Автор: Рябенький B.C.
Теги: вычислительная математика численный анализ математика учебное пособие
ISBN: 5-9221-0047-5
Год: 2000
Текст
B.C. РЯБЕНЬКИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ
МАТЕМАТИКУ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2000
УДК 519.6 @75.8)
ББК 22.19
Р98
Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику:
Учеб. пособие. — 2-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 296 с. —
ISBN 5-9221-0047-5.
Изложены основные понятия и идеи, используемые для преобразования
математических моделей к виду, удобному для изучения с помощью ЭВМ.
Изложение ведется на материале вычислительных задач математического
анализа, алгебры и дифференциальных уравнений. Впервые в учебной ли-
литературе отражен метод разностных потенциалов для численного решения
краевых задач математической физики.
Для студентов механико-математических и физических факультетов
университетов, МФТИ, МИФИ, политехнических и других вузов.
Табл. 5. Ил. 42. Библиогр. 24 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Л.А. Чудов;
кафедра прикладной математической физики МИФИ.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000
© B.C. Рябенький, 1994;
ISBN 5-9221-0047-5 с исправлениями 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга соответствует вводному полугодовому кур-
курсу вычислительной математики для студентов Московского физико-
технического института, различные варианты которого более двадца-
двадцати лет читает автор. Книга адресована студентам технических вузов
различных профилей.
Цель книги — сообщить достаточно стабильные и общие понятия
и идеи, относящиеся к преобразованию математических моделей раз-
различных прикладных задач к виду, удобному для вычисления их реше-
решений с помощью компьютеров. Изучение книги должно давать возмож-
возможность сравнительно легко доучиваться для работы в разнообразных и
быстро развивающихся конкретных областях. Общая методология со-
сообщается и иллюстрируется в книге на материале численных методов
математического анализа, алгебры и дифференциальных уравнений,
поскольку эти методы лучше развиты, содержат достаточно совер-
совершенные алгоритмы и часто применяются в удаленных друг от друга
конкретных прикладных задачах.
Наряду с традиционным для учебной литературы по вычислитель-
вычислительной математике материалом книга дает представление о модифици-
модифицированных граничных уравнениях Кальдерона и методе разностных
потенциалов для их численного решения, а также содержит изложе-
изложение локальных формул гладкого восполнения функций.
При изложении метода конечных разностей использована книга
С.К. Годунова и B.C. Рябенького "Разностные схемы".
Структура книги допускает изучение материала с различной глу-
глубиной. Это достигается расположением материала и подбором задач.
Для более полного и глубокого изучения многих вопросов, осве-
освещенных в учебнике, можно воспользоваться книгами К.И. Бабенко
[1], Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова и Г.М. Кобелькова [2], С.К. Году-
Годунова и B.C. Рябенького [6, 7], Н.Н. Калиткина [9], Г.И. Марчука [12],
А.А. Самарского [18], А.А. Самарского и Е.С. Николаева [20], а так-
также другими книгами и журнальными публикациями, указанными в
тексте.
Отметим еще, что изучение книги можно сделать более наглядным
и увлекательным, если воспользоваться предназначенным для этого
Предисловие
циклом компьютерных учебных демонстрационно-лабораторных ра-
работ. Этот цикл создан сотрудниками кафедры вычислительной ма-
математики МФТИ В.Д. Ивановым, П.Н. Коротиным, В.И. Косаревым,
И.Б. Петровым (руководитель работ), В.Б. Пироговым, B.C. Рябень-
Рябеньким (научный руководитель), Д.С. Северовым, А.Г. Тормасовым,
СВ. Утюжниковым. В программной реализации цикла участвовали
студенты В.В. Бойков, Д.Л. Будько, К.Б. Бухаров, А.Ю. Езерский,
А.Б. Константинов, С.А. Корытник, Ю.П. Кравченко, Ю.Д. Крикунов,
Д.В. Лунев, В.А. Торгашов, А.А. Терехин, Г.Л. Химичев. Краткое опи-
описание цикла приведено в конце книги.
В заключение автор сердечно благодарит академика О.М. Белоцер-
ковского, который в момент создания кафедры вычислителышй ма-
математики МФТИ поручил ему чтение первого обязательного общего
курса вычислительной математики. Олег Михайлович неоднократно
обсуждал с автором цели курса в условиях физтеха и соответствую-
щий этим целям характер курса. Подготовка и чтение лекций оказа-
оказались началом работы автора над предлагаемой книгой.
Автор сердечно благодарит также всех своих коллег по работе
в МФТИ и особенно В.В. Демченко, В.Д. Иванова, В.И. Косарева,
В.Я. Митницкого, Н.П. Онуфриеву, И.Б. Петрова, В.Б. Пирогова,
Л.М. Стрыгину, Р.П. Федоренко, А.С. Холодова и Л.А. Чудова за мно-
многолетнее сотрудничество, оказавшее влияние на книгу.
Автор сердечно благодарит своего коллегу К.В. Брушлинского,
прочитавшего книгу в рукописи, за ряд полезных замечаний.
Автор выражает глубокую благодарность профессору К.И. Бабен-
ко и профессору О.В. Локуциевскому, с которыми также плодотворно
обсуждал вопросы преподавания.
B.C. Рябенький
ВВЕДЕНИЕ
Современная вычислительная математика ориентирована на ис-
использование компьютеров для прикладных расчетов. Любые матема-
математические приложения начинаются с построения модели явления (из-
(изделия, действия, ситуации или другого объекта), к которому
относится изучаемый вопрос. Классическими примерами математи-
математических моделей могут служить определенный интеграл, уравнение
колебаний маятника, уравнение теплообмена, уравнения упругости,
уравнения электромагнитных волн и другие уравнения математичес-
математической физики. Назовем еще для контраста модель формальных рассуж-
рассуждений — алгебру Буля.
Основополагающими средствами изучения математических моде-
моделей являются аналитические методы: получение точных решений в
частных случаях (например, табличные интегралы), разложения в ря-
ряды. Определенную роль издавна играли приближенные вычисления.
Например, для вычисления определенного интеграла использовались
квадратурные формулы.
Появление в середине XX века электронных вычислительных ма-
машин (компьютеров) радикально расширило возможности приложения
математических методов в традиционных областях (механике, физи-
физике, технике) и вызвало бурное проникновение математических мето-
методов в нетрадиционные области (управление, экономику, химию, био-
биологию, психологию, лингвистику, экологию и т. п.).
Компьютер дает возможность запоминать большие (но конечные)
массивы чисел и производить над ними арифметические операции и
сравнения с большой (но конечной) скоростью по заданной вычисли-
вычислителем программе. Поэтому на Компьютере можно изучать только те
математические модели, которые описываются конечными наборами
чисел, и использовать конечные последовательности арифметических
действий, а также сравнений чисел по величине (для автоматического
управления дальнейшими вычислениями).
В традиционных областях математическими моделями служат
функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения.
Для использования компьютеров эти исходные модели надо прибли-
приближенно заменить такими, которые описываются конечными наборами
Введение
чисел с указанием конечных последовательностей действий (конеч-
(конечных алгоритмов) для их обработки. Например, функцию следует за-
заменить таблицей; производную
= lim
dx h-ю
заменить приближенной формулой
Пх) „ /(
определенный интеграл — суммой; краевую задачу для дифферен-
дифференциального уравнения — задачей об отыскании таблицы значений ре-
решения в узлах некоторой сетки, причем так, чтобы выбор шага сет-
сетки позволял достигать любой требуемой точности. Оказывается, из
двух, на первый взгляд равноценных способов один может оказаться
принципиально непригодным из-за того, что доставляемое им при-
приближенное решение не стремится к искомому при измельчении шага
сетки, или из-за катастрофически сильной чувствительности к по-
погрешностям округления.
Теория таких моделей и алгоритмов составляет предмет вычисли-
вычислительной математики. Эта теория тесно связана с теориями приближе-
приближения и интерполяции функций, уравнений с частными производными,
интегральных уравнений, информационной сложности функциональ-
функциональных классов, алгоритмов, а также с языками программирования для
расчетов на компьютере и т. д. Современные вычислительные мето-
методы позволяют, например, рассчитать характеристики обтекания га-
газом тела заданной формы, что недоступно аналитическим методам
(подобно нетабличному интегралу).
С использованием компьютера стал возможен вычислительный
эксперимент, т. е. расчет в целях проверки гипотез, а также в целях
наблюдения за поведением модели, когда заранее не известно, что
именно заинтересует исследователя. В процессе численного экспери-
эксперимента происходит по существу уточнение исходной математической
постановки задачи. В процессе расчетов на компьютере происходит
накопление информации, что дает возможность в конечном счете про-
произвести отбор наиболее интересных ситуаций. На этом пути сделано
много наблюдений и открытий, стимулирующих развитие теории и
имеющих важные практические применения.
С помощью компьютера возможно применение математических
методов и в нетрадиционных областях, где не удается построить ком-
компактные математические модели вроде дифференциальных уравне-
уравнений, но удается построить модели, доступные запоминанию и
изучению на компьютере. Модели для компьютеров в этих случаях
представляют собой цифровое кодирование схемы изучаемого объек-
объекта (например, языка) и отношений между его элементами (словами,
§1. Дискретизация
фразами). Сама возможность изучения таких моделей на компьюте-
компьютере стимулирует появление этих моделей, а для создания обозримой
модели необходимо выявление законов, действующих в исходных объ-
объектах. С другой стороны, получаемые на компьютере результаты (на-
(например, машинный перевод упрощенных текстов с одного языка на
другой) вносят критерий практики в оценку теорий (например, линг-
лингвистических теорий), положенных в основу математической модели.
Благодаря компьютерам стало возможным рассматривать вероят-
вероятностные модели, требующие большого числа пробных расчетов, ими-
имитационные модели, которые отражают моделируемые свойства объек-
объекта без упрощений (например, функциональные свойства телефонной
сети).
Разнообразие задач, где могут быть использованы компьютеры,
очень велико. Для решения каждой задачи нужно знать многое, свя-
связанное именно с этой задачей. Естественно, этому нельзя научиться
впрок.
Целью этой книги является сообщение тех основных понятий, идей
и методов, владение которыми позволяет сравнительно быстро на-
научиться работать в конкретных областях. Это реализуется на ма-
материале вычислительных задач алгебры, математического анализа,
дифференциальных уравнений, поскольку здесь методы хорошо раз-
развиты и применяются в далеких друг от друга областях.
Назовем некоторые общие понятия и идеи, которые требуют вни-
внимания и наполняются конкретным содержанием в зависимости от за-
задачи, которую предстоит решать с помощью компьютера. Это — дис-
дискретизация задачи; обусловленность задачи; погрешность численного
метода; вычислительная устойчивость алгоритма; сравнение алгорит-
алгоритмов по полноте используемой ими входной информации, по
используемой памяти и числу арифметических действий. Алгорит-
Алгоритмы могут отличаться возможностью распараллеливания для одновре-
одновременного проведения вычислений на многопроцессорном компьютере.
Одним из плодотворных и основных методов вычислительной мате-
математики является комбинированное использование аналитических и
компьютерных средств.
Здесь, во введении, мы предварительно познакомим читателя с
перечисленными понятиями. Это даст некоторое общее представление
о предмете вычислительной математики и подготовит к изучению
дальнейшего материала.
§ 1. Дискретизация
Пусть требуется найти приближенное решение какой-либо задачи,
в которой в качестве входных данных участвует какая-либо функция
f(x), определенная на всем (бесконечном) множестве точек отрезка
8 Введение
О ^ х ^ 1. Значения этой функции при каждом фиксированном х мож-
можно получить измерениями или вычислениями. Для запоминания этой
функции в памяти компьютера необходимо приближенно описать ее
таблицей значений на некотором конечном множестве отдельных то-
точек хо, Х\, ..., хп. Это — простейший пример дискретизации задачи:
от задачи запоминания функции на отрезке [0,1] мы перешли к зада-
задаче запоминания таблицы значений на дискретном множестве точек
х0, Xi,..., хп из этого отрезка.
Пусть функция f(x) имеет достаточное число производных, а нам
требуется вычислить ее производную f'(x) в данной точке х. Задачу
отыскания
гч \ v fix+ h)-f(x)-
f (x) = hm — ~—-i—L,
h-yO fl
содержащую предельный переход, можно заменить приближенно за-
задачами вычисления по одной из формул
Для замены производной f"(x) можно воспользоваться формулой
Л*) « /(' +*)-VW+ /('-*). D)
Все эти формулы уточняются при уменьшении h, а при каждом фик-
фиксированном h определены для конечных наборов значений функции и
используют только арифметические операции. Эти формулы — при-
примеры дискретизации задачи о вычислении производных f'(x), f"(x).
Рассмотрим краевую задачу
1/@) = 2, »A) =3,
об отыскании функции у(х), определенной на отрезке 0 ^ х ^ 1. Для
построения приближенной дискретной модели этой задачи осущест-
осуществим следующие два шага.
Разобьем отрезок 0 ^ х ^ 1 на N равных частей длины h = N~x
каждая, а вместо функции у(х) будем искать набор значений j/o, J/i, ¦••
..., j/jv этой функции в точках х^ = kh (к = 0,1,..., N). В точках ж*
(к = 1, 2,..., 7V — 1) заменим производную у"(х) приближенно по фор-
формуле D) и получим
+ Vk-i {щ2ук = cos kh fc=sii2,...,iV-l. F)
§2. Обусловленность
Кроме того, в силу граничных условий E) положим
Уо = 2, ум = 3. G)
Система N + 1 линейных уравнений F), G) относительно того же
числа неизвестных у0, ylt ..., yN является дискретным аналогом за-
задачи E).
Есть основания думать, что с ростом N решение задачи F), G)
есть все более точная таблица значений решения задачи E) (в даль-
дальнейшем это будет показано).
Обозначим континуальную краевую задачу через М^, а дискрет-
дискретную краевую задачу F), G) через Мм- Тогда можно сказать, что за-
задаче Моо мы сопоставили бесконечную последовательность дискрет-
дискретных задач Мм (N = 2,3,...).
Вычисляя решение задачи Мм при каком-либо фиксированном N,
мы имеем дело с конечным набором чисел, задающих входные дан-
данные, и с конечным набором чисел уо, j/i, ..., yN, подлежащих отыска-
отысканию. Однако вычислительная математика обычно ставит своей целью
предложить именно последовательность уточняющихся дискретных
моделей Мм, так как это дает возможность выбрать то N, которое
обеспечивает выполнение требований к точности.
Переход от континуальной задачи М^ к последовательности Мм
ее дискретных моделей возможен многими способами. Пусть {Мм},
{M'N} — какие-нибудь две последовательности таких моделей, при-
причем вычисление решений дискретных задач Мм, M'N требует равных
затрат. Тогда предпочтение надо отдать тому способу дискретизации,
при котором решение дискретной задачи может служить решением
исходной задачи с заданной точностью при меньшем значении N.
Бывает, что из двух, казалось бы, равноценных способов дискре-
дискретизации Мм и M'N один при возрастании N дает все более точное
приближение к решению континуальной задачи М^, а другой приво-
приводит к "приближенному решению" задачи, которое с ростом N теряет
какое-либо сходство с искомым решением. С этой ситуацией и спосо-
способами ее преодоления мы встретимся в части III книги.
Задача
Пусть f(x) имеет ограниченные производные до требуемого порядка.
Показать, что погрешности приближенных формул A)-D) суть вели-
величины О(Л), О(Л), О(Л2), О(Л2).
§ 2. Обусловленность
Во всякой задаче требуется по входным данным сделать заклю-
заключение о каких-либо свойствах решения. Похожие на первый взгляд
задачи могут резко отличаться чувствительностью интересующих
10 Введение
свойств решения к возмущению входных данных. Если эта чувстви-
чувствительность "мала", то задача считается хорошо обусловленной; в про-
противном случае — плохо обусловленной. Обычно плохо обусловленные
задачи не только предъявляют высокие требования к точности зада-
задания входных данных, но и более трудны для вычислений.
Пример. Пусть концентрация у = y(t) некоторого вещества в мо-
момент времени t есть функция, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению
Фиксируем произвольно t0 @ ^ to ^ 1) и делаем приближенное
измерение j/q концентрации уо = J/(*o), получив
y\t=to = Уо-
Задача состоит в определении концентрации у = y(t) в произвольный
момент времени t из отрезка 0 ^ t ^ 1.
Если бы число j/o = 2/(*о) было известно точно, то можно было бы
указать точную формулу
y(t) = 2/ое'-'°
для концентрации. Но мы знаем лишь приближенное значение j/q и Уо
числа j/o- Поэтому вместо yff) = уое1О^~1°^ мы можем указать лишь
приближенную формулу y*(t) = у^е10^~1°\ Очевидно, что погреш-
погрешность у* — у выражается формулой
y*(t) - y(t) = ($ - j/o)elo(t-to), 0$ t ^ 1.
Допустим, нам нужно произвести замер у? с такой точностью 6,
\Уо ~ Уо\ < <5> чтобы гарантировать некоторую заданную точность
е > 0 всюду на отрезке 0 ^ t ^ 1, т. е. гарантировать оценку
\y*(t)-y(t)\<e, O^t^l.
Очевидно, max \y*(t) - y(t)\ = |y*(l) - y(l)| = \y*D - j/o|eioA-to).
Отсюда получаем следующее требование к точности 6 измере-
измерения уо:
Пусть измерение у0 производится в момент t0 = 0. Тогда требо-
требование к точности 6 измерения будет в е10 раз, т. е. в тысячи раз,
выше, чем требуемая гарантированная точность е результата. Ответ
весьма чувствителен к погрешности задания входных данных, т. е.
Уо, и задача плохо обусловлена.
Если измерение производить при t0 = 1, то ё — е, т. е. достаточно
измерения с гораздо меньшей точностью, чем в случае to = 0, и задача
хорошо обусловлена.
§3. Погрешность 11
Задачи
1. На каком из двух отрезков, г[1/2,1] или [—1,0], задача вычисления
2/A + х)/{1 — х) по х лучше обусловлена.
2. Пусть у = у/2 — 1. Можно написать также у — (л/2 + I). Какая из
двух формул чувствительнее к погрешности при приближенном задании
у/2 в виде конечной десятичной дроби?
Указание. Сравнить модули производных функций (а; — 1) и
1
§ 3. Погрешность
Во всякой вычислительной задаче по некоторым входным данным
задачи требуется найти ответ на поставленный вопрос. Если ответ
на вопрос задачи можно дать с абсолютной точностью, то погреш-
погрешность отсутствует. Но обычно удается найти ответ лишь с некоторой
погрешностью. Погрешность вызывается тремя причинами.
Первая причина — некоторая неопределенность при задании вход-
входных данных, которая приведет к соответствующей неопределенности
в ответе: ответ может быть указан лишь с некоторой погрешностью,
которая носит название неустранимой погрешности.
Вторая причина: если мы ликвидируем неопределенность в зада-
задании входных данных, фиксировав какие-либо входные данные, а затем
будем вычислять ответ с помощью какого-нибудь приближенного ме-
метода, то найдем не в точности тот ответ, который соответствует этим
фиксированным входным данным. Возникает погрешность, связанная
с выбором приближенного метода вычислений.
Третья причина: сам выбранный нами приближенный метод реа-
реализуется неточно из-за погрешностей округлений при вычислениях
на реальном компьютере.
Погрешность результата складывается, таким образом, из неустра-
неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешности округлений.
Проиллюстрируем эти понятия.
1. Неустранимая погрешность. Пусть задача состоит в вычисле-
вычислении значения у некоторой функции у = f(x) при некотором х = t.
Число t и соответствие /, в силу которого каждому значению аргу-
аргумента сопоставляется значение функции, служат входными данными
задачи, а число y(t) — решением.
Пусть функция f(x) известна лишь приближенно, например, f(x) w
» siii ж, причем известно лишь, что f(x) отличается от sin а; не более,
чем на некоторую величину е > 0:
sin х — s ^. f(x) ^ sin х + е. A)
Пусть значение аргумента х == t получается приближенным измерени-
измерением, в результате которого получаем некоторое х — V, причем известно
12
Введение
лишь, что t лежит в пределах
t" -S^t^t' +6, B)
где S > О — число, характеризующее точность измерения.
Из рис. 1 видно, что величиной у = f(t) может оказаться любая
точка отрезка [а, Ь], где а = sin(f — S) — е, b = sin(f +6) +е. Понятно,
у1
ъ
а
/Of
L
-V
/
У.
t*-s t*
t*+6
sinx
X
Рис. 1
что, приняв за приближенное значение числа у — f(t) любую точку
у" отрезка [а, Ь], можно гарантировать оценку погрешности
\у-у*\?\Ъ-а\. C)
Эту оценку погрешности нельзя существенно уменьшить при
имеющихся неполных входных данных. Самая малая погрешность,
которую можно гарантировать, получается, если принять за у* сере-
середину отрезка [а,Ь], положив
Из рис. 1 видно, что гарантирована оценка
|!/-!&,т.1<|Ь-а|/2. D)
Это неравенство станет точным равенством, если y(t) = а или y(t) = Ь.
Таким образом, \Ь — а\/2 и есть та неустранимая (неуменьшае-
мая) погрешность, которую можно гарантировать при имеющихся
неопределенных входных данных в случае самого удачного выбора
приближенного решения у*пт.-
Оптимальная оценка D) ненамного лучше оценки C). Поэтому мы
не отступим от здравого смысла, если о любой точке у* € [a, b], a не
только о точке 2/*пт., условимся говорить, что она есть приближенное
решение задачи вычисления числа y(t), найденное с неустранимой
погрешностью, а вместо \Ь — а\/2 из D) за величину неустранимой
погрешности примем (условно) число \Ь — а\.
2. Погрешность метода. Положим у" = suit*. Число у* принадле-
принадлежит отрезку [а, Ь] и является неулучшаемым приближенным решени-
решением задачи, погрешность которого удовлетворяет оценке C) и неустра-
неустранима. Точка у* = sint* выбрана среди других точек отрезка [а,Ь],
§3. Погрешность 13
потому что она задается удобной для дальнейшей работы формулой.
Для вычисления числа у" = sini* на компьютере воспользуемся
разложением функции sin а; в ряд:
a;-||- + |j--... E)
Для вычисления у" можно воспользоваться одним из приближен-
приближенных выражений
ft*K
у rv y2 —I Tj—,
¦¦•¦ F)
/,*\2fc-l
IT»
Выбирая для приближенного вычисления у* одну из формул F), мы
тем самым выбираем метод вычисления.
Величина \у" — у^\ есть погрешность метода вычислений.
Фактически выбранный нами метод вычисления зависит от па-
параметра п и позволяет добиваться, чтобы погрешность метода была
меньше любой наперед заданной величины за счет выбора этого па-
параметра.
Очевидно, нет смысла добиваться, чтобы погрешность метода бы-
была существенно (во много раз) меньше'неустранимой погрешности.
Число п поэтому нет смысла брать слишком большим. Однако в слу-
случае, если п выбрано слишком маленьким так, что погрешность метода
существенно больше неустранимой погрешности, то избранный метод
не полностью использует информацию о решении, содержащуюся во
входных данных, теряя часть этой информации.
3. Погрешность округлений. Допустим, мы фиксировали метод вы-
вычислений, положив у" к у*. При вычислении $/• по формуле F) на
реальном компьютере в результате округлений мы получим некото-
некоторое число у*. Погрешность |t/* — j/*| будем называть погрешностью
округлений.
Эта погрешность не должна быть существенно больше погрешнос-
погрешности метода вычислений. В противном случае произойдет потеря точ-
точности метода за счет погрешностей округлений.
Задачи*)
1. Пусть требуется вычислить значение у = f(x) функции f(x) по не-
неполным входным данным х* (х* — 6 ^ х ^ х* + S).
Какова неустранимая погрешность, вызванная неполным значением
входных данных, в зависимости от х' и S > 0:
a) f(x) = sin x;
б)/(х) = 1пх,х>0?
*) Символом * будут отмечены задачи повышенной сложности.
14 Введение
При каких значениях а;*, полученных приближенным измерением не-
неопределенной величины х с погрешностью 5, в задаче б) можно указать
лишь одностороннюю оценку для In x сверху. Укажите эту оценку.
2*. Пусть функция f(t) задана таблицей своих значений в точках tk —
— kh (h = 1/N, к = 0, ±1,±2,...). Пусть о функции f(t) известно кроме
этой таблицы еще, что max|/"(a;)| ^ 1.
X
Показать, что неполные входные данные, содержащиеся в таблице, во-
вообще говоря, не позволяют восстановить в произвольной наперед заданной
точке t функцию точнее, чем с неустранимой погрешностью е(Л) = Л2/тг2.
Указание. Показать, что наряду с функцией f(t) = 0, имеющей нуле-
нулевую таблицу, функция ip(t) = (h2/7r2) sin(iV7rt) также имеет нулевую табли-
таблицу и удовлетворяет условию max|9?"(a;)| ^ 1, при этом max|/(t) — (p(t)\ =
. = h2/*2.
3. Задана некоторая функция у = f(x), о которой известно, что ее вто-
вторая производная по модулю не превосходит единицы.
Показать, что погрешность приближенного равенства
1 ' h
не превосходит величину h.
4. Пусть некоторая функция у = f(x) имеет вторую производную /" {х),
которая по модулю не превосходит единицы. При каждом х значение f(x)
получается приближенным измерением величины f{x) и оказывается рав-
равным некоторому числу f*{x). Пусть известно лишь, что точность измере-
измерения гарантирует справедливость оценки
где е > 0 — число, характеризующее точность измерений. Пусть требуется
приближенно вычислить / (х).
а) Как выбрать h, чтобы гарантированная погрешность приближенной
формулы
f(x) й 7 {X + k)h
была наименьшей?
б) Показать, что неустранимая погрешность задачи вычисления f'(x)
при заданных (не вполне определенных) входных данных не меньше О(т/ё).
Указание к б). Обе функции, f(x) = 0, f"{x) = еяп(х/л/ё), имеют
вторые производные, не превосходящие единицы по модулю, и max |/(а;) —
— f*(x)\ ^ e. В то же время
df* df \ г- х т г~\
— — = K/ecos -р = Owe).
dx dx I y/?
Сопоставляя результаты пп. а), б), проверить, что метод вычисления
производной из п. а) дает неулучшаемый по порядку погрешности О(^/ё)
результат, а также показать, что порядок неустранимой погрешности в
точности совпадает с О(\/ё).
5. Для запоминания сведений о линейной функции f{x) — kx + b,
а ^ х ^ C, удовлетворяющей неравенствам 0 ^ }{х) ^ 1, имеется шесть
занумерованных клеток, в каждую из которых можно записать одну из
десяти цифр: 0,1,..., 9.
§4- О методах вычисления 15
Какова неустранимая погрешность при восстановлении функции, если
эти шесть клеток заполнены одним из указанных здесь способов?
а) В первые три клетки записаны соответствующие первые три цифры,
стоящие после запятой в записи f(a) в виде десятичной дроби, а в три
оставшиеся клетки — первые три цифры, стоящие после запятой в записи
/(/3) в виде десятичной дроби.
б) Пусть а — О, /3 = 10~2. В первые три клетки записаны первые три
цифры десятичной записи числа к, в четвертую клетку — 0 или 1 в зави-
зависимости от знака числа к, а в оставшиеся две клетки записаны первые две
цифры после запятой из десятичной записи числа Ъ.
в*) Показать, что при любом способе задания функции из заданного
класса с помощью шестиместной таблицы указанного вида неустранимая
погрешность не меньше 0,5 • 10~3.
Указание. Построить 10е функций из заданного класса, максимум
модуля разности любых двух из которых не меньше 10~3.
§ 4. О методах вычисления
Пусть для изучения некоторого объекта построена его математи-
математическая модель, которая и подлежит изучению средствами вычисли-
вычислительной математики.
Например, математической моделью, малых колебаний маятника
может оказаться следующая задача:
и (!)
где y(t) — отклонение маятника в момент времени t.
При изучении гармонических колебаний с помощью этой мате-
математической модели, т. е. задачи Коши A), некоторую пользу может
принести знание физической сущности моделируемого физического
объекта. В данной задаче, например, можно предвидеть, что решение
носит колебательный (периодический) характер. Однако математи-
математическая модель A) после ее построения становится самостоятельным
объектом, для изучения которого можно применять любые матема-
математические средства, в том числе и те, которые не имеют никакого
отношения к физическому происхождению задачи. Это сильно расши-
расширяет возможности исследователя. Так, например, значение решения
у = smt задачи A) в заданный момент времени t = z, т. е. представ-
представление числа sin 2 в виде десятичной дроби с заданным числом знаков,
можно осуществить с помощью ряда
3! 5! ¦"'
воспользовавшись его частичной суммой.
16 Введение
Между тем представление функции sint в виде степенного ряда,
использованное нами, не имеет никакого физического смысла.
Для численного решения какой-либо задачи на компьютере воз-
возможны различные численные методы, или различные алгоритмы. Од-
Одни из них могут быть много лучше других.
В этой книге мы изложим хорошие алгоритмы для многих часто
встречающихся классов задач, а пока объясним, чем могут разли-
различаться алгоритмы.
Пусть для вычисления решения у некоторой задачи по входным
данным, совокупность которых обозначим X, имеются алгоритмы
А\, Ai, которые дают приближения у\ — А\(Х), «/? = Аъ(Х). При
этом может оказаться следующее.
1. Алгоритм Аъ может быть точнее алгоритма А\, т. е.
Например, будем вычислять у = sin.T|x=0,i по формуле вида
Примем за Ai алгоритм, отвечающий п = 1, а за Ач алгоритм, отве-
отвечающий п — 2. Очевидно, что
|sinO,l-2Л|» IsinОД-2/21-
2. Алгоритмы обладают одинаковой точностью, но вычисление
у* — А^ (X) требует много больше арифметических действий, чем вы-
вычисление ?/2-
Пусть, например, требуется найти
1-х
при х = 0,99. За А\ примем алгоритм, осуществляющий вычисления
прямо по заданной формуле, возводя 0,99 поочередно в сте-
степени 1,2, ...,1023 и складывая. В качестве Ач примем алгоритм,
осуществляющий вычисление по формуле
_ 1 - 0,991024
1 - 0,99
По точности алгоритмы совпадают (оба абсолютно точны), но первый
требует гораздо больше арифметических операций.
А именно, вычисляя последовательно
х10ТЛ=х1022-х,
придется проделать 1022 умножения. В то же время при вычислении
0,991024 требуется всего 10 умножений:
0,992 = 0,99 • 0,99, 0,994 = @,992) ¦ @,992), ...
..., . 0,991024 = @,99512) ¦ @.99512).
§4- О методах вычисления 17
3. Алгоритмы обладают одинаковой точностью, но Ai(X) вычис-
вычислительно устойчив, а Аг(Аг) неустойчив.
Например, для вычисления у — sinz с заданной точностью е =
= 10~3 (\у — у*\ ^ 1СГ3) воспользуемся суммой
где п — п(е) выбирается так, чтобы выполнялось неравенство
приняв вычисление этой суммы за алгоритм А\. Если |а;| ^ тг/2, то
1 (пУ
n-l)\\2)
Уп'1 < ю-3
Bn-l)
при п = 5, и
>
Очейидно, что вычисления по этой формуле слабо реагируют на
погрешности округления при вычислении каждого из слагаемых, а
поэтому алгоритм А\ в данном случае вычислительно устойчив.
Пусть |.т| ;§> 1; например, а; = 100. Тогда для достижения требуемой
точности число п должно удовлетворять неравенству
100271+1 < ю-3,
Bп + 1)!
из которого для п заведомо выполнено неравенство п > 48. Но при вы-
вычислении суммы C) первые ее члены будут очень большими. Малая
относительная погрешность при их вычислении дает большую абсо-
абсолютную погрешность, и алгоритм А\ вычислительно неустойчив.
Укажем устойчивый алгоритм Ач- Записываем заданное а; в виде
х = lit + z (\z\ ^ тг/2, I целое). Тогда
siiiz = (—l)'sinz,
Этот алгоритм по устойчивости совпадает с алгоритмом А\ для |.т| ^
^ тг/2.
4. Алгоритм может быть сходящимся или расходящимся.
Пусть требуется вычислить у = \и(\+х). Воспользуемся рядом
у = Ы{1+х)=х-? + ?-? + ... D)
и положим
fc=l
2 B.C. Рябенький
18 Введение
Получим метод вычисления у = 1пA 4- х), зависящий от номера п как
от параметра.
Если |.т| = q < 1, то lim ?/*(.т) = у{х), т. е. погрешность алгоритма
п—уоо
с ростом п стремится к нулю. Но если х > 1, то lim 2/„(.т) = оо, так
п—>оо
как ряд D) имеет радиус сходимости г = 1. В этом случае алгоритм
непригоден для вычислений.
В книге мы познакомимся и с некоторыми другими характерис-
характеристиками алгоритмов. Встретятся алгоритмы, допускающие параллель-
параллельные вычисления или требующие последовательного выполнения
операций, самонастраивающиеся на специфику входных данных или
учитывающие ее лишь отчасти, алгоритмы логически простые или
более сложные.
Задачи
1. Предложить алгоритм вычисления у = 1пA + х), пригодный при
х>1.
2. Рассмотрим задачу об определении последовательности xq, xi,..., xn,
удовлетворяющей уравнению
2xn-xn+i=l + n2/N\ ti = 0,1,...,7V-1,
и дополнительному условию
хо + xn = 1. E)
Предлагаются следующие два алгоритма. Полагаем
Xn=Un+CVn, n = 0,l,...,N.
В алгоритме А\ определяем Un (п = 0,1,..., TV) как решение уравнения
2и„ - iwi = 1 + n/N\ п = 0,1,...,Лг-1, F)
при условии
«о = 0. G)
Последовательность vn определяем равенствами
2i;n - г>„+1 = 0, n = 0,l,...,/V-l, (8)
v0 = 1. (9)
Число с определяем из условия E). При этом значения «„, vn последова-
последовательно вычисляем по формулам
i>n+i = 2", 71 = 0,1,...
Алгоритм Аъ состоит в том, что ип определяем как решение системы
F), но вместо условия G) используем условие и^ = 0. Последовательность
vn определяем как решение уравнений (8), но вместо условия (9) исполь-
используем VN — 1.
а) Проверить, что второй алгоритм устойчив, а первый очень неус-
неустойчив.
б) Попытаться провести решение на компьютере, используя поочередно
оба метода при N = 10, а затем при N = 100.
ЧАСТЬ I
ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ.
КВАДРАТУРЫ
Одним из основных в математике является понятие функции.
Функция у = /(.т) (а ^ х ^ Ь) может быть задана некоторой фор-
формулой, например, у = х2, которую можно хранить и использовать в
компьютере в виде программы, по которой для каждого фиксирован-
фиксированного значения х вычисляется значение у = х2.
Однако, как правило, функция у = /(.т) задается приближенно тем
или иным конечным набором чисел — некоторой таблицей, обрабаты-
обрабатывая которую, можно получить приближенное значение функции при
каждом фиксированном х. Этой таблицей может служить, например,
конечный набор первых коэффициентов разложения функции в сте-
степенной ряд.
Например, для функции
таблицей может служить конечный набор чисел
1 I !¦
' 1!' "¦' п!'
п задано.
Чем больше натуральное тг, тем точнее можно восстановить функ-
функцию по таблице значений п первых коэффициентов ее разложения в
степенной ряд, пользуясь расшифровывающей эту таблицу формулой
Однако обычно таблица значений функции у — f(xn) получается в
результате ее измерения или вычисления в некотором наборе точек
xq,xi, ...,xn G [а,Ь]. Тогда возникает задача восстановления (интерпо-
(интерполяции) функции в точках х, не совпадающих с .то,.Т1,...,.тп.
Наиболее употребительны и удобны алгебраическая и тригоно-
тригонометрическая интерполяции. Мы рассмотрим оба этих способа интер-
интерполяции. Рассмотрим здесь также задачу вычисления определенных
интегралов по таблице функции, поскольку основные способы полу-
получения формул (квадратур) для приближенного вычисления опреде-
определенных интегралов тесно связаны с интерполяционными формулами.
2*
20 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
ГЛАВА 1
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Пусть заданы точки х = х0, х = х\, ..., х — хп и значения
f(xo), f{%i),—,f{xn) функции /(.т) в этих точках. Соответствие
х0
XI
f{*l)
/(*»)
будем называть таблицей значений функции /(.т) в узлаххо,хх, ...,хп.
Это название несколько условно, так как значение f(xj) может
записываться бесконечной десятичной дробью (например, \/3), а для
работы на машине все числа должны быть округлены до десятичных
(или двоичных) дробей с конечным числом знаков.
Алгебраическим интерполяционным многочленом 'Рп(х) = Pn(x,f,
XQ,Xi,...,xn) назовем многочлен
Рп{х) — Со + С\Х + ... + С„.т"
степени не выше п, который в узлах х$,х\, ...,xn принимает значения
§ 1. Существование и единственность
интерполяционного многочлена
1. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
Теорема 1. Пусть заданы узлы xo,xi,...,xn, среди которых нет
совпадающих, и значения f(xo),f{x\), ...,/(.т„). функции в этих узлах.
Существует один и только один многочлен Рп(х) = Pn(x,f,x0,xi,...
...,х„) степени не выше п, принимающий в заданных узлах Xk задан-
заданные значения /(.т*)-
Доказательство. Сначала покажем, что существует не более,
чем один интерполяционный многочлен Р„(.т), а затем построим его.
Если бы таких многочленов было два, Р\(х) и Р^(х), то их раз-
разностью Rn(x) = Р^(.т) — Р^(х) был бы многочлен степени не выше п,
обращающийся в нуль в п+ 1 точках .то,а;1,...,.тп. Но каждый мно-
многочлен, отличный от тождественного нуля, имеет ровно столько кор-
корней, считая их кратности, какова его степень. Поэтому Д„(.т) = 0,
т. е. Р^(х) = Рп(х)- Единственность доказана.
Введем теперь вспомогательные многочлены
t ,ч _ (ж - хо)(х - хх)...{х - хк_х)(х - xkJrX)..\x - хп)
к{' {хк - хо){хк - х})...{хк - хк_г){хк - хк+1)...(хк - а:„) '
Очевидно, что 1к(х) есть многочлен степени п и что выполнены ра-
§1. Существование и единственность интерполяционного многочлена 21
венства
Многочлен Рп(х), заданный равенством
Рп(х) =Pn{x,f,x0,xi,...,xn) =
= f(xo)lo(x) + ffaMx) + ... + f(xn)ln(x), A)
и есть искомый интерполяционный многочлен.
Действительно, он имеет степень не выше п, так как каждое сла-
слагаемое f(xj)lj(x) есть многочлен степени не выше п. Кроме того, для
него, очевидно, выполнены равенства Pn(xj) = f(xj) (j = 0,1, ...,п). ?
Мы не только доказали теорему, но и выписали интерполяционный
многочлен Рп(х) в виде формулы A), которая называется записью
интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
Употребительны и другие записи (единственного) интерполяци-
интерполяционного многочлена Pn(x,f,xo,xi,...,xn). Особенно часто используют
запись в форме Ньютона.
2. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Раз-
Разностные отношения. Пусть функция f(x) в точках ха, хъ, хс, Xd и
т. д. принимает некоторые значения f(xa), /(хь), f(xc), f(xd) и т. д.
Разностное отношение нулевого порядка f(xk) функции f(x) в точке
Xk определим как значение функции в этой точке:
k = a,b,c,d,- B)
Разностное отношение первого порядка f(xk,xt) функции f(x) для
(произвольной) пары точек хи, xt определим через разностные отно-
отношения нулевого порядка:
Вообще разностное отношение f(xo,Xi,...,xn) n-ro порядка оп-
определим через разностные отношения порядка п — 1, положив
f(xo,xu...,xn) = /(^b^,-,xnWQco,x1,...,xn-1) C)
Интерполяционный многочлен Рп(х,/,хо,х\,...,хп) можно запи-
записать в следующей форме Ньютона:
Pn(x,f,xo,xu...,xn) = f(x0) + (х- xo)f(xo,x-l) + ...
... + (х- хо)(х - zi)...(z - zn_i)/(zo,2:i, ...,xn). D)
Несколько ниже мы докажем справедливость формулы D), а пока
установим некоторые следствия из нее.
Следствие 1. Справедливо равенство
Рп(х, f,xo,xi,..., хп-л, хп) = Рп-1 {х, /, х0, xi,..., zn_i) +
+ f{xo,xi, ...,хп)(х - хо)(х - xi)...(x - xn_i). E)
22 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
Доказательство очевидно.
Следствие 2. Разностное отношение f(xo,xi,...,xn) порядка п
равно коэффициенту сп при члене хп., входящем в интерполяционный
многочлен
Pn(x,f,Xo,xlt...,xn) = спхп + Cn-iX11-1 + ... + со,
т. е. справедливо равенство
f(xo,xi,...,xn) =сп. F)
Доказательство. Очевидно, что в правую часть выражения D)
член хп входит с коэффициентом f(xo,xi,...,xn). Q
Следствие 3. Разностное отношение f{xQ,x\,...,xn) обраща-
обращается в нуль в том и только том случае, если f(xo),f(xi),...,f(xn)
суть значения некоторого многочлена Qm, степень которого т стро-
строго меньше п.
Доказательство. Если f(xo,xi,...,xn) = 0, то из выражения D)
видно, что интерполяционный многочлен Рп{х,/,хо,х\,...,хп), при-
принимающий при Xj значения f(xj) (j = 0,1, ...,п), есть многочлен сте-
степени меньше п, поскольку в силу равенства F) коэффициент с„ при
хп равен нулю. Обратно: ввиду единственности интерполяционного
многочлена степени не выше п многочлен Qm(x) совпадает с интер-
интерполяционным многочленом Pn(x,f,Xo,--,xn) = спхп + Cn-ix™'1 + ...
... + cq. Ввиду того, что m < п, из равенства Qm(x) = Pn(x,f,x0,xn)
следует, что с„ = 0. В силу равенства F) тогда f(xo,xi,...,xn) = 0. ?
Следствие 4. Разностное отношение f(xo,xi,...,xn) не изме-
изменяется при произвольной перестановке его аргументов xq,x\, ...,xn
между собой.
Доказательство. Переставим узлы xo,xi,...,xn между собой
так, что на месте с номером j окажется один из узлов хо, х\,..., хп, ко--
торый мы обозначим Xj (j = 0,1,..., п). Очевидно, что интерполяцион-
интерполяционный многочлен от нумерации узлов не зависит: Pn(x,f,Xo,xi, ...,xn) =
х
= Рп(х, f,^,^,...,х'п). Поэтому наряду с записью D) справедлива
запись
Pn(x,f,xo,xu...,xn) = f(x'o) + /(zo.z'iKz - х'о) + -
... + f(x'0,x'1,...,xln)(x-x'0)(x-x'l)...(x~xln_1), G)
так что в силу равенства F)
f(x'0,x'1,...,x'n) = cn. (8)
Сравнивая равенства F) и (8), убеждаемся в справедливости до-
доказываемого утверждения f{xo,xi,...,xn) = /{х'^х^,...,^). ?
Следствие 5. Справедливо равенство
§1. Существование и единственность интерполяционного многочлена 23
Доказательство. В равенстве E) положим х = хп. Тогда левая
часть примет значение f(xn), а формула (9) станет очевидной. D
Теорема 2. Интерполяционный многочлен Pn(x,f,xo,xi,...,xn)
допускает запись в форме Ньютона, т. е. имеет место формула D).
Доказательство. Воспользуемся индукцией по п. При п = О
формула D) справедлива. Допустим, что ее справедливость уже уста-
установлена для п = 1,2, ...,к. Покажем, что она имеет место и для п =
= к + 1, т. е. докажем равенство
Pk+i(x,f,Xo,x1,...,xk,xk+1) = Pk(x,f,xo,x1,...,xk) +
+ f(xo,xu..;Xk,xk+1)(x - хо)(х - xi)...(x - xk). A0)
Заметим, что в1 силу предположения индукции о справедливости
равенства D) для п ^ к доказательства следствий 1-5, которые мы
провели, опираясь на справедливость равенства D), сохраняют силу
при п ^ к.
Переходя к доказательству равенства A0), сначала покажем, что
многочлен Pk+i(x,f,xo,x\,...,Xk,Xk+\) можно записать в форме
¦Pfc+l (X, f,X0,Xi,..., Хк,Хк+1) = Рк (Х, /, Х0, XI,..., Хк) +
+ л*М-pk(*k+i;f,*°,xi,...,xk){х_ } {х_ } A1)
(хк+1-хо)...(хк+1-хк)
Очевидно, что в правой части равенства A1) стоит многочлен
степени не выше к +1, принимающий в точках Xj значения f(xj)
{j = 0,1,..., к + 1). Поэтому выражение в правой части равенства A1)
есть интерполяционный многочлен
Pjfc+l (Х, /, Х0, XI,..., Xk+i).
Сравнивая формулы A0) и A1), видим, что для доказательства
справедливости A0) надо установить равенство
- xk)
В силу следствия 4 получаем
Pk{x,f,x0,xi,...,xk) = Pk{x, f,xi,x2, ...,хк,х0) =
= Pk-l (X, f, Xi, X2, ..., Xk) +
+ f(xi,x2,.-.,xk,xo)(x - xi)(x - x2)...{x - xk). A3)
Воспользуемся формулой A3) при х = Xk+i и придадим правой
части равенства A2) следующий вид:
f(xk+\) ~
1 flxk+\)-pk-i(xk+i<f>xi>->xk) _ f(xi,x2,...,xk,xo) ,
xk+1 - xo (xk+1 - xi)...(xk+1 - xk) xk+1 -xo
24 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
В силу следствия 5 уменьшаемое в.правой части равенства A4)
совпадает с выражением
———-f{XuX2,...,Xk+l).
xk+\ xo
В силу следствия 4 в вычитаемом можно переставить аргументы так,
что оно совпадет с °'—1'""' .
хк+1 - хо
Таким образом, правая часть равенства A4) есть
/(si,a:2,...,a:fc+1)-/(a:o,a:i,...,a:fc) .
хк+\ ~ хо
так что равенство A4) совпадает с доказываемым равенством A2). ?
Теорема 3. Пусть х0 <х\ < ... < хп, функция f(x) определена на
отрезке хо ^ х ^ хп и имеет на этом отрезке производную порядка п.
Тогда
A5)
где ? — некоторая точка отрезка [хо,хп].
Доказательство. Функция
4>{х) = f(x) - Pn(x,f,x0,...,xn) A6)
обращается в нуль вп + 1 точках xo,xi,...,xn. По теореме Ролля ее
производная обращается в нуль хотя бы в одной точке между кажды-
каждыми двумя соседними нулями функции tp{x). Таким образом, функция
ip'(x) обращается в нуль не менее, чем в п точках. Аналогично ip"{x)
обращается в нуль по крайней мере в одной точке между каждыми
двумя нулями функции ip'(x) и имеет поэтому не менее, чем п - 1
нулей.
Рассуждая аналогично, убедимся, что ip^ (x) имеет хотя бы один
нуль. Обозначим его ?, так что ip^ (?) = 0. Продифференцируем тож-
тождество A6) ровно п раз и положим после этого х = ?:
0 = V>(n)(O = /{n)(O - ^Pn{x,f,xQ,xu...,xn)\x=i. A7)
Но
dn d"
— [Pn(x,f,x0,xu...,xn)] = —[Pn-1(x,f,xo,x1,...,xn-i) +
+ f(x0, Xl, ..., Xn){x - XO)(X - Xi)...(x - Xn-i)] = 0 + П\ f(x0, X! , ..., Xn).
Поэтому из выражения A7) следует равенство A5). ?
§1. Существование и единственность интерполяционного многочлена 25
Теорема 4. Значения f(xo),f(xi),...,f(xn) выраасаются через
разностные отношения f(xo),f(xo,xi), ...,f(xo,xi, ...,xn) формулами
f(Xi) = f(xO) + (Xi -X0)f(XQ,Xi) + (Xi-X0)(xi -Xi)f{xO,Xi,X2) + .-
... +{xt -хо)(х{ -rc1)...(rc1-a:n_i)/(a;o,a;i,...,a:n),
i = 0, l,...,n,
т. е. формулами вида
f(xi) = aiOf{x0) +anf(xo,xi) + ... +ainf(x0,...,xn), i = 0, l,...,n.
A8)
Для доказательства можно воспользоваться равенствами /(ж,-) =
— Pn(x,f,Xo,xi, ...,xn)\x—Xi и записью интерполяционного многочлена
в форме D).
3. Сравнение записей в форме Лагранжа и Ньютона. Для
вычисления значения функции f(x) в точке х, не являющейся узлом
интерполяции, можно положить f(x) rs Pn{x,f,x0,xi,...,xn).
Пусть Pn(x,f,x0,xi,...,xn) уже найден, но мы решили для уточ-
уточнения привлечь еще один узел xn+i и значение f(xn+i) в нем. Тогда
для вычисления Pn+l(x,f,xo,xi,...,xn,xn+i) с помощью формулы A)
нужно заново провести всю работу. Для вычисления по формуле Нью-
Ньютона
Рп+1 (Я, f,X0,Xi,..., Xn,Xn+i ) = РП(Х, f,X0,XU..., Хп) +
+ f(xo,x1, ...,xn+i)(x - хо)(х - xi)...(x - хп)
нужно вычислить только поправку
f(xo,xi,...,xn+i){x - хо)(х - xi)...(x - хп).
Кстати, сразу будет видно, насколько она велика.
4. Обусловленность задачи построения интерполяционно-
интерполяционного многочлена. Пусть узлы интерполяции хо,х\,...,хп лежат на
некотором отрезке а ^ х ^ Ь. Пусть f(xo),f(xi),...,f(xn) — задан-
заданные числа. Соответствующий интерполяционный многочлен Рп(х) =
= Pn(x,f,x0,xi,...,xn) будем для краткости обозначать Pn(x,f).
Придадим значениям f(xj) некоторые возмущения Sf(xj)
(J = 0,1,...,п), и интерполяционный многочлен Pn(x,f) заменится
многочленом Pn(x,f + Sf). Из записи A) видно, что Pn(x,f + Sf) =
— Рп(х, /) + Рп(х, Sf), так что возмущение, которое претерпевает ин-
интерполяционный многочлен, есть Pn(x,Sf). Это возмущение при за-
заданных жо, xi,..., хп зависит только от 6f, но не от /. Примем за меру
чувствительности интерполяционного многочлена к возмущениям Sf
задания функции в узлах наименьшее число Ln, при котором для каж-
каждого Sf выполнено неравенство
max \Pn(x,6f)\ ^ Ьптах\ё/(х^\.
а<х<Ь 3
26 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
Числа Ln = Ln(x0,xi,...,xn,a,b) (n = 0,1,...) называют констан-
константами Лебега. Эти числа растут с ростом п. Их поведение при возрас-
возрастании п существенно зависит от расположения точек Xj (j = 0,1,..., п)
на отрезке [а, 6].
Если, например, n = l,xo~a,xi = Ь, то L\ = 1. Если х0 ф a, xi ф
ф Ь, то L\ ~%. — г, т. е. чувствительность интерполяции может
2|Ж1 — а:о|
быть сколь угодно сильной, если х\ и Xq достаточно мало различают-
различаются. Читатель легко проверит эти утверждения об L\.
В случае равномерно расположенных узлов
Xj = a + jh, j = 0,l,...,n; h = -^,
можно показать, что
^^ A9)
т. е. чувствительность результата интерполяции к погрешностям при
задании f(xj) будет резко возрастать с ростом п. Погрешности при
задании f(xj) неизбежны как при получении значений путем изме-
измерений, так и в результате округлений.
Пусть теперь а = —1, b = 1, а узлы заданы формулой
Ш J=0,l,-,n. B0)
Можно показать, что при условии B0)
Ln^-lnn + l, B1)
7Г
т. е. с ростом п константы Лебега, в отличие от (Щ, растут очень
медленно, так что в этом случае вычислительная неустойчивость не
является препятствием для использования интерполяционных много-
многочленов высокой степени.
5. О плохой сходимости интерполяции по равноотстоящим
узлам. Не следует думать, что для каждой непрерывной функции
f(x), х G [a,b], интерполяционный многочлен Pn(x,f), построенный
по значениям f{xj) в равноотстоящих узлах Xj = а + jh, хо = а,хп = Ь,
с ростом п все меньше уклоняется от функции f(x). Можно показать,
например, что для функции / = —^—^-гг-, имеющей производные всех
порядков, при а = —1 и Ь= 1 уклонение max |/(я) — Рп{х)\ не стре-
стремится к нулю с ростом п.
Задачи
1. Требуется вычислить /A,14) с помощью линейной, квадратической
и кубической интерполяций, используя следующую таблицу:
а:
1,08
1,302
1,13
1,386
1,20
1,509
1,27
1,217
1,31
1,284
§2. Классическая кусочно многочленная интерполяция 27
Осуществить расчет с помощью интерполяционных многочленов в фор-
формах Лагранжа и Ньютона.
2. Пусть Xj = jh (j — О, ±1, ±2,...) — узлы, расположенные с шагом h.
Проверить равенство
2 •
3. Пусть а = жо, о, < х\ < Ь, хг = Ь. Вычислить значение константы
Лебега Li, если х\ = (а + Ь)/2.
Показать, что при х\ —> а или х\ —>Ь константа Лебега Ьг = L,2(xo,xi,X2,
а, Ь) неограниченно возрастает.
4. Проверить утверждение об интерполяции функции f(x) = -5—:
х* + 0,25
из п. 5 экспериментально, выводя графики f(x) и Рп{х, /) на экран дисплея
ЭВМ.
§ 2. Классическая кусочно многочленная интерполяция
Высокая чувствительность интерполяционных многочленов к по-
погрешностям при задании таблицы и возможное отсутствие сходимос-
сходимости последовательности Рп(х, /) с ростом п при равноотстоящих узлах
заставляет использовать кусочно многочленную интерполяцию.
1. Определение кусочно многочленной интерполяции.
Пусть функция f(x), определенная на [а,Ь], задана в виде / = (f(xo),
f(xi), ...,f(xn)) (a = х0 < х\ < х2 < ... <хп = Ь). Для восстановления
функции между узлами xo,xi,...,xn можно воспользоваться функ-
функцией, которая между каждыми двумя соседними узлами является
многочленом заданной невысокой степени, например первой, второй,
третьей и т. д. Соответствующая интерполяция называется кусочно
линейной, кусочно квадратичной и т. д.
В случае кусочно линейной интерполяции на отрезке Xk ^ х ^ Xk+i
для аппроксимации функции f(x) используется линейный интерполя-
интерполяционный многочлен Pi(x,f,Xk,Xk+i). В случае квадратичной интер-
интерполяции на отрезке Xk ^ х ^ Xk+i можно воспользоваться одним из
многочленов P2{x,f,xk,xk+uxk+2) или P2(x,f,xk-Uxk,xk+1).
Аналогично строятся кусочно многочленные интерполяции про-
произвольной степени s. Именно, при заданном s на отрезке [a^rcfc+i]
используем интерполяционный многочлен Ps(x, f,xk-j,xk-j+i,...
..., Xk-j+s), где j — одно из чисел 0,1,..., s — 1. Желательно, чтобы от-
отрезок [xk, xk+i] был возможно ближе к середине отрезка [xk-j, xk-j+s].
Поэтому целесообразно выбирать в качестве j то из чисел 0,1,...
...,s — 1, которое ближе к s/2, и вместо Ps(x,f,xk-j,...,xk-j+s)
использовать сокращенное обозначение, положив
Ps(x,f,Xk^j,...,Xk-j+s) = Ps{x,fkj).
28 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
2. Формула для погрешности интерполяции. Займемся оцен-
оценкой погрешности
Rs(x) = f(x) - Ps(x,fkj), xk^x^ xk+1, A)
возникающей при приближенной замене /(re) многочленом Ps(x,fkj)-
Воспользуемся следующей общей теоремой о формуле для погреш-
погрешности.
Теорема 1. Пусть f(t) — функция, определенная на некотором
отрезке a^t^/3u имеющая непрерывную производную некоторого по-
порядка s + 1, Пусть to,ti,...,ts — произвольный набор попарно различ-
различных точек из отрезка [а, 0], f(to), f(h), ¦¦¦, f(ts) — значения функции
f(t) в этих точках, a Ps(t) — интерполяционный многочлен степе-
степени не выше s, построенный по этим значениям. Тогда погрешность
интерполяции Rs(t) = f(t) — Ps(t) можно представить в виде
(* - h)(t- h)...(t - U), B)
где ? = ?(t) — некоторая точка из интервала а < t < /3.
Доказательство. Фиксируем произвольное t = t G [a,/3] и
докажем формулу A) при этом t. Если t совпадает с одним из уз-
узлов интерполяции, t — tj (j = 0,1,...,s), то погрешность f(t) — Ps(t)
обращается в нуль. Формула B) также дает Rs(t) = 0 при произ-
произвольном ?, так что формула B) доказана для t — t = tj (j = 0,1,..., s).
Докажем теперь формулу A) для t = t в предположении, что фик-
фиксированное t G [a, /3] не совпадает ни с одним из узлов интерполяции.
Введем вспомогательную функцию
<p(t) = f(t) - P.(t) - k(t - to)(t - h)...(t - t.), C)
выбрав число к так, чтобы при t = t функция ip(t) обращалась в нуль,
т. е. положив
(t
Числитель в формуле D) есть значение Rs(t) погрешности; поэтому
из этой формулы следует, что
U.(t) = *(t-«b)(t-ti)...(t-t.). E)
Функция ip(t) обращается в нуль в s + 2 точках t, t0, t\,..., ts. Про-
Производная <p'(t) обращается в нуль не менее, чем в (s + 1)-й точке, так
как по теореме Ролля между каждыми двумя соседними точками, где
функция ip{t) обращается в нуль, найдется точка, где обращается в
нуль ее производная tp'(t). Аналогично <p"{t) имеет не менее, чем s
нулей, ipC)(t) — не менее, чем s — 1 нулей и т. д., наконец, (s + 1)-я
§ 2. Классическая кусочно многочленная интерполяция 29
производная s+1 tp(t) обращается в нуль хотя бы в одной точке
? € (а, /3). Заметим, что
а также (t — to){t — ti)...(t — ts) — ts+1 + Qs(t), где Qs(t) --¦ некоторый
многочлен степени s. Заметим еще, что
ds+1 _ ds+1 _
Возьмем производную порядка s +1 от функции <p(t), заданной
формулой C). Получим
Отсюда при t = ? в силу у^*+1ЧО = 0 следует, что
Подставляя найденное fc в равенство E), получаем формулу для -Rs(^),
которая в силу произвольности выбора t совпадает с формулой B). D
Теорема 2. В условиях предглдущей теоремы справедлива оценка
Доказательство. Заметим, что для любого значения t € [q,/3]
каждое из выражений t — t0, t — ti ,...,t — ts не превосходит по модулю
число /3 — q, а затем воспользуемся формулой B):
Поскольку t G [а, /3] в левой части выражения G) произвольно, то
отсюда следует F). ?
Подчеркнем, что оценка F) доказана нами при произвольном рас-
расположении узлов to,ti, ...,ts на отрезке [а,/3].
Для конкретного фиксированного расположения узлов она может
быть несколько улучшена. Например, в случае линейной интерполя-
интерполяций и расположения узлов to,t\ в концах а,/3 отрезка а ^ t ^. /3 полу-
получим
\\
\ max I/"@| max |(* - Q)(t - /3)| = I max |/"@l(/3 - аJ (8)
30 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
и соответственно
max IftWI ^ | max |/"(*)|(/3 - а)\ (9)
в то время как оценка F) при s = 1 принимает вид
max. |Л!(«)| ^ ^ max |/"W|(/3-aJ.
Воспользуемся теоремами 1, 2 для оценки погрешности A) кусоч-
кусочно многочленной интерполяции функции f(x) на отрезке хк ^ х ^
l. ПОЛОЖИМ
a = xk-j, /3 = xk-j+8, to = a = xk-.j, ti =xk-j+i, ..., ts = E = xk-j+s.
Далее очевидно, что
max \R,(x,fkj)\? max \Rs(x,fkj)\,
. A0)
Е1сли величина |/^s+1^(a;)| сильно меняется на отрезке [а, Ь], то для
получения оценки A0), гарантирующей заданную точность, шаг сет-
сетки и число Xfc_j+S - xk-j должны быть меньше там, где ^^
больше.
В случае равноотстоящих узлов оценка A0) влечет
а в силу F) отсюда следует неравенство
max \Rs(x,fkj)\^
max \R.{xJki)\^-^- max \f^+1\x)\hs+\ A1)
^^ {S + 1I X^4
где h — шаг сетки узлов интерполяции.
Отметим особо случай кусочно линейной интерполяции. В этом
случае s = 1, а = хк, /3 = xk+i. Опираясь на оценку (9), получаем
max
Будем считать в дальнейшем, что хо,х\, ...,хп — равноотстоящие
узлы, так что xk+i — хк = h = (b — а)/п. Из оценки A1) следует, что
max\Rs(x,fkj)\^ const- max \f{s+1)(x)\hs+1, A3)
Xk-j^X^Xk~j+,
где постоянная не зависит от шага сетки h.
§2. Классическая кусочно многочленная интерполяция 31
3. Приближение производных функции, заданной своими
значениями в узлах сетки.
Теорема 3. Пусть f(x) определена на отрезке [а,0] и имеет
непрерывную производную некоторого порядка s + 1 на этом отрез-
отрезке. Пусть Xk-j,Xk~j+i, ...,Xk-j+s — узлы интерполяции, причем а =
= Xk-j < ... < Xk-j+s — 0- Для вычисления производных
на отрезке х*. ^ х ^ xjh-i можно воспользоваться интерполяционным
многочленом Ps(x,fkj), положив
dqf(x) dq D , , Л .
dxV И d^9Ps(x'fkj)' Xk^x
При этом погрешность удовлетворяет оценке
\d*f(x) d« , . J .
max
Доказательство. Функция (р(х) = f(x) — Ps(x, Дj) обращается
в нуль в точках Xk-j,Xk-j+i,—,Xk-j+s- Поэтому производная функ-
функции f(x) обращается в нуль по крайней мере в s точках, посколь-
поскольку между каждыми двумя нулями функции ip(x) по теореме Ролля
есть нуль функции <р'(х). Аналогично, dQtp(x)/dxQ имеет не менее,
чем s — q + 1 нулей на отрезке Xk-j *s x ^ x^-j+s-
Это значит, что —~^- и многочлен -r-^Ps(x,fkj) степени не вы-
ахЧ ахЧ
ше s — q совпадают в некоторых s — q + 1 точках, т. е. многочлен
Pj9'(x,fkj) является интерполяционным для функции f^(x) на от-
отрезке Xk-j ^x^. Xk-j+s степени не выше s — q по некоторым s — q + 1
узлам, лежащим на этом отрезке. Функция f^(x) имеет производ-
производную порядка s — q + 1:
Поэтому можно воспользоваться теоремой 2, приняв а = Xk-j, /3 =
= Xk-j+s, и в силу оценки F) написать
max l/(e>-P.<eW*i)l<
] l/<'+1>(»)l09-a)'-g+1, A6)
(s — § + 1)
откуда в силу q ^ х* < x^+i ^ /3 следует оценка A5). ?
32 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
4. Оценка неустранимой погрешности при приближении
функции по ее значениям в узлах интерполяции и выбор сте-
степени кусочно многочленной интерполяции. Пусть функция f(x)
определена на отрезке [О,тг], и пусть заданы ее значения в узлах рав-
равномерной сетки Хк = кп/п (к = 0,1, ...,п). По таблице f(xo),f(xi),...
...,f(xn) в принципе нельзя восстановить функцию f(x) точно, пото-
потому что различные функции могут совпадать в точках Хк (к = О,1,...
...,п), т. с. иметь одинаковые таблицы. Если, например, о функции
f(x) кроме ее таблицы известно лишь, что она непрерывна, то ее
нельзя восстановить в точке х ф х,к (к — О,1, ...,п) ни с какой гаран-
гарантированной точностью.
Пусть о функции f(x) известно, что она имеет производную не-
некоторого порядка s + 1, причем
max |/(s+1)(*)| ^ Ms = const. A7)
Укажем две функции из этого класса, Ms = 1:
i ,д, > _ sinna:
s+l
ns
для которых таблицы совпадают (обе чисто нулевые):
/'(**) - f\xk) = 0, А = 0,1,...,п,
и которые уклоняются друг от друга на величину порядка hs+1:
max \f{x) -fa(x)\ = max 2
<Ж<1 0<Ж<7Г
sin па:
rlS+1
= 2hs+1.
Таким образом, по таблице функции при дополнительном знании
лишь оценки A7) в принципе нельзя восстановить функцию всюду
на отрезке 0 ^ х < тг с точностью больше O(hs+l). Другими словами,
погрешность O(hs+1) неустранима при восстановлении функции f(x)
(О ^ х ^ тг) по ее таблице.
Очевидно, что
. /•!(х) -jH-fb(x)\ = 2 - = 2hs~g+1
max
X
так что неустранимая погрешность при восстановлении производной
<Ff{x)/dxi есть O(hs'9+1).
Как мы видели, восстановление функции /(ж) или ее производной
(Pf(x)/dxg по приближенным формулам A4) имеет погрешность, по
порядку совпадающую с неустранимой. Если использовать интерпо-
интерполяцию степени q < s, то погрешность будет О(№+1), т. с. произойдет
потеря порядка малости погрешности, дополнительная к той O(hs+1),
которая обусловлена заданием функции ее таблицей и неустранима.
С другой стороны, использование интерполяции степени q > s не
может повысить порядок малости (неустранимой) погрешности
O(h"+1) и ускорить сходимость при h -»• 0. В этом смысле степень s
§2. Классическая кусочно многочленная интерполяция 33
кусочно многочленной интерполяции функций, удовлетворяющих
условию A7), является оптимальной.
Замечание. Проведенные рассуждения относятся к поведению
погрешности при h —? 0. При фиксированном h интерполяция некото-
некоторой степени q < s может оказаться более точной, чем интерполяция
степени s. Кроме того, при задании f(xk) (к = 0,1, ...,п) приближен-
приближенно с некоторым числом десятичных знаков потеря точности при ин-
интерполяции за счет приближенного задания f(xk) (к = 0,1, ...,п) при
увеличении s возрастает (растут константы Лебега A9) из § 1). По-
Поэтому интерполяция высокой степени (выше третьей) употребляется
редко.
5. Насыщаемость (гладкостью) кусочно многочленной
интерполяции. Пусть f(x) определена на отрезке [а,Ь], и пусть за-
задана ее таблица f(xk) в равноотстоящих узлах Хк (к = 0,1,..., п);
h = (b — а)/п. Мы видели, что погрешность кусочно многочленной
интерполяции степени s с помощью интерполяционных многочленов
Ps{x,fkj) на отрезке я* ^ х ^ Xk+i в случае, если f(s+1\x) существу-
существует и ограничена, имеет порядок O(hs+1). Если об f(x) известно лишь,
что она имеет ограниченную производную некоторого порядка q + 1
(q < s), то неустранимая погрешность при ее восстановлении по таб-
таблице есть O(hQ+1). Можно показать, что при интерполяции с помощью
Ps(x,fkj) порядок O(hg+1) достигается. Если f(x) имеет ограничен-
ограниченную производную порядка q + 1 (q > s), то погрешность интерполя-
интерполяции с помощью Ps(x,fkj) остается равной O(hs+1), т. с. порядок по-
погрешности не реагирует на дополнительную сверх s + 1 производных
гладкость функции f{x). Это свойство кусочно многочленной интер-
интерполяции называют свойством насыщаемости (гладкостью).
Задачи
1. Каков должен быть шаг h таблицы функции f(x) = sinx для того,
чтобы при кусочно линейной интерполяции погрешность не превосходи-
превосходила 10"°?
2. Каков должен быть шаг h таблицы функции f(x) = sinx, чтобы по-
погрешность при кусочно квадратичной интерполяции не превосходила 10~б?
3. Значения }(х) могут быть измерены в заданной точке с погреш-
погрешностью \6f\ ^ 1(Г4.
С каким шагом h разумно составить таблицу функции f(x), если вос-
восстанавливать функцию по ее таблице с помощью кусочно линейной интер-
интерполяции?
4*. Вопрос задачи 3, но для кусочно квадратичной интерполяции.
5. Пусть
Г /(« + ">/(«), A8)
f'l-A I h
и пусть \f"(x)\ < 1 и \f'"(x)\ < 1.
3 B.C. Рябенький
34 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
а) Найти h, чтобы погрешность была меньше 10~3.
б*) Пусть / задана с погрешностью <5. Какова наибольшая точность,
достижимая по формулам A8), A9), и как выбрать hi
в*) Показать, что результат, полученный при оптимальном h по A9),
неулучшаем по порядку погрешности относительно <5.
§ 3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция
(сплайны)
Классическая кусочно линейная, кусочно квадратичная и вообще
кусочно многочленная интерполяции заданной степени s приводят к
интерполирующей функции (интерполянту), которая в узлах интер-
интерполяции, вообще говоря, не имеет производной даже первого порядка.
Существует два типа кусочно многочленных интерполянтов — ло-
локальные и нелокальные сплайны, обладающие заданным числом про-
производных всюду, включая узлы интерполяции.
1. Локальная интерполяция гладкости s и ее свойства.
Пусть заданы узлы xi интерполяции и значения функции f(xi) в них.
Зададим натуральное (целое положительное) число s, фиксируем на-
натуральное j (О ^ j' ^ s — 1). Каждой точке х/ сопоставим интерпо-
интерполяционный многочлен Ps(x,fij), построенный по значениям /(x/_j),
/(x/_i+i), ..., f(xi-j+s) в узлах xi-i,xl4+1,...,xi-j+s. Кусочно мно-
многочленный локальный сплайн ip(x,s), имеющий непрерывные произ-
производные порядка s, определим равенствами
f(x,s) =Q2s+i(x,k), i€ [xk,xk+i], k = 0,±l,..., A)
где Q2s+\{x,k) — многочлен степени не выше 2s + 1, определяемый
равенствами
d"lQ2s+i{x,k)
dxm
dxm
, m = 0,l,2,...,s, B)
x=xh
dxm
X=Xk+i
dxm
Х=Хъ+\
C)
Теорема 1. Существует один и только один многочлен степени
не выше 2s + 1, удовлетворяющий B), C).
Доказательство. Система 2s + 2 линейных уравнений отно-
относительно коэффициентов многочлена
получающегося из системы B), C) при замене правых частей нулями,
имеет только тривиальное решение
§3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция 35
Действительно, в противном случае существовал бы многочлен Q2s+i
степени не выше 2s + 1, который в силу B), C) имел бы корни х =
= хк, х = Xjt+i кратности s + 1 каждый, т. е. имел бы 2s + 2 корней,
считая их кратности. В силу этого противоречия определитель систе-
системы B), C) отличен от нуля, и она имеет одно и только одно решение
при любых правых частях. ?
Теорема 2. Пусть f(x) есть многочлен степени не выше s. Тогда
интерполянт tp(x, s) совпадает с этим многочленом.
Доказательство. Докажем тождество tp(x, s) = f(x) на отрезке
Xk ^ х < Xk+i между соседними узлами, т. е. докажем, что
Q2s+i(x, к) = f(x). В силу единственности интерполяционного мно-
многочлена Ps(x, fkj) = Ps(xj fk+i,j) = f{x)- Теперь видно, что многочлен
Q2s+i{x,к) = f(x) дает решение системы B), C). ?
Теорема 3. Кусочно многочленная интерполирующая функция
tp(x,s), определенная равенством A), в узлах интерполяции xi совпа-
совпадает с заданными в них значениями f(xi) (I = 0, ±1,...). Кроме того,
tp(x, s) имеет всюду в области своего определения непрерывную произ-
производную порядка s.
Доказательство. В произвольном узле xi функции <2г«+1 (х, I —
-1), Q2s+i(x,l) в силу равенств B), C) имеют производные поряд-
порядков т = 0,1 ,...,?, совпадающие с соответствующими производными
одного и того же интерполяционного многочлена Ps(x,fij). В силу A)
это доказывает теорему. ?
Запишем Q^s+ii^^k) в виде
Q2s+1 (x, k) = P,(x, Skj) + Я2.+1 (я;, к), D)
обозначив через i?2s+i (x, к) поправку к классическому интерполяци-
интерполяционному многочлену Ps(x,fkj).
Теорема 4. Поправку i?2s+i(a:,k) можно записать в виде
R2s+i(x,k) =
= (хк+1 -xky+1f(xk-j,xk-j+i,...,xk-j+s+1)q2li+i(———,*;), E)
где f(xk~.j,xk-j+i,...,xk-j+s+\) — разностное отношение порядка
s+1 и
xk+l -xk
k+ik /Jjf=iJ xk+1-xh'
ЦХ) = Xs+1(X-Dr
m=0
3*
36 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
Выражение [---]jt==i означает производную по X порядка г, вычис-
вычисленную при X — 1.
Замечание 1. Можно считать, что формула локальной интерпо-
интерполяции гладкости s получена путем замены в интерполяционном мно-
многочлене Ps+i(x,fkj), записанном в форме Ньютона
ips+i(x,k) - (x - xk-j)(x - xk-j+i)...(x - xk-j+s),
многочлена tps+i(x,k) многочленом
(xk+1 -xky+1q2s+i( X~Xk ,
v xk+i ~ xk
Для иллюстрации теоремы 4 заметим, что в силу формул D)-G)
в случае s = 0, j = 0 локальный сплайн ip{x, s) осуществляет кусоч-
кусочно линейную интерполяцию. В наиболее интересном для приложений
случае s — 2, j = 1 и xk+j — xk = h = const
Доказательство теоремы 4 приведем в конце параграфа.
Теорема 5. Пусть функция f(x) определена всюду на отрезке
х € [xk-j,xk-j+s+i] й имеет на этом отрезке ограниченную производ-
производную порядка s + 1. Тогда на отрезке х € [xjfc,Xfc-|_i] справедливы при-
приближенные равенства
, in — u, i,..., b, \vj
с оценками погрешности
dmv(x,s)\
dxm I ^
^ const (z*+'-i^ Xk-/ max |/(s+1>(*)|, (Щ
m = 0,1, ...,s.
Доказательство. В силу равенства A) и формулы D)
,А;)|. A1)
Но в теореме 3 из § 2 установлена оценка
|/<т>(я0 - Р$тЧ*, fkj)\ < const! • h'+1~m. A2)
§3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция 37
dm I dm x — xi
Далее, учитывая, что — = _^)Я|_, X = ^г^'
получаем
dxm
1 xfc+i ~ xk
В силу теоремы 3 из § 1
Тогда из A3) очевидно, что
dmR2s+i(x,k) .
dxm
max
, A5)
где const2 зависит только от величины отношения
xk-j+s+l - xk-j
xk+l - xk
и остается ограниченной, если величина A6) в процессе измельчения
сетки остается ограниченной.
Из выражений A1), A2), A5) следует оценка A0). ?
Сделаем два замечания о неулучшаемости построенных нами ло-
локальных сплайнов A) в некотором смысле.
Замечание 2. Оценки A0) в случае постоянного шага х*+1 —
— Xk — (Ь — а)/п = h гарантируют сходимость (р^тЦх, s) к /(тЦх) с
порядком hs+ т (т = 0,1, ...,s). Предполагая, что f(x) имеет огра-
ограниченные производные только до порядка s + 1, более точно восстано-
восстановить функцию f(x) и ее производные по значениям f(xi) (I = 0, ±1,...)
нельзя, поскольку эти значения не содержат достаточной для этого
информации, как мы показали в п. 4 § 2.
Замечание 3. Для вычисления tp(x,s) при каждом х использу-
используется не более s + 2 узлов интерполяции. Эта характеристика локаль-
локальности формулы A) неулучшаема в следующем смысле.
Если потребовать, чтобы использовалось не более s + 1 точек, то
для сходимости ip(m>{x, s) к /(m)(x) с порядком hs+1~m пришлось бы
отказаться от условия непрерывности даже первых производных от
ip(x, s) и ограничиться классической кусочно многочленной интерпо-
интерполяцией степени не выше s.
38 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
В случае если задано конечное число п + 1 узлов xo,xi,...,xn, ле-
лежащих на отрезке а ^ х < Ь, а — хо < х\ < ... < хп = Ь, формулу
A) вблизи концов отрезка надо изменить, определив ннтерполянт
<р(х) = <р(х, s, a, b) равенствами
ps(x, fjj), если х0 ^ х % Xj,
, м i Q2s+i(x,k), если xe[xk,xk+1],
wlx, s,a,b)= < ,
л причем k = j,j + l,...,n + j~s-l,
<j), есЛИ Xn+j-s ^ X ^ Хп.
Напомним, что Pn(x,fkj) введено в конце п. 1 § 2.
Интерполянт ip(x,s,a,b), определенный на [а,Ь], имеет непрерыв-
непрерывные производные до порядка s. Для него имеют смысл утверждения,
аналогичные теоремам 1-5.
Локальная гладкая интерполяция введена автором в 1952 г. для функ-
функций на многомерной прямоугольной сетке с постоянным шагом; приведен-
приведенные здесь формулы получены автором в 1974 г. Результаты для многомер-
многомерного случая и библиографию см. в [16, с. 303-309].
2. Нелокальная гладкая кусочно многочленная интерпо-
интерполяция. Пусть заданы узлы хо,х\, ...,хп, а = х0 < х\ < ... < хп — Ь, и
значения функции f(xi) (i = 0,1,...,п) в этих узлах. Поставим зада-
задачу: найти на каждом отрезке х* ^ х ^ х*.ц кубический многочлен
Рз(х,к) так, чтобы возникающая при этом на отрезке а ^ х ^ b ку-
кусочно многочленная функция совпадала с заданной функцией в узлах
и имела непрерывные производные до порядка s = 2. Эта функция
зависит от двух произвольных постоянных и называется кубическим
сплайном Шонберга. Сплайны минимальной для заданного s степени
построены Шонбергом не только при s = 2, но и при всех натураль-
натуральных s.
Пусть /(х) имеет на [а, Ь] ограниченную производную некоторого
порядка s + 1. Тогда непрерывный с производными порядка s сплайн
при подходящих постоянных сохраняет неулучшаемые приближаю-
приближающие свойства классической, а также локальной гладкой кусочно мно-
многочленной интерполяций в том смысле, что для него в случае, если
существует /^*+1^(х), выполнены оценки типа A0). Однако сплайны
Шонберга теряют свойство локальности, присущее как классической
кусочно многочленной интерполяции, так и локальной гладкой ин-
интерполяции: коэффициенты многочлена, задающего интерполянт на
каком-либо отрезке х* < х ^ х*+1, зависят от значений /(х0), /(xi),...
...,/(хп) функции во всех узлах xo,xi,...,xn, число которых п растет
в случае измельчения сетки.
Отметим еще, что (нежелательное) свойство насыщаемости глад-
гладкостью, неизбежно присущее локальным классической и гладкой ин-
интерполяциям, несмотря на потерю локальности, остается также и у
§3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция 39
нелокальных сплайнов: для функций f(x), имеющих более s + 1 про-
производных, нелокальные сплайны гладкости s при постоянном шаге
/г = (Ь — а)/п сетки имеют погрешность O(hs+1) того же порядка ма-
малости по отношению к h = 1/п, что и для функций f(x), имеющих
только (s + 1)-ю производную.
Нелокальные сплайны Шонберга при заданном числе непрерыв-
непрерывных производных реализуются многочленами наименьшей возмож-
возможной степени п (например, т = 3, если s — 2 — кубические сплайны
Шонберга).
Подробнее о сплайнах Шонберга и других сплайнах см. [1, 2, 9,12,
16, 22] и имеющуюся там библиографию.
3. Доказательство теоремы 4. Коэффициенты многочлена
Q2«+i(z, k) = со + ах + ... + c2s+ix2s+1 A7)
определяются из системы линейных уравнений B), C). Правые части
уравнений, составляющих систему B), имеют вид
а составляющих систему C) — вид
г4т)/*-я-1 + ь(Г}Л-я-2 + - + ь?т)Л-я-.+1, т = о, 1,..., s,
где а[т\ b[m^ (i = 0,1, ...,s) — некоторые числа, не зависящие от
fk-j, fk-j+l, —, fk-j+s+l-
Поэтому решение cq,ci, ...,c2s+i системы B), C) состоит из чисел,
которые определяются заданными fk-j,fk-j+\,—,fk-j+s+i по Ф°Р-
мулам вида
Cr = aPh-j + a[r)fk-j+i + ... + a^Jk-j+s+u r = 0,1, ...,2s + 1,
A8)
а,' — некоторые числа, не зависящие от fk-j, fk-j+i, ¦¦¦, fk-j+s+i-
Подставив выражения A8) в A7) и собрав все слагаемые, содержа-
содержащие fk-j+i (I = 0,1, ...,s + 1), получим запись многочлена A7) в виде
+1
Q2s+1 (x, k) = J2 fk-j-H P(z, 0.
1=0
где р(х, I) (I = 0,1,..., s + 1) — некоторые многочлены от х. Заменим
в A9) числа fk-j+i по формулам A8) из § 1. Многочлен Q2s+i(x,k)
примет вид
S
Q2s+i(x,k) = У f(xk-j,xk-j+i,...,xk-j+i) qi(x, к) +
1=0
+ (хк+1 - xfc)(s+1) f(xk-j+1,Xk-j+2,-,Xk-j+s+i)q2s+i(x,k), B0)
где qi(x,k) (I = 0, l,...,s) и <f2s+i(x, к) — некоторые многочлены, не
зависящие от f(xk-j),f(xk-j+i), ...,f(xk-j+s+i). Воспользуемся этой
40 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
независимостью для отыскания многочленов qi(x,k). Зададим
fk-j, fk-j+i,..., fk-j+s произвольно, a fk_j+s+l зададим равенством
В силу теоремы 2 в этом случае
Q2s+i(x,k) = Ps(x,fkj),
а в силу следствия 3 из формулы Ньютона (см. § 1) разностное отно-
отношение f(xk~j,Xk-j+i,--,Xk-j+s+i) порядка .s + 1 обращается в нуль.
Таким образом, формула B0) примет вид
Ps(x,fkj) = 53/(xfc_J-,xfc_j+1,...,a;fc_:,+i)9z(s,fc). B1)
1=0
В силу произвольности значений /fc_j,/fc_j+i,...,/fc_j_,_s отсюда
следует, что q^x, k) = (x- xk-j)(x - xfc_J+i)...(x - xk-j+i) (I = 0,1,...
...,s). Из B1) следует также, что равенству B0) можно придать вид
?,*)• B2)
Для вычисления многочлена q2s+i (x, к) зададим
fk-j = fk-j+1 = ¦•• = fk-j+s = 0, /fc—j+s+1 = 1- B3)
При условиях B3) формула B2) примет вид
Q2s+i(x,k) = (xfc+i - xk)s+1 f(xk-j,Xk-j+i,...,xk-j+s+i)q2S+i(x,k).
B4)
Заметим, что при условиях B3) интерполяционный многочлен
Ps+i{x, f,Xk-j,Xk-j+i,—,Xk-j+s+i) в силу справедливости его запи-
записи в форме Лагранжа совпадает с многочленом
а в силу записи в форме Ньютона (см. D) из § 1) имеет вид
f(xk-j,Xk-j+l, ..., Xk-j+s+l ) JJ(X - Xk-j+l). B6)
1=0
Приравнивая B5) и B6) друг другу, получаем, что при условиях B3)
f(Xk-j,Xk-j+l,...,Xk-j+s+l)=yJ\(Xk-j+*+l~Xk-3+l)\ ¦ B7)
1=0
Таким образом, из B4) получаем
S
q2s+i(x,k) = {xk+i -xfc)~s~1C2s+i(a;,fc) JJ(xfc_j+s+i -xk-j+l), B8)
j=o
где выражения в правой части вычислены при условиях B3).
§3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция 41
Преобразуем B8) к требуемому виду F), G). Для этого найдем
явную формулу для Q2s+i{x,k) при условиях B3). Заметим, что бла-
благодаря условию B) значение х = хк является корнем кратности s + 1
многочлена Q2s+i(x,k), так что Q(x) = Q-2s+i{x)/(x - xk)8+1 есть
многочлен степени s.
Разложим Q{x) по степеням х —
(х, к) = (а: - хк)
(а. _ Хку+1 -
{X Xk+l) ¦
Используем равенство C) и напишем
dr
x[(x-xkrs-l)[4Xk+l. C0)
Но при условии B3) в силу A)
s
J] g~g*"if'' • C1)
Подставляя C1) в C0), получаем
i=l
у V^r'r^-T.\"'~1i(') ITTct — t, ¦, л1 wi
f=0 i=l *-*к+1
Подставляя C2) в B9), a B9) в B8), получаем явное выражение
для q28+i{x, к) в виде двойной суммы по I и по г, которое зависит от х
только как сложная функция q2S+i(X,к) от Аг = (а; — Xk)/(xk+i — Хк)'-
q2S+i(x,k)=q2s+i(X,k).
Изменяя порядок суммирования в полученной формуле для
q2S+i{X,k), получаем запись в форме F), G). ?
42 Гл. 1. Алгебраическая интерполяция
Задачи
1. Пусть xic+i — Xk = h — const.
Выпишите многочлены lt(x,s), с помощью которых локальный сплайн
ф(х, s) заданной гладкости s, определяемый при Хк ^ х ^ Хк+1 равенством
D), можно записать в форме
гр(х, s) - ^2 f(xt) 1^х' *)¦
i
Рассмотреть случаи: s = 0, j = 0; s = 1, j = 0; s = 2, j — 2.
2. Найти точные значения констант Лебега
L. = max max |Q2»+i(z)|
l/l l $<
для локальных гладких сплайнов при s = 2, j = 1.
3. Доказать, что в случае rct+i — xt = Л = const
max |/(a;fc_j+j,a;fc_j+i+i,...,a;fc_J+i+m)|, m = 0,1,,.., s,
где с = c(s, j, m) не зависят от h.
Вычислить с в случаях: s = 0, j = 0; s = 2, j = 1.
§ 4. Интерполяция функций двух переменных
Пусть функция двух переменных f(x,y) задана в узлах некоторой
правильной или нерегулярной сетки. Как восстановить ее приближен-
приближенно в точках (х,у), не принадлежащих множеству узлов?
1. Случай прямоугольной сетки. Пусть сетка образована пере-
пересечением прямых х = Хк (к = 0, ±1,...) и прямых у = yi {1 — 0, ±1,...).
Считаем, что Xk+i > ж*, yi+i > yi при любых целых к,I. Значение
функции в узле {xk,yi) обозначим через fki- Для вычисления функции
в точке (х,у) можно воспользоваться аппаратом кусочно многочлен-
многочленной интерполяции заданной степени s для функций одного перемен-
переменного.
Для этого сначала осуществляется кусочно многочленная интер-
интерполяция заданной степени по х на каждой из прямых у = yi. Затем
при каждом интересующем нас значении х = х осуществляется ку-
кусочно многочленная интерполяция (той же или другой степени) по у
вдоль прямой х = х по значениям функции f{x,y) в точках {x,yi),
полученным на первом шаге процесса. Например, в случае кусочно
линейной интерполяции по обоим аргументам этот процесс приводит
для интерполяции в прямоугольнике Хк ^ х ^ zjt+i, yi ^ у ^ yi+i к
интерполяционному многочлену
Р(х у) - fu fo-^+iHyyf+i) , f (»-»fc)(g-W+i) ,
§4- Интерполяция функций двух переменных 43
{x-xk+l)(y-yi)
,г {x-xk)(y-yi) , f
+ Jk+l,l+l 7 77 г + Jk,l+l
2. Треугольные сетки. Пусть функция f(x,y) определена в не-
некоторой криволинейной области D, при-
причем известно, что в "горловине" функ-
функция быстро изменяется.
В таком случае прямоугольная сетка
неудобна для табличного задания функ-
функции, так как эта сетка не связана с
формой границы области D и, кроме
того, ее нельзя сгустить только в горло-
горловине. Можно воспользоваться треуголь-
треугольной сеткой (рис. 2), свободной от этих
недостатков, и принять за узлы интер-
интерполяции вершины треугольников.
Если /«,//?,/7 — значения f(x,y) в рис
вершинах а, 0, j треугольника, то мож-
можно осуществить приближенное вычисление функции внутри треуголь-
треугольника с помощью линейной функции
f(x, у) « Р{х, у)=ах + Ьу + с,
подобрав а, Ь, с из условий
аха + Ьуа + С = fa,
ах7 + Ьуу + с = /7,
где (ха,уа), {хр,ур), (х7,у7) — соответственно координаты вершин
q, P, 7- Погрешность интерполяции для функции f(x,y) с непрерыв-
непрерывными вторыми производными будет O(h2), где h — длина наиболь-
наибольшей стороны треугольника.
Существуют способы построения кусочно многочленной интер-
интерполяции более высокого порядка, а также кусочно многочленной
гладкой интерполяции. Аналогичные конструкции существуют и для
интерполяции функций многих переменных.
Подчеркнем, что объем таблиц, обеспечивающих возможность
восстановления функции данной гладкости с заданной точностью,
быстро возрастает с ростом числа аргументов, а алгоритмы услож-
усложняются.
Задачи
1. Пусть функция z = f{x, у) имеет вторые производные, ограниченные
по модулю единицей.
Как экономно выбрать точки сетки на плоскости, чтобы по значениям
функции z = f(x,y) в выбранных точках можно было восстановить функ-
функцию в любой точке квадрата \х\ ^ 1, |у| ^ 1 с погрешностью, не превосхо-
превосходящей е = КГ3?
44 Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
2. Решить предыдущую задачу при дополнительном предположении,
что окружности х + у2 = г2 при каждом г являются линиями уровня функ-
функции z -f{x, у).
3*. Решить задачу 1 в дополнительном предположении, что функция
z = f(x,y) есть функция вида z = <р(х)гр{у), где <р(х), ф{у) — некоторые
функции одного аргумента, не обращающиеся в нуль.
ГЛАВА 2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Наряду с алгебраической интерполяцией, изложенной в гл. 1, ши-
широко употребляется интерполяция с помощью тригонометрических
многочленов вида
п п
/-* ( 27Г . 27Г \ \ ^ 27ГК V ^ , . 27T/l ti\
Q[ cos -f^x, sin —x J = > ак cos ——x + > OfcSin——a;. A)
fc=O fc=l
Здесь n — натуральные числа, L — положительное число, а*,Ь* —
числовые коэффициенты.
Тригонометрический многочлен <3(cos— x, sin-^x, /J, совпа-
совпадающий с периодической функцией f(x), f(x + L) = f(x), в узлах ин-
интерполяции хт = —m + х0 (т = 0,1, ...,N — 1), можно выбрать так,
чтобы он обладал определенными преимуществами перед алгебраи-
алгебраическим интерполяционным многочленом, построенным по значениям
функции в узлах
%т = ттт + zo, т = 0, l,...,iV — 1.
N
Во-первых, погрешность тригонометрической интерполяции
Rn{x,f) = f{x)-Q( cos -^-x, sin -^-x, f)
равномерно стремится к нулю при N —> 0, если f(x) имеет хотя бы
вторую производную, причем скорость убывания погрешности авто-
автоматически учитывает гладкость f(x), т. е. возрастает с ростом числа
г + 1 производных. Именно, мы докажем что
max \RN(x)\ = о(^[), Mr+1 = max
dxr+1
Во-вторых, чувствительность тригонометрического интерполяци-
интерполяционного многочлена к погрешностям в задании значений fm в узлах с
ростом числа узлов "почти" не возрастает.
§ 1. Интерполяция периодических функций 45
Эти два положительных свойства тригонометрической интер-
интерполяции (возрастание точности при увеличении гладкости и вычис-
вычислительную устойчивость) можно придать, как будет показано, и
алгебраической интерполяции функций на отрезке за счет специаль-
специального выбора узлов интерполяции и использования алгебраических
многочленов Чебышева, обладающих многими замечательными свой-
свойствами.
При первом чтении книги можно ограничиться сказанным о со-
содержании гл. 2 и сразу перейти к гл. 3.
§ 1. Интерполяция периодических функций
Пусть f(x) — периодическая с некоторым периодом L функция:
Mx + L) = fN{x), A)
х
заданная на сетке
хт = jjm + хо, т = 0,±1,..., B)
где N — некоторое натуральное число. Для краткости будем обозна-
обозначать f(xm) через fm:
fm+N = fm- C)
m
1. Важный случай выбора узлов интерполяции и соот-
соответствующий тригонометрический интерполяционный мно-
многочлен.
Теорема 1. Пусть хо = L/BN), N — 2(п + 1), п натуральное.
При произвольном задании значений fm периодической с периодом L
функции в узлах сетки B) существует один и только один интерпо-
интерполяционный тригонометрический многочлен
Qn^cos —х, sin —x, f)=2^/akcos—x + 2^/bksin — x, D)
fc=O fc=l
удовлетворяющий равенствам
Qn\x=Xm=fm, m = 0,±l,... E)
Коэффициенты этого многочлена задаются формулами
а° ~ n
m=0
N-l
ак = ^^/тсозк(^т+^), Л = 1,2,...,п, G)
m=0
46 Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
N-1
^fc — Т7 2^ /"»sin/cf — т + — 1, к = 1,2, ...,п, (8)
тп=О
= ^ ?
тп=О
Доказательство. Рассмотрим множество всех вещественных
периодических функций fm:
fm+N^fm, 7П = 0,±1,..., A0)
определенных в точках хт = — — т + -tjz . Будем рассматривать эти
функции только при m = 0,1,...,N — 1, поскольку при остальных m
значения этих функций однозначно восстанавливаются по указанным
значениям в силу периодичности A0).
Совокупность этих функций с обычными операциями сложения и
умножения на вещественные числа образует линейное пространство.
Размерность этого пространства, которое обозначим Fn, есть N, по-
поскольку система функций
если т ф к — 1,
если m = к — 1,к = 1,2, ...,7V,
образует базис. Действительно, каждую функцию / G F^, f = {/m}
(m = 0,1,....,N — 1), можно, и притом единственным образом, пред-
представить в виде линейной комбинации функций ipm'. Введем в F^ ска-
скалярное умножение
т—0
Покажем теперь, что система функций
(П)
= 1,2,...,п, A2)
т)$ = y/2sm{{2-Kk/L)xm), к = 1,2,..., п, A3)
Tj?+V = Sm(Bn(n + 1)/L)xm) = (-l)m A4)
образует ортонормированный базис пространства Ft/.
Общее число функций A1)—A4) есть N и равно размерности про-
пространства Fn. Поэтому остается доказать равенства
({<*>,?<*>) = 1, Л = 0,1,...,п, A5)
A6)
N-1
(€W,{W) =0, гфв;
(jj(r), rf'^) = 0, г ф s;
(с(г) (в)\ _ q r _ q
_ о — Г) 1
г, ь — и, 1,...,
г, я = 1,2,...,
1,...,гг; s = l
п,
п + 1,
A7)
A8)
-1- A9)
§1. Интерполяция периодических функций 47
Для доказательства равенств A5)—A9) предварительно заметим,
что при любых N и 7
N-1
т=0
N-1
Ecosn—т + т)=0, Z = l,2,. ,N — 1, B1)
\ /V / 7 7 7 7 \/
т=0
B2)
т=0
Действительно, справедливость B0) очевидна. Далее проверим B1):
т=0
JV-1
( })
m=0 m=0
(exp { - г —
+ ?е-*"—i-f——v = 0 + 0 = 0,
L c
2 1 - exp {i2lrr/N} 2 1 - exp {-г2/тт/ЛГ}
Равенство B2) доказывается аналогично.
Теперь установим справедливость A5)—A9). Равенство A5) при
к = 0 и равенство A6) при к = п +1 совпадают с B0). Если fc =
= 1,2, ...,п, то A5), A6) справедливы в силу B0), B1):
2 ^ 2/2fc7r тг 1 v Гп
Ыn) n
m=0 m=0
m=0 m=0
w-i w-i
Esin2 (-тт^т + -^г) = — У^
т=0 т=0
N1 N1
= — > sin" —m + — ) = — > 1 - cos I —m + — ) =1
48 Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
Докажем A7):
т—0
N-1
m=0
Мы воспользовались тем, что 1^|г±в|^Л^ — 1и справедливо B1).
Равенство A8) доказывается аналогично, но вместо тождества
2 cos a cos /3 = cos(a + /?) — cos(a — /3), использованного при доказа-
доказательстве A7), нужно использовать тождество 2 sin a sin /3 = cos(a —
— ft) — cos(a + ft). Для доказательства A9) используется тождество
2 sin a cos /3 = sin(a + /?) + sin(a — /?).
Итак, установлено, что A1)-A4) —ортонормированный базис про-
пространства Fn. Поэтому каждая функция / = {/m} G Fp/ может быть
представлена в виде
n 1
, \^ 27Г« v^ i • 27ГЛ
fm = 2^,ak cos-j- xm + 2^bk sin — xm,
fc=O fc=l
т. е. в виде линейной комбинации элементов базиса A1)—A4). Ум-
Умножая сеточные функции, входящие в левую и правую части этого
равенства, скалярно на ^ или T]^(r — 0,l,...,n; s = 1,2,...,п+ 1),
получаем равенства
), *=l,2,..,n,
которые совпадают с формулами F)- (9). ?
Сетка Xm — fr m H—^7 (m = 0, ±1,...), использованная для задания
сеточных функций / е Fw в теореме 1, симметрична относительно
точки х — 0, так что вместе с точкой х = хто сетка содержит точку х =
= — Xm — z-(m+i)- Поэтому можно говорить о четных или о нечетных
сеточных функциях.
Сеточная функция f(x) (х = хт) четная, если f(—x) = f{x)
(х = хт), или
m = 0,±l,... B3)
Сеточная функция f(x) (x = х1П) нечетная, если f(—x) = —f(x)
{х - хт), или
m = 0,±l,... B4)
§ 1. Интерполяция периодических функций 49
Теорема 2. Пусть на сетке хт = Т7т+^Т7> N = 2(п + 1),
задана четная периодическая с периодом N сеточная функция fm.
Тогда интерполяционный многочлен D) примет вид
О - V а, гоч 2пк т BЪ
fc=O
прычел*
m=0
) * = 1'2.-."- B7)
m=0
Доказательство. В силу четности B3) из F), G) получаем
B5), B6), а из (8), (9) следует, что Ьк~0.П
Теорема 3. Пусть на сетке хт = Т7т + ^Т7 за^ана нечетная
сеточная функция fm. Тогда интерполяционный многочлен D) при-
примет вид
п+1
^ B8)
^[m, Л = 1,2,...,п, B9)
ь-+1 = ^тт Ё /-(-1)т- C°)
т=0
Доказательство. Благодаря нечетности B4) коэффициен-
коэффициенты пк {к — 0,1,...,п) в силу формул F), G) окажутся равными ну-
нулю, формулы (8), (9) совпадут с B9), C0), а многочлен D) примет
вид B8)-. ?
2. Чувствительность интерполяционного многочлена к по-
погрешностям задания функции в узлах интерполяции. Оценим,
какова чувствительность интерполяционного многочлена D) к по-
погрешности в задании значений fm. Пусть вместо / = {/т} задана
сеточная функция f + &f = {fm + Sfm}. Тогда вместо многочлена D)
получим многочлен
ГЛ ( 27Г • 27Г t хА ГЛ ( 27Г • 27Г Л ИГЛ
0„^cos— х, sin — х, f + Sfj -Qn^cos—x, sin — x, fj+6Qn.
Из формул F)-(9) видно, что возникающая погрешность есть
AQn - Qn ( cos -j-x, sin -^ a;, Sfj.
4 B.C. Рябенький
50 Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
Таким образом, мерой чувствительности интерполяционного мно-
многочлена D) к возмущению 6f входных данных могут служить числа
Ln = sup
x Qn I cos — x, sin — x, /1
ix i i ti= 1,2,...,
max
C1)
m
называемые константами Лебега. Итак,
}п\ < ?nmax|/m|.
Теорема 4. Константы Лебега Ln тригонометрических интер-
интерполяционных многочленов D) удовлетворяют оценкам
Ln < 2n. C2)
Доказательство. Из формул F), (9) следует, что
KK2max|/m|, C3)
|bfcU2max|/m|. C4)
ТП
Из D), C3) и C4) следует, что
п п+1
Qn(cos-^-a;, sin-^-ж, /J ^ ^ \ак\ + ]Г \Ък\ ^ 2(п + l)max|/m|.
C5)
Оценка C5) выполнена для любой / ? F;v и любого N. Отсюда следу-
следует C2). D
3. Оценка погрешности интерполяции.
Теорема 5. Пусть /(ж) — периодическая с некоторым перио-
периодом L функция, имеющая непрерывную производную некоторого поряд-
порядка г + 1:
max\f(r+1\x)\ = Mr+1. C6)
Пусть f € Ftf, f = {fm} — таблица значений этой функции в точках
сетки
xm = ^m+A, m = 0,±l,..., iV = 2(n + l),
a Qn ( cos — x, sin — x, f J — соответствующий интерполяционный
многочлен D). Тогда для погрешности интерполяции
Rn+i(x) = f(x) - Qn (cos ~ x, sin -j- x, /J
справедлива оценка
{x)\^^^L, с = C(L) = const. C7)
§1. Интерполяция периодических функций 51
Доказательство. Проведем предварительные построения.
Представим f(x) в виде суммы ряда Фурье
где
n n+1
с ( \ V"* 2ък \—* r, ¦ 2тгк
Sn+i(x) = у ^akcos — x + у ^Pk sin — д,
oo oo
1ТГК , „ . 27ГК
ак cos — х + 2_^ /3fc sin -^- x,
fc=n+l k=n+2
а &к,!3к — коэффициенты разложения функции f(x) в ряд Фурье.
Ниже мы используем оценку
С С М ^ ( L\r+1Mr+i
Докажем ее. Из формул
2 А ,, . 2пк , п 2 [ ,, . . 2тгк ,
afc = - / /(х) cos — х dx, /Зк = - f(x) sin — x dx,
о о
интегрируя их г + 1 раз по частям, получаем оценки
Отсюда
ОО , j
max oon^-i(х) ^ ^ I ск^| + \Pk\\ ^ 41 — I — = А - , /oo^
а; _Г~^ \iir/ rn1 TV Л"°/
А = const.
Заметим, что Sn+i(x) есть тригонометрический многочлен ви-
вида D). В силу единственности интерполяционного тригонометричес-
тригонометрического многочлена Qn\ cos — х, sin — i, 5n+i) этот многочлен совпа-
даетс5„+1(х):
Qn( cos -^ ж, sin -^ х, Sn+i) = 5n+i(г). C9)
Далее, в силу оценок C2), C8)
|„ / 27Г . 27Г ,„ Л| . т . Mr+l ^ г, а Л^Г+1 ,.т
|Qn (^ cos — ж, sin — х, SSn+1J I ^ LnA —^- ^ 2Л -^-. D0)
В силу C8), D0) получим требуемую оценку C7):
52 Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
= |/W - Qn [ cos — х, sin — х, Sn+1J -
гл ( 2?r • 2?r го М
-Qn^cos — х, sin —ж, <5Sn+iJ| =
(f(x) - 5n+i(x)) - Qn(cos -j- x, sin -^ x, SSn+ij | =
= 6Sn+i(x) - Qn(cos -j-x, sin-^x,
^ \SSn+1(x)\
П
Заметим, что оценки C2) констант Лебега, а также оценки по-
погрешности интерполяции, доказанные нами, можно заменить более
сильными.
4. Еще один случай выбора узлов при тригонометрической
интерполяции. Отметим еще одну важную для приложений форму-
формулу тригонометрической интерполяции, посвятив ей следующую тео-
теорему.
Теорема 6. Пусть N — 2п. При произвольном задании значе-
значений fm периодической с периодом L функции в узлах сетки
хт = —т, т = 0,±1,...,
существует один и только один интерполяционный тригонометри-
тригонометрический многочлен
Qn^cos — x, sin — x, fj=2_^akcos —z + 2__,oksin~?-x, D1)
k—0 fc=l
удовлетворяющий
Коэффициенты
ак -
ьк-
равенствам
Уп х=х == Jmi
этого многочлена
1 Х^ f
m=0
2 V^1 f „ 2ккг
дг 2—i •'7"C " ДГ
m=0
2 ^^ , . 27rfcn
дг Z—^ •"" ДГ
m=0
m = 0, ±1
задаются
1 E/
m=O
-, К — 1
-, k-1,
формулами
( 1) ,
,2,...,7l-l,
2,..., 71-1.
D2)
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, и мы его
опускаем.
§2. Интерполяция функций на отрезке 53
Отметим, что в случае четной сеточной функции f(x), f(-xm) =
f(xm), или fm = /_m, формулы D2) принимают вид
n-l
т=1
т=1
bfc = 0, D3)
а многочлен D1) принимает вид
п
'dfccos
П
„(cos^x, sin^x, /)=?i
Интерполяционный многочлен Qn(cos-^x, sin —x, /), задавае-
задаваемый формулами D1), D2), обладает свойством устойчивости относи-
относительно возмущения значений /т и свойством сходимости при п —>¦ оо
к интерполируемой функции со скоростью, реагирующей на ее глад-
гладкость. Эти свойства аналогичны установленным в теоремах 4, 5 для
многочлена Qn[ cos — x, sin — x, /), задаваемого формулой D).
§ 2. Интерполяция функций на отрезке. Связь между
алгебраической и тригонометрической
интерполяциями
Пусть f(x) определена на отрезке — 1 ^ х ^ 1 и имеет на этом
отрезке ограниченную производную некоторого порядка г + 1.
Мы считаем областью определения функции f(x) отрезок
—1 ^ ж ^ 1, а не произвольный отрезок а ^ х ^ Ь, лишь для
удобства. Действительно, преобразование х — — позволя-
ет перейти от функции f{x), определенной на произвольном отрезке
а ^ х ^ Ь, к функции F(t) = / ( — ^ ), определенной на от-
отрезке -1 ^ t ^ 1.
1. Периодизация. В силу теоремы 5 из § 1 тригонометричес-
тригонометрическая интерполяция непосредственно пригодна и эффективна для вос-
восстановления лишь гладких периодических функций по их таблицам.
Поэтому использование тригонометрической интерполяции для при-
приближенного описания функции f(x) (—1 ^ х ^ 1) требует перехода от
функции f(x) к некоторой гладкой периодической функции. Простое
доопределение функции f(x) (—1 < х ^ 1) на всей числовой оси до
54
Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
периодической с периодом L = 2 функции приводит, вообще говоря,
О 1 / 2 3 / 4
Рис. 3
к разрывной функции (рис. 3). Поэтому перейдем от f(x) к функции
F(ip) = /(cosy), x = cosy. A)
Для наглядности будем считать, что
функция F(ip) определена на единичной
окружности как функция полярного уг-
угла у. Значение F(ip) получается перено-
переносом значения f[x) из точки х G [—1,1]
в точку у на единичной окружности
(рис. 4).
Очевидно, что функция F(y) яв-
является четной периодической с перио-
периодом 2тг функцией. Легко видеть также,
dr+l
Рис. 4
что существует и ограничена производная
2. Тригонометрическая интерполяция. Выберем в качестве
узлов интерполяции точки
B)
Значения Fm = F{tpm) функции F(tp) в узлах ipm в силу определе-
определения функции F((p) совпадают со значениями /m = f(xm) исходной
функции f(x) в точках хт = costpm.
Для интерполяции четной функции F(ip) по ее значениям в узлах
воспользуемся интерполяционной формулой. B5) из § 1
Qn(cosy,siny,F) =
cos kip,
C)
k=0
где коэффициенты a^ в силу Fm = jm определяются формулами B6),
§2. Интерполяция функций на отрезке
55
B7) из § 1:
п
m=0
D)
m=0
3. Многочлены Чебышева. Связь между тригонометричес-
тригонометрической и алгебраической интерполяциями. Воспользуемся равенст-
равенством cos ip = x и введем функции
(х) = cos kip = cos к arccos х, к = 0,1,... E)
Теорема 1. Функции Тк(х) суть многочлены степени к = 0,1,...
При этом Т0(х) = 1, Ti(x) — х, а Г2(х),7з(х),... последовательно
вычисляются по рекуррентной формуле
Tk+i(x) = 2xTk(x) - rfc_! (x). F)
Доказательство. Очевидно, что Tq(x) — cosO = 1, Т\(х) =
= cos arccos x = х. Воспользуемся известным тригонометрическим
тождеством
cos(k + 1)(р — 2 cos(p cos k(p — cos(k — l)y>, к = 1,2,...,
которое в случае tp = arccos x переходит в формулу F).
Докажем, что Тк(х) — многочлен степени к, с помощью индук-
индукции по к.
При к — 0, к = 1 это уже дока-
доказано. Фиксируем к ^ 1. Допустим,
что утверждение уже доказано для
Tj{x) (j — 0,1,..., Л),-т. е. установле-
установлено, что Tj(x) — многочлены степе-
степени j (j = 0,1,..., к). Тогда выражение
в правой части формулы F), а сле-
следовательно, и Tk+i (х) есть многочлен
степени к + 1. ?
Многочлены Тк(х) были введе-
введены П.Л. Чебышевым. Приведем нес-
несколько первых многочленов Чебы-
Чебышева и их графики (рис. 5):
Г0(х) = 1, Ti(x) = x, Т2(х) = 2х2-1, Щх) = 4х3 - Зх.
Воспользуемся теперь равенством ip = arccos x и перейдем в C)
от tp к х, положив
Qn (cos ip, sin <p,F) = Pn(x,f),
J
X
' I ' ~fc
/' '¦
/Шх)
Шх)
Рис. 5
56
Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
где
G)
k=0
n n
1 V- / _ 1
Y Z__, Jm — , j
m=0 m=0
2 \ 2 x ¦»
^ 2J fm COshpm = -^J Y, frnTk{xm).
m=0
m—0
Напомним, что
7rBm + 1) _ ,
xm = cosy>m = cos 1 , m = 0,1, ...,n.
(8)
(9)
Таким образом, Pn(x,f) есть алгебраический многочлен степени
не выше п, принимающий в узлах интерполяции хт = cosy>m задан-
заданные значения f(xm) — fm. Узлы интер-
V2 Vl поляции хт изображены на рис. 6.
Отметим, что точки
п+ 1
m
2(п + :
Рис. 6
x (m = 0,1,..., n) являются нулями функ-
функции cos(n + l)ip, а хт = cos(pm — ну-
нулями многочлена Чебышева Tn+i(x) =
= cos(n + l)v?-
Таким образом, интерполяционный
многочлен Pn(x,f), задаваемый фор-
формулой G), реализует алгебраическую интерполяцию функции f(x) по
ее значениям в точках хт, являющихся нулями многочлена Чебыше-
Чебышева Тп+1(х).
4. Свойства алгебраической интерполяции с нулями мно-
многочлена Чебышева Tn+i(x) в качестве узлов. В силу равенства
Qn(costp, simp, F) = Pn(x,f) на алгебраический интерполяционный
многочлен Pn(x,f) переносятся свойства многочлена Qn(cos(p, siny,
F), установленные в теоремах 4, 5 из § 1. Именно константы Ле-
Лебега Ln, характеризующие чувствительность многочлена Pn(x,f) к
погрешностям при задании значений /т, удовлетворяют доказанной
оценке C2) из § 1
Ьп < 2п, A0)
а погрешность интерполяции
= f(x)-Pn(x,f)
равномерно стремится к нулю при п —? оо со скоростью, зависящей
§2. Интерполяция функций на отрезке 57
от числа производных г + 1:
^i)) Mr+l = max|/(r+1)(x)|. A1)
Напомним, что при использовании вместо сетки хт — cos</?m сет-
сетки с постоянным шагом константы Лебега быстро растут, а сходи-
сходимость интерполяционного многочлена к функции f(x) может не иметь
места даже для бесконечно дифференцируемых функций. Это и за-
заставляет в случае равномерной или произвольной нерегулярной сетки
использовать кусочно многочленную алгебраическую интерполяцию
или сплайны (см. гл. 1).
Замечание. Доказанная нами в теореме 4 из § 1 оценка C2) мо-
может быть существенно усилена: справедлива оценка
7Г 4
(см., например, [1]). Вместе с тем может быть усилено и A1).
5. Алгоритм вычисления значений интерполяционного
многочлена. Для вычисления коэффициентов многочлена G) по фор-
формулам (8), а также для вычисления значения этого многочлена в за-
заданной точке х (— 1 ^ х ^ 1) нужно уметь вычислять значения много-
многочленов Тк(х) (к ~ 0,1,...). Покажем, что эти значения целесообразно
вычислять по формуле F). Простота и экономичность формулы F)
очевидны. Покажем, что вычисления по ней устойчивы относительно
погрешностей округления.
Рассмотрим так называемое разностное уравнение вида
Ук+i = 2хук - ук-1, A2)
где к — параметр. Будем искать решение этого уравнения, имеющее
вид у к — qk, где q — некоторое число. Подставляя это выражение в
разностное уравнение, получаем следующее уравнение ("характерис-
("характеристическое уравнение") для q:
q2 - 2xq + 1 = 0, qlfi =x± \fx2 - 1. A3)
В силу линейности уравнения A2) выражение
Ук = cigf + c2g? A4)
является его решением при любых значениях постоянных ci,c2. Под-
Подберем ci, c2 из условий
2/о = Го (ж) = 1, у1=Тх(х) = х,
т. е.
d + с2 = 1, Ciqx + c2q2 = x. A5)
Отсюда при С] = с2 = 1/2 решение A4) совпадает с Ть(х), которое
в силу соотношения F) является решением уравнения A2) как функ-
функция к:
Тк(х) = \{х + у/*2 - 1)* + \{х - ч/^Т)*. A6)
58 Гл. 2. Тригонометрическая интерполяция
Заметим, что корни giJ =х± у/х'2 — 1 при |ж| < 1 являются комп-
комплексно-сопряженными и по модулю равны единице. Следовательно,
of.?* c ростом к по модулю не меняются и остаются равными еди-
единице.
Какая-либо погрешность, допущенная при некотором к = ко, вы-
вызовет возмущение в значениях ci,c2, которые входят в формулу A4)
при к > ко. В силу равенств \^\ = Igfl = 1 (к = 1,2,...) эта погреш-
погрешность с ростом к не будет возрастать, что и означает вычислительную
устойчивость расчетов по формуле F) при |ж| < 1.
6. Алгебраическая интерполяция с узлами в точках эк-
экстремума многочлена Чебышева Тп(х). При интерполяции функ-
функции F(ip) = /(cosy) воспользуемся сеткой ут = -т (т = 0,1,...
...,2п — 1). В соответствии с теоремой 6 из § 1 получим тригономет-
тригонометрический интерполяционный многочлен
п
Qn(cos у, sin у, F) = Y^ at cos kip,
к=0
п—1
т=1
п-1
n1
a* = -[/o + (-1)*/„] + - J2 frn cos к ¦ (pm,
it it
it
m=l
k = 1,2, ...,71-1.
Переходя к переменной х = cosy и обозначая Qn (cos у, sin у, F) =
Pn(z,/), получаем ^ n
^ A7)
п-1
A8)
т=1
Алгебраический интерполяционный многочлен Pn(x,f) с узлами
интерполяции
xm = cosym = cos-m, m = 0, l,...,n,
наследует от тригонометрического интерполяционного многочлена
Qn (cos у, sin у, F) слабый рост констант Лебега с увеличением п (ус-
(устойчивость относительно погрешности значений /т), а также уве-
увеличение порядка малости погрешности интерполяции относительно
§2. Интерполяция функций на отрезке 59
числа 1/п при возрастании гладкости функции f(x).
Обратим внимание читателя на тот очевидный факт, что в
узлах интерполяции хт многочлен Чебышева Тп{х) достигает своих
экстремальных на отрезке — 1 ^ х ^ 1 значений: Tn(xm) = cosTrm =
= (—l)m(m = 0,1, ...,п), что и оправдывает заголовок этого пункта.
Задачи
1. Пусть функция f(x) задана не на отрезке [—1,1], а на произвольном
отрезке [а, Ь].
Указать узлы интерполяции и выписать интерполяционные многочле-
многочлены, аналогичные многочленам Р„(х,/), Pn(x,f), построенным в этом па-
параграфе.
2. Для функции /(я), — 1 ^ х ^ 1, построить интерполяционный мно-
многочлен Рп{х), используя в качестве узлов интерполяции нули многочлена
Чебышева Тп+\(х). Вывести на экран компьютера графики f(x) и Рп(х)
для п = 5,10, 20, 30. Сделать то же самое в случае интерполяционного мно-
многочлена Рп(х), построенного по равноотстоящим узлам х* = — 1 + 2fc/n,
к = 0,1,..., п. Рассмотреть случай f(x) — -= . Объяснить качественное
xi + 0,25
различие между обоими способами интерполяции, наблюдаемое на экране.
3. Введем нормированный многочлен Чебышева Тп[х) степени п, поло-
живГп(а;) = 21-пТТ1(х).
а) Показать, чТо коэффициент при хп для Т„(х) равен единице.
б) Показать, что уклонение max |Г„(х)\ многочлена Г„(х) от нуля на
отрезке [-1,1] есть 21-". -1<*Ф
в*) Показать, что среди всех многочленов степени п с коэффициентом 1
при хп многочлен Тп(х) наименее уклоняется от нуля на отрезке [—1,1].
г) Как выбрать узлы интерполяции fu,fi,...,tn на отрезке [—1,1], чтобы
многочлен (t — t(])(t — ti)...(t — tn), входящий в формулу погрешности B)
из § 2 гл. 1, наименее уклонялся от нуля на отрезке [—1,1]?
4. Указать узлы интерполяции четной периодической функции f((p),
f((p + 2Tr) = f(tp), при которых константы Лебега совпадают с константами
Лебега для алгебраической интерполяции по равноотстоящим узлам.
ГЛАВА 3
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
КВАДРАТУРЫ
ь
Определенный интеграл f(x)dx удается найти точно по формуле
а
Ньютона-Лейбница лишь в тех редких случаях, когда соответствую-
соответствующий неопределенный интеграл от заданной функции f[x) является
60 Гл. 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры
табличным. Еще реже удается находить точные значения кратных
интегралов 11 f(x,y)dxdy, где D — заданная область.
D
Мы укажем некоторые способы приближенного вычисления опре-
определенных и кратных интегралов, обсудим трудности, связанные с
ростом размерности кратного интеграла.
Отдельный параграф посвящен комбинированному использованию
аналитических и вычислительных средств при решении задач, кото-
которое широко применяется не только при вычислении интегралов.
Формулы для приближенного вычисления интеграла по таблице
значений подынтегральной функции называют квадратурными в слу-
случае интегралов по отрезку и кубатурными в случае кратных интег-
интегралов.
§ 1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона
ь
Определенный интеграл / f(x) dx, как известно, имеет геометри-
о
ческий смысл площади.
1. Общая схема простейших квадратурных формул. Для
приближенного вычисления этой площади разобьем отрезок [а,Ь] на
некоторое число п отрезков, обозначив абсциссы их концов хо,х\,...
...,хп, причем
а = х0 < xi < ... < хп = Ь.
Затем воспользуемся кусочно многочленной интерполяцией какой-
либо степени к ^ 1, заменив функцию у — f[x) возникающей при
этом кусочно многочленной функцией
Рк(х) =
Функция Рк(х) на каждом отрезке [x^zj+i] есть многочлен степени
не выше к.
Для вычисления интеграла можно воспользоваться приближенным
равенством
Ь Ь
ff(x)dx fa J Pk(x, f,xo,xi,...,xn)dx. A)
a a
Правую часть этого равенства можно записать в виде
Ь X! х2 ь
Jdx = fPkdx + jPkdx + ...+ j Pkdx. B)
a xi xn_x
§1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона С1
Каждое слагаемое в правой части — интеграл от многочлена степени
не выше к, с которым совпадает функция Рк — Pk(x,f,x0,Xi,...,xn) на
отрезке [x{,Xi+1]. Его можно вычислить точно по формуле Ньютона-
Лейбница, выразив ответ через числа хо,хЛ,...,хп и f(xo),f(xi),...
...,f(xn). Формула A) является, таким образом, квадратурной фор-
формулой.
Очевидно, справедлива следующая оценка погрешности квадра-
квадратурной формулы:
Ь Ь ь
\ff{x)dx,- jPk dx\ ^ J\f(x) -Pk\dx^
a a a
< (b- a) maxjfix) - Pk(x,f,x0,x1,...,xn)\. C)
Теорема 1. Пусть f(x) имеет ограниченную производную
порядка fc-Ы, так что max \/^к+1Цх)\ = Mk+i, и пусть h =
= max \xi+i — х\\. Тогда
Ь Ь
\ff(x) dx - fpk dx\ ^ const • \b - а\Мк+Лкк+х. D)
а а
Доказательство. Достаточно воспользоваться следующей
оценкой погрешности кусочно многочленной интерполяции:
max \f(x) - Рк\ ^ const - Mk+1hk+1,
а также оценкой C). ?
Квадратурные формулы вида A) наиболее часто употребляются
при использовании кусочно линейной интерполяции к = 1 (форму-
(формула трапеции) и при кусочно квадратичной интерполяции (формула
Симпсона).
2. Формула трапеций. Конкретизируем формулу A) в случае
к = 1 и при равноотстоящих узлах x.i,Xi-i — x,i = (b — а)/п = h. В
этом случае интеграл f P\ dx есть площадь трапеции и равен про-
Xi
изведению полусуммы оснований этой трапеции (/j+/i+1)/2 на ее
высоту h= (b — a)/n, т. е.
b^f-i±^. E)
Суммировав эти равенства почленно для г — 0,1,...,п — 1, придадим
62 Гл. 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры
формуле A) следующий вид:
Ь Ь
ff(x)dx « jp1dx = ^(f +/, +... + /„-1 + f). F)
о о
Уточним общую оценку D) погрешности квадратурной форму-
формулы A) для случая формулы трапеций F). На каждом отрезке [з^,Ж{+1]
функция Р\(х) совпадает с интерполяционным многочленом первой
степени. Поэтому на каждом отрезке [:ri,3:i+i] справедлива оценка
\f(x) - Рг (a:)K I max \f"(x)\h2 ^ I ma* \f"(x)\h2.
Правая часть этой оценки не зависит от того, какому из отрезков
[^ij^i+i] принадлежит точка х. Поэтому выписанная оценка справед-
справедлива при всех х ? [а, Ь]:
max |/(:r) - Рг(х)\ ^ I mauc \f"{x)\h2. G)
Оценка погрешности C) при к = 1 и при равноотстоящих узлах х,{,
т. е. для формулы трапеций, принимает вид
6 6
\[f(x)dx- [P1{x,f,xo,x1,...,xn)dx ^^ max\f"(x)\h2. (8)
Таким образом, эта оценка гарантирует убывание погрешности
при h —> 0 не медленнее, чем Л2. Она не является грубой: даже для
функций, имеющих производные всех порядков, погрешность квад-
квадратурной формулы трапеций, вообще говоря, действительно убывает
именно как /г2. i
Это показывает следующий пример. Очевидно, что jx2dx = -. По
формуле трапеций имеем о
2ч _ n^l _ rf_ Гп(п+1)Bп + 1) _ n2] _ 1 /г*_
Погрешность здесь составляет /i2/6, хотя подынтегральная функция
/(ж) = х2 имеет производные не только второго, но и всех порядков.
Интересно напомнить тот известный факт, что для периодичес-
периодических функций f(x) с периодом b — а точность формулы трапеций для
Ь
(х) dx самонастраивается на гладкость; порядок точности по h воз-
а
растает с ростом числа производных периодической функции:
§1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона 63
Теорема 2. Пусть f(x) — периодическая функция с периодом
X = b — a, f(x + X) = f(x), имеющая ограниченные производные до
некоторого порядка k, max \f^(x)\ = Mk¦ Тогда погрешность формулы
X
трапеций будет 0{Мфк).
Мы не приводим доказательства этой теоремы.
3. Формула Симпсона. Эта квадратурная формула получается
на основе замены подынтегральной функции кусочно квадратичной.
Для достаточно гладких функций ее погрешность убывает при h —> О
как Л4, т. е. быстрее, чем для формулы трапеций.
Будем считать п четным, п — 2к, а узлы равноотстоящими, x,j+x —
— x,j — h = (b — а)/п. На каждом отрезке [x,2j,X2j+2] (j = 0,1,..., к — 1)
заменим f(x) интерполяционным многочленом второй степени
^2(#, Д/, Ди-ъ Д/+2), который запишем в форме Лагранжа:
+ f (x - X2j)(x - x2j+2) | , (x ~ X2j)(x ~ *2j+i
3+ (X2j+1 - X2j)(x2j+1 - x2J+2) 3 (x2J+2 ~ x2j)(x2j+2 ~ X
По формуле Ньютона-Лейбница проверим, что
x2j+2
J Зп
X2j
В результате приближенной замены /(ж) на Рг(#, /у, Д^+ьД^+г) по-
получим приближенные равенства
х2}+1 7
J f(x) dx* f 'P2 dx = h-^{f2j + 4/зя-! + Д+2),
X2j X2j
Суммируя приближенные равенства
x2j+2
f f(x) dx ю ^(Д + 4Д+1 + /2i+2) A0)
x2j
b
для j = 0,1,..., к — 1 почленно, в левой части получаем / f(x) dx:
а
хг ?4 X2n b
Jf(x)dx + Jf(x)dx + ...+ J f(x)dx = Jf(x)dx.
x0 X2
64 Гл. 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры
В правой части получаем
5„(/) = ^г(/о + 4/х + 2/2 + 4/з + ... + 4/п_, + /п). A1)
Формула A1) для приближенного вычисления определенного ин-
Ь
теграла I f{x)dx называется формулой Симпсона.
а
Теорема 3. Пусть f(x) имеет на отрезке [а,Ь] ограниченную
третью производную: max |/"'(з;)| = Мз- Тогда погрешность форму-
ь
лы Симпсона, т. е. разность f(x)dx — Sn(f), удовлетворяет оценке
f
а
Доказательство. Формула Симпсона возникла в результате за-
замены подынтегральной функции f(x) на отрезке [а, Ь] кусочно квадра-
квадратичной функцией р2(х). Она на каждом отрезке [x,2j,x,2j+2] совпадает
с интерполяционным многочленом P2(^,^2j,^2j+\,^2j+2), построен-
построенным ПО Значениям /2j,f2j+l,f2j+2 В узлах X,2j,X2j+l,X2j+2-
Оценим разность Дг(з;) = f(x) — ЛгО*:) для х е [а, Ь]. Каждый из
этих х принадлежит какому-то отрезку [3;2j,a:2j+2]- Но на отрезке
[x,2j,X2j+2] величина Дг(з;) есть погрешность квадратичной интерпо-
интерполяции и выражается формулой
31 (Х - X2j)(z - X2j+l )(X - X2j+2),
Отсюда
|Я2(*I < ^ max |(а: - x2j)(x - x2j+l){x - :r2i+2)|
6) X^X^X2j2
В силу произвольности х 6 [а, Ь]
max \R2(x)\ ^ ^h
С ледоватсл ь но,
Ь Ь Ь
\ff(x)dx - Sn(f)\ = \ff(x) dx - jP2(x)dx
a a a
b
b b
- P2(x))dx = \fR2{x)dx ^ J\R2{x)\dx
a a
J
a
x=b-^h3M3. D
§1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона 65
Теорема 4. Пусть fix) имеет на отрезке [а,Ь] ограниченную
четвертую производную: max |/^(з;)| = М4. Тогда погрешность фор-
Ь
мулы Симпсона, т. е. разность I fix)dx — Sn(/), удовлетворяет
оценке о.
" , u с ,,ч| ^ (Ь-а)М4 ,4 п„.
yx)dx- ЬпК!) $ rj «• A^)
Доказательство. Формула Симпсона возникла из записи ин-
Ь
теграла / /(ж) (ia; в виде
|/(з;) из; = у/(ж) da; + |/(ж) da; + ... + | /(ж) da; A3)
x2j+2
с дальнейшей заменой каждого слагаемого / fix) dx, выражением
Покажем, что погрешность, вносимая в каждое из к = п/2 слагае-
слагаемых суммы A3), удовлетворяет при этом одной и той же оценке
x2j+2
| I fix) da; - b-^if2j + 4/2i+1 + /2i+2)| ^ ^ h5. A4)
Из этих оценок вытекает и оценка A2):
Ь
\ffix)dx - Sn(f)
=0 x2j
fc-1
| / з;)dx -
|
i=o i
n M4 , 5 _ (b - a)M4 ,4
^ г"^'1 - 18 ^ •
Для доказательства оценки A4) представим fix) с помощью фор-
формулы Тейлора в окрестности точки x,2j+\ в виде
f(x)=Q(x) + R(x),
где
Q(X) = /(гад+О + f(Xll+l)(x ~ Xy+1)
5 B.C. Рябенький
66 Гл. 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры
+
2!
R(x) = ¦ ц'{Х ~ X2j+lV, ?'2j ^ f ^ X2J+2-
Далее,
x2j+2 x2j+2
f(x) dx 5—(f2j + 4/2,+i + /27+2) = / Q(%) dx + / R(x) dx —
X2j X2j X2j
2^-[(<22j + Rbj) + MQ2j+\ + R2j+l) + (Q2J+2 + .R2J+2)] =
x2j+2
= \ / Q(x)dx —(Qzj + 4Q2j+i + Q2J+
1 j on
b
+ [R(x) dx ^—(R2j + 4Й27+1 + R21+2) ¦
LJ on J
Можно проверить непосредственно, что для Q(x) ~ 1, Q(x) ~ x,
Q(x) = х2, Q(x) = х3 величина, стоящая в фигурных скобках, обра-
обращается в нуль. Следовательно, эти фигурные скобки обращаются в
нуль и для произвольного многочлена Q(x) степени не выше третьей.
В силу этого
2
f(x) dx, - b-^(f2j |
= I R(x) dx - ^(R2j + AR2j+1 + R2j+2)\. A5)
x2j
Учтем, что R2j+\ = 0, a \R(x)\ ^ —^ /i4. Поэтому правая часть
равенства A5) оценивается величиной
x)\( Г dx + \ Ъ^
X
D
\
J о ft
X2j X2j
b — а 2 Ь — а
—+ -—
Следствие. Формула Симпсона точна для функций f(x), являю-
являющихся многочленами степени не выше третьей.
Доказательство. Для таких функций М* = тах|/D)(:с)| = 0 и
в правой части оценки A4) стоит нуль. ?
Заметим, что на практике выбор числа п и соответственно шага
сетки перепоручают машине. Ведут расчет с некоторым п, затем с
§2. Вычисление интегралов с особенностями 67
удвоенным п, пока результат не перестанет меняться в требуемом
десятичном знаке.
Задачи
1. Показать, что формула трапеций точна, если f(x) — многочлен сте-
степени не выше первой.
2*. Доказать теорему 2 в случае b — а = 1.
Указание. Воспользоваться представлением f(x) в виде ряда Фурье
к=-оо
3. Показать, что в случае переменного шага сетки, удовлетворяюще-
удовлетворяющего условию Xj+i — Xj < h = const, использование кусочно квадратической
интерполяции приведет к обобщению формулы Симпсона, порядок погреш-
погрешности которой возрастает и будет О(МзЬ.г), где Мз — max|/"'(:r)|.
4. Показать, что для сколь угодно гладких подынтегральных функций
погрешность формулы Симпсона может фактически достигать величины
const • /г4.
§ 2. Сочетание численных и аналитических методов
при вычислении интегралов с особенностями
Даже для простейших несобственных интегралов непосредствен-
непосредственное применение квадратурных формул наталкивается на трудности.
Например, формула трапеций
в случае а = О, b = 10, f(x) = cosx/фс, неприменима, так как /0 не
определено.
Для преодоления этих трудностей естественно воспользоваться
аналитическими методами, чтобы свести задачу к вычислению опре-
определенного интеграла от гладкой ограниченной функции, а затем вос-
воспользоваться какой-либо квадратурной формулой. В рассматривае-
рассматриваемом примере с этой целью можно сначала воспользоваться формулой
интегрирования по частям, приняв и = cos я, —= dx = dv. Тогда
Vх
ю 10 ю
/S21JE. dx = cos x B-Jx) + [ 2v/^sin x dx,
yfi v ;lo J
о о
и осталось вычислить следующий определенный интеграл:
ю
(sinx)\/xdx.
о
5*
68 Гл. 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры
Ю
Возможен другой прием. А именно, разобьем интеграл / —j=^ dx
на два: о У'Х
ю с ю
/coss; , fcosx , , fcosx , /1Ч
—j=r dx= —7=- dx, + / —p- tfa;, A)
о о с
где с > 0 -г- некоторое, пока произвольное число. Для вычисления
первого интеграла, входящего в правую часть равенства A), восполь-
воспользуемся разложением
„2 „4 „6
Тогда
cosx
х2 ^
С с , с 4/2 с 7/2
dx [х1 , , fx'1
Jd + J
Каждый из интегралов в правой части уравнения B) вычисля-
вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Пусть задано е > 0 и требует-
требуется вычислить интеграл с погрешностью, не превосходящей заданное
значение е. Для этого достаточно ограничиться суммой нескольких
первых членов ряда в правой части уравнения B). Число этих членов
зависит от е > 0 и от с. Не стоит брать с большим, например с = 10.
Тогда даже при не очень малом е, например при е = 10~3, потребу-
потребуется много членов ряда. Не стоит брать с «С 1, так как в этом случае
интеграл B) будет вычисляться экономно, но зато подынтегральная
ю
функция в интеграле / с°^5 dx будет иметь большие по абсолютной
J у/х
величине производные. Это потребует больших значений п в формуле
трапеций (или Симпсона) для достижения заданной точности е = 10~3
при вычислении этого интеграла.
Для преодоления трудности, вызываемой особенностью, иногда
1
????
удается воспользоваться заменой переменной. Например, |
J /
о
в результате замены х — t2 переходит в определенный интеграл без
особенностей
1 2 1
о о
Залог успешного решения задачи — в разумном распределении
вычисления между аналитическими преобразованиями и приемами,
которые должен выполнить исследователь, и рутинными вычислени-
вычислениями, которые должна выполнить машина. Это вообще характерно для
решения любых задач с помощью быстродействующей ЭВМ.
§3. Кратные интегралы
69
Задача
Предложить алгоритмы для вычисления следующих несобственных ин-
интегралов:
.. 7й"
о
оо
Iе dx'
§ 3. Кратные интегралы
Вычисление кратных интегралов вида
Jim) = /(-)(/,/)) = I„Jf(x1,...,Xm)dx1...dxr
A)
D
по некоторой области D пространства xi,...,xm можно свести к ис-
использованию квадратурных формул для вычисления определенных
интегралов вида I f(x) dx. Однако слож- у
ность соответствующих алгоритмов и
число арифметических операций для по-
получения ответа с заданной точностью
е > 0, вообще говоря, быстро возраста-
возрастают с ростом размерности п, даже если
область интегрирования — единичный
куб Г> = {|as<| <1, г = 1,2,...,п>.
Большое дополнительное усложне-
усложнение возникает в случае области интег-
интегрирования D общего вида.
1. Переход от кратного интеграла к повторному и исполь-
использование квадратурных формул. Для выяснения сути дела пред-
предположим, что т — 2, и рассмотрим интеграл вида
Рис. 7
= fff(x,y)dxdy
D
по области D (рис. 7), заключенной между кривыми
Очевидно, что
где
/B) = fff(x,y) dxdy = fF(x) dx,
D a
F(x) = J f{x, y)dy, a^.x^ b.
()
B)
C)
D)
E)
70 Гл. 3. Вычисление определенных интегралов. Квадратуры
Интеграл E) можно приближенно заменить квадратурной форму-
формулой. Возьмем для определенности формулу трапеций вида
хк=а + к^, fc = 0,l,...,n. F)
Выражения
I f(xj,y)dy,
входящие в формулу F), в свою очередь можно вычислять по квад-
квадратурной формуле трапеций:
„, х V>2(xj) - V>i(zj)
FlXi) s=s J- ^-x
"'-^X G)
, ,,,
ft
Погрешность е = e(n) при приближенном вычислении интегра-
интеграла /B) по формулам F), G) уменьшается с ростом п, а число ариф-
арифметических операций v{n) возрастает. Очевидно, что v{n) = О(п2).
Если функция f{x,y) имеет ограниченные производные второго по-
порядка, а функции <pi(x), f2{x) достаточно гладкие, то в силу свойств
формулы трапеций е(п) = О(п~2).
Прием перехода от кратного интеграла к повторному, а затем вы-
вычисления последнего с помощью многократного использования квад-
квадратурных формул может быть перенесен и на общий случай кратных
интегралов /(т) (т > 2), если область D задана достаточно удобно.
При этом число v{n) арифметических операций при использовании
квадратурных формул с заданным п есть
v(n) = О(пт).
Если f(xi,X2,.-.,xm) имеет ограниченные производные второго по-
порядка, граница Г области D достаточно гладкая и в качестве квад-
квадратурных формул многократно используется формула трапеций, по-
погрешность е при вычислении кратного интеграла есть е = е(п) =
= О(п-*).
При заданном е выбор п производится обычно путем эксперимен-
экспериментальных расчетов последовательно с некоторым п — по,п = 2по,... до
тех пор, пока результат перестает изменяться в пределах заданной
точности. Существуют приемы ускорения расчетов.
§3. Кратные интегралы 71
2. Эффективные методы для вычисления кратных интег-
интегралов при больших значениях размерностей т. Приведем прос-
простейший пример, где упрощение достигается за счет учета специфики
задачи. Пусть требуется вычислить интеграл / / f(x,y)dxdy, причем
D
известно, что D — круг: я2 + у2 ^ R2, a f(x,y) в действительности
зависит не от i и у в отдельности, а от комбинации я2 + у2 = г2, так
что f(x, у) = /(г). Тогда
R
D 0
и дело свелось к вычислению обычного определенного интеграла.
О вычислении кратных интегралов см. [10, 22].
3. Понятие о методе Монте-Карло. Указанный выше прием
редукции к обычным определенным интегралам окажется затрудни-
затруднительным даже в случае т = 2, если область D ограничена достаточно
сложной кривой.
Будем считать, что область D лежит внутри квадрата @ < х < 1,
О < у < 1). Доопределим функцию f[x,y) вне D нулем. Пусть имеет-
имеется датчик случайных чисел, который выдает числа, равномерно рас-
распределенные на отрезке [0,1] с вероятностью, равной единице. С по-
помощью этого датчика строим последовательность точек (пар чисел)
Рк = (хк,Ук) (к = 1,2,...) и составляем числовую последовательность
к
Легко представить, что при произвольном е > 0 вероятность того,
что погрешность /B) — Sk меньше е:
\I™-Sk\<e,
с ростом числа к испытаний стремится к единице. Мы не приводим
здесь существующих точных теорем.
Смысл метода Монте-Карло особенно нагляден, если f(x,y) = 1.
Тогда 7B) есть площадь области D, a Sk — отношение числа тех из
точек Pi,P2,...,Рк, которые попали в область D, к числу к всех этих
точек. Очевидно, что это отношение приблизительно равно площади
области D, поскольку площадь всего квадрата, куда попадают точки,
равна единице.
Привлекательность метода Монте-Карло — в логической просто-
простоте соответствующего алгоритма, который не усложняется с ростом
размерности тис усложнением формы области D. Однако в случае
простых областей и узких классов функций он проигрывает методам,
учитывающим эту специфику.
Метод Монте-Карло имеет и многие другие приложения [23].
ЧАСТЬ II
СИСТЕМЫ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Числа называют еще скалярами, а поэтому уравнения и системы
уравнений относительно одного или нескольких неизвестных чисел
называют скалярными. Существуют также функциональные уравне-
уравнения, в частности, дифференциальные уравнения, в которых неизвест-
неизвестными являются не числа, а функции, но в этой части книги мы ими
заниматься не будем.
Среди систем скалярных уравнений можно выделить важный
класс систем линейных алгебраических уравнений, которому уделено
много внимания (гл. 4, 5).
В гл. 6 рассматриваются нелинейные скалярные уравнения.
ГЛАВА 4
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) высокого
порядка возникают во многих приложениях. Рассмотрим координат-
координатную форму записи СЛАУ порядка п:
... + annxn = fn,
где aij, fi (i,j = l,2,...,n) — заданные числа, Xj (j = l,2,...,n) —
искомые числа. Более общая и часто более удобная форма задания
СЛАУ — операторная.
Мы обсудим формы записи совместных СЛАУ (§ 1), определим
понятие обусловленности оператора и соответствующей СЛАУ (§ 2),
рассмотрим некоторые точные (§ 4,6, 7) и итерационные (§ 4) методы
вычисления решений СЛАУ, указав классы СЛАУ, для которых один
алгоритм вычисления решений предпочтительнее другого. В § 5 уста-
устанавливается связь между задачей на минимум квадратичной функ-
функции и СЛАУ.
§1. Формы записи совместных СЛАУ 73
Отметим сразу же, что для вычисления решения СЛАУ известные
формулы Крамера при сколько-нибудь большом п (п > 5) не приме-
применяются из-за большого числа арифметических операций и вычисли-
вычислительной неустойчивости.
§ 1. Формы записи совместных СЛАУ
Линейным уравнением относительно неизвестных z,u,...,w назы-
называется уравнение вида
az + Eи + ... + -yw-t, A)
где а,C, —,-)¦, а также t — какие-нибудь заданные числа.
1. Каноническая форма записи СЛАУ. Пусть задана система
п линейных уравнений относительно того же числа п неизвестных.
Эту систему, очевидно, можно записать в следующей (канонической)
форме:
+ ... 4- а\пхп — /i,
B)
+ ••• + аппхп = /„.
Для этого надо занумеровать заданные уравнения вида A) и неиз-
неизвестные номерами 1,2, ...,п, а затем неизвестные переобозначить че-
через Xj, коэффициент при неизвестном Xj в уравнении, получившем
номер г, — через а^, а правую часть — через /< (i,j = 1,2, ...,п).
Из линейной алгебры известно, что система B) имеет решение (сов-
(совместна) при любых правых частях в том и только том случае, если
соответствующая однородная система имеет только тривиальное ре-
решение Zi = Х2 = ... = хп = 0. Необходимым и достаточным условием
этого является условие, чтобы матрица А коэффициентов системы
имела определитель, отличный от нуля: det А ф 0. Условие совмест-
совместности системы B) при любых правых частях det А ф 0 одновременно
обеспечивает и единственность решения.
С помощью матрицы А систему B) можно переписать в виде
= [/Т D)
или, короче,
Ах = /. E)
74 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
2. Операторная форма записи. Пусть заданы линейное Про-
Пространство /?" размерности п, линейный оператор А :/?"->/?" и не-
некоторый элемент / е /?". Рассмотрим уравнение
Аг = / F)
относительно х € Rn. Известно, что это уравнение имеет решение при
произвольном / = /?п в том и только том случае, если соответствую-
соответствующее однородное уравнение Ах = 0 имеет только тривиальное решение
x = 0eRn.
Пусть /?" состоит из элементов вида
*=[-¦]. G)
где z\,..., zn — всевозможные упорядоченные системы чисел. В случае
задания элементов пространства /?п в форме G) будем говорить, что
элементы заданы своими координатами.
Из линейной алгебры известно, что в этом случае каждому линей-
линейному оператору А соответствует матрица вида C) такая, что задан-
заданному х G Rn сопоставляется у = Ах по формулам
Уравнение F) в этом случае совпадает с уравнением D), или с ка-
канонической записью B). Оно является, таким образом, лишь опера-
операторной интерпретацией системы B). Однако элементы пространства
/?" не обязательно задаются как упорядоченные системы чисел G), а
оператор А не обязательно исходно задается в форме (8).
Таким образом, операторная форма задания F) системы линейных
уравнений может отличаться от канонической формы B).
Приведем пример прикладной задачи, которая естественно при-
приводит к системе линейных уравнений высокого порядка, заданной в
операторной форме. Этот пример будет нами многократно использо-
использоваться в книге.
3. Пример. Разностный аналог задачи Дирихле для урав-
уравнения Пуассона. Пусть в квадратной области D = {0 < х, у < 1}
требуется численно решить следующую задачу:
u\8D=0,
где 8D — граница области D. Для численного решения этой задачи
зададим натуральное М, введем h — М и построим сетку с узлами
(я™,, Ут2) = {mih, m^h), ть т2 = 0,1,..., М. A0)
§1. Формы записи совместных СЛАУ
75
Будем искать таблицу приближенных значений wm,m2 решения
и(х,у) задачи (9) в узлах сетки A0) (рис. 8). Для этого в каждом
узле сетки (xmi, ym2) = {m\li, m2ft), лежащем внутри D, заменим
Рис. 8
Рис. 9
дифференциальное уравнение C) разностным, заменяя производные
сРи/ дх2\. ., д2и/ду2\, . разностными отношениями
I _ /Ц7П1+1,7
\mjm2 ~ \
.
h?
»-™2-Л = f (и)
I J 77117712 ' \ /
j2 №v 2/
Это уравнение, составленное в точке (mi/i,m2/i)) связывает зна-
значение искомой сеточной функции в пяти точках (рис. 9).
Если точка сетки {mill, rri2h) лежит на расстоянии шага сетки li
от границы квадрата D, то в уравнение A1) входят значения в од-
одной или двух точках границы. Значения ит1±1)ТП2±1 в таких точках
положим равными нулю. Таким образом, система A1) есть система
п = (М — IJ линейных уравнений относительно такого же числа не-
неизвестных wm,m2 (mi,m2 = 1,2,...,М — 1). Для получения решения
задачи Дирихле с большой точностью нужно взять достаточно мел-
мелкую сетку, или большое число М. Система A1) будет тогда системой
высокого порядка.
Придадим системе A1) смысл операторной формы записи F). Для
этого введем пространство U^ = Rn (n = (М — IJ), состоящее из
всевозможных вещественных функций zmim2> заданных на сетке
(mi/i,m2/i) (mi,77i2 = 1,2, ...,М - 1). Введем оператор А = —A^h\
который действует из U^ в U^h\ сопоставляя заданной функции
76 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
UW g \j(h) некоторую у^ € U^ по формулам
— 1,7712 ЦтПд, 7П2+1 ~ 2itmj, ГП-j
Система линейных уравнений A1) приобретает тогда вид F):
A3)
где /С1) = {/mim2} G */(Л) = ^(h) — заданная функция, а и^ е U^ —
искомая функция.
Замечание 1. Систему A1), как всякую систему п линейных
уравнений относительно п неизвестных, можно было бы записать в
каноническом виде B). Однако при любой нумерации уравнений и
неизвестных матрица возникающей системы B) уступала бы по прос-
простоте и обозримости заданию системы в исходной форме A1) и вполне
адекватной ей операторной форме A3).
Замечание 2. Абстрактное уравнение в операторной форме F)
всегда можно привести к каноническому виду B). Для этого надо
выбрать какой-либо базис ei,e2,...,en в пространстве Rn, записать
элементы х, f из Rn в виде
х = xxei + ... + хпеп, f = /iei + ... + fnen
и отождествить эти элементы с наборами их координат, так что
Оператор А, входящий в F), запишется соответствующей этому опе-
оператору и сделанному выбору базиса матрицей C) по формулам ви-
вида (8). Уравнение F) приобретет канонический вид D) или B). Одна-
Однако преобразование F) к виду B) с целью вычисления решения может
оказаться трудоемким и нецелесообразным.
Задача
Отображение A: R2 —у R2 элементов х = (х\,Х2) пространства R2 в себя
задано следующим образом. Рассматривается следующая задача Коши для
системы дифференциальных уравнений:
dzi/dt = zi, dz2/dt-z2, 0 ^ t ^ 1,
Принимаем за у = Ах элемент у — (j/i.Jft): 2/1 = 2i(*)|t=1i 2/2 = «2(*)|t=1-
Доказать, что оператор А линейный.
§2. Нормы 77
а) Выписать матрицу оператора А, если за базис в пространстве R
принять
г т г -
о
Loj. '-¦
б) То же, что и в п. а), но в базисе
' • е2 = I _! I •
Г 21
в) Вычислить х = А~1у, у — \ _¦, ¦
§ 2. Нормы
Решение системы линейных уравнений порядка п, а также по-
погрешность приближенного решения можно трактовать как элементы
линейного пространства /?". Для количественных суждений о пог-
погрешности нужно ввести понятие длины вектора (элемента) из прост-
пространства /?". Вместо термина "длина вектора" в линейной алгебре
употребляется термин "норма вектора". Напомним определения
линейного нормированного пространства Rn и нормы линейного опе-
оператора A: Rn -> /?".
1. Нормированные пространства. Будем говорить, что линей-
линейное пространство Rn нормировано, если каждому элементу х е Rn
сопоставлено неотрицательное число ||х||, причем выполнены следую-
следующие условия (аксиомы).
1°. ||х|| > 0, если а; ф 0.
2°. Для любого числа А и любого х Е R'1
\\Xx\\ =
3°. Для любых х € R",y? /?" выполнено неравенство треугольника
Приведем примеры норм. Пусть /?" состоит из элементов вида
х = (a;i,a;2,...,a;n), где Xj — числа. Можно показать, что функции
||x||i, ||a;||2, определенные равенствами
||a;||i =max|a;j|, A)
удовлетворяют аксиомам 1°—3°. Они называются первой и второй
нормами.
78 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
Введем в /?" скалярное умножение (х,у), положив
(х, у) = х1у1+...+ хпУп C)
в случае вещественного пространства или
(х, у) = хш +... + хпуп D)
в случае комплексного пространства.
Напомним, что вещественное линейное пространство со скаляр-
скалярным умножением называется евклидовым, а комплексное — унитар-
унитарным.
Можно проверить, что функция
INl3 = (s,sI/2 E)
является нормой (удовлетворяет условиям 19-3°). В случае вещест-
вещественного пространства эту норму называют евклидовой, а в случае
комплексного — эрмитовой.
Мы привели примеры норм в случае, если элементы пространст-
ва Rn записаны как векторы х =
, т. е. заданы своими коорди-
натами. Возможно задание норм и без использования координатной
записи элементов. Так, в пространстве U^ = Rn (n = (M — IJ) функ-
функций ит1ТП2 (mi,m2 = 1,2, ...,M — 1), которое мы ввели и использова-
использовали при рассмотрении разностного аналога уравнения Пуассона в § 1,
можно ввести нормы, положив
\\и^\\ = max \umima\, F)
Можно проверить, что в вещественном пространстве U^ можно
ввести скалярное умножение (u^h\v^), положив
im2, (8)
,7712
а затем определить соответствующую евклидову норму, положив
2. (9)
Вообще, если в вещественном или комплексном линейном про-
пространстве Rn введено какое-либо скалярное умножение (х,у), то воз-
возникает соответствующая евклидова или эрмитова норма
(Ю)
§2. Нормы 79
Можно описать все скалярные умножения и соответствующие
евклидовы (эрмитовы) нормы. Для этого фиксируем какое-либо од-
одно скалярное умножение (х,у).
Напомним, что оператором В*, сопряженным (в смысле выбран-
выбранного скалярного умножения) какому-либо заданному линейному опе-
оператору В: R" —> /?", называется такой линейный оператор В*: Rn —>
-> Rn, для которого выполнено тождество
(Bx,y)=fx, В* у).
Известно, что для всякого оператора В существует один и только
один сопряженный ему оператор В*.
Оператор В называют самосопряженным, если В* = В.
Оператор В: Rn —> /?" называется положительно определенным
(В > 0), если (Вх, х) > 0 для всех х -ф- 0. Известно, что если В Л- В" > 0,
то выражение
[х,у]в = (Вх,у) A1)
удовлетворяет аксиомам скалярного умножения, причем каждое ска-
скалярное умножение в Rn может быть задано формулой A1) при под-
подходящем подборе В = В* > 0. В соответствии с этим каждый по-
положительно определенный и самосопряженный оператор В = В* > 0
порождает евклидову (эрмитову) норму
IN|B = ([a;>a;]BI/2. A2)
В частности, евклидову норму A0), порожденную первоначально
выбранным скалярным умножением, можно записать в форме A2),
положив В = Е, Е — тождественный оператор:
2. Норма линейного оператора. Введем норму \\A\\ оператора
А: /?"—»• Rn, согласованную с нормой, выбранной в пространстве Rn,
положив
где ||х||, \\Ax\\ — нормы элементов х, Ах из нормированного простран-
пространства Rn.
Таким образом, ||Л|| — это коэффициент растяжения того вектора
х' е Rn, который растягивается не слабее любого другого х € /?".
Условимся каждую матрицу
А =
A4)
80 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
отождествлять с оператором A: R" —> /?", который действует в про-
... , где Xj —
Хп\
числа, и сопоставляет заданному х некоторый у — \ ... по формулам
[Уп\
3
Благодаря этому условию приобретает смысл понятие нормы матри-
матрицы А как нормы оператора, задаваемого формулами A5).
Теорема 1. Для норм матрицы А = (flij), согласованных с нор-
нормами \\x\\\ = maxlzjl, \\x\\2 = S~]\xj\, в пространстве Rn векторов
Ы j
х = | ... | справедливы формулы
~ 4j\, A6)
з Т - A?)
Доказательство предоставляем читателю.
Теорема 2. Пусть Rn — евклидово пространство, скалярное ум-
умножение в котором будем обозначать (х,у), и пусть \\x\\ ~ (х,хI!2 —
соответствующая евклидова норма. Пусть А — самосопряженный
оператор (Ах,у) = (х,Ау). Тогда
где Xj (j = 1,2, ...,n) ¦- собственные числа оператора А.
Доказательство. Из линейной алгебры известно, что в случае
А = А* существует ортонормированный базис
еье2,...,еп, A9)
состоящий из собственных векторов оператора
Aej=\jej, j = l,2,...,n.
Запишем произвольный х е /?", а также Ах в виде линейных
комбинаций векторов базиса
х = ziei + х2е2 + ... + хпеп, B0)
Ах = AiZiei + АгЯгег + ... + А„а;пе„. B1)
§2. Нормы 81
В силу ортонормированности базиса
\\x\\ = {x*+xl + ... +
\\Ax\\ = KAiZjJ + (Х2х2J + ... + (\пхп)*У'2.
Очевидно,
||Ас|| ^ max\Xj\(x2 + х\ + ... + х2пУ'2 =
i
Поэтому для любого х ? /?п
|ИЖ||/|ИКтах|А3|,
а для х = вк, max|Aj| = |Afc|, выполнено точное равенство
Следовательно, справедливо A8). ?
Задачи
1. В пространстве R , состоящем из элементов х = (х1,хг), которые бу-
будем изображать точками плоскости Ох\хг, нарисовать совокупность точек,
для которых ||х|| = 1 (т. е. единичную окружность), в случае, если норма
понимается в каждом из следующих трех смыслов:
2. Пусть A: Rn —> /?п — произвольный линейный оператор, а А_,- —
какое-нибудь его собственное число.
Доказать, что тогда при произвольном выборе нормы в /?п соответству-
соответствующая норма Ц.АЦ оператора А удовлетворяет неравенству Ц.АЦ ^ |А,|.
3. Привести пример линейного оператора А: /?"—>/?, заданного мат-
матрицей с собственными числами Ai = Аг = 1 и такого, что \\A\\k > 1000
{к = 1,2,3).
4. Пусть /?" — евклидово пространство, А, В — произвольные линей-
линейные операторы.
Доказать, что тогда \\AB\\ ^ ||Л|| ||В||.
5. Пусть /?" — евклидово пространство, А — произвольный оператор,
В — ортогональный линейный оператор, т. е. (Вх, Вх) =(х,х).
Доказать, что тогда ||ЛВ|| = ||ВЛ|| = |(Ajj. x
6. Пусть /?п — евклидово пространство и А = А* — самосопряженный
линейный оператор A: Rn -> /?". Тогда ||Л2|| = ||Л||2.
Привести пример, показывающий, что для А ф А* возможно ||А2|| <
< ИИ2.
7*. Пусть /?п — евклидово пространство и A: R" —> /?" — произволь-
произвольный линейный оператор. Доказать, что тогда
|И||2 = \\АА*\\ = ХШЯХ(А'А),
где Хтях(А'А) — наибольшее собственное число оператора С — А*А.
6 B.C. Рябенький
82
Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
8. Пусть R —двумерное пространство вещественных векторов
х — (х1,хг) со скалярным умножением (х,у) = х\у\ + хгуг и нормой
12
А =
В =
Вычислить соответствующую норму следующих матриц:
1 л/б 1 4 _ Г 1 1
у/6 2 J' Л~ [ 5 2
9. Пусть R — двумерное пространство вещественных векторов
х = (х1,хг) со скалярным произведением (х, у) = xiyi + X2J/2, и пусть
1 1
1 2
Проверить, что В = В* > 0. Вычислить нормы \\А\\в матриц А из пре-
предыдущей задачи, согласованные с ||х||д = [х,х]д = (Вх,х).
10*. Пусть /?п — евклидово пространство, ||х||2 = (х,х) — соответст-
соответствующая норма в нем и A: R71 —> Йп — произвольный линейный оператор.
Доказать, что Ц.АЦ = ||^4*||. Если А — невырожденный оператор, т. е.
если А имеет обратный оператор А~ , то (А~1)* = (А*)~1, (К-А*)!) =
= НИ)*!!-
§ 3. Обусловленность СЛАУ
Две на первый взгляд похожие системы линейных уравнений мо-
могут обладать существенно различными чувствительностями их ре-
решений к погрешностям задания входных данных. Это видно уже для
систем второго порядка Ах = /:
+ «„*> = /,, A)
Будем считать, что а?3 + а?2 = 1 (г = 1,2). Решение такой системы
\
Рис. 10
геометрически интерпретируется как точка пересечения двух пря-
прямых на плоскости (xi,x2).
Пусть системе A) соответствует пара прямых: в одном случае,
как на рис. 10, а, и в другом, как на рис. 10, б. Если немного из-
изменить /] или коэффициенты а\\,а22, то соответствующая прямая
§3. Обусловленность СЛАУ 83
на рис. 10, а или 10, б сдвинется или повернется. При этом в случае
рис. 10, а точка пересечения прямых (решение) сдвинется слабо, а
в случае рис. 10, б — значительно сильнее. Чувствительность реше-
ния-к возмущению входных данных можно охарактеризовать с помо-
помощью так называемого числа ц(А) обусловленности. В дальнейшем мы
увидим, что от числа обусловленности ц(А) существенно зависит не
только чувствительность решения к заданию входных данных, но и
число арифметических операций для приближенного вычисления ре-
решения (методами последовательных приближений) уравнения Ах = f
с заданной точностью.
1. Число обусловленности. Числом обусловленности линейно-
линейного оператора А, действующего в нормированном пространстве /?™, а
также числом обусловленности СЛАУ Ах = / назовем число
»(А) = \\А\\-\\А-1\\. B)
Гап ... а]п]
Мы условились отождествлять каждую матрицу А =
[ап] ... annj
с линейным оператором, действующим в пространстве /?п элементов
х вида х — {хх,х2,...,хп), у - Ах, где у = (у1,У2,-,уп) вычисляется
по формулам
i
Поэтому приведенное определение числа ц{А) имеет смысл и для мат-
матриц А, так что можно говорить о числе обусловленности матрицы А
и о числе обусловленности системы линейных уравнений, заданных
не только в операторном, но и в каноническом виде.
Нормы ||Л||, ||>1~J|| согласованы с нормами, выбранными в /?п.
Поэтому число обусловленности ц{А) также согласовано с выбором
нормы в пространстве /?п. Если А — матрица, а для х € /?п исполь-
используется норма ||a;||i = тах|ж^|, то будем писать Hi{A); если \\х\\% =
= ^2 \xj\, то будем писать Цъ{А).
Если пространство /?п евклидово со скалярным произведением
(ж,у) и нормой ||ж|| = (х,хI/2, то будем писать ^е(А). Если в про-
пространстве /?п на основе исходного фиксированного скалярного умно-
умножения (х,у) введены новое скалярное умножение [x,j/].b = (Bx,y) и
соответствующая норма ||ж||в = ([х,х]вУ^2, то будем обозначать со-
соответствующее число обусловленности через цв(А).
Выясним, в чем состоит геометрический смысл числа обусловлен-
обусловленности. Для этого рассмотрим совокупность 5" векторов, норма кото-
которых равна единице, т. е. единичную сферу. Среди них отметим по
одному вектору жтах, xmin, для которых верны равенства
||Ажтах|| = тах||Лж||, ||Лхтш|| =тт||Ла;||.
б*
84 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
Читатель легко установит, что
\\A-1\\ = l/\\Axmin\\.
Отсюда непосредственно следует, что
//(Л)=тах||Аг||/тт|Иж||. C)
Теперь видно, что всегда
ц(А) 2 1. D)
Если А — вырожденный оператор, т. е. А~Л не существует, то пола-
полагаем fi(A) = со.
Геометрический смысл числа fi(A) особенно нагляден, если ис-
используется евклидова норма ||х|| = (х,жI/2, а размерность простран-
пространства /?п есть 2, т. е. Rn — плоскость. В этом случае S — единичная
окружность: ж2 + х\ = 1. При линейном преобразовании эта окруж-
окружность переходит в эллипс. Число ц(А) в соответствии с C) есть от-
отношение большой полуоси этого эллипса к его малой полуоси.
Теорема 1. Пусть оператор А = А* самосопряжен в смысле ска-
скалярного произведения [х,у]в- Тогда
Цв{А) = |Amax|/|Amin|, E)
где Атах и Ат;п — соответственно наибольшее и наименьшее по аб-
абсолютной величине собственные числа оператора А.
Доказательство. Пусть е],е2,...,еп — ортонормированный в
смысле скалярного умножения [х,у\в базис пространства /?п, состоя-
состоящий из собственных векторов оператора А, а вещественные числа Xj
(|А]| ^ |А2| ^ ..-|An|) — соответствующие собственные числа, Aej —
= Xjej. Тогда каждый вектор х можно записать в виде
х — Ж] ед + х2в2 + ... + хпеп,
причем
Ах — А] Ж] ej + А2ж2е2 + ... + Апж„еп,
\\Ax\\ = (\Х1Х112 + |А2ж2|2 + ... + lA^I2I^.
Очевидно, что при условии ж G 5, т. е. при ||ж|| = 1,
= |Атах|, тт||Лж||в = |А„| = |Amin|,
x€S
так что в силу C) справедливо E). ?
2. Число 1л(А) как характеристика системы Ах = /.
Теорема 2. Пусть правая часть линейного уравнения
Ax = f, xERn, /6 Rn, F)
где А — невырожденный оператор, получила погрешность — прира-
приращение Д/. Тогда решение ж уравнения получит некоторое приращение
Ах, так что
А(х + Ax)=f + Д/. G)
§3. Обусловленность СЛАУ 85
Относительная погрешность ||Дх||/||х|| решения удовлетворяет не-
неравенству
ЦД/Ц
Т7Г (8)
1ЙГ * м(Л) Т7Г1 (8)
причем существуют такие f и Д/, при которых в (8) достигается
строгое равенство.
Доказательство. Из выражений G), F) следует А(Ах) = Д/,
Дх = A~1(Af). Используем еще Ах = /. Тогда
\\A~lAf\\ \\Ax\\ \\A~lAf\\ ЦД/Ц
INI INI INI ЦД/II ||Ас|| ||*|| ЦД/II
Но
ЦД/Ц
так что в силу (9), A0) при любых /, Д/ справедливо неравенство
-iii НД/Н _ иШ ЦД/II
т. е. справедливо (8).
Если Д/ — тот элемент пространства /?п, для которого
\\A-lAf\\/\\Af\\ = \\A-l\\,
а / = Ах — тот элемент /?/?", для которого
\\Ах\\/\\х\\ =
то выражение (9) совпадет с неравенствами A1) и (8), которые при
этих / и Д/ превращаются в строгие равенства. ?
Подчеркнем, что решение уравнения Ах — f не при всех / одина-
одинаково чувствительно к возмущению Д/ правой части. При заданном
фиксированном / может оказаться, что ||Ае||/||х|| <с \\A\\, так что
оценка (9) в этом случае обеспечивает более слабую чувствитель-
чувствительность относительной погрешности ||Дх||/||х|| решения к погрешности
ЦД/Ц/Ц/11, чем неравенство (8).
Для отыскания точного числа обусловленности нужно уметь най-
найти нормы операторов А, А~1. Это обычно очень трудоемко. Если,
например, оператор А задан своей матрицей и нас интересует щ(А)
или fi2{A), нужно найти обратную матрицу А, после чего ||Л||д,
||Л~Ч|] или ||Л||2, ЦЛ!^ вычисляются согласно формулам из § 2.
Еще труднее находить число обусловленности цв{А) в евклидовой
норме, задаваемой каким-либо оператором В = В* > 0. Поэтому час-
часто ограничиваются получением оценок для ц(А) сверху, используя
ту или иную специфику оператора А. В дальнейшем нам встретятся
примеры таких оценок для \хв{А).
86 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
Здесь укажем класс матриц с диагональным преобладанием, для
которого удается получить оценку для ^(А), не отыскивая мат-
матрицу А~*.
Матрица
Г аи ... ain]
... an
называется матрицей с диагональным преобладанием величины 6 >
> 0, если
Ы 2 Y, Ы + S, г = 1,2,..., п. A2)
Теорема 3. Пусть А — матрица с диагональным преобладанием
величины 6 > 0. Тогда существует обратная матрица А~1, причем
ее норма, связанная с нормой ||ж||] = тах|х,|, удовлетворяет оценке
з
\\А-%^\15. A3)
Г Л
Доказательство. Зададим произвольно / =
и предпо-
./nJ
ложим, что при этом / система уравнений Ах = / имеет решение
х = ... , причем max|xj| = |х&|. Выпишем скалярное уравнение с
номером к из числа составляющих систему Ах = /:
а/fcjZ] + ак2х2 + ... + акпхп = fk.
Учтем, что \хк\ ^ |а:«| (г = 1,2, ...,п), и выпишем оценку
6\xk\.
Отсюда \xk\ ^ -|/fc|- Но \хк\ =тах|х^| = ||ж||ь |/fc| ^max|/,-| = ||/||д.
Поэтому справедливо A3):
Nli<Jll/lli- A4)
В частности, в случае / = 0 Е Rn отсюда следует, что система
Ах — 0 имеет только тривиальное решение х = 0, а значит, система
Ах = / имеет одно и только одно решение при любом / е /?п и су-
существует А~1. ?
§3. Обусловленность СЛАУ 87
Оценка A4) означает, что для х = А~л f при любом / имеет место
оценка
так что
Следствие. Пусть А — матрица с диагональным преобладани-
преобладанием величины 6. Тогда
l A5)
Задачи
1. Доказать, что числа обусловленности щ(А), Ц2(А) матрицы А не
изменятся, если в матрице А поменять местами строки или столбцы.
ац ... ain 1
2. Доказать, что для матрицы А —
щей транспонированной матрицы АТ =
ani ... аПп
и соответствую-
выполнены
равенства щ{А) = fj,2{AT), щ{А) = у,\{Ат).
3. Показать, что число обусловленности оператора А не меняется при
умножении этого оператора на произвольное вещественное число к (к ф 0).
4. Показать, что fini-A) = 1 в том и только том случае, если выполнено
одно из условий:
а) А — оператор подобия, т. е. Ах = кх (к2 > 0);
X
б) А — ортогональный оператор, т. е. [Ах, Ах]в = [х,х]в;
в) А — произведение оператора подобия и ортогонального оператора.
5*. Показать, что цв(А) =цв(А'в), где Ав — оператор, сопряженный
А
оператору А в смысле скалярного умножения [х, у]в-
6. Пусть А — матрица, причем det А ф 0. Умножим одну из строк на
некоторое число к и обозначим результат через Ак-
Показать, что ц(Ак) -* оо при к —> со.
7*. Доказать, что для любого линейного оператора А
где А'в — оператор, сопряженный оператору А в смысле скалярного умно-
умножения [х, у]в-
8*. Пусть А = А", В — В* >0в смысле некоторого скалярного умно-
умножения (х, у). Пусть для всех х € /?п выполнены неравенства
7i(Bx,x) ^ (Ах,х) ^ 7г(-Вх,х),
71 > 0, 72 > 0 — некоторые числа. Рассмотрим оператор С = В А.
Доказать, что справедливо неравенство
Ив {С) ^72/71-
Примечание. Решение этой задачи мы приведем в гл. 5 в связи с ее
приложениями.
88 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
§ 4. Методы исключения Гаусса
Опишем простой метод исключения Гаусса и метод Гаусса с выбо-
выбором главного элемента для точного решения систем линейных урав-
уравнений, заданных в каноническом виде
+ аугх2 + ... + ainZn = Л,
A)
+ аП2Х2 + ... + аппхп = /„.
1. Простой метод Гаусса. Из первого уравнения системы A)
выражаем х\ через остальные. Получим'
Ж] = а[2х2 + ... + а'1пхп + f[. B)
Подставим это выражение вместо xt в остальные п — 1 уравнений и
получим систему п — 1 уравнений относительно га — 1 неизвестных
Х2,х3,...,хп. Из первого уравнения этой системы выразим х2 через
остальные:
х2 - а'23х3 + ... + а'2пхп + рг. C)
Действуя аналогично, при к — 3,4, ...,п получаем
хк = a'k,k+i хк+\ + - + а'кпХп + f'k, D)
причем очевидно, что при к = п
хп = /;. E)
Равенство E) дает значение хп, а затем по формулам D) после-
последовательно найдем жп_1,х„_2,...,а;]. Указанный алгоритм может ока-
оказаться нереализуемым из-за деления на нуль или дать грубую ошибку
в результате округлений. Объясним это.
Если х\ входит в первое уравнение системы A) с нулевым коэф-
коэффициентом аи, то уже запись B) невозможна, так как а'12 = —Одг/оп •
Необходимость деления на нуль может встретиться на любом шаге
процесса. Если деление на нуль не встречалось и формулы D) при к =
= 1,2, ...,га получены, то может возникнуть вычислительная неустой-
неустойчивость при вычислении xn,xn-i,...,xi. Если, например, а'кк+1 — 2
(fc = n — 1,га — 2,..., 1), а остальные а'^ обращаются в нуль, то по-
погрешность е, допущенная при вычислении хп, возрастет вдвое при
вычислении xn-i; еще вдвое возрастет при вычислении ж„_2 и в 2П~1
раз при вычислении х\. Уже при п = 10 погрешность возрастает в
тысячу раз.
Нужно иметь в виду и опасность того, что числа f'k могут быстро
возрастать с ростом к. Если бы это было так, то малые относитель-
относительные погрешности, допущенные при вычислении f'k по формуле D),
вносили бы большую по абсолютной величине погрешность в ж*.
§4- Методы исключения Гаусса 89
Сформулируем достаточное условие, гарантирующее вычисли-
вычислительную устойчивость метода Гаусса.
Теорема 1. Пусть матрица А системы A) является матрицей
с диагональным преобладанием (величины 6 > 0). Тогда в алгоритме
простого метода Гаусса не встретится деление на нуль, причем вы-
выполнены неравенства
n-fc
?K,*+jl<l. fc = l,2,...,n, F)
||. G)
Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть
... + 6irtr = <pi,
(8)
briti + br2t2 + ... + brrtr = fr
есть некоторая система линейных уравнений с диагональным преоб-
преобладанием величины 5:
при получении из первого уравнения системы (8) выражения
для t\:
ti=b'ut2 + ... + b'lrtr + V'1, A0)
не встретится деление на нуль; выполнено неравенство
В случае г > 1 система (г - \)-го порядка относительно ^»*з> —
...,tr, полученная из (8) исключением ti с помощью формулы A0), ока-
окажется системой с диагональным преобладанием (той же, что и в (9),
величины 6).
Доказательство. В силу (9) для I = 1
Отсюда b]i ф 0, выражение A0) со значениями
Kj = -bij/bu, J = 2,3,...,г, ^
имеет смысл, а также выполнено A1).
90 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
Пусть г > 1. Докажем последнее, третье утверждение леммы.
Действительно, подставляя A0) в уравнение с номером j (j > 1) сис-
системы (8), получаем после приведения подобных уравнение
(bj2 + bji b'l2)t2 + {bj3 + Ьц b'l3)t3 + ... + (bjr + bjrb'lr)tr = &,
j=2,3,...,r. '
В этой системе (г — 1)-го порядка уравнением с номером s (s =
= 1,2, ...,r — 1) окажется уравнение
s = l,2,...,r-l. A3)
В матрице системы A3) в строке с номером s стоят числа
..., (bs+l,r + bs+l,lb']r),
причем на диагонали окажется элемент bs+i,s+i + bs+i,ib\ s+l.
Покажем, что имеет место диагональное преобладание (величи-
(величины 6), т. е. что справедливо неравенство
|bs+M+] + b8+hib'hg+1\
Докажем более сильное неравенство
j=2
Оно равносильно неравенству
j=2 j=2
В силу неравенства A1) неравенство A5) заведомо будет выпол-
выполнено, если выполнено неравенство, получающееся из A5) заменой
Wij\ числом 1:
2=1 j=2
Но это неравенство справедливо по условию (9), так что неравенст-
неравенство A4) доказано. ?
Доказательство теоремы 1. Сначала докажем формулу D)
и неравенство F). Воспользуемся индукцией по к. В случае к = 1,
п > 1 справедливость формулы D) и неравенства F) установлена в
§4- Методы исключения Гаусса 91
первых двух утверждениях леммы. При этом в силу третьего утверж-
утверждения леммы система (п — 1)-го порядка относительно Х2,хз,...,хп,
полученная из A) исключением х\ с помощью формулы B), оказы-
оказывается системой с диагональным преобладанием величины 6. Пусть
формула D) и неравенство F) уже доказаны для к = 1,2, ...,s (s <
< п), причем доказано также, что система порядка п — s относитель-
относительно ig+i,ig-f2, ¦¦¦,хп, полученная из A) исключением Xi,i2, ---jXe с по-
помощью формулы D), обладает диагональным преобладанием величи-
величины 6. Рассмотрев эту систему в качестве системы (8) и использовав
лемму, установим справедливость индукционного предположения для
к = s + 1. Доказательство D), F) по индукции окончено.
Докажем теперь G). В силу теоремы 3 из § 3 для решения систе-
системы A) справедливо неравенство
m-a.x\xj\ < -maxl/jl. A7)
Отсюда и из D) при любом к — 1,2, ...,п следует неравенство
max
которое совпадает с G). ?
Подчеркнем, что условие теоремы достаточно, но не необходимо
для применимости метода Гаусса без выбора главного элемента. Если
для какой-либо системы A) алгоритм метода Гаусса без выбора глав-
главного элемента удалось применить на компьютере, то найденное при
этом решение не будет точным только в силу конечной разрядности
компьютера и связанных с этим неизбежных погрешностей округ-
округления.
Подставляя найденное приближенное решение системы A) в левую
часть и вычисляя невязки, можно судить о погрешности решения,
воспользовавшись оценкой
нд*н < и(А) цд/ii
1RT^M }17Г'
если только число обусловленности fi(A) или оценка для него из-
известны.
2. Порядок числа v арифметических операций для реализации ал-
алгоритма Гаусса, как легко увидит читатель, есть
v = О(п3). A8)
92 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
3. Прогонка. Изложенный метод Гаусса особенно эффективен
для системы A) следующего специального вида:
— /ь
= /2,
С3Х4 = /
) , ¦.
On-lXn-2 -\-bn-.xXn-\ +Cn-\Xn =/„_!,
ЬпХп =
матрица которой трехдиагональна. Условия диагонального преобла-
преобладания в этом случае принимают вид
B0)
Уравнения D) принимают вид
хк = Akxk+l + Fk, к = 1,2,...,п-1, B1)
хп = Fn, B2)
где Ak, Fk — некоторые коэффициенты.
Положим по определению Ап = 0 и условимся записывать B1),
B2) единой формулой
хк=Акхк+х +Fk, к = 1,2,...,п. B3)
Очевидно, что вB3)
Допустим, что уже вычислены Ак, Fk при некотором к A ^ к ^
^ п — 1). Подставляя выражение хк = Akxk+i + Fk в (к + 1)-е урав-
уравнение системы A3), получаем
ck+i _ , /fc+i ~ ak+i^k
- — т ; ~г~ хк+2 + г ; т~-
°к+1 + ак+1Ак Ьк+1 + ак+1Ак
Отсюда получаются рекуррентные соотношения
Лк+1 = Ь*+1+а*+1^'
+\Ak
Процесс вычисления решения системы A9) распадается на вы-
вычисление коэффициентов A,-, Fj (j = 1,2, ...,п), а затем последова-
последовательное вычисление по формулам B3) при к = п,п— 1,..., 1 значений
§4- Методы исключения Гаусса 93
Описанный алгоритм метода Гаусса для системы с трехдиагональ-
ной матрицей часто называют прогонкой. Коэффициенты Ak, Fk на-
называют прогоночными коэффициентами, процесс их вычисления —
прямой прогонкой. Процесс вычисления компонент решения хп,
xn^i,...,xi с помошью прогоночных соотношений B3) называют
обратной прогонкой.
Подсчитаем порядок числа арифметических действий для реализа-
реализации прогонки. Для вычисления прогоночных коэффициентов требует-
требуется О(п) арифметических операций. Для обратной прогонки требуется
n-кратное использование формулы B3), т. е. также О(п) арифмети-
арифметических операций. Общее число арифметических операций есть О(п).
Очевидно, не существует более экономного по порядку числа арифме-
арифметических действий алгоритма для решения системы A9), поскольку
число п неизвестных также есть О(п).
Прогонкой называют алгоритм метода Гаусса без выбора главно-
главного элемента и в том случае, когда матрица А системы A) содержит
ненулевые элементы на т C < т <S n) соседних диагоналях, среди
которых есть главная. Если т фиксировано, а п может быть любым,
то число арифметических операций также есть О(п).
Системы вида A9) высокого порядка привлекли особое внимание в
начале 50-х годов в связи с тем, что они возникли при использовании
так называемых неявных разностных схем для уравнения теплопро-
теплопроводности. О таких схемах и их роли будет рассказано в части III.
И.М. Гельфанд и О.В. Локуциевский предложили алгоритм про-
прогонки для численного решения этих систем, установив его полную
адекватность задаче. Они построили континуальное замыкание ал-
алгоритма прогонки и установили вычислительную устойчивость это-
этого алгоритма (см. И.М. Гельфанд и О.В. Локуциевский, дополнение
к [5]).
Указанная работа была одной из первых, где четко поставлен и ре-
решен вопрос об устойчивости вычислительного алгоритма. Этот
вопрос приобрел особую остроту при вычислениях на компьютере,
когда миллионы и миллиарды операций осуществляются в автомати-
автоматическом режиме без контроля человека.
Теорема о достаточных условиях применимости метода Гаусса,
доказанная в этом параграфе, является обобщением результата
И.М. Гельфанда и О.В. Локуциевского об устойчивости прогонки на
случай систем с заполненной матрицей.
Отметим, что идею переноса ("прогонки") условия bixi +C2X2 —
— /1, заданного первым уравнением трехдиагональной системы A9),
реализуемую при получении прогоночных коэффициентов и соотно-
соотношений B3), стали использовать и в других методах исключения, ко-
которые также называют методами прогонки [20].
94 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
4. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Как мы ви-
видели, простой метод Гаусса может натолкнуться на препятствия: в
процессе его реализации может встретиться деление на нуль или
произойти потеря точности из-за вычислительной неустойчивости.
Приведем модификацию метода исключения Гаусса — метод Гаусса
с выбором главного элемента, который в случае det А ф 0 гарантиру-
гарантирует от деления на нуль и повышает вычислительную устойчивость по
сравнению с простым методом Гаусса.
Сначала отыскивается самый большой (один из самых больших,
если их несколько) по модулю элементов матрицы А. Допустим, это
элемент «,_,-, стоящий коэффициентом при Xj в уравнении с номером г.
Очевидно, что «у- отличен от нуля. Осуществляем перенумерацию
уравнений и неизвестных так, чтобы уравнение с номером г стало
первым и неизвестное Xj стало первым, х[ = Xj. После этого осу-
осуществляем первый шаг описанного выше простого метода Гаусса (без
выбора главного элемента). При рассмотрении полученной системы
порядка п — 1 вновь производим выбор главного элемента, перенуме-
перенумерацию уравнений и неизвестных и т. д. Получаем систему равенств
вида D), которые позволяют вычислить все компоненты решения,
начиная с последней. На компьютерах обычно имеются стандартные
программы методов Гаусса.
Простой подсчет показывает, что число арифметических дейст-
действий метода Гаусса с выбором главного элемента также требует О(п3)
арифметических операций.
Отметим еще, что метод Гаусса позволяет находить обратную
Г x\j ]
матрицу А х. Столбец с номером j матрицы А х обозначаем ... .
LXnj J
Из равенства АА~Х = Е следует, что этот столбец является решением
системы
А ... U ... , j = l,2,...,n, B4)
\_Xnj\ lAjJ
где 6kj = 0, если к ф j, 5И = 1.
Системы B4), которых имеется п экземпляров, различаются толь-
только правыми частями. Поэтому большая часть вычислений по методу
Гаусса для них совпадает. Порядок числа арифметических операций
для отыскания А~1 при правильной организации расчета остается
О(п3), как для решения одной системы.
5. Замечание о других универсальных методах точного
решения. Существует ряд других методов, в которых тем или иным
способом исходная система A) приводится к более простому виду
(в методе Гаусса система A) приводится к треугольному виду D)), а
затем вычисляется решение этой "простой" системы.
§4- Методы исключения Гаусса 95
Приведение к этому более простому виду можно осуществить с
помощью умножения системы Ах = / на подходящую ортогональную
матрицу С (т. е. матрицу, для которой (Сх,Сх) = (х,х)). Тогда число
обусловленности цз(СА) новой матрицы системы САх = С/ совпада-
совпадает с числом обусловленности Цз{А) (докажите равенство f^(CA) —
= цз(А)), так что вместо цз(А) можно искать цз(СА), что может
оказаться проще. Таким образом, основываясь на теореме 1 из § 3,
одновременно с вычислением решения можно оценить погрешность,
вызванную неточным заданием входных данных /j.
6. Об алгоритме с гарантированной оценкой погрешности.
При расчете на реальном компьютере с заданным числом разрядов
наряду с влиянием неточного задания входных данных на каждой
арифметической операции вносятся погрешности округления. Влия-
Влияние этих погрешностей округления на результат зависит не только от
разрядности машины, но и от числа обусловленности матрицы систе-
системы, и от избранного алгоритма. В [3] построен алгоритм, который
учитывает влияние погрешностей округления на данной машине и
выдает результат с гарантированной точностью либо в процессе вы-
вычислений устанавливает, что данная система обусловлена настолько
плохо, что при расчете на машине с заданной разрядностью какая-
либо точность не может быть гарантирована.
Задачи
1. Вычислить решение системы
простым методом Гаусса и с выбором главного элемента. Вести вычисления
с двумя значащими цифрами. Сравнить и объяснить результаты.
2. Для численного решения краевой задачи
х@) — <р, хA) = ф,
разобьем отрезок 0 ^ х ^ 1 на N равных частей и будем искать прибли-
приближенно таблицу значений решения xn, xi,..., х^ в точках разбиения tn = nh
(n = 0,1,..., N; h = N~l). В точке tn (п = 1, 2,..., N — 1) заменим производ-
производную разностным отношением
dt2
l=nh
Л2
Получим вместо исходной задачи ее разностный аналог
хп+1 - 2хп + х,,,! _ p2(tn) ^ = f(tnl n = lj2l^N-l, B5)
а) Показать, что для решения этой системы линейных уравнений можно
и целесообразно воспользоваться прогонкой.
б) Составить программу вычисления решения системы B5) на компью-
компьютере, если p(t) = A + t),f{t) =el.
96 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
§ 5. Связь между задачей на минимум
квадратичной функции и СЛАУ
Пусть Rn есть n-мерное евклидово пространство элементов х. За-
Зададим какой-либо линейный оператор A, f E /?", число с и рассмот-
рассмотрим функцию от х вида
F(x) = (Ax,x)-2(f,x)+c, A)
называемую квадратичной функцией.
Заметим, что эта квадратичная функция в силу (Ах,х) =
= (х, А*х) = (А*х,х) совпадает с квадратичной функцией
F(x) = (A'x,x)-2(f,x)+c,
а значит, и с функцией
Без ограничения общности будем считать, что в выражении A)
оператор А самосопряженный. В противном случае мы заменили бы
его самосопряженным оператором (А + А*)/2.
Предположим, что А = А*, А > 0, т. е. (Ах,х) > 0 в случае х ф 0.
Поставим задачу об отыскании элемента z e /?", придающего наи-
наименьшее значение функции F(x):
F(z) = min F(x). B)
Задача B) о минимуме квадратичной функции и задача об отыс-
отыскании решения системы линейных уравнений
Ax = f, А = А* > 0, C)
равносильны. Сформулируем соответствующее утверждение в виде
теоремы.
Теорема 1. Пусть А — А* > 0. Существует один и только один
элемент z ? /?", придающий наименьшее значение квадратичной
функции A). Этот элемент есть решение уравнения C).
Доказательство. В силу положительной определенности опе-
оператора А он невырожден, а следовательно, уравнение C) имеет одно
и только одно решение z ? Rn.
Покажем, что при любом 6 Е /?" F ф 0) будет F(z + 6) > F(z):
F(z + 6) = (A(z + 6), z + 5) - 2(/, z + 5) + с =
= [{Az, z) - 2(/, z) + c) + 2(Az, 6) - 2(/, S) + {AS, 6) =
= F(z) + 2(Az -f,S) + (A6,6) = F(z) + (A6,6) > F(z). D
Установленная равносильность задач A) и C) позволяет сводить
решение любой из них к решению другой.
§6. Метод сопряженных градиентов 97
Линейные уравнения вида C) с самосопряженным и положитель-
положительно обусловленным оператором А представляют собой важный класс
СЛАУ по двум причинам.
Во-первых, СЛАУ
Сх = <р D)
с произвольным невырожденным линейным оператором С: /?" —> /?"
сводится к СЛАУ вида C). Достаточно положить A — C*C,f = C*ip.
Во-вторых, многие краевые задачи для эллиптических уравнений
являются задачами Лагранжа-Эйлера для некоторых задач о миниму-
минимуме квадратичных функционалов. Поэтому естественно, что при "пра-
"правильной" дискретизации этих вариационных задач возникает задача
о минимуме квадратичной функции в конечномерном пространстве,
которая в силу доказанной теоремы приводит к СЛАУ C).
Задачи
1. Задана квадратичная функция скалярных аргументов xi, хг-
F(xux2) = х\ + 1x\xi + 4ж2 - 1х\ + Зжг + 5.
Рассмотреть эту функцию как функцию вектора х = (a;i,a;2) евклидова
пространства R2 со скалярным умножением (х, у) = х\у\ + хгуг и записать
ее в форме A). Проверить, что А > 0, и найти решение соответствующей
задачи C).
2*. Записать функцию F(a;i,a;2) из предыдущей задачи в виде
F(x) = [Ах, х]в - 2[/, х]в + С,
где
[х,у]в = (Вх,у)ъ В= [j jj]
§ 6. Метод сопряженных градиентов
как метод точного решения СЛАУ
Рассмотрим уравнение
Ах = /, А = А* > 0, /€/?", х е Rn, A)
где /?" — пространство со скалярным произведением (ж, у) и A: Rn ->
—>/?":— самосопряженный в смысле этого скалярного умножения
положительно определенный оператор.
1. Метод сопряженных градиентов вычисления решения.
Зададим произвольно х0 € Rn и построим последовательность
xk+i = ак+\(Е - rk+iA) хк + A - ak+i)xk-i +ak+m+if,
7 B.C. Рябенький
98 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
где
= i-a±i (¦¦*¦¦*) 1)-, t = lj2j...
v Tfc (rfc-l>rfc-l)"fc'
Оказывается, что существует номер ко (ко ^ п) такой, что член х^0
последовательности B) совпадает с точным решением х СЛАУ A):
х = хко, ко^п. D)
Отметим также, что Х\,Х2, ...,Хк,— являются уточняющимися с рос-
ростом номера к последовательными приближениями к решению; при
заданном малом е > 0 погрешность ||ж — ж*|| приближения Хк при
условиях, которые будут указаны в § 2 гл. 5, может стать меньше
е уже при к 4С п.
В настоящее время метод сопряженных градиентов при "умерен-
"умеренном" числе обусловленности ц(А) и больших п на практике исполь-
используется обычно именно как метод последовательных приближений.
Вычисление точного решения при большом числе обусловленности
ц(А) и большом п с помощью последовательности B), C) и равен-
равенства D) может натолкнуться на препятствие, состоящее в возмож-
возможной потере вычислительной устойчивости при нахождении членов хк
последовательности B). Однако для хорошо обусловленных систем и
умеренных ц(А) метод B)-D) обладает достоинствами по сравнению
с методами исключения, которые мы опишем в пп. 2, 3.
2. Произвольность формы задания оператора А. Очевидно,
что в B) используется только возможность по заданному элементу
у ? /?" находить элемент z = Ay (z G Rn), а также возможность по за-
заданным произвольным у € R", z G Rn вычислять их скалярное произ-
произведение, т. е. число (у, z). Поэтому не обязательно, чтобы система A)
была задана в каноническом виде
fi, i = 1,2,..., п, E)
или была приведена к такому виду. К тому же нет необходимости
хранить матрицу Л, которая имела бы г? элементов, в то время как
векторы у G /?", z = Ay G Rn, записанные в координатной форме,
задаются лишь п числами каждый.
3. Простота использования многопроцессорных вычисли-
вычислительных машин. Пусть система A) задана в канонической форме
E), так что в записи A) оператор А — матрица, а элементы х, f G /?"
["*il . [hi]
пространства/?" — наборы чисел х = ... ,«/= ••• . Вычисление, по
UnJ [уп\
§7. Конечные ряды Фурье 99
\vi] [*il
заданному ?/=... каждой из п компонент вектора Ay = z = •••
[уп\ UnJ
производится независимо. На многопроцессорной машине, допуска-
допускающей одновременное осуществление многих арифметических опера-
операций, вычисление всех п компонент вектора Ау по заданному у 6 Rn
может быть осуществлено одновременно и совершенно единообразно.
Ускорение при использовании многопроцессорных ЭВМ может быть
получено не только в случае задания системы A) в канонической фор-
форме, но и в случае, если /?" состоит из сеточных функций, а значения
сеточной функции Ау € /?" в каждой точке сетки вычисляются неза-
независимо (см., например, оператор — ДС1): U^ —> U^h\ формулу A1)
из § 1).
Заметим, что общее число v арифметических операций при реше-
решении системы E) методом сопряженных градиентов имеет порядок п3,
т. е. v — О(п3), как и в методе исключения Гаусса. Действительно,
вычисление каждого члена хп+\ последовательности B) требует при-
применения матрицы А, т. е. О(п2) арифметических операций, а коли-
количество ко ^п таких членов может совпасть с п. Но вычисление Ау на
многопроцессорной машине требует того же времени, что и вычисле-
вычисление одной компоненты при использовании однопроцессорной, так что
время может быть сокращено в п раз.
Заметим, что при использовании метода Гаусса также возможно
совмещение во времени многих арифметических операций.
§ 7. Конечные ряды Фурье и запись точного решения
разностного аналога задачи Дирихле
для уравнения Пуассона
Существуют методы, приспособленные для точного решения лишь
узких классов СЛАУ, но зато более эффективные, чем универсальные.
Среди них — представление решений СЛАУ в виде конечных рядов
Фурье.
Пусть СЛАУ задана в виде
Ах = /, же/?", /€/?", Д: /?"->/?", A)
причем А = A*, ei,e2,...,en — собственные векторы оператора А,
образующие ортонормированный базис, а
АЬА2,-..,*„, AjjiO, B)
суть соответствующие собственные числа, Aej — ^jCj-
Каждый самосопряженный невырожденный оператор А имеет ор-
ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов опера-
оператора А, а все его собственные значения вещественны и отличны от
100 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
нуля. Однако здесь мы предполагаем гораздо большее: считаем, что
нам фактически известны этот ортонормированный базис, состоящий
из собственных векторов, и соответствующие собственные значения.
Это предположение весьма сужает класс допустимых самосопряжен-
самосопряженных операторов.
Итак, пусть выполнены предположения, сформулированные выше.
Для вычисления решения системы A) запишем заданное / и искомое
х в виде конечных рядов Фурье:
/ = Fiei + F2e2 + ... + Fnen, Fs = (/, еД C)
x = Xxex + X2e2 + ... + Xnen. D)
Подставляя C), D) в уравнение A), получаем
?е,, E)
Приравнивая коэффициенты при ej в левой и правой частях E),
получаем значения коэффициентов Xj представления искомого реше-
решения в виде конечного ряда Фурье D):
Xj^Fj/Xj, з = 1,2,...,п. F)
Конкретизируем эту абстрактную схему применительно к вычис-
вычислению решения и^ разностного аналога задачи Дирихле для уравне-
уравнения Пуассона в квадратной области (см. п. 3 § 1):
-Д<*>и(Ч = /("), uD6yW, fWeFW. G)
В этом случае удается указать собственные функции и собственные
числа оператора — Д^.
1. Ряды Фурье для сеточных функций. Рассмотрим мно-
множество всех вещественных функций v = {%}, определенных в точ-
точках хт = mh (m = 0,1,...,М), Mh = 1, обращающихся в нуль при
т = О, М. Совокупность этих функций с обычными операциями сло-
сложения и умножения их на вещественные числа образует линейное
пространство. Размерность этого пространства есть М — 1, посколь-
поскольку система функций
, тфк, ,_12 м _ j
очевидным образом образует базис. Действительно, каждую функ-
функцию v — (^0,^1,...,^,,,), где vo = vm = 0, можно единственным обра-
образом представить в виде линейной комбинации функций
v =
§ 7. Конечные ряды Фурье 101
Введем в рассматриваемом пространстве скалярное умножение, по-
положив
м
(v,w)-h^2 vmwm. (8)
m=0
Покажем, что система функций
}, « = 1,2,...,М-1, (9)
образует ортонормированный базис в рассматриваемом пространст-
пространстве, т. е.
<r>) = {5; kktrr] k,r = 1,2,...,М-1. A0)
Для
М-1
\\ cos
тп=О
доказательства
М-1
17Г771 1 V * t
~М 2 ^ ^е
тп=О
1 l-eiln 1
заметим, что
И«т/М+е-пп
1 1-е~1Ы
- л л , Ч6ТН0> 0 < I < 2М.
2 1 _ et5r/M 2 1 _ et5r/M | 1, Z нечетно,
Отсюда при к фг получаем
М М-1
/ i(le\ i tr~\\ «I V—^ • Л7Г771 . 2тГ771 п? V—^ . Л7Г771 . Г7Г771
(?M*J,?Mr)) = 2Л > sm sin = 2Л > sm—rr-sm-—-
v ' -^^ Af Af I—* M M
m=O m=O
M-l #. M-l
; — rlTrm
m=O m=O
а при к = г
M-l M-l
{ф<-к\ф<-г)) = ку?2 cosO-ft^Z cos^^ =ЛМ -Л-0 = 1.
m=0 m=0
Любая сеточная функция v = (vo,v\,...,vm) разлагается по орто-
ортогональному базису B) в сумму
V = t
или
М-1
vm — у/2 \J с/с sin
*=1
102 Гл. 4- Системы линейных алгебраических уравнений
где
М
m=0
Ясно, что благодаря ортонормированности базиса B) имеем
(v,v)=4+e% + ... + i?M_1. A2)
Сумма A1) и есть разложение сеточной функции v = {vm} в конечный
ряд Фурье, а равенство A2) — точный аналог равенства Парсеваля в
обычной теории рядов Фурье.
Совершенно аналогично можно рассмотреть конечные ряды Фурье
для функций на сеточном квадрате. Рассмотрим сетку
хт = mh, уп = nl, 0 sj mh sj 1, 0 sj nh sj 1,
причем h = 1/M, M — натуральное число. Совокупность веществен-
вещественных функций v = {vmn}, определенных в точках сетки и обращающих-
обращающихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, образует линейное
пространство. Введем в нем скалярное умножение
м
(v,w) = h2 ]П vmnwmn.
n,m=0
В рассматриваемом линейном пространстве размерности (М — IJ
система функций
__sln_
1 12М1
образует ортонормированный базис
_ / О, если к ф г или / ф s,
, если к = г и I — s.
Это следует из C), если заметить, что
м м
k \
lim . snn
— sm —
m=0 n=0
Любая функция v = {vmn}, обращающаяся в нуль на границе квад-
квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье:
М-1
Vmn = 2 2^ Ckl Sm -j?- Sin —, A4)
§ 7. Конечные ряды Фурье 103
где Cki — (v,ip(k^). Справедливо равенство Парсеваля
М-1
(«,«)= ? <&¦ A5)
к=1=1
2. Представление решения в виде конечного ряда Фурье.
Можно проверить прямым вычислением справедливость равенств
r,« = l,2,...,M-l,
где -ДСО: t/CO -+ [/СО определен в гл. 4, § 1.
Равенства A6) означают, что функции ip(T>*), образующие орто-
нормированный базис в пространстве U^h\ являются собственными
функциями оператора -Д(л): (J^ -*• U^h\ а числа
., М-1, A7)
суть отвечающие им собственные числа. В частности, отсюда следу-
следует, что оператор —Д(л) самосопряжен.
В соответствии с общей схемой решение задачи G) запишется
в виде
М-1
г,«=1
где
ТП1, T7l2==Af
? • ГТГТЩ . 57Г7П2 /1Л\
/mim2Sm__lsm__l. A9)
7711, T7l2^1
Замечание 1. В случае iV = 2Р, гдер — натуральное число, су-
существует способ вычисления коэффициентов F(r'*> по формуле A9) и
вычисления решения и^ по формуле A8) за О(М2 In M) арифмети-
арифметических операций. Этот замечательный алгоритм называется быстрым
преобразованием Фурье (см., например, [7, 12]).
Отметим, что
\ \/1\ 8.9"'
An=A11(/l) = ^sm2—.
Очевидно, что
тг2 ^ Аи ^ 2тг2. B0)
Далее,
Am-lm-! ~ 8//i2. B1)
Поэтому число обусловленности оператора —Д(л)
^ = Хм~1'м~1 B2)
104 Гл. 5. Методы последовательных приближений
растет при h -*• 0 как O(h~2).
Заметим еще, что наибольшим собственным значением самосо-
самосопряженного оператора (—Д^)", которое совпадает с нормой этого
оператора, является число А^1, которое превосходит в силу B0) вели-
величину тт2. Поэтому для решения задачи G) при любой /(Л) выполнено
неравенство
11«(ЛI1<?||/(ЛI1- B3)
Задача
Выписать с помощью конечного ряда Фурье решение разностного ана-
аналога задачи Дирихле для уравнения Пуассона
(
ljn? 2u,H1m2 "^~ U7«i — 1,т2 . u
JТП 1 ТП^ 1
пц = 1,2,...,М - 1, т2 = 1,2,..., М- 1,
со следующими условиями на границе сеточного квадрата:
U0m2 = Vm2) WMm2 = Фт? , ГПг = 1, 2, ..., М — 1,
t4m,0 = frai , U,niM = 4m.i , ГП\ — 1, 2, ..., М — 1,
где /mim2, <?m2, ipmi, Ыг, 4m, — заданные функции своих аргументов.
Указание. Заметим, что решение поставленной задачи во внутрен-
внутренних точках совпадает с решением задачи, которая возникает при замене
функций <рт2, фт2, fmi, >?m, тождественно обращающимися в нуль и при
одновременной замене значений /m,m2 в приграничных точках сетки дру-
другими значениями /raim2 (какими именно?). После этого решение внутри
сеточной области записать в виде конечного ряда Фурье вида A8).
ГЛАВА 5
МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
(ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ) РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Задача отыскания точного решения уравнения
Ax = f, feRn, xeRn, (l)
где A: Rn —>¦ Rn, A — некоторый линейный оператор, не диктуется,
как правило, запросами приложений. В приложениях обычно допусти-
допустимо использование приближенного решения, известного с достаточной
для каждого данного приложения точностью. К тому же найти точное
§1. Методы простых итераций 105
решение, как правило, принципиально невозможно, так как входные
данные (правая часть и сам оператор А) бывают известны не впол-
вполне точно, что приводит к неустранимой погрешности в результате.
Кроме того, в силу конечной разрядности вычислительной машины
неизбежны погрешности округления в процессе вычислений.
Поэтому во многих случаях для вычисления решения х уравне-
уравнения A) точным методам (методом Гаусса или другим) целесообраз-
целесообразно предпочесть тот или иной метод последовательных приближений
(итерационный метод). Каждый итерационный метод состоит в
указании рекуррентного соотношения, которое по заданному произ-
произвольно нулевому приближению х^ решения х позволяет вычислить
первое, второе, вообще р-е (р = 1,2,...) приближения х^) ? /?" реше-
решения х.
Итерационный процесс должен быть построен так, чтобы после-
последовательные приближения з;(р) с ростом номера р стремились к ре-
решению х уравнения. Тогда для каждого е > 0 можно указать номер
р = р(е), чтобы выполнялось неравенство
\\х-хЫ\\<е. B)
Задавая ? > 0 достаточно малым, можно воспользоваться р-м прибли-
приближением х(р) в качестве приближенного решения с требуемой в данной
задаче точностью.
Изложим некоторые итерационные методы и укажем условия, при
которых эти методы целесообразно предпочесть точным или один
другому.
§ 1. Методы простых итераций
Заметим, что СЛАУ
Ax = f A)
можно преобразовать к форме
х = (Е - тА)х + т/, B)
причем новое уравнение C) равносильно исходному при любом зна-
значении параметра т(т > 0). Вообще Ах = / многими способами можно
заменить равносильной системой вида
х = Вх + у, х G /?", ц> G /?", C)
частным случаем которой является B).
1. Общая схема метода простых итераций состоит в вычислении
последовательности
= Вх(р) + у, j* = 0,l*'»i ' D)
106 Гл. 5. Методы последовательных приближений
при заданном произвольно значении х^. Ниже мы укажем усло-
условия, при которых эта последовательность сходится к решению СЛАУ
Ах = /.
Предварительно задержимся на частном случае итерационной
формулы D)
z(p+i) = (? _ ТА)ХМ + т/, р = 0,1,... E)
Заметим, что для вычислений по этой формуле достаточно уметь по
заданному х^ G /?" находить элемент Ах^, получающийся в резуль-
результате действия оператора А.
Таким образом, итерационный процесс вычисления решения СЛАУ
Ах = /, в отличие от метода Гаусса, можно реализовать и в случае
операторной формы задания СЛАУ, не выделяя какой-либо базис в /?п
и не приводя систему к каноническому виду
>п-
В процессе вычислений по формуле E) надо держать в памяти ма-
машины не тг2 чисел, составляющих матрицу оператора А в каком-либо
базисе, а лишь п чисел, описывающих вектор Ах^> € /?". К тому же
мы увидим, что для некоторых классов СЛАУ число арифметических
действий для получения решения с разумной точностью итерацион-
итерационными методами много меньше, чем О(п3).
Теорема 1. Пусть в /?" фиксирована некоторая норма, причем
соответствующая норма оператора равносильной системы C) оказа-
оказалась меньше единицы:
\\B\\ = q < 1. G)
Тогда система A) имеет одно и только одно решение х; при лю-
любом х^0} G Rn последовательность D) сходится к решению х, причем
погрешность р-го приближения (или р-й итерации)
е(р) = х _ х(р)
удовлетворяет оценке
||е«|| = \\х - ХМ\\ < q"\\x - ХЮ\\ = ^||?(°)||. (8)
Тем самым норма погрешности \\е^\\ стремится к нулю с ростом р
не медленнее геометрической прогрессиц qv.
Доказательство. В случае ip = 0 уравнение C) не имеет-реше-
ний, отличных от х = 0. В противном случае для решения х ф 0, ip = О
из C) следовало бы, что
§1. Методы простых итераций
107
т. е. ||х|| < ||х||. В силу доказанного утверждения справедливо также
утверждение о существовании и единственности решения СЛАУ A)
или C) при произвольном tp.
Пусть х — решение системы C). Зададим ж(°) € /?" произвольно.
Вычитая из C) равенство D) почленно, получаем
Отсюда имеем
<Лк@)|| =
. ?
Замечание. Условие G) может нарушиться при каком-нибудь
другом выборе нормы ||х||. Однако сходимость сохранится, причем
оценка (8) заменится оценкой
где с — некоторая постоянная, зависящая от новой нормы, а значение
q (q < 1) прежнее.
Справедливость этого замечания следует из факта эквивалентнос-
эквивалентности любых двух норм в конечномерном пространстве, состоящего в
следующем. Если ||х||, ||х||' — какие-нибудь нормы в Rn, то сущест-
существуют такие числа С\ > 0, с2 > О, что ci||x||' sC ||x|| sj сгЦхЦ', и с\, с2 от
х не зависят. Легко видеть, что из (8) следует (8') при с = cg/ci.
Пример 1. Пусть система A) задана в каноническом виде F),
причем А = {ciij} с диагональным преобладанием, т. е. выполнены
неравенства
\ац\ > 2J \aijl i = l,2,...,n.
В уравнении с номером i перенесем все слагаемые aijXj в правую
часть и разделим это уравнение на ац. Возникнет система вида C) с
матрицей
^21 0 ?>23 •¦• 02,71—1 Ь2п
В =
Ъп\ Ьп2 Ьп3 ... ЬП)П_
Очевидно, существует такое число q, что
0
а следовательно, первая норма
оценке вида G):
удовлетворяет
108 Гл. 5. Методы последовательных приближений
Зададим а;^0^ произвольно, но так, чтобы погрешность ||
= ||х — z(°)||i была, скажем, заведомо не больше единицы. И пусть нас
устраивает ответ с погрешностью 10~3. Тогда достаточно выбрать р
так, чтобы выполнялось условие qp ^ 10~3. В, случае, например, q =
= 1/2 достаточно взять р = 10 независимо от п.
Общее число арифметических операций будет ОA0п2) = О(п2), а
не О(п3), как в методе Гаусса. Действительно, каждое применение
матрицы В требует п2 действий.
2. Необходимое и достаточное условие сходимости прос-
простых итераций.
Теорема 2. Пусть В: /?"->/?", где /?" — п-мерное комплексное
пространство. Последовательность простых итераций
сходится (в произвольной норме) при произвольном х^ в том и толь-
только том случае, если каждое собственное число Xj оператора В строго
меньше единицы по модулю:
|А;К/э<1, i = l,2,...,n. (9)
Доказательство. Сначала докажем достаточность условия (9)
для сходимости. Пусть условие (9) выполнено. Заметим прежде все-
всего, что тогда число А = 1 не является собственным числом оператора
В, и поэтому однородная система By = 1 • у имеет только тривиаль-
тривиальное решение у — 0. Следовательно, система х = Вх + <р всегда имеет
решение х. Обозначим х — х^ = е^. Сходимость равносильна тому,
что последовательность
сходится при произвольном ?о к нулю: ||е(р)|| -*• 0. Фиксируем е(°\
Очевидно, что Це^Н ^ ||2?||р||е^||. Обозначим через U(X) сумму ряда
векторных величин
р=0
Этот ряд заведомо сходится вне круга |А| > ||Б|| на комплексной плос-
плоскости А. Очевидно, что АС/(А) — Ае0 = BU(X), или U(X) = — Х(В-
—ХЕ)^~^е^. Из определения U(X) видно, что е^ является вычетом
вектор-функции XP~1U{X):
2m J
A
J 2тгг
|A|=r |A|=r
где r — любое число, которое больше ||2?||.
§1. Методы простых итераций 109
Пусть |Aj| ^ р < 1. Тогда подынтегральная функция — аналити-
аналитическая функция вне круга |А| > р, так как оператор (В — АЕ) су-
существует при всех А: |А| > р. Поэтому можно деформировать контур
интегрирования, выбирая г = р + е, где е > 0 произвольно, не изменяя
интеграла. Отсюда
\Х\=р+е
^(р + е)" max \\(B - ХЕ)'^ ||е<°>||.
)Л|=р+1Г
Выберем е > 0 настолько малым, чтобы р + е было меньше едини-
единицы. Тогда правая часть последнего неравенства с ростом р стремится
к нулю. Достаточность доказана.
Пусть условие (9) не выполнено, так что некоторое А* удовлетво-
удовлетворяет неравенству |А*| ^ 1. Предположим, что вопреки утверждению
теоремы сходимость х^ -> х имеется при любом выборе х^. Выбе-
Выберем х° так, чтобы ?^°) = efc, где ей — собственный вектор оператора
А, имеющий собственное число А*. Тогда е^ = Вре^ = Вр?к = А^е*.
В силу |Afc| > 1 эта последовательность не стремится к нулю. Полу-
Получаем противоречие. ?
Сделаем очевидное замечание, что если последовательность х^
сходится, х = limx^, то ее предел х является решением системы
а; = Вх + <р.
Отметим весьма интересное обстоятельство, которое встречается
нам впервые. Задача вычисления х = limz^ предельно хорошо обу-
обусловлена: результат вообще не зависит от входных данных, т. е. от
выбора z(°). В то же время сходящийся в силу последней теоремы
алгоритм вычисления последовательности х^ может быть вычисли-
вычислительно очень неустойчивым. Неустойчивость может иметь место, ес-
если наряду с выполнением max|Aj| = р < 1 выполнено ||2?|| > 1.
В случае ||2?|| ^ 1 норма ||е^|| = ||2?р?(°)|| монотонно убывает. В
случае ||Б|| > 1 существует е^ такое, что ||е^|| сначала возрастает, а
уж потом убывает. При этом высота "горба" может быть сколь угодно
большой. Малая относительная погрешность округлений, допущенная
при том р, где расположен максимум "горба", будет возрастать по
норме: эта погрешность будет с ростом р также развиваться, проходя
через максимум, и т. д. Вычислительная неустойчивость может ока-
оказаться уже при небольшом превышении ||В|| над единицей и не очень
больших п столь сильной, что расчет станет невозможным.
Строгое определение устойчивости метода простых итераций,
классификацию видов возможной неустойчивости, примеры и теоре-
теоремы см.: Рябенький B.C. Об устойчивости итерационных процессов//
ДАН СССР. — 1970. — Т. 193, № 3, или [6, § 47].
110 Гл. 5. Методы последовательных приближений
3. Метод простых итераций в случае А — А*>0. Рассмот-
Рассмотрим уравнение C), т. е. х = Bx + ip, x € /?", в предположении, что
/?" — евклидово пространство со скалярным произведением (х,у) и
нормой ||х|| = (х,хI/2, аВ = В* — самосопряженный оператор. Пусть
Vj (j = 1,2, ...,n)—собственные числа оператора В. Введем число
q = \j\
Зададим произвольно начальное приближение х^ G /?" и построим
последовательность простых итераций D):
3.A4-1) = Вх(р) + ^ р = о, 1,... A0)
Лемма 1. 1°. Если q < 1, mo уравнение х — Вх ¦+- <^ имеет реше-
решение х, а последовательные приближения х^ в норме \\x\\ = {х,хI12
имеют погрешность \\х — х^рЦ\, которая с ростом р стремится к ну-
нулю и удовлетворяет оценке
\\x-xM\\^f\\x-xW\\, p = 0,l,..., A1)
причем существует х^ такое, что в A1) достигается точное ра-
равенство.
2°. Пусть система х — Вх + ц> при данном ц> имеет решение х ?
G /?", ко q ^ 1. Тогда существует начальное приближение х^ G Rn
такое, что соответствующая последовательность простых итера-
итераций A0) не сходится к решению х.
Доказательство. В случае В — В* евклидова норма операто-
оператора В совпадает с числом q — max \vj\. Поэтому утверждение 1° спра-
справедливо в силу теоремы 1.
Докажем 2°. Обозначим через е^ ~х — х^> погрешность р-й ите-
итерации. Вычитая из тождества х — Вх + у> почленно равенство A0),
получаем равенства е(р+1) = Ве&К
Пусть q ^ 1, причем q = \vk\. Зададим х^ так, чтобы получить
е(°) = х — х^ = efc, где е* — собственный вектор оператора В, име-
имеющий собственное число А*. Очевидно, что в таком случае погреш-
погрешность е(р) не стремится к нулю с ростом р:
?(р) = jfcCr-i) = ... = вре@) = Xpkek. ? A2)
Теорема 3. Рассмотрим уравнение
Ax = f, А = А* > 0, A3)
относительно х € /?", где Rn — евклидово пространство. Пусть из-
известны наименьшее Хтт и наибольшее Атах собственные значения А.
Зададим т > 0 и приведем уравнение A3) к виду
х = (Е- тА)х + т/. A4)
§1. Методы простых итераций 111
Зададим произвольное нулевое приближение х^ и рассмотрим после-
последовательность простых итераций
(Е-гЛ)х(р) +т/, р = 0,1,... A5)
1°. Если г > 0 достаточно мало, а именно, удовлетворяет нера-
неравенствам
О < г < 2/Атах, A6)
то последовательность х^ сходится к решению х уравнения A3),
причем гарантировано убывание нормы погрешности \\х — х(рЦ\ при
возрастании р в соответствии с оценкой
р = О,1,... A7)
Здесь q меньше единицы и выражается формулой
Я = Я(Т) = maxfll - rAmin|, |1 - гАтах|), A8)
m. e. q — наибольшее из двух чисел: |1 — rAmin|, |1 — тАтах|, каждое
из которых при условии A6) строго меньше единицы.
2°. Пусть т — произвольное число, удовлетворяющее A6). Сущест-
Существует начальное приближение х^°\ при котором оценку A7) при вы-
выбранном т улучшить нельзя, так как при этом х^ соотношение A7)
превращается в точное равенство.
3°. Если условие A6) нарушено так, что т ^ 2/Атах или т < О, то
существует х(°\ при котором последовательность х^ не сходится
с ростом р к решению х.
4°. Число q = q{r), задаваемое формулой A8), принимает наимень-
наименьшее значение qonr = g(ronT), если т = ronT = 2/(Amin + Amax). В этом
случае число q принимает значение
_ _ Ащах — Amjn _ /J-(A) — 1
Q - 9°nT ~ Amax + Amin - TI
где ц(А) = Amax/Amin — число обусловленности оператора А.
Доказательство. Оно опирается на лемму 1. В этой лемме по-
полагаем В = Е — тА. Заметим, что если А = А*, то оператор В =
= Е — тА также самосопряженный:
(Вх,у) = ((? - тА)х,у) = {х,у) - т(Ах,у) =
= (х, у) - т{х, Ау) = {х, (Е - тА)у) = (х, By).
Пусть Ai, Аг,..., Ап — собственные числа оператора А, расположен-
расположенные в порядке неубывания:
О < Amjn = Ai ^ A2 ^ ... ^ An = Amax, B0)
ei,e2, ...,е„ — соответствующие собственные векторы, образующие
ортонормированный базис, Ле, = Xjej. Тогда те же векторы являются
112 Гл. 5. Методы последовательных приближений
собственными для оператора ??, причем соответствующие собствен-
собственные числа есть
vj = vj{t) = 1 - tXj, j = 1,2, ...,n,
Bej — (E — tA)bj = Bj — r\j€j — A — t\j)bj = vB
Очевидно, что в силу B0) собственные числа vj расположены в
порядке невозрастания (рис. 11):
vi > vi > ... > vn. B2)
Из рис. 11 видно, что наибольшим среди чисел \vj\ (j = l,2,...,n)
является либо jz^i| = |1 — rAmin|, либо \vn\ = |1 — rAmax|, так что усло-
условие
q = max.\vj\ < 1 B3)
леммы 1 совпадает с условием
q = maxfll - rAmin|, |1 - rAmax|} < 1. B4)
Условие q < 1 при г > 0 выполняется в том и только том случае,
если точка vn на рис. 11 лежит правее точки —1 (т. е. если 1 — тАтах >
> — 1). Это означает, что наряду с условием т > 0 выполняется и вто-
Рис. 11
рое неравенство A6). Если г ^ 2/Атах, то q > 1. Если г < 0, то vj = 1 -
•— tXj — 1 + |r|Aj > 1, так что q = тах|1^| > 1. Итак, A6) равносиль-
равносильно требованию (9) леммы 1 в случае В = Е — тА. Таким образом,
доказаны утверждения 1°-3°.
Докажем теперь утверждение 4°. При очень маленьких г (г > 0)
все точки i/i,i>s,..., vn расположены на рис. 11 левее точки 1, но вбли-
вблизи нее, так что max \vj\ =v\—\— т\тт. При увеличении г все точки
смещаются влево: число q = тах|1^| = 1 — rAi уменьшается. Так бу-
будет происходить до тех пор, пока не наступит равенство \vn\ — v\.
При дальнейшем увеличении г число v\ будет продолжать умень-
уменьшаться. Однако теперь окажется, что \vn\ > v\, так что станет q =
= тах|1^| = \vn\, но число \vn\ с ростом г будет расти. Наимень-
Наименьшее значение q = <7опт будет при том значении г = топт, при котором
\vn\ = vi, или -A - тАп) = 1 - гАь т. е. при топт = 2/(Amin + Amax).
Очевидно, что при таком значении г = топт число q = qonr = g(ronT)
есть
q = )Л,, =i/i = l- ronTAmin = —г—. ?
§1. Методы простых итераций 113
Очевидно, что чем ближе ц{А) к единице, тем ближе к нулю qonr
и тем быстрее в силу A7) убывает погрешность. С ростом числа обу-
обусловленности ц{А) число <7Опт увеличивается (оставаясь меньше еди-
единицы) и сходимость замедляется.
При оптимальном выборе г = топт справедлива оценка
\\еЩ\
||? "
В силу леммы 1 существуют такие А, е^, что эта оценка достигается.
Поэтому для того чтобы гарантировать оценку
Ф°||, Р = 0,1,..., B5)
при заданном е > 0, число р необходимо и достаточно выбрать из
условия
Укажем более обозримую оценку для р. Заметим, что
T
fc=O
к
Поэтому для гарантированной оценки B5) достаточно, чтобы значе-
значение р удовлетворяло оценке
>1п?
2 р B6)
и необходимо, чтобы
p>-ilne-(l-*V B7)
Замечание. Во многих случаях (например, при приближенной
замене некоторых эллиптических краевых задач разностными) опе-
оператор А: /?"->/?" возникающей линейной системы оказывается по-
положительно определенным и самосопряженным (А = А" > 0) в смыс-
смысле некоторого естественного скалярного умножения. Однако обычно
не удается точно указать его наибольшее и наименьшее собственные
значения. Удается указать лишь оценки границ спектра, т. е. такие
числа а, Ь, чтобы выполнялись неравенства
0 < а ^ Amin ^ Amax ^ Ь.
В этом случае также можно воспользоваться методом простых ите-
итераций A5).
8 B.C. Рябенький
114 Гл. 5. Методы последовательных приближений
Зная вместо Am;n, Amax лишь границы a, b спектра, можно вос-
воспользоваться значением г' = 2/{а + Ь). При этом вместо
9опт = (Amax Amin)/(Amax + AminJ
в гарантированной оценке A7) будет фигурировать число
q' = max {|1 - r'Amin|, |1 - r'Amax|},
которое больше, чем qonr. Как показано выше, при любом выборе г
оценка A7) при некотором х^ превращается в точное равенство, при-
причем q = q(r) определяется формулой A8). Поэтому при г = г1 ф топт
получим неулучшаемую оценку A7), в которой будет q = д(т') > <7„пт.
Сходимость окажется тем более медленной, чем грубее известны гра-
границы а, Ь спектра.
Пример 2. Применим метод простых итераций к вычислению
решения разностного аналога задачи Дирихле для уравнения Пуассона
—Д(А)ц(л' = f^h\ сформулированной в § 7 из гл. 4.
Формула A5) примет вид
р) + г/, р = о, 1,...
Собственные числа оператора — А^ найдены в A7) из § 7 гл. 4. Там
же введено естественное скалярное умножение в пространстве U^h\
где действует оператор — ДС1), установлена его самосопряженность и
найдено число обусловленности ц(—ДС^) = O(h~2).
Поэтому в силу B5) при. топт (укажите это тОПт) количество итера-
итераций для уменьшения погрешности в е раз составит р к -/i(—
2'
= 0(h~2). Каждая итерация требует 0{h~2) арифметических опера-
операций; их общее число О(Н~Л).
В § 7 гл. 4 мы выписали точное решение задачи B0) в виде ко-
конечного ряда Фурье. Однако в случае непрямоугольной области или
в случае, если вместо разностного аналога уравнения Пуассона рас-
рассматривался бы разностный аналог уравнения
а и ди\ t B8)
с переменными коэффициентами а = а(х, у) > 0, Ь(х, у) > 0, мы не зна-
знали бы собственных функций и собственных чисел задачи и не могли
бы воспользоваться конечными рядами Фурье. В то же время алго-
алгоритм простых итераций можно было бы построить и в этом случае
вполне аналогично тому, как это сделано выше. Нужно лишь, чтобы
разностное уравнение было самосопряженным и чтобы были извест-
известны не слишком грубые границы a, b спектра оператора задачи.
В дальнейшем мы укажем для уравнений Ах — f (А = А* > 0) с
плохо обусловленным оператором А гораздо более эффективные ите-
итерационные алгоритмы, чем метод простой итерации.
§1. Методы простых итераций 115
4. Переход от Ах — f (А = А* > 0) к системе, которая луч-
лучше обусловлена, с помощью энергетически эквивалентного
оператора. Мы видели, что скорость сходимости метода простых
итераций (как и других, которые будут указаны в § 2) тем выше,
чем число обусловленности системы ц(А) меньше, т. е. чем это число
ближе к единице.
В случае плохо обусловленной системы Ах — f иногда удается пе-
перейти к равносильной системе с оператором, который имеет меньшее
число обусловленности, а затем решать эту систему методом итера-
итераций. Изложим этот прием.
Пусть В = В* > О — пока произвольный оператор. Умножим обе
части уравнения Ах — / на В. Получим равносильное уравнение
Сх=д, C = B~lA, g = B~xf. B9)
Оператор С уже не является, вообще гонорп, самосопряженным.
Введем новое скалярное умножение [х ц]в = {Вх, у). Оператор С
оказывается в смысле нового скалярного умножения самосопряжен-
самосопряженным, т. е. [(х,у))в = [х,Су]в, а также положительно определенным,
т. е. [Сх,х]в > 0, если х ф 0. Проверим это:
[Сх,у]в = {ВСх,у) = (ВВ-хАх,у) = {Ах,у) = {х,Ау) =
= {В~1Вх,Ау) = {Вх^В-^Ау) = [х,Су]в,
[Сх, х]в = (ВСх, х) = {Ах, х)>0, хфО.
В нашем переходе от уравнения Ах = / к уравнению B9) выбор
оператора пока произволен. В частности, если положить В = А, то
оператор С = В~1А окажется единичным, и решение х будет полу-
получено. Однако применение оператора А~г равносильно точному реше-
решению уравнения Ах = /, которого мы как раз и хотим избежать за
счет итерационного процесса, требующего умения вычислять при за-
заданном г вектор Az, но не Л/. Поэтому имеет смысл выбирать
оператор В лишь среди тех, для которых вычисление B~^z по за-
заданному г существенно проще, чем вычисление A~1z. Если при этом
удается выбрать В так, чтобы он был "похож" на оператор А, то мож-
можно надеяться, что оператор В~* А будет "похож" на единичный, а его
собственные числа Amin, Amax и число обусловленности ц(С) будут
"ближе" к единице.
Теорема 4. Пусть В = В" > 0 и при заданных числах 71 > 0,
72 > 0 и всех х € Rn справедливы неравенства
'у2 (Вх, х). C0)
m;n(C) и число обусловленнос-
обусловленносворяют неравенствам
7i ^ Amin(C) ^ Amax(C) ^ 72, ЫС) ^ 72/71- C1)
Тогда собственные числа Amin(C), Am;n(C) и число обусловленнос-
обусловленности цв{С) оператора С = В~гА удовлетворяют неравенствам
116 Гл. 5. Методы последовательных приближений
Доказательство. Из курса линейной алгебры известно (и легко
видеть непосредственно), что
лтт[у) — mm — — — mm — -,
x [x,x\g x (Bx,x)
\ /r<\ _ [Ci,i]g _ (Ax,x)
^max [у*) — max —z = — max 7— .
x [x,x]B x (Bx,x)
Отсюда в силу C0) следуют неравенства C1). ?
Операторы А, В, удовлетворяющие неравенствам C0), принято на-
называть эквивалентными по спектру или энергетически эквивалент-
эквивалентными с константами эквивалентности 71» 72-
Переход от Ах = / к Сх = g имеет смысл и существенно улучшает
число обусловленности, если
7г/71
При таком переходе увеличивается по сравнению с A7) скорость убы-
убывания погрешности е^ = х — х^ в норме || • \\в:
Тогда при том же значении р будет qvB <C qp, так как
Типичная ситуация, в которой использование эквивалентных по
спектру операторов дает большой эффект, впервые выделена и изуче-
изучена Е.Г. Дьяковым в начале 60-х годов и состоит в следующем. Пусть
система алгебраических уравнений
Anx = f, /€/?", xeRn,
где Ап: Rn —> Rn, возникла при дискретизации краевой задачи для
эллиптического дифференциального уравнения. Размерность п про-
пространства Rn тем выше, чем более точное приближение Ап исходной
задачи мы используем при дискретизации. Таким образом, мы имеем
дело с последовательностью пространств Rn (n —> оо), которые будем
считать эвклидовыми со скалярным умножением (х, у)^.
Пусть Ап: /?"->/?" — последовательность операторов, причем
Ап = .А* > 0, а Апх = / (x,f € Rn) — последовательность уравне-
уравнений. Пусть числа обусловленности (л(Ап) растут с ростом п так, что
f*{An) ~ n* (s > 0, s = const). Тогда при отыскании решения с точнос-
точностью е > 0 итерациями в соответствии с B7) потребуется О(п* lne)
итераций.
§1. Методы простых итераций 117
Пусть Вп '• Rn —> Rn(Bn = В„ > 0) энергетически эквивалентно с
оператором Ап с константами эквивалентности 71 > 0,72 > 0, которые
не зависят от п. Тогда [лвп(Сп) ^ 72/71 = const (Cn = В^Ап).
Перейдем к последовательности уравнений
Количество итераций для уменьшения погрешности в е раз:
\\х-хЫ\\Вп^е\\х-ХМ\\Вп, C2)
в силу ограниченности (лв„ (Cn) ^ 7г/71 не будет возрастать с ростом
п и будет ОAпе).
Пусть нормы1
ЦхНд. = {[х,х]Вл}1/Я
связаны неравенствами
""¦'INIb. ^1ИК"'1И1в„, l>0, I = const.
Тогда для достижения оценки
в итерационном процессе для уравнения Спх — </") достаточно, чтобы
выполнялось неравенство
и о"(р)|| ^ ^ По" f0JII fQQ^
Это неравенство получено из C2) заменой е на еп~1, так что потре-
потребуется лишь 0Aп-т) = 0Aпп — lne) итераций, в то время как без
использования перехода от Апх = / к Спх = </") требовалось, напом-
напомним, O(nl In e) итераций.
5. Масштабирование как средство улучшения числа обус-
обусловленности. Пусть требуется решить систему
Сх = <р, C4)
заданную в каноническом виде: С = {c»j}, detC ф 0. Можно перейти
к системе
Ах = /, А = С * С, / = С *(р,
причем А = А* > 0, а затем воспользоваться методом итераций. Ско-
Скорость их сходимости зависит от числа обусловленности ц{А). Легко
показать, что в евклидовой норме, соответствующей скалярному ум-
умножению в пространстве /?", р.(А) = ц2[С). Прием масштабирования
для уменьшения числа обусловленности заключается в следующем.
Каждое из скалярных уравнений, составляющих C4), умножается на
118 Гл. 5. Методы последовательных приближений
такой множитель, чтобы наибольший коэффициент нового уравнения
оказался равным единице. От этой новой, масштабированной системы
переходим к равносильной системе с симметричной и положительной
определенной матрицей.
Прием масштабирования уменьшает число обусловленности исход-
исходной системы. В силу равенства ц{А) — Ц2{С) уменьшается также чис-
число ц{А), определяющее скорость сходимости итераций.
Задачи
1. Пусть известно, что собственные значения оператора Л: /?1011->/?100
суть
\к = к2, к = 1,2, ...,100.
Для приближенного вычисления решения системы Ах = f произвольно за-
задается начальное приближение х'"' ? R , а последующие приближения
вычисляются по формулам
х'7^1' = (Е - трА)х{р) + rpf, p = 0,l,..., C5)
где тр — некоторые положительные числа.
Укажите такой набор итерационных параметров го, ti, ..., Т99, чтобы при-
приближение х'100) совпадало с точным решением х системы Ах — f.
2. Пусть в предыдущей задаче итерационные параметры тр выбраны
по формуле
а) Проверить, что тогда х(Ш)' = х.
б) При реализации алгоритма C5) на компьютере с допустимым деся-
десятичным порядком чисел, скажем, до 10, вычисления натолкнутся на пре-
препятствие, которое состоит в том, что появятся числа слишком большого
порядка. Объяснить механизм возникновения этого явления.
3. Пусть в задаче 1 итерационные параметры т выбраны по формуле
а) Проверить, что тогда а:'100' = х.
б) При реализации этого алгоритма на компьютере с заданным коли-
количеством разрядов, скажем, 10, возникает большая погрешность. Объяснить
механизм, препятствующий расчету.
§ 2. Метод Чебышева и метод сопряженных градиентов
Для системы вида
Ax = f, A = A*>0, A:Rn^Rn, A)
укажем два итерационных алгоритма для вычисления решения х = х,
в которых заданная точность достигается при меньшем объеме вы-
вычислений, чем в методе простых итераций, описанном в § 1. Обсудим
также условия, при которых один из этих двух методов предпочти-
§2. Метод Чебышева и метод сопряженных градиентов 119
тельнее другого. Обоснования указанных ниже алгоритмов см., на-
например, в [20].
В силу А = А* > 0 собственные числа Xj (j — 1,2...,п) операто-
оператора строго положительны. Будем считать, что они занумерованы в
порядке возрастания и что известны такие числа а > 0, b > 0, что
выполнено
а ^ Ах ^ ... ^ An ^ Ъ. B)
Числа a, b называются границами спектра оператора А. Если а =
= Ai, b = Ап, то а, Ь называют точными границами спектра.
1. Метод Чебышева. Зададим произвольно нулевое приближе-
приближение х° и будем вычислять последующие приближения по формулам
xW = (E-rA)xM+Tf, C)
= ар+1(Е - тА)х^ + A A>
где г и а*; заданы формулами
т=^-ь, ai=2, ap?X = T^-, p=l,2,..., P=^f. D)
Можно показать, что погрешность еФ =х
приближения х№ удовлетворяет оценке
Для уменьшения первоначальной погрешности в е раз, т. е. для
достижения оценки ||е(р)|| ^ е||е^||, достаточно, чтобы р было выбра-
выбрано из условия
Это число шагов р примерно в v — «у- Раз меньше, чем число шагов,
которого требует для достижения той же оценки ||?^|| ^ еЦе^И метод
простой итерации. Экономия тем больше, чем больше число Ь/а — ^-1.
В случае, если a, b — точные границы спектра - = -2. = ц(А) и
О. А1
б
1 1
v = ^у/ц(А), экономия тем больше, чем больше число обусловленнос-
обусловленности системы A). Отметим, что итерационный алгоритм C) вычисли-
вычислительно устойчив.
Конструкция метода C), доказательство оценки E), доказатель-
доказательства свойства вычислительной устойчивости алгоритма C) и других
его свойств основаны на использовании многочленов Чебышева и не-
некоторых других связанных с ними многочленов. Поэтому алгоритм
C) называют трехслойным чебышевским алгоритмом.
Существует и используется на практике также так называемый
120 Гл. 6. Переопределение СЛАУ. Метод наименьших квадратов
двухслойный чебышевский итерационный алгоритм для уравнения A).
Для вычисления приближения х^-р+1^ этот алгоритм использует и тре-
требует хранения в памяти машины только х(р\ т. е., в отличие от C),
a;(p-i) хранить не нужно. Однако этот алгоритм требует дополнитель-
дополнительной заботы об устойчивости счета, и мы его не излагаем.
2. Метод сопряженных градиентов. Формулы для вычисления
приближений а;(р+1) методом сопряженных градиентов см. в § 6 гл. 4.
В этих формулах не используются какие-либо границы a, b спект-
спектра, что является существенным преимуществом перед методом Че-
бышева.
Гарантированная оценка скорости убывания погрешности зависит
от числа обусловленности ц(А) и не медленнее, чем в методе Чебыше-
ва C), построенного в случае известных а, Ь, т. е. в случае известных
точных границ спектра.
В отличие от* метода Чебышева при использовании метода со-
сопряженных градиентов может возникнуть вычислительная неус-
неустойчивость, которая проявляется тем сильнее, чем больше число
обусловленности ц{А). Наиболее благоприятна для применения ме-
метода сопряженных градиентов ситуация, когда известно, что число
обусловленности ц{А) невелико, но границы спектра неизвестны, а
порядок п системы много больше того числа итераций р, при котором
погрешность е^ удовлетворяет поставленному перед вычислителем
требованию точности.
Скорость сходимости метода Чебышева и метода сопряженных
градиентов можно увеличить, если преобразовать систему A) к сис-
системе вида
Cx = tp, С = В'1 А,
В — В* > 0, уменьшив при этом число обусловленности. В этом случае
полностью сохраняются построения и рассуждения из п. 4 § 1.
ГЛАВА 6
ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛАУ.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
§ 1. Примеры задач,
приводящих к переопределенным СЛАУ
1. Задача обработки экспериментальных данных — эм-
эмпирические формулы» Пусть известно, что величина у является
Некоторой функцией от аргумента t, причем в результате измерений
§1. Примеры задач, приводящих к переопределенным СЛАУ 121
получена таблица значений ук — y(tk) (к = 1,2,3,4) этой функции
(рис. 12).
1/0
Vl
Уз
х0
Х2
Рис. 12
Полученные измерения позволяют приближенно считать, что за-
зависимость у = y(t) является линейной, т. е. имеет вид
где xi, х2 — некоторые числа. Числа х%, х2 в эмпирической фор-
формуле A) хотелось бы подобрать так, чтобы при t = tk (к = 1,2,3,4)
формула A) давала те значения, которые получены измерениями, т. е.
чтобы выполнялись уравнения
B)
Получилась система четырех линейных уравнений относительно двух
неизвестных Xi, x2. Эта переопределенная система не имеет (класси-
(классического) решения, так как не существует прямой, проходящей через
все четыре экспериментальные точки (см. рис. 12).
За значения xi, x2, входящие в формулу A), можно принять ту
пару чисел, для которой невязки
+ х2 - ук], к = 1,2,3,4,
C)
+Х2 =1/1,
X2 =1/2,
Xit3+X2 =Уз,
+X2 =yt.
будут как можно меньше. Можно, например, ввести функцию
4
равную сумме квадратов невязок, и принять за обобщенное реше-
решение «1, х^ системы B) ту пару чисел xi, ха, для которой
122 Гл. 6. Переопределение СЛАУ. Метод наименьших квадратов
принимает наименьшее значение. Для вычисления этих чисел Х\, ж2
Получим систему
дФ/дх! = О, дФ/дх2 = 0 D)
двух уравнений, имеющую (обычное, классическое) решение xi, жг-
Выбор функции Ф(ж1,Ж2), от которой зависит, какую именно па-
пару чисел xi, жг принять за обобщенное решение системы B), т. е. за
коэффициенты эмпирической формулы A), содержит произвол. Ес-
Если бы, например, мы сочли разумным придать каждому измерению
свой вес bk (k= 1,2,3,4), то вместо C) было бы естественно принять
функцию
Ф(жьж2) = ^2bk(xitk + х2 - укJ¦ E)
к=1
Соответственно изменилась бы и та пара чисел х%, ж2 (обобщенное ре-
решение системы B)), которая придает наименьшее значение функции
Ф(ж1,Жг). Система D) и ее решение х\, ж2 зависят от 6i, Ьг, Ьз, 64-
Определение обобщенного решения системы B) с помощью мини-
минимизации функции Ф(ж1,Жг) от квадратов невязок есть пример метода
наименьших квадратов для определения обобщенного решения пере-
переопределенной системы B).
Можно было бы ввести меру невязки Ф(жьЖ2), используя вмес-
вместо E) формулу
4
-ук\, F)
т. е. использовать не квадраты, а модули невязок.
Отыскание минимума функции F) — задача линейного програм-
программирования. Для ее решения нельзя воспользоваться уравнениями ви-
вида D), так как функция F), в отличие от функции E), недифферен-
цируема. Преимущество метода наименьших квадратов в том, что
вычисление обобщенного решения, понимаемого в смысле метода наи-
наименьших квадратов, существенно проще.
2. Задача уточнения результатов неточных измерений за
счет числа этих измерений. Пусть заранее известно, что некото-
некоторая величина у = y(t) зависит от своего аргумента t линейно, т. с.
известно, что эта зависимость имеет вид A). Задача состоит в том,
чтобы по результатам измерения величины y(t) при нескольких зна-
значениях t вычислить коэффициенты xi, х2. Допустим, что измерения
произведены при t = tk {к = 1,2,3,4) и их результаты приведены на
рис. 12.
Для определения xi, ж2 снова получится та же переопределенная
система B). Эта система окажется несовместной, так как измерения
производились с некоторой неизбежной погрешностью. Обобщенное
§2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения 123
решение снова можно определить как пару чисел Х\, х%, придающую
наименьшее значение функции вида E), и воспользоваться для этого
системой вида D).
Подчеркнем, что использование четырех неточных измерений и
соответствующей переопределенной системы уравнений B), вообще
говоря, позволяет уменьшить влияние на результат погрешностей,
допускаемых при каждом измерении.
Существует точная постановка в терминах теории вероятностей
задачи о повышении надежности результатов, полученных при изме-
измерениях со случайными погрешностями за счет числа этих измерений
и их обработки с помощью метода наименьших квадратов [9].
Переопределенные системы линейных уравнений могут возникать
не только при построении эмпирических формул или при уточнении
результатов неточных измерений за счет их числа (см. гл. 13, § 2).
§ 2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения
в общем случае
1. Каноническая запись переопределенной системы линейных ал-
алгебраических уравнений имеет следующий вид:
... + ansxs -
n > s.
Введем пространства R", R", состоящие из элементов вида х =
имеющие размерности s, n (n > s) соответ-
Г;11
,/=... и
L/nJ
ственно. Обозначим через А прямоугольную матрицу коэффициентов
системы A):
А=
и 1
. B)
ansj
Тогда систему A) можно коротко записать в виде
Ax = f, xeR°, f?Rn. C)
Введем в Rn "основное" скалярное умножение, положив
124 Гл. 6. Переопределение СЛАУ. Метод наименьших квадратов
Наряду с D) можно ввести скалярное произведение в Rn множест-
множеством других способов. Именно, произвольной симметричной и поло-
положительно определенной матрице В = В* > 0, т. е. (Bf, /) > 0 (/ ф 0),
соответствует скалярное умножение
[f,9]B = (Bf,g), f,geRn. E)
Известно, что любое скалярное умножение в пространстве Rn можно
задать формулой вида E), подобрав подходящую матрицу В = В* > 0.
Система A), как правило, не имеет классического решения, т. е.
не существует такого набора чисел xi,X2,—,xs, который обращает
каждое из п уравнений A) в тождество.
Определение. Фиксируем В = В* > О, В: Rn -»• Rn. Введем
функцию от х G Rn, положив
*(x) = [Ax-f,Ax-f)B. F)
Примем за обобщенное решение хв системы A) тот вектор хв G R",
который придает наименьшее значение квадратичной функции F).
Замечание. Выбор В = В* > 0 находится в руках исследователя.
Матрица В имеет смысл "весовой" матрицы и выбирается из тех или
иных соображений о том, какую цену придать невязке системы A)
при заданных xi,X2,—,xs-
Теорема 1. Пусть столбцы матрицы А линейно независимы,
т. е. ранг А равен s. Тогда существует одно и только одно обоб-
обобщенное решение хв системы A). Обобщенное решение системы A)
является классическим решением системы уравнений
А* В Ах = A'Bf, G)
которая содержит s скалярных уравнений относительно s неизвест-
неизвестных x1,x2,—,xs.
Доказательство. Введем обозначение а* (а* G /?") для столбца
с номером к (к = 1,2,...) матрицы А, так что
ак=\ ... \, k = l,2,...,s. (8)
LJ
Из формулы умножения матриц видим, что матрица С = А*ВА
системы G) есть квадратная s x s-матрица. Элемент Су этой матри-
матрицы, стоящий на пересечении г-й строки и j-ro столбца, есть число
сц = (oi,Bo,)<n> = (В*,а,)<п> = [ai,aj]B.
Из (8) видно, что Cij = Cji, т. е. С = С*.
Покажем, что матрица С невырожденна и, более того, положи-
положительно определена:
}>0, {6ff, */0. (9)
§ 2. Переопределенные СЛА У и обобщенные решения 125
Напомним известную формулу
(f,AO{n) = (A*f,O{s), feRn, teR*, (Ю)
для проверки которой достаточно записать левую и правую части
формулы A0) в развернутом виде.
ПУСТЬ?€Я.,{=[!:],[!].
Тогда
есть линейная комбинация системы линейно независимых векто-
векторов пк, не все коэффициенты которой равны нулю. Поэтому А? ф
Ф 0 ? Rn. Но тогда скалярный квадрат вектора А? положителен:
0 < [А?,М]в = {BM,M){n) = (A*BAU) = (C&flW,
и (9) доказано. В силу невырожденности матрицы С система G) име-
имеет одно и только одно решение хв G /?*.
Покажем, что хв является единственным обобщенным решением
системы G). Это значит, что для любого х = хв +6 (ё Е R") справед-
справедливо строгое неравенство
Ф(хв +ё)> Ф(хв), ёфО. A1)
Для доказательства этого неравенства предварительно заметим,
что
[Ахв - f,A6]B = {В(Ахв - f),AS)W _ {А*ВАхв - A*Bf,8)W = 0.
A2)
Это равенство справедливо, поскольку А*ВАхв = A*Bf.
Докажем теперь A1), опираясь на (9), A2):
Ф(хв + ё) = [А(хв +S)-f, А(хв +S)- /]в =
= [Ахв - /, Ахв - /]в - 2[Ахв - /, Аё]в + [A3, А6]в =
= Ф(хв) - 2[Ахв - /, А6]в + (Сё, 8)М = Ф(хв) + (Сё, ё)^ > Ф(хв). ?
2. Замечания о вычислении обобщенного решения. Матри-
Матрица системы G) симметричная и положительно определенная. Этим
можно воспользоваться при вычислении решения методом итераций.
В случае если ai,a2, —,as G /?' — ортонормированная система векто-
векторов, т. е. если
[сц,а,]в = eij, i,j = l,2,...,s, A3)
матрица С оказывается единичной, так как было показано, что Cij =
— [ai,aj]s- В этом случае хв — A*Bf. Если условие A3) выполняет-
выполняется лишь приближенно, матрица С оказывается близка к единичной и
126 Гл. 6. Переопределение СЛАУ. Метод наименьших квадратов
потому хорошо обусловлена, так что решение G) можно легко вычис-
вычислить итерациями.
3. Геометрический смысл метода наименьших квадратов.
Систему A) можно записать так:
+ х2а2 + ... 4- ж,а, = /, A4)
Ги1 ГЛ1
где пк= \ • ¦• G /?",/=-¦• G /?". Требуется найти коэффициенты
UJ LJ
Ж1,Ж2,..-,ж„ линейной комбинации ж^ 4-х2п2 + ••¦ +xsas так, чтобы
эта линейная комбинация наименее отличалась от /:
=>min. A5)
Обозначим через R^(a) С Rn подпространство размерности s
пространства /?п, состоящее из всевозможных линейных комбина-
комбинаций векторов ах,02,..., а«. Если Ж1,ж2,—,х« — обобщенное решение
системы A), то линейная комбинация У^жьа* есть ортогональная в
смысле скалярного умножения [, ]в проекция вектора / ? Rn на под-
подпространство /?*(о).
В самом деле, любой вектор из R"{a) имеет вид AS = Siui +
+ ^202 +... + Ssas G R"(a) (S e R"). Наименее уклоняется от / эле-
элемент ^ж*а*; подпространства R"{a), имеющий вид Ахв, где жд —
решение системы G). Очевидно, что в силу A2) элемент / — Ахв ор-
ортогонален любому элементу А6 G R"(a).
Если в пространстве R"(a) вместо ai,u2,—, as выбрать какой-
нибудь другой базис a'x,^,—, a's, то система G) заменится системой
С'х' = / A6)
с матрицей С'[с'^], с'^ = [А'а'^а'^в, i,j — 1,2,...,s, где А' — матрица,
столбцы которой есть а'к.
Вместо решения жд системы G) получим новое решение х'в сис-
системы A6), но проекция / на R"(a), очевидно, останется прежней, так
что справедливо равенство
Если нас интересует проекция заданного / на заданное подпро-
подпространство R" С Rn, то естественно стремиться к выбору базиса Oi,
<*2, •••, а* этого подпространства, по возможности мало отличающегося
от ортонормированного. Искомая проекция от выбора базиса в R"(a)
не зависит, а уравнение G) в случае такого выбора базиса будет иметь
§2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения 127
хорошо обусловленную, близкую к единичной матрицу (см. задачу 6
в конце параграфа).
4. Переопределенные системы, заданные в операторной
форме. Наряду с канонической формой задания A) переопределенная
система может быть задана в операторной форме. Именно, пусть име-
имеются два линейных пространства /?*, /?" размерностей s, n (s < п).
Пусть заданы линейный оператор А: /?* -»• Rn и вектор / G Rn. Тре-
Требуется найти ж€/?* такой, чтобы выполнялись условия
Ах = /, ж е R", / G /?п. A7)
Эта запись по содержанию отличается от записи C) тем, что здесь
не предполагается, что ж, / заданы своими координатами и что А
задан матрицей.
Система A7), вообще говоря, не имеет классического решения,
так как вектор Ах G Rn при любом ж принадлежит s-мерному под-
подпространству R(A) С Rn, в которое переходит R" при преобразовании
A: R* ->• Rn.
Для введения обобщенного решения надо определить в Rn скаляр-
скалярное умножение (f,g)^- Все остальные скалярные умножения имеют
вид
\f,9]B ^\
где В = В* > 0. Введем функцию
Примем за обобщенное решение хв то значение ж G /?*, для которого
эта функция принимает наименьшее значение:
Фв(а;) => min.
Пример. Пусть в квадрате @ ^ ж ^ 1, 0 ^ у ^ 1) введены две
сетки — крупная с шагом Н = 0,1 и с точками
(Xm,Yn) = (тН,пН), т,п = 0,1,..., 10,
а также мелкая с шагом h = 10~2 и с точками
(im, J/n) = (mft, n/i), m, n = 0,1,..., 102.
Введем линейные пространства E/W, F^1^. К первому отнесем
все функции итп, определенные на крупной сетке, а ко второму —
все функции fmn, определенные на мелкой сетке. Зададим оператор
А: [Ля) -> F^h\ который по функции итп строит функцию /mn, до-
доопределяя итп в точках мелкой сетки с помощью линейной интерпо-
интерполяции по каждому из аргументов ж, у. Пусть путем приближенных
измерений некоторого физического скалярного поля в точках мелкой
сетки получена некоторая функция / G F^h\ f = {/mn}-
128 Гл. 6. Переопределение СЛАУ. Метод наименьших квадратов
Поставим задачу — отыскать такую функцию и 6 U( >, чтобы она
была обобщенным решением следующей переопределенной системы:
Аи = /, и е t/G/\ / e F(h). A8)
Обобщенное решение будем понимать в смысле следующего скаляр-
скалярного умножения в FW-.
100
{f,s)= $1 /"»п5тп, f,geF<-hl
m,n=0
Содержательный смысл этой задачи — произвести сглаживание
экспериментальных данных, уменьшив влияние случайных погреш-
погрешностей, допущенных при измерениях. В результате этого сглажива-
сглаживания вместо экспериментальной функции / ? F^ можно будет ис-
использовать функцию / = Аи.
Мы не будем приводить здесь алгоритм отыскания обобщенного
решения и ? UW) задачи A8), отнеся это к числу задач для самос-
самостоятельного решения. Подчеркнем только, что задача A8) поставлена
не в канонической форме A), а в операторной.
Можно многими способами перейти от операторной формы A8) к
канонической форме A) задания переопределенной системы (как это
сделать?), однако это нецелесообразно.
Задачи
1. Найти обобщенное решение (в смысле метода наименьших квадра-
квадратов) переопределенной системы
х + у = 1, х — у = 2, 2х+у = 2,4.
2. Произведено некоторое число т приближенных измерений длины I.
Получились следующие результаты: I = 1\,1 = h,...,l = lm, где (,¦ — неко-
некоторые числа.
Найти решение в смысле метода наименьших квадратов этой системы
m уравнений относительно одного неизвестного Z.
3. Электрическое сопротивление проволоки R линейно зависит от тем-
температуры t, так что R — а + Ы.
Определить о, 6 по результатам следующих неточных измерений:
t
R
19,1
76,30
25,0
77,80
30,1
79,75
36,0
80,80
Найти сопротивление проволоки при t = 21,28.
4. Скорость v корабля связана с мощностью р двигателя эмпирической
формулой р = а + bv3.
Определить о, 6 по данным измерений, приведенным в таблице
V
г
6
420
8
805
10
1370
12
2370
§2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения 129
5. Измерения углов а, уЗ, •у треугольника на плоскости привели к зна-
значениям а = 52° 5', /3 = 50° 1 , 7 — 78° 6'. Сумма результатов измерений есть
180°12' и дает невязку 12', происходящую от погрешностей измерения.
Ликвидировать невязку, следуя предписаниям метода наименьших
квадратов.
6. Некоторая функция задана таблицей своих значений j/* = 1 + а;* +
+ х\ 4- sin Xk на множестве точек
хк — -1 + 10~2fc, к = 0,1,..., 200.
Требуется с помощью компьютера построить многочлен Qm(x) степени
не выше заданного то ^ 50, для которого сумма
200
принимает наименьшее значение.
Рассмотреть и сравнить следующие три варианта решения и вычислить
значения Q,n в точках
Хк+1/2=*к+*к+1, * = 0,1, ...,199..
m
Вариант 1. Ищем многочлен Qm(x) в виде Qm(x) = \^c,x' с неопре-
неопределенными коэффициентами с,. в=о
Вариант 2. Ищем многочлен Qm(x) в виде
где Рз(х) — многочлен Лежандра степени s. О многочленах Лежандра из-
известно, что
Щх) = 1, Ъ{х) = х,
,-i(x), I = 1,2,...
Они ортогональны на отрезке — 1 ^ х ^ 1, т. е.
1
Pk(x)Pi(x)dx = 0, кф1.
-1
Далее,
-1
Вариант 3. Ищем многочлен Qm(x) в виде
где
9 B.C. Рябенький
130 Гл. 7. Нелинейные скалярные уравнения и системы
Построение алгоритма отыскания коэффициентов с, (з — 0,1, ...,т) во
всех трех вариантах осуществить по следующему плану.
Iе. Вычислить матрицу А* В А и матрицу А* В, с помощью которых
записывается система
[со 1 Г Уо I
... , у= ...
Cm J L 2/200 J
метода наименьших квадратов.
2°. Написать программу решения полученной системы методом сопря-
сопряженных градиентов, принимая за нулевое приближение с*0' = ••• и закан-
заканчивая итерации, если с'р' отличается от с'р~!' "достаточно мало", а именно
maxle^-cir^l^e, e = ИГ3.
я
3е. Объяснить, почему система А*ВАс = А*Ву, которая возникает в
варианте 1, обусловлена плохо, а в варианте 3 ее число обусловленности не
сильно превосходит единицу.
7*. Составить программу для численного решения переопределенной
системы, заданной в операторной форме в примере, который приведен в
конце параграфа:
Указание. Ввести скалярное умножение в пространстве U , F^h\
положив
10
(f,g)w = h2 J2 /mnffmn, f,g€F{h).
m,n=0
Реализовать на ЭВМ программу решения итерациями системы линей-
линейных уравнений А* Аи = A*f, заданной в операторной форме.
ГЛАВА 7
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ
УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Здесь мы изложим основные способы отыскания решений нели-
нелинейных скалярных уравнений
F(x) = 0, A)
где F(x) — некоторая заданная функция, например F(x) = sin ж — 0,5а;
или F(x) = е~х + cos ж.
Будем рассматривать также системы скалярных уравнений
F(x) = 0, B)
§1. Метод простых итераций
где F(x) — некоторая заданная вектор-функция от векторного аргу-
аргумента х = {х\,Х2,...,хп), х\,Х2,-.,хп — скалярные координаты век-
вектора х; например, в случае
-25
.2
система B) в развернутом виде запишется так:
х\ + х\ - 25 = 0, , .
Х2 — х\ = 0. ^ '
При решении скалярных уравнений F(x) — 0, а также систем
F(x) = 0 таких уравнений возникают две задачи: задача указания
областей, в которых лежит по одному решению (задача отделения
корней), и задача отыскания корней с заданной точностью (задача
уточнения корней).
Для отделения корней нет общих приемов. Используются графики,
участки монотонности функции, на которых она меняет знак, и дру-
другие частные приемы. Имеется лишь один большой класс функций —
многочлены с вещественными коэффициентами, для которого задача
отделения вещественных корней решена в общем виде и полностью.
Такое решение дает теорема Штурма.
Для уточнения корней используются различные варианты после-
последовательных приближений (итераций).
§ 1. Метод простых итераций
Рассмотрим сначала случай одного уравнения F(x) = 0, а затем
случай системы F(x) = 0.
1. Случай одного скалярного уравнения. Пусть известно, что
интересующий нас корень х уравнения
F(x) = 0 A)
лежит на интервале а<х<Ь. Каким-нибудь способом приводим урав-
уравнение A) к равносильному ему на интервале U = {а < х < Ь} уравне-
уравнению вида х = /(я). Можно положить
f{x) = x- a(x)F(x), B)
где а(х) — произвольная, не обращающаяся в нуль в точках U функ-
функция. Для отыскания решения х, принадлежащего интервалу а<х <Ь,
зададим xq, а затем последовательно вычислим х\,Х2,-.. по формуле
Жр+. 1 = f(xp), р = 0,1,... C)
9*
132
Гл. 7. Нелинейные скалярные уравнения и системы
При этом предполагается, что каждое хр принадлежит области опре-
определения функции f(x), так что последовательное вычисление чисел
Xi,X2,...,Xp, ... ВОЗМОЖНО.
Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна в U, и пусть при заданном
хо последовательность C) сходится к некоторому х, принадлежаще-
принадлежащему U. Тогда х — корень уравнения B), т. е. выполнено равенство х =
= /(*)•
Доказательство. Очевидно, что lim xn+\ = lim f(xn). Но в
п-юо п-юо
силу определения непрерывности lim f(xn) = f( lim xn). Поэтому
п-юо ч п-юо '
lim хп+\ = f( lim xn), или x = f(x). D
п-Юо n-»oo
О факте сходимости практически можно судить, наблюдая за по-
последовательностью хп в процессе вычисления ее членов на компью-
компьютере, "поручив" установление этого факта самому компьютеру. Если
сходимость установлена, то за корень х можно приближенно принять
член х^ последовательности C) с достаточно большим номером р.
Однако последовательность C) не всегда сходится. На рис. 13
У,
у=х
y=f(x)
г/=/(*)
' Л
X!
Рис. 13
изображены графики f(x), для одного из которых при указанном на
рисунке нулевом приближении х0 последовательность C) сходится, а
для другого — нет.
Сформулируем условия, при которых гарантирована сходимость
C). Введем для этого следующее определение. Отображение (функ-
(функция) f(x) называется сжимающим в области U с коэффициентом сжа-
сжатия q @ ^ q < 1), если для любых двух х', х" из U выполнено нера-
неравенство
\f(x")-Hx')\^q\x"-x'\. D)
Теорема 2. Пусть уравнение х = f(x) имеет решение х, принад-
принадлежащее области U, и пусть отображение f{x) является сжимаю-
сжимающим в области U с некоторым коэффициентом сжатия q @ ^ q < 1).
Тогда решение х является единственным решением в области U и су-
существует столь малое R>0, что при выборе х0 из условия \х — хо\ <
< R все члены последовательности C) будут определены, причем вы-
§ 1. Метод простых итераций 133
полняются неравенства
\i-xn\^qn\x-x0\, n = O,l,..., E)
т. е. имеет место сходимость хп к х со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем q.
Доказательство. Сначала докажем единственность решения.
Допустим, что наряду с х существует решение ?':
*' = /(*'), *,&еи.
Тогда в силу того, что f(x) — сжимающее отображение, \f(x) —
-/(*')! ^ \я(*-х')\- Но в силу /(?) = x и /(?') = x' отсюда
получаем
|4'-4| < \х' -х\.
Противоречие доказывает единственность.
Далее возьмем R > О столь малым, чтобы совокупность U(x,R)
точек, удовлетворяющих неравенству \х — х\ < R, целиком принадле-
принадлежала U. Пусть х0 G U(x,R). Тогда
|4 - Х1\ = |/D) - /Ы1 ^ q\i - x°\ ^qR<R,
так что х\ тоже принадлежит окрестности U(x,R). Аналогично Х2,
Хз,—,хп,... лежат в этой окрестности.
При п = 0 оценка E) тривиальна. Допустим, она уже доказана для
п = 0,1,..., к. Докажем ее для п = к + 1:
\х-хк+1\ = \f(x) - f(xk)\ ^q\x-xk\ ^qqk\x-x0\.
Таким образом, неравенство E) доказано для всех п по индукции. ?
На первый взгляд доказанная теорема ничего не дает для отыска-
отыскания х, поскольку мы не можем указать фактически то R > 0 и ту
окрестность U(x,R), в которой надо выбирать х0. Однако сам факт
существования такой окрестности позволяет организовать автомати-
автоматическое вычисление х на ЭВМ. Именно, зададим произвольно xq G U.
Если последовательность C) удается вычислить и она сходится к не-
некоторому х, то в силу теоремы 1 это и есть искомый корень. Если
сходимости нет, то программа расчета должна взять другое значе-
значение х'о и повторить расчет; если сходимости опять нет, то выбираем
за начальное приближение третью точку x'q и т. д. Если в процессе
выработки этих начальных приближений xo,x'o,x'q,... они все "гуще"
располагаются в U, то при выборе ж0 на некотором шаге мы неизбеж-
неизбежно попадем в достаточно малую окрестность U(x,R) корня, и итера-
итерационный процесс сойдется.
Укажем достаточный признак того, что отображение является
сжимающим.
Теорема 3. Пусть f(x) имеет производную во всех точках об-
области U (т. е. интервала а < х < Ь), и пусть существует q (О $J
134 Гл. 7. Нелинейные скалярные уравнения и системы
Sj q < 1, q = const) такое, что \f'(x)\ ^ q всюду в U. Тогда отображе-
отображение f(x) сжимающее в U с коэффициентом сжатия q.
Доказательство. По теореме о конечных приращениях Лагран-
жа для любых х', х" из U
где ? — некоторая точка, лежащая между х' и х". Но тогда
1/Ю - f(x')\ = \x" - x'\\f'(O\ ^ Ф" - А- °
2. Случай системы уравнений. Пусть задана система урав-
уравнений
F(x) = 0, F)
причем вектор-функция F(x) определена в некоторой области U про-
пространства Rn, х = {х\,Х2, ...,хп}, и имеет решение х в этой области.
Приведем уравнение F) к равносильному уравнению вида
x = f(x). G)
Это, очевидно, можно сделать многими способами, например, поло-
положив f(x) = х — q(x)F(x), где а(х) — произвольная матричная функ-
функция, определитель которой отличен от нуля всюду в U.
Зададим х0 &U и построим последовательность
х„+1 = f (хп), п = 0,1,... (8)
Будем считать пространство /?п нормированным. Тогда остаются
справедливыми все определения и утверждения теоремы 1, относя-
относящиеся к случаю скалярного уравнения. Нужно только всюду вместо
абсолютной величины (чисел) использовать нормы (векторов).
Признак того, что отображение f: Rn —> Rn является сжимающим,
сформулированный в теореме 2 для скалярной функции, т. е. в случае
п = 1, в общем случае формулируется несколько сложнее.
Область U пространства Rn называется выпуклой, если наряду с
любыми двумя точками а = (ai,a2, —,an), Ъ = (bi,b2,...,bn), принад-
принадлежащими области U, ей принадлежат и все точки отрезка аЬ, содер-
содержащего эти точки, т. е. все точки вида
х = а-М(Ь-а), (9)
где t изменяется от 0 до 1.
Теорема 4. Пусть область U С /?" выпуклая, и пусть компонен-
компоненты fi(x\,X2,—,xn) вектор-функции
{
f\{xl,x2,...,xn),
§2. Метод линеаризации Ньютона 135
имеют равномерно непрерывные производные первого порядка в U. Рас-
Рассмотрим матрицу
df(x) \d
[
dx [dfn/дхг '..'." 'dfn/dx'nl
Если норма этой матрицы при всех х € [/ не превосходит некоторого
числа q (О ^ q < 1), mo отображение f(x) является сжимающим в
области U:
где х', х" — произвольные точки из U.
Доказательства этой теоремы из математического анализа мы не
приводим.
Для вычисления решения х уравнения F(x) — 0 методом простых
итераций (т. е. с помощью равносильного уравнения х = f(x) и по-
последовательности xn+i = f (хп), п = 0,1,...; Хо задано) надо стараться
выбрать это равносильное уравнение так, чтобы отображение / в об-
области U, содержащей решение х, было сжимающим с коэффициентом
сжатия q, как можно более близким к нулю.
§ 2. Метод линеаризации Ньютона
Сначала рассмотрим случай одного уравнения F(x) = 0, а потом —
системы F(x) = 0.
1. Метод линеаризации для одного уравнения. Зададим х0-
Пусть некоторое приближение хп к корню х уравнения F(x) — 0 уже
найдено. Воспользуемся приближенной формулой
F(x) к F(xn) + F'(xn)(x - хп),
точность которой возрастает при приближении х к хп. Вместо исход-
исходного уравнения F(x) = 0 воспользуемся линейным уравнением
F(xn) + F'(xn)(x - хп) = 0.
Решение этого уравнения примем за приближение xn+i:
я„+1 = хп - [F'ixJ^Fixn), п = 0,1,... A)
Метод линеаризации Ньютона допускает простую геометричес-
136
Гл. 7. Нелинейные скалярные уравнения и системы
кую интерпретацию (рис. 14). Криволинейный график функции F(x)
заменяется касательной к нему в
точке (xp,F(xp)). За приближение
xn+i принимается точка пересече-
пересечения этой касательной с осью аб-
абсцисс.
Формулу A) можно интерпрети-
интерпретировать следующим образом. Считая,
что F'(x) ф О, переходим от уравне-
уравнения F(x) = О к равносильному урав-
уравнению
х = /(ж),
f(x)=x-[F'(x)]-lF(x)
и пользуемся простыми итерация-
итерациями. Очевидно, что в точке х, где
F(x) = О,
df/<h\x==i = 0.
Будем считать, что f"(x) непре-
непрерывна. Тогда для каждого 0 < q < 1 найдется (малая) окрестность
точки х, в которой |/'(ж)| ^ <?•
В силу теоремы 3 из § 1 отображение f(x) в этой окрестности
будет сжимающим с этим коэффициентом сжатия q, т. е. тем более
сжимающим, чем меньше окрестность корня х.
В соответствии с этим последовательность A) (т. е. приближе-
приближения, полученные методом линеаризации) будет сходиться к х, если
точку Xq выбрать достаточно близко к х, причем скорость убывания
погрешности \х — хр\ будет быстрее, чем скорость убывания членов
геометрической прогрессии qp, каково бы ни было фиксированное q
@ < q < 1).
2. Метод линеаризации для системы. Рассмотрим систему
Рис. 14
F(x) = 0.
B)
Пусть в некоторой области U есть решение х системы B). Будем
считать, что компоненты Fj(x\,X2,...,xn) (j = 1,2,...) функций, со-
составляющих вектор-функцию F(x), являются достаточно гладкими
функциями.
Пусть приближение х„ к решению уже найдено. Воспользуемся
приближенной формулой
F(x) и F(xn)
dx
(х - xn)
§ 2. Метод линеаризации Ньютона 137
и вместо уравнения B) рассмотрим линейную систему уравнений
dP(x)
F(xp)
(x-xn)=0. C)
Решение этой системы примем за хр+1.
Очевидно, что xp+i выражается формулой
однако фактически решение линейной системы C) можно искать од-
одним из изложенных выше способов решения систем линейных урав-
уравнений (методы Гаусса и другие).
Для реализуемости метода Ньютона надо предполагать, что мат-
матрица dF(x)/dx в точке х = х невырожденна, так что [dF(x)/dx]''1 су-
существует. В силу непрерывности она невырожденна и в малой окрест-
окрестности точки х.
Как и в случае одного уравнения, можно считать, что мы перешли
от B) к равносильному уравнению
х = f (х),
причем
[^l]F(x), E)
а затем воспользовались методом простых итераций. Можно прове-
проверить, что матрица ttf(x)/dx в точке х есть нулевая матрица. Поэто-
Поэтому, как и в случае одного уравнения, отображение f(x), задаваемое
формулой E), является сжимающим в окрестности точки х с коэф-
коэффициентом сжатия q, который тем ближе к нулю, чем меньше эта
окрестность.
Доказательство аналогично случаю одного уравнения, но вместо
теоремы 2 из § 1 опирается на теорему 3 из § 1 и более громоздко. В
силу теоремы 4 из § 1 при выборе х0 из достаточно малой окрестности
решения х процесс последовательных приближений D) сходится и
скорость убывания погрешности быстрее геометрической прогрессии
<р, как бы ни было мало фиксированное q (О < q < 1).
Задачи
1*. Пусть уравнение F(x) = 0 имеет корень ж на отрезке [а,Ь], при-
причем на этом отрезке функция имеет ограниченную вторую производную,
a F*(x) > 0.
Доказать, что погрешности |х — а;р| приближений хр, полученные мето-
методом Ньютона, удовлетворяют оценкам
если только нулевое приближение хо выбрано достаточно близко к х.
138 Гл. 7. Нелинейные скалярные уравнения и системы
2. Указать алгоритм для вычисления \/5 с заданным числом верных
десятичных знаков, рассматривая \/5 как решение уравнения х2 — 5 = 0.
Воспользоваться методом Ньютона. Показать, что метод Ньютона сходится
при произвольном выборе хо > 0.
3. Пусть графики некоторых заданных дифференцируемых функций
у = <р(х), у = il>(x) построены на плоскости Оху и пересекаются в некоторой
точке х = х. Для отыскания корня х уравнения F(x) = <р(х) — ip(x) — 0
предполагается воспользоваться методом Ньютона. Пусть приближение хр
уже найдено и отмечено на оси абсцисс.
а) Построить следующее приближение хр+\ метода Ньютона, указав
точку хр+1 на оси абсцисс.
б) Пусть графики у — <р(х), у = ф(х) направлены один выпуклостью
вверх, а другой — выпуклостью вниз. Показать, что тогда метод Ньютона
сходится для любого хо > х.
4. Указать алгоритмы для вычисления вещественных решений следу-
следующих систем скалярных уравнений и вычислить решения, получив резуль-
результаты с пятью верными знаками:
a) sinx — у =.1,30, cos у — х = —0,84;
6)x2+4j/2 = l, x4+y4 = 0,5.
5. Для численного решения краевой задачи
0-j/3=x2, O^x^l, 3/@) = 1, j/(l) = 3,
на отрезке 0 SJ х ^ 1 введена сетка Xk = k/N (к = 0,1,..., N), а для неиз-
неизвестных у к = у(хк) составлена разностная схема
Ук+1 — 23/fc + Vk-\ 3 /uh\2 и — 1 о кг 1
^2 Ук = (кп), к = 1,2, ...,7V- 1,
J/o = 1, yN = 3, h = 1/N.
Для решения этой системы (N + 1)-го нелинейного уравнения относительно
того же числа неизвестных j/o,J/i,..., j/jv воспользоваться методом Ньютона.
а) Примем за начальное приближение у^ = {t/J, ',y[ ,—,yN} функцию
у^ = 1 +2(kh) (к = 0,1,..., N), определенную на сетке Хк и удовлетво-
удовлетворяющую поставленным краевым условиям t/o = 1,2/лг = 3. Построить
линейную систему метода Ньютона для отыскания по уже найденному при-
приближению t/p* = {ук } поправки е'р' = {ек } Для получения следующего
приближения:
ЫL)
б) Показать, что линейную систему уравнений для поправки е'р'
Ji>) _ 9_(р) , Ь)
4Р) = 4Р) = о,
можно решить методом прогонки.
в) Составить программу для вычисления методом Ньютона решения ис-
исходной краевой задачи на компьютере и найти таблицу значений решения,
подобрав с помощью экспериментальных расчетов число N и число ите-
итераций так, чтобы таблица t/p' = {ук } имела четыре верных десятичных
знака.
ЧАСТЬ III
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Самыми распространенными методами вычисления решений за-
задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с
частными производными являются метод конечных разностей и его
модификации. Во всех вариантах этого метода в области определе-
определения искомых функций вводится сетка и решение ищется на сетке.
Для значений искомой сеточной функции строится система скаляр-
скалярных уравнений, решение которой и служит приближенной таблицей
значений решения исходной задачи.
Простейший способ построения этой системы скалярных уравне-
уравнений — разностной схемы — состоит в приближенной замене произ-
производных, входящих в дифференциальное уравнение и в краевые усло-
условия, разностными отношениями, чем и объясняется название метода.
ГЛАВА 8
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть на некотором отрезке а ^ х ^ Ь задано обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение (или система уравнений) и требуется найти
решение этого уравнения, удовлетворяющее дополнительным началь-
начальным или краевым условиям.
§ 1. Примеры разностных схем. Сходимость
Будем записывать краевые задачи символическим равенством
Lu = /. A)
Приведем примеры таких задач.
Пример задачи с начальными условиями для обыкновенного диф-
140 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
ференциального уравнения первого порядка:
Пример задачи с начальными условиями для дифференциального
уравнения второго порядка:
„(О) = 2, du
= 1.
x=0
dx
Пример задачи с краевыми условиями, поставленными в начале
х = 0 и в конце х — 1 отрезка:
Пример задачи с начальными условиями для системы двух урав-
уравнений первого порядка:
^ + xvw = х2 - Зх + 1, 0 ^ х ^ 1,
ах
dx ' l + z2V
v@) = 1, w@) = -3.
Решением этой задачи является вектор-функция и = (v,w), компо-
компоненты которой удовлетворяют равенствам E).
Во всех примерах мы рассматриваем задачу на отрезке D = {0 ^
$J х ^ 1}, а не на каком-либо другом только для определенности.
1. Примеры разностных схем. Будем предполагать, что реше-
решение и(х) задачи A) на отрезке 0 ^ х ^ 1 существует. Для вычисления
этого решения с помощью метода конечных разностей (или метода се-
сеток) надо прежде всего выбрать на отрезке D конечное число точек,
совокупность которых будем называть сеткой и обозначать через
Юн, а затем считать искомым не решение и(х) задачи A), а табли-
таблицу [u]h значений этого решения в точках сетки D/,. Предполагается,
что сетка D/, зависит от параметра h, который может принимать
сколь угодно малые положительные значения. При стремлении ша-
шага сетки h к нулю сетка должна становиться все гуще. Например,
можно положить h — 1/JV, где N — какое-нибудь натуральное число,
и принять за сетку D/, совокупность точек х0 = 0, х\ = h, x2 = 2ft,
..., хц = 1. Искомая сеточная функция [и]/, в этом случае в точке хп
сетки принимает значение, которое будем обозначать ип.
Для приближенного вычисления таблицы значений решения [и]д в
случае задачи B) можно воспользоваться, например, системой урав-
уравнений
t^i - «п. + ^n=COSXnt n = O,l,...,iV-l, «о=3, F)
§1. Примеры разностных схем. Сходимость 141
полученной в результате замены производной du/dx в точках сетки
разностными отношениями по приближенной формуле
dv. ^ u(x + 7i) — u(x)
dx ~ h
Решение и^ = (uoh\u[ ,...,и# ) системы F) определено на той же
сетке Dh, что и искомая сеточная функция [u]h- Его значения щ ,
щ ',..., uN в точках хо,х\,...,хлг последовательно вычисляются из
системы F) при п = 0,1,..., JV — 1. Для краткости в уравнениях F) мы
не пишем значок h при Un '. Как правило, мы будем так же поступать
в аналогичных случаях и в дальнейшем.
В случае задачи D) для отыскания сеточной функции u^h\ при-
приближенно совпадающей с искомой таблицей решения [u]h, можно вос-
воспользоваться разностной схемой
?г I1 + хп) "п = Vxn
uo = 2, uN = l, n = l,2,...,N-l.
Эта схема возникает в результате замены в точках сетки производной
d^u/dx2, входящей в дифференциальное уравнение, по приближенной
формуле
d2u ц(х + h) - 2ц(х) + ц(х - h) (рл
dx2 ~ Л2 " К '
Для вычисления решения и^ этой задачи можно воспользоваться
алгоритмом исключения (прогонки), описанным в § 4 гл. 4.
Выпишем еще разностную схему, пригодную для вычисления ре-
решения задачи E):
Здесь uoh) = [j?
можно найти щ ' =
.*¦ („я + Wn) = cos2 яя, n = 0,l,...,N-l, (9)
1 + х„
v0 = 1, ги0 = -3.
„ задано. При п = 0 из уравнений (9)
.~rfJ
. Вообще, зная м* = * (А; = 0,1, ...,п),
wk
= \
можно при к = п вычислить un+i
В рассмотренных примерах сетка Dh состоит из удаленных друг
от друга на расстояние h точек. Ясно, что можно было бы располо-
расположить N + 1 точек сетки Dh (h = 1/N) на отрезке [0,1] не равномерно,
а так, чтобы выполнялись условия
Хо = 0, х\ = хо + Tio, X2 = ah + hi, ..., xn+i = xn + hn, ..., а;дг = 1,
142 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
где hn > 0 (п — 0,1,..., N — 1) — неравные между собой числа, одна-
однако такие, что max7in —> 0 при N —t oo. Выбором расположения узлов
п
сетки Dh можно добиться того, чтобы искомая таблица [u]h решения
и(х) была подробнее при данном фиксированном N (или h = N~x)
на тех участках, где и(х) более быстро изменяется. Такие участки
иногда бывают заранее известны из физики или из предварительных
грубых расчетов. Информация о скорости изменения и(х) выявляет-
выявляется также в ходе последовательного вычисления Ui,ii2,...,un и может
быть учтена при выборе следующего узла сетки ?n+i-
Мы ограничимся приведенными примерами для иллюстрации по-
понятия сетки и искомой сеточной функции (или вектор-функции) —
таблицы значений решения [u]h-
Мы ставим вопрос о вычислении сеточной функции и^ потому,
что при измельчении сетки, т. е. при /г —>¦ 0, она является все более
подробной таблицей искомого решения и(х) и дает о нем все более
полное представление. Пользуясь интерполяцией, можно было бы с
возрастающей при h -»• 0 точностью восстановить решение и всюду
в области D. Ясно, что точность, с которой это можно сделать при
заданных фиксированном числе и расположении узлов сетки Dh, за-
зависит от дополнительно известных сведений о решении типа оценок
для его производных, а также от расположения узлов сетки.
Ограничимся этими беглыми замечаниями о восстановлении функ-
функции и по ее таблице и^. Подробное рассмотрение вопросов восстанов-
восстановления функции по ее таблице составляет предмет теории интерполя-
интерполяции. Мы будем заниматься только задачей вычисления таблицы u^h\
Поэтому условимся считать, что задача A) решена точно, если найде-
найдена сеточная функция [и]д. Однако нам не удастся вычислить ее точно.
Вместо сеточной функции [и]ь будем искать другую сеточную функ-
функцию v,(h\ которая сходится к [u]h при измельчении сетки. Для этой
цели можно использовать разностные уравнения.
2. Сходящиеся разностные схемы. Способами построения и
исследования сходящихся разностных схем мы будем заниматься на
протяжении всей главы. Однако прежде надо придать точный смысл
самому требованию сходимости и^ -> [u]h, которое мы будем предъ-
предъявлять к разностным схемам. Для этого рассмотрим линейное норми-
нормированное пространство функций, определенных на сетке ?>д. Норма
||u^||i/h сеточной функции и^ ? f/д есть неотрицательное число, ко-
которое принимается за меру отклонения функции и^ от тождествен-
тождественного нуля.
Норма может быть определена различными способами. Можно, на-
например, принять за норму функции точную верхнюю грань модуля
ее значений в точках сетки, положив
(Ю)
§1. Примеры разностных схем. Сходимость 143
Если и^ = \ к \ (к = О,1,..., N), как в (9), то за норму, аналогич-
lWk\
ную A0), можно принять верхнюю грань модулей обеих функций Vk,
wk на соответствующей им сетке.
Если v,(h) состоит из функций, определенных на сетке хп = nh (n =
= 0,1, ...,N), то часто.используют норму, определенную равенством
71=0
Эта норма аналогична норме
о
для функций и(х) с интегрируемым на отрезке 0 ^ х ^ 1 квадратом.
Всюду, где не оговорено противное, мы будем пользоваться нор-
нормой A0).
После того как введено нормированное пространство l/д, приобре-
приобретает смысл понятие отклонения одной функции от другой. Если a^h\
&С0 — произвольные сеточные функции из ?/д, то мерой их отклоне-
отклонения друг от друга считается норма их разности, т. е. число
Теперь можно перейти к строгому определению сходящейся разност-
разностной схемы.
Пусть для приближенного вычисления решения дифференциаль-
дифференциальной краевой задачи A), т. е. для приближенного вычисления сеточной
функции [u]h, на основе использования равенства A), составлена неко-
некоторая система уравнений, которую будем символически записывать
аналогично уравнению A) в форме равенства
LhUM = fW. A1)
Примерами могут служить разностные схемы F), G), (9) для диф-
дифференциальных краевых задач B), D), E) соответственно. Для записи
схемы F) в форме A1) можно положить
{n+i п nh
—
u0,
_( cos nh, n— O,1,...,N—1,
I3-
Схема G) запишется в форме A1), если принять
" ?±25Li! + [1 _ (nhJ]un, n = l,2,...,N-l,
t.uW — i ir
bhu - \ Uq,
.UN,
144 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
j \/l+ nh, n = l,2,...,N-l,
Запишем еще в виде A1) схему (9), приняв
vo,
(nhJ-Snh+l, n = O,l,...,N -1,
j(h) = ^ cos2 nh, ra = 0,l,...,iV-l,
-3.
Система A1), как видим, зависит от h и должна быть выписана
для всех тех h, для которых рассматриваются сетка ?>д и сеточная
функция [и]^. Таким образом, разностная краевая задача A1) — это
не одна система, а семейство систем, зависящих от параметра h. Бу-
Будем предполагать, что при каждом рассматриваемом достаточно ма-
малом h существует решение и^ задачи A1), принадлежащее простран-
пространству Uh.
Будем говорить, что решение и^ разностной краевой задачи A1)
при измельчении сетки сходится к решению дифференциальной крае-
краевой задачи A), если
, -)¦ 0, h -)¦ 0. A2)
Если сверх того выполнено неравенство
\\[u]h — г/^Цг/ ^chk, A3)
где с > 0, к > 0 — некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем
говорить, что имеет место сходимость порядка hk или что разностная
схема имеет k-й порядок точности.
Обладание свойством сходимости является фундаментальным тре-
требованием, которое предъявляется к разностной схеме A1) для числен-
численного решения дифференциальной краевой задачи A). Если оно имеет
место, то с помощью разностной схемы A1) можно вычислить реше-
решение [u]h с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого h
достаточно малым. Мы точно сформулировали понятие сходимости
§1. Примеры разностных схем. Сходимость 145
и подошли к центральному вопросу о том, как построить сходящую-
сходящуюся разностную схему A1) для вычисления решения дифференциаль-
дифференциальной краевой задачи A). Приведенные выше примеры схем дополняют
рассмотренные в § 1 и дают представление о простейшем способе
построения таких схем: следует выбрать сетку и заменить производ-
производные разностными отношениями. Однако для одной и той же диффе-
дифференциальной краевой задачи можно получить различные разностные
схемы A1), по-разному выбирая сетку Г>д и по-разному заменяя про-
производные приближающими их разностными отношениями.
3. Проверка сходимости разностной схемы. Не будем по-
пока заниматься построением разностных схем и поставим задачу не-
несколько иначе. Пусть разностная схема L^u^ = f^h\ позволяющая
надеяться, что сходимость
IN/. - u(h)lk -> о, h -ю,
имеет место, на основании тех или иных соображений уже построена.
Как проверить, является ли она в самом деле сходящейся?
Предположим, что разностная задача A1) имеет единственное ре-
решение цМ. Если бы при подстановке в левую часть A1) вместо и^
сеточной функции [u]h равенство A1) оказалось в точности выполнен-
выполненным, то в силу единственности решения имело бы место равенство
цСО = [u]h, идеальное с точки зрения сходимости. Это означало бы,
что решение и^ разностной задачи LhuW — fW совпадает с иско-
искомой сеточной функцией [и]ь, которую мы условились считать точным
решением.
Однако, как правило, систему A1) не удается выбрать так, чтобы
[и]^ в точности ей удовлетворяла. При подстановке [и]д в уравнение
A1) возникает некоторая невязка:
Lh[u]h = /(fc)+*/(fc). A4)
Если эта невязка Sf^ стремится к нулю при h —> 0, так что [и]ь
удовлетворяет уравнению A1) все точнее, то будем говорить, что
разностная схема L^u^ = f^ аппроксимирует дифференциальную
краевую задачу Lu =. / на решении и последней.
В случае аппроксимации можно считать, что уравнение A4), кото-
которому удовлетворяет [u]h, получается из уравнения A1) путем прибав-
прибавления некоторой малой (при малом h) добавки <5/'h) к правой части
/С1). Следовательно, если решение и^ задачи A1) устойчиво отно-
относительно возмущения правой части f(h\ т. е. мало изменяется при
малом изменении правой части, то решение и^ задачи A1) и реше-
решение [u]h задачи A4) различаются мало, так что из аппроксимации
$f(h) —> о следует сходимость
u{h) -> [u]h, h -> 0.
10 B.C. Рябенький
14G Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Намеченный нами путь проверки сходимости A2) состоит в том,
чтобы разбить этот трудный вопрос на два более простых: сначала
проверить, имеет ли место аппроксимация задачи A) задачей A1),
а затем выяснить, устойчива ли задача A1). В этом содержится и
указание на способы построения сходящихся разностных схем для
численного решения задачи A): надо строить аппроксимирующую ее
разностную схему; из многих возможных способов аппроксимации
надо выбирать такие, при которых разностные схемы оказываются
устойчивыми.
Изложенный общий план исследования сходимости, естественно,
предполагает, что введены математически строгие понятия аппрок-
аппроксимации и устойчивости, позволяющие доказать теорему о том, что
из аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Намеченные
выше определения аппроксимации и устойчивости не являются стро-
строгими. Для определения аппроксимации надо еще уточнить, что та-
такое невязка Sf^ в общем случае и что такое ее величина, а для
определения устойчивости — придать точный смысл словам "малому
возмущению правой части соответствует малое возмущение решения
разностной задачи LhU^ = f^n. Строгим определениям понятий ап-
аппроксимации и устойчивости мы посвятим отдельные параграфы.
§ 2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи
разностной схемой
1. Невязка Sf^hK Придадим точный смысл понятию аппрокси-
аппроксимации дифференциальной краевой задачи A) из § 1
Lu = / A)
на решении и этой задачи разностной схемой A1) из § 1
B)
Для этого надо уточнить, что такое невязка Sf^ в следующем ра-
равенстве:
Lh[u]H = flh)+6fW, C)
возникающая при подстановке сеточной функции [и]д — таблицы ис-
искомого решения и(х) — в уравнение B), а также, что такое ее вели-
величина. Стремление величины невязки Sf^ к нулю при h -»• 0 мы и
примем затем за определение аппроксимации.
Начнем с рассмотрения примера разностной схемы для численного
решения дифференциальной краевой задачи
0<ж<1,
i*@) = 1, и'(О) = 2.
§2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи
147
За сетку Dh по-прежнему примем совокупность точек хп — nh (n =
= 0,1, ...,N). В качестве разностной схемы для приближенного вы-
вычисления [v\h воспользуемся совокупностью равенств
+ Un-l
+ a(xn) 2h
n=l,2,...,N-l,
"о = 1, —г— = 2,
г O(Xn)Un —
E)
возникающей при замене производных в D) по приближенным фор-
формулам
сРи(х) и(х + h)- 2и(х) + ц(х - h)
F)
du(x) w(x + h) — u(x — h)
_____ „ _ >
dx h
Разностная схема E) записывается в форме B), если обозначить
Ь a(nh)
щ — ад
h '
{cosnh, n = l,2,...,N—l,
2.
Для вычисления и оценки величины невязки 6f(h), возникающей
при подстановке [и]ь в уравнение B), уточним формулы F). По фор-
формуле Тейлора имеем
h2 h3
и(х + К) = и(х) + hu'(x) + — и"(х) + — u'"(?i),
и(х — К) = и(х) — hu'(x) + — и"(х) —— и"'(^2),
и(х + h) = и(х) + hu'(x) + ^ и"(х) + ^ и'"(х) + ^ и{4)(Ь), G)
и(х -h)= и(х) - hu'(x) + у и"{х) - |j- и'"{х) + ~ ui4)(U),
и(х + h) = и(х) + hu'(x) + — и"(?5).
Здесь ^i, ^2, ^з> ^4, ^5 — некоторые промежуточные точки отрезка
10*
148
Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
[х — h,х + h]. Отсюда
12 l
' 24
2. Вычисление невязки. Будем считать, что решение и(х) за-
задачи D) имеет ограниченные производные до четвертого порядка. В
силу формул (8) можно написать
ГЬ
ь{х) и{х)
, ,2Ы
24
?j G [x — h, x + /i].
Поэтому выражение
' w(xn + ft) — 2u(xn) •
— h)
h2
+
+ о(Яп)
u@),
u(h) - ц(
можно переписать так:
cos х„ +1
1 + 0,
2 + h-
или
где
0,
цC)(б)+(Ы1
12 J'
п = 1,2, ...,7V-1,
I
J.
§2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи 149
Удобно считать, что f^h\ S^ принадлежат линейному нормиро-
нормированному пространству Fh, которое состоит из элементов вида
(
= \
fn, ,,,,
ifo, (Ю)
i,
где (pi,(p2,~;4>N—i, a также фо, ^i — произвольная упорядоченная
система чисел; можно считать, что д^ — это совокупность сеточ-
сеточной функции фп (п = 1) 2,..., N — 1) и упорядоченной пары чисел фо,
V>i- Сложение двух элементов пространства Fh и умножение элемен-
элементов д^ на числа производятся покомпонентно. Ясно, что в рассмат-
рассматриваемом примере Fh есть (N + 1)-мерное линейное пространство.
Норма в Fh может быть введена многими способами. Если ввести в
Fh норму равенством
т. е. принять за норму максимум абсолютных величин всех компо-
компонент вектора g(h\ то в силу (9) получим
Н«/(ЛI1л^сЛ, A1)
где с — некоторая постоянная, зависящая от и(х), но не зависящая
от h. Из этого неравенства следует стремление невязки SfW к нулю
при h -»• 0.
В уравнении L^vS1^ — f^hK подробно записанном равенствами E),
которое мы рассмотрели в качестве примера, на Ьд можно смотреть
как на оператор. Этот оператор каждой сеточной функции v^ = {г>п}
(тг = 0,1,..., N) из линейного пространства Uh функций, определенных
на сетке Dh, ставит в соответствие некоторый элемент д^ вида A0)
из линейного пространства Fh по формуле
+ <хп) + b{Xn)Vn>
V\ — VQ
h
Условимся и в общем случае разностной краевой задачи B) счи-
считать, что правые части тех скалярных уравнений, которые в совокуп-
совокупности записаны символическим равенством
являются компонентами вектора /^ из некоторого линейного нор-
нормированного пространства Fh- Тогда на Lh можно смотреть как на
оператор, ставящий в соответствие каждой сеточной функции и^
150 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
из 17д некоторый элемент fW из Рд. В таком случае имеет смысл
выражение L^M/i, возникающее в результате применения оператора
Lh к сеточной функции [и]д из ?/д и являющееся элементом простран-
пространства Fh. Невязка Sf^ = Lh\u\h — /^ принадлежит пространству Fh
как разность двух элементов этого пространства. Под величиной не-
невязки следует понимать ||5/^||i?fc.
3. Аппроксимация порядка hk.
Определение. Будем говорить, что разностная схема LhvSh) =
= /С1) аппроксимирует задачу Lu = f на решении и, если
—> 0 при h —> 0. Если сверх того имеет место неравенство
где с > 0, к > 0 — некоторые постоянные, то будем говорить, что
имеет место аппроксимация порядка hk или порядка к относительно
величины h.
То обстоятельство, что и является решением задачи A), дает
информацию о функции и, которую можно использовать для построе-
построения системы B), а также для проверки факта аппроксимации. Поэто-
Поэтому в определении аппроксимации мы и упоминаем задачу A). Одна-
Однако подчеркнем, что приведенное определение аппроксимации задачи
Lu = / на решении и разностной схемой L^u^ = f^ само по се-
себе не опирается на равенство Lu = / для функции и. Можно было
бы говорить просто о том, что схема L^vS*1' = /W соответствует с
порядком hk функции и, не вникая в происхождение этой функции.
В частности, если функция и является одновременно решением двух
совсем различных задач вида A), то одна и та же разностная схема
LhU^ = /С1) одновременно аппроксимирует или не аппроксимирует
каждую из этих задач на их общем решении и(х).
4. Примеры.
Пример 1. Разностная схема E) в силу оценки A1) аппрокси-
аппроксимирует задачу D) с первым порядком относительно h. Разностную
схему E) легко усовершенствовать так, чтобы аппроксимация стала
порядка /г2. Для этого заметим, что все компоненты вектора 6f(h\
кроме последней, стремятся к нулю, как h2 (предпоследняя даже в
точности равна нулю). Только последняя компонента вектора Sf^h\
т. е. невязка от подстановки и(х) в последнее уравнение (щ — uo)/h =
= 2 системы E), стремится к нулю медленнее, а именно как первая
степень h. Это досадное обстоятельство легко устранить.
По формуле Тейлора
"(/V@) = «'@) + \ ""@) + % и'"(О = 2 + \ «"(О) + % и'"(О,
0 < { < h.
§2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи 151
Но из дифференциального уравнения D) находим
и"@) = -а@)и'@) - Ь@)и{0) + cos 0 = -2а@) - 6@) + 1.
Поэтому, заменив последнее равенство E) равенством
= 2-?[2а@)+Ь@)-1], A2)
h 2
получим для /С1) вместо G) выражение
cosxn,
/СО = I 1.
Тогда окажется, что
О,
Ли'"{0'
ch2, где с — некоторая постоянная, не зависящая от h.
Порядок аппроксимации станет вторым относительно h.
Подчеркнем, что для построения разностного граничного усло-
условия A2) мы использовали не только граничные условия задачи D),
но и само дифференциальное уравнение. Можно считать, что мы ис-
использовали граничное условие
и"(х) + а(х)и'{х) + Ъ(х)и(х)\х=0 = со8х|г=0,
которое является следствием дифференциального уравнения.
Пример 2. Выясним, каков порядок аппроксимации, которым
обладает разностная схема
Мл+1 — Щг-1 _ .. . _ _
A3)
на решении и задачи
^ + Аи = 1 + х2, и@) = Ь. A4)
Роль /СО здесь играет
1+х2п, п = 1,2,...,ЛГ-1,
152
Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Далее,
или
u(h),
n =
«@),
Поскольку для решения и(х) выполнено равенство
то невязка 6f(h) имеет вид
«
Аппроксимация задачи A4) схемой A3) имеет первый относитель-
относительно h порядок. Бросается в глаза, что компоненты невязки, как и в
примере 1, имеют различные порядки относительно h. Разностное
уравнение
Un+1-Un-i , л.. _ 1 , _2 1 л ., т
2/г "'
h2
при подстановке [u]h удовлетворяется с невязкой -^-w"(
A5)
поряд-
порядка Y?. Первое граничное условие иа = Ь при подстановке [и]ь выпол-
выполнено точно, а второе условие щ = Ь — с невязкой hu'(?o) порядка
первой степени h.
5. Замена производных разностными отношениями. В рас-
рассмотренных примерах для получения разностных схем мы заменяли
производные в дифференциальном уравнении разностными отноше-
отношениями. Этот прием универсален и позволяет построить для любой
дифференциальной краевой задачи, имеющей достаточно гладкое ре-
решение и(х), разностную схему с любым наперед заданным порядком
аппроксимации.
6. Другие способы построения разностных схем. Замена
производных разностными отношениями не единственный, а часто и
не лучший способ построения разностных схем. Некоторым другим
способам, приводящим к наиболее употребительным разностным схе-
схемам, будет посвящен § 4. Здесь ограничимся примером.
§3. Определение устойчивости разностной схемы 153
Простейшая разностная схема
~Un -G(xn,un)=0, n = O,l,...,N-l,
{un+i -
uq-cl,
Nh= 1,
называемая схемой Эйлера, аппроксимирует задачу
^-G(x,y)=0, O^x^l, «@) = a A6)
с первым порядном относительно h. При известном ип значение tin+i
вычисляется по формуле «п+1 = ип + hG(xn,un). Схема
г — — [Gr^Xnj Уп) ' Сг (Хп_(_1,11)\ == U,
/I 2
и0 = а,
где 57 = ип + hG(xn, "п)> называется схемой Эйлера с пересчета/ч. Она
же является одной из схем Рунге-Кутта второго порядка аппрокси-
аппроксимации, о которых будет подробно рассказано в § 4. Если ип уже вы-
вычислено, то по схеме Эйлера вычисляем значение
а потом осуществляем уточнение найденного и, полагая
»п+1 = «n + g [G(xn,Un) + G(xn+i,u)].
На практике вычисление решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений без особенностей обычно производит-
производится по одной-двум довольно универсальным, хорошо апробированным
схемам, для которых на современных компьютерах имеются стан-
стандартные программы.
Если приходится с очень большой точностью решать задачи специ-
специального вида, то применяются многочисленные специальные схемы,
приспособленные именно для этих задач, но уступающие универсаль-
универсальным схемам при решении другого круга задач.
Задачи
1. Проверить, что схема Эйлера с пересчетом аппроксимирует зада-
задачу A6) на гладком решении и(х) со вторым относительно h порядком.
2. Усовершенствовать второе начальное условие щ = Ь в схеме A3) так,
чтобы схема стала аппроксимировать с порядком Л2.
154 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 3. Определение устойчивости разностной схемы.
Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости
, Выше мы построили ряд разностных схем, аппроксимирующих не-
некоторые краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Можно показать, что эти схемы являются сходящимися, при-
причем порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.
Однако можно сконструировать примеры аппроксимирующих, но
не сходящихся разностных схем. Легко проверить, что разностная
схема
аппроксимирует задачу Коши
ах
и@) = b, A — const,
на решении и с первым порядком относительно h. Однако решение iSh\
доставляемое этой разностной схемой, не бтремится к [и]/, и даже не
остается ограниченным при h —> 0.
Действительно, общее решение этого разностного уравнения име-
имеет вид
где qi, Q2 — корни квадратного уравнения q2 — C -I- Ah)q + 2 = 0.
Выбирая произвольные постоянные так, чтобы получить частное ре-
решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получаем
формулу
«п = Щ \-2— q? - -2- d + Щ Г - -JL_ qn
L</2 — gi 92 — 91 J L Q2- gi l
92 - gi
Анализ этой формулы показывает, что max |un| -> 00 при h -> 0.
Таким образом, аппроксимации, вообще говоря, недостаточно для
сходимости. Нужна еще устойчивость.
1. Определение устойчивости. Пусть для приближенного вы-
вычисления решения и дифференциальной краевой задачи
Ы = / A)
составлена разностная схема
W» =/<">, B)
§3. Определение устойчивости разностной схемы 155
которая аппроксимирует задачу A) на решении и с некоторым поряд-
порядком hk. Это значит, что невязка 6f^:
Lh[u]h = fW+6fth\ C)
возникающая при подстановке таблицы [u]h решения и в уравне-
уравнение B), удовлетворяет оценке вида
ll«/(fc)lk?c,/ifc, D)
где с — некоторая постоянная, не зависящая от h.
Определение 1. Будем называть разностную схему B) устой-
устойчивой, если существуют числа ho > 0,6 > О такие, что при любом
h < ho и любом e(/l) 6 Fh, ||e(ft)||Fh < 6, разностная задача
полученная из задачи B) добавлением к правой части возмуще-
возмущения еС*), имеет одно и только одно решение z^h\ причем это решение
отклоняется от решения и^ невозмущенной задачи B) на сеточную
функцию z^ — и^, удовлетворяющую оценке
\\zW-uW\\Uh$c\\eW\\Fh, F)
где с — некоторая постоянная, не зависящая от h.
В частности, неравенство E) означает, что малое возмущение е^
правой части разностной схемы B) вызывает равномерно относитель-
относительно h малое возмущение z^ — u^ решения.
Пусть оператор L/,, отображающий Uh в F/,, линейный. Тогда при-
приведенное выше определение устойчивости равносильно следующему
определению.
Определение 2. Будем называть разностную схему B) с линей-
линейным оператором Lh устойчивой, если при любом /'ft) б Fh уравнение
LhU^ = /('') имеет единственное решение и^ 6 Uh, причем
11«(ЛIк^с||/^|к, G)
где с — некоторая постоянная, не зависящая от h.
Докажем равносильность обоих определений устойчивости в слу-
случае линейного оператора.
Сначала установим, что из устойчивости разностной схемы B) в
смысле определения 2 следует устойчивость в смысле определения 1.
Пусть линейная задача B) при всех рассматриваемых ho > 0 и про-
произвольном f(h) 6 Fh имеет единственное решение, причем выполнена
оценка G). Вычитая из равенства G) равенство B), получаем
156 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
откуда в силу G) следует оценка F) при произвольном е^ Е F^, a
значит, и устойчивость в смысле определения 1.
Покажем теперь, что устойчивость в смысле определения 1 влечет
за собой устойчивость в смысле определения 2. В силу определения 1
при некоторых ho > 0, 6 > 0 и при произвольных h < ho, e^ Е Fh,
^ 6, существуют и единственны решения уравнений
Положим u/ft) = z^ — г№ и вычтем эти равенства почленно. Полу-
Получим
LhWW=eW,
причем в силу F)
\\
Очевидно, что, изменив обозначения решения и правой части уравне-
уравнения LhW^ — e(h\ последний результат можно сформулировать так:
при произвольных h < ho, /(/l) E Fh, ||/(/l)||Fh < 6, задача B) име-
имеет единственное решение iSh\ Это решение удовлетворяет оценке
G). Однако в таком случае уравнение B) имеет единственное реше-
решение i№ и выполнена оценка G) не только для всех f(h\ удовлетворя-
удовлетворяющих оценке Н/^Н^,, < S, но и вообще для всех f^ E F^, т. е. имеет
место устойчивость в смысле определения 2.
В самом деле, пусть ||/^||f,, > <5- Докажем однозначную разреши-
разрешимость и оценку G) в этом случае. Положим
Для й^ получим уравнение
причем
f
Поэтому уравнение LhvSh^ = f однозначно разрешимо, причем
В силу формул, устанавливающих связь между и^ и u(h\ а также
между /(ft) и f(h\ отсюда следует однозначная разрешимость зада-
задачи B) и справедливость оценки G) при произвольном рассматривае-
рассматриваемом /<ft) E Fh-
2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью и
сходимостью. Докажем теперь, что из аппроксимации и устойчи-
устойчивости следует сходимость.
Определение устойчивости разностной схемы 157
Теорема 1. Пусть разностная схема Lhi№ = f^ аппроксими-
аппроксимирует задачу Lu = f на решении с порядком hk и устойчива. Тогда
решение и^ разностной задачи L^vS^ — /W сходится к [и]^, причем
имеет место оценка
(8)
где с, ci — числа, входящие в оценки C), E).
Доказательство. Положим е^ = 6fW, [ii\h = z^hh Тогда оцен-
оценка E) примет вид
Учитывая C), сразу получаем доказываемое неравенство G). ?
В качестве иллюстрирующего примера докажем устойчивость раз-
разностной схемы Эйлера
Un+1~Un-G(xn,un)=<pn, n = 0,l,...,N-l, (g)
и0 = ¦ф,
хп — nh, h — l/N, для численного решения дифференциальной краевой
задачи
-^ - G(x, у)и = <р(х), 0 ^ х ^ 1,
Будем предполагать функцию G(x,u) двух аргументов и функ-
функцию tp(x) такими, что существует решение и(х), имеющее ограни-
ограниченную вторую производную. Кроме того, будем считать, что G(x, и)
имеет ограниченную производную по и:
\dG/du\ < М. A1)
Положим ||/(ft)||Ffc =тах{|^|,шах|^(ж„)|}.
Читателю рекомендуется проверить, что разностная схема (9) ап-
аппроксимирует задачу A0) на решении и(х) с первым относительно
h порядком. (Разностное уравнение соответствует задаче с первым
порядком, а граничное условие uq =ф точно.)
Определим норму
ll«{b)llt/fc =шах|«„|
п
и займемся проверкой устойчивости разностной схемы (9). Запишем
ее в форме B), положив
Ah) _ / f{xn), n = 0,l,...,7V-l,
158 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задача
в подробной записи имеет вид
Zn-G(xn,zn) = <p{xn)+e
z0 = гр + е,
где
Л*)
= Геп, n = 0,l,...,N-l,
Вычтем из уравнений A2) соответствующие уравнения (9) по-
почленно. Обозначим zn — ип = wn и учтем, что
G(xn, zn) - G(xn, un) =
где ^n — некоторое число, заключенное между числами zn и wn.
Получим следующую систему уравнений для определения u/ft) = {wq,
}
Wn+1~ Wn - Mkh)wn = en, n =
wo = e.
Учитывая, что \М„ \ < M в силу A1) и что nh ^ 1, получаем
= 1A + hM^)wn + hen\ ^ A + Mh)\wn\ + h\en\ ^
< A + MhJ K_, | + h(l + МЛ)|еп_, I + h \en\ ^
^ A + M/iJ K_,| + 2/гA
(n + 1) /i(l + M/i)n |
^ 2A + M/inie^lU ^ 2eM||e(ft)|k.
Из доказанного неравенства
К+1К2ем||е<Л>|к
следует оценка вида F):
означающая устойчивость с постоянной с = 2ем. В силу теоремы 1
разностная схема (9) является сходящейся с первым относительно h
порядком.
§3. Определение устойчивости разностной схемы 159
Исследуем теперь сходимость разностной схемы G) из § 1:
п = 1]2,...,ЛГ-1, A4)
ио = 2, uw = 1
для дифференциальной краевой задачи D) из § 1. Аппроксимация со
вторым относительно h порядком задачи D) из § 1 задачей A4) бла-
благодаря формуле
u(X + h)-2u(x)+u(x-h) = и„{х) + g
здесь очевидна.
Займемся проверкой устойчивости. Рассматриваемая задача ли-
линейна. Поэтому проверка устойчивости состоит в том, чтобы устано-
установить существование единственного решения задачи
y = 1,2,...,ЛГ-1, A5)
ио = а, им = C
при любых {<7п}> ос, Р н в том, чтобы получить оценку
п|}. A6)
Задачу вида A5) мы рассматривали в связи с прогонкой. Для за-
задачи вида
anun_i + Ьпип + CnUn+\ = gn,
ио = а, uN = C
в предположении
\Ьп\>\ап\ + \сп\+6, 6>0,
были доказаны ее однозначная разрешимость и оценка
\ип\ ^тах||а|,|/3|,^тах|дт||. A7)
В случае задачи A5)
ап = l//i2, Сп = 1/h2, Ъп = 2//i2 + 1 + х2п> \ап\ + \Ъп\ + 1.
Поэтому оценка A7) влечет за собой оценку A6) с постоянной с = 1.
Устойчивость доказана.
В заключение параграфа подчеркнем, что схема доказательства
сходимости решения задачи Lnu^ = f(h> к решению задачи Lu = f
путем проверки аппроксимации и устойчивости носит общий харак-
характер. Под Lu — f можно понимать любое функциональное уравнение,
а не только краевую задачу для обыкновенного дифференциального
160 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
уравнения. Само по себе неважно, решением какой задачи является
функция и. Уравнение Lu = / используется только для конструиро-
конструирования разностного уравнения LhuW — f(h\ Поясним эту мысль.
3. Сходящаяся разностная схема для интегрального урав-
уравнения. Построим и исследуем разностную схему для вычисления ре-
решения интегрального уравнения
1
Lu = и(х) - IK(x, y)u(y) dy = f(x), 0 ^ х ^ 1.
о
Будем предполагать, что |/iT(x,2/)| < р < 1.
Зададим N, положим h = 1/N и будем искать таблицу [и]ь зна-
значений решения на сетке хп = nh (п = 0,1, ...,N). Для получения раз-
разностной схемы в равенстве
1
и(хп) ~ [К{хп, у)и(у) dy = f(xn), n = 0,1,..., N,
о
приближенно заменим интеграл суммой, пользуясь квадратурной
формулой трапеций.
Напомним эту формулу. Для произвольной, дважды дифференци-
дифференцируемой на отрезке 0 ^ у ^ 1 функции tp{y) справедливо приближенное
равенство
О
причем погрешность есть величина O(h2). После указанной замены
интеграла получим
\"' ' и0 + К(хп, К) щ + ... + K(xn,yN-\)uN-i +
^) = 0,1 JV. A8)
Выписанная система равенств записывается в форме
если положить
5о, Г /@),
= i f{h)>
9N, { f(Nh),
где
5n = Hn-/i[- 2 ио+К(хп,И)щ +-
§4- Схемы Рунге-Кутта 161
Построенная разностная схема L^u^ = /^ аппроксимирует задачу
Lu = / на решении и со вторым порядком относительно шага h, по-
поскольку квадратурная формула трапеций имеет второй порядок точ-
точности.
Проверим устойчивость. Пусть и^ = (uo,ui,...,u/v) — какое-ни-
какое-нибудь решение системы A8) и пусть us — .одна из тех компонент ре-
решения, которые по модулю не меньше каждой из остальных:
KI^KI, n = 0,1, ...,7V.
Из уравнения с номером п = s системы A8) следует неравенство
^ Ы - /»(f +p + ... + р + f )|u.| = A - nhp)\ua\ = A - p)|u.|.
Поэтому
||u<ft>||Ufc = max|un| = |u.| ^ -i_ \f(xs)\ ^ -!_ ||/«ft)||Ffc. A9)
n L—P 1 —p
В частности, при f(xn) = 0 отсюда следует, что система A7) не
имеет нетривиальных решений, а следовательно, однозначно разре-
разрешима при любой правой части. Неравенство A8) означает устойчи-
устойчивость F) с постоянной с— 1/A — р). Решение и^ задачи Ь^и^ = /№
в силу теоремы о сходимости удовлетворяет неравенству
HMfc — u^l|fh = max|u(m/i) — ип\ ^ с/г2,
п
где с — некоторая постоянная.
§ 4. Схемы Рунге-Кутта
Изложим здесь некоторые употребительные разностные схемы
решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка
^-G(a;,u) = 0, 0 ^ х ^ 1, u@) = а. A)
В конце параграфа эти схемы будут перенесены на системы диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка, к которым сводится общий
случай уравнений и систем любого порядка.
Выберем на отрезке 0 ^ х ^ 1 сетку точек
О = xq < Х\ < ... < a;yv—i < ^yv = 1) жп = nh, h = 1/iV,
и будем составлять разностные схемы для приближенного отыскания
таблицы [u]h значений решения и(х) на выбранной сетке.
11 B.C. Рябенький
162 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
С простейшей употребительной схемой мы уже встречались.
Это — схема Эйлера
обладающая первым порядком аппроксимации (и точности).
Вычисления по этой схеме имеют простой геометрический смысл.
Если ип уже вычислено, то вычисление
un+i = ип + hG{xn,un)
равносильно сдвигу из точки (хп,ип) в точку (zn+1,un+i) на плоскос-
плоскости Охи по касательной к интегральной кривой и = и(х) дифферен-
дифференциального уравнения du/dx — G(x, и) = 0, проходящей через точку
{хп,ип).
Среди схем более высокого порядка аппроксимации наиболее упо-
употребительны различные варианты схем Рунге-Кутта.
1. Схемы Рунге-Кутта. Пусть значение ип приближенного ре-
решения в точке хп уже найдено и требуется вычислить ип+\ в точке
хп+\ = хп + h. Задаем целое / и выписываем выражения
fci =G(xn,un),
k2 = G(xn + ah,un + ahki),
fc3 = G(xn + 0h, un + Phk2),
kt = G(xn + jh, un
Затем полагаем
Un+1~Un (pfc +P2k2 +... +Plkl) = o,
Коэффициенты а,Р, ...,7, pi,P2,— ,Pi подбираем так, чтобы получить
при заданном / аппроксимацию возможно более высокого порядка.
Зная ип, можно вычислить к\, к2,..., fc/, а затем un+i —un +
Простейшей схемой Рунге-Кутта является схема Эйлера (/ = 1).
Схема Рунге-Кутта
- I (кг +2к2 +2fc3 + fc4) = 0,
C)
§4- Схемы Рунге-Кутта 163
где
h
h = G(xn,
Un),
— J, fcj = G(xn
2 )
>
• fah),
имеет четвертый порядок аппроксимации.
Схема Рунге-Кутта
{Цп+i - ип [2а- 1 1
n = 0,l,...,Nl,
uo =a,
где fci = G(xn,un), &2 = G(xn +ah,un + ahki), при любом фиксиро-
фиксированном а имеет второй порядок аппроксимации.
Мы докажем только утверждение о схеме D). Доказательство ут-
утверждения о схеме C) аналогично, но более громоздко.
Решение и(х) уравнения и' = G(x, и) удовлетворяет тождествам
-^ =G(a;,u(a;)),
d2u d „, , dG , 3G „
Т-2 = -j-G(x,u) = — + —G.
dx2 dx ox ди
Поэтому из формулы Тейлора
= и,{Хп) + h
для решения и(а;) следует равенство
Но, разлагая по /г функцию двух переменных по формуле Тейлора и
удерживая члены первой степени, получаем
2a-I r J
2q 2a L~ ' dx "" 9u
Поэтому при подстановке в левую часть равенства D) вместо ип,
un+i соответственно значений и(хп), u(xn+i) решения и(х) получит-
получится выражение, совпадающее с левой частью равенства E) с точностью
11*
164 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
0(h2). Следовательно, это выражение имеет второй порядок относи-
относительно h. Поскольку значение uq = а задано точно, этим завершается
доказательство того, что схема D) имеет второй порядок аппрокси-
аппроксимации.
2. Обобщение на системы уравнений. Все описанные схемы
численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения
первого порядка A) автоматически переносятся на системы урав-
уравнений первого порядка. Для этого в записи A) надо понимать под
и(х) = и(х) и G{x,u) = G(a;,u) вектор-функции, а под а — а — за-
заданный вектор. Тогда схемы Рунге-Кутта C), D) сохранят смысл и
останутся применимыми.
Например, система уравнений
-z (x + v2 + sin w) = 0,
dw _
-; 1- XVW = О,
dx
v@) = ai, ui@) = a2
запишется в форме
, . Г v(x) 1 r^i ч Г х + v2 + sir
v ' [ w(x) J ' v ' ' [ —xvw
u@) = a,
если положить
• sin w 1
J, a =
Формула для un+i в схеме Эйлера:
un+i = un + hG(xn,un),
подробно запишется так:
^n+i = ^n + h(xn +v%+ sin wn),
wn+i =wn + h(—xnvnwn).
Все рассуждения о порядке аппроксимации в случае одного урав-
уравнения сохраняются и в случае системы уравнений. При этом в фор-
формуле F) под производной вектора G = (Gi,G2,».,Gfc) по вектору
u= (ui,U2,...,Ufc) надо понимать матрицу
idGk/du! ... дск/дик}
Произвольная система дифференциальных уравнений, разрешен-
разрешенных относительно старших производных, сводится к системе уравне-
$5. Методы решения краевых задач 165
ний первого порядка du/dx = G(x, u) путем замены искомых функ-
функций. Как это делается, ясно из следующего примера. Задача
d v . , . о \ ^
-j-j + sin(a;?/ + гг + w) — О,
g + (v')*+w2 = О,
v{0) = a, v'@) = b, w@) = с
приводится к требуемому виду, если положить
щ = v(x), U2 — dv/dx, щ = w(x).
Получим
dm ~
—1- - и2 = О,
dx
——I- sm(a;u2 +щ+ и3) — О,
4 = °.
ui@) = o, U2@)=b, из@) = с.
Замечание. Разработаны разностные схемы типа схем Рунге-
Кутта, применимые непосредственно для уравнения второго порядка
и не требующие предварительного сведения этих уравнений к систе-
системам первого порядка.
Задача
Дифференциальное уравнение
ду_ _ 16а - Ьу + ху
dx х + у — ху
имеет особую точку (седло) при х = у = 0.
Численно построить сепаратрисы, объединяя аналитические средства
для выхода из особой точки с расчетами с помощью разностных схем.
§ 5. Методы решения краевых задач
Примером краевой задачи является задача
yll _ ftx у у'\ 0 < X ^ 1
у@)=Уо, v(l)=Yi A)
с граничными условиями на концах отрезка 0 ^ х ^ 1, на котором
надо найти решение у(х). На этом примере схематически изложим
некоторые способы численного решения краевых задач.
166
Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Метод стрельбы. В § 4 указаны удобные способы численного
решения задачи Коши, т. е. задачи вида
у@)=Уо, |
х=0
= tga,
B)
Рис. 15
где 1о — ордината точки @,Уо), из которой выходит интегральная
кривая, а a — угол наклона интеграль-
интегральной кривой к оси Ох при выходе из
точки (О, Уо) (рис. 15). При фиксиро-
фиксированном Уо решение задачи B) имеет
вид у = у{х,а). При х — 1 решение
у(х, а) зависит только от а:
y(z,a)U=i =y(l,a).
Используя указанное замечание о
решении задачи Коши B), мы можем
переформулировать задачу A) сле-
следующим образом: найти такой угол а = о*, при котором интеграль-
интегральная кривая, выходящая из точки (О, Уо) под углом a к оси абсцисс,
попадет в точку A, Yi):
y(l,a)=Y1. C)
Решение задачи B) при этом а = а" совпадает с искомым решением
задачи A). Дело сводится, таким образом, к решению уравнения C).
Уравнение C) есть уравнение вида F(a) - О, где F(a) = y(l,a) -
— Y\. Оно отличается от привычных уравнений лишь тем, что функ-
функция F(a) задана не аналитическим выражением, а с помощью алго-
алгоритма решения задачи B). Сведение решения краевой задачи A) к
решению задачи Коши B) и составляет сущность метода стрельбы.
Для решения уравнения C) можно использовать метод деления
отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона)
и т. д. Например, при использовании метода деления отрезка попо-
пополам мы задаем ао, сц так, чтобы разности уA,ао) — Yi, y(l,ai) — Vi
имели разные знаки. Затем полагаем
a2 = (ao+ai)/2.
Вычисляем уA,аг). Вычисляем затем а3 по одной из формул
"з = ( + а2)/2, а3 = (а0 + а2)/2
в зависимости от того, имеют разности уA,аг)— Yi, y(l,ai)—Yx
соответственно разные или одинаковые знаки. Затем вычисляем
уA,аз). Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута
требуемая точность |y(l,an) — Yi\ < e.
$5. Методы решения краевых задач 167
В случае использования метода хорд задаем ао, o.i, a затем после-
последующие ад. вычисляем по рекуррентной формуле
ап+1 =ап- ^J^l^К ~ а,-!), п = 1,2,...
Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи A) к вычис-
вычислению решений задачи Коши B), хорошо работает в том случае, если
решение у(х, а) "не слишком сильно" зависит от а. В противном слу-
случае он становится вычислительно неустойчивым, даже если решение
задачи A) зависит от входных данных "умеренно".
Поясним взятые в кавычки слова на примере следующей линейной
краевой задачи:
у"-а?у = 0, О$яг^1,
у@) = Уо, V(l)=*i ( '
при постоянном а2. Выпишем решение этой задачи:
-ах _ -оB-г) -a(l-z) _ -
ГГ7=го У° + Г^=
Коэффициенты при Yq, Y\ с ростом а остаются ограниченными на
отрезке 0 ^ х $ 1 функциями; при всех а > 0 они не превосходят
единицу. Поэтому небольшие погрешности при задании Уо, Y\ ведут
к столь же небольшим погрешностям в решении.
Рассмотрим теперь задачу Коши
y"-a2y = 0, (Us^l.
У@)=У0, y'(O)=tga. l ;
Ее решение имеет вид
, . _ aYp+tga ах аУр- tga ax
У(Х) ~ 2^ 6 + 2^ 6 ¦
Если при задании tg a допущена погрешность е, то значение решения
при х = 1 получит приращение
еае~а W
При больших а вычитаемое в этом равенстве пренебрежимо мало, но
коэффициент при е в первом слагаемом становится большим.
Поэтому метод стрельбы при решении задачи A'), будучи формаль-
формально приемлемой процедурой, при больших а становится практически
непригодным.
2. Метод прогонки. Для решения краевой задачи
y"-p(x)y = f(x), (Kz^l,
у@) = УО)
168 Гл. 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
при р(х) ^ 1 можно воспользоваться разностной схемой
Уп+l -2уп + Уп-1 _ / ч _ f „ _ I о /V - 1
^2 Р\хп)Уп — 7п) П — L,Z, ..., JV — 1,
и решать разностную задачу прогонкой. Условия применимости про-
прогонки при р(х) > 0, как легко проверит читатель, выполнены.
3. "Метод Ньютона. Метод стрельбы при решении хорошо по-
поставленной краевой задачи может оказаться, как мы видели, непри-
неприменимым из-за вычислительной неустойчивости. Но метод прогон-
прогонки даже формально можно применять только для решения линейных
задач.
Метод Ньютона сводит решение нелинейной задачи к серии линей-
линейных задач и состоит в следующем. Пусть известна некоторая функ-
функция Уо(х), удовлетворяющая граничным условиям A) и грубо при-
приближенно равная искомому решению у(х). Положим
y(x)=yo(x)+v(x), E)
где v(x) — поправка к нулевому приближению уо(х). Подставим E)
в уравнение A) и линеаризуем задачу, используя равенства
f(x,yo + v,y'o+v'o) =
= f(x,yo,y'o) + df{x^'V'o) v+ g/frff. *> i/ +otf + \vf).
Отбрасывая остаточный член O(v2 + \v'\2), получаем линейную за-
задачу для поправки v
. v" =pv' + qv + tp(x), v(Q) = v(l) = 0, F)
где
= / л = a/(»,W),«p) = / ч _ df(x,yo,y'o)
P ~ PW - Qyl , q - q(X) - Q^
<p{x) = f{x,yo,y'o)-y'o.
Решая линейную задачу F) аналитически или каким-либо числен-
численным методом, найдем приближенно поправку v и примем
У\ = Уо(х) + v(x)
за следующее приближение.
Описанная процедура может применяться к нелинейной разност-
разностной краевой задаче, возникшей при аппроксимации задачи A) (см.
задачу 5 в § 2 гл. 7).
§ 5. Методы решения краевых задач 169
Задача
Численно найти наименьшее, а также третье по величине положитель-
положительные числа Ai, Аз, при которых задача
у" + (х - Х)у = 0, 0 ^ А ^ 1,
»@) = 1>A) = 0
имеет нетривиальные решения yi(x), уз(х) ф 0.
ГЛАВА 9
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Выше в связи с разностными схемами для обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений мы определили понятия сходимости, аппрок-
аппроксимации и устойчивости. Мы доказали теорему о том, что если раз-
разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу
и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи
сходится к решению дифференциальной задачи. В этой теореме со-
содержится указание на способы построения сходящихся разностных
схем для численного решения дифференциальных краевых задач: на-
надо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди
них устойчивые.
Определения сходимости, аппроксимации и устойчивости и тео-
теорема о связи между этими понятиями носят общий характер. Эти
понятия имеют смысл для любых функциональных уравнений. Мы
иллюстрировали их примерами разностных схем для обыкновенных
дифференциальных уравнений и для интегрального уравнения. Здесь
мы проиллюстрируем некоторые основные способы построения раз-
разностных схем и проверки их устойчивости примерами разностных
схем для уравнений с частными производными. При этом обнару-
обнаружится много важных и существенно новых по сравнению со случаем
обыкновенных дифференциальных уравнений обстоятельств. Глав-
Главные из них — разнообразие сеток и способов аппроксимации, неустой-
неустойчивость большинства взятых наудачу аппроксимирующих схем,
сложность исследований устойчивости и трудности вычисления ре-
решений разностных краевых задач, требующие специальных усилий
для их преодоления.
170 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
§ 1. Основные определения и их иллюстрация
1. Определение сходимости. Пусть требуется приближенно вы-
вычислить решение и дифференциальной краевой задачи
Lu = /, A)
поставленной в некоторой области D с границей Г. Для этого следу-
следует выбрать дискретное множество точек Dh (сетку), принадлежащее
D U Г, ввести линейное нормированное пространство Uh функций,
определенных на сетке Dh, установить соответствие между решени-
решением и и функцией [u]h G Uhi которую будем считать искомой таблицей
решения и. Для приближенного отыскания таблицы [и]л, которую мы
условились считать точным решением задачи A), надо на основе этой
задачи составить такую систему уравнений
Lhu^ = /<ft> B)
относительно функции и^ из 17/,, чтобы имела место сходимость
l|[«]ft-«(h)lk->o, л-ю. C)
Если для решения разностной краевой задачи B) выполнено нера-
неравенство
||[u]ft-u(h)lk^cfc*, с = const,
то говорят, что сходимость (в смысле выбранной нами нормы) имеет
порядок к относительно h.
Задачу построения сходящейся разностной схемы B) разбивают
на две — на построение разностной схемы B), аппроксимирующей
задачу A) на решении и последней, и на проверку устойчивости схе-
схемы B).
2. Определение аппроксимации. Чтобы понятие аппроксима-
аппроксимации имело смысл, надо ввести норму в пространстве F^, которому
принадлежит правая часть fW уравнения B). По определению раз-
разностная задача B) аппроксимирует задачу A) на решении и, если в
равенстве
невязка 6fW, возникающая при подстановке [и]ь в разностную
краевую задачу B), стремится к нулю при h -> 0:
Если
||*/<ft>lk ? chk,
где с не зависит от h, то аппроксимация имеет порядок к относитель-
относительно h.
§1. Основные определения и их иллюстрация Ш
Построим, например, для задачи Коши
§r-|; = v(z,Q, -<*><*<<*>. O^t^T,
u(x,0) = гр(х), —оо < х < оо,
одну из аппроксимирующих ее разностных схем. Задача D) записы-
записывается в форме A), если положить
[ и(х, 0), -оо < х < оо,
Г,
f <p(x, i), —oo < x < oo, 0 ^ t
\ ф(х), —oo < x < oo.
В качестве сетки D/, используем совокупность точек пересечения
прямых
x = mh, t = рт, m = 0, ±1,...; р = 0,1,..., [Г/т],
где h > 0, т > 0 — некоторые числа, а [Т/т] — целая часть дроби Т/т.
Будем считать, что шаг т связан с шагом h зависимостью т = rh, где
г = const, так что сетка ?>/, зависит только от одного параметра h.
Искомой сеточной функцией является таблица [u]h = {u(mh,pr)} зна-
значений решения и{х, t) задачи D) в точках сетки ?>/,.
Перейдем к построению аппроксимирующей задачу D) разност-
разностной схемы B). Значения сеточной функции и^ в точке (xm,tp) =
= (mh,pr) сетки Dh будем обозначать и?,. Схему B) получим, при-
приблизив производные du/dt, ди/дх разностными отношениями
ди I ^ и(х, t + т) — и(х, t)
dt\x,t~ т ' m
ди ^ u(x-\-h,h) — u(x,t) v '
дх x,t h
Эта схема имеет вид
«т = ^т, Ч?т = <p(mh,pr), грт = il>(mh).
Оператор Lh и правая часть /^ для схемы E) задаются соответ-
соответственно равенствами
Tj -1,
р = 0,1,...,[-]-1,
172 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Таким образом, /^ — это пара сеточных функций ip^, ipm,
одна из которых задана на двумерной сетке (xm,tr) = (тк,гт),
m = 0,4:1,...; р = 0,1,..., [Т/т], а другая — на одномерной сетке
Разностное уравнение E) можно разрешить относительно и**,
получив
и*1 = A - r)< + rupm+1 + т^ш. F)
Итак, зная значения и?, (ш = 0, ±1,...) решения и^ в точках сет-
сетки при t = рт, можно вычислить значения и?*1 в точках сетки при
t = (р + 1)т. Поскольку значения и^ при t = 0 заданы равенствами
vf^ = il)m, мы можем шаг за шагом вычислить значения решения и?,
в точках сетки на прямых t = т, 2т,..., т. е. всюду на ?>/,.
Перейдем к выяснению порядка аппроксимации, которым облада-
обладает схема E). За F/, можно принять линейное пространство всех пар
ограниченных функций д^ = , , положив*)
;m|. G)
Вообще говоря, норма, в которой рассматривается аппроксимация,
может быть выбрана многими способами, и выбор этот небезразли-
небезразличен. Будем иметь в виду всюду в этом параграфе именно норму G).
Предположим, что решение и(х, t) задачи D) имеет ограниченные
вторые производные. Тогда по формуле Тейлора
u(xm + h,tp) - и(хт,tp) _ du(xm,tp)
h dx + 2 dx2
u(xm,tp + t) - u(xm,tp) _ du(xm, tp) r d2u(xm, tp + rj)
t ~ dt 2 dt2 '
где ^, T) — некоторые числа, зависящие от m, p, h и удовлетворяющие
неравенствам 0<?<Л, 0<7?<т.
С помощью этих формул выражение
{u(xm,tp + г) — u(xm, tp) _ и(хт + h, tp) — и(хт, tp)
т h
u(xm,0)
можно переписать в виде
{ &u(xm,tp + rj) h d2u(xm + g,tp)
\dt dx)\Xm,tp+ 2 at2 2
\dt dx)\Xm,tp+ 2
u(xm,0) + 0,
*) Если max |vm| или max \фт\ не достигается, то имеется в виду точная верхняя
грань 8up|v>?i| или |^|
§ 1. Основные определения и их иллюстрация 173
или
где
т d2u(xm,tp + Т}) _ h &ч(хт + g,tp)
= ) 2 dt2 2 дх2
о.
Следовательно,
Таким образом, рассматриваемая разностная схема E) имеет
первый порядок аппроксимации относительно h на решении и(х, t),
обладающем ограниченными вторыми производными.
3. Определение устойчивости. Разностная краевая задача B)
по определению устойчива, если существуют числа S > 0, ho > 0 та-
такие, что при любом h < ho и любом е^ из Fh, удовлетворяющем
неравенству ||e^ft^||Fh < 6, разностная краевая задача
имеет одно и только одно решение, причем выполняется условие
где с — некоторая постоянная, не зависящая от Л.
В § 3 гл. 8, где введено понятие устойчивости, показано, что в
случае линейного оператора L/, сформулированное определение рав-
равносильно следующему.
Разностная краевая задача B) устойчива, если существует h0 > О
такое, что при 0 < h < Ло и любом f^ € Fh она однозначно разрешима,
причем
ll«(ft)lk<e||/<ft>||Ffc, (8)
где с — некоторая постоянная, не зависящая от h, f^.
Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную отно-
относительно h чувствительность решения разностной краевой задачи B)
к возмущениям е^ правой части.
Подчеркнем, что в силу приведенного определения устойчивость
есть некоторое внутреннее свойство разностной краевой задачи. Оно
¦ формулируется независимо от какой-либо связи с дифференциальной
краевой задачей, в частности независимо от аппроксимации или схо-
сходимости.
Теорема. Если разностная краевая задача B) аппроксимирует
на решении и дифференциальную краевую задачу A) и устойчива, то
имеет место сходимость C). При этом порядок относительно h ско-
скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации.
Доказательство этой важной теоремы проведено в § 3 гл. 8.
174 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Покажем, что разностная схема E) при г = т/h ^ 1 устойчива.
При этом норму ||uW||{/b определим равенством
||«(fc)||%=max8upK|. (9)
Р m
Норму || • \\fh будем понимать как
Разностную задачу
которая отличается от задачи E) только тем, что <р?,, грт — произ-
произвольные правые части, вообще говоря, не совпадающие с (p(mh,pr),
¦ф(тН), перепишем в форме
«^(l-rX + ruJ^+TVU, t& = Vw F')
Поскольку г ^ 1, то1— г^О. В этом случае справедлива оценка
|A - г)< + гирт+1\ ^ 1A - г) + r|max{|<|, |
Используя эту оценку, выводим из F') неравенство
|<+1| < supKI +rsupK| ^ supKI +rsup|^|. F")
т mm m,p
Отметим, что в случае ip^ = 0 из неравенства F") следует, что
j не возрастает с ростом р. Отмеченное свойство разностной
схемы принято называть принципом максимума. Для краткости бу-
будем иногда пользоваться этим названием для всего неравенства F")-
Правая часть этого неравенства не зависит от т, так что в левой
части вместо lu^1! можно написать suplu^,1!, получив неравенство
т
SUp \V%*~1\ ^ SUp \um\ + ТSUp |Vml-
m m p,m
Аналогично получаем неравенства
sup \upm\ ^ sup lu^! + r sup Iv&J,
771 771 Р*ТП
sup \v}m\ ^ sup |u^| + rsup |^,|.
m m m,p
После почленного сложения этих неравенств и приведения подоб-
подобных членов получаем
sup lutf11 «; sup К | + (p + 1) sup |<J.
771
§1. Основные определения и их иллюстрация
175
Отсюда непосредственно следует неравенство
Доказанное неравенство имеет место для всех р, так что оно оста-
останется справедливым, если вместо supjuj*! написать maxsup|u?,| =
(Ю)
Неравенство A0) означает устойчивость линейной задачи E), по-
поскольку существование и единственность решения задачи F') при
произвольных ограниченных цРт, грт имеют место. Роль постоянной с
в неравенстве (8) играет здесь число 1 4- Г.
Не следует думать, что одна только аппроксимация дифференци-
дифференциальной краевой задачи A) разностной краевой задачей B) обеспе-
обеспечивает сходимость C). Мы убедились в этом в § 3 гл. 1 с помощью
специально сконструированного примера аппроксимирующей, но рас-
расходящейся разностной схемы.
В случае уравнений с частными производными непригодность
наудачу взятой аппроксимирующей разностной схемы является пра-
правилом, а выбор устойчивой (и, следовательно, сходящейся) разност-
разностной схемы — постоянной заботой вычислителя.
Напомним, например, что доказательство устойчивости разност-
разностной схемы E) мы провели в предположении, что г ^ 1. В случае
г > 1 разностная задача E) по-прежнему аппроксимирует задачу D),
но наше доказательство устойчивости не проходит. Покажем, что
в этом случае нет сходимости реше-
решения v.(h) разностной задачи E) к ре-
решению [u]h дифференциальной зада-
задачи D), а значит, не может быть и
устойчивости, так как аппроксима-
аппроксимация и устойчивость влекли бы за со-
собой сходимость.
4. Условие Куранта, Фридрих-
са и Леви. Покажем, что в случае
т/h > 1 разностная схема E) не мо-
может оказаться сходящейся при про-
произвольной функции гр(х). Пусть для
определенности <p(x,t) = 0, так что
tp(mh,pr) = 0; пусть, далее, Г = 1.
Шаг h будем выбирать так, чтобы точка @,1) на плоскости Oxt при-
принадлежала сетке, т. е. чтобы число
N = 1/т = l/(rh)
было целым (рис. 16). В силу разностного уравнения имеем
A/г.О) A,0)'
Рис. 16
176 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Значение Uq+1 решения и^ в точке @,1) сетки выражается через
значения 1%, и\ решения в точках @,1 — т), (Л, 1 — т) сетки. Значения
Up, u\ выражаются через значения и^, и^1, и\гХ решения в трех
точках сетки: @,1 - 2т), (Л, 1 — 2т), BЛ, 1 — 2т). Значения решения
ио~ > и^~11 и2~1 в свою очередь выражаются через значения решения
в четырех точках: @,1 - Зт), [h, 1 - Зт), BЛ, 1 - Зт), (ЗЛ, 1 - Зт), и
т. д. В конечном счете значение vJ^~l выражается через значения и^, =
= Фт решения в точках сетки @,0), (Л, 0), BЛ, 0), ..., (hT/т, О). Все
эти точки лежат на отрезке
прямой t = 0 (см. рис. 16), где задано начальное условие
и(х,0)=ф(х)
для дифференциального уравнения.
Таким образом, решение разностного уравнения в точке @,1) сет-
сетки не зависит от значений функции ф(х) в точках х, лежащих вне
отрезка 0 ^ х ^ 1/г. Но решением задачи
§¦¦-?¦ = 0, -оо<х<оо, t>0,
и(х, 0) = яр(х), -со < х < со,
как легко проверить, является функция
u(x,t)=ij>(x + t).
Она постоянна на каждой характеристике х + t = const и, в частности,
на прямой x + t = 1, которая проходит через точки @,1), A,0) (см.
рис. 16) и в точке @,1) принимает значение -0A). Отсюда видно, что
в случае г > 1 сходимости, вообще говоря, быть не может.
Действительно, в этом случае отрезок оси абсцисс 0 ^ х ^ 1/г < 1
не содержит точку A,0). Если бы при какой-нибудь функции ф(х)
сходимость (случайно) имела место, то, не меняя значения гр(х) на
отрезке 0 ^ х ^ 1/г и не меняя, таким образом, значения решения
разностного уравнения в точке @,1), мы могли бы нарушить сходи-
сходимость, изменив (р(х) в точке х = 1 и ее окрестности, что отразилось
бы на значении и@,1) решения дифференциального уравнения. Изме-
Изменение гр(х) в точке х = 1 и ее окрестности можно внести так, чтобы
не нарушить существования вторых производных функции i}){x) и
решения и[х, t) = гр(х 4-1), так что аппроксимация на решении u{x,t)
будет иметь место. В этих условиях из устойчивости схемы E) вы-
вытекала бы сходимость. Но поскольку при г > 1 нет сходимости, то
нет и устойчивости.
Соображение, которое мы использовали для доказательства непри-
непригодности схемы E) в случае г — т/h > 1, носит общий характер. Оно
состоит в следующем.
§1. Основные определения и их иллюстрация 177
Допустим, что в постановке исходной задачи участвует некоторая
функция -ф (см., например, задачу D)). Выберем произвольную точ-
точку Р, принадлежащую области определения решения и. Пусть
значение и(Р) зависит от значения функции -ф в точках некоторого
множества Сф — G$(P), принадлежащего области определения функ-
функции "ф. Это значит, что, изменяя значения ф в малой окрестности
любой точки Q из области G^(P), можно вызвать изменение значе-
значения решения и(Р).
Допустим, что для вычисления решения и используется некоторая
разностная схема L^vP^ = f^h\ причем значение решения и^ в точ-
точке сетки P(h\ ближайшей к Р, полностью определяется значениями
функции "ф на некотором множестве G^'(P).
Условие Куранта, Фридрихса и Леви состоит в следующем. Для
того чтобы имела место сходимость и^ -» и при h -» 0, разностная
схема необходимо должна быть устроена так, чтобы при h —> 0 в про-
произвольной окрестности любой точки области G$(P) при достаточно
малом h имелась точка множества G\p = G^'(P).
Объясним, почему в случае невыполнения сформулированного
условия Куранта, Фридрихса и Леви сходимости ожидать не прихо-
приходится. Пусть это условие не выполнено, так что в некоторой фикси-
фиксированной окрестности некоторой точки Q из области G^(P) при всех
достаточно малых h нет точек из множества G^'(P). Если сходи-
сходимость и^ -> и при данной функции •ф имеет (случайно) место, то
изменим -ф в указанной окрестности точки Q так, чтобы изменилось
значение и, оставляя вне этой окрестности функцию ф неизменной.
Сходимость v.(h) -> и при новой функции гр уже не может иметь мес-
места: значение и(Р) изменилось, в то время как значения и№ в точке
сетки p(h\ ближайшей к Р, остались при малых h неизменными,
поскольку функция гр в точках множеств G]p = G^' (Р) осталась
неизменной.
Условию Куранта, Фридрихса и Леви нетрудно придать форму
теоремы, а проведенные рассуждения превратить в ее доказатель-
доказательство, но мы не будем этого делать.
Подчеркнем еще раз, что в случае, если разностная схема LhU^ =
= /(ft) аппроксимирует исходную задачу на решении и, то условие Ку-
Куранта, Фридрихса и Леви является не только необходимым условием
сходимости, но также и необходимым условием устойчивости схемы
LhU(h) = f(h)
В случае невыполнения этого условия устойчивости быть не мо-
может, так как аппроксимация и устойчивость влекли бы за собой схо-
сходимость в силу теоремы, доказанной выше.
5. Механизм неустойчивости. Проведенное нами доказатель-
доказательство неустойчивости схемы E) основано на использовании условия
12 B.C. Рябенький
178 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Куранта, Фридрихса и Леви, необходимого для сходимости и устой-
устойчивости. Оно носит, таким образом, косвенный характер. Интерес-
Интересно проследить непосредственно, как сказывается неустойчивость при
г > 1 разностной схемы E) на чувствительности решения и^ к по-
погрешностям в задании f(h\ Ведь именно равномерная относительно h
чувствительность решения к погрешностям при задании /С*) и опре-
определена выше как устойчивость.
Допустим, что при всех h выполняются тождества 1{Рт = О,
грт = 0, так что
={?}-"•
и решение и^ = {и?,} задачи E) есть тождественный нуль: и?, = 0.
Допустим, далее, что при задании начальных данных допущена по-
погрешность и вместо "фт = 0 задано фт = (—l)me (e = const), так что
вместо /(ft) = 0 задано
= {*.}¦
Будем обозначать получающееся при этом решение через и^. В силу
уравнений
ГГР+1 _ (I _ Г\Т.Р Л.ГТГР 7р — ( — 1^тР
ит — I1 r)um +rum+l> um ~ \ 1J e
для й1т получим v}m = A - г)й°т + гй°т+1 = A - 2г)и°т.
Мы видим, что допущенная при р = 0 погрешность умножилась
на число 1 — 2г. При переходе к ы^ получим
2», = A - 2гJй°т.
Вообще,
^ = A-2г)^.
При г > 1 будем иметь 1 — 2г < — 1, так что погрешность
при переходе от одного слоя t = рт сетки к следующему умножает-
умножается на отрицательное число, превосходящее единицу по модулю. При
Р=[Т/т]
Отсюда
\\uW\\Uh = sup \v?m\ = |1 - 2r|[T/^)] sup 1
При фиксированном Т первоначально допущенная в начальных
данных погрешность (—1)ше увеличивается в очень быстро возрас-
возрастающее при h -> 0 число раз, равное |1 — ^
§1. Основные определения и их иллюстрация 179
6. Об экономичности разностной схемы. Остановимся теперь
кратко на критике принятого нами способа оценки качества аппрок-
аппроксимации сравнением величины нормы невязки ||<$/(/i)||f,, с той или
иной степенью h. Как мы знаем, для устойчивых схем порядок ап-
аппроксимации совпадает с порядком погрешности ||[ы]д — ы^||(/л в ре-
решении. Качество схемы естественно оценивать по количеству вычис-
вычислительной работы, необходимой для получения заданной точности.
Количество же работы, вообще говоря, пропорционально числу точек
N использованной разностной сетки. Для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений N обратно пропорционально шагу h. Поэтому,
когда мы говорим, что е — норма погрешности, где е « hk, мы тем
самым утверждаем, что е = N~k, т. е. что уменьшение погрешности
вдвое требует увеличения работы в %/2 раз. Таким образом, в случае
обыкновенных разностных уравнений порядок аппроксимации отно-
относительно h характеризует объем работы.
Для уравнений с частными производными дело обстоит уже не
так. В рассмотренном нами примере задачи с двумя переменными х,
t сетка задается двумя шагами h, т. Число N точек сетки, помеща-
помещающихся в ограниченной области на плоскости Oxt, имеет порядок
1/(тЛ). Это число также может применяться для оценки количества
работы, затрачиваемой при решении разностных уравнений. Пусть
т = rh. В этом случае N « h~2, и утверждение, что e = hk, эквивалент-
эквивалентно утверждению е & N~kl2. Если г = rh2, то N к h~3, и утверждение
е и hk эквивалентно тому, что е « N~1/3.
Мы видим, что в случае уравнений с частными производными по-
порядок погрешности естественнее было бы измерять не в степенях h, a
в степенях N~*. Мы все же остановимся на описанном выше способе
оценки аппроксимации степенями, так как это удобнее при проведе-
проведении выкладок. Читатель, однако, должен при оценке качества раз-
разностных схем иметь в виду отмеченное обстоятельство.
Надо еще заметить, что утверждение о пропорциональности вы-
вычислительной работы числу iV точек сетки тоже не всегда является
верным. Можно привести примеры разностных схем, для вычисления
решения по которым требуется произвести х N1+q арифметических
операций, где q равно 1/2, 1 или даже 2. С этим приходится встре-
встречаться при решении разностных краевых задач, аппроксимирующих
эллиптические уравнения, или при решении задач в случае трех и
более независимых переменных (например, u(t,x,y)).
При реальных расчетах на компьютере для сравнительной оценки
используемых алгоритмов за меру качества схемы обычно естествен-
естественно принять машинное время. Машинное время не обязательно про-
пропорционально числу арифметических действий. Играют роль (иногда
превалирующую) затраты времени на пересылку информации из од-
одного блока машинной памяти в другой. Может играть роль время,
12*
180 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
расходуемое на логические операции.
7. Библиографическая справка. Понятие устойчивости раз-
разностных схем относительно ошибок округления при задании началь-
начальных данных впервые описано Дж. фон Нейманом и Р.Д. Рихтмайе-
ром в 1950 г. (см.: Механика.—'1951.—Вып. 1) в работе, посвященной
расчету газодинамических скачков. Первая система определений ус-
устойчивости и аппроксимации, при которой сходимость является
следствием аппроксимации и устойчивости, была предложена B.C. Ря-
Рябеньким (ДАН СССР—1952.—Т. 86, № 6) в случае разностных ана-
аналогов задачи Коши для систем уравнений с частными производными.
Принятая в нашей книге система основных определений и теоре-
теорема о том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость,
близки к предложенным А.Ф. Филипповым (ДАН СССР.—1955.—
Т. 100, № 6). См. также [17]. Отличие состоит главным образом в том,
что мы используем более универсальное, чем использовал А.Ф. Фи-
Филиппов, определение аппроксимации.
Существуют другие естественные системы определений основных
понятий, при которых аппроксимация и устойчивость обеспечива-
обеспечивают сходимость. Среди них наиболее известна система определений
П.Д. Лакса. В теории Лакса рассматриваются разностные схемы для
нестационарных задач, причем предполагается, что эти разностные
схемы действуют не в пространстве сеточных функций, а в том же
функциональном пространстве, что и дифференциальное уравнение.
При этом предположении доказывается, что для аппроксимирующей
разностной схемы устойчивость и сходимость имеют место одновре-
одновременно.
В последующие годы А.А. Самарский преддожил и развил в соав-
соавторстве с А.В. Гулиным теорию устойчивости, применимую к весьма
широкому классу разностных схем [18].
Следует сказать, что в работе 1928 г. Р. Куранта, К. Фридрихса
и Г. Леви (см.: УМН.—1940.—Т. 8) и во многих других работах, где
метод конечных разностей используется для доказательства сущест-
существования решений дифференциальных уравнений, устанавливаются
неравенства, которые в современной терминологии можно истолко-
истолковать как устойчивость в тех или иных нормах. Однако понятие устой-
устойчивости возникло в связи с использованием разностных схем для при-
приближенного вычисления решений в предположении, что эти решения
существуют. Поэтому устойчивость изучается обычно в более слабых
нормах, чем это нужно для доказательства существования.
Отметим, что впервые метод конечных разностей был использован
для доказательства существования решений уравнений с частными
производными в 1924 г. Л.А. Люстерником (см.: УМН.—1940.—Т. 8),
который рассматривал уравнение Лапласа.
§1. Основные определения и их иллюстрация 181
Задачи
1. Для задачи Коши D) исследовать следующую разностную схему:
"'" ~uk-u"i~ "'-1 = {(? m = 0,±l,...,
Т П
V°m=rpm, P = 0,1,..., [Т/т] -1,
где т = rh, r = const.
а) Выписать оператор Lh и правую часть f^h\ возникающие при записи
этой схемы в виде Lhu'h' = /'h'-
б) Изобразить взаимное расположение трех точек сетки (шаблон), зна-
значения ti'h' в которых связывает разностное уравнение при фиксирован-
фиксированных т,р.
в) Показать, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную
задачу с первым относительно h порядком на решении u(x,t), имеюшим
ограниченные вторые производные.
г) Выяснить, устойчива ли исследуемая разностная схема при каком-
либо выборе г.
2. Для задачи Коши
ut + их = <р(х, i), —оо < х < оо,
и(х,0) = ip(x), 0<t<T,
исследовать по предложенному в задаче 1 плану каждую из следующих
разностных схем:
- +
1,
Т П
1
о
u
1 , Vmi um Wm-
т п
3. Для задачи Коши для уравнения теплопроводности
e~? = v>(x>t)' -°°<a;<oo> o^t^
и(х, 0) = гр{х), —оо < х < оо,
рассмотреть разностную схему
р = 0,1, ...,
Нормы в f/h, Fh понимаем в смысле (9), G).
а) Проверить, что при r/h2 = г = const разностная схема A2) аппрок-
аппроксимирует задачу A1) с порядком O(h2).
б*) Показать, что в случае г ^ 1/2, tp(x,t) = 0 справедлив следующий
принцип максимума:
в*) Опираясь на принцип максимума, доказать, что в случае г ^ 1/2
разностная схема A2) устойчива.
182 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
4. Решение задачи Коши A1) для уравнения теплопроводности имеет
вид
Может ли оказаться устойчивой и сходящейся "явная" разностная схе-
схема A2), аппроксимирующая эту задачу, если т = Л, h —> О?
Сопоставить области влияния для дифференциальной и разностной за-
задач и воспользоваться условием Куранта.
5. Система уравнений акустики
dv &w 8w 8v _ . , . гт,
« = &• аГ = ^' -~<*<~. °^т-
v(x, 0) = tp(x), w{x, 0) = ф(х),
имеет решение вида
Может ли оказаться сходящейся разностная схема вида
1Щн — 1Щц
Сопоставить области влияния начальных данных для разностной и диф-
дифференциальной задач.
6*. Задача Коши
ди ди
m~ai' t>0> -°°<a;<00-
и(х, 0) = eiax, 0 < а < 2тг, а = const,
имеет решение
u{x,t) = etoteiox.
Соответствующая разностная схема
^^-^1^=0, , = 0,1,..., т = 0,=Ы,...,
имеет решение
которое при р = t/т, тп = x/h стремится к решению дифференциальной
задачи при Л —> 0, каково бы ни было фиксированное г — т/Л. Между тем
при г > 1 разностная схема не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса
и Леви, необходимому для сходимости. Объясните кажущийся парадокс.
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 183
§ 2. Некоторые приемы построения
аппроксимирующих разностных схем
1. Замена производных разностными отношениями. Прос-
Простейший прием построения разностных краевых задач, аппрок-
аппроксимирующих дифференциальные, состоит в замене производных
соответствующими разностными отношениями. Приведем несколь-
несколько примеров разностных схем, полученных таким способом. В этих
примерах будут использованы приближенные формулы
df(z) „ f(z + Az)-f(z) df(z) _f(z)~f{z-Az)
dz ~ Az dz ~ Az
df{z) „ f{z + Az)-f{z-Az)
dz ~ 2Az ' W
d2f{z) „ f{z + Az)-2f{z)+f{z-Az)
dz2 ~ (AzJ
Предполагая функцию f(z) имеющей достаточное число ограни-
ограниченных производных, можно выписать выражение для остаточных
членов этих формул. По формуле Тейлора
f(z + Az) = f(z) + Azf'(z) + {-^f"(z) +
+ {^ff'"(z) + ^ff^(z) + o[(Az)%
B)
f(z - Az) = f(z) - Azf'(z) &?
2!
Используя разложения B), можно получить выражения для оста-
остаточных членов приближенных формул A). Именно, справедливы
равенства
0((Д2J)].
= Пя)
C)
Остаточные члены приближенных формул A) входят в соответствую-
соответствующие равенства C) в виде выражений в квадратных скобках.
Очевидно, что формулы A) и выражения остаточных членов, вы-
выписанные в формулах C), можно использовать и при замене частных
184 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
производных разностными отношениями. Например,
ди(х, t) u(x, t + At)- и(х, t)
___- __ ,
причем
u{x,t + At)-u{x,t) _ du{x,t) Г At d2u{x,t)
Точно так же- справедлива формула
du{x,t) ^ и(х + Ax,t) - u(x,t)
дх ^ Ах
и при этом
u{x + Ax,t)-u{x,t) _ du(x,t) Г Ах d2u(x,t)
А~х ~ ~дх~~ + Li" 5x2
и т. д.
Пример 1. Вернемся к задаче Коши D) из § 5:
Ж~Ш = ?'(х'<)'' -°0<а;<00. o^t^T, D)
u(x,0) = ip(x), —со < х < оо.
Для аппроксимации этой задачи Коши построим три схемы. Во всех
этих схемах используем сетку Dh, образованную точками пересече-
пересечения прямых х = mh, t — рг, попавшими в полосу 0 ^ t ^ Т. Значе-
Значения г, h будем считать связанными соотношением г = rh, где г — не-
некоторая положительная постоянная. Простейшая из этих схем имеет
вид
. E)
и получается при замене производных du/dt, ди/дх по приближен-
приближенным формулам
du(x,t) u{x,t + r) -u(x,t)
~0^К г '
du(x,t) u(x + h,t)-u(x,t)
__~ _ .
Невязка 6f(h\ возникающая при подстановке решения [u]h диффе-
дифференциальной задачи в левую часть разностной задачи
выражается формулой
о.
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 185
За норму элемента /^ пространства Fh примем в этом параграфе
максимум всех компонент элемента /(ft) G Fh. Тогда очевидно, что
?f{h)\\Fh = О(т + h) = O(rh + h) = 0{h),
и порядок аппроксимации получается первый.
Вторая схема получается при использовании другой формулы при
замене du(x,t)/dx:
du(x,i) ^ u(x,t) — и(х — h,t)
дх h
Она имеет вид
Lhu^ =
.< =
Порядок аппроксимации снова получается первый.
Вторая схема, казалось бы, совсем несущественно отличается от
первой. В действительности, однако, вторая схема непригодна для
счета: для нее при любом г = т/h не выпол-
выполнено условие Куранта.
Для облегчения запоминания разност-
разностной схемы ее обычно принято сопоставлять
с картинкой, на которой изображено вза-
взаимное расположение точек сетки (шаблон),
значения в которых связывает разностное Рис7
уравнение при некоторых фиксированных значениях т, р. Для двух
рассмотренных схем эти картинки изображены на рис. 17.
Пример 2. Приведем две разностные схемы, аппроксимирующие
задачу Коши для уравнения теплопроводности:
|??>(*.*), -оо<х<оо, 0<t<T,
и(х, 0) = гр(х), —оо < х < оо.
Простейшая из них:
. и?, = tp{mh),
f(h) = [ V(m/l-Pr).
получается при замене производных щ, ихх разностными отноше-
отношениями по формулам
ut(x,t) « -^ j ^-^,
, . и(х -h,t)- 2u{x,t) + и(х - h, t)
Uxx(X,l) ~ r-j .
186 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Если для замены ихх(х, t) использовать другую формулу:
, ч и(х + h,t + r)-2u(x,t + r) + u(x-h,t + t)
Uxx{X,t) j^ J
придем к другой схеме для того же уравнения:
Чтобы различить операторы Lh этих двух схем, мы снабдили их но-
номерами и написали Lh 'u^ = f(h\ Lh u^ = f(h\ Шаблоны, соответ-
соответствующие этим разностным схемам, изображены на рис. 18.
Эти схемы существенно различаются. Вычисление решения по
первой из них не.представляет труда и проводится по явной формуле
Kt1 = (! ~ 2г)<, + r(vFm+1 + <,_!) + T<p{mh,pT),
где г = r/h2. Эта формула получена из разностного уравнения в ре-
результате решения его относительно и^1. Зная значения решения
Рис. 18
и?, (тп = 0, ±1,...) на слое t = tp — рт сетки, мы можем вычислять его
значения и^1 на следующем слое: t = t^+i = (р + 1)т.
Вторая схема Lh u^ = f^ лишена этого удобного свойства. В
этом случае разностное уравнение, выписанное при фиксирован-
фиксированных m, p нельзя разрешить относительно и^, выразив это значе-
значение через известные значения и^п_1, и^, и^п+1 с предыдущего слоя.
Дело в том, что в это уравнение входит не только неизвестное зна-
значение и^1, но также и неизвестные и^^, u^^i- Поэтому для опре-
определения uj^1 (m = 0, ±1,...) придется решать разностное уравнение
относительно сеточной функции и^1 аргумента тп. Тем не менее в
дальнейшем будет показано, что схема Д 'и'Л' = f^h\ как правило,
удобнее схемы L^ u^ = f(h\
При г = rh2 (r = const) обе схемы имеют второй порядок аппрок-
аппроксимации относительно h. Вычислим невязку 6f^ и оценим порядок
аппроксимации для второй из этих схем. Пользуясь формулами C),
§2. Некоторые приемы построения разностных схем
187
можно написать
. u(mh, 0).
Отсюда с учетом г = rh2 можно написать
LB)M = Г V(mh, (р + 1)т) + O(h2),
'(xm,tp) - <р(хт,tp+i) + O(h2),
Но
<P(Xm,tp+l) = <p(xm,tp) + [(f(xm),tp+i - <p(xm,tp)] -
= V>(xm,tp) + 0{r) = <p{xm,tp) + 0{h2).
Поэтому
\\6fhH\Fh=O(h2).
Пример З. Рассмотрим простейшую разностную схему, аппрок-
аппроксимирующую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате D
@ < х < 1, 0 < у < 1) с границей Г (см. рис. 8):
w + W2=<p{x'y)' (x'2/)eD'
tt|r =ip(x,y), (ж,у)еГ.
Построим сетку Dh, отнеся к ней те точки (хт,уп) = (mh,nh),
которые попали внутрь квадрата или на его границу. Шаг h будем
считать выбранным так, чтобы число 1/Л было целым.
Разностную схему Lhv№ = f^ зададим равенствами
Здесь
Невязка
\ ip(mh,nh), (mh,nh) € Г.
имеет в силу формул C) вид
Л2
о,
_
= if(mh,nh), (mh,nh)?Dh,
D,
188 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
так что аппроксимация имеет второй порядок. Пятиточечный шаб-
шаблон, отвечающий использованному разностному уравнению, изобра-
изображен на рис. 19.
Разностные схемы, построенные выше, получались
путем замены каждой производной в дифференци-
~~° альном уравнении тем или иным разностным отноше-
отношением.
2. Метод неопределенных коэффициентов.
Рис. 19 Более общий способ построения разностных схем со-
состоит в том, что приближается не каждая производ-
производная в отдельности, а сразу весь дифференциальный оператор. Разъяс-
Разъясним этот способ на примерах разностных схем для задачи Коши D).
Сначала рассмотрим схему первого порядка аппроксимации E). Она
связывает значения искомой функции в трех точках, изображенных
на рис. 17 слева. Разностное уравнение
г Л
используемое в этой схеме, имеет вид
= ip(mh,nh),
+ а1ит+1 =
Забудем на время, что нам уже известна разностная схема E),
для которой
а° = - =1-1 а = --
и, считая эти коэффициенты неопределенными, постараемся подо-
подобрать их так, чтобы имело место равенство
Ал [«]л
z—тпЛ
f=pr
"]л
x=mh
t=pr
(ди
<at
= Au
—) +С
t=pr
или
F)
где
. ди ди
Воспользуемся формулой Тейлора:
u(mh, (р + 1)т) = u(mh,pr) + г^(т^'рт) + О(т2),
и((тп + l)h,pr) = u{mh,pr) + h^i^PT) + Q(h2).
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 189
Подставив эти выражения в правую часть равенства
= a°u(mh, (р + 1)т) + аои{тк,рт) + щиПт + l)h,pr),
t—pr
получим
_ = (а° +Oq + ai) u(mh,pr) +
+ орт du{mh,pr) , я иди{тпЬ,рт)
ОЬ OX
Поскольку нашей целью является такой подбор коэффициентов а0,
do, oi, чтобы выполнялось условие аппроксимации F), то естественно
предварительно так сгруппировать слагаемые в правой части равен-
равенства (8), чтобы выделился член G). Тогда остальные слагаемые об-
образуют остаточный член аппроксимации, который должен быть мал.
Чтобы выделить член Ли, можно заменить в правой части равен-
равенства (8) производные du/dt или ди/дх соответственно по одной из
формул
ди . ди ди ди .
т=Аи + Ш или ai=m-Au-
Для определенности воспользуемся первой из них.
Кроме того, подчиним шаги г, h связи г = rh, где г — какая-
нибудь постоянная. После этого равенство (8) примет следующий вид:
°0 + «О «(
(a°r + ai)h Mgi?l) + О(а°гЧ2) + О(а, h2). (9)
Среди всех гладких функций и(х, t) можно указать такие, для кото-
которых и, ди/дх, du/dt в любой заранее заданной фиксированной точке
принимают любые независимые друг от друга значения. Следователь-
Следовательно, и значения
ди д ди ди , ч
также можно считать независимыми друг от друга. В силу этого из
равенства (9) следует, что для выполнения при любой правой час-
части <р(х, t) задачи D) условия аппроксимации
|(го/1)РТ) O(h) ,
необходимо, чтобы выполнялись равенства
a°r + аг = О + O3(h),
190 Ля. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
где Oi(h), 02(/i)> 0з(Л) — какие-нибудь произвольные величины по-
порядка O(h). Положим Oi(h) = О2Щ = 0з(М = 0. Получающаяся при
этом система
a°rh = 1, а0 + оо + ai = 0, а°г + сц = 0
имеет единственное решение
0_ 1 1 г-1 1 1 1
о, — — — —, Оо — —— —- -г , ai = — —)
rh r rh h т h
которое приводит к уже известной схеме E).
Теперь мы дополнительно узнали, что среди разностных схем вида
lh\ I a°Untl + aOUm + alum+l = y(m^>Pr)i
LhU" ' = < о _ .,
она является единственной, аппроксимирующей рассматриваемую за-
задачу Коши. Говоря о единственности, мы пренебрегаем тем произво-
произволом, который вносит свобода выбора функций O\(h), C>2(h), Оз{Ь).
Всюду в дальнейших примерах также будем пренебрегать подобного
рода очевидным произволом и даже не всегда будем вводить про-
произвольные величины, аналогичные величинам 0\{К), 02(h), Оз(^), с
самого начала полагая их равными нулю.
Посмотрим теперь, как можно строить для задачи D) разностные
схемы
Р 4-1 = (P(mhyPT)>
A0)
более общего вида, связывающие значения искомой функции в четы-
четырех точках. Шаги сетки снова свяжем равенством г = rh (r — const)
и введем обозначение Лд, положив
Для всякой достаточной гладкой функции и(х, t) с помощью фор-
формулы Тейлора можно записать
Afc[«]h = (а0 + а0 + о_! + «ц) u{mh,pr) + a°rh
+ ar/i
ох 2 at'-
+ \ («! + a^)h? Э2ц(^'рт) + O(a°r3h3,aih\ a^h3). A2)
Выделим в правой части этого равенства член Л„ = du/dt — ди/дх,
воспользовавшись для этого тождеством щ = их 4- Ли. Тогда
Kh[u]h = a°rhA.u\{mhpT) + (а0 + ао + ai + a_i) u(mh,pr) +
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 191
(а°г 4-O1 - о-О
Если предполагать, что величина O(a0r3/i3,ai/i3,a_i/i3) достаточно
мала (это предположение подтвердится в дальнейшем), то для выпол-
выполнения условия аппроксимации
необходимо, чтобы четыре числа а0, ао, сц, a_i удовлетворяли сле-
следующим трем равенствам:
a°rh = 1,
a0 + oo + ai + o_i = 0, A3)
a°r 4- ai — a-i = 0.
Система A3) имеет много решений — семейство решений, зави-
зависящее от одного параметра. Одно из этих решений
а =Vh> a-1=°' ао = —'
дает уже рассмотренную схему E). Решению
о 1 1 1
а =Vh' ao = ~Vh' a = 2h'
соответствует схема
m = V{mh).
Выбрав какое-либо решение системы A3), надо его подставить в
остаточный член и убедиться, что он мал. Для двух сейчас приве-
приведенных решений подстановка чисел а0, ао, oi, a_i дает остаточные
члены
aW *u + ^a^ h
порядка (
Среди гладких функций и(х, t) есть многочлены второй степени,
для которых d2u/dt2, д2и/дх2 принимают в любой фиксированной
точке любые независимые наперед заданные значения. При этом член
O(o°r3h3,oih3,o_ih3), в который входят третьи производные много-
многочлена и(х, t), обращается в нуль. Поэтому для того чтобы остаточный
член был порядка h, необходимо, чтобы коэффициенты при d2u/dt2,
192 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
д2и/дх2 каждый в отдельности были порядка h. Поскольку из пер-
первого уравнения A3) имеем а0 = l/(rh), то коэффициент при d2u/dt2
есть rh/2, и порядок остаточного члена всегда не выше первого.
Мы установили, что нельзя построить разностную схему ви-
вида A0), которая аппроксимирует задачу D) с порядком Л2. Для уве-
увеличения порядка аппроксимации пришлось бы увеличить число точек
разностной сетки, используемых в конструируемой схеме.
При дополнительном предположении, что у?(х, t) = 0, существует
одна и только одна схема вида A0), аппроксимирующая задачу D) со
вторым порядком относительно h. Построим ее, одновременно убеж-
убеждаясь в единственности. Заметим, что из тождества du/dt — ди/дх =
= 0 вытекает тождество d2u/dt2 — д2и/дх2. Действительно,
dt2 ~ dt\dt) ~ dt\dx) ~ dx\dt) ~ di\di
Поэтому при выполнении условий A3), необходимых для аппрокси-
аппроксимации первого порядка, равенство A4) примет вид
a^h3). A5)
Для получения схемы второго порядка с учетом a0 = l/(rh) необ-
необходимо, чтобы
а°г2 +сц+ a_i = 0. A6)
Система A3), A6) имеет единственное решение
Ol 1 . Г 1 —Г 1+Г
Второе слагаемое в правой части A5) есть O(h2), так что схема A0)
с коэффициентами A7) есть единственная схема второго порядка ап-
аппроксимации для задачи D) при ip(x, t) = 0. Соответствующая раз-
разностная схема имеет вид
ит —Щп _ Щп+l ~ Щп-l Г , р „ р р \ _ л
Во всех рассмотренных до сих пор в этой главе примерах разност-
разностных схем LhU^ — fW оператор Lh, который отображает простран-
пространство Uh в пространство Fft, задается явными формулами. Но часто
оказываются полезными разностные схемы, в которых оператор Lh
описывается тем или иным более сложным образом. В дальнейшем
мы еще встретимся с задачами, где такие схемы возникают естест-
естественным образом.
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 193
Изложенные приемы построения разностных схем остаются при-
применимыми и в случае задач с переменными коэффициентами, в слу-
случае нелинейных задач, в случае сеток с переменным шагом. Напри-
Например, в случае неравномерной прямоугольной сетки для замены произ-
производных, входящих в дифференциальное уравнение ихх + иуу = (р(х,у),
разностными отношениями с целью построения разностной схемы
можно воспользоваться формулами
i,уп) — и(хт,уп) и(хт,уп) - u(xm-i,yn)
дх2
ду2
е
и(хт>
Ахт
2/n+i) - и(
Ауп
Ахт
Ауп
+ Axm-i
2
и(хт,
+ Аг/п-1
Axm-i
Уп) — u(xm,yn-i)
Аг/n-i
2
Методом неопределенных коэффициентов можно убедиться в един-
единственности этих формул: с точностью до несущественного произвола
есть только один набор коэффициентов a_i, oq, a\, при котором для
любой достаточно гладкой функции и(х, у) имеет место формула
m+i, уп) + О(тах
с остаточным членом первого порядка малости относительно
тах(Дхт_1, Ахт). Формулы такого вида с остаточным членом вто-
второго порядка малости при Ахт ф Ахт-\ не существует.
Для более точной замены производной разностным отношением
здесь необходимо привлечь более трех точек сетки.
3. Идея метода А.С. Холодова. В этом методе даются некото-
некоторая точная постановка и способы решения следующей задачи. Рас-
Рассматривается класс схем, имеющих заданный шаблон. Пусть постав-
поставлены два требования, которым должна удовлетворять искомая схема,
причем одно из них считается основным, а второе — дополнитель-
дополнительным. Эти требования могут быть несовместимыми.
Задача состоит в том, чтобы среди схем из заданного класса, удов-
удовлетворяющих основному требованию, найти ту (или те), для которой
дополнительное требование нарушается меньше, чем для всех других.
Для изложения идеи воспользуемся классом схем вида
—Улев. $J$ JnpaB.
где ./лев. ^ 0, jnpaB. ^0 — целые числа. Схема вида A0) в случае
<p{x,t) = 0 ПРИВОДИТСЯ К ВИДУ A9), еСЛИ ПОЛОЖИТЬ J^b. = 1, jnpaB. = 1:
13 B.C. Рябенький
194 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
, a_i , ао , ai
Отождествим с каждой схемой вида A9) точку b = {b-jneB_,
Ь-лгев.+ъ — 1^'прав.) с координатами {bj} в fc-мерном линейном про-
пространстве, к = ]„ев, + jnpaB. 4- 1.
Допустим, что основное требование состоит в том, чтобы схема
удовлетворяла некоторому условию АОСИ., а дополнительное — в том,
чтобы она удовлетворяла также некоторому условию АДОП_.
Через Мо обозначим совокупность точек в пространстве разност-
разностных схем, для которых выполнено условие АоСИ_, а через Мо — сово-
совокупность точек, удовлетворяющих условию Ааоп_.
А.С. Холодов вводит в пространстве разностных схем какую-ни-
какую-нибудь норму, после чего за меру невыполнения условия АЯОПш для задан-
заданной схемы b G Md принимает расстояние dist(b, Мр) = inf ||b — х||
от точки b 6 Мо до множества Мр. Сформулированная выше зада-
задача приобретает тогда точную постановку: среди разностных схем,
удовлетворяющих условию АоСК_, т. е. среди точек Ь, принадлежа-
принадлежащих множеству Мо, найти ту точку, которая наименее удалена от
множества Мо- Эта задача решается средствами линейного програм-
программирования, оптимизации и другими.
Выбор нормы остается в руках исследователя и осуществляется с
учетом содержательного смысла дополнительного условия и простоты
отыскания нужной разностной схемы. Подробное изложение метода
и приложения см. в [11].
4. Схемы с пересчетом, или схемы "предиктор-коррек-
"предиктор-корректор". При построении разностных схем, аппроксимирующих неста-
нестационарные задачи, может быть использована та же идея, которая
лежит в основе конструкции схем Рунге-Кутта для обыкновенных
дифференциальных уравнений,— идея пересчета. Пересчет позволяет
повысить порядок аппроксимации, получаемый по исходной схеме, не
использующей пересчета. Кроме того, в случае квазилинейных диф-
дифференциальных уравнений пересчет дает дополнительную возмож-
возможность получения так называемых дивергентных схем, о которых бу-
будет идти речь в гл. 10.
Напомним идею пересчета на примере простейшей из схем Рунге-
Кутта численного решения задачи Коши для обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения
f = /(*,!/), У(О)=гР, 0<t<T. B0)
Если значение ур в точке tp = рт уже вычислено, то для вычисле-
вычисления ур+1 находим предварительно вспомогательную величину yp+i/2,
пользуясь простейшей схемой Эйлера (схема "предиктор")
Ур+1/2~УР ,,. ~ч
JL-^ =/&%)
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 195
а затем осуществляем корректирующий пересчет по схеме
Ур+i - ур _ ,/. ~ ч (оол
J ^p+i/2, J/p+i/2) ¦ B2)
Вспомогательная величина yp+i/2> найденная по схеме первого поряд-
порядка точности, позволяет приближенно найти угловой коэффициент ин-
интегральной кривой в середине отрезка [?p,?p+i] и получить j/p+i по
формуле B2) с большей точностью, чем это было бы сделано по схеме
Эйлера B1).
Мы уже отмечали в § 4 гл. 8, что все соображения остаются в
силе, если у, ур, j/p+i/2 будут конечномерными векторами, а / —
вектор-функцией. Но можно пойти и дальше, а именно считать у, ур,
Ур+1/2 элементами функционального пространства, а / — оператора-
операторами в этом пространстве.
Например, задачу Коши
и(х,0) = гр{х), —оо < х < оо,
А — const, можно считать задачей вида B0), если положить y(t) =
= u(x,t), так что при каждом t под у надо понимать функцию аргу-
аргумента х, а под операцией / — оператор —Ад/дх. Приведем пример
разностной схемы с пересчетом для задачи B3).
Пример. Пусть сеточная функция ир = {u?j (m = 0,±1,...) при
данном р уже вычислена. Найдем вспомогательную сеточную функ-
функцию йр+1/2 — {ufit1'2} (т = 0, ±1,...), отнесенную к моменту времени
tp+i/2 = (р + 1/2)т и к точкам xm+i/2 = (m + 1/2)Л, воспользовавшись
следующей схемой первого порядка точности:
=0, го=„,±1,... B4)
Затем осуществим коррекцию и найдем ир+1 с помощью схемы
-P+l/2 _ ~p+l/2
^+1-^+ЛЦ™+1/2/гЦто-1/2=0, m = 0>±l,... B5)
Исключая uv+1l2 из уравнений B4), B5), получаем схему
2h +A2 I? -U' B6)
Эта схема при А = — 1 совпадает со схемой A8). Случай А ф 1 несу-
несущественно отличается от разобранного. Схема B6), а значит, и схема
13*
196 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
с пересчетом B4), B5) имеют второй порядок аппроксимации по h;
т = rh (r = const).
Задачи
1. Для задачи Коши
и(.х,у,0) = <р(х,у), -оо<х,у<оо,
воспользоваться сеткой xm = mh, уп = nh, tp = рт и построить какую-либо
аппроксимирующую ее разностную схему.
2. Для задачи о теплопроводности
du/dt = &u/dx2, -oo<x,y<oo, O^t^T,
B7)
и(х, 0) = чр(х), —оо < х < оо,
рассмотреть разностную схему
гС1 - < _ g «Ci ~ ЪС1 + «С-1! , A а) «Ci ~ *& + <-х _
т h2 h2
u°m = tl>(mh),
где а — параметр.
а) Показать, что при любом а имеет место аппроксимация на гладком
решении u(x,t) с порядком О(т 4- h2).
б) Подобрать а так, чтобы аппроксимация была О(т2 + h2).
в) Связав шаги сетки соотношением т/h2 = r = const, подобрать затем а
так, чтобы получить аппроксимацию порядка h .
г) При а = 0 подобрать число г = r/h2 так, чтобы аппроксимация имела
порядок h4.
д*) Можно ли за счет выбора а при фиксированном т/h2 = г добиться
того, чтобы аппроксимация на любом гладком решении была порядка выше
четвертого?
3. Для задачи о теплопроводности
и(х, 0) = ф(х), -оо < х < оо,
пользуясь сеткой im = mh, tp — рт, построить аппроксимирующую ее раз-
разностную схему.
4. Для нелинейной задачи о теплопроводности
пользуясь сеткой xm = mh, tp — рт, построить аппроксимирующую ее яв-
явную разностную схему. Выписать формулы для вычисления яг ' по этой
схеме.
§2. Некоторые приемы построения разностных схем 197
5. Доказать, что схема с пересчетом для задачи B7), в которой значе-
значеения v%f на промежуточном слое оп
аппроксимации О(т + h2)
-р+1/2 „ SJ»+l/2 _ 2~Р+1/2 , -р+1/2
,
ния решения v%f на промежуточном слое определяются по неявной схеме
порядка аппроксимации О(т + h2)
—7]Г- J?
а решение {иЙ} — по схеме
- 2й?+1/2
ш-1 _ п
обладает аппроксимацией порядка О(т2 + h2) на гладком решении и.
6. Изменим разностную схему A0), отвечающую коэффициентам A7),
заменив в правой части ifi(mh,pr) на
= y(mh,pr) + у (
x=mh
Показать, что полученная при йтом схема аппроксимирует задачу D) с
порядком h2 при произвольной правой части <p(x,t), имеющей ограничен-
ограниченные производные достаточно высокого порядка.
7. Записать схему A0) при ^(^i*) B виде
1 ^,. A0')
Исходную схему A0) будем называть монотонной, если bj ^0 (j =
= -1,0,1).
Будем считать, что условие Аа — АОСн. состоит в том, чтобы схема A0)
имела порядок аппроксимации не ниже первого и была монотонна.
Описать в трехмерном пространстве R множество точек (b_i, bo, bi),
которому соответствуют схемы, удовлетворяющие условию Лц.
Ответ. В случае г = т/h > 1 множество Mq пусто. В случае г = 1 оно
состоит из одной точки @,0,1). В случае 0 < г < 2 множество Мо есть
отрезок с концами ( ,0, \, @,1 — г,г).
8. Для задачи Коши для уравнения колебаний струны
| = Л), -оо<х<оо,
исследовать аппроксимацию, которой обладает на достаточно гладком ре-
решении и{х, t) разностная схема
Lhu{h) = <
198 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
За норму Н/'^Ц^х принять максимум модулей всех компонент элемента
Показать, что аппроксимация имеет первый порядок относительно h,
если г = rh (г = const).
Как следует задать значения "фт , используя заданные функции tp(x, у, t),
ipl°\x), ip^\x), чтобы порядок аппроксимации оказался вторым?
9. Для задачи о распространении тепла на отрезке
рассмотреть разностную схему вида
= l,2,...,M-l; h = M~\ p = 0,1,.... [T/t] - 1,
р = 0,1,...,[Т/т].
За норму || • || ph принять максимум абсолютных величин правых частей
уравнений, составляющих в совокупности рассматриваемую разностную
схему. Шаги г, h считать связанными равенством г = rh2.
Показать, что схема A1) обладает порядком аппроксимации h2.
§ 3. Спектральный признак устойчивости
разностной задачи Коши
Изложим широко применяемый способ Неймана исследования раз-
разностных задач с начальными данными. В этом параграфе ограничим-
ограничимся случаем разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами,
а в § 4 частично распространим результаты на случай переменных
коэффициентов и смешанных задач.
1. Устойчивость по начальным данным. Простейшим при-
примером разностной задачи Коши может служить неоднократно встре-
встречавшаяся выше задача
= 0,±l,...
§3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Ноши 199
Положив
flh)=iV?n, P = 0,1,..., [Т/г] -1,
запишем задачу A) в форме
L
Определим нормы ||u^||[/h и ||/^||Fh равенствами
т,р т,р т
Тогда условие устойчивости задачи B)
примет вид
max|u?L| ^ с rnax|'0m| 4-max |y?* I , p = 0,1,..., [Т/т], D)
m L m m,fc J
где с не зависит от h (и от т = rh, r = const). Условие D) должно
выполняться при произвольных {^т}, {у'т}. В частности, для устой-
устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных {фт}
и ipP = 0, т. е. чтобы решение задачи
E)
удовлетворяло условию
max|<| sJcmaxhM, р = 0,1,..,[Г/г], F)
при произвольной ограниченной функции фт
Свойство F), необходимое для устойчивости D) задачи A), назы-
называют устойчивостью задачи A) относительно возмущения начальных
данных. Оно означает, что возмущение ^т, внесенное в начальные
данные задачи A), вызовет возмущение решения задачи A), которое
в силу F) не более, чем в с раз превосходит возмущение начальных
данных, причем с не зависит от h.
2. Необходимое спектральное условие устойчивости. Для
устойчивости задачи Коши A) по начальным данным необходимо,
чтобы условие F) выполнялось, в частности, если фт есть какая-
нибудь гармоника
и°т = -фгп = егат, т = 0,±1,.., G)
200 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
где а — вещественный параметр. Но решение задачи E) при началь-
начальном условии G) имеет вид
ирт - Xpeiam, (8)
где А = А(а) определяется путем подстановки выражения (8) в одно-
однородное разностное уравнение задачи E):
А (а) = 1 - г + reia, г — т/h - const. (9)
Для решения (8) справедливо равенство
max|u?J = |A(a)|pmax|u^J = |A(a)|pmax|^>m|.
тп tn тп
Поэтому для выполнения условия F) необходимо, чтобы при всех ве-
вещественных а выполнялось неравенство
|А(а)|р^с, р = 0,1,..., [Т/т],
или
|A(q)K14-cit, A0)
где с\ — некоторая постоянная, не зависящая от а, т. Это и есть не-
необходимое спектральное условие Неймана применительно к рассмат-
рассматриваемому примеру. Спектральным оно называется по следующей
причине.
Существование решения вида (8) показывает, что гармоника
{etam} является собственной функцией оператора перехода
который в силу разностного уравнения E) ставит в соответствие се-
сеточной функции {и?,} (тп = 0,±1,...), определенной на слое t = tp,
сеточную функцию {и^1}, определенную на слое t = ?p+i. Число
А(а) = 1 — г 4- гега является соответствующим этой гармонике {etam}
собственным числом оператора перехода. Линия, которую пробегает
точка А = А(а) на комплексной плоскости, когда а пробегает вещест-
вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спект-
спектром оператора перехода.
Таким образом, необходимое условие устойчивости A0) можно
сформулировать так: спектр оператора перехода, соответствующего
разностному уравнению задачи E), должен лежать в круге радиуса
1 4- С\Т на комплексной плоскости. В нашем примере спектр (9) не
зависит от т. Поэтому условие A0) равносильно требованию, чтобы
спектр А(а) лежал в единичном круге:
|А(а)| ^ 1. (И)
Воспользуемся сформулированным признаком для анализа устой-
устойчивости задачи A). Спектр (9) представляет собой окружность с цент-
центром в точке 1 — т и радиусом т на комплексной плоскости. В случае
§3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши 201
г < 1 эта окружность лежит внутри единичного круга (касаясь его в
точке Л = 1), при г = \ совпадает с единичной окружностью, а при
Рис. 20
г > 1 лежит вне единичного круга (рис. 20). Соответственно необхо-
необходимое условие устойчивости A1) выполнено при г ^ 1 и не выполнено
при г > 1. В н. 3 § 1 мы исследовали рассматриваемую разностную
схему и показали, что при г ^ 1 она устойчива, а при г > 1 неустой-
неустойчива. Таким образом, необходимое условие устойчивости Неймана
оказалось в данном случае, достаточно чувствительным, чтобы в точ-
точности отделить случай устойчивости от случая неустойчивости.
В общем случае задачи Коши для разностных уравнений и систем
разностных уравнений необходимый спектральный признак устой-
устойчивости Неймана состоит в том, что спектр Л = Л(а, К) разностной
задачи при всех достаточно малых h должен лежать в круге
|А|<1 + е A2)
на комплексной плоскости, как бы мало ни было заранее выбранное
положительное число е.
Заметим, что если для рассматриваемой разностной задачи спектр
окажется не зависящим от h (и от г), то условие A2) равносиль-
равносильно требованию, чтобы спектр А = А(а, h) = А(а) лежал в единичном
круге A1).
Под спектром разностной задачи в условии A2) понимается сово-
совокупность всех Л = А(а,/г), при которых соответствующее однородное
разностное уравнение (или система уравнений) имеет решение вида
< = A>VQm], A3)
где и0 — число (единица), если речь идет о скалярном разностном
уравнении, и числовой вектор, если речь идет о векторном разност-
разностном уравнении, т. е. о системе скалярных разностных уравнений.
202 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Бели необходимое условие Неймана A2) не выполнено, то ни при
каком разумном выборе норм нельзя ожидать устойчивости, а в слу-
случае его выполнения можно надеяться, что при некотором разумном
выборе норм устойчивость имеет место.
3. Примеры. Рассмотрим ряд интересных разностных задач
Коши и применим для анализа их устойчивости спектральный при-
признак Неймана. Начнем с разностных схем, аппроксимирующих диф-
дифференциальную задачу Коши
ajT-^j: =V>(x,t), -oo<z<oo, 0<«<Г,
u(x, 0) = ip(x), —oo < x < oo.
Пример 1. Рассмотрим разностную схему
^ ^ -^-^-* =<p(mh,pT), m = 0,±l,...,
u°m=ip(mh), p = 0,1,..., [Г/г] -1.
Подставляя выражение вида (8) в соответствующее однородное раз-
разностное уравнение, после простых преобразо-
преобразований получаем
Л(а) = 1 + г - re~ia.
В силу этой формулы спектр представляет
собой окружность с центром в точке 1 + г и
Рис 21 радиусом г (рис. 21). Ни при каком г спектр
не лежит в единичном круге. Условие устойчивости A2) всегда не
выполнено. Этого можно было ожидать.
При любом г = т/h не выполнено необходимое условие сходимости
(и устойчивости) Куранта, Фридрихса и Леви.
Пример 2. Рассмотрим разностную схему
i" -"то _ um+l ~ %n-l т iv _ n,.v . „P
+ um-l) ~
Г2h2/? ^Um-l
= <p(mh,pr), A5)
«m = 1p(rnh),
аппроксимирующую (проверьте) задачу A4) при <р = 0 со вторым по-
порядком относительно h. Для нее Л = А(а) определяется из уравнения
Обозначим по-прежнему г = т/h. Заметив, что
= sin а,
2г
. 2 а
21 ) =~Sm 2'
§3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши 203
получим
А(а) = 1 + ir sin а - 2г2 sin2 -, A6)
|A(a)f2 = (l - 2г2 sin2 |J + г2 sin2 a.
После простых преобразований найдем
l-|A|2=4r2sin4|(l-r2). A7)
Условие Неймана выполнено, если правая часть неотрицательна (г ^
^ 1), и не выполнено при г > 1.
Пример 3. Рассмотрим разностную схему
{ _
и°, = tf (m/i)
для той же задачи Коши A4). Подставляя в уравнение A8) выраже-
выражение (8), после сокращений получаем уравнение для А:
Г 2h
или
А(а) = 1 + i(j- sinaj.
Спектр А = A(a) заполняет вертикальный отрезок длины 2r/h, про-
проходящий через точку А = 1 (рис. 22).
Если т/h — г — const, то условие A2) не выполняется, спектр не
лежит в нужном круге. Если при h -> 0 шаг т изменяется как /i2, так
что г = т/Л2, то самая далекая от точки А = 0 точка А(а) имеет модуль
- = VI + тт < 1 + - т.
Условие |А(а)| ^ 1 + ст в этом случае выполнено при с = г/2.
Ясно, что требование т — rh2 является гораздо более жестким
условием на убывание шага по времени т при
стремлении шага h к нулю, чем требование т =
= rh, которого было достаточно для выполнения
признака Неймана для разностных схем E), A5),
аппроксимирующих ту же задачу Коши A4).
Отметим, что признак Куранта, Фридрих-
са и Леви позволяет утверждать (проверьте), Рис 22
что схема неустойчива только при т/h = г > 1,
а при т/h — г $: 1 суждений об устойчивости не дает и оказывается
слабее признака Неймана.
1-й-
204 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Рассмотрим теперь две разностные схемы, аппроксимирующие за-
задачу Коши для уравнения теплопроводности
¦fo-a2Qgi=V(x>t)> -oo<z<oo, O^t^T, ^щ
и(х, 0) = ip(x), —оо < х < со.
Пример 4. Явная разностная схема
J4U = ^^ }>
т №
u°m = ip(mh), m = 0,±l,..., р = 0,1,..., [Г/г] - 1,
позволяющая вычислить {и**1} по явной форме через {и*,}:
<"! = A - 2г)< + г«+1 + i4-i) + г^,
при подстановке up = Xpeiam в соответствующее однородное разност-
разностное уравнение приводит к соотношению
Заметив, что
получим
(а) = 1 - 4га2 sin2 —, г = ^-.
При изменении а число Л (а) пробегает отрезок 1 — 4га2 ^ Л ^ 1
вещественной оси (рис. 23).
Для устойчивости необходимо, чтобы левый
конец этого отрезка лежал в единичном круге
1 — 4ra2 ^ —1, или
г ^ 1/Bа2). B0)
В случае если г > 1/Bа2), точка
Рис. 23
A(a) = l-4ra2sin2(a/2),
отвечающая a = 7Г, лежит левее точки —1. Гармоника eivrn = (—l)m
порождает решение
не удовлетворяющее условию F) ни при какой постоянной с.
Пример 5. Рассмотрим теперь вторую схему — неявную:
= tp(mh,pr),
§ 3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши 205
Здесь {u^} не выражается через {и^} явной формулой, так как в
уравнение при данном m входит не одно, а три неизвестных: и**1,
unt1> um+i- Поэтому схему B1) называют неявной.
Аналогичные выкладки приводят к выражению
Спектр этой задачи заполняет отрезок
вещественной оси, и условие |Л| < 1 выполнено при любом г.
Спектральный признак Неймана применим для исследования раз-
разностной задачи Коши и в случае, если пространственных переменных
две или более.
Пример 6. Для задачи
ди дги , сги ~ , т
т = ы + ду^ -°°<х>у<^ о<«<г,
и(х,у,0) = ip{x,y)
возьмем сетку (xm,j/n,tp) = (mh,nh,pr). Заменяя производные раз-
разностными отношениями, построим разностную схему
+
Um,n+1 ~ 2иТПП + 71,71-1 р.
Го = Ц,
I m, n = 0, ±1,...; p = 0,1,..., [Т/т] - 1.
Задавая и^пп в виде el(am+0n), т. е. в виде двумерной гармоники, за-
зависящей от двух вещественных параметров а, /?, находим решение
вида
Подставляя это выражение в разностное уравнение, после сокращений
и тождественных преобразований находим
При изменении вещественных а, /? точка А = A(a,/J) пробежит
отрезок 1 — 8г ^ А ^ 1 вещественной оси. Условие устойчивости вы-
выполняется, если 1 — 8г > —1, или г ^ 1/4.
Приведем пример, иллюстрирующий применение признака Нейма-
Неймана для разностных уравнений, связывающих значения искомой функ-
функции не на двух, а на трех временных слоях.
206 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Пример 7. Задачу Коши для волнового уравнения
§-0=0, -оо<х<оо, O^t^T,
и{х,0)=<ф(°\х), ^°)=^1)(х), -оо<х<оо,
аппроксимируем разностной схемой
h2 ~ U>
Подставляя в разностное уравнение решение вида (8), получаем после
простых преобразований следующее уравнение для определения Л:
A2-2(l-2r2sin2?)A + l = 0, r=I
V 2 / п
Произведение корней этого уравнения равно единице. Если дискри-
дискриминант
d(Q)=4r2sin2|(r2sin2|-l)
квадратного уравнения отрицателен, то корни Ai(a), Аг(а) комплекс-
комплексно сопряженные и равные единице по модулю. В случае г < 1 дискри-
дискриминант остается отрицательным при всех а. На рис. 24, а изображен
-1
Рис. 24
спектр для этого случая. Он заполняет часть единичной окружности.
В случае г = 1 спектр заполняет всю окружность. При г > 1 по мере
увеличения от нуля до п корни Ai(a), A2(a) движутся из точки А =
= 1 по единичной окружности: один по часовой стрелке, а другой
против часовой стрелки, пока не сольются в точке А = —1, а затем
один из корней пойдет по вещественной оси из точки А = — 1 влево,
а другой вправо, так как они вещественны и А1А2 = 1 (рис. 24, 6).
Условие устойчивости выполнено при г ^ 1.
§3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши 207
Рассмотрим задачу Коши для следующей гиперболической сис-
системы дифференциальных уравнений, описывающей распространение
звука:
dv/dt = dw/дх, dw/dt = dv/дх,
-оо < z < оо, O^t^T, B5)
v(x, 0) = ip^fe), w(x,0)—:
Положим
u(x,t)= [4X'*i I , Щх) =
и запишем B5) в векторной форме:
¦^-А^=0, -оо < х < оо, 0 $;
и(х, 0) = ф{х), —оо < х < оо,
где
"О Г
^-¦1 oj-
Исследуем две разностные схемы, аппроксимирующие задачу B5').
Пример 8. Рассмотрим разностную схему
Ищем решение векторного однородного разностного уравнения в ви-
виде A3):
„о
, — \Р \ v
m Iго
Подставляя это выражение в разностное уравнение B6), приходим к
равенству
А — I
u А ;
Т П
или
„го: т
- А —;— и = О,
П
(Л - 1)«° - r(eia - 1)Аи°, г = r/h, B7)
которое можно рассматривать как векторную запись системы линей-
линейных уравнений для определения компонент вектора и0.
Запишем систему B7) в развернутой форме:
208 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Эта система линейных уравнений имеет нетривиальное решение и0 =
Г v° 1
== 0 лишь при тех А = А(а), при которых определитель систе-
системы B8) обращается в нуль:
(А - IJ = r2(eiQ - IJ.
Отсюда
Ах (а) = 1 - г + reia, А2(а) = 1 + г - reia. B9)
Корни Ai(a), A2(a) пробегают окружности радиуса г с центрами
в точках 1 — г, 1 + г соответственно (рис. 25). Условие устойчивости
Неймана не выполнено ни при каком г.
Пример 9. Рассмотрим разностную схему
О+1 V ..Р .Р
— Ъ1Р +iip 1 — 0
zum -г ит_1) — и,
аппроксимирующую задачу B5') со вторым порядком и аналогич-
аналогичную схеме A5) для скалярного случая A4).
Условие существования нетривиального реше-
решения вида A3) у векторного уравнения B5)
состоит, как и в примере 8, в том, чтобы об-
ращался в нуль определитель системы, возни-
кающей для определения и" = \ 0
Рис. 25 L w
Приравняв этот определитель нулю, полу-
получаем квадратное уравнение относительно А = А(а), из которого
находим
Ai(a) = 1 + ir sina — 2г2 sin2 —,
C0)
А2 (a) = 1 — ir sin a — 2r2 sin2 —.
Эти формулы аналогичны A6), и, как в A7), получим
l-|Alj2(a)|2=4r2sin4f(l-r2).
Спектр, задаваемый формулами C0), лежит в единичном круге при
Задачи
1. При каких значениях параметра а > 0 разностная схема, аппрокси-
аппроксимирующая задачу Коши для уравнения теплопроводности
iff1-с <ГЛ-2^'+<ГЛ ,„ ,<t+i-2<.
г =° Л* + 0--О) -2
§4- Принцип замороженных коэффициентов 209
удовлетворяет спектральному признаку устойчивости Неймана при любом
г = т/h1 — const?
2. Удовлетворяет ли спектральному признаку устойчивости следую-
следующая разностная схема:
«L = &(mh), p ^ 0,
где
T/ i\ / r.4 . tHi(i,0)| . _4 , 02u(x,0)
^(m/i)=u(i,0)+T-!-!-i = ц(х,0)+т * ' > =
Ot U=mh «E'
= ip(mh) + тф' (mh)l
Эта разностная схема аппроксимирует задачу Коши A9) для уравнения
теплопроводности с порядком О(т2 + h2).
§ 4. Принцип замороженных коэффициентов
Здесь мы изложим прием, весьма расширяющий класс нестацио-
нестационарных разностных задач, для исследования которых можно поль-
пользоваться спектральным признаком устойчивости. Этот необходимый
признак устойчивости, изложенный в § 3 для исследования разност-
разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, можно применять
и в случае разностной задачи Коши с непрерывными, но не постоян-
постоянными коэффициентами, а также для задач в ограниченных областях,
когда граничные условия задаются не только при t — 0, но и на боко-
боковых границах. Этим приемом можно пользоваться и для исследования
нелинейных задач.
1. Замораживание коэффициентов во внутренних точках.
Сформулируем принцип замороженных коэффициентов, восполь-
воспользовавшись в качестве примера следующей разностной краевой зада-
задачей:
- и,
< =
В этой разностной краевой задаче IiUq*'1 = 0, hvify1 =0 — некото-
некоторые условия, задаваемые соответственно на левой и правой границах
сеточного отрезка.
Выберем произвольную внутреннюю точку (х, t) области 0 < х <
< 1, где рассматривается задача A), и "заморозим" коэффициенты
14 B.C. Рябенький
210 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
задачи A) в этой точке. Возникающее разностное уравнение с посто-
постоянными коэффициентами
^А-аЭ-ц р>о, B,
будем рассматривать теперь не при m = 1,2,...,М— 1, а при всех
целочисленных т.
Сформулируем теперь следующий принцип замороженных коэф-
коэффициентов. Для устойчивости задачи A) необходимо, чтобы задача
Коши для разностного уравнения с постоянными коэффициентами B)
удовлетворяла спектральному признаку устойчивости Неймана.
В обоснование принципа замороженных коэффициентов приведем
следующее рассуждение на эвристическом уровне строгости. При из-
измельчении сетки коэффициент a(x,t) в окрестности точки (x,t) за
любое фиксированное число шагов сетки длины h по пространству и
длины т по времени в силу непрерывности функции а(х, t) меняется
все меньше и все меньше отличается от значения a(x,t). Добавим к
этому, что расстояние от точки (х,7) до границ * = 0, х = 0ия=1
отрезка, измеренное числом шагов сетки, стремится к бесконечнос-
бесконечности. Поэтому при мелкой сетке возмущения, наложенные на решение
задачи A) в момент времени t = t в окрестности точки х = х, разви-
развиваются (за малое время) примерно так же, как для задачи B).
Понятно, что это рассуждение носит общий характер. Оно не зави-
зависит от числа пространственных переменных, числа искомых функций
и вида разностного уравнения или системы уравнений.
В § 3 мы рассмотрели задачу Коши для уравнения вида B) и на-
нашли, что для выполнения условия Неймана отношение т/h шагов сет-
сетки должно удовлетворять условию
г ^ —1-^. C)
2a{x,t) v ;
Поскольку в силу принципа замороженных коэффициентов для устой-
устойчивости задачи A) это условие должно выполняться при любых х, t,
отношение т/h2 = г шагов сетки должно быть подчинено условию
Т ^ 2maxa(M)' ^
x,t
Принцип замороженных коэффициентов позволяет ориентиро-
ориентироваться на эвристическом уровне строгости и при исследовании устой-
устойчивости нелинейных задач. Поясним это на следующей нелинейной
задаче:
ut = A + и2)ихх = 0, 0 < а; < 1, 0<*<Т,
u(x,0) =ip{x), 0<х<1,
§4- Принцип замороженных коэффициентов 211
Используем разностную схему
U + KJJ ji
= ^М1)- Р = 0,1, -.., [Т/г] - 1,
, Р = 0,1,..., [Г/т].
В ней допускается изменение шага тр от слоя к слою. Эта схема позво-
позволяет последовательно, слой за слоем, вычислить u^ (m = 0,1,..., М),
затем и^ (m = 0,1,...) и т. д.
Допустим, что мы уже добрались до слоя t = tp, вычислили u?,
(т = 0,1,...,М) и хотим продолжать счет. Как выбрать следующий
шаг г = тр? Можно считать, что нам предстоит найти решение ли-
линейного разностного уравнения
и(Хт, гр; 7j — и
с заданным переменным коэффициентом a(xm,tp) = 1 + |u?,|2. Дейст-
Действительно, естественно считать, что значения и^ близки к значениям
u(mh,tp) гладкого решения и(х,t) дифференциальной задачи. Коэф-
Коэффициент тогда близок к непрерывной функции а(х,t) = 1 +и2(х,t),
которая на протяжении нескольких временных шагов мало изме-
изменяется.
Применение признака Неймана к уравнению с переменным коэф-
коэффициентом a(xm,tp) дает ограничение C) на соотношение шагов сет-
сетки, необходимое для устойчивости:
тр= < 1 1
<
р "¦ 2 max a(x, tp) 2 max(l + |г^|2) "
Отсюда следует рекомендация выбрать очередной шаг тр из условия
г < h2
Численный эксперимент на компьютере подтверждает правильность
этих эвристических рассуждений.
Если необходимое условие устойчивости, полученное путем
рассмотрения задачи Коши с замороженными в произвольной точке
области коэффициентами, окажется нарушенным, то устойчивости
нельзя ожидать ни при каком задании граничных условий. Подчерк-
Подчеркнем, однако, что принцип замороженных коэффициентов не
учитывает влияния граничных условий. В случае выполнения необ-
необходимого условия устойчивости, вытекающего из принципа заморо-
замороженных коэффициентов, устойчивость может иметь место при одних
14*
212 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
граничных условиях и не иметь места при других. Теперь изложим
признак Бабенко-Гельфанда, учитывающий влияние границ в случае
задачи на отрезке.
2. Признак Бабенко-Гельфанда. При рассмотрении задачи A)
мы полагали, что возмущения, сообщенные решению задачи A) в
окрестности произвольной внутренней точки (x,t), при мелкой сетке
развиваются примерно так же, как такие же возмущения, сообщенные
решению задачи Коши B) с замороженными в точке (х, 7) коэффици-
коэффициентами. В обоснование этого принципа мы принимали во внимание,
что расстояния от внутренней точки (x,t) до границ, измеренные чис-
числом шагов сетки, при измельчении сетки неограниченно возрастают.
Но если точка (x,t) лежит на боковой границе х — 0 или ж = 1, то это
эвристическое рассуждение теряет убедительность. Пусть, например,
х = 0. Тогда расстояние от точки (х, t) до любой фиксированной точ-
точки х > 0 (в частности, до правого конца отрезка х — 1), измеренное
числом шагов сетки, при h —t 0 по-прежнему неограниченно возрас-
возрастает, но число шагов до левого конца х = 0 не меняется и остается
равным нулю.
Поэтому возмущение решения задачи A) вблизи левой границы
х = 0 за малое время должно развиваться подобно возмущению реше-
решения задачи
= 0.
Эта задача получилась из исходной задачи A) при замораживании ко-
коэффициента а(х, t) в левом конце отрезка 0 ^ х ^ 1 и одновременном
удалении правой границы Ь + со. Задачу D) естественно рассматри-
рассматривать только на тех функциях ир = {тхд,^,...}, для которых
к.*, -> 0, т ->¦ +00.
Только в этом случае возмущение сосредоточено вблизи границы х =
= 0, и только относительно возмущений такого вида задача A) и
задача D) вблизи левой границы х = 0 сходны между собой.
Точно так же развитие возмущений решения задачи A) вблизи
правой границы х = 1 должно быть похоже на развитие таких же
возмущений для задачи
E)
с одной только правой границей. Эта задача возникла из исходной
задачи A) при замораживании коэффициента a(x,t) в правом конце
§4- Принцип замороженных коэффициентов 213
х = 1 и при удалении левой границы Ь — со. Задачу E) надо рассмат-
рассматривать на сеточных функциях ир = {—.ulni^.uj, ...,upM], удовлетво-
удовлетворяющих условию к.^, —> 0 при m —> —со.
Задачи B), D), E) проще исходной задачи A) в том отношении,
что при фиксированном г = т/h2 они не зависят от Л и являются
задачами с постоянными коэффициентами.
Таким образом, процедура исследования устойчивости, учиты-
учитывающая влияние границ, применительно к задаче A) состоит в сле-
следующем. Надо составить вспомогательные задачи B), D), E). Для
каждой из этих трех задач, не зависящих от h, надо найти все те
числа А (собственные числа оператора перехода от ир к iap+1), при
которых существуют решения вида
При этом в случае задачи B) функция и0 = {и^} (m = О, ±1,...) долж-
должна быть ограничена. В случае задачи D) для и0 = {и^} (т ^ 0)
должно быть и^ -> 0 (т -> +со), а в случае задачи E) должно быть
и° = {ит} (т ^ М), и°т -»¦ 0 (т -> -со).
Для устойчивости задачи A) совокупность собственных чисел
каждой из трех задач B), D), E) должна лежать в" единичном круге
|А| < 1. (Задача B) рассматривается при каждом фиксированном х
@<х< 1).)
Продолжим рассмотрение задачи A). Будем считать в дальней-
дальнейшем, что а(х, t) = 1, и вычислим спектры для всех трех задач B), D),
E) при различных краевых условиях liu^1 = 0, hitf^1 = 0.
Подставляя решение и?, = Хрит в разностное уравнение B),
получаем
(А - 1)к,т - r(um+i - 2tim + tim_i) = 0, г = т/h2,
или
—2г + 1 - А _ ,„ч
Um+1 Um + Um-i = 0. F)
Это — обыкновенное разностное уравнение второго порядка.
Чтобы написать общее решение уравнения F), составим характе-
характеристическое уравнение
Если q — корень этого уравнения, то сеточная функция
«т =
есть одно из решений уравнения
214 Гл. 9- Разностные схемы для уравнений с частными производными
Если |д| = 1, т. е. q = еш, то ограниченная при т -* +оо и при
т —? — оо сеточная функция
,.р _ \р iam
как мы видели в § 3, является решением при
А = 1 - 4r sin2(a/2), 0 ^ а < 2тг.
Эти А = А(а) заполняют отрезок 1 — 4г ^ А ^ 1 на вещественной оси.
Этот отрезок и есть спектр задачи B). Собственных значений А, не
лежащих на этом отрезке, задача B) не имеет, так как в случае от-
отсутствия у характеристического уравнения G) корня q, по модулю
равного единице, задача F) не имеет ограниченного при т —> ±оо
решения.
Если А не лежит на отрезке 1 — 4г «$ А ^ 1, то оба корня харак-
характеристического уравнения G) отличны по модулю от единицы, но
их произведение равно свободному члену квадратного уравнения G),
т. е. единице. Поэтому среди корней уравнения G) один по моду-
модулю больше, а другой меньше единицы. Пусть для определенности
|gi(A)| < 1, \q2\ > 1. Тогда общее решение уравнения F), убывающее
по модулю при т -* +оо, имеет вид
um=cq?, qi=qi(X)<l,
а общее решение уравнения F), стремящееся к нулю при т —t —оо,
имеет вид
Для определения собственных значений задачи D) надо подста-
подставить ит = cq™ в левое граничное условие 1\и = 0и найти те А, при
которых оно выполняется. Это и будут все собственные значения за-
задачи D). Если, например, Zitio = uo = 0, то условие cq® = 0 не выпол-
выполняется ни при каком с ф 0, так что собственных значений нет. Если
1\Uq = Hi — uq = 0, то условие c(qi — q°) = c(q\ — 1) = 0 в силу q\ ф 1
приводит к с = 0, так что собственных значений опять нет. В случае
huo = 2щ — щ — 0 условие cBq\ — qi) = 0 выполняется при с ф О,
если 9i = 1/2 < 1.
Из уравнения G) находим, что при q\ = 1/2 число А есть
2
Это и есть единственное собственное значение задачи D). Оно ле-
лежит вне единичного круга устойчивости. Аналогично вычисляются
собственные значения задачи E). Они получаются из уравнения
12им = О
§4- Принцип замороженных коэффициентов 215
при
Рассмотрим в качестве еще одного примера разностную схему
^р ^P ТТЛ
U) P UI'-'LrJ if
г h
m = 0,l,...,M-l, Mh=l, W
и°т=ф(тК), ^=0,
аппроксимирующую задачу
и(х,0) ~ф(х), ti(l,t) = O.
Применим для исследования ее устойчивости признак Бабенко-
Гельфанда. Сопоставим по схеме (8) три задачи: задачу без боковых
границ
*С?"?*&=0> m = 0,±i,..., (9)
задачу с одной только левой боковой границей
ит -пт_пт+1-ит=^ т = 0I) _ A0)
и задачу с одной только правой боковой границей
ирт -1&_^-14п^0| т = М-1,М-2,..., (и)
В случае задачи A0) — с одной только левой боковой границей —
граничного условия нет, так как его не было в исходной задаче (8).
Надо найти совокупность собственных чисел всех трех операто-
операторов перехода от ир к up+1, соответствующих каждой из трех вспо-
вспомогательных задач (9)—A1), и выяснить, при каких условиях все они
лежат в круге |А| «$ 1.
Решение вида
при подстановке в разностное уравнение
r = r/h,
приводит к следующему обыкновенному разностному уравнению
первого порядка для собственной функции:
(А - 1 + r)um - rum+l = 0. A2)
216 Гл. 9. Разностные схемы для уравнений с частными производными
Соответствующее характеристическое уравнение
X-l + r-rq = 0 A3)
дает связь между Аид. Общее решение уравнения A2) есть
г ) , т = 0,±1,...
При |д| = 1, q = eia @ ^ а ^ 2тг)
X = l-r + reia.
Точка А = А(а) пробегает окружность с центром в точке 1 — г и ради-
Рис. 26
усом г. Это и есть собственные значения задачи (9) (рис. 26, а). Убы-
Убывающее при т -> +00 нетривиальное решение задачи A0) существует
при любом q (\q\ < 1).
Соответствующие А = 1 — г + rq заполняют, очевидно, всю внут-
внутренность круга, ограниченного окружностью А = A — г)+ге1а
(рис. 26, б).
Наконец, решения задачи A1) и?, = Хрит, убывающие при т ->
-> —со, должны иметь вид
где A, q связаны равенством A3).
Из граничного условия ирм = 0 следует, что нетривиальное реше-
а б в
Рис. 27
ние существует только при А = X(q) = 0, т. е. при q = (г — 1)/г. Эта
§4- Принцип замороженных коэффициентов 217
величина q по модулю больше единицы в случае выполнения одно-
одного из неравенств, а именно, (г - \)/г > 1 или (г — 1)/г < —1. Первое
неравенство решений не имеет. Решение второго имеет вид г < 1/2.
Итак, при г < 1/2 задача A0) имеет собственное значение А = 0
(рис. 26, в). На рис. 27 изображены объединения собственных значе-
значений всех трех задач соответственно для случаев г < 1/2, 1/2 < г < 1,
г > 1.
Ясно, что объединение собственных значений всех трех задач ле-
лежит в круге |А| < 1 + ст, где с не зависит от г в том и только том
случае, если г «С 1.
Изложенный здесь признак устойчивости нестационарных раз-
разностных задач на отрезке, учитывающий влияние граничных усло-
условий, применим и в случае краевых задач на отрезке для систем раз-
разностных уравнений. В этом случае естественные на первый взгляд
схемы, удовлетворяющие признаку Неймана, часто оказываются не-
неустойчивыми из-за неудачной аппроксимации граничных условий, и
важно уметь подбирать схемы, свободные от этого недостатка.
В [5, 6] спектральный признак Бабенко-Гельфанда обсуждается
с более общей точки зрения — на основе введенного там понятия
спектра семейства операторов. В частности, С.К. Годуновым' и
B.C. Рябеньким строго показано, что его выполнение необходимо для
устойчивости и что в случае его выполнения устойчивость не может
грубо нарушаться.
Задачи
1. Выяснить условия выполнения спектрального признака устойчивос-
устойчивости для разностной схемы
2Л 2 /г2
= 1,2,...,М-1,
i>(mh), m = 0,1,...,
«5?1 = о, р = о,1,...,рут]-1,
аппроксимирующей дифференциальную задачу
и(х,0) = <p(x), tt(l,t) = O
на гладком решении u(x,t) со вторым порядком относительно h.
Ответ, т/h sj 1.
2. Для построения разностной схемы, аппроксимирующей следующую
краевую задачу для гиперболической системы дифференциальных уравне-
уравнений:
dv_dw dw_dv 0<t<T
at - ax' at~ дх' °*x*i, o^t^i,
218 Гл. 9- Разностные схемы для уравнений с частными производными
v(x,O) =
положим u(x,t) = \ ' Л , ф{х) = .B), [ и запишем ее в матричной
форме
dt дх ~ '
v@,t) = w(l,t) = 0,
где А = . „ . Выберем сетку (zTO,tp) = (mh,pr), h = М~1, М — нату-
натуральное число. Положим
2Л 2
m = 1,2, ...,М- 1,
Для завершения построения схемы надо задать дополнительные граничные
условия на левой и правой боковых границах. Заметив, что при любых а,
Р из системы дифференциальных уравнений следуют равенства
d{v + aw) _ d(w + av)
dt дх
d(v + 0w) d(w + (.
dt дх
1=1
зададим дополнительные разностные краевые условия, положив
h
При условии г = т/h ^ 1 показать, что:
а) если q = 1, E = —1, то спектральный признак устойчивости выполнен;
б) если а = —1, то независимо от выбора числа /3 спектральный признак
устойчивости не выполнен;
в) найти условия, которым должны удовлетворять а, C, чтобы выпол-
выполнялся спектральный признак устойчивости, учитывающий влияние гра-
граничных условий.
§5. Уравнение теплопроводности 219
§ 5. Явные и неявные разностные схемы
для уравнения теплопроводности
Рассмотрим следующую задачу для модельного уравнения тепло-
теплопроводности:
~-a(x,t)~ = 0, a(x,t)>0, 0 ^ х ^ 1,
и(х,0)=Мх), (Ч
U\X=O = У>лев.(*), U\x=l - VnpaB.(*)-
Для численного решения этой задачи рассмотрим и сравним две
разностные схемы — явную и неявную. При этом выяснится, что в
некоторых случаях неявная схема обладает преимуществами перед
явной, несмотря на то, что сам алгоритм вычислений по явной схеме
проще. Это преимущество связано с ее устойчивостью при любом
соотношении шагов сетки по времени и по пространству.
1. Явная разностная схема. Воспользуемся следующим раз-
разностным аналогом (см. рис. 18):
а(х <+12^ + <_t_
а\хт, ip) j-x — и,
m, m = 0,l,...,M, Mh-l,
1?^ — Управ. (*p+l),
<0=0, tp = T0 + T\ +... +Tp_i, p=l,2, ...
Пусть решение u^, (m = 0,1,..., M) уже найдено при к = 0,1, ...,р.
Тогда вычисление и^1 на временном слое t — tp+i = tp + тр осу-
осуществляется в силу B) по явной формуле
<_,), C)
Поэтому разностная схема B) называется явной разностной схемой.
В силу принципа замороженных коэффициентов устойчивости
можно ожидать лишь в том случае, если
h2
Т < Ч D)
р ^ 2maxa(zm,*p)'
Отсюда следует, что в случае больших значений a(xm,tp) в окрест-
окрестности какой-нибудь точки (x,t) для вычисления решения на слое
t = tp+i придется воспользоваться очень маленьким значением т,
так что продвижение до заданного t — T может потребовать очень
большого числа шагов по времени и оказаться практически слишком
трудоемким.
220 Гл. 9- Разностные схемы для уравнений с частными производными
Заметим, что это не связано с физической сутью дела. В самом
деле, большое значение коэффициента теплопроводности a(xm,tp) в
окрестности точки (х, t) физически означает просто, что эту окрест-
окрестность можно "вырезать" из теплопроводного стержня, не изменив
картину распространения тепла: можно считать, что этот кусочек
стержня сделан из материала с нулевой теплоемкостью.
2. Неявная разностная схема. Вместо схемы B) воспользуемся
неявной разностной схемой
Пусть решение на слое t = tp уже найдено, так что значения и?,
(т = 0,1,..., М) уже вычислены. Для вычисления решения тх^1 (т =
= 0,1,..., М) надо решить систему E) вида
где
= 1,2,'...,M -
ат — 7m •" ^2 ТР
_ 2a(xm,tp)_
Pm — 7Ъ rp "Г 1)
_
Очевидно, что
\0ТП I > IQT71 I + lOrn I + <^ й = 1 > О,
так что выполнены условия применимости метода прогонки.
В § 3 (см. пример 5) мы рассмотрели неявную разностную схе-
схему для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом и
установили, что спектральный признак устойчивости выполнен при
любом отношении т/h2 = г шагов сетки по времени и пространству. В
силу принципа замороженных коэффициентов спектральный признак
не накладывает ограничений на шаги сетки и в случае переменного
коэффициента теплопроводности. Это делает неявную схему пригод-
пригодной и в тех случаях, когда а(х, t) в отдельных местах принимает очень
большие значения.
В заключение отметим, что условие устойчивости D) для явной
схемы B) и абсолютная устойчивость схемы E) установлены на-
нами на эвристическом уровне строгости, поскольку мы опирались на
принцип замороженных коэффициентов, носящий эвристический ха*
§5. Уравнение теплопроводности 221^
рактер. Однако наши выводы о свойствах явной и неявной разност-
разностных схем B), E) действительно справедливы и могут быть строго
доказаны.
Задача
Пусть коэффициент теплопроводности в задаче A) задается формулой
а = 1 + и2, так что задача A) становится нелинейной.
а) Предложить явную и неявную разностные схемы для этой задачи.
б) Рассмотреть явную схему
1 + (m) ] 2 ,
т = 1,2, ...,М — 1,
«О-^лев., ^т—фшу MM=vSpaB.. P = 0, 1,...
Как выбирать тр по значениям и% решения на слое р?
в) Рассмотреть неявную разностную схему на основе следующего раз-
разностного уравнения:
Как следует усовершенствовать это уравнение, чтобы при переходе от
и^ (тп = 0,1,...,М) к м^ (т = 0,1,...,М) можно было воспользоваться
методом прогонки?
ГЛАВА 10
ПОНЯТИЕ О РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЯХ
И СПОСОБАХ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Такие дифференциальные уравнения математической физики, как
уравнения газовой динамики, упругости, теплопроводности и др., яв-
являются следствиями физических законов сохранения величин (массы,
импульса, энергии и т. д.) [21], записываемых в некоторой интеграль-
интегральной форме. Эти дифференциальные уравнения равносильны исход-
исходным интегральным соотношениям только в том случае, если искомые
физические поля (т. е. искомые функции) дифференцируемы.
Во всех рассмотренных до сих пор примерах мы предполагали,
что существуют достаточно гладкие решения дифференциальных
краевых задач, а в основу построения разностных схем клали прибли-
приближенную замену производных в дифференциальном уравнении
разностными отношениями. Однако дифференцируемых функций не-
недостаточно для описания многих важных процессов физики. Так, на-
например, физические эксперименты показывают, что распределения
222 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
давления, плотности и скорости в сверхзвуковом течении невязкого
газа описываются функциями, имеющими скачки. Скачки (разрывы)
могут возникать с течением времени при гладких начальных данных.
Интегральная форма записи законов сохранения имеет смысл и
для разрывных решений, так как разрывные функции можно ин-
интегрировать. Однако теряется возможность перейти к равносильной
дифференциальной постановке задачи, так как разрывные функции
нельзя дифференцировать. Вместе с тем теряются удобства, кото-
которыми мы пользовались при исследовании свойств решений диффе-
дифференциальных краевых задач и при построении разностных схем. По-
Поэтому прежде чем переходить к построению алгоритмов вычисле-
вычисления разрывных решений задач, сформулированных в терминах интег-
интегральных законов сохранения, полезно так обобщить понятие решения
дифференциальной краевой задачи, чтобы она сохраняла смысл и ос-
оставалась равносильной исходному интегральному закону сохранения
даже в случае разрывных решений.
Мы изложим способ перехода от постановки задачи в терминах
интегрального закона сохранения к равносильной дифференциальной
краевой задаче, имеющей лишь обобщенное (разрывное) решение, а
также способы вычисления обобщенного решения на примере следую-
следующей задачи.
В полосе 0 ^ t ^ Т найти функцию и(х, t), для которой при произ-
произвольном замкнутом контуре Г выполнено равенство вида
где к — некоторое фиксированное натуральное число, и которая удов-
удовлетворяет начальному условию
и(х,0) — ф{х), — оо < х < оо. (Б)
Левую часть уравнения (А) можно понимать как поток вектора
через контур Г. Требование, чтобы поток этого вектора через произ-
произвольный контур Г был равен нулю, будем понимать как некоторый
закон сохранения, записанный в интегральной форме.
Задача (А), (Б) является простейшей среди обладающих свойст-
свойством возникновения разрывных решений из гладких начальных дан-
данных. Поэтому она может служить модельной для понимания способов
решения подобных задач в газовой динамике.
§1. Дифференциальная формулировка интегрального закона 223
§ 1. Дифференциальная формулировка
интегрального закона сохранения
1. Дифференциальное уравнение в случае гладких реше-
решений. Предположим сначала, что задача (А), (Б) имеет решение и(х, t),
непрерывное вместе со своими производными всюду в полосе 0 ^ t ^
^ Т. Покажем, что в таком случае она равносильна следующей задаче
Коши:
?+«? = 0, 0<*<Г, -оо<х<оо, A)
и(х,0)=-ф(х).
Уравнение A) называется уравнением Хопфа. Для этого напомним
формулу Остроградского-Трина. Пусть D — произвольная область с
границей Г на плоскости Oxt, и пусть функции Ф^х, ?), Ф2(х, *) име-
имеют в области D непрерывные вплоть до границы Г частные производ-
производные. Тогда справедлива следующая формула Остроградского-Грина:
.. t + дх
D Г
Это тождество означает, что интеграл от дивергенции
+ дФ%/дх векторного поля Ф = ж1 по области D равен потоку век-
вектора Ф через границу Г этой области. Пользуясь этой формулой, мож-
можно написать
ик иш Г[\д (ик\ д (ик+1
D
Отсюда видно, что если гладкая функция и(х, t) удовлетворяет
уравнению A), то выполнено и равенство (А). В самом деле, если
выполнено A), то также
Поэтому правая часть C) обращается в нуль. Справедливо и обратное:
если гладкая функция и(х, t) удовлетворяет интегральному закону
сохранения (А), то в каждой точке (хо, to) полосы 0 < t < Т выполнено
уравнение D), а вместе с тем и A). Для доказательства предположим
противное, и пусть для определенности в некоторой точке (хо,*о)
д (ик\ д (ик+г \ I '
dt\ к ) дх V. к + 1 / I z=zo
1 t=t0
224 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
Тогда в силу непрерывности можно найти столь малый круг D с
границей Г и с центром в точке (xo,io)i всюду в котором
т\ к
Получим
Г D
Возникшее противоречие 0 > 0 доказывает сделанное утвержде-
утверждение: для гладких функций u(x,t) задача (А), (Б) и задача Коши A)
равносильны.
2. Механизм возникновения разрывов. Предположим сна-
сначала, что задача A) имеет гладкое решение u(x,t). Введем линии
х = x(t), определяемые уравнением
^=u(x,t). E)
Эти линии называются характеристиками уравнения щ + иих = 0.
Вдоль каждой характеристики х — x(t) решение и(х, t) можно счи-
считать функцией, зависящей только от t:
u(x,t) = u[x(t),t] — u(t).
Тогда
du _ ди ди dx _ „
~di ~ Ж ~dx~dt ~
Поэтому вдоль характеристики решение постоянно: и(х, t) — const. Но
в силу уравнения E) из и = const следует,
tk i что характеристика есть прямая линия
Здесь хо — абсцисса точки (жо,0), из
которой выходит характеристика, а и =
= ф{хо) — угловой коэффициент ее на-
/х 5? клона к оси Ot. Заданием начальной
функции и(х,0) — ф(х), таким образом,
наглядно определяется и картина харак-
характеристик, и значения решения и(х, t)
/I в каждой точке полуплоскости t > 0
Рис 28 (рис. 28).
Заметим сразу же, что в предположе-
предположении существования гладкого решения u(x,t) характеристики не мо-
могут пересекаться, так как каждая характеристика приносила бы в
§1. Дифференциальная формулировка интегрального закона
225
точку пересечения свое значение решения и решение не было бы од-
однозначной функцией. При монотонно возрастающей функции ip(x) с
ростом Хо угол а увеличивается, характеристики не пересекаются
(рис. 29). Но в случае убывания функции ф{х) характеристики схо-
сходятся и пересечения неизбежны независимо от гладкости функции
/
0
X
Рис. 29
Рис. 30
—
0
u(x,t/2)
u(x,t)
X
Рис 31
u(x,t). Гладкое решение задачи A) перестает существовать с момен-
момента t = t, когда хотя бы две характеристики пересекутся (рис. 30);
графики функции и(х, t) = и при t = 0, t ~ t/2, t — t изображены на
рис. 31.
3. Условие на линии разрыва решения. Пусть внутри облас-
области, где отыскивается решение, имеется линия х = x(t) на которой
решение и(х,t) задачи (А), (Б) терпит разрыв первого рода. Пусть
при приближении к этой линии слева или справа получаем на ней
соответственно
u(x,t) = uneB.(x,t), u(x,t) ~ unpaBXx,t).
Оказывается, что значения uneB.(x,t), иправ.(х,t) и скорость движе-
15 B.C. Рябенький
226 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
ния точки разрыва х = dx/dt не
могут быть произвольными: они
связаны между собой некоторым со-
соотношением.
Пусть L является линией разры-
разрыва (рис. 32). Интеграл
с „fc+1
Рис. 32
по контуру ABCDA, как и по любо-
любому другому контуру, обращается в
нуль. Когда отрезки ВС и DA стя-
стягиваются к точкам Е и F соответственно, интегралы по ним обраща-
обращаются в нуль и получается равенство
и
или
V
г
где [z] = znpBB. — zneB. — скачок величины z на линии разрыва, a L' —
произвольный участок этой линии.
В силу произвольности участка V в каждой точке должна обра-
обращаться в нуль подынтегральная функция:
kldt Ik+ 1
Тогда
dt Lfe + U/ Ik Г ^
Отсюда при различных к на линии разрыва получаются различные
условия. В частности, в случае к = 1
а в случае к = 2
dt
_ 2 «лев. + илев. «прав. + «прав.
G)
dt
Отсюда видно, что условия на разрыве, которым должно удовлетво-
удовлетворять разрывное решение задачи (А), (Б), зависит от к.
§1. Дифференциальная формулировка интегрального закона 227
4. Обобщенное (разрывное) решение дифференциальной
краевой задачи. Введем понятие обобщенного решения задачи Ко-
ши A), отождествив это решение с решением задачи (А), (Б).
В случае решения, имеющего, как мы видели, всюду непрерывные
производные, это решение не зависит от к и совпадает с обычным
решением задачи Коши A); решение в этом случае — это диффе-
дифференцируемая функция, обращающая уравнение du/dt + ди/дх = 0 в
тождество и удовлетворяющая начальному условию u{x,G) = ip(x). В
плодотворности рассмотрения наряду с задачей (А), (Б) равносильной
ей задачи Коши A) мы убедились, занимаясь выяснением механизма
возникновения разрывов. Этот механизм трудно было бы выяснить,
оставаясь в рамках постановки задачи (А), (Б) и не используя задачу
Коши A).
В случае разрывного решения приведенное нами определение обоб-
обобщенного решения задачи A) пока ничем не обогащает постановку за-
задачи (А), (Б), являясь лишь ее переименованием. Поэтому придадим
определению обобщенного решения задачи A), приведенному выше,
другую форму.
При этом мы будем рассматривать лишь те решения задачи (А),
(Б), которые в полосе 0 < t < Т имеют непрерывные первые производ-
производные всюду, кроме некоторых гладких кривых х = x(t), на которых
они могут претерпевать разрывы первого рода (скачки).
Будем называть u(x,t) обобщенным решением задачи Коши A),
соответствующим интегральному закону сохранения (А), если:
а) функция и(х, t) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению A) в каждой точке полосы 0 < t < Т, не лежащей на линиях
разрыва;
б) на линии разрыва выполняется условие F);
в) для каждого х, для которого ф(х) непрерывна, функция и(х, t)
непрерывна в точке (х, 0) и удовлетворяет начальному условию
и(х,0)=<ф{х).
Мы не будем доказывать равносильность двух определений обоб-
обобщенного решения, приведенных выше, предоставляя это читателю в
качестве упражнения.
Подчеркнем, что обобщенное решение задачи Коши A) задается в
случае разрывного решения не только равенствами A), но и указа-
указанием того, какому интегральному закону сохранения это обобщенное
решение соответствует. В нашей постановке задачи (А), (Б) нет осно-
оснований предпочесть какое-либо значение к.
В задачах математической физики интегральный закон сохране-
сохранения, аналогичный условию (А), выражает некоторое конкретное
реальное свойство и вполне определен.
В дальнейших рассмотрениях мы будем считать для определеннос-
определенности, что выполняются интегральный закон сохранения (А), отвечаю-
15*
228 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
dt ~ 2
щий значению к = 1, и вытекающее
из него условие G) на разрыве.
5. Распад произвольного раз-
разрыва. Пусть заданы разрывные на-
начальные данные
, х<0,
, х>0.
Построенное по этим начальным
^х данным решение изображено на
рис. 33. Тангенс угла наклона ли-
Рис- 33 нии разрыва dx/dt = B -I-1)/2 = 3/2
является средним арифметическим тангенсов углов наклона характе-
характеристик по обе стороны от нее.
Зададим теперь в начальных условиях другой разрыв:
х<0,
х>0.
На рис. 34 видно, что возможны два способа построения решения.
Рис. 34
При первом способе (рис. 34, а) мы получаем непрерывное решение,
а при втором (рис. 34, б) — разрывное решение при t > 0. Следует
предпочесть непрерывное решение. В пользу этого говорит следую-
следующее рассуждение. Если несколько изменить начальные данные, задав
их формулой
( 1, х ^ 0,
и = < 2, х ^ е,
[ 1 + х/е, 0 ^ х ^ е,
то решение и определится однозначно. Оно изображено на рис. 35.
При стремлении е к нулю это решение переходит в непрерывное ре-
§2. Построение разностных схем
229
шение, изображенное на рис. 34, а. Запрет решения, изображенного на
рис. 34, б, по причине его неустой-
неустойчивости относительно возмущения
начальных данных аналогичен запрету
ударных волн разрежения при матема-
математическом описании течения идеально-
идеального газа.
Задача
Рассмотрим вспомогательную задачу
ди t ди д2и . _. ,, .
m+udi=fidJ> «<*.°> = *<*>• (8)
-00 < X < 00,
Рис. 35
где ц > 0 — некоторый параметр, который аналогичен вязкости в случае
задач газовой динамики. Уравнение (8) параболического типа и имеет глад-
гладкое решение при любой гладкой функции ф(х).
Доказать, что при д->Ов случае ф(х) = 2 при х < 0 и ip(x) = 1 при х > О
решение стремится к обобщенному в смысле данного выше определения
решению, отвечающему задаче (А), (Б) при к = 1.
§ 2. Построение разностных схем
Перейдем теперь к вопросу о построении разностных схем для
вычисления обобщенного решения задачи
— + — - 0 ( 0) - ib( ) A)
соответствующего интегральному закону сохранения C) из § 1 при
Будем предполагать для определенности, что чр(х) > 0. Тогда
и(х, t) > 0. Первое, что кажется естественным, это рассмотреть раз-
разностную схему
= 0,1,...,
B)
и°т =
Замораживая коэффициент и^ в точке т = т0, мы видим, что
для возникающего уравнения с постоянными коэффициентами при
переходе на слой t = (р + 1)т выполняется принцип максимума, если
шаг т = тр выбран из условия
1
230 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
Поэтому можно ожидать устойчивости. Если решение задачи A) глад-
гладкое, то аппроксимация задачи A) задачей B) не вызывает сомнения.
Действительно, в этом случае экспериментальные расчеты заранее
известных гладких решений подтверждают сходимость.
Однако если задача A) имеет разрывное решение, то сходимости
к обобщенному решению ни в каком разумном смысле ожидать нет
оснований. Ведь в используемую разностную схему B) не заложена
информация о том, какой именно закон сохранения положен в основу
определения обобщенного решения. Здесь нарушено условие Куранта,
Фридрихса и Леви в том смысле, что обобщенное решение зависит
от числа к, определяющего интегральный закон сохранения (А), а
решение разностной схемы не зависит.
Изложим два подхода к построению алгоритмов для вычисления
обобщенного решения.
1. Метод характеристик. В этом методе развитие возникаю-
возникающих в процессе расчета, т. е. при увеличении времени t, разрывов
ведется по особым формулам, основанным на условии G) из § 1, ко-
которое должно выполняться на разрыве. В точках областей гладкости
используется запись закона сохранения в дифференциальной форме,
т. е. уравнение
ди ди _
at дх
Принципиальная схема одного из вариантов метода характеристик
применительно к нашему примеру состоит в следующем. Отметим
на оси Ох точки хт = rah. Будем считать для определенности, что
начальное условие и(х,0) = ф(х) задается гладкой функцией ф(х).
Из каждой точки (а;т,0) выпустим характеристику уравнения щ +
-I- иих — 0.
Предположим, чтобы не осложнять изложение, что при заданной
функции ф(х) можно выбрать столь малое т, что на любом отрез-
отрезке времени длины т каждая характеристика пересекается не более
чем с одной из соседних характеристик. Возьмем такое т и проведем
прямые t = tv = рт. Рассмотрим точки пересечения характеристик,
выходящих из точек (а;т,0), с прямой t = т и перенесем в эти точки
значения решения u(xm,0) = ip(xm) по характеристикам.
Если на участке 0 ^ t ^ т никакие две характеристики не пере-
пересекались, то делаем следующий шаг: продол?каем характеристики до
пересечения с прямой * = 2т и переносим по характеристикам значе-
значения решения в точки пересечения. Если пересечения характеристик
за время т < t < 1т опять не было, то делаем следующий шаг, и так до
тех пор, пока на некотором участке tv ^t ^ tp+\ не пересекутся две
характеристики (например, выходящие из точек (хт,0) и (жт+1,0))
§2, Построение разностных схем 231
(рис. 36). Тогда середину отрезка Q^+iQ^t1 будем считать точкой,
Рис. 36
из которой выходит зарождающийся разрыв. Точки Q^lг и Q^, за-
заменим одной точкой Q, приписывая ей два значения решения: илев. и
"прав, i принимая за эти величины значения
«лев. = uiQ^1), UnpBB. = «(<?&).
Из точки Q выпускаем линию разрыва до пересечения с прямой t =
= tp+2- Угловой коэффициент разрыва определяем из условия на
разрыве
. Идея. + Иправ.
° 2 '
Из точки пересечения разрыва с прямой t = ?p+2 проводим ха-
характеристики назад до пересечения с прямой t = tp+\ с угловыми
коэффициентами илев., иправ. с предыдущего слоя. В точках пересече-
пересечения этих характеристик с прямой t = tp+i с помощью интерполяции
по х находим значения и и принимаем их за левое и правое значения
решения в точке разрыва, лежащей на прямой t = tp+2. Это позволяет
определить новый наклон разрыва как среднее арифметическое най-
найденных значений слева и справа и продолжить разрыв еще на шаг т
по времени.
Достоинство метода характеристик состоит в том, что он позво-
позволяет следить за разрывами и аккуратно их рассчитывать. Однако в
процессе счета возникают все новые разрывы; в частности, малосу-
малосущественные разрывы могут пересекаться, так что с течением време-
времени картина усложняется. Логика расчета усложняется, требования к
машинной памяти и расход машинного времени возрастают. В этом
заключается недостаток метода характеристик, при котором разры-
разрывы выделены и считаются нестандартным образом.
2. Дивергентные разностные схемы. Разностные схемы, не
использующие искусственно введенную вязкость и не использующие
условия на разрыве, как было выяснено, должны опираться на интег-
интегральные законы сохранения.
Проведем на плоскости Oxt сетку прямых t = рт, х — (m + l/2)h
232 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
(р = 0,1,..., m = 0,±1,...). Отметим на сторонах возникающих пря-
Рис. 37
моугольников их середины (рис. 37) и отнесем их к сетке ?>/, (оси
координат на рисунке не показаны).
Искомой функцией [и]/, будем считать сеточную функцию, опре-
определенную в точках сетки Г>/, путем усреднения решения u(x,t) по
той стороне сеточного прямоугольничка, которому принадлежит рас-
рассматриваемая точка сетки:
хт+1/2
Г / U(x,tp)dx,
п J
Г / U(x,tp)
п J
xrn-l/2
Приближенное решение и^ задачи определено на той же сетке
?>/,. Значения и^ в точках (xm,tp), лежащих на горизонтальных
сторонах прямоугольников, будем обозначать через и{^, а в точках
(zm+i/2,tp+i/2) вертикальных сторон — через С^/Д.
Величину и^, можно считать продолженной на всю сторону t = tp,
Xm-i/2 < х < xm+i/2 прямоугольника, которому принадлежит точка
{zm,tp). Аналогично будем считать, что U^^(^2 определена на всем
вертикальном промежутке
? = 2;m+l/2i tp <t <tp+i.
Таким образом, и^ будет функцией, определенной на прямых х =
— (т + l/2)h, t = рт. Связь между величинами и?, и С^^/Д
(р = 0,1,..., т = 0, ±1,...) установим, исходя из интегрального закона
сохранения
г
Рассмотрим в качестве контура Г элементарный прямоугольник
сетки и положим
f&dt = 0, C)
§2. Построение разностных схем
233
или, в развернутом виде,
\
*]dt =
Если будет указано правило вычисления величин U^_(f2 (тп =
= 0, ±1,...) по уже известным величинам и?, (тп — 0, ±1,...), то фор-
формула D) позволит вычислить величины и1^1 (тп — О, ±1,...), т. е. про-
продвинуться на один шаг по времени. Однако независимо от конкретно-
конкретного способа, который мы изберем для вычисления величины
разностная схема вида D) облада-
обладает свойством дивергентности, ко-
которое состоит в следующем.
Проведем в полуплоскости t ^
^ 0 какой-либо замкнутый неса-
мопересекающийся контур, цели-
целиком состоящий из сторон сеточ-
сеточных прямоугольников (рис. 38).
Этот контур gh ограничит не-
некоторую область Gh, составлен-
составленную из сеточных прямоугольни-
прямоугольников. Просуммируем почленно все
уравнения D), относящиеся к пря-
прямоугольникам, составляющим об-
область G/,. Уравнения E) и C) отличаются только формой записи. По-
Поэтому можно считать, что мы суммируем уравнения C). Получим
E)
!
рис
Sh
Интегралы по тем сторонам прямоугольников, которые не лежат
на границе <?л области G/,, но входят в выражение C) после сум-
суммирования уравнений C), взаимно уничтожаются. Действительно,
каждая из этих сторон принадлежит двум соседним прямоугольни-
прямоугольникам, так что интегрирование функции vf-h) по каждой из этих строк
встречается дважды и ведется в противопо-
противоположных направлениях (рис. 39).
Разностные схемы, при суммировании ко-
которых по точкам сеточной области G/, оста-
остаются только алгебраические суммы значений
неизвестных или функций от них вдоль гра-
границы области, называют дивергентными или
консервативными. Такие схемы аналогичны дифференциальным урав-
уравнениям дивергентного вида
Рис. 39
234 Гл. 10. Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления
при почленном интегрировании которых по двумерной области D в
левой части возникает контурный интеграл B) из § 1. Разностная
схема B) недивергентна, схема D) дивергентна.
Заметим следующее. Пусть сеточная функция vf-h), удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению D), при h -> 0 равномерно сходится к некоторой ку-
кусочно непрерывной функции и(х, t) во всякой замкнутой области, не
содержащей линий разрыва, и пусть и^ равномерно по h ограничена.
Тогда и(х, t) удовлетворяет интегральному закону сохранения
Г и2
<budx ——dt = 0,
J 2
9
где д — произвольный кусочно гладкий контур, т. е. vf-h) сходится к
обобщенному решению. Это непосредственно следует из возможности
приблизить контур д контуром <?/,, из равенства E) и предположенной
сходимости*).
Чтобы схема D) приобрела смысл, надо указать способ вычисле-
вычисления величин и^+1% по величинам и?,. В схеме Годунова, которую
мы взяли для иллюстрации понятия дивергентных схем, для этого
используется решение следующей задачи о распаде разрыва.
Пусть в начальный момент решение и(х, 0) задано условиями
где илвв. = const, иправ. = const. Тогда можно найти соответствующее
обобщенное решение. Как это делается, мы видели в § 1 при разборе
примера илвв. = 1, иправ. = 2 и примера и„ев. — 2, иправ. = 1. Нам важно
знать значение U = u@,t) решения u(x,t) при х = 0.
Читатель, построив картинки типа рис. 28, изображающие реше-
решение и(х, t), легко проверит, что на прямой х = 0 решение принимает
значения илев., «прав, или 0 в зависимости от заданных начальных
данных, и выяснит для каждой конкретной пары чисел и„ев_, иправ.,
какое именно. Например, при илев. > 0, иправ. > 0 будет u@,t) = и„ев.,
а при илвв. < 0, иправ. < 0 будет u@,t) = иправ.-
Величину V^ff2(= U) в схеме D) будем определять из зада-
задачи о распаде разрыва, возникающего на границе х = а;т+1/2 каж-
каждых двух участков, где заданы постоянные значения и?,(= илев.),
ит+1\= иправ.)-
Если, например, <, > 0 (т = 0,±1,...), то С^/Д = и"ев- = ит
*) Функция и — u(x,t) определена почти всюду, а функция u^(x,t) — лишь
на сетке прямых. Это формальное несоответствие можно преодолеть, считая, что
при уменьшении h каждая новая сетка является подразделением старой, и говоря
о сходимости в точках сетки, построенной для любого фиксированного h из числа
допустимых.
5. Уравнение теплопроводности
235
(т = 0, ±1,...), и схема D) примет вид
xm+l/2
xm-l/2
ИЛИ
Легко видеть, что при
имеет место принцип максимума
max К?! ^maxKJ ^ ... ^max|u?j
mm m
h можно надеяться, что полу-
Отсюда видно, что при т
ченная разностная схема устойчива при некотором разумном выборе
норм. Мы не будем фактически указывать эти нормы: эксперимен-
экспериментальные расчеты подтверждают, что при измельчении сетки решение
vf-h) задачи D) с кусочно монотонными и кусочно гладкими началь-
начальными данными гр(х) сходится к некоторой функции и(х, i), имеющей
конечное число разрывов, причем вне любой окрестности разрывов
сходимость равномерная.
Схема D) с вычислением Uj^, j',2 путем использования распада
разрыва не является, конечно, единственной дивергентной схемой для
задачи A); см. [4, 9, 11].
ГЛАВА 11
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Простейшим эллиптическим уравнением является уравнение
Пуассона
Au=w + W = (p{x'y)- A)
Пусть задана некоторая область D на плоскости, а на ее границе Г =
= dD поставлено краевое условие вида
=ф), B)
236 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
где д/дп — производная в направлении внутренней нормали, а ^ О,
b ^ 0 (а2 + Ь2 = 1) — некоторые числа, s — длина дуги, отсчитываемая
вдоль границы Г. Функции ip(x,y), ip(s) считаются заданными. Тре-
Требуется вычислить решение A), B) краевой задачи A), B). В случае
а=1,6 = 0 возникающая задача называется первой краевой задачей
или задачей Дирихле. В случае а = 0, b = 1 — это вторая краевая зада-
задача, или задача Неймана. В случае а > 0, b > 0 — это третья краевая
задача.
Перечисленные три краевые задачи являются основными для урав-
уравнения Пуассона, но в математической физике возникают также и дру-
другие задачи для уравнения Пуассона. Наряду с уравнением Пуассона
могут возникать уравнения с переменными коэффициентами вида
д I ди\ д
где а = а(х,у) > 0, b = b(x,y) > 0, для которых также корректно по-
поставлены задачи с краевыми условиями вида B).
Эллиптические уравнения и системы эллиптических уравнений
возникают при математическом моделировании многих стационар-
стационарных состояний. Так, например, уравнение Пуассона может описывать
потенциал электрического поля, потенциал скоростей установившего-
установившегося потока несжимаемой жидкости, установившуюся температуру в
однородном теплопроводном теле. Система уравнений упругости Ла-
Ламе описывает смещения в находящемся под действием стационарных
сил теле и т. д.
Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений
осуществляется во многих случаях с помощью разностных схем.
В простейших случаях, когда решение во всей рассматриваемой
области меняется более или менее равномерно, а сама область не име-
имеет узких перешейков, можно пользоваться регулярными сетками, а
для получения разностных схем заменять производные разностными
отношениями.
В противном случае регулярная сетка становится практически
непригодной, так как места быстрого изменения решения или мес-
места, где область D имеет узкие горловины, диктуют слишком мел-
мелкую сетку. Но в случае нерегулярной сетки построение разностной
схемы путем замены производных разностными отношениями ста-
становится невозможным. Для построения разностных схем на нере-
нерегулярных сетках большое распространение получили так называе-
называемые вариационно-разностные и проекционно-разностные схемы. Сре-
Среди прикладников соответствующие схемы называют обычно методом
конечных элементов.
В этой главе мы остановимся на трех вопросах. Во-первых, прове-
проверим, что простейшая пятиточечная разностная схема для задачи Ди-
Дирихле в прямоугольной области, с которой мы уже не раз встречались,
§ 1. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы 237
обладает свойствами аппроксимации и устойчивости, а значит, явля-
является сходящейся при измельчении сетки. Во-вторых, дадим представ-
представление о методе конечных элементов. Наконец, объясним, как можно
вычислять решения больших систем линейных уравнений, которыми
являются при мелких сетках как простейшие разностные схемы, так
• и системы, возникающие в методе конечных элементов.
При этом в дополнение к изложенным в части II точным и итера-
итерационным методам решения систем линейных уравнений будет изло-
изложен многосеточный метод Федоренко.
§ 1. Аппроксимация и устойчивость
простейшей разностной схемы
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной
области D = @ ^ х, у ^ 1) с границей Г:
д2и д2и
?+ д
Совокупность точек (хт, уп) — (mh, nh) сетки (где h = 1/М, М целое),
попавших внутрь квадрата или на его границу, обозначим ?>/,.
Точки Dh, лежащие строго внутри квадрата D, будем называть
внутренними точками сеточного квадрата ?>/,; совокупность внут-
внутренних точек обозначим D^. Совокупность точек ?>/,, попавших на
границу квадрата D, будем обозначать Г/,.
Рассмотрим разностную схему
B)
здесь
{ит+1,п — 2итп + Mm-i,n %i,n+l ~ 2umn + um,n~l _
ft2 + ft2 "
— ?>\хт,Уп),
«mn = #mn), (Zm,yn) e Th,
C)
где ^(smn) — значение функции ip(s) в точке (хт,уп), принадлежа-
принадлежащей границе ГЛ.
1. Аппроксимация. Правая часть f^ разностной схемы B) име-
имеет вид
Ah) = I Vfrm.Vn), (xmiyn) € D°h,
238 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
В предположении, что решение и(х,у) задачи A) имеет ограниченные
четвертые производные, с помощью формулы Тейлора устанавлива-
устанавливается равенство
и(х + h,y)- 2и(х, у) + и(х - h, у) и(х, у + h) - 2и(х, у) + и(х, у-Ь) _
Л2 + Л2
дх2 "*" ду2 24 V дх4 ^ ду* )'
Поэтому для решения и(х,у) задачи A) имеем
), (хт,уп) е D°h,
U , (xm,yn)erh. F)
Таким образом, невязка 6f^h\ возникающая при подстановке [и]/,
в левую часть разностной схемы B), имеет вид
f
\о, (xm,yn)erh.
В пространстве F/,, состоящем из элементов вида
mn, (mh,nh) eD%,
/СО = \
I "Фтп, (mh,nh) G Г/,,
введем норму
||/(fc)lk= max \ipmn\ + max \фтп\. (8)
(mh,nh)eD° (mh,nh)erh
Тогда
Таким образом, разностная краевая задача C) аппроксимирует зада-
задачу Дирихле A) со вторым порядком относительно h.
2. Устойчивость. Определим норму в пространстве [//, функций,
заданных на сетке ?>/,, положив
\\u{h)\\uh = max hwl- (9)
(¦mh,nh)eDh
Для доказательства устойчивости разностной схемы C), к которо-
которому мы переходим, в соответствии с определением устойчивости надо
установить, что задача B) однозначно разрешима при произвольной
правой части f^ (это свойство не зависит от выбора норм) и что
выполнена оценка вида
, A0)
§1. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы 239
где с не зависит ни от h, ни от f(h\
Лемма 1. Пусть функция т/л) = {vmn} определена на сетке Dh и
во внутренних точках (хт,уп) = (mh,nh) € Г>? удовлетворяет усло-
условию
(fc)| h)&Dl A1)
(л) | _ fm+l.n — 2г>тп + Vm-l,n , Vm,n+i — 2vmn + Vm,n-l
\(mh,nh) ~ h2 ft* •
Тогда наибольшее на сетке Dh значение iAft) достигается хотя
бы в одной точке границы Г/,.
Доказательство. Допустим противное. Выберем среди точек
сетки Dh, в которых гАЛ) достигает своего наибольшего значения,
какую-нибудь одну точку (хт,уп), имеющую самую большую
абсциссу. По нашему предположению, (хт,уп) — внутренняя точка,
причем vmn строго больше, чем i;m+i,n. В точке (mh,nh)
_ (fm+l,n— Vmn) + (vm-l,n— Vmn) + (vm,n+l— Vmn) + (fm,n-l— Vmn) „
Л2 '
поскольку выражение, стоящее в первых скобках в числителе, отрица-
отрицательно, а выражения в остальных скобках неположительны. Получаем
противоречие сA1). ?
Лемма 2. Пусть функция гДл) = {г;тп} определена на сетке Dh
и во внутренних точках удовлетворяет условию
h)^^ (mh,nh)eD°h. A2)
Тогда наименьшее на сетке Dh значение v^ достигается хотя
бы в одной точке границы.
Лемма 2 доказывается аналогично лемме 1.
Теорема 1 (принцип максимума). Каждое решение разностного
уравнения
A^(/V/..nh) = °. (mh,nh)eD°h, A3)
достигает своих наибольшего и наименьшего значений в некоторых
точках границы Гл.
Доказательство получается объединением утверждений лемм 1, 2.
Свойство решений разностного уравнения A3) аналогично свойст-
свойству решений v(x, у) уравнения Лапласа vxx + vyy = 0 принимать наи-
наибольшее и наименьшее значения на границе области, где эти решения
определены.
Из принципа максимума следует, что задача
г (h) \ Afcu(<k)l(mfc,nfc) = 0, (mh,nh)eD°h,
1 U(fc)|(mfc,nfc) = 0, (mh,Tlh) e Th,
240 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
имеет только нулевое решение и^ = 0, поскольку наибольшее и наи-
наименьшее значения этого решения получаются в точках границы Г/,,
где u^n = 0. Следовательно, разностная краевая задача B) однозначно
разрешима при произвольной правой части.
Переходим к доказательству оценки A0). В силу формулы E) для
произвольного многочлена второй (и даже третьей) степени
Р(х, у) = ах2 + Ьху + су2 +dx + еу + f
выполнено равенство
ЛЛР = д2Р/дх2 + 82Р/ду2, A5)
так как четвертые производные от Р(х, у), входящие в выражение
остаточного члена формулы E), обращаются в нуль.
Используя функции ipmn, Фтп из правой части системы C) и фик-
фиксируя R = %/2, строим вспомогательную функцию
max |*w| + max fo&mn|,
(тпп,пп)бГ|,
которую будем рассматривать только в точках сетки ?>/,. Это отра-
отражено значком h в обозначении Р^(х,у). В силу A5)
= ~ (r/m-^x- l^™!' (m/l'n/l) е D°h-
y—nh
Поэтому разность решения и^ задачи C) и функции Р^ удовлетво-
удовлетворяет в точках ?>д равенствам
Ah[u<V - р(")] = AhUW - Ahp(") = ipmn + max\<pmn\ > 0.
В силу леммы 1 разность и^ — Р^ принимает свое наибольшее
значение на границе IV Но на границе Г/, эта разность
rh
неположительна, так как в квадрате D всюду х2 + у2 ^ R2, и обе
квадратные скобки в правой части неположительны. Поскольку наи-
наибольшее значение и^ — Р^ неположительно, то всюду на Г>?
или
- max |^rs|] + -\х2 +y2-R2\ max \iprs
§1. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы 241
Аналогично для функции и^ + Р^ в точках D°
0,
а в точках 1\ сумма и^ + Р^ неотрицательна. В силу леммы 2
всюду на D°
u№) + p№) ^ о,
или
_P(ft) ^ „СО.
Таким образом, всюду на Dh
l«mn| ^ 1^1 ^ j R\ max |Vp.| + max
4 (h/)€C° (//)e
Отсюда вытекает неравенство A0):
max |^гя| + max
/i,e/i)€C^ (гЛ,«Л)€Гь
где
c = max[l,J?2/4],
завершающее доказательство устойчивости.
В случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения с пере-
переменными коэффициентами
д Г ЗиЛ д
где a = а(х,у), b = b(x, у) — положительные в прямоугольнике D
гладкие функции, разностную схему можно построить аналогично.
Используя во внутренних точках сетки замену выражений ^~ (а ^~)>
— (Ь—) разностными отношениями по приближенным формулам
оу\ ау)
д
= \b(Xty +
1С B.C. Рябенький
242 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
получаем разностную схему B) вида
/¦.ч ( A.xxv,(h) + Avvv,(h) = <p(mh,nh), (mh.nh) G ?*9,
Wh) = { . ' h A6)
I u\ = ij>(smn), (mh,nh) G Г/j.
Пользуясь формулой Тейлора, можно убедиться в том, что имеет-
имеется второй порядок аппроксимации. Можно было бы доказать устой-
устойчивость построенной схемы, преодолевая некоторые дополнительные
трудности по сравнению с рассмотренными нами при разборе
примера.
На практике при решении конкретных задач обычно ограничива-
ограничиваются обоснованиями принципиального характера на модельных за-
задачах типа приведенных выше. Конкретные суждения о погрешности
получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения
между собой результатов расчетов, выполненных на сетках с различ-
различными значениями шага h.
После того как разностная краевая задача, аппроксимирующая
дифференциальную, построена, нужно еще указать не слишком тру-
трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом h задача A6) есть сис-
система скалярных уравнений очень высокого порядка. В разобранном
нами примере решение разностных уравнений — сложная и интерес-
интересная задача, но мы отложим ее рассмотрение до § 3.
Задачи
1. Доказать, что если во внутренних точках области Dh функция и' '
удовлетворяет уравнению
= 0, (mh,nh)eDDh,
h,nh)
то либо и^ принимает всюду на Dh одинаковые значения, либо наибольшее
и наименьшее значения функции и' не достигаются ни в одной внутрен-
внутренней точке сетки Dh (усиленный принцип максимума).
2. Доказать, что если во всех внутренних точках области Dh выполнено
условие Л/,и'*' ^ 0, причем хотя бы в одной точке неравенство строгое,
то и^ не достигает своего наибольшего значения ни в одной внутренней
XO4KG '
3. Рассмотрим разностную схему LhU^ = /'h* вида
inh) = <p(mh,nh), (mh,nh) € D°h,
emn), m — M ИЛИ П = 0, ИЛИ П= M,
^(Smn), n l,2,...,Ml.
Эта разностная схема аппроксимирует задачу
и(х,у) — ipi(s), i = l, или у = 0, или у — 1,
— = ^(s), х = 0.
§ 2. Понятие о методе конечных элементов 243
а) Доказать, что при любых ip(mh,nh) = 0, ipi(smn), xp2(smn) задача
LhU^ = /'Л' имеет единственное решение.
б*) Доказать, что если <p(mh,nh) неотрицательно, a tpi(smn), ifa(smn)
неположительны, то ¦и*'1' неположительно.
в*) Доказать, что при любых ip, xpi, гр2 имеет место оценка вида
max lumnl^cf max Ivmi
где с — некоторая постоянная, не зависящая от h. Вычислить с.
§ 2. Понятие о методе конечных элементов
В этом параграфе мы изложим способ построения разностных
схем, основанный на использовании той или иной вариационной по-
постановки краевой задачи, решение которой требуется найти численно.
Этот способ, называемый иногда методом конечных элементов, поз-
позволяет строить пригодные разностные схемы на нерегулярных сет-
сетках, а также при меньших предположениях о гладкости искомого ре-
решения и коэффициентов уравнения. Благодаря появляющейся свободе
в выборе сеток узлы можно располагать гуще в тех частях области
определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно
или где нас интересуют более мелкие детали его поведения. Возмож-
Возможность целесообразно располагать узлы позволяет достигать требуе-
требуемой точности при меньшем числе узлов сетки.
Метод конечных элементов можно интерпретировать как одну из
возможных конкретизации классических вариационных методов ре-
решения краевых задач. Поэтому мы сначала расскажем о классическом
вариационном методе, а затем о вариационно-разностных схемах.
1. Вариационная постановка краевых задач. Многие диф-
дифференциальные краевые задачи математической физики допускают
естественные вариационные постановки. Мы ограничимся рассмот-
рассмотрением вариационной постановки лишь для одного примера, иллюст-
иллюстрирующего, однако, суть дела. Именно, речь пойдет о задаче Дирихле
для уравнения Пуассона в некоторой ограниченной области D плос-
плоскости Оху с кусочно гладкой границей Г.
Обозначим через W линейное пространство всех непрерывных в
области D и на ее границе Г функций, обладающих ограниченными
производными первого порядка, которые могут иметь разрывы лишь
на конечном множестве прямых (для каждой функции w(x,y) G W
своих). Введем в линейном пространстве W норму, положив для каж-
каждой функции w G W
1С*
244 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
Пополнение пространства W приводит к полному пространству
Соболева.
Рассмотрим первую краевую задачу (задачу Дирихле)
д2и д?и _ . , п
где s — длина дуги вдоль границы Г области D, a f{x,y), tp(s) —
заданные функции, удовлетворяющие всем условиям решения и(х,у)
задачи (А), обеспечивающим существование непрерывных вторых
производных всюду в области D и на ее границе Г.
Теорема 1. Среди всех функций w ? W, удовлетворяющих гранич-
граничному условию
Чг =
решение и(х, у) задачи (А) придает выражению (функционалу)
D
наименьшее численное значение.
Доказательство. Пусть ги(х,у) € w (W\r — <p(s)) — некоторая
фиксированная функция. Введем обозначение
?(х,у) =w(x,y) -u(x,y).
Поскольку и(х, у) имеет непрерывные вторые производные, a w(x, у) €
G W, то также ?(х,у) G W, причем ^|г = 0. Докажем равенство
[(^))] D)
D
из которого следует справедливость теоремы, поскольку в случае
™(х> У) Ф и(х,у) функция ?(х, у) не обращается тождественно в нуль,
так что второе слагаемое в правой части формулы D) строго поло-
положительно, и I(w) > I(u). Очевидно, что
D
с дх ду ду
D
§2. Понятие о методе конечных элементов 245
Остается проверить, что третье слагаемое в правой части обращается
в нуль. Действительно, из очевидных тождеств
дх дх ду ду~ дх V дх) ду \> ду) К \дх2 ду2) ~
- дх^дх)^ ду\к ду)
следует, что
тиФч
D Г
где д/дп — производная по внутренней нормали.
В предпоследнем переходе в цепочке равенств E) мы воспользова-
воспользовались теоремой из векторного анализа, в силу которой интеграл от ди-
дивергенции векторного поля по области равен потоку этого векторного
поля через границу области. В данном случае этот поток / ? — ds
обращается в нуль, так как ?|г = 0. ? г
Таким образом, задача (А) допускает следующую вариационную
постановку: среди всех функций класса W, удовлетворяющих усло-
условию B), найти ту, которая придает наименьшее значение функцио-
функционалу I(w), определенному формулой C).
2. Сходимость минимизирующих последовательностей.
Точным решением задачи (А), как мы видели, является та функция
w(x,y) =u(x,y), которая придает наименьшее значение функционалу
I(w) среди всех допустимых функций, т. е. функций w ? W, удовле-
удовлетворяющих условию w\t = (p(s).
Численное решение вариационной задачи об отыскании и(х, у) со-
состоит в построении такой функции w(x,y), которая придает функ-
функционалу I(w) хотя и не наименьшее значение 1(и), но "близкое" к
наименьшему. Точнее, для вычисления должен быть указан способ
построения членов такой последовательности допустимых функций
WN(x,y) e W(i?>Ar|r = v(s))> Для которой
lim I(wn) = I(и).
N-Hx>
Такая последовательность допустимых функций называется ми-
минимизирующей. Выбирая ч'лен Wff(x,y) минимизирующей последова-
последовательности с достаточно большим номером N, можно добиться того,
чтобы I(wff) отличалось от 1(и) сколь угодно мало.
3. Вариационный метод Ритца. Естественно ожидать и можно
строго показать, что приближением для решения и задачи Дирихле
могут служить те функции w из числа допустимых (ги ? W, w\r =
246 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
— <р(з)), на которых функционал I(w) принимает значения, близкие
к минимальному значению 1(и).
Для фактического отыскания приближенных решений Ритцем в
1908 г. был предложен прием, который мы изложим применительно
к задаче (А). Для удобства изложения будем считать, что tp(s) = 0,
так что и\г = 0.
Формальная схема отыскания приближенного решения по методу
о
Ритца состоит в следующем. Обозначим через W линейное подпро-
подпространство всех функций w ? W, удовлетворяющих граничному усло-
условию w\r = 0. Задаем натуральное TV и фиксируем какие-нибудь^
линейно независимых функций
удовлетворяющих условию
ы^|=0, п = 1,2,..., TV. G)
Рассмотрим теперь TV-мерное линейное пространство pyW всевоз-
всевозможных линейных комбинаций функций F):
wN(x,y,a1,a2,...,aN) =
где а\, п2, ..., адг — произвольные вещественные числа. Будем искать
теперь вместо функции w = и, придающей минимум функционалу
о
I(w) на пространстве W, такую функцию wrf(x,y,ai,a,2,...,apf), ко-
которая придает минимум функционалу I(w) на множестве всех функ-
функций из TV-мерного пространства \y(N). Эту функцию w(x,y,ai,d2,...
...,алг) = Wfli(x,y) и примем за приближенное решение при сделан-
сделанном выборе N базисных функций F). Задача об отыскании функ-
функций Wff(x,y) несравненно проще задачи отыскания точного решения
и(х,у).
Действительно,
= //[(I 2 У
D
(Yl), (8)
D п
и речь идет об отыскании TV чисел ai,O2, —,ак, придающих минимум
функции I[wn(x,У,а1,а2,...,ам)] от TV переменных.
Первое слагаемое в правой части (8) является квадратичной фор-
формой от а1,а2,.-.,алг. Ввиду линейной независимости системы функ-
функций F) эта форма положительно определена, а в силу этого квадра-
квадратичная функция (8) имеет единственный минимум.
§2. Понятие о методе конечных элементов 247
Этот минимум достигается при тех значениях ап = ап (п — 1,2,...
...,N), при которых
dI[wN(x,y,a1,at,...,aN)] =Qf n=1^^N. (g)
Подробно эта линейная система может быть записана в виде
, n = l,2,...,N. A0)
D
Для более краткой записи полученной системы в дальнейшем на-
наряду с нормированным пространством W рассмотрим линейное про-
пространство W, состоящее из тех же функций, что и W, но со скалярным
умножением (w',w"):
d' dw" dw' dw"\, . . /" / ч / « . /п1ч.
JJ — + -g^Jdxdy + ja(s)w'w 'ds, A1)
D Г
где a(s) ^ сто = const > 0 — какая-нибудь фиксированная функция.
Это скалярное умножение индуцирует норму \\ги\\^, в пространстве
W по формуле
\\w\f~=(w,w)- A2)
о
Обозначим через W подпространство функций w E W, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию w\r = 0.
После введения скалярного умножения система A0) благодаря
условию w^\x,y)\r = 0 примет вид
...,п. A3)
Заметим, что матрица системы A3)
/ {N) (ЛГ)ч -I
... (СОг ,CJN )
A4)
(N) <N)s , IN)
XN) JNU, (N) JN
есть матрица Грама системы линейно независимых функций F).
Как известно из курса линейной алгебры, ее определитель отличен от
нуля.
Решение а„ = а„ (п = 1,2,..., N) системы A3) и позволяет опреде-
248
Гл. 11. Разностные методы, для эллиптических задач
лить функцию
&N(x,y) — WN(x,y,ai,a2,—,'(
которую принимают за приближенное решение.
4. Пример вариационно-разностной схемы. Фиксируем
натуральное N. Впишем в контур Г, ограничивающий область D,
замкнутую несамопересекающуюся ломаную Q^Q^—QmQ^ c
вершинами в некоторых точках Q^'. Обозначим многоугольник
Разобьем многоугольник Dpf на
треугольники так: чтобы каждое
звено ломаной Q^Q^—QmQi' оказа-
оказалось стороной одного из треугольни-
треугольников; чтобы каждые два треугольника
этого разбиения либо не пересе-
пересекались, либо имели общую вер-
вершину, либо имели общую сторо-
сторону; чтобы общее число вершин Pf*,
Р2*,...,Р$ этих треугольников, ле-
Рис 40 жащих внутри многоугольника D^,
равнялось N. Совокупность точек Р^ и примем за сетку (рис. 40).
Теперь построим базисные функции lj^,ui?, ...,и>$. Определим ба-
базисную функцию Wn(x,y) (n = 1,2, ...,N). Сначала зададим ее в точ-
точках сетки по формуле
Затем зададим ее в точках Q^tQ^, — ,Qn> положив равной нулю в
этих точках. Таким образом, функция и>^(х,у) уже определена во
всех вершинах треугольников, образующих разбиение D^. В каждом
из этих треугольников доопределим ее линейно. Осталось определить
ее в области D\Dff, где положим ее равной нулю.
Заметим, что в тех треугольниках, для которых Р?* не является
одной из вершин, функция LJ^(x,y) при нашем построении окажет-
окажется равной нулю. В треугольнике с вершиной в точке Р^ функция
и>п(х,у) в пространстве (х, у, ги) изобразится куском плоскости, про-
проходящей через сторону, лежащую против вершины Р^ и приподня-
приподнятую на единицу над точкой Р?.. Система уравнений Ритца A3) для
определения коэффициентов ап = 2„, задающих приближенное реше-
WN =
n = 1,2, ...,7V. A6)
имеет вид
N
f
D
§ 2. Понятие о методе конечных элементов 249
Это и есть вариационно-разностная схема, или схема метода конеч-
конечных элементов, возникающая при сделанном выборе сетки и базисных
функций.
Матрица A4) разностной схемы A6) имеет элементами числа
D
Очевидно, что отличаться от нуля могут только те числа (и^,и>^),
для которых точки Рп 1 Pf являются вершинами одного и того же
треугольника разбиения. Действительно, если Р^, Р^. не являют-
являются соседними точками сетки в этом смысле, то области, в которых
и)„ ^ 0, ш^ ^ 0, не пересекаются, а потому подынтегральное выра-
выражение в формуле A7) всюду в области интегрирования тождественно
обращается в нуль.
Таким образом, п-е уравнение из числа образующих вариационно-
разностную схему A6) связывает значения искомой функции в точ-
точке Р?* со значениями этой функции только в тех точках сетки, кото-
которые являются для нее соседними.
Вычисление коэффициентов по формуле A7) трудностей не вызы-
вызывает. Действительно, коэффициент (w^,w^) представляет собой ин-
интеграл от величины
дх дх ду ду '
распространенный по паре треугольников разбиения, имеющих отре-
отрезок Р^Р^ своей общей стороной.
Далее, интеграл по любому одному из этих треугольников пол-
полностью определяется длинами его сторон, но не зависит от поворотов
и сдвигов этого треугольника. В самом деле, постоянная внутри тре-
треугольника величина (8) подынтегрального выражения представляет
собой произведение длин векторов gradt^ и gradwf на косинус угла
между этими векторами и выражается формулой
±hn,hi). A9)
coS(hn,hi).
Здесь hn, hi — длины высот, выходящих из вершин Р?, Pf* соответ-
соответственно, a hn, hi — векторы, направленные вдоль соответствующих
высот в сторону вершин. Интеграл по треугольнику получается ум-
умножением величины A9) на площадь треугольника.
Построение вариационно-разностной схемы A6) при сделанном
выборе точек Q^, Р„ закончено.
250 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
§ 3. Вычисление решений сеточных аналогов
краевых задач
Изложим и сопоставим некоторые употребительные способы вы-
вычисления решений больших систем линейных алгебраических уравне-
уравнений, возникающих при дискретизации эллиптических краевых задач
с помощью простейших разностных схем на регулярных сетках или
схем метода конечных элементов, допускающих существенно нерегу-
нерегулярные сетки.
1. Точное решение разностного аналога задачи Дирихле
для уравнения Пуассона в квадратной области. Разностная схе-
схема, о которой идет речь, изложена в § 1. В случае однородных крае-
краевых условий, т. е. и|г = 0, решение можно выписать в виде конечного
ряда Фурье. Соответствующая формула приведена в § 7 из гл. 4. В
случае если число N (ft = 1/N) точек сетки является степенью двой-
двойки: N = 2*, k = lg2 iV, вычисления можно организовать так, чтобы
потребовалось всего O(N2 In N) арифметических операций. Обычно в
математическом обеспечении ЭВМ имеется программа, реализующая
соответствующий алгоритм, который называют быстрым преобразо-
преобразованием Фурье (БПФ).
В случае ip(s) ф 0 также можно воспользоваться методом Фурье.
Для этого достаточно заметить, что значения решения итп во внут-
внутренних точках (mh,nh) G D° совпадают с решением разностной за-
задачи Дирихле с нулевыми условиями на границе и с правой частью
'Pmn((iTih,nh) G D°), которая совпадает с tpmn в тех точках, которые
более чем на ft отстоят от границы, а в приграничных точках <ртп
определяется формулой
= Vmn - y[^
JO, (m±k,n±l)eD°h,
|±l)i (m±fc,n±Z)
2. Методы простой итерации, трехслойные методы Чебы-
шева и методы сопряженных градиентов. В гл. 5 мы рассмот-
рассмотрели названные методы для решения абстрактных систем линейных
уравнений вида
Ax = f; A:Rn->Rn, A = А* > 0.
Пусть ц(А) — число обусловленности оператора А. Были установ-
установлены формулы, показывающие, что для уменьшения погрешности е0
нулевого приближения х0 в заданное число е > 0 раз требуется найти
приближение хр с номером р, который выражается соответственно
формулами вида
Р\ =
§4- Многосеточный метод Федоренко251
Рз =Рз(/х,е) =O(V//Tlne).
При этом первые два метода вычислительно устойчивы, а метод
сопряженных градиентов при больших значениях числа ц = (л(А) мо-
может оказаться неустойчивым.
Для ускорения сходимости можно воспользоваться эквивалент-
эквивалентными по спектру, или энергетически эквивалентными, операторами.
Оператор В = В* > 0 энергетически эквивалентен оператору А с по-
постоянными 7i > 0, 72 > 0, если
7i(J?z,z) ^ (Ах,х) ^ ч2(Вх,х).
Если решение задачи вида Вх = <р легко вычисляется, а 72/71 ^ М-^)»
то имеет смысл перейти от системы Ах = / к системе Сх = гр, где С =
= В~ХА, -ф = В~х /, и решать эту последнюю итерациями. Ускорение
сходимости будет достигнуто за счет того, что Цв(С) ^ 72/li ^ И-
Все эти соображения и факты можно использовать при вычисле-
вычислении решений систем, возникающих при дискретизации эллиптичес-
эллиптических задач. Свойство А = А* > 0 для них часто имеет место.
Для системы, возникающей в методе конечных элементов, это
свойство вытекает из вариационного происхождения этой системы,
так как матрица системы есть матрица Грама u>N системы линейно
независимых элементов из § 2.
Ускорение сходимости за счет выбора оператора В легко получить
для задачи Дирихле в случае эллиптического уравнения с переменны-
переменными коэффициентами в квадратной области, используя в качестве В
оператор для задачи с постоянными коэффициентами, для обращения
которого можно воспользоваться алгоритмом быстрого преобразова-
преобразования Фурье.
В случае более сложных областей, краевых условий или нерегу-
нерегулярных сеток ускорение за счет построения оператора В, который
был бы легко обратим и для которого цв(С) <С р(А), С = В~гА, за-
затруднительно.
Подробное изложение итерационных методов сеточных аналогов
краевых задач см. в [7, 20].
В настоящее время широкое распространение и развитие (особен-
(особенно в связи с уравнениями метода конечных элементов на нерегуляр-
нерегулярных сетках) получил многосеточный метод Федоренко, которому мы
посвятим следующий параграф.
§ 4. Многосеточный метод Федоренко
В работе Р.П. Федоренко (см.: ЖВМ и МФ.—1961.—Т. I, № 5)
предложен метод итерационного решения разностных эллиптических
задач, названный релаксационным. Для уменьшения нормы первона-
252 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задач
чальной погрешности вдвое этот метод требует всего CN арифмети-
арифметических действий, где С = const, aJV — число точек в области. Оче-
Очевидно, что по порядку числа арифметических действий этот метод
неулучшаем, так как число расчетных точек также O(N).
Границы применимости метода Федоренко почти такие же, как
у метода простых итераций. Регулярность сетки не предполагает-
предполагается. Дополнительным ограничением является требование "плавности",
"гладкости" первых собственных функций оператора задачи, которое
для эллиптических задач обычно выполнено.
Цитированная работа Федоренко была развита в ряде последую-
последующих работ многих авторов.
Обоснования многосеточного метода Федоренко довольно громозд-
громоздки, поэтому мы ограничимся качественным описанием идеи метода
и самого алгоритма Федоренко в простом случае, отсылая за доказа-
доказательствами и общими конструкциями к оригинальным работам и [24].
1. Идея метода. При решении итерациями задачи
Алитп - <ртп = 0, т,п = 1,2,..., М- 1,
будем отправляться от метода простых итераций
<? = <„ + '¦(AfcuJU - <Ртп), т,п = 1,2,..., М - 1,
Р = 0,1,.-., B)
<? |ГA = ^(smn), KJ задано,
который в целом сходится очень медленно, но неравномерно на раз-
различных гармониках. Погрешность ер = ир — и в соответствии с § 7
гл. 4 записывается в виде конечного ряда Фурье
)' C)
где cj-J — коэффициенты разложения погрешности е° = и — и0 ну-
нулевого приближения, Аг„ = 1 — 4rM2[sin2Grr/BM)) + sin2Grs/BM))].
Числа Агв лежат на отрезке Алев. ^ А ^ Аправ., где
Алев. = Ам-1,М-1 И1" 8тМ2, Аправ. = Ац « 1 - 2ТГ2Т.
Положим
г = 3/A6М2). D)
Если при этом условии хотя бы одно из чисел г или s больше, чем
М/2, то
|Аг.| < 0,6. E)
Поэтому вклад высокочастотных гармоник ф(г'') (г ^ М/2 или s ^
^ М/2) в погрешность C) за один шаг итерационного процесса умень-
уменьшается почти вдвое и вскоре становится малым. После нескольких
§4- Многосеточный метод Федоренко 253
итераций по формуле B) погрешность будет в основном состоять
только из гладких компонент (гармоники ip(r'8\ г < М/2, s < М/2),
потому что низкочастотные гармоники ^(г>|>) умножаются на числа
Хр8, которые ближе к единице. Очень медленно гасится вклад первой
гармоники ^i^1'1) при сделанном выборе т, так как
A и г (*1) F)
Обозначим полученное в процессе итераций B) приближение ир
через U, а погрешность ер = ир — u — U — и через г;. Если бы мы зна-
знали погрешность г;, то нашли бы искомое решение и = U — v. Однако
относительно г; мы знаем только, что оно удовлетворяет уравнению
где известная сеточная функция f — это невязка, возникающая при
подстановке ир = U в уравнение A):
Задача G) для определения поправки г; проще исходной задачи A)
лишь в том отношении, что заранее известно, что г; — гладкая сеточ-
сеточная функция. Поэтому для определения г; вместо задачи G) можно
приближенно рассматривать такую же задачу на вдвое более крупной
сетке, которая (при четном М) является подсеткой исходной сетки:
&2hv' = C, v%h=0. (Г)
Звездочкой мы обозначили величины на укрупненной сетке. Зада-
Задачу A*) решаем итерациями по формулам
(С)^1 = «,п)р + r-[A2h(v-mn)p - ?j,
m,n=l,2,...,M*-l, B*)
(v* )p+11 — 0
приняв за нулевое приближение (f^,n)° = 0. Здесь
М* = М/2, г* = 4г.
Каждый шаг итераций B*) вчетверо менее трудоемок, чем шаг
итераций B), потому что расчетных точек вчетверо меньше. Кроме
того, благодаря г* = 4т быстрее происходит погашение самой медлен-
медленно убывающей компоненты погрешности. В соответствии с F)
и для погашения вклада (^*)A>1) в е раз нужно вчетверо меньше ите-
итераций. Результат итераций по формуле B*) обозначим V*. Проин-
терполируем V* на исходную сетку (линейно). Гладкие компоненты
будут получены почти правильно. Возникающая при интерполяции
254 Гл. 11. Разностные методы для эллиптических задан
погрешность будет относительно интерполируемой гладкой функции
мала, но ее разложение Фурье будет содержать все гармоники (по-
(погрешность интерполяции негладкая из-за изломов в узлах интерполя-
интерполяции). Кроме того, негладкая компонента, не имеющая отношения к
искомой поправке, при интерполяции тоже дает случайный вклад в
негладкую составляющую полученной при интерполяции функции V.
Итак, гладкая компонента разности U — V близка к гладкой компо-
компоненте искомого решения и = U — v, но негладкая компонента не очень
мала и носит случайный характер.
Поэтому следует проделать еще несколько шагов исходного итера-
итерационного процесса B), приняв U — V за начальное приближение. Это
погасит привнесенную при интерполяции негладкую составляющую
погрешности, которую итерации B) уменьшают почти вдвое за один
шаг.
2. Описание алгоритма. При большом М (мелкой сетке) зада-
задача A*) на укрупненной сетке все еще трудоемка. Поэтому при ее ре-
решении в свою очередь целесообразно проделать еще одно укрупнение
сетки вдвое, а при решении задачи на вчетверо укрупненной сетке
снова использовать процесс удвоения сетки и увеличения h и т. д.
Будем считать для простоты, что М = 2*, т. е. М является некото-
некоторой степенью двойки.
На исходной сетке делаем несколько шагов итераций B), чтобы
"сгладить" погрешность. Погрешность нам неизвестна, поэтому
можно следить за этим по невязке A^up — <р, которая тоже сглажива-
сглаживается. Результат вычислений U = ир запоминаем. Затем для поправки
v рассматриваем задачу на укрупненной сетке, делаем несколько ите-
итераций B*), чтобы сгладить "поправку к поправке", и результат V* за-
запоминаем (он занимает вчетверо меньше места в памяти, чем U). Для
вычисления поправки к V* рассматриваем задачу на еще вдвое ук-
укрупненной сетке, делаем несколько "итераций с шагом г** = 4т* = 16т
и запоминаем результат Vм. Этот процесс вычисления поправок к
поправкам на вдвое укрупненных сетках продолжается к раз, пока не
дойдет до самой крупной сетки и поправки V(**).
Затем начинаем возвращение на мелкую сетку. Сначала с самой
крупной сетки интерполируем полученную там последнюю поправку
у(**) на вдвое более мелкую сетку, вносим эту проинтерполирован-
ную поправку в ТЛ*)* и делаем несколько итераций, чтобы погасить
привнесенную при интерполяции погрешность. Результат этих итера-
итераций интерполируем на еще вдвое более мелкую сетку, уточняем с его
помощью хранящуюся для этой сетки поправку ТЛ*~2)*, делаем не-
несколько итераций и производим следующую интерполяцию. На пред-
предпоследнем шаге после внесения в V* поправки и итераций получим
поправку V*, которую интерполируем на исходную сетку. Проделав
несколько итераций B) над и — V, получим результат.
ЧАСТЬ IV
МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Разностные методы численного решения краевых задач облада-
обладают весьма широкой областью применимости. Тем не менее сущест-
существенные трудности для использования разностных методов возника-
возникают при разностной аппроксимации краевых условий общего вида (в
частности, нелокальных) в областях произвольной формы, посколь-
поскольку в результате этой аппроксимации должна получаться устойчивая
и удобная для численного решения разностная схема. Существенную
трудность для применения разностных методов представляют также
внешние задачи с условиями на бесконечности.
Эти трудности в ряде случаев удается преодолеть, используя ре-
редукцию исходной краевой задачи относительно неизвестной функ-
функции в области к некоторым уравнениям относительно других неиз-
неизвестных функций, определенных на границе этой области. К тому же
при такой редукции на единицу уменьшается геометрическая размер-
размерность задачи (граница двумерной области — линия). Мы познакомим-
познакомимся с двумя способами такой редукции, а также и с соответствующими
методами численного решения уравнений на границе.
Первый метод редукции исходной задачи к уравнениям на гра-
границе есть метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) класси-
классической теории потенциала, идущей от работ Фредгольма начала века.
Дискретизация и численное решение возникающих граничных интег-
интегральных уравнений осуществляются с помощью специальных квад-
квадратурных формул, или так называемого метода граничных элементов
(МГЭ).
Второй метод редукции исходной задачи приводит к таким урав-
уравнениям на границе, в структуру которых входит оператор проекти-
проектирования (он был предложен Кальдероном в 1963 г.). Мы излагаем не-
некоторую модификацию граничных уравнений с проекторами (ГУРП)
Кальдерона, предпринятую для того, чтобы ГУРП стали удобны для
дискретизации и численного решения Методом разностных потенциа-
потенциалов (МРП), предложенным в 1969 г.
ГУРП и МРП можно применять во многих случаях, когда ГИУ и
МГЭ неприменимы. Мы ограничимся изложением идей, лежащих в
основе названных методов, и описанием границ применимости этих
256 Гл. 12. Граничные интегральные уравнения
методов, а также укажем литературу, где можно найти более полное
изложение.
ГЛАВА 12
ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ДЛЯ ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
Познакомимся со способами перехода от краевых задач к интег-
интегральным уравнениям на границе, с приемом, лежащим в основе дис-
дискретизации интегральных уравнений, а также укажем трудности,
ограничивающие класс задач, для которого применение метода до-
достаточно естественно.
§ 1. Способы редукции краевых задач к ГИУ
Для выяснения основных идей ограничимся рассмотрением внут-
внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа
А д и д и д и _
дх\ ах\ ах\
Пусть D — ограниченная область в трехмерном пространстве с до-
достаточно гладкой границей Г. Рассмотрим следующие четыре задачи:
Аи = 0, xeD, и|г = <р(х)\г; A)
Аи = 0, х е D, ди/дп\г = <р(х)\г; B)
Ди = 0, xgD, u\r = v(x)\r; C)
Au = 0, xgD, ди/дп\г = <р(х)\г. D)
Здесь <р(х)\г — заданная функция.
Задачи A), C) суть внутренняя и внешняя задачи Дирихле, а за-
задачи B) и D) — внутренняя и внешняя задачи Неймана.
Решение внешних задач будем искать в классе функций и(х), стре-
стремящихся к нулю при г -> оо, где г = (xf + х\ + х^I/2.
В математической физике доказывается, что внутренняя и внеш-
внешняя задачи Дирихле, а также внешняя задача Неймана всегда имеют
одно и только одно решение. Внутренняя задача Неймана имеет ре-
решение только в том случае, если интеграл f<pds по поверхности Г
§1. Граничные интегральные уравнения 257
обращается в нуль:
J<pds = O, E)
г
где ds — элемент площади на поверхности Г. В этом случае решение
определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Для'перехода от задач A)-D) к интегральным уравнениям ис-
используется функция
G(*) = -ii. F)
Эта функция является фундаментальным решением уравнения Лап-
Лапласа в трехмерном пространстве. Это означает, что стремящееся к
нулю при г —> оо решение уравнения
Аи = f(x)
с произвольной достаточно гладкой правой частью f(x), обращаю-
обращающейся в нуль вне какой-либо сферы, можно записать формулой
Ф) = fffG(x - У)Ш dVi dV* аУз, G)
где интегрирование распространено по всему трехмерному прост-
пространству.
Для перехода от задач A)-D) к интегральным уравнениям на гра-
границе используются потенциал простого слоя
V(x) = jG(x-y)p(y)dsy (8)
г
и потенциал двойного слоя
f^ldsv. (9)
Здесь dsy — элемент площади на поверхности Г, ограничивающей
область D, пу — направление внешней по отношению к D нормали в
точке j/еГ. Функции р{у) и а(у) называются соответственно плот-
плотностями потенциалов простого и двойного слоев.
Известно (и легко видеть), что G(x) (а значит, и потенциалы (8),
(9) при х g Г) удовлетворяет уравнению Лапласа при х ф 0. Таким
образом, потенциалы (8), (9) суть семейства гармонических функций,
зависящих от произвольных плотностей р(у), сг(у), у е Г.
Будем искать решения задач A), C) в виде потенциалов двой-
двойного слоя (9), а решения задач B), D) в виде потенциалов простого
слоя (8). В курсах уравнений математической физики показано, что
возникают следующие интегральные уравнения:
17 V2 B.C. Рябенький
258 Гл. 12. Граничные интегральные уравнения
1) для внутренней задачи Дирихле A)
f
2) для внешней задачи Неймана D)
/
г
3) для внутренней задачи Неймана B)
f
4) для внешней задачи Дирихле C)
х?Г-
В теории потенциала устанавливается,1 что уравнения A0), A1)
имеют и притом единственные решения сг(у), р(у) при произволь-
произвольной функции <р{х) (х ? Г). Уравнение A2) имеет решение лишь в
случае выполнения условия E). Это связано с существом исходной
задачи B), которая разрешима лишь при этом условии. Однако урав-
уравнение A3) также разрешимо не при произвольной функции <р(х), хотя
исходная внешняя задача Дирихле C) разрешима всегда. Переход к
интегральному уравнению A3) в этом случае оказался непригоден.
В теории потенциала показывается, что потеря разрешимости
уравнения A3) для внешней задачи Дирихле связана с тем, что внут-
внутренняя задача Неймана для уравнения Лапласа в случае <р(х) = 0 име-
имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Это обстоятельство называют
резонансом внутренней области. В данном случае вместо A3) легко
построить другое интегральное уравнение, которое равносильно ис-
исходной задаче, но мы здесь этого делать не будем.
Пусть вместо уравнения Лапласа рассматривается уравнение
Гельмгольца
Аи + ц2и = 0, ц > 0,
с условием излучения на бесконечности. Соответственно
Тогда вид потенциалов простого и двойного слоев, а также интеграль-
интегральных уравнений A0)—A3) будет тот же (только G(x) другое). Внешняя
задача Дирихле и внешняя задача Неймана каждая будет иметь един-
единственное решение при любой <р(х) (х ? Г) независимо от (л.
§2. Граничные элементы и дискретизация ГИУ
Однако интегральное уравнение вида A3) для внешней задачи Ди-
Дирихле будет иметь решение при произвольной <р(х) лишь в том случае,
если при данном (л внутренняя задача Неймана при <р(х) = 0 имеет
только тривиальное решение, что имеет место не всегда. Аналогично
обстоит дело и с разрешимостью интегрального уравнения вида A1)
для внешней задачи Неймана. Оно разрешимо при любой <р(х) лишь в
том случае, если внутренняя задача Дирихле при <р(х) = 0 и данном ц
имеет только тривиальное решение.
Указанная трудность редукции к интегральному уравнению, свя-
связанная с наличием внутреннего резонанса для уравнения Гельмголь-
ца, существенно затрудняет расчеты. Мы не будем останавливаться
на этом подробнее.
Интегральные уравнения теории потенциала конструктивно
построены в настоящее время для основных краевых задач теории
упругости и некоторых других систем, для которых известны анали-
аналитические представления фундаментальных решений.
Для построения граничных интегральных уравнений наряду с те-
теми или иными потенциалами часто используют связь между значе-
значениями решения и|г и значениями ди/дп\т на границе Г области D.
Эта связь получается из формулы Грина
§l)Sv, A4)
представляющей решение и(х) во внутренней точке х через значения
и|г, ди/дп\г.
Переходя к пределу при i-Ио^Ги учитывая скачок потенциала
двойного слоя, т. е. скачок во втором слагаемом в правой части A4),
получаем интегральное соотношение, о котором идет речь. В случае
задачи Неймана можно подставить значение ди/дп\г = <р(х) и полу-
получить разрешимое уравнение Фредгольма второго рода относительно
ди/дп\г. Удобство уравнения A4) по сравнению с уравнением A0)
состоит в том, что вычисляется ди/дп\г, а не вспомогательная плот-
плотность а(у).
% 2. Граничные элементы и дискретизация ГИУ
Дискретизация ГИУ, построенных в § 1, осложнена тем, что ядра
G(x,y) или dG/dnv имеют особенности. Проиллюстрируем построе-
построение квадратурных формул, приближенно заменяющих интегралы, на
примере уравнения A0) из § 1.
Поверхность Г, являющаяся границей области D, разобьем на ко-
конечное число пересекающихся только, быть может, по своим грани-
границам криволинейных треугольников — граничных элементов. В каж-
каждом из граничных элементов искомую плотность будем считать
постоянной. Перенумеруем граничные элементы и обозначим прибли-
171/2*
260 Гл. 12. Граничные интегральные уравнения
женное значение плотности внутри граничного элемента Tj через
Заменим интеграл, входящий в уравнение A0) из § 1, суммой
а)
Интегралы, входящие в правую часть A), зависят только от Tj, но не
от Oj, а также от х как от параметра.
Обозначим Хк какую-либо точку граничного элемента Г*, а зна-
значения интегралов обозначим а^-:
_ fdG(xk-y) JO , .
akj = f
Перейдем теперь от уравнения A0) из § 1 к системе линейных алгеб-
алгебраических уравнений
2ттк + ^2 o-kjOj = -<p(xk), k,j = 1,2,..., J, C)
з
где J — число граничных элементов.
При стремлении числа граничных элементов к бесконечности, а
диаметра граничных элементов Г,- — к нулю решение системы C)
стремится к искомой плотности с(у) потенциала двойного слоя, кото-
которая является решением уравнения A0) из § 1. Само искомое решение
внутренней задачи Дирихле представляется с помощью потенциала
двойного слоя, который можно вычислить по найденной приближен-
приближенно из C) плотности. Вычисление коэффициентов ащ осуществляется
точно или приближенно. В качестве граничных элементов выбирают-
выбираются не обязательно криволинейные треугольники. Искомая функция
внутри граничного элемента не обязательно заменяется постоянной.
Можно принять, что это многочлен заданного вида с неопределенны-
неопределенными коэффициентами. Соответствующие изменения должны претер-
претерпеть уравнения C).
Существует развитая техника построения граничных элементов,
дискретизации граничных интегральных уравнений и точного или
итерационного решения возникающих алгебраических систем, кото-
которая здесь не излагается.
§ 3. Область применимости ГИУ
для численного решения краевых задач
В настоящее время существуют пакеты программ для численно-
численного решения многих краевых задач: для уравнений Лапласа и Гельм-
гольца; для системы Ламе, описывающей упругие деформации в од-
однородном или кусочно однородном материале; для системы Стокса,
Гл. IS. Граничные уравнения с проекторами 261
описывающей медленные течения вязкой несжимаемой жидкости, и
многих других (см., например, [13, 14]).
Очевидная выгода использования ГИУ по сравнению с методом
конечных разностей состоит в понижении на единицу геометричес-
геометрической размерности задачи за счет перехода к уравнениям на границе, а
также в автоматическом учете граничных условий и условий на бес-
бесконечности. Кроме того, переход к интегральным уравнениям поз-
позволяет иногда построить алгоритмы, автоматически учитывающие
гладкость входных данных и искомых функций, т. е. алгоритмы без
насыщения (см. [1], а также статью: В.Н. Белых// ДАН СССР. — 1989.
— Т. 304, h° 3. — С. 629-631).
Главное ограничение для непосредственного использования изло-
изложенной схемы вычисления решений краевых задач с помощью ГИУ
состоит в том, что для построения интегральных уравнений (а глав-
главное, для их дискретизации) требуется располагать удобным пред-
представлением ядер этих уравнений. Ядра выражаются через фундамен-
фундаментальные решения, которые допускают простое представление в виде
формул лишь для некоторых уравнений с постоянными коэффици-
коэффициентами. Впрочем, метод граничных элементов во взаимодействии с
различными итерационными процедурами применяют даже для не-
некоторых нелинейных краевых задач.
Отметим еще одну трудность. Пусть фундаментальное решение
известно и записано в виде простой формулы. Редукция краевой за-
задачи к равносильному интегральному уравнению может оказаться
непростым делом даже при этом условии, как мы объяснили на при-
примере внутренних резонансов в случае задач Дирихле и Неймана для
уравнений Лапласа и Гельмгольца.
ГЛАВА 13
ГРАНИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОЕКТОРАМИ
И МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
ДЛЯ ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
В гл. 12 мы рассказали об использовании классической теории по-
потенциала для перехода от заданной краевой задачи в некоторой об-
области к интегральным уравнениям на ее границе. Эти уравнения ис-
используют при качественном изучении и численном решении краевых
задач для уравнений Лапласа, Гельмгольца, систем Ламе, Максвелла,
Стокса и др.
Для редукции исходной краевой задачи к граничным интеграль-
262 Гл. IS. Граничные уравнения с проекторами
ным уравнениям решение записывают в виде того или иного потен-
потенциала с неизвестной плотностью, сосредоточенной на границе облас-
области, относительно которой при подстановке потенциала в граничное
условие и возникает интегральное уравнение. В основе построения
потенциала при этом лежит фундаментальное решение исходного диф-
дифференциального уравнения или системы уравнений. От возникающих
интегральных уравнений переходят к системе алгебраических урав-
уравнений, используя для замены интегралов квадратуры.
Граничные уравнения с проекторами (ГУРП), которым посвяще-
посвящена эта глава, как и классические граничные интегральные уравнения,
осуществляют замену краевых и некоторых других задач математи-
математической физики, поставленных в области, соотношениями на границе
этой области.
Прообразом общей конструкции ГУРП могут служить граничные
сингулярные интегральные уравнения, использующие классическое
условие Сохоцкого-Племеля для граничных значений аналитических
функций (решений системы Коши-Римана).
Мы излагаем здесь ГУРП Кальдерона, конкретизированные за
счет введения в конструкцию некоторых вспомогательных краевых
задач. ГУРП Кальдерона основаны на задании поверхностных потен-
потенциалов без помощи фундаментального решения или функции Грина
и без использования интегралов по поверхности, где сосредоточена
плотность. Вместо функции Грина используется непосредственно опе-
оператор Грина, а вместо интегрального представления поверхностных
потенциалов — некоторое их операторное представление.
Искомой плотностью потенциала в ГУРП Кальдерона является
вектор-функция из так называемого пространства данных Коши для
исследуемого эллиптического уравнения. При этом для уравнения по-
порядка т данными Коши на поверхности Г называют вектор-функцию
ди\
Ur = Г|г' »
-).
заданную на поверхности Г (п — направление нормали к Г).
Конкретизация и модернизация конструкций Кальдерона на осно-
основе использования вспомогательной краевой задачи предпринята нами
для того, чтобы получить ГУРП, приспособленные для дискретизации
и численного решения широкого класса задач математической физи-
физики методом разностных .потенциалов (МРП). Мы познакомим здесь
читателя с ГУРП Кальдерона и МРП на примере задач для эллипти-
эллиптических уравнений на плоскости.
§1. Пример ГУРП для эллиптического уравнения второго порядка 263
§ 1. Пример ГУРП для эллиптического уравнения
второго порядка
Воспользуемся построением ГУРП для уравнения вида
Ф) щ + W щ = 0, х = (хьх2) € D,
ф) > 1, Ь(х) > 1,
A)
в качестве примера на котором продемонстрируем идею редукции
краевых задач к равносильным
ГУРП с целью их численного ре-
решения методом разностных потен-
потенциалов. Будем считать, что D —
некоторая ограниченная область с
достаточно гладкой границей Г, а
коэффициенты о(х), Ь(х) — доста-
достаточно гладкие функции, определен-
определенные не только в D, но и всюду на
ПЛОСКОСТИ 0XiX2-
1. Потенциал с плотностью
из пространства данных Коши.
Введем произвольно "удобную" об-
область D0, содержащую область D
вместе с ее границей Г. Пусть, на-
например, областью D0 будет слу-
служить квадрат @ ^ xi,X2 ^ 1). Рассмотрим следующую вспомогатель-
вспомогательную задачу Дирихле (рис. 41):
ф) ^Н + Ь(Х) &! = /(Х) х е ?>о B)
= 0. C)
Будем предполагать, что /(х) принадлежит пространству Fpo всех
функций, определенных внутри D0, обращающихся в нуль на Г и
удовлетворяющих условию Гёльдера
Рис. 41
x',x"eD°,
D)
с некоторыми постоянными с > 0, а € @,1).
Введем еще линейное пространство Ujy> функций и^0 = и^0 (х) =
= и(х), определенных и непрерывных на замкнутом квадрате D0,
имеющих непрерывные первые производные всюду внутри D0, вклю-
включая точки границы Г, и непрерывные вторые производные всюду
внутри D0, за исключением, быть может, точек границы Г. Кроме
того, элементы и^0 пространства U^o подчиним следующему уело-
264 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
вию: функция
принадлежит F^o. Из теории эллиптических уравнений известно, что
при произвольной / G Fpo задача B), C) имеет одно и только одно
решение и ? Uqq.
Определим наконец пространство данных Коши t/г, относя к нему
все вектор-функции вида
<г=[ ^Ч, E)
где д/дп — производная в направлении внутренней нормали к гра-
границе Г области D, a vjj — произвольная функция, которую можно
доопределить всюду на D0 до некоторой функции v^0 G U]jo-
Будем обозначать операцию взятия данных Коши функции Vp
через Тгг^ и называть ее операцией взятия следа, так что след v^
есть г>г=
«г = ^5 «В- F)
Определение. Пусть vr € Ur — произвольная вектор-функция
из пространства данных Коши. Рассмотрим задачу вида B), C) с
правой частью
= \
О, если х € D,
-Ь(х) тг4, если
где v(x) = Vpo(x) есть произвольная функция из C/g0» данные Ко-
Коши которой совпадают с иг- Функцию и^, совпадающую с решением
задачи B), C), G) и^0 на множестве D, будем называть потенциалом
с плотностью vr и обозначать
uD = Pr>rvr- (8)
Теорема 1. Определение потенциала (8) корректно в том смыс-
смысле, что решение задачи B), C), G) существует, причем и^ зависит
только от плотности vr, ко не от выбора vjj0 G Ujj0, данные Коши
которой совпадают с vr.
Доказательство. По определению пространства f/^0 для вся-
всякой функции ugo € Ujj0 функция а(х) —-$ + b(x) ^-j (x G D°\r) при-
надлежит FDo. Но тогда правая часть G) тоже принадлежит Fpo.
Таким образом, задача вида B), C) с правой частью G) имеет един-
единственное решение и^в € Upo. Докажем, что сужение этого решения
§1. Пример ГУРП для эллиптического уравнения второго порядка 265
и до на область D С D0 зависит только от vr, но не от выбора Vjy,
из числа тех, данные Коши которых совпадают с г>г- Ввиду линейнос-
линейности достаточно показать, что в случае vr — Or = q функция и3,
задаваемая равенством (8), есть тождественный нуль.
Действительно, в этом случае функция и(х), определяемая равен-
равенством
Г 0, если х 6 D, . .
(9)
принадлежит Ujj0, поскольку на Г она непрерывна вместе со свои-
своими первыми производными, которые обращаются в нуль. Остальные
условия принадлежности этой функции пространству U3o выполне-
выполнены по построению функции v^0. Но функция (9) является решением
задачи B), C) с правой частью G). Очевидно, что сужение ujjO(x)
функции (9) на D С D0, т. е. потенциал (8), есть тождественный
нуль. ?
Теорема 2. Потенциал и3 = Pjjrvr при любой плотности vr €
G Up есть решение однородного уравнения A). Если и^ есть реше-
решение однородного уравнения A) и допускает доопределение до некото-
некоторой Upo 6 ZTpo и если up = Тгр^и^ есть данные Коши этого решения,
то потенциал Р^иг с плотностью иг совпадает с и^:
Доказательство. Справедливость первого утверждения оче-
очевидна, так как решение и^0 задачи B), C) с правой частью G) в
области D удовлетворяет однородному уравнению A), поскольку пра-
правая часть G) на D есть нуль. Для доказательства второго утвержде-
утверждения при построении потенциала и^ = Р^гиг используем в качестве
Vpo в G) ту функцию vjjo 6 Uро, которая является доопределением и^
на D°\D до элемента пространства Ujp. В силу теоремы 1 потенциал
допускает такой выбор v^0, поскольку
Прямой подстановкой vjj0 в уравнения B), C) проверяется, что
vjj0 является решением задачи B), C) с правой частью G). Но суже-
сужение Vjj0 на D С D0, т. е. потенциал (8), совпадает с A0). ?
2. Проектор Кальдерона. Введем оператор Ргг= Ur -> Up, опре-
определив его равенством
Ргг = ТггБРБг.
Теорема 3. Уравнение
ur = Ргг "г A1)
18 B.C. Рябенький
266 Гл. IS. Граничные уравнения с проекторами
выполнено для тех и только тех иг 6 Ur, которые являются данными
Коши для некоторого решения и^ однородного уравнения A), допус-
допускающего доопределение всюду в D0 до некоторой и^0 6 ?/^0. Оператор
Ргг есть проектор, Р^г = Ргг-
Доказательство. Если ur — данные Коши для некоторого ре-
решения однородного уравнения A), допускающего доопределение до
ujjo G Upo, то в силу теоремы 2 справедливо A0). Применяя к обеим
частям A0) операцию Тгг^, получаем A1). Обратно, пусть иг 6 Ur и
up удовлетворяет A1). Рассмотрим потенциал (8), который запишем
формулой
Применяя к обеим частям этой формулы операцию Тгг^, получаем
гиг = -Ргг "г- В силу A1) юг = up. Но Wp есть решение уравнения A),
так что иг есть данные Коши некоторого решения, а именно решения
wjj уравнения A).
Докажем, что Р$г — Ргг- Зададим произвольно vr 6 Ur. Пусть иг =
= -Ргг vr. Применяя к обеим частям равенства up = -Ргг vr операцию
Ргг, получаем Ргг up = ргг г>г- Заметим, что иг есть данные Коши ре-
решения цо = Рог vr- В силу A1) будет Ргг ^г = иг. Поэтому Ргг иг =
= РрГ vr можно записать так: иг = Ррр Ч~, т. е.
Ргг vr = Ргг vr ¦ Е
vr
Обсудим полученный результат. Оказалось, что граничное урав-
уравнение с проектором Кальдерона
иг - Ргг иг = 0 A2)
равносильно уравнению A) в том смысле, что оно выполнено для тех
и только тех up, которые являются данными Коши для какого-либо
решения задачи A). Если up есть решение уравнения A2), то соот-
соответствующее решение уравнения A) восстанавливается по up по фор-
формуле A0).
3. Редукция краевой задачи к равносильным ГУРП. Пусть
в дополнение к уравнению A) задано какое-либо условие
Jppur = VT, Vr 6 Фг, up G Ur, A3)
где Фр — некоторое пространство функций на Г, !рр: Ur —> Фг- Тогда
пара условий A2), A3) относительно плотности потенциала иг и есть
ГУРП, равносильные исходной краевой задаче A), A3). Очевидно, ре-
решение существует и единственно для этих задач одновременно, при-
причем решение задачи A), A3) выражается через решение задачи A2),
A3) по формуле (8).
Представление потенциала в форме (8), а также граничные урав-
уравнения с проектором вида A1), полученные на основе использования
§2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации 267
потенциала в форме (8), не требуют знания функции Грина и допус-
допускают обобщения на широкий класс систем уравнений с переменными
коэффициентами относительно вектор-функций многих переменных.
Задачи
1. Пусть о(х) = Ь(х) = 1 и пусть G(x,y) — функция Грина задачи B),
C).
Показать следующее: г / ч
а) потенциал (8) с плотностью г»г — \ ) (\ можно записать в виде
[ г>1 (s) j
Л
Г
где 8У — длина дуги вдоль Г в точке у € Г;
б) условие A1) в точке ж € Г принимает вид
ЛЯС
xoeD г
г
2. В области D~, дополняющей D до всего квадрата D0, построить
потенциал itg_ = PD-rvr, выражающий общее решение в области D" од-
однородного уравнения A) и удовлетворяющий нулевым условиям на грани-
границе dDn. Построить также граничное уравнение с проектором, аналогичное
уравнению A1).
Указание. Принять за новое D область D~ и повторить построения
из основного текста.
§ 2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации
При редукции краевых задач в области D к ГУРП возникает сис-
система уравнений вида
"г - -Ргг "г = 0, /гг "Г = Vr> "г 6 Ur, VT 6 *г, A)
где Ur, Фг — некоторые пространства, которые будем считать нор-
нормированными.
Мы установим здесь факт устойчивости ГУРП и наметим на его
основе подход к их дискретизации для численного решения.
1. Устойчивость ГУРП. Можно показать, что при естественных
предположениях об исходной краевой задаче и естественном выборе
норм выполнено неравенство
B)
где с — постоянная, не зависящая от
18*
268 Гл. IS. Граничные уравнения с проекторами
Будем считать, что неравенство B) выполнено. Оно означает
устойчивость решения иг G Ur задачи A) относительно возмущений
up € f/r в классе функций иг, для которых равенство иг — -Ргг ^г =
= 0 выполнено точно. Можно доказать более сильное утверждение об
устойчивости систем вида A), охватывающее случай up — -Ргг "г Ф 0.
Сформулируем его для абстрактных уравнений вида
и - Ри = 0, 1и = <р, ueU, у? G Ф, C)
где U, Ф — некоторые линейные нормированные пространства,
Р: U —> U, причем Р — Р2 — проектор;
где / — линейный оператор.
Теорема 1. Пусть для каждой функции u€U, удовлетворяющей
уравнению и — Ри = 0, выполняется оценка
Hlu^CilMI», D)
где с\ — некоторая постоянная. Пусть, кроме того, операторы Р, I
ограничены, т. е. \\P\\ < оо, \\l\\ < оо, где \\P\\ = sup(||Pu||t/ : ||и||и);
||/|| = sup(|NI«: 1ЫЫ-
U
Тогда при произвольной и Е ?7 выполнены оценки
\Ни ? с2(\\и - Ри\Ц + \\lu\\l) < csllull^, E)
где С2, с3 — некоторые постоянные, не зависящие от и 6 ?/.
Доказательство. Обозначим z = и — Ри, или и — z = Ри. При-
Применяя к обеим частям первого равенства оператор Р, получаем Pz =
= Ри — Р2и = 0. Поэтому и - z = Ри = Р(и — z). Но из и — z —
= Р(и — z) в силу предположения теоремы следует оценка \\и — z\\u ^
< ci||/(u - г)\\ф, откуда вытекает
Ыи < \\z\\u + ci\\l(u - z)||* < \\z\\u + С1\\1и\\Ф + С1\\1г\\Ф <
^(i + ciplDINiu + diNi», F)
Цы||?/ ^ A + dlUH) l|u - Pullc +
Отметим, что для любых вещественных a, b справедливо
2(о2 + Ь2) - (а + ЪJ = (о - ЬJ ^ 0, т. е.
(а + ЬJ < 2а2 + 2Ь2. G)
Положим а = A + ci||/||) \\и — Ри\\и, b = ci||/u||, возведем обе час-
части F) в квадрат и воспользуемся G). Получим
1И2, < 2A + Cl||/||J Htx - Puf + 2с? \\lu\\%.
Отсюда следует первое из неравенств E) с постоянной
с2 = 2гааХ[(И-с1||/||J,с2].
§2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации 269
Вторая оценка E), очевидно, справедлива, если в качестве сз принять
Отметим важную для дальнейшего теорему.
Теорема 2. Пусть и — решение системы C):
и - Ри = 0, lu = ip, (8)
и пусть выполнены условия теоремы 1. Фиксируем произвольную функ-
функцию v 6 U. Отклонение \\u-v\\ выбранного v от решения и удов-
удовлетворяет оценкам
II" - «112: < <*{\\lv - <р\\% + \\v - Pv\\l) < c3\\u - v\\b. (9)
Доказательство. В качестве произвольной функции и 6 U
возьмем и — и — v и воспользуемся оценками E). Заметим, что
1и = 1и — lv = ip — lv, и — Ри = (и — v) — Р(и — v) — —{v — Pv).
Тогда E) перейдет в (9). ?
2. Схема дискретизации ГУРП. Пусть задача C) при каждом
<р 6 Ф имеет единственное решение и 6 U, причем выполнено нера-
неравенство \\й\\и ^ ci||v||*. Пространство U естественно считать беско-
бесконечномерным. Для вычисления приближенного решения необходимо
дискретизировать задачу, т. е. описать это приближенное решение с
помощью конечного набора чисел, подлежащих отысканию. Мы ука-
укажем здесь схему перехода от задачи C) к задаче, где искомым при-
приближенным решением задачи C) является элемент и'^ некоторого
А^-мерного линейного подпространства U^ пространства U.
Для перехода к N неизвестным числам достаточно записать эле-
элементы пространства U^N^ в виде выражения, зависящего от N число-
числовых параметров. Это заведомо можно сделать. Например, достаточно
выбрать какой-либо базис в U^ и описывать элементы их коорди-
координатами в этом базисе.
Итак, пусть при каждом данном натуральном N выбрано Z/W с
С U. Введем обозначение
Примем за приближенное решение и^' 6 U^N^ тот элемент про-
пространства U^N\ для которого К(°Ци) принимает наименьшее
значение:
tf<0>(ii<">) < /f(°)(^), ^Nf/(yv). A0)
Таким образом, мы перешли от исходной задачи C) к задаче об отыс-
отыскании функции uW G ?/(ЛГ).
Выясним некоторые свойства задачи об отыскании и'^. Обоз-
Обозначим
eN= rain ||tZ- v\\v. A1)
270 Гл. IS. Граничные уравнения с проекторами
Теорема 3. Погрешность u — vSN^ приближения u^N^ удовлетво-
удовлетворяет оценке
\\и-и^\\Ь^с3е%, A2)
где сз — постоянная из теоремы 2.
Доказательство. Пусть v^N^ 6 ?/^ — элемент, для которого
достигается минимум в правой части A1), т. е.
В силу второго неравенства (9) справедливо
c2K(°4vW) $ с3\\и - v^Wl = с3е2.
Учитывая A0), можно написать
Но в силу первого неравенства (9), т. е. неравенства \\и — гг
< с2К@)("(АГ)), из A3) следует A2). ?
Следствие. Если последовательность пространств U^ (N =
= Ni,N2,...) выбрана так, что последовательность чисел ?i,e2,—
стремится к нулю, то в силу A2) последовательность приближе-
приближений v,(N) сходится к решению задачи C).
Для отыскания элемента и'^, придающего наименьшее значение
функционалу К^ на подпространстве U^N\ выберем базис щ ,
^4 >---)^лг в этом подпространстве и запишем искомый элемент
и'^ в виде
N
к=1
где Ск — коэффициенты разложения и^ по выбранному базису.
Будем считать в дальнейшем, что пространства U, Ф суть про-
пространства с некоторыми скалярными произведениями (и, v) v, (tp, чр)ф
и нормами ||и||[; = (u,u)v, \\f\\% = (f,</>)*¦
Тогда
N N
k=l fc=l
т. e. Jf'0'(uftf') есть квадратичная функция от N чисел ci,C2,...,c/v
строго положительная в случае <р = 0, Cj 'ф. 0.
§ 2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации 271
Отыскание элемента A4), придающего минимум выражению A5),
равносильно вычислению решения с = {ct} системы линейных урав-
уравнений
8Ki0)(uiN))
дск ~ ' Ь-1'^-'"'
которую можно записать в виде
С(ЛГ)с = f. A6)
Здесь С(лг> = DР) (i,j - 1,2,...,N) — некоторая матрица, a f —
некоторый iV-мерный вектор. Для вычисления элементов {с^ '} и
компонент вектора f нужно, очевидно, уметь вычислять элементы
Р'Фь €. f/ и 1фк € Ф {к — 1,2,..., N) и соответствующие скалярные
произведения вида
i,j = l,2,...,iV. A7)
Затем остается точно или методом итераций (приближенно) ре-
решить систему A6) и получить искомое решение A4).
Замечание 1. Переход к системе A6) в канонической записи,
требующий вычисления матрицы C^N\ не является единственным
возможным путем для вычисления элемента A4), минимизирующе-
минимизирующего KW(v(n)). Часто это и не самый дешевый по затратам ресурсов
компьютера (времени и памяти) путь. Однако будем придерживаться
только этого пути из-за того, что тогда удастся осуществить изложе-
изложение более легко.
Альтернативный подход отыскания элемента tSN) G UN, мини-
минимизирующего выражение K^(v^N^), состоит в использовании опера-
операторной записи для СЛАУ, равносильной задаче об отыскании мини-
минимизирующего элемента для K^(v^N^) (v(N) € UN) с последующим
решением этой СЛАУ итерациями, на каждом шаге которых требу-
требуется вычислять результат действия оператора СЛАУ на предыдущее
приближение. Этот подход изложен в [16]. Здесь мы о нем говорить
больше не будем.
При получении выражений A7), а также матрицы С^ и правой
части f системы A6) достаточно уметь находить интересующие нас
величины лишь приближенно. Однако вычислительный алгоритм дол-
должен зависеть от некоторого параметра (обозначим этот параметр h
(h > 0)) таким образом, чтобы при h -> 0 результаты вычислений
становились сколь угодно точными. Это позволит выбрать и фик-
фиксировать достаточно малое h > 0 так, чтобы получить требуемую
точность.
272 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
Замечание 2. Пусть с целью получения вычислительных фор-
формул выражения K^°\v^), Pv заменены приближенными выраже-
выражениями Kj^ («С)), P/tV^, уточняющимися при h -> 0. При этом с
уменьшением h возрастают вычислительные затраты. При заданном
е > 0 наибольшее число h > 0, при котором выполнены неравенства
вообще говоря, зависит не только от h, но и от v^N\ h — h(e
Обозначим hmin(e) = min h(e,v^N^). Может оказаться, что на
элементах v^N\ близких к решению u^N\ для выполнения нера-
неравенств A8) допускается выбор числа h(e,v^), гораздо менее жест-
жесткий, чем /imjn(e); это справедливо, если
Л(е,и<">): Лт1П(е)»1. A9)
При отыскании и^ в процессе итераций возникают v^N\ близ-
близкие к v,(N\ так что достаточно использовать именно И(е,и^), а не
). Вычисления будут более дешевыми, чем было бы при
использовании hm-m.
Соотношение вида A9), усиливающееся с ростом N, как мы уви-
увидим, имеет место при приложении общей схемы к краевым задачам
для уравнения Лапласа. Благодаря этому окажется, что точность вы-
вычисления элементов c»j матрицы CW может быть меньше, чем точ-
точность отыскания и^.
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа и подходящие
нормы в пространствах Ur, Фг- Вернемся от абстрактной зада-
задачи C) с проектором Р: U -> U к ГУРП вида A) для задачи
Эта задача Дирихле для уравнения Лапласа была сведена к ГУРП A2),
A3) из § 1
иТ - Ргг "г = 0г, ujj\r = ip{s).
Будем считать длину Г равной единице. Отнесем к Ur и к Фр
Гг/0)Ы1
"достаточно гладкие" вектор-функции vr = #,»; ( и "достаточно
гладкие" функции ^ — </j(s) соответственно.
Замечание. "Достаточно гладкими" будем считать «'°'(s),
v^^(s), <p(s), если они принадлежат соответственно пространствам
§ 2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации 273
Гёльдера
V{0) € Cfc+2+а.Г, WA> G Cfc+1+а.Г, ?>(s) G Cfc+2+а.Г.
где &^ОиО<а<1 — фиксированные числа.
Пространством Гёльдера Cj+Q,r называется пространство перио-
периодических с периодом 1 функций f(s), имеющих производные по s до
порядка j, которые удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а:
d?f{s") d?f{s')\ . . . „ ,la
—J-^-L L^-L\ < const • \s - s\a.
dsl d&> I
Мы описали запас элементов, входящих в пространства [/р, $г-
Введем теперь нормы, положив
\Ы\ЪТ = /[ |^f ]
Возникающие при этом нормированные пространства Up, Фг не яв-
являются так называемыми полными пространствами, но это нам и не
нужно.
Введенные нормы B1) можно считать евклидовыми, если ввести
скалярные произведения в Uy и Фг формулами
°М°> + — ~ + uVvV]ds, B2)
• B3)
Из теории эллиптических уравнений следует, что оператор Ргг:
[/р -> Ur ограничен. Кроме того, решение задачи B0) удовлетворяет
оценке
|K||t/r ^ const -|Ы|фг. B4)
Таким образом, в рассматриваемом случае реализуются условия,
предусмотренные при общих построениях для абстрактной задачи с
проектором C).
Для дискретизации задачи в соответствии с общей схемой снача-
сначала надо выделить подпространство Щ ' С[/г. Сделаем это следую-
следующим образом. Зададим Н > 0 так, чтобы число 1/Я оказалось целым
числом, и положим N = 2Я. Отметим на границе Г (длина кото-
которой равна единице) равноотстоящие точки Sj = jH (j = 1,2, ...,n);
l
274
Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
ции
Подпространство
= /1ЛГ)
определим как пространство вектор-функ-
вектор-функс компонентами
), г/1>ЛГ)(б-) вида
B5)
B6)
где u
j0'
(j = l,2,...,n) — произвольные числа, а
Ip^is) € С*+1+а,Г, j = 1,2,...,71,
— кусочно многочленные базисные функции. Они подобраны так, что-
чтобы выражения B5) и B6) были локальными гладкими сплайнами,
имеющими соответственно к + 2 и к + 1 непрерывных производных,
принимающих в точке Sj значения v^ и Vj ' (j = l,...,n) соответ-
соответственно. Такие сплайн-функции описаны в § 3 гл. 1. Они будут ис-
использованы нами лишь при теоретических рассмотрениях, а для вы-
вычислений можно в качестве функций B5), B6) использовать обычную
кусочно многочленную интерполяцию.
Обозначим через Ф^'-" е [/г вектор-функции
,-_
0
Тогда элемент
можно будет записать в виде A4):
B7)
Обозначим через Р^Я>^'^ и
вторую функции из составляющих вектор-функцию
соответственно первую и
г ^г =
Скалярные произведения A7), используемые для построения мат-
матрицы CW системы A6), в данном случае примут вид
Обозначим первую и вторую компоненты вектор-функции РггФр >3
6 f/r через Р^р Ф^1^' и Р^р'Ф^'^ соответственно. В этом случае чис-
§2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации 275
ла B8), очевидно, будут выражены через следующие интегралы:
1
fРугФг-^'1^0'^ ds, г = 1,2,..., N, j = 0,1,..., п, B9)
о
1
о
1
/'рA)ф(лг>»)о^A.л)^6. г = 12 N 7 = 12 п C1)
о
= 1,2,...,*, C2)
i,j = 1,2,...,*, C3)
|(Р&>Ф<."''>)(Р#>Ф<."-»)еЬ, ij = 1,2,...,*, C4)
о
l
J^iP^ds, i,j = l,2,...,n. C5)
о
Интегралы B9)-C5) можно приближенно заменить суммами с
помощью квадратурных формул. Именно, выбрав некоторое нату-
натуральное N' и узлы Sj = j/N' (j = 0,1, ...,N'), можно воспользоваться
формулами трапеции.
Можно добиться сколь угодно большой точности, выбирая число
N' достаточно большим. При вычислении выражений C5) проблем
нет. Однако слагаемые в возникающих при замене интегра-
ловB9)-C4) суммах выражаются через числа
| , ?рФ(| , p*p| .
l«=«fc> ds Г Г U=«fc' Г Г \s=ah
j = l,2,...,iV, fc = 1,2, ...,*',
Для отыскания чисел C6) мы воспользуемся аппроксимацией потен-
потенциала Кальдерона Рог^г с заданной плотностью vr = \ т\ i\ Раз~
ностными потенциалами, которые эффективно вычисляются.
Следующий параграф (§ 3) посвятим определению, изучению
свойств и описанию алгоритма вычисления разностных потенциалов.
Наконец, в § 4 будет рассказано об использовании разностных потен-
потенциалов для приближенного отыскания чисел C6), а также о некоторых
других приложениях метода разностных потенциалов.
276
Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
§ 3. Определение и вычисление разностных потенциалов
Зададим натуральное число К и положим h = 1/К. На плоскос-
плоскости хОу введем сетку (хт1,ут2) - (mih,m2h) (mi,m2 = 0,±l,...) и
рассмотрим пятиточечный разностный аналог уравнения Пуассона
n = /mi
/
где Nm — шаблон разностной схемы в точке (xmi, ym2), а именно, со-
совокупность пяти точек (xmi ±h,ym2 ±/i), (xmi,ym2). Обозначим че-
через ип значение искомой сеточной функции в точке сетки (хП1, уП2) =
= {n\h, n2/i), через /т заданное значение сеточной функции в точке
(zmiJ/m2) = (mih,m2h), а через атп коэффициенты:
_ Г h~2, п\ = m
~\—4h~2, п =
= mi ± 1 или
n2=m2±l,
i,n2 = m2).
Пусть D = D+ — некоторая ограниченная область с границей Г.
Пусть для определенности она вместе со своей границей лежит внут-
внутри квадрата ?>° = {0 < х < 1, 0 < у < 1}. Обозначим через М° мно-
множество точек сетки, попавших внутрь квадрата D0, через М+ мно-
множество точек сетки, попавших строго внутрь области D. Определим
М~ как дополнение множества М+ до М°, т. е. положим М~ —
— М°\М+. Введем множества №, N+, N~ и сеточную границу 7 се-
сеточных областей N+, N~. Положим № = UNm (m G M°), т. е. № —
это то множество, которое заметает пятиточечный шаблон Nm, ког-
когда тп пробегает множество М°. Аналогично, JV+ = UNm (m G M+),
N~ = UiVm (m € M~). Наконец, определим границу 7, положив 7 =
= N+ (~)N~. (Здесь U и П — знаки объединения и пересечения мно-
множеств.) Элементы границы у на
рис. 42 изображены точками.
Введем разностную вспомога-
вспомогательную задачу относитель-
относительно функции Идго, определенную
/ J
^ /mi
и.
тп?М°,
= 0,
A)
О
гДе /т — произвольная функция,
¦з»- определенная на М°.
1 Отметим, что задача A) всегда
Рис- 42 имеет одно и только одно решение,
причем это решение можно вычислить методом Фурье (методом раз-
разделения переменных).
§3. Определение и вычисление разностных потенциалов 277
Введем пространство Vy всех функций, определенных на у.
Определение. Разностным потенциалом uN+ = Р++ vy с
плотностью vy называется функция uN+, определенная на множест-
множестве N+ и совпадающая на множестве N+ (N+ С №) с решением z^o
следующей задачи вида A):
{О, те М+,
У" amnvn, meM-, B)
п€лС
г I =о C1
где vn — произвольная функция, которая определена на №, обраща-
обращается в нуль в точках, лежащих на сторонах квадрата D0, т. е. на 8D0,
и совпадает с заданной плотностью vy в точках п е "у.
Отметим сразу же, что функция zn (n e №) может быть легко
вычислена как решение задачи B), C), являющейся частным случаем
задачи вида A).
Теорема 1. Определение разностного потенциала uN+ = Р++ vy
корректно в том смысле, что и^+ зависит только от vy, но не от
способа доопределения функции vy до некоторой функции v^o в точ-
точках №\у.
Доказательство. Разобьем v^o на два слагаемых:
" 0, так что
0, п & 7, Г I /у
{О, п &7,
В силу линейности задачи B), C) для доказательства теоремы до-
достаточно показать, что решение и^0 задачи
0, те М+,
v^ п с я,- D)
n€Nm
un\8D0 = 0
обращается в нуль на N+.
Для этого покажем, что решение задачи D), E) задается формулой
"п = < и _ .._ E)
278 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
и тем самым обращается в нуль на М+. Во-первых, заметим, что
функция и", задаваемая формулой E), однозначна, так как в слу-
случае п € 7 = N+ П N~ обе строчки формулы F) принимают одно и
то же (нулевое) значение. Очевидно, что и" удовлетворяет уравнени-
уравнениям D). D
Теорема 2. Разностный потенциал uN+ = Р^+ Щ при произ-
произвольной плотности vy удовлетворяет однородному уравнению
53 атПип = О, т€М+. F)
Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно
следует из определения разностного потенциала, а именно, из равен-
равенства B) при m € М+. ?
Теорема 3. Пусть функция г;т допускает такое доопределение
vN+ всюду на N+, при котором функция vn (n G N+) удовлетворя-
удовлетворяет однородному уравнению F). В этом случае такое доопределение
единственно, и разностный потенциал uN+ = Р?+ г;т есть функция,
совпадающая с решением vN+ уравнения F).
Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено. Доопре-
Доопределим г;т всюду на N+ до решения уравнения F), в точках п G dD°
положим ип = 0, а в остальных точках множества п G № зададим vn
произвольно. Уравнение B), лежащее в основе определения разност-
разностного потенциала, в таком случае можно переписать так:
поскольку справедливо
o.mnvn = 0, mG M+,
по построению функции vn (n € №).
Но уравнение G) при условии C) имеет решение zn = vn (n G №).
В частности, если п € N+, то в силу определения uN+ = zN+, а зна-
значит, uN+ = vN+, и F) справедливо. ?
Теорема 4. Функция щ G Vy может быть доопределена всюду
на N+ до некоторого решения uN+ уравнения F), если выполнено
равенство
Рт+ v7 = vy, (8)
и только в этом случае. Здесь P^v7 есть сужение на множество 7
разностного потенциала Р^+ vy, который определен всюду на N+, и,
в частности, в точках множества 7 = N+ П N~, которое содержит-
содержится в N+; Р+т: Vy^V7.
?3. Определение и вычисление разностных потенциалов 279
Доказательство. Если функция г;т удовлетворяет условию (8),
то она совпадает с сужением на 7 разностного потенциала P^+JO^,
т. е. этот разностный потенциал представляет собой ее доопределе-
доопределение всюду на N+. Но разностный потенциал uN+ = P^+^Vy является
решением однородного уравнения F), и первое утверждение теоремы
доказано. Обратно, если равенство (8) не выполнено, то функцию глу
нельзя доопределить до решения vN+ уравнения F).
В противном случае в силу теоремы 3 разностный потенциал
uN+= Р^+ v7 совпадал бы с этим доопределением vN+, а его сужение
P^lyV-t на 7 совпадало бы с сужением i>7 функции v^+ на множество -у,
т. е. выполнялось бы (8). П
Аналогично разностному потенциалу и^+ = Р^+^-у с плот-
плотностью v7, определенному на N+, можно построить разностный по-
потенциал идг- = Ppj yV-y, определенный на N~.
Определение. Разностным потенциалом uN- = Pj^ yv^ с
плотностью vy назовем функцию uN-, определенную на множестве
N~ и совпадающую на этом множестве N~ (N~ С №) с решением
следующей задачи вида A):
т G М+,
(9)
A0)
где vn — произвольная функция, которая определена на №, совпадает
с Vy на 7 С № и удовлетворяет условию 3.
Справедливы теоремы об uN- = P^_TwT, аналогичные теоремам
об un+ = Pn+ vt ^ы сФ°РмУлируем эти теоремы, оставляя доказа-
доказательство их в качестве упражнений читателям.
Теорема 1'. Определение разностного потенциала и^- = Р^ yv^
корректно в том смысле, что uN- зависит только от г;т, но не от
выбранного доопределения функции г;т до функции Vfjo, использованной
в уравнении (9).
Теорема 2'. Разностный потенциал uN- = Р^ vy при произ-
произвольной плотности vy удовлетворяет однородному уравнению
= 0, т€М~. A1)
Теорема 3'. Пусть функция г>7 допускает такое доопределе-
доопределение vn (n G N~) всюду на N~, при котором функция vn (n G N~)
удовлетворяет условию A0) и однородному уравнению
атпг;п=0, т?М~. A2)
280 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
Тогда это доопределение единственно и разностный потенциал
им- = Pj^ Vj есть функция, совпадающая с этим доопределе-
доопределением г>дг-:
vN- = Pn-jVj-
Теорема 4'. Функция глу может быть доопределена всюду на N~
до решения уравнения A2) при условии A0) в том и только том слу-
. чае, если выполнено равенство
P~7vy = и,. A3)
Здесь R^yV7 — сужение на у разностного потенциала Р^ v^;
Р~ ¦ V -^V
Существует связь между потенциалами uN+ — Р++ г;т и uN- —
— P^_^Vj. Эта связь выражается, в частности, теоремой 5. Разобьем
границу 7 на два подмножества 7+, 7~: 7 = 7+ и 7~> положив
7+=7ПМ+, 7" = 7ПМ". A4)
Теорема 5. Условие (8) выполняется в том и только том слу-
случае, если решение wn (n ? №) задачи (9), A0) удовлетворяет условию
wn = 0, n € 7+- A5)
Условие A3) выполняется в том и только том случае, если реше-
решение zn (n G N0) задачи B), C) удовлетворяет условию
zn = 0, п? 7~- A6)
Доказательство. Докажем первое утверждение. Прежде всего
заметим, что функция w^- = {wn} (n € N~) в точках п ? М~ удов-
удовлетворяет в силу (9) разностному аналогу уравнения Лапласа. Поэто-
Поэтому в силу принципа максимума наибольшее на N~ значение модуля
wn достигается хотя бы в одной точке множества N~, не принадлежа-
принадлежащей М~, т. е. хотя бы в одной точке N~\M~. Но множество N~\M~
состоит из части точек множества 7+> а также из точек сетки, лежа-
лежащих на границе сШ° квадрата ?)°. В точках, принадлежащих 3D0,
функция wn обращается в нуль в силу A0). Поэтому условие A5) не-
необходимо и достаточно для того, чтобы функция wn тождественно
обращалась в нуль всюду на N~. Теперь очевидно, что условие A5)
равносильно также требованию
wn = 0, п G 7- A7)
Очевидно, что функция vNo — {г;п} удовлетворяет тождеству
amnvn, m € М°, A8)
§3. Определение и вычисление разностных потенциалов 281
Вычитая из тождества A8) уравнение B) почленно и обозначая
wn — vn — zn (n € iV°), получаем, очевидно, что wn является решением
задачи (9), A0). В частности, для п € N+ функция zn совпадает со
значением в этой точке потенциала ti;v+ = Р^+ г>7. Поэтому можно
написать
wN+ = vN+ - P^+7v7. B0)
В частности, на множестве 7 С N+ оно превращается в равенство
а равенство (8) в равенство и;7 = 0, или, что то же самое, в равенст-
равенство A7). D
Мы предоставляем читателю доказать в качестве упражнения вто-
второе утверждение теоремы самостоятельно.
Существует глубокая аналогия между интегралами Коши и типа
Коши
г
из теории аналитических функций и разностными потенциалами
(а также континуальными потенциалами иг> = РпгУг)-
Доопределим потенциал uN+ = Р?+ г>7 всюду на №, положив
l-(/V_7v7J на J\-.
Функция u^0, очевидно, двузначна на множестве 7 = N+ C\N~.
Функция B2) и есть разностный аналог интеграла типа Коши B1)
(с обходом контура Г = dD против часовой стрелки). При этом роль
контура Г играет сеточная граница 7- Роль ip(?) (? € Г) играет г>7.
Роль аналитических функций играют решения разностного аналога
уравнения Лапласа.
Будем называть сеточные функции
и(ш) _ р+ у и и(ех) _ _р- v
предельными значениями функции B2) соответственно изнутри и из-
извне сеточной области N+.
Читатель легко проверит, что сеточная функция
совпадает с плотностью г>7. Это аналогично тому, что скачок интегра-
интеграла типа Коши на границе Г есть функция v@- Функцию v?(?) следует
19 B.C. Рябенький
282 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
понимать как плотность потенциала, если интеграл типа Коши пони-
понимать как потенциал.
Условие (8) есть условие того, что выражение B2) становится ана-
аналогом интеграла Коши (а не типа Коши). Именно в этом случае вторая
строчка в правой части B2) обращается тождественно в нуль (ин-
(интеграл Коши вне контура интегрирования обращается в нуль). Само
условие (8) есть точный аналог условия Сохацкого-Племеля из теории
аналитических функций, необходимое и достаточное для того, чтобы
функция v?(?) была граничным значением некоторой аналитической
внутри D функции. В этом случае функция f(z) на Г совпадает с
V?(?). Редукция краевых задач к уравнениям с проектором на грани-
границе вполне аналогична методу сингулярных интегральных уравнений
в теории краевых задач для аналитических функций.
Вместо квадратурных формул, используемых при численном ре-
решении сингулярных интегральных уравнений, в случае уравнений
с проекторами используются разностные потенциалы с подходящей
плотностью v-y.
Задача
Определим функцию uwo = Р^о и7:
п€М+ B3)
аналогичную интегралу типа Коши B1) с интегрированием по контуру 7
в направлении против часовой стрелки.
а) Показать, что в случое выполнения равенства A3) второй строчка
в правой части B3) есть функция, тождественно на N+ обращающаяся в
нуль.
б) Показать, что при любой функции и7 справедливо равенство
в) Показать, что Р*7 и Ру7 суть проекторы.
§ 4. Использование разностных потенциалов
для приложений
Укажем некоторые приложения введенных выше разностных по-
потенциалов.
1. Аппроксимация модифицированных потенциалов Каль-
дерона разностными. В § 2 мы свели задачу вычисления матрицы
С = [cij] и численного решения краевых задач к задаче приближенно-
приближенного вычисления потенциала Кальдерона и^ = Pjjrvr с заданной плот-
плотностью
§4- Использование разностных потенциалов для приложений 283
где z/°)(s), v^(s) — достаточно гладкие функции.
Оказывается, что при согласованном с A) и указанном ниже зада-
задании разностной плотности г>7 разностный потенциал uN+ = Р^+7г;7
аппроксимирует потенциал Кальдерона и^ = Р^Ггт, так что значения
Up и ее первых производных в любой точке i6D можно приближенно
получить путем интерполяции функции Uj^+ с сетки N+. Опишем ал-
алгоритм задания г>7. Пусть v(x, у) ((х,у) € D0) — некоторая функция,
обращающаяся в нуль на границе квадрата D0 и удовлетворяющая
следующим условиям:
jj _ ^(o)^ dv/dn\ = v^(s) Av\ =0 Г = 0D B)
где п — направление внутренней нормали к D. Заметим, что из усло-
условия AfL = 0, зная z/°)(s) и v^(s), можно вычислить d2v/dn2\ =
Пусть теперь v — произвольная точка сеточной границы 7- Опус-
Опустим из точки v нормаль на Г и значение длины дуги s в точке пе-
пересечения этой нормали с Г обозначим sv. Расстояние от v до точ-
точки sv на Г обозначим р и будем считать положительным, если v € D,
и отрицательным, если v g D. Положим
г>7 = v^(sv) +pvl-1)(sv) + — v^(sv), ^€7. C)
Эта формула задает сеточную плотность г>7, для которой разност-
разностный потенциал uN+ = Р/у+7г>7 аппроксимирует потенциал Кальдеро-
Кальдерона иг, — Рог^г и позволяет вычислять потенциал ud и его первые
производные в произвольной точке с погрешностью, стремящейся к
нулю при h -> 0. Мы не будем уточнять это утверждение А.А. Резника
[16], а ограничимся рассмотрениями, объясняющими суть механизма
аппроксимации.
Потенциал и^ = РдГгт определен в § 1 как решение задачи
ГО, х € D,
U ~ I Av, x€ D°\D,
рассматриваемое на D, D с D0. Пусть плотность разностного потен-
потенциала задана не по формуле C), а с помощью равенств
vv=v{xv,yv), ve-y. E)
Обозначим эту плотность через v7 в отличие от плотности v7, зада-
задаваемой формулой C). Соответствующий разностный потенциал
uN+ = Р^+7г;7 в соответствии с § 3 совпадает на N+ с решением
19'
284 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
разностной задачи
{О, те М+,
]Г amnv(nih,n2h), теМ~, F)
n€Nm
un\dD0 = 0.
Очевидно, что разностная задача F) аппроксимирует задачу D),
так что естественно ожидать (так оно и есть), что uN+ аппроксими-
аппроксимирует Up. Но построение потенциала й^+ нельзя осуществить, так как
мы не знаем функции v(x,y). Однако разностный потенциал зависит
только от плотности v7, которую мы приближенно можем вычислить
по формуле Тейлора C).
2. Перенос граничного условия с исходной границы на
искусственную. Приведем пример задачи, требующей переноса гра-
граничного условия, а затем построим искусственное граничное условие,
реализующее требуемый перенос.
Рассмотрим задачу
ди Еги ёги ., ¦, п ~ . ^ гг,
= v(x,y), (x,y)eD°, (?)
где f[x,y,t), ip(x,y), ip(x,y), а = a(x,y,t) — заданные функции,
причем
c(x,y,t)=0, (x,y)ftDcD°,
сг(х, у, t) > const > 0, (x,y)eD.
Эта задача моделирует магнитное поле в проводнике D, окруженном
вакуумом D°\D.
Относительно решения задачи G) будем предполагать, что оно и
его первые производные непрерывны на Г. Для вычисления решения
сетку по переменным х, у возьмем ту же, что и в § 3. Аппроксимируем
задачу G) разностной схемой
р+1 р
UZ4 ? mnUn+<W?, meM°, p=l,2,...,
те М°,
= 0.
Допустим теперь, что решение u(x,y,t) задачи G) интересует нас
только при (х, у) е D. Соответственно решение задачи (9) требуется
§4- Использование разностных потенциалов для приложений 285
вычислять только для п € N+. Допустим, что решение tt^+ уже най-
найдено при некотором р. В силу явной разностной схемы (9) мы можем
вычислить u?+1 для всех п € М + С N+. Остается вычислить и?+* в
точках N+\M+, т. е. в точках множества j~ = 'уПМ~.
Обозначим подлежащую отысканию сеточную функцию и?+г
(п € 7~) через «ft1. В соответствии с (9) функция u^t1 совпадает
на 7~ G~ € iV~) с решением и^- следующей задачи:
Л атпи„=0, теМ~, A0)
(И)
un=0, neSD0. A2)
Условие A1) можно записать короче:
«7+ = и*+ , A3)
где v^X1 —- уже известная функция.
Очевидно, что иу- есть такая сеточная функция, при которой
функция
„Р+1
\и7- в
точках 7+7 /-..ч
точках 7~
допускает доопределение всюду в iV~ до решения задачи A0), A2),
A3). Поэтому и7 должно удовлетворять условию A3) из § 3 или рав-
равносильному этому условию равенству A6) из § 3. Но функция z^+,
определяемая решением задачи B), C) из § 3, совпадает с разностным
потенциалом ujy+ — P?+ vy и зависит поэтому (и притом линейно)
только от u7, или, что то же самое, от пары функций г>7+, v7-.
Таким образом, функцию г7-, совпадающую с г^+ на 7~ G~ С
С N+), можно записать в виде
z7- = Л7-7+г;7+ -t-B7-7-v-r-, A5)
где А7-7+, ^7-7- суть некоторые линейные операторы. Если плот-
плотность г>7 совпадает с функцией A4), то A5) примет вид
а условие A6) из § 3 примет вид
А7-7+и!;+1+Б7-7-и7-=0. A7)
Это и есть граничное условие, которое получается при переносе
условия A2) со множества точек сетки n G 8D0 на искусственную
286 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
границу 7- Оно равносильно заменяет условие A2) и уравнение A0),
вместе взятые.
Заметим, что оператор В7-7-, действующий в пространстве се-
сеточных функций г>7- размерности, равной числу \'у~\ точек множест-
множества 7~i является невырожденным и имеет обратный, так что A7) мож-
можно переписать в форме
Для доказательства существования оператора В 1 _ достаточно
показать, что в случае и**1 = 07+ уравнение A7) имеет только три-
тривиальное решение и7- = 07-.
Пусть и7- удовлетворяет A7) при ир+* = 0. Тогда функция A4)
примет вид
_ Г 0 в точках 7+>
7 1 и7- в точках 7
и станет следом на 7 решения однородного разностного уравнения
при условии
В силу принципа максимума максимум модуля этой функции до-
достигается хотя бы в одной точке N~\M~. Но множество N~\M~
является объединением двух множеств — множества точек сетки,
лежащих на границе квадрата сШ°, и множества 7+- Но на первом из
них ип = 0 по условию un\8Do = 0. На втором также и„=0в силу
условия un|7+ = uvX — 0. Поэтому ип — 0 (n € N~) и, в частности,
«7- =°Г--
Для фактического вычисления uft1 = uy- по формуле A8) нуж-
нужно перенумеровать точки множеств 7+, 7~- Тогда операторы /Ц-7+,
Б7-7- запишутся с помощью матриц. Матрица >Ц-7+ имеет |7~|
строк и |7+| столбцов, а Ву-у- — квадратная |7~| х |7~|-матрица.
Элементом ау (г = 1,2, ...,|7~|, j = 1,2,..., |7+|) матрицы А7-7+
является значение потенциала P^-Vvv в точке с номером г на 7~, ес-
если Vy обращается в нуль всюду на 7> кроме точки с номером j на
7+, где она равна единице. Элементом 6^ (г, j = 1,2,..., |7~|) является
значение этого же потенциала в той же точке с номером г множест-
множества 7~, если vy обращается в нуль всюду, кроме точки с номером j
на 7~, где она равна единице. Таким образом, вычисление элементов
dij, bij матриц сводится к вычислению разностных потенциалов.
§4- Использование разностных потенциалов для приложений 287
После того как A8) записано с помощью матриц, значение uft =
= ы7- вычисляется по формуле A8).
Подчеркнем, что матрица
С7-7- = -Дт_7_Ат-7+,
входящая в искусственное граничное условие A8), не зависит от р и
вычисляется один раз.
3. Идея декомпозиции задач с помощью метода разност-
разностных потенциалов. Изложим схему декомпозиции на примере зада-
задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D
& + W = 0' {x'y)eD'
и\во = Ф)- B0)
Разобьем область D на две (несколько) подобласти, D\ и D-i- Обо-
Обозначим границы областей D\, D-i через Fi, Гг, а общую часть Fj
и Гг через Гх %. Объединение границ Т\ и Гг обозначим Г, так что
3D = r\rli2. '
Уравнение Лапласа A9) в области D заменим уравнениями
Лапласа
^ + ^=°. («,»)€ А, г = 1,2, B1)
с условиями согласования
(^^)L-° <22>
на общей части Г12 границы. Уравнение A9) и совокупность уравне-
уравнений B1), B2) равносильны. Введем пространство Vp; данных Коши на
границе Тг. Введем вспомогательный квадрат D\ ', содержащий Di,
и вспомогательную задачу
B3)
Определим, как в § 1, потенциал Кальдерона для уравнения B1):
с плотностью vvi e Vvi и выпишем условие на границе:
288 Гл. 13. Граничные уравнения с проекторами
которое равносильно соответствующему уравнению B1) в области Di
(i = 1,2).
Введем пространство Vr, состоящее из элементов вида г>г = | Fl
( G Vrt, г = 1,2). Введем также оператор Ргг: Vr -> Vr, положив
Совокупность уравнений B1) в областях D\, D2 равносильна, оче-
очевидно, совокупности уравнений B5), или
иг = Ргг иг, B7)
где, очевидно, Ргг — проектор, Pf?r = Ргг.
Заменим условия B2) условиями более общего вида
Совокупность условий B0), B8) запишем в виде
/ur = vr- B9)
Таким образом, исходная задача A9), B0) свелась к задаче ви-
вида B1), B9) в составной области D = D\ U Di, которая в свою очередь
равносильна паре уравнений B7), B9) на границе Г = Fj U Г2. В этом
и состоит предлагаемая декомпозиция исходной задачи.
Для численного решения системы граничных уравнений B7), B9)
с проектором можно применить изложенную выше схему. Эта схе-
ГVr. I
ма состоит в том, что плотность vr = заменяется плотностью
\
Vj, , зависящей от N значений в опорных точках на Г, а для вычис-
вычисления соответствующей матрицы A6) из § 2 потенциалы Кальдерона
аппроксимируются разностными потенциалами на основе аппрокси-
аппроксимации вспомогательных задач B3) их пятиточечными разностными
аналогами на квадратной сетке с шагом }ц{г = 1,2).
Выгода от декомпозиции исходной задачи A9), B0) состоит в сле-
следующем.
а) В каждой области можно взять свой шаг hi, отвечающий пове-
поведению решения в этой области.
Другими словами, можно совместить использование квадратной
сетки с возможностью ее измельчения в нужных местах. (В методе
конечных элементов возможность мельчить сетку достигалась пере-
переходом к нерегулярной треугольной сетке.)
б) Можно учесть произвольные граничные условия в криволиней-
криволинейной области, не прибегая к их разностной аппроксимации.
§4- Использование разностных потенциалов для приложений 289
4. Использование многопроцессорных компьютеров. В ос-
основе алгоритмов МРП лежит многократное решение разностных вспо-
вспомогательных задач, т. е. задач в простых областях (квадрат, круг,
куб, шар) на регулярных сетках. Это допускает распараллеливание
вычислений.
5. Библиографическая справка. Метод разностных потенциа-
потенциалов был предложен автором в его докторской диссертации в 1969 г.
как аппарат численного решения разностных краевых задач.
В 1976 г. (см.: Рябенький В. С. Об использовании метода внутрен-
внутренних граничных условий для вычислений //Тр. Всес. конф. по уравне-
уравнениям с частными производными (январь 1976 г.).—М.: Изд-во МГУ,
1978.—С. 211-212) был предложен вариант МРП для численного ре-
решения дифференциальных краевых задач, не требующий разностной
аппроксимации граничных условий.
В результате многолетних работ развился тот аспект МРП, основ-
основная задача которого изложена выше. Оказалось естественным трак-
трактовать этот аспект МРП как способ численного решения граничных
уравнений с проекторами Кальдерона, которые были модифицирова-
модифицированы с этой целью (Рябенький В. С. Проекторы Кальдерона// ДАН
СССР.—1983.—Т. 270, JV° 2.—С. 288-291).
Работа по развитию МРП проводилась автором и работавшими
вместе с ним в разные годы во время обучения на старших кур-
курсах и в аспирантуре Московского физико-технического института
А.Я. Белянковым, Д.С. Каменецким, М.Ю. Лохановым, М.Н. Мишко-
вым, А.А. Резником, И.Л. Софроновым, В.А. Торгашовым, A.M. Федо-
Федоровским, СВ. Цынковым и другими. Участие в развитии МРП приня-
приняли Л.В. Бадьин, Р.И. Вейцман, А.В. Воронков, А.В. Забродин, Е.В. Зи-
Зиновьев, М.И. Лазарев, В.В. Огнева, В.И. Турчанинов.
Основные результаты по МРП, полученные до 1987 г., нашли от-
отражение в монографии [16]. Современное состояние МРП и его прило-
приложений отражено в монографии: Рябенький В. С. Метод разност-
разностных потенциалов и его приложения (которая готовится к выпуску в
2001 г.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
2. Бахвалов И.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.:
Наука, 1987.
3. Годунов С.К., Антонов А.Г. и др. Гарантированная точность решения
систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. — Новоси-
Новосибирск: Наука, 1988.
4. Годунов С.К., Забродин А.В. и др. Численное решение многомерных за-
задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976.
5. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. —
М.: Физматгиз, 1962.
6. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.
7. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. — М.: Наука, 1989.
8. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике. — М.: Наука,
1992.
9. Калиткин И.И. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
10. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в прикладном анализе. — М.:
Физматгиз, 1963.
11. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристический метод. —
М.: Наука, 1988.
12. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.
13. Muxauh С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Граничные интегральные
уравнения в теории упругости. — М.: Наука, 1993.
14. Партон В.З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости.
— М.: Наука, 1978.
15. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. —
М.: Гостехиздат, 1950.
16. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач
механики сплошных сред. — М.: Наука, 1987.
17. Рябенький B.C., Филиппов А.А. Об устойчивости разностных уравне-
уравнений. — М.: Гостехиздат, 1956.
18. Самарский А.А. Теория разностных схем. — Изд. 2-е. — М.: Наука,
1983.
19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
Список литературы 291
20. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.
— М.: Наука, 1978.
21. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М.:
Наука, 1994.
22. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука,
1973.
23. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973.
24. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. — М.: На-
Наука, 1989.
25. Высшая математика для инженерных специальностей: Компьютерное
учебное пособие. Кн. 3, 4. — М.: РосНИИС, 1997.
ОГЛАВЛЕНИЕ V
Предисловие 3
Введение 5
§ 1. Дискретизация 7
§ 2. Обусловленность 9
§ 3. Погрешность 11
§ 4. О методах вычисления 15
ЧАСТЬ I
ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ.
КВАДРАТУРЫ
ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 19
§ 1. Существование и единственность интерполяционного много-
многочлена 20
§ 2. Классическая кусочно многочленная интерполяция 27
§ 3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция (сплайны) ... 34
§ 4. Интерполяция функций двух переменных 42
ГЛАВА 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 44
§ 1. Интерполяция периодических функций 45
§ 2. Интерполяция функций на отрезке. Связь между алгебраичес-
алгебраической и тригонометрической интерполяциями 53
ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. КВАД-
КВАДРАТУРЫ 59
§ 1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона 60
§ 2. Сочетание численных и аналитических методов при вычисле-
вычислении интегралов с особенностями 67
§ 3. Кратные интегралы 69
ЧАСТЬ II
СИСТЕМЫ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЙ. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ 72
§ 1. Формы записи совместных СЛАУ 73
§ 2. Нормы 77
§ 3. Обусловленность СЛАУ 82
Оглавление 293
§ 4. Методы исключения Гаусса 88
§ 5. Связь между задачей на минимум квадратичной функции и
СЛАУ 96
§ 6. Метод сопряженных градиентов как метод точного решения
СЛАУ 97
§ 7. Конечные ряды Фурье и запись точного решения разностного
аналога задачи Дирихле для уравнения Пуассона 99
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
(ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ) РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 104
§ 1. Методы простых итераций 105
§ 2. Метод Чебышева и метод сопряженных градиентов 118
ГЛАВА 6. ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛАУ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ 120
§ 1. Примеры задач, приводящих к переопределенным СЛАУ . . . 120
§ 2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения в обшем слу-
случае 123
ГЛАВА 7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ
УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 130
§ 1. Метод простых итераций 131
§ 2. Метод линеаризации Ньютона 135
ЧАСТЬ III
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 139
§ 1. Примеры разностных схем. Сходимость 139
§ 2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разност-
разностной схемой 146
§ 3. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как
следствие аппроксимации и устойчивости 154
§ 4. Схемы Рунге-Кутта 161
§ 5. Методы решения краевых задач 165
ГЛАВА 9. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ 169
§ 1. Основные определения и их иллюстрация 170
§ 2. Некоторые приемы построения аппроксимирующих разност-
разностных схем 183
§ 3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи
Коши 198
§ 4. Принцип замороженных коэффициентов 209
§ 5. Явные и неявные разностные схемы для уравнения теплопро-
теплопроводности 219
294 Оглавление
ГЛАВА 10. ПОНЯТИЕ О РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЯХ И СПОСОБАХ ИХ
ВЫЧИСЛЕНИЯ 221
§ 1. Дифференциальная формулировка интегрального закона сохра-
сохранения 223
§ 2. Построение разностных схем 229
ГЛАВА 11. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 235
§ 1. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной
схемы 237
§ 2. Понятие о методе конечных элементов 243
§ 3. Вычисление решений сеточных аналогов краевых задач .... 250
§ 4. Многосеточный метод Федоренко 251
ЧАСТЬ IV
МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГЛАВА 12. ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОД
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ . 256
§ 1. Способы редукции краевых задач к ГИУ 256
§ 2. Граничные элементы и дискретизация ГИУ 259
§ 3. Область применимости ГИУ для численного решения краевых
задач 260
ГЛАВА 13. ГРАНИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОЕКТОРАМИ И МЕ-
МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ИХ ЧИСЛЕННОГО
РЕШЕНИЯ 261
§ 1. Пример ГУРП для эллиптического уравнения второго порядка 263
§ 2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации 267
§ 3. Определение и вычисление разностных потенциалов 276
§ 4. Использование разностных потенциалов для приложений . . . 282
Список литературы 290
Учебное издание
РЯБЕНЬКИЙ Виктор Соломонович
ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ
Редактор Е.Ю.Ходан
Оригинал-макет Н.Л. Ивановой
ЛР № 071930 от 06.7.99. Подписано в печать 25.10.2000.
Формат 60x90/16. Бумага типографская № 1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 20,9. Тираж 3000 экз. Заказ № 510.
Издательская фирма "Физико-математическая литература"
МАИК "Наука/Интерпериодика"
117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в Московской типографии № 6
Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
109088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24
ISBN 5-9221-0047-5
'85922Н100472