ДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ
Ик. М DCUIIM! |т,,^гл

M. WENNINGER
Cambridge/ Cambridge University Press 1971
POLYHEDRON MODELS
М. ВЕННИНДЖЕР
МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ
Перевод с английского
В. В. Фирсова
Под редакцией и с послесловием
И. М. Яглома
Издательство «Мир»
Москва 1974
513
В29
Веннинджер М.
В 29 Модели многогранников. Пер. с англ.
В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Ягло-
ма., М., «Мир», 1974.
236 с. с илл.
Книга Веннинджера — практическое пособие по изготов-
лению многогранников: правильных и полуправильных, вы-
пуклых и звездчатых. Фундаментальная теория симметрии,
лежащая в основе данной темы, придает книге широкое позна-
вательное значение.
Книга «Модели многогранников», снабженная вырази-
тельными фотографиями и чертежами, вызовет интерес и
принесет несомненную пользу широкому кругу читателей и
в первую очередь преподавателям математики и руководи-
телям математических кружков, студентам и школьникам,
которые захотят поближе познакомиться с этими изящными
геометрическими объектами.
20202—182
В----------182-74	513
041(01)—74
Редакция научно-популярной и научно-фантастцческой литературы
© Перевод на русский язык, «Мир», 1974.

МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ,
НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ — КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ
И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ
И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ,
КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ
ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА.
Бертран Рассел
1
От автора
Эта книга знакомит вас с описаниями 75 известных в настоящее время
однородных многогранников и большого числа их звездчатых форм.
Приведенные в ней краткие математические сведения позволяют четче
выявить отношения, в которых находятся между собой различные
тела. Но основу книги составляют инструкции, пользуясь которыми
вы сможете самостоятельно строить модели многогранников.
В конце книги приводятся ссылки на математическую литературу,
относящуюся к рассмотренной теме. Возможно, ранее вас не слишком
увлекала геометрия, да и теперь вы не склонны считать этот предмет
особо притягательным. Если это так, то вряд ли специальные книги
пробудят в вас интерес к геометрии. Читателю же нашей книги вовсе
не обязательно знать математическую теорию, которая изучает и клас-
сифицирует многогранники. Однако полностью избежать математики,
особенно там, где речь идет о терминологии и обозначениях, ему не
удастся.
Создавая эту книгу, я стремился дать читателю простые, удобные
и не слишком умозрительные указания, достаточные для построения
моделей многогранников. Приходится лишь удивляться, сколь по-
учительно это занятие и как много оно дает. Раз начав, вы и не заме-
тите, как вас затягивает все глубже. Вы почувствуете красоту различ-
ных форм, и она будет сродни той красоте, которую находит матема-
тик в мире дорогих его сердцу абстракций.
Возможно, число моделей, описанных в предлагаемой вашему
вниманию книге, покажется вам чрезмерным, а кое-какие из них —
крайне сложными. И тогда вы спросите себя: «А зачем я хочу их по-
строить?» Быть может, ответ на этот вопрос подскажет вам такая
притча. Альпиниста как-то спросили: «Почему тебя так тянет Мат-
терхорн1 ?» «Но ведь это гора!»— ответил альпинист.
Возможно, при виде наших моделей кто-нибудь спросит: «Какая
от них польза?» На это позволительно ответить так: «А разве все
красивое полезно?» Впрочем, нетрудно усмотреть известную пользу,
которую приносят модели в качестве декоративных украшений. Ими
хорошо украсить комнату или праздничный стол. А как красивы блес-
тящие звезды на елке! На страницах этой книги вас ждет изобилие
декоративных форм — возможность выбора обеспечена.
Рассматривая многогранные формы, характерные для космиче-
ских устройств, вы обнаружите приложения, имеющие более серьез-
ное прикладное значение. Наконец, в книге можно найти множество
примеров, позволяющих судить о применении многогранников в
архитектуре и строительстве, особенно если обратить внимание на
конструкции сложных «геодезических» куполов и перекрытий. Впро-
чем, многие из представленных здесь многогранников ранее никогда
не использовались. Видимо, это объясняется тем, что они почти нико-
му не известны.
Все модели, описанные в книге и показанные на фотографиях,
мною изготовлены. Быть может, вам интересно знать, как давно я
этим занимаюсь? Впервые я обратился к этой теме в 1958 году. На
следующий год я уже смастерил первые модели — их вы можете
увидеть в первой части книги. Основным источником информации
для меня служила книга «Математические развлечения» Кокстера и
Болла [15]. В 1959—1961 годах я воспроизвел все модели, описанные
1 Маттерхорн — одна из самых трудных и опасных для восхождения вершин Альп. —
Здесь и далее примечания редакции.
7
в книге Канди и Роллетта «Математические модели» [19], после чего
взялся за «Пятьдесят пять икосаэдров» Кокстера, Дюваля, Флэзера и
Петри [17]. При этом мне удалось разработать весьма удобную тех-
нологию изготовления моделей. Те из них, что украшают ныне зад-
нюю стену класса, где я преподаю математику, сделаны в 1961—1963
годах. В среднем каждая модель отнимала у меня около восьми часов;
еще три-четыре часа я тратил на подготовку исходного материала.
По завершении этой работы я обратился к профессору Кокстеру с
просьбой прислать мне экземпляр его статьи «Однородные много-
гранники» [18]. Кокстер был столь любезен, что выслал мне надпи-
санный экземпляр, один из трех еще остававшихся у него. В этой рабо-
те содержится детальное изложение математических вопросов теории
однородных многогранников; однако, имея целью конструирование
моделей, я сосредоточил свое внимание не на теоретической ее части,
а на собранных в конце статьи чертежах, изготовленных Дж. Мил-
лером. Мне хотелось понять устройство Этих многогранников, а для
этого следовало определить, как они выглядят «с лица». Соответст-
вующие чертежи представлены теперь в настоящей книге. Я также
изучал приложенные к «Однородным многогранникам» и выполнен-
ные М. Лонге-Хиггинс фотографии проволочных моделей. Однако
на этих фотографиях показывалось одновременно несколько совме-
щенных моделей — а это совсем не так удобно для практического
использования, как, скажем, включенные в эту книгу фотографии.
Время, которое я затратил на изготовление моделей невыпуклых
однородных многогранников, в существенной степени зависело от
характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более
трех-четырех часов, в среднем же приходилось затрачивать восемь-
десять часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-трид-
цать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов каждая.
Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что ее
объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит: «Если ты
собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг».
За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся
взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути.
М. Веннинджер
Предисловие
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей
своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребенка, играю-
щего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающе-
гося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники»
[11]. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются
в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно
рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили
шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории ци-
вилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду
с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять
правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.
Значительная часть этой книги посвящена однородным многогран-
никам, грани которых — правильные многоугольники — вблизи лю-
бой вершины расположены в одном порядке. (Такой многогранник
называется правильным, если все ограничивающие его многоугольники
одинаковы.) ’Согласно теореме Евклида, применимой ко всем выпук-
лым многогранным углам, в любом из них сумма плоских углов при
вершине меньше 360°. Изготовив самостоятельно несколько моделей,
читатель заметит, что разность между 360° и этой суммой для одних
тел может оказаться значительной (так, у куба, который имеет 8 мно-
гогранных углов, для каждого угла рассматриваемая разность состав-
ляет 90°), а для других, у которых многогранных углов больше, раз-
ность окажется гораздо меньшей (так, для курносого1 додекаэдра,
имеющего 60 углов, она равна всего 12°). Подобные наблюдения
привели Рене Декарта (1596—1650) к открытию и доказательству
теоремы, утверждающей, что сумма всех таких разностей (математи-
ки называют их угловыми дефектами) неизменно равна 720°1 2.
Приблизительно в это же время Иоганн Кеплер (1571—1630)
написал этюд «О снежинке», в котором высказал такое замечание:
«Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных —
куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо
у октаэдра столько углов, сколь у куба граней». Кеплер первым опуб-
ликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те
названия, под которыми они известны поныне. (Труд самого Архиме-
да утрачен; как полагают, его рукопись погибла во время знаменитого
пожара Александрийской библиотеки, столь едко описанного в пьесе
Бернарда Шоу «Цезарь и Клеопатра».) Кеплеру же принадлежит за-
слуга в постановке проблемы перечисления изозоноэдров (выпуклых
многогранников, грани которых суть равные ромбы); он также внес
первый вклад в ее решение, открыв ромбододекаэдр и триаконтаэдр.
Однако с позиций этой книги, пожалуй, наиболее существенный вклад
Кеплера в теорию многогранников заключался в предложении рас-
сматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, по-
добными пентаграмме (см. рис. 21). По всей вероятности, Кеплер не
подозревал о существовании более ранней работы Томаса Бредвер-
дайна (1290—1349) (ставшего архиепископом Кентерберийским3 в
1 В отечественной литературе соответствующие многогранники часто называются
«плосконосыми», однако нам кажется более правильным переводить английский тер-
мин snub как «курносый».
2 Это наблюдение привело его также к установлению известного соотношения меж-
ду числами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, сегодня обычно назы-
ваемого теоремой Эйлера (см. стр. 10).
3 Главой англиканской церкви.
9
последний месяц своей жизни), посвященной звездчатым многоуголь-
никам.
В знаменитом соборе в Солсбери столько интересных реликвий,
что лишь немногие посетители бросят взгляд на надгробие Томаса
Горджеса, усопшего в 1610 году. А между тем резьба на могильном
камне содержит изображения додекаэдра, трех икосаэдров и двух
кубооктаэдров. На камне вырезаны скелетные каркасы этих тел в
манере, близкой к использованной Леонардо да Винчи при построе-
нии моделей однородных многогранников с каркасом из прутьев.
Несколькими милями к юго-западу расположена деревушка Уим-
борн Сент-Джиле, где в 1627 году был похоронен Энтони Эшли. Его
надгробие украшает усеченный икосаэдр, причем изображен не кар-
кас, а сам многогранник, подобный модели 9 этой книги.
Со времен Декарта многие великие математики также уделяли
внимание нашей теме. Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу
В—Р + Г=2,
связывающую числа вершин, ребер и граней любого выпуклого мно-
гогранника1. Гаусс применил неправильную сферическую пентаграм-
му (его pentagramma mirificum) к объяснению правил Напье из сфе-
рической тригонометрии. Коши доказал, что всякий выпуклый мно-
гогранник с жесткими гранями, шарнирно соединенными в ребрах,
остается тем не менее твердым телом. Гамильтон придумал икоса-
эдралъную игру1 2. Фон Штаудт дал новое доказательство формулы
Эйлера. Шлефли распространил этот результат на случай п измерений.
Большое влияние имела книга Клейна «Лекции об икосаэдре»3.
Е. С. Федоров продолжил исследование Кеплера по проблеме изозо-
ноэдров, обнаружив весьма необычный, как бы сплющенный ромбо-
икосаэдр. И наконец, совсем недавно, в 1960 году, Билински завершил
перечисление этих тел открытием еще одного ромбододекаэдра, при-
чем этот последний можно поместить в ящик с измерениями 1, т и
т2 (где через т обозначено число (Л’ч- 1)/2, выражающее знамени-
тую «божественную пропорцию», или «золотое сечение»).
Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, дает
ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных
многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями мо-
делей из собрания автора — возможно, наиболее полного в настоящее
время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия
самих моделей. Наиболее сложные «курносые» модели не только
крайне трудны в изготовлении, но и весьма декоративны. Это ли не
превосходный пример родства истины и красоты!
Г. С. М. Кокстер
1 Эта формула доказывается в большом числе научных и научно-популярных со-
чинений, среди которых, наряду с учебниками [1] и [2], статьей [3], пособиями [4], [8]
и монографией [5], уместно упомянуть следующие: Д. П о й а, Математическое
открытие, М., изд-во «Наука», 1970, гл. 15; И. Лакатос, Доказательства и опро-
вержения, М,, изд-во «Наука», 1967.
2 См. § 5 гл. II рассчитанной на учащихся средних школ книги О. О р е, Графы и
их применение, М., изд-во «Мир», 1965.
3 К 1 е i n F., Vbrlesungen liber das Ikosaeder und die Auflossung der Gleichungen
yom funften Grade, Leipzig, Teubner, 1884; последнее (английское) издание: Klein F.,
The Icosahedron and the Solution of Equations of the Hfth Degree, N. Y., Dover Publ., 1956.
В этой книге Феликс Клейн использует специфические свойства симметрии икосаэдра
для доказательства неразрешимости в радикалах уравнений степени п >5 (то есть того,
чтобы установить отсутствие общей формулы, выражающей корни уравнения Оох« +
-t- а\хп~' + ... + ап-хх + ап = 0, где п >5, через его коэффициенты’). Коротко об
этом рассказывается и в книге Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения
высшей, т. I, М. — Л., ОНТИ, 1935, стр. 182—237.
ВВЕДЕНИЕ
Однородные
многогранники
При первом же знакомстве с этой те-
мой у вас возникает естественный во-
прос: что такое многогранник? Вы
можете припомнить, что собственно
геометрию определяют иногда (не
вполне точно) как науку о простран-
стве и пространственных фигурах —
двумерных в планиметрии и трехмер-
ных в стереометрии. Возможно, вам
также знакомо понятие множества.
Если использовать теоретико-множе-
ственный язык, то фигуру на плоскости
можно бы было описать как множество
отрезков прямых, ограничивающих
часть плоскости. Такая плоская фигура
называется многоугольником. Из этого
следует, что многогранник можно оп-
ределить как множество многоуголь-
ников, ограничивающих часть трех-
мерного пространства.
Все термины, которыми мы будем
пользоваться в нашей книге, пришли к
нам от древних греков. Влияние зна-
менитого греческого мыслителя Пла-
тона сказалось и на «Началах» Евкли-
да. В этой книге, которая на протяже-
нии веков была единственным учебни-
ком геометрии, дано описание «идеаль-
ных» линий и «идеальных» фигур.
Самая идеальная линия — прямая и
самый идеальный многоугольник —
правильный многоугольник, ины-
ми словами, многоугольник, имеющий
равные стороны и равные углы. Про-
стейшим правильным многоугольни-
ком можно считать равносторонний
треугольник, поскольку он имеет наи-
меньшее число сторон, которое мо-
жет ограничивать часть плоскости. Ин-
тересно, что «Начала» Евклида откры-
ваются описанием построения правиль-
ного треугольника и заканчиваются
изучением пяти правильных много-
гранных тел! Каждый из этих пяти
многогранников имеет гранями пра-
вильные многоугольники одного типа.
В наше время они известны под име-
нем пяти платоновых тел. Тетраэдр,
гранями которого являются четыре
равносторонних треугольника, можно
считать трехмерным аналогом плос-
кого правильного треугольника, по-
скольку он имеет меньше всего граней,
отделяющих часть трехмерного про-
странства.
Общую картину интересующих нас
правильных многоугольников наряду
с равносторонним (правильным) тре-
угольником составляют: квадрат (че-
тыре стороны), Пентагон (пять сторон),
гексагон (шесть сторон), октагон (во-
семь сторон) и декагон (десять сторон);
при этом, разумеется, все стороны и
все углы каждого из них должны быть
равны между собой. Как только вы
приступите к построению моделей,
описанных в этой книге, вам не соста-
вит особого труда научиться точно
вычерчивать эти фигуры; к тому же
вы познакомитесь с важнейшими их
свойствами. В частности, вам важно
будет знать величины внутренних уг-
лов многоугольников в градусах. Не
все многоугольники вы найдете на
гранях правильных тел: этими гранями
служат лишь три из них. Гексаэдр
(шесть граней), обычно называемый
кубом, имеет квадратные грани; грани
октаэдра (восемь граней) — равносто-
ронние треугольники; все грани доде-
каэдра (двенадцать граней) — пента-
гоны; наконец, гранями икосаэдра яв-
ляются двадцать равносторонних тре-
угольников. «Начала» Евклида завер-
шаются доказательством того, что су-
ществуют пять и только пять правиль-
ных многогранников.
Чтобы прийти к идее этого доказа-
тельства, вам стоит немного поэкспе-
риментировать с картонными много-
угольниками. Подобно тому как две
стороны многоугольника соединяются
в вершине, так и любые две грани мно-
гогранника соединяются общей сторо-
ной (или пересекаются вдоль общей
стороны — что то же самое). Эти сто-
роны принято называть ребрами мно-
гогранника. Каждое ребро является
общей стороной двух и только двух
многоугольных граней. Сами ребра
сходятся в точках, именуемых верши-
нами многогранника.
11
В тетраэдре в каждой вершине схо-
дятся три ребра, иными словами, каж-
дая вершина окружена тремя треуголь-
никами. Если развернуть эти треуголь-
ники на плоскость, можно подсчитать,
сколько градусов содержит получен-
ный при этом их общий угол. Посколь-
ку внутренний угол равностороннего
треугольника равен 60°, три таких угла
дадут в сумме 3 х 60° = 180°. Если мы
приложим к нему еще один равносто-
ронний треугольник, то получим в
сумме 240°. Но в таком случае мы
придем к развертке вершины октаэдра.
Добавление еще одного треугольника
дает 300°, и мы получаем развертку
вершины икосаэдра. Наконец, добав-
ление шестого треугольника дает пол-
ный угол в 360° — и мы сразу убежда-
емся, что он не может соответствовать
никакой вершине многогранника1.
Перейдем к квадратам. Естественно,
что наименьшее их число равно трем.
Три раза по 90° дают 270°; так полу-
чается вершина куба. Добавляя еще
один квадрат, мы снова приходим к
полному углу в 360° — и останавлива-
емся. Для пятиугольников минималь-
ное число граней — три — дает нам
вершину додекаэдра; если же мы возь-
мем более трех пентаграмм, то сум-
марный угол даже превзойдет 360°.
Для шестиугольников (гексагонов) уже
и минимальное их число — три —
слишком велико: три раза по 120° сра-
зу дают 360°. Поэтому правильного
многогранника с гексагональными гра-
нями не существует. Тем более не
подходят правильные многоугольники
с числом сторон, большим шести. Та-
ким образом, мы убеждаемся, что мо-
жет существовать лишь пять правиль-
ных многогранников.
Известно еще множество тел, полу-
чивших название архимедовых, или по-
луправильных многогранников. У них
также все многогранные углы равны
и все грани — правильные многоуголь-
ники, но нескольких разных типов.
Существует 13 полуправильных мно-
гогранников1 2, открытие которых при-
писывается Архимеду, впервые пере-
числившему их в не дошедшей до нас
рукописи. Ссылки на эту работу име-
ются в рукописях математика Паппа,
1 Сумма плоских углов любого выпуклого
многогранного угла всегда меньше 360°.
2 Или 14 (см. стр. 37).
12
который жил в III в. н. э. Кеплер
первым из современных математйков
развил полную теорию этих тел.
Множество архимедовых тел можно
разбить на несколько групп. Первую
из них составят пять многогранников,
которые получаются из платоновых
тел в результате их усечения. Усе-
ченное тело есть не что иное, как тело
с отрезанной верхушкой. Усечением
называется удаление некоторых частей
тел, а в нашем случае — удаление всех
частей, расположенных около вершин,
вместе с самими вершинами. Для Пла-
тоновых тел это можно сделать таким
образом, что и получающиеся новые
грани, и остающиеся части старых
будут правильными многоугольника-
ми. К примеру, тетраэдр можно усечь
так, что его четыре треугольные грани
превратятся в четыре гексагональные,
а к ним добавятся четыре правильные
треугольные грани. Так могут быть
получены пять архимедовых тел: усе-
ченный тетраэдр, усеченный гексаэдр
(куб), усеченный октаэдр, усеченный
додекаэдр и усеченный икосаэдр.
Другую группу составляют всего два
тела, именуемых также квазиправиль-
ными многогранниками. Частица «ква-
зи» подчеркивает, что грани этих мно-
гогранников представляют собой пра-
вильные многоугольники всего двух
типов, причем каждая грань одного ти-
па окружена многоугольниками дру-
гого типа. Эти два тела носят названия
кубооктаэдр и икосододекаэдр. Под-
робнее на них мы остановимся на
стр. 35 и 36.
Два последующих многогранника
называются ромбокубооктаэдром и
ромбоикосододекаэдром. Иногда их на-
зывают также «малым ромбокубоок-
таэдром» и «малым ромбоикосододе-
каэдром» в отличие от большого ром-
бокубооктаэдра и большого ромбоико-
сододекаэдра. Если процесс усечения
применить к двум квазиправильным
телам — кубооктаэдру и икосо до дека-
эдру, то новые полученные грани бу-
дут в лучшем случае прямоугольника-
ми, но не квадратами. Однако дальней-
шие модификации могут превратить
эти прямоугольники в квадраты. Вот
почему некоторые авторы называют
большой ромбокубооктаэдр и боль-
шой ромбоикосододекаэдр «усеченным
кубооктаэдром» и «усеченным икосо-
додекаэдром» соответственно. В на-


шей книге мы предпочитаем называть
их ромбоусеченным кубооктаэдром и
ромбоусеченным икосододекаэдром.
Приставка «ромбо» указывает на осо-
бый способ получения квадратных гра-
ней, который был применен для по-
строения этих двух тел из двух квази-
правильных многогранников. Это дает
нам право опустить определение «ма-
лые» перед названиями двух ранее
введенных тел.
Наконец существуют две так назы-
ваемые «курносые» модификации —
одна для куба, другая — для додека-
эдра. Для каждой из них характерно
несколько повернутое положение гра-
ней, что дает возможность построить
два различных варианта одного и того
же «курносого» многогранника (каж-
дый из них представляет собой как бы
зеркальное отражение другого). Такие
варианты, отличающиеся друг от дру-
га, как правая рука отличается от ле-
вой, называются энантиоморфными.
Если вы достаточно упрямы и склон-
ны к систематическим занятиям, то
ради собственного удовлетворения,
прибегая к тем же рассуждениям, кото-
рые мы применяли для платоновых тел,
можете доказать, что число архимедо-
вых тел равно 131. При этом следует
исходить из теоремы стереометрии, ут-
верждающей, что сумма плоских углов
выпуклого многогранного угла мень-
ше 360°. Испробовав все возможные
комбинации правильных многоуголь-
ников, удовлетворяющие этой тео-
реме, вы придете к разверткам вершин
в точности тринадцати архимедовых
тел и двух бесконечных семейств —
семейства призм (с квадратными бо-
ковыми гранями) и семейства скошен-
ных призм1 2 (с боковыми гранями в ви-
де правильных треугольников)3.
Объединение описанных выше мно-
жеств платоновых и архимедовых тел
1 Точнее, 13 равно числу типов вершин таких
многогранников. Ср. со сказанным на стр. 37
2 Иногда их называют антипризмами.
3 Желающих подробнее ознакомиться с этим
вопросом можно отослать к книге [2] и статье [3];
см. также названную на стр. 18 книгу Lines L.,
Solid Geometry.
вкупе с бесконечными семействами
призм и скошенных призм образует
множество тел, называемых выпуклы-
ми однородными многогранниками. Вы-
пуклость многоугольника означает,
что ни один его внутренний угол не
превосходит 180°. Аналогично выпук-
лость многогранника сводится к тому,
что ни один из его внутренних двугран-
ных углов (образованных соседними
гранями) не превосходит 180°. Свой-
ство, по смыслу противоположное вы-
пуклости, иногда называют вогнуто-
стью. Многогранники с полостями,
впадинами или выступающими пика-
ми будут невыпуклыми, то есть вогну-
тыми. Слово однородные в применении
к рассмотренным выше многогранни-
кам означает, что все их грани суть
правильные многоугольники и все мно-
гогранные углы равны. В однородных
многогранниках каждую вершину ок-
ружают многоугольники в одном и
том же порядке. Так, например, для
ромбоикосододекаэдра порядок следо-
вания граней вокруг вершин таков:
треугольник, квадрат, пятиугольник и
другой квадрат. Этот порядок сохра-
няется для любой вершины.
В дальнейшем вам довольно часто
будет попадаться термин энантио-
морфный. Он всего-навсего выражает
свойство быть «правым» или «левым»
экземпляром, подобно двум перчаткам
одной пары или предмету и его отра-
жению в зеркале. Если выбрать какой-
либо порядок цветов и раскрасить
грани, примыкающие к некоторой вер-
шине в этом порядке по часовой стрел-
ке, то энантиоморфной раскраской бу-
дет обратная — в том же порядке
против часовой стрелки.
Для обозначения цветов мы восполь-
зуемся следующими сокращениями:
Ж — желтый, С — синий, О — оран-
жевый, К — красный, 3 — зеленый,
Б — белый, Ч — черный.
Несомненно, все новые термины,
равно как и классификация многогран-
ников, станут для вас понятнее и ос-
мысленнее после того, как вы самостоя-
тельно изготовите модели выпуклых
однородных многогранников, собран-
ные в первой части книги.
Математическая классификация
(при первом чтении этот раздел
можно опустить)
Любой однородный многогранник
можно поместить внутри сферы таким
образом, что его оси симметрии прой-
дут через центр сферы. Спроектировав
затем из центра на поверхность сферы
ребра многогранника, мы получим
сеть, состоящую из дуг больших ок-
ружностей сферы. Эта сеть разбивает
сферу на сферические многоугольни-
ки, каждый из которых соответствует
одной грани многогранника. Плоскос-
ти симметрии многогранника доба-
вят к разбиению новые дуги, так что
если исходный многогранник, к при-
меру, был платоновым телом, то с уче-
том новых дуг поверхность сферы бу-
дет разделена на сферические треуголь-
ники — по четыре для каждого ребра.
Эти сферические треугольники полу-
чили название треугольников Мёбиуса,
по имени впервые рассмотревшего-их
математика (1849). Мёбиус же первым
применил идею этих треугольников
к устройству многогранного калей-
доскопа, который составлен из трех
зеркал, образующих трехгранный угол.
Внося в такой калейдоскоп какое-либо
тело, изображающее материальную
точку, мы, глядя на нее и ее отражения
в двух зеркалах, увидим вершины соот-
ветствующего многогранника. Дру-
гой, возможно, более простой иллюст-
рацией треугольников Мёбиуса являет-
ся соответствующая сеть линий, нане-
сенных мелом на черном глобусе, на
котором хорошо видны проведенные
линии1. При этом определенные точки
пересечения больших кругов сферы бу-
дут соответствовать вершинам мно-
гогранника. Полученная решетчатая
сеть сферических треугольников покры-
вает глобус однократно. Все треуголь-
ники сети конгруэнтны, то есть равны
между собой.
Каждый из этих треугольников мож-
но обозначить символом (pqr), где
р, q и г — натуральные числа, соот-
ветственно равные знаменателям дро-
бей 7t/p, л/q и 7с/г, выражающих ра-
дианные меры углов треугольника.
1 Такие глобусы выпускаются в Ашлии как
учебные пособия для классных занятий redi ра-
фией и астрономией.
14
В нашем случае р, q и г могут прини-
мать лишь целые значения 2, 3, 4
или 5. Если позволить р, q и г прини-
мать дробные значения, то для опре-
деленных наборов дробей мы снова
получим сеть треугольников с соот-
ветствующими углами. Эти треуголь-
ники носят имя Г. А. Шварца, который
первым указал все возможные здесь
случаи (1873). Было показано, что мно-
жество треугольников Шварца также
покрывает глобус, но не однократно,
а некоторое конечное число раз, так что
оно в определенном смысле эквива-
лентно множеству треугольников Мё-
биуса. Поэтому треугольники Шварца
можно классифицировать как тетраэд-
ральные, октаэдральные или икоса-
эдральные в зависимости от того, с
какими треугольниками Мёбиуса они
соотносятся (см. [15, 16, 18]).
Эти идеи можно сделать наглядны-
ми, используя подходящие модели.
Прежде всего вы можете изготовить
многогранный калейдоскоп из трех
зеркал, вырезанных в форме кругового
сектора. Радиус секторов следует взять
довольно большим — порядка 30 см
или больше; центральные углы секто-
ров должны содержать:
для тетраэдрального калейдоскопа
54°44', 54°44', 70°32';
для октаэдрального калейдоскопа
35°16', 45°, 54°44';
для икосаэдрального калейдоскопа
20°54', 31°43\ 37°23'.
Хотя такие калейдоскопы достаточ-
но трудны в изготовлении, игра с ними
доставляет истинное удовольствие.
Столь же (а быть может, и в большей
мере) поучительно изготовить модели
этих сферических треугольников из
плотной бумаги или картона. При-
соединяя один к другому требуемое
число таких треугольников, вы полу-
чите модель сферы в виде множества
пересекающих ее больших кругов.
Можно, конечно, раскрасить большие
круги по-разному, но это слишком ус-
ложнит работу.
Проще всего начать с тетраэдраль-
ного треугольника. Заготовка для вы-

Рис. 5.
Рис. 6.
резания показана на рис. 1. Перегните
заготовку по радиальным линиям и
придайте ей форму сферического тре-
угольника. Модель скрепляется клеем
всего в одном месте при помощи на-
клейки, видной на рисунке. Надо сде-
лать 24 одинаковые модели и склеить
их плоскими частями таким образом,
чтобы наклейки были не видны. Эту
работу можно выполнять по частям.
Одну такую часть составляют шесть
сферических треугольников, склеенных
между собой так, как показано на рис. 2.
Их углы равны я/2, л/3 и я/3- Четыре
части образуют модель сферы.
Для октаэдральных треугольников
последовательность действий анало-
гична; исходная заготовка показана на
рис. 3. Вам потребуется 48 октаэдраль-
ных треугольников, образующих два
энантиоморфных множества по 24 в
каждом. Можно взять заготовки любо-
го подходящего для вас размера. Мож-
но также по желанию делать кольцо
шире или уже. Можно даже оставить
всю внутренность секторов, ничего не
вырезая, и тогда на модели сферьгбудет
точно указан ее центр. При склеивании
частей модели начинает обнаруживать-
ся феномен двойственности октаэдра
и куба, поскольку каждая из этих частей
может быть составлена из восьми сфе-
рических треугольников, расположен-
ных в порядке, показанном на рис. 4.
Их углы равны я/2, я/3 и л/4. Шесть
таких частей образуют модель сферы.
Икосаэдральные треугольники более
трудоемки в изготовлении из-за боль-
шого числа заготовок, но последова-
тельность действий остается той же.
Как нам кажется, целесообразно при-
ложить усилия, ибо результат весьма
поучителен: на этой модели по срав-
нению с предыдущими очень явно про-
слеживается ее внутреннее строение.
Вам потребуется 120 заготовок (рис. 5),
образующих два энантиоморфных
множества по 60 заготовок в каждом.
На сей раз части будут пятиугольны-
ми, содержащими по десять сфериче-
ских треугольников (рис. 6). Их углы
будут равны л/2, л/3 и я/5. Двенадцать
таких частей образуют модель сферы.
Существует еще один способ изго-
товления моделей, иллюстрирующих
треугольники Мёбиуса. Он сводится
к построению модели такого много-
гранника с плоскими треугольными
гранями, вершины которого совпадали
бы с вершинами сферических треуголь-
ников. Если стороны сферического тре-
угольника равны р, q и г (точнее, р,
q и г суть центральные углы сферы,
опирающиеся на эти дуги), то соответ-
ствующие стороны плоского треуголь-
ника должны находиться в отношении,
равном
sin-^-: sin-|-: sin-^.
Соответствующие треугольники для
трех разобранных выше случаев пока-
заны на рис. 7—9. Разумеется, в каж-
дом таком случае нужное число пло-
ских треугольников равно числу сфе-
рических треугольников. Эти модели
можно клеить, придерживаясь той же
схемы разбиения на части, что и разоб-
ранные выше. Числа, проставленные
на рисунках, дают приближенные зна-
чения линейных размеров соответст-
вующих плоских треугольников. В ка-
честве линейного масштаба можно
взять 1 см; в этом случае вы придете к
вполне удовлетворительным резуль-
татам.
Сделав некоторые треугольники бе-
лыми, а остальные раскрасив в другие
цвета, вы добьетесь красивого цветово-
го эффекта. На рис. 10—12 показаны
нужные части; внизу приведены таб-
лицы их раскраски.
(2) Ж К С	(1) О К С Ж	_	2,
S П U 2	(2)Раск^ска С	для икосаэдралы
(4) О К Ж	„	таблицы.
остальных частей
энантиоморфна.
Р и с. 10.	Рис. 11.	Рис. 12.
Заметим, что в тетраэдральном слу-
чае у нас имеются четыре части, кото-
рые обозначены на таблицах через (1),
(2), (3) и (4). В остальных двух случаях
нет нужды приводить полные таблицы
раскраски для всех частей. Это объяс-
няется тем, что тетраэдр и усеченный
тетраэдр — единственные однород-
ные многогранники, вершины которых
не разбиваются на диаметраль-
но противоположные пары.. В осталь-
ных двух случаях центр части (0) усло-
вимся считать северным полюсом мо-
дели. В октаэдральной модели затем
приклеиваются на свои места части (1)
и (2), образуя нечто вроде граней куба.
За ними следуют энантиоморфные ана-
логи этих же частей, образуя тем самым
как бы* боковые грани куба. Энантио-
морфный аналог части (0)‘ завершает
эту модель.
Наиболее интересен случай ико-
саэдра. Вы снова начинаете с части (0):
склеиваете вместе десять треугольни-
ков, чередуя белые с треугольниками
других цветов в соответствии с табли-
цей раскраски икосаэдра на стр. 28 .
Затем подготавливаете части (1), (2),
(3), (4) и (5) и приклеиваете их к ча-
сти (0) по очереди, строя таким обра-
зом фигуру, напоминающую додека-
эдр. Следующие шесть частей имеют
энантиоморфный порядок раскраски и
располагаются диаметрально проти-
воположно своим двойникам.
Идеальная симметрия раскраски во
всех трех моделях приведет вас в вос-
хищение, но особенно впечатляет по-
следняя. Здесь стоит упомянуть еще
и о том, что три наших многогранника
двойственны архимедовым те-
лам. Двойственными называются та-
кие многогранники, которые имеют
одно и то же число ребер, но при этом
число граней одного равно числу вер-
шин другого и, наоборот, число вер-
шин одного равно числу граней дру-
гого. Кроме того, и-сторонней грани
в одном из них соответствует вершина
другого, в которой сходятся п ребер.
Только что построенные нами много-
гранники двойственны многогранни-
в "ип. Горького
I МГУ •
кам, помещенным в книге под номера-
ми 7, 15 и 16 соответственно.
Теперь, если вы сделали разобранные
модели, их можно использовать для
того, чтобы определить, как располо-
жены вершины, ребра и грани выпук-
лых однородных многогранников. Это
отличная тренировка пространствен-
ного воображения. Лучше всего ис-
пользовать для этой цели сферические
модели. Большую помощь окажут при-
веденные выше диаграммы (рис. 13—
15), изображающие соответственные
сферические треугольники наших трех
моделей. Вершины диаграмм указы-
вают характерные точки сферических
треугольников соответствующей моде-
ли. При этом числа, стоящие у вершин,
указывают, вершиной какого много-
гранника на модели является та или
иная точка. Соответствующие номера
приводятся в сводном списке выпуклых
однородных многогранников1. На диа-
граммах не указаны номера моделей
«курносых» тел 17 и 18. Вершины этих
тел находятся более сложным спосо-
бом, описание которого можно найти
в специальной литературе (см., напри-
мер, L. Lines, Solid Geometry, N. Y.,
Dover Publ., 1965).
1 Так, под номером 12 в списке помещен ико-
сододекаэдр. Мы можем найти этот номер на
диаграмме рис. 15, изображающей сферический
треугольник для третьей икосаэдральной сфери-
ческой модели. Из диаграмм видно, что этим
номером обозначена вершина прямого угла сфе-
рического треугольника. Следовательно, верши-
ны прямых углов всех сферических треугольни-
ков этой модели являются вершинами икосодо-
декаэдра.
Тетраэдральная форма
Октаэдральная форма
Икосаэдральная форма
Список выпуклых однородных
многогранников
Платоновы тела (правильные многогранники)
1.	Тетраэдр
2.	Октаэдр
3.	Гексаэдр (куб).
4.	Икосаэдр
5.	Додекаэдр
Архимедовы тела (полуправильные многогранники)
6.	Усеченный тетраэдр
7.	Усеченный октаэдр
8.	Усеченный гексаэдр
9.	Усеченный икосаэдр
10.	Усеченный додекаэдр
11.	Кубооктаэдр
12.	Икосододекаэдр}— квазиправиЛьные многогранники
13.	(Малый) ромбокубооктаэдр
14.	(Малый) ромбоикосододекаэдр
15.	Ромбоусеченный кубооктаэдр
16.	Ромбоусеченный икосододекаэдр
17.	«Курносый» куб
18.	«Курносый» додекаэдр
I. ВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ.
ПЛАТОНОВЫ И АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА
Общие указания
по изготовлению моделей
Первое, чему вы должны научиться,
прежде чем строить модели много-
гранников, это точно и аккуратно вы-
черчивать нужные вам части. Для вы-
пуклых многогранников ими будут
только правильные многоугольники с
3, 4, 5, 6, 8 и 10 сторонами. Но следует
помнить, что у выпуклых однородных
многогранников все ребра имеют одну
и ту же длину. Следовательно, все
многоугольники, образующие один
многогранник, должны иметь стороны
одной длины. А, как легко заметить
из чертежей, правильный десятиуголь-
ник (декагон), например, значительно
больше правильного треугольника с
такой же стороной. Это надо всегда
иметь в виду при построении моделей
и соответственно этому выбирать под-
ходящий масштаб. Подумайте снача-
ла, как вы собираетесь использовать
модель и где она будет находиться.
В последующих указания: к моделям
будет приведена величина радиуса сфе-
ры, которую можно описать вокруг
модели. При этом за единицу масшта-
ба мы принимаем половину длины
ребра многогранника. Это поможет
вам представить себе размеры модели.
Удваивая величину радиуса, вы полу-
чите диаметр описанной сферы, а его
можно принять в качестве приближен-
ного значения высоты тела.
После того как вы со всеми необхо-
димыми предосторожностями сделае-
те чертежи требуемых частей — пра-
вильных многоугольников, — лучше
всего изготовить трафареты. Для это-
го наложите чертеж на лист картона
или плотной бумаги и проколите оба
листа в вершинах многоугольника тон-
ким шилом (или любой достаточной
тонкой и острой иглой). После этого
соедините по линейке полученные про-
колы, воспользовавшись острым ка-
рандашом. Аккуратно и ровно вы-
режьте ножницами трафарет, оставляя
поля, отстоящие от карандашной ли-
нии примерно на 0,5 см. Итак, трафа-
рет готов.
Теперь уже не составит труда изго-
товить столько его копий, сколько вам
требуется. Для этого нужно наложить
трафарет на стопку листов картона.
22
(Лучше, если эти листы предваритель-
но закреплены скрепками.) Не следует
брать одновременно больше шести
листов. При этом, если, например, вы
хотите изготовить одинаковое число
фигур различных расцветок, имеет
смысл сразу же соединять разноцвет-
ные листы. После этого вы снова про-
калываете вершины многоугольников,
пользуясь трафаретом. Обведите егр
карандашом и затем уберите или же
перенесите на чистый лист. Таким спо-
собом вы сделаете столько проколов,
сколько сочтете нужным.
Следующий ваш шаг — нарезать
стопку картона по только что нане-
сенной обводке. Обязательно просле-
дите, чтобы листы картона были на-
дежно соединены скрепками. Обычно
при такой нарезке листы слегка проги-
баются и разрез сдвигается, но пусть
это вас не пугает — оставленные поля
дают нам достаточный запас. Впрочем,
после того как заготовки нарезаны,
их несложно подравнять, подрезав края
каждой из них в отдельности. Теперь
каким-нибудь острым инструментом,
например кончиком циркуля, нанесите
прямые бороздки по сторонам много-
угольника. При этом не забывайте
пользоваться угольником или линей-
кой. Если вы собираетесь изготовить
не одну, а несколько моделей, рекомен-
дуем вставить иглу циркуля в держа-
тель — для этой цели подойдет держа-
тель от рейсфедера.
Итак, вы проводите прямые борозд-
ки, которые соединяют проколотые
точки. После этого уже нет нужды раз-
мечать линии карандашом— границы
достаточно заметны. Вот теперь самое
время аккуратно подравнять ножни-
цами края заготовки. Как мы уже го-
ворили, каждую из них лучше обрабо-
тать в отдельности. Срежьте уголки
заготовки так, чтобы разрез проходил
точно через прокол. После этого наши
поля превратились в наклейки, и их
следует отогнуть. Проведенные бо-
роздки позволяют сделать это легко
и точно. При помощи наклеек заготов-
ки склеиваются друг с другом. Если
многоугольник-заготовка имеет ост-
рые углы, после отгибания следует
дополнительно подрезать наклейки.
Этого не стоит делать заблаговре-
менно, иначе операция усложнится. Со
временем вы научитесь с легкостью
подгонять все части, причем будете
делать это чрезвычайно аккуратно.
Помните основное правило: для склеи-
вания надо оставлять как можно боль-
ше места и срезать столько, сколько
необходимо, чтобы наклейки не ме-
шали одна другой и граням вблизи
вершин.
Можете воспользоваться любым
клеем, лишь бы он не коробил заго-
товки. Но вообще-то постарайтесь вы-
брать тот, что быстрее схватывает.
Процедура склеивания .чрезвычайно
проста: вы наносите клей на одну из
наклеек, после чего прижимаете на-
клейки друг к другу и немного их дви-
гаете, чтобы клей равномерно распре-
делился по поверхностям. Заготовкам
следует придать правильное положе-
ние, дожидаясь, пока клей подсохнет.
В вашей работе время от времени надо
пользоваться пинцетами; они особенно
полезны при завершении работы, когда
модель приобретает окончательную
форму. Хорошо также иметь зажимы;
они очень нужны для сложных мо-
делей. Зажимы легко изготовить из
пружины, между витками которой по-
мещаются склеиваемые поверхности.
На собственном опыте вы вскоре
убедитесь, что способ изготовления
моделей склеиванием отдельных гра-
ней, который мы предлагаем, позволя-
ет получить на редкость жесткие кон-
струкции. Это объясняется тем, что
наклейки, оставляемые нами на каж-
дой грани, служат дополнительными
ребрами, придающими жесткость каж-
дому ребру модели. Вот почему лучше
следовать нашему правилу и оставлять
наклейки с каждой стороны любой
заготовки. Конечно, возможны иногда
отступления, но лишь в крайних слу-
чаях, в частности при изготовлении
сложных моделей, которые описаны в
этой книге ниже. В основном же для
любых выпуклых многогранников луч-
ше оставлять все наклейки.
Первыми мы рассмотрим выпуклые
однородные многогранники. Их модели
проще всего изготовить, и вы, мы пола-
гаем, согласитесь, что с них и лучше
всего начать.
В приводимых ниже инструкциях
часто употребляется слово «заготов-
ка». Применительно к этой книге оно
означает часть или набор частей, из
которых склеивается модель конструк-
ции. Во многих описаниях встречается
и вершинная фигура соответствующего
многогранника: она содержит инфор-
мацию о порядке, в котором следуют
грани многогранника, сходящиеся в
одной вершине. Вершинную фигуру
можно рассматривать как основание
пирамиды с боковыми ребрами еди-
ничной длины, сходящимися в данной
вершине многогранника. Иными сло-
вами, ее можно представлять себе как
фигуру, образованную последователь-
ным соединением точек, принадлежа-
щих ребрам многогранника, исходя-
щим из одной вершины и удаленным
на 1 от рассматриваемой вершины.
Каждый однородный многогранник
полностью задается своей вершинной
фигурой (см. [18], стр. 404).
Говоря о раскраске моделей, мы
будем часто ссылаться на основной
принцип раскраски карт.
В применении к многогранникам он
означает, что грани многогранника, име-
ющие общее ребро, должны быть окра-
шены в разные цвета.
Простейшим среди многогранников
является тетраэдр. Его четыре гра-
ни — равносторонние треугольники.
Четыре — это наименьшее число гра-
ней, отделяющих часть трехмерного
пространства. Тем не менее тетраэдр
обладает многими свойствами, харак-
терными для однородных многогран-
ников. Все его грани суть правильные
многоугольники, причем каждая отде-
ляется ребром в точности от одной
грани. Все многогранные углы тетра-
эдра также равны между собой. Мо-
дель тетраэдра можно сделать, поль-
зуясь одной разверткой, на которой
будут расположены все четыре тре-
угольные грани. Однако в этом случае
все грани будут одного цвета. Подоб-
ным же образом все выпуклые много-
гранники можно сделать с помощью
одной развертки и тем самым одно-
цветными [19]. Если же вы хотите сде-
лать модель тетраэдра (как и любого
многогранника) разноцветной, следу-
ет приготовить развертки для каждого
типа грани в виде отдельного много-
угольника. Для тетраэдра вам понадо-
бится всего один трафарет в виде рав-
ностороннего треугольника.
Сделайте четыре заготовки разного
цвета — например, Ж, С, О и К. Не
забудьте оставить наклейки с каждой
стороны, как показано на рисунке вни-
зу (справа). Теперь склейте все четыре
заготовки вместе в положение, пока-
занное внизу слева. Соедините нескле-
енные боковые грани и склейте вначале
только две из них между собой. Затем
наложите клей на оставшиеся наклейки
и приклейте последнюю грань, как бы
закрывая коробку. Дальнейшее сде-
лают внутренние напряжения в моде-
ли, ваши пальцы, приложенные к ее
ребрам, и высыхающий клей.
24
Z Октаэдр
Октаэдр — это многогранник, гра-
нями которого являются восемь рав-
носторонних треугольников. Так как
его противоположные грани лежат в
параллельных плоскостях, то можно
превосходно обойтись всего четырьмя
красками. Модель этого многогран-
ника вы начинаете делать, склеивая
четыре треугольника, как показано на
рисунке внизу справа. После того как
вы склеите между собой грани 1 и 4,
в ваших руках окажется правильная
четырехугольная пирамида без квад-
ратного основания. Эта часть состав-
ляет ровно половину модели.
Вторая половина энантиоморфна
первой. Тем не менее проще продол-
жить работу в такой последовательно-
сти: сначала приклейте наклейки че-
тырех оставшихся треугольников к
соответствующим наклейкам на сторо-
нах квадратного основания. (Просле-
дить, чтобы противоположные грани
октаэдра имели один и тот же цвет,
нетрудно.) Затем последовательно
склейте наклейки соседних граней, сно-
ва закрывая модель последним тре-
угольником, как крышкой. Теперь вы
можете заметить, что квадрат, только
что послуживший основанием первой
половины модели, на самом деле всего
лишь один из трех квадратов такого
рода, которые можно видеть на полной
модели. При этом ребра квадратов
лежат в трех взаимно перпендикуляр-
ных плоскостях. Это обстоятельство
будет впоследствии использовано при
построении невыпуклого многогран-
ника 67.
12 3 4
Ж С О К
25
3 Гексаэдр (куб)
Несомненно, куб, или, как его иногда
называют математики, гексаэдр — са-
мый общеизвестный и широко исполь-
зуемый многогранник. Все шесть его
граней — квадраты, сходящиеся по два
вдоль каждого ребра и по три в каж-
дой вершине. Вы можете начать по-
стройку модели куба, выбрав один
квадрат и присоединив к нему четыре
других, как показано на рисунке слева.
Затем вы склеите наклейки соседних
боковых граней, причем склеенные по-
парно наклейки вновь образуют как бы
жесткий скелет многогранника. Оста-
ется добавить последнюю грань, и это
действие уже с полным правом можно
будет уподобить закрыванию ящика
крышкой.
Возможно, что в своей простоте куб
не самый привлекательный многогран-
ник. Но он обладает несколькими уди-
вительными свойствами в отношении
других платоновых и некоторых архи-
медовых тел. А объединение пяти ку-
бов можно поместить в додекаэдр,
и при этом получается очень красивая
модель [19]1.
1 Факт существования этих пяти кубов мо-
жет быть положен в основу доказательства не-
разрешимости в радикалах общего уравнения
5-й степени (ср. со сноской на стр. 10).
26
4 Икосаэдр
Икосаэдр — одно из пяти Платоно-
вых тел, по простоте следующее за
тетраэдром и октаэдром. Их объединя-
ет то обстоятельство, что гранями
каждого являются равносторонние тре-
угольники. При изготовлении модели
икосаэдра можно выбрать любую из
двух эффектных возможностей распре-
деления пяти цветов. Во-первых, ико-
саэдр может быть раскрашен так, что
у каждой вершины встретятся все пять
цветов (правда, в таком случае проти-
воположные грани не будут окрашены
одинаково). Другой способ обеспечи-
вает противоположным граням одина-
ковые цвета, зато у каждой вершины,
за исключением двух полярных, будет
повторяться по кругу один цвет. Обе
раскраски очень интересны и для на-
ших целей полезны, ибо многие опи-
санные ниже однородные многогран-
ники имеют икосаэдральную симмет-
рию. Быть может, по этой причине вы
сочтете нужным впоследствии иметь
две модели икосаэдра с разной рас-
краской. Обе модели можно строить,
исходя из одного и того же начального
расположения пяти равносторонних
треугольников, как показано на ри-
сунке в центре. Они образуют невысо-
кую пятиугольную пирамиду без осно-
вания. К сторонам ее основания при-
клейте следующие пять треугольников,
Первая таблица
раскраски
12 3 4 5
Ж	С	О	К	3
К	3	Ж	С	О
О	К	3	Ж	С
Ж	С	О	К	3
Вторая таблица
раскраски
12 3 4 5
Ж	С	О	К	3
С	О	К	3	ж
3	ж	с	о	к
К	3	ж	с	о
руководствуясь той или иной таблицей
раскраски. Между ними вы приклеете
по одному треугольнику — это сделать
несложно, если обратить внимание на
то, что в каждой вершине сходятся
пять граней. Завершая модель, при-
клейте последние пять треугольников.
Чтобы облегчить пользование таб-
лицами раскраски, запомните: первая
строка любой таблицы задает раскрас-
ку пяти треугольников, окружающих
27
«северную полярную» вершину ико-
саэдра. Последующие две строки ука-
зывают раскраску «экваториального»
кольца из десяти чередующихся равно-
сторонних треугольников. Наконец,
четвертая строка показывает раскрас-
ку граней yt «южного полюса» икоса-
эдра.
Если вас интересует порядок рас-
краски не только вблизи «полюсов»,
но и у других десяти вершин, то по на-
шим таблицам его тоже легко найти.
Надо совершить круговой обход по
таблице по следующему правилу: на-
чиная с двух соседних цветов в крайней
строке, опуститься (или подняться) на
следующую строку, затем еще на одну
и после этого вернуться на исходные.
Например:
Ж--> С
Ж<--С
или
Это наводит нас на мысль о том,
что таблицы раскраски можно задавать
совершенно по-иному — нумеруя вер-
шины и выписывая порядок чередова-
ния цветов у каждой из них. Правда,
это приведет к тому, что каждая тре-
угольная грань икосаэдра будет по-
именована в такой таблице трижды,
но все же таблицы удобны: с их по-
мощью легче последовательно «об-
клеивать» вершину. Мы воспользуем-
ся ими впоследствии при построении
более сложных моделей. Для икоса-
эдра таблицы этого типа выглядят так:
Первая таблица
раскраски
(0) Ж С О К 3
(1) С Ж К О 3
(2) О С 3 К Ж
(3) К О Ж 3 С
(4) 3 К С Ж О
(5) Ж 3 О С К
Вторая таблица
раскраски
(0) Ж С О К 3
(1) Ж С 3 О С
(2) С О Ж К О
(3) О К С 3 К
(4) К 3 О Ж 3
(5) 3 Ж К С Ж
Здесь указаны раскраски только шести
вершин, причем вершина (0) — снова
«северный полюс» икосаэдра. Для обе-
их моделей вершины, противополож-
ные этим, имеют энантиоморфную рас-
краску. Ее можно получить, читая со-
ответствующую строку в обратном
порядке, то есть справа налево. Как
только вы немного поэксперименти-
руете с построенной моделью, вы впол-
не уясните себе все, чего не поняли в
этих объяснениях.
5 Додекаэдр
В известном смысле додекаэдр пред-
ставляет наибольшую привлекатель-
ность среди платоновых тел, соперни-
чая с икосаэдром, который почти ему
не уступает (а быть может, в чем-то
и превосходит). Пожалуй, пальму пер-
венства додекаэдр получает за свои
три звездчатые формы, описываемые
ниже.
Модель этого многогранника можно
сделать четырехцветной двумя спосо-
бами; если же воспользоваться для
раскраски шестью цветами, то про-
тивоположные грани легко сделать од-
ноцветными. Такую раскраску хорошо
перенести на упомянутые выше звезд-
чатые формы додекаэдра. Приводим
описание.
Построение модели вы начинаете с
приклеивания пяти разноцветных пяти-
угольников — скажем, Ж, С, О, К, 3 —
к одному центральному пятиугольни-
ку, например белого цвета (Б). После
этого вам следует склеить цветные
пятиугольники между собой — и по-
ловина дела сделана. (Об этой поло-
вине додекаэдра мы будем говорить
впоследствии в связи с моделями звезд-
чатых форм икосаэдра, для которых
она может служить в качестве строи-
тельной рамы. Правда, там нам при-
дется вывернуть ее наизнанку, но для
построения модели додекаэдра этого
делать не следует —'пусть наклейки
останутся внутри модели.) Остается
подклеить остальные грани додекаэд-
ра к уже сделанной половине таким
образом, чтобы противоположные гра-
ни были одноцветными.
На рисунке показана четырехцветная
раскраска додекаэдра. Можно восполь-
зоваться и энантиоморфным порядком
цветов. Иногда удобнее обращаться
именно к такой раскраске — особенно
для моделей, имеющих симметрию до-
декаэдра. Поэтому мы сочли нужным
привести ее здесь.
29
6 Усеченный тетраэдр
Этот многогранник будет выглядеть
весьма эффектно, если его шестиуголь-
ные грани раскрасить теми же цвета-
ми, в которые были выкрашены четыре
грани тетраэдра, а все треугольные
грани сделать одноцветными, исполь-
зуя новый цвет. Другой способ рас-
краски основан на том, что каждая
треугольная грань получает тот же
цвет, что и противоположная шести-
угольная, параллельная ей. Именно
такую раскраску мы и приводим. Если
вы подклеите все заготовки в указан-
ном ниже порядке, то получите раз-
вертку с правильно раскрашенными
гранями.
Вам остается только попарно скле-
ить остальные наклейки способом, опи-
санным для модели тетраэдра.
Эту же модель можно построить и
по-другому. Сначала вы делаете чашу
в форме тетраэдра, развертка которой
показана на рисунке внизу слева. Дно
чаши будет треугольным, а стенки —
шестиугольными. При этом соединен-
ные наклейки превратятся в жесткие
ребра по углам чаши, находящиеся
внутри нее. Затем вы склеиваете тре-
угольники и шестиугольник между
собой (лучше оставить одну треуголь-
ную грань напоследок, крепко прикле-
ив ее только одной стороной) и закры-
ваете отверстие, как закрывают крыш-
ку ящика.
Такой способ рекомендуется при-
менять при построении всех моделей.
1 2 3 4	5 6 7 8
Ж С О к окжс
30
Усеченный октаэдр
Если вы успешно справились с пре-
дыдущей моделью, то теперь знаете
способ, которым мы воспользуемся
для построения усеченного октаэдра.
Раскраска шестиугольных граней мо-
дели должна совпадать с раскраской
граней октаэдра, а именно: четыре па-
ры противоположных шестиугольных
граней раскрашиваются в четыре раз-
ных цвета. Для квадратов же мы ис-
пользуем пятый цвет. Построение мо-
дели вы начинаете, окружая один шес-
тиугольник четырехугольными и шес-
тиугольными гранями, одна за другой,
как показано на рисунке справа. Склеив
соседние грани, вы получите чашу, об-
разующую ровно половину модели..
После этого вам не составит труда
подклеить остальные части — нужно
только проследить за тем, чтобы про-
тивоположные грани были одного цве-
та. В последнюю очередь надо под-
клеить какой-нибудь квадрат. Вряд ли
следует вам напоминать, что до тех
пор, пока вы его не приклеите, модель
будет легко деформироваться. После
завершения работы модель окажется
весьма жесткой — это характерно для
всех выпуклых многогранников.
1 2 3 4 5 6 7
Ж 3 С 3 О 3 К
31
О Усеченный гексаэдр (куб)
Этот многогранник представляет со-
бой всего-навсего усеченный куб. Вряд
ли его модель кого-нибудь особо при-
влечет, но следует помнить, что это
все-таки тоже однородный многогран-
ник.
Раскраску восьмиугольных граней
модели можно скопировать с раскраски
куба, а для всех треугольных граней
выбрать четвертый цвет. Изготовление
этой модели можно начать с того,
чтобы окружить один восьмиугольник
соседними треугольниками и восьми-
угольниками, как доказано на рисунке.
Склеив между собой наклейки соседних
восьмиугольников, оставьте треуголь-
ные отверстия, которые потом заклей-
те треугольниками. Как и в предыду-
щих моделях, хорошенько приклейте
одну сторону треугольной грани, а за-
тем закройте отверстие треугольной
крышкой. Все это нетрудно сделать,
пока модель на закрыта и имеется до-
ступ внутрь.
В последнюю очередь вы приклеива-
ете желтый (Ж) восьмиугольник, а че-
тырьмя красными (К) треугольниками
закрываете углы. Обратите внимание:
по сравнению с предыдущими моделя-
ми изготовление этой модели требует
от вас большей ловкости и аккуратно-
сти. Но мы не сомневаемся, что, если
вы на этом не остановитесь, а продол-
жите работу по построению моделей,
нужные навыки придут к вам сами.
1 23456789
жкс кокско
32
9 Усеченный икосаэдр
Поскольку этот многогранник есть
не что иное, как усеченный вариант
икосаэдра, то естественно раскрасить
его шестиугольные грани теми же
пятью цветами, которыми были рас-
крашены грани икосаэдра, а для пяти-
угольных граней выбрать новый цвет.
Если вы воспользуетесь таблицей рас-
краски икосаэдра, вам будет нетрудно
правильно расположить цвета и изго-
товить эту модель.
Начните с белого (Б) пятиугольни-
ка, обклеив его пятью разноцветными
шестиугольниками — Ж, С, О, К, 3.
Внимательно проследите за каждым
новым кольцом шестиугольников, до-
бавляя всякий раз белый пятиугольник
в его центр. Таким способом вы легко
подклеите недостающие пять колец
шестиугольников. Разумеется, каждый
шестиугольник будет входить в три
таких кольца. Законченная модель весь-
ма привлекает чередованием разно-
цветных пяти- и шестиугольных гра-
ней.
3 — 731
33
1 0 Усеченный додекаэдр
Гранями этого многогранника явля-
ются правильные треугольники и де-
сятиугольники. Здесь для десятиуголь-
ных граней мы можем вновь восполь-
зоваться четырехцветной раскраской
додекаэдра, сделав все треугольники,
например, оранжевого цвета. Исход-
ный красный (К) десятиугольник окру-
жите последовательно десятиугольни-
ками следующих цветов: Ж, С, 3, С, 3,
а все треугольные отверстия закройте
оранжевыми (О) треугольниками. Сле-
дующие пять десятиугольников будут
иметь цвета: Ж, К, Ж, С, К. При этом
первые из них (Ж) надо подклеить к
тому зеленому (3) десятиугольнику,
который расположен между двумя си-
ними (С) десятиугольниками. После
того как вы это сделали, приклейте на
свои места остальные треугольники.
Эта модель не выглядит особо при-
влекательной, возможно, потому, что
площади треугольников слишком ма-
лы по сравнению с площадями десяти-
угольников. Исходя из этого, при из-
готовлении модели необходимо как-то
укрепить или усилить десятиугольные
грани изнутри, иначе они будут легко
сминаться. Для этой цели лучше всего
воспользоваться более плотным кар-
тоном. Впрочем, если модель не слиш-
ком велика, надобности в таком уси-
лении нет.
34
11 Кубооктаэдр
Само название многогранника ука-
зывает на некую близость его к кубу
и к октаэдру. Такая близость существу-
ет в действительности. Шесть квадрат-
ных граней этого многогранника при-
надлежат граням некоторого куба, то-
гда как восемь треугольных граней
принадлежат граням октаэдра. Если
впоследствии вы захотите сделать мо-
дель соединения этих двух платоновых
тел, то на ней вы отчетливо увидите,
что кубооктаэдр является их общей
частью1.
При изготовлений этой модели мож-
но использовать для раскраски квад-
ратов те же цвета, что и для граней
куба, а все треугольные грани сделать
одноцветными;
Прежде всего подклейте к одному
треугольнику три квадрата, как это по-
казано на рисунке вверху. Затем с по-
мощью еще трех треугольников склей-
те подобие чаши с треугольным дном
и стенками, составленными из квадра-
тов и треугольников, которые череду-
ются между собой. По окончании этой
работы вы получите половину модели.
После этого вам будет нетрудно под-
клеить недостающие грани. Проследи-
те только за тем, чтобы противополож-
ные квадратные грани имели один и
тот же цвет.
Важнейшим свойством этого много-
гранника является то, что он имеет
грани двух типов, причем каждая грань
одного типа соседствует только с гра-
нями другого типа. Многогранники,
обладающие этим свойством, называ-
ются квазиправилъными.
1 Другими сломами, кубооктаэдр есть пере-
сечение куба К и октаэдра О подходящих разме-
ров (в современной символике КО = КО), рас-
положенных так, что центры К и О совпадают
и диагонали октаэдра перпендикулярны граням
куба.
35
Икосододекаэдр
Икосододекаэдр, подобно кубоокта-
эдру, являет собой квазиправильный
комбинированный многогранник. Его
также можно рассматривать как об-
щую часть соединения двух тел — ико-
саэдра и додекаэдра. При раскраске
икосододекаэдра можно ограничиться
пятью цветами: если сделать все тре-
угольные грани желтыми (Ж), то ос-
тальными четырьмя цветами можно
раскрасить пятиугольные грани, по-
добно тому как раньше мы раскраши-
вали додекаэдр.
Вы можете начать работу, подклеив
к исходному синему (С) пятиугольнику
пять желтых треугольников. Следую-
щие пять пятиугольников приклеива-
ются так, чтобы каждый из них двумя
соседними гранями соединялся с двумя
треугольниками. Цвета для пятиуголь-
ников — О, К, 3, К, 3. Подклеив в
промежутки между пятиугольниками
недостающие пять треугольников, мы
получим ровно половину модели. При
этом оставшиеся наклейки будут на-
ходиться по сторонам правильного де-
сятиугольника. Продолжая работу, вы
будете подклеивать к ним треугольни-
ки и пятиугольники в чередующемся
порядке.
Начните с треугольных граней, под-
клеив их к свободным сторонам пяти-
угольников. Затем подклейте оранже-
вый (О) пятиугольник так, чтобы его
вершина совпала с вершиной того зе-
леного (3) пятиугольника, который на-
ходится между двумя красными (К).
Порядок раскраски пятиугольников та-
ков: О, С, О, К, С. Последний зеле-
ный (3) пятиугольник добавляется по-
сле того, как подклеена часть остав-
шихся треугольников. Изготовление
модели заканчивается как обычно.
На модели ясно видны пять различ-
ных «экваториальных» поясов, обра-
зованных ребрами многогранника. Это
свойство используется при построении
моделей некоторых невыпуклых одно-
родных многогранников.
36
1 23456789
жскскскск
1 3 Ромбокубооктаэдр
Название многогранника и на этот
раз объясняет его происхождение. Мно-
жество квадратных граней ромбокубо-
октаэдра разбивается на два подмно-
жества, каждому из которых можно от-
нести свой цвет. Для треугольников ес-
тественно выбрать третий цвет.
При построении этой модели можно
начать со склейки показанных на ри-
сунке частей, которые образуют неглу-
бокую чашу с восьмиугольным верх-
ним краем. К свободным наклейкам
подклеиваются квадраты, причем их
раскраска должна чередоваться в по-
рядке, который указан второй строкой
таблицы раскраски. Например, каждый
красный (К) квадрат «экваториаль-
ного» пояса подклеивается к синему (С)
треугольнику, а каждый желтый (Ж)
квадрат — к красному (К) квадрату.
После этого легко закончить модель,
подклеивая части по отдельности и про-
должая чередовать цвета соседних
квадратов. В результате получается до-
вольно красивая модель, хотя ее гра-
нями являются лишь правильные тре-
угольники и квадраты.
Следует отметить, что, повернув од-
ну восьмиугольную чашу ромбокубо-
октаэдра на угол 45° по,отношению ко
всему телу, можно получить много-
гранник, называемый псевдоромбоку-
бооктаэдрам. Это новое тело имеет
равные многогранные углы. Однако
оно не относится к архимедовым те-
лам, ибо в нем перепутаны квадратные
грани, имеющие кубическое и ромбиче-
ское происхождение
1 Этот многогранник не был известен на про-
тяжении двух тысяч лет, видимо, именно потому,
что егд нельзя получить при помощи описанной
выше процедуры ромбического усечения. Однако
его, очевидно, следует включить в список архи-
медовых (или полу правильных) тел, если характе-
ризовать эти тела не просто как известные Ар-
химеду,'а, к примеру, исходить из определения,
которое приводит автор (и которое, видимо, да-
вал сам Архимед). Любопытно отметить, что в
конце 50-х— начале 60-х годов текущего сто-
летия «брешь» в стройной теории архимедовых
тел независимо обнаружили сразу несколько ма-
тематиков в разных странах. Первым здесь, ви-
димо, был советский ученый В. Г. Ашкинузе
(1957); западные же ученые в этой связи чаще
ссылаются на публикацию югославского мате-
матика С. Билинского от 1960 года.
37
Ромбом косододекаэдр
Эта модель принадлежит к числу наи-
более привлекательных среди всех дру-
гих моделей архимедовых тел. Прос-
тейшее и наиболее естественное рас-
пределение красок на модели этого
многогранника сводится к тому, что
каждый из трех типов граней получает
свой цвет. Например, все треугольни-
ки — желтый (Ж), все квадраты — си-
ний (С) и все пятиугольники — оран-
жевый (О). Вы можете подряд обклеи-
вать каждый пятиугольник квадрат-
ными гранями, каждые две из которых
будут связаны промежуточной тре-
угольной гранью.
С различными вариациями этого
многогранника вы встретитесь в даль-
нейшем при рассмотрении невыпуклых
однородных многогранников. Возмож-
ны также вариации раскраски — их под-
сказывает сама форма многогранника.
Многие из этих раскрасок весьма эф-
фектны.
38
1 J Ромбоусеченный
кубооктаэдр
Этот многогранник, известный так-
же под названием усеченного кубоокта-
эдра, как и предыдущий, устроен так,
что допускает простую раскраску: три
разных цвета служат для окраски пар
противоположных восьмиугольных
граней, четвертый цвет — для всех шес-
тиугольников, пятый — для всех квад-
ратов. Как обычно, приступая к по-
строению модели, вы составляете в
чашу исходные заготовки, показанные
на рисунке. После этого подклеиваете
четыре восьмиугольника в соответ-
ствии с указаниями во второй строке
таблицы раскраски. Завершить работу
не составляет никакого труда.
Эта модель несколько более запу-
танная и сложнее в изготовлении,-чем
предшествующие, но вместе с тем и
более интересная.
1	23456789
Ж COCOCOCO
К 3 К 3
39
10 Ромбоусеченный
и косодод екаэ д р
Этот многогранник часто называют
также усеченным додекаэдром. Кра-
сивую раскраску его модели можно
получить самым простым способом:
все десятиугольники пусть будут одно-
цветными, скажем, желтыми (Ж), все
шестиугольники — синими (С) и все
квадраты — оранжевыми (О).
Для построения модели вам пред-
стоит выполнить уже знакомую после-
довательность действий: окружите
каждый десятиугольник чередующейся
последовательностью шестиугольни-
ков и треугольников, образующих
кольцо. Тем самым любые два десяти-
угольника будут отделены друг от
друга подобным кольцом, причем каж-
дая квадратная грань будет принадле-
жать в точности двум разным кольцам.
Близкие к этому многограннику тела
найдутся также среди невыпуклых
многогранников, которые мы будем
разбирать в дальнейшем.
Поскольку ромбоусеченный икосо-
додекаэдр имеет десятиугольные гра-
ни, то для обеспечения необходимой
жесткости модели эти грани следует
делать из более плотного картона. Од-
нако при небольших размерах модели
требуемая жесткость обеспечивается
автоматически.
40
1	2 3 4 5 6
Ж С С С С К
с о о о о к
1 7 Курносый куб
Этот многогранник можно вписать
в куб таким образом, что плоскости
шести квадратных его граней совпадут
с плоскостями граней куба, причем эти
квадратные грани курносого куба ока-
жутся как бы слегка повернутыми по
отношению к соответственным граням
куба1. К каждой стороне квадрата при-
мыкает треугольная грань, поэтому
квадрат выглядит окруженным тре-
угольниками. Таких треугольников все-
го 24. Кроме того, восемь дополнитель-
ных треугольников закрывают отверс-
тия, остающиеся после склеивания пре-
дыдущих заготовок.
Подобное строение многогранника
подсказывает следующую его раскрас-
ку. Три противоположных квадрата
раскрашиваются тремя красками. При-
легающие к каждому квадрату тре-
угольники одноцветны, но в силу со-
блюдения основного принципа раскрас-
ки карт этот цвет меняется в зависимос-
ти от раскраски соответствующего
квадрата. Для раскраски треугольни-
ков используются те же три цвета, что
и для квадратов. Наконец, четвертым
цветом отмечаются все восемь допол-
нительных треугольников.
При изготовлении модели следует
пользоваться таблицей раскраски, ука-
зывающей распределение цветов для
первых трех частей модели. Эти части
затем склеиваются вместе, причем в
качестве связок между разноцветными
треугольниками используются допол-
нительные красные (К) треугольники.
Склеенные подобным образом три ча-
сти образуют половину модели. Точно
так же выполняется и вторая половина
работы, нужно только проследить за
тем, чтобы противоположные квад-
ратные грани модели имели одинако-
вую раскраску1 2.
1 См. сноску на стр. 13.
2 Это значит, что примыкающие к новым
квадратным граням треугольники также должны
быть раскрашены в соответствии с таблицей.
41
1 8 Курносый додекаэдр
Этот многогранник находится в та-
ком же отношении к правильному до-
декаэдру, в каком курносый куб нахо-
дится к правильному гексаэдру (кубу).
Чтобы раскрасить модель, возьмите
все пятиугольники одного цвета, ска-
жем желтого (Ж). Заметьте, что каж-
дый из них окружен пятью треугольни-
ками и всем таким треугольникам мож-
но было бы , дать один цвет. Однако
допустима и другая раскраска, при ко-
торой у каждой пятерки треугольников
будет свой цвет, соответствующий че-
тырехцветной раскраске додекаэдра.
При этом дополнительные связующие
треугольники также можно сделать
желтыми.
♦ ♦ ♦
Курносый додекаэдр — последний
из семейства выпуклых однородных
многогранников. Перейдем к некото-
рым звездчатым формам и соедине-
ниям различных многогранников, по-
сле чего возвратимся к однородным
многогранникам, но уже невыпуклым.
I
Ж
ж
ж
ж
42
II. НЕКОТОРЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ ФОРМЫ
И СОЕДИНЕНИЯ
Замечания о звездчатых формах
и соединениях платоновых тел
Термин «звездчатый» имеет общий
корень со словом «звезда», и это ука-
зывает на его происхождение. Сущест-
вуют звездчатые многоугольники и
звездчатые многогранники. Чтобы ра-
зобраться в существе дела, обратимся
к чертежам и моделям.
Начнем с простейшего многоуголь-
ника — равностороннего треугольни-
ка. Посмотрим, что произойдет, если
мы продолжим все три его стороны.
Легко заметить, что этими прямыми
не будет ограничена никакая новая
часть плоскости: продолжения сторон
будут расходиться (рис. 17).
Аналогичная картина предстанет перед
нами и в том случае, если мы попыта-
емся продолжить стороны квадрата.
Построенные прямые будут попарно
параллельны и не пересекутся, сколько
бы их ни продолжали (рис. 18). Тем
самым они не добавят никаких новых
ограниченных частей плоскости к внут-
ренности квадрата. Однако в * случае
пятиугольника картина меняется. Про-
должения сторон пятиугольника пере-
секаются во внешней по отношению к
пятиугольнику части плоскости, до-
бавляя к пятиугольнику новые части.
В результате получается хорошо из-
вестная нам пятиконечная звезда, ина-
че называемая пентаграммой (рис. 19).
Пентаграмма была известна в глубо-
кой древности, что явствует хотя бы
из того, что пифагорейцы считали ее
символом здоровья. Продолжение сто-
рон шестиугольника приводит к появ-
лению шестиугольной звезды, или гек-
саграммы (последнюю можно рассмат-
ривать не как единый многоугольник,
а как соединение двух равносторонних
треугольников).
Аналогично правильный восьми-
угольник (октагон) приводит нас к
восьмиугольной звезде — октаграмме,
правильный десятиугольник (дека-
гон) — к десятиугольной звезде, или
декаграмме. Пентаграмму, октаграм-
му и декаграмму можно рассматри-
вать как нераспадающиеся единые мно-
гоугольники соответственно с 5, 8 и
10 сторонами, поскольку существует
непрерывный обход их вершин по сто-
ронам вокруг центров. При этом в
случае пентаграммы, например, со-
вершая полный обход в порядке, оп-
ределяемом номерами 0—5 (рис. 21),
мы делаем два оборота вокруг центра
пентаграммы, тогда как при обходе
пятиугольника (рис. 20) мы делаем
Рис. 18.
Рис. 20.
Рис. 22.
Рис. 23.
44
лишь один оборот. В случае же окта-
граммы и декаграммы получается по
три оборота вокруг центра (рис. 22
и 23). Заметим, что внутренние точки
пересечения мы не рассматриваем как
вершины звезды. Указанное выше об-
стоятельство учитывается в символи-
ческих обозначениях звездчатых много-
угольников. В нашем случае пента-
грамма, октаграмма и декаграмма обо-
значаются соответственно через 5/2,
8/3 и 10/3. Эти звезды могут прини-
мать, кроме того, и иные очертания,
но в дальнейшем мы будем говорить
лишь об описанных выше формах
([4], стр. 63 и след.).
Если теперь обратиться к аналогич-
ному процессу в трехмерном простран-
стве, то естественно снова начать с
простейшего многогранника — тетра-
эдра. Разумеется, здесь нам потребу-
ется продолжить не ребра, но грани
многогранника. Однако четыре плос-
кости — продолжения граней тетра-
эдра — ограничивают лишь ту часть
трехмерного пространства, которая
совпадает с исходным телом. Шесть
плоскостей куба попарно параллельны
и взаимно перпендикулярны, подобно
сторонам двумерного аналога куба —
квадрата. Поэтому и в трехмерном
случае к кубу не добавляется новых ча-
стей. Но уже случай октаэдра дает
интересные результаты. Восемь пло-
скостей — продолжения граней окта-
эдра — отделяют от пространства но-
вые части, так сказать, «отсеки», внеш-
ние по отношению к октаэдру. Вы об-
наружите, что эти части суть не что
иное, как малые тетраэдры, основания
которых совпадают с гранями окта-
эдра. Если вы теперь мысленно при-
соедините эти части к октаэдру таким
образом, чтобы их общие с октаэдром
грани исчезли, оставив нутро нового
тела полым, перед вашим взором воз-
никнет невыпуклый многогранник.
Однако с таким же успехом вы мо-
жете представить себе этот многогран-
ник и в виде множества пересекающих-
ся треугольных граней, вершины кото-
рых совпадают с вершинами малых
тетраэдров. Эти треугольные грани
обладают свойством, отмеченным у
выпуклых многогранников, а именно:
каждое ребро этих треугольников при-
надлежит в точности двум таким гра-
ням: Разумеется, эти ребра пересека-
ются, но внутренние точки пересече-
ния этих отрезков не следует рассмат-
ривать в качестве вершин многогран-
ника, подобно тому как мы поступали
в случае плоских звездчатых много-
гранников. Ведь и там каждая сторона,
например пентаграммы, пересекалась
двумя другими, но точки их пересече-
ния не рассматриваются как делящие
сторону. Подобным же образом в
звездчатом октаэдре мы находим лишь
восемь граней, и только концы ребер
считаем вершинами многогранника.
Впрочем, дальнейшее тщательное
изучение наводит нас на мысль о том,
что этот многогранник на самом деле
есть не единое тело, но соединение двух
пересекающихся тетраэдров, центры
которых совпадают с центром исход-
ного октаэдра, причем эта точка явля-
ется центром симметрии всего тела.
Этот многогранник открыл Кеплер в
1619 году и дал ему имя Stella octan-
gula1.
Еще одна особенность этого тела
заключается в том, что восемь его
вершин лежат в вершинах некоторого
куба, а ребра являются диагоналями
граней этого куба.
Продолжать дальше грани октаэд-
ра не имеет смысла, ибо они не отде-
лят более никакой части пространства,
не создадут новых «отсеков». Поэтому
октаэдр имеет лишь одну звездча-
тую форму.
Если же обратиться к додекаэдру,
продолжив его грани как и в случае
октаэдра, можно обнаружить, что это
приведет к образованиют р ех различ-
ных типов отсеков. Вблизи самого до-
декаэдра имеется 12 пятиугольных пи-
рамид. Эти пирамиды превращают до-
декаэдр в малый звездчатый додека-
эдр. За ними следуют 30 клинообраз-
ных отсеков, превращающих малый
звездчатый додекаэдр в большой до-
декаэдр. Наконец 20 треугольных би-
пирамид* 2 превращают большой до-
декаэдр в большой звездчатый доде-
каэдр, который, пожалуй, точнее бы-
ло бы назвать звездчатым большим
Stella octangula (лат.) — восьмиугольная
звезда.
2 Бипирамидой называется многогранник,
образованный из двух л-угольных пирамид, ко-
торые сложены равными основаниями (и нахо-
дятся по разные стороны от общего основания).
45
додекаэдром. Это завершающая звезд-
чатая форма додекаэдра, который име-
ет три такие формы: две из них были
открыты Кеплером (1619), третья —
Пуансо (1809).
Теперь вас, возможно, заинтересует
то обстоятельство, что в отличие от
октаэдра любая из звездчатых форм
додекаэдра не является соеди-
нением платоновых тел, но образует
новый многогранник. На самом деле
эти многогранники правильные, по-
скольку два из них имеют гранями по
12 пересекающихся пентаграмм, а гра-
ни третьего — 12 пересекающихся пя-
тиугольников (пентагонов). Коши
(1811) доказал, что эти три многогран-
ника, открытые ранее, на самом деле
не что иное, как звездчатые формы
додекаэдра [24]. Он также установил,
что вместе с большим икосаэдром —
звездчатой формой икосаэдра — они
являются единственно возможными
правильными звездчатыми телами.
Так, к пяти правильным телам, из-
вестным еще древним ученым, мате-
матики более близкой к нам эпохи
добавили четыре звездчатых много-
гранника, гранями которых могут быть
правильные или звездчатые много-
угольники. По-прежнему грани соеди-
няются попарно в ребрах, но до этого
они пересекаются с другими гранями.
При этом внутренние линии пересече-
ния не считаются ребрами. Все эти
свойства отчетливо прослеживаются на
моделях звездчатых тел.
Перед построением этих моделей
небезынтересно ознакомиться с уст-
ройством трафаретов, задающих ка-
кую-либо одну лицевую звездчатую
грань. Остальные грани имеют ана-
логичное строение. Трафаретом для
октаэдра будет служить равносторон-
ний треугольник, из которого следует
вырезать треугольник с вершинами в
серединах сторон (рис. 24). Этот внут-
ренний треугольник является гранью
исходного октаэдра, вне которого рас-
положена Stella octangula. Трафаре-
том для додекаэдра служит звездча-
тый многоугольник без вырезанного
звездчатого многоугольника (рис. 25).
Нумерация показывает, какие части
образуют внешние пб отношению к
граням куски. С помощью таких тра-
фаретов вы сможете сделать заготов-
ки, необходимые для изготовления мо-
делей.
На следующих страницах светлой
штриховкой обозначены те части гра-
ней, которые видны с соответствую-
щих вершин многогранника, лежащих
над рассматриваемой гранью. Черным
цветом показана часть этой же звездча-
той грани, видимая с противополож-
ной стороны. По всем выделенным
частям мы получаем возможность су-
дить, какими должны быть заготовки
для той или иной модели.
46
J ✓ Звездчатый октаэдр
(stella octangula
Кеплера)
У октаэдра есть только одна звезд-
чатая форма. Ее можно рассматривать
как соединение двух тетраэдров. Для
'Изготовления1 модели вах| потребуют-
ся заготовки лишь 1 одного типа —
одинаковые равносторонние треуголь-
ники. На рисунке внизу приведена таб-
лица раскраски для первых четырех
треугольных пирамид, каждая из ко-
торых имеет в основании правильный
треугольник. Они подклеиваются друг
к другу таким образом, чтобы отсут-
ствующие нижние основания образо-
вывали как бы верхушку октаэдра. При
этом грани октаэдра на самом деле
будут заменены этими пирамидами.
Сделав половину модели, вы замети-
те, что каждая ее грань окрашена в
собственный цвет1. Вы также обнару-
жите, что параллельные грани имеют
одну расцветку. Остающиеся четыре
пирамиды энантиоморфны первым.
Таблицу раскраски для них можно по-
лучить, переставив в приводимой таб-
лице первый и третий столбцы.
Несмотря на простоту, модель весь-
ма эффектна.
1 Напомним, что грань здесь образует не
один треугольник, а три заштрихованных на чер-
теже.
(2)
(3)
(4)
ж
к
ж
о
О
Ж
к
О
К
47
ZU Малый звездчатый
додекаэдр
Этот многогранник — одно из тел
Кеплера — Пуансо. В качестве трафа-
рета вам необходим всего лишь равно-
бедренный треугольник с углами 72°,
72 и 36°. Такой треугольник образует
любой луч пятиконечной звезды —
пентаграммы. Пять склеенных тре-
угольников образуют часть модели,
примыкающую к любой вершине. Ни-
же указаны порядок склеивания и рас-
пределение раскраски.
Рекомендуем подклеивать не отдель-
ные треугольники, а сразу же заранее
заготовленные пятиугольные пирами-
ды одна к одной. Назовем такую пира-
миду верхушкой. Начните с верхушки
(0) и подклейте к ней наклейками под-
ряд все пять остальных белых (Б) тре-
угольников. Вы увидите, что образо-
валась белая звезда. В этом-то и заклю-
чался наш основной принцип: все части
звездчатых многоугольников должны
были иметь одну раскраску.
Кроме того, теперь видны и осталь-
ные звездчатые грани — подклеены две
из пяти частей каждой из них. Следую-
щие шесть верхушек энантиоморфны
исходным, и их следует приклеивать
сразу же после изготовления. Каждая
должна занимать место, диаметрально
противоположное тому, которое зани-
мает ее двойник.
Описанный способ приводит к пост-
роению полой внутри модели, что мо-
жет оказаться причиной недостаточной
ее жесткости. При этом каждая вер-
хушка будет легко деформироваться,
ибо она представляет собой боковую
поверхность пятиугольной пирамиды
без скрепляющего ее основания. По-
пробуйте подклеить эти верхушки к
граням додекаэдра как к основаниям
пирамид. К сожалению, вид у такой
модели не очень привлекательный и
врйд ли удовлетворит вас. Лучше уж
сделайте небольшую полую модель.
Достаточно удовлетворительные ре-
зультаты можно получить и в том слу-
чае, если изнутри хорошенько смазать
клеем части, близко примыкающие ко
всем вогнутым (ложным) вершинам
многогранника, не забывая соединять
наклейки по всей длине. Возможно, ва-
ша изобретательность подскажет, как
сделать модель более прочной.
1
Ж
Б
Б
Б
Б
Б
2
С
3
Ж
с
о
к
3
о
о
к
3
ж
с
3
с
о
к
3
ж
к
к
3
ж
с
о
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
48
ZI Большой додекаэдр
Этот многогранник составлен из 12
пересекающихся пятиугольных граней.
Если выполнить модель в шести цве-
тах, то очень заметны выступающие
над плоскими гранями пятиугольные
звезды. При этом каждый луч будет
принадлежать в точности двум сосед-
ним звездам. Для этой модели нужен
трафарет в виде равнобедренного тре-
угольника с углами 36°, 36 и 108°. Про-
ще всего соединить заготовки между
собой таким образом, чтобы получить
20 треугольных пирамид (вершинами
вниз!), а затем склеить пирамиды вмес-
те способом, напоминающим тот, что
мы применяли при склейке 20 треуголь-
ников, образующих икосаэдр. Порядок
склейки и таблица раскраски приводят-
ся на рисунке.
Треугольники 5 склеиваем с тре-
угольниками 2 и получаем половину
модели. Остальные ее части энантио-
морфны полученным и расположёны
на диаметрально противоположных
местах.
1 2 3
(1)	Ж Б 3
(2)	С Б Ж
(3)	О Б С
(4)	К Б О
(5)	3 Б К
4 5 6
(6) 3 О Ж
(7) Ж К С
(8) С 3 О
(9) О Ж К
(10) К С 3
4-731
49
ZZ Большой звездчатый
додекаэдр
Это последняя звездчатая форма
правильного додекаэдра. Модель мно-
гогранника можно изготовить, под-
клеивая треугольные пирамиды к гра-
ням икосаэдра. Но мы не рекомендуем
этот способ: получится неаккуратная и
потому не удовлетворяющая вас мо-
дель. Не составит большого труда вы-
полнить модель целиком полой; она
окажется достаточно жесткой. Это объ-
ясняется тем, что треугольные пирами-
ды даже без оснований обладают удов-
летворительной прочностью. В качест-
ве заготовок вам потребуются равно-
бедренные треугольники с углами 36°,
72 и 72° — лучи пятиконечной звезды.
Их надо склеить между собой так, как
показано на рисунке вверху и в соот-
ветствии с таблицей раскраски.
Первые пять пирамид (1, 2, 3) склеи-
ваются между собой в кольцо таким
образом, чтобы внешние ребра обра-
зовали треугольники 1. Их стороны да-
дут нам пятиугольник. Сюда белыми
(Б) треугольниками подклеиваются
остальные пирамиды (4, 5, 6). Обратите
внимание, что лучи звезд, лежащих в
одной плоскости, одинакового цвета.
Остающиеся части энантииморфны по-
лученным и располагаются на диамет-
рально противоположных двойникам
местах. Эта модель очень декоративна.
1 2 3
Ж 3 С
с ж о
о с к
коз
3 к ж
4 5 6
Б 3 С
Б Ж О
Б С К
Б О 3
Б К Ж
50
Замечания о звездчатых
формах икосаэдра
Надо полагать, теперь вы доста-
точно уяснили процесс, посредством
которого получаются звездчатые фор-
мы многогранников. Некоторые из
них суть соединения нескольких тел.
До сих пор нам пришлось встретиться
лишь с одним таким соединением —
звездчатым октаэдром. Больше по-
добных форм мы найдем, рассматривая
икосаэдр. Все три звездчатые формы
додекаэдра представляют собой еди-
ные и нерасчленяемые новые много-
гранники, которым находится место
в классификации правильных тел.
Икосаэдр имеет двадцать граней.
Если каждую из них продолжить не-
ограниченно, то тело будет окружено
великим многоообразием отсеков —
частей пространства, ограниченных
плоскостями граней. Вы, конечно,
можете попытаться их себе предста-
вить, но скорее всего потерпите неуда-
чу. Все звездчатые формы икосаэдра
можно получить добавлением к ис-
ходному телу таких отсеков. Не считая
самого икосаэдра, продолжения его
граней отделяют от пространства
20 + 30 + 60 + 20 + 60 +
+ 120+ 12 + 30+ 60 + 60
отсеков десяти различных форм и
размеров. Большой икосаэдр состоит
из всех этих кусков, за исключением
последних шестидесяти. При построе-
нии модели здесь, как и в случаях окта-
эдра и додекаэдра, можно пойти по
следующему пути: сначала сделать мо-
дели дополнительных отсеков (пред-
варительно запасясь необходимыми
заготовками), а затем подклеить их
либо к исходному многогранному
основанию, либо друг к другу. Прав-
да, на практике такой способ весьма
утомителен и к тому же не дает сколь-
ко-нибудь удовлетворительных ре-
зультатов. (Тем не менее в целях раз-
работки удобных и практичных загото-
вок весьма полезно представлять себе
формы и вид дополнительных отсеков.)
В последующих описаниях вы найдете
чертежи, по которым можно сделать
нужные заготовки. Как только вы по-
строите ту или иную модель, а еще луч-
ше — все модели этого раздела, что,
конечно, потребует времени, вам не-
трудно будет найти и другие способы
изготовления моделей, требующие
исходных заготовок иных форм и видов.
Заготовки, приводимые ниже, вовсе
не единственно возможные или самые
лучшие — просто мы сочли нуж-
ным описать те из них, которые были
использованы при изготовлении по-
казанных на фотографиях моделей.
Среди звездчатых форм икосаэд-
ра встречаются некоторые соединения
платоновых тел. Среди них: соедине-
ние пяти октаэдров, энантиоморфные
формы соединения пяти тетраэдров
и соединение десяти тетраэдров. Ес-
ли бы Платон смог видеть эти формы,
они привели бы его в восхищение. Пос-
ле того как были открыты эти и ряд
других многогранников, ученые, ес-
тественно, задумались над вопросом:
сколько существует звездчатых форм
икосаэдра? В 1900 году Брюкнер
опубликовал классическую работу о
многогранниках, озаглавленную «Viel-
ecke und Vielflache» [10], в которой
были представлены некоторые но-
вые звездчатые формы икосаэдра.
Открытием еще нескольких форм мы
обязаны Уиллеру (1924). В 1938 году
систематическое и полное исследова-
ние вопроса провел Кокстер совмест-
но с Дювалем, Флэзером и Петри
[17]. Для различения исходных форм
и выделения характерных тел они
применили правила ограничения, ус-
тановленные Дж. Миллером.
Кокстер доказал, что сущест-
вует всего 59 звездчатых форм икоса-
эдра, из которых 32 обладают полной,
а 27 неполной икосаэдральной сим-
метрией (последнее обстоятельство
дает возможность строить энантио-
морфные им аналоги, которые имеют
красивый и необычный вид).
В высшей степени интересен трафа-
рет, используемый для конструиро-
вания заготовок звездчатых форм
икосаэдра. Проще всего его изготовить
следующим образом: возьмите один
равносторонний треугольник с доста-
точно большой стороной. (Этот тре-
угольник равен одной грани большо-
4*
51
го икосаэдра.) На каждой стороне
треугольника следует выбрать две
точки, каждая из которых делит сто-
рону в отношении золотого сечения.
Для обозначения этого отношения
мы иногда будем использовать сим-
вол т. Как известно,
т = 1 + 2/? **1,618.
Для нахождения нужных нам точек
полезно использовать числа Фибо-
наччи1
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
Отношение двух соседних членов
этой последовательности чисел при-
ближенно равно «золотому сечению»,
ибо своим пределом это отношение
имеет число т. Удобно пользоваться
линейкой с миллиметровыми деле-
ниями. Тогда части сторон треугольни-
ка могут равняться, например, 34/2,
21/2, 13/2 и 8/2 см. Отрезки, соединяю-
щие отмеченные таким образом на
1 Каждый член этой последовательности чи-
сел, начиная с третьего, равен сумме двух преды-
дущих членов ( см. по этому поводу: Воробь-
евы. Н., Числа Фибоначчи, M., изд-во «Нау-
ка», 1969).
сторонах точки, задают трафарет
(рис. 26).
На рис. 27 показано распределение
цветов, подходящее для всех звездча-
тых форм икосаэдра. Оно совпадает
с распределением, приведенным на
стр. 28 в первой таблице раскраски.
Здесь использовано пять цветов, при-
чем каждый из них встречается вблизи
любой вершины. Но порядок размеще-
ния цветов меняется от вершины к
вершине. На рис. 27 пронумеровано и
показано шесть вершин. Раскраска ос-
тальных шести энантиоморфна. Этот
рисунок вполне заменяет таблицу рас-
краски, так что мы будем обращаться
к нему во всех случаях, когда выполняе-
мая модель будет обладать симмет-
рией икосаэдра.
Возможно, вас удивит то обстоятель-
ство, что многие звездчатые формы
икосаэдра имеют и весьма заметную
симметрию додекаэдра. Объяснение
этому следует искать в принципе двой-
ственности. Икосаэдр и додекаэдр об-
разуют двойственную пару, подобную
паре октаэдр — куб. И только тетра-
эдр двойствен самому себе, иначе го-
воря, другому тетраэдру [19].
Рис. 26.
JE2
15 Соединение пяти
октаэдров
Каждую грань этого многогранника
образуют два равносторонних тре-
угольника, расположенных так, как
показано на фотографии. Для изго-
товления модели вам предстоит сде-
лать 30 копий показанной ниже заго-
товки, причем каждые шесть из них
должны быть своего цвета. Прежде
всего придайте каждой заготовке вид
четырехугольной пирамиды без ром-
бического основания — она будет слу-
жить вершиной одного из октаэдров.
Затем возьмите пять разноцветных за-
готовок и склейте их между собой, ру-
ководствуясь порядком раскраски у
вершины (0). В промежутки между вы-
ступающими частями вклейте еще пять
таких заготовок. Их следует располо-
жить таким образом, чтобы короткие
наклонные ребра новых заготовок слу-
жили продолжениями ребер во впа-
динах исходного набора заготовок.
Тогда ребро во впадине и короткое
наклонное ребро новой заготовки бу-
дут лежать на одной прямой — ребре
одного из октаэдров, образующих со-
единение. Вы должны постоянно пом-
нить о форме исходного октаэдра, и
тогда вы увидите его на уже постро-
енной части модели, а окраска подска-
жет вам ее продолжение. Впрочем,
здесь могут также помочь своеобраз
ные «кольца заготовок», подобные тем,
которые появлялись при построении
модели икосаэдра.
Как только будет выполнена опи-
санная часть модели, продолжить ее
не составит труда. Полученная полая
модель не будет совершенно жесткой,
но если пользоваться исходными заго-
товками того же размера, что и на
наших рисунках, прочность модели бу-
дет вполне удовлетворительной. В лю-
бом случае такой способ даст лучшие
результаты, нежели обклеивание ис-
ходного октаэдра дополнительными
частями.
53
Соединение пяти
тетраэдров
Асимметричное и скошенное поло-
жение граней этого многогранника при-
дает ему необычайно привлекательный
вид. Для изготовления модели вам
потребуется всего 20 копий показанной
ниже заготовки; каждые четыре из них
должны иметь свой цвет. Сначала со-
едините их по три таким образом, что-
бы всякий раз получался трехгранный
угол с нижними зазубренными краями.
Теперь склейте между собой пять таких
трехгранников. При этом проследите
за тем, чтобы ребра разных трехгран-
ников, отмеченные буквой А на ниж-
нем чертеже, склеивались между собой.
Вы получите кольцо из пяти трехгран-
ников, причем в центре его, образую-
щем впадину (если смотреть с наруж-
ной стороны), окажутся вершины всех
пяти зубцов, одной из сторон которых
является ребро А.
После построения этой части не-
сложно определить место расположе-
ния всех остальных трехгранников. При
выборе цвета следует исходить из того,
что каждый входящий в соединение
тетраэдр окрашен в один цвет. Цент-
ральные точки каждой впадины совпа-
дают с вершинами внутреннего икоса-
эдра, который мы, разумеется, не стро-
им. Но порядок размещения цветов
вблизи вершин впадин совпадает с
распределением окраски для икосаэдра.
Возможно, предложенный метод со-
единения частей показался вам слож-
ным в выполнении, поскольку все за-
зубренные ребра и вершины зубцов
можно отнести к трем различным со-
седним впадинам. Чтобы упростить
работу, попробуйте соединять наклей-
ки последовательно, одну за другой,
но непременно начиная с более длин-
ных ребер и формируя впадину. При-
соединение последнего трехгранника
потребует от вас известной ловкости
и терпения. Быть может, имеет смысл
не склеивать заготовки в пирамиду,
а оставить одну из них неподклеенной
до конца работы. Таким способом вы
добьетесь получения очень жесткой
модели. Рекомендуем воспользовать-
ся предложенным методом. Он себя
оправдает, и вы получите модель, по-
казанную на фотографии.
54
25 Соединение десяти
тетраэдров
Этот многогранник представляет со-
бой комбинацию двух энантиоморф-
ных форм соединения пяти тетраэдров.
При изготовлении его модели руковод-
ствуйтесь чертежом, показывающим
вид заготовок. На каждой из них сле-
дует подрезать левую верхнюю сторо-
ну до вершины и отогнуть полученное
треугольное крыло. К левой верхней
стороне приклеивается крыло другого
цвета, которое также отгибается на-
ружу. Оба отогнутых крыла склеива-
ются между собой. При этом наклейка
короткой стороны левого крыла непо-
средственно соединяется с внутренней
поверхностью правого крыла. Оба кры-
ла образуют половину чашеобразного
желоба, или выемки, соединяющего
между собой соседние части модели.
Одна из таких частей, состоящая из
пяти склеенных заготовок, показана
на рисунке справа. Буквы указывают
распределение окраски для части (0).
Двенадцать таких частей соединяются
между собой при помощи оставшихся
наклеек. Так получается очень прочная
и красивая модель.
55
26 Первая звездчатая
форма икосаэдра
Эту модель делают из 20 частей,
которые склеиваются из показанных
внизу заготовок. Каждая часть пред-,
ставляет собой невысокую треуголь-
ную пирамиду без основания. При рас-
краске модели можно воспользоваться
обычной таблицей раскраски икоса-
эдра (см. рис. 27). Однако если каждая
пирамида будет одноцветной, то гра-
ни звездчатого многогранника не бу-
дут окрашены в один цвет. Если вы
хотите сделать грани одноцветными,
каждому треугольнику одной части
следует придать свою окраску. Это
означает, что их нельзя вырезать из
одного куска цветного картона. Быть
может, вы все-таки захотите выпол-
нить эту работу. В таком случае вам
предстоит самостоятельно продумать
раскраску модели.
56
27 Вторая звездчатая
форма икосаэдра
На этой очень красивой модели за-
метны пятигранные высокие пики, вы-
ступающие из впадин модели соедине-
ния десяти тетраэдров. Внизу показа-
ны симметричные трафареты для за-
готовок — ими удобно пользоваться,
если вас устраивает разноцветная рас-
краска граней звездчатого многогран-
ника. На чертеже показана также одна
грань пятиугольного пика. Два малых
треугольника внизу, отогнутые и скле-
енные вместе, образуют небольшой
желобок. Пять таких заготовок склеи-
ваются в пятиугольный пирамидаль-
ный пик, от основания которого отхо-
дят пять желобков. Другая заготовка
во всем совпадает с частью заготовки,
использованной ранее в модели соеди-
нения десяти тетраэдров, за исключе-
нием того, что эти части одноцветны.
Они служат связующими звеньями
между разными пиками и подклеива-
ются между желобками.
Попытайтесь и на этот раз самостоя-
тельно найти распределение окрасок,
руководствуясь таблицей раскраски
икосаэдра.
57
28 Третья звездчатая
форма икосаэдра
Этот весьма простой многогранник
принадлежит к семейству делыпаэдров.
Для дельтаэдров характерно, что все
их грани представляют собой равно-
сторонние треугольники ([19], стр. 142—
144). Каждую грань этого звездчатого
многогранника образуют три равно-
сторонних треугольника. Сам много-
гранник внешне напоминает додека-
эдр и даже содержит его ребра, но на
самом деле является звездчатой фор-
мой икосаэдра. Его можно предста-
вить себе как додекаэдр с удаленными
пятиугольными гранями, место кото-
рых заняли пятигранные впадины с
правильными треугольными гранями.
Что это так, подсказывает простой
способ построения модели, при кото-
ром в точности соблюдаются указания
по раскраске икосаэдра, приведенные
на рис. 27. Каждая пятигранная впа-
дина образует одну часть: все части
соединяются между собой в той же
последовательности, что и при по-
строении модели додекаэдра. Если вы
будете придерживаться предложенного
выше распределения окраски, то три
треугольника на каждой грани звезд-
чатого многогранника будут одного
цвета. Построенную модель можно
рассматривать как трехмерный аналог
таблицы раскраски, приведенной на
рис. 27.
Многие звездчатые формы икоса-
эдра имеют грани, состоящие из частей
трех правильных треугольников, кото-
рые образуют грань этой модели. По-
следнее обстоятельство делает нашу
модель особенно полезной для уста-
новления связей между различными
многогранниками. В некоторых по-
следующих моделях вы обнаружите
части рассматриваемого икосаэдра;
они как бы служат своеобразными
строительными лесами. Одна из таких
частей показана на рисунке. Перед
склеиванием — в зависимости от места
и назначения этой части — ее центр,
вершина пятиугольной пирамиды, рас-
полагается выше или ниже по отноше-
нию к воображаемому основанию.
58
Li Четвертая звездчатая
форма икосаэдра
Как уже отмечалось, процесс про-
должения граней икосаэдра ведет к
появлению десяти различных типов
отсеков, служащих дополнением к ис-
ходному телу. Модель одной из звезд-
чатых форм можно построить таким
образом, что отсеки, заготовки для
которых показаны на рисунке внизу,
явятся как бы связками между верши-
нами некоторого многогранника. Эта
модель представляет собой аналог ске-
летной модели правильного додекаэд-
ра, роль ребер которой выполняют
наши отсеки.
Модель изготавливается следующим
способом. Прежде всего сооружаются
«строительные леса», которые пред-
назначены для поддержки отсеков.
Этими «лесами» служит половина мо-
дели дельтаэдра (см. модель 28) —
внутри ее мы будем строить новую
модель. Вершины «лесов» лучше обре-
зать и сделать на их месте отверстия:
тогда при склеивании отсеков «леса»
не прилипнут к модели. Когда все
готово, приступайте к изготовлению
отсеков. Для этого возьмите пять раз-
ноцветных отсеков и уложите их коль-
цом на дно нашей (открытой) полови-
ны дельтаэдра (играющей роль «ле-
сов»). Отсеки должны касаться друг
друга только концевыми вершинами.
Теперь попробуйте нанести на верши-
ны клей, но делайте это медленно и
осторожно. Отложите модель в сто-
рону и займитесь изготовлением дру-
гих отсеков. После того как они будут
готовы, поместите пять из них внутрь
«лесов» так, чтобы нижний конец отсе-
ка совпал с уже склеенными вершина-
ми, а длинное боковое ребро отсека
лежало на наклонном ребре «лесов».
Снова добавьте клей по капелькам, но
постарайтесь склеить им три вершины
покрепче. Часа через два склеенную
часть можно вынуть и повернуть так,
чтобы теперь на дно «полудельтаэдра»
попали боковые отсеки. Итак, вы бу-
дете склеивать одно кольцо отсеков за
другим. Желание, сноровка и немного
терпения — и вы получите на редкость
привлекательную модель.
59
Окраску следует подбирать так, что-
бы диаметрально противоположные
отсеки были одного цвета. На модели
будет заметно, что любые шесть одно-
цветных отсеков лежат своими длин-
ными ребрами на гранях воображае-
мого куба, окружающего додекаэд-
ральную форму.
Эта модель — первый пример мно-
гогранника с открытой внутренней ча-
стью. Чередование освещенных и за-
тененных частей на фотографии хоро-
шо показывает с обеих сторон распо-
ложение граней звездчатого много-
гранника.
□и Пятая звездчатая
форма икосаэдра
Многие звездчатые формы икоса-
эдра внешне очень похожи на большой
икосаэдр, рассматриваемый ниже. Од-
на из них (ее трафареты для модели
помещены на рисунке) особенно инте-
ресна: она служит примером много-
гранника, вершины которого связаны
только отсеками. Треугольные трафа-
реты для этой модели совпадают с
трафаретами для модели большого
икосаэдра. Вот почему, видимо, лучше
в первую очередь построить модель
большого икосаэдра. И в том и в дру-
гом случае техника склеивания вершин
и таблицы раскраски будут одними и
теми же. И в том и в другом случае
получится модель звездчатого много-
гранника, каждая грань которого ок-
рашена в один цвет. Однако рассмат-
риваемый многогранник отличается от
большого икосаэдра в первую очередь
тем, что вершинные части представля-
ют собой отдельные цельные много-
гранники; они имеют форму «гармош-
кообразной» звездчатой пирамиды с
пятиугольным выступающим основа-
нием в виде пятиконечной звезды.
Часть, подобная этому основанию,
встречалась нам ранее в модели со-
единения десяти тетраэдров. Там мы
называли ее «выемкой». Полная мо-
дель состоит из 12 звездчатых пира-
мид. Каждая из пяти выступающих
вершин основания пирамиды связана
с вершинами других пирамид. При
этом появляются небольшие щели, че-
рез которые можно увидеть внутрен-
нюю поверхность модели, образован-
ную основаниями пирамид.
Звездчатые пирамиды несложно со-
единить между собой. Возьмите пять
пирамид, раскраска которых соответ-
ствует в таблице строкам (1), (2), (3),
(4) и (5). Пирамида (0) в нашем случае
присоединяется последней. Располо-
жите их в кольцо на подставке, как
показано на рисунке (стр. 62). Эту
подставку следует вырезать из куска
толстого картона. Она будет пред-
ставлять собой правильную пента-
грамму с отверстиями, обозначенными
на чертеже небольшими кружками.
В центры этих кружков и сойдутся
61
склеиваемые вершины соседних пира-
мид. Пирамиды располагаются так,
что два ребра любой из них идут по
боковым сторонам соответствующего
луча звезды. Как только вы это сде-
лаете, станет заметно, что соприкос-
нутся по две вершины каждой пары
соседних частей: две в плоскости под-
ставки и две прямо над ними. Поста-
райтесь нанести на точки контакта по
капле клея. Минут через 15 для боль-
шей прочности добавьте еще капельку.
Через час-другой вы сможете осто-
рожно снять с подставки полученное
кольцо. Оно будет настолько крепким,
что его можно будет передвигать по
подставке.
Подклейте к кольцу пирамиду (0),
поставив ее выступающие вершины в
точки контакта уже склеенных попарно
вершин. При этом снова нанесите ка-
пельки клея на все пять точек соедине-
ния. Теперь у вас в руках ровно поло-
вина модели. Другая половина ей энан-
тиоморфна.
Выбрать правильное расположение
частей модели непросто. Но если вы
будете руководствоваться правилом,
согласно которому грани звездчатого
многогранника должны быть одно-
цветными, то методом проб и ошибок
найдете, наконец, нужное положение.
Сделав второе кольцо, сразу же под-
клейте его к первому. После этого,
перевернув полученную часть, приклей-
те последнюю пирамиду— и модель
готова.
j I Шестая звездчатая
форма икосаэдра
Показанные на рисунке части явля-
ются шаблонами модели еще одной
звездчатой формы икосаэдра. На ней
легко обнаружить 12 длинных пиков,
выступающих из впадин модели дель-
таэдра 28. Построение модели можно
начать с соединения в кольцо пяти ма-
лых заготовок, цвет которых опреде-
лен в соответствии с обычным прави-
лом раскраски икосаэдра. К кольцу
добавляется пик, раскрашенный ана-
логично. Проденьте пик через отвер-
стие в центре кольца — это неслож-
но — и соедините нужные наклейки.
(Рекомендуем использовать зажимы,
которые не снимаются до тех пор, пока
не высохнет клей.) Двенадцать таких
частей соединяются, как при построе-
нии модели додекаэдра. Вам придется
немного поломать голову, прежде чем
выбрать правильное расположение ча-
стей. Помните: грань звездчатого мно-
гогранника должна быть одного цвета.
Эта простая и прочная модель до-
статочно декоративна.
63
5L Седьмая звездчатая
форма икосаэдра
Из заготовок, показанных на рисун-
ке, можно сделать 20 частей модели,
каждая из которых будет иметь форму
шестигранного невысокого пика. Скле-
енные вместе, эти части образуют мо-
дель еще одной звездчатой формы
икосаэдра.
Вы можете исходить из пяти наборов
заготовок, каждый из которых содер-
жит четыре одноцветные заготовки,
но в этом случае грани звездчатого
многогранника не будут правильно
раскрашены. Построение модели сле-
дует начать с образования кольца из
пяти частей. Эти части склеиваются
таким образом, чтобы один острый
угол в основаниях каждой части попал
в центр кольца. После этого модель
изготавливается, как обычно. Просле-
дите лишь за тем, чтобы раскраска
каждого нового кольца соответство-
вала правилам раскраски икосаэдра.
Модель будет еще более эффектной,
если прибегнуть к единой окраске каж-
дой грани звездчатого многогранника.
Попытайтесь сконструировать и вы-
полнить такую модель самостоя-
тельно.
64
□ э Восьмая звездчатая
форма икосаэдра
Трафарет, показанный на рисунке,
служит для изготовления модели звезд-
чатого икосаэдра, также весьма сход-
ного с большим икосаэдром. В дейст-
вительности наш многогранник можно
представить в виде большого икоса-
эдра с удаленными клинообразными
частями, стягивающими основания
вершинных частей. Поэтому треуголь-
ный трафарет этой модели в нижней
своей части несколько отличается от
трафарета большого икосаэдра. По-
этому же на рисунке приведен всего
один трафарет, служащий основой всех
заготовок. 60 заготовок совпадают с
этим трафаретом, а другие 60 — энан-
тиоморфны ему1. В дальнейшем вы
должны руководствоваться тем же пар-
ным распределением цветов, которое
приведено в таблице раскраски боль-
шого икосаэдра (см. стр. 75).
Части модели довольно трудно со-
единять между собой из-за заметной
углубленности их оснований в тело
многогранника. Поэтому, как только
ваша работа приблизится к заверше-
нию, измените обычный порядок дей-
ствий: соедините сначала наклейки,
расположенные в углубленных вогну-
тых частях, а затем склейте выступаю-
щие части (это уже легче сделать, даже
не имея доступа изнутри).
1 Это значит, что для их получения трафарет
731
65
34 Девятая звездчатая
форма икосаэдра
В показанной на рисунке заготовке
вы легко узнаете грань длинного пика
модели. В предыдущих моделях пики
были несколько короче, но эта состоит
всего лишь из двенадцати таких пиков.
Сначала следует придать пикам
обычную пятигранную форму, соблю-
дая при этом привычные правила ико-
саэдральной раскраски. Затем все части
соединяют между собой посредством
наклеек на основаниях пиков. Можно
разместить пики так, что каждая грань
звездчатого многогранника окажется
одноцветной. Однако порядок такого
размещения не очевиден, и вам придет-
ся немного поломать голову, чтобы
его найти. В этой модели, как и в пре-
дыдущей, трудно подклеить на место
последний пик из-за отсутствия до-
ступа к наклейкам внутри модели.
Постарайтесь проявить терпение —
и вы получите красивый многогранник.
66
Десятая звездчатая
форма икосаэдра
Дальнейшее продолжение граней
икосаэдра приводит к появлению ново-
го типа отсеков — наклонных пиков,
трафарет для которых приведен на
рисунке. Это единственный тип отсе-
ков, имеющих две энантиоморфные
модификации; каждая из них состоит
из 60 коротких трехгранных пирами-
док. Интересно, что из такого множе-
ства 60 отсеков можно построить ажур-
ную и вместе с тем удивительно проч-
ную модель. По существу пики этой
модели образуют ребра модели со-
единения пяти-я^траэдров, встречаясь
по три в каждой вершине тетраэдров^
и по две в остальных угловых точках
на поверхности соединения.
На первый взгляд кажется, что вы-
полнить такую модель невозможно,
ибо создается впечатление, будто мно-
гогранник «состоит» большей частью
из пустоты. Но это впечатление обман-
чиво. Модель можно построить, если
в качестве строительных подставок ис-
пользовать некоторые вспомогатель-
ные части, которые затем удаляются
за ненадобностью. Заготовки для этих
частей показаны на рисунке. Отметим,
что они используются также для пост-
роения еще двух моделей звездчатых
икосаэдров — разумеется, там свои
правила; на них мы остановимся ниже.
А сейчас постараемся дать описание
модели, которую по праву можно счи-
тать самой невероятной среди всех
представленных в этой книге мо-
делей.
Работу следует начать с изготовле-
ния 60 копий заготовки пика (рисунок
внизу слева): по 12 копий пяти цветов.
Раскраска завершенной модели сов-
падает с раскраской модели соедине-
ния пяти тетраэдров. Далее вам по-
требуется всего 10 вспомогательных
частей — 5 покрышек и 5 сердечников.
Их окраска не играет никакой роли,
поскольку они нужны лишь на этапе
построения модели. (О назначении этих
частей можно судить по их названиям.)
Отогните все наклейки покрышек на-
ружу и склейте две самые длинные из
них так, чтобы получился трехгранный
угол, равный углу при вершине тетра-
67
эдра. Три четырехугольника на осно-
вании покрышки также имеют наклей-
ки, но их склеивать не надо. Эти четы-
рехугольники служат своеобразными
дверцами, через которые внутрь по-
крышки будут вноситься склеиваемые
пики и сердечник, удерживающий пики
в нужном положении. Обратите вни-
мание, что чертежи для покрышки и
сердечника содержат дугу с центром в
вершине. Это означает, что вы долж-
ны отрезать окружаемую ею часть с
тем, чтобы она не прилипала к склеи-
ваемым поверхностям. Сердечник де-
лается очень просто: все наклейки со-
единяются внутри, как у любого вы-
пуклого многогранника. В дальней-
шем вы, бесспорно, узнаете эту часть —
она является элементом модели друго-
го звездчатого икосаэдра.
После того как подготовлены строи-
тельный материал — пики и инстру-
менты —покрышки и сердечники, мож-
но приступать к изготовлению модели.
Возьмите три одноцветных пика и по-
местите их внутрь покрышки так, что-
бы вершины пиков оказались в одной
точке, а сами пики плотно прилегали
к углам покрышки. При этом пики не
должны выступать сверху за пределы
покрышки, для чего следует подобрать
соответствующее их расположение. За-
кончив этот этап работы, внесите
внутрь покрышки сердечник, плотно
закрепляющий пики на своих местах.
Теперь четырехугольные дверцы по-
крышки должны закрыться, придав
всей конструкции абсолютную жест-
кость. Поскольку наклейки дверец бы-
ли отогнуты наружу, сейчас их можно
скрепить зажимами (но не склеивать!).
Нанесите капельку клея в точку, в ко-
торой сходятся вершины трех пиков,
и отложите конструкцию в сторону.
Повторите всю процедуру примени-
тельно к пикам другого цвета и другим
покрышке и сердечнику, потом к треть-
им и т. д. Примерно через час пики бу-
дут склеены по три достаточно крепко,
так что их можно вынуть из конструк-
ции, не нарушив совместного распо-
ложения, приданного им покрышкой и
сердечником.
Теперь следует расположить эти
тройки пиков на специальной под-
ставке — «строительных лесах». Она
изготовляется из одной части модели
дельтаэдра 28 — впадины, вывернутой
наизнанку так, что теперь она превра-
щается в приплюснутую пятиугольную
пирамиду. К нижним частям ее боко-
вых сторон прикрепляются пять отсе-
68
ков — заготовок модели 29. Тупые вер-
хушки этих пяти отсеков следует пред-
варительно обрезать, после чего их
можно просто приклеить, не удаляя.
Такая конструкция и будет служить
нужной нам подставкой. На ней можно
расположить пять полученных ранее
троек пиков так, что одни вершины
придутся в вершины пятиугольного
основания подставки, а другие (из
соседних троек) попарно соприкос-
нутся.
Попробуйте выполнить все наши
указания -такой опыт поможет вам
больше, чем любые описания. После
того как вы разместите все части тре-
буемым образом, снова нанесите ка-
пельки клея на точки соприкосновения.
Часа через два склеенное таким обра-
зом кольцо окажется достаточно проч-
ным. Его можно снять и передвинуть
по подставке. Теперь, если у вас готовы
новые тройки пиков, присоедините их
к построенной части, образовав новое
кольцо, — и так столько раз, сколько
необходимо. Работа потребует от вас
терпения и ловкости. Здесь могут при-
годиться различные подпорки для бо-
ковых сторон модели, хотя особой
нужды в них нет. В частности, можно
использовать оболочку додекаэдра,
поддерживающую модель. Надо по-
лагать, вы найдете способы обеспе-
чить необходимые напряжения в мо-
дели, чтобы соединять склеиваемые
вершины. Изображенная на фотогра-
фии модель была выполнена посред-
ством описанной выше процедуры.
36 Одиннадцатая звездчатая
форма икосаэдра
Эту модель можно сделать, исполь-
зуя ту же подставку, что и для преды-
дущей модели, и выполняя ту же после-
довательность действий. В качестве
заготовки применяется вспомогатель-
ная часть модели 35, названная «по-
крышкой». Склеивать части этой мо-
дели гораздо легче.
70
37 Двенадцатая звездчатая
форма икосаэдра
На нижнем рисунке представлена
часть подставки, необходимой для со-
единения отсеков модели. Эти отсеки
уже встречались нам при построении
модели 35 (мы называли их «сердеч-
никами»). Однако там они служили в
качестве вспомогательных, а здесь иг-
рают роль основных многогранных
отсеков, из которых строится модель,
так что обрезать их вершины, как ра-
нее, нет нужды.
Заготовка для частей подставки со-
держит два боковых крыла, подобных
тем, которые мы находим на гранях
модели 32. Нижняя сторона заготовки
по длине не отличается от ребра клина
для модели 29, но боковые их стороны
разные. Из заготовки следует сделать
невысокую треугольную пирамиду без
основания. Соединив в кольцо пять
таких пирамид, получим подставку.
Если теперь наклейки на сторонах пя-
тиугольного основания подставки ото-
гнуть вверх, они образуют желобок
вдоль всего основания. Чтобы не при-
клеивать подставку к частям модели,
следует вырезать отверстия в верши-
нах каждой пирамиды. Поместите на
подставку пять отсеков («сердечников»)
и соедините их в кольцо, прочно скреп-
ляя соприкасающиеся вершины клеем.
После того как кольцо подсохнет, его
можно снять и передвинуть по подстав-
ке, добавив еще одно кольцо.
На всех стадиях работы модель не-
обходимо перемещать так, чтобы под-
клеиваемые отсеки всегда находились
на подставке. При желании можно
вновь воспользоваться додекаэдраль-
ной оболочкой. Делают это следую-
щим образом: помещают подставку
на дно модели додекаэдра, из которой
удалена одна пятиугольная грань, и
тем самым получают доступ внутрь
оболочки для построения модели. По-
лученная модель поражает своей про-
стотой и открытой структурой.
71
Jd Тринадцатая звездчатая
форма икосаэдра
На рисунке показана заготовка для
модели красивого многогранника с
12 длинными пиками: основание каж-
дого из них окружено пятью более
короткими пиками. Эти части легко
узнать — они уже встречались в пре-
дыдущих моделях. Обычная икосаэд-
ральная раскраска длинных пиков сде-
лает грани звездчатого многогранника
одноцветными, но короткие пики сле-
дует окрашивать так, как указано в
инструкции к модели 35.
Технология изготовления этой моде-
ли требует, чтобы в первую очередь
склеивались короткие пики. Вырежьте
заготовки таким образом, чтобы с
правой длинной их стороны не оста-
валось наклейки, и продолжите разрез
до первой внутренней линии, как по-
казано на чертеже. Отогните два тре-
угольника (правый и нижний) и склейте
их между собой свободными сторона-
ми— у вас получится короткий пик.
Теперь отогните маленький оставший-
ся треугольник так, чтобы совпали вер-
шины двух острых углов. Возьмите
пять таких частей и соедините их друг
с другом. При этом образуется один
длинный пик. Итак, мы получаем не-
кий цельньГй многогранник, ибо осно-
вание пика окажется закрытым.
Возьмите пять таких частей с распре-
делением раскраски, соответствующим
вершинам (1), (2), (3), (4) и (5), и помес-
тите их на пятиугольную подставку,
которую мы использовали при по-
строении модели- 30. Тупые вершины
вокруг оснований пиков должны со-
прикоснуться. Теоретически при этом
должны войти в контакт и острые вер-
шины малых пиков, но на практике
это недостижимо. Теперь вам остается
склеить в кольцо тупые соприкасаю-
щиеся вершины: образуется кольцо из
пиков. Постарайтесь также склеить те
вершины малых пиков, которые близ-
ки и соединимы. Дальнейшая после-
довательность действий совпадает с
описанной в инструкции к модели 30.
Как только работа с большими пика-
ми будет закончена и вы получите це-
лую модель, надавите на вершины ма-
лых пиков, сведите их и затем склейте
вместе.
Э7 Четырнадцатая
звездчатая форма
икосаэдра
Этот многогранник, весьма эффект-
ный благодаря оригинальным скошен-
ным граням, обладает обычной сим-
метрией додекаэдра, подобно модели
дельтаэдра 28, но характерен больши-
ми пятиугольными отверстиями, про-
низывающими его насквозь и оставля-
ющими как бы открытым изнутри.
Рисунок заготовки приведен внизу. Рас-
краска этого многогранника совпадает
с обычной икосаэдральной раскраской,
подобной раскраске дельтаэдра 28.
Начать можно с изготовления час-
ти (0). Она представляет собой обыч-
ную впадину, но с отверстием посре-
дине. На рисунке заготовки показаны
и наклейки: заметьте, что одна сторо-
на имеет две разные наклейки. У каж-
дой из них свое назначение: верхняя
наклейка служит для соединения пяти
заготовок, образующих впадину, ниж-
няя — для соединения ребер, образую-
щих внутренний трехгранный угол.
Чтобы получить трехгранный угол,
нужно соединить три части модели.
Построение модели сопряжено с не-
малой ловкостью и умением работать
внутри многогранника. Рекомендуем
наносить клей на внутренние наклейки
с помощью пинцета, а затем сдавли-
вать наклейки пальцами, пока клей не
подсохнет. При изготовлении этой мо-
дели от вас потребуется известное тер-
пение и аккуратность в работе, ибо
соединение частей здесь крайне запу-
тано и усложнено. Но вы будете воз-
награждены, так как получите весьма
интересную модель.
73
w Пятнадцатая звездчатая
форма икосаэдра
Показанные на рисунке заготовки
используют при построении модели
еще одного многогранника, который,
подобно предыдущим, обладает «ко-
собокой симметрией» и потому весьма
привлекателен. Многогранник состоит
из 60 небольших пиков, расположен-
ных так, что нутро его остается пустым
и видно сквозь узкие щели. На чертеже
указаны, наклейки и особый разрез,
который необходимо сделать на каж-
дой заготовке. Все наклейки подгиба-
ются, как обычно, и из заготовки склеи-
вается небольшой пик в виде треуголь -
ной пирамиды1. Пять таких пиков
соединяются вместе в форме обычной
пятигранной впадины, из центра кото-
рой исходят пики. При этом в разрез
каждой пирамиды входит свободная
наклейка соседней, которая и связы-
вает их. Для склеивания надо либо
слегка сдавить пальцами края разреза,
либо прибегнуть к поморщи пинцета,
прижимая им наклейки к внутренней
поверхности другого пика.
Так подготавливают одну часть мо-
дели. Целая модель состоит из 12 та-
ких частей. Они соединяются на опи-
санной выше дельтаэдральной подстав-
ке. Можно также использовать доде-
каэдральную оболочку, внутренняя по-
верхность которой будет поддерживать
части склеиваемой модели. При любом
способе построения модели склейте
сначала соприкасающиеся тупые вер-
шины частей. На практике не всегда
удается сразу склеить между собой ост-
рые вершины пиков. Это лучше сде-
лать тогда, когда модель будет в ос-
новном готова. Помните: результат
зависит от бережного и аккуратного
обращения с моделью.
1 При этом верхняя левая наклейка остается
снаружи — впоследствии она войдет в разрез
другой пирамиды.
74
41 Большой икосаэдр
Из описанных до сих пор много-
гранников, пожалуй, самым красивым
и декоративным является большой ико-
саэдр — последний из четырех пра-
вильных звездчатых многогранников
Кеплера — Пуансо. Его вершины пред-
ставляют собой центры правильных
пятиугольных звезд, выступающих из
тела многогранника. Это свойство род-
нит большой икосаэдр с большим до-
декаэдром и выделяет эти два тела
из всего множества однородных мно-
гогранников. Многие однородные мно-
гогранники имеют звездчатые грани,
но подобного строения вершин вы
больше не встретите.
Сделать модель большого икоса-
эдра нетрудно. Заготовка для нее очень
проста, и, если следовать предлагаемо-
му методу построения, модель ока-
жется очень прочной и жесткой, хотя
и полой внутри. Пятицветная раскрас-
ка займет больше времени, но на это
стоит пойти. Внизу приведена парная
таблица раскраски, в соответствии с
которой склеиваются показанные на
рисунке части модели.
Каждая часть состоит из пяти пар
заготовок, соединенных в своеобраз-
ный веер. Его следует перегнуть на
манер гармошки так, чтобы вниз опус-
тились внутренние ребра каждой пары,
а соседние ребра разных пар припод-
нялись. Склеив свободные ребра, вы
получите вершинную часть модели.
12 34 56 78 9Х
(0) жз сж ОС ко зк
(1) сз же КЖ ОК 30
(2) ОЖ СО ЗС КС жк
(3) КС ок жо зж сз
(4) 30 КЗ СК же ОЖ
(5) ЖК ЗЖ 03 СО КС
75
После этого малые равнобедренные
треугольники подклеиваются на свои
места, так что образуется пятиугольная
впадина, из которой и вырастает вер-
шинная часть.
Вам потребуется всего 12 таких ча-
стей; одна половина из них окрашена
в соответствии с таблицей, а другая
половина имеет энантиоморфную рас-
краску. Эти части соединяются теперь
в обычном икосаэдра льном порядке,
причем энантиоморфные части, естест-
венно, диаметрально противополож-
ны. Соединения соседних частей вы-
полняйте последовательно, склеивая
ребра друг за другом. Рекомендуем
для этой цели воспользоваться зажи-
мами, ибо двугранные углы между
краями оснований соседних частей
очень малы. Даже последнюю часть
стоит присоединять с помощью зажи-
мов. Перед склеиванием последнего
ребра с помощью пинцета удалите за-
жимы с соседних ребер, после чего
капните клей в щель и распределите
его по поверхности. Не огорчайтесь,
если в углах пятиугольных ребер ока-
жутся небольшие щели или отверстия.
Когда модель будет окончена, добавь-
те сюда пинцетом по капле клея и чуть
сдавите края, пока клей не подсох-
нет. Тем самым вы избавитесь от ще-
лей и еще больше укрепите модель.
Правильно выполненная модель боль-
шого икосаэдра удивительно красива.
42 Завершающая звездчатая
форма икосаэдра
Показанный на фотографии много-
гранник — завершающая звездчатая
форма икосаэдра1. Модель как бы
ощетинена иглами, группирующимися
по пять в красивые и отчетливо замет-
ные гроздья. Вся модель состоит из
12 таких гроздьев. Внизу показана за-
готовка для одной части модели —
трехгранного пика. Таких заготовок
потребуется ровно 60. И хотя они не
обеспечивают одноцветной окраски
граней звездчатого многогранника, при
желании вы можете этого добиться:
нужно только склеить исходные
части в такой же трехгранный пик. Пять
частей соединяются в гроздь, причем
края основания грозди должны обра-
зовать правильный пятиугольник. Пос-
ле этого 12 гроздьев склеиваются спо-
собом, обычным для построения тел с
додекаэдральной симметрией.
Обратите внимание на следующее
обстоятельство: если использовать по-
казанную внизу заготовку, то по срав-
нению с большим икосаэдром этот
многограннике будет существенно боль-
шим по размерам. Так, если высота
большого икосаэдра приблизительно
равна 24 см, то высота рассматривае-
мой модели составит примерно 58 см.
Поэтому, коль скоро вы не преследуете
цель выяснить сравнительную величи-
ну двух моделей1 2, уменьшите размеры
трафарета. Если вы намерены восполь-
зоваться нашим методом построения
моделей и изготовить полую внутри
модель, подобное уменьшение разме-
ров заготовок придаст модели допол-
нительную прочность. Построенная
модель на редкость красива: 60 игл,
исходящих из ее тела, напоминают сол-
нечные лучи.
1 Эта звездчатая форма образована присое-
динением к икосаэдру всех отсеков, получае-
мых при продолжении граней икосаэдра.
2 Это может представить интерес хотя бы
потому, что наш многогранник получается из
большого икосаэдра добавлением 20 однотип-
ных отсеков (см. стр. 51).
77
* *
*
Если вас заинтересуют другие мо-
дели звездчатых икосаэдров, рекомен-
дуем воспользоваться книгой Коксте-
ра и др. «Пятьдесят девять икосаэд-
ров» [17]. В ней описаны всевозможные
звездчатые формы икосаэдра, проил-
люстрированные великолепными чер-
тежами самих тел и их граней. С их
помощью вы сможете самостоятельно
разработать типы и вид нужных за-
готовок. Каждый из многогранников
как бы бросает вам вызов — вы суме-
ете победить, лишь построив его мо-
дель.
Замечания о звездчатых
формах архимедовых тел
Итак, вы увидели, к каким резуль-
татам приводит процесс продолжения
граней, примененный к платоновым
телам. Вас, возможно, удивит, что эта
же операция в применении к архимедо-
вым телам приносит что-либо заслу-
живающее упоминания. Но в действи-
тельности это так. Характер самого
процесса не меняется: по-прежнему все
грани исходного тела продолжаются
неограниченно, отсекая от окружающе-
го пространства новые, дополнитель-
ные части. Пользуясь этими отсе-
ками, как строительными кирпичами,
мы получаем возможность изгото-
вить множество моделей — теорети-
чески сколь угодно много. На практи-
ке, однако, разумнее делать модели
не путем добавления новых отсеков
(хотя некоторое представление об их
форме было бы только полезным),
но применять предлагаемую систему
работы с заготовками. А для этого вам
необходимо ознакомиться с трафаре-
том, на котором впоследствии вы лег-
ко будете находить все части нужных
заготовок.
Впрочем, теперь вы, возможно, спра-
шиваете себя: а стоит ли вообще этим
заниматься? Не слишком ли много
труда потребуют эти модели? Будем
откровенны — объем предстоящей ра-
боты начинает казаться просто оше-
ломляющим. Честно говоря, эта ра-
бота по силам не одному человеку,
а, скорее, группе лиц1. Трудно найти
опубликованные материалы, которые
затрагивали бы эту тему. Несомненно,
это в первую очередь связано с вели-
ким нагромождением возникающих
форм. В математике еще даже не ре-
шена проблема полного перечис-
ления всех возможных здесь случа-
ев. Понятно лишь, что в основе
перечисления должны лежать какие-то
ограничения, подобные, тем, которые
нашел Дж. Миллер для случая ико-
саэдра. Звездчатые формы архимедо-
вых тел не всегда так привлекательны
на вид, что вызывают эстетическое
1 Например, членам школьного математиче-
ского кружка.
наслаждение, хотя среди них можно
найти некоторые многогранники, ко-
торые удовлетворят самому изыскан-
ному вкусу. Особый интерес, как
правило, вызывают заключительные
звездчатые формы.
С математической точки зрения чрез-
вычайно важен один вопрос: будут ли
звездчатые формы архимедовых тел
правильными либо однородными мно-
гогранниками? Прежде чем пытаться
ответить на этот вопрос, поучительно
проследить, к каким результатам при-
водит процесс продолжения граней в
применении хотя бы к двум архимедо-
вым телам.
Мы выбрали кубооктаэдр и икосо-
додекаэдр, исходя из их тесных связей
с двойственными парами платоновых
тел. Мы также учли, что как квазипра-
вильные тела они представляют наи-
больший интерес и подходят для целей
порождения новых правильных или
однородных многогранников.
Посмотрим теперь, как строить тра-
фареты для заготовок. Если вы верне-
тесь назад, к случаю октаэдра, то за-
метите, что трафарет, которым мы
пользовались, на самом деле представ-
ляет собой набор из шести прямых.
Подсчет их числа облегчается тем, что
они группируются в три пары парал-
лельных прямых (рис. 28). Внутренний
треугольник представляет собой одну
грань исходного октаэдра. Если мо-
дель октаэдра положить на этот чер-
теж так, чтобы какая-либо грань в
точности покрывала внутренний тре-
угольник, то остальные прямые на
чертеже совпадут с линиями пересече-
ния других граней с плоскостью исход-
ного треугольника. А поскольку тре-
угольник на вершине так расположен-
ного тела прямо противоположен ис-
ходному треугольнику, то он лежит в
плоскости, параллельной плоскости
чертежа. Именно поэтому он и не по-
рождает новых линий на чертеже тра-
фарета. Так по трафарету можно под-
считать все восемь граней октаэдра.
Обратясь теперь к додекаэдру, мы
увидим, что 12 его граней породят тра-
фарет, состоящий из пяти пар парал-
79
Рис. 28.
лельных прямых (рис. 29). Если на этот
чертеж положить модель додекаэдра
так, чтобы одна из его граней совпала
с центральным маленьким пятиуголь-
ником, и смотреть вдоль остальных
граней тела, то видно, что продолже-
ния этих граней упираются как раз в
линии, указываемые чертежом.
В случае икосаэдра получается ана-
логичный результат. 20 его граней
порождают трафарет из девяти пар
параллельных прямых (рис. 30).
Теперь вам, очевидно, стал понятнее
принцип, положенный в основу постро-
ения трафарета. Ясно, что случай ар-
химедовых тел, имеющих грани раз-
личных типов, требует построения та-
кого же числа трафаретов.
Кубооктаэдр имеет 14 граней; во-
семь из них — правильные треуголь-
ники, а остальные шесть — квадраты.
Поэтому здесь необходимы два разных
трафарета, каждый из которых состоял
бы из 12 прямых. Трафарет для тре-
угольной грани образован из трех
групп, состоящих каждая из четырех
параллельных прямых; трафарет для
квадратных граней — из двух пар и
двух четверок параллельных прямых
(рис. 31). Располагая этими трафарета-
ми, нетрудно сообразить, сколько и ка-
ких дополнительных отсеков возникает
при продолжении граней кубооктаэдра.
Не считая самого исходного кубоокта-
эдра, мы получаем шесть правильных
четырехугольных пирамид с равносто-
80
ронними боковыми гранями, восемь
правильных треугольных пирамид с
гранями в виде прямоугольных равно-
бедренных треугольников, 24 бипира-
миды с равносторонними и прямо-
угольно - равнобедренными треуголь-
ными гранями, еще 24 пирамиды, по-
добные шести описанным ранее, и,
наконец, 24 пирамиды с ромбическими
основаниями и равносторонними и
прямоугольно-равнобедренными тре-
угольными боковыми гранями. Сколь-
ко же тел может быть образовано до-
бавлением таких отсеков? Это зависит
от того, какие ограничения вы наложи-
те на форму получающихся многогран-
ников. Например, вы можете рассмат-
ривать (или не рассматривать) в каче-
стве допустимых многогранники, вер-
шины которых соединены лишь отсека-
ми, или многогранники с отверстиями,
сквозь которые можно проникнуть в
их нутро1, подобные тем, что мы
наблюдали среди звездчатых форм ико-
саэдра.
Ограничения, введенные Миллером
для икосаэдра, в основном налагают
на звездчатые формы условия симмет-
ричности и возможности доступа к лю-
бой грани извне многогранника. Слу-
чай кубооктаэдра приводит к появле-
нию всего четырех звездчатых форм,
удовлетворяющих этим ограничениям.
Это модели 43, 44, 45 и 46.
Как и ранее, на чертежах граней
звездчатых многогранников штрихов-
кой обозначены видимые снаружи час-
ти граней. Они служат основой для
изготовления заготовок, нужных для
построения моделей.
1. Разумеется, здесь слово «нутро» не следует
понимать буквально. Многогранник отделяет од-
ну или несколько частей пространства, внутрь
которых попасть невозможно.
6 731
Соединение куба
и октаэдра
Первой звездчатой формой кубоок-
таэдра является соединение куба и
октаэдра. Если воспользоваться раз-
ноцветными заготовками, то получит-
ся весьма интересная модель. Части
куба можно раскрасить тремя краска-
ми, а части октаэдра — двумя другими.
Исходные заготовки представляют со-
бой треугольники двух разных типов,
показанные штриховкой на чертежах
граней. По четыре равносторонних тре-
угольника соединяются в форме четы-
рехугольной пирамиды без основания.
При этом необходимо соблюдать чере-
дование двух цветов боковых граней —
желтого (Ж) и синего (С). Три равно-
бедренных прямоугольных треуголь-
ника образуют треугольную пирами-
ду — снова без основания. Для рас-
краски граней куба заготовки трех
цветов — оранжевого (О), красного (К)
и зеленого (3) — надо подбирать так,
чтобы противоположные, грани были
одинаково окрашенными. Шесть пи-
рамид первого типа и восемь пирамид
второго типа образуют модель.
Построенная таким образом полая
модель гораздо аккуратнее модели,
изготовленной способом добавления
нужных пирамид к исходному кубу
или октаэдру. Внизу слева на рисунке
показана заготовка с длинной наклей-
кой, проходящей под «слабым местом»
модели. Использование таких загото-
вок существенно повышает прочность
моделей.
82
Вторая звездчатая
форма кубооктаэдра
Этот многогранник является следую-
щей звездчатой формой кубооктаэдра.
Он образован из соединения куба и
октаэдра добавлением 24 бипирамид.
Однако модель его значительно легче
сделать, пользуясь теми же заготов-
ками, что и в предыдущем случае.
Лучше всего начать с изготовления
кольца из четырех частей. Для этой
цели подходят заготовки с длинной
наклейкой вдоль нижней границы (на-
клейка закрепляет «слабое место» за-
готовки). Четыре двойные заготовки
образуют квадратную в сечении приз-
му, по сторонам основания которой
идут длинные наклейки. Зазубренные
края заготовок соединяются попарно
над вершинами квадрата основания,
после чего верхушка призмы покрыва-
ется восемью равносторонними тре-
угольниками.
Так подготавливается одна часть
модели. Для изготовления полной мо-
дели необходимо шесть частей. Рас-
краска этой модели повторяет раскрас-
ку предыдущей модели. Поэтому в ней
легко распознать усеченную форму
звездчатого октаэдра, известного под
названием Stella octangula.
83
Третья звездчатая
форма кубооктаэдра
Этот многогранник весьма интере-
сен по двум причинам. Во-первых, на
его модели ясно заметно расположе-
ние квадратных граней: они группи-
руются в пары таким образом, что
грани каждой из них параллельны меж-
ду собой и перпендикулярны к осталь-
ным подобным граням. Во-вторых,
многогранник представляет собой сво-
его рода соединение шести четырех-
угольных пирамид, основаниями кото-
рых служат описанные выше квадраты,
а боковые треугольные грани «вдав-
лены» в тело и касаются своими вер-
шинами средних точек противополож-
ных углублений. Все это вы можете
узреть на модели, причем гораздо луч-
ше, чем если будете основываться толь-
ко на описании.
Постройку многогранника начните
с того, что к четырем квадратным заго-
товкам подклейте по два равносторон-
них треугольника. Полученные части
соедините треугольниками, оставляя
квадраты вне кольца. Вам потребу-
ется шесть таких частей: они будут
соединены между собой также на-
клейками треугольников. И наконец,
последняя операция: треугольные впа-
дины, гранями которых служат прямо-
угольные равнобедренные треугольни-
ки, закрывают отверстия, образован-
ные тройками соединенных треуголь-
ников.
84
Завершающая звездчатая
форма кубооктаэдра
Итоговая1 звездчатая форма кубо-
октаэдра особенно привлекает тем, что
она является соединением двух тетра-
эдров, Кеплеровой Stella octangula,
итоговой звездчатой формы октаэд-
ра и трех правильных четырехуголь-
ных призм, общим пересечением кото-
рых является исходный куб. Каждое
основание этих призм представляет
собой глубокую впадину, образован-
ную четырьмя ребрами.
Для изготовления модели много-
гранника вам потребуются заготовки
двух простых типов. Лучше всего стро-
ить модель обычным методом соеди-
нения ее частей. Четыре заготовки,
внешне напоминающие погоны, скреп-
ляются в кольцо, которое имеет форму
открытой с обоих концов призмы. Под-
клейте к этой части четыре ромбиче-
ские заготовки, соединяя их в глубокую
впадину — верхнее основание призмы.
(Ребра склеивайте последовательно од-
но за другим.) Работу можно облег-
чить применением зажимов. Вам потре-
буется шесть таких частей, которые
будут соединяться друг с другом при
помощи вершинных частей звездчатого
1 См. примечание к стр. 77.
85
октаэдра. Последние имеют также ром-
бические грани, так что для них можно
воспользоваться теми же заготовками,
что и для впадин. Во время работы
над самой последней частью рекомен-
дуем подклеить ее на место до того,
как ее верхушку закроет ромбическая
впадина. Тем самым вам будет обеспе-
чен доступ к внутренним наклейкам
через открытое основание призмы, ко-
торое затем несложно заклеить.
* *
*
Как вы могли заметить, ни один из
наших звездчатых кубооктаэдров не
является правильным или однородным
многогранником. Возможно, впрочем
что среди многогранников, не приве-
денных здесь, найдутся и такие. Но,
чтобы их отыскать, необходимо иссле-
довать трафарет и обнаружить на нем
правильный многоугольник, стороны
которого совместились бы с прямыми
трафарета. Этому условию удовлет-
воряет модель 43. Однако при этом не
выполнено другое условие, которое
сводится к следующему: полученный
многогранник должен быть целым и
нерасчлененным, не сводимым к со-
единению других тел. Вы могли убе-
диться, что здесь второе условие не
выполнено: многогранник 43 представ-
ляет собой соединение куба и октаэдра.
Одна грань модели 44 — правильная
восьмиугольная звезда (октаграмма),
но она соединяется с усеченным тре-
угольником, который не является пра-
вильным многоугольником, так что
отпадает и этот случай. Третья фор-
ма 45 имеет правильную квадратную
грань, но ей сопутствует усеченный
треугольник. Завершающая звездчатая
форма вообще лишена правильных
граней. Тем не менее модель имеет не-
которое сходство с моделью однород-
ного многогранника 92.
Замечания об икосододекаэдре
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из
которых 12 являются правильными
пятиугольными гранями, а остальные
20 — правильные треугольники. Каза-
лось бы, столь большое число граней
потребует сложнейших исследований.
На самом же деле нам предстоит изу-
чить два трафарета, каждый из которых
образован 30 прямыми.
Перед тем как перейти к чертежам,
заметим, что икосододекаэдр можно
рассматривать как пересечение доде-
каэдра и икосаэдра. Их трафареты нам
уже известны. Вряд ли следует- добав-
лять, что они должны быть сходными
с нужными нам трафаретами. Это со-
ображение послужит нам путеводной
нитью. Трафареты, приводимые ниже,
можно проверить при помощи модели
икосододекаэдра, как мы это делали
ранее.
Как показывают два новых трафаре-
та, продолжение граней икосододека-
эдра приводит к появлению новых
отсеков 40 различных типов. Вряд ли
вы окажетесь настолько честолюбивы-
ми, что захотите проверить это утверж-
дение, тем более что далее об этом не
будет сказано ни слова, если не считать
одного краткого замечания. Поскольку
чертежи для трафаретов икосододе-
каэдра содержат элементы трафаретов
додекаэдра и икосаэдра, новые отсеки
для икосододекаэдра можно рассмат-
ривать как блоки, из которых состоят
дополнительные отсеки звездчатых
форм додекаэдра и икосаэдра. Иными
словами, эти последние сами разби-
ваются на части продолжениями граней
икосододекаэдра.
Последующие многогранники пред-
ставляют лишь часть множества всех
звездчатых форм икосододекаэдра. Вы
сразу заметите, что некоторые из них
являются соединениями или видоизме-
нениями трех звездчатых додекаэдров
или некоторых звездчатых икосаэдров
и сохраняют присущую исходным час-
тям красоту. Однако являются ли эти
многогранники однородными? Види-
мо, нет. Иногда можно отметить пора-
зительное сходство между этими моде-
лями и моделями однородных много-
гранников, но все же ни один из много-
гранников, о которых мы говорим, не
удовлетворяет определению однород-
ности.
Что касается вопроса о том, могут ли
получившиеся многогранники оказать-
ся правильными, то на него давно полу-
чен ответ. Великий математик Коши
еще в 1811 году доказал, что список
правильных многогранников исчерпы-
вается пятью Платоновыми телами вку-
пе с четырьмя многогранниками Кеп-
лера — Пуансо. Так что если вы захо-
тите отыскаТь новое тело, то лишь
пополните ряды тех, кто бесплодно
пытается осуществить квадратуру кру-
га, удвоение куба или трисекцию угла1.
Модели звездчатых икосододекаэд-
ров описаны под номерами 47—66.
1 Квадратура круга, удвоение куба и трисек-
ция угла — три знаменитые задачи древности,
неразрешимость которых давно доказана.
87
Рис. 32.
Рис. 33.
47 Первая звездчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник являет собой
пример соединения двух платоновых
тел — додекаэдра и икосаэдра; его
можно также рассматривать как пер-
вую звездчатую форд^у икосододека-
эдра. С него начинается так называемая
«основная линия» звездчатых форм
икосододекаэдра, к которой относятся
многогранники, полученные добавле-
нием к исходному телу отсеков, полно-
стью покрывающих его поверхность.
Поэтому 12 невысоких пятиугольных
пирамид и 20 маленьких треугольных
пирамид закрывают внутренний икосо-
д о декаэдр. Тем не менее модель можно
сделать совершенно полой внутри. Рас-
красьте пятиугольные пирамиды, ис-
пользуя обычную икосаэдральную рас-
краску; для всех малых треугольных
пирамид рекомендуем избрать один
и тот же цвет, скажем, белый (Б).
Пирамиды каждого типа, разумеется,
не имеют оснований. Склейте их друг
с другом тем же способом, которым
вы уже пользовались при построении
любой модели выпуклых тел. В резуль-
тате получите весьма аккуратную мо-
дель.
90
46 Вторая звездчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник — вторая звезд-
чатая форма икосододекаэдра, принад-
лежащая упомянутой выше «основной
линии». Он связан с малым звездчатым
додекаэдром и является по существу
своеобразным усеченным вариантом
этого правильного многогранника. От-
сюда следует способ его построения.
Внизу показана заготовка из пяти
частей вместе с требуемыми наклей-
ками. Десять треугольников, раскраска
которых соответствует обычной ико-
саэдральной схеме, закрывают отвер-
стие, образуемое кольцом из этих пяти
частей. Длинные наклейки, подкрепляя
наиболее слабые места кольца, обес-
печивают дополнительную прочность.
И хотя приведенный на фотографии
многогранник не кажется таким уж
привлекательным, по существу с него
начинается построение последующих
моделей.
91
*Т7 Третья звездчатая форма
и косододекаэдра
Многогранник является третьей
звездчатой формой на «основной ли-
нии» икосододекаэдров. Любопытно,
что одну из его граней составляет пра-
вильный пятиугольник, тогда как все
остальные грани неправильные. Для
построения этой модели лучше всего
заготовить набор трехгранных частей,
образующих вершины многогранника.
Гранями такого трехгранного угла бу-
дут служить показанные на рисунке
слева ромб и два треугольника. Из
пяти подобных частей образуйте коль-
цо, а кольца склейте между собой. При
этом образуются небольшие промежу-
точные впадины. Единственным свя-
зующим звеном между тройкой со-
седних колец служит неглубокая тре-
угольная впадина, заготовка которой
показана на рисунке.
Раскраска модели аналогична ис-
пользованной в многограннике 48: все
пятиугольные части могут быть бе-
лыми (Б), а остальные цвёта следуют
обычной икосаэдральной схеме. Воз-
можно, полученная модель не слишком
впечатляет, но она весьма наглядно ил-
люстрирует процесс образования но-
вых отсеков.
92
50 Четвертая звездчатая
форма икосододекаэдра
Многогранник представляет собой
соединение малого звездчатого доде-
каэдра и икосаэдра модели 26, которые
являются первыми звездчатыми фор-
мами додекаэдра и икосаэдра соответ-
ственно. Чертежи граней, приведенные
на рисунке, убедительно подтвержда-
ют эту связь. Перенося на модель обыч-
ную икосаэдральную раскраску ее ком-
понентов, вы получите на редкость
привлекательную модель. При этом
вершинные части малого звездчатого
додекаэдра вы можете изготовить в
виде пятигранных углов, а вершинные
части икосаэдра 26 — в виде трехгран-
ных холмиков (их грани похожи на
очертания воздушного змея). Эти «хол-
мики» впоследствии послужат связями
между другими вершинными частями.
Одного взгляда на приведенную фо-
тографию достаточно, чтобы понять
взаимное расположение частей,
*
Этим многогранником не заверша-
ется «основная линия» звездчатых
форм икосододекаэдра. Но в дальней-
шем интереснее исследовать различ-
ные комбинации икосаэдральных и до-
декаэдральных форм. Так как у доде-
каэдра имеются три звездчатые формы,
а у икосаэдра их свыше 50, то возмож-
ность выбора обеспечена. Итак, поль-
зуясь выражением музыкантов, вы име-
ете здесь «вариации на заданную тему»!
93
jl Пятая звездчатая
форма икосододекаэдра
Многогранник устроен так: малый
звездчатый додекаэдр как бы прони-
зывает соединение пяти октаэдров. При
построении модели можно придержи-
ваться уже опробованного порядка дей-
ствий.
Сначала выполните пятигранные
вершинные части малого звездчатого
додекаэдра, руководствуясь обычны-
ми правилами раскраски. (Заметьте
только, что нужные для этой модели
вершинные части отличаются от ана-
логичных частей малого звездчатого
икосаэдра: их основания зазубрены.)
Заготовки для каждой вершинной ча-
сти соединения пяти октаэдров пред-
ставляют собой 4 четырехугольника,
отмеченные штриховкой на показан-
ном ниже чертеже, и соответствуют
звездчатой грани. Эти четыре заготов-
ки, как и на предыдущей модели,
образуют «холмик», только повыше.
«Холмики» служат связками между
пятигранными вершинными частями.
Здесь они к тому же соединяются
между собой по три. Все это легко
увидеть на фотографии модели. Но
отдельные октаэдры — компоненты
соединения — на ней выявить трудно.
Они становятся гораздо заметнее, если
рассматривать не фотографию, а саму
модель тела.
94
Шестая звездчатая
форма икосододекаэдра
Звездчатая грань этого многогран-
ника, лежащая в одной плоскости с
любой из 12 граней додекаэдра, со-
стоит из двух правильных пентаграмм;
большая из них принадлежит грани ма-
лого звездчатого додекаэдра.
Многогранник может быть получен
из предыдущего, если удалить отсеки
двух разных типов; это приведет к из-
менению вершинных частей соединения
пяти октаэдров. В данном случае при-
менима та же техника построения, кото-
рая использована для двух предыду-
щих моделей. 12 вершинных частей
малого звездчатого додекаэдра подго-
тавливаются обычным способом и со-
единяются между собой при помощи
шестигранных связок. Грани связок
образованы «воздушным змеем» из
малой пентаграммы; за ним идут два
энантиоморфных треугольника из ле-
вого чертежа икосаэдральной звездча-
той грани, а затем снова «змей» и пара
треугольников.
Фотография и чертежи граней до-
полняют нащи объяснения.
95
Седьмая звездчатая
форма икосододекаэдра
Многогранник представляет собой
соединение большого додекаэдра —
второй звездчатой формы додекаэд-
ра — и многогранника 32 — одной из
звездчатых форм икосаэдра. Для по-
строения этой модели лучше всего
изготовить «впадины» большого до-
декаэдра, содержащие большое шести-
угольное отверстие в центре. Раскраска
частей впадины вам уже знакома. За-
тем рекомендуем выполнить шести-
гранные пики, грани которых видны
на звездчатой икосаэдральной грани.
Раскраска пиков также повторяет обыч-
ную икосаэдральную раскраску (пики
вклеиваются во впадины, закрывая от-
верстия).
Полученные части соединяются как
части большого додекаэдра. Желатель-
но воспользоваться показанной ниже
заготовкой с длинной наклейкой, кото-
рая придаст прочность этой красивой
модели.
96
М- Восьмая звездчатая
форма икосододекаэдра
В этом многограннике легко рас-
познать соединение пяти тетраэдров,
пронизанное большим додекаэдром.
Вершины последнего выглядят как ма-
ленькие розетки в центрах впадин со-
единения. И если ваша работа по по-
строению моделей соединения пяти
тетраэдров завершилась удачей, вам,
несомненно, захочется попробовать
сделать и эту модель. Схема ее по-
строения остается неизменной. Как и*
раньше, начать следует с построения
трехгранных вершин соединения пяти
тетраэдров; при этом вы соединяете
пять таких вершин в кольцо. Разумеет-
ся, в нашем случае в середине кольца
появится десятиугольное отверстие. За-
кройте его упомянутой выше розет-
кой — вершинной частью большого
додекаэдра. На пятиугольной грани
тела, чертеж которой приводится, лег-
ко заметить 10 треугольных граней
розетки. Их следует подклеивать друг
к другу постепенно, соединяя ребро за
ребром. Работа эта весьма кропотли-
вая и требует немалого мастерства,
но красота полученной модели окупит
ваши усилия.
Раскраска модели обычна для всех
моделей соединений многогранников:
здесь каждый отдельный многогран-
ник должен иметь свой цвет.
7 — 731
97
55 Девятая звездчатая
форма икосододекаэдра
Многогранник представляет собой
соединение 10 тетраэдров, на котором
«тень» большого додекаэдра оставила
следы в виде отверстий на дне впадин;
из-за этого нутро многогранника ста-
новится видимым и доступным. Ро-
зетки, о которых мы говорили выше,
точно соответствуют размерам отвер-
стий, но модель хороша и без них.
Правда, метод соединения частей мо-
дели несколько отличается от ранее
использованного. Две заготовки, на-
поминающие крылья бабочки, связы-
ваются при помощи желобков, обра-
зованных двумя парами малых тре-
угольников. V-образный вырез внизу
закрывается двумя неправильными пя-
тиугольными гранями. Эти грани в
конечном счете образуют внутреннюю
поверхность тела.
Такое соединение представляет со-
бой одну часть. Для полной модели
потребуется 30 частей.
98
56 Десятая звездчатая
форма икосододекаэдра
Этот простой многогранник внешне
напоминает дельтаэдр 28 — одну из
звездчатых форм икосаэдра. Но в дан-
ном случае отверстия в центрах впадин
дельтаэдра, через которые видно нут-
ро тела, обязаны своим происхожде-
нием малому звездчатому додекаэдру
(вершинные части малого звездчатого
додекаэдра выступали бы из этих от-
верстий). Это означает, что по отно-
шению к исходному телу необходимо
проделать некоторую работу, анало-
гичную уже сделанной в отношении
соединения пяти тетраэдров и соедине-
ния 10 тетраэдров. Пользуясь трафаре-
том, легко увидеть, как изменяются
очертания исходных заготовок.
Метод соединения частей лучше все-
го заимствовать у предыдущей модели.
Одна часть модели состоит из двух
усеченных треугольников, соединенных
по самой длинной стороне, и двух рав-
нобочных трапеций, которые в итоге
образуют часть внутренней поверхно-
сти модели. Эти части сами по себе
не такие уж жесткие, но после склеива-
ния их между собой достигается тре-
буемая прочность.
Вся модель изготовлена из 30 частей.
7*
99
S1 Одиннадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
Этот многогранник представляет
особый интерес благодаря удивитель-
ному сходству с одним из однородных
тел. Как видно из приведенных ниже
чертежей, одни его грани представляют
собой равносторонние треугольники,
тогда как другие являются почти пра-
вильными десятиугольниками. В дей-
ствительности многогранник можно
рассматривать как усеченную форму
большого звездчатого додекаэдра. Се-
чения производятся неглубокими раз-
резами у оснований пиков. Метод со-
единения частей модели заключается
в следующем. Соедините между собой
три показанные на рисунке заготовки.
Длинные наклейки у основания полу-
ченного треугольника сохраните — они
нужны для укрепления слабых мест мо-
дели. Три заготовки в форме «воздуш-
ного змея» закрывают верхушку полу-
чающейся трехгранной части, образуя
впадину в вершине усеченной таким
образом пирамиды. Склеивание частей
производится в последовательности,
которой мы придерживались при по-
строении модели большого звездчато-
го додекаэдра. Для окраски модели
можно использовать обычные схемы
додекаэдральной или икосаэдральной
раскраски.
100
Эо Двенадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
Как можно судить по фотографии,
этот многогранник весьма привлека-
телен. Он образован взаимопроникно-
вением двух тел — усеченной формы
большого звездчатого додекаэдра и
дельтаэдра, подобного звездчатой фор-
ме 28 икосаэдра. Икосаэдоальные грани
нашего многогранника состоят из трех
равносторонних треут ольников, не-
сколько больших по размеру, чем тре-
угольники на гранях дельтаэдра 28.
Общая часть этих треугольников равна
треугольной грани исходного внутрен-
него икосододекаэдра. Додекаэдраль-
ные звездчатые грани внешне напоми-
нают звездчатый правильный десяти-
угольник, хотя в действительности не-
сколько отличаются от декаграммы.
Икосаэдральные звездчатые грани
принадлежат усеченному большому
звездчатому икосаэдру.
При построении модели нетрудно
заметить тонкие длинные отсеки, су-
жающиеся к своим внешним концам
(последние расположены в точности в
центрах впадин дельтаэдра 28). Это
обстоятельство подсказывает край-
не простой способ построения мо-
дели.
Начните с изготовления набора из
пяти длинных отсеков, каждый из ко-
торых склеивается из четырех показан-
ных ниже заготовок (заметьте, что они
не образуют замкнутого отсека).
Склейте их между собой в кольцо та-
Части, длинного (незамкну-
того) отсека
101
ким образом, чтобы они соединялись
своими тупыми основаниями. Полу-
чится «гроздь», из центра которой рас-
ходятся длинные отсеки. Части тре-
угольных граней вклеиваются между
этими пиками, так что получается
часть, чем-то напоминающая части
некоторых моделей звездчатых ико-
саэдров, в частности модели 28 и
большого икосаэдра 41. Для завер-
шения модели потребуется 12 таких
частей.
На чертежах граней многогранни-
ка 58 показаны не все отрезки, образо-
ванные линиями трафарета, в чем легко
убедиться. Обратите также внимание,
что на додекаэдральном чертеже внеш-
ние отрезки определяются вершинами
большого звездчатого икосаэдра. Как
видно из чертежа, вершинные части
тела рассечены многочисленными от-
секами. Варьируя их, можно получить
многочисленные усеченные формы
большого звездчатого додекаэдра.
59 Тринадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
В этой модели большой звездчатый
додекаэдр пронизан телом одного из
звездчатых икосаэдров (модель под
номером 34). Поэтому 12 и 20 вершин-
ных пиков кажутся как бы выступаю-
щими из основного ядра модели. Если
вам удалось сделать модели этих двух
многогранников в отдельности, то мо-
дель их соединения не доставит боль-
ших хлопот. Изготовьте прежде всего
вершинные пики обоих видов, а затем
подклейте их друг к другу. При этом
вы можете воспользоваться обычной
икосаэдральной раскраской. Начните
работу с того, что окружите один ико-
саэдральный пик кольцом из пяти доде-
каэдральных пиков. Сделав это, вы
без труда завершите остальное. Не-
большая заминка, возможно, возник-
нет лишь при изготовлении последней
части. Постарайтесь приклеить три
заготовки — «воздушных змея» — к
сторонам додекаэдрального пика в от-
дельности, не соединяя их до поры
до времени в одно целое. Три длинных
ребра этих заготовок склеиваются в
последнюю очередь. Нанося клей на
наклейки, слегка сдавите пальцами по-
лученный трехгранный пик. Выполнив
наши рекомендации, вы станете обла-
дателем весьма впечатляющей модели.
юз
60 Четырнадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
Этот многогранник представляет со-
бой соединение большого звездчатого
додекаэдра с усеченной формой боль-
шого икосаэдра (усечение последнего
производится путем удаления части
его внешних отсеков). В результате
соединения получается «колючее» тело,
чем-то напоминающее морского ежа.
На модели явственно проступают
12 вершинных частей многогранни-
ка 34, каждая из которых окружена
кольцом из пяти меньших по размеру
вершин. Вершинные части большого
звездчатого икосаэдра выступают из
тела модели ромбическими частями
граней.
Рекомендуем воспользоваться сле-
дующим способом построения этой
модели. Возьмите три заготовки и
соедините их между собой; получится
малая вершинная часть. Пять таких
частей соедините в кольцо, в центре
которого, на дне выемки, образуется
пятиугольное отверстие. Края отвер-
стия образуют малые равнобедренные
треугольники с углом при основании
72°. Закройте пятиугольное отверстие
длинной пикообразной вершинной ча-
стью звездчатого икосаэдра 34. Так вы
подготовите одну часть модели, а всего
их потребуется 12, причем соединяются
они при помощи додекаэдральных вер-
шинных частей, служащих связками.
Присоединение самой последней части
можно выполнить по способу, описан-
ному для предыдущей модели.,
104
ы Соединение большого
звездчатого додекаэдра
и большого икосаэдра
По-видимому, самыми впечатляю-
щими из всех многогранников следует
считать правильные звездчатые тела —
большой звездчатый додекаэдр и боль-
шой икосаэдр. Показанный на фото-
графии многогранник представляет
собой соединение этих двух тел, яв-
ляющееся одновременно звездчатой
формой икосододекаэдра1. Для изго-
товления его модели лучше всего вос-
пользоваться техникой, которую мы
применяли при построении модели
большого икосаэдра. Необходимые за-
готовки показаны на рисунке. Вер-
шинные части, которые получают с
их помощью, не столь устойчивы, как
части большого икосаэдра, но после
добавления кольца из пяти додека-
эдральных вершин достигается необ-
ходимая конструктивная жесткость.
Изготовление модели этого много-
гранника потребует от вас изрядной
доли терпения, но усилия вполне
окупаются.
1 Другое соединение большого звездчатого
додекаэдра и большого икосаэдра описано
в [19], — Прим. авт.
105
Пятнадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
62
Этот многогранник замечателен сво-
им совершенным сходством с одно-
родным многогранником 95, который
нам еще предстоит рассмотреть. Но
в отличие от модели 95 наш много-
гранник не является однородным, ибо
его десятиугольные звездчатые грани
отличаются от правильных, а пяти-
угольные — неполны, так как у них
отсечены вершины. Чертежи помогут
вам понять, как следовало бы видоиз-
менить многогранник, чтобы он стал
однородным.
Многогранник можно рассматри-
вать и как усеченный вариант большого
икосаэдра. Сечения в данном случае
проходят по пятиугольным граням ико-
сододекаэдра. Многогранник 95 также
является усеченной формой большого
икосаэдра, но там секущие плоскости
просто параллельны плоскости осно-
вания вершинной части, а треугольни-
ки превращаются в правильные шести-
угольники.
Модель можно построить тем же
способом, что и модель большого
икосаэдра. Заготовки для икосаэдраль-
ных граней, показанные на рисунке,
представляют собой усеченные копии
ранее использованных заготовок. По-
сле соединения нужного их числа в
кольцо в центре кольца остается от-
верстие в форме звезды. Это отверстие
закрывается звездой, состоящей из оп-
ределенным образом расположенных
впадин. Впадина в центре звезды имеет
вид вывернутой наизнанку вершинной
части малого звездчатого додекаэдра,
которая образует углубление в форме
чаши. Каждый луч звезды закрывается
трехгранной впадиной, соединенной с
одним свободным ребром чаши. Так
закрывается все звездчатое отверстие.
Следует сначала склеить между собой
части самой звезды, а затем поставить
ее на место, закрепив клеем и зажима-
ми. Полная модель состоит из 12 час-
тей.
106
Шестнадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
В некоторых звездчатых икосаэдрах
вершины связываются друг с другом
лишь отсеками или соединениями от-
секов. * Благодаря этому получаются
открытые, «воздушные» модели. Для
построения подобных моделей подхо-
дят и отсеки, получаемые при продол-
жении граней икосододекаэдра. В на-
шей книге представлены три такие
модели — эта и две последующие. Мо-
дель, показанная на фотографии, мо-
жет быть получена в результате удале-
ния тела модели звездчатого икоса-
эдра 32 из составного многогранни-
ка 53 (см. стр. 64 и 96). Остаются
лишь вершинные части большого до-
декаэдра в форме красивых выпуклых
пятиугольных звезд. 12 таких звезд,
соединенных только вершинами, и об-
разуют наш многогранник.
Внизу показаны заготовки, необхо-
димые для построения одного луча
звезды. Пять лучей, соединяясь вместе,
образуют выпуклую звезду. Для того
чтобы склеить звезды в вершинах, не-
обходима конструктивная подставка.
Ею может служить часть модели боль-
шого додекаэдра, содержащая полную
пятиугольную грань. Разумеется, для
того чтобы она могла служить в ка-
честве подставки, ее следует перевер-
нуть. Вырежьте также небольшие от-
верстия в тех точках ребер подставки,
где будут склеиваться вершины звезд.
Проявите ловкость и запаситесь тер-
пением — и вы смастерите красивую
модель, которая показана на фотогра-
фии.
107
Семнадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
Этот многогранник тесно связан с
соединением большого звездчатого до-
декаэдра и большого икосаэдра (мо-
дель 61). Он может быть получен в
результате удаления из тела соедине-
ния большого икосаэдра, «следы» ко-
торого остаются в виде внутренних
граней многогранника. Но для того
чтобы получить остающиеся отсеки
большого звездчатого додекаэдра, ко-
торые связывали бы вершины много-
гранника, следует закрыть ромбиче-
ские грани этих отсеков. Это вы може-
те заметить, сравнив чертежи, приве-
денные ниже, с чертежами к модели 61.
Если закрыть ромбические грани, со-
прикасающиеся вершинами отсеки со-
единятся.
Модель многогранника можно сде-
лать, исходя из показанных на рисунке
заготовок. Три заготовки соединяются
в форме вершинной части большого
звездчатого додекаэдра. При этом тре-
угольники заготовок образуют пере-
понку, полностью закрывающую отсек
внизу1.
Для соединения отсеков и в этом слу-
чае потребуется подставка. Ею послу-
жит кольцо из пяти вершинных пиков
правильного большого звездчатого до-
декаэдра. Рекомендуем сделать от-
верстия на ребрах в точках склеивания
вершин отсеков. Следует также остав-
лять несклеенными три треугольные
грани подставки, в противном случае
в процессе работы модель невозможно
будет снять с подставки и передвинуть
по ней.
Завершенная модель, как ни удиви-
тельно, оказывается устойчивой. Прав-
да, она слегка пружинит, тем не менее
конструкция вполне выдерживает соб-
ственный вес, напоминая этим моде-
ли 35 или 29.
1 Рекомендуем начать со склеивания перепон-
ки и лишь затем соединить вершины ромбов.
108
Восемнадцатая звездчатая
форма икосододекаэдра
Отверстия в теле многогранника и
структура его внутренней поверхно-
сти — это следы, оставленные в боль-
шом икосаэдре после удаления боль-
шого звездчатого додекаэдра. Десяти-
угольную звездчатую грань, представ-
ляющую собой усеченную пентаграм-
му, которая столь заметна на приве-
денном ниже чертеже, по существу на
многограннике обнаружить нельзя, ибо
взгляд постоянно задерживается на
внешних треугольных гранях. И лишь
тщательное изучение подсказывает ис-
тинное строение внутренней поверх-
ности.
Модель этого многогранника стро-
ится тем же способом, который мы
применяли при построении другой мо-
дели звездчатого икосаэдра, имеющей
подобное строение, — модели 30. И в
самом деле, если исходить из согла-
сованных размеров заготовок, то для
этой модели можно применять ту же
подставку, что и для модели 30. На
рисунке показан чертеж одной заготов-
ки. Для каждого отсека — вершинной
части модели — потребуется 10 таких
заготовок, образующих пять энантио-
морфных пар. Схема раскраски та же,
что и для большого икосаэдра. Нетруд-
но заметить, что полная модель состо-
ит из 12 вершинных отсеков. Соседние
отсеки соединяются не в вершинах
звезд оснований, как в модели 30,
а в других вершинах. Это несколько
усложняет работу, но зато получаемая
модель обладает поразительной кон-
структивной жесткостью.
109
ьь Завершающая звездчатая
форма икосододекаэдра
(Трафареты для этой модели приве-
дены на стр. 88 и 89.
Завершающие звездчатые формы
любых многогранников всегда вызы-
вают особый интерес. Перед нами за-
вершающая звездчатая форма икосо-
додекаэдра. Не правда ли, чем-то она
напоминает вспышку фейерверка, ко-
гда из одной точки в разных направле-
ниях разлетаются огненные звезды
и путь их ясно виден на фоне ночного
неба. Но никакой фейерверк не сможет
передать удивительной упорядоченно-
сти и математической точности этого
многогранника, лучи которого четко
группируются в 12 заметных «короно-
идальных» групп. Вы без труда обнару-
жите в нем завершающие звездчатые
формы додекаэдра и икосаэдра. Боль-
шой звездчатый додекаэдр лишь слегка
выступает из тела многогранника ма-
ленькими трехгранными отсеками, по-
хожими на кустики травы у подножия
гигантского дуба. А пятерки вершин-
ных пиков завершающего звездчатого
икосаэдра образуют основу каждой
«короны». Но промежутки между эти-
ми пиками заполнены другими — тон-
кими и длинными, а все соединение из
пиков и составляет целую «корону».
Такой рисунок подсказывает нам спо-
соб построения модели.
Начнем с изготовления боковой обо-
лочки «короны» из пяти заготовок,
обозначенных буквой А. В нижнем ос-
новании «короны» будет лежать пра-
вильный пятиугольник, а края вверху
окажутся весьма зазубренными. Те-
перь склейте пять пар трапеций, обо-
значенных буквой Б. Каждая пара та-
ких энантиоморфных трапеций соеди-
няется наклейками нижних коротких
ребер, отходящих от срединного ту-
пого угла. Соедините все пять пар
вместе ребрами, которые у них скле-
ены. У вас в руках окажется кольцеоб-
разная гармошка. Теперь к ребрам,
исходящим из верхней склеенной точ-
- ки — вершины тупого угла, — под-
клейте пять заготовок в форме ромба.
(При этом каждая ромбическая грань
110
должна связывать между собой ребра
соседних пар трапеций.) Так вы полу-
чите внутреннюю часть «короны». Для
того чтобы поставить ее на место, при-
клейте края ромбов, используя зажи-
мы для соединения наклеек внутри
острых двугранных углов. После этого
приступайте к подклейке остальных
ребер к средним выступам каждой
стороны «короны». (Придерживайте
пальцами склеиваемые части до тех
пор. пока клей полностью не подсох-
нет.) Всю работу выполняйте после-
довательно. склеивая ребра одно за
другим.
Полученная «корона» — только од-
на часть модели, а всего потребуется
12 частей. Соединяйте их обычным
способом, как грани додекаэдра. На-
конец, наклейте маленькие вершины
большого звездчатого додекаэдра, со-
единив их предварительно в трехгран-
ную часть. Лучше всего сохранить на
них наклейки и, нанеся клей, просто
прижать их к месту соединения трех
«корон».
Штриховка на рисунке А показывает
части боковой поверхности «корон»,
закрываемые трехгранными отсеками.
Изготовление модели сопряжено с
очень кропотливой работой. Что ка-
сается раскраски, то она может совпа-
дать с обычной икосаэдральной рас-
краской, а выступающие части граней
большого звездчатого додекаэдра
можно сделать белыми (Б).
111
* *
*
Выполнив эту модель, вы сможете
самостоятельно отыскать и другие
звездчатые формы кубооктаэдра или
икосододекаэдра. Для этого надо лишь
основательно изучить формы получаю-
щихся отсеков и понять, каким обра-
зом грани отсеков находятся из тра-
фаретов. Вы также можете теперь ис-
следовать звездчатые формы других
архимедовых тел. Вам не понадобятся
сразу же полные трафареты звездчатых
граней таких тел. Вы создадите их
постепенно, в процессе работы — ме-
тодом проб и ошибок, если не найдете
иного пути, напоминающего скорее
решение кроссвордов или, в еще боль-
шей степени, составление трехмерных
картинок (аналогов двумерных рисун-
ков на детских кубиках).
III. НЕВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
8—731
Замечания
Вы только что изучили, к каким ре-
зультатам приводит процесс продол-
жения граней, примененный к платоно-
вым и к двум архимедовым телам.
Вы также заметили, что среди всех по-
лученных этим способом многогран-
ников оказалось крайне мало однород-
ных. В самом деле, однородными мно-
гогранниками были лишь три звезд-
чатых додекаэдра и один звездчатый
икосаэдр. Припомните, что однород-
ным считается такой многогранник,
все грани которого суть правильные
многоугольники (к их числу, возможно,
принадлежат правильные звездча-
тые многоугольники), а все вершины
одинаковы. В список однородных мно-
гогранников, таким образом, попада-
ют 5 платоновых тел, 13 архимедовых
тел и 4 тела Кеплера — Пуансо. Суще-
ствуют ли другие однородные много-
гранники? Вы, вероятно, удивитесь,
узнав, что их еще по крайней мере 53!
Каким образом они были открыты?
37 многогранников обнаружил Бадуро
(1881), систематически исследовавший
каждое из платоновых и архимедовых
тел с целью найти правильные много-
гранники или правильные звезды среди
сечений этих тел. Очевидно, подобный
подход существенно отличается от рас-
смотренного нами выше. Если мы та-
ким путем обнаружим искомый много-
угольник, ясно, что его вершины долж-
ны совпасть с вершинами исходного
выпуклого многогранника. Плоскости
таких многоугольников могут пере-
секаться. Если из исходного тела уда-
лить некоторые симметрично располо-
женные части, отделяемые этими плос-
костями, мы можем получить новый
однородный многогранник. Такой про-
цесс резонно называть «огранкой» ис-
ходного многогранника. Он в каком-то
смысле противоположен добавлению
новых отсеков, получаемых продол-
жениями граней исходного тела, ибо
последний процесс приводит к допол-
нению исходного тела новыми частя-
ми, тогда как огранка ведет к удалению
отсеков исходного тела (так что его
поверхность может служить своеоб-
разной оболочкой полученного много-
гранника).
Если с этих позиций вы исследуете
тела Кеплера — Пуансо, то обнаружи-
те, что как малый звездчатый додека-
эдр, так и большой додекаэдр могут
быть получены огранкой икосаэдра.
Вершины первого и ребра второго
совпадут соответственно с вершинами
и ребрами воображаемого икосаэдра,
окружающего эти тела. Это хорошо
заметно на моделях. Большой звезд-
чатый додекаэдр можно рассматри-
вать и как ограненную, и как звездча-
тую форму додекаэдра.
Если вы вообразите отрезки, соеди-
няющие любую вершину большого
звездчатого додекаэдра с тремя со-
седними. то все множество таких от-
резков составит скелетный каркас пра-
вильною додекаэдра. По этой при-
чине вершины большого звездчатого
додекаэдра совпадают с вершина-
ми додекаэдра-оболочки. Аналогично
большой икосаэдр можно рассматри-
вать и как ограненную форму икоса-
эдра, и как звездчатую его форму.
Многие из представленных в книге
моделей достаточно полно иллюстри-
руют идею огранки.
Помимо Бадуро, которого мы упо-
мянули выше, этой темой занимались
и другие исследователи. Среди них
стоит упомянуть Гесса (1878), открыв-
шего два новых однородных много-
гранника (обратите внимание: Гесс
предшествовал Бадуро). Питч (1881)
совершенно независимо нашел 18 та-
ких тел, причем некоторые из них
не содержались в списке Бадуро.
В 1930—1932 годах Кокстер и Миллер
открыли 12 других, ранее не извест-
ных однородных многогранников, но
не опубликовали результаты своих ис-
следований, так как надеялись полу-
чить математическое доказательство
того что больше однородных тел не
существует. Независимо от них М. Лон-
ге-Хиггинс и Г. Лонге-Хиггинс в
1942—1944 годах нашли 11 (из 12)
этих многогранников.
В 1952 году обе группы получили воз-
можность ознакомиться с параллельно
ведущимися работами. Тем временем
в 1947 году Лесавр и Мерсье «переот-
крыли» 5 из этих же 12 тел. В статье
114
«Однородные многогранники» [18], вы-
шедшей в свет в 1954 году, все извест-
ные тела были собраны вместе (к это-
му времени было найдено 75 однород-
ных многогранников). Как отмечали
авторы статьи, они предполагали, «что
приведенное перечисление полное, хо-
тя строгое доказательство этого еще
только требуется получить».
Метод перечисления, который при-
менили эти исследователи, отличался
от методов более ранних работ. Он
основан на систематическом изучении
всех возможных треугольников Швар-
ца и составленных из них многогран-
ных калейдоскопов. Треугольники
Шварца связаны с треугольниками
Мёбиуса, упомянутыми на стр. 14.
Общие указания по изготовлению моделей
невыпуклых однородных
многогранников
Ниже представлены описания моде-
лей невыпуклых однородных много-
гранников. К ним приложены чертежи
граней, а также трафареты заготовок
частей, возникающих в пересечении
граней. На чертежах не проставлены
размеры и не указаны никакие величи-
ны, поскольку их элементы находятся
в весьма простых отношениях, кото-
рые могут служить ключом к опреде-
лению всех требуемых размеров. Это
связано с утверждением, согласно ко-
торому размеры частей пентаграммы
(пятиугольной звезды) и декаграммы
(десятиугольной звезды) находятся в
отношении «золотого сечения». По-
этому, если какой-либо правильный
многоугольник частично совпадает с
такой звездой, его соответствующие
части делятся в отношении золото-
го сечения т » 1,618. Проиллюстри-
ровать сказанное могут лучше всего
рис. 34—36. Метрические соотношения
в восьмиугольной звезде, или окта-
Рис. 36.
116
грамме, подобным же образом свя-
заны с известным числом 1,414.
Таким образом, если вы располага-
ете достаточно аккуратными чертежа-
ми этих трех звезд, то отрезки на их
сторонах задают требуемые для заго-
товок размеры. И лишь для некоторых
более сложных моделей, которые при-
водятся далее, потребуется нанести до-
полнительные точки на стороны звезд.
Но и эти новые точки разделят соот-
ветствующие отрезки в отношении зо-
лотого сечения. Поэтому постарайтесь
тщательно выполнить необходимые
чертежи: они помогут вам изготовить
модели любых размеров.
Грани невыпуклых однородных мно-
гогранников не всегда видны целиком.
Иногда отдельные их части скрыты
внутри тела, иногда одна и та же грань
в какой-то своей части видна с одной
стороны, а в какой-то — с другой.
На чертежах светлой штриховкой обо-
значена лицевая поверхность видимых
частей; видимая с тыльной стороны
поверхность зачернена. Невидимые
части граней на чертежах не заштрихо-
ваны. Не использована штриховка к
в том случае, когда всю поверхность
многогранника можно увидеть извне.
Чертежи видимых и невидимых частей
позволяют определить формы загото-
вок, из которых составляется модель.
ь/ Тетрагем и гексаэдр
В этом простом многограннике лег-
ко узнать ограненную форму октаэдра.
Топологически он представляет собой
известный односторонний гептаэдр (се-
мигранник), гомеоморфный односто-
ронней поверхности, носящей имя
Штейнера ([19], стр. 193). В этом’мно-
гограннике три экваториальных квад-
рата лежат в трех взаимно перпендику-
лярных плоскостях, причем каждый
квадрат имеет общие ребра с четырьмя
треугольниками.
Модель этого многогранника можно
сделать четырехцветной. Все равно-
сторонние треугольники можно взять
одноцветными, скажем красными (К).
К сторонам четырех равносторонних
треугольников приклейте гипотенузы
равнобедренных прямоугольных тре-
угольников — оранжевого (О), сине-
го (С) и желтого (Ж), как показано
на рисунке внизу справа. Этим частям
следует затем придать форму треуголь-
ной пирамиды, основанием которой
послужит красный (К) треугольник, а
остальные треугольники станут на-
клонными боковыми гранями. Однако
здесь следует воспользоваться особой
техникой склеивания. Одни наклейки
нужно отогнуть наружу и склеить в
форме язычка вдоль наклонных рёбер
пирамиды, в то время как другие надо
загнуть, как обычно, внутрь, но не
склеивать. Тем самым они образуют
паз, в который будет вставляться язы-
чок другой такой же части. При соеди-
118
нении частей помните, что каждая
квадратная грань на полной модели
должна быть одноцветной.
Соедините теперь две пирамиды, на-
неся клей на обе стороны наклейки-
язычка, и вставьте затем язычок в паз
другой части. Сделав это, вы получите
часть модели с двумя половинками
описанных выше квадратов. Плоскости
этих квадратов будут рассекать одна
другую по ребрам, к которым присо-
единены язычки и пазы. Подобным же
образом на свое место прикрепляется
третья пирамида, а за ней и четвертая.
Вам предстоит самостоятельно ре-
шить, какие наклейки следует соеди-
нять в форме язычка, а какие — в фор-
ме паза. Если вы разберетесь в том,
каким образом модель принимает свои
очертания, правильное решение придет
к вам само.
Показанную на фотографии модель
можно построить и иным способом,
который пригодится нам в дальней-
шем. Он сводится к следующему. Изго-
товьте исходные трехгранные чаши,
заготовка для которых показана на
чертеже; все наклейки отогните нару-
жу. Они образуют на внешней нерас-
крашенной поверхности чаши некое
подобие нервюр1 вдоль ребер. Сама
чаша представляет собой треугольную
пирамиду без основания. Нервюры мо-
гут быть должным образом подрезаны
и расположены так, что при соедине-
нии чаши станут наклейками двойной
толщины. При помощи таких наклеек
соединяются чаши, причем ребро од-
ной из них следует совместить с ребром
другой. Под конец добавляются че-
тыре красных (К) треугольника. Их
ребра подклеиваются одно за другим.
Последняя процедура, напоминающая
наложение крышки, вам уже знакома.
Обратите внимание на следующее об-
стоятельство: острые двугранные углы
при ребрах облегчают присоединение
последних равносторонних треуголь-
ников, хотя, для того чтобы они хо-
рошо подошли к размерам отверстий,
склеивание чаш нужно производить
весьма аккуратно. С этой точки зрения
первый рассмотренный нами способ
предпочтительнее, во всяком случае,
он легче в исполнении. Но, разумеется,
вы сами решите, каким из них восполь-
зоваться.
1 Нервюрой называется выступающее ребро
крестового свода готического храма.
68 Октагемиоктаэдр
Этот многогранник представляет со-
бой ограненный кубооктаэдр. Иногда
его называют также октатетраэдром.
Четыре экваториальные шестиуголь-
ные грани многогранника имеют об-
щие ребра с восемью треугольными
гранями. Построить модель, как и в
предыдущем случае, можно двумя спо-
собами.
Можно изготовить восемь тетраэд-
ров и первые четыре из них раскрасить
в соответствии с приведенной на ри-
сунке таблицей. Остальные тетраэдры
также имеют в основаниях синие (С)
треугольники, но раскраска их боко-
вых граней энантиоморфна раскраскам
граней первых четырех тетраэдров. Не-
трудно представить себе, как будет
12 3 4
С Ж О 3
с о ж к
С 3 о к
С Ж 3 к
выглядеть таблица их раскраски: сле-
дует просто поменять местами 2-й и
3-й столбцы. Эти тетраэдры затем со-
единяются между собой посредством
язычков и пазов. Вам предстоит опре-
делить, какие наклейки следует ото-
гнуть, а какие оставить внутри. В по-
лученной полной модели все внешние
треугольные грани должны быть си-
ними (С), а на шестиугольных гранях
вам встретятся все остальные цвета —
Ж, О, К и 3. Если вы будете помнить
это правило, то не встретите затрудне-
ний в расположении тетраэдров.
Существует и другой способ по-
строения. Он заключается в следую-
щем. Вы подготавливаете шесть тетра-
эдральных чаш и первые три раскра-
шиваете в соответствии с таблицей.
Окраска остальных чаш должна быть
энантиоморфной. Как и ранее, все на-
клейки соединяются с внешней стороны
чаш. В итоге они могут служить внут-
ренними связками между чашами, сое-
диняемыми по общим ребрам. Следует
только должным образом подрезать
сдвоенные наклейки и придать им нуж-
ное положение. Последними подклеи-
ваются синие (С) треугольники.
120
ЬУ Малый кубокубооктаэдр
Этот многогранник получен в ре-
зультате огранки ромбокубооктаэдра.
Его квадратные грани лежат на плос-
костях граней куба, восьмиугольные —
на параллельных им плоскостях за
квадратами, а треугольные грани сов-
падают с треугольными гранями ром-
бокубооктаэдра. Поскольку для окрас-
ки куба достаточно трех цветов, можно
достичь очень эффектной окраски, вос-
пользовавшись для окраски треуголь-
ников двумя другими цветами. В каче-
стве трафаретов для заготовок вам по-
служат квадрат, прямоугольник и два
треугольника, которые приведены на
чертеже восьмиугольной грани.
Постройку модели следует начать с
изготовления четырех треугольных пи-
рамид с приведенной раскраской. Вы-
верните все наклейки наклонных ребер
наружу и склейте их в виде язычков.
Затем изготовьте показанную на
стр. 122 справа открытую призму, кото-
рая послужит верхней частью модели.
121
12 3 4
К Ж О С
3 ж с о
к ж о с
3 ж с о
1	2	3	4	5
Ж	О	С	О	С
о	ж	с	ж	с
с	ж	о	ж	о
Боковыми гранями призмы будут че-
редующиеся синие (С) и оранжевые (О)
прямоугольники. Вслед за этим под-
клеивайте к четырем углам призмы че-
тыре пирамиды так, чтобы в паз между
соседними прямоугольниками вошел
язычок пирамиды. Разумеется, сами
пирамиды следует расположить в соот-
ветствии с таблицей раскраски, их жел-
тые (Ж) грани должны оказаться внизу.
Теперь добавьте кольцо из четырех
боковых призм. Раскраски двух из них
берутся из 2-й и 3-й строк второй таб-
лицы внизу. Раскраска оставшихся че-
тырех пирамид и трех призм полно-
стью совпадает с раскраской уже ис-
пользованных частей. Техника их со-
единения также не меняется. Впрочем,
вы обнаружите, что прямоугольные
грани призм можно просто подклеи-
вать к язычкам, не мучаясь со вставкой
язычков в пазы. Конечный результат
от этого не меняется, но приходят к
нему несколько иным путем. В про-
цессе построения модели вы это пол-
ностью себе уясните. Любая из про-
цедур приводит к весьма прочной и
впечатляющей модели.
122
ZU Малый битригональный
икосододекаэдр
Этот многогранник состоит из
12 пентаграмм на гранях додекаэдра
и 20 треугольников на гранях икоса-
эдра. Как легко заметить, вблизи каж-
дой вершины грани встречаются трой-
ками в чередующемся порядке. По-
этому многогранник и называется
битригональным икосо до декаэдром.
Пентаграммы могут быть окрашены
шестью цветами так, что противопо-
ложные звезды будут одноцветными,
но для сохранения основного принципа
раскраски карт при выборе красок для
треугольных граней нам придется об-
ратиться ко второй таблице раскраски
икосаэдра.
Проще всего строить модель, окру-
жая каждую звезду треугольными гра-
нями. Каждые две такие грани обра-
зуют желобок между соприкасающи-
мися парами лучей соседних звезд.
На следующей странице приводится
таблица раскраски. Присоединив все
желобки к белой (Б) звезде, вы сразу
же можете приклеить следующие пять
цветных звезд. Чтобы разместить их
правильно, подклейте зеленую (3) звез- ,
123
23 45 67 89
КЗ ок со же
ОЗ 30 КЗ СК
КЖ ЖК ЗЖ 03
зс сз же КЖ
жо ож со зс
СК КС ок жо
ду против желтых (Ж) треугольников
и далее по кругу остальные звезды —
Ж, С, О, К, 3.
Как видите, таблица раскраски устро-
ена так, что цвета каждой пары со-
седних треугольников указаны в ней
дважды. Это упрощает пользование
ею и позволяет работать в предписы-
ваемом таблицей порядке, обклеивая
каждую звезду двугранными желоб-
ками. Вы, конечно, обратили внимание
на циклические перестановки цветов.
Они становятся еще более очевидными,
если рассмотреть столбцы раскраски,
опуская при этом первую строку.
Если вы справились с изготовлени-
ем существенной части модели, доде-
лать ее несложно. Проследите лишь
за тем, чтобы противоположные звез-
ды были одноцветными, а все тре-
угольные грани модели окрашены в
свой цвет. Вы убедитесь, что лучше сна-
чала склеивать треугольные заготовки
между собой, а затем присоединять их
к лучам звезды. Таким способом целе-
сообразно делать все желобки модели.
Последней подклеивается белая (Б)
звезда.
Работу следует выполнять по час-
тям. Соединяйте наклейки последова-
тельно. Не торопитесь, пусть клей хо-
рошенько подсохнет. Когда щель ста-
нет слишком узкой, прибегните к по-
мощи пинцета. Будьте внимательны и
аккуратны, запаситесь терпением, и вы
будете вознаграждены.
71 Малый
икосоикосододекаэдр
Гранями многогранника служат
20 треугольников, 20 шестиугольников
и 12 пятиконечных звезд, причем тре-
угольники располагаются параллельно
шестиугольникам и над ними. Это
означает, что можно удачно применить
первую икосаэдральную раскраску из
пяти цветов; при этом параллельные
грани будут окрашены в один цвет, а
для всех звезд останется шестой, белый
(Б) цвет.
Треугольные грани имеют ребра,
общие с шестиугольными гранями, а
вершины треугольных граней совпада-
ют с вершинами звезд. Пересечения
шестиугольных граней образуют же-
лобки, исходящие из промежутков меж-
ду лучами звезд. Гранями желобков
служат две трапеции. Такое располо-
жение подсказывает нам метод соеди-
нения частей модели.
\ Сделайте пять показанных на ри-
сунке желобков, раскраска которых
должна следовать строке (0) таблицы.
Они приклеиваются между лучами бе-
12 12 12 12 12
(0) жз сж ОС ко зк
(1) ЖЗ КЖ СК ОС 30
(2) СЖ ЗС ОЗ КО жк
(3) ОС ЖО КЖ зк сз
(4) КО СК ЗС сз ож
(5) ЗК ОЗ ЖО СЖ КС
125
лой (Б) звезды так, что оказываются
несколько опущенными по отношению
к плоскости звезды. К желобкам под-
клеиваются треугольники, цвет кото-
рых должен совпадать с цветом распо-
ложенной под ними шестиугольной
грани. В таблице раскраски каждый же-
лобок встречается дважды, но это лишь
облегчает пользование ею в процессе
построения модели. Если вы будете
последовательно обклеивать каждую
звезду, то следовать таблице будет не-
сложно. Располагайте желобки в соот
ветствии с их раскраской и положени-
ем. Что касается раскраски, то соседние
желобки и треугольники взаимно помо-
гают определять по цветам одних рас-
краску других.
Вы обнаружите, что противополож-
ные желобки энантиоморфны, но при
склеивании трапеций это не играет
никакой роли. Стройте модель после-
довательно, тогда вы автоматически
получите энантиоморфный порядок
раскраски противоположных желоб-
ков.
Построение модели малого икосо-
икосододекаэдра требует от вас тер-
пения. Достаточно сказать, что к каж-
дой из десяти сторон любой звезды
надо подклеить свою трапецию. За-
помните: не следует делать сразу слиш-
ком много. В каждый данный момент
склеивайте лишь одно ребро. Если у
вас имеется пять хороших зажимов, ис-
пользуйте их «конвейерным способом»:
переносите с одного склеенного ребра
на другое, так что к тому времени, ког-
да вы склеите пятое ребро, можно бу-
дет снять зажим с первого.
Заметьте также, что легче сначала
склеить между собой длинные стороны
трапеций и стороны треугольников,
которые окружают эти трапеции, и
лишь затем подклеивать короткие реб-
ра желобков к лучам звезд.
72 Малый
додекоикосододекаэдр
Этот многогранник легко распо-
знать как ограненную форму ромбо-
икосододекаэдра. Для его пятиуголь-
ных и десятиугольных параллельных
граней подходит шестицветная доде-
каэдральная раскраска. Построение
модели начинается с того, что бе-
лый (Б) пятиугольник окружается
пятью трапециями, как показано на
рисунке. Загните наклейки трапеций
внутрь, но не склеивайте их. Они обра-
зуют пазы, в которые затем войдут
язычки малых треугольных пирамид.
Таблицы раскраски обеих частей пред-
ставлены ниже.
Для правильного размещения тре-
угольных пирамид мы вынуждены об-
ратиться ко второй икосаэдральной
0 12 3
(0)	Б	Ж	С	О
(1)	Ж	Б	3	О
(2)	С	Б	Ж	К
(3)	О	Б	С	3
(4)	К	Б	О	Ж
(5)	3	Б	К	С
4
К
К
3
ж
с
о
0 12 3
(1)	Ж	Б	О	К
(2)	С	Б	К	3
(3)	О	Б	3	Ж
(4)	К	Б	Ж	С
(5)	3	Б	С	О
(6)	Ж	3	О	С
(7)	С	Ж	К	О
(8)	О	С	3	К
(9) К О Ж 3
127
таблице раскраски. В таблицах рас-
краски приведены цвета лишь для по-
ловины требуемых заготовок. Рас-
краска остальных энантиоморфна при-
веденной, причем каждая часть зани-
мает диаметрально противоположное
положение по отношению к своему
двойнику. Этим обеспечивается вы-
полнение основного принципа рас-
краски карт.
128
73 Додекододекаэдр
Этот многогранник содержит
12 звезд на гранях додекаэдра, а на
параллельных плоскостях под звезда-
ми находятся 12 пятиугольных граней,
каждая из которых имеет общие ребра
с пятью пересекающими ее звездами.
Построение модели следует начать с
соединения ромбических заготовок в
форме трехгранных выемок, одна из
которых показана на рисунке. Пять
таких выемок подклеиваются к лучам
белой (Б) звезды, причем все ромбы
оказываются ей параллельны, форми-
руя тем самым пятиугольную парал-
лельную грань. Теперь можно под-
клеить пять следующих звезд. Каждая
звезда должна совпадать по цвету с
двумя ромбами, приклеенными к раз-
деленным лучом отрезкам исходной
звезды. После этого присоединяются
еще пять выемок: шестая (6) под пер-
вой (1) и т. д. Оставшиеся части модели
имеют энантиоморфную раскраску,
причем она получается автоматически,
если следить за сохранением единой
окраски параллельных граней.
9—731
129
Малый ромбододекаэдр
Этот многогранник также получен
из ромбоикосододекаэдра. Пятиуголь-
ные грани последнего удалены, и их
место заняли неглубокие чаши, пяти-
угольные донца которых лежат на де-
сятиугольных гранях тела. Удалены
также треугольные грани: их заменили
небольшие выемки, и грани выемок
опять-таки лежат на десятиугольных
гранях тела. На прежних местах оста-
лись только квадраты. Для окраски
десятиугольных граней в этом случае
удобно воспользоваться додекаэдраль-
ной раскраской. Отсюда с необходимо-
стью вытекает способ соединения час-
тей модели.
Начните с белого (Б) пятиугольника
и подклейте к его сторонам пять тра-
пеций, образовав неглубокую чашу.
Цвета трапеций выбирайте в соответ-
ствии с таблицей раскраски, приведен-
ной для малого звездчатого додека-
эдра. 12 построенных чаш могут быть
склеены вместе; они образуют внут-
ренний додекаэдр. Промежутки между
верхними основаниями чаш заполните
чередующимися квадратами и тре-
угольными выемками (см. фото). Если
при этом следовать приведенной ниже
таблице раскраски, то достигается по-
Пятиугольники.
(0) Б
(1)	К
(2)	3
(3)	Ж
(4)	С
(5)	О
Квадраты
Ж С О К 3
Ж С 3 Б О
С О Ж Б К
О К С Б 3
К 3 О Б Ж
3 Ж К Б С
130
разительный эффект! Подклейте жел-
тый (Ж) квадрат между белым (Б)
и красным (К) пятиугольниками, затем
синий (С) квадрат между белым (Б) и
зеленым (3) пятиугольниками и так
далее по порядку нулевой (0) строки
таблицы. Таким образом вы получите
верхнее кольцо квадратов — Ж, С, О,
К и 3, окружающее белый (Б) пяти-
угольник. Следующие пять подобных
колец имеют раскраски, соответствую-
щие строкам (1), (2), (3), (4) и (5). Кольца
содержат общие квадраты, вследствие
чего каждый квадрат упоминается в
таблице дважды. Раскраска остальных
колец квадратов энантиоморфна. Эф-
фект, о котором говорилось ранее,
вы теперь можете наблюдать воочию.
Если расположить модель так, чтобы
белые пятиугольники оказались на ее
полюсах, то пять белых квадратов,
чередуясь с другими пятью разноцвет-
ными квадратами, образуют наклон-
ный экваториальный пояс модели. То
же будет выполнено и по отношению к
любому другому цвету на модели.
Трехгранные выемки имеют одина-
ковую раскраску и даже одинаковые
формы с впадинами модели большого
додекаэдра. Однако вследствие их не-
большой глубины можно не соеди-
нять наклейки треугольников попарно,
но подклеивать их непосредственно к
внутренней поверхности соседних тре-
угольников в соответствии с рисунком.
Ненужные наклейки следует обрезать.
Положения выемок на модели опре-
делить несложно
9*
131
/Э Усеченный большой
додекаэдр
Раскраска этой модели соответству-
ет раскраске модели 21. Пентаграммы
и параллельные им десятиугольные
грани должны быть окрашены одина-
ково. Наилучший способ построения
модели сводится к следующему.
Сначала сделайте трехгранные вы-
емки, руководствуясь таблицей рас-
краски большого икосаэдра. Затем со-
едините выемки между собой вдоль их
длинных свободных ребер, а отвер-
стия, образованные короткими ребра-
ми, закройте звездами.
Ниже представлены чертежи нужных
заготовок. Показано также, как склеи-
вать выемки.
132
/ О Ромбододекододекаэдр
Этот красивый, почти шарообраз-
ный многогранник, очень напоминает
пляжный резиновый мяч. А если вы
к тому же воспользуетесь приведенной
ниже раскраской, то его модель станет
столь же яркой и красочной. Для изго-
товления модели требуется множество
заготовок: всего их 312, и все нужно
вырезать, подогнать и склеить. Для
не слишком большой по размерам мо-
дели можно применить обычную тех-
нику соединения частей наклейками,
которые имеются на всех сторонах за-
готовок. Это позволит получить проч-
ный красивый многогранник. Если
раскрасить пересекающиеся квадрат-
ные грани так, как мы это делали при
построении модели 74, то возникаю-
щие наклонные экваториальные пояса
из трапеций покажутся еще более
восхитительными. Ниже приводятся
таблица раскраски и чертежи соедине-
ния заготовок — они помогут вам в
работе.
После того как вы склеите заготовки
между собой, сразу же подклейте к ним
маленькие треугольники, которые
должны находиться в пятиугольных
гранях. Вы сможете без труда опреде-
133
лить их окраску. Доведите работу до
конца, оставив незаклеенными только
маленькие треугольные отверстия. Эти
отверстия нужно закрыть малыми трех-
гранными выемками: их стороны об-
разованы треугольниками, лежащими
на квадратных гранях. Вам снова будет
нетрудно определить их раскраску.
И еще запомните: как правило, вогну-
тые части легче сначала склеить вместе,
а затем подклеить к остальным частям
модели способом, который обычно
применялся при окончании моделей.
Поэтому треугольники 11—15 (см. ри-
сунок) должны подклеиваться как по-
ловины двухцветных вогнутых ромбов,
служащих связками между различны-
ми частями модели.
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Б	ж	3	с	ж	О	с	К	О	3	к	о	к	3	ж	С
Ж	Б	С	3	Б	О	3	к	о	С	к	о	к	с	Б	3
С	Б	О	ж	Б	К	ж	3	к	О	3	к	3	о	Б	Ж
О	Б	к	с	Б	3	с	ж	3	К	ж	3	ж	к	Б	С
К	Б	3	о	Б	ж	о	с	ж	3	с	ж	с	3	Б	О
3	Б	ж	к	Б	с	к	о	с	ж	о	с	о	ж	Б	К
134
77 Большой
кубокубооктаэдр
Этот многогранник представляет со-
бой ограненный куб. Каждая восьми-
угольная звезда лежит на гранях окру-
жающего его воображаемого куба.
Промежутки между лучами каждой
звезды заполнены желобками и выем-
ками, чередующимися между собой.
Поскольку для раскраски куба доста-
точно трех цветов, эту же раскраску
. можно перенести на звезды модели.
Тем самым противоположные звезды
получат одну окраску. В тот же цвет
должны быть окрашены части парал-
лельных им квадратных граней. Тре-
угольники можно раскрасить попере-
менно двумя другими цветами.
Построение модели начните с жел-
той (Ж) восьмиугольной звезды и под-
готовьте четыре выемки и четыре же-
лобка. Заметьте, что треугольные гра-
ни желобков несколько больше, чем
треугольные грани выемок. Подклейте
1
ж
ж
3
о
с
2
3
к
о
3
к
2
С
о
1
к
3
135
эти части в чередующемся порядке к
лучам звезды, следя за тем, чтобы час-
ти параллельных граней были окра-
шены одинаково.
Работа не покажется вам трудной.
Окраски звезд и всех остальных частей
определяются легко. Последней надо
приклеить вторую желтую (Ж) звез-
ду — опять-таки постепенно, ребро за
ребром.
136
78 Кубогем иоктаэдр
0	12	3
С Ж О К
с ж к о
С Ж К 3
Этот многогранник служит приме-
ром другой огранки кубооктаэдра, в
силу чего к нему можно применить те
же конструктивные приемы, что и при
изготовлении модели 68.
Подготовьте исходные части, имея
в виду, что треугольники должны в
точности совпадать с треугольниками
на чертеже шестиугольной грани. Со-
едините их между собой, как показано
на рисунке. У вас должно получиться
шесть пирамид с квадратными осно-
ваниями. Раскраски трех из них ука-
заны в таблице, а остальные три долж-
ны быть раскрашены энантиоморфно.
Пирамиды следует затем соединить
между собой способом «язычок в паз».
Существует и другой способ по-
строения модели. Он сводится к со-
единению восьми трехгранных чаш;
раскраска четырех из них приведена
ниже, а остальные должны быть рас-
крашены энантиоморфно. Как обыч-
но, при таком способе все наклейки
соединяются на внешней поверхности
чаш. С помощью этих двойных наклеек
чаши склеиваются общими ребрами.
Квадратные грани подклеиваются в по-
следнюю очередь.
1 2 3
к ж о
О 3 ж
К 3 о
Ж 3 к
137
/У Кубооктоусеченный
кубооктаэдр
Этот многогранник есть не что иное,
как ограненный октаэдр. Двугранные
желобки между лучами звезд образо-
ваны частями шестиугольных граней.
Связь многогранника с октаэдром по-
зволяет выбрать весьма эффектную
раскраску. Четыре параллельные пары
шестиугольных граней раскрашива-
ются четырьмя цветами, а всем шести
восьмиугольным придается пятый
цвет. Звезды можно взять либо белы-
ми (Б), либо раскрасить в соответст-
вии с цветами параллельных им и лежа-
щих ниже восьмиугольных граней.
Прежде всего окружите центральные
части шестиугольных граней (правиль-
ные треугольники), показанные ниже,
частями восьмиугольных граней. Са-
мые короткие ребра этих частей нужно
склеить между собой; они образуют
неглубокие чаши с треугольным дном.
Затем подготавливаются показанные
ниже желобки. Этими частями об-
клеиваются попеременно лучи восьми-
угольной звезды.
Как только вы закончите эту часть
работы, присоедините еще четыре звез-
ды. Теперь четырьмя желобками эти
звезды соединяются между собой та-
ким образом, что образуется эквато-
риальный пояс, в который входят звез-
ды. Раскраски новых желобков приве-
0 12 3
Ж 333
С 3 3 3
О 3 3 3
К 3 3 3
4 5
Ж к
с ж
о с
к о
4
О
К
Ж
с
138
дены выше Вы заметите, что они ок-
рашены энантиоморфным образом.
Энантиоморфные части занимают, ес-
тественно, диаметрально противопо-
ложные положения.
Присоедините к конструкции еще
четыре чаши и четыре связующих же-
лобка. Диаметрально противополож-
ные чаши должны быть окрашены
одинаково, а противоположные же-
лобки — энантиоморфно. При склеи-
вании двух трапеций в желобок нет
нужды разбираться в том, какой цвет
окажется справа, а какой слева: в слу-
чае необходимости вы просто перевер-
нете желобки.
Построение модели заканчивается
подсоединением последней октаграм-
мы. Модель очень прочна и привлека-
тельна.
80 Битригональный
додекаэдр
Этот многогранник особенно инте-
ресен своей тесной связью с большим
звездчатым додекаэдром. Описание
этой связи достаточно сложное, но
после завершения работы над моделью
она станет для вас почти очевидной.
Поставьте мысленно следующий
опыт. Отсеките от тела большого до-
декаэдра его выпуклые звезды разре-
зом по плоскости пятиугольной грани,
переверните их и приложите к модели
большого звездчатого додекаэдра (22).
При этом центральная вершина каж-
дой телесной звезды пусть придет в
центральную точку кольца из пяти пи-
ков, а ребра звезды пойдут по исходя-
щим из центра кольца ребрам пиков.
Так вы получите многогранник 80.
Его можно рассматривать и как огра-
ненную форму многогранника 70.
В этом случае двугранные треугольные
желобки модели 70 заменяются глу-
бокими выемками, находящимися меж-
ду вершинами звезд. Выемки образо-
ваны пересекающимися пятиугольны-
ми гранями тела, и поэтому их сторо-
нами служат равнобедренные треуголь-
ники двух типов с углами при осно-
вании 72° и 36°. Связь модели 80 с
двумя звездчатыми додекаэдрами по-
зволяет нам использовать аналогичную
раскраску.
Начав строить эту модель, подго-
товьте 12 пентаграмм — по две каждо-
го из шести цветов. Затем сделайте
пять шестигранных чаш или выемок,
как мы их только что называли. На
рисунке показаны планы соединения
этих частей. Там же приведена табли-
ца раскраски пентаграммы и еще двух,
которые понадобятся после.
Отогните наклейки во внешнюю сто-
рону чаш и вклейте чаши между луча-
ми звезд. Первой пятеркой чаш окру-
жите белую (Б) пентаграмму и сразу
140
1	2	3	4	5	6
(1)	С	3	О	К	О	К
(2)	О	Ж	К	3	К	3
(3)	К	С	3	Ж	3	ж
(4)	3	О	Ж	С	Ж	С
(5)	Ж	К	СОСО
(6)	Б	О	КСКС
(7)	Б	К	3 0 3 0
(8)	Б	3	Ж К Ж К
(9)	Б	Ж	С 3 С 3
(10)	Б	С	О Ж О Ж
(11)	3	К	С Б С Б
(12)	Ж	3	О Б О Б
(13)	С	Ж	К Б К Б
(14)	ОС 3 Б 3 Б
(15) КО Ж Б Ж Б
же подклейте на места еще пять цвет-
ных звезд. При этом желтая (Ж) звезда
должна лежать в плоскости, располо-
женной выше плоскости, в которой на-
ходятся два желтых (Ж) треугольни-
ка— части пятиугольной желтой гра-
ни. Чтобы их найти, следите не за
раскраской стенок чаш, а за цветами
треугольников 1 или 2. Стоит вам
правильно расположить эту звезду, как
остальные пойдут по кругу в поряд-
ке Ж, С, О, К, 3.
После этого можно подклеить сле-
дующие пять чаш, которые использу-
ются в качестве связок между звездами.
Чашу 6 поместите между звездами 3
и Ж, чашу 7 — между звездами Ж и С
и так далее по кругу. Третьей пятеркой
чаш вы закончите работу над одной
половиной модели. Их положение лег-
ко определить, нужно только просле-
дить за тем, чтобы все части каждой
пятиугольной грани были раскрашены
одинаково.
Другая половина модели энантио-
морфна первой, и аналоги занимают
диаметрально противоположные мес-
та. Белая (Б) звезда подклеивается по-
следней. Как вы убедитесь, модель
окажется очень прочной. Однако по
мере ее завершения постарайтесь как
81 Большой битригональный
додекои косододекаэдр
Показанный на фотографии много-
гранник относится к семейству икосо-
додекаэдров. Это обстоятельство слу-
жит ключом, позволяющим нам при-
менить обычную раскраску, распреде-
лив шесть цветов между группами из
противоположных десятиугольных и
параллельных им пятиугольных гра-
ней, а для раскраски треугольников ис-
пользовать вторую икосаэдральную
таблицу, сделав тем самым противопо-
ложные треугольные грани одноцвет-
ными.
Простейший метод построения этой
модели сводится к попеременной под-
клейке между лучами декаграмм зара-
нее приготовленных выемок и желоб-
ков. Начните с белой (Б) десятиуголь-
ной звезды, подклеивая к ней показан-
ные ниже части, и закончите работу
обычным способом.
1	2	3	4	5	6
Ж	Б	О	К	С	Ж
С	Б	К	3	О	С
142
«2 Малый битригональный
додекоикосододекаэдр
Возможно, это один из самых заме-
чательных многогранников, ибо, хотя
он и имеет непосредственное отноше-
ние к звездчатым додекаэдрам, его
сумели найти только в текущем сто-
летии, а первая публикация об этом
появилась в 1954 году [18]. Трудно
представить себе, почему он не был от-
крыт ранее. Впрочем, и сами звездча-
тые додекаэдры не были известны до
Кеплера.
Многогранник можно представить
как итог следующего мысленного экс-
перимента. Возьмите усеченную форму
большого звездчатого додекаэдра. За-
полните промежутки между обрубками
пиков перевернутыми выпуклыми звез-
дами, отсеченными от тела большого
додекаэдра, и вы получите искомый
многогранник. Построить его модель
помогают описанные выше связи.
Возьмите 20 усеченных пирамид, со-
ставленных, как на рисунке. Их боко-
вые грани раскрашены, как грани пи-
ков большого звездчатого додекаэд-
ра. Оставьте наклейки наклонных ре-
бер несклеенными, только отогните
их внутрь: они образуют пазы, в кото-
рые войдут язычки (наклейки ребер
звезд). Треугольные грани раскраше-
ны в соответствии с первой икосаэд-
ральной таблицей.
Сделав это, тут же обнаружите, что
принцип раскраски карт нарушен, но
лишь внутри первого кольца из пяти
таких частей. Как только вы склеите
их в кольцо, в его середине появится
место, которое займет первая телесная
звезда. Раскраска этих звезд повторяет
раскраску большого додекаэдра.
Возьмите по два равнобедренных
треугольника с углом при основа-
нии 36° и подклейте каждый из них
1	2	3	4
Ж	Ж	3	С
с	с	ж	о
о	о	с	к
к коз
3	3	к	ж
143
боковой стороной к одной стороне лу-
ча пентаграммы. Соедините их по два
и выверните наружу наклейки вдоль
длинных сторон, так чтобы они обра-
зовали язычок. Свободные короткие
стороны склеиваются наклейками
внутрь звезды.
Полученная звезда отличается от
обычной телесной звезды лишь нали-
чием язычков, образующих нервюры
вдоль выступающих ребер звезды. Те-
перь ее несложно поместить в центр
кольца, вставив каждый из пяти языч-
ков в пазы, которые образуют наклейки
боковых ребер усеченных пирамид
кольца. Белая (Б) пятиугольная звез-
да — основание телесной звездчатой
пирамиды — должна лежать в плос-
кости, под которой проходит парал-
лельная ей плоскость десятиугольной
грани тела. Окрашенные в белый цвет
части этой грани будут появляться по-
переменно то с одной, то с другой сто-
роны ее поверхности. Это легко вы-
является в процессе работы. Модель
очень прочна, жестка и интересна.
83 Икосододекододекаэдр
Этот многогранник во многом схож
с моделью 76, с той лишь разницей, что
роль квадратных граней берут на себя
шестиугольные. Это меняет очертания
выемок и придает модели большую
красоту, а также дополнительную жест-
кость. Но, начав ее построение, вы
немало удивитесь тому обстоятель-
ству, что, несмотря на сложную и за-
путанную конструкцию, работать над
моделью довольно легко. Чтобы уп-
ростить построение модели, разобьем
последовательность наших действий
на четыре этапа. Начнем с телесных
звезд, называемых далее частями I.
Возьмите правильную пятиконечную
звезду и к ее лучам подклейте тре-
угольные заготовки, по форме совпа-
дающие с треугольниками на шести-
угольных гранях. Наклейки самых
длинных сторон треугольника вывер-
ните наружу, соединив их в нервюры,
идущие вдоль наклонных ребер из
центра звезды. Так образуется невы-
сокая звездчатая пирамида — часть I
нашей модели. На соответствующем
рисунке вы найдете план ее склейки и
таблицу раскраски шести таких звезд.
Часть II имеет форму клина или от-
крытой трехгранной чаши. Ее четырех-
угольные грани лежат в плоскости
шестиугольника, а треугольник при-
надлежит пятиугольной грани тела.
Ниже приведена таблица раскраски
частей II.
10 -731
145
Часть I
Часть Ш
Звезда 12345678 9 10
(0) БЖЗСЖОСКОЗК
(I) ЖСЗЖСКЖОКЗО
(2) С ОЖСОЗСКЗЖК
(3) О КСОКЖОЗЖСЗ
(4) К ЗОКЗСКЖСОЖ
(5)	3 ЖКЗЖОЗСОКС
1	2	1
(0)	3	о	ж
(1)	ж	3	к
(2)	С	Ж	3
(3)	о	с	ж
(4)	К	О	С
(5)	3	К	О
2	12	1
к	с	з	О
с	о	ж	3
о	к	с	ж
к	3	о	с
3	ж	к	о
ж	с	3	к
2	12 3
Ж К с Б
К С О Ж
3 о к с
Ж К з о
с 3 ж к
О Ж с 3
Теперь к каждой звезде — части I —
следует подклеить пятерки частей II,
окружив ими звезду. Каждая чаша со-
единяется со звездой так; что ее острый
угол, образованный двумя самыми
длинными свободными ребрами, при-
ходит в вершину звездчатой пирамиды,
а наклейки этих ребер подклеиваются
к язычкам — нервюрам двух соседних
лучей звезды. Работу существенно об-
легчают зажимы. На этом этапе про-
изводится склейка типа «язычок в паз»,
но технология ее несколько меняется.
Именно это изменение способа соеди-
нения частей и делает модель удиви-
тельно простой в изготовлении.
Полученная конструкция из части I
и пяти частей II образует одну секцию
модели. Вся модель состоит из 12 та-
ких секций. Они соединяются между
собой посредством частей III, служа-
щих в качестве связок. Части III —
это те же двухцветные ромбы, что и в
модели 76. Их положение на модели
легко определяется. Наконец, послед-
ними подклеиваются 20 малых трех-
гранных выемок — частей IV. Они за-
крывают имеющиеся на модели тре-
угольные отверстия, образованные сто-
ронами треугольных граней соседних
частей II. Распределение их окраски
легко уяснить из условия одноцвет-
ности каждой шестиугольной грани.
Вы, быть может, обратите внимание
на то, что и здесь нарушен основной
принцип раскраски карт. Обнаружить
это не так просто, но все же можно счи-
тать это определенным недостатком.
И хотя описанная выше раскраска впол-
не удовлетворительна, вы, возможно,
сами захотите отыскать иную, с боль-
шим числом цветов, чтобы устранить
указанный недостаток и получить же-
лаемый эффект.
Модель состоит из большого числа
частей, соединение которых займет
много времени. И здесь вам снова
предоставляется возможность про-
явить инициативу — вы вправе приду-
мать иные заготовки, содержащие
больше частей, чем мы вам предлага-
ем, и тем самым облегчить свой труд.
Вы сами должны решить, какая из
полученных моделей вам нравится
больше. Но как бы то ни было, бес-
спорно одно: эта модель принадлежит
к числу наиболее удовлетворяющих
нас с точки зрения простоты изготов-
ления сложной на вид конструкции.
Разумеется, говоря о простоте и лег-
кости построения модели, мы имеем
в виду лишь легкость соединения ее
частей, но отнюдь не усилия, связан-
ные с изготовлением модели. И нако-
нец, последнее замечание: полученная
модель конструктивно весьма жестка.
146
84 Икосододекоусеченный
икосододекаэдр
Изображенный на фотографии мно-
гогранник относится к семейству ико-
саэдра в том же смысле, в каком мно-
гогранник 79 входил в семейство окта-
эдра. Поэтому и технология изготов-
ления его модели та же. Чтобы по-
строить модель, надо вклеить попере-
менно между лучами десятиугольных
звезд (декаграмм) заранее подготов-
ленные в соответствии с приведенной
схемой раскраски мелкие треугольные
части и двугранные желобки.
Первыми пятью чашами окружите
белую (Б) звезду, используя желобки
в качестве связок между соседними
чашами. Первые пять желобков, исхо-
дящие из промежутков между лучами
звезды в радиальных направлениях,
направлены чуть вниз по отношению
к плоскости звезды. К их краям вам
предстоит подклеить следующие пять
звезд. При этом желтая (Ж) звезда
занимает место в точности над двумя
уже видимыми желтыми (Ж) частями
соответствующей десятиугольной гра-
ни, а остальные звезды следуют в
обычном порядке по кругу. Добавьте
набор треугольных чаш: чаша (6)
под (1) и т. д. Цвета граней следующе-
го набора желобков задаются раскрас-
кой оснований чаш. Та же процедура
выполняется и по отношению к после-
дующим желобкам. Здесь, как и в
предыдущих моделях, нарушается
принцип раскраски карт, но это нару-
шение характерно для тех случаев,
когда для одной модели используется
как додекаэдральная, так и икосаэд-
ральная раскраски. В рассматриваемом
10*
147
случае мы исходим из второй таблицы
раскраски икосаэдра.
Для завершения модели все осталь-
ные части следует раскрасить энантио-
морфно по отношению к указанным в
таблицах. Подклеивание многочислен-
ных ребер декаграмм — процесс дли-
тельный и кропотливый, он потребует
от вас определенного упорства. Если
вы решите выбрать линейные размеры
модели достаточно большими, что об-
легчает склейку частей, то следует до-
полнительно усилить сами звезды, ины-
ми словами, применить для их изго-
товления более толстый картон.
1	2	3	4
(1) Ж БОК
(2)	С	Б	К	3
(3)	О	Б	3	Ж
(4)	К	Б	Ж	С
.(5)	3	Б	С	О
(6)	С	Ж	К	О
(7)	О	С	3	К
(8)	К	О	Ж	3
(9)	3	К	С	Ж
(10)	Ж	3	О	С
1 2
(1)	Ж 3
(2)	С Ж
(3)	О С
(4)	К О
(5)	3 К
(6)	О с
(7)	К О
(8)	3 К
(9)	Ж 3
(10)	С ж
(11)	к с
(12)	3 О
(13)	Ж К
(14)	С 3
(15)	О Ж
85 Квази ромбокубооктаэдр
Этот многогранник во многом схо-
ден с моделью 77. Восьмиугольные
звездчатые грани этой модели в нашем
случае изымаются полностью, оста-
ются только их ребра. Вместо граней
появляются глубокие выемки и впа-
дины. Многогранник содержит два ти-
па пересекающихся квадратных гра-
ней. Если обратиться к раскраске угло-
вых впадин и треугольников, приме-
ненной ранее в модели 77, то она и на
сей раз приведет к эффектному рас-
пределению цветов. Однако в данном
случае с помощью пяти или даже шести
цветов не удастся соблюсти принцип
раскраски карт по причине слишком
большого числа пересекающихся квад-
ратных граней. Для построения много-
гранника требуется несколько частей,
поэтому его выполнение в цвете потре-
бует от вас изрядного упорства и на-
стойчивости. Быть может, целесооб-
разнее построить сначала одноцветную
модель, а затем рассмотреть, какие
варианты возможной раскраски она до-
пускает.
Ниже показаны необходимые заго-
товки и планы их соединения в отдель-
ные части модели. Буквами отмечены
места заготовок на планах частей. Для
149
начала вам потребуются шесть копий
части I, которая заполняет центр окта-
граммы. Не забудьте оставлять на-
клейки с каждой стороны. Пунктирные
линии указывают, что в этом месте за-
готовки надо перегнуть ребром вниз,
а не вверх, как обычно (для этой цели
предварительно нанесите бороздки на
ребрах с обратной стороны картона).
Часть И — заготовка для лучей звезд.
Их вам понадобится 24. Кроме того,
необходимо изготовить 8 угловых впа-
дин (часть III) и 12 желобков (часть IV).
Соединяйте между собой вначале ча-
сти I и II, а полученные секции связы-
вайте частями III и IV.
Часть I
Часть IV
86 Малый ромбогексаэдр
Этот многогранник представляет со-
бой иной вариант огранки ромбокубо-
октаэдра, весьма напоминающий мо-
дель 69. Вообразите, что треугольные
и квадратные грани модели 69 удале-
ны, а все выемки закрыты новыми
квадратами — перед вами искомый
многогранник. При изготовлении его
модели можно исходить из того же
набора открытых призм, что и раньше.
Тогда боковые грани треугольных пи-
рамид становятся гранями треуголь-
ных выемок. Естественно поэтому со-
хранить их прежнюю раскраску. Пер-
выми соединяются между собой откры-
тые призмы, образуя внутренний куб.
Возьмите 12 одноцветных квадратов —
красных (К) или зеленых (3) и подклей-
те каждый двумя противоположными
сторонами к ребрам открытых основа-
ний призм. В последнюю очередь при-
соединяйте трехгранные выемки. Нет
нужды указывать, как надо подрезать
и расположить выступающие с наруж-
ной поверхности выемки двойные на-
клейки, чтобы они не мешали соедине-
нию, — вы сообразите сами. Проделав
все, что положено, вы получите весьма
прочную модель1.
1 Обратите внимание на следующее обстоя-
тельство: как впадины, так и открытые призмы
надо в отличие от способа соединения в модели
69 склеивать, вывернув «наизнанку». Рекоменду-
ем каждую боковую грань открытых призм свя-
зывать одной наклейкой с поверхностью сосед-
них граней. Подобный метод можно применить
и к склейке впадин.
151
О/ Большой битригональный
и косододекаэдр
Этот многогранник, как и много-
гранник 70, — битригональный икосо-
додекаэдр, но в отличие от модели 70
пентаграммы отсутствуют. Их заме-
няют параллельные им пятиугольные
грани, проходящие через центр тела.
Внешними частями 20 треугольных
граней модели являются равносторон-
ние треугольники двух размеров, внеш-
ние части 12 пятиугольных граней —
равнобедренные треугольники, углы
при основании которых имеют 72°
и 36°. При выборе раскраски можно
руководствоваться раскраской моде-
ли 70.
Построение модели начните с изго-
товления пятигранной чаши. По форме
чаша совпадает с пятиугольной пира-
мидой модели малого звездчатого до-
декаэдра, но в данном случае пирамида
выворачивается наизнанку, так что со-
единенные наклейки образуют нервю-
ры вдоль ребер внешней поверхности
чаши. Схема раскраски та же, разница
только в том, что из-за «изнаночного
положения» окрашенных поверхностей
порядок цветов сменяется на энантио-
морфный.
Теперь, руководствуясь приведенной
ниже таблицей раскраски, приготовьте
5 трехгранных выемок. Их следует под-
клеивать к ребрам или краям пятигран-
ной чаши. На этой стадии работы полу-
ченная вами конструкция не будет ус-
тойчивой. Но когда вы положите ее на
стекло и посмотрите сквозь него, ва-
шему взгляду предстанет совершенная
пятиконечная звезда с великолепной
огранкой. Между ее лучами необходи-
мо вклеить пары равносторонних тре-
угольников, как мы делали при по-
строении модели 70. Благодаря этому
конструкция станет несколько жестче/
но все же советуем вам подкрепить
ребра звезды изнутри, иначе их можно
ненароком изломать1.
1 Для этой цели обклейте ребра изнутри по-
лосками картона, свернутыми углом. Можно так-
же разместить вдоль ребра кусок проволоки, при-
крепив его по всей длине липкой лентой.
152
Таблицы раскраски и схемы соеди-
нения частей всех шести ограненных
звезд приведены ниже.
Изготовив все звезды, свяжите их,
как в модели 70, парами равносторон-
них треугольников. Как и в случае
модели 70, вторая половина нашей мо-
дели энантиоморфна первой. Наруше-
ния принципа раскраски карт на модели
не будут бросаться в глаза. Но по-
скольку этот принцип здесь все же на-
рушен, пожалуй, проще не прибегать
к таблицам раскраски, а подбирать
цвета в процессе построения модели,
следуя собственному вкусу.
Чаша	(4)
12 3 4
Ж С О К
Б 3 О К
Б Ж К 3
Б С 3 Ж
Б О Ж С
Выемка
в лучах звезд
5
3
С
О
к
3
(5) Б К С О Ж
Выемки в лучах звезд
Пара
треугольников
6 7 8
(0) С Ж 3
О С Ж
КОС
3 к о
Ж 3 к
(1) 3 к с
О С Б
К К 3
6 7 8
(3) С Ж К
3КБ
Ж Ж С
К 3 3
Б О Ж
(4) О С 3
Ж 3 Б
С С О
С О О 3 Ж Ж
Ж К
3 о
О Б
3 Ж
К К
С 3
Б К С
(5) К О Ж
С Ж Б
О О К
Ж С С
Б 3 О
153
бб Большой
и косой косододекаэд р
Этот многогранник связан с мо-
делью 81. Их отличие сводится к тому,
что десятиугольные звезды модели 81
здесь удалены, хотя их ребра сохраня-
ются. Добавление шестиугольных гра-
ней привело к появлению сложноогра-
ненной поверхности на месте плоско-
сти каждой прежней звезды. К тому же
поверхность эта весьма замысловата.
Для изготовления каждой ограненной
звезды понадобится ни много ни мало
76 различных заготовок, и это не считая
частей, связывающих между собой раз-
ные звезды. Возможно, вам будет ин-
тересно узнать, что общее число частей
поверхности, этого многогранника, по-
рожденных всеми пересечениями трех
его правильных граней, достигает вну-
шительной цифры 1232. Поистине бли-
стательный вызов терпению и упор-
ству любого конструктора моделей!
Некоторые части столь малы, что в
целях удобства работы желательно де-
лать модель достаточно большой.
Модель нуждается в усилении ребер
декаграммы изнутри, чтобы в процессе
построения они не сломались1. Черте-
жи необходимых заготовок, планы их
соединения и полные таблицы раскрас-
ки модели приведены ниже. В белый (Б)
цвет окрашены все пятиугольные грани,
а частям шестиугольных и треугольных
1 См. примечание к стр. 152.
154
граней отданы остальные цвета — Ж,
С, О, К, 3.
Построение модели начните с части I.
План соединения заготовок показыва-
ет, что к ребрам соседних стенок чаши
надо подклеить дополнительные тре-
угольники. Часть II представляет со-
бой глубокую выемку, дно которой
образовано двумя очень маленькими
треугольниками. Ребра заготовок О
частей II присоединяются затем к сво-
бодным наклейкам заготовок 1, 2, 3,
4 и 5 части I. Впадины в лучах звезды
формируются частями III. Хотя очер-
тания двух соседних впадин симмет-
ричны, на плане их соединения показа-
ны обе двойственные формы, так как
раскраски их не энантиоморфны.
Свободные края 2 и 6 заготовок
части III нужно склеивать с краями 1 и 2
заготовок частей II. После этого оста-
ются небольшие треугольные отвер-
стия между парами лучей звезды и до-
полнительными треугольниками час-
тей I. Эти отверстия закрываются трех-
гранными выемками — частями IV. На
этом постройка ограненной десяти-
угольной звезды заканчивается. Для
полной модели потребуется 12 таких
звезд. Они соединяются между собой
посредством тех же выемок и желоб-
ков, что и в модели 81. Единственное
отличие сводится к тому, что в рас-
сматриваемой модели для всех частей
пятиугольных граней избран белый (Б)
цвет.
В таблице приведена раскраска пер-
вых шести декаграмм. Раскраска дру-
гой половины модели энантиоморфна.
Всего на построение модели вы затра-
тите около 30 часов. Если работать
систематически, то на изготовление
каждой ограненной звезды потребуется
около двух часов, так что все звезды
займут у вас примерно 24 часа. Еще
часов шесть пойдет на их соединение
посредством двугранных желобков и
угловых выемок.
Часть I
Часть II
155
Часть I
Часть II
Часть III
Часть IV
012345	01234
(0)	Б	Ж	С	О	К	3	Б 3 Ж Ж С
Б	Ж	С	С	О
Б	С	О	О	К
Б	О	К	К	3
Б	К	3	3	Ж
(1)	Б	С	Ж	К	О	3	БЗССЖ
Б	Ж	О	О	С
Б	С	К	К	О
Б	О	3	3	К
Б	К	Ж	Ж	3
(2)	Б	О	С	3	К	Ж	БЖО ОС
Б	С	К	К	О
БОЗ 3 К
Б	К	Ж	Ж	3
БЗССЖ
(З)БКОЖЗС Б СК	КО
БОЗ 3 К
Б К Ж Ж 3
БЗССЖ
(4) Б 3 К
(5) Б Ж 3
Б
С Ж О Б
Б
Б
, Б
Б
О С К Б
Ж О ОС
ОЗ 3 К
К Ж Ж 3
3 С С Ж
Ж О ОС
СК КО
К Ж Ж 3
БЗССЖ
БЖО ОС
Б С К К О
БОЗ 3 К
12 3 4
Б Ж К О
Б С 3 К
Б О Ж 3
Б К С Ж
Б 3 О С
Б С О К
Б О К 3
Б К 3 Ж
Б 3 С Ж
Б Ж С О
Б О К 3
Б К 3 Ж
Б 3 Ж С
Б Ж С О
Б С О К
Б К 3 Ж
Б 3 Ж С
Б Ж С О
Б С О К
Б О К 3
Б 3 Ж С
Б Ж С О
Б С О К
Б О К 3
Б К 3 Ж
Б Ж С О
Б С О К
Б О К 3
Б К 3 Ж
Б 3 Ж С
5 6 7 8
Б 3 Ж О
Б Ж С К
Б С О 3
Б О К Ж
Б К 3 С
Б 3 С К
Б Ж О 3
Б С К Ж
Б О 3 С
Б К Ж О
Б Ж О 3
Б С К Ж
Б О 3 С
Б К Ж О
Б 3 С К
Б С К Ж
Б О 3 С
Б К Ж О
Б 3 С К
Б Ж О 3
Б О 3 С
Б К Ж О
Б 3 С К
Б Ж О 3
Б С К Ж
Б К Ж О
Б 3 С К
Б Ж О 3
Б С К Ж
Б О 3 С
1 2 3
О 3 Ж
к ж с
3 С О
ж о к
С К 3
К 3 С
3 ж о
ЖСК
СОЗ
о к ж
3 ж о
ЖСК
СОЗ
о к ж
К 3 с
ЖСК
СОЗ
о к ж
К 3 с
3 ж о
СОЗ
о к ж
К 3 с
3 ж о
ЖСК
о к ж
К 3 С
3 ж о
ЖСК
СОЗ
3
89 Малый
и косогем и додекаэдр
Как и модель 91, эта модель пред-
ставляет собой ограненную форму ико-
сододекаэдра. Десятиугольные сечения
проходят непосредственно через центр
тела в его экваториальных плоскостях.
Поверхность многогранника содержит
глубокие пятигранные выемки — пира-
миды «наизнанку», вершины которых
сходятся в центре тела. Для каждой из
десятиугольных граней естественно из-
брать один цвет из следующих: Б, Ж,
С, О, К, 3. Тогда треугольные грани
раскрашиваются по обычной икосаэд-
ральной схеме в соответствии со вто-
рой таблицей раскраски икосаэдра.
Существует два способа построения
модели. Вы можете избрать технику
соединения «язычок в паз», отправля-
ясь от 20 треугольных пирамид. Пом-
ните, что эти пирамиды должны быть
раскрашены, как на модели большого
звездчатого додекаэдра. Но можно вос-
пользоваться и иной техникой соедине-
ния частей. В этом варианте наклейки
соседних граней пятигранной выемки
соединяются на ее внешней поверхно-
сти в нервюры. Раскраска граней вые-
мок повторяет раскраску малого
звездчатого додекаэдра. После соеди-
нения выемок подклеиваются треуголь-
ные грани.
Судя по всему, второй способ легче.
Впрочем, попробуйте оба и вынесите
свое собственное суждение. Построен-
ная модель должна быть весьма проч-
ной.
157
90 Малый додекоикосаэдр
Как и в случае многогранника 82,
публикация об этом многограннике
впервые появилась лишь в 1954 го-
ду [18]. На его поверхности мы видим
ограненные звезды, образованные пе-
ресечениями всего двух имеющихся
типов граней: шестиугольников и
десятиугольников. Модель выглядит
эффектно, если 20 шестиугольных
граней раскрасить по первой икосаэд-
ральной схеме, а все десятиугольные —
по схеме додекаэдра.
Построение следует начать с изго-
товления ограненных пятиугольных
звезд. Их центральные части представ-
ляют собой пятигранные выемки —
пирамиды «наизнанку», — раскрашен-
ные в соответствии с таблицей к
модели 20. В лучах звезд расположены
трехгранные выемки; гранями каждой
из них служат малый равносторонний
треугольник из шестиугольной грани
и два равнобедренных треугольника
из десятиугольной грани. Раскраска
равнобедренной грани выемки по-
вторяет раскраску той грани централь-
ной части, которая находится в одной
с ней плоскости. Равносторонние тре-
угольники в целом раскрашены в соот-
ветствии с раскраской соседних с ними
граней центральной части, но порядок
1 2345 6789 10
(0) Ж С О К 3 к з ж с о
(1) БЖКЗОКЖОСЗ
(2) (и т. д., в циклическом порядке вниз
по столбцам)
158
раскраски «запаздывает» по часовой
стрелке на две грани, как и показано
ниже1.
Лучи звезд связываются желобками,
образованными парами трапеций с
обычной раскраской. Неглубокие трех-
гранные чаши заполняют треугольные
отверстия между желобками, их верши-
ны приходятся в вершины звезд. Боко-
вые грани чаш являются продолжения-
ми граней лучей звезд, так что их рас-
краску нетрудно определить. При-
1 Это значит, что в таблице раскраски стро-
ка для 6, 7 и т. д. образуется из строки для 1, 2
и т. д. путем циклической перестановки, начиная
с 4. Например, если цвета пёрвых пяти были Ж,
С, О, К, 3, то цвета последующих идут по кругу,
начиная с К: К, 3, Ж, С, О.
соединяя пять последующих огранен-
ных звезд, вы обнаружите, что, напри-
мер, желтая (Ж) шестиугольная грань
имеет одно общее ребро с желтой
десятиугольной гранью, синяя (С) —с
синей и т. д. Впрочем, такое нарушение
принципа раскраски карт не слишком
портит внешний вид модели.
Остаток модели следует обычной
циклической перестановке цветов, бла-
годаря чему противоположные части
получают энантиоморфную раскрас-
ку. Надо полагать, теперь вы в состоя-
нии завершить работу самостоятельно.
Заметьте только, что ограненные
звезды недостаточно прочны, поэто-
му их следует укрепить изнутри.
Впрочем, если модель невелика, без
этого можно обойтись.
уI Малый
додекогем и додекаэдр
Выше уже упоминались отношения,
в которых находится этот многогран-
ник к модели 89 и к икосододекаэдру.
Треугольные отверстия на его поверх-
ности закрыты выемками — трехгран-
ными пирамидами с вершинами в
центре тела.
Для построения модели лучше все-
го использовать технику попарного сое-
динения наклеек в нервюры на внешних
поверхностях трехгранных пирамид-
выемок. Потребуется 20 таких вые-
мок, аналогичных пикам большого
звездчатого додекаэдра 22. Начните
с соединения в кольцо первых пяти та-
ких пирамид и добавьте белый (Б) пяти-
угольник, который послужит основани-
ем конструкции. Аналогично выгля-
дит и остальная часть модели. Пяти-
угольные грани лежат в плоскостях,
параллельных плоскостям десяти-
угольных граней, поэтому их следует
окрасить в тот же цвет. Завершить по-
строение будет несложно, если вы по-
ставите перед собой модель 89 и вспом-
ните, что роль треугольников той
модели здесь играют пятиугольные
грани. Полученная модель окажется
весьма прочной.
160
92 Квазиусеченный
гексаэдр
Многогранник представляет собой
квазиусеченный куб. Шесть его окта-
грамм лежат на гранях внутреннего ку-
ба. Они имеют общие ребра с восемью
треугольными гранями, пересекающи-
ми куб. Вы получите вполне приемле-
мую раскраску, если тремя цветами ок-
расите пары параллельных октаграмм,
а остальные два цвета оставите для всех
Треугольных граней. Построение мо-
дели сводится к соединению показан-
ных ниже частей.
Часть Г образует четырехугольную
чашу с квадратным основанием и
заостренными боковыми гранями.
Часть II представляет собой четы-
рехугольную коробку без нижнего и
верхнего оснований, причем нижние
края коробки прямые, а верхние зазуб-
рены. К зазубренному краю части II
подклеиваются части I, образуя свое-
образную корону с отсутствующим
квадратным основанием. Полная мо-
дель состоит из шести таких корон; рас-
краска трех из них приведена ниже, а
остальные три им энантиоморфны.
Часть II
12 3 4
Ж С Ж С
ж о ж о
о с о с
И-731
161
Перед соединением частей I и II
убедитесь, что они расположены по
отношению друг к другу должным об-
разом, тогда цвета граней будут пра-
вильно распределены. Процесс склеи-
вания весьма облегчается тем, что
двугранные углы при соединяемых реб-
рах получаются острыми.
Построенная модель достаточно
прочна и внешне привлекательна.
93 Квазиусеченный
кубооктаэдр
Шесть октаграмм этого много-
гранника лежат на гранях правильного
октаэдра. 12 квадратных граней пере-
секаются по три, формируя края 8 трех-
гранных впадин, глубоко проникающих
в нутро тела. Боковые грани и основа-
ния впадин образованы пересечением
шестиугольных граней тела. По этой
причине боковые грани впадин совпа-
дают с гранями усеченной Stella octangu-
la, а основания лежат на поверхности
внутреннего правильного октаэдра.
Отсюда вытекает следующий способ
построения модели.
Начать следует с изготовления
показанных ниже усеченных пирамид
(часть I). Поскольку пирамиды суть
не что иное, как упомянутые выше впа-
дины, выверните все наклейки наружу.
Если модель не превышает обычных
размеров, то внутрь впадин свет почти
не попадет. Поэтому все их грани мож-
но оставить белыми (Б). Двойные на-
клейки на основаниях впадин позволят
вам соединить их, образуя внутренний
октаэдр. Только после этого переходи-
те к изготовлению частей II. Часть II
содержит центральную долю квад-
ратных граней, которая может быть
Ж, С, О или К, и два боковых крыла —
белых (Б), ибо они лежат в шестиуголь-
ных гранях. Эти части можно подкле-
ить короткими ребрами к краям тре-
угольных отверстий частей I.
Теперь вы получаете возможность
сделать вторую четверку частей II, по
цвету парную первой. Третья четверка
Часть I
163
частей П образует экваториальный
пояс квадратных граней. Наконец,
пары треугольников, принадлежащих
углам квадратных граней, подклеи-
ваются между лучами октаграммы
(через одну). Правильную раскраску
этих частей нетрудно определить из са-
мой модели. Как желобки, так и
октаграммы легко приклеить на поло-
женные места. Очень острые выступаю-
щие части конструкции весьма упро-
щают эту работу, хотя, как и прежде,
ребра следует подклеивать друг за дру-
гом.
Так получается очень прочная мо-
дель, 'что связано и с ее довольно слож-
ной внутренней структурой. Чтобы
наружные части легко встали на свои
места, следует чрезвычайно внима-
тельно работать внутри модели. Инте-
ресно отметить, что, как правило, не-
искушенные люди даже не замечают
ни отверстий на поверхности модели,
ни структуры самих впадин.
94 Большой
и косододекаэдр
Изображенный на фотографии
многогранник называется большим
икосо до декаэдром, поскольку 20 его
треугольных и 12 звездчатых пяти-
угольных граней лежат на подобных
им гранях икосододекаэдра, но вмес-
те с тем он не является звездчатой фор-
мой икосододекаэдра. Приемлемую
раскраску модели можно получить,
придав всем пентаграммам белый (Б)
цвет, а все треугольные грани раскра-
сив согласно обычной икосаэдраль-
ной схеме.
Построение модели начните с
изготовления чаш, у которых боковые
грани принадлежат пяти пересекаю-
щимся треугольным граням, а в
основаниях лежат малые пятиуголь-
ники из звездчатых граней. Сделав
это, подготовьте тройки белых (Б)
заготовок — лучей звезды — и соеди-
ните их вместе, образуя трехгранную
выемку с заостренными гранями
(см. рисунок). Выемки служат связка-
ми между пятигранными чашами.
Таким способом получают одну по-
ловину модели, вторая ее половина
энантиоморфна первой. Построенная
модель весьма декоративна и конструк-
тивно очень жестка.
0	1	2	3	4	5
Б	Ж	С	О	К	3
Б	Ж	С	3	О	К
Б С О Ж К 3
Б	С)	К	С	3	Ж
БК 3 О Ж С
Б	3	Ж	К	С	О
165
95 Усеченный большой
икосаэдр
Многогранник представляет собой
усеченный вариант большого икоса-
эдра 41, поэтому для построения мож-
но воспользоваться раскраской по-
следнего. В этом многограннике место
треугольных граней занимают шести-
угольные и метод соединения частей
модели существенно не меняется.
Все пентаграммы удобно сделать
белого (Б) цвета.
Начните с белой (Б) звезды и на-
клейте между ее лучами части, пока-
занные ниже. Придерживайтесь то-
го же парного распределения цветов,
что и в таблице раскраски модели 41.
После присоединения равнобедрен-
ных треугольников вы получите одну
часть модели: она напоминает пяти-
угольный поднос, на котором возвы-
шается пирог в форме звезды. Анало-
гично подготавливаются еще пять
таких частей, каждая с белой (Б) звез-
‘ дой. Подклейте их друг к другу спосо-
бом, к которому прибегали при пост-
роении модели большого икосаэдра.
При раскраске модели можно
руководствоваться и иными сообра-
жениями, окрашивая звезды в соот-
ветствии со схемой додекаэдра. Тогда,
если противоположные звезды будут
одноцветными, вам потребуется всего
шесть цветов. Но при этом каждая
звезда непременно будет иметь общее
ребро с частью шестиугольной грани,
окрашенной в тот же цвет. Это обсто-
ятельство не умалит красоты модели,
так как одноцветные грани образуют
при этом ребре острый угол, чуть
меньший 90°
166
96 Ромбом косаэдр
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1
Ж
Ж
с
о
к
3
Часть I
Рассматриваемый многогранник
тесно связан с моделями 76 и 83. Все
они содержат одно и то же множество
из 30 пересекающихся скошенных квад-
ратов, образующих экваториальные
пояса. Но в данном случае шестиуголь-
ные грани занимают место пятиуголь-
ных, так что плоские звезды становятся
ограненными. Кроме того, прямо над
средними частями квадратных граней
появляются неглубокие чаши, дно
которых лежит на этих же гранях, а
боковые грани, глубоко уходящие в те-
ло многогранника, образованы че-
тырьмя
Вполне
модели,
имела бы свой цвет, сопряжено с боль-
шой и очень утомительной работой.
Поэтому предлагаемый нами способ
сводится к тому, что в разные цвета
окрашиваются лишь квадраты и внеш-
ние поверхности шестиугольных гра-
ней. Это позволяет получить весьма
привлекательную модель, а расхожде-
ние в окраске может заметить лишь
предупрежденный человек, ибо непра-
вильно "окрашиваются недоступ- *
ные глазу внутренние поверхности
сильно наклоненных выступающих
частей. Быть может, вы сочтете утоми-
тельным и этот способ из-за большого
числа соединяемых в модели частей.
Что ж, в таком случае построение пред-
лагаемой модели явится испытанием
ваших настойчивости и терпения.
Начните работу с изготовления
ограненной звезды, план построения
которой показан на рисунке. Цент-
ральная часть каждой звезды представ-
ляет собой чашу, составленную из
пяти равносторонних треугольников.
Для раскраски граней чаш следуйте
первой икосаэдральной таблице. В про-
шестиугольными гранями,
вероятно, что построение
в которой каждая грань
2
с
к
3
ж
с
о
3
О
О
к
3
ж
4
К
3
ж
с
о
к
5
3
с
о
к
3
ж
6
к
3
ж
о
к
7
3
о
к
3
ж
с
8
ж
Б
Б
Б
Б
Б
9
ж
с
о
к
3
10-
о
к
3
ж
с
о
167
цессе работы к краям чаши подклеи-
ваются равнобедренные треугольни-
ки, лежащие в квадратных гранях
модели. Таблица раскраски приво-
дится выше.
После соединения 10 заготовок не
составляет труда приклеить пары ту-
поугольных треугольников и тем
самым образовать выемки в лучах
звезды. Треугольники лежат в тех же
плоскостях, что и боковые стенки
центральной чаши звезды. Поэтому
их раскраску легко определить по
соседним уже подклеенным частям
тех же плоскостей. Поскольку пост-
роенная ограненная звезда не будет
достаточно жесткой, ее следует уси-
лить изнутри. С этой целью между
лучами звезды вклеиваются показан-
ные ниже части II. Их раскраска,
несмотря на некоторую разницу, пов-
торяет раскраску аналогичных час-
тей модели 76. Вы, несомненно, об-
ратили внимание на маленький тре-
угольник, присоединенный к корот-
кому ребру части II. Он представляет
собой крохотный кусок внутренней
поверхности шестиугольной грани,
и потому вовсе не обязательно, чтобы
его цвет повторял цвет внешней поверх-
ности этой же грани. Зато соединение
частей существенно облегчается, если
не приклеивать его отдельно, но вы-
резать сразу вместе с четырехугольни-
ком, с которым он связан.
Часть III также удобнее вырезать
как одну заготовку. Вам потребуется
30 таких частей, по пяти каждого из
цветов — Б, Ж, С, О, К, 3. Эти части
образуют неглубокие чаши с сильно
наклоненными стенками, поверхности
которых практически невидимы. Под-
клейте пять таких частей между пара-
ми соседних частей II. Расцветку опре-
деляйте исходя из цветов углов квад-
рата, образованных частями II.
Выполнив все указанное выше,
продолжите изготовление ограненных
звезд. К каждой из них подклейте пять
частей II, а затем, пользуясь частями
III в качестве связок, соединяйте их
между собой. Конструкция содержит
малые треугольные отверстия, края
которых образованы тройками ко-
ротких ребер частей II. В самом конце
работы они закрываются впадинами
(часть IV), грани которых лежат в квад-
ратных сечениях. Эти части лучше
всего вырезать без лишних наклеек
(чтобы они не мешали установке час-
тей на места). Расцветку граней нетруд-
но определить из расцветки соот-
ветствующих квадратов. В результа-
те вы изготовите красивую и проч-
ную модель, заслуживающую упо-
минания ввиду ее сложности.
Часть Л
Часть IV
168
97 Квазиусеченный
звездчатый додекаэдр
Этот многогранник представляет
собой квазиусеченную форму малого
звездчатого додекаэдра. Модель лег-
ко строится соединениями 12 частей,
ребра оснований которых совпадают
с ребрами додекаэдра. Раскраска
модели совпадает с обычной шести-
цветной раскраской додекаэдра. Таб-
лица раскраски представлена ниже.
Вершинные ребра заготовок 6, 7, 8,
9 и 10 подклеиваются к ребрам 1, 2,
3, 4 и 5. Полученная часть имеет край
в форме пятиугольника. Наклейки
на сторонах этих пятиугольников —
основания соседних частей — соеди-
няются между собой, как если бы пяти-
угольники были гранями додекаэдра.
Запомните, что заготовки 1 и 6, 2 и 7
и т. д. лежат в параллельных плос-
костях, образуя видимые части дека-
грамм и пентаграмм. Построенная
модель не только привлекательна
внешне, но и прочна.
169
98
Квазиусеченный
додекаэдр
Этот многогранник находится в
том же отношении к большому звезд-
чатому додекаэдру, что и модель 88
к звездчатому октаэдру. В данном
случае октаграммы заменены дека-
граммами. В отличие от 12 квадрат-
ных граней в модели 88 в нашем много-
граннике 30 квадратных граней, пере-
секающихся по три. Эти пересечения
формируют края 20 трехгранных
выемок, глубоко проникающих в
тело модели. Грани выемок образуют-
ся пересечением десятиугольных гра-
ней.
Простейший способ раскраски мо-
дели сводится к использованию всего
трех цветов — по одному для каждо-
го типа граней. Начните построение
так же, как вы делали это с моделью
88, где строили внутренние усеченные
части звездчатого октаэдра. Построй-
те усеченные пики большого звезд-
чатого додекаэдра, которые образуют
стенки глубоких впадин. Но в нашей
модели донца этих впадин не плоские;
они совпадают с элементами поверх-
ности большого додекаэдра. По-
скольку все грани и дно впадины могут
быть одноцветными, то можно ис-
пользовать одну заготовку для всей
внутренности впадин (часть I). Для
удобства склеивания частей не за-
будьте отогнуть наружу все соеди-
няемые наклейки. Лучше, если, при-
ступая к работе, вы изготовите все 20
требуемых частей I.
Сделав это, переходите к изго-
товлению частей II, план соединения
которых представлен на рисунке.
Часть II содержит внутреннюю до-
лю квадратной грани и два крыла по
ее бокам. При этом для внутренних
частей следует избрать второй цвет, а
крылья можно сделать одного цвета
170
с частями I. Части II затем подклеи-
ваются как мостики, связывающие от-
верстия между собой. В последнюю
очередь присоединяются декаграммы
и двугранные желобки с треугольны-
ми гранями, лежащими в квадрат-
ных сечениях тела. Желобки соеди-
няют попарно лучи звезды, как и в мо-
дели 88. Большой наклон крыльев час-
тей II облегчает подклеивание дека-
грамм, хотя, надо признаться, процесс
этот трудоемок из-за большого числа
ребер звезды. Если же вы все-таки про-
явите упорство и доведете дело до кон-
ца, то получите прочную и красивую
модель.
Часть II
99 Большой
додекоикосододекаэдр
Эта модель особенно хороша в цве-
те благодаря легко различимым че-
канным телесным звездам, выступаю-
щим из десятиугольных звездчатых
граней. Ее легко построить, придержи-
ваясь обычной техники соединения
частей. Гранями части I служат заго-
товки, форма которых напоминает на-
шивки на погонах. Эти грани образуют
трехгранную впадину; раскраска впа-
дин следует схеме модели большого
додекаэдра 21, к которой вы имеете
возможность обратиться в случае
надобности. Заготовки для частей II —
лучи пентаграммы. Они служат* в
качестве связок для частей I. Части II
следует подклеивать таким образом,
чтобы над одной гранью части I и па-
раллельно ей лежал луч того же цвета.
Часть III образует розетку, грани ко-
торой — ромбы из треугольных гра-
ней многогранника. Раскраска этих
частей следует первой таблице рас-
краски икосаэдра.
Склеив между собой попеременно
пять частей I и II, вы образуете кольцо.
Отверстие в его центре надо сразу же
закрыть первой розеткой. После этого
не составит труда определить раскрас-
ку остальных частей II, исходя из одно-
цветности параллельных граней. При
склейке розеток необходимо следить
за цветами треугольных граней.
Часть /
Часть //
Часть ш
1
1
172
1 00 Малый
додекогем и и косаэдр
Поверхность этого многогранни-
ка составляют 12 пентаграмм, лежа-
щих в гранях додекаэдра, и 10 эква-
ториальных шестиугольных граней,
центры которых совпадают с центром
тела. Модель связана с моделью 73,
выемки которой на сей раз заменяют-
ся глубокими шестиугольными впа-
динами — пирамидами «наизнанку».
Эти впадины можно рассматривать
как 12 вершинных частей большого
икосаэдра, вывернутых наизнанку и
вдавленных в тело модели. Пред-
лагаемая раскраска удачно иллюст-
рирует важнейшее свойство симмет-
рии многогранников, связанное с
порождением сферических луночек.
Отогните все наклейки так, чтобы
вдоль ребер частей образовались нер-
вюры. Сами части соединяются сле-
дующим образом: наклейки одной
приклеиваются к поверхности дру-
гой, а ребра соединяемых частей
совпадают. По мере необходимости
к конструкции подклеиваются белые
(Б) пентаграммы. Как обычно, вы
пользуетесь л энантиоморфизмом час-
тей модели, поэтому их соединение не
составит никаких трудностей.
Полученная модель оказывается
весьма жесткой. Однако необходимо
подклеивать пентаграммы с осторож-
ностью и следить за тем, чтобы каж-
дая из них находилась на своем месте.
Конечный результат также зависит
от того, как аккуратно вы
впадины модели.
склеивали
Ж
Ж
О
О
О
К
3
к
3
ж
к
3
ж
с
о
к
3
ж
3
ж
с
о
к
о
к
3
ж
о
к
3
о
к
3
ж
3
ж
6
3
ж
о
к
3
ж
о
к
о
к
ж
с
о
к
3
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(3)
(4)
173
101 Большой
додекоикосаэдр
Этот многогранник во всем по-
добен модели 81, за исключением того,
что выемки и желобки последнего за-
менены здесь более глубокими девя-
тигранными и трехгранными выем-
ками. При построении этой модели
можно воспользоваться обычными
додекаэдральной и икосаэдральной
раскрасками. Модель строится соеди-
нением показанных ниже частей. Они
попеременно подклеиваются между лу-
чами звезд и выполняют роль связок
между звездами.
Вам не составит труда определить
положение частей II, если вы внима-
тельно проследите за долями пере-
секающихся шестиугольных граней —
каждая из них окрашена в свой цвет.
Вы также заметите, что последние
внутренние наклейки частей II можно
не склеивать, достаточно
их друг к другу.
приложить
Часть I
Часть И
123	4567	89
(1)	С Ж К	с с	з ж	з ж
(2)	О С 3	ООЖС	же
(3)	кож	кк	со	со
(4)	ЗКС	33	ОК	ОК
(5)	Ж 3 О Ж Ж К 3 КЗ
(6)СОЖСЗ ок ск
(7)	ОКС	ОЖ	КЗ ОЗ
(8)	К 3 О	К С	ЗЖКЖ
(9)	ЗЖК	30	ЖС ЗС
(10)	жезжк	сожо
12 3 4
(1) Ж 3 ж к
(2) С Ж С 3
(3) о с о ж
(4) К О К С
(5) 3 К 3 О
(6) Ж 3 ж о
(7) С Ж С К
(8) О С О 3
(9) К О К Ж
(10) 3 К 3 С
(11) С 3 О Ж
(12) О Ж К С
(13) К С 3 О
(14) 3 О Ж К
(15) Ж К С 3
Часть II
174

102 Большой
додекогемиикосаэдр
Рассматриваемый многогранник
представляет собой ограненный ва-
риант додекододекаэдра. Поверхнос-
ти ограненных звезд образованы
пересечением пятиугольных и шести-
угольных граней, легко различимых
на модели. При этом шестиугольные
грани занимают то же положение, что
и в модели 100. Построение модели
начните с изготовления ограненных
звезд, руководствуясь схемой и таб-
лицей раскраски, приведенными ниже.
Схема соединения частей пока-
зывает лишь их взаимное располо-
жение. Что же касается порядка со-
единения частей звезды, то вам пред-
стоит определить его самостоятель-
но. Обратите внимание на то, что
у каждой звезды части 0, 6, 7, 8, 9 и 10
принадлежат пятиугольным граням,
а все остальные — шестиугольным.
Соседние ограненные звезды соеди-
няются между собой трехгранными
выемками, как и в модели додекодо-
‘ декаэдра 73. Несмотря на сложную
структуру, эта весьма декоративная мо-
дель отличается прочностью и не
требует подкрепления
изнутри.
0	1 2 3 4 5
(0)	Б	Ж	С	О	К	3
(1)	Ж	Ж	С	3	С	3
(2)	С	С	О	Ж	О	Ж
(3)	О	О	К	С	К	С
(4)	К	К	3	О	3	О
(5)	3	3	Ж	К	Ж	К
6	7	8	9	10	И 12
Ж	С	О	К	3	со
Б	3	О	К	С	С 3
Б	Ж	К	3	О	О Ж
Б	С	3	Ж	К	КС
Б	О	Ж	С	3	3 0
Б К С О Ж Ж К
13 14 15 16 17 18 19 20
кзж зжсок
сзж зжсзж
ожс жсожс
ксо соксо
зок окзок
жкз кзжкз

176
103 Большой ромбогексаэдр
Этот многогранник имеет прямое
отношение к модели 77, но четырех-
гранные выемки и двугранные же?
лобки многогранника Т1 в нем заме-
нены более глубокими девятигран-
ными чашами и четырехгранными же-
лобками. Для раскраски восьмиуголь-
ных звезд достаточно взять три цвета
с тем, чтобы противоположные звезды
были одноцветными. Остальные грани
звездчатого многогранника представ-
ляют собой квадраты, пересекающиеся
внутри тела. Поскольку квадратов ров-
но 12, их можно раскрасить-шестью
цветами так, что параллельные квад-
раты окажутся одноцветными. Прав-
да, при этом желтый (Ж) квадрат и
желтая (Ж) восьмиугольная-звезда бу-
дут иметь по крайней мере одно общее
ребро. То же произойдет и со звездами
другого цвета. Однако на законченной
модели указанное нарушение основно-
го принципа раскраски карт практиче-
ски незаметно, ибо одноцветные грани
сходятся под очень острым углом.
12 731
177
Построение модели лучше всего
начать с изготовления чаш и желоб-
ков, которые попеременно подклеи-
ваются между лучами восьмиугольной
звезды. Обратите внимание: сосед-
ние чаши и желобки соприкасаются
ребрами. Однако двойные наклейки
у ребер необходимо только соединить
внутри тела, но не склеивать между со-
бой.
Вы без труда определите пра-
вильное расположение частей, если
будете исходить из того, что части
одной квадратной грани должны
быть одноцветными. На рисунке
представлены схемы соединения и
таблицы раскраски тех частей, кото-
рые присоединяются к желтой (Ж)
исходной восьмиугольной звезде. Как*
только эти части займут свои места,
можно заняться подклеиванием сле-
дующих четырех октаграмм: О, С,
О и С. Они в свою очередь окружаются
чашами и желобками, расцветка кото-
рых энантиоморфна. Не забывайте
об одноцветной окраске квадратных
граней. Последней подклеивается вто-
рая желтая (Ж) октаграмма. При ее
присоединении пользуйтесь обычной
техникой последовательной склейки
ребер.
Углубленные замысловатые чаши
и желобки рассматриваемой модели
делают ее весьма эффектной и выгодно
отличают от более скромной мо-
дели 77.
123	456	789
(1) Ж О С	3 Б К	ЗБК
(2) С Б К Ж О 3	Ж О 3
(З)КОЗ	СБЖ СБЖ
(4) 3 Б Ж	КОС	КОС
Часть II
12 3 4
(1)	Ж	О	Б	К
(2)	С	Б	О	3
(3)	К	О	Б	Ж
(4)	3	Б	О	С
104 Квазиусеченный большой
звездчатый додекаэдр
Этот многогранник представляет
собой квазиусеченный вариант боль-
шого звездчатого додекаэдра. Лучи
последнего в этом случае отсекаются
почти у самого их основания плоскос-
тями треугольных граней, так что
звездчатые пятиугольные грани ста-
новятся десятиугольными. В итоге
части секущих граней образуют тр'ех-
гранные выемки, сверху замыкающие
усеченные пирамиды.
Изготовление модели следует на-
чать со склеивания исходных усечен-
ных пирамид. Заготовка для их боко-
вых граней показана ниже. Раскраска
граней следует раскраске граней боль-
шого звездчатого додекаэдра 22,
поэтому рекомендуем обратиться к
приведенной в его описании таблице.
Трехгранные впадины получают при
этом обычную икосаэдральную рас-
краску (ее таблица приводится в
правой части рисунка). Поскольку рас-
краска противоположных впадин ока-
зывается неэнантиоморфной, мы поме-
щаем по л ну to таблицу раскраски.
Внимательно следите за правиль-
ностью расположения впадин по
отношению к боковым граням соот-
ветствующих пирамид. Желтую грань
впадины (1) подклеивайте между си-
ней и зеленой боковыми гранями,
и так далее в круговом порядке. После
того как склеите первое кольцо из усе-
ченных пирамид, последующие части
смонтировать совсем просто.
I	2	3
(I)	Ж	3	О
(2)	С	Ж	К
(3)	О	С	3
(4)	КОЖ
(5)	3	К	С
(Н)
(12)
(131
I
С
о
к
2
Ж
с
о
(14) 3 К О
(15) Ж 3 К
4 5 6
(6) К 3 Ж
(7) 3 Ж С
(8) Ж С О
(9) СОК
(10) О К 3
4 5 6
(16) ЖСК
(17)
(18)
(19)
(20)
С
О
к
3
о
к
3
ж
12*
179
105 Квази ромбоикосо-
додекаэдр
Этот многогранник очень похож
на модель 99 с той лишь разницей, что
десятиугольные звездчатые грани по-
следней здесь заменены причудливым
переплетением пересекающихся плос-
костей. Благодаря такому перепле-
тению4 появляется удивительно ин-
тересная структура огранки. К счас-
тью, построить эту модель совсем
не сложно — надо лишь запастись
упорством и настойчивостью, чтобы
вырезать и склеить между собой все ее
многочисленные части. Раскраска тре-
угольных и пятиугольных звездча-
тых граней модели та же, что и в
модели 99. Что же касается квадрат-
ных граней звездчатого многогран-
ника, то все их лучше окрасить в белый
(Б) цвет — это существенно облегчит
работу.
Начните с изготовления углублен-
ной пятицветной розетки — такой же,
как в модели 99. Окружите ее пятью
частями, названными у нас «часть I»
(каждая часть должна быть белого (Б)
цвета; вырезается из одной заготов-
ки). К свободным боковым ребрам
этих частей подклейте луч звезды
того же цвета, что и приходящий в об-
щую с ним вершину ромб розетки. Та-
ким образом, желтый (Ж) луч звезды
будет иметь общую вершину с желтым
(Ж) же ромбом розетки и т. д. Кончив
эту работу, приступайте к изготовле-
нию сдвоенных клиньев, обозначен-
ных на чертеже как часть II. Треуголь-
ные грани этих клиньев можно найти
т= !4(Vf+ I) = 1,618
T-l= !/2(VT—l) -0,618
180
на чертежах квадратных и треуголь-
ных сечений — это самые маленькие
треугольники, видимые на чертежах.
Наклейки коротких сторон этих тре-
угольников присоединяются к на-
клейкам малого фигурного выреза
части I. Лучше всего сначала поочеред-
но подклеить белые (Б) треугольни-
ки1, а затем одновременно поставить
на место цветные. Поскольку раз-
меры их наклеек достаточно малы, ре-
комендуем воспользоваться пинце-
тами.
Теперь необходимо приклеить еще
десять кусочков, обозначенных у нас
как часть 1а, — все они лежат в одной
пятиугольной звездчатой грани. После
того как вы подклеите последователь-
но все недостающие части, у вас полу-
чится весьма жесткая конструкция. Для
облегчения работы приводим ее про-
екцию на плоскость пентаграммы-
основания. Эта конструкция состав-
1 То есть те два треугольника, которые лежат
в квадратных гранях звездчатого многогранника.
ляет одну из 12 аналогичных секций
модели.
Соедините их между собой. Для
этого к секции (0) подклеиваются по-
следующие пять секций, причем отре-
занные лучи пятиугольных звезд-ос-
нований соединяются между собой.
Тем самым секция (0) оказывается
соединенной с пятью другими, а
соседние секции — между собой. Пос-
ле этого вы без особого труда заметите
одну пятиугольную звездчатую грань,
пересекаемую другими пентаграмма-
ми. Вы также обнаружите, что между
соседними секциями остались отвер-
стия в форме неправильных шести-
угольников. Их следует закрыть на-
поминающей чашу конструкцией
(часть III).
Три пары белых (Б) треугольников
подклеиваются между боковыми сто-
ронами треугольников 2, 3 и 4. Будь-
те внимательны и не перепутайте
основания и боковые стороны тре-
угольников. Теперь подклейте часть
III на место; она должна закрыть не-
181
правильное шестиугольное отверстие.
Проследите, чтобы раскраска тре-
угольников 2, 3 и 4 соответствовала
раскраске треугольников пятицветной
розетки. Треугольник 1 части III. яв-
ляется центральной частью треуголь-
ной грани звездчатого многогран-
ника.
Изготовление модели займет око-
ло 30 часов. Но она настолько красива,
что вряд ли вы пожалеете о затрачен-
ном времени.
Часть И
1	2 3 4
(1)	Ж	о	С	3
(2)	С КОЖ
(3)	О	3	К	С
(4)	К	Ж	3	О
(5)	3	С	Ж	К
(6)	Ж	К	С	О
(7)	С	3	О	К
(8)	О	Ж	К	3
(9)	К	С	3	Ж
(10)	3	О	Ж	С
Раскраска остальных частей
энантиоморфна.
1 06 Бол
ьшой
и косогем и додекаэдр
Рассматриваемый многогранник
непосредственно связан с моделью
94. И на этой модели можно увидеть
пятигранные чаши или розетки моде-
ли 94, только здесь пятиугольные грани
уступают место экваториальным де-
каграммам, части которых образуют
глубокие выемки. Гранями выемок и
являются лучи декаграмм. Такая конст-
рукция многогранника подсказывает
способ построения его модели.
Прежде всего надо изготовить вы-
емки, причем наклейки соседних граней
отгибаются наружу, образуя двойные
нервюры вдоль ребер выемок. Наклей-
ки используются на втором этапе
построения модели, когда набор из пя-
ти выемок с их помощью соединяется
в кольцо. Ниже приведена таблица рас-
краски для половины выемок. Раскрас-
ка другой половины определяется
из соображений энантиоморфности.
Раскраска граней розеток следует
обычному икосаэдральному распре-
делению, применяемому в модели 94.
Розетки могут быть подклеены на свои
места, как только будет завершена ра-
бота по соединению соответствую-
щих выемок в кольцо. Следите за пра-
вильным размещением частей мо-
дели, помните: все десятиугольные
звездчатые и треугольные грани
модели должны быть окрашены в один
цвет. Рекомендуем способ правильной
ориентации первой розетки: желтый
(Ж) ее ромб должен лежать против жел-
того треугольника в основании одной
из выемок, образующих первое кольцо
из пяти выемок. Этим правилом можно
руководствоваться и в дальнейшем.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(Ю)
1	2 3 4
Ж
С
о
к
3
ж
С К Б ж
О 3 Б С
К Ж Б О
3 С Б К
Раскраска остальных частей энантиоморфна.
183
107 Большой
додекогем и додекаэдр
1
ж
Б
Б
Б
Б
Б
3
О
о
к
3
ж
с
много-
красива.
Этот многогранник сродни как
модели 94, так и модели 106. Его кон-
струкция очень проста, а полученная
модель будет достаточно прочной.
Прочность достигается за счет свое-
образного расположения граней мно-
гогранника:	его	десятиугольные
звездчатые грани лежат в эквато-
риальных плоскостях параллельно
двум противоположным пятиуголь-
ным звездчатым граням. Это дает
возможность выбрать весьма кра-
сивую раскраску модели.
Построение модели начните с
изготовления пятиугольных чаш (час-
ти I). Таблица раскраски этих час-
тей приведена ниже. Наклейки со-
седних наклонных ребер каждой чаши
слегка отогните в сторону с тем, чтобы
с их помощью можно было соединять
между собой соседние чаши. При этом
наклейки следует приклеивать не-
посредственно к поверхности соседних
чаш.
Изготовьте 20 выемок, закрываю!
щих остающиеся треугольные отверс-
тия. Гранями их будут служить усечен-
ные лучи пятиугольной звезды, и рас-
краска следует таблице раскраски боль-
шого додекаэдра. Ставя выемки на мес-
то, проследите за одноцветностью рас-
краски граней звездчатого
гранника.
0
Б
Ж
С
О
к
3
Модель весьма
2
С
3
ж
с
о
к
4
К
К
3
Ж
С
о
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Раскраска остальных
энантиоморфна.
184
108
Большой квазиусеченный
икосододекаэдр
Изображенный на фотографии
многогранник состоит из очень боль-
шого числа частей, так что на модели
обычных размеров некоторые из них,
скажем ограненные звезды, будут очень
малы. Поэтому полной раскраской
всех частей модели можно пренебречь;
к тому же она слишком трудоемка.
Метод, описанный ниже, не преследует
цели добиться правильной раскраски,
но ограничивается всего тремя цве-
тами — по одному для каждого из
трех типов граней модели. Хорошее
соотношение цветов можно получить,
сделав все части шестиугольных гра-
ней желтыми (Ж), квадратных гра-
ней — красными (К) и десятиуголь-
ных — синими (С).
Начните с изготовления пяти час-
тей, показанных на рисунке как час-
ти 1а и 16. Эти десять частей соединя-
ются в чередующемся порядке в
кольцо, в центре которого остается
отверстие в форме -звезды. Это
отверстие закрывается крошечной
ограненной пятиугольной звездой.
Приведенная на рисунке звезда под-
ходит для модели многогранника,
длина ребра которого составляет око-
ло 20 см. Прежде чем ее изготовить,
склейте центральную пятигранную
выемку, а затем к ее краям подклей-
те малые треугольники. Присоединив
к ним пары треугольников, вы по-
лучите выемку в луче звезды. Послед-
ними приклеиваются сдвоенные тре-
угольники, соединяющие между собой
лучи звезды. Полученная ограненная
звезда закрывает отверстие в центре
кольца частей I.
185
Для полной модели потребуется
12 таких колец и соответственно 12 ог-
раненных звезд. Эти 12 секций соеди-
няются между собой тремя видами свя-
зок: девятигранной чашей с шестью
боковыми гранями и тремя гранями
на дне (часть Ша), двугранными же-
лобками (часть III6) и четырехгран-
ными выемками (часть Шв). Пред-
ставленные ниже чертежи задают
их размеры в выбранном нами масш-
табе. Связки способствуют упрочне-
нию модели, но ее все же следует под-
крепить изнутри, особенно под ребра-
ми частей I.
Часть III6
109 Большой
ромбододекаэдр
Десятиугольные грани этого мно-
гогранника совпадают с гранями мо-
дели 99, но вместо пятиугольных и
треугольных граней в нем имеются
только квадратные грани. Поэтому
там, где на модели 99 были сдвоенные
лучи звезды и розетки, у него глубокие
выемки, образованные пересечением
квадратных граней. Вместо сдвоенных
лучей вы обнаружите шестигранные
чаши, четыре боковые грани которых
лежат в плоскостях квадратов, а
дно образовано маленькими равно-
бедренными треугольниками с уг-
лами 36°, 72 и 72°, лежащими в плос-
костях двух пересекающихся дека-
грамм; вместо же розеток найдете
сложное переплетение впадин, кото-
рое, к счастью, вовсе не трудно по-
строить. Вы, верно, согласитесь с тем,
что нет необходимости соблюдать
правильную раскраску этой сложной
модели и раскрашивать квадратные
грани шестью цветами. Мы предлага-
ем сделать все части квадратных граней
белыми (Б) и распределить шесть
цветов — Ж, С, О, К, 3 и Б — в соот-
ветствии с обычной додекаэдральной
раскраской, как в модели 99.
Построение модели рекомендуем
начать с изготовления набора из пяти
трехгранных выемок с погонообраз-
ными гранями (часть I). Такие выем-
ки уже встречались в модели 99. Если
вы в точности скопируете приведен-
ные ниже трафареты заготовок всех
частей, то получите модель, ребро ко-
торой будет равно 20 см.
Часть II представляет собой шести-
гранную чашу; все ее боковые грани
белые, поэтому их можно склеить из
одной заготовки. Малые треугольни-
ки в основании имеют раскраску,
соотносящуюся с раскраской соот-
ветствующих граней частей I. В связи
с этим вам не потребуется дополнитель-
ных указаний относительно их рас-
краски — при условии, что вы будете
работать последовательно. Так как
указанные треугольники весьма малы,
проще всего сначала склеить их в пары
и лишь затем прикрепить эти пары к
основаниям белых чаш.
187
Часть I
Часть Н
Пять частей I и пять частей II сое-
дините в кольцо с отверстием посреди-
не в форме неправильного десяти-
угольника. Сделав это, изготовьте
набор из пяти частей III. Эта часть со-
стоит из пары треугольников белого
цвета (поэтому их можно вырезать из
одной заготовки) и заготовки, своими
очертаниями похожей на воздушный
змей. Последнюю вы сможете найти
на чертеже десятиугольной грани мно-
гогранника, поэтому ее раскраска сле-
дует обычной додекаэдральной схе-
ме. В склеенном виде часть III образует
трехгранную чашу с точечным основа-
нием, верхние края которой образуют
188
косой четырехугольник1 Теперь вам
предстоит поставить эти части на
места. Приступая к работе, помните,
что ребро части III, образованное бе-
лыми треугольниками, должно рас-
полагаться против ребра, образован-
ного гранями части II. После этого
подклеенными окажутся все части
десятиугольных граней модели, и это
обстоятельство поможет вам выбрать
правильный порядок расположения
частей III. Будьте внимательны и сле-
1 «Косым» в геометрии принято называть че-
тырехугольник, не лежащий в одной плоскости.
дите за одноцветной раскраской каж-
дой такой грани.
После подклеивания этих частей
в теле модели по-прежнему останут-
ся десятиугольные отверстия, теперь
уже более заглубленные. Их следует
закрыть другими чашами, представ-
ленными на рисунке как часть IV. За-
готовка для боковых сторон чаши обо-
значена у нас как часть V. Все состав-
ляющие ее трапеции белого цвета, так
что заготовку можно вырезать из од-
ного куска картона. Не спутайте верх-
нюю сторону этого ряда из десяти тра-
пеций с нижней: они похожи, но не
одинаковы! Из заготовки образуется
кольцо в форме десятиугольной приз-
мы, напоминающее трубку. Все час-
ти кольца окажутся белого, цвета, ибо
составляющие его трапеции лежат
в гранях десяти пересекающихся квад-
ратов. Кольцо из пяти неправильных
пятиугольников части IV также состо-
ит лишь из белых пятиугольников, рас-
положенных в плоскостях еще пяти
квадратов. Теперь вам ясно, почему
мы считали слишком сложным изго-
товить модель, в которой каждая квад-
ратная грань была бы окрашена по-
своему!
Упомянутое кольцо из пяти не-
правильных пятиугольников приклей-
те к нижнему краю десятигранной
трубки. Тогда дно чаши займет пра-
вильный пятиугольник части IV. Каж-
дый такой пятиугольник лежит в
центре десятиугольной грани, и этим
определяется его расцветка. Наклей-
ки заготовок многогранной чаши,
разумеется, необходимо отогнуть на-
ружу, образовав двойные нервюры
вдоль ее ребер. При расположении
чаши в модели вам придется отвернуть
эти наклейки в стороны — в против-
ном случае чаша с практически верти-
кальными стенками не войдет в отверс-
тие. Выполняйте работу последова-
тельно, пользуйтесь в случае надоб-
ности зажимами. Ловкость и навыки,
немного терпения — и ваш труд будет
вознагражден красивой моделью.
При ее построении можно вос-
пользоваться и другим способом:
сначала сделать лишь оболочку моде-
ли, не закрывая центральных отверс-
тий. Преимущество этого способа
заключается в том, что вы получаете
возможность руководствоваться еди-
ной и простой схемой раскраски, осо-
бенно для частей II и IV. Однако вам
не удастся достигнуть полной конст-
руктивной жесткости модели вплоть
до того момента, пока вы не закроете
последнее отверстие.
Во всех случаях вы получите мо-
дель, весьма интересную по своей слож-
ной и запутанной конструкции. По-
скольку все "части квадратных граней
белые, сами грани увидеть довольно
трудно. Их можно обнаружить только
в том случае, когда держишь модель
в руках.
Замечания о невыпуклых
курносых многогранниках
Существуют всего два выпуклых кур-
носых многогранника — курносый куб
и курносый додекаэдр. Среди не-
выпуклых тел таких многогранников
не меньше девяти или даже десяти,
если мы согласимся отнести в их раз-
ряд многогранник 119, в общем-то
довольно заметно отличающийся от
всех остальных. В случае выпуклых тел
их «курносость» проявлялась в не-
сколько повернутом положении квад-
ратных и пятиугольных граней по*
отношению к граням описанного
куба и соответственно описанного
додекаэдра. Поскольку такой пово-
рот можно было осуществить в двух
противоположных направлениях, мы
имели возможность получить две
модификации каждого тела — право-
стороннюю и левостороннюю; каж-
дая из них являлась зеркальным
образом другой. Симметрия дости-
галась и в отношении различно распо-
ложенных треугольных граней, об-
разующих «курносую» сеть треуголь-
ников на поверхности каждой моди-
фикации. Нечто подобное мы найдем
и у невыпуклых многогранников.
Модель 119 здесь выделится тем, что
у нее и диаметральные квадратные
грани смогут получить двоякую ори-
ентацию.
Трафареты для изготовления гра-
ней курносых тел кажутся на удивле-
ние несимметричными и неправиль-
ными. Здесь вы нигде не найдете обыч-
ных симметрий, за исключением двух
случаев — очень простой модели 110
и, как ни странно, весьма сложной мо-
дели 118. Поскольку сами тела не име-
ют плоскостей симметрии (они об-
ладают симметрией вращения), слож-
ные пересечения граней определяют
запутанные трафареты, характерные
точки которых можно установить лишь
путем вычислений. Это предполагает
использование координатного мето-
да, то есть аналитической геометрии.
Обычные циркуль, линейка и транспор-
тир здесь мало помогут.
Нужные вычисления были произве-
дены Р. Бакли при помощи элект-
ронной вычислительной машины.
Вкратце по его программе машина де-
лала следующее: выбиралась система
сферических координат, полярная ось
которой совпадала с осью симмет-
рии вращения, а нулевой меридиан про-
ходил через вершину многогранника.
Далее вычислялись координаты всех
вершин многогранника, которые по-
том приводились к обычным декар-
товым осям. Нахождение линий и то-
чек пересечения разных граней своди-
лось к решению систем линейных урав-
нений. Машина позволяла произво-
дить вычисления с шестью значащи-
ми цифрами. Для построения моде-
лей такая точность представляется
даже излишней.
Приведенные ниже чертежи ско-
пированы с чертежей реальных мо-
делей, у которых длина ребра состав-
ляла около 20 см (а для моделей 117 и
118 даже около 50 см). На чертежах
граней показаны лишь основные линии
пересечения. Как обычно, выделены
внешние части, граней: светлой штри-
ховкой отмечены части, видимые с ли-
цевой стороны, а зачернены видимые
с тыльной стороны. Численные данные
приведены с точностью до двух знача-
щих цифр. Все модели, показанные на
фотографиях, имеют высоту не боль-
ше 30 см, за исключением моделей 117
и 118, высота которых около 60 см.
Если вы воспользуетесь приведенны-
ми в описаниях чертежами загото-
вок, то получите примерно такие же
модели.
190
110 Малый курносый
и косододекаэдр
Это первая из моделей невыпуклых
курносых многогранников, и ее легче
всего построить. 20 пар равносторон-
них треугольников рассекают грани
исходного икосаэдра, образуя 20 шести-
угольных звезд. Звезды не являются
правильными, как должно быть в
однородном многограннике, хотя и
получены пересечением правильных
треугольников. 12 пентаграмм пол-
ностью окружены другим набором
треугольников, включающим в себя
60 треугольников. Такая конструкция
подсказывает простой способ изго-
товления модели.
Прежде всего между лучами пяти-
угольной звезды вклейте желобки, со-
ставленные из пар косоугольных не-
правильных треугольников. Раскрас-
ку желобков определите из обычной
икосаэдральной схемы. Все пятиуголь-
ные звезды модели пусть будут белого
цвета. Это часть I.
Ниже показана схема соединения и
раскраски для части (0) модели. К ней
присоединяются пять шестиугольных
звезд (часть II). Для их раскраски вы
можете взять либо седьмой цвет, ли-
бо обычные цвета — Ж, С, О, К, 3,
расположив их так, чтобы не нарушать
191
основного принципа раскраски карт.
Приклеив пять последующих частей!,
вы заметите, что между гексаграм-
мами (шестиугольными звездами)
остались отверстия. Закройте их пара-
ми равносторонних треугольников,
определяя раскраску в зависимости
от того, в какой грани лежат эти тре-
угольники. Сначала склейте треуголь-
ники между собой, а затем заклейте
ими отверстия между шестиугольными
звездами.
111 Курносый
додекододекаэдр
Этот многогранник имеет 12 пя-
тиугольных звезд, расположенных
в параллельных плоскостях над плос-
костями пятиугольных граней, что
очень сближает его с моделью 73. Но
в данном случае пентаграммы имеют
общие ребра с 60 равносторонними
треугольниками, что приводит к
появлению «курносости». Посмотрев
на чертежи пятиугольных и треуголь-
ных граней многогранника, вы обра-
тите внимание, что их пересечение
дает тонкие ленты, появляющиеся
вдоль одной стороны любой треуголь-
ной грани и вдоль каждой стороны
пятиугольных граней. Это означает,
что точное изготовление модели по-
требует от вас изрядной доли терпения.
Как и в предыдущем случае, изго-
товление модели начните с того, что
окружите белую (Б) пентаграмму пя-
тью желобками, составленными из
пар неправильных треугольников под-
ходящих размеров. Раскраска желоб-
ков и здесь следует обычной икосаэд-
ральной схеме. Так получается часть I
модели.
Часть II состоит из довольно слож-
ного соединения частей в форме замыс-
ловатого равностороннего треуголь-
ника с ломаными сторонами. В ней
имеются три желобка, идущих из вер-
шин треугольника в точки, окружаю-
щие его центр, и три ленточные гряды,
Длина ребра = 11,3 см
4,0
4,3
3,3
3,7
0.3
13—731
193
I
Часть треугольной грани
Лента из пятиугольной грани
Лента из, треугольной грани
исходящие
угольника.
из центра к сторонам тре-
Некоторое представление
о том, как выглядит часть II, можно
получить из прилагаемого рисунка.
Склеивание этой части следует
производить поэтапно. Сначала под-
клейте ленту из треугольной грани к
соответствующей треугольной части,
как показано на рисунке. Подберите
подходящие раскраски ленты тре-
угольной части. Затем ленту из пяти-
угольной грани подклейте к треуголь-
ной части. На рисунках показаны на-
клейки лент, поскольку при таком со-
единении важно точно поставить части
на свои места.
Теперь соедините все части, об-
разовав гряду из лент между ними.
Здесь вам понадобятся и пинцет и
зажимы. Из трех полученных соедине-
ний вы образуете одну часть II, а всего
вам необходимо иметь 20 таких частей.
Будьте готовы к тому, что соединение
частей — процесс весьма кропотли-
194
вый. В каждый момент времени ра-
ботайте над склеиванием только
одного ребра, при этом особое внима-
ние уделите наклейкам тупых концов
лент, ставя их на место при помощи
тонкого пинцета. Правильная подгон-
ка наклеек треугольных частей, вы-
резанных в точном соответствии с
нашими чертежами, позволит вам
соединить их в одну полосу, подкреп-
ляющую точку, в которую приходит
острый конец лент.
После завершения работы над
пятью частями II подклейте их в коль-
цо, окружающее секцию (0) части I.
Ниже приводится таблица раскраски
для всех частей II. Буква индекса обо-
значает цвет ленты. Поскольку все пя-
тиугольные части следует оставить
белыми, их раскраска в таблицу не
включена.
Упрощенную и приближенную мо-
дель рассматриваемого многогран-
ника можно сделать, использовав
20 изломанных частей II, но без лент.
Приведенный ниже рисунок дает пред-
ставление об идее конструкции. Мы по-
казываем и упрощенные неточные
чертежи граней модели. Размеры та-
кой модели вам предстоит уменьшить,
и тогда вы получите вполне удовлет-
ворительное приближение к искомо-
му телу. На фотографии показана
упрощенная модель.
1	2	3	1	2	3
ж3	Зо	Ож	Ок	Кс	Со
Сж	Жк	Кс	Кз	Зо	Ок
Ос	Сз	Зо	Зж	Жк	Кз
Ко	Ож	Жк	Жс	Сз	Зж
Зк	Кс	Сз	Со	Ож	Жс
Оз	Зж	Жо	Ск	Ко	Ос
Кж	Жс	Ск	Оз	Зк	Ко
Зс	Со	Оз	Кж	Ж3	Зк
Жо	Ок	Кж	Зс	Сж	Ж3
Ск	К3	Зс	Жо	Ос	Сж
Длина ребра = 6,7 еде
13*
195
112 Курносый
икосододекододекаэдр
Как й в модели 111, пятиугольные
звездчатые грани этого многогранни-
ка лежат в плоскостях, параллель-
ных плоскостям пятиугольных гра-
ней, но теперь пентаграммы повер-
нуть! относительно пятиугольников.
Благодаря этому освобождается мес-
то еще для 20 треугольников в допол-
нение к 60 треугольникам, имеющим
общие с пентаграммами ребра.
Для построения модели лучше
подклеить пентаграммы в послед-
нюю очередь. Тем самым вы облегчи-
те работу с остальной частью модели,
имеющей сложную внутреннюю струк-
туру- Рекомендуем производить по-
строение в описываемом ниже по-
рядке.
Для раскраски 60 треугольников,
связанных с пентаграммами, исполь-,
зуйте икосаэдральную схему.. Сами
пентаграммы будут белыми. Осталь-
ные 20 треугольников лучше всего
окрасить в какой-либо седьмой цвет,
скажем черный (Ч). Это вызвано тем,
Что центральные части этих тре-
угольных граней появятся впослед-
ствии в основаниях треугольных вы-
емок, боковые грани которых образу-
ются угловыми частями трех разных
пятиугольных граней, окрашенными
в белый цвет. Одна вершинная часть
модели соединяется в соответствии с
приведенной ниже схемой. Мы также
приводим таблицу раскраски для час-
ти (0). Раскраска остальных
5
10 см
частей
Р
Длина ребра =
а - 3,2
Ь-3,2
с = 3,8
d -- 2,6
е - 1,3
g-2,3
h - 1,9
fc-2,6
/7- 1,0
<7—1,7
г = L2 .
196
2 3
Ж ч
с ч
о ч
к ч
3 ч
4 5 6 7
Ж Б К Ж
С Б 3 С
О Б Ж О
К Б С К
3 Б О 3
получается обычной циклической пе-
рестановкой цветов.
Треугольники 1 и 7 следует ото-
гнуть к себе и поместить над треуголь-
никами 2 и 6, причем наклейки между
треугольниками 1 и 2 и 6 и 7 затем
склеиваются между собой и образуют
наклейку сдвоенной толщины. Чтобы
их склеить, приподнимите централь-
ную точку фигуры. Впоследствии тре-
угольники 1 и 7 окажутся под обратной
поверхностью одного луча пента-
граммы. Пять таких вершинных частей
соедините в кольцо. Так вы образуете
часть модели. При этом наклейки при
коротких ребрах треугольников 7
подклейте с внутренней поверхности
треугольников 1. Наклейки у тре-
угольников 1 лучше не делать (как и
показано на рисунке) во избежание нер-
вюр, которые могут мешать подклеи-
ванию пентаграмм. Подклеив пента-
грамму, вы завершите работу над од-
ной частью модели. Чтобы вас не за-
трудняли слишком острые углы, реко-
мендуем воспользоваться зажимами.
Если вы заметите, что пентаграммы
сминаются или сходят со своего места,
держите конструкцию под неболь-
шим давлением, пока клей не подсох-
нет
Полная модель состоит из 12 час-
тей. Вы, несомненно, обратите внима-
ние на их зазубренные края и порази-
тесь, сколь идеально они подходят друг
к другу.
Есть и другой метод построения этой
модели, напоминающий о методе,
который мы применяли к модели 83.
Как и в том случае, вы можете на-
чать с подклеивания треугольников
1 и 7 к лучам звезды. Загните их под
звезду и склейте длинные наклейки этих
треугольников наподобие нервюр,
идущих от центра звезды к ее верши-
нам. Треугольники 2 и 6 образуют
желобки между лучами телесной звез-
ды, причем в качестве наклеек исполь-
зуются нервюры. Вершинную часть
вокруг звезды и тем самым одну из
описанных ранее частей завершают
треугольники 3, 4 и 5.
Такой метод соединения позволяет
несколько точнее помещать пента-
граммы на свои места, поскольку при
этом они не очень сминаются.
113 Большой вывернутый
курносый икосододекаэдр
Этот многогранник служит еще
одним примером курносого тела, мо-
дель которого сравнительно легко
построить. Это объясняется тем, что
вся конструкция образована повто-
рением одних и тех же вершинных час-
тей, поскольку все вершинные фигу-
ры многогранника одинаковы. Мо-
дель изготавливают непосредствен-
ным соединением этих заранее вы-
полняемых частей.
Приготовьте пять таких частей,
каждую в соответствии с указанным
на чертежах порядком и расцветкой.
Склейте их в кольцо, образующее 1/12
часть модели. Центральные впадины
колец напомнят вам аналогичные
впадины на модели соединения пяти
тетраэдров. Подобные же впадины
встретятся и в моделях 115 и 116.
Здесь снова можно воспользоваться
икосаэдральной раскраской. Ниже
приводится таблица раскраски для
одного кольца (0). Раскраски осталь-
ных колец получаются обычными
перестановками. Заметьте только, что
все части пентаграмм должны быть
белого цвета.
У полученных колец будут весь-
ма зазубренные края, а некоторые
из наклеек окажутся очень маленьки-
ми. Поэтому соединение их следует
производить весьма аккуратно и без
спешки.
(0) 1 2 3 4 5
Б К 3 Ж 3
Длина ребра = 14
а = 2,4
Ь = 3,8
с = 0,4
d = 2,4
/=3,5
g = 4,6
ft = 0,7
7=1,6
к = 2,2
1 = 0,9
т = 1,4
и = 2,0
х = 3,9
.у = 0,3
z = 2,6
а 1 с + h = f
к 4- I + т = g
198
114 Вывернутый курносый
додекододекаэдр
У этого многогранника есть ин-
тересная особенность: лучи его пен-
таграмм как бы слегка подрезаны
плоскостями граней пятиугольников
и одного набора треугольников.
В связи с этим конструкция тела вбли-
зи его вершин значительно усложняет-
ся. Пятиугольные грани лежат в
плоскостях, параллельных плоскос-
тям пентаграмм, но на значительном
от них удалении — практически ря-
дом с экваториальной плоскостью
многогранника. Конструкция под
каждой пентаграммой напоминает
модель 83 и модель курносого тела
112. Поэтому мы считаем целесообраз-
ным производить построение этой
модели способом, аналогичным вто-
рому способу построения модели 112.
Подклейте треугольники 1 и 2
к лучам звезды, после чего подогните
их под лучи и склейте между собой,
предварительно вывернув наклейки
наружу в виде нервюр от центра звезды
вдоль лучей. Делать вырез в лучах звез-
ды не следует, но после склеивания всех
треугольников 1 и 2, когда телесная
звезда будет завершена, надо произ-
вести намеченный на чертеже разрез
в треугольниках 2, а получающиеся
при этом обрезки удалить. Старайтесь
не нарушать прочности нервюр. Вы-
рез облегчит работу при установке дру-
гих частей, особенно надреза на час-
ти 5 пятиугольной грани. Впоследст-
вии мы объясним, каким образом здесь
можно обойтись без клея. Воспользу-
емся обычной схемой икосаэдральной
раскраски, причем все пентаграммы
будут белыми.
Длина ребра =
а -2,0
b = 0,7
с= 1,4
d = 0,7
g = 5,3
h-3,6
fc — 3,8
/ = 4,2
m — 3,8
P — 2,2
q = W
x — 2,8
У - 0,7
z 0,4
14см
199
ЖЖ	Ж	О	Б	Ж
С	С	С	К	Б	С
О	О	О	3	Б	О
К	К	К	Ж	Б	К
3	3	3	С	Б	3
ПО ***
Теперь приготовьте части, связы-
вающие лучи звезды между собой. По-
рядок их соединения показан на ри-
сунке. Эти части также раскрашивают-
ся по икосаэдральной схеме. Мы
приводим таблицу раскраски для од-
ной части (0). Раскраска остальных час-
тей определяется, как обычно, просты-
ми перестановками.
Поскольку при изготовлении час-
тей здесь существенна их точная
подгонка, на приведенных рисунках
указаны и наклейки.
Сначала склейте разноцветные час-
ти 3 и 4, после чего к белой части 5 под-
клейте цветную часть 6. Затем склейте
между собой наклейки, обозначенные
буквами а, b и с, которые соединят
указанные пары. Между частями 5 и 6
образуется острый двугранный угол,
напоминающий выступ. Полное сое-
динение всех частей придаст этой сек-
ции некоторую конструктивную жест-
кость.
200
Теперь ваша задача — вклеить по-
лученную секцию между лучами телес-
ной звезды. Нервюры под телом звез-
ды должны соприкоснуться с наклей-
ками е и f. Нанесите на них клей, по-
ставьте секцию на положенное место
и до того, как клей подсохнет, подкре-
пите соединение зажимами. Малень-
кий отрезанный треугольничек части 3,
приходящий к вершине звезды, будет
свободно болтаться, но, так как его бу-
дет удерживать длинная наклейка, он
не помешает работе.
Следующий этап работы потребует
от вас большой сосредоточенности.
Обратите внимание на вырез в части
5 — угловой части пятиугольной гра-
ни. Постарайтесь вправить луч звез-
ды в вырез таким образом, чтобы верх-
ний его край оказался над звездой, а
нижний — под нею. Не думайте о
клее: все равно маленькие вырезы не
имеют наклеек. Итак, с этой секцией
работа пока закончена, но потом вам
придется еще раз обратиться к верхне-
му краю выреза. Обклейте звезду пя-
। ью такими секциями — и одна часть
модели почти готова. Для изготовле-
ния полной модели вам потребуется
12 частей.
Теперь вам предстоит соединить
все части между, собой. Задача не из
легких. Сложность заключается в
том, что сначала надо склеить наклей-
ку g части 6 одной секции с наклейкой
h части 4 другой секции, а затем соеди-
нить наклейки. И лишь после того, как
будет собрана вся модель, вы получите
возможность приступить к подсоеди-
нению наклеек к и т. Для аккуратного
помещения частей на места вам потре-
буются пинцет и шило. Сделав это,
нанесите по капле клея и зафиксируйте
место склейки зажимами. Не снимайте
зажимов до полного высыхания клея:
здесь очень острые углы и они могут
разойтись. Если картон, которым вы
располагаете, хорошего качества, то
следы от зажимов исчезнут сами; в
противном случае разгладьте смятое
место шилом.
Изготовление этой модели по-
требует от вас немалого терпения и
настойчивости. Пожелаем вам удачи!
115 Большой курносый
доде ко и косодод е каэ д р
Характерной чертой этого мно-
гогранника является наличие сдво-
енных пентаграмм, лежащих в одной
плоскости. Нечто подобное мы об-
наружим позже в модели 119. В рас-
сматриваемой же модели мы видим
специфически «курносое» чередование
впадин, уже отмеченное в модели 113.
Аналогичное чередование мы заме-
тим и на модели 116. Вершинные час-
ти нашего многогранника существен-
но более сложные, нежели у модели 113:
их формирует причудливая система
пересекающихся граней. Точно так же
устроены вершины модели 116, на ко-
торой мы еще остановимся. При по-
строении модели рекомендуем от-
ступить от многократно использо-
ванной технологии соединения доде-
каэдральных блоков, предпочтя ей ико-
саэдральную конструкцию. Такой спо-
соб облегчает процесс пересечения гра-
ней, находящихся под лучами звезд.
Мы предлагаем исходить* из следую-
щих правил раскраски: части пере-
секающихся треугольных граней (с 1
по 5) лучше сделать одноцветными,
скажем черными (Ч), части сдвоенных
пентаграмм — белыми (Б), а обыч-
ные цвета — Ж, С, О, К и 3 — оста-
вить для раскраски пятигранных впа-
дин. Таким образом, раскраска впадин
следует обычной икосаэдральной схе-
ме циклических перестановок.
Заметьте, что входящие в состав
строительных частей треугольники
1 и 2 чередуются на гранях много-
гранника. Это объясняется тем, что
а g	h b
Длина ребра = 20 см
а -5,1
Ь-4,3
с -2,4
d = 1,5
/= 3,7
« = 3,7
h = 4,8
к = 4,1
У = 2,1
z = 3,7
р = 4,3
9 = 0,8
х = 2,5
202
упомянутые части отгибаются и обра-
зуют конструкцию одного луча звезды.
Сначала соедините между собой
три части 1, 3, образуя нечто вроде про-
пеллера с тремя лопастями. На заго-
товках частей оставьте все наклейки,
за исключением стороны, помеченной
буквой х. Эту наклейку можно уда-
лить, поскольку вдоль этого ребра
клей наносить не придется. Дальше мы
объясним, каким образом следует рас-
положить треугольник 1 в точности
под лучом звезды.
Подготовьте три пары частей
пентаграммы, показанных на рисун-
ке как часть 7. Отогните нижний луч
звезды по линии, как указано на рисун-
ке а, и к внутренней поверхности верх-
ней звезды приклейте заштрихован-
ную двойной штриховкой часть (ри-
сунок б). При этом нижний луч звезды
может свободно болтаться (рисунок в).
Заштрихованные части на рисун-
ках би в впоследствии будут закрыты,
поэтому на них не следует делать ни-
каких отметок. Лучше нанести отметки
непосредственно на наклейки. На-
клейка h будет подрезана, тем не
менее она все же используется как еди-
ная наклейка. Но на этом мы подроб-
нее остановимся ниже.
Три подготовленные таким обра-
зом части пятиугольных граней необ-
ходимо подклеить к «трехлопаст-
ному пропеллеру». Сначала соеди-
ните наклейки h, позволяя нижнему лу-
чу звезды на рисунке а свободно бол-
таться над «лопастью пропеллера».
Как только клей вдоль ребра высохнет,
перегните приклеиваемую часть, об-
разовав острый угол, направленный
ребром вниз. Это даст вам возмож-
ность соединить и склеить наклейки,
помеченные буквой к. Наклейку m тре-
угольников 1 на «лопастях пропеллера»
подклейте к свободно болтающемуся
лучу звезды. Острые двугранные уг-
лы вдоль ребра звезды вынудят вас
использовать зажимы до того момен-
та, пока не высохнет клей. По оконча-
нии работы со всеми тремя лопастями
вы станете обладателем весьма проч-
ной конструкции, представляющей
собой центральную часть икосаэд-
рального блока, на которой уже имеют-
ся вершины трех соседних выступов
модели.
203
На следующем этапе работы под-
клейте части 2, 4 к соответствующим
ребрам только что законченной конст-
рукции. Соедините наклейки, помечен-
ные буквой п. Как только подсохнет
клей, загните треугольники 2 под лучи
звезд, после чего наклейки р сопри-
коснутся и их можно будет склеить.
Теперь ясно видно, каким образом пе-
ресекаются треугольные грани мно-
гогранника — обратите внимание на
складки, образованные частями 1, 3
и 2, 4. Наклейки к и р жестко удержи-
вают грани на своих местах, поэтому
дополнительных соединений не по-
требуется. В частности, не нужна
наклейка на ребре х треугольника 2 по
тем же причинам, что и для одноимен-
ного ребра треугольника 1. Теперь вы
также видите, как исчезает заштри-
хованная площадь на рисунке б.
Последний этап работы выполнить
сравнительно просто. Добавьте час-
ти 5 и 6, завершая, таким образом, ра-
боту над вершинными частями блока и
соединяя их наклейками q, г и s. По-
скольку часть 5 лежит в тех же гранях,
что и часть 1, 3, ее следует окрасить в
тот же цвет, а именно в черный (Ы).
Все три используемые для построе-
ния первого блока части 6 пусть буду!
желтыми (Ж). Так как полная модель
состоит из 20 подобных блоков, то рас-
краски частей 6 этих блоков следуют
такому порядку: Ж, С, О, К, 3, причем
части 6 одного блока должны быть
окрашены одинаково.
Вы сами придете к тому, что эти
блоки следует склеивать между собой
лишь после того, как они будут пол-
ностью закончены. Эту работу начни-
те с того, что соедините пять из них
в кольцо, в центре которого располо-
жится впадина с раскраской (0) граней 1.
В первую очередь всегда соединяйте
самые длинные наклейки, склеивая на-
клейку t части 5 одного блока с наклей-
кой t части 6 соседнего блока. Тогда
остальные наклейки легко встанут
на свои места. Работая над послед-
ним, 20-м блоком, оставьте наклейку
s временно неподклеенной. Это поз-
волит вам, отогнув соответствующую
часть, соединять между собой другие
наклейки. (Вам потребуется шило или
пинцет.) Наклейку s приклейте послед-
ней.
Полученная в итоге модель удиви-
тельно хороша. Если вы воспользу-
етесь описанной выше технологией
ее построения, то, бесспорно, вас ждет
большой успех. Но предупреждаем:
построение этой модели отнимет у вас
(если вы будете работать в одиночку)
40—50 часов чистого времени!
116 Большой курносый
и косододекаэдр
В этом многограннике содержат-
ся очень маленькие элементы поверх-
ности, которые, хотя формально и яв-
ляются видимыми снаружи частями его
граней, все же настолько малы, что не
отмечены на наших чертежах этих
граней. Модели свойственны многие
характерные черты уже рассмотрен-
ного многогранника 115: здесь вы
! вновь найдете 12 пятигранных впа-
’ дин и 60 многогранных вершин.
Однако вместо сдвоенных пента-
грамм модели 115 в этой модели лишь
одна пентаграмма, пересекающая дру-
гие грани обычным икосаэдральным
способом. Сходство с предыдущей
моделью подсказывает нам способ
соединения частей: он будет аналогич-
ным. Но в целях облегчения работы мы
внесем в конструкцию кое-какие изме-
нения, которые на готовой модели смо-
жет заметить разве что сам автор кон-
струкции.
Чтобы вам яснее было понять, как
устроены мельчайшие детали граней
многогранника, а следовательно, ну-
меруемые н&ми части модели, ниже
приводятся два увеличенных чертежа
205
фрагментов граней многогранника.
Там же показаны и пронумерованы все
части, необходимые для построения
модели, причем буквами помечены на-
клейки вдоль сторон частей. Из этих
частей образуется одна икосаэдраль-
ная конструкция, или блок, как мы
его называли при построении моде-
ли 115. Однако блоки в рассматрива-
емой модели окажутся несколько
более сложными. Мы приводим также
таблицу раскраски частей одного бло-
ка; раскраска остальных блоков оп-
ределяется обычной перестановкой
цветов. Не следует по-разному рас-
крашивать части 3 и 5, ибо они принад-
лежат одной и той же треугольной
«курносой» грани.
Оставьте наклейки вдоль всех ребер
заготовок, за исключением ребра, по-
меченного буквой х. Здесь наклейка не
потребуется. Склейте прежде всего
пары 1 и 3, 4 и 2, а затем приклейте
часть 7 к части 1 по ребру, помеченно-
му буквой р. Часть 8 специально «рас-
кроена» так, чтобы образовать ма-
ленький пикообразный клин, высту-
пающий острием над лучом звезды,
то есть над плоскостью пентаграммы.
Обе стороны клина образованы малы-
ми треугольниками, лежащими в
треугольных «курносых» гранях, по-
этому их следует раскрашивать каж-
дый своим цветом. Кроме того, сам
клин должен слегка врезаться в часть 4.
1 2 3 4 5 6 7 8
ЖССЖСЧЧБ
ЖККЖКЧЧБ
Ж 3 3 Ж 3 Ч Ч Б
206
Однако, чтобы облегчить построение,
мы прибегнем к некоторым упрощени-
ям: в частности, сделаем обе стороны
клина белыми и допустим, чтобы клин
касался части 4, но не пересекал ее. Как
вы сами сможете убедиться, этого
практически нельзя будет обнаружить,
поскольку на полной модели соответст-
вующие части будут просто распола-
гаться под лучом одной из звезд. Кроме
того, хотя наклейка а части 8 разреза-
ется на два сегмента по линии, прихо-
дящей в вершину клина, мы и далее
должны рассматривать ее как одну
наклейку, присоединяемую к одно-
именной наклейке части 4.
Теперь перегните части 1 и 7 и
подклейте ребро b части 3 к одноимен-
ному ребру части 7. Так образуется не-
большая, но глубокая трехгранная
чаша, в основании которой по идее
должны были бы лежать крошечные
треугольники из треугольной «кур-
носой» грани и четырехугольник из
грани пентаграммы. Однако возить-
ся с ними не стоит. Рекомендуем просто
соединить между собой небольшие
наклейки частей 1,3 и 7, лежащие в ос-
новании чаши как придется. Пусть ва-
ша чаша имеет практически точечное
дно — все равно это невозможно уви-
деть на законченной модели.
Точно так же перегните части 2 и 8,
после чего склейте их между собой
вдоль ребер с. Две маленькие за-
штрихованные площади на чертежах
частей 2 и 8 не следует помечать и тем
более вырезать. После перегибания вы
заметите, что клин станет как раз про-
тив заштрихованной площади на
части 2, а ребро х части 2 пересечет
заштрихованную площадь части 8.
Но, как уже говорилось, подклеивать
здесь ничего не надо. В результате пе-
регибания снова образуется трехгран-
ная чаша, на сей раз действительно
с точечным основанием. Сами чаши
в отдельности представляют собой
вполне законченные и конструктивно
весьма жесткие соединения.
Следующий этап работы потре-
бует от вас недюжинного искусства,
что вызвано запутанностью конст-
рукции. А конструкция запутана так,
что без подробнейших иллюстраций
ее почти невозможно описать. Но из-
готовить ее можно. Вам только при-
дется самостоятельно, методом проб
и ошибок, выбрать наиболее подходя-
щую методику работы со всеми упо-
минаемыми ниже частями. Возьмите
конструкцию частей 2, 4, 8, окрашен-
ных в цвета С, Ж, Б, и присоедините
к ней аналогичную конструкцию, окра-
шенную в цвета К, Ж, Б, так, чтобы
сошлись вместе наклейки d частей 2 и 8.
Дайте клею подсохнуть, после чего
сильно выгните вдоль общего ребра
части, окрашенные в цвета С и Б
Затем присоедините третью конструк-
цию, окрашенную в цвета 3, Ж, Б, к
части К, Ж, Б, — опять-таки наклей-
ками d. Дайте клею подсохнуть, после
чего снова выгните вдоль общего реб-
ра части, окрашенные в К и Б цвета.
Теперь поставьте окончательно ребра
между 3 и Б частями на свои места и
склейте наклейки вдоль ребер, поме-
ченных буквой d. В ваших руках ока-
жется центральная часть первого ико-
саэдрального блока. Вы явственно уви-
дите вершины трех многогранных пи-
ков и в центре блока нечто вроде коле-
сика с тремя спицами, образованного
тремя пересекающимися ребрами трех
звезд. Вы также заметите, что ребра
клиньев в основаниях лучей звезды
окажутся на одной линии с только что
подклеенными ребрами.
Следующий этап работы много про-
ще. Склейте между собой наклейки f
частей 1 и 8, предварительно уверясь,
что расцветка части 3 соответствует
расцветке части 2: если та С, то и эта
С, если К, то К, если 3, то 3. Эти цвета
располагаются вокруг колесика. Как
только клей подсохнет, перегните кон-
струкцию по этим ребрам, надавив их
от себя. В результате соприкоснутся
уже склеенные пары наклеек — меж-
ду частями 1 и 3 и между частями 2 и 4,
расположенные за (или под) лучами
звезды.
Финальный этап работы — самый
простой. Склейте части 4 и 6 вдоль
ребер, помеченных буквой h, а части
5 и 6 — вдоль ребер, помеченных
буквой к. Наклейка к части 5 разбита
на два отрезка; меньший будет присое-
динен после соединения всех блоков.
В данный момент вы являетесь обла-
дателем конструкции, в которой за-
вершены три вершинные части од-
ного блока. Быть может, центральная
207
часть колесика покажется вам не-
достаточно жесткой и прочной: это
объясняется тем, что здесь не произ-
водилось склеивания. По мере по-
строения модели и присоединения
все новых блоков давления, возникаю-
щие в модели, сделают конструкцию
жесткой, так что с точки зрения проч-
ности готовая модель окажется вполне
удовлетворительной.
Соединяя блоки, всегда в первую
очередь склеивайте самые длинные
ребра. Образуйте кольцо из пяти
блоков, в центре которого окажется
впадина с раскраской, соответствую-
щей части (0) икосаэдральной схемы.
Наиболее трудоемким окажется про-
цесс подклеивания последних накле-
ек, причем некоторые из них будут
столь малы, что вы, возможно, пред-
почтете и вовсе обойтись без клея. Пра-
вильная подгонка частей модели су-
щественно зависит от вашей акку-
ратности на всех этапах работы. Чтобы
получить полную модель, вам потре-
буется ровно 20 блоков. И если вы ра-
ботаете в одиночку, ее построение
отнимет у вас около 50 часов!
Пентаграмма
а = 12,5
b - 13,5
с - 4,0
Икосаэдральный треугольник
Длина ребра = 50 см
а = 13,5
Ъ - 4,0
с - 3,5
d - 2,8
f- 2,3
g - 8,5
h - 3,0
j = 1,0
k- 3,8
117 Большой вывернутый
обратнокурносый
и косододекаэдр
Этот многогранник поистине за-
мечателен своей сложностью. Глу-
бокие пятигранные чаши на его
поверхности перекрываются низко
расположенными десятизвездными ро-
зетками, загораживающими сужаю-
щиеся книзу грани чаши. Чаши обра-
зованы, казалось бы, совершенно неве-
роятными гранями многогранника,
которые кажутся фантастически за-
путанными. В многограннике пары
треугольных граней пересекаются над
центральными частями пентаграмм.
Это пересечение порождает весьма
стройные пикообразные клинья, вер-
шины которых совпадают с вершинами
пентаграмм. Клинья продолжаются по
направлению к центральной части
звезды, но перед тем, как исчезнуть
внутри тела, они рассекаются на две
части. Впрочем, все сказанное станет
вам более понятным, как только вы
начнете самостоятельно строить эту
модель. Если вы захотите попробовать
свои силы в построении технически
сложной конструкции,
рассматрива-
n - 1,0
P -- 8,5
q 8,5
r - 3,0
- 1,2
- 3,8
7,8
2,1
w --- 2,7
«Курносый» треугольник
Длина ребра = 50 см
я — 12,5
Ь-4,0
с - 13,5
d - 8,5
е - 1,0
f = 3,2
g - 3,8
h = 7,0
j -з,о
k-7,0
I - 3,8
m = 3,2
ц
У z 4,0
z -= 13,4
14 -731
209
емая модель предоставит вам пре-
восходную возможность.
Начните работу с внутренних час-
тей пятигранной чаши. Надеемся — и
в последующих инструкциях будем
из этого исходить, — что вы сумеете
распознать форму части, а также опре-
делить, на какой грани и где она рас-
положена. Условимся относительно
раскраски. Советуем все части пента-
грамм окрасить в белый (Б) цвет, один
набор треугольных граней сделать
черным (Ч), а для другого набора тре-
угольников оставить обычную икосаэд-
ральную раскраску из пяти цветов.
Часть I представляет собой пяти-
гранную чашу с десятиугольной звезд-
чатой розеткой на дне. На чертежах
показана лишь одна секция, из кото-
рых состоит часть I. В первую очередь
подготовьте части розетки и при-
клейте их к соответствующим боль-
шим частям, воспользовавшись на-
клейкой z. Перегните части розеток на
манер гармошки так, чтобы вверх по-
шло ребро, разделяющее центральные
Ж и Ч части, наклейки которых а и b
затем соединятся с соответствующими
наклейками большей Ж части. Наклей-
ка с впоследствии встретится с .на-
клейкой с. Подготовьте пять таких
секций, раскрашенных в соответст-
вии с (0) распределением окраски,
причем раскраска розеток должна сле-
довать циклическому порядку. На
чертеже указан оранжевый (О) цвет;
порядок раскраски с учетом этой части
задается следующей цепочкой: О, К,
3, Ж, С, в то время как большие части
окрашены в порядке Ж, С, О, К, 3
соответственно. Пять таких секций
склеиваются в кольцо, причем наклей-
ка х одной секции соединяется с на-
клейкой у другой секции, и так далее
по кругу. Так завершается построение
части I.
Одна из пяти секций, необходимых
для построения части II, приведена на
чертежах. Белые (Б) части принадле-
жат одному лучу звезды, черная (Ч) и
синяя (С) части, расположенные посре-
дине, образуют тонкий пикообразный
клин, разрезающий луч звезды. Сна-
чала необходимо склеить между со-
бой все четыре верхние части. Заметь-
те, что левая белая часть содержит не-
большой кусок заштрихованной пло-
щади, отсекающей некий треуголь-
но
14*
Часть!!!
ник. Эти части не следует отрезать от
заготовки. В дальнейшем второй сег-
мент пикообразного клина будет под-
клеен к части х и закроет заштрихо-
ванную площадь. Но прежде легче при-
клеить спаренные треугольники си-
него (С) цвета на место вдоль наклеек,
помеченных буквами a, b, d, f. Тогда
можно приклеить на место второй сег-
мент пикообразного клина. Сделав
это, вы сразу же заметите, что пико-
образный клин словно пронизывает
сдвоенные треугольники сквозь за-
штрихованные места, которые, естест-
венно, также остаются невырезанны-
ми. Угол вдоль общего ребра сдвоен-
ных треугольников оказывается весь-
ма острым, и они достаточно прочно
удерживаются в этом положении
благодаря V-образному вырезу у ос-
нования луча звезды.
Теперь вам следует подклеить жел-
тый (Ж) треугольник, соединив на-
клейки 1 и ш. Загните желтый треуголь-
ник наверх и склейте между собой на-
клейки v и w желтого и синего треуголь-
ников.
Изготовьте пять таких секций, каж-
дую со своей собственной раскраской,
определяемой перестановками цве-
тов. Эти пять секций присоедините к
части I сначала при помощи наклеек,
помеченных буквой р, а после того, как
на них подсохнет клей, — при помо-
щи наклеек q. Теперь вы заметите, что
добавление частей II приводит как бы
к заполнению пространства между
круто вздымающимися вершинами
частей 1, указывая с большой опреде-
ленностью, но не окончательно, коль-
цо из пяти многогранных вершин.
Эти вершины будут полностью отде-
ланы лишь после добавления части III,
к описанию которой мы переходим.
На чертежах показаны заготовки
для одной секции части III. Заштри-
хованные площади не следует обрезать,
поскольку они будут закрыты разно-
образными клиньями. Заметьте, что
на чертеже белой (Б) части показаны
все наклейки, необходимые для ее при-
соединения к другим частям: важно
скопировать их в точности! Обратите
также внимание на то, что самая боль-
шая часть — синяя (С) — связана с
малым треугольником того же цвета.
Это означает, что их можно вырезать
из одного куска цветного картона. Од-
нако уже два малых синих (С) треуголь-
ника разделят черный (Ч), как и пока-
зано на чертеже. Добавление белой (Б)
части придаст жесткость конструкции
из верхних черных (Ч) и синих (С) час-
тей, поскольку они получат форму не-
глубокого желобка.
Как только вы склеите между собой
эти части, изготовьте два показанных
внизу клина. Приклейте их к ранее вы-
полненной конструкции так, чтобы
заштрихованные площади, обозна-
ченные одними и теми же буквами, сов-
пали. Можно было бы выполнить эти
клинья в виде цельных неправильных
многогранников, но нет нужды за-
крывать их концевые грани. Черный (Ч)
и желтый (Ж) клинья образуют третий
сегмент тонкого пикообразного кли-
на, лежащего на поверхности луча
213
звезды, сдвоенные оранжевые (О)
части явятся естественным продол-
жением сдвоенных оранжевых (О)
треугольников, подобных сдвоенным
синим (С) треугольникам части II.
Повторите процедуру построения этих
секций пять раз, исходя из обычной
циклической перестановки цветов.
Затем приклейте каждую из них на свое
место, чтобы наклейки s и г части III
соединились с наклейками s и г части II.
Пара очень узких, образующих малень-
кий клин треугольников, которая по-
казана на чертежах части III, не под-
клеивается до завершения работы
со всеми секциями. К тому же они на-
столько малы, что по практическим со-
ображениям их можно было бы отбро-
сить и этого бы никто не заметил.
Так строится один блок модели —
кольцо из пяти многогранных вер-
шин. Полная модель состоит из 12
блоков. Их соединение осуществляет-
ся склеиванием ребер h частей III од-
ного блока с ребрами g других блоков.
Добавление третьего блока к двум
первым покажет, что часть грани пен-
таграммы вблизи наклеек h ng образу-
ет неглубокую трехгранную впадину.
На полной модели вы обнаружите 20
подобных впадин.
Если вы будете работать без помощ-
ников, то работа займет у вас свыше
100 часов. Однако вы, возможно, за-
хотите пойти на какие-то компро-
миссы, упрощающие модель и сокра-
щающие рабочий процесс. Для этого
можно, например, отказаться от розе-
ток и клиньев, что, разумеется, потре-
бует изменения частей. Тогда упрощен-
ная модель будет иметь вершины, со-
впадающие с вершинами оригинала,
и лишь некоторые важные части
внутри граней будут отсутствовать
(на стр. 213 приводится набор упрощен-
ных частей и фотография упрощенной
модели).

118 Малый вывернутый
обратнокурносый
и косо и косодод е каэ д р
Этот сложный многогранник имеет
одно общее свойство с рассмотренной
выше моделью 110: как легко заметить
из чертежей его граней, он обладает
плоскостями симметрии. Однако по
сравнению с моделью 110 построение
этой модели сопряжено с большими
трудностями. Поэтому для выполне-
ния столь сложной работы вам необ-
ходимо запастись поистине неистощи-
мым терпением и огромной настой-
чивостью, как, впрочем, и для построе-
ния модели 117. Описываемый ниже
метод построения модели предпо-
лагает использование только трех
цветов — Ж, К и Б — по одному для
каждого из трех типов граней.
Построение начните с соединения
заготовок, показанных на рисунке
как часть I. Сделайте три набора таких
заготовок. Склейте ребро а одной заго-
товки с ребром b другой, а ребро с од-
ной — с ребром d другой. После до-
бавления третьего набора вы получите
глубокую чашу, трехгранное основа-
ние которой будет образовано тремя
белыми (Б) ромбами, а боковыми стен-
ками явятся шесть четырехугольни-
215
ков. Для полной модели вам потребу-
ется 20 таких частей.
Чтобы понять конструкцию час-
ти II, лучше всего отправляться от
больших ее долей (часть Па). План их
соединения представлен отдельно
в уменьшенном масштабе. Красный
(К) четырехугольник образует дву-
гранный желоб с большим желтым (Ж)
куском. Малые красный (К) и белый (Б)
куски, образующие небольшой клин,
прикрепляются к конструкции наклей-
ками g, h, к. После этого красный (К)
четырехугольник удерживается до-
статочно прочно. Части в основании
конструкции II, а перегибаются, но до
этого лучше выполнить соединеннее
всех кусочков конструкции II, б. Эта
Часть I
конструкция в форме неглубокого же-
лобка чем-то напоминает бабочку. Схе-
ма соединения показана на II, в, где
двугранный желобок обозначен гори-
зонтальной штриховкой. Четырех-
угольник и желтый (Ж) треугольник на
верхушке части II б разрезать не следу-
ет. Эту желтую (Ж) часть нужно только
хорошенько перегнуть — это облегчит
склеивание, а быть может, позволит и
вовсе без него обойтись.
Кончив соединение II б, подклейте
его к части Па наклейкой р. Отогните
желтые части соединения Пб резко
вниз, образовав острый двугранный
угол, и свяжите наклейки, помеченные
буквой у. Вы сразу заметите, что те-
перь значительно легче соединить
наклейки v и w, возможно, их даже не
потребуется склеивать. Присоедините
наклейку г. Очень маленький белый (Б)
треугольник, закрывающий узкое трех-
стороннее отверстие в основании, при-
соединяется к наклейкам s.
Теперь вам предстоит перегнуть
нижнюю половину части Па и снова
связать наклейки сначала по ребру р,
а затем по ребру у. Небольшое отверс-
тие в основании закройте белой (Б)
заготовкой в форме воздушного змея,
причем наклейки q этой заготовки сое-
дините с одноименными наклейками
части Пб. Подготовленная таким об-
разом часть II похожа на большую ба-
бочку.
Вокруг каждой части I располагают-
ся три части II; их соединяют наклейки
216
V
на ребре i. Поскольку модель содер-
жит ровно 20 частей I, вам потребует-
ся 60 частей II. Но, кроме этого, будет
еще и часть III! Поэтому рекоменду-,
ем хорошенько разобраться в устрой-
стве части III и соединять все части по
мере их изготовления.
Одна секция части III представлена
на чертежах заготовок. Кусочки час-
ти III,б образуют двугранный клин; он
приклеивается к тройке красных (К)
кусков, из которых состоит часть III,а,
наклейками a, b, с, d, f. Легче всего на-
чать с наклеек Ь, тогда красные (К)
части с наклейками d и f можно согнуть,
образовав глубокий желоб, окружен-
ный белыми (Б) кусками части II 1,6.
Части, обозначенные на чертеже как
III,в и III,г, суть клинья. Лучше всего
подготовить их так, как показано,
оставив заштрихованные площади х
и у невырезанными. Тогда вы смо-
жете нанести на эти площади клей и
приклеить клинья на соответствующие
места, части III,а. Теперь перегните
нижнюю часть III,а. Сделав это, вы
убедитесь, что клинья глубоко проник-
нут в образовавшиеся при сгибе узкие
желобки.
Повторите описанную процедуру.
Вы получите новую секцию части 1П.
Теперь эти две секции следует соеди-
нить по ребру, отмеченному буквой j,
используя в качестве связки часть III,д.
Итак, работа над частью III заверше-
на. Внешне часть III похожа на клино-
образный сандвич: в качестве «хлеба»
здесь выступают два равносторонних
треугольника, (К), соединенные основа-
ниями, но несколько расходящиеся
в вершинах, а между ними прогляды-
вает «начинка» — коллекция малень-
ких клиньев. Для построения модели
потребуется 30 таких сандвичей.
Изготовив три из них, вы сможете их
подклеить вокруг соединения частей I
и II и тем самым завершите работу над
тремя вершинами многогранника и
начнете новые три вершины.
В процессе построения модели
нетрудно сообразить, каким образом
к ней присоединяются новые части I —
III и как они комбинируются между
собой. Части II и III чередуются по
кольцу, причем их ребра образуют на-
бор из десяти линий, сходящихся к цент-
ру додекаэдрального блока. Это обе-
218
I
тоятельство позволяет использовать
иной, отличный от предлагаемого
метод соединения частей модели. На-
личие длинных ребер у всех частей об-
легчает любой порядок соединения.
Можно предложить и иную раскрас-
ку модели. При желании можно исхо-
дить из обычной икосаэдральной рас-
краски 20 чаш — частей I. Шесть
четырехугольников части I получа-
ют тогда цвета ЖС, ЖЗ и ЖК (как
обычно, мы указываем раскраску
лишь первой чаши, раскраска осталь-
ных определяется простыми переста-
новками цветов). Раскраску частей II
и III несложно вывести в процессе ра-
боты, если исходить из требования, что
раскраска граней должна быть одно-
цветной.
Бесспорно, соединение частей рас-
смотренной модели занимает много
времени. Как и в предыдущем случае,
на ее изготовление вам потребуется
свыше 100 часов. Однако и здесь воз-
можны некоторые упрощения, кото-
рые сводятся к следующему: в час-
ти III можно опустить малые клинья
(части в и г) и просто сводить донце
части II 1,6 в точку вблизи наклейки у
части III а; в части II пренебречь по-
хожим на бабочку соединением II,в
и заменить его неглубоким двугран-
ным желобом с точечным основанием,
заполняющим площадь вблизи реб-
ра q части II б. Часть I следует оста-
вить без изменений. Такая упрощенная
модель будет иметь те же вершины,
что и более сложный оригинал, и лишь
с трудом различимые мелкие детали в
гранях будут опущены.
119 Большой
би ромбои косододекаэд р
g- L8
h 4.2
Длина ребра = 20 см
а ----- 4,2
b 5,2
с -- 1,6
d 4,1
Этот многогранник замечателен
по нескольким причинам. Прежде
всего математически он отличается
от всех других известных нам однород-
ных многогранников. Вы можете
спросить: не означает ли это, что су-
ществуют другие, подобные ему, кото-
рые пока не известны? На это мы мо-
жем ответить лишь цитатой из уже
упоминавшейся работы Кокстера и др.
«Однородные многогранники» ([18],
стр. 427): «Требования однородности,
накладываемые на более сложные мно-
гогранники, в свою очередь приводят
к ряду требований, которые оказыва-
ются несовместимыми. Поэтому наш
список однородных многогранников,
вероятно, является полным». Много-
гранник 119 входит в список под номе-
ром 75.
Существенным отличием изобра-
женного на фотографии многогран-
ника от остальных является и то обс-
тоятельство, что он единственный из
известных нам многогранников, в
каждой вершине которого сходятся
более чем Шесть граней. У него таких"
граней восемь. Они разбиваются на
пары, лежащие в одной плоскости: 12
221
пар пентаграмм, 20 пар треугольни-
ков и 30 пар квадратов, расположен-
ных в диаметральных плоскостях.
Вблизи каждой вершины части квад-
ратных граней чередуются с частями
других граней.
Мы предлагаем строить модель
многогранника методом соединения
додекаэдральных блоков. Централь-
ные их впадины напоминают впади-
ны на модели соединения десяти тет-
раэдров — одной из звездчатых форм
икосаэдра.
Начните со склеивания в кольцо на-
бора из пяти частей 1, раскрашенных
в соответствии с икосаэдральной
схемой (0). Отыскать эти, а также все
следующие части на чертежах граней
многогранника нетрудно. Склеенное
кольцо представляет собой вогнутую
пятиконечную звезду.
Проще всего раскрасить все части
квадратных граней модели одним цве-
том, скажем черным (Ч). Тогда следую-
щий этап сводится к подклеиванию
небольших V-образных частей 2 меж-
ду лучами вогнутой звезды: сначала
наклейкой а, а после того, как подсох-
нет клей, наклейкой Ь. Теперь вогнутая
звезда окружена своего рода «бахро-
мой», как у скатерти.
Сделав эту часть работы, присоеди-
ните части 3 наклейками, помеченны-
ми буквами с и d. Раскраска частей 3
должна соответствовать раскраске
части 1. Это соответствие нетрудно
определить исходя из того, что тре-
угольники части 3 лежат на продолже-
нии тех же граней, в которых находятся
половинки желобков — лучей звезды
части 1.
Теперь подклейте наклейки, по-
меченные буквой t, и пространст-
во между лучами звезды заполнится
окончательно. Оставшиеся наклейки
по ребрам е и f лежат по сторонам ко-
сого десятиугольника. Этим заверша-
ется построение вогнутой звезды —
центральной части одного додекаэд-
рального блока.
Переходите к соединению час-
тей 4—8. Части 4, 5 и 7 лежат в гранях
квадратов и поэтому должны быть ок-
рашены в черный (Ч) цвет. Пунктирные
линии следует нанести на тыльной
поверхности соответствующих час-
тей: по ним вы затем перегнете части.
Часть 6 лежит в плоскости треугольни-
ка, поэтому ее раскраска не совпадает
с раскраской соседних частей. И хотя
на чертеже она показана соединенной
с частями 5 и 7, в действительности ее
следует подготовить отдельно и лишь
затем подклеить на место. Раскраску
для двух частей 6 нетрудно определить,
руководствуясь обычной перестанов-
кой цветов, как описано ниже.
Для первого набора из.пяти пар
раскраска задается следующей после-
довательностью: ЖК, СЗ, ОЖ, КС, 30.
Порядок цветов для левого элемента
каждой пары: Ж, С, О, К, 3. По сущест-
ву тот же порядок сохраняется и для
каждого правого элемента, однако для
него следует начинать с. третьей пары,
продолжая раскраску правых элемен-
тов в циклическом порядке.. Для после-
дующих блоков вы должны исходить
из этого же принципа. Так, к примеру,
последовательность для блока (1)
такова: СО, ЖЗ, КС, ОЖ, ЗК (здесь
в основе лежит порядок: С, Ж, К, О, 3)
222
и т. д. При построении этого соедине-
ния оставляйте наклейки вдоль ребер
всех частей. Заштрихованную пло-
щадь на части 4 не отрезайте, нами она
не помечена; следовательно, здесь
не потребуются и наклейки.
Следующий этап работы во мно-
гом схож с одним из этапов работы
над моделью 116: без показа его также
практически нельзя описать сколько-
нибудь понятно. Однако надеемся, что
и здесь методом проб и ошибок вы до-
бьетесь успеха.
Начните с левой стороны соедине-
ния. Перегните части 6 и 7 по общему
ребру. При этом у вас образуется тре-
угольный клин или выступ. Нанесите
каплю-другую клея на наклейки g
и h, перегните части 4 и 5 и расположи-
те наклейки g и h на заштрихованной
площади части 4. Закрепите соедине-
ние зажимами с помощью пинцета и
дайте клею подсохнуть. То же проде-
лайте с правой стороной. По окончании
работы вы получите соединение, напо-
минающее бабочку. На его поверхнос-
ти несложно обнаружить глубокие
желобки между частями 4 и 5 и высту-
пающие клинья из частей 6 и 7, прони-
зывающие поверхности частей 4. Те-
перь вам остается приклеить часть 8
наклейками по ребрам j и к. Часть 8
следует окрасить в белый (Б) цвет, так
как она лежит в плоскости сдвоенных
пентаграмм.
Сделав пять соединений-бабочек,
обклейте ими вогнутую звезду по реб-
рам косого десятиугольника: наклей-
ки е и f частей 5 должны соединить-
ся с одноименными наклейками час-
тей 3. На первых порах рекомендуем
работать лишь с одними наклейками,
например по ребрам е. Как только клей
на них подсохнет, перегните получен-
ные соединения таким образом, чтобы
можно было склеить и наклейки f. По-
скольку они располагаются в до-
вольно острых двугранных углах,
вы можете воспользоваться зажи-
мами.
Итак, вы получили новое соедине-
ние: его края снова образуют косой
десятиугольник со сторонами, на-
клейки которых помечены буквами 1
ит. Обратите внимание: желобок меж-
ду частям^ 4 и 5 одной «бабочки» со-
единяется с аналогичным желобком
соседней. На этом этапе можно бы-
ло бы склеить указанные части по ли-
ниям их соприкосновения, но особой
необходимости нет. Постараемся объ-
яснить, как можно добавить следую-
щие звезды, чтобы на этом же месте
появились новые соприкасающиеся
линии. Но, поскольку вся эта часть мо-
дели снаружи не видна, а сама модель
достаточно прочна и без соединения
указанных частей, в целях упрощения
можно и не склеивать их между собой
по линиям соприкосновения. К тому же
это несколько упростит и выполне-
ние следующего этапа работы.
Части 9 и 10 лежат в плоскостях
сдвоенных пентаграмм, тогда как
часть 11 лежит в плоскости квадрата.
Поэтому части 9 и 10 следует окрасить
в белый (Б), а обе части 11 — в черный
(Ч) цвет. Можно вырезать последние
части из одной заготовки, перегнув ее
затем по пунктирной линии. Как
обычно, оставьте все наклейки по кра-
ям соединения. Наклейки пир имеют
223
особый рисунок. Их выступающие
отрезки понадобятся впоследствии
для соединения отдельных блоков меж-
ду собой. Будучи склеенными с дру-
гими наклейками, они образуют одно
целое. Перегиб по пунктирной линии
и даст дополнительную линию сопри-
косновения, о которой мы говорили
выше.
Это соединение — луч звезды —
сделать весьма несложно. Рекоменду-
ем прежде всего склеить между собой
наклейки q и г. Образуется глубокий
двугранный желоб. Теперь привяжи-
те соединение наклейками 1 и m к
одноименным наклейкам двух час-
тей 4.
Сначала подклейте наклейку 1, а
после того, как клей подсохнет, присо-
едините наклейку ш. Обклейте таким
способом все стороны косого десяти-
угольника, а затем соедините крест-на-
крест выступающие наклейки пиру
точечных оснований частей 8. Этим
процессом вы завершите работу над
одним додекаэдральным блоком.
Соединенные наклейки пир обра-
зуют совершенно ровные края пяти-
угольника — основания блока. Это
по существу правильный пятиуголь-
ник, если не считать того, что в его
вершинах располагаются V-образные
вырезы частей 9. Подготовив три та-
ких блока, соедините их между собой
наклейками п и р. В центре полученного
соединения образуется шестиуголь-
ное отверстие. Его следует закрыть сое-
динением, состоящим из частей 12
и 13. Шесть четырехугольников (часть
12) окрашены в черный (Ч) цвет, так
как они лежат в плоскостях шести пе-
ресекающихся квадратов. Они обра-
зуют боковые стенки чаши, основание
которой сходится в точности к центру
модели. Вблизи этого центра чаша под-
резается своим донцем; последнее пред-
ставляет собой неправильный шести-
угольник с равными сторонами, ле-
жащий в точности в центре плоскости
сдвоенных треугольников. Этот шести-
угольник указан на рисунке как часть 13.
Его раскраска выполняется одним
из цветов — Ж, С, О, К, 3.
Лучше всего сразу же подготовить
пять таких чаш (а всего их понадобит-
ся 20) и подклеить их к додекаэдраль-
ному блоку (0), как только он будет
сделан. Чтобы правильно определить
раскраску части 13, совместите точки z
части 13 и части 1: соответствующие
части должны быть одноцветными.
Для построения модели вам потре-
буется 12 додекаэдральных блоков.
Помните: прежде чем подклеить следу-
ющий блок, всегда заполняйте V-об-
разные вырезы секций 9. Метод соеди-
нения напомнит вам построение моде-
ли правильного додекаэдра, но какая
огромная разница между этими двумя
моделями! В то время как додекаэдр
имеет всего-навсего 12 плоских граней,
рассматриваемая модель состоит из 12
блоков весьма сложной конструкции.
Поистине замечательный многогран-
ник! Построение его модели отни-
мет у вас не менее 50 часов.
х
Последние замечания
Даже если вы смогли выполнить
лишь малую толику моделей невыпук-
лых однородных многогранников, вы
уже ознакомились с некоторыми свой-
ствами, присущими им в целом. Важно
помнить, что все они, за исключением
модели 119, могут быть получены при
рассмотрении треугольников Шварца.
Модель 119 представляет исключение
и по другой причине: это единственный
известный пока многогранник, каж-
дую вершину которого образуют более
чем шесть граней. Его вершины обра-
зованы чередованием четырех квадра-
тов с двумя треугольниками и двумя
пентаграммами. Все плоскости квадра-
тов проходят через центр симмет-
рии многогранника. Тем не менее
тело 119 относится к классу «курносых»
многогранников, поскольку эти квад-
раты можно рассматривать как «кур-
носые» грани, заменяющие в этом слу-
чае обычные «курносые» треугольни-
ки. Существование этого многогранни-
ка указывает на то, что не только сфе-
рические треугольники, но и много-
угольники могут порождать однород-
ные многогранники. Однако исследо-
вание всех возможных здесь случаев —
задача необычайно сложная и до сих
пор не решенная.
Возможно, вас несколько удивило,
что мы столь подробно останавлива-
лись на процессе продолжения граней
многогранников в части II. Мы соч-
ли нужным сделать это по ряду сооб-
ражений. Во-первых, указанный про-
цесс открывает новые области иссле-
дований. Во-вторых, он на редкость
прост и вместе с тем приводит к воз-
никновению огромного числа новых
форм, почти не поддающихся перечис-
лению. Проявив достаточную настой-
чивость, вы сможете обнаружить здесь
сколько угодно новых тел. В-третьих,
этот процесс помогает понять, что мо-
жет получиться, если мы будем продол-
жать не грани, но ребра многогранни-
ков. Продолжение ребер в свою оче-
редь приводит к появлению новых тел,
ребрами которых будут продолженные
отрезки. Простейший пример: про-
должения ребер додекаэдра порожда-
ют малый звездчатый додекаэдр.
Скелетная модель покажет вам это с
достаточной ясностью. Многие од-
нородные многогранники можно по-
лучить таким способом. Но не станем
подробно останавливаться на этом
вопросе; если угодно, попытайтесь ра-
зобраться в нем сами.
5 -731
225
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной книге представлены лишь
некоторые многогранные образы. Каж-
дый, кто знаком с этой темой, сразу
увидит, что здесь не рассмотрены ни
бесконечные семейства призм и анти-
призм, ни тела, двойственные архиме-
довым (за исключением трех тел, о ко-
торых упоминается на стр. 16—18), ни
многие другие формы. Среди двойст-
венных архимедовым телам два заслу-
живают особого внимания: ромбодо-
декаэдр и ромботриаконтаэдр. Послед-
ний приводится Канди и Роллеттом [19]
вместе с его звездчатыми формами,
найденными Люком. Однако эти звезд-
чатые формы заданы лишь общим ви-
дом, без точных чертежей. Чертежи не-
которых трафаретов опубликованы
Дж. Д. Эде ]21[. А ведь можно продол-
жать грани всех подобных тел, да и во-
обще всех многогранников!
Теперь, несколько уяснив себе су-
щество вопроса, вы сможете самостоя-
тельно найти необходимые трафа-
реты и, пользуясь описанной в дан-
ной книге технологией, строить новые
модели многогранников: ведь, поми-
мо описанных здесь, их великое мно-
жество! Конечно, целью научного ис-
следования является не размножение
все большего числа форм, а построение
соответствующей теории, определяю-
щей и классифицирующей различные
формы. Но любое научное исследова-
ние идет по индуктивному пути: преж-
де чем развить общую теорию, необхо-
димо изучить отдельные примеры. При
таком подходе есть надежда уловить
общие принципы, которые можно
будет положить в основу теории. Вот
из них-то путем дедукции и вырастает
теория! Многие не подозревают о том,
что подобный путь характерен для ма-
тематики, однако история ее изобилует
примерами, подтверждающими ска-
занное (ср. [8]).
Так что, возвращаясь к сравнению,
приведенному в предисловии, перед
вами расстилается широкая дорога.
Почему бы вам не продолжить путь
по ней?
226
Ограненная форма
малого звездчатого додекаэдра
(по Брюкнеру).
Реберная модель икосаэдра.
Реберная модель додекаэдра.
15*
Литература1
Многогранники
1*. А дам ар Ж., Элементарная геомет-
рия, ч. 2, М., Учпедгиз, 1958, гл. III
Дополнений к ч. 2 и Прибавление F.
2*. Перепелкин Д. И., Курс элемен-
тарной геометрии, ч. 2, М.—Л., Гос-
техиздат, 1949, гл. XIX.
3*. А ш к и н у з е В. Г., Многоугольники
и многогранники, Энциклопедия эле-
ментарной математики, кн. IV (Геомет-
рия), М., Физматгиз, 1963, стр. 382—
447.
4. Кокстер Г. С. М., Введение в гео-
метрию, М., изд-во «Наука», 1966,
гл. 10.
5. Люстерник Л. А., Выпуклые фи-
гуры и многогранники, М., Гостехиз-
дат, 1956.
6*. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н.,
Я г л о м И. М., Избранные задачи и
теоремы элементарной математики,
ч. 3, Геометрия (стереометрия), М.,
Гостехиздат, 1954, цикл задач 2.
7. Евклид. Начала, т. Ill, М.—Л.,
Гостехиздат, 1950, кн. XI—XII.
8. П о й а Д., Математика и правдопо-
добные рассуждения, М., ИЛ, 1957.
9? Александров А. Д.; Выпуклые
многогранники, М.—Л., Гостехиздат,
1950.
10.	Вгйскпег М., Vielecke und Viel-
flache, Leipzig, Tuebner, 1900.
11*. Griinbaum B., Convex Polytopes,
Lnd. — N. Y. — Sydney, Interscience
PubL, 1967.
Правильные и родственные
им многогранники
12.	Ш т е й н г а у з Г., Математический
калейдоскоп, М. — Л., Г остехиз дат,
1949; см. также Steinhaus Н., Ma-
thematical Snapshots, 2nd ed., Lnd., Ox-
ford Univ. Press, 1960.
13.	Гильберт Д., К о н - Ф о с с e н C.,
Наглядная геометрия, M.—Л., Гостех-
издат, 1951.
14*. Фейеш Тот Л., Расположения на
плоскости, на сфере и в пространстве,
М., Физматгиз, 1958.
15.	Со хе ter Н. S. М., Polyhedra, Ch. 5
в книге Ball W. W. R., Mathematical
Recreations and Essays, N. Y.—Lnd.,
Macmillan, 1965.
16.	С о x e t e r H. S. M., Regular Polyto-
pes, 3rd ed., N. Y., Dover PubL, 1973.
17.	Coxeter H. S. M., Du ValP.,
F 1 a t h e r H. T., P e t r i e J. F., The
fifty-nine Icosahedra, Toronto, Univ.
Toronto Press, 1951.
18.	Coxeter H. S. M., Longuet-
Higgins M. S., M i I le r J. С. P.,
Uniform Polyhedra, Phill. Trans., 246A,
401—450 (1954).
19.	C u n d у H. M., R о 11 e 11 A. P.,
Mathematical Models, 2nd ed., Lnd.,
Oxford Univ. Press, 1961.
20*. Holden A., Shapes, Space and Sym-
metry, N. Y. — Lnd., Columbia Univ.
Press, 1971.
21.	Ede J. D., Rhombic Triacontahedra,
Math. Gazette, XLII, №340, 98—100
(1958).
22.	Wenninger M. J., Some Interes-
ting Octahedral Compounds, Math. Ga-
zette, Lil, № 379, 16—23 (1968).
23.	Wenninger M. J., Polyhedron Mo-
dels for the Classroom., N. С. T. M. PubL,
1966.
24*. Коши О., Исследование о много-
гранниках, У МН (старая серия), X,
5—17 (1944); Кэли А., О четырех
новых правильных телах Пуансо, там
же, стр. J8—21; С трин гем В. И.,
Правильные фигуры в и-мерном про-
странстве, там же, стр. 22—23.
25*. А ш к и н у з е В. Г., О числе полупра-
вил ьных многогранников, сб. «Мате-
матическое просвещение» (новая се-
рия), вып. 1, М., Гостехиздат, 1957,
стр. 107—118.
26*. Гамаюнов В., Поход за звездами.
Знание — сила, № 2, стр. 58—59, 1973;
Архитектура, как общетеоретическая
часть художественного конструирова-
ния. Сб. трудов МГПИ им. Ленина,
вып. 2. М., 1974.
См. также [1], гл. III Дополнений к ч. 2
и Прибавление Е; [2—5]; [6], цикл за-
дач 3; [7], кн. XIII; [8].
Симметрия
27*. Вейль Г., Симметрия, М., изд-во
«Наука», 1968.
28*. Вигнер Е., Этюды о симметрии,
М., изд-во «Мир», 1971.
1 Звездочкой помечены ссылки на книги и статьи, отсутствующие в библиографии английского
оригинала книги.
228
29*. Шубников А. В., Копцик В. А.,
Симметрия в науке и искусстве, М.,
изд-во «Наука», 1972.
30*. Банн Ч., Кристаллы; их роль в при-
роде и науке, М., изд-во «Мир», 1970.
31*. Speiser A., Theorie der Gruppen von
endlicher Ordnung, 4 Aufl., Basel, Birk-
hauser Verlag, 1956.
32*. Fejes Toth L., Regular Figures,
Lnd.—N. Y., Pergamon Press, 1964.
33*. Г арднер M., Этот правый, левый
мир, М., изд-во «Мир», 1967.
34*. Мальцев А. И., Группы и другие
алгебраические системы, в книге «Ма-
тематика, ее содержание, методы и зна-
чение», т. Ill, М., изд-во АН СССР,
1956, стр. 248—251.
35*. Александров П. С., Введение в
теорию групп, М., Учпедгиз, 1938.
36*. Виленкин Н. Я., Яглом И. М.,
Теория групп и школьная математика,
сб. «Новое в школьной математике»,
М., изд-во «Знание», 1972, стр. 114—
146.
37*. Р ы д н и к В., От ромашки до антими-
ра, М., изд-во «Детская литература»,
1971.
См. также [4], гл. 4; 12; 13; 15.
Однородные многогранники
и книга М. Веннинджера
Книга, с которой вы только что познакомились, посвящена много-
гранникам. Ее страницы заполняют фотографии и рисунки, изоб-
ражающие разнообразные многогранные тела — сравнительно прос-
тые на первых страницах, но постепенно доходящие до весьма
изысканных форм, которые непросто даже вообразить, не говоря
уж об изготовлении соответствующих моделей. С другой стороны,
многогранники принадлежат к числу объектов, которые изучает
геометрия — наука, знакомая всем нам еще со школьной скамьи. Ис-
ходя из этого, казалось бы естественным отнести книгу «Модели мно-
гогранников» к сочинениям геометрического содержания и считать,
что перед нами научно-популярная книга по геометрии. Однако такой
подход к книге, которую вы держите сейчас в руках, представляется
мне не совсем правильным. Несколько заостряя вопрос, можно ска-
зать, что к науке геометрии книга Веннинджера имеет примерно
такое же отношение, как альбом рисунков зверей — к науке зоологии
или знаменитая картина Рафаэля «Афинская школа» — к науке фи-
лософии: ведь автор в ней ничего не доказывает, а предмет геометрии
составляют именно доказательства, позволяющие чисто логическим
путем выводить одни геометрические факты из других, известных
нам ранее. Поэтому, как мне кажется, книгу «Модели многогранни-
ков» надо рассматривать просто как альбом, в котором собраны
изображения удивительно красивых пространственных форм. Показ
фотографий сопровождается практическими указаниями по модели-
рованию собранных форм, причем указаниями весьма прозаическими:
в них указывается, в каком порядке следует изготавливать отдельные
детали той модели, которую бам захотелось подержать в руках, и
как целесообразнее всего склеивать между собой эти детали.
Разумеется, ребенок, перелистывающий красочный альбом с изоб-
ражениями зверей или прогуливающийся по зоопарку, может впослед-
ствии всерьез заинтересоваться животными и стать выдающимся
зоологом, а изображенные на картине Рафаэля философы, возможно,
и в самом деле побудят кого-либо к занятиям философией. Но и в том
случае, если этого не произойдет (а таких случаев, конечно, — боль-
шинство), прогулка по зоосаду или разглядывание картины великого
художника не только доставляют нам эстетическое наслаждение, но и
расширяют наш кругозор. Сходное значение, как мне кажется, имеет
и изучение этой любопытной книги, причем она, бесспорно, доставит
удоврльствие и окажется небезынтересной даже для тех читателей,
кто отнюдь не намерен заниматься изготовлением рассмотренных в
ней моделей. Но особую пользу книга Веннинджера принесет всем
тем, кто вслед за автором захочет собственноручно смастерить кое-
какие из описанных моделей (выпуклых и звездчатых) многогранных
форм.
Обращаясь именно к этой категории читателей (причем здесь легко
представить себе и «коллективного умельца», пытающегося воплотить
в жизнь описанные Веннинджером модели, — например, группу
школьников, работающую под руководством учителя математики,
черчения или труда), позволю себе сделать несколько рекомендаций.
Модели проще всего делать из белых листков картона или плотной
бумаги (для этой цели могут подойти, в частности, библиографиче-
ские карточки — они иногда продаются), раскрашивая отдельные
заготовки в разные цвета (здесь я рекомендовал бы использовать
темперу). Следует также тщательно выбрать клей - он должен быст-
230
ро засыхать и не образовывать комков. Постарайтесь выбрать самую
плотную цветную бумагу — тогда модель не будет мяться. Можно
использовать для изготовления моделей и продающиеся в писче-
бумажных магазинах наборы цветной бумаги; однако в таком случае
бумагу эту следует наклеить на более плотные белые листы, так как
иначе полученные вами модели окажутся недостаточно прочными и
будут легко сминаться.
Как уже было сказано выше, чтобы получить удовольствие от
книги Веннинджера, вовсе не обязательно проявлять серьезный ин-
терес к геометрии. Однако и тем, кто по-настоящему увлечен этим
предметом, книга доставит не меньшее удовольствие. В списке лите-
ратуры, приведенном в конце книги, читатель найдет ряд сочинений,
позволяющих ознакомиться с началами геометрической теории мно-
гогранников; рекомендую начать с элементарных учебников [1] и [2].
В рассчитанном на учащихся средней школы сборнике геометриче-
ских задач [6] (сопровождаемых собранными в конце книги подроб-
ными решениями) теории многогранников также уделено весьма
много места. Более серьезными по содержанию являются статья [3]
и сочинение [4] автора предисловия к настоящей книге, выдающегося
канадского геометра Гарольда С. М. Кокстера (правильнее было бы
сказать Коксетера, но у нас, к сожалению, укоренилась неточная транс-
крипция фамилии этого ученого); однако и они, на мой взгляд, вполне
доступны любознательному читателю, пусть обладающему лишь
школьной подготовкой.
Следует отметить, что зародившаяся еще в Древней Греции (а мо-
жет быть, и того раньше) теория многогранников переживает ныне
период нового расцвета. Чтобы убедиться в сказанном, достаточно
сравнить две книги: вышедшую в 1950 году и сегодня относимую
чуть ли не к «математической классике» монографию А. Д. Александ-
рова [9], подытожившую большой этап развития соответствующей
теории, и почти одноименную с ней обширную монографию Б. Грюн-
баума [11], увидевшую свет в 1967 году и в определенном смысле зна-
менующую собой новый этап: список литературы к последней книге
содержит около 450 названий, ббльшая (!) часть которых относится
к 60-м годам нашего столетия (причем в ряде важных аспектов книгу
Грюнбаума уже сегодня можно считать устаревшей). Этот неожидан-
ный «взрыв» интереса к древним многогранникам в значительной
степени объясняется новыми применениями, которые получила тео-
рия (выпуклых) многогранников в математической экономике и в име-
ющей в наши дни чисто прикладной характер теории графов. Наряду
с этим существенную роль сыграло здесь также типичное для совре-
менной математики «смещение акцентов» по сравнению с первой
половиной текущего столетия. Сейчас на авансцену математической
науки выдвинулись весьма далекие от дифференциального и инте-
грального исчисления (составляющего ядро математики в XVII —
XIX веках) «конечные», или «дискретные», объекты, примером кото-
рых могут служить и многогранники, задаваемые указанием конеч-
ного числа своих элементов (вершин, ребер и граней) и иногда доволь-
но сложной системой «инцидентностей» этих элементов (то есть ука-
заниями о принадлежностях вершин ребрам, вершин — граням и
ребер — граням)1.
‘Характерно, что сходный с теорией многогранников расцвет переживают сегодня
комбинаторика и теория чисел, также весьма далекие от «главных направлений» ма-
тематики прошлого столетия.
231
Даже весьма бегло просмотревший книгу «Модели многогранни-
ков» читатель сразу же отметит, что ее автора интересуют отнюдь
не все многогранники, а лишь самые «красивые» из них. Разумеется,
субъективное представление о красоте не поддается пока математиче-
ской формализации (и, надо надеяться, полная формализация здесь
никогда не будет достигнута!); однако для нашего времени характер-
но «нащупывание» первых подходов к «математизированному» опи-
санию понятия «красивого»1. В частности, красота рассматриваемых
Веннинджером правильных и полуправилъных {однородных) многогран-
ников ( а также других многогранников, близких к однородным), бес-
спорно, связана с высокой степенью их «симметричности». Симмет-
рия же пространственных форм сегодня является чисто математиче-
ским понятием: она задается совокупностью всех самосовмещений
данной формы, иными словами, всех движений, переводящих форму
в себя. По этому поводу читателя можно отослать в первую очередь
к замечательной книге одного из основоположников современной
математики и математического естествознания Германа Вейля [27],
а также к более близким к теме о «моделях многогранников» сочине-
ниям [29] и [30]. Во всех указанных книгах достаточно подробно гово-
рится о связи понятий «красота» и «симметрия»* 2 и обсуждаются фак-
торы, частично поясняющие причины привлекательности изображен-
ных на страницах данной книги моделей.
Видимо, именно эстетические соображения определили большой
интерес к правильным и полуправильным телам античных авторов:
Платона, по имени которого выпуклые правильные многогранники
зачастую (впрочем, без достаточных к тому оснований) называются
«Платоновыми телами»; Евклида, уделившего этим телам очень боль-
шое место в своих «Началах»3; Архимеда, впервые перечислившего
все выпуклые полуправильные многогранники (которые с тех пор
называются «архимедовыми делами»); Паппа и др. Эстетическая же
привлекательность рассматриваемых тел в совсем другой историче-
ский период вызвала пристальное к ним внимание прославленного
Иоганна Кеплера (впервые восстановившего математическое содер-
жание утерянного трактата Архимеда о полуправильных телах4):
Кеплер пытался объяснить строение Вселенной исходя из принципов
целесообразности и красоты (что не слишком, кстати сказать, отли-
чается от научных воззрений нашего времени, хотя основные пред-
посылки современных ученых далеко ушли от кеплеровского мисти-
цизма) — ив этой связи многократно возвращался к правильным
телам.
Хорошо известно, что размышления Кеплера относительно строе-
ния солнечной системы, в итоге приведшие к знаменитым «законам
Кеплера», начались с попытки (впоследствии оказавшейся неудачной)
к связать само число известных к тому времени планет солнечной систе-
мы, а также расстояния этих планет от Солнца с пятью правильными
многогранниками: согласно первому (и, несмотря на всю его ошибоч-
ность, замечательному) сочинению Кеплера «Предвестник космогра-
’Ср., например, Моль А., Теория информации и эстетическое восприятие, M.,
изд-во «Мир», 1966.
2 Специально этой теме посвящена, например, статья: Береснева В. Я., Я г-
л о м И. М., Симметрия и искусство орнамента, сб. «Ритм, пространство и время в
литературе и искусстве», Л., изд-во «Наука», 1974, стр. 274—289.
3 Это обстоятельство дало основание известному английскому ученому У. Д’Арси
Томпсону как-то шутливо заявить, что «Начала» Евклида представляют собой просто
сочинение о пяти правильных многогранниках, которое, однако, оказалось несколько
растянутым, поскольку автор задался целью предварительно сообщить читателю все
необходимые для понимания основной темы сведения.
4 По этому поводу см. [7], стр. 320—326.
232
фических исследований, содержащий космографическую тайну»
(«Prodromes Dissertationum Cosmographicarum, Contiens Mysterium
Cosmographicum», 1596), орбиты всех планет солнечной системы рас-
положены на сферах, которые последовательно вписаны в одни пра-
вильные тела и описаны вокруг других (в сферу, на которой лежит
орбита Сатурна, вписан куб; в этот куб вписана «сфера Юпитера»;
в последнюю вписан правильный тетраэдр, а в него — «сфера Марса»
и т. д.) — в этом-то, по Кеплеру, и заключается «космографическая
тайна»1. В предисловии к настоящей книге Кокстер цитировал замеча-
тельный как по содержанию, так и по литературной форме трактат
Кеплера «О снежинке, или Новогодний дар» («Mathematice Sterna Seu
De Nive Sexangula», 1611), в котором были предвосхищены многие
идеи современной геометрии и в котором правильные многогранники
«обыгрываются» весьма широко. Наконец в своем основном труде —
многотомной «Гармонии мира» («Harmonices Mundi» в 5 книгах;
1619) — Кеплер впервые указал на существование правильных
звездчатых многогранников (полная теория их изложена в го-
раздо более поздних по времени статьях О. Коши и А. Кэли [24]).
Новая волна интереса к правильным многогранникам и родственным
им телам1 2 сегодня связана с той ролью, которую в современной нау-
ке играют соображения симметрии (об этом говорится, например,
в вводной статье к книге [27], а также в [28] и [33]). Существенным
здесь оказался и чисто прикладной аспект учения о «правильных
телах» и свойственных им системах симметрии, связанный с кристал-
лографией (см. [29] или [30]). Курьезным проявлением этого интереса
явилось независимое открытие несколькими учеными в разных стра-
нах «дополнительного» полуправильного тела, видимо, не замечен-
ного ни Архимедом, ни Кеплером, благодаря чему был устранен
существовавший 2000 лет досадный пробел в теории этих тел (по этому
поводу см. подстрочное примечание на стр. 37)3. Любопытно также
отметить почти одновременное появление в наши дни двух весьма
близких сочинений о правильных и полуправильных многогранниках,
их выпуклых и звездчатых формах: я имею в виду книгу Веннинджера
«Модели многогранников» и несколько более «математичную» книгу
американского ученого Алана Холдена [20].
Не миновал интерес к соответствующим пространственным об-
разам также и нашу страну, о чем свидетельствуют, например, недав-
ние статьи [26] (автор которых, видимо, ранее был незнаком ни с на-
стоящей книгой, ни с книгой Холдена). Ясно, что характерный для
нашего времени широкий интерес к «правильным телам» в наиболее
общем понимании этого термина никак нельзя объяснить только чис-
то декоративным значением соответствующих пространственных
форм, о котором по преимуществу говорит Веннинджер в предисловии
к настоящей книге: этот интерес имеет более глубокие основания, кото-
1 См., например, Белый Ю. А., Иоганн Кеплер, М., изд-во «Наука», 1971,
стр. 38—46, в частности, приведенный в книге рисунок из «Космографической тайны»
Кеплера, на котором изображены правильные многогранники.
2 О них см., например, [1 —8], [13], [14] и др. Более серьезные изложения этой же темы
содержатся в монографиях [16] и [32], большой успех которых в наши дни весьма зна-
менателен.
3 Следует, однако, заметить, что пробел этот имеет достаточно естественное объяс-
нение: если исходить из указанного на стр. 12 определения полуправильных многогран-
ников (которое идет от Архимеда и Кеплера), то придется считать, что В. Г. Ашкинузе,
С. Билински и др. действительно обнаружили новое (14-е!) тело Архимеда. Однако с
точки зрения более глубоких соображений симметрии (которыми, видимо, инстинк-
тивно руководствовались древние авторы), этот многогранник можно и не причислять
к «полуправильным» телам.
233
рые, однако, вовсе не обязательно в полной мере осознать читателю,
пожелавшему перелистать страницы предлагаемой его вниманию
книги1.
Чему же сможет научиться читатель, внимательно изучивший со-
бранные в настоящей книге-альбоме пространственные формы или
даже попытавшийся самостоятельно изготовить те или иные из опи-
санных в ней моделей? Прежде всего, книга будет способствовать
развитию его «пространственного видения»: в частности, вниматель-
но изучившему книгу будущему инженеру в дальнейшем не покажутся
сложными никакие технические механизмы. Но гораздо более важным
кажется мне то, что потенциальный читатель этой книги научится
многосторонне воспринимать имеющую огромное общеобразо-
вательное значение идею симметрии — и это независимо от того,
знаком он с математическим определением симметрии или нет. Кроме
того, читатель (особенно «активный» читатель, который воспримет
книгу как «руководство к действию») научится распознавать (и созда-
вать) ту «холодную» красоту многогранных (или «кристаллических»1 2)
форм, которую с известным основанием можно рассматривать как
«прообраз» красоты вообще и о которой с таким волнением говорил
видный английский кристаллограф Чарлз Банн ([30], стр. 92):
«Кристаллические формы, исключительно примитивные с
точки зрения художника, во всяком случае несут в себе нечто
от эстетической привлекательности простоты: изучая эти эле-
ментарные формы, мы как бы приближаемся к самим основам
понятия формы; пытаясь же понять принципы их строения, мы
узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы
живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто
общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид
(огромная сила эстетического воздействия которых заключена
в строгости их очертанийш в простоте) и что-то созвучное на-
шему отношению к суровости чистой математики».
Так, может быть, это не так уж и мало?
И. Яглом
1 В частности, читатель вовсе не должен вникать в круг глубоких научных проблем,
связанных с часто встречающимся в книге Веннинджера понятием энантиоморфное! и
(быть может, этот термин следовало бы перевести как «зеркальность»), означающим,
попросту говоря, что рассматриваемые пространственные образы имеют ту же степень
сходства и различия, что и ваша левая и правая руки. Тех же, кого заинтересует эта проб-
лематика, мы отсылаем к доступной книге [33] (кое-что на эту тему имеется и в обращен-
ной к школьникам средних классов книге [37]) или к замечательной (но отнюдь не прос-
той) книге одного из классиков современного естествознания Вигнера [28].
2 Заметим, что все кристаллы имеют формы многогранников, причем зачастую —
многогранников довольно замысловатого строения.
Содержание
От автора ...................... 7
Предисловие .................... 9
ВВЕДЕНИЕ
Однородные многогранники .... II
Математическая классификация	14
I. ВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ.
ПЛАТОНОВЫ И АРХИМЕДОВЫ
ТЕЛА
Общие указания по изготовлению
моделей...................... 22
1.	Тетраэдр ...................... 24
2.	Октаэдр........................ 25
3.	Гексаэдр (куб)................. 26
4.	Икосаэдр....................... 27
5.	Додекаэдр...................... 29
6.	Усеченный	тетраэдр............. 30
7.	Усеченный	октаэдр ............. 31
8.	Усеченный	гексаэдр (куб) ....	32
9.	Усеченный	икосаэдр............ 33
10.	Усеченный	додекаэдр .......... 34
11.	Кубооктаэдр .................. 35
12.	Икосододекаэдр................ 36
13.	Ромбокубооктаэдр.............. 37
14.	Ромбоикосо до декаэдр.......	38
15.	Ромбоусеченный кубооктаэдр	39
16.	Ромбоусеченный икосододекаэдр
17.	Курносый куб.................. 41
18.	Курносый додекаэдр............ 42
II. НЕКОТОРЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ
ФОРМЫ И СОЕДИНЕНИЯ
Замечания о звездчатых формах и
соединениях платоновых тел . .	44
19.	Звездчатый октаэдр (stella oct un-
gula Кеплера).................... 47
20.	Малый звездчатый додекаэдр 43
21.	Большой додекаэдр..............49
22.	Большой звездчатый додекаэдр 50
Замечания о звездчатых формах
икосаэдра.................... 51
23.	Соединение пяти октаэдров 53
24.	Соединение пяти тетраэдров . .	54
25.	Соединение десяти тетраэдров .	55
26.	Первая звездчатая форма ико-
саэдра .......................... 56
27	Вторая звездчатая форма ико-
саэдра ...........................57
28. Третья звездчатая форма ико-
саэдра ......................... 58
29.	Четвертая звездчатая форма ико-
саэдра ............................. 59
30.	Пятая звездчатая форма ико-
саэдра ............................. 61
31.	Шестая звездчатая форма ико-
саэдра ............................. 63
32.	Седьмая звездчатая форма ико-
саэдра ............................. 64
33.	Восьмая звездчатая форма ико-
саэдра ............................. 65
34.	Девятая звездчатая форма ико-
саэдра ..........................	.	66
35.	Десятая звездчатая форма ико-
саэдра ............................. 67
36.	Одиннадцатая звездчатая форма
икосаэдра........................... 70
37.	Двенадцатая звездчатая форма
икосаэдра........................... 71
38.	Тринадцатая звездчатая форма
икосаэдра........................... 72
39.	Четырнадцатая звездчатая фор-
ма икосаэдра ....................... 73
40.	Пятнадцатая звездчатая форма
икосаэдра........................... 74
41.	Большой икосаэдр................ 75
42.	Завершающая звездчатая форма
икосаэдра........................... 77
Замечания о звездчатых формах
архимедовых	тел ............. 79
43.	Соединение куба и октаэдра . .	82
44.	Вторая звездчатая форма кубо-
октаэдра ........................... 83
45.	Третья звездчатая форма кубо-
октаэдра ........................... 84
46	Завершающая звездчатая форма
кубооктаэдра ....................... 85
Замечания об икосододекаэдре ...	87
47.	Первая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 90
48.	Вторая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 91
49.	Третья звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 92
50.	Четвертая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 93
51.	Пятая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 94
52.	Шестая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 95
53.	Седьмая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 96
54.	Восьмая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ....................... 97
235
55.	Девятая звездчатая форма ико-
со до декаэдра ................... 98
56.	Десятая звездчатая форма ико-
сододекаэдра ..................... 99
57.	Одиннадцатая звездчатая форма
и косод о декаэдра................. 100
58.	Двенадцатая звездчатая форма
и косо до декаэдра................. 101
59.	Тринадцатая звездчатая форма
и косо до декаэдра................ ЮЗ
60.	Четырнадцатая звездчатая фор-
ма икосо до декаэдра............. 104
61.	Соединение большого звездча-
того додекаэдра и большого
икосаэдра........................ 105
62.	Пятнадцатая звездчатая форма
и косо до декаэдра............... 106
63.	Шестнадцатая звездчатая форма
икосо до декаэдра................ 107
64.	Семнадцатая звездчатая форма
икосо до декаэдра................ 108
65.	Восемнадцатая звездчатая форма
икосо до декаэдра................ 109
66.	Завершающая звездчатая форма
икосодо декаэдра	110
III. НЕВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
Замечания ......................... 114
Общие указания по изготовлению
моделей невыпуклых однородных
многогранников................ 116
67.	Тетрагем и гексаэдр............ 118
68.	Октагемиоктаэдр................ 120
69.	Малый кубокубооктаэдр ....	121
70.	Малый битригональный икосо-
додекаэдр ....................... 123
71.	Малый икосоикосододекаэдр	125
72.	Малый до декоикосо до декаэдр .	127
73.	До деко до декаэдр............. 129
74.	Малый ромбододекаэдр ...	130
75.	Усеченный большой додекаэдр	132
76.	Ромбодо деко до декаэдр ....	133
77.	Большой кубокубооктаэдр . .	135
78.	Кубогемиоктаэдр................ 137
79.	Кубооктоусеченный кубооктаэдр	138
80.	Битригональный додекаэдр . .	140
81.	Большой битригональный доде-
коикосо до декаэдр .............. 142
82.	Малый битригональный додеко-
икосодо декаэдр ..................143
83.	И косод одеко до декаэдр ....	145
84.	И косо до декоусеченный	икосо-
до декаэдр 	 147
85.	Квазиромбокубооктаэдр ...	149
86.	Малый ромбогексаэдр ....	151
87.	Большой битригональный ико-
содо декаэдр ..................... 152
88.	Большой и косой косо до декаэдр	154
89.	Малый икосогемидодекаэдр	157
90.	Малый додекоикосаэдр ...	158
91.	Малый додекогемидодекаэдр	160
92.	Квазиусеченный гексаэдр . .	161
93.	Квазиусеченный кубооктаэдр	163
94.	Большой икосододекаэдр ...	165
95.	Усеченный большой икосаэдр .	166
96.	Ромбоикосаэдр.................. 167
97.	Квазиусеченный звездчатый до-
декаэдр .......................... 169
98.	Квазиусеченный додекаэдр	170
99.	Большой додекоикосододекаэдр	172
100.	Малый додекогемиикосаэдр . .	173
101.	Большой додекоикосаэдр ...	174
102.	Большой додекогемиикосаэдр .	176
103.	Большой ромбогексаэдр ...	177
104.	Квазиусеченный большой звезд-
чатый додекаэдр.................. 179
105.	Квазиромбоикосодо декаэдр . .	180
106.	Большой икосогемидодекаэдр .	183
107.	* Большой додекогемидодекаэлр	184
108.	Большой квазиусеченный ико-
со до декаэдр .................... 185
109.	Большой ромбододекаэдр ...	187
Замечания о невыпуклых курносых
многогранниках ................ 190
110.	Малый курносый икосододе-
каэдр ........................... 191
111.	Курносый додекододекаэдр . .	193
112.	Курносый икосодо деко до дека-
эдр .............................. 196
113.	Большой вывернутый курносый
икосо до декаэдр.................. 198
114.	Вывернутый курносый додеко-
до декаэдр ....................... 199
115.	Большой курносый додекоико-
сододекаэдр ...................... 202
116.	Большой курносый икосододе-
каэдр ............................ 205
117.	Большой вывернутый обратно-
курносый и косо до декаэдр . . .	209
118.	Малый вывернутый обратно-
курносый икосоикосодо декаэдр	215
119.	Большой биромбоикосо до де-
каэдр ............................ 221
Последние замечания................ 225
Заключение......................... 226
Литература......................... 228
И. Яглом. Однородные многогран-
ники и книга	М. Веннинджера	230
236
М. Веннинджер
МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ
Редактор И. Хидекель
Художник А. Шипов
Художественный редактор Ю. Максимов
Технический редактор Е. Потапенкова
Корректор В. Постнова
Сдано в набор 21/1 1974 г. Подписано к печати
26/VI 1974 г. Бумага офсетн. № 1 70 х 108 !Л6 —
= 7,50 бум. л. Печ. л. усл. 21,00. Уч.-изд. л. 16,39.
Изд. № 21/7145. Цена 1 р. 36 к. Зак. № 731
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграф-
прома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, по-
лиграфии и книжной торговли. Ярославль, ул.
Свободы, 97.
М. ГАРДНЕР
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НОВЕЛЛЫ
Перевод с английского
Издательство «Мир»
Москва
1974 г.
«Математические новеллы» — третья
встреча нашего читателя литературы
по занимательной математике с из-
вестным американским популяризато-
ром науки Мартином Гарднером. Как
и в двух предыдущих книгах («Мате-
матические головоломки и развлече-
ния», «Мир», 1971 и «Математические
досуги», «Мир», 1972), в ней собраны
не только очерки на самые разнооб-
разные математические темы, но и ув-
лекательные задачи из области комби-
наторной геометрии, теории множеств,
математические задачи, решение кото-
рых связано с применением физических
идей, разнообразные игры, фокусы.
Г. ШТЕЙНГАУЗ
ЗАДАЧИ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Перевод с польского
Издательство «Мир»
Москва
1974 г.
В книге «Задачи и размышления» за-
мечательного польского математика
Гуго Штейнгауза любителей занима-
тельной математики ожидают встречи
с новыми задачами, в том числе с зада-
чами «доктора всех математических
наук» Сильвестра Шарадека, занима-
тельное введение в теорию вероятно-
стей «Орел или решка?» и популярные
статьи о взаимосвязи математики с
другими науками и ее роли в совре-
менном мире.
С. В. ГОЛОМБ
полимино
Перевод с английского
Издательство «Мир»
Москва
1975 г.
Книга известного ученого, специалиста
в области теории информации и ста-
тистики, С. В. Голомба «Полимино»
пользуется заслуженным успехом у лю-
бителей занимательной математики во
всем мире. В ней собраны задачи, свя-
занные с укладкой наборов специаль-
ных фигурок на шахматных и сходных
с ними досках. Полимино — простей-
ший частный случай таких фигур. Ре-
шение задач не предполагает специаль-
ных знаний, но требует определенной
изобретательности.