существуют следующие типы трансфертных цен:
1) на основе рыночных цен;
2) на основе полных затрат;
3) по типу «затраты + прибыль»;
4) на основе переговоров;
5) на основе маржинальных (предельных) издержек (этот
способ используется крайне редко).
204
Если подразделения предприятия действуют в разных
странах, то трансфертная цена устанавливается на уровне,
при котором большая часть прибыли относится на подразде-
ления, действующие в странах с минимальными налоговы-
ми ставками. Но налоговые власти в каждой стране прово-
дят свои исследования механизмов трансфертного ценообра-
зования предприятий, чтобы удостовериться, что эти меха-
низмы не используются для уклонения от уплаты местных
налогов.
205
Глава 46
ЭЛАСТИЧНОСТЬ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Для измерения чувствительности изменения функции к из-
менению аргумента вводят понятие эластичности. Мы огра-
ничимся непрерывным случаем.
§ 46.1. ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ОТ ЦЕНЫ
Пусть известна функция спроса D(P) некоторого товара, где
Р — цена товара. Тогда эластичность спроса от цены опре-
деляется следующей формулой: Ер ==
Р dD(P) Q
- — —-г—. Эластич-
D dP
ность спроса от цены показывает, на сколько процентов из-
менится спрос на товар при изменении его цены на 1%.
Здесь —— это производная функции спроса Р(Р) по пе-
dP
ременной Р.
Так как кривая спроса В(Р) — убывающая функция
(с ростом цены спрос падает), то < 0. Следовательно,
dP
при таком определении эластичность спроса от цены поло-
жительна.
Если Ed > 1, то это — товар эластичного спроса (при
повышении цены товара на 1% спрос на товар (то есть чис-
ло покупок) понижается более чем на 1%; при понижении
цены товара на 1% спрос на товар (то есть число покупок)
повышается более чем на 1%).
Если Ер < 1, то это — товар неэластичного спроса (при
повышении цены товара на 1% спрос на товар (то есть чис-
ло покупок) понижается менее чем на 1%; при понижении
цены товара на 1% спрос на товар (то есть число покупок)
повышается менее чем на 1%).
206
Функция спроса некоторого товара
Пример 147.
D(P) = 100 — 2Р2. Найдем эластичность спроса от цены Ер
при цене Р = 5.
m dD(P)
Так как----—-
dP
= 0 — 2--(Р2) = —2х2Р = —4Р, то эластичность спроса от
dP
„ Р dD(P) Р , 2Р2
цены Еп = ------—— = ----------(-^Р) =--------
D dP 100-2Р2 50 — Р2
При цене Р = 5 эластичность спроса от цены Ер(5) =
2 х 52
=--------- = 2. Так как Ер(5) > 1, то при цене Р = 5 это —
50 - 52
товар эластичного спроса.
Задача 147. Функция спроса некоторого товара
D(P) = 90 — ЗР2. Найти эластичность спроса от цены Ер
при цене Р = 4.
= А.(Ю0 - 2Р2) = -^-(100) - -^-(2Р2) =
§ 46.2. ЭЛАСТИЧНОСТЬ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОТ ЦЕНЫ
Пусть известна функция предложения S(P) некоторого това-
ра, где Р — цена товара. Тогда эластичность предложения
v „ р d^(P)
от цены определяется следующей формулой: Eg = —- —-—.
S dP
Эластичность предложения от цены показывает, на сколько
процентов изменится предложение товара при изменении его
. 0/ о dS(P)
цены на 1%. Здесь —-------это производная функции пред-
dP
ложения S(P) по переменной Р.
Пример 148. Функция предложения некоторого товара
S(P) = 7 + ЗР. Найдем эластичность предложения от цены
Е$ при цене Р = 5.
Так как dS(P)----—(7 + ЗР) = —(7) + —(ЗР) =
dP dP dP dP
«0 + 3-—(P) = 3x1 == 3, то эластичность предложения от
dP
г Р dS(P)
цены Ес =----—-
5 S dP
= 3—-—.
7 + ЗР
При цене Р = 5 эластичность предложения от цены
Es(5) = 3--5---- 0,682.
7 + 3x5
Задача 148. Функция предложения некоторого товара
Е(Р) = 3 + 4Р. Найти эластичность предложения от цены
Е$ при цене Р = 2.
207
§ 46.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ СПРОСА
ДЛЯ СЛУЧАЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рыночный спрос зависит от многих переменных. Какова его
чувствительность к каждой из них? Ответ на этот вопрос да-
ют коэффициенты эластичности.
Пусть спрос D на товар зависит от цены Pi этого товара,
цены Р2 альтернативного товара и дохода потребителей У:
D = D(Pi, Р2, У). Тогда эластичность спроса от собственной
« г Pi dD
цены определяется следующей формулой: Ei = — —------.
D dPi
Эластичность спроса от собственной цены показывает, на
сколько процентов изменится спрос на товар при изменении
- - ю/о дВ
его собственной цены на 1%. Здесь ——--это частная про-
ЭР1
изводная функции спроса Л (Pi, Р2, У) по переменной Pi.
dD
Так как с ростом цены Pi спрос D падает, то - < 0.
dPi
Следовательно, при таком определении эластичность спроса
от собственной цены положительна.
Перекрестный коэффициент эластичности спроса опре-
Р dD
деляется следующей формулой: Е2 = —---. Перекрестный
D dP2
коэффициент эластичности спроса показывает, на сколько
процентов изменится спрос на товар при изменении цены
dD
альтернативного товара на 1%. Здесь-------это частная
ЭРг
производная функции спроса Z>(Pi, Р2, У) по переменной Р2.
Товары, которые служат одним и тем же целям, называ-
ются взаимозаменяемыми (например, свинина и говядина).
Товары, которые в совокупности удовлетворяют одну и ту
же потребность, называются взаимодополняющими (напри-
мер, магнитофоны и кассеты).
Если альтернативный товар является взаимозаменяемым,
то с ростом Р2 растет спрос D на наш товар, так как при
прочих равных условиях потребитель предпочтет менее до-
„ dD
рогои товар. Поэтому -- > 0, то есть перекрестный коэф-
ЭРг
фициент эластичности спроса Е2 = > 0.
Если альтернативный товар является взаимодополняю-
щим, то с ростом Р2 уменьшается спрос D на наш товар, так
как увеличиваются совокупные затраты на приобретение
208
„ an л
двух видов товаров. Поэтому —- < 0, то есть перекрестный
аРг
коэффициент эластичности спроса Е2 = ~ —— < 0.
Б дР2
тт дБ
При = 0 товары характеризуются как независимые.
Эластичность спроса от дохода потребителей У опреде-
ляется следующей формулой: Еу = — -^у. Эластичность
спроса от дохода потребителей показывает, на сколько про-
центов изменится спрос на товар при изменении дохода по-
л ** ю/о дБ
требителеи на 1%. Здесь —------это частная производная
dY
функции спроса Z)(Pi, Р2, У) по переменной У.
С ростом доходов спрос на качественные товары увеличи-
вается (Еу > 0), а потребление низкосортных товаров умень-
шается (Еу < 0). Товары с Еу > 1 иногда классифицируют
как предметы роскоши.
Пример 149. Функция спроса некоторого товара Б(Р) =
= 50 — 3Pj + 2Р2 + 0,4У. Найдем эластичность спроса от
собственной цены Ej, перекрестный коэффициент эластич-
ности спроса Е2, эластичность спроса от дохода потребите-
лей Еу при собственной цене товара Pi = 5, цене альтерна-
тивного товара Р2 = 4 и доходе потребителей У = 500. Ка-
кие это товары: взаимозаменяемые или взаимодополняю-
щие? Как ведет себя спрос с ростом доходов потребителей?
Так как — = —(50 - ЗР, + 2Р2 + 0,4У) = —(50 +
dPi dPi dPi
+ 2Р2 + 0,47) - —(ЗРО = 0 - 3—(Pi) = -3x1 = -3, то
dPi dPi
эластичность спроса от собственной цены Ei(Pi, Р2, У) =
-------(-3)- 3------—----------.
Б dPi 50-ЗР1 + 2Р2 + 0,4У 50-ЗР1 + 2Р2 + 0,4У
При собственной цене товара Pi = 5, цене альтерна-
тивного товара Р2 = 4 и доходе потребителей У - 500
эластичность спроса от собственной цены Ei(5, 4, 500) =
= Зх----------------------. 0,062.
50 - 3x5 + 2x4 + 0,4x500
Так как — = —(50 - ЗРХ + 2Р2 + 0,47) = —(50 -
дР2 дР2 ^Р2
- 3Pi + 0,47) + —(2Р2) - 0 + 2—(Р2) = 2X1 = 2, то пере-
ЭР2 дР2
крестный коэффициент эластичности спроса Е2(Р1» Рг> У) =
209
=2 р2________________
D дР2 50-3Pi + 2P2 + 0,4Y *
При собственной цене товара Pj = 5, цене альтернатив-
ного товара Р2 = 4 и доходе потребителей Y = 500 перекре-
стный коэффициент эластичности спроса Е2(5, 4, 500) =
4
2х
50 ~ 3x5 + 2x4 + 0,4x500
0,033 > 0. Поэтому това-
ры взаимозаменяемы.
Так- как — = —(50 - ЗР, + 2Р, + 0,4У) - —(50 -
дУ дУ 1 z дУ
- 3Pi + 2Р2) + -^(0,4У) - 0 + 0,4-^-(У)~ 0,4x1 - 0,4, то
эластичность спроса от дохода потребителей Ey(Pi, Р2, Y) =
= х. = 0,4_____________Y-_________.
D дУ 50—ЗР1 + 2Р2+0,4У
При собственной цене товара Р\ = 5, цене альтерна-
тивного товара Р2 = 4 и доходе потребителей Y = 500 эла-
стичность спроса от дохода потребителей Еу(5, 4, 500) =
= 0,4 х-----------522----------- » 0,823 > 0. Поэтому с
50 - 3x5 + 2x4 + 0,4x500
ростом доходов потребителей спрос на товар увеличивается.
Задача 149. Функция спроса некоторого товара D(P) =
= 60 + 4Pi — ЗР2 + 0,5Y. Найти эластичность спроса от
собственной цены Ej, перекрестный коэффициент эластич-
ности спроса Е2, эластичность спроса от дохода потребите-
лей Еу при собственной цене товара Pi = 6, цене альтерна-
тивного товара Р2 = 5 и доходе потребителей Y = 700. Ка-
кие это товары: взаимозаменяемые или взаимодополняю-
щие? Как ведет себя спрос с ростом доходов потребителей?
210
Глава 47
ОБОСНОВАНИЕ РЕШЕНИЯ
«ПРОИЗВОДИТЬ ИЛИ ПОКУПАТЬ»
Минимизации затрат и увеличению прибыли содействует оп-
тимизация выбора между собственным производством и при-
обретением комплектующих деталей, запасных частей, по-
луфабрикатов, услуг и т. д.
Пример 150. Для ремонта техники требуются соответ-
ствующие детали. При их изготовлении собственными си-
лами постоянные затраты на содержание оборудования со-
ставят 150000 руб./год, а переменные расходы на единицу
продукции — 120 руб./ед. Готовые детали можно в неогра-
ниченном количестве приобрести по цене 140 руб./ед. Оп-
ределим наименее затратный вариант.
Пусть х — требуемое количество деталей в год. Затра-
ты при собственном производстве равны 150000 + 120х руб.
Затраты при покупке деталей равны 140х руб. Приравня-
ем затраты по обоим вариантам: 150000 4- 120х = 140х.
Тогда х — 7500 деталей. При годовой потребности не более
7500 деталей выгодно их закупать. При годовой потребнос-
ти свыше 7500 деталей выгодно собственное производство.
Задача 150. Для ремонта техники требуются соответст-
вующие детали. При их изготовлении собственными сила-
ми постоянные затраты на содержание оборудования соста-
вят 140000 руб./год, а переменные расходы на единицу
продукции — 125 руб./ед. Готовые детали можно в неогра-
ниченном количестве приобрести по цене 145 руб./ед. Оп-
ределить наименее затратный вариант.
211
Глава 48
МАРЖИНАЛЬНЫЙ ДОХОД
При принятии многих решений, рассчитанных на ртноси-
тельно ограниченный период времени, постоянные затраты
не могут измениться и поэтому исключаются из рассмотре-
ния. При маржинальном анализе нас интересуют только те
затраты и доходы, которые изменяются в зависимости от
принятого краткосрочного решения.
Маржинальный доход определяется по следующей фор-
муле:
маржинальный _ доход от дополнительной __ затраты на дополнительную
доход единицы продукции единицу продукции
Пример 151. Доход от дополнительной единицы про-
дукции равен 150 руб., а затраты на дополнительную еди-
ницу продукции — 120 руб. Определим маржинальный до-
ход.
Маржинальный доход = доход от дополнительной еди-
ницы продукции — затраты на дополнительную единицу
продукции “ 150 — 120 = 30 руб.
Задача 151. Доход от дополнительной единицы про-
дукции равен 240 руб., а затраты на дополнительную еди-
ницу продукции — 230 руб. Определить маржинальный до-
ход.
Иногда недостаток любого необходимого фактора произ-
водства (рабочей силы, сырья, оборудования, площадей и т.
д.) ограничивает объем продаж. Наиболее прибыльное соче-
тание видов продукции достигается при максимальном мар-
жинальном доходе на единицу дефицитного фактора.
Пример 152. Цена продажи единицы продуктов А и В
равна соответственно 160 руб. и 140 руб., а переменные за-
траты на единицу продуктов А и В — соответственно 150
руб. и 120 руб. Затраты машинного времени на единицу
продуктов А и В равны соответственно 5 ч и 4 ч. Общий
ресурс машинного времени ограничен. Определим порядок
приоритетности в производстве продуктов А и В.
212
Маржинальный доход продукта А равен 160 — 150 = 10
руб. Маржинальный доход продукта В равен 140 — 120 =
= 20 руб.
Маржинальный доход на машино-час для продукта А
равен 10/5 = 2 руб. Маржинальный доход на машино-час
для продукта В составляет 20/4 = 5 руб.
Так как маржинальный доход на машино-час для про-
дукта В больше (5 руб. > 2 руб.), то сначала машинное вре-
мя следует потратить на производство продукта В.
Задача 152. Цена продажи единицы продуктов А и. В
равна соответственно 250 руб. и 230 руб., а переменные за-
траты на единицу продуктов А и В — соответственно 220
руб. и 210 руб. Затраты машинного времени на единицу
продуктов А и В равны соответственно 6 ч и 5 ч. Общий
ресурс машинного времени ограничен. Определить порядок
приоритетности в производстве продуктов А и В.
213
(лава 49
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ
ДОБАВЛЕННАЯ СТОИМОСТЬ
Метод расчета экономической добавленной стоимости был
разработан американской фирмой Stern Stewart. Показатель
экономической добавленной стоимости отражает тот факт,
что предприятие должно получать прибыль в размере, пре-
вышающем требуемые инвесторами ставки прибыли.
Экономическая добавленная стоимость определяется по
следующей формуле:
экономическая
добавленная
стоимость
чистая операционная
прибыль после
уплаты налогов
требуемая
инвесторами
ставка прибыли
инвести-
рованный
капитал
Положительное значение экономической добавленной
стоимости говорит о том, что предприятие увеличило благо-
состояние своих акционеров.
Пример 153. Чистая операционная прибыль после уп-
латы налогов равна 100000 руб. Требуемая инвесторами
ставка прибыли составляет 10%, а инвестированный капи-
тал — 600000 руб. Определим экономическую добавленную
стоимость.
Экономическая добавленная стоимость = чистая опера-
ционная прибыль после уплаты налогов — (требуемая инве-
сторами ставка прибыли)*(инвестированный капитал) =
= 100000 — 0,1x600000 = 40000 руб. > 0. Предприятие уве-
личило благосостояние своих акционеров.
Задача 153. Чистая операционная прибыль после уп-
латы налогов равна 150000 руб. Требуемая инвесторами
ставка прибыли составляет 12%, а инвестированный капи-
тал — 750000 руб. Определить экономическую добавлен-
ную стоимость.
Для увеличения показатель экономической добавленной
стоимости менеджеры предприятия могут попытаться:
увеличить чистую операционную прибыль после упла-
ты налогов, подняв объем продаж и урезав затраты;
214
О эффективно использовать инвестированный капитал
(продажа активов, не приносящих адекватных доходов, и ин-
вестирование средств в активы, которые приведут к увеличе-
нию чистой операционной прибыли после уплаты налогов);
О снизить необходимые ставки прибыли для инвесторов
(изменение структуры капитала в пользу заемного капита-
ла, обслуживание которого, как правило, дешевле, чем ак-
ционерного капитала; но эта стратегия может создать опре-
деленные проблемы).
215
[лава 50
МНОГОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ
При анализе безубыточности мы исходили из условия, что
предприятие производит только один продукт. Но как быть
в случае, когда предприятие производит несколько продук-
тов? Здесь на помощь приходит многопродуктовая модель.
§ 50.1. ТОЧКИ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ ПРОДУКТОВ
Пусть предприятие производит п продуктов. Известна струк-
тура ассортимента продукции, то есть доли выпуска каждо-
го продукта в суммарном объеме реализации.
Удельная прибыль i-го продукта определяется по следу-
ющей формуле:
удельная прибыль цена реализации единицы переменные затраты
i-ro продукта i-ro продукта на единицу I-го продукта
Суммарная удельная прибыль определяется по следую-
щей формуле:
суммарная удельная прибыль п = 2 i»l доля выпуска i-го продукта в суммарном объеме реализации X удельная прибыль I-го продукта
Суммарная точка безубыточности определяется по сле-
дующей формуле:
суммарная точка постоянные суммарная
безубыточности затраты • удельная прибыль
Точка безубыточности i-го продукта определяется по
следующей формуле:
точка безубыточнос- доля выпуска i-ro продукта суммарная точка
ти i-ro продукта в суммарном объеме реализации безубыточности
Пример 154. Предприятие производит продукты А и В.
Доли выпуска продуктов А и В в суммарном объеме реали-
зации равны соответственно 0,625 и 0,375. Постоянные за-
траты за год составят 400000 руб. Цена реализации едини-
216
цы продуктов АиВ равна соответственно 72 руб. и 36 руб.,
а переменные затраты на единицу продуктов А и В —
18 руб. и 12 руб. соответственно. Определим точки безубы-
точности продуктов.
Удельная прибыль продукта А = цена реализации еди-
ницы продукта А — переменные затраты на единицу про-
дукта А = 72 — 18 = 54 руб.
Удельная прибыль продукта В = цена реализации еди-
ницы продукта В — переменные затраты на единицу про-
дукта В = 36 — 12 = 24 руб.
Тогда суммарная удельная прибыль = (доля выпуска про-
дукта А в суммарном объеме реализации) х (удельная при-
быль продукта А) + (доля выпуска продукта В в суммарном
объеме реализации) х (удельная прибыль продукта В) =
= 0,625x54 + 0,375x24 = 42,75 руб./единицу.
Отсюда суммарная точка безубыточности = (постоянные
затраты)/(суммарная удельная прибыль) = 400000/42,75 =
* 9357 единиц.
Точка безубыточности продукта А = (доля выпуска про-
дукта А в суммарном объеме реализации) х (суммарная точ-
ка безубыточности) = 0,625x9357 ~ 5848 единиц.
Точка безубыточности продукта В == (доля выпуска про-
дукта В в суммарном объеме реализации) х(суммарная точ-
ка безубыточности) = 0,375x9357 « 3509 единиц.
Задача 154. Предприятие производит продукты А и В.
Доли выпуска продуктов А и В в суммарном объеме реали-
зации равны соответственно 0,6 и 0,4. Постоянные затраты
за год составят 500000 руб. Цена реализации единицы про-
дуктов А и В равна соответственно 80 руб. и 70 руб., а пе-
ременные затраты на единицу продуктов А и В — 30 руб.
и 20 руб. соответственно. Определить точки безубыточнос-
ти продуктов.
§ 50.2. ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИБЫЛИ ИЛИ УБЫТКА
Зная объем реализации и точку безубыточности каждого
продукта, можно определить возможное значение прибыли
или убытка предприятия по следующей формуле:
возможное
значение прибы-
ли или убытка
объем
реализации
i-го продукта
точка
безубыточности
i-го продукта
удельная
прибыль
i-го продукта
Пример 155. Объем реализации продуктов А и В пред-
приятия из примера 154 равен соответственно 6000 и 3600
единиц. Определим возможное значение прибыли или
убытка.
217
Возможное значение прибыли или убытка = (объем реа-
лизации продукта А — точка безубыточности продукта А)х
х (удельная прибыль продукта А) + (объем реализации про-
дукта В — точка безубыточности продукта В) х(удельная
прибыль продукта В) = (6000 — 5848)*54 4- (3600 — 3509)х
х24 = 10392 руб. > 0. Это возможное значение прибыли.
Задача 155. Объем реализации продуктов А и В пред-
приятия из задачи 155 равен соответственно 5100 и 3400
единиц. Определить возможное значение прибыли или
убытка.
218
Глава 51
ЗАТРАТЫ КОМПЛЕКСНЫХ
ПРОИЗВОДСТВ
Затраты комплексных производств — это затраты, связан-
ные с единым технологическим процессом, в ходе которого
производятся несколько совместных продуктов.
Совместные продукты — это продукты, которые имеют
значительную рыночную стоимость и не существуют как ин-
дивидуальные продукты до точки раздела. Побочные про-
дукты — это продукты, которые имеют незначительную ры-
ночную стоимость по сравнению с основными продуктами и
слиты с ними до точки раздела.
Точка раздела — это точка в технологическом процессе,
где совместные и побочные продукты становятся индивиду-
ально идентифицированными. Любые затраты после точки
раздела становятся прямыми.
Пример 156. Молочный завод — это пример комплекс-
ного производства. Молоко, сливки, масло — это готовая
продукция после точки раздела.
Задача 156. Привести пример комплексного производ-
ства. Какая готовая продукция производится после точки
раздела в вашем примере?
Существуют несколько методов распределения затрат
комплексных производств.
§ 51.1. МЕТОД СТОИМОСТИ В ТОЧКЕ РАЗДЕЛА
В методе стоимости в точке раздела предполагается, что
совместная продукция считается готовой в точке раздела и
не требует дальнейшей доработки.
Пример 157. Предприятие производит из одного сырья
продукты А и В. Комплексные затраты перед точкой раз-
дела составили 50000 руб. Продукты А и В продаются без
дополнительной дальнейшей обработки. Реализовано 800 л
продукта А по цене 100 руб./л и 400 л продукта В по цене
219
50 руб./л. Распределим затраты методом стоимости в точке
раздела.
Объем продаж продукта А в точке раздела равен
800x100 = 80000 руб. Объем продаж продукта В в точке
раздела равен 400x50 = 20000 руб.
Тогда суммарный объем продаж в точке раздела = объ-
ем продаж продукта А в точке раздела 4- объем продаж про-
дукта В в точке раздела = 80000 + 20000 = 100000 руб.
Доля продукта А в суммарном объеме продаж в точке
раздела составляет 80000/100000 = 0,8. Поэтому на продукт
А распределяются затраты в сумме 0,8x50000 = 40000 руб.
Доля продукта В в суммарном объеме продаж в точке
раздела составляет 20000/100000 = 0,2. Поэтому на продукт
В распределяются затраты в сумме 0,2x50000 = 10000 руб.
Задача 157. Предприятие производит из одного сырья
продукты А и В. Комплексные затраты перед точкой раз-
дела составили 40000 руб. Продукты А и В продаются без
дополнительной дальнейшей обработки. Реализовано 700 л
продукта А по цене 90 руб./л и 500 л продукта В по цене
60 руб./л. Распределить затраты методом стоимости в точ-
ке раздела.
§ 51.2. МЕТОД НАТУРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
В методе натуральных показателей предполагается, что
совместная продукция считается готовой в точке раздела и
не требует дальнейшей доработки.
Пример 158. Распределим затраты в примере 157 мето-
дом натуральных показателей.
Общий объем производства равен 800 + 400 = 1200 л.
Доля продукта А в общем объеме производства состав-
ляет 800/1200 « 0,667. Поэтому на продукт А распределя-
ются затраты в сумме 0,667x50000 = 33350 руб.
Доля продукта В в общем объеме производства состав-
ляет 400/1200 « 0,333. Поэтому на продукт В распределя-
ются затраты в сумме 0,333x50000 = 16650 руб.
Задача 158. Распределить затраты в задаче 157 мето-
дом натуральных показателей.
§ 51.3. МЕТОД ЧИСТОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
В методе чистой реализации предполагается, что совмест-
ная продукция после точки раздела требует дальнейшей до-
работки.
220
Пример 159. В примере 157 продукты АиВ после точ-
ки раздела подвергаются дальнейшей обработке. Продукт
А перерабатывается в продукт Aj (дополнительные затра-
ты 20000 руб.). Продукт В перерабатывается в продукт Bj
(дополнительные затраты 10000 руб.). Реализовано 800 л
продукта Aj по цене 150 руб./л и 400 л продукта Bi по це-
не 70 руб./л. Распределим затраты методом чистой реали-
зации.
Ожидаемый объем продаж продукта Ai равен 800x150 =
= 120000 руб.
Ожидаемый объем продаж продукта В^ равен 400x70 =
= 28000 руб.
Тогда суммарный ожидаемый объем продаж = ожидае-
мый объем продаж продукта Aj + ожидаемый объем про-
даж продукта Bi = 120000 + 28000 = 148000 руб.
Чистая стоимость продукта А в точке раздела = ожи-
даемый объем продаж продукта Aj — дополнительные за-
траты на производство продукта Aj = 120000 — 20000 =
= 100000 руб.
Чистая стоимость продукта В в точке раздела = ожидае-
мый объем продаж продукта Bj — дополнительные затраты
на производство продукта В^ = 28000 — 10000 = 18000 руб.
Тогда суммарная чистая стоимость продуктов А и В в
точке раздела = чистая стоимость продукта А в точке раз-
дела 4- чистая стоимость продукта В в точке раздела =
= 100000 + 18000 = 118000 руб.
Доля продукта А в суммарной чистой стоимости про-
дуктов в точке раздела составляет 100000/118000 ~ 0,847.
Поэтому на продукт А распределяются затраты в сумме
0,847x50000 = 42350 руб.
Доля продукта В в суммарной чистой стоимости про-
дуктов в точке раздела составляет 18000/118000 » 0,153.
Поэтому на продукт В распределяются затраты в сумме
0,153x50000 = 7650 руб.
Задача 159. В задаче 157 продукты АиВ после точ-
ки раздела подвергаются дальнейшей обработке. Продукт
А перерабатывается в продукт Aj (дополнительные затра-
ты 15000 руб.). Продукт В перерабатывается в продукт
Bi (дополнительные затраты 12000 руб.). Реализовано
700 л продукта по цене 140 руб./л и 400 л продукта по
цене 100 руб./л. Распределить затраты методом чистой
реализации.
Метод чистой реализации достаточно прост и не зависит
от последующих решений руководства предприятия о про-
должении технологического процесса после точки раздела.
221
§ 51.4. МЕТОД ПОСТОЯННОГО ПРОЦЕНТА
ВАЛОВОЙ ПРИБЫЛИ
В методе постоянного процента валовой прибыли затраты
комплексного производства распределяются так, чтобы об-
щий процент валовой прибыли был одинаков для каждого
вида продукции.
Пример 160. В примере 159 распределим затраты ме-
тодом постоянного процента валовой прибыли.
Суммарные затраты = комплексные затраты 4- дополни-
тельные затраты на производство продукта Aj 4- дополни-
тельные затраты на производство продукта Bj = 50000 4-
4- 20000 4- 10000 = 80000 руб.
Тогда валовая прибыль = суммарный ожидаемый объем
продаж — суммарные затраты = 148000 — 80000 = 68000
руб.
Отсюда процент валовой прибыли - (валовая при-
быль)/(суммарный ожидаемый объем продаж) =
== 68000/148000 « 0,459.
Себестоимость продукта = (ожидаемый объем про-
даж продукта Ai)x(l - процент валовой прибыли) =
= 120000х(1 — 0,459) = 64920 руб. Тогда распределенные
на продукт затраты комплексного производства = себес-
тоимость продукта Ai — дополнительные затраты на произ-
водство продукта = 64920 — 20000 = 44920 руб.
Себестоимость продукта Bj = (ожидаемый объем про-
даж продукта Bi)x(l — процент валовой прибыли) =
= 28000х(1 — 0,459) = 15148 руб. Тогда распределенные на
продукт ВГ затраты комплексного производства = себесто-
имость продукта Bi — дополнительные затраты на произ-
водство продукта = 15148 — 10000 = 5148 руб.
Мы видим, что из-за ошибок округления 44920 + 5148 ¥=
* 50000.
Задача 160. В задаче 159 распределить затраты мето-
дом постоянного процента валовой прибыли.
222
Глава 52
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Программирование — это процесс распределения ресурсов.
Математическое программирование — это использование
математических методов и моделей для решения проблем
программирования. Если цель исследования и ограничения
на ресурсы можно выразить количественно в виде линейных
взаимосвязей между переменными, то соответствующий раз-
дел математического программирования называется линей-
ным программированием.
Для решения задач линейного программирования разра-
ботаны специальные методы: геометрический и симплекс-
метод (метод модифицированных жордановых исключе-
ний).* Мы рассмотрим решение задач линейного програм-
мирования с помощью пакета Excel.
§ 52.1. ЗАДАЧА ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РЕСУРСОВ
Пример 161. Предприятие производит два вида продук-
ции X и У. 1 кг X приносит прибыль 5 рублей, требует 2
кг ресурса А и 3 кг ресурса В. 1 кг У приносит прибыль 10
рублей, требует 7 кг ресурса А и 9 кг ресурса В. Суммар-
ный запас ресурсов 70 кг (А) и 50 кг (В). При каком объе-
ме производства прибыль будет максимальна?
Пусть предприятие производит х кг продукции X и
у кг продукции У. Тогда общая прибыль F = 5хх 4- 10ху
(целевая функция). Мы хотим найти максимум целевой
функции при ограничениях 2*х 4- 7xz/ < 70 (ресурс А) и
Зхх 4- 9xz/ < 50 (ресурс В). Конечно, х, у > 0. Получаем
задачу линейного программирования: F=5xx4-10xi/-* max
при ограничениях:
2х 4- 1у < 70,
- Зх 4- 9у < 50,
X, у > 0.
* Для интересующихся этим вопросом автор рекомендует свою книгу:
Просветов Г. И. Математические методы в экономике. 2-е изд. — М.: Из-
дательство РДЛ, 2005.
223
В Excel существует надстройка Поиск решения (Solver),
которая, в частности, помогает решать задачи линейного
программирования. Нужно воспользоваться меню Сервис ->
Поиск решения. Если в меню Сервис отсутствует команда
Поиск решения, необходимо выполнить команду Сервис -»
Надстройки. Найти элемент Поиск решения и поставить
«галочку» рядом с ним. Если в окне Надстройки нет эле-
мента Поиск решения, то необходимо доустановить Excel.
А В
1 Переменные
2 X 0
3 У 0
4 Целевая функция
5 5х + Юг/ =5*В2+10*ВЗ
6 Ограничения
7 2х + 7у =2*В2+7*ВЗ
8 Зх + 9 у =3*В2+9*ВЗ
Вводим эти формулы. Выделяем ячейку В5, в которой
вычисляется целевая функция. Вызываем Сервис -> Поиск
решения. В диалоговом окне в поле ввода Установить целе-
вую ячейку уже содержится $В$5. Установим переключа-
тель Равной максимальному значению. Щелкнем кнопку
Предложить, и в поле ввода Изменяя ячейки появится
$В$2:$В$3. Щелкнем кнопку Добавить. Появится диалого-
вое окно Добавление ограничения. В поле ввода Ссылка на
ячейку укажем $В$7. Правее в выпадающем списке с ус-
ловными операторами выберем <= (есть условный оператор
ЦЕЛ, что позволяет решать задачи целочисленного програм-
мирования). В поле ввода Ограничение введем 70. Щелкнем
кнопку Добавить и введем другие ограничения. ОК.
Мы окажемся в диалоговом окне и увидим введенные
ограничения. С помощью кнопок Изменить и Удалить мы
можем изменить и удалить ограничение. Щелкнем кнопку
Параметры. Установим два флажка: Линейная модель и
Неотрицательные значения. ОК. Выполнить. В ячейке
В5 указано 83,33. Это максимальная прибыль. В ячейках
В2:ВЗ указаны значения оптимального плана производст-
ва: х ~ 16,67 и у = 0.
Задача 161. Предприятие производит два вида продук-
ции X и У. 1 кг X приносит прибыль 3 рубля, требует 4 кг
ресурса А и 2 кг ресурса В. 1 кг У приносит прибыль 7 руб-
лей, требует 9 кг ресурса А и 5 кг ресурса В. Суммарный
запас ресурсов 80 кг (А) и 72 кг (В). При каком объеме
производства прибыль будет максимальна?
224
ОТВЕТЫ
1.140000 руб. и 100000 руб. 2. 4100 руб. 3. 3975 руб. 4.
4047,5 руб. 5.9575 руб., 9450 руб. и 9522,5 руб. в. 5000 руб.
7. Норма амортизации 0,286.
Год Начисление на износ, руб. Балансовая стоимость на конец года, руб.
1 7722 19278
2 5513,51 13764,49
3 3936,64 9827,85
4 2810,76 7017,09
Год Начисление на износ, руб. Балансовая стоимость на конец года, руб.
1 10800 16200
2 8100 8100
3 5400 2700
4 2700 0
9. 30000 руб. 10. 15000 руб. 11. 3,18. 12. 0,90. 13. 0,29. 14.
3. 15.128 дней. 16.91 день. 17.40%, 56% и 127%. 18.36%.
25. 25 руб. 29. 80000 руб. и 122000 руб.; 207500 руб. и
(22500 руб.). 30.64,46 руб./ед. и 79,28 руб./ед. 31. 71,47
руб./ед. и 64,37 руб./ед. 32. 64,42 руб./ед. и 79,37 руб./ед.
33.300 руб. 34.600 руб. 35. -100 руб. Зв. -120 руб. 37. -450
руб. 38. —50 руб. 39. —3000 руб. 40.3200 руб. 41. —5000 руб.
42. 2000 руб. 43.1000 руб. 44. 7350 руб. 45. 2 года. 46. 20%
годовых. 47. 5581,4 руб. 48. 3533,33 руб., 3561,11 руб.,
3539,73 руб. 49. 9317 руб. 50.1,9 лет. 51. 15,5% годовых.
52.3945,1 руб. 53.-4 и 2. 54.0,5 и 0,9. 55. 10976,75 руб.
56.8584,61 руб. 58.4127,52 руб. 59.4705,37 руб. 60.2785,96
руб. 61. 3175,99 руб. 62. 14224,33 руб. 63. 12477,49 руб.
64. 21015,92 руб. 65.18274,71 руб. 66.4,05 и 3,65. 67. 5,1 и
4,45. 68.26% и 16%. 69.2000 руб. 70.4673,86 руб. 71.28,6%.
72.18,9%. 73.20,6%. 74.10%. 75.4,5%, 9,1% и 13,6%.
76. 3750 руб. 77. 5%. 78.472,5 руб. 79.15000 руб. 80.16%.
81. 20166,34 руб. 82.1,5. 83. 0,28. 85. ROSF 0,833 и 0,573.
ROCE 0,619 и 0,447. Гиринг 1,346 и 1,282. Чистая маржа
0,341 и 0,262. Валовая маржа 0,463 и 0,429. Коэффициент
оборачиваемости активов 1,814 и 1,707. Коэффициент теку-
щей ликвидности 1,308 и 1,393. Коэффициент срочной лик-
видности 0,846 и 0,786. Коэффициент оборачиваемости за-
пасов 9,167 и 7,059. 86. Заказать исследование. При благо-
приятном прогнозе — открыть большой магазин, при небла-
225
гоприятном прогнозе — открыть маленький магазин. 22,92
млн. руб. 87» Нужно строить большой завод. 272,5 тысяч
долларов. 88-92. Возможные решения: 1 (максимин), 3 (ми-
нимакс, правило максимальной вероятности, максимизация
ожидаемого дохода), 4 (максимакс, критерий Гурвица при
а = 0,4 и Ь = 0,6). 8 руб./день. 93. Средняя прибыль выше в
инвестиции 1, но и риск там выше. 94.14,3 тыс. руб. и 17,7
тыс. руб. 95.123 тыс. руб. и 71,6 тыс. руб. 98.15,3 тыс. руб.
97. 17,2 тыс. руб. 98. Константу сглаживания нужно изме-
нить. 99.11 единиц; 7 единиц; 2830 руб.; 36 циклов; 7 дней.
100.462 единицы; 6928 руб.; 17,3 цикла; 21 день. 101.90
единиц. 102. 734 единицы; 5966 руб.; 14,9 цикла; 24,5 дня.
103. Лучше модель с дефицитом. 104. Лучше модель с дефи-
цитом. 105. 29 единиц; 5 единиц; 503 руб. 108. 29 единиц; 5
единиц; 495 руб. 107. 62 дня.
108. Кассовая консолидированная смета на период с января
по июнь (руб.)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Баланс на начало месяца 0 49300 39800 44450 48600 56650
Инвестиции капи- тала 270000
Поступления на- личных денежных средств
Выручка от про- даж 27300 23100 30450 33600 40950 34650
Поступления от должников 0 27300 23100 30450 33600 40950
Выплаты наличными
Оплата кредитор- ской задолженности 0 31900 20900 31900 38500 45100
Зарплата 22000 22000 22000 22000 22000 22000
Реклама 6000 6000 6000 6000 6000 6000
Аренда 175000
Оборудование 45000
Баланс на конец месяца 49300 39800 44450 48600 56650 59150
226
109, Суммарная смета запасов за январь—июнь (руб.)
Запас на начало периода 0
+ Производство (по себестоимости) 207900
— Продажи (по себестоимости) 199100
= Запас на конец периода 8800
Суммарная смета дебиторской задолженности за январь-
июнь (руб.)
Дебиторская задолженность на начало периода 0
+ Продажа в кредит 190050
- Поступления от должников 155400
= Дебиторская задолженность на конец периода 34650
Суммарная смета кредиторской задолженности за январь-
июнь (руб.)
Кредиторская задолженность на начало периода 0
+ Закупки в кредит 207900
— Оплата кредиторской задолженности 168300
= Кредиторская задолженность на конец периода 39600
110. Сметный отчет о прибылях и убытках за январь-июнь
(руб.)
Объем продаж 380100
Себестоимость проданной продукции 199100
Валовая прибыль 181000
Расходы
Зарплата 132000
Реклама 36000
Амортизация 11000
179000
Чистая прибыль 2000
Изъятие капитала 0
Нераспределенная прибыль 2000
227
111. Сметный баланс на конец июня (руб.)
Себе- стоимость Начисления на износ Остаточная стоимость
Внеоборотные активы
Здания 175000 8750 166250
Оборудование 45000 2250 42750
209000
Оборотные активы
Запасы 8800
Дебиторская задолженность 34650
Касса и счет в банке 59150
102600
Краткосрочная кредиторская задолженность 39600
39600
Чистые оборотные активы 63000
Суммарные чистые активы 272000
Долгосрочная кредиторская за- долженность
Долгосрочная банковская ссуда 110000
162000
Собственный капитал владельцев 160000
Нераспределенная прибыль 2000
162000
Отклонение, руб.
Объем продаж 10000
— Себестоимость проданной продукции (5000)
= Валовая прибыль 5000
— Расходы 5000
« Чистая прибыль 10000
Доля от объ- ема продаж, % (смета) Доля от объ- ема продаж, % (факт)
Объем продаж 100,0 100,0
- Себестоимость проданной продукции 61,3 60,9
— Валовая прибыль 38,7 39,1
- Расходы 19,4 17,1
= Чистая прибыль 19,3 22
228
114. 1600 единиц. 115. 10000 руб. 11в. а) 1200 единиц,
б) 1000 единиц, в) 2000 единиц. 117.-19,4%. 118.-9,1%.
119. 2%. 125.0,04 млн. руб.; -0,05 млн. руб.; проект А.
126.10%. 127.1,7 лет; 2,375 лет. 128.20%; 13,6%. 129.37,9
тыс. руб. 130. а) балансовые скидки 28000 руб.; б) балансо-
вые скидки 48000 руб. 131. Проект А предпочтительнее.
132. Следует оставить старое оборудование. 133. 26,8%.
134. 11,4%. 135. 1,37 млн. руб. 136. Выгоднее лизинг.
137. Проект С будет профинансирован полностью, а проект
А — лишь частично на 1,4 млн. руб. 138. 0,466 млн. руб.;
0,599 млн. руб. 139.6,6% годовых. 140. 16%. 141. 13,14%
годовых. 142. 10,6%. 143. Среднеквадратические отклоне-
ния 1,21 тыс. руб. и 1,37 тыс. руб. Коэффициенты вариации
0,096 и 0,116. Коэффициент корреляции 0,762. 144.11,4 ч.
145. 12,2 ч. 146. 85,3%. 147. 2,29. 148. 0,73. 149. 0,065;
0,040; 0,943. Взаимозаменяемые. Увеличивается. 150. При
годовой потребности не более 7000 деталей выгодно их по-
купать. При годовой потребности свыше 7000 деталей вы-
годно собственное производство. 151.10 руб. 152. Сначала А.
153. 60000 руб. 154. 6000 ед. (А), 4000 ед. (В). 155. Убыток
75000 руб. 157. 22320 руб. (А), 17680 руб. (В). 158. 23320
руб. (А), 16680 руб. (В). 159. 27440 руб. (А), 12560 руб. (В).
160. 29394 руб. (Ах), 10650 руб. (ВО. 161. х « 0; у 8,89;
F « 62,22.
229
ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ»
1. Зачем нужен управленческий учет?
2. Основные понятия, используемые при составлении финан-
совой отчетности. Бухгалтерский баланс. Активы. Материальные
и нематериальные активы. Внеоборотные и оборотные активы.
Дебиторская задолженность. Пассивы. Краткосрочные и долго-
срочные обязательства. Собственный капитал. Уравнение бухгал-
терского баланса. Нераспределенная прибыль. Отчет о движении
денежных средств. Поступления и платежи. Сальдо на начало пе-
риода. Сальдо на конец периода. Расчет движения денежных
средств. Счет прибылей и убытков.
3. Расчет прибыли. Объем продаж. Себестоимость проданной
продукции. Валовая прибыль. Расходы. Чистая прибыль.
4. Оценка запасов товарно-материальных ценностей. Метод
оценки запасов ФИФО.
5. Метод оценки запасов ЛИФО.
6. Метод оценки запасов по средневзвешенной.
7. Влияние различных методов оценки запасов на расчет при-
были.
8. Амортизация. Метод равномерного начисления износа. Еже-
годное начисление на износ. Балансовая стоимость актива на ко-
нец года.
9. Метод начисления износа с сокращающейся балансовой сто-
имости. Норма амортизации. Ежегодное начисление на износ. Ба-
лансовая стоимость актива на конец года.
10. Метод суммы годичных чисел. Ежегодное начисление на
износ. Балансовая стоимость актива на конец года. Сравнение ме-
тодов начисления амортизации.
11. Расчет дебиторской задолженности на конец отчетного пе-
риода.
12. Расчет кредиторской задолженности на конец отчетного
периода.
13. Анализ результатов деятельности предприятия. Интерпре-
тация документов финансовой отчетности. Суть анализа финансо-
вых коэффициентов. Эффективность использования ресурсов. Ко-
эффициент оборачиваемости активов.
14. Ликвидность. Коэффициент текущей ликвидности. Коэф-
фициент срочной ликвидности.
230
15. Влияние хозяйственных операций на уровень ликвиднос-
ти. Коэффициент оборачиваемости запасов. Период оборачиваемо-
сти дебиторской задолженности. Период оборачиваемости креди-
торской задолженности.
16. Рентабельность. Чистая маржа. Валовая маржа. Наценка.
17. Оценка финансовых результатов деятельности предприя-
тия. Коэффициент рентабельности чистых активов, его связь с
коэффициентом оборачиваемости активов и чистой маржой.
18. Затраты. Учет затрат. Накладные расходы. Центры затрат.
Центры прибыли. Нормативные и фактические затраты.
19. Факторы производства и затраты. Постоянные и перемен-
ные факторы производства. Классификация затрат. Постоянные,
переменные и полупеременные затраты. Совокупные затраты.
Средние затраты на единицу проданной продукции. Эффект мас-
штаба. Специализация. Отрицательный эффект масштаба.
20. Структура капитала. Гиринг (леверидж).
21. Влияние гиринга (левериджа) на прибыль акционеров. Ко-
эффициент рентабельности акционерного капитала.
22. Связь между коэффициентом рентабельности акционерно-
го капитала, гирингом и коэффициентом рентабельности чистых
активов.
23. Анализ каналов формирования прибыли. Дерево прибыли.
24. Функциональная калькуляция себестоимости (система
АВС). Сравнение традиционной и функциональной систем каль-
куляция себестоимости. Виды деятельности. Факторы издержек,
зависящие от объема производства. Факторы издержек, не зави-
сящие от объема производства.
25. Расчет себестоимости с помощью традиционной системы
учета затрат.
26. Расчет себестоимости с помощью функциональной систе-
мы учета затрат.
27. Анализ отклонений. Отклонения по материалам. Отклоне-
ние по цене материала. Отклонение по использованию материала.
Общее отклонение по затратам на материал.
28. Отклонение по трудозатратам. Отклонение по ставке зара-
ботной платы. Отклонение по производительности труда. Общее
отклонение по трудозатратам.
29. Переменные производственные накладные расходы. Откло-
нение переменных накладных расходов по трудозатратам.
30. Отклонение переменных накладных расходов по эффектив-
ности. Общее отклонение по переменным накладным расходам.
31. Отклонение по постоянным накладным расходам.
32. Основные понятия финансовой математики. Проценты,
процентная ставка, первоначальная и наращенная суммы, период
начисления, интервал начисления, декурсивный и антисипатив-
ный способы начисления процентов, ссудный процент, учетная
ставка, простые и сложные проценты.
231
33. Простые ставки ссудных процентов. Нахождение наращен-
ной суммы. Математическое дисконтирование.
34. Английская, немецкая и французская практики начисле-
ния процентов.
35. Сложные ставки ссудных процентов. Нахождение нара-
щенной суммы. Математическое дисконтирование. Случай, когда
период начисления не является целым числом. Целая и дробная
части числа.
36. Начисление сложных процентов несколько раз в году. Но-
минальная процентная ставка.
37. Модели финансовых потоков. Основные понятия: аннуи-
тет (финансовая рента), величина отдельного платежа, срок рен-
ты, интервал ренты, постоянная и переменная ренты, ренты по-
стнумерандо и пренумерандо, процентная ставка. Наращенная
(будущая) сумма ренты, современная (приведенная) стоимость
ренты. Виды рент (верные и условные, отложенные, простые и
общие).
38. Нахождение наращенной суммы для простой ренты пост-
нумерандо.
39. Нахождение наращенной суммы для простой ренты прену-
мерандо.
40. Определение современной стоимости для простой ренты.
41. Определение величины отдельного платежа для простой
ренты.
42. Определение срока простой ренты.
43. Определение процентной ставки для простой ренты.
44. Простая бессрочная рента.
45. Облигации. Основные определения (эмитент, номинальная
(нарицательная) стоимость облигации, срок погашения, дата по-
гашения, отзывные облигации, купонная процентная ставка, об-
лигации нового выпуска, обращающиеся облигации).
46. Основной метод оценки стоимости облигаций.
47. Норма прибыли облигации. Текущая доходность за пери-
од. Доходность за счет изменения цены за период.
48. Доходность облигации при погашении в конце срока. Ме-
тод средних. Общая сумма выплат по облигации. Общая прибыль.
Средняя прибыль за один период. Средняя стоимость облигации.
49. Нахождение доходности облигации при погашении в кон-
це срока методом интерполяции. Доходность отзывных облига-
ций. Цена отзыва облигации.
50. Акции. Акционерное общество, акционеры. Привилегиро-
ванные акции. Доходность привилегированной акции.
51. Обыкновенные акции. Ожидаемая дивидендная доход-
ность. Ожидаемая доходность за счет изменения курса акции.
Ожидаемая доходность акции.
52. Оценка стоимости акций. Теоретическая (внутренняя) це-
на акции.
232
53. Акции нулевого роста. Теоретическая (внутренняя) цена
акции нулевого роста. Норма прибыли (доходность) акции нуле-
вого роста.
54. Акции нормального роста. Теоретическая (внутренняя) це-
на акции нормального роста. Дивидендная доходность акции нор-
мального роста. Доходность за счет изменения курса акции нор-
мального роста. Норма прибыли (доходность) акции нормального
роста.
55. Предприятия избыточного роста. Акции избыточного рос-
та. Теоретическая (внутренняя) цена акции избыточного роста.
56. Принятие решений, дерево решений, ожидаемая стоимост-
ная оценка.
57. Максимаксное и максиминное решения.
58. Минимаксное решение.
59. Критерий Гурвица.
60. Правило максимальной вероятности.
61. Максимизация ожидаемого дохода. Минимизация ожидае-
мых потерь.
62. Ожидаемая стоимость полной информации.
63. Применение математического ожидания и стандартного от-
клонения для оценки риска.
64. Временные ряды. Элементы временного ряда (тренд, се-
зонная вариация, ошибки MAD и MSE).
65. Расчет сезонной вариации в аддитивной модели. Центри-
рованная скользящая средняя.
66. Десезонализация данных в аддитивной модели.
67. Расчет уравнения тренда в аддитивной модели.
68. Расчет ошибок в аддитивной модели.
69. Прогнозирование в аддитивной модели.
70. Расчет сезонной вариации в мультипликативной модели.
Центрированная скользящая средняя.
71. Десезонализация данных в мультипликативной модели.
72. Расчет уравнения тренда в мультипликативной модели.
73. Расчет ошибок в мультипликативной модели.
74. Прогнозирование в мультипликативной модели.
75. Экспоненциальное сглаживание. Простая модель экспонен-
циального сглаживания. Константа сглаживания.
76. Экспоненциальное сглаживание с поправкой на тренд. Кон-
станта сглаживания.
77. Контролируемый прогноз. Трекинг-сигнал. Итоговая сум-
ма ошибок. Среднее абсолютное отклонение. Верхняя и нижняя
границы контроля. Жесткий контроль. Слабый контроль.
78. Основные понятия теории управления запасами.
79. Основная модель управления запасами. Оптимальный раз-
мер заказа.
80. Модель экономичного размера партии.
81. Скидка на количество. Уровень, нарушающий цену.
233
82. Модель производства партии продукции.
83. Модель планирования дефицита. Случай невыполнения за-
явок.
84. Модель планирования дефицита. Случай выполнения за-
явок.
85. Неопределенность и основная модель управления запаса-
ми.
86. Уровневая система повторного заказа (достижение мини-
мальной стоимости).
87. Уровневая система повторного заказа (достижение мини-
мального уровня обслуживания).
88. Циклическая система повторного заказа.
89. Другие вопросы управления запасами (максимизация при-
были, ограничение на площадь склада, многономенклатурный за-
пас, эффект Парето).
90. Финансовая смета. Составление финансовой сметы. Воз-
можные подходы к составлению финансовой сметы (снизу вверх
и сверху вниз). Программно-целевое управление. Общая финансо-
вая смета. Кассовая консолидированная смета. Приростной под-
ход к составлению сметы. Составление сметы с нуля.
91. Смета текущих расходов. Суммарная смета запасов. Сум-
марная смета дебиторской задолженности. Суммарная смета кре-
диторской задолженности.
92. Сметный отчет о прибылях и убытках.
93. Сметный баланс.
94. Сметный контроль. Нормативы. Идеальные и достижимые
нормативы. Отклонение. Благоприятное и неблагоприятное от-
клонения. Жесткая и гибкая сметы. Способы построения гибкой
сметы.
95. Анализ безубыточности. Ограничения анализа безубыточ-
ности. Точка безубыточности. Удельная прибыль. Возможное зна-
чение прибыли или убытка.
96. Альтернативные стратегии бизнеса. Анализ чувствитель-
ности.
97. Влияние изменений цены реализации на объем продаж.
98. Скидка с цены (уценка).
99. Принятие краткосрочных решений. Дифференцированные
затраты. Затраты прошлого периода. Альтернативные затраты.
Косвенные затраты.
100. Ценообразование. Проблемы ценообразования. Ценообра-
зование при продвижении нового продукта на рынке (проникно-
вение на рынок и «снятие сливок»). Влияние затрат на ценообра-
зование. Ценообразование по принципу «затраты + прибыль».
Предельные затраты. Ценообразование на основе предельно высо-
ких затрат. Ценообразование по схеме двойного тарифа. Ценовая
дискриминация. Условия осуществления и цели ценовой дискри-
минации.
234
101. Ценовая дискриминация первой степени (совершенная
ценовая дискриминация). Ценовая дискриминация второй степе-
ни. Ценовая дискриминация по объему потребления (многочаст-
ный тариф). Ценовая дискриминация по свойствам и условиям
покупки товаров. Ценовая дискриминация по времени продажи
товаров. Ценовая дискриминация третьей степени. Примеры.
Правило максимизации прибыли при проведении ценовой дис-
криминации третьей степени.
102. Методы оценки инвестиций в условиях определенности.
Инвестиционные решения. Краткосрочные решения. Долгосроч-
ные инвестиционные проекты. Альтернативные издержки по ин-
вестициям (стоимость капитала, минимально необходимая норма
прибыли, ставка дисконтирования, процентная ставка).
103. Метод чистой приведенной стоимости.
104. Метод внутренней нормы доходности. Внутренняя норма
доходности (дисконтированная норма прибыли). Нахождение вну-
тренней нормы доходности методом линейной интерполяции.
105. Сравнение методов чистой приведенной стоимости и вну-
тренней нормы доходности.
106. Метод окупаемости. Период окупаемости. Недостатки ме-
тода окупаемости. Дисконтированный метод расчета периода оку-
паемости.
107. Учетный коэффициент окупаемости инвестиций (прибыль
на инвестированный капитал, прибыль на используемый капи-
тал). Среднегодовая прибыль. Средняя стоимость инвестиций. Не-
достатки учетного коэффициента окупаемости инвестиций.
108. Налогообложение и инвестиционные решения. Влияние
налогов на величину чистой приведенной стоимости инвестицион-
ного проекта.
109. Прибыли или убытки от продажи имущества. Налоговые
льготы, направленные на стимуляцию инвестиций.
110. Сравнение инвестиционных проектов с разными сроками
реализации. Эквивалентный годовой денежный поток.
111. Замена оборудования.
112. Инфляция. Уровень (темп) инфляции. Индекс инфляции.
113. Оценка чистой приведенной стоимости инвестиционного
проекта в условиях инфляции. Номинальная ставка. Реальная
ставка дисконтирования. Использование номинальной ставки и
номинальных денежных потоков.
114. Оценка чистой приведенной стоимости инвестиционного
проекта в условиях инфляции. Использование реальной ставки
дисконтирования и реальных денежных потоков.
115. Лизинг. Преимущества и недостатки лизинга.
116. Сравнительный анализ эффективности лизинга и банков-
ского кредитования покупки основных средств.
117. Анализ инвестиционных проектов, поддающихся дробле-
нию. Индекс рентабельности.
235
118. Дерево вероятностей инвестиционного проекта, его досто-
инства и недостатки. Математическое ожидание, дисперсия и
стандартное отклонение вероятностного распределения возмож-
ных чистых приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
119. Стоимость капитала. Стоимость облигаций, выпущенных
инвестором. Противоналоговый эффект кредита. Стоимость кре-
дита после налогообложения.
120. Стоимость акционерного капитала.
121. Средневзвешенная стоимость капитала.
122. Вложение капитала в различные ценные бумаги. Рыноч-
ный (систематический) и особый (несистематический) риски. Мо-
дель оценки финансовых активов, ее основные предположения.
123. Теорема разделения. Рыночный портфель. Безрисковая
ставка.
124. Взаимосвязь между уровнем риска инвестиций и требуе-
мой нормой прибыли. Бета-коэффициент. Рыночная премия. Ос-
новная формула модели оценки финансовых активов. Учет ин-
фляции в модели оценки финансовых активов.
125. Анализ сбалансированности денежных потоков. Положи-
тельный и отрицательный денежные потоки. Чистый денежный
поток. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариа-
ции. Коэффициент корреляции.
126. Обучаемость в производстве. Кривые обучения (кривые
опыта). Уровень обучения.
127. Обучаемость в производстве. Определение затрат различ-
ного вида на производство продукции.
128. Обучаемость в производстве. Определение уровня обуче-
ния.
129. Трансфертное ценообразование на предприятиях со сложной
структурой. Промежуточная продукция (промежуточный продукт).
Готовая продукция (готовый продукт). Типы трансфертных цен.
130. Эластичность спроса от цены. Товары эластичного и не-
эластичного спроса.
131. Эластичность предложения от цены.
132. Коэффициенты эластичности спроса для случая функции
многих переменных. Эластичность спроса от собственной цены.
Перекрестный коэффициент эластичности. Взаимозаменяемые и
взаимодополняющие товары. Независимые товары. Эластичность
спроса от доходов. Качественные и низкосортные товары. Пред-
меты роскоши.
133. Обоснование решения «производить или покупать».
134. Маржинальный доход.
135. Экономическая добавленная стоимость. Способы увеличе-
ния экономической добавленной стоимости.
136. Многопродуктовая модель. Удельная прибыль i-ro про-
дукта. Суммарная удельная прибыль. Суммарная точка безубы-
точности. Точки безубыточности продуктов.
236
137. Возможное значение прибыли или убытка в многопродук-
товой модели.
138. Затраты комплексных производств. Совместные и побоч-
ные продукты. Точка раздела. Метод стоимости в точке раздела.
139. Метод натуральных показателей.
140. Метод чистой реализации.
141. Метод постоянного процента валовой прибыли.
142. Программирование. Математическое программирование.
Линейное программирование. Задача о распределении ресурсов.
Решение задач линейного программирования с помощью надст-
ройки Поиск решения пакета Excel.
237
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ ПО КУРСУ
«УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ»
1-10. Предприятие производит продукты X и У. Про-
дукт X выпускается в больших количествах крупными пар-
тиями, но нерегулярно, потребляет е% часов труда основ-
ных работников. Продукт У выпускается в ограниченных
количествах маленькими партиями и потребляет f% часов
труда основных работников. Объем продаж продуктов X и У
равен а и b руб. соответственно. Прямые издержки продук-
тов X и У равны end руб. соответственно. После подробно-
го исследования стало ясно, что на каждый продукт за от-
четный период приходится по g% от числа всех обработан-
ных за это время партий продукции и что накладные расхо-
ды, начисленные на центр издержек, колеблются в долго-
срочном плане в соответствии со спросом на продукцию и
выросли до h руб. Определить объявленную прибыль произ-
водства продуктов X и У с помощью традиционной и функ-
циональной систем учета затрат.
а Ь с d е f 8 h
1 730000 265000 350000 70000 45 11 22 865000
2 720000 235000 325000 80000 30 7 23 835000
3 710000 225000 335000 90000 31 9 24 825000
4 760000 280000 380000 65000 33 12 26 880000
5 770000 290000 390000 45000 32 13 28 890000
в 790000 270000 370000 75000 38 5 29 870000
7 780000 260000 360000 55000 39 6 21 860000
8 725000 210000 310000 85000 34 14 30 810000
9 735000 220000 320000 95000 44 16 32 820000
10 765000 230000 365000 40000 42 15 27 830000
11-20. а) Предприятие производит продукты X и У. На-
кладные расходы на наладку равны q руб., на оборудование
— г руб., на получение материалов — з руб., на упаковку —
t руб., на инженерное обеспечение — z руб. Определить се-
бестоимость продукции, используя традиционную систему
учета затрат и предполагая, что все накладные расходы на-
числяются на основе времени работы основных работников.
238
б) Определить себестоимость продукции, используя тради-
ционную систему учета затрат и предполагая, что накладные
расходы подразделения приемки материала покрываются на
основе ставки распределения накладных расходов на обработ-
ку получаемых материалов, а оставшиеся накладные расходы
покрываются на основе ставки времени работы оборудования.
в) Определить производственные затраты с помощью
функциональной системы калькуляции себестоимости.
Показатели Продукт X Продукт Y
Объем продаж, ед. а ь
Использование сырья, ед./ед. продукции с d
Затраты на основные материалы, руб./ед. продукции е f
Труд основных работников, ч/ед. продукции g h
Время работы оборудования, ч/ед. продукции k т
Затраты на труд основных работников, руб. п Р
Число производственных циклов W V
Число доставок продую а ai а2
Число доставок материалов а3 а4
Число производственных заказов а5 <*6
а Ъ с d е f g h
11 3600 1600 7 8 25 23 5 6
12 3700 1700 8 9 26 24 2 4
13 3800 1800 9 6 27 26 3 5
14 3900 1900 ___ -1 _7 28 25 5 7
15 3650 1650 3 5 29 27 4 5
16 3750 1750 7 8 29 25 3 6
17 3775 1775 s 9 28 26 5 8
18 3675 1675 9 6 27 24 6 7
19 3850 1850 1 7 26 23 2 5
20 3950 1950 3 5 25 22 4 6
k rn n p q r 8 t z
11 6 4 1 । 18 _ 3650 76000 37000 28000 32500
12 8 7 1 H 19_ 3750 77000 38000 29000 33000
13 7 6 1 ‘i 16_ 3850 78000 39000 26500 33500
14 5 4_ 1 1 17_ 3950 79000 43000 27500 34500
15 6 5 1 3 15_ 3700 76500 34000 25000 36500
16 8 6 1 1 18 3800 77500 37500 28500 37000
17 7 4 1 .4 19 3900 77750 38500 29500 37500
18 7 5 r> 16_ 3775 76750 39500 26300 32000
19 9 7 1 1 17_ 3875 78500 34500 27400 36000
20 8 5 1 { 15 3975 79500 43500 25500 35000
239
IV V а1 й2 а3 а4 а5 а6
11 3 5 7 6 25 28 15 16
12 4 2 9 8 28 34 12 14
13 6 3 8 7 27 29 13 15
14 4 5 9 5 25 27 15 17
15 2 4 9 6 29 35 14 15
16 5 3 6 4 23 25 13 16
17 6 5 8 4 28 32 15 18
18 5 6 7 3 22 24 16 17
19 3 2 5 8 26 33 12 15
20 5 4 6 9 28 31 14 16
21-30. а) Нормативная и фактическая цены равны соот-
ветственно с руб./кг и d руб./кг, а количество приобретен-
ного материала — е кг. Определить отклонение по цене ма-
териала.
б) Нормативное количество материала для фактического
выпуска продукции равно е кг. Фактически же было исполь-
зовано f кг. Нормативная цена материала равна g руб./кг.
Определить отклонение по использованию материала.
в) Нормативные издержки на материал на единицу про-
дукции равны h руб./кг, а фактический выпуск продукции
составил k кг. Фактические затраты на материал равны т
руб. Определить общее отклонение по затратам на материал.
с d е f б h k т
21 7 8 25 23 5 6 60 400
22 8 9 26 24 2 4 80 370
23 9 6 27 26 3 5 70 360
24 4 7 28 25 5 7 50 340
25 3 5 29 27 4 5 60 315
26 7 8 29 25 3 6 80 467
27 8 9 28 26 5 8 70 540
28 9 6 27 24 6 7 70 500
29 4 7 26 23 2 5 90 470
30 3 5 25 22 4 6 80 502
31-40. а) Нормативная ставка заработной платы равна
с руб./ч, а фактически отработанное время составило е ч.
Фактическая ставка заработной платы равна d руб./ч. Опре-
делить отклонение по ставке заработной платы.
б) Нормативное рабочее время для фактического выпуска
продукции равно е ч, а фактически отработанное время со-
ставило f ч. Нормативная ставка заработной платы равна
с руб./ч. Определить отклонение по производительности тру-
да.
240
в) Нормативные трудозатраты на единицу продукции рав-
ны п руб./ед., а фактический выпуск продукции составил
т единиц. Фактические трудозатраты равны g руб. Опреде-
лить общее отклонение по трудозатратам.
с d е f g т п
31 70 80 25 23 59 4 17
32 80 90 26 24 102 7 18
33 90 60 27 26 130 6 19
34 40 70 28 25 59 4 14
35 30 50 29 27 64 5 13
36 70 80 29 25 103 6 17
37 80 90 28 26 75 4 18
38 90 60 27 24 96 5 19
39 40 70 26 23 102 7 14
40 30 50 2.) 22 74 5 13
41-50- а) Предполагается, что переменные накладные
расходы будут изменяться в зависимости от времени труда
основных работников, (’гавка заработной платы основных
работников равна с руб. ч, а труд основных работников со-
ставил d ч. Фактически!* переменные производственные на-
кладные расходы равны <• руб. Определить отклонение пере-
менных накладных расходов по затратам.
б) Нормативны!* часы по труду основных работников рав-
ны f ч. Определить отк киюние переменных накладных рас-
ходов по эффективности.
<* d е f
41 ;п 80 5700 83
42 но 90 7260 94
43 90 60 5270 66
’ 44 40 70 2850 75
45 ло 50 1529 57
46 |‘О 80 5290 85
" 47 но 90 7280 96
48 90 60 5270 64
49 40 70 2600 73
БО ЛО 50 1525 52
51-60. Сметные п<» и>.1пные накладные расходы равны
с руб., а фактич1чьис н .. юянные накладные расходы —
d руб. Опредепии. он и н< пие по постоянным накладным
расходам.
241
с d
51 170000 180000
52 180000 190000
53 190000 160000
54 140000 170000
55 130000 150000
56 270000 260000
57 280000 275000
58 189000 196000
59 240000 267000
60 230000 250000
61—70. а) Нормативная маржа вклада в прибыль на еди-
ницу продукции равна с руб./ед., а фактический объем про-
даж составил е единиц. Фактическая маржа вклада в при-
быль на единицу продукции равна d руб./ед. Определить от-
клонение по цене реализации.
б) Сметный объем продаж равен е единиц, а нормативная
маржа вклада в прибыль на единицу продукции — с руб./ед.
Фактический объем продаж составил f единиц. Определить
отклонение по объему продаж.
с d е f
61 70 80 2500 2300
62 80 90 2600 2400
63 90 60 2700 2600
64 40 70 2800 2500
65 30 50 2900 2700
66 70 80 2900 2500
67 80 90 2800 2600
68 90 60 2700 2400
69 40 70 2600 2300
70 30 50 2500 2200
71-80. В таблице приведены сметные и фактические по-
казатели работы предприятия за истекший год.
Показатели (руб.) Сметные показатели Фактические показатели
Объем продаж а d
Себестоимость проданной продукции Ь f
Расходы с i
Определить отклонения. Определить процентные соотно-
шения.
242
а Ь с d f i
71 220000 115000 60000 225000 118000 58000
72 270000 125000 50000 268000 123000 54000
73 280000 135000 70000 260000 137000 69000
74 290000 145000 80000 297000 144000 83000
75 225000 105000 90000 228000 109000 91000
76 240000 195000 30000 243000 197000 37000
77 260000 185000 45000 258000 187000 43000
78 235000 175000 25000 238000 177000 23000
79 265000 165000 85000 264000 162000 86000
80 275000 155000 75000 279000 158000 77000
81-90. а) Номинальная стоимость облигации Р руб., ку-
понная процентная ставка k%, оставшийся срок до погаше-
ния облигации п лет, текущая рыночная процентная ставка
1%. Определить текущую рыночную стоимость облигации.
б) Облигация номинальной стоимостью Р руб. с купонной
процентной ставкой k% была куплена в начале года за
а руб. После получения купонного платежа в конце года об-
лигация была продана за S руб. Определить норму прибыли
за год.
в) Облигация номинальной стоимостью Р руб. с купон-
ной процентной ставкой k% и сроком погашения п лет была
куплена за S руб. Определить доходность облигации мето-
дом средних. Определить доходность облигации методом ин-
терполяции.
Р п 1 S а k
81 6000 2 16 7300 7500 18
82 7000 3 11 8200 8600 13
83 8000 4 17 9400 9700 19
84 9000 3 18 10300 10800 19
85 6500 4 9 7900 8200 12
86 5500 2 13 6800 7100 16
87 7500 3 19 8700 8900 21
88 5300 3 8 6700 6800 10
89 6400 2 7 7800 7900 9
90 7900 4 14 9200 9500 17
91-100. По обращающимся привилегированным акциям
выплачиваются ежегодные дивиденды D руб. Цена этой ак-
ции равна А руб. Определить доходность акции.
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
D 160 110 170 180 90 130 190 80 70 140
А 7300 8200 9400 10300 7900 6800 8700 6700 7800 9200
243
101-110. а) Рыночная цена акции в настоящий момент
Ро РУб» Ожидаемая цена акции в конце текущего года равна
Р1 РУб», а ожидаемый дивиденд в текущем году руб. Оп-
ределить ожидаемую дивидендную доходность, ожидаемую
доходность за счет изменения цены акции и ожидаемую до-
ходность по акции в текущем году.
б) Дивиденд, выплачиваемый ежегодно по акции нулево-
го роста, равен D руб. Ожидаемая норма прибыли ks. Опре-
делить теоретическую (внутреннюю) цену акции.
в) Курс акции нулевого роста в настоящий момент
Ро РУб», а последний из уже выплаченных дивидендов D руб.
Определить норму прибыли (доходность) этой акции.
г) Последний из уже выплаченных дивидендов по акци-
ям нормального роста Dq руб., а ожидаемый темп роста ди-
видендов g%. Определить дивиденд, который акционер ожи-
дает получить в текущем году. Определить теоретическую
(внутреннюю) цену акции нормального роста при требуемом
уровне доходности k8%.
д) Рыночная цена акции нормального роста в настоящий
момент Pq руб. Ожидается, что дивиденд в текущем году бу-
дет равен Di руб., а темп роста g%. Определить ожидаемую
норму прибыли (доходность) этой акции.
е) Период избыточного роста N лет, темп роста доходов и
дивидендов в течение периода избыточного роста gs%, по-
стоянный темп роста после периода избыточного роста gn%,
последний из уже выплаченных дивидендов Dq руб., требуе-
мая норма прибыли ks%. Определить теоретическую (внут-
реннюю) цену акции избыточного роста.
Do D N gs Sn g ks Po Di Pl
101 150 150 3 26 11 4 16 7300 160 7400
102 160 160 4 27 9 3 11 8200 110 8400
103 170 170 5 24 12 5 17 9400 170 9500
104 180 180 3 28 13 6 18 10300 180 10500
105 190 190 4 23 5 3 9 7900 90 8000
100 200 200 5 26 9 4 13 6800 130 6900
107 210 210 3 27 14 5 19 8700 190 8900
108 220 220 4 24 4 5 8 6700 80 6800
109 230 230 5 28 3 6 7 7800 70 7900
110 240 240 3 23 11 4 14 9200 140 9500
111-120. Дать прогноз объема продаж на следующие три
дня.
244
пн ВТ ср ЧТ пт сб век
111 1 3 2 9 2 8 5
3 3 1 6 4 10 3
112 3 4 2 6 7 12 5
1 3 2 7 3 6 9
113 9 4 7 5 4 2 3
13 6 8 6 7 5 2
114 1 5 3 5 4 10 5
2 3 2 7 5 9 4
115 1 5 2 6 2 9 8
1 4 3 7 7 11 6
пн ВТ ср ЧТ пт сб век
116 8 3 5 4 3 9 2
9 7 8 8 5 4 6
117 2 6 4 6 7 9 10
2 5 1 7 5 11 15
118 15 5 8 6 3 8 4
10 6 9 6 5 6 6
119 1 3 4 7 3 6 9
2 3 1 7 2 9 10
120 1 4 2 5 5 11 17
2 7 9 6 4 9 7
121-130. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за
последние 10 недель.
Неделя 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Объем продаж 4 5 5 6 9 9 8 10 11 13
Дать прогноз объема продаж на 11-ю неделю методами про-
стого экспоненциального сглаживания и экспоненциального
сглаживания с поправкой на тренд. Прогноз объема продаж
на 1-ю неделю равен Fi. = 0. Определить трекинг-сигналы
по результатам первых шести кварталов. Границы контроля
равны ±4. Нужно ли менять константу сглаживания?
а b F1
121 0,7 0,4 3
122 0,8 0,3 2
123 0,9 0,2 2
124 0,75 0,5 3
125 0,85 0,4 2
а b F1
126 0,4 0,3 3
127 0,6 0,2 4
128 0,3 0,5 2
129 0,2 0,4 2
130 0,65 0,3 3
131-140. В таблице указаны вероятности получения
прибыли для двух вариантов инвестирования. Сравнить эти
варианты.
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
d 0,2 0 0,2 0,2 0,2 0,3 0 0,2 0,2 0,2
е 0,2 0,2 0 0,2 0,2 0,2 0,2 0 0,2 0,2
f 0 0,2 0,2 0,2 0,3 0 0,2 0,3 0,3 0,2
0,2 0,2 0,2 0 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0
h 0,3 0,1 0,3 0,1 0 0,2 0,3 0,2 0,1 0,3
k 0,1 0,3 0,1 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0,1
т 0,4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,2 0,1
п 0,1 0,1 0,1 0,1 0,4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
р 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,4 0,1 0,4 0,1 0,2
а 0,1 0,1 0,1 0,4 0,1 0,1 0,1 0,1 0,4 0,4
г 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1
8 0,2 0,2 0,4 0,2 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
245
Прибыль, млн. руб. —2 -1 0 1 2 3
Вариант 1 d е f g h k
Вариант 2 т п р <1 г 8
141-150. a) В апреле объем продаж составил а руб. Се-
бестоимость проданной продукции равна b руб., а расходы
(арендная плата, зарплата и т. д.) — с руб. Определить ва-
ловую прибыль и чистую прибыль. Определить чистую мар-
жу, валовую маржу и наценку.
б) Сальдо дебиторской задолженности на начало финан-
сового года было равно а руб. В течение года имели место
следующие операции: продажи в кредит равны b руб., а по-
ступления от дебиторов — с руб. Определить сальдо деби-
торской задолженности на конец финансового года.
в) Сальдо кредиторской задолженности на начало финан-
сового года было равно а руб. В течение года имели место сле-
дующие операции: закупки в кредит равны с руб., а выплаты
по кредиторской задолженности — b руб. Определить сальдо
кредиторской задолженности на конец финансового года.
г) На конец финансового года внеоборотные активы пред-
приятия равны а руб., оборотные активы — b руб., а кратко-
срочные обязательства — с руб. В течение отчетного финан-
сового года объем продаж равен d руб. Чистая прибыль рав-
на е руб. Определить коэффициент оборачиваемости активов.
Определить коэффициент рентабельности чистых активов.
д) На конец финансового года запасы предприятия равны
d руб., дебиторская задолженность — b руб., кассовая на-
личность — с руб., а краткосрочные обязательства — а руб.
Определить коэффициент текущей ликвидности. Определить
коэффициент срочной ликвидности.
е) На конец финансового года запасы предприятия равны
с руб., а себестоимость проданной продукции — d руб. Оп-
ределить коэффициент оборачиваемости запасов.
ж) На конец финансового года дебиторская задолжен-
ность предприятия равна с руб., а объем продаж в кредит —
а руб. Определить период оборачиваемости дебиторской за-
долженности.
з) На конец финансового года кредиторская задолжен-
ность предприятия равна с руб., а объем закупок в кредит
— b руб. Определить период оборачиваемости кредиторской
задолженности.
и) Доход от дополнительной единицы продукции равен
f руб., а затраты на дополнительную единицу продукции —
g руб. Определить маржинальный доход.
246
к) Предприятие выпустило акций на а руб. и взяло дол-
госрочную банковскую ссуду на b руб. Определить гиринг
(леверидж). Чистая прибыль предприятия в истекшем году
составила с руб. За взятую ссуду предприятие ежегодно пла-
тит i %. Определить коэффициент рентабельности акционер-
ного капитала ROSF, Проверить выполнение равенства
ROSF = ROCE х гиринг.
л) Совокупные затраты равны а руб., а число проданных
единиц продукции — /. Определить средние затраты на еди-
ницу проданной продукции.
м) Постоянные затраты равны а руб., цена реализации
единицы продукции — f руб., а переменные затраты на еди-
ницу продукции — g руб. Определить точку безубыточнос-
ти. Объем реализации продукции предприятия равен п еди-
ниц. Определить возможное значение прибыли или убытка.
н) Объем продаж равен п единиц, цена реализации еди-
ницы продукции — f руб., а переменные затраты на едини-
цу продукции — g руб. Предполагаемое повышение цены
реализации на i% не создаст дополнительных постоянных и
переменных затрат. Определить процент безубыточного из-
менения объема продаж.
о) В пункте (н) повышение цены реализации последовало
за повышением переменных издержек на единицу продук-
ции на 1%. Определить процент безубыточного изменения
объема продаж.
а Ъ с d g f i n e
141 220000 115000 60000 360000 470 600 13 6000 50000
142 270000 125000 50000 370000 380 500 14 5000 45000
143 280000 135000 70000 380000 590 700 15 7000 60000
144 290000 145000 80000 390000 650 800 11 8000 70000
145 225000 105000 90000 340000 760 900 10 9000 80000
145 240000 195000 30000 330000 190 300 16 3000 45000
147 260000 185000 45000 320000 270 450 17 4500 35000
148 235000 175000 25000 310000 120 250 18 2500 30000
149 265000 165000 85000 345000 670 850 19 8500 75000
150 275000 155000 75000 365000 560 750 12 7500 65000
151-160. 1) Начальные запасы отсутствуют. В марте за-
куплены для реализации а единиц продукции по цене f руб.
В апреле закуплены для реализации Ъ единиц продукции по
цене g руб. В мае проданы с единиц продукции по цене Л руб.
В июне проданы d единиц продукции по цене k руб. В июле
закуплены для реализации е единиц продукции по цене т
руб. В августе проданы t единиц продукции по цене п руб.
247
а) Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ФИФО.
б) Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ЛИФО.
в) Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом средневзвешенной.
г) Определить валовую прибыль в пунктах а), б), в).
2) В марте закуплены для реализации а единиц продук-
ции по цене f руб. В апреле-июле проданы с единиц про-
дукции по цене п руб. В начале августа непроданный товар
был уценен до h руб. за единицу. По этой цене проданы
t единиц продукции. Определить процент скидки.
f ё h т k п а с Ь d е t
151 25 26 36 27 37 38 220 115 210 120 60 30
152 26 28 38 29 39 40 270 125 220 170 50 20
153 27 28 39 30 40 41 280 135 230 180 70 40
154 29 31 41 32 42 43 290 145 250 190 80 40
155 28 29 39 30 41 42 225 105 265 125 90 30
156 22 24 34 26 35 36 240 195 270 140 30 20
157 21 23 33 24 34 35 260 185 210 160 45 30
158 23 25 35 26 36 37 235 175 255 135 25 20
159 24 26 36 27 38 39 265 165 235 165 85 40
160 20 21 31 23 32 33 275 155 285 175 75 30
161-170. На основании приведенных данных определить
чистый денежный поток по каждому месяцу, среднеквадра-
тические отклонения и коэффициенты вариации по положи-
тельному и отрицательному денежным потокам, а также ко-
Денежный поток, тыс. руб. Месяц
1 2 3 4 5 6
Положительный а ь с d е f
Отрицательный ё h k т п р
а b с d е f ё h k т п Р
161 16 15 17 18 15 13 15 16 16 14 17 18
162 13 14 18 19 16 14 12 14 18 17 18 19
163 14 16 19 16 17 16 13 15 17 16 19 16
164 16 18 14 17 18 15 15 17 15 14 14 17
165 15 16 13 15 19 17 14 15 16 15 13 15
166 14 17 17 18 19 15 13 16 18 16 17 18
167 16 19 18 19 18 16 15 18 17 14 18 19
168 17 18 19 16 17 14 16 17 17 15 19 16
169 13 16 14 17 16 13 12 15 19 17 14 17
170 15 17 13 15 15 12 14 16 18 15 13 15
248
эффициент корреляции между положительным и отрица-
тельным денежными потоками.
171-180. а) Предприятие купило станок за S руб., пери-
од эксплуатации которого п лет. После этого станок можно
будет продать на вторичном рынке за Р руб. (остаточная сто-
имость). Определить методбм равномерного начисления из-
носа ежегодные начисления на износ и балансовую стои-
мость станка на конец каждого года.
б) Определить методом начисления износа с сокращаю-
щейся балансовой стоимости норму амортизации, ежегод-
ные начисления на износ и балансовую стоимость станка на
конец каждого года.
в) Пусть остаточная стоимость Р = 0. Определить мето-
дом суммы годичных чисел ежегодные начисления на износ
и балансовую стоимость станка на конец каждого года.
S Р п
171 220000 115000 6
172 270000 125000 5
173 280000 135000 7
174 290000 145000 8
175 225000 105000 9
176 240000 195000 3
177 260000 185000 5
178 235000 175000 6
179 265000 165000 3
180 275000 155000 7
181-190. Компания рассматривает вопрос о строительст-
ве завода. Возможны три варианта действий.
а) Построить большой завод стоимостью М\ тысяч долла-
ров. При этом варианте возможны большой спрос (годовой
доход в размере Ri тысяч долларов в течение следующих 5
лет) с вероятностью pi и низкий спрос (ежегодные убытки
R% тысяч долларов) с вероятностью
б) Построить маленький завод стоимостью М2 тысяч дол-
ларов. При этом варианте возможны большой спрос (годо-
вой доход в размере Т\ тысяч долларов в течение следую-
щих 5 лет) с вероятностью р± и низкий спрос (ежегодные
убытки Т2 тысяч долларов) с вероятностью р2.
в) Отложить строительство завода на один год для сбора
дополнительной информации, которая может быть позитив-
ной или негативной с вероятностью рз и р± соответственно.
В случае позитивной информации можно построить заводы
по указанным выше расценкам, а вероятности большого и
249
низкого спроса меняются на р$ и pQ соответственно. Доходы
на последующие четыре года остаются прежними. В случае
негативной информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны
дисконтироваться. Нарисовать дерево решений. Определить
наиболее эффективную последовательность действий, осно-
вываясь на ожидаемых доходах. Какова ожидаемая стоимо-
стная оценка наилучшего решения?
Mi м2 Р1 Р2 РЗ Р4 Р5 Рб «1 *2 Т1 Т2
181 600 350 0,7 0,3 0,8 0,2 0,9 0,1 250 50 150 25
182 605 345 0,65 0,35 0,75 0,25 0,91 0,09 245 45 145 20
183 610 340 0,75 0,25 0,85 0,15 0,92 0,08 240 40 140 15
184 615 335 0,7 0,3 0,85 0,15 0,93 0,07 235 35 135 10
185 620 330 0,65 0,35 0,8 0,2 0,94 0,06 230 30 130 5
186 625 325 0,75 0,25 0,75 0,25 0,95 0,05 255 55 155 30
187 630 320 0,7 0,3 0,75 0,25 0,94 0,06 260 60 160 35
188 635 315 0,65 0,35 0,85 0,15 0,93 0,07 265 65 165 40
189 640 310 0,75 0,25 0,8 0,2 0,92 0,08 270 70 170 45
190 645 305 0,7 0,3 0,75 0,25 0,91 0,09 275 75 175 50
191-200. Владелец небольшого магазина в начале каждо-
го рабочего дня закупает для реализации некий скоропортя-
щийся продукт по цене а рублей за единицу. Цена реализа-
ции этого продукта — b рублей за единицу. Из наблюдений
известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен
1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в
конце дня его всегда покупают по цене с рублей за единицу.
Возможные исходы 1 2 3 4
Частота d е f g
Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимак-
са, максимальной вероятности, критерием Гурвица и макси-
мизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц это-
а Ъ с d е f g
191 50 80 30 10 20 30 40
192 70 90 60 20 20 30 30
193 50 90 30 15 25 40 20
194 50 70 20 40 10 25 25
195 60 80 40 35 30 10 25
196 40 60 20 15 50 20 15
197 30 70 10 25 30 20 25
198 20 50 10 50 15 15 20
199 30 80 20 40 10 10 40
200 40 70 10 30 30 30 10
250
го продукта должен закупать владелец каждый день. Чему
равна ожидаемая стоимость полной информации?
201-210. Предприятие анализирует два инвестиционных
проекта в а млн. руб. Оценка чистых денежных поступле-
ний приведена в таблице.
Год Проект А, млн. руб. Проект В, млн. руб.
1 Ь d
2 С е
3 — f
Альтернативные издержки по инвестициям равны g%.
а) Определить чистую приведенную стоимость каждого
проекта. Какой проект предпочтительнее?
б) Определить внутреннюю норму доходности каждого ин-
вестиционного проекта.
в) Определить период окупаемости каждого инвестицион-
ного проекта.
г) Пусть остаточная стоимость каждого проекта равна ну-
лю. Определить их учетные коэффициенты окупаемости ин-
вестиций.
а b с d е f g
201 2,1 1,1 1,5 0,8 1,2 1,6 11
202 2,3 1,2 1,6 0,9 1,3 1,7 12
203 2,4 1,3 1,7 0,7 1,4 1,8 13
204 2,6 1,4 1,8 0,6 1,5 1,9 14
205 2,8 1,5 1,9 0,5 1,6 1,8 15
208 2,3 1,1 1,8 0,8 1,5 1,7 11
207 2,7 1,2 1,7 0,9 1,4 1,6 12
208 2,8 1,3 1,6 0,7 1,3 1,5 13
209 2,9 1,4 1,5 0,6 1,2 1,4 14
210 2,4 1,5 1,4 0,5 1,1 1,3 15
211-220. Для инвестиций в оборудование действует
скидка списания в размере Ь% от оставшейся балансовой
стоимости оборудования. Ставка корпоративного налога с %.
Предприятие рассматривает вопрос о покупке оборудования
за а млн. руб., которое, как ожидается, обеспечит в течение
четырех лет дополнительные чистые поступления денежных
средств в размере d руб./год. Ожидается, что в конце чет-
вертого года это оборудование будет продано по стоимости
списания, которая пойдет на уплату налога за предыдущий
год. Отсрочка в уплате налога равна одному году. Альтерна-
тивные издержки по инвестициям g%. Определить чистую
приведенную стоимость инвестиционного проекта.
251
а b с d g
211 2,1 25 30 840000 11
212 2,3 30 35 830000 12
213 2,4 45 40 820000 13
214 2,6 35 30 860000 14
215 2,8 40 35 870000 15
215 2,3 20 40 880000 11
217 2,7 45 30 890000 12
218 2,8 20 35 810000 13
219 2,9 25 40 860000 14
220 2,4 25 35 820000 15
221-230. Предприятие хочет продать купленное 3 года
назад за d тыс. руб. и рассчитанное на 5 лет эксплуатации
оборудование, остаточная стоимость которого будет равна
g тыс. руб. Использовалось равномерное начисление износа.
Ставка налога на прибыль равна с%. Определить балансо-
вые начисления или балансовые скидки в случае, если цена
продажи равна а) а тыс. руб.; б) b тыс. руб.
а b с d g
221 250 320 30 840 140
222 270 310 35 830 130
223 260 300 40 820 120
224 255 290 30 860 160
225 265 285 35 870 170
225 245 315 40 880 180
227 275 305 30 890 190
228 260 295 35 810 110
229 255 325 40 860 160
230 265 315 35 820 120
231-240. Предприятие анализирует два инвестиционных
проекта: А (первоначальные затраты а млн. руб.) и В (пер-
воначальные затраты b млн. руб.).
Оценка чистых денежных поступлений приведена в таб-
лице.
Год Проект А, млн. руб. Проект В, млн. руб.
1 d т
2 е п
3 f р
4 — Q
5 — г
Альтернативные издержки по инвестициям 1%. Сравнить
эти проекты, используя эквивалентные годовые денежные
потоки.
252
а Ъ т п Р q г d е f 1
231 2,1 2,3 0,5 0,8 0,8 0,9 0,6 0,8 1,2 1,6 11
232 2,3 2,2 0,6 0,9 0,7 0,8 0,7 0,9 1,3 1,7 12
233 2,4 2.3 0,7 0,7 0,6 0,7 0,8 0,7 1,4 1,8 13
234 2.6 2,4 0,8 0,6 0,5 0,6 0,9 0,6 1,5 1,9 14
235 2,8 2,5 0,9 0,5 0,4 0,5 0,9 0,5 1,6 1,8 15
236 2,3 2,1 0,8 0,8 0,5 0,6 0,9 0,8 1,5 1,7 11
237 2,7 2,2 0,7 0,9 0,6 0,7 0,8 0,9 1,4 1,6 12
238 2,8 2,3 0,6 0,7 0,7 0,8 0,7 0,7 1,3 1,5 13
239 2,9 2,4 0,5 0,6 0,8 0,9 0,6 0,6 1,2 1,4 14
240 2,4 2,5 0,4 0,5 0,9 0,9 0,5 0,5 1,1 1,3 15
241-250. Предприятие рассматривает вопрос о замене обо-
рудования. Анализ ситуации дал следующую информацию.
Показатели Старое оборудование Новое оборудование
Стоимость при покупке, руб. а ь
Балансовая стоимость, руб. т —
Оставшийся срок службы, лет 7 7
Производственные затраты, руб./год Р q
Ожидается, что как для нового, так и для старого обору-
дования через 7 лет остаточная стоимость будет равна нулю.
Сейчас старое оборудование можно продать за п руб. Аль-
тернативные издержки по инвестициям равны 1%. Опреде-
лить целесообразность замены оборудования.
а ь т п Р q 1
241 700000 760000 560000 530000 230000 190000 И
242 800000 870000 630000 610000 240000 180000 12
243 900000 940000 720000 710000 290000 230000 13
244 600000 660000 420000 400000 220000 170000 14
245 500000 570000 350000 330000 210000 180000 15
246 750000 880000 630000 620000 280000 220000 11
247 850000 910000 700000 690000 270000 240000 12
248 930000 980000 700000 680000 260000 210000 13
249 650000 730000 490000 470000 210000 170000 14
250 550000 620000 420000 410000 200000 160000 15
251-260. Предприятие рассматривает инвестиционный
проект. Первоначальные затраты равны а млн. руб., оста-
точная стоимость — 0, срок реализации проекта — 3 года.
Год Ожидаемая прибыль после уплаты налогов
1 С
2 Ь
3 d
253
Альтернативные издержки по инвестициям равны g%,
ожидаемый годовой уровень инфляции /%. Определить чис-
тую приведенную стоимость инвестиционного проекта в ус-
ловиях инфляции.
а b с d f g
251 2,1 1,1 1,5 0,8 6 11
252 2,3 1,2 1,6 0,9 7 12
253 2,4 1,3 1,7 0,7 8 13
254 2,6 1,4 1,8 0,6 9 14
255 2,8 1,5 1,9 0,5 8 15
256 2,3 1,1 1,8 0,8 7 11
257 2,7 1,2 1,7 0,9 6 12
258 2,8 1,3 1,6 0,7 5 13
259 2,9 1,4 1,5 0,6 4 14
260 2,4 1,5 1,4 0,5 3 15
261-270- Предприятие рассматривает вопрос о приобре-
тении оборудования. Первый вариант — лизинг за а тыс.
руб. с рассрочкой платежа в течение четырех лет. Второй
вариант — покупка на заводе-изготовителе за т тыс. руб.
Ставка налога на прибыль равна Кн%. Предоплата Eq и ос-
таточная стоимость оборудования Q равны нулю. Можно по-
лучить кредит в банке под г% годовых. Используется рав-
номерное начисление износа. Сравнить эти варианты.
а т Кн г
261 700 560 30 11
262 800 630 35 12
263 900 720 40 13
264 600 420 30 14
265 500 350 35 15
а т Кн г
266 750 630 40 11
267 850 700 30 12
268 930 710 35 13
269 650 490 40 14
270 550 420 30 15
271-280. а) Годовой спрос D единиц, стоимость подачи
заказа Со рублей/заказ, закупочная цена С рублей/единицу,
годовая стоимость хранения одной единицы составляет а%
ее цены. Время доставки 6 дней, 1 год — 300 рабочих дней.
Найти оптимальный размер заказа, издержки, уровень по-
вторного заказа, число циклов за год, расстояние между
циклами. Можно получить скидку Ъ% у поставщиков, если
размер заказа будет не меньше d единиц. Стоит ли восполь-
зоваться скидкой? Годовая стоимость отсутствия запасов
Сь рублей/единицу. Сравнить 2 модели: основную и с дефи-
цитом (заявки выполняются).
б) Годовой спрос D единиц, стоимость организации про-
изводственного цикла Cs рублей, издержки хранения одной
254
единицы Ch рублей/год. Найти экономичный размер партии,
издержки, число циклов за год, расстояние между циклами.
в) Темп производства Р единиц/день, темп использова-
ния D единиц/день. Годовые издержки хранения Ch руб-
лей/единицу. Стоимость организации производственного
цикла Cs рублей. Найти экономичный размер партии, из-
держки, число циклов за год, расстояние между циклами.
г) Годовой спрос D единиц за 300 рабочих дней, стои-
мость подачи заказов Со рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы Ch рублей/год, годовая стоимость отсутствия
запасов С^ рублей/единицу. Время поставки 4 дня.
Спрос на товар в течение поставки, шт. 0 1 2 3 4 5 6
Частота f g h k m n Q
Сколько единиц нужно заказывать и когда, если цель —
минимизировать общую стоимость запасов?
D Co C a b d Cb Ch
271 400 50 40 20 3 80 10 350 18
272 500 50 50 25 5 70 15 360 19
273 600 70 60 20 6 80 15 370 16
274 700 80 70 25 7 80 10 380 17
275 450 90 80 30 8 60 20 362 15
276 550 45 85 20 9 70 10 375 18
277 650 55 75 25 2 70 20 365 19
278 750 65 55 30 4 90 15 356 16
279 800 75 65 25 2 100 20 385 17
290 900 95 45 30 7 125 20 390 15
P f g h k m n <7
271 1180 3 5 4 6 4 7 8
272 1230 4 2 6 8 7 8 9
273 1370 6 3 5 7 6 9 6
274 1440 5 4 7 5 5 4 7
275 1090 7 5 5 6 4 3 5
276 1970 5 4 6 8 6 7 8
277 1870 6 3 8 7 4 8 9
278 1770 4 5 7 7 5 9 6
279 1620 3 6 5 9 7 4 7
280 1580 2 2 6 8 5 3 5
281-290. а) Каждый месяц цены растут на с%. Каков
ожидаемый уровень инфляции за год?
б) Уровень инфляции в марте составил Ь%, в апреле —
с%, в мае — d%. Каков уровень инфляции за рассматривае-
мый период?
255
b с d
281 8 3 5
282 9 4 6
283 2 5 7
284 3 6 8
285 4 7 9
Ь с d
286 3 8 2
287 4 9 3
288 5 2 4
289 6 3 4
290 7 4 3
291-300. Предприятие имеет возможность инвестиро-
вать 3,1 млн. руб. Рассматриваются следующие инвестици-
онные проекты, поддающиеся дроблению (денежные поступ-
ления со знаком « + », денежные оттоки со знаком «—»):
A (~b; р; q; г), В (-а; т; п; ё) и С (~с; d; х; у). Альтернатив-
ные издержки по инвестициям равны 1%. Определить опти-
мальный инвестиционный портфель.
291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
а 2,1 2,3 2,4 2,6 2,8 2,3 2,7 2,8 2,7 2,4
Ь 2,3 2,2 2,3 2,4 2,5 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
с 2,2 2,7 2,8 2,9 2,4 2,2 2,1 2,6 2,3 2,2
X 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
У 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9
т 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4
п 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5
Р 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Я 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9
г 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5
d 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5
е 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1
i 11 12 13 14 15 11 12 13 14 15
301-310. Первоначальные инвестиции равны 2,7 млн.
руб. Дерево вероятностей инвестиционного проекта имеет
следующий вид (денежные суммы указаны в млн. руб.).
Альтернативные издержки по инвестициям равны i%.
Определить математическое ожидание и стандартное откло-
нение вероятностного распределения возможных чистых
приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
256
301 302 303 304 305 зов 307 308 309 310
а 2,1 2,3 2,4 2,6 2,8 2,3 2,7 2,8 2,7 2,4
Ъ 2,3 2,2 2,3 2,4 2,5 2,1 2,2 2,3 2,4 2.5
с 2,2 2,7 2,8 2,9 2,4 2,2 2,1 2.6 2,3 2.2
X 1.5 1,4 1.3 1,2 1,1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
у 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9
т 0,2 0,6 0,7 0,8 0,9 0,2 0,1 0,3 0,4 0,5
п 0,8 0,4 0,3 0,2 0,1 0,8 0,9 0,7 0.6 0,5
JL_ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9
q 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0.3 0,2 0,1
г 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9 0,2 0,1 0,3 0,4 0.5
d 0,4 0,3 0,2 0.1 0,1 0.8 0,9 0,7 0.6 0,5
е 1,2 1,3 1,4 1,5 1.6 1.5 1.4 1,3 1,2 1.1
i 11 12 13 14 15 11 12 13 14 15
311-320. Взят кредит под i% годовых. Ставка налога на
прибыль равна а%. Определить стоимость кредита после на-
логообложения .
311 312 313 314 315 31в 317 318 319 320
1 11 12 13 14 15 И 12 13 14 15
а 25 30 35 40 33 32 34 36 38 31
321-330. В таблице указаны стоимости (в % годовых) и
рыночные стоимости (в млн. руб.) источников капитала
предприятия.
Источник капитала Стоимость Рыночная стоимость
Кредит а X
Обыкновенные акции Ь У
Облигационный заем с т
Определить средневзвешенную стоимость капитала пред-
приятия.
а b с X У т
321 11 14 4 1,5 0,8 0,2
322 12 15 5 1,4 0,9 0,6
323 13 16 6 1,3 0,7 0,7
324 14 16 6 1.2 0.6 0,8
325 15 18 8 1.1 0,5 0,9
326 11 15 5 1.2 0.6 0,2
327 12 17 7 1.3 0,7 0,1
328 13 15 5 1,4 0.8 0,3
329 14 17 7 1.5 0,9 0,4
330 15 17 7 1,6 0,9 0,5
257
331-340. Функция предложения некоторого товара
S(P) = а + hP. Найти эластичность предложения от цены Eg
при цене Р = k.
331 332 333 334 335 336 337 338 339 340
а 4 7 5 4 5 3 2 8 4 6
h 2 8 5 3 5 2 9 9 6 4
k 4 6 3 8 2 9 7 8 3 6
341-350. Функция спроса некоторого товара D(P) =
= а + ЬР\ — СР2 + dY. Найти эластичность спроса от собст-
венной цены Ei, перекрестный коэффициент эластичности
спроса Е2, эластичность спроса от дохода потребителей Еу
при собственной цене товара Р19 цене альтернативного това-
ра Р2 и доходе потребителей У. Какие это товары: взаимоза-
меняемые или взаимодополняющие? Как ведет себя спрос с
ростом доходов потребителей?
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350
а 90 80 50 20 100 70 70 60 70 100
Ь 4 9 5 6 8 7 2 6 7 2
с 2 3 4 9 5 5 8 6 9 7
d 0,9 0,3 0,4 0,3 0,3 0,1 0,1 0,8 0,3 0,4
Р\ 5 5 4 3 7 8 9 8 8 2
р? 7 7 3 2 5 7 2 5 6 8
Y 200 400 800 200 900 400 500 200 400 200
351-360. Доходность ценных бумаг с нулевым риском
Rf%, доходность акций рыночного индекса Rm%, коэффи-
циент Р известен. Определить доходность обыкновенных ак-
ций компании.
Rf Rm ₽
351 4 11 0,6
352 5 12 0,7
353 6 13 0,8
354 7 14 0,9
355 8 15 1,1
Rf R m ₽
356 4 15 1,2
357 5 14 1,3
358 6 12 1
359 7 13 1,4
360 8 11 0,9
361-370. а) Первоначальная сумма Р руб. помещена в
банк на срок п лет под i% годовых (проценты простые). Най-
ти наращенную сумму.
б) Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма S
руб., процентная ставка i% годовых (проценты простые).
Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма S руб.,
период начисления п лет. Найти простую процентную ставку.
258
г) Первоначальная сумма Р руб. помещена в банк на с рок с
а по b под 1% годовых (проценты простые). Найти наращен -
ную сумму в английской, немецкой и французской практиках.
Р п i S а b
361 6000 0,5 16 6300 12.03 27.08
362 7000 0,25 11 7200 03.04 15.09
363 8000 0,75 17 8400 11.05 09.10
364 9000 0,5 18 9300 17.06 23.11
365 6500 0,25 9 6900 24.07 05.12
366 5500 0,75 13 5800 23.03 14.08
367 7500 0,5 19 7700 16.04 26.09
368 5300 0,25 8 5700 19.05 21.10
369 6400 0,75 7 6800 24.06 09.11
370 7900 0,75 14 8200 11.07 15.12
371-380. а) Первоначальная сумма Р руб. помещена в
банк на срок п лет под 1% годовых (проценты сложные).
Найти наращенную сумму.
б) Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма S
руб., процентная ставка i% годовых (проценты сложные).
Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма S руб.,
период начисления п лет. Найти сложную процентную ставку.
Р п i S
371 6000 2 16 7300
372 7000 3 11 8200
373 8000 4 17 9400
374 9000 3 18 10300
375 6500 4 9 7900
Р п i S
376 5500 2 13 6800
377 7500 3 19 8700
378 5300 3 8 6700
379 6400 2 7 7800
380 7900 4 14 9200
381-390. а) Размер ежегодных платежей R руб., срок
п лет, проценты начисляются по сложной процентной став-
ке i% годовых. Найти наращенную (будущую) сумму и со-
временную стоимость простых рент постнумерандо и прену-
мерандо.
б) Определить размер ежегодных платежей в конце года
по сложной процентной ставке i% годовых для накопления
через п лет суммы S руб.
в) Определить размер ежегодных платежей в конце года
по сложной процентной ставке i % годовых для погашения в
течение п лет долга А руб.
г) Размер ежегодных платежей R руб., процентная став-
ка I % годовых, наращенная сумма S руб. Определить сроки
простых рент постнумерандо и пренумерандо.
259
д) Размер ежегодных платежей R руб., процентная став-
ка 1% годовых, современная стоимость А руб. Определить
сроки простых рент постнумерандо и пренумерандо.
е) Определить, под какую процентную ставку нужно вно-
сить каждый год R руб., чтобы через п лет накопить сумму
S руб. (для рент постнумерандо и пренумерандо).
ж) Определить, под какую процентную ставку нужно вно-
сить каждый год R руб., чтобы через п лет погасить долг
А руб. (для рент постнумерандо и пренумерандо).
з) Современная стоимость бессрочной ренты постнумеран-
до А, процентная ставка i % годовых. Найти размер ежегод-
ных выплат.
R п i S А
381 1500 4 16 7300 7300
382 1600 4 11 8200 8200
383 1700 5 17 9400 9400
384 1800 5 18 10300 10300
385 1900 4 9 7900 7900
388 2000 3 13 6800 6800
387 2100 4 19 8700 8700
388 2200 3 8 6700 6700
389 2300 3 7 7800 7800
390 2400 3 14 9200 9200
391-400. Предприятие производит два вида продукции
X и У. 1 кг X приносит прибыль а руб., требует Ъ кг ресур-
са А и с кг ресурса В. 1 кг У приносит прибыль d руб., тре-
бует е кг ресурса А и f кг ресурса В. Суммарный запас ре-
сурсов g кг (А) и Л кг (В). При каком объеме производства
прибыль будет максимальна?
а ь с d е f g h
391 9 3 4 3 3 1 100 80
392 5 5 4 3 1 8 90 80
393 7 7 3 2 5 7 200 50
394 2 4 8 2 9 4 50 200
395 1 8 3 4 5 2 90 90
398 4 6 2 8 8 9 80 90
397 3 7 . 4 6 7 7 80 100
398 7 4 6 1 8 8 60 80
399 3 2 1 7 9 2 90 70
400 1 4 2 5 5 5 200 90
401-410. На изготовление первой единицы продукции
потребовалось У1 ч. Уровень обучения L%. Определить,
260
сколько времени потребуется на изготовление А-ой единицы
продукции.
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410
Ут 11 19 12 17 9 10 15 8 13 14
L 75 90 95 72 88 92 82 94 71 73
k 3 9 4 8 6 3 9 4 8 6
411-420. На изготовление m-ой единицы продукции по-
требовалось Ym ч. Уровень обучения L%. Определить, сколь-
ко времени потребуется на изготовление и-ой единицы про-
дукции.
411 412 413 414 415 416 417 418 419 420
т 3 9 4 8 6 3 9 4 8 6
L 75 90 95 72 88 92 82 94 71 73
п 7 12 8 11 10 9 13 10 14 13
Ym 11 19 12 17 9 10 15 8 13 14
421-430. На изготовление m-ой и n-ой единиц продук-
ции потребовалось Ym мин и Yn мин соответственно. Опре-
делить уровень обучения.
421 422 423 424 425 426 427 428 429 430
т 3 9 4 8 6 3 9 4 8 6
Ym 75 90 95 72 88 92 82 94 71 73
п 7 12 8 11 10 9 13 10 14 13
Yn 61 79 72 57 69 70 65 78 53 54
431-440. а) Для ремонта техники требуются соответст-
вующие детали. При их изготовлении собственными силами
постоянные затраты на содержание оборудования составят
d руб./год, а переменные расходы на единицу продукции —
е руб./ед. Готовые детали можно в неограниченном количе-
стве приобрести по цене b руб./ед. Определить наименее за-
тратный вариант.
б) Цена продажи единицы продуктов АиВ равна соот-
ветственно а руб. и Ь руб., а переменные затраты на едини-
цу продуктов АиВ — соответственно е руб. и с руб. Затра-
ты машинного времени на единицу продуктов АиВ равны
соответственно f ч и g ч. Общий ресурс машинного времени
ограничен. Определить порядок приоритетности в производ-
стве продуктов АиВ.
в) Чистая операционная прибыль после уплаты налогов
равна d руб. Требуемая инвесторами ставка прибыли состав-
ляет f%, а инвестированный капитал — h руб. Определить
экономическую добавленную стоимость.
261
г) Предприятие производит продукты А и В. Доли выпу-
ска продуктов А и В в суммарном объеме реализации равны
соответственно тип. Постоянные затраты за год составят
h руб. Цена реализации единицы продуктов А и В равна со-
ответственно а руб. и Ъ руб., а переменные затраты на еди-
ницу продуктов А и В — с руб. и е руб. соответственно. Оп-
ределить точки безубыточности продуктов.
д) Объем реализации продуктов А и В предприятия из
пункта г) равен соответственно р и [пхр/т] (целая часть) еди-
ниц. Определить возможное значение прибыли или убытка.
d е а b с f g h т п Р
441 111000 116 154 144 126 4 8 513750 0,7 0,3 4000
442 113700 117 155 143 127 5 4 513775 0,4 0,6 3000
443 113800 118 150 141 128 6 6 513675 0,3 0,7 2000
444 113900 119 152 134 129 3 5 513850 0,2 0,8 1000
445 113650 113 153 139 123 7 3 513950 0,65 0,35 6000
446 113750 114 144 154 124 8 4 511000 0,55 0,45 3500
447 113775 112 143 155 122 4 5 513700 0,75 0,25 4500
448 113675 121 141 150 121 6 7 513800 0,45 0,55 6500
449 113850 122 134 152 122 5 3 513900 0,35 0,65 1500
450 113950 123 139 153 123 3 7 513650 0,25 0,75 2500
451-460. а) Предприятие производит из одного сырья
продукты А и В. Комплексные затраты перед точкой разде-
ла составили d руб. Продукты А и В продаются без допол-
нительной дальнейшей обработки. Реализовано е л продукта
А по цене а руб./л и b л продукта В по цене с руб./л. Рас-
пределить затраты методом стоимости в точке раздела.
б) Распределить затраты в пункте а) методом натураль-
ных показателей.
в) В пункте а) продукты А и В после точки раздела под-
вергаются дальнейшей обработке. Продукт А перерабатыва-
ется в продукт Ai (дополнительные затраты h руб.). Про-
d е а Ъ с f g h Р
451 41000 716 144 554 126 174 156 13750 14000
452 43700 717 143 555 127 173 157 13775 13000
453 43800 718 141 550 128 171 158 13675 12000
454 43900 719 134 552 129 174 159 13850 11000
455 43650 713 139 553 123 179 153 13950 16000
456 43750 714 154 544 124 174 154 11000 13500
457 43775 712 155 543 122 175 152 13700 14500
458 43675 721 150 541 121 170 151 13800 16500
459 43850 722 152 534 122 172 152 13900 11500
460 43950 723 153 539 123 173 153 13650 12500
262
дукт В перерабатывается в продукт В± (дополнительные за-
траты р руб.). Реализовано е л продукта по цене f руб./л
и b л продукта по цене g руб./л. Распределить затраты
методом чистой реализации.
г) В пункте в) распределить затраты методом постоянно-
го процента валовой прибыли.
263
ЛИТЕРАТУРА
Атрилл IL, МакЛейни Э. Управленческий учет для нефинан-
совых менеджеров. — Днепропетровск: Баланс-Клуб, 2003.
Просветов Г. И. Анализ хозяйственной деятельности предпри-
ятия: Задачи и решения. 2-е изд. — М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Бизнес-планирование: Задачи и решения. —
М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Математика в экономике: Задачи и решения.
2-е изд. — М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Математические методы в экономике. 2-е изд.
— М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Математические модели в экономике. — М.:
Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Прогнозирование и планирование: Задачи и
решения. — М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г, И, Финансовый менеджмент: Задачи и решения.
— М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Цены и ценообразование: Задачи и решения.
— М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г, И. Эконометрика. Задачи и решения. 2-е изд. —
М.: Издательство РДЛ, 2005.
Хорнгрен Ч. Т„ Фостер Дж. Бухгалтерский учет: управленчес-
кий аспект. — М.: Финансы и статистика, 2004.
264
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................................. 3
ГЛАВА 1. Зачем нужен управленческий учет? ............... 6
ГЛАВА 2. Основные понятия, используемые при составлении
финансовой отчетности .....................*............. 8
2.1. Бухгалтерский баланс ............................. 8
2.2. Активы ........................................... 8
2.3. Пассивы .......................................... 9
2.4. Собственный капитал............................... 9
2.5. Отчет о движении денежных средств ............... 10
2.6. Счет прибылей и убытков ......................... 10
2.7. Расчет прибыли .................................. 10
ГЛАВА 3. Оценка запасов товарно-материальных ценностей 12
3.1. Метод оценки запасов ФИФО ....................... 12
3.2. Метод оценки запасов ЛИФО ....................... 14
3.3. Метод оценки запасов по средневзвешенной......... 15
3.4. Влияние различных методов оценки запасов на расчет
прибыли .............................................. 16
ГЛАВА 4. Амортизация ................................. 18
4.1. Метод равномерного начисления износа ............ 18
4.2. Метод начисления износа с сокращающейся балансовой
стоимости ............................................ 19
4.3. Метод суммы годичных чисел ...................... 21
4.4. Сравнение методов начисления амортизации ........ 21
ГЛАВА 5. Расчет задолженности на конец отчетного периода 23
5.1. Расчет дебиторской задолженности на конец отчетного
периода ......................................... 23
5.2. Расчет кредиторской задолженности на конец отчетного
периода ..............................;.......... 23
ГЛАВА 6. Анализ результатов деятельности предприятия .... 25
6.1. Интерпретация документов финансовой отчетности .. 25
6.2. Суть анализа финансовых коэффициентов ........... 25
6.3. Эффективность использования ресурсов ............ 26
6.3.1. Коэффициент оборачиваемости активов ...... 26
6.3.2. Ликвидность .............................. 27
6.3.3. Влияние хозяйственных операций на уровень лик-
видности ........................................ 29
265
6.4. Рентабельность ................................... 32
6.5. Оценка финансовых результатов деятельности предприя-
тия .................................................. 33
ГЛАВА 7. Учет затрат..................................... 35
7.1. Центры затрат .................................... 35
7.2. Центры прибыли ................................... 36
7.3. Нормативные и фактические затраты ................ 36
ГЛАВА 8. Факторы производства и затраты ................ 37
8.1. Факторы производства ............................. 37
8.2. Классификация затрат ............................. 37
ГЛАВА 9. Функциональная калькуляция себестоимости ....... 40
9.1. Сравнение традиционной и функциональной систем каль-
куляция себестоимости ........................... 40
9.2. Расчет себестоимости с помощью традиционной и функ-
циональной систем учета затрат .................. 43
ГЛАВА 10. Анализ отклонений.............................. 48
10.1. Отклонения по материалам ........................ 48
10.2. Отклонение по трудозатратам ..................... 50
10.3. Переменные производственные накладные расходы ... 51
10.4. Отклонение по постоянным накладным расходам ..... 53
10.5. Отклонения по реализации продукции .......... 53
ГЛАВА 11. Основные понятия финансовой математики ........ 55
ГЛАВА 12. Простые ставки ссудных процентов .............. 57
12.1. Математическое дисконтирование .................. 58
12.2. Английская, немецкая и французская практики начис-
ления процентов ..............................:.. 59
ГЛАВА 13. Сложные ставки ссудных процентов .............. 60
13.1. Математическое дисконтирование .................. 61
13.2. Случай, когда период начисления не является целым чис-
лом .................................................. 61
13.3. Начисление сложных процентов несколько раз в году.
Номинальная процентная ставка ................... 62
ГЛАВА 14. Модели финансовых потоков ................... 63
14.1. Основные понятия ................................ 63
14.2. Нахождение наращенной суммы для простой ренты пост-
нумерандо ............................................ 64
14.3. Нахождение наращенной суммы для простой ренты пре-
нумерандо ............................................ 65
14.4. Определение современной стоимости для простой ренты 65
14.5. Определение величины отдельного платежа для простой
ренты ................................................ 67
14.6. Определение срока простой ренты ................. 68
14.7. Определение процентной ставки для простой ренты . 70
14.8. Простая бессрочная рента ........................ 70
266
ГЛАВА 15. Облигации .................................... 72
15.1. Основные определения ........................... 72
15.2. Основной метод оценки стоимости облигаций ...... 73
15.3. Норма прибыли облигации ........................ 73
15.4. Доходность облигации при погашении в конце срока .... 74
15.4.1. Метод средних............................ 75
15.4.2. Метод интерполяции ...................... 75
15.5. Доходность отзывных облигаций .................. 76
ГЛАВА 16. Акции ........................................ 79
16.1. Привилегированные акции ........................ 79
16.2. Обыкновенные акции ......................... ' 80
16.3. Оценка стоимости акций ......................... 82
16.4. Акции нулевого роста .......................*... 82
16.5. Акции нормального роста ........................ 83
16.6. Акции избыточного роста ........................ 84
ГЛАВА 17. Структура капитала ........................... 86
17.1. Гиринг (леверидж) .............................. 86
17.2. Влияние гиринга (левериджа) на прибыль акционеров .. 87
ГЛАВА 18. Анализ каналов формирования прибыли .......... 89
ГЛАВА 19. Дерево решений................................ 94
ГЛАВА 20. Принятие решений ............................. 99
20.1. Принятие решений без использования численных значе-
ний вероятностей исходов ............................ 99
20.1.1. Максимаксное и максиминное решения ...... 99
20.1.2. Минимаксное решение .................... 100
20.1.3. Критерий Гурвица ....................... 101
20.2. Принятие решений с использованием численных значе-
ний вероятностей исходов ........................... 102
20.2.1. Правило максимальной вероятности ....... 102
20.2.2. Максимизация ожидаемого дохода.......... 103
20.2.3. Ожидаемая стоимость полной информации .. 104
ГЛАВА 21. Применение математического ожидания и стан-
дартного отклонения для оценки риска .................. 106
ГЛАВА 22. Временные ряды .............................. 108
22.1. Анализ аддитивной модели ...................... 108
22.2. Анализ мультипликативной модели ............... 112
ГЛАВА 23. Экспоненциальное сглаживание ................ 115
23.1. Простая модель экспоненциального сглаживания .. 115
23.2. Экспоненциальное сглаживание с поправкой на тренд ... 116
ГЛАВА 24. Контролируемый прогноз....................... 118
ГЛАВА 25. Управление запасами ......................... 120
25.1. Основные понятия .............................. 120
267
25.2. Основная модель управления запасами ............ 120
25.3. Модель экономичного размера партии ............. 122
25.4. Скидка на количество ........................... 123
25.5. Модель производства партии продукции ........... 124
25.6. Модель планирования дефицита ................... 125
25.6.1. Случай невыполнения заявок .............. 126
25.6.2. Случай выполнения заявок ................ 127
25.7. Неопределенность и основная модель управления запасами 128
25.8. Уровневая система повторного заказа ............ 129
25.8.1. Достижение минимальной стоимости ....... ^29
25.8.2. Достижение минимального уровня обслуживания 132
25.9. Циклическая система повторного заказа .......... 133
25.10. Другие вопросы управления запасами ............ 134
ГЛАВА 26. Составление финансовой сметы ................. 135
26.1. Возможные подходы к составлению финансовой сметы .. 135
26.2. Общая финансовая смета .....................^.... 136
26.2.1. Кассовая консолидированная смета ........ 136
26.2.2. Смета текущих расходов .................. 139
26.2.3. Сметный отчет о прибылях и убытках ...... 140
26.2.4. Сметный баланс .......................... 141
ГЛАВА 27. Сметный контроль ............................. 143
ГЛАВА 28. Анализ безубыточности ........................ 146
28.1. Ограничения анализа безубыточности ............. 146
28.2. Точка безубыточности ........................... 146
28.3. Возможное значение прибыли или убытка .......... 147
28.4. Альтернативные стратегии бизнеса ............... 148
28.5. Анализ чувствительности ........................ 148
28.6. Влияние изменений цены реализации на объем продаж 149
ГЛАВА 29. Скидка с цены (уценка) ....................... 152
ГЛАВА 30. Принятие краткосрочных решений ............... 153
ГЛАВА 31. Ценообразование .............................. 155
31.1. Проблемы ценообразования ....................... 155
31.2. Влияние затрат на ценообразование .............. 156
31.3. Ценообразование по схеме двойного тарифа ....... 156
31.4. Ценовая дискриминация .......................... 157
31.4.1. Условия осуществления и цели ценовой дискри-
минации ......................................... 157
31.4.2. Ценовая дискриминация первой степени .... 157
31.4.3. Ценовая дискриминация второй степени .... 158
31.4.4. Ценовая дискриминация третьей степени ... 159
ГЛАВА 32. Методы оценки инвестиций в условиях определен-
ности ................................................... 161
32.1. Альтернативные издержки по инвестициям ......... 161
32.2. Метод чистой приведенной стоимости ............. 162
32.3. Метод внутренней нормы доходности .............. 164
268
32.4. Сравнение методов чистой приведенной стоимости и вну-
тренней нормы доходности ............................ 165
32.5. Метод окупаемости ............................ 166
32.6. Учетный коэффициент окупаемости инвестиций ... 167
ГЛАВА 33. Налогообложение и инвестиционные решения ... 170
33.1. Влияние налогов на величину чистой приведенной стои-
мости инвестиционного проекта ....................... 170
33.2. Прибыли или убытки от продажи имущества ...... 172
33.3. Налоговые льготы, направленные на стимулирование ин-
вестиций ............................................ 173
ГЛАВА 34. Сравнение инвестиционных проектов с разными
сроками реализации .................................... 174
ГЛАВА 35. Замена оборудования ........................ 176
ГЛАВА 36. Инфляция ................................... 178
ГЛАВА 37. Оценка чистой приведенной стоимости инвестици-
онного проекта в условиях инфляции .................... 180
ГЛАВА 38. Лизинг ..................................... 182
38.1. Преимущества и недостатки лизинга ............ 182
38.2. Сравнительный анализ эффективности лизинга и банков-
ского кредитования покупки основных средств ..... 182
ГЛАВА 39. Анализ инвестиционных проектов, поддающихся
дроблению ............................................. 185
ГЛАВА 40. Дерево вероятностей инвестиционного проекта .... 187
ГЛАВА 41. Стоимость капитала ......................... 190
41.1. Стоимость облигаций, выпущенных инвестором ... 190
41.2. Стоимость кредита............................. 190
41.3. Стоимость акционерного капитала .............. 191
41.4. Средневзвешенная стоимость капитала .......... 191
ГЛАВА 42. Модель оценки финансовых активов ........... 194
42.1. Вложение капитала в различные ценные бумаги .. 194
42.2. Основные предположения модели оценки финансовых ак-
тивов ............................................... 194
42.3. Теорема разделения ........................... 195
42.4. Рыночный портфель ...*........................ 195
42.5. Взаимосвязь между уровнем риска инвестиций и требуе-
мой нормой прибыли .................................. 196
42.6. Учет инфляции ................................ 197
ГЛАВА 43. Анализ сбалансированности денежных потоков ... 198
ГЛАВА 44. Обучаемость в производстве ................. 201
44.1. Кривые обучения .............................. 201
269
44.2. Уровень обучения .............................. 201
44.3. Определение затрат на производство продукции .. 202
44.4. Определение уровня обучения.................... 203
ГЛАВА 45. Трансфертное ценообразование на предприятиях
со сложной структурой ................................ 204
ГЛАВА 46. Эластичность экономических функций .......... 206
46.1. Эластичность спроса от цены ................... 206
46.2. Эластичность предложения от цены .............. 207
46.3. Коэффициенты эластичности спроса для случая функции
многих переменных .................................. 208
ГЛАВА 47. Обоснование решения «производить или поку-
пать» ................................................ 211
ГЛАВА 48. Маржинальный доход .......................... 212
ГЛАВА 49. Экономическая добавленная стоимость ......... 214
ГЛАВА 50. Многопродуктовая модель...................... 216
50.1. Точки безубыточности продуктов ................ 216
50.2. Возможное значение прибыли или убытка ......... 217
ГЛАВА 51. Затраты комплексных производств ............. 219
51.1. Метод стоимости в точке раздела ............... 219
51.2. Метод натуральных показателей ................. 220
51.3. Метод чистой реализации ....................... 220
51.4. Метод постоянного процента валовой прибыли..... 222
ГЛАВА 52. Линейное программирование ................... 223
Ответы ................................................ 225
Программа учебного курса «Управленческий учет» ........ 230
Задачи для контрольной работы по курсу «Управленческий учет» 238
Литература ............................................ 264
270
ИЗДАТЕЛЬСТВО «РДЛ» ПРЕДЛАГАЕТ:
Просветов Г. И. Анализ хозяйственной деятельности
предприятия: Задачи и решения: Учебно-методическое
пособие. 3-е изд. — М.: Издательство РДЛ, 2006. — 192 с.
В учебно-методическом пособии на простых примерах
раскрываются такие разделы анализа хозяйственной дея-
тельности предприятия, как оценка запасов товарно-мате-
риальных ценностей, амортизация, расчет задолженности
на конец отчетного периода, анализ результатов деятель-
ности предприятия, простые и сложные проценты, модели
финансовых потоков, акции, облигации, доходы инвесто-
ров, анализ каналов формирования прибыли, прогнозиро-
вание (временные ряды, экспоненциальное сглаживание),
учет затрат, составление финансовой сметы, сметный кон-
троль, факторы производства и затраты, анализ безубы-
точности, принятие краткосрочных решений, ценообразо-
вание, функциональная калькуляция себестоимости, ана-
лиз отклонений, трансфертное ценообразование, слияние
предприятий, анализ качества продукции, анализ ритмич-
ности работы предприятия, анализ движения и техничес-
кого состояния основных средств, анализ материалоотда-
чи, анализ производительности труда, обоснование реше-
ния «производить или покупать», анализ сбалансирован-
ности денежных потоков, моделирование достижимого рос-
та, методы рейтинговой оценки финансового состояния
предприятия.
Пособие содержит программу курса, задачи для само-
стоятельного решения с ответами и задачи для контроль-
ной работы. Издание рассчитано на преподавателей и сту-
дентов экономических специальностей высших учебных за-
ведений.
По вопросам приобретения книг обращаться по адресу
119991, Москва, ул. Вавилова, д. 30/6, к. 12А.
Тел./факс: (495) 135-98-93. E-mail: rdl@rinet.ru
ПРОСВЕТОВ Георгий Иванович
УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ
УЧЕТ
Задачи и решения
У чебно-методическое
пособие
Лицензия ИД № 00834 от 25 января 2000 г.
Сдано в набор 10.04.2006. Подписано в печать 23.05.2006.
Формат 84x108 1/32. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Тираж 700 экз.
Заказ № 36У
Научный редактор В. М. Трояновский.
Оригинал-макет подготовлен с использованием редакционно-
издательского комплекса на базе ПЭВМ «Макинтош».
Начальник редакции В. М. Дубильт.
ООО «Издательство РДЛ».
119991, Москва, ул. Вавилова, д. 30/6.
Телефон/факс: (095) 135-98-93.
E-mail: rdl@rinet.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в Загорской типографии.
141300, Московская область, г. Сергиев Посад,
пр. Красной Армии, д. 212Б.